Ennyit kell(ene) tudnod matematikából [3. ed.] 963545015X [PDF]

Zitiervorschau

BLÁZSOVICS JÓZSEF

Panem-Akkord

Blázsovics J ózsef

ENNYIT KELL(ENE) TUDNOD MATEMATIKÁBÓL

Blázsovies József

ENNYIT KELL(ENE) TUDNOD

MATEMATIKÁBÓL

AKKORD • PANEM

Lektorálta: Sárvári Csaba, Bán Miklós Szerkesztette: Bán Miklós A borítót tervezte: Vaisz György Műszaki szerkesztő: Érdi Júlia Az ábrákat rajzolta: Simon Jánosné

© Blázsovics József, 1992 Harmadik kiadás: Budapest, 1995

Ez a könyv az Akkord Kiadó Kft. és a Panem Kft. közös kiadásában készült

A kiadásért felel a Panem Kft. ügyvezetője Budapest, 1995

Postacím: Panem Kft. 1385 Budapest Pf. 809.

ISBN 963 545 015 X Szedte: írnok Kft.

TARTALOM

ELŐSZŐ ............................................................................................

9

I. FEJEZET. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1. Halmazok megadása, szemléltetése, számossága 1.2. Műveletek halmazokkal ............................................................

11 14

II. FEJEZET. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI ILI. ítéletkalkulus, kvantorok ......................................................... 11.2. Logikai műveletek 11.3. Következtetések

17 18 21

III. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK III. 1. A racionális számok halmaza ................................................ 111.2. A valós számok halm aza 111.3. A komplex számok halmaza ..................................................

23 30 32

IV. FEJEZET. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK IV. 1. Osztók, oszthatóság ................................................................ IV.2. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

40 42

V. FEJEZET. ALGEBRA V .l. Algebrai alapfogalmak ............................................................ V.2. A hatványozás és fordított műveletei (gyökvonás, logarit­ mus) ............................................................................................

45 47

6

TARTALOM

V.3. Egyenletek, egyenlőtlenségek .................................................. 53 V.4. Elsőfokú (lineáris) egjrismeretlenes egyenletek és egyenlőt­ lenségek ....................................................................................... 57 V.5. Elsőfokú két ismeretlenes (diofantoszi) egyenletek és egyen­ letrendszerek .............................................................................. 60 V .6. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek .............................. 65 VI. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK V I.l. A számtani, a mértani és a harmonikus közép fogalma; a rájuk vonatkozó egyenlőtlenségek .............................................. 77 VI.2. Számsorozatok ............................................................................ 78 VI.3. A számsorozatok tulajdonságai ............................................ ... 85 VI.4. Számsorok ................................................................................... 90 VII. FEJEZET. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK V n .l. VII.2. VII.3. VII.4. VII.5. VII.6. VII.7.

Relációk, leképezések............ ............................................... 94 Egyváltozós valós függvények.............................................. 98 Műveletek függvényekkel ............................... .................... 110 Függvénytulajdonságok....... ................................................ 112 Függvények folytonossága és határértéke ........................... 120 Elemi függvények.............. .................. ................................ 129 Nem elemi függvények.............. ........................................... 147

VIII. FEJEZET. VEKTORALGEBRA V n i.l. VIII.2. Vin.3. VTQ.4.

Vektoralgebrai alapfogalmak.............................................. Vektorok összeadása (kivonása), számmal való szorzása . A vektor koordinátái ........................................................... Vektorok szorzása ................ ...............................................

151 153 156 162

IX. FEJEZET. TRIGONOMETRIA IX. 1. A szögfüggvények értelmezése ............................................... 169 IX.2. Trigonometrikus összefüggések ..............................................176 IX. 3. Általános háromszögekre vonatkozó tételek ....................... 178

TARTALOM

7

X. FEJEZET. ELEMI GEOMETRIA Alapismeretek ................................................................................... ..182 X .l. Térelemek ....................................................................................182 X.2. A szög és m érése....................................................................... 186 X.3. Nevezetes ponthalmazok ...........................................................193 Geometriai transzformációk............................................................ 194 X.4. Egybevágósági transzformációk.............................................. 196 X.5. Hasonlósági transzformációk .................................................. 205 X .6. Egyéb transzformációk ............................................................ 212 Síkidomok ................................ ......................................................... 216 X.7. A háromszögek ......................................................................... 216 X .8. A négyszögek ................ ........................................................... 227 X.9. A sokszögek .............................................................................. 235 X.IO. A k ö r .........................................................................................239 X .ll. A síkidomok kerülete és területe...........................................250 T estek ................................................................................................. 255 X .12. Poliéderek ................................................................................ 255 X.13. Görbelapú testek ................................................................... 262 X.14. A g ö m b ..................................................................................... 268 X.15. A testek felszíne és térfogata................................................ 271 XI. FEJEZET. KOORDINÁTAGEOMETRIA A sík koordinátageometriája............................................................ 278 XI. 1. A pont koordinátageometriája.............................................. 278 XI.2. Az egyenes koordinátageometriája ....................................... 283 XI.3. A kúpszeletek koordinátageometriája .................................. 295 Koordinátageometria a té r b e n ......................................................... 311 XI.4. A pont koordinátageometriája.............................................. 311 XI.5. Az egyenes koordinátageometriája ....................................... 316 XI.6. A sík koordinátageometriája..................................................318 XI.7. Forgásfelületek egyenlete ...................................................... 322

8

TARTALOM

XII. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS XII. 1. A differenciálhányados értelmezése, a derivált ..................326 XII.2. Deriválási szabályok .............................................................. 335 XII.3. Differenciálható függvények vizsgálata .............................. 338 XIII. FEJEZET .INTEGRÁLSZÁMÍTÁS XIII. 1. XIII.2. XIII.3. XIII.4.

A határozott integrál .......................................................... 343 A határozatlan integrál ....................................................... 352 A határozott integrál alkalmazásai ................................... 362 Közelítő (numerikus) integrálási eljárások ....................... 372

XIV. FEJEZET. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI X IV .l. M átrixok ................................................................................375 XIV.2. Determinánsok ..................................................................... 383 XV. FEJEZET. KOMBINATORIKA XV. 1. Permutációk .......................................................................... 387 X V .2. Variációk..................................................................................389 XV.3. K om binációk.......................................................................... 391 XVI. FEJEZET. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA XVI. 1. Eseményalgebra ................................................................... 393 XVI.2. A valószínűség fogalma, kiszámítása ................................ 396 XVI.3. A valószínűségi változó és jellemzői .................................. 402 TÁRGYMUTATÓ ............................................................................ 406

ELŐSZŐ

Ebben a könyvben a középiskolában oktatott teljes matematikai ismeretanyag tömör összefoglalását kívántuk közreadni. A törzsanyag néven ismert anyagrészeket ezért olyan további témákkal bővítettük, amelyeket részben a speciális osztályokban tanítanak, részben pedig elősegítik a középiskolából a felsőfokú oktatási intézményekbe jelent­ kezők felkészülését. Ez a zsebkönyv segítséget kíván nyújtani mind a nappali, mind az esti, illetve levelezős középiskolai tanulóknak az aktuális órai anyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissítéséhez, valamint az érettségi és felvételi vizsgára való felké­ szüléshez, de az első éves főiskolai és egyetemi hallgatók is hasznosan forgathatják. A könyv megírásában nem kifejezetten didaktikai szempontok vezettek, hanem a feldolgozott anyagrészek diszciplináris egységét kívántuk bemutatni. így egy fejezetben találhatók meg például a geometriai transzformációk, jóllehet ezeket a középiskola különböző évfolyamain tárgyalják. A kötet zsebkönyv jellege megkövetelte, hogy a legtöbb esetben csak a fogalmak definiálására, valamint az ezeket összekapcsoló tételek kimondására szorítkozzunk. A tételek közül csak a legnevezetesebbek bizonyításáét közöljük. Ennek ellenére számos helyen igyekeztünk példával elősegíteni a fogalmak megértését és a tételek alkalmazását. A definíciókat [^ , a tételeket [^ , a példákat [p]és a bizonyításokat jellel láttuk el. A definíciók és tételek szövegét függőleges vonal kíséri, és a jelentősebb képleteket bekereteztük. A kötetben szereplő fogalmak és tételek gyors visszakeresését betűrendes tárgymutató segíti. A szerző

I. A HALMAZELMELET ALAPJAI

1.1. HALMAZOK MEGADASA, SZEMLELTETESE, SZÁMOSSÁGA A halmazt alapfogalomnak tekintjük, melyet más fogalmakkal nem definiálunk. Amikor a halmazokról van szó, bizonyos meghatározott, valóságos vagy gondolatban kialakított dolgok összességére gondoljunk. A halmazhoz való tartozás szintén alapfogalom: A halmazhoz tartozó dolgok a halmaz elemei. A halmazokat a latin ábécé nagybetűivel, az elemeit pedig kisbe­ tűivel jelöljük. Ha a eleme yl-nak, akkor ezt így írjuk: a G ellenkező esetben a^A. Egy halmazt adottnak tekintünk, ha minden szóba kerülő dologról egyértelműen eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem. Azt a halmazt, amelyen vizsgálatainkat végezzük, alaphalmaznak nevezzük; jelölése I. A halmazt megadhatjuk: — Az elemeinek felsorolásával. Ekkor a halmaz elemeit kapcsos zárójelbe tesszük és az egyes elemeket vesszővel vagy pontosvesszővel választjuk el egymástól, pl.: {1 ;2 ;3 }. — A halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával, pl. A := {A; € N I A; < 10}, ahol N jelöli a természetes számok halmazát. Az A halmaz elemei a tíznél kisebb természetes számok. A halmazokat Venn-diagrammal szemléltetjük (VENN angol matematikus, 18341923). A Venn-diagram is alapfogalom: az alaphalmazt zárt síkbeli

12

L A HALMAZELMÉLET ALAPJAI

tartománnyal ábrázoljuk, s a halmaz elemeit e tartomány belsejében helyezzzük el ( 1.1. ábra). Két halmaz ekvivalens, ha elemeik megegyeznek, jelölése A ^ B. Az A = {1; 1; 2} és a ^ = {1; 2} ekvivalens halmazok: Ar^ B.

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevezzük; jelölése 0 vagy { }. A kialakult szokásnak megfelelően a számhalmazokra a következő jelöléseket alkalmazzuk: N, Z , Q, E. A Z"^, ill. a Z “ a pozitív, ill. a negatív egész számok halmazát jelöli. Hasonló értelemben használjuk a Q “^, Q ~ ; W~ jelöléseket is a racionális, ill. a valós számokra. N a természetes számok halmazát jelöli. [ d1 a halmaz véges, ha véges sok eleme van. Véges halmaz számos­ sága egyenlő az elemeinek számával. Az A halmaz számosságát [^[-val jelöljük. A természetes számok N halmazának számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. Az A halmazt megszámlálható halmaznak mondjuk, ha számossága véges vagy megszámlálhatóan végtelen. m

A valós számok halmaza nem megszámlálható.

L A HALMAZELMÉLET ALAPJAI

13

Az ]R halmaz számosságát kontinuum számosságnak nevezzük. Az A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ill. konti­ nuum, ha az A halmaz elemei és az N, ill. az M halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (leképezés) létesíthető. Bizonyítható, hogy az egész számok Z halmaza és a racionális számok Q halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú, azaz |Ni = |Z| = |Q|. Az A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme; jelölése A C B. Az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha A részhalmaza ^-nek és jB-nek van olyan eleme, amely nem eleme ^-nak; jelölése AcB. A a) b) c)

részhalmazképzés A C A — reflexív, ha A C jB és ha jB C t4, akkor A — B — antiszimmetrikus, ha ^ C ^ és ha jB C C , akkor A ^ C — tranzitív tulajdonságú (A, B és C tetszőleges halmazok). Az A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A halmaz hatványhalmazának nevezzük és P(A)-val jelöljük.

0

A : = { 1 ; 2 } ,

P (A )

=

{ { } , { ! } ,

{2 }, {1; 2 } } .

m

Ha az A véges halmaz elemeinek száma n (G N), akkor ^-nak 2^ számú különböző részhalmaza van, azaz |F(A)| = 2Í^I.

Nincs olyan halmaz, amelynek minden halmaz az eleme.

14

I. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI

1.2. MŰVELETEK HALMAZOKKAL [d1 A z a és B halmaz uniója (egyesítése) pontosan azon elemek halmaza, amelyek hozzátartoznak A-hoz vagy jB-hez ( 1.2. ábra); jelölése AU B, azaz

A u B = { x \X e A vagy x e B }.

Hasonlóan értelmezhető kettőnél több halmaz uniója is: n

U ^ i = ^ l U ^ 2 U ...U^n. i=l Az unió (egyesítés) halmazművelet tulajdonságai: Auib = A] Au A = A — idempotens; AuB = BuA — kommutatív'^ {Au B )U C = A u {B U C ) — asszociatív. m

Ha A és B véges halmaz, akkor \AöB\ B \= B — leválasztási szabály (a B ítélet következménye az A, valamint diZ A B ítéleteknek); A=> B^ ~^B 1= ->A — indirekt bizonyítás] A B \= ~^B ^ ->A — kontrapozíció]

22

II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI

— hipotetikus szillogizmus. A következtetési szabályok helyességének vizsgálata visszavezet­ hető arra a kérdésre, hogy egy formula azonosan igaz-e vagy nem. H ] Az A i , A 2 , . . . , A n \=A

következtetési szabály akkor és csak akkor helyes, ha az

a = (Ai At42 A ... AAn) => A logikai formula azonosan igaz {tautológia)^ vagyis ha az A\^A2 T..^An^A logikai változók bármely értéke esetén a-ra mindig igaz logikai érték adódik.

III. SZAMHALMAZOK

III. 1. A RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA A racionális számok halmazának tárgyalását két legfontosabb rész­ halmazával, a természetes számok és az egész számok halmazának ismertetésével kezdjük. A természetes számokon a számlálás eredményeként kapott N = { 0, 1, 2, . . . } végtelen számhalmazt értjük. A természetes számokat és a számlálást is — a tapasztalat alapján — alapfogalomnak tekinthetjük. A legkisebb természetes szám a 0, legnagyobb nem létezik. A természetes számok halmaza megszámlálható és rendezett hal­ maz. A természetes számok írására ma már szerte a világon az arab számokat használják: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. A számokat helyiér­ tékes rendszerben ü*juk fel, leggyakrabban a tízes számrendszerben. Beszélünk a számjegyek alaki, helyi és valódi értékéről. 0

Tekintsük a tízes számrendszerben adott 5374-et; ekkor Helyi értéke

ez­ szá­ ti­ egyes res zas zes 5

3

7

4 4

Alaki értéke

7 3 5

Valódi értéke

4-1=

4

7 •10 =

70

3•100 = 300 5 •1000 =5000

24

III. SZÁMHALMAZOK

Tehát 5374 = 5 •1000 + 3 •100 + 7 •10 + 4 •1 = =3 5 •10^ + 3 •10^ + 7 •10 + 4 •10°.

A tízes (decimális) számrenszerben az alap 10 és tíz számjegyet használunk egy szám felírására. m

Tetszőleges A > Q egész szám felírható A ^ O n 10" + ffln-1 alakban, ahol

+ ... + ai 10 + aolO°

G N,

0 < tti < 9

(i G N) és ttn ^ 0

Ebben a felírásban az határozva.

{ n e N).

számjegyek egyértelműen vannak meg­

A kettes (bináris) számrendszerben az alap 2, és két számjegy van: 0 és 1. ^ 1P I 1101 a 1 •2^ +

10

•2^ + 0 •2^ + 1 •2° = 13 számnak felel meg.

Hasonló a többi számrendszer alapelve is. Egy tízes számrendszerben felírt számot úgy számítunk (konvertá­ lunk) át egy másik számrenszerbe, hogy az adott számot elosztjuk az új számrendszer alapszámával, majd a kapott hányados egész részét újból elosztjuk az alapszámmal, s így tovább, míg végül 0 hányados nem adódik. Az egyes osztásoknál nyert maradékok lesznek — jobbról balra haladva — a számjegyek az új számrendszerben. A 0-nál nagyobb a természetes szám negatívjának (ellentettjének) nevezzük és (—a)-val jelöljük azt a számot, amelyre a-h (—a) = (—a)-h a = 0 teljesül. A negatív számok halmazát Z “ -szal jelöljük.

III. SZAMHALMAZOK

25

A 0-nál nagyobb természetes számokat pozitív egészeknek nevez­ zük és Z+-szal jelöljük. A természetes számok és a negatív egész számok halmazának egyesítése az egész számok halmaza; jelölése Z. Az egész számok Z halmaza rendezett halmaz a „ < ” relációra nézve, azaz teljesülnek a következő tulajdonságok a) V a G Z-re a ^ a — irreflexív; b) ha. a,b,c g Z A a < b Ab < a < c — tranzitív] c) ha a, 6 € Z és a 7^ 6, akkor a b relációk közül pontosan az egyik teljesül (bármely két valós szám mindig összehasonlít­ ható) — trichotom. Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú. Az egész számok halmazában az a+ X= 6 egyenlet mindig egyértelmííen megoldható; az összeadás inverz mííveletét kivonásnak nevezzük: X = 6 -h (—a) — b —a. Az egész számok halmazában az (1)

ax = b

{a,h,xeZ)

egyenlet nem mindig oldható meg, vagyis az egész számok halmazában a szorzás fordított (inverz) művelete, az osztás nem mindig végezhető el. Az ( 1) egyenlet megoldása olyan, — val jelölt szám, amelyet a-val a megszorozva h-t kapunk. Az ( 1) egyenlet megoldásaként kapott x = — a

(a ^ 0,

a^b^lj)

alakú számokat racionális számoknak {törtszámoknak, röviden törtek­ nek) nevezzük.

26

m . SZÁMHALMAZOK

Azt a törtszámot, amelyiiek a számlálója kisebb a nevezőjénél, valódi törtnek nevezzük. (Ha a számláló egyenlő a nevezővel, a tört értéke 1.) Ha a tört nevezője nagyobb a számlálójánál, áltörtnek mondjnk. Az áltört felírható egy egész szám és egy valódi törtszám segítsé7 3 gével is; ez az áltört vegyes szám alakja; pL: 1- . 4 4 A racionális számok halmazát Q-val jelöljük. Az egész számok is racionális számok, hiszen valamennyi felír­ ható (de nem egyértelműen) két egész szám hányadosaként; pl.: 1

2

■■■■

Az ^ és ^ ugyanazt a racionális számot jelenti, ha ab^ = a'b. b u Minden racionális szám felírható olyan — racionális számként, b amelyben a és b relatív prímek (legnagyobb közös osztójuk 1). Ezt úgy érhetjük el, hogy a tört számlálóját és a nevezőjét is elosztjuk a közös osztójukkal, amíg az lehetséges. Ezt nevezzük tört egyszerűsí­ tésének. Megfordítva, a tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét is ugyanazzal a 0-tól különböző számmal megszorozzuk (bővítés). Az -

racionális szám átalakítható egész számmá vagy tizedesa törtté, ha a tört számlálóját elosztjuk a nevezőjével. Legyen - tovább 0

már nem egyszerűsíthető tört. a) Ha 6-nek csak a 2 vagy az 5 prímosztói, akkor - felírható véges b tizedestörtként. b) Ha a b prímosztói közül a 2 vagy az 5 előfordul, de ezen kívül más prímosztói is vannak, akkor — felírható vegyes szakaszos végtelen 0

tizedestört alakban. c) Ha a b prímosztói között sem a 2, sem az 5 nem szerepel, akkor Cb — tiszta szakaszos végtelen tizedestört alakban írható fel. b

m . SZÁMHALMAZOK

27

EE] - = 1,333... = 1,3; 3 I = 0,4285742857... = 0,42857.

Az a), b) és c) állítások megfordítása is igaz: m

Minden véges vagy végtelen (tiszta vagy vegyes) szakaszos tize­ destört felírható két egész szám hányadosaként.

[T| Egy szám akkor és csak akkor racionális, ha vagy egész szám, vagy tizedestört alakja véges vagy szakaszos végtelen.

El

A racionális számok halmaza megszámláható számosságú, vagyis kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (leképezés) létesíthető az N és a Q halmaz elemei között. A racionális számok Q halmaza a „ < ” relációra rendezett halmaz.

MŰVELETEK A RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZÁBAN Egyenlő nevezőjű törteket úgy adunk össze (vonunk ki), hogy a számlálóikat összeadjuk (kivonjuk), nevezőiket pedig változatlanul leírjuk. Ha a nevezők különbözőek, akkor először megkeressük a nevezők legkisebb közös többszörösét (ez lesz a közös nevező), majd az egyes törteket úgy bővítjük, hogy a közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse 4egyen.

lEl 2

_ 4^

3 ^ 12 “

A

2 _ 1 _ 3^ _ ^ 5

3 “

- H.

12 “ 12’ 15

_ J_

15 “ 15’

28

III. SZÁMHALMAZOK

Az összeadás megfordítása (a kivonás) nem vezet ki a Q halmazból, vagyis az a + X = 6 egyenlet mindig megoldható a Q halmazon. Törtet úgy szorzunk egész számmal (ill. egész számot törttel), hogy a tört számlálóját megszorozzuk az egész számmal, s a tört nevezőjét változatlanul hagyjuk.

3

5

5

Törtekkel úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát osztjuk a nevezők szorzatával. 0

3

5

15

2

4 ' 7 "" 28 ’ 4 ^_4 5

4

4

32

3 ' 5 ' 7 ~ 105 ’ 3_4-3_12

~ 5 1 ~ 5 1 ~ Y '

Törtszámot úgy osztunk egész számmal, hogy vagy a számlálót osztjuk az egész számmal (ha az osztás maradék nélkül elvégezhető), 6 2 és ekkor a nevezőt változatlanul hagyjuk, pl.: - : 3 — - , vagy a nevezőt megszorozzuk az egész számmal, és ekkor a számlálót írjuk le változatlanul; pL: - •5 = — . I 3o Törttel úgy osztunk törtet (egész szám.ot), hogy az osztandó törtet (egész számot) megszorozzuk az osztó (tört) reciprokával. 3 4 3 5 ' 7 “ 5

7_21 4 “ 2Ö’

4- ^ - 4 ' ^ _ 2 8 '7~ ' 3 ~ Y ‘

Vegyes számmal való művelet végzésekor azt javasoljuk, hogy elő­ ször alakítsuk át a vegyes számot áltörtté, majd ezután a tanultak szerint végezzük el a kijelölt műveletet. A racionális számok halmazában érvényesek az összeadásra és szorzásra a következő tulajdonságok: a-{-h — h-\-a^ ab = ha — kommutativitás; (a + &) + c = a + (& + c), (ab)c — a{bc) — asszociativitás;

III. SZÁMHALMAZOK

{a + h)c = ac + bc^ a{b -hc) = ab-\-ac

29

— disztributivitás;

továbbá az összeadás, ill. a szorzás művelete megfordítható (invertál­ ható), azaz Va, 6 € Q-ra az a -h x = b,

ax = b

(a^O)

egyenletek egyértelműen megoldhatók a racionális számok halmazá­ ban. Az utóbbi tulajdonság másképpen azt jelenti, hogy létezik olyan racionális szám, hogy Va G Q-ra a

+

0

=

0

+

a = = a ,

a

l

=

l -

a

=

a ;

és van olyan (—a)-val, ill. (a“ ^)-gyel jelölt racionális szám, hogy a + (-a ) = (-a ) + a = 0 a -a ^ = a

^ a= l

A racionális számok halmazát a felsorolt tulajdonságok fennállása miatt racionális számtestnek nevezzük. A racionális számok fontos tulajdonságát mondja ki a következő tétel. Tetszőleges két, különböző racionális szám között mindig végte­ len sok racionális szám van. Ez a tulajdonság azt fejezi ki, hogy a racionális számok halmaza önmagában sűrű. A racionális számokat számegyenesen ábrázolhatjuk (3.1. ábra). Minden racionális számnak megfelel egy pont, de így végtelen sok ponthoz nem tartozik racionális szám, annak ellenére, hogy a racionális számok nagyon sűrűn helyezkednek el. ----------------1---------- 1---------- 1---------- 1---------- h -1

-

1/2

0

1/2

1

3.1. ábra.

Az eddig megismert N, Z , Q halmazok között az

NcZcQ kapcsolat áll fenn.

30

in. SZÁMHALMAZOK

ltl.2. A VALÓS SZAMOK HALMAZA A végtelen, nem szakaszos tizedestörteket irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok tehát nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az irracionális számok halmazát Q*-gal jelöljük. A racionális számok Q és az irracionális számok Q* halmaza diszjunkt: Q fi Q* = 0. m

Az irracionális számok halmaza végtelen és nem megszámlálható (kontinuum) számosságú.

A Q* irracionális számok halmaza sűrű (bármely két irracionális szám között végtelen sok irracionális szám található). Belátható, hogy bármely két különböző racicmális szám között van irracionális, ill. bármely két különböző irracionális szám között van racionális szám. Az irracionális számokat tetszőleges pontossággal racionális szá­ mokkal közelíthetjük, pl.: ^/2 » 1,4142; 7T« 3,1415. Értelmezhető az irracionáhs számok egy­ mással és a racionális számokkal való összeadása és a szorzása úgy, hogy a racionális számokra vonatkozó összes műveleti tulajdonság érvényben maradjon. [U

A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését valós számoknak nevezzük; jelölése M (reális = valós), azaz

Az N, Z, Q, Q*, R halmazok kapcsolatát szemlélteti a 3.2. ábra.

Hl

A valós számok halmaza nem megszámlálható (kontinuum) szá­ mosságú.

A valós számokat számegyenesen ábrázolhatjuk.

ni. SZÁMHALMAZOK

0

31

A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (leképzés) létesíthető.

A valós számok halmazábaa az összeadás és a szorzás mindig elvégezhető, e műveletek megfordíthatók (invertálhatók), s e műve­ letek ugyanolyan tulajdonságúak, mint amilyeneket megismertünk a racionális számok körében. így — a racionális számokhoz hasonlóan — a v a ló s s z á m o k h a lm a za i s t e s t e t alkot (valós számtest). Az a valós (vagy komplex) számot algebrai számnak nevezzük, ha van olyan n-edfokú (n G N"^) racionális együtthatójú algebrai egyenlet, amelynek a gyöke (pl. \/3 az —3 = 0 egyenlet egyik gyöke). Ha nincs ilyen egyenlet, akkor a tr a n s z c e n d e n s s z á m (pl. ' a 7t). A valós számok speciális részhalmazai az zök).

i n t e r v a llu m o k

(számkö­

Legyen a < 6 két valós szám; ekkor az R i = {x € M !a < X < 6} = ( a ;b ) = ] a ; b [ — nyílt ^ KI a < X < 6} = [a; 6] — zárt ^ 1® ^ < ft} = [ö; ^) = [ö; — balról zárt, jobbról nyílt M4 = {x € RI a < X < 5} = (a; 6] =]a; b] — balról nyílt, jobbról zárt ponthalmazokat a é s b végpontú intervallumoknak nevezzük. Pozitív a szám és a nulla abszolM értéke (jele: |a|) maga a szám; negatív szám abszolút értéke az a szám ellentettje:

32

III. SZÁMHALMAZOK

|a| = { t -a ,

ha a > 0, ha a < 0.

Bármely a számra Iái > 0.

0 |3|=3;

-5| = - ( - 5 ) = 5.

Minden pozitív A valós szám felírható A = a •10*^

(1 < a < 10,

fc € Z )

alakban, amit a szám normálalakjának nevezzünk. Elsősorban igen nagy és igen kicsi számok írására célszerű hasz­ nálni.

0 4756000 = 4,746 - 10®; 0,000017 = 1 ,7

10“ ^.

III.3. A KOMPLEX SZAMOK HALMAZA A valós számok halmaza nem elég bő már az egész együtthatós egyenletek megoldásához sem, mivel például az 1 = 0 egyenlet­ nek nincs megoldása a valós számok körében. Többek között ezért merült fel a számfogalom bővítésének az igénye, s így jutunk el az komplex számok fogalmához. [d ] a z = x + yi

ra. SZÁMHALMAZOK

33

alakú számokat, ahol x és y tetszőleges valós szám, az i szimbó­ lum pedig olyan számot jelöl, amelynek a négyzete —1, komplex {összetett) számoknak nevezzük. A komplex számok halmazát C-vel jelöljük. A z = x -{-y i ^ komplex szám algebrai (vagy kanonikus) alakja. Elnevezések: i: képzetes (imaginárius) egység, yi: képzetes tag, X valós tag. Azokat a komplex számokat, amelyeknek a valós része nulla, képzetes (imaginárius) számoknak nevezzük. Látható, ha 2/ = 0, akkor z = x azaz EcC. A z = x -^ y i alakú komplex számokkal formálisan úgy számolha­ tunk, mint a valós kéttagú kifejezésekkel, csak i^ helyett (—l)-et kell írni.

Két — zi = x i + yii és Z2 = X 2 -{- 2/2^ — komplex szám akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha x± = X2 és yi =y 2^

34

III. SZÁMHALMAZOK

A z = x-\-yi komplex számot egyértelműen meghatározza az x valós és az y képzetes része. Ezért az {x; y) rendezett valós számpárok halmaza, azaz az M x M és a komplex számok C halmaza között kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető. Az R x M képe a sík, ill. a síkbeli koordináta-rendszerben felvett helyvektorok halmaza. Ez alapján azt a síkot, amelyen a komplex számokat ábrázol­ juk, komplex számsíknak vagy Gauss-féle számsíknak nevezzük. A z = x -{-y i komplex számot a (x; y) koordinátájú helyvektorral szem­ léltetjük (3.3. ábra).

MŰVELETEK ALGEBRAI ALAKBAN ADOTT KOMPLEX SZÁMOKKAL

[d ] a z\ —x \ + y\i

és

Z2 = 2:2 + V2Í

komplex számok összege a Z l + Z 2 = ( X l + X 2 ) + (í^l + y 2 )i .

szorzata pedig a Z1Z2 = {xiX2 - y im ) +

+ ^2yi)i

komplex szám. K z = x -{-y i komplex szám abszolút értéke: \z\ = y/x^+y^. Ha z = x-\-yi, akkor a. z = x —yi számot a 2; konjugáltjának nevez­ zük. Fennáll, hogy ^ = 2; és \z\ = \ J z ’ ~z.

m . SZÁMHALMAZOK

35

A komplex szám és konjugáltjának összege és szorzata is valós: z + z — {x + yi) + { x - y i ) = 2x, z - z = {x + y i){x - yi) = x^ - { y i f - ...

mivel

= —1.

Báirmely két, z\ és 23 (^ O + Oi) komplex szám hányadosát értel­ mezhetjük: zi

XI + yi i

XI + yii

X2 - V2Í

Z2

X2 +V2Í

X2 + V2Í

X2 - J/2Í

^ { x i + y i i ) { x 2 + y2Í ) ^

^ X\X2 + Viy2 + (yi3^2 - Xiy2)i i 2 + j,2 X i X 2 + 2/12/2 ^ y\X2 - a;ií/2..

a:

\p\

1. (3 + 4í) + ( 5 - í ) = 8 + 3i. 2. (3 + 4iX5 - i) = 15 + 20Í - 3í - 4 p = 19 + I7i, mivel = —1. ^

4 -1 7 i_ 4 -1 7 i 5 -4 Í “

5 + 4i _ (4 -1 7 i) (5 + 4i)

5 - 4 Í * 5 + 4Í “

~ 41

25 + 16

41 *■

4. Oldjuk meg a + 5= 0 egyenletet a komplex számok halmazán!

2^1,2 =

- 2 ± a/ 4 - 2 0

- 2 ± V '= l 6

2

2

-2 ± 4 V = T

---------- -------= - l + 2i.

III. SZÁMHALMAZOK

36

MŰVELETEK TRIGONOMETRIKUS ALAKBAN ADOTT KOMPLEX SZÁMOKKAL A = X + 2/i ^ 0 H- Oz komplex számnak megfelelő vektor hossza legyen r, azaz r = \/x^ -h a vektor irányszöge pedig legyen (p; r és (p a. z komplex számot egyértelműen meghatározzák. Fordítva, egy komplex szám az r-et egyértelműen, de a ip-t csak 27T egész számú többszöröseitől eltekintve határozza meg. A ip irányszöget a komplex szám argumentumának nevezzük. A 2; = 0 + Oz komplex számnak nincs argumentuma. A z = x-\-yi komplex számnak megfelelő helyvektor koordinátái (3.4. ábra): X = rcosif, y = rsin(p, tehát z = x-\-yi = r cos

+ (r sin (p)i,

illetve

amit a 2; komplex szám trigonometrikus alakjának nevezünk.

III. SZÁMHALMAZOK

37

Az r értékét az

Összefüggésből számíthatjuk ki, míg a (p argumentumot a V X

egyenletből a,z x és y előjelének figyelembevételével. Ha X = 0, akkor a 2; képzetes szám argumentuma

7T

^ vagy

( p = — ,SLzy képzetes rész előjelétől függően. 2á A 0 számnak nincs trigonometrikus alakja, mert argumentuma nem meghatározott. Két trigonometrikus alakban adott komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha egyenlő az abszolút értékük és az argumentumuk különbsége 27T egész számú többszöröse. Minthogy a komplex szám trigonometrikus alakja kéttényezős szorzat, a trigonometrikus alak nem alkalmas összeadás és kivonás elvégzésére, viszont annál inkább javasoljuk a komplex számok szor­ zatának, hányadosának, hatványainak és gyökeinek a kiszámítására. Legyen zx =ri {cos( pi -|-isin(pi) ^2 = f'2 (cos íp2 -{-i sin (p2 ) {zi és Z2 egyike sem a 0 + Oz szám). Ekkor a két komplex szám szorzata: Z\Z2 = riT2 [cos((^i -h ip2) H- isin(v?i + (^2)] • A két komplex szám hányadosa:

A komplex szám hatványozását a Moivre-képlet segítségével vég­ ezhetjük el:

ni. SZÁMHALMAZOK

38

Bármely, 0-tól különböző komplex számnak n darab különböző n-edik gyöke van. A trigonometrikus alakban adott = r (cos

sin ip)

komplex szám összes n-edik gyöke az cos

(p + 27rfc

n

4-zsin

V? + 27rfc\

n

)

ahol n G N“*" {k = 0, 1, 2, ... ,n — 1) alakban felírható komplex szám.

0

3y/3 3 ^ 1. Számítsuk ki a 21^2 szorzatot, ha z\ — ----------- 1— í, 22 = 1 + v3í.

n = (2il = A (^1 a második negyedbe esik, mivel a z\ valós részének az előjele negatív, a képzetes részé pedig pozitív, ezért

57T

-3 V ^

\/3

' 3 ’

2 = V3,

=

ó

A szorzat tehát:

Z\Z2 =3 - 2 = 6 ^cos ^

O'K

T t\

.

.

/57T

7 t\

( H- ísin

= —3V 3 + 3i.

in. SZÁMHALMAZOK

39

2. Számítsuk ki a z =

l + i

komplex szám negyedik hatványát! r =

V2;

tg(f =

l, 4

z =

(c o s

is in

^

) ,

= y/^ ^cos4^ +ísin4^^ = = 4(cos7t -fxsinTr) = —4. 3. Adjuk meg a z = ^ —27 komplex szám összes gyökét! írjuk fel (—27)-et trigonometrikus alakban: —27 =

Ezért

7T+ 2'irk

^ (c

» ---------------------13 / t t

=

2 7 ( c o s 7t - f

^

3

27Tk\

í

s in T r ).

. . 'ir+ 2Trk\

1 s m ----------------- I =

^

3 .

J

f7T ^ 2 ir k \

ahol fc = 0,1,2. Az egyes értékek rendre a következők, felhasználva, hogy — = 60°, — = 120°: 3

k =

lü o =

0 :

3 (co s 6 0

+ ís in 6 0

) =

3

3 3 a/ 3 - H-------— i ;

k = l : co s (6 0 ° +

wi = 3 k =

2:

W2 = 3

3

2~

3y/3,

2

1 2 0 °) +

is in (6 0 ° +

1 2 0 °)

= -3 ;

IV. SZAMELMELETI ALAPFOGALMAK

IV.l. OSZTOK, OSZTHATOSAG Ebben a fejezetben csak pozitív egész számokra fogalmazzuk meg a definíciókat és az állításokat, de ezek természetesen érvényesek a negatív egész számok körében is. [U

Az a pozitív egész szám osztható a b pozitív egész számmal, ha létezik olyan q pozitív egész szám, hogy a = bq. Jelölése: b\a (olv.: b osztója a-nak). Ilyenkor az a számot a b többszörösének is mondjuk.

m

Minden pozitív egész számnak véges sok osztója van.

Tetszőleges a pozitív egész számnak osztója az 1 és maga az a szám. Ezek a szám nem valódi osztói. Az oszthatóság legfontosabb tulajdonságai: a\a (a ^ 0) — reflexív; (a\b Ab\a) ^ a = b — antiszimmetrikus; {a\b Ab\c) a\c — tranzitív. pn

Ha a\b és a| c, akkor a 16 + c; a\b — c; a\bc; a Ikb^ ahol k e Z; a \kb + lc {k,l e Z ) .

IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK

41

Gyakran (pl. törtek egyszerűsítésekor) hasznos, ha egy számnak meg tudjuk adni legalább néhány osztóját. Ebben segítenek az oszt­ hatósági szabályok: 2-vel oszthatók a páros számok. 3-mal osztható a szám, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal (pl.: 318124, mert 8 + 1 + 2 + 4 = 15 és 3|15). 4-gyel azon számok oszthatók, amelyeknek a két utolsó számje­ gyéből alkotott szám osztható 4-gyel (pl.: 316 osztható 4-gyel, mert 16 osztható 4-gyel). 5-tel a 0-ra vagy 5-re végződő számok oszthatók (pl.: 5 11655). 6-tal mindazon páros számok oszthatók, amelyek 3-mal oszthatók (pl.: 6 15622, mert 2 15622 és 3 15622). A 7-tel való oszthatóság szabálya kissé nehézkes, itt az osztható­ ság kérdését az osztás tényleges elvégzésével javasoljuk eldönteni. 8-cal azok a számok oszthatók, amelyeknek az utolsó három jegyéből álló szám osztható 8-cal (pl.: 8 12864, mert 8 1864). 9-cel osztható egy szám, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel (pl.: 9 11719, mert 9 11 + 7 + 1 + 9 = 18). 11-gyel mindazok a számok oszthatók, amelyekre a páros helyen álló számjegyek összegéből kivonva a páratlan helyen álló szám­ jegyek összegét, a különbség osztható 11-gyel (pl.: 1119152, mivel l l|( 9 + 5 ) - ( l + 2 ) - l l ) . Mindegyik oszthatósági tétel megfordítható. Azokat a pozitív egész számokat, amelyek csak 1-gyel és önma­ gukkal oszthatók, prímszámoknak (törzsszámoknak) nevezzük. Az 1 nem prímszám. A 2 az egyetlen páros prímszám. m

A prímszámok halmaza megszámlálhatóan végtelen. Ha az 1-nél nagyobb pozitív számnak van valódi osztója (azaz 1-en és önmagán kívül más számmal is osztható), akkor összetett számnak nevezzük.

42

IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK

m

{Számelmélet alaptétele:) Minden összetett szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve) egyértelműen felbontható véges sok prímszám szorzatára.

0

Bontsuk fel a 660 számot prímtényezőire! A természetes számok prímtényezős felbontásának egyik egyszerű módját

660 330 165 33 11 1

13

2 2 5 3 11

így 660 = 22-3-5-11.

Egy adott a természetes számnak csak olyan pozitív p szám lehet osztója, amelyre p^ < a,

azaz p < y/a.

E szerint egy szám osztóit elég a szám négyzetgyökéig megvizs­ gálni. Ebből az is következik, hogy ha egy a számnak nincs ^^-nál kisebb prímosztója, akkor az prímszám.

IV.2. LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS Az a és a. b pozitív egész számok közös osztóinak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyek a-nak és 6-nek is osztói. Hasonlóan értelmezzük kettőnél több pozitív egész szám közös osztóit. Ha két pozitív egész számnak csak 1 a közös osztója, akkor ezeket relatív prímszámnak mondjuk.

IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK

43

[£] Két (vagy több) pozitív egész szám közös osztói közül azt, ame­ lyik az összes közös osztóknak többszöröse, a számok legnagyobb közös osztójának nevezzük. Az a és 6 legnagyobb közös osztóját (röviden l.n.k.o.) (a ;6)-vel jelöljük. A l.n.k.o. mindig létezik, és egyértelűen meghatározott. Határozzuk meg 120 és 1410 legnagyobb közös osztóját! Először bontsuk fel mindkét számot prímtényezők szorzatára! 120 60 30 15 3 1

1410 705 141 47 1

2 5 3 47

Tehát 3- 5; 1410 = 2 •3 •5 •47. A két szám l^nagyobb közös osztóját megkapjuk, ha a két felbontásban elő­ forduló közös prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legkisebb kitevőjű hatványon: (120; 1410) = 2 •3 •5 = 30.

[U Az a és b pozitív egész számok közös többszörösének nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek a is és 6 is osztója. 0

Két (vagy több) pozitív egész szám közös pozitív többszörösei közül azt, amelyik a számok minden többszörösének osztója, a számok legkisebb közös többszörösének nevezzük.

Az a és 6 legkisebb közös többszörösét (röviden l.k.t.) [a;6]-vel jelöljük. A l.k.t. mindig létezik, és egyértelűen meghatározott.

44

IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK

|P| Határozzuk meg 120 és 1410 legkisebb közös többszörösét! Az előzőek szerint 120 = 2® •3 •5; 1410 = 2 •3 •5 •47. A két szám legkisebb közös többszörösét megkapjuk, ha a két felbontásban szereplő valamennyi prímszámot összeszorozzuk, a közöseket a legnagyobb kitevőjű hatványon. [120; 1410] = 2^ •3 •5 •47 = 5640.

Páronként relatív prímszámok legkisebb közös többszöröse a számok szorzata.

V. ALGEBRA

V .l. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK [d1 Algebrai mennyiségnek nevezzük a számokat és a számokat jelentő betűket (változókat). Ha algebrai mennyiségekkel véges számú algebrai műveletet (a négy alapművelet és a gyökvonás) végzünk, algebrai kifejezést kapunk. Együtthatónak nevezzük az algebrai kifejezésben a változók szám­ szorzóit, amely tulajdonképpen az összeadás (kivonás) rövidebb írá­ sát jelöli, pL: 3x^-\-2ax kifejezésben az együtthatója 3, s így 3x^ = x^ -\-x^ Az algebrai kifejezés egytagú; ha benne az összeadás és a kivonás nem fordul elő, pl.: hx^^y. Algebrai egész kifejezésről beszélünk, ha benne csak a szorzás (így a pozitív egész kitevőjű hatványozás) és legfeljebb a számmal való osztás (véges számú) művelete szerepel. egytagú, de nem algebrai egész kifejezés, míg a

3a^6 egytagú,

algebrai egész kifejezések.

Két egytagú kifejezést egyneműnek mondunk, ha bennük ugyan­ azok a változók fordulnak elő és a megegyező változók kitevői is egyenlőek. Egyébként az egytagúak különneműek. Tekintsük a következő egytagú kifejezéseket! Egyneműek: 5a^6, 3a^6, a^6, —a?b. Különneműek: 5a^6, 5a6^, ab, 5a^x.

46

V. ALGEBRA

Az egytagú kifejezés fokszáma a benne szereplő változók kitevőinek összege. Többtagú algebrai kifejezést kapunk az egytagúak összeadásával, ill. kivonásával. Az egy- vagy többváltozós többtagú algebrai egész kifejezéseket polinomnak nevezzük. A polinom fokszáma a benne előforduló legmagasabb fokú tag fokszáma, pl.: a Sx^y^ —2xy^ + 3 polinom fokszáma 7. A számokat 0-adfokú polinomoknak tekinthetjük. A 0 számhoz nem rendelünk fokszámot. A polinomokat fokszám — általában vala­ mely változó fogyó hatványai — szerint szoktuk leírni (rendezni). A továbbiakban egyváltozós polinomokra szűkítjük a vizsgálatunk körét. Az egyváltozós n-edfokú polinom általános jelölése: a^x'^ + a n -ix ‘^~^ + ... + a ix + ao, ahol / 0 {an G M), x (g M) a változó és n 6 N“*". A polinom helyettesítési értékét megkapjuk, ha a kifejezésben szereplő változó helyére beírjuk az adott számot és elvégezzük a kije­ lölt műveleteket. A változók összes lehetséges értékeit, amelyekre az adott kifejezés értelmezve van, a kifejezés értelmezési tartományának nevezzük. Azokat a számokat, amelyekre a helyettesítési érték nulla, a polinom zérushelyeinek {gyökeinek) mondjuk. Két polinom hányadosát algebrai törtnek nevezzük, ha a tört nevezője legalább elsőfokú polinom. Az algebrai törtek értelmezési tartományához a nevezőben levő polinom zérushelyei nem tartoznak hozzá. Képezhetjük két vagy több algebrai tört összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát ugyanúgy, mint a racionális számok esetében. Ha az együtthatók racionális számok, akkor racionális kifejezésről beszélünk. A polinom helyett racionális egész kifejezést is szoktunk mondani.

V. ALGEBRA

47

Egy algebrai kifejezés átalakítása során azonos értékű átalakítást végeztünk (az adott kifejezéssel azonosan egyenlő kifejezést kaptunk) egy halmaz felett, ha a kifejezésben szereplő változók minden — a szóban forgó halmazbeli — értékére mind az eredeti, mind az átalakított kifejezésben ugyanaz a helyettesítési érték adódik. Az algebrai törtkifejezéseket ugyanazzal a számmal vagy kifeje­ zéssel egyszerűsíthetjük, bővíthetjük, de mindig ügyeljünk arra, hogy azonos átalakítást végezzünk.

A = ——

(a,6GR,

6^0)

és a B = 3aH

(a, 6 GR)

kifejezések nem azonosan egyenlők, hiszen a B kifejezésben 6 = 0 is lehetsé­ ges. Viszont a 6 ^ 0 megszorítással az egyszerűsítés már azonos átalakítás.

V.2. A HATVÁNYOZÁS ÉS FORDÍTOTT MŰVELETEI (GYÖKVONÁS, LOGARITMUS) Legyen n G a G K; azt az n-tényezős szorzatot, amelynek minden tényezője a (egyenlő), hatványnak nevezzük. Jelölése

azaz: n-szer

Azt a műveletet, amellyel az aP' = a a - a rozzuk, hatványozásnak nevezzük. Az a^ = b

szorzatot meghatá­

egyenlőségben a a hatványalap, n a hatványkitevő, b a hatvány értéke (röv. hatvány).

48

V. ALGEBRA

Legyen p^q £ nosságai:

és

G M. Ekkor a hatványozás műveleti azo­

aPa^ = aP+9; aP

í flP-9,

a?

U,

ha p > g, ha p = g;

aPbP = (ab)P; ía \ v 6? = ü • { a P f = aP«.

&7^0;

NEVEZETES AZONOSSÁGOK (SZORZATOK), BINOMIÁLIS TÉTEL (a + h)^ =

+ 2ab +

{a —h)^ — c?' — 2ab -f

(a + h f

+

+ 3ab^ +

(a —b)^ = a^ —Sa^b + Sab^ —b^

—b^ = {a —b){a + b) - b ^ = ( a - b ) { a ^ -\-ab-\-b^) a ^ - b ^ = ( a - 6)(a ^ -i + a^~H + + ... + a&^-2 + 6^ - i ) , 71GN+

V. ALGEBRA

a^ + b^ = {a + b ){a ^ -a b + b^) — b^ — {a + b){a^ —a^b + a?b^ —ab^ + b^) a2” +l + 62"+1 = (a + Ö)(a2n _ a2n-l^+ + a

m

b ^ - . . . - a b 2 n -l , .2n

2n-2.2

{Binomiális tétel:) Bármely n {n £ N"^) számra

a + í r = ( ; ) « " - v +

ahol

(olv.: n alatt a k) szám a binomiális együttható, amelynek értéke: /n \ _ n! _ 1 •2 •3 •... •(n - fc)(n - fc + 1) •... •n _ \ k ) ~ k\{ n- k) \ ~ (l-2-3-...-fc)l-2-...-(n-fc) n{n — 1) . . . [n — (fc — 1)] l-2-...fc

‘

hatványfogalom kiterjesztése tetszőleges egész számra:

0

49

V. ALGEBRA

50

A GYÖKVONÁS A nemnegatív b valós szám y/b-vel jelölt négyzetgyökén értjük azt az a > 0 számot, amelynek négyzete 6, azaz Vb = a

(a,6>0).

a^ = b

A négyzetgyök definíciójában fontos kikötés, hogy a gyökjel alatt álló szám és a négyzetgyök értéke is csak nemnegatív szám lehet. A négyzetgyökvonás a hatványozás egyik fordított (inverz) mű­ velete, amelynek során meghatározzuk azt az alapot, amelyet adott kitevőre emelve az adott hatványt kapjuk. A definícióból következik, hogy V o 2 = |a|,

aGM.

A négyzetgyökvonás műveleti azonosságai: y ja b — yjay/b^

[a

yfá

b ~ Vb^ (v ^ * ' = v ^ ,

a , f e € R ‘* ' U { 0 } ; a € R + U { 0 } , beR-^; o€

R + u {0}, JbeZ.

A nevező gyöktelenüése négyzetgyökös kifejezés esetén: Ha a nevező a) egytagú kifejezés, akkor bővítjük a törtet a nevezőben levő gyökös kifejezéssel.

m 2VE

1

VE

VE

2VE

ve

10’

b) kéttagú kifejezés, £ikkor a törtet úgy bővítjük, hogy tudjuk alkalmazni az —6^ = (a 4- b){a — b) azonosságot.

V. ALGEBRA

51

\E \ 1

1

2>/5 + 3a/3

2 v ^ + 3 y /3

2VE + 3V 3

2 ^ /5 -3 v ^ “ 2^/5-3^/3 ■2^/5 + 3^/3“ ^2^/5)^-(3^/3)^

~

A négyzetgyök fogalmának általánosításaként kapjuk az n-edik gyök fogalmát. Legyen az n 1-nél nagyobb egész szám, az a pedig nemnegatív valós szám. Azt a nemnegatív valós számot, amelynek az n-edik hatványa a-val egyenlő, az a szám n-edik gyökének nevezzük. Jelölése: ^ (olv.: n-edik gyök a). Az n neve: gyökkitevő. Előfordul, hogy az ^ jelet negatív alap esetén is alkalmazzuk, hiszen ha n > 1 páratlan egész szám és a > 0, akkor

Az n-edik gyökvonás az a művelet, amellyel az adott hatványhoz és hat ványkitevőhöz keressük a hatványalapot. A gyökkitevő — ha­ sonlóan a hat ványkitevőhöz — nemcsak racionális, hanem irracionális szám is lehet. Egyedül a 0 gyökkitevő nem megengedett. [d1 Egy pozitív a szám — -edik hatványa az a szám m-edik hatvá­ nyából vont n-edik gyök a>0,

m€Z,

n€N+.

Ezek után az

hatványt tetszőleges racionáJis kitevőre definiáló egyenlőségnek te­ kintjük. Negatív számok törtkitevőjű hatványait nem értelmezzük, mert az ellentmondáshoz vezethetne.

52

V. ALGEBRA

A LOGARITMUS FOGALMA. MŰVELETI AZONOSSÁGAI Legyen a,6 G a ^ 1. A b szám a alapú logaritmusának ne­ vezzük azt a kitevőt — amit log^ 6-vel jelölünk — , amelyre a-t emelve 6-t kapunk, azaz

A logaritmus a hatványozás fordított (inverz) művelete. Azt a mű­ veletet, amellyel adott hatványalaphoz és hatványértékhez keressük a kitevőt, logaritmuskeresésnek (kitevőkeresésnek) mondjuk. Az log^6 jelölésben az a-t alapnak, a 6-t pedig numerusznak is nevezzük. A logaritmus definíciójából következik, hogy log^ 1 = 0,

mert a® = 1,

log^0 = 1 ,

mert

= a

(a G

a^l).

Számolás során a logaritmus alapjának leggyakrabban a 10-et szoktuk választani. Ekkor logi^b helyett a lg 6 szimbólumot használjuk. A felsőbb matematikában többnyire az ún. természetes logaritmussal számolnak; ennek alapszáma az e, irracionális szám, közelítő értéke e 2,718281. Az e (természetes) alapú logaritmus jelölése: Inx (a „logaritmus naturalis” latin elnevezés alapján). A Igx egész részét (példánkban az 1-et) karakterisztikának^ tört­ részét (0,3010-et) pedig mantisszának nevezzük. A logaritmustáblá­ zatok csak a mantisszát tartalmazzák. A karakterisztikát nekünk kell meghatározni a számok normál alakjának segítségével. Az ^3= a 10^

{l (> ) jelek valamelyikével kapcsolunk össze, akkor egyenlőtlen­ séget kapunk. |P2l Az egyenlőtlenség olyan logikai függvény (nyitott mondat), amelyben két kifejezés egyenlőtlenségét állítjuk egy adott halmaz felett (az egyenlőtlenség alaphalmazán), értékkészlete pedig az {igaz; hamis} logikai értékek halmaza.

V. ALGEBRA

55

EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Az egyenlet megoldásakor (rendezésekor) az egyenlet mindkét olda­ lán azonos átalakításokat hajtunk végre abból a célból, hogy egysze­ rűbb egyenletet kapjunk, vagyis az ún. mérlegelvet alkalmazzuk. Ha a „mérleg egyensúlyban” van, és mindkét „serpenyőben” ugyanazt a változtatást végezzük, az egyensúly továbbra is megmarad. Az egyenlet rendezése során törekedjünk az ekvivalens (azonos ér­ tékű) átalakításokra, mert csak így juthatunk az eredetivel ekvivalens egyenlethez. Két egyenletet (a gyökök halmazára vonatkozóan) egyenérté­ kűnek (ekvivalensnek) nevezünk az adott alaphalmaz felett, ha a megoldáshalmazuk (igazsághalmazuk) azonos, vagyis az első egyenlet minden gyöke a második egyenletnek is gyöke és a második egyenlet minden gyöke az elsőnek is gyöke. A matematikai logika nyelvén ez két állítás ekvivalenciáját jelenti: Az (1) a = b és (2) c = d egyenletek ekvivalensek adott kiindulási halmazon, ha a = b esetén c = d és ha c = d esetén a = 6, azaz (a = 6)(c = d). Amennyiben az egyenlet megoldása során végig ekvivalens áta­ lakításokat végeztünk a kiindulási halmazon, a kapott gyököket az esetleges számítási hiba miatt kell csak ellenőrizni. A (2) egyenlet az (1) egyenlet következménye, ha az (1) egyenlet minden gyöke a (2) egyenletnek is gyöke. Tehát a (2) egyenletnek lehet olyan megoldása, ami az (1) egyenletnek nem megoldása (hamis gyök). Az, hogy (2) egyenlet következménye (l)-nek, implikációnak felel meg, s így jelöljük: (a = 6) => {c = d).

56

V. ALGEBRA

Ekkor ellenőrzéssel szűrhetjük ki a hamis gyököket. Mindig az eredeti egyenletbe helyettesítsük vissza a kapott megoldá­ sokat! Ne végezzünk olyan átalakítást, amely gyökvesztéssel jár (pl. is­ meretlent tartalmazó kifejezéssel való osztás gyökvesztéssel járhat)! Tekintsük erre a következő példát. m

Oldjuk meg az egész számok halmazán az

X H---------= 4x + • X —4

X —4

egyenletet! Mindkét oldalból vonjunk k i ---------et! X —4 = Ax. Mindkét oldalt osszuk el x-szel! x = 4. A kapott gyök, az x = 4 azonban hamis gyök. Az egyenlet vaJódi megoldását, az X = 0 értéket elvesztettük az x-szel való osztás után. Célszerűbb lett volna az x^ = 4x egyenletet 0-ra redukálni, majd az x^ —4x = 0 egyenlet bal oldalát szorzattá aiakitani: x(x —4) = 0, s ebből már nem csak a hamis x = 4, de a valódi X = 0 gyököt is megkapjuk.

A legfontosabb ekvivalens átalakítások: a) Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk (kivonhatjuk) ugyanazt a valós számot, ill. az egyenlet kiindulási halmazán definiált kifejezést. b) Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk (eloszthatjuk) bármely, 0-tól különböző valós számmal, ill. olyan kifejezéssel, amely­ nek értelmezési tartománya azonos az egyenlet kiindulási alaphal­ mazával, s e halmazon nem vesz fel nulla értéket. (Ha a kifejezés helyettesítési értéke zérus is lehet, akkor szorzás, ill. osztás után kapott egyenlet nem ekvivalens az eredetivel. A kifejezéssel való osztás helyett a nullára redukálást, majd a kiemeléssel való szorzattá alakítáíst javasoljuk.)

V. ALGEBRA

57

c) Bármely kifejezés helyére tehetünk olyan kifejezést, amely (leg­ alább) az alaphalmazon vele azonosan egyenlő. Az egyenlőtlenség algebrai megoldása során is a mérlegelvet al­ kalmazzuk: az egyenlőtlenség mindkét oldalán azonos átalakításokat hajtunk végre. Itt is beszélünk — az egyenletekhez hasonlóan — ek­ vivalens átalakításokról, ekvivalens egyenlőtlenségekről. Az egyenlőt­ lenségek megoldása során különösen ügyeljünk arra, hogy az eredetivel ekvivalens (egyenértékű) egyenlőtlenséget kapjunkj hiszen az általában végtelen sok megoldást visszahelyettesítéssel nem tudjuk ellenőrizni. Az egyenlőtlenség átalakításakor nem szabad megfeledkezni arról, hogy a) az egyenlőtlenség iránya megfordul — de az eredetivel azonos értékű lesz az egyenlőtlenség ha az egyenlőtlenséget negatív számmal szorozzuk (osztjuk) (2 < 3 —2 > —3); h) ha az egyenlőtlenség két oldala azonos előjelű, és mindkét oldal reciprokát vesszük, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul, s megoldáshalmaza az eredetinek a részhalmaza (szűkebb halmaza), hiszen a nevező zérushelye(i) nem eleme(i) a kapott egyenlőtlenség megoldáshalmazának ( 2 < 3 < ^ - > - ) . Z

ó

c) ha az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív az egyenlőtlenség kiindulási halmazán, akkor vehetjük mindkét oldal pozitív egész kitevőjű hatványát, gyökét, az egyenlőtlenség iránya nem fordul meg { 2 < 3 ^ 2 ^ < 3^ => y /2 < V3).

V.4. ELSŐFOKÚ (LINEÁRIS) EGYISMERETLENES EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet általános alakja ax-^b = 0, ahol a ^ 0, a, 6, a; € M és a: jelöli az ismeretlent.

58

V. ALGEBRA

Az ax + 6 = 0 egyenlet mindkét oldalából vonjunk ki 6-t, majd a-vai való osztás után kapjuk, hogy b x = — . a Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenség általános alakja a, 6,xGM).

ax-^b>0, (A > jel helyett állhat > , < , < jel is.) Megoldása а) ha a > 0, akkor b б) ha a < 0, akkor X
0 ha ax -h 6 < 0. m

{Háromszög-egyenlőtlenség:) Tetszőleges a, b mennyiségekre |a + 6| 0, azaz x >

4

59

akkor \4x — 1| = 4x — 1, így a

4x — 1 = 1 — X egyenletet kell megoldanunk az A =

G R |a; > j

- halmazon. Rendezve az

egyenletet, kapjuk, hogy 5a; = 2, x=

2

5 2 8 1 5 2 Mivel 9 = — > - = — , ezért - £ A, és végig ekvivalens átalakítást végez5 20 4 20 5 tünk, így

2

X

— — megoldása az eredeti egyenletnek. 5 ^

b) Ha 4a; — 1 < 0, azaz a; < —, de (mivel az egyenlet kiindulási halmaza 4 R"*") X > 0 lehet, vagyis ha 0 < x < —, akkor |4x — 1| = —(4x — 1) = —4x + 1. Most a —4x + 1 = 1 — X egyenletet kell megoldanunk a B = 0. kifejezés (szigorúan) monoton fogyó, így az x = 8—

Pozitív y-okra a 8 —

2y H---- is szigorúan csökkenő.

1 -|- 2/ A

Az ------- akkor lesz egész, h a l + y páros szám. így a lehetséges esetek: l + y = 2, l-\-y = 4, 1 + 2 / = 6,

y = l, 3/ = 3, í/ = 5,

x = 7 x= 4 x= l

y > 7-re x értéke már negatív lenne, hiszen 8 — 2y + csökkenő. Az adott egyenlet megoldása az

kifejezés szigorúan

{(1 ;5 ), (4;3), (7;1)} számpárok halmaza.

ELSŐFOKÚ (LINEÁRIS) EGYENLETRENDSZEREK

Ha két vagy több egyenlet közös megoldásait keressük, akkor egyenletrendszerről beszélünk. írásban az egyenletrendszert alkotó egyenleteket egymás alá írjuk (és esetleg a } jellel kapcsoljuk össze). Az egyenletrendszer értelmezési tartománya az egyes egyenletek értelmezési tartományának a közös része. Megoldása rendezett szám­ párok, számhármasok,. . . , szám n-esek halmaza (az egyenletrendszer­ ben előforduló ismeretlenek számától függően).

62

V. ALGEBRA

Algebrainak nevezzük az egyenletrendszert, ha valamennyi egyen­ lete algebrai. Az algebrai egyenletrendszer fokszáma a legmagasabb fokú egyenletének a fokszáma. Az elsőfokú (lineáris) kétismereÜenes egyenletrendszer általános alakja a ix + biy = Cl 1 ^2^ + ^22/ = C2 J ahol az a i, a2, fel, ^i, C2 adott valós számok (vagy valós szá­ mokat jelölő paraméterek) az együtthatók, x, y az ismeretlenek. Az egyenletrendszer megoldása valamely alaphalmazon a mindkét egyen­ letet kielégítő ( x ‘ y) rendezett számpárok halmaza. A kétismeretlenes egyenletrendszernek pontosan egy számpár a gyöke, ha a két egyenlet független egymástól; nincs megoldása, ha a két egyenlet ellentmondó; s végtelen sok megoldása van, ha az egyik egyenlet a másiknak több­ szöröse (feltételezve, hogy az egyenletrendszer alaphalmaza M x M). A lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer megoldási módszerei Grafikus módszer Kétismeretlenes egyenletrendszereket grafikusan úgy oldhatunk meg, hogy az egyenleteknek megfelelő egyeneseket ugyanabban a koordináta-rendszerben ábrázoljuk. A megoldás (ha van) a két egye­ nes közös pontjának koordinátái (5.1. ábra). Az egyenlő együtthatók módszere A módszer lényege, hogy alkalmasan választott (0-tól különböző) számmal megszorozva az egyenleteket, elérhetjük, hogy mindkét egyenletben az előre kiválasztott ismeretlen együtthatói egymás ellentettjei legyenek. Ezután a két egyenletet összeadjuk, és az így kapott egyismeretlenes egyenletet a tanult módon megoldjuk. A megoldást az egyik egyenletbe visszahelyettesítve (vagy megismételve az egyenlő együtthatók módszerét), a másik változó értékét számítjuk ki. Végül ellenőrizzük a kapott megoldást! Az egyenlő együtthatók módszere a következő tételen alapszik:

V. ALGEBRA

m

63

Ha az egyenletrendszer egyenleteit összeadjuk (kivonjuk), akkor az így kapott egyenlet megoldáshalmaza tartalmazza az egyen­ letrendszer megoldáshahnazát.

Tehát összeadás során nem vesztünk gyököt, de hamis gyök kelet­ kezhet, melyet ellenőrzés után kiszűrhetünk.

El

Oldjuk meg az

R x R halmazon a 2x —3y = 6 'i 3x + 5 y = - 2 j

egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével! Az első egyenletet szorozzuk meg 5-tel, a másodikat 3-mal, majd adjuk össze a két egyenlet megfelelő oldalait!

10x-15y = 25 9x + 15y :" e } = 19, Az

X

s ebből a; = 1.

= 1-et az első egyenletbe írjuk vissza:

2 - l - 3 y = 5,

y = -l.

64

V. ALGEBRA

Az egyenletrendszer megoldása ziz (1; —1) rendezett száLmpár, s ez valóban kielégíti az egyenletrendszert.

Behelyettesítő módszer Fejezzük ki valamelyik egyenletből az egyik ismeretlent! A kapott kifejezést a másik egyenletbe helyettesítsük vissza (a kifejezett változó helyére)! így egyismeretlenes egyenlethez jutunk. Ezt megoldva, majd a megoldást visszahelyettesítve a kifejezésbe, megkapjuk a másik változó értékét is. Oldjuk meg a Q

X

Q halmazon a 2x + by = l, I 3x-7y-l,5j

egyenletrendszert a behelyettesítő módszerrel! Az első egyenletből x = —

^.

Az x-re kapott kifejezést x helyére a második egyenletbe helyettesítve: 1-52/ 3— —^ - 7 y = l,5.

A

Ez könnyen megoldható már: 3(1 - 5y) - 14y = 3, 3 - 1 5 y - 1 4 y = 3, -19t/ = 0, y = 0. Az y = 0-t írjuk vissza az a; = A kapott gyökpár: ^ i ; oj^, s mivel

egyenletbe: a; = i . ^í

eleme a Q X Q alaphalmaznak, és

végig ekvivalens átalakítást végeztünk, így ez az egyenletrendszer megoldása.

Összehasonlító módszer E módszernél ugyanazt az ismeretlent mind a két egyenletből kifejezzük, s a kapott kifejezéseket egyenlővé tesszük. Az utóbbi egyenlet már csak egy ismeretlent tartalmaz. Ezt megoldjuk, és a nyert értéket a már kifejezett egyenletek bármelyikébe helyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét.

V. ALGEBRA

65

V.6. MÁSODFOKÚ EGYENLETEK. EGYENLŐTLENSÉGEK MÁSODFOKÚ EGYISMERETLENES EGYENLET Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: (1)

ax^ +

+ c = 0,

ahol a, 6, c, X G M, de a ^ 0. Az a, 6, c értékeket az egyenlet együttha­ tóinak nevezzük, x a meghatározandó ismeretlen. Ha 6 = 0, akkor az (1) egyenlet hiányos,

alakú, amelynek megoldása

c c Az egyenletnek csa k ---- > 0 , azaz - < 0 esetén van valós gyöke. a a Ha c == 0 (a ^ 0), akkor az ( 1) egyenletből ax^ -\-bx = 0 adódik (most a konstans tag hiányzik). A bal oldalból x-et kiemelve: x{ax -\-b) = 0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, így a megoldás most: x i= 0 b X2 = ---- . a

66

V. ALGEBRA

Az ax^ 4-

+ c= 0

egyenletet teljes négyzetté alakítással oldhatjuk meg. Alakítsuk az a ^ 0-val elosztott egyenlet bal oldalát teljes négy­ zetté: a

a

62

( - ^ ) -

Aa?

c + a c

4a^

a áac

(

Mivel az egyenl&ég bal oldala bármely a ( ^ 0 ), b, c értékek esetén nemnegatív, az egyenlőség csak olyan a, b, c értékekre lehet igaz, cunelyekre: b^ - 4ac > 0. Vonjunk mindkét oldalból négyzetgyököt (ne felejtsük el, hogy 1^1, 2 G R ): b

b^ - 4ac 4a^

b

s/b"^ —4ac 2|a|

•

Látható, hogy csak két különböző gyök van. A két gyököt az

X\,2 =

—6 ± Vb"^ —4ac ” 2^

megoldóképletben foglaljuk össze.

=

V. ALGEBRA

0

67

Az ax^ -\-bx-\-c = 0 egyenletből felírt —Aac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának hívjuk, és £>-vei jelöljük.

(A diszkrimináns latin szó, jelentése: meghatározó, döntő tényező.) Ha Z> > 0, akkor az általános másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van. Ha D = 0, akkor két egyenlő, kétszeres valós gyöke van. (Ekkor az egyenlet bal oldala teljes négyzet.) Ha Z) < 0, akkor az általános másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke. Pn Ha az ax^ -\-bx-\- c = {) egyenletben Z) > 0 és x i, X2 jelöli az egyenlet valós gyökeit, akkor XI ^ X 2 ^ ---- , a c XiX2 = a Ezeket a gyökök és együtthatók közötti összefüggésnek nevezik (Viete-formulák). pn

Ha az ax^ + ba; + c = 0

(a / 0)

egyenletben D > 0, akkor az egyenlet a{x - x\){x - X2 ) = 0 alakba írható, ahol x\^ X2 jelöli az egyenlet valós gyökeit. Ez a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.

68

V. ALGEBRA

MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ MAGASABB FOKÚ EGYENLETEK A másodfokúra visszavezethető algebrai egyenletek közül leggyak­ rabban az + bx^ + c = 0

(a ^ 0)

alakú fordul elő. Ebből = t helyettesítés után t-re másodfokú egyenletet kapimk. Csak a í > 0 értékből származhat megoldás. A kapott t értéket a.z x^ = t egyenlőségbe visszaírva, \x\ = y/i^ x = ±y/i adódik. Tehát, ha egy másodfokúra redukálható negyedfokú egyenlet­ nek gyöke az x i valós szám, akkor gyöke a —x i is. Ennek az egyenletnek négy valós gyöke van, ha, D = két valós gyöke van, ha. D =

—4ac > 0; —Aac = 0;

s nincs valós gyöke, ha. D = b^ —Aac < 0. Általánosan, az ax^^ -h bx^ -hc = 0

( a ^ O , nG

x G M),

iU. ax^^^^ -h bx^^^ -h cx^ = 0

(a ^ 0, n. A: G N“*", a; G M)

egyenletek is visszavezethetők 1a másodfokú egyenletek megoldására. Az első az x^ = t helyettesítéssel, második pedig az x^ tényező kiemelésével és az x'^ = t helyettesítéssel. Az

ax^ -h hx^ +

-\-a = 0

(a ^ 0)

szimmetrikus egyenletek is másodfokúra redukálhatók, jól választott helyettesítéssel. Ezt egy példán mutatjuk be. 0

Oldjuk meg a valós számok halmazán a 2x* + egyenletet!

- 16x^ + 3a; + 2 = 0

V. ALGEBRA

69

Osszuk végig az egyenletet a szimmetriapontban levő ismeretlennel (az

x2-tel): 2x2 + 3x - 16 + 3 Í + 2^7 = 0 X

(ic = 0 nem lehet megoldás), 2x^ + 2 - i + 3x + 3 - - 16 = 0, X^^

X

Legyen x — = t ; mindkét oldalt négyzetre emelve kapjuk, hogy X

a;^+2+-^=í^,

azaz

x2 + 4 = í 2 _ 2. Ezzel a helyettesítéssel a 2(t^ - 2) + 3t - 16 = 0 egyenlet í-ben másodfokú. A í-re a következő értékek adódnak: íi = - , Í2 = —4. Ha a t értékét megkapjuk, akkor ezt visszahelyettesítve az a; + - = í egyenX

letbe, két másodfokú egyenletet keU megoldanunk.

5

.

1 5

^

ti = - eseten x + - = 2.

X

2

1

x i = 2, X2 = - , 2

Í2 = —4 esetén a; + ^ = - 4 , 0:3,4 = —2 ± v^. X

Ellenőrizzük a megoldásokat!

MÁSODFOKÚ EGYENLŐTLENSÉGEK Egyismeretlenes másodfokú egyenlőtlenség az a x ^ -{-b x 0

0

( a ^O ,

ahol a > jel helyett természetesen állhat > , < , < jel is.

70

V. ALGEBRA

A másodfokú egyenlőtlenséget legcélszerűbb grafikusan megoldani. Ez a módszer igen szemléletes, s a legtöbb esetben egyszerűbb, mint az algebrai megoldás. A megoldás menete: 1. először megoldjuk az egyenlőtlenséghez tartozó ax^ -i-bx-\-c = 0 egyenletet; 2. a gyökök ismeretében vázlatosan ábrázoljuk a.z y = ax^ + bx + c {x e ÍR) függvényt; 3. a grafikonról leolvassuk az egyenlőtlenség megoldását. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a > 0!

Ekkor az X ax^ -\-hx-\-c (x G M) függvény grafikonja a D érté­ kétől függően alakul (5.2. ábra). Az ax^ -\ -bx-\ -oO egyenlőtlenség megoldása a következő; а) ha a > 0 és D > 0, akkor x < x \ vagy x > X2 , ahol x i, X2 jelöli az ax^ -\-bx-\-c = 0 egyenlet gyökeit, és x\ < X 2 \ б) ha a > 0 és D = 0, akkor a gyök kivételével bármely valós szám;

V. ALGEBRA

71

c) ha a > 0 és Z) < 0, akkor az ax^ -{-bx-\ -c> 0 egyenlőtlenség bár­ mely valós x-re igaz. Hasonlóan járunk el, ha a < 0. Az ax^ + + c> 0 másodfokú egyenlőtlenség egyik algebrai megoldásmódja a következő: 1. megkeressük az ax^ + + c > 0 egyenlőtlenséghez tartozó ax^ -\-hx c — 0 egyenlet megoldásait; 2. szorzattá alakítjuk az ax^ + + c kifejezést (a gyöktényezős alak felhasználásával); 3. vizsgáljuk a szorzat tényezőinek előjelét. Egy kéttényezős szorzat akkor és csak akkor pozitív, ha tényezmnek előjele megegyezik. Ha a másodfokú egyenletnek nincsenek valós gyökei (Z) < 0), akkor az ax^ -{-bx + c kifejezés minden valós x-re pozitív, ha a > 0 (a függvény képe álló helyzetű parabola, amelynek minden pontja az x tengely felett van), és minden valós x-re negatív, ha a < 0 (a függvény grafikonja az y tengely negatív irányába nyíló parabola, amely teljes egészében az x tengely alatt helyezkedik el) (5.3. ábra).

