Éléments de Mathématique: Algèbre: Chapitre 9 3540353380, 9783540353386 [PDF]

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N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

ALGÈBRE

Chapitre 9

123

Réimpression inchangée de l’édition originale de 1959 © Hermann, Paris, 1959 © N. Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

ISBN-10 3-540-35338-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-35338-6 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprim´e sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 -

CHAPITRE I X

FORMES SESQUILINÉAIRES E T FORMES Q U A D R A T I Q U E S

Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont supposés admettre u n élément unité noté 1 ; tous les modules sont supposés unitaires ;pour tout homomorphisme f d'un anneau A dans un anneau B on suppose que f(1) = 1.

SJ 1. Formes sesquilinéaires 1. Applications bilinéaires.

Dans ce no l'on désigne par A et B deux anneaux, par E u n A-module à gauche, par F u n B-module à droite, et par G u n ( A , B)-bimodule, c'est-à-dire u n groupe commutatif muni d'une structure de A-module à gauche et d'une structure de B-module à droite telles que l'on ait (ag)b = a(gb) quels que soient a = A, ~ E B~ , E G . D É F I N I T I O1.N-On dit qu'une application @ du produit E x F dans G est bilinéaire si elle satisfait aux conditions suivantes :

+ x', Y ) = @ ( x ,Y ) + Y) quels que soient x @ ( x ,Y + Y ' ) = @ ( x ,Y ) + @ ( x ,Y')

(1) @(x (2)

(3) @ (ax, y ) = a@(2,y ) quels (4) @ ( x ,yb) = @ ( x ,y) b quels

@@',

E

E , x'

E

E, y E F ;

quels que soient x E E , y E F, y' E F ; que soient a E A, x E E , y E F ; que soient x E E , y E F, b E B.

Le produit tensoriel E @, F est canoniquement muni d'une structure de (A, B)-bimodule caractérisée par a(x 8 y)b = ax @ y b (Chap. III, 2e éd., App. II, no 3), et la donnée d'une application bilinéaire @ de E x F dans G équivaut à celle d'une application Y de E @,F dans G qui soit un homomorphisme pour les structures de (A, B)-bimodules et qui vérifie Y(x@y) = @(x,y) quels que soient z E E et y E F. Les conditions imposées à @ par la définition 1 signifient que les applications partielles &(y) : x -+@(x,y) et sa (x) : y + @(x,y) sont respectivement une application A-linéaire de E dans G et une application B-linéaire de F dans G. Munissons le groupe commutatif içA(E,G) (resp. i$(F, G)) de la structure de B-module à droite (resp. de A-module à gauche) définie par ub(x) = u(x) . b (u E !&(E, G), , ), ~ E F ) ) . X E E , ~ E B (resp. ) ao(y) = a.v(y) ( a = A , u ~ c $ ( F G Alors les conditions (1)à (4) sont respectivement équivalentes a :

quels que soient x, x' dans E, y, y' dans F, a E A, b E B ; autrement dit, l'application de F dans %*(E,G) est B-linéaire, et l'application sa, de E dans Y,(F, G) est A-linéaire. On a, par définition (5) @ (x, y) = d, (y)(x) = s,, (x)(y) quels que soient x E E, y E F.

DEFINITION 2. - Etant donnée une application bilinéaire @ de E x F dans G, l'application da de F dans gA(E,G) (resp. l'application sa, de E dans YB(F,G)) caractérisée par ( 5 ) est appelée l'application linéaire associée à droite (resp. à gauche) à @. Inversement la donnée d'une application B-linéaire d de F dans %,(E, G) (resp. d'une application A-linéaire s de E dans if,(F, G)) détermine de façon unique, par la formule (resp. @(x,y) = s(x)(y)) @(x,y) = d(y)( 4 une application bilinéaire @ de E x F dans G, dont d (resp. s) est l'application linéaire associée à droite (resp. à gauche).

DÉFINITION 3. - Une application bilinéaire @ de E x F dans G est dite dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul y, de F (resp. xo de E ) tel que @(x,yo) = O pour tout x E E (resp. @(x,, y) = O pour tout y E F). On dit que (e;,,f,) = Shi* pour tout couple d'indices. (Remarquer d'abord que l'ensemble d'indices de ces bases aurait la puissance du continu (Esp. vect. top., chap. II, $3,exerc. 15) ; considérer ensuite une base orthonormale (dénombrable) (a,) de E et remarquer que le sous-espace engendré par les a, est contenu dans le sous-espace engendré par une sous-famille dénombrable de (e,)).,

+

fj 2.

Discriminant d'une forme sesquilinéaire

Dans tout ce paragraphe, A désigne un anneau commutatif, J un automorphisme de A et E u n A-module libre de dimension finie n.

sesquilinéaire DEFINITION1. - Etant donnée une forme pour J s u r E et un système S = (x,,. . . , x,) de n éléments de E, on appelle discriminant de @ par rapport à ce système, et on note D+(x,,. . . , x,) ou Da@), l'élément det(@(xi,xi)) de A. Si (el,. . ., en) est une base de E l le discriminant de @ par rapport à cette base n'est autre que le déterminant de la matrice de 0 par rapport à cette base. n II résulte de la définition de l'extension de @ à r\ E ( $ 1, no 9) que l'on a D+(xl,.

(1)

. ., 2,)

= @(,)(xiA

. - . A Zn, x1 A . . A xn)l n

où QCn,désigne l'extension de @ a o E Gn, on a donc D+(xa(,),. -

.1

A E. Pour toute permutation

xm(n)) = Ddx,,

. ., xn).

$21.

Exemple. - Soit B une algèbre sur l'anneau A, telle que B soit un A-module libre de dimension finie n. Alors l'application (x, y) + Tr,,,(xy) (chap. VIII, 5 12, no 2) est une forme bilinéaire sur B. E t a n t donné un système (x,, . . ., xn) de n éléments de B , le discriminant de cette forme par rapport à ce système s'appelle le discriminant du système (x,, . . .,x,) s u r A, et se note D,,,(x,, . . .,xn). On a ainsi DBIA(x1,. . ., xn)

(2)

=

det (TrB,A(xix,))-

Remarque. - Soient (el,. . ., en) une base de B sur A, et n

eiej = k z l c i j k e k (cijkE A) la table de multiplication de cette base (chap. II, § 7, no 2). Comme la matrice de l'endomorphisme A-linéaire -x -+ ekx de B par rapport à (eV)est (a,), on a Tr,,,(ek) = n

PROPOSITION 1. - Soient @ une forme sesquilinéaire pour J sur E, (x,,. . . , xn) un système de n éléments de E, et (aii)(i,i= 1 , . . .,n) n

une famille de n2 éléme'nts de A ; posons y, D+(yl,. . ., y,)

=

=

C aiixi. On a alors

i=l

det (ail).det (ai,)J.Da>(x17. . ., x ~ ) .

E n effet, comme @ est une forme sesquilinéaire, on a @(yi,yi) = Ç, aQ@(xk,xm)a&. Donc, si l'on note A la matrice (a,), la matrice k,

(@(Y,, @ une forme alternée non dégénérée sur E. Montrer qu'il existe dans E une base (a,) telle que @(azn-1,az,) = 1 pour 1, et @(ai,ai) = O pour tout autre couple d'indices tels que tout n i r n'est pas nul, montrer qu'il existe une nouvelle base (fi) de E telle que ei = f, pour 1,< i ,(r et que la matrice de Q par rapport à (f,) s'obtienne en remplaçant par O dans R tous les a,j tels que i > r ou j > r (considérer le sous-espace E0 orthogonal à E). b) Déduire de a) que si @ est de rang n, et si le cofacteur An-i de a,,, dans le déterminant A = det R n'est pas nul, il existe une nouvelle base ( j , ) de E telle que f, = ei pour 1 \< i -< n - 1, et que l'on ait

(considérer la forme hermitienne dont la matrice par rapport à (ei) A s'obtient en remplaçant a,, par a,, -dans R). An-, c) On suppose que @ est de rang n, que A,-1 = O, mais que le mineur principal A,-2 de R obtenu en supprimant les lignes et les colonnes d'indices n - 1 et n dans R n'est pas nul. Montrer qu'il existe une nouvelle base (fi) de E telle que fi = ei pour 1 \< i ,< n - 2, et que l'on ait

(Si H est l'hyperplan engendré par el,. . ., e , ~ , qui est isotrope, remarquer que la droite orthogonale à H n'est pas dans le sous-espace engendré par el,. . ., et utiliser la prop. 2 du $ 4, no 2). 3) Soient A un corps fini, E un espace vectoriel de dimension finie sur A, @ une forme sesquilinéaire hermitienne non dégénérée sur E, relative à un automorphisme J f 1 de A. Montrer que E admet une base orthonormale pour Q, (cf. chap. V, $ 1 1 , no 5, cor. du th. 3). 4) Soient A un corps fini de caractéristique f 2, E un espace vectoriel de dimension finie n sur A. a) Montrer que pour toute forme bilinéaire symétrique @ non dégénérée sur E, il existe une base orthogonale (ei) de E telle que @(ei,ei) = 1 pour 1\< i \< n - 1, @(en,e,) = A (discriminant de Q, par rapport à (ei)). (Remarquer que si a@# O, l'équation aE2 pq2 = y admet toujours des solutions (E, q) dans A si y f O (chap. V, 5 11, exerc. 4)).

