EIN BYZANTINISCHES RECHENBUCH DES FRÜHEN 14, JAHRHUNDERTS [PDF]

Zitiervorschau

O S T E R R E I C H I S C H E A K A D E M I E DER W I S S E N S C H A F T E N K O M M I S S I O N FOR B Y Z A N T IN IS T IK IN ST ITU T FOR B Y Z A N T IN IS T IK DER U N IV E R S IT A T W IE N

O S T E R R E I C H I S C H E A K A D E M I E DER W I S S E N S C H A F T E N K O M M I S S I O N FOR B Y Z A N T IN IS T IK IN S T ITU T FOR B Y Z A N T IN IS T IK DER U N IV E R S IT A T W IE N

W IE N E R B Y Z A N T I N I S T IS C H E S T U D I E N BAND VI

WIENER BYZANTINISTISCHE STUDIEN HERAUSGEGEBEN

VON

H E R B E R T HU NG ER

KURT VOGEL

EIN BYZANTINISCHES RECHENBUCH DES FRiiHEN 14, JAHmiUNDERTS TEXT, OBERSETZUNG U N D KOMMENTAR

Band VI K U R T VO G E L

EIN BYZANTINISCHES RECHENBUCH DES FROHEN 14. JAHRHUNDERTS TEXT, O b e r s e t z u n g u n d k o m m e n t a r

W IE N 1968

W l E;N 1968 IN K O M M IS S IO N BEI H E R M A N N B O H L A U S N A C H F ., G R A Z - W I E N - K O L N

IN K O M M IS S IO N

BEI H E R M A N N

BO H LA U S N A C H F ., G R A Z - W I E N - K O L N

Die Vorzeichnung des Klischees au f dem T itelblatt stan u n t von dem W iener G raphiker F riedrich K r a i. Sie w urde nach einem Original (Solidus K aiser Theophilos’, R a tto 1832) im Besitze des H erausgebers angefertigt.

In memoriam Ernst Wust Gredruckt m it U ntersttitzung durch das Holzhausen-Legat

Alle R echte vorbehalten

VORW ORT

Inhaltsverzeichnis V orwort

.....................................................................................................................................

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T. T e x t b e s c h r e i b u n g ............................................................. ................................... 1 . Die H andschriften .................................................................................................... 2 . Schrift und S p r a c h e ..................................................................................................... 3. Transkription xmd T e x tg e s ta ltu n g .......................................................................... 4. Personlichkeit des Schreibers ............................................... - ............................

9

BiWtafel

........................................................................................................................

I I . T e x t u n d tJ b e r s e t z u n g

11 14

16 16

nach

16

.......................................................................................

17

II I . D e r m a t h e m a t i s c h e I n h a l t d o s R e c h e n b u c h e s .................................. 137 1 . Die Zahlen und ihre D arstellung .......................................................................... 1 3 9 2 . Die Rechentechnik .....................................................................................................1 4 1 3. Die A ufgaben ........................................................................................................... 146 4. Die M ethoden ........................................................................................................... 1 4 9 5. Zwi Geschichte der Problem e .................................................................................1 5 4 Zoittafel

........................................................................................................................

nach 160

A nhang 1. MaC- und M iinzverhaltnisse ..........................................................................161 A nhang 2. Proise im d Lohne ..............................................................................................163 R egister 1 . Litoratiu-verzeichnis ....................................................................................... 1 6 4 Register 2 . Namen- und Sachverzeichnis .......................................................................... 169

