Elméleti fizika VII. - Rugalmasságtan [PDF]

Zitiervorschau

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

ELMÉLETI FIZIKA VII.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

L. D. Landau – E. M. Lifsic

ELMÉLETI FIZIKA VII. RUGALMASSÁGTAN

Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

Az eredeti mő címe ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА VII. – ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА, 1975 Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973 Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-135-7

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Tankönyvkiadó 1974-es kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

L. D. LANDADI Nobel-díjas (1908-1968)

E. M. LIFSIC Lenin-díjas (1915-)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

A ~,FOLYTONOS KÖZEGEK MECHANIKÁJA'' ELŐSZAVÁBÓL

... A könyvet fizikusok írták, elsősorban fizi)msok számára, így természetesen olyan kérdések is eló'kerültek, amelyek rugalmasságtaní e19adások keretében a.ltalá~ . ban nem vetődnek fel; ilyenek, például a szilárd testek hővezetése és viszkozitása vagy a rugalmas rezgésekéshullámok elméletébe vágó problémák egész sora. Ugyanakkor azonban csak nagyon röviden érintünk egy sor olyan speciális problémát (például a rugalmasságtan elm,életének bonyolult matematikai módszereit, héjak elméletét stb.), amelyben a szerzők nem lévén szakemberek, igen kevéssé járatosak. 1953 L. LANDAU

www.interkonyv.hu

E. LIFSIC

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

ELŐSZÓ

A "RUGALMA,SSÁGTAN"-HOZ

Ebben a kiadásban a rugalmasságtan az eredeti terveknek megfelelően külön kötetet alkot. (A hidrodinamikával való egyesítése a megelőző kiadásban rajtunk kívül álló okok miatt történt.) Néhány hiba kijavitásán és bizonyos kiegészítéseken kívül beiktatunk egy új fejezetet, mely a diszlokációk mak:roszkopikus elméletét tartalmazza. Ez a rész A. M. Koszevics közreműködésével készült, segitségéért ezúton mondok köszönetet. Ha az olva~ó e könyvet az elméleti :fizikusok számára előírt "Elméleti Fizikai Minimum" elsajátítása céljából tanulmányozza, ajánlhatjuk a 8., 9., 11-21., 25-31. §-ok elhagyását. Köszönettel tartozom a sok hasznos megjegyzésért, melyet G. I. Barenblatt, V. L. Ginzburg, M. A. Iszakovics, l. M. Lifsic~.és I. M. Smuskevics tettek. 1964. december E. M. LIFSIC

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

NÉHÁNY .JELÖLÉS

Az anyag siírűsége: e Elmozdulásvektor: u · , •6 . 1 ( Bu; Buk) De!corrnacl tenzor: uik = 2 8xk + axi '

Feszültségtenzor: aik Kompressziómodulus: K A nyújtási modulus (Young-modulus):E A csavarási együttható : p, Poisson-szám: a A longitudinális és a transzverzális hangsebesség: c1 és ct (K, fh ill. E, a segítségével való kifejezésük a Ü5. oldalon található) K, p,, és E, a közötti összefüggések: 9Kp,

E= '3-K+p '. E

K = 3(1-2a) '

www.interkonyv.hu

3K-2p '

a= 2(3K+p)' E p= 2(l+a) ·

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

I. FEJEZET

A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

l. §. A deformációtenzor A rugalmasságtan1 tárgya a folytonosnak tekintett szilárd testek mechanikája. Külső erők hatására a szilárd testek deformálódnak, azaz változtatják alakjukat és térfogatukat. A deformációt matematikailag az alábbi módon irjuk Ie. A test egyes pontjainak helyzetét egy kiválasztott koordináta-rendszerben az r helyvektorral adjuk meg (amelynek komponensei x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z). A deformáció során általában a test valamennyi pontja elmozdul. Tekintsük a test egy meghatározott pontját: tegyük fel, hogy helyvektora a deformáció előtt Jr, utána pedig r' komponensekkel). A test vizsgált pontjának elmozdulása a deformáció során r' -r, amit a következőkben u-val jelölünk:

ex;

(1,1)

l

U;= X; -X;.

Az u vektort deformációvektornak (vagy elmozdulásvektornak) nevezzük. A pont helyzetét deformáció után leíró x'; koordináták természetesen függnek a deformáció előtt érvényes xi koordinátáktól. Ennek megfelelően az ui deformációvektor is függvénye az X; mennyiségeknek. Az u vektornak X;-k függvényében való megadása maradéktalanul meghatározza a test deformációját. A deformáció során változnak a távolságok a test egyes pontjai között. Tekintsük a test két, egymáshoz végtelenü! közel fekvő pontját. Ha a pontok helyvektorainak különbsége a deformáció előtt dxi, akkor a deformált test ugyanazon két pontját összekötő vektor: dx; = dx;+du;. A pontok távolsága a deformáció előtt

utána pedig

1

A mgalmasságtan elméletét Cauchy és Poisson dolgozták ki az 1820-as években.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

12 Az

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI összegezőindex

szokásos használatával :2 df2

A du;

=

d/' 2

=

dx?

=

(dx;+du;)2.

aau; dxk azonosság felhasználásával d/' 2-et a xk

l

dl '2

l.

l'

= dxr,

d d au; = d/,2 + 2 -au; a X; Xk+-a Xk Xk

következő

alakba írhatjuk:

au; d d -a- Xk XI· XT

Ha a jobb oldal második tagjában elvégezzük az összegezést i és k szerint, látjuk, hogy

A harmadik tagban felcseréljük az i és l indexeket, így végül: . (1,2) ahol az u;k tenzor a

következő

alakú: (1,3)

A fenti kifejezések megadják a vonalelemnek a· deformáció során bekövetkező megváltozását. Az u;k tenzort deformációtenzornak nevezzük. A definícióból nyilvánvaló, hogy u;k szimmetriku's, azaz (1,4) Ez azért van így,mert dl' 2 kifejezésében a2 aau; dx; dx" tagot a nyilvánvalóan szimmet-

x" 1 "k ( axk au; .+ auk) ' h aiJU . k. fl US ax; dX; dXk a l aKb an tr

Mint valamennyi sziinmetrikus tenzor, uk; is minden egyes pontban főtengelyre transzformálható. Ez azt jelenti, hogy bármely adott pontban választható olyan koordináta-rendszer __:_.a tenzor főtengelyei -, amelyben az u;k tenzor valamennyi eleme nulla a "diagonális" u 11 , u22 , u33 komponensek kivételével. Ezeket a komponenseket - a deformációtenzor főértékeit - um~gyel, u< 2 >-vel, u< 3 >-mal jelöljük. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy I, ha az uik tenzor a test egy pontjában átlós alakú, a többi pontban általában nem ilyen .. 2 Az általános szabálynak megfelelő en a tenzor indexekre való összegezés jelét elhagyjuk. Egy adott tagban kétszer megjelenő'index l; 2, 3 .értékeire automatikusan összegezünk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

1. §. A DEFORMÁCIÓTENZOR

13

,.

Ha a deformációtenzor egy adott pontban diagonálil?', a pontot körülfogó térfogatelemben az (1,2) alatt megadott elemi hossza következő alakot ölti: ."

Látjuk, hogy a kifejezés három független tagból tevődik össze. Ez azt jelenti, hogy a . test bármely térfogatelemének deformációját három, egymásra kölcsönösen merőle­ ges tengely - a deformációtenzor főtengelyei - irányában .történt deformációk összegének tekinthetjük. E deformációk mindegyike egyszerű megnyúlás (vagy' összehúzódás) a megfelelő irány mentén: az első főtengelyirányában fekvő dx 1 hossz átmegy dx~ = Yl+ 2u+ u a

tenzorfőértékek összege. Ez ismeretes módon invariáns, és bármely koordináta-rendszerben megegyezik a főátlóban álló .elemek összegével; uu = = un+ u22+ U ss- Így tehát .

(1,6)

dV' = dV(l +uu).

Látható, hogy a deformációtenzor "átlója", azaz a diagonális elemeinek összege . I , , fi 'I , dV' -dV . megadJa a re atlv ter ogatva tozast, dV -t. Gyakran előfordul, hogy a deformációtenzor komponenseit Descartes-koordináták helyett célszerűbb gömbi vagy hengerkoordinátákban kifejezni. Megadjuk ezért a deformációtenzor komponenseit a deformációvektor deriváltjaival összekapcsoló képleteket görbevonalú koordináta-rendszerekben. Az r, 1}, ep gömbi koordinátákat használva: --au,.

Urpip = r sin 1}

_l(ou"' r 81} -u"' ctg 1}) +r sinl 1}

Zuorp2u

r

'P

www.interkonyv.hu

= ___1_.·_ au, r Sin 1} orp

ou"' ub 1} u, aq;- +7 ctg +r ' aub ub l ou, oub (1,7) =)----+-- · orp ' .2ub r or r r 81} ' l

u,,= Br'

+ OUrp -

or

Urp. r

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

2.§. A FESZÜLTSÉGTENZOR

15

Az r, ep, z hengerkoordináták alkalmazása esetén viszont :•) urprp 2

.-

Urpz-

_!_ r

OUz ,::,

urp

ou'i' +,::, , uz

?

l

au'i'

OUz

u,

=rorp --+r'

Uz:z

-au, + OUz ,: , '

-Urz- ,::,

uz

ur

=fu'· (1,8)

2. §. A feszültségtenzor Deformálatlan állapotban a test molekuláinak eloszlása megfelel a termodinamikai egyensúly felt~teleinek. Ebben az esetben a test egyes részei egymással mechanikai egyensúlyban· vannak. Ez azt jelenti, hogy a test belsejében tetszés szei-int kiválasztott térfogatra az őt körülvevő részecskék által kifejtett erők eredője nulla. Deformáció során a molekulák helyzete változik, a test kimozdul eredeti egyensúlyi állapotából, ennek következtében eredeti állapotába visszatéríteni igyekvő erők ébrednek. A deformáció során fellépő belső erőket belső feszültségeknek nevezzük. Deformálatlan állapotban a testben belső feszültségek nincsenek. A belső feszült~éget molekuláris erők létesítik, tehát a testet alkotó molekulák egymással való kölcsönhatása. A rugalmasságtan szempontjából rendkívül fontos az a körülmény, hogy a molekuláris erők "hatótávolsága" igen kicsiny, a molekulák átlagos távolságának nagyságrendjébe esik. A rugalmasságtan azonban makroszkopikus elmélet, csak a molekulatávlságoknál jóval nagyobb távolságokkal fogl~l­ kozik. Ezért a molekuláris erők "hatótávolságát" a rugalmasságtan keretein belül nullának kell. venni. Azt mondhatjuk, hogy a belső feszültséget létesítő erők a rugalmasságtan szempontjából "közelható" erők, amelyek csak az egymáshoz "legkö- · zelebb" fekvő részecskék között hatnak. Ebből következik, hogy a test egy kiszemelt részére az őt körülvevő anyag által gyakorolt erő kizárólag az illető rész határán hat. Ezen a helyen a következő megjegyzést kell tenni: a fent mondottak érvényüket vesztik, ha a test deformációját a testen belül makroszkopikus elektromos terek megjelenése kiséri (piezo- vagy piroelektromos testek). Ebben a kötetben ilyen testek vizsgálatával nem foglalkozunk. Szemeljünk ki a testben egy tetszőleges térfogatot, és vizsgáljuk a rá ható erők eredőjét. Ez az eredő egyrészt a vizsgált térrész egyes elemeire ható erők összegével egyenlő, vagyis az fF dV

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

16

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

térfogati integrál formájátlan írható fel. F a test egységnyi térfogatára ható erő, tehát a dV térfogatra ható erő F dV. Másrészt a vizsgált térfogat különböző részei között ható erők nem adhatnak nullától különböző eredőt, hiszen a hatás-ellenhatás egyenlősége iniatt páronként kiejtik egymást: Ezért a kereseti teljes erő meghatározásához csak a vizsgált térrészt határoló rétegek által kifejtett erőket-kell összegezni. A korábban mondottak értelmében azonban ezek az erők csak· a kiszemelt térfogat határán 'lépnek fel, ezért az eredő erőt az egyes felületelemekre ható er6'k összegeként, az illető térfogat határfelületére vett integrálássallehet kiszámítani. A testben kiválasztott tetszőleges térfogat _esetén tehát a belső feszültségek eredő­ jének mindhárom F; dV komponense átalakítható az illető térfogat felületére vett integrállá. Mint a vektoranalízisből ismeretes, egy skalárfüggvény tetszőleges térfogatra vett integrálja abban az esetben alakítható át felületi integrállá, ha az illető _függvény valamilyen vektor divergendájaként írható fel. Esetünkben nem skalár-, hanem vektorfüggvény térfogati integrálját kell képezni. Ezért az F; vektor egy másodrendű tenzor divergenciája, azaz ~

J

F;

=

Bau,

(2,1)

axk

alakú kell, hogy legyen. Ekkor 'valamely térfogatra ható erő előállitható az őt határoló zárt felületre vett integrál formájápan :4 (2, 2)

ahol dJ; a df felületelem-vektor egy komponense. A df vektor szokás szerint a felület normálisának irányába mutat. 5 A au, tenzort feszültségtenzornak nevezzük. Mint (2,2)-ből látható, aik dfk a df felületelemre ható erő i-edik komponense. Ha rendre az x, y; y, z és az x, z síkokba eső felületelemeket választunk,Játjuk, hogy a aik feszültségi tenzor egy eleme az xk normálisú, egységnyi felületre ható erő i-edik komponense. Így az x tengelyre merő­ leges egységnyi felületre annak normálisa irányában (az x tengely mentén) axx erő, érintőlegesen pedig (az y, illetve z tengely irányában) ayx és azx erők hatnak. Aa;k dfk erő előjeiét illetően a következő megjegyzést kell tennünk. A(2,2) felületi integrál az integrációs felület által határolt térfogatra a test többi része által kifejkülső

f)

A zárt felületre vett integrált a- d[; felületelemet a dV -0 operátorral helyettesitve, a felület által határolt térfogatra vonatkozó integrállá transzformáljuk. 5 Szigorúan véve, a deformált test kiszemelt részére ható erőt nem az illető térfogat régi x; koordinátái, hanem az új x;-k szerint kellene integrálni. Ezért(2,1)-ben is x; szerint kellene differenciálni. A deformáció kicsinységemiatt azonban az x; és xi szerinti deriváltak csak magasabb rendű IDennyiségekben különböznek, így a differenciálást elvégezhetjük x; szerint. 4

www.interkonyv.hu

x,

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

17

~. §. A FESZÜLTSÉGTENZOR

tett erő. Az az erő, amelyet az illető térfogat fejt ki környe~etére, a fentivel abszolút értékben egyező, de ellenkező előjelű. Így például a testben fellépő belső feszültségek hatá& a a test t~ljes felületére : . . . · . dtk dfk,

-'- f

'

.

ahol az integral a test felületére vonatkozik, df' a külső normális irányába muta~. Határozzuk meg a test valamilyen térfogatára ható erő.k nyomatékát. Az F erő . nyomatéka, amint ismeretes, F;xk..:_F01 kompo~eb.sekkel· megaciott másÓdrendű, antiszimmetrikus tenzor, ahol x 1 az erő támadási pontja.6így a dV térfogatra ható er6'knyomatéka_(F1xk__:.Fkx;) dV. A telj~s térfogatra Mtk =

.

.

f (F xk-,-Fkx 1

1)

dV

forgatónyomaték hat. A tetszőleges·térfogatrá ható teljes erőhöz hasonlóan, a t~ljes forgatónyomaték is kifejezhető felületi integrál formájában. F1 helyébe a (2, l) alatti kifejezéstirva, azt kapjuk; hogy · . ' ·

_I

. M tk.

(oau oakl ) dV -__ --xk---x; ox, OX[ .

J._o(auxk-ak,x;) dV-:- J( . ax,

ox~c· . · ·ox;) dV..

au---a~cz-

OXz

OXz

A második integrál kiszámításánál figyelembe vesszük, hogy egy koordinátának egy · másik szerint képzett cleriváltja l, ha akoordináták azo~osak, és O, ha különbözőek (miridhárom koordináta. független váltqzó). Másképpen: ~:~ =. akz, ahol

Ők1 az e~y~

ségtenzor; i11~c-vai szorozva, kapjuk; hogy /Jk1au == a1k, buak1 = akt· Minthogy az integrandus egy tenzor divergenciája, az első integrál felületi integrállá alakitható. Eredményünk tehát: Mtk::::::; f =a'P'P =-p(l+:;).

Az üreg határán az ~rintőleges feszültségek a1717 = a'P'P =- 3: , azaz meghaladj~k a végtelenben uralkodó nymást. 3. Határozzuk meg az R sugarú gömb saját gravitációs tere által okozott deformációját.

Megoldás. A test egységnyi tömegére ható gravitációs

erő g helyett :--g~ • Ezt a kifejezésthelyet-

tesítjük a (7,3) egyenletbe, igy a sugár menti elmozdulásra a következő differenciálegyenletet kapjuk: E(l ~a) d ( 1 d(r2 r (1 +a) (1- 2a) dr ----;J;:- = (]g R·

rz

A megoldás r

u))

= O-ban véges, és tudjuk, hogy az r = R helyen a" = O. Ezt felhasználva: u= _geR(l-2a)(1+a) r [3-a_!~]. 10E(1-a) l+a R 2

Megjegyezzük, hogy az R ezen kivül pedig kitágul (u..

www.interkonyv.hu

v

l~ ~ >

sugarú gömbfelületen belül az anyag osszenyomódik (u"< 0),

0). A gömb középpontjában a nyomás

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

37

7.§. IZOTROP TESTEK EGYENSÚLYI EGYENLETEI

4. Határozzuk meg henger alakú cső deformációját ben a nyomás p, kívül pedig nulla.16

(külső

sugara R 2,

belső

sugara R 1), ha belsejé·

Megoldás. Hengerkoordinát~at használunk, a z tengely egybeesik a cső tengelyéveL Ha a nyomás a cső mentén mindenütt ugyanakkora, a deformáció sugárirányú elmozdulás, u, = u(r). Mint a 2. feladatban, itt is: . l d(ru) d lV U = -----ctr = COnst =: ·2a.

r

Innen U=

A deformációtenzor nullától

különböző

Urr

a"

= Oaz r =

b

ar+-. r

komponensei [1. az (1,8) képleteket}!

du b =dr= a-fi'

Urprp

u b =r= a+fi •

R 2 helyen, és a,. =-p az r = R1 helyen. _ pRf (l+a) (1-2a) a-R2-R2 E . ' 2 l

Ezekből

a

határfeltételekből:

b_ pRiR~ l+a - R2-R2 E . 2 l

A feszültségeloszlás a radiális koordináta függvényében a

következő:

5. Határozzuk meg tengelye körül egyenletesen forgó henger deformációját.

Megoldás. A (7,3) egyeniethe a nehézségi erő helyébe a (!W 2r centrifugális erőt írjuk (w a szögsebesség). Az u,= u(r) radiális elmozdulásra hengerkoordinátákban az alábbi egyenletet kapjuk: E(l-a)

d

(I +a) (l- 2a) dr

(lr --rJr d(ru))

2

=-(!W

r.

Ennek az egyenletnek az r= O helyen véges, az r = R helyen a a" = Ofeltételnek eleget ,oldása: = (!W2(1 +a) (1- 2a) [(3- 2 ) R2- 2] u SE(I-a) r a r .

