Elemi matematika feladatgyűjtemény [PDF]

Zitiervorschau

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KÁR

ELEMI MATEMATIKAI FELADATGYŰJTEMÉNY i.

Összeállították:

Gyapjas Ferenc Reiman István

NEMZETI T A N K Ö N Y V K I A D Ó

EÖ TV Ö S LORA N D TU D O M Á N YEG YETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

ELEMI MATEMATIKAI FELADATGYŰJTEMÉNY '

i.

Összeállították:

Gyapjas Ferenc Reiman István

KÉZIRAT

NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, 1997 BUDAPEST

Az Elemi matematikái feladatgyüiteménv r külön kötetben megjelent

+

• A geometriai részből -Ima

£

A

h+

ti?

! '

■

M e n y e i n e k egyesitett kiadása.

- “

^ b e v á g á s á g t transz,ormáclák.

Hangsúlyozzuk azonban, hogy’IzéÍ «

«

«

esettan számíthatnál! a feladatok tál -

!

"*"UtatáSt

*

°6ak a X'VXSkátl

iák az önállá megoldások kászitásáyar." Az Útmutatások ne. tartalmazzák á l t a l á L

^ ' r

19. Bizonyítsuk be, hogyha (a + b + o + d)(a - b - o + d) = (a- b + és

96 0,akkor —

c,d

c -d)(a

+ b - c — d)

.

20. Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket: a/ (x

+ y + z)3 - x3 — y3 -

b/- x3

+ y3 + z3 - 3 x y z .

c/ (b

- c)3 + (c - a)3 + (a

Hozzuk egyszerűbb

z3 .

- b)3.

alakra a következő kifejezéseket:

21. (a + b + o)3 - (a + b - c)3 - (a - b + c)3 - (c + b - a)3. 00 *

«L. a - b"

23. ; —

3 a b 3 .3 a - b

— a— —

oc 2 >.

b — a 2 . ,2 a + ab + b

+ -------

(a-2b) (a-b) 24.

“

(2b-c)(2b-a )

+

*

'

■ c ,— (c-a)(c-2b )

x y z + (x y)(y + z9 (z + x -> x + y + z * -i

2 . 2 2 ax + b.v + e z _______________ 2 . 2 2 »ha be Cy - z ) + cy (z - x ) + ab (x - y) ax + by + ez = 0 .

- 5 :-

45

a' b

°

p o u “ "jaiMi

•«»**

a 0> - o)> „ „ Co . a)3 „ 0 ( a _ 1)3 _

27. Alakítsuk szorzattá « kOretkezS a»sz.g.ts x3n+2

.

3k+i

. + 1 ,

ahol

«

és

k

természetes

számok. Hozzuk agysterilbb alakra , k5v.tk»,5 klt.j.ufe.k,,, 28

— V

- :1 ^ . (u-kxa-o) * - b - ( b ^ ö Ö ^ 5 * T ( d ) ( ^ b T

29.

1

'*■

a2Ca-b)Ca-c)

|

+ VCb-a)Cb-c)

30. Bizonyítsuk be, hogy ha

C S c b

+ ~

I °

+

a V b

a

+ ~ ( 0-a)(c-b)"

a+b+c = o, akkor

2______ a' b n a -b; t T r r + T r r ) = 9

31 . Bizonyítsuk be, hogy b - o

c-a 32 . Bizonyítsuk be, hogy ha a b c a .ázlkkattS B z . z . g é . e l ' o ^ ^

£-*¿1

'

2 »»

*2- +

/ o * ° '“

°2 > a2 . h2 2 ao

‘i M

a2

, r .

33 . Bizonyítsuk be, hogy ha JL- t _L_ , 1

és n páratlan, természetes szám, akkor b

2

* i c ~ a+b+c

34. Számítsuk ki az x

xyz

+

y

szorzatot, ha +

z

=

x2 +

y2 +

z2 =

b2

x3 +

y3 +

z3 =

c3

35. Bizonyítsuk be, hogy a2

Cx-b-) Cx-cY ( a-b ) ( a—c )

.2

(x-c^Cx-a) (b-c) (b-a)

2 (x-al Cx-b) ( c-a ) Cc-b )

36. Bizonyítsuk be, hogy

Cx-b') (x-c~> (a-b) (a-c)

Cx-o) (x-aV b-c) (b-a) (

. ( x-a~) (x-bí ( c-a) (o-b)

37* Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést: a-b a+b

b-c b+c

c-a c+a

( a-b~) ( b-c) (c-a") ( a+b ) (b+c) (c+á)

*

38. Számítsuk ki a következő kifejezés számértékét: a3 + b3 .+ 3 ( a3b + ab3^j + 6 (a3b2 + a2b3 ) ha 39. Számítsuk ki

ab + cd 2 a + 2

c

+

ac +

értékét, ha b

?

.2

d

a

1

= 1

bd =

0

Igazoljuk a következő állításokat:

- 7 -

,

a + b

40. / 7 + 2 { t

- / 7 - 2 f6

«,7777?.

= 2 .

y E ü H m

42. / 7 + /24

-

43.

% Í2 + 7

-

44.

^20 + 14/2

/7 - f24

=

= 2 .

V 5 V2" - 7=

2.

"V 20 - 14 { z = 4 .

+

45. Számítsuk ki /¡2 + f i . / 2

+ fT T r s . / 2 +/ T + jz

. ¿ Y 2 - V 2 + 1/2 + / j

+ /3

•

értékét.

46. Igazoljuk, hogy

+ 1). 47. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést: I

2 - /~2~

, ./ 2 + / 2

V2

Í T 777

'

48. Igazoljuk, hogy

* * ^ l/lT + V 2 + iTJ

,

> -»7 Í2 - V 2 - f f

49. Igazoljuk, hogy Vx + 2 l/x - 1 lő 2-vel, ha

1

r

x

=

2

és

+

.

= /T

V x - 2 Vx — 1

2 Vx-1 -gyei, ha

x >2.

50. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

- 8 -

egyen-

51« Hozzuk a legegyszerűbb alakra a következő kifejezést:

p

r

p

» a+/a^-b~ ■\| a - / a2-b 2 1---- 2-----+ V

I (a-\/T)Ca2-b2)

52. Határozzuk meg az 2á VI + x2

y = -— 7

'"g

x +Y1 + x függvény értékét az

x

1 /,rr 2 VT b

*

,/ b

helyen. 53. Bizonyítsuk be a következő azonosságot:

n3 - 3n -♦ (n2-lV/n2 - 4 - 2 n3 - 3n + (n2-l) l/n2 54. Igazoljak, hogy ■. ha

55» Bizonyítsuk*be, hogy és

q

4 +

2

Cn+l) Vn-2 (n-l) /n+i"

3\/ax2 + by2 + ez2 =

ax?' a by3 a ez3

alakban, akoli p

-

_

és , r

és

— .x

^7 + 3/7 + .Vő"

y ■ *z

= 1 .

.•/? . nem'Állítható'elő• p + q/"r" racionális szám..

56. Bizonyítsuk be, hogy

lóg b

=

£ -i2S-b_ c ■w lóg a

57. Határozzuk meg a kővetkező kifejezések értékéti 2

/

V * 3, -¿o .. 32

.

lóg 8

6

w lóg 1 6 — t, ha

58. Határozzuk meg

3

Vrf* 59. Határozzuk meg

lóg

12

^ lóg 2 a a

' ^ 5 -t. ha

6

6 '

•

lóg 2 a a, lóg 5 a

60. Bizonyítsuk be, hogy a

v-s

8.

lóg a an

a

l + lóg n »

lóg n 61. Bizonyítsuk be, hogy .b

"a

lóg a . lóg b a l , 62. Hozzuk egyszerűbb alakra a kővetkező kifejezést! lg (lg lg a

63. Igazoljak, hogy lg b a

lg a a b

- 10 -

2

64-. Bizonyítsuk be, hogy ha

b+c a

-I-log

a

a

2

+ b = c , akkor f c+b

e-b

log

2

a

\ /0*b s

2 V log a/ V log ej

65. Bizonyítsuk be, hogy ha a > 0,

o > 0,

b s /äc,

a,o ős ac ¿ 1, H > 0, N / 1, akkor log N 0^

log N - log N b'

9

log N

log N - log N

66. Bizonyitsuk be, hogy 2 3 n> log 'X

S

+ T

_ log X

1 • ♦ + ••• t + log X

•- 1. •

.

log X

67. Bizonyitsuk be, hogy 1

L

1

1

log H

w log H

L

log H

*•*

,

1

1

¿

=¿

log H

log B

68. Bizonyitsuk be, hogy a

b

log N

b

log a

=

c

c

a

N + logN log N♦ logN log N b

s

e

lo« N » log W . log H

>

...■abc : log N

■

Bizonyitsuk be, hogy

69. slnx + sin y s 2 sin * | ^

- 11

. cos

.

70.

=2 cos ,

sin x - sin y

.

sin

7 1 . cos x + cos y

=

2 cos 1 *

. cos

72 .

=

-2 sinx * ^

.sin

cos x - cos y

2 73 . sin 3« = 3 c os« 3

^

... ^ ■.

■ *'

.

3 ' sin ot - sin « a 3 sin ot - 4 sin^ot .

2

3 cos oc - 1' cos

74-.

cos 3 oL s cos^ot

75.

tg 3 * .

76.

Igazoljuk, hogy ha ot hegyesszöget jelöl, akkor

- 3 sin '

'■■ 1" '■ , ha n > 1 természetes 2 fa

szám. 7»

“2“ tes száin.

2 n-1 . 1 V2 Tn * ■"'F 8i"*!'"‘" . ha

h

♦ + -jjgr + ••• +

8. 9.

•••

-jy- < 1 +

A+

n > 1

természe­

n+l

l , í■:, ♦ ..!V

+ -3 - + ••• +

> 1 ♦

< n, ha

n > 1 .

Bizonyítsuk be, hogy 10.

3

6n'

6n - 2.

osztható 665-tel, ha

-1 9

n

természetes szám.

11.

- 5 n3 + 4n osztható 120-szal, ha

n

természetes szám.

12 . m n (m60 - n60) osztható 56?86730-cal, ha

m

és

n

természe­

tes szám.

13 .

n2 + 3n + 5 nem osztható121 -gyel.

14.

n milyen értéke mellett lesz osztható 7-tel

/n természetes szám./

n + (n - 1 > 15 + (n - 2) 152 + ... + 15

15 .

?

k-nak mely pozitív egész értékei mellett lesz a H _ k . 2^n-2+ 1 kifejezés

n

■' Ón—1

*3 -

minden pozitív egész értékére

osztható 7-tel? 16.

egész szórok, 17*

Az első tó

18.

2*^+1

Bizonyítsuk be, hogy

n

a

- a mindig O-ra végződik, ha

a, n

n = 2.

természetes szám négyzetének összege mikor osztha­

nr-nel?

' Igazoljuk, hogy ha

n

páratlan szám, akkor

3

n

+ 23 n mindig

osztható 24-gyel. 19.

♦ 3^“ +2 osztható 73-mal, han

Bizonyítandó, hogy

bár­

milyen pozitív egész szám. 21.

Igázoljuik, b ö g y b a e g y 10-es számrendszerbeli számot 99-oel osztunk, ugyanannyit kapunk maradékul, mintha a számöt jobbról balra kéttűs csoportokra osztva» e kétjegyű csoportok /az utol­ só csoport lehet egyjegyű/ összegét osztanánk 99-cel.

22.

Igazoljuk, hogy

ln + 2n + 3° + 4n ♦ 5° + 6n + 7° + &

osztható 5-tel, ha 23.

n

nem

természetes szán.

Bizonyítsuk be, hogy ha egy ötjegyű szám osztható 271-gyel, ak­ kor -mindazok a számok is oszthatók 271-gyel, amelyeket úgy ka­ punk, hogy az adott szám végéről egy akárhány jegyből álló sza­ kaszt a szám elejére hozbnk.

24.

Bizonyítandó, hogy ha koraz

25.

aés

b

7-nél nagyobb törzsszámok,

ak-

(a2-l) (b2-l) (a^-b®) kifejezés osatható 290304-gyel.

Bizonyítsuk be, hogy 625-tel azok és csak azok a számok oszthatók,amelyeknek utolsó 4 jegyéből álló száma is osztható 625-tel,

- 20 -

C6.

Bizonyítsuk be, hogy: n v n -n mindig osztható 7-tel.

87#

(a+b+c) 7 - e j - b^ - c^ mindig osztható

28»

ha a, b, c közül legfeljebb csak egy 0. 2 4 2+1, 2 +1, 2 +1, 2 +1* ••• relatív prímek.

29#

2903n-803n-464n +26111 osztható 1897-tel, ha n természetes szám.

30#

Határoizukmeg mindazokat az

n

7 (a+b) (b+c) (c+a) — val,

természetes számokat, amelyek­

re 2n+l osztható 3-mal. Jl#

Bizonyítsuk be, hogy az ln+2n+3n+4n hatványösszeg, amelyben n természetes számot jelent, akkor és csak akkor osztható 5-t.el, ha az

n

kitevő nem osztható 4-gyel.

32« Bizonyitsuk be, hogy ha

a

és

b

páratlan szám, úgy a^b^

akkor és csak akkor osztható 2n-neí, ha a-b is osztható 2n-nel. 33#

Legyenek a,b,c,d olyan egész számok, hogy az ac, bc+ad, bd szá­ mok mindegyike osztható az n egész számmal.IgazoljufPiogy n be, ad

34. Bizonyitsuk be, hogy ha

n > 1

egész szám, akkor

3n + 1 nem

osztható 2^-nel. •35.

Legyen (a,b) s d, (a*, b’) = d* (a.b.a’^^pozlitiy^gász zzámok ; Igazoljuk, hogy (aa*, ab’, ba*, bb’) =

36«

Bizonyitsuk be, hogy ha az ab a ed , akkor

a, b, c,d

Ca.c) (a.d> (a.b.c.d)

_ "

dd*. természetes számokra

a

37« Egy háromjegyű szám a tizes számrendszerben

ala

alakú. Ugyan­

ezen szám számjegyei egy másik száqnt rendszerben 4a, 2a, a. Helyik ez a szám? 38. . 39.

Melyik az a számrendszer, amelyben 4634 -t 555-tel osztva hányadosul 5-t, maradékul 530-at kapunk? Egy számrendszer alapszáma kétjegyű szám. Helyik az a tizes számrendszerbeli szám, • . A- •

amely a szóbanforgó számrendszerben

. -..21 -

1234 alakban irható, ha tudjuk, hogy a keresett szán osztha­ tó J5-tel? Milyen számrendszerben érvényes a következő szorzás?

121

.

242

■

22

■■242

.

3212

Milyen számrendszerben érvényes a következő szorzás? Határozzuk meg az ismeretlen számjegyeket! x x 2

.

X 2

x 0 0 x X X X 1 X X

X X 1

írjuk át tizes számrendszerbe! Az alábbi vázlaton egy nem a tizes számrendszerben végrehaj­ tott osztást látunk. Azonos betűk ugyanazt a számjegyet jelen­ tik, különböző betűk más számjegyeket. Mennyi az osztandó és az osztó á tizes számrendszerben? P Q R S R Q P s Q R Q

=

Q SQ

8

P T P S Q Q T R Q T R R P Q ÍP Q P T P S P R R P P R T P

x Legyen bizonyos számú gyufa három halomba téve. Kát?1játékos felváltva vesz a halmaz egyikéből bizonyos számu< gyufát. /L®B-

alább egyet, de elveheti ax egász halmot is, s egy fordulóban csak egy halomból vehet el gyufát./ Az nyer, aki utoljára vesz el gyufát. Határozzuk meg a kezdő helyzetek közül azokat, ame- ' lyekben helyés játék esetén a kezdő játékos, ill. amikor a má­ sodikként sorra kerülő játékos nyer. Az első esetben adjuk meg a követendő taktikát. /Nim játék./

4 4 .3 Az ábra szerinti végtelen négyzetháló bal alsó sarkában levő négyzetbe irjuk a 0 indexet. Ezután 4

5.

6

minden négyzetbe irjuk a lehető leg­

7

kisebb indexet úgy, hogy az ne egyez­

3

2

1

0

7

2

3

0

l

6

1

0

3

2

5

4\

0

1

2

3

4

5

zen meg a kérdéses négyzettel azonos sorban vagy oszlopban levő megelőző négyzetekbe irt egyetlen index-szel fém. Milyen index áll az 1000 oszlop tOO sor metszéspontjában? Melyek azok a háromjegyű természetes számok, amelyekben a szám­ jegyek összege harmadrészére csökken, ha magához a számhoz 3-at adunk?

46.

Bizonyítsuk be, hogy ha az

abc

háromjegyű természetes szóm

primszám, akkor nem lehet valódi osztója egyetlen olyan számnak sem, amelyet az

a, b, c jegyek sorrendi felcserélésével képez­

hetünk. 47.

Valaki azt mondja, hogy születése évszámánalr 7-szerese osztva

13-mal 11 -et, 13-szorosa osztva 11 -gyel pedig 7-et ad maradé­ kul. Hányadik életévét töltötte be az illető 1930-ben? 48.

Születési éveik számjegyeinek összege éppen annyi, mint ahány éves voltam 1955-ben. Melyik évben születtem?

49.

Bontsuk fel 283-at két /pozitív/ részre úgy, hogy az egyik rész osztható legyen 13-mal, a másik 17 -tel.

50. Határozzuk meg azokat a háromjegyű pozitív egész számokat, me­ lyek kielégítik a következő két egyenletet:

- 23

17 x + 15 y - 28 z

51.

=

61

19 x - 25 y +.15 .z =

31

Bizonyítsuk be, hogy a 2x + 3y és 9x + 5y kifejezések x és y ugyanazon egész értékeire oszthatók 17 -tel.

52.

Határozzuk meg azokat az

x

és

y

természetes számokat, ame­

lyeknek összege 40-nél nagyobb és amelyek ki-elégitik az alábbi egyenletet:

210x + 24y - 493 + t 53*

Keressük meg azokat

9 # 25x + 12y - 248

_

a számokat, amelynéla számjegyek négyzet-

összege egyenlő magával a számmal. 54«

Keressük meg azt a négyjegyű számot, amely teljes négyzet, s az első két jegye, valamint az utolsó két jegye megegyezik.

55 .

Keressük meg azokata kétjegyű számokat,

56~

tott sorrendben irt számot hozzáadva teljes négyzetet kapunk. 2 0 1 d j u k m e g a z l t +2! + ... + XI- = y egyenletet!

57. Oldjuk meg az

amelyekben a fordí­

1 1 + 2 1 + 3 ! + ... + x! m

y*egyenletet!

58. Oldjuk meg a következő diphantosiegyenletet: x y z 59.

=

x!

y!

z!

Határoztuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amelynek számjegyeiből képzett számok faktoriáifsainak összege egyenlő a háromjegyű számmal.

60. Bizonyítsuk be, hogy az

x

2

+T

2

+ z

2

-

nincs más egész értékű megoldása, mint x

2 x y z egyenletnek = y = z = 0.

61* Bizonyítsuk be, hogy az x

2

+ y

2

2

+ z

2

+ u

s

2 x y z u

egyenletnek nincs más egész értékű megoldása, mint az x » y * z a * a 0.

- 24 -

62.* Bebizonyítandó, hogy az

egyenletnek nincs más egész megoldása, mint x = y : z = 0. 63.

Határozzuk meg az x

+

y

=

Í4

egyenlet egész megoldásait. 64.

Adjuk meg az

egyenlet pozitív egész megoldásait. 65. Bontsuk fel

-ot minden lehetséges módon három olyan pozi­

tív tört összegére, amelynek számlálója 1 . 66. Adjuk meg az ha

x

x^ = yX

egyenlet pozitív egész megoldásait,

jt y.

67. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan választjuk az

a

és

b

egész

számokat, az x + y + 2z + 2t

=

a

2x - 2y + z - t

ss b

^

egyenletrendszernek mindig van egész számokból álló megoldása. 68. Bizonyítsuk be, hogy ha

n > í, akkor az ,n-l

összeg nem lehet egész számnak 1-nél magasabb egész kitevőjű hatványa. 69.

Oldjuk meg az-

y^ - x^

a

91

diophantosi egyenletet. 70.

Bizonyitsuk be, hogy

3°, 31, 32, ..., , • ...1 3°,, ... ... sorozatból nem

lehet három számot úgy kiválasztani, hogy az egy számtani so­ rozatnak három .egymásutáni tagja legyen.,

25

A következő feladatokban minden betű egy—egy számjegyet jelöl* Természetesen különböző betűk különbözői azonos betűk azonos szám­ jegyeket jelölnek. Határozzuk meg ezek értékét: 71.

A

B B.

A C

A BB C DD 72.

A E CD ABC

. ■ ,

. B C

B CD SBC F ABC 73.

N

A GY +

F 0 KA . F 0 S A I.t

■

EL F O G N A 74.

írjunk a betűk helyébe számjegyekét úgy, hogy az alábbi össze­ adás helyes legyen: ÉLJE N + Mi J Ó S , EL S EJ E

■

és amellett a két összeadandóbana számjegyek összege egyenlő legyen. 75.

/E, E* is különböző számjegyet jelöl./ A B C D ¡CD

=

BCD

C D E C D F •

BCD B C D

- 26 -

76.

A B C D E F j D G H

=

BIHC

D fi H D K D E D A B B SEB F B F H C DE D Pótoljuk a hiányzó számjegyeket a következő feladatokbans 77.

x x x x x x :x x x x x x 5

s

x x 8

.

xx x x

9 x x X X X X X X

7 B.

x xxx x x :x x

=

x x x x

■x x 8 x 8 X X X

XXX x x 3 XX X X

79.

Melyik az a szám, melynek négyzetét a következő vázlat alapján számíthatjuk ki: ( x x x )2

=

x X x X X X X x XX X X X

- 27 -

80.

Melyik háromjegyű szám köbét határozza meg az alábbi vázlat: (X X x )3

=

X X X X X X X

XXX X X X

-

X X X X X XX X X

X X - ' . ’ Az alábbi gyökvonásokban Írjuk az x-k helyére a megfeleli számjegyeket: 81.

Vx x x x x x

=

xx x

■X.

XXX XX 4 x x x X X XX

0

' 82.

Vx x X x x x x 1

s

xxx x

x x x x x x XXX 1 X X X 1

" '0 ; 83«

f: x x J x x

=

xxx

x x

xx 5 XX X X X X

XX XX

0

. - 28—

Bk.

Az alábbi gyökvonásban az a-val jelzett helyeken ugyanaz a számjegy áll. Határozzuk meg a hiányzó jegyeket. )/x x X x 3 X X a x x x X x :x

=

a X x x

,

x a x a a x x sx x a x x x x x a x a : x x x x x a x a

85.

Bizonyítsuk be, hogy 2 és 3 kivételével bármely primszám négy­ zete 12-vel osztva 1-t ad maradékul.

86.

Bizonyítsuk be, hogy ha egyszerre primszám.

n > 2 , akkor

2n-l

és 2n+l nem lehet

87«■ Bizonyítsuk be, hogy ha három prímszám /mindegyik nagyobb mint 3/ számtai sorozatot alkot, akkor á sorozat differenciája 6-tal osztható. 88.

Bizonyítsuk be, hogy ha egy összetett-szám legkisebb törzsosztója nagyobb a szám köbgyökénél, akkor a szám két törzsszám szorzata.

89.

Bizonyítsuk be, hogy ha egy törzsszámpt 30-cal osztunk, akkor maradékul 1-et vagy ismét törzsszámot kapunk.

90.

Bizonyítsuk he, hogy ha

n

természetes szám, akkor

5n

felír­

ható két természetes szám négyzetének az összegeként. 91.

Bizonyítandó', hogy nem lehet négy egymás utáni egész szám mind­ egyike egy-egy egész szám 1-nél magasabb egész kitevős hatványa.

92. Bizonyítsuk be, hogy öt egymást kővető egész szám négyzetének összege nem lehet teljes négyzet. 93.

Határozzuk meg azokat a számokat, amelyek négyzetében a tíze­ seket és egyeseket felcserélve,egy 1-gyel nagyobb szám négyzetéhez jutunk* po

/■

94.

Bizonyítsuk bó, hogy ha az 1331 szám jegyei közé mindenütt ugyanannyi 0-t Írunk, akkor, teljes köböt kapunk.

95.

Határozzuk meg mindazokat a legalább kétjegyű egész számokat, amelyek négyzetében a tízezresek helyén páratlan szám áll.

96. Igazoljuk,hogy minden olyan 2n jegyű szám teljes négyzet, melynek balról számítva az első

jegye 1 , ezután következő

n

n- 1 jegye 5 és az utolsó jegye 6 . 9?.

Mikor osztható három szomszédos egész szám köbének összege 18-cal?

98. Határozzuk meg rendszerben

n

értékét, ha tudjuk, hogy ( 5 ) a tizes szám-

a b a b a b

alakú, ahöl

a

és

b

számjegyeket

jelent,

99. Melyik az a legkisebb 4-gyel végződő természetes szám, mely­ nek utolsó jegyét a szám elé Írva, az eredeti szám négyszere­ sét kapjuk? 100.

Vegyünk egy háromjegyű számot, pl. 346—ot. A számjegyeket for­ dított sorrendbe Írva nyerjük 643-at. A nagyobbik számból ki­ vonva a kisebbiket, kapunk 297-et. írjuk a fezámjegyeket ismét fordított sorrendbe és adjuk össze:• 297+792 = 1089. Igaz-e, hogy mindig 1089-et kapunk eredményül, akármilyen háromjegyű számot is választunk?

101.

Kéressük meg azt az

abc

háromjegyű számot, amely akkora,

mint a számjegyek ciklikus felcserélésével keletkező két há­ romjegyű számnak a számtani közepe. 102.

Meghatározandó az

x, y,.z, u, v

a tizes számrendszerben felirt

számjegyek értéké úgy, hogy x 61 y 064 z u v szám osztha­

tó legyen 61875-tel. 103* Bizonyos egymásután következő pozitív számok összege 1000. Határozzuk meg ezen számsorozatot. 404. Melyek azok az

n

természetes számok, amelyekre

és a reeipröka is felirható véges tizedéstört alakban?

30 -

105.

Bizonyítsuk be, hogy a

106.

* *.■ tört

bármilyen egész szám is

az n.

Bizonyítsuk be, hogy ha

p és

nem egyszerűsíthető,

qpáratlan egész, akkor

* + 2px + 2q a 0 egyenlet gyökei n-sm lehetnek racionális • számok. 10?.

Bizonyítsuk be, hogy ha

f (x) egyváltozós egész együtthatós

polinom, akkor nem állíthat elő minden egész helyen primszá— nőt. Állapítsuk meg a 33... 3 x 66 ... 6 szorzat .számjegyeit, tud­

108.

va azt, hogy mindkét tényező 25 jegyű. 109.* Határozzuk meg azt a hatjegyű számot, amelyet 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, ill. 6-tal szorozva olyan hatjegyű számot ka’ púnk, amely az előzőtől csak a számjegyek sorrendjében külön­ bözik. 110.

Igazoljuk, hogy egy négyzetszám sem végződhet 0-tól különböző négy egyenlő számjeggyel.

111.* Határozzuk meg az összes olyan számot, melynek négyzete 2 egyező, de O-tól különböző számjegyre végződik. 112.

113.

SS’

Határozzuk meg az összes olyan számot, amelyek négyzete 3 egye­

ző /O-tól különböző/ számjegyre végződik. '. Melyek azok a számok, amelyek utolsó két jegye

megegyezik

négyzetük utolsó két jegyével? 114.* Határozzuk meg az

n

természetes számot úgy, hogy minden

nél kisebb természetes szám osztója legyen 115.

{n -

n-nek?

Melyek azok a kétjegyű számok, amelyeknek összegét négyzetre emelve ugyanazt a négyjegyű számot nyerjük, mint akkor, ha a két kétjegyű számot egymás mellé Írjuk?

116.

Határozzuk meg a kétjegyű /egész/ számok négyzetei közül azo­ kat a párokat, amelyeknek tagjai egymástól csak a százas he­ lyi értékű számjegyben különböznek /mint pl. 24-01 és 2601/.

117.

Milyen maradékot ad 125-tel való osztáskor n100, ha n termé­ szetes szám?

- 31 -

118.

Bizonyítsuk be, hogy ha (n, 10) = 1, akkor számjegye megegyezik

n

n

utolsó három

utolsó három számjegyével.

1 19 .

1-esz az utolsó két jegye n20-nak, ha

120.

ható 5-tel? O AA Mi lesz az utolsó három jegye n -nak, ha

n

páros és nem oszt­ n

páros és nem

osztható 5-tel. 121.

Határozzuk meg

2 ^ ^ utolsó két jegyét!

122.

Határozzuk meg

3^ ^ utolsó két jegyét!

14I4 . .

123.* Határozzuk meg 14

utolsó két jegyét!

Útmutatások és eredmények á II« fejezethez 3. Használjuk fél,hogyk(n-k+l) > ü ha 1< k 4 n 4. Egészítsük ki S-t ügy, hogy két mértanisorozatösszegének szorzatára legyen bontható. 3. 6-7. 8.

Lásd. az V.l. feladatot. Teljes indukció. ’ Párosítsuk az első és utolsó tagot, a második és utolsó előtti tagot, stb. Ezeket hozzuk közös nevezőre. Vegyük figyelembe, hogy ha

l^ k4 2n + 1 , akkor (n+k)(3n+2-k) ^ (n+l)

(Lásd

ehhez V. 1.) 9.

Használjuk fel, hogy

2n”^+ 1

,

2n“X+ 2

}

*•* + „n

illetve, hogy

1 2n“l

+ 13 .

1 2“-1

2n-1+ 1

- 2 2"“1

2n_1+ 2

= 1 .

n3 + 3 n + 5 = (n + 7 )(n - *•) + 33 - 32 -

• g°~l „n

1

" 2

’

14.

le

Használjuk fel, hogy 15

= (14+1)

le

7-tel osztva, 1-et ad ma­

radékul . 15«

Vizsgáljuk meg

N-t

16.

először n = 1-re /k = 7 m + 3 alakú/. 2n+i 4Bizonyítsuk be, hogy a - a osztható a (a -l)-gyel.

23.

Elegendő a tételt arra az esetre igazolni, amikor az egyesek helyén álló számjegyet hozzuka szám elejére.

27.

A 7-tel való oszthatósághoz lásd a 26. feladatot, a+b-vel va7 7 7 7 ló oszthatósághoz lásd az (a+b+c) -c -(a +b ) átalakítást. f 2k 2^ \ 28, Tegyük fel, hogy (.2 + 1,2 + l ) = d > 1 (k < n), s igazoljuk, hogy

- 2k . 2 + 1

osztója

2

2n

- 1-nek. Ebből könnyen el­

■

lentmondáshoz jutunk. 30. A páratlan 31. Ha

n-k.

n = 4 ^ alakú,

akkor ln , 2n , 3°» 4 n mindegyike 3 k+1

alakú. 33« Induljunk ki a (be - ac)

pp = (be + ad) - 4abcd azonosságból.

34» Igazoljuk, hogy páratlan szám négyzete 8-cal osztva 1-et ad maradékul, s használjuk azt fel. 36. Bizonyítsuk be, hogy bármely törzsszám is legyen p, a balol­ dal és jobboldal törzstényezős felbontásában hatványkitevőjük megegyezik., 38., Igazoljuk, hogy a számrendszer alapszáma osztója kell legyen 7-nek. . 39* Hegyen a számrendszer alapszáma 10 x+y. A feltétel szerint (lOx + y)^ + 2(10x + y)2 + 3(l0x + y)+ 4 osztható 35-tel, ezért y^ + 2y2 + 3y + 4 osztható 5-tel. Igazoljuk, hogy y = 5 k+1 alakú, azaz 1 vagy 6.

3 2 Legyen lOx + y = 7x + z. Ekkor z + 2z + 3z + 4 osztható

... 7-tel. Igazoljuk, hogy z = 7k - 3 alakú.

4 1 . Vegyük észre, hogy 2.2 1-re végződik. 42. Lásd a 71-84. feladatokhoz adott útmutatást. 43. írjuk fel az egyes halmokban levő gyufákszámát rendszerben. Legyenek ezek

a^ afc_1

- 33 -

kettes szám-

g ... a1 a

,

bk V i ••• bi bo és V V i ••• C1 co /ai’ V 68 Ci

egyenlő 0 vagy 1/. Válasszuk szét a kezdő helyzetet aszerint, hogy a^ + b^ + c^, -k között van-e páratlan, vagy nincs. Nézzük meg, hogy mindén egyes lépés milyen változást okoz az 44.

ai + bi + bi összegek párosságában. Igazoljuk, hogy ha már az első 2n sorban és első 2n oszlopban álló 2n . 2n-es négyzetet kitöltöttünk, akkor az ezt tartalma­ zó 2n+1 . 2n+1-es négyzetet úgy tölthetjük ki, hogy ezen négy­ zet minden indexéhez 2n—t hozzáadunk, s ezt jobbra, ill. felfélé 2n oszloppal, ill. sorral eltoljuk, s a kimaradó 2n.2n-es négyzetet pedig az első 2n sorban és oszlopban álló négyzet mintájára töltjük ki. írjuk fel l-t és m-t kettes számrendszerben. ^ =

®k ^ - 1 ®k-2 *** alab

m

=

bk bk-l bk-2 *•* bi bo

/ait To± 0 vagy 1/ Legyen c i

0

ha a^ + b^ = 0

1

ha áj + bj a 1

vagy

2

Igazoljuk, hogy az ( + 1 sor m +. 1 oszlop metszéspontjában le­ vő mező indexe a következőkettes számrendszerben felirt szám 45.

°k ck-l °k-2**• cl c0* Vegyük figyelembe, hogy a számjegyek összege csak a tizes át­ váltás miatt csökkenhet /II?/.

46.

Legyén

N = abc

és

N ’ a számjegyek felcserélésével képzett

szám. begyük fel, hogy N* = kN hogy 47.

N* - Nosztható

k >1

egész, sbizonyítsuk

be,

9-eel, s ebből hozzunk kiellentmondást.

Ha a születési éyszámot x-szel jelöljük, akkor a ,

7 x= 13 x a

13 y + 11 11 z +

7

diophantosi egyenletrendszert kell megoldani. 48.

A feladat szerint csak a XX.sz-ban születhetett, Így az első két számjegy 1 és 9. /1936/.

- 34 -

51. Oldjuk meg

a 2x + 3y = k

diphantosi egyenletet A

adott,

17-tel osztható számot jelent/, s helyettesítsük be a kapott eredményt

9x + 5y kifejezésbe.

52. Használjuk 53«

ki a kitevők közötti kapcsolatot. Megoldás:

C4;4p)(49s0)O7;5>. Könnyen kimutatható, hogy a keresett számok legfeljebb hárora2 2 2 jegyűek lehetnek, ekkor a lOOx + 10y + z = x + y + z diophantosi egyenletet kell megoldani, ahol

0 = x, y, z = 9«

54. Légyen a keresett szám lOOOx + lOOx + lQy + y, de ekkor H A p n Így 11 A , s vegyük figyelembe, hogy -- 5— is teljes négy* zet.

:

11

56.

Határozzuk meg 1! + 21 + .31' + ... + x! utolsó két jegyét.

57.

Páros

esetén könnyen visszavezethető a feladat az 56.

z

feladatra. Ha z

=

3

-

és páratlan, akkor vizsgáljuk meg mind­

két oldalt 27-tei való oszthatóság szempontjából. 58. Vegyük figyelembe, hogy

61 > 1000. De nem lehet egyik szám

sem 5- Ekkor ugyanis z s 0 kell,; hogy legyen, s könnyen lát­ ható, hogy nincs megoldás. Nem lehet x = y = z, mert akkor 37 | x y z . Figyelembe véve a 3 |x y z adódik, hogy

x = 4,

y = 3.

feltételt is, ezután

z = 2.

59« Legyen a keresett' hiányzó szám X y z .Nyilván de ekkor x» y, á tehát

x

m

3

-

5, mert 6! > 700.

s.i.t.

x =1,

y = 4,

x, y, z

=

6,

3 • 51 > 3&0 = x y z, z = 5»

60. Ha volna triviálistól különböző megoldás, akkor x y z > 0, de ekkor kimutatható, hogy van olyan megoldás is, melyre x, y, z > 0. Keressük a megoldást

x = 206 a,

y = 2*

✓ b,

z = 2*" c alakban, ahol a, b és c páratlan számok. Hozzunk ki ellentmondást. 61. Hasonló gondolatmenettel oldhatjuk meg, mint az előzőt. 62. írjuk az egyenletet 1+z

2

2

2

= (x -1)(y -1) alakba, s mutassuk ki,

mindkét oldalról, hogy csak páratlan lehet. /Páratlan szám négyzete csak 4k + 1 alakú lehet/. Ezután keressük a megoldást x = 2*

a,

y s 2 B b,

z s 2 * c alakban.

63. Hozzuk az egyenletet (x-l4)(y-l4) s 196 alakra. - 35 -

65.

Tegyük fel, hogy a nevezők meg először

a

0 < h

=

b

=

c, s vizsgáljuk

lehetséges értékeit, majd ezeket rendre behe-

lyettesitye az egyenletbe, keressük meg b-t és c-t.

66.

a

= 4,

3, 3, 2, 2, 2, 2

b

= 4,

4, 6, 9,10,12,16

c

= 8,24,

8,72,40,24,16.

