Equations fonctionelles analytiques [PhD Thesis ed.] [PDF]

Zitiervorschau

These Presentee par

Fabienne NAEGELE pour obtenir le grade de Docteur

de l'Institut National Polytechnique de Grenoble (Arr^ete ministeriel du 30 mars 1992) Specialite: Mathematiques Appliquees

Autour de quelques equations fonctionnelles analytiques Date de soutenance : 15 decembre 1995 Composition du jury : President : Rapporteurs :

Werner Balser Anne Duval Manuel Bronstein Examinateurs : Jean-Pierre Ramis Jean Della-Dora

These preparee au sein du Laboratoire de Modelisation et Calcul de Grenoble. 1

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Je tiens ici a remercier tres chaleureusement toutes les personnes que j'ai rencontrees au cours des dernieres annees et qui m'ont soutenue, tant par l'inter^et qu'elles ont manifeste pour mon travail que par leur gentillesse. Je pense notamment a tous les Grenoblois et Strasbourgeois, ainsi qu'a tous les membres du groupe CATHODE. J'aimerais exprimer plus particulierement ma gratitude a Jean DELLA-DORA, mon directeur de these, ainsi qu'a Jean-Pierre RAMIS, lequel a accepte de co-diriger cette these, pour m'avoir propose un sujet aussi interessant que varie et pour m'avoir fait con ance. Qu'ils en soient vivement remercies. Je suis particulierement ere de pouvoir remercier Anne DUVAL. Elle a accepte avec gentillesse et sans aucune hesitation de faire un rapport sur ma these. Il en va de m^eme pour Manuel BRONSTEIN. Bien que sollicite de toutes parts, il a toujours accepte de repondre a mes questions et c'est un honneur pour moi qu'il ait fait un rapport sur mon travail. Quant a Werner BALSER, je n'aurais ose esperer qu'il fasse partie de mon jury. J'en suis particulierement heureuse. J'ai egalement le plaisir de remercier Francoise JUNG. Par ses conseils et sa disponibilite, elle a su me soutenir quand j'en avais besoin. Mes pensees vont a Frederic FAUVET qui a montre un inter^et manifeste pour mon travail de recherche et qui a eu la patience de m'eclaircir de nombreux points mathematiques. Ma gratitude va egalement a Claire DICRESCENZO, pour sa gentillesse et sa patience. Sans elle, je conna^trais encore moins bien A]. Mes plus vifs remerciements vont a Jean THOMANN. Je suis ere de travailler avec lui. Il a toujours montre une patience et une bonne humeur hors du commun.

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Table des matieres Introduction :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 7 Chapitre 1

Theoremes d'indices pour les equations q -differences-differentielles : :: : : : : 13

1. 2. 3. 4.

Introduction :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 13 Operateurs a indice : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 14 Espaces Gevrey generalises : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 15 Theoremes d'indices et de comparaison :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 17

4.1. Operateurs etudies : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 17 4.2. Espaces de Banach : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 18 4.3. Les (; r; ;  )-operateurs : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 20 4.4. Theoremes d'indices : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 22 4.5. Theoreme d'indice dans Cl [[x]] : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 26 4.6. Theoreme d'indice dans Cl fxg : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 27 4.7. Theoreme de comparaison : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 27 5. Interpretation des theoremes d'indices :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 31 5.1. Polygone de Newton : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 31 5.2. Traduction des theoremes d'indices en fonction du polygone de Newton : : : : :: : : : : : 33 6. Equations a coecients polynomiaux : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 34 6.1. Dualite topologique : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 34 6.2. Etude a l'in ni : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : 37 6.3. Theoremes d'indices : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 38 6.4. Estimations de croissance : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 39

Chapitre 2

Theoremes d'indices pour les equations aux differences a coefficients polynomiaux en q x : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 45

1. Introduction :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 45 2. Preliminaires :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : 46

2.1. La fonction Gamma q-analogue : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 46 2.2. La q-integrale :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : 48 3. Transformee q-Mellin formelle : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 48 3.1. Transformee q-Mellin formelle d'un operateur : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 48 3.2. Series de q-factorielles : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: 49 4. Theoremes d'indices dans Cl~ q [[t]] :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 53 4.1. Indice dans Cl~ q [[t]] : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 53 4.2. Indices dans les espaces q-Gevrey : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: 55 5. Solutions series de q-factorielles formelles : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 58 5.1. Polygone de Newton : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 58 5

5.2. Caracterisation q-Gevrey des series de q-factorielles solutions : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 59 6. Theoremes d'indices (series de q-factorielles) : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 60 6.1. Indices formels :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : 60 6.2. Indices q-Gevrey :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 63 7. Transformee de q-Laplace formelle : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 64 7.1. De nitions : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 64 7.2. Solutions formelles :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 66

Chapitre 3

Un algorithme de resommation de series formelles solutions d'equations differentielles ordinaires lineaires :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 69

1. Introduction :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 69 2. Resultats theoriques : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 70 3.

4. 5. 6. 7.

2.1. Notations : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 70 2.2. La k-sommabilite et la multisommabilite : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 71 2.3. Methode des transformees de Laplace iterees (W. Balser) : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 74 2.4. Polyn^omes d'Ore :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 77 Outils formels : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: 78 3.1. De nition du concept de serie formelle : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : 79 3.2. Passage d'une equation aux dierences a une equation dierentielle puis a un systeme dierentiel : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 79 3.3. Scindage d'une serie formelle : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 81 3.4. Transformee de Borel formelle : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 83 3.5. Transformees de Borel iterees : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: 84 3.6. L'exemple de Ramis-Sibuya : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: 86 Prolongement analytique : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 87 4.1. Transformees de Laplace iterees : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : 87 4.2. Localisation des singularites : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 88 4.3. Prolongement analytique :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 88 4.4. Logiciel Compas : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 89 Implantation :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : 90 5.1. Primitives : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: 90 5.2. Contenu algorithmique : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 97 Resultats : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : 102 6.1. Equation d'Euler : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 102 6.2. Exemple de 2-sommabilite : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 104 6.3. Exemple de Ramis-Sibuya : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 105 Conclusion : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 106

Bibliographie : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : 111 Annexes : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 115 A.1. Convergence des series de factorielles q-analogues : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: 117 A.2. Fichiers "source" de l'algorithme de Balser : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : 121 6

Introduction

Le sujet de cette these concerne l'etude d'equations fonctionnelles analytiques. Plus precisement, nous nous interessons d'une part aux equations lineaires algebriques q-dierences-dierentielles pour lesquelles nous etablissons des theoremes d'indices, ainsi que des estimations de croissance des solutions entieres de telles equations. Nous nous attachons d'autre part a l'etude des series de factorielles q-analogues solutions d'equations aux dierences a coecients polynomiaux en qx, dont nous donnons des estimees q-Gevrey. En n, nous poursuivons le travail de stage de DEA sur l'implantation d'un algorithme de multisommation des series formelles solutions d'equations dierentielles lineaires algebriques. Les annexes comprennent d'une part quelques resultats sur la convergence des series de factorielles q-analogues, d'autre part les chiers "source" de l'algorithme de Balser. Nous nous proposons a present de detailler les principaux resultats obtenus. Le premier chapitre de ce rapport traite des operateurs melangeant operateurs dierentiels et operateurs aux q-dierences de la forme I X J X d )ij L= ai;j (x)( dx q i=0 j =0

o ai;j (x) sont des s q est l'operateur qui a la serie formelle Pu lesa coecients Peries aformelles; n n n x associe la s e rie formelle q x , q  e tant un complexe de module 0 < jqj < 1. n 0 n n0 n De tels operateurs ont ete etudies auparavant, notamment par W. Hahn [14] qui a cherche des solutions analytiques de Ly = 0 lorsque les coecients ai;j (x) sont constants. En considerant les travaux menes par J.-P. Ramis et B. Malgrange concernant les equations dierentielles ordinaires [27,29,19] et par J.-P. Bezivin sur les equations aux q-dierences [6], nous sommes amenes a de nir, pour s; s0 2 IR, l'espace Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)) des series P formelles a xn dont les coecients ont une majoration du type n0 n

9A > 0; 9C > 0; 8n 2 IN; janj < C jqj, sn n (n!)s0 An (resp. 8A > 0; 9C > 0; 8n 2 IN; janj < C jqj, sn n (n!)s0 An). ( +1) 2

( +1) 2

La methode de ltration par des espaces de Banach [29] et la recherche des operateurs preponderants au sens de la compacite [29,19,6] se transposent naturellement dans notre cas. Nous etablissons ainsi le theoreme : Theoreme 4.4.8 : Soit L = PIi=0 PJj=0 ai;j (x)( dxd )iqj , avec ai;j (x) = Pk0 i;j;k xk 2 Cl fxg et q un complexe, 0 < jqj < 1. Soient s et s0 2 IR tels que s > 0 et s0 2 IR, ou s = 0 et s0  0. Soient p0s (L) = inf i;j;k 6=0(j + (k , i)s) et M (s) = f(i; j; k)ji;j;k 6= 0 et j + (k , i)s = p0s (L)g. Soient vs;s0 (L) = inf (i;j;k)2M (s)((k , i)s0 , i) et N (s; s0) = f(i; j; k) 2 M (s)j(k , i)s0 , i = vs;s0 (L)g. 7

 Si s > 0 et s0 2 IR ou si s = 0 et s0  0 alors L est un operateur a indice dans Cl [[x]]q;s;s0 , d'indice egal a : (L;Cl [[x]]q;s;s0) = , inf fk , i=9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g  Si s > 0 et s0 2 IR ou si s = 0 et s0 > 0 alors L est un operateur a indice dans Cl [[x]](q;s;s0), d'indice egal a : (L;Cl [[x]](q;s;s0)) = , supfk , i=9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g Ces indices peuvent se lire directement sur un polygone de Newton associe a l'operateur. dont les pentes correspondent d'une part aux reels s pour lesquels il existe (i1; j1; k1) et (i2; j2; k2) dans M (s) avec k1 , i1 6= k2 , i2 (nous dirons qu'alors s est une valeur exceptionnelle), d'autre part aux reels s0 associes a une valeur exceptionnelle s tels qu'il existe (i1; j1; k1) et (i2; j2; k2) dans N (s; s0) avec k1 , i1 6= k2 , i2 (s0 est dit exceptionnel relativement a s). Si les series ai;j (x) sont convergentes, nous etablissons le theoreme suivant : Theoreme 4.7.9 : Soit L = PIi=0 PJj=0 ai;j (x)( dxd )iqj , avec ai;j (x) 2 Cl fxg. Soient f^ 2 Cl [[x]] et g 2 Cl fxg tels que L(f^) = g. Alors :  Soit f^ 2 Cl fxg,  Soit il existe un unique reel s0 > 0 tel que f^ 2 Cl [[x]]q;0;s0 et f^ 2= Cl [[x]](q;0;s0); on dit que f^ est Gevrey d'ordre exact s0,  Soit il existe un unique reel s > 0 et un unique reel s0 2 IR tels que f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 et f^ 2= Cl [[x]](q;s;s0); on dit alors que f^ est q-Gevrey d'ordres exacts s et s0. Les theoremes d'indices pour les operateurs a coecients polynomiaux s'etendent par dualite et par passage a l'in ni.

Theoremes 6.3.2 et 6.4.2 : Soit L un operateur a coecients polynomiaux L=

I X J X K X

i=0 j =0 k=0

d )ij i;j;k xk ( dx q

avec 0 < jqj < 1. Soient f 2 A(Cl ) une fonction entiere et g un polyn^ome tels que L(f ) = g. Alors :  Soit f est un polyn^ome,  Soit il existe un unique reel s0 < 0 tel que f 2 Cl [[0x]]q;0;s0 et f 2= Cl [[x]](q;0;s0). De plus, il existe C;  > 0 tels que jf (x)j < C exp(r,1=s ) (r = jxj),  Soit il existe un unique reel s < 0 et un unique reel s0 2 IR tels que f 2 Cl [[x2 ]]q;s;s0 et f 2= Cl [[x]](q;s;s0). Il existe alors C , > 0 tels que jf (x)j < C exp( k2 ln (r) + k1s0 ln(r) ln j ln(r)j +  ln(r)) (r = jxj). 1

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Dans le second chapitre, nous etudions les equations aux dierences dont les coecients sont des polyn^omes en qx. Ces equations apparaissent dans le travail de W. Hahn [14]. R tx,1F (t)dt. Formellement, f (x) = Considerons la transform e e int e grale formelle f ( x ) = C fR (x + 1) = RC tx,1  tF (t)dt; xf (x) = RC xtx,1F (t)dt = RC tx,1(,t dtd )F (t)dt et qxf (x) = x,1  pF (t)dt: Ct A. Barkatou et A. Duval [5] ont utilise l'isomorphisme Cl [; x] ! Cl [t; ,t dtd ] de ni par  7! t et x 7! ,t dtd et les theoremes d'indices etablis dans le cas dierentiel pour obtenir des theoremes d'indices pour des operateurs de Cl [; x] agissant sur les series formelles de factorielles. Nous considerons la transformee de Mellin q-analogue, c'est-a-dire l'isomorphisme Cl [; qx] ! Cl [t; p] de ni par  7! t et q x 7! p . Le bon espace desP series formelles stables par l'action de Cl [; qx] est celui des series q-factorielles generalisees n0 ,q (x,+q(+x)n+1) ou  2 Cl (,q est la fonction Gamma q-analogue). La transformee q-Mellin formelle que nous avons ete amenes a de nir pour une telle serie est :

De nition 3.2.4 : La transformee q-Mellin formelle d'une serie formelle de q-factorielles generalisees est la serie formelle X IMq (f^q )(t) =

an (tq; q)1 = (tq; q)1 X an (tq+1; q)n n +1+   +1 , ( n + 1 +  ) ( tq ; q ) ( tq ; q ) , ( n + 1 +  ) q 1 1 q n0 n0 ou (tq+1; q)n = (1 , tq+1)(1 , tq+2) : : : (1 , tq+n) et (a; q)1 = (1 , a)(1 , aq)(1 , aq2) : : : pour jqj < 1. Nous veri ons que

Proposition 3.2.6 : Si f^q est une serie formelle de q-factorielles generalisees alors pour tout operateur
q 2 Cl [qx;  ], IMq (
q (f^q )) = IMq (
q)IMq (f^q ): Cette propriete de commutativite nous permet de nous ramener a des equations polynomiales aux p-dierences agissant sur les series formelles en (tq; q)n, notees Cl~ q [[t]], pour lesquels nous etablissons des theoremes d'indices par l'isomorphisme Cl~ q [[t]] ! Cl [[v]] qui a (tq; q)n associe vn et par l'isomorphisme [t; p] ! [v; v,1; p] de ni par t 7! p(1,v)p et p 7! p + v1 , v1 p. Nous pouvons egalement de nir un polygone de Newton associe a un operateur de Cl [; qx]. P Nous dirons que la serie de q-factorielles n1 an ,q,(qx(+x)n) est q-Gevrey d'ordre s 2 IR s'il existe sn n C; A > 0 tels que 8n 2 IN; jan+1j < C ,q (n + 1)jqj, An . ( +1) 2

Theoreme 5.2.3 : Soient
q 2 Cl [qx;  ] et g^q une serie de q-factorielles q-Gevrey P d'ordre 0. Soit f^q = n1 an ,q,(qx(+x)n) solution de
q f^q = g^q . Alors f^q est q-Gevrey d'ordre 0 ou il existe un unique reel s > 0 tel que f^q est q-Gevrey d'ordre s optimal (s est l'inverse de l'une des pentes du polygone de Newton associe a
q). 9

Les theoremes d'indices que nous obtenons sont des q-analogues de ceux etablis par A. Barkatou et A. Duval. Le troisieme chapitre decrit un algorithme de resommation des series formelles solutions d'equations dierentielles lineaires ordinaires au voisinage d'une singularite irreguliere, supposee a l'origine. Nous transformons la methode des transformees de Borel-Laplace iterees proposee par W. Balser en un algorithme formel-numerique de calcul eectif de la somme de series multisommables. L'algorithme repose sur les trois theoremes suivants.

Theoreme 2.3.3 (W. Balser) : Soit f^ une serie (k1; : : : ; kr )-sommable. Soit d une direction non singuliere. Soient 1; : : :; r > 0 de nis par 1=1 = 1=k1 et 1=j = 1=kj , 1=kj,1 , j = 2; : : : ; r. La somme de f^ dans la direction d est egale a L :d : : : Lr :dS B^r : : : B^ f^ 1

1

ou :d est le prolongement analytique le long de d, S est la somme de la serie formelle convergente, B^ est la transformee de Borel formelle d'ordre  (B^(x)() = ,(,) ) et L est la transformee de Laplace d'ordre  (L (f )(x) = Rd f (t) exp(,( xt ))d(t)). De nition 2.3.4 : Soient 1; : : :; r > 0. Soient k1 > : : : > kr de nis successivement par 1=k1 = 1=1 et

1 = 1 + 1 ; l = 2; : : : ; r kl l kl,1 Une serie formelle est (1; : : : ; r) , iL sommable si elle est (k1; : : :; kr )-sommable.

Theoreme 3.3.1 : Supposons que f^(x) est (1; : : :; r ) , iL sommable. Soient  2 IN et f^0(x); : : :; f^,1(x) les  sous-series. Alors chaque sous-serie f^q (x) est (1=; : : : ; r =) , iL sommable. De plus, si d 2 IR est tel que d; d + ; : : : ; d + ( , 1) sont des directions non singulieres pour f^(x) ( = 2=), alors d est une direction non singuliere pour les sous-series. Dans un secteur bissecte par d, la somme f (x) de f^(x) est egale a f (x) = (a0 + f0(x)) + x(a1 + f1(x)) +


+ x,1(a,1 + f,1(x)) Theoreme 3.4.1 : Soient 1; : : : ; r > 0 avec 1 = 1= 1, 1 2 IN. Si g^(x) est (1; : : : ; r ) , iL sommable dans la direction d alors la transformee de Borel formelle B^1= (^g) est (2; : : : ; r) , iL sommable dans la direction d. 1

Nous detaillons l'algorithme pour une serie f^(x) (1; 2) , iL sommable, avec 1 =  et    = . Les directions d de resommation autorisees par l'algorithme sont les directions non 1

2

2

1

2

1

10

singulieres de f^(x) telles qu'en faisant 12 tours autour de l'origine on ne retombe pas sur une direction singuliere, c'est-a-dire : d 6= di + 2 l pour tout l 2 ZZ et pour toute direction singuliere di. 1

2

Pour calculer la somme de f^(x) en un point ou plus generalement le long d'un chemin, nous scindons la serie formelle en 1 sous-series dont nous calculons les transformees de Borel formelle d'ordre 1 . Ces transformees de Borel ^0(x); : : :; ^ ,1(x) sont (  ),iL sommables. Nous avons a calculer le prolongement de leur somme le long d'un chemin. Pres de l'origine, en general singularite irreguliere, nous calculons la somme en recommencant le processus precedent. Nous scindons en 2 sous-series chaque transformee de Borel et prenons les transformees de Borel d'ordre 1 , lesquelles sont convergentes. Nous calculons leur prolongement analytique le long d'un chemin et par une formule de quadrature nous obtenons le prolongement des sommes de ^0(x); : : :; ^ ,1(x) au voisinage de l'origine. Le prolongement sur le chemin peut ensuite se faire par une methode de Runge-Kutta. Nous pouvons alors calculer la somme de la serie initiale. 1

1

2

1

2

1

La participation au projet europeen CATHODE (Computer Algebra Tools for Handling Ordinary Dierential Equations) nous a permis de degager les primitives informatiques necessaires a la realisation de cet algorithme en les integrant aux autres primitives de nies dans ce groupe de travail, en particulier par M. Bronstein et par C. Dicrescenzo et F. Jung.

11

12

Chapitre 1 Theoremes d'indices pour les equations q-dierences-dierentielles 1. Introduction Les equations fonctionnelles q-dierences-dierentielles melangeant operateurs dierentiels et operateurs aux q-dierences ont deja interesse quelques auteurs, notamment T. Kato et J.-B. McLeod [5] qui se sont penches sur une equation fonctionnelle de la forme y0(x) = ay(x)+by(x) provenant d'un probleme industriel (a 2 Cl ; b 2 IR et  2 IR+); K. Mahler [7] a quant a lui considere les equations du type f (z+ww),f (z) = f (qz) ou w 6= 0 et 0 < q < 1 sont deux constantes reelles. En n W. Hahn [4] s'est interesse aux solutions analytiques d'une equation fonctionnelle a coecients constants de la forme Prj=0 Psk=0 aj;k f (j)(zqk) = 0, ou q est un reel (0 < q < 1); il se ramene par des transformations integrales a l'etude d'une equation aux dierences a coecients polynomiaux. En fait, nous n'aborderons pas le probleme de la m^eme facon que W. Hahn. Il se trouve en eet que les etudes analogues menees par J.-P. Ramis et B. Malgrange sur les equations dierentielles ordinaires [9,10,8], et par J.-P. Bezivin [1] sur les equations aux q-dierences (et en realite sur des equations fonctionnelles plus generales) se transposent assez naturellement dans notre cas. Les operateurs que nous examinerons dans cet article seront de la forme : I X J X d )ij (1) L= ai;j (x)( dx q i=0 j =0

P a xn ou les ai;j (x) sont des series formelles, et o u  est l'op e rateur qui a  une s e rie formelle q n0 n associe la serie formelle Pn0 anqnxn . Nous nous limitons a q complexe, 0 < jqj < 1 (le cas jqj > 1 s'y ramene aisement). En multipliant par une puissance convenable de x, nous nous ramenerons en fait a des operateurs du type I X J X d )ij (2) L= ai;j (x)(x dx q i=0 j =0 ou les ai;j (x) sont des series formelles; cette ecriture est interessante dans la mesure ou les operateurs x dxd et q commutent. Nous etablirons les theoremes d'indices pour ces derniers operateurs, la generalisation aux operateurs de la forme (1) etant immediate. Nous ferons dans un premier temps des rappels sur la theorie des operateurs a indice en insistant sur les theoremes essentiels utilises tout au long de notre etude. Puis nous de nirons la 13

notion de divers espaces Gevrey generalises et nous y etablirons des theoremes d'indices et de comparaison, dont on donnera une interpretation en termes de polygones de Newton. Comme dans [11], l'etude des indices pour les operateurs a coecients polynomiaux se fait par dualite et par passage a l'in ni.

2. Operateurs a indice Nous ne rappelons ici que les resultats essentiels auxquels nous ferons reference dans cet article. Pour davantage de complements, se referer par exemple a [3,10].

De nition 2.1 : Soient E et F deux espaces vectoriels. On dit qu'une application lineaire u : E ! F est a indice si son noyau et son conoyau sont de dimension nie. L'indice de u est alors par de nition : (u) = dim Ker(u) , dim Coker(u). Proposition 2.2 : Soient u : E ! F et v : F ! G deux operateurs a indice. Alors v  u : E ! G est un operateur a indice, d'indice egal a : (v  u) = (v) + (u). Theoreme 2.3 : Soient E et F deux espaces de Banach et u : E ! F lineaire continue. Pour que u soit a indice, il faut et il sut que son transpose u soit a indice. Si c'est le cas, alors (u) = ,(u). Ce theoreme reste vrai si E et F sont tous deux du type FS ou DFS. Theoreme 2.4 : Soient E et F deux espaces de Banach et u : E ! F lineaire continue. On suppose que u est a indice. Soit K : E ! F un operateur lineaire continu et compact. Alors u + K est un operateur a indice et (u + K ) = (u). Remarque : Ce theoreme est la cle de notre etude. Le but de tout notre travail est d'eliminer certains termes de l'operateur etudie par des arguments de compacite. On ne retiendra que les termes de poids le plus important.

Lemme 2.5 : Soient E1 et F1 deux espaces de Banach ou Frechet ou DFS (en tous les cas de m^eme type). Soient E2 et F2 donnes avec les m^emes conditions. Soit le diagramme commutatif d'applications lineaires continues : E1 v# E2

F1 #w u ,! F2 On suppose que u1 et u2 sont a indice, que v est injective et que w est injective et u1 ,! 2

d'image dense. Alors on a une suite exacte

E2 ! F2 ! 0 et dim Ker(u ) = (u ) , (u ): 0 ! Keru2 ! E 2 2 1 F 1

1

14

3. Espaces Gevrey generalises En considerant l'operateur D = x2 dxd + 1 et en resolvant l'equation Df = x, on obtient comme solution formelle la serie : f^(x) = Pn0 (,1)nn!xn+1. Cette serie diverge, mais on contr^ole la croissance de ses coecients. Rappelons l'un des resultats fondamentaux concernant les solutions formelles des equations dierentielles ordinaires lineaires analytiques [9,10] : Theoreme 3.1 : Soit D 2 Cl fxg[ dxd ]. Soient f^(x) = Pn0 anxn et g 2 Cl fxg tels que Df^ = g. Alors f^ 2 Cl fxg ou il existe un unique reel s > 0 tel que f^ 2 Cl [[x]]s et f^ 2= Cl [[x]](s). De plus, s est rationnel et est l'inverse de l'une des pentes strictement positives du polygone de Newton associe a l'operateur D. Dans cet enonce, Cl [[x]]s = ff^(x) = Pn0 anxn=9A > 0; 9C > 0; 8n; janj < C (n!)sAng et Cl [[x]](s) = ff^(x) = Pn0 anxn=8A > 0; 9CA > 0; 8n; janj < CA (n!)s Ang sont respectivement l'espace des series Gevrey-Roumieu d'ordre s et l'espace des series Gevrey-Beurling d'ordre s. On rappelle que Cl fxg designe l'espace des series ayant un rayon de convergence non nul. Remarque : L'ordre s est decale par rapport a celui utilise par J.-P. Ramis.

Dans le cas des equations aux q-dierences, J.-P. Bezivin a montre que la croissance a l'in ni des coecients des series formelles solutions de telles equations est egalement contr^olee [1] : Theoreme 3.2 : Soit L = Pti=0 Pi (x) (xqki ) ou les Pi (x) sont des series convergentes a l'origine, ou q est une complexe (0 < jqj < 1), et ou k0 < k1 <


< kt sont des reels. Soient ^ 2 Cl [[x]] et  2 Cl fxg tels que L ^ = . Alors ^ 2 Cl fxg ou il existe un unique reel positif s tel que ^ 2 Cl [[x]]q;s et ^ 2= Cl [[x]]q;(s). De plus, s fait partie d'un ensemble ni que l'on peut determiner a partir du q-polygone de Newton associe a L. Dans ce cas, Cl [[x]]q;s = f ^ = Pn0 anxn= Pn0 jq sn n anjxn 2 Cl fxgg est l'espace q-Gevrey sn n d'ordre s; Cl [[x]]q;(s) = f ^ = Pn0 anxn = Pn0 jq anjxn 2 A(Cl )g est l'espace q-GevreyBeurling d'ordre s (A(Cl ) designe les series entieres). ( +1) 2

( +1) 2

Nous verrons que si une serie formelle f^(x) est solution d'une equation du type

Lf^(x) =

I X J X i=0 j =0

d )if^(qj x) = g(x) ai;j (x)(x dx 15

ou plus generalement du type

Lf^(x) =

I X J X i=0 j =0

d )if^(qj x) = g(x) ai;j (x)( dx

ou les coecients et le second membre sont des series convergentes, alors cette serie a un comportement asymptotique que l'on peut contr^oler. On a donc besoin d'introduire de nouveaux espaces, que l'on de nit par analogie aux espaces precedents. On rappelle que q 2 Cl ; 0 < jqj < 1. De nition 3.3 : Soit f^(x) = Pn0 anxn une serie formelle. Soient s; s0 2 IR et A > 0. S'il existe C > 0 tel que, pour tout n 2 IN

janj < C jqj, sn n (n!)s0 An ( +1) 2

on dira que f^ est q-Gevrey d'ordres s et s0, et d'ordre precise (s; s0; A). Notation : Cl [[x]]q;s;s0;A : On note :

[

Cl [[x]]q;s;s0 =

Cl [[x]]q;s;s0;A

Cl [[x]](q;s;s0) =

A>0

\

Cl [[x]]q;s;s0;A

A>0

Propriete 3.4 : Soient s; s0 2 IR. Si f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)), alors f^0 et q f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)). Propriete 3.5 : Soient s; s0 2 IR. Si f^ et g^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)), alors f^ + g^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)). Remarque : L'espace Cl [[x]]q;s;0 est ce que J.-P. Bezivin note Cl [[x]]q;s, espace des series q-Gevrey; Cl [[x]](q;s;0) est l'espace des series q-Gevrey-Beurling, note par J.-P. Bezivin Cl [[x]](q;s). En n, l'espace Cl [[x]]q;0;s0 est a rapprocher de l'espace Cl [[x]]s0 de ni par J.-P. Ramis (attention au decalage des indices).

Proprietes 3.6 : Soient s0; s; s1 et s00; s0; s01 2 IR. Si s00  s01 alors Cl [[x]]q;s;s0  Cl [[x]]q;s;s0 et Cl [[x]](q;s;s0 )  Cl [[x]](q;s;s0 ). Si s0  s1 alors Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]]q;s ;s0 et Cl [[x]](q;s ;s0) Cl [[x]](q;s ;s0). Proprietes 3.7 : Soient s00  s01 et s0  s1. Alors : Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]]q;s ;s0 Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]]q;s ;s0 0

1

0

0 0

0

1

0

0

0

1

16

0

1

1

1

0

1

1

1

1

(de m^eme pour les espaces Beurling). Propriete 3.8 : Cl [[x]](q;s;s0)  Cl [[x]]q;s;s0 Proprietes 3.9 : Si s0 < s1 alors Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]](q;s ;s0 ) Si s00 < s01 alors Cl [[x]]q;s;s0  Cl [[x]](q;s;s0 ) 0 0 Si s0 < s1 alors 8s0 , 8s1 Cl [[x]]q;s ;s0  Cl [[x]](q;s ;s0 ) 0

1

0

0

1

0

1

1

Toutes ces proprietes s'etablissent simplement; les details sont laisses au lecteur.

4. Theoremes d'indices et de comparaison Dans tout ce chapitre, nous supposerons que s est positif ou nul et que q est de module 0 < jqj < 1.

4.1. Operateurs etudies Soit un operateur, melange d'operateurs dierentiels et aux q-dierences, de la forme : I X J X d )ij (1) L= ai;j (x)( dx q i=0 j =0 ou les ai;j (x) sont des series formelles et avec 0 < jqj < 1. En multipliant par l'operateur xI (qui est a indice, d'indice ,I dans tous les espaces consideres), on se ramene a l'etude d'un operateur de la forme : I X J X d )ij (2) L= ai;j (x)(x dx q i=0 j =0

Propriete 4.1.1 : Soient s; s0 2 IR avec s  0. Si f^ et g^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)), alors f^  g^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)). Demonstration : P P b xn deux series formelles. Le coecient generique de la ^ Soient f = n0 anxn et g^ = P n0 n serie produit est egal a : cn = nk=0 ak bn,k .

Si jakj < C jqj,

(k!)s0 Ak et si jbn,k j < Djqj, s n,k n,k (n , k)!s0 B n,k alors : n X jcn j < CDjqj, sn n jqj,sk(k,n) (k!)s0 (n , k)!s0 Ak B n,k

sk(k+1) 2

(

)( 2

+1)

( +1) 2

k=0

On majore jqj,sk(k,n) par 1 (jqj < 1 et s  0). Etudions le terme uk = k!(n , k)! pour k = 0 : : : n. On veri e facilement que :  Si 0  k  [ n,2 1 ] : u[ n, ]  uk  u0 = n! 2

1

17

 Si [ n,2 1 ]  k  n : u[ n, ]  uk  un = n! 2

1

Deux cas se presentent :

1. Si s0  0 alors usk0  (n!)s0 et j Pnk=0 ak bn,k j  CDjqj, (n!)s0 (A + B )n. sn n 2. Si s0 < 0 alors usk0  us[ n0 , ] et j Pnk=0 ak bn,k j  CDjqj, us[ n0 , ](A + B )n. Comme n! p est equivalent a nnsne,nn 2n, il 0existe une constante C~ telle que le second 0membre est majore par : C~ jqj, (n!)s0 n s (2,s0 (A + B ))n. Comme s0 < 0, le terme n s est majore par 1. sn(n+1) 2

2

( +1) 2

1

2

( +1) 2

1

2

2

De nitions 4.1.2 : On note Lq;s;s0 (resp. L(q;s;s0)) l'algebre des operateurs de cette forme avec ai;j (x) 2 Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)). Si ai;j (x) 2 Cl [[x]], l'algebre est notee ^ En n, si les coecients sont des series convergentes, la notation correspondante L. est L. Proprietes 4.1.3 : Soient 0  s0  s1 et s00  s01. Tout operateur L 2 Lq;s ;s0 opere dans Cl [[x]]q;s ;s0 . Tout operateur L 2 L(q;s ;s0 ) opere dans Cl [[x]]q;s ;s0 et dans Cl [[x]](q;s ;s0 ). 0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

Proprietes 4.1.4 : Si 0  s0 < s1 alors L 2 Lq;s ;s0 opere sur Cl [[x]](q;s ;s0 ). Si s00 < s01 alors L 2 Lq;s;s0 opere sur Cl [[x]](q;s;s0 ). 0

0

Toutes ces proprietes decoulent de celles etablies en 3.

1

1

4.2. Espaces de Banach Pour le calcul des indices eventuels, nous allons nous ramener a l'etude des operateurs dans des espaces de Banach, a n de pouvoir appliquer des theoremes connus. Soient s et s0 2 IR,  > 0 et  2 IR. On de nit l'application

s;s0 ;;

: ClP[[x]] ,! ClP[[x]] avec n n n0 an x 7,! n0 bn x

bn = jqj,

sn(n+1) 2

(n!)s0 ,n (1 + n), an:

On identi e l'espace des suites Cl IN a l'espace des series formelles [8]. On note `1s;s0 ;; =

On de nit sur `1s;s0 ;; une norme. Pour b = fbn g 2 `1s;s0 ;;, 1 X jbnj 2 > 0, l'injection naturelle `1s;s0 ; ;,! eaire continue nucleaire s;s ; ; est Cl -lin (donc compacte) et d'image dense. 1

2

Demonstration : On pose cn = (  )n et on note fn la forme lineaire sur `1s;s0 ; ; de nie par 2

1

1

fn(b) =

bn sn(n+1) , jqj 2 (n!)s0 ,1 n (1 + n),

Soit yn la suite : ykn = 0 pour kP6= n et ynn = jqj, sn n (n!)s0 ,2 n (1 + n), . AlorsP supn0 jjfnjj < 1, supn0 jjynjjs;s0; ; < 1 et n0 jcnj < 1. De plus, 8b 2 `1s;s0 ; ;; v(b) = n0 cn fn(b) yn donc v est nucleaire [2,12]. ( +1) 2

2

1

L'application v est d'image dense. Soit b 2 `1s;s0 ; ; de nie par la suite fang 2 `1(Cl ). Soit V un voisinage de b dans `1s;s0 ; ; contenant la boule ouverte B0(b; r) (r > 0). On cherche dans cette boule un element y appartenant a `1s;s0 ; ;. Soit N  1 tel que P ja j < r. Pour n = 0 : : : N , 1 on pose x = (  )n a . Pour 2

2

1

n

nN

n  N on pose xn = an. Soit y = fyng la suite de nie par yn = jqj La suite y appartient a `1s;s0 ; ; et jjb , yjjs;s0; ; < r.