6. Meghatározandó egy nem egyenletes eloszlás gömbszimmetrikus.

hőmérsékletű

gömb deformációja, ha a

tevő

meg-

hőmérséklet­

Megoldás. Tisztán sugár menti deformáció esetén a (7,8) egyenlet gömbkoordinátákban igy alakul:

16 A 4., 5. és 7. feladatokban feltételezzük, hogy a henger hossza állandó, hosszirányú deformáció nincs.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

38

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

Az r= O-ban véges, az r= R helyen a

a,,= O feltételnek eleget tevő megoldás:

I T(r)r dr+-y::j:(l Rr I7(r)r dr . R

r

_ u-

l +a {l IX 3(1-a) "72

2(1- 2a)

2

2

}

3

o

o

AT(r) hőmérséklete! egy olyan értékhez viszonyítjuk, amelynél az egyenletes hőmérséklet-eloszlású gömb nem deformált. A feladatban ezen hőmérséklet szerepét a gömb külső feliiletének hőmérsék­ lete játssza, úgyhogy T(R) = O. 7. Oldjuk meg az előbbi feladatot henger esetére, ha a hőmérséklet-eloszlás hengerszimmetrikus. Megoldás. Az előbbi feladathoz hasonlóan hengerkoordinátákban a következő eredményt kapjuk:

u=

IX

l+a 3(1-a)

lr! l

r

T(r)r dr+ (1- 2a)

R2! r

R

l

T(r)r dr .

8. Határozzuk meg végtelen kiterjedésű rugalmas közeg deformációját, ha annak T(x, y, z) hőmér­ séklet-eloszlása olyan, hogy a végtelenben állandó T 0 értékhez tart, és itt a deformáció eltűnik. Megoldás. A (7,8) egyenletnek nyilvánvalóan van olyan mégoldása, hogy

rot u = O, Mint a

div u =

IX

0 ].

vektoranalízisből

egye1.1lő,

isl]leretes, egy olyan u vektor, amelynek divergenciája adott függvénnyel a végtelenben nullához tart, rotációja pedig azonosan eltünik, a következő alakban írható: (

)

l

u x, y, z = - 4 n V

ahol r=

I div'

u(x', y', z') dV'

r

.

,

Y-

Jl

Oikal~O) helyettesitendő, éS hozzá kellmég adnunk az

összeget, amely a végtelenben egyenletes homogén tágulásnak felel meg (L a 2. feladatot). Felirjuk aziireg határán fellépő feszültség kifejyzését az általános esetben: lS a;k =?-Sa

{C1-a) (au,o, -all nlnk-aklo, n1n.1) +almnlnmnmk-aalmnlnmu;k+lDall o, o, • Sa- l o, • } (u;k-n;nk) . 1

1

1

1

1

Az üreg közelében. ébredő feszültség értéke jelentősen meghaladja a végtelenben uralkodó feszültség értékét. Ez azonban lokális jelenség, a feszültség az üreg falától távoladva rohamosan csökken. Azt mondjuk, hogy a feszültség az üreg falánál koncentrálódik. Ha a közeget egyenletes homogén egyirányú megnyújtásnak vetjük alá (csak a a;~> kompone!J.S különbözik nullától), akkor a feszültség az üreg,egyenlitőjénéllesz a legnagyobb, értéke:

.

a.,

=

27-lSa 1o>' 2(7- Sa) a..

8. §. Síkkal határolt rugalmas közeg egyensúlya Tekintsünk egy végtelen félteret kitöltő rugalmas közeget, amelynek egyik határa végtelen kiterjedésű sík. Tanulmányozzuk a közeg szabad felületére ható erők következtében fellépő deformációjátY Az erőeloszlásnak egyetlen feltételnek kell eleget tennie: úgy kell a végtelenben eltűnnie,· hogy itt ne okozzon deformációt. Ebben az esetben az egyensúlyi egyenlet általános alakban integrálható. A közegben mindenütt érvényes a (7,4) egyenlet: grad div u+(l-2a).6.u =O. Ennek az egyenletnek a megoldását a

következő

u= f+ v q;,

(8,1)

alakban keressük: (8,2)

17 A közvetlenebb módszer e feladat megoldására (8,1) Fourier-sorba fejtése. Ehhez azonban néhány meglehetősen komplikált integrált kellene kiszámitanunk Az alábbiakban alkalmazott módszer keretében néhány ügyes fogást alkalmazunk, amivel a számítások leegyszerűsödnek.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

42

L A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

Itt p valamilyen skalár, az f vektor pedig eleget tesz a Laplace-egyenletnek: ~

\

LJ.f (8,2)-nek (8,1)-be helyettesítése p-re a

=o.

következő

2(1-a)L:J.p

(8,3) egyenletet adja:

= -div f.

(8,4)

Legyen a rugalmas közeg szabad felülete az x, y sík; a z tengely mutasson a közeg belsejének irányába. Írjuk fel azfx és J;, függvényeket valamilyen gx és gy függvények z szerint képzett deriváltjaként:

az' h= agy. az

j _ agx x-

(8,5)

Minthogy fx és J;, harmonikus függvények, mindig választ~atunk olyan gx és gy függvényeket, amelyek kielégítik a Laplace-egyenletet: (8,6) Ezzel a (8,4) egyenlet a

következő

alakba megy át:

Figyelembe véve, hogy gx, gY, fz harmonikus függvények, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a fenti egyenletnek eleget tevő p függvény így írható : · ,(8,7)

ahol 'IfJ ismét harmonikus{üggvéhy:. (8,8) Ilyen módon az u deformáció 'meghatározására vonatkozó feladatot visszavezettük a Laplace-egyenletet kielégítő g x, gY, lz, 'IfJ függvények meghatározására.~ Írjuk fel most a közeg szabad felületén (a z = O síkon) teljesítendő határfelületeket. Ha az n normális a negatív z tengely irány1l.ba mutat, az általános (2, 8) formula szerint fenn kell állnia a a iz = -P; egyenlőségnek, aik (5, ll) alatt felírt általános alak- ~ jának felhasználásával az u vektor komponenseit a gx, gY, fz, 'IfJ segédfüggvényekkel

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

43

8.§. SÍKKAL HATÁROLT RUGALMAS KÖZEG EGYENSÚLYA

kifejezve, egyszerű számítás után a határfeltételeket a következő alakban kapjuk:

o2gx l +~ { l-2a fz- l . (ogx +ogy) +2o1p} l = _ 2(1 +a) Px' oz2 z=O OX 2(1- a) 2(1- a) ox oy oz z=O E o2gy l +~ { 1-2a j;- l (ogx +ogy) +201p} l oz2 Z=O oy 2(1-a) z. 2(1-a) ox oy oz z=O ~ ,;:, uz

{l'- (ogx +ogy) ,;:, +i"P} ,;:, l J

·

z

,;:,

uX

vy

uz

z=O

(8,9) =- 2(1 +a) p . E y,

-- · 2(1E+a) p z •.

(8,10)

A külső felületen ható erők Px, PY, Pz komponensei az x, y koordináták adott, végtelenben eltűnő függvényei. · A vonatkozó egyenletek nem határozzák meg teljesen a g x, gY, lz, 1p függvényeket, választásuk némiképpen önkényes. Ezért ezekre a függvényekre még további feltételeket róhatunk ki. Egy lehetséges választás annak megkövetelése, hogy a (8,9) egyenletben kapcsos zárójelben álló tagok eltűnjenek :18

'l'

(ogx 01p =O. (l - 2a'Jz) . - +ogy) ox -oy. +4(1-a)~ · oz

(8,11)

Ezzel a (8,9) feltétel jelentősen egyszerűsödik, az marad, hogy

o2gx l = _ 2(1 +a) p oz2

z=O

E

(8,12)

.x.

A (8,10)--{8,12) képletek már elegendőnek bizonyulnak a harmonikus gx, gY, lz, 1p függvények teljes meghatározására. Hogy ne kelljen annyit írni, a következőkben azt az esetet vizsgáljuk meg, amikor a rugalmas féltér szabad felületére ható F erő összpontosított, azaz a felület igen kis, pontszerűnek tekinthető részén támad:

P = Fb(x) b(y). Itt b a Dirac-féle deltafüggvény; a koordináta-rendszer kezdőpontját az erő támadási pontjában vettük fel. Ha ezt a feladatot megoldottuk, tetszőleges P(x, y) eloszlású erő hatását is méghatározhatjuk Nevezetesen ha

(8,13) 18 Itt nem bizonyitjuk, hogy ez a feltétel valóban kiróható; ez abból látszik, hogy eredményeink nem ellentmondóak.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

44

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

az összpontosított és a koordináta-rendszer kezdőpontjában támadó F erő hatására létrejött deformáció, akkor a P(x, y) erő hat~sára keletkező deformációt a·következő integrál állitja elő ;l9 . . Ui=

II

Gik(x-x', y-y', z)Pk(x',y') dx' dy'.

(8,14)

A potenciálelméletből ismeretes, hogy a harmonikus/függvény, amely a végtelen-

eltűnik,

Of

és a z = O sik mentén adott deriválttal rendelkezik, a . vz képietből számítható:

'Qen

f(x, y, z)= _,21 ff

of(x~ y', z)

n

z

l•=O

következő

dx' dy' r

r= V(x-x')2+(y-y')2+z2.

Minthogy a ·~; ,

~; deriváltak és a (8, 10) egyenletben kapcsos zárójelben álló meny-

nyiség kielégitík a Laplace-egyenletet, (8,10) és (8,12) pedig éppen a normális irányú deriváltjaikat határozzák meg a z = O sikban, az adódik, hogy

~- (ogx + ogy)+;ow =

J'

·

ox

oy

· oz

l+affPz(x', y') dx' d,~ l+a Fz. nE r y nE r

(8,15) (8,16)

ahol most r= Jfx2+y2+z2.; A keresett u vektor komponenseit meghatározó kifejezésekben nem :maguk a gx, . . ' k. szerepelne. k , h anem x, y és z szennt . k'epzett. d enva _. 'ltJal · 'k. ~ ogx es , !'r ogy gY menny1sege _

vX

vy

meghatározása céljából differenciáljuk a (8,16) összefüggést x, majd y szerint: o2gx ox oz-

l+a Fxx

--;;E

r3

'·

o2gy 8yoz

=~

l+a Fyy nE

7.

z szerint =-t61 z-ig integrálva: ogx l+a FxX -ox = nE r(r+z)' ogy l+a Fyy ay = nE,. r(r+z). 19

(8;17)

Matematikailag Gu. az egyensúlyi egyenlet Green-tenzora végtelen ~féltér esetén.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

8.§. SÍKKAL HATÁROLT RUGALMAS KÖZEG EGYENSÚLYA

Az ezután

következő egyszerű,

de

meglehetősen

végezzük el. A .(8,11), (8,1S) és (8,17) Ez utóbbi ismeretében ·

hosszadalmas számításokat nem

egyenletekből

könnyű kiszámítani a ~tp

uX

45

meghatározzuk

lz-t

és

~~-t.

, :tp deriváltakat, először z szerint ~·

integrálva, majd x, illetve y szerint differenciálva. Így a deformációvektor (8,2), (8,5) és (8, 7) szerinti számításához az összes szükséges mennyiséget megkapjuk. Végeredményünk a következő: .

_l+a{[xz Ux--.- - (1-2a)x]Fz+ 2(1-a)r+zpx+ 2nE r3 r(r+z) r(r+z) '

F)}

l

[2r(ar+z)+z2]x( F +. .rs(r+z)2 . x x+Y

Y

.

,

u = l+a {[yz _ (1-2a)y] F +2(1-a)r+z F + Y 2nE r3 r(r+z) . z r(r+z) Y . · [2r(ar+z)+z2]y ( F. F )} rs(r+z)2 x x+Y Y • ,

+ Uz = Ebből

-

(S,lS)

"

~; {[ 2(l :a)+~] Fz+ [r~;}~+~-] (xFx+yFy)}.

a szabad felület pontjainak elmozdulását a z = O helyettesítéssei:

l+al{ (1-2a)x 2ax· } Ux = 2n E -r r · F.r+2(1-a)Fx+· r2 (xFx+YFy) , Uy •

l { = 21+0' E- n r

Uz

= 2nE

l +a l {

r

(l ,2a)y · 2ay } · Fz+2(1-a)Fy+(xFx+YFy) , · r r2

(8,19)

l 1 2(1-a)Fz+(l-2a)-;:(xFx+YF:v!J.

Feladat Határozzuk meg végtelen li' erő hat.2°

kiterjedésű

rugalmas közeg deformációját, ha annak egy kis részére

Mego/dás. A deformaciót az erő támadási helyének kiterjedéséhez képest nagy r távolságban vizsgálva, feltételezhetjük,. hogy az erő egy pontban hat. Az egyensúlyi egyynlet [1. (7,2)-t] igy hangzik: l . . 2(1 +a) .6.u+ 1 _ 2agrad d1vu .=.--E- Fc5(r)

(l)

20 Tetszőleges végtelen anizotrop közegre a fenti problémát /. M. Lifsic és L. N. Rozencveic oldották meg (ZSETF 17, 783, 1947).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

-------

--··

------

-·-------------·--- ..

·-··--------·----------~--~

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

46

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

[itt ~(r) = ~(x) ~(y) ~(z), a koordináta-rendszer kezdőpontját az erő támadási pontjában vettük fel]. A megoldást u = u0 +u; alakban keressük, ahol u0 egy Poisson-egyenletnek tesz eleget: /':,.U 0

Ennek megfelelően urre a

következő

_ 2(1 +a) F~( ) ---E-- u r.

(2)

egyenletet kapjuk: (3)

(2)-nek a végtelenben eltűnő megoldása: l+a F Uo= 2nE

r;

A (3) egyenlette a rotáció operátort alkalmazva, kapjuk, hogy 6 rot u1 = O.· A végtelenben a rot u1 ~ O egyenletnek kell fennállnia. Egy végtelenben eltűnő harmonikus függvény azonban az egész térben azonosan eltűnik, vagyis rot u1 = O. Ennek megfelelően az u 1 függvény felírható ai· u 1 = grad rp alakban. Így (3)- ból kapjuk, hogy

v

{2(1-a)!::,.rp+divu 0} =O.

Ez aztjelenti, hogy a zárójelben álló mennyiség állandó, és minthogy a végtelenben eltűnik, az egész térben igaz, hogy t{ = _ divu 0 = _ l+ a F V_!_ 1 rp 2(1- a) 4 nE( l -a) r Ha

1p

a /':,.IfJ= .!_egyenlet megoldása, akkor r

l+a rp =- 4nE(l-a) F V IfJ. Nem szinguláris megoldásként 1p = Í-t választjuk: Azt kapjuk, hogy u -

1-

l+a (Fn)n-F v rp -- =--=--,-'---'--SnE(l-a) r

ahol n az r helyvektor irányába mutató egységvektor. Végeredményünk tehát a u=

l+a

(3-4o') F+n(nF)

SnE(l-a)

r

következő:

l

Ezt a képietet (8,13) alakúra hozva, megkapjuk végtelen .izotrop közeg egyensúlyi egyenletének Green-tenzorát: 21

21 Az; hogy a G1k tenzor az x, y, z koordináták homogén lineáris 'függvénye, az 0) egyenletre alkalmazott homogenitási megfontolásokból következik. A bal oldal az u vektor komponensei második deriváltjának lineáris kombinációja, a jobb oldal pedig harmadrendű homogén függvény ( cS(ar) = a- 3 tS(r)). Ez a tulajdonság tetszőleges izotrop közeg esetébenis megmarad.

' www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

9.§. SZILÁRD TESTEK ÉRINTKEZÉSE · .

47

9. §. Szilárd-- testek érintkezése Tegyük fel," hogy két szilárd test érintkezik egy pontban, amely egyik felületének sem szingnláris pontja (az la ábra a két felület egy illetszetét rontatja az O érintkezési pont közelé])en). Ebben a pontban a két testközös érintősíkkal rendelkezik, amelyet koordináta~rendszerünk xy sikjául vÁlasztunk. Állapodjunk meg abban, hogy a z tengely pozitiv 'irányát az egyes testeknél különbözőképpen definiáljuk: mindkét test esetében a pozitiv z tengely a test belséje felé mutat; ezeket a tengelyeket rendre z-vel és z' -vel jelöljük.

b;

l. ábra

Ismeretes, hogy ha valan1ely felületet-egy nemszinguláris pontjában (O pont) érintő síkot választunk koordináta-rendszerünk x, y sikjául, a felület egyenlete az O pont közelében igy irható: (9,1)

Itt a kétszer ismétlődő ~ és {J indexeki:e l-től 2-ig (x1 = x, !x2 =y) összegezni kell, _ "a.fJ pedig kétdimenziós szimmetrikus tenzor, amelyj a felület görbüle. -1 . l tét jellemzi (a "a.fJ tenzor főértékei 2R1 és 2R2 , ahol R1o R2 a felület fő görbületi sugarai az érintkezési pontban). Hasonlóan írható fel a másoqik test felületének egyenlete is az érintkezési pont közelében : (9,2)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

48

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

Tételezzük most fel, hogy az erőhatások következtében mindkét test benyomódik, ezért h távolsággal közelebb kerülnek egymáshoz. 22 Így az eredeti érintkezési pont közelében a testek felületére nyomás hat. Ennek következtében a testek már nem egy pontban, hanem valamilyen kicsi, de véges felületdarab mentén érintkeznek. Legyenek uz és u; az egyes testek felületi pontjainak elmozdulásai (rendre a z és z' tengelyek mentén). Az lb ábrán szaggatott vonallal tüntettük fel a testek felületeit a deformációmentes esetben, folytonos vonallal pedig a testek benyomódott felületeit; a z és z' betűk a (9,1) és (9,2) egyenlőségek által meghatározott hosszakat jelölik. Mint a rajzról közvetlenülleolvasható, az érintkezési tartomány minden pontjában fennáll a (z+uz)+(z' +u~)= h,

vagy másképp írva, a (9,3) összefüggés. E tartományon kívül eső pontokban, ahol a felületek már nem érintkeznek, a z+ z' +uz+u;> h egyenlőtlenség áll f~nn. Válasszuk az x, y tengelyeket úgy, hogy a ;l{o:p+%~/l tenzor diagonális legyen. E tenzor főértékeit A-val és B-vel jelölve, 23 a (9,3) egyenletet a következő alakba írhatjuk át: (9,4)

Jelöljük PzCx, y)-nal az összenyomott testek között fellépő nyomást az érintkezési pontjaikban (az érintkezési tartományon kívül természetesen Pz =O). A Pz függvény és az uz, u; elmozdulások kapcsolatának felírásához a testek felületét elegendő· pontossággal síknak tekinthetjük, így alkalmazhatjuk az előző részben levezetett képleteket. A (8, 19) összefüggések közül a harmadik (8, 14) figyelembevételével megadja a normális irányú PzCx, y) erők hatására bekövetkező uz elmozdulást:

- 1-a2ffPz(x', y') d' d' E X Y, n r

Uz-

,

Uz

2 1-a' = - ffPz(x', y.')

nE'

r

dX , .d, Y

(9,5)

A rugalmasságtan érintkezési problémáját először H. Hertz oldotta meg. Az A és B mennyiségek az R 1 , R 2 és R~, R; görbületi sugarakkal az alábbi összefüggésben állnak: 22

23

.

l

l

l

l

2(A+B)= R1+R2+R~+R;'

2 (___!_-_!_) 2+(__!,- _I,) 2+ 2 cos 2rp(__!_- ___!_) (_I,-__!,), R1 R2 ~l R2 R1 R2 R1 R2

4( A- B) =

ahol rp az R1 és R~ görbületi sugaraknak megfelelő normálmetszetek által bezárt szög. A görbületi sugár előjele pozitív, ha a görbe középpontja a test belsejében van, ellenkező esetben negatív.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

49

9.§. SZILÁRD TESTEK ÉRINTKEZÉSE

(a, a' ésE,E' ~z egyes testek Poisson-számai, illetve Young-modulusai). Minthogy az érintkezési felületen kivül Pz = O,. az integrálást csak az érintkezési tartományra

kell elvégezni. Megjegyezzük, hogy a képletek értelmében az u~ hányados állandó: ~

.

