Elméleti fizika VI. - Hidrodinamika [PDF]

Zitiervorschau

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

ELMÉLETI FIZIKA VI.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

L. D. Landau – E. M. Lifsic

ELMÉLETI FIZIKA VI. HIDRODINAMIKA

Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

Az eredeti mő címe ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА VI. – ГИДРОДИНАМИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА, 1953 Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953 Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-134-0

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Tankönyvkiadó 1980-as kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

L. D. LANDAU Nobel-díjas (1908-1968)

E. M. LIFSIC Lenin-díjas (1915- )

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

AZ ELSŐ OROSZ NYELVŰ KIADÁS ELŐSZAVÁBÓL

Ez a kötet a folyadékok mechanikáját mint az elméleti fizika egy ágát ismerteti. Ennek következtében a könyv jellege lényegesen eltér más tankönyvekétőL Megkiséreljük a fizikailag érdekes valamennyi kérdés lehető legteljesebb tárgyalását. Arra törekszünk, hogy a jelenségekről világos elképzeléseket alakítsunk ki, és felhívjuk a figyelmet azok egymás közti kapcsolatára. E célkitűzés következtében kevesebb figyelmet forditunk a hidrodinamikai számítások közelitő módszereire és az olyan empirikus eljárásokra, amelyeknek fizikai értelmezése nem kielégitő. Ugyanakkor foglalkozunk olyan kérdésekkel, mint a folyadékokban végbemenő hőátadás és diffúzió, hangtan és égéselmélet, amelyek általában nem kapnak helyet egy hidrodinamikáról szóló könyvben. Foglalkozunk a relativisztikus hidrodinamika és aszuperfolyadékok mechanikájának alapjaival is. Feltételezzük, hogy az olvasó tisztában van a termodinamika elveivel. Matematikai alapként elsősorban a vektoranalízis és a tenzoralgebra ismerete szükséges. A matematikai fizika (másodrend-Li lineáris parciális differenciálegyenletek elmélete) szükséges ismereteit és az alapvető fontosságú feladatok megoldásait a megfelelő fizikai probléma kifejtésével párhuzamosan közöljük. Moszkva, 1953 L. D. LANDAU, E. M. LIFSIC

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

NÉHÁNY JELÖLÉS

Siirűség:

e

Nyomás: p H6mérséklet: T Entrópia a tömegegységre vonatkoztatva: s Bels{) energia a tömegegységre vonatkoztatva: e . Entalpia: w =

e+ p (!

Az állandó nyomás· és. az állandó térfogat mellett vett fajh{) viszonya: y = eP Dinamikai viszkozitás: rJ c" Kinematilcai viszkozitás: 11 = !!. H{)vezetési együttható: u e H6vezet6 képesség: x = ~ (?Cp

Cs6ellenállási együttható: il Ellenállási tényez{): C Emelési tényez{): CY Közegellenállás (ellenálló er{)): F Reynolds-szám: R Proude-szám: F Strouhal-szám: S Prandtl-szám: P Nusselt-szám: N Grashof-szám: G Mach-szám: M Hangsebesség: c Nagyságrendi egyenl{)ség jele: "' Közelit6 egyenl6ség jele: ~ Arányosság jele: co

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

I. FEJEZET

AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

l. §. A kontinuitási egyenlet A folyadékmechanika tárgya a folyadékok és gázok mozgásának vizsgálata. A tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jellegűek, a folyadékot folytonos közegnek tekintjük. Ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegendően sok molekulát tartalmaz. Infinitezimális térfogatelemen mit1dig "fizikailag" infinitezimális elemet értünk, mely a test méreteihez képest elegendően kicsi, de nagy az egy molekulára eső átlagos térfogathoz viszonyítva. Ugyanebben az értelemben használjuk a folyadék egy részeeskéje vagy a folyadék egy pontja kifejezéseket is. Ugyanúgy, ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különálló molekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelem helyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy pont mozgását társítjuk Mozgó folyadék állapota matematikailag a folyadék sebességeloszlását leíró v = v(x, y, z, t) függvény és két tetszőleges termodinamikai mennyiség- mondjuk a p(x, y, z, t) nyomás és a e(x, y, z, t) sűrűség- segítségével adható meg. Tudjuk, hogy két tetszőleges termodinamikai mennyiség ismeretében az összes többi meghatározható az anyag állapotegyenlete alapján, tehát öt mennyiség (a v sebesség három komponense, a p nyomás és a e sűrűség) megadása a mozgó folyadék állapotát egyértelműen meghatározza. Mindezek amennyiségek általában az x, y, z koordináták és a t idő függvényei. Hangsúlyozzuk, hogy v(x. y, z, t) a folyadék áramlásának sebessége a tér valamennyi (x, y, z) pontjában adott t időpillanatban, vagyis nem az idő múlásával helyet változtató folyadékrészecskére, hanem a tér egyes pontjaira vonatkozik. Ugyanez igaz a p és emennyiségekre is. A folyadékmechanika alapegyenletei közül elsőként az anyagmegmaradást kifejező egyenletet vezetjük le. Tekintsünk egy Vo térfogatú tartományt. Ebben a térfogatban levő folyadékmenynyiség (a tömeg) edV, ahol ea folyadék sűrűsége, és az integrálásta Vo térfogatra terjesztjük ki. E térfogatot határoló felület df elemén egységnyi idő alatt ev df folyadékmennyiség áramlik át; a df elemi vektor abszolút értéke a felületelem területével

J

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

10

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

egyezik meg, df iránya pedig a felület külső normálisának iránya. Ez azt jelenti, hogy ev df a folyadék kiáramlása esetén pozitiv, beáramláskor pedig negativ. Az időegység . alatt kiáramló teljes folyadékmennyiség tehát

az integrálást a Vo térfogat felületére végezzük. Másrészt a folyadékmennyiség csökkenése a vizsgált tartományban fgy

frh~tó:

-:t J

edV.

E két mennyiséget egyenlővé téve, azt kapjuk, hogy (1,1)

A felületre vonatkozó integrált· a Gauss--Osztrogradszkij-tétel alkalmazásával térfogati integrállá alakithatjuk:

amivel

f evdf = Jdiv evdV,

J

(:;+div ev) dV=

o.

Ez az egyenlőség tetszőleges Vo térfogat esetén igaz, fgy fennáll

~; +div ev= o

(1,2)

is, ami a kontinuitási egyenlet. A div (ev) kifejezés átalakításával (1,2) az alábbi alakban írható:

~;+e div v+ v grad e= o.

(1,3)

j= ev

(1,4)

A

vektort (tömeg-) áramsűrűség-vektornak nevezzük. Iránya megegyezik a folyadék mozgásának irányával, abszolút értéke pedig megadja a sebességre merőleges egységnyi felületen az időegység alatt áthaladó folyadék mennyiségét.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

ll

2.§. AZ EULER-EGYENLET

2. §. Az Euler-egyenlet Tekintsünk a folyadék belsejében egy tartományt. B térfogatra ható teljes nyomásnak a kiszemelt tartomány felületére vett

erő

a

integráljaként számítható ki. Ezt térfogati integrállá alakíthatjuk:

-~·p df

=-J gradp dV.

Ez azt jelenti, hogy a folyadék minden dV térfogatelemére a folyadék szomszédos részei -dV grad p. erőt fejtenek ki. Más szóval, a folyadék egységnyi térfogatára - grad p erő hat. Most már felírhatjuk a folyadék egy térfogatelemének mozgásegyenletét, a - grad p

erőt az egységnyi. térfogat e tömegének

és ddv gyorsulásának szorzatával t

egyenlővé

téve: dv

edt = -gradp. Az itt szereplő

~;

(2,1)

derivált nem a folyadék sebességének a vizsgált térben rögzített

pontban való megváltozását jelenti, hanem egy adott folyadékrészecske gyorsulását. Ezt a deriváltat ki kell fejezni a, térben rögzített pontokra vonatkozó mennyiségekkel. A kiszemelt részecske sebességének dt idő alatt bekövetkező dv megváltozása két részből tevődik össze: az egyik a sebesség dt alatti megváltozása az adott pontban, a másik a részecske által dt idő alatt megtett dr út két végpontja között (ugyanazon időpillanatban) fennálló sebességkülönbség. Az előbbi így írható:

av

at dt, al:Ú.ll a av j at deriváltat rögz.ftett x, y, z mellettkell kiszámítani, azaz a tér egy kiszemelt pontjában. A sebességváltozás másik része:

av

av

av

vx

y

z

dx~+dy-a +dz-a = (drv)v.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

12

· I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

Azt kapjuk tehát, hogy dv=

av

ffi dt+(dr\l)v,

vagy az egyenlőséi,mindkét oldalátdt-vel osztva,

•

dv

av

dt = ffi+(v\l)v.

(2,2)

A (2, l )-ben megkapott összefüggést ide behelyettesítve, az adódik, hogy

ov

-d + (v\l)v t

l

= --e grad p.

(2, 3)

Ez a folyadék keresett mozgásegyenlete, amelyet először L. Euler vezetett le 1755-ben. Az Euler-egyenlet a folyadékmechanika egyik alapegyenlete. Ha a folyadék nehézségi erőtérben van, valamennyi térfogatelemére még eg gravi. tációs erő is hat, ahol g a nehézségi gyorsulás. Ezt az erőt hozzá kell adni a (2,1} egyenlet második tagjához, úgyhogy (2,3) a következő alakot ölti: av \lp -+(v\l)V =--+g;

at

e

(2, 4)

A mozgásegyenlet levezetése során nem vettük figyelembe az energiadisszipációt, amely mozgó folyadékban, a belső súrlódás (viszkozitás) és a kiilön böző részek közötti bőcsere miatt mindig felléphet. Ennek következtében az itt, és e fejezet további részében elmondandók a folyadékok olyan mozgására vonatkoznak, amelynek során a hővezetési és a viszkozitással kapcsolatos folyamatok figyelmen kívül hagyhatók. Ha ez a közelítés jogos, az áramló közeget ideális folyadéknak nevezzük. Ha a folyadék különböző részei (valamint a folyadékkal érintkező testek) között nincs hőcsere, a mozgás adiabatikus. Az ideális folyadék áramlását tehát adiabatikus folyamatnak kell tekinteni. Adiabatikus mozgás esetén a folyadék minden egyes tartományának entrópiája állandó marad a kiszemelt tartomány elmozdulása során. A folyadék egységnyi tömegének entrópiáját s-sel jelölve, a mozgás adiabatikus jellegét a következő egyenlet fejezi ki: ds= O.

dt

www.interkonyv.hu

(2, 5)

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

2.§. AZ EULER-EGYENLET

13

Az idő szerinti teljes derivált, éppúgy, mint (2,1)-ben is, .egy, a folyadékkal együtt mozgó tartomány entrópiaváltozását adja meg. A fenti derivált így írható:

os ot +vgrads =o.

(2, 6)

Ez az ideális folyadék áramlásának adiabatikus jellegét kifejező általános egyenlet. Az (1,2) egyenlet mintájára (2,6)-ot az entrópiára vonatkozó "kontinuitási egyenletként" írhatjuk fel:

a~:)+ div (esv) = o.

(2,7)

A esv szorzat az "entrópia-áramsűrűség". A mozgás adiabatikus jellegét kifejező egyenlet gyakran sokkal egyszerűbb alakba írható. Ha, mint általában, egy kezdeti pillanatban az entrópia a folyadék minden pontjában azonos, a folyadék mozgása során mindenütt ugyanakkora és időben állandó marad. Ez esetben az adiabaticitási egyenlet az

(2, 8)

s =const

alakban írható. A következó'kben ezt az egyenletet használjuk. (2,8) teljesülése esetén a mozgást izentropikusnak nevezzük. A mozgás izentropikus jellegét kihasználva, a (2,3) mozgásegyenletet átalakíthatjuk. E célból felhasználjuk a következő jól ismert termodinamikái összefüggést:

dw =T ds+ V dp, ahol w a fQlyadék egységnyi tömegének entalpiája, V = 1/e a fajlagos térfogat, T pedig a hőmérséklet. Mivel s = const, egyszeruen írhatjuk, hogy

l ' dw = V dp = - dp,

e

vagy

_!_\lp = '\lw. A (2,3) egyenletet tehát így írhatjuk:

e

ov

8t+(v'V')V

= -grad w.

(2,9)

Érdemes az Euler-egyenlet egy másik alakját is felírni, amelyben csak a sebesség fordul elő. A vektoranalízis

1

2

www.interkonyv.hu

grad v2

=

vxrot v+(v'V')v

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

14

l. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

képletének alkalmazásával (2,9)-et a következő alakra hozhatjuk: ·

av

l

~+2

ut

grad v2 -vxrot v= -grad w.

·

·

(2,10)

A rotáció operátort az egyenlet mindkét oldalára alkalmazva, a

ota rot v= rot (vxrot v)

(2,11)

összefüggéshez jutunk, amely csak a sebességet tartalmazza. A fent levezetett mozgásegyenletekhez meg kell még adni a folyadékot határoló felületeken érvényes határfeltételeket. Ideális folyadék esetén ezek a határfeltételek azt az egyszerii tényt tükrözik, hogy a folyadék nem áramlik át a szilárd falon. Ez annyit jelent, hogy a sebesség normális komponense a rögzített fal mentén eltűnik: Vn

=O.

(2,12)

Általános esetben, ha a határfelület mozgását megengedjük, vn a felület sebességének megfelelő összetevőjével egyezik meg. Két, egymással nem keveredő folyadék elválasztó felületén egyrészt a nyomások megegyeznek, másrészt az egyes folyadékok áramlási sebességének aközös határfelület normálisa irányába eső komponensei egyenlők (ezek a sebességek megegyeznek az elválasztó felület haladásának normális irányú sebességével). Az l.§ elején már mondottuk, hogy a mozgó foiyadék állapotának meghatározásához öt mennyiség szükséges: a v sebesség három komponense, továbbá példáu1 a p nyomás és a e sűrűség. Ennek megfelelően a hidrodinamikai egyenletek teljes rendszere öt egyenletból áll. Ideális folyadék esetén ezek az Euier-egyenletek, a kontinuitási egyenlet, valamint a mozgás adiabatikus jellegét kifejező egyenlet.

Feladat Írjuk felideális folyadék egydimenziós áramlásánakmozgásegyenleteit az a és t változók használatával, ahol a a folyadékrészecskék x koordinátája a t= t 0 időpillanatban. (Ezek az ún. Lagrangeváltozók.1)

1 Ezeket a koordinátákat Lagrange-változóknak nevezzük, annak ellenére, hogy a folyadék mozgásegyenleteit ilyen koordináták használatával elsőként L. Euler vezette le a (2,3) alapegyenlettel

egyidejűleg.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

15

3.§. HIDROSZTATIKA

Megoldás. A fenti változók használata azt jelenti, hogy egy adott időpiiianatban minden részecske = x(a, t). A folyadék egy elemének tömegére vonatkozó megmaradási törvény (a kontinuitási egyenlet) így írható: e dx = eo da, vagy

x koordinátáját az idő és a koordináta kezdeti értéke függvényének tekintjük: x

ahol

e (a) a kezdő pillanatbeli adott sűrűségeloszlás. A folyadékrészecske sebessége definíció szerint

v = (

0

ax) , és ennek at a

(~) deriváhja at a

meghatározza az adott részecske sebességének

időbeli

. változását. Az Euler-egyenlet így írható:

av) =-e;1 (ap) (Bt aa a

t'

az adiabaticitási feltétel pedig

(~) at a =o.

3.§. Hidrosztatika A homogén nehézségi írható:

erőtérben

nyugvó folyadékra vonatkozó Euler-egyenlet így gradp

=eg.

(3,1)

Ez az egyenlet meghatározza a folyadék mechanikai egyensúlyát (ha külső erők nincsenek, az egyensúlyi egyenlet \lp= O alakú, azaz p = const, a nyomás a folyadék minden pontjában ugyanaz). Ha a folyadék sűrűsége az egész vizsgált térfogatban állandónak tekinthető, azaz a külső erő nem nyomja össze számottevően a folyadékot, a (3,1) egyenlet egyszerűen integrálható. A z tengelyt függőlegesen felfelé irányítva, azt kapjuk, hogy

·ap _ ap= 0 8x - 8y '

()p

az= -eg,

amiből

p = - egz +const. Ha a nyugvó folyadék (h magasságban elhelyezkedő) szabad felületére annak minden pontjában azonos, p 0 nagyságú erő hat, akkor a felület vízszintes, z = h. A p = po (ha z = h) feltételből az adódik, hogy const =po+ egh, tehát

p= po+eg(h-z).

www.interkonyv.hu

(3,2)

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

16

I. Ff\JEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

Nagy folyadéktömegek esetén a folyadék esűrűsége általában nem tekinthető állandónak; ez különösen gázok (pl. az atmoszféra) esetében bizonyullényegesnek. Tegyük fel, hogy a folyadék nemcsak mechanikai, hanem termikus egyensúlyban is van. Ez esetben a hőmérséklet ugyanakkora a folyadék minden pontjában, így a (3,1) egyenlet az alábbimódon integrálható. Használjuk a jól ismert

d

o. dz ar p dz ap T dz T dz ar p dz Végül (3,4)-nek

megfelelően, dp

dz = -~V behelyettesítésével az adódik, hogy dT dz

gT (av) ar p.

