Ein italienisches Rechenbuch aus dem 14. Jahrhundert (Columbia X 511 A13) [PDF]

Zitiervorschau

Ein italienisches Rechenbuch aus dem 14. Jahrhundert (Columbia X 511 A13)

herausgegeben und erläutert von Kurt Vogel Forschungsinstitut des Deutschen Museums

München 1977

Domui Galilaeanae librorum mathematieorum medii aevi edendorum fautriei

eximiae

summa eum veneratione obtulit

auetor

- v Vor w

0

Vorn Stand der Mathematik in

r t Itali~n

in der Zeit zwischen

Leonardo von Pisa und Luca Pacioli war - mit Ausnahme de3sen, was man aus der Treviso-Arithmetik (1478) und dem Rechenbuch von Borghi (1484) erfuhr - lange nur wenig bekannt. Erst neuerdings hat sich Gino Arrighi durch die Edition einer Reihe mathematischer Texte um die Erforschung des genannten Zeitraumes besonders verdient gemacht. Die vorliegende Arbeit über den Columbia-Algorismus, der einst zur Bibliothek des Fürstenhauses der Este gehörte, soll eine weitere Ergänzung zu den Arbeiten von Arrighi sein. Nach einem Eintrag auf dem ersten Blatt der Handschrift ist sie ohne Zweifel dem 14. JahrhundeLt zuzuweisen und sie ist nicht nur wegen ihres Alters bemerkenswert, sondern auch wegen ihres Inhalts und ihrer Sprache 1 ). Daß die Edition möglich war, verdanke ich in erster Linie der Bibliothek der Columbia-Universität, die in liebenswürdiger Weise. einen Film zur Verfügung stellte, sowie der Leitung des Deutschen Museums und dem DirekLor des dortigen Forschungsinstituts Dr. E. H. Berninger, die die Schrift in die Reihe der Veröffentlichungen des Instituts aufnahmen. Wertvolle paläographische 11..i..nweise verdanke ich Herrn G. Arrighi (Lucca), der mich auch in philologischen Fragen beraten hat, ebenso wie G. Rohlfs und H. ,--Joyer-Weidner (Universität München) sowie Frau Nobis-Pastori (Copernicusinstitut München). In numismatischen Fragen stand mir der Rat von Herrn Dr. H. Eichhorn (UniversicäL

~·1ünchen)

zur Verfügung. Ihnen allen sowie

Herrn A. Weig und Frau G. Ellerkamp vom Deutschen Museum, die für die graphische Gestaltung Sorge trugen, gilt mein Dank. München im August 1977 k..tt.v( rv~ 1) Der Eintrag vom 26. Juni 1830 lautet: Questo Codice di Algorismo 0 di Computo, la cui lettera mi sembra indubitabilmente Q21 Secolo XIVe, 10 ritengo pregevole, non tanto per l'eta in cui e scritto, quanto per la materia che suol essere curiosa e poco frequente e somministrare talvolta alla lingua alcune nuove parole. Tanto rechiesto etc. per la verita etc. dalla Sp. Biblioteca Estense etc. Giovanni Galvani

- VII -

I n hai t Seite Vorwort

V

Teil I -Einführung Die Handschrift und ihr Schreiber Schrift und Sprache Sigel und Kürzungen Zahlen und Ziffern Maße und Münzen

3 7

10 12 14

Der mathematische Inhalt: Die Aufgaben Die Methoden Zur Geschichte der Probleme Die Fachsprache

19 21 24

Bemerkungen zur Transkription

28

16

Teil 11 Der Text

29

Anlage Die Münzliste fol 66 r - 70 v

151

Anlage 2 Veraltete und mundartliche Wörter

157

Anlage 3 Veraltete und Dialektformen des Verbums

166

Namen- und Sachregister

173

Schrifttafeln

Teil I

Ein f ü h r u n g

- 3 Die Handschrift und ihr Schreiber Die vorliegende Handschrift, der Columbia-Algorismus, befindet sich seit 1902 im Besitz der Bibliothek der Columbia-Universität in New York (Codice antichissiX 511, Al 3). Sie gehörte einst zu der

mo di Algorismo,

umfangreichen Handschriftensarrrnlung des Fürsten Baldassare Boncompagni und ist im Narducci-Katalog der Bibliothek Boncompagnis von 1862 eingetragen als Manuscrit precieux aux velin du XIV e

si~cle,

rieux que bons unter Nr.

avec plusieurs dessins plus cu-

11 sowie in dem von 1892 unter

Nr. 433. Eine ausführliche Beschreibung durch Elisabeth Buchanan cowley1J berichtet erstmals über diesen mathematischen Text, der historisch so bedeutsam ist, weil er eine Lücke füllt zwischen dem Liber Abaci von Leonardo von Pisa und der Summa von Luca Pacioli. Eine genauere Datierung der Handschrift wäre wohl möglich durch eine numismatische Auswertung der umfangreichen Münzlisten auf fol. 66 r - 70 v . H.'r bringt der Text mit An9abe der jeweiligen Feinheit nient: weniger als 153 Gold-, Silber- und Kupfermünzen, darunter c.:,. rca 90 aus Italien; vom Rest stammen die Hälfte aus französischen Münzstätten, die anderen verteilen sich auf t ugal,

D~utschland

J~inemark,

ter Münzen

~us

(la magna), Spanien und Por-

Ungarn und den Orient. Man findet darun-

früherer Zeit, besonders aus dem 13. Jahr-

hundert, die 1m 14. Jahrhundert nicht mehr geprägt wurden, aber offenbar nüch im Umlauf waren. Sie können zur Datierung des Textes nichts beitragen. Dagegen bestimmen die Münzen, deren Prägung erst im 14. Jahrhundert beginnt, einen Terminus a quo wie die Pariscini d'oro

(ab 1323). Ei-

nen Hinweis auf die Entstehung des Textes könnten die Sil1) Elisabeth Buchanan Cowley, An Italien Mathematical Manuscript ~olumbia X 511 Al I Vassar Mediaeval Studies 1923, 379 - 405.

:u

- 4 -

5 -

bersolidi aus Florenz, Lucca, Pisa und Siena 1 ) geben, die als nuoui dallo .0. bezeichnet sind. Es sind wohl die Solidi Ottos IV.

(1208 -

sind und die ab 1347 -

1215), die mit

oT-1io

gekennzeichnet

1369 neu geprägt wurden. Versteht

man unter den nuoui die Ottonischen Münzen neuer Prägung,

Eine ältere Numerierung, die sich bis zur Aufgabe 65 (alte Nr. 48) verfolgen läßt, zeigt, daß früher mehrere Aufgaben in einern größeren Kapitel zusammengefaßt waren 1 ). Am Schluß mancher Aufgaben wird das Problem durch ei-

dann ist die 2. Hälfte des 14. Jahrhunderts als Entstehungszeit der Handschrift gesichert. Eine ähnliche Münz-

ne Zeichnung illustriert oder mit einer Zahl oder einern

liste wie die im Colurnbia-Algorismus hat Francesco Pego-

durch den Anfangsbuchstaben bezeichneten Wort gekennzeich-

lotti (1290 - 1347) in sein kaufmännisches Handbuch La

net, offenbar als Gedächtnisstütze für den Leser gedacht.

pratica della mercatura aufgenommen, das er um 1340 in

2

Florenz abschloß ). Die darin angegebenen Feinheitsgrade

So steht nach einer Erklärung des Dreisatzes .3. chose (Nr. 11), nach Aufgaben, in denen es sich um einen Geld-

stimmen mit denen im Colurnbia-Algorismus überein oder sind

wechsel (cambio) handelt oder bei denen die Zahl Hundert

nur wenig verschieden.

bzw. der Zentner (centenaio) eine Rolle spielt, ein c

Der Hauptteil des Textes enthält 142 nicht numerierte arithmetische und geometrische Rechenaufgaben 3 ), die vielfach - zum Teil farbig - illustriert sind 4 ). Die Blät-

über den Warentausch (baratto) steht manchmal ein B (Nr.

(Nr.

14a, 16 -

18, 25, 27 - 30, 33, 34). Nach Aufgaben

19, 20) oder es wird an die in der Aufgabe vorkommenden

ter sind bis 72 numerierti doch fehlt jetzt Blatt 55. Aber

Waren erinnerti so bedeutet P. C. in Nr. 76 Pfeffer (pe-

schon vor der Numerierung sind Blätter verlorengegangen,

pe)

da bei einigen Aufgaben der Anfang oder der Schluß fehlt;

her behandelte Methode der Quadratwurzel hin. Einiges

dies

~5t

der Fall nach Blatt 5, 7

1

11, 27, 42 und 52.

1) Sie haben alle die Feinheit 10 ~ Unzen pro librai auch in Artois wurden solche nuovi dello .0. geprägt unter Philipp IV. 2) Allan Evans, Francesco Balducci Pegolotti. La pratica della Mercatura (The Mediaeval Academy of America, Publication Nr. 24) Carnbridge, Mass., 1936. S. 287 - 292. 3) Es sind 142 ter 1 - 141 Cowley zwei gezählt hat Nummern 116

unnumerierte Aufgaben, von Cowley als Chapbezeichnet. Der Unterschied ergibt sich, da nur zum Teil erhaltene Aufgaben nicht mit(nach Nr. 14 und 107) und anderseits die und 117 zusammengehören.