0

1. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! - \ - 8 x - 33 > 0 Először megkeressük az + 8ic — 33 > 0 egyenlőtlenséghez tartozó f { x ) = = + 8a; — 33 (x £ R) függvény zérushelyeit, azaz megoldjuk az + Sx— —33 = 0 egyenletet. - 8 ± V64+132/^^ ^

\o;2 ==-11

Vázlatosan ábrázoljuk az y = x ‘^ + Sx — 33 {x E R) másodfokú függvényt! A függvény képe áUó helyzetű parabola, mivel a > 0 (5.4. ábra). Az egyenlőtlenség megoldása leolvasható az ábráról: a; < —11 vagy x > 3. 2. Oldjuk meg az x {x + 1) ^>0 x -3 egyenlőtlenséget 1 A tört értéke akkor és csak cikkor nagyobb nullánáJ, ha a számláJója és

72

V. ALGEBRA

a nevezője azonos előjelű. A nevezővel nem tanácsos meggondolás nélkül végigszorozni, hiszen az negatív értékeket is felvehet, ekkor viszont az egyenlőtlenségjel megfordul! Vizsgáljuk meg a lehetséges eseteket! a) Ha x {x + 1 ) > 0 és X — 3 > 0 is teljesül,

V. ALGEBRA

73

akkor a megoldás az (x < —1

vagy

X > 0)

és

x>3

halmazok közös része. Tehát az egyenlőtlenség megoldása; a; > 3. 6) Ha x {x + 1 ) < 0 és x — 3 < 0 is teljesül, aJckor a megoldás a —1 < X < 0

és

X

3 az egyenlőtlenség megoldása. Az egyenlőtlenség megoldása azonnal megadható az 5.5. ábra alapján (a számlálót és a nevezőt is ugyanabban a koordináta-rendszerben ábrázoljuk).

74

V. ALGEBRA

MÁSOD- ÉS MAGASABB FOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLŐTLENSÉG-RENDSZEREK A másod- és magasabb fokú egyenletrendszerekhez, egyenlőtlen­ ség-rendszerekhez nem tudunk ajánlani olyan általános megoldási módszert, amely minden esetben alkalmazható lenne. A következőkben példán keresztül bemutatunk néhány ötletet, módszert. IP I Oldjuk meg az Mx R halmazon az

xy egyenletrendszert! Első megoldás: Próbálkozzunk a lineáris egyenletrendszereknél megismert behelyettesítő megoldással! A második egyenletből célszerű valamelyik isme­ retlent kifejezni:

2 X

ezt helyettesítsük be az első egyenletbe: ,2

(!)=' így x-ie nézve másodfokúra redukálható negyedfokú egyenletet kaptunk. Ennek megoldása:

9

4

5 x 2 + 4 = 0, amiből x^ = t ( > 0 ) bevezetésével: - 5í + 4 = 0 5 ± y/2b - 16 t l . 2 = ---------5---------, azaz ti

4y Í2 — 1-

így x ‘^ = 4 ,

\x\ = 2,

x = ±2,

y = ± h

x ‘^ = l ,

\x\ = l ,

x =

y = ±2.

ill. ± l ,

V. ALGEBRA

75

Mivel a második egyenletben xy = 2 > 0, ezért az egyenletrendszert a követ­ kező szálmpárok elégítik ki: (2:1),

( - 2 ; - l ) ,

(1;2),

( - l ; - 2 ) .

Második megoldás: Emeljük négyzetre a második egyenletet:

x^y^=4 Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggést. Tudjuk, hogy az ax^ + + c= 0 egyenletben (ha a ^ 0 é s D = 6^— 4ac > 0): b

Xi+X2 = ---X1X2 =

c a

Ez alapjáln az

x V = 4j egyenletrendszer tekinthető egy másodfokú egyenlet két gyöke összegének, ill. szorzatának, amiből---- és — értéke leolvasható: a a

-^=5. a

- =4. a Az a értékét vehetjük 1-nek, ekkor b = —5

és

c = 4.

Tehát a -

5t + 4 = 0

másodfokú egyenlet gyökei x “^, ill. y"^. Látható, hogy t-re éppen az előző másodfokú egyenlet adódott: íi = 4, Í2 = 1Tehát az eredeti egyenletrendszer megoldása: x^ = 4,

|x| = 2,

x = ±2;

\y\= 1,

3/ = ±1

V. ALGEBRA

76 vagy

= 1,

lx| = 1, M=2,

2/^=4,

x = ± l; y = ±2.

Az icy = 2 > 0 feltétel miatt az egyenletrendszer megoldáshalmaza:

(2; 1),

■ ( - 2 ; - l ) , (1;2), ( - l ; - 2 ) ] Harmadik megoldás: Az egyenletrendszer bal oldalán álló ill. icy kifejezések eszünkbe juttathatják egy kéttagú kifejezés négyzetét. Szorozzuk meg a második egyenletet 2-vel:

x^+y^ = 6 ' 2xy = 4. Ha ennek a két egyenletnek az összegét és a különbségét vesszük, akkor két olyan egyenlethez jutunk, amelyeket azok és csak azok az (x ]y ) rendezett számpárok elégítenek ki, amelyek az eredeti egyenletrendszert kielégítik:

= + 2xy + 2,2 2/^ = - 2xy +

9 1

/ =lj

amit egyszerűbb alakban is felírhatunk: (x + y f =

- yf

Az abszolút érték értelmezése után négy elsőfokú kétismeretlenes egyenlet­ rendszerhez jutunk: x+y=3 x -y =

^

l- J

x -h y = 3 x -y = -l;

x + y = -3^

x -h y = - 3 I

x -y =

x -y = - l j

l;

J

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK V l.l. A SZAMTANI, A MÉRTANI ES A HARMONIKUS KÖZÉP FOGALMA; A RÁJUK VONATKOZÓ EGYENLŐTLENSÉGEK [d1 Az ai, ű2 € M számok számtani (aritmetikai) közepe: A= Az ai, ü2 nemnegatív számok mértani(^eomeí?^a2) közepe: G = yja\a2A nullától különböző ai, a2 számok harmonikus közepe:

E közepeket több számra is érteboiezhetjük: Az ai, tt2, . . . , ttn (n G N~^) G M számok számtani közepe: A=

n

Az tti, tt2, . . . , ön nemnegatív számok mértani közepe:

78

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

A nullától különböző ai, a2, . . . , an számok harmonikus közepe:

n

Öl “h Ö2 n

és az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a \ = a 2 = — •••— ^nSzámos szélsőérték-feladatban és függvényvizsgálat során a két pozitív szám (ai és a2) mértani és számtani közepe közti egyenlőtlen­ séget alkalmazzuk: Obi

+ Ö 2

és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő.

VI.2. SZÁMSOROZATOK |d1 a végtelen valós számsorozat (röviden számsorozat, sorozat) olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Ha az értelmezési tartományt leszűkítjük a pozitív egész számok valamely véges részhalmazára, akkor véges szám­ sorozatról beszélünk. A függvény helyettesítési értékeit a számsorozat elemeinek nevez­ zük. A számsorozatot többféleképpen jelölhetjük:

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

79

— / : N+ -> E, n /( n ) = Oni — {a n }n = v W } ( r i G N + ) , ill. ( o n ) ( n G N + ) vagy röviden {ttn}, ül. K ) ; —

a i,a2,...,an ,...

ahol jelöli a számsorozat n-edik (általános) elemét, n (G N +) pedig az elem indexét (sorszámát). A számsorozatot megadhatjuk — a számsorozat általános elemével: n^-^a(7^), pl. an = n -,n e N + : ?i + 1 — rekurzív módon: megadjuk a számsorozat első néhány elemét, az általános elemet pedig a megelőző elem(ek) függvényeként definiáljuk; pl. a\ = 1, a2 = 1, an = dn-2 + ö n - l , ha n > 2; — utasítással; pl. tekintsük a prímszámok növekvő sorozatát (e sorozat általános eleme képlettel nem adható meg). A derékszögű koordináta-rendszerben a számsorozatnak mint függ­ vénynek a grafikonja nem folytonos vonal, hanem diszkrét pontokból áll (6.1. ábra). A számsorozatot a számegyenesen (6.2. ábra) is ábrázolhatjuk.

H----1— I----1---- 1— Q| Q2 Q3 Cl^ CI5 6 .1 . á b r a

1/4 1/3

V2

6.2 . ábra

80

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

NEVEZETES SOROZATOK Számtani sorozat 0

Azt a számot, amelyben (a másodiktól kezdve) bármelyik elem­ ből kivonva a megelőzőt, a különbség állandó, számtani (vagy aritmetikai) sorozatnak nevezzük.

Ezt az állandó különbséget d-vel jelöljük, és a sorozat különbségé­ nek (differenciájának) mondjuk: an —a n -i = d ,

n>2.

Ebből kapjuk a számtani sorozat rekurzív képzési szabályát: an = a n -i-h d

(n€N+,

n > 2 ).

A számtani sorozatot az első eleme (ai) és a differenciája (d) egyér­ telműen meghatározza. Pn A számtani sorozat bármely eleme — az elsőt kivéve — számtani közepe a tőle azonos távolságra levő két elemnek: a ^ ^ a n -i + ün+l ^ ^ ^ ^n-k + an+k

m (1)

S

(fc,„eN +,n>2,fcn "1“ {o>n

+ (fln

22) G N +, n > 2, fc < n).

[T| A mértani sorozat n-edik eleme: O n = a iq,n—l

(1)

m

(n G N + ).

A mértani sorozat első n elemének összege:

(2 )

A mértani sorozat első n elemének összege, az (3)

= ttl H- tt2 +

+ - ••+ ttn

kifejezhető a sorozat első .elemével és a háinyadosával:

Sn = a i a i q + aiq^ + ... + aiq^~^. Szorozzuk meg a most kapott egyenlőség mindkét oldalát q{^ 0)-val: (4)

qSn = o , i q a i q ^

aiq^ ^ + aq^.

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

83

A (4) és a (3) egyenlet különbségét véve:

qSn —S n = 0,\q^ —tti, azaz S „ ( g - I )

=

a i ( < , " - 1 ) ,

amiből, ha g ^ 1

ai(í"-l) ;--- -

„

q -1

Ha g = 1, akkor

5n = ai + tti + - - - + ai = nai.

Harmonikus sorozat 0

Az l i l

i

számsorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. Az elnevezés arra utal, hogy a sorozat bármely eleme — a máso­ diktól kezdve — a vele szomszédos két elem harmonikus közepe. Fihonacci-sorozat [d1 A z

«1 — 1; Ö2 = 1; «n = « n - l + «n-2

(n G N +, n > 2)

rekurzív módon definiált sorozatot Fibonacci-sorozatiiak nevezzük. A Fibonacci-sorozat (FIBONACCI olasz tudós, 11707-1240) n-edik eleme: an =

1

n

^

n: n

v/5

A Fibonacci-sorozat első n elemének az összege: 5 „ = o„+ 2 - 1

(neN+).

84

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

KAMATOSKAMAT-SZÁMÍTÁS m

Ha valamely íq érték meghatározott időszak alatt (általában évenként) p G százalékkal növekszik, akkor a megnövekedett érték n G időegység (n év) múlva:

Ha az érték ugyanilyen módon csökken:

lE

Valaki vásárolt egy gépkocsit 180 000 Ft-ért. Mennyit ér a gépkocsi 6 év múlva, ha értéke minden évben az előző érték 10 %-val csökken? Mivel értékcsökkenésről van szó:

te = 180000

95659,3.

Százasokra kerekítve 95 600 Ft.

m

Ha minden év elején valamely A q összeget helyezünk el a bankban p %-os kamatláb mellett, akkor az n-edik év végén a megnöveke­ dett összeg: An = A o{l+p/lO O y

0

,( i + p / i o o r - i p/lOO

Valaki minden év elején 2000 Ft-ot tesz a bankba évi 5 %-os kamatos kamatra. Akkor tíz év múlva

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

85

A io = 2000(1 + 5/100)^°^^'*'^'^^°'^^------- i = 40976 5/100 Ft-ot vehet fel.

m

A kamattal terhelt kölcsön törlesztéséhez szükséges évi részlet — annuitás — kiszámítása: ha év elején A q összegű hitelt vettünk fel a banktól p %-os kamatra, amelyet n év alatt kell visszafizetnünk (egyenlő részletekben), akkor az évi részlet: e = A o ( l + p / 100) "( 1+p/ l OO) ” - ! ’

a havi részlet: h = e/l2.

IP I

100 000 Ft-ot vettünk kölcsön 30 %-os kamatos kamatra, melyet 15 év alatt kell egyenlő részletekben visszafizetnünk. Ekkor az évi részlet: e = 100000(1 + 30/100)^®-------- 30/100 ------^ 30598, (1 + 30 / 10 0 ) 1 ® - ! s a havi részlet (kerekítve) 2550 Ft.

VI.34. A SZÁMSOROZATOK TULAJDONSÁGAI MONOTON SOROZATOK Az {an) sorozat monoton növekvő, ha bármely n G N“*"-ra ön < Cbn+l'-, monoton csökkenő, ha an > ön+lHa ün < ttn + l5 akkor az (on) számsorozat szigorúan növekvő^ ha pedig an > (Jin+li akkor szigorúan csökkenő.

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

Lehet, hogy a számsorozat sem nem monoton növekvő, sem nem monoton csökkenő (pl.

^

^^

ilyen sorozatot

oszcilláló sorozatnak nevezzük. A számsorozatok monotonitásának megállapítását leggyakrabban az a^+i — különbség, ill. az an-{-i/€in hányados segítségével végez­ hetjük el. Ha minden n G N“*"-ra: > 0, «n + l -

< 0,

akkor az monoton akkor az monoton

(an) sorozat növekvő, (on) sorozat csökkenő;

továbbá, az ü n > 0 esetben (a sorozat minden eleme pozitív), ha > 1,

akkor az {an) sorozat monoton növekvő,

< 1,

akkor az (on) sorozat monoton csökkenő.

{

KORLÁTOS SOROZATOK Az (ün) számsorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy k < a n minden n G N+-ra; felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy ün < K , minden n G N"^-ra. A sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos. Lehet egy számsorozat sem alulról, sem felülről nem korlátos (pl. a^ = ( - 2) ^ n G N + ) . Ha egy számsorozatnak egy szám alsó (ill. felső) korlátja, akkor a szánmái kisebb (ill. nagyobb) minden szám alsó (ill. felső) korlátja a sorozatnak.

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

87

[d1 Az alsó korlátok közül a legnagyobbat alsó határnak, a felső korlátok közül a legkisebbet felső határnak nevezzük (a sorozat alsó, ill. felső határa nem feltétlenül eleme a sorozatnak). Ha egy számsorozat monoton növekvő, akkor alulról korlátos, egyik alsó korlátja (határa) a sorozat első eleme, ai; ha egy sorozat monoton csökkenő, akkor felülről korlátos, egyik felső korlátja (határa) ai, m

Korlátos sorozatnak (számhalmaznak) van alsó és felső határa.

0 1. Az ttn = 2*^ (n 6 N“*“) sorozat alulról korlátos, egyik aJsó korlátja (egjrúttal alsó határa) k = a i= 2 ^ mivel a sorozat szigorúan növekvő. 2. Az ttn = (n G sorozat felülről korlátos, egyik felső korlátja (egyúttal felső határa) K = ai = —1, mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő. 3. Az ttn = — (ri G N+) sorozat korlátos, mivel alulról is, felülről is korlátos. Egyik n alsó korlátja (egyúttal alsó határa is) k = 0, ugyanis — > 0, bármely n G N“*"-re. n A sorozat szigorúéul monoton csökkenő, ezért egyik felső korlátja (egyben a felső határa) K = a\ = 1.

KONVERGENS SOROZATOK

fő n Az ---5^71') ••• számsorozat határértéke az A valós szám, ha bármely pozitív €-hoz található a sorozatnak olyan {k G N“*") eleme, amelytől kezdve a sorozat minden eleme az {A — e) intervallimiba esik. A D l definícióval ekvivalens a D2 és a D3 definíció is. ÍD2l Az

88

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

számsorozat határértéke az A szám, ha A bármely környezetébe — a sorozat véges sok elemének kivételével — a sorozat minden eleme beletartozik. [P3l Az ÖI5^2?•••5 ••• számsorozat határértéke az A valós szám, ha bármely £ > 0 számhoz megadható olyan N (e-tól függő) küszöbszám, hogy minden n > N (s)-ra A -s < a n < A -h s , azaz az \an - A \ < e

egyenlőtlenség teljesül. Ekkor azt mondjnk, hogy az (an) sorozat konvergens (összetartó). Ha egy sorozatnak nincs határértéke, akkor divergensnek (széttar­ tónak) nevezzük. Azt, hogy az (a^) sorozat határértéke az A szám, kétféle módon jelölhetjük: Hm ün = A, n— ^00 iU. a n -^ A . Könnyen bizonyítható, hogy a számtani sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elemeinek d különbsége zérus; a mértani sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a g hányadosára teljesül a - K q < l egyenlőtlenség. Konvergens számsorozatokra vonatkozó legfontosabb tételek |T1|Konvergens számsorozatnak csak egyetlen határértéke van. |T2| [A konvergencia szükséges feltétele:) Ha egy számsorozat konver­ gens, akkor korlátos is.

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

89

Fordítva nem igaz az állítás: ha a sorozat korlátos, akkor ebből nem feltétlenül következik, hogy konvergens (pl. az ün = (—1)’^ {n G sorozat korlátos, de nem konvergens). Ha viszont egy sorozat nem korlátos, akkor biztos, hogy nem konvergens. |t3| ( a konvergencia elegendő feltétele:) Ha a számsorozat monoton (növekvő vagy csökkenő) és korlátos, akkor konvergens. Fordítva ez az állítás sem igaz: ha egy sorozat konvergens, ak­ kor ebből nem mindig következik, hogy monoton és korlátos (pl. 1

dn = { —- )

(^ G N"*“) konvergens, tart a miUához, de nem monoton,

csak korlátos). {A rendőrelv:) Ha az (ün) és a (cn) sorozat határértéke megegye­ zik, vagyis ün-^ A, C n A és teljesül a n < b n < C n { n e N+), akkor bn A. (Az elnevezés abból a hasonlatból ered, hogy ha két „rendőr” közre­ fog egy „letartóztatottat” és elindulnak vele, akkor a „letartóztatott” szükségképpen „oda tart” , ahova a rendőrök.) [tb] (Műveletek konvergens sorozatokkal:) Ha az (a^) és (bn) (n G N"^) sorozatok konvergensek és határértékük A, ill. B , akkor a ( c a n ) (c e M), (ön ± b n ) , { a n • b n ) , és ha jB / 0, akkor az ( d n / b n ) sorozat is konvergens, és

Néhány nevezetes sorozat határértékét foglaltuk össze a következő táblázatban.

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

90

Sorozat

Határérték

(n e N+)

(n

a„ = c

c-^c

1 a„ = n

Í-.0 n

O n=q^

q ^ -^ 0

-K q < l

an=q^

q ^ -^ 1

q=l

an=q^

q^ -^ o o

q>l

Korlátos,

q = -l

an = q ^

Feltétel

c»)

ceR

nem konvergens an=q^

Nem korlátos,

q < -l

nem konvergens O n= ^

(e = 2,7182...)

VI.4. SZÁMSOROK VÉGTELEN VALÓS SZÁMSOR FOGALMA. ÖSSZEGE 0

Az végtelen valós számsorozat elemeiből képzett

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

( 1)

91

ai + 02 + 03 + ... a „ + ... — ^ 2 n=l

végtelen sok tagú összeget végtelen valós számsornak (röviden számsornak, sornak) nevezzük. Az a i , a 2, a3, ... , 071, .. . számok a sor tagjai; a sor általános tagja. A számsorban az összeadás a hagyományos értelemben nem végez­ hető el (végtelen sok számot kellene összeadnunk, így sohasem vé­ geznénk a számítással), és nem is biztos, hogy egyértelmű eredményt kapnánk. m

Tekintsük a következő S sort:

5 = l - l + l - l + l-r+ ... Csoportosítsuk a sor tagjait kétféleképpen: 5 =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...; ekkor 5 = 1; 5 =(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + .. .; ekkor 5 = 0.

Az (1) sorból képzett Si = ai, ^2 = 0,1 + a 2, Ss = a i ü 2 a s , Sn = Öl + tt2 + ^3 “í" •••“I"

iP' ^ N"^),

sorozat az (1) sor részletösszegeinek a sorozata. Ha a végtelen sor részletösszegeinek (Sn) (^ ^ sorozata konvergens és határértéke 5, akkor a sort is konvergensnek nevezzük, s a sor összegén az S határértéket értjük. Ha a részletösszegek Sn sorozata divergens, akkor a sort divergensnek nevezzük, s azt mondjuk, hogy a sor összege nem létezik.

92

m

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

( Végtelen sor konvergenciájának szükséges feltétele:) Ha egy vég­ telen sor konvergens, akkor általános tagja, an tart a 0-hoz.

Az általános tag 0-hoz tartása csak szükséges, de nem elegendő feltétele a konvergenciának. Ez azt jelenti, hogy ha egy sor általános tagja nem tart nullához, akkor a sor biztosan nem konvergens, de ha az általános tag 0-hoz tart, ettől még nem biztos, hogy konvergens. Ezen tétel alapján megállapíthatjuk, hogy pl. az 1-1

+ 1 - 1 + 1 - 1 + ...

sor nem konvergens.

NÉHÁNY NEVEZETES SOR Mértani sor Legyenek a mértani sorozat elemei a,og,og^,...ag"“ \ . . .

(a, q € R , a ^O , q ^ O , t ig N+) .

A mértani sorozat elemeiből képzett oo a + aq + aq^ + . . . + aq^~^ + ■••= X ] n=l

végtelen számsort mértani sornak nevezzük.

[3

Az a,aq,aq^ ,...aq‘^ ~^,...

(a, g s M , 0 7 ^0, qj^O, neN"*")

mértani sor akkor és csak akkor konvergens, ha - ! < ( ? < 1; ekkor S =

^ 1 -q

VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK

93

A mértani sor segítségével a végtelen szakaszos tizedes törteket felírhatjuk - törtalakban. Q 3 3 3 3 0,3 = 0,3333... = ----- 1--------- 1----------- 1------------- h . .. = 10

3

1

3

10 j

100

1

“ 10

10

3

1000

10000

1 0 1

“ 10 ' 9 ~ 3

10

Harmonikus sor A harmonikus sorozat elemeiből képzett .

1 1 1 1 + —+ —+ — H------ / 2 3 n

^ 1 — ^ n n=l

végtelen számsort harmonikus sornak nevezzük.

S

A harmonikus sor divergens, összege nem létezik (báx általános tagja, ün = — tart a nuUához). n

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

V ll.l. RELÁCIÓK, LEKÉPEZÉSEK A kételemű halmazt párnak nevezzük. Ha az elemek sorrendje számít, akkor rendezett párról beszélünk. Az a és b elemekből álló rendezett pár jelölésére az (a; 6) szimbólumot használjuk, ahol a a rendezett pár első, b a második eleme. Az (a; b) rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő a (c; d) rendezett párral, ha. a = c és b = d. Legyen A és B két (nem üres) halmaz. Az A és B halmazok Descartes-szorzatán az összes olyan (a; 6) rendezett párok hal­ mazát értjük, amelyre a G A, b £ B. Az A és B halmazok Descartes-szorzatát (DESCARTES, francia matematikus, filozófus, 1596-1650) A x B (olv.: a kereszt 6)-vei jelöl­ jük. A -t a szorzat első, B -t a második tényezőjének mondjuk. Képezzük az A = {1 ,2 } és a B = {a ,b ,c } halmazokból

A Y. B halmazt (Descartes-szorzatot)! A X B = { ( l ; a) , (1;6), (l;c), (2;) jelöljük: A -^ B.

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

99

A függvény fogalmát a leképezés, a lek^ezést a reláció, a relációt a Descartes-szorzat (rendezett párok halmaza) segítségével definiáltuk. Ezek viszonyát szemlélteti a következő Venn-diagram (7.5. ábra).

A függvényt mint egyértelmű leképezést definiálhatjuk, vagyis az f C A x B reláció függvény, ha — y a e A 3 b e B , hogy (a ,6) e f ; — {a;b) e f A {a,c) e f ^ b = Cj ahol a e b , c e B.

|P2| Egyváltozós fuggyén3mek nevezzük az olyan rendezett pároknak a nem üres halmazát, amelyeknek az első eleme mind különböző. A függvény — mivel leképezés — lehet injektív, szürjektív és bijektív is. Tekintsük a valós számokból álló X és Y (nem üres) halmazokat. Ha az X halmaz minden x eleméhez adott / utasítás (megfelelte­ tés, hozzárendelés) az Y halmaz egyetlen y elemét rendeli, akkor ezt az utasítást az X , Y halmazokkal együtt egyváltozós valós (valós-valós) faggvénynek nevezzük. Az egy\"áltozós valós függvény a valós számok valamely nem üres részhalmazát egyértelműen képezi le a valós számok részhalmazába(ra). Mivel a középiskolai matematikában csak egyváltozós valós függvé­ nyek fordulnak elő, ezért ezeket a továbbiakban röviden függvények­ nek mondjuk.

100

VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

Az f függvény értelmezési tartománya ( Df ) az X halmaz (azon £ X valós számok halmaza, amelyekhez az adott / utasítás szerint egyetlen y g Y valós számot rendelünk). Az f függvény értékkészlete (Ry) azon y E Y számok halmaza, amelyekhez létezik az X értelmezési tartománynak legalább egy olyan eleme, amelyre x\-^y — f { x) . Az f függvény képhalmaza az Y halmaz. Tehát R f C Y . A függvény akkor adott, ha ismert az értelmezési tartománya (D^-), a képhalmaza ( y ) és a hozzárendelési utasítása ( / ) . X

0

Az / : A —>B,

xi-^ f { x )

és a g : C-^D,

xí - ^g{ x)

függvény akkor és csak akkor egyenlő, ha A = C, B — mint Va G 74-ra / ( a ) — g{a).

vala­

Legyen az / függvény értelmezési tartománya Df és A c D f (A 7^ 0), képhalmaza Y. Ekkor a g: A^Y,

x ^ g{x)

függvény az /-nek az A-ra. vonatkozó leszűkítése; ezt /|^-val jelöljük: g = / l ^.

0

A (1)

g : R+ U {0 } -► K+ U {0},

függvény az (2)

/ : M ^ M+ U {0},

függvény leszűkítése az

a;

U {0 } halmzizra (7.6. ábra).

Azt is mondhatjuk, hogy a példában adott (2) függvény az ( 1) függvénynek az R halmazra vonatkozó kiterjesztése.

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

101

Sok esetben a függvény értelmezési tartományát nem tüntetik fel. Ilyenkor a valós számok azon legbővebb részhalmazát tekintsük aimak, amelyre az utasítással adott kifejezés értelmezve van (célszerű a függvényvizsgálatot ezzel kezdeni). Gyakran a függvény képhalmazát adjuk meg az értékkészlete helyett. A képhalmazt az értelmezési tartomány és a hozzárendelési utasítás megadásával már meg tudjuk határozni, ezért néha a képhalmaz felírását is mellőzzük. Az / függvény Df értelmezési tartományának xq eleméhez rendelt R j-beli elemet az / függvény xq helyen vett helyettesítési értékének nevezzük, és /(x o )-la l (vagy yo~^sl) jelöljük. A függvény értelmezési tartományának (x) elemeit független vál­ tozónak (vagy argumentumnak), értékkészletének (y) elemeit (a;-től) függő változónak nevezzük. Az / függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartomá­ nyának azon X elemét, ahol a függvényérték nulla, azaz, ahol f { x ) = 0. E pontban metszi vagy érinti a függvény grafikonja az x tengelyt.

102

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

Az egyváltozós valós függvény jelölése megegyezik az általános függvény jelölésével. Megadjuk a függvény nevét ( / ) , értelmezési tartományát (Dy), értékkészletét ( R / ), és a hozzárendelési szabályát:

X 1-^ /(x ), vagy xt-^f(x),

y = f{x),

V

x

e

D

/ ,

V x€D /,

f{x )e R f, y e R f .

A „minden” V kvantorjelet a továbbiakban nem írjuk ki; Vx G Dy helyett az a; G Dy jelölést használjuk egyazon értelemben. Sokszor y G f { x ) függvényről beszélnek. Ez nem pontos, hiszen / ( x ) az / függvény x helyen vett helyettesítési értékét (függvényérté­ két) jelöli.

FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA Az egyváltozós valós függvényeket leggyakrabban a síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Descartes jellemezte elő­ ször a sík pontjait rendezett valós számpárokkal: bevezette a pont koordinátáinak fogalmát és ezzel lefektette az analitikus geometria alapjait. A Descartes-féle koordináta-rendszer két, egymásra merőleges számegyenes, amelyeknek a nulla pontjuk közös. A tengelyek pozitív irányait nyíllal látjuk el, és i31. y betűvel jelöljük. A sík bármely P pontjához így kölcsönösen egyértelmíí módon hozzárendelhetünk egy rendezett valós {x; y) számpárt, amit a pont koordinátáinak nevezünk, és P{ x; y)-nal jelölünk. Az x koordinátát {és az x tengelyt) abszcisszának (abszcissza­ tengelynek), az y koordinátát (s így az y tengelyt is) ordinátának (ordinátatengelynek) nevezzük. Az ábrázolandó függvényt alkotó {x ’, y) rendezett párok mindegyi­ kéhez rendeljük hozzá a P{ x ; y ) koordinátájú pontot. Az így kapott ponthalmazt a függvény grafikonjának tekintjük.

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

103

Ha egy / függvényt koordináta-rendszerben ábráizolunk, akkor e ponthabnaz minden P( x] y ) elemére (de a sík pontjai közül csak ezekre) fennáll az y = f{x) Összefüggés. Ezt az egyenletet nevezzük a grafikon egyenletének. 0

A z/:R \ {3}^ ü , XIX 3 függvény grafikonja a 7.7. ábráin látható; a grafikon egyenlete y = x, x ^ 3 .

Az egyváltozós valós függvényeket polárkoordináta-rendszerben is szokták ábrázolni. A síkbeli polárkoordináta-rendszer alapelemei: a sík egy rögzített O pontja (a koordináta-rendszer p ó lu s a )és egy, az e pontból kiinduló a vektor, amit a polárkoordináta-rendszer polártengelyének — röviden tengelyének — nevezünk. A sík tetszőleges (de a pólustól különböző) P pontjának helyét meghatározhatjuk a z r = \OP\ pólustávolság (rá­ diuszvektor, vezérsugár) és az irányított (p = (a^ O P ) irányszög segít­ ségével (7.8. ábra). Általában a pozitív irányszöget (az óramutató járásával ellentétes forgásirányt) használjuk, a periódustól eltekintve; ekkor 0 < (^ < 27T. Azt, hogy a P pont pólustávolsága r, irányszöge (p, a következő­ képpen jelöljük: P(r*; (f).

104

VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

7.8. ábra

Az (r; (p) rendezett számpárt a P pont polárkoordinátáinak nevez­ zük. A polárkoordináta-rendszerben a pólus távolsága zérus, irányszöge határozatlan. A sík bármely egyéb P pontja és az (r;(^),

0 0) grafikon­ ját az y tengely irányában a-szoros nyújtással (a > 1), ill. zsugorítással (0 < a < 1) állíthatjuk elő (7.12. ábra).

108

Vn. EGWÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

2) Az y — f { ax ) {a G M+) egyenletű grafikon a.z y = f { x ) grafikon­ nak az X tengely menti 1/a-szoros nyújtásával (0 < a < 1), ill. a > 1 esetén, zsugorítással származtatható (7.13. ábra). Tükrözés Az y = —f ( x ) grafikon diZ y = f { x ) egyenletű grafikonnak az x tengelyre vonatkozó tükörképe (7.14. ábra).

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

109

Előfordulhat, hogy az adott függvényt több transzformáció egjnmás utáni alkalmazásával tudjuk ábrázolni. \B

Ábrázoljuk az y = + 8a; — 7 (a; G M) egyenletű parabolát! A parabola egyenletét y = a(x — u )^ + v alzűíúra kell hozni, abból leolvasha­ tók az egyes transzformációk. y = -2 {x '^ -4 x )-7 , l= -2

(^-2)2-4

-7,

j/ = - 2 ( x - 2 ) 2 + 8 - 7 , y = - 2 { x - 2 f + 1. A transzformációs lépések: y = x^=^y = ( x - 2 ) ^ = ^ y = 2 ( x - 2)^ y = - 2 { x - 2 f = > y = - 2 { x - 2)^ + 1. A függvény grafikonja a 7.15. ábrán látható.

110

vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

VII.3. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL [£] Ha c G M és / valós-valós függvény, akkor a c/ : Dj

M,

X

cf{x)

függ\"ényt az / függvény c-szeresének (c számszorosának) mondjuky és c/-fel jelöljük. H ] Legyen f és g két olyan valós függvény, amelyekre D D Az f és g függvények összegének az

^ 0.

szorzatának pedig az JgiDfCiDg^R,

x ^ f { x) g { x)

függv^ényt nevezzük. Több függvény összegét és szorzatát is hasonlóképpen értelmezzük. [d1 A z f és g függvény hányadosának az í:((D ;n D ,)\ /l)^ R , függvényt nevezzük, ahol az A halmaz jelöli a nevező, a g{x) függvény zérushelyeinek a halmazát. [£] Az f o g~vel jelölt összetett függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya a g értelmezési tartományának az a része, ahol a g olyan értékeket vesz fel, melyeken / értelmezve van, és a hozzárendelési utasítása a következő: x f^g helyen az összetett függvény értéke az / függvénynek a. g{x) helyen felvett értéke (7.16. ábra). Itt a ^ a helső, f a külső függvény. 0

Ha az / kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezés, akkor / inverz függvényének (jele: / “ ^, / * vagy / ) nevezzük azt a

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

111

7.16. ábra

függvényt, amelynek,értelmezési tartománya az / függvény K f értékkészlete, az értékkészlete az / függvény Dy értelmezési tar­ tománya, és a hozzárendelési törvénye a következő: f { x ) G Kf-hez az az X értékét rendeli (7.17. ábra), vagyis f~^ : R f f ( x ) i-> x.

Látható, hogy /-l(/(x ))= x . (Érvényes az f ( ^ f ~ ^ { x ) ) = x egyenlőség is, vagyis f~^ inverze az eredeti / . ) Amennyiben az / függvény által létesített leképezés nem köl­ csönösen egyértelmű, de az értelmezési tartományának van olyan

112

VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

részhalmaza, ahol e feltétel teljesül, akkor az / függvény ilyen rész­ halmazon értelmezett leszűkítésének — a definíció alapján — létezik inverze. Ebben az esetben az inverz függvény értékkészlete az / függvény értelmezési tartományának ezen leszűkített részhalmaza. Az inverz függvény grafikonja megegyezik az eredeti függvény képének az y = x tengelyre vonatkozó tükörképével (feltételezve, hogy az X és y tengelyen az egységek egyenlőek), mert a definíció szerint úgy juthatunk az inverz görbéjének egyenletéhez, hogy a változókat „felcseréljük” .

VII.4. FUGGVENYTULAJDONSAGOK [ d1 Egy / függvényt, amelynek értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra, páros függvénynek nevezzük, ha x

G D j esetén / ( x ) = / ( —x),

és páratlan függvénynek, ha x

G D j esetén / ( —x) = —/ ( x ) .

A definícióból következik, hogy páros függvény grafikonja az y ten­ gelyre (T.18. ábra), a páratlané az origóra szimmetrikus (7.19. ábra). Ha az / függvény páros vagy páratlan, akkor elég az / függvénynek egy leszűkítését, pl. az értelmezési tartomány nemnegatív elemeihez tartozót diszkutálni, hiszen a negatív elemekre ebből már következik a függvény menete. A legtöbb függvény sem nem páros, sem nem páratlan. Két páros vagy két páratlan függvény szorzata és hányadosa páros, viszont páros és páratlan függvény szorzata is, hányadosa is páratlan. Az / pG

ínem konstans) függvény periodikus, ha létezik olyan szám, hogy Vx € D j esetén x - h G D j, és f { x + p ) = f{x).

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

113

Ha van az / függvénynek legkisebb ilyen p száma, akkor ezt a p-t a függvény periódusának nevezzük, és azt mondjuk, hogy a függvény e szám szerint periodikus.

114

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

Az / ; E —i- {c},

X H-í-c

konstansfiiggvény esetében bármely p > 0 számra x + p € D y, és f { x + p) = f { x ) ^ c , de legkisebb p szám nem létezik, így e függvény nem periodikus. Periodikus függvény (27T szerint) pl. az x^-^sinx függvény. A periodikus függvényeket elegendő egy perióduson belül vizsgálni, hiszen az itt megállapított tulajdonságok a függvény periódusa szerint ismétlődnek. Az / függvényt felülről korlátosnak, alulról korlátosnak, ill. korlátosnak mondjuk, ha az értékkészlete felülről korlátos, alulról korlátos, ill. korlátos számhalmaz. Felülről korlátos függvény pl. az ( 1)

/ : R ^ E “ ^ U { 0},

függvény, mivel bármely x € M-re: — Alulról korlátos függvény pl. az (2)

< 0.

x^2^,

mivel bármely x € M esetén: 0 < 2^. Korlátos függvény pl. az (3)

1;1],

xy-^cosxj

mivel minden x G M-re —1 < cos a; < 1. A legkisebb felső korlátot a függvényértékek felső határának {szuprémumánakj jele: s u p / (x )) , a legnagyobb alsó korlátot a függvényér­ tékek alsó határának [infimumának, jele: inf/(or)) nevezzük. Az (1) függvény felső határa: sup f { x ) = 0. A (2) függvény alsó határa szintén nulla, azaz i n f / ( x ) = 0.

