Dynamisches Benchmarking : ein Verfahren auf Basis der Data-envelopment-Analysis 9783835007468, 3835007467 [PDF]

Zitiervorschau

Robert Wilken Dynamisches Benchmarking

GABLER EDITION WISSENSCHAFT

Robert Wilken

Dynamisches Benchmarking Ein Verfahren auf Basis der Data Envelopment Analysis

Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Backhaus

Deutscher Universitäts-Verlag

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dissertation Universität Münster, 2006 D6 (2007)

1. Auflage Mai 2007 Alle Rechte vorbehalten © Deutscher Universitäts-Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Brigitte Siegel / Sabine Schöller Der Deutsche Universitäts-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.duv.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8350-0746-8

Geleitwort

Viele Marketingentscheidungen werden vorwiegend unter Effektivit¨atsgesichtspunkten getroffen. In j¨ ungerer Zeit treten jedoch verst¨arkt Programme zur Erh¨ohung der Effizienz ¨ von Entscheidungen ins Zentrum der Uberlegungen, nachdem Kostensenkungspotenziale beispielsweise im Produktionsbereich weitestgehend ausgesch¨opft worden sind. Marketingabteilungen stehen also mehr denn je unter Druck, ihre Budgets zu rechtfertigen. Ein Verfahren zur Effizienzbeurteilung stellt die Data Envelopment Analysis (DEA) dar. Sie vergleicht Entscheidungseinheiten anhand effizienzrelevanter Kriterien, die sich in Inputs und Outputs aufteilen lassen. Hierzu wird aus den (realen) Beobachtungen in nichtparametrischer Weise eine Technologiemenge konstruiert, die einen a¨ußeren, effizienten Rand besitzt. Dieser effiziente Rand besteht aus potenziellen Referenzpunkten, benchmarks, f¨ ur ineffiziente Einheiten. S¨amtliche Einheiten k¨onnen bez¨ uglich ihrer Effizienz evaluiert werden, indem ihr Abstand zum effizienten Rand gemessen wird. Neben einer statischen Effizienzbetrachtung interessieren f¨ ur eine Reihe von Marketingfragestellungen auch Effizienzentwicklungen: Beispielsweise bei Aktivit¨aten in der Kommunikationspolitik, in der Markenf¨ uhrung und im Customer Relationship Management sind dynamische Effizienzeffekte zu erwarten. Zur Analyse solcher Effizienzentwicklungen im Zeitablauf bzw. zur Kontrolle, ob effizienzsteigernde Maßnahmen gewirkt haben, m¨ ussen die vorwiegend f¨ ur statische Bestandsaufnahmen formulierten Grundmodelle der DEA modifiziert werden. Dynamische Verfahren werden in wissenschaftlichen Arbeiten zum Thema DEA jedoch vergleichsweise selten behandelt. Zudem besitzen bestehende DEA-Modelle zur Effizienzanalyse im Zeitablauf den konzeptionellen Nachteil, dass sie die hierarchische Datenstruktur der Vergleichseinheiten nicht ber¨ ucksichtigen. Vor diesem

VI

Geleitwort

Hintergrund besteht das zentrale Anliegen der Arbeit darin, ein u ¨berzeugendes DEAbasiertes Modell zu entwickeln, das die Schw¨achen bestehender Modelle behebt und somit im Rahmen der oben skizzierten hochrelevanten Fragestellung zum Einsatz gelangen kann. Nach einer theoretischen Einordnung der Verfahrensgruppe der DEA und einer Systematisierung dynamischer DEA-Modelle, von denen insbesondere die so genannten Panelmodelle zur Analyse von Effizienzentwicklungen geeignet sind, entwickelt der Verfasser ein eigenes Modell. Die zentrale Idee dieses Modells besteht darin, durch Aggregation der Inputs und Outputs u ¨ber eine gewisse Anzahl von Perioden die hierarchische Datenstruktur zu ber¨ ucksichtigen, ohne dass die M¨oglichkeit verlorengeht, periodenspezifische Effizienzwerte zu generieren. Um dem Modell ein m¨oglichst breites Einsatzspektrum zu er¨offnen, wird es erstens unter R¨ uckgriff auf alle g¨angigen (statischen) Basismodelle sowie deren zentrale Weiterentwicklungen formuliert, kann zweitens als Repr¨asentant jeder der drei bestehenden Modellklassen zur Panelanalyse aufgefasst werden und existiert drittens in zwei Varianten, die einander erg¨anzende Resultate erzeugen. Außerdem wird eine Reihe anschließender Analysen (z.B. inferenzstatistische Tests auf Effizienzentwicklungen) diskutiert, die zugleich vielf¨altige Anhaltspunkte f¨ ur zuk¨ unftige Anwendungen bereitstellen. Die Praxistauglichkeit des neuen DEA-Modells demonstriert der Verfasser anhand eines Beispiels aus der Werbeerfolgskontrolle. Hierbei gelangt eine eigene Software zum Einsatz, die auch zur Diffusion des Verfahrens in Forschung und Praxis beitragen wird. Das Anwendungsbeispiel zeigt dabei, dass das selbstentwickelte Verfahren nicht nur zu anderen Ergebnissen f¨ uhrt, sondern auch zu solchen, die besser kompatibel mit der deskriptiven Analyse der Ausgangsdaten sind. Ich w¨ unsche der Arbeit sowie der Methodik, die der Verfasser hier pr¨asentiert, eine große, ihr zustehende Verbreitung. Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Backhaus

