El-lære 2b : vekselstrøm [3] 8256221526 [PDF]

Zitiervorschau

Th. P.van Pelt, E. H. Knol Oversatt av Odd Hammertoft

EL-lære 2 b VEKSELSTRØM

B Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

**NKI Forlaget

Originalens tittel: Elektriciteitsleer 2b © 1984 by B.V. Uitgeverij Nijgh & van Ditmar, The Hague, the Netherlands Norsk utgave: © NKI Forlaget 1989 1. utgave 1989

Utgiver: NKI Forlaget, Hans Burums vei 30 Postboks 111, 1341 Bekkestua Tlf.: Sentralbord (02) 12 29 50 Ordrekontor (02) 12 25 75 Oversettelse: Odd Hammertoft Omslag: Inger Landsem/Wanda Grimsgaard Loe Sats/montasje: Brødr. Fossum Printed in Norway by Tangen Grafiske senter Godkjent til bruk i den videregående skolen av Kirke- og undervisningsdepartementet for 5 år september 1988.

«Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.»

ISBN 82-562-2152-6

Forord Ellære 1 tilhører en serie av tekniske fagbøker. Den dekker fagplanen i vekselstrømslære for elektronikklinjen ved teknisk fagskole, men er i likhet med de andre bøkene i serien også aktuell for ingeniørhøgskolen. I tillegg til det faglige innholdet og den pedagogiske oppbygningen er det grunn til å framheve den funksjonelle bruken av farger. Hvert kapittel blir avsluttet med oppgaver som dekker emnene i kapittelet, og et sammendrag av de viktigste punktene. Det er en egen oppgavesamling til hver av bøkene i elektrisitetslære. Serien vil forløpig inneholde disse titlene:

•

Ellære 1 — likestrømslære for elkraftlinjen og elektronikklinjen ved teknisk fagskole

•

Oppgavesamling til Ellære 1

•

Ellære 2a — vekselstrømslære for elkraftlinjen ved teknisk fagskole

•

Oppgavesamling til Ellære 2a

•

Ellære 2b — vekselstrømslære for elektronikklinjen ved teknisk fagskole

•

Oppgavesamling til Ellære 2b

•

EL-maskiner, likestrøm for elkraftlinjen ved teknisk fagskole

•

EL-maskiner, vekselstrøm for elkraftlinjen ved teknisk fagskole

•

Kraftelektronikk for elkraftlinjen ved teknisk fagskole

Forlaget

Innhold

1

Innledning til vekselstrømsteorien

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Grunnbegreper Sinusformede variable størrelser Faselikhet Faseforskyvning Oppgaver Sammendrag

2

Vektordiagram eller viserdiagram

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Framstilling av vekselstrømsstørrelser ved hjelp av vektorer Addisjon av vektorer Subtraksjon av vektorer Oppgaver Sammendrag

3

Kompleks regning

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Innledning j-operatoren Regning med komplekse tall Forskjellige måter å uttrykke komplekse størrelser på Oppgaver Sammendrag

4

/?-, L- og C-komponentene til en sinusformet vekselspenning

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Innledning Ren ohmsk motstand Luftspolen Kondensatoren Kompleks skrivemåte av komponentene R, L og C Oppgaver Sammendrag

1 1 3 11 12 14 15

17 17 18 21 24 26

27 27 28 29 32 33 35

37 37 37 38 45 51 53 54

V

5 5.1 5.2 5.3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5- 9 5.10 5.H

Effekt og arbeid i en sinusformet strøm Effekt Arbeid Produktet av to vekselstrømsstørrelser Tilsynelatende effekt Aktiv og reaktiv strøm Reaktiv effekt Sammenhengen mellom de forskjellige vekselstrømseffektene Oscillerende energi Spoler Oppgaver Sammendrag

55 55 57 58 59 59 60 61 62 64 65 67

6

Kombinasjoner av R-, L- og C-komponenter koplet til en vekselspenning 69

6.1 6- 2 6.3 6-4 6- 5

Seriekopling av R-, L- og C-komponenter Parallellkopling av R-, L- og C-komponenter Bruk av kompleks regning i vekselstrømsteorien Oppgaver Sammendrag

7 7- 1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

9

9.1

VI

Svingekretser Frie svingninger Tvungne svingninger og resonans Serieresonans Parallellresonans Oppgaver Sammendrag"

Ikke-sinusformede periodiske spenninger

69 73 78 86 88

90 90 95 95 101 108 11°

113

Sammensetning av spenninger Ikke-sinusformede periodiske spenninger og strømmer Overføringssystemer og begrepet forvrengning Modulasjon Pulsspenninger Oppgaver Sammendrag

113 115 118 120 122 123 124

Inn- og utkoplingsfenomener vedRC- og /?L-kombinasjoner

126

Innledning

126

9.2 9.3 9.4 9.5

Innkopling og utkopling av en 7?C-kombinasjon ved likespenning Innkopling og utkopling av en ÆL-kombinasjon ved likespenning Oppgaver Sammendrag

10

RC-seriekopUng

10.1 10.2 10.3 10.4

Frekvensavhengighet Bruk av ÆC-seriekoplinger Oppgaver Sammendrag

11

Filtre

11.1 11.2 11.3 H.4 11.5 H.6 11.7 11.8

Innledning ÆC-koplingsfilter Glattefiltre Lavpassfiltre Høypassfiltre Båndfiltre Oppgaver Sammendrag

126 131 134 135

136 136 140 143 144

145 145 145 146 149 155 159 162 164

12

Nettverksteori

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

Innledning Superposisjonsprinsippet Transformering Koplede kretser Dualitet Enkel firpolteori Oppgaver Sammendrag

13

Transformatoren

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Innledning Den ideelle transformatoren Den virkelige transformatoren Tilpasningstransformatoren Oppgaver Sammendrag

181 182 184 187 188 190

14

Flerfaset vekselstrøm

191

14.1

Innledning

166 166 167 167 171 172 173 177 179

181

191 VII

14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9

Generering Kopling av fasene Effekt Symmetrisk belastning Roterende magnetfelt Den prinsipielle virkemåten til en trefaseinduksjonsmotor Oppgaver Sammendrag

Stikkordregister

VIII

191 193 198 199 202 203 203 205

206

1

Innledning til vekselstrømsteorien

1.1

Grunnbegreper I Ellære 1 har vi i forbindelse med periodiske spenninger og strømmer behandlet disse grunnbegrepene: • periode • frekvens • momentanverdi • toppverdi • topp-til-topp-verdi • middelverdi • effektivverdi. Vi skal nå kort repetere definisjonene.

1.1.1

Periode Med en periode mener vi tidsrommet mellom to påfølgende tidspunkter hvor strøm eller spenning på samme måte går mot null, eller på samme måte når en minimumsverdi eller maksimumsverdi. Se figurene 1.1 og 1.2.

1.1.2

Frekvens Med frekvensen til en periodisk strøm eller spenning mener vi det antall perioder som blir gjennomløpt per sekund:/ = 1/T.