(4,4)

->--CpV

Tehát áramlásos hőátadás akkor lép fel, ha a hőmérséklet alulról felfelé csökken, és ha gradiense abszolút értékben nagyobb, mint

gT ( aav) .

cpv T p Ha egy ideálisnak feltételezett gázoszlop egyensúlyát vizsgáljuk,

T (av) · v ar

p=

és az egyensúly stabilitásának feltétele

1•

egyszerűen

dT dz

g

(4,5)

->--.

5~

ep

§. A Bernoulli-egyenlet

A folyadékmechanika egyenletei jelentősen egyszerűsödnek stacionárius áramlás esetén. Az áramlást stacionáriusnak nevezzük, ha az áramlás sebessége a folyadék által elfoglalt térrész mindeli pontjában időben állandó. Más szóval, v csak a koordináták függvénye, tehát

~: l

= O. Ekkor a (2,10) egyenlet így módosul:

2 grad v2 - v x rot v =- grad w.

(5,1)

Vezessük be az áramvonal fogalmát. Az áramvonal olyan görbe, amelynek bármely pontjában vett érintője minden időpillanatban megadja a folyadék sebességének irá2*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

20

I. FEjEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

nyát az illető pontban. Az áramvonalakat a határozza meg: dx dy =

következő differenciálegyenlet~rendszer

=

dz

(5, 2)

Stacionárius áramlás esetén az áramvonalak időben állandók, és egybeesnek a folyadékrészek pályájával. Ha azonban az áramlás nem stacionárius, magától értetődik, hogy ez nincs igy: egy áramvonal érintői különböző folyadékrészecskék sebességének irányát adják meg a folyadék egymást követő különböző pontjaiban, egy adott időpillanatban. Ugyanakkor a pálya érintője egy meghatározott részecske sebességének irányát adja meg, egymást követő időpontokban. Szorozzuk meg az (5,1) egyenletet az áramvonal érintő egységvektorával; jelölje ezt a vektort l. Ismeretes, hogy a gradiensvektor egy adott irányú vetülete megegyezik a megfelelő irány menti deriválttaL A grad w vektor érintő irányú vetülete ennek

megfelelően ~~ . Minthogy a v x rot v vektor a

v sebességre merőleges, l irányú vetü-

lete eltűnik. Az (5,. n

~gyenlet

tehát így alakul:

aza (-·2-~+w) =o. 2

Eredményünk,hogya;~+w mennyiség egy áramvonal mentén állandó: v2

2 +w =const.

(5,3)

Az állandó értéke általábap minden áramvonalon más és más. Az (5,3) összefüggés a Bernoulli-egyenlet. Ha az áramlás nehézségi erőtérben jön létre, az (5, l) egyenlet jobb oldalához hozzá kell adni a g nehézségi gyorsulást. Irányítsuk a z tengelyt függőlegesen felfelé. ,A g és · · által .b ez·árt szög cosmusa · dz d enva · 'ltta l egyezt"k meg, vagyis · g-nek I~re a - dl ltrányok való vetülete :

Ennek felhasználásával azt kapjuk, hogy

a (v2 ai T+w+gz) =O.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

21·

6.§. A'? E~ERGIAÁR.4M.

Így a módosftott Bernoulli-egyenlet szerint egy 4ramvonl'll me:t:!tén · ·

v2

. .

2 +w+gz·= const

.

(5,4)

adódik. 'i:.

6. §. Az energiaáram . , l

.

Tekintsünk egy, a térben rögzített térfogatelemet, ~s vizsgáljl}~ meg, hogyan változik az időben e térfogatot kitöltő folyadék energiája. A folyadék egységnyi térfogatának energiája:

....

\

ahol az első tag '~ mo~gási energia, a· második pedig a belSő 1 energi~ (e az egységnyi tömegű folyadék belső energiája). Az energia megváltozása a következő parciális differenciálhányadossal fejezhető ki: · _..

Az

első

tag cleriváltja : ,·

. l·'

l

vagy az (1,2) kontinuitási egye~let és a (2,3) mozgásegy~nlet :fetluisználásával:

a ev2 v2 ot T= - 2 divev-v gradp-ev(VV')~·Az utolsó tagba behelyettesítjük a v(vv)v

=.T ds+~ 'dp :termodinamikai képlet (! 'VW;_

l

= "j v :vv2

' ' .

felhas~álásával

ös~~efüggést,

és a dw =

a nyomás gradiensét, a

eT 'Vs kifejezét?selhelyettesftjük; igy .

'

:

.

,,

...

a ev2 v2 . ( v2) - - = - - divev-ev 'V w+- +eTv gs ot 2 2 2

adódik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

22

A

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

:t es

derivált kiszámításához felhasználjuk a

ds = T ds- p dV = T qs+ : 2 de

. termodinamikai összefüggést. Mivel s+!!_e = s+pV az egységnyi tömeg w entalpiája, azt kapjuk, hogy amivel

d(es) = s de+ e ds = wde+eT ds, o(es) oe os . -rfl = w ot+ eT ot =-w d1v

ev- eTv '\lS· • ..

(Itt az áramlás adiabatikus jellegét kifejező {2,6) egyenletet is felhasználtuk.) Az egyes tagokat megfelelően csoportosítva,, az energia megváltozása így adódik:

amiből

végül is azt kapjuk, hogy

o (ev2 ot -z+ es) =

. .{ev (v22+ w)} .

-div

- {6,1)

A kapott egyenlőség fizikai jelentésének megállapítása céljából integráljuk (6,1)-et valamilyen térfogatra: '

:t

J(e;

2

+es) dV=-

Jdiv {ev(~ +w)}av;

vagy a jobb oldalon álló integrált felületi integrállá alakítva:

:t

f(e;

2

+es)

dV=·-~ ev(~2 +w) df.

{6,2)

··;:._ bal ~ldalon kiszemelt, térben rögzített térfogatelem energiájának időegység alatti megváltozása áll. A jobb oldali felületi integrál tehát a vizsgált térfogatból az időegység alatt "kimenő" energia mennyiségét adja meg. E11nek megfelelően a

a

{6,3)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

23

7.§. AZ IMPULZUSÁRAM

kifejezést energiaáram-sűrűség vektornak nevezhetjük. Ennek abszolút értéke megadja a sebességre merőlegesen elhelyezkedő egységnyi felületen az időegység alatt átáramló energia mennyiségét. Az "energiaáram" fogalmát N. Umov vezette be 1874-ben. Ugyancsak tőle származik az energiaáram megmaradásának az energiára vonatkozó kontinuitási egyenlet formájában való kifejezése. Umov a fenti fogalmakat a folytonos közegek mechanikájában használta, és abból vezette le a folyadékok energiaáramának kifejezését. A (6,3) kifejezésből látható, hogy a folyadék egységnyi tömege a mozgása során '

2

.

valamilyen módon w+~ energiát hordoz. Annak, hogy a kifejezésben a w entalpia :Szerepel és nem az s w

belső

energia,

egyszerű

fizikai jelentése van. Behelyettesftve a

= s+ !_ kifejezést, a zárt felületen áthaladó teljes energiaáram igy írható: Q

Az első tag {az egységnyi idő alatt) a felületen áthaladó folyadéktömeg által szállított {kinetikus plusz belső) energia. A második tag a zárt felület belsejében levő folyadék nyomóereje által végzett munka.

7.§. Az impulzusáram Végezzünk a fentihez hasonló számítást a folyadék impulzusa esetében. A folyadék egységnyi térfogatának impulzusa ev. Számítsuk ki ennek időegységre eső megváltozását, a

a

-ev at mennyiséget. A számolást tenzorjelölések 2 használatával végezzük el. Azt kapjuk, 2 Az i, k, ... latin betűs indexek az l, 2, 3 értékeket vehetik fel, melyek rendre megfelelnek a vektorok, illetve tenzorok x, y, z tengelyek irányába eső összetevőjének A továbbiakban az olyan 3

összegeket, mint

AB=

A1B1 +A 2B2 +A 3B3

=I

A 1 B1 ,egyszerűenA 1 B1 alakbanírjuk,azösszegezés

i~l

jelének elhagyá:Sával. Hasonló módon járunk el vektorok vagy tenzorok bármilyen szorzatának képzésekor: egy adott kifejezésben valamennyi ismétlődő latin indexre l-től 3-ig összegezünk Az összegező indexekkel számolva, természetesen minden indexpár bármely két, azonos betűvel jelölhető, az összeg értéke a jelöléstől független, minthogy az indexek úgyis mindhárom lehetséges .értéket felveszik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

24

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS .FOLYADÉKOK

hogy

liaszrtáljuk az (1,2)

:kont~uitási egyenletet

és a (2,3) Biller-egyenletet a

következő

( div ev helyett a

o:k evk alakot írva) :

alakban:

Ekkor az adódik, hogy

·Az utolsó kifejezés első tagját így írhatjuk :s

Ezzel (7,1)

adódik, és a Illk tenzor definíciója: (7,2) Ez a tenzor nyilvánvalóan szimmetrikus. II1k fizikai jelentésének megvilágitása céljából a (7,1) egyenletet integráljuk valamilyen térfogatra:

oto f ev; dV = - follik oxk av. 3 o,", az egységtenzor jelölésére szolgál, azaz olyan tenzort jelent, amelynek elemei egységnyiek, ba i= k, és nulla értékűek, ha i .,s k. Nyilvánvalóan o1",A", = A 1, ahol A 1 valamilyen vektor. Ugyanigy, ha A.~:1 másodrendű tenzor, fennállnak a következő összefüggések: o1~11 = A 11 , o1~1"' = A 11 stb.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

7.§. AZ IMPULZUSÁRAM

25

A jobb oldalon álló integrált a Gauss-Osztrogradszkij-tétel felhasználásával felületi integrállá alakitjuk :4 · (7,3)

A bal oldal a vizsgált térfogatban levő folyadék impulzusa i-edik komponensének időegység alatti megváltozása. Ezért ajobb oldalon álló felületi integrál a kiszemelt térfogatból időegység alatt "kiáramló" impulzust jelenti. Következésképpen, Il1k dfk a df felületelemen átmenő impulzus i-edik komponense. Ha a dfk komponenst nk df alakba írjuk (df a felületelem területe, az n vektor külső normális egységvektor), azt kapjuk, hogy II1knk az i-edik impulzuskomponens felületegységére eső áramvektor. Vegyük észre, hogy (7,2) értelmében Il1knk = pn1+ ev1vknk; ezt a kifejezést vektorjelölésekkel felírva, azt kapjuk, hogy (7,4}

pn+ev(vn).

Így tehát Il1k az egységnyi idő alatt az xk tengelyre merőleges egységnyi felületen impulzusmennyiség i-edik komponense. 1I1k-t impulzusáram-sűrűség tenzornak nevezzük. Az energiaáram vektormennyiség, minthogy az energia skalár, az. impulzusáram azonban másodrendű tenzorként viselkedik, mert maga az impulzus vektor. A (7,4) vektor meghatározza az n irányú impulzusvektor áramát, más szávai az. n-re merőleges felületen átáramló impulzust. Ha az n egységveletort a folyadék sebességének irányába fektetjük, azt találjuk, hogy ebben az irányban csak az impulzus longitudinális komponense halad, melynek áramsíírűsége átmenő

A sebességre merőleges irányban az impulzusnak (a v sebességhez képest) csak a transzverzális komponense halad, melynek áramsűrűsége egyszerűen p.

4

Egy zárt felületre vett integrál e felület által határolt térfogatra vonatkozó integrállá alakitásának

o

szabályát igy fogalmazhatjuk meg: adJ; felületelemet a dV- operátorral kell helyettesíteni, ami OXt az egész integrandusra hat:

o

dJ;-+dV0x, •

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

26

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

8.§. A cirkuláció megmaradása A zárt görbére vett

:integrált az illető görbére vonatkozó sebességcirkulációnak (vagy egyszerifen cirkulá-ciónak) nevezzük. Vizsgáljunk a folyadékban adott időpillanatban egy zárt görbét. Ezt a görbét folya-dékrész;ecskék együttesének tekiri.tjük. Ezek a folyadékrészecskék idó'ben elmozdulnak, így az egész görbe változtatja a helyét. Nézzük meg, hogyan változik a cirkulá-ció. Más szóval, számítsuk ki a

:időderiváltat. Itt az idő szerinti teljes deriváltat írtunk, mert a cirkuláciÓ megváltozását a folyadék áramlásában részt vevő görbe mentén kívánjuk meghatározni, nem

.

:pedig egy térben rögzített görbére vonatkozóan. A félreértések elkerülése végett a koordináták szerinti denválást idei~lenesen a-val jelöljük, d-t fenntartjuk az időderivált jelzésére. Megjegr:ezzük továbbá, hogy a görbe dl ívelemét e hosszúság két végpontja helyvektorának ar különbségeként is felírhatjuk. Írjuk tehát a cirkulációt a következő alakba:

f v ar. .Az integrál idő szerinti differenciálásakor figyelembe kell venni, hogy nemcsak a .sebesség, hanem maga az integrációs görbe (azaz annak alakja) is változik. Az idő ,szerinti deriválás jelének az integráljel alá való bevitelekor tehát a v sebességen kívül .(}r-et is differenciálni kell: -d dt

f

var=

f

dv -ar+ dt

f

ar. vddt

.A v sebesség azonban az r helyvektor idő szerinti deriváltja, így · dr v2 d ar v - = va-= v av= a-. dt dt . 2

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

27

8.§. A CIRKULÁCIÓ MEGMARADÁSA

Minthogy a teljes differenciál zárt görbére vett integrálja nem ad járulékot, ezért

eltűnik,

a második integrál

Az integrál kiszámításához felhasználjuk a dv gyorsulásnak a (2,9) alatti kifejezéd! sét: dv di =-grad w. A Stokes-tétel alkalmazásával (tekintetbe véve, hogy rot grad w ,C_ dv

j di

()r

=

I

dv" ()f rot di

=

=O):

O.

Az eredeti jelölésekre visszatérve, végeredményül azt kapjuk, hogy5

~ vagy

f

v dl= O,

f v dl

=

(8,1)

const.

Eredményünk szavakban úgy fogalmazható meg, hogy (ideális folyadékban) egy zárt folyadékgörbére vett cirkuláció időben állandó (Thomson-tétel vagy a cirkulációmegmaradás törvénye). Hangsúlyozzuk, hogy eredményünket az Euler-egyenlet (2,9) alakjának felhasználásával kaptuk, azaz feltételeztük a folyadék mozgásának izentropikus voltát. Egy nem izentropikus áramlás esetén a tétel nem is igaz. 6 ·

5 6

=

Ez az eredmény homogén nehézségi tér jelenlétében is érvényes, mivel rot g O. Tisztán matematikai szempontból az szükséges, hogy eés p között egyértelmű összefüggés álljon

fenn [izentropikus folyamatesetén ezt az s(p, e)= const egyenlet szolgáltatja]; ez esetben - \lp

.

e

felírható egy függvény gradienseként, amit a Thomson-tétel levezetésekor kihasználunk

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

28

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

9. §. A potenciáláramlás A cirkulációmegmaradás törvényéből fontos eredmény származtatható. Tételezzük fel először, hogy a folyadék áramlása stacionárius, és vizsgáljunk olyan áramvonalat, amelyről tudjuk, hogy egy pontjában rot v = O. Rajzoljunk egy kis zárt görbét, mely e pont közelében körülfogja az áramvonalakaL A Stokes-tétel értelmében a cirkuláció egy infinitezimálisan kicsiny görbe mentén rot v df, ahol df a görbe által· körülfogott felület, rot v pedig a sebesség rotációjának értéke a felület pontjaiban. Mivel az integrációs görbe olyan pont közelében halad, ahol rot v = O, a cirkuláció is eltű­ nik. Ez a zárt görbe azonban részt vesz a folyadék mozgásában, mindvégig infinitezimálisan kicsiny marad, és körülzárja az áramvonalat. Miri.thogy a cirkuláció állandó, esetünkben nulla, nyilvánvaló, hogy az áramvonal valamennyi pontjában rot v = O. Arra az er~dményre jutottunk tehát, hogy ha a sebesség rotációja egy áramvonal valamelyik pontjában nulla, akkor e vonal minden pontjában eltűnik. Ez az eredmény érvényben marad akkor is, ha a folyadék mozgása nem stacionárius, attól a különbségtől eltekintve, hogy ekkor nem egy áramvonal, hanem egy adott folyadékrészecske pályája mentén igaz a fenti állítás (emlékeztetünk arra, hogy nem stacionárius áramlás esetén a pályák általában nem egyeznek meg az áramvonalakkal). 7 Az első pillanatban helyesnek tűnik az alábbi gondolatmenet. Tekintsünk egy test körül kialakult stacionárius áramlást. A végtelenben az áramlás homogén; sebessége v = const, itt tehát rot v O minden áramvonalon. Azt gondolhatnánk, hogy rot ·v= O valamennyi áramvonal teljes hosszán" azaz az egész áramlási térben. Ha a folyadék úgy mozog, hogy az egész térben teljesül a rot v = O egyenlőség, potenciáláramlásról (vagy örvénymentes áramlásról) beszélünk. A fenti megfontolásaink eredményét tehát úgy fogalmazhatnánk meg, hogy egy test körül kialakuló stacionárius áramlás, amennyiben az a végtelenben homogén, szükségképpen potenciáláramlás. Hasonlóan, a cirkulációmegmaradás törvényének felhasználásával így okoskodhatnánk, Tételezzük fel, hogy egy időpillanatban a folyadék mozgása rotációmentes (az egész térfogatban). Ez esetben a cirkuláció a folyadékban felvett bármely zárt görbe