+

b) Pour que deux formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur E soient équivalentes, il faut et il sufit que le rapport de leurs discriminants (par rapport à une même base de E) soit un carré dans A. En déduire que, si n est impair, pour toute forme bilinéaire symétrique @ non dégénérée sur E, il existe une base orthogonale par rapport à laquelle la matrice de @ est de la forme AI, (A E A) ; l'indice de @ est alors (n - 1)/2. C) Si n = 2m est pair, montrer que l'indice d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée @ sur E e s m si (- 1)"A est un carré dans A, m - 1dans le cas contraire. 5) Soit A un corps commutatif de caractéristique f 2. Soit 1 un 1)/2 indéterminées polynôme à coefficients dans A, par rapport à n(n Xq (1 ,< i ,< j ,< n) ; pour toute matrice symétrique R = (q) sur un surcorps commutatif A' de A, on désigne par I(R) l'élément de Ar obtenu à l'indéterminée X, (i \< j) dans 1. en substituant On suppose que 1 est tel que, pour la matrice U = (uif)avec ilii = Xi, pour i ,< j, uij = Xji pour i > j et la matrice carrée P = (Yi,) d'ordre n (où les Yii sont n2 autres indéterminées), on ait

+

I('PUP) = (det P)"(U) où h est un entier > O. Montrer que h est pair et que I(U) = -y(det U)k, où h = 2k et y E A. (En utilisant le th. 1, montrer que pour toute matrice symétrique R sur la clôture algébrique Cl de A, on a (I(R))2= A(det R)h, où A E a,et utiliser le fait que le polynôme det U par rapport aux Xi, n'est pas un carré, en considérant les termes de ce polynôme contenant un Xii). *6) Soient A un corps valué complet non discret, commutatif et de caractéristique f 2 (Top. gén., chap. IX, § 3, no 2), O tel que pour 1 q 1 ,< a, il existe dans A un élément < t e l que E2 = 1- q. Pour démontrer ce lemme, on utilisera la série du binôme pour (1- x)lr2)., (rr 7) Soient A un corps commutatif non ordonnable (chap. VI, $ 2, exerc. 8) de caractéristique f 2, E un espace vectoriel de dimension finie n > O sur A, Q une forme quadratique non dégénérée sur E, (et) une n

base orthogonale pour Q, de sorte que Q T

n

( 2&ei) = 2 a&&Pour 1\< r ,< n, i=1

i=l

on pose QT( O (remarquer que tout ensemble M, est réunion de O et de classes mod. S). *Application au cas où A est un corps p-adique Q, (Top. gén., chap. III, $ 5 , exerc. 35)., 8) Soient A un corps commutatif de caractéristique f 2, E un espace vectoriel de dimension finie n sur A, Q une forme quadratique non dégénérée d'indice O sur E. Soient A' une extension algébrique de A, de degré fini et impair, E' l'espace vectoriel sur A' obtenu par extension à A' du corps des scalaires de E. Montrer que l'extension Q' de Q E' ( $ 3, no 4, prop. 3) est encore d'indice 0. (Se ramener au cas ou A' = 4[X]/(i), f étant un polynôme irréductible de degré impair m sur A. Soient (ei) une base orthogonale de E pour Q, et pi = Q(ei) ; montrer que, dans A[X], une relation de la forme çpi(gi(~))2 = f(X)h(X),où les gi sont des poly-


s, il existe z E 12 tel que Y'(:, ); = a (cf. $ 4, no 2, prop. 4).) 7 I O ) a) Soit A un anneau principal dans lequel il n'y a qu'un seul idéal maximal An, tel que 2 ne soit pas divisible par n (chap. VII, $ 1, exerc. 4). Soit E un module libre sur A, de dimension n. Montrer que tolite forme bilinéaire symétrique / 2 sur A, @uneforme sesquilinéaire hermitienne non dégénérée ,sur E, satisfaisant à la condition (T) ( $ 4 , no 2). Montrer que les seuls endomorphismes w de E permutant avec tous les automorphismes u appartenant au groupe spécial unitaire SU(@)sont les homothéties, sauf lorsque l'on a simultanément n = 2, J = 1, A étant de caractéristique f 2. (Si n >/ 3, écrire que w permute avec les involutions u E SU(@),et utiliser l'exerc. 3 du § 4 ; si n = 2 et J # 1, écrire que w permute avec les éléments de SU(@)dont la matrice est de la forme

A O 1 - ,, ) ,- -.

par rapport à une base orthogonale de E.) 7 15) Soient A un corps commutatif de caractéristique f 2, E un espace vectoriel de dimension n >/ 1 sur A, Q une forme quadratique non dégénérée sur E. Pour tout automorphisme uS='O(Q), soit w = zc - 1, et

soient r le rang de w, et W = $(O). a ) Montrer que w(E) est le sous-espace W0 orthogonal à W. b) Montrer que si n = 2, r = 2, u est produit de deux symétries par rapport a des droites de E. (Etablir que si w(x) est isotrope pour tout vecteur non isotrope x E E l w(x) est isotrope pour tout x E E ; on considérera séparément le cas où A a a u moins 5 éléments et le cas A = F,.) c) On suppose n et r quelconques. Montrer que si w(E) n'est pas totalement isotrope, u est produit de r symétries par rapport à des hyperplans de E, et ne peut Etre produit d'un nombre moindre de symétries. (Se ramener au cas où W est totalement isotrope, et procéder par récurrence sur n e t r. Si W f montrer qu'il existe un vecteur a E WO tel que w(a) ne soit pas isotrope, en raisonnant par l'absurde et utilisant le fait qu'un plan dont toutes les droites sauf une au plus sont isotropes est nécessairement totalement isotrope ; prendre alors la symétrie s par rapport à l'hyperplan orthogonal à w(a), et considérer l'automorphisme su. Si W = 10 1, prendre a E E tel que w(a) ne soit pas isotrope, et, avec la même signification pour s, considérer encore l'automorphisme su, et utiliser b).) d) On suppose que w(E) soit totalement isotrope. Si s est une symétrie par rapport à un hyperplan non isotrope H l montrer que le sousespace des vecteurs invariants par su est EI n W, donc est de dimension n - r - 1, et en déduire que su ne peut être produit de moins de r 1 symétries par rapport à des hyperplans. Déduire alors de c) que u est pro2 symétries par rapport à des hyperplans, mais ne peut être duit de r produit d'un nombre moindre de symétries. e ) Déduire de c) et d) que tout automorphisme orthogonal est produit de n symétries au plus par rapport à des hyperplans. f ) Montrer que si n est impair (resp. pair), pour tout automorphisme u E O(Q) de déterminant 1 (resp. - l ) , il existe un vecteur x # O invariant par u (utiliser e ) ) . 16) Les hypothèses étant les mêmes que dans l'exerc. 15, montrer que, si n >/ 3, le groupe SO(Q) est engendré par les symétries par rapport aux sous-espaces non isotropes de E de dimension n - 2 (raisonner comme dans la prop. 5 du no 4).

fol,

+

+

7 17) Les hypothèses sont les mêmes que dans l'exerc. 15. a) Montrer que, pour 2, le groupe des commutateurs Q(Q) du groupe orthogonal O(Q) est engendré par les éléments ( ~ t )où ~ ,s et t parcourent l'ensemble des symétries par rapport à des hyperplans (utiliser la prop. 5 du no 4, et remarquer que pour tout groupe r, le sousgroupe engendré par les carrés des éléments de l? contient le groupe des commutateurs de r). b) Montrer que si n >, 3, le groupe des commutateurs de SO(Q) est engendré par les carrés des éléments de SO(Q) (utiliser l'exerc. 16) ; en déduire que ce groupe est identique à Q(Q), et que le groupe quotient SO(Q)/Q(Q) est un groupe commutatif dont tous les éléments sont d'ordre 2. c) On dit qu'un plan P c E est hyperbolique s'il est non isotrope et s'il contient des droites isotropes (nécessairement au nombre de 2). On dit qu'un automorphisme u E O(Q) est hyperbolique s'il existe un plan hyperbolique P tel que u(x) = x pour tout x E Po ; on dit alors que u est une transformation hyperbolique associée à P. Montrer que si Q est d'indice >/ 1, tout u E O(Q) est produit de transformations hyperboliques (utiliser la prop. 5 du no 4 et l'exerc. 4 a ) du § 4). E n déduire que si P est un plan hyperbolique, tout a E O(Q) peut s'écrire u = tu, où t est une transformation hyperbolique associée à P et v E Q(Q). 7 18) Soient A un corps commutatif, E un espace vectoriel de dimension n sur A, @ une forme sesquilinéaire hermitienne non dégénérée sur E, satisfaisant à la condition (T) ( 3 4, no 2). Soient V un sous-espace vectoriel de E, H, la sous-groupe du groupe unitaire U(@) formé des automorphismes unitaires u tels que u(V) = V. a ) Montrer que, lorsque V n'est pas un sous-espace totalement isotrope de dimension n/2, l'image de H, par l'application u -t det u est le sous-groupe de A* formé des p E A tels que pp = 1. b) Si n est pair et si V est un sous-espace totalement isotrope de dimension 4 2 , montrer que l'image de H, par l'application u -t det u est le sous-groupe de A* formé des éléments de la forme A/h (utiliser la prop. 2 du $ 4 , no 2). c ) Soient V, W deux sous-espaces vectoriels de E tels que les restrictions de à V et W soient équivalentes. Montrer qu'il existe u E SU(@) tel que u(V) = W dans les cas suivants : 10 J est distinct de l'identité (utiliser le th. 3 du chap. V, § 11, no 5). 20 J = 1, A est de caractéristique f 2, V et W ne sont pas des sousespaces totalement isotropes de dimension 4 2 . d) On suppose que J = 1, que A est de caractéristique f 2, que n = 2m est pair, et que @ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée d'indice m. Soient V, W deux sous-espaces totalement isotropes de dimension m dans E ; montrer que si dim (V n W) = q, pour tout automorphisme orthogonal u tel que u(V) = W, on a det u = (- 1)"-' (utiliser b) et la prop. 2 du 3 4, no 2). En déduire que l'ensemble des sousespaces totalement isotropes de dimension m est réunion de deux classes d'intransitivité N,, N, pour le groupe SU(@); si V et W sont dans la même