1.1.3

Momentanverdi Den verdien som en variabel størrelse har på et bestemt tidspunkt, kaller vi momentanverdien eller øyeblikksverdien .

1

Figur 1.1 Periodisk variabel likespenning

Figur 1.2 Periodisk variabel vekselspenning

Momentanverdien er derfor en verdi som endrer seg med tiden, og den blir som regel angitt med liten bokstav. På figur 1.3 er w, spenningsverdien etter tiden th u2 er spenningsverdien etter tiden t2 osv. Se figur 1.3.

1.1.4

Toppverdi og topp-til-topp-verdi Med toppverdiene til en spenning som endrer seg med tiden, mener vi de ytterverdiene spenningen har. De blir betegnet med L/maks eller t/mog t/min. Se figur 1.4. Dersom maksimumsverdien t/maks eller Um og minimumsverdien f/minerlike store, snakker vi om amplitude. Spenningsforskjellen mellom maksimums- og minimumsverdien kaller vi topp-til-topp-verdien , Uu.

Figur 1.3 Momentanverdiene w,, u2 og u3

2

Figur 1.4 Maksimumsverdien eller toppverdien = Um topp-til-topp-verdien = f/tt

1.1.5

Middelverdi Middelverdien1) /midtil en vilkårlig strøm kan vi skrive slik: /mid=

E / =[dmid (n = antall verdier) n

I Ellære 1, avsnitt 3.6.3, har vi gitt en annen definisjon. Middelverdien til strømmen på figur 1.5 kan vi skrive på denne måten: _ ‘ mid

1.1.6

Zi

+ i2 + i3 + i4 + is + i 6 6

Effektivverdi Med effektivverdien til en periodisk strøm eller spenning mener vi den verdien som en like stor likestrøm eller likespenning måtte ha for å utvikle den samme effekten i en like stor resistans.

Effektivverdien2) til en sinusformet strøm eller spenning er: /= '/21/2 • og l/ = '/2j/2 • l/m Vi kommer tilbake til dette i avsnitt 1.2.5.

1.2

Sinusformede variable størrelser

1.2.1

Innledning Sinusformede spenninger og strømmer hører begge til gruppen variable størrelser. De spiller en viktig rolle i elkraftteknikk og i elektronikk.

Figur 1.5 Vilkårlig vekselstrøm ') Et annet uttrykk for middelverdien til en strøm er IAV ; AV er en forkortelse for det engelske ordet «average» som betyr gjennomsnitt.

2) Et annet uttrykk for effektivverdien til en strøm er ZRMS; RMS er en forkortelse for «Root Mean Square» som betyr «roten av det midlere kvadratet».

3

Når vi i fortsettelsen snakker om en vekselspenning eller vekselstrøm, mener vi en sinusformet størrelse, dersom ikke noe annet uttrykkelig er presisert.

1.2.2

Forholdet mellom momentanverdien og maksimumsverdien Fra Ellære 1 vet vi at det blir generert en sinusformet vekselspenning når en vinding roterer med konstant vinkelhastighet i et homogent magnetfelt.

For momentanverdien til den induserte spenningen gjelder da: e = Em ■ sin a

(1)

Roterer vindingen med en vinkelhastighet på to rad/s, har den etter t sekunder gjennomløpt en vinkel på: a - to • t

(2)

Setter vi likning (2) inn i (1), får vi: e = Eni • sin cot

For en sinusformet spenning generelt kan vi derfor skrive:

u = Um • sin evt

f

iV is

ta i rad/s w iV

Ved å velge forskjellige verdier på to • t kan vi få fram momentanverdien u som en funksjon av vinkelen co ■ t .Se figur 1.6 og tabell 1.1. Ofte blir en sinusformet størrelse uttrykt som en funksjon av tiden i stedet forav co • t. Vi får da en figursom er likeformet med figur 1.6fordi toeren

4

konstant størrelse. Figur 1.6 forestiller derfor, riktignok i en annen målestokk, også forløpet til en sinusformet spenning som funksjon av tiden.

1.2.3

Vinkelfrekvens I stedet for vinkelhastighet snakker vi i vekselstrømsteknikken som regel om vinkelfrekvens.

Med vinkelfrekvensen co til en vekselstrøm eller vekselspenning menervi det antall radianer som blir gjennomløpt per sekund.

Det vil si:

gjennomløpt vinkel i rad vinkelfrekvens = vinkelhastighet =---------------medgått tid eller:

Er tiden for en periode T sekunder, så er t — T. Den gjennomløpte vinkelen a er da lik 360° = 2/rradianer. Se figur 1.6.

For vinkelfrekvensen får vi da: (V

2it T

(1)

Medl/T = f blir likning (1) slik:

f i Hz = s 1 cv i rad/s - s

o) - 2-k • f

(1.2)

Eksempel 1.1 En vekselspenning har en maksimumsverdi på 100 V og en frekvens på 50 Hz. Finn: a vinkelfrekvensen b den gjennomløpte vinkelen etter ’/1200 s i rad eller grader c spenningen på det tidspunktet. Vi har: Viskalfinne:

(-4 = 100 V, co= 314 rad/s og t = */i2oo s a a>,b a i rad og grader etter r = '/i2oos,c u etter r = */i2oo s

Løsning:

a

ev = 2tt ■ f = 2tt • 50 s '1 = 314 s 1 = 314 rad/s

b cv = & t

=>

a

2ir rad = 360° c

= cv - t = 314 rad/s •

=>

,'2ir rad =

l2of) = A tv rad

• 180° = 15°

u - Um ■ sin evt - 100 V • sin 15° = 100 V • 0,2588 = 25,88 V

1.2.4

Middelverdien til en sinusformet variabel størrelse Ser vi på en sinusformet variabel størrelse over en periode, er summen av de positive og de negative verdiene like store. Middelverdien er da lik null.

Over en halv periode er middelverdien naturligvis ikke null. Ved et sinusformet forløp er middelverdien på grunn av symmetrien lik for hver kvartperiode. Vi skal nå beregne middelverdien til et sinusformet forløp over en kvartperiode. Når en vinding roterer med konstant vinkelhastighet i et homogent magnetfelt, forløper fluksen i vindingen cosinusformet og den induserte spenningen sinusformet med tiden. Se figur 1.7 og Ellære 1.

6

Ifølge Faraday er den genererte spenningen per vikling lik:

E = mid A/

Ser vi på fluksendringen over en kvart periode, det vil si T/4, blir AT» = 0 - m = -t, slik at: .2 1 - cos 2caZ sur ca/ = ------------------2

Likning (2) kan da skrives slik: cos 2 ca/

P Imid

2

mid

(3)

Det andre leddet i likning (3) er en cosinusfunksjon. Vi vet at regnet over en periode er middelverdien til en cosinusfunksjon i likhet med en sinusfunksjon lik null. Likning (3) går da over til:

«■

[L/13 = 220 V

Figur 2.16

Figur 2.17

Eksempel 2.3 På figur 2.15 har vi: 6/13 = 220 Vog Un = 100 V. Spenningen 6/l2 ligger 30° foran (7,3. Se figur 2.16.