, sn(n+1) 2

n

1 2 n (n!)s0 ,1 n (1 + n), xn.

2

1

Remarque : En fait, la propriete qui nous interessera sera le caractere compact de cette application, ce qui est moins fort que le caractere nucleaire; cela sera susant pour utiliser des arguments de perturbations compactes.

Lemme 4.2.2 : Soient s et s0 2 IR. Soit  > 0. v `1 0 Si 1 > 2, l'injection naturelle `1s;s0 ;; ,! eaire continue et compacte. s;s ;; est Cl -lin 1

2

Demonstration : Soit le diagramme commutatif : s;s0 ;;1

`1s;s0 ;;

"

1

`1(Cl )

v ,!

`1s;s0 ;;

u ,!

`1(Cl )

"

2

s;s0 ;;2

On a u(fang) = (1 + n) , an. En appliquant le lemme 1.3.1 p.15 [10], on sait que u est compacte. Donc v est aussi compacte. 2

1

Lemme 4.2.3 : Soient s et s0 2 IR. Soient  et  2 IR. v `1 0 Si 1 > 2 > 0, l'injection naturelle `1s;s0 ; ;,! eaire continue compacte s;s ; ; est Cl -lin et d'image dense. 1

2

Demonstration : Ce lemme est une generalisation du lemme 4.2.1.

19

(n!)s0 ,1 n (1 + n),an avec Pn0 janj < 1. Alors sn n bn = jqj, (n!)s0 ,2 n (1 + n), [( 2 )n (1 + n),an]: 1 P Comme 2 < 1, n0 j(  )n(1 + n), anj < 1, `1s;s0 ; ;  `1s;s0 ; ;.

Soit bn = jqj,

sn(n+1) 2

( +1) 2

2

1

1

2

L'application v est nucleaire donc compacte. On pose cn = (  )n (1 + n), : Pn0 cn < 1. On pose fn (b) = , sn n bns0 ,n , : jjfnjj  1: 2

1

jqj

( +1) 2

(n!) 1 (1+n) sn(n+1) , Soit yn = f0; : : : ; 0; jqj 2 (n!)s0 ,2 n (1 + n), ; 0; : : :g, suite dont le seul P 1 la n-ieme place : jjynjjs;s0;2; = 1 et 8b 2 `s;s0 ;1;; v(b) = n0 cn fn(b)yn.

terme non nul est a

L'application v est d'image dense. Soit b 2 `1s;s0 ; ; de nie par la suite fanPg. Soient r > 0 et B0(b; r) une boule ouverte dans `1s;s0 ; ;. Soit  > 0 : 9N  1; 8n  N; nN janj < r et 0 <   (  )n(1 + n), . Pour n = 0; : : : ; N , 1, on pose xn = (  )n (1 + n), an. Pour n  N , sn n on pose xn = an . Soit y = fjqj, (n!)s0 ,1 n (1 + n), xng. On veri e que y 2 `1s;s0 ; ; et que y 2 B0(b; r). 2

2

1

2

1

2

( +1) 2

1

Lemme 4.2.4 : Soient s; s0;  2 IR xes : Cl [[x]]q;s;s0 = lim!> `1s;s0 ;; et Cl [[x]](q;s;s0) = lim > `1s;s0 ;;: On munit Cl [[x]]q;s;s0 de la topologie limite inductive et Cl [[x]](q;s;s0) de la topologie limite projective. 0

0

4.3. Les (; r; ;  )-operateurs Lemme 4.3.1 : x : `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ; jqjs ;+s0 . Demonstration : Considerons le diagramme commutatif : x Cl IN `1 0 s;s0 ;;

s;s ;; ,!

"

"

s;s0 ;;

u Cl IN `1(Cl ) ,! n ), a Si fang 2 `1(Cl ) et si fdn g = u(fang) alors dn = jqjsnn,s0 ( n+1 n,1 donc u(`1 (Cl ))  1 1 1 `0;0;jqj,s;s0 , puis x(`s;s0;;)  `s;s0 ;jqj,s;+s0 .

Lemme 4.3.2 :

d dx

: `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ;jqjs;,s0 ,1.

Demonstration : Le principe est le m^eme : s;s0 ;;

d

`1s;s0 ;;

dx ,!

Cl IN

`1(Cl )

v ,!

Cl IN

"

"

s;s0 ;;

On etablit de m^eme que v(`1(Cl ))  `10;0;jqjs;,s0 ,1, puis que dxd (`1s;s0 ;;)  `1s;s0 ;jqjs;,s0 ,1. 20

Corollaire 4.3.3 : x dxd : `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ;;,1. Lemme 4.3.4 : q : `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ;jqj, ;. Proposition 4.3.5 : Soient i; j; k 2 IN. L'operateur xk (x dxd )iqj applique `1s;s0 ;; dans `1s;s0 ;jqj, j 1

ks);,i+ks0 :

( +

Demonstration : Cette proposition resulte des lemmes precedents.

De nition 4.3.6 : Soient s; s0; ; r; ;  2 IR avec ; r > 0. Soit L un endomorphisme de Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0) ). Nous dirons que L est un (; r; ;  )-operateur s'il existe des applications lineaires continues Ls;s0 ;;r;; : `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ;r;+ pour 0 <  < 0 convenable (resp.  > 0 convenable), rendant commutatifs les diagrammes

(resp. Cl [[x]](q;s;s0)).

`1s;s0 ;; Ls;s0 ;;r;; - `1s;s0 ;r;+ # L - Cl [[x]]#q;s;s0 Cl [[x]]q;s;s0

Remarque : Si L est un (; r; ;  )-operateur, alors L est un endomorphisme continu deCl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)).

Proposition 4.3.7 : Soient s; s0; r; ;  2 IR avec r > 0. Soit L : Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)) un (; r; ;  )-operateur. On suppose que chacun des Ls;s0 ;;r;; est a indice, d'indice independant de  pour 0 <  < 0 (resp.  > 0) pour 0 convenable. Alors L est a indice et (L) = (Ls;s0;;r;; ): Demonstration : Cette proposition est une consequence directe du lemme 1.3.8 [10] (voir egalement [6]) et des lemmes etablis en 4.2.

Proposition 4.3.8 : Soient s; s0; r1; r2;  2 IR avec 0 < r1 < r2. Soient ;  2 IR. Soit L 2 Lq;s;s0 (resp. L(q;s;s0)) un (; r1; ;  )-operateur tel que (Ls;s0 ;;r ;; ) soit independant de  pour 0 <  < 0 (resp.  > 0), 0 convenable. Soit K : Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)) un (; r2; ; )-operateur. Alors L + K est un operateur a indice, d'indice (L + K ) = (L): 1

Demonstration : Raisonnons sur les espaces Cl [[x]]q;s;s0 . Considerons le diagramme suivant :

`1s;s0 ;; Ks;s0 ;;r ;;- `1s;s0 ;r ;+ v - `1s;s0 ;r ;+ # # identite # K - Cl [[x]]q;s;s0 - Cl [[x]]q;s;s0 Cl [[x]]q;s;s0 2

2

21

1

ou v est l'injection naturelle, qui est compacte. Comme `1s;s0 ;; Ls;s0;;r ;; - `1s;s0 ;r ;+ 1

#

L - Cl [[x]]#q;s;s0

Cl [[x]]q;s;s0

alors

`1s;s0 ;;

#

1

v  Ks;s0 ;;r ;; + Ls;s0 ;;r ;; - `1 0 s;s ;r ;+ # L+K - Cl [[x]]q;s;s0 2

1

1

Cl [[x]]q;s;s0 L'operateur v  Ks;s0;;r ;; est un operateur lineaire continu compact et Ls;s0 ;;r ;; est a indice. Alors v  Ks;s0 ;;r ;; + Ls;s0;;r ;; est un operateur a indice (theoreme 2.4) et : (v  Ks;s0 ;;r ;; + Ls;s0 ;;r ;; ) = (Ls;s0;;r ;; ) qui est independant de  pour 0 <  < 0. Donc L + K est un (; r1; ;  )-operateur veri ant les conditions de la proposition 4.3.7, donc L+K est indice et (L+K ) = (Ls;s0 ;;r ;; ) = (L): 2

1

2

1

2

1

1

1

Remarque : On n'utilise que la compacite de l'injection naturelle `1s;s0 ;r ;+ ,! `1s;s0 ;r ;+ . D'autre part, les reels  et  sont quelconques; cela signi e que pour etudier un (; r1; ; 1)operateur par rapport a un (; r2; ; 2)-operateur, on compare d'abord r1 a r2. Si r1 = r2, on utilise la proposition suivante : 2

1

Proposition 4.3.9 : Soient s; s0; r; ; 1; 2 2 IR avec 0 < r et 1 < 2. Soit L 2 Lq;s;s0 (resp. L(q;s;s0)) un (; r; ; 1)-operateur, tel que (Ls;s0;;r;; ) soit independant de  pour 0 <  < 0 (resp.  > 0), 0 convenable. Soit K : Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0)) un (; r; ; 2)-operateur. Alors L + K est un operateur a indice, d'indice (L + K ) = (L). 1

Demonstration : On montre comme precedemment que L + K est un (; r; ; 1)-operateur et on utilise la compacite de l'injection naturelle `1s;s0 ;r;+ ,! `1s;s0 ;r;+ . 2

1

4.4. Theoremes d'indices Dans tout ce paragraphe, nous considerons l'operateur : I X J X d )ij L= ai;j (x)(x dx q i=0 j =0 avec ai;j (x) = Pk0 i;j;k xk 2 Cl fxg. Soient s et s0 2 IR tels que s > 0 et s0 quelconque, ou s = 0 et s0  0.

Proposition 4.4.1 : L'operateur L opere de `1s;s0 ;; dans `1s;s0 ;jqj,ps L ;+vs;s0 (L) avec 0( )

p0s (L) =  inf6=0(j + ks) et vs;s0 (L) =  i;j;k

22

inf

(ks0 , i):

i;j;k 6=0 et j +ks=p0s (L)

En d'autres termes, L est un (; jqj,ps(L); ; vs;s0 (L))-operateur. 0

Demonstration : On veri e que pour s > 0, p0s (L) est bien de ni et l'ensemble des triplets (i; j; k) satisfaisant j + ks = p0s (L) est ni, donc vs;s0 (L) est aussi de ni. Si s = 0, p0s (L) est de ni par un indice j0 (le plus petit). On impose alors s0  0 pour minorer les quantites ks0 , i, et donc pour pouvoir de nir vs;s0 (L).

On va maintenant eliminer les termes qui, par argument de compacite, n'interviennent pas dans le calcul de l'indice (s'il existe). Soit M (s) = f(i; j; k)=i;j;k 6= 0 et j + ks = p0s (L)g: Soient N (s; s0) = f(i; j; k) 2 M (s)=ks0 , i = vs;s0 (L)g et L~ = P(i;j;k)2N (s;s0) i;j;k xk (x dxd )iqj .

Propriete 4.4.2 : L'operateur L~ est un (; jqj,ps(L); ; vs;s0 (L))-operateur. 0

On va montrer que l'etude de L se ramene a l'etude de L~ :

Proposition 4.4.3 : Si L~ s;s0 ;;jqj,ps L ;;vs;s0 (L) est a indice, independant de  pour 0 <  < 0 (resp.  > 0) pour 0 convenable, alors L est a indice dans Cl [[x]]q;s;s0 (resp. dans Cl [[x]](q;s;s0)) et (L) = (L~ ). 0( )

Demonstration : Soient L1 = Pf(i;j;k)2M (s); ks0 ,i>vs;s0 (L)g i;j;k xk (x dxd )i qj et L2 = P(i;j;k)62M (s) i;j;k xk (x dxd )iqj . Il est clair que L1 est un (; jqj,ps(L); ; 1)-operateur et que L2 est un (; r2; ; 2)-operateur avec 1 > vs;s0 (L) et r2 > jqj,ps(L). Alors L~ + L1 est un (; jqj,ps(L); ; vs;s0 (L))-operateur et (L~ + L1) = (L~ ). On veri e ensuite que L~ + L1 + L2 est un (; jqj,ps(L); ; vs;s0 (L))-operateur et que (L~ + L1 + L2) = (L~ + L1) = (L~ ). Or L~ + L1 + L2 = L d'ou (L) = (L~ ). 0

0

0

0

Etude de L~ :

On rappelle que L~ = P(i;j;k)2N (s;s0) i;j;k xk (x dxd )iqj . On de nit les deux series formelles : X sn n n X sn n n x et s(x) = q, x s(x) = q n0

( +1) 2

n0

( +1) 2

et le produit de Hadamard de 2 series formelles X X X ( anxn)2( bnxn ) = anbnxn : n0

n0

n0

On de nit le nouvel operateur : L~ (f ) = s2L~ (s2f ). L'etude de L~ se ramene a l'etude de L~ . Il est facile de voir que :

Proprietes 4.4.4 : 23

 L~ : `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ;jqj,ps L ;+vs;s0 (L) ssi L~ : `10;s0;; ,! `10;s0;jqj,ps L ;+vs;s0 (L) 0( )

0( )

 L~ :Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]]q;s;s0 ssi L~ : Cl [[x]]q;0;s0 ,!Cl [[x]]q;0;s0  L~ :Cl [[x]](q;s;s0) ,! Cl [[x]](q;s;s0) ssi L~ : Cl [[x]](q;0;s0) ,!Cl [[x]](q;0;s0) Soit l'application  : `10;s0;; ,! `1s;s0 ;; f 7,! s2f C'est un isomorphisme et ,1 : `1s;s0 ;; ,! `10;s0;; f 7,! s2f ~ Donc  est a indice, d'indice nul. Or L = ,1  L~  , c'est-a-dire que si L~ est a indice alors L~ l'est aussi (et reciproquement).

Propriete 4.4.5 : L~ : `1s;s0 ;; ,! `1s;s0 ;jqj,ps L ;+vs;s0 (L) est a indice si et seulement si L~ : `10;s0;; ,! `10;s0 ;jqj,ps L ;+vs;s0 (L) est a indice; dans ce cas, (L~ ) = (L~ ) (enonce similaire dans les cas Cl [[x]]q;s;s0 et Cl [[x]](q;s;s0)). Etude de L~ : 0( )

0( )

On montre sans diculte la propriete :

Propriete 4.4.6 :

X

L~ = [

(i;j;k)2N (s;s0)

i;j;k q

sk(k+1) k 2 x (x

d )i]ps(L) dx q 0

L'operateur qps(L) est un isomorphisme de `10;s0 ;; dans `10;s0 ;jqj,ps L ; (resp. un automorphisme de Cl [[x]]q;0;s0 et de Cl [[x]](q;0;s0)), donc est a indice nul dans ces espaces. Soit TL = sk k P xk (x dxd )i : L~ = TL  qps(L). (i;j;k)2N (s;s0) i;j;k q 0

0( )

( +1) 2

0

Etude de l'operateur dierentiel TL : On s'est ramene a l'etude d'une equation dierentielle ordinaire, cas traite par J.-P. Ramis [9,10]. Soient = = fi = 0; : : : ; I=9j; 9k; (i; j; k) 2 N (s; s0)g et Ki = fk  0=9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g pour un i 2 =. Soient i 2 = et k 2 Ki ; on note j(i;k) l'unique indice j tel que (i; j; k) 2 N (s; s0). Alors : X X sk k d )i: TL = ( i;j i;k ;k q xk )(x dx i2= k2Ki (

)

 Premier cas : s > 0 et s0 quelconque.

( +1) 2

Alors M (s) est ni, ainsi que N (s; s0) et TL est a coecients polynomiaux. J.-P Ramis a montre que dans ce cas, pour tout s0 2 IR, TL est un operateur a indice. En appliquant ses resultats, l'indice de TL est donne par : 24

(TL;Cl [[x]]q;s;s0) = ,ki (s0) = , inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g (TL;Cl [[x]](q;s;s0)) = ,ki (s0) = , supfk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g 1

2

 Second cas : s = 0 et s0 > 0. Si (i; j; k) 2 N (s; s0) alors j = j0 = inf fj=9i; 9k; i;j;k 6= 0g et pour un i 2 =, il existe un unique indice k tel que (i; j0; k) 2 N (s; s0). L'operateur TL est a coecients polynomiaux et on a de m^eme :

(TL;Cl [[x]]q;s;s0 ) = , inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g (TL;Cl [[x]](q;s;s0)) = , supfk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g

 Troisieme cas : s = 0 et s0 = 0. Si (i; j; k) 2 N (s; s0) alors j = j0 = inf fj=9i; 9k; i;j;k 6= 0g et i = i0 = supfi=9k; i;j ;k 6= 0g. Alors TL = ai ;j (x)(x dxd )i avec ai ;j (x) 2 Cl fxg. On sait alors que TL est a indice dans Cl [[x]]q;0;0 = Cl fxg [8] et (TL ;Cl [[x]]q;0;0) = ,v(ai ;j ) = , inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g. 0

0

0

0

0

0

0

0

On obtient ainsi le theoreme fondamental : Theoreme 4.4.7 : Soit L = PIi=0 PJj=0 ai;j (x)(x dxd )iqj , avec ai;j (x) = Pk0 i;j;k xk 2 Cl fxg et q complexe, 0 < jqj < 1. Soient s et s0 2 IR (s > 0 et s0 2 IR, ou s = 0 et s0  0). Soient p0s (L) = inf i;j;k 6=0 (j + ks) et M (s) = f(i; j; k)=i;j;k 6= 0 et j + ks = p0s (L)g. Soient vs;s0 (L) = inf (i;j;k)2M (s)(ks0 , i) et N (s; s0) = f(i; j; k) 2 M (s)=ks0 , i = vs;s0 (L)g.  Si s > 0 et s0 2 IR ou si s = 0 et s0  0 alors L est un operateur a indice dans Cl [[x]]q;s;s0 , d'indice egal a : (L;Cl [[x]]q;s;s0) = , inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g

 Si s > 0 et s0 2 IR ou si s = 0 et s0 > 0 alors L est un operateur a indice dans Cl [[x]](q;s;s0), d'indice egal a : (L;Cl [[x]](q;s;s0)) = , supfk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g Plus generalement :

Theoreme 4.4.8 : Soit L = PIi=0 PJj=0 ai;j (x)( dxd )iqj , avec ai;j (x) = Pk0 i;j;k xk 2 Cl fxg et q un complexe, 0 < jqj < 1. Soient s et s0 2 IR (s > 0 et s0 2 IR, ou s = 0 et s0  0). Soient p0s (L) = inf i;j;k 6=0(j + (k , i)s) et M (s) = f(i; j; k)ji;j;k 6= 0 et j + (k , i)s = p0s (L)g. Soient vs;s0 (L) = inf (i;j;k)2M (s)((k , i)s0 , i) et N (s; s0) = f(i; j; k) 2 M (s)j(k , i)s0 , i = vs;s0 (L)g.  Si s > 0 et s0 2 IR ou si s = 0 et s0  0 alors L est un operateur a indice dans Cl [[x]]q;s;s0 , d'indice egal a : (L;Cl [[x]]q;s;s0) = , inf fk , i=9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g 25

 Si s > 0 et s0 2 IR ou si s = 0 et s0 > 0 alors L est un operateur a indice dans Cl [[x]](q;s;s0), d'indice egal a : (L;Cl [[x]](q;s;s0)) = , supfk , i=9j; (i; j; k) 2 N (s; s0)g

4.5. Theoreme d'indice dansCl [[x]] (s = +1) On se propose d'etudier l'existence eventuelle d'un indice dans l'espace des series formelles Cl [[x]]. La demarche est la m^eme que pour les operateurs aux q-dierences [1] ou que pour les operateurs dierentiels [8]. Soit L un operateur de la forme : I X J X d )ij L= ai;j (x)(x dx q i=0 j =0 ou les ai;j sont des series formelles et 0 < jqj < 1. On pose ai;j (x) = Pk0 i;j;k xk . On suppose qu'il existe deux indices i et j tels que les series formelles aI;j (x) et ai;J (x) ne soient pas identiquement nulles. On note v(ai;j ) le plus petit entier k pour lequel i;j;k soit non nul.

Theoreme 4.5.1 : L'operateur L : Cl [[x]] ,! Cl [[x]] est un operateur a indice, d'indice egal a : (L;Cl [[x]]) = sup(,v(ai;j )) = , inf(v(ai;j )): Plus generalement, L de la forme (1) est a indice dans Cl [[x]], d'indice egal a , inf(v(ai;j ) , i). Demonstration : On pose m(L) = inf(v(ai;j )). Soit , = f(i; j )P; i = 0 : : : I; j = 0 : : :PJ= v(ai;j ) = m(L)g: Si (i; j ) 2= , alors v(ai;j ) > m(L): Soient (x) = p0 bpxp et f (x) = n0 fn xn deux series formelles veri ant L f = . En ecrivant alors formellement cette relation et apres identi cation des deux membres, on obtient pour p assez grand une relation du type :

U (p)  fp,m(L) = Sp(f0; : : :; fp,m(L),1; bp) ou Sp(f0; : : :; fp,m(L),1; bp) est une expression algebrique en les variables f0; : : :; fp,m(L),1; bp et ou l'on a pose : X U (p) = i;j;m(L) qj(p,m(L)) (p , m(L))i: (i;j )2,

Soit j0 le plus petit des indices j pour lesquels il existe i tel que (i; j ) 2 ,. Soit i0 = supfi = (i; j0) 2 ,g: Comme 0 < jqj < 1 et i ;j ;m(L) 6= 0, U (p) est non nul a partir d'un certain rang P > m(L). Pour  telle que v()  P , il existe donc une unique serie formelle f telle que L f =  et v(f )  P , m(L), c'est-a-dire que L : xP ,m(L) Cl [[x]] ,! xP Cl [[x]] est un isomorphisme, donc est a indice, lequel est nul. On en deduit alors le resultat par des arguments classiques (proposition 1.3 [8]). 0

0

26

4.6. Theoreme d'indice dansCl fxg On note Cl fxg l'ensemble des series convergentes a l'origine. On suppose que les ai;j sont dans Cl fxg. Alors L : Cl fxg ,! Cl fxg. On va etudier l'indice de L d'une autre facon qu'en 4.4. Soit j0 le plus petit des indices tels qu'il existe un i avec ai;j non identiquement nul. Soit i0 le plus grand des i tels que ai;j ne soit pas identiquement nul. 0

0

Soit r > 0. On note
r = fx = jxj  rg et B i(
r ) les fonctions de classe C i sur
r et holomorphes sur l'ouvert
_ r . On munit B i(
r ) de la norme : i X k f kr;i= sup jf (l)(x)j l=0 x2
r

qui en fait un espace de Banach.

Pour etablir le theoreme d'indice dans Cl fxg, on etablit le theoreme suivant, puis on utilise l'argument classique de limite inductive.

Theoreme 4.6.1 : Soit r > 0 assez petit pour que les series ai;j (x) soient toutes dans B 1(
r) et que ai ;j (x) ne s'annule pas sur
r ailleurs qu'a l'origine. Alors L : B i (
r ) ,! B 0(
jqj,j r ) est a indice, d'indice egal a : ,v(ai ;j ). 0

0

0

0

0

0

Demonstration : Soit f 2 B i (
r ). Pour (i; j ) tel qu'il existe k avec i;j;k 6= 0 : qj f (x) 2 B i (
jqj,jr ). Si j = j0 alors i  i0 donc ( dxd )iqj f 2 B i ,i(
jqj,j r)  B 0(
jqj,j r ). Si j > j0 alors jqj,j r > jqj,j r et donc ( dxd )iqj f 2 B 0(
jqj,j r ). 0

0

0

0

0

0

0

0

0

On pose L = L~ + L1 + L2 avec L~ = ai ;j (x)(x dxd )i qj , L1 = PJj=j +1 PIi=0 ai;j (x)(x dxd )iqj et L2 = (Pii=0,1 ai;j (x)(x dxx )i)qj . L'operateur L~ est d'indice ,v(ai ;j ), L1 est compacte (theoreme d'Ascoli-Arzela) et L2 est egalement compacte (cf par exemple [8]). On applique alors le theoreme 2.4. 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

On utilise ensuite le fait que Cl fxg = limr!0 B i (
r ) et que l'on travaille avec des applications lineaires continues Lr : B i (
r) ,! B 0(
jqj,j r ), d'ou le : 0

0

0

Theoreme 4.6.2 : L'operateur L : Cl fxg ,! Cl fxg est a indice, d'indice egal a : (L;Cl fxg) = ,v(ai ;j ) 4.7. Theoremes de comparaison 0

0

Rappelons quelques notations. Soit L un operateur de la forme : I X J X X d )ij (2) L= i;j;k xk (x dx q i=0 j =0 k0 27

Soient s et s0 2 IR. On note : p0s (L) = inf i;j;k 6=0 (j + ks) (si cette quantite existe) et M (s) = f(i; j; k)ji;j;k 6= 0 et j + ks = p0s (L)g. En n, si elle existe, on pose vs;s0 (L) = inf (i;j;k)2M (s)(ks0 , i) et N (s; s0) = f(i; j; k) 2 M (s)jks0 , i = vs;s0 (L)g.

De nition 4.7.1 : On dit que s 2 IR est une valeur exceptionnelle pour L s'il existe deux triplets (i1; j1; k1) et (i2; j2; k2) dans M (s) tels que k1 6= k2. Remarque : Si s est une valeur exceptionnelle, s s'ecrit sous la forme s = il y en a un nombre ni.

j2 ,j1 v(ai1 ;j1 ),v(ai2 ;j2 )

:

De nition 4.7.2 : Soit s 2 IR. Le reel s0 est une valeur exceptionnelle relativement a s pour l'operateur L s'il existe deux triplets (i1; j1; k1) et (i2; j2; k2) dans N (s; s0) tels que k1 =6 k2. Remarque : Pour s xe, il y a un nombre ni de valeurs exceptionnelles relativement a s.

On note le cas echeant : q;s;s0 = (L;Cl [[x]]q;s;s0) et (q;s;s0) = (L;Cl [[x]](q;s;s0)).

Proposition 4.7.3 : Soient s > 0 et s00 < s01 2 IR (resp. s = 0 et 0  s00 < s01). On suppose que pour tout s0 2]s00; s01[, s0 n'est pas exceptionnelle relativement a s. Alors : q;s;s0 = (q;s;s0) =  8s0 2]s00; s01[ q;s;s0 = (q;s;s0 ) =  0

1

ou  est une constante. Demonstration : Soit s0 2]s00; s01 [. Par hypothese, s0 n'est pas exceptionnelle, donc si (i1; j1; k1) et (i2; j2; k2) sont dans N (s; s0) alors k1 = k2. On note k(s0) cet element, i(s0) = s0k(s0) , vs;s0 (L) et j (s0) = p0s (L) , sk(s0). Alors q;s;s0 = (q;s;s0) = ,k(s0). On montre ensuite que le triplet

(i(s0); j (s0); k(s0)) est localement constant sur le connexe ]s00; s01[, donc constant sur ]s00; s01[. Notons le desormais (i0; j0; k0). Pour s0 2]s00; s01[: q;s;s0 = (q;s;s0) = ,k0 = . On veri e que (i0; j0; k0) 2 N (s; s00) \ N (s; s01). Soit (i1; j1; k1) 2 N (s; s00) avec k1 = inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 N (s; s00)g : k1  k0: Si k1 < k0 : s00 = ki ,,ki et comme s00 < s01, on en deduit que k1s01 , i1 < k0s01 , i0, ce qui est en contradiction avec le fait que (i0; j0; k0) 2 N (s; s01). L'autre egalite se demontre de la m^eme maniere. 0

1

0

1

Proposition 4.7.4 : Soit s > 0. Alors il existe s00 et s01 2 IR tels que : 8s0 < s00; q;s;s0 = (q;s;s0) = supfk=9i; 9j; (i; j; k) 2 M (s)g 8s0 > s01; q;s;s0 = (q;s;s0) = inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 M (s)g Demonstration : Soient k+ = supfk=9i; 9j; (i; j; k) 2 M (s)g et k, = inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 M (s)g. Soit

l'ensemble des valeurs s0 exceptionnelles relativement a s. Si = ; alors q;s;s0 = (q;s;s0) =

28

constante pour tout s0 2 IR. Si 6= ;, soit s00 = inf et s01 = sup . D'apres la proposition 4.7.3, q;s;s0 = (q;s;s0) = constante pour tout s0 < s00 et q;s;s0 = (q;s;s0) = constante pour tout s0 > s01. Dans les deux cas, on calcule les constantes pour s0 ! ,1 et s0 ! +1. Si s0 ! ,1, soit (i,1 ; j,1; k,1 ) 2 N (s; s0) : q;s;s0 = (q;s;s0) = ,k,1 . Puisque (i,1 ; j,1 ; k,1 ) 2 N (s; s0), on montre qu'alors k,1  k+ et donc k,1 = k+. De m^eme, k+1 = k, .

Proposition 4.7.5 : Soit [s0; s1]  [0; +1[ tel que pour tout s 2]s0; s1[, s n'est pas exceptionnelle. Alors : 8s 2]s0; s1[; 8s0 2 IR; (L;Cl [[x]]q;s;s0) = (L;Cl [[x]](q;s;s0)) =  et il existe s00 assez grand et s01 assez petit tels que (L;Cl [[x]]q;s ;s0 ) = (L;Cl [[x]](q;s ;s0 )) = . 0

1

0

1

Demonstration : Soit s 2]s0; s1 [ : s n'est pas exceptionnelle donc si (i1; j1 ; k1) et (i2; j2 ; k2) appartiennent a M (s), alors k1 = k2. On note k(s) cet element et j (s) l'unique indice j tel qu'il existe i avec (i; j; k(s)) 2 M (s) (j (s) et k(s) sont independants de s0). On montre alors que (j (s); k(s)) est localement constant sur le connexe ]s0; s1[, donc constant sur ]s0; s1[ : q;s;s0 = (q;s;s0) = ,k0 pour tout s 2]s0; s1[ et pour tout s0 2 IR. Soit i0 tel que (i0; j0; k0) 2 M (s) pour s 2]s0; s1[ : (i0; j0; k0) 2 M (s0) \ M (s1). Soit (i+; j +; k+ ) 2 M (s1) avec k+ = supfk=9i; 9j; (i; j; k) 2 M (s1)g : (q;s ;s0 ) = ,k+ pour s01 tendant vers ,1. Soit (i,; j ,; k, ) 2 M (s0) avec k, = inf fk=9i; 9j; (i; j; k) 2 M (s0)g : q;s ;s0 = ,k, pour s00 tendant vers +1 (proposition 4.7.4). Alors k,  k0  k+. Si k, < k0 alors s0 = kj,,,kj, < s1 : j , + k, s1 < j0 + k0s1, ce qui est en contradiction avec (i0; j0; k0) 2 M (s1). Si k+ > k0 alors s1 = kj ,,kj > s0 : j + + k+ s0 < j0 + k0s0, ce qui est en contradiction avec (i0; j0; k0) 2 M (s0). 1

1

0

0

0

0

+

0

0 +

Proposition 4.7.6 : Soient s > 0 et s00 < s01 2 IR (resp. s = 0 et 0  s00 < s01) tels que pour tout s0 2]s00; s01[, s0 n'est pas exceptionnelle relativement a s. Alors Cl [[x]] q;s;s0 ! dim Ker L; Cl [[x]]q;s;s0 = 0 (

1

)

0

Demonstration : On sait que (L;Cl [[x]](q;s;s0 ) ) = (L;Cl [[x]]q;s;s0 ) (proposition 4.7.3). Considerons le diagramme commutatif : Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]]q;s;s0 1

#

0

#

0

0

Cl [[x]](q;s;s0 ) ,! Cl [[x]](q;s;s0 ) 1

1

L'injection naturelle Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]](q;s;s0 ) est d'image dense. En appliquant le lemme 2.5, on obtient le resultat souhaite. 0

1

Proposition 4.7.7 : Soit [s0; s1]  [0; +1[ tel que pour tout s 2]s0; s1[, s n'est pas exceptionnelle. Alors il existe s00 et s01 2 IR tels que 8s0 < s00, 8s00 > s01,  Cl [[x]] 0  dim Ker L; Cl [[x]]q;sq;s ;s;s00 = 0 (

1

)

0

Demonstration : Le principe est le m^eme, en utilisant le resultat de la proposition 4.7.5.