4) Die meisten Zeichnungen illustrieren den Text, andere wieder (ein Huhn, ein galoppierender Reiter u. a.) verzieren den Rand.

und Wachs (cera). Das R in Nr. 125 weist auf die vor-

bleibt ungeklirt, wie das T in Nr. 34 und 35 und das Zeichen

~. , bei der Meisteraufgabe

(mastramento)2)

Nr. 46, in der Kaufmannspraktiken zur Zinsrechnung zusammengestellt sind. Auf einigen Seiten (Blatt 45 v 46 v , 70 v , 72 r ), die ursprünglich frei geblieben waren, haben verschiedene Hände noch einige Aufgaben und Regeln 1) Bei den Aufgaben 15, 18, 20, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 44, 46, 49, 52, 57, 59 und 65 stehen die alten Nummern 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36,37, 38, 39, 40, 41, 43, 44 und 48. Man sieht, daß arn Anfang ein großer Teil verloren gegangen ist.

2) In einern etwa gleichzeitigen Rechenbuch aus Lucca werden als "Meisteraufgaben" ebenfalls genannt die Regeln über das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen und gemischten Zahlen sowie die reghola del 3. S. Gino Arrighi, Libro d'abaco, Dal Codice 1754 (sec. XIV) della Biblioteca Statale di Lucca, Lucca 1971, S. 202 ff.

-

- 7 -

6 -

" 1) : ge 1 egent l'lche elng8cragen

~andbemer~ungen

Als Heimat des Autors unserer Handschrift kommt Cor-

und Korrek-

tona (7 km nördl. des Trasimenischen Sees) in Frage. Bei

turen zeigen aucll, ddß die Handschrift später studiert wurde. Auf der leLzten Seite (BI. 72 v ), auf der ei~e ver-

den meisten

vorrene Zeichnung ;ni'i: einenl Kardinalshut zu sehen ist,

beteiligt und im ersten Abschnitt der genannten Münzliste

sind sinige Namen, wohl die Vorbesitzer (Vida Geronimo,

werden die monete piccole einer ganzen Reihe von italieni-

S. R. E. CARD. VRSI u. andere unleserliche), zu sehen.

schen Städten mit denen aus Cortona (bolcone di cortonese)

Daß es sich bel uem Columbia-AlgorisID'us um eine Ab-

Aufgaben über Geldw'echsel sind die Cortonesi

verglichen. So darf man annehmen, daß ein maestro d'abba-

1

2. Hälfte des 14. Jahrhunderts den

schrift handelt, zeigen zahlreiche Auslassungen und Feh-

co aus cortona in der

ler des oft flüchtigen und gedankenlosen Schreibers. So

Columbia-Algorismus für seine Schüler geschrieben hat.

is t :~ um ceis pie 1 aus 2~O ein ~ 0 geworden (Nr. 22), aus Schrift und Sprache questa rascione ein quc5taccione

(Nr. 69). Mit seinen überflüs-

re dele monete ein reghare

sigen Wiede1.'holungen _. treten (Nr. 82

=

)9)

-

(Nr. 28) oder aus legha-

auc~'l

eine Aufgabe ist doppelt ver-

besonders

aiLl

Schluß der Aufgaben,

wo das Ergebnis oft zweimal genannt wird, zeigt sich der Schreiber als ein umständlich8r und :::-edseliger Lehrer. Meist

~eginnt

er mit einer Aufforderung an den Schülsr,

die fulgende Aufgabe zu macher: (Falflmi qUf?sta rascione). Dann folgt das Re3ept (Questa .la sua regolaJ,

an das

Sl.Cll

d.er Schüler - wie zum Beispiel beim D.ceisa.tz - erinnern

Der Schreiber kennt noch keine einheitliche Orthographie; für ihn ist zum Beispiel regola

~nd

721 Ndchdem das

reghola = re-

u. a. Er verwendet weder Akzente noch Interpunktionszeichen, trennt auch die Wörter nicht (z. B. comotuuedi, chetideuiene) und so ist nicht immer sicher, was gemeint

ist, zumal meist beliebig n für u und i

für e geschrie-

ben wird. Soll man zum Beispiel anno als a uno, als anno oder als anno

(=hanno)

lesen und ist mit dene ein de-

vi oder d'ene gemeint?

s;)ll (Ricordoti). I1anchmal soll er sich sogar schon an die Lösung erinnern, wie in Nr. 71

~

chola oder multiplicare = montiplichare = multiplichare

Mit nur wenigen Beispielen seien folgende Besonderheiten genannt:

Ergebnis vorgerechnet wurde, folgt meist der Hinweis, daß man in ähnlichen Fällen

ebens~

verfahren solle. Wenn

Unnötige Doppelkonsonanten: sittu

es dabei heißt: Per queste Tr.odo si r'annu tuttc 11'1 simig1ante TQscioni

di

&i~

ne

2

di meno e di

quanta tu f i -

2 si adomanda to ) I so hat di,es mlt dem Aufgabent:lp "Z'J.V'iel-

und umgekehrt

Zuwenig" nicht,3 zu tun; es ist nur die überflüssige Berr.erkung, daß man auch

n~i t

anderen Zahleni'mgaben solche ct statt tt

Aufgaben lösen kann.

1)

=:.3 sind vor

2)

z. B. Nr. 30.

allm~',

seometrische Fechnungerl. 1)

se tu

rrapere

rapere

ppartire

partire

abia

abbia

mose

mosse

trare

trarre

tucte

tutte

ctucti

tutti

abactere

abattere

oder Umgegend, zu der Perugia und somit Westumbrien gehört. S. dazu Jaberg-Jud, Sprach- und Sachatlas Italiens und der Südschweiz, Zöfingen 1928 - 1940.

-

o statt u u statt

0

9 -

vuoli

zum Beispiel bei tolre (67, 134), flolino

ben anno

venanno

(114),

gioso

giuso

wie bei

ponto

punto

(9). Daneben kommt eine der Zahl 3 ähnliche Form vor, zum Beispiel me;o (fol. 66 r ) oder

lu

10

longhe;;a

fusse

fosse

rispuse

rispose

ken. Man findet ein Dativ li

buoli

b statt v (u)

-

8 -

cholrieri pec~o

(65), pol.demo

(109), sopla (12). Für z steht meist ~

(70),

me~~o

(138) neben

longh~~a

(140).

Auch viele Besonderheiten der Sprache sind zu vermer=

in el = nel, illi = nelli oder den

gli. Der Artikel stimmt - ebenso wie Adjektiv

j statt i

nuj

noi

n statt m (vor Labialen)

tenpo

tempo

und Pronomen - nicht immer mit dem dazugehörigen Bezugs-

canpo

campo

wort nach Genus und Numerus überein wie bei un'altra ho-

chanbiatore

cambiatore

mo

i statt e

nn statt nd

(76), queste regola (1),

ciascuna di quelli (72). Im

quisti

questi

Satz wechselt der Schreiber unbekümmert die Person oder

mino

meno

er geht vom Singular zum Plural über. Beispiele sind u.a.

uidi

vedi

uno prestai

si

se

(16),

donne

donde

si anno(59).

anna

anda

t

(55), egli penso (121), poni 7 ß e tiene 1 lb

tan to ual e li 9 chortonesi

(11), uno mercha tan te

Der Wortschatz (s. Anhang 2) enthält noch lateinische Wörter, nämlich homo (71,73,76,81,83), et (7,8,9, 76,86, fol. 66 r ), quod (8), non (50, p), unde (103) und

nd statt nn

fande

fanne (fanno)

überflüssiges h

chomo

corno

ghonella

gonella

supra

ongno

ogno

vor Augen bei ricipere (55), plu = piu (67), pleno (55),

diuengna

divenga

tollere

guadagnare

noch erhalten hat wie bei octo (123), pacto (55) oder noc-

überflüssiges n (bei ngn)

guadangnare überflüssiges i

(55).

Die Herkunft der Wörter hat man noch deutlich

(34) oder bei den Wörtern, in denen sich das ct

(67).

Erwähnt sei noch, daß di nicht nur für ein Datum

fecie

fece

te

dicie

dice

gebraucht wird, sondern überall auch für giorno steht.

sie

se (bzw. si

e).

An veralteten Wörtern sind u. a, zu nennen denaio (31,

46,p), enanti

Eine besondere Vorliebe hat der Schreiber für das Pronomi-

denaro

naladverb ne, zum Beispiel Ne ai tu ne lb 64 ehe n'auiene

cessare (135),

chostata la marcha

(Nr. 42).

Zur Schrift sei noch erwähnt, daß der Schreiber zwei

= innanzi

(111), dicessare =

indrieto =indietro (64), magestro

=

maestro

(65), merchatante = mercante (59, 61), merchatantia = mercanzia (10), palonbo und palommo = colomba (67,

=

interesse (55) und sottilglianza

=

93), pro-

sottigliezza (63).

verschiedene Formen für den Buchstaben r hat. Neben dem

de

gewöhnlichen r =)' verwendet er - besonders bei dem ersten

Nicht mehr übliche Verbal formen sind in der Anlage 3 zu-

eines Doppelbuchstabens - eine der Zahl 2 ähnliche Form,

sammengestellt.

-

11 -

10 -

Manches kann in den Wörterbüchern nicht festgestellt

nouei

novcri (125)

qu~ti

quanti (4, 105) oder quarti (13)

werden, nämlich:

secüdo

secundo (104)

1) mascia - Einmal (7) ist vom Gewicht einer Ware masci die

s~e

sapere (109).

Rede, wobei es sich um Wolle handeln wird (lana mascia in Nr. 17 u. 22). Nach Aufgabe 59 vermindert sich das Gewicht einer mmascia durch waschen (si torno (la)

uate),

was in Aufgabe 62 für schmutzige Wolle (lana sucida) ausgesprochen wird. Es handelt sich also wohl um noch nicht gewaschene Baumwolle (bambasia, Nr. 22).