=

7 A félreértések elkerülése végett mármost megjegyezzük, hogy" turbulens áramlások esetén ez az állítás értelmét veszti (III. fejezet). Megemlítjük továbbá, hogy egy áramvonal mentén a sebesség rotációja egy lökéshullámmal való metszés helyén nullától különbözővé válhat. Látni fogjuk (106.§), hogy ez az árarplás izentropikus jellegének megszűnése miatt következik be, amit a sebességcirkuláció megmaradási törvényének bevezetésekor lényegesen kihasználtunk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

9.§. A POTENCIÁLÁRAMLÁS

29

mentén eltűnik.8 A Thomson-tétel értelmében azt mondhatnánk, hogy ez bármely is így lesz, vagyis azt az eredményt kapnánk, hogy amennyiben a folyadék áramlása egy adott pillanatban rotációmentes, a következőkben is ílyennek kell maradnia (például, ha a folyadék kezdetben nyugalomban volt, áramlásamindig rotációmentes lenne). Ezt alátámasztja az a tény is, hogy rot v= O esetén (2, ll) triviálisan teljesül. A valóságban azonban a fenti eredmények alkalmazhatósága erősen korlátozott. Az a helyzet, hogy a rot v = O egyenlőség egy áramvonal mentén való megmaradásának fent adott bizonyitása egy, a szilárd test felülete mentén haladó áramvonal esetén, szigorúan véve, nem alkalmazható, egyszerűen már azért sem, mert a folyadékban nem vezethető egy ilyen áramvonalat körülfogó zárt görbe. Következésképpen, ideális folyadék mozgásegyenleteinek lehet olyan megoldása, amikor a szilárd test felületén az áramvonalak "leszakadnak" : a felületen csúszó áramvonalak egy bizonyos pontban elhagyják a felületet, és a folyadék belsejében folytatódnak. Az így kialakuló áramlási képet egy, a testről kiinduló "érintőleges szakadási felület" létezése jellemzi, amelyen a folyadék sebességének (mely továbbra is a felület érintőjé­ nek irányába mutat) szakadása van. Más szóval, a felület mentén egy folyadékréteg valamilyen módon "csúszik" a másikon [a helyzetet az l. ábrán szemléltetjük: az későbbi időpillanatban

J. ábra

ugrási felület elválasztja a folyadék áramlásban levő részét az árnyékzónától (holttértől), melyet a test mögötti álló folyadék alkot]. Tisztán matematikai szempontból a sebesség érintő irányú összetevőjének ugrása, mint tudjuk, azt jelenti, hogy egy felület mentén a sebesség rotációja nem tűnik el. Ha azokat az áramlásokat is figyelembe vesszük, amelyeknek ilyen típusú szakadásuk van, akkor az ideális folyadékok egyenleteinek megoldása nem egyértelmű. Sőt, minden folytonos megoldáshoz végtelen sok, az egyenleteket ugyancsak kielégítő szakadásos n':tegoldás található, melyek érintőleges szakadási felületei a test felületének előre megadott vonalából indulnak ki. Hangsúlyozni kell, hogy a szakadásos 8 Az egyszerűség kedvéért itt feltételezzük, hogy a folyadék egy egyszeresen összefüggő térrészt tölt ki. Többszörösen összefüggő tartomány ese tén ugyanarra a végeredményre jutnánk, az integráJási görbét azonban körültekintően kell megválasztani.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

30

l. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉK OK

megoldásoknak semmiféle fizikai jelentése nincs, minthogy az érintőleges u~rások teljesen instabilak, és a folyadék mozgása a valóságban turbulenssé válik (1. III. fejezet). Egy adott test körül kialakuló folyadékáramlás problémája fizikailag természetesen egyértelmű. A valóságban ideális folyadék nem létezik; minden folyadék ha nagyon kis mértékben is, viszkózus. Előfordulhat, hogy ez a viszkozitás majdnem az egész áramlási térben elhanyagolható, de bármilyen kicsi is legyen, a folyadéknak a szilárd test feJűletéhez közeli vékony rétegében fontos szerephez jut. A folyadék mozgásának e határrétegbeli tulajdonságai meghatározzák, hogy az ideális folyadékok mozgásegyenletei megoldásának végtelen sokaságából melyiket kell kiválasztanunk. Általános esetben, tetszőleges alakú test körüli áramláskor éppen a leszakadó áramvonalaknak megfelelő megoldások valósulnak meg (ami valójában turbulencia megjelenését vonja maga után). A fent mondottak ellenére bizonyos esetekben érdemes tanulmányozni a mozgásegyenletek folytonos, stacionárius potenciáláramlásnak megfelelő megoldását. Igaz, hogy az általános esetben egy tetszőleges alakú test körül kialakuló valóságos áramlás gyakorlatilag nem is hasonlit a potenciáláramlásra, de speciális alakú testek ("áramvonalas" testek, l. 46.§) esetében könnyen előfordulhat, hogy a folyadék mozgása csak igen kevéssé különbözik a potenciáláramlástól (pontosabban a 'mozgás csak a testet körülvevő igen vékony folyadékrétegben és a test mögötti viszonylag kis kiterjedésű árnyékzónában potenciáláramlás). Egy másik nagyon fontos eset, amikor a mozgást közelítőleg potenciáláramlásnak tekinthetjük, a folyadékba merülő test kis rezgései által keltett áramlás. Könnyen meg lehet mutatni, hogy ha a rezgés a amplitúdója kicsi a test jellemző lineáris méretéhez képest (a« l), a test körüli folyadékáramlás mindig rotációmentes. E célból megbecsüljük a

av

.

at+(vv)v =-\lw Euler-egyenlet egyes tagjainak nagyságrendjét. A v sebesség a test ·kiterjedésének megfelelő l távolságon változik számottevően, (azaz a rezgő test u sebességének nagyságrendjében). Így v-nek a koordináták szerinti deriváltjai uj! nagyságrendűek. Magának a v sebességnek nagyságrendjét (a testtől nem túlságosan távol) u-val becsülhetjük.

Ezekből

.

(vv)v

u2 rv -

.

at

vált wu nagyságrendű, ahol w a rezgés frekvenciája. Minthogy w

av

hogy -0 t

u2 rv-.

a

'

.

.

rv

!!_ , azt kapjuk, a

..av

.

Az a« l feltetel arra vezet, hogy (vv)v klcs1- -hez képest, így

elhanyagolható. Ezért a folyadék mozgásegyenlete a

www.interkonyv.hu

av

1 adódik. A - deri-

av

ot =

ot

-

vw alakot ölti. Az

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

9.§. A POTENCIÁLÁRAMLÁS

31'

összefüggés mindkét oldalára a rotáció operátort alkalmazva,

a at

-rot v= O adódik, amiből rot v= const. Rezgőmozgás esetén azonban a sebesség (idő-} átlaga nulla, úgyhogy a rot v = const egyenletből rot v = O következik. Kis rezgéseket végző folyadék mozgása tehát (első közelítésben) rotációmentes. Vizsgáljuk most meg egy folyadék potenciáláramlásának néhány általános tulajdonságát. Először is emlékezzünk arra, hogy a cirkulációmegmaradás törvénye és ennek valamennyi következménye az áramlás izentropikus jellegének feltételezésén nyugszik. Ha ez a feltétel nem teljesül, a megmaradási törvény is érvényét veszti;. még ha egy adott pillanatban a mozgás rotációmentes is, a rá következő időpillanat­ ban a sebesség rotációja általában nullától kölönböző értéket vesz fel. Ezért a valóságban csak az izentropikus mozgás lehet potenciáláramlás. A Stokes-tétel értelmében v dl = rot v df,

f

f

ha a jobb oldalon álló integrált a vizsgált görbe által határolt felületre terjesztjük ki . . Ez azt bizonyítja, hogy a folyadék potenciáláramlása esetén egy tetszőleges, zárt görbére vett cirkuláció nulla: (9,1} v dl= o.

f

Ebből következik, hogy potenciáláramlás esetén zárt áramvonalak nem létezhetnek. 9' Valóban, minthogy egy áramvonal iránya minden pontban megegyezik a sebesség irányával, egy ilyen görbe mentén a cirkuláció biztosan nem tűnik el. Ha a mozgás nem rotációmentes, a cirkuláció általában nem nulla, ezért létezhethetnek zárt áramvonalak. Hangsúlyozzuk azonban, hogy zárt áramvonalak létezése semmiképpen sem szükséges feltétele az áramlás rotációs jellegének. Mint bármely rotációmentes vektortér, egy folyadék potenciáláramlásának sebessége is kifejezhető egy skalár, az ún. sebességpotenciál gradienseként, amit ep-vel jelölünk: v= grad ep. (9,2}-

Az Euler-egyenlet (2,10) alatti alakja:

av

l

8t+ 2 vv2 -vxrot v= -vw, 9 Ez az eredmény, éppúgy, mint (9, 1), nem kötelező érvényű többszörösen összefüggő térrészben való folyadékáramlás esetén. Egy ilyen tartományban a sebességcirkuláció még potenciáláramlás. esetén is különbözhet nullától, minthogy a zárt görbe, amelyre a cirkulációt számítjuk, nem zsugori t-·· ható ponttá a tartomány határának metszése nélkül.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

32

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

ez a v

= \lep helyettesitéssei Brp Bt

v2 2

)

grad ( -+--+w =O alakú lesz,

amiből

következik, hogy (9,3)

aholf(t) tetszőleges időfüggvény. Ez a potenciáláramlás mozgásegyenletének egyik dső integrálja. A (9,3)-ban szereplő f(t) függvényt az általánosság csorbítása nélkül nullának vehetjük. Valóban, a sebességet a rp koordináták szerinti cleriváltja határozza meg, így rp-hez mindig hozzáadható egy időfüggvény. rp helyébe a rp+ Jf(t)dt összeget írva a (9,3) egyenlet jobb oldalán nullát kapunk. Stacionárius áramlás esetén (időtőlfüggetlenpotenciált véve) Brp = O, j( t)= const,

Bt

és (9 ,3) a Bernoulli-egyenletre egyszerűsödik:

v2

2 +w =const.

(9,4)

Helyénvaló itt ismételten rámutatni a rotációmentes és rotációs áramlásra vonatkozó Bernoulli-egyenletek közötti lényeges különbségre. Tetszőleges mozgás esetében az egyenlet jobb oldala bármely adott áramvonal mentén állandó, egyik áramvonalról a másikra áttérve azonban általában változik. Ezzel szemben potenciáláramlás esetén a Bernoulli-egyenletben szereplö állandó az egész áramlási térben változatlan. Ezért van a Bernoulli-egyenletnek centrális szerepe a potenciáláramlások tanulmányozásában.

l O. §. Összenyomhatatlan folyadékok Az áramlási feladatok nagy részében a folyadék sűrűsége minden időpillanatban változatlannak tekinthető, azaz állandónak az egész áramlási térben. Más szóval, ez esetben nem kt'vetkezik be a folyadék számottevő tágulása vagy összenyomódása. Ilyenkor összenyomhatatlan folyadék mozgásának tanulmányozása a feladatunk. A folyadékmechanika egyenletei az áramló folyadék összenyomhatatlanságának feltételezésével jelentősen egyszerűsödnek. Igaz, hogy az Euler-egyenlet alakja nem

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

33

10.§. ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKOK

változik e = const feltételezésével, legfeljebb a (2,4) alatti aJakban diens jele alá: ov p ~+(vv)v =-v-+g. ut e Ezzel szemben a kontinuitási egyenlet

e=

const esetén

e bevihető a gra(10,1)

egyszerű

aJakra hozható: (10,2)

div v= O.

A folyadéksűrűség most - az általános esettel eBentétben - nem ismeretlen függvény, ezért az összenyomhatatlan folyadékok áramtását leíró hidrodinamikai egyenletek oly módon választhatók, hogy csak a sebesség szerepeljen bennük. Ilyenek a (10,2) alatti kontinuitási egyenlet és a (2,11) egyenlet:

oto rot v= rot (v x rot v).

(10,3)

Összenyomhatatlan folyadékra a Bernoulli-egyenlet is egyszerűbb alakra hozható. A (10,1) összefüggés az általános {2,9) egyenlettől abban különbözik, hogy vw helyett

\7!!_ fordul elő benne. Ennek megfelelően az entaJpiát az (5,4) Bernoulli-egyenletben (}

is helyettesíthetjük a p l e hányadossal :

v2 P -+-+gz =const.

2

(10,4)

e

Összenyomhatatlan folyadék esetében az energiaáramra vonatkozó (6,3) kifejezésben is pf e írható w helyett: (10,5)

Valóban, egy ismert termodinamikai összefüggés értelmében a

belső

energia megvál-

tozására írhatjul(, hogy de= T ds- p dV; has= const és V= 2_= const, akkor

e

de = O, vagyis e = const. Az energia kifejezésében azonban az állandó tagok érdektelenek, e elhagyható a w = e+!!_ kifejezésben is. (}

A potenciáláramlás egyenletei is jelentősen egyszerűsödnek, ha a folyadék összenyomhatatlan. A (10,3) egyenlet rot v = Oesetén azonosan teljesül. A {10,2) összefüggés a v = grad q; helyettesítéssei így alakul : t::,.q; =

o,

(10,6)

3

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

34

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

ami a tp potenciálra vonatkozó Laplace-egyenlet.10 Ehhez az egyenlethez meg kell adni a folyadék és a szilárd test közös felületén fennálló határfeltételi egyenleteket. Rögzített falak mentén a folyadék sebességének vn normális irányú komponense eltűnik, és az általános esetben, ha a szilárd test mozog, vn megegyezik a mozgó test sebességének ugyanezen normálism vett vetületével (ez a sebesség az idő adott függvénye). Különben a vn sebesség egyenlő a tp potenciál normális irányú deriváltjával:

~tp . Az általános

vn =

vn

esetben tehát a határfeltételek előírják, hogy a otp derivált

on

a határokon az idő és a koordináták adott függvénye legyen. Ha az áramlás rotációmentes, a sebesség és a nyomás kapcsolatát (9,3) mutatja. Ha a folyadék összenyomhatatlan, ebben az egyenletben is w helyettp/e írható; otp

v2

p

-+-+-=f(t). ot 2 e

(10,7)

Megemlítjük az összenyomhatatlan folyadék potenciáláramlásának egy fontos. tulajdonságát. Tekintsünk egy folyadékban mozgó szilárd testet. Ha a folyadék mozgása rotációmentes, egy adott pillanatbeli áramlási kép csak a test megfelelő időpont­ hoz tartozó sebességétől függ, és független például a test gyorsulásátóL Valóban, maga a (10,6) egyenlet nem tartalmazza expliciten az időt; az idő csak a határfeltételek révén kerül a megoldásba, és ezek csak a folyadékban mozgó test sebességét tartalmazzák. A

~ + : = const

Bernoulli-egyenlet azt mutatja, hogy összenyomhatatlan folya-

dék stacionárius áramlása esetén (ha nehézségi erő nincs) a nyomás ott a legnagyobb, ahol a sebesség nulla. Ilyen pont, melyet kritikus pontnak vagy torlódási pontnak nevezünk, általában a test felületén található (a 2. ábra O pontja). Ha u a bejövő folya-

~ ------===== 2. ábra

10

A sebességpotenciált elsőként L. Euler vezette be. A (10, 6) egyenletet is 6 vezette le, azt csak nevezték el Laplace-egyenletnek

később

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

35

!O.§. ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKOK

dék áramlási sebessége (azaz a folyadék végtelenbeli áramlási sebessége), és po a végtelenbeli nyomás, akkor a torlódási pontban fellépő nyomás: (10,8)

Ha mozgó folyadék sebességeloszlása csak az x és y koordinátáktól függ, és a sebesség mindenütt párhuzamos az xy síkkal, kétdimenziós vagy síkbeli áramlásról beszélünk. Összenyomhatatlan folyadék síkbeli áramlási problémájának megoldásához gyakran kényelmes a sebességet az ún. áramlási függvény segítségével kifejezni. OVx OVy = O k ontmmtas1 ' ' r ' egyenJetb"} r k om• v=-+-. A d tv o következik, h ogy a sebesseg

ox ay

ponensei

kifejezhetők

egy 'lfl(X, y) áramlási függvény deriváltjainak segitségével: (10,9)

Ezzel a kontinuitási egyenlet triviálisan teljesül. Az áramlási függvényre vonatkozó egyenletet (l 0,9)-nek (l 0,3)-ba való helyettesítésével kapjuk: (10,10)

Az áramlási függvény ismeretében stacionárius áramlás esetén az áramvonalak alakja közvetlenül meghatározható. Valóban, az áramvonalak differenciálegyenlete (ha az áramlás síkbeli): dx dy -=-, Vx

Vy

vagy vY dx-- vx dy = O. Ez az összefüggés azt fejezi ki, hogy az áramvonal érintőjének iránya minden pontban megegyezik a sebesség irányávaL (10,9) behelyettesítésével

adódik, amiből 'lfl = const. Az áramvonalak tehát a 1p(x, y) = const egyenlet meg. oldásaként adódó görbecsalád tagjai. Kössük össze az xy sík két pontját, l-et és 2-t egy görbével. Az ezen átáramló Q folyadékfluxust az 1 és 2 pontokban kiszámított áramlási függvényele különbsége adja meg, a görbe alakjától függetlenül. Valóban, ha vn a sebességnek a görbe n9r3*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

I.FEJEZET.AZIDEÁLISFOLYADÉKOK

36

málisára vett vetülete a görbe egy pontjában, azt irhatjuk, hogy 2

1

2

2

Q= eJVndl =p J(-Vydx+Vxdy) =e J dtp, l

l

l

amiből

(10,11)

A komplex változós függvények igen alkalmasak az összenyomhatatlan folyadékok különböző alakú testek körüli sikbeli potenciáláramlási feladatainak megoldására.