(1'-a 2)E' u~ = (1-a' 2)E ·

Uz

(9,6)

A (9,4) és (9,6) összefüggések együttesen közvetlenül meghatározzák az uz és u; elmozdulásokat az érintkezési felület mentén. [A (9,5) és (9,6) képletek maguk természetesen e tartományon kivüli pontokra is érvényesek.] A· (9,5) kifejezést (9,4)-be helyettesítve kapjuk, hogy l-a . 1-a' 2 ) fiPz(x', -nl. ( -2+ -E'- · · r E

y')

d,x d,_ y - h- .Ax·-· B y . . 2

2

(9,7)

Ez az integrálegyenlet meghatározza a P2 nyomáseloszlási az érintkezési tartományban. Megoldását a pontenciálelméletből jól ismert összefüggésekkel való analógia alapján· kaphatjuk ·meg. Az analógia felhasználásának gondolatára az a tény vezet, hogy egyrészt a (9, 7) egyenlet bal oldalán álló integrál a potenciálelméletben előfor­ duló közönséges integrálokkal egyező típus ú (ezek az integrálok valamilyen töltéseloszlás által létesít~!t potenciál meghatát:ozásánál lépnek fel), másrészt az egyenletesen töltött ellipszoid belsejében a potenciáltér a koordináták kvadratikus függvénye. Ha az

háromtengelyűellipszoid belsejében egyenletes

a potenciáltér:

·

a töltéssűrűség, az ellipszoid belsejében

f{ 00

r:p(x,y, z)= neabc

x2 yz z2 } d~ 1- az+~:-bz+~- cz+~ V(a2+n(bz+~)(cz+~).

o

A z tengely mentén erősen összelapított ellipszoid határesetében (ez c tásnak felel meg) a fenti általános képletből:

= O válasz-

(A c -+ O határátmenetnél természetesen az ellipszoid belsejében levő pontok z koordinátáit is O-vá kell tennünk.) Másrészt a r:p (x, y, z) potenciál a r:p(x, y, z)=

dx' dy'- dz' fff V(.X- x')Ze+(yy') + (z- z') 2

4

2

Elméleti fizika VII. - 42 221/VII.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

--.--------

-------------------------~----------,--,

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

50

l. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

integrálalakban is felírható, ahol az integrálást az ellipszoid térfogatára kell kiterjesztenünk. A c -- O határeset;e áttérve, á gyökjel alatt z = z' = O helyettesítendő; z' sZ:erint elvégezve az integrálást a -c és c határok között, azt kapjuk, hogy

- ff - - lr

rp(x, y)- 2ec

dx' dy' r

V

x' 2 1- -y'2 a2 b2

(r= V(x-x') 2 +(y-y')2), ahol az integrálás az x: + Yb:

a

al::~,kját egyenlővé

téve, a

=l

ellipszis belsejére terjed ki. A rp (x, y) potenciál két

-

következő

_

,

azonosságot nyerjük:

Ezt az összefüggést a (9,7) egyenlettel összehasonlítva, látjuk, hogy mindkettőnek jobb oldalán x-nek és y-nak egy-egy azonos típusú kv:adratikus függvénye áll, bal oldalukon pedig azonos típusú integrálok. Ezért azonnal levonhatju)< a következtetést, hogy a testek érintkezési felületét [azaz a (9, 7)· ben szerepi ő integrál integráJási tartományát] az (9,9) ellipszis határolja, és hogy a PzCx, y) függvén~ a következő alakú:-~

Pz(x,y) =const·

V

x2 y2

1-á2 ~b 2 :

Az állandót úgy választjuk meg, hogy az érintkezési felületre vonatkozó_ JJPz dx dy integrál_ a két testet egymáshoz nyomó Ferővellegyen egyenlő:

Pz(x, y)

3F

= 2nab

(9,10)

E képlet megadja a nyomáseloszlást az érintkezési felület mentén. Érdekes megfigyelni, hogy 'a felület középpontjában ható nyomás az F/nab átlagos nyomás másfélszerese. (9,10)-et a (9,7) egyenletbe helyettesítve, a fellépő integrált a (9,8) kifejezésével helyettesítve, kapjuk, hogy

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

9.§. SZILÁRD TESTEK ÉRINTKEZÉSE

ahol

_ ~ ( l - d2 . 1 -a' 2)

D~ 4

E

+

E'

51

.

Ez az egyenlőség [a (9,9) ellipszis belsejében] x és y minden értékére azonosan teljesül; e~ért az x-et és y-t tartalmazó tagok, valamint az ezektől.független tagok együtthatóinak páronként meg kell egyezniük. Innen a következő összefüggésekhez jutunk: (9,11)

B_ FDf d~ - ~ (b2+~) Y(a2+~)(b2+€)(

(9,12)

o

A (9,12) egyenletek meghatározzák egy adott F er6'höz tartozó ellipszoid a és b féltengelyeit (A és B az adott testekre jellemző ismert mennyiségek). Ezután a {9,11) képletmeghatározza az összefüggést az F erő és a testek általalétrehozott h közeledése között. Az egyenletek jobb oldalán elliptikus integrálok állnak. A testek érintkezésére vonatkozó_ feladatot ezzel maradéktalanul megpldottuk. A testek felületének alakja (azaz az uz és u~ elmozdulások) az érintkezési tartományon kívül ugyancsak a (9,5) és (9,10) egyenletekbői határozható meg, sőt az integrálok értékét-a töltött ellipszoid.potenciáljá~ak analógiájára- azonnal megkaphatjuk; ebben az esetben azonban az ellipszoid~n kivüli potenciált kell vizsgálnunk. Végül az előző paragrafus eredrnényei alapján könnyű meghatározni a test bels~jében fellépő deformációkat is (természetesen a test méretéhez képest kis távolságokra szoritkozva). A kapott képleteket alkalmazzuk két R és R' sugarú gömb érintkezésének leírására. Itt A = B

= ~ (~ + ~') ;szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a= b, azaz

az érintkezési felület kör alakú. (9,12)-ből az érintkezési tartomány a sugarára kapjuk, hogy .! ( RR' (9,13) a= pa D R+R' a.

).!

j\z adott esétben h az R+ R' összeg és a gömbök középpontjai közötti távolság különbsége. (9,10)-bóllátható, hogy F és h között a következő összefüggés áll fenn:

(9,1'4) 4*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

52

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI 2

Megjegyezzük,_ hogy .h arányos ·FS:.nal, fordítva pedig: a gömböket összenyomó F erő arányos az általa létrehozott h közeledés i-ik hatványávaL Írjuk fel még az érintkező · gömbök

,

·

U pótenciális energiáját. Eszrevéve, hogy (- F)

au

= - fih , azonnal

kapjuk, hogy (9,15) Végül megmutatjuk, hogy a a

2

F ==const-h-2·

h= const-F3 ,

tlpusú összefüggés nemcsak gömbök esetén áll fenn, hanem más v~ges testek érintkezésénélis. Erről hasonlásági megfontolások segitségével könnyen meggyőződhetünk. 9

•

Hajtsuk végre az a2- ~a2, b2 -+ rxb2, F-+ rx 2F helyettesítést, ahol rx tetszőleges állandó. E transzformác6 során a (9,12) egyenletekváltozatlanok maradnak. A(9,11} egyenletben viszont a jobb oldal rx~val szorzódik; hogy változatlan maradjon, h-t . 8 cxh-valkell helyettesíteni. Ebbó1 következik, hogy F·nek h2-nel kell arányosnak lennie.

Feladatok 1. Határozzuk meg két rugalmasan ütköző golyó érintkezésének időtartamát.

Megoldás. Tömegközépponti koordináta-r~ndszerben ütközés előtt ~ golyók teljes energiája 2

'·

relatív mozgásuk "; kinetikus energiájával egyezik meg, ahol v. az ütköző golyók relatlv sebessége, l' = m1 m2 pedig redukált tömegük. Az ütközés alatt a teljes energia a ~+~

"2ft~ alakban felirha tó kine.

4v

tikus energia és a .(9,15) potenciális energia összege. Az energiamegmaradás törvél}ye szerint:

dh)2 % . . ~-' ( dt. +kh = p.v2'

k

RR'. R+ R' .

= SD

A golyók maximális h0 közeledése annak a pillanatnak felel meg, amikor

Az ütközés -c időtartama (miközben h O-tól h0-ig

T=2

J vv2-*h~ h,

o

www.interkonyv.hu

dh

·'

nő,

h eltünik, ekkor

majd ismét 0-ra csökken):

)!.

( f'2 =27(,25

v .

JV 1

dx

J

1-xf

o

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

10. §. KRISTÁLYOK RUGALMAS TULAJDONSÁGAI

53

vagy _ 4

7: -

y; r (i) (L)i _ (L)fl k2 - 2,94 k2 sr ( 10

9 )

v

.v

E feladat megoldásakor aszövegben előforduló sztatikusképleteket alkalmaztuk, a golyók ütközéskor fellépő rugalmas rezgéseit elhanyagoltuk. A közelítés alkalmazhatóságának feltétele az, hogy az ütközés v sebessége a hangsebességhez képest kicsiny legyen. Gyakorlatilag azonban az elmélet alkalmazhatósága még a fenti határ előtt megszünik, mert az ütközésnél fellépő deformációk olyan naggyá válnak, hogy az anyag már nem tekinthető rugalmasnak. 2. Határozzuk meg alkotójuk mentén egymáshoz nyomott hengerek A érintkezési felületének méreteit, és az ezeken a felületeken kialakuló nyomáseloszlást. Megoldás. Ebben az esetben az érintkezési felület a hengerek tengelyeivel párhuzamos keskeny sáv. 2a szélessége és a nyomáseloszlás úgy adódik, hogy a szövegben kapott képleteinkben végrehajtjuk a bja .... oo hl)tárátmenetet. A nyomáseloszlás ekkor: P.(x) = const•

V =: 1-

(x az érintkezési felület szélességének irányába mutató koordináta): Az összenyomó F erőt a hengerek egységnyi hosszára normálva, azt kapjuk, hogy

2Fv·~ P(x)=1--. • :n;cx, a2 Ezt a kifejezést (9,7)-be téve, az integrálást (9,8) segítségével végrehájthatjuk. Eredményünk:

A hengerfelület egyik görbületi sugara végtelen, a másik pedig a henger sugarával egyezik meg, ezért az adott esetben

Végül az érintkezési felület szélessége: vl6DF · RR'

a=

Jn

R+R''

10. §. Kristályok rugalmas tulajdonságai Kristályok izotermikus összenyomása során a szabadenergia mint az izotrop testeknél is a deformációtenzor kvadratikus függvénye. Ez a függvény kristályoknál az izotrop testek vizsgálata során tapasztaltakkal szemben nem két, hanem jóval több független állandót tartalmaz.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

- ---- ----

---------------------~

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

54

I. A RUGALMASSÁGTAN ÁLAPEGYENLETEI .

Deformált test szabadenergiájának általános alakja: {10,1) ahol a Atklm negyedrendű tenzor a rugalmassági modulus tenzora. Minthogy a deformációtenzor szimrnetrikus, a:z u1kulm szorzat nem változik az i indexnek k-val, l-nek m-mel, vagy az i, k indexpárnak az l, m párral való felcserélése során. Nyilvánvaló ezért, hogy a 1.1klm tenzor definiálható oly módon, hogy az indexek felcserélése során ugyanezekkel a tulajdonságokkal rendelkezzék:

Atklm Egyszerűen

= Akilm = Atkml = A[mlk ·

összeszámolható, hogy a fenti szimmetriatulajdonságokkal

(10,2) rendelkező

negyedrendű tenzor független elemeinek ,száma általános e~etben 21.

A szabadenergiára vonatkozó' (10,1) képlettel összhangban, a feszültségtenzornak a deformációtenzorral való összefüggése kristályokban a· következő alakot ölti (L még a 61. oldalon levő lábjegy?:etet): -

aF

-

atk = -0 = ~tklmUlm . . Utk

(10,3)

A kristály szimrnetriatulajdonságai összefüggéseket adnak a 1.1ktm tenzor különelemei között, ezért a ténylegesen független elemek száma 21-nél kisebb lehet. Tekintsük át ezeket az összefüggéseket minden lehetséges makroszkopikus szimmetriát figyelembe véve, azaz a megfelelő kristályrendszéfekbe sorolt kristályosztályok esetén. l. Triklin (háromhajlású) rendszet:,. Háromhajlású szimrnetria {C1 és q osztály) a l.iklm tenzor elemeire vonatkozóan riem jelent megszoritást, a koordináta-rendszer választásaaszimmetria ~zempontjából teljesen önkényes. Így mind a 21 rugalmassági modrilus különbözik nullától, és egymástób független~ A koordináta-rendszert megfelelő módon választva, ll 1.1ktm tenzor elemeire további feltételeket kaphátunk Minthogy a koordináta-rendszer irányítását a testhez képest három adat (három forgá.si szög) határozza meg, három· feltételt rtyerhetünk, a 21 komponense közül hármat például nullává tehetünk. Ekkor a kristály rugalmas tulajdonságait jellemző független mennyiségek a 18 nemeltűnőmodulus és akoordináta-rendszernek a testhez való Jegkedvezőbb irányítását megadó 3 szög. _ _. 2. Monoklin -(egyhajlású} rendszer. Nézzük a C3 osztályt; válasszuk koordinátarendszerünket úgy, hogy x, y síkja egybeessék a szimmetriasíkkal. Erre a síkra való tükrözés alkalmával a koordináták az x _..x, y _..y z_,_- z módon transzformálódnak Egy tenzor komponensei a megfelelŐ koordináták szorzataiként transzformálódnak Nyilvánv1:1ló ezért-, hogy az e:rn]ített transzformáció során a .l.iklm tenzor böző

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

55

1Q. §. KRISTÁLYOK RUGALMAS TULAJDONSÁGAI

valamennyi olyan Jéomponense, mely a z indexet páratlan számszor (egyszer vagy háromszor) tartalmazza, jelet vált, többi komponense pedig változatlan mara(!. Másrészt viszont a szimmetria következtében a kristály tulajdonságait jellemző mennyiségek (a Audm tenzor komponenseit is beleértve) a szimmetriasíkra való tükrözéskor változatlanoknak kell maradniuk Ebből kifolyólag a z indexet páratlan számszor tartalmazó komponenseknek el kell tűnniük Így tehát egyhajlású rendszerben kristályosodó anyag rugalmas szabadenergiája: l , z .l , z l , 2 , F -- 2/'xxxxU xx+21\yyyyU yy+21\zzzzU zz+l•xxyyUxxUyy

__L 1

(10,4)

Ebben a képletben 13 független állandó szerepel. Ugyanilyen kifejezés adódik a C 2 , valamint a C 2h osztály esetében is. Ez utóbbi két szimmetriaelemet (C2 és a11 ) tartalmaz. A fenti megfontolások során láttuk, hogy a kristály szimmetriatulajdonságai csak egy koordinátatengely választási módjáthatározzák meg, az x, y tengelyek választása a z-re merőleges síkban tetszőleges marad. Ezt a lehetőséget felhasználhatjuk :arra, hogy a 13 független állandó közül egyet, például Axyzz-t nullává tegyünk. Ekkor a kristály rugalmas tulajdonságait meghatározó, nullától különböző modulusok száma p, ezektől függetlenül meg kell adni az x és y tengelyeknek a kristályhoz viszonyított irányát rögzítő szöget. 3. Ortorombos (rombos) rendszer. E rendszer valamennyi osztályában (C2D, D 2 , · D 2h) a koordinátatengelyek választási módját egyértelműen előírja a. szimmetria, a szabadenergiára az egyes osztályok esetéil azonos alakú kifejezés adódik. Tekintsük például a D 2h osztályt, vegyük fel a koordinátasíkokat a kristály három szimmetriasíkjában. E síkok bármelyikére vonatkozó tükrözés olyan transzformáció, melynek során az egyik koordináta jelet vált, a niásik kettő pedig változatlan marad. Nyilvánvaló ezért, hogy a A;ktm tenzor elemei közül azok maradnak nullától különbözők, amelyeknek indexei között az x, y vagy z jelek páros számszof fordulnak elő; az összes többi komponens jelet vált valamelyik szimmetriasíkra való tükrözéskor. A szabad. energia általános kifejezése tehát rombos kristályrendszer esetén a következő alakot .ölti:

(10,5)

E kifejezés mindössze kilenc rugalmassági modulust tartalmaz.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010 \

56

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

·_

4. Tetragonális (négyszöges) rendszer. Tekintsük a C4" osztályt. Válasszunk olyan koordináta-rendszert, amelynek; z tengelye egybeesik a C4 tengellyel, az x, y tengelyek . pedig merólegesek két függő!eges szi:tnmetriasikra.. E két síkra való tükrözés rendre a következő koordinátatranszformációt jelenti: x -+-x, y-+ y, i-+ z és x-+ x, y -+-y, z -+ z; ennek megfelelően a 'Aiklm tenzor valamennyi olyan eleme eltűnik, amely páratlan számszor tartalmaz azonos indexeket. Továbbmenve, a C4 tengely körüli 17:/4 szögű forgatás az x-+ y, y-+ -x, z-+ z transzformációnak felel meg. Innen a következő összefüggések származtathatók: Axxxx = Ayyyy ,

Axxzz

=

Ay-!'zz,

Axzxz = Ayzyz,

A C4" osztály többi transzformációja a fenti feltételekhez képest nem ad .újat. Négyszi;)ges rendszerben kristályosodó anyagok szabadenergiája tehát

(10,6)

Ez a kifejezés mindössze 6 rugalmassági modulust tartalmaz. Ugyanilyen eredményt kapunk a négyszöges rendszer más olyan osztályai esetén is, amelyekben a koordináta-rendszer megváíasztását a szimmetria egyértehnűen előfrja (D2d, D 4, D4h). A C40 S 4, C4h osztályokban csak egy tengely (z) választása egyértelmű: ezt a C 4 vagy S 4 tengely mentén kell felvenni. Ez esetben aszimmetriakövetelmények [a (10,6)-ban szerepló'k mellett] megengedik az alábbi komponensek megjelenését: Axxxy

= - Ayyyx ;

Az x, y tengelyek irányának megfelelő választásával elérhető, hogy ezek a komponensek eltűnjenek, amikor is F ismét a (10,6) alatti alakot ölti. 5. Trigonális (romboéderes) rendszer. Vizsgáljuk a C3" osztályt, válasszunk olyan koordináta-rendszert, melynek.• z tengelye a harmadrendű tengely irányába mutat, . az y· tengely pedig merőleges az egyik függőleges szimmetriasíkra. Hogy világosan' lássuk, milyen megkötéseket ad a C3 szimmetriatengely léte a 'Aiklm tenzor elemeire, célszerű egy formális transzformációt végrehajtani; bevezetjük a ~. 'YJ komplex "koordinátákat": ~ = x+iy, 'YJ = x-iy, a z koordinátát pedig változatlanul hagyjuk. Ebben az új "koordináta-rendszerben" kifejezzük a 'Aiklm tenzort is; komponenseinek indexei most a ~. 'YJ, z értékeket vehetik

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

57

10. §. KRISTÁLYOK RUGALMAS. TULAJDONSÁGAI

fel. Könnyen belátható, hogy a C 3 tengely körül végzett 120°-0S forgatásnál a "koordináták" így transzformálódnak: 2 ni

2 ni

A kristályszimmetriák miatt a 'A1~1m komponensek közül csak a fenti transzformáció során változatlanul maradók különböznek nullától. Nyilvánvaló, hogy e. követelménynek azok a komponensek tesznek eleget, amelyeknek indexei között ~ vagy 17

(e2ni)3 -3 =e

[

háromszor ismétlődik hiszen 2"1

(

elő, mint 17 minthogy e 3 e

2" 1

-2ni 3

].

=

l , vagy

.