2) medero - Die Wendung fra medero (78) hat nach der vorhergehenden Parallelaufgabe die Bedeutung infra tutto, also "alles zusammen". 3)

vainna~i

(vainan\i,

vanan~i)

119)und

uane innazzi

in guadangno

(115,116,

(136). - Das Wort steht am Schluß

Oft fehlt auch der Strich oder er ist nicht mehr erkennbar. 2) Ein Akzent wird auf den der Kürzung vorhergehenden Buchstaben gesetzt, wie bei danesmarche (fol. 66 r )

danesm~che m~cati

mercati (4)

no

non (5)

,

mosse. mo So heißt es in Nr. 110 : si

mo .J?

u~ire

'a

roma

(si mosse

per venire a Roma) • Der Schreiber kennt noch ein Sigel für et =7

1)

in den

einer Aufgabe oder eines Abschnitts. Soll es heißen,

oben genannten Beispielen (mit der Zahl 7 verwechselt in

daß etwas Neues kommt?

Aufgabe 8), sowie eines für meno

4) diselli - Es handelt sich hier um einen Abstand (s. Nr.

135). Könnte disalire

=QY2 bei

den Feinheitsan-

gaben in der Münzliste auf fol. 67 v und 70 r sowie in Aufgabe 34. Als Abkürzungen für Maßeinheiten wurden verwendet:

gemeint sein?

Sigel und andere Abkürzungen Aus dem Lateinischen wurden die Sigel für quod

= ~

(8) und besonders oft für per (9, 115) übernommen, auch

br p

braccia

()'

denaio, denaro

soldo liurat und zwar sowohl als Gewichtspfund wie

tff

in den wörtern,zum Beispiel bei persona (115), aperrire

als das Zählmaß Pfund zu 240 Pfennigen.

(141). Die für pro und con werden verwendet in prode (55) und conperare (106). Sonstige Abkürzungen werden auf zweierlei Weise 1 ) angezeigt:

1) Es wird durch & wiedergegeben. Auf fol 66 für e (s. S. 142, Zeile 4 und 7).

1) Ein Buchstabe wird überstrichen, besonders vor n und r

2) Als

wie zum Beispiel bei adomädo

adomando ( 105)

I

in

( 108)

mächa

marcha

(60)

,.

1) In der Aufgabe 13 werden bei quäti sogar beide Abkürzungen verwendet.

rn

wiedergegeben.

r

steht es auch

- 13 -

- 12 Zahlen

~nd

zeichnet. Auch in Nr. 55 heißt es bei einer Zahl mit 10

Ziffern

Nullen zuerst 10 fighurei dann aber bei einer Zahl mit 8

Die Zahlen werden nur selten in Worten wiedergegeben, lediglich uno (10), ambe due (1), sei (73), sette otto (78), noue (78),

duo diei

Die Einer heißen piecio1i

(28) und trediei

(79),

(35).

(7 f), die Zehner dieine

(7 ff), die Hunderter eientonaia (7, 8, 76), die Tausender mig1iaia

(7 ff). Gewichtsangaben werden öfters mit den rö-

mischen Zahlzeichen C

(14 a) und M

=

100 oder Zentner (15 ff), D

Nullen 9 fighure und bei der Zahl 25937424601 steht 1e fighure

In Nr. 73 und 74 bedeutet pfighura le-

herausgekommen, dann heißt es e rimane niente (9) oder

(101, 102).

nu110

Auch die Brüche werden nur selten ausgeschrieben wie

= 500

= 1000 (18) bezeichnet; sie werden dann - wie

eifere.

11

diglich eine Zahl. Ist beim Ergebnis einer Rechnung Null

(9), terzo (13, 28), quarto (26, 28), quinta (22),

mezzo

(63) und ~ . { = quarti di terzi

(28). Sonst stehen

manchmal auch andere Zahlen - in Punkte eingeschlossen als

deeimo

.c. usw. Als Ausnahme kommt einmal 20 = XX (69) und 24

sie mit Bruchstrich in der gewöhnlichen Form. Bei einer ge-

XXIIII (fol. 66 v ) vor. Einmal (9) wird die höchste Ziffer

mischten Zahl steht die Benennung zwischen den Ganzen und

(Spitze) genannt (eehomineiamo da11a testa de1e mig1i-

testa

dem Bruch, zum Beispiel 16 ~ Pfennig

=

16 d' ~. Eigenarti-

gerweise wird manchmal die Benennung in den Nenner geschrie-

aia) .

Die im Text verwendeten Ziffern haben die westarabischen Formen:

ben wie 1

12

Gran

=

Noch eine andere Bruchdarstellung ist vertreten, die

Das Bild der 4 entspricht dem in einer Handschrift des

13. Jahrhunderts aus Siena 1 ) und die eigenartige 8 mit ei-

dem aufsteigenden Kettenbruch entspricht und die bei Leo1 1 ~ardo von Pisa vorkommt. Bei ihm bedeutet ~, das von rechts nach links zu lesen ist, 1

nem Beistrich rechts oben erscheint in einer Vatikan-Handschrift des 11. oder 12. Jahrhunderts 2 ). Eine Variante zu

1 +

So ist (Aufgabe 39)

Sanduhrform g in Nr. 1, 4, 127. Eine spielerische Schrei-

ist (Aufgabe 60)

bung von 4 sieht man in den Aufgaben 127 und 128 mit

400 und

qro =

40.

Nicht klar wird zwischen Null und Ziffer unterschieden. In Nr. 63 wird die Null als fighura oder als .0. be-

4"

--y-

7 steht als Randnotiz bei Nr. 52 ()\), eine zu 8 in der

qroo =

_1__ 1 (41 40). Gran 2 '

i

41 21

5

oder 8'

ebenfalls

85

oder

43 21

7 3'

Dageyen

~ von links nach rechts zu lesen als ~!

Gelegentlich wird eine Ordinalzahl durch den entsprechenden Bruch dargestellt wie "die dritte Röhre" ehane11a

=

1a

!3

(141) oder "der dritte Geselle" bei der Bemerkung:

disse 10 ~ a1 primo

(107). Ähnlich wird einmal der "mittlere

Teil" des einen Pokals als 10 } de1a ehoppa bezeichnet (86). 1)

G. F. Hill, The deve10pment of Arabie Numera1s in Europe, Oxford 1915, S. 32, Tfl. IV, 8.

2) Ebd., S. 28, Tfl. I, 8. S. auch Tfl. I, 6, 12; 111, 2.

- 14 -

- 15 geben (fol. 67 v ff.). Silberrechnungen stehen in den Auf-

Die Maße unJ Münzen Als Längenmaß (bei Stoffen und geometrischen Abmes-

gaben 32, 60, 75, 94 und 95.

sungen) diente die Elle (braccia) sowie gelegentlich (24) auch die Rute (channa) zu 4 Ellen (1 Elle

= 0,5836 m in

Zu den Geldmaßen gehören sowohl Münzen wie nicht gemünztes Rechnungsgeld. Im täglichen Leben spielte als

Florenz) .

Zahlgeld die Hauptrolle der Pfennig

(d'tdenaro, denaio).

In Florenz gingen 45 soldi = 540 Stück auf 1 Pfund 1 ). Es

Gewichtsmaße waren das Pfund (liura,

abgekürzt lib ' , libr, lb ' und die Unze (oncia) = ~ ~ und das Pfennig-Gewicht (denaio di cantora)

=

~

~ Unze

(1 Pfund = 339,55 g).

waren Kupfermünzen (monete di rame), von denen in der Münzliste auf fol. 69 r - 71 v nicht weniger als 68 ver2 schiedene Arten ) mit einer Feinheit zwischen 5 Unzen 15

~ d'-Gewicht und

i

Unzen Silber pro libra verzeichnet

Das Wort cientonaio (7, 8), womit 100 Stück jeglicher Ware

sind. Zu diesen monete piccioli gab es größere, nicht ge-

bezeichnet wurden, war vielleicht schon als das große Ge-

münzte Rechnungseinheiten, den Schilling (soldo,

wichtsmaß Zentner gedacht. Es erscheint immer als .c.

12 d1 und das Pfund (liura

Bei den Goldgewichten war die Grundeinheit die Mark (marcha)

=

8 Unzen

= 32

Pfund. Aus Aufgabe 36

(s. auch 37

u. fol. 66 v ) ergibt sich folgende Tabelle: charati marcha oncie grossi quartieri grana Mark Unzen große Gran Viertel Karat 8

24 3

mezza qrana Halbgran

Pfennige (lb di d ' )

=

20 ß

=

=

ß

20 ~. So ist also 1 Pfund 240 d'.

Da es - auch in derselben Stadt - piccioli von verschiedenem Wert (Feingehalt) gab, lassen sich die Anga-

charati piccoli kleine Karat

ben in den Rechnungen über Geldviechsei (29 - 31, 33f) nicht durch die Feinheitswerte, die für die monete di rame in der Münzliste genannt werden, nachprüfen. Für den Großkaufmann und den Handel mit dem Ausland

32

96

4

12

24

144

4

8

48

gulden (fiorino d'oro) im Jahre 1252 geprägt. Er war 24-

3

6

36

karätigi von ihm gingen 96 auf ein Pfund 1 ). Unsere Liste (fol. 66 v - 67 v ) enthält 26 Goldmünzen aus Italien, Frank-

1 1 "3

waren Geldstücke mit einem höheren Wert als der Pfennig

I

2 1

,

12 6

Die Feinheit von Gold wird also durch ein Gewicht, durch Karat pro Mark, bestimmt. Preise für ungemünztes Gold werden genannt in Aufgabe 38 sowie fol. 66 v . Als Silbergewicht dient nicht wie beim Gold die Mark, sondern das Pfund = 12 Unzen, und so wird die Feinheit von Silbermünzen oder Silberstücken mit Unzen pro Pfund ange-

notwendig geworden. In Florenz wurde so der erste Gold-

reich, Spanien, Portugal und dem Orient, wobei die Feinheit zwischen 24 und 15 Karat pro Mark schwankt. Eine Untereinheit war 1/20 des Guldens, der Schilling in Gold, der nur als ungemünzte Rechnungseinheit auftritt, wie 1) Pegolotti, a. a. 0., S. 191 f. 2) Im Abschnitt 4 der Münzliste, dazu noch weitere 11 in Abschnitt 1 (s. Anlage 1).

- 17 -

- 16 auch der Schilling (ß) a fiorino

=

1)

1/29 Gulden (fol. 66 v ).

Der Preis eines Goldguldens in Zahlgeld wird in der Aufgabe Nr. 26 als 45 ß 2 d'

=

542 d' angegeben.

Auch Silbermünzen wurden geprägt. Es waren die grossi

maestro d'abaco will dem Anfänger die dafür nötigen

Kenntnisse vermitteln. Es handelt sich um Preisberechnungen für Wolle, Stoffe, Wachs u. a.

(14a, 16 - 18, 21 - 24, 62)

(Groschen). In Tours erscheinen sie ab 1266; sie sind in

Arbeitslohn (81), Hausrniete (56);

Aufgabe 25 als tornesi grosi mit einem Wert von 56 d' ange-

Gewinn bei Geschäftsreisen (61), beim Devisenhandel (33, 34);

geben. Als Zählmaße wurden verwendet 1 lb 1 ß

=

=

240 Stück und

12 Stück; siehe zum Beispiel Aufgabe 25, in der die

Zahl 5707 als 23 lb 15 ß 7 d' erscheint.

Warentausch (baratto), wobei nicht, wie sonst in Rechenbüchern der Zeit, unterschieden wird zwischen dem Preis bei Barzahlung und dem beim Tausch (19, 20); Zins und Zinseszins (46 - 50, 53 - 55, 89 - 92);

Der mathematische Inhalt der Aufgaben Wenn auch bei den vorliegenden 142 Aufgaben eine sachliche Gliederung des Stoffes nicht durchgeführt wur-

Ratenzahlung (51, 63, 112); Terminrechnung (52); Gesellschaftsrechnung (35, 44, 68 1 73, 74, 83, 85);

de, so lassen sich doch sechs im allgemeinen zusammenhän-

Geldwechsel ( 25, 26, 27, 29, 30);

gende Problemgruppen unterscheiden.

Münzrechnungen, Gewicht, Feinheit und Preis von Gold

1. Am Anfang will der Autor die Grundrechnungen vermitteln, nämlich die Addition, Subtraktion und Division mit ganzen Zahlen (7 - 9) und die Multiplikation und Division mit Brüchen und gemischten Zahlen (1, 12 - 14). Die Näherungs lösung für Wurzeln wird später behandelt (126129). Für die Prozentrechnungen ist nützlich eine Tabelle für

igo

für

Regeldetri ( . ; . chose) erklärt (11).

die

von n

=

2 bis 10 (10). Dann wird das Rezept

2. Die nächste Gruppe (14 a - 63, nebst einigen Aufgaben -aus dem späteren Text) enthält Probleme aus dem täglichen

und Silber (32, 36 - 38, 60, 75, 94, 95); Mischungsrechnungen (69, 76); Legierungen (39 - 43). 3. Die dritte Gruppe (64 - 124, nebst einigen Aufgaben an anderen Textsteilen) enthält Probleme der Unterhaltungsmathematik 1 ). Da~u gehören vor allem die Haurechnungen als Lineare Probleme mit einer Unbekannten (45, 79, 80, 111), nebst den Varianten: Die Stange in der Erde (57, 77);

Leben, in denen der Dreisatz die Hauptrolle spielt. Man

"Gott grüß Euch"-Aufgabe (93);

sieht, daß das Buch für den Kaufmann gedacht ist; ein

Der Becher und der Deckel (86);

1) In der Handschrift Lucca 1754 (a. a. 0., S. 27) heißt es: "29 soldi a ffiorino sono uno fiorino. S. hierzu auch A. Nagl "Die Goldwährung und die handelsmäßige Geldrechnung im Mittelalter. In: Numismatische Zeitschrift 26 (1895), S. 86 ff.

1) S. hierzu (mit weiteren Literaturangaben) : M. Folkerts, Mathematische Aufgabensammlungen aus dem ausgehenden Mittelalter, Sudhoffs Archiv 35, 1971, 58 - 75 sowie S. A. Jayawardene, The Influe~e of Practical Arithmetic on the Algebra of Rafael Bombelli, 1si5 64, 1973,

510 - 523.

--

i

-

19 -

- 18 gleichseitigen Dreieck (129), Der zerlegte Fisch (70, 87);

Kreis

Zisternenaufgaben (66, 141); Geschäftsreise, Die Torwächter im Apfelgarten (4, 72); Bewegungsaufgaben: Verfolgung (108, 109);

Regula equalitatis

( 1 30, 1 32) •

5. Eine Reihe von nicht eingekleideten Zahlenproblemen ist über den ganzen Text verstreut, nämlich: Schlußrechnungen (28, 82, 96 - 99);

Begegnung (110);

Zerlegen einer Zahl in zwei Teile (6, 78);

Doppelbewegung (67);

Zerlegen einer Zahl in eine Quadratsumme (114);

= Einkauf

gleicher Mengen (31); Das quadratische Problem (x -

Der faule Arbeiter (64, 65); Schneiderrechnung (58);

das unbestimmte Problem x + x 2

Die drei Räuber (5);

+ }) . x]2

x,

=

y2 (3).

6. Schließlich enthält die Handschrift auf fol. 66 r - 70v

Die gefundene Börse' (105); Einer allein kann nicht kaufen (Pferdekauf)

(j

das mit einem falschen Ansatz gelöst wird (2) sowie

(106,

die genannten Münztabellen. Siehe hierzu Anlage 1.

107) ;

Die unvollständigen Aufgaben 14a, 25, 59, 83, 84, 107a

Geben und nehmen (100 - 104);

und 113 lassen sich nicht vollständig klären.

Das Schachbrett (88); Das Gewichtsproblem (71); Zahlenerraten: Wo ist der Ring? (115); Verteilung von drei Gegenständen (116);

Die Methoden Der Autor der Handschrift will seine Schüler mit den in Italien seit Leonardo von Pisabekannt gewordenen neuen

Die Würfelaugen (118);

indisch-arabischen Ziffern und Methoden vertraut machen.

Was ist in der Börse? (119 - 120)

Beim Addiere:l stehen die Summanden untereinander, die Rech-

Der gedachte Bruch (121);

nung geht von rechts nach links - bei den Einern (piccioli)

Wolf, Ziege und Kohlkopf (122, 124);

beginnend - die Summe steht oben (7). Demgegenüber beginnt

Die Umfüllaufgabe (123) sowie Aufgaben aus der rech-

die Subtraktion links; vom Tilgen der Ziffern wird in Auf-

nenden Geometrie:

gabe 8 zwar geredet (dannare), es erscheint aber nicht im

Die weggezogene Leiter (135, 140);

Text. Auch die Division beginnt links bei der höchsten

Das gespannte Seil (133, 134);

Ziffer (testa dele migliaia). Ist der Divisor nur einziff-

Die beiden Türme (136).

rig (9), dann wird der Rest (1 oder 0) über die jeweilige

4. Die vierte Gruppe ist der Geometrie gewidmet (125 - 140).

Ziffer des Dividenden angeschrieben, bei einem mehrziffe-

Zuerst kommt die Näherungsformel für die Quadratwurzel,

rigen Divisor werden die erledigten Ziffern wirklich ge-

mit der man angeblich alle Aufgaben der gimitria lösen

tilgt (14). Die Multiplikation ganzer Zahlen fehlt, doch

könne (126, 127). Dann folgen Berechnungen zum

sieht man später bei den Aufgaben, wie der eine Faktor

Quadrat (127, 131, 137),'

zerlegt wird. So wird 45

Rechteck (128, 138),

(40 ß + 5 ß + 2 d)

Viereck (139),

i , . 1296

gerechnet als

• 1296 (26). Eingehend bringt der Autor

- 20 -

- 21 -

die r.lultiI?likation und Division von Brüchen und gemisch-

per 10 1/4 per 1i 2/5 si

ten Zahlen (1, 12, 14). Dabei wird Dividend und Divisor

2/5.

troua uno numero chi uisa 1/4 e

Die Versuchszahl soll also auf 1/4 und 2/5 "hinzielen"

auf denselben Nenner gebracht, so daß jetzt mit ganzen

(uisare

Zahlen gerechnet werden kann. Welchen Wert der Autor auf

falsche Ansatz bequem zum Ziel, so bei der "gefundenen Bör-

die in den Anfangskapiteln vermittelten Kenntnisse legt,

se", beim "Pferdekauf", bei dem Problem "Geben und Nehmen"

=

französisch viser). Aber nicht überall führt der

sieht man aus der Bezeichnung maiestramento, mit der die

oder bei den "beiden Türmen". Hier wird entweder nur pro-

Aufgaben 8, 9 und 12 beginnen. Als solche Meisterstücke

biert, was keine genaue Lösung gibt (101) oder es wird ein

werden dann noch die Prozenttabelle (10), der Abschnitt

richtiges Rezept verwendet, das ein anderer algebraisch

über die Goldgewichte (36),Schachbrettaufgabe (88) und die

ausgerechnet hatte (103). Dasselbe gilt u. a. für die Auf-

Zinsrezepte (46) genannt.

gaben 105, 106, 107 und 136. Es kommt auch vor, daß von

Die Regeldetri (la r,egola delle 3 cose), das damals

der Vorlage lediglich die Lösung übernommen (5) oder daß

wichtigste Hilfsmittel zur Bewältigung der Aufgaben des

mit der bekannten Lösung nur die Probe vorgerechnet wur-

täglichen Lebens, wird so erklärt: Es müssen drei Zahlen

de (72).