tib e r U m fang u n d M ethoden d e r Logistik, also der p ra k tisc h en R echenk u n st, bei den G riechen ist wenig b e k an n t, d a eigene Schriften d a riib e r n ic h t existieren. Zw ar finden sich bei P la to n schon einige allgem eine H inw eise^ u n d sein F re u n d A rchytas h e b t einm al sogar den V orrang der L ogistik vor den an d eren K iin ste n hervor^, t)b e r die A rt der A ufgaben aber, die doch im taglichen Leben im m er anfielen u n d d u rc h R echnung zu losen w aren, erfahren w ir — w enn m an von den E p a n th e m a des T hym aridas^ a b sie h t — e rst einiges aus hellenistischer Zeit, aus H eron, D io p h an t u n d den E pigram m en der griechischen A nthologie, wozu noch sp a te r einige A ufgaben im P a p 5nrus A hm im [4]^ u nd bei dem A rm enier A nania Schirakazi [33] kom m en, der ja in B yzanz seine A usbildung erfuhr. So ist das vorliegende R echenbuch aus dem A nfang des 14. J a h rh u n d e rts m it seinen 119 P roblem en die erste um fangreiche griechische A ufgabensam m lung iib erh au p t. Sie e n th a lt neben A uf­ gaben aus dem taglichen L eben auch zahlreiche R atselproblem e, die in der m ath em atisch en U n te rh a ltu n g s lite ra tu r aller Z eiten w eiterleben. E s zeigt sich dabei, daB der anonym e V erfasser n ic h t n u r die hellenistische T rad itio n w eiterfiihrt, sondern daB sich auch arabische Einfliisse sowie B eziehungen zum A bendland geltend m achen. So d ie n t die H erausgabe dieses friihen R echenbuches n ic h t n u r d er E rw eiteru n g unserer K enntnisse iiber die L ogistik der G riechen, sondern es b e sta tig t sich auch e rn e u t das Z usam m entreffen der verschiedenen Einfliisse aus O st u n d W est in B yzanz. J . H . H eiberg h a t wohl zy erst a u f das R echenbuch bei seiner B eschreibung der P a rise r H a n d sc h rift Cod. P a r. Suppl. Gr. 387 [26; V, p. X X II] aufm erksam gem acht. E r sagt d azu : „Si quis aliquando ad stu d iu m a rtis co m p u tan d i B yzan tin o ru m adcesserit, dignum sane propositum , is in hoc codice m a te ria m u berrim am insignem que in u en iet.“ Schon v o r dreiBig J a h re n h a t d e r H erausgeber T e x t u n d I n h a lt der A ufgaben zusam m en m it E r n s t W iist eingehend durchbesprochen. E ine erste B earb eitu n g erfolgte im W in te rq u a rtie r 1940/41; sie ging im F ru h ja h r 1945 in M ecklenburg verloren. F tir die jetzige A usfiihrung d er A rb eit h a b en m ir D r. K a rl W iist, der Sohn m eines F reundes E rn s t W ust, sowie ganz besonders H e rb e rt H unger, d e r sich der M iihe unterzog, die H an d sc h rift in P a ris einzu1 2 3 4

Gesetze V II, 829b, Hippias min. 366/8, Charmides-Scholion 165e. Vorsokratiker [20; 438]. S. lamblichos in N icom achum [48; 62]. Die N um m ern in eckigen K lam m ern beziehen sich au f das L iteraturverzeichnis.

8

V orwort

sehen, w eitgehende philologische H ilfe gegeben. D a fiir d a rf ich h ier m einen herzlichen D an k sagen. E in solcher g ilt au ch d er A kadem ie d e r W issenschaften in W ien, w elche die D rucklegung erm oglicht h a t. M ein D a n k g ilt schlieBlich au ch F ra u D ipl.-M ath. K . R eich fiir ihre wertvoUe U n te rstiitz u n g bei der E rste llu n g d e r R egister. M tinchen, 30. 9. 1968