na

classe (resp. dans des classes différentes), la dimension de V n W a même parité que m (resp. n'a pas même parité que m). Pour qu'une similitude u (pour @) soit directe, il faut et il sufit que u(N,) = N, (utiliser l'exerc. 4 c ) du S 4. 19) Soient A un corps, E un espace vectoriel de dimension finie et > O sur A, O, il peut y avoir des similitudes de L, de multiplicateur f 1, et qui n'admettent aucun point fixe (utiliser le raisonnement de la prop. 6 du no 6, et la prop. 2 du § 4, no 2). 21) Soient A un corps commutatif de caractéristique f 2, L un espace euclidien de dimension finie sur A, @ la forme métrique de L. a ) Montrer que toute bijection u de L sur lui-même, telle que

quels que soient x, y dans L, est un déplacement (utiliser l'exerc. 7 du § 1). 6) Montrer que le groupe des déplacements est engendré par les symétries par rapport aux hyperplans non isotropes de l'espace affine L (en utilisant la prop. 5 du no 4, se ramener à prouver que toute translation non isotrope est produit de deux telles symétries). 22) Dans un espace hermitien L, on dit que deux variétés linéaires sont perpendiculaires si leurs directions sont des sous-espaces faiblement orthogonaux ( § 3, exerc. 11). On suppose L de dimension finie ; soient V,, V, deux variétés linéaires, W,, W, leurs directions respectives. On suppose que p = dim (W, W,) < n ; montrer que si W, W, n'est pas isotrope, il existe au moins une variété linéaire U de dimension n - p, perpendiculaire à V, et à V,, et rencontrant chacune des variétés VI, V, en un seul point ; en outre, si q = dim (W, n W,), la réunion de toutes les variétés linéaires U ayant les propriétés précédentes est une variété q. linéaire de dimension n - p 23) Soient A un corps commutatif de caractéristique 2, E un 1/> 2 sur A, Q une forme quaespace vectoriel de dimension finie n dratique sur E, Q, la forme bilinéaire symétrique associée à Q. L'ensemble C des x E E tels que Q(x) = O est appelé le cône isotrope de sommet O et d'équation Q(x) = O. S'il n'est pas réduit à O, l'image S de C 101 dans

+

+

+

+

+

-

l'espace projectif P(E), par l'application canonique rr de E - 101 sur P(E) (chap. I I , 2e éd., App. III), est appelée quadrique projective (resp. conique projective si n = 2) d'équation homogène Q(x)= O. On dit que S est dégénérée si Q est dégénérée. On dit que deux variétés linéaires projectives V,, V, de P(E) sont conjuguées par rapport à S si ;(VI) et G(v,) sont orthogonaux (pour a). La polaire V0 d'une variété linéaire projective o {)O / soit le V c P(E) par rapport à S est la variété telle que ~ ( v ü

sous-espace totalement orthogonal (pour @) à 2 ( V ) u (01 ; si V est un hyperplan et si S est non dégénérée, V0 est réduite à un point, appelé pôle de V. Une variété linéaire projective V est dite tangente à S si / O dans K. Lorsque Y est hermitienne, notre assertion résulte aussitôt de la prop. 5 et de la correspondance canonique entre formes hermitiennes sur E et endomorphismes hermitiens pour cD. Dans les deux autres cas, soit u l'application semi-linéaire de E dans luimême définie au début de ce no par la formule Y(x, y) = @(u(x),y). Alors u2 est une application A-linéaire ; lorsque Y est symétrique (resp. alternée), on a u = u* (resp. u = - u*), donc u2 est hermitien ; d'où aussi

ceci montre que la forme hermitienne (x, y) + @(u2(x),y) est positive (resp. négative). Appliquons alors le th. 2, et soit V un élément minimal de la famille des sous-espaces f f O de E stables pour u et pour u*. Comme u2 est un endomorphisme hermitien, V contient un vecteur propre x # O de u2 ; posons u2(x) = ax, où a E K (prop. 5). Lorsque Y est symétrique, l'inégalité @(u2(x),x) >/ O montre ) que l'on a a >/ O. Posons y = a1I2x U(X); on a ~ ( y = alt2u(x) ax = a1I2y, et Ay est stable pour u et u* = u. Si y = 0, Ax est stable pour u et u* ; en tous cas, V est un sous-espace de dimension 1, et notre conclusion résulte aussitôt du th. 2. Lorsque Y est alternée, on a a O ; posons

+

+


0. b ) Montrer que tout sous-espace de E stable pour est aussi stable pour u*. (Soit E, l'espace vectoriel obtenu à partir de E par extension à K(i) du corps des scalaires ; @ est la restriction à E d'une forme hermitienne positive non dégénérée sur E, et u la restriction à E d'un endomorphisme normal u, de E, (pour cette forme) ; en outre E est l'ensemble des x E Eo invariants par une bijection semi-linéaire involutive j de E,, et on a u d = ju,. Appliquer alors l'exerc. 10 a).) 12) On suppose remplies les conditions du no 3, et en outre que A est Bgal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Montrer que pour tout


0' h(C1, k) / O de K tel que pz = 5: (valeur absolue de t).Pour toute matrice carrée M = (aii) sur A, on pose f(M) = max 1 aii 1, a g ( M ) = max 1 aij 1, et on désigne par y(M) la plus grande valeur absolue

*

i. i

des valeur; propres de M (on montrera que cette définition a un sens lorsque A est le corps des quaternions sur K). a) Soient A, B, D trois matrices carrées d'ordre n sur A. Montrer que si D est diagonale, on a

(utiliser l'inégalité (1)du no 1).E n déduire que

(appliquer la prop. 5 à la matrice hermitienne BB*). En déduire que, pour m matrices carrées arbitraires Ai (1 \( i \< m) sur A, on a

(Pour (3), raisonner par récurrence à partir de (2). Pour ( 4 ) ) utiliser l'exerc. 12 ; déduire enfin (5) de (3).) Montrer que l'inégalité (3) ne subsiste plus nécessairement lorsque l'on y remplace A I A , par AmA&(observer que l'on peut avoir f ( A * A ) f f(AA*)),OU lorsqu'on remplace .. . , hp) désignant la suite strictement croissante des éléments de H. D'autre part, considérons la forme bilinéaire F définie par F(xi, xi) = -@(xi,xi) si i > j, F(xi,xi) = O si i < j et F(xi, x,) = - Q(xi). Il est clair que Q(x) F(x, x) = O ; avec les notations de la prop. 3,

+

il résulte de cette proposition et d u lemme 4 que h, est un isomorphisme de /\ E sur C(Q), qui est donc un A-module.libre. Démontrons, par récurrence sur le nombre d'éléments de H, que l'on a

(où (hl, . . . , h,) est la suite strictement croissante des éléments de H). C'est évident si H a O ou 1 élément. Supposons (11) vérifiée pour les parties ayant au plus q - 1 éléments. Considérons une partie H à q éléments, notons j son plus petit élément, et écrivons H = j 1 u K, où K est une partie à q - 1 éléments. On a, d'après (8) et l'hypothèse de récurrence

en posant, pour toute partie finie J de L, z; = p(x,,) . . . p(xl,), où (j,, . . ., j,) est la suite croissante des éléments de J. Or, pour i E K, x, appartient au noyau de la forme linéaire y -t F(x,, y), donc ii,(xh) = O (lemme 1).Ceci démontre le résultat cherché. Nous avons donc démontré le théorème suivant : THÉORÈME 1.-Supposons que le A-module E admette une base (xi)iEL,l'ensemble d'indices L étant muni d'une structure d'ordre total. Pour toute partie finie H de L, posons XH = p(x,,,)p(x,,,) . . . p(xh,), où (hl,. . ., h,) est la suite strictement croissante des éléments de H. Alors les kléments z, forment une base du A-rnodule C(Q).