29

Proposition 4.7.8 : Il existe s > 0 tel que pour tout s0 2 IR :   ]] dim Ker L; Cl C[[lx[[]]xq;s;s =0 0

Demonstration : L'operateur L est a indice dans Cl [[x]] et (L;Cl [[x]]) = , inf fv (ai;j )g = ,k0 (theoreme 4.5.1). Soient i0 et j0 tels que k0 = v(ai ;j ). Si s ! +1 alors pour tout (i; j; k) tel que i;j;k 6= 0, k0  k et (i0; j0; k0) 2 M (s) et s n'est pas exceptionnelle. Donc (i0; j0; k0) est l'unique element de M (s) : q;s;s0 = ,k0 pour tout s0 2 IR. 0

0

Theoreme 4.7.9 : Soit L 2 L. Soient s1 > s2 > : : : > sl les eventuelles valeurs exceptionnelles  0 pour L. Pour chacune d'elles, sp, soient s0p;1 > s0p;2 > : : : > s0p;lp les (eventuelles) valeurs exceptionnelles relativement a sp (si sp = 0 on se limite aux s0-valeurs positives ou nulles). Soient f^ 2 Cl [[x]] et g 2 Cl fxg tels que L(f^) = g. Alors :  Soit f^ 2 Cl fxg,  Soit il existe un unique reel s0 > 0 tel quef^ 2 Cl [[x]]q;0;s0 et f^ 2= Cl [[x]](q;0;s0) : on dit que f^ est Gevrey d'ordre exact s0,  Soit il existe un unique reel s > 0 et un unique reel s0 2 IR tels que f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 et f^ 2= Cl [[x]](q;s;s0) : on dit alors que f^ est q-Gevrey d'ordres exacts s et s0. Demonstration : On utilise toutes les propositions precedentes. Ainsi, comme f^ 2 Cl [[x]], on en deduit que f^ 2 Cl [[x]]q;s ;s0p; . Si f^ 2= Cl [[x]](q;s ;s0p; ) on s'arr^ete. Sinon, f^ 2 Cl [[x]]q;s ;s0 ; . Si f^ 2= Cl [[x]](q;s ;s0 ; ), on s'arr^ete, sinon on recommence. L'ensemble des valeurs exceptionnelles 1

1

1

1

1

1

12

relativement a s1 est ainsi parcouru. Si on ne s'est pas arr^ete a la derniere valeur s01;l , alors f^ 2 Cl [[x]](q;s ;s0 ;l ), donc f^ 2 Cl [[x]]q;s ;s0 ; . On recommence. 12

1

1

1 1

2

21

Si on a parcouru toutes les valeurs exceptionnelles strictement positives sans s'arr^eter : f^ 2 Cl [[x]]q;0;s0 . On parcourt suivant le m^eme procede les eventuelles s0 -valeurs exceptionnelles positives relativement a 0. Si on ne s'est toujours pas arr^ete, alors f^ 2 Cl [[x]]q;0;0 = Cl fxg. 1

Unicite de s et s0 : Supposons que f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 et que f^ 2= Cl [[x]](q;s;s0) pour s > 0 et s0 2 IR (troisieme cas).  Si s > s et s0 quelconque : f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0  Cl [[x]](q;s;s0). On ne peut donc pas avoir f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 et f^ 2= Cl [[x]](q;s;s0).  Si s < s et s0 quelconque : Si f^ 2 Cl [[x]]q;s;s0 et f^ 2= Cl [[x]](q;s;s0), on aurait f^ 2 Cl [[x](q;s;s0) La demarche est la m^eme pour montrer l'unicite de s0 dans le deuxieme cas. On laisse au lecteur le soin de generaliser ce theoreme pour L de la forme (1). 30

5. Interpretation des theoremes d'indices 5.1. Polygone de Newton On va generaliser les polygones de Newton de nis par J.-P. Ramis [10,11] aux operateurs du type : I X J X d )ij L= ai;j (x)(x dx q i=0 j =0 (ou plus generalement de la forme (1)), avec a (x) = P  xk 2 Cl fxg[x,1] (k 2 ZZ). i;j

kk0 i;j;k

0

On de nit dans IR2 les quadrants 1 = f(u; v) 2 IR2=u; v  0g, 2 = f(u; v) 2 IR2=u  0; v  0g, 3 = f(u; v) 2 IR2=u; v  0g et 4 = f(u; v) 2 IR2=u  0; v  0g. Pour (a; b) 2 IR2 et r = 1 : : : 4, on pose r (a; b) = (a; b) + r , Mrq (L) = [r (j; k), union etendue aux couples (j; k) pour lesquels il existe i tel que i;j;k 6= 0 (pour L de la forme (1), Mrq (L) = [r (j; k , i)). Soit Prq (L) l'enveloppe convexe dans IR2 de Mr (L). Soit Nlq (L) = P1q (L) \ P2q (L), soit Nuq (L) = P3q (L) \ P4q (L) et Nq (L) = Nlq (L) \ Nuq (L).

De nition 5.1.1 : On appelle Nlq (L) le q-polygone de Newton inferieur associe a L et Nuq (L) le q-polygone de Newton superieur associe a L; Nq (L) est le q-polygone de Newton associe a L. Remarque : Nq (L) est le polygone de Newton de l'operateur aux q -dierences J X

X

j =0 fk=9i;i;j;k 6=0g

xk qj

(ou plus generalement de : Pj Pi Pk xk,iqj ).

Remarque : Si un ai;j (x) 2= Cl [x; x,1] alors Nq (L) = Nlq (L). Si tous les ai;j (x) 2 Cl [x; x,1], Nq (L) est l'enveloppe convexe des points f(j; k)=9i; i;j;k 6= 0g.

On de nit un sens de parcours des bords de ce q-polygone (pour plus de details on se reportera a [11]).

Cas jqj > 1 : Si  2 IR et si l'intersection de Nlq (L) avec la droite d'appui de pente 

est reduite a un point unique, on note (j (); k()) ce point. Si au contraire  est l'une des pentes 6= 0 de Nq (L), l'intersection est un segment de la forme [(j1(); k1 ()); (j2(); k2())] avec j1() < j2(). Le segment horizontal de Nlq (L) est note [(j1(0l ); k1(0l)); (j2(0l); k2(0l))] avec j1(0l ) < j2(0l ) et k1(0l ) = k2(0l ). Si Nlq (L) n'a pas de pente nulle, on note (j (0l); k(0l)) le point le plus bas de Nlq (L). On note (j1(1); k1(1)) le point situe sur le c^ote vertical droit de Nlq (L) d'ordonnee la plus petite. On note (j2(,1); k2(,1)) le point situe sur le c^ote vertical 31

gauche de Nlq (L) d'ordonnee la plus petite. Si tous les ai;j (x) sont dans Cl [x; x,1] : Si  2 IR et si l'intersection de Nuq (L) est reduite a un unique point, soit (j (); k()) ce point. Si  2 IR est l'une des pentes de Nuq (L), on note [(j1(); k1()); j2(); k2 ())] le segment , avec j1() > j2(). Le segment horizontal de Nuq (L) est note [(j1(0u ); k1(0u )); (j2(0u ); k2(0u ))] avec j1(0u ) > j2(0u ). S'il n'existe pas, on note (j (0u ); k(0u)) le point le plus haut de Nuq (L). On note (j2(1); k2(1)) le point situe sur le c^ote vertical droit de Nuq (L) d'ordonnee la plus grande. Soit (j1(,1); k1(,1)) le point situe sur le c^ote vertical gauche de Nuq (L) d'ordonnee la plus grande.

Cas jqj < 1 : Si  2 IR et si l'intersection de Nlq (L) avec la droite d'appui de pente , est reduite a un point unique, on note (j (); k()) ce point. Si au contraire , est une des pentes = 6 0 de Nq (L), l'intersection est un segment de la forme [(j1(); k1 ()); (j2(); k2())] q

avec j1() > j2(). Le segment horizontal de Nl (L) est note [(j1(0l ); k1(0l)); (j2(0l); k2(0l))] avec j1(0l ) > j2(0l ) et k1(0l ) = k2(0l ). Si Nlq (L) n'a pas de pente nulle, on note (j (0l); k(0l)) le point le plus bas de Nlq (L). On note (j1(1); k1(1)) le point situe sur le c^ote vertical gauche de Nlq (L) d'ordonnee la plus petite. On note (j2(,1); k2(,1)) le point situe sur le c^ote vertical droit de Nlq (L) d'ordonnee la plus petite. Si tous les ai;j (x) sont dans Cl [x; x,1] : Si  2 IR et si l'intersection de Nuq (L) avec la droite de contact de pente , est reduite a un unique point, soit (j (); k()) ce point. Si , 2 IR est l'une des pentes de Nuq (L), on note [(j1(); k1()); j2(); k2 ())] le segment , avec j1() < j2(). Le segment horizontal de Nuq (L) est note [(j1(0u ); k1(0u )); (j2(0u ); k2(0u ))] avec j1(0u ) < j2(0u ). S'il n'existe pas, on note (j (0u ); k(0u)) le point le plus haut de Nuq (L). On note (j2(1); k2(1)) le point situe sur le c^ote vertical gauche de Nuq (L) d'ordonnee la plus grande. Soit (j1(,1); k1(,1)) le point situe sur le c^ote vertical droit de Nuq (L) d'ordonnee la plus grande. Pour chaque segment (ou demi-droite) non horizontal de la frontiere de Nlq (L), repere par [(j1(); k1()); (j2(); k2 ())] avec  2 IR [ f1g [ f,1g, on construit un d-polygone de la facon suivante. A chaque point (j; k) de ce segment, on reporte sur l'orthogonale au segment passant par (j; k) et vers l'exterieur du q-polygone l'ensemble des indices i pour lesquels i;j;k 6= 0; on de nit en fait localement un nouveau repere orthonorme. L'axe des ordonnees locales, porte par le segment considere, est oriente et gradue de telle sorte que les ordonnees locales soient identiques aux ordonnees globales; l'axe des abscisses locales i est tel que le demi-plan local fi > 0g ne rencontre aucun point du q-polygone de Newton. Soit + (L) l'enveloppe convexe de la reunion des quadrants f(u; v )=0  u  i; v  k g et soit Pd; , (L) celle des quadrants f(u; v )=0  u  i; v  k g, les reunions etant faites sur l'ensemble Pd; f(i; k)=9j; i;j;k 6= 0 et (j; k) 2 [(j1(); k1()); (j2(); k2 ())]g.

De nition 5.1.2 : On appelle d-polygone associe a la valeur  ( 2 IR [ f1g) le + (L) \ P , (L). convexe : Pd; d; On de nit egalement un sens de parcours sur chaque d-polygone [10], dont les pentes sont de nies dans le repere local. Si 0 est une pente strictement positive du d-polygone associe a , on note le segment [(i1(; 0); k1(; 0)); (i2(; 0); k2(; 0))] avec k1(; 0) , k2(; 0) du 32

m^eme signe que k1() , k2(). Si 0 est une pente < 0, on note de la m^eme facon le segment. Le c^ote vertical du d-polygone est note [(i1(; 0); k1(; 0)); (i2(; 0); k2(; 0))] avec i1(; 1) = i2(; 1) et k1(; 0) , k2(; 0 ) du m^eme signe que k1() , k2 (). Le segment horizontal inferieur est repere par : i1(; 0+ ) = 0 < i2(; 0+ ) et k1(; 0+ ) = k2(; 0+ ) = k1(). Le segment horizontal superieur est repere par : i1(; 0, ) > i2(; 0, ) = 0 et k1(; 0, ) = k2(; 0, ) = k2(). En n, si l'intersection du d-polygone avec la droite de contact de pente 0 est reduite a un unique point, on le note (i(; 0); k(; 0)). Remarque : Le d-polygone d'un operateur du type (1) se construit suivant le m^eme procede; il sut de remplacer partout k par k , i. Exemple : Soit L = (x dxd )q3 + x2(x dxd ) + x(x dxd )3q + x(x dxd )5q + x2 (x dxd )7q3:

Les eches indiquent l'origine et l'extremite de chaque segment pour 0 < jqj < 1.

6 I @  ,   @ , @   I@H  ? ) 

 
YHH , 
  YHH H
,
 ?  ) 
,



,

,

,


,,

 ,

,

 
+
 5.2. Traduction des theoremes d'indices en fonction du polygone de Newton Soient s 2 IR [ f+1g et s0 2 IR. Si s = +1, on pose  = 0l. Si s = 0, on pose  = 1. Sinon, on pose  = 1s . Si s0 = 0, on pose 0 = 1. Sinon, on pose 0 = s10 . Soit L = PI PJ a (x)(x d )ij a coecients dans Cl fxg. i=0

j =0 i;j

dx

q

Les valeurs exceptionnelles sont les reels s pour lesquels les droites d'appui de pente  (cas jqj > 1) ou de pente , (cas jqj < 1) rencontrent le polygone de Newton suivant un segment ou une demi-droite. On convient que s = +1 est une valeur exceptionnelle si le segment horizontal inferieur n'est pas de longueur nulle. Pour une valeur exceptionnelle s 6= +1, on de nit de m^eme les valeurs exceptionnelles 2] , 1; +1[ relativement a s. Sur l'exemple precedent, les valeurs exceptionnelles sont s = 2 et s = 1; s0 = 4 est la valeur exceptionnelle associee a 33

s = 2 et s0 = ,4 est la valeur exceptionnelle associee a s = 1.

Theoreme 5.2.1 : On pose Cl [[x]]q;+1;s0 = Cl [[x]] 8s0 2 IR. D'autre part, Cl fxg =Cl [[x]]q;0;0. 1. L'operateur L est d'indice ni de : Cl [[x]]q;s;s0 ,! Cl [[x]]q;s;s0 pour s 2]0; +1] et s0 2 IR, et pour s = 0 et s0 2 [0; +1[ :  Si s non exceptionnelle : q;s;s0 = ,k()  Si s exceptionnelle et s0 non exceptionnelle : q;s;s0 = ,k(; 0)  Si s exceptionnelle et s0 exceptionnelle : q;s;s0 = ,k1(; 0) 2. L'operateur L est d'indice ni de : Cl [[x]](q;s;s0) ,! Cl [[x]](q;s;s0) pour s 2]0; +1[ et s0 2 IR, et pour s = 0 et s0 2]0; +1[ :  Si s non exceptionnelle : (q;s;s0) = ,k()  Si s exceptionnelle et s0 non exceptionnelle : (q;s;s0) = ,k(; 0)  Si s exceptionnelle et s0 exceptionnelle : (q;s;s0) = ,k2(; 0 ) On laisse le soin au lecteur d'etablir un theoreme analogue pour L de la forme (1).

Theoreme 5.2.2 : Soit L 2 L. Soit g 2 Cl fxg. Une condition necessaire et suf sante pour que toutes les solutions de l'equation L(f^) = g soient convergentes est que le polygone de Newton soit de la forme :

(s0 = 0)

(s = 0) (s = +1)

(s0 = +1)

Demonstration : Il faut et il sut qu'il n'y ait pas de valeurs exceptionnelles s > 0, ni de valeurs s0 > 0 exceptionnelles relativement a s = 0.

6. Equations a coecients polynomiaux Nous considerons dans ce qui suit des operateurs de Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1).

6.1. Dualite topologique 34

^(x) = Pn0 anxn 2 Cl [[x]]q;s;s0 et g^(x) = Pn1 bnx,n 2 x,1Cl [[x,1]](q;s;s0) alors la serie Si f P a b converge. On pose < f;^ g^ >= P+1 a b . n0 n n+1 n=0 n n+1 On designe par ,1(Cl ) = Cl [ f1g la sphere de Riemann. Nous rappelons le resultat suivant (voir [11]) d^u a A. Grothendieck :

Proposition 6.1.1 : (i) L'accouplement Cl fxg  x,1 O(,1 (Cl )P, f0g) ! Cl 1a b (f;^ g^) 7!< f;^ g^ >= +n=0 n n+1

(f^(x) = Pn0 anxn et g^(x) = Pn1 bnx,n ) met en dualite topologique l'espace Cl fxg muni de sa topologie DFN et l'espace x,1O(,1(Cl ) , f0g) muni de sa topologie FN. (ii)L'accouplement Cl [[x]]  x,1Cl [x,1] ! Cl (f;^ g^) 7!< f;^ g^ > met en dualite topologique l'espace FN Cl [[x]] et l'espace DFN x,1Cl [x,1]. L'isomorphisme

s;s0 : Cl [[x]] ! Cl [[x]] P a xn 7! P jqj sn n (n!),s0 a xn n n0 n n0 induit des isomorphismes Cl [[x]]q;s;s0 ! Cl fxg et Cl [[x]](q;s;s0) ! A(Cl ). On transporte sur Cl [[x]]q;s;s0 (resp. Cl [[x]](q;s;s0) ) la topologie DFN (resp. FN) de Cl fxg (resp. A(Cl )). ( +1) 2

L'isomorphisme s;s0 : x,1Cl [[x,1]] ! x,1Cl [[x,1]] P a x,n,1 7! P jqj sn n (n!),s0 a x,n,1 n n0 n n0 ( +1) 2

induit des isomorphismes x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 ! x,1Cl fx,1g et x,1Cl [[x,1]](q;s;s0) ! x,1O(,1 (Cl ) , f0g). On transporte sur x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 (resp. x,1Cl [[x,1]](q;s;s0)) la topologie DFN (resp. FN) de x,1Cl fx,1g (resp. x,1O(,1 (Cl ) , f0g)).

Proposition 6.1.2 : Soient s et s0 deux reels. (i) Les espaces Cl [[x]]q;s;s0 et x,1Cl [[x,1]](q;,s;,s0) sont en dualite topologique. (ii) Les espaces Cl [[x]](q;s;s0) et x,1Cl [[x,1]]q;,s;,s0 sont en dualite topologique. (iii) Les espaces Cl [[x]] et x,1Cl [x,1] sont en dualite topologique.

Le transpose de l'operateur x considere comme agissant surCl [[x]] est l'operateur x? agissant sur P P x,1Cl [x,1] de ni par x?( n0 anx,n,1 ) = n0 an+1x,n,1 . Le transpose de l'operateur dxd est 35

l'operateur , dxd . Le dual de l'operateur x dxd est l'operateur , dxd x? qui concide avec l'operateur , dxd x = ,1 , x dxd . Le dual de q est l'operateur pp. Cl [[x]] x,1Cl [x,1] Cl [[x]]q;s;s0 x,1Cl [[x,1]](q;,s;,s0 ) Cl [[x]](q;s;s0) x,1Cl [[x,1]]q;,s;,s0

x

x?

, dxd ,1 , x dxd

d dxd x dx q

pp

P P Remarque : Soit f^(x) = n0 an x,n,1 2 x,1Cl [[x,1]]. Alors xf^(x) = n0 an x,n = a0 + P a x,n,1 = a + x?f^(x). L'operateur x? : x,2Cl [[x,1]] ! x,1Cl [[x,1]] concide avec 0 n0 n+1 , 2 l'operateur x : x Cl [[x,1]] ! x,1Cl [[x,1]]. On etablit d'autre part que x? = x?(1 + ). En utilisant le theoreme 5.2.1 et le theoreme 2.3, nous obtenons le resultat suivant :

Theoreme 6.1.3 : Soit L 2 Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1). Soit L? 2 Cl [x dxd ; p][x?] = Cl [x?][x dxd ; p ] son dual. On pose x,1Cl [[x,1]](q;,1;s0) = x,1Cl [x,1] 8s0 2 IR. (i) L'operateur L? : x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 ! x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2 ] , 1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0[, d'indice egal a ,(L;Cl [[x]](q;,s;,s0)). (ii) L'operateur L? : x,1Cl [[x,1]](q;s;s0) ! x,1Cl [[x,1]](q;s;s0) est de Fredholm pour s 2 [,1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0], d'indice egal a ,(L;Cl [[x]]q;,s;,s0 ). PI PJ PK  xk (x d )ij . Le transpose de L est alors l'operateur L? = Soit L = i;j;k dx q P P P PI PJ PKi=0 j=0pj kj=0 I J K d i ?k j (k+1) (x?)k  j (,1 , k , x d )i . p i=0 j =0 k=0 i;j;k p (,1 , x dx ) (x ) = i=0 j =0 k=0 i;j;k p dx d ? , K , 1 , 1 , 1 , 1 L'operateur L : x Cl [[x ]] ! x Cl [[x ]] Pest unP opeP rateur de Cl [x][x dx ; p]. Le p-polygone de Newton de L? est par de nition celui de Ii=0 Jj=0 Kk=0 i;j;k pj(k+1) xk pj (,1 , k , x dxd )i, operateur que l'on note encore L?.

Propriete 6.1.4 : Le q-polygone de Newton de L concide avec le p-polygone de Newton de L?. Demonstration : On montre facilement que des operateurs elementaires de la forme L?a;b;c = P pb( dxd x)axc peuvent se mettre sous la forme : L?a;b;c = Pai=0 P x dxd )i pb avec a;b;c = pbc non i;b;c xc (P i A B nul et i;b;c = pbcCa (c + 1)a,i ; i = 0 : : : a. Donc si L = a=0 b=0 c0 a;b;cxc(x dxd )aqb, alors

L? =

A X B X

d )ib bi;b(x)(x dx p

i=0 b=0 avec bi;b(x) = Pc0 (PAa=i (,1)aa;b;cpb pbc Cai(c + 1)a,i )xc.

On a ajoute des termes, mais ceux-ci ne jouent aucun r^ole lors de la construction du polygone generalise associe a L?. 36

Theoreme 6.1.5 : Soient L 2 Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1) et L? 2 Cl [x?][x dxd ; p] son dual. Soit K le degre en x de L. Alors : (i) L'operateur L? : x,1,KCl [[x,1]]q;s;s0 ! x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2 ] , 1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0[, d'indice egal a ,(L;Cl [[x]](q;,s;,s0)) , K . (ii) L'operateur L? : x,1,KCl [[x,1]](q;s;s0) ! x,1Cl [[x,1]](q;s;s0) est de Fredholm pour s 2 [,1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0], d'indice egal a ,(L;Cl [[x]]q;,s;,s0 ) , K . Demonstration : En considerant le diagramme commutatif 0 ! x,1,KCl [[x,1]]q;s;s0 ! x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 ! x,1Cl [[x,1]]q;s;s0 =x,1,KCl [[x,1]]q;s;s0 ! 0

L? # , 1 x Cl [[x,1]]q;s;s0

L? # , 1 x Cl [[x,1]]q;s;s0

#

0! ! ! f0g !0 et le theoreme 6.1.3, nous demontrons (i). L'assertion (ii) se demontre de la m^eme facon.

6.2. Etude a l'in ni Soient L 2 Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1) et L? son dual. Nous allons etudier L? a l'in ni. Pour cela, nous posons z = x1 . Soit L?z 2 Cl [z,1][z dzd ; q ] l'operateur obtenu a partir de L? en remplacant formellement x? par z1 , x dxd par ,z dzd et p par q. Propriete 6.2.1 : Le q-polygone de Newton de L?z et le p-polygone de Newton de L? sont symetriques par rapport a l'axe des abscisses. Soit  : x,1Cl [[x,1]] ! z Cl [[z]] l'isomorphisme qui a x,n associe zn. Il induit des isomorphismes  : x,1,KCl [[x,1]]q;s;s0 ! zK+1Cl [[z]]q;s;s0 et  : x,1,KCl [[x,1]](q;s;s0) ! zK+1Cl [[z]](q;s;s0) (K 2 IN). Alors L?z = L? et nous obtenons le theoreme :

Theoreme 6.2.2 : Soient L 2 Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1) et L?z 2 Cl [z,1][z dzd ; q ] son dual a l'in ni. Soit K le degre en x de L. Alors : (i) L'operateur L?z : z1+KCl [[z]]q;s;s0 ! z Cl [[z]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2] , 1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0[, d'indice egal a ,(L;Cl [[x]](q;,s;,s0)) , K . (ii) L'operateur L?z : z1+KCl [[z]](q;s;s0) ! z Cl [[z]](q;s;s0) est de Fredholm pour s 2 [,1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0], d'indice egal a ,(L;Cl [[x]]q;,s;,s0 ) , K . Si L = PIi=0 PJj=0 PKk=0 i;j;k xk (x dxd )iqj alors L?z = PIi=0 PJj=0 PKk=0 i;j;k pj(k+1)z,k (,k , 1 + z dzd )iqj et l'operateur zK L?z 2 Cl [z][z dzd ; q]. L'operateur zK L?z : zK+1Cl [[z]]q;s;s0 ! zK+1Cl [[z]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2] , 1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0[, d'indice egal a ,(L;Cl [[x]](q;,s;,s0)) , K . On montre aisement qu'alors, l'operateur zK L?z : Cl [[z]]q;s;s0 ! Cl [[z ]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2] , 1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0[, d'indice 37

egal a ,(L;Cl [[x]](q;,s;,s0)) , K . Le q-polygone de Newton de zK L?z est l'image du q-polygone de L?z par la translation (u; v) 7! (u; v + K ). Nous pouvons alors exprimer les indices de (L;Cl [[x]]q;,s;,s0 ) et (L;Cl [[x]](q;,s;,s0)) en fonction du q-polygone de Newton de zK L?z. Soient s 2 [,1; 0] et s0 2 IR. Si s = ,1, on pose  = 0u . Si s = 0, on pose  = 1. Si s 2] , 1; 0[, on pose  = 1s . Si s0 = 0, on pose 0 = 1. Si s0 2 IR, on pose 0 = s10 . Si s = ,1, on pose Cl [[z]](q;,1;s0) = Cl [z] 8s0 2 IR.

Theoreme 6.2.3 : Soient L 2 Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1) et L?z 2 Cl [z,1][z dzd ; q ] son dual a l'in ni. Soit K le degre en x de L. Alors (i) L'operateur zK L?z :Cl [[z]]q;s;s0 !Cl [[z]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2] ,1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2] , 1; 0[, d'indice egal a ,k() si s est non exceptionnelle, ,k(; 0) si s est exceptionnelle et si s0 est non exceptionnelle, ,k1(; 0) si s est exceptionnelle et si s0 est exceptionnelle. (ii) L'operateur zK L?z : Cl [[z]](q;s;s0) ! Cl [[z]](q;s;s0) est de Fredholm pour s 2 [,1; 0[; s0 2 IR et pour s = 0; s0 2],1; 0[, d'indice egal a ,k() si s est non exceptionnelle, ,k(; 0 ) si s est exceptionnelle et si s0 est non exceptionnelle, ,k2(; 0) si s est exceptionnelle et si s0 est exceptionnelle. Nous avons ainsi obtenu des theoremes d'indices pour les operateurs de Cl [z][z dzd ; q] agissant sur Cl [[z]]q;s;s0 (resp. Cl [[z]](q;s;s0)) avec s 2] , 1; 0[; s0 2 IR ou s = 0; s0 2] , 1; 0[ (resp. s 2 [,1; 0[; s0 2 IR ou s = 0; s0 2] , 1; 0[).

6.3. Theoremes d'indices En combinant le theoreme 5.2.1 et le theoreme 6.2.3, nous obtenons le resultat suivant :

Theoreme 6.3.1 : Soit L 2 Cl [x][x dxd ; q ] (0 < jqj < 1). Soient s 2 IR [ f,1g [ f+1g et s0 2 IR. Si s = 0, on pose  = 1. Si s = ,1, on pose  = 0u . Si s = +1, on pose  = 0l . Si s 2 IR, on pose  = 1s . Si s0 = 0, on pose 0 = 1. Si s0 2 IR, on pose 0 = s10 . On pose Cl [[x]](q;,1;s0) = Cl [x] et Cl [[x]]q;+1;s0 = Cl [[x]] 8s0 2 IR. (i) L'operateur L : Cl [[x]]q;s;s0 ! Cl [[x]]q;s;s0 est de Fredholm pour s 2] , 1; +1] et 2 IR, d'indice egal a ,k() si s est non exceptionnelle, ,k(; 0) si s est exceptionnelle et si s0 est non exceptionnelle, ,k1(; 0 ) si s est exceptionnelle et si s0 est

s0

exceptionnelle.

(ii) L'operateur L : Cl [[x]](q;s;s0) ! Cl [[x]](q;s;s0) est de Fredholm pour s 2 [,1; +1[ et s0 2 IR, d'indice egal a ,k() si s est non exceptionnelle, ,k(; 0) si s est exceptionnelle et si s0 est non exceptionnelle, ,k2(; 0 ) si s est exceptionnelle et si s0 est

exceptionnelle.

38

De la m^eme facon que nous avons demontre le theoreme 4.7.9, on obtient le :

Theoreme 6.3.2 : Soit L un operateur a coecients polynomiaux du type L=

I X J X i=0 j =0

d )ij ai;j (x)( dx q

avec 0 < jqj < 1. Soient f 2 A(Cl ) une fonction entiere et g 2 Cl [x] tels que L(f ) = g. Alors :  Soit f 2 Cl [x],  Soit il existe un unique reel s0 < 0 tel que f 2 Cl [[x]]q;0;s0 et f 2= Cl [[x]](q;0;s0); s10 est alors l'une des pentes strictement negatives du d-polygone associe a la valeur exceptionnelle s = 0,  Soit il existe un unique reel s < 0 et un unique reel s0 2 IR tels que f 2 Cl [[x]]q;s;s0 et f 2= Cl [[x]](q;s;s0); ,1s est alors l'une des pentes strictement positives du qpolygone et s10 l'une des pentes du d-polygone Pd; s (L). 6.4. Estimations de croissance 1

Nous allons a present pouvoir donner des estimations de croissance pour les fonctions entieres solutions d'equations a coecients polynomiaux.

Proposition 6.4.1 : La fonction entiere f (x) a une croissance contr^olee par jf (x)j < C exp



k1 2

ln2(r) + a ln(r) + k1s0 ln(r): ln j ln(r)j



(r = jxj)

ou k1 = lnkjqj > 0, a 2 IR et s0 2 IR, si et seulement si f (x) admet pour developpement asymptotique a l'origine une serie q-Gevrey d'ordres s = 1=k et s0. Demonstration : Soit n(r) la fonction de nie sur ]0; +1[ par

(

n(r) = k2 ln2(r) + a ln(r) , n ln(r) + b ln(r): ln j ln(r)j; r 6= 1 n(1) = 0 1

ou n 2 IN, k1 = lnkjqj > 0, a 2 IR et b = k1s0 2 IR. Nous allons chercher le minimum de n(r) sur ]0; +1[ puis en donner un equivalent quand n tend vers +1. La fonction n (r) est continue sur ]0; +1[. Pour r 6= 1,

0n(r) = k1 ln(rr) + a ,r n + rb ln j ln(r)j + rb 39

et on pose pour fn(r) = r0n (r) = k1 ln(r) + a , n + b + b ln j ln(r)j: Pour r 6= 1,

fn0 (r) = kr1 + r ln(b r) = k1 rln(ln(r)r)+ b :

Premier cas : s0 = 0. Le minimum de n(r) est atteint pour r = exp( nk,a ) et 8r > 0; n (r)  , (n2,ka) : 1

2

1

Deuxieme cas : s0 > 0. exp(,s0) 1 + 0 ,

0

fn0 (r)

+1

rn +

+

 @ 1+1  fn(r) ,1 ,,, 0  @@R ,1 ,1  PPPP , PPPP , n(r) PPP PPPPq ,, ,

Pour n assez grand, fn (exp(,s0))  ,n est strictement negatif et n(r) admet sur ]0; +1[ un unique minimum, atteint pour r = rn > 1. Etudions fn(r) sur ]1; +1[. On pose n = 0 s0 n , a , b , s exp( k )n k1 et un = rnn . Pour n assez grand, 1

 2n 2]1; +1[ et fn( 2n )  ,k1 ln(2) < 0  2n 2]1; +1[ et fn(2n )  k1 ln(2) > 0 donc 2n < rn < 2n , et par suite ln(nun ) ! 0. La condition fn(n un) = 0 entra^ne un ! 1 donc   rn  exp n,ka,b n,s0 k1s0 quand n tend vers + 1: 1

Un calcul simple mais laborieux permet alors d'obtenir l'estimation pour n ! +1 :

n(rn ) + n(n2k+ 1) , s0 ln(n!) , 1



1 2k1

02  + s0 + ka , s0 ln(k1) n  , k1s ln2(n): 2 1

Troisieme cas : s0 < 0 40

rn;2

0

fn0 (r)

+

rn;1

1

+ , 1  P 0 +1 +1 PP0 P

exp(,s0) , 0 +

fn (r) ,1 

+1 + 1 0  +1

rn

PPq   *  HHH @  ,  @ H  , n(r) @ HH  , HHH @@  , HHj , R

En raisonnant de la m^eme maniere que precedemment, on montre que :  L'unique racine rn;2 de fn (r) = 0 sur ]0; 1[ tend vers 1 quand n ! +1 et n(rn;2) ! 0.  Pour n assez grand, fn(exp(,s0)) < 0. Soit rn l'unique racine de fn(r) = 0 sur ] exp(,s0); +1[. On montre que   rn  exp n,ka,b n,s0 k1s0 1

et

n(rn ) + n(n2k+ 1) , s0 ln(n!) ,



1

02  + s0 + ka , s0 ln(k1) n  , k1s ln2(n): 2

1 2k1

1

Demontrons a present la proposition. Soit f (x) une fonction entiere telle que   jf (x)j < C exp k2 ln2(r) + a ln(r) + k1s0 ln(r): ln j ln(r)j (r = jxj) avec k1 = lnkjqj > 0, a 2 IR et s0 2 IR. Soit Pn0 anxn son developpement asymptotique a l'origine. Alors   janj  sup jf (x)jr,n < C exp k2 ln2(r) + a ln(r) + k1s0 ln(r): ln j ln(r)j r,n 1

1

jxj=r

pour tout r > 0 donc janj < C exp(n (rn)).