Keressük a megoldásokat

x = Pj*'

y

alakban.

=

pf

p2** ... ?£*

Nyerjük az oc^ y = Ha y > x, akkor

x . (i = l, ...» k.) s úgy x|y, azaz

eredeti egyenletbe helyettesítve adódik 67.

•'*

pk k

’

y = kx.

x =2,

y = 4,

Ezt az s az

egyenlet szimmetriájából x =4 , y = 2. Először igazoljuk az állítást a=0, b=l, majd a=l,b=0 esetben, s ebből igazoljuk tétszőleges a-ra és b-re.Lásd. a X.11 feladatot.

68.

Az állítás ekvivalens azzal, hogy nem lehet az

x

+1=2

diophantosi egyenletnek megoldása, x csak páratlan lehet. Vizs­ gáljuk meg külön, ha m páros, vagy ha n páratlan. Az utóbbinál

vegyük figyelembe, hogy

m ,m r / m—1 m—2K -i \ a + b = (a+b)Ca -a b + •■•.+

69.

írjuk az egyenletet (y-x)(y2+yx+ x ) =

91 alakba.

70.

Az állítás ekvivalens azzal, hogy a 3X + 3y = 2 . 3 x jí y diophantesi egyenletnek nem lehet nem negatív egész megoldása.

71 - 84. Útmutatásként két példa megoldását közöljük '.IRMA ■JANÓ. ÍRNAK ' Az

1=1,

;

mert a 4. oszlopból legfeljebb csak egy egyes átvi­

tele lehetséges.

I+J+ esetleges maradék a 3. oszlopból, ez

legfeljebb 1 lehet. így R csak 0 lehet, A 3-ik oszlopban csak úgy lehetséges, hogy N * 0,

igy

A * N, ha a 2-ik oszlopból van maradék.

A+l = N, s J = 9. A 2. oszlopból M + N + esetleg.,

1 - 10+A. N = A+l figyelembevételével M+ esetleg 1 = 9« H nem - 36 - '

lehet 9* iffy A+Ó > 10 • M = 8 . N nem lehet 7, mert akkor ■A = 6, Ó = 5, K = 1, tehát = 10 + K

A ^ 5,

de Ó ' =

7

és

A+Ó =

= 1 2 miatt A = 5, N =6 , Ó = 7, K = 2. Ellenöriz-

■zük. ■ x x x x x x x x :x x x x x x x

=

x 7 x x x

xxx xxx ' X X X X X X X X X X X X XX

X

Először, hogy könnyebb legyen a jelölés, az ismeretlen számje­ gyeket betűkkel jelöljük* Itt természetesen különböző betűk azonos számjegyeket is jelölhetnek. A nyilvánvalóan megegyező számjegyeket azonos betűkkel jelöljük. A B C D S F G H .: K L N T U V W

=

P 7 Q R S

Z X E Y a b c d e F í 8.1» ' j k G H

■

;

jk.GH A KLN 7-szerese Y a b, tehát háromjegyű, ezt háromjegyű számból kivonva ismét háromjegyűt kapunk. Q . KLN is háromjegyű, de ezt négyjegyűből kivonva kétjegyűt kapunk, tehát fgh > Yab. Az utolsó lépésben két jegyet vettünk le; tehát R = 0.

- 37 -

S . KLN négyjegyű, tehát nagyobb, mint fgh. Ezért

Q a 8,

S = 9. P . KLN négyjegyű P = 9. Mivel az osztó 8-szórosa kisebb, mint 1000, Így az osztó ki­ sebb, mint 125, igy

jk

=

12. Az utolsó osztó S-szorosa nem

lehet kisebb, mint 1000-12, tehát csak 124 lehet. Az osztó és hányados ismeretében felírható az osztandó is. Az osztást el­ lenőrizd láthatjuk, hogy az megfelel a fenti számnak. Megjegyzés: az ellenőrzésre akkor is szükség van, ha biztosak vagyunk eddigi következtetéseink helyességében. Ez a megoldási mód ugyanis ellenőrzés nélkül csak annyit ad, hogy más megoldása nem lehet a feladatnák. 71.

144 . 1 2

72.

73.

9567

74.

125 .25 93016

1085

42085

10652

135101

43

IO695 7 5 . 3125:25 = 125,

76. 415328:379 = 1095,

77. 113620:115 =988

78. 406527:97 = 4191, 79. 233. 80. 954, 964. Először igazoljuk, hogy háromjegyű szám

köbeúgy

kiszámítható, hogy rendre az első, második,...hetedik

is

sorba

a3 , 3a2b, 3ab2, b3 , 3(10a+b)2c, 3(10a+b)c2 , c3 értékét Írjuk, mindig egy hélyi értékkel jobbra. 81. /100489 = 317

82.

t/16818201 = 4101

83. A70569 = 413,

^175561 = 419

84. t/l8939904 = 4352 85. Vizsgáljuk meg a primszámokat 6-tal való oszthatóság szempont' jából. 86. Bizonyítsuk be,hogy 2n-l és 2n+l egyike mindig osztható 3-mal. 87»

Vegyük észre, hogy a 3Ó-nál kisebb összetett számok prímténye­ zős felbontásában a 2,3, vagy 5 egyike biztosan előfordul.

- 38 -

90.

Induljunk ki abból, hogy 5-re és 25-re igaz az állítás, s ab­ ból igazoljuk páratlan i11. páros n-re.

91.

Induljunk ki abból, hogy négy egymásutáni egész szám között mindig van 4k + 2 alakú.

92.

delöljük a számokat n-2, n-1, n, n+1, n+2-vel és használjuk fel, hogy n2 + 2 nem lehet 5-tel osztható.

93.

Gondoljuk meg, hogy négyzetszám milyen számjegyekre végződhet.

94-. igazoljuk, hogy 10n+l köbeit kapjuk meg. 95« Igazoljuk, hogy a kérdéses szám a mértani sorozat összegkép­ letét alkalmazva ( ^ 98.

Vegyük észre, hogy

3+ * ) (

alakra hozható.

= (10a + b ) 3 . 7

37/n (n-l)(n-2)(n-3)(n-á) s hogy nem lehet 99.

Legyen a szám

an an_x an_2 ...

. 1 3 .37. Tehát n = 2 .37.

a2 a^Tf alakú, s a

^ % an_i ••• a2 ax ■' ^ an an-l *** *2 al ^ tározzuk meg rendre ax a2 , ... an értékét.

egyenletból ha­

101.

Igazoljuk, hogy fennáll a

7(a-b) = 4 (c-b) egyenlet.

102.

Lásd a 25« feladatot és 9-cel, valamint 11—gyei való osztható— ság szabályát.

103.

Ha a sorozat páratlán tagszámú, akkor legyen n-k, m-k+1, n—k+2, .«., n, n+1, n+2, ..., n+k,s a számtani sorozat összeg­ képletét alkalmazva (2k+l)n = 1000. Ha a sorozat páros tagszá­ mú,

n-k+1, n-k+2, ..., n, n+1,

..., n+k, akkor k(2n+l)= 1000.

Nézzük meg mindkét esetben .1000 lehetséges felbontását. 106.

Blőször igazoljuk, hogy nem lehet egész, s ezután, hogy nem lehet tört.

IQ?.

Vizsgáljuk együtthatós,

108.

f(x)—t

109. Jelöljük

g(x) egész

e egész szám.

A megadott szám hat6*

f(x) s x g(x)+c alakban, ahol

2232 ... 2.1025 - 222 ... 2 . alakban Is ir25 jegy

25 jegy

n-nel a keresett számot. Könnyű megállapítani, hogy

első jegye 1; h, 2n, 3n, h n , 5n, 6n első jegyei különbözők, tehát a jegyei is különbözők, 0 nem fordulhat elő a jegyei kö­ zött; n utolsó jegye 7 , s az egyenlő helyi-értékü jegyek kü- 39 -

lönbözők. Ebből kiszámítható n+2n+3n+4n+5n+6n,

tehát

n

ér­

téke is. Induljunk el indirekt utón. Legyen a kérdéses szám 10a + b

110.

alakú, ahol b egyjegyű szám. Vizsgáljuk meg külön azt az eseHÍ.

, tét, amikor b páros, ill. páratlan. Igazoljuk, hogy a keresett számok csak párosak, s 44-1*6 végződőek lehetnek. Abból kiindulva, hogy 122 = 144 igazoljuk, hogy a 12-re, 62-re, 38-ra és 88-ra végződő számok kielégítik

112.

a fenti feltételeket. Hasonló gondolatmenettel, mint az előző. Használjuk fel, hogy

113.

382 444-re végződik. A feladat úgy is fogalmazható, hogy határozzuk meg azon

a

számokat, amelyekre a -a osztható 100-zal. 114.

Legyen

115.

sebb közös többszörösé N = p, 1 Pp2 /p. prim/. Bizonyítsuk , v ^ „2 < 2 ■■ ■ be , hogy (vn ) < N = n . Jelöljük á keresett számokat x-szel és y-nal, A feltétel sze­

n

a keresett szám, s ^"n-nél kisebb osztóinak legki­

rint (x+y)2 = 1 0 0 x + y = 100(x + y)- 99 y. Bevezetve a z = x+y jelölést

y =

Z

-bői

z, s igy x is. 1 16 . .Legyen egy ilyen számpár

x, y

x2-y2 = (x-y)(x+y) =

már meghatározható y és

;x

22 .52

y. Ekkor • t (1

=

t

=

9

Vizsgáljuk meg x-y-t, ill. x+y-t, 2 ill. 5-tel való osztható­ ság szempontjából. Mutassuk meg, hogy csak két esetet kell megkülönböztetni. ;

1.

x+y = 10 (¿+m ) alakú x-y = 10 l

■ alakú

x+y = 50 k

alakú

x-y = 2 t

alakú

és 2.

117.

Vizsgáljuk meg n-t 5-tel való oszthátőság szempontjából és

alkalmazzuk a binomiális tételt. - 40 -

.

118

Az állítás igy is megfogalmazható, lQOO/n101 - n , ha (n, 10)= 1.

kl9* Vizsgáljuk meg n-t 5-tel való oszthatóság szempontjából és al­ kalmazzuk a binomiális tételt. ||0. Lásd a 11?. feladatot. | n . Először határozzuk meg 2^°^® utolsó két jegyét. Használjuk fel a 119 . feladatot.

182. Először határozzuk meg j ^ ^ P -

f í )

*

-

í”-1. 1« » páros.

.(on)+(ID )+*** + (n-l) = 22*”^í ha n páratlan.

33».

*

- 45 -

35.

Határozzuk meg a*

(o) ' + "2“ (l) + “3” (2) + **' +

n+1

(n)

összeget. 36.

Határozzuk meg az

(?)*

2

G) *

(3) ♦ -

3

*- ( » ) =

2n'1- “

összeget. 3 7.

38.

Igazoljuk, hogy

ia ■♦.(■?) *(n;2)—

(r)-c í^ -(^

Az ábra szerinti úthálózat

A

pontjából

2 ^ ^ ^ ember indul el,

féJLe /, fele m irányba. Az első metszéspontba jutva mindkét csoport szétválik, fele i ,

fe­

le m irányba folytatja útját. Mindén metszés­ pontban ugyanígy szét­ válnak. Hány ember ér­ kezik az ezredik sor metszéspontjába? Vizsgáljuk meg a következő háromszöget:

1 1

1

1

l.sor

2

3

2 1

2. sor

3 6

7

6 3 1

1 1 1 4

0. sor

1016 19 16 10 4 1

3.sor 4.sor

Az n+l-ik sprban 2n+l elem áll, s mindegyiket úgy képezzük, hogy a fölötte álló elemhez hozzáadjuk az azokkal szomszédos elemeket / h a ilyen nincs, akkor a megfelelő helyre 0,-t kép­ zelünk/ jelöljük az n+1 sor elemeit B®, Bn , ...,.B^ -nel. Bi— zonyitsuk be, hogy:

- 46 -

19.

A harmadik sortól kezdve minden sorban van p,áros szám.

40.

b£

41.

(1 + X + x2 f

=

B2n”k = B° + b V x + B2 x2 + ... + B2“ x2n .

+ Bn + ••• + B2“fi = 3“. a 1. n

•/ -ffj- 1

» / ( 3J )s

vas*

2. 279999720. 3. a/ 38200;

b/ 504.

4. a/ 4374;

b/ 175; 35.

5« Először számoljuk azokat a számokat is, melyek 0-val kezdődnek. A helyes eredmény

ennek nyilván

~e lesz. A b, c, d, e ese­

tekben vegyünk adottnak 2, 3, 4 ill. 5 elemet, s nézzük meg, hogy ezekből hány Ötjegyű szám képeshető. Majd számítsuk ki,

- 47 -

hogy hányféleképpen lehet megadni 2, 3, 4 Ül. 5 számjegyet, a/

9;

b/ 1215;

c / 16200;

d/ 45360;

e/ 27216.

6 .T “7~ ö* . a/ a/ 10 * T . b/ Számítsuk ki, hogy hány 0-t is tartalmazó szám van, ( ^ • 20 . 6 !') majd azt, hogy hány 0-t nem tartalmazó hat­ jegyű szám képezhető. /33600/. 7 . 780; 12.

8. 340;

9- 26;

10.

3n-3 (2n-2) -3;

ü * 399960.

Az ötjegyű számok közül minden harmadik osztható hárommal. Szék számából vonjuk le a hatost nem tartalmazó, de hárommal osztható számúk számát.

13. 9 ; 14.a. n=13; b. n =17; .«• n =83. 1 5 . Jelölje.ak a vízszintes, bfc a függőleges irányban megtett egy­ ségnyi lépést. a/ A bástya csak szomszédos mezőre léphet

rfjyj

b/ Vagy egyszer három egységnyit, vagy kétszer két egységnyit kell lépni, tehát az al»

ax, a2 , a2, b ^ bj, b ^ b ^ b ^ bj, bx

al’ ai> ai» al’ a3* bl’ bl’ bl’bl* V bi* bi* stb. elemek permutációiról van szó. /1716 ./ c/ Számítsuk külön azokat az eseteket, amikor az egyik irány­ ban két lépést, a másikban 3 lépést teszünk, illetve amikor egyik az egyik irányban egy .lépést, a másikban 4 lépést te­ 16. "

szünk /I800+200/. Először helyezzük el a fekete és a vörös golyókat. Számoljuk külön azt az esetet, amikor a két fekete'golyó egymás mellett van. illetve nincs egymás mellett.

17.

i' Az 5 pont kijöhet: a/ 5 nyárt, 2 vesztett; b/ 4 nyert, 2 döntet­

len, 1 vesztett; c/ 3 nyert, 4 döntetlen játszmából. 18.

Az a, b, c esetekben a sorrend nem számit, számit,

19 .

a/ (|) (|);

d.e.f. esetekben

h/ (|)2,'; . c/ © 2 ; d/ (5.4)(3.2);

e/ (5.4)2;’ f/ (52)2. A feladat szerint csak az egymáshoz viszonyítva elfoglalt hely­ zet számit, igy az elsőt leültethetjük egy tetszésszerinti hely­ re. Ha a kikötést nem vesszük figyelembe, akkor 71 a, lehetséges - 4H

elhelyezések száma* Ezután számoljuk össze azt*-amikor a/mind a négy házaspár egymás mellett tfl* /96. eset/ b/ pontosan három házaspár kerül egymás mellé. (4(8.4! - 96 ) s 384) 0/ Pontosan kát házaspár kerül egymás mellé. (6(4.5! - 3.96) a 6.192 s 1152) d/ Pontosan egy házaspár ül egymás mellett. /4 2.6! - 3.192 - 3.96 - 96 > 1920./ Ezeket kivonva 7!-bél . -adódik 1488. 20.

Egy ember tetszésszerinti helyre ülhet, mondjuk egy férfi. A férfiak elhelyezkedése már megszabja a nők rendelkezésére állé helyeket. A második kérdés esetén pedig csak két elhelyezkedési lehetőséget hagy /a. 144; b/ 12./

21.

Először számoljuk meg azt* hogy hányféleképpen színezhetjük be a kockát, s azután azt, hogy a színezett kockára hányféleképpen Írhatjuk a számokat. /30.48 s 1440./

«• c9?) •

(?)d) - m -

24.

312, 2.12,

4(12).

26. 30.

Először a kitevő utolsó jegyeit határozzuk meg. /001001./ 4 - 1.

31.

Lásd a 27. és 28. feladatot.

32-33. Lásd. á 31. feladatot és alkalmazzuk a (,2jj) *'(2^ ^ ) 34.

Vegyünk n darab 1-tŐl n-ig megszámozott lapot, sebből

legyen

k számú lap piros, a többi kék. Számoljuk meg,hogyhányféle­ képpen lehet ezek közül k számú lapot kiválaztahi, ha a szí­ nekre nem vagyunk tekintettel. - g j f c - (“ ) a

35.

Alkalmazzuk az

36.

Alkalmazzuk a k (J) = n (j£j) összefüggést.

37.

Határozzuk meg az (l«)n + (l«)n+l+ ... + (l«)n*“ ben *k együtthatóját.

(lT).(T). CT) 41.

(¡^összefüggést.

(iSS).

Teljes indukció.

42-43.* Lásd a 41. feladatot.

- 49 -

'

kifejezés­

Vizsgáljuk meg az X * .g,*.1naz a keverék az első. ill* a «ásodlk fajta vasércből? 20

Két - » k é s egy bizonyáé nmekét együtt 10 aap alatt véget el. Ha 7 napi együttes munka után csak az egyik folytatja a mu -

X

2 g

9 aaplg kell dolgopnla. Héa, nap alatt végeznék

el a munkát az egyes munkások külon-kulon? 21.

kg, gőzbajé a folyén lefelé • * " ,“ H t (,, alatt A -kn-t tesz meg. Hetére,aak neg a f.lyé sebe,cégét. valamint a gőzhajó sebességét

állóvízben.

Oldjuk meg á következő egyenleteket: 22.

IX - H

+ I* .“ 2 1 = 1 .

23*

|x - .21 + IX - 31 + 1.2* - 8| =

9*

Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 24.

xy

= a

y z

= b

z x

- c ■ * V z

25*

y + z - X

z + x -

=

2

a

w _ JULI y ?

X + y - z

b

=

Z lJ

L

2

ay + bx

+ 0

xz az

yz bz + cy 27.

Oldjuk meg a

z + ay + 2

a x3

+

2 3 z+b y + b x + b s z

2 • 3

+ cy +c x + c

a

=0

0

■ ■ 0 =

egyenletrendszert, ha a, b és e különböző valós számok.

28 . Oldjuk meg az x (x

+y + z)

y (x +y ♦ z) •• z (x +y + z)

= a

•2

= b2 P s c

egyenletrendszert. 29«

Oldjuk meg az x (x

+y + z)

= a - yz

y (x

+y + z)

s b - xz

z ( x + y + z) = egyenletrendszert, ha 130.

c-xy abc > 0.

Oldjuk meg az y + z+

yz

= a

x + z+

xz

= b

x + y+

zy

= c

3gyenletrendszert,

-■55 “

31.

Oldjak meg az yz

a

ax

zX' a

by

xy

ez

*

*

egyenletrendszert, ha 32.

a, b, c > 0.

Oldjuk meg áz 2 2 x* ♦ y ss e x y z . x2 ♦ a2

ss ; b X y z

'2 2 y* ♦ %

ss a x y z

egyenletrendszert. 33.

Oldjuk meg az

2

x (y ♦ z)

a

a

y (x ♦ a)

a

z (x ♦ y)

a

b2 2 e

egyenletrendszert. Mikor oldható meg? Oldjuk még a kővetkező egyenletrendszereket* 34.

x

&

a a ♦ (y -

y^ a 2 ; z a 35.

2

b ♦ (x - z)2 . , ■ ' ,2 o ♦ (x - y)

x ♦y ♦ *

a

a

xy ♦ yz ♦ zx

a

x y i 36.

z)

a

:

0

0

x ♦y ♦z ♦u a a xy ♦ ss ♦ xu ♦ yz ♦ yu

♦zua

xyz ♦ xyu ♦ xzu ♦ ysu a • xyzu a

0

0

56-

0

37»

Oldjuk meg az Xj + *2 + **• + xn

s

a

XjXg + Xj Xj ♦ ... + X ^ + ... + x ^ j ^

+ XgX^ + XgX^ + ... + XgXn +

=

0

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X2X5 + •*» + xix2xn + X2X3X4 + + X2X3X5 + *** + ^ n - l V * *** + xn-2xn-lxn

XjXgX^ ... xQ

s

=

0

o

egyenletrendszert, ha

n > 1.

Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 38.

x3 ♦

y3 + z3 a. a3

x2 + y2 V z 2 x 39*

+y +z

a s

a2 a

.

x*1- +y^ + z^ +

a

x3

+ y3 + z3 + u3

=

a3

x2

+ y2 + z2 + u2

=

a2

x

+y +z

a

a

+ u

p 2 x - 3 xy + 2 y + x-y

40.

2

x

‘ 2 - 2 xy ♦ y r

5 x + 7y

= 0 a 0

41.Határozzuk meg az ,

x

+ y

xy - Z

2

a

2

a

1

egyenletrendszer valós gyökeit. Diszkutáljuk és oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:

57 -

42. ■

2

v ■ax + y ■« ■a ■

43.

44.

45.

x ♦ ay

=

X*

ax ♦ y

a

a^

x 4* ay

» .1. ■

ax + y + *

* 1

x ♦ ay + z

a

a

x + y + az

a

a

2

Bizonyítsuk be, hogy ha

a, b és c egy háromszög oldalai,

akkor a b2x2 + (b2 + c2 - *2 ) x + c2

a

0

egyenletnek nem lehet valós gyöke.

46.

Milyen összefüggésnek kell fennállni az o^, rt2* 0,

4

2

W

96.

.

a

2

x

-J- .

=

b'

a

•'w ■'

lóg x lóg X

& 98.

N*/

lóg lóg lóg X

a 97.

3

.W

a

lóg b.

2

lóg x + lóg a

a

1.

Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 99.

.

100

*£ 2, lóg x - lóg y

a 0

X2 - 5 y2 + 4

a 0.

V u lóg u + lóg v

a

U2 + V

.

101

a

12.

3

lóg (X - y)

.

a

1

a

0.

\ 3 lóg (x + y)

102

2

3

3

x log X # y iog y =

243

x og y . y log x a

.

103

y

a

,

1 0 d g *)lg *

lg 2 x

2/

(lg lg x)2

= (lg y) • 10

(lg x)

104.

81.

it

4,

lóg x + lóg y ♦ lóg z

a

2

e? - 65 -

■ 3 ¿ 2 íag y + ¿og * +*íog *

*

2

è ¿6 log X + log X + log y

«

2.

Oldjuk meg a következő egyenleteket.

106.

72x - 6 . 7* + 5

s

0

107.

4* - 9 . 2X + 8

s

0

108.

52x“1 + 5“X+1

*

250.

109.

8*+1

- 82*"1

»

30.

110.

g2«

* 22“x

=

15.

111.

42x+1 + 22jw6

112.

9X V 6 X

113.

3 .V

114.

7?- 7?

115.

-

»

4 . S^1

4X

+ 2 . 9* -

e

5 » 6X

74.

Oldjuk M g à kövatkexí* egyenlő tot:

( ^ -

/ï)*.eU + f t ) X

.

4

Oldjuk ing a követke*« egyenlőtren&n sereket t 116.

3X . 5*

*

75.

3y . 5X

*

*5.

- 66 -

117.

xy

*

9

* 118.

119*

Z

V ?

=

V?

'.,3

X2.

32 X f &

82**1 X

^

32 . 2**"1

5 . ^

.

120

*r • * •y

2

.

121

642 x + 642y ,= 64x+ y

.

122

x2y

s

=

* 2y + 5

123.

124.

12

4 (z.

16 ♦ 6 . x y = y . xy + 5 y2 .

x+y 9 . 5 * + 7 . 2‘

457

6 . 5r - 1 4 . 2X+y

3 -8 9 0

3* . 2y

s

576.

a

îo g ( y - X ) 3

4.

6? -

125.

xy '

126.

=40

, l8S ,

lóg2 x

4.

lg2

lg x - lg y 127.

aux by xy

128.

y

=

9

' 3 y

129.

=

y =

7

= 2

ab

1

=

x

' 2 3 x .

xx+y

=

ya

yx+y

=

x^a

a > 0,

x, y > 0.

Oldjuk meg a következő egyenletets 130.

,/fx - 2)2- + V cx + l)2

=

/(x + 2)2

131.

/ x2 - 4x + 4 - -/ x 2 - 6x + 9

132.

Vx + l + f x - 1

=

1.

133.

/x + 1 - /x - 1

=

1.

1

134.

/ 4x + 2

135.

^4 - x + 1/5 + x

+ l/4x - 2

=

=

3.

- 68

4.

=

/i 2 - 2x + 1.

+ VS + X

136,

V 25 - X

137.

V X - l/x - 2

138."

V x + 2 + 2 l/x + 1

139.

X2 + 4x - 8 V & T + 20

140.

x + 8Vr7

141.

5* - 7x2 + 8 Y^7x 2 - 5* + 1

142.

x2 + 5x + 4, =

143.

(x + 5)(x - 2) + 3 Vx

144.

X + /"x”+ V x + 2 + l/x2 + 2x

145.

3 / x + 45 -

■ ■" j 146.

147.

\1 1 + G

+ V x + Vx - 2

-

+

:=. 2.

2.

=

♦ /x + 2 - 2 Vx +

=

T T

u

=

°*

=

0.

=

8.

5 / X2 ♦ 5x + 28.

x + 3

=

*

0.

3.

3 x - 16

=

1.

/i - /1T =

2.

\/3 - x + /x - 2

1 ''

V3 - x - Vx - 2

5 - 2x

148.

Y 5 + x + 4 /x + 1

=

149."

Yx + 5 - 4 Vx + 1

+ V x + 2 - 2 Vx + 1

2 + V x + 1.

1 5 0 .’

- 69 -

=

1.

2.

151»

Az x változó moly valós értékel mellett.érvényesek a kóvetkezS egyenlőségek: «■■■inii

i

i

f

*

a/Vx ♦ / ¡ T - T

"' •' -flüsmüS33BMC

.

+ Zx - /i k - i - V a .

/ '■ -^tbbbbmwbbb X + /¿x - .1

+ / x *'/■

TT/zx^T

+ Zx -

ít - 1 = 1 .

-

i =

2.

Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket* 152.

x + y

\l V t 153.

154.

■

10

+ 1/"í- S V X

■

Vz

*

7 7

=

‘ /t

.

Vt

3 . 5.

FF *FF

35

1 +

■

j» fxy

78. Oldjuk meg a következő egyenleteket: 155.

sin (x-60°)

156.

sin x + oos x

*

157.

sin x + cos x

s

158.

sin 3x +

159.

cos x - sin x

sós

=

0os(x+3Ö°).

3x s

sin x 1.

3 /2. 1.

- 70-

160.

sin x + ses x

* / “f“ •

.

sla^ -í— + fios^ -í—

162

.

.6 6 sia x t cos x

163.

à i sla x + «es x + sia 2x -

164.

4 sia x - ces x

165.

sla x + cos x

166.

3 cos x - sia x - s i n 2x

167.

SOS !x + 3 sin*x + 2

168.

2 ■' 2 6 sia x + 3 sia x eos x - 5 c e s x

169.

sin2x +

170.

oes 3x + 2 eos x

171.

eos 4«

172.

sia x ♦ V T ces x

173.

«os x + «os 2k + eos 3x + eos 4x

3

174 ,

sia x + s|a 8x + sia 3x + sia 4*

3

161

4

il.

'2

=

-4- .

* .ses 4x.

s

eos 4x.

2

cqs2x

3

s

0.

3

sia x ces x

1.

2.

s

sia x oes x.

b

0.

s

-2 «os x.

3

1.

-7 1 -

0.

175*

sin ( x * 30°) '+ cos ( x + 60°) =

176.

sin x + sin Zx + sin 3x

■177?'

cos 2x - cos 8x +^cos 6x

178.

cos x -

179.

sin 5x t sin 2

180.

sin x sin

s sin

3x sin 5x.

18f‘ r-

¿os x sin 7x

s cos

3x sin 5x.

182.

4 sin x

sin 2x sin 3x

183.

tg (“^ "

+ x) + tg x - 2

184.

ctg x V V V 'ccs x

185.

sin^x (l + ctg x.) + cos^x (1 +.tg x ) s cos 2x.

186.

sin^x cos 3x + sin 3x cos^x

18?.

tg 3x - (tg x + tg 2x ) s

1*88.

1 ♦ sin x + cos x

189.

(l - tg x)(l

cos 2x s

=

1 + cos 2x.

cos x + cos 2x + cos 3x. 1.

sin 3x.

+ 2 sin2x

=

s

sl.

s

sin 4x.

s

0.

2-

=

•

0.

2cos (-jy— - 45° ) .

+ sin 2x)

- 72 -

s

1 + tg x.

Útmutatások és eredmények a IV. fejezethez. 1.

Az

egyenlet igy Is Írható:

Hozzuk az egyes zárójelés kifejezéseket közös nevezőre, s alakítsuk a baloldalt szorzattá. Ha

- ¿ r * - ú r * ~ A r 2.

Az

*

0

akkor

x = ab + *.c +

egyenlet igy is irható: ( x-a A be

1 b

_ ”

_1 A “c /

/ x-b _ \ ;ac “

1 _ a “

1 \ / x-c ^ 1_\ c/ + v ab “ a "* b )

3 . O-ra redukálás után alakítsuk a baloldalt szorzattá. ha- L .+ -L -+ - ± - ..- - ± - -

x = a+b+c,

7*

. X1

=

x2 :*

8 - 9.

.

10

+ a2 +

o.

a3 +

ai + a2 - a3 + CM

a3

a2 - a3 + S ; .

Lásd az 3. feladatot.

Adjuk össze .az egyenleteket, illetve vonjuk ki az elsőből a másodikat, a másodikból a harmadikat, s.i.t.

11.

Az egyenleteket összeadva, ill. összeszorozva igazoljuk, hogy a megoldhatóságnak szükséges feltételé, hogy a+b+c+abc = 0 a+b+c+abc = 0

teljesülése esetén nem lehet a, b és c mind­

egyike 1. Mondjuk c £ 1. A második és harmadik egyenletből

Alakitsuk á baloldalakat .polinotnmá és először az x+y, illetve xy értékét határozzuk meg.

3{ z a-b + ^ 31^ 2~a-b)t xr

=

y2 =

x2

=

yl *

51.

Rendre

2 fa-b 3 3^2a-b

yz-, xz-, xy-nal osztva, az a-t, b-t és c-t tartalmazó

tagokat a jobboldalra rendezve, a kapott egyenletrendszerből küszöböljük ki.,x-t, y-t, és z-t. a2 + b2 + c2 — 2 abc, s 52. 55.

1.

; 53. 45 km/ó és 60 km/Ó; 54. 24 ill. 36 nap;

. a-b

; 56. 6 ill. 9 óra; ’

57. 40, ill. 60

tojást.

58-62. Használjuk fel a gyökök és együtthatók közti összefüggést. 64-66. Használjuk fel a gyökök és együtthatók közti összefüggést.

64/á. 65.

p = - -J" ! 64/b.

Pi = - “ a“ » *2 *

P 2 acy - ( b - 2ac)y + ac = 0.

- 76 -

66.

a^y2 + (b2 - 3 abc)y +

=

0.

68-69. Használjuk fél a gyökök ás együtthatók közötti összefüggést. 70.

Legyenek a gyökök

a-3d,

a-d,

á+d,

a+3d.

V

72.

Páratlan n-re.

74.

Tekintsük x-etf y-t és z-t egy hamadfoku egyéniét gyökeinek, s igazoljuk, hogy a mondott feltételek mellett a két egyenlet együtthatói csak egy konstans szorzóban különbözhetnek.

75-

írjuk az egyenletet: Z f 2

% xZ f 1

1

\ •

1 2

. . „ . _2\2

alakba, s vezessük be uj ismeretlenként az y = x + x1 = 1 +

3 +V 3 + 2/7

x2

=

-t.

1 +l/T - /í +-2./T .

76.

A1 Osszuk x —nél és vezessük be az y s -j— + x + 1 helyettesítést.

77.

Alkalmazzuk a gyökök és együtthatók

79«

írjuk fel a gyököket, s fejezzük ki rozat differenciája/,

83.

x^ = 1,

» . . i á 8,

x2 = -tj— ¿ k í ; k; s

8 lóg 450 b 2,9379,

8 lóg 40

93.

x^

96»

Lásd az I.36.feladatot, /x = a./

99.

Lásd az I.56.feladatot

100.

x2

=

a

./

0, ¿ 1 ,

Nincs valós gyöke. ■_ -!t— a ,

d-t, ill. 3d-t./d a so­

/p = 3 ; - ^

89,

s

közötti összefüggéseket.

=

+ 2, . . .

1,774.

-i2 .

/ (^; 2), (1;1), ■: V-' Az első egyenletet oldjuk meg lóg u -ra.

- 77 -

101.

írjuk át az egyenleteket hatványalakba. ( V

102.

- 1 + /F . 1 - ( I .) 2 ’ 2 / 3 . 3 ■ Vezessük be a lóg x - u, lóg y = v helyettesitést,

104.

Térjünk át 10-es alapú logaritmusra. . . 'x,— . 112-114. Osszunk végig 4x-szel, ill. V4 -gyei. 115.

/2- { J -at fejezzük ki /2 + I Y x

segítségével.

1* 2

=

lg(fÍ"+ 1) - lg 2 118.

Az első egyenletben 2, a másodikban 3 kitevőjét hasonlítsuk össze. Az igy kapott egyenletek közül az elsőt oldjuk meg . ra.

120.

y Emeljük az első egyenletet köbre.

121.

Vezessük be az

u = 64X , v = 64y

122. Oldjuk meg az első egyenletet 123. Vezessük be az

u s 5*.

helyettesitést.

xy-ra.

y = 2x+y helyettesitést.

124. A második egyenletet Írjuk hatványaiakba. 125.

Logaritmáljuk mind a két egyenletet, s vezessük be az u = lg x,

v = lg y

helyettesitést. /(4; 10), (10; 4)/

12?.

Logaritmáljuk az első egyenletet./ (1;1), (rog"a~ 'I g

129.

Az első egyénletet emeljük x + y, a másodikat pedig"a”

b 1/ ' hat­

ványra, s Így megkapjuk x + y értékét.

(1; 1), (- “J“ + / “Í"' + 2a 1 ~2~ + 2a - / - £ “ ♦ 2a) 138. Alakítsuk át a gyökjel alatti kifejezéseket egy-egy kéttagú kifejezés négyzetévé 139.

-1=

x

=

0*

írjuk az egyenletet (x-2)2 *.(/Qx - 4)2 . -

78 -

■■

=

0

alakba.

8

140.

Vezessük be az x = y

141.

Vezessük be az y2 = ?x2 - 5 x + 1 helyettesítést. 2 2 Vezessük be az y = x + 5x + 28 helyettesítést.

142. 143. 144.

helyettesítést.

Vezessük be az y2 = x2 + 3x helyettesítést. t Szorozzuk be kettővel, s vezessük be az y = f x +V x + 2 helyettesítést.

145*

Alkalmazzuk az (a-b)^ s a^ . 3ab (a-b) -b^

146.

Alkalmazzuk az (a+b)^ = s? + 3ab(a+b) + b-5 azonosságot.

14?.

Gyöktelenitsük a nevezőt.

148.

Vegyük észre, hogy a gyökjel alatti kifejezés négyzete a jobboldalnak,

149.

azonosságot.

x

= -1.

Alakítsuk a gyökjel alatti kifejezéseket égy-egy kéttagú ki­ fejezés négyzetévé.

0

=

x

=

3

ill.

6,25

=

x

=

8.

151.* Vizsgáljuk meg a baloldal négyzetét á/ 152.

=x

=

1

b/

nincsmegoldása,

c/

153.

meg a második egyenletet -ra. V■ 5 _ y. Vezessük be az n = y x, vs-V y helyettesítést.

154.

Oldjuk meg először x + y -ra és /xy-ra.

155.

‘^ T * kJT

156.

x =

x =

-2— .

Oldjuk

k r 0,

+ 1,

+.k^r ;

2, ...

+ kar

k * 0, + 1, +

2, ...

157-165. Legtöbbször célra vezetnek a sin2ot + cos2oi=l, a sin 2ot at 2 sinot cosot ságok.

és cos 2«. » cos2ot - sin2«, azonos­

157.

Emeljük négyzetre, x = k . 2 X , ~

158.

x = Tg- + k

■159-

Emeljük négyzetre,

k = 0, ~± 1,

+ k . 2 JT k = 0, + 1, + 2

+. 2, ,..

x = k.21,

- 79 -

2JÚ + k 2 %

k = 0, +1, + 2,

160. 161.

Y2 + k 2 X

* k 2 %;

x *•

k a 0, +, 1, .+, 2, ...

sin2 - y ~ + cos2 - y - 1, - y - + 3 k'X JTT+ 3k,

2 X + 3 k X k = 0, ± 1, + 2,

162.- x = -f" + k X , -y- + k X , k. 3 0f + l'f 2| 163 .

X =

164.

1g' 1 + k X ,

165.

x- =

166-169, S

j y + kX

y - + k X

* "3^ +kar

•e• ,

“f j p + kar

k = 0,

± 1, 2

+. 2, ...

k = 0, +, 11 ¿ 2* .*•

k = 0, ± 1 » +. 2, ...