genannt sein, von denen zwei dieselbe Benennung haben (mentouata per nome duo

fiate);

die zuerst genannte Zahl

Doch mit den Aufgaben aus dem

t~glichen

Leben, den

nicht einfachen Aufgaben der Zinseszinsrechnung und de-

ist der Divisor, das Produkt der anderen zwei der Divi-

nen über die Münzlegierungen mag das Rechenbuch manchen

dend (11). Auf dieses Rezept wird bei den späteren Auf-

Anfängern von Nutzen gewesen sein.

gaben immer wieder hingewiesen (19, 21 u. a.). Auch sonst werden manche Praktiken verwendet, die der Erleichterung der Rechnung dienen, wie die "Welsche Praktik"

(15,

17~

18), die bei den umständlichen Geldverhältnissen nützli-

~ur

Geschichte der Aufgaben Das RecLenbuch konnte nicht :Jesd:rieLen "'erden, b2v,-_:,:

nicht die neuen in(:.i..sch-arabischen Ziffern und Methoden

chen Praktiken der Zinsrechnung (46) oder ein Rezept beim

in Italien bekannt

Warentausch (19, 20). Auch die regula alligationis der

Leonardo von Pisa zu danken ist. So liegt die Vermutung

mittelalterlichen Rechenbücher ist bekannt (42, 43).

nahe, daß der Autor den Liber abaci oder ein davon ab-

Mit Algebra ist der Autor offenbar nicht vertraut. Er

~eworden

waren, was in erster Linie

hängiges Werk vor Augen hatte. E. Cowley hatte bei ihren

weiß aber, daß noch zwei andere Methoden zur Verfügung

Untersuchungen zu der Handschrift eine Reihe von Proble-

stehen, eirunal das Rechnen von rückwärts her (per trouare

men festgestellt, die beiden Werken gemeinsam sind, so

-bzw.tornare- indrietto, 61 und 4) und das des einfachen

daß eine Abhängigkeit vermutet werden könne. Nicht alle

falschen Ansatzes (per aposiccione falsa,

Aufgaben sind diesen Weg gegangen. Schon vor Leonardo

61), der oft

zur Lösung linearer Probleme verwendet wird (2, 45, 57,111, 61

1

70, 77, 86, 87, 93). Dabei mußten in der angenomme-

gab es in den blühenden Handelsstädten Italiens Kaufleute, Geldwechsler, Münzmeister und Feldmesser, die

nen Zahl die in der Aufgabe genannten Bruchteile enthal-

Aufgaben aus dem täglichen Leben, wie sie in der Hand-

ten sein. Da heißt es zum Beispiel (77): Devi sapere in

schrift vorkommen, lösen mußten und die sich die geeig-

ehe si truova 3 e 4. Ein andermal

neten Methoden zurechtlegten. Und was die Rätselfragen

(86) sagt der Text:

- 23 -

- 22 der Unterhaltungsmathematik betrifft, so finden wir derar-

ge zusammen mit anderen, auch eigenen Arbeiten, in der

tige subtilitates in der frühen Klosterliteratur seit den

Münchner Handschrift Clm 14908 zusammengetragen hat. Die

Propositiones ad acuendos Juvenes,

zum Beispiel Haurech-

nungen, "Geben und Nehmen", Bewegungsaufgaben, "Wolf-Zie-

Aufgaben stehen in seinem Algorismus Ratisbonensis, in den aus Italien stammenden Regule dele cose und der dar-

ge-Kohlkopf" bei "Alkuin" oder die Umfüllaufgabe in den

an anschließenden AUfgabensammlung. Bei dem in Deutschland

Annales Stadenses von 1179. Andere Aufgaben wieder, be-

Neuen handelt es sich u. a. um die Typen "Pferdekauf",

sonders diejenigen, denen eine algebraische Lösung zu-

Regula equalitatis, das Gewichtsproblem, die Schachbrett-

grunde liegt, wie Probleme mit mehreren Unbekannten, der

aufgabe, das Faß mit den drei Zapfen, "Die beiden Türme",

"Pferdekauf", die "gefundene Börse", "die beiden Türme",

das Zerlegen einer Zahl in eine Quadratsumme, das mit

gehören zum Bestand der Rechenbücher aller Zeiten, von

derselben Methode wie im Columbia-Algorismus gelöst wur-

der Antike an bis zu denen der Inder, Araber und den Tex-

de (114). Auch ein spezielles Problem der Gruppe "Geben

ten aus Byzanz. Sie finden sich wieder bei Leonardo von

und Nehmen"

(101, 102) weist auf dieselbe Quelle hin.

Pisa, der sie bei seinen Reisen um das Mittelmeer gesam-

Und daß bei der merkwürdigen Bewegungsaufgabe, in der

melt haben kann. Eines dieser Probleme ("die drei Räuber"),

eine Taube an dem Turm auf- und abfliegt (67), Fridericus

das von al-Kara~! stammt, hat ~eonardo von Johann von Pa-

dieselben Zahlenwerte hat, wie sie im Columbia-Algoris-

~I

mus stehen, ist wohl kein Zufall und zeigt, daß er mit

dem Philosophen Friedrichs 11., erfahren, der es

ihm in Gegenwart des Kaisers in Pisa zur Lösung vorlegte.

diesem oder seiner Vorlage oder einem von ihm abhängigen

Der Autor der Handschrift hat das Problem übernommen (5),

Werk bekannt geworden

iS~ 1).

ebenso das Gevvichtsproblem (71), das in der abendländischen Literatur wieder zuerst bei

~rdo

zu finden ist.

Es läßt sich zur Zeit nicht feststellen, ob der Columbia-Algorismus einen Einfluß hatte auf die italienischen maestri d'abaco, die alle von Dagomari bis Luca ~li

Aufgaben ähnlicher Art bringen. Sie werden wohl

zuerst auf Leonardo zurückgegriffen haben, den Luca Pacioli neben anderen zitiert. Auch in Deutschland werden die Rätselprobleme bekannt, die sich noch nicht in der Klosterliteratur finden, die aber seit Leonardo von Pisa von den italienischen Rechenmeistern gebracht wurden. Es war der Emmeramer Konventuale Fridericas Gerhart, der in den Jahren 1455 - 1464 der Reihe nach Johannes de Lineriis, Sacrobosco, Nikolaus Oresme, Thomas Bradwardine,

~erbert,

Domenicus de Clavasio und Ni-

kolaus von Cusa studierte und seine Abschriften und Auszü-

1)Zu Fridericus s.: B. Bischoff, "Studien zur Geschichte des Klosters st. Emmeram im Spätmittelalter (1324 - 1525)". In: Studien und Mitteilungen O. S. B. 65, 1953/54, S. 165 f. - Die regule dela cose gab M. Curtze heraus in den Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik 1, 1895, 50 ff, den Algorismus Ratisbonensis K. Vogel in der Schriftenreihe zur bayerischen Landesgeschichte, Bd. 50, München 1954. Dort steht die Aufgabe mit der Taube als Nr. 65, auf S. 47.

- 24 Die

ma~hematische

- 25 -

Fachsprache

(Die Zahlen beziehen sich auf die Nummern einiger ausge-

Lösungsrezept,Methode

guisa 78 modo 1, 9, 22, 2 3 , 34, P . reg(h)ola, reghula, rechola 1, 12, 77, 111, p.

herauskorrunen

champ(p)are, chanp(p) are chap(p)are

wählter Aufgaben) Zahl

numero

12 ff, 33, p.

nomaro

12

nomero

13

nouero

1 ff, 35, p.

chanpanare zu etwas werden

nouaro

114

fig(h)ura

73, 74

Zahlenwert

10 ualere, ualore

41 f

ausmachen, he raus korrunen

ganze Zahl

numero, rascione sana

1 , 3, 13, 24, 96

Bruch

rot(t)o, rocto

12 ff, 24, 34 f, 27, 120

Zähler

numero di sopra dele uerghe

Nenner

12

numero disotto dele uerghe, partitore 6, 12 uerg(h)a

ungerade Zahl

numero dispare

109

irrationale Zahl

sorde

125, 126

zählen, rechnen

c(h)ontare nomenere

4, 12, 115 72

eine Zahl nehmen

Rechnung

Rechnung, Aufgabe, Beispiel Rechnung in ganzen Zahlen Rechnung in Brüchen

tollere

19, 43

prendere

74

pilgliare

78

c(h)onto z. B. conto di (oder che) sia

12, 31

rascione

1, 115, p.

rascione rotta

14, 24

6, 10, 15, 17 52, 53, 71, 88, p. 38

rechare

19, 20, 52

genau

aponto

1,33,35,42,54, p.

Durchschnittswert

capopiede

41 tf I

eine Zahl für die weitere Rechnung merken tenere anschreiben ponere

51, 69

16, 17 16

Addition addieren

accolgliere, accolglere 74, 75 accholgliare una sorruna per un'altra 7 achalgliere 74 (a)giongnere chon, insieme 3, 6, 35, 52, 84, p. agiongiere, agiongnere 52, 73 agingiere 55 agiongnare 78 giongiare inseme 107a aradunare 73, 78 sumerare 44 as(s)omare 7, 52, 74, 88 sorrunare in sorruna 38

Summand, Zugabe

gionta, gintta, giunta

101, 102, 103

Summe

sorruna

7, 8, 1 3, 1 7, 11 5, p.

zusarrunen

insieme, inseme 52, 73f, 84, 107a infra tutte, tutto 45, 77 fra medero 78 fra tutto 74 tra capitale e prode 55

3, 5, 12, 125

(per fare) rascione sana 14

(di)uenire montare z.B.montare in sorruna

12, 66

Bruchstrich

2, 4, 8, 71, 105 106, 113

- 26 Subtraktion

sottraro, sutraccio

subtrahieren

abat(t)are ab(b)attere abactare a(b)bactere chauare trarre d..annare tilgen (l)leuare (leuarsi = sich holen) lieuare tolgliere

übrig bleiben

(r)rimanere (r)romanere rimagholgliere manchare

- 27 8

8, 102 8, 63, 88 108 2, 115, 118, 119, p. 77 140 2, 105, 106,115,133 84, 86f 8, 35, 43,19, 87 9,15,18,23,63,6~p,

111 , 115, 11 8f 72 8

multiplic(h)atione 12, 41, 52 multiplic(h) are cho (n), insieme, per, uia 1,12,28,79,81 p. multipricare 12 ' (m)montipric(h) are insieme, per in chontra 11,12,125 moltiplicare chontra, per 13 mottiprichare, per 130

mal (malnehmen) verdoppeln

uia, fiata(menare) 1, ll t 27ff, p. adop(p)iare 4, 115, 118 radopiare 88

doppelt

doppli, doppi

leuare la radicie 128 trouare la radi129, 134, 140 cie

Die Wurzeln, die nicht apanta aufgehen, sind radi eie sarde, ratte gimitria Geometrie

10 partire

divisieren

part(t)ire in 9,14f,28,48,6~p partire in N parte 10, 15, 56 part(t)ire per lf, p.

10

6,11,48,70,74,78, p. 73 136, 139

126 125, 128

la ponta

129

Länge

long(h)ezza

138, 140

Inhalt

tutto z.B.: sonne canpo

Quadrat

chappo di terra quadro ricto quadro

127, 137 131

Rechteck

chanpo di terra

128, 139

Seite

testa desta z.B.: testa di fuore

128, 129, 139 127

Ecke

c(h)ant(t)o

128, 131

chan tone

127

quanta ~ne per chan tone testa per l'Wlo canto all'altro

127

Diagonale

d'entro 137, 138 chotanto tolle, tucte queste dentro 137, 138, 139

131

131

Dreieck

champpo facta a modo di scudu 129

Fußpunkt der Höhe

la ponta in fine a gioso 129

Kreis

tondo

Umfang

torno, cotanto uolgie di torno 130

Durchmesser

diamitro

132

10 ~ (als KreishalBierende)

130, 132

partire per mezzo 9 part(t)ire per ~

3

Punkt

47, 48

Division

halbieren

radizieren

79, 80

Multiplikation

part(t)itore partidore

montiplicare in sie medesimo 114 114, 125 ff eadice, radicie quadro (!) 3

2

multiplizieren

Divisor (Nenner)

10 quadro

quadrieren

8

Rest romanente rimannientte

Quadrat

4, 130, 132

- 29 -

Zur Transkription Bei der Transkription wurden die Normen verwendet, die Gino Arrighi bei seinen Editionen italienischer mathematischer Texte aufgestellt hat, nämlich: Jeder Buchstabe wurde beibehalten. Teil 11

Die Wörter wurden sinngemäß getrennt. Die jetzt üblichen Interpunktionszeichen wurden eingesetzt. Akzente wurden eingesetzt, so daß man zum Beispiel unterscheiden kann zwischen e und e l anno und anno (= hanno), di und di' oder die Die Sigel für per, pro und c~n wurden aufgelöst, das für ( i ) als & wiedergegeben 1 ) , @::::; meno als

m.

et

Die durch Überstreichen eines Buchstabens oder durch einen Akzent bezeichneten Kürzungen (z. B. quäto = quanto oder mechati = merchati) wurden aufgelöst. Weggelassene Buchstaben oder Silben wurden ergänzt, zum Beispiel ra = ra(scione) oder dio = di(c)o, soweit das Wort nicht ohne weiteres verständlich ist, wie zum Beispiel adomado = adomando oder atro = altro. Eine besondere Rolle spielt die Silbe de, bei der verschiedene Ergänzungen möglich sind. Es kommen in Frage die Kasuspräposition (dei, degli) sowie Verbalformen von dovere (dei, devi, deve); auch kann de statt der Präp02ttion di stehen. So wurde de immer als de' wiedergegeben • Beibehalten wurden C und M für centenaio und migliaio sowie die Abkürzungen für die Maße br ::::; braccia, d' ::::; denaio, denari und ß ::::; soldo. Der Text verwendet

für das Gewichtspfund wie auch für

d~e

~

::::; libra sowohl

Rechnungseinheit

Pfund::::; 240 Stück bzw. Pfennige. Zur Vermeidung von Verwechslungen wird das Gewichtspfund mit Ib', das Geldpfund (Zählmaß) mit Ib bezeichnet. 1)

Zweimal (35,f 66 r ) ist & als e zu lesen, wenn es heißt: Viterbini da ponto & peio che c(ortonesi).

2) S. auch Amerindo Camilli, Pronullcia e grafia dell'italiano. Terza editione riveduta a cura di Piero Fiorelli. Firenze 1965.

Der

Tex t

-

30 -

-

31 -

fol 2 r Rascionei d'Algorsmo Folgende Klammern wurden verwendet: flir die genannten Erganzungeni

Nr. 1 Fammi 1 ) questa rascione: trouami uno tale nouero che montiplicandolo per 9 la sua ricta

re~~ola,

~ faciamo 38

4.

Queste

chomo si de' fare tucte




.;r..

~

Il

(lb 1) 31 B 6 d' 8 i lb

~

.. -\1.,...: ....

8

B

lb 4 1; B 9 d' 10 ~

4 d' 2 i [1)

B 2 d'

di ciòcche uale lo 1000 cioè lo

i

di

to uale le 500 lb' ed ài a fare le 376, che ssi de'

... che si dei fare le 50 che ualeranno l o 21 d'l C10

i

i

lb 48 B 16 d' 2, che de' lb 24 e B 8 d'.1.; e tan-

e poni 131 lb e ài affare 77 lb'. Richordoti, che uale lo .C., cioè lo

2 che fanno lb 341 B 13 d' 2; e tante uale

fol gV

. .. l o 2 1 d'l fare lo 250 / che uale lo 21 dele 500 Cloe .. 4 d' 1 . lb 24 B 8 d' .1. ched e lb 12 B 2 e rlmane

126 lb', che deui fare le 100 che de' lo 16 de lo 1000 che de' lb 4 B 17 d' 7 ~. E cchotanto uale le 1 100 ed ai .. a f are 26 , fa le 25 che uale lo -4 di ciò 4 d' 4 e ~~ e 18 ài affare .1. lb che uale d' 11 e 25; pone siccho-

che uale (le 100 che de

'>

lb . 1.

B

mo tu uedi iqui disotto. Somma lb 384

8 d' 3

per 13 chor-

13 151/173, 16 112/173 und 19 13/173, was zu-

(tonesi) e guadangnai aponto B 10. Adornando, che fu

sammen mit 10 70/173 gerade 60 ergibt. Dagegen

la inuestita ch'io feci in pisani e quanti pisani

sind die Zahlen links nicht in Ordnung. Es mtiB1 te heiBen: 40

chomparai. Noj si deuemo trouare uno numero la que-

"3

(110) si truoua la chompara e la uendita, che si

3

truoua in 5 uia 9 oncie(i)2) 45; li 45 pisani cos-

48

-S-

taro B 5 d'

5

6"

3 e riuendere uoli B 5 d' 5, dunqua in

55

45 d' guadangnai 2 d', dunqua B 10 guadangnaro in

30

60 uia 45 che fanno lb 11 B 5 aponto.

:i::.

2) T.: paparino. 3) Es sind 60 d'

5 B.

1) Gewinn beim Devisenhandel. Einkauf 5 Pisani flir

4) Ist gemeint: si dieci sano (so sind es 10 Ganze)?

7 Cortonesi, Verkauf 13 CortDnesi flir 9 Pisani. 2) 1m Original stand wohl: cioiè.

Nr. 32 Fammi 1 ) questa

r(ascione): B 41 d' 8 chor~ronesi)

uale de ariento 2 oncie

+.

Adornando 9 d' ~

quanto

ariento uorrà a quella medesma r(ascione)? Richordoti, che si de' fare questa chotale rascione per la reghola dele 3 chose, che deuemo dire: se 41 B fol 15 v 8 d' uale 2 oncie / ;

d'ariento, 9 d'

j

quanto

uarrà? Noi si deuemo dire 9 ~ uia 2 oncie

i

che

fanno 20 oncie a partire in B 41 d' 8 che sonno 500 denari [a partire in 20 oncie] eia e chotanto

. ar~ento

(!anno)

2~ d' on-

1 e per ques t o uarra, 9 d' "3

modo si fanno tutte le simiglante rascione che tutte queste chotali rascioni si fanno per la reghola dele 3 chose.

2)

'r.: 2'

fol 16 r per 12 pisani e choperai tanti / che riuendo la mitade a 15

~ per 12 e l'altra mitade a 15 meno

per 12. Si guadangnai apon(to)

i

.1. d'. Adornando,

quanto fu la compara ch'io feci in pisani e quanti foro li (cor)tornesi(l), ch'io inuistiui(in) pisani. Queste la sua diritta reghola, chomo si de1.1emo fare tutte queste chotali rascioni che deuemo tollere lo rotto che mentouato in la rascione . ,14' D·' 1 s t a per 4 e di': 4 ui a 1 5 si fanno c~oe ~: 4 1 60 che sonno 5 B e chost de' dire B 5 a 15 4 per 12 e B (5) a 15 meno ~ per 12, che deuemo dire:

1) Berechnung des Silberwertes von 9 flir 500 d' 2 1

Nr. 34 Fammi 1 ) questa rascione: chonperamo 15 chortonesi

+Unzen

ist.

~ d', wenn er

se (1) 5

.J. '*

uale 12 che ualiràne li 60, e di': 12 13 2 ) .

1

uia 60 e parti in 15 4 che ne uiene d' 47 bT anchora deuemo dire: se 15

ID

no li 60, che uaranno d' 48 e sieme 47 d'

[~J ~~

chon 48

l

I

uale 12, che uaran4 a ragione ) in

~3)

d

il anno

wenn 100 lb fur 10 Jahre zu 10 % ausgeliehen wer11 10 den. Es ist 100. (10) lb.

1) SchluBrechnunq. Von 2 Miethgusern hat das eine

2) Figura hier als Null, spater als Ziffer (fighure

einen

plene) .

~vert

von 500 lb, das andere von 321 lb.

Die Jahresmiete des ersten betragt 24 lb. Gefragt

3) Bs soll wohl ausgedrlickt werden, daB vor den 10

ist

1) Wann bringt das zweite Kapital denselben

Nullen eine 1 steht. Zu levare = wegnehmen s. o.

Hauszins?

S. 26. 4) Es ist 1110.

2) Wie groB ist flir dasselbe Haus die Jahresmiete? 80 Tàge. 2) Statt genau 18 Monaten 20 167

5) fighura = Ziffer. 8190424 6) Die Bruchteile der pfennige sind 100000000. Nr. 56 Soluimi 1 ) questa rascione: uno auia 2 chase ch'ell' una chosta lb 500 e rrende di piscione l'anno lb 24.

fol 26

v

Nr. 57 1 Fammi ) questa rascione: lo

~

e lo

t

de uno arbore

si è sotto [soJ tterra e disopra ne pare 12 br. Adornando, quanto ene tutto ill'arbore longho lo qua-

L'altra chosta [li chosta] lb 321. Adornando, in

le è sengnato iqui disotto. Se ttu buoli sapere,

quanto tenpo rrenderà di piscione lb 24. Anchora

quanto

adornando, che deuerà la rendere di piscione ill'

uare uno numero la che si troua

fol 26 r anno a la rascione / disopra. Settu buoli sapere, in quanto tenpo rendirà di piscione lb 24, si dei

~ra

longho tutto ill'arbore, si douemo tro-

j

~ che si truoua

in 3 uia 5, cioè in 15. Fa rascione ch'ell'arbore fusse longho tutto 15 br. E lleua lo 31 e lo 51 di

tu fare la noua clwsd (!) l:Jarti ton!. Dunqua deui tu

15 e rimane 7 e di' chusì: 7 uoria che fosse 12,

dire: se 32i fossi 500, che seria 12 mesi? Si di':

che serri a 15? 12 uia 15 si fanno 180 a partire in 5 7, che nne uiene 25 7. E chotanto era longho tutto

500 uia 12 mesi e parti in 321, che nne uiene mesi 18 e die 20 e

t

e in chotanto tenpo renderà di

piscione lb 24 e si tu buoli sapere ciò che rendirà di piscione ill'anno , si di': se 500 uale 24, che uale 321, si di': 24 uia 321 che fanno 7704, a partire in 500 parti che nne uiene lb 15 B 8.d'.1.

~ di d' e ccotanto deueràne rendi re la chosa(!) di piscione l'anno a quella medesina(!) rascionei le quali chase sonno sengnate iqui disotto.

ill'arbore e per questo modo si fa(nno) tutte le similglanti rascioni.

-

80 -

1) Eine Haurechnung:

moderne Ansatz ware } + ~ + 12 = x. Zur Losung dient der einfache falsche Ansatz. Nr.

fol 27

r

- 81 -

(Die Stange im Wasser). Der

1) Indirekte SchluBrechnung ("Schneiderrechnung"): Ein rechteckiger Stoff, dessen Lange und Breite gegeben ist, solI durch einen anderen von gege-

58

1 Fammi ) questa rascione: Vno si uole fare ghonella e guarnaccia e mantello de uno panno ed è alto .1. 7 1 , br e 8 di br e uole di questo panno br 23 2; anno 3 trouato un'altro panno ched è alto .1. br e "4 quartieri. Adornando, quanto panno uorremo di questo panno acciò che facia tanto quanto fone l'

bener Lange ersetzt werden. Wie breit ist er? Die richtige Losung ware (23 5

25

28.

l2 .

1

1) : 8

1 ~

=

Nr. 59 1 Fammi ) questa rascione: uno merchatante si ànne 2 sorte d'una 2 ) mmasciai elI 'una sorta uale lo .C.

altro di prima. Queste la sua reghola, chomo si

lb 18 e le 25 si torno (la) uate lb 21, l' atra sor-

de' fare tutte queste chotali rascioni, che nnoi

to uale lo .C. lb 14 e le 25 lb (torno lauate) 19.

deuemo dire: se .1.

Adornando ••.

i

fusse .1.

i,

che B(e)ria

1 c h e d euemo d'lre 23 2 1 Ula , 7 c h e f anb -r 23 2' .1. 8'

no 43 i(!) li quali si deio partire in .1.

i,

che

1) Da der Hauptteil der Aufgabe auf dem nachsten,

1 deuemo dire in che si truoua .1. quartiere 8'

verlorenen Blatt steht, ist ùer Sinn der Aufgabe

che si truoua in 8 e di': 8 uia 43 ~ si fanno 345

unklar. Vielleicht handelt es sich urn 2 Stoffe,

e dì: 8 uia .1. e

i

die bei der Bearbeitung (Waschen) eingehen.

si fanno 14; dunqua si de' -

9

-

partire 345 in 14 che n'deuiene br 24 e 14 di br

2) T.: dina.

e chotanto panno uorremo di quello che alto br .1. fol 27

v

t

di bri e per questo modo si fanno tutte le

simiglante rascioni di più e di mino e di quanto fusse adomandato. Ch'io ti richordo, che ttutauia la nuoua chosa si deue esere partitore.

Nr. 60

fol 28 r Fammi 1 ) questa rascione: auemo 117 marchi e 30ncie e

[t] ~

1 i 3~

e 4 2

2) d'arigento che tiene la marcha 6 oncie di fino argiento del quale uolemo fare mo-

neta picciola che tengna la marcha 7 quartieri d'

br23±

1.-

7

ur-1- S

III (II I I I \li ~ b124-i

br-il I1II

111111

IU III

W[

oncia di fino argiento. Adornando, quante marche di moneta picciola faremo di tutto questo nostro argiento. Anchora adornando, quante marche di rame de~erno

mettere entro. Queste la sua regola como si

de' fare tutte queste chotali rascioni che nnoi deuemo fare per lo modo dall'allegare, che nnoi deuemo dire: Vna marcha del nostro oro(!) si e,51 e d'1 eIa moneta picciola si ène tenere

i

-a

ched è

- 82 14 -s

fol 28

v

-

nOl' d euemo d'lre: da 51 in fine a 14 sia 37 e

83 -

rascioni, che si può fare per

d~o

modi, l'uno per

chosi inn ongne 14 marchi del nosrro ariento uorre-

aposiccione falsa e l'altro per trouare indriettoi

mo 37 marche di rameiogi mai douemo fare per la re-

femo per lo modo de aposicione falsa e di', che 2 moue prim0 ) di francia lb 100 e a pisa si fuoro

ghola delu ;

3, che deuemo dire: se 14 marchi d'ari-

ento uole di rame 37 di rame, che uorrà 117 e

1i,

115 e a genoua si foru lb 138 e a sardengna si fu-

che deuemo dire: 37 uia 117 e 1~ e parti in 14 parti che nne uiene 310 marchi e 3 oncie e 281 de on4 cia ) e agiongne chon 117 e 3 oncie e sonno mar-

(4] 7 e

che 42

t8!

oru lb 172 B 10 e torna a florenza e fa lb 224 B Si mo si puòte fare per la reghola delo 3 e di': se

i

-H d'oncia

6 oncie e

lb 224 B 5 fusse lb 1000, che seria lb 100, che seria lb 448 B 3 d' 2 e 8'9'7 420 3) d'l d' e cotanto mosse lo merchatante da florenza(l).

e chotante

marche di moneta picciola faremo. 1) Aus einer Silbermenge (117 6

i

lb 448 B 3 di(nari)

~6 Mark) der Feinheit

sollen piccioli hergestellt werden von der

Feinheit 1

i.

1)

Gefragt ist, wieviel Mark Mtinzsil-

Geschaftsreise eines Kaufmanns von Frankreich tiber Pisa, Genua und Sardinien nach Florenz,

ber es gibt und wieviel Kupfer zugegeben werd811

wobei er mit seinem Pisaner Geld der Reihe nach

muB.

15, 20, 25 bzw. 30 % Gewinn erzielt. Aro SchluB

2) Gerechnet wird mit 117 7 16

~~j(!)

7

Mark, da 3 1 Unzen 2'

16

hat er 100 lb. 2)

Mark. 3

1

1

T.:

nnno.

3) Es sind 445 lb 18 B und ca. 7,4 d'.

3

3) Die Feinheit ist 6 S' da 4' + 274 S· 4) Die richtige Losung ware 310 Iviark 2 ~~ Unzen.