Ezt a módszert Helmholtz és Kirchho.ff vezette be a folyadékmechanikába, majd N. Zsukovszkij és S. Csapligin fejlesztette tovább.U A komplex változós függvények elméletének felhasználását a következő tény teszi lehetövé. A potenciál és az áramlásfüggvény a sebességkomponensekkel az alábbi kapcsolatban áll:

A rp ~s 1p függvények deriváltjaiirak ezek az összefüggései matematikai szempontból .a jól ismert Cauchy-Riemann-feltételek, melyek azt fejezik ki, hogy az (.O

(10,12)

= rp+i'!Jl

mennyiség a z= x+iy komplex változó analitikus függvénye. Ez aztjelenti, hbgya w(z) függvény minden pontban deriválható:

(10,13)

A w függvényt komplex potenciálnak nevezzük,

~=

pedig a komplex sebesség.

Ez utóbbi abszolút értéke és argumentuma meghatározza a v sebesség abszolút értékét és az áramlásnak az x tengellyel bezárt (} szögét:

dw

dz=

ve-19,

(10,14)

u E m6dszerek részletes kifejtését sok alkalmazással együtt a következő művekben találhatja meg :az olvasó: N. E. Kocsin, I. A. Kibe!, N. V. Roze: Elméleti hidramechanika L, 6. kiadás, Moszkva, 1963 (oroszul), továbbá L. I. Szedov: Hidramechanikai és aerodinamikai sikbeli problémlik, Moszkva, 1966 (oroszul).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

37

tO.§. ÖSSZENYOMHATATLANFOLYADÉKOK

Egy szilárd test felületén a sebesség érintő irányú. Más szóval, a test metszetét határoló vonal megegyezik egy áramvonallal, tehát e vonal menténf= const; ez az állandó nullának vehető, igy egy adott zárt görbe körüli áramlás problémája visszavezethető olyan w(z) analitikus függvény keresésére, mely az adott zárt g~rbén valós értékeket vesz fel. Bonyolultabb a helyzet, ha a folyadéknak szabad "felülete" is van (egy ilyen esetet vizsgálunk a 9. feladatban). Tudjuk, hogy egy analitikus függvénynek valamilyen C zárt görbére vett integrálja m,egadja a bezárt tartományban levő pólusok reziduumösszegének 2ni-szeresét; ily módon: w' dz = L Ak,

f

ahol az Ak számok a komplex

2ni

sebes~ég

k

reziduumai. Különben

f w' dz= f (vx-ivy)(dx+i dy) = = f>-.

A (10,16) és (10,17) feltételek egyidejű teljesülése már. elegendő ahhoz, hogy a folyadékot összenyomhatatlannak tekinthessük. A (10,17) feltételt úgy értelmezhetjük, hogy az

!_ idő, c

amely alatt a hangjel l utat tesz meg, kicsi a

7:

időtartamhoz

képest, mely alatt a folyadék mozgása jelentősen megváltozik. Ezért a kölcsönhatás terjedése a folyadékban pillanatszerű folyamatnak tekinthető.

Feladatok 1. Határozzuk meg az Q szögsebességgel forgó hengerben levő folyadék szabad felületének alakját, ha a forgástengenyel párhuzamos nehézségi tér is fellép.

Megoldás. Legyen a forgó henger tengelye koordináta-rendszerünk,z tengelye. Ekkor v"= -Qy, = Qx és v. = O. A kontinuitási egyenlet ezzel triviálisan teljesül, és a (10,1) Euler-egyenletből azt kapjuk, hogy

vu

l 8p --+g=O. 12

www.interkonyv.hu

az

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

10.§. ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKOK

39

Az egyenletek általános integrálja:

A szabad felületen e = const, tehát a felület paraboloid:

(a koordináta-rendszerorigójaa paraboloid csúcsában van). 2. R sugarú golyó mozog összenyomhatatlan ideális folyadékban. Határozzuk meg a golyó körül kialakuló potenciáláramlást. Megoldás. A végtelenben a folyadék sebessége nulla. Tudjuk, hogy a t:;.rp = O Laplace-egyenlet végtelenben eltűnő megoldásai 1/r, valamint ennek a koordináták szerinti különböző rendií deriváltjai (az origót a golyó középpontjában választjuk). Minthogy a golyó teljesen szimmetrikus, a megoldás csak egyetlen állandó vektort tartalmazhat: az u sebességet. A Laplace-egyenlet és~ határfeltételek Hneárisak, ezért az u vektornak rp-ben az első hatványon kell szerepelnie. Az egyetlen skalár, l amit u-val és 1/r deriváltjaival képezhetünk, az u 'V- szorzat. Ennek megfelelően a megoldást a

"

r

l r

An r

rp=A'V-=-2

alakban keressük, ahol n a helyvektor irányába mutató egységvektor. Az A állandó vektor az u és v sebességek normális irányú kom ponensének r = R-nél feltételezett vn = un egyenlőségéből hatáRa rozható meg. E feltételből A = u - adódik, tehát 2

Ra rp =- 2rz un, v

Ra

= 2,.a [3n(un)-u].

A nyomáseloszlás t a (l O, 7) képlet adja meg:

(Po a végtelenbeli nyomás). A

otp ot

derivált számitásáboz azt használjuk fel, hogy a koordináta-

rendszer kezdőpontja (melyet a golyó középpontjába helyeztünk) u sebességgel mozog. Írhatjuk tehát, hogy

orp orp • 1ii = ou u-u vrp.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

40

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

A golyó felületén a nyomás eloszlását ezért a következő képlet adja meg:

eu2 (9 cos2 0-5)+-Rne du p= , p 0 +8 . 2 dt (O az n és u vektorok által bezárt szög).

3. Oldjuk meg az ben.12

előbbi

feladatot a tengelyére merőleges irányban mozgó végtelen henger eseté-

Megoldás. Az áramlás független a henger tengelyével párhuzamos koordinátától, igy a kétdimenziós Laplace-egyenlet megoldását kell keresnünk. A végtelenben eltűnő megoldásokat ln r-nek a koordináták szerinti, O-nál magasabb rendű deriváltjai szolgáltatják (r a henger tengelyére merőleges helyvektor). A megoldást An rp=Avlnr=-

r

alakban keresve, a határfeltételek segitségével A = - R 2u adódik, igy

R2

rp =--un r '

v =

R2

/=2 [2n(un)- u].

A henger felületén a nyomást a következő összefüggéS határozza meg:

eu 2

du

p =p 0 +z-(4cos2 0-3)+eRn dt.

4. Határozzuk meg összenyomhatatlan ideális folyadék potenciáláramlását egyik főtengelye körűl fl szögsebességgel forgó ellipszoid alakú edény belsejében; határozzuk meg a forgó folyadék teljes impulzusmorn.:J:ntumát. Megoldás. Koordináta-rendszerünk x, y, z tengelyét fektessük az ellipszoid natnyi irányába, z essék egybe a forgástengellyel. A test pontjainak sebessége: U=

ezért a v,. =

arp =

an

főtengelyeinek

pilla-

Qxr,

u,. határfeltétel így írható:

2

2

Az ellipszoid egyenlete x + y 2 a2 b

+~ = c2

l, ezért a határfeltétel a következő alakú:

12 Ellipszoid és ellipszis keresztmetszetű henger körüli potenciáláramlás problémájának megoldását a következő helyeken találja meg az olvasó: N. E. Kocsin, I. A. Kibe!, N. V. Roze: Elméleti hidramechanika 1., Moszkva, 1963 (oroszul) és H. Lamb: Hydrodynamics, 6. kiadás, 103-106.§, Cambridge, 1932.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

10. §. ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKOK

41

A Laplace-egyenletnek e feltételt kielégítő megoldása rp

=

a2-b2

[J~b2 xy.

(l)

a+

Az edényben levő folyadék im pulzusmomentuma:

M

=

e I (xvy-yv~) dV.

Az ellipszoid térfogatára integrálva,

adódik. Az (l) képlet a folyadék abszolút mozgását határozza meg a forgó edényhez rögzített x, y, z koordinátatengelyek pillanatnyi helyzetére vonatkoztatva. A folyadéknak az edényhez viszonyított mozgását (azaz forgó koordináta-rendszerbeli mozgását) megkaphatjuk, ha a folyadék abszolút sebességéből kivonjuk az .Q x r sebességet. A folyadék relatív sebességét v'-veljelölve az adódik, hogy ,

fJrp

v.,= fJx +ily

A relativ folyadékmozgás pályáját az x 22

a

+ yz b2 =

2fJa2

= a2+b2 y,

2fJb 2

v~= a2+b2 x,

v~= O.

x = v;, y = v; egyenletek integrálásával kapjuk. Eredményül

· k a d'o dnak . const egyenletu" ell'Ipszise

5. Határozzuk meg a folyadék mozgását a torlódási pont közelében (2. ábra).

Megoldás. A test felületeleme a kritikus pont elegendőerr kis környezetében síknak tekinthető. Válasszuk ezt koordináta-rendszerünk xy síkjáuL A rp potenciált x, y, z kis értékeire a másodfokú tagokig sorba fejtve azt kapjuk, hogy

(az állandó tag rp-ben lényegtelen). Az állandókat úgy határozzuk meg, hogy rp kielégítse a t::"rp egyenletet, valamint a v.

=O

= f}rp = Ofeltételt z= Oeseténmindenx, y értékre, és f}rp = fJrp =O legyen,

fu fu ~ ha x= y= z= O (azaz a torlódási pontban). Ebből azt kapjuk, hogy a= b= c= O; C= =-A- B, E = F = O. A Dxy tagot mindig eltüntethetjük az x, y tengelyek megfelelő választásával. Végül (l}

adódik. Ha az áramlás a z tengely körül hengerszimmetrikus (az áramlás egy forgástest mentén szimmetrikus), akkor A = B, tehát

A sebességkomponensek v.,= 2Ax, vu = 2Ay, v.=- 4Az. Az áramvonalakat az (5,2) egyenlet határozza meg, amiből X 2Z = Ct, y 2z = C 2, vagyis az áramvonalak harmadfokú hiperbolák.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

··42.

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

Ha az áramlás az y tengely mentén homogén (például, ha az áramlás a végtelenben z irányú, és .;útjában egy, az y tengely mentén fekvő henger van), B = Oadé~dik (l )-ben, vagyis

_Az áramvonalak xz = const hiperbolák. 6. Határozzuk meg egy ék éle körül (annak közelében) kialakuló potenciáláramlást. Megoldás. Vezessük be az r, Opolárkoordinátákat az élre merőleges metszet sikjában, az origót -tegyük a szög csúcsába; O-t a szög egyikszárától mérjük. Legyen a lapszög or. nagyságú; ha or.< n, .az áramlás a lapszög beisejében történik, az or. > n esetben a szögön kivül. A határfeltétel szerint a

arp = O. A Laplace-egyenuO

:·sebesség normális komponense eltűnik, ha O = O, vagy O = or., vagyis Jetnek e feltételt kielégitő megoldása a következő :13 rp = Ar" cos nO,

·tehát

v,= nAr"- 1 cos nO,

v 9 = -nAr" sin nO.

Ha n < l (konvex szög körüli áramlás, 3. ábra), v, a csúcsnál r"- 1 szerint tart a végtelenhez. Az n .esetben (konkáv szög körüli áramlás, 4. ábra) v. az r = Ohelyen eltűnik.

>

l

'4. dbra

3. ábra Az áramvonalakat meghatározó áramlási függvény:

tp= Ar" sin nO• .A rp és tpmennyiségekrekapott kifejezések a w= Az" komplex potenciál valós, illetve képzetes részei.

7. Tekintsünk az egész teret kitöltő összenyomhatatlan folyadékot, melyből hirtelen kiemelünk ·oegy a sugarú gömbnek megfelelő térfogatot Határozzuk meg az üreg eltűnéséhez szükséges időt ·{Rayleigh, 1917).

13

www.interkonyv.hu

Az r lehető legkisebb pozitív hatványának megfelelő megoldást választjuk, minthogy r kicsi.

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

10.§. ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKOK

43

Megoldás. A folyadék mozgása az üreg kialakulása után gömbszimmetrikus, a sebesség minden pontban egy sugár mentén a gömb középpontja felé irányul. A sugárirányú sebességre teljesül, hogy

v,= v
O félsíkot. A faltól nagy távolságban (y ->- oo) a sebesség eltűnik, a nyomás p 0 értéket vesz fel. A folyadéksugár szabad felületén (BC és B'C' az Sa ábrán) p = O, és a sebesség a Bernoulliegyenlet következtében állandó: v 1 = }"2p 0/e. A fal vonalai, melynek folytatása alkotja a folyadéksugár szabad felületét, áramvonalak. Legyen 1J1 =O az ABC vonal mentén; A'B'C'-n 1J1 -=-Q/e, ahol Q = ea1v 1 a folyadéksugár hozama (a1 és v 1 annak szélessége és sebessége a végtelenben). A rp potenciál az ABC és A'B'C' vonalakon -oc-től +=-ig változik. Legyen rp =O a B és B' pontokban. Ez esetben az áramlási tartománynak a w komplex változó síkjában egy végtelen hosszú, Q/ e szélességű sáv felel meg (Sb ábra). (Az Sb-d ábrán használt jelölések megfelelnek az Sa ábrán, az xy síkban alkalmazottaknak.) Vezessünk be új komplex változó t, a komplex sebesség logaritmusát:

vv ·(n2 )

1 dw] = ln-+z C =-ln [-l1-+0 2

v1 e "'

dz

(l)

adódik (n az r irányú egységvektor). Látható, hogy nagy távolságban a sebesség l fra_ nel arányosan csökken. Az A vektor a test konkrét alakjától és sebességétől függ, és csak a L.ep = O hidrodinamikai egyenlet tetszőleges távolságra való megoldásával határozható meg, a mozgó test felületén fennálló határfeltételek figyelembevételével. A (11,2)-ben szereplő A vektor meghatározott kapcsolatban áll a mozgó test körüt kialakuló folyadékáramlás teljes impulzusával és energiájával. A folyadék teljes moz-· gási energiája (összenyomhatatlan folyadék belső energiája állandó) így írható:

Az integrálást a testen kívüli teljes térre kell elvégezni. Tekintsünk a térben egy R" sugarú gömb által határolt véges V tartományt, melynek középpontja az origóban van, és integráljunk először e V térfogatra az R-.= határátmenet elvégzése előtt .. Azonos átalakítással

Iv

2

www.interkonyv.hu

dV=

I u dV+ I (v+u) (v-u) dV 2

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

48

l. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

adódik, ahol u a test sebessége. Minthogy u a koordinátáktól független, a jobb oldal első integrálja egyszerűen u2(V- Vo), ahol Vo a test térfogata. A második integrálban a v+u összeget 'V(q>+ ur) alakban írjuk; minthogy div v= O, a kontinuitási egyenlet és div u = O felhasználásával azt kapjuk, hogy

Jv2dV = l

l

u2(V-Vo)+ Jdiv[(q>+ur)(v-u)] dV.

A második integrált a gömb S és a test So térfogatára vonatkozó felületi integrállá alakítjuk: v2 dV= u2(V- Vo)+ (q>+ur) (v-u) df.