~ ugyanannyis~or

fordul

)

=l

. Ilyenek a

következő elemek:

Az y tengelyre merőleges szimmetriasíkra való tükrözés az x -+ x, y __,.-y, z -+ z transzformációnak felel meg, vagy a ~' 17 mennyiségekkel kifejezve: ~ -- YJ, 17 ->- ~. Minthogy e transzformáció során 'A~~~z átmegy 'A'1'1'1z-be, e két komponensnek egyenlő­ nek kell lennie. Így tehát a romboéderes rendszerben kristályosodó anyagok 6 független rugalmassági modulussal rendelkeznek. A szabadenergia kifejezésének képzé-

séhez az

l

2

A;kbnu1kulm

összeget kell kiszámítani, ahol az

összegező

indexek a

~' Y), z

értékeket veszik fel. Mirithogy azonban F-et a deformációtenzor x, y, z koordinátákban megadott összetevőivel akarjuk kifejezni, a ~' YJ, z ,,koordinátákban" felírt komponenseket át kell írnunk az x, y, z koordináta-rendszerbe. Ez a művelet könnyen elvégezhető, hiszen az u1k tenzor komponen~ei úgy transzformálódnak, mint a megfelelő két koordináta szorz;:tta. Így például

amiből

következik, hogy

Eredményül F F

következő

= } AzzzzU;z+2A~'1~,/Uxx+Uyy)2+'A~~'1'1[(Uxx-Uyy)2+4u~y] + -~.

www.interkonyv.hu

kifejezését kapjuk:

+ 2A,;7Jzz(Uxx + Uyy )uz;+ 4A"z'lz(U~z +u;z)+

(10,7)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

58

I. ARUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI l

E képlet 6 független állandót tartalmaz. Ugyanilyen eredmény adódik a Ds és D3d osztályok esetén is. A Cs és S 6 osztályoknál, ahol az x, y tengelyek választása önkényes· marad, a szimmetriakövetelmények megengedik, hogy a 'Amz-A'1'1'7z különbség ne tűnjék el. Az x, y koordinátatengelyek_megfelelő választásával azonban ez a kifejezés is nullává tehető. 6. Hexagonális (hatszöges) rendszer. Tekintsük a C6 osztályt, válasszuk a koordináta-rendszert úgy, hogy z tengelye egybeessen 6-od rendií szimmetriatengellyel. Vezessük be ismét a ,; = x+ iy és T) = x- iy "koordinátákat". A z tengely körül végrehajtott n/~ szögű forgatás alkalmával a;, T) koordiriáták így transzformálódnak:

a

2ni

---' ; _. ;e 6 . ,

2ni

T)

-+

T) e

6 •

Ebbó1látható, hogy a 'A1kzm tenzornak csak azok a komponensei különböznek nullá.., tól. amelyeknek indexei között ; és T) ugyanannyis:z;or fordul elő. Ezek a következők:

A hatszöges rendszer további lehetséges szimmetriái nem adnak __!!jabb megkötéseket. A független modulusok száma mindössze öt. A szabadenergia az alábbi alakú: F =

~ AzzzzU;z+2'AL''1~'1(Uxx+Uyy)2 +A~~ 17 [(Uxx-Uy)l+4u~yJ +

(10,8)

Meg kell jegyeznünk, hogy az x, y síkban végbemenő deformáció (nullától csak uxx• Uyy és uxy különbö.zik) meghatározásá~oz két deformációs állandó szükséges (akárcsak az izotrop testek esetében); más szóval a hexagonális rendszerbe tartozó kristályok a hatodrendű tengelyre· merőleges síkban való deformáció során izotrop· testként viselkednek Ebből kifolyólag a koordinátatengelyek irányának megválasztása e síkban tel'jesen közömbös, Falakját semmiképpen sem befolyásglja. A (10,8) kifejezés ezért a hatszöges rendszer valamennyi osztályára érvényes. 7. Köbös (szabályos) rendszer. Irányítsuk az x, y, z koordinátatengélyeket a köbös rendszer három negyedrendű tengelyének megfelelően. Láttuk, hogy a 'A1klm tenzor független komponenseinek számát négyszöges szimmetria (a z tengely negyedrendű sz~mmetriatengely) is 6-ra csökkentette; a következők maradtak meg:

Az x és y tengelyek körül végzett 90°-0S elforgatások rendre a következő transzformációkra vezetnek: x-+ x, y -+-z, z·_. y és x-+ z, y-+ y, z ---x. Emiatt a fel-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

10. §. KRISTÁLYOK RUGALMAS TULAJDONSÁGAI

59

írt 6 komponens közül az első a másodikkal, a harmadik a negyedikkel és az ötödik a hatodikkal egyenlő. Marad tehát végül három különböző rugalmassági modulus. Köbös szimmytriájú kristályok szabadenergiájának alakja:

(10,9)

Írjuk fel JJ1ég egyszer a független paraméterek (rugalmasságimodulusok vagy koordinátatengelyek irányítását meghatározó szögek) számát a különböző rendszerek egyes osztályai esetén : triklin monoklin ortorombos tetragonális (C4 , S 4 , C 4h) tetragonális (C4v, D 2d, D 4 , D 41,) trigonális (C3 , S 6) trigonális (C 3v, D 3, D 3d) hexagonális köbös

21 13

9 7 6 7 6 5 3

A nullától különböző modulusok minimális száma, melyet a koordináta-rendszer megfelelő

választásával elérhetünk, egy adott rendszer valamennyi osztálya esetén

azonos: triklin monoklin ortorombos tetragonális trigonális hexagonális köbös

18 12 9 6 6 5 3

A mondottak természetesen egykristályokra vonatkoznak. Polikristályos anyagok, amennyiben az azt felépítő krisztallitok elegendően kicsik, izotrop testeknek tekinthetők (feltéve, hogy a kdsztallitok méreteihez képest nagy szakaszokon végbemenő deformációkkal foglalkozunk). Mint minden izotrop test, egy polikristályos anyag is két rugalmassági állandóval jellemezhető. Az első pillanatban azt gondolhatnánk, hogy ezek a modulusök az egyes krisztallitok modu,lusaiból egyszerű átlagolással nyerhetők. A valóságban azonban nem ez a helyzet. Ha egy polikristály deformációját az őt felépítő krisztallitok deformációjának eredményeként tekintjük, elvben meg

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

60

I. A RUGALMASSÁGTAN ALAPEGYENLETEI

kellene oldani mindenegyes krisztallitra vonatkozó egyensúlyi egyenletet az őket elválasztó félületeken fennálló határfeltételek figyelembevételével. Innen látható, hogy a~ egészében vizsgált kristály, valamint az őt felépítő krisztallitok rugalmas tulajdonságainak kapcsolata függ a krisztallitok konkrét alakjától és a kölcsönös beállásuk korrelációjátóL Ezért egy adott anyag egykristályainak és polikristályainak rugalmas állandói között általános kapcsolat nem áll fenn. Egy izotrop polikristály rugalmassági állandóinak számítása az anyag egykristályainak rugalmas tulajdonságai alapján csak akkor végezhető el me,gfelelő pontossággal, ha ez utóbbi rugalmassági szempontból elegendően kis anizotrópiát mutat. 24 Első közelítésben egy polikristály rugalmassági modulusait egyszerűen az egykristály. rugalmassági modulusainak "izotrop részével" tehetjük egyenlővé. A következő közelítésben e modulusok kis "anizotrop részében" négyzetes tagok jelennek meg. Meg lehet mutatni, 25 hogy ezek a járulékos tagok függetlenek a krisztallitok alakjától és kölcsönös beállásuktól, így általános alakbari kiszámíthatók. Végül foglalkozunk még kristályok hőtágulásávaL Izotrop testekben a hőtágulás minden irányban azonos módon megy végbe, ezért a deformációtenzor alakja szabad hőtágulás esetén: (1. a 6. §-t): U;k

ahol o: a

hőtágulási

l

= 3rx(T- To) b;k ,

együttható. Kristályok esetén ezt kell írnunk: IX'k

U;k

(10,10)

=-j-CT-To),

itt rx;k egy szimmetrikus másodrendű tenzor. Határozzuk meg e tenzor független elemeinek számát különböző kristályrendszerek esetén. Ebből a célból a legegyszerűbb a tenzoralgebrának azt az ismert eredményét felhasználni, amely szerint. minden másodrendű szimmetríkus tenzornak egy tenzorellipszoid feleltethető meg. Szimmetriamegfontolásokból közvetlenül kitűnik, hogy triklin, monoklin és ortorombos szimmetria esetén az r/._;kX;Xk = l által meghatározott tenzorellipszoid háromtengelyű (azaz három főtengelyének hossza páronként különböző). Tetragonális, trigonális és hexagonális szimmetriák esetén az rx;kX;Xk = l-nek megfelelő alakzat forgásellipszoid (melynek tengelye rendre a CM c3 vagy c6 szimmetriatengely irá. nyába esik). Végül köbös rendszeresetén a tenzorellipszoid gömbbé fajul. Egy háromtengelyes ~llipszoid meghatározásához három adat (a tengelyek hossza) szükséges,

'

"Majdnem izotrop", pl. köbös kristályok esetén a A="- Axxuu- 2Axuxu ki.ilönbségnek kicsinek kell lennie. 25 Lásd I. M. Lifsic és L. N. Rozencveig [ZSETF. 16, 967 (1946)]. 24

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

.... l Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

61

10. §. KRISTÁLYOK RUGALMAS TULAJDONSÁG~!·

forgási ellipszoidot két adat, gömböt természetesen egy adat határoz meg. Így tehát az rxik tenzor független elemeinek száma különböző kristályr~ndszerek esetén: triklin, monoklin, ortorombos tetragonális, trigonális, hexagonális köbös

3 2 l

Az első három rendszerbe tartozó kristályokat kéttengelyűeknek, a második három rendszer kristályait egytengelyűeknek nevezzük. Figyeljük meg, hogy köbös szimmetriájú kristályok hőtágulása egyetlen 1llennyiséggel jellemezhető, azaz· hőtágulás során az ilyen anyagok izotrop közegként viselk

2F cos rp

Urlrl

= ---;; -;:;--1 '

c21 a'z't

2F cos rp2 =.,...-n -;:;--'

m

Grl'PL = afP,IfJJl =

l

a,,m, .,-

o,

= am,m, = O' •

."

ahol rl> rp 1 és r 2, rp 2 egy tetszőleges P pont polárkoordinátái rendre A és B kezdőpontú koordinátarendszerben (ezek azok a feszültségek, amelyek félsík határán ható nomális irányú F erő következtében lépnének fel, lásd a 2. feladatot). A harmadik feszültségeloszlás:

ez meghatározott mértékű egyenletes tágulásnak felel meg. Valóban: ha a P pontakorong kerületén fekszik, akkor r 1 = 2R cos rpr. r 2·= 2R cos rp 2 , tehát

'2> a,l,.l = a,2,2

=

F -nR .

Minthogy az r 1 és r 2 irányok ebben a pontban egymásra merőlegesek, láthatjuk, hogy az első két feszültségeloszlás akorong határán egyenletes összenyomást ad; ezek az erők a harmadik eloszlásból · származó feszültségekkel éppen kompenzálják egymást, így a korong kerülete, ahogy kell, feszült· ségmentes.

5. Végtelen kiterjedésű lemezen kör alakú nyílás van. A. lemezt egyenletes megn)'1.'ijtásnak vetjük alá. Határozzuk meg a feszültségeloszlást.

Mego/dás. Folytonos lemez egyenletes megnyújtásának a a~ = T, a~~ = a: = O feszültségei• oszlás felel meg, ahol T a megnyúlást létrehozó erő. Ennek a feszültségeloszlásnak a x 2 < 6> 1• Keressük az

E6> 2X"" +l T IX" = O egyenlet megoldását

X= A+Bz+Csin kz+D coskz

nTT . . - k = 1Y:&e;

alakban, ahol különböző

Az X = O, X"

= O,

ha z

= O,

l határfeltételeket

kielégitő,

nullától

megoldás:

X= Csinkz, és sin kl= O is teljesül. Innen a.kritikus erő:

A stabilitás elvesztése után a rúd a 19a ábrán látható alakot veszi fel. 2. Ugyanez a feladat befogott

végű

rúd.,.esetén (19b ábra).

Megoldás:

3. Ugyanez a feladat, ha a rúd egyik vége befogott, a másik szaba·d (19c ábra). 9

Biméleti fizika VII. - 42 221/VII.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

.

-·----------~--

1

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

130

Ú. RUDAK ÉS LEMEZEK EGYENSÚLYA

T

19. ábra Megoldás:

4. Határozzuk!meg a kritikus nyomóerőt (kör keresztmetszetű) végein csuklósan rögzített, rugalas alápon nyugvó rúd esetén (1. a 20.§ 7. feladatát). Megoldás: A (21,1) egyenlet helyett most az

E@X"" +ITI X" +o.:X = O egyenletet kell vizsgálnunk. Az l. feladatéhoz hasonló elemzés a következő eredményt adja: . n:n: X = A sm 1 z,

n-nek azt az egész értékét kell vénni, amely mellett Tkr minimális. Elegendően nagy ex érték esetén n > l adódik, ami azt jelenti, hogy ·a stabilitás elvesztése után a rúd több "púppal" rendelkező alakot vesz fel. 5. Mindkét végén befogott, kör keresztmetszetű rudat megcsavarunk Határozzuk meg a csavarodás kritikus értékét, 'amelynél nagyobb csavarodás esetén az egyenes rúdalak instabillá válik. Megoldás. A csavarodás kritikus értékénél megcsavart rúd gyenge hajlitásának egyenleteiben nullától különbözö megoldás is megjelenik. Ezeknek az egyenleteknek a levezetéséhez a forgatónyomaték (19,7)alatti

kifejezését (T csavarodásállandó) behelyettesítjük a (19,3) egyenletbe. Az adódik, hogy

Differenciáljuk ezt az egyenletet l szerint. Minthogy gyenge hajlitással foglalkozunk, az els5J és a harmadik tag deriváltjának képzésekor a t vektort állandónak, t 0 -nak vehetjük,' amely a rúd tenge-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

13 l

21.§. RUGALMAS RENDSZEREK STABILITÁSA dF

lyének (z tengelynek) irányába mutat. A rúd mentén külső erők nem hatnak, ezért di = O. Így tehát

vagy komponensekben: Y'"'- uX"' = O,

X"" +uY'"= O, ahol· u =

C~

~

. Ismeretlen függvényként a .

~=

X+ iY kifejezést bevezetve, a

~""- i u~"' =

O egyen-

!etet kapjuk. A ~ = O, ~, = 0, ha z = O, vagy z = l határfeltételeknek eleget tevő megoldást.~ = = a( l+ iuz- e1"')+bz2 alakban keressük; az a-ra és b-re kapott egyenletek összeférhetőségének 2+iul ul ul . ul feltétele: ei"! = -2 . l , ahonnan-;;-- = tg -2 . Ennek az egyenletnek a legkisebb gyöke:- = 4,49, -m ~ 2 tehát 8,98E0 Tkr

6. Oldjuk meg az

ei"!

=

~=

feladatot, ha a rúd vége csuklósan rögzített.

(t- ef""'-- u2 z 2

+bz megoldást kapjuk, és a u meghatározására adódó fell, azaz ul= 2n:. Ennek megfelelőell a keresett kritikus csavarodás:

Megoldás. Itt a

tétel:

előbbi

=---cl •

a

7. Határozzuk meg nehézségi határát.

2)

erőtérben függőlegesen

álló, alsó végén befogott rúd stabilitási dF

Megoldás. AzF. = T longitudinális feszültség változik a rúd mentén. (20, l) első tagjában d;

;é

O,

igy (20,14) helyett az alábbi egyenletek adódnalc: ®2 EX""- (TX')'- K., = O, ® 1 EY""- (TY')'- Kv = O.

Esetünkben transzverzális irányú hajlítóerő nem lép fel, míg T = - q€/- z), ahol q a rúd egységnyi elarabjának súlya. (t-t a rúd alsó végétől mérjük.) Feltéve, hogy @ 2 < el> a @ 2 EX'"

":: TX' =-q(/- z)X'

egyenletet vizsgáljuk. (z= l-nél az X"' = O feltétel automatikusan teljesül.) az u = X' függvényre integrálással a következő alakot kapjuk:

Ebből

az

egyenletből

ahol

9*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

II. RUDAK ~S LEMEZEK EGYENSÚLYA

132

A hatátfeltét"lek: X' = O, ha z = 0, és X" = O, ha z =_l. Ez az u(TJ) függvényre a u

E feltételek b

"lo

= O,

.

ha 't'J

2 lf q/3 Ee a ,

y

== TJo = 3

.!

l

u 1} 3

= O,

'

ha 't'J

következőt

adja:

= O.

= Omellett elégíthetök ki. Marad, hogy J-.! ("ló) = O. Az egyemet legkisebb gyöke ~

= 1,87, amiből a 1critikus hosszra az l

ikr

= 1,98 ( E:a) 8

értéket kapjuk. 8; Hosszúkás keresztmetszetú .rudat Vizsgálunk, amelyre e,» e 1• Á rúd egyik vége befogott; a másik, szabad végére/erő hat, amely az x, z sikban meghajUtja a rudat (e sikban a rúd hajlítási szilárdsága Ee 2). Határozzuk meg azfkr kritikus értéket, amelynél nagyobb erő hatására az égy sik· ban meghajUtott rúd elveszti stabilitását, oldalirányban (y, z síkban) megh!\ili~ és megcsavarodik. . · ··

Megoldds. Minthogy azEe 2 hajlitási szilárdság sokkal nagyobb Ee 1-hez (és a C csavarási sZilárdsághoz) képest,21 az olda~irányú hajlitással szemben mutatott instabilitás már az x, z sikban történő gyenge hajlitás mellett fellép. Ahhoz, hogy az instabilitás bekövetkeztének paramétereit meghatározhassuk, fel kell irni az oldalirányú gyenge hajlitás egyenleieit, megtartva benne az x, z sikban ható 1 erőnek a kis kitérésekkel való szorzatait. M:inthogy a pontszerú erő a rúd, szabad végén hat, a rúd mentén mindenütt F = f, a szabad végen (z= l) M =O; a (19;6) szerint meghatározhatjuk a hajlitónyomáték összetevőit a térben rögzitett x, y, z koordináta-rendszerben:

M.,

= O,

Mu =:' (/-z)/, M. = (Y- Y 0)/,

ahol Y0 = Y(l). Vetítsük eze~et a nyomatékokat a rúd egyes pontjaiban-rögzitett ~. 't'J, Ckoordinátatengelyekre; az elsőrendű tagokig bezárólag: M~

'

M 11 = (/-z)/, dY (1-z~fdZ +/(Y-Y0),

= rp(/- z)/, ·

Me=

=

ahol rp az adott keresztmetszet elfordulása csavaráskor {a T

d; csavarodás_ most nem állandó).

Másrészt viszont (18,6) és (18,9) alapján gyenge hajlitás esetén:

E két_Idrejezést összehasonlitva, kapjuk, hogy Ee 2X" = (l- z)f, Ee 1Y" =-:-rp(l-z)f, 11

- .· Crp'

= (/-z)/Y'+(Y-Y )f. 0

Például egy keskeny b és h oldalú (b » h) téglalap keresztmetszet esetén

Ee 1 ~

www.interkonyv.hu

l

· _··

·E

U bh3E; Ee 8 = b3 h 12

; C

7= bh~

p

3'.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

21.§. RUGALMAS RENDSZEREK STABILITÁSA

133

Az első egyenlet a rúd x, z síkbeli meghajlasát írja le. Meghatározandó tehát az az f érték, amelynél a második és harmadik egyenletnek nullától különböző megoldása van. Y kiküszöbölésével:

Ennek az egyenletnek általános integrálja:

= O) a rp = O határfeltételnek kell fennállnia, szabad végén pedig a csavarónyomaték Crp' = O. A második feltételből a = O, az első tehát .ezt adja: J -t (k~) = O. Ennek az

A rúd befogott végén (z

.

k[2

egyenletnek a l€;gkisebb gyöke 2

= 2,006, igy a kritikus érték: l" lkr -

www.interkonyv.hu

4,01Jf~. [2

·

•

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

III. FEJEZET

RUGALMAS HULLÁMOK

22. §. Rugalmas hullámok izotrop közegben Amikor a deformált test belsejében mozgás megy végbe, hőmérséklete általában nem állandó, hanem időben és a testben· pontról pontra változik. Emiatt tetszés szerinti mozgások esetére érvényes, elhanyagolásmentes általános mozgásegyenlet rendkívül bonyolulttá válik. Legtöbbször azonban egyszerűsödik a helyz;et, minthogy a test egyes részei között · a h őcsere (mely egyszerű hővezetés útján történik) igen lassan játszódik le. Ha a testben végbemenő rezgőmozgás periódusideje alatt gyakorlatilag nincs hőcsere, a test minden egyes részét termikusan szigeteltnek tekinthetjük, azaz a mozgást adiabatikusnak vehetjük. Adiabatikus deformációk esetén a;k-t u;k-yal aszokásos összefüggések kapcsolják ossze: Különbség csak az állandók számértékében lép fel: E és a szokásos ("izotermikus") érték:ei helyett adiabatikus értékeiket kell használni (1. 6.§). Az alábbiakban mindenütt feltételezzük, hogy ·az említett fe1tevés teljesül. Ennek megfelelően ebben a fejezetben E-vel és a-val rendre a· Young-modulus és a Poisson-szám adiabatikus értékét jelöljük. Rugalmas közeg mozgásegyenletét úgy kapjuk, hogy a belső feszültségekből származó

~aik érőt az Ü; gyorsulásnak és ai egységnyi térfogat tömegének (a test e sűrűsévxk

.

gének) szorzatával tesszük egyenlővé:

' (22,1)

Ez a mozgásegyenlet általános alakja. . Izotrop Tugalmas közeg esetén [a (7,2) egyensúlyi egyenlet analógiájára] közvetlenül írhatjuk, hogy ..

eu =

www.interkonyv.hu

E 2(1 +a)

E dd. (1-2a) gra lV U.