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

115

Bebizonyítható, hogy felülről korlátos függvénynek van felső ha­ tára, alulról korlátos függvénynek alsó határa, korlátos függvénynek van alsó és felső határa. Az / függvényt (tágabb értelemben) monoton növekedőnek, ill. monoton csökkenőnek nevezzük az értelmezési tartomány valamely H részhalmazán, ha a i í halmaz bármely két olyan pontjára, amelyekre XI < X 2 => f { x i ) < f { x 2 ), m. Xi f { x 2 ) . Szigorúan növekedő, ill. csökkenő az / függvény, ha x i , x 2 G H-ra. X i < X 2 ^

f{X i) < f{X 2),

Ul. XI < X 2 = > f { x i ) > f{X2). Az ilyen függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevezzük. Az / függvény monotonitását nemcsak intervallumon, hanem egy adott pontban is értelmezhetjük. Legyen e tetszőlegesen adott pozitív szám. Egy a valós szám e

sugarú környezetének nevezzük az ] a- e ; a - \- e [ nyitott intervallumot. Az / függvényt az xq (GDy) pontban monoton növekedőnek mondjuk (vagy az xq helyen monoton növekedve halad át), ha van az xq helynek olyan e sugarú környezete, amelyben f { x ) értelmezve van, és f { x ) < f { xo) ,

ha x o ~ e < x < x o

'Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

116

es f{x)

> /(xo),

ha x o < x

ontban monoton növekedő legyen, nem szükséges monoton növekedőnek lennie az ]xo —e; xq] vagy az [xo; xq + e[ intervallumban (7.20. ábra).

A fogalom csupán azt jelenti, hogy az xq hely előtti függvényér­ tékek nem nagyobbak az x q helyen felvett függvényértéknél és az xq hely utálni függvényértékek nem kisebbek az /(a;o)-nál. Hasonló az Xq pontbeli csökkenés értelmezése is, csak a fenti definícióban a relációjeleket fel kell cserélnünk. Az / függvénynek az xq

D /) helyen vett abszolút (vagy totális)

TnayÍTTiiiTna (mmimunia) van, ha Vx G Dj- esetén f { x ) < / (xq), iU. Vx e B f

esetén / ( x ) >

/ ( x q ),

Az /(x o ) értéket a függvény maximumának (minimumának) nevezzük.

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

117

A függvényértékek maximumát, ill. minimumát közös néven a függvény szélsőértékeinek mondjuk. Ennek megfelelően, a maximumés a minimumhelyeket együtt szélsőértékhelyeknek nevezzük. A / függvénynek az xq ( ^ D / ) pontban helyi (vagy lokális) szigorú maximuma (minimuma) van, ha létezik xo-nak olyan e sugarú környezete, hogy az ebbe eső \/ x £ Df pontokra f { x ) < f { xo) , m. f i x ) > f ( xo) . Tágabb értelemben beszélünk a függvény szélsőértékéről, ha a függvény nemcsak egy pontban veszi fel szélsőértékét. A 7.21. ábrán látható függvénynek s lz x = a helyen lokális ma­ ximuma, 3.Z x = b helyen lokális minimuma, és az x = c pontban pedig abszolút maximuma van.

[d1 Az / függvény az [a, 6] C Dintervallmnon (alulról nézve) konvex {domború, 7.22. ábra), ha minden a < x \ < X 2 < b esetén / ( X l )

(1)

/

+

/ ( X 2 )

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

118

s (alulról nézve) konkáv {homorú, 7.23. ábra), ha (2)

Szigorú értelemben konvex (konkáv), ha (1) és (2)-ben az egyenlő­ ség nem megengedett.

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

119

A fenti definíció szemléletes jelentése a következő: egy görbe kon­ vex (konkáv), ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötő húr alatt (felett) vagy magán a húron van. A görbültséget az érintő segítségével is értelmezhetjük. [d1 Legyen / egyváltozós függvény. Ha az y = f ( x ) egyenletű gör­ bének az xq abszcisszájú pontjában van érintője, és a görbe az xq valamely környezetében az érintő felett (alatt) halad, akkor azt mondjuk, högy az / függvény xq helyen konvex (konkáv) (7.24. ábra).

Az / függvénynek x q (G Dy) pontban inflexiós pontja van, ha x q ban a függvény görbültsége (konvexből konkávba vagy fordítva) változik. Az / függvény XQ-beli inflexiós pontját úgy szoktuk szemléltetni, hogy a függvény [ x q ; / { x q ) ) pontjában meghúzzuk a görbe érintőjét, s az két különböző görbültségu részre vágja szét a függvény grafikonját (7.25. ábra). Ezt az érintőt inflexiós érintőnek nevezzük.

120

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

VII.5. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

FOLYTONOSSÁG A függvény folytonossága szemléletesen azt jelenti, hogy függvény grafikonját meg tudjuk úgy rajzolni, hogy a „ceruzát nem kell fel­ emelni” , azaz a vonalat folytonosan húzzuk. A folytonosság pontos értelmezését többféleképpen is meg lehet adni. Egymástól függetlenül definiálta a folytonosságot CAUCHY (1789-1857) francia és HEINE (1821-1881) német matematikus.

IdTI {Heinei) Az / függvény folytonos az xq (^ D /) pontbanj ha az xq környezetében értelmezve van, és minden olyan { x n} {xn ^ Dy)

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

121

változósorozatra, amely tart aro-hoz, a függvényértékek { f { x n ) } sorozata tart /(xo)-lioz, azaz bármely {X n }-^ X o

(XneBf)

esetén

|P2| (Cauchy:) Az / függvény folytonos az xq (gD^-) pontban, ha bármely e (> 0) számhoz megadható olyan ö (a;o-tól és az e-tól függő) pozitív szám, hogy ha

akkor f { x o ) - e < f ( x ) < f { x o ) + e, vagyis

|/(x) - f(xo)\ < e.

Ezt a definíciót szemlélteti a 7.26. ábra.

Bizonyítható, hogy a Heine-féle és a Cauchy-féle definíciók ekviva­ lensek.

122

v n . EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

Azt, hogy az / függvény az xq pontban folytonos, szoktuk még így is jelölni:

lim /(i) = /(xo). Az / függvény XQ-beli folytonossága az xq helyen és az XQ-hoz ^özel eső” X pontokhoz tartozó függvényértékekről ad információt. Az / függvény az x q p o n tb a n folytonos, ha itt értelmezve van, lé­ tezik a határértéke, a Hm f { x ) = A , és a.z a^o-beli függvényérték X—^XQ megegyezik a függvény x q helyen vett határértékével, vagyis lim f { x ) = f ( xo) .

x—*^ xq

Ha az / függvény az értelmezési tartományának valamely x q pontjában nem folytonos, akkor azt mondjuk, hogy ott szakadása van. |D1| {Heine:) Az / függvényt az xq (g D f) pontban balról folytonos­ nak nevezzük, ha / az xq bal oldali környezetében értelmezett, és bármely { X n }

X n < Xq)

X O

esetén {f{Xn)}-^f{xo)|D2| (Cauchy:) Az / függvényt az x q (g D f) pontban balról folytonos­ nak nevezzük, ha bármely £ (> 0) számhoz létezik olyan (xQ-tól és £-tól függő) pozitív 6 szám, hogy h a x < x q és XQ — X < 6

akkor \ fix )-f(x o )\ < e .

A féloldali folytonosságra adott definíciók is ekvivalensek. Hason­ lóan adható meg a jobb oldali fol3rtonosság értelmezése is.

Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

123

A függvény pontbeli folytonosságát intervallumokra is kiterjeszt­ hetjük. föTl Az / függvény folytonos az ]a; 6[C Df nyüt intervallumon^ ha az intervallum minden pontjában folytonos. ÍD2| Az / függvény folytonos az [a;b] C D f zárt intervallumon^ ha az intervallum minden belső pontjában folytonos, az a pontban jobbról és a &pontban balról folytonos. Egy függvényt folytonosnak mondunk, ha az értelmezési tartomá­ nyának minden pontjában folytonos. m

Ha az / és ^ függvények az xq G Dy flD^ pontban folytonosak, akkor az f + g,

f g és ^

(hsig{xo)^0)

függvények is folytonosak az xq pontban. Ha c tetszőleges valós szám, akkor a c f is folytonos az a:o pontban (hiszen nyilván az X c függvény folytonos). A fentiekből következik, hogy minden polinomfüggvény és racio­ nális törtfüggvény folytonos.

HATÁRÉRTÉK Gyakran előfordul, hogy a vizsgált / függvény valamely xq pontban nincs értelmezve, de szeretnénk az xq ponthoz közel eső függvényér­ tékekről információt szerezni. A függvény határértékére^ — folytonos­ sághoz hasonlóan — két definíciót adunk. föTl (Heine:) Legyen az / függvény az xo pont valamely környezeté­ ben — az xo pontban nem feltétlenül — értelmezett. Ekkor az / függvénynek az xq helyen határértéke az A szám, ha minden Xo-hoz konvergáló {x ^ } (xn G Xn ^ x q ) változósorozat esetén

124

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

a megfefelő { f { x n ) } függvényértékek sorozata tart A-hoz^ azaz bármely {Xn}- ^XQ { X n e D f , Xn^Xo ) , esetén {f{Xn)}^A. Jelölése: lim f ( x ) = A x-^xo (olv.: „limesz f { x ) egyenlő A-val, ha x tart xo-hoz” ). (Mivel {Xfi} egy tetszőleges XQ-hoz konvergáló számsorozat, ezért a határérték jelölésében Xn helyett x szerepel.) |D2| (Cauchy:) Legyen az / függvény az xq pont valamely környeze­ tében értelmezve, kivéve esetleg az xq pontot. Az / függvénynek az xo-beli határértéke az A szám, ha bármely £ (> 0) számhoz létezik olyan pozitív 6 szám (függvénye az e-nak és az XQ-nak), hogy ha \ x - x o \ < 6 ( x ^ xq), akkor \f{x)-A\ 1, akkor szigorúan növekvő, ha 0 < a < 1, akkor szigorúan csökkenő az egész értelmezési tartományán. Folytonos függvény: ha a > 1, akkor konkáv, ha 0 < a < 1, akkor konvex; szélsőértéke nincs. Határértéke: lim log^ x = oo,

lim log^ x = —oo,

X—►oo

ha a > 1; lim log^ X = —oo,

x -* o o

lim log„ x = oo,

x-^O+O

ha 0 < a < 1. Értékkészlete az M halmaz (és a függvény folytonossága és szigorú monotonitása miatt minden valós számot egyszer és csak egyszer vesz fel). Nem korlátos függvény. Az x^-^log^x leképezés kölcsönösen egyértelmű (bijektív). így a függvénynek létezik inverze:

VII.7. NEM ELEMI FÜGGVÉNYEK Nagyon sok nem elemi függvény is létezik; ezek közül néhányat most bemutatunk.

[5] Az / : R ^ E + U {0 },

X

|x|

függvényt abszolútérték-fUggYénjmek nevezzük. Az abszolút érték definíciója alapján az I , '

r

X,

h arc> 0 hax 0, ha a; = 0, ha X < 0

függvényt nevezzük. Jelölése: sgnx. A függvény grafikonját a 7.44. ábrán szemléltetjük.

7 .4 4 . á b r a

VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

149

Az X G M szám egészrészének nevezzük a nála nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat.

0

Az X szám egészrészét [x] jelöli. [P]

[6] = 6; [2,3] = 2; [75,8] = 75; [-1,4] = - 2 ; [-10] = -1 0 .

Egészrészpiggvén3mek az /:I

N

függvényt nevezzük. Az egészrészfüggvény garfikonja ún. lépcsős függvény, egységnyi hosszúságú, balról zárt, jobbról nyílt szakaszokból áll (7.45. ábra).

y=Ixl

-2

7.45. ábra

A függvénynek végtelen sok zénishelye van, ezek halmaza a [0;1[ intervallum. Az x [ x ] sem nem páros, sem nem páratlan, monoton növekvő függvény.

[d1

A z X eM. szám törtrészének nevezzük jelöli az X szám egészrészét.

az

x — [x] számot, ahol [x]

VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

150

[d1 A z

xy-^ x — \x\

/:

függvényt törtrészf^gvénynek nevezzük. A törtrészfüggvény grafikonja (7.46. ábra) \/2 hosszúságú, az x tengely pozitív felével 45°-os szöget bezáró, egymással párhuzamos, balról zárt, jobbról nyílt szakaszokból áll.

y=x-lx)

/

A

-2

-1

'

/

/

/

7.46. ábra

Minden a; G Z pont zérushelye a függvénjmek, amely sem nem páros, sem nem páratlan, de periodikus, és periódusa 1.

VIII. VEKTORALGEBRA

V lll.l. VEKTORALGEBRAI ALAPFOGALMAK A vektor szemléletes definíciója a következő: Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. Irányított szakaszról beszélünk, ha egy szakasz végpontjainak a sorrendjét is megadjuk, azaz megmondjuk, hogy melyik a szakasz kezdőpontja és melyik a végpontja. Az A kezdőpontú és B végpontú vektort az A B szimbólummal jelöljük. Szokás a vektor jelölésére nyomtatásban vastagon szedett, kézírásban aláhúzott latin kisbetűket is használni. Rajzban a vektort nyíllal ábrázoljuk, és a nyíl hegyét az irányított szakasz végpontjához rajzoljuk (8.1. ábra). Az ábrából is látható, hogy minden vektor meghatározza a tér egy eltolását.

B

8.1. ábra.

[ö] A V vektor abszolút értékén a v vektor hosszát értjük, és |v|-vel jelöljük.

152

VIIL VEKTORALGEBRA

Azt a vektort, amelynek az abszolút értéke nulla (kezdő- és vég­ pontja azonos), nullvektoniak (zérusvektomak) nevezzük; jele: 0. Megállapodás szerint a zénisvektor iránya tetszőleges.

[d1 Azt a vektort, amelynek hossza egységnyi, egységvektornak ne­ vezzük. Az egységvektorok jelölése általában: i, j, k. Két egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. A vektorra jellemző az állása. [d1 a vektor állásán a vektort tartalmazó egyenes állását értjük. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a vektort a hossza, állása és iránya egyértelműen jellemzi. Két, A B és C D vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha a hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik, vagyis ha van olyan eltolás, amely az A pontot a C pontba, a B pontot pedig a D pontba viszi át. A két vektor kollineáris, ill. komplanáris, ha párhuzamos eltolással egy egyenesbe, ill. egy síkba vihetők át. Ha egy sík rögzített pontjából felmérjük a sík minden vektorát (helyvektorok), akkor a vektorok és a sík pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíthetünk. A továbbiakban a síkra mint ponthalmazra és a síkbeli vektorok halmazára egyaránt az M? jelölést használjuk. A térbeli vektorokkal kapcsolatban hasonló értelemben használjuk az jelölést.

Vm. VEKTORALGEBRA

153

VIII.2. VEKTOROK ÖSSZEADÁSA (KIVONÁSA). SZÁMMAL VALÓ SZORZÁSA A vektorok összeadásakor (kivonásakor) mindig feltételezzük, hogy a műveletben szereplő vektorok mindegyike vagy síkvektor, vagy térvektor. {Paralelogramma-módszer:) Legyen a és b két, nem egy egye­ nesbe eső vektor. Mindkét vektort toljuk el egy közös A kez­ dőpontba, s az a és b vektorok végpontjain át húzzmik b-vel, ill. a-val párhuzamos egyenest. Ekkor paralelogrammát kapunk (a>||b), amelynek a közös A kezdőpontból induló A C átlóvektora a két vektor összege (8.2. ábra).

8.2. ábra

(Poligonszabály:) Legyen adott az a és a b vektor. Toljuk el a b vektort úgy, hogy a b kezdőpontja az a végpontjába kerüljön. Az a és b vektorok összegén azt az (a + b)-vel jelölt vektort értjük, amely az a vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutat (8.3. ábra). A 8.3. ábráról leolvasható,hogy |a-fb| < |a| -h |b|. Az összeadást kettőnél több vektorra is értelmezhetjük és elvégez­ hetjük a poligonszabály szerint: az első vektor végpontjából felmérjük

154

Vni. VEKTORALGEBRA

8.3. ábra

a második vektort, ennek végpontjából a harmadikat, s így tovább. A vektorok összegét az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor adja (8.4. ábra).

Az összeadandó vektorokat összetevőknek^ az összegvektort eredő­ nek is szokás nevezni. A vektorok összeadására az alábbi tulajdonságok érvényesek:

a-| -b= b + a (a 4- b) + c = a + (b + c) a -h 0 = a.

— kommutatív, — asszociatív,

[£] Az a vektor ellentettjének nevezzük, és (-a )-v a l jelöljük azt a vektort, ameljro

a + (-a ) = 0.

VIII. VEKTORALGEBRA

155

Az a vektor ellentettje az a vektorral azonos abszolút értékű és állású, de ellentétes irányú vektor. Az elmondottak alapján megállapíthatjuk, hogy a vektorok össze­ adásának a valós számok összeadására emlékeztető tulajdonságai vannak.

[2] Az a, b vektorok (a —b)-vel jelölt különbségén azt a vektort értjük, amelyet a b vektorhoz hozzáadva, összegként az a vektort kapjuk. A különbségvektort a definíció alapján könnyen megszerkeszthet­ jük. A közös kezdőpontba eltolt a és b vektorok különbsége az az a —b vektor , amely a b vektor végpontjából az a vektor végpontjába mutat (8.5. ábra).

8.5. ábra.

A vektorok kivonása nem kommutatív művelet. [£] Az a vektor A -szorosán, ahol A tetszőleges valós szám, azt a vektort értjük, amelynek — abszolút értéke |A||a|; — állása megegyezik az a állásával; — iránya pedig azonos az a irányával, ha A > 0 ellentétes az a irányával, ha A < 0 és tetszőleges, ha A = 0. A vektor szorzása valós számmal szemléletesen a vektor nyújtását

(ha |Aj > 1) vagy a vektor zsugorítását (ha 0 < 1A| < 1) jelenti, amit negatív A esetén még egy — a vektor kezdőpontjára vonatkozó — tükrözés is követ. A (—l)a vektor az a vektor ellentett vektora.

156

VIIL VEKTORALGEBRA

Ha az a ^ 0 vektort megszorozzuk az abszolút értékének reciprokával, akkor az a vektor irányába mutató egységvektort kapjuk, amit ao-val jelölünk: a

Ebből következik, hogy minden a vektor előállítható az abszolút értékének és egységvektorának szorzataként: a = |a| -ao. A vektornak skalárral való szorzására érvényesek a következő mű­ veleti azonosságok: Aa = aA; A(^a) = (A/í)a; (A + /i)a = Aa + /xa;

A(a + b) = Aa + Ab, ahol A, fi tetszőleges valós számok, a, b tetszőleges vektorok. m

Az a vektor akkor és csak akkor párhuzamos a b vektorral, ha létezik olyan A valós szám, hogy a = Ab (kivéve az a ^ 0, b = 0 esetet). Ha b ^ 0, akkor csak egyetlen ilyen A valós szám van.

VIII.3. A VEKTOR KOORDINÁTÁI m

Ha adottak a síkban az a, b nem párhuzamos vektorok, akkor a sík minden v vektora egyértelműen felbontható az adott vekto­ rokkal párhuzamos összetevőkre.

[£] A sík bármely két, nem párhuzamos vektorát a síkbeli vektorok egy bázisának nevezzük.

VIIL VEKTORALGEBRA

157

[d1 a v = aa + /?b vektor előállításában szereplő (a;/?) rendezett valós számpárt, amely egyértelműen meghatározza a v vektort az a,b bázisban, a v vektor a,b bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük, és így jelöljük: v = aa + /3b = (a;/3).

0

A rendezett valós számpárokat síkbeli (kétdimenziós) vektorok­ nak nevezzük.

A síkban nyilvánvalóan végtelen sok bázist vehetünk fel. A síkbeli vektorok esetén a következő speciális bázist használjuk: egy pontból kinduló, egymásra merőleges, egységnyi hosszúságú vektorokat, me­ lyeket i-ral és j-ral jelölünk. E vektorokat az x ,y síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben úgy helyezzük el, hogy az i vektor az x tengely 1, a j vektor pedig az y tengely 1 pontjába mutasson (8.6. ábra).

Tehát |i| = |j| = 1, és j az i-nak (+90°)-os elforgatottja. A sík bármely v vektora egyértelműen előállítható az adott bázis­ vektorok lineáris kombinációjaként: v = viiH-í;2j =

158

vra . VEKTORALGEBRA

vagyis a (vi;v2) rendezett valós számpár csak egyféleképpen választ­ ható meg. A vi a V vektor első, V2 pedig a második koordinátája. Az egységvektorok koordinátái: i = l i + Oj = ( l ;0), m

j = 0i + l j = (0;l) .

K ét vektor akkor és csakis akkor egyenlő^ ha megfelelő koordiná­ táik egyenlők.

Az origóból a sík tetszőleges P pontjába mutató vektor koordinátái éppen a P koordinátáival azonosak. A rendezett valós számpárok halmaza (M x M), a sík pontjainak halmaza, és az origóból kiinduló síkbeli vektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg. Hasonló gondolatmenettel látható be, hogy ha az a, b, c térbeli vektorok nincsenek egy síkban, akkor a tér minden v vektora egyér­ telműen felbontható az a, b, c vektorokkal párhuzamos összetevőkre, vagjős a V=

aa -h /?b -h 7 C =

(o;;

7)

előállítás mindig létezik és az (a ;/?;7 ) rendezett valós számháLrmas egyértelműen meghatározza a v vektort. [d1 a rendezett valós számhármasokat térbeli {háromdimenziós) vektoroknak nevezzük. A tér egy pontjából kiinduló három, nem egysíkú (nem komplanáris) vektorát, a térbeli vektorok egy bázisának nevezzük. A szá­ mításaink egyszerűsítése érdekében általában térben is speciális bá­ zist választunk: három, egy pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvektort, melyek jobbsodrású rendszert alkotnak. Az egységvektorokat i—, j —, k—val jelöljük. A jobbsodrású rendszer szemléletesen a következőt jelenti: ha az i a jobb kezünk hüvelykujjával, a j pedig a rá merőlegesen állított mutatóujjával egyirányú, akkor a jobb középsőujjunk határozza meg

V m . VEKTORALGEBRA

159

a k irányát. A térbeli derékszögű koordináta-rendszerbe helyezve az i, j, k egységvektorokat (8.7. ábra), a tér bármely v vektora V = v i i - f - 172Í + vsk = ( v i ;V2 ;vs)

alakban egyértelműen előállítható. A felbontásban szereplő Vi, ^2? ^3 számokat a v koordinátáinak és egyúttal a P pont koordinátáinak is nevezzük.

Belátható, hogy a rendezett valós számhármasok halmaza (M X R X M = M^), a tér pontjainak halmsiza, és az origó kezdőpontú háromdimenziós vektorok halmaza között páronként kölcsösen egyér­ telmű leképezés valósítható meg, így mindhárom halmaz jelölésére az szimbólumot használjuk. Térbeh vektorokkal is végezhetünk műveleteket. A térbeli vektorokkal felírt műveletek teljes egészében érvényesek a síkvektorokra is, csupán a harmadik koordináta — mivel zérus — nem szerepel.

VIII. VEKTORALGEBRA

160

Tekintsük a tér két vektorát: SL= aii + a2Í-\-ask

és

b = 6ii + &2Í +

Ekkor

a-t- b —(ai + 6i)i + (ö 2 + ^ )j + (03 + a - b = (ai - &i)i + (tt2 - 62)j + (as - 6a)k, Aa = (Aai)i+ (Aa2)j -h (Aa3)k (A G M).

[51 Bármely kijelölt fix 0 pontból — így a koordináta-rendszerben az origóból — a sík (a tér) pontjaiba mutató vektorokat az 0 pontból induló helyvektoroknak nevezzük.

0

Azolat a vektorokat, amelyeket a síkban (térben) önmagukkal párhuzamosan eltolhatók, szabad vektoroknak nevezzük.

Bármely szabad vektorhoz egy és csak egy vele azonos helyvektor tartozik (8.8. ábra). Adott szabad vektor előállítható két heljrvektor különbségeként. Legyen a P 1 P2 szabad vektor Pi kezdőpontjának koordinátái ( x i ; y i ; z i ) , P 2 végpontjáé pedig (^2; 2/2;>2^2), a nekik megfelelő heljrvrektorok (8.8. ábra):

ri = x i i + y ii + zik ,

T2 = X21 + i/2j + Z2K

Így

P1P2 = T 2 - t i = {x2 - x i ; y 2 - y i ; z 2 - zi). A V = v ii-h v 2i + vsk vektor abszolút értéke: |v| =

VIII. VEKTORALGEBRA

161

Az a = aii + aaj + aak vektor irányába mutató ao egységvektor: «l

ao =

. . =1 +

0,2

g+

+ ®2 + + - ™

s _ k .

y/aí + 0’2 + 4 Ha a, yS, 7 jelöli az a(ai; 02; 03) vektornak az a;, y, 2: tengely pozitív irányával bezárt szögét (8.9. ábra), akkor ai

cosa =

V^“ l + « 2 + “ Í »2

cos/? = \ /4 +

4 + 4

cos 7 = V^«1 + « 2 + ®3

162

VIII. VEKTORALGEBRA

és cos^ a + cos^ (3 + cos^ 7 = 1 . . 03, így az a(ai; 02; 03) vektor ao = -r-yi + -r^j + egységvektora: |a{ |a| |a| ao = cos ai -h cos

+ cos 7k.

Az ao egységvektor koordinátáit az a vektor iránykoszinuszainak szokás nevezni. Az elnevezés indoklását a 8.9. ábrán szemléltetjük.

VIII.4. VEKTOROK SZORZASA KÉT VEKTOR SKALÁRIS SZORZATA Két vektor hajlásszögén azt a 0° < 7 < 180° szöget értjük, ame­ lyet a két vektor félegyenese bezár. Legyen a és b két, azonos dimenziójú vektor, és 7 az általuk bezárt szög. Ekkor az |a||b|cos7 számot az a és b vektorok skaláris szorzatának nevezzük és ab-vei jelöljük:

Vni. VEKTORALGEBRA

163

ab = |a||b|cos 7 .

Ha két vektor között van nuUvektor is, akkor a hajlásszög tetsző­ leges, de a nuUvektor abszolút értéke miatt a skaláris szorzat értéke 0. így a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott. A „skaláris” jelző arra utal, hogy a két vektorral végzett művelet eredménye skaláris mennyiség. A skaláris szorzat legfontosabb tulajdonságai: ab = ba

— kommutatív,

a(b + c) = ab H- ac

— disztributív,

(Aa)b - A(ab) = a(Ab), és a művelet általában nem asszociatív: (ab)c ^ a(bc). Mivel a skaláris szorzat kommutatív és disztributív, ezért például kéttagú vektorösszeget (különbséget) a szokásos módon emelhetünk négyzetre: (a ± b)^ = a^ ± 2ab + b^.

m

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor egymásra merőleges.

Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzatát a következő tétel segítségével határozhatjuk meg: m

Ha a = öli 4- a2j + aak és b = &ii 4- &2j + ^3^, akkor

164 0

VIII. VEKTORALGEBRA Számítsuk ki az a(2; 1; 0) és a b (l; —1; 2) vektorok skaláris szorzatát! ab = 2 - 1 + 1 • ( - ! ) + 0 - 2 = 1.

Két vektor hajlásszögét a skaláris szorzat definiciójábdi kiindulva a következőképpen tudjuk kiszámítani: Az ab = |a||b{ cos 7 egyenlőségből cos 7 =

ab |a|H’

azaz — koordinátákkal

____ + ^2^2 + asbs_________ ^ (af + al + a|)(62 +b^ + bj)

0

Számítsuk ki az a (l;2 ;2 ) és a b (—1; 1; 0) vektorok által bezárt 7 szöget! a b = l - ( - l ) + 2- ( l ) + 2 - 0 = l, |a| = v'i2 + 22 + 22 = v ^ = 3,

IN = \ / ( - l ) V l 2+02 = -y2, C O S7 :

ab

_

1

|a||b| ~ 3 - > / 2

= 0,2357

és ebből 7 = 76,37°.

KÉT VEKTOR VEKTORIÁLIS SZORZATA [ d ] A z a, b € vektorok (a x b)-vel jelölt vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek

165

VIII. VEKTORALGEBRA

— hossza: |a x b| = |a||b|sin7 , ahol 7 jelöh az a és b vektorok hajlásszögét, — állása merőleges az a és b vektorokra, és — az iránya olyan, hogy az a, b és az a x b vektorok (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkotnak (8.10. ábra).

8.10. ábra

Az |a X b| geo m etria i je le n té s e : az |a x b| = |a||b|sin7 számérték megadja az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területét (8.11. ábra): --------------------------------------------- ^ 7

m=lblsinr

/

/

a 8. 11 . ábra T =

|alm, de m = |b|sin7, így

T =

|a||b|sin7.

A vektoriális szorzat legfontosabb tulajdonságai:

Általában

axb^bxa

nem kommutatív,

viszont

a b = - (b a); A(a b) = (Aa) x b = a x (Ab); X

X

X

VIII. VEKTORALGEBRA

166

ax(b + c ) = a x b + axc

disztributív.

(b + c ) x a = b x a = c x a m

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor zérusvektor, ha a vektorok párhuzamosak egymással.

A koordinátáival adott a(ai; 02; 03) és b (6i; 62Í^3) vektor vektoriális szorzata i j k a X b — ^1 (^2 (^3 bi 62 bs a-2 í>2

03 -J h \

ai h

as ai + k bi 63

ö2 62

= (ffl2^3 “ Ö3&2)i — (ffllí>3 ~ ® 3Í> l)j+

+ (aií)2 - Ö 2^i)k0

Határozzuk meg eiz a

X

b vektort, ha

a = 2 i - 3 k = (2;0; - 3 ) és b = i + j + k = (1; 1; 1).

0 1

a X

b=

i 2 1

j 0 1

-3 1

- j

2 1

-3 1

k -3 1 2 1

0 1

= [ 0 1 - ( - 3 ) ■l ] i - [2 -1 - ( - 3 ) ■l]j+ + (2 ■1 - 0 •l)k = 3i - 5j + 2k.

0

Az a, b, c G jelöljük az

vektorok vegyes szorzatának nevezzük és abc-vei

abc = (a szorzatot.

X

b)c

167

V m . VEKTORALGEBRA

A vegyes szorzat eredménye skalár, értéke: ( a X b ) c = |a X b | | c |

ahol 7 jelöli az

a

x

b

és a

c

cos7 ,

vektorok hajlásszögét (8.12. ábra).

8.12. ábra

Az a b c vegyes szorzat az a , b és c vektorok által kifeszített ferde hasáb (paralelepipedon) előjeles térfogatát adja. A 8.13. ábra alapján V — T m — |a X h\m=

|a

x

b ||c |c o s 7 .

Ha a , b és c jobbrendszert alkot, akkor balrendszert alkot, akkor a b c < 0. m

abc

> 0, ha

a,

b

és

c

Három vektor vegyes szorzata akkor és csak akkor zénis, ha a három vektor egysíkú.

168

VIII. VEKTORALGEBRA

Pn A vegyes szorzat értéke nem változik meg, ha benne a skaláris és a vektoriális szorzat előjelét felcseréljük, vagyis a b c = (a X b )c = a (b x c).

Koordinátáival adott három vektor vegyes szorzata:

abc =

ahol a megfelelő sorokban az

ai

«2

h

f>2

«3 h 5

Cl

C2

C3

a, b

és

c

vektorok koordinátai állnak.

IX. TRIGONOMETRIA

A szögfüggvényeket először csak hegyesszögekre, majd forgásszö­ gekre is értelmezzük.

IX.l. A SZÖGFÜGGVÉNYEK ÉRTELMEZÉSE Hasonló derékszögű háromszögeket kapunk, ha a derékszögű há­ romszög egyik szögét rögzítjük. Ezekben a megfelelő oldalak aránya áillandó (9.1. ábra). Ezeket az arányokat — amelyek csak a rögzített szögtől függnek — szögfüggvényeknek nevezzük.

[ö] Legyen a a derékszögű háromszög egyik hegyesszöge (9.2. ábra). Ekkor az a szög szögf&ggvényei:

170

IX. TRIGONOMETRIA

sm a =

az a szöggel szemközti befogó átfogó az a szög melletti befogó b átfogó c az a szöggel szemközti befogó

a c

az a szög melletti befogó az a szög melletti befogó

b b

az a szöggel szemközti befogó

a

a

Pótszögek szögfügg vényei 7T

Legyen (3 — — —a (9.2. ábra); ekkor f'K _ b sin I - a ) = cos a; K2 c cos 1 tg| ctg|

a = sin a; c _ b = ctga; -a ) a a = tg a . -a ) ~b

-a )

Szavakban: minden hegyesszög szinusza megegyezik a pótszögének a koszinuszával, és bármely hegyesszög tangense egyenlő a pótszögé­ nek a kotangensével. A szögfüggvények általánosításához először definiáljuk az a vektor irányszögét.

IX. TRIGONOMETRIA

0

171

Az a vektor irányszögének azt az a + A:360° (ahol 0° < a < 360°, A: G Z ) szöget nevezzük, amelyet az a vektor a síkbeli derékszögű koordináta-rendszer x tengelyének pozitív felével zár be.

Pozitív forgásirány (az óramutató járásával ellenkező irány) esetén pozitív az irányszög, negatív forgásirány esetén negatív (9.3. ábra). Ha külön nem hangsúlyozzuk, akkor mindig pozitív irányszögről beszélünk.

9.3. ábra

Most már megadhatjuk a szögfüggvények általános értelmezését; Az a szög szinuszának nevezzük az a irányszögű e egységvektor máisodik koordinátáját, az a szög koszinusza pedig az a irány­ szögű e egységvektor első koordinátája, azaz, ha e = e ii-{-e 2Í (9.4. ábra), akkor ei = cos a;

A definícióból világosan látható, hogy egy szög szinusza és koszi­ nusza a [—1; 1] intervallumba esik, és ezen belül minden értéket fel is vesz. Az a szög tangensének nevezzük az a szög szinuszának és koszinuszának a hányadosát, ha cos a ^ 0.

IX. TRIGONOMETRIA

172

7T

A definícióból következik, hogy az a = — + fcTT (fc G Z ) szögnek 2á nincs tangense. tg a =

Sin a

cos a ’

Ha az e egységvektor a irányszöge a — -h kn (fc G Z ) szögtől különböző, akkor az e egységvektor egyenese az egységsugarú körhöz az (1;0) pontban húzott érintőegyenest olyan P pontban metszi, amelynek második koordinátája tg a (9.5. ábra).

173

IX. TRIGONOMETRIA

Az a szög kotangense az a szög koszinuszának és szinuszának a hányadosa, ha sin a ^ 0. A definícióból következik, hogy kir {k e Z ) szögnek nem értelmezett a kotangense. ctg a =

cos a -----, sm a

sin a ^ O , (a/fcTT, k^' L) .

Ha az e egységvektor a irányszöge a. kw {k E Z ) szögtől különböző, akkor az e egységvektor egyenese az egységsugarú körhöz a (0; 1 ) pontban húzott érintőegyenest olyan P pontban metszi, amelynek első koordinátája ctg a (9.6. ábra).

Észrevehető, hogy: ha sin a ^ 0, cos a ^ 0, ctg a =

tg a

7T

a^k—

(keli).

Ha 0 ° < a < 9 0 ° , akkor sin a, cos a, tg a, ctg a közelítő értékét függvénytáblázatból kikereshetjük. A többi szög szögfüggvényei (elő­ jeltől eltekintve) visszavezethetők ezekre, így tetszőleges szög bármely szöfüggvényének értékei ezzel a táblázattal meghatározhatók.

174

IX. TRIGONOMETRIA

Negatív szögek szögfüggvényei (9.7. ábra) sin(—a) = —sin a. cos(—a) = cos a. tg (-a ) = -t g a . c t g ( - a ) =: —ctg a. Bármely a szöghöz tartozik az egységvektornak 0° és 360° közötti irányszöge is. Ezért, ha a > 360° vagy a < —360°, akkor a sin a és a cos a kiszámításakor a ill.

sin(a + A: •360°) = sin a, cos(a + k •360°) = cos a

(keZ)

összefüggést alkalmazzuk. A tg a és a ctg a esetén pedig tg(a + fc-180°) = t g a , ctg(a + k ■180°) = ctg a

{k G Z ).