J

f

S+So

A test felületén v és u normális irányú komponensei a határfeltételek miatt megegyeznek. A df felületelem éppen normális irányú, világos tehát, hogy az So-ra vonatkozó integrál azonosan nulla. A végtelenben levő S felületen az integrál alatt behelyettesitjük IP és v (11,1) és (11,2) alatti kifejezését, és elhagyjuk az R-+= esetén eltűnő tagokat. Az S gömbfelület felületelemét df = nR2 dQ alakban írjuk (dQ az elemi térszög), így

Végül az integrálást elvégezvé5 és ~ -vel szorozva, a folyadék teljes energiájára, az alábbi kifejezést kapjuk:

E= ~ (4nAu- V 0 u2).

(11,3)

Mint már mondottuk, A pontos meghatározásához a 6 !p = Oegyenlet teljes, a test felületén fennálló konkrét határfeltételeket figyelembe vevő megoldását kell ismernünk. Mindazonáltal az A vektornak a test u sebességétől való függése általános jellegét meghatározhatjuk a «p-re vonatkozó egyenlet és a hozzá tartozó határfeltételek (q>-ben és u-ban való) linearitásábóL Ez a linearitás azt eredményezi, hogy A az u vektor komponenseinek lineáris függvénye. Ezért a (11,3) összefüggéssei meghatározott 15 A dQ szerinti integrál ekvivalens az integrandus n szerinti átlagának 4n-szeresével. Egy (An) (Bn) = A1n1Bknk típusú kifejezés (A és B állandó vektorok) átlagának kiszámításához megjegyezzük, hogy lltnk minden koordináta-rendszerben azonos alakú szimmetrikus tenzor, mely ily módon a d11o egységtenzorral arányos, azaz n1nk = ad11o· Az i és k indexek összeejtésével, n: = l-et figyelembe véve az adódik, hogy a = 1/3. Következésképpen:

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

11. §.A KÖRŰLÁRAMLOTT TESTRE HATÓ ELLENÁLLÓ ERŐ

49

B energia 111 komponenseinek kvadratikus függvénye, és mint ilyen, a következő alakba írható:

E= m;kuiuk

2

(11,4)

'

ahol mik szimmetrikus állandó tenzor, melynek elemeit A komponenseinek ismeretében kiszámíthatjuk; m;k-t "csatolt" tömeg tenzornak nevezzük. Az E energia ismeretében meghatározhatjuk a folyadék teljes P impulzusát. E célból először megemlítjük, hogy E és P infinitezimális megváltozása egymással a következő kapcsolatban áll: dE= u dP/ 6 ennek következtében, ha E a (11,4) alakba írható, P komponensei így adódnak: (11,5) Végül a (11,3)- (11,5) összefüggések összevetésével kapjuk, hogy P a képpen fejezhető ki A-val: P= 4neA-eVou.

következő­

(11,6)

Látjuk, hogy a folyadék teljes impulzusa jól meghatározott véges mennyiség. dP A test által a folyadékkal időegységenként közölt impulzusmennyiség dt . Ez a derivált ellenkező előjellel megadja a folyadék F reakcióerejét, azaz a testre ható

erőt:

(11,7)

Az F erőnek a sebességgel párhuzamos komponensét ellenálló erőnek (ellenállásnak, közegellenállásnak), az erre merőleges összetevőjét pedig eltérítő erőnek (vagy az aero. . dinamikában felhajtóerőnek) nevezzük. 16 Valóban, tételezzük fel, hogy a test egy külső F erő hatására gyorsul. A folyadék impulzusa növekszik; legyen dP adt idő alatti megváltozás. Fennáll, hogy dP = F dt, ezt az u sebességgel szorozva, u dP = Fu d t, ami az F erő munkája az u d t úton. Ez a munka egyenlő a folyadék ener• giájának dE növekedéséveL Meg kell jegyezni, hogy az impulzus nem számítható közvetlenül a folyadék egész térfogatára vett ev dV integrál segítségéveL Az a helyzet, hogy ez az integrál [a (ll ,2) sebességeloszlás behelyettesítésével J divergál abban az értelemben, hogy az integrálás eredménye - bár véges - függ attól, hogy milyen módon integrálunk: ha egy nagy térfogatra összegezünk, melyet azután kiterjesztünk az egész térre, az eredmény függ a tartomány alakjától (gömb, henger stb.). Az impulzus számításanak általunk használt, az u dP = dE összefüggésen alapuló módszere [a (11,6) képlettel megadott] egyértelmű eredményre vezet, amely biztosan eleget tesz az impulzus megváltozása és testre ható erők között fennálló fizikai kapcsolatnak.

J

4

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

50

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

Ha egy ideális folyadékban egyenletesen mozgó test körül kialakulhatna potenciáláramlás, akkor (u = const miatt) P = const és F = O lenne. Más szóval, sem közegellenállás, sem eltérítő erő nem lépne fel, azaz a folyadék által a testre kifejtett nyomóerők egymást kölcsönösen kiegyenlítenék (ez a D'Alembert-paradoxon). E paradoxon eredete különösen világos a közegellenállás esetén. Valóban, ha egyenletes mozgás esetén fellépne ilyen erő, ez azt jelentené, hogy a mozgás fenntartásához külső erő szükséges, mely állandóan munkát végez a rendszeren. Ez az energia vagy disszipálódik a folyadékban, vagy pedig a folyadék mozgási energiájává alakul; ennek eredményeképpen a mozgó folyadékban egy időben állandó, végtelenbe tartó energiaáram indulna meg. Ideális folyadékban azonban energiadisszipáció definíciószerint nincsen, és a test általlétrehozott folyadékmozgás sebessége a testtől való távolság függvényében olyan gyorsan csökken, hogy a végtelenben semmiféle energiaáram nem létezhet. Hangsúlyozni kell azonban, hogy a fenti megfontolások a testnek csak végtelen kiterjedésű folyadékban való mozgása esetén érvényesek. Ha például a folyadéknak van szabad felülete, a felülettel párhuzamosan mozgó testre ellenálló erő hat. Ez az erő (melyet hullámellenállásnak nevezünk) azért lép fel, mert a folyadék szabad felületén hullámok keletkeznek, amelyek a felületen terjednek, és állandóan energiát szállítanak a végtelenbe. Tekintsünk egy testet, mely f külső erő hatására rezgőmozgás t végez. Ha az előző részben megvizsgáltfeltételek egyesülnek, a testet körülvevő folyadék potenctáláramlást végez, és a testmozgásegyenleteinek levezetésére felhasználhatjuk a fentebb adott összefüggéseket. Az f erő egyenlő a rendszer teljes impulzusának időderiváltjávaL A teljes impulzus pedig a test Mu és a folyadék P mozgásmennyiségéből tevődik össze (Ma test tömege):

(11,5) szerint ez így írható:

vagy másképpen (11,8) Ez az ideális folyadékba merülő test mozgásegyenlete. Vizsgáljunkmost meg egy, bizonyos értelemben fordított feladatot. Tegyük fel,, hogy a folyadék a bele merülő testtől független okok miatt rezgőmozgást végez. Az áramlás következtében a test is mozgásba jönY Vezessük le a mozgást leíró egyenleteket. 17 Ez a helyzet például, ha a folyadékban hanghullám terjed, melynek hullámhossza nagy a test méreteihez képest.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

11.§. A KÖRÜLÁRAMLOTT TESTRE HATÓ ELLENÁLLÓ ERŐ

51

Feltételezzük, hogy a folyadék rnozgásának sebessége keveset változik a test lineáris méreteinek megfelelő távolságokon. Legyen a test helyén a folyadék sebessége v abban az (elképzelt) esetben, ha a test nincs ott, más szóval, v a folyadék eredeti mozgásának sebessége. Feltevésünk értelmében v-t a test által elfoglalt térrészen belül állandónak tekinthetjük. Mint korábban is, a test sebességét u-val jelöljük. ·A testet rezgésbe hozó erő a következő megfontolások alapján származtatható. Ha a test teljesen követné a folyadék mozgását (azaz ha v= u lenne), ugyanaz az erő hatna rá, mint az előbbi elképzelt esetben a test térfogatát kitöltő folyadéktömegre. E folyadéktömeg impulzusa eVo v, a rá ható

erő

o:;.

eV

A valóságban azonban a

test nem követi teljesen a folyadék mozgását; a test a folyadékhoz képest mozog, igy a folyadékkal valamilyen járulékos mozgásmennyiséget közöl. A folyadéknak e járolékos mozgással kapcsolatos impulzusa m1k(uk- vk) [a (11,5) kifejezésben most u helyett a testnek a folyadékhoz viszonyított u- v sebességét kellene írni]. A kiszámított járulékos impulzus időbeli változása egy járulékos reakcióerő fellépéséhez vezet, melynek nagysága - m1k dd (uk- vk). A testre ható teljes erő tehát t .

(,

Ezt az erőt egyenlővé kell tenni a test impulzusának alábbi mozgásegyenletre vezet:

idő

szerinti deriváltjával. Ez az

Az egyenletet időszerint integrálva,

vagy átrendezve, (11,9) adódik. Az integrációs állandót nullának vettük, minthogy a folyadék v sebességével együtt a mozgásba hozott test u sebessége is nullává válik. A levezetett egyenlet meghatározza a test sebességét a folyadék sebességének függvényében. Ha a test és a folyadék sűrűségemegegyezik (M = eVo), (11,9)-ből, mint azt elvárjuk, u = v adódik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

52

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

Feladatok 1. írjuk fel egy ideális folyadékban rezgőmozgást végző, illetve egy, a folyadék rezgése által niozgásba hozott gömb mozgásegyenletét. . Megoldás: Összehasonlitva (11,1)-et a 10. § 2. feladatában egy. gömb körüli áramlás eireién rp-re ·kapott kifejezéssel, látható, hogy . Ra A=u 2 , ahol R a gömb sugara.· A gömb által mozgásba hozott folyadék .teljes impulzusa (11,6) értelmébell: P

= 32n; eR3u, az m1~o ~nzor tehát igy irható: 2:n; RB~ m,"=Te

Ujjo•

A mozgó gömbre ható ellenálláS:

fgy a folyadékban rezgő gömb mozgásegyenlete:

e)

4nR8 ( du -3- eo+z dt= f du a gömb anyagának siíríisége). A mennyiség együtthatója effektív tömegnek tekinthető, . dt ,, amely magának a gömbnek a tömegéből és a "csatolt" tömegből tevődik össze. Esetünkben ez utóbbi . ·. a test által kiszorftott folyadék tömegének felével egyenlő. Ha a gömböt a folyadék mozgatja, sebességére (11,9) alapján a következő kifejezést kapjuk:

(eo

u=

3e

e+2eo v.

Ha a gömb sűrűsége a folyadéksiírííségénélnagyobb (eo> e), akkor u< v, aza?; a gömb "lemarad" a folyadéktól; az ellenkező eo < e esetben forditott a helyzet. · · ' ' 2. Határozzuk meg A függvényében azt a forgatónyomatékot, amely egy folyadékban mozgó testre hat.

.

. '! \'

Megoldás. Mint a mechanikából ismeretes, egy testre ható erők M forgatónyomatéka a Lagrangefuggvenyből (esetünkben az E e.p.ergiából) határozható meg a /JE = M IJO összefüggés alapján, ahol ~8 a test infinitezimális forgásvektora, /JE pedig az E energia megváltozása a forgás során. Ahelyett, hogy a testet fo):gatnánk el IJO szöggel (és ennek következtében megváltoztatnánk az ma együtthatókat), egyszeriíbb a folyadékot -IJO szöggel elforditani a testhez képest, aminek hatá;sára az u sebesség változik meg. A teSt sebességének megváltozása /Ju = -IJO x u, ·· · · · tehát

/JE= P /Ju

= -lJO(uxP).

P (ll ,6) alatti alakjának felhasználásával megkapjuk a keresett összefüggést: M

www.interkonyv.hu

= -uxP = 4:n;eAxu.

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

53.

12.§. NEHÉZSÉGI HULLÁMOK

12. §. Nehézségi hullámok A nehézségi erlltérben elhelyezkedll folyadék szabad felülete egyensúly esetén sik. Ha valamilyen külsll hatás következtében a folyadék felületének egy pontja kimozdul egyensúlyi helyzetéb61, a folyadékban mozgás indul meg. Ez a mozgás, mely a nehézségi erlltér jelenlétének következménye, az egész felületre kiterjed az ún. nehézségi hullámok formájában. A nehézségi hullámok a felület mentén jelentllsek, a bel$ll rétenibzgása a mélységgel csökken. . .: Az alábbiakbán olyan nehézségi hullámot vizsgálunk, amelyben.a mozgó részecs-

gek

kék

~ebesség~ olyan kicsi, hogy az Euler-egyenletben

a (v hullámok frekvenciájának és hullámhosszának összefüggését (e > e'). ségű,

Megoldás. Legyen koordináta-rendszerünk xy sikja a két, egyensúlyi állapotban levő' folyadék határfelülete. Keressük a megoldást a két folyadékban rendre a köv~tkező alakban:

rp = Achk(z+h) cos(kx-wt), rp' = Bchk(z-lz')cos(kx-wt) (ily módon a felső és alsó határsíkon kirótt határfeltételek teljesülnek, l. az előbbi feladat megoldását). A folyadékok határfelületén a nyomás folytonos; (12,2)-nekmegfelelően ebből a következő feltételt kapjuk(z = Oesetén): vagy (2}

Továbbá a két folyadék v. sebességkomponense is megegyezik a határfelületen. alábbi feltétel következik:

orp

orp'

az=az .

Mmthogy v,

arp =-

az

ac

= -

at

Ebből,

ha z

= O, az (3}

, (2)-nek (3)-ba való helyettesítéséveL

, orp

g(e- e )

fJ2rp' fJ2rp az = (!, v-(! 8(2

(4}

adódik. Végül (1)-et (3)-ba, majd (4)-be téve, A-ra és B-re két, homogén lineáris egyenletet kapunk,. melyek megoldhatóságának feltétele: ro 2 = --.--":-":g_:_:(e'----ie'-'')7----:-:-:-

e cth kiz+ e' cth kiz'

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

::58

I. FEJEZET. AZ IDEÁLIS FOLYADÉKOK

_A kh » l és kh' » l feltételek teljesülésemellett (mindkét folyadék mély) érvényes, hogy ro 2 =kg

e-e' e+e''

:a kh « l, kh' « l esetben (sekély folyadékok) pedig g(e-e')hh' eh'+e'h •

ro=k

3 •. Végtelenü! mély e sürűségű folyadékon egy h' vastagságú e' sürüségű folyadékréteg van, mely:nek felső felülete szabad felület. A gravitációs hullámok az elválasztó felület és a szabad felület men· "1:én terjednek. Határozzuk meg frekvenciájuk és hullámbosszuk összefüggését. Megoldás. Válasszuk a két nyugalomban levő folyadék elválasztó felületét koordináta-rendszerürik ..xy síkjáuL Keressük a megoldást az alsó, illetve a felső folyadékokban rendre a következő alakban:

rp

=

Aek• cos (kx-rot);

(l)

.A két folyadékot elválasztó felületen (azaz z = O esetén) az alábbi feltételeknek kell teljesülniük •(l. a 2. feladatot): (2)

:a felső szabad felületen (z = h' esetén) pedig flrp'

l

fJ 2rp'

-+---= 0 • flz g flt 2

(3)

'ésídő. Mostis két, egymástól füg. ' • · · · .unffi!.~ció képezhet5 a. "• u, l, .,; meny-.getlen; az.epv~f.:+~~ ~ ,...,. ·l-j;O esetén) a

jűleg

o

2 ( --rp Ot ) 2 -

f y'(u+uo) [-u•-(1-uo)u+q] 2

u

alakba írva látható, hogy az intégráljel alatt álló mennyiség az integrációs tartományban mindenütt kicsi, ahol l u l nem esik uo közelébe. Ez azt jelenti, hogy lu l csak a

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

IlO

Il. FEJEZET. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK

± ; közelébe eső rp-k esetén, azaz csak a fal közvetlen közelében különbözhet jelentősen

u0-tó1.19 Ez azt jelenti, hogy majdnem minden rp-re u~ const= -uo, amivel a

egyenlőségek

szerint uo= R . Maga a v sebesség v = Jm_ -nek adódik, 6oc ea.r ami olyan súrlódásmentes potenciáláramlásnak felel meg, melyben a v sebesség rp-től független, és r növekedésével forditott arányban csökken. Ennek megfelelően nagy Reynolds-számok esetén a beáramlás nagyon kevéssé különbözik ideális folyadék potenciáláramlásátóL A belső súrlódás hatása csak a falak közelében elhelyezkedő kis tartományban érvényesül, ahol a sebesség a potenciáláramlásnak megfelelő értékről nagyon gyorsan nullára csökken (10. ábra). (23,13)

10. ábra

Legyen most Q > O, azaz vizsgáljuk a kiáramlás esetét. Tételezzük fel ismét, hogy a mozgás a rp = O síkra nézve szimmetrikus, és u(rp) (most u> O) a rp = felvett nulla értéktől manaton növekszik a rp = O-nál felvett . Uo (23,13) helyettamost következő egyenlőségeket írhatjuk:

>

± ~ helyen

O maximumig.

uo

f f 6= a.=

y'(uo-u)[u2 :(1+uo)u+q]'

o

(23,14)

uo

R

o

udu y'(uo-u) [u2 +(l+uo)u+q] •

19 Felmerülhet a kérdés, miért nem kicsi ez az integrál az u ~- u0 esetben is. Nagyon nagy u0 esetén - u2 - (l- u0 )u+ q kifejezés egyik gyöke is - u0 közelébe esik, a gyökjel alatti polinom két zérushelye egybeesik, ami magyarázza az integrál "kvázidivergenciáját" az u = - u0 helyen.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

23.§. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKMOZGÁSEGYENLETEINEK EGZAKT MEGOLDÁSAI lllf

Ha uo-t adottnak tekintjük, q csökkenésével oc: monoton növekszik, és q = O mellett: eléri a lehető legnagyobb értékét:

f

du

uo

OC:max =

yu(uo-u) (u+ uo+ l)·

o

Különben könnyen belátható, hogy adott q mellett oc: monoton csökkenő függvénye:· uo-nak. Ennek következménye, hogy az uo(q) függvény rögzített oc: mellett monoton. csökken, legnagyobb értékét a q = O helyen veszi fel és a felírt egyenlőség alapján számítható. A:z. uo mennyiség maximuma R maximumát is megszabja: R = Rmax·Elvégezve a k 2 = 1 u; és u = u0 cos 2 x helyettesítést, ~x-nak oc:-tól való függését. +uo paraméteres alakban kaphatjuk meg:

f

(23,15}

n/2

Rmax =-6oc:

l-k2

1-2k2

12 + y'f=2k2

l-2k2

Jfl-k2 sin2 x dx.

o

Így egy szimmetrikus kiáramlás (l la ábra) adott oc: nyílásszög mellett csak bizonyos,. határt meg nem haladó Reynolds-szám esetén lehetséges. Ha oc: ...... n (ami k-+- O-nak felel meg), Rmax

-+-

O; oc:

-+-

O esetén (ez k

-+

~-t

jelent) Rmax végtelenhez tart az ..