 Si s0 = 0 alors janj < C exp(, (n2,ka) ) = Constante  jqj, n nk An;  Si s0 6= 0 alors   janj < C jqj, n nk (n!)s0 exp( 21k + s0 + ka , s0 ln(k1)) n exp( (n)) ( +1) 2

2

1

( +1) 2

1

1

ou  (n)  , k 2s0 ln2(n) ! ,1, donc e(n) est borne et par suite janj < Djqj, (D constante). 1

2

41

n(n+1) 2k (n!)s0 An

Reciproquement, supposons qu'une fonction entiere f (x) admette comme developpement asymP ptotique n0 anxn 2 Cl [[x]]q;s;s0, c'est-a-dire qu'il existe C et A > 0 tels que

janj < C jqj, n nk (n!)s0 An; avec k = 1=s, k1 = lnkjqj > 0 et s0 2 IR. Alors ( +1) 2





janxn j < C exp , n(2nk+1) + s0 ln(n!) + n ln(A) + n ln(r) : 1

Soit a tel que ln(A) = 2k1 + s0 + ka , s0 ln(k1). Alors , n(2nk+1) + s0 ln(n!)+ n ln(A) = n (rn)+  (n) avec  (n)  k 2s0 ln2(n). Par consequent, janxnj < C exp(n (rn) +  (n) + n ln(r)) et 8 > 0,   janxnj < C exp k2 ln2() + a ln() + k1s0 ln(): ln j ln()j (n) , n ln() + n ln(r) : 1

2

1

1

1

1

On pose  = r ( > 0).  Si s0 = 0 :  (n) = 0 et janxnj < C exp( k2 ln2(r) + a ln(r)),n donc   jf (x)j < C exp k2 ln2() + a ln() 8 > 1   jf (x)j < C exp k2 ln2(r) + (a + ) ln(r) 8 > 0 1

1

1

 Si s0 P 6= 0 : Soit n = exp( (n) , n ln()). On montre que nn  1 , c'est-a-dire que la serie n0 n converge pour tout  > 1 et 8 > 1;   jf (x)j < C exp k2 ln2() + k1s0 ln() ln j ln()j + a ln() ; 8 > 0;   jf (x)j < C exp k2 ln2(r) + k1 s0( + ln(r)) ln j + ln(r)j + (a + k1) ln(r) +1

1

1

  < C0 exp k2 ln2(r) + k1s0 ln(r): ln j ln(r)j + (a + k1 + 1) ln(r) : De cette proposition et du theoreme 6.3.2 decoule le 1

Theoreme 6.4.2 : Soit 0 < jqj < 1 et L un operateur a coecients polynomiaux du type I L=

J XX i=0 j =0

d )ij ai;j (x)( dx q

Soient f 2 A(Cl ) une fonction entiere et g 2 Cl [x] tels que L(f ) = g. Alors :  Soit f 2 Cl [x], 42

 Soit il existe un unique reel s0 < 0 tel qu'il existe C et  > 0, jf (x)j < C exp(r,1=s0 ) (r = jxj); 1 egatives du d-polygone associe a la s0 est alors l'une des pentes strictement n valeur exceptionnelle s = 0,  Soit il existe un unique reel s < 0 et un unique reel s0 2 IR tels qu'il existe C et , jf (x)j < C exp



k1 2

ln2(r) + k1s0 ln(r) ln j ln(r)j +  ln(r)



(r = jxj; k1 = s ln1 jqj );

est alors l'une des pentes strictement positives du q-polygone et des pentes du d-polygone Pd; s (L). On retrouve l'estimation de jf (x)j etablie dans le cas dierentiel dans [9]. 1

,s

1

43

1 s0

l'une

References bibliographiques [1] J.-P. Bezivin, Sur les equations fonctionnelles aux q-dierences. Preprint Paris VI (1990). [2] R. Douady, Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. Seminaire de geometrie analytique. Asterisque 16 (1974). [3] P. Grisvard, Operateurs a indice, Lemme de Compacite. Seminaire Cartan-Schwartz, 16eme annee, 1963-64, n12. [4] W. Hahn, Uber die Funktional-dierentialgleichung f 0(z) = f (qz) und verwandte Funktionalgleichungen. Ann. Univ.Sc. Budapest, Eotvos Sect. Math. (1973), p.3-21. [5] T. Kato, J.-B. McLeod, The functional dierential dierence equation y0(x) = ay(x),by(x). Bull. Amer. Math. Soc., 77 (1971),p. 891-937. [6] H. Komatsu, On the index of dierential operators. J. Fac. Sci. Tokyo IA (1971), p.379-398. [7] K. Mahler, On a special functional equation. J. London Math. Soc. 15 (1940), 115-123. MR 2, 133. [8] B. Malgrange, Sur les points singuliers des equations dierentielles. L'Enseignement Mathematique, tome 20, n1-2 (1974), p. 147-176. [9] J.-P. Ramis, Devissage Gevrey. Societe Mathematique de France. Asterisque n 59-60 (1978), p.173-204. [10] J.-P. Ramis, Theoremes d'indices Gevrey pour les equations dierentielles ordinaires. Memoirs of the American Mathematical Society n296, volume 48 (1984). [11] J.-P. Ramis, About the growth of entire functions solutions of linear algebraic q-dierence equations. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse. Serie 6, Vol. I, n 1, 1992. [12] K. Yosida, Functional Analysis. Berlin, Springer-Verlag (1971).

44

Chapitre 2 Theoremes d'indices pour les equations auxx dierences a coecients polynomiaux en q 1. Introduction Le point de depart de ce travail consiste en l'etude de transformations canoniques permettant d'obtenir des estimations de croissance des solutions d'une classe d'operateurs via les resultats obtenus pour les series formelles solutions d'equations fonctionnelles q-dierences-dierentielles melangeant operateurs dierentiels et operateurs aux q -dierences [6]. W. Hahn s'est interesse au cas des equations q-dierences-dierentielles a coecients constants de la forme r X s X (1) j;k F (j)(tqk) = 0; j =0 k=0

ou q est un reel (0 < q < 1). Il en cherche des solutions analytiques [4]. Par la transformation integrale Z x F (t) = ,(xt+ 1) f (x)dx; t 6= 0 C ou il suppose le chemin d'integration C et la fonction f (x) tels que F (t) soit analytique et Z qkxtx ( j ) k F (tq ) = ,(x + 1) f (x + j )dx; C il se ramene a l'etude de f (x) solution de l'equation aux dierences a coecients polynomiaux r  P  X s  (q x)k f (x + j ) = 0: (2) k=0 j;k j =0

Connaissant le comportement a l'in ni de la fonction f (x) (proposition de Poincare-Perron), il obtient des solutions analytiques P de (1). On veri e que les series formelles n0 antn solutions d'equations de la forme (1) sont q-Gevrey d'ordre s 2 IR et s0 = ,1 [1], c'est-a-dire : 9C; 9A > 0; janj < C jqj, sn n ,(n1+ 1) An: Il est donc naturel de ne pas tenir compte du facteur ,(x1+1) dans le cas ouRles coecients j;k ne sont plus constants. La transformation integrale devient alors F (t) = C txf (x)dx. En n, on peut aussi bien etudier f (,x) et donc considerer comme transformee Z Z , x F (t) = t f (x)dx ou encore f (x) = tx,1F (t)dt: ( +1) 2

C

C

45

Formellement, cette derniere expression donne

Z f (x) = f (x + 1) = tx,1  tF (t)dt; C Z Z Z xf (x) = xtx,1F (t)dt = [txF (t)] , txF 0(t)dt" = " tx,1(,t dtd )F (t)dt C C C et Z qxf (x) = tx,1  pF (t)dt: C On peut donc naturellement de nir comme transformee q-Mellin formelle l'isomorphisme Cl [; x; q x] ,! Cl [t; ,t dtd ; p]  7! t x 7! ,t dtd x q 7! p En particulier, A. Barkatou et A. Duval [1] considerent la transformation de Mellin formelle Cl [; x] ,! Cl [t; ,t dtd ]  7! t x 7! ,t dtd Ils etudient l'action des operateurs de Cl [x;  ] sur l'espace des series de factorielles formelles. La transformation de Mellin formelle leur permet de se ramener aux series formelles solutions d'equations dierentielles et d'appliquer les resultats etablis par B. Malgrange [5] et J.-P. Ramis [7]. Ils obtiennent alors des estimations Gevrey pour les series de factorielles formelles initiales. Dans cet article, nous donnons un q-analogue de leurs resultats. Nous etudions les operateurs deCl [qx;  ] agissant sur l'espace des series de q-factorielles formelles. La transformee de q-Mellin formelle permettra d'obtenir des estimations q-Gevrey a partir des resultats etablis par J.-P. Bezivin [2] et J.-P. Ramis [8] dans le cadre des series formelles solutions d'equations aux qdierences.

2. Preliminaires Pour de plus amples details on se reportera a [3].

2.1. La fonction Gamma q-analogue Il s'agit ici de rappeler quelques proprietes fondamentales de la fonction q-Gamma. Nous introduirons ensuite quelques notations. Nous supposons dans tout cet article que q est un complexe non nul tel que jqj 6= 1. Soit p = 1=q. On de nit ( 0 (a; q)n = 1(1 , a)(1 , aq) : : : (1 , aqn,1) sisi nn = = 1; 2; : : : 46

Pour a 6= 0, (a; q)n = (a,1; p)n (,a)nq

n(n,1)

: Pour a 2 Cl et jqj < 1, on de nit (a; q)1 = Q1k=0(1 , aqk). b, Pour a 2 Cl ? et jqj > 1, on de nit (a; q)1 = (a,1; p)1 (,p)b,1p On veri e que (a; q)n = (aq(an;q;)q1)1 pour a 6= pn+k pour tout k 2 IN. 2

(

b,2)

1)( 2

a ou b = log log q .

Avec ces notations, la fonction Gamma q-analogue est de nie comme suit :  Si 0 < jqj < 1, ,q (x) = ((qqx;;qq))11 (1 , q)1,x;

 Si jqj > 1, ,q (x) = ((ppx;;pp))11 (q , 1)1,x q x x, : (

2

1)

Elle est solution de l'equation fonctionnelle ( f (x + 1) = 11,,qqx f (x) f (1) = 1 ou nous prenons la valeur principale de qx. La fonction ,q (x) est un q-analogue de la fonction ,, dans la mesure ou lim , (x) = ,(x): q !1 q ik pour k; n 2 IN. La fonction Elle admet des p^oles (simples) en x = ,n  2logq ik pour k; n 2 IN. fonction entiere s'annulant en les points x = ,n  2logq

1 ,q (x)

Le coecient q-binomial est de ni par : " # ,q ( + 1)  = ,q ( + 1),q ( , + 1) pour  et 2 Cl . En particulier, pour n; k 2 IN avec k = 0; 1; : : : ; n : " # n = (q; q)n : k (q; q)k(q; q)n,k Pour n; k 2 IN, nous avons " # " # " # n + 1 = n qk + n k k k,1 De nissons en n pour x 2 Cl et n 2 IN (1 si n = 0 x < q >n= Qn,1 1,qx l pour n = 1; 2; : : : l=0 1,q +

Si x + n n'est pas un p^ole pour la fonction ,q (x) il est evident que < qx >n= ,q,(qx(+x)n) . Si x + n est un p^ole pour la fonction ,q (x), on de nit ,q,(qx(+x)n) par < qx >n. 47

est une

2.2. La q-integrale Pour jqj < 1, la q-integrale est de nie par Z1 0

Za 0

et par

Z1 0

1 X

f (t)dq t := (1 , q)

f (t)dq t := a(1 , q)

n=0

f (t)dq t := (1 , q)

1 X n=0

f (qn)qn; f (aqn)qn

1 X

f (qn )qn:

n=,1 ,q (x),q (y) ,q (x+y)

Ainsi, la fonction q-beta de nie par Bq (x; y) = s'exprime sous la forme d'une qintegrale : Z1 Bq (x; y) = tx,1 ((tqtqy;;qq))1 dq t pour jqj < 1, Re(x log q) < 0 et y 6= ,n +

0 2ik , log q

1

n 2 IN, k 2 ZZ.

3. Transformee q-Mellin formelle 3.1. Transformee q-Mellin formelle d'un operateur On note Cl [qx;  ] l'algebre non commutative des polyn^omes en qx et  ; la relation de commutation est : qx = qx+1: On note Cl [t; p] l'algebre non commutative des polyn^omes en t et p, ayant pour relation de commutation : pt = ptp:

De nition 3.1.1 : Soit
q 2 Cl [qx;  ]. La transformee q-Mellin formelle de l'operateur
q est l'operateur Mq 2 Cl [t; p], image de
q par l'isomorphisme d'algebre IMq qui a qx fait correspondre p et a  l'operateur t. Premiere remarque : La transformation est canonique : IMq (q x) = IMq ( )IMq (q x) = tp = qpt = qIMq (qx)IMq ( ) = IMq (qx+1 ) et qx+1 = qx. Seconde remarque : On peut de nir formellement la transformee de q -Mellin formelle par une transformee q-integrale :

f^q (x) :=

Z1 0

tx,1F^q (t)dq t = (1 , q)

1 X n=,1

qnxF^q(qn):

L'action de qx (resp. de  ) sur f^q (x) se traduit formellement par l'action de p (resp. de t) sur 48

F^q(x) :

1 xq nx F^q (q n ) = (1 , q ) P1 x(n+1)F^q (q n ) qxf^q (x) = (1 , q) P q n = ,1 n=,1 q R P 1 nx n x,1 = (1 , q) P1 n=,1 q (pF^q )(q ) = 0 t Pp F^q (t)dq t; 1  f^q (x) = (1 , q) n=,1 qnqnxF^q (qn) = (1 , q) 1n=,1 qnqn(x,1)qnF^q (qn) R = 1 tx,1tF^ (t)d t: q

0

q

Soit
q 2 Cl [qx;  ];
q peut s'ecrire sous l'une des deux formes r X s X
q = k;j  k (qx)j k=0 j =0 r X s X
q = k;j  k k=0 j =0

< qx >j

Proposition 3.1.2 : La transformee q-Mellin formelle veri e : IMq (

r X s X

k;j  k (qx)j ) =

k=0 j =0 r X s X IMq ( k;j  k k=0 j =0

< qx >j ) =

r X s X

k=0 j =0 r X s X

k;j tk pj

k;j tk < p >j k=0 j =0 ou < p >j est l'identite si j = 0; pour j 2 IN?, < p >j = (1,1q)j Qjl=0,1(1 , qlp).

3.2. Series de q-factorielles De nition 3.2.1 : Les series formelles de q-factorielles generalisees sont donnees par X x) ,q (x) X an f^q (x) = an , (x +,nq (+ = x +  + 1) , (x + ) < q  > q

n0

q

n0

n+1

ou  2 Cl . Le cas  = 0 correspond aux series formelles de q-factorielles. Propriete 3.2.2 : Les series formelles de q-factorielles generalisees sont stables par l'action de Cl [qx;  ]. Pour etablir cette propriete, nous allons utiliser le lemme suivant :

Lemme 3.2.3 : Pour tout l 2 IN et pour tout 2 Cl : ou encore

l " l # ,q (x + l) = X ( ,i)(l,i) ,q ( + 1) ,q (x + l , ) q ,q (x) ,q ( + 1 , i) ,q (x , + i) i=0 i Xl " l # ( ,i)(l,i) +1,i x < q >l= i < qx, +i >l,i : i q i=0

49

Ce lemme est un q-analogue de la relation ! l ,(x + l) = X l ( , 1) : : : ( , i + 1) ,(x + l , ) : ,(x) ,(x , + i) i=0 i Demonstration : Elle s'etablit par recurrence sur l 2 IN. Pour l = 0, le lemme est trivialement veri e. Supposons que nous l'ayons etabli pour l 2 IN. Soient x et 2 Cl . Posons

,lq+1

l+1 " l + 1 # X ( ,i)(l+1,i) ,q ( + 1) ,q (x + l + 1 , ) : = q i ,q ( + 1 , i) ,q (x , + i) i=0

Nous allons etablir que ,lq+1 = ,q (,xq+(xl+1) ) . Comme " # " # " # l + 1 = l qi + l ; i i i,1 l+1 " l # x+l, ,q (x + l , ) X l +1 ( ,i)(l,i)q ,q ( + 1) 1 , q ,q = q ,q ( + 1 , i) 1 , q ,q (x , + i) i=0 i l+1 " l # X ( ,i)(l+1,i) ,q ( + 1) ,q (x + l + 1 , ) : + q ,q ( + 1 , i) ,q (x , + i) i=0 i , 1 " # l En utilisant le fait que l + 1 = 0 et l'hypothese de recurrence, la premiere somme est egale a " # x l , , ( x + l ) 1 , q q q 1,q ,q (x) : Comme ,l1 = 0 et en decalant l'indice de sommation, le deuxieme terme est egal a : l " l # X ( ,i,1)(l,i) ,q ( + 1) ,q (x + l + 1 , ) q ,q ( , i) ,q (x , + i + 1) i=0 i +

soit, en appliquant l'hypothese de recurrence (avec , 1), 11,,qq ,,q (qx(x+)l) ; d'ou le resultat.

Demonstration de la propriete 3.2.2 : Il sut de montrer pour tout  2 Cl , pour tous k; j 2 IN, que  k < qx >j ,q,(qx(+x)) est encore une serie formelle de q-factorielles generalisees. Or

+ j + k)  k < qx >j , ,(xq (+x)) = ,,q ((xx + k + ) q q # jX +k " ,q (x),q (x + j + k , ) j + k ( ,i)(j +k,i) ,q ( + 1) = q i ,q ( + 1 , i) ,q (x , + i),q (x + k + ) i=0 pour tout 2 Cl . En particulier, pour = j ,  : # jX +k " ,q (x) , j + k q (x) (j ,,i)(j +k,i) ,q (j ,  + 1)  k x q  < q >j , (x + ) = i ,q (j ,  + 1 , i) ,q (x , j +  + i) : q i=0 50

De nition 3.2.4 : Avec les notations de la de nition 3.2.1, la transformee q-Mellin formelle d'une serie formelle de q-factorielles generalisees est la serie formelle X IMq (f^q )(t) =

an (tq; q)1 = (tq; q)1 X an +1; q ) ( tq n n +1+   +1 ; q)1 (tq ; q)1 n0 ,q (n + 1 + ) n0 ,q (n + 1 + ) (tq

q (y ) Remarque : La fonction q , beta, Bq (x; y ) = ,,q (qx(), x+y) , est egale a

Bq (x; y) =

Z1 0

tx,1 ((tqtqy;;qq))1 dq t 1

pour jqj < 1, Re(x log q) > 0 et y 6= ,n + 2logikq , n 2 IN et k 2 ZZ [8], d'ou ,q (x) = Z 1 tx,1  1 (tq; q)1 d t: ,q (x + ) 0 ,q () (tq; q)1 q Propriete 3.2.5 : Les operateurs polynomiaux de Cl [t; p] agissent sur les series formelles en (tqn(tq;q)1;q)1 = u+n+1 (t). +1+

Demonstration : Il sut de remarquer que pour tout  2 Cl :

 pu(t) = (tq(t,;q);1q)1 = 1,1tq,t, 1

1

(tq;q)1 (tq;q)1

= q1,u(t) + (1 , q1,)u,1(t)

 tu(t) = q,(tq , 1 + 1) ((tqtq;;qq))11 = q,u , q,(1 , tq) ((tqtq;;qq))11 = q,u , q,u+1

Proposition 3.2.6 : Si f^q est une serie formelle de q-factorielles generalisees alors pour tout operateur
q 2 Cl [qx;  ], IMq (
q (f^q )) = IMq (
q)IMq (f^q ): Demonstration : Par linearite, il sut de veri er que IMq ( k < qx >j ( ,q (x) )) = tk < p >j ( u (t) ) ,q (x + ) ,q () pour tout 2 Cl . On a montre precedemment que :

# +k " ,q (x) = jX ,q (x) j + k q(j,,i)(j+k,i) ,q (j ,  + 1)  j ,q (x + ) i=0 i ,q (j ,  + 1 , i) ,q (x , j +  + i) dont la transformee q-Mellin formelle est # jX +k " 1 j + k (j ,,i)(j +k,i) ,q (j ,  + 1) k;j (t) = q i ,q (j ,  + 1 , i) ,q (,j +  + i) u,j++i (t): i=0 k

< qx >

Pour montrer que k;j (t) = tk < p >j ( ,qu() ), nous allons proceder en deux etapes.

Premiere etape : Nous allons etablir que 0;j (t) =< p >j 51

1 ,q () u (t)

par recurrence sur

j 2 IN. Pour j = 0, 0;0(t) = ,q1() u(t). j Si 0;j (t) =< p >j ,q1() u(t) : < p >j+1 ,uq((t)) = 1,1q,qp 0;j (t). Or j " # X ,q (j ,  + 1) j q(j,,i)(j,i) 0;j (t) = ,q (j ,  + 1 , i),q (,j +  + i) u,j+i i=0 i et pu(t) = q1,u + (1 , q1,)u,1 pour tout  donc p0;j (t) est egal a j " # X ,q (j ,  + 1) j q(j,,i)(j,i) q1+j,,i u,j+i i , ( j ,  + 1 , i ), ( , j +  + i ) q q i=0 j " # X ,q (j ,  + 1) j q(j,,i)(j,i) + (1 , q1+j,,i)u,j+i,1 i , ( j ,  + 1 , i ), ( , j +  + i ) q q i=0 u  et < p >j+1 ,q () est egal a j " # X 1 1 , q1+2j,,i u j q(j,,i)(j,i) ,q (j ,  + 1) ,j +i ,q (j ,  + 1 , i) ,q (,j +  + i) 1 , q i=0 i j " # qj X 1 , q1+j,,i u j (j ,,i)(j ,i) ,q (j ,  + 1) q , ,q (j ,  + 1 , i) ,q (,j +  + i) ,(j+1)+i : i=0 i 1 , q 0 dans "En decalant # " le premier # terme l'indice de sommation (i = i + 1) et en utilisant le fait que j = 0 et j = 0, <  > u est egal a p j +1 ,q () ,1 j+1 jX +1

avec

i=0

1 ,  + 1) 1 ci;j+1 q(j+1,,i)(j,i) , ,(jq (+j +1 ,  + 1 , i) , (,(j + 1) +  + i) u,(j+1)+i q

q

j ,+1,i j ,+1,i 2j ,+2,i " j # 1 , q ci;j+1 = i , 1 1 , qj,+1 , i q2i,j,1+ 11,,qqj,+1 11,,qq,j++i,1 " # 2j ,+2,i " j # 1 , q j ,+1,i " j + 1 # 1 , q j = i , 1 1 , qj,+1 , i qi 1 , qj,+1 = i : Deuxieme etape : On montre que k;j (t) = tk < p >j ,qu() par recurrence sur k 2 IN. Pour k = 0, c'est evident. Si k;j (t) = tk 0;j (t) : # jX +k " ,q (j ,  + 1) j + k k +1 (j ,,i)(j +k,i) t 0;j (t) = tk;j = q i ,q (j ,  + 1 , i),q (,j +  + i) tu,j++i (t): i=0

"

j

#

Or tu = q,u , q,u+1 donc tk+10;j (t) est egal a # jX +k " ,q (j ,  + 1) j + k q(j,,i)(j+k,i) j ,,i u q ,j ++i i ,q (j ,  + 1 , i),q (,j +  + i) i=0 52

jX +k "

# ,q (j ,  + 1) j + k (j ,,i)(j +k,i) , q qj,,iu,j++i+1 : i , ( j ,  + 1 , i ), ( , j +  + i ) q q i=0 " # j + k 0 En decalant dans le deuxieme terme l'indice (i = i + 1) et en utilisant ,1 = 0 et " # j + k = 0, tk+1 (t) est egal a 0;j j+k+1 # " # ! j +X k+1 " ,q (j ,  + 1) j + k , j + k qj+k,i+1 q(j,,i)(j+k+1,i) i i,1 ,q (j ,  + 1 , i),q (,j +  + i) u,j++i (t) i=0 donc tk+10;j (t) = k+1;j (t): Remarque : Si IMq ( ,q,(qx(+x)) ) =  (t) alors la commutativite se traduit par

tk

< p >j (t) =

jX +k " i=0

# j + k q(j,,i)(j+k,i) ,q (j ,  + 1)  (t): i ,q (j ,  + 1 , i) ,j+i

Pour j = 0 et k = 1 : t = q, + 1,1,q,q  +1: Pour j = 1 et k = 0 : p = ,(1 , q)q1,,1 + q1,: En posant  = ,qu() (t), (t) doit satisfaire (t) = +1(t) et (pt) = (t). Par analogie, A. Barkatou et A. Duval etablissent que (t) est une fonction 1-periodique de la variable , independante de t.

4. Theoremes d'indices dans Cl~ q [[t]] Nous serons amenes a determiner les indices pour des op erateurs Mq 2 Cl [t; p] agissant sur P ~ ^ Cl q [[t]], espace des series formelles de la forme Fq (t) = n0 an (tq; q )n avec (tq; q )0 = 1 et (tq; q)n = (1 , tq)(1 , tq2) : : : (1 , tqn) si n = 1; 2; : : :

4.1. Indice dans Cl~ q [[t]]

Nous allons calculer a la main cet indice. Soit Mq = PKk=0 PJj=0 k;j tk < p >j 2 Cl [t; p]. Soient F^q(t) = Pn0 an (tq; q)n et ^q (t) = Pn0 bn(tq; q)n 2 Cl~ q [[t]] deux series telles que Mq F^q = ^q . Nous avons montre que pour tout  2 Cl , # jX +k " ,q () u : j + k k (j ,i,)(j +k,i) ,q (j ,  + 1) t < p >j u = q i ,q (j ,  + 1 , i) ,q ( + i , j ) ,j+i i=0 En posant

"

# i + 1) ; j + k k;j;i;n = i q,(n+1)(j+k,i) ,,q ((i,,nn)) ,q (n,+(nj +, 1) q q 53

Mq F^q est egal a +k X J jX K X X

k=0 j =0 i=0 n0

k;j an k;j;i;n,j+i u,j+n+1+i =

+k X K X J jX X

k=0 j =0 i=0 n,j +i

k;j an+j,i k;j;i;nun+1 :

,i+1) s'annule pour j , i 6= 0 Or ,,qq((i,,nn)) =< q,n >i s'annule pour i 6= 0 et n = 0 : : : i , 1 et ,q (,nq+(nj+1) et n  ,1, donc +k X K X J jX X Mq F^q = k;j an+j,i k;j;i;n(tq; q)n: k=0 j =0 i=0 ni

L'egalite Mq F^q = ^q se traduit par : j +k;n) K X J min(X X

8n  0;

k=0 j =0

i=0

k;j an+j,i k;j;i;n = bn:

Posons m(Mq ) = supfj = 0 : : : J j 9k = 0 : : : K; k;j 6= 0g. Soit , = fk = 0 : : : K j k;m(Mq ) 6= 0g. Si k 2= , alors la condition k;j 6= 0 entra^ne j < m(Mq ). Par consequent, pour n assez grand U (n)an+m(Mq ) = Sn(an+m(Mq ),1; : : :; an,K ; bn) ou Sn (an+m(Mq ),1; : : :; an,K ; bn) est une expression algebrique en les an+m(Mq ),1; : : :; an,K ; bn et avec   q ) + 1) : U (n) = Pk2, k;m(Mq )q,(n+1)(m(Mq )+k) ,q (n ,+ (mn(+M1) q

Soit k0 = supfkjk;m(Mq ) 6= 0g = sup ,. Le coecient U (n) s'ecrit q ) + 1)  1 + P k ;m(Mq )q,(n+1)(m(Mq)+k ) ,q (n ,+ (mn(+M1) k2,;k 0 il existe CA > 0 tel que ( +1) 2

8n; janj < CA q0, sn n An: L'ensemble correspondant est note Cl~ q;(s)[[t]]. ( +1) 2

Soit Cl [[v]] l'espace des series formelles entieres en la variable v. Considerons l'isomorphisme  : Cl~ q [[t]] ! Cl [[v]] qui a (tq; q)n associe vn. Il induit des isomorphismes  : Cl~ q;s[[t]] ! Cl [[v]]p;s et  : Cl~ q;(s)[[t]] ! Cl [[v]]p;(s) ou Cl [[v]]p;s (resp. Cl [[v]]p;(s)) est l'espace p-Gevrey d'ordre s (resp. p-Gevrey-Beurling d'ordre s) [7]. On note p;v l'operateur aux p-dierences agissant sur les series en v (p;v (g(v)) = g(pv)).

Proposition 4.2.2 : Soit Mq 2 Cl [t; p]. L'operateur Mv =   Mq  ,1 est polynomial en v, v,1 et p;v . De plus, Mv : Cl [[v]]p;s ! Cl [[v]]p;s est de Fredholm, donc Mq :Cl~ q;s[[t]] !Cl~ q;s[[t]] est egalement de Fredholm, et les indices sont egaux. Demonstration : En remarquant que t = P ,P1(p(1 , v)p;v ) et d'autre part quePPp = ,1(p;v + 1 1 k;j tk pj = ,1Mv  avec Mv = k;j pk (p;v , p;v ), nous etablissons que Mq = v , v 1 1 vp;v)k (p;v + v , v p;v )j 2 Cl [v; v,1][p;v].

55

Soit J le degre en v,1 de l'operateur Mv . L'operateur M = vJ Mv est un operateur aux pdierences a coecients polynomiaux. En utilisant les theoremes d'indices etablis pour des operateurs aux q-dierences a coecients polynomiaux agissant dans les espaces p-Gevrey d'ordre s 2 IR [8], on montre aisement que M : Cl [[v]]p;s ! vJCl [[v]]p;s est un operateur de Fredholm, d'indice s egal a l'indice de M : Cl [[v]]p;s ! Cl [[v]]p;s plus J . Par consequent, Mv : Cl [[v]]p;s ! Cl [[v]]p;s et par suite Mq : Cl~ q;s[[t]] ! Cl~ q;s[[t]] sont de Fredholm, d'indice egal a s. Cet indice est l'oppose de l'ordonnee de l'unique point (ou de l'origine du segment) intersection du polygone de Newton de Mv au sens p-dierences et de la droite d'appui de pente 1=s. Nous allons de nir un polygone de Newton pour Mq . Cela nous permettra de donner explicitement les indices en fonction de Mq , sans avoir a passer par le polygone de Newton au sens p-dierences de l'operateur Mv et qui n'est qu'un intermediaire. Lemme 4.2.3 : Si M = PK PJ  tkj alors q

Mv =

avec

j =0 k;j

k=0

JX +K

p

J X

i=0 j =max(0;i,K )

min( XK;i)

iY ,1 i i;j v,j (1 , plv)p;v

"

l=0

j

#

i,k)(i,k,1)

k;j qk(j,1) i , k (,1)i,k q : k=max(0;i,j ) P P Demonstration : Nous savons que Mv =Q Kk=0 Jj=0 k;j pk (p;v , vp;vQ)k (p;v + v1 , 1v p;v )j . On ,1 (1 , pl v ) k (si k = 0, k,1 (1 , pl v ) est egal a 1 montre aisement que (p;v , vp;v)k = kl=0 p;v l=0 par convention). " # P j 1 1 j i . Si cette Montrons par recurrence sur j que (p;v + v , v p;v ) = i=0 ji vi,j (v,1; q)ip;v egalite est etablie pour l'entier j , alors : j " # X 1 1 j vi,j (v,1; q) i ( + 1 , 1  ) (p;v + v , v p;v )j+1 = i p;v p;v v v p;v i=0 i j " # j " # i X X q j j vi,j (v,1; q) qi i i +1 i , j , 1 i +1 =  ) + v ( v ; q ) (  , i i p;v p;v v p;v i=0 i v i=0 i " # " # jX +1 j X j j vi,j,1 (v,1; q) qii i , j , 1 , 1 i = v ( v ; q )  + i i p;v p;v i=1 i , 1 i=0 i # jX +1 " j + 1 i : = vi,(j+1)(v,1; q)ip;v i i=0 Le lemme se deduit de ces deux expressions. i;j =

(

2

Le polygone de Newton (au sens p-dierences) de Mv fait intervenir les points (i; i , j ) et (i; ,j ) pour tout couple (i; j ) tel que i = 0; : : : ; J + K , j = max(0; i , K ); : : : ; J et i;j 6= 0. 56

Soit j xe tel que ,j = fk = 0; : : : ; K j k;j 6= 0g est non vide. Soient kj, = min,j et kj+ = max ,j . Alors kj,;j et kj +j;j sont non nuls : les points (kj, ; kj, , j ), (kj, ; ,j ), (kj+ + j; ,j ) et (kj+ + j; kj+ ) interviennent dans la construction du polygone. +

Soit i = 0; : : :; J + K tel qu'il existe j avec i;j 6= 0 et j  max(0; i , K ). Alors pour un tel j , ,j est non vide. On determine kj, et kj+ . On montre que : kj,  i  kj+ + j ; les points (i; i , j ) et (i; ,j ) se situent dans l'enveloppe convexe des points (kj, ; kj, , j ), (kj, ; ,j ), (kj+ + j; ,j ) et (kj+ + j; kj+ ). On en deduit un polygone de Newton pour Mq : De nition 4.2.4 : On considere l'operateur Mq = PKk=0 PJj=0 k;j tk pj aux p-dierences considere comme2 agissant sur Cl~ q [[t]]. Le polygone de Newton de Mq est l'enveloppe convexe dans IR des points (kj, ; kj, , j ), (kj,; ,j ), (kj+ + j; ,j ) et (kj+ + j; kj+ ) tels que j = 0 : : : J , ,j = fk = 0; : : : ; K j k;j 6= 0g = 6 ;, kj, = min ,j et kj+ = max ,j . Dans le cas ou jpj > 1, la seule partie du polygone qui nous interesse est celle de droite. On peut donc donner dans ce cas une de nition ne necessitant pas la recherche de kj, et kj+ . De nition 4.2.5 : Soit Mq = PKk=0 PJj=0 k;j tk pj avec jpj > 1. Soient =2 = f(u; v) 2 IR2 j u  0; v  0g et =3 = f(u; v ) 2 IR2 j u; v  0g. Pour (a; b) 2 IR2 et r = 2; 3 on pose =r (a; b) = (a; b) + =r , M2(Mq ) l'union des quadrants =2(k + j; ,j ) et M3(Mq ) l'union des quadrants =3(k + j; k) pour (k; j ) tels que k;j 6= 0. Soient Pl(Mq ) (resp. Pu (Mq )) l'enveloppe convexe dans IR2 de M2(Mq ) (resp. M3(Mq )) et P (Mq ) = Pl (Mq ) \ Pu (Mq ). Par de nition, Pl(Mq ) est le polygone de Newton inferieur de Mq , Pu (Mq ) est le polygone de Newton superieur et P (Mq ) le polygone de Newton de Mq . Les pentes strictement positives de Pl(Mq ) sont appelees les pentes irregulieres inferieures de P (Mq ) et les pentes strictement negatives de Pu (Mq ) sont appelees les pentes regulieres superieures de P (Mq ). On de nit les points (absci(); ordo()) et un sens de parcours des ar^etes du polygone, comme dans [8]. Rappelons le principe dans le cas jqj < 1 : Si  2 IR et si l'intersection de Pl(Mq ) avec sa droite de contact de pente  est reduite a un unique point, on note indieremment (absci1(); ordo1 ()) ou (absci2(); ordo2 ()) les coordonnees de ce point. Sinon, l'intersection est un segment ( est dans ce cas une pente irreguliere inferieure de P (Mq )) et est notee [(absci1(); ordo1 ()); (absci2(); ordo2 ())] avec absci1() < absci2(). Si  2 IR et si l'intersection de Pu(Mq ) avec sa droite de contact de pente  est reduite a un unique point, on note indieremment (absci1(); ordo1 ()) ou (absci2(); ordo2 ()) les coordonnees de ce point. Sinon, l'intersection est un segment ( est dans ce cas une pente reguliere superieure de P (Mq )), [(absci1(); ordo1 ()); (absci2(); ordo2 ())] avec absci2() < absci1(). 57

Le c^ote horizontal inferieur de P (Mq ) est repere a droite par (absci2(0l ); ordo2 (0l)). Le c^ote horizontal superieur de P (Mq ) est repere a droite par (absci1(0u ); ordo1 (0u )). On repere par [(absci1(1); ordo1 (1)); (absci2(1); ordo2 (1))] le c^ote vertical droit de P (Mq ), avec absci1(1) = absci2(1) et ordo1 (1)  ordo2 (1). En utilisant les resultats de J.-P. Ramis [8] et de J.-P. Bezivin [6], nous etablissons aisement les theoremes suivants :

Th eoreme 4.2.6 : Soit q 2 IR, jqj 6= 0; 1. Soit s 2 IR [ f1g [ f,1g. Soit  2  IR [ f0l ; 0u ; 1g de ni par 1s si s 2 IR , 0l si s = ,1 et par 0u si s = 1. Soit Mq 2 Cl [t; p]. Alors :  Les operateurs Mq : Cl~ q;s[[t]] ! Cl~ q;s[[t]] sont de Fredholm, d'indice egal a ,ordo1 ();  Les operateurs Mq : Cl~ q;(s)[[t]] !Cl~ q;(s)[[t]] sont de Fredholm, d'indice egal a ,ordo2 (). Theoreme 4.2.7 : Soient Mq 2 Cl [t; p] et q = Pn0 bn(tq; q)n q-Gevrey d'ordre 0. On suppose que F^q (t) 2 Cl~ q [[t]] est solution de Mq F^q = q . Alors F^q est q-Gevrey d'ordre 0 ou il existe un unique reel s > 0 tel que F^q est q-Gevrey d'ordre s et F^q 2= Cl~ q;(s)[[t]]. De plus, s = 1=k ou k est l'une des pentes irregulieres inferieures de P (Mq ). Theoreme 4.2.8 : Soient Mq 2 Cl [t; p] et q 2 Cl [t]. On suppose que F^q (t) 2 Cl~ q;(0)[[t]] est solution de Mq F^q = q . Alors F^q est un polyn^ome ou il existe un unique reel s < 0 tel que F^q 2 Cl~ q;s[[t]] et F^q 2= Cl~ q;(s)[[t]]. De plus, s = 1=k ou k est l'une des pentes regulieres superieures de P (Mq ). 5. Solutions series de q-factorielles formelles 5.1. Polygone de Newton Nous allons de nir un polygone de Newton pour les operateurs aux dierences a coecients polynomiaux en qx. Il se confond en fait avec celui que nous avons de ni precedemment pour les operateurs aux p-dierences consideres comme agissant sur Cl~ q [[t]]. De nition 5.1.1 : Soit
q = PKk=0 PJj=0 k;j  k (qx)j . Le polygone de Newton P (
q ) est+ par de nition+ l'enveloppe convexe dans IR2 des points (kj,; kj, , j ), (kj, ; ,j ), + (kj + j; ,j ) et (kj + j; kj ) tels que j = 0 : : : J , ,j = fk = 0; : : : ; K jk;j 6= 0g 6= ;, kj, = min ,j et kj+ = max ,j . Dans le cas jqj < 1, on peut donner une autre de nition : 58

De nition 5.1.2 : Soit
q = PKk=0 PJj=0 k;j  k (qx)j avec jqj < 1. Soient =2 = f(u; v) 2 IR2ju  0; v  0g et =3 = f(u; v ) 2 IR2ju; v  0g. Pour (a; b) 2 IR2 et r = 2; 3 on pose =r (a; b) = (a; b) + =r , M2(
q ) l'union des quadrants =2(k + j; ,j ) et M3(
q ) l'union des quadrants =3(k + j; k) pour (k; j ) tels que k;j 6= 0. Soient Pl(
q ) (resp. Pu (
q)) l'enveloppe convexe dans IR2 de M2(
q) (resp. M3(
q )) et P (
q ) = Pl(
q ) \ Pu (
q). Par de nition, Pl(
q ) est le polygone de Newton inferieur de
q, Pu (
q) est le polygone de Newton superieur et P (
q ) le polygone de Newton de
q . Les pentes strictement positives de Pl(
q ) sont les pentes irregulieres inferieures et les pentes strictement negatives de Pu (
q) sont appelees les pentes regulieres superieures de P (
q ). On de nit comme precedemment les points (absci(); ordo()).