IX. TRIGONOMETRIA

175

Nevezetes szögek szögfüggvényei (9,8. ábra)

30°

45°

sin

1 2

V2 2

2

cos

v/3 2

V2 2

tg ctg

3 v/3

60° 90° 180° 270° 360° 1

0

-1

0

1 2

0

-1

0

1

1

V3

-

0

-

0

1

v/3 3

0

-

0

-

-9 0 ° -1 8 0 ° -2 7 0 ° (= 270°) (= 180°) (= 9 0 °) sin

-1

0

1

cos

0

-1

0

tg ctg

-

0

-

0

-

0

IX. TRIGONOMETRIA

176

IX.2. TRIGONOMETRIKUS ÖSSZEFÜGGÉSEK A leggyakrabban előforduló egyszerű összefüggések: sin^ a + cos^ a = 1

bármely a szögre.

sin a ^ 0, cos o; ^ 0, vagjds 7T

tg a

cos

= sin a

bármely a esetén.

Pn A következő összefüggéseket addíciós (összegzési) tételeknek is szokás nevezni: sin(a ± /?) = sin a cos /3 ± cos a sin /?, cos(a dl

= cos a cos /3 =p sin a sin /3,

bármely a, /3 szögre. tg(a ± /3) =

^+ z

z

tg g ditg^ l= F tg a tg /3 ’

z c t g /3 c t g Q T l c t g /3 ± c t g a

k,£,n£Z.

IX. TRIGONOMETRIA

177

Kétszeres szög szögfüggvényei Az a (3 szögfüggvényeiből a = /3 helyettesítéssel a + a = 2a, azaz egy szög kétszeresének szögfüggvényeihez jutunk: sin 2a — 2 sin a cos a o o cos 2a = cos a —sin a

tg2a =

2 tg g 1 - tg2 a ’

ctg 2a =

,

7T

f cTT

,

7r

a ^ - + — , a ^ - + fc7T.

ctg a — 1 2 ctg a

Félszögek szögfüggvényei • 2 -“ = 1 —cosa sm 2

COS

9 o; *^“ 2 .

2

1 —cosa 1 + cos a ’

9a 1 + cos a ctg - = ----------- , 2 1 —cos a

1 + cosa 2

a

^

(2fc+

1)7T,

{k — 1 ) 7 T , k

IX. TRIGONOMETRIA

178

Szorzattá alakítás x-\-y

x -y

sin X + sm 2/ == 2 sm —- — cos —- — .

. x -y x-\-y sin X —smy = 2 sin — - — cos — - — . Zi Á

X -\-y X —y cos X + cos ^ = 2 cos —- — cos —- — ,

z

z

„ . x+ y . x -y cos X —cos y — —2sm —- — sin —- — . iu Zi

IX.3. ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖGEKRE VONATKOZÓ TÉTELEK m

{Szinusztétel:) Bármely háromszögben két oldal aránya megegye­ zik a velük szemközti szögek szinuszainak arányával.

IB\

Legyen a háromszög két tetszőleges oldala a, 6, a velük szemben fekvő szögek a és (3. Bebizonyíthatjuk, hogy

b

sm/5

Az összefüggés bizonyítását a hegyesszögű és a tompciszögű háromszögre egyszerre adjuk meg a 9.9., ill. a 9.10. ábra jelöléseit felhasználva. A 9.9. ábra alapján

rric = asin/3, rric = bsina.

IX. TRIGONOMETRIA

179

A bal oldalak egyenlősége miatt asin/9 = 6sino;,

a

sin a

b

sin/3

Ha a

tompaszög (9.10. ábra), akkor sin(180° — /3) = sin/3 miatt ebben az a sina sina esetben is igziz, hogy — = --------------------= -------- . ^ sin(180°-/3) sin/5 Mivel a és b két, tetszőleges oldal volt, a tételt bebizonyítottuk.

m

{Koszinusztétel:) Bármely háromszögben bármely oldal négyze­ tét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk a két oldal és az ezek által közbezárt szög koszinusza kétszeresének szorzatát. A 9.11. ábra jelölése alapján pl.: = a^

— 2abcos 7 .

180

\b \

IX. TRIGONOMETRIA

koszinusztételt a hegyesszögű és a tompciszögű háromszögre egyszerre bi­ zonyítjuk. A 9.11. ábra jelölései alapjáin a kapott derékszögű háromszögekre írjuk fel a Pitagorasz-tételt: a

( a - x ) ^ -^ m l

A második egyenlőséget kivonva az elsőből: (a — x)^ — x^ =

— 6^,

— 2ax + x^ —x^ =

— 6^,

^2 _|_ ^2 _

Mivel cos7 =

2ax

= c^.

így IC= 60057; ezt behelyettesítve megkapjuk az igazolandó 0 állítást. Ha a háromszög tompciszögű (9.12. ábra), akkor 7 helyett 180° —7 áll. Mivel cos(180° — 7) — —COS7, ezért X = 6cos(180° —7) = —6 COS 7, vagyis a tétel az + 6^ + 2060057 = ^ kot ölti. A c oldal kitüntetett szerepét bármely másik két oldal átveheti.

IX, TRIGONOMETRIA

181

A fenti bizonyításnál rövidebb bizonyítást is adhatunk, ha felhasz­ náljuk két vektor skaláris szorzatát és annak tulajdonságait. Vezessük be a következő jelöléseket (9.11. ábra): ^

= a;

C A = h;

A B = c-,

A C B < = 'r.

E jelölésekkel c = a —b. E vektoregyenletet négyzetre emelve: ( 1)

- 2ab.

Mivel = cc = |c|^ = c^,

a^ = aa = |a|^ = a^, b 2 = b b = | b p = 62, ab=|a||b| COS7 = a&cos7 , így (l)-b ől — a^

— 2abcosj.

X. ELEMI GEOMETRIA ALAPISMERETEK X .l. TÉRELEMEK TÉRELEMEK TÁVOLSÁGA A pontot, az egyenest és a síkot térelemeknek nevezzük. Ezeket nem definiáljuk, alapelemeknek (alapfogalmaknak) tekintjük. A pon­ tok jelölésére általában a latin ábécé nagybetűit, az egyenesekére a kisbetűit használjuk, a síkokat görög kisbetűkkel jelöljük. Az egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont mindkét félegyenes kezdőpontja. Az egyenest bármely két különböző — ^ és B — pontja két félegyenesre és egy szakaszra (jele: A B ) bontja fel. A két pont a szakasz két végpontja. Egy adott síkban fekvő e egyenes a síkot két félsíkra vágja. Az e egyenes a félsíkok határegyenese, mindkét félsíkhoz hozzátartozik. A sík feldarabolásakor síkidomok keletkeznek. Adott a sík a teret két féltérre osztja. Az a sík a félterek határsíkja, amely mindkét féltérhez hozzátartozik. A geometriai alakzatot konvexnek nevezünk, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Ha két térelem közül az egyik tartalmazza a másikat, akkor azt mondjuk, hogy a két térelem illeszkedik egymáshoz. Két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik. Három, nem egy egyenesre illeszkedő pontra egy és csak egy sík illeszthető. K ét térelem távolsága 0, ha illeszkedők vagy metszők.

X. ELEMI GEOMETRIA

183

K ét pont távolsága az azokat összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merő­ leges szakasz hossza. Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. K ét párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Két kitérő egyenest összekötő, s mindkettőre merőleges szakasz (normáltranzverzális szakasz) hosszát a kitérő egyenesek távolságá­ nak nevezzük. Megmutatható, hogy két kitérő egyenesnek egyet­ len normáltranzverzális szakasza van (és a normáltranzverzális sza­ kasz a legrövidebb a két kitérő egyenest összekötő szakaszok között) (10.1. ábra).

184

X. ELEMI GEOMETRIA

TÉRELEMEK HAJLÁSSZÖGE [d] a tér két egyenesének luglásszögén a tér tetszőleges pontjára illeszkedő, a két egyenessel párhuzamos egyenesek szögét értjük. Két illeszkedő vagy párhuzamos egyenes hajlásszöge 0. Egy e egyenes és egy S sík hajlásszögén, ha az e egyenes nem merőleges az S síkra, az e egyenesnek és az S síkon levő e' merőleges vetülete által bezárt szöget értjük ( 10.2. ábra). Ha az e egyenes merőleges az S síkra, akkor az e egyenes és az 5 sík hajlásszöge 90°. Egy egyenes és a rá illeszkedő vagy vele párhuzamos sík haj­ lásszöge 0

10.2. ábra

0

Két metsző sík hajlásszöge egyenlő a metszésvonaluk egy pont­ jában az egyik, ill. másik síkban a metszésvonalra állított merő­ legesek által bezárt szöggel (10.3. ábra). Két illeszkedő vagy párhuzamos sík hajlásszöge 0.

m

(Síkra merőleges egyenes tétele:) Ha az e egyenes az ol síkkal közös pontján átmenő és a síkban fekvő két — a és b —

X. ELEMI GEOMETRIA

185

egyenesre merőleges, akkor a sík minden, a döfésponton áthaladó egyenesére merőleges, tehát merőleges az a síkra is. m

{Három egymásra merőleges egyenes tétele:) Ha valamely a egye­ nes (hegyesszögben) metszi az a síkot, és merőleges a síkra illeszkedő h egyenesre, akkor az a egyenes a-beli a' merőleges vetülete is merőleges a b-re (10.4. ábra).

Igaz a tételnek a következő megfordítása is:

186

m

X. ELEMI GEOMETRIA

Ha valamely a egyenes (hegyesszögben) metszi az a síkot, és a síkban levő merőleges vetülete merőleges a sík egy b egyenesére, akkor az a egyenes is merőleges a b-ie.

X.2. A SZÖG És MÉRÉSE

A SZÖG FOGALMA ÉS FAJTÁI

Két, közös kezdőpontú félegyenes a síkot két szögtartományra bontja. Ezek közül a konvex szögtartományt szoktuk szögnek nevezni. Ha külön nem hangsúlyozzuk, akkor a két félegyenes által megha­ tározott két szög kisebbikére gondolunk (10.5. ábra). A félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa.

10.5. ábra

A szögeket görög kisbetűkkel jelöljük. A szög jele még: < . Az O csúcspontú szög jelölésére nagyon gyakran az A O B < (vagy B O A < ) jelölést használjuk, ahol az A az egyik, s l B r másik szárra illeszkedő pont (10.5. ábra). A szögeket nagyságuk szerint szokás osztályozni: Nullszög: a szög két szára azonos, és a szögtartomány a két egybeeső félegyenes (10.6. ábra).

X. ELEMI GEOMETRIA

187

Teljesszög: a szög két szára azonos, és a szögtartomány a teljes sík (10.7. ábra). Egyenesszög: a szög szárai egyetlen egyenest alkotnak (10.8. ábra). Derékszög: az egyenesszög fele (jel.: Di) (10.9. ábra). A derékszög szárai merőlegesek egymásra. A merőlegesség jele: ± . Hegyesszög: a derékszögnél kisebb, de a nullszögnél nagyobb szög ( 10.10. ábra). Tompaszög: a derékszögnél nagyobb, de az egyenesszögnél kisebb szög (10.11. ábra). Az egyenesszög, derékszög^ hegyesszög és tompaszög közös néven konvex (domború) szög. Az egyenesszögnél nagyobb szöget konkáv (homorú) szögnek ne­ vezzük (10.12. ábra).

nuUszög

10.6. ábra

teljesszög

10.7. ábra

egyenesszög

10.8. ábra

188

X. ELEMI GEOMETRIA

derékszög

10.9. ábra

hegyesszög

10.10. ábra

tompa szög

10.11. ábra

konkáv szög

10.12. ábra

SZÖGEK MÉRÉSE Minden szöghöz hozzárendelhető egy olyan nemnegatív valós szám, amelyet a szög mértékszámának nevezünk. Erre a számra teljesül, togy — egybevágó szögek mértékszáma egyenlő;

X. ELEMI GEOMETRIA

189

— bármely szöget a csúcsból kiinduló félegyenes két olyan szögre bont, amelyek mértékszámának összege az eredeti szög mérték­ számával egyenlő. A szögek mértékegysége az egyenesszög 180-ad része, amelyet foknak nevezünk, jele: A fok hatvanad része 1 perc (') és ennek hatvanad része az 1 másodperc (^^). így az egyenesszög 180°, a teljesszög 360°, a derékszög 90°. A nemzetközi mértékegységrendszerben (Sí) a szög alapegysége a radián.

[51 1 radián mértékű a kör sugarával egyenlő hosszúságú körívhez tartozó középponti síkszög (jele: rád) (10.13. ábra).

A definícióból következik, hogy az egyenesszög ívmértéke nyi sugarú körben) éppen Trrad, azaz 180° = Trrad. Innen

A szögeknek radiánban való mérését wmértéknek nevezzük. Az ívmérték puszta szám (nincs dimenziója), ezért számadata után a mértékegység, a rád jelét általában elhagyjuk. A gyakorlati életben a szögek mérésére egyaránt használjuk a fokmértéket és az ívmértéket. Ha a sík egy félegyenese a kezdőpontja körül forog és egy kezdő­ helyzetből kiindulva valamely véghelyzetbe jut, akkor forgásszöget ír le. A forgásszög pozitív (negatív) a sík adott oldaláról nézve, ha a fél-

190________ _______________ X. ELEMI GEOMETRIA__________________________

egyenes forgási iránya az óramutató forgásával ellentétes (megegyező) (10.14. ábra). Ez azt jelenti, hogy meghatározzuk a szögtartomány szárainak sorrendjét. Ilyenkor irányított szögről beszélünk, s a szög kezdő szárát nyugvó szárnak, a síkot súroló szárat pedig forgó (mozgó) szárnak nevezzük.

Az irányított szög ábrázolásakor a szárak közé nyíllal irányított ívet rajzolunk, amely a forgó szár mozgását mutatja (10.14. ábra). NEVEZETES SZŐGPÁROK Két szöget pótszögeknek nevezünk, ha összegük 90° (10.15. ábra), s kiegészítő szögeknek, ha összegük 180° (10.16. ábra). Mellékszögeknek mondunk két szöget, ha kiegészítő szögek és egyik száruk közös (10.17. ábra).

10.15. ábra

X. ELEMI GEOMETRIA

191

oC+/3=180®

10.16. ábra

^180®10.17. ábra

10.18. ábra

Csúcsszögeken olyan konvex szögpárt értünk^ amelyeknek szárai páronként egy-egy egyenest alkotnak (10.18. ábra). A csúcsszögek egyenlőek, mert ugyanannak a szögnek mellékszögei. Két metsző egyenes a síkot négy szögtartományra vágja szét. Ezek páronként egymás mellékszögei, ill. csúcsszögei. A kétféle szög közül a kisebbiket a két egyenes hajlásszögének nevezzük. Egyállású szögek azok a konvex szögpárok, amelyeknek szárai pá­ ronként egyező irányúak és párhuzamosak (10.19. ábra). Az egyállású szögek egyenlőek.

egyállású szögek 10.19. ábra

X. ELEMI GEOMETRIA

192

valtoszögek 10.20. ábra

Váltószögek azok a szögpárok, amelyeknek száxai páronként ellenté­ tes irányúak és párhuzamosak ( 10.20. ábra). A váltószögek egyenlőek. Merőleges szárú szögeknek nevezünk két szöget, ha száraik páron­ ként merőlegesek. A merőleges szárú szögek egyenlőek, ha mind­ két szög hegyesszög ( 10.21. ábra), vagy mindkét szög tompaszög ( 10.22. ábra); kiegészítő szögek, ha az egyik hegyesszög, a másik pedig tompaszög (10.23. ábra).

10.22. ábra.

10.23. ábra

_________________________ X. ELEMI GEOMETRIA______________________ ^

X.3. NEVEZETES PONTHALMAZOK Valamely tulajdonsággal jellemzett pontok halmazát gyakran mér­ tani helynek is nevezik. Az azonos tulajdonságú pontok halmgizából álló alakzat minden pontja rendelkezik a megadott tulajdonsággal, más pont viszont nem. Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban egy kör (körvonal), a térben egy gömbfelület. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban a két pontot összekötő szakasz felező merőleges egyenese, térben a két pont által meghatározott szakasz felező merőleges síkja. A sík azon pontjainak halmaza, amelyek két adott ponttól mért távolságának aránya 1-től különböző, adott pozitív szám, egy kör. Ezt a kört Apolloniosz-féle körnek nevezzük. Az Apolloniosz-féle kör középpontja a két pont egyenesén van, sugara pedig az arány ismeretében kiszámítható. Három, nem egy egyenesbe eső pont mindig pontosan egy kört határoz meg. E három ponttól egyenlő távolságra levő pontok hal­ maza a síkban egy pont, a két-két pontot összekötő szakasz felező merőlegesének a metszéspontja (a kör középpontja); a térben egy egyenes, a két-két pontot összekötő szakasz felező merőleges síkjának a metszésvonala. Két metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban a két egyenes szögfelező egyenesei; a térben a két egyenes szögfelező síkjai. m

Két egyenes szögfelező egyenesei, ill. szögfelező síkjai merőlegesek egymásra.

Két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra levő pontok hal­ maza a síkban az egyenesek középpárhuzamos egyenese; a térben a két egyenes középpárhuzamos síkja. Két kitérő egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza az egyenesekkel párhuzamos, a normáltranzverzális szakasz felezőpont­ jára illeszkedő sík.

194

X. ELEMI GEOMETRIA

Két egymást metsző síktól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkok lapszögének felező síkjai. E két szögfelező sík merőleges egymásra. Két párhuzamos síktól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkok középpárhuzamos síkja. Nevezetes síkbeli ponthalmaz még a parabola, az ellipszis és a hiperbola, amelyeknek a definícióját a XI. fejezetben adjuk meg. A sík azon pontjainak halmaza, amelyekből egy szakasz adott 0° és 180° közötti szögben látszik, a szakasz végpontjain átmenő, a sza­ kaszra szimmetrikus két körív, a végpontoktól eltekintve (10.24. ábra); ezt nevezzük látókörnek.

10.24. ábra

GEOMETRIAI TRANSZFORMACIOK A GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓKRÓL ÁLTALÁBAN Azokat a függvényeket, amelyeknek értelmezési tartománya is, értékkészlete is ponthalmaz, geometriai transzformációknak ne­ vezzük.

X. ELEMI GEOMETRIA

195

Az értelmezési tartomány elemei a tárgypontok, a tárgypontokhoz rendelt értékek a képpontok. (ÁltaláBan a tárgypontokat a latin ábécé nagybetűivel, a képpontokat vesszőkkel ellátott nagybetűkkel jelöljük.) Az / geometriai transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképe­ zés, ha különböző tárgypontokhoz különböző képpontokat rendel. Az / geometriai transzformáció fixpontjának (fixegyenesének, fixsíkjának) nevezzük az olyan pontot (egyenest, síkot), amely önmagának a képe. [U

Legyen az / transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ha a képpontok mindegyikéhez a megfelelő eredeti tárgypontot rendeljük hozzá, akkor ezt az / inverz transzformációjának ne­ vezzük, és / “ ^-gyel jelöljük. Az f és g transzformációk egymás utáni alkalmazását az / és ^ leképezések szorzatának nevezzük. Jelölése: f o g .

Az f o g művelet jelentése: először a g leképezést kell végrehajtani, majd erre kell alkalmazni az / transzformációt. Az olyan transzformációt, amely minden pontot helyben (fixen) hagy, identikus leképezésnek {helyben hagyás) nevezzük. Nyilván az / o / “ ^, ill. az zést adják:.

o / leképezések az identikus leképe­

Az olyan transzformációt, amelynél minden pont képpontjának képe az eredeti pont, szimmetrikusnak (tükrözésnek) nevezzük. A geometriai transzformációkat aszerint szoktuk csoportosítani, hogy a leképezendő ponthalmaz tulajdonságaiból mit hagynak válto­ zatlanul. Azt mondjuk, hogy a transzformáció megtart egy tulajdon­ ságot, ha az ilyen tulajdonságú alakzatokhoz ugyanilyen tulajdonságú alakzatot rendel. Ebben az értelemben beszélhetünk pl. távolságtartó, távolságarányt megtartó transzformációkról.

196

X. ELEMI GEOMETRIA

A geometriai transzformációk során egyéb tulajdonságok is meg­ maradhatnak. így pl. az egyenestartó és illeszkedéstartó kölcsönösen egyértelmű leképezést a projektív geometria, a folytonosságtartó köl­ csönösen egyértelmű transzformációt a topológia vizsgálja.

X.4. EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Az / transzformációt egybevágósági (távolságtartó) traiiszformá> ciónak nevezzük, ha bármely A és B tárgypontokhoz olyan A' és B' képpontokat rendel, hogy A B = A 'B '.

Minden egybevágósági transzformáció szakasztartó, távolságtartó, egyenestartó, szögtartó, párhuzamosságtartó. Az egybevágósági transzformáció definícójából következik, hogy egybevágósági transzformációk egymás utáni alkalmazása (szorzata) is egybevágósági transzformáció. m

Minden egybevágósági transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképezés.

pr] Minden egybevágósági transzformáció szögtartó, azaz ha a szög képe a ', akkor a = a'.

[d1 Két (síkbeli vagy térbeli) alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amellyel kölcsönösen egymásba v i h e t i át. Az egybevágóság jele: = . Egybevágósági transzformációk a párhuzamos eltolás, a tükrözések és a forgatások.

X. ELEMI GEOMETRIA

197

PÁRHUZAMOS ELTOLÁS Legyen adott a síkban (térben) egy A B vektor. Tetszőleges P ponthoz rendeljük hozzá azt a P ' pontot, amelyre PP^ = A B (10.25. ábra). Egy vektor által megadott geometriai transzformációt eltolásnak ne­ vezzük.

10.25. ábra

Az eltolást tehát az eltolás iránya, állása és távolsága egyértelműen meghatározza. Az el nem mozgatást is az eltolások közé soroljuk; ennek távolsága 0, iránya pedig tetsz^eges. Az eltolás a sík (a tér) önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése ha A B = 0 . Az eltolás nem szimmetrikus transzformáció. A eltolásnak nincs fixpontja (ha A B ^ 0 ) . Az eltolás irányával párhu­ zamos egyenesnek (térben síknak is) a képe önmaga. Ezek az eltolás fixegyenesei, ill. fixsíkjai, de nem pontonként fixek. Bármely alakzat és eltolt képe egybevágó és azonos körüljárású. Az eltolás helyettesíthető az eltolás A B irányára merőleges két {ti és t 2 ) párhuzamos egyenesre vonatkozó egymás utáni tengelyes tükrözéssel. Az egyenespár távolsága az eltoláis hosszának a fele (10.26. ábra).

TENGELYES TÜKRÖZÉS Legyen adott egy t egyenes, amit tükörtengelynek vagy szimmet­ riatengelynek nevezünk, amelynek pontjai fixpontok. Minden máis P

198

X. ELEMI GEOMETRIA

pont P' képét úgy szerkesztjük meg, hogy P -ből a szimmetriaten­ gelyre merőleges egyenest bocsátunk, ennek talppontját T-vel jelölve P^T = P T és a T pont a P és P ' pontokat elválasztja (10.27. ábra). Az így értelmezett geometriai transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük. Ez a hozzárendelés érvényes mind a síkbeli, mind a térbeli tengelyes tükrözésre. A tükrözéssel egymáshoz rendelt P és P ' ponto­ kat egymás tükörképeinek vagy szimmetriapontoknak nevezzük, azaz a transzformáció szimmetrikus.

10.26. ábra t

10.27. ábra,

A tengelyes szinmietriát a tükörtengely vagy egy pont és annak képe egyértelműen meghatározza. A tengelyes tükrözés a sík (a tér) önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése. A tükrözés t tengelyének minden pontja a transzformáció fixpontja, de több fixpontja nincs. A tengely és a tengelyre merőleges egyenesek a transzformáció fixegyenesei. A tengely pontonként fix, a többi fixegyenesnek azonban

X. ELEMI GEOMETRIA

199

csak egy-egy fixpontja van. A szimmetriatengelyt tartalmazó síkok, s a tengelyre merőleges síkok önmaguk képei, ezek a transzformáció fixsíkjai (de nem pontonként fixek). Ha valamely a egyenes párhuzamos a t tengellyel, akkor a képe, a' is párhuzamos t-vel; s ha az a egyenes metszi a t tengelyt, akkor az a' is illeszkedik erre a metszéspontra. A tengelyes tükrözés a képpontokhoz az eredeti tárgypontokat rendeli, azaz a transzformáció szimmetrikus. A síkbeli tengelyes szinunetria az alakzatok irányítását (körüljárá­ sát) megváltoztatja. A síkbeli tengelyes tükrözés más síkmozgással nem helyettesíthető. Két párhuzamos tengelyre való tükrözés egymásutánja egy, a tengelyek távolságának kétszeresével való eltoláissal helyettesíthető. Két, egymást a szögben metsző tengelyre vonatkozó tükrözés egy­ másutánja egy 2a szögű elforgatással helyettesíthető- (10.28. ábra).

A térbeh tengelyes szinunetria a térnek a szimmetriatengely körüli 180°-os elforgatásával azonos. Egy alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan tengelyes tükrözés, amelyik önmagába viszi át. Ennek a transzformációnak a szimmetriatengelyét az alakzat szimmetriatengelyének nevezzük. Tengelyesen szinunetrikus alakzatok pl. a szabályos háromszög, a négyzet, a kör, a körhenger, a gömb.

200

X. ELEMI GEOMETRIA

SÍKRA VONATKOZÓ TÜKRÖZÉS Rögzítsük a térben az a tükörsíkot (szimmetriasíkot), amelynek pontjai fixpontok. A tér bármely más P pontjához rendeljük hozzá azt a P' pontot, amely a P -ből az a síkra merőlegesen húzott egyenesen úgy helyezkedik el, hogy ha a merőleges talppontja T, akkor P 'T = P T és a T pont a P és P '-t elválasztja (10.29. ábra).

Ezt a geometriai transzformációt síkra vonatkozó tükrözésnek ne­ vezzük. A síkra vonatkozó tükrözés a térnek önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése. A tükörsík minden pontja fixpont, több fixpont nincs. Az a szimmetriasík minden egyenesének, és az a-ra merőleges egye­ neseknek a képei önmaguk, több fixegyenes nincs. A szimmetriasíkban fekvő egyenesek pontonként fixek. Az a sík pontonként fix, az a-ra merőleges síkok is mind fixsíkok (de nem pontonként), több fixsík azonban nincs. Egy alakzat és síkra tükrözött képe egybevágó, de ellentétes körüljárású. A síkra való tükrözés nem helyettesíthető más transzformációval. A síkra való tükrözés a képpontokhoz az eredeti pontokat rendeli, azaz a transzformáció szimmetrikus.

_________________________ X . ELEMI GEOMETRIA______________________ ^

Az olyan térbeli alakzatot, melyet valamely síkra vonatkozó tükrözés önmagába visz át, síkszimmetrikiisiiak nevezzük. Ekkor a szimmetriasíkot az alakzat szimmetriasíkjának hívjuk. Síkszimmetrikus alakzatok pl. a téglatest, a körhenger, a gömb stb.

PONTRA VONATKOZÓ TÜKRÖZÉS (KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS) Jelöljünk ki egy O pontot, amely fixpont. Minden más P ponthoz rendeljük hozzá a P ' pontot úgy, hogy a P P ' szakasznak az O pont felezőpontja legyen (10.30. ábra). Ez a hozzárendelés érvényes mind a síkbeli, mind a térbeli középpontos tükrözésre.

10.3U. ábra

A P és P ' pontok egymás tükörképei (azaz a transzformáció szimmetrikus); az O pont, a középpont {szimmetriapont, centrum). Az O pontra vonatkozó tükrözést centrális (középpontos) szimmetriának is mondjuk. A transzformációnak egyetlen fixpontja a középpont. A közép­ pontra illeszkedő minden egyenes, ill. sík fixegyenes, ill. fixsík, bár pontonként egyik sem fix. A transzformációnak más fixegyenese, fixsíkja nincs. A középpontos szinmietriát a középpont vagy egy pont és a képe egyértelműen meghatározza. Valamennyi olyan egyenes, sík, amely nem illeszkedik a közép­ pontra, párhuzamos a képével. Ekkor a képegyenes, ill. képsík ugyan­ olyan távolságra van a tükrözés középpontjától, mint a tárgyegyenes, ill. tárgysík. Bármely alakzat és középpontos képe egybevágó. Síkbeli centrális szimmetria esetén a tárgyalakzat esetén a tárgyalakzat és a képalakzat körüljárása megegyező.

202

X. ELEMI GEOMETRIA

A síkbeli pontra vonatkozó tükrözés azonos az O pont körüli 180°-os elforgatással, vagy a tükrözés centrumában metsző és egy­ másra merőleges két egyenesre vonatkozó egymás utáni tükrözéssel (a sorrend tetszőleges). Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pontra vonatkozó tükrözés, amely önmagába viszi át. Ennek a tükrö­ zésnek a középpontját az alakzat szimmetria-középpontjának, röviden középpontjának nevezzük. Középpontosan szimmetrikus alakzat pl. a négyzet, a paralelog­ ramma, a kör, a kocka, a gömb.

PONT KÖRÜLI ELFORGATÁS (A SÍKBAN) Jelöljünk ki az adott síkban egy rögzített O pontot (az elfor­ gatás középpontját), és adjunk meg egy a irányított szöget. A sík tetszőleges, az O-tól különböző P pontjának képe legyen az a P ' pont, amelyre O P = O P' és POP^ 0 szám a hasonlóság aránya. Ha A = 1, akkor a hasonlóság egybevágóság. A A > 1 esetén nagyításról, a 0 < A < 1 esetén pedig kicsinyítésről beszélünk. A hasonlóság értelmezéséből következik, hogy minden hasonlóság­ nak van inverz transzformációja, s ez is hasonlóság, amelynek aránya 1

Á‘ Ha egymást követően két Ai, A2 arányú hasonlóságot hajtunk végre, akkor olyan hasonlósághoz jutunk, amelynek aránya A1A2. Minden hasonlósági transzformáció szakasztartó, félegyenestartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, szögtartó.

X. ELEMI GEOMETRIA

206

0

Két (síkbeli vagy térbeli) alakzat hasonló, ha van olyan hason­ lósági transzformáció amely az egyiket a másikba viszi át. Az alakzatok hasonlóságának jele:

A hasonlósági transzformációk: a középpontos hasonlóság és a párhuzamos hasonlóság.

KÖZÉPPONTOS (CENTRÁLIS) HASONLÓSÁG

m

{Párhuzamos szelők tétele:) Ha a sík e és / egyenesét párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik egyenesen keletkező sza­ kaszok hosszúságának az aránya megegyezik a másik egyenesen keletkező megfelelő szakaszok hosszúságának az arányával.

A párhuzamos szelők tételében szereplő két egyenes párhuzamos is lehet, és a párhuzamos szelők elhelyezkedése is tetszőleges lehet (kivéve azt az esetet, amikor mindegyik szelő a szög csúcsán halad át). Alkalmazások szempontjából mégis a 10.33. ábrán látható eset a legfontosabb:

Ekkor

OA _ OAi A B ~ A [B l Érvényes az

X. ELEMI GEOMETRIA

OA OB

OAi OBi

207

AAi BBi

arány is. A tétel megfordítása általában nem igaz! A 10.34. ábrán látható egy ellenpélda.

10.34. ábra

Legyen A iB i = C^Di, A 2 B 2 = C 2 D 2 , így

A \B \

A2B2 C2D 2

= 1,

mégis a szögszárakat metsző egyenesek nem párhuzamosak! A tétel megfordítása a következő formában helyes: m

{A párhuzamos szelők tételének megfordítása:) Ha a sík két egyenese a síkban fekvő szög szárait úgy metszi, hogy a — csúcstól számított — lemetszett szakaszok hosszúságának aránya egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos (10.35. ábra). A 10.35. ábra jelöléseivel a tétel azt mondja, hogy ha

OAi O B\

akkor

OÁ 2 OB2

vagy

t4iA 2 ||B 1 B 2 .

OAi A\Bi

OA2 A2JB2’

208

X. ELEMI GEOMETRIA

Rögzítsünk egy O pontot, és adjunk meg egy pozitív A valós számot. Tetszőleges, az O ponttól különböző P pont képe legyen az O P félegyenes azon P ' pontja, amelyre O P ' = A •O P , ill. OP' -z= p = A (10.36. ábra). Az így definiált ponttranszformációt A arányú középpontos {centrális) hasonlóságnak nevezzük. A centrális hasonlóság definíciója érvényes mind a síkbeli, mind a térbeli alakzatokra.

0

f>

f>f

10.36. ábra

Az O pont a hasonlóság középpontja (centruma), képe önmaga fixpontnak vettük), A a hasonlóság aránya. Ha A > 1, akkor az O centrumból való kinagyításról (nyújtásról), ha A = 1, akkor identikus leképezésről (helyben hagyásról), ha 0 < A < 1, akkor O centrumú kicsinyítésről beszélünk. A középpontos hasonlóság a síknak (térnek) önmagára való meg­ fordítható, kölcsönösen egyértelmű leképezése: hiszen egy tetszőleges P ponthoz azt a P ' pontot rendeli, amely az O P félegyenesen van és távolsága O-tól A •O P. Ilyen P ' pont pedig egy van. Fordítva: az

X. ELEMI GEOMETMA

209

O P ' = A •O P egyenlőségből O P — ~ •O P ', tehát P'-nek az a P pont A

a képe az O P' félegyenesen, amelynek O-tól való távolsága —, s ilyen A P pont is csak egy van. A transzformáció végrehajtáisakor a sík (tér) minden pontja előáll mint valamilyen pont képe. A centrális hasonlóságot egyértelműen meghatározza pl. a centrum, egy (a centrumtól különböző) tetszőleges P pont és ennek P ' képe. Ez alapján a sík (tér) tetszőleges A pontjának az A' képét meg tudjuk szerkeszteni (10.37. ábra).

Ha A ^ 1, akkor a középpontos hasonlóságnak egyetlen fixpontja van, és ez a hasonlóság centruma. Ha A = 1, akkor minden pont fixpont. A hasonlóság középpontján áthaladó egyenesek (síkok) a transzformáció fixegyenesei, fixsíkjai. Más fixegyenes vagy fixsík nincs (ha A ^ 1). Ezek az alakzatok nem pontonként fixek, azonban a képeik is illeszkednek az eredeti egyenesre, síkra. A párhuzamos szelők tételére támaszkodva bizonyítható, hogy a középpontos hasonlóság bármely két A, B tárgyponthoz olyan két A ', B' képpontot rendel, hogy =

= á l l a n d ó ( /0).

Ez a hányados éppen a középpontos hasonlóság arányával, A-val egyenlő.

210

X. ELEMI GEOMETRIA

A centrális hasonlóság a hasonlóság középpontján át nem haladó egyenest (síkot) vele párhuzamos egyenesbe (síkba) visz át. A középpontos hasonlóság az alakzatok körüljárását nem változ­ tatja meg. A középpontos hasonlóság esetén a tárgyalakzatról és a képalak­ zatról azt szoktuk mondani, hogy méretarányos. A A arányú hasonlóság a távolságot, kerületet : területet, felszínt : térfogatot: :

A-, A^-, A^-szörösre

változtatja.

PÁRHUZAMOS HASONLÓSÁG

0

Két hasonló alakzat párhuzamosan hasonló {párhuzamos hely­ zetű, homotetikus), ha megfelelő szakaszaik állása párhuzamos.

Az olyan hasonlóságot, amely párhuzamos helyzetű alakzatokat rendel egymáshoz, párhuzamos hasonlóságnak (homotéciának) nevez­ zük. Ilyen például az identikus leképezés (helyben hagyás), az eltolás, a pontra vonatkozó tükrözés. Ilyen hasonlóságot eredményez egy A (> 0) arányú centrális hasonlóság és egy vele azonos középpontú centrális tükrözés összetétele (10.38. ábra) is. Ehhez a transzformációhoz közvetlenül is eljuthatunk, ha a cent­ rális hasonlóságban szereplő A hasonlósági arányt előjellel látjuk el; a tárgyalakzat bármely P ( ^ 0) pontjához rendeljük hozzá az O P egyenes azon P^ pontját, amelyre O P ' — |A|OP (A G M, A ^ 0), és a P ' pont az O P félegyenesen van, ha A > 0, az O P félegyenes meghosszabbításán (az O pont P -t és P '-t elválasztja), ha A < 0. Az így definiált párhuzamos hasonlóság esetén előjeles arányról beszélünk. Ez alapján, ha A == 1, akkor a transzformáció a helyben hagyás, ha A = —1, akkor pontra vonatkozó tükrözés, ha A > 0, akkor

X. ELEMI GEOMETRIA

211

középpontos hasonlóság; és ennek azonos középpontú centrális tükrö­ zése, ha A < 0.

HÁROMSZÖGEK (SOKSZÖGEK) HASONLÓSÁGA A sokszögek hasonlóságának definícója alapján — akárcsak az egybevágóság esetén — most is elég a háromszögek hasonlóságának alapeseteit vizsgálni. A háromszögek hasonlóságának alapesetei: m

Két háromszög hasonló, ha 1) a megfelelő oldalaik aránya egyenlő; 2) két-két oldaluk aránya s az ezek által közbezárt szögük egyenlő; 3) két-két oldaluk aránya, s e két-két oldal közül a nagyobbikkai szemközt levő szögük egyenlő; 4) két-két szögük páronként egyenlő.