" R max = -18,8 képletnek megfeleloen. ot

Ha R

>

Rmax• aszimmetrikus, mindenütt kifelé irányuló áramlás feltételezése nem.

engedhető meg, ui. a (23,14) feltételek nem teljesíthetó'k. A ~;

a)

b)

:§

rp

:§ ;

tartomány--

c)

ll. ábra

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

112

IL FEJEZET. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK

ban az u( ep) függvénynek több maximuma és minimuma van. Az u( ep) e szélsőértékei­ nek megfelelő mennyiségek, mint korábban is, a gyök alatti polinom zérushelyei kell legyenek. Az is világos, hogy az u2 +(1 +uo)u+q alaknak (uo> O és q> O mellett) e tartományban két valós negatív gyöke van, igy a gyökjel alatti kifejezés

alakban írható, és u0 >O, u~ >O, u~' >O; legyen u~< u~'. Az u( ep) függvény nyilvánvalóan az u0 ~u~ -u~ tartományban változhat, minthogy u= u0 megfelel u(ep) pozitív maximumának, u = -u~ pedig a negatív minimum. Anélkül, hogy az igy kapott megoldások részletes elemzésére kitérnénk, jelezzük, hogy R > Rmax esetén először egy maximumú és egy minimumú megoldás jelenik meg, amely a ep = O sikra vonatkozóan aszimmetrikus áramlásnak felel meg (11b ábra). Ha R tovább növekszik, a sebességre szimmetrikus megoldást kapunk (llc ábra) egy maximummal és két minimummal stb. Valamennyi ilyen megoldásban tehát az olyan tartományok mellett, ahol a folyadék kifelé áramlik, vannak olyan tartományok is, ahol a folyadék a forrás irányában mozog (természetesen az áramlás teljes hozama Q >O). Ha R -+ =, az egymást követő maximumok és minimumok száma minden határon túl nő, tehát a határesetben nincs meghatározott megoldás. Hangsúlyozzuk, hogy kiáramlás esetén a megoldás az R -+ oo határátmenet során nem tart az Euler-egyenlet megoldásához, mint azt a beáramlásnál megfigyeltük. Végül megjegyezzük, hogy R növekedtével a leírt tipusú kiáramlás az R = Rmax érték után nem sokkal instabillá válik, és egy nemstacionárius (turbulens, l. III. fejezet) mozgás jelenik meg. 3. Határozzuk meg egy végtelen közegben levő vékony cső végén fakadó folyadéksugár mozgását (a végtelen közeg és a sugár anyaga azonos). Ez a víz alatti áramlás feladata (L. D. Landau, 1943). Válasszunk r, e, ep gömbi koordinátákat, legyen az origó a cső végpontjában, a polártengely iránya egyezzék meg a sebesség origóbeli irányávaL A mozgás a z tengely körül szimmetrikus, tehát v'P = O, Ve és v, csak az r és e változók függvényei. Az origót tartalmazó minden zárt felületen (igy például a végtelenbeli felületen is) ugyanaz az impulzusáram halad át (a "sugár impulzusa"). Ennek megfelelően kell, hogy a sebesség az origótól mért r távolsággal forditott arányban csökkenjen, tehát

F(e) v,=--, r F és f csak a

r

(23,16)

eváltozótól függnek. A kontinuitási egyenlet: l 2r

www.interkonyv.hu

j(e)

Ve=--,

a(r v,) l -a-+ -.-e aea (ve sin. e) = o, r r Sin 2

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

23.§. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKMOZGÁSEGYENLETEINEK EGZAKT MEGOLDÁSAI

113

amiből

df . F(e) =-de -J ctg e.

(23,17)

Az impulzusáram-tenzor II,rp és II0rp komponensei a sugárban szimmetriaokokból azonosan eltűnnek. Tegyük fel, hogy a II00 és IIrprp komponensek semlépnek fel; e feltételezésre az jogosít, hogy a kapott megoldás az összes megkövetelt feltételnek eleget tesz. A a1k tenzorkomponensek (15,17) kifej~zése és a (23,16), (23,17) képletek segitségével könnyen meggyőződhetünk. arról;' hogy a folyadéksugár impulzusáramának II00 , IIrprp és II, 0 komponensei között fennáll a ·

összefüggés. Mivel a IIrprp és II69 komponensek nullák, látható, hogy II,8 is az. Így tehát aii1k komponensek közül csak II,, n~m nulla, és l/r 2 szerint yáltozik. Könnyen beláthatjuk, hogy a 00II1k = O mozgásegyenletek azonosan teljesülnek. xk Ezután irhatjuk, hogy

amiből

d (l)

de

L

ctg

e

l

+1+2v=

o.

Az egyenlet megoldása:

J=- 2v sin e

(23,18)

A-cos e'

és (23, 17) értelmében F-re

F= 2v {

A2 - l

(23,19)

(A-cos e)2

adódik. A nyomáseloszlást az

l p f -IIee =-+-2 (f+2vctge) =O

e

egyenlet határozza meg,

e

amiből

r

.

azt kapjuk, hogy

4ev2 A cos e-l p=-~ (A-cos e)2.

(23,20)

8

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

114

II. FEJEZET. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK

Az A állandót a "sugár impulzusával", azaz a sugár teljes impulzusáramával hozhat• juk összefüggésbe. Ez az áram egy gömbfelületre vett integrállal adható meg: P= f11,, cos() df= 23I;

..

Jr 11,,cos ()sin() dO. 2

o

A 11,, mennyiség értéke:

-el 11

rr

4v2 { (A2-1)2

A

}

=IF (A-cos 0)4 - A-cos(} '

és az integrált kiszámítva, azt kapjuk, hogy (23,21) A (23,16H23,21) összefüggések megadják a kitűzött feladat megoldását.20

Az áramvonalakat a dr = r d(} egyenlet adja, amelynek integrálásával az

v,

v9

r sin2(} A -cos (}=const

összefüggésre jutunk. A 12. ábrán bemutatjuk a folyadéksugár áramvonalait (az A > l esetben).

12. ábra 20 Az itt levezetett megoldás egzakt abban az esetben, ha a folyadéksugár valóban pontszerii forrásból indul ki. Amennyiben a cső nyilásának yéges keresztmetszetét is figyelembe vesszük, a fenti megoldás a nyitás méretei és a.nyilástól való r távolság hányadosa szerinti sorfejtés első tagja. Ennek következménye, hogy ha a kapott megoldás alapján kiszámitjuk egy, az origót magába foglaló, zárt felületen átmenő teljes folyadékáramot, nullát kapimk. Ha azonban az emlitett hányados szerinti sorfejtésben a következő tagokat is figyelembe vennénk, az áram különbözne nullától; lásd J. B. Rumer: Prikl. mat. i mech. 16,255, 1952. A lamináris folyadéksugár vizsgálatát, ha a tengely körüli impulzusmomentum nem .nulla, L. G. Lojcjanszkij: Prikl. mat. i mech.l7, 3, 1953 miiben találhatja az olvasó.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

115

24.§. REZGŐMOZGÁS SÚRLÓDÓ FOLYADÉKBAN

Vizsgáljunk meg két különböző határesetet: a gyenge sugárét (a P impulzus kicsi) éS az erős sugárét'(a P impulzus nagy). Ha P-+ O, az A állandó végtelenhez tart; (23,21)-ből kapjuk, hogy·· · p= 16nv2 e. A

Ez esetben a sebességre a

P

sin 8

8nve

r

. 'Vo·=-----

'

p cos() v=---, 4nve r

kifejezések adódnak. · 2

Ha P_.. co (erős sugár21), A az egységhez tart; (23,21)-ből A= l+~ következik, ahol

Nagy szögek esetén '(()·"._, l) a sebességet az alábbi képletek határozzák meg: ()

Vo

ctg 2 :::;:-2v--, r

2v

v,=--, r

és kis szögekre (8 r-v oc): . 4v8

Vo

24. §.

=:- oc2+ ()2 '

Rezgőmozgás

súrlódó folyadékban

A súrlódó folyadékba merülő szilárd testek rezgése következtében kialakuló folyadékmozgásnak több sajátossága van. E tulajdonságok megismerése érdekében célszerű először egy egyszerű, tipikus esetet tanulmártyozni. Tekintsünk egy végtelen kiterjedésíi, összenyomhatatlan folyadékkal érintkező sik felületet, amely (saját sikjában) ro frekvenciájú' h~rii:tonikus rezgéseket végez. Meghatározandó a folyadék mozgása. A szilárd felületet választjuk koordináta-rendszerünk yz sikjáUI, az x ten· 21 Figyelembe kellene azonban venni, hogy a mozgás turbulenssé válik, ha a sugár elegendően erős (l. 35.§).

8*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

H6

II. FEJEZET. SúRLÓDÓ FOLYADÉKOK

.,,gely :pozitiv része legyen a folyad~kban, az y tengely pedig a felillet. mozgása irányá:ban. Arezgő felillet u sebessége az időtől A cos (rot+ oc) alakban függ. Ilyen függvényt igen kényelmes egy komplex kifejezés valós részek~nt felirni: ·

u = Re {uoe~lwt}, ahol az uo állandó általában komplex: uo = Ae-1"'. Ez az állandó azonban az 'id5úingely kezdőpontjának alkalmas választásával mindig valóssá tehető. Minthogy a számftások során u-val csak lineáris műveleteket végzünk, a Re jel kifrását mellőzhetjük, úgy járhatunk el, mintha u valóban komplex lenne, és a végeredményül kapott kifejezés valós részét vesszük. Írhatjuk tehát, hogy Uy

= u=

Uoe~lwt.

(24,1)

A folyadék sebessége kielégíti a v = u határfeltételt, vagyis .... Vx = Vz =O, Vy =.u, ha x= O. Szimmetriaokokból nyilvánvaló, hegy minden mennyiség csak az·x koordiná.~ ·és a t-.~d~ függvénye. Ezért a div v = O kontinuitási egyenlet a OVx

=O

ox

.

alakot ölti, amiból vx = const; .ez az állandó pedig. a lJtltárfeltételek'miatt nUJJa:, vagyis vx = O. Minthogy az y, z koordinátáktól az összes mennyiség független (v \7)V =

= vx! v,

amiből vx~ O ~att a (v\7)V = Ó egyenlőség azonosan teljesü1. A (15,7)

mozgásegyenlet igy alakul: av ut

~

l = --gradp+vt::.v. e

(24,2)

Ez lineáris egyenlet, amelynek x komponense:

op= o

ox

'

vagyis p = const. ? A, ,fel;adat szimmetriájából nyilvánvaló, hogy a v sebesség minden~tt y irány-Q.. A ~Y· =;= v komponensre (24,2) értelmében kapjuk, hogy .

ov

ov 2

7fi = v ox2'

www.interkonyv.hu

(24,3) !}

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

24.§. REZGŐMOZGÁS SÚRLÓDÓ FOLYADÉKBAN

1'17

ami egy (egydimenziós) h6vezetési egyenletnek megfelel() összefüggés. Az x·ben és ben periodikus megoldást

t·

V = Uoei(kx-wt)

alakban keressük, ahol uo olyan (komplex) amplitúdó, hogy x = O esetén v = u. Ezt (24,3)·ba helyettesftve, iro = vk2 , igy

k=

V-:w'-;=±Y2i+lVw-;·

vagyis a sebesség _,~x t(,f!i.x-wt)

v=uoe YiiP e Y2v

(24,4)

(k képzetes részében a + el6jelet választottuk, különben a sebesség a mélységgel exponenciálisan nőne, ami fizikailag értelmetlen). A kapott megoldás transzverzális hullámnak felel meg, sebessége vY = v a terjedés irányára mer6leges. E mozgás legszembeötlőbb tulajdonsága, hogy a folyadékba hatolva gyorsan csillapodik: amplitúdója a szilárd felülett61 való x távolsággal expo .. nenciálisan csökken. 22 Egy súrlódó folyadékban tehát felléphetnek transzverális hullámok. A hullámokat létrehozó mozgó szilárd testt61 való távolság növekedtével azonban az amplitúdó, gyorsan csökken. Azt a ö távolságot, amelyen az amplitúdó e·ed részére csökken, a hullám behatolási mélységének nevezzük. (24,4)-Ml látható, hogy

Ö=~·

(24,5)

A hullám behatolási mélysége tehát lecsökken, ha a frekvencia növekszik, ugyanakkor a folyadék kinematikai viszkozitásának növekedtével n6. Számftsuk ki a súrlódó folyadékban rezgőmozgást végz() szilárd felület egységnyi területű darabjára ható súrlódási er6t. Ez az er6 nyilvánvalóan y irányú, és megegyezik a feszültségi tenzor

kompnensével, a derivált értékét az x = Ofelületen kell venni. Behelyettesftve (24,4)et, azt kapjuk, hogy f1xy

22

=

~(i-l)u.

Egy hullámhossznyi távolsagen az amplitúdó csökkenése e2"

www.interkonyv.hu

(24,6). ""'

540-szeres.

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

118

II. FEJEZET. SúRLÓDÓ FOLYADÉKOK

Feltéve, hogy uo valós, (24,6) valós részét véve, az adódik, hogy

felület sebessége ekkor u = uo cos wt alakban írható; Látható, hogy a és a súrlódási erő nincsenek fázisban. 23 Hasonlóan könnyű kiszámítani a vizsgált mozgás során fellépő energiadisszipáció időátlagát. Eljárhatnánk az általános (16,3) képletnek megfelelően is, az adott esetben azonban egyszerűbb a keresett energiadisszipációt közvetlenül a súrlódási erők munkájaként számítani. A rezgő sík egységnyi felületére vonatkoztatott, időegység alatti energiadisszipáció ugyanis egyenlő a axy erő és az uY = u sebesség szorzatának átlagával: A

rezgő

seb~sség

--axyU

u~

=2

1rweri V~·

(24, 7)

Ez a rezgések frekvenciájának és a folyadék viszkozitásának négyzetgyökével arányos. Az általános feladat a viszkózus folyadékba helyezett, saját sikjában tetszőleges u = u(t) törvény szerint mozgó, szilárd síkfelület által keltett áramlások leírásának megoldása, zárt alakban. Itt nem végezzük el a számításokat, a (24,3) egyenlet keresett megoldása formailag megegyezik egy hasonló hőtani feladat megoldásával, amelyet az 52. §-ban tárgyalunk. Ez utóbbi megoldást az (52,15) összefüggés szolgáltatja. Az adódik, hogy a szilárd felületre ható súrlódási erő ( egységnyi felületre) a t

C1xy

=

v'YJe n

Jdu('r) dr dr y't--r

(24, 8)

képlet alapján számítható [vö. (52,16)].