5.2. Caracterisation q-Gevrey des series de q-factorielles solutions On rappelle que pour x 2 Cl et n 2 IN, ,q (x) = 1 , q : : : 1 , q : ,q (x + n) 1 , qx+n,1 1 , qx De nition 5.2.1 : La serie formelle de q-factorielles f^q = Pn1 an ,q,(qx(+x)n) est q-Gevrey d'ordre s 2 IR s'il existe C et A > 0 tels que 8n  0; an < C jqj, sn n An : +1

,q (n+1)

( +1) 2

On note O^f;q (s) l'ensemble de telles series. Nous rappelons la de nition suivante :

De nition 5.2.2 : La serie F^q (t) = Pn0 an(tq; q)snn nest q-Gevrey d'ordre s 2 IR s'il existe C et A > 0 tels que 8n  0; jan+1j < C jqj, An : ( +1) 2

Remarque : Si f^q = Pn1 an ,q,(qx(+x)n) est q -Gevrey d'ordre s alors sa transformee de q -Mellin formelle IMq (f^q ) = Pn1 ,qa(nn) (tq; q)n,1 est q-Gevrey d'ordre s.

Theoreme 5.2.3 : Soient
q 2 Cl [qx;  ] et g^q une serie de q-factorielles q-Gevrey P d'ordre 0. Soit f^q = n1 an ,q,(qx(+x)n) solution de
q f^q = g^q . Alors f^q est q-Gevrey d'ordre 0 ou il existe un unique reel s > 0 tel que f^q est q-Gevrey d'ordre s optimal. Remarque : On dit qu'une serie est q -Gevrey d'ordre s optimal s'il n'existe pas de reel s0 < s tel que cette serie soit q-Gevrey d'ordre s0.

P Demonstration : Soient Mq = IMq (
q ), F^q = n1 ,qa(nn) (tq; q )n,1 et ^q = IMq (^gq ). D'apres 59

la proposition 3.2.6, F^q est solution de l'equation aux p-dierences Mq F^q = ^q ou ^q est qGevrey d'ordre 0. On utilise alors le theoreme 4.2.7.

6. Theoremes d'indices (series de q-factorielles) 6.1. Indices formels Soit K^ f;q = ff^q = Pnn an ,q,(qx(+x)n) j n0 2 ZZg. Pour f^q 2 K^ f;q on de nit val(f^q) = inf fn 2 ZZ j an = 6 0g avec la convention val(0) = 1. Soit O^f;q = ff^q 2 K^ f;q j val(f^q)  1g. Lemme 6.1.1 : La suite d'espaces vectoriels 0

M^ q

0 ,! Cl [qx] ,! K^ f;q ,! Cl~ q [[t]] ,! 0

est exacte. Demonstration : Il sut de remarquer d'une part que Cl [q x] peut ^etre considere comme le sous-espace de K^ f;q tel que

n

o

P Cl [q x] = f^q = nn an ,q,(qx(+x)n) j n0  0 et an = 0 8n  1 : 0

D'autre part, soit f^q (x) = Pnn an ,q,(qx(+x)n) 2 K^ f;q : M^ q (f^q )(t) = Pnn ,qa(nn) ((tqtqn;q;q))11 : Or 0 pour n = 0; ,1; : : : donc X an+1 (tq; q) 2 Cl~ [[t]]: IMq (f^q )(t) = n q nmax(n ,1;0) ,q (n + 1) 0

0

1 ,q (n)

0

On en deduit que l'application IMq : K^ f;q ,! Cl~ q [[t]] est surjective. Soit
q 2 Cl [qx;  ];
q opere sur Cl [qx]. En eet, pour k,j 2 IN et n  0, # jX +k "   ,q (x) j + k , ( x ) (j ,n,i)(j +k,i) ,q (j , n + 1) q  k < qx >j ,q (qx+n) = i ,q (j , n + 1 , i) ,q (x , j + n + i) : i=0 Or ,q (j,n+1) = Qi,1 1,qj,n,l s'annule pour i  1 + j , n donc, pour n  0, ,q (j ,n+1,i)

l=0

1,q

 k < q x >j min(jX +k;j ,n) "

i=0



,q (x) ,q (x+n)



=

# ,q (x) j + k q(j,n,i)(j+k,i) ,q (j , n + 1) 2 Cl [q x]: i ,q (j , n + 1 , i) ,q (x , j + n + i) 60

=

Il est evident que
q opere sur K^ f;q . Le diagramme suivant est commutatif (avec Mq = IMq (
q )): IMq Cl~ [[t]] K^ f;q ,! q
q # # Mq IM K^ f;q ,!q Cl~ q [[t]] En general,
q n'opere pas sur O^f;q . Cependant, nous pouvons etablir le lemme suivant :

Lemme 6.1.2 : On note O^f;q (
q) = ff^q 2 O^f;q j
q(f^q ) 2 O^f;q g. L'espace quotient O^f;q =O^f;q (
q) est de dimension nie, et est isomorphe a Cl~ q [[t]]=IMq (O^f;q (
q )):

Demonstration : Soit f^q (x) = Pn1 an ,q,(qx(+x)n) 2 O^ f;q . Si
q = PKk=0 PJj=0 k;j  k < qx >j (avec 9k; k;J 6= 0 et 9j; K;j 6= 0), alors
q f^q est egal a

# 1) ,q (x) j + k k;j an i q(j,n,i)(j+k,i) , ,(jq (,j ,n n++1 , i) ,q (x , j + n + i) q k=0 j =0 n1 i=0 " # +k X K X J jX X n + i + 1) ,q (x) j + k = k;j an+j,i i q,n(j+k,i) ,q,(,(, q n + 1) ,q (x + n) k=0 j =0 i=0 n1,j +i donc
q (f^q ) 2 O^f;q s'ecrit, en annulant dans
q (f^q ) les coecients de ,q,(qx(+x)n) pour n = 1 , J; : : :; 0 : Si(a1; : : : ; ai) = 0 pour i = 1; : : : ; J . Par consequent, O^f;q =O^f;q (
q) est de dimension nie. D'autre part, les applications IMq : O^f;q ,! Cl~ q [[t]] et IMq : O^f;q (
q ) ,! IMq (O^f;q (
q)) sont bijectives, donc M q : O^f;q =O^f;q (
q ) ,! Cl~ q [[t]]=IMq (O^f;q (
q)) est un isomorphisme. Proposition 6.1.3 : Soit
q = PKk=0 PJj=0 k;j  k < qx >j . L'operateur
q : O^f;q (
q) ,! O^f;q est de Fredholm, d'indice : +1(
q ) = q , dq avec q = supfj = 0 : : : J j 9k = 0 : : : K; k;j 6= 0g et dq = dim(O^f;q =O^f;q (
q)). +k K X J X jX X

"

Demonstration : Le diagramme suivant est commutatif : IMq 0 ,! O^f;q (
q) ,! Cl~ q [[t]] ,! Cl~ q [[t]]=IMq (O^f;q (
q )) ,! 0
q # # Mq # M q 0 ,! O^f;q ,! Cl~ q [[t]] ,! Cl~ q [[t]]=IMq (O^f;q ) ,! 0 IMq

61

ou Mq = IMq (
q ) = PKk=0 PJj=0 k;j tk < p >j , d'indice q ; Cl~ q [[t]]=IMq (O^f;q ) = f0g donc M q est a indice, egal a dq , d'ou le resultat. Lemme 6.1.4 : Soit
q = PKk=0 PJj=0 k;j  k < qx >j . L'operateur
q : K^ f;q =O^f;q (
q ) ,! K^ f;q =O^f;q est de Fredholm, d'indice : ,q + dq . Demonstration : Soit r 2 IN. On note K^ q;,r les elements de K^ f;q de valuation superieure ou egale a ,r. Si f^q (x) = Pn,r an ,q,(qx(+x)n) 2 K^ q;,r alors
q f^q (x) est egal a

X n,r

an

K X J X k=0 j =0

k;j

jX +k " i=0

# ,q (x) j + k q(j,n,i)(j+k,i) ,q (j , n + 1) i ,q (j , n + 1 , i) ,q (x , j + n + i) ;

c'est-a-dire,
q (K^ q;,r )  K^ q;,r,q et
q : K^ f;q =K^ q;,r ,! K^ f;q =K^ q;,r,q . Pour m  r : # jX +k " K X J  , q (x)  X ,q (x) j + k (j +m,i)(j +k,i) ,q (j + m + 1)
q ,q (x,m) = q k;j i ,q (j + m + 1 , i) ,q (x , j , m + i) i=0 k=0 j =0 =

X (k;j )jk;j 6=0

X

=(

k2,

k;j q(j+m)(j+k) , (x,,q (jx), m) + termes de valuation > ,j , m q

k;q q(q +m)(q +k) ) , (x ,,q (x), m) + termes de valuation > ,q , m: q

q

Or, avec k0 = inf ,,  P X k;q q(q +m)(q +k) = k ;q q(q +m)(q +k ) 1 + k2,;k>k

k;q (q +m)(k,k0 ) k0 ;q q

ou, avec k1 = sup ,,  P X k;q q(q +m)(q +k) = k ;q q(q +m)(q +k ) 1 + k2,;k 0 tels que : 8n  0; jan+1j < C jpj sn n j,q (n + 1)jAn et on note K^ f;q (s) = O^f;q (s) Cl [qx]. ( +1) 2

Tout operateur
q 2 Cl [qx;  ] opere sur K^ f;q (s) : pour k et j 2 IN,

k

< qx >j f^q

= =

X

+k X jX

n1 i=0 jX +k

,q (x) 1) anq(j,n,i)(j+k,i) , ,(jq (,j ,n n++1 , i) , (x , j + n + i)

X

i=0 n1,j +i

q

q

n + 1 + i) ,q (x) an+j,i q,n(j+k,i) ,q,(,(, n + 1) , (x + n) q

q

min(j +X k;n,1+j ) , n + 1 + i) : q (x) = bn , (x + n) avec bn = an+j,i q,n(j+k,i) ,q,(,(, q q n + 1) n1,j i=0 Si f^q 2 O^f;q (s), alors pour N 2 IN assez grand, PnN bn ,q,(qx(+x)n) 2 O^f;q (s) : Pn1 bn ,q,(qx(+x)n) 2 O^f;q (s). Donc  k < qx >j f^q , Pn1 bn ,q,(qx(+x)n) 2 Cl [qx].

63

Soit O^f;q (s)(
q) le sous-espace de O^f;q (s) tel que
q (O^f;q (s)(
q))  O^f;q(s).

Theoreme 6.2.1 : Soit
q 2 Cl [qx;  ]. Soient s 2 IR et  = 1=s pour s 6= 0,  = 1 pour s = 0.  L'operateur
q : K^ f;q (s) ,! K^ f;q (s) est de Fredholm, d'indice egal a q;s(
q ) = ,q , ordo1 ();  L'operateur
q : O^f;q (s)(
q ) ,! O^f;q(s) est de Fredholm, d'indice egal a +q;s(
q ) = ,ordo1 () , dq . Demonstration : Soit f^q = Pnn an ,q,(qx(+x)n) 2 K^ f;q (s) (n0 2 ZZ) : sa transformee de q -Mellin

formelle IMq (f^q ) = Pnmax(n ,1;0) ,qa(nn+1) (tq; q)n appartient a Cl~ q;s[[t]] et IMq (K^ f;q (s)) =Cl~ q;s[[t]]. Le diagramme IMq x ^ 0 ,! Cl [q ] ,! Kf;q (s) ,! Cl~ q;s[[t]] ,! 0
q #
q # # M^ q (
q) 0 ,! Cl [qx] ,! K^ f;q (s) ,! Cl~ q;s[[t]] ,! 0 IMq etant commutatif,
q : K^ f;q (s) ,! K^ f;q (s) est de Fredholm, d'indice egal a la somme de l'indice de
q : Cl [qx] ,! Cl [qx] plus celui de IMq (
q) :Cl~ q;s[[t]] ,! Cl~ q;s[[t]], d'ou le resultat. 0

+1

0

L'indice de
q : O^f;q (s)(
q) ,! O^f;q (s) s'etablit comme dans le prec edent paragraphe et + ^ ^ est egal a q;s(
q ) = ,ordo1 () , ds ou ds = dim Of;q (s)=Of;q (s)(
q ) = dq .

7. Transformee de q-Laplace formelle 7.1. De nitions Pour Re(x) > 0 et n 2 IN,

1 = Z +1 e,tx tn dt: xn+1 ,(n + 1) 0

Plus generalement, A. Barkatou et A. Duval de nissent une transformee de Laplace formelle : X X f^(x) = anx,(+n+1) ,! ^(z) = ,( +ann + 1) z+n: n0 n0 Pour de nir uneR transformee de q-Laplace formelle, nous allons donner un q-analogue de la relation ,(x) = 01 e,ttx,1dt. Pour Re(x) > 0 et 0 < q < 1, ,q (x) = (q; q)1(1 , q)1,x 64

1 q nx X : n=0 (q ; q )n

Or

(q;q)1 (q;q)n

= (qn+1; q)1 donc pour Re(x) > 0 (1 , q),xqn(x,1)(qn+1; q)1qn ,q (x) = (1 , q) P1 n =0 q n x, n+1 n P1 qn x,1 qn n = P1 n=0 (1,q)x, (q ; q )1 q = n=0 ( 1,q ) ( 1,q q (1 , q ); q )1q (

1)

1

et

Z

,q (x) =

En particulier, ,q (n + 1) = Z qx 0

R

0

1

,q tn (tq (1

1

0

1

1 (1

,q ) n  Exp

1

,q x,1 t (tq(1

, q); q)1dq t:

, q); q)1dq t: Par le changement de variable t 7! qx :

q (,qq

x)d

qt = q

,x(n+1) ,

q (n + 1)

ou Expq (x) = (,(1 , q)x; q)1 pour jqj < 1. Il est donc naturel de de nir une transformation de q-Laplace formelle par Z q,,xq LLq (F^q )(x) = F^q ()Expq (,qx+1)dq t 1

0

et alors

q,x(n+1),q (n + 1) = LL(n )(x): De nition 7.1.1 : Soit f^q (x) = Pn0 an q,x(+n+1). Sa transformee de q-Laplace formelle est la serie X an z+n : LLq (f^q )(z) = , (  + n + 1) q n0 P P Remarque : Soit f^q (x) = n0 anq ,x(n+1) 2 q ,xCl [[q ,x]] et F^q (x) = LLq f^q = n0 ,q (ann+1) z n 2 Cl [[z ]]. Comme ,q (n + 1) = (1(q,;qq))nn : Si jqj < 1 : ; q)1 : ,q (n + 1) = (q(nq+1; q;)q1) (1 ,1 q)n n!+1 (1(q, q)n 1 Si jqj > 1 : n n, 1 = (p; p)1 (,1)n q n n 1 ,q (n + 1) = (p; p)n (,q)nq (1 , q)n (pn+1 ; p)1 (1 , q)n n!+1 (1(p;,p)q1)n (,1)nq n n : Donc LLq : q,xCl [[q,x]]q;s ,! Cl [[z]]q;s si jqj < 1 et LLq : q,xCl [[q,x]]q;s+1 ,! Cl [[z]]q;s si jqj > 1. (

2

1)

( +1) 2

( +1) 2

De nition 7.1.2 : Soit
q 2 Cl [qx;  ]. Sa transformee de q-Laplace1,formelle est  q 1 , 1 x l'operateur Lq 2 Cl [z ; p; q] image de
q par la correspondance q 7! z 1,q ,  7! pp. 65

Remarque : LLq (qx ) = qx = pqx.

1 1,q p z 1,q p

=

p 1 1,q z (p

, 1) = p 1z p 11,,qq = p2p 1z 11,,qq = LLq (pqx) et

Remarque : De nissons formellement la transformee de q-Laplace formelle par la q -integrale (jqj < 1)

f^q (x) =

Z

1

qx (1,q)

0

X F^q ()((1 , q)qx+1; q)1dq  = ql,xF^q 1

l=0



ql,x 1,q



(ql+1; q)1:

Alors  f^q(x) = P1l=0 ql,x,1F^q ( ql1,,x,q )(ql+1; q)1 = p P1l=0 ql,xp(F^q )( q1l,,qx )(ql+1; q)1 = LLq (pp(F^q )) et ql,x q l ,x l+1 LLq ( 1 11,,qq (F^q)) = P1 l=0 (F^q ( 1,q ) , F^q ( 1,q ))(q ; q )1 P P l , x ql,x l q 1 l+1 = 1 l=0 F^q ( 1,q )(q ; q )1 , l=1 F^q ( 1,q )(q ; q )1 = F^q ( 1q,,xq ) + P1l=1 F^q ( q1l,,qx )(ql+1; q)1ql = qxf^q (x): 1

+1

7.2. Solutions formelles Proposition 7.2.1 : Pour tout operateur
q 2 Cl [qx;  ] et pour toute serie formelle P f^q (x) = n0 anq,x(+n+1), LLq (
q f^q ) = LLq (
q )LLq (f^q ). Demonstration : Il sut de montrer le resultat pour
q =  j (q x)i et f^q (x) = q ,x(+1) pour tous i; j 2 IN et  2 Cl .

Comme
q f^q = q,j(,i+1)q,x(,i+1), LLq (
q f^q ) = q,,q (j,,ii+1) z,i. D'autre part, LLq (f^q ) = 1  j 1 1,q i ,q (+1) z et LLq (
q ) = (pp ) ( z 1,q ) . La proposition se montre alors aisement par recurrence sur i et j . The1oreme 7.2.2P: Soient
q 2 Cl [qx;  ], f^q (x) = Pn0 anq,x(n+1) une serie formelle en qx et g^q (x) = n0 bnq,x(n+1) q-Gevrey d'ordre 1 si jqj > 1 (resp. q-Gevrey d'ordre 0 si jqj < 1). Alors si jqj > 1, f^q est q-Gevrey d'ordre 1 ou il existe un unique s > 0 optimal tel que f^q soit q-Gevrey d'ordre s + 1 (resp. f^q est q-Gevrey d'ordre 0 ou il existe un unique s > 0 optimal tel que f^q soit q-Gevrey d'ordre s). (

+1)

Demonstration : On vP eri e P d'une part que Lq agit sur Cl [[z]]. J D'autre part, si
q = j=0 Kk=0 k;j  k (qx)j alors

Lq =

J X K X j =0 k=0

k;j pk pk =



1 1,q z 1 ,q

j J X K X X j =0 k=0 i=0

J X K j X = k;j pk ((1p;,p)qj,)j1 qkj z,j pk (1 , q )j j =0 k=0

k;j pk ((1p;,p)jq,)1j qkj 66

! j (,1)iz,j i,k q i

=

,k J X K jX X j =0 k=0 i=,k

k;j pk ((1p;,p)qj,)j1 qkj =

avec

i;j =

J X

J X

i=,K j =max(0;i)

min(X K;j ,i)

k=max(0;,i)

! j (,1)i+k z,j i q i+k i;j z,j qi

k;j pk ((1p;,p)qj,)j1 qkj

! j (,1)i+k i+k

et avec la convention (p; p)j,1 = 1 si j = 0. On etablit aisement que Lq est un operateur de Fredholm dans les espaces Cl [[z]]q;s. Les indices s'expriment a l'aide d'un polygone de Newton au sens q-dierences [7]; on etend la de nition aux termes de la forme zk qi avec k et i 2 ZZ. En raisonnant comme en 4.2.4, on de nit un nouveau polygone de Newton :

De nition 7.2.3 : Soit
q 2 Cl [qx;  ]. Son q-Laplace polygone de Newton est par de nition l'enveloppe convexe des points (,kj++; ,j ) et (j , kj,; ,j ) tels que j = 0 : : : J , , ,j = fk = 0; : : :; K jk;j = 6 0g 6= ;, kj = min ,j et kj = max ,j . Le theoreme 7.2.2 s'etablit en considerant Lq , F^q et G^q les transformees de q-Laplace formelles respectives de
q, f^q et g^q .

67

References bibliographiques [1] A. Barkatou, A. Duval, Sur les series formelles solutions d'equations aux dierences polynomiales, Annal. Inst. Fourier, 44 (1994), 495-524. [2] J.-P. Bezivin, Sur les equations fonctionnelles aux q-dierences. Preprint Paris VI (1990). [3] G. Gasper, M. Rahman, Basic Hypergeometric Series. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, G.C. Rota ed., Vol. 35 (1990). [4] W. Hahn, Uber die Funktional-dierentialgleichung f 0(z) = f (qz) und verwandte Funktionalgleichungen. Ann. Univ.Sc. Budapest, Eotvos Sect. Math. (1973), p.3-21. [5] B. Malgrange, Sur les points singuliers des equations dierentielles. L'Enseignement Mathematique, tome 20, n1-2 (1974),p. 147-176. [6] F. Naegele, Theoremes d'indices pour les equations q-dierences-dierentielles, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 317, Serie I, p. 579-582,1993. [7] J.-P. Ramis, Theoremes d'indices Gevrey pour les equations dierentielles ordinaires. Memoirs of the American Mathematical Society n296, volume 48 (1984). [8] J.-P. Ramis, About the growth of entire functions solutions of linear algebraic q-dierence equations. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse. Serie 6, Vol. I,n1, 1992.

68

Chapitre 3 Un algorithme de resommation de series formelles solutions d'equations dierentielles ordinaires lineaires 1. Introduction Les solutions fondamentales formelles au voisinage de l'origine (la singularite est supposee ^etre en x = 0) d'equations dierentielles lineaires homogenes a coecients polynomiaux sont de la forme  exp(Q(1=x q ))x q f^(x q ) ou Q est un polyn^ome, q 2 IN,  est un nombre algebrique et f^(x) = f^0(x) + f^1(x) log(x) +


+ f^m (x) logm(x) 1

1

(f^0(x); : : : ; f^m(x) sont des series formelles). Toutes les informations relatives a ces solutions (en particulier les coecients des series formelles f^0(x); : : :; f^m(x)) sont donnees par le logiciel DESIR [8,19]. Les series formelles obtenues sont en general divergentes dans le cas d'une singularite irreguliere. Nous nous proposons de calculer leur somme. La theorie de la k-sommabilite et de la multisommabilite developpee par J. Ecalle, B. Malgrange et J.-P. Ramis [10,11,112] a permis une premiere mise en oeuvre d'algorithmes de calcul de la somme de series divergentes. Des methodes speci ques pour le calcul des sommes des series k-sommables ont ete elaborees [16,17], ainsi qu'un algorithme de multisommation utilisant l'acceleratrice d'Ecalle [18]. Ce dernier procede repose actuellement sur la possibilite d'obtenir une evaluation simple de cette acceleratrice dans certains cas. W. Balser preconise un procede mathematique explicite pour obtenir la somme d'une serie formelle multisommable dans le cas general [1,2,4]. Il s'agit d'une methode d'iteration de transformees de Borel puis de transformees de Laplace. Mon travail consiste, en collaboration avec J. Thomann, a transformer ce procede en un algorithme formel-numerique de calcul effectif. Apres une premiere tentative fructueuse de faisabilite (avec le processeur AXIOM et le langage FORTRAN) [9] sur l'exemple expose ci-apres, il s'agissait d'elaborer un instrument de travail souple et general base sur des speci cations informatiques simples et ecaces. Pour ce faire, la participation au projet europeen CATHODE (Computer Algebra Tools for Handling Ordinary Dierential Equations) nous a permis de degager les primitives informatiques necessaires a la realisation de l'algorithme de Balser en les integrant aux autres primitives de nies dans ce groupe de travail. 69

Ainsi, nous utilisons d'une part les polyn^omes d'Ore implantes par M. Bronstein pour representer une serie formelle, soit par une equation aux dierences dont est solution la suite des coecients generant cette serie, soit par une equation dierentielle admettant cette serie comme solution. Nous avons d'autre part besoin des primitives graphiques elaborees par C. Dicrescenzo et F. Jung dans le logiciel Compas et par F. Jung dans sa these [14; 15], pour pouvoir visualiser a tout moment les resultats, changer de chemin d'integration, etc. L'un des exemples sur lequel nous allons illustrer notre travail est le suivant. Considerons l'equation de Ramis-Sibuya [13]

Dy = 4x + 2x2 + 10x3 , 3x4 ou D est l'operateur dierentiel

d2 + x2(4 + 5x2 , 2x3) d + 2(2 , x + x2): D = x5(2 , x) dx 2 dx La serie formelle f^(x) = Pn0 anxn ou ( a2p = (2p)! a2p+1 = ,(2p + 1)! + (,1)pp! est formellement solution de l'equation dierentielle.

2. Resultats theoriques 2.1. Notations Nous reprenons les notations utilisees par W. Balser [1]. Un secteur de la surface de Riemann du Logarithme est un ensemble de la forme S = S (d; ; ) = fx = rei j 0 < r < ; d , 2 <  < d + 2 g ou d 2 IR,  > 0,  > 0 ou  = +1. Un secteur ferme est un ensemble de la forme S = S(d; ; ) = fx = rei j 0 < r  ; d , 2    d + 2 g ou d 2 IR,   0,  > 0. L'algebre dierentielle Ak (S ) (k > 0) est l'ensemble des fonctions f analytiques dans le secteur S et admettant une serie formelle f^ = Pn0 anxn comme developpement asymptotique d'ordre k, c'est-a-dire :   8S1  S; 9C; K > 0; 8N 2 IN; 8x 2 S1; jrf (x; N )j  CK N , 1 + Nk 70

ou rf (x; N ) = x,N (f (x) , PNn=0,1 anxn). Notation : f (x)  =k f^(x) dans S .

2.2. La k-sommabilite et la multisommabilite Nous ne donnons ici que les notions qui seront utiles par la suite. Pour davantage de renseignements, se reporter par exemple a [3,10,11,12].

De nition 2.2.1 : Soient k > 0, d 2 IR et f^ 2 Cl [[x]]. La serie formelle f^ est ksommable dans la direction d s'il existe un secteur S = S (d; ; ) d'ouverture  > k et une fonction f 2 Ak (S ) tels que f (x) =k f^(x) dans S . La fonction f est unique et est appelee la somme de f^. L'ensemble des series k-sommables dans la direction d est note Cl fxgk;d.

De nition 2.2.2 : Soient k1 > k2 > : : : > kr > 0 et d 2 IR une direction issue de l'origine. La serie formelle f^ est (k1; : : : ; kr )-sommable dans la direction d si elle s'ecrit sous la forme f^ = f^1 +


+ f^r avec f^l 2 Cl fxgkl;d pour l = 1; : : : ; r. La somme de f^, de nie sur un secteur bissecte par d et d'ouverture > k , est alors egale a f1 +


+ fr ou fl est la somme de f^l dans la direction d (l = 1; : : : ; r). 1

Remarque : Les series f^l(x) peuvent ^etre eventuellement rami ees (series en x m , m 2 IN ). Une serie formelle rami ee f^(x m ) 2 Cl [[x m ]] est dite (k1; : : : ; kr )-sommable dans la direction d si la serie f^(x) 2 Cl [[x]] est (mk1; : : :; mkr )-sommable dans la direction md . 1

1

1

Si une serie est (k1; : : :; kr )-sommable dans la direction d, alors elle l'est dans les directions d + 2k, k 2 ZZ. Une serie formelle est (k1; : : :; kr )-sommable si elle est (k1; : : :; kr )-sommable dans toutes les directions sauf en un nombre ni de directions (modulo 2), appelees directions singulieres.

Theoreme 2.2.3 (J.P. Ramis) : Soit f^ 2 Cl [[x]] une serie formelle solution de l'equation dierentielle lineaire ordinaire a coecients polynomiaux D(f^) = 0. On suppose que le polyg^one de Newton de l'operateur D admet r pentes strictement positives k1 > k2 > : : : > kr > 0. Alors f^ est (k1; : : : ; kr )-sommable. De plus, la somme de f^ dans une direction non singuliere d est solution de l'equation dierentielle D(f ) = 0. Remarque : Si le polygone de Newton n'a qu'une pente strictement positive k , alors f^(x) est k-sommable. Exemple de Ramis-Sibuya : On se ramene a une equation dierentielle homogene en derivant 1=(4x +2x2 +10x3 , 3x4)Dy = 1. La serie formelle f^(x) est alors solution de l'equation D0y = 0

71

ou D0 est l'operateur

d3 + (,16x3 +


+ 12x9 ) d2 D0 = (8x6 + 18x8 , 16x9 + 3x10) dx 3 dx2

d + (,16 +


+ 12x5 ): +(16x +


+ 6x8) dx Le polygone de Newton associe a l'operateur D0 est represente sur la gure 1.

O




2


,1 , ,

Figure 1 : Polygone de Newton associe a D0 La serie formelle f^(x) est par consequent (2; 1)-sommable. Remarque : Il n'est pas necessaire de se ramener a une equation homogene pour conna^tre les pentes strictement positives du polygone de Newton, et donc les reels de nissant la multisommabilite. Ces pentes > 0 sont en eet les m^emes que celles du polygone de Newton associe a D car :  Multiplier un operateur par un polyn^ ome de valuation l 2 IN a pour eet de translater le 2 polygone de Newton : (u; v) 2 IR ! (u; v + l);  Diviser un operateur par un polyn^ome de valuation l 2 IN a pour eet de translater le polygone de Newton : (u; v) 2 IR2 ! (u; v , l);

 Deriver un operateur ((a dxdii ! a0(x) dxdii + a(x) dxdii ) a pour eet de translater le polygone de Newton :(u; v) 2 IR2 ! (u + 1; v , 1). Lemme P2.2.4 : Soient k > 0 et d 2 IR une direction issue de l'origine. Soit f^(x) = n0 anxn 2 Cl fxgk;d. On suppose que a0 = 0. La serie formelle x,1f^(x) est alors k-sommable dans la direction d. Demonstration : Soient S = S (d; ; ) ( > =k) et f 2 Ak (S ) tels que f (x)  =k f^(x) dans S . +1

+1

Soit g^(x) = x,1f^(x) = Pn0 an+1xn . On va montrer que g(x) = x,1f (x) admet g^(x) comme developpement asymptotique d'ordre k dans S . 72

Soit S1  S : il existe C; K > 0 tels que pour tout N 2 IN et pour tout x 2 S1, jrf (x; N )j  CK N ,(1 + Nk ). Or   r (x; N ) = x,N g(x) , PN ,1 a xn = r (x; N + 1) g

n=0 n+1

f

donc pour tout S1  S , il existe C; K > 0 tels que pour tout N 2 IN et pour tout x 2 S1 :  + Nk+1 )  jrg (x; N )j  CKK N , 1 + Nk ,(1 ,(1 + Nk ) Or ,(1 + Nk+1 )  N  k ,(1 + Nk )  k ~ K~ > 0 (dependantes et pour N > 0, ( Nk ) k  k, k (exp( k1 ))N . Il existe donc deux constantes C; de S1) telles que 8N 2 IN, 8x 2 S1, jrg(x; N )j  C~ K~ N ,(1 + Nk ): Lemme 2.2.5 : Soient k > 0 et d 2 IR. Soit f^(x) = Pn0 anxn 2 Cl fxgk;d. On suppose que a0 = a1 = : : : = aq,1 = 0 (q 2 IN). La serie formelle x,q f^(x) est alors k-sommable dans la direction d. 1

1

1

Demonstration : Pour q = 1, il s'agitP du lemme precedent. Supposons que ce lemme soit veri e jusqu'a l'entier q. Soit f^(x) = n0 an xn 2 Cl fxgk;d telle que a0 = a1 = : : : = aq = 0. D'apres l'hypothese de recurrence, la serie formelle g^(x) = x,q f^(x) 2 Cl fxgk;d. Or le terme constant de g^(x) est nul. En utilisant le lemme 2:2:4, la serie x,1g^(x) = x,(q+1)f^(x) 2 Cl fxgk;d. . Soit f^(x) = P a xnq 2 Cl fxg . Lemme 2.2.6 : Soient k > 0 , d 2 IR et q 2 IN k;d n0 n Alors la serie g^(x) = Pn0 anxn est kq - sommable dans la direction qd. Demonstration : Soient S = S (d; ; ) ( > =k) et f 2 Ak (S ) tels que f (x)  =k f^(x) dans S . Considerons le secteur S~ = fx 2 Cl jx q 2 S g = S (qd; q; q) d'ouverture q > k~ (k~ = kq ). Soit 1

g(x) = f (x q ) : g(x) est analytique dans S~. Soit S~1  S~. Soit S1 = fx 2 Cl j xq 2 S~1g. Il existe C; K > 0 tels que pour tout N 2 IN et pour tout x 2 S~1 :     jrg (x; N )j = jrf (x q ; Nq)j  CK Nq, 1 + Nqk = C (K q )N , 1 + Nk~ Lemme 2.2.7 : Soient  2 IN et f^(x) =PPn0 anxn une serie formelle k-sommable. Soient q 2 IN (0  q   , 1) et f^q (x) = n0 an+q xn . Soit  = 2 . Si d; d + ; : : :; d + ( , 1) sont des directions non singulieres pour f^(x), alors les series f^q (x) sont k  -sommables dans la direction d. 1

1

73

Demonstration : Soit g^q (x) = Pl=0,1 e,iql f^(xeil ) = Pn0 (Pl=0,1 e,il(n,q))an xn .