K u rt V ogel

I. TEXTBESCHREIBUNG

Die H andschriften

H

1. Die Handschriften D er T e x t des R echenbuches 1st in zwei H an d sch riften , nam lich in P a ris (hier m it P bezeichnet) u nd im Escorial (E), erh a lte n : 1. P s te h t im Cod. P a r. Suppl. Gr. 387 (fol. 118^— 140^), der von m ehreren Schreibern, d a ru n te r dem M onch Georgios Chum nos, zu A nfang des 14. J a h r hu n d e rts geschrieben w u rd e ^ C b er die G eschichte u n d den In h a lt d e r H an d schrift, die einst im B esitz von Georgios V alla w ar, d a n n von N apoleon n a ch P a ris g eb rach t w urde u n d im J a h r e 1814 n ic h t zuriickkara, b e ric h te t J . H . H eiberg [26; IV , p. IV f. u n d V, p. X X If.]ia . 2. E s te h t im Cod. Scorial. Φ -Ι-16 (fol. 95»·— 115 ^) 2. D er Schreiber lo a n n e s M aurom ata^ h a t seine A bschrift am 17. 3. 1548 abgeschlossen [26; V, p .X L I]* . E ist eine w ortlich genaue A bschrift von P ; sie ist so deu tlich geschrieben, daB m anche in P unleserliche S tellen aus E a u fg e k la rt w erden konnen. Als Belege daftir, daB M aurom ata die H an d sc h rift P vor sich h a tte , seien folgende angef i i h r t: 1. E h a t Fehler, insbesondere L iicken, von P tibem om m en in den A ufgaben 25, 39, 50, 1145. 2. E h a t R an dbem erkungen bei P in den T e x t der A ufgaben 85, 92 aufgenom m en. 3. E h a t die in P gestrichenen Stellen weggelassen bei 6, 16 u n d 99, bei 7 h a t er es iibersehen. 4. E h a t beim A bschreibefi einzelne Stiicke ausgelassen, so in 55 genau eine Zeile; in 54 sp rin g t er von dem e rsten τά a u f das zw eite und in 67 von dem e rs te n ’ώρας a u f das zweite. f sT lieiberg in [26; V, p. X X I] . l a Neuerdings h a t M.-L. Concasty [13a] ausfiihrlich iiber die D atierung (zwischen 1303 und 1308), die Geschichte und den In h alt von Cod. P ar. Suppl. Gr. 387 berichtet. 2 Gregorio de Andres, Catdlogo de los c6dices griegos de la Real biblioteca de E l Escorial, Bd. II , M adrid 1965, S. 23— 25. 3 M. Vogel—V. G ardthausen, Die griechischen Schreiber des M ittelalters und der Renaissance, Leipzig 1909, S. 177f. G. P atrinelis, Έλληνες κωδικογράφοι των χρόνων της άναγεννήσεως, Έπετηρίς του Μεσαιωνικού ’Αρχείου 8/9 (1958/59) 97. Ρ. C anart, Scribes grecs de la Renaissance, (Scripiormm 17 (1963) 65. K . A. de Meyier, Scribes grecs de la R enais­ sance, Scriptorium 18 (1964) 260. 4 D er T ex t geht nicht, wie H eiberg angibt, bis fol. 131^, d a ab fol. 115^ (letzte Zeile) dieselbe A bhandlung folgt wie in Cod. P ar. S. Gr. 387 fol. 141*· (πας δέ άριθμός ή περιττός έστι ή άρτιος κ. τ. λ.), ein weiteres Zeugnis dafiir, daB E eine A bschrift v o n P ist. 5 Die halbfetten Zahlen beziehen sich au f die A ufgabennumm em.

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I. Textbeschreibung

5. Zahlreiche w eitere Schreibfehler sin d in E beim L esen sch lech t geschriebener B u ch stab en fo rm en e n tsta n d e n ; B eispiele d a fiir sin d : A ufg. 2 8 14 17 21 25 40 52 55 94 104

E in verblaB tes E p silo n w nrde als Y psilon gelesen. E liest γ ' ( = 3 ) als γίνεται u n d als κθ·. P sch reib t τρ wie κ, so liest E κάπρον s ta t t τρόπον. B ei 3 + 4 = 7 lie st E w ieder γ ' fiir γίνεται. I n P sieh t die L ig a tu r ουλ wie ξ a u s; so lie st E Ιξων s t a t t δούλων. I n P ist das SchluBsigm a v o n ναΰς verblaB t, so liest E ναυν. P sch reib t μία m it 2 P u n k te n iiber Io ta u n d hochgestelltem A lpha, w as E als μετά liest. E liest τ^ ( = τραχία) als τόν. I n P sieh t κρ in κράτησον wie μ aus, also liest E μάτησον. I n P is t bei ώδευε das δευ so ligiert, daB στ gelesen w erden k o n n te , w as E au ch tu t. H ier h a t E s t a t t ε' ein καί gelesen. D as sch rag liegende O m ega in ώνηθήναι k o n n te als E p silo n g e d eu tet w erden, w as E tu t.