Vorwort

Mein herzlicher Dank Herrn Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Backhaus, meinem Doktorvater, der mir die Data Envelopment Analysis ans Herz gelegt und mich w¨ahrend meiner Zeit als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut f¨ ur Anlagen und Systemtechnologien der WWU M¨ unster großz¨ ugig unterst¨ utzt und gef¨ordert hat, ¨ Herrn Prof. Dr. Manfred Krafft f¨ ur die freundliche Ubernahme des Zweitgutachtens und die vielf¨altigen Hinweise zur Verbesserung des Manuskriptes, Herrn Prof. Dr. Aloys Prinz f¨ ur den Beisitz in der m¨ undlichen Pr¨ ufung, Herrn Prof. em. Dr. Norbert Schmitz und Herrn Prof. Dr. Ulrich M¨ uller-Funk f¨ ur die mathematische Ausbildung w¨ahrend meines Studiums, Herrn Dipl.-Kfm. Boris Blechschmidt und Herrn Dipl.-Kfm. Maik Eisenbeiß f¨ ur das sorgf¨altige Korrekturlesen der Arbeit, die Diskussionsbereitschaft und die zahlreichen Verbesserungsvorschl¨age, Herrn Dipl.-Kfm. Matthias Koch f¨ ur die Unterst¨ utzung bei der Empirischen Illustra” tion“, Herrn Dipl.-Wirt. Inform. Gert Harren f¨ ur die große softwaretechnische Unterst¨ utzung, die zahlreichen Modelltests“ und die zeitliche Flexibilit¨at, ”

VIII

Vorwort

Herrn Dipl.-Wirt. Inform. Stephan Dlugosz f¨ ur die unsch¨atzbare Hilfe bei der Erstellung des Manuskriptes mit LATEX und die mathematischen Diskussionen, Frau Prof. Dr. Christina Sichtmann und Frau Dr. Jenny van Doorn f¨ ur die wissenschaftliche und freundschaftliche Unterst¨ utzung, die ich auch aus gr¨oßerer Entfernung bekam, allen noch nicht namentlich genannten aktuellen und ehemaligen Kolleginnen und Kollegen des Instituts f¨ ur Anlagen und Systemtechnologien einschließlich studentische Hilfskr¨afte und nicht-wissenschaftliches Personal — ich habe sehr gern mit euch die letzten vier Jahre verbracht, nicht nur w¨ahrend der B¨ urozeiten, meinen Freundinnen und Freunden f¨ ur gemeinsame Unternehmungen, die auch die Dissertationszeit angenehm gemacht haben und meiner Familie: meiner Mutter, meiner Schwester und meiner Großmutter f¨ ur die bedingungslose Zuneigung und Unterst¨ utzung.

Robert Wilken

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

XV

Tabellenverzeichnis

XVII

Abk¨ urzungsverzeichnis

XIX

Symbolverzeichnis

XX

1 Einleitung

1

1.1

Hierarchische Datenstrukturen bei der dynamischen Effizienzanalyse mit Data Envelopment Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Zielsetzung und Strukturierung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA) 2.1

11

Grundlagen der DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1

Ursprung der DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2

Produktions- und entscheidungstheoretische Bez¨ uge der DEA

2.1.3

. . . 13

Distanzfunktionen als aggregierte Effizienzmaße . . . . . . . . . . . 20 2.1.3.1

Aggregation von Input-Output-Abweichungen, Gewichtung von Abweichungen und Orientierung . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3.2 2.1.4

Konzeptionen verschiedener Distanzfunktionen . . . . . . 23

Einordnung der DEA in Verfahren zur Sch¨atzung von Produktionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1