Soit n = Pl=0,1 e,il(n,q) = Pl,=0,1n(e,,q i(n,q))l. Si e,i(n,q) =P1, c'est-a-dire n = q+m ou m 2 IN, alors n = . Sinon, n = 11,,ee,  n,q = 0. Donc g^q (x) = m0 aq+mxq+m = xq f^q (x). i (

i (

)

)

La serie formelle f^(x) est k-sommable dans la direction d. Etant egalement k-sommable dans la direction d + , la serie f^(xei ) est egalement k-sommable dans la direction d. De m^eme, pour l = 0; : : : ;  , 1, les series f^(xeil) sont k-sommables dans la direction d. Donc g^q (x) 2 Cl fxgk;d. D'apres le lemme 2:2:5, la serie x,q g^(x) est k-sommable dans la direction d. Le lemme 2:2:6 permet alors de conclure.

2.3. Methode des transformees de Laplace iterees (W. Balser) Nous allons donner maintenant un procede explicite qui va nous permettre de calculer la somme d'une serie multisommable. Dans le cadre particulier de la k-sommabilite, la de nition 2.2.1 est equivalente a :

De nition 2.3.1 : Soient k > 0 et d 2 IR. La serie formelle f^(x) est k-sommable dans la direction d si sa transformee de Borel formelle ^ = B^k (f^) d'ordre k (de nie par B^k (x)(t) = t,k =,( k )) est convergente et si sa somme se prolonge analytiquement en une fonction  holomorphe et a croissance exponentielle d'ordre au plus k sur un secteur ouvert bissecte par d. Alors Z f (x) = (t) exp(,( xt )k )d(tk ) d

est la somme de f^ dans la direction d, au sens de la k-sommabilite. Proposee par W. Balser [1,2,4], la methode de calcul de la somme d'une serie multisommable repose sur le principe des transformees de Laplace iterees (et de Borel iterees) et decoule de la proposition suivante :

Proposition 2.3.2 : Soient k1 > : : : > kr > 0 (r  2) et d 2 IR. Soit f^(x) une serie formelle. Les conditions suivantes sont equivalentes : (i) La serie formelle f^(x) est (k1 ; : : :; kr )-sommable dans la direction d (ii) Soient k~1 ; : : :; k~r,1 > 0 de nis par 1=k~j = 1=kj+1 , 1=k1 , j = 1; : : : ; r , 1. La serie formelle ^ = B^k (f^) est (k~1; : : :; k~r,1 )-sommable dans la direction d. De plus, la somme  de ^ peut ^etre prolongee analytiquement sur un petit secteur bissecte par d et de rayon in ni sur lequel elle a une croissance exponentielle d'ordre au plus k1 . 1

Par recurrence, W. Balser en deduit le theoreme :

Theoreme 2.3.3 (W. Balser) : Soit f^ une serie (k1; : : : ; kr )-sommable. Soit d une direction non singuliere. Soient 1; : : :; r > 0 de nis par 1=1 = 1=k1 et 1=j = 74

1=kj , 1=kj,1 , j = 2; : : : ; r. La somme de f^ dans la direction d est egale a L :d : : : Lr :dS B^r : : : B^ f^ 1

1

ou :d est le prolongement analytique le long de d, S est la somme de la serie formelle convergente, B^ est la transformee de Borel formelle d'ordre  (B^(x)(t) = ,(t,) ) et R L est la transformee de Laplace d'ordre  (L (f )(x) = d f (t) exp(,( xt ))d(t)). De nition 2.3.4 : Soient 1; : : :; r > 0. Soient k1 > : : : > kr de nis successivement par 1=k1 = 1=1 et, si r  2, par :

1 = 1 + 1 ; l = 2; : : : ; r kl l kl,1 Une serie formelle est (1; : : : ; r) , iL sommable si elle est (k1; : : :; kr )-sommable.

La notation "iL" (pour "iterated Laplace") signi e que les reels 1; : : : ; r sont les ordres des transformees de Laplace iterees.

Theoreme 2.3.5 : Soient 1; : : : ; r > 0 (r  2). Si g^(x) est (1; : : :; r ) , iL sommable dans la direction d 2 IR alors la transformee de Borel formelle B^ (^g) est (2; : : :; r ) , iL sommable dans la direction d. 1

Demonstration : La serie formelle B^ (^g) est (k~1 ; : : :; k~r,1)-sommable dans la direction d (proposition 2.3.2.), c'est-a-dire (~1; : : :; ~r,1) , iL sommable ou ~j = j+1 (j = 1; : : : ; r , 1). 1

Pour calculer la somme d'une serie formelle f^(x) (1; : : : ; r ) , iL sommable on procede donc de la facon suivante. Posons f^1 = f^, et f^j+1 = B^j (f^j ) pour j = 1; : : :; r , 1. Chaque serie formelle f^j+1 est (j+1 ; : : :; r ) , iL sommable (theoreme 2:3:5). La serie f^r etant (r ),iL sommable, c'est-a-dire r -sommable, sa transformee de Borel d'ordre r f^r+1 = B^r (f^r ) (dernier niveau) est convergente a l'origine et peut ^etre prolongee analytiquement le long d'une direction non singuliere d en une fonction holomorphe a croissance exponentielle d'ordre au plus r sur un secteur bissecte par d (de nition 2.3.1). En iterant les transformees de Laplace

Z

  fj (x) = Lj (fj+1)(x) = fj+1(t) exp ,( xt )j d(tj ) d

et en remontant dans les plans de Borel (c'est-a-dire en passant du niveau j = r jusqu'au niveau j = 1), nous obtenons la somme f1(x) = f (x) de f^(x) sur un secteur convenable bissecte par d. L'algorithme formel calcule les transformees de Borel formelles d'ordre rationnel j et donne une equation dierentielle dont est solution chaque serie formelle f^j pour j = 2; : : : ; r + 1. 75

Le prolongement analytique de chaque fonction fj est realise par des methodes d'integration numeriques (methode de Runge-Kutta par exemple) a partir de conditions initiales donnees par l'integrale Z   fj+1(t) exp ,( xt )j d(tj ) d et calculees par des quadratures de Gauss-Laguerre (ce sont des conditions initiales numeriques). La fonction fj+1 a ete precedemment calculee par la m^eme methode, exception faite du dernier niveau pour lequel les conditions initiales a partir desquelles est eectue le prolongement analytique se lisent directement a partir des coecients de la serie formelle convergente f^r+1 et sont donc exactes. La gure 2 decrit le procede des transformees de Laplace iterees (C.I.F., resp. C.I.E., signi e Conditions Initiales Floues, resp. Conditions Initiales Exactes).

f^ = f^1 B^

(


D

D + C:I:F: -


D

D + C:I:F: -

f1 = f 6L f2

f^j
D B^j ? ( f^j+1
D

D + C:I:F: -

fj

D + C:I:F: -

fj+1

f^r
D B^r ? ( f^r+1
D

D + C:I:F: -

fr

D + C:I:E: :d

fr+1

1

f^2

(?

(?

(?

1

6

6Lj 6 6Lr

Figure 2 : Transformees de Laplace iterees La precision doit ^etre contr^olee a chaque niveau. En eet, les fonctions fj sont solutions d'equations dierentielles (les m^emes que celles dont sont solutions les series formelles f^j (x)), determinees exactement a partir d'algorithmes formels. Mais les conditions initiales sont calculees par des algorithmes numeriques (sauf pour le dernier niveau). 76

2.4. Polyn^omes d'Ore Nous avons besoin d'outils de bases pour implanter la partie formelle de l'algorithme de Balser, a n de calculer des transformees de Borel de series formelles, des transformees de Mellin d'operateurs aux dierences pour obtenir les equations dierentielles dont sont solutions les transformees de Borel a chaque niveau. Plus generalement, nous avons besoin d'outils permettant d'eectuer des operations algebriques elementaires, des homographies, des rami cations et des factorisations sur les operateurs dierentiels ou aux dierences. Les operateurs dierentiels et aux dierences peuvent ^etre interpretes comme des polyn^omes d'Ore non commutatifs. L'algebre des polyn^omes d'Ore a ete implantee en Axiom et A# par M. Bronstein, en Maple par T. Mulders, pour un endomorphisme  et une application  : k ! k tels que (a + b) = a + b et (ab) = (a)(b) + (a)b pour tous a; b 2 k (k est un corps). Si x est une indeterminee sur k, l'anneau des polyn^omes d'Ore est l'anneau, note k[x; ; ], des polyn^omes en x a coecients dans k, muni de l'addition usuelle; la multiplication est de nie par xa = (a)x + a (a 2 k), etendue aux mon^omes par (axn)(bxm) = (axn,1)((b)xm+1 + bxm) (n > 0; a; b 2 k) et aux polyn^omes par X X XX i j ( aixi)( bj xj ) = (ax )(bj x ): i

j

i

j

Nous allons a present voir comment on peut faire agir les polyn^omes d'Ore sur un corps k ou une extension de corps de k (pour de plus amples details et pour les demonstrations, on se reportera a [6]). Soit V un espace vectoriel sur k.

De nition 2.4.1 : Un application  : V ! V est dite k-pseudo lineaire relativement a  et  si : 8u; v 2 V; a 2 k, (

(u + v) = u + v (au) = (a)u + au Lemme 2.4.2 : Toute application k-pseudo lineaire est Const; (k)- lineaire, ou Const; (k) = fa 2 kj(a) = a; a = 0g.

Soit  une application k-pseudo lineaire. On peut faire agir les polyn^omes d'Ore sur V par l'application  : kP[x; ; ]  V ! P V ( ni=0 aixi ; u) 7! ni=0 aii u Lemme 2.4.3 : Si K est une extension de corps de k compatible avec k, pour tout c 2 K , l'application c : K ! K de nie par ca = c(a) + a est Const;(K )-lineaire et 77

K -pseudo lineaire. Si c = 0 ,  = 1 et si  est un operateur de derivation D, ca = Da. Si c = 1,  = 0 et si  est l'operateur de translation  , ca = a. Tout operateur dierentiel lineaire ordinaire dont les coecients sont des fractions de polyn^omes en  et a coecients dans un anneau R peut se mettre sous l'une des formes canoniques suivantes :  Pqi=0 ai()( dd )i  Pq b ()i ou  est l'operateur d'Euler  =  d

 

i=0 i Pq ( d )i  ( ) i=0 d i Pq i () i=0 i

d

Les deux premiers operateurs peuvent ^etre consideres respectivement comme des elements des anneaux d'Ore k[x; 1;0 ] (resp. k[x; 1; ]) ou 0 = dd . Les deux derniers operateurs peuvent egalement ^etre consideres comme des polyn^omes d'Ore, mais dont les coecients sont a droite. Nous pouvons egalement de nir des formes canoniques pour des operateurs aux dierences. Tout operateur lineaire aux dierences dont les coecients sont des polyn^omes en j a coecients dans un anneau R peut se mettre sous l'une des formes canoniques suivantes :  Pri=0 Pql=0 ai;lj l i ou  est l'operateur de translation de pas +1  Pri=0 Pql=0 bi;lj li ou  est l'operateur  , 1  Pri=0 Pql=0 i;l ij l  Pri=0 Pql=0 i;li < j >l ou < j >l= j (j + 1) : : : (j + l , 1) l > 0 et < j >0= 1 La premiere forme est utilisee pour de nir le  -polygone de Newton, la deuxieme pour de nir le -polygone de Newton [5]. La transformee de Mellin d'unPoperateur ecrit sous la troisieme P q r forme la quatrieme forme) est l'operateur dierentiel i=0 l=0 i;li l (resp. Pr P(resp. q (,1)l  i+l ( d )l ). i;l i=0 l=0 d

3. Outils formels A chaque niveau de l'algorithme nous aurons besoin de scinder des series formelles, de conna^tre leur transformee de Borel formelle et de chercher des equations dierentielles. Toutes ces operations vont ^etre eectuees par des algorithmes formels.

78

3.1. De nition du concept de serie formelle

Une serie formelle f^(x) = Pj0 aj xj est de nie des que les coecients (aj )j0 le sont. Nous nous placons dans le cadre des equations aux dierences nies; la suite des coecients (aj )j0 est solution d'une equation aux dierences nies a coecients polynomiaux de la forme : ( Pr (j )aj+r = 0 ; j   (
) Pa 0;(:j:):;aja+


+donn es 0 m,1 ou P0(j ); : : : ; Pr (j ) sont des polyn^omes en j a coecients algebriques; r 2 IN est le degre de l'equation aux dierences,  2 IN, m = +r et a0; : : :; am,1 sont les premiers termes algebriques de la suite (egalement appeles conditions initiales). Nous supposons de plus que P0(j ) et Pr (j ) ne sont pas identiquement nuls. Si Pr (j ) n'admet pas de zero entier superieur ou egal a , chaque coecient aj peut ^etre calcule exactement et l'equation (
) represente la serie formelle f^(x). Premiere remarque : Cette de nition nous permet de donner plus de conditions initiales que les r necessaires. S'il existe j0 2 IN tel que Pr (j0) = 0, le coecient aj +r ne peut pas ^etre calcule a partir de l'equation aux dierences. Il est donc interessant de pouvoir donner davantage de premiers termes (les j0 + 1 + r premiers) a n de n'utiliser l'equation aux dierences qu'a partir de j  j0 + 1. 0

Seconde remarque : Une serie formelle du type precedent ( = m , r > 0) peut aussi s'ecrire

(

0:a0 + : : : + 0:aj+,1 + P0 (j + )aj+ +


+ Pr (j + )aj++r = 0; j  0 a0; : : : ; am,1 donnes

Nous aurions donc egalement pu de nir les series formelles par des equations aux dierences de la forme ( 0(j )aj +


+ Qr (j )aj +r = 0 ; j  0 (
) Q a ; : : : ; a donnes 0

r ,1

Le coecient Q0(j ) peut dans ce cas ^etre identiquement nul.

3.2. Passage d'une equation aux dierences a une equation dierentielle puis a un systeme dierentiel Pour calculer le prolongement analytique par une methode de quadrature de type Runge-Kutta d'une fonction f (x) le long d'une direction d nous avons besoin de conna^tre une equation dierentielle dont est solution f (x). Si f (x) est la somme d'une serie formelle multisummable f^(x) dont nous savons qu'elle est solution formelle d'une equation dierentielle, alors f (x) est egalement solution de cette equation. Il nous reste donc a determiner une equation dierentielle satisfaite par une serie formelle de nie par une equation aux dierences. 79

Considerons une serie formelle f^(x) representee par l'equation aux dierences ( Pr (j )aj+r = 0 ; j   (
) Pa 0;(:j:):;aja+


+donn es 0 m,1 ou Pi (j ) = Ppl=0 i;lj l; i = 0; : : : ; r;  2 IN et m =  + r. Soit Dt la transformee de Mellin formelle de l'operateur aux dierences : p r X  l X Dt = i;l ,t dtd ti; t = x1 i=0 l=0 et Dx = Pri=0 Ppl=0 i;l(x dxd )lx,i: On etablit aisement que Dx(f^) = Pl=,,1r pl xl, les coecients pl dependants des conditions initiales a0; : : :; am,1. En utilisant l'identite (x dxd )lx,i = x,i(,i + x dxd )l nous obtenons l'equation dierentielle a coecients polynomiaux suivante : p r X ,1  l mX X r,i;lxi i , r + x dxd f^ = pl,r xl i=0 l=0

l=0

La methode de Runge-Kutta que nous utilisons pour eectuer le prolongement analytique integre un systeme dierentiel d'ordre 1 d'une variable reelle. Considerons l'equation dierentielle p X Pl(x)y(l)(x) = Q(x) l=0

ou P0(x); : : :; Pp (x); Q(x) sont des polyn^omes. Supposons que l'on veuille calculer f (x), solution de cette equation dierentielle, le long de la courbe (t). Posons y1(x) = y(x); y2(x) = y0(x); : : :; yp(x) = y(p,1)(x) (les derivees etant prises par rapport a x) et z1(t) = y1( (t)); : : :; zp(t) = yp( (t)). Pour l = 1; : : :; p , 1,

d (z (t)) = 0(t)z (t) l+1 dt l et ,1 P ( (t))z (t) d (z (t)) = 0(t) Q( (t)) , Ppl=0 l l+1 : dt p Pp ( (t)) Le long de la courbe (t), la fonction f (x) veri e le systeme dierentiel d'ordre 1 en la variable t suivant : 20 10 1 0 0 13 0 z (t) 1 0 1 0 0 : : : : : : z ( t ) 66BB 0 CC B z1(t) C BB 0 CC77 BB z12(t) CC 0 1 0 0 : : : 6B CB 2 C B C7 BB : : : CCC 0 66BB : : : : : : : : : : : : : : : : : : CC BBB : : : CCC BB : : : CC77 dB CB C7 = (t): 66B C+B dt B BB : : : CCC 66BBB :0: : :0: : : 0: : :0: : :0: : : 1: : CCC BB : : : CC BBB :0: : CCC777 @ zp,1(t) A 4@ P ( (t)) A @ zp,1(t) A @ Q( (t)) A5 P (

( t )) p , zp(t) zp(t) , Pp( (t)) : : : : : : : : : : : : , Pp ( (t)) Pp ( (t)) 1

0

80

3.3. Scindage d'une serie formelle

La transformee de Borel formelle de niveau  d'une serie formelle f^(x) = Pj0 aj xj , representee par l'equation aux dierences ( Pr (j )aj+r = 0 ; j   (
) Pa 0;(:j:):;aja+


+donn es 0 m,1 j xj , . La pr est de nie par ^() = P ,(aj= esence de la fonction , nous emp^eche de pouvoir ) de nir la suite (aj =,(j=)) par une equation aux dierences polynomiale. Nous sommes ainsi amenes a scinder prealablement la serie formelle f^(x). Soit  2 IN,  6= 0. Soient q 2 IN, 0  q   , 1 et f^q (x) = Pj1 aj+q xj (q-ieme sousserie associee a f^(x)) : f^(x) = (a0 + f^0(x)) +


+ x,1(a,1 + f^,1(x)) Comme nous allons le voir, chaque sous-serie f^q (x) peut ^etre de nie par une equation aux dierences nies a coecients polynomiaux (
q) d'ordre rq  r. Si f^(x) etait representee par une equation aux dierences de la forme Q0(j )aj + Q1(j )aj+ +


+ Qr(j )aj+r = 0 alors chaque equation aux dierences Q0(j + q)aj+q + Q1(j + q)a(j+1)+q +


+ Qr(j + q)a(j+r)+q = 0 de nirait la q-ieme sous-serie (les conditions initiales etant calculees a partir des premiers termes de f^(x) et de son equation aux dierences associee). Il nous reste donc a donner un algorithme permettant de passer formellement d'une equation aux dierences de la forme P0(j )aj +


+ Pr (j )aj+r = 0 a une equation donnant tous les  termes. Considerons le systeme (Sinit) de r( , 1) + 1 equations : ((P0(j + i)aj+i + P1(j + i)aj+i+1 +


+ Pr (j + i)aj+i+r = 0)i=0;:::;r(,1)) Les inconnues de ce systeme sont les termes aj+k tels que  ne divise pas k, c'est-a-dire les termes aj+1; : : : ; aj+,1, aj++1; : : : ; aj+2,1, : : :, aj+(r,1)+1,: : :, aj+r,1. Il y en a r( , 1). Soit (S ) = (Sinit). Notons card(S ) le nombre d'equations de S et Si la i-ieme equation de (S ) (i = 1; : : : ; card(S )).

Algorithme : (S ) := (Sinit); Tant qu'on n'a pas ni faire : 81

 Considerer la premiere equation S1 du systeme (S );  Chercher dans cette equation le plus petit indice k non multiple de  tel que le coecient de aj+k ne soit pas identiquement nul;

 Si un tel k n'existe pas, on a ni (il n'y a plus d'inconnues). Sinon :

{ Construire un nouveau systeme (Saux) a card(S ) , 1 equations en posant (Saux)l,1 := C (1; k)Sl , C (l; k)S1 ou C (1; k) est le facteur de aj+k dans S1 et C (l; k) celui dans

Sl (l = 2; : : : ; card(S )). On a elimine l'inconnue aj+k ; { (S ) := (Saux) L'equation S1 ne comporte plus d'inconnues et est de la forme Q0(j )aj + Q1(j )aj+ +


+ Qr(j )aj+r = 0. Premiere remarque : A chaque etape, le nombre d'equations considerees, ainsi que le nombre d'inconnues, diminue d'une unite. L'algorithme se termine en au plus r( , 1) etapes. Seconde remarque : On de nit le degre d'une equation par l'indice k le plus grand tel que le coef cient de aj+k soit non nul. Initialement, les equations de (S ) sont de degre respectivement egal a r; r + 1; : : : ; r. On montre facilement par recurrence qu'a l'etape i (i = 0; : : : ; r( , 1) , 1), les equations sont de degre r + i; r + i + 1; : : : ; r. L'equation S1 n'est donc pas egale a 0 = 0.

Les sous-series obtenues sont egalement multisommables :

Theoreme 3.3.1 : Supposons que f^(x) est (1; : : :; r ) , iL sommable. Soient  2 IN et f^0(x); : : :; f^,1(x) les  sous-series. Alors chaque sous-serie f^q (x) est (1=; : : : ; r =) , iL sommable. De plus, si d 2 IR est tel que d; d + ; : : : ; d + ( , 1) sont des directions non singulieres pour f^(x) ( = 2=), alors d est une direction non singuliere pour les sous-series. Dans un secteur bissecte par d, la somme f (x) de f^(x) est egale a f (x) = (a0 + f0(x)) + x(a1 + f1(x)) +


+ x,1(a,1 + f,1(x)) Demonstration : On decompose la serie f^(x) en une somme de series f^l (x) kl -sommables (k1 = 1 et 1=kl = 1=l + 1=kl,1 , l = 2; : : :; r). La q-ieme sous-serie associee a f^(x) est egale a la somme sur l des q-iemes sous-series associees a chaque f^l(x). On conclut en utilisant le lemme 2:2:7 pour chaque serie f^l(x) (le lemme 2:2:7 est egalement veri e si les series f^l(x) sont rami ees).

Supposons que les directions singulieres de f^(x) sont donnees par di + 2m, di 2 [0; 2[, i = 1; : : : ; N et m 2 ZZ. Les directions singulieres pour les sous-series sont alors donnees par di + 2m (i = 1; : : :; N et m 2 ZZ). 82

Nous n'appliquons donc pas l'algorithme de Balser sur la serie formelle f^(x) elle-m^eme, mais sur chacune des sous-series. Si 1 est egal a  (1 et 1 etant premiers entre eux), nous scindons f^(x) en 1 sous-series. Chaque sous-serie est alors (1=1 = 1= 1; : : : ; r =1) , iL sommable. 1

1

Le schema ci-dessous decrit le processus de scindage formel S^ applique a une serie formelle f^(x) (1; : : :; r ) , iL sommable (1=1 2 IN). 1

f^(x) (1; : : : ; r ) S^

?

?

f^0(x) (  ; : : :; r )

?

:::

1

1

1

?

f^ ,1 (  ; : : : ; r )

:::

1

1

1

1

1

3.4. Transformee de Borel formelle Ainsi que nous l'avons vu precedemment, nous n'avons besoin de conna^tre les transformees de Borel formelles que d'ordre 1 ou est un entier strictement positif. Soit g^(x) = Pj1 bj xj une serie formelle representee par une equation aux dierences polynomiale (
). La transformee de Borel formelle d'ordre 1 de g^(x) est la serie formelle

X j j,1= 1,1= X bj+1 xj B^1= (^g)(x) = ,(bj x = x ) (j + , 1)! j 1

j 0

Il est aise de voir que la serie formelle ^(x) = Pj0 (j b+j ,1)! xj (notee B~1= (^g)) peut ^etre de nie par une equation aux dierences nies a coecients polynomiaux (B~1= (
)). +1

Theoreme 3.4.1 : Soient 1; : : : ; r > 0 avec 1 = 1= 1, 1 2 IN. Si g^(x) est (1; : : : ; r ) , iL sommable dans la direction d alors la transformee de Borel formelle B^1= (^g ) et B~1= (^g) sont (2; : : : ; r ) , iL sommables dans la direction d. 1

1

Demonstration : La serie B^ 1= (^g) est (2; : : : ; r ) , iL sommable dans la direction d (theoreme 2:3:5). Par suite, B~1= (^g) l'est aussi. 1

1

Le schema suivant decrit la transformation de Borel formelle appliquee a une serie formelle (1; : : :; r ) , iL sommable ( 11 = 1). 83

g^(x) (1; : : :; r )

B~1=

-

1

^(x) (2; : : : ; r )

Remarque : De facon generale, le degre des coecients de l'equation aux dierences de nissant (B~1= (
)) augmente. En d'autres termes, l'equation dierentielle associee (cf 3.2.) est d'ordre plus eleve.

3.5. Transformees de Borel iterees Soit f^(x) une serie formelle solution d'une equation dierentielle a coecients polynomiaux dont le polygone de Newton a deux pentes k1 > k2 > 0. Soient 1 = k1 et 2 = kk ,kk . La serie formelle f^(x) est (1; 2) , iL sommable. Supposons que les directions singulieres de f^(x) soient donnees par di + 2l, di 2 [0; 2[, i = 1; : : : ; N et l 2 ZZ. 1 2 1 2

Considerons les entiers strictement positifs 1; 1; 2; 2 (1 et 1 sont premiers entre eux, 2 et 2 sont premiers entre eux) de nis par 1 =  et  =  . Soient 1 = 2 et 2 = 2 . 1

2

2

1

1

2

1

2

Soit d 2 IR une direction issue de l'origine, telle que

8i = 1 : : : N; 8l 2 ZZ; d 6= di + 2 l: 1 2

La serie formelle f^(x) est (1; 2) , iL sommable dans cette direction d. La premiere etape de l'algorithme consiste a scinder la serie formelle initiale en 1 sous-series f^0(x); : : :; f^ ,1 (x) et a calculer les transformees de Borel formelles B~ (f^q ) = ^q (x); q = 0; : : : ; 1 , 1. Comme d 6= di + 1l (8l 2 ZZ), chaque serie formelle ^q (x) est (  ) , iL sommable dans la direction 1d. 1 1

1

2

1

La seconde etape consiste a scinder chaque serie formelle ^q (x) en 2 sous-series puis a en prendre les transformees B~ . Comme 1d 6= 1di + 2l; 8l 2 ZZ , les sous-series formelles sont ( 1 ) , iL sommables, et les transformees de Borel d'ordre 1 sont convergentes et peuvent ^etre prolongees analytiquement le long de la direction 12d. 1 2

2

2

Ces deux etapes sont schematisees sur la gure 3. Premiere remarque : A chaque niveau (ou etape) nous sommes amenes a calculer l'equation dierentielle associee a chaque transformee de Borel formelle.

84

- ( ^0=(x) ) S^ ! B~ 2

f^(x) (1; 2) 1 = 

1

2

-

S^ ! B~

1

1 2

2

2

1

- ^0;0(x) - ^0; ,1(x) 2

1 1

-

1

- ^ (x)  ,1;0 1

- (^ ,=1(x)) S^ ! B~ 1

2

1 2

2

2

1

2

- ^ ,1; ,1 (x) 1

2

| {z } | {z } | {z } (1; 2) , iL (  =  ) , iL convergentes sommable dans direction 12d sommable dans la direction d la direction 1d L'operateur S^ ! B~ applique a une serie formelle consiste a la scinder en  sous-series puis a calculer la transformee de Borel formelle de chaque sous-serie : 2

2

1

2

1

- ( 1 ;g^:0:(:x;)r )

g^(x) (1; : : :; r ) 1 = 



B~

-  ^0(x)r

B~

- ^,1(x)r

1

(  ; : : :;  ) 2

S^

- ( 1g^;:,:1:(;x)r )



1

Figure 3 : Transformees de Borel iterees 85

(  ; : : :;  ) 2

Seconde remarque : Il est possible de voir a chaque niveau si les equations dierentielles peuvent ^etre factorisees ou s'il existe des solutions connues (sous forme exacte). Troisieme remarque : L'algorithme se generalise aisement a un nombre quelconque de niveaux. Mais la complexite de l'algorithme augmente tres vite en pratique : le nombre de series formelles a considerer augmente et en general, plus il y a de niveaux, plus le degre des equations dierentielles augmente.

3.6. L'exemple de Ramis-Sibuya La serie formelle f^(x) = x + 0:x2 + 2x3 , 7x4 + 24x5 , 118x6 + 720x7 +


peut ^etre representee par l'equation aux dierences ( 2 (j + j )aj + (2j 2 + 7j + 5)aj+1 + 2aj+2 + (4j + 10)aj+3 + 4aj+4 = 0 (
) , a0 = 0; a1 = 1; a2 = 0; a3 = 2; a4 = ,7 La serie f^(x) est (2; 1)-sommable, soit (2; 2) , iL sommable. La partie formelle de l'algorithme consiste tout d'abord a scinder f^(x) en deux sous-series f^0(x) et f^1(x), lesquelles sont (1; 1) , iL sommables, puis a calculer les transformees de Borel ^0 = B~1(f^0) et ^1 = B~1(f^1) qui sont (1),iL sommables. On calcule nalement les transformees de Borel ^0 = B~1(^0) et ^1 = B~1(^1). Les sous-series de f^(x) sont f^0(x) = Pj0(,(2j +1)!+(,1)j j !)xj+1 et f^1(x) = Pj0(2j )!xj . Les transformees de Borel ^0(x) = Pj0(,(2j + 1)! + (,1)j j !)=j !xj et ^1(x) = Pj0 (2j + 2)!=j !xj sont respectivement de nies par : ( (4j + 7)aj+2 , (16j 2 + 64j + 59)aj+1 , (16j 2 + 68j + 66)aj = 0; j  0 ( a0 = 0; a1 = ,7 (j + 1)aj+1 , 2(j + 2)(2j + 3)aj = 0; j  0 a0 = 2 Les equations dierentielles associees sont respectivement egales a (,16x4 , 16x3 )y(2) + (,84x3 , 48x2 + 4x)y0 + (,66x2 , 11x , 1)y = ,21x et , 4x2y(2) + (,18x + 1)y0 , 12y = 0 La premiere equation admet comme singularites 0 et ,1. Les transformees de Borel ^0(x) et ^1(x) sont respectivement de nies par : 8 3 > < (4j + 23j 2 + 41j + 22)aj+2 , (16j 2 +2 96j + 139)(j + 1)aj+1 ,(16j + 100j + 150)aj = 0; j  0 > : a0 = ,7; a1 = ,59 ( (j + 1)(j + 2)aj+1 , 2(j + 3)(2j + 5)aj = 0; j  0 a0 = 24 86

et sont solutions respectivement des equations dierentielles (,16x2 + 4x)y(3) + (,16x2 , 112x + 11)y(2) + (,116x , 139)y0 , 150y = 0 et (,4x2 + x)y(2) + (,26x + 2)y0 , 30y = 0 Dans les deux cas, x = 1=4 est une singularite. Les directions 2 l, l 2 ZZ, constituent donc les directions singulieres (eventuelles) pour f^(x).

4. Prolongement analytique 4.1. Transformees de Laplace iterees

Soit f^(x) = Pn0 anxn une serie formelle (1; : : : ; r ) , iL sommable. Supposons que les directions singulieres de f^(x) sont donnees par di + 2l, di 2 [0; 2[, i = 1; : : : ; N et l 2 ZZ. j = j , j = 2; : : :; r. Soient 1; : : : ; r 2 IN et 1; : : : ; r 2 IN de nis par 1 =  et  ::: j j, 1

1

1

1

Soit d 2 IR une direction issue de l'origine, telle que

8i = 1 : : : N; 8l 2 ZZ; d 6= di +   2: : : l: r

1 2

Soient f^0(x); : : :; f^ ,1 (x) les 1 sous-series formelles de f^(x). Pour q = 0; : : : ; 1 , 1, soit ^q (x) = B~ (f^q ) (cf 3). Soit q (x) le prolongement analytique le long de la direction 1d de la somme de la serie ^q (x). Sur un secteur convenable bissecte par d la somme f (x) est egale a     f (x) = a0 + L ; d(0)(x ) + : : : + x ,1 a ,1 + L ; d( ,1)(x ) 1

1 1

1 1

ou

Z

1

1

1

1 1

1

1

1

1

Z     t1, (t) exp ,( xt ) d(t ) = 1 (t) exp ,( xt ) dt d 1 d Pour calculer la somme de la serie ^q qui est (  ; : : :; r ) , iL sommable, nous procedons de la m^eme facon que precedemment, jusqu'a avoir des series formelles convergentes. L

1 1

; d ()(x) = 1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1

2

1

1

Nous devons donc calculer a chaque niveau j (j = 1; : : :; r) des transformees de Laplace de la forme j (x) = L j ; :::j d(j+1)(x): 1

1

Si nous avons calcule j+1 (t) avec une precision donnee pour chaque valeur de t dans la direction 1 : : : j d, nous pouvons esperer avoir une bonne approximation de j (x) avec les methodes classiques de Gauss-Legendre ou Gauss-Laguerre utilisees sur des sous-segments bien choisis de 87

la droite Dj de direction 1 : : :j d (si l'on s'apercoit que pour t proche de l'origine la fonction j+1(t) varie beaucoup, on a inter^et a diviser la droite pres de l'origine). Malheureusement, si la droite Dj passe au voisinage d'une singularite de j+1(t), l'evaluation numerique de j+1(t) sera mauvaise. On a alors inter^et a deformer la droite Dj pour obtenir un chemin j constitue de segments et d'arcs, passant le plus loin possible des singularites de j+1(t) ( gure 4).

  



O



-

Figure 4 : Chemins d'integrations j

4.2. Localisation des singularites Les racines de l'equation caracteristique de l'equation dierentielle dont est solution j+1(t) fournissent les singularites (eventuelles) de j+1 (t). L'equation dierentielle est obtenue a partir de la serie formelle initiale par des transformees de Borel et de Mellin et est calculee dans la partie formelle. Ces outils formels donnent donc les directions singulieres eventuelles et nous permettent d'optimiser les chemins d'integration j des transformees de Laplace.

4.3. Prolongement analytique Le prolongement analytique le long d'un chemin j constitue le probleme numerique essentiel de l'algorithme de Balser. A l'exception du dernier niveau ou les series sont convergentes, l'origine est en general un point singulier irregulier de l'equation dierentielle dont est solution j+1(t). Il est donc impossible de calculer j+1 (t) au voisinage de l'origine autrement que par la methode des transformees de Laplace iterees elle-m^eme. Mais pour calculer j+1 (t) aux abscisses de nies par les formules de quadrature, nous devons utiliser une methode numerique ecace pour eectuer le prolongement analytique. Le prolongement analytique va ainsi se faire en deux etapes. Soit Pj un point regulier du chemin j , ni trop loin ni trop pres de l'origine, excepte pour le dernier niveau ou Pr est l'origine O. On calcule d'une part j+1(t) aux abscisses de quadrature situees entre l'origine O et le point Pj en appelant recursivement l'algorithme de Balser. D'autre part, le calcul de j+1(t) aux abscisses de quadrature situees au-dela de Pj se fait par une methode de prolongement analytique telle que la methode de Runge-Kutta, en utilisant l'equation dierentielle et les conditions initiales au point Pj obtenues prealablement par l'algorithme de Balser lui-m^eme ( gure 5). 88

Algorithme de Balser }| {z z



O

C.I. Pj

Runge-Kutta }|

  



{

-

Figure 5 : Prolongement analytique A chaque niveau, le prolongement analytique se fait donc de la m^eme maniere : de l'origine au point Pj , on fait appel recursivement a la methode des transformees de Laplace iterees; au-dela de Pj , on utilise une autre methode. On peut egalement utiliser ce procede pour calculer la somme f (x) dans tout le plan complexe. Dierentes methodes de prolongement analytique sont etudiees. Celle que nous utilisons est la methode de Runge-Kutta a partir de conditions initiales (exactes a l'origine O pour le dernier niveau, numeriques en Pj pour les autres). Elle est precise tant que le chemin d'integration j passe susamment loin des singularites et tant que l'ordre des equations dierentielles est relativement faible. Si l'ordre de l'equation dierentielle dont est solution ^j+1(t) est eleve, de l'ordre de 7 ou 8 pour ^r+1(t) par exemple, et si le rayon de convergence de la serie est faible (par exemple 0:25), la longueur du pas d'integration utilise dans la methode de Runge-Kutta doit ^etre choisie tres petit. Ceci s'explique par le fait que dans ce cas, les derivees vont ^etre tres grandes en valeur absolue, par exemple de l'ordre de k!4k (pour la derivee k-ieme et pour un rayon de convergence de 0:25. D'autres methodes sont en cours d'etude a n d'obtenir des accelerations de convergence en vue d'ameliorer le prologement analytique. Certaines ont ete exposees dans un precedent article [16]. D'autres (les approximants de Pade notamment) sont etudiees par C. Chay [7]. J. Thomann et moi-m^eme sommes egalement en train de tester la methode d'acceleration de convergence decrite par J.-P. Ramis et J. Martinet qui consiste a appliquer la transformee de Borel-Laplace f (x) = Lk :dS B^k f^(x) a une serie convergente f^(x) (k depend de la localisation des singularites de f (x)), pour obtenir la somme f (x) dans le k-disque de Borel maximal.

4.4. Logiciel Compas Le logiciel Compas permet de choisir des methodes de calcul sur des chemins du plan complexe et de calculer et representer graphiquement les solutions d'equations dierentielles ordinaires a coecients polynomiaux sur ces chemins. La multisommation (methode de Balser) est integree a Compas et utilisee en tant que methode de prolongement analytique. Pour calculer les transformees de Laplace iterees et donc la somme d'une serie, nous devons 89

choisir un chemin d'integration pour chaque sous-serie associee a un plan de Borel. Ce chemin doit eviter le voisinage des singularites. Une methode de calcul est associee a chaque element de chemin (segment, arc de cercle ou toute autre courbe). Par exemple, si la methode est de type Serie, le prolongement analytique se fait en appelant l'algorithme de Balser. Nous utilisons ainsi le logiciel Compas comme outil interactif de prolongement analytique, ce logiciel permettant de lier a des chemins du plan complexe des methodes de prolongement. Prevue dans Compas, la visualisation des transformees de Borel sur les chemins dans les dierents plans permet d'optimiser les chemins et donc d'ameliorer la precision du resultat.

5. Implantation Nous decrivons a present les primitives informatiques que nous avons ete amenes a de nir en vue de l'implantation algorithmique du theoreme 2.3.3 de W. Balser. Ces primitives sont implantees pour l'instant en A]. Elles pourront ulterieurement ^etre ecrites dans d'autres systemes de calcul formel (Maple, Axiom, Reduce). L'un des inter^ets de la realisation en A] est de tester la librairie prototype Sumit, developpee par M. Bronstein, implantant notamment les polyn^omes d'Ore.

5.1. Primitives 5.1.1. BalserRing BalserRing : Category

Description

BalserRing est la categorie des anneaux complexes. Dans ce qui suit, S designe un tel anneau. Il existe ainsi une application coerce : S ! Complex DoubleFloat (utilisee dans la partie graphique et numerique); on peut de nir le quotient de deux elements de S ; l'anneau des polyn^omes a coecients dans S est un anneau commutatif.

5.1.2. AutoDer import from AutoDer(S)

Description

AutoDer(S) de nit les derivations et l'automorphisme utilises.

Fonctions exportees SUP ==> SparseUnivariatePolynomial  sigma : () ! Automorphism(SUP(S,"j")) sigma() est l'automorphisme associe a la fonction P 2 SUP (S; "j ")) ! P (j + 1). 90

 D : () ! Derivation(SUP(S,"x"))

D() est la derivation associee a la fonction P 2 SUP (S; "x")) ! dxd P .

 Theta : () ! Derivation(SUP(S,"x"))

Theta() est la derivation associee a la fonction P 2 SUP (S; "x")) ! (x dxd )P .

5.1.3. EulerLinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator import from EulerLinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator(S)

Description

EulerLinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator(S) implemente les operateurs lineaires differentiels dont les coecients sont des polyn^omes en la variable x a coecients dans S . L'operateur de derivation utilise est l'operateur d'Euler.

5.1.4. LinearOrdinaryPolynomialDierenceOperator import from LinearOrdinaryPolynomialDierenceOperator(S)

Description

LinearOrdinaryPolynomialDierenceOperator(S) implemente les operateurs lineaires aux dierences dont les coecients sont des polyn^omes en la variable j a coecients dans S . L'operateur de translation utilise est l'automorphisme associe a la fonction P 2 SUP (S; "j ") ! P (j + 1).

5.1.5. LinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator import from LinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator(S)

Description

LinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator(S) implemente les operateurs lineaires dierentiels dont les coecients sont des polyn^omes en la variable x a coecients dans S . L'operateur de derivation utilise est celui associe a la fonction P 2 SUP (S; "x") ! dxd P (x).

5.1.6. PowerSeries import from PowerSeries(S)

Description

PowerSeries(S) est l'anneau des series formelles entieres Pn0 anxn de nies par un operateur aux dierences et par les premiers termes a0; : : :; am,1 2 S .

Fonctions exportees 91

SI Z SUP POLDELTO

==> ==> ==> ==>

SingleInteger Integer SparseUnivariatePolynomial LinearOrdinaryPolynomialDierenceOperator

 createPowerSeries : (List Ratio(S), POLDELTO(S)) ! %

createPowerSeries(cond;  ) cree une serie formelle a partir de la liste cond contenant les premiers termes et de l'operateur aux dierences , a condition que le nombre de conditions initiales soit superieur au degre de l'operateur .

 dispose! : % ! ()

dispose!(f^) indique que la serie formelle ne sera plus utilisee.

 coerce : % ! Record(ic : List Ratio(S), delt : POLDELTO(S))

coerce(f^) donne la representation interne de la serie f^. Le champ ic permet d'acceder a la liste des conditions initiales, delt a l'operateur aux dierences.

 initcond : % ! List Ratio(S)

initcond(f^) retourne la liste des premiers termes de nissant la serie.

 delto : % ! POLDELTO(S)

delto(f^) retourne l'operateur aux dierences.

 coherent? : % ! Boolean

coherent?(f^) teste si les premiers termes sont solutions de l'equation aux dierences.

 coecients : (%,SI) ! Partial List(Ratio(S))

coecients(f;^ n) calcule, si c'est possible, les nb premiers coecients de la serie et retourne la liste [a0; : : :; anb,1 ].

 coecients : (%,Z) ! Partial List(Ratio(S))

coecients(f;^ n) calcule, si c'est possible, les nb premiers coecients de la serie et retourne la liste [a0; : : :; anb,1 ].

 coecient : (%,SI) ! Partial Ratio(S)

coecient(f;^ n) retourne le coecient anb de la serie.

 coecient : (%,Z) ! Partial Ratio(S)

coecient(f;^ n) retourne le coecient anb de la serie.

 nextCoe : (List Ratio(S),POLDELTO(S)) ! Partial Ratio(S)

nextCoe(l;  ) calcule a partir de l'operateur aux dierences  et des termes de la liste l le coecient suivant.

 SingleInteger Z ==> Integer POLDELTO ==> LinearOrdinaryPolynomialDierenceOperator

 kappasummability : List Ratio SI ! List Ratio SI

Si sum= [k1; : : :; kr ], kappasummability(sum) retourne la liste [1; : : :; r ] ou 1 = k1 et 1=l = 1=kl , 1=kl,1 pour l = 2; : : : ; r.

 split : (POLDELTO(S), SI) ! POLDELTO(S) Si  = P0(j ) + P1(j ) +


+ Pr (j )r, split(; ) retourne un operateur aux dierences de la forme Q0(j ) + Q1(j ) +


+ Qr(j )r multiple de ; si P0(j )aj + P1(j )aj+1 +


+ Pr (j )aj+r = 0, alors Q0(j )aj + Q1(j )aj+ +


+ Qr(j )aj+r = 0 pour j assez grand.  split : (PowerSeries(S), SI) ! List PowerSeries(S)

split(f;^ ) retourne la liste des  sous-series de f^. Ces sous-series n'ont pas necessairement un coecient constant nul. La serie f^(x) est egale a X ,1 q=0

xq f^q (x):

 borel : (PowerSeries(S), SI) ! PowerSeries(S)

borel(f;^ ) retourne la transformee de Borel formelle d'ordre 1= de f^(x). IlPne s'agit pas exactement de la transformee de Borel, mais de l'application qui a f^(x) = j0 aj xj associe la serie formelle X aj+1 j: borel (f;^ ) = x j 0 ,((j + 1) )

5.1.8. Dierential import from Dierential(S)

Description

Dierential(S) comprend les fonctions qui permettent de passer d'une serie formelle de nie par un operateur aux dierences a une equation dierentielle dont est solution cette serie.

Fonctions exportees 93

SUP ==> SparseUnivariatePolynomial POLODO ==> LinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator LOEDO ==> EulerLinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator

 diequation : PowerSeries(S) ! Record(eqdi : POLODO(S),sec : SUP(S,"x"))

diequation(f^) determine une equation dierentielle dont est solution la serie formelle f^; diequation(f^):eqdi est l'operateur dierentiel, le second membre etant donne par diequation(f^):sec.

 eulerequation : Powerseries(S) ! Record(eqdi : LOEDO(S),sec : SUP(S,"x"))

eulerequation(f^) determine une equation dierentielle dont est solution la serie formelle f^; eulerequation(f^):eqdi est l'operateur dierentiel (la derivation est l'operateur d'Euler), eulerequation(f^):sec est le second membre.

5.1.9. LagLeg import from LagLeg

Description LagLeg fournit les abscisses et les poids de Gauss-Laguerre et de Gauss-Legendre.

Fonctions exportees F ==> DoubleFloat

 laguerre : GeoLink ! Record(absci : List F, weight : List F)

laguerre(gl) retourne les abscisses (positives) et les poids de Laguerre utilises pour la methode de Gauss-Laguerre a nlag points (nlag est le nombre de points associes au chemin elementaire gl). Nous nous limitons pour l'instant a 32 points.

 legendre : GeoLink ! Record(absci : List F, weight : List F)

legendre(gl) retourne les abscisses (comprises entre 0 et 1) et les poids de Legendre utilises pour la methode de Gauss-Legendre a nleg points (nleg est le nombre de points associes au chemin elementaire gl). Nous nous limitons pour l'instant a 32 points.

5.1.10. Laplace import from Laplace(S)

Description

Laplace(S) comprend les fonctions utiles au calcul des transformees de Laplace. 94

Fonctions exportees SI ==> SingleInteger Z ==> Integer CF ==> Complex DoubleFloat

 readpath : () ! Path(S)

readpath() est le chemin d'integration de l'integrale de Laplace. Il est constitue de maillons. Un maillon est un chemin elementaire (segment, arc de cercle, ...) auquel est associee une methode de calcul. Si la methode de calcul associee a un maillon est de type Serie, la fonction a integrer sera calculee iterativement par l'algorithme de Balser. Si elle est de type Runge-Kutta, le prolongement sera fait par la methode de Runge-Kutta. Nous nous limitons pour l'instant a ces deux seules methodes de calcul. Si nous ne sommes pas au dernier niveau, la methode de calcul associee au premier maillon doit ^etre de type Serie (l'origine etant generalement une singularite irreguliere). Le prolongement sur le dernier maillon du chemin sera eectue en les points de Gauss-Laguerre. Sur tous les autres maillons, on utilise les points de Gauss-Legendre.

 derivee : (List Record(listBorel :Record(vi : List CF, phiqvi : List CF, wi : List CF), initerms :List Ratio(S)), SI,SI,CF,Z) ! List CF derivee(borellist; ; ; zr; n) calcule f (zr) et les derivees jusqu'a l'ordre n de la serie; borellist contient les prolongements des transformees de Borel d'ordre 1= des  sous-series.

5.1.11. Runge Kutta import from Runge Kutta(S)

Description

Runge Kutta(S) comprend les fonctions utilisees pour eectuer le prolongement analytique par la methode de Runge-Kutta.

Fonctions exportees SI F CF SUP POLODO LOEDO

==> ==> ==> ==> ==> ==>

SingleInteger DoubleFloat Complex DoubleFloat SparseUnivariatePolynomial LinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator EulerLinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator

 generateDerivs : (POLODO(S),SUP(S,"x"), F ! CF, F ! CF, CF) ! (List CF, F) ! List CF generateDerivs(eq; sec; ; 0; t0) transforme l'equation dierentielle en un systeme dierentiel d'ordre 1 le long de la courbe x = (t) et retourne la valeur de ce vecteur derive en t0. 95

 eulerDerivs : (LOEDO(S),SUP(S,"x"), F ! CF, F ! CF, CF) ! (List CF, F) ! List

CF eulerDerivs(eq; sec; ; 0; t0 ) transforme l'equation dierentielle en un systeme dierentiel d'ordre 1 le long de la courbe x = (t) et retourne la valeur de ce vecteur derive en t0.  rk4f : (List CF, F, F, SI, (List CF, F) ! List CF) ! List CF rk4f(cond; t0; t1;nstep;derivs) retourne la valeur du vecteur en t1 connaissant sa valeur cond en t0 par une methode de Runge- Kutta a nstep etapes (nous nous limitons pour l'instant a nstep= 10.) La fonction derivs est la fonction derivee de ce vecteur.

5.1.12. Balser

import from Balser(S)

Description

Balser(S) comprend les fonctions utilisees pour le calcul des sommes de series formelles en utilisant l'algorithme de Balser.

Fonctions exportees SI ==> SingleInteger Z ==> Integer CF ==> Complex DoubleFloat POLODO ==> LinearOrdinaryPolynomialDierentialOperator  balser : (PowerSeries(S), List Ratio SI, CF) ! CF balser(f;^ [k1 ; : : :; kr ]; zr) calcule la somme de la serie f^(x) en zr, la serie etant (k1 ; : : :; kr )sommable.  balser : (PowerSeries(S), List Ratio SI, CF, Z) ! List CF balser(f;^ [k1; : : :; kr ]; zr; n) calcule la somme f de la serie f^(x) en zr, ainsi que toutes les derivees jusqu'a l'ordre n (la serie est supposee (k1; : : : ; kr )-sommable), et retourne la liste [f (zr); f 0(zr); : : :; f (n)(zr)].  iLbalser : (PowerSeries(S), List Ratio SI, CF) ! CF iLbalser(f;^ [1; : : :; r ]; zr) calcule la somme de la serie f^ en zr; la serie est (1; : : : ; r ) , iL sommable.  iLbalser : (PowerSeries(S), List Ratio SI, CF, Z) ! List CF iLbalser(f;^ [1; : : :; r ]; zr; n) calcule la somme f en zr, ainsi que toutes les derivees jusqu'a l'ordre n et retourne la liste [f (zr); f 0(zr); : : : ; f (n)(zr)]. La serie f^ est (1; : : :; r ) , iL sommable .  balserpath : (PowerSeries(S), List Ratio SI, Path(S)) ! Record(abscisse : List CF, sum : List CF) Si f^(x) est une serie (k1; : : :; kr )-sommable, balserpath(f;^ [k1; : : :; kr ]; ) calcule la somme de f^ le long du chemin , aux points (equidistants sur chaque chemin elementaire) donnes 96

par le champ abscisse. Le i-ieme terme de balserpath(f;^ [k1; : : :; kr ]; ):sum est la valeur de la somme au i-ieme point de la liste balserpath(f;^ [k1; : : :; kr ]; ):abscisse.

 analytic : (PowerSeries(S), Path(S)) ! Record(abscisse : List CF, sum : List CF)

analytic(f;^ ) calcule le prolongement analytique de la serie a partir de l'origine, le long du chemin . La serie est supposee convergente a l'origine.

5.2. Contenu algorithmique Les programmes, ecrits en A], sont donnes en annexe. Nous ne precisons ici que les points qui nous semblent importants.

5.2.1. CreatePowerSeries import from PowerSeries(S)

DescriptionP Soit f^(x) =

j 0 aj x

j

(

de nie par

 = P0(j )aj +


+ Pr (j )aj+r = 0; j   = m , r cond = [a0; : : :; am,1 ]

Si  < 0, il n'y a pas assez de conditions initiales et on sort un message d'erreur. Si P0(j ) = : : : = Pr ,1(j ) = 0 pour r0  r, et Pr (j ) 6= 0, on transforme  en l'operateur Pr (j , r0)0 +


+ Pr (j , r0)r,r que l'on simpli e ensuite par le plus grand commun diviseur des coecients. 0

0

0

0

On suppose que le polyn^ome Pr (j ) ne s'annule pas pour j  . Une serie est donc nulle si et seulement si les premiers coecients sont nuls. La serie 0 est de nie par createPowerSeries(1; []) (ici, r = m = 0). La serie 1 est de nie par createPowerSeries(1; [1]) (m = 1, r = 0).

5.2.2. Coherent? import from PowerSeries(S)

Description

Cette fonction teste si les premiers termes sont solutions de l'equation aux dierences, c'est-adire si P0 (j )aj +


+ Pr (j )aj+r = 0 pour j  0.

5.2.3. Coecients import from PowerSeries(S) 97

Description

coecients(f;^ n) ou f^ 2 PowerSeries(S ) calcule les n premiers coecients de la serie. Soit m le nombre des conditions initiales. Si n > m, nous devons calculer les termes en utilisant l'equation aux dierences. Si le coecient de t^ete Pr (j ) s'annule pour j0 2 [;  + 1; : : : ;  + n , 1 , m] ( = m , r), on ne peut pas calculer le coecient aj +r et on sort un message d'erreur. 0

5.2.4. Split import from Borel(S)

Description

split(; ) calcule un operateur multiple de  , ne comportant que des termes de la forme Pk (j )k. On suppose   1. Si  = 1, on retourne .

La fonction apply(delt; l) retourne l'operateur l delt. Soit (S ) la liste des operateurs apply(; l) pour l = 0; : : : ; r( , 1) (r est le degre de ). Tant qu'on n'a pas ni,

 Soit delt le premier operateur de (S ).  Chercher dans delt le plus petit indice k 2 IN tel que le coecient de delt de degre k soit non nul et tel que k ne divise pas .

 Si un tel indice existe, on s'arr^ete; sinon { Soit Pk (j ) le coecient de delt de degre k. { Parcourir les autres operateurs deltl (l = 2; : : : ; #(S )) de (S ). On remplace (S ) par les #(S ) , 1 operateurs obtenus en eliminant le cas echeant le coecient de degre k (si le coecient Pkl (j ) de degre k de deltl est non nul, on remplace deltl par Pk (j ) deltl - Pkl (j )delt).

5.2.5. Split import from Borel(S)

Description

split(f;^ ) Pretourne sous forme de liste les  sous-series de la serie formelle. On suppose que f^ = j0 aj xj est de nie par  = P0(j ) +


+ Pr (j )r et par ses premiers termes [a0; : : :; am,1]. Soit  l'operateur split(; ). Il est de la forme Q0(j )+ Q1(j ) +


+ Qr(j )r et Q0(j )aj + Q1(j )aj+ +


+ Qr(j )aj+r = 0 pour j   = m , r.

Pour q = 0; : : : ;  , 1, l'opeP rateur Q0(j + q) + Q1(j + q) +


+ Qr(j + q)r de nit la q-ieme sous-serie f^q (x) = j0 aj+q xj . La recurrence est valable pour les indices j 2 IN 98

tels que j + q  , c'est-a-dire j  q = max(0; ( , q)=). Les mq = q + r conditions initiales aq ; aq+; : : : ; aq+(mq ,1) sont calculees a partir de l'equation aux dierences de nissant f^. On veri e aisement que pour q = 0; : : :;  , 1, q + (mq , 1) < r + . Les premiers coecients de nissant chaque sous-serie sont donc facilement calcules a partir de la liste [a0; a1; : : :; ar+,1] = coecients(f;^ r + ).

5.2.6. Borel import from Borel(S)

DescriptionP

Soit f^(xP) = j0 aj xj une serie formelle et 2 IN. La fonction borel(f;^ ) retourne la serie ^(x) = j0 bj xj avec bj = (j a+j ,1)! . +1

Si P0(j )aj +


+ Pr (j )aj+r = 0, alors P0(j +1)aj+1 +


+ Pr (j +1)aj+1+r = 0 et P0(j +1)(j + , 1)! bj +


+ Pr (j + 1)((j + r) + , 1)! bj+r = 0. Or pour l = 1; : : : ; r,

, 1)! = Ql(j ) = ((j(+j l)+ +, 1)!

l Y

(j + , 1 + m) 2 SUP(S; "j "):

m=1

Donc P0(j +1)bj + P1(j +1)Q1(j )bj+1 +


+ Pr (j +1)Qr (j )bj+r = 0 : la serie ^(x) est representee par un operateur lineaire aux dierences dont les coecients sont des polyn^omes en la variable j a coecients dans S .

5.2.7. Legendre import from LagLeg

Description

Nous devons calculer des integrales de la forme Zt   1 I (x) = (t) exp ,( xt ) dt t ou t decrit une courbe integrale de la forme t = (u), u 2 [0 : : : 1] (t0 = (0) et t1 = (1)). L'integrale I (x) est egale a 1 Z 1 ( (u)) exp  (u)  0(u)du ,( x ) 0 et est calculee numeriquement par une quadrature de Gauss-Legendre a N points : N   0 1X A i ( (ui)) exp ,( (xui ) ) (ui ): i=1 1

1

0

1

1

99

La fonction legendre(gl) retourne la liste des poids (Ai)i=1;:::;N et des abscisses (ui)i=1;:::;N , gl etant un chemin elementaire de ni par le nombre de points N et par les courbes et 0.

5.2.8. Laguerre import from LagLeg

Description

Nous devons calculer des integrales de la forme Z1   I (x) = 1 (t) exp ,( xt ) dt t 1

0

ou t decrit une courbe integrale de la forme t = (u), u 2 IR+ (t0 = (0)). L'integrale I (x) est egale a 1 Z +1 ( (u)) exp  (u)  0(u)du ,( x ) 1

0

et est calculee numeriquement par une quadrature de Gauss-Laguerre a N points : N   0 1X A i ( (ui )) exp ,( (xui ) ) (ui ): i=1 1

La fonction laguerre(gl) retourne la liste des poids (Ai)i=1;:::;N et des abscisses (ui)i=1;:::;N , gl etant un chemin elementaire de ni par le nombre de points N et par les courbes et 0.

5.2.9. Derivee import from Laplace(S)

DescriptionP

Soit f^(x) = j0 aj xj une serie (1; : : : ; r ) , iL sommable, avec 1 = 1= 1. Soient f^q (x) = P a xj (q = 0; : : : ;  , 1) les  sous-series et ^ (x) = P bq xj avec bq = a j  q 1 1 q j 0 j +q j 0 j j (j + ,1)! les transformees de Borel d'ordre 1= 1. La somme f en x est egale a f (x) = P ,1 xq (a + f (x )). ( +1) 1 +

1

1

1

q=0

Chaque somme

q

q

1

1

Z   1 fq  q (t) exp ,( xt ) dt 1 q est egale a la somme des integrales le long de chaque chemin elementaire, que l'on calcule par les methodes decrites en 5:2:7 et 5:2:8. On obtient alors une expression de la forme Nq   X q fq (x ) = q ( (uqi )) exp ,( x(ui ) ) wiq (x1 ) =

1

1

1

i=1

100

1 1

1 1

(wiq = Aqi 0(uqi )). La derivee n-ieme de f (x) est egale a X ,1 X n f (n) (x) = Cnl (xq)(l)(aq + fq (x ))(n,l) : 1

1

q=0 l=0

Les derivees successives de la fonction fq (x ) se calculent a partir de la formule integrale : d (f (x )) = 1  x, ,1 Z  (t)t exp  t  dt: ,( x ) q dx q 1 1 q R Plus generalement, la derivee de axb q q(t)tc exp(,( xt ) )dt est egale a Z Z   abxb,1 q (t)tc exp ,( xt ) dt + a1xb, ,1 q (t)tc+ dt: q q 1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

1 1

1 1

1

1 1

Les derivees de fq (x ) se calculent donc par recurrence. Si nous connaissons la liste des coef cients [a; b; c] de nissant la derivee l-ieme, la derivee (l + 1)-ieme sera de nie par la liste des coecients [ab; b , 1; c] et [a1; b , 1 , 1; c + 1 ]. Connaissant les valeurs des transformees de Borel en les abscisses de quadrature et les poids associes, nous pouvons ainsi calculer les derivees a n'importe quel ordre de la somme. 1

1

La fonction derivee a pour premier argument borellist l'enregistrement des prolongements des 1 sous-series, c'est-a-dire les abscisses (uqi ), les sommes q ( (uqi )) et les poids wiq (i = 1; : : : ; Nq ); derivee(borellist; 1 ; 1; x; N ) retourne la liste [f (x); f 0 (x); : : :; f (n) (x)].

5.2.10. iLbalser import from balser(S)

Description

Le calcul de la somme et des derivees d'une serie (1; : : :; r ) , iL sommable suit le schema suivant :  Scindage de la serie en 1 sous-series (1 =  );  Calcul des transformees de Borel d'ordre 1 ;  Prolongement de ces transformees (  ; : : :; r ) , iL sommables;  Calcul de la somme et des derivees par quadrature. Le prolongement d'une serie formelle convergente se fait par la methode de Runge-Kutta, a partir des conditions initiales calculees exactement a l'origine. La valeur calculee au bout d'un chemin elementaire donne les conditions initiales pour le chemin elementaire suivant. 1

1

1

2

1

1

Le prolongement d'une serie (1; : : :; r ) , iL sommable le long d'un chemin se fait de la facon suivante : 101

 On parcourt le chemin;  Si la methode de calcul associee au chemin elementaire est de type Serie, le calcul de

la somme se fait recursivement (calcul des transformees de Borel des sous-series...). Les derivees calculees au bout du chemin elementaire par quadrature donnent les conditions initiales au debut du chemin elementaire suivant;  Si la methode de calcul associee au chemin elementaire est de type Runge-Kutta, on utilise la methode de Runge-Kutta a partir des conditions initiales que l'on a calculees auparavant. Les derivees calculees au bout du chemin elementaire par la methode de Runge-Kutta donnent les conditions initiales au debut du chemin elementaire suivant.

6. Resultats

6.1. Equation d'Euler

La serie formelle E^ (x) = Pn0 (,1)nn!xn+1 est solution de l'equation d'Euler

x2y0 + y = x: Sa transformee de Borel formelle (d'ordre 1) est la serie Pn0 (,1)nxn , laquelle admet comme prolongement analytique la fonction 1+1 x . La serie E^ (x) est donc 1-sommable dans toutes les directions, exceptees les directions  + 2l (l 2 ZZ). Nous choisissons comme direction de resommation la droite IR+ et calculons la somme en 0:01, 0:1 et 1. Pour cela, nous avons ecrit un chier "un.as" ou l'on de nit la serie d'Euler, et ou l'on calcule la somme en les trois points. Voici l'historique de la session : $ asharp -g loop -w gc This is a pre-release of AXIOM-XL. `axiomxl -h info' for more details. %1 >> #include "sumit.as" Comp :

2460 msec., Interp :

30 msec.

%2 >> #library un "un.ao" %3 >> import from un Comp : %4 >> session() Serie d'Euler : Initial Conditions :list((0/1), (1/1)) Difference equation :tau+j Liste des pentes :

102

40 msec., Interp :

0 msec.

list((1/1)) Point en lequel on veut calculer la somme : zr = (0.01 + 0 %i) Somme : (0.0099019422867330075 + 0 %i) Point en lequel on veut calculer la somme : zr = (0.10000000000000001 + 0 %i) Somme : (0.091563333939787855 + 0 %i) Point en lequel on veut calculer la somme : zr = (1 + 0 %i) Somme : (0.5963473622644494 + 0 %i) Comp :

10 msec., Interp :

346490 msec.

Nous obtenons ainsi les valeurs :

E (0:01) = 0:0099019422867 E (0:1) = 0:0915633339398 E (1) = 0:5963473623 RemarqueR : Ces valeurs peuvent d'autre part ^etre calculees a l'aide de tables connues. Soit E1(z) = z1 e,t t dt. Comme Z +1 e,at ab b + t = e E1(ab) 0 pour tout a et b > 0, Z +1 t 1 E (x) = e, x 1 + t dt = e x E1( x1 ); x > 0: 0 En utilisant la table de E1, nous obtenons :  E (0:01) = e100E1(100) = 0:01  0:9901942287 = 0:009901942287  E (0:1) = e10E1(10) = 0:1  0:9156333394 = 0:09156333394  E (1) = e1E1(1) = e  0:219383934 = 0:5963473612 La precision relative pour E (0:01), E (0:1) et E (1) est donc respectivement egale a 3:10,11, 2:10,12 et 2:10,9 . 1

103

6.2. Exemple de 2-sommabilite Il s'agit d'un exemple etudie par J. Thomann [16]. Une solution formelle fondamentale de l'equation dierentielle 4x5y00 + 2x2y0 + y = 0 est donnee par e x x, f^(x) ou f^(x) est solution de 4x3y00 , 2(2x2 + 2x , 1)y0 + 3(x + 2)y = 0: La serie formelle f^(x) est 2-sommable, dans toutes les directions exceptees 2 + l (l 2 ZZ). 1 2

1 2

Nous calculons la somme en x = 13 (voir l'historique), x = 31 ei  et x = 31 ei  . 8

4

$ asharp -g loop -w gc This is a pre-release of AXIOM-XL. `axiomxl -h info' for more details. %1 >> #include "sumit.as" Comp :

2460 msec., Interp :

30 msec.

%2 >> #library deux "deux.ao" %3 >> import from deux Comp :

40 msec., Interp :

0 msec.

%4 >> session() Serie etudiee : Initial Conditions :list((0/1), (1/1)) Difference equation :tau+j Liste des pentes : list((2/1)) Point en lequel on veut calculer la somme : zr = (0.33333333333333331 + 0 %i) Somme : (0.069524243326470447 + 1.8007867203910085e-08 %i) Comp :

10 msec., Interp :

963780 msec.

La direction de resommation est respectivement IR+ , ei  IR+ et ei  IR+ . Nous rappelons egalement les resultats obtenus par J. Thomann par la methode des approximants de Pade et celle des series de factorielles generalisees SFG [16] : argx Balser Pade SFG 0 0:06952424 0:0695243 0:0695117 =8 0:130661 , 0:3370434i 0:130661 , 0:337043i 0:130627 , 0:337015i =4 0:304842 , 0:632041i 0:304843 , 0:632041i 0:306122 , 0:630481i 8

104

4

6.3. Exemple de Ramis-Sibuya Les directions singulieres de resommation de la serie formelle solution de l'equation de RamisSibuya sont les directions 2 + 2 l (l 2 ZZ). La serie formelle etant egale a f^(x) = E^ (x)+E^ (x2), la somme est egale a f (x) = E (x)+E (x2) = e x E1( x1 ) + e x E1( x1 ) (voir 6:1). Nous obtenons a l'aide de la table de E1 : 1

1 2

2

 f (0:25) = e4E1(4) + e16E1(16) = 0:265353775  f (0:5) = e2E1(2) + e4E1(4) = 0:567674269  f (1) = 2eE1(1) = 1:192694722

Pour calculer la somme en ces points par l'algorithme de Balser, nous choisissons comme di + i ^ ^ rection de resommation pour l(x) et l(x) (l = 0; 1) la droite e IR (il ne faut pas passer trop pres du point x = 1=4 qui est une singularite pour les series convergentes ^l(x) (l = 0; 1)). Nous obtenons ainsi : 8

 f (0:25) = 0:26535392 + 4:7525175:10,7 i  f (0:5) = 0:56545058 + 0:0025003453i  f (1) = 1:1387162 + 0:080168043i Nous remarquons que plus nous nous eloignons de l'origine, moins la precision est bonne. Nous pourrions choisir d'autres chemins (pas forcement les m^emes pour les series ^l(x) et ^l(x)) et un nombre de pas d'integration plus eleve pour ameliorer la precision du calcul. Une autre facon de calculer la somme en 1 consiste par exemple a calculer la somme et sa derivee en 0:25 (ou l'on a une assez bonne precision) et a eectuer le prolongement analytique de la somme le long du chemin [0:25; 1] par une methode de Runge-Kutta, a partir de l'equation dierentielle dont est solution la somme et des conditions initiales en 0:25. Nous avons choisi une methode de Runge-Kutta a pas xe egal a 0:015 et obtenons

f (1) = 1:16035002 , 0:00016311899i La precision obtenue est meilleure. Nous souhaitons a present calculer la somme au point x = ,0:25. On considere d'une part la direction de resommation d, =  ,  ( > 0 petit). La direction de resommation au premier niveau est 1d, = 2( , ); celle du deuxieme (et dernier) niveau est 21d, = 2( , ). La droite de direction 21d, est proche de la singularite 41 des fonctions 0(x) et 1(x). Nous avons teste l'algorithme avec dierents chemins, et il se trouve que 0(x) et 1(x) se prolongent analytiquement dans la direction IR+ (de plus, elles tendent vers 0). Nous allons considerer comme chemin d'integration 2 : 105

&%

 

O

-

Le chemin sur lequel nous allons integrer les fonctions 0(x) et 1(x) est la droite de direction IR+ . Le point P1 a partir duquel est utilisee la methode de Runge-Kutta est le point (0:5; 0:). Nous obtenons alors comme resultat :

f , (,0:25) = ,0:3009568828 + 0:05767302121i: D'autre part, nous pouvons egalement calculer la somme en ,0:25 en considerant comme direction de resommation la direction 2( + ). En prenant les symetriques par rapport a l'axe des reels des chemins precedents, nous obtenons

f + (,0:25) = ,0:3009568828 , 0:05767302121i: La dierence des deux valeurs est

f , (,0:25) , f + (,0:25) = 0:1153460424i: La dierence n'est pas nulle : nous avons traverse la direction singuliere IR,. Il s'agit du phenomene de Stokes. Nous allons comparer ce resultat avec la valeur exacte. La serie formelle f^(x) est egale a f^(x) = E^ (x) + E^ (x2). La serie E^ (x) est 1-sommable,  etant la direction singuliere (modulo 2). La serie E^ (x2) est 2-sommable, de directions singulieres 2 + ZZ. La dierence f , (,) , f + (,) ( > 0) est egale a E ,(,) , E +(,), ce que nous calculons aisement par la methode des residus. Nous obtenons :   E , (,) , E + (,) = 2i exp , 1 : Pour  = 0:25, la dierence est egale a 0:1150806i. Le resultat obtenu est donc de l'ordre de 2:10,4 .

7. Conclusion Les exemples que nous avons testes sont des cas d'ecole. Nous avons pu comparer nos resultats avec ceux obtenus par d'autres methodes et ceux fournis par les tables. Ceci constitue un premier test de validite de l'ensemble des algorithmes. Il reste un point important a etudier, a savoir le test de validite des resultats numeriques 106

obtenus. Les resultats que nous avons obtenus pour la serie d'Euler et la serie formelle 2sommable sont bons. Il semble cependant plus dicile d'obtenir une bonne precision pour la serie de Ramis-Sibuya qui est (2; 1)-sommable. Nous avons constate une sensibilite des calculs par rapport aux chemins. Il y a trois niveaux d'approximation qui ne sont pas encore ma^trises actuellement : le calcul des conditions initiales oues au point P a un niveau intermediaire (mis a part le dernier niveau), le prolongement analytique (pour l'instant, il s'agit de la methode de Runge-Kutta) et le calcul des transformees de Laplace. Dans l'etat actuel d'avancement des travaux, nous n'avons pas a notre disposition des calculs de bornes d'erreurs numeriques. L'apport de Compas permet pour l'instant de palier a l'abscence de bornes d'erreurs. En pratique, nous calculons un resultat en dierents chemins (et par dierentes methodes). Par ses methodes de visualisation, Compas permet de tester la regularite des resultats obtenus sur les chemins dans les dierents plans de Borel et de constater quand il y a un decrochement des methodes numeriques (ce qui arrive si le chemin est trop proche d'une singularite). Mon travail n'a pas porte sur la qualite des methodes numeriques de prolongement (par exemple, la methode de Runge-Kutta que nous avons implantee est une methode d'ordre 4 a pas xe). Ce travail reste encore a faire. Quoi qu'il en soit, l'algorithme de Balser que nous avons implante est pr^et a ^etre utilise. Nous avons ainsi a notre disposition un outil souple, susceptible d'^etre interactif (cet aspect est en voie de realisation) et pratique a l'emploi, comprenant les bonnes primitives, permettant de tester la validite des resultats par des recoupements. Il fallait donner a l'utilisateur la possibilite de faire un choix entre dierentes methodes de prolongement analytique sur les chemins choisis dans les plans de Borel. Pour l'instant, peu de methodes sont disponibles, plusieurs sont a l'etude. Le logiciel dans son etat actuel permettra l'insertion et le test de ces methodes dans le contexte general de la multisommation.

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[14] F. Richard-Jung, Representations graphiques de solutions d'equations dierentielles dans le champ complexe, These de l'Universite de Strasbourg (1988). [15] F. Richard-Jung, Le phenomene de Stokes en image, RT 65 LMC Grenoble (1991). [16] J. Thomann, Resommation des series formelles solutions d'equations dierentielles lineaires ordinaires du second ordre dans le champ complexe au voisinage de singularites irregulieres, Numer.Math. 58, 503-535 (1990). [17] J. Thomann, Problemes algorithmiques poses par la multisommation, Journees de printemps de la PRC Math-Info (1990). [18] J. Thomann, Procedes formels et numeriques de sommation de series solutions d'equations dierentielles, Expo. Math. 13 (1995), 223-246. [19] E. Tournier, Solutions formelles d'equations dierentielles, These d'Etat de l'Universite de Grenoble (1988).

109

110

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113

114

ANNEXES

115

116

Annexe 1

Convergence des series de factorielles q-analogues Nous allons etudier la convergence de series de factorielles q-analogues de la forme +X 1 6 0; 1: f^q (x) = an , (x,+q (xn)+ 1) ; jqj = q n=0 2i k; 8l 2 IN; 8k 2 ZZ. Nous Ces series n'ont un sens que si x est dierent des valeurs ,l + log q exclurons toujours dans ce qui suit ces points exceptionnels. Les series de q-factorielles sont des q-analogues des series de facultes f^(x) = Pn0 x(x+1)a:::n (x+n) = P a ,(x) .

n0 n ,(x+n+1)

Theoreme 1 : Si une serie de q-factorielles Pn0 an ,q (,xq+(xn)+1) converge en un point x0 alors : (i) Si 0 < jqj < 1, elle converge dans tout le plan; (ii) Si jqj > 1, elle converge dans le demi-plan (0x;telle En utilisant le test de Bois-Reymond (voir par exemple 0 n+1 x0)j converge. n 0 n P le theoreme I p.126 [1]), la serie n0 bn(x) converge. 0

+

+

x0

Si jqj > 1, cn(x; x0) = q(n+1)(x ,x) ((ppx;;pp))nn (p = q,1) et dans ce cas, il existe une constante C (x; xP0) telle que 8n 2 IN; jcn (x; x0) , cn+1 (x; x0)j  C (x; x0)jqx ,x jn. Si jqx ,x j < 1, la serie n0 bn(x) converge. La serie converge donc dans le demi-plan limite a gauche par la droite passant par x0, de pente logqjqj (q = jqjeiq, 0  q < 2; la droite est parallele a l'axe des imaginaires purs si q = 0). 0

+1

+1

0

0

Nous pouvons de nir l'abscisse de convergence d'une serie de q-factorielles f^q (x) par  = inf f0 2 IR=f^q (x) converge dans le demi-plan 0 log jqjg. 117

Si 0 < jqj < 1,  est egale soit a ,1 (la serie converge dans tout le plan), soit a +1 (elle diverge partout). N.-E. Norlund montre que l'abscisse de convergence de la serie de facultes Pn0 an ,(x,(+nx)+1) (,1)nan ,(x) (paragraphe 84 p.177 est la m^eme que celle de la serie de Newton associee Pn0 (,( n+1)) ,(x,n) [2]). 2

Considerons les series de Newton q-analogues de la forme X g^q (x) = , (nan+ 1) , ,(xq (,x)n) : q n0 q Elles ont ete etudiees par C. Zhang [3]. Pour q reel, 0 < q < 1, il a montre que le domaine de convergence de ces series est un demi-plan. Theoreme 2 : Soit f^q (x) = Pn0 an ,q (,xq+(nx)+1) une serie de q-factorielles (jqj 6= 0; 1). Considerons la serie de Newton p-analogue associee

g^p(x) =

X (,1)n pn ,p(x) ; (p = q,1): a n 2 ,p (x , n) n0 (,p (n + 1)) 2

Ces deux series sont simultanement convergentes ou divergentes. Demonstration : Nous allons une fois de plus utiliser le test de Bois-Reymond. Posons pn ,p (x) ,q (x+n+1) . Posons (x) = (,1)npn a ,p (x) et bn(x) = an ,q (,xq+(xn)+1) et cn(x) = (,(,p(1)nn+1)) n ,p (x,n) ,q (x) (,p (n+1)) n ,p (x,n) 1 n(x) = cn (x) . Alors bn(x)cn(x) = n(x) et n(x)n(x) = bn(x). 2

2

2

2

D'autre part, cn (x),cn+1(x) = cn (x) ,(12+,qqxn+q),x qn+1 et n(x),n+1(x) = cqnn(x) (1,q,x2,n qx ,)(1q,,xqx +1

+1 2

,x+1

x

+ +1

n ).

+ +1

Si 0 < jqj < 1, cn (x) = (q ((q;q;)qn)n) ((1q ,;qq))n tend vers une constante et il existe C (x) > 0 telle 8n 2 IN, jcn(x)P, cn+1 (x)j  C (x)jqjn et jn(x) , n+1(x)j  C (x)jqjn. Les series P que jc (x) , c (x)j et j (x) ,  (x)j convergent. 2

n0 n

n+1

n0 n

+1

n+1

Si jqj > 1, cn (x) = , ((p;p)nq)x (1,q) (p,x+1 ; p)n (px ; p)n+1 et il existe une constante C (x) > 0 telle 8n 2 IN, jcn(x) ,Pcn+1 (x)j  C (x)jqj,n et jn(x) , n+1(x)j  C (x)jqj,n. Les series P que jc (x) , c (x)j et j (x) ,  (x)j convergent. 2

n0 n

n+1

n0 n

n+1

P P Alors, si Pn0 bP n (x) = f^q (x) converge, n0 bn (x)cn (x) = g^p (x) converge et si n0 n (x) = g^p(x) converge, n0 n(x)n(x) = f^q (x) converge. Theoreme 3 : Si P a ,q (x) est une serie de Newton q-analogue avec jqj > 1, n0 n ,q (x,n)

soit elle converge dans tout le plan, soit elle diverge partout. 118

Pour q reel, 0 < q < 1, C. Zhang a calcule l'abscisse de convergence  d'une serie de Newton P q-analogue g^q (x). Plus precisement, si g^q (x) = n0 ,q (ann+1) ,q,(qx(,x)n) , alors kk log Pnk=0 (,1)k ak q , (i) Si   0,  = lim , n log q ; kk P + 1 k , log k=n (,1) ak q (ii) Si  < 0,  = lim . n log q, ( +1) 2

1

( +1) 2

1

Ce resultat se generalise a q complexe, 0 < jqj < 1, en de nissant l'abscisse de convergence d'une serie de Newton q-analogue par inf f0 2 IR= la serie converge pour 0 log jqjg. Theoreme 4 : Soit f^q (x) = Pn0 an,q (n + 1) ,q (,xq+(nx)+1) une serie de q-factorielles avec jqj > 1. Soit  sont abscisse de convergence. P log nk=0 ak (i) Si   0 alors  = lim n log jqj ; P 1 a log + (ii) Si  < 0 alors  = lim n logk=jnqj k . Demonstration : D'apres le theoreme 2, l'abscisse de convergence de f^q (x) est egale a l'abscisse nn n pn de convergence de la serie g^p(x) = Pn0 (,(,p(1)n+1)) an,q (n+1) ,p,(px(,x)n) = Pn0 (,1),pn(pn+1) an ,p,(px(,x)n) . On utilise alors le resultat de C. Zhang. ( +1) 2

2

2

References bibliographiques [1] A.-O. Gelfond, Calcul des dierences nies, Dunod, Paris, 1963. [2] N.-E. Norlund, Lecons sur les series d'interpolation, Gauthiers Villars et Cie, Paris 1926. [3] C. Zhang, Quelques etudes en theorie des equations fonctionnelles et en analyse combinatoire, These de l'Universite Louis Pasteur (Strasbourg I), 1994.

119

120

Annexe 2

Fichiers "source" de l'algorithme de Balser ------------------------------ autoder.as -----------------------------------#include "sumit.as" #library ci "ci.ao" import from ci; SUP ==> SparseUnivariatePolynomial; AutoDer(S: BalserRing) :

with

f

sigma: () -> Automorphism(SUP(S,"j")); ++ Automorphisme associ e  a l'op erateur usuel de translation. D: () -> Derivation SUP(S,"x"); ++ D erivation associ ee a  la d eriv ee usuelle. Theta: () -> Derivation SUP(S,"x"); ++ D erivation associ ee a  la d eriv ee d'Euler.

g

== add

f

import from Integer; import from Derivation SUP(S,"x"); import from Automorphism SUP(S,"j");

f

fsigma(pol: SUP(S,"j"), n: Integer) : SUP(S,"j") == res: SUP(S,"j") := 0; for l in 0..degree(pol) repeat aux : SUP(S,"j") := 1; for i in 1..l repeat aux:=aux*(monomial(coerce(n)$S,0)+monomial(1$S,1))

f

f

g

res := res+monomial(coefficient(pol,l),0) * aux res

g

g +++



d efinit l'automorphisme:

P (j ) ! P (j + 1). 121

sigma():Automorphism SUP(S,"j") == morphism(fsigma);

f

fTheta(pol: SUP(S,"x")): SUP(S,"x") == import from S; res: SUP(S,"x") := 0; for l in 1..degree(pol) repeat res := res + monomial(coerce(l)$S*coefficient(pol,l), l)

f

res

g

g

P (x) ! xP (x)

0 . +++ d efinit l'operateur d'Euler: Theta():Derivation SUP(S,"x") == derivation fTheta;



f

fD(pol: SUP(S,"x")): SUP(S,"x") == import from S; res: SUP(S,"x") := 0; for l in 1..degree(pol) repeat res := res + monomial(coerce(l)$S*coefficient(pol,l), l-1)

f

res

g

g

P (x) ! P 0(x).

D

+++ d efinit la derivation usuelle: D():Derivation SUP(S,"x") == derivation fD;

g

122

---------------------------------- balser.as --------------------------------#include "sumit.as" #library #library #library #library #library #library import import import import import

path "path.ao"; lagleg "lagleg.ao" differential "differential.ao" borel "borel.ao" laplace "laplace.ao" runge "runge.ao"

from from from from from

complexring, path, link, geolink, method; autoder,ci; poldelto,Powerseries,borel; polodo,differential,runge; lagleg,laplace;

SUP ==> SparseUnivariatePolynomial; POLDELTO ==> LinearOrdinaryPolynomialDifferenceOperator; POLODO ==> LinearOrdinaryPolynomialDifferentialOperator; LOEDO ==> EulerLinearOrdinaryPolynomialDifferentialOperator; SI ==> SingleInteger; Z ==> Integer; F ==> DoubleFloat; CF ==> Complex F; Balser(S: BalserRing):

with

f

balser: (Powerseries(S), List Ratio SI, CF) -> CF; ++ Si est une s erie formelle 1 r -sommable, ++ balser calcule la somme en . 1 r

f^

(f;^ [k ; : : : ; k ]; zr)

(k ; : : :; k )

zr

balser: (Powerseries(S), List Ratio SI, CF, Z) -> List CF; ++ Si est une s erie formelle 1 r -sommable, ++ balser calcule la somme en , 1 r ++ ainsi que toutes ses d eriv ees jusqu' a l'ordre et retourne 0 ( n ) ++ la liste .

f^

(f;^ [k ; : : : ; k ]; zr; n)

(k ; : : :; k )

zr

[f (zr); f (zr); : : : ; f (zr)]

n

balserpath: (Powerseries(S), List Ratio SI, Path(S)) -> Record(points : List CF , value : List CF); ++ Si est une s erie formelle 1 r -sommable, ++ balserpath calcule la somme le long du chemin 1 r iLbalser: (Powerseries(S), List Ratio SI, CF) -> CF; ++ Si est une s erie formelle sommable, 1 r ++ balser calcule la somme en . 1 r

f^

f^

(f;^ [k ; : : :; k ]; ch)

(f;^ [ ; : : : ;  ]; zr)

(k ; : : :; k )

( ; : : :;  ) , iL zr 123

ch.

iLbalser: (Powerseries(S), List Ratio SI, CF, Z) -> List CF; ++ Si est une s erie formelle sommable, 1 r ++ balser calcule la somme en , ainsi que 1 r ++ toutes ses d eriv ees jusqu' a l'ordre et retourne la liste 0 ( n ) ++ . iLbalserpath: (Powerseries(S), List Ratio SI, Path(S)) -> Record(points : List CF , value : List CF); ++ Si est une s erie formelle sommable, 1 r ++ iLbalserpath calcule la somme 1 r ++ le long du chemin . analyticpath: (Powerseries(S),Path(S)) -> Record(points : List CF , value : List CF); ++ Si est une s erie formelle convergente, ++ analyticpath calcule le prolongement analytique de la ++ somme le long du chemin par la m ethode de Runge-Kutta.

f^

( ; : : :;  ) , iL

(f;^ [ ; : : : ;  ]; zr; n)

n

[f (zr); f (zr); : : : ; f (zr)]

f^

f^

(f;^ [ ; : : :;  ]; ch) ch (f;^ ch)

( ; : : :;  ) , iL

ch

g

== add

zr

f zr

(k ; : : : ; k )

+++ Calcule la somme en d'une s erie formelle 1 r -sommable. balser(ps : Powerseries(S) , sum : List Ratio SI , zr : CF ) : CF == import from Z; import from List CF; bal := balser(ps, sum, zr, 0); first(bal)

f

g

zr (k ; : : :; k )

+++ Calcule la somme en ainsi que les d eriv ees jusqu' a l'ordre +++ d'une s erie 1 r -sommable. balser(ps:Powerseries(S), sum:List Ratio SI , zr:CF , n:Z): List CF == import from Borel(S); kappasum := kappasummability(sum); iLbalser(ps, kappasum, zr, n)

n

g

zr ( ; : : :;  ) , iL

+++ Calcule la somme en ainsi que les d eriv ees jusqu' a l'ordre +++ d'une s erie sommable. 1 r iLbalser(ps:Powerseries(S), kappasum:List Ratio SI, zr:CF):CF == import from Z; import from List CF; bal := iLbalser(ps, kappasum, zr, 0); first(bal)

n

g

124

f

f

zr ainsi (1; : : :; r ) , iL

+++ Calcule la somme en

que les d eriv ees jusqu' a l'ordre

+++

sommable.

n

d'une s erie

f

iLbalser(ps:Powerseries(S), kappasum:List Ratio SI, zr:CF, n:Z):List(CF)== import from Laplace(S); (#kappasum=0) => error("You should not use Balser's algorithm in the convergent case"); borellist := boreltransform(ps, kappasum); a : SI := numer(kappasum.1); b : SI := denom(kappasum.1); derivee(borellist,a,b,zr,n)

g

f^ = Pn0 anxn est une serie (1; : : :; r ) , iL sommable avec 1 = 1= 1, boreltransform(f;^ [1; : : : ; r]) scinde f^ en 1 sous-series, puis calcule leur transform ee de Borel d'ordre 1= 1 le long d'un

+++ Si +++ +++

+++ chemin demand e  a l'utilisateur; initerms repr esente la liste +++

[a0; : : : ; a ,1] 1

et listBorel les

1

transform ees de Borel.

boreltransform(ps: Powerseries(S), kappasum: List Ratio SI): Record( listBorel:List Record(vi:List(CF),phiqvi:List(CF),wi:List(CF)), initerms: List Quotient(S) ) ==

f

import import import import import import

from from from from from from

Borel(S); Partial Quotient(S); POLDELTO(S); Laplace(S); SUP(S,"j"); S,Z;

a : SI := numer(kappasum.1); b : SI := denom(kappasum.1); listBorel: List Record(vi:List CF, phiqvi:List CF, wi:List CF):= nil; initerms: List Quotient(S) := nil; subseries : List Powerseries(S) := split(ps,a); kappa:=[numer(kappasum.l)/(denom(kappasum.l)*a) for l in 2..#kappasum];

f

for q in 1..a repeat print CF,gammaderiv:F->CF):=coerce(gl); nlag := rgl.np;

(t ) exp(:::)

abscisses: List F := [ 0.044489365833267025, 0.576884629301886420, 1.72240877644464520, 3.49221327302199450, 5.90395850417424360, 8.98294092421259580, 12.7636979867427250, 17.2924543367153130, 22.6308890131967750, 28.8621018163234710, 36.1004948057519710, 44.5092079957549340, 54.3337213333969110, 65.9753772879350480, 80.1874469779135280, 98.8295428682839720,

f

0.234526109519618520, 1.07244875381781750, 2.52833670642579450, 4.61645676974976730, 7.35812673318624040, 10.7830186325399720, 14.9311397555225550, 19.8558609403360540, 25.6286360224592470, 32.3466291539647350, 40.1457197715394420, 49.2243949873086430, 59.8925091621340210, 72.6876280906627170, 88.7353404178923960, 111.751398097937680 ] ;

146

weights: List F := [ 0.114187105768104840, 0.418793137324853030, 0.727648788380971380, 1.04361887589207680, 1.37022133852178110, 1.71161935268645730, 2.07295934024653360, 2.46088907248823600, 2.88439209292204150, 3.35621769259580220, 3.89551304494854950, 4.53311497853436170, 5.32350097202366590, 6.37661467415965270, 7.96769350929590010, 11.1630130907678720,

0.266065216897615110, 0.572532846499804740, 0.884536719340249710, 1.20534927415235260, 1.53877725646864450, 1.88942406344948410, 2.26310663399696350, 2.66750812639711680, 3.11326132703958600, 3.61586985648426860, 4.19939410471158470, 4.90427028761124460, 5.80633321423362120, 7.07352658070724300, 9.20504033127818850, 15.3901804152606420 ] ;

[abscisses,weights]

g

+++ D efinit les abscisses

+++ de Legendre.

(ti)

et les poids de la formule de quadrature

Les poids sont ceux des tables de quadrature.

+++ Par la suite, les poids seront le produit de ces poids par

+++

0(ti) exp(:::.

On se limite pour l'instant  a 32 abscisses.

f

legendre(gl:GeoLink):Record(absci:List F,weight:List F)== abscisses:

List F :=

147

[

0.001368069075259215, 0.0176188722062468040, 0.0518394221169739520, 0.102758102016028790, 0.168477866534892390, 0.246550045533885320, 0.334065698858936190, 0.427764019208601710, 0.524153832843869130, 0.619643681126068580, 0.710675638065317630, 0.793857878620381170, 0.866091059370144850, 0.924683806866285000, 0.967453037968869830, 0.992805755772634250,

weights: List F := [ 0.00350930500473504810, 0.0126960326546310290, 0.0214179490111133410, 0.0293420467392677730, 0.0361728970544242570, 0.0416559621134733720, 0.0455869393478819490, 0.0478193600396374300, 0.0482700442573639040, 0.0469221995404022890, 0.0438260465022019060, 0.0390969478935351570, 0.0329111113881809210, 0.0254990296311880870, 0.0171369314565107150, 0.00813719736545283530,

0.00719424422736580920, 0.0325469620311301620, 0.0753161931337150130, 0.133908940629855150, 0.206142121379618830, 0.289324361934682360, 0.380356318873931410, 0.475846167156130860, 0.572235980791398280, 0.665934301141063800, 0.753449954466114650, 0.831522133465107630, 0.897241897983971090, 0.948160577883026070, 0.982381127793753120, 0.998631930924740830 ] ; 0.00813719736545283530, 0.0171369314565107150, 0.0254990296311880870, 0.0329111113881809210, 0.0390969478935351570, 0.0438260465022019060, 0.0469221995404022890, 0.0482700442573639040, 0.0478193600396374300, 0.0455869393478819490, 0.0416559621134733720, 0.0361728970544242570, 0.0293420467392677730, 0.0214179490111133410, 0.0126960326546310290, 0.00350930500473504810 ] ;

[abscisses,weights]

g

g

148

-------------------------------- laplace.as ---------------------------------#include "sumit.as" #library path "path.ao" #library point "point.ao" #library ci "ci.ao" import from complexring, path, method , localisation, minisup, point,ci; SI ==> SingleInteger; Z ==> Integer; F ==> DoubleFloat; CF ==> Complex F; Laplace(S : BalserRing):

with

f

readpath:() -> Path(S); ++ Lecture du chemin d'integration. Devrait se faire interactivement. derivee:( Record( listBorel:List Record(vi:List CF,phiqvi:List CF,wi:List CF), initerms:List Quotient(S)), SI, SI, CF, Z) -> List CF; ++ Calcule les derivees successives de la somme connaissant le ++ prolongement de chacune de ses sous-s eries. ;

g

== add

f

derivee( borellist: Record( listBorel:List Record(vi:List(CF),phiqvi:List(CF),wi:List(CF)), initerms: List Quotient(S)), a: SI, b: SI, zr: CF, n: Z) : List CF ==

f

import from Ratio Z; listres := borellist.listBorel; initerms := borellist.initerms; quadr: List(List(CF)) := nil; for q in 1..a repeat quadr:=concat!(quadr,list quadrv(listres.q,a,b,zr,n))

f

g

derivn : List CF := nil; for i in 0..n repeat derivaux : CF := 0;

f

149

f

for q in 1..a repeat alpha0 := initerms.q; quadrq := quadr.q; der: CF := first(quadrq); der:=der+ coerce(numerator(alpha0))$S /coerce(denominator(alpha0))$S; der := der * deriv(q-1, i, zr); for k in 0..i-1 repeat bin := binome(i,k); binF:=coerce(numer(bin))$F/coerce(denom(bin))$F; deraux := element(quadrq,i-k+1) ; deraux := deraux * deriv(q-1, k, zr) * binF; der := der + deraux ; derivaux := derivaux + der ; derivn := concat!(derivn, list derivaux) ; derivn ;

f

g

g

g

g

f

binome(n: Z, k: Z) : Ratio Z == factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)) ;

g

f

deriv(q: SI, k: Integer, xr: CF) : CF == qi : Z := coerce(q); if (k=0) then coef : Z := 1 else coef : Z := qi; for i in 1..k-1 repeat coef := coef*(qi-i) ; coeff : CF := coerce(coef); res : CF := coeff*xr^ (qi-k); res ;

f

g

g

f

quadrv( res:Record(vi:List CF, phiqvi:List CF, wi:List CF), ):List CF== a:SI, b:SI, zr:CF, n:Z import from DoubleFloatElementaryFunctions; viabs : List CF := res.vi; phiqvi : List CF := res.phiqvi; weightvi : List CF := res.wi;

150

quadr : List CF := nil; aF : F := coerce(a); bF : F := coerce(b); derivn: List Record(coef: F, expx: F, expt: F) := [[1/bF,0.,0.]]; for l in 0..n repeat resquadr: CF := 0; derivnn: List Record(coef: F, expx: F, expt: F) := nil; for j in 1..#derivn repeat aux := derivn.j; if (aux.expx = 0) then coeff := aux.coef * aux.expx; expxx := aux.expx - 1.; exptt := aux.expt; derivnn := cons([coeff,expxx,exptt], derivnn) ; coeff := aux.coef * aF/bF; expxx := aux.expx - aF/bF - 1.; exptt := aux.expt + 1./bF; derivnn := cons([coeff,expxx,exptt], derivnn); resaux: CF := 0; for i in 1..#viabs repeat vi := viabs.i; resaux:=resaux+ phiqvi.i*weightvi.i*exp(aux.expt*log(vi)) exp(-exp(log(vi)/bF)/exp(log(zr)*aF/bF)) ; resaux:=resaux*aux.coef*exp(aux.expx*log(zr)); resquadr := resquadr + resaux ; quadr := concat!(quadr, list resquadr); derivn := [derivnn.i for i in 1..#derivnn] ; quadr ;

f

f

f

g

f

g

g

g

g

element(quadruu:

List CF, n:

Z): CF ==

f

quadr := quadruu; for i in 2..n repeat quadr := rest(quadr); first(quadr) ;

g

+++ Lecture d'un chemin de sommation. readpath():Path(S) ==

f

151

import from SI,F,CF,List F,S; import from Method(S),Localisation(S),MiniSUP(S),Point(S); ch:Path(S):=createSeg( complex(0.,0.),complex(1,0),32, createSerie(createLoc(point(0@S)),0,[1$F],0)); ch:=ch+createSeg( complex(1,0),complex(2.,0),32, createRK(createLoc(point(1@S)))); ch:=ch+createSeg( complex(2.,0),complex(5.,0),32, createRK(createLoc(point(1@S)))); ch

g

g

152

---------------------------------- poldelto.as ------------------------------#include "sumit.as" #library autoder "autoder.ao" import from autoder,ci; LDELTO ==> LinearOrdinaryDifferenceOperator; SUP ==> SparseUnivariatePolynomial; LinearOrdinaryPolynomialDifferenceOperator(S: BalserRing): UnivariateSkewPolynomialCategory SUP(S,"j") == LDELTO(SUP(S,"j"),sigma()$AutoDer(S),"tau");

153

---------------------------------- polodo.as --------------------------------#include "sumit.as" #library autoder "autoder.ao" import from autoder,ci; LODO ==> LinearOrdinaryDifferentialOperator; SUP ==> SparseUnivariatePolynomial; LinearOrdinaryPolynomialDifferentialOperator(S: BalserRing): UnivariateSkewPolynomialCategory SUP(S,"x") == LODO(SUP(S,"x"),D()$AutoDer(S),"D");

154

---------------------------------- powerseries.as ---------------------------#include "sumit.as" #library poldelto "poldelto.ao" import from poldelto; import from autoder,ci; SUP ==> SparseUnivariatePolynomial; POLDELTO ==> LinearOrdinaryPolynomialDifferenceOperator; PowerSeries(S: BalserRing):

Ring with

f

createPowerSeries:(List Quotient(S), POLDELTO(S)) -> %; ++ Cr ee une s erie formelle. dispose!: % -> (); ++ D etruit une s erie formelle. coerce: % -> Record(ic: List Quotient(S), delt: ++ Donne la repr esentation interne. initcond: % -> List Quotient(S); ++ Retourne la liste des conditions initiales.

POLDELTO(S));

delto: % -> POLDELTO(S); ++ Retourne l'op erateur aux diff erences. coherent?: % -> Boolean; ++ Teste si les premiers termes sont solutions de l' equation ++ aux diff erences. coefficients : (% , SingleInteger) -> Partial List(Quotient(S)); ++ Retourne 0 nb,1 . coefficient : (%, SingleInteger) -> Partial Quotient(S); ++ Retourne nb . coefficients : (% , Integer) -> Partial List(Quotient(S)); ++ Retourne 0 nb,1 . coefficient : (%, Integer) -> Partial Quotient(S); ++ Retourne nb . nextCoeff: (List Quotient(S), POLDELTO(S)) -> Partial Quotient(S);

[a ; :::a

]

a

[a ; :::a

]

a

List CF

g

== add

f

generateDerivs(eqdiff: POLODO(S), sec:SUP(S,"x"),gamma:F->CF, gammaderiv:F->CF,znieme:CF):(List CF,F)->List CF==

f

g

(y: List CF, t: F):List CF +-> functionDerivs(eqdiff,sec,gamma,gammaderiv,y,t,znieme)

functionDerivs(eqdiff:POLODO(S),sec:SUP(S,"x"),gamma:F->CF, gammaderiv:F->CF,y:List CF,t:F,znieme:CF):List CF==

f

r: Integer := degree(eqdiff); i: SI := 1; res: CF := 0;

161

dydx: List CF := nil; coefr := eval(coefficient(eqdiff,r),gamma(t)); while coerce(i) CF, gammaderiv: F -> CF, a1: CF): (List CF, F)->List CF== (y:

g

f

List CF, t: F):List CF +-> eulerfunctionDerivs(eqdiff,sec,gamma,gammaderiv,y,t,a1)

eulerfunctionDerivs(eqdiff:LOEDO(S),sec:SUP(S,"x"),gamma:F->CF, gammaderiv:F->CF,y:List CF,t:F,a1:CF):List CF==

f

r: Integer := degree(eqdiff); dydx: List CF := nil; if (t = 0) then i: SI := 1; while coerce(i) SparseUnivariatePolynomial; POLDELTO ==> LinearOrdinaryPolynomialDifferenceOperator; CF==>Complex DoubleFloat; S ==> BalInt; import import import import

from from from from

POLDELTO(S); Balser(S); Integer; S;

f

session():() == coef1:SUP(S,"j"):=monomial(1,0); coef0:SUP(S,"j"):=monomial(1,1); print