Finn:

spenningen 6/23.

Løsning:

For momentanverdiene gjelder: ^23

=

W13

—

W12

Vektorlikningen for effektivverdiene blir da slik: 6/23

=

6/13

—

6712

Av figur 2.17 går det fram at (723 = 28,5 mm = 28,5 • 5 V = 142,5 V.

24

2.4

Oppgaver 1

2

3 4

5 6 7

8

Hva er det som kjennetegner en vektor? Gi noen eksempler på vektorstørrelser. En sinusformet størrelse som varierer med tiden, blir framstilt med en roterende vektor. a Hvordan bestemmer vi da størrelsen til vektoren? b Hva er rotasjonshastigheten avhengig av? Hvordan finner vi momentanverdien ved en slik framstilling? Hvorfor utelater vi tidsaksen når vi tegner vektorer som forestiller effektiwerdier? Hvordan går vi fram ved addisjon av vektorer? Hvordan går vi fram ved subtraksjon av vektorer? Kan vi bruke de metodene som er nevnt i spørsmålene 5 og 6, når vi skal addere eller subtrahere vekselstrømsstørrelser med ulik frekvens? Begrunn svaret. Hva vet vi om frekvensen når vi legger sammen eller trekker fra hverandre vekselstrømsstørrelser med samme frekvens?

25

2.5

Sammendrag ■

Framstilling av vekselstrømsstørrelser ved hjelp av vektorer

• • •

■

Addisjon av vektorer

•

■

Vi plasserer vektorene etter hverandre i henhold til retning og størrelse på denne måten: — Endepunktet til den første vektoren faller sammen med begynnelsespunktet til den neste vektoren osv. — Sumvektoren er linjestykket som forbinder begynnelsespunktet til den første vektoren med endepunktet til den siste vektoren. — Retningen til sumvektoren, det vil si pilspissen, peker fra endepunktet til den siste vektoren.

Subtraksjon av vektorer

•

26

En vekselstrømsstørrelse kan framstilles som en (roterende) vektor eller viser. Når vektoren forestiller en maksimumsverdi, er projeksjonen på den vertikale aksen = tidsaksen lik momentanverdien. Som regel forestiller vektoren effektivverdien.

Vi plasserer vektorene med endepunktene (pilspissene) mot hverandre. — Differansevektoren er linjestykket som forbinder begynnelsespunktene. — Pilspissen til differansevektoren peker fra begynnelsespunktet til den vektoren vi har trukket fra.

3

Kompleks regning

3.1

Innledning I forrige kapittel så vi at sinusformede vekselstrømsstørrelser kan framstilles som vektorer. Figur 3.1 viser en vektor V som er dekomponert i en horisontal komponent a og en vertikal komponent b. Det vil si at: V - a + b Vi kan også la komplekse tall representere sinusformede størrelser. I kompleks regning kaller vi den horisontale aksen for den reelle aksen = Re og den vertikale aksen for den imaginære aksen = Im, eller j - aksen. Et system med en Re-akse og en Im-akse kaller vi et komplekst system. Punktet P i det komplekse systemet er bestemt av koordinatene a og b . Se figur 3.2.

Vi avsetter tallverdien til a langs den horisontale Re-aksen. For å angi at b blir avsatt langs Im-aksen, blir j føyd til tallverdien. Det vil si b j eller j b . Punktet P blir da angitt med det komplekse tallet a + j b . Vektoren OP forestiller en sinusformet størrelse i det komplekse systemet. Vi snakker om en kompleks størrelse . Se figur 3.2. For å angi at vi mener en kompleks størrelse, setter vi en strek over symbolet for størrelsen, slik:

V = a + ]b I matematikken blir streken ofte utelatt.

Figur 3.2 Den komplekse størrelsen OP = V= a + j b 27

Figur 3.3

V = 5 = — 4 4- j3

Tegnene foran a og b bestemmer hvilken kvadrant den komplekse størrelsen V ligger i: + a og + b V ligger i første kvadrant — a og + b V ligger i andre kvadrant — a og — b V ligger i tredje kvadrant + a og — b V ligger i fjerde kvadrant

Når vi ser bort fra retningen, får vi dette uttrykket for den komplekse størrelsen V : ____ , V = + b2 Denne verdien blir kalt absoluttverdien eller modulen . Dersom vi betegner den komplekse størrelsen med V , blir absoluttverdien , F|.

Eksempel 3.1 Vi har: Vi skal finne:

Løsning:

Den komplekse størrelsen V = — 4 4-j3 Hvilken kvadrant den komplekse størrelsen ligger i, og hvilken absoluttverdi den har. V = a + ]b = -4 + j3

a = —4ogb =3 => V =

3.2

V ligger i den andre kvadranten

+ p = V(-4j2 + P = V25 = 5

J-operatoren På figur 3.4 er V =a = 4. Den faller sammen med den positive delen av den horisontale aksen. Multipliserer vi den komplekse størrelsen med j, får vi: jr = ja = j4

Den komplekse størrelsen j V = j4 faller nå sammen med den positive delen av den vertikale aksen. Den absolutte verdien er ikke endret ved at vi multipliserte med j, for den er fremdeles 4. Av figur 3.4 går dette fram: 28

jl/ = j4

Figur 3.4 Når vi multipliserer med j, dreier V 90° mot urviseren.

Når vi multipliserer med j, dreier den komplekse størrelsen seg 90° mot urviseren.

I og med at størrelsen ikke endrer seg, er j ingen multiplikator i vanlig forstand. Vi kaller derfor j for en operator . Hvis vi multipliserer j V en gang til med j, faller j2 V sammen med den negative delen av den horisontale aksen. Det betyr at:

j2k = - V =>

j2 = -1

=>

j = V'-1

I matematikken kaller vi ]/— 1 for et imaginært tall. Av figur 3.4 går det fram at multiplikasjon fire ganger med j betyr at den komplekse størrelsen er dreid 4 • 90° = 360° mot urviseren. Det vil si at den er tilbake i sin opprinnelige stilling.