; - y - +k X

169. - y + k X

k = 0, + 1,

+ 2, ...

;-

arc tg - | y + k X k = 0, ¿ 1 , + 2, ...

;

arc tg

Lásd 1.74.

+ k X k = 0, +. 1, i 2, ..,

x* - y + k X

5-y

+ kX ,

*

kff

,3 0, ^ 1 f'i 2|

Alakítsuk cos 2 x-ben másodfokú egyeriletté.

x s y + kX, k s Of 172.

...

Of ^ 1« + g, #e»

168.

171*

3 kX,

Osszuk végigcos2ol -val. 166. £ + k - arc tg 3 + k X k =

kX

k

+ kX

+ k 3T , (2k + 1)

k -y -

167.

170.

,^ v +

+

k X ,^ + kX, - y + kX

If + 2, •••

Vegyük észre, hogy f } = tg - y ás szorozzuk végig az egyen'X I letet cos ■y* = -y.-del.

- 80 -

-

xa-|-+k2X, 173.

Lásd 1.71.

l i y - + k 2*'

X a - y ♦ k 2 X , 2JL + k 2 X , - y + k 2 X ,

2 y + k2X , X + k 2 X , k ® 0f ^ 11 174.

^

+ k 2 X ,2 J L + k 2 X

2| •••

Lásd 1.69 és 71. k ss Of ^ l f

k a 0, ± l , £ 2, ...

x m;& - k , X ( 2 k + 1) , - y (2 k + 1) .

2 j‘ •••

175.

x = - y + k X , y - + k 2 X , ■5^- + k 2 X

176.

Alkalmazzunk sin x + sin 3x 1.69 111. 71-t. k S Oy -HK 1|

177.

cos x + cos 3x-re az

+ 2 kX , ^

+ 2 k X ,

* k y

2y |é«

Lásd 1.71 és cos 8 x a cos2 4 x - sin2 4 x. x *

178.

x s f

111.

k s 0, £ 1, +_ 2 ...

0

(2k + 1),

j

+ kX , j

+ k X ^k * 0, ¿ 1 ,

^ 2, ...

Alkalmazzuk I . 72-t és a sin 2 X a 2

sin «c. cos ol azonosságot

slá “jf“ - cos ^-2i - cos ( ~ y -

- cos

kalmazzuk 1 . 72-t.

x a ^ - k ;

-re ismét al­

- y (4 k-1); - y (4 k+1)

k a Ó, £ 1, £ 2, ... 179.

Lásd 1.69. feladatot,

x = - y (2 k+1);

k 3 0, ¿ 1 , Jt 2#

* 81 -

■

y

k + (_ijk . - | Í

x > - y k . k a 0, + 1, £ 2, ...

180.

Lásd 1.72.

181.

Lásd 1.69. -fr k J -§- ( z k+l)

182.

Lásd 1.72, és a sin 2ol = 2 sin oc cos ot x = - | - k ; -f-(2 k+1)

183. arctg (2 £ ' Í S ' ) * k t k x

k = 0,+ 1, + 2, ... .

k = 0,

+ 1, + 2, ...

k a 0,

+, 1, +, 2, ...

.

184.

x : k f + (-1)

185.

Mindkét oldalon emeljük ki sin x + cos x-t.

186.

Lásd az 1.73« és 74. feladatot, k s .0|

■IS?;

x =

-

jj"

k = 0, +, lf ¿ 2 fv*.

Fejezzünk ki mindent cos - y

és

sin -jj—

segítségével,

- y + k 4 X ; k a 0, + 1, £ 2, .. .

Szorozzunk végig cos x-szel és alkalmazzuk a sin 2'«k = 2 2 a 2 sinoc cos ot és cos 2ct a cos 0

(i = 1 , 2, ..., n)

akkor < -

*1 * a2 > -*■* + aB b, ♦ b2 ♦ . . . . b„

< -

•

6.

Bizonyítsuk be, hogy ha ' “i .

fT l

í

i ~

i

M

> 0, n^

természetes szám,

1, 2, ..., k)

akkor n.+n_+...+n.


0

Bizonyítsuk be, hogy al “Z— 2

9«

y.a^ &2 •••

Bizonyítsuk be, hogy a +

8.

/------------------ — -

1

“

a2 an > + ~Z— + ... + -r— =n, **3 1

ha

a. > 0

1 = 1, 2 , . . . , n

Bizonyítsuk be, hogy 6 (ax + a2 + ... + an)(-j- + - i r + *** + ”5“ ) * 1 z n ^ 0

10.

i

—

1| 2f ••• | &•

.Bizonyítsuk be, hogy (a + b)(b + c)(c + a)

11.

= 8

abc

a, b, c > 0.

Bizonyítsuk be, hogy (1 + aj) ( 1 + a2) ... (1 + an ) a ha

a^ > 0 ( 1 a l,2,...,n) és

2** ,

a^a2 ... afl = 1

/n természetes

szám/ 12..

ha

Bizonyítsuk be, hogy a — b+c

■ b b_______________ __ o > 3 ♦ ",T:v ~ÍT" a, b, c > 0. + c+a + + ~™.v a+b 1 = " 2

- 84 -

13.

Bizonyítsuk be, hogy

al a2 .*. an ha 14.

_n n n al t a2 + ••• + an ”” n

< =

n természetes szám,

=

0 (i =1,2,

a

> °»b >

= ” a+b”

»

**a

egyenlőség akkor és csak akkor, ha

Q ^ a

>

a + a^ + ... + anr* ha

a> 0

és,

n >

a = b.

f

n + 1 n - 1

1

Bizonyítsuk be, hogyha

T 2^ a < - 1 + a .i.J ,„. > I 1 + a 17.

0

Bizonyítsuk be, hogy 2 1 + a + a

16.

, n)

Bizonyítsuk be, hogy Vab

15.

*

természetes szám.

0 < a < 1 , akkor

- K , ----.77 -

Hely tört értéke növekszik, ha számlálójukat és nevezőjüket egyaránt 1-gyel növeljük?

18*

Az a^, Sg, ..., aQ pozitív számok harmonikus közepének nevez­ zük azt a h számot, melyet a^, ág, ..., aQ mindegyike helyére betéve ez - - + + .... + — — összeg nem változik. n. 2 n Bizonyítsuk be, hogy a^, a^ , ..., aQ harmonikus közepe kisebb vagy egyenlő ugyanezen számok mértani közepénél. Mikor áll fenn az egyenlőség?

19.

Bizonyítsuk be, hogy (albi + a2b2 + ... + a ^ n ) 2 = l ( a j + a| + ... + a^)(b2 + b^ + ... + b* ) . - 85 -

Egyenlőség akkor és csak akkor, ha al ■*1 20.

a2 =

=

b2

'

"

_fn_ bn

Bizonyítsuk be, hogy al + a2 + ••• + a„

21.

Igazoljuk, hogy

22.

Igazoljuk, hogy

= V ® (a^ + ag + ... + aQ )

(X+"H 1 + o(..l , ha oL > Ö racionális szám.

és

és ^ > 1

;

Legyen

Bizonyítsuk be, hogy

•

Un+^> ün .

2?.* Bizonyítsuk be, hogy (l + ut)^< "Y^ o t X

? cL > 0 v»l6«*Jl>0 racionális Szám é t e l < 1/

- 86-

28.

Bizonyítsuk be, hogy

n

n+1--------

V n> 29«

yn + 1

fn

3

természetes szám

ha n

>

1

természetes szám

n > Í n +1,

Bizonyítsuk be, hogy

£

+ a2 + ... + an)

2 . x2 < + bn) =

* * 1 * — '14 *

= V al » " l

31.

=

Bizonyítsuk be, hogy n-1 ■

30.

> , ha n

bn •

Bizonyítsuk be, hogy ___ + cos t

< 3 s ■J

. +

^ sin t

< a

cos 2t +----- jp—

3

cos 2t ¡£

,v és

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket: 32. a/ b/ c/ , . d/ / 33.

3 ax > b > '2 ax + b >

ax f 2 b 2 bx + a

2■ 1 2 a x + ab. > 3 a x + be x-1 \ x+1 x + - Z T T > “S S T ax + b a - b

>

ax-b a

a/

x2 -

5x + 6 > 0

b/

x2 +5x -14 = 0

o/

j- x2

d/

x2 - lOx +

e/

x2 +

4x + 5 < 0

f/

3 x2

+ 2x+ 3 > 0

+ 3x + b < 0 25 > 0

- ax-

34.

A p paraméter milyen értéke mellett lesz az x2 - (8 p - 2) x + 15 p2 - 2 p - ? kifejezés az

35.

x

bármely értékére pozitív.

A p paraméter milyen értéke mellett lesz két pozitív gyöke 2

(p-1) x

- 2 p x + p+ 3

=

0

egyenletnek? 36.

A

paraméter milyen értéke esetén lesz a (2 p-1) x2 + (7 P + 2) x - 3 p

kifejezés az

x

tetszőleges értékére nagyobb, mint a

(p + 3) x2 + 5 (p + 1) x - A (p + 1) kifejezés? ' Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket t 37.

38.

a/

(x + 2) (x - 1) (x - 3)>0.

b/

(x + 3) (x + 2) (x - 1) (x -3) > 0,

c/

(x + 3) (x - 2) (x - 3 ) < 0 .

d/

(x + 3) (x + 2) (x - l)2 •(*•- 2>(x2 + 3x + 5 > > 0.

e/

( x > 1) (x2- 1) (x3- 1) (x* - 1)< 0.

f/

(x3- 1) (x - 1) 5 0 .

g/

x * - 13 x2 + 36 > 0.

h/

25 x * + 121 x2 - 20 > 0.

a/

.

c/

c/

23L, t 5.... >

3 _ jx

■

0.

x

- 7x +10

85/

h/

1 x + 1

Oldjuk meg a követkéz8 egyenlőtlenség rendszereket! a/

y < x - 1;

y > 2x- 3. b/

2y

3x > 4 '

2x - y > 8. c/

xi - y > 1 y - x > 1.

d/

3x + 5y > 7 4x ♦ 5y < 9.

e/

y < x + 1

y < -x ♦ 9 y > “5“ x-1 f/

y


- 1 - x

y

>

x - 1.

3x + 2y >

7

4y + 2x > 3 . 40.

a/

2

y

> x

x > y2 b/

2

y > x - 5x + 6

y < ^ / c/

^ X >

2 y

x < 2. d/

x < y2 -x

=

y2

y < 4. 41.

Bizonyítsuk be, hogy f(x> > g(x) > 0 egyenlőtlenség ekvi2 2 válens az f(x) > g(x) ; f (x) > 0, g(x) > 0 egyenlőtli ség rendszerrel. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségekett

42.

a/

/"^2'T l ~ >

b/

l/2x + 1

+ l/x + 1 < 1 .

c/

l/(x + 2) (x - 5) < 8 - x.

d/

/9 - x2 + 1/6x - x2 > 3.

e/

Vx + 6 > V x + 1

+ V2x - 5...

- 90 -

43.

t/

/?x - 13

a/

|x - 2 1 > 1.

b/

I2x - 3 1 < 2.

c/

|2x + 31 > |4x - 3| . x + 2 Ix - 1 1

d/ 44.

A

- V 3x - 19 > /5x - 27

p

£

1.

paraméter milyen értéke mellett igaz tetszőleges x-re,

hogy x

2

x

p x

+ 1

< 3 7

+ x + 1

Útmutatások és eredmények az V. fejezethez 2.

Először bizonyítsuk be val, majd 2k>1
k*1 ‘

Alkosson x1t x9, ..., x ■ számtani sorozatot,s legyen I C ** o o 2 2 x9 + *.. + X« xx + x2 + ••• + Xjj s aj Xj + Xg n = b . Határozzuk meg a sorozatot.

12.

Alkosson aj, a2 , ..., aQ számtani sorozatot. Bizonyítsuk bé, hogy 1

1

V alan 13.

+

1

a?an-l tt2“n-l + *“

2

/1

+ anal ' al+an Val

1

*_LY

a2

an J

Határozzuk meg az n S n

=

összeget, ha

2 1=1

aí ai+l ai+2 ai + ai+2

aj., a2, .... aft számtani sorozatot alkot.

aritmetikai sorozatban adott affl+n= Aj

Egy

15.

an = ? ■ Határozzuk meg azt a számtani sorozatot, amelyben bármely n-re 2 az első n tag összege 3 0 •

16.

Igazoljuk, hogy ha

aj, a2, ..., an

affl_n = B;

affl =■ 7

14.

számtani sprozatot alkot,

akkor 1 al a2

+

'1_ a2 a3

+. • '

.

L ----- — S=1— . an-l an al an

17. Bizonyítsuk be, hogy ha egy aritmetikai sorozatban sn = sm m 4 n, akkor s s 0 /s. az első k tag összegét jelenti/, m+n — 98 -

18.

Bizonyítsuk be, hogy a pozitív tagú mértani sorozatban bármely tag a hozzá szimmetrikusan elhelyezkedői tagók mértani közepe.

19.

Bizonyítsuk be, hogy egy pozitív tagú mértani sorozatban két szomszédos tag között vonalat huzva, a vonaltól szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepe állandó.

20.

Egy pozitív tagú számtani, illetve mértani sorozat tagjainak a száma, első és utolsó tagja megegyezik. Melyik sorozat öszszege lesz nagyobb?

21.

Egy pozitív tagú számtani sorozat első, ill. második tagja megegyezik egy pozitiv tagú mértani sorozat első, ill. második tagjával. Bizonyítsuk be, hogy a mértani sorozat tagjai nem ki­

• 22.

sebbek a számtani sorozat megfelelő tagjainál. ' •' ■ 1 Képezzen a^, a2, ..., aQ mértani sorozatot, s legyen s = a, + a- + ... + a . Határozzuk meg az n x c n + sn összegett

23.

Alkosson a,, a0 , ..., 1 2 , + ... + a és s a — n n

n.

"a s, + s„ + ... + 1 c.

a_ mértani sorozatot. Az s„ = a. + a_ + 1n 1 1 “ 1 2 — + — — -+ ... + ismeretében határózax a2 an

zuk meg a P a a^ a2 ... aQ szorzatot. 2W.

Legyenek a^, a2 ,

aQ pozitiv valós számok, (n

=3).

Bizo­

nyítsuk be, hogy / 2 2 Vai + a2 +

2 \/ 2 2 2 \ > + an-l)(a2 + a3 + ••• + an ) = 2

= (al a2 + a2 a3 + “ * + an-l an) és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a^, a2,...an geometriai sorozatot alkot. 25.

Határozzuk meg az Sn a (a+b) + (a^+ab+b^) + ... + (£.n+an“’*b+ ... + bn ) összeget.

-

99

26.- Egy geometriai sorozat első három tagjárnak összege 26, ugyan­ ezen tagok négyzeteinek összege 364. Melyik ez a sorozat? 2?.

Egy geometriai sorozat első négy tagjának összege 30, ugyan­ ezen tagok négyzetének összége 340. Határozzuk meg a sorozatot!

28.

Az 1, x, x , ..., ,x

geometriai sorozatban a páratlan indexű

tagok szorzata 64, a párosaké 32. Határozzuk meg a sorozatot! 29.

S (k) egy n tagú, 1 kezdőtagu, k kvóciensü mértani

Jelöljön

.

sorozatot. Bizonyítsuk be, hogy Sn(D = 30.

+ Sn (2) + 2 Sn(3) + 3 Sn(4) + ... + (n-1) Sn (n) =

ln ♦ 2n ♦ 3n + ... ♦ nn .

Két mértani sorozat első tagja egyenlő, a második, harmadik és negyedik tagok különbsége rendre .

c >•

_ _JL_ “ 4 »

16

Melyik ez a két mértani sorozat? 31.

Egy mértani sorozat első és negyedik tagjának összege 7, máso­ dik és harmadik tagjának összege 6. Határozzuk meg a sorozatot.

32.

Határozzuk még azt a mértani sorozatot« melyben az első és ne­ gyedik tag összege 27, a második és harmadik tag szorzata ?2. Határozzuk meg a következő összegeket:

33.

Sn = 1-2+3-4 + ... + c-1) “ - 1

34.

Sft = l2 + 32 + 52 + ... + (2 n-1)2

3 5.

Sn = l2-22+32-42 ♦ ... + (-l)n+1

36.

Sn = 1.2+2.3 + ... + n (n+1 ).

37.

S

n

=

V3

* 2

3

+ ...

+

n

3

.

- 100 -

n2

38.

Sn = 2.12 + 3.22 + ... .+ (n+1) n2.

39.

Sn = 1 2- 3 2+52- z 2 V . . .

40.

Sn = x + 2x2 + 3*^ + ... + n xn.

41.

+ ( 4 n -3 )2 - ( 4 n - l ) 2 .

Az a^, ag, ..., an számtani, bj, bg, ..., bn pedig mértani so­ rozatot képez. Adjuk meg az S„ = a.b, + a0bw + ... + a b n ii n n szegeta számtani és mértani sorozat jellemző adataival. /Pl.a^, d,

42.

bj, q, n függvényeként./

Határozzuk meg az l4 1.3

Sn * összeget. 43.

ősz-

24 n4 + 3.5 + " • * (2 n-l)(2 n+1)

■

Határozzuk meg a

2?9

+

9^16 +

16^23

+ "•

sorozat n-ik tagját és az elsS n tagjának összegét. 44.

Határozzuk meg az

1, 11, 111, ... sorozat első n tagjának

összegét. 45.

Határozzuk meg 2, 10, 16, 32, 66, 80, 112, 130, 1?0, ... so­ rozat n-ik tágját.

46.

Bizonyítsuk be, hogy ha sn = l+q+q2+ ... + q" + •.. +

“2^ )

és

Sn = 1 + -i|9- + (-í±3^ +

* akkor

Fibonacci sorozat Az u^ = Ug a 1

un+^ = un + un_1

n > 2

rekurzív definícióval

megadott sorozatot Fibonacci sorozatnak nevezzük.

- 101 -

47.

Határozzuk meg az

u^ + Ug + ... + un

48.

Határozzuk meg az

ug + u4 + ••". + Ugn összeget!

49.

Bizonyítsuk be, hógy ul_u2+u3"u4 + •** +

50.

=

=

Bizonyítsuk be, hogy = ( - 1 )n . •

Bizonyítsuk be, hogy un

54.

~

4

• ha

n

2*

•

n ’ 1 '

Bizonyítsuk be', hogy U1 u2 + u2 u3 + •** + u2n-l u2n*

Bizonyítsuk be, hogy u2n “

57.

* í-1)1" * 4

-

u2n = 56.

un+l un-l + k + 1

Ezt bizonyítsuk n-re vonatkozó teljes indukcióval,

... /2/

n a k + 2-

re az 51. feladat felhasználásával könnyen Igazolható. Tegyük fel ezután, hogy valamely suk

n

n > k + 1

már /2/ igaz ás bizonyít,

helyett n+1 -re az állítást, azaz, hogy

Ehhez használjuk fej,/ hogy / l / tetszőleges hát n+l-re is, azaz

n > k-ra igaz,' te

/V /l/ ás / V összegéből levonva /2/—t, aFibonacci sorozat defini­ áló egyenlet felhasználásával adódik. 55»

Teljes-indukció.

56.

Lásd az 51» feladatot.

57.

Lásd az 51» ás 56» feladatot.

61.

Lásd az 59. és 60. feladatot.

62.

Lásd a 61. feladatot.

63. Legyen

h s m k .Végezzük a bizonyítást k szerinti teljes

Indukcióval. Alkalmazzuk az 51. feladátot. 6^.

Lásd a 63.. feladatot.

65.

Indirekt utón teljes indukcióval.

- 10? -

VIII, TELJES INDUKCIÓ Igazoljuk a következő egyenlőségek helyességét:

1

i x*

+ +

^-.i— +... + 2.3

n(a+l)

=

— ^r" n+1

/» természetes szám/

■1 I X

2-

l 1 + T J " +.'•••■"* (2 n-l)(2 n+i;

n * 2 n+l7

/n természetes szám/

3.

1 1 1 .4 " + 4.7

4.

1 a (a+1)

5.

1.4 + 2.7 + ... + n (3 n+1) =

+

+

1 7 .1 0

" - '1 _ + **• + (3 n-2) (3 n+1) “ /n természetes szám/

» 3n+l

1 V" 1 ■ n(a+1) (a+2) + **’ + (a+n-1) (a+n) a(a+n) /atn természetes szám /

n (n+1)

2

/n természetes szám/

6.

1.2 ... p + 2.3 ... P (P+l) + ... + n (nil)...(n+p-l) = _ ~

7.

n ( n+1) tn+2 ' P*1

(n+p)

/¡j< p természetes szám/

Bizonyítsuk be, hogy n^ + 5» osztható 6-tal, ha n természetes szám.

8.

Bizonyítsák be, hogy 3*’n+^ + 40 n — 67 osztható 64—gyei, ha n

természetes szám.

- 108>

9.

Bizonyítsuk be, hogy lln+2 + 122n+* osztható 133-mal• ha n természetes szám,

10.

Igazoljuk, hogy n . 13n+* - (n+1) 13° + 1

osztható 144-gyei

ha n természetes szám. n m l 5 + 2 . 3 ” +1

11.

Bizonyítsuk be, hogy

12.

igazoljuk, hogy ha n egy 2-nél nagyobb egész szám, akkor 2n > 1 + n

f F

osztható 8-cal.

1

Bizonyítsuk be, hogy 4^

13.

(2n)l

n+1 i*.

(n!)2 *

(-§-) » »' =•(+) , , B-l 1 + n-2

15*

+

•

{p-l)fa-3> (n-2)(n-4) + ***+

(n-l)(n-3) ...a (n-2)(n-4) ...1

ha n páratlan természetes szám. 16.

+ cos x + cos 2 x + ... + cos n ot =

sin-2s±L-x

■' .

■

2 sin - ~

17.

sin x ,+ sin 2 x + ... + sin n x

=

sin Sin -f18.

Bizonyítsuk be, hogy ha egy szám 3° egymással egyenlS számjegyból áll, akkor azt osztható 3n-nel.

19.

Legyen

aQ = 2,

&1 = 3,

an+1 = 3 an - 2 a ^

Adjuk' meg aQ-t n függvényeként.

- 109 -

.

n, k 21.

s

2,

akkor

AQ -

mindig osztható 343000 -rtl.

Bizonyítsuk be, hogy az 1, 2, 3» 4, .... 2 n-1, 2 n számok közül akárhogyan is választunk ki n+1 számot, azok között min­ dig találunk két olyant, hogy egyik a másiknak osztója.

22.

Írjuk a Pascal háromszöget a következő alakba: 1,

■

/Az n+l-ik sorban (” ), (“), ... (“) áll./ Bizonyitsuk be, hogy aZ első oszlop bármely tagjából kiindulva a részűt felfelé elhelyezkedő számok összegé Fibonacci szám. 23." Bizonyitsuk be, hogy k ♦ v v

n és k természetes szám,


b, a > c. E k é t e g ye nlő tlenség összege 2 a — b+ c, ez éppen a b iz o n yita n d ő t je le n ti. 18. /1 5 . á b ra / M esse az A P egyenes B C -t D -b e n . PA + PD < A C + P C . P B < PD + B D . E k é t egye nlő tlenség összege a b iz o n y ita n d ő t a d ja .

1 2 9-

8

8

15. á b ra 19. /1 6 , á b ra / A három szöge gyénlőtlensé g és az e lő ző fe la d a t eredm énye a la p já n a < x + y a ) összege a b izo n yita n d ó t a d ja . . a c 2

19. ábra 24. T ü k rö z z ü k a há ro m szö g e t a sú lyvo n a l o ld a lb e li v é g p o n tjá ra . 25. A 24. fe la d a t s z e rin t a sú lyvo n a l kise b b a kö zre fo g ó o ld a la k szá m ta n i köze­ p é n é l. A 22. s z e rin t a szö g fe le ző kise b b a s ú lyvo n a ln á l, te h á t a szö g fe le ző is kise b b a kö zre fo g ó o ld a la k szá m ta n i kö ze p é n é l.

26. /20é á b ra / Hogy a három szög k e rü le te nagyobb a sú lyvo n a la k összegénél « k ö z v e tle n ü l k ö v e tk e z ik az e lő ző fe la d a t eredm ényének h á ro m s z o ri a lk a lm a ­ zá sá b ó l. A m ásodik fe le : ir ju k fe l az SAB. SBC. SCA h á ro m s z ö g e k re ^ há­ ro m szö g e g ye n lő tle n sé g e t. 2 /3 (sa + sb) > c 2/3 (8^+ a j > a.

2 /8 (s

C

+ S) >b 3»

E ze k összege éppen a b izo n y ita n d ó t a d ja .

27. /21. á b ra / T együk fed, hogy A C < B C . e k k o r A C * C 4

< B C ’>C 4 , m e rt az AC * C és BC* C három szöge k m egegyeznek k é t o ld a lb a n , te h á t a k ö z re ­ z á rt szögük abban a három szögben nagyobb, a m e lyikb e n a h a rm a d ik o ld a l is nagyobb. A z A C ’ S és B C ’ S három szöge k ugyancsak m egegyeznek k é t o l­ d a lb a n , te h á t a h a rm a d ik o ld a l o tt nagyobb, a h o l a k ö z re z á rt szög is nagyobb, e z é rt AS < BS, azaz < s^,

132-

28. Ha az ö ssze kö tő szakasz a m agasság, az á llítá s n y ilv . va ló ; ha nem az, az a la p p a l a lk o to tt k é t szög k ö z ü l az e g y ik tom paszög, te n á t az e g y ik ré s z > három szög tom paszögű és a tom paszöggel szem ben éppen a s z á r van. E z é rt a s z á r nagyobb az össze kötő sza ka szn á l. 28. A z á llítá s ig a zolásának gondolatm enete m egegyezik az e lő ző fe la d a té v a l. 30. /2 2 . á b ra / Legyen a k é t p o n t X és Y . Ha az X Y egyenes átm egy az e g yik csúcson, a k k o r az á llítá s az e lő ző fe la d a t é rte lm é b e n n y ilv á n v a ló . Ha nem m egy á t egy csúcson sem , a k k o r p l. a BC o ld a lt A ’ b e lső pontban m e ts z i. A z A A * ugyancsak az e lő ző fe la d a t é rte lm é b e n kis e b b v a la m e ly ik h á ro m ­ szög o ld a ln á l. A z A A ’ C három szögben az id é z e tt té te l m ia tt XY kise b b vagy A A ’ -n é l, va g y ,A ’ C -n é l, a m ib ő l az á llítá s m áj; k ö v e tk e z ik .

31. /2 3 .á b ra / Legyen a k é t leghosszabb o ld a l AQ és C B . A fe lv e tt P -n á t h ú z­ zunk p á rh u za m o st A B -v e l, ez a z e lő b b i o ld a la k a t D -b e h , ií l. E -b e n m e ts z i. A 2 9 .fe la d a t eredm ényé t a lka lm a zva a DC E h á ro m szö g re és a PC S ze lőre n y e rjü k , hogy p l. CP ¿ C D , továbbá: D E E C , A P < A D +D P . BP < B E + + E P . A fe n ti négy egye nlő tlenség összege a b izo n yita n d ó t a d ja .

32. A lk a lm a z z u k a 2 4 .fe la d a tb e li té te lt a P A Q és PBQ h á ro m szö g e kre . -1 3 3 -

33

/2 4 . á b ra / M e g m u ta tju k, hogy a fe lté te ln e k e le g e t te v ő három szögek k ö z ü l az é g ye n lő s z á ru a le g kise b b k e rü le tű . Legyen a szög­ fe le ző n k ije lö lt pont P , a fe lté te ln e k e le g e t te vő k é t három szög A B C /e g y e n lő s z á ru / és A B ’ C* A z t k e ll ig a zo ln u n k, hogy B B ’ +BC < / B ’ C ’ + CG’ . T ü k rö z z ü k a B ’ C ’ o ld a lt a s z ö g fe le z ő re . A tü k rö z é s b ő l kö ­ v e tk e z ik , hogy B ’ C ’ = B ’ P + P C " és B P a B ’ P C " három szögnek szö g fe le ző je , te h á t a 2 5 .fe la d a t s z e rin t BC = 2BP £ . K ö ve tke ­ zésképpen a B ’ P C " három szögben C "P > P B ’ és ig y B P szö g fe le ző v o lta m ia tt B B ’ C B C " = CC’ . 34. A b iz o n y itá s , i l l . v iz s g á la t lényegébeh s z e re p e l a 3 3 .fe la d a t m egoldásánál. 35. /2 5 . á b ra / A kö r-kö zé p p o n to kb ó l a s z e lő re á llito tt m e rő le g e se k ta lp p o n tja i á sze lő fe lé v e l egyenlő szaka szt zá rn a k k ö z re . E z t a hozzá kö ze le b b i k ö rközéppontba e lto lv a m e g á lla p ith a tju k , hogy nem nagyobb, m in t a k o r közép­ p on toka t össze kötő szakasz, és a kko r a legnagyobb, ha egybeesik a c e n trá ­ lis s a l, te h á t m aga a sze lő párhuzam os a c e n trá lis s a l. :

36. / 2 6 . á b ra /V á la s s z u k k i az A B iv egy te tsző le g e s P p o n tjá t. E bből az A B szakasz egy á lla n d ó szögben lá ts z ik . M é rjü k r á az A P fé le g ye n e sre P -b ő l k iin d u lv a a P B sza ka szt. Ennek P ’ vé g p o n tjá b ó l A B 9^.2 szögben lá ts z ik , m iv e l 9 * a B P P ’ e gye nlő száru három szög k ü ls ő szöge. S zerkesztendő te h á t az A B fö lé s z e rk e s z te tt ^ 2 lá tó szö g ü k ö riv A -h o z le g k ö z e le b b ié n le g tá ­ v o la b b i p o n tja . A le g tá v o la b b i p o n to t a ^ 2 , lá tó szö g ü k ö riv középpontján átm enő egyenes m e ts z i k i a k ö rb ő l, ez a középpont egyébként ra jta .van az a d o tt k ö riv e n . , -1 3 4 -

B

A

26. á b ra 37. E ls ő m eg o ld á s. /2 7 . á b ra / V á g ju k le az A B C h á ro m szö g b ő l a m agasság le ­ m e tsz e tte B C C ’ h á ro m szö g e t és h e lye zzü k a zt e l a z ábrán lá th a tó m ódon, így m á r le o lva sh a tó , hogy c -a ^ b -m , a z a z c + m > a + b .

ő

M ásodik m egoldás. A b izonyíta ndó egyfinlőtlenagg2

2

2

2

c + m + 2cm > a + b + 2ab, 2 2 2

'*

''

de £ -a +b éh 2cm = 2ab, m e rt m in d k e ttő a há ro m szö g nég yszeres te rü le ­ te , ig y m 2 > O, a m ib ő l v is s z a fe lé haladva a b izo n yítá s k io lv a s h a tó . 38, /2 8 . á b ra / A k é t p o n t A és B , a té g la la p C D E F . A le g rö v id e b b u t s z e rk e s z ­ tése úgy tö rté n ik , hogy p l. B - t tü k rö z z ü k a CD o ld a lra , a B ' tü k ö rk é p e t f - v a l ö ssze kö tő szakasz m e ts z i k i C D -bőí.a le g rö v id e b b u t P é rin té s i p o n t­ já t. A té g la la p a k ö r kö zé p p o n tjá ra tü k rö s , e z é rt A F =B D =B ’p . a le g rö v i­ debb u t hossza e z é rt A P + B P = A B ’ =FD =a k ö r á tm é rő je , te h á t fü g g e tle n a té g ­ la la p tó l. A P pontnak az A , B p o n to któ l m é rt tá vo ls á g -ö ssze g e á lla n d ó , e z é rt P azon az e llip s z is e n m ozog, am elynek A és B a k é t fó ku sza és az a d o tt k ö r a fő k ö re . /C D . E F e llip s z is -é rin tő k /.

135-

28. ábra Hasonlósági transzformációk A sik önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése hasonlósági transzformáció, ha bármely két szakasz aránya a megfelteteit két'szakasz ará­ nyával egyenlő. A hasonlósági transzformációk minden szöghöz vele egyenlő szö­ get rendelnek. A sik tetszőleges szakasza képének és magának a szakasznak az aránya a hasonlóságra jellemző érték: a hasonlóság együtthatója. Ha ennek értéke 1, a hasonlóság egybevágóság. A hasonlósági transzformáció középpontos hasonlóság /középpontos kicsi­ nyítés, nagyitás, homotécia/ha bármely pontot a képével összekötő egyenes egy fix ponton /centrum, középponton, hasonlósági ponton/ megy át, A centru­ mon átmenő egyenesek fix egyenesek, és minden fix egyenes átmegy a centru­ mon. A középpontos hasonlóság minden szakaszt vele párhuzamos szakaszba visz át, minden alakzatot vele egyenlő körüljárású alakzatba. Ha két hasonló alakzat fegyenlő körüljárású és megfelelő szakaszaik párhuzamosak, akkor vagy középpontos hasonlósággal, vágy eltolással egymásba átvihetők. A forgatva nyújtás azonos középpontra vonatkozó forgatás és hasonlóság , összetevése; középpontja,az elforgatás szöge és a hasonlósági együttható meghatározzák. Az elfogatás szögét - ha külön nem szólunk róla - pozitívnak tekintjük. A forgatva nyújtás minden alakzatot hozzá hasonló egyező körüljárá­ sú alakzatba visz át. Forditva: minden hasonló és egyező körüljárású alakzat átvihető egymásba forgatva nyújtással, vagy eltolással.

X II. F e je ze t KÖZÉPPONTOS HASONLÓSÁG

1 . Szerkesszünk négyzetet úgy, hogy egyik oldala egy háromszög alapjára es­ sék, ezzel szemközti csúcsai pedig a háromszög egy-egy oldalára. 2. Szerkesszünk négyzetet, melynek két szomszédos csúcsa egy adott körcikk sugarain van, a másik kettő pedig a köriven. 3* Adott egy négyzet és egy téglalap. Szerkesszünk téglalapot, melynek csú­ csai a négyzet különböző oldalaira esnek, és amely hasonló a megadott téglalaphoz. 4. Rajzoljunk meg egy háromszöget. Szerkesszünk hozzá hasonló, de 90°-kal pozitív irányban elforgatott háromszöget, melynek csúcsai az adott három­ szög különböző oldalaira esnek. 5. Rajzoljunk egy szöget, jelöljünk ki egy irányt, és tűzzünk ki egy pontot Szerkesszünk egy háromszöget, melynek a kitűzött pont egyik csúcsa és az < csúcsban lévő szög 45°-os; a szemközti oldala pedig a kijelölt iránnyal pár­ huzamos, és végpontjai a megrajzolt szög száraira esnek. 6. Adott háromszögbe Írjunk háromszöget, amelynek oldalai rendre párhuza­ mosak három adott egyenes egyikével. 7. Az j,b,£,d és az egység szakasz birtokában szerkesszük meg a következő szakaszokat. a/ ab;

i//a2-b2 8. A háromszög súlypontja két-két csúccsal együtt ismét háromszöget alkot. E három háromszögnek szerkesszük meg a súlypontjait és mutassuk meg, h o ^ e három súlypont alkotta háromszög súlypontja egybeesik az eredeti’ háromszögével. 9. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak metszéspontja felezi a rajta átmenő és az alapokkal párhuzamos egyenesnek a trapézen belüli szakaszát. 10. Mutassuk meg, hogy a trapéz szárainak metszéspontját az átlók metszés­ pontjával összekötő egyenes felezi az alapokat. 11. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két szöge és kerülete.

12.

^dott egy tetszőleges négyszög. Szerkesszünk olyan rombuszt, melynek

k f Sf g °“ alaÍra 6Snek* oldalai az átlókkal párhuzamosak 13. BiZonvlts Bizonyítsuk be, hogy ha egy kört a sík tetszőleges pontjából a/felére kicsinyítünk;

14. S

í

S

6 0 ker“ ea

“

“ “ “« » « * f—

" * * * eZerk“ 82“ '* « •

15'

16' terjís Stoa t0" kÖr“ Z

fai pontjainak kör egy adott

SMl® •». k » ® * Ponttól a kórig

a/ egyenlő legyen a szelőből kimetszett húrral* 17

£ ! kétSZett iesye“. “ lat a szelőből kimetszett húr. ’ kur e^ ik a^etszéspontjánAt buzzunk szelőt úgy hogy a nagyobb és kisebb korbe eső húrok aránya 3:2 legyen. * 18. Körhöz adott ponton át szerkesszünk szelőt úgy hoev a nonttól » k«r.ifr e ^ h á t ’L * ? “ Z l ,U t * o s S l ö nnögtlatt i S s ^ T . 19. Csmerjuk a háromszögnek két csúcsát és az egyiken átmenő nirfai ó - i ual egyenesét. Megszerkesztendő a háromszögé

átmenő oldal és sulyvo-

20. Egy háro m szö g b ő l k i van je lö lv e k é t csúcs, a z egyiken átm enő 8„iw ™ » i e g e d é n lamert a harmadik osnoeaál 10,8 szög. Szerkesszük meg a 21.-Adott két egyenes ^ és e^ ég az A pont. SzetkeSszUnk az A-n.átmenő olyan egyeneat. amelynek aa eggyel, m. v

.

,el való g m . c metszéspontjára

á ll, hogy.A B :AC = m :n .