1. - S i E est un module libre de di~nensionn, COROLLAIRE C(Q) est un module libre de dimension 2"' ; de plus, s i n > O, C+et Csont des modules libres de dimension 2"-l. Ceci résulte aussitôt des propriétés des coeff~cientsbin6miaux. 2. - S i E est un module libre, l'application canoCOROLLAIRE nique p de E dans C(Q) et l'application a -+ a . 1 de A dans C(Q) sont injectives. 3. - Supposons que E soit sornme directe de deux COROLLAIRE sous-modules libres El et E,. Soient Qi la restriction de Q à Ei et pi l'application canonique de C(Qi) dans C(Q) ( i = 1, 2). Alors l7appliBourbaki XXIV.

10

cation linéaire p de C(Q,) 63 C(Q,) dans C ( Q ) déduite de l'application bilinéaire ( a , b ) -+ pl(a)p,(b) de C(Q,) x C(Q,) dans C ( Q )est une bijection. Il s u f i t e n e f f e t d e considérer la base d e E obtenue e n prenant l a réunion d'une base d e El e t d'une base d e E,. COROLLAIRE4. - Les hypothèses et notations étant celles d u cor. 3, supposons de plus que El et E , soient orthogonaux, et transportons à C(Q,) @C(Q,), a u moyen de la bijection p, la structure d'algèbre de C ( Q ) . S i et bi sont des éléments pairs o u impairs de C(Qi) ( i = 1 , 2 ) , o n a ( a , 63 a,) ( b , 63 b,) = c(albl) @ (a,b,), avec E = 1 sauf si a, et bl sont impairs, auquel cas E = - 1. Il suffit e n e f f e t de démontrer que p,(a,)pl(bl) = cp,(b,)p,(a,), e t o n peut, pour cela, supposer q u e p,(a,) (resp. pl(bl)) est u n prod u i t x l . . . X I , (resp. y,. . .yk) d'éléments de pQ(Ez) (resp. p,(El)). C o m m e E , e t E , sont orthogonaux, o n a

Les conclusions des cor. 3 et 4 restent vraies si on omet l'hypothèse que El et E, sont des modules libres (cf. exerc. 1). 4. Structure de l'algèbre de CZifford.

Dans ce no, nous supposerons q u e A est u n corps, q u e E est un espace vectoriel d e dimension finie m sur A, e t q u e la fornie quadratique Q est n o n dégénérée ( c e qui, d'après le t h . 1 d u $ 5 , no 1 , exige q u e m soit pair si A est d e caractéristique 2 ) . Puisque E est libre, l'application canonique p est injective (110 3, cor. 2 d u th. 1 ) . Nous identifierons désormais E e t son image dans C(Q). T H É O R È M E 2. - Supposons que la dimension de E soi1 u n nombre pair m = 2r et que Q soit neutre ( $ 4, n o 2). Alors l'algèbre C ( Q ) est séparable (chap. V I I I , § 7 , no 5 , d é f . 1 ) ct est isomorphe à l'algèbre des endomorphismes d ' u n espace vectoriel de dimension 2' sur A. De plus s i m > O, C+(Q)est séparable et est conrposée directe de deux idéaux isomorphes à l'algèbre des endonrorphismes d ' u n espace vectoriel de dimension 2'-' sur A.

En effet, comme Q est neutre, on peut décomposer E en somme directe de deux sous-espaces N et P totalement singuliers de dimensions r ( § 4, no 2, cor. 1 de la prop. 2). La restriction de Q a N étant nulle, la sous-algèbre S de C(Q) engendrée par N s'identifie à l'algkbre extérieure de N (no 3, lemme 4). Pour n E N, nous noterons ei l'application t -+ nt de S dans elle-même. Soit (n,,. . ., G) une base de N ; nous noterons (p,,. . ., p,) la base de P telle que @(ni,pi) = Sii ( 5 4, no 2, prop. 2). Pour p E P, nous noterons p' la forme linéaire n + @(n,p ) sur N, et i, l'endomorphisme de S déduit par passage au quotient de l'endomorphisme i,, de T(N) associé à p' comme il a été dit au lemme 1 du no 2. On a, d'après (5), (12)

e: O ip

+ ip

O

eR = @(n,p)

(n E N, p

E

P).

+

Posons, pour x = n p E E (avec n E N et p E P), s(x) = e7, + i,. Il est clair que s est une application linéaire de E dans Sf(S).Comme on a i,)2 = Q(n) @(n,p ) = Q(x) s ( x ) ~= ( 4

+

+

en vertu de (12) et d u lemme 1 (no 2)) s se prolonge en un homomorphisme (que nous noterons encore s) de C(Q) dans %(S)(no 1, prop. 1). Nous allons montrer que cet homomorphisme est surjectif, ce qui, puisque C(Q) et %(S) sont toutes deux de dimension S2', entraînera que s est un isomorphisme et démontrera notre première assertion. Notons en effet 1 l'intervalle (1, r). Pour toute partie H de 1, nous poserons H' = 1 H et nous désignerons par n, (resp. p,) le produit des ni (resp. pi) pour i E H, rangés dans l'ordre croissant des indices. Rappelons que les n, forment une base de S (no 3, th. 1). Posons enfin, pour deux parties quelconques H, K de 1, XH,, = n,p,&,. Nous allons montrer que les éléments s(x,,,) de s(C(Q)) engendrent 3(S). Or, si je H, on a s(pi)(nH)= iPi(n,) = O d'après le lemme 1, puisque les ni pour i E H appartiennent au noyau de la forme linéaire n + @(n,pi) sur N ; d'autre part on a

-

(d'après (12)). Comme s est un homomorphisme, on en déduit, pour deux parties quelconques H, K de 1, que s(p,)(n,) = O si K c H,

e t que s(pK)(n,) = t- n,-, si K c H. Comme, pour M c 1 et L c 1, on a par définition s(&)(n,) = %n,, et que h n L est nul si M n L f 0 et est égal à =k n X u Ldans le cas contraire, on conclut d e ce qui précède que, pour des parties quelconques H, K, L de 1, s ( x ~ ,(nL) ~ ) = s(nIi)s(p,)s(n,,)(n,) est nul si K # L et est égal à f n, si K = L. Ceci montre que les s(xH,,) engendrent %(S)et termine la démonstration de la première assertion. Pour démontrer la seconde assertion, posons S+ = S nC+ e t S- = S n C- ; il est clair que S+ (resp. S-) est le sous-espace de S engendré par les n, tels que H ait un nombre pair (resp. impair) d'éléments, que S est somme directe de S+ et S-, et que s(C+) laisse S+et S- stables. Par suite s applique C+ dans une sous-algèbre de 9(S), isomorphe au produit Y(S+) x 2(S-) ; la restriction de s à C+ est un isomorphisme de C+ sur cette sous-algèbre, puisque s est injective et que C+ et 'f(S+) x %(S-) sont toutes deux de dimension 2%-' (no 2, cor. 1 du th. 1).CQFD. - S i m est pair, mais Q d'indice quelconque, COROLLAIRE. l'algèbre C(Q) est une algèbre centrale simple de dimension 2". De plus, si m > O, la sous-algèbre C+(Q) est séparable, et son centre Z est de dimension 2 sur A. Lorsque Z est un corps, Z est une extension quadratique séparable de A et C+(Q)est simple ; sinon, Z est composé direct de deux corps isomorphes à A, et Cf(Q) est alors composée directe de deux sous-algèbres simples de dimensions 2"2. E n effet, soient A' la clôture algébrique de A, et Q' la forme quadratique sur E r = A' €3, E déduite de Q par extension des scalaires. On a vu que C(Qr) est isomorphe à A' €4, C(Q) (prop. 2), et il est clair que C+(Qr)est isomorphe à A' €3, C+(Q). Comme Qr est neutre ( § 4, no 2, cor. 2 de la prop. 3), le corollaire est une conséquence immédiate d u th. 2 et des théorèmes de permanence du chap. VIII, § 7.

Remarques. - 1) Comme l'algèbre C(Q) est simple, elle n'a qu'une seule classe de représentations irréductibles ; on les appelle les représentations spinorielles ; quand on fixe son attention sur une de ces représentations, soit T, les éléments de l'espace où s'effectue T répondent a u nom de spineurs. Si Q est neutre, la

restriction de z à C+(Q) est, comme celle de s, somme de deux représentations absolument irréductibles inéquivalentes; les éléments des sous-espaces où s'effectuent ces deux représentations sont appelés semi-spineurs. Dans le cas général, si C+(Q) n'est pas simple, la restriction de z a C+(Q)doit, puisqu'elle est fidèle, contenir des sous-représentations appartenant a chacune des deux classes de représentations irréductibles de C+(Q), donc est somme de deux représentations absolument irréductibles inéquivalentes, puisqu'il en est ainsi après extension des scalaires à la clôture algébrique A' de A. Par contre, si C+(Q) est simple, elle n'a qu'une seule classe de représentations irréductibles, et la restriction de T a C+(Q) est donc irréductible, puisqu'elle se décompose par extension des scalaires a A' en deux représentations non équivalentes. 2) Supposons A de caractéristique f 2, et soit (xl,. . ., xm) (m = 2r) une base orthogonale de E. Posons

z

= arx1.