3.3

Regning med komplekse størrelser

3.3.1

Addisjon På figur 3.5 har vi bestemt summen av to komplekse tall:

V = a\ + jZ?i og V2 = 02 + j/?2 Vi ser av vektorfiguren at når vi adderer to komplekse tall, må vi legge sammen de horisontale a -komponentene (= reelle tall) og deretter de vertikale]b -komponentene (= imaginære tall). Det vil si:

V = V\ + V2 = o\ + }b\ + a2 + = (rzi + - b2) 30

(3 + j4)(5 + j6) = 15 + 18j + 20j + j2 24 = 15 + 38j + j224 = 15 + j38 -24 = - 9+j38

3.3.4

Divisjon Kvotienten til

= a 4- j bx = 3 4- j4 og F = a2 4- j b2 = 5 4- j6 blir:

F, _ 3 + j4 F2 ~ 5 + j6 Når vi skal dividere, må vi multiplisere teller og nevner med en faktor slik at nevneren får formen (p + jq)(p — j q ) = P~ — j2 q2 • Vi kaller p + jq ogp — jq tilføyde komplekse tall . I det valgte eksempelet multipliserer vi teller og nevner med 5 — j6. F, = (3 + j4)(5 I j6) = 15 - jl8 + j20 - j224 F2 (5 + j6)(5 - j6) ’ 25 - j236 Medj2 = — 1 går likning (1) over til: 39 2 + j 61 61

F _ 39 + j2 _ 39 + j2 F2 “ 25 + 36 ~ 61

3.3.5

= 0,639 + jO,O33

Vinkelen mellom to komplekse størrelser Vi kan bestemme vinkelen

Vinkelen cpx kaller vi argument . På samme måten finner vi vinkelen cp2 som F = a 4- j b2 = 4 4- j2 danner med den horisontale aksen:

tan ^2 =

b2 2 = = 0,5 tz2 4

=>

z^2

= 26°34'.

Vinkelen (pmellom F og F blir da: - ^2

= 63°26' - 26°34' = 36°52'

Se figur 3.7.

31

Figur 3.7 Vinkelen mellom to vektorer

3.3.6

Figur 3.8 Like vektorer

Sammenlikning av komplekse størrelser I elektroteknikken forekommer det blant annet i brokoplinger at: F, • P2 = V3 • r4

Denne likningen går etter utregning over til:

F5 =

=>

a + }b = c + j j = y/— 1

•

Multiplikasjon med j betyr at den komplekse størrelsen dreier 90° mot urviseren.

Regning med komplekse størrelser •

Addisjon: ci\ 4- j/?i 4- fl2 4- jb2 = (ci\ + «2) + jøi + b2)

•

Subtraksjon: a\ + j/?i - («2 + j/?2) = (a, - «2) + j(b, - /?2)

•

Multiplikasjon: (fli + j/?i)(fl2 + jZ?2) = tfitf2 + jflt/?2 4- jfl2/?i 4- j2/?ib2

= fl|fl2 - b\b2 + j(«i/?2 + fl2bi) Im

Re •

Divisjon: fli + jZ?i _ (fli + j/?i)(fl2 - jZ?2) _ flifl? a2

+ jd2

(a2 + jZ?2)(fl2 - j/?2)

a\a2 + b\b2 «2 + b2

+ bib2 - ]{a\b2 - a2bi) fl2 + b2

-j(fli/?2 - a2b\}

a2 + b2

Ved divisjon må brøken multipliseres med det tilføyde komplekse tallet til nevneren. Vinkelen mellom to komplekse størrelser Ki = fli 4- jbi

=>

a2

=>

K2 =

+ jd2

b\ = — fli b2 tan $z?2 = fl2 tan

=>

v?i

=>

Z^2

y? = 9?2 —

Sammenlikning av komplekse størrelser

To komplekse størrelser er like når • de reelle komponentene er like og • de imaginære komponentene er like.

35

Måter å uttrykke komplekse tall på •

Rettvinklede koordinater: V = a + }b og modul V = Va2 + b~ V = a + ]b

36

og modul

|K| = \!a2 + b2

«

Polare koordinater: V = V eller V = \V\/_

R = Z-cos^.

Setter vi dette inn i formel 5.1, får vi:

P = f~ • Z ■ cos (p Ment/ =/ • Z . Setter vi det inn i likningen ovenfor, får vi:

P = U ■ 1 ■ cos (p

I iA U iV P iW

(5.2)

P kaller vi aktiv effekt .

5.2

Arbeid Fordi elektrisk arbeid er lik effekt ganger tid, er det arbeidet en vekselstrøm utfører i løpet av t sekunder:

W— I1R t=UIt - cos tp

t R / W

iA iQ iA iJ

(5.3)

Formlene 5.2 og 5.3 kan brukes for en hvilken som helst belastning som er koplet til en sinusformet vekselspenning. I en ideell kondensator ligger strømmen 90° foran spenningen, det vil si cos (p = O. Den aktive effekten er da også O. Det framgår av formel 5.3 at faktoren cos tp er et mål for den leverte energien. Den blir da også kalt effektfaktor.

Eksempel 5.1 En luftspole med resistansen 300 ohm og en selvinduktans på I 061 mH er koplet til en vekselspenning på 100 V, 50 Hz. Finn:

57

a b c d

strømmen gjennom spolen effektfaktoren den aktive effekten fra spolen det arbeidet som i løpet av en periode blir omsatt i varme.

Vi har: Vi skal finne:

R = 300 fi, L = 1,061 H, U = 100 V, f = 60 Hz a I, b cos c P, d W

Løsning :

a

XL = 2it-f-L = 2tt • 60 s~‘ • 1,061 H = 400 Z = \/?2 + Xl = V(300 Q)2 + (400 Q)2 - 500 Q

100 V = 0,2 A 500 Q R Z

300 n 500 Q

b

cos

c

p= r- . R = (0,2 A)2 • 300Q= 12 W eller

P= U- I • cos

d

1 periode = 1 /eo s W = I- ■ R

W= U l

5.3

= 100 V • 0,2 A • 0,6 = 12 W

t = (0,2 A)2 • 300 Q • 1 Ao s = 0,2J eller t • cos (p = 100 V • 0,2 A ■ 'Aos • 0,6 = 0,2 J

Produktet av to vekselstrømsstørrelser I avsnitt 5.1 har vi vist at p

- [ u • i ] = U ■ l • cos (p

Det vil si:

Produktet av den momentane spenningen og strømmen er lik produktet av effektivverdiene til spenningen og strømmen og cosinus til faseforskyvningsvinkelen.

Generelt gjelder:

Produktet av to sinusformede størrelser med samme frekvens er lik produktet av effektivverdiene og cosinus til faseforskyvningsvinkelen.

58

Disse egenskapene kan vi bruke for eksempel i elektrodynamiske måleinstrumenter. Dreiemomentet til slike måleinstrumenter er proporsjonalt med [ zj • å]. Men [ zj Å] = /, • /2 • cos 0= +

> 0= +

overveiende induktiv

6.16 CD

> 0= +

0= +

= 0

ren ohmsk

6.16 ©

= 0

> 0= +

ren induktiv

6.16 ©

=0

> 0= -

ren kapasitiv

6.16 ® 79

Im

Figur 6.16 Impedanser med forskjellige a- og b-verdieri det komplekse systemet

Den komplekse erstatningsimpedansen er:

(6.8)

Det vil si:

I en seriekopling av impedanser er den komplekse erstatningsimpedansen lik summen av de komplekse impedansene.