22

23; 24. :

r

4 t-

h u rt-

25. Szerkesszünk két egyenlő kórt ngy, hogy érintsék egymást és érintsék eev . szög egy-egy szárát a aaáron előre kitűzött pontokhS,. SSy ' e g y - ^ e l S a * , S ® T v 0’« ^ 27. SS r k S a a ü ¿ h ^ n i S o ^ ^ S , h/

S S !a is t’ és ««ntaenek ^ P°P«»kbnn.

"í!“!3' slemkÖ2U '»öbo éa egy máelkhoa tartoaé súlyvonala.

^

“ ^ “ koa tartozó súlyvonala és a harmadikhoz tartozó

-1 38 -

29. B iz o n y íts u k be, hogy a három szög m agasságpontja, sú ly p o n tja és a kö ré i r t k ö r közé p p o n tja egy egyenesen vannak /e z az un. E u le r-fé le e gye nes/ és a sú lyp o n t h a rm a d o lja a m agasságpont és a k ö ré i r t k ö r középpontja k ö z ö tti sza ka szt. 30. H uzzunk p á rh u za m o st a három szög m inden o ld a lfe le z ő p o n tjá b ó l a sze m ­ k ö z ti csúcshoz ta rto z ó s z ö g fe le ző ve l. M utassuk m eg, hogy a h á ro m egye­ nes egy ponton m egy á t. 31. M utassuk m eg, hogy a három szög c s ú c s a it a h o z z á irt k ö rö k sze m kö zti o l­ d a lo n lé v ő é rin té s i p o n tja iv a l összekötő egyenesek egy pontban m e ts z ik egy­ m á st, és a sú lyp o n t h a rm a d o lja e zt a p o n to t a b e ir t k ö r kö zé p p o n tjá va l ö s z sze kö tő sza ka szt. 32. A d o tt egy három szögnek m agasságpontja, s ú lyp o n tja és e g y ik csúcsa. S ze rkesszük m e g a h á ro m szö g e t. 33. B iz o n y íts u k be, hogy a három szög m agasságpontjának az o ld a la k ra , i l l 4 az o ld a lfe le z ő p o n to kra vonatkozó tü k ö rk é p e i a kö ré i r t kö rö n vannak. 34. M utassuk m eg, hogy a három szög o ld a lfe le z ő p o n tja i, a m agasságok ta lp ­ p o n tja i és a m agasságpontot a csú cso kka l össze kötő szakaszok fe le z ő pont­ ja i egy kö rö n vannak. A k ö r sugara fe le a k ö ré i r t k ö r sugarának, közép­ p o n tja fe le z i a m agasságpont és a kö ré i r t k ö r középpontja k ö z ö tti sza ka szt. /A iiá ro m s zö g F e u e rü a c ii-k ö re , k ile n c p on t k ö re , E u le r-fé le k ö r e ./ 35. T e k in ts ü k a z t a négy h á ro m szö g e t, a m e ly e t egy o rto c e n trik u s pontnégyes h a tá ro z m eg. /O rto c e n trik u s pontnégyes: egy háro m szö g h á ro m csúcsa és m agasságpontja, v .ö . tengelyes tü krö zé s 30. fe la d a ta / M utassuk m eg, hogy a négy három szögnek közös a F e u e rb a ch -kö re . 36. B iz o n y íts u k be, hogy a F e u e rb a c h -k ö r o ld a lfe le z ő p o n tb e li é r ü ltő je pá rh u za ­ m os a sz e m k ö z ti csúcsban a k ö ré i r t kö rh ö z h u zo tt é rin tő v e l. 37. M uta ssuk m eg, hogy a három szög h o z z á irt k ö re in e k középpontján átm enő k ö r k é ts z e re s e a k ö r é ir t k ö rn e k . 38. B iz o n y íts u k be, hogy a három szög k ö ré i r t k ö r fe le z i az o ld a la k a t é rin tő k ö rö k k ö z é p p o n tja it össze kötő szaka szokat, 39. Ig a z o lju k , hogy a három szöghöz i r t k ö rö k kö zé p p o n tja in átm enő k ö r közép­ p o n tja , v a la m in t a b e irt és k ö ré i r t k ö rö k kö zé p p o n tja i egy egyenesen vannak. 40. S ze rkesszük m eg a h á ro m szö g e t, ha a d o tt h á ro m az o ld a la k a t é rin tő k ö rö k kö zé p p o n tja i k ö z ü l. 41. S ze rkesszük m eg a h á ro m szö g e t, ha a d o tt a k ö ré i r t k ö r kö zép pontja és a / k é t h o z z á irt kö ré n e k közép pontja ; b / a b e irt és a h o z z á irt kö ré n e k közép pontja . 42. B iz o n y íts u k be, hogy a három szögbe i r t k ö r nem nagyobb a k ö ré ir t k ö r fe . lé n é l. 43. T ü krö zzü k a három szög m agasságpontján átm enő te tsző le g e s egyenest a há ro m szö g o ld a la ira . B iz o n y íts u k be, hogy a h á ro m tü k ö rk é p a k ö ré i r t k ö r egy pontjában m e ts z i egym ást. 44. B iz o n y íts u k b e , hogy a három szög k ö ré i r t k ö r te tsző le g e s p o n tjá b ó l az o l­ d a la k ra á llito tt m e rő le g e se k ta lp p o n tja i egy egyenesen v a n n a k /S im s o n e g ye n e s/.

-1 3 9 -

45 . M ozgassunk egy p o n to t a háro m szö g k ö ré i r t k ö rö n . Ír ju k le , hogyan v á lto ­ z ik a h o z z á ta rto z ó S im son-egyenes. 46. M uta ssuk m eg, hogy az egym ásra m e rő le g e s S im son-egyenesek a h á ro m ­ szög F e u e rb a ch -kö ré n m e ts z ik egym ást. 47. B iz o n y íts u k be, hogy ha a háro m szö g k ö ré i r t k ö r te tsző le g e s p o n tjá t tü k rö z z ü k az o ld a le g ye n e se kre , a tü kö rké p ké n t ka p o tt 3 p o n t egy, a m a­ gasságponton átm enő egyenesen va n . ' 48. S ze rkesszük m eg egy három szög a d o tt irá n y ú S im so h-e gyene sét. 49. B iz o n y íts u k be, hogy k é t középpontos hasonlóság egym ásutánja középpontos haso nló sággal vagy e lto lá s s a l h e ly e tte s íth e tő , 50. M u ta ssu k m eg, hogy ha 3 /n e m egybevágó/ a la k z a t p á ro n ké n t középpontosan h a so n ló , a k k o r a 3 h aso nló sági p o n tju k egy egyenesen van. 51.

Vizsgáljuk meg, hogyan helyezkednek el

h a so n ló sá g i p o n tja i. 52. A K k ö r é r in ti a és

k ö rö k é t.

/K±

3

különböző sugaru kör összes

és

su g a ra különbö ző. / B iz o ­

n y íts u k be, hogy a z é rin té s i p on toka t össze kö tő egyenes átm egy K és K 1

^

h a so n ló sá g i p o n tjá n . /K ü ls ő h a so n ló sá g i ponton, ha a m á s ik k é t k ö r m in d e g y i­ k é t vagy k ív ü lrő l, vagy m agában fo g la lv a é r in ti, egyébként b e lső n . / 53. S ze rkesszük m eg a három szögbe i r t k ö rn e k .az o ld a la ko n lé v ő é rin té s i p o n t­ ja in a k össze kötő egye n e se it. K e re ssü k m eg m in d e g yik egyenesnek a h a rm a ­ d ik o ld a le g ye n e sse l v a ló m e tsz é sp o n tjá t. M uta ssuk m eg, hogy a h á ro m m e t­ széspont egy egyenesen van, ha a három szög nem e g ye n lő szá ru . 54. N égy k o n c e n trik u s k ö rh ö z sze rke sszü n k s z e lő t, a m elynek a k é t k ü ls ő k ö r közé eső szakasza egyenlő a két belső kör közé eső szakaszávál. 55. Szerkesszünk trapézt, ha adott két szára és két átlója.

56. A d o tt k é t párhuzam os egyenessereg és k é t p on t A és B . R e n d e ljü k egym ás­ hoz a k é t egyenesseregnek a zoka t az egye neseit, am elyeknek az A - tó i, i l l . B -tő l m é rt tá vo lsá g a rá n ya a d o tt é rté k . M i a z ig y egym áshoz re n d e lt egye­ nesek m e tszé sp o n tja in a k m é rta n i h e lye ? 57. A z Á jA ^ . . . A ^ sokszög o ld a la it úgy m o zg a tju k, hogy az e lm o z d íto tt o ld a la k az eredeti helyzetükkel párhuzamosak maradjanak és az A

,,

A

... A

—l ’ - 2 ’ *

-u

csúcsok előre adott egyeneseken mozogjanak. Hogyan mozog az A csúcs? -n

58. A d o tt egy n -szö g és n szám ú egyenes, írju n k az n-szö g b e egy u ja b b n -s z ö g e t úgy, hogy o ld a la i re n d re az a d o tt egyenesekkel le gyene k p árhuza m o sak. 59. írju n k egy a d o tt négyszögbe té g la la p o t úgy, hogy annak e g y ik o ld a la a d o tt egyenessel le gyen párhuza m o s.

Ú tm u ta tá s a X II. fe je ze th e z 1. / l. á b r a / E lő s z ö r a három szög a la p já n á lló o lya n n é g yze te t sze rke sszü n k, a m e lyn e k csak e g y ik to v á b b i csúcsa van h á ro m szö g o ld a lo n . E z t n a g y ítju k fe l o ly a n ra , hogy a negyedik cbücs is á h á ro m s z ö g o ld a lra essék. -1 4 0

2. /2 . á b r a /A m egoldás a z e ls ő fe la d a t m ó d sze ré t k ö v e ti.

■3. /3 . á b ra / V együk e lő s z ö r é s z re , hogy a té g la la p kö zé p p o n tjá ra a négyzet tü k rö s , te h á t a té g la la p és nég yzet kö zép pontja egybe e s ik . E nnék fe lté te le b iz to s íth a tó , ha a fe ln a g yíta n d ó té g la la p o t úgy vesszü k fe l, hogy o ld a la i az á tló k k a l párhuza m o sak le g ye n e k.

-1 4 1 -

5. /4 .á b r a / H e lye zzü k e l a szö g szá ra k közé-az a d o tt.irá n n ya l.p á rh u za m o s sza ka szt és Írju n k e fö lé 4 5 °-o s lá tó k ö rt. E k ö rt k e ll fe ln a g y íta n i úgy, hogy a k itű z ö tt ponton átm e njen .

6. /5 . á b ra / A fe la d a t m egoldása lényegében a d o tt á llá s ú és a la kú három szög b e irá s á t je le n ti, az oldale gyene sekkel re n d e lke ző h árom szöge t k ic s in y ítjü k le az a d o tt m é re tű re .

á b ra

8. / 7 . á b ra / A z S s ú lyp o n t középpontú és - ^ e g yü tth a tó jú hasonlóság a z A B C h á ro m szö g e t az V SB§C három szögbe v is z i á t, ennek s ú ly v o n a la i ra jta v a n n ak az e re d e ti há ro m szö g s ú ly v o n a la in , e z é rt sú ly p o n tja 8 .

9 . /8 .á b r a / M iv e l A C :A F - B D iB F , a z E F sza ka szra A középpontú A C :A F e g yü tth a tó jú n a g y ítá s t a lk a lm azva DG - t k a p ju k , ugya nezt n y e rj iik^ h a F G -re = B F a rá n yú n a g y itá s t /te h á t az e lő z ő v e l egyező a rá n yú n a g y ítá s t/ a l­ ka lm a zu n k, e z é rt E F =FG

10. /9 . á b ra / A z e lő ző fe la d a t s z e rin t E F =FG . és m iv e l A P :P B = D Q > o c= E F -F r e z é rt A P = P B és DQ=Q C. ~~ ; a ------

11. /1 0 . á b ra / S zerkesszünk e lő s z ö r az e lő írth o z h a so n ló h á ro m szö g e t és e zt , n a g yítsu k a k iv á n t m é rté k ű re .

12. / I I . á b ra / S zerkesszünk az A C á tló fö lé a szerkesztendő khöz haso nló A C P Q ro m b u s z t. E z t a B -b ő l le k ic s in y ítv e a sze rke szte n d ő X Y Z U ro m ­ b u szt k a p ju k . Ehhez a z t k e ll belátnunk, hogy p l. X Y = U X ; ez~viszont abból k ö v e tk e z ik , hogy U X és X Y is a fe lv e tt ro m b u sze g y-e g y o ld a lá n a k A X : X B a rá n yú k ic s in y íté s e .

11. ábra 14. /1 2 . á b ra / Legyen a b e ls ő p on t P , a k e rü le t egy p o n tja Q . A P Q Q h á ro m ­ szögnek O’ Q ’ közép vonala. E bből b e lá th a tó , hogy a m é rta n i h e ly k ö r, am elynek suga ra az e re d e tié n e k fe le , közép pontja fe le z i az a d o tt p o n to t az e re d e ti k ö rkö zé p p o n tta l össze kötő sza ka szt.

-1 4 5 -

12. ábra

15. K ic s in y íts ü k fe lé re a k ö rt az a d o tt p o n tb ó l. A z a d o tt h ú rn a k és a k ic s in y íte tt k ö rn e k a m etszéspontjá n átm egy a sze rke szte n d ő h ú r, 16. /1 3 . á b ra /K ic s in y íts ü k fe lé re az a d o tt p o n tb ó l az a d o tt k ö r t. Á g z e rk e s z te n d ő 'sze lő ,á tm e g y az e re d e ti és a k ic s in y íte tt k ö r m etszé sp o n tjá n .

1 3 . ábra

14. ábra

M ás m egoldás /1 4 . á b ra / T ü krö zzü k a k ö r kö zé p p o n tjá t a ponthoz kö ze le b b i M m e tszé sp o n tra . A z á tló k fe le zé se m ia tt a PONO* négyszög p a ra le lo g ra m ­ m a, és ig y PO* = r , QO* - 2 r, ebből O’ m á r sze rke szth e tő , b / A z e ls ő m egoldás te lje s analogonja a lka lm a zh a tó , a m á so d ikn á l PO ’ = 2 r, QO* = 3 r v á lto z ta tá s s a l v ih e tő végbe a sz e rk e s z té s . 17. H a sonló sági középpontként a k é t k ö r közös p o n tja a lka lm a zh a tó . 18. /1 5 . á b ra / A z AO B három szögben O M szö g fe le ző . E z é rt ha a k ö rt A -b ó l A M ;A B = A M :(A M +M B)=AO :(AO+OB) arányban k ic s in y itjü k ,r az M m etszés­ p o n to t m e g sze rke szth e tjü k .

-1 4 6 -

15. ábra

19. /1 6 . á b ra / A z A csúcson átm enő £ és b egyenesek a d o tta k. B -b ő l k é ts z e re ­ sé re n a g yítva s - t o lya n s’ egyenest kapunk, am e ly b -b ő l k im e ts z i a C csú cso t.

16. ábra 20. A m egoldás a z e lő ző fe la d a t m in tá já ra tö rté n h e t. I t t a háro m szö g k ö ré i r t k ö rt c é ls z e rű fe lé re k ic s in y ita n i. 21. N a g yítsu k fe l e ^ -e t A -b ó l n :m arányban, ennek m e tszé sp o n tja e ^ -v e l a sze rke szte n d ő sz e lő egy p o n tja . 22. K é t szöge a há ro m szö g e t m á r hasonlóság e re jé ig m eghatározza. E z t k e ll csak a k k o rá ra nagyítanunk, hogy a b e irt és a k ö ré ir t. k ö rö k közép pontja inak tá vo lsá g a az a d o tt sza ka ssza l le gyeh egyenlő. 23. /1 7 . á b ra / A fe la d a t az egyenlő szakaszokból á lló AD EC tö rö tt vo n a l s z e r­ k e s z té s e . Ennek te tsző le g e s k ic s in y ite ttje az A D ’ E ’ C’ v o n a l,E ’ G ■- t D ’ E ” h e lyze tb e to lv a az A D ’ E^C* m á r sze rke szth e tő , m iv e l D ’ E " párhuzam os B C -v e l. *"

-1 4 7 -

17. á b ra 2 4 . /1 8 . á b ra / V e títs ü k k i a sze rke szte n d ő h ú rt a su­ g a ra k v é g p o n tja it össze kötő h u re'gyene sre. 25. /1 9 . á b ra / Legyen az e g y ik szögszáro n az é rin té ­ s i p o n t A , a m ásiko n B , a h o zzá ju k ta rto z ó k ö r­ középpontok O i l l . o . Lényegében az AO O B 4-

~ 1 — 2~

&

u t m e g sze rke szté se a fe la d a tu n k. I t t az egyes szakaszoknak az a rá n yá t is m e rjü k . E h e ly e tt azonban elegendő az A O ^O ^B u t n ie g s z e rk e s z té se is , aho l az

az O g B -b ő l e lto lá s s a l ke ­

le tk e z ik . Ehhez haso nló u ta t m á r az A pon tbó l k iin d u lv a tudunk s z e rk e s z te n i és e z t A -b ő l a k í­ vá n t arányban fe ln a g y íth a tju k . 18. ábra

-1 4 8 -

26. A fe la d a to t a z e lő z ő re v e ze th e tjü k v is s z a , ha az a d o tt é rin té s i pontodban m e g s z e rk e s z tjü k a k ö rö k é rin tő it. 27. a / A z A BC háro m szö g A B oldalá nak és a s ze m kö zti ^ s z ö g b irto k á b a n m eg­ s z e rk e s z th e tjü k a k ö ré i r t k ö rt. E z t az A c sú csb ó l fe lé re k ic s in y ítv e o lyan k ö rt ka p u n k,a m e ly ta rta lm a z z a a B -hez ta rto z ó sú lyvo n a l v é g p o n tjá t. b / A z A B o ld a l B csúcsá ból k é ts z e re s é re n a g y ítju k az A csúcsú és az A -h o z ta rto z ó s u ly v o n á ln y i suga ru k ö r t. Ezen van a C csú cs. /M á s m egoldás: A z A - t tü k rö z z ü k a BC fe le z ő p o n tjá ra , ig y o lya n háro m szö g e t n ye rü n k, am elynek e g y ik szöge az a d o tt szög k ie g é s z ítő je ../' . c / A z o ld a l és a m agasságvonal se g ítsé g é ve l o lya n derékszö gű három szög s ze rk e s z th e tő , am elynek e g yik szöge a há ro m szö g é ve l azonos, a fe la d a to t e z z e l az e lő z ő re v e ze ttü k v is s z a . • 28. /2 0 . á b ra / A z A B C háro m szö g e t S /s ú ly p o n t/ középpontú - - .együtthatója h a so n ló sá g i tra n s z fo rm á c ió v is z i át az o ld a lfe le z ő pontok m eghatározta A ’ B ’ C ’ három szögb e. C

20. á b ra 29. /2 1 . á b ra / A z e lő ző fela d a tb a n le ir t hasonlóság az A B C három szög M m a gassá gpon tját az A ’ B ’ C’ három szög O m agasságpontjába v is z i á t. Ez u tó b b i v is z o n t az A B C három szög k ö ré i r t k ö r kö zé p p o n tja . A z M , S, O pon­ to k te h á t egy egyenesen vannak, és S h a rm a d o lja az MO sza ka szt.

-1 49 -

30. /2 2 . á b ra / A 28. fela d a tb a n le ír t hasonlóság a h á ro m szö g s z ö g fe le z ő it a szóban fo rg ó egyenesekbe v is z i á t. 31. /2 3 . á b ra / Legyen az A B C h á ro m szö g A B o l d a lá n M a m agasságvonal, g a szö g fe le ző m e tszé sp o n tja ; E a b e irt k ö r, G a h o z z á írt k ö r é rin té s i p o n tja ; F az o ld a lfe le z ő p o n t. K a b e ir t k ö r kö zé p p o n tja ; M e g m u ta tju k, 2e

bogy a Q kö zé p p o n tú —=Si e g yü tth a tó jú h a sonlóság az E K F há ro m szö g e t az M CG három szögbe v is z i á t. (A B = a , a+b+c=2s)

Ehhez e lé g m e g m u ta tn i, hogy 2 s _ CM a KE M iv e l C M =m —— a a

■

ma ~

és KE - p = 3

CM . KE

.

~

s ’ 2 s a

QG QF " —e z é rt

V" .

T eg yük fe l, hogy a > b ; annak a la p já n , hogy a szö g fe le ző a szem köztes o ld a lt a szom szédos o ld a la k arányában o s z tja , k ö v e tk e z ik , hogy

Is m e re te s továbbá, hogy F B = ^ és G B = s-c, e z é rt

-1 5 0 -

QG = Q B - G B =

a c _ s(c-b ) — s+c b + c c+b

Q F = QB - F B =

a e a _ a (c -b ) b -f c “ 2 2(c+b)

E bből e ls ő á llítá s u n k m á r k ö v e tk e z ik . A 28 . fe la d a tb a n le ir t középpontos hasonlóság a b e irt k ö r kö zé p p o n tjá t az o ld a lfe le z ő p o n to kka l össze kötő egyeneseket á tv is z i a csú cso ka t a szem ­ k ö z ti o ld a la ko n lé v ő - h o z z á irt kö rö kh ö z ta rto z ó - é rin té s i p o n to kka l ö s z szekö tő egyenesekbe, te h á t ezek is egy pontban ta lá lk o z n a k , és a sú lyp o n t h a rm a d o lja e z t a m e tszé sp o n to t a b e irt k ö r kö zé p p o n tjá va l össze kö tő sza ­ k a s z t. 32. /2 4 . á b ra / A d o tt az A csúcs a z M m agasságpont és S s ú lyp o n t. A z ÁB sza­ k a s z t A -b ó l 3 /2 -s z e re s é re n a g yítva a BC o ld a l F fe le z ő p o n tjá t k a p ju k, az ebből az A M - r e á llíto tt m e rő le g e s a BC egyenes^ A z M -b ő l az MS szá­ nkás z t 3 /2 -s z e re s é re n a g yitva a k ö r é ir t k ö r O kö zé p p o n tjá t ka p ju k,"e n n e k b irto k á b a n OA s u g á rra l-a k ö ré i r t k ö r s z e rk e s z th e tő .

33. A b iz o n y ítá s le gegysze rűb ben a h ú rn é g yszö g e kre , i l l . k e rü le ti szö g e kre vo ­ natkozó alapösszefüggések se g ítsé g é ve l tö rté n h e t. 34. /2 5 .á b ra / T ü k rö z z ü k a h á ro m szö g m agasságpontját az o ld a la k ra és áz o l­ d a lfe le z ő p o n to k ra . A tü kö rké p e k az e lő ző fe la d a t s z e rin t a k ö ré i r t kö rö n vannak. A k ö ré i r t k ö rt a m agasságpontból fe lé re k ic s in y ítv e o lya n k ö rt ka ­ punk, am elynek közép pontja fe le z i a m agasságpontot a k ö r é ir t k ö r kö zé p ■ p o n tjá v a l ö ssze kö tő s z a k a s z t, suga ra fe le a k ö ré i r t kö ré n e k és átm egy a fe la d a tb a n k ik ö tö tt 9 ponton.

25. á b ra 35. A m agasságvonalak ta lp p o n tja i m ind a 4 három szögben azonosak. T eh át azonosak az á lta lu k m e g h a tá ro zo tt F e u e rb a ch -kö rö k is . 36. /2 6 .á b ra / A F e u e rb a c h -k ö r ‘3 4. fe la d a t­ b e li szá rm a z ta tá s á ra gondolva lá tju k , hogy a T F sza ka szt M -b ő l k é ts z e re s é re na g yítva az M ’ M " h ú rt n y e rjü k , am ely m e rő le g e s C M '-re , te h á t C és M " á te l­ le n e s k ö r i pontok és ig y é rin tő ik p á rh u ­ zam osak; e z é rt párhuzam os v e lü k az M "-b e li é rin tő k ic s in y ite ttje : a Feuerbach k ö r F -b e li é rin tő je . 37. A h o z z á írtk ö ro k kö zé p p o n tja i m eghatá­ ro z ta három szögben az e re d e ti h á ro m ­ szög s zö g fe le ző i m agasságvonalak, te ­ h á t a h o z z á irt k ö rö k kö zé p p o n tja i m eg­ 26. ábra h a tá ro z ta három szögnek az e re d e ti k ö ré i r t k ö re F e u e rb a c h -k ö ré /lá s d a 34. fe la d a to t/. 38. A z á llitá s az e lő ző és a 34. fe la d a tn á k következm énye. 39. A fe la d a t á llitá s a a 34. éé 37. fe la d a tn a k kö zve tle n következm énye.: 40. B á rm e ly h á ro m körkö zé p p o n t olya n h á ro m szö g e t h a tá ro z m eg, am elynek ta lp p o n ti három szögé a sze rke szte n d ő h á ro m szö g , 41. a / /2 7 . á b ra / A 38. fe la d a t s z e rin t az O középpontú k ö ré i r t k ö r fe le z i a h o z z á irt k ö rö k P 2 kö zé p p o n tja it összekötő sza ka szt. E náék a la p já n a s z e rk e s z té s t úgy ke zd h e tjü k, hogy m e g sze rke sztjü k a három szög k ö ré ir t k ö rt OF s u g á rra l, aho l F az O jO ^ szakász fe le z ő p o n tja . E z;a z sza- * k a s z t m ég e g ysze r az A, csúcsban m e ts z i. A : B és C csu cso ka ta Z O O fö lé s z e rk e s z te tt T h a le s -k ö r m e ts z ik k ia k ö r é iir tk ö r b ő l *: 1 ~ 2' -1 5 2 - ’

2 7 . á b ra

28. ábra -153

b / /2 8 .á b ra / A 38. fe la d a t s z e rin t a három szög k ö ré i r t k ö r fe le z i a b e irt k ö r K és a h o z z á irt k ö r kö zé p p o n tjá t össze kötő sza ka szt. A három szög k ö ré i r t k ö r t O kö zé p p o n tta l és QF s u g á rra l m e g sze rke szth e tjü k , afrni p> az Q ^K sza ka sz fe le z ő p o n tja . A három szög A csú csá t a k ö ré i r t k ö rb ő l ugyancsak az

egyenes m e ts z i k i. A B és C csúcsok r a jta vannak O ^K

fö lé s z e rk e s z te tt T h a le s -k ö rö n . 42. /2 9 . á b ra /S z e rk e s s z ü k m eg a h á ro m szö g F e u e rb a c h -k ö ré t, /3 4 .fe la d a t/ m ajd n a g yítsu k fe l a n n y ira , hogy o ld a la i é rin ts é k a F e u e rb a e h -k ö rt. Legyen az e re ­ d e ti há ro m szö g k ö ré i r t k ö r suga­ r a r , a b e irt £ ö ré g>, a fe ln a g y ito tté r ’ , i l l . '. A z e re d e ti F e u e rb a c h -k ö ré n e k suga ra r

r*

- , a fe ln a g y ito tté = . A s z e r­ ke szté sb ő l k ö v e tk e z ik , és

te h á t |

hogy

.

~

29. á b ra

43. /3 0 . á b ra / E legendő k im u ta tn i, hogy a tü k rö z ö tt egyenesek k ö z ü l b á rm e ­ ly ik k e ttő a három szög k ö ré i r t k ö rö n m e ts z i egym ást, h is z e n a tü k ö rk é p ­ nek a k ö r re l a lk o to tt e g y ik m e tszé sp o n tja a m agasságpontnak a z o ld a lra vonatkozó tü kö rké p e . Legyen az M m agasságpontnak az o ld a la k ra vonatkozó h á ro m tü kö rké p e M g, M g . M essék egym ást p l. az e^^, tü kö rké p n e k a

P pontban. A tü k rö z é s e k m ia tt P M j M ^ = e M M 1^ - eMC

ebb ől k ö v e tk e z ik , hogy az

= P M 2C .£ ,

és M g pon tokb ól ugya nakkora szögben lé te z ik

; a C p o n t és az e i l l . e^ egyenesek k ö z re z á rta k ö riv , te h á t e és e a kö rö n m e ts z ik egym ást. 44. /3 1 . á b ra / A z e lő ző pontbán s z e re p lő P p on t a k ö r te tsző le g e s p o n tja le h e t, r m inden P -h e z sze rk e s z th e tő egy h o zzá ta rto zó e egyenes, a m e ly átm egy a m agasságponton. M iv e l a P az e -n é k m in d h á ro m o ld a lra vonatkozó tü k ö r­ képén: r a jta van, e z é rt P -nek az o ld a la k ra vonatkozó tü k ö rk é p e i r a jta van­ nak az e egyenesen. K ic s in y íts ü k m o st e - t fe lé re a P -b ő l. A k ic s in y íté s eredm énye ként k a p o tt £ egyenes átm egy a P -b ő l a három szög oldale gyene­ s e ire á llíto tt m e rő le g e se k ta lp p o n tja in , te h á t ezek valóban egy egyenesen so ra ko zn a k.

45. F ig y e ljü k m eg a 30. ábrán az e egyenes és a P p on t össze füg gését. F o r­ gassuk e l e -t M k ö rü l oc. szö g g e l. M in t az á b rá ró l le o lva sh a tó , a C A ^P k e rü le ti szög is oc -v a l v á lto z ik és ig y a C P -h e z te rto z ó közé p p o n ti szög 2 oc -v a l. E z é rt rö v id e n a z t m ondhatjuk, hogy a P k é ts z e r a kko ra szö g sebességgel fo ro g a k ö r közép pontja k ö rü l, m in t az e a m agasságpont kö ­ r ü l. M iv e l p e d ig az jb /S im s o n e g ye n e s/ párhuzam os e -v e l, e z é rt P fo r ­ gása a S im son-egyenesek irá n yá n a k fe le a kko ra sebességű fo rg á s á t vo n ja m aga u tán, /a z n egyenesek azonban nem m ennák egy ponton á t/. 46 . /3 2 .á b r a / A z e lő z ő fe la d a t s z e rin t az á te lle n e s k ö r i pontokhoz m e rő le g e s S im son egyenesek ta rto zn a k;. H uzzunk m o st az á te lle n e s P . i l l . P_ k ö r i -1 5 5 -

pontokban a h o zzá ju k ta rto ­ zó S im so n-e gyene sekkel p á rh u za m o so ka t. E zek T h a le s -té te le é rte lm é b e n .a kö ­ rö n m e ts z ik egym ást. E ze­ k e t M -b ő l fe lé re k ic s in y ítv e a 44. fe la d a t s z e rin t a S im so n -e g ye n e se ke tka p ju k v is s z a , v is z o n t a z M -b ő l fe lé re k ic s in y íte tt k ö r éppen a há ro m szö g F e u e rb a c h -k ö r e /3 4 . fe la d a t/. 47. A fe la d a t a 43. fe la d a tn a k m e g fo rd itá s a é s a z z a l egyen­ é rté k ű . 48. A fe la d a t a 43. és 4 4 . fe la d a tc ^ á la p já n o ld h a tó m eg. 49 . A z e ls ő középpontba haso nló­ ság a z A a la k z a to t A _ -b e v i*,

á

s z i á t, a m ásodik A g -t A g -b a . A

3 2 . á b ra

tra n s z fo rm á c ió k következtében ^

haso nló

A g -h o z ,

v e le m egegyező kö­

rü ljá rá s ú és m e g fe le lő sza ka sza i párhuza m o sak. E z é rt az A T-e t ""1

A

-b a

“ “3

középpontos hasonlóság vagy e lto lá s v is z i á t a s z e rin t, hogy A , és A csa k h a so n ló k-e , vagy egybevágók is . 1 ~3 50. /3 3 . ábra/ T e g ytik fe l, .hogy A ^ és a lakzat o k kö zé p p o n tra nézve ha­ s o n ló , .Ag és Ág p e d ig O g -re n é zve .A z e lő z ő fe la d a t s z e rin t A ^ és A ^ is haso nló egy Og kö zép pontra n ézve . A z O jQ g egye nest a z e ls ő k é t h a s o n ló -^

3 3 . á b ra -1 5 6 -

ság helyben hagyja /fix e g y e n e s /, te h á t a k e ttő egym ásu tán ja, az 0 „ k ö z é p V

pontú hasonlóság is helyben hagyja, te h á t fix e g y e n e s . V is z o n t a fix e g y e n e sek átm ennek a középponton, te h á t 0 „ r a jta van az 0 , 0 . egyenesen. •O

”1

51. /3 4 . á b ra / A v iz s g á la to k n á l a z e lő ző fe la d a t gon dola tm ene tét kö ve ssü k. A h a so n ló sá g i pon tok e lh e lye zke d é sé t a z á b ra m u ta tja .

5 2 . /3 5 . á b ra / A z e lő ző fe la d a t a la p já n k é t b e ls ő és egy k ü ls ő h a so n ló sá g i p on t egy egyenesen va n . M ás m egoldás. A z egyenes a k-^ k ö r t m ásodszo r a pontban m e ts z i. A z t k e ll m egm utatnunk, hogy

l| O ^E ^. E z v is z o n t az áb rá n egyenlően

je lö lt szögek egyenlőségéből é s a vá ltó szö g e k té te lé b ő l k ö z v e tle n ü l kö ve t­ k e z ik .

-1 5 7 -

ebből

továbbá m iv e l AD = 2AB+BC

és ig y A C _ A B + BC AB AB

A z A C :A B a rá n y ezek s z e rin t s z e rk e s z th e tő . A ^

k ö r te tsző le g e s A p on t­

já b ó l a lka lm a zzu n k k g -re A C :A B a rá n yú n a g y ítá s t. A z eredm ényké nt k á -

á

p o tt k ö r k g -b ó l a C p o n to t m e ts z i k i. 55. /3 8 . á b ra / T ü k rö z z ü k az ABO D tra p é z t a BC s z á r fe le z ő p o n tjá ra . A tü k ö r­ kép az A ’ C E D ’ tra p é z ; ennek A ’ D ’ s z á rá t to lju k e l az A "B h e lyze tb e . A D> C, A " , A pon tok re n d re B középpontú d , b , a , c_ su g a ru k ö rö kö n vannak és P jC=A'|A’ . Ezzel a megfigyeléssel feladatunk megoldását az előzőére

v e z e th e tjü k v is s z a .

38. á b ra 160

56. /3 9 . á b ra / A k é t egyenessereg A -n ill. . B -n átm enő a i l l . b elem e M -b á n . —

~D

“D

— 0,

a z egym áshoz ta rto z ó a^ és b^ egyenesek p e d ig M ^-b e n m essék egym á st. Egy te tsző le g e s ¡L. és b_egym áshoz ta rto z ó egyenespár a z M M , egyenest *

«

" 0 “"1

M g -b e n , i l l . M ” -b e n m e ts z ik . A fe lté te l s z e rin t _ M M,

M M,

M M’ o 2

M M" o 2

o 1_

e z é rt M M ’ = M M " és ig y M ’ *“

ü

1

a

" " O

"

=

o 1

" " ¿ t ■ " " 6

M " azaz a m e g fe le lő egyenesek egy

egyenesen m e ts z ik egym ást, és fo rd ítv a is könnyen b e lá th a tó , hogy az egye­ nesnek m inden pon tjában m e ts z i egym ást k é t m e g fe le lő egyenes.

57. /4 0 . á b ra / A z A ^ A ^ i l l . A ^ ^ A ^ o ld a la k k a l párhuzam os egyenesek k é t o lya n egye nesserege t a lk o tn a k , a m e lye kn é l az egym áshoz ta rto z ó egyene­ seknek A ^ -tő i, i l l . A g -tő l m é rt tá vo lsá g a rá n ya á lla n d ó é rté k . D e ebben az esetben a z e lő ző fe la d a t é rte lm é b e n áz A ,A ’ , A 11, . . . pontok egy egyenesen ~n ~n —n so ra ko zn a k. >

40. ábra 58. /4 1 .á b ra / Legyenek az a d o tt e g y e n e s e k b e ^ . . . . e ^ /á b rá n k o n n = 4 /. V á la sszu n k k i az e g yik o ld a lo n egy

A±

^

p o n to t, és ebből k iin d u lv a s z e rk e s z -

szünk n -s z ö g e t, a m elynek o ld a la i re n d re párhuzam osak az a d o tt e ,e , . . . >e egyenesekkel. A z A ^ e t v á lto z ta tv a az e lő ző fe la d a tb ó l tu d ju k , ^ ¿ a z n - e d í

X III. fe je ze t

E G YÉ B HASO NLÓ SÁGI TR AN S ZFO R M ÁC IÓ K, A L K A L M A Z Á S O K

1. A d o tt a fo rg a tv a n yú jtá s az O közép ponttal és az A , A ’ m e g fe le lő p o n tp á r­ r a l. S ze rkesszük m eg egy te tsző le g e s B p on t ké p é t. 2. A fo rg a tv a n yú jtá s egy e egyenest, annak A p o n tjá v a l e g yü tt az e’ egyenesbe, 111. az A ’ pontba v is z á t. e és e* m e tszé sp o n tja M . M utassuk • m eg, hogy A , A ’ , M és az O középpont egy kö rö n vannak. 3 . A d o tt egy A B és A ’ B* sza ka sz. S zerkesszük m eg annak a fo rg a tv a n y ú j­ tá sn a k a z O kö zé p p o n tjá t, a m e ly A B -t A ’ B ’ be v is z i á t. 4 . M uta ssuk m eg, hogy ha az O A ^ . O A „B „. O A „B „ . . . . hasonló és egyező k ö rü ljá rá s ú három szöge k és az A ^ ,A g , A ^ .. . pontok egy egyenesen van­ nak, a k k o r a B ^, Bg, B g .. . pontok is egy egyenesen fekszene k.