. .xm

E

C(Q) ;

+

comme xixj xjxe = O pour i f j, on a zxi = - xjz, ce qui entraîne que z appartient au centre Z de C+(Q) sans appartenir à A. On a z2 = 2"(- l ) r Q ( ~ l ). ..Q(xm)= (- 1)'D

en désignant par D le discriminant de @ par rapport à la base (xi) (cf. exerc. 9). T H É O R È M E 3. - Supposons que la dimension de E soit un nombre impair m = 2r f 1 (donc que A soit de caractéristique f r 2). a) L'algèbre C+(Q) est centrale simple. Si Q est d'indice maximum r, C+(Q) est isomorphe à l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension 2' sur A. b) L'algèbre C(Q) est séparable. Son centre Z est de dimension 2, et C(Q) est isomorphe a Z @, C+(Q), donc est simple ou composée directe de deux sous-algèbres simples. Soient en effet x, un vecteur non isotrope de E, et F l'orthogonal de x, ; notons Q, la forme quadratique y -t - Q(xo)Q(y)sur F ;il est clair que QI est non dégénérée. Comme xoy = - yxo (pour y E F), on a ( ~ , y = ) ~- Q(xo)Q(y)= Qi(y), et par suite l'application y -t xoy de F dans C+(Q)se prolonge en un homomorphisme h de C(Q,) dans C+(Q)(no 1, prop. 1).Or C(Q1) est simple (th. 2) et a

même dimension 2% que C+(Q); ceci entraîne, puisque h(1) = 1, que h est un isomorphisme. De plus, si Q est d'indice r, on peut choisir xo de telle sorte que Q, soit aussi d'indice r ( § 4, no 2, prop. 3), ce qui démontre a). Soit maintenant (xl,. . ., xp) une base orthogonale de F ; posons z = x ~ , .. .x2,. On vérifie immédiatement que z commute avec xj pour j = 0,. . ., 2r, donc appartient au centre de C(Q). Soit Z le sous-espace de C(Q) engendré par 1 et z ; c'est une sousalgèbre du centre de C(Q) et une extension quadratique de A, car z est impair et z2 est égal a u scalaire (- l)'Q(xo). . .Q(xz~). Considérons l'homomorphisme O de Z@, C+(Q) dans C(Q) défini par O(u@v) = UV. Comme z E C- et est inversible, l'application u -t zu est un isomorphisme du module C+ sur C-, ce qui entraîne que O(Z@C+) contient C+ et C-, donc coïncide avec C(Q). Comme Z@C+et C(Q) ont même dimension 2%l, O est un isomorphisme ; ceci démontre b), compte tenu des résultats du chap. VIII, § 7Remarque. - Le discriminant D de @ par rapport à la base (xj)+o, ...,zr) est égal à 22"1Q(x,). . .Q(xzr). Par suite Z est engendré par 1 et par l'élément impair z' = 2% tel que zt2= (- 1)'2D. L'algèbre C(Q) est donc simple si et seulement si 2(- 1)'D n'est pas un carré dans A.

5. Groupe de Clifford. On suppose, dans ce no, que A est un corps, que E est de dimension finie m, et que Q est non dégénérée. On identifie E avec son image canonique dans C(Q). DÉFINITION2. - On appelle groupe de Cliflord de Q (resp. groupe de Cli8ord spécial de Q), le groupe multiplicatif des éléments inversibles s de C(Q) (resp. C+(Q))tels que SES-l = E.

Dans ce no nous noterons G e t G+ le groupe de Clifford et le groupe de Clifford spécial de Q. Il est clair que l'on a G+ = G n C+(Q).

pour s E G et x E E, cp(s) .x = sxs-l. a) L'application cp est un homomorphisme de G dans le groupe orthogonal O(Q) de Q et son noyau est l'ensemble des éléments inversibles du centre Z de C(Q). b) L'ensemble E n G est l'ensemble des vecteurs non singuliers de E ; pour x E E n G, - cp(x) est la symétrie par rapport à l'hyperplan orthogonal à x. c) S i dim(E) est paire, on a cp(G) = O(Q), rp(G+) est d'indice 2 dans O(Q) s i E f . Of, et est égal à SO(Q) s i A est de caractéristique f 2. d) S i dim(E) est impaire (ce qui entraîne que A est de caractéristique f 2)) on a v(G) = rp(G+) = SO(Q). ( S X S - ~= ) ~sx2s-l = Q(x) pour s E G On a en effet Q(sxs-l) et x E E, ce qui montre que cp(s) E O(Q). Pour que ~ ( s = ) 1, il faut et il sufit que s commute avec les éléments de E, c'est-à-dire appartienne au centre Z de C(Q). Ceci démontre a). Pour qu'un élément x de E appartienne à G, il faut qu'il soit inversible, c'est-à-dire que ce soit un vecteur non singulier (puisque x2 = Q(x)). S'il en est ainsi, on a x-l= Q(x)-lx, d'où, pour tout y E E, T H É O R È M E 4. - Posons,

1

-

xyx-' = Q(x)-lxyx

=

Q(x)-lx(cD(x,y) - xy)

= - (y -

@(x,y)Q(x)-lx) ;

ceci démontre b) ( $ 6, no 4). Lemme 5. - Tout élément s de G est de la forme zsr, où z est un élément inversible de Z et s r appartient à G n C+(Q)ou à G n C-(Q) ; le sous-groupe G+ est d'indice 2 dans G lorsque E f { O [ . La seconde assertion résulte évidemment de la première, puisque les vecteurs non singuliers appartiennent à G n C-(Q). t", avec tr E Cf(Q) Supposons d'abord dim ( E ) paire, et soit s = t' et trrE C-(Q) ; on a par définition sx = (cp(s).x)s pour tout x E E ; comme trx et (cp(s).x)tr (resp. t"x et (cp(s).x)trr)sont des éléments impairs (resp. pairs), on a trx = (cp(s).x)tr, d'où s-'trx = xs-'tr pour tout x E E. On en conclut que s-9' E Z et comme dim ( E ) est paire, Z = A (no 4, cor. d u th. 2)' donc t' = as, où a E A. Si a f O, on a donc s = a-ltr et t' E G n C+(Q); si a = O, s = trrE G n C-(Q) et le lemme est démontré dans ce cas. Si dim ( E ) est impaire, A est de caractéristique f 2, donc pour tout s E G, cp(s) est un produit de symétries

+

par rapport à des vecteurs non singuliers q ( i = 1,2,. . .,h) ($6,no 4, prop. 5) ; si on pose s' = xlx,. . .xh, on a rp(s)= antiauto~norphismeprincipal de C(Q) (no 1). Pour tout s E G+, P(s)s est un scalaire. L'application N : s -+ p(s)s est un homomorphisme de G+ dans le groupe multiplicatif A* des éléments non nuls de A.

E n effet, pour s E G+, on a S E P = E, d'où p(s)-lEp(s) = E t ce qui montre que p(s) E G+. Comme sx = ( ( ~ ( s X)S ) . pour t o u t x E E , on a xp(s) = p(sx) = p(s) (cp(s).x), et par suite p(s)sx = p(s)(rp(s).x)s = xp(s)s, ce qui entraine que p(s)s appartient a u centre de C(Q). Comme, de plus, p(s)s appartient à Cf(Q), p(s)sest un scalaire (th. 2 et 3). Enfin on a p(st)st = P(t)P(s)st = P(s)sp(t)t, c'est-à-dire N(st) = N(s)N(t) pour s, t dans G'. CQFD. Le scalaire N(s) = p(s)s (s E G+) s'appelle la norme spinorielle de S. On désigne par G; et on appelle groupe de Cliflord réduit le noyau de l'homomorphisme N. L'image cp(Gi) est notée 0i(Q) e t s'appelle le groupe orthogonal réduit de Q. Comme le noyau de la restriction de cp à G+ est l'ensemble des éléments pairs et inversibles d u centre de C(Q) (th. 4) et s'identifie donc à A* (th. 2 et 3 ) , rp(G+)/Oi(Q)est isomorphe à G+/A*Gi, donc aussi à N(G+)/N(A*), e t en particulier commutatif. Il est clair que N(A*) est le sousgroupe (A*)2 des carrés d'éléments de A*. Si Q est d'indice > 0, il existe, quel que soit a E A*, deux éléments x et y de E tels que Q(x) = a e t Q(y) = 1 ( $ 4, no 2, prop. 4) ; comme xy E G' e t que N(xy) = Q(x)Q(y) = a, ceci montre que N(G+) = A*, donc que cp(G+)/OO(Q) est isomorphe à A*/(A*)2. Exercices. - 7 1) Démontrer les cor. 3 et 4 du th. 1 du no 3 lorsque El et E, sont deux sous-modules supplémentaires quelconques dans E. (Établir d'abord le cor. 4 : montrer pour cela que le produit tensoriel C(QI)@3 C(Qz) est muni d'une structure d'algèbre par la convention de signe faite dans l'énoncé du cor. 4, et que cette algèbre S est solution du même problème d'application universelle que C(Q) ; on considérera pour cela, pour toute application linéaire f de E dans une algèbre D sur A telle que (f(x)), = Q(x).1, l'homomorphisme fi de C(Qi) dans D tel que fj, on a 6) Avec les notations de la prop. 3 du no 3, soient xi (1 i \< n) des éléments de E tels que F(xi,xi) = O pour i > j. Montrer que l'on a %&,~(x1). . .pQf(xn))= pQ(xl).. .p,(x,) (utiliser a) et la formule (IO) du no 2). c) On suppose que A est un corps de caractéristique # 2 ;pour toute forme quadratique Q sur E, soit t*, l'application de C(Q) sur A E 1 correspondant à F(x, y) = -@(x, y). Montrer que si les vecteurs xi 2 (1 i n) sont deux à deux orthogonaux, on a