Basismodelle unter Verwendung radialer Effizienzmaße . . . . . . . 34

X

Inhaltsverzeichnis

2.2.2

2.2.3

2.3

2.2.1.1

CCR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1.2

BCC-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Basismodelle unter Verwendung nicht-radialer Effizienzmaße . . . . 47 2.2.2.1

Additives Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2.2

Free Disposal Hull-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Statische Erweiterungen von Basismodellen . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.3.1

Beschr¨ankte Gewichtungsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.3.2

Nicht-beeinflussbare Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Dynamische DEA-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.1

Dynamische Produktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.2

Dynamische Aspekte bez¨ uglich der Inputs . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.3

Modelle zur Analyse von Paneldatens¨atzen . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Analyse von Paneldatens¨ atzen als eine Form der dynamischen Effizienzmessung mit DEA 3.1

64

Klassen der DEA-basierten Panelanalyse: Periodenspezifische, sequenzielle und intertemporale Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2

Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.1

Malmquist-Produktivit¨atsindex: Dekomposition von Effizienzwerten eines panelbasierten Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2

Window Analysis: Kombination aus sequenzieller und intertemporaler Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.3

Nutzung von Resultaten der Window Analysis bei der Berechnung von Malmquist-Produktivit¨atsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3

Konzeptionell-methodische Schw¨ache bestehender DEA-basierter Panelmodelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Konzept der DISaggregierenden DEA (DIS-DEA) zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

81

4.1

Grundidee des Konzeptes der DIS-DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA . . . . . . . . . 85 4.2.1

DIS-DEA-Variante 1 als Modifikation der Window Analysis: Fensterspezifische Referenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Inhaltsverzeichnis 4.2.1.1

XI Formulierungen f¨ ur die Basismodelle CCR und BCC und Ergebnisinterpretationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1.2

DISaggregationsschritt: Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte mittels fensteroptimaler L¨osungen . . . . . . . 92

4.2.2

DIS-DEA-Variante 2 als Modifikation der Window Analysis: Periodenspezifische Referenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.2.1

Formulierungen f¨ ur die Basismodelle CCR und BCC und Ergebnisinterpretationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.2.2

DISaggregationsschritt: Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte mittels fensteroptimaler L¨osungen . . . . . . . 107

4.2.3 4.3

DIS-DEA als Modifikation der sequenziellen Analyse . . . . . . . . 109

Synopsis: DIS-DEA und Window Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.1

Vergleich bez¨ uglich der Durchf¨ uhrung der Analyse . . . . . . . . . . 111

4.3.2

Vergleich bez¨ uglich der erzielbaren Analyseergebnisse . . . . . . . . 112

4.3.3 Vergleich bez¨ uglich modellinh¨arenter Sensitivit¨atsanalysen . . . . . 114 ¨ 4.4 Ubertragung weiterer statischer Modelle auf den Fall der DIS-DEA . . . . 117 4.4.1

4.4.2

4.5

Basismodelle unter Verwendung nicht-radialer Effizienzmaße . . . . 117 4.4.1.1

Additives Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4.1.2

Free Disposal Hull-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Statische Erweiterungen von Basismodellen . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4.2.1

Beschr¨ankte Gewichtungsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . 120

4.4.2.2

Nicht-beeinflussbare Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Bestimmung von eindeutigen L¨osungen Linearer Programme innerhalb des Konzeptes der DIS-DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5.1

Zur m¨oglichen Nicht-Eindeutigkeit periodenspezifischer Effizienzwerte122

4.5.2

Eindeutigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5.3

Eignungspr¨ ufung verschiedener Konzepte zur L¨osung des Eindeutigkeitsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5.3.1

Einschr¨ankung der L¨osungsmenge durch zus¨atzliche Beschr¨ankungen der Gewichtungsfaktoren . . . . . . . . . . . 124

4.5.3.2

Formulierung von Senkund¨arzielen wie bei der Berechnung von Kreuzeffizienzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

XII

Inhaltsverzeichnis 4.5.3.3

Nutzung des Pufas-Afros- und des Fourier-MotzkinAlgorithmus’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.6

Softwaretechnische Umsetzung der DIS-DEA durch myDEA . . . . . . . . . 130

4.7

Post-DIS-DEA-Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.7.1

Erstellung von Rankings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.7.2

Inferenzstatistische Untersuchungen auf Effizienzver¨anderungen . . 139

4.7.3

Sensitivit¨atsanalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.7.4

Nutzung von Resultaten der DIS-DEA bei der Berechnung von Malmquist-Produktivit¨atsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5 Empirische Illustration der DIS-DEA im Vergleich zur Window Analysis am Beispiel von Werbeeffizienz

150

5.1

Zielsetzung

5.2

Studie von Luo, Donthu (2001) als Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2.1

Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.2

Konzeptionelle und methodische Spezifika der Studie . . . . . . . . 153

Kritikpunkte an der Basisstudie und Implikationen f¨ ur die eigene Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.4

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich . . . 159 5.4.1

Datenbasis und Modellwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.4.2

Deskriptive Analysen der Rohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.4.3

5.4.4

Fensterspezifische Effizienzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.4.3.1

Deskriptive Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4.3.2

Statistische Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Periodenspezifische Effizienzwerte: Fensterinterne horizontale Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.4.5

5.4.4.1

Deskriptive Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.4.4.2

Statistische Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Periodenspezifische Effizienzwerte: Fenster¨ ubergreifende horizontale Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.4.6

5.4.5.1

Deskriptive Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.4.5.2

Statistische Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Periodenspezifische Effizienzwerte: Vertikale Perspektive . . . . . . 180

Inhaltsverzeichnis

5.4.7

XIII

5.4.6.1

Deskriptive Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4.6.2

Statistische Analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6 Fazit

186

6.1

Zusammenfassung der Arbeit und Darstellung zentraler Ergebnisse . . . . . 186

6.2

Ausblick auf zuk¨ unftige Forschungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

A Weitere Modellformulierungen

193

A.1 Statische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 A.2 Modelle der DIS-DEA in Vektornotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 A.2.1 DIS-DEA-Variante 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 A.2.2 DIS-DEA-Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 B Technische Informationen zur Software myDEA

201

B.1 Verwendete Programmpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 B.2 Der XML-basierte Ansatz von myDEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 C Details zur empirischen Illustration

203

Literaturverzeichnis

209

Abbildungsverzeichnis

1.1

¨ Uberblick u ¨ber die Struktur der vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . .

2.1

Effizienzmessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Exemplarischer Vergleich inputorientierter CCR- und BCC-Basismodelle . 46

2.3

Grafische Darstellung des effizienten Randes unter Verwendung verschiede-

2.4

Grafische Darstellung des Cone-Ratio-Prinzips im Falle zweier Inputs . . . 55

3.1

Grafische Illustration des outputorientierten MPI unter Verwendung kon-

3.2

Missachtung der hierarchischen Datenstruktur bei DEA-basierten Panel-

6

ner Technologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

stanter Skalenertr¨age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 analysen: Die konzeptionelle Schw¨ache bestehender Verfahren . . . . . . . . 80 4.1

Gegen¨ uberstellung struktureller Unterschiede zwischen den Varianten der DIS-DEA und der Window Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2 myDEA: Verf¨ ugbarkeit der DIS-DEA im Analyse-Men¨ u . . . . . . . . . . . . 131 4.3 myDEA: Datenimport und Datenspeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.4 myDEA: Modelldialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5 myDEA: Ergebnisfenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6 myDEA: Datenexport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.7

Systematisierung der M¨oglichkeiten zur inferenzstatistischen Untersuchung von Effizienz¨anderungen (grau unterlegt: in der Literatur diskutierte Tests) 142

5.1

Ums¨atze pro Werbeausgaben (jeweils in Summe u ¨ber alle DMUs) . . . . . 163

5.2

Fenstereffizienzen der DIS-DEA-Varianten und der Window Analysis im Vergleich f¨ ur wachsende Fensterbreiten (als Mittelwerte u ¨ber alle DMUs) . 165

XVI 5.3

Abbildungsverzeichnis Vertikal aggregierte Periodeneffizienzen der DIS-DEA-Varianten und der Window Analysis im Vergleich f¨ ur wachsende Fensterbreiten (als Mittelwerte u ¨ber alle DMUs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

C.1 Umsatzentwicklungen (in Summe u ¨ber alle DMUs) in Mio. US$ . . . . . . 204 C.2 Entwicklung des Quotienten Ums¨atze pro Werbeausgaben (jeweils in Summe u ¨ber alle DMUs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Tabellenverzeichnis

4.1

Periodenspezifische Effizienzwerte innerhalb der DIS-DEA-Variante 1 . . . 96

4.2

Interpretationen verschiedener Periodeneffizienzen . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3