Ezen esetek mindegyike szükséges és elégséges feltétele a két háromszög hasonlóságának.

X.6. EGYEB TRANSZFORMACIOK

212

X. ELEMI GEOMETRIA

MERŐLEGES (TENGELYES) AFFINITÁS (A SÍKBAN) Adjunk meg a síkban egy t egyenest és egy A ^ 0 valós számot. A sík tetszőleges, az egyenesre nem illeszkedő P pontjához rendeljük hozzá a P-ből az egyenesre bocsátott merőleges egyenesnek azt a P ' pontját, amelyre P 'T = X P T , ahol T jelöli a merőleges és a í egyenes metszéspontját, és a P, P ' pontok a t-vel határolt ugyanazon félsíkban vannak, ha A > 0; különböző félsíkban, ha A < 0 (10.39. ábra). A t egyenes pontjai legyenek fixpontok.

10.39. ábra

Az így definiált ponttranszformációt merőleges tengelyes affinitás­ nak, röviden merőleges affinitásnak nevezzük. A t egyenes az affinitás tengelye, A az affinitás előjeles aránya, A tengelyre merőleges irány az affinitás iránya. Beszélünk ferde affinitásról is, ha a tengelyt ferdén metsző irányt adunk meg. Ha A = 1, akkor az affinitás helyben hagyás, ha A = —1, akkor a t tengelyre vonatkozó tükrözést jelent. A merőleges affinitást a tengely és egy megfelelő pontpár {P és affin képe P ') egyértelműen meghatározza. Tetszőleges Q { ^ t ) pont képét ugyanis a következőképpen szerkesztjük meg: húzzuk meg a P Q egyenest. Ha P Q ||í, akkor P'Q ' is párhuzamos a í-vel, így rajta lesz ezen a P 'Q ' egyenesen (10.40. ábra).

213

X. ELEMI GEOMETRIA

e' p'

Q*

...

^

t

10.40. ábra

Ha pedig a P Q egyenes az R pontban metszi a t tengelyt (10.41. ábra), akkor ez a pont a P Q egyenes RP^ képegyenesének is pontja, vagyis a Q képe az R P ' egyenesen lesz (természetesen mindkét esetben fel kell használni, hogy az afl&nitás iránya merőleges a tengelyre). A merőleges affinitás a síknak önmagára való kölcsönösen egyér­ telmű, megfordítható leképezése. A t tengelyű, A arányú merőleges affinitás inverze ugyancsak t tengelyű, — arányú merőleges affinitás. A

A transzformáció fixpontjai a t tengely pontjai, egyéb fixpontok nincsenek, ha A ^ 1. Fixegyenesek (de nem pontonként fixek) a tengelyre merőleges egyenesek. A merőleges affinitás szakasztartó, félegyenestartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó. A leképezés három pont osztó­ viszonyát változatlanul hagyja, így pl. egy szakasz felezőpontjának a képe a szakasz képének felezőpontja.

214

X. ELEMI GEOMETRIA

Merőleges affinitás a területet is az affinitás arányában változtatja: T ' = |A|-r. Ha a síkot az affinitás t tengelye körül cp szöggel elforgatjuk, majd e sík pontjait merőlegesen vetítjük az eredeti síkra, akkor ez az eredeti síkban t tengelyű, A = cos ip arányú merőleges affinitást jelent

A merőleges affinitás tengelyéül gyakran a koordinátarendszer x tengelyét választjuk. Ekkor a P{x; y) pont képe \y), azaz x' = x, y' = Xy. Ebből következik, hogy az f { x ; y) = 0 egyenletű alakzat affin képének az egyenlete / S

A A

= 0.

± 1) arányú merőleges affinitás során a kör képe ellipszis.

MERŐLEGES VETITES A transzformáció értelmezési tartománya legyen a tér, képhalmaza (egyben értékkészlete is) egy adott a sík. Tetszőleges, a síkra nem illeszkedő P ponthoz rendeljük hozzá a pontból a síkra bocsátott merőleges egyenes P' talppontját. A sík pontjai legyenek fixpontok.

X. ELEMI GEOMETRIA

215

Az így definiált ponttranszformációt merőleges vetítésnek^ a F P ' egyenest vetüőegyenesnek nevezzük. A merőleges vetítés nem kölcsönösen egyértelmű leképezés (10.43. ábra).

Szakasz vetülete a végpontok vetületét összekötő szakasz. Az A B szakasz merőleges vetítéskor megrövidül (ha nem párhuzamos az a síkkal), = ABcos'y^ ahol 7 jelöli az A B szakaszt tartalmazó egyenes és az a sík hajlásszögét. A merőleges vetítés általában nem szögtartó. Derékszög merőleges vetülete csak akkor derékszög, ha legalább az egyik szára párhuzamos az a síkkal és a másik szár nem merőleges a síkra.

SÍKBELI INVERZIÓ Legyen adott egy síkban az O középpontú, r sugarú kör. Az O középpontú, r sugarú körre vonatkozó inverzión azt a ponttranszfor­ mációt értjük, amely a sík minden egyes, O-tól különböző P pontjához olyan P ' pontot rendel, amely rajta van az O P félegyenesen, és amelyre

216

X. ELEMI GEOMETRIA

O P •O P ' =

(10.44. ábra).

A kört az inverzió alapkörének^ O-t az inverzió pólusának, r^-et az inverzió hatványának nevezzük, a P' pont a P pont inverzpontja. Az értelmezésből következik, hogy az inverziót az alapkör egyértel­ műen meghatározza.

s ík id o m o k

X-7. A HÁROMSZÖGEK A HÁROMSZÖGEK ÉS OSZTÁLYOZÁSUK A három, nem egy egyenesen fekvő pont, valamint az őket össze­ kötő szakaszok által határolt konvex síkidomot háromszögnek nevezzük. A pontok a háromszög csúcsai (10.45. ábra), általában A-, jB-, C-vel (a latin ábécé nagybetűivel), a csúcsokkal szemközti oldalakat rendre a-, 6-, c-vel (a latin ábécé kisbetűivel), s a megfelelő szögeket rendre a-, /?-, 7-val (a görög ábécé kisbetűivel) jelöljük. A „háromszög” -et nagyon gyakran a A szimbólummal helyet­ tesítjük. A háromszöget három, független adata meghatározza. A háromszögeket a szögei és oldalai alapján osztályozzuk.

X. ELEMI GEOMETRIA

217

10.45. ábra

Egy háromszög a legnagyobb szöge szerint — hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög; — derékszögű, ha egyik szöge derékszög. A derékszöget közrefogó oldalakat a derékszögű háromszög befogóinak, a harmadik — a derékszöggel szemben fekvő — oldalt átfogónak nevezzük; — tompaszögű, ha egyik szöge tompaszög. Az oldalak alapján egy háromszög — egyenlő' oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő; — egyenlő' szárú, ha van két egyenlő oldala. Az egyenlő oldalú háromszög nyilván egyenlő szárú is. Az egyenlő szárú háromszög két egyenlő oldalát a háromszög szárainak, a harmadik oldalt alapnak, az alapon fekvő szögeket alapszögeknek, a szárak által bezárt szöget szárszögnek nevez­ zük; — általános háromszög, ha nem egyenlő szárú.

ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖG ADATAI KÖZÖTT

B

A háromszög belső szögeinek összege 180°.

m

A háromszög bármelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

218

X. ELEMI GEOMETRIA

m

A háromszög három külső szögének összege a belső szögek össze­ gének kétszerese.

m

A háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. (Ezt nevezik háromszög-egyenlőtlenségnek.) Igaz a tétel alábbiak szerinti megfordítása is.

PH Három pozitív szám csak akkor lehet egy háromszög oldalainak mérőszáma, ha bármely két szám összege nagyobb a harmadik számnál. pn

A háromszög bármely két oldalának különbsége kisebb a harma­ dik oldalnál.

m

Ugyanabban a háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, és fordítva: nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.

A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI

A háromszög oldalának felező merőlegesét oldalfelező merőleges­ nek nevezzük. m

A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egy­ mást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjából az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesen (az ún. Wallaceegyenesen vannak (10.46. ábra).

m

Az a, 6, c oldalú, T területű háromszög köré írt kör R sugara:

X. ELEMI GEOMETRIA

R=

219

abc 4T‘

[d1 a háromszög szögének felezőegyenesét (belső) szögfelezőnek, külső szögének felezőegyenesét külső szögfelezőnek nevezzük. m

A háromszög belső szögfelezői egymást egy pontban metszik. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja (10.47. ábra).

10.47. ábra

220

m

X. ELEMI GEOMETRIA

A háromszög bármely (külső vagy belső) szögfelezője a szemközti oldalt a közrefogó oldalak arányában metszi (10.48. ábra).

10.48. ábra

m

A T területű és a + b-\- c = 2s kerületű háromszögbe irt kör p sugara (10.49. ábra): T T-

X. ELEMI GEOMETRIA

221

A háromszög magasságvonalának nevezzük a csúcstól a szemben fekvő oldalegyenesekre bocsátott mer^eges szakaszt. |t1 a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. E pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük (10.50. ábra).

A magasságpont hegyesszögű háromszög esetében a háromszögön belül, derékszögű háromszögben a derékszög csúcsában, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívül helyezkedik el. Pn

[Vetületi tétel:) A 10.51. ábra jelöléseivel: c = 6cosa + acos^.

[U

Azt a háromszöget, amelynek csúcsai egy háromszög magas­ ságpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok felezési pontjai, középháromszögnek nevezzük (10.52. ábra).

[d1 a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.

222

X. ELEMI GEOMETRIA

10.51. ábra

10.52. ábra

m

A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett háromszö­ goldallal, és fele olyan hosszú (10.53. ábra). A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával össze­ kötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük.

X. ELEMI GEOMETRIA

m

223

A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. E pont mindegyik súlyvonalat a csúcstól számítva 2 : 1 arányban osztja. A súlyvonalak közös metszéspontját a háromszög súlypontjának nevezzük (10.54. ábra).

A háromszög súlypontja mindig a háromszög belsejében van, és nemcsak geometriai, de fizikai értelemben is súlypont. m

A háromszög M magasságpontja, S súlypontja és körülírható körének O középpontja egy egyenesre illeszkedik, és OS : SM = = 1: 2. Ezt az egyenest Euler-egyenesnek nevezzük.

[TI A háromszög magasságának talppontjai, oldalfelező pontjai és középháromszögének csúcsai egy körön helyezkednek el (10.55. ábra). Ezt a kört Feuerhach-kömek vagy kilencpontos körnek nevezzük.

SPECIÁLIS HÁROMSZÖGEK Egyenlő szárú háromszög Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala. Az egyenlő oldalakat száraknak, a harmadik oldalt alapnak nevez­ zük.

224

pn

X. ELEMI GEOMETRIA

Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlő szárú, ha két szöge egyenlő.

A két egyenlő szög az alapon fekszik. Az egyenlő szárú háromszög tengely szimmetrikus j egyetlen szimmetriatengelye van, amelyik átha­ lad a háromszög csúcsán,- és merőlegesen felezi az alapot. Ezek alapján az egyenlő szárú háromszöget szimmetrikus három­ szögnek is nevezzük. m

Az egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasságvo­ nal és súlyvonal, az alap felező merőlegese és a szárszög felezője ' egybeesik. Érvényes a tétel alábbiak szerinti megfordítása is.

pn

Ha egy háromszögben valamelyik oldalhoz tartozó magasságvonal, súlyvonal, oldalfelező merőleges és az oldallal szemben fekvő szög szögfelezője közül kettő egybeesik, akkor a háromszög egyenlő szárú, és az illető oldal az egyenlő szárú háromszög alapja.

Egyenlő oldalú háromszög Egy háromszög szabályos {egyenlő oldalú)^ ha mindhárom oldala egyenlő.

X. ELEMI GEOMETRIA

m

225

A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha mind a három szöge egyenlő.

Eszerint a szabályos háromszög mindhárom szöge 60°-os. Az egyenlő oldalú háromszög nyilván egyenlő szárú is (bármelyik két oldal nevezhető szárnak), tehát teljesülnek rá az egyenlő szárú háromszögről mondottak. Ezek alapján a szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van, ezek egyben a háromszög oldalfelező merőleges egyenesei, szögfelező egyenesei, magasságvonalainak, ill. súlyvonalainak egyenesei. Ebből következik, hogy a háromszög neve­ zetes pontjai, így a köré- és a beleírható kör középpontja, magasságpontja és súlypontja azonos. E pontot a háromszög középpontjának nevezzük, bár a háromszög erre a pontra nem szimmetrikus. Ha a szabályos háromszöget a középpontja körül 120°-kal elforgatjuk (tet­ szőleges irányítással), az önmagát fedi. Eszerint a szabályos háromszög forgásszimmetrikus. Összefüggések a derékszögű háromszögben Pn

{Magasságtétel:) A derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek mértani közepe (10.56. ábra):

10.56. ábra

226

X. ELEMI GEOMETRIA

pn

{Befogótétel:) A derékszögű háromszögben bármely befogó mér­ tani közép az átfogó és az illető befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete között (10.56. ábra).

IB\

abc a

A C M a és A B C A ^ ^ C E M A , mert egy szögük közös (az A, ill. B csúcsnál fekvő), és mindegyik háromszög derékszögű. így érvényesek a következő összefüggések. - = c a —= c

pn

b q —, a

ebből

b=y/^,

ebből

a = ^/cq.

{Pitagorasz-tétel:) Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. 10.56. ábra jelölései szerint:

Érvényes a tétel megfordítása is: m

Ha egy háromszögben két oldal négyzetösszege egyenlő a harma­ dik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A két állítást egy tételben is megfogalmazhatjuk:

pn

Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével.

1^1

A Pitagorasz-tétel bizonyítása: A befogótétel szerint

X. ELEMI GEOMETRIA

227

a2 = c q =

cp .

Ezeket összegezve: + 6^ = cg + cp = c(p H- g) = c^.

X.8. A NÉGYSZÖGEK fp |

A négy csúcspontú sokszöget n é g y s z ö g n e k nevezzük. Ha mind a négy csúcspont ugyanabban a síkban van, akkor síkbeli, egyéb­ ként térbeli négyszögről beszélünk.

A térbeli négyszögekre a torznégyszög elnevezést használjuk. Ha ezt külön nem hangsúlyozzuk, akkor négyszögön mindig síkbeli négyszö­ get értünk (a négyszög csúcsai egy síkra illeszkednek); mi csak ezekkel foglalkozunk. m

Minden konvex négyszög belső szögeinek összege 360°.

Az állítás abból adódik, hogy a négyszöget egy csúcsból két háromszögre tudjuk felbontani. PARALELOGRAMMÁK [d] Azt a négyszöget, amelynek két-két szemközti oldala párhuzamos, p a r a l e l o g r a m m á n a k nevezzük (10.57. ábra).

10.57. ábra

228

X. ELEMI GEOMETRIA

A paralelogramma legfontosabb tulajdonságait foglalja össze a következő tétel: m

Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha 1) két-két szemben fekvő oldala párhuzamos; 2) két-két szemben fekvő oldala egyenlő; 3) két szemben fekvő oldala párhuzamos és egyenlő; 4) két-két szemben fekvő szöge egyenlő; 5) két átlója felezi egymást; 6) középpontosan szimmetrikus.

Azt a metszéspontot, ahol a paralelogramma átlói felezik egymást, a paralelogramma középpontjának nevezzük. E pontra szimmetrikus a paralelogramma, tehát a paralelogramma centrálisán (középpontosan) szimmetrikus síkidom. A paralelogrammát egy átlója két, egybevágó háromszögre bontja. A paralelogramma szomszédos szögei kiegészítő szögek. (10.57. ábra). [d1 a paralelogramma két szemközti oldalának felezéspontját össze­ kötő szakasz a p a r a l e l o g r a m m a k ö z é p v o n a la . A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő hosszú­ ságú a paralelogramma nem felezett oldalaival, és átmegy a paralelogramma középpontján (10.58. ábra).

10.58. ábra

X. ELEMI GEOMETRIA

229

Rombusz Ha a paralelogramma oldalai egyenlőek, akkor rombusznak ne­ vezzük (10.59. ábra).

10.59. ábra

Mivel a rombusz (speciális) paralelogramma, ezért az előbb felso­ rolt tulajdonságok mindegyike érvényes a rombuszra is. A rombusz azonban nemcsak középpontosan, hanem tengelyesen is szimmetrikus síkidom. m

Egy paralelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra merőlegesek.

Minthogy a paralelogramma átlói felezik egymást, igaz a következő tétel: PH Egy négyszög akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymást merőlegesen felezik. A tételből következik, hogy a rombusz mindkét átlójára szimmet­ rikus, ezek a rombusz szimmetriatengelyei; egyéb szimmetriatengelye nincs. A rombuszt az átlói négy egybevágó derékszögű háromszögre osztják; az átlók a rombusz szögeit felezik. Téglalap Ha a paralelogramma szögei egyenlők, akkor téglalapnak nevez­ zük (10.60. ábra). A definícióból látható, ha egy négyszögnek három szöge derék­ szög, akkor az téglalap, ill. ha egy paralelogrammának egyik szöge

X. ELEMI GEOMETRIA

230

derékszög, akkor az téglalap (ui. a paralelogramma szomszédos szögei kiegészítő szögek). A téglalap nemcsak középpontjára, hanem középvonalaira is szim­ metrikus, hiszen a középvonal a két oldalt merőlegesen felezi (10.60. ábra).

A téglalap átlói egyenlő hosszúak, felezik egymást (minthogy pa­ ralelogramma), de általában nem merőlegesek egymásra. m

Egy paralelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlő hosszúak.

Négyzet Ha a paralelogramma szögei és oldalai is egyenlők, akkor négy­ zetnek nevezzük (10.61. ábra).

A négyzet tehát rombusz is, téglalap is, ezért mind a rombusz, mind a téglalap tulajdonságai érvényesek a négyzetre. Ezek közül kiemeljük, hogy a négyzet nemcsak centrálszimmetrikus, hanem tengelyesen is az, méghozzá négy szimmetriatengelye van: a két átló és a két középvonal.

X. ELEMI GEOMETRIA

231

TRAPÉZEK Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, akkor trapéznak nevezzük (10.62. ábra).

10.62. ábra

A definícióból látható, hogy minden paralelogramma trapéz (de nem minden trapéz paralelogramma). A két párhuzamos oldal a trapéz alapja, a másik kettő a szárai. A trapéz párhuzamos egyeneseinek távolsága a trapéz magassága. Ha a trapéz egyik szára merőleges az alapokra, akkor derékszögű trapéznak mondjuk.

S

A trapéz bármely szárán nyugvó szögek összege 180° (kiegészítő szögek) (10.62. ábra). Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög megegyezik (ebben az esetben a másik két szög is egyenlő), akkor a trapézt szimmetri­ kus {egyenlő szárú) trapéznak nevezzük (10.63. ábra).

m

A szimmetrikus trapéz szárai és átlói egyenlők, továbbá a szim­ metriatengelye: — merőlegesen felezi a párhuzamos oldalakat; — áthalad az átlók metszéspontján; — áthalad a szárak metszéspontján (ha a szárak metszik egy­ mást) (10.63. ábra).

232

X. ELEMI GEOMETMA

Mivel a szimmetrikus trapéz köré kör írható, gyakran húrtrapéznak is nevezik.

pn

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz (a trapéz középvonala) párhuzamos a trapéz alapjaival, és egyenlő azok számtani közepével (10.64. ábra).

10.64. ábra,

IB\ Tükrözzük az A B C D trapézt (10.64. ábra) a B C szár felezőpontjára. Könnyen belátható, hogy a tükrözés után kapott AD^A^D négyszög paralelogramma, az E F szeikasz képe FE*, és a paralelogramma középvonala az EE^ szakcisz. így E E ' = E F + F E ' = 2 - E F § A D ' = A B + BD> = A B + D C ,

X. ELEMI GEOMETRIA

233

amiből k = EF =

AB + DC

tt + c

és

EF\\AB\\DC.

DELTOID

0

Ha egy négyszög két-két szomszédos oldala egyenlő, akkor delto­ idnak nevezzük (10.65. ábra).

A definícióból következik, hogy a rombusz és a négyzet speciális deltoid.

Megjegyezzük, hogy nem minden deltoid konvex ( 10.66. ábra). [TI A deltoid egyik átlója merőlegesen felezi a másik átlót (10.65. ábra), és felezi a végpontjaiban fekvő szögeket.

234

X. ELEMI GEOMETRIA

Tehát a deltoid tengelyesen szimmetrikus^ szimmetriatengelye az egyik átló; az ezen átlóval szemben fekvő szögek egyenlők. A konvex deltoid érintőnégyszög. HÚRNÉGYSZÖG Azokat a konvex négyszögeket (sokszögeket), amelyeknek min­ den csúcsa ugyanazon a körön van (tehát minden oldala a körnek húrja), húrnégyszögeknek (húrsokszögeknek) nevezzük (10.67. ábra).

10.67. ábra

m

Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180°.

ÉRINTŐNÉGYSZÖG [d1 Érintőnégyszögnek (érintősokszögnek) nevezzük azokat a négyszögeket (sokszögeket), amelyeknek minden oldala egy adott kört érint ( 10.68. ábra).

X. ELEMI GEOMETRIA

235

Az érintőnégyszög (érintősokszög) csak konvex lehet, mert a definí­ ció szerint megköveteljük, hogy az érintési pontok az érintőnégyszög (érintősokszög) oldalain és nem azok meghosszabbításain legyenek (10.68. ábra).

10.68. ábra

A definíció alapján azonnal belátható: m

Az érintőnégyszög szögfelezm egy pontban, az érintőnégyszögbe írható kör középpontjában metszik egymást.

m

Egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két két szemközti oldalának összege egyenlő.

X.9. A SOKSZÖGEK

A SOKSZÖGEKRŐL ÁLTALÁBAN

[d] Az A i, •••I pontokból alkotott A 1 A 2 , . . . , A n -iA n szakaszok összességét A i . . . A n töröttvonalnak vagy poligonnak nevezzük.

236

X. ELEMI GEOMETRIA

Az A i, ^ 2, . . . , An pontok a poligon csúcsai, a töröttvonalat alkotó szakaszok a poligon élei {oldalai). Ha az A\ csúcs nem azonos az An~ nel, akkor nyílt, ellenkező esetben zárt poligonról beszélünk. A poligon egyszerű, ha a nem szomszédos oldalaknak nincs közös pontjuk (nem metszi át önmagát). Az egyszerű, zárt, síkbeli töröttvonalat, amelynek három egymás utáni pontja nem illeszkedik egy egyenesre, sokszögvonalnak nevezzük. A sokszögvonal a síkot két részre osztja: a sokszögön belüli és kívüli részre. A sokszögvonal mindkét részhez hozzátartozik. A sokszögvonal által határolt belső síkrész a sokszögtartomány. [d1 a sokszögvonalat és a sokszögtartományt röviden sokszögnek nevezzük. A sokszög csúcsai, oldalai, szögei megegyező számúak. A sokszöget határoló töröttvonal a sokszögtartomány kerülete. A nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszokat a sokszög átlói­ nak nevezzük. A sokszög konvex, ha bármely két pontját összekötő szakaszát is tartalmazza. A konvex sokszög minden szöge konvex. A nem konvex sokszögre néha a konkáv jelzőt használjuk (konkáv sokszögnek van konkáv szöge). m

Az n (> 4) oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n - 3)

(T| Az n > 4 oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege ( n - 2)180°.

X. ELEMI GEOMETRIA

237

0

A konvex sokszög szögeinek mellékszögeit a sokszög külső szögei­ nek nevezzük.

m

Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 360°. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK A konvex sokszöget szabályosnak nevezzük, ha minden oldala és szöge egyenlő.

Ennek alapján beszélünk szabályos háromszögről (egyenlő oldalú háromszög), szabályos négyszögről (a négyzet az egyetlen ilyen négy­ szög), szabályos ötszögről, . . . , szabályos n-szögről. m

Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus alakzat. Minden oldalának felező merőlegesére és minden szögének a szögfelezőjére szimmetrikus (azaz n szimmetriatengelye van). Egyéb szimmetriatengelye nincs. Ezek a szimmetriatengelyek egy közös pontra illeszkednek.

A szimmetriatengelyek közös O pontját a szabályos sokszög közép­ pontjának nevezzük. Ha az O pontot összekötjük a szabályos sokszög 360° két, Ai, A i^i szomszédos csúcspontjával, akkor az A í O A í_^i < = ------ . m

Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus: az O pontja körül 360° --------kai elforgatva önmagába megy át. n

Az O középpont tehát egyenlő távolságra van mind a csúcsoktól, mind az oldalaktól. m

Páros oldalszámú szabályos sokszögek centrálszimmetrikusak a középpontjukra nézve. Minden szabályos sokszög egyszerre húrsokszög és érintősokszög; e két kör középpontja azonos a sokszög középpontjával.

238

X. ELEMI GEOMETRIA

A szabályos hatszög középponti szöge 60°-os (10.69. ábra), tehát az oldala éppen a hatszög köré írt kör sugara. Ha egy adott szakaszt úgy bontunk két részre, hogy a kapott szeletek kisebbike {p) úgy aránylik a nagyobbhoz {q), mint a nagyobb a teljes szakaszhoz, azaz p-.q = q-.{p + q), akkor aranymetszést végeztünk. Ezzel az arányossággal mind a képzőművészetben, mind a zenében gyakran találkozhatunk. m

A szabályos tízszög a oldala annak az aranymetszésnek a kisebbik szelete, amelynek a nagyobbik szelete a tízszög köré írható kör r sugara: a : r = r : {a-\-r).

E tétel alapján szerkeszthetjük meg az r sugarú körbe írt szabályos ötszöget is úgy, hogy a tízszög minden második csúcsát kötjük össze. m

Az n oldalú szabályos sokszög euklideszi módon (csak körző és vonalzó használatával) akkor és csak akkor szerkeszthető, ha n = 2^Pl ' 'Ps, ahol a pi számok alakú prímszámok (5, k, m nemnegatív egészek).

239

X. ELEMI GEOMETRIA

X.IO. A KÖR A KÖRRŐL ÁLTALÁBAN [d1 a kör {körvonal) a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától adott (nullától különböző) távolságra vannak. Az adott pontot a kör középpontjának (cent­ rumának), az adott távolságot a kör sugarának (rádiuszának) nevezzük. Az értelmezés alapján a kör a középpontjával és a sugarával egyértelműen adott. A körrel kapcsolatos elnevezéseket találjuk a 10.70. ábrákon.

kerületi szög

10.70. ábra

240

0

X. ELEMI GEOMETRIA

A körön belül levő pontok halmazát (nyílt) körlemeznek nevez­ zük. (Gyakran a körlemez helyett is a kör szót használjuk.)

A kör a középpontjára és a középponton áthaladó minden egyenesre szimmetrikus. A középpontja körüli tetszőleges forgatás a kört önma­ gába viszi át, vagyis az alakzat körszimmetrikus. Körszimmetrikus alakzat a körgyűrű is.

KÖR ÉS EGYENES KÖLCSÖNÖS HELYZETE Egy e egyenesnek egy r sugarú körrel 0, 1 vagy 2 közös pontja lehet (10.71. ábra) attól függően, hogy a kör középpontjának a távolsága az egyenestől nagyobb, mint r, egyenlő r-rel, vagy kisebb, mint r.

0

Azt az egyenest, amelynek egy körrel csak egyetlen közös pontja van, a kör érintőjének, a pontot érintési pontnak nevezzük.

X. ELEMI GEOMETRIA

m

m

241

A kör bármely P pontjában a körhöz csak egyetlen érintő húz­ ható, és az érintő az érintési pontban merőleges a sugárra (10.72. ábra).

A körhöz külső pontból két érintő húzható. Az érintőszakaszok egyenlőek: E iP = E 2 P ; TE\ = T E 2 - A külső pontot és a kör középpontját összekötő egyenes az érintési pontokhoz tartozó húrt merőlegesen felezi (10.73. ábra).

242

X. ELEMI GEOMETRIA

Külső P pontból húzható érintőt a Thalész-tétel segítségével tud­ juk megszerkeszteni: rajzoljunk az O P mint átmérő fölé kört (Thalészkört), a két kör metszéspontja a két érintő E i, E 2 érintési pontja (10.73. ábra). A tengelyes szimmetriából következik, hogy m

1) A húrfelező merőleges átmegy a kör középpontján. 2) A kör középpontján és a húr felezési pontján átmenő egyenes merőleges a húrra. 3) A sík három, nem egy egyenesbe eső A, B, C pontján egy és csak egy kör megy át. Az A, B, C pontokon átmenő kör középpontja pl. az A B és B C szakaszok felező merőlegeseinek metszéspontja, hiszen A B és B C a keresett kör egy-egy húrjának tekinthető.

KÉT KÖR KÖLCSÖNÖS HELYZETE

[d] a két kör középpontját összekötő szakasz hosszát a két kör centrálisának nevezzük. Ha a két kör középpontja azonos, akkor a két kört koncentrikusnak mondjuk. Az r i, 7*2 sugarú ( t2 < ^1) és c centrálisú körök kölcsönös helyzete a következő lehet: 1) 0 2) 3) 4) 5)

7*1 + ^2

c = ri + T2 ri —T2 < c < ri + T2 c = 7*1 - T2 c < ri - T2 Azt az egyenest, amelynek két adott kör mindegyikével csak 6gy-6gy közös pontja van, a két kör közös érintcjének nevezzük.

X. ELEMI GEOMETRIA

243

Két, egymáson kívül elhelyezkedő körnek négy közös érintője van. Ha a közös érintőegyenes a két kört nem választja el, akkor külső érintőnek (10.74. ábra), ha viszont a közös érintő a köröket elválasztja, akkor belső érintőnek nevezzük (10.75. ábra).

Két kör közös külső érintőjének szerkesztése (10.76. ábra). Legyen r2 > r*i. 1. lépés: rajzoljunk O 2 középpontú, T2 —r\ sugarú kört, így kapjuk a k kört; 2. lépés: szerkesszünk érintőt a k körhöz az 0\ pontból; 3. lépés: a k körnél kapott érintési pontokat az C>2-vel összekötő fé­ legyenesek a ^2 körből kimetszik a A;i, A;2 körök közös külső érintőinek érintési pontjait. A szerkesztés menete alapján az O 1 TO 2 derékszögű háromszögből (10.76. ábra) a két kör közös e érintőszakaszának hossza kiszámítható (r2 > r i ) :

244

X. ELEMI GEOMETRIA

= \ J c ^ -{r 2 -r if. Két kör közös belső érintőjének szerkesztése a 10.77. ábrán látható.

Az ri, V2 sugarú és c centrálisú körök közös belső érintőjének hossza:

X. ELEMI GEOMETRIA

245

KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK Az olyan szöget, amelynek csúcsa a kör középpontjában van,

középponti szögnek nevezzük. A körnek azt az ívét, amely a szög belsejébe esik, a középponti szöghöz tartozó ívnek nevezzük és azt mondjuk, hogy a középponti szög ezen az íven nyugszik (10.78. ábra).

[ d1 Egy körben (vagy egyenlő sugarú körökben) 1) egyenlő ívekhez egyenlő húrok és egyenlő középponti szögek tartoznak; 2) egyenlő húrokhoz egyenlő középponti szögek és megfelelő egyenlő ívek tartoznak; 3) egyenlő középponti szögekhez egyenlő ívek és egyenlő húrok tartoznak. Egy körben az egyenlő húrok azonos távolságra vannak a közép­ ponttól, és fordítva. Az a húr hosszabb, amelyikhez tartozó középponti szög nagyobb, ill. amelyiknek a középponttól mért távolsága kisebb (10.79. ábra).. Azt a konvex a szöget, amelynek a csúcsa a kör kerületén van, szárai a kör húrjai, vagy egyik szára húr, a másik pedig érintő (érintöszárú) kerületi szögnek nevezzük (10.80., 10.81., 10.82., 10.83. ábrák).

246

pn

X. ELEMI GEOMETRIA

A kör bármely középponti szöge kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögnek.

X. ELEMI GEOMETRIA

247

Pn Egy körben az ugyanazon ívhez (ill. egyenlő ívekhez) tartozó kerületi szögek egyenlők. Az átmérő fölé rajzolt kerületi szögek derékszögek. Ha a P pont nem illeszkedik az A B szakaszra, akkor a konvex ^ P ^ < -e t az A B szakasz látószögének nevezzük. Ha egy konvex szög csúcsa a körön belül van, akkor a szög nagyobb az ugyanazon íven nyugvó kerületi szögnél, ha pedig a körön kívül van, akkor a szög kisebb a távolabbi ívhez tartozó kerületi szögnél (10.84. ábra):

248

X. ELEMI GEOMETRIA

a 2 < 0 í < a\.

Pn A sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyekből egy szakasz adott 0° és 180° közötti szögben látszik, a szakasz végpontjain átmenő, a szakaszra szimmetrikus két körív, a vég­ pontoktól eltekintve. pn

{Thalész tétele:) A sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyekből egy szakasz derékszögben látszik, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, a szakasz végpontjai nélkül,

m

Két pozitív a, b szám mértani közepe nem nagyobb, mint ugyan­ ezen számok számtani közepe. Vab
2)

= 0;

3) Egy A B szakasz bármely C belső pontjára dÍAC (két rész hosszának összege az eredeti szakasz hossza); 4) Egy önkényesen választott, de a továbbiakban rögzített OA szakaszra dQj^ = 1. Ezzel a hosszegységgel bármely X kezdőpontú félegyenesen pontosan egy olyan Y pont van, amelyre d xY adott, pozitív valós szám. Tehát, ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a sza­ kaszokat nemnegatív valós számokkal egyértelműen mérhetjük. Két pont összekötő szakaszának hossza, más néven a két pont távolsága megmutatja, hogy a szakasz a hosszegységnek választott szakasznak hányszorosa. Ha a szakasz végpontjainak egjdkét kezdőpontnak, másikát vég­ pontnak nevezzük, irányított szakaszt kapunk. Ha A B irányított

X. ELEMI GEOMETRIA

251

szakasz, akkor A B = —B A . Irányított szakasznak előjeles hosszúságot tulajdonítunk: dj^B = ~dBAIrányított távolság esetén a távolságfüggvény 3. tulajdonsága a távolságok abszolút értékére igaz: \d-Ac\ + \dcB\ = Ha b V Gyakran használjuk még az oldal fogalmát is, amely egy szakaszt és annak hosszúságát is jelenti. Nemzetközileg elfogadott hosszúságegység (alapegység) a méter, jelölése m, amely közelítőleg a Föld egyenlítőjének 40 milliomod része. Hosszúság mértékegységű a kerület is, így a kerület mérőszáma után a hosszúságegységet is meg kell adni. A méterből származtatott decimális hosszegységek: a kilométer (km), deciméter (dm), centiméter (cm), milliméter (mm), mikrométer (/xm) és nanométer (nm). A hosszúságegységek közti átszámítás: 1 km = 1000 m 1m

10 dm = 100 cm = 1000 mm

1 mm = 1000 fim = 10^ nm .

A TERÜLET ÉS EGYSÉGEI A terület síkidomokhoz rendelt mérték, melynek a következő tulaj­ donságai vannak: 1) A terület nenmegatív valós szám. 2) Ha egy síkidomot két (közös belső pont nélküli) részre bontunk, akkor e részek területének összege az eredeti síkidom területével egyenlő. 3) Egybevágó síkidomok területe egyenlő. 4) Az egységnyi oldalú négyzet területe 1. A 2. és 3. tulajdonság természetesen területtel rendelkező síkido­ mokra vonatkozik. (Nem minden síkidomnak van területe; ennek vizs­

252

X. ELEMI GEOMETRIA

gálata a mértékelmélet tárgykörébe tartozik.) Ha egy síkidomnak van területe, akkor csak egyetlen olyan számot rendelhetünk a síkidomhoz, amely az 1-4. tulajdonságokat kielégíti. m

Korlátos konvex síkidomnak van területe.

m

Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának, azaz a megfelelő oldalak arányának négyzetével egyenlő. A következő tétel egy síkidom vetületének területéről szól:

m

Ha egy S síkidom területe t, és e síkkal egy másik 5 ' sík a (0° < a < 90°) szöget zár be, akkor az S síkidom S'-re eső merőleges vetületének a területe: t c o s a (10.87. ábra).

A terület mértékének ismeretéhez a hosszegység ismeretére van szükség. A terület dimenziója „hosszúság a négyzeten” . Az 1 méter oldalhosszúságú négyzet területét négyzetméternek nevezzük, jele: m^. A keresztmetszet, a felszín, a palást és a felület is terület dimenziójú mennyiség. A hosszegységhez hasonlóan, a terület mérőszáma mellett a terü­ letegységet is jelezzük.