23 Tekintsünk egy súrlódó folyadékba merülő félsíkot vagy általánosabban egy a nyílásszögű végtelen élhosszúságú éket. Az, hogy a folyadék hogyan áramlik, ha a beléhelyezett a nyílásszögű végtelen ék (a = O is lehet) rezgőmozgást végez, a Llf+ k 2f = Oegyenlet megoldásai egy osztályának felhasználásával határozható meg. Ezeket a megoldásokat A. Sorornerfeld alkalmazta az ék szórásfeladatának tanulmányozásakor. (L. például M. von Laue: Interferenz und Beugung elektromagne· tischer Wellen, Handbuch der Experimentalphysik 18, 333, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1928.) Itt csak egyetlen eredmény közlésére szorítkozunk: a félsíkra ható súrlódási erőnek az éleffektusok · következtében fellépő növekedése úgy adható meg, hogy a lap felületét - élét

-l fi = 2

www.interkonyv.hu

v

- v távolsággal eitolva- megnöveljük, és eltekintünk az él-effektusoktól.

2w

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

24.§. REZGŐMOZGÁS SÚRLÓDÓ FOLYADÉKBAN

119

Tekintsük most egy tetszó1eges alakú rezgő test általános esetét. Az előzőkben tanulmányozott problémában, egy sikfelület rezgései során a mozgásegyenletben a (vY')V tag azonosan eltlinik. Tetszőleges alakú felületesetén ez természetesen nincs így. Ennek ellenére feltesszük, hogy ez a tag kicsi a többihez képest, igy mégis eltekintünk :figyelembevételétől. E közelités alkalmazhatóságának feltételeit később tisztázzuk. Kiindulunk tehát, mint korábba:p is, a (24,2) lineáris egyenletből. Alkalmazzuk az összefüggés mindkét oldalára a rotáció operátort. A rot grad p tag azonosan eltűnik, és azt kapjuk, hogy {24,9)

azaz a rot v függvény egy hővezetési egyenletnek tesz eleget. Fentebb azonban meggyőződhettünk arról, hogy egy ilyen egyenlet érvényessége az általa leirt meanyiség exponenciális csillapodását jelenti. Mondhatjuk tehát, hogy a sebesség rotációja a folyadék belseje felé haladva lecsökken. Más szóval, a test rezgése által kiváltott mozgás Örvényes a testet körülvevő valamilyen rétegben, nagy távolságokban azonban gyorsan potenciáláramlássá válik. Az örvénylő mozgás ~,behatolási mélysége" nagyságrendileg igy becsülhető:

Ennek megfelelően két fontos határesetet különböztetünk meg aszerint, hogy ö kicsi vagy nagy a folyadékban rezgő test méreteihez képest. Legyen l a test egy jellemző mérete. Tegyük fel először, hogy ö » l, ami annyit jelent, hogyaz /2co « v feltétel teljesül. Ezenkivül még a,zt is kikötjük, hogy a Reynolds-szám kicsi legyen. Ha a a test rezgéseinek amplitúdója, akkor sebességének nagyságrendje aco. Ezért a vizsgált mozgás wal Reynolds-száma-. Feltesszük tehát a következő egyenlőtlenségek teljesülését: 'll

f2co

}"ro

ú

T

,.

1-zkR

(R a gömb sugara). A 20.§ l. feladatában elvégzetthez hasonló szárnitás után megkapjuk a folyadék.

által a gömbre gyakorolt forgatónyomatékot: M=-~ RaD 3+6R/ó+6(R/ó)2 +2(1?../ó)3 -2i(R/ó) 2 (1+R/ó)

3 'I'J

1+2R/ó+2(R/ó)2

.

'

Az ro-+ O (azaz a ó -+-oo) határesetben az M =- 8:n'1]R 3!J érték adódik, ami a gömb egyenletes; forgásának felel meg (1. a 20.§ l. feladatát). A másik határesetben, amikor R/ó » l,

4Y2

,1-

M= - 3 -:nR4 r 'I'J(!W(i-1)0.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

128

II. FEJEZET. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK

Ezt a kifejezést közvetlenül is megkaphatjuk: amikor o« R, a gömbfelület minden "eleme" siknak tekinthető, és a rá ható súrlódási erőt (24,6)-ból határozhatjuk meg az u = DR sin() sebesség behelyettesitésével. 10. Határozzuk meg a súrlódó folyadékkal töltött gömbhéjra ható gömb az egyik átmérője körüli elfordulássaljáró rezgéseket végez.

erő

forgatónyomatékát, ha a

Megoldás. Keressük a sebességet ugyanolyan alakban, mint az előző feladatban. Az f-re adódó megoldások közül válasszuk azt, amelyik a gömb belsejében, a középpentot is beleértve, mindenütt véges, f

sinkr

= a - - . Az a r

állandót a

határfeltételekből

_(Q

v-

)

xr

(R) r

3

határozhatjuk meg. Eredményünk az, hogy

rkcoskr-sinkr Rk cos kR- sin kR .

A súrlódási erők forgatónyomatékára pedig az alábbi kifejezést kapjuk: M=~n R 3!J k 2 R 2 sinkR+3kRcoskR-3sinkR

3 "'

kR cos kR-sin kR

Az R/o » l határesetben érvényes kifejezés természetesen megegyezik az előző feladatban kapott eredménnyel. Ha viszont R/ « l, akkor

o

8 5!J ( i -R2w) M =-newR --. 15 , 35v '·• ebő tagja annak a tehetetlenségi erőnek felel meg, amelyet az egész folyadéktömeg együttes wrgása kelt.

25.§. Nehézségi hullámok csillapodása A fentiekhez hasonló megfontolásokat végezhetünk egy folyadék szabad felületé-

nek közelében érvényes sebességeloszlás meghatározására is. A folyadék felszínének közelében végbemenő rezgéseket vizsgálunk (például nehézségi hullámokat). Felteszszük, hogy teljesül a (24,11) feltétel, ahol az /lineáris méret szerepét most a). hullámhossz játssza: A,2w >> v, a -co határesetben a szabadsági fokok száma is minden határon túl nő. Figyelembe kell venni, hogy a sebesség a fázisok 2n szerint periodikus függvénye, így azok az állapotok, amelyeknek fázisa 2n egész számú többszöröseivel különbözik, 1izikailag azonosak. Ez másképpen úgy fejezhető ki, hogy az egyes fázisok lényegesen különböző értékei a O~ cpi ~ 2n intervallumba esnek. Tekintsünk két különböző fázist: Cft = Wtt+f3t és cp 2 = w 2t+{J 2. Legyen egy adott pillanatban Cft értéke Ot. A fent l 'ben Cft ugyanazt az Ot erte O feltétel. Ennek ellenére nem helytálló az a feltevés, hogy az eredő áramlás különböző periódusú áramlások szuperpozíciója. A valóságban minden adott R mellett egy meghatározott periódusú mozgás lép fel, amely a teljes áramlást stabilizálja. Ez a periodicitás azonban nem határozható meg a linearizált (26, l) egyenletek alapján. 9 További részletek C. C. Lin: The Theory of Hydrodynamic Stability, Cambridge, 1955 vagy N. E. Kocsin, l. A. Kibe!, N. V. Roze: Elméleti hi dr omechanika Il., Moszkva, 1963 (oroszul) c. könyvben (III. fejezet, 2.§) találhatók.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

142

III. FEJEZET. TURBULENCIA

felel meg, amely aszimptotikusan tart az Q2 R~ = Q 1 Ri vonalhoz. Amikor a vizsgált ' ' ara ' ml'as eseten ' a R eynolds-szam ' no, " az Q 1·Ri ' Q2 R~ · . ' k egyenl"o tipusu - es - menny1sege

v

y

mértékben nőnek. Ez a 13. ábrán egy, az origón átmenő, adott meredekségű egyenes mentén való fölfelé irányuló mozgásnak felel meg. Az ábra jobb oldali részén (Q 1 és Q2

pozitív) az olyan egyenes, amelyre Q

határoló görbét. Ha viszont

n 2

R2 ~

~~1R1


- l,

nem metszi az instabilitást

l, akkor elegendően nagy Reynolds-szám

esetén a (28,3) feltételnek megfelelően elérjük az instabilitási tartományt. A rajz bal oldali részén (Ql és Q 2 ellenkező előjelűek), az origón átmenő valamennyi egyenes metszi a görbét, vagyis az áramlás bármilyen QQ2

R! arány mellett instabillá válhat,

1R1

ami ismét összhangban van korábbi eredményeinkkeL Ha Q 2 = O (csak a henger forog), az instabilitás az Ql

v

= 41,3 , ; -

belső

(28, 5)

hyhR2

= R 2 - R1) értéknéllép fel. Az, hogy a 13. ábra be nem vonalkázott tartományában az áramlás stabil, nem jelenti, hogy a mozgás akármilyen nagy Reynolds-szám esetén stacionárius marad. A kísérletek azt mutatják, hogy egy bizonyos határ felett stabil nemstacionárius áramlás is lehetségessé válik. Ebben a tartományban a stacionárius áramlás "metastabil": stabil a kis perturbációkkal szemben, de a nagyobbakkal szemben instabil. Ha ilyen perturbációk következtében a henger hossza mentén egy bizonyos tartományban nemstacionárius áramlás lép fel, ez "kiszorítja" a lamináris áramlást az egész térbő!. Az áramlásnak a nemstacionárius mozgás megjelenésétől kezdve sok "szabadsági foka" van (a 27. §-ban magyarázott értelemben), azaz teljesenkifejlődött a turbulencia. A 13. ábra bevonalkázott részében is turbulenssé válik az áramlás elegendően nagy R mellett, a turbulencia megjelenését illetően azonban nagyon kevés adat áll rendelkezésre. Forgó hengerek közötti áramlás egy, nagy sugárnak és kis h = R 2 - R 1 távolságnak megfelelő, határesete az egymáshoz képest mozgó síklapok közötti áramlás (h

(1. 17. §). Ez az áramlás bármely R = Uh (U a síkok relatív sebessége) érték mellett v stabil a végtelen kis perturbációkkal szemben. 1500-nál nagyobb R értékeknél azonban stabil turbulens mozgás is lehetővé válik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

29.§. CSŐBEN VALÓ ÁRAMLÁS STABILITÁSA

29. §. A

Csőben

14.3:

való áramlás stabilitása

csőben

való áramlás, melyet a 17.§-ban vizsgáltunk, a szokásostóllényegesen-. módon vesziti el stabilitását. Minthogy az áramlás az x irányban (a cső mentén) homogén, a Vo perturbálatlan:. sebességeloszlás független az x koordinátától. Ezért a 28. §-ban követett eljáráshoz. hasonlóan a (26,1) egyenlet megoldását

különböző

VI

= ei(kx-wt)f(y, z)

(29,1}

alakban keressük. Most is van egy olyan Rkrit kritikus Reynolds-szám, amelynél' Y1 = Im w nullává. válik valamilyen kérték mellett. Lényeges azonban, hogy most az: w(k) függvény valós része nem tűnik el. A kritikus értéket kevéssel meghaladó R esetén kicsi azon k értékek tartománya., :;1.melyben y1(k) > O, és közel esik ahhoz a ponthoz, ahol y1(k) maximális, azaz:

a;

1

= O (amint ezt a 14. ábra mutatja). Tegyük fel, hogy az áramlási tér egy részé-

ben valamilyen kis perturbáció lép fel; ez egy hullámcsomag, mely (29,1) komponen-· seinek szuperpozfciójaként adódik. Azok a komponensek, amelyekre y1(k) >O"

R> Rkrit

14. ábra

erősödnek,

a többiek idővellecsengenek. Az ily módon előálló, erősödő hullámcsomag.

az áramlás mentén a csomag

~:

csoportsebességének

dyl lavinaként "lesodródik" (66. §). Minthogy a dk

www.interkonyv.hu

megfelelő

sebességgel

= O feltétel által meghatározott

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

144

III. FEJEZET. TURBULENCIA

pont szűk környezetébe eső hullámszámokat tartalmazó hullámcsomagot vizsgálunk, a

mennyiség valós, igy :megegyezik a hullámcsomag tényleges terjedési sebességéveL .A perturbációnak az áramlás mentén való elmozdulása nagyon fontos, és azt eredményezi, hogy a stabilitás megsziínése a 28. §-ban leírttóllényegesen különbözően megyvégbe. Forgó hengerek közötti áramlás esetén iáttuk, hogy az R >- Rkrit esetben (amikor léteznek olyan frekvenciák, amelyeknek képzetes része pozitív) az eredeti stacionárius áramlás nem lehetséges, mert már egészen kis perturbáció flmplitúdója is végessé növekszik. Csőben való áramlás esetén a perturbáció, amplitúdójának növekedésével egyidejűleg, elsodródik az áramlássaL Ha az áramlásta cső egy adott pontjában vizsgáljuk, azt találjuk, hogy a perturbáció nem növekszik, hanem csökken. Minthogy a valóságban mindig véges hosszúságú csövekkel van dolgunk, nem szabad elfelejtenünk, hogy a perturbáció, akármilyen nagy is legyen, "kifolyik" a csőből, mielőtt megszüntetné a lamináris áramlást. Így egy csőben a stacionárius áramlás kis perturbációkkal szemben gyakorlatilag stabil marad még R >- Rkrit roellett is, sőt a kritikus értéket lényegesen meghaladó. Reynolds-számok esetén. is roegvalósulhat. Minthogy a perturbáció az (áramlás irányában növekvő) x koordinátával nő, és nem egy adott pontban az idővel, az instabilitásnak ezt a fajtáját az alábbi módon célszerű tanulmányozni. Hasson az áramlásra egy adott pontban állandó, w frekvenciójú perturbáció, és vizsgáljuk meg, mi történik ezzel a perturbációval, amikor azt az áramlás magával sodorja. Képezzük az w = w(k) függvény inverzét, megkapjuk az adott (valós) w frekvenciának megfelelő k hullámszámot. Ha Im k < O, az eikx tényező x-szel nő, vagyis a perturbáció az áramlás mentén erősödik. Az wR síkon az Im k(w, R) = O egyenlet által megadott görbe meghatározza a stabilitási tartomány határát, mivel adott R mellett elválasztja azokat a frekvenciákat, amelyeknek megfelelő perturbációk az áramlás mentén erősödnek, illetve lecsengenek. A tényleges számítások rendkívül bonyolultak. A részletes vizsgálatokat eddig csak két párhuzamos lemez közötti áramlásokra végezték el (C. C. Lin, 1946). 10 Ésszerűnek látszó feltételezés azonban, hogy az eredmények minőségileg hengeres csőben való áramlás esetében is érvényben maradnak. Két sík közötti áramlás esetére számított határgörbe vázlatosan a 15. ábrán látható. A görbe által körülfogott bevonalkázott terület az instabilitási tartomány. Az R _.. oo 10 A téma részletes feldolgozását lásd C. C. Lin: The Theory of Hydrodynamic Stabili ty, Cambridge, 1955, valamint N. E. Kocsin, I. A. Kibe!, N. V. Roze: Elméleti hidramechanika II. (III. fejezet 3.§).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

29.§. CSŐBEN VALÓ ÁRAMLÁS STABILITÁSA

145

határesetben a görbe mindkét ága az R tengelyhez tart.11 A legkisebb Reynolds· szám, amely mellett még nem csillapodó perturbációk lehetségesek, Rkrit ~ 7700,

,,

ahol definiciószeriíen R = Uh ; itt h a lemezek távolsága, U pedig a folyadéknak a keresztmetszetre átlagolt sebessége.

15. ábra

Látjuk tehát, hogy nulla és egy bizonyos maximális érték közé eső valamennyi frekvencia esetén van az R Reynolds-számnak olyan tartománya, amelyen belül az illető w rezgésszámmal jellemzett perturbációk felerősödnek. Érdekes, hogy a folya· dék kicsi, de véges viszkozitása bizonyos értelemben instabilitást hoz be a szigorúan ideális folyadékhoz képest. Valóban, R-+ oo esetén bármely véges frekvenciájú perturbáció lecseng; egy véges viszkozitás bevezetésével azonban előbb-utóbb elérjük az instabilitási tartományt, majd a viszkozitást tovább növelve (R csökken), elhagyjuk azt. Ezek a számítások azonban nem adnak választ arra a kérdésre, hogy vajon elegendőennagy R érték mellett egy csőben való áramlás esetén megjelenik-e infinitezimáIisan kis perturbációkkal szemben a valódi instabilitás, azaz olyan, amely a perturbáció erősödését jelenti a tér egy adott pontjában. A következőkben körvonalazzuk egy ilyen instabilitás matematikai jellegét. Tekintsünk egy, a tér véges részében a t = Oidőpillanatban megjelenő kis perturbációt. Ezt az x koordináta szerint Fourierintegráiba fejtve, az alábbi alakban írhatjuk:

11

Nagy Resetén a két ág aszimptotikus egyenlete:

wh

u=

5,0 R3/ll

és

wh

u=

11,2 R3/7.

