Equation Aux: Élastiques) [PDF]

Zitiervorschau

2"4 Equation des cinq moments (Poutres continues aux appuis

élastiques)

31

2.4 Equation des cinq moments (Poutres continues aux appuis élastiques) Un appui élastique A1 (figure 2.9) est caractérisé par une constante positive k6 définie par :

'-i: AYCC

(2.100)

-k::iR'i

:

: est le déplacernent vertical de I'apprii A;, la réaction verticale de l'appui :1,, k; : est appelé coefficient iLe souplesse de l'appui A;.

r-:;

,81 ; est

.l

.

.I,I

I

,L: t-L

F

IGuRS 2.9

-

Poutre continue sur appuis élastirlues

La r:êaction d'un appui z est donnée par D fl ,:

:

n0 t Ttt .fl,r(-ti--'Li)

T/\

(2" 101)

-Rÿ corresporrtl à 1a réaction de 1'appui i pror,-oquêe par I'application cles charges extérieures sur Ie sy'stème isostatique associé (système (0) de la figure

2"2). trlie est forrrulée par

:

R?:R?,+R1,, Ti etTil*, sont

(2.102)

les efÏorts lranchants au niveau de l'appui

Reprenons l'équation des trois moments nivellalion (équations '2.24 et 2.27')

a,vec

I (figure 2.9).

prise en cofirpte d'une dê-

:

b;Mi-r âvec

*

(ci + ar+i)-[4

:

tlilr r-l _ -

Pr.

N,I.

*

RGUIG

U;-r-

1

b;11M,41

--

Ù',

Lr,-

Cours

: Llalcul

:

(CI::

-

Érj)

+ (f),*r

t'i - t'r-1 o tr, L

des structures

- Q,)

(2.103)

(2. r o4)

rfu Bsrp

2.4 Equation des cinq moments (Poutres continues aux appuis

élastiques) on a donc

32

:

(;_'#) ,,

1-(.,-t.,, ,)Â[,-b,r r11,,L : (H','-0',)-i,', ,* 1

b,-\!,

Lt

*:--

1

tr-f1

t'; +

(2.1Oti)

r

En considérant l'expression du rnoment sur une travée donnée (équation 2.29) et en ignorant le terme rns,(r), on obtient l'expression de la, réaction Â, :

R'

(2" 106)

: :',:l*:'lt ,,,- l*,

-

LIi

En considérant l'équation (2.100), on a donc

-

ùri-y

(2.107)

t, :

,;: -^,[ot -l,^',-(i-*) 'r,-#] ,

{,-l

--o,-,

,, ui-r : -",

lno - 1 1/"-",-.l,,r;-t Ç,"

|

- 4lV, LÂ?_,

(

(2" 108)

(l- -*1) -,r, , - I'] tl U,-, ,,1,",

)-t n t,-L)z/,l

\/,,

r2.roer \L'Lwat

,l(2 1ro) - ,l/' /, z l.

On reporte les équations (2.108), (2.109) et (2.110) dans l'êquation (2.105) et en ordonnant les bermes. on obtient l'équation des cinq moments :

ko-' II

L

t,-11i

n

^,,

*

l,-T(* ;) î(i

+

[.n*o,*, +

i-

[h,+r

-

*)l ., .T**, (* --*) .H)",

*,(; " kl*) - ir (# . *)1,',,.', k,-ipo

(2.i11)

, tl ^:tA, - a" - t,-,\r'tlt-2: \a; /J/\- , n'-' t \ ro À",,rr,0 , /1 Ri -o'[[

- ,,,,)

r;RY '

L'équa.tion rles cinq nioirrents peut être êcrite soris ia fortrte sirnpiifiée

\--tÿ[r, -z + §rù1"-r + ai.l,{, Pr. \'1. R.GUIC

Cours

:

+ 3i111,1,.r -]- ^,,+r111,r z :

C-la,lcul des strur:tures

r\;

:

(2.112)

jrk Bsrp

2.5 Exercices

A,VCC

33

:

o,

:

c;_ a,,*

? -*,(i *)'-

1\ k,/t r L k,,( i '1':'-ï(i;-i)-i(i-r,j ^tr,

(2rr3)

^-

1\

(2 11r)

t/tl

:

(2"115)

L,U,

rr/

\\ji

ri

" \1,

l, ,) "'

l,+t

r(i-l

\L t tvt

: En apphq'uant le théorème des cinq moments à, chacun

Remarque

(n+1.) appuzs éLasti,ques (,40,.11,...,An), on obtrent un système linéa,zre de \n - 1) équati,ons ù ("-1)'inconn'ues (,Lfr,. ..,t[,,-t), ce qui est suffisant si,les appuis ertrêm.es des appui,s'interrnédiai,res d'une poutre t'ontinue à

sont des appulis simples

2.5

(À'10

: fu[,:91.