B esonders d eu tlich e rk e n n t m a n d en A bschreiber a n d er sklavischen W iedergabe der Z ahlbezeichnungen, fiir die so vielerlei A rte n verw endet w u rd en (s. u. S. 139f.). I s t die Z ahl in P ausgeschrieben, so m a c h t es E auch, dasselbe g ilt fiir die v erschiedenartige A k zen tu ieru ng. A ber P selbst is t ebenfalls die A b sch rift aus einer a n d eren V orlage. Z w ar k a n n m an n ic h t feststeU en, ob gewisse F ehler, z. B. d e r H o rfeh ler in 74 (άπόθου s ta t t άπο του), die V erw echslung von έξάγια s ta t t κουκιά in 1 oder die V ertauschu n g en bzw. A uslassungen d e r K ap iteliib ersch riften λύσις, μέθ-οδος, άπόδειξις, vom S chreiber vo n P stam m en , doch e rk e n n t m an die V orlage aus vielen S tellen: 8 P h a t aus Π® = νόμισμα ein πο abgeschrieben. 17, 74 P h a t die Z ahl γ ' ( = 3) als γίνεται gelesen. 25 P h a t ein Stiick der V orlage ausgelassen. 54 P h a t λ fiir a gelesen. 61 P sch reib t έπί als έστιν ab . 64 P m a c h t au s ς" ( = 6) seiner V orlage ein ήμισυ. 72 P liest s ta t t άμφω ein άπό. 92 P h a t die A bkiirzung fiir 1/2 als καί gelesen. 100 P schreib t s ta t t d er A bkiirzung γίνεται ein i'. A uch das R ech en b u ch vo n N ikolaos R h ab d a s vom J a h r e 1341 e n th a lt eine R eihe derselben A ufgaben wie u n ser R ech en b u ch ; es is t a b e r keine 4 b -

Die H andschriften

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V I, V II, X I I I , X V I bei R h ab d a s [60], die unseren N um m ern 20, 21, 22, 24, 35 entsprechen, eine gewisse R eihenfolge e rk en n en ; so h a tte vielleicht R h ab d a s dieselbe V orlage wie P vor sich. DaB ahnhche A ufgabensam m lungen a u ch w eiterhin in B yzanz v o rh a n d e n w aren, zeigen z. B. „Die A rith m etik des E lia M israchi" [74] oder ein R ech en ­ buch aus dem Codex V indobonensis P hil. Gr. 65 [29], beide aus dem E n d e des 15. J a h rh u n d e rts.

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I. Toxtbeschroibung

2. Z u r Schrift und Sprache D ie M inuskelschrift P v e rra t eine g eiibte griechische H an d . D er Schreiber w ar eben — im G egensatz zu lo a n n e s M au ro m ata — ein G rieche v o n G eburt. D ie Sprache zeigt ein N eb en ein an d er von hochsprachlichen u n d neugriechischen bzw. volkssprachlichen Form en. Als B eispiele fiir Ita z ism en seien a n g efiih rt: έχης (s ta tt έχεις) 114, 3; βλις (s ta tt βλης) 32, 5; κινστέρνις (s ta tt κινστήρνης) 64, 10); άπειρα (s ta tt άττηρα) 54, 2; στιχεΐ (s ta tt στοιχεϊ) 102, 2; προέκηψε (s ta tt προέκυψε) 88, 1; άκέρεον (s ta tt άκέραιον) 14, 1; δεσπότις (s ta tt δεσπότης) 87, 4. V on der H o chsprache abw eichende F o rm en bzw. B ed eu tu n g en sin d : ας (dam it) 33, 2, 28, 2; βώλιν (W iirfel) 38, 3; κομμάτι (S tuck) 1, 5; 3, 1; κουκί(ν) (K a ra t) 53, 6, bei R h ab d a s [60; 190] κοκίον; κούπα (K elch, B echer) 5, 1, 93, 6, s. H ero n [26; V, 253]; λοιπόν ( = also) 114, 8; μαζιον (kleine IVIasse) 6, 1; ή μερίδα (Teil) 27, 5; μονός = περιττός (ungerade) 113, 1; δρδινον (R eihe, von ordo) 37, 1, R h ab d a s [60; 188] k e n n t ένορδίνως; παριστα (s ta tt παρίστησι) 108, 7; πενήντα = πεντήκοντα 5, 8; τέσσαρις = τέταρσι 103, 10; χρυσάφι (Gold) 5, 1; 6, 1. U ngew ohnlich sind au ch die K o n stru k tio n e n : δουλεύειν αύτόν (s ta tt αύτφ) 93, 3; ινα λάβω (s ta tt λαμβάνω) 6, 4. D ie F o rm βηλάριον s ta t t βηλάρι (Stoff; vgl. velarium ) 10, 6 is t w ohl der V ersuch einer gebildeten Schreibw eise. V on der H ochsprache abw eichend sind auch εϊπει (39, 3), άρξου (110, 1), w ohl auch ει τι ( = alles, was) in W end u n g en wie ει τι δίδωσιν δ μερισμός (102, 2), alles, was herau sk o m m t.

Γ

Zur Transkription und Toxtgestaltung

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3. Z u r T ranskription und T extgestaltung B ei d e r T ran sk rip tio n w urden, d a m it der A p p a ra t n ic h t zu sehr be la ste t w ird, folgende G esichtspunkte b e a c h te t: F eh ler gegen die O rthographie u n d gegen die A kzentuierung (z. B. λάβε s ta t t λαβέ) w urden richtiggestelJt. D ie In te rp u n k tio n w urde nach dem Sinn des T extes vorgenom m en. U nberiicksichtigt bleiben T rennungszeichen wie οβελός u nd άστερίσκος sowie gewisse Schreibgew ohnheiten. H ierzu g eh o rt der D oppelakzent z. B. bei άν (2, 4; 13, 2) Oder έπει (30, 2) u n d das D oppel-N y bei εννι (26, 1 u. pass.). A uch die S chreibungen ΰφειλον, ύφειλε, ΰφειλαι s ta t t ΰφελε w urden n u r a n d e r zu erst vorkom m enden Stelle erw ahnt. Die zahireichen Itazism en w urden v erbessert u n d n u r gelegentlich im A p p a ra t v e rm e rk t. W eggelassene B u ch sta b e n u n d Silben w urden m it ru n d e n K la m m e rn erganzt, wie λέγ(ει) oder ν(ομισμάτ)ων. D agegen w urden die iiblichen A bkiirzungen, wie fiir όμοΰ oder ήγουν, ohne K lam m ern aufgelost; hierher g e h o rt auch γ ' = γίνεται bzw. γίνονται, w as im T e x t n ic h t feststellb ar ist (auBer bei γίνον'>^). B esonders w illkiirlich ist die A kzentuierung der Zahlen (s. u. S. 139f.). Sie w urde hier einheitlich g e sta lte t: G anze Zahlen sowie B ruchzahler e rh a lte n 1 A kzen t: 3 = γ '; 3/7 == γ 'ζ " ζ " . S tam m briiche e rh alten 2 A kzente: 1/7 = ζ''. D er N enner des allgem einen B ruches w ird d o ppelt geschrieben; 3/7 = γ 'ζ " ζ " . V ielfach schreibt der T e x t a u ch die O rdinalzahl wie den S tam m b ru ch , also γ" = der d ritte (38, 2). D ie T ran sk rip tio n g ib t d afiir τρίτος. Zahlbezeichnungen d u rc h das B uchstabensym bol n eb st Flexionsendung wie w erden m it (πρώτος) au fg e lo st; dies gilt^ au ch fiir K ardinalzahlen wie bei ^a^"^ (χιλίων). I n derselben W eise w ird auch das π -artige Siegel fu r N om ism a als (νόμισμα) w iedergegeben. F iir andere M aB abkurzungen gilt dasselbe.

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I. Textbeschreibung 'V

4 “ ·~Ι η ν κα τήλ θε τό πρώ τον τό δεύτερ(ον) ε', τό (τρίτον) δ ' · λέγε τώ έπερω τω ν τ ι· τό πρώτον^βώλιον δίπλασον εις έαυτόν, τό δεύτερ(ον) όκτάπλω σον, τό τρίτον έννάπλωσον κα'ι είπεΐν σοι· παρασκεύασον τά ς δύο ομάδας, οΐον τώ ν κατελθόντω ν 5

βω λίων καί τώ ν π ο λ υ π λ α σ ια σ θ έντω ν είσί ιε' τά τώ ν βω λίων, ζ ' ε' δ ', όμοί5 ιε '· ο μοίω ς^κ α ί τα πολυπλασ ιασθέντα είσίν π η '· βταν οδν ειπ η σοι δτι, ιε' είσί τά κατελθόντα, σύ είς έαυτόν έννεάπλωσον αύτά καί γίνονται ρ λ ε'· Ι τ ι δέ λέγοντος εκείνου δτι, πολυπλασιασμός συνήξεν π η ', κούφισον σύ έκ τώ ν ρλε' τά π η ' καί

μένουσι μ ζ · τα μ ζ ' ά πά ρ τιζε είς εβδομάδας* έπ τά κ ις εξ μ β ', μένουσι ε '· ώ ς δήλον, 126^ δτι τό πρώ τον βώλιον κατήνεγκεν c?', τό δεύτερ(ον) τά μένοντα πέντε, τό γ " || τά 11 ύπολείποντα τώ ν ια ', ίνα γίν ω ντα ι ιε' ά είσι δ '· κατήλθεν οδν τό πρώ τον βώλιον ίo»»Λβ ιναο —*——-----

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Aufgabe 58

Aufgaben 67— 58

81

teile u n d addiere dazu d en 4., 5. u n d 6 . Teil der 27 Nomism 2829 Teile. E s ist n u n [das] 1/4 d a von 6 N om ism ata u n d 3462 B r u _ 1/5 5 N om ism ata (und) 2035 B ruchteile u n d [das] 1/6 4 ^ 2308 Teile des N om ism a, w as zusam m engenom m en 50 U n d rich tig m it der M ethode is t au ch die P robe naata ergibt. 1 T .: ich schreite je tzt zum Auffinden. 2 Die Schwierigkeit dieser Aufgabe „Einer allein kann nicht kau f der vorhergehenden dadurch gesteigert, dafl je tz t jeweils 3 Brucht^y gegeniiber Betrages zu dem einen dazukomraen. Unser A nsatz ist: ® anderen 1. X + (1/3 4-1/5 + 1/7) · y = 50 oder x + 71/105 y = 50, 2. y + (1/4 + 1/5 + 1/6) · X = 50 oder y + 37/60 x = 50. Losvingsrezept: x = [(105 — 71) · 60 · 50]: (60 · 105 — 37 · 71) = 27 282(ΐ/οβ7ο y = [(60 — 37) · 105 · 50]: (60 · 105 — 37 · 71) = 32

58 I 131«·

Είς βαλάντιον έκτείνας τάς χεφ ά ς μου άνελαβόμην κατ’ ίδιαν Ι| ταΐς χερσί, δσα περ καΐ έλαβον, άργύρια· άρας οδν άπο της δεξιάς τά γ" καί τά δ" προσέθτ]κα τοις έν τη λαια. έξ αύτης δ’ έτι λαβών τά δ" και τά ε" προσέθηκα τοΐς έν τη δεξιά. • άνοίξας ούν αύτάς εύρον, δτι είχον και αί β' ισως, άνά ιβ' αργυρίων, χρή είδέναι, 5 πόσα είχεν έκατέρα προ του δούναι και λαβεΐν. λύσις* εΐχεν οΰν ή δεξιά άργύρια ε και νε"νε"ιγ'. ή δέ έτέρ(α) άργύρ(ια) ιη' και νε"νε"μβ'. μέθοδος· έπειδή γ" και δ" συνέθ-ηκε καί έποίησε ιβ' καί πάλιν έλαβε δ" καί ε" καί άπέμειναν ιβ', ποιώ οΰτως· γ" καί δ", ώς πολλάκις μοι ειρηται, έξέρχεται άπό του ιβ '· έτι δέ συντιθέμενα τά γ ' καί δ' γίνονται ζ'. [άλλ’ ήμεϊς ιβ' μονάδας ζητοΰντες πολυπλασιάσαι χρή ταύτας 10 επί τά ιβ' τό κε(φάλαιον) γίνονται ρμδ', ών τό ζ" κ ' καί δ 'ζ ^ ζ " · άπό γοΰν των κ ' μονάδων καί δ'ζ^ ζ", έάν κουφίσης γ" καί δ" καί συνθέσεις, ταΰτα γίνονται ιβ'] ομοίως είπε καί είς τον έτερον δ" καί ε" ώς ίσμεν εξέρχονται άπό των κ '· έτι 8' καί ε' θ ', άπερ έκβαλλόμενα άπό των κ ' μένουσι μονάδ(ες) ια', άλλ’ ήμεϊς ιβ' ζητώμεν. έπεί οδν άπό του κ ' έκβαλών δ" καί ε", δπως ληφθώσι μονάδες ιβ' καί 15 ούκ είσί· πολυπλασίασον τάς ιβ' μονάδας, γίνονται κα' καί ^ 'la ^ ia " . άπό γουν τούτων δύνασαι έκβαλεϊν δ" καί ε", τό δέ περιλειφθέν ώς ίνα εϊναι μονάδες ιβ'. ήδη οδν λέλυται ή ζήτησις· άλλ’ οΟκ ιση έστίν ή έρώτησις και ποιώ πάλιν ούτως· έκβεβλήσθωσαν άπό του κδ' τά κα' και θ 'ια 'ια " μένουσι μο(νάδ)ες β' και β'ια^ια", ταυτα ποιώ δωδεκάκις καί γίνονται μετά τών ια"ια" κς·'