LU+ 2(1 +a)

(22,2)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

22.~. RUGALMAS HULLÁMOK IZOTROP KÖZEGBEN

135

lVIivel feltevésünk szerint valamennyi deformáció kicsi, a rugalmasság elméletének keretében vizsgált mozgások is kicsinyek; szokásos ezért a rugalmas rezgés vagy hullám elnevezés. Először a rugalmas síkhullám tulajdonságait tánulmányozzuk. Ennél a rezgésformánál az u deformáció (az idő mellett) csak egy koordináta; mondjuk x függvénye, (22,2)-btm minden y és z szerinti derivált eltűnik, u különböző komponenseire a következő egyenletet kapjuk: (22,3) (uz-re ugyanolyan egyenlet érvényes, inint uY-ra.) Itt az alábbi jelöléseket használtuk:!

1/ Ct=

E(l-a)

1f

v e(l+a) (l-2tr)'

Ct=

E

v 2e(l+a).

(22,4)

A (22,3) egyenletek egydimenziós hullámegyenletek, a bennük szereplő c1 és ctmenynyiségek a hullámok terjedési sebességei. Látjuk, hogy a hullám terjedési sebessége más az ux, és más az uY, u,. komponenseiere vonatkozóan. A rugalmas hullám tehát lényegében két függetlenül terjedő hullámk~nt viselkedik. Az egyikben az ux elmozdulás a hullám terjedési irányába esik; az ilyen hullámot longitudinálisnak nevezzük, terjedési sebessége c1. A másik hullám esetén az uY, uz elmozdulás a terjedési irányra merőleges síkban történik; az ilyen hullámot transzverzálisnak nevezzük, terjedési sebessége c1• (22,4)-ből látható, hogy atrauszverzális hullámok terjedési sebessége mindig nagyobb, mint a longitudinálisoké. Nevezetesen mindig igaz a következő egyenlőtlenség :2

(22, 5)

A c1 és c~ sebességeket longitudinális, illetve transzverzális hangsebesség11ek mondjuk. Tudjuk, hogy a deformáció során bekövetkező térfogatváltozás a deformációtenzor átlójával (a főátlójában álló elemeinek összegével), azaz Ílu = div u-val egyezik meg. A transzverzális hullám csak az uY, uz komponenseket tartalmazza: nlinthogy ezek sem y-tól, sem z-tó1 nem függnek, ilyen hullám esetén div u = O. Ez azt jelenti, hogy a transzverzális hullámokkal térfogatváltozás nem jár együtt. 1 A c1 és c1 mennyiségeket kifejezhetjük a kompressziómodulus és a torziómodulus vagy a Laméállandók segitségével:

_v

Cz -

3K+4~ -~v A+2~t . -'

3e

e

.:__ ~ -.

Ct-

e

2 Mintl10gy a gyakorlatilag csak O és 1/2 között változik (l. az 5.§ második lábjegyzetét), fennáll, hogy

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

13'6

III. RUGALMAS HULLÁMOK

Longitudinális hullámok terjedése során viszont div u ~ O, a testben sűrűsödések és ritkulások keletkeznek. A végtelen közegben terjedő rugalmas (nem okvetlenül sík) hullámok általánosan is felbonthatók két különböző sebességgel függetlenül terjedő részre. Írjuk át a (22,2) egyenletet a c1 és c1 sebességek bevezetesével: ü= c~ .6.u+(cr-cn grad div u.

(22, 6)

Az u vektort felbontjuk két tag összegére: U= U[+Ut,

(22, 7)

és megköveteljük, hogy u1 elégítse ki a divut =O

(22, 8)

rot u1 =O

(22, 9)

feltételt, urre pedig a feltétel teljesüljön. A vektoranalízisből ismeretes, hogy ilyen felbontás mindig lehetséges (ez egy vektornak egy rotáció és ~gy gradiens összegeként való előállitása). Az u= u1+u1 összeget (22,6)-ba helyettesítve: (22,10) Alkalmazzuk az egyenlet mindkét oldalára a div operációt. Minthogy div u1 = O, kapjuk, hogy vagy dív (Ü,-

cr .6.U1) =

0.

Másrészt a zárójelben álló kifejezés rotációja (22, 9) ért~mében szintén nulla. Ha azonban egy vektor rotációja és divergenciája az egész térben eltűnik, maga a vektor is eltűnik. Így tehát (22,11) Hasonló módon a (22,10) egyenletre a rot operátort alkalmazva, rot u1 = O :figyelembevételével, kihasználva, hogy minden gradiens rotációja azonosan eltűnik: •• 2. ) -o rot ( U . 1 - c, .6. ut -

A zárójelben álló vektor divergenciája azonban szintén nulla, igy ismét (22,11)-hez hasonló eredményt kapunk: (22,12)

www.interkonyv.hu

/ Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

137

22.§. RUGALMAS HULLÁMOK IZOTROP KÖZEGBEN

A (22, ll) és (22, 12) összefüggések közönséges (háromdimenziós) hullámegyenletek. megfelel egy-egy c1, illetve ct sebességgel terjedő hullámnak. E hullámok egyike (u1) a div ut = O következtében nem jár térfogatváltozással, a másik (u1) hullámot sűrűsödések és ritkulások kísérik. A monokromatikus rugalmás hullám·elmozdulásvektora így írható: Me~oldásuk

u

= Re {uo(r)e-iwt},

(22,13)

ahol uo csak a koordináták függvénye. Ez a függvény a c~ .6u0

+(cr-:-cD grad div u0 +w2u0

=O

(22,14)

egyenletnek tesz eleget, amelyet (22,13)-nak (22,6);-ba való helyettesítésével nyerhetünk. Monokromatikus hullám esetén a longitudinális és transzverzális rész a következő egyenleteket elégíti ki : (22,15) ahol ki

w

w

CJ

C1

= -, k 1= - a longitudinális és a transzverzális hullámvektor abszolút

értéke. Végül vizsgáljuk meg monokromatikus rugalmas hullám két különböző rugalmas közeg határán bekövetkező törését és visszaverődését. Figyelembe kell venni, ·hogy a hullám. jellege törés, illetve visszaverődés során. általában megváltozik. Még ha a határfelületre tisztán longitudinális vagy tisztán transzverzális hullám esik is, az ered,. ményül adódó hullám longitudinális és transzverzális részt egyaránt tartalmaz. A hullám jellege (mint ez szimmetriamegfontolásokból kitűnik) csak akkor nem változik, ha a hullám a két közeget elválasztó felületre merőlegesen esik, illetve transzverzális hullám tetszőleges szögű beesésekor, amennyiben a rezgés a határsíkkal párhuzamos. A visszavert és a megtört hullám iránya közvetlenül meghatározható a frekvenciából, valamint a hullámvektornak a két közeget elválasztó felület érintő síkjába eső komponense állandóságábói.S Legyen 1} a beesési, 1}' a visszaverődési (vagy törési) szög, c és c' pedig a vizsgált két hullám sebessége. Ekkör sin 1} c sin 1}' =:= ?

-·

·

(22,16)

Legyen például a beeső hullám transzverzális. Ekkor c= c11 a transzverzális hullám sebessége az első közegben. A visszavert transzverzális hullámra is fennáll, . hogy c' = cw ezért a (22,16) képlet szeririt: 1} 3

Lásd a Hidrodinamika 65. §-át. Az ott

www.interkonyv.hu

= 1}',!

előadott

érvek itt is niaradéktalanul alkalmazhatók.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

"

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

138

III. RUGALMAS HULLÁMOK

azaz a beesési és a visszaverődési szög megegyezik. -A visszavert ·longitudinális hullám sebessége c' = c11, igy

A transzverzális megtört hullámra c' = c12, és transzverzális beeső hullám esetén sin{} sin{}' =

Ct l Ct2

Teljesen hasonló módon a megtört longitudinális hullámra sin{} c1 1 = sin{}' c12 •

Feladatok l. Longitudinális monokromatikus hullám vákuumból rugalmas közeg felületére esik. Határozzuk meg a visszaverődési együtthatót. 4

Megoldás. A visszaverődésnél általában longitudinális és transzverzális hullám egyaránt fellép. Szimmetriamegfontolásokból kitűnik, hogy a visszavert transzverzális hullám elmozdulásvektora teljes egészében a beesési síkban fekszik. (A 20. ábra n0 , n1 és n1 vektorai rendre a beeső, a longitudi-

/

20. ábra nális és a transzverzális visszavert hullám terjedési irányába mutató egységvektorok, iJo, u1 és u, pedig a megfelelő elmozdulásvektorok.) A testben fellépő teljes elmozdulást a következő összeg adja (a közös e-lwt tényezőt a rövidség kedvéért nem írjuk ki): o = A 0n 0 eik,r +A 1n1ik1r +A,a X n,ik,r. 4 Hanghullámok szilárd test és folyadék határán való visszaverődését L. M. Brehovszkih tárgyalja "Hullámok terjedése réteges közegekben" c. orosz nyelvű munkájában (Akadémiai Kiadó, M.oszkv.a, 1957, 4.§).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

139

22.§. RUGALMAS HULLÁMOK IZOTROP KÖZEGBEN (Itt a a beesés sikjára merőleges egységvektor.) A hullámvektorok abszolút értékei: k 0

w

.

w . = - , k, = - . Af}0 beesési szög a {}1 és a.f}1 . visszaverődési szögekkel a c, c, -.-. áll: {}1 =

{}0 ,

következő

= k 1 ;",

kapcsolatban

sin{}, = sin {}0 ::_. A deformációtenzor komponensei a test határán: Cz

+A 1)cos2 {}0 + iA,k, cos {}, sinD,,

Uu

= ik0 (A 0

uu

= ik0 (A 0 +A 1),

U:cu

=

ik0 (A 0 - A 1) sin {} 0 cos {} 0

+I A 1k1 (cos~

l}1- sin2 {},)

(a közös exponenciális szorzót ismét elhagytuk). A feszültségtenzor komponenseit az általános (5,11) képlet szeril1t számíthatjuk, a:inelyet a ké1 . nyeJem kedvéért itt a következő alakb;m idézünk:

A közeg szabad felületén érvényes határfeltételele a 1knk = O, amiből a,..= av~ ~ O; ez két egyenletre vezet, melyből A 1 és A, kifejezhető A 0 függvényeként A számítások eredménye: c~ sin 2{}1 sin 2{}0-

Az= Ao

2

•

•

ci cos2 2{}, 2

2

c, sm 2{}, sm2{}0 +cz cos 21J,

A, =-Ao

•

2c1c, sin 2{}0 cos 2{} 1 2

Ct

•

2

sin 2{}, sin 21J0 +cl cos 2{},

= 0-nál A1 = - A 0 , A, = O, azaz a hullám teljes egészében longitudinális hullámként verődik vissza. A longitudinális visszavert hullám energiaáram-vektorának a közeg felületére merőleges komponensét a beeső hullámhoz tartozó hasonló mennyiséggel osztva:

{}0

A

megfelelő

arány a vissza vert transzverzális. hullámra:

R - c, cos{}, ' -

Magától

értetődően:

R 1+R,

=

C z cos f}o

lAA: 12 u

1.

2. Oldjuk meg az előbbi feladatot, ha a sikban fekszik).ó

beeső

hullám transzverzális (és rezgésének iránya a beesési

Megoldás ..A hullám longitudinális és transzverzális hullámok formájában c, sin{}, = c1 sin {}0 . A teljes elmozdulásvektor:

verődik

vissza, továbbá

{}, ={}0 ,

6 Ha a rezgés a beesési sikra azaz R,= l.

www.interkonyv.hu

merőleges,

a hullám teljes egészében azonos .formában verődik vissza,

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

140

Iq. RUGALMAS HULLÁMOK

A visszavert hullámok amplitúdója: c~ sin 2fJ, sin 280 -d cos2 2f}0

A,

Ao ""

c: sin 2fJ sin 26-0 +c~ cos 2tJ

A1 Ao

2

1

0 '

2c1c1 sin 2f}0 cos 2tJ0

=

c: sin 2f}1 sin 2tJ0 +c~ col2fJ0

'

3. Határozzuk meg az R sugarú rugalmas gömb sajátrezgéseit. Megoldds. Helyezzük gömbi polárkoordináta~rendszerünk kezdőpontját a gömb középpontjába. Sugárirányú rezgések esetén u sugárirányú, csak r-től (és t-től) függ. Ennek megfelelőerr ~ot u = O.

= u "" :tp egyenlőséggeL (Jr '

Definiáljuk az "elmozduláspotenciált", tp-t az u, .

A rp-te 'felirt ~~!:::"IP

=~

mozgásegyenlet hullámegyenlet, vagy időben periodikus ( ""e- 1"'') rezgés esetén: (1)

Ennek az egyeruetnek a gön;b belsejében (az origót is beleértve) mindenütt véges megoldása: !p=

A sinkr

-r-

(az időtől függő szorzót nem irjuk ki). A sugárirányú feszültségek így irhatÓk:

vagy az (l) egyeruet felhasználásával: (2)

A hatátfeltétel: u..(R) =O, és_ ez az alábbi egyenlethez vezet:

tgkR

(3)

kR =l- (k~~~r.

Ennek az egyeruetnek a gyökei meghatározzák a sajátrezgések w

= c k frekvenciáit. 1

4.

Határözzuk meg a gömb alakú üreg sajátrezgéseit egy olyan végtelen kiterjedésű rugalmas közegben, ameiyben c,» c, (M: A.Iszakovics, 1949). Megoldás. A végtelen közegben levő üres gömb rezgései longitudinális hanghulláinokat bocsáta-. nak ki, ami energiaveszteséghez és a rezgés csillapodásához vezet. A c1 » c, (azaz K » p) esetben ez a kisugárzás jelentéktelen, igy feladatunk a kiscsillapodású sajátrezgések frekvenciáinak meghatározása.

Keressük (1) ll}egoldását kifutó gömbhullám alakjában:. ik~

m=A-,

.-

www.interkonyv.hu

r

(l)

k=-' . c1 '

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

141

23.§. RUGALMAS HULLÁMOK KRISTÁLYOKBÁN (2) segitségévei a a,,(R) = O határfeltételből a ( kR

~:r =

4(1- ikR)

' egyenletet nyerjük. Innen a c1 » c, esetben 2c, (t .c,) W=R -le;-·

.

w valós része a rezgés sajátfrekvenciáját adja, képzetes része pedig a Gsillapodási együtthatót; összenyomhatatlan közegben {c1 .... oo) Gsil!apodás nem lép fel. E regzések fellépte a p ~ O -val jellemc

zett közegek speciális tulajdonsága. Figyeljük· meg; hogy ilyen rezgésekre· kR = 2..!. «l, azaz c, a nekik megfelelő hullámhossz R-hez képest nagy. (Érdekes ezzel összehasonlitani egy rugalmas gömb rezgéseit, amelyben c1 »c, esetén az első sajátfrekvenciát (3) szerint kR =n-ből határozhatjuk meg.)

23. §. Rugalmas hullámok kristályokban A rugalmas hullámok anizotrop közegekben, azaz kristályokban végbemenő terjedése jóval bonyolultabb törvényszerűségeket követ, mint az izotrop közegekben megfigyelt hullámterjedés. Ilyen hullámok vizsgálata céljából vissza kell térnünk a ..

aa;k axk

(!U;=--

általános egyenletekhez, és használnunk kell a a1k és u1m kapcsolatára nyert (10,3) összefüggést :

Az előző szakasz elején mondottak értelmében ).ikim mindenütt a rugalmassági modulusok adiabatikus értékét jelenti. a;k-t a mozgásegyenletbe he~yettesítve kapjuk, hogy •• (2U;

=

).

a (-a· aur aum ) +-a

OU[m Aik lm iklm_O_ =~2 -f) Xk Xk

Xm

Xt

l ). =-2 ikim

a um aXk8 ura Xm +-2l ).ikim a Xk -·a· ,; Xt 2

2

tenzor l és m indexeiben szimmetrikus, fl.Zért a második tagban az felcserélve, azt találjuk, hogy a két tag azonosan egyenlő. A mozgásegyenletet tehát a következő alakban írhatjuk: Ha a

).tklm

összegzőindexeket

..

(!Ui

www.interkonyv.hu

=

~ AiJc[m

aa um -Xk a·.·Xt . 2

(23,1)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

142

m.

RUGALMAS HULLÁMOK

Tekintsünk egykristályban terjedő monokromatikus rugalmas hullámoLAz egyen· · letek megoldását az U;

=

Uo;efCkr-wt)

alakban keressük (u 0;-k állandók), ak hullámvektor és az w rezgésszám hányadosát pedig úgy kell meghatároznunk, hogy a felírt függvény valóban kielégitse a (23,1) egyenletet u; differenciálása az idő szerint - iw szorzót ad, az xk szerinti deriválás pedig ikk-t. Ahelyettesités után (23,1) átmegy a

ew2u; =

/..;ktmkkklum

alakba. Használjuk ebben az egyenlőségben az

u; = Ö;mum

azonosságot, ekkor (23,2)

Ez három (az ux, uy, u, ismeretlenekben elsőrendű) homogén egyenletből álló egyenletrendszer. Mint ismeretes, ennek van a triviálistól különböző megoldása, ha az um együtthatóiból álló determináns eltűnik. Ez azt jelenti, hogy a (23,3) feltételeknek kell teljesülniük, ami w 2-ben harmadfokú egyenlt':tre vezet. Az egyenletnek három, általában egymástól különböző gyöke van. Adott k hullámvektorhoz e gyökök mindegyike meghatároz egy frekvenciát. 6 Ezeket (23,2)-be egyenként visszahelyettesitve, megkapjuk az elmozdulásvektor u; komponenseit (természetesen az egyenletek homogenitása miatt csak az u; komponensek viszonyát kapjuk meg, abszolút értéküket nem, ezért a kapott számbármast mindig megszorozhatjuk egy állandóval). A hullám terjedési sebessége (a csoportsebesség) a frekvenciának a hullámvektor szerint képzett differenciálhányadosa. Izotrop testben a frekvencia kabszolút értékével arányos, ezért .az U =

~~ sebesség iránya megegyezik k irányával. Kris~ályokban

terjedő rugalmas hullámok esetén ilyen összefüggés nem áll fenn, így azok terjedési iránya különbözik a hullámvektor irányától. A (~3,2) egyenletből látható, hogy w a k vetor k; komponenseinek hombgén lineá-

ris függvénye.·( Ha ismeretlen mennyiségekként az

.

•.