Denne egenskapen ervist på tigur6.18. Vi skal nå beregne koplingen på figur 6.1, men denne gangen ved å bruke kompleks regning. C = 398 gF

L = 63,66 mH

Figur 6.17 Seriekopling av komplekse impedanser

80

Figur 6.18 Addisjon av komplekse impedanser

Figur 6.19 Den komplekse skrivemåten til koplingen på figur 6.1

Ze = Z\ + Z2 + Z3 = -j8 + 1 + (15 + j20) = 16 + j!2

Ze = Va2 + b~ = V( 16 Q)2 + (12 Q)2 = 20 Q V / =u = 60 « = 3 A 20 Q A

cos z’ =

b _ 16 Q Ze ~ 20 Q

sin

b 12 - 0,6 ~ Ze ” 20 Q

=

0,8

Skrivemåten og løsningen er ellers lik koplingen på figur 6.1.

6.3.3

Parallellkoplingen For parallellkoplingen på figur 6.20 gjelder: I = I\ + /2 + It,

1111 — — + — + — Zv Z\ Z2 Zt, —

Figur 6.20

—

4

u

zj

u Z2

~—

“F

u z} —

(6.9)

Figur 6.21 Den komplekse skrivemåten til koplingen på figur 6.13

81

Det vil si:

I en parallellkopling av impedanser er den inverse verdien av den totale impedansen lik summen av de inverse verdiene til de parallellkoplede komplekse impedansene.

Når vi harto parallellkoplede impedanser, kan vi skrive formel 6.9 slik:

(6.10)

Vi skal gjøre om figur 6.13 til et skjema med kompleks skrivemåte og løse eksempel 6.4 ved hjelp av kompleks regning. C = 398 gF

=> Xc

= 8(1

=> Z\

= — j8

L = 12,74 mH

=> XI Rs

= 4 Qj = 3 oj

=*

=

3 +J4

Erstatningsimpedansen blir da: = _ Z, ■ Z2 _ e ~ Zj + Z2

j8 x (3 + j4) —j8 + 3 + j4

— j24 - j232 _ 32 - j24 3 - j4 3 - j4 (32 - j24)(3 + j4) _ 96 + jl28 - j72 - j296 (3 - j4)(3 + j4) “ 32 + 42

= 192 + l56 = 7 68 + j2,24 25 Ze = \V/2 + b2 = V7,68^+ 2,24 = 8 (1

Den opptatte strømmen er:

6.3.4

Faseforskyvning Faseforskyvning mellom to spenninger Fordi spenningen og strømmen er vektorstørrelser, kan vi bestemme dem ved hjelp av kompleks skrivemåte.

82

Z^O.4^1.2

Z2 = 0,8 + j0,4

Figur 6.22 Delspenningene på figur 6.22 kan vi skrive slik: (7, = /• Z1 = 5(0,4 + jl,2) = 2 + j6 U2 = f. z2 = 5(0,8 + j0,4) = 4 + j2 Figur 6.23 viser disse delspenningen i et komplekst aksesystem. Faseforskyvningen (p mellom U} og U2 kan vi beregne slik det er beskrevet i avsnitt 3.3.5.

= b' = 6 = 3 => a\ 2 r tan 2 - 9 = = 0,5 => a2 4

tan

= 71°34'

++ = 26°34'

= 71°34' - 26°34' = 45°

• Faseforskyvning mellom to strømmer Delstrømmene på figur 6.24 kan vi skrive slik: U Zi

U

z2

30 3 + j6

_ 30(3 - j6) _ 90 - jl80 ” (3 + j6)(3 - j6) “ 9 + 36

30 _ 30(4 - j2) _ 120 - j60 4 + j2 ~ (4 + j2)(4 - j2) 16 + 4

Figur 6.24 83

Figur 6.25 viser disse delstrømmene i et komplekst aksesystem. Minustegnet foran den imaginære komponenten tyder på at strømmen ligger etter. For faseforskyvningen mellom strømmene finner vi: tan

^1

=

tan

^2

=

==

6.3.5

^1

bi ai

-4

62

-3 = -0,5 6

ai ■- ^2

=

= -2

^! = 63°27'

=> =>

= 26°34'

63°26' - 26°34' = 36°52'

Blandede koplinger med impedanser Bruker vi kompleks regning, kan vi skrive den totale impedansen for den blandede koplingen på figur 6.26 slik: Zt

=

Z|2

+

(1)

Z23

Her er Z12 impedansen mellom klemmene 1 og 2, og Z23 erstatningsimpedansen mellom klemmene 2 og 3. Impedansen Z23 blir da:

(2)

Setter vi (2) inn i (1), får vi dette uttrykket for den totale impedansen i koplingen: Z2 + Z,

Vi a b c d

skal finne disse verdiene for koplingen på figur 6.27: den totale impedansen Z, og belastningsarten totalstrømmen I grenstrømmene /, og /2 den opptatte effekten.

Figur 6.26

84

Figur 6.27

a

Den totale impedansen Z{ og belastningsarten xc =

cv C

=>

— ■ ■ = 21,2; • 50 s1 • 150 • 10 6 F

= 2tt

Zf = —j21,2

X, = cv • L = 2tt • 50 s“‘ • 0,1 H - 31,42 Q

og

= 5 Q slik at

Z3 = 5 + j31,42

For Z23 får vi da:

v

Z2 • Z3 — Z2 + Z3

Z23 ~ —

20 • (5 + j31,42) _ 100 + j628,4 ~ 20 + (5 + j31,42) 25 + j31,42

(100 + j628,4)(25 - j31,42) 252 - (j31,42)2

2500 + j12568 - j219744 625 + 987 22244 + j12568

Den totale impedansen blir:

Zt = Z13 = Z\ + Z23 = —j21,22 + 13,8 + j7,8 eller

Z, = 13,8 - jl3,42

(3)

Størrelsen på impedansen Z, blir: Z, = V(13,8 Q)2 + (13,42 Q)2 = 19,25 Q

I likning (3) er den vertikale komponenten negativ. Det betyr at belastningen er kapasitiv. b Totalstrømmen 1 Den opptatte strømmen / får vi av likningen:

/ =u = 200 V 19,25 z,

= 10,39 A

c Grenstrømmene /, og I2 For å kunne regne ut grenstrømmene må vi kjenne l/23. For denne delspenningen gjelder: t/23 • Z,3 Av(3)følger: Z23 = ]/(13,8Q)2 + 7,8Q)2 = 15,85Q. (723 erdalik:

t/23 = / . Z23 = 10,38 A • 15,85Q = 164,52 V

85

ff = 13,8 Q

Xr = 13,42 n c

Z13= 13,8-j13,42

Figur 6.28 Kretsskjemaet til figur 6.27

Grenstrømmene blir da: /i

G23 _ 164,52 V Z2 20 fl

U2i _ 164,52 V Z3 V(5 fl)12345678 + (31?42Q)2

164,52 V 31,82 fl

d Den opptatte effekten Ifølge likning (3) kan vi erstatte koplingen på figur 6.27 med en impedans som består av en seriekopling av en resistans R =13,8 ohm og en kapasitiv reaktans (ideell kondensator) Xc = 13,42 ohm. Se figur 6.28. Effektfaktoren cos

induktiv belastning. I ligger etter U.

XL< Xc

=>

kapasitiv belastning. / ligger foran U.

Xt = X(

=>

ohmsk belastning. I i fase med U (serieresonans).

Parallellkopling av R, Log C •

En spenning og flere strømmer.

•

Når vi tegner et vektordiagram, går vi alltid ut fra den felles U -vektoren.

U

Z

q

cos

'spole

=

w

'kond

og

sin

=

Disse belastningstilfellene kan forekomme:

r''spole > iQkond

=>

induktiv belastning. I ligger etter U.

FQspole < /Qkond

=>

kapasitiv belastning. / ligger foran U.

rQspole = IQkond

=>

ohmsk belastning. 1 er i fase med (7 (parallellresonans).

Kompleks regning

•

•

88

Kompleks impedans: spole :Z = R + ]XL kondensator^ = R - )XC Seriekopling av impedanser: = Z, + Z> + Z, + osv.

(R og X{ i serie) (R og X( i serie)

Parallellkopling av impedanser: 1 1 _ 1 1 + - + osv. Zv Zi Z2 Z3

For to impedanser i parallell gjelder: Z, Z2 Zv Z i + Z2

89

7

Svingekretser

7.1

Frie svingninger

7.1.1

Udempede svingninger Vi går ut fra at spolen og kondensatoren på figur 7.1 er ideelle, og at det ikke er noen resistans i forbindelsesledningene.

Når bryteren s står i posisjon 1, blir kondensatoren ladd. I et vilkårlig øyeblikk er den elektriske feltenergien w = [/iC • u~. Ladingen av kondensatoren varer inntil kondensatorspenningen er lik batterispenningen. Plate A er da positiv i forhold til plate B. Den elektriske feltenergien fra kondensatoren er nå maksimal, det vil si = V2C • Um~. Ved tidspunktet t = 0 setter vi bryter s i posisjon 2. Kondensatoren lader seg nå ut. Strømretningen er fra plate A via spolen til plate B. Som en følge av utladingen avtar kondensatorspenningen og dermed også den elektriske feltenergien. For momentanverdien til den elektriske feltenergien gjelder fremdeles H’ = V2C ■ ir. Når kondensatorspenningen har avtatt til null, er også den elektriske feltenergien null, fordi når u = 0, er også w = 0. Fordi vi har forutsatt at LC -kretsen er tapsfri, blir ingen energi omformet til varme eller stråling. Det betyr at all den elektriske feltenergien blir omformet til magnetisk feltenergi. På et vilkårlig tidspunkt er den magnetiske feltenergien w = ‘AL ■ r, se Ellære 1. På figur 7.2 er kondensatorspenningen null ved tidspunktet Den magnetiske feltenergien er da maksimal. Strømmen i kretsen er nå på sitt høyeste, fordi av = V2L • Im\ følger at i = Im. Etter at strømmen har passert sin maksimumsverdi, blir kondensatoren ladd på nytt slik at polariteten til kondensatoren endrer seg. Plate B blir nå positiv, mens plate A blir negativ. Kondensatoren får på nytt elektrisk feltenergi.

2

B

Figur 7.1 LC-krets

90

Når strømmen avtar i kretsen, blir den magnetiske feltenergien mindre, og den elektriske feltenergien øker tilsvarende. Ved tidspunktet t2 er strømmen null, og kondensatorspenningen er maksimal. Kondensatoren har nå motsatt ladning. Den magnetiske feltenergien til spolen er igjen null. Som folge av dette lader kondensatoren seg ut på nytt, og den tidligere omtalte energiomformingen gjentar seg. Strømmen flyter nå fra B til A. Det ser ut til at strømmen i kretsen kontinuerlig endrer størrelse og retning, og at forløpet er sinusformet som funksjon av tiden. Elektrisk feltenergi blir omformet til magnetisk feltenergi, og omvendt.

Energien pendler, og vi kaller derfor LC-kretsen for en svingekrets. LC-kretsen har bare fått tilført energi en gang, nemlig da kondensatoren ble ladd. Denne energitilførselen finner sted når bryteren s er i posisjon 1. Etter omkoplingen av s opptrer svingningene uten at kretsen får tilført energi. Dette kaller vi frie svingninger.

I en fullstendig tapsfri LC-krets fortsetter svingningene i det uendelige. Amplituden er hele tiden like stor, og vi sier at svingningene er udempede. Se figur 7.3. Tidsintervallet T bestemmes av størrelsen på L og C.

7.1.2

Dempede svingninger a Årsakene til dempningen I praksis er en LC -krets aldri tapsfri. Energien som svinger i kretsen, avtar på grunn av: • varmeutviklingen i resistansen i kretsen • dielektriske tap i kondensatoren • elektromagnetisk stråling, det vil si energioverføring fra kretsen til omgivelsene.

91

Figur 7.3 Udempet svingning

Figur 7.4 Dempet svingning

Fordi energien hele tiden avtar, gjelder det samme for amplituden. Vi snakker om dempede svingninger. Strømmen forløper sinusformet som funksjon av tiden, mens tidsintervallet T blir bestemtav hvilken verdi L, C og R har. Amplituden avtar etter en e -funksjon. Se den stiplede linjen på figur 7.4. I en dempet svingning er forholdet mellom to amplituder som følger etter hverandre, konstant. Vi kaller dette forholdet for dempningsforholdet. Dempningsforholdet blir ofte uttrykt i naturlige logaritmer, det vil si et logaritmisk system med e = 2,718 som grunntall. Vi snakker da om logaritmisk dekrement.

Dersom vi vil kompensere dempningen i en svingekrets, må vi hele tiden tilføre energi slik at amplituden holder seg uforandret.

b Størrelsen på dempningen Strømmen, spenningen og effekten minker som en følge av dempningen. Bruker vi naturlige logaritmer for strøm- eller spenningsforholdet, blir dempningen uttrykt i neper, forkortet Np. Dempningen av effekten blir som regel oppgitt som logaritme med grunntallet 10 av effektforholdet, og den blir uttrykt i bel, forkortet B.

effektdemping i bel (B) = lg

P2 Pi

(7.1a)

Denne enheten er for stor i praksis, og vi bruker derfor vanligvis enheten decibel, hvor 10 decibel = 1 bel.

effektdemping i decibel (dB) = 10 lg

92

Pz Pi

(7.1b)

Formel 7.1 b kan vi også skrive på en annen måte dersom effektene P, og P2 gjelder den samme resistansen. Effektene P, og P2 kan da skrives slik:

P. =

t/r

R

ul

Og P2 =

R

-

Setter vi disse uttrykkene inn i formel 7.1 b, får vi: antall dB = 10 lg f \ \Uj

antall dB = 20 lg

- 20 lg

~ Ux

U2

(7.1c)

På samme måten finner vi:

(7.Id)

antall dB = 20 lg

Formlene ovenfor blir brukt for å uttrykke forholdet mellom strom og spenning også når resistansene i den aktuelle kretsen ikke er like.

I elektronikken og i telekommunikasjonsteknikken blir begrepet dempning også brukt når signaler blir svekket. Svekkingen blir da uttrykt i dB. Forsterkning av signaler kan også uttrykkes i dB. Se eksempel 7.1.

Eksempel 7.1 Finn antall decibel ved et strømforhold 1 /2|/2 = 0,707 (= svekking) og |/2 = 1,41 (= forsterkning).

Løsning:

antall dB = 20 lg ,2 = 20 lg 0,707 = -3 dB 11

=>

svekking

antall dB = 20 lg 2 = 20 lg 1,41 = +3 dB

=>

forsterkning

/1

7.1.3

Egenfrekvens I en udempet svingning er spenningen over spolen lik kondensatorspenningen. Det vil si: z/c

(1)

Men spenningen og strømmen i LC -kretsen endrer seg 93

sinusformet med tiden, og vi kan derfor også skrive (1) slik: / • Xi = i ■ Xc C0(}' L —

a)() ■ C

=>

Cl)H • L • C — l

Cl)()

1 L■ C

Med co() = 2æ • f blir frekvensen i kretsen:

L i H Ci F /oi Hz

1 2tt

(7.2)

Frekvensen til den udempede svingningen, og dermed også T, blir bestemt av produktet LC, med andre ord av komponentene i selve kretsen. Vi kaller derfor^ for egenfrekvensen til svingekretsen. Vi kan også bruke formel 7.2 for dempede svingninger, så sant R < XL. I motsatt fall er også resistansen bestemmende for f, som vi allerede har nevnt. Eksempel 7.2 En tapsfri kondensator på 4 pF er ladd og har en elektrisk feltenergi på 2- 10 s J. Vi kopler en spole med selvinduktansen 10 mH til platene på kondensatoren. Vi ser bort fra resistansen i spolen.

Vi har: Vi skal finne:

C = 4 pF, L = a /«, b (7S|11,

Løsning:

_1 u ./o - _

2tv

1

10 mH, c /„,

= 2 • 10 8 J

\ ~ \L • C

r

1

2 tv \ 10 • 10~3 H • 4 •

= 7,96 • b

10 ’12 F

10' Hz = 796 kHz

H/,n = 4-c- u2 Cm

2 • 10 8 .1 = 4 • 4 • 10”12 F • c\m

V,sm = Uvcm = 100 V C

Wc = fFs V m

= 4£-/ n2 111

2 •: 1()-8 J = F • 10 • 10-3 H • /m = 2 • ~10-3 A = 2 mA

94

Ccm = 100 V

7.2

Tvungne svingninger og resonans I forrige avsnitt slo vi fast at kjennetegnet for frie svingninger er at en vekslende strøm flyter uten at strømmen eller spenningen blir holdt ved like utenfra. Vekslende strømmer som blir holdt ved like utenfra, kaller vi tvungne elektriske svingninger. En prinsipiell forskjell mellom en fri og en tvungen svingning er at frekvensen til en fri svingning blir bestemt av kretsen selv, mens frekvensen til en tvungen svingning blirbestemt av den påtrykte spenningen. Kopler vi en LC-krets til en vekselspenning med samme frekvens som egenfrekvensen til kretsen, får vi resonans . Kretsen svinger med. Frekvensen blir kalt resonansfrekvensf(). Resonans kan opptre både i LC-seriekretser og LC -parallellkretser. I det første tilfellet kaller vi det serieresonans og i det andre tilfellet parallellresonans.

Resonans i LC -kretser blir brukt i stor utstrekning i elektronikken til å skille vekselstrømmer med forskjellige frekvenser, for eksempel i HF-forsterkere og båndfiltre.

7.3

Serieresonans

7.3.1

Resonansfrekvens Den totale impedansen i LC-seriekretsen på figur 7.5 kan vi uttrykke slik: Z = ,R2 + (Å7 - Xc)2

(1)

u ø-

Figur 7.5 LC-seriekrets

Figur 7.6 Vektordiagrammet til en LC-seriekrets ved resonans 95

Når det gjelder belastningsarten, kan disse tilfellene inntreffe. Se også avsnitt 6.1: • Xi > Xc'- Impedansen Z > R er overveiende induktiv. I ligger etter U, og cos (p < 1. • Xi < Xc' Impedansen Z > R er overveiende kapasitiv. I ligger foran U, og cos (p < 1. • Xi = Xc'- Impedansen Z = R har karakter av en resistans. U er i fase med I , og cos cp = 1. Impedansen i kretsen er da minimal slik at den opptatte strømmen når en maksimumsverdi.

Vi skal nå finne ut hvilken frekvens den påtrykte spenningen må ha for at strømmen skal bli maksimal. Vi har denne likningen: Xi = Xc

«

=>

cv1 • L • C = 1

co • L =

=>

& =

1 aj • C

NL- C

Med o)= 2n-/blir frekvensen: 1 (2)

2tt

Forutsetter vi nå at vi kan se bort fra resistansen R på figur 7.5 fordi den er svært liten i forhold til selvinduktansen L, blir egenfrekvensen ifølge formel 7.2: (3)

2tt

Av likningene (2) og (3) går det fram at vi har resonans når Xt = X( fordi frekvensen til den tvungne svingningen er lik egenfrekvensen i LC-kretsen. Vi kaller derfor Åj = Xc for resonansbetingelsen i en LC-seriekrets. Resonansfrekvensen er:

2-jt

L iH C iF /o i Hz

(7.3)

Figur 7.6 viser vektordiagrammet for en LC -seriekrets ved resonans. Strømmen er da 70. Av vektordiagrammet ser vi at spenningen over spolen C er tilnærmet lik kondensatorspenningen Uc. Når resistansen R er svært liten i forhold til co0 • L, er spole- og kondensatorspenningen mange ganger større enn den påtrykte spenningen U. I en slik seriekrets har vi det vi kaller spenningsresonans.

96

2

Resonanskurver Generelt gjelder dette for impedansen i en seriekrets:

Denne impedansen er avhengig av frekvensen. Vi skal se på impedansen når frekvensen er mindre, større eller lik resonansfrekvensen. Disse tilfellene kan forekomme: •

/ = / Da er co • L = 1/co • C, og kretsen er ohmsk.

Impedansen Zj, = R er minimal og strømmen I = /(l er maksimal. Se figur 7.7. •

/ > /' Da er co • L > 1 /co • C, og kretsen er induktiv. Z øker når f øker. Derimot avtar /. Se figur 7.7.

•

f < y' Da er co - L < \/co- C, og kretsen er kapasitiv.

Z øker når / blir mindre. I avtar også. Se figur 7.7. Dersom resistansen R i kretsen blir mindre, kommer punktet Zo = R til å ligge lavere og punktet 7() = U /Zo til å ligge høyere. Når R er mye mindre enn Åj og X(• , forløper resonanskurven praktisk talt symmetrisk i forhold til den vertikale linjen gjennom f0.

.3

Båndbredde Dersom resonanskurven på figur 7.8 er symmetrisk, ligger frekvensen/ like mye under/, som/, ligger over/når= /,.

Figur 7.7 Resonanskurvene I =f(/)og % = f( f) 97

Figur 7.8 Symmetrisk resonanskurve

f2 — fQ =

høyre sidebånd

fø — f-\ =

venstre sidebånd

Figur 7.9 Båndbredde

b

= f2 -

fo - f\ = fl - fo

Når frekvensen til den påtrykte spenningen er lik resonansfrekvensen f0, slipper LC-kretsen den største strømmen igjennom. Påtrykte spenninger hvor frekvensen avviker fra resonansfrekvensen, forårsaker mindre strømmer enn f i en seriekrets. Jo mer frekvensen avviker fra/, desto mindre strøm slipper gjennom. Selv om alle frekvenser slipper gjennom i større eller mindre grad, snakker vi om en Jilterkrets. Vi kan derfor tildele en LC-seriekrets et bånd som er begrenset av de to grensefrekvensenef ogf2, hvor/ ligger like mye under/som/ ligger over /. LC -kretsen har en slik impedans at strømmer som har lavere frekvens enn eller høyere frekvens enn/, ikke har noen betydning. Differansen f2 — f = B kaller vi resonansbredden eller båndbredden . Vi kan definere båndbredden slik:

Båndbredden B er differansen mellom to frekvenser hvor effekten er 3 dB lavere enn ved resonans.

Grensefrekvensene blir også kalt — 3 dB-punktene. En dempning på — 3 dB svarer til et strømforhold på ’/2]/2 . Se eksempel 7.1. Det vil si at /, = L = ’/2]/2 • lø = 0,707 • /0. Se figur 7.9. Forholdet mellom impedansene er da ]/2 , og båndbredden har betegnelsen B2 . Frekvensdifferansen/ — /blir kalt venstresidebånd og/ — / høyre sidebånd. Frekvenser som ligger i sidebåndene, kaller vi sidebåndsfrekvenser. Hvis/for eksempel er 200 kHz/ = 195 kHz og/ = 205 kHz, såer båndbredden/— j\ = (205 — 195) kHz = 10 kHz.

98

7.3.4

Kvalitetsfaktor Q Ved resonans er den påtrykte spenningen: U = /o-Zo = /(>•/?

(1)

Hvis resistansen R i spolen er mye mindre enn den induktive reaktansen Å, , kan vi se bort fra det ohmske spenningstapet og skrive: (2) Fordi i/s « t/c, får vi ifølge likningene (1) og (2) dette uttrykket:

UJU = U' = Uc = U U

(3

R

I kretser med liten demping er R < {) ■ L/R blir kalt forsterkningsfaktor, spenningsforhøyningsfaktor eller kvalitetsfaktor. Symbolet er som regel (f. Vi snakker også om kretskvalitet. cao • L

R iQ, L iH,

i rad/s, Qs ubenevnt

ojq

Hvor stor kvalitetsfaktoren er, avhenger av verdiene til L, C og R .

7.3.5

Forbindelsen mellom båndbredden og kvalitetsfaktoren Av definisjonen på båndbredden følger at impedansen ved grensefrekvensene^ og f er i/2 ganger større enn resonansfrekvensen/). Det vil si at Z = R j/2.

= Rv'2 a) ■ L —

co-C

R2

99

For grensefrekvensene/ og /J kan vi skrive denne likningen slik: coi • L -

, co i • L -

Vi dividerer med a>2 +

co2-C

1 cai • C

og får:

co2 — co \ —

R

h

./1

R 2tt •

L

For båndbredden B = f — j\ blir formelen da:

« = f2 - f 1

R 2tt • L

R i £2 L iH B i Hz

(7.5)

/o i Hz £)subenevnt B ’ Hz

(7.6)

Vi kan også omforme formel 7.5 slik: p

R 2tt • L

Rf» 2-Tr/i) • L

Rfo

coo • L

Det vil si:

B = fo

Vi ser at en stor kvalitetsfaktor Q gir liten båndbredde B. Det betyr at LC -seriekretsen filtrerer mer selektivt.

Eksempel 7.3 En spole med L = lOOnHogR, = 2 ohm er seriekoplet med en variabel kondensator og koplet til en spenning på 1 V, 100 kHz. Finn: a den kapasitansen hvor resonans opptrer b kvalitetsfaktoren til kretsen c spenningen over kondensatoren og spolen ved resonans d båndbredden Vi har: Vi skal finne:

100

L = 100/zH og R, = 2 ohm, U = 1 Vog/0 = 100 kHz a C ved/^, b Qs, c Us og Uc, dB

Løsning:

aXL{} = 2nfQ • L = 2æ-10ss 1 • 10 4H = 62,83 Q.

Resonansbetingelsen Ajo = JVC) gir:

62,83 fi =

1

2 ir

105 Hz • C

a>0- L R

C = 0,0253 //F

• 10 Hz • 10-4 H 2 0

t b

Qs =

c

Tilnærmet gjelder: Us = Uc = Qs - U = 31,42 • 1 = 31,42 V

Eksakt: Zo =

U 1 V = = 0,5 A R 2 Q

(7c = Z0-%c0 = 0,5 A • 62,83 Q = 31,42 V us = /o-Zs = Io-^r; + x;,0

= 0,5 A • V(2 Q)2 + (62,83)2 = 31,42 V B = R = . ¥i = 3183 Hz = 3,183 kHz 2tt • L 2tt • 10 4 H

d

eller

B =

7.4

Parallellresonans

7.4.1

Resonansfrekvens

= 10 Hz = 3183 Hz = 3,183 kHz 2s 31,42

Figur 7.10 viser en LC-parallellkrets som er koplet til en vekselspenning. Vi forutsetter at frekvensen kan endres. Fra avsnitt 6.2 vet vi at vi kan ha disse belastningsartene: • > k- Kretsen er overveiende induktiv. / ligger etter U. • A]s < k- Kretsen er overveiende kapasitiv. I ligger foran U. • /q = /( : Kretsen har karakter av en resistans. 1 og U er i fase. Se figur 7.11. Vi kaller = Ic for resonansbetingelsen i en parallellkrets.

For kondensatorstrømmen gjelder:

U

Den reaktive komponenten til spolestrømmen er: r

qs

t

•

= R • sin

U Zs

XL Zs

U t . • co ■ L Z2

(2)

101

Figur 7.11 Vektordiagrammet til en LC-parallellkrets ved resonans

Figur 7.10 LC-parallellkrets

Av likningene (1) og (2) ser vi at de reaktive strømkomponentene er frekvensavhengige, slik at belastningsarten kan forandre seg ved en frekvensendring. Vi skal nå finne ut ved hvilken frekvens LC -kretsen har karakter av en resistans. Resonansbetingelsen ved parallellkopling er: (3)

= A • sin

k =

Setter vi (1) og (2) inn i (3), får vi:

U • ce ■ C =

■ aj ■ L

=>

C —

Men Zs 2 = R s 2 - (co • L )2, slik at:

C =

»

, L , /?; + (ta • L)2 ,

,

=>

C- R2 + C(ta • L)2 - L 2

C-a>2 ■ L2 = L - C-R2S

, L - C - R2