10

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

146

. III. FEJEZET, TURBULENCIA

ahol f(x) az eredeti perturbációt leiró függvény. A perturbáció egyes Pomier-komponensei az időben a megfelelő e-lwt szorzóval arányosan változnak, itt w. = w(k, R) a frekvencia? úgyhogy a perturbá~?t a, t időben teljesen meghatározza az

JJJ(~)elk(x-f;)-iwt d~ dk integrál. Mivel f(x) csak egy véges tartományban különbözik nullától, x-~ véges intervallumot fut be. Ennek megfelelően a fenti integrál viselkedését nagy t-k esetén lényegében az Je-iw(k)t dk integrál határozza meg. Ha ez t-vel a végtelenhez tart, az áramlás valóban abszolút instabil. Mindmáig még speciálls esetekben sem végeztek ilyen vizsgálatokat. A csövekben való áramlásra vonatkozó kisérleti adatok azonban azt mutatják, hogy tetszőlegesen kis perturbációkkal szemben nem lép fel valódi instabilitás, akármilyen legyen is R. Erre abból a tényből következtethetünk, hogy minél gondosabban elhárítjuk a csó'be való belépéskor keletkező perturbációkat, ·.annál nagyobb Reynolds-szám mellett figyelhetUnk meg.lamináris áramlást. 12 Ugyanakkor a kisérleti eredmények bizonyítják, hogy van egy másik -kritikus Reynolds-szám is (jelöljük R~icvel), mely alatt nemstaCionárius stabil áramlás nem lehetséges (1•. a 27.§ végén mondottakat). Ha a cső valamely keresztmetszetén az áramlás turbule,qssé.válik, akkor R < R~it esetén a turbulens tartományt az áramlás magával sodorja, és nagysága csökken, mig végül teljesen eltűnik; ha viszont R > R~it• a turbulens· tartomány miközben sodródik, idővel a folyadéknak egyre nagyobb részére terjed ki. Ha a cső bejáratánál a perturbáció állandóan hat, akkor az R < R~rit esetben bizonyós távolságban lecseng, függetlenül attól, milyen erős volt eredetileg. Ha viszont R > R~rit• akkor az áramlás az egész csőben turbulenssé válik. Ez annál kisebb perturbációval érhető el, minél nagyobb az R.l3 A lamináris áramlás tehát egy csőben R > R~it esetén metastabil, azaz véges erősségű perturbációval szemben instabil; R növekedésével ez a küszöberősség csökken. Amint már az előző szakasz végén emlitettük, .a metastabil lamináris áramlás összeomlásakor kialakuló nemstacionárius mozgás már teljesen kifejlődött turbulencia. Ebben az értelemben a turbulencia megjelenése egy csó'ben lényegesen külön-

12

Lamináris áramlást még R

~

Ud 50 OOO esetén is megfigyeltek, ahol R = - , d a 7J

cső átmérője,

'

U a folyadéknak a cső keresztmetszetére átlagolt sebessége. 13 Kör keresztmetszetű cső esetén Rkrlt értéke l ~00 és 1700 között van. Párhuzamos slkok közötti áramlásnál R = 1400-tól kezdve megfigyelhető turbulencia.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

30.§. ÉRINTŐ IRÁNYÚ SZAKADÁSOK INSTABILITÁSA

·147

bözik egy véges kiterjedésű test körüli stacionárius áramlás abszolút instabilitása következtében kialakuló turbulencia létrejöttétőL Az utóbbi esetben az Rkrit értéket elérve, a nemstacionárius áramlás minden valószínűség szerint folytonosan jelenik meg, a szabadsági fokok száma fokozatosan növekszik (ahogyan azt a 26.§- és 27.§ban megmagyaráztuk). Csőben való áramlás esetén a turbulencia ugrásszerűen alakul ki. B különbség következménye többek között az, hogy a két esetben az elleriá'llás másképpen függ a Reynolds-számtól. Például, ha egy test folyadékban való mozgását vizsgáljuk, a rá ható Fellenálló erő folytonosan változik az R = Rkrit helyen, ahol a stacionárius áramlás abszolút instabillá válik. Ebben a pontban az F =. F(R) függvény iránya változhat csak ugrásszerűen az áramlás jellegének módosulása követkfiztében. Csőben való áramlás esetén azonban az R~ Rkrit tartományban két különböző ellenállástörvény létezik : az egyik a stacionárius, a másik a turbulens áramlásra érvényes. Bármilyen R értéknél következik is be az egyik áramlástípusból a másikba való átmenet, az ellenálló erőnek ugrása lesz;

30. §. Érintő irányú szakadások instabilitása Az összenyomhatatlan ideális folyadék olyan áramlása, amelyben két folyadékréteg "csúszik" egymáson, abszolút instabil mozgás lenne. Ilyenkor a két réteg közös határa érintőleges szakadási felület, melyen a folyadék (érintő irányú) sebesség~ nem folytonos. A következőkben (35.§) látni fogjuk, hogy milyen az instabilitás következtében kialakuló áramlás természete; itt csak bebizonyítjuk a fenti állitást. Tekintsük a szakadási felület egy kis elemét. Tegyük fel, hogy ez az elem sik, és a két oldalán a folyadék sebessége állandó, V1, illetve v2 • Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy az egyik sebesség nulla; ez mindig elérhető megfelelő koordináta-rendszer választásával. Legyen tehát v2 = O, és jelöljük v1-et egyszerűen v-vel. Az x tengelyt v irányába fektetjük, z pedig legyen merőleges a felületre. Tegyük fel, hogy a szakadási felület kis perturbációt szenved, melynek során az összes mennyiség változása - a felület pontjainak koordinátái, a folyadék nyomása és sebessége- periodikus függvény, és arányos d(kx-wt)_vei. Tekintsük a v sebességű oldalon levő folyadékot, és jelöljük sebességének a perturbáció miatt bekövetkező kis változását v'-vel. A (26,1) egyenlet értelmében (vo= v és v= O helyettesítéssel) a v' perturbációra az alábbi egyenletrendszer érvényes: div v'= O,

www.interkonyv.hu

ov'

'

-+(vv)v

ot

vp' =--. e

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

m. FEJEZET. TURBULENCIA

)48

Minthogy v irányába fektettük az x tengelyt, a második egyenletet igy írhatjuk:

ov'

vp'

ov'

-+V-=--· at ax e

(30,1)

Alkalmazzuk az egyenlet mindkét oldalára a divergencia operáclót és vegyük figyelembe, hogy ekkor az első egyenlőség miatt a bal oldal eltűnik. Így azt kapjuk, hogy p' kielégíti a Laplace-egyenletet: ~::,.p'= o. (30,2) Legyen a sz;akadási felület pontjainak z irányú elmozdulása a perturbáció során

~=

C(x, t). A

~;

derivált adott x esetén a felület C koordinátája változásának se-

bessége. Minthogy a folyadék sebességének normális irányú komponense a szakadási felületen megegyezik a felület mozgási sebességével, ezért a megfelelő közelitésben

ac

, ac

-=v -v-

ot

z

ax

(30,3)

(magától értetődik, hogy v;-nek a felületen felvett értékét kell behelyettesfteni). A p' nyomást a következő alakban keressük:

= f(z)eiCkx-wt).

p'

Ezt (30,2)-be helyettesftve, f(z)-re a d2f -k2+= dz2 J

o

egyenletet kapjuk, amiből f = const•e±kz. Tegyük fel, hogy a .szakadási felület viisgált oldalán (1. oldal) z >O. Itt/= const·e-kz, tehát p' = const·el(kx-wt)e-kz.

(30,4)

Ezt a kifejezést beírjuk a (30,1) egyenlet z komponensébe, amivel14 az adódik, hogy (30,5) u A kv = ro eset elvben megvalósulhat, de most érdektelen, mert instabilitás csak komplex ro-tól származhat, valós ro-tól sohasem.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

30.§. ÉRINTŐ IRÁNYÚ SZAKADÁSOK INSTABILITÁSA

149

A Celmozdulást is az tfségileg különböz{) "léptékű" mozgások, a turbulens ingadozások szuperpozíciójának tekinthetjük (egy mozgás lépték én olyan nagyságrendű távolságot értünk, amelyen a sebesség számottevl>en változik). A Reynolds-szám növekedtével ell5ször a nagyléptékűingadozások jelennek meg. Az ilyen típusú ingadozások annál késl>bb jelennek meg, minél kisebb a mozgás léptéke: Nagyon nagy Reynolds-számok esetén a turbulens áramlásban a legnagyobbtól a legkisebbig változóléptékű ingadozásokat találunk. A turbulens áramlásban a legnagyobb szerepet a· nagyléptékű ingadozások játsszák, melyek karakterisztikus hosszának nagyságrendjét annak a térrésznek a kiterjedése határozza meg, amelyben az áramlás végbemegy. Az egyes turbulens mozgásoknak ezt az alaplépték-nagyságrendjét jelöljük /-lel. E nagy léptékű mozgások "amplitúdója" a legnagyobb. Sebességük nagyságrendje összemérhetl> az átlagsebesség l távolságon való változásával (ennek a változásnak a nagyságrendjét Llu-val jelöljük). 15 E mozgásoknak megfele]{) frekvenciák azu átlagsebesség (és nem annak Llu változása) és az l távolság hányadosával becsülhetl>k. Valóban, a frekvencia meghatározza egy bizonyos adott vonatkoztatási rendszerhez képest egy mozgási kép ismételt megjelenésének periódusát. Egy ilyen vonatkoztatási rendszerhez képest azonban az egész kép együttmozoga folyadékkal, u nagyságrendű sebességgel. A nagy frekvenciáknak megfelel{) kis léptékű ingadozások amplitúdója a turbulens áramlásban jóval kisebb. Ezeket a nagy léptékű turbulens alapmozgásra. szuperponálódó finomszerkezetnek tekinthetjük, A kis léptékű ingadozások a folyadék teljes kinetikus energiájának csak egy kis részét hordozzák. A turbulens mozgásról a fentiekben alkotott kép lehetl>vé teszi, hogy következtetéseket vonjunk le az ingadozó sebesség áramlási térben (egy adott pillanatban) való válto~nak jellegére vonatkozóan. /-hez képest nagy távolságokon az ingadozó .sebesség változását a nagy léptékű ingadozások sebességének változása határozza meg, és ezért nagyságrendileg Llu-val egyenll5. /-hez képest kis távolságokban azonban a kis léptékű ingadozások a meghatározók, ezért a változás (Llu mellett) kicsi. 16 15 Itt nem az átlagsebesség, hanem annak (l távolságon való) megváltozásának nagyságrendjéről va n szó, mert éppen ez a Ll U változás jellemzi a turbulens áramlást. Maga az átlagsebesség akármekkora lehet, a használt vonatkoztatási rendszertől függően. Meg kell még jegyezni azt is, hogy a tapasztalat szerint a legnagyobb ingadozások mérete néhányszor kisebb /-n~!, sebességük pedig valamivel ~is.ebb Llu-nál. 16 De nagy az átlagsebességnek e kis távolságon való változásához képest.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

152

III. FEJEZET. TURBULENCIA

Hasonló képet kapunk, ha a tér egy adott pontjában a sebesség

időben

való válto-

zását vizsgáljuk. A T "' !_ karakterisztikus időhöz képest kis időtartamok esetén a u sebesség változása jelentéktelen; ha azonban az időtartamok nagyok, a sebesség Llu nagyságrendű változásokat szenved. A folyadék egészének adott áramlását meghatározó R Reynolds-szám jellegzetes hosszként az l távolságot tartalmazza. E Reynolds-szám mellett bevezethetjük a turbulens áramlásban fellépő különböző léptékű ingadozások Reynolds-számának kvalitativ fogalmát. Ha A. az adott mozgás léptékének, v~.-pedig sebességének nagyságrendje, akkor a

megfelelő

Reynolds-számot az R;.

"'V;.A

v

kifejezés definiálja.

Ez annál kisebb, minél kisebb a mozgás léptéke. Ha az R Reynolds-számok nagyok, ugyancsak nagyok a nagyléptékű mozgások R;. Reynolds-számai is. Már pedig nagy Reynolds-számok kis viszkozitásnak felelnek meg. Arra az eredményre jutottunk tehát, hogy a turbulens áramlás alapvető mozgásformáját képező nagy léptékű mozgás esetén a folyadék viszkozitása nem játszik szerepet, nullának vehetjük, a mozgást tehát az Euler-egyenlet írja le. Ez azt is jelenti, hogy a nagy léptékű mozgásban nincsen lényeges energiaveszteség. A folyadék viszkozitása csak a legkisebb léptékű ingadozások esetén válik lényegessé, amikor a Reynolds-szám egységnyi nagyságrendű. E mozgások léptékét A.o-lal jelöljük; ezt amennyiséget a következő szakaszban határozzuk meg. Éppen ezek a kis léptékű ingadozások, amelyek a turbulens áramlásban kialakult általános mozgásképben kis jelentőségűek,.fontosak az energiadisszipáció szempontjábóL Így tehát a turbulens mozgásban bekövetkező energiadisszipációt a következő­ képpen írhatjuk le. Az energia a legnagyobb léptékű ingadozásokból gyakorlatilag veszteség nélkül átmegy a legkisebb léptékű ingadozásokba. Ez azt jelenti, hogy egy állandó· energiaáramlás van a nagy léptékű ingadozások felől a kis léptékűek felé, azaz a kis frekvenciákból a nagyokba. Ez az energiaáram disszipálódik, vagyis a kinetikus energia a legkisebb léptékű ingadozásokban alakul hővé. 17 A folyadék viszkozitása csak a legkisebb léptékű ingadozásokban mutatkozik; ezért azt mondhatjuk, hogy a A. » A.o léptékű turbulens mozgásra vonatkozó menynyiségek nem függhetnek v-től (pontosabban ezek a mennyiségek nem változnak v-vel, miközben a mozgás többi feltétele állandó). Ez a körülmény csökkenti a turbulens mozgás sajátságait meghatározó mennyiségek körét, és ebből következik a fellépő méretekkel kapcsolatos hasonJósági megfontolások nagy jelentősége a turbulencia tanulmányozásában.

17 Az egyensúlyi állapot fenntartásához az kell, hogy egy külső energiaforrás állandóan energiát adjon a legnagyobb ingadozásnak.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

31.§. AKIFEJLŐDÖTTTURBULENCIA

153

Alkalmazzuk ezeket a meggondolásokat a turbulens áramlásban bekövetkező mechanikai energiaveszteség nagyságrendjének meghatározására. Legyen e az egységnyi idő alatt a folyadék tömegegységében disszipált energia átlaga. 18 Láttuk, hogy ez az energia a nagy léptékű mozgásból származik, fokozatosan átmegy a közepes léptékű mozgásokba, majd a rv /. 0 léptékű ingadozásokban disszipálódik. Ez az oka annak, hogy bár a disszipáció t végeredményben a viszkozitás okozza, e nagyságrendjét a nagy léptékű mozgások jellemző mennyiségei - a folyadék e sűrűsége, az l méret és a Llu sebesség - önmagukban meghatározzák. Ebből a három mennyiségből egyetlen olyan kombináció alkotható, amelynek mértékegysége ugyanaz, . é erg cm2 í , . h mmt e- , azaz - = -- . gy tehat azt kapJuk, ogy g.s s3 (Llu)3 (31,1) erv - l ' ami meghatározza a turbul~ns áramlásban bekövetkező mechanikai energiaveszteség nagyságrendjét. Egy turbulens mozgást végző folyadék bizonyos vonatkozásokban minőségileg leírható egy ún. "turbulens viszkozitás", vturb segitségével, ami különbözik az igazi v kinemaiikai viszkozitástóL A turbulens mozgás tulajdonságait jellemző vturb nagyságrendjét a e, Llu és l mennyiségek határozzák meg. Az ezekből képezhető egyetlen, kinematikai viszkozitás dimenziójú mennyiség l Llu, tehát Vturb rv

(31,2)

f LJ u.

A turbulens viszkozitás és a közönséges viszkozitás aránya a fenti képlet értelmében Vturb rv

R,

v

azaz a Reynolds-számma1 növekszik. 19 Ebben a fejezetben e az átlagos energiadisszipációt jelenti és nem a folyadék belső energiáját. A valóságban azonban R egy elég nagy numerikus állandóval van megszorozva. Ennek oka az, hogy, mint fent említettük, l és Llu jelentős mértékben különbözhet a turbulens áramlás tényleges 18

19

léptékétől és sebességétőL A

j)

turb

arányt pontosabban lehet a

j)

'l'turb

R

-v-~ Rkrit

alakba irní, amivel figyelembe vesszük azt a tényt, hogy vturb és v nem R "' 1 esetén kell, hogy összemérhető legyen, hanem akkor, amikor R"' Rkrit·

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau, E. M. Lifsic, Moszkva, 1953

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

154

III .. FEJEZET. TURBULENCIA

Az s energiaveszteség és

vturb

közti összefüggést az B

rv

Liu)2 1-

Vturb ( -

(31,3)

::képlet adja meg a viszkozitás szokásos definíciójával összhangban. v az energia·veszteséget az igazi sebességnek a koordináták szerinti deriváltjaival kapcsolja össze, ·vturb

u) köti össze az energia-

viszont a mozgás átlagsebességének gradiensével ( rv Lll

·