O. Montrer que Oi(Q) est le groupe des commutateurs du groupe O(Q). (Se ramener au cas n = 2, en utilisant les exerc. 17 c) e t 28 e) du $ 6.) c) On conserve les hypothèses de bj, et on suppose en outre que A est de caractéristique f 2 et que E est de dimension paire. Pour que i'automorphisme x + - x de E appartienne à Oo+(Q)il faut et il suffit que le discriminant de Q (par rapport à une base quelconque de E) soit un carré. 7 12) a ) Soit a un élément inversible de A ; montrer qu'il existe un isomorphisme e t un seul 0, de C+(Q) sur C+(aQ)tel que

+

quels que soient x, y dans E (p et p, désignant les applications canoniques de E dans C(Q) et C(aQ) respectivement). En déduire que si A est un corps de caractéristique .f 2, E un espace vectoriel de dimension impaire et Q une forme quadratique non dégénérée, C(Q) et C(aQ) sont isomorphes (cf. exerc. 7). b ) On suppose que A soit un corps, E un espace vectoriel de dimension paire 2r > 0, Q une forme quadratique non dégénérée. Soit u une similitude relative à Q ; montrer qu'il existe un A-automorphisme et un seul ü de l'algèbre C+(Q)tel que pour 1 h 4r e t xi E E (1 ,< i 2h), on ait Ü(~lx2.. .2 2 h ) = P - ~ u ( x ~ ) u (- x. -~u(x2h) )


1, le nombre des éléments O du groupe 'II,des angles de droites (resp. % des angles de demi-droites) tels que ne = O est égal à n. Comme 910, S+/H,% e t O' sont isomorphes (prop. 3), il s u f i t de faire la démonstration pour O+, c'est-à-dire montrer qu'il y a exactement n rotations v telles que vn = 1. Or, comme A est un corps ordonné maximal et que A(@) est un surcorps de degré 2 dc A (prop. 1a)), A(@)est un corps algébriquement clos (chap. VI, $ 2, no 6, th. 3). Donc les racines n-ièmes de l'unité dans A(@)forment un groupe cyclique d'ordre n (chap. V, § 11, no 1, th. 1). Comme on a N(u) = uü >/ O pour tout u E A(@), la relation un = 1 entraîne que l'on a N(u) = 1, donc que u est une rotation (no 1, Remarque 1). Ceci démontre notre assertion. COROLLAIRE. - Eangle droit (resp. plat) est le seul élément d'ordre 2 du groupe 2& (resp. a). Nous supposerons enfin que le plan E est orienté. Lemme 1. - Soit u une similitude directe de E ; tous les bivecteurs de la forme x A u(x) appartiennent à la même demi-droite 2

fermée de A E. Le cas où u est une homothétie est trivial. Dans le cas contraire on a x A u(x) # O pour tout x # O ; soient x, y deux vecteurs de E (x # O, y # O) ; il existe v E SCtel que y = v(x), d'où y A u(y) = v(x) A uv(x) = v(x) A v(u(x)) = (det v) (x A u(x)) ; en prenant une base orthonormale de El on voit que det v est positif (prop. 1 b)) ; d'où notre assertion. Ceci étant, parmi les deux générateurs w de A(@) tels que wa= - 1, il en existe un et un seul tel que le bivecteur x A ~ ( x soit )

no 3

171

ANGLES

positif pour tout X E E. C'est ce générateur que nous choisirons pour définir les fonctions c,, s, et t, (no 2). Soient h et h' les bijections canoniques ci-dessus définies du groupe 'U, des angles de droites sur S+/H et du groupe 2l des angles de demi-droites sur O+. Les applications composées t,o h de 'U, dans le corps projecc, h' et s,o h' de SI dans le corps A se notent respectivetif ment tg, cos et sin, et s'appellent les fonctions tangente, cosinus et sinus. L'application cp $ I l t g cp de 2& dans se note cotg et s'appelle la fonction cotangènte. On dit que les fonctions cosinus, sinus, tangente et cotangente sont les fonctions trigonométriques. Les applications composées t g o p et cotg0 p, où p désigne l'homomorphisme canonique de SI sur 210 (Remarque 2 ci-dessus) se notent encore t g et cotg par abus de langage. Les formules (2), (€9, (3), (4), (5) et (7) du no 2 donnent, puisqu'on a ici 6 = - 1

A,

0

A

pour y, cp' dans '$Io ; (13)

cos2 8

(14)

cos (8

(15)

sin (8

+ sin2 8 = 1

+ O f ) = cos 8 cos 8' - sin 8 sin 8'

+ 8') = sin 8 cos O' + cos 0 sin 8'

j sin (28) = 2 t g 8/(1 + tg2 O), ( COS (28) = (1- t g q ) / ( i + tg")

(16)

pour 8,0' dans 2l. D'autre part on a, par définition ou comme conséquence facile des formules précédentes : (17)

(18)

tg 8

=

sin O/cos 8,

1 + tg2 8 = l/cos2 8,

cotg 8

1

=

cos B/sin 8

+ cotg2 O = l/sin2 O

pour 8 E 2. É t a n t donnés deux vecteurs non nuls x, y de E, on appelle A

angle de ces deux vecteurs (pris dans cet ordre), et on n o t ~( r , y), l'angle des demi-droites auxquelles ils appartiennent. Pour tout vecteur x de E on appelle longueur de x, et 011 note 1 .ç 1, l'élément @(x,x)'" de A.

PROPOSITION 10. - On suppose que le corps A est ordonné maximal, que le plan E est orienté, et que la forme @ est positive. Pour tout couple de vecteurs non nuls x, y de E on a

où e désigne le bivecteur positif tel que @(@(e,e) = 1. E n effet, comme les vecteurs x' = x/l x 1 e t y' = y// y 1 sont tous deux de longueur 1, il existe une rotation v et une seule bw telle que v(xr)= y' (no 1, cor. 2 de la prop. 1). Si l'on pose v = a

+

A

e

(a, b dans A), on a par définition a = cos (x, y) et b = sin (x, y). La relation y' = v(x') = ax' bw(xr)donne @ ( s r y') , = a@(xr,x') = a puisque x' et w(x') sont orthogonaux (Remarque 2 d u no 1); ceci démontre (19). D'autre part cette relation donne aussi x' A y' = Oz' A w(xf) = b.e d'après la définition de l'extension de

+

2

@h

/1E ( § 1, no 9, formule (37)) et le choix de w; ceci démontre (20).

Remarques. - 3) É t a n t données deux droites (resp. demidroites) D, D' d'un plan afine L attaché à E , on appelle angle de D et D r , et on note (D, Dr),l'angle que font leurs directions dans E (resp. les demi-droites d'origine O de E correspondant a D et Dr) (chap. I I , 2e éd., App. I I , no 1 et no 3). 4) Soient F un espace vectoriel de dimension quelconque sur le corps ordonné maximal A, et Y une forme bilinéaire symétrique positive non dégénérée sur F . É t a n t donnés deux vecteurs x, y linéairement indépendants de F , soit F' le plan vectoriel qu'ils engendrent ; on appelle angle de x et y l'angle de x e t y considérés comme éléments d u plan Fr ; on le note (x, y). Le cosinus de cet angle est, en vertu de (19), donné par

-

A

cos (x, Y) = w x , y)ll x 1 . l Y l

(21)

(où 1 x / = Y(x, x)lI2 est encore appelé la longueur d u vecteur x), et est donc indépendant de l'orienta~ionchoisie sur F ' ; le sinus et la .A.

tangente de (x, y) changent de signe si l'on change l'orientation d e F'. É t a n t donnés deux vecteurs non nuls et proportionnels x, y A

de F, on pose (x, y) = O par convcntiori.

no 4

173

ANGLES

4. Secteurs angulaires.

Nous supposerons d'abord, sans autre hypothèse, que E est un plan orienté sur le corps ordonné A. On dira que trois demi-droites Do, Dl, D, (d'origine O) de E forment une suite directe si, pour xi E Di, xi f O ( i = 0, 1, 2), deux a u moins des bivecteurs xo A x,, xl A x,, x, A xo sont > 0 ; dans ce cas les suites Dl, D,, Do et D,, Do, D, sont aussi directes. Il est clair que trois demi-droites formant une suite directe sont distinctes. É t a n t données deux demi-droites Dl, D, de E , on appelle secteur angulaire ouvert (resp. fermé) d'origine Dl et d'extrémité D,, l'ensemble (ou, par abus de langage, la réunion) des demi-droites D telles que la suite Dl, D, D, soit directe (resp. telles que D = Dl ou D = D, ou que la suite Dl, D, D, soit directe).

11. - Soient E un plan orienté sur un corps PROPOSITION ordonné A, Do une demi-droite de E , et G l'ensemble des demidroites de E distinctes de Do. L a relation « Dl

=

D,, ou la suite Do, Dl, D, est directe

))

entre éléments Dl, D, de G est une relation d'ordre total dans G. E n effet les axiomes des relations d'ordre total se vérifient trivialement, à l'exception de la transitivité. Soient Dl, D,, D3 trois demi-droites telles que les suites, Do, Dl, D, et Do, D,. D, soient directes ; nous allons montrer que la suite Do, Dl, D, est directe. Pour cela prenons un vecteur xi # O dans Di ( i = 0 , 1 , 2 , 3 ) , choisissons un bivecteur e > O et posons xi A xi = use (aiE A). E n écrivant e = xoA y (y E E ) , et en prenant (xo, y) pour base de E , on vérifie aisément la relation


O et a,, > O (puisque la première Ceci étant, si a,, > O et a,, > O (puisque a,, < O et que la suite est directe), puis seconde suite est directe), d'où al,> O (en vertu de (22)); donc la suite (Do, Dl, D,) est directe dans ce cas. Supposons désormais hl > O. Si a,, O, on a a,, > O et a,,> O (puisque la seconde suite est directe), puis al, > O (puisque ho O et a,, > O. CQFD.

COROLLAIRE. - Soient Dl et D, deux demi-droites distinctes de E. Pour toute demi-droite Do de E telle que la suite Do, Dl, D, soit directe, I'ensemble des demi-droites D de E telles que Dl < D < D, (pour la relation d'ordre total définie par Do) est égal a u secteur angulaire ouvert d'origine Dl et d'extrémité D,. E n effet, étant donnée une demi-droite D,, il s'agit de montrer que les relations « la suite Dl, D,, D, est directe » et O. A t o u t élément t de A faisons correspondre la demi-droite f(t) a laquelle appartient le vecteur (1 - t2)x 2ty. Il est clair que f(A) c G. Montrons que f est strictement croissante. E n effet, pour que la suite Do, f(t), f(tl) (2, t1 dans A) soit directe, il faut e t il suffit, par définition, que deux au moins des éléments

+

no 4

175

ANGLES

+

soient >O. O r le second e s t égal à 2(t1 - t) (1 tt'). Donc, si t < t', o n a , soit tt' >/ O, d o n c t' > O o u - t > O, soit tt' < O, donc - t >O e t t ' > O ; e n t o u s cas Do, f(t), f ( t l ) e s t directe. Comme A est t o t a l e m e n t ordonné, f e s t un isomorphisme d e A s u r l'ensemble ordonné /(A) (Ens, chap. I I I , $ 1, no 14, prop. 13). I l reste à m o n t r e r q u e f est surjective. P o u r cela considérons l a forme positive @ s u r E telle q u e (x, y) soit u n e base orthonormale p o u r @. P o u r t o u t e demi-droite D E G, il existe u n angle rp

-

A

e t un seul t e l q u e 2 9 = (- Do, D) (no 1, prop. 3) ; c o m m e (- Do, D) n'est p a s l'angle plat, rp n'est p a s l'angle droit, e t t g cp e s t donc fini. Alors, e n v e r t u d e s formules (16) (no 3), o n a D = f ( t g cp). Ceci termine l a démonstration. Exercices. - 1) Avec les notations du no 1, on pose Q(x) = @(x,x) ; l'espace vectoriel E s'identifie canoniquement à C-(Q) ( $ 9, no 1). Pour tout z E Cc(Q), e t tout x E E , on a zx E E ; montrer que x -t rx est un élément de A(@), e t que z -t s, est un isomorphisme de C+(Q) sur l'algèbre A(@). 2) Les hypothèses e t notations sont celles du no 1 e t de l'exerc. 1. a) Soit C l'ensemble des x E E tels que @(x,x) = 1 («cercleunité »), et soit 9 l'ensemble des droites D dont l'intersection avec C n'est pas vide (et par suite formée de deux éléments opposés de E). On appelle drolte pointée tout couple A = (D, z) formé d'une droite D E 3 e t d'un des points z E D n C. Montrer que si A, = (Dl, r,), A, = (D,, 2,) sont deux droites pointées, il existe une rotation u e t une seule telle que u(z,) = r, (et par suite u(D,) = D,), ce qu'on exprime en écrivant u(A,) = A,. Dans l'ensemble des couples (A,, A,) de droites pointées, la relation a il existe une rotation u telle que u(A,) = A; et u(A,) = A; » est une relation d'équivalence. L'ensemble des classes d'équivalence de droites pointées suivant cette relation est appelé l'ensemble des angles de dro~tes pointées, et la classe d'équivalence à laquelle appartient un couple (A,, A,) A de droites pointées est appelée l'angle de ce couple et notée (A,, A,) ; la A y relation (A,, A,) = (Ai, A;) est équivalente à (A,, A;) = (A,, A;) et la rotation qui transforme A, en A, est dite rotal~ond'ungle O = (A,, A,) et notée hl@) ; hl est une bijection de 3,sur O+ e t on transporte à 2, au moyen de hi1 la structure de groupe commutatif de O+, en notant additivement le groupe O. b) Dans l'ensemble des couples (Dl, D,) de demi-droites non isotropes, la relation il existe une similitude directe u telle que u(D,) = Di e t u(D,) = Da » est une relation d'équivalence. L'ensemble 'U des classes d'équivalence de demi-droites non isotropes, suivant cette relation, est appelé l'ensemble des angles de demi-droites (non isotropes) et la classe d'équivalence d'un couple (D,, D,) de telles demi-droites est appelée l'angle de ce couple e t notée (D,, D,); si 0 = (Dl, D,), on dit que 0 est l'angle de toute similitude directe transformant Dl en D,; soit h,(0) la classe mod. H+ de ces similitudes, de sorte que h, est une bijection de l'ensemble 'U sur le groupe S+/H+;on transporte à 'U a u moyen de hi1 la structure de groupe commutatif deS+/H+,en notant additivement le groupe 3 ainsi défini. Définir une injection canonique du groupe a,, des angles de droites pointées (exerc. 2) dans le groupe SI, telle que h, 0 j o hi1 soit l'injection canonique j de O+ dans SC/H+. Pour que soit surjective, il faut e t il suffit que l'homomorphisme 7 de 3, dans SI, (exerc. 2 0)) soit surjectif. c) Montrer que dans 'U l'équation 28 = O a 2 solutions si 8 < O e t 4 solutions si S )O. Dans le premier cas, la solution .r f O de cette équation est encore appelée l'angle plat. 7 7) Les llypothèses et notations étant celles de l'exerc. 6, on suppose l'homomorphisme bijectif ; on définit alors cos O et sin O pour t o u t 0 E 'U comme au no 3. Soit T l'ensemble des O E A tels que sin 0 O. a ) Montrer que pour tout O E T, il existe un angle O' E T e t un seul tel que 28' = O ; on pose O' = 012. b) Soit L le Z-module des conibinaisons linéaires formelles des éléments de '1' à coefficients dans Z (chap. I I , 3 1, no 8) ; on désigne par la somme e t l'opposé dans L. Soit N le sous-module de 1, $ .q et engendré par les éléments de 1, de la forme t; $ -q (5 q) pour tous les couples ( i ,q ) d'éléments de 1' tels que q E 1' (sommc prise dans le groupe 'U). Soient f l'hornornorphisnie de L, dans 'U qui prolonge l'injection canonique de T dans 'U, et 2 l'endomorphisme de L qui prolonge l'application O + Oj2 de T dans lui-meme. On a j ( ~ = ) O 1 et g ( N ) c N ; par passage aux quotients, on déduit de j un homomorphisme f de M I,/N dans 3,e t de un cndornorphisrne g de M ; on pose g(p) = p/2 et si gm ((

-

-

7

7

7

+

+

1

Lhurhaki X X I V .

-

12

est le m-ème itéré de g, gm(p)= 2-mp ; on a 2m(2-mp)= p pour tout ~ E M . c ) Montrer que la restriction à T de l'application canonique de 1, sur M = L/N est injective, ce qui permet d'identifier T à une partie de M au moyen de Montrer que, si A,,. . ., sont des éléments 7O de T, la somme A, A, . . - Am ne peut être O dans M (considérer l'élément 2-"(A, . . . Am) e t raisonner par récurrence sur m, en remarquant que ces éléments appartiennent à T). d) Soit M+l'ensemble des sommes finies (dans M) d'éléments de T ; montrer que M+ n (- M,) = 1 O et M = M+u (- M,), e t par suite que M+ est l'ensemble des éléments >/ O pour une structure de groupe totalement ordonné sur M (on notera que pour tout p E M+, il existe un entier m tel que 2-"p E T ) ; on dit que ce groupe totalement ordonné est le groupe des mesures des angles de demi-droites. Montrer que l'homomorphisme f de M dans SZ est surjectif, et que son noyau est l'ensen~bledes multiples entiers de 2m, où n est l'angle plat (exerc. 6 c)). Prouver que T s'identifie à l'intervalle (0, m) dans M (établir par récurrence sur rn que si p, Al,. . . , A, appartiennent à T e t si on a A l ..Am ,( i l , alors Ai + . . . Am E T). Montrer que dans T (ainsi identifié à un intervalle de M), la fonction 8 -t cos 8 est strictement décroissante. e) Pour que le groupe totalement ordonné M soit archimédien (chap. VI, § 1, exerc. 31), il faut et il suffit que le groupe additif du corps A soit archimédien. (Pour voir que la condition est nécessaire, remarquer que si sin 8 est infiniment petit par rapport au sous-corps Q de A (chap. VI, § 2, exerc. l ) , il en est de même de sin n8 pour tout entier n. Pour voir que la condition est sufisante, remarquer que si 0 ,< O ,< m / 4 , on a sin 28 >/ sin 8). 8) Soit E un plan orienté sur un corps ordonné A. Soient D', D" deux demi-droites distinctes ; soit x' (resp. x") un vecteur f O dans D' (resp. D") ; on dit que le secteur angulaire (ouvert ou fermé) d'origine D' e t d'extrémité D" est saillant (resp. rentrant, plat) si x' A x" > O (resp. x' 112'' (O, 2' /\' 2'' = O). a ) Pour qu'il existe un automorpliisme de l'espace vectoriel E transformant un secteur angulaire ouvert (resp. fernié) Cl en un secteur angulaire ouvert (resp. fermé) C,, il faut e t il suffit que Cl et C, soient tous deux saillants, ou tous deux rentrants, ou tous deux plats. 6) Montrer que l'ensemble ordonné (D', D") est isomorphe a I'intervalle (O, 1) de A (considérer d'abord le cas d'un secteur saillant et remarquer que, dans A, deux intervalles fermés bornés quelconques sont des ensembles ordonnés isomorphes). c ) Avec les notations e t hypothèses de I'exerc. 7, définir une application bijective canonique de l'ensemble T sur un secteur angulaire plat, e t montrer que cette application est un isomorphisme pour les structures d'ordre. 9) Soient A un corps ordonné pythagoricien, E un espace vectoriel sur A de dimension finie, Q une forme quadratique positive non dégéné-

+

+. + + + +

+

1

+

d2

+

+

ANGLES

181

d) Soient S,, S, deux sphères orthogonales (exerc. 12 d)), Si, S% leurs images par une inversion de pôle c. Si c n'appartient pas à S, ni à S,, montrer que Si et Si sont des sphères orthogonales. Si c E S, et c $ S,, Si est un hyperplan contenant le centre de S;. Si c E S, n S,, Si et SL sont des hyperplans perpendiculaires ( § 6, exerc. 22). Réciproques. e) Soient u une inversion de pôle c et de puissance a = pz > O et C la sphère de centre c et de rayon p. Six,, x, sont deux points distincts situés sur une droite passant par c, et distincts de c, les propriétés suivantes sont équivalentes : a ) x, et x, sont transformés l'un de l'autre par u ; fi)z, et x, sont conjugués par rapport à C ( § 6, exerc. 25); y) toute sphère contenant z, et x, est orthogonale à C. On dit encore que u est l'inversion de sphère C. 7 14) Les hypothèses et notations étant les mêmes que dans l'exerc. 12, on prend une origine O dans L. Soit El l'espace vectoriel somme directe de L et d'un espace Af, de dimension 1; on désigne par Q, la forme quadratique sur El telle que pour x E L et q E A, on ait

forme qui est positive et non dégénérée ; on désigne par C la sphère de centre O et de rayon 1 dans El (p.our Q,). Dans l'espace euclidien El, soit s l'inversion de pôle - f, et de puissance 2 (exerc. 13) ; sa restriction so à L transforme L en C - - f, ; so(resp. SU,) est appelée, par abus de langage, la projection stéréographique de L sur C (resp. de C sur L) de point de vue - f,. Pour toute inversion u dans L, de pôle c, sousol est une permutation involutive du complémentaire dans C de l'ensemble 1 so(c),- f, ; on la prolonge en une permutation involutive u' de c en posant uf(s0(c))= - f,, u'(- f,) = so(c), et on dit que u' est une inversion dans C. De même, pour toute symétrie v dam L par rapport à un hyperplan, sovs$ est une permutation involutive du complémentaire dans C de l'ensemble - f, 1 ; on la prolonge en une permutation involutive v' de C en posant VI(- f,) = - f, et on dit que v' est une symétrie dans C. Le groupe des permutations de C engendré par les inversions et symétries est appelé le groupe conforme de C (ou de L par abus de langage). a ) Montrer que le groupe conforme de C est engendré par les symétries v' et les inversions u' correspondant aux inversions u dans L, de puissance > O. (Utiliser l'exerc. 13 a ) et remarquer que dans L toute translation, ainsi que l'homothétie x -t - x, sont des produits de symétries par rapport à des hyperplans). 6) Soit n une inversion dans L de puissance > O ; montrer que l'inversion correspondante u' dans C est la restriction à C d'une transformation bien déterminée u; qui est, soit une inversion de puissance > O dans El, dont la sphère (exerc. 13 e)) est orthogonale à C, soit une symétrie par rapport à un hyperplan de E, passant par O (considérer dans El l'inversion u, de même pôle et de même puissance que u). Formuler la proposition correspondante pour la symétrie v' dans C correspondant à une symétrie v dans L par rapport à un hyperplan.

! !

1

i

c) Dans l'espace vectoriel E, = A x El, on considère la forme quadratique Q, telle que, pour E A, y E El, on ait

+

forme qui est non dégénérée e t de signature (1, n 1). On identifie E, à son image canonique dans l'espace projectif P(E,) (chap. II, 2e éd., -4pp. I I I , no 4). Montrer (avec les notations de b)) que u' est aussi la restriction à C d'une application linéaire projective ü" provenant par passage aux quotients d'une transformation u" du groupe orthogonal O(Q,), qui est une symétrie par rapport à un hyperplan non isotrope dans E,. Formuler la proposition correspondante pour v'. En déduire que le groupe conforme de TJ est isomorphe au quotient du groupe O(Q,) par son centre (utiliser la prop. 5 e t l'exerc. 17 c) du § 6). Conclure de là que toute transformation du groupe conforme est produit d'au plus n 2 transformations qui sont des inversions ou des symétries dans IJ (cf. § 6, exerc. 15 e)). d) Soit C l'ensemble dont les éléments sont les sphères e t les hyperplans dans l'espace affine L. Déduire de 0) qu'il existe une bijection de C sur le complémentaire, dans P(E,) de l'ensemble des X E El tels que Q,(x) ,< 1, de sorte qu'à deux sphères orthogonales correspondent deux points conjugués parrapport à C. 15) Généraliser les définitions et résultats des exerc. 12 à 14 au cas où A est un corps pythagoricien et où il existe une base orthonormale pour @. 16) Soient A un corps commutatif, V un espace vectoriel sur A de 1, F l'espace produit A x V, Y une forme alterdimension impaire 2r née non dégénérée sur F ; dans l'espace projectif P(F), de dimension 2r 1, on dit que l'ensemble Co des droites qui sont les images canoniques des plans totalement isotropes de F (pour Y) est le complexe linéaire (projectif) associé à 'Ir. On suppose dans ce qui suit que A est ordonné maximal; soit 0 une forme symétrique positive non dégénérée sur V. Soit D la droite orthogonale à V (pour Y ) dans F, qui est contenue dans V, e t soit H l'hyperplan orthogonal à D (pour 0)dans V ; dans F, 13 est un sous-espace non isotrope pour Y , dont l'orthogonal polir Y est donc un plan P supplé11 x V c F, mentaire de 11 et contenant D. Dans l'espace afline E on dit encore quc l'cnseml~lcC des intersections avec E des plans totalement isotropes de F (pour Y) non contenues dans V, est le complexe linéaire (@ne) associé à Y ; la droite A = P n E est appelée l'axe du complexe linéaire C (pour la structure d'espace eiiclidien définie sur E par la forme métrique @). a) Montrer qiie, dans E, toute translation égale à un vecteur directeur de A (chap. I I , 2e éd., App. II, no 3) laisse C invariant (cf. § 4, exerc. 6). b) Soit (e,), , ?,, une base orthonormale de Ir pour u>, telle que eo E D e t qiie l'on ait Y(enL-i,ez,) = pl > O pour 1 4 7 r, Y(e,, e ~ = ) O pour les couples d'indices qui ne sont pas de la forme (es,-1, en,) ou (e?,,e m )

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+

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