Ejercicios y Examenes de Algebra Lineal [PDF]

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Ejercicios propuestos de Álgebra Lineal y Exámenes Resueltos Álgebra Lineal (B) ICM-00604 Ramiro Javier Saltos Atiencia (Ayudante Académico) [email protected] Guayaquil- Ecuador

08

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Deber # 1: Transformaciones Lineales Determine si las siguientes funciones son transformaciones lineales. Justifique adecuadamente su respuesta 1. T : R 2 → P1

a T   = (a + 2b) x + (5a − b) b

2. T : P2 → R 3

a2 − b   T ax 2 + bx + c =  2a + b   0   

3. T : R → R

 x 1 4    T  y  = det 2 5 z 3 6   

3

(

)

 p ( 0)  p ( 2)

4. T : P2 → M 2 x 2 T [ p ( x) ] = 

x  y z  p (1)   ; p( x) ∈ P2 p (3) 

5. T : M nxn → R T ( A) = det( A) ; A ∈ M nxn 6. T : M nxn → R T ( A) = traza ( A) ; A ∈ M nxn

(

)

1 2  a b   c 

 ⋅  7. T : P2 → M 2 x 2 T ax 2 + bx + c =  3 4  b

 a 0  a + b   = b   a + b 

8. T : D2 x 2 → R 2 T  0

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Deber # 2: Núcleo e Imagen de Transformaciones Lineales Determine las condiciones, una base y la dimensión del núcleo y de la imagen de cada una de las siguientes transformaciones lineales

1. T : R → R 2

3

 a+b  a   T   =  a −b   b   2a + 2b     2a + 3b    a−b 

2. T : P1 → R 2 T (ax + b ) = 

0  a b a + b − c  =   c  0 3a − b 

3. T : S 2 x 2 → D2 x 2 T  b

(

)

1 1 a b   c 

 4. T : P2 → M 2 x 2 T ax 2 + bx + c =  1 1 b 5. T : S 2 x 2 → P2

a b  = (a + 2b + 3c )x 2 + (4a + 5b + 6c )x + (7 a + 8b + 9c ) T  b c  p ( 0)  p ( 2)

6. T : P2 → M 2 x 2 T [ p ( x) ] = 

7. T : R 2 → P1

p (1)   ; p( x) ∈ P2 p (3) 

a T   = (a + 2b) x + (5a − b) b

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Deber # 3: Matriz Asociada a una Transformación Lineal Determine la representación matricial de cada transformación lineal respecto a las bases dadas

1. T : R → R 2

3

 a+b  a   T   =  a −b   b   2a + 2b   

 1   0   0    1   0          a) B1 =   ,    y B2 =  0 , 1 , 0         0   1    0   0   1          1  1   1    1   3          b) B3 =   ,    y B4 = 1 ,  1  ,  0    2   4   1  0   0           2a + 3b    a−b 

2. T : P1 → R 2 T (ax + b ) = 

 1   0    0   1  

a) B1 = {1, x} y B2 =   ,   

 1   2 

 3   4 

b) B3 = {1 + x,1 − x} y B4 =   ,   

0  a b a + b − c  =   c  0 3a − b 

3. T : S 2 x 2 → D2 x 2 T  b

 1 0   0 1   0 0    1 0   0 0   , ,  y B2 =     ,   0 0   1 0   0 1    0 0   0 1  

a) B1 = 

1 1  1 1  1 0    1 0   −1 0   , ,  y B4 =     ,  1 0  1 1  0 0    0 1   0 1  

b) B3 = 

(

)

1 1 a b   c 

 4. T : P2 → M 2 x 2 T ax 2 + bx + c =  1 1 b

{

a) B1 = 1, x, x 2

{

}yB

2

 1 0   0 1   0 0  0 0   =  , ,    0 0   0 0   1 0  0 1  

}

 1 −1  0 1  1 −1 0 0   , ,    0 0   2 0  1 0  0 1  

b) B3 = 1, x + 1, x 2 + x + 1 y B4 = 

5. T : S 2 x 2 → P2

a b  = (a + 2b + 3c )x 2 + (4a + 5b + 6c )x + (7 a + 8b + 9c ) T  b c

 1 −1  1 0   0 2   2  ,  0 1  ,  2 1   y B2 = { x ; x + 1; x − 1} − 1 1      

a) B1 = 

1 1  1 1  1 0   2 , ,  y B4 = {1 + 2 x − x ;1 − 2 x;5}    1 0  1 1  0 0  

b) B3 = 

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Deber # 4: Miscelánea de Transformaciones Lineales

1. Sea T : P1 → R 2 una transformación lineal con regla de correspondencia:

 a + 2b  T ( a + bx ) =    3a + 4b  Determine: a) Nu (T ); v(T ) b) Im(T ); ρ (T )

 1   3    2   4  

c) La matriz asociada a T respecto a las bases B1 = {1 + x;1 − x} y B2 =   ,    2. Sea T : R 3 → S 2 x 2 una transformación lineal con regla de correspondencia:

a    a − b + 2c 3a + b + 4c  T b =    c   3a + b + 4c 5a − b + 8c    Determine: a) Nu (T ); v (T ) b) Im(T ); ρ (T ) c) La

matriz

asociada

a

T

respecto

a

las

bases

 1   1   1          B1 =  0  ,  2  ,  2    0   0   3         

y

1 1  1 −1  −1 0   B2 =  , ,  1 1  −1 0   0 0   3. Sea T : P2 → D2 x 2 una transformación lineal con regla de correspondencia:

0  a +b+c T ( ax 2 + bx + c ) =   0 3a + b   Determine: a) Nu (T ); v (T ) b) Im(T ); ρ (T ) c) La

matriz

asociada

a

T

respecto

a

las

bases

 1 0   2 0   B2 =  ,   0 2   0 −1 

4. Sea T : R 4 → M 2 x 2 una transformación lineal definida como:

a   b  −a − b T =  c   4 a − 2c + d   d 

2c + 3d   3a − b + 4c 

B1 = { x 2 − x; x + 1; x 2 − 1}

y

Determine: a) Nu (T ); v (T ) b) Im(T ); ρ (T )

c) La

matriz

asociada

a

T

respecto

a

las

bases

 0   1   1   1             1 0 1 1  B1 =   ,   ,   ,     1   1   0   1    1   1   1   0  

y

 1 3   −1 3   8 2   1 0   B2 =  , , ,   2 4   0 1   0 0   0 0  

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Deber # 5: Ejercicios de Verdadero o Falso sobre Transformaciones Lineales Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Si es verdadera demuestre caso contrario proponga un contraejemplo

1. Sea T : V → W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, entonces se cumple que v(T ) + ρ (T ) = dim W 2. Sea T : V → W

una transformación lineal biyectiva. Si

{v1 , v2 ,..., vn }

es una base de V , entonces

{T ( v ) , T ( v ) ,..., T ( v )} es una base de W 1

n

2

3. Sea T : V → W

( α T ) (v ) : V → W

una transformación lineal tal que T es un isomorfismo y

α ∈ R − {0} .

Entonces

es también un isomorfismo

4. Si T1 : V → W y T2 : W → U son dos isomorfismos, entonces T2 o T1 : V → U es también un isomorfismo 5. Una transformación lineal T : V → W cuyo único elemento en el núcleo de T es el OV es inversible 6. Sean T1 : V → W y T2 : V → W dos transformaciones lineales. Si

Nu (T1 ) = Nu (T2 ) y Im (T1 ) = Im (T2 ) ,

entonces T1 = T2 7. Sean T1 : V → W y T2 : V → W dos isomorfismos, entonces T1 + T2 : V → W también es un isomorfismo 8. Es posible construir una transformación lineal inyectiva T : P2 → S 2 x 2 tal que Im(T ) = D2 x 2 9. Sea T : V → W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita. Si

dim (V ) = dim (W ) , entonces T es un isomorfismo

10. Sea T : P1 → R

2

 −3   −1  y T (1 + x ) =   , entonces T es un 1 5

una transformación lineal. Si T ( 2 − x ) = 

isomorfismo 11. Existe una transformación lineal T : P1 → R que es sobreyectiva 3

12. Sean T1 : V → W

y T2 : W → U dos transformaciones lineales. Si T2 o T1 : V → U

es sobreyectiva,

entonces T1 es sobreyectiva

dim (V ) = 5 y la dim (W ) = 3 . Si el vector típico del Nu (T ) se puede expresar en función de dos variables libres, entonces cualquier conjunto de la Im(T ) con un mínimo de 4 vectores es linealmente dependiente

13. Sea T : V → W una transformación lineal tal que

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Deber # 6: Construcción de Transformaciones Lineales 1. Construya, de ser posible, una transformación lineal T : P2 → R 3 tal que:

 2   T (1 + x + x ) =  0  1  

 3   T (1 + 2 x ) =  1  0  

2

1   T ( x + x ) =  −2   3  

2

2

2. Sea T : P1 → R 2 una transformación lineal tal que:

 −3  T (2 − x) =   1

 −1 T (1 + x ) =   5

Demuestre que T es un isomorfismo y encuentre la regla de correspondencia de T −1 3. Sea T : R 3 → S 2 x 2 una transformación lineal tal que:

 −5 −1 3    A =  1 −1 −3  0 2 4  

Es

la

representación

matricial

de

T

respecto

a

las

bases

 0   1   1          B1 =  1  ,  0  ,  1    1   1   0         

y

1 1 1 1   1 0   3 B2 =   , 1 0  ,  0 0   de R y S 2 x 2 respectivamente. 1 1       a) Encuentre la regla de correspondencia de T b) Determine una base y la dimensión del núcleo y la imagen de T 4. Construya, de ser posible, una transformación lineal T : S 2 x 2 → P2 que cumpla con las siguientes condiciones: • • •

 a b   ∈ S2 x 2 / a + 2b − c = 0  Ker (T ) =    b c   2 Im ( T ) = {ax + bx + c / c = a − b = 0} 1 1 2 T =x +x 1 1  

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Deber # 7: Espacios con Producto Interno y Proyecciones 1. Determine si las siguientes funciones son un producto interno real en P1 a) b)

(• •) = (ax + b cx + d ) = ac − bc − ad + 2bd (• •) = ( p( x) q( x)) = p(0)q(0) + 2 p(−1)q(−1)

 a      2. Sea V = R y sea el subespacio de vectorial H =  b  ∈ R 3 / a = 2b = 3c   c      3

a) Determine una base ortonormal para H ⊥

1   b) Exprese el vector v =  2  como la suma de un vector h ∈ H con un vector p ∈ H ⊥  − 1    a       b   4 4 3. Sea V = R y el subespacio H =   ∈ R / a + 3b = 4c   c    d   a) Determine el complemento ortogonal de H

1   0 b) Exprese el vector v =   como la suma de un vector h ∈ H con un vector p ∈ H ⊥ −1   3   4. Sea el espacio vectorial V = S 2 x 2 donde está definido el producto interno real:

∀A, B ∈ S 2 x 2 A B = traza ( AB) Sea el subespacio de V :

 a b    ∈ S 2 x 2 / c = a + b H =   b c   a) Encuentre una base y determine la dimensión de H ⊥

 1 − 1  ∈ S 2 x 2 encuentre un par único de vectores h ∈ H y p ∈ H ⊥ tales que − 1 2   v = h+ p

b) Si v = 

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Deber # 8: Diagonalización 1. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:

 3 − 2 0   A =  − 2 3 0  0 0 5  

2. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:

 1 1 0   A =  0 2 0  −2 1 3    3. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:

 0 0 1   A =  −4 2 2   −2 0 3    4. Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:

2 1 1   A =  2 3 2  3 3 4   5. Sea T : P2 → P2 una transformación lineal definida por:

T ( ax 2 + bx + c ) = ( − a + b + 2c ) x 2 + ( −4a + 3b + 3c ) x + ( −3a + b + 4c )

Encuentre, de ser posible, una base B de P2 respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal 6. Sea el operador lineal T : P1 → P1 tal que tiene los siguientes vectores propios: • −1+ x • 1+ x Determine la regla de correspondencia de T si se conoce que la primera columna de su representación matricial respecto a la base canónica es (− 3 1) 7. Encuentre, de ser posible, la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:

 3 2 0   A =  2 3 0 0 0 1  

EXÁ EXÁMENES RESUELTOS

Instituto de Ciencias Matemáticas Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta a) Si la matriz B se obtiene ne a partir de la matriz A por medio de un intercambio de filas, entonces

ρ ( A) = ρ ( B ) (Verdadero)

Por definición, la matriz A es equivalente por renglones a la matriz B si A puede reducirse a B mediante operaciones elementales de renglón En este caso la matriz B se obtiene por un simple intercambio de las filas (renglones) de A , entonces R A = RB dado que los renglones de A y B son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente También hay que recordar que dim(Im( A)) = ρ ( A) = dim(C A ) = dim( R A ) ∴ ρ ( A) = ρ ( B ) b) Si A ∈ M 3 x 5 es una matriz cualquiera, entonces v ( A) ≥ 3

(Falso)

a    1 0 0 − 1 − 1 b   Sea A =  0 1 0 0 0  ∈ M 3 x 5 . Sea X =  c  ∈ Nu ( A)   0 0 1 0 0  d      e

AX = O R 3

a    1 0 0 − 1 − 1 b   0      → 0 1 0 0 0  c  =  0    0 0 1 0  d   0  0       e  

→

1 0 0 −1 −1 0    0 1 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0  

De donde obtenemos: a−d −e = 0 a = d +e

b=0

c=0

 a   d + e 1 1         b  0   0  0  c  =  0  = d  0  + e 0          d   d  1 0         e  e   0  1

B Nu ( A)

 1   1       0   0  =  0 ,  0      1   0       0   1 

∴ v( A) = 2

c) Sea V un espacio vectorial. Sea A, B ⊆ V , entonces gen( A ∩ B ) = gen( A) ∩ gen( B )

(Falso)

 1   0   0   0   0             Sea V = R 3 . Sea A =  0 ,  1 ,  0  y B =  1 ,  0  ∈ V  0   0   1   0   2           

•

 0    A ∩ B =  1   0   

 a      3 → gen( A ∩ B ) =  b  ∈ R / a = c = 0  c     

•

 a    a         3 3 gen( A) =  b  ∈ R / a, b, c ∈ R  y gen( B ) =  b  ∈ R / a = 0  c    c        

•

 a      3 gen( A) ∩ gen( B ) =  b  ∈ R / a = 0 ∧ b, c ∈ R   c     

∴ gen( A ∩ B ) ≠ gen( A) ∩ gen( B )

d) Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si w ∉ W y α ∈ R , entonces αw ∉ W

 a   b 



Sea V = R 2 . Sea W =   ∈ R 2 / a = 0 un subespacio de V . Sea α = 0 

1

Sea w =   , este vector no pertenece a W por no cumplir la condición de que a = 0  0 1

0

αw = (0 )  =   0 0

Por hipótesis sabemos que W es un subespacio y por tanto contiene al nulo de V y αw = OV ∴ αw ∈ W e) Si L : R → R es una transformación lineal, entonces [L(v ) ] = L(v 2 ) 2

Sea L(a) = 2a una transformación lineal Sea a = 2

[L(2)]2 = L(2 2 ) (4)2 = L(4) 16 ≠ 8 ∴ [L(v)] ≠ L(v 2 ) 2

(Falso)

(Falso)

 x 



Tema 2: (10 puntos) Sea V =   / x > 0 ∧ y > 0 con las operaciones:  y  

 x1   x 2   9 x1 ⋅ x 2    ⊕   =    y1   y 2   4 y1 ⋅ y 2   x   3 2α x α  α •   =  2α α   y 2 y  Si (V ,⊕,• ) es un espacio vectorial, determine: a) El neutro o cero vectorial de V b) Si v ∈ V , el inverso aditivo de v

Este ejercicio se presenta bastante confuso, debido a que la manera en que es planteado da a entender que primero hay que determinar si V es un espacio vectorial. Pero no vamos a analizar la validez del ejercicio planteado, sino que vamos a resolver lo que nos piden en cada literal. a) • Usando el teorema ∀v ∈ V 0 • v = OV  x OV = 0 •    y  3 2 (0) x 0  OV =  2 ( 0) 0  2 y   1 OV =    1

• Usando el axioma ∃OV ∈ V ∀v ∈ V v + OV = v a

 x

Sea v =   ∈ V . Sea OV =   b  y a  x a   ⊕   =   b  y b  9ax   a    =    4by   b 

9ax = a

4by = b

x= 1

y=1

9

4

1  OV =  9  1   4

El nulo pertenece a V porque sus componentes son mayores que 0 Hay que notar que usando las dos formas de resolución no nos queda el mismo nulo, pero esto se debe al mal planteamiento del problema. Utilizando ambas alternativas siempre debe quedar la misma respuesta

b) • Usando el teorema ∀v ∈ V − 1 • v = v'  x v' = −1 •    y  3 2( −1) x −1  v' =  2( −1) −1  y  2 1    v ' =  19 x   4y  

• Usando el axioma ∀v ∈ V ∃v'∈ V v + v' = OV La pregunta aquí es con cuál nulo trabajamos. Para este caso debemos usar el obtenido al usar el axioma porque estamos calculando el inverso de la misma manera que ese neutro  x

a

Sea v =   ∈ V . Sea v' =    y b  x   a   1 9    ⊕   =  y   b   1 4   9 xa   1 9    =  4 yb   1 4 

9 xa = 1 a= 1

9

81x

4 yb = 1

4

b= 1 16 y

  v' =   

 81x   1 16 y 

1

Ambos inversos pertenecen a V por ser sus componentes mayores que 0 Con el mismo argumento mencionado al calcular el OV sabemos que nos debió quedar la misma respuesta. También se puede notar que V no es un espacio vectorial por no cumplirse el siguiente axioma: M10) ∀v ∈ V 1 • v = v  x

Sea v =   ∈ V  y  x  x 1 •   =    y  y  3 2(1) x1   x   2(1) 1  =   2 y     y  9x   x    ≠   4y  y

Tema 3: (20 puntos) Sea V = M 3 x 2 . Sean W1 el conjunto de las matrices que tienen la primera y última fila iguales; W2 el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a su segunda columna; y W3 el conjunto de las matrices A3 x 2 tal que a i 2 = i − 1 , i = 1,2,3. Determine. a) Los conjuntos que son subespacios de V b) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anterior c) La suma entre los subespacios encontrados en el primer literal d) Una base para el subespacio intersección y otra para el subespacio suma, obtenidos en (b) y (c), respectivamente.

Para hallar W1 hay que tener en cuenta que su primera y última fila son iguales, por tanto las componentes en dichas filas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:  a  W1 =  c  e 

b  d  ∈ M 3x2 / a = e ∧ b = f 

  f  

Ahora procedemos a determinar si W1 es un subespacio de V 1) ∀v, w ∈ W1 v + w ∈ W1  a1  Sea v =  c1 e  1

b1   a2   d1  y w =  c2 e f1   2

b2   d 2  ∈ W1 f 2 

Como ambos vectores pertenecen a W1 cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que: a1 = e1

b1 = f1  a1 + a 2  v + w =  c1 + c 2 e +e  1 2

a 2 = e2

b2 = f 2

b1 + b2   d1 + d 2  f 1 + f 2 

Ahora hay que ver si la suma de ambos cumple la condición a1 + a 2 = e1 + e2

b1 + b2 = f1 + f 2

e1 + e2 = e1 + e2

f1 + f 2 = f1 + f 2

0=0

0=0

Por tanto v + w ∈ W1 2) ∀α ∈ R ∀v ∈ W1 αv ∈ W1 a  Sean α ∈ R . Sea v =  c e 

b  d  ∈ W1 f 

Sabemos que a = e y b = f entonces a − e = 0 y b − f = 0

 αa αb    αv =  αc αd   αe αf   

αa − αe = 0 α ( a − e) = 0 α ( 0) = 0

αb − αf = 0 α (b − f ) = 0 α ( 0) = 0

0=0

0=0

Por tanto αv ∈ W1 ∴W1 es un subespacio de V

El mismo procedimiento vamos a realizar con W2 pero aquí hay que notar que ambas columnas son iguales, por tanto las componentes en dichas columnas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:  a  W2 =  c  e 

b  d  ∈ M 3x2 / a = b ∧ c = d ∧ e = f 

  f  

Ahora procedemos a determinar si W2 es un subespacio de V 1) ∀v, w ∈ W2 v + w ∈ W2  a1  Sea v =  c1 e  1

b1   a2   d1  y w =  c2 e f1   2

b2   d 2  ∈ W2 f 2 

Como ambos vectores pertenecen a W2 cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que: a1 = b1

c1 = d1

e1 = f 1

a 2 = b2

c2 = d 2

e2 = f 2

a1 − b1 = 0

c1 − d 1 = 0

e1 − f 1 = 0

a 2 − b2 = 0

c2 − d 2 = 0

e2 − f 2 = 0

 a1 + a 2  v + w =  c1 + c 2 e +e  1 2

b1 + b2   d1 + d 2  f 1 + f 2 

(a1 + a 2 ) − (b1 + b2 ) = 0

(c1 + c 2 ) − (d1 + d 2 ) = 0

(e1 + e2 ) − ( f 1 + f 2 ) = 0

(a1 − b1 ) + (a 2 − b2 ) = 0

(c1 − d 1 ) + (c 2 − d 2 ) = 0

(e1 − f1 ) + (e2 − f 2 ) = 0

0+0 = 0

0+0 = 0

0+0 = 0

0=0

0=0

0=0

Por tanto v + w ∈ W2 2) ∀α ∈ R ∀v ∈ W2 αv ∈ W2 a  Sean α ∈ R . Sea v =  c e 

b  d  ∈ W2 f 

 αa αb    αv =  αc αd   αe αf   

αa − αb = 0 α ( a − b) = 0 α ( 0) = 0

αc − αd = 0 α (c − d ) = 0 α ( 0) = 0

αe − αf = 0 α (e − f ) = 0 α ( 0) = 0

0=0

0=0

0=0

Por tanto αv ∈ W2 ∴W2 es un subespacio de V

Finalmente nos falta encontrar W3 y determinar si este es un subespacio, y para ello hay que utilizar la regla de correspondencia para determinar el valor de las componentes en la segunda columna, la cual es ai 2 = i − 1 a12 = 1 − 1

a 22 = 2 − 1

a 32 = 3 − 1

a12 = 0

a 22 = 1

a 32 = 2

 a 0      W3 =  b 1  ∈ M 3 x 2 / a, b, c ∈ R   c 2     

Para determinar si W3 es un subespacio hay que recordar que todo subespacio debe contener a vector nulo  0 0   del espacio vectorial, pero en este caso el nulo que es  0 0  no pertenece a W3 por no cumplir con la  0 0   forma de todo vector de W3 , la cual consiste en que su segunda columna siempre tendrá 0 , 1 y 2 ,

respectivamente ∴W3 no es un subespacio de V

Procederemos a encontrar la intersección entre los subespacios hallados y una base para la misma. Sabemos que:

•

•

 a  W1 =  c  e 

 b   d  ∈ M 3 x 2 / a − e = 0 ∧ b − f = 0  f    a b      W2 =  c d  ∈ M 3 x 2 / a − b = 0 ∧ c − d = 0 ∧ e − f = 0  e f     

Por tanto:  a  W1 ∩ W2 =  c  e 

 b   d  ∈ M 3 x 2 / a − e = b − f = a − b = c − d = e − f = 0  f  

Pero no es correcto dejar expresada la intersección en función de muchas condiciones. A estas hay que simplificarlas usando Gauss, así: a − e = 0 b − f = 0  a − b = 0 c − d = 0  e − f = 0

1 0  0 1 1 −1  0 0  0 0 1  0 0  0  0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

0 1 0   −1 0 0 1  0 0 A13 (−1) 0 − 1   0 0 0 0   −1 0 0 0 0

1 −1

0

0

0

1

0 0

0

−1

1 0

0

0

0 0

0

1

0 1   −1 0 0  − 1 0 A35 (−1) 0   0 0 0   −1 0 0

0 1 −1

0

0 0

1

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

1

1 −1

0

0

1

0

0 0

0

−1

1 0

0

0

0 0

0

1

0 1 −1

0

0 0

0

0

0  −1 0 0 0  A23 (1)  0 0  −1 0 0

0  −1 0 −1 0  0 0  0 0 0

Como ya no podemos seguir obteniendo más filas llenas de ceros, entonces la intersección sólo quedará en función de estas condiciones:  a  ∴W1 ∩ W2 =  c  e 

 b   d  ∈ M 3 x 2 / a − e = b − f = e − f = c − d = 0  f  

Para obtener una base para la intersección debemos reemplazar las condiciones en el vector típico de la misma, pero antes hay que hacer unos cuantos despejes para dejar al vector en función de la menor cantidad posible de variables a−e = 0 a=e

a  Sea  c e 

e− f =0 f =e

b− f =0 b= f b=e

c−d =0 c=d

b  d  ∈ W1 ∩ W2 f  a  c e 

∴ BW1 ∩W2

b e   d  = d f   e

e  1 1  0 0      d  = e 0 0  + d  1 1   0 0 e   1 1   

 1 1   0 0     =  0 0 ,  1 1   1 1   0 0    

dim W1 ∩W2 = 2

Finalmente hallaremos las condiciones del subespacio suma y una base para el mismo, pero antes necesitamos las bases de los subespacios W1 y W2

Para W1 a  Sea  c e 

b  d  ∈ W1 f  a  c e 

b  a b  1 0 0 1  0 0  0 0            d  =  c d  = a 0 0  + b 0 0  + c 1 0  + d  0 1  1 0 0 1  0 0  0 0 f   a b         

BW1

 1 0   0 1   0 0   0 0       =  0 0 ,  0 0 ,  1 0 ,  0 1   1 0   0 1   0 0   0 0      

dim W1 = 4

Para W2 a  Sea  c e 

b  d  ∈ W2 f  a  c e 

b  a a 1 1  0 0  0 0          d  =  c c  = a 0 0  + c 1 1  + e 0 0  0 0  0 0 1 1 f   e e       

BW2

 1 1   0 0   0 0      =  0 0 ,  1 1 ,  0 0   0 0   0 0   1 1     

dim W2 = 3

Una vez obtenidas las bases, podemos calcular cuál va a ser la dimensión de W1 + W2 para saber cuántos vectores deberán estar en su base. Sabemos que: dim(W1 + W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 ∩ W2 )

dim(W1 + W2 ) = 4 + 3 − 2 dim(W1 + W2 ) = 5

Por tanto habrá 5 vectores en la base

{

W1 + W2 = gen BW1 ∪ BW2

}

 1 0   0 1   0 0   0 0   1 1   0 0   0 0          W1 + W2 = gen 0 0 ,  0 0 ,  1 0 ,  0 1 ,  0 0 ,  1 1 ,  0 0   1 0   0 1   0 0   0 0   0 0   0 0   1 1         

Pero el conjunto generador tiene 7 vectores, eso significa que hay dos vectores de más, los cuales eliminaremos colocando los vectores de este conjunto en una matriz donde cada fila representa un vector y luego simplificamos hasta obtener la mayor cantidad posible de filas llenas de ceros

1  0 0  0  1 0  0

0 0 0 1 0 1   1 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 A15 (−1)  0   0 0 1 0 0  A36 (−1)  0   1 0 0 0 0  A46 (−1)  0 0 0 1 1 0 0   0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1   0 1 0  0 0 0  A25 (−1)  0 0 0  A75 (1)  −1 0 0 0 0 0   1 1 0 1

0 0 0 1 0  1 0 0 0 1 0 1 0 0 0  0 0 1 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 1 1

Lo que significa que los vectores 5 y 6 dependen de los otros

∴ BW1 +W2

 1 0   0 1   0 0   0 0   0 0        =  0 0 ,  0 0 ,  1 0 ,  0 1 ,  0 0   1 0   0 1   0 0   0 0   1 1       

Ahora sólo falta hallar las condiciones del subespacio suma y para ello escribimos al vector típico como combinación lineal de los vectores de la base y simplificamos el sistema hasta obtener las condiciones, así: a  Sea  c e 

b  d  ∈ W1 + W2 f  a  c e 

1  0 0  0  1 0 

α2  b 1 0 0 1 0 0 0 0  0 0   α1              α4  d  = α1  0 0  + α 2  0 0  + α 3  1 0  + α 4  0 1  + α 5  0 0  =  α 3 1 0 0 1 0 0 0 0  1 1  α + α α + α  f  5 2 5            1 a 1   1 0 0 0 b 0 0 1 0 0 c  A15 (−1)  0   0 0 1 0 d  A26 (−1)  0   0 0 0 1 e 0  0 1 0 0 1 f  0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

 a  ∴W1 + W2 =  c  e 

a  1   b  0 0 c   A56 (−1) d  0   e−a 0  0 f − b 

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

 b   d  ∈ M 3 x 2 / f − b + a − e = 0  f  

  b   c  d   e−a  f − b + a − e  a

Tema 4: (10 puntos) Sea V un espacio vectorial y B = {v1 , v 2 , v3 } una base de V . Se define el conjunto:

W = gen{v1 + 2v 2 ,−v1 + 3v 2 − v3 , v1 + 3v3 } a) Determine una base para W , denotada como BW b) Si es factible, calcule la matriz de cambio de base de B a BW

Siempre es recomendable primero leer bien el planteamiento del problema junto con lo que solicitan hallar. Razonando un poco, en el literal “b” nos piden calcular una matriz de cambio de base y para poder hacerlo la base BW debe tener exactamente 3 vectores al igual que la base B de V Si esto sucede significaría que la base de W es también una base para V , por tanto W = V . Así que para que sea factible resolver el literal “b” habrá que demostrar que el conjunto generador de W es una base para V Para ello partimos de la hipótesis que nos dice que los vectores {v1 , v 2 , v3 } son linealmente independientes por ser una base para V , esto implicaría que: α 1v1 + α 2 v 2 + α 3 v3 = OV ⇔ α 1 = α 2 = α 3 = 0

Lo cual se cumple por ser linealmente independientes Para demostrar que los vectores del conjunto generador de W son linealmente independientes los escribimos como combinación lineal y los igualamos al OV c1 (v1 + 2v 2 ) + c 2 (− v1 + 3v 2 − v3 ) + c3 (v1 + 3v3 ) = OV

(c1 − c2 + c3 )v1 + (2c1 + 3c2 )v2 + (− c 2 + 3c3 )v3 = OV Con lo que hemos obtenido una ecuación parecida a la primera expresada en términos de {v1 , v 2 , v3 }, y por hipótesis los escalares que los multiplican deben ser iguales a cero, con lo que planteamos un sistema de ecuaciones y procedemos a calcular los valores de los escales ci c1 − c 2 + c3 = 0   2c1 + 3c 2 = 0  − c + 3c = 0 3  2

1 −1 1 0 1 −1 1 0 1 −1 1 0       A21 (1)  2 3 0 0  A12 (−2) 0 5 − 2 0  A32 (4) 0 1 10 0   0 −1 3 0 0 −1 3 0  0 − 1 3 0  A22 (1)      

 1 0 11 0   1 0 11 0  1 0 0 0    1   A31 (−11)    0 1 10 0  M 3   0 1 10 0   0 1 0 0  0 0 13 0   13  0 0 1 0  A32 (−10)  0 0 1 0       

c1 = c 2 = c3 = 0

Si nos hubiese quedado al resolver el sistema una o más filas con ceros, el sistema tenía infinita soluciones y en ese caso los vectores del conjunto generador de W serían linealmente dependientes ∴ BW = {v1 + 2v 2 ;−v1 + 3v 2 − v3 ; v1 + 3v3 }

Para hallar la matriz que nos piden vamos a suponer que BW = {u1 , u 2 , u 3 } tal que: u1 = v1 + 2v 2

u 2 = −v1 + 3v 2 − v3

u 3 = v1 + 3v3

También recordamos que: C BW → B

[u1 ]B

1   =  2 0  

 ↑  =  [u1 ]B  ↓ 

[u 2 ]B

[u 2 ]B

 − 1   = 3   − 1  

C BW → B

↑ ↓

↑   [u 2 ]B  ↓ 

[u3 ]B

1   = 0  3  

1 −1 1   =  2 3 0  0 −1 3  

Y para hallar la matriz de cambio que nos piden habrá que sacar la inversa de la matriz arriba encontrada 1 0 0 1 0 0  1 −1 1 1 0 0 1 −1 1 1 −1 1       A21 (1)  2 3 0 0 1 0  A12 (−2) 0 5 − 2 − 2 1 0  A32 (4) 0 1 10 − 2 1 4   0 −1 3 0 0 1 0 −1 3  0 − 1 3 0 0 1  A23 (1) 0 0 1      

  1 0 11 − 1 1 4   1 0 11 − 1    1   0 1 10 − 2 1 4  M 3   0 1 10 − 2  0 0 13 − 2 1 5   13  0 0 1 − 2   13 

∴ C B → BW

 1 0 0  1 4  A31 (−11)   1 4 0 1 0 1 5  A32 (−10)    13 13  0 0 1 

−3  2  9  13 13 13    − 6 3 2 = 13   13 13 5  1 − 2 13   13 13

9 13 −6 13 −2 13

2 13 3 13 1 13

− 3  13  2  13  5   13 

Tema 5: (10 puntos) Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:

2x + y − z = a x − y + 2z = b x + 2 y − 3z = c a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A

a   b) Si c = 2a + b , determine si el vector u =  b  pertenece a Im(A) c  

La matriz A está dada por los coeficientes del sistema de ecuaciones, estos coeficientes corresponden a número que se encuentra delante de cada variable x , y y z , por tanto:  2 1 − 1   A = 1 −1 2   1 2 − 3  

a)  2   1   1      • FA = gen 1 ,  − 1,  2   − 1  2   − 3        a   Sea  b  ∈ FA c  

a 2 1  1   2α 1 + α 2 + α 3             b  = α 1  1  + α 2  − 1 + α 3  2  =  α 1 − α 2 + 2α 3  c  − 1 2  − 3   − α + 2α − 3α  2 3          1

→

 2α 1 + α 2 + α 3 = a   α 1 − α 2 + 2α 3 = b − α + 2α − 3α = c 2 3  1

1 a 2 1  0 5 − 5 a + 2c   0 0 0 a − 5b − 3c    A31 (2)     b+c   1 −1 2 b  0 1 − 1 b + c  A21 (−5) 0 1 − 1  − 1 2 − 3 c  A32 (1)  − 1 2 − 3 −1 2 − 3  c  c       a      3 ∴ FA =  b  ∈ R / a − 5b − 3c = 0  c     

• Nu ( A) = {X ∈ R 3 / AX = OR

3

}

a   Sea X =  b  ∈ Nu ( A) c  

Ramiro J. Saltos

0 0  2 1 −1 0  0 − 3 5 0 0 0   A31 (−2)      1 −1 2 0  0 − 3 5 0  A21 (−1) 0 − 3 5 0   1 2 − 3 0  A32 (−1)  1 2 − 3 0  1 2 − 3 0       − 3b + 5c = 0

a + 2b − 3c = 0

 a      3 ∴ Nu ( A) =  b  ∈ R / a + 2b − 3c = 0 ∧ 3b = 5c   c     

• Re( A) = {Y ∈ R3 / AX = Y ; X ∈ R 3 } a   Sea Y =  b  ∈ Re( A) c   0 a − b − c 2 1 −1 a  0 − 3 5 a − 2c  0 0   A31 (−2)     b − c  A21 (−1) 0 − 3 5 b−c  1 −1 2 b  0 − 3 5  1 2 − 3 c  A32 (−1)  1 2 − 3 1 2 − 3  c  c      a−b−c = 0

 a      3 ∴ Re( A) =  b  ∈ R / a − b − c = 0  c     

b) Para que el vector u pertenezca a la imagen de A debe cumplir con la condición de la misma, cabe recalcar que la imagen de una matriz es también conocida como el recorrido de una matriz a   Sea u =  b  , donde c = 2a + b c   a−b−c = 0 a − b − ( 2a + b) = 0 a − b − 2a − b = 0

− a − 2b = 0

Pero hay que tener en cuenta que − a − 2b no necesariamente tiene que ser igual a 0 ∴ u ∉ Im( A)

Ramiro J. Saltos

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Instituto de Ciencias Matemáticas I-Término 2008

Resolución de la Primera Evaluación de Algebra Lineal (B) 1. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta a) Sea un espacio vectorial (V ,⊕,• ) . Si u ⊕ v = w ⊕ v ⇒ u = w

Sumamos el inverso aditivo de v en ambos lados de la ecuación

(u ⊕ v ) ⊕ v' = (w ⊕ v ) ⊕ v' u ⊕ (v ⊕ v') = w ⊕ (v ⊕ v') u ⊕ OV = w ⊕ OV u=w

∴Verdadero b) Sea (V ,⊕,• ) un espacio vectorial. Si S1 = {v1 , v 2 ,..., v k } ⊆ V y S 2 = {w1 , w2 ,..., wr } ⊆ V son conjuntos linealmente independientes, entonces S1 ∪ S 2 es también linealmente independiente

 1   0 

1  1 

Sea V = R 2 . Sean S1  ,   y S 2  ,   dos conjuntos linealmente independientes en R 2  0   1  1  0   1   0  1 S1 ∪ S 2 =  ,  ,   , como tiene más elemento que la base de R 2 podemos concluir que este conjunto  0   1  1

es linealmente dependiente ∴ Falso c) Si A ∈ M mxn , entonces dim( N A ) = dim(R A ) , donde N A es el núcleo de la matriz A

1 2

 Sea la matriz A =  3 4

 1   3  R A = gen ,   , pero este conjunto es linealmente independiente en R 2 y por tanto constituye una  2   4  base del espacio renglón de A , entonces dim(R A ) = 2 = dim(Im( A) ) = ρ ( A)

Del teorema de la dimensión para matrices: v( A) + ρ ( A) = n v( A) + 2 = 2 v( A) = dim( N A ) = 0

⇒ dim( N A ) ≠ dim(R A )

∴ Falso

Ramiro J. Saltos

d) Sean H y W dos subespacios vectoriales de V con bases B1 = {v1 , v 2 } y B2 = {v 2 , v3 } respectivamente. Entonces B = {v 2 } es base del subespacio H ∩ W

 1   0 

 2   0 

Sea V = R 2 . Sean los subespacios H = gen ,   y W = gen ,    0   1   0   1  Podemos notar que los conjuntos generadores de H y W son linealmente independientes y por tanto constituyen una base de R 2 , es decir, H = W = R 2  1   0 

Entonces H ∩ W = R 2 y una base de la intersección sería B =  ,    0   1 

∴ Falso

Ramiro J. Saltos

2. Sea V = M 2 x 2 . Dados los conjuntos:

 a b    ∈ M 2 x 2 / 2a + 1 = 3 + b + d − 2 H 1 =   c d    1 0   1 1  ,   H 3 = gen 0 − 1 0 0     

 a + b H 2 =   a + d

 a + c  / a, b, c, d ∈ R  1  

H 4 = {A ∈ M 2 x 2 / det ( A) ≠ 0}

a) ¿Cuáles son subespacios vectoriales de V ? b) Determine una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en (a ) , así como de su intersección

 2 1 3 1   y B =   . Determine si A + B pertenece a la unión de los  2 1  0 − 2 subespacios hallados en (a )

c) Sean A = 

 0 0

 Sea OV =   0 0

El elemento neutro del espacio vectorial por definición pertenece a cualquier subespacio de V , entonces: OV ∉ H 2 porque no posee la forma de todo elemento de H 2 , es decir, en su cuarta componente debe estar siempre presente la constante 1 , lo cual no ocurre con el vector nulo

∴ H 2 no es subespacio de V OV ∉ H 4 porque su determinante es igual a 0 y con ello no cumple la condición del conjunto H 4

∴ H 4 no es subespacio de V 1 0  1 1  y   y por H 3 es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores   0 − 1  0 0 teorema este conjunto es un subespacio de V y además es el menor de todos los subespacios que contienen a

los vectores ya mencionados ∴ H 3 es un subespacio de V

Se han analizado los conjuntos más sencillos, con el último hay que determinar si se cumplen los axiomas de cerradura de la suma y multiplicación por escalar 1. ∀v, w ∈ H 1 v + w ∈ H 1 a

b 

a

b 

Sean v =  1 1  y w =  2 2  ∈ H 1 ⇒ 2a1 = b1 + d1 ∧ 2a 2 = b2 + d 2  c1 d1   c2 d 2   a b   a b2   v + w =  1 1  +  2  c1 d 1   c 2 d 2   a1 + a 2 b1 + b2   v + w =   c1 + c 2 d 1 + d 2 

⇒ 2(a1 + a 2 ) = (b1 + b2 ) + (d1 + d 2 )

2a1 + 2a 2 = (b1 + d1 ) + (b2 + d 2 ) 2a1 + 2a 2 = 2a1 + 2a 2

0=0

Ramiro J. Saltos

→ La suma es cerrada en H 1

2. ∀α ∈ R ∀v ∈ H 1 α • v ∈ H 1 a

b

 ∈ H 1 ⇒ 2a = b + d Sea α ∈ R . Sea v =  c d 

a b   c d    αa α b   α • v =   αc αd 

2(αa ) = αb + αd α (2a) = α (b + d )

α • v = α • 

⇒

2a = b + d

→ La multiplicación por escalar es cerrada en H 1

2a = 2a

∴ H 1 es un subespacio de V a b   ∈ H 1 c d 

Sea 

 a b   a 2a − d  1 2 0 0  0 − 1   =   = a  + c  + d   d  c d  c 0 0 1 0 0 1 

 1 2   0 0   0 − 1 ,  ,   ∴ BH 1 =  0 0 1 0 0 1    

dim(H 1 ) = 3

El conjunto generador de H 3 es linealmente independiente y por tanto constituye una base para H 3  1 0   1 1  ,   ∴ BH 3 =  0 − 1 0 0   

dim(H 3 ) = 2

a b   ∈ H 1 ∩ H 3 c d 

Sea 

a b  1 0   1 1  α 1 + α 2 α 2    = α 1   + α 2   =   − α 1  c d   0 − 1  0 0  0 a b  1 2  0 0  0 − 1  β 1 2β 1 − β 3     = β1   + β 2   + β 3   =  β β c d 0 0 1 0 0 1          2 3 

α 1 + α 2   0

α 2   β1 = − α 1   β 2

2β1 − β 3   β 3 

 α 1 + α 2 = β1 α = 2 β − β  1 3 → 2  0 = β2  − α 1 = β 3

Ramiro J. Saltos

1  0 0  −1 

β1  1 0   1 2β1 − β 3  0 A41 (1)  β2 0 0     0 β3  −1

1 β1 + β 3  0   1 2β1 − β 3  0 A21 (−1)  β2 0 0     0 β3  −1

0 − β1 + 2β 3   1 2β1 − β 3   β2 0   0 β3 

β2 = 0

− β1 + 2 β 3 = 0

β1 = 2 β 3

 a b   β1 2β1 − β 3     =  β 3   c d  β2  a b   2 β 3 2(2 β 3 ) − β 3     =  β3 c d   0   a b   2 β 3 3β 3   2 3  = β 3    =   β3  c d   0  0 1

 2 3   dim(H 1 ∩ H 3 ) = 1 ∴ BH 1∩ H 3 =  0 1    5 2   A + B =   2 − 1

Para que esta matriz pertenezca a la unión de ambos subespacios, debe pertenecer ya sea a H 1 o a H 3 . Si pertenece a H 1 debe cumplir su condición 2a = b + d 2(5) = 2 − 1

→ A + B ∉ H1

10 = 1

Finalmente hay que determinar si pertenece a H 3 y para ello debe ser una combinación lineal de los vectores de su base 5 2  1 0  1 1   = c1   + c 2    2 − 1  0 − 1  0 0  5 2   c1 + c 2 c 2     =  − c1   2 − 1  0

Si nos damos cuenta nos queda la igualdad 2 = 0 la cual es falsa → A + B ∉ H 3 ∴ A + B ∉ H1 ∪ H 3

Ramiro J. Saltos

{

}

{

}

3. Sea V = P2 y B1 = x 2 + 1, x 2 − x, x − 3 y B2 = x 2 − 2 x + 2, x − 3, x 2 − 1 bases de P2 . Determine: a) La matriz de cambio de base de B2 a B1 b) El núcleo y la imagen de la matriz obtenida en (a )

Sea ax 2 + bx + c ∈ P2

(

)

(

)

ax 2 + bx + c = α 1 x 2 + 1 + α 2 x 2 − x + α 1 ( x − 3) ax + bx + c = (α 1 + α 2 )x + (− α 2 + α 3 )x + (α 1 − 3α 3 ) 2

 α1 + α 2 = a  − α 2 + α 3 = b  α − 3α = c 3  1

2

0 a 0 a  0 a 1 1 1 1 1 1        b  A23 (−1) 0 − 1 1 b  0 − 1 1 b  A13 (−1) 0 − 1 1  1 0 − 3 c  0 −1 − 3 c − a 0 0 − 4 c − a − b       − 4α 3 = c − a − b

α3 =

a+b−c 4

α2 =

[

a − 3b − c 4

⇒ ax + bx + c

[x

2

]

− 2 x + 2 B1

α1 + α 2 = a

− α 2 + α3 = b

2

 −1 4    =  54   −3   4

]

B1

3a + 3b + c 4

 3a + 3b + c   1 =  a − 3b − c  4   a+b−c 

[x − 3]B1

∴ C B 2→ B1

α1 =

0   = 0 1  

 −1 4 0  =  54 0  −3 1  4

[x

2

]

− 1 B1

 12    =  12  1   2

  2 1  2 1

2

1

Como C es una matriz de cambio de base, su determinante siempre será diferente de cero, esto implica que sus columnas son linealmente independientes en R 3 y constituyen además de una base del espacio C C = Im(C ) también una base para R 3 ∴ Im(C ) = R 3

Para el núcleo utilizamos el teorema de la dimensión: v(C ) + ρ (C ) = n v(C ) + 3 = 3 v(C ) = 0

Como la nulidad es cero, entonces el único elemento presente en el núcleo de C es el OR

3

Ramiro J. Saltos

 0    ∴ Nu (C ) =  0   0     x     + 4. Sea el espacio vectorial V =  y  / x, y ∈ R, z ∈ R  junto con las operaciones:  z     

 x1   x 2   x1 + x 2 + 2         y1  ⊕  y 2  =  y1 + y 2  z  z   z z  1 2  1  2    x   αx + 2α − 2      α • y =  αy  α z   z     Determine: a) El neutro de V y el opuesto de v ∈ V

0   b) Si  0  es combinación lineal de 0  

1  2       − 1 y  − 2  2  4     

1. ∀v ∈ V 0 • v = OV  x   0 x + 2(0) − 2   − 2        OV = 0 •  y  =  0y = 0  0 z    1  z      

 − 2   ∴ OV =  0   1   

2. ∀v ∈ V − 1 • v = v'  x   (−1) x + 2(−1) − 2   − 4 − x        v' = −1 •  y  =  (−1) y = −y  z    1  z −1 z      

− 4 − x   ∴ v' =  − y   1  z  

0   3.  0  no es una combinación lineal de los vectores mencionados porque este no pertenece al espacio 0  

vectorial V

Ramiro J. Saltos

Instituto de Ciencias Matemáticas Algebra Lineal: Solución de la Segunda Evaluación 1. (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas a las siguientes proposiciones. Justifique formalmente sus repuestas. a) Una transformación lineal cuyo núcleo es {OV } , es invertible

 a    a   Sea T : R 2 → R 3 una transformación lineal definida por T   =  b  b  a + b   0 Si obtenemos su núcleo fácilmente nos damos cuenta que es   pero como la dim V ≠ dim W , T no es 0

invertible. También es válido decir que el hecho que la transformación lineal sea inyectiva no necesariamente debe ser sobreyectiva ∴ Falso  rSen(t ) Cos (t )   es ortogonal  Cos (t ) − rSen(t ) 

b) ∀r , t ∈ R : A = 

Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a 0 y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a 1 . Entonces, utilizando el producto interno canónico:   rSen(t )   Cos (t )       Cos (t )   − rSen(t )   = 0     rSen(t )Cos (t ) − rSen(t )Cos (t ) = 0 0=0

  rSen(t )   rSen(t )       Cos (t )   Cos (t )   = 1       2 2 2 r Sen (t ) + Cos (t ) = 1

Sen 2 (t ) = 0

r 2 −1 = 0

Sen(t ) = 0

r 2 Sen 2 (t ) + 1 − Sen 2 (t ) = 1

t = 0 ∧ t = 2π

r2 =1 r = ±1

[

]

Sen 2 (t ) r 2 − 1 = 0

Ramiro J. Saltos

Por lo tanto la igualdad sólo se cumple para los valores de r y t encontrados y no para todos los reales. Se igual procedimiento para la segunda columna ∴ Falso

Ramiro J. Saltos

c) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean u , v ∈ V dos vectores ortonormales. Si los vectores αu + β v y αu − βv son ortogonales, entonces α = β

(αu + β v / αu − βv) = 0 (αu / αu ) + (αu / − βv) + ( β v / αu ) + ( β v / − β v) = 0

α 2 (u / u ) − αβ (u / v) + αβ (u / v) − β 2 (v / v) = 0

Pero como los vectores u y v son ortonormales, sabemos que: (u / u ) = (v / v) = 1 α 2 (u / u ) − β 2 (v / v) = 0 α2 −β2 = 0 α2 = β2 α =β ∴Verdadero 1 0   , entonces A + A −1  0 − 1

(

d) Si λ es un valor propio de A = 

)

λ

= 2λ A

Primero tenemos que darnos cuenta la matriz A es ortogonal, eso se ve fácilmente porque el producto interno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma es uno, entonces: A −1 = AT → A −1 = A

También como A es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, es decir: λ =1 λ = −1

Finalmente:

(A + A )

−1 λ

(A + A )

−1 λ

= 2λ A

( A + A)1 = 21 A 2A = 2A

= 2λ A

( A + A)−1 = 2 −1 A (2 A) −1 =

1 A 2

(2) −1 ( A) −1 =

1 A 2

1 1 A= A 2 2

∴Verdadero

Ramiro J. Saltos

Ramiro J. Saltos

2. (15 puntos) Sea L : M 2 x 2 → R 2 una transformación lineal tal que:

0 1 1 0  = L  = L 1 0 0 1

 1 0   1 1 0 0  =   y L  =   L  1 0   1  0 0 0

Determine: a) Nu ( L), Im(L) b) La matriz asociada a L respecto a las bases canónicas de cada espacio

La mejor opción es encontrar la regla de correspondencia de L , y para ello necesitamos una base del espacio de partida y para armarla usamos los cuatro vectores que nos dan de datos, así:  0 1   1 0  1 0   1 0  ,  ,  ,   B =   1 0   0 1  1 0   0 0 

Y al vector típico de M 2 x 2 lo escribimos como combinación lineal de los vectores de esta base, luego planteamos el sistema de ecuaciones y obtenemos los escalares en términos de a, b, c, d a b  0 1 1 0 1 0   1 0   = α 1   + α 2   + α 3   + α 4   c d  1 0 0 1 1 0   0 0  a b   α 2 + α 3 + α 4 α1     =  α 2   c d   α1 + α 3

a = α 2 + α 3 + α 4  b = α1    c = α1 + α 3  d = α2

c = b + α3

a = d + c − b +α4

α3 = c − b

α4 = a + b − c − d

Finalmente reemplazamos los datos en la combinación lineal inicial: a b  0 1 1 0 1 0  1 0  = α 1T   + α 2T   + α 3T   + α 4T   T  c d  1 0 0 1 1 0   0 0 a b   1  1  1 0  = (b)  + (d )  + (c − b)  + (a + b − c − d )  T  c d   1  1  1 0 a b  c + d   =   T  c d  c + d 

Calculando el núcleo tenemos: c + d = 0  c + d = 0

1 1 0   1 1 0  c+d =0   →   → c = −d 1 1 0   0 0 0 

 a b    ∈ M 2 x 2 / c + d = 0 ∴ Nu ( L) =   c d  

Ramiro J. Saltos

Y la imagen: c + d = x  c + d = y

1 1 x   1 1   →  1 1 y   0 0

y−x=0 x   → x=y y − x

 x  ∴ Im(L) =   ∈ R 2 / x =  y 

 y 

Para obtener la matriz asociada a la base canónica, sabemos que:  1 0   0 1   0 0   0 0  ,  ,  ,   BC M 2 x 2 =  0 0 0 0 1 0 0 1          1 0 0  =   T  0 0   0

    1 A =  T    0  

 0 1 0  =   T  0 0   0

↑ 0   0  B

CR 2

↓

 0 0   1  =   T  1 0    1

↑   0 1   T    0 0  B

CR 2

↓

 1   0  BCR 2 =  ,    0   1 

↑   0 0   T    1 0  B

CR 2

↓

 0 0   1  =   T  0 1    1

↑   0 0   T    0 1  B

CR 2

↓

      

 0 0 1 1  ∴ A =   0 0 1 1

Ramiro J. Saltos

a 1 1   3. (15 puntos) Sea A =  1 a 1  1 1 a   Determine: a) Los valores propios de A b) Una base para cada espacio propio de A

a − λ  A − λI =  1  1 

[ (a − λ )[(a − λ )

1 a−λ 1

1   1  a − λ 

] − 1] − (a − λ ) + 1 + 1 − (a − λ ) = 0

(a − λ ) (a − λ ) 2 − 1 − 1[(a − λ ) − 1] + 1[1 − (a − λ )] = 0 2

(a − λ ) 3 − 3(a − λ ) + 2 = 0

Ahora realizamos un cambio de variable para visualizar mejor las cosas: x = a−λ x − 3x + 2 = 0 3

Aplicando división sintética: 1 1 0 −3 2 1 1 −2 1 1 −2 0

( x − 1)( x 2 + x − 2) = 0 ( x − 1)( x + 2)( x − 1) = 0

x =1 a −λ =1

x = −2 a − λ = −2

λ = a −1

λ =a+2

Y finalmente hallamos cada espacio propio reemplazando cada λ en la matriz A − λI E λ = a −1

 1 1 1  1 1 1       1 1 1 →  0 0 0   1 1 1  0 0 0     

a − b − c  − 1  − 1      a+b+c = 0     b  =  b  = b 1  + c 0  a = −b − c c  c  0 1        

∴ B Eλ

 − 1  − 1     =  1 ,  0   0   1     

Eλ =a + 2

0  0 0 0  1   0 3 − 3  0 0 − 2 1          1 − 2 1  → 0 − 3 3  → 0 −1 1  → 0 −1 1   1 1 − 2   1 1 − 2   1 1 − 2   1 0 − 1 

−b+c = 0 b=c

a−c = 0 a=c

Ramiro J. Saltos

a c 1        b  =  c  = c1  c  c 1      

∴ B Eλ

1   = 1 1  

Ramiro J. Saltos

 1 0 1   4. (5 puntos) Determine si la matriz A =  0 1 1 es diagonalizable  1 0 1   0 1  1 − λ   A − λI =  0 1− λ 1   1 0 1 − λ  

Calculamos la ecuación característica:

[ ] (1 − λ )[(1 − λ ) − 1] = 0

(1 − λ ) (1 − λ ) 2 − (1 − λ ) = 0 2

(1 − λ ) 2 − 1 = 0 (1 − λ − 1)(1 − λ + 1) = 0 (−λ )(2 − λ ) = 0

λ=0

(1 − λ ) = 0 λ =1

2−λ = 0 λ=2

Debemos recordar el corolario que dice: “Si A ∈ M nxn tiene n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable” Como tenemos tres valores propios distintos, entonces A es diagonalizable

Ramiro J. Saltos

 x      3 5. (15 puntos) Sea V = R3 y W =  y  ∈ R / 3 x − 2 y + 6 z = 0 un subespacio de V  z      Determine: a) El complemento ortogonal de W

 − 3   b) La proyección de v sobre W si se conoce que v =  1   4   

Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W 3x − 2 y + 6 z = 0 2 y = 3x + 6 z

 x   2x   2x         y  =  2 y  =  3x + 6 z  =  z   2z   2z       

 2   0      ⇒ BW =  3 ,  3   0   1     

 2  0     x 3  + z  6   0  2    

a   Sea  b  ∈ W ⊥ c    a   b   c   

 2    3 = 0  0  

 a   b   c   

 0    3 = 0 1  

2a + 3b = 0

3b + c = 0

2a = −3b

c = −3b

∴W

⊥

 a      3 =  b  ∈ R / 2a + 3b = c + 3b = 0  c     

Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre W ⊥ debido a que la base de este subespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo.  a   2a   − 3b   − 3          b  =  2b  =  2b  = b 2   c   2c   − 6b   − 6        

⇒ BW ⊥

 − 3    =  2   − 6   

Ramiro J. Saltos

Ahora procedemos a ortonormalizar esta base: u1 =

1 • v1 v1 v1 =

(v1 / v1 )

 − 3   v1 =   2   − 6  

 − 3    2   − 6  

∴B

* ⊥ W

v1 = 9 + 4 + 36

  − 3   1   =   2   7  − 6    

v1 = 49 = 7

Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores h ∈ W y p ∈W ⊥ , hallaremos p y luego contestaremos la pregunta al encontrar h = v − p p = Pr oyW ⊥ v

p = (v u1 )u1

  − 3  1    p =    1   49     4 

 − 3  − 3      2  •  2   − 6  − 6    

 − 3    1  p =  (9 + 2 − 24 ) •  2   49   − 6    3   13   p =   − 2   49    6 

− 39   − 3   49      26 h = 1 + 49    4   52     49   − 186   49    75 h= 49    248  49    − 186   49    75 ∴ Pr oyW v = 49    248  49  