Nr. 62 Nr. 61 1 Fammi ) questa rascione: uno merchatante si mose di

fol 29

r

fol 29

v

1

Fammi ) questa rascione: auemo choparato una sorta de lana sucida per lb 150 lo milgliaio ed aue-

fancia chon suo denari, no sapemo quanti d' portai

mo ne factu lauare lb' 378 la quale è tornata lb'

[i] mose di francia ed andò a pisa chon questi suo

217 di lauata si che nne uiene a tornare le 100 lb'

denari inuistiti e guadangna lb 15 per denari per

57 (e) 5 oncie. Dunqua le 57 lb' e 5 oncie chosta

le .C. Anchora si parte di pisa e andò a gienoua

lb 15. Ancora n'auemo chonparato un'altra sorta

e guadangna lb 20 per .C. di lb. Anchora si parte

di lana sucida per lb 150 lo .M., acciò ch'l::!lld.

da gienoua (e andò a sardengna) e guadangna /

lb 25

sld. ùi quella medesma sorta e di quellu conto di

per .C. di lb e tornò a florenza e guadangna 30 lb

prima, la quale fu tutta lb' 4089 di sucida dela

di d'

quale facemmo lauare lb' 35

(per le .C.) e poi contò li suoi d' e tro-

(O)

la quale è torna-

uase aponto 1000 lb di pisani. Adornando, quanto fo

ta lb'

161 sicchè nne uiene a tornare lo .C. lb'

li d' che mose di prima di francia. Queste la Ci)

46 di lauata. Adornando, che dei tornare tutta di

sua reghola, chomo si de' fare tutte queste chotali

lauatai dei tornare di lauata (dei tornare di la2 uata) lb' 1881 scarse ). Adornando, quanto monta

- 85 -

- 84 tutta a dandone lb' 57 5 per lb 15. Ricordote, che oncie de 57 lb' e 5 oncie si dei fare oncie che sonno fol 30

r

mase quando ebe pagato 12 fiate lo 16 delo 100 lb e per questo modo si fanno tucte le similglianti

689. Ancora / de 1881 fa n' de oncie che sonno

rascioni e per questo chotali modi si puote fare

22572, che deuemo dire: se 689 uale lb 15, che ua-

e trouare molte buone sottilglianze di rascioni

rà le 22572. Di': 22572 uia 15 lb e parti in 689, 2 che nne uiene lb 491 B 8 d' 2 scarsi ). E chotanto

che sonno buone e utili a sapere a ciascuna persona rascioneuole 5 ). (lb 100 lo 16 12 fiate) lb 28 6 ) B 4 d' 10 3088754(4) 100000000

monta le 4089 libre de lana sucida. 1) Preis verarbeiteter

(O>

(gewdschener) Wolle. Von ei-

ner ersten Partie kosteten 100 lb' (die dann beim 5 Waschen zu 57 12 lb' wurden) 15 lb. Zurn gleichen Preis wurde eine zweite Partie eingekauft von 4089 lb'

(nach dem Waschen 1881 lb'), wobei

100 lb' auf 46 lb' eingehen. Frage: Was kosten 1881 lb', wenn 57

1~ lb'

15 à' kosten?

che n Ruckzahlung von 10 lb nach 12 Jahren (ohne Verzinsung!)? Die Losung erfolgte offenbar durch Einzelberechnung fur jedes Jahr statt durch 9 12 : 10 10 = 28,2429536481. Leonardo von Pisa (Boncompagni, B. , Scritti di Leonardo Pisano, Roma (1857 )

2) Die Wolle ist "etwas knapper" geworden. Nr. 63

c~;.e

I, 313 ) schreibt in dersel-

ben Aufgabe dafur: 4 2 9 2 5 28 16 10 16 10 10

Fammi 1 ) questa rascione: uno aueua lb 100 deli quali si pacho ne 12 fla"::'e lo 16 di quello,

1) Ratenzahlung: Was sind 100 lb bei einer jahrli-

lli

rir.1anna, e quando àne fatte tutte queste c-hose 12 fiate, uolglio sapere, ciò che Ili rimase. Queste

3

6

4

10 10 16

8

1

10 10'

2 ) Vor den 12 Nullen steht die 1. 3) 24000 d'

= 100 lb.

4) Statt 30887544000. 5) T. : rascione uile. 6 ) T. : lb 2 c,;..

la sua regola cosi deio fare tutte queste chotali rascioni che noi deuemo 1 metere 12 (mile] cosi 2 fatte .0. ) denanzi a le fighure che lleua .C. cioè questa .1. che uerrà uno cosi fatte .1.000000000000, lo quale si de' esere partitore fol 30 v le quale si dei multiplicare per 24000 3 ) che / fanno 24000000000000000; dela quale somma si dei abattere 12 fiate lo decimo; e quando ài abattutu 12 fiate lo decimo, quello che rimane, est) si dei partire in .1.000000000000 e quello che nne uerà [si] si è d' e lo rotto dela rascione che nne uie, 388875544000 4) ne lb 28 B 4 d 10 1000000000000 e chotanto ri-

Nr. 64 fol 31 r Fammi 1 ) questa rascione: uno homo uole far fare uno palazo, àne trouato uno maiestro che dicie, che lo farà in 30 die a chotale pacto, che lo die ch'elIo lauora si de' auere 5 fIorini e lo die

ch'ello~9f)

lauora si de' rendere indrieto 9 fIorini. Adiuiene, che tanto lauora e tanto istette che nno lauora, che no dei auere niente e no dei paghare niente e àne fatto lo palazo. Adornando, quanto lauoro e quanto istete che nno lauoro. Queste la sua diritta reghola, chomo si dei fare, che tu dei dire 5 e 9 fanno 14 e chosi di, ch'elIo die sia 14 ore(!) che

-

- 87 -

86 -

le 9 ore lauora e le 5 si posa. Si uoli fare in 30 die si die: se 14 fusse 30, che seria 9? Di: 9 uia 30 fanno 270 a partire in 14, che nne uiene 19 die e

~ di die e tanto lauorào e si noi (Uolemo) saue-

14 2) re, quanto(no ~ lauorato, si di: se 14 fusse 30,

che seria 5? Di: 5 uia 30 fanno 150, parti in 14 fol 31

v

che nne uie(ne) /

fol 32 r Adornando, quanto istette che / no lauora. Queste la sua reghola di tutte queste rascioni di: 4 e 7 si fanno 11 florini cioiè li florini che àne lo die e che deo rendere lo die e dicho lo die sia 11 ore, le 4 ore lauora e le 7 si posa a nno perdere anno 10 guadangnarei noi si deuemo leuare lle 10 ore TT de ora e stare del' lauorare 19 ore e

10 die ~ de die e tanto(ngr)

r+

de orai a

nnon perde(re) e no guadangnare nui deuemo dire,

lauora e per questo modo si fa tutte le altre di

che lo florino uale B 30 chosi chome lo mese 30

più o di meno.

die e se ttuCil buoi sapere, in quanto tenpo guadangnarai .1. florino, si di: io guadangno ongne die 7 florini e'llo die si è 11 orei uedi che tenne 4 d e ora, Sl. per florino l'ora che in unna ora e, 4 guadangnai uno florinoi dunqua lauorai 12 die e

TT3

di die e stetti dal'lauorare 17 die e ~i die ed è facta. 1) Wie in.der vorhergehenden Aufgabe: Der faule Arbeiter. Die Angabe ist unvollstandig, mehreres 1) Es ist eine Aufgabe vom Typ: Der faule Arbeiter. Der algebraische Ansatz ware: (2) x + Y

=

(1) 5 x

=

9 y,

einem Monat von 14

=

=

19 1/11i

b) 1 fl bleibt librig, hier ist x

Tage gearbeitet und 5 Tage gefeiert, dann sind

=

a) nichts bleibt librig, also x = 10 10/11 und y

30. Der Autor liberlegt so: Wird 9

die beiden Betrage gleich (5 . 9

wurde durcheinander gebracht:

(Losung fehlt)

9 . 5). Von

c) die Losung x

9 + 5 Tagen wird dann auf

=

11 und y

9

i

12 3/11 und y

=

17 8/11 besagt,

daB jetzt 15 fl librig geblieben sind.

den Monat zu 30 Tagen geschlossen.

2) no und weitere Korrekturen von zweiter Hand. Nr. Nr. 65

1

Fammi ) anchora questa rascione: uno singnore uole fare uno palazo e lo magestro si à ciascun die ch

66

fol 32 v Fammi 1 ) questa rascione: uno auerà una botte la qua-

t

elIo lauora si à 7 florini e lo die ch'elIo no llauora de' rendere indrieto 4 fIorini. Adiuiene, che tanti die lauorào che dei auere aponto.1. fIorino.

le e piena di uino e àne 5 channelli chosi como tu uedi iqui disotto e per l'uno chanello (si e) si escie fore ttutto lo uino in escie fore tutto lo uino in si escie fore in

i

i

±die

e per l'atro si

de die e per l'atro

de die e per lo quarto chanello

escie fore tutto lo uino (in) ~ de die e per

lo

- 89 -

- 88 quinto chanello escie fore tutto lo uino in

i

che li fane lo die in fine e

de

die. Nui si uolerno trare fuore tutti questi 5 channelli a uno ponto e una ora. Adornando, in che ora

terra ed

se~à

e

truo~ase

in

è facta la rascione in 113 die. E molti

rnaiestri di queste ra(scione)2) si dichono, che le palornrno se(rà) in terra in 112 die, che nnon saui

delo die serrà uotta questa botte. Queste la sua reghola chorno si deio fare queste chotali rascioni e tutte le sirnilglanti, che noi deuerno agiongnere

(de) dela befa di drieto, che fa ~ di br lo die de rritorrno e trouase in terra.

insieme tutti li noueri che sonn? ~~~o~to le uerge dela parte delo d'le ~:?:7 . . . . ques t'l 21 e 3 1 e 41 e 51 e 61 i agiongia 2 e 3 e 4 e 5 e 6 che fanno 20 e chosl si uotirà 20 uotti lo die. Dunqua (iJ quella sola si uotaria in

2~

di die e per

quest~

modo si fa tutte

le altre.

o

1) Bewegungsaufgabe (rnit Vor- und Rlickwartsbewegung): Die Taube auf dern Turrn (= 10 br) che Bewegung abwarts 8/12 -

1) Ein Zisternenproblern rnit 5 Rohren, die das Fa0 in 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 bzw. 1/6 Tag leereni zu-

i

tagli-

=

1/12.

Nach 112 Tagen sind 9 1/3 br zurlickgelegt, also konunt die Taube arn 113. Tag unten ano Die Meinung der "Maiestri" ist unverstandlich. Statt 112 soll

sarnmen bringen sie in einer" Tag 20 LeerUl1