HÍ

5. Legyen az O AB és Q A’ B ’ k é t hasonló egyező k ö rü ljá rá s ú h á ro m szö g . A z A A * fe le z ő p o n tja A , a B B -é B , M utassuk m eg, hogy az OA B három szög haso nló az e re d e tie kh e z. 6 . F e le zzü k m eg a k é t haso nló és egyező k ö rü ljá rá s ú há ro m szö g m e g fe le lő c s ú c s a it ö ssze kö tő sza ka szo ka t. B iz o n y íts u k be, hogy a fe le ző p o n to k a z e re d e tih e z h a so n ló három szögnek a c s ú csa i. 7 . A d o tt három szögbe irju h k be a d o tt három szöghöz haso nló h á ro m szö g e t úgy, hogy e g y ik csúcsa e lő re k itű z ö tt pontban le g ye n . 8 . A d o tt p a ra le lo g ra m m á b a Írju n k be a d o tt p a ra le lo g ra m m á h o z hasonló p a ra ­ le lo g ra m m á t. 9. A z A BCD p a ra le lo g ra m m á b a írju n k be o lya n E B F h á ro m szö g e t, a m e lyn é l a z A B , F a CD egyenesen van, és E B F haso nló egy a d o tt három szögh öz. 10. A d o tt a fo rg a tv a n yú jtá s az O kö zé p p o n tta l és az e ,e ’ m e g fe le lő egyenesek­ k e l. S zerkesszünk m e g fe le lő pon toka t az egyeneseken. 11. A d o tt az O p on t és az a ^ .a ^ .a ^ egyenes. T e k in ts ü k a z t a h á ro m .fo rg a tv a n y ú jtá s t, am elyeknek O a közös középpontja és re n d re az n - e t a - b e , i i - t a ^-b á , a ^ -a t a ^-b e v is z ik . M utassuk m eg, hogy / a / a 3 tra n s z fo rm á c ió egym ásutánja azonosság; b / ha A ^ az a ^ egyenes egy p o n tja és e zt a h á ro m tra n s z fo rm á c ió egym ás­ után, re n d re az A ,.-b e , A - b a , A . -b e v is z i, a kko r a z O A ,, O A ,, O A „ egyenesek azonos szöget zá rn a k be re n d re az a ,a _ , a . egyenesekkel és ~1 ' ¿á. «3•

- 163 -

'

fo rd itv a : ha ez u tó b b i szögegyenlőségek te lje s ü ln e k , a k k o r a 3 tra n s z fe rm á ció re n d re A ^ -e t A ^r-be, A ^ -tA g -b a , A ^ -a t A ^ -b e v is z i. 12. B iz o n y íts u k be, hogy ha az O középpontú fo rg a tv a n yú jtá s az e ^-b e v is z i á t és A ^, A ^ , A ^ .. . az e^ p o n tja i; B ^JB g, B ^ .. . az

egyenest m egfe­

le lő p o n tja i, a kko r az O A ^B ^, O A ^B ^, O A ^ B ^ .. . . három szöge k ha so n ló k. 13. J e lö ljü n k k i egy három szög sikjá b a n egy O p o n to t és olda le g ye n e se in re n d re A .-B .C p on toka t úgy, hogy az O A, Q B , OC egyeneseket ugya nakkora « szögű fo rg á s v ig y e á t a m e g fe le lő oldalegyenesekbe. M uta ssuk m eg, hogy « te tsző le g e s vá la sztá sa esetén az A B C három szöge k haso nló k. 14. V á la sszu n k k i te tsző le g e s p o n to t a három szög k ö ré i r t k ö rö n , és huzzunk ebből s ze lő ke t, a há ro m szö g oldale gyene seihe z úgy, hogy azo ka t egyenlő nagyságú és irá n y ú fo rg á s v ig y e a m e g fe le lő oldalegyenésékbe. M uta ssuk m eg, hogy a s z e lő k és az oldalegyenesek m e tsz é sp o n tja i egy egyenesen vannak /a há ro m szö g S im s o n -fé le e g y e n e s e i/. 15. B iz o n y íts u k be, hogy bárhogyan is adunk m eg a háro m szö g sikjá b a n e g y ik o ld a lla l sem párhuzam os egyenest, a z egyenes te k in th e tő a há ro m szö g egy S im son-egyenesének. /L á s d az e lő ző fe la d a to t./ 16. A 1 3 .fe la d a t s z e rin t a három szög s ik já b a n te tsző le g e s O p o n tjához ta r tó z ik egy h á ro m s z ö g -a la k , a m e ly e t az O -b ő l az o ld a la kh o z azonos szögekben h u z o tt s z e lő k m e tsz é sp o n tja i h a tá ro zn a k m eg. S zerkesszünk p o n to ka t, am elyekhez szabályos három szög ta rto z ik . 17. B iz o n y íts u k be, hogy 4 egyenes a lk o tta 4 három szög k ö ré i r t k ö re i egy pon­ to n m ennek á t. E p o n tb ó l az egyenesekre á llito tt m e rő le g e se k ta lp p o n tja i egy egyenesen vannak. 18. B iz o n y íts u k be, hogy 4 egyenes a lk o tta 4 három szög m agassá gpontja i egy egyenesen helyezkednek e l. 19. S zerkesszünk h ú rn é g yszö g e t, ha a do ttak e lő ir t so rre n d b e n o ld a la i. 20. S zerkesszünk négyszögét, h a a do ttak o ld a la i é s k é t s z e m k ö z ti szögének összege. 21. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly é r in t 2 a d o tt egyenest és egy a d o tt k ö r t a d o tt szögben m e tsz . 22. S zerkesszünk té g la la p o t, am elynek old a le g ye n e se i a d o tt pontokon m ennek á t, á tló i p e d ig a d o tt hosszúságúak. 23. S zerkesszünk négyszöget, ha a d o tta k szö g e i és á tló i. 24. S zerkesszünk p a ra le lo g ra m m á t, ha is m e rte k o ld a la i és 4, egy ponton á t­ m enő egyenes, a m e ly átm egy a p a ra le lo g ra m m a egy-egy csúcsá n. 25. B iz o n y íts u k b e ,,h o g y te tsző le g e s húrnégyszögben az á tló k s z o rz a ta a s ze m kö zti o ld a la k szo rza tá n a k összegével egyenlők /P to le ™ a in S- té te le /. 26. B iz o n y íts u k be, hogy te tsző le g e s négyszögben az á tló k s z o rz a ta nem na­ gyobb a s z e m k ö z ti o ld a la k szo rza tá n a k összegénél, egyenlőség csak húrnégyszög esetében á ll fe n n . ' 27. Szám ozzuk m eg egy p á ra tla n o ld a lszá m u szabá lyos sokszög c s ú c s a it, és tű z ­ zünk k i a k ö ré i r t k ö rö n egy p o n to t. M utassuk m eg, hogy a pontnak a p á ra t­ la n csú cso któ l m é rt tá vo lsá g -ö ssze g e egye nlő a p á ro s csú cso któ l m é rt tá vo lsá g ö ssze g g e l. - 164 -

j

28. A d o tt a s ik k é t egyenese

és e ^ . A s ík te tsző le g e s P pon tjához re n d e l­

jü n k hozzá egy P ’ p o n to t a kö ve tke ző m ódon: ile s s z ü n k P -re o lya n egye­ n e s t, a m e lyn e k e^ és e ^ k ö z ö tti szaka szát P fe le z i, ennek az egyenesekkel v a ló m e ts z é s p o n tja it v e títjü k m erő lege sen a m e tszé sp o n to t nem ta rta lm a z ó eg ye n e sre . A v e tü le ti pontok m e g h a tá ro zta szakasz fe le z ő p o n tja P ’ . M it i r l e P ’ , ha P egy k ö rö n m ozog? 29. Egy A B C D p a ra le lo g ra m m a A D o ld a lá t osszu k n egye nlő ré s z re . A z A-^hoz le g kö ze le b b i osztó p o n t P . M uta ssuk m eg, hogy a B P egyenes a z A C á tló ­ b ó l annak n + l-e d ré s z é t m e ts z i le . 30 . E gy egyenes egy 1 20 °-os szög s z á ra ib ó l a i l l . b, fe le z ő jé b ő l c hosszúságú

31.

32.

33. 34.

35.

36. 37. 38.

39. 40. 41. 42. 43. 44 . 45.

d a ra b o t m e ts z le . Ig a z o lju k , hogy ~ + r = ~ . a b c E gy szög fe le z ő jé n rö g z íts ü n k egy p o n to t. M uta ssuk m eg, hogy a ponton á t­ m enő s z e lő k a s z á ra k b ó l o lya n d a ra b o ka t m etszenek le , a m e lye k re c ip ró k ja in a k összege á lla n d ó é rté k . A z A B C három szög A B o ld a lá n a k F fe le z ő p o n tjá b ó l huzzunk p á rh u za m o st a s z e m k ö z ti szög fe le z ő jé v e l. E z az A C -t B ’ -b e n B C -t A ’ -b e n m e ts z i. Iga­ z o lju k , hogy A B ’ » B A ’ . S zerkesszünk h á ro m szö g e t, ha a d o tt k é t ó ld a la és a k ö z re z á rt szög fe le z ő je . E gy négyszög o ld a la it 3 -3 egye nlő ré s z re o s z tju k és a szom szédos o ld a la k . le g k ö z e le b b i o s z tó p o n tjá t egyenessel k ö tjü k össze . Ig a z o lju k , hogy ez a 4 egyenes p a ra le lo g ra m m á t h a tá ro z m eg. A z A B C egye nlő s z á rú d e ré kszö g ű h á ro m szö g A csú csá b ó l in d u ló súlyvona­ lá t m e g h o ssza b ito ttu k a h á ro m szö g k ö ré i r t k ö r re l ké p e ze tt D m e tszé s­ p o n tig . Ig a z o lju k , hogy AD=3BD_ /C 4 = 9 0 % B iz o n y íts u k b e , hogy a há ro m szö g o ld a la i úgy a rá n yla n a k egym áshoz, Báint a m e g fe le lő m agasságok re c ip ro k ja i. S zerkesszünk h á ro m szö g e t, ha is m e rte k m agassá gvonalai. S ze rkesszük m eg azoknak a pontoknak a m é rta n i h e ly é t, am elyeknek egy A , i l l . B p o n ttó l m é rt tá v o ls á g a ik úgy a rá n yla n a k egym áshoz, naint k é t a d o tt szaka sz. S ze rkesszünk egyenlő s z á rú h á ro m szö g e t a sz á rh o z ta rto z ó sú lyvo n a lb ó l és ennek a s z á rra l b e z á rt szögé ből. É g ye n lő szá ru három szögben a d o tt a s z á ra k szöge és a h o zzá ju k ta rto z ó sú ly v o n a l. S ze rkesszük m eg a h á ro m szö g e t. S zerkesszünk h á ro m szö g e t, ha a d o tt e g y ik o ld a la a h o z z á ta rto z ó m agasság és a m á s ik k é t o ld a l a rá n ya . S zerkesszünk h á ro m szö g e t egy szö g b ő l és abb ól a k é t sza ka szb ó l, a m e ly re az a d o tt szög fe le z ő je b o n tja a s z e m k ö z ti o ld a lt. S zerkesszünk tra p é z t, ha a d o tta k szö g e ik és á tló ik . M i a m é rta n i h e lye azoknak a pontoknak, a m e lye kb ő l 2 a d o tt k ö r egyenlő szögben lá ts z ik . S zerkesszünk p o n to t, a m e lyb ő l 3 a d o tt k ö r egye nlő szögben lá ts z ik .

Ú tm u ta tá so k a X III .. fe je ze th e z / l . á b ra / A sok lehetséges s z e rk e s z té s i m Ö dJ^öziil egyet az á b ra m u ta t.

/2 . á b ra / A z á b rá ró l le o lv a s h a tó á b iz o n y ítá s a húrnégyszögek, i l l . k e rü le ­ t i szögek té te le a la p já n .

/3 , á b ra / A z e lő ző fé la d a t s z e rin t A A ’ M O , B B ' MO egy-egy k ö rö n vannak, O te h á t 2 k ö r m e tszé sp o n tja ké n t s z e rk e s z th e tő . Ha A B és A ’ B ’ pá rh u za ­ m osak, a k k o r középpontos hasonlóság vagy e lto lá s v ife z i á t a zo ka t egy­ m ásba.

3, ábra

4 . /4 . á b ra / A z A ^ .A g .A g ... p o n to ka t az O középpontú, az A ^ O B^ szöggel eg ye n lő szögű és OB^ : O A^ e g yü tth a tó jú fo rg a tv a n y ú jtá s re n d re a lg . l g , . . . pontokba v is z i. M iv e l az A .- k egy egyenesen vannak, e z é rt k é p e ik re is á ll e z.

5. A fe la d a t az előzőnek kö zve tle n következm énye . 6 . /5 . á b ra / A k é t a d o tt háro m szö g A B C és A ’ B ’ C ’ . T o lju k é l az A B C - t az A B C 1-h e ly z e tb e . A z A ’ B ’ C ’ és_ABC ’ m e g fe le lő c s ú c s a it ö ssze kö tő sza­ kaszo k fe le z ő p o n tja i az e lő ző fe la d a t s z e rin t a közös C ’ - v e i e g yü tt áz ado ttakho z haso nló há ro m szö g c s ú c s a i; e z t az .A * B * C * h á ro m szö g e t e l­ to lá s v is z i a z A A ’ ,B B ’ ,C C ’ fe le z ő p o n tja i a lk o tta A '^ " C " h e lyze tb e .

-1 6 7 -

A 5 . á b ra 7 . /6 . á b ra / A z A B C három szögbé k e ll a z X Y Z három szöghöz ha­ s o n ló t im i úgy, hogy X ’ legyen az e g y ik c s ú cs. A lka lm a zzu n k az BC=a o ld a lra X * kö zé p p o n tú ......... ZX Y £ = e f. A CBC* háro m szö g nem lé te z ik , ha C, B , C ’ egy egyenesbe esnek, azaz ha ÍB $ + D ^ = 180°, a négyszög húrnégyszög, e kko r ac + bd = e f. •/

27. /2 4 . á b ra / Á b rá n ko n szabályos h é tszö g re végezzük e l a b iz o n y ítá s t; a sok­ szög o ld a la a , k é t m ásodszom szédos csúcsának tá vo lsá g a b, a k ö ré i r t k ö r egy P p o n tjá n a k az A . c s ú c s tó l m é rt tá vo lsá g a jt . . A lk a lm a z z u k P tö le m a io s té té lé t /2 5 .fe la d a t/ a P A ^ A „A ^ . P A ^ A „A ^ .. . . , P A ^A ^A ^ négyszögekre: atf + at3 = bt2

b t3 = a t2 + a t4 a t? + b t1 = a t2 ezek összege:

(2a+ b)(t1+ t3+ t5+ t7)=(2a+b>(t2+ t4+ t6) , azaz t l + t3+ t54 t7 = t 2+ t4+ t6

-1 7 7 -

ille s z te tt egyenes ezeke t az R , i l l . S pontokban ¡m e tszi. E zek szóban fo rg ó v e tiile te i R ’ , i l l . S’ . A z R , R ’ , S, S’ pontok egy k ö rö n vannak, e z é rt ÖRS ~ O R’ S’ , de a fe le zé s m ia tt OPS O P* S| is á ll. D e elrfcwr O P :O P ’ = = QS:OS’ = lrc o s oo = á lla n d ó , és a hasonlóságból k ö v e tk e z ik a POS és P ’ OS’ szögék egyenlősége, ez v is z o n t a z t je le n ti, hogy O P és O P* tü k rö ­ sek az tx, fe le z ő jé re , f_ -re . A P p o n to t P ’ -b e , te h á t e g y |_ -re v a ló tü k rö z é s és cos oc e g yü tth a tó jú O középpontú hasonlóság v is z i, te h á t végeredm ényben - 178 -

h a so n ló sá g i tra n s z fo rm á c ió , ig y b á rm e ly a la k z a to t i r is le P , a P ’ hozzá h a so n ló a la k z a to t fu t be. 29. / 2 6 . á b ra /A z AC. és BP m e tszé sp o n tja le gyen CJ. A z A P Q és CBQ h á ro m ­ szögek hasonlósága m ia tt A P :BC=AQ.-QC. M iv e l A P a B G -nek n -e d ré s z e , a z é rt A Q is n -e d ré s z e Q C -nek, te h á t n + l-e d ré s z e A C -n e k.

30. /2 7 . á b ra / H uzzunk párh u za m o st az A -b ó l az O B s z á r m eghosszabbítá sáig. E z az A O M szabályos h á ro m szö g e t m e ts z i le . A z A M B és COB hasonlósága m ia tt (a+ b):b= a:c, ebből az á llitá s m á r k ö v e tk e z ik . ;í

31. /2 8 .á b r a / H o sszabbitsu k m eg a CB s z á ra t az A -b ó l a szö g fe le ző ve l h u zo tt párhuzam os B ’ m e ts z é s p o n tjá t. A z A C B ’ három szöge k az A B vá la sztá sá ­ tó l fü g g e tle n ü l m in d ig h a so n ló k, a z é rt A B ’ =ak a h o l k á lla n d ó . A B C F és B B ’ A három szöge k hasonlósága m ia tt

- 179 -

8'

b :f = (a+ b):ak, a b k - a f+ h f, J

+^=J=anand6.

32. /2 9 . á b ra / A z ábrán fe lle lh e tő hasonlóságokból — = — — « — e te ttg b c - á \" .g £ * s z o rz a ta a b iz o n yita n d ó t a d ja , ha fig ye le m b e vesszü k, hogy a:b=c :c “2

33.

/3 0 .á b ra / H uzzunk a B csú csb ó l pá rh u za m o st a szö g fe le ző ve l, ennek f ’ szakasza ju t az A -4 s z á ra i kö zé . H asonlóság m ia tt _f’ :f= (a+ b):b, ebből" m á r_ f’ és ig y a BB* C három szög sze rke szth e tő .

- ,180 -

34. A k a p o tt négyszög /p a ra le lo g ra m m a / o ld a la i az e re d e ti négyszög á tló iv a l p árhuza m o sak. 3 5 . /3 1 .á b r a / A ’ a B C . C ’ az A B fe le z ő p o n tja , S a s ú lyp o n t. A z á llita « az A C * S és A D B három szöge k haso nlóságából k ö v e tk e z ik .

36. /3 2 . á b ra / A z A A ’ C és B B ’ C háro m szö g e k hasonlóságából k ö v e tk e z ik az á llítá s . *■

- 181 -

M ás m egoldás. A h á ro m szö g te rü le té n e k ké ts z e re s e : Á G . B B ’ = B C .A A ’

37, Legyenek a h á ro m szö g o ld a la i: a ,b , e j a h o zzá ju k ta rto z ó m agasságok 2L> S u jS L - A z e lő z ő fe la d a t s z e rin t a:b:c = 7

. H a te h á t a m agasságok re c ip ro k ja ib ó l h á ro m szö g e t s z e r* hl ’ m a b c ke szth e tü n k, ennek o ld a la i úgy a rá n yla n a k egym áshoz, m in t a sze rke szte n ­ dő h á ro m szö g o ld a la i, te h á t haso nló a szé rke szte n d ő h ö z, H a az a d o tt m a­ gasságokból, m in t o ld a la k b ó l h á ro m szö g e t s z e rke szth e tü n k, az ig y s z e r­ k e s z te tt h á ro m szö g m agassá gvonalaib ól s z e rk e s z te tt h á ro m szö g is m é t ha­ so n ló le s z ahhoz, am elynek s z e rk e s z té s é t fe la d a tu n k e lő ir ja . 38. /3 3 . á b ra / A m é rta n i h e ly az a d o tt A , B pontokhoz és az a d o tt sza ka sza rá n y­ h o z ta rto z ó A p o llö n iu s -k ö r. A k ö r s z im m e trik u s az A B egye nesre, e z é rt elegendő a z A B -v e l a lk o to tt m e ts z é s p o n tja it m e g sz e rk e s z te n i, azaz o lya n A B -n fe k v ő po n to ka t k e re s n i, am elyeknek A - tő l, i l l . B -tő l v a ló tá vo ls á g ­ a rá n ya az a d o tt a és b szakaszok a rá n yá va l eg ye n lő . K iin d u lá s u l párhuza­ m osokat huzunk A -n és B -n , a k a p o tt X és Y pon tok e le g e t te szn e k a k ir ó tt fe lté te le k n e k . . m

33 . á b ra 3 9 . /3 4 .á b ra / A z A , A ' pontokhoz és á 2;1 ará n yh o z ta rto z ó A p o llo n iu s -k ö rre l kezd­ h e tjü k a fe la d a t m e g o ld á sá t. /F e lh a s z n á l­ h a tju k a sú lyvo n a la k h a rm a d o ló tu la jd o n ­ sá g á t is . / 40. L . a 3 9 .fe la d a to t. 41, A fe la d a t m egoldásánál p l. az A p o llo n iu s k ö r a lka lm a zh a tó . 4 2 . L . a 4 1 . fe la d a to t. 43. A fe la d a t m egoldható a 23. fe la d a t m e g ö ld á s a a la p já n .

a

A 34. ábra

- 182 -

M ás m egoldás /3 5 . á b ra / A z Á E B három szögh öz h a so n ló t s z e rk e s z th e tü n k . A z A M :B M a rá n y az á tló k a rá n yá va l egyenlő, te h á t is m e rt. Ehhez a z a rá n y ­ hoz és az A , B pontokhoz ta rto z ó A p o llo n iu s -k ö rb ő l az E F s ú lyvo n a l m e ts z i k i M -e t. A z á b rá t k iv á n t nagyságúra fe ln a g y íth a tju k .

4 4 . /3 6 . á b ra / Ha P ily e n tu la jd o n sá g ú , a k k o r a J ’ E^O ^ és P E „Q „ d e ré kszö g ű három szöge k h a s o n la t, e z é rt P Q ^ P O ^ r ^ ^ = á lla n d ó , te h á t a P pohtaak az ^

és Og kö zép pontoktól m é rt tá v o ls á g -a rá n y a á lla n d ó ; P ra jta van az

O f jO g pontokhoz és

h á n y h o z ta rto z ó A p o llo n iu s -k ö rö n .

45. A 44. fe la d a t is m é te lt a lk a lm a z á s á ró l van szó.

- 183

X I V . fe je ze t

F E LA D A T O K A KÖ R G E O M E TR IÁ JÁ B Ó L

1. Szerkesszünk adott sugaru kört, amely két adott egyenest érint. 2. S zerkesszünk a d o tt sü g a ru , a d o tt ponton átm enő és a d o tt egyenest é rin tő k ö rt. 3 . A d o tt egy k ö r és egy egyenes. S zerkesszünk a d o tt su g a ru k ö rt, a m e ly m in d k e ttő t é r in ti. 4. Szerkesszünk két adott kört érintő adott sugaru kört.

5-. R a jz o lju n k m eg egy k ö rt, ebbe egy te tszé s s z e rin ti á tm é rő t és h o ssza b b ít­ suk m eg e zt az á tm é rő t. S zerkesszünk az e re d e tiv e l egyező su g a ru k ö rt, a m e ly az e re d e ti k ö rt és az á tm é rő m eghosszabbítását é r in ti. 6 . S zerkesszünk a d o tt su g a ru k ö rt, a m e ly é rin t egy e lő re a d o tt k ö rt, és annak egy m e g s z e rk e s z te tt é rin tő jé t. 7.

Szerkesszünk adott sugaru kört, amely két adott ponton átmegy.

8. T űzzünk k i e g ym á stó l 3 c m -n y ire k é t p o n to t. S zerkesszünk o lya n 2 cm suga­ ru k ö rt, a m e ly az e g y ik k itű z ö tt p o n ttó l I cm , a m á s ik tó l 2 cm távolságban h a la d . 9. S ze rke ss zü n k.kö rt, am e ly 2 a d o tt ponton átm egy és közép pontja egy a d o tt k ö rö n van. 10. Szerkesszünk kört, amely egy háromszög három csúcsától adott távolságban halad.

11. A d o tt 4 p o n t. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly m ind a 4 -tő l egye nlő tá v o ls á g ra van. 12. S ze rkesszünk k ö r t, a m e ly k é t egyenest é rü lt, e g yike t a d o tt pontban. 13. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly egy k ö rt és egy egyenest é rin t a z, e lő b b it a d o tt pontban. . 14. S zerkesszünk egy három szögbe fé lk ö rt, am elynek á tm é rő je az e g y ik o ld a lo n van és é r in ti a m á s ik k é t o ld a lt. 15. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly a d o tt egyenest é rin t és átm egy k é t o lya n ponton, am e lye k összekötő egyenese m e rő le g e s a z a d o tt egyenesre* 16. Tűzzünk ki egy pontot két egyközepü kör között. Szerkesszünk kört, amely ' mindkét kört érinti, és átmegy az adott ponton.

17. A d o tt k ö rc ik k b e Írju n k a su g a ra ka t és az iv e t é rin tő k ö rt. 18. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly k é t egye nlő su g a ru k ö rt é rin t, a z e g y ik e t a d o tt pontban. 19. Szerkesszünk kört, amely két tetszőleges kört érint, az egyiket adott pontban. 20. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly egy egyenest és egy k ö r t é rü lt, az egyenest a d o tt pontban. -184-

21. S ze rkesszünk k ö rt, a m e ly h á ro m egye nlő suga ru k ö r t é rin t, /a k ö rö k kö ­ z é p p o n tja i nincsene k egy egyenesen, a z é rin tő k ö r m in d h á ro m k ö rt k ív ü l­ r ő l, vagy m in d h á rm a t m agába z á rv a é r in t i/ .

23. M u ta ssu k m eg, hogy azoknak a pontoknak a m é rta n i h e lye , a m e ly e k re k é t a d o tt p o n ttó l v e tt tá vo ls á g négyzeténék a különbsége á lla n d ó , a k é t pont egyenesére m e rő le g e s egyenes. 24. M u ta ssu k m eg, hogy azoknak a pontoknak a m é rta n i h e lye , am elyeknek k é t /n e m k o n c e n trik u s / k ö rre vona tko zó hatványa égyenlc^a k é t k ö r c e n trá lis á ­ r a m e rő le g e s egyenes /h a tv á n y v o n a l/. 25. B iz o n y íts u k b e , hogy h á ro m k ö r pá ro n ké n t v e tt hatványvn n a la l egy prm thq^ m e ts z ik egym á st, ha kö zé p p o n tja ik nin cse n e k egy egyenesen /h a tv á n y p o n t/. 26. H á r o m adott körhöz szerkesszünk pontot, amelyből mindháromhoz egyenlő

é rin tő hu zh a tó . ' ‘ 27. T űzzü nk k i egy egyenesen k é t p o n to t és sze rke sszü n k é rin tő k ö rö k e t ezekben a pontokban az egyeneshez ú g y, hogy a k ö rö k m essék eg ym á st. B iz o n y íts u k b e , hogy a közös h ú r m eghosszabbítása m in d ig fe le z i a fe lv e tt pon tok m eg­ h a tá ro z ta sza ka szt. 28. T űzzü nk k i egy egyenesen k é t p o n to t és á ze rke sszü n k é rin tő k ö rö k e t ezek­ ben a pontokban az egyeneshez úgy, hogy a k ö rö k é rin ts é k egym á st. B iz o ­ n y íts u k be, hogy az é rin té s i ponthoz ta rto z ó közös é rin tő m in d ig fe le z i a k é t fe lv e tt p on t sza ka szá t. ' •, 29. A d o tt k é t k ö rh ö z sze rke sszü n k p o n to t, a m e ly b ő l a k é t kö rh ö z egye nlő és e lő re a d o tt szöge t b e zá ró é rin tő k h úzh ató k. 30. A d o tt 3 p o n t. S zerkesszünk a pontok k ö ré k ö rö k e t, a m e lye k egym ást p á ro n ­ k é n t m e rő le g e se n m e ts z ik . 31. S ze rkesszünk k é t a d o tt ponton á t o lya n k ö rt, a m e ly ik a d o tt k ö r t á te lle n e s pontokban m e tsz . 32. Szerkesszünk kört, amely egy háromszög minden oldalából adott szakaszt m e tsz k i. 33. A d o tt p o n tb ó l a d o tt k ö rh ö z sze rke sszü n k s z e lő t ú g y, hogy a b e lő le k im e ts z e tt h ú r a d o tt hosszúságú le g ye n . 34. K é t a d o tt k ö rh ö z sze rke sszü n k s z e lő t, a m e lyn e k a kö rö kb e a d o tt hosszúsá­ gú d a ra b ja e s ik . 3 5 . A d o tt p o n tb ó l a d o tt kö rh ö z sze rke sszü n k s z e lő t ú g y, hogy annak a k ö rö n be­ lü li d a ra b ja a k ö r egy p o n tjá b ó l a d o tt szögben lá ts z ó d jé k - 185 -

36. A d o tt k é t p o n to tv e tits tin k egy a lka lm a s k ö r i p o n tb ó l a k ö rre ú g y, hogy a v e tiile te k össze kötő szakasza a d o tt irá n y ü le gyen. 37. A d o tt kö rb e írju n k be há ro m szö g e t úgy, hogy o ld a le g ye n e se i e g y-egy k itű ­ z ö tt ponton m enjenek á t. 38. K ü ls ő p o n tb ó l huzzunk s z e lő t a k ö rh ö z , am e ly a z t a d o tt szögben m e ts z i. 39. A d o tt p o n tb ó l a d o tt kö rh ö z sze rke sszü n k s z e lő t úgy, hogy a b e lő le k im e t­ s z e tt h ú r m é rta n i középarányos legyen a sze lő s z e le te i k ö z ö tt. 40. B iz o n y íts u k be, hogy egy három szögben a m agasságoknak a m agasságpont­ tó l a csú csig és a z o ld a lig te rje d ő szakaszának a s z o rz a ta m ind a h á ro m m agasságon u g ya nakkora. 41. H egyesszögű három szög k é t o ld a la m in t á tm é rő fö lé k ife lé fé lk ö rö k e t s z e r­ ke sztü n k. H o sszabbítsuk m eg a sze m kö zti csú cso kb ó l h u z o tt m agasságvona­ la k a t a fé lk ö rig . B iz o n y íts u k be, hogy ezek m e tszé sp o n tja egye nlő tá v o l van a k ö z tü k lé v ő c s ú c s tó l. 42. H o sszabbítsuk m eg az A B C három szög A csúcshoz ta rto z ó s z ö g fe le z ő jé t a k ö ré i r t k ö r A " p o n tjá ig , a szö g fe le ző a BC o ld a lt A ’ -b e n m e ts z i. B iz o . n y its u k be, hogy A "B m é rta n i közepe a z A ’ A " és A A " szakaszoknak. 43. S zerkesszünk h á ro m szö g e t ha a d o tt egy o ld a la , a z e zze l s z e m k ö z ti szöge és a szög fe le ző jé n e k a h ossza. 44. S zerkesszünk h ú rnég yszöget, ha a d o tt egy o ld a lá n a k egyenese, az azon lé ­ v ő o ld a l hossza és a s z e m k ö z ti o ld a l v é g p o n tja i. 45. R a jz o lju n k h á ro m egym ást m e tsző k ö rt úgy, hogy közös h ú rja ik m e tszé s­ p o n tja m in d e g yikü k belsejében le g ye n . B iz o n y íts u k be, hogy a h u ro k m e t­ szé sp o n tja k ö rü l sze rk e s z th e tő o lya n k ö r, a m e ly e t m in d h á ro m k ö r pontokban m e tsz . 46. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly a d o tt ponton átm egy és k é t a d o tt egyenest é rin t. 47. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly k é t a d o tt egyenest és egy k ö rt é rin t. 48. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly k é t a d o tt ponton átm egy és egy a d o tt egyenest é r in t. 49. A d o tt egyenesen sze rke sszü n k p o n to t, a m e ly egy p o n ttó l és egy egyenestől egyenlő tá v o ls á g ra van. 50. A d o tt egyenesen sze rke sszü n k p o n to t, a m e ly egy k ö rtő l és egy egyenestől egye nlő tá v o ls á g ra van. 51. S zerkesszünk k ö rt, a m e ly k é t a d o tt ponton átm egy és egy a d o tt k ö r t é rin t. 52. S zerkesszünk k é t ponton á t k ö r t ú g y, hogy a d o tt k ö rb ő l a d o tt hosszúságú h ú rt m essen k i. 53. A d ju n k m ég egy egyenest, egy k ö r t, és ennek az egyenesre m e rő le g e s á t­ m é rő jé t. A z á tm é rő e g y ik vé g p o n tjá b ó l huzzunk s z e lő t, és ig a z o lju k , hogy az a d o tt egyenesig te rje d ő szakasznak és a k im e ts z e tt h ú rn a k a s z o rz a ta fü g g e tle n a sze lő irá n y á tó l. 54. A £ ponton átm enő A B és A ’ B ’ egyeneseken a z A , B j A ’ , B T pon tok úgy he­ lye zkedne k e l, hogy a P vagy e lv á la s z tja az A , B j A ’ ,B ’ p ö n tp á ro k m ind­ e g y ik é t, vagy e g y ik e t sem , és P A .P B = P A ’ .P B ’ . B iz o n y íts u k b e , hogy A , B ; A ’ , B ? egy k ö rö n vannak.

- 186 -

55. ' 56. 57. 58. 59.

S ze rkesszünk k ö rt, am e ly a d o tt ponton átm egy és a d o tt k ö rt és a do tt egyenest é r in t. S ze rkesszünk k ö r t, a m e ly a d o tt egyenest és k é t a d o tt k ö rt é rin t. S ze rkesszünk k ö rt, a m e ly a d o tt ponton átm egy és k é t m á s ik k ö rt é rin t. S ze rkesszünk h á ro m a d o tt k ö rt é rin tő k ö r t. E gy k ö r á tm é rő jé n je lö ljü n k k i a z O kö zé p p o n tra s z im m e trik u s a n egy PQ p o n tp á rt. A z O, P ,Q p o n to ka t v e títs ü k a k ö r egy te tsző le g e s p o n tjá b ó l a t ő r r e , a v e tü le te k O’ , P * , Q ’ . A P ’ QJ* a z á tm é rő m eghosszabbítását M -be n m e ts z i. B iz o n y íts u k be, hogy O’ M é r in ti a k ö rt.

Ú tm u ta tá so k a X IV . fe je ze th e z 1 . H uzzunk az egyenesekkel s u g á rn y i távolságban pá rh u za m o sa ka t. E zek közös p o n tja a kö rkö zé p p o n t. 2 -9 , A k ö r k e re s e tt közép pontja m é rta n i h e lye k közös p o n tja ké n t h a tá ro zh a tó ■ meg.,' ■

10. A há ro m szö g k ö ré i r t k ö ré v e l k o n c e n trik u s k ö r rő l van sző . 11 . /3 . á b ra / V á la sszu n k k i h á rm a t a pontok kö zü l,, sze rke sszü k m eg a ra jtu k átm enő k ö rt és az e zze l k o n c e n trik u s , a neg yediken'á tm enő k ö r t. E k é t k ö r közép vonala a k e re s e tt k ö r . H asonló e lve n m ás tip u s u m egoldás is e lké p ­ z e lh e tő /4 . á b ra /

12. L .a ^ - 9 . fe la d a to k a t. 1 3 . A fe la d a t az e lő z ő re ve ze th e tő v is s z a , ha a k ö rh ö z m e g sze rke sztjü k a z a d o tt p o n tb e li é rin tő t. 14. A kö rkö zé p p o n t ra jta van az o ld a lla l sz e m k ö z ti szög fe le z ő jé n . 15. /5 .á b r a /A k ö r sugara, (r) könnyen s z e rk e s z th e tő . 16. A kö rkö zé p p o n t a k é t k ö r középvcm alán va n . - 187 -

17.

/ 6 . á b r a / S z im m e t r ia m ia t t a b e i r t k ö r a k ö r i v f e le z ő p o n t já b a n é r in t ,

és

é r in t i a z ebben a pontban az ivh é z h u zo tt é r in tő t is . , ’ 18. / 7 .á b r a /. A szerkesztendő k ö r s z im m e trik u s a k é t k ö r s z im m e tria te n g e ly é ­ r e , e z é rt középpontja ezen van, fe lté v e , hogy m in d k é t a d o tt k ö r t k ív ü lr ő l vagy m in d k e ttő t m agában fo g la lv a é r in t i. ’

Hogy olyan k ö r t szerke sszü n k, a m e ly az e g yike t m agában fo g la lja a m á s ik a t k iv ü lr ő l é r in ti, tü k rö z z ü k az é rin té s i p o n tta l a d o tt k ö r t a p o n tb e li é r in tő r e , és ehhez sze rke sszü n k az e lő z ő m ó d s z e rre l é r in tő k ö r t / 8 . á b ra /.

I I

8 . áb ra 19. / 9 . á b r a / A z é r in té s i p o n tta l a do tt k ö rh ö z sze rke sszü n k e lő s z ö r á m á s ik k ö r r e l e gye nlő sugara é rin tő k ö r t. E z z e l a fe la d a to t az e lő ző re v e ze th e tjü k v is s z a .