~ ·hányadost

.

vezetjük· .be, az

aw

egyenlet együtthatói k-tól függetlenek.) Ennek következtében a Bk csoportsebesség a k;-knek imiladrendű homogén függvénye. Tehát a hullám sebessége a terjedési iránytól függ, de független a frekvenciától. Izotrop testesetén a (23,3) egyenlet a már ismert eredményre-vezetne: egy w 2 = c~k2 megoldás, és két egymással megegyező w 2 = c;~ megoldás. 6

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

143

23.§. RUGALMAS HULLÁMOK KRISTÁLYOKBAN

Minthogy w és k között három különböző összefüggés áll fenn, a kristályban núnden irányban általában három különböző sebességgel terjedhetnek rugalmas hullámok. Csak néhány kitüntetett irány mentén következhet be e három sebesség egybeesése. Izotrop közegben a két különböző sebességgel terjedő hullám tisztán longitudinális yagy tisztán transzverzális. Ezzel ellentétben kristályban minden terjedési sebesség olyan hullámnak felel meg, amelynek elmozdulásvektora egyaránt rendelkezik a terjedési irányába eső és az arra merőleges komponenssel. Végül még a következő körülményre hívjuk fel a figyelmet: a kristályban minden adott k hullámvektor mellett három huliám létezik (különböző frekvenciákkal és terjedési sebességekkel). Könnyű belátni, hogy e három hullám u elmozdulásvektorai kölcsönösen merőlegesekegymásra. Valóban: adott k mellett (23,3) úgy tekint. hető, mint egy (i és m indexekben) szimmetrikus másodrendű 'Aiktmkkk1 tenzor ew2 főértékeit meghatározó egyenlet. 7 A (23,2) egyenlet meghatározza e tenzor.főirányaiÍ, amelyek, mint ismertes, merőlegesek egymásra.

Feladat Határozzuk meg hexagonális szimmetriájú kristályban hullámvektorának függvényében.

terjedő

rugalmas hullám frekvenciáját

Megoldás. A A1k 1m tenzornak az x, y, z koordináta-rendszerben nullától különböző elemei a tenzor ~. 1],

C"koordináta-rendszerben" (1. 10. §)vett elemével a következőképpen függnek össze: _Axxxx

= Ayyyy =

a+ b,

Axxzz = Ayyzz = C,

Áxxyy =

a- b,

Áxzxz = Áyzyz = d,

Á"'I?V ~ b, A,..,

=J,

ahol az alábbi jelöléseket alkalmaztuk:

A z tengelyt a 6-od rendű szirnmetriatengely irányába fektettük, az x, y tengelyek iránya sen választható. Válasszuk az x, z síkot úgy, hogy ak vektort tartalmazza. Ekkor k"=ksínfi,

7

k.=O,

tetszőlege­

k,=kcosf},

A A1kzm tenzor szimmetriatulaj!lonságai miatt írhatjuk, hogy

Ez utóbbi kifejezés Amklik~1-től a k és l índexek felcserélésével kapható, tehát a Áilamkkk1 tenzor szimmetrikus, amint állítottuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

144

III. RUGALMAS HULLÁMOK

ahol {} a k vektornak a z tengellyel bezárt szöge..Beírva ezt a (23,3) egyenletbe, és azt megoldva, három különböző w(k) függvényt kapunk:

wi =

k2

-

e

(b sin2 {}+d cos2 1>),

24. §. Felületi hullámok Rugalmas hullámok speciális fajtáját képezik a test felületének közelében a test belsejébe benern hatoló hullámok (Rayleigh-hullámok). Írjuk a (22,11) és (22,12) egyenleteket a következő alakba:

82u 8t2

- - · c2 Lu= O

terjedő,

(24,1)

(itt u az ut vagy ut vektorok valamelyik komponense, c a megfelelő Ct vagy c1 sebesség), és keressük a felületi hullámoknak megfelelő megoldásait. Feltételezzük, hogy a rugalmas test felülete végtelen sík. Ezt a síkot választjuk koordináta-rendszerünk x, y síkjául, a közeg a z < O térrészt foglalja el. Tekintsünk egy, az x tengely irányában terjedő, monokromatikus felületi hullámot. Ennek megfelelően u~t ilyen alakban keressük: u = ei(kx-wt'>j(z).

Ezt a kifejezést (24,1)-be helyettesítve, az J függvényre az alábbi egyenlet adódik:

do/2 = (kz- wz)f 2 dz

Ha k 2 -

w2 - 2 c

c

O, az egyenlet periodikus/ függvényre vezet, azaz közönséges síkhullámot kapunk, amely a test belsejé,ben nem tűnik el. Ezért fel kell tennünk, hogy
O. Ezes-etbenf-re a c

következő

megoldást kapjuk:

f(z) = const·exp

(±z Vk2 -~:).

A kitevőben negatív előjelnek megfelelő megoldás a test belsejében (azaz z< O-nál) a deformáció exponenciális növekedéséhez vezetne. Ilyen megoldás nyilvánvalóan' értelmetlen, a kitevőben tehát a pozitív előjelet kell választanunk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

· 24.§. :J;lELÜLETI HULLÁMOK

145

Így a mozgásegyenletek illegoldása a· következő: u = const :ei

:>.:2

=

y

W2 k 2- 2 . c, 2

egyenletnek tesz eleget:

(A későbbiekben látni fogjuk, hogy

ui >

O.) Ebből

/(z) = B sin u 1 z+ C cos u 1z.

A réteg z

= h szabad felületén fennáll a,v =

O, azaz 0;;1

= O.

A z = O sik mentén

teljesülő

felté-

tel:

·'(jt 1 és p,2 a két közeg Lamé-állandója). Ezekből a feltételekből A-ra, B-re és C-re három egyenletet '

kapunk, amelyek

összeférhetőségének feltételéből:

Ez az egyenlet implicit formában szalgáltatja a keresett w(k) függvényt; megoldást csak valós u 1 és u 2 mellett kapunk, és mindig teljesül a c, 2 > ~ > c11 egyenlőtlenség. Ebből látható, hogy a vizsgált hullámok terjedése csak a c, 2

>

c11 feltétel teljesülésemellett lehetséges.;

25. §. Rudak és lemezek rezgései A vékony rudakban és lemezekben terjedő rezgések lényegesen különböznek a végtelen közegben minden irányban szétterjedő hulláir.októl~Ez a kijelentés a rúd vagy lemez vastagságánál jóval nagyobb hullámhosszúságú hullámokra vonatkozik. A másik határesetben, amikor a hullámhossz kicsi az anyag vastagságához képest, a lemez vagy rúd általában végtelen kiterjedésű közegnek tekinthető, és az előző §-ban kapott eredmények átvehetők. Azokat a hullámokat, amelyeknek kitérése párhuzamos a rúd tengelyével, illetVe amelyek benne vannak a lemez síkjában, meg kell különböztetnünk ·a_· meiőleges rezgéseket jelentő hullámÓktóL Először a rudak longitudinális rezgéseivel foglalkozunk. A rúd (keresztmetszete mentén homogén) longitudinális deformációja egyszerű megpyúlásnak vagy összenyomásnak felel rreg, ha az oldalfelületére nem hatnak

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

150

III. RUGALMAS HULLÁMOK

külső erők. A longitudinális hullámok tehát a rúd hossza mentén terjedő megnyúlások és összenyomások. Egyszerű megnyúlás esetén a feszültségtenzor azz eleme különbÖzik csak a nullától. (A z tengelyt a rúd· hossziránya mentén vettük fel.) Ez a deformációtenzorral (1. az 5. §-t) az alábbi összefüggésben áll:

Ezt a

általános mozgásegyenletbe helyettesítve: (25,1)

Ez a rudak longitudinális rezgéseit leíró egyenlet. Ismét közönséges hullámegyenlettel van dolgunk. A longitudinális hullámok rúdban való terjedésének sebessége: · [(25,2)

Vessük össze ezt c1 (22,4) kifejezésével; látható, hogy a longitudinális hullámok végtelen közegben nagyobb sebességgel terjednek. Áttérünk a longitudinális hullámok lemezben való terjedésének tanulmányozására. Az ilyen rezgéseket leíró mozgásegyenletet közvetlenül kaphatjuk, ha a (13,4) egyen,

•

.

, ,

'

o2ux '

o2u

ot

vt

• •

,

' •

sulyt egyenletbeo P x es Py helyebe rendre a - eh - 2 es - eh ~ : ktfeJezeseketlrJuk: .

e 02Ux E ot2 e

o 2uy E ot2

=

l o2Ux .l 02Ux . l 02Ux l-a2 ox2 + 2(1 +a) oy2 + 2(1-a) ox oy, •

=

l o2uy l o 2Uy 1 02Ux 2 l-a oy2 + 2(1 +a) ox2 + 2(1-a) ox oy '

.

(25,3)

Tekintsünk az x tengely irányában terjedő "sik" hullámot, ez csak x-től (és t-tó1) deformációknak felel meg. Ilyenkor a (25,3) egyenletek jelentősen leegyszerű­ södnek, és a következő alakot öltik:

függő

:::12

.

v Ux

ot2

www.interkonyv.hu

(25,4)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

25. §. RUDAK ÉS LEMEZEK REZGÉSEl

151

Megint közönséges hullámegyenleteket kaptunk. Az ux és uy mennyiségek együtthatói különbözőek. A terjedés irányába eső elmozdulásoknak megfelelő ux hullám sebessége:

Ve(l~a2)

(25,5) •

A terjedési irányra merőleges rezgésként terjedő uy hullám sebessége megegyezik a végtelen közegben terjedő transzverzális hullám ct sebességéveL Látható, hogy a rudakban és lennezekben terjedő longitudinális hullámok ugyanolyan jellegűek, mint a végtelen közegben keltett hullámok, eltérés csupán a (továbbra is frekvenciafüggetlen) terjedési sebességekben mutatkozik. Egészen más eredményre jutunk a rudakban és lemezekben terjedő hajlítási hullámok tanulmányozása során. Ezek a hullámok a rúd tengelyére, iiletve a lemez sikjára merőleges rezgéseknek felelnek meg, azaz meghajlással járnak. A lemez szabad rezgéseinek egyenletét a (12,5) egyenlet alapján könnyen felírhatjuk. E célból a (12,5)-ben szereplő -P mennyiséget a Egyorsulásnak és a lemez egységnyi felületére eső eh tömegének szorzatával kell helyettesíteni: (25,6) (itt 6. a kétdimenziós Laplace-operátor). Vizsgáljunk egy monokromatikus rugalmas hullámot, ennek megfelelően keressük· (25,6) megoldását a C= const· eie"~. E kifejezéseknek az (l) és (2) egyenletbe való helyettesitése rp0-ra és C0-ra két · egyetiletet ad. Ezek összeférhetőségének feltéÍeléből: co2 =

. ft!E k5 I2(1-a2) (e+ heok) ·

-~-i

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

26.§. ANHARMONIKUS REZGÉSEK

157

26. §. Anharmonikus rezgések A rugalmas rezgésele előbb tárgyalt elmélete közelítő, akárcsak a rugalmassagtan egész eimélete: mindenütt feltételeztük a Hooke-törvény érvényességét. Emlékeztetünk, hogy e törvény a rugalmas energiának a deformádótenzor szerint végzett · sorfejtésén és a másodiknál magasabb rendű tagok elhanyagolásán alapul. ]:':nnek megfelelően a feszültségtenzor komponensei a deformációtenzor elemeinek lineáris függvényei, a mozgásegyenlet pedig lineáris. · Rugalmas hullámok legjellegzetesebb sajátsága ebben a közelítésben, hogy egyszerű szuperpozíció formájában, azaz leülönálló monokromatikus hullámok összegeként állíthaták elő. A monokromatikus hullámok mindegyike a többitől függetlenül terjed, sőt egyedül is létezhet anélkül, hogy rajta kívül más mozgások megjelennének Azt mondhatjuk, hogy az ugyanabban a közegben egyidejűleg terjedő monokromatikus hullámok nem zavarják egymást, nincs köztük "kölcsönhatás": Mindezen tulajdonságok eltűnnek, ha pontosabb közelítésre térünk át. A magasabb rendű közelítésből adódó járulékok kicsinyek ugyan, néhány jelenség esetén azonban igen fontos szerepet játszhatnak. A magasabb rendií járulékok hatását anharmonicitásnak nevezzük, mi~thogy a megfelelő mozgásegyenlet nemlineáris, és többé nincs egyszerű periodikus (harmonikus) megoldása. Az alábbiakban harmadrendű anharmonikus jelenségeket vizsgálunk, amelyek akkor lépnek fel, ha a rugalmas energia sorfejtésében harinaclrendű tagokat is megtartunk. A megfelelő egyenietek felírása általános alakban kissé nehézkes lenne. A fellépő jelenségek lényegét azonban megvilágíthatjuk az alábbi megfontolásokkaL A rugalmas energia sorában szereplő köbös tagok a feszültségtenzor kifejezésében, igy a mozgásegyenletben is négyzetes tagokat adnak. Rendezzük úgy ezt az egyenletet, hogy minden lineáris tag az egyénlet bal oldalán, minden kvadratikus a jobb oldalán legyen. Az egyenletet iterációval oldjuk meg. Első közelítésben a négyzetes tagokat - az egész jobb oldalt - elhanyagoljuk. Ekkor csak a közönséges lineáris egyen\ letünk marad, melynek u 0 megoldását közönséges const·ei(kr-wt) alakú monokromatikus haladó hullámok szerinti sorral állíthatjuk elő. A kitevőben szereplő w és k között meghatározott összefüggés ·áll fenn. A következő, második közelítés vizsgálatára rátérve, u= uo+u 1 alakban keressük a megoldást. Természetesen az egyenlet jobb oldalán (a kvadratikus tagokban) csak az u0-t tartalmazó tagokat kell megtartani. Minthogy a definíció szerint u0 kielégíti a jobb oldal elhanyagolásával nyert lineáris differenciálegyenletet, az egyenlőségjel bal oldalán az uo-t tartalmazó tagok kiesnek. Eredményül az u1 vektor komponenseire inhomogén lineáris egyenletrendszert kapunk, melynek jobb oldalán a koordináták és az idő adott függvényei állnak. E függvényele uo-nak a kiinduló egyenlet jobb oldalába való helyettesítésével adódnak, és az di(k1 -k,)r-(w1 -w,)tJ vagy ei[(k1 +k,)r-(w1 +w,)tJ alakú tényezőt tartalmazó

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

1-- - -- -- ---- -

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

158

III. RUGALMAS HULLÁMOK

tagok összegeként állíthatók elő, ahol ro1o ro2 és kt, k2 két első közelítésbeli monokromatikus hullám frekvenciája és hullámvektora. Mint ismeretes, ilyen típusú lineáris egyenlet partikuláris megoldása- megfelelő együtthatókkal ellátott- ugyanolyan exponenciálistényezőt tartalmazó tagok összegeként állítható elő, amilyet az egyenletCjobb oldalon álló) szabad tagja is tartalmaz. E tagok mindegyike ro1±ro2 frekvenciával és k1±k2 hullámvektorral jellemzett haladó hullámnak felel meg. (Az eredeti hullámok frekvenciája összegének és különbségének megfelelő frekvenciákat kombinációs frekvenciának nevezzük.) A harmadrendű tagokkal kapcsolatos anharmonicitás tehát arra vezet, hogy az ro 1, ro2, ... frekvenciájú és k1o k2, ... hullámvektorú közönséges monokrÓmatikus hullámok mellett kis intenzitássafmegjelennek az ro 1±ro 2 kombinációs frekvenciáknak és a k 1± k 2 hullámvektoroknak megfelelő "hullámok'-' is. A "hullám" szót itt· idézőjelbe tesszük, jelezve, hogy ezek· a rezgések kiegészítő járulékként lépnek fel (néhány speciális esettől eltekintve, l. alább), önmagukban nem létezhetnek ro 1±ro2 és k 1 ± k 2 között ál(alában nem teljesül a frekvencia és hullámvektor közötti monokromatikus hullámok esetén szokásos összefüggés. Nyilvánvaló azonban, hogy választhatunk olyan speciális ro1, k1 és ro 2, k 2 értékeket, amelyek esetén ro 1+ro 2és k1 + k2 (a következőkben egyértelműség kedvéért az összegek• ről beszélünk, a különbségekről nem) eleget tesz azoknak a feltételeknek, amelyek monokromatikus hullámok esetén az adott közegben fennállnak Az roa = Wt +w 2 és a ka = kt + k2 jelölést bevezetve, mondhatjuk, hogy ezekben az esetekben matematikai szempontból ro 3 , ks a (jobb oldal elhagyásávalkapott) homogén differenciálegyenlétet első közelítésben kielégítő hullámnak felel meg; Ha a második közelítést adó mozgásegyenlet jobo oldalán J~kar-roat)nek megfelelő tagok állnak a fent adott ros-mal és ks-mal, akkor ezen egyenletek partikuláris megoldása ismeretes módon ugyanilyen típusú hullám lesz, amelynek amplitúdója időben minden határon túl __növekszik. Két, ro1o k 1 és ro 2, k 2 monokromatikus síkhullám összetevése, amelyek összege a fenti feltételnek eleget tesz, az anharmonicitás miatt rezonanciajelenséghez vezet: egy új ros, ks monokromatikus síkhullám lép fel, amelynek amplitúdója az idó'ben növekszik, végül az eredeti feltevésünkkel ellentétben naggyá válik. Ha az Wt, kt és ro 2, k 2 hullámok összetevése az ros, ks hullám megjelenéséhez vezet, akkor az ro1o kt és ros, k 3 hullámok összetevésekor nyilván az ro 2 = ro 3 _-rot. k 2 = ks-kt. hullám jelenik meg, az ro 2, k 2.és ros, ks hullámok összetevésekor viszont az Wt. kt hullám lép fel. Izotrop test esetében w és k kapcsolata· egyszerűen w = c1k vagy w = c1k (a c1 > c1 egyenlőtlenség teljesülése mellett). Könnyen megállapítható, milyen esetekben teljesül az előbb felírt összefüggések valamelyike a három Wt. kt; ro2, k2 és ros= , = Wt +w 2, ks = kt + k 2 hullámok mindegyikére. Ha k1 és k 2 iránya nem esik egybe, akko:r: ks -< kt + k 2 , ezért világos, hogy ilyen k 1 és k 2 mellett rezonancia csak a kö-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

159

26.§. ANHARMONIKUS REZGESEK vetkező

két esetben lehetséges: l. az w1, ki és w 2 k2 hullámok transzverzálisak, w3, k 3 longitudinális; 2. az w1k1o vagy az w2, k 2 hullám longitudinális, a másik transzverzális, az ws, l\:s hullám pedig longitudinális. Ha a k1 és k2 vektorok egyirányúak, rezonancia akkor lehetséges, ha mindhárom hullám longitudinális, vagy mindhárom transzverzális . . Anharmonikus jelenségek nemcsak néhány monokromatikuÚmllám összetevésekor jelentkeznek, hanem már egy w1o k1hullámjelenlétében is. Ebben az esetben a mozgásegyenlet jobb oldalán éiCk,r-w,t)_vel arányos tagok állnak. Ha azonban Wt. k 1 eleget tesz a szokott követelményeknek, akkor azoknak (az egyenlet első rendjének homogenitása miatt) 2wt, 2k 1 is eleget tesz. Ezért az anharmonicitás fellépte miatt minden egyes W1, k 1 hullám mellett megjelenik a 2w1, 2k 1 kétszeres frekvenciával és huÍlámvektorral jellemzett hullám is, melynek amplitúdója az időben növekszik. Végül röviden megbeszéijük, hogyan írható fel a mozgásegyenlet az anharmonikus tagok figyelembevételével. A deformációtenzor meghatározásához illost az (1,3) kép letet (26,1)

elhanyagolásmentes alakjában kell használni, megtartva az u;-ben négyzetes tagokat. Továbbá, az t energiasűrűség9 általános kifejezésének adott szimmetriájú test esetén a deformációtenzor uik elemeiből, valamint a test anyagára jellemző néhány állandó tenzorból felépített skalárnak kell lennie, amely u;k hatványait a kívánt közelítésnek megfelelően tartalmazza. Ezután az U;~c·ra vonatkozó (26, l) kifejezést behelyettesítve u; túl magas hatványait

~!hagyva,

az

t

energiát a au; deriváltak

axk

függvényeként a kívánt pontossággal kapjuk. A mozgásegyenlet levezetése előtt az alábbi megjegyzést kell tennünk. A áció a

~t

vari-

vagy a

(26,2)

9

Itt az l belső energiát használjuk az P szabadenergia helyett, hiszen a rezgések adiabaÚkusak.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

160

111. RUGALMAS HULLÁMOK

jelölést bevezet:ve, a

alakban irható. A (Ju; mennyiségek együtthatói a test egységnyi térfogatára vonatkozó erőkomponensek. Ezek az eddigiekben használt alakúak, ezért a mozgásegyenlet is ~ korábbiaknak megfelelően: (26,3)

eo

a deformálatlan test sűrűsége, a a;" tenzor komponensei pedig (26,2)-nek a kívánt pontossággal felírt t-ből határozhatók meg. A au, tenzor most nem szimmetrikus. 10

ahol

megfelelően \

Feladat Írjuk fel izotrop test rugalmas energiáját harmadik közelítésben. Megoldás. Másodrendű szimmetrikus tenzor komponenseiből két u1.t-ban másodrendű (uik és u~) és három harmadrendü (u~, u 11 u~,., uiku11ukl) skalár készíthető. Ezért az U;k-t harmadrendig

bezárólag tartalmazó skalár legáltalánosabb alakja (izotrop test!), a következő:

megfelelő

skalár együtthatókkal szorozva

(uik éx u~ együtthatóita K kompressziómodulus és a p, Lamé-állandó segítségével fejeztük ki; A, B, és C három új anyagi állandó.) Ide uik (26,1) alatti alakját behelyettesítve, a harmadrendű tagokat megtartva, a rugalmas energiát a következő alakban kapjuk:

10

Hangsúlyoznunk kell, hogy itt aik már nem az impulzusáram sürűsége (feszültségtenzor).

A korábban kifejtett elméletben a fenti értelmezést a -

~aik erőnek a test térfogatára való integrálásávXk

val kaptuk. Az eljárás közben a test pontjainak deformáció előtti és utáni koordinátáit nem különböztettük meg. A következő közelítésben azonban ez már nem engedhető meg: az integrációs tartományt határoló felület nem egyezik meg a vizsgált tartomány deformáció utáni valódi határával A 2. §-ban megmutattuk, hogy a a1k tenzor szinm1etrikns volta az impulzusmomentum megmaradásának következménye. Ez az eredmény is érvényét veszti, mivel az impulzusmomentum sürüsége

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

-i

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

IV. FEJEZET

DISZLOKÁCIÓK1

27. §. Rugalmas deformációk diszlokációk. jelenléte esetén Kristály rugalmas deformációja· egyrészt külső erők hatásának, másrészt belső szerkezeti hibák felléptének követl;Cezménye lehet. A kristály mechanikai tulajdonságainak szempontjából lényeges szerkezeti hibák alapv!!tő formája a diszloká~ió. A diszlokációk tulajdonságainak atomos, mikroszkopikus vizsgálata természetesen nem képezheti e könyv tárgyát, itt csak a jelenség néhány, a rugalmasságtan körébe tartozó makroszkopikus megnyilvánulásával foglalkozunk. Az összefüggések fizikai tartálmának jobb megértése. végett előzetesen két egyszerű példán beri:mtatjuk, mít jelent a diszlokációs hibák megjelenése a· kristályszerk;ezet szempontjábóL Képzeljük el, hogy a kristályrácsba (melynek metszetét a 22. ábra mutatja) egy "fölösleges" kristályos félsík épül be (mely a rajz~n az y, z sík felső részével esik

lY

•••• t ••••

• • • • t ••••

• • • • + ••••

.---.----------• • • • +•••.• )( •••••••• • • • •• • • • • • • • • • • • • •••••••• 22. ábra

egybe). E félsík.határvonalát (most a rajz síkjára merőleges z tengelyt) éldiszlokációnak nevezzük. Arács szerkezetének torzulása a diszlokáció közvetlen közelében jelentős, . 1

Ez a fejezet A. M. Koszevics közremííköclésével készi.jlt.

ll Elméleti fizika VII. - 42 221/VII.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

---·-- ---..------ "- ·----· ·-------------·r-------------

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

162

IV. DISZLOKÁCIÓK

néhány kristályperiódusnyi távolságban a kristálysikok már majdnem szabályos módon illeszkednek. Deformáció mindamellett ·a diszlokációtóÍ távol is fellép. Ez azonnal kitűnik, ·ha az x, y sikban a rácspontokon keresztülmenő zárt görbe mentén körüljárjuk az origót. Jelöljük u-val az egyes rácspontok elmozdulását az ideális rácsban elfoglalt helyzetükhöz képest. E vektoroknak a zárt görbére vett összege nem tűnik el, hanem abszolút értékben egy rácsperiódussai egyezik meg, iránya pedig az x tengellyel párhuzamos. Diszlokációk másik típusát a következőképpen szemléltethetjük. Ejtsünk a histályon egy félsíknak megfelelő vágást. A félsík két oldalán a kristály két részét egy rácsperiódussal toljuk el a bevágást határoló egyenessel (melyet ez esetben csavardiszlokációnak nevezünk) párhuzamosan, egymással ellentétes irányban. Ilyen diszlokáció fellépte esetén a kristálysíkok csavarfelület alakúvá (fok nélküli csigalépcsők­ höz hasonlóvá) válnak. A diszlokáció vonalának (a csavarfelület tengelyének) körbejárása esetén a rácspontok elmozdulásvektorainak összege a tengely irányába mutat, abszolút értéke egy rácsperiódussal lesz egyenlő. (A leírt diszlokációt sematikusan mutatja a 23. ábra.)

23. ábra

A kristálynak mint fo!ytonos közegnek dis~lokációs deformációja általános esetberi , a következő makroszkopikus tulajdonsággal rendelkezik: a D diszlokációvonalat körülfogó tetszőleges zárt L. kontúr· mentén haladva, a rugalmas elmozdulás u vek- · torainak összege egy meghatározott b vektor, amely irány és nagyság szerint az egyik rácsperiódussal egyezik meg; az állandó b vektort az adott diszlokácó Burgers-vektorának nevezzük. Matematikailag ez a tulajdonság így fogalmazható meg: ·

f -f du;=

L

du·' dxk =-b;, axk

L

ahol a görbe körbejárásának iránya a diszlokációvonal

www.interkonyv.hu

(27,1)

't érintővektorának irányából

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

27.§. RUGALMAS DEFORMÁCIÓK DISZLOKÁCIÓK JELENLÉTE ESETÉN

163

a jobbkézszabály alkalmazásával határozható meg2 (24. ábra). A diszlokációvonal ez esetben a deformációtér.szinguláris pontjait tartalmazza... n

D

L

24. ábra

Nyilvánvaló, hogy a b Burgers-vektor a diszlokációvonalmentén állandó. Magátó értetődő az is, hogy a diszlokációvonal nem végződhet a kristály belsejében. Vagy

mindkét vége a kristály felületén van, vagy (mint a természetben ez általában elő­ fordul) zárt hurkot alkot. A (27,1) összefüggés más szavakkal úgy fejezhető ki, hogy diszlokáció fellépte esetén az elmozdulásvektor nem egyértékű függvénye a koordinátáknak; a diszIokációt valamilyen kontúr mentén körbejárva, az elmozdulásvektor adott mennyiséggel növekszik. Természetesen fizikailag semmiféle többértékűség nincs: .a b menynyiség a rács pontjainak egy rácsperiódussal való eltolódását jelenti, ez azonban nem változtatja a rács állapotát. A továbbia](ban célszerű a (27,2) jelölés bevezetése, amivel a (27,1) feltétel az alábbi alakban írható:

pwu, dxi_.= -bk.

(27,3)

[,

' wik tenzort disztorziótenzornak szokás nevezni. Szimmetrikus A (nem szimmetrikus) része a jól ismert deformációtenzor: (27,4) 2 A fent említett két egyszerű esetben, él- és csavardiszlokációnál a D vonalak egyenesek, és 't' _L b, illetve 't b. Megjegyezzük továbbá, hogy az éldiszlokációk 22. ábrán bemutatott ábrázólásban az ellenkező irányú {J vektorral jellemzett diszlokációk egymástól abban különböznek, hogy a ."fölösleges" kristály félsík az x, z sik alatt vagy fölött van (az ilyen diszlokációkat ellenkező ~lőjelűeknek mondjuk). ·

l

11*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

164

IV. DISZLOKÁCIÓK

A fent mondottak értelméb~n a w1k és u 1k tenzorok (és velük együtt a a1k feszültségi tenzor) a koordináták egyértékű függvényei- az u(r) függvénnyel ellentétben. A (27,3) feltételt differenciális alakban is felirhatjuk. E célból az L kontúrra vett integrált az L által határolt SL:felületre vonatkozó integrállá alakítjuk: 3

:rj

d . Wmk Xm

f'

=

L

Sr,

. OWmk eum

BX!

-

dfi ·

·

Az állandó bk vektort ·ugyanerre a felületre vonatkozó integrál formájában írjuk fe1 a kétdÍmenziós lJ függvény segitségével: · bk

= J't';bkö(l;) dfi '

(27,5)

Sr,

ahol!; a diszlokáció-tengelyétől mért kétdimenziós helyvektor a ,. vektorra merőleges síkban. Az L kontúr tetszőlegesen választható, ezért a felrrt integrálok egyenlősége. ~·integrál alatti m:eimyiségek egyenlőségét jelenti: (27,6)

arp.i a keresett differenciális alak. 4 A -diszlokáció körül kialakuló u(r) elmozdulástér ·általános .alakban kifejezhető az adhtt anizotrop közeg egyensú_lyi egyenletéhez tartozó G1ir} Green-tenzor birtokában, azaz ismerve azt a függvényt, amely az elmozdulásvektor u1 komponensét határozza meg végtelen közegben, ha arr€1-·a ·koordináta-rendszer kezdőpontjában, az xk tengely mentén egységnyi erő hat (l. a 8. §-t). Ez könnyen kiszámítható az alábbi formális eljárás segitségével. Ahelyett, hogy az egyensúlyi egyenlet nem egyértékű megoldását keresnénk, u(r)-et egyértékű függvénynek tekintjük; megállapodva abban, hogy b ugrást szenved válamilyen tetszőlegesen választott, a n~ diszlokációhurok által· határolt SD felület mentén. Ekkor a formáilag (27,4) által meghatározott deformációtenzornak a ,;szakadásiJelületen" ö jellegű szingularitása van: (27,7)

3

Az á'talakitást a Stokes-tétel szerint végeztük, dxm-et dJ;e11m

0~1 -lel helyettesitve (eum az anti-

· szimmetrikus egységtenzor). 4 A fékeértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy magán a diszlokációvonalon (~ ..... O), minthqgy ez szinguláris pontokat tartalqtaz, w1k-nak (27,2) differenciálalakban való elő:ÚJitása értelmetl~. -

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

27.§. RUGALMAS DEFORMÁCIÓK DISZLOKÁCIÓK JELENLÉTE ESETÉN

165

ahol C az SD felülettől annak n normálisa mentén mért koordináta (n irányítását "t"-hoz képest a 24. ábra mutatja). Minthogy a diszlokációt környező térrészben a valóságban semmiféle fizikai szingularitás nincs, a aik feszültségtenzornak, mint mondottuk, mindenütt egyértékű folytonos függvénynek kell lennie. A (27, 7) deformációtenzorral formailag összefüggő a~fl = ')..ikim u~~) feszültségtenzor azonban szintén szinguláris az SD felületen. Ahhoz, hogy ~ szingularitást megszüntessük, az SD felület mentén meghatározott JCS) sűrűség­ eloszlással fiktív térfogati erőt kell bevezetn ünk. Ilyen erők fellépte esetén az. egyensúlyi egyenlet a~;: a

következőképp

+/~SJ= O alakot ölti

[l. (2,7)].

Ebből

nyilvánvaló, hogy

JC8l-et

kell választanunk: (27,8)

A

többértékű

u(r) függvény meghatározásának feladata tehát ekvivalens egy egyér-

tékű, de szakadásos függvény meghatározásával a (27, 7) és (27,8) képletekben meg• határozott térfogati erők figyelembevétele melletL Most félhasználhatjuk az

ui(r)

= f Gu(r-r')Jt>(r') dV'

összefüggést. Ide (27,8)-at behelyeitesítve, pardálisan integrálunk. Ezután a 8-függvény integrálása már triviális, azt kapjuk, hogy ui(r)

-f nt~ .0a·. Gij(r-r') df'.

= -Ajktmhn ·

Xk .

(27,9)

Sn

Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. 5 A (27,9)-ben felírt deformációa zárt diszlokációhuroktól nagytávolságban igen egyszerű alakú. Ha feltesszük, högy a hurok a koordináta-rendszer kezdőpontjánakközelében helyezkedik el, attól (a lineáris méreteihez képest) nagy r távolságban: . .

ui(r)

.

ahol d;k = S;bk,

oGij(r)

= ~ A;ktmdtm - 0·--, . Xk

si

=

f

n; df

Sn

=

(27,10)

~- ei/ C'Juik dV.

Minthogy hallgatólago!lan ·feltételeztük, hogy a a}%) feszültségeloszlás a diszlokáció független, a (J jelet az integrál elé kihozhatjuk A aft) tenzor szim-

elhelyezkedésétől

metrikus voltának és a

a::

a ~")

=

.

O egyensúlyi egyenletnek felhasználásával: .

(28,1)

Az előző paragrafusban elmondottaknak megfelelően úgy vesszük, hogy az u elmozdulás egyértékű függvény, amelynek a D vonal által határolt valamilyen SD felületen ugrása van. Ez esetben a (48, l) térfogati integrált zárt felületre vonatkÖzó integrállá alakíthatjuk E felület az SD vágás alsó és felső partjának pontjaiból áll, melyeket D-t körülfogó végtelen vékony cső alakú oldalfelület köt össze. Az SD felület két oldalán a folytonos a~Z) feszültségek értéke azonos, u értéke pedig adott ;b mennyiséggel ugrik 14 Ezért C'JR

== -bk ö Ja~%> dfi .

(28,2)

SD

Tegyük fel, hogy a diszlokációvonal minden dl eleme C'Jr mennyiséggel elmozdul. 1\,.z elmozdulás során az SD felület területe meg-változik, a megváltozás egy eleme Clf = C'Jr X dl, azaz .

13 A félreértések elkerülése végett hangsúlyoznunk kell, hogy ebben a képletben ou111; helyére {e ínennyiség (3,1)-ben idézett jelentésének megfelelőeni a deformációnak a diszlokáció infinitezimális elmozdulásával járó teljes (geometriai) megváltozását kell irni. Ez a rugaimas és. képlékeny (1. 29.§) deformációkat egyaránt magában foglalja. . . ' .. .l . u A e sugarú csőfalra vett integrál e -O eseteil eltűnik, minthogy u,k az- -nál lassabban tart a

.

e

.

'Végtelenhez.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

172

IV. DISZLOKÁCIÓK

Így a (28,2) elemi munka a diszlokációhurokra vett vonal menti integrálként írható fel: bR bkeimna\%) ŐXmT:n dl,

=-t D

ahol 't" a D vonal érintővektora. Az integrandusban bxm együtthatája a diszlokácóvonal egységnyi hosszára ható · fm erő (ellentétes előjellel). Írhatjuk tehát, hogy . (28,3) (M. Peach és J. Koehler, 1950). Megjegyezzük, hogy az f erőmerőleges a 't" vektorra, azaz a diszlokációvonaira és a a}tlbk vektorra. A 't" és b vektorok által meghatározott síkot- a diszlokáció minden pontjában a diszlokáció egyes elmeinek megfelelő csúszási síknak nevezzük (ezek a síkok a diszlokáció bármely eleme esetén természetesen érintik az egész diszlokáció csúszási felületét, amely a ,fliszlokáció b Burgers-vektorával párhuzamos alkotókkal rendelkező hengeres felület). Fizikailag az tünteti ki a csúszási síkot, hogy a diszlokációk elmozdulása e,sík mentén viszonylag könnyen megy végbe. 15 Ezért az alábbiakban meghatározzuk a (28,3) erőnek ebben a síkban ható összetevőjét. Legyen x a csúszási síkban fekvő diszlokációvonaira merőleges vektor. A keresett ''k f' (k) vagy ero omponens Jj _ = nu;= e;k1n;7:kbmazm,

(28,4) ahol v= XX 't" a csúszási sík normálisa, Minthogy b és v merőlegesek egymásra, a két koordinátatengelyt e vektorok irányába fektetve, láthatjuk, hogy az J_j_ erőt af:2 egyetlen komponense határozza meg. A diszlokációhurokra ható teljes erő:

-F;

= eikibm ya)~; dxk .

(28,5)

D,

Ez az erő csak inhomogén feszültségtér esetében kü)önbözik nullától (a},~ = const esetén az integrál dx k = O-ra redukálódik). Ha a huro.k l!léreteinek megfelelő távol-

f

15 Ez a tény egy diszlokációs hiba mik:roszkopikus alakjából következik. Például a 22. ábrán látható éldiszlokációnak csúszási síkjában (x, z síkban) való elmozdításához az atomok viszonylag kis áthelyeződése elegendő. Ennek során a "fölösleges" k:ristálysík az y, z síktól egyre távolabb kerül (de vele mindig párhuzamos marad). A diszlokáció más irányú mozgása diffúzióval mehet végbe. Például a 22. ábrán mutatott diszlokáció -az y, z síkban úgy mozoghat, hegy a "fölösleges" sík atomjai diffundálnak A gyakorlatban ilyen folyamat meglehetősen magas hőmérséklet esetén lehet számottevő.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

28.§. FESZÜLTSÉGTÉR HATÁSA DISZLOKÁCIÓRA

173

ságon a tér változása csekély, akkor

(Ismét feltettük, hogy a húrok a koordináta-rendszer kezdőpontjának közelében helyezkedik el.) Ezt az erőt a (27,11) alatt bevezetett dk1 diszlokációnyomaték segítségével is kifejezhetjük: (28,6)

Feladatok 1. Határozzuk meg két párhuzamos csavardiszlokáció kölcsönhatását izotrop közegben. · Megoldás. Egy diszlokáció egységnyi hosszúságú darabjára egy másik diszlokáció által keltett

feszültségtérben ható erőt (28,4) segítségével határozhatjuk meg a 27.§ 2. feladatában nyert eredmények alkalmazásával. Az erő sugárirányú, abszolút értéke:

l= Azonos

előjelű

diszlokációk (b 1b2

>

0) taszítják,

ftblb2 . 2 nr ellenkező előjelüek

(b 1b2


= őP1". Ha úgy vesszük, hogy a Pa,= O állapotban nincs plasztikus deformáció, akkor w~t> = P 1k. 18 Ezért

f

·

ouk . W;k = Wik-W;~ = 0 - -P;k, .

X;

(2,9,15)

·ahol uk ismét a deformálatlan állapottól .számított teljes geometna1 elmozdlilás A (29,6) egyenlet ez esetben azonosan teljesül, a (29,&) dinamikai egyenlet pedig a következő alakot ölti: (29,16) Így mozgó diszlokációk által keltett rugalmas . deformációk meghatározásának

oPzm suruséggel " ,, . eloszlo, terfoga , . ·., ti erok

feladatát B = O esetén a ,kristályban ..".. A;ktm - 6-

vxk

·

·

hatása mellett megoldandó közönséges ruglmasságtani problémára vezettük vissza (A. [(oszevics, 1963). · 1 & Feltételezzük, hogy az egész deformációfolyamat alatt B = O. Ezt külön hangsúlyozni kell,· mert a P;k és wjt> tenzorole között lényeges különbség van: P;k csak a test állifpotának függvénye, tenzor azonban nem: ilyen, hanem a .testet az adott fizikai állapÓtha vivő folyamattól is függ. a

w;t>

12* .

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

...

