Ecuatii Logaritmice Teoria [PDF]

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Algebra – clasa X Ecuatii logaritmice – Notiuni teoretice

ECUATII LOGARITMICE Definitie. Se numeste ecuatie logaritmica ecuatia in care necunoscuta apare in baza sau argumentul logaritmului.

a  0, a  1 si b  R b exemplu de ecuatie logaritmica si solutia sa este x  a . loga x  b ,

Exemplu. Ecuatia

unde

este cel mai simplu

Pe parcursul rezolvarii ecuatiilor logaritmice trebuie puse conditii de existenta a logaritmilor ( log f ( x) g ( x) exista daca si numai daca f ( x)  0, f ( x)  1 si

g( x)  0) .

Tipuri de ecuatii logaritmice. 1. Ecuatii de tipul:

loga f ( x)  b, unde a  0, a  1, b  R si f functie. Ecuatia este echivalenta cu urmatorul sistem:

 f ( x)  0 b  f ( x )  a .  b f ( x )  a 

Exemple:

a) log2 ( x  1)  3  x  1  23  x  9;





b) log3 x2  7 x  19  2  x2  7 x  19  32  x2  7 x  10  0  x {2,5}. 2. Ecuatii de tipul:

loga f ( x)  loga g( x), unde a  0, a  1 si f , g functii. Ecuatia este echivalenta cu urmatorul sistem:

 f ( x)  0  f ( x)  0 g ( x)  0  g ( x )  0   .    f ( x )  g ( x ) f ( x )  g ( x )   f ( x)  g ( x)  

1

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ECUATII LOGARITMICE Exemple:

x  1  0 x  1 5 a) log2 ( x  1)  log2 (4  x)    x ; 2 x  1  4  x 2x  5 x2  5x  19  0 2 b) log3 x  5x  19  log3 (2x  9)    2 x  5x  19  2x  9 x2  5x  19  0 x2  5x  19  0   x {2,5};  2 x  7 x  10  0 x {2,5} x  7  0 2 c) lg x  6x  5  lg( x  7)   2  x  6 x  5  x  7  x  7 x  7   x  .  2  x  { 3 , 4 } x  7 x  12  0 









3. Ecuatii de tipul:

log f ( x) a  b, unde a  0, b  R si f functie. Ecuatia este echivalenta cu urmatorul sistem:

 f ( x)  0   f ( x)  1 .  b  f ( x)  a Exemple:

x  3  0 x  3 x  3    a) log x 3 4  2  x  3  1  x  2  x  2  x  1;    2 ( x  3)  4 x  3  2 x {5,1} ( x  1)2  0 x  1   b) log 2  1  ( x  1)2  1  x  1  1  x   1  2,1  2 . 2 ( x 1)  x  1   2 2 ( x  1 )  2  



2



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ECUATII LOGARITMICE

4. Ecuatii de tipul:

log f ( x) g( x)  a, unde a  R si f , g functii . Ecuatia este echivalenta cu urmatorul sistem:

g ( x)  0  f ( x)  0  f ( x)  0     f ( x)  1 .  f ( x)  1   a a  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

Exemple:

x  1  0 x  1 x  1 x  1  0 x  1    a) log x 1( x  1)  2     x  2  x  3; x  1  1 x  2 x {0,3} ( x  1)2  x  1 x2  3x  0 

x2  3x  3  0  x  1 2 ( x  1 )  0   b) log ( x2  3x  3)  1    x  1  1  2 ( x 1) 2 ( x  1)  1 5x  2   2 2 ( x  1)  x  3x  3  x  1 2  x {2,0}  x  5  2 x   5

3

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ECUATII LOGARITMICE 5. Ecuatii care se rezolva prin substitutii convenabile. Exemplu:

x  0 x  0   lg2 x  3 lg x  4  0  lg x  t  lg x  t  2  t  3t  4  0 t {4,1}





x  0 x  0   x  104 ,10 .    4 lg x  4,1 x  10 ,10





6. Ecuatii care se rezolva folosind proprietatile logaritmilor. Exemple:

x  2  0  a) log3 ( x  2)  log3 ( x  2)  0  x  2  0  log ( x  2)(x  2)  0  3 x  2 x  2 x  2     x  2  x  2  x  5 ; x  2 ( x  2)(x  2)  1  2   x  4  1 x   5

x  0 x  0   b) log2 x  log3 x  1   log2 x    1  log x   1    log x 1   2  2  log 3   1 log 3  2  2   x  0 x  0   log 2 3   log2 3   log x   2 1  log2 3 x  21log 2 3  log 2 3 1 log 2 3

x2







1 log 2 3 1 log 3 2 2

3

1 log 2 2 log 2 3

4

3

1 log 2 6

 3log6 2.

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ECUATII LOGARITMICE 7. Ecuatii care se rezolva folosind monotoia functiilor. Exemple:

  x  1  0 x  1 5   a) log3 ( x  1)   x  3  0  x  3  x3   5 5 log3 ( x  1)  log3 ( x  1)   x3  x3 x  1  (1).  5 log3 ( x  1)  x  3 Consideram functiile Cum

f

f , g : (1, )  R, f ( x)  log3 ( x  1), g ( x) 

este strict crescatoare,

ecuatiei, rezulta ca

x2

g este strict descrescatoare si x  2

5 . x3

este solutie a

este solutie unica.

x  3 b)3  5  log2 ( x  3)   x (2) . 3  5  log ( x  3 )  2 x Consideram functiile f , g : (3, )  R, f ( x)  3 , g( x)  5  log2 ( x  3) . Cum f este strict crescatoare, g este strict descrescatoare si x  1 este solutie a ecuatiei, rezulta ca x  1 este solutie unica. x

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