•20. L . a z e lő z ő fe la d a t m ó d sze ré t. M ás m egoldás: /1 0 . á b r a / A hasonlóság fe lh a s z n á lá s á v a l V a ló s z e rk e s z té s t a z á b rá ró l o l­ v a s h a tju k le .

10.

áb ra

21. A sze rke szte n d ő k ö r’ k o n c e n trik u s a h á ro m a d o tt k ö r középpontja in átm enő k ö r r e l. 2 2 . A m e g o ld á s á 1 9 . é s 2 0 . f e la d a t o k é r a v e z e t h e t ő v is s z a .

23. / I I . á b r a / A z á b rá ró l le o lva sh a tó , hogy a A B - r e á llit o t t m e rő le g e s te ts z ő !

2

2

2

2

leges P p o n tjá ra P A -P B = a -b = álland ó. Ha v is z o n t a m erő lege sen k i v ü l veszü nk fe l egy tj» p on tot /1 2 . á b ra /

Q A 2 - Q B 2= a 1 2+ m 1 2 - b 1 2 - m 1 2 = a x 2 - b ^

E z n e m le h e t e g y e n lő a z e lő b b i á lla n d ó v a l,

m e r t a k k o r f e n n á lln a , h o g y

2 , 2 2 , 2 a - b = ax - ^

(a+b)(a-b)=(a1+b1)(a1-b 1) a -b = a ^ -b ^ a-b+(a+b)=a1- b 1+(a1+b1) 2a-2a^ , n m i elle n té tb e n van a fe lte v é s s e l. - 190 -

24. Legyen a P pontnak a távolsága az O ., 111. 0_ kö rkö zé p p o n to któ l d , i l l . 2

■

d . A P pontnak a k ö rö k re vonatkozó h a tványai d í

.v,

d^,

25. 26.

27. 28.

2

■ .

-d g

2

= r^

2

2

-r

1

* íu , d

1

*

2

2

2

-r

. Ha

2

2

- r 2 - állandó,

te h á t P -n e k a k é t k ö r kö zép ponttól m é rt tá v o ls á g a i négyzetének különbsége álland ó; a z e lőző fe la d a t s z e rin t az ily e n P p o n to k a c e n trá lis ra m e rő le g e s egyenesen vannak. B á rm e ly k é t hatványvonal m etszéspontjá nak egyenlő m in d h á ro m k ö r r e v o ­ natkozó hatványa, te h á t r a jta van b á rm e ly k é t kör* hatvány vona lán . M iv e l a pontnak a k ö r re vonatkozó hatványa egyenlő a pon tbó l h u zo tt é rin tő szaka sz n é g yzetével, a hatványponthói h u z o tt é r in tő m in d h á ro m k ö r re egyenlő /fe lté v e , hogy huzható b e lő lü k é r in tő /. A m e tszéspont r a jta van a k é t k ö r hatványvonalán, te h á t egyenlő é r in tő húzható b e lő le a k é t kö rh ö z . L . az e lő ző fe la d a to t.

29. /1 3 . á b ra / A H pon t m inde nesetre r a jta van a k é t k ö r hatványvonalán, h i­ szen egyenlő é rin tő k húzhatók b e lő le a k é t k ö rh ö z . S zerkesszük m eg az é rin té s i pontokhoz ta rto z ó á tm é rő k e t, ezek egyenesei M -b e n m e ts z ik egy­ m á s t és az A H B M négyszög d e lto id , e z é rt A M = B M , r+ O nM ^R-KX-M, - 191 -

Q j^ M - O g M ^ - r . íg y az Q jQ ^ M három szögben is m e r t az M ■£ = 180° -

ex

,

Q.1 Q2 o ld a l és a “ á s ík k é t o ld a l R - r különbsége. E z u tó b b i fe la d a t p l. ig y o ldható m eg: az O -C k M h á ro m szögn él legyen O, K = 0 , M - 0 , M , e k k o r Q x, ~ í ~~ ~ 1 ~ ~ 2 — T = 90 + / y 2 , az fö lé s z e rk e s z te tt /'lá tó s z ö g li k ö riv e n van tehát. K , e z a z O ^K s u g á rra l k im e ts z h e tő a k ö rív b ő l.

30. /1 4 á b r a / Ha egy k ö r m e rő le g e se n m e ts z m á s ik k e ttő t, a k k o r középpontja . r a jta van a z utóbbiak hatványvonalán. te h á t r a jta van az és kö ­ zéppontú k ö rö k hatványvonalán. M á s ré s z t e k é t k ö r M m etszéspontjá ból az O^Og szakasz derékszögben lá ts z ik , m iv e l b á rm e ly ik k ö r. M -p o n tb e li suga ra a m ásikn ak é rin tő je . A sze rke szté s e z é rt: A z Q - b ó l az O O - r e —3

. —i —2

á llíto tt m e rő lege s k im e ts z i a z O O . fö lé s z e rk e s z te tt T h a le s -k ö rb íil az M -e t. • 31. / I S . á b ra / S ze rkesszünk A B -n á t az a d o tt k ö r t m e tsző te tsző le g e s segédk ö r t. A h á ro m k ö r H hatványpontja ig y sze rke szth e tő . A hatványponton átm egy a z a d o tt és a sze rke szte n d ő k ö r hatványvonala, a HO egyenes k im e t­ s z i a sze rke szte n d ő k ö r k é t p o n tjá t az a d o tt k ö rb ő l, 32.

A k ö r k o n c e n t r ik u s a h á r o m s z ö g b e i r t k ö r r e l.

— 192 -

33. /1 6 . á b ra / Ha az adott körben m egszerkesztenénk az összes kívá n t hoszszuságu b ú ro ka t, egy az a d o tta l ko n ce n triku s k ö r t burkolnának. Énhez a kö rn ö z s z e rk e s z te tt é rin tő n e k az e re d e ti kö rö n b e lü li szakasza éppen a k í ­ v á n t hosszúságú.

34. A fe la d a t m egoldása a 33. fe la d a t gondolatm enetét k ö v e ti. Szerkesszük meg m in d k é t kö rb e n azt a k ö rt, am e lye t az adott hosszúságú n u ro k burko ln a k. A k e re s e tt egyenes e ké t k ö r közös é rin tő je . 35. A fe la d a t lényegénen m egegyezik a 3 3 .fe la d a tta l, m e rt a k e r ü le ti szög a , h o zzá ta rto zó U urt m á r m eghatározza. 36. /1 7 . á b r a / A és B a z'a d o tt pontok, X a v e títé s i középpont, A ’ és B ’ a v e tü le te k , i_ az adott irá n y . Légyen B ’ L párnuzam os A B -v e l. A z A ’ X B M h ú r­ négyszög, m e rt a kétíves szögek az L $■. kie g é szítő szögei, e z é rt .2

A B . A M = A X . A A ’ = AE

'

,2

AM =

AE AB

- 193 -

17. ábra ebből A M már egyszerűen szerkeszthető. Az ¿&=LB*A* 4. ismert, tehát a •feladat megoldott, ha M-ből olyan szelőt szerkesztünk a körhöz, amelynek a%örön belüli darabjához ¿b kerületi szög tartozik /L. az előző feladatot/. 37. /18. ábra/Legyenek az adott pontók A,B,Cj a háromszög csúcsai X,Y,Z. Legyed továbbá ZF párhuzamos A B -vel. az E X a D-ben metszi AB-tl Az XD B Y húrnégyszög, mivel D kiegészítő szöge az F ^ = Y $ -nek, ezért

2

AD. AB=AX. AY=AE , A D «

AE^

sebből A D és a D ’ ponti&zerkeazthető.

A feladat most a következő: szerkeszteni keU a körön olyan X pontot, , amelyből a C-t és D-t a körre vetítve a vetületek összekötő egyenesej. irá­ nyú /l. az előző feladatot/.

18. ábra

- 194-

38. /19. ábra/ Ha az s szelő oL. szögben metszi a kört, akkor oc szöget zár be a metszéspontbeli érintővel és a körön belüli darabja is ötszögben látszik a kör egy pontjából, tehát a belőle kimetszett húr hossza is meghatározott. Ezért feladatunk a 33.feladatra vezethető vissza.

39. Á s z e lő sze le te in e k m é rta n i középarányosa a pontbóhá1kö rh ö z h u zo tt é r in ­ tő sza ka sz. E z é rt úgy k e ll a pontból s z e lő t h uzn i a kö rh ö z, hogy annak a k ö rö n b e lü li ré s z e éppen az é rin tő s z a k a s s z a l légyen egyenlő. / L . a 33. fe la d a to t« / 4 0 . /2 0 . á b r a / F e lh a szn á lh a tju k, hogy a m agasságpontnak az o ld a la k ra vonat­ ko zó tü k ö rk é p e i á k ö ré i r t k ö rö n vannak, e z é rt p l. a .2 a . = b . 2b = az M pont k ö r re vonatkozó hatványa. így aa^ = bb . ■

Más megoldás:

> ’■

A b izonyítá s le o lva sh a tó abból az é s z re v é te lb ő l is , hogy az o ld a la k fö lé s z e rk e s z te tt T h á le s -k ö rö k hatványpontja a m agasságpont.

41.

/2 1 . á b ra / A z A P B és AQjC derékszögű három szögekből -

AP

2

= AB. AC’ ,

AQ2 = AC. A B ’ , visz o n t a jobboldalon á lló k é t s z o rz a t éppen az A pontnak a BC fö lé s z e r­ k e s z te tt k ö r re vonatkozó hatványa, tehát egyenlő.

42.

/2 2 . á b ra / A z A Á "B és B A "A három szögek hasonlósága m ia tt A A " :A " B = =A"B:_A’ A " . Ebből az á llítá s m á r kö ve tke zik.

43.

/2 3 . á b ra / A z adatokból m e g szerkeszthető a három szög a o ld a la és k ö ré ‘ i r t k o ré , v a la m in t a szögfelező egyenes k ö r i m etszéspontjának az eg yik csú cstó l m é rt e távolsága. A szögfelező egyenesen m é rt x + f és x sza — — a. -

196 -

23. ábra kaszoknak az e /a z e lőző fe la d a t s z e r in t/ m é rta n i középarányosa, e z é rt x sze rke szth e tő o ly módon, hogy e - t fe lm é rjü k egy tetsző leg es k ö r é rin tő szakaszának, és ennek végpontjából olyan s z e lő t szerke sztü n k a kö rh ö z, am elynek a k ö rö n b e lü li szakasz éppen f / l . a 3 3 .fe la d a to t/, a kö rö n k í­ v ü li szákasz x le s z . 44. /2 4 . á b ra / A d o tt a húrnégyszög A és B csúcsa, CD oldalegyenese, a CD o ld a l a hosszá. A z A B és CD oldalegyenesek a H pontban m e ts z ik egym ást. A HD szakasz szerke szté se a célúnk. A z A , B pontokon át tetsző leg es k ö r t sze rke sztü n k, és ehhez H -b ó l olyan sz e lő t huzunk, am elynek ¿ k ö rö n b e lü li ré s z e a hosszúságú / l . a 3 3 .fe la d a to t/. E k k o r HE=H D , m e rt H r a jta van a k é t k ö r hatványvonalán és ig y H E . (HE+a) = HD (HD+a) (HE + HD) (HE - HD) = a (HD - H E ). Ha HE/ H D , a k k o r HE+HD= -a következne, a m i le h e te tle n .

- 197 -

45. /2 5 . á b ra / A h á ro m h ú r közös H ponton m egy át, ez a h á ro m k ö r hatvány­ p o n tja . H-nak»-m indhárom k ö r re egyenlő a hatványa. S zerkesszük m eg m inden k ö rb e n a z t a h ú r t, a m e ly m e rő lege s H - t a k ö r középpontjával ö s z szeköto egyenesre. H fe le z i e z t a h ú r t és énnek § fé lh o ssza H -n a k a k ö rö k ­ r e vonatkozó hatványának négyzetgyöke, tehát m inden kö rb e n egyenlő. A H k ö rü l s z e rk e s z te tt § suga ru k ö r t e z é rt m in d h á ro m k ö r egy á tm é rő végpont­ ja ib a n m e ts z i.

25. á b ra 46.

/2 6 . á b ra / A fe la d a to t középpontos hasonlóság se g itségével o ld h a tju k m eg. A k é t egyenesnek abba a szögtartom ányába, am elyben a z a d o tt pont van, az egyenesekét é rin tő tetsző le g e s k ö r t sze rke sztü n k és e zt a k é t egyenes m e t­ széspontjából addig n a g y ítju k , m ig a z a do tt ponton á t nem m egy. Ha a k é t egyenes párhuzam os, a k ö r su g a ra e leve a d o tt.

26. ábra: -....iqg?

47, /2 7 . á b ra / N a gyítsuk fe l középpontjából a sze rke szte n d ő k ö r t a k k o rá ra , hogy m enjen á t a z a do tt k ö r középpontján. E k k o r az egyenesek is a itn iM n a ir az a do tt k ö r s u g a rá v a l. A fe la d a to t ig y az e lő z ő re v e ze th e tjü k v is s z a .

27.

ábra

M ás m egoldás; /2 8 . á b ra / T e k in ts ü k a z t a h a so nló sági tra n s z fo rm á c ió t, a m elynek a z adott és a szerke szte n d ő k ö r é rin tk e z é s i p o n tja a középpontja, és a szerke szte n d ő k ö r t az a d o tt k ö rb e v is z i. M iv e l a képként ka p o tt e j , e ’ ■""1 2 egyenesek az a do tt k ö r e ^ -g y e l, i l l . ^ - v e l párhuzam os é r in tő i, könnyen s z e r k e s z th e ti; a z M M * egyenes m e ts z i k i a z a d o tt k ö rb ő l az é rin té s i pon­ to t, ennék b irto ká b a n n k e re s e tt k ö r egyszerűén s z e rk e s z th e tő .

28. ábra

-

189

-

48. /2 9 . á b ra / A k é t ponton átm enő tetsző leg es kö rh ö z a ké t pont összekötő egyenesének m inden p o n tjá b ó l egyenlő é rin tő húzható, tehát a sze rke szte n ­ dő kö rh ö z is . Ennek fig ye le m b e v é te lé v e l a ké t ponton á t tetsző leg es k ö r t sze rke szthetünk, a ké t pon t összekötő egyenesének és az adott egyenesnek m etszéspontján át ehhez é rin tő t sze rke sztü n k, a k e re s e tt k ö r é rin té s i pont­ ja ennek segítségével k itű zh e tő .

M ás m egoldás: /3 0 . á b r a / T ü krö zzü k az egyenest a k é t a do tt pont m eghatá­ ro z ta szakasz fe le z ő m e rő le g e s é re . A tü k ö rk é p ugyancsak é r in t i a s z e r­ kesztendő k ö r t. A fe la d a t m o st m á r k é t egyenest é rin tő és adott ponton át­ m enő/kör sze rke szté se . / L . a 46. fe la d a to t/ 49. /3 1 . á b ra / A g egyenesnek a z t az O p o n tjá t k e ll m e g sze rke szte n i, am ely egyenlő tá vo l van P - tő l és e -tő l; az O tehát középpontja egy az e - t é r in ­ tő és P -n átm enő k ö rn e k . Hogy ezt a k ö r t m egszerkeszthessü k, tü k rö z z ü k P - t g - r e , á P ’ tü kö rké p is r a jta van a k ö rö n . . A fe la d a t m ost m á r csak a JP,_P’ pontokon átm enő és az e -t é rin tő k ö r s z e rk e s z té s e /I. a 4 8 .fe la d a to t/. , ~ 50. /3 2 . á b ra / A z előző fe la d a t m egoldásának m in tá já ra m ost tulajdonképpen olyan k ’ k ö r t k e ll szerkesztenün k, am ely é r in t egy e egyenest és egy k k ö r t és középpontja egy g egyenesen van. N agyítsuk m eg a k ’ k ö r t a k S u ­ g a rá v a l, ezzel a fe la d a to t az e lő ző re ve ze th e tjü k v is s z a .

200 -

32. ábra 51. /33. ábra/ A és B az adott pontok, k az adott kör, k’ a szerkesztendő. A-n és B-n tetszőleges olyan a segédkört szerkesztünk, amely metszi k-t. k, k' és s hatványpontja, H már így szerkeszthető. H-n átmegy k és k’ hatványvonala, azaz közös érintőjük. A k’ kör érintési pontját tehát H-ből a k-hoz huzott érintő érintési pontja tűzi ki. ~

33. ábra 52. /34. ábra/ A feladat a 31.feladatnak általánositása. Szerkesszünk az adott A, B pontokon át az adott k kört metsző tetszőleges segédkört. A k, s és a szerkesztendő k’ kör hatványpontját, H-t így megszerkeszthetjük? A k és k’ körök hatványvonala, azaz közös huregyenese, ugyancsak átmegy H-n; ugT szerkeszthető, hogy H-ből k-hoz olyan szelőt huzunk, amelynek k-n belüli része adott hosszúságú A. a 33. feladatot/. ~ 201 -

34. ábra S3. /35. ábra/ Azt kell igazolni, hogy P A ’.PB*«állandó. Ez viszont abból kö­ vetkezik, hogy az A B B ’A ’ húrnégyszög, és a P pontnak á négyszög köré irt körre vonatkozó hatványa PA*.P B *=PA.PB=ananrió

fi

35. Ábra 54. /36. ábra/ Nézzük azt az esetet, amelynél P nem választja el az A, B; A ’;B ’ pontpárok egyikét sem. A P A ’B és P A B ’háromszögek hasonlók, mert P-nil fekvő szögük közös, és a feltétel értelmében PA’:PB = PA:PB*, tehát ~" P B A ’ ^ = P B ’A^f. . Az A A ’ szakasz tehát a B,B’ pontokból egyenlő szög­ ben látszik, ezért A , B, A ’,B ’ egy körön vannak. /Megjegyezzük, hogy a bi­ zonyításban szereplő hasonló háromszögeket úgy választottuk, hogy a szó­ ban forgó egyenlőszögji csúcsok az A A ’ egyenesnek ugyanazon az oldalán le­ gyenek. - 202 -

36. ábra 55. /37. ábra/Adottak kör, e egyenes, Q pont. Szerkesztendő a k* kör. Le-« gyen A ’ a k és k’ érintkezési pontja, k’ a B ’-ben érinti e-t. Az 53. fel­ adat szerint PA.PB=PA’.P B *. A PCJ szelő a k’ kört még egy Q ’ pontban is metszi, ezért P A ’.PB* = PQ* .PQ. De akkor az előzőek szerint PA.PB= -PQ* .PQ. Az 54.feladat szerint ezért A, B, Q, Q ’ egy körön vannak, az A, B, 51 pontokon átmenő kör tehát P Q -ból kimetszi M23. • • • »Mn l ■'

a körök második metszéspontjai. Válasszunk ki k^-en egy tetszőleges A^ pontot, á z A ^ g egyenes a ^ kört A2-ben, az AgM^ egyenes, a kg kört A -bán, stb. metszi. Mutassuk meg, hogy az A^M^ egyenes k j-e t Aj-ben 3 42. A Íörtetszőleges AB. húrjának F felezési pontjára úgy illesztünk KL és MNhúrokat, hogy az AB ne válassza szét a K és M pontokat. Bizonyítsuk be, hogy a KN és ML hurok közé az AB-nek olyan darabja esik, amelyet JF felez. 43. Bizonyítsuk be, hogy a húrnégyszög szemközti oldalegyeneseinek belső szög­ felezői merőlegesek egymásra. , 44. Bizonyítsuk be, hogy a húrnégyszögben az átlók szögfelezői párhuzamosak, a szemközti oldalegyenesek szögfelezőivel. 45. Bizonyítsuk be, hogy a húrnégyszög szemközti oldalegyeneseinek szögfele­ zői az egy rombusz csúcsaiban metszik. 46. Mutassuk meg, hogy a húrnégyszög oldalfelező pontjaiból a szemközti ol­ dalakra emelt merőlegesek egy pontban metszik egymást. 47. Egy egyenlő szárú háromszög alapján felvett P pontból a szárakkal párhu­ zamosakat huzunk, ezek a szárakat Q és R pontokban metszik. Bizonyítan­ dó, hogy a P pontnak a QR egyenesre vonalkozó tükörképe az egyenlő szá­ rú háromszög köré irt körön van. 48. Egy kor gördül egy kétszer akkora sugaru körön, annak belsejében. Milyen pályát ir le a gördülő kör kerületének valamely pontja. 49. Az a oldalú ABCD négyzet BC oldalára felmérjük a BE = - távolságot, DC ol­ o ld a la k a t

&

dalának meghosszabbítására pedig a CF = | távolságot. Bizonyítandó, hogy az AE és BF egyenesek metszéspontja a négyzet köré irt körön van. 50. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely körbe irt ötszögben a szögek egymással egyenlőt, akkor egyenlők áz oldalak is. _ 51 Adott egy kör belsejében két pont A és B. Mutassuk meg, hogy van olyan ’ kör, amely az A és B pontokon hálád keresztül és amely egészen a kör bel­ sejében fekszik. _ 52. Egy ABC háromszög belsejében szerkesszünk olyan pontot, hogy PBC 5- = PCA~4 = PAB légy®*- /A háromszög Brocard-féle pontja. / 53. Adöttegy kör belsejében két pont. írjunk a körbe téglalapot, amelynek a két pont két szomszédos oldalán van. „ 54. pontból három félegyenes indul. Szerkesszünk szelőt, amelyből két-két félegyenes adott hosszúságú szakaszt metsz ki. j .

■■

E g y

- 243 -

55. Egy k ö r középpontján át egyenest szerkesszünk. A z egyenes egyes p o n tja i­ b ó l a kö rh ö z huzo tt é rin tő k re rá m é rjü k az egyenesen lé vő p o n tju k tó l kezd­ ve a pontnak a k ö r középpontjától m é rt tá volságát. M i az ig y kapo tt végpon­ to k m é rta n i helye? 56. Ig a zo lju k, hogy a három szög ugyanazon o ld a lá t é rin tő b e ir t és h o z z á irt kör é rin té sp o n tja in a k távolsága a kkora, m in t a m á sik ké t o ld a l különbsége. 57. B izo n yítsu k be, hogy egy derékszögű három szög átfogóját é rin tő h o z z á irt és b e ir t k ö r sugarának különbsége akkora, m in t az átfogó. 58. R a jzo lju n k egy szögbe a szá ra ka t é rin tő k ö rt. A kö rö n k ív ü l helyezzünk el a szög s z á ra i közé egy m egadott szakaszt úgy, hogy az a k ö r t é rin ts e és ,köt végpontja egy-egy s z á rra essék. 59. Ig a zo lju k, hogy b á rm ily e n derékszögű három szögben az átfogónak és a beirt k ö r átm érőjének összege ugyanakkora, m in t a k é t befogó összege. 60. Szerkesszünk derékszögű három szöget, ha is m e rt a befogók összege és a b e ir t k ö r sugara. 61. Ig a zo lju k, hogy egy három szög k é t csúcsa, a köztük lé v ő o ld a lt é rin tő hoz­ z á ir t és b e ir t k ö r középpontja olyan kö rö n vannak, am elynek középpontja a három szög kö ré i r t kö rö n fe k s z ik . 62. Egy három szöget úgy vágunk ke tté , hogy m e g ra jz o lju k a b e ir t k ö r egyik é rin té s i p o n tjá t a sze m közti csúccsal összekötő szakaszt. Ig a zo lju k, hogy ezt a szakaszt ugyanabban a pontban é r in ti a k é t részhárom szögbe i r t é rin tő k ö r. 63. R a jz o lju n k egy szöget, tűzzünk k i egy pontot és vegyünk fe l egy szakaszt. Szerkesszünk a ponton át olyan sze lő t, am ely a fe lv e tt szakasszal egyenlő k e rü le tű három szöget vág le a szögből. 64. A z A B C három szög BC o ld a lá t h o sszabbitjuk m eg C -n tú l egy P p o n tig . Huzzunk a P -b ő l egy sze lő t, am ely A B - t E -ben, A C -t D -ben m e ts z i úgy, hogy D C +BE=DE legyen. 65. Szerkesszünk három szöge t, ha is m e rt eg yik oldala , az ezzel sze m kö zti szöge és a, m á sik ké t o ld a l összege. 66. írju n k adott fé lk ö rb e adott k e rü le tű négyszöget, ha k ik ö tjü k , hogy k é t csú­ csa az á tm é rő ké t végpontja legyen és az á tm é rő ve l sze m kö zti o ld a la adott hosszúságú. 67. Szerkesszünk három szöget, ha is m e rjü k egyik szögét az ehhez ta rto z ó magasságot és a k e rü le té t. 68. S zerkesszük m eg az A BC három szöget, ha adott az A B o ld a l hossza, to ­ vábbá a b e irt k ö r és az A B oldalhoz h o z z á irt k ö r sugara. 69; A d o tt a siknak há ro m p o n tja . Szerkesszünk h á ro m k ö rt úgy, hogy azok egym ást páronként az adott pontokban é rin ts é k . 70. A három szög h o z z á irt k ö re in e k középpontjaiból á llíts u n k m erő lege seket a k ív ü lr ő l é rin te tt o ld a la k ra . Ig a zo lju k, hogy a m erőlegesek egy pontban m e ts z ik egym ást. 71. B izo n yíts u k be, hogy annak szükséges, és elégséges fe lté te le , hogy egy érintőnégyszög húrnégyszög legyen az, hogy a sze m kö zti é r in té s i pontokat összekötő egyenesek m erő lege sek legyenek egym ásra.

-

244

-

72. B izo n yíts u k be, hogy az érintőnégyszög sze m k ö z ti oldalo n lé vő é rin té s i p o n tja it összekötő szakaszok a négyszög á tló in a k m etszéspontjában m e ts z ik egym ást. 73. Egy szög s z á ra i k ö z ö tt tűzzünk k i egy p o n tot. Szerkesszünk a pont k ö rü l a s z á ra k a t m etsző k ö r t úgy, hogy egy-egy m etszéspontot összekötő szakasz a do tt irá n y ú legyen. 74. B izo n yíts u k be, hogy egy négyszög o ld a lfe le z ő p o n tja i p a ra le lo g ra m m a csú csa i. 7 5. B izo n yíts u k be, hogy a négyszög középvonalai fe le z ik egym ást. 76. B izo n yíts u k be, hogy egy négyszög á tló in a k fe le z ő p o n tja i és k é t szem köz­ tes oldalának fe le z ő p o n tja i egy p a ra le lo g ra m m a csú csa i. 77. M utássuk m eg, hogy a négyszög középvonalainak m etszéspontja egybeesik az á tló k fe le z ő p o n tja it összekötő szakasz fe le ző p o n tjá va l. 78. M e lye k azok á négyszögek, m elyekben k é t szom szédos ó ld a l, i l l . szom ­ szédos szög összege m egegyezik a m á s ik k é t o ld a l, i l l . szög összegével? 79. Egy d e rékszö g szögterében hatá ro zzu k m eg azoknak a pontoknak a m é rta n i h e ly é t, am elyeknek a k é t s z á rtó l m é rt távolságösszege állandó. 80. A d o tt derékszögű három szögbe írju n k be olyan té g la la p o t, am elynek k e rü ­ le te e lő re ado tt, / A té g la la p eg yik szöge essék egybe a d e ré k s z ö g g e l./ 81. Írju n k be egy adott egyenlő s zá rú derékszögű három szögbe tégla lap ot, am elynek te rü le te egy e lő re adott négyzetével egyenlő. 82. A d o tt kö rb e írju n k be adott k e rü le tű té g la la p o t. 83. M i a m é rta n i h e lye a három szögbe i r t té g la la p o k középpontjainak? 84. Egy k ö r b e lső p on tja v á lto z ó derékszögű három szöge k derékszögű csúcsa. M i az átfogók fele ző p o n tja in a k m é rta n i helye, ha az átfogó k é t végpontja, a k ö rö n van? 85. Legyen a X szám 1 /2 -e d n é l nagyobb és 1 -n é l kise b b . A z A B C három szög CA és A B o ld a lá ra re n d re fe lm é rjü k a B A 1 = X . BC , C B . = X . CA, ' ' 1 ' ,” “1 ' ' . ■— * ‘ A C ^ = X . A B tá vo ls á g o t. B izo n yítsu k be, hogy az A ^ ^ C ^ három szög ke ­ rü le te az A B C három szög ke rü le té n e k « ¿ -s z o ro s á n á l kise b b . 86. A z egyenlő o ld a lú A B C D E F konvex hatszög A , C ,E szögp ontjainál e lh e ly e z­ kedő., szögek összege a B ,D , F szögpontoknál elhelyezkedőknek összegével egyenlők. B izonyítandó, hogy az A és D / továbbá a B és E , v a la m in t a C és F szögpontoknál lé v ő szögek egyenlők. . 87. F e d jü k le egy ro m b u sz egy ré s z é t az egyik á tló já v a l párhuzam os szalaggal ú gy, hogy a szalag m in d ké t szélének legyen közös ré s z e a rom b usszá. M u­ ta ssu k m eg, hogy az ig y le fe d e tt részekne k m in d ig ugyanakkora a ke rü le te , ha a szalag az á tló t is le fe d i. 88. írju n k az A B C egyenlőoldalu három szög csúcsa i k ö ré egyenlő s u g á rra l egy-egy k ö r t és te k in ts ü k a z t a k ö rt, am ely e h á ro m k ö r m in d e g yiké t m a­ gába fo g la lv a é r in ti. A z é r in té s i pontók: A ^ , B j, C ^. Huzzunk egy-egy é r in ­ tő t a nagy k ö r rö vid e b b A ^ ivének te ts z é s s z e rin ti P pon tjából az A ^, B ^ C ^ k ö r ü li kö rö kh ö z ; az é r in té s i pontok A _ ,.B ., CL. B izo n yíts u k be, hogy P A . + PB =PC 2 --2 -2 * - 245 -

89. Egy három szög m inden csúcsából huzzunk párhuzam ost a s ze m kö zti o ld a lla l * a k ö ré i r t k ö r r e l va ló m etszéspontig . A le m e ts z e tt k ö riv e k k ö zü l azokat, am e lye k e l vannak vá la sztva a h á ro m szö g tő l, osszuk há ro m egyenlő ré s z re . M utassuk m eg, hogy a csúcsokhoz közelebb i osztópontok szabályos h á ro m ­ szöget határoznak m eg. 90. A z A B C három szög szögeinek h a rm a d o ló egyenesei az X Y Z három szög szög­ pon tjaib an m e ts z ik egym ást. / 7 . á b ra / M utassuk m eg, hogy az X Y Z h á ro m ­ szög szabá lyos. /M o rle y t é te le . /

C

Ú tm utatások a X V I. fe je ze th ez 1. / 8 . á b ra / A k ü ls ő s z ö g rté te lt egym ásután a lkalm azva és figyelem bevéve, hogy egyenlő szá rú három szögek keletkeznek, ^ - %),

c•

m iv e l azonban

Hasonló eredm ényeket kaphatunk a t , t Ezeket Összegezve v v y - — 2: A z e lőző fe la d a t s z e rin t

szakaszokra is .

• + = 4 x + p ,

e z é rt

t l + t2+ t3= i te hát a négyzet á tló ja .

7. ábra /8 á b ra / Legyen az in v e rz ió pólusa O az a do tt pont P . A P k ö rü l PO sugá r­ r a l i r t k ö r az a la p k ö rt A -b a n és B -b e n m e ts z ik . A z A , i l l . ^ k ö r ü U |. su­ ga rú k ö rö k O -n k iv ü li m e tszéspontja P ’ . S z im m e tria okokb ól 0 , P , P egy egyenesen vannak és az O P A , O A P ’ három szögek hasonlósága m ia tt O P .O P ’ = r 2. Ha az OP sugaru k ö r nem m e ts z i áz in v e rz ió a la p k ö ré t, akkor ö l y a n l i pontot sze rke sztü n k, a m e ly re OP=n. OP és P in v e rz é b ő l m á r P in v e rz e s z e rk e s z th e tő k

- 310 -

9.

ábra

10. / 9 . á b ra / A z OO’ -n e k és az e egyénesnek m etszéspontja T . Legyen OT=_t; elekor 0 0 , =2t_ és (az in v e rz ió sü g á rá t 1-nek v á la sztjá k) O T' = ^ é s O O " = — , azaz O O " = r O T’ 2t ’ -2 11. A sze rke szté s az előző feladatban b iz o n y íto tt té te l alapján tö rté n h e t. - 311 -

12. /IQ . á b ra / A z in v e rz ió su g a rá t ’á la sszu k egységnek, k sugara r . Legyen 2 .

2

2

ÖG=c és O T =t. _ÖQ»q. E k k o r CQ’ =— . OO’ =e - — ^ __ c __ C

—

- a

C

1

9

~r c

2 = ^ ~ C *

1

O O " = ^ ~ • V is z o n t O T’ = — és OQ’ *= ~ , e z é rt a k k ö r középpontjának O -tó l m é rt távolsága ö ( T +. “ ) = nyítandó v o lt. 2 t q

2

. ~~ = t(l **

, a m i éppen b izo ­ .

10. ábra 13. A sze rke szté s az elő ző fe la d a t té te lé n alapul* 14. T etszőleges a la p k ö rre m e g sze rke sztjü k a k é t egyenes in v e rz é t / ll. f e la d a t / . A z in v e rz képként ka p o tt k ö rö k m etszéspontjának in v e rz e a k é t egyenes m etszé sp o n tja . 15. A z eló'ző fe la d a t gondolatm enetét a lka lm a zva o ld h a tju k m eg a fe la d a to t. 16. M iv e l a 14. és 15. fe la d a to k m egoldható k ö rz ő v e l, e z é rt m inden e u k lid e s z i sze rke szté s elvégezhető csupán k ö rz ő segítségéve l. 17. / I I . á b ra / Legyen k az a d o tt k ö r. V á lasszu k egy k e rü le ti p o n tjá t az in v e rz ió O pólusának és az a la p k ö rt úgy, hogy az A és B pontokban m esse k - t. k in ­ v e rz e a k ’ =A B egyenes. Ennek in v e rz é t a 10. fe la d a t alapjá n m egszerkesztve m egkapjuk k -n a k O " kö zé p p o n tjá t.

- 312 -

!

&

t

11. ábra

18. /1 2 .á b ra / A z A ,B , C pontokon *átm enő k ö rt k e ll m e g sze rke szte n i. V á la s z szuk A - t az in v e rz ió pólusának, su g a rá t A B -n e k . C in v e rz é t, C -t m eg­ s z e rk e s z th e tjü k , a BC ’ = k’ egyenes le s z a szerkesztendő k k ö r in v e rz e , k ’ in ve rz é n e k közép pontjá t, a k e re s e tt körközép pontot a 1 0 .fe la d a t alapjá n s z e rk e s z th e tjü k m eg.

19. /1 3 . á b ra / A d o tt az a és b egyenes és a C p o n t. T etszőleges A B C h á ro m szöget sze rke sztü n k az a -n , i l l . b -n fe lv e tt' A , i l l . B csú ccsa l, m ajd ehhez h aso nló A ’ B ’ C* - t úgy, hogy m e g fe le lő o ld a la ik párhuzam osak legyenek. M iv e l e k é t h áíom szög középpontosan hasonló, k e ll, hogy az A A ’ . B B *. CC* egyenesek egy közös ponton m enjenek á t.

- 313 -

c

13. ábra M i„ m egoldás: /1 4 . á b ra / A C -b ő l a -ra á llíto tt m erő lege s b - t B -b e n , a b -re á llíto tt m erőleges, a - t A -b a n m e tsz i;'1 az A B -re á llíto tt m e rő le g e s V i­ szont átm egy a és b m etszéspontjá n, u i. a ,b és c az A B C három szög há­ ro m m agasságvonala.

20. /1 5 . á b ra / A fe la d a t m egoldásának lényege: le k ic s in y ítjü k egy ptm tb ó l az áb­ r á t úgy, hogy m á r m egoldható legyen a sze rke szté s, m ajd a k ic s in y íté s arányában ú jra fe ln a g y ítju k ..

- 314 -

15. á b ra 21. /1 6 . á b ra / A d o tta k az A ,B ,F ,C pontok; a sze rke szté s egym ás után h u zo tt

22. /l'k .á b r a / A z e lő ző fe la d a t s z e rin t egy a d o tt sza ka ssza l tudunk párhuza m o st s z e rk e s z te n i. S zerkesszünk e lő s z ö r egy a és b p á rh u za m o st. A z ábrán lá t­ h ató m ó d s z e rre l A B h a rm a d o lh a tó . A z ig a zo lá s tö rté n h e t az elő ző fe la d a t m in tá já ra .