X. ELEMI GEOMETRIA

253

A négyzetméter decimális többszörösei: négyzetkilométer (km^), négyzetdeciméter(dm^), négyzetcentiméter (cm^), négyzetmilliméter (mm^). A területegységek közötti összefüggés:

1w

= 10® m2

1 m^ = 100 dm^ 1 dm^ = 100 cm^ 1 cm^ = 100 mm^. Használatos még a hektár (jele: h) is: 1 ha = 10^ m^. A földterület egyéb mértékegységei: 1 D-öl = 3,596 m^; 1 magyar hold = 1200 D-öl = 4316 m^ = 0,43 ha; 1 katasztrális hold = 1600 D-öl = 5755 m^ = 0,58 ha. Az alábbi táblázatokban a leggyakrabban előforduló síkidomok kerületét {K ) és területét (T) foglaltuk össze. Síkidom Háromszög

Kerülete

Területe j , _ o^rria 2

X = a + 6+ c=2s

(10.49. ábra) K = 6(1 +

cos

7) +

c (l

H- cos 13)

r p _ ab sin j 2

^

a 2 s in /3 s iii7

2 sin a abc 4R T = ps T = y/s(s - a)(s - b)(s - c)

254

X. ELEMI GEOMETRIA

Területe

Síkidom

Kerülete

Paralelo­ gramma (10.57. ábra)

K = 2{a + b)

T = ania T = a6sin(a; 6)

Rombusz (10.59. ábra)

K = Aa

T = a? sin a.

Téglalap

K = 2(a + 6)

T = ab

(10.60. ábra)

j.

c^sinv?

2 Négyzet

K = Aa

T = a^

(10.161. ábra)

Trapéz

K = a + h + c-\-d

(10.62. ábra)

^

e/sin+ c + d K = 2s K = 2(a + c)

T = ps

- 2 ( 6 + d) K = 2s

2t t t

K ör (10.72. ábra)

K

Körcikk (10.70. ábra)

K = 2r + i

V

=

180°

T = r^7T

T= — 2 /

360°

2

255

X. ELEMI GEOMETRIA

Síkidom Körszelet

Kerülete

^

Területe

T = ^ (-^ « °-s in a °) 2 V180° /

K = h^i

(10.70. ábra)

T = — (ö —sin a) Á r ^ _ T Í - h { r - m) 2 Körgyűrű (10.70. ábra)

K = 2'k {R +

Körgyűrűcikk (10.70. ábra)

K = {R ^ r )a + 2 {R -r)

t)

T={R +

t)

{ R - t ) tz

TESTEK A tér feldarabolásakor geometriai testek keletkeznek. A testeket felületek határoljáLk. Mi elsősorban véges kiterjedésű testekkel foglalkozunk; ezeket zárt felületek határolják. A testek — durva — osztályozása azon alapul, hogy milyen felületek határolják: — ha csak síklapok, akkor szögletes testekr^ {poliéderekről)] — ha sík- és görbelapok vagy csak görbelapok, akkor görhefelületű testekről beszélünk.

X.12. POLIÉDEREK [£] Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszögtartomány határol, s amely teljes egyenest nem tartalmaz, p o l i é d e r n e k nevezzük. A határoló sokszögtartományok együttesen a poliéderfelületet al­ kotják (röviden ezt is poliédernek mondjuk).

256

X. ELEMI GEOMETRIA

Egy-egy szögtartomány a poliéder egy-egy lapja, a szögtartomány síkja a poliéder lapsíkja, a lapokat határoló szakaszok a poliéder élei, az élek végpontjai a poliéder csúcsai. A csúcsokat összekötő és az élektől különböző szakaszok a lapátlók, ha egyetlen lapsíkban vannak; s testátlók, ha egyetlen lapsíkhoz sem tartoznak. A poliéder két, közös csúcsú élének szögét a poliéder élszögének; két, közös lapjának szögét a poliéder lapszögének mondjuk. Pn

[Euler tétele:) A konvex poliéderben a csúcsok (c) és lapok {l) számának összege kettővel nagyobb az élek (e) számánál: c + í = e + 2.

0

Az olyan konvex poliédert, amelynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők, szabályos testnek nevezzük.

A szabályos test lapjai tehát egybevágó szabályos sokszögek. Euler tétele alapján bizonyítható, hogy csak ötféle szabályos test létezik (10.88. ábra). Ezek nevét és adatait táblázatban foglaltuk össze. A táblázatban l a lapok, e az élek, c a csúcsok, n az egy lapon levő élek, m az egy csúcsba futó élek számát jelöli. Elnevezés Tetrsiéder Hexaéder (kocka) Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder

n 3 4 3 5 3

m 3 3 4 3 5

c 4 8 6 20 12

e 6 12 12 30 30

/ 4 6 8 12 20

Az elnevezések görög eredetűek, s a lapszámra vonatkoznak. A tetraéder elnevezés pontatlan, nem szabályos testet jelent, hanem há­ romoldalú gúlát. A szabályos tetraéder olyan szabályos test, amelynek minden lapja szabályos háromszög.

X. ELEMI GEOMETRIA

257

10.88. ábra

[rí

Minden szabályos testbe és test köré gömb írható, s e két gömb középpontja (amit egyúttal a szabályos test középpontjának is nevezünk) azonos.

HASÁB Ha egy sokszögvonal (vezérvonal) minden pontján át párhuza­ mosokat húzunk egy olyan adott egyenessel, amely nem pár­ huzamos a sokszög síkjával, (végtelenbe nyúló) hasábfelület ke­ letkezik (10.89. ábra). Ha ezt a felületet két párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor e két sík és a hasábfelület egy testet fog közre, amelyet hasábnak nevezünk.

X. ELEMI GEOMETRIA

258

10.89. ábra

A két párhuzamos metsző sokszög, amelyek egybevágóak, a hcLsáb a többi lap a hasáb o ld a lla p ja , ezek paralelogrammák. Az oldallapok összessége a p a l á s t alaplapjaij

A hasáb palástja síkba kiteríthető. Az alapon fekvő éleket a többit o ld a lé le k n e k mondjuk.

a la p é­

lek n e k ,

A hasáb két alapjának távolsága a

h a sá b m a g a ss á g a .

A hasáb származtatásakor az adott egyenessel húzott párhuzamo­ saknak az oldallapra eső szakaszai a hasáb a lk o tó i (az oldalélek is alkotók). Ha az alkotók az alaplapokra merőlegesek, akkor egyébként ferxle h a sá b r ó l beszélünk.

e g y e n e s h a sá bró l,

Az egyenes hasáb oldallapjai téglalapok. Ha az egyenes hasáb alaplapja szabályos sokszög, akkor s z a b á ly o s nevezzük. A szabályos hasáb tengelyszimmetrikus, szim­ metriatengelye az alaplapok középpontjait köti össze. h a sá b n a k

Szabályos hasáb például a négyzet alapú egyenes hasáb { n é g y z e t e s 10.90. ábra). Ha a négyzetes hasáb magassága egyenlő az

o s z lo p ,

X. ELEMI GEOMETRIA

259

/f 7 h

7

10.91. ábra

alapélekkel, akkor kockának (10.91. ábra) mondjuk. A kocka lapjai négyzetek. A paralelogramma alapú hasábot paralelepipedonnak nevezzük (10.92. ábra). A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. A paralelepipedon további fontos tulajdonsága, hogy centrálszinmietrikus, és testátlói a szinmietriacentrumban felezve metszik egymást. Ha az egyenes hasáb alaplapja téglalap, téglatestről beszélünk (10.93. ábra). A téglatest minden lapja téglalap. Ha a téglatest minden lapja négyzet, akkor az kocka.

10.92. ábra

260

X. ELEMI GEOMETRIA

10.93. ábra

GÚLA [d1 Ha egy, a sokszögvonal (vezérvonal) minden pontján át a sokszög síkján kívül fekvő P pontból félegyeneseket húzunk, gúlafelületet kapunk. Ha ezt a gúlafelületet egy, a P pontot nem tartalmazó

X. ELEMI GEOMETRIA

261

síkkal elmetsszük, akkor a sík, a gúlafelület és a csúcs által határolt térrészt (poliédert) gúlának nevezzük (10.94. ábra). A P pont a gúla csúcsa. A metszősíkban levő sokszöglap a gúla alaplapjaj a többi lap — háromszög — a gúla oldallapjai. Az alaplap élei az alapélek, az oldallap élei az oldalélek. Az oldallapok összessége a gúla palástja. A gúla palástja síkba kiteríthető. A gúla P csúcs­ pontján át húzott félegyeneseknek az oldallapokon fekvő szakaszát a gúla alkotóinak mondjuk (természetesen az oldalélek is alkotók). A csúcsnak az alaplap síkjától mért távolsága a gúla testmagassága. A gúla n oldalú, ha az alaplap n oldalú sokszög. A gúla szabályos, ha az alaplapja szabályos sokszög, és a gúla csúcsából az alaplapra bocsátott merőleges az alaplap középpontján halad át. Ez az egyenes a szabályos gúla tengelye, a szabályos gúla e tengelyre vonatkozólag forgásszimmetrikus. A szabályos gúla oldal­ lapjai egybevágó, egyenlő szárú háromszögek, e háromszögek közös magassága a gúla oldalmagassága. A négyoldalú szabályos gúlát négyzetes gúlának is nevezik.

CSONKAGÚLA Ha a gúlát az alaplapjával párhuzamos (és a csúcsát nem tar­ talmazó) síkkal elmetsszük, akkor a két sík közé eső gúlaxészt csonkagúlának nevezzük (10.95. ábra). A két párhuzamos lap a csonkagúla alaplapjai {alap- és fedőlap). Ezek hasonló sokszögek, az oldallapok pedig trapézek. Az alap- és a fedőlap távolsága a csonkagúla magassága. Ha a szabályos gúlát a tengelyére merőleges síkkal metsszük, akkor szabályos csonkagúlát (és egy szabályos gúlát) kapunk. A szabályos csonkagúla tengelye megegyezik az eredeti gúla tengelyével, s az alaplapok középpontjait köti össze. A csonkagúla oldallapjai egybevágó, egyenlő szárú trapézok.

262

X . ELEMI GEOMETRIA

X.13. GÖRBELAPÚ TESTEK HENGER Ha egy zárt síkidom határoló vonalának (vezérvonal) minden pontján át párhuzamost húzunk egy olyan adott egyenessel, amely a síkidom síkjával nem párhuzamos^ akkor (végtelenbe nyúló) hengerfelületet kapunk. Ha ezt a felületet két párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor a két párhuzamos síkidom és a henger­ felület által határolt térrészt hengernek nevezzük (10.96. ábra). Az értelmezésből következik, hogy a hengerfelület (henger) a ha­ sábfelület (hasáb) általánosítása: ha az alkotó által körülfutott zárt síkidom sokszög, akkor hasábfelület keletkezik. A párhuzamos síkidomok a henger alapjai {alap- és fedőlap)^ ezek egybevágóak. A hengerfelületnek a hengert határoló része a henger

X. ELEMI GEOMETRIA

263

palástja. A hengerfelületet alkotó egyeneseknek a palásthoz tartozó szakaszai a henger alkotói. Az alap- és a fedőlap távolsága a henger magassága. Ha az alkotók az alaplapra merőlegesek, akkor egyenes, egyébként ferde hengerről beszélünk. Az egyenes henger palástja síkba kiterítve egy téglalap, meljmek magassága a henger magasságával, alapja pedig az alaplap kerületével egyezik meg. Ha a henger alap- és fedőlapja kör, akkor az ebből származtatott testet körhengernek, de többnyire csak hengernek mondjuk. A körök középpontjait összekötő szakasz a henger tengelye. Az egyenes körhenger tengelyére illeszkedő sík a hengerből tégla­ lapot, a tengelyére merőleges sík kört, a tengelyével nem párhuzamos és arra nem merőleges sík a hengerfelületből eUipszist metsz ki. Az egyenes körhenger a tengelyére vonatkozólag forgásszimmetri­ kus (tengelye körüli bármilyen szögű forgatás önmagába viszi át), ezért az egyenes körhengert forgáshengemek is mondjuk. Ha a for­ gáshenger tengelymetszete négyzet, akkor egyenlő oldalú hengernek nevezzük. Minden forgáshenger származtatható a téglalap forgatásá­ val.

264

X. ELEMI GEOMETRIA

KÚP fp] Ha egy zárt síkidom határoló vonalának (vezérvonal) minden pontján át a síkidom síkján kívül fekvő P pontból félegyeneseket húzunk, akkor egy (végtelenbe nyúló) kúpfelületet kapunk. Az adott síkidom és a kúpfelület által határolt térrészt kúpnak nevezzük (10.97. ábra).

10.97. ábra

Az értelmezésből kitűnik, hogy a gúlafelület (gúla) a kúpfelület (kúp) speciális esete, amikor is az adott síkidom sokszög. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket szerepeltetünk, akkor kettős kúpfelület keletkezik. Ha a kúp származtatásában a kiinduló síkidom kör, akkor kör­ kúpról (körkúpfelületről) beszélünk, amit a továbbiakban legtöbbször röviden kúpnak mondunk. Az adott P pontot a kúp csúcsának, az adott kört (síkidomot) a kúp alaplapjának, a kúpfelületnek a kúpot határoló részét a kúp palástjának, a kúp csúcsát az alaplap határoló pontjaival összekötő szakaszokat a kúp alkotóinak nevezzük.

X. ELEMI GEOMETRIA

265

A kúp csúcspontjának az alapsíktól mért távolsága a kúp magassága. A kúp csúcsát az alapkör középpontjával összekötő szakaszt a kúp tengelyének nevezzük. Ha a körkúp tengelye merőleges az alaplapra, egyenes körkúpról beszélünk. Az egyenes körkúp forgásszimmetrikus, tengelye egyben a forgástengelye is. Ezért az egyenes körkúpot gyakran forgáskúpnak mondjuk. A forgáskúp alkotói egyenlő hosszúságúak. Minden forgáskúp származtatható derékszögű háromszög vagy egyenlő szárú háromszög forgatásával. A forgáiskúp tengelyére illeszkedő sík a kúpból egyenlő szárú há­ romszöget metsz ki (tengelymetszet); e háromszög 2a szárszögét a kúp nyílásszögének nevezzük (10.98. ábra).

Az egyenes körkúpnak a tengelyre merőleges síkmetszete kör. Ha egy sík nem merőleges a kúp tengelyére és nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcsára, és minden alkotót metsz, akkor a kúpfelü­ letből ellipszist metsz ki. Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcsára, és egyetlen alkotóval párhuzamos, a többit pedig metszi, akkor a kúpfelületet parabolában metszi.

266________________________X. ELEMI GEOMETRIA__________________________

Ha a sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcsára, és két alkotóval párhuzamos, a többi alkotóegyenest pedig metszi, akkor a sík a kettős kúpfelületet hiperbolában metszi. A kört, a parabolát, az ellipszist és a hiperbolát kúpszeleteknek nevezzük. A kúpszeleteket másodrendű görbéknek is mondjuk, azt a felületet pedig, amelyből minden sík (ha egynél több közös pontja van a felülettel) kúpszeletet metsz ki, másodrendű felületnek nevezzük. A forgáskúp palástja síkba kiterítve körcikk, melynek ívhossza az alapkör kerületével, a sugara pedig a kúp alkotójával egyenlő hosszúságú (10.99. ábra).

CSONKAKÚP

Ha a kúpot az alaplappal párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor a két párhuzamos sík közötti kúprészt csonkakúpnak nevezzük ( 10.100. ábra). A csonkakúp megnevezést leginkább kör alapú csonkakúpra hasz­ náljuk.

X. ELEMI GEOMETRIA

267

A két párhuzamos síkidom (melyek hasonlóak egymáshoz) a cson­ kakúp alaplapjai (vagy alap- és fedőlapja). A csonkakúpot határoló kúpfelületdarab a csonkakúp palástja, az eredeti cdkotóknak az ala­ pokat összekötő szakaszai a csonkakúp alkotói. Az alap- és fedőlap távolsága a csonkakúp magassága. A párhuzamos síkkal lemetszett kúpot a csonkakúp kiegészítő kúpjának nevezzük. A forgáskúpból származtatott csonkakúpot egyenes csonkakúpnak mondjuk. Ekkor a kúp tengelye egyúttal a csonkakúp tengelye is, azaz az egyenes csonkakúp is forgásszimmetrikus test, a tengelye egyúttal a szim­ metriatengelye. Az egyenes csonkakúp tengelymetszete szinmietrikus trapéz (10.101. ábra). 2r

lO.lOL ábra

268

X. ELEMI GEOMETRIA

Az egyenes csonkakúp palástja síkba terítve olyan körgyűrűcikk, amelynek a két íve az alap-, ill. a fedőkör kerületével egyenlő hosszú­ ságú, szélessége pedig a csonkakúp alkotójával egyezik meg ( 10.102. ábra).

10.102. ábra

X.14. A GÖMB [H

A tér azon pontjainak halmazát, amelyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, gömbfelületnek (röviden gömbnek) nevezzük. A gömbfelületen levő és azon belüli pontok összességét gömbtestnek (röviden szintén gömbnek) nevezzük (10.103. ábra).

X. ELEMI GEOMETRIA

269

Az adott O pont a gömb (felület) középpontja, az adott r távolság a sugara. Általában nem származik zavar abból, hogy a gömbfelületet és a gömbtestet is gömbnek mondjuk; adott esetben eldönthető, hogy melyikről van szó. A gömbfelület két pontját összekötő szakasz a gömb húrja. A kö­ zépponton áthaladó húrok a gömb átmérői. Az átmérő két végpontja a gömb átellenes pontjai. Egy húrra illeszkedő egyenes a gömb szelője. A gömb minden síkmetszete kör. A gömb középpontjára illeszkedő sík által kimetszett kör a gömb főköre. A gömb két (nem átellenes) pontja között a legrövidebb ív a két ponton átmenő főkör kisebbik íve. A gömböt a főkör segítségével is származtathatjuk: ha a főkört egyik átmérője körül megforgatjuk, gömböt kapunk. A gömbfelületet egy metsző sík két gömbsüvegre, a gömbtestet két gömbszeletre vágja szét. A gömbi kör a süveg alapköre, ill. a szelet alaplapja (10.104. ábra), a síkra merőleges gömbátmérőnek a süveghez (szelethez) tartozó része a süveg (szelet) magassága.

A gömbfelületből két párhuzamos metszősík gömbövet, a gömbtest­ ből pedig gömbréteget metsz ki. A gömbi körök a gömböv alapkörei, ill. a gömbréteg alaplapjai. A két sík távolsága a gömböv (gömbréteg) magassága (10.105. ábra).

270

X. ELEMI GEOMETRIA

Ha a gömbszelet (süveg) alapkörének minden pontját összekötjük a gömb középpontjával, akkor a gömböt két résztestre osztjuk. Ezek mindegyikét gömbcikknek nevezzük (10.106. ábra). Ha a gömböt két olyan félsíkkal metsszük el, amelyeknek közös határegyenese egy átmérőre illeszkedik, akkor a gömbfelületből ki­ metszett két részt gömhkétszögnek, a gömbtestből kimetszett részt pedig gömbgerezdnek mondjuk. (10.107. ábra).

X. ELEMI GEOMETRIA

271

A gömbnek többféle szimmetriája is van. A középpontjára nézve centrálszimmetrikusj sőt, é pontra vonatkozólag gömbszimmetrikus a (középpont körül végzett bármilyen forgatás önmagába viszi át). Bármely átmérőjére vonatkozólag forgásszimmetrikus. Minden, a kö­ zéppontot tartalmazó síkra vonatkozólag síkszimmetrikus. Ha egy egyenesnek és egy gömbnek csak egyetlen közös pontja van, akkor az egyenest a gömb érínt^ének nevezzük. A gömb érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. A gömbfelület egy adott pontjához tartozó érintők egy síkban, az érintősíkban vannak. m

Külső pontból a gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Az érintési pontok egy síkban vannak, a gömbfelületen egy kört írnak le; az érintő félegyenesek egy forgáskúpfelületet határoznak meg (10.108. ábra).

X.15. A TESTEK FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA A FELSZÍN ÉS EGYSÉGEI A felszín egy egyszeresen összefüggő, konvex, korlátos, zárt mérhető felülethez rendelt szám. 0

A poliéder felszíne a lapjai területének összege.

272

X. ELEMI GEOMETRIA

A felszín dimenziója — miután a területtel definiáltuk — a területé­ hez hasonlóan kétdimenziós mérték: „hosszúság a négyzeten” ; tehát a felszínhez ismerni kell a hosszegységet. A felszín egységei megegyeznek a terület egységeivel. A felszín mérőszáma után a felszínegységet (területegységet) is meg kell adni.

A TÉRFOGAT ÉS EGYSÉGEI Mértani testnek nevezzük a tér tetszőleges ponthalmazát. A poli­ éderek is mértani testek, és bármely poliédernek van térfogata. [d1 Azokat a poliédereket, amelyek egy mértani testet tartalmaznak, kfilso poliédereknek, azokat pedig, amelyeket a test tartalmaz, belső poliédereknek nevezzük.

m

Ha egy mértam test belső poliéderei térfogatának felső határa egyenlő a külső poliéderek térfogatának alsó határával, akkor ezt a számot a test térfogatának nevezzük.

A térfogat mértéke a (mértani) testhez rendelt olyan szám, amelyre teljesülnek a következő tulajdonságok: 1) A térfogat nemnegatív szám. 2) Ha egy testet két részre bontunk, a részek térfogatának összege az eredeti test térfogatával egyenlő. 3) Egybevágó testek térfogata egyenlő. 4) Az egységnyi élű kocka térfogata 1. A 2. és 3. tulajdonság térfogattal rendelkező testekre vonatkozik. Éppen úgy vannak testek, amelyekhez nem lehet térfogatot rendelni, mint ahogyan nem lehet minden síkidomnak területet adni. Viszont, ha egy testnek van térfogata, akkor csak egyetlen olyan hozzárendelés létezik, amelyik a fenti 1-4. tulajdonságok mindegyikét kielégíti.

X. ELEMI GEOMETRIA

273

m

(Cavalieri-elv:) Ha két, azonos síkon álló testnek a sík által tartalmazott lapjainak és bármely, a síkkal párhuzamos sík ál­ tal kimetszett síkidomoknak van területük, és ezek egyenlők, továbbá, ha mindkét testhez található egy-egy olyan egyenes, amellyel párhuzamos egyeneseknek a testhez tartozó pontjai (ha ilyenek vannak) az adott síkon végződő szakaszt alkotnak, akkor a két testnek van térfogata, és a térfogatuk egyenlő (10.109. ábra).

m

A hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság ará­ nyának (azaz a megfelelő oldalak arányának) a köbével.

A térfogat háromdimenziós mérték: „hosszúság a köbön” ; tehát a térfogathoz is ismerni kell a hosszegységet. A térfogat helyett szoktuk még a köbtartalom megnevezést is használni. Az 1 méter élhosszúságú kocka térfogata 1 köbméter (m^).

274

X. ELEMI GEOMETRIA

A térfogat mérőszáma után a térfogategységet is meg kell adni. A köbméter leggyakrabban használt decimális többszörösei: a köbdeciméter (dm^), a köbcentiméter (cm^), a köbmilliméter (nmi^). Összefüggés a négy térfogategység között:

Használatos térfogategység a liter (1), ill. ennek a többszörösei: 1 dm^ = 1 1= 10 d l = 100 c l = 1000 ml. A leggyakrabban előforduló testek felszínét és térfogatát tábláza­ tokban foglaltuk össze a következő oldalakon. A táblázatokban a következő átalános jelölést alkalmazzuk: T : a test alapjának területe, K : a test alaplapjának kerülete, P: a test palástjának területe, m: a test magassága, A: a test felszíne, V : a test térfogata, R: a test köré írt gömb sugara, r: a testbe írt gömb sugara. Az ezeken kívül szükséges adatokat a jelzett ábrán tüntetjük fel. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a megadott felszín- és térfogatkép­ letek után nem írjuk ki terület- és térfogat mértékegységet; ezeket azonban az adott számítások során nem mellőzhetjük! Test

Téglatest

Felszíne

Térfogata

A = 2 (ab + ac + 6c)

V = abc = Tm

A = Km

V = Tm

(10.93. ábra)

Egyenes hasáb

X. ELEMI GEOMETRIA

Test

Felszíne

Paralelepipedon

A = 2 a b ’ sm(a;6)+

(10.92. ábra)

275

Térfogata V = Tm

+ a c *sin(a; c)+

V = afec ■sin(a; 6) sin ^

+bc - sm(&; c) ^ Gúla

A= T+ P

(10.95. ábra)

Csonkagúla

v = j(r + V T i+ t^

(10.95. ábra)

Tetraéder

A = y/Z a ^ = ^ ^

(10.88. ábra)

A = 24 v^

le

t2

”

V -8 % r S

_ \/6 R R — ---- a r = — 4 3

Kocka

A

(10.88. ábra)

A

= 6a ^ = 8 R ^ = 24t^

Oktaéder

A

= 2y/3a^=4V 3R ^

(10.88. ábra)

A = 12y/ 3 r^

9

V

= 8r3

V

= 4>/3-r3

>/3 a H—— a r = 2 2

„

y/2

Vé

R = ---- a r = -----a 2 6

Dodekaéder (10.88. ábra)

„

i + VE

R = ---------- a 4 1 / 25+ llV ^

2V

10

+ 2y/Eya^ í4 = 20,646o2 A = 3 ^ 5 (b

V _ 1 5 + 7v/5^3 V

4 ,

= 7,663a3

276

X. ELEMI GEOMETRIA

Test

Felszíne

Ikozaéder

Térfogata

A = 5y/3a^

(10.88. ábra) „ V R=

10 + 2VE

»

\/42+18\/5 r = -------------------a 12 Egyenes körhenger

P = 2r7rm

V = r^'Km

A = 2nr(r + m) Egyenlő oldalú

A = 6r^7T

V = 2r37T

henger Egyenes körkúp

P = TTra = r'iry/

(10.98. ábra)

A = r7r(r + a) =

r^Trm

r^Tracosa

3

3

= r7T Egyenlő

A = 3r^7T

oldalú kúp Egyenes

P = Tr{R-\-r)a

csonkakúp

A — tt RT +

Y _

+ iír)m 3

(R + r)a

(10.101. ábra) Gömb

A ^ AR^tt

Gömbszelet

P == 2R'Km

(10.104. ábra)

A = 'K{2Rm H- r^) A = 7rm(4i? —m)

_

4^3,^ _ RA 3 3 7r(3r —m )m ?

V =

+ »^^)^

X. ELEMI GEOMETRIA

Test

277

Felszíne

Gömbréteg

P

=

2TrRm

(10.105. ábra)

A

=

Tr{2Rm + rj

Gömbcikk

A

=

7 r (2 m +

(10.106. ábra)

A = Trr 2m

Gömbgerezd

P = 2aR ^=

Térfogata

+

V =

—(3 t*2 6

V

=

-TcR^m 3

y

=

3 r 2 H“

)t)i

r|)

(palástja gömböv)

(10.107. ábra) (palástja (P) gömbkétszög, a gömbkétszög szöge a)

r)R m {2R —m)

360°

í -kR^

2

o -a r ^ =

3

a ° 47t --------------------- R^

360°

3

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

A SÍK KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA X i.l. A PONT KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA KÉT PONT TÁVOLSÁGA Legyen az A B szakasz két végpontjának helyvektora a és b ( 11.1. ábra); az A-tól a B-he mutató vektor A B = b —a koordinátái A B {bi - ai;b2 - a2). A két pont távolsága

11.1. ábra

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

279

OSZTÓPONT KOORDINÁTÁI Az A B szakaszt AT

p

TB~ q arányban osztó T pont t helyvektora (11.2. ábra) t=

(1)

QA + ph P+ Q ’

ahol a és b jelöli az A, ill. B pont heljrvektorát.

Az osztópont koordinátái: íl = 2 p+ q

Az ( 1) összefüggésből p : q = l arány esetén kapjuk a szakasz F ( / i ; / 2) felezőpontjának f helyvektorát f =

a+ b

280

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

A szakasz felezőpontjának koordinátáit az f helyvektor adja koor­ dinátákkal kifejezve:

Legyen az A B szakasz A-hoz közelebb eső harmadolópontja H{hi; /i2) (11.3. ábra), helyvektora h; ekkor p : q = 1: 2, így (1) szerint 2a + b

Ebből az ^-hoz közelebb eső harmadolópont koordinátái:

A háromszög súlypontjának koordinátáit is mint osztópont koor­ dinátáit határozhatjuk meg. Tudjuk, hogy a súlyvonal a csúccsal

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

281

szemközti oldalt felezi, pl. a C csúcsból húzott súljrvonal az A B oldalt az F { f i ; f 2 ) pontban felezi (11.4. ábra), ezért fl =

Í2 =

2

’

Másrészt az S { s i ; s 2 ) súlypont a súlyvonalat (most az F C -t) 2 :1 arányban osztja (a csúcshoz közelebb esik a harmadrész): 2/ i + c i

2^

+

Cl

= ------- 3------- ’ amiből ai + 6i + Cl Sl =

és hasonlóan S2 =

0

Egy háromszög oldalainak felezőpontjai A i(—2; 1), JBi(4; —3), Ci{2;3). Szá­ mítsuk ki az oldalak hosszát és a súlypont koordinátáit!

282

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

A felezoi>ontok koordinátái alapján (11.5. ábra):

6i H- Cl 2

= 4,

2

tti + 61 2

= - 2,

= 2,

62 + C2 2

«2 + C2 2

Ű2 + ^

’

2

= 1, = -3 , = 3.

Az egyenletrendszer megoldásából: A ( 8 ;- l ) ,

B (-4 ;7 ),

/Í3,

dAC = y l ( 0 - 8 f + [ - 5 - (-1 ) ] = y/8Ö= 4y/E, dBC = \ j 0 - ( - 4 ) ^ + ( - 5 - 7 ) ^ = >/Í6Ö = 4VlÖ. A háromszög súl3^ntjának koordinátái:

Xs = 2/« =

8-4+0

4

3 -1 + 7 - 5

3 1

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

283

Végül a háromszög területét adjuk meg csúcspontjainak koordiná­ táival. Az A{x\;y\)^ ^ (^ 2?2/2)? C'(^3;2/3) csúcspontokkal adott háromszög területe ( 11.6. ábra):

11.6. ábra

XI.2. AZ EGYENES KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA AZ EGYENES EGYENLETEI \ö\ A geometriai alakzat vektoregyenletén olyan vektoregyenletet értünk, amelyet a geometriai alakzat minden pontjának helyvek­ tora kiélést, míg más pontok helyvektora nem. Az alakzat pontjai megadhatók a koordinátáikkal vagy a helyvek­ torokkal.

284

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

Az egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, bármely — zérusvektortól különböző — v vektor. Legyen az e egyenes irányvektora v ^ 0, és az egyenes menjen át az adott Pq ponton, amelynek helyvektora ro, továbbá jelölje az egyenes bármely r helyvektorú pontját P (11.7. ábra). Ekkor r = ro + és mivel PqP ||v, ezért PqP = ív (í € K ), így

( 1)

r — ro + ív.

Ezt az összefüggést az egyenes paraméteres vektoregyenletének ne­ vezzük. A t paraméter bármely valós szám lehet, a P futópont elhelyezkedésétől függő értéket vesz fel. Az r helyvektor befutja az egyenes és csak az egyenes minden pontját.

Egy adott ponton átmenő, adott irányvektora egyenest paraméteres egyenletrendszerrel is megadhatunk:

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

285

Legyen Po(xo;yo), v(wi;w2); az (1) egyenlőségből: tvi

X — XQ+

(2)

y = yQ

t G M..

+ tv2,

Adott ponton átmenő, adott irányvektorú egyenes egyenletét a (2) egyenletrendszerből kaphatjuk meg:

VI

'-yo

t=

(V2^0).

V2

A bal oldalak egyenlőségéből következik a jobb oldalak egyenlősége: X-XQ VI

2/ - 2/0 V2

és rendezés után

2

(3)

V X -

V i y = V 2Xo -

Viyo-

Ha v i = 0, azaz az egyenes iránjrvektora párhuzamos az akkor az egyenes egyenlete = xq

{ ye \

y = yo

ix€]

x

y

tengellyel,

ha V2 = 0, akkor

Mi az egyenlete annak az egyenesnek, amely áthalad a Po(—2; 1) ponton és irányvektora v (—1; —5)? A V irányvektorú egyenes V 2 X -

v i y

=

V2XQ

-

v iy o

egyenlete aJapján: —5a; — {—y) = —5(—2) — (—1)1, tehát az egyenes egyenlete: -b x -^ y = ll.

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

286

[2]

Az egyenes normálvektora bármely olyan — zérusvektortól kü­ lönböző — n vektor, amely merőleges az egyenesre.

Legyen Poi^o'^Vo), az e egyenes adott pontja, normálvektora n { A ;B ) (11.8. ábra), az A x + B y = Axo + Byo

(4)

egyenletet adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyen­ letének nevezzük.

|P| írjuk fel a Po(5;2) ponton áthaladó, n(—1;4) normáUvektorú egyenes egyen­ letét! Az adott normáUvektorú egyenes A x + B y = A xq Hegyenlete alapján: -x-\ -A y = 3.

Ha az egyenes v(vi;t;2) irányvektora ismert, akkor ebből előál­ lítható az egyenes normálvektora: n(v2)”-vi) vagy n(—i;2 ;v i). For­ málisan tehát a két koordinátát felcseréljük, és az egyiket ellentétes előjellel vesszük.

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

287

így pl. az A = ^2, ^ = ""^1 helyettesítést (3)-ban elvégezve, kapjuk (4)-et. A (4) összefüggés közvetlenül is igazolható a két vektor skaláris szorzatának felhasználásával. Mivel PoP±n^ ezért e két vektor skaláris szorzata zérus: n ^

= 0,

azaz n(r - ro) = 0. Ez az alak az egyenes normálvektoros egyenlete (az xy síkban). Koordinátákkal kifejezve: A {x - xo) + B {y - yo) = 0, amiből rendezés után (4) adódik. Legyen az e egyenes és az x tengely pozitív félegyenese által bezárt — pozitív forgási irány szerinti — szög a (ezt nevezzük az egyenes iránysz^ének). Az irányszög tangensét (ha ez létezik, azaz a ^ 90°) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük; jelölése m (11.9. ábra). Ha Po{xo;yo) az egyenes ismert pontja, és meredeksége m, akkor az egyenes iránytényezős egyenlete:

(5)

y - y Q = m{x - xq).

Ha az irányszög f , akkor az egyenes egyenlete: x = xq, y e M . ( 11.10. ábra). Ha az m meredekségű egyenes átmegy a B{0;b) ponton, akkor az egyenlete ( 11.11. ábra): y = mx -h h.

288

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

Az egyenes iránytangensét az egyenes irányvektorának koordiná­ táival is kifejezhetjük ( 11.12. ábra). V2 m = tg a = — VI Ezt felhasználva és a V2X - Viy

=

V2XQ

-

ViVQ

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

289

egyenletből kiindulva, V2

V2

Vi

Vl

—x - y = —x o- y o , m x ~ y = mxQ - yo, y - y o = m {x-xo), kapjuk az (5) egyenletet. Ha az egyenes (egyik) irányszöge a, tehát v (cosa ;sin a ) az egyik iránjrvektora (|v| = 1), akkor az egyenes (2) paraméteres egyenletrend­ szere

290

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA X = XQ -^tcosa

y = 2/0 + ^sina alakban is írható. A P l ( x i ; y i ) és a P2{x2] 2/2) ponton áthaladó egyenes h*ánytangense (11.13. ábra) _ ^

2/2-2/1 X2 - X I

^^ ^ ^ ^2)-

Ezt az iránytényezős egyenletbe m helyére behelyettesítve, megkapjuk a két po nton áthaladó egyenes egyenletét: y2-yi f X y -y i = - — - { x - x i ) X2 — X i

Tegyük fel, hogy az e egyenes átmegy az A (a;0) és a B (0;ö) pontokon. Ekkor az £ + 1 = 1 a

0

{ajíO, M O )

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

291

egyenletet az egyenes tengelymetszetes alakjának nevezzük. Az egyenes egyenletének általános alakja (A és B egyszerre nem 0).

Ax-\-By-\-C = 0

Minden egyenes egyenlete ilyen alakra hozható, és minden kétismeretlenes elsőfokú egyenlet egyenes egyenlete.

AZ EGYENESEKKEL KAPCSOLATOS EGYENLETEK Két egyenes párhuzamosságának, HL merőlegességének feltétele B

Két, e és f egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak, azaz Ve = Av^ (A G E, A ^ 0); vagy normálvektoraik párhuzamosak: Ue = Xnf (A G M, A / 0); vagy iránjrtangenseik egyenlőek: m e = m f (ha e és f metszi az y tengelyt).

S

Két, e és f egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik (normálvektoraik) skaláris szorzata 0: VeV/ = 0,

nenf = 0;

vagy az e egyenes Ve irányvektora az / egyenes n j normálvektorának skalárszorosa (11.14. ábra): Ye = Xnf

(A g M );

vagy ha a két iránytangens szorzata ( —l)-gyel egyenlő, azaz nie = — — TJlf

(ha e és f metszi az y tengeljrt).

292

0

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

írjuk fel anneJc az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a Po(3;4) ponton és párhuzamos, ill. merőleges az y = 2x —3 egyenesre! Jelöljük az adott egyenest e-vel, az irányvektorát ve-vel, a keresett egyenest /-fel, az irányvektorát v/-fel! A feladat szerint e ||/ , így Ve = (1; 2) = v^. Az e egyenessel párhuzamos / egyenes egyenlete: 2x - y = 2. Ha a keresett / egyenes merőleges az adott e egyenesre, akkor Vg = n /. így az / egyenes egyenlete: x + 2y = l l .

Egyenesek hajlásszöge A megadott e és f egyenesek egyenletéből leolvashatjuk a két egyenes egy-egy Ve, irányvektorának koordinátáit. A két irány­ vektor hajlásszöge nyilván megegyezik a két egyenes hajlásszögével vagy annak kiegészítő szögével (11.15. ábra). A két irányvektor VeVy. = |Ve||vy|cOS¥> skaláris szorzatából tehát meghatározhatjuk a két egyenes hajlásszögét: VeV/ COS(p=-— r j ^ . Ve V /

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

0

293

Határozzuk meg ; e: 3x + y = 2 és az f : x -^ 2 y = 3 egyenletű egyenesek által bezárt hegyesszög nagyságát! A 3x H- y = 2 egyenes Ve iráinjrvektora: Ve = (—1; 3); az x-{-2 y = 3 egyenes V / irányvektora: v / = (—2; 1). A két vektor skaláris szorzatából:

IVellv^l

^ ( _ i ) 2+ 32^ ( _ 2)2 + i 2 5

_

x/5Ö ~

5 \ /5 Ö

_

50

~

^

2 ’

amiből

Pont és egyenes távolsága Egy adott P\ pontnak egy adott e egyenestől való távolságát meghatározhatjuk, ha követjük a szerkesztési eljárást: 1) felírjuk az

294

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

adott P\ ponton átmenő, e-re merőleges g egyenes egyenletét; 2) meg­ határozzuk az e és ^ egyenesek M metszéspontjának koordinátáit; 3) kiszámítjuk a Fi és az M pont távolságát. A szerkesztési eljárások pontos követésével általában koordináta­ geometriai módszerekkel is megoldhatjuk a geometriai szerkesztési feladatokat. A pont és egyenes távolsága azonban közvetlenül is meghatároz­ ható. m

Az adott P i { x i ; y i ) pont és az A x -h B y -f C = 0 egyenletű egye­ nes d távolsága (ahol A, B az egyenes n normávektorának koordinátái): //

A x i + B yi + C

— Uf —

Szögfelezők egyenlete Két egyenes által bezárt szög szögfelezőinek egyenletét is közvet­ lenül fel tudjuk írni. A szögfelező(k) azoknak a P (x ; y) pontoknak a halmaza, amelyek az e és f egyenestől egyenlő távolságra vannak, gizaz amelyekre dpe = d p f .

Felhasználva a pont és egyenes távolságképletét: AeX -f*

"í" Cg

AjX -\- B j y - V C j

azaz a két egymásra merőleges szögfelező egyenlete:

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

AeX H- BeV + Ce _

+ B jy + C f

A eX + BeV + Ce _

Ayj: + BfX) + C f

295

XI.3. A KÚPSZELETEK KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA KÖR A kör egyenletei [d1 a kör azoknak a síkbeli P pontoknak a halmaza (mértani helye), amelyek egy adott ponttól, a kör C középpontjától egyenlő 0) távolságra vannak. Ez az állandó távolság a kör r sugara. A kört egyértelműen meghatározza a középpontja és a sugara. m

A C{u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (11.16. ábra):

(1)

( x - u ) ^ + { y - v f = r^.

Ha a kör középpontja az origó, akkor egyenlete

Az (1) egyenletet természetesen azok és csak azok az (x; y) rende­ zett számpárok elégítik ki, amelyek a C{u]v) középpontú, r sugarú kör pontjainak koordinátái. Ha a kör egyenletében elvégezzük a négyzetre emeléseket és ren­ dezzük az egyenletet, akkor — megfelelő helyettesítésekkel — az

296

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

Ax^ + Ay^ -\-Bx-\-Cy-^D = 0

( 1)

(A^O)

másodfokú, két ismeret lenes, a;^-os tagot nem tartalmazó egyenlethez jutunk, amelyben a négyzetes tagok együtthatója egyenlő. Ez a kör általános egyenlete. Az ( 1) alakú egyenlet nem minden esetben állít elő kört, csak akkor, ha azonos átalakításokkal (teljes négyzetté való kiegészítéssel) {x Jr{y-v)^ alakra hozható, ahol 5 > 0. Ha ugyanis 5 = 0, akkor (1) a kör kö­ zéppontjának egyenlete, míg ha 5 < 0 (azaz < 0 lenne), akkor az egyenlet nem értelmezhető valós alakzat egyenleteként. Adjuk meg az

+y^ -Qx + Ay + \2 —^ egyenletű kör középpontjának koordinátáíit és sugarát! Hozzuk az adott egyenletet

( x - u f + { y - v f = r ‘^ alakúra!

(x - 3 ) 2 - 9 + (3/ + 2 ) ^ - 4 + 12 = 0,

( o ;- 3 ) V ( y + 2)2 = 1, amiből a C középpont koordinátái: u = 3, v = —2 és a kör r sugara: r = 1.

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

297

A C{u;v) középpontú, r sugarú kör paraméteres egyenletrendszere: X = u-^rcost y = v -\-rshit,

0 < í < 27t.

A kör érintőinek egyenletei pn

Az origó középpontú = r^ kör P i { x i ; y i ) pontjában hú­ zott e érintőjének az egyenlete (11.17. ábra) xxi+yyi

Ha a kör középpontja nem az origóban van, hasonlóan látható be, hogy az (u]v) középpontú {x —u)^ {y — kör P\{x\\y\) pontjában húzott érintőjének egyenlete: {x - u )(x i - w) + (í/ - v){yi - Vi) = r^.

298

0

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA írjuk fel az + 2/^ = 25 egyenletű kör azon érintőinek egyenletét, amelyek átmennek a (7; 1) ponton! Az érintő egyenletét keressük y = mx + 6 alakban! Az adott pont koordinátái kielégítik az egyenletet: 7 = m -h 6,

ebből

6 = 7 — m,

tehát y = mx -\-7 —m. Ha az y = m x + 7 — m,

egyenletrendszerből kapott

x^-h m x + (7 — m)

= 25

másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla, akkor az egyenes érinti a kört. Ezen feltétel mellett kapjuk, hogy a 3x-i-4y = 25, 4 x - 3 y = 25 egyenletű egyenesek eleget tesznek a feladat feltételeinek.

PARABOLA

[Ö] A parabola a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), ame­ lyek egy adott ponttól (a fókuszponttól) és az adott pontra nem illeszkedő ún. vezéregyenestől (direktrixtől) egyenlő távolságra vannak. A vezéregyenes vagy direktrix (d) és a fókuszpont (F ) távolsága a parabolára jellemző érték; ezt a parabola paraméterének nevezzük, és p-vei jelöljük (11.18. ábra). A parabola fókuszából a vezéregyenesre bocsátott merőleges egye­ nest — amely a parabola szimmetriatengelye — a parabola tengelyé­ nek, a parabolának a tengelyre illeszkedő pontját a parabola csúcsának nevezzük.

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

299

Helyezzük el koordináta-rendszerben a felfelé nyitott parabolát úgy, hogy tengelye az y tengely legyen és csúcspontja az origó (11.18. ábra)! Ekkor a fókuszpont koordinátái F (O; § ) , a vezéregyenes egyenlete y = Tudjuk, hogy a parabola tetszőleges P{x; y) pontja egyenlő távolságra van a fókusztól és a vezéregyenestől: dpj' = dpF, tehát

(1)

y+

A p paraméterérték pozitív, és a parabola helyzetéből következik, hogy y > 0 . Emiatt az egyenlet bal oldala pozitív — a jobb oldala nyilván pozitív — , ezért az egyenlet két oldalát négyzetre emelve, az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk. Az egyenletet négyzetre emelve és rendezve kapjuk a parabola tengelyponti (csúcsponti) egyen­ letét:

(2 )

-------

A (2) egyenletet azok és csak azok az {x',y) rendezett valós szám­ párok elégítik ki, amelyek az F (O; |) fókuszpontú, y = —^ (í> > 0) vezéregyenesű parabolán helyezkednek el.

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

300

Az y —

egyenletű parabola az /:

függvény grafikonja. A koordináta-rendszerben a különböző helyzetű parabolák egyenletei a következők: Fókuszpont: F (O; |) {p G M+); a parabola egyenlete (11.19. ábra):

2p

Fókuszpont: F ( 0 ; — ra): y=

vagy

= 2py.

( pG M'*'); a parabola egyenlete ( 11.20. áb-

Zp

vagy x^ = -2 p y .

Fókuszpont: F (líO ) {p € K'*'); a parabola egyenlete (11.21. á^taj: x = -^ y ^ 2p Fókuszpont; F ( ~ f ^ ra):

vagy y'^ = 2px. ® parabola egyerdete (11.22. áb-

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

301

11.20. ábra

2p

vagy y^ = -2 p x .

Ha a parabola tengelypontja (csúcspontja) C {u ;v) és tengelye párhuzamos az y tengellyel, akkor a parabola egyenlete (11.23. ábra): y -v = -{x -u f.

302

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

E bb^ rendezés — és megfelelő helyettesítés — után £iz

egyenletet kapjuk, amit a parabola általános egyenletének nevezünk. Ezt az „ismerősebb”

alakra is hozhatjuk.

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

303

Tehát az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola a másodfokú függvény grafikus képének tekinthető. m

Minden / : M —» M,

ax^ +

4- c

(a ^ 0)

másodfokú függvény grafikonja az y tengellyel párhuzamos ten­ gelyű parabola. 0

Határozzuk meg az egyenletű parabola fókuszpontját és vezéregyenesét! Rendezzük az egyenletet y-TB.\

y = Íx^ + a; + 2. 4

Al2Űutsuk a jobb oldalt teljes négyzetté: y = \ { x ^ + i x ) + 2 = \ f(x + 2 ) 2 - 4 l + 2 = i(a: + 2)^ + 1. 4 4 L J 4 Az 1/ =

~

^ alakú parabola tengelypontjának koordinátái: (u; v) =

A parabola |>aramétere: ^

p = 2. Tehát a fókuszpont koordinátái:

( - 2;i). A vezéregyenesének egyenlete: y = 0. A parabola képe a 11.24. ábrán látható.

IdI Ha a parabola síkjában levő egyenes metszi a parabola tengelyét, és a parabolával csak egy közös pontja van, akkor azt a parabola érintGjének nevezzük. Bizonyítható, hogy minden pontban a parabolának egy és csakis egy érintője van. Az olyan egyenest, amelyik párhuzamos a parabola tengelyével — bár egyetlen közös pontja van a parabolával — nem tekintjük a parabola érintőjének. A parabola görbéje euklideszi módon nem szerkeszthető, de para­ bolapontokat szerkeszthetünk a következőképpen: A d vezéregyenes tetszőleges T pontjában áiUítsunk merőlegest a vezéregyenesre (11.25. ábra). Ennek a merőlegesnek a parabolához

304

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

tartozó P pontját az F T szakasz felezőmerőlegese metszi, hiszen ekkor P T = P F . Minden esetben egyetlen metszéspont van, mert F T nem párhuzamos a vezéregyenessel. így a parabola tetszőleges sok pontját megszerkeszthetjük.

ELLIPSZIS Az ellipszis azoknak a pontoknak a halmaza (mértani helye) a síkban, amelyeknek két adott ponttól, a két fókuszponttól (Fi-től és F2-től) mért távolságainak összege állandó, és ez az állandó nagyobb, mint a két fókuszpont távolsága (11.26. ábra):

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

305

P F i + P F 2 = állandó. Az ellipszis szimmetrikus a fókuszokat összekötő szakasz egyene­ sére, valamint az F 1 F2 szakasz felezőmerőlegesére. Az ellipszis két szimmetriatengelyének O metszéspontját szimmetriacentrumnak, ill. az ellipszis középpontjának nevezzük. Az A B szakasz hossza az ellipszis nagytengyelye, jelölése 2a. A C D szakasz hossza az ellipszis kistengelye, jelölése 2h. Az F 1 F 2 távolságot 2c-vei jelöljük, így a fókuszpontok koordinátái: F i ( - c ; 0) és F2(c ;0). A P F i, P F 2 szakaszt az ellipszis P pontjához tartozó két vezérsugámak {rádiuszvektornak) nevezzük; általában ri-gyel és r2-vel szoktuk jelölni. Az ellipszis definíciójának értelmében AFi + AF 2 = állandó. és AFi + AF 2 éppen az ellipszis nagytengelyével egyenlő. Ebből következik, hogy bármely P ellipszispontra:

306

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

PF\ 4- P F 2 = 2a,

( 1)

2a > 2c,

a > c.

Az (1) összefüggést az ellipszis és az y tengely C metszépontjára alkalmazva: CF\-\r C F 2 = 2a, de C F i = CF 2 (az ellipszis szimmetrikus a kistengelyére is), így CF\ = C F 2 = a . Ez alapján a COF\ derékszögű háromszögből:

Az ellipszist egyértelműen meghatározza a két fókusza, F i (—c;0), F2(c ;0) és a nagytengelye 2a (a > c). A fókuszoknak az ellipszis középpontjától mért c távolságát lineáris excentricitásnak nevezzük. Helyezzük el az ellipszist a koordináta-rendszer origójában a 11.26. ábra szerint! Ekkor az ellipszis tetszőleges P pontjához tartozó r \, T2 vezérsugarakra: ri = P F i = y /(x + c)^ + í/2, r2 = P í b = \ /( ^ - c ) ^ + 2/2. m

Az ellipszis definíciójából következik, hogy £iz ellipszis pontjaira és csak ezekre (a 11.26. ábra jelöléseivel) r\-\-r2 = 2a, azaz c f -f és ebből

+ y j i x - c f' + 1/2 = 2a,

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

307

+ 62 - 1-

Ez az adott ellipszis egyenlete (a két egyenlet ugyanazt mondja). 2 2 Ha az ^ + p- = 1 egyenletű ellipszist az r(i6; v) vektorral eltoljuk, akkor egyenlete: = 1.

A kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk az ellipszis általános egyen­ letét: A x 4- B y + C x + D y -\-E — 0^ Ez olyan másodfokú kétismeretlenes egyenlet, amelyben a másodfokú tagok (0-tól különböző) együtthatói egyenlő előjelűek és nincs benne xy-os tag. Ha A — B^ akkor kör egyenletéhez jutunk. írjiik fel 3LZ F i(—3;0), F2(3;0) fókuszpontú és a Pq (4: ^ ) ponton átmenő ellipszis egyenletét! A P q pontba húzott vezérsugarak összege a nagytengely: ^0^1 + ^0^2 = 2a.

Í g y 2 a = f + ^ = 10,a = 5. Mivel F 1F 2 Az

= 2c, c = 3.

a2 = &2+ c2 Összefüggésből lete:

= 25 — 9 = 16, tehát a keresett eUipszis egyen­

25

16

308

Az ^

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

1 egyenletű ellipszis paraméteres egyenletrendszere: x = a cos t y = bsint

Euklideszi szerkesztéssel csak az ellipszis pontjai szerkeszthetők, maga a görbe nem. Az ellipszispontokat a következő módon szerkeszt­ hetjük meg: Legyenek adottak az ellipszis egymástól 2c távolságra levő fókuszai és a nagytengelyének 2a hossza (2a > 2c). Rajzoljunk az egyik fókusz körül ri == 2a —X (a; > 0) és a másik fókusz körül T2 = x sugárral kört (11.27. ábra). A két kör közös P pontja egyúttal az ellipszis pontja is, mivel PF\ + P F 2 = 2a —X X = 2a.

a-x

11.27. ábra

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

309

HIPERBOLA |d1 a hiperbola azoknak a pontoknak a halmaza (mértani helye) a síkban, amelyeknek két adott ponttól, a két fókuszponttól (i^i-től és F2"től) mért távolságkülönbségének abszolút értéke állandó, és ez az állandó kisebb a két fókuszpont távolságánál (11.28. ábra): \PFi - P F 2 \= állandó.

11.28. ábra

A hiperbolának két szimmetriatengelye van: az F iF 2-re illeszkedő egyenes és az F 1 F 2 szakasz felezőmerőlegese. Metszéspontjuk a hiper­ bola szimmetriapontja. Az A B szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük és 2a-val jelöljük. A fókuszok távolságát 2c-vel jelöljük; c a hiperbola lineáris excentricitása. A valós tengely A (vagy B ) pontjából c sugárral rajzolt kör által az F 1 F 2 felezőmerőlegeséből kimetszett C D szakaszt

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

310

a hiperbola kistengelyének (képzetes tengelyének) nevezzük, és 26-vel jelöljük. Az A O C derékszögű háromszögbal

A hiperbola definíciójának értelmezése alapján könnyen belátható, hogy bármely P hiperbolapontra: \ P F [-P E \ = 2 a , azaz

|ri - T2|=

2a,

és 2a < 2c, a < c.

m

Helyezzük a koordináta-rendszer x tengelyét az F 1 F 2 egyenesre, y tengelyét pedig az F\F2 szakasz felezőmer^egesére (11.28. ábra). Ekkor a hiperbola középponti egyenlete:

b2 Ha az ^ ^ = 1 egyenletű hiperbolát eltoljuk az ral, akkor az eltolt hiperbola egyenlete: {x - u y

{y - v) h

t {u; v)

vektor­

= 1.

A kijelölt műveleteket elvégezve és rendezve, olyan Ax^ 4- By^ + C x + D y

E = 0

A ,B ^ O

alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletet kapunk, amelyben a négyzetes tagok együtthatói különböző előjelű valós számok és az xy-os tag hiányzik. Ha ismerjük a hiperbola két fókuszának távolságát (2c), és a valós tengelyének hosszát (2a), (2a < 2c), akkor a hiperbola tetszőleges pontját meg tudjuk szerkeszteni.

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

311

Rajzoljunk az egyik fókuszpont körül r i= 2 a -\ -x (x > 0), a másik fókuszpont körül r 2 = x sugárral kört. A két kör közös P pontja (ha az létezik) a hiperbola pontja, hiszen P F 1 - P F 2 = \ 2 a ^ x - x \ = \2al

KOORDINATAGEOMETRIA A TERBEN XI.4. A PONT KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA A pont Descartes-koordinátái a térben Vegyünk fel a térben három, egymásra páronként merőleges szám­ egyenest úgy, hogy a 0 pontjuk közös legyen és az egység a három számegyenesen egyenlő legyen (11.29. ábra). A kapott alakzatot térbeli koordináta-rendszernek, a három egyenest koordinátatengelyeknek, az ezeket páronként tartalmazó síkokat koordinátasíkoknak nevezzük.

312

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

A koordinátatengelyeket x-, y-, z-vel jelöljük. Általában jobbsod­ rású koordináta-rendszert használunk: a 2; tengely pozitív irányából nézve, az x tengelyt -l-90°-os elforgatással (azaz az óramutató járásá­ val ellentétesen) tudjuk átvinni az y tengelybe. A tér tetszőleges Pq pontjának koordinátái xq, yo^ zq, ha helyvektora O P = a;oi + yoj + ^ok = (a:o;yo; zo)A rendezett valós számhármasok halmaza, az M x M x M = ]R^, a térbeli pontok halmaza és az O P térbeli helyvektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg, így mindhárom halmaz jelölésére az szimbólumot használjuk. K ét pont távolsága A tér két tetszőleges, A(ai\a 2 '^a^) és B(hi\h2 ]h^) pontjának távol­ sága: - a i)2 + (6 2 - ^ 2 ) " + ( 6 3 - a a ) " .

d-AB =

Osztópont koordinátái Az A B szakaszt

arányban osztó T pont t helyvektora (11.30. ábra): + pb

(1)

p^q

Az Á{ ai ; a 2 ;as) és B{bi;b 2 ;bs) pontok által meghatározott A B szakaszt

| arányban osztó T { t i ] t 2 ;ts) pont koordinátái:

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

ti = Í2 ==

313

qai + p h

p+ q qa2 +pb2

P+ q qaz + p H h = p+ q Ha p . q = \, cikkor az ( 1) összefüggésből kapjuk az A B szakasz F { f i ; f 2 - f 3 ) felezőpontjának { helyvektorát: f= amelynek koordinátái

a+ b

314

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

Az ( 1) egyenletből a p : g 1 : 2 arány esetén kapjuk az A B szakasz A-hoz közelebb eső harmadolőpontjának H{hi] h2 ] hs) h helyvektorát (11.31. ábra): 2a + b

Ebből Az A-hoz közelebb eső harmadolópont koordinátái: hl =

2ai + 6i

3 ’ 2tt2 + &2 h2 = 3 ’ 2aa + 63 hz = 3 ■

Háromszög súlypontjának koordinátái Ha az A B C A csúcspontjainak helyvektora a, b, c, akkor az S súlypontjának s helyvektora (11.32. ábra) a -h b -h c

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

315

amiből

11 .32 . ábra

0

Számítsuk ki az >1(1; 1; 0), B (0 ;—1;2) és a C (l;2 ;l) háromszögben az AS szakasz hosszát, ahol S jelöli a háromszög súlypontját! Először számítsuk ki a háromszög S(si] S2', s^) súlypontjának koordinátáit:

si = 52 = 53 = tehát a súlypont 5

l).

1

+0+1 3

2 “ 3’

1 -1 + 2 _ 2 3

0

~ 3’

+2 +1 =

1,

316

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

így AS

XI.5. AZ EGYENES KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA m

A Po ponton (melynek helyvektora tq) áthaladó v 0) irány­ vektorral párhuzamos egyenes (11.33. ábra) paraméteres vektore­ gyenlete:

( 1)

r = ro + ív

(íe M ).

11.33. ábra.

I^1 Mivel PqP = r — ro II V , ezért r — ro = ív (t E ®), amiből (1) adódik.

Az T { x \ y , z ) , egyenlet

To { xo \ y o ; z o ) , v { v i ; v 2 : v 3 )

jelölést használva, az (1)

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

317

x ^ x o -h ív i; 2/ = 2/0 + tV2', z = zq ^~ tvs

(2 )

alakban írható. Ez az egyenes paraméteres egyenletrendszere. Ha vi, V2 , vs egyike sem nulla, akkor a (2) egyenletrendszerből a t kiküszöbölhető, és felírhatjuk az adott Fo(^o; 2/05 ^o) ponton áthaladó, adott v (t;i;7;2; V3) irányvektorú egyenes egyenletrendszerét: X-XQ VI

y-VQ V2

z

- zq vz

Ha a V irányvektor valamelyik koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik koordinátasíkkal párhuzamos. Legyen pl. V3 = 0 (de v\ / 0, V2 / 0); ekkor a (2) egyenletrendszer harmadik egyenletében t nem szerepel, így az {xy síkkal párhuzamos) egyenes egyenletrendszere: x

- xq ^ y - V Q >1 VI

V2 Z = ZQ

)

Ha a V irányvektor két koordinátája zérus, akkor az egyenes vala­ melyik koordinátatengellyel párhuzamos. Például a v(t;i;0;0) irány­ vektorú egyenes az x tengellyel párhuzamos; egyenletrendszere:

{te.

Térbeli egyenes normálvektoráról nem beszélünk, mivel egy egye­ nesnek a térben végtelen sok különböző irányú normálvektora van. írjuk fel a Pq(2; —1; 1) ponton átmenő, az e : x — 1 = l - y = egyenlet­ rendszerű egyenessel párhuzamos / egyenes egyenletrendszerét! Mivel az adott e egyenes párhuzamos a keresett / egyenessel, ezért az e

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

318

egyenes irányvektora az / egyenes egjrik irányvektorának vehető. Ezt úgy tudjuk leolvasni, ha az e egyenes egyenletét

x-xo VI

y-yo V2

z —ZQ ■03

alakra hozzuk: x-1

2 (^ + 1)

1

x-1 1

3

'

z+5

y-1 -

-1

-

f

’

tehát

így a keresett / egyenes egyenletrendszere: x-2 =

2/ +

1 _

-1 “ x —2 = l —y =

z - 1

I

’

2z-2

XI.6. A SÍK KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA m

A Po pontra (amelynek heljrvektora tq) illeszkedő n ( / 0) nor­ málvektorra merőleges S sík vektoregyenlete (11.35. ábra): n(r - ro) = 0.

Az adott ro(xo;^o;^o) pontra illeszkedő, adott n { A ; B ; C ) normálvektorú sík egyenlete az ( 1) vektoregyenletből:

(2) ahol X, y és z koordinátái.

A { x - xo) + B { y - yo) + C { z - 2q) = 0, a,

sík tetszőleges r ( x ; y ; z ) helyvektorú pontjának

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

IP I

319

írjuk fel az >1(1;2; 1), B {3 ;2 ;—2) és a C(2;3;2) pontra illeszkedő sík egyeneletét! Ha a sík egyeneletét keressük, akkor ismernünk kell a sík egy pontját és az egyik normálvektorát. Most adott a sík három pontja is, de nem adott a normálvektora. Ezt előállíthatjuk pl. az A É és az A Ő vektorok vektoriális szorzataként (11.35. ábra).

11.35. ábra

320

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA Legyen A B = O B — O Á = a = (2; 0; —3),

10 = 0 0 - ö l = h = a X

b=

1); ekkor i 2

j k 0 -3

= 3i - 5j + 2k.

1 1 1 így a keresett sík egyik normálvektora n(3; —5; 2), és egyenlete (például az A pontot vegyük illeszkedési pontnak):

Z{x - 1) - 5(2/ - 2) + 2(z - 1) = 0, azaz rendezés után - h y - { - 2z =

— 5.

A (2) egyenletben a kijelölt szorzásokat elvégezve és az A xq -\+J5^0 + C'zo = —D jelölést alkalmazva kapjuk a sík általános egyen­ letét: A x + B y + Cz-\- D

Pn Minden A x + B y -\-Cz D =^Q alakú egyenlet (ha A, B és C közül legalább az egyik zérustól különböző) sík egyenlete, és minden sík egyenlete ilyen alakban írható. Ha a sík a korrdinátatengelyeket az A (a;0 ;0), jB(0; ö;0), (7(0; 0 ; c) pontokban metszi, akkor az egyenlete: (a ,6, c ^ 0). Ha a sík ( 1) vektoregyenletében szereplő n normálvektor egység­ vektor, akkor koordinátái iránykoszinuszok. Jelölje továbbá d a síknak az origótól mért távolságát; ekkor a sík egyenlete X cos a-\-y cos /3

z cos j —d = 0,

ahol a, (3,^ jelöli a normálvektornak az x, y, z koordinátatengelyekkel bezárt szögét. Ez a sík Hesse-féle normálegyenlete.

XI. KOORDINATAGEOMETRIA

321

Pont és sík távolságát is meghatározhatjuk: A P i { x i ; y i ; zi) pont és az Ax -h By + Cz + D = 0 egyenletű sík d távolsága: d=

Axx + hy\ + Cz\ + D V A ‘^ + B^ + C^

Az Ax-\-By + C z + D =

~ V ^ T W + W

0

egyenletet a sík normálegyenletének nevezzük. A két sík metszésvonala mind a két síkban benne van, így mind a két sík normálvektorára merőleges. Ha az utóbbiakat ni-gyel és n2-vel jelöljük, akkor a metszésvonal egyik irányvektora ni x n2A metszésvonal egy pontjának koordinátáit megkapjuk, ha — az egyik koordinátát szabadon választva — a két sík egyenletéből álló egyenletrendszert megoldjuk. IPI

Határozzuk meg a következő két sík metszésvonalát: S i:

x - y + z - l = 0,

52 : 2x + y - z + 4: = 0. Legyen z — 0; akkor az X —

y= i

I

2a; + egyenletrendszer megoldása: a; = —1; y — —2. A metszésvonal egy pontja: P ( - l ;- 2 ;0 ) . A metszésvonal egyik v irányvektora:

1 J k 1 - 1 1 = Oi + 3j + 3k. 2

1

-1

A v(0; 3; 3) helyett számolhatunk a (0; 1; 1) vektorral is, hiszen az irányvektor hossza lényegtelen. A metszésvonal egyenletrendszere;

.= -i| y+2=z

J

322

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

XI.7. FORGÁSFELÜLETEK EGYENLETE Ha egy tengelyesen szimmetrikus síkgörbét a szimmetriatengely körül megforgatmik, forgásfelület keletkezik.

FORGÁSHENGER Helyezzük el a 2r alapú, m magasságú téglalapot a térbeli koordi­ náta-rendszerben úgy, hogy az egyik szimmetriatengelye a 2; tengely legyen (11.36. ábra). Ha a téglalapot a 2; tengely körül megforgatjuk, forgáshenger keletkezik. A kapott hengerpalást P{x; y; z) pontjaira és csak ezekre:

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

323

GÖMB Forgassuk meg az -\-y^ = r^ egyenletű kört az y tengely körül. A keletkezett gömbfelület minden P (x ; y; z) pontjára és csak ezekre 2_^2

FORGASPARABOLOID Forgassunk meg egy p paraméterű parabolát (a vezéregyenesével együtt) a szinmietriatengelye körül. A keletkezett felületet forgásparuboloidnak nevezzük. Helyezzük el a keletkezett felületet az x yz koordináta-rendszerben úgy, hogy a tengelypontja az origó, fókusza pedig az F (0; 0; f ) pont legyen (11.37. ábra). Az így kapott paraboloid P{x; y; z) pontjaira, és csak azokra

324

XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA

x ‘^ + y‘^ ^ 2 p z, ahol p jelöli a megforgatott parabola paraméterét.

FORGASKUP 2

2

Forgassuk meg az ^

^ = 0 egyenletű metsző egyenespárt a z

tengely körül! Az y koordinátára alkalmazva a A = ^ arányú transzformációt, az í

+ ? : - í: = o

egyenletű kúpot kapjuk.

ELLIPSZOID Forgassuk meg az = 1 egyenletű ellipszist a nagytengelye (x tengely) körül. A keletkezett fe­ lületet ellipszoidnak nevezzük. Az xyz térbeli koordináta-rendszerben a 2; koordináta A = | arányú transzformációjával kapott ellipszoid egyenlete (a, c féltengelyek):

XI. KOORDINÁTAGEOMETRJA

325

FORGASHIPERBOLOID Forgáshiperboloid keletkezik, ha a hiperbolát valamelyik tengelye körül megforgatjuk. Ha a képzetes tengely körül forgatunk, akkor a forgáshiperboloid egyköpenyű (egypalástú), ha pedig a valós tengely körül, akkor kétköpenyűnek (kétpaláistúnak) mondjuk. Helyezzük el a hiperbolát az x z síkba, és a valós tengelye legyen az képzetes pedig a z tengely; egyenlete ekkor í - í = i . A 2; tengely körüli forgatással és az y koordináta A ^ arányú transzformációjával keletkezett egyköpenyű forgáshiperboloid egyenlete (a, h a valós, c a képzetes féltengely):

Tekintsük most az xy síkban a hiperbolát, melynek valós tengelye az x, képzetes tengelye pedig az y tengely. Ennek a hiperbolának az egyenlete

Az X tengely körüli frogatáissal és a ^ koordináta A = ^ arányú transzformációjával keletkezett kétköpenyű forgáshiperboloid egyenlete (c a valós, a és b a. képzetes féltengelyek):

a2

^2

^2

XII.

d if f e r e n c iá l s z á m ít á s

X ll.l. A DIFFERENCIALHANYADOS ÉRTELMEZÉSE. A DERIVÁLT A DIFFERENCIAHÁNYADOS [d1 Legyen az / (valós-valós) függvény az ]a; 6[ intervallumon értel­ mezve és X15X0 ^](í;b[ {x\ ^ rro). Az f{xi)-f{xo) Xi — Xq

számot az / függvény P o(^ o ;/(^ o )) és P i ( x i ; / ( x i ) ) pontjához tartozó differenciahányadosának {különbségi hányadosának) ne­ vezzük. A különbségi hányados megmutatja az / átlagos, relatív — az x-hez viszonyított — értékvaltozási sebességét az [xq-,x i ] intervallumon. A differenciahányados geometriai jelentése: az / függvény y = f { x ) egyenletű grafikonjának P o (^ o ;/(^ o )) és Pi {x i ; f { x i ) ) pontjain átha­ ladó szelő iránytangense (12.1. ábra). Legyen az / (valós-valós) függvény az ]a;b[ intervallumon ér­ telmezve, s legyen x ennek az intervallumnak olyan tetszőleges eleme, amelyre x ^ X q. Ekkor a

g:]a; &[\{xo}

M,

x>-^

X -X q

függvényt az / függvény xq ponthoz tartozó differenciahányados{különhségi h á n y a d o s -)B ig g v é n y é n e \ L nevezzük.

XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

327

A g differenciahányados-függvény x\ helyen vett helyettesítési értéke éppen az / függvény differenciahányadosa. Szokás még az x —xq = Ax, f { x ) — /(x q ) = Aj/ jelölést is alkal­ mazni. Ezzel a jelöléssel az / függvény differenciahányados-függvénye:

X-Xo

A x’

Ax

A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS (DERIVÁLT)

[d1 A z

függvényt az x q €]a; b[ pontban differenciálhatónak nevezzük, ha a / függvény xq pontbeli differenciahányados-függvényének az xo helyen véges határértéke van. Ezt a határértéket (számot) a függvény xq pontbeli differenciálhái^radosáiiak ( d e r iv á ltjá n a k ) nevezzük.

328

XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

A függvény Xq pontbeli differenciálhányadosát az /'(x q ), ül. df szimbóliinimal jelöljük, azaz dx a;=a;o ^

/M -/(x .)

x -^ x o

x

, dx

— xq

X=XQ

A differenciálhányados jelölésére szokáis még a

x^xQ

x

Ax

— xq

dx

X=XQ

jelöléseket alkalmazni, és a fizikában gyakori az f{to) (idő szerinti derivált) jelölés. Ha xq környezetéből csak az XQ-nál kisebb (nagyobb) értékeket választjuk, akkor / bal oldali {jobb oldali) differenciálhányadosát kapjuk. Az / függvény xq pontbeli differenciálhatóságának eldöntéséhez az / függvény különbségihányados-függvényének a határértékét kell vizsgálni az xq helyen. Ez — a határérték Heine-féle definiciöja szerint — azt jelenti, hogy ha bármely Xji

Xq

{xn / ^o) esetén az

/ Í í ü ) — /(^ o ) Xn-xo

különbségihányados-sorozat konvergens, akkor / az xq helyen diffe­ renciálható. Egyes problémáknál, ahol sejtjük, hogy mi lesz az /'(x q ), a dif­ ferenciálhatóságot a határérték Cauchy-féle definíciója segítségével is megállapíthatjuk. Az ]a; 6[ nyílt intervallumon értelmezett / függvény az Xq G]a; b[ pontban differenciálható és XQ-beli differenciálhányadosa /'( x o ) , ha bármely e > 0 számhoz található olyan 6 > 0 szám, hogy |rr —rro| 0 (ill. f \ x ) < 0) teljesüljön tetszőleges x G]a;6[-re.

Azt, hogy egy adott függvény konvex-e vagy konkáv, leggyakrabban a második derivált előjelének meghatározásával döntjük el. pn

Ha az / az Xo hely valamely környezetében kétszer differenciál­ ható és f \ x o ) — 0, valamint az / " függvény az xq helyen előjelet vált, akkor /-n ek az xq helyen inflexiós pontja van.

340

XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

Megjegyezzük, hogy a fenti állítások a;o-ban dijfferenciálható függ­ vényekre vonatkoznak. így például az / : M M, x ^ \ x\ függvény az xq = 0 pontban — mint már láttuk — nem difiFerenciálható, mégis van szélsőértéke (abszolút minimuma), s az egész értelmezési tartományán konvex. A függvényvizsgálatra vonatkozó eddigi ismereteinket egy példá­ ban foglaljuk össze. Ábrázoljuk derékszögű koordináta-rendszerben teljes függvényvizsgálat utáin az /: E

R,

X

2a;2 - x ‘^

függvényt! Dolgozzunk a függvény x helyen vett f { x ) = 2x^ — x^ helyettesítési értékei­ vel! Zérushelyei:

2x^ - x ‘^=0, x ^ ( 2 - x ^ ) = 0 ,

= 0,

x\^2 = 0

(kétszeres zérushely;

a függvény grafikonja itt érinti az x tengelyt), 2—

= 0,

|a;| = V 2,

tehát

x^^/^ = áiy/2.

Paritása: f { —x) = 2 {—x )‘^ — (— = 2x‘^ — = f { x) , a függvény páros, grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Határértéke: mivel a függvény mindenütt folytonos, így szakadási helye nincs. A határértéket tehát csak a végtelenben vizsgáljuk. hm (2x^ — x"^^ = lim x " ^ (

x -^ 0 0 V

/

x^oo

\x^

—

l) /

=

— 00.

Monotonitása, szélsőértéke: f { x ) = 4 x - 4x^ 4x —4:X^ = 0, A x{l — x ‘^) = 0, 4x = 0, xi = 0,

1

—a;^ = 0,

Az / ' előjelváltásedt a 12.4. ábra segítségével vizsgáljuk:

|íc|= 1,

X2,3 = ±l-

341

XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

X