Periodenspezifische Effizienzwerte innerhalb der DIS-DEA-Variante 2 . . . 108

4.4

Vergleich beider Varianten der DIS-DEA mit der Window Analysis . . . . 116

4.5

M¨oglichkeiten der Erstellung von Rankings innerhalb der DIS-DEA . . . . 138

5.1

Ergebnisse der Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.2

Ums¨atze pro Werbeausgaben (Quotient aus Summen u ¨ber alle DMUs) . . . 163

5.3

Korrelationen der Fenstereffizienzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.4

Inferenzstatistische Untersuchung auf Unterschiede der Fenstereffizienzen . 169 ¨ Korrelationen der fensterinternen Anderungen der Periodeneffizienzen zwi-

5.5

schen DIS-DEA 2 und Window Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.6

Wilcoxon-Test zur Untersuchung auf Unterschiede fensterinterner Effizi-

5.7

Korrelationen der vertikal aggregierten Periodeneffizienzen zwischen DIS-

5.8

Inferenzstatistische Untersuchung auf Effizienzentwicklungen der mittels

5.9

Periodenspezifische Effizienzen pro Jahr und Fenster (als Mittelwerte u ¨ber

enz¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 DEA 2 und Window Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 DIS-DEA 2 berechneten Periodeneffizienzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 alle DMUs) f¨ ur l = 2 und l = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.10 Korrelationen periodenspezifischer Effizienzen pro Jahr . . . . . . . . . . . 182 5.11 Inferenzstatistische Untersuchung des Datenvariationseffektes . . . . . . . . 183 C.1 Liste der betrachteten Unternehmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

XVIII

Tabellenverzeichnis

C.2 Anzahl notwendiger Ersetzungen von 0 durch 0,0001

. . . . . . . . . . . . 205

C.3 Effizienzkriterien (jeweils in Summe u ¨ber alle DMUs) in Mio. US$ . . . . . 205 C.4 Mittlere Differenzen der Fenstereffizienzen (¨ uber alle DMUs) f¨ ur l = 2 . . . 206 C.5 Mittlere Differenzen der Fenstereffizienzen (¨ uber alle DMUs) f¨ ur l = 3 . . . 206 ¨ C.6 Mittlere fensterinterne Anderungen periodenspezifischer Effizienzwerte . . . 207 C.7 Mittlere Differenzen der Fenstereffizienzen (¨ uber alle DMUs) f¨ ur l = 4 . . . 207 C.8 P-Werte des Friedman-Tests zur Untersuchung des Datenvariationseffektes 208 C.9 P-Werte des Friedman-Tests zur Untersuchung fensterinterner Effizienzverl¨aufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 C.10 P-Werte des Friedman-Tests zur Untersuchung von Effizienzentwicklungen 208

Abku ¨rzungsverzeichnis

AR

Assurance Region

BCC

Banker, Charnes und Cooper

CCR

Charnes, Cooper und Rhodes

CR

Cone Ratio

CRS

Constant Returns-to-Scale

CSW

Common Set of Weights

DEA

Data Envelopment Analysis

DIS-DEA

DISaggregierende Data Envelopment Analysis

DMU

Decision Making Unit

FDH

Free Disposal Hull

FRH

Free Replicability Hull

LP

Lineares Programm

MPI

Malmquist-Produktivit¨atsindex

NB

nicht-beeinflussbar

NDRS

Non-Decreasing Returns-to-Scale

NIRS

Non-Increasing Returns-to-Scale

TM

Technologiemenge

VRS

Variable Returns-to-Scale

Symbolverzeichnis

Variablen d

Distanz

d−

Inputdistanz

d+

Outputdistanz

D

Wert einer Distanzfunktion

η

outputorientierte Effizienz

θ

inputorientierte Effizienz

λ

Gewicht einer DMU

Λ

Gesamtheit aller λ-Werte

µ

Outputgewicht in einem inputorientierten LP

ν

Inputgewicht in einem inputorientierten LP

O

obere Schranke f¨ ur Gewichtungsfaktoren im AR-Modell

π

Inputgewicht in einem outputorientierten LP

s−

Inputslack

s+

Outputslack

u

Outputgewicht im Quotientenprogramm; Output-Skalenparameter

U

Kegel von Outputgewichten im CR-Modell; untere Schranke f¨ ur Gewichtungsfaktoren im AR-Modell

v

Inputgewicht im Quotientenprogramm; Input-Skalenparameter

V

Kegel von Inputgewichten im CR-Modell

w−

Gewicht von Inputdistanzen

w+

Gewicht von Outputdistanzen

Symbolverzeichnis x

Input einer DMU

X

Input aller DMUs

X¯ι

Input aller DMUs, speziell in DIS-DEA-Variante 1

X(ι)

Input aller DMUs, speziell in DIS-DEA-Variante 2

y