--~-~---

---

·-

·---~--~--------

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

180

IV. DISZLOKÁCIÓK

30. §. Kölcsönható diszlokációk eloszlása Tekintsünk ·nagyszámú azonos egyenes vonalú diszlokációt, amelyek egymással párhuzamosan ugyanabban a csúszási síkban helyezkednek el, és vezessük le az egyensúlyi eloszlásukat meghatározó egyenletet. Legyen a z tengely a diszlokációkkal párhuzamos, az x, z sík essen egybe a csúszási síkkal. A határozottság kedvéért úgy tekintjük, hogy a diszlokációk Burgers-vektorai az x tengely irányába inutatnak. Ekkor a diszlokáció hosszegységére a csúszási síkban ható erő baxy• ahol axy a diszlokáció helyén fellépő feszültség. Egy egyenes vonalú diszlokáció által keltett feszültségtér (mely a többidiszlok:ációra is hat) a diszlokációtól mért távolsággal fordított arányban csökken. Ezért az x pontban

levő

diszlokáció által az x' pontban keltett -feszültség

b___!!___, alakú, ahol X-X

D a kristály rugalmas állandóinak nagyságrendjébe eső mennyiség. Meg lehet mutatni, hogy D > O, azaz két azonos diszlokáció taszítja egymást; ha ugyanabban a csúszási síkban helyezkedik el. 1 9 Jelöljüke(x)-szel a diszlokciók eloszlásánaklineáris sűrűségét az xtengely (ah a 2) szakaszán: e(x) dx legyen az intervallum pontjain átmenő diszlokációk Burgersvektorainak összege. Ekkor az x tengély x pontjában az összes dit>zlok:ációk által létesített teljes feszültség a .következő integrál alakjában írható fel: a,

~xy(x) =-D

J

e(~J d~

~-x .

(30,1)

. Az (a1, a2 ) szakasz pontjaira az integrál f0értékét kell vennünk, hogy a diszlokációnak önmagára való ·hatását, mely fizikailag értelmetlen lenne, ne vegyük figyelembe. Ha a kristályban adott külső erők általlátrehozott a~ l (z, y) (síkbeli) feszültségtér is fellép, akkor minden diszlokációra b(axy +p(x)) erő hat, ahol a rövidség kedvéért a p(x) = a?) (x, O) jelölést használtuk. Az egyensúly feltetele ennek az erőnek az eltűnése: axy +p = O, azaz f7)

'j./

Ja, e(~) d~ ~-x

- p(x) = ( ). - D - wx'

(30,2)

ahol(/) az integrálfőértékét jelöli. A e(x) eloszlás egyensúlyi alakjának meghatározásálu

Izotrop. anyag esetére ezt a 28.§ 3. feladatában bizonyítottuk

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

181

30.§. KÖLCSÖNHATÓ DISZLOKÁCJÓK ELOSZLÁSA

ra tehát integrálegyenl~tet kaptunk. Ez Cauchy-típusú maggal rendelkező szinguláris integrálegyenlet Az ilyen egyenletek megoldása az alábbi módon megfogalmazott komplex függvénytani feladatra vezethető vissza. Jelölje az Q(z) függvény az egész komplex z síkon meghatározott [az (a 1 , az) szakaszon vágással rendelkező] komplex integrált:

f

a•

Q(z) =

e(~) d~ ~-z

.

(30, 3)

Q(z)-nek vágás feletti, illetve alatti értékét jelölje Q+(x), illetve Q-(x). Ezek a függvények ugyancsak az (ah az) szakaszra vett integrálként adhatók meg a z= x pontot alulról, illetve felülről kerülő végtelen kis sugarú körív mentén, ~zaz (30 ,4)

Ha

e(~)

eleget tesz a (30,2) egyenletnek, akkor az integrál

főértéke

w(x), tehát

Q+(x)+.Q-(x) = 2w(x), .Q+(x)-Q-(x)

=

(30,5)

2ine(x).

(30,6)

A (30,2) egyenlet megoldása tehát ekvivalens a (30,5) tulajdonságú Q(z) analitikus függvény kiszámításának feladatával, aminek ismeretében e(x)-et a (30,6) szolgáltatja. A vizsgált feladat fizikai feltételei megkövetelik, hogy Q(=) = O legyen; ez abból következik, hogy a diszlokáció-rendszertől nagy távolságban (x ._.. ± =) a ctxy feszültségnek el kell tűnnie. [A (30,3) definíció szerint az (a1, a 2 ) szakaszon kívül Cfxy(x)

= -DQ(x).]

Tekintsük először azt az esetet,, amikor külső feszültségek nincsenek (p( x) = O). a diszlokációkat pedig valamilyen akadály_ (rácshiba) visszatartja az (ah a2) szakasz végein. Az w(x) = O esetben (30,5)-ből .Q+(x) = -Q-(x), ~zaz az Q(z) függvénynek az a1. az pontok valamelyikén áthaladva jelet kell váltania. Ennek a feltételnek bármilyen .Q(z)

=

P(z) V(a2-z) (z-at)

alakú függvény eleget tesz, ahol P(z) polinom. Az .Q( oo) erejéig) csak a P(z) = 1 választást teszi lehetövé, tehát

(30, 7)

= O feltétel

(egy állandó

(30,8)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

182

IV. DISZLOKÁCIÓK

A (30,6) szerint a keresett e(x) függvény ugyanilyen alakú lesz. A benne állandót az

szereplő

a,

Jem a;=

(30,9)

B

a1

feltétel határozza meg (B az összes diszlokáció Burgers-vektorának.összege). Ebből: · e(x) =

B

.

n V(a2-x) (x-a1)

(30,10)

Ll:ltjuk, hogy a diszlokációk összegyűlnek a mozgásukat gátló akadályok (a szakasz határai) közelében, sűrűségük a szélektől mért távolság négyzetgyökével fordítottan arányos. Az a1 és ·a2 pontokhoz közeledve, ugyanilyen törvény szerint változik az (at, a2 ) szakaszon kívül fellépő feszültség is, így pl. x > a 2 esetén:

Más szavakkal: diszlokációknak a határokon való koncentrációja a határok túlsó oldalán hasonló feszültségkonc;entrációt eredményez. Tegyük fel, hogy azonos feltételek mellett (amikor a szakasz adott végein a diszlokációk mozgását gátló akadályok vannak) külső p(x) feszültségtér is fellép. Jelöljük .Q0(z)-vel a (30, 7) tipusú függvényt, és írjuk a (30, 5) egyenlőséget (.Q(i =-Qt -szal osztva) a következő alakba : .Q+(x) .Q-(x) .Q(i(x) - .Q0(x)

2w(x)

= Qó(x)

·

~

Ezt az

egyenlőséget

(30,6)-tal összevetve, arra a következtetésre jutunk, hogy

f wm a2

Q(z) .Qo(z)

=

l in.

Qó(;)

q;

.

~-z+ mP(z),

(30,11)

ahol P(z) polinom. Az .Q(=) = O feltételt kielégitő megoldást kapunk, ha Q 0(z)-t (30,8)-nak megfelelően választjuk, és P(z) = C (C= const). A keresett e(x) függvényt a (30,6) szerint számíthatjuk, és azt kapjuk, hogy a•

e(x) = -

·

v 1 q; ·f w(;) vca:a-;) c;-at) _!!L+ n 2 (a2-x)(x-a1) . . ; -x al

www.interkonyv.hu

(30,12)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

30.§. KÖLCSÖNHATÓ DISZLOKÁCIÓKELOSZLÁSA

A C állandót a (30,9)

feltételből

183

határozhatjuk meg. A e(x) függvény x__,_ a2 (vagy l

x__,_ a1) esetén itt is az (a 2 .,-x) - 2 törvény szerint növekszik, az akadály másik ol-

dalán a feszültség ugyanilyen koncentrációja jelentkezik. Ha csak az (a1, a 2) szakasz egyik szélén (mondjuk a 2-ben) van akadály, a keresett megoldásnak minden x -< a2 mellett véges feszültséget kell szolgáltatnia az a1 pontot is beleértve; ez esetben az utóbbi pont helyzete előre nem ismert, azt a feladat megoldása sórán kell meghatároinunk; .Q(z) nyelvén ez azt jelenti, hogy .Q(a1) szükségszerűen véges. Ilyen függvény [amely kielégíti .Q( oo) = O-t is] megint csak a (30,11) képletből nyerhető, az

választással, P(z) = O mellett. Eredményül kapjuk, hogy (30,13) Az x.-.. a1 esetben e(x) úgy tűnik el, mint Vx-a1. Az a1 pont másik oldalán ugyanilyen törvény szerint tart nullához a axy(x)+p(x) teljes feszültség. Végül tételezzük fel, hogy a szakasz egyik vég~n sincs akadály, a diszlok;íciókat csak a p(x) külsőfeszültségek tartják össze.Amegfelelő.Q(z)-túgy kapjuk, hogy (30,11)ben elvégezzuk az Q 0 (z) = ]l(a 2 -z) (z-al), P(z) =O helyettesítést. Az Q( oo) = O követelmény azonban szükségessé teszi egy további feltétel teljesülését: (30, ll} ben a z -+ oo határátmenet elvégzésével kapjuk, hogy (30,14)

A keresett Q(x) függvényt az alábbi képlet adja: (30,15)

az a1, a2 végpontokat a (30,9) és a (30,14) feltételek határozzák meg.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

184

IV. DISZLOKÁCIÓK

Feladat Határozzuk meg diszlokációk eloszlását homogén p(x) = p 0 feszültségtérben, hi! a· vizsgált szakasz egyik vagy mindkét végén a diszlokációk terjedését akadályozó rácshiba van. ' Megoldás. Ha csak a szakasz egyik (a 2) végén van akadály, a (30,13) integrál kiszámítható: _Po

(() !X--D JI;

vx-al

--x· a2-

A (30,9) feltételből pedig az összes diszlokációt tartalmazó szakasz hossza adódik: a 2 - a 1 = 2BD

1

Po

Az akadály közelében, annak diszlokáció mentes oldalán a feszültségkoncentráció a

törvényt követi. Ha a 2L hosszúságú szakasz mindkét végén akadály van, a koordináta-rendszet a szakasz középpontjában választva, (30,12) szerint kapjuk, hogy

kezdőpontját

31. §. Hasadékok egyensúlya rugalmas közegben. A hasadékok egyensúlyával kapcsolatos feladat a rugalmasságtan többi feladatá'hoz képest sok jelentősen ~ltérő sajátsággal rendelkezik. Rugalma.sságtani szempontból a hasadék a rugalmas közegben ható belső feszültségek eredményeként létező üreg, amely azopban a feszültségek megszűnésekor bezárul. A hasadékok mérete és alakja lényeg~sen függ a ható feszültségektőL Ennek megfelelően matematikai szempontból feladat különlegessége az, hogy a határfeltételek egy előre nem ismert, a feladat megoldása során meghatározandó felület mentén adottak. 20 Vizsgáljunk egy izotrop közegben fellépő hasadékot, amely egy irányban (a z tengely mentén) végtelenü! hosszú sík a~Zl(x, y) feszültségtér hatása alatt áll; más szó-. val, szoritkozzunk síkbeli feladatra. Feltételezzük, hogy a feszültségeloszlás a hasadék keresztmetszetének középpont-jára nézve szimmetrikus. Ekkor a keresztmetszet maga is szimmetrikus (27. ábra). Jelöljük a hasadék hosszát 2L-lel, változó szélességét pedig h(x)-szel, a hasadék szimmetriája miatt h( -x) = h(x).

a

20

Hasadékok kvantitatív elméletét itt G. I. Barenblatt (1959) munkáját követve tárgyaljuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

31.§. HASADÉKOK EGYENSÚLYA RUGALMAS KÖZEGBEN

185

h(x)

27. ábra

Feltételezzük azt is, hogy a hasadék keskeny: h« L. Ekkor a felületére érvényes határfehételt az x tengely megfelelő szakaszára vonatkoztathatjuk, vagyis a hasadékat (az x, y síkban levő) vágásnak tekinthetjük, ahol az elmozdulás normális komponense uY

1

=+ 2 h nagyságú ugrást szenved.

h(x) helyett egy másik ismeretlen e(x) függvényt vezetünk be a következő definí-

·cióval: L

h(x) =

f e(x) dx,

e(- x) =-e(x).

(31,1)

x

Tisztán formálisan a e(x) függvényt kényelmes az x tengely mentén folytonos eloszlású (a z tengely irányában elhelyezkedő) diszlokációk sűrűségeként értelmezni. A "diszlÓkációk" Burgers-vektora az y tengellyd párhuzamos: 21 A 27. §-ban megmutattuk, hogy a diszlokációvonalat szakadási felület határának tekinthetjük, amelyen az u .elmozdulás b nagyságú ugrást szenved. A (31,1) előállításban a normális irányú elmozdulás h nagyságú ugrását az x pontban az x helytől balra fekvő összes diszlokáció Burgers-vektorainak összegeként tekintjük. [A e(- x) = - e(x) egyenlőség pedig azt jelenti, hogy az x = O ponttól balra és jobbra levő diszlokációk külöriböző előjelűek.]

Ez az előállitás lehetövé teszi, hogy közvetlenül felírjuk a normális irányú aYY feszültség x tengelyen felvett értékét. E illennyiség egyrészt a külső erőkkel kapcsolatos a~~(x, O) feszültségből [melyet az egyszerűség kedvéért p(x)-szel jelölünk], másrészt a hasadék által keltett deformációnak megfelelő a~~asadék)(x) feszültségből· tevődik össze. Ha ez utóbbit úgy tekintjük, mint a (-L, L) szakaszon eloszló diszlokációk által keltett feszültségteret [(30,1)-hez hasonlóan], azt kapjuk, hogy

I L

at~asadékl(x) =-D

Q(~) d!; . ~-x

(31,2)

-L 21 Ezért tárgyaljuk a hasadékok elméletét a diszlokációkról szóló fejezetben, annak ellenére, hogy fizikailag egészen különböző jelenségekről van szó.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

186

IV. DISZLOKÁCIÓK

[a (-L, L) intervallum pontjaira nézve az integrál közegben: E D= f-l 2n(l-a)

főértékét

kell venni]. Izotrop (31,3)

(l. a 28. § 3. feladatát). Az izotrop közegben levő ilyen diszlokációk feszültségterének a xy eleme az x tengelyen eltűnik. · A hasadék szabad felületén érvényes határfeltételt (mint most láttuk) az x tengely megfelelő szakaszán érvényes határfeltétené alakíth~tjuk, amely a feszültség aYY = = a~~asadék)+p(x) normális komponensének eltífnését követeli meg. Ezt a feltételt azonban módosítani kell a következő körülmény miatt. Feltételezzük (s feltevésünk helyessége a végeredményből látható lesz), hogy a hasadék szélén annak két partja ~imán illeszkedik, vagyis e helyen a két felület egymástól igen kis távolságra halad. Ezért a felületek között fellépő kohéziós erőket figyelembe kell venni. Ezek, mint ismeretes, az atomok közt működő erőkhöz ké: pest nagy ro hatótávolságúak Ezek az erők a hasadék szélének kis h ;; ro környezetében igen lényeges szerepet játszanak (e szakasz hosszának nagyságrendjét d-vel jelöljük; becslésével a későbbiekben foglalkozunk). Legyen G a hasadék egységnyi felületére vonatkozó kohéziós erő, amely e felületek h távolságának a függvénye. 22 Ezeknek az erőknek a figyelembevételével a határfeltétel: aj,~asadékl+p(x)-G =0. (31,4) Természetes feltételezés, hogy a hasadék alakja annak széle közelében a kohéziós függ, és független a testre ható külső erőktől. Ekkor a hasadék leg- . lényegesebb részén az alak meghatározására szolgáló G mennyiség p(x)-től független G(x) függvénnyé válik. (Ez a d szakasz, rajta kívül G szerepe lényegtelen.) a}~asadék) (31,2) alakját (31,4)-be helyettsítve e(x)-re a következő integrálegyenletet kapjuk: erők jellegétől

f" L

. 1J

n(g) dg

g-x

l D

l . D

= -p(x)--G(x)

.

=w(x).

(31,5)

-L

Minthogy a hasadék széle nem rögzített, a feszültségeknek ott végeseknek kell maradniuk. Ez azt jelenti, hogy a (31,5) integrálegyenlet megoldásánál a 30. §-ban utolsóként vizsgált esettel állunk szemben, amikor is a megoldást a (30,15) szolgáltatja. Az origó jelenlegi választásamellett [a (-L, L) szakasz középpontjában]·ez a · 22 A makroszkopikus elméletben a G(x) függvény L- x csökkenésével folyamatosan nő, maximális értékét a hasadék végpontjában veszi fel.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

31.§. HASAJ?ÉKOK EGYENSÚLYA RUGALMAS KÖZEGBEN

kifejezés a

következő

187

alakú: .

IV L

w(;)

df,

L2-f, 2 f,-x

(31,6)

-L

Emellett a (30,14).feltételnek is teljesülnie kell, aminek megfelelően most

r -I v'V-x2 G(x) =o l v' L2-xz L

L

·

p(x) dx

dx

ö

(31,7)

o

[a feladat szimmetriáját kihasználva, a (-L, L)-re való integrálásról a (O, L)-revett integrálásra tértünk át]. Minthogy G(x) az L-x ~ d szakaszon különbözik csak nullától, a második integrálban L2 -x2 ~ 2L(L-x)-et írhatunk; mivel a (31,7) feltétel az

I. L.

o

p(x) dx V:L2-x2

=

M

(31,8)

Y2L

alakot ölti. Itt M-mel a közeg anyagára jellemző(31,9)

állandót jelöltük. Ezt a mennyiséget kifejezhetjük, a test közönséges makroszkopikus állandóinak (a rugalmassági modulusoknak és az rx felületi feszültségnek) á segítségével; mint az alábbiakban kimutatjuk, a következő összefüggés érvényes:

·M =

v

nrxE . l-a2

(31,10)

A (31,8) egyenlet határozza meg a hasadék 2L hosszát adott p(x) feszültségeloszlás. mellett. Ha például a hasadé ko t két partjának közepén ható koncentrált erők tágítják [p(x) = fo(x)], akkor ' f2 J2(1-a2) (31,11) 2L=M·"=. n rx E . ~

Tudnunk kell azonban, hogy hasadéknak nem lehet akármilyen p(x) feszültségeloszlás. esetén stabilis egyensúlyi állapota. Így homogén húzófeszültség mellett [p(x) =const =po] a (31,8)-ból: · ·

2L

www.interkonyv.hu

= 4M2 = n 2p5

4rxE

n(l-a 2 )p~

·

(31,12)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1973

.·""'

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

188

IV. DISZLOKÁCIÓK.

Ennek az összefüggésnek fordftött ~ányosság jellege (L csökken po növekedésével) .az állapot instabilitására mlitat. A (13,12) által megh~tározott L érték instabilegyensúlynak felel meg, és "kritikus" értéket ad a hasadék hosszára. A:z ennél hosszabb hasadékok már maguktól nÖve~ednek, a kritikus értéknél rövidebbek pedig "össze.záródnak". (Ezt az eredményt először A. Griffithvezette le 1920-ban.) _Térjünk most át a hasadék alakjáriakvizsgálatára. L- x ;;; desetén a (31 ,6) integrálban a leglényegesebb járulékot az

L-~ '"" d tartomány

adja, ahol

rom ~~G~) . ·

Ekkor az integrált az x .-. L határesetben érvényes értékével helyettesfthetjük, amiből 121

V

= const· L- x adódik, ahonnan :23 8

h(x) = const·(L-x)2

(31)3)

(L-x"' d).

Látjuk, hogy az utolsó d hoss:dtságú szakaszon a hasadék két partja simán illeszkedik egymáshoz. A (31,13)-ban szereplő állandó értéke a kohéziós erők_től függ, és nem fejezhető ki aszokásos makroszkopikus állandókkal. 24 A szélektől távolabbi, a d« L-x« L részen a (31,6) ala~ti integrálbanismét az L-~ "'- d tartomány adja a legnagyobb járulékot. Ez esetben az L 2- x 2 ~ 2L(L- x), ll-~ 2 ~ 2L(L-~) közelftés rilenett még (~-x ~ L-x)-etis irhatunk Eredményürik:

e =.

M :n;2DVL-x

,

aholMa (31,9) és (31,10) képletek szerint meghatározott állandó. Innen

2M h(x) = -.-VL-x n2D

(d« L-'-x «L).

(31,14) .

Tehát a hasadék szélének alakja a ható erőktől (és a hasadék hosszától) függetlennek adódik az egész L-x-