Exercices

.â Exercice 4

:

Caiculer Ie moment rl,li de l'appui A1 et sa réa,ction Ê1. On prencl EI : cte.

Pt I,.). .

,.)-)P

._{,,&--H.r, '/7i ,fu1

,L2

4h

/fi

I'Içun"a 2.10 -- Schéma de 1'exerr:ice

e

Solution 4

Les appuis A6

:

et,

A2 sont des appuis fixes. on a donr:

lla: lv'lr:g pr. Nr

Rcr-rrG

4

Cours

I Calcul

des

structures

:

(2.117)

lk\ BHTp

2.5 Exercices

34

ks:ltr-g la rigidité en flexion est constalûe E'I

:

(2" 118)

ct€, on a donc pour une travée

r,:#

a,:'2h,__

(2.

i 1

:

1e)

les rotations et Ia réaction du point Ai du système isostatique associé dues aux chargcs crtérieures sont (voir figurc 2.11) :

Dt2 L

I

,tl

'

tttl

v1

16EI

-

t) Itr

FtccRs

2"11

-

llr

-

l

Jt

I

L

rcEI

(2.r20)

L)

-r:

"2

Dt2

*

(.2.121)

J

',)

R.éactions d'appuis du systèrne isostatique associé

coefficients de 1'équatiori des cinq fi]oments, corrcspondante à 1'appui , Sonl : 1es

A1

4.1 :

,ko

(; - ;)' "fi

*tL2t;;tÆ1

C1

t"î

tl4k 3EI ' 3EI -+.-+21 4k : __+_ ' :

3EI

r\, rrl

: :

(2"r23) 12

(2.1'24)

!2

o'.'

kz, 1\,0 - o'r- f ,t - *, (t(i - i) 'i ioz

(2.12ô)

0'l

-

(2.126)

0',

*Trl

PI2

4ltnD

PL2

I

a1I[1: Cours

i2.128)

l_

l'équation des cinq rnomerrts s'écrit porrr l'appr-ii A1

N4. R.GUIG

(2.127)

16EI I6EI - 1-' P!2-r ZkP

- ïEt

Pr,

() 1))\

: Calcul

4.1

cles structures

:

i,

1

,o\

lfu BHrp

2.5 Exercices

35

/ 2t ,,, L- / \tE1 *) 1613 - g6kEl - 2lErP -i'' :

{ +

pour l'appui A1 on à

(2.130)

t -

24EI12

(2.131)

(2"t32)

+ 96kEI

:

4_r L.*,

iI,

_

-11,

-

-11,_r

(2.133)

l=

:

1) _Irl

ltlz

r>A-1.rLl

D

- llj

1,''.

I

I

î

(2.134)

Ir

- l-''. t'

(2.135)

0,,

(2.136)

P(48kEI

n l--

\\ - L{p

h-

'

p_

813

D 111

.+ Exercice 5

2KP

-zPt1 + 4BkPEIL

1613

La réa,clion d'un appui i s'écrit -1

.._L

Pt( BkEr - Bl')

Mt:

D no ii,:ili_

PL2

gEI'

*

3l')

(2.137)

+ 48kEI t7P13

-

813

(2.138)

+ 48k81

:

Clalculer le moment de l'encastrernent ,4r et la réaction de l'appui ,4s du schéma de la flgure (2"12). On prend lll ,: cte.

Frc;unB 2

12

Schérrra de l'exercice

Ir

e Solution 5 :

Pr. NI.

R.GUIG

Cours

: Calcul

des structures

l&. Bntp

2.5 Exercices

36

,lllm-r|]yr 'tqrul2 m7 r.

I

ttl l'') a

I

,

t

/1 : 0 tl

ql

l'2

R',

I'tcuRo

2.13

- Schéma cle ia solution

de 1'exercice 5

Le schéma de la figure (2.12) est statictrueirrcnt équivalont a,u premier schéma de la figure (2.13). Tiavaillons clonc sur le schema equivalent (hgure 2.13). Les appuis A1 et A2 sont des appuis 6.xcs" donc 'k1

:

:l'':g

(2.13e)

pour les appuis des extrémités A0 et A2, on a

:

'110:-\12:6 Puisque

EI :

cfe. on a

:

ll 3Lt

u\-:t)l-rtLes rotations du point

Ai sont données par

o',:.']'), , 2JET on a ia réaction

Â!

(2.1 40)

o

(2. r41)

:

H',"-tJ

(2.142)

:

Â3:Ê3'+,?3":o*

l,:*

(2 143)

L'équation des cinq rnoments s'écrit pour le point A1 comme suit ^ Ir _ A ullrrl -;r1

Pr. IvI. RGLIIG

Cours

: Calcul

des structures

:

(2.114)

4fu

nnre