- 315 -

X X . fe je z e t NÉHÁNY F E LA D A TK Ö R A SIKG EO M ETR IA U JA B B F E JE Z E T E IB Ő L

A konvex a la k z a t, tám aszegyenes, á tm é rő fo g a lm á ra vonatkozóan u ta lu n k H ajós G yörg y: Bevezetés a geo m e triá b a c . kö n yvé re . G ráfnak nevezzük a pontokból /szö g p o n t, c s ú c s / és az azokat össze kötő vo ­ nalakbó l /é le k b ő l/ á lló a la k z a to t. E gy szögpont fo ka a b e lő le in d u ló é le k szám á­ v a l egyenlő. Ö sszefüggő a g rá f, ha b á rm e ly szögpontjából b á rm e ly szögpontjáöa e l tudunk m enni, egym áshoz csa tla ko zó é le kb ő l á lló u tp n . A z a lá b b i felad ato kban a g rá fo k szögp ontjainak szám a m in d ig véges. R ácsnak, /n é g y z e trá c s n a k / nevezzük a s ik am a p o n tja in a k h a lm a zá t, a m elyek­ nek m in d ké t k o o rd in á tá ja egész szám . 'S zem léletesen: a kockás p a p ir szö g p o n tja it. R ácssokszögeknek azokat a sokszögeket nevezzük, am elyeknek m inden csúcsa rá c s p o n t. Ü re s a rá csso kszö g , ha sem a h a tá rá n , sem a belsejében nem ta r ta l­ m az rá csp o n to t. A 3 7 .-4 5 . feladatokban a s ik sokszögekkel v a ló l efedésén az egybevágó sok­ szögeknek o lya n e lh e lye zé sé t é rtjü k , a m elyeknél a s ik m inden p o n tja va la m e ly sokszögnek belső vagy h a tá rp o n tja , és k é t sokszögnek le g fe lje b b h a tá rp o n tja le ­ h e t közös. 1. Írju n k a sa kktá b lá ra o lya n legnagyobb sugaru k ö rt, am ely egye tlen fe h é r m ezőt sem m e tsz. 2 . T é g la la p alakú a szta lo n já ts s z a k é t já té ko s a következő já té k o t: egyenlő nagyságú k ö rla p o k a t /p é n z d a ra b o k a t/ ra kn a k le úgy, hogy azok te l­ je se n az a szta lo n le k e n e k , de k é t k ö rla p ne fe d je egym ást. A z n y e r, a k i az u to ls ó la p o t m ég le tu d ja te n n i. M utassuk m eg, hogy helyes já té k esetén a kezdő já té ko s b izto sa n n y e r. 3 . M in t is m e re te s , a kö rb e n m ozgatható egy szabályos három szög úgy, hogy annak m inden csúcsa a k ö rt ir ja le . K e ressü nk ily e n tu ljd ó n sá g u m á sik s ik g ö rb é t is . 4 . L e g fe lje b b hány hegyesszöge le h e t egy konvex sokszögnek? 5. Egy konvex 13-szöge t á tló i sokszögekre bontanak. E g y-eg y összetevő s o k 1 szögnek m a xim á lisa n hány o ld a la le h e t? 6 . Legyen ABCD és A ’ B* C ’ D ’ k é t konvex négyszög, am elynek m e g fe le lő o l­ d a lé i egyenlők. B izo n yíts u k be, hogyha A^ú ^ A ’ , a kko r B

< B’ 4

,

- 316 -

C-2 > C’ 4

,

D*4

.

7 . H úzzuk m eg égy k ö r te tsző le g e s sok é rin tő jé t és je lö ljü n k k i ezeken egy z á rt tö rtv o n a lb ő l á lló u ta t. J á rju k be e zt az u ta t és az egyes útszakaszok h osszát szá m ítsu k p o z itív , vagy n e g a tiv e lő je lle l a s z e rin t, hogy a k ö r kö ­ zéppontjához közeledü nk-e vagy távolo dunk tő le . M utassuk m eg, hogy az u t ig y s z á m íto tt hossza 0. / I . á b ra /

8. J e lö ljü n k k i a három szög o ld a la in egy-egy pon tot és kössük össze a szem ­ k ö z ti c sú ccsa l. M utassuk m eg, hogy az összekötő szakaszok fe le z ő p o n tja i nem le h e tn e k egy egyenesen. 9. írju n k a három szögbe ir t k ö r k ö ré n é g yze te t. M utassuk m eg, hogy a négy­ z e t k e rü le té n e k több m in t a fe le a három szög belsejébe e s ik . 10. Vegyünk fe l egy konvex sokszög belsejében egy te tsző le g e s p o n to t. M utassuk m eg, hogy a pon tbó l az o ld a la k ra e m e lt m erő le g e se k ta lp p o n tja i kö zü l le g ­ alább az^ e g y ik be lső p o n tja egy sokszö gold alna k. 11. A s ik o t n egyenes ta rto m á n yo kra b o n tja . B iz o n y íts u k be, hogy e ta rto m á n yo k szin e zh e tő k k é t szín n e l, úgy hogy k é t azonos szin ü ta rto m á n yn a k le g fe lje b b csúcsa le h e t közös. 12. A s ik o t n k ö r ta rto m á n y o k ra b o n tja . B iz o n y íts u k be, hogy a ta rto m á n yo k szin e zh e tő k k é t szín n e l úgy, hogy k é t azonos szin ü ta rto m á n yn a k le g fe lje b b cspcsa le h e t közös. 13. Egy te rü le te n tá b o rh e lye ke t lé te s íte tte k , és m inden tá b o rh e ly e t egyenes ú t ­ ta l k ö tö tte k össze a hozzá legközelebb e ső ve l. M e g á lla p íto ttá k , hogy az e l­ k é s z íte tt ú tszakaszo k m ind különbözők,, M utassuk m eg, hogy b á rm e ly tá b o r­ h e ly rő l egy m ásikba le g fe lje b b egyféleképpen le h e t az utakon e lju tn i, to vá b ­ bá: nem é p ü lt k é t k e re szte ző ú tsza ka sz. -3 1 7 -

14. A d o tt a síkon n p on t; e g y ik h á ro m s in cs egy egyenesen. M utassuk m eg, hogy m egadható o lya n önm agát nem m etsző n szög, am elynek a csú csa i az a do tt pon tok. 15. A d o tt a síko k k .n p o n t. /k ,n te rm é sze te s e g é s z /. B izo n yíts u k be, h o g yh a n in cs a pontok k ö z ö tt 3 égy egyenesen fe kvő , a kko r m egadható k szám ú o lya n önm agát nem m etsző n szög, am elyek egym ást nem m e ts z ik és am e­ ly e k c sú csa i az a d o tt k .n pontban vannak. 16. A d o tt a síkon 4 p on t, ezek nem fekszene k egy k ö rö n és e g yik h á ro m sin cs egy egyenesen. M utassuk m eg, hogy m in d ig m egbetüzhetők úgy, hogy a D pont az A , B ,C pontokon átm enő k ö r b elsejébe k e rü ljö n . 17. B iz o n y íts u k be, hogy egy ötszög a la kú szobát m in d ig te lje s e n m e g vilá g íth a ­ tu n k e g ye tle n fé n y fo rrá s s a l. Ig a z -e ez hatszög a la k ú ra is ? 18. A z egységnégyzetbe írju n k be egy i -n é l nagyobb te rü le tű konvex sokszöget. 2 M utassuk m eg, hogy a négyzet b á rm e ly ik o ld a lá v a l párhuzam osan e l tu d ju k

19.

20.

21. 22.

23.

m e tsz e n i a sokszöget úgy, hogy a szelőnek a sokszögön b e lü li szakasz ~ -n é l nagyobb le gyen. Hány egységnégyzetet le h e t e lh e ly e z n i egy egységnégyzet k ö ré úgy, hogy m in d e g yik é rin ts e az e ls ő n é g yzetet, de a határpontoko n k iv ü l k é t négyzetnek ne lehessen kö zö s p o n tja . M utassuk m eg, hogy a s ik 5 p o n tja k ö z ü l /e g y ik h á ro m sem fe k s z ik egy egyenesen/ m in d ig k iv á la s z th a tó úgy négy, hogy azok egy konvex négyszög négy csúcsá t a lko ssá k. Egy k ö rla p o t fe le a kko ra á tm é rő jű k ö rla p o k k a l a karunk b e fe d n i. Hogyan te ­ h e tjü k e zt m eg a legkevesebb szám ú k ö rla p p a l? B iz o n y íts u k be, hogy egy konvex sokszög á lta l le fe d h e tő három szög te rü le te nem le h e t nagyobb, m in t a sokszögcsucsokból k iv á la s z th a tó legnagyobb há­ ro m szö g é . M utassuk m eg, hogy m inden konvex sokszögbe b e írh a tó o lyan három szög, am elynek e g y ik o ld a la a d o tt irá n y ú , és am elynek a te rü le te le g a lá b b a sokszög 3 te rü le té n e k ^ -a .

24. Ig a z o lju k , hogy m inden egységnyi te rü le tű konvex sokszög le fe d h e tő k é te g y sé g n yi te rü le tű p a ra le lo g ra m m á v a l. 25. Legalább-hány da ra b s szélességű sza la g k e ll egy r suga ru k ö r lefedéséhez, há 2r= ns? 26. Ig a z o lju k , hogy konvex ta rto m á n yo k közös ré s z e is konvex. 27. B iz o n y íts u k be, hogy ha egy konvex a la k z a t k é t párhuzam os tám aszegyene­ sének tá vo lsá g a az á tm é rő v e l egyenlő, a kko r a tám aszegyeneseknek csak egy közös p o n tja le h e t az a la k z a tta l, és a k é t egyenes e p o n tja it összekötő szakasz m erő lege s a tám a szegyen esekre. 28.. A síkban a d o tt négy konvex a la k z a t úgy, hogy kö zü lü k b á rm e ly három nak van közös p o n tja . B iz o n y íts u k be, hogy ebben a z esetben m in d a négy a la kza tnak van le g a lá b b egy közös p o n tja . 29. M utassuk m eg, hogy a z e lő z ő fe la d a t á U itá sa nem ig a z , h a a négy a la k z a t ^ k ö z ö tt van nem konve x. -3181-4*

30. A siko n a d o tt n szám ú konvex a la k z a t úgy, hogy k ö z ü lü k b á rm e ly három nak van közös p o n tja . B izo n yíts u k be, hogy ebben a z esetben az összes a la k z a t­ nak van le galá bb egy közös p o n tja . /H e lle y té te le . / 31. M utassuk m eg, hogy H e lle y té te le á lta lá b a n nem ig a z vég te le n sokIsonvex ta rto m á n y esetén. 32. A siko n a d o tt n szám ú ppnt úgy, hogy b á rm e ly h á ro m p o n t le fe d h e tő az egy­ s é g k ö rre l. B iz o n y íts u k be, hogy az egész pon tha lm az le fe d h e tő az egység­ k ö rre l. 33. A siko n a d o tt n szám ú pont ú g y, hogy b á rm e ly ik k e ttő tá vo lsá g a nem nagyobb 1 -n é l. Ig a z o lju k , hogy az n pont le fe d h e tő 'e g y

suga ru k ö rre l.

34. Négy fé ls ik úgy h e lye zke d ik e l egy síkban, hogy együttesen az egész s ík o t le fe d ik . B izo n yitá n d ó , hogy a négy fé ls ik k ö z ü l k iv á la s z th a tó h á ro m úgy, hogy e h á ro m fé ls ik is le fe d i együttesen az egész s ik o t. 35. K ic s in y íts ü k le egy te tsző le g e s konyex ta rto m á n y t 2 /3 -a d á ra te tsző le g e s h á ro m h a tá rp o n tjá b ó l. M utassuk m eg, hogy a k ic s in y íte tt ta rto m á n yo kn a k van közös p o n tja . 36. M utassuk m eg, hogy egy konvex sokszög belsejében van o lyan p o n t, am e ly a ra jta és a csúcsokon átm enő h ú ro k a t úgy o s z tja k é t ré s z re , hogy a csú cs­ tó l a p o n tig te rje d ő ré s z nem nagyobb a h ú r h a rm a d ré szé n é l. 37. M utassuk m eg, hogy a s ík te tsző le g e s p a ra le lo g ra m m á v a l le fe d h e tő . 38. M utassuk m eg, hogy a s ik te tsző le g e s háro m szö g g e l le fe d h e tő . 39. M uta ssuk m eg, hogy a .s ik m inden középpontosan s z im m e trik u s hatszög gel le fe d h e tő . / ; 40. M uta ssuk m eg, hogy a s ik m inden négyszöggel le fe d h e tő . 41. B iz o n y íts u k be, hogy ha a s ik le fe d h e tő ö tszö g e kke l, úgy, hogy e g y ik ötszög csúcsa sem le h e t va la m e ly m á s ik ötszög o ld a lá n a k be lső p o n tja , a kko r az ötszögnek nem le h e t m inden szögé tom paszög. 42. M utassuk m eg, hogy nem le h e t a s ik o t le fe d n i h á rom szöge kkel úgy, hogy m inden csom ópontba ö t három szögcsucs essék. 43. M utassuk m eg, hogy a 2. ábrákon s z e re p lő ötszögek m in d e g yiké ve l le fe d h e tő a s ik .

2. ábra - 319 -

44. B iz o n y íts u k be, hogy h a tn á l nagyobb olda lszá m u konvex sokszöggel nem fedhető le a s ik . 45. M utassuk m eg, hogy lé te z ik o lya n n o ld a lú sokszög, a m e lly e l a s ik le fe d ­ h e tő . 46. Legyen A , B , C egy e egyenes h á ro m p o n tja és IJ az egyenesen k iv iili p o n t. T e k in ts ü k a A pont á lta l m e g h a tá ro zo tt egyeneseket és az összes egyenesek és pontok k ö z ö tt m é rt tá vo ls á g o ka t. M utassuk m eg, hogy e tá vo lsá g o k kö zö tt a D -n e k az e -tő l m é rt tá vo lsá g a nem a le g kise b b . 47. M utassuk m eg, hogy ha a sik»n p o n tja olyan, hogy b á rm e ly k e ttő összekötő egyenese ta rta lm a z m ég egy h a rm a d ik a t, a kko r az n pont egy egyenesen van. 48. M utassuk m eg, hogy ha a s ik n p o n tja n in cs egy egyenesen, a k k o r van ké t o lya n pont, a m elyek összekötő egyenese az ado ttak k ö z ü l nem ta rta lm a z több p o n to t. 4 9 .' M utassuk m eg, hogy ha egy g rá f egye tlen v o n a lla l m e g ra jzo lh a tó /a z a z egy é ld a ra b já n sem m együnk á t to liu n k k a l k é ts z e r/, a kkö r nem re n d e lke zh e t k e t­ tő n é l több p á ra tla n fo kú szö g p o n tta l. 50. M utassuk m eg, hogy ha egy Ö sszefüggő g ráfban a p á ra tla n fokú szögpontok szám a 0 vagy 2, a kko r egye tlen v o n a lla l m e g ra jzo lh a tó . 51. V iz s g á lju k m eg, hogy a 3 . ábrán s z e re p lő g rá fo k m e g ra jz o lh a tő k -e egyet­ le n v o n a lla l.

52. B iz o n y íts u k be, hogy a k ö ­ vetkező p ro b lé m a /a z un. k ő n ig s b e rg i h id a k p ro b lé m á ja / nem o ld h a tó m eg: egy pon tbó l k iin d u lv a és oda v is s z a té rv e já rju k be a 4. ábrán lé v ő 'h id a ­ k a t úgy, hogy m in d e g yik hidon csak eg ysze r m enjünk á t. 4 . ábra - 320

53. B iz o n y íts u k be a s ík b e li E u lé r-té te lt: sokszögű ta rto m á n y fe lo s z tá s á t a lk o tó la p o k és csúcsok szám ának összege 1-g y e i nagyobb az é le k szám ánál. /A sokszöglapok egyszeresén összefüggők, n y ilv á n nem v á lto z ik a té te l é r­ vényességé, ha a h a tá ro ló szakaszok h e ly e tt te tsző le g e s fo ly to n o s g ö rb é ke t v e s z ü n k ./ 54. A síkon a d o tt 6 p o n t. M inden pontot összekötünk 4 m á s ik k a l, egym ást nem m e ts z ő ,é le k k e l. B izo n yíts u k be, hogy az össze kötő é le k h a tá ro lta ta rto m á ­ nyok h á ró m é lü e k /h á ro m s z ö g é k /. M ulassuk m eg, hogy ily e n ábra valóban k é s z íth e tő . 55. Egy te rü le te n 3 ház és 3 k ú t van. M utassuk m eg, hogy nem le h e t egym ást nem m etsző u ta k k a l össze kötn i m inden há za t m inden k u tta l. 56. Egy g rá f szö g p o n tja it k é t n-szögpontu halm azba o s z tju k ; az azonos h a lm a z­ ba ta rto z ó szögpontokat nem k ö tik össze é le k , cs a k a különbözőkhöz ta rto ­ zó ka t. A g rá f m inden szögpontja k-a d fo ku és k é t azonos h a lm a z b e li szög­ ponthoz a m á sik halm azban pontosan egy o lya n szögpont ta rto z ik , a m e lly e l m in d k e ttő össze van kö tve . H atározzuk m eg, m ily e n összefüggésnek k e ll fe n n á lln ia n és k k ö z ö tt. 57. S zerkesszük m eg az e lő ző feladatban le ir t g rá fo t, ha k=3. 58. M utassuk m eg, hogy egy g rá fb a n páros azoknak a szögpontoknak a szám a, a m e lye kb ő l p á ra tla n szám ú é l in d u l k i. 5 9 . B iz o n y íts u k be, hogy egy p o lié d e r la p ja i k ö z t a p á ra tla n o ldalu ak szám a p á ro s . 60. B iz o n y íts u k be, hogy a n é g yze trá cso t a következő m ódon is d e fin iá lh a tju k : n é g yze trá cs a s ik p o n tja in a k a halm aza a / ha b á rm e ly rá csp o n t k ö rü li 9 0 °-o s fo rg á s m inden rá csp o n to t rácspontba v is z át; b /h a b á rm e ly rá csp o n to t tü krö zü n k egy rá cssza ka sz fe le z ő p o n tjá ra , is m é t rá c s p o n to t kapunk; , c / ha a rá csp o n to k egym ástól m é rt tá v o ls á g a i k ö z ö tt van le g kise b b . 61. M utassuk m eg, hogy négyzetrácsban n in cs szabályos rá csh á ro m szö g . 6 2 . B iz o n y íts u k be, hogy ha a rá csh á ro m szö g h a tá rá n nincs a csúcsokon k iv ü l rá csp o n t, a belsejében v is z o n t csak 1 van, a kko r ez a három szög sú lyp o n tja . 63. B izo n yíts u k be, hogy a z ü re s rá cs p a ra le lo g ra m m a te rü le te 1. 64. Ig a z o lju k , hogy ha egy önm agát nem m etsző z á rt rá csso kszö g h a tá rá n k, a belsejében ped ig ^rá c s p o n t van, a kko r te rü le te _t = ^ (k+21_-2) 65. B iz o n y its u k be, hogy m inden olyan konvex négyszögnek, am ely nem p a ra ­ le lo g ra m m a , van o lyan cBucsa, a m e lye t a ra jta á t nem m enő á tló fe le z ő ­ p o n tjá ra tü k rö z v e a négyszög b e ls ő - vagy h a tá rp o n tjá t n y e rjü k . 66. B iz o n y íts u k be, hogy ü res rácssokszög csak három szög vagy p a ra le lo g ra m ­ m a le h e t.

- ¿21-

Ú tm utatások a X X . fejezeth ez

1. A z 5. ábra ily e n k ö rt m u ta t. N y ilv á n v a ló , hogy a fe lté te ln e k e le g e t te vő k ö r nem m e tsz h e ti egye tlen rá csn é g yze t o ld a lá t sem , csak a csúcsokon m ehet k e re s z tü l. In d u lju n k k i az A pon tbó l p o z itív irá n y ­ ban. A k ö r vagy az A ’ vagy a B ponton m egy á t. Bá B -n m egy á t, a kko r csak C -n k e re s z tü l fo lyta tó d h a t s tb . így m eg­ m u ta th a tju k, hogy az ábrán lé v ő a le gna­ gyobb le hetséges k ö r. 2. A kezdőnek a közép pontra k e ll e lő s z ö r te n n ie . B árhová te sz a m ásodik, a ke z­ dőnek a m á r le ra k o ttn a k a közép pontra vonatkozó tükörképéb e k e ll te n n ie .

3. /6 . á b ra / Á b rá n k ily e n - k é t k ö riv b ő l ö ssze te tt - s ik g ö rb é t m u ta t, az iv e k egybevágók és közép ponti szö g e ik 120 °-osa k. 0 4. Mivel az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360 , és a hegyes ' b e lső szögeknek m e g fe le lő i k ü ls ő toihp aszöge k, a sokszögnek le g fe lje b b 3 hegyesszöge le h e t. 5. A z egy csúcsb ól k iin d u ló á tló k k ö z ü l le g fe lje b b k e ttő h a tá ro lh a t egy szóbanfo rg ó sokszöget; ezek s z e rin t a h a tá rt a lk o tó á tló k szám a 1 3 .2 le n n e . így azonban m inden á tló t k é ts z e r szá m o ltu n k m eg, t . i. a k é t végpontjában, e z é rt m a xim á lisa n 13 á tló h a tá ro lh a tja a sokszöget. M egm utatható, hogy valóban le hetséges. . . 6. A lka lm a zzu k is m é te lte n a z t a té te lt, hogy ha k é t három szög m egegyezik e o ldalb an, a h a rm a d ik o ld a l abban nagyobb, am elyben az elő ző k é t o ld a l na­ gyobb szöget z á rt be . 7. /7 . á b ra / V együk é s z re , hogy egy é rin tő n haladva az A p o n ttó l a B p o n tig té r je d ő u t (a felad atb an m egadott s z á m ítá s i m óddal) egyenlő a kö rh ö z az A -b ó l, i l l . B -b ő l h ú zo tt é rin tő szakaszok különbsé gével. J e lö ljü k a P -b o l a kö rh ö z huzott érintőszakaszok hosszát Jtp-vel. Ekkor az ABC . . . ^RAut: e z

- 322 -

::

^ - V +( W

+---+(tQ-t^ + (V tA) = 0 -

8. /8 .á b ra / A szóban fo rg ó szakaszok fe le z é s i p o n tja i a középvonalak a lk o tta három szög o ld a la in a k b e lső p o n tja i, te h á t nem le hetnék egy egyenesen.

8. ábra 9. /9 . á b ra / A három szög h á ro m pontban é r in ti a k ö rt. E z a h á ro m é rin té s i p on t h á ro m iv re b o n tja a k ö rt. A négyzet négy é rin té s i p o n tja kö zü l k e ttő b izto s a n egy iv d a ra b ra e s ik , a k é t é rin té s i ponthoz ta rto z ó o ld a la k közös csúcsa és v e lü k e g yü tt a z é rin té s i p o n ttó l a csú csig te rje d ő fé lo ld a la k - te ­ h á t összesen a k e rü le t negyede - a három szög belsejében van /M e g je g y e z­ zük, hogy it t a h a tá rp o n to ka t is b e lső pontoknak te k in tjü k ./. M egm uta tjuk, hogy ha a négyzetcsucs k iv ü l is van a három szögön, a n é g yze tcsu cstó l a ’ k ö rig te rje d ő old a lsza ka szo k összegének több m in t a harm ada a h á ro m ­ szögön b e lü l van. A 10. á b rá ró l L E = ÍE és M E =M E , te h á t LM = L E ..+ M ? 2• V is z o n t C M < L M és C L ^ L M , e z é rt L ^ + M E ^ L M

P T + P M

> V '£

, te h á t a

"b e ls ő " ré s z e k összege nagyobb a "k ü ls ő " ré s z e k fe lé n é l, te h á t nagyobb az egésznek - a za z a k e rü le t negyedrészének - h a rm a d á n á l. A fe n tie k b ő l az á llítá s m á r k ö v e tk e z ik . - 323 -

10. áb ra

9. ábra

10. / I I . á b ra / A P p o n tb ó l a hozzá le g kö ze le b b i o ld a lra e m e lt m e rő le g e s T ta lp p o n tja az o ld a ln a k b e lső p o n tja . Ha ugyanis nem lenne az, a k k o r a P T egyenes m etszené a sokszöget egy M pontban, m iv e l pedig P M 4 P T , e z é rt az M -e n átm enő o ld a l közelebb lenne P -h e z, m in t a T - t ta rta lm a z ó .

. / 1 2 . á b ra / T e lje s in d u kció va l b iz o n y ltu n k . Egy egyenes k é t ta rto m á n y ra b o n tja a s ík o t, e rre az á llitá s ig a z . Tegyük fe l, hogy n egyenes esetén m ég te lje s ü l az á llitá s . V ezessünk be egy ujabb te tsző le g e s egyenest. Ennek e g y ik o ld a lá n hag yjuk a szín e zé st v á lto z a tla n u l, m á sik o ld a lá n v is z o n t v á l­ to zta ssu n k m inden ta rto m á n y t az e d d ig ive l e lle n té te s s z in re . M e g g y o z ő ihetünk ró la , hogy az ig y k a p o tt színezés k ie lé g íti a fe lté te le k e t. 12. L . az e lő ző fe la d a t m egoldását.

11

- 324 -

12

. ábra

13. ábra 13. /1 3 . á b ra / H a kétfé leké ppen lehetne egy tá b o rh e ly rő l egy m ásikb a e lju tn i, lenne a z ú thálózatban egy z á rt k ö rú t; m e g m u ta tju k, hogy ily e n nem lé te z h e t. M e rt, ha lé te zn e egy . . . A ^A ^ z á rt u t, a kko r tegyük fe l, hogy az A ^A ^ u ta t a z é rt é p íte tté k , m e rt A ^ -h e z A ^ van a le g kö ze le b b . D e e kko r A^jA ^ < A ^A ^, te h á t, az A ^A ^ u ta t csak a z é rt é p íth e tté k , m e rt A ^ h ö z A ^ van le g kö ze le b b . E z v is z o n t a z t je le n ti, hogy A ^A g < A ^A g . így azonban az A gA g u t csak a z é rt é p ü lh e te tt, m e rt A ^ -h o z A ^ van le gközelebb, te h á t AgAg < A ^ A ^ . E z t a gondolatm enetet to v á b b fo ly ta tv a a z t ka p ju k, hogy A nA l ^ ^ 2 * A2A3^ -" < An-lA n ^ A nA l’

a m i le h e te tle n . - 325 -

14. ábra Ha lé te zn e k é t ke re szte ző d ő ú tsza ka sz: /1 4 . á b ra / A ^ -h e z

és A g A ^ és

van le g kö ze le b b , és A ^-h e z A ^, te h á t A ^A 2 < A ^ A 3 és

A A . < A „ A .. E k é t u tó b b i egye nlő tlenség összege O ’" " 4

¿á 'r T:

- 1 - 2 +J^ 3 - 4 ^ - 1 - 3 + - 2 ^ 4 E z azonban le h e te tle n , m e rt a h á ro m szö g -e g ye n lő tle n sé g b ő í k ö v e tke zik, hogy AiM+MAg^Ag és MA 2+A4M ^ A ^ , ezek összege - 1 - 2 + - 3 - 4 ^ -1 ^ 3 +- 2 ^ 4 ’ 14. /1 5 . á b ra / H uzzunk egy irá n n y a l párhuza m o st a pontokon á t, A k é t le g tá v o la b b i párhuzam o­ sokon lé v ő pon toka t kössü k össze; az Össze k ö tő egyenés egy-egy o ld a lá n lé v ő pontokat v is z o n t az ábrán lá th a tó tö rtv o n a lla l kössük össze; az ig y n y e rt sokszög nem m e ts z h e ti önm agát. 15. K össünk össze m inden p o n to t m inden p o n tta l. M iv e l véges sok p o n t van, az össze kötő egye­ nesek szám a is véges. V an te h á t o lya n e egyenes, am ely az össze kötő egyenesek e g y i­ k é v e l sem párhuza m o s. H uzzunk m o st e -v e l pá rh u za m o st nunden ponton á t. íg y pontosan k .n párhuzam osunk le s z , m e rt m inden egye­ nesen csak egy le h e t az a d o tt pon tok k ö z ü l. 15. á b ra O sszuk be az egyeneseket a p á rh u za m o s-n ya ­ lá b e g yik "s z é lé tő l" kezdve n -e s cso p o rto kb a . A z egy csopo rthoz ta rto z ó egyeneseken pontosan n pont van, és ezeket az e lő ző fe la d a tu n k s z e rin t önm agát nem m e tsző sokszöggel k ö th e tjü k össze. - 326 -

16. /1 6 . á b ra / S zerkesszük m eg az A , B , C és A ,B , D pontokon átm enő k ö rö k e t. Ha a D pont az A B C k ö r belsejében, vagy a C pont az AB D k ö r belsejében van, a k k o r á llítá s u n k te lje s ü l. Ha ez nem á ll fe n n , a kko r a CA. CB egyene­ sek az A B D k ö rt a C’ , C " pontokban m e ts z ik . A z AB D k ö rn e k a m á sik k ö rö n k iv ü l lé v ő iv d a ra b ja i BC ’ , C C ",C "A . Ha D a B C ’ -n van, az A CD k ö r ta r ta l­ m azza B -t; ha az A C "-n van, a BCD k ö r ta rta lm a z z a A - t; ha a C ’ C "-n van, a kko r p l. BCD ta rta lm a z z a A - t. •

16. ábra

V

17. /1 7 . á b ra /H a az ötszög konvex, az á llitá s n y ilv á n v a ló , ha konkáv, le g fe l­ je b b k é t konkáv szöge le h e t; ezekben az esetekben m in d ig m egadható olya n V v ilá g itó p on t, am e ly az egész sokszöget m e g v ilá g ítja . Hogy hátszög ese­ té n ez á lta lá b a n nem le hetséges, a 1 7 .b . á b ra m u ta tja .

17. á b ra 18. /1 8 . á b ra / A sokszög m inden csúcsán á t sze rke sszü n k a k ije lö lt nég yzete!^ d a lla l p á rh u za m o st. A párhuzam osok a sokszö get háro m szö g e kre és tra p é ­ z e kre b o n tjá k . R a jz o lju k m eg ezek kö zé p vo n a la it is . E gy-egy tra p é z vagy három szög te rü le te középvonalának és szélességének s z o rz a tá v a l egyenlő. H a m in d e g yik középvonal kise b b lenne ^ -n é l, a k k o r a sokszög te rü le te is *“ ¿t

- 327 -

2

a la tt m aradna, m iv e l a szélességek összege le g fe lje b b 1 . 19. A 19. a . ábrán lá th a tó m ódon 8 négy­ z e te t e l tudunk h e ly e z n i. M egm utat­ ju k , hogy ennél több négyzet e lh e ­ lye zé se le h e te tle n . R a jz o lju n k az a d o tt négyzet o ld a la i k ö rü l 1 / 2 tá v o l­ sá g ra párhuza m o sakat, ezek újabb N nég yzetet h a tá ro zn a k m eg, am elynek k e rü le te 8 . A z ábrán a d o tt e lre n d e ­ zésbe!} a négyzet te lje s e n le van fe d ­ v e . M egm uta tjuk, hogy nincsen o lyan egységnégyzet, am e ly a k iv á n t m ódon vé g ze tt elhelyezés esetén 1 -n é l keve­ sebbet fedne le N h a tá rvo n a lá b ó l. A 19. b . ábrán só rra v e s s z ü k a le h e t­ séges e lh e lye zke d é se ke t. A z I. n é g y-

1 — 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

¡HHP émm

1 1 1 1 1 \ 1 ____1

1 9 .a . á b ra

ze t 1 + a -t fed le ; n . b + c -t fed le , aho l b+£ közép k ö z ti ö ssze fü g g é s)¡viszo n t /tü c =

1 ‘1

18. á b ra

—

> 2

/b c_ , /s z á m ta n i és m é rta n i

, te h á t b+c ^

1;

ü l. n y ilv á n na­

gyobbat fed le 1 -n é l; IV . 1 -e t fed le / l . az ábrán b e ra jz o lt h á ro m szö g e ke t/; V . tö b b e t fed le m in t IV , te h á t 1 -n é l tö b b e t. M iv e l a 8 k e rü le tű N négyzet­ b ő l m in d e g yik le galá bb 1 -e t fed le , 8 -n á l több nég yzetet nem le h e t e lh e ­ ly e z n i.

- 328 -

1 9 .b .á b ra 20. Ha az 5 p o n t le g kisa b b konvex b u rka négyszög, n in cs m it b iz o n y íta n i; ha há rom szög, a k k o r a három szög belsejében h e lye zke d ik e l m ég k é t pont /2 0 . á b ra /. E k é t pont összekötő egyenesének e g yik o ld a lá n a három szögnek k é t csúcsa van, ezekkel e g y iitt a k é t p on t konvex négyszöget a lk o t.

20.

ábra

21. /2 1 . á b ra / M in t az ábra m u ta tja , h é t fe le a kko ra k ö rre l b e b o ríth a tju k az e re ­ d e tik ö r t. H é tn é l kevesebb k ö rre l azonban m á r nem , m e rt egy k is k ö r a te l­ je s k ö rvo n a ln a k le g fe lje b b lia to d ré s z é t fe d h e ti le , a h a tá rvo n a l lefedéséhez te h á t le g a lá b b h a t k ö r k e ll, eze n kívü l m ég egy k e ll a középpont lefedéséhez is ..;

- 329 -

21. áb ra

22. /2 2 . á b ra / Ehhéz elegendő m e g m u ta tn i, hogy a sokszögbe i r t három szögek b á rm e lyiké h e z le h e t ta lá ln i o lya n h á ro m szö g e t, am elynek te rü le te nem kise b b am azénál és csú csa i a sokszögnek is c s ú csa i. Ehhez v is z o n t csak a z t k e ll m egm uta tn i, hogy a sokszögbe i r t b á rm e ly három szögnek e g yik csú csá t e l le ' h é t úgy to ln i áz e g yik sokszogcsucsba, hogy a te rü le te ne kise b b e d jé k, -p l. a 2 2 . ábrán. 23. / 2 3 .á b ra /L e g y e n a sokszög te rü le te 1. Fog­ la lju k a sokszöget az a d o tt irá n y ú e^ és e ^

22.

ábra

egyenesek közé és az e és e«, közé ikta ssu n k be m ég azok d tá vo ls á g á t négy ' , 1 ¿t egyenlő ré s z re o sztó e^, e ^ .e ^ egyeneseket, e^ a sokszöget P és q, e^ R és S pontokban m e ts z i; e négy m etszéspontot ta rta lm a z ó o ld a la k egyenesei az e, és e , 111 . e , és e egyenesekkel egy-egy tra p é z t zá rn a k k ö z re . —1 —o 2 —o A tra p é z e k te rü le té n e k összege m j +. s s | =

f £ *•

A PQ B és RSA három szögek te rü le té n e k összege P Q . f d + RS . | d = (PQ+RS) | te h á t az egyikük te rü le te le galá bb 3 /8 .

- 330 -

d

= |

[ (PQ+RS) f ] =

4

»

23. ábra

24. /2 4 * á b ra / V á la sszu k k i az egységnyi te rü le tű sokszög egy AB =a o ld a lá t és az a ttó l le g tá v o la b b i C csú cso t. A C -n á t A B -v e l h ú z o tt b párhuzam osnak az e g y ik o ld a lá n h e lye zke d ik e l az egész sokszög. H uzzunk A C -v e l p á rh u ­ zam osokat a tő le le g tá v o la b b i sokszögcsucsokon á t, legyenek ezek c és d . M e g m u ta tju k, hogy az a és b , c és d egyenesek k ö z re z á rta p a ra le lo g ra m m a te rü le te n é n i nagyobb 2 -n é l. A sokszögnek és a c egyenesnek e g yik közös p o n tja le g ye n P , ugyanez d -re le gyén Q . A C a s o k s z ö g e té s jtg te rü le tű -3 3 1 -

ré s z e k re b o n tja . A z á b rá ró l le o lva sh a tó , hogy XYZU < t 1+ t — =XAC — U ~ +AY ——ZC=2APC+2AQC .. — —

=2

25. /2 5 .á b ra / E m e ljü n k fé lg ö m b ö t a k ö r fö lé és m inden sáv fö lé egy o lyan fé l göm bövet, am elynek h a tá ro ló s ík ja i a k ö rb ő l éppen a sávot m e ts z i k i. Egy fé l-g ö m b ö v fe ls z ín e r s ff~. A félgö m b a fe n ti m ódon a kko r és csa kis a kko r van le fe d ve göm bövekkel, ha a k ö rt is le fe d ik a sávok. A félgö m b fe ls z ín e 2

2 r X = rs V . n , te h á t le galá bb n szám ú göm böv azaz sáv k e ll a lefedéséhez. 26 A z t k e ll m egm uta tn i, hogy a közös ré s z ta rta lm a z z a b á rm e ly k é t p o n tjá ­ nak összekötő szaka szát. 27. /2 6 .á b ra / Ha a t tám aszegyenesnek B és B ’ az a la k z a tta l közös p o n tja i, a k k o r A B és A B * k ö z ü l le g a lá b b az

e

e g yik nagyobb lenne a tám aszegyenesek tá vo lsá g á n á l, a m i le h e te tle n , h i­ szen a k é t tám aszegyenes tá vo lsá g a az á tm é rő ve l egyenlő. 28. /2 7 . á b ra / Legyenek az a la kza to k 4 *— 2 > - 3 ’ - 4 e g y ik közös p o n tja P 1# Ha P x

-b e n van, n in cs m it b iz o n y íta n i, e z é rt fe lte h e tjü k ,

hogy n in cs F ^-b e n . H asonlóan: a P ^, P ^,

- 332 -

pontokat úgy vá la sszu k, hogy

27. ábra

m in d e g yike t re n d re csak éppen F ^ , F ^, F ^ ne ta rta lm a z z a . A konvex ta rto ­ m ányok d e fin íc ió já n a k következm énye, hogy m azzák a P g P g ^ ,

F^, F^,

F ^ re n d re ta r ta l­

P jP g P g h á rom szöge ket. Könnyen

b e lá ttia tju k , hogy e négy három szöghöz m in d ig ta lá lh a tó olyan K pont, am e­ ly e t m in d e g yik belsejében vagy h a tá rá n ta rta lm a z . G ondólatm enetünk a kko r is h e lye s, ha a három szögek e lfa ju ló k /e g y egyenesbe esnek c s ú c s a i/. 29. /2 8 .á b ra / Lásd az á b rá t.

28. ábra , 30. A b iz o n y ítá s t te lje s in d u kció va l végezzük. Négy a la k z a tra a té te l ig a z , /2 8 . fe la d a t/ T együk fe l, hogy n a la kza t esetén is h e lye s a té te l. A z F F . F i , . ~T’ ~ 2’ ‘ ’ ~ n + l konvex a la k z a to k ró l fe lte s s z ü k , hogy kö zü lü k b á rm e ly három nak van közös p o n tja . Legyen F az és közös ré s z e . A z , F ^ , . . F ^ ■,£ n szá­ m ú konvex a la k z a t és kö zü lü k b á r m ély három nak van közös p o n tja . A z in ­ dukciós fe lte v é s s z e rin t tehát m indegyiknek van.

- 333 -

31

/2 9 á b ra / T e k in ts ü k azokat a fé ls ik o k a t, am elyeknek h a tá ro ló egyenesei * párhuzam osak és egyenlő kö zö kke l távo lo d n a k e l égy e egye nestől. K ö zü lü k b á rm e ly három nak van közös p o n tja , de n in cs olya n p on t, a m e ly ik e t m in d ­ e g y ik ta rta lm a z n a ; b á rh o l té te le z ü n k is fe l u i. ily e n p o n to t, le s z o lya n fé ls ik , am elynek h a tá ro ló egyenese tá vo la b b van e -tő l, m in t ez a p o n t, te h á t nem ta rta lm a z z a e zt a p o n to t.

29. ábra 3 2 . /SO . á b ra / H a az A , B , C p ontok le fe d h e tő k az e g y s é g k ö rre l, aM cor ennek ^ közép pontja a szóban fo rg ó p o n to któ l n in cs tá vo la b b 1 -n é l. E z é rt az A , B , C k ö rü l s z e rk e s z te tt egységköröknek K közös p o n tja , írju n k m o st m inden p o n t k ö ré e g ysé g kö rt. A z előzőek s z e rin t b á rm e ly három nak van közös p o n tja , te h á t H e lle y té te le s z e rin t /3 0 . fe la d a t/ a z összes k ö rn e k van egy Q. kozos p o n tja , ez v is z o n t a z t je le n ti, hogy O n in cs m esszebb a p o n to któ l 1 -n é l, te h á t az O középpontú egysé gkör v a la m e n n yit le fe d i.

33.

A fe la d a t a

3 2 .fe la d a t

m in tá já ra o ld h a tó m eg, ha m e g m u ta tju k, ^ g y b á r-

m e ly h á ro m p on t le fe d h e tő a z ~ = su g á ru k ö r r e l. Legyen a h á ro m te ts z ő ié -

ges p on t A , B , C ; az A B C három szög o ld a la i nem nagyobbak 1 -n é l. Ha A B C tom paszögű, vagy derékszö gű, a leghosszabb o ld a la fö lé s z e rk e s z te tt k ö r í; i - am elynek suga ra nem nagyobb - -n é l le fe d i a h á ro m szö g e t. H a a há­ ro m szö g hegyesszögű, van egy 6 o ° -n á l nem k is e b b szöge, m ondjuk 1 /. G .-n e k n -n é l kevesebb é le van és m inden szögpontja p á ro s fo kú , h isze n a z e lső u t m inden szögpontből p á ro s szám ú é lt fo g la lt le . A te lje s in d u kció s fe lte v é s s z e rin t te h á t lé te z ik benne egy m inden é lt fe lfű z ő U . u t. IL -n e k és U -n a k k e ll közös szögponttal re n d e lk e z n ie , m e rt ha nem re n d e l­ keznének, az a zt je le n te n é , hogy az e re d e ti g rá f a fe lte v é s s e l e lle n té tb e n nem összefüggő. A z U . u ta t b e le o lv a s z th a tju k az U útba ú g y, hogy a m in t az U -n m e g te tt utunkon U .-v e l közös szögpontba é rü n k , e lő s z ö r U L -t já rju k be, m ajd utána fo ly ta tju k u tunkat U -n . 51. A v á la s z t a 49. és 5 0 .feladatokban s z e re p lő té te le k a la p já n ad h a tju k m eg. 52. L . a 4 9 .fe la d a to t. 53. A té te l ig a zo lá sa az is m e rt E u le r-fé le p o lié d e r té te lle l azonos m ódon tö r ­ té n h e t. L . p l. H ajós G yörg y: B evezetés a g e o m e triá b a c . tankönyvének 195. g 4 54. A csúcsok szám a 6, az éleké e = - ^ - = 12, te h á t az e lő ző fe la d a t s z e rin t a la p o k szám a az r,

1+6

=

„

12+1

egye nle tbő l ^= 7 . Legyen az é le k a lk o tta a la k z a t h a tá ro ló é le in e k szám a h, az egyes la pok o ld a la in a k /é le in e k s z á m a /n , m , n . , . . . ,n _ , a kko r n y ilv á n X ¿i • o * n .+ n + . . . +n +h = 2 e = 24 , -1 u 7 m iv e l _i n. és _h le galább 3, a n yo lc szám m in d e g yike pontosan 3, azaz n ^ = ^ = ^ = .. .i^ = h = 3 . A 40. ábra m u ta tja a m e g va ló sitá sá t.

- 341 -

55. T eg yük fe l, hogy a szóban fo rg ó összekötések m eg va ló síth a tó k, az ig y ka ­ p o tt hálózatnak 6 csúcsa,

~

=

9

é le van, te h á t az 53. fe la d a t s z e rin t m eg­

h a tá ro z 1. szám ú ta rto m á n y t /la p o t/, a m e ly re 1 + 6 = 9 + 1, azaz 1=4. V á lasszu nk k i egy te tsző le g e s la p ta rto m á n y t. In d u lju n k k i ennek e g yik házban lévő' csúcsá ból, innen kúthoz ve ze t é l, m ajd innen házhoz; it t vagy v é g z o iík a la p h a tá ra , vagy is m é t kúthoz ve ze t az u t s tb . E b ből kö ve t­ k e z ik , hogy m inden la p o t p á ro s szám ú é l h a tá ro l, te h á t le g a lá b b 4. Legyen az egyes lá p o k é le in e k szám a a h a tá ro ló é le k szám a h . M iv e l % + % + % + 2 4 + fc = 2£ = 18 ez v is z o n t le h e te tle n , h isze n n ^, e ^ , . . . , h m in d e g yike le galá bb 56. Legyen a k é t szögponthalm az

4.

és H ^ . A H ^ e g yik csúcsa lé gyen A

abból k iin d u ló é le k vé g p o n tja i a H g h a lm a z

B ^ .-.. ^

az

szö g p o n tja i. Ez

u tó b b i k szám ú szögpontból k iin d u ló é lé k H . -b e li vé g p o n tja i k im e r ítik a H “Á összes s z o g p o n tja it, m e rt h is z e n egy te tsző le g e s A ^-höz (i. > l) és A -h e z - B _ben Pont°sa n egy szögpont van, a m e ly m in d k e ttő ve l össze van kö tve , és ezek csak a ^ . B j

B ^ k ö z ü l k e rü lh e tn e k k i, h isze n ezek vannak csak

-gyei összekötve. Viszont hasonló okból A^-en kivül nincs olyan csúcs -A-ba“’ amelybe a l*» lg> :••• ^

esueSok közULkettővel lenné összeköt­

ve. Ezek miatt HA ezögpoatjainak száma 1-gyei nagyobb, mint a csúcsokból nem A^-be vezető é le k szánta, tehát 0=k(k-l) + l * k 2 -k+l.

34a-

B^

41. ábra

57. /é l. á b r a / A z e lő ző fe la d a t következm énye, ha fc=3, n=7. A g rá fo t az á b ra m u ta tja . 58. Legyen a g rá f szögp ontjainak szám a o, a z egye* csücsö kből in d u ló é le k szám a . • »e^- Ha ezeket összeadjuk az é le k e szám ának k é ts z e re s é t ka p ju k m eg: V + % + ... + ^ = % . H a % • ®2 » • • • % p á ra tla n é lszá m o ka t je lö ln e k és ^ akkor

. . . , e p á ro sa k, °

el +e2+V K * ;+ e i = 2e “ — >2 csúcso kból a s z e m k ö z ti la p fa b o csá to tt m agasságvonalak hossza a következő összefüggések:

m 4* B izony its u k be, hogy fe n n á lln a k

+ '-i- + — 1 — + -i- = —

a/

“ l

m2

mi

m3

m2

m4

m3

.

T

m4

’

A

’

/h a s o n ló összefüggések érvényesek .■ .a _ A

;jL.

’ V

_ L _ re/ A

c/S , ± . M , i ?i .

fz

\

>3

39

é l

z f

M utassuk m eg, hogy a te tra é d e rn e k a k k o r és c sa kis a k k o r van m agasságp o n tja , ha a sze m kö zti é le k p á ro n ké n t m e rő le g e se k e g ym á sra . /A te tra ­ é d e rt ó rto c e n trikusnak nevezzük, ha van mflggggágp^ntjp / 40. Ig a z o lju k , hogy ha a te tra é d e rb e n k é t s z e m kö zti é lp á r m e rő le g e s egym ás­ ra , a k k o r a h a rm a d ik sze m kö zti é lp á rra is á ll e z. 41. Ig a z o lju k , hogy az o rto c e n trik u s te tra é d e r sze m kö zti é lé in e k fe le z ő p o n tja it össze kö tő szakaszok e g y e n lő i. - 349 -

42. M utassuk m eg, hogy ha egy te tra é d e rt le h e t négyzetbe m e tsze n i, a kko r a te tra é d e rn e k van k é t sze m kö zti m erő le g e s é le . 43. B iz o n y íts u k be, hogy o rto c é n trik u s te tra é d e rn é l a sze m kö zti é lé k n é g yze tösszege egyenlő. 44. Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder beirt és köré irt gömbjének közép­ pontja egybeesik, akkor lapjai egybevágók.

45. B iz o n y íts u k be, hogy te tsző le g e s 4 s ik o t, a m elyek egy közös ponton m ennek á t, le h e t p a ra le lo g ra m m á b a n m e tsz e n i. tr 46. A z AB C D te tra é d e r te tsző le g e s b e lső p o n tja O . Ó -t a csúcso kkal összekötő ’ egyenesek a m e g fe le lő sze m kö zti la p o t re n d re A ^ B ^, C ^ .I^ pontokban m e ts z ik . B izo n yíts u k be, hogy A l° A A ±

Bi° c i° D i° + BB + CC1 + D D ^ ~ 1*

47. A z AB C D te tra é d e r A D ; BD . CD é le in rendbe je lö ljü n k k i úgy M , N , P pon to­ k a t, hogy az A B N M .A C P M négyszögek húrnégyszöge^ legyenek. B iz o n y ít­ suk be, hogy a BC PN négyszög is húrnég yszög. 48. Egy te tra é d e r h á ro m csú csá ra ille s s z ü n k göm böt, am ely a te tra é d e r h á ro m é lé t m ég a M , N , P pontokban m e ts z ik . M utassuk m eg, hogy az ig y n y e rt M NP három szög a la k ja fü g g e tle n a ttó l, hogy m e ly ik h á ro m csú csra ille s z t­ jü k r á a göm böt. ii 49. M utassuk m eg, hogy ha egy te tra é d e r m inden la p ja egyenlő te rü le tű , a kko r egybevágó is . . 50 B iz o n y íts u k be, hogy k ü ls ő p on tbó l a göm bhöz h u zo tt sze lő k m e tsze te in e k ’ szorzata állandó. Az állandó értéke a pontból k iin d u ló gömbi érintőszakasz hosszának négyzete. . j.» .. wn 51. M i a m é rta n i h e lye k é t a d o tt ponton átm enő és a d o tt s ik o t é rin tő gom bok é rin té s i p o n tja in a k . 52. M utassuk m eg, hogy ha egy kö rkú p n a k van h á ro m o lyan a lk o tó ja , am elyek p á ro n ké n t m e rő le g e se k egym á sra , a kko r vég te le n sok ily e n a lkotó hárm a sa van. Ú tm u ta tá so k a X X I. fe je ze th e z 1. A sikn a k fe le z n ie k e ll az A C , A B , B C .B D szakaszok m in d e g yiké t. Ha h á rm a t közülük fe le z , a k k o r te lje s ü l ez a n e g ye d ikre is . 2. / I . á b ra / Legyen a k é t szem köztes csúcs P és Q . A P és § pontok m in d ­ e g yike egyenlő tá v o l van a hatszög m inden csú csá tó l, te h á t ra jta vannak a P, i l l . Q középpontú göm bök m etszésvonalán, azaz egy kö rö n vannak. A hatszög minden o ld a la egyenlő a la p á tló fe lé v e i.

2. ábra /2 . á b ra / A z AB D és BCD három szögek szögeinek összege 360 , v is z o n t e , k é t három szög B , i l l . D csúcsánál fe kvő szögeinek összege nagyobb, m in t a négyszög y8 , i l l . S szöge. /3 . á b ra / A g ú la e g yik la p já t a T ta lp p o n ( tu m erő le g e s P -b e n m e ts z i. A la p o k m in d e g yike oi szögben h a jlik az alaphoz, e z é rt P T = T M . tg oc. A P T je lle g ű szaka­ szok te h á t T e g yik a la p é ltő l m é rt tá v o l­ ságának és tg c r-n a k sz o rz a tá v a l fe je z ­ hetők k i, a kérdéses szakaszok összege te h á t T -n e k az a la p é le k tő l m é rt tá v o ls á ­ gainak ö ssze g é tő l függ, de ez n y ilv á n az a la p é l k é t szereséve l egyenlő, te h á t á l­ la n d ó .

-351 -

5. /4 . á b ra / A fe la d a t lényegében annak a k im u ta tá s a , hogy a derékszö gű t r i éd e r m inden három szö g m e tsze te hegyesszögű. V á lasszu nk k i az A B C m e t­ szethárom szög A B é lé t. A z e fö lé s z e rk e s z te tt T ha les göm bön ra jta van a trié d e r O csúcsa és a ¿ egyenes é r in ti a göm böt. Á m de e kko r a z -n e k O -n k iv ü l m inden p o n tja a göm bön k iv ü l van, te h á t a C pon tbó l A B hegyesszög­ ben lá ts z ik .

6. A te s tá tlő fö lé s z e rk e s z te tt T ha les göm b e g y ú tta l a kocka k ö ré i r t göm b is . E nnek m inden p o n tjá b ó l derékszögben lá ts z ik a te s tá tló , a göm b b e lső pont­ ja ib ó l tom paszögben, a k ü ls ő p on tokb ól hegyesszögben. A le g kise b b szög e z é rt de ré kszö g le h e t, te h á t a kockának a te s tá tló n nem lé v ő csú csa i fe le ln e k m eg a fe la d a t fe lté te le in e k . 7 . A z 5. ábrán a kocka egyh arm ad át á b rá z o ltu k . 8. /6 . á b ra /V e títs ü k a ko cká t e g y ik te s tá tló já ra m e rő le g e s s ik ra , v e tü ­ le tű i szabályos h a tszög et n y e rü n k . A z ábrán b e ra jz o lt m ódon k iv á jv a a ko c­ k á t a k iv á jt ré sze n átcsu szta th a tu n k az a d o tt ko cká va l egybevágó k o c k á t.

352 -

/ 7 . á b ra / A nnak fe lté te le , hogy egy hasáb p a ra le lo g ra m m a alapú legyen, az, hogy lé te z z é k egye tlen p a ra le ­ lo g ra m m a m e tsze te . V á lasszu nk k i a négy p on t k ö z ü l te tsző le g e s h á rm a t, e g é szítsü k k i az á lta lu k ¡alkotott há­ ro m szö g e t p a ra le lo g ra m m á vá . K ö s­ sük össze ennek újonnan n y e rt csú csá t az előbb k im a ra d t negyedik p o n tta l. A z összekötő egyenessel párhuzam ost huzva a tö b b i ponton á t a fe lté te ln e k e le g e t te v ő hasábot n ye rü n k. 10. / 8 . á b ra / A z e g y ik egyenes a, a ra jta fe lv e tt pontok A ^, A ^, A ^ a m á sik egyenes b , az e rre á llíto tt m e rő le g e sek ta lp p o n tja i B , B S zerkesszünk

7. ábra

a b -n á t egy a -v a l párhuzam os H s ik o t, a -n a k ezen lé v ő m érő le g e s ve tü le te a . A z A 1A jB i , A ^ ^ , A ^ B ^ derékszögű három szögek m egegyeznek egy befogóban, v is z o n t az A ’ B ^ A ^B ^, A ^ befogók valam ennyien m e rő le ­ gesek b -re , ig y A ^B g rö vid e b b a m á sik k e ttő v a la m e ly ik é n é l és ig y á llítá ­ sunk is k ö v e tk e z ik .

11. /9 ,á b ra / T együk fe l e lő s z ö r, hogy a m etsző s ik átm egy a te tra é d e r A B élén és a k im e ts z e tt három szög A B E . A z A B C . A B E . AB D három szögek m eg­ egyeznek e g yik o ld a lb a n ; a h o zzá ta rto zó m agasság az e lőző feladatunk é r­ te lm é b e n nem az A B E -b e ü a leghosszabb, te h á t A B E te rü le te sem a legna­ gyobb az e m líte tt h á ro m három szög k ö z ü l. - 353 -

c

9. ábra Ha a m etsző s ik a csúcsok kö zü l csak a A -n m egy á t és a CB o ld a lt P -b e n , a C D -t Q -ban m e ts z i, a kko r az ÁBQ C te tra é d e rb e n az előzőek s z e rin t AP Q te rü le te kise b b ABQ vagy ACCJ te rü le té n é l, a m ib ő l az á llitá s k ö v e tke zik. Ha a m etsző s ik egy csúcson sem m egy á t, az á lta la k im e ts z e tt há­ ro m szö g fe ln a g y ítv a az e lő ző k é t esetben le irta k va la m e lyiké b e m egy át, te h á t m ég fe ln a g yítva is lé te z ik n á la nagyobb te rü le tű te tra é d e r la p . 12. /lO . á b ra / Elegendő m egm uta tn i, hogy egy A B C három szöglem ezhez b á rh o l veszünk is fe l a té rb e n egy P p o n to t, a lem ez p o n tja it P -v e l összekötő sza­ kaszo k m inde gyiké nél van nagyobb a P A , P B , PC szakaszok k ö z ö tt. Legyen ü i. Q a le m ez egy p o n tja és m esse BQ az AC o ld a lt S -ben. A BPS. h á ro m ­ szögben az V . fe je z e t 29. fe la d a ta s z e rin t a PS és PB o ld a la k egyike nagyobb P Q -n á l. Ha p l. csak PS '> PQ . a k k o r ugyancsak az e m lite tt fe la d a t a la p já n a PA és PC szakaszok k ö z ü l az e g yik nagyobb P S -nél-, azaz PQ-n á l is .

10. ábra - 354 -

13. / I I . á b ra / V e títs ü k az a do tt egyeneseket n o rm á ltra n s z v e rz á lis u k fe le z ő m erő le g e s s ík já ra . A m ozgó szakaszok fe le z ő p o n tja i ezen a síkon vannak, a szakaszok v e tü le te i álland ó hosszúságúak. A fe la d a t te h á t vé g p o n tja iva l a s ík k é t m erő lege s egyenesén m ozgó szakasz fe le ző p o n tja in a k m é rta n i h e ly é t m e g á lla p íta n i. E z v is z o n t k ö r, m e rt a derékszögű három szög átfogóhoz ta r ­ to zó sú lyvo n a la fe le az átfogónak.

14. /1 2 . á b ra / E g é szítsü k k i a te tra é d e rt az ábrán lá th a tó m ódon p a ra le le p ip e donná. Ha A B =a, CD=b és az a d o tt e^ és e^ egyenesek 90°, m e rt b á rm e ly k é t o ld a l összege nagyobb a h a rm a d ik o ld a ln á l. K é szítsü k m o st e l a z a d o tt trié d e r t, az a d o tt ,fi , 90° o ld a la k k a l a té r egy te tsző le g e s he­ ly é n . S zerkesszünk párhuzam os s ik o t a derékszögű o ld a lla l a ttó l P Q -v a l -3 5 6 -

14. ábra

egye nlő tá v o ls á g ra . E z a h a rm a d ik é lb ő l az X Y -n a l egyenlő szaka szt m etsz k i. X Y és y3 b irto ká b a n m á r a Q X szaka sz hossza is sze rke szth e tő . 19. /1 5 . á b ra / A ve tU le t három szög vagy négyszög. Ha h á ro m szö g , a lrlm r a

ve tU le t e g ye tle n három szöglapnak v e tü le te , ez ped ig a kko r a legnagyobb, ha a szőban fo rg ó la p párhuzam os a s ik k a l. Ebben az esetben a ve tU le t te rü le te 2 regyenlő a háro m szö g la p te rü le té v e l, azaz -g y e i. Ha a v e tü le t az A ’ B ’ C’ D ’ négyszög, tegyük fe l, hogy ennék á tló i A ’ C ’ és B ’ D ’ . Legyen a z A C egyenesnek a s ik k a l b e z á rt szöge « , E D -n e k fi , továbbá A ’ C’ és B * D ’ szöge ff' . E k k o r A ’ C’ = a c o s Ct , B ’ D ’ = a coajg , és a v e tü le ti - 357 -

2

négyszög t e r ü l e t e c o s a. .cos p . s m g 0. E z a kko ra a legnagyobb, ha cos CL =cosy0 = sin ^ =1, azaz CL = ^0= 0°, ^ = 9 0 ° . É z az eset té n yle g be is kö v e tk e z ik , ha A B és CD párhuzam osak a s ík k a l /b e lá th a tó , hogy a v e tü 2

2 _

3. SL v 3 le t e kko r n é g y z e t/. M iv e l — > — j — , az u tó b b i esetben n y e rjü k a m a x i­ m á lis v e tü le te t. 20. Á llíts u n k m e rő le g e se ke t a k ö rö k középpontjában s ík ju k ra . E zek kö zü l b á r­ m e ly ik k e ttő m e ts z i egym ást, ha a k é t k ö r n in cs egy síkban. A m etszéspont k ö rü l sze rke szth e tő o lya n göm b, am e ly m ind a k é t k ö rt ta rta lm a z z a . Há­ ro m k ö r esetén te h á t b á rm e ly k e ttő m eghatároz egy ily e n göm böt, de ez a h á ro m göm b egybeesik, m e rt van b á rm e ly ke ttő n e k négy nem egy sikb a eső közös p o n tja . _ 21. A b izo n yítá s gondolatm enete az e lő ző fe la d a té va l azonos. 22. /1 6 . á b ra / B izo n yítá su n kn á l a zt az e le m i té n y t h a szn á lju k fe l, hogy egy k ü ls ő p o n to t egy s ik p o n tja iv a l összekötő szakaszok k ö z ü l a rö v id e b b ik z á r be nagyobb szöget a s ík k a l.

Legyen az A BCD érin tő n é g yszö g h á ro m o ld a lá n az é rin té s i pont X , Y , Z . E h á ro m pont á lta l m egh a tá ro zo tt s ik a negyedik o ld a lt U -ban m e ts z i. M egm uta tjuk, hogy U az AD o ld a l é rin té s i p o n tja . M egjegyzésünk s z e rin t az ábrán egy iw e l je lö lt szögek egyenlők, h isze n egy pon tbó l a göm bhöz h u zo tt é rin tő sza ka szó k is e g y e n lő i. Ha az AD o ld a l az E pontban é rin t, « irkn r A X > A U , te h á t a nagyobb a je lö lt szögeknél. U gyanakkor azonban DU > D Z , te h á t ¿¿ kise b b a je lö lt szögeknél, a m i ellentm ondá s. 2 ? . V együk é szre ,h o g y az r suga ru göm b kö zé p p o n tjá tó l d_ távolságban haladó 2 2' s ik a göm bből ( r -d ) ^ te rü le tű k ö rt m etsz k i. Legyen m o st egy P pont - 358 -

távo lsá g a az O -tó l d (d < r ) . A P -n átm enő h á ro m pá ro n ké n t m erő lege s s ik az O -tó l re n d re d d , d tá v o ls á g ra van. 2

2

2

2

E k k o r d ^ - t ^ + d g . A k im e ts z e tt k ö rö k te rü le té n e k összege ( r 2-d 1V + ( r 2^ / ) ^ + ( r 2-d 32) ^ (3 r2-d 2) JT , a m i valóban csak a P pönt h e ly z e té tő l függ. 24. /1 7 . á b ra / A kérdéses göm bsüveg fe ls z ín e /a z ábrán vo n a lká zo tt ré s z / 2 ^ R m ,A z O ET derékszögű három szögb ől r 2 = 2R m . e z é rt a fe ls z ín r 2-5T, te h á t valóban függ e tle n a m etsző g ö m b tő l. ~

17. ábra 25. /1 8 .á b ra / Legyen k a ponthalm az egy C középpontú k ö rm e ts z e te . Legyen Q ennek a kö rle m e zn e k b e lső p o n tja , legyen to ­ vábbá P a te s t fe lü le té n , de nem a k kö ­ rö n és le gyen G a z a göm b, a m e ly ik á t­ halad a P ponton és ta rta lm a z z a a k k ö rt. A PQ egyenesen á tfe k te te tt s ik a k k ö rt A és B pontban m e ts z i /h is z e n ta rta l­ m azza a k ö r b e lső p o n tjá t/, továbbá a te s te t és a G göm böt is kö rb e n m e ts z i. A k é t k ö r azonos, m e rt P , A és B közös p o n tja ik . E síkm e tsze te k m indegyikének azonosságából a te s t és a G göm b .azo­ nosa ága k ö v e tk e z ik . 18. ábra 2 6 . M é rjü n k r á m inden trié d e r é lre a csú cs­ b ó l k iin d u lv a egyenlő szaka szokat. Ezek vé g p o n tja i egy s ik o t hatá ro zn a k m eg. kie ssü k e l e zze l a s ik k á l a trié d e r t. Á k im e ts z e tt a la kza t egy há­ rom szö g és annak sú lyvo n a la i leszinek. E bből k ö v e tke zik, hogy a h á ro m - 359 -

szög s ú lyp o n tja közös p o n tja m ind a h á ro m közép slkna k.de a kko r a kö zé p slko k egy egyenesben m e ts z ik egym ást, m iv e l a trié d e r csúcs Is közös p o n tju k, 27. A b izo n yítá s te lje s e n hasonló a m e g fe le lő s ík b e li té te lh e z . G ondoljunk a rra , hogy a szö g fe le ző s ík am a pontoknak a m é rta n i h e lye , am elyeknek k é t fé l­ é ik tő l m é rt tá v o ls á g a ik egyenlők. 28. H a szn á lju k fe l, hogy a szóban fo rg ó síko k b á rm e ly ik e azoknak a pontoknak a m é rta n i h e lye , am elyeknek k é t é ltő l m é rt tá v o ls á g a ik egyenlők.

29. /1 9 . á b ra / Legyen a k é t m agassági s ik m etszésvonala egy-egy trié d e rla p p a l O K. iü . O L egyenes. V együnk fe l a trié d e r e g yik é lé n egy te tsző le g e s A p o n to t, és bocsássunk b e lő le m e rő le g e se ke t a trié d e r m e g fe le lő la p ja ib a n O K -ra és Q L -re . E k k o r, m iv e l a BÖ K s ik m e rő le g e s a z AOC s ik r a , KO a B K szakasz ve tü le te az AOC síko n , v is z o n t az AC egyenes m e rő le g e s K O -ra az AOC siko n , és igy. B K is m erő le g e s A C -re . azaz B K az AB C háro m szö g m agassága. U gyanigy b izo n yíth a tó be , hogy C L is m agassága ennek a három szögn ek. Ezen a z alapon a z BÖ K s ik m erő lege s a z A C egye­ n e s re , te h á t az A B C három szög s ík já ra is ; a C O L s ík ug ya n e zé rt m e rő le ­ ges a z A B C s ík ra , te h á t az QjD egyenes is m erő lege s e rre a s ik ra . F e kte s­ sünk m o st az A , O, M , D pontokon á t s ik o t. A M átm egy a három szög k é t m a­ gasságvonalának m etszéspontjá n, te h á tA M ^ a három szög h a rm a d ik n ia g a ssága, azaz B C m erő le g e s A M -re . D e OD m erő lege s az A B C s ík ra , OM v e tü le te e rre a s ik ra M D , v is z o n t MD m erő lege s B C -re , te h á t O M is m e­ rő le g e s B C -re . T eh át BC - m in t az A M -re m erő lege s egyenes - és MO is m e rő le g e s az AO M s ik ra . E bből k ö v e tk e z ik , hogy az A O M s ik m erő lege s a BQC s ík ra , azaz az A O M s ik a fe la d a tb a n m e g h a tá ro zo tt h a rm a d ik s ik . 30. H a az n csúcsú p o lié d e rn e k m inden c s u c s p á rjá t é l k ö ti össze, a kko r e p o li­ éde rne k (g) é le va n . M inthogy m inden é l k é t lá p h a tárához ta rto z ik és m inden - 360 -

la p h a tá rá n le g a lá b b h á ro m é l van, a p o lié d e r la p ja in a k szám a le g fe lje b b ~3 (^ ). A lk a lm a z v a a konvex p o lié d e re k re érvényes E u le r-té te lt, az '2/

egyenlőtlenséghez ju tu n k . E bből átrendezve (n-3 ) (n -4 ) < O a dó dik, a m i a z t je le n ti, hogy az n egész szám csak 3 , vagy 4 le h e t. M iv e l egy p o lié d e rn e k le galá bb 4 csúcsa van, csak az n=4 eset le hetséges. 31. Ha a la p o k három szöge k, az é le k szám ára 2 e = 3 1, a m ib ő l az á llítá s kö v e tk e z ik . 32. M iv e l m inden csúcsb ól le galább 3 é l in d u l k i, ha m inden csúcsban m e g je lö ­ lü n k h á ro m é it, a kko r m inden é lt le g fe lje b b k é ts z e r je lö ltü n k m eg, e z é rt 3c < 2é .

A z E u le r-té te lb ő l 31 = e+ 6+ (2e-3c), te h á t

• 31 > e+6.

33. Legyen a z i o ld a lú la p o k szám a 1 , a kko r i 1 ~ 13 + 14 +••• az é le k szám a 2e - 31g + 41^ + 51,. + . , . A z E u le r-fé le p o lié d e r té te lb ő l c = e-1+2 = | (313+414+515+ .. . ) - (lg + ^+ lg H -.. . ) + 2.

- 361 -

S zá m olju k m o st m eg a csúcsokat laponként és vegyük fig ye le m b e , hogy m inden csúcsban le galá bb h á ro m la p ta lá lk o z ik , te h á t m inden csúcso t ig y le g a lá b b h á ro m szo r szám olunk m eg: 3L+41 +51 + . . . > 3c u 4 u . azaz w

v

-

•• ¿ I

• •> -3(y'3 w4 5 - • ■>

ebből (1) va g yis

á llítá s u n k ebből m á r kö v e tk e z ik . 34. A z á llítá s kö zve tle n következm énye a z elő ző fe la d a t m egoldásában n y e rt ( l) -g y e l je lö lt egyenlőtlenségnek. 35. /2 0 . á b ra / E legendő m egm uta tn i, hogy b á rm e ly k é t sú lyvo n a l neg yedeli egym ást. Legyen F a BC o ld a l fe le z ő p o n tja és az A B C i l l . B C D h á ro m ­ szögek s ú ly p o n tja i S^, i l l . S^. M iv e l

C

20. á b ra 36. /2 1 . á b ra / Könnyen b e lá th a tó ö t é rin tő g ö m b lé te zé se a három szög b e irt és h o z z á irt k ö re in e k a n a ló g iá já ra . A szögfelező síko k m e tszé sp o n tja in a k v iz s ­ g á la tá b ó l azonban a rra kö ve tkeztethetünk, hogy az ábrán je lö lt v á ly u s z e rü té rré s z b e n is h e lye zke d ik e l la p é rin tő g ö in b . M eg m u ta th a tju k, hogy a sze m - 362 -

r

.

21. á b ra k ö z ti élekhez ta rto z ó v á lyú k k ö z ü l le g fe lje b b az egyikben le h e t göm b, m e rt m indkettőne k a kö ­ zé p p o n tjá t ugyanazok a szö g fe le ző s ik o k közös p o n tja s z o lg á lta tn á . 37. /2 2 , á b ra / A z á llítá s k ö zve tle n ü l k ö ve tke zik áz ■ áb rá n e g yfo rm á n je lö lt é rin tő sza ka szo k egyen­ lő sé g é b ő l. 38. M uta ssuk m eg p l. a /te lje s ü lé s é t. Legyenek a la p te rü le te k t ^ ^ ^ a m agasságok: 3*

—4 * ^ b e irt göm b közép pontjá t

a csú cso kka l össze kötő sza ka szo k 4 te tra é d e r­ re b o n tjá k te tra é d e rü n k é t, ezek k ö b ta rta lm á ­ nak összege a te tra é d e r k ö b ta rta lm á t a d já k. H a a k ö b ta rta lo m K , K =

ebből t

i

22. ábra

3K m.

A ré s z te tra é d e re k kö b ta rta lm á n a k Összege

j K + J S L + 3K 3

3

3

a m ib ő l á llítá s u n k kö v e tk e z ik .

- 363 -

3

Q '^ m4

m2

m3

V

U gyanezen m ódon vezethe tők le a b / a la tti egyenlőségek is , v is z o n t ezek összege a c / s la t t it s z o lg á lta tja .

39. /2 3 . á b ra / T együk fe l, hogy A B és CD é lé k m é rő le g e sé k e g ym á sra ; az A -h o z i l l . B -h e z ta rto z ó m agasság ta lp p o n tja P , ü l. (£. M iv e l AP1CD. k ö v e tk e z ik , hogy CD m erő le g e s az A B P s ík ra , és hasonlóan m uta tha tó m eg, hogy CD m erő le g e s a z AB Q s ík ra is . M iv e l a z A B -re csak egy o lyan s ik ille s z th e tő , a m e ly C D -re m e rő le g e s, a z A B P és A B Q s ik o k azonosak: A P és BQ egy síkban vannak, te h á t m e ts z ik egym ást. F o rd ítv a : ha A P és B g m e ts z ik egym ást, a kko r C D I A P és C D X BQ m ia tt CD m e rő le g e s az A B P Q s ik m inden egyenesére, te h á t A B -re is . E zé kből m á r kö v e tk e z ik , hogy ha a te tra é d e r s ze m kö zti é le i m e rő le g e ­ sek egym á sra , a k k o r b á rm e ly k é t m agasság is m e ts z i egym ást, ez v is z o n t csak úgy le h e tsé g e s, ha egy közös ponton m ennek á t. H a lé te z ik m agasság­ p o n t, a k k o r b á rm e ly k é t m agasság m e ts z i egym ást, te h á t az előzőek sze­ r in t b á rm e ly k é t sze m kö zti é l m erő lege s e g ym á sra . 40. A z e lő ző fe la d a th o z fű z ö tt ú tm u ta tá sb ó l k io lv a s h a tó , hogy ha k é t s ze m kö zti é lp á r m erő le g e s eg ym á sra , a k k o r m á r lé te z ik m agasságpont; ha v is z o n t lé te z ik m agasságpont, a k k o r m inden szem köztes é lp á r m e rő le g e s. 41. /2 4 . á b ra / A z ábrán lá th a tó É , F , G ,H é lfe le ző p o n to k p a ra le lo g ra m m á t a lk o t­ nak, m e rt E F II BD IIH G és EH IIAC IIF G . E z a p a ra le lo g ra m m a té g la la p , m e rt A C J.HD. de a kko r á tló i, azaz a sze m kö zti é lé k e t össze kötő szakaszok, egyenlők. 42. A fe la d a t a z e lő ző fe la d a th o z -fűzö tt ú tm u ta tá s a la p já n o ld h a tó m ég.

- 364 -

24. ábra 43• /25. ábra/ Toljuk el az AB, 111. A C éleket a CE. ill. BE helyzetbe. A szemközti élek merőlegesek, mivel ortocentrlkus tetraéderről van szó. Ifey a D E B és D E C háromszögek derékszögliek. Pythagoras tétele alapján d e 2=b e 2+b d 2=c e 2+c d 2.

azaz -

■

A £ 2+ ^D 2=jAB2+OD2,

25. ábra

44. /26. ábra/ Ha a gömbközépppntok egybeesnék, akkor minden lap egyenlő távol van a köré Irt gömb középpontjától, ezért a lapok köré Irt körök su­ garai egyenlők. De akkor pl. az A B él ugyanakkora szögben látszik a D, C csúcsokból, tehát minden élre Igaz, hogy a lapokon egyenlő élekkel

á

26. ábra

egyenlő szögek vannak, e z é rt az ábrán e gyform á n je lö lt szögek egye nlő k. E g y-eg y lapon a szögösszeg: ABC:

*

+fi +#*’= 1 8 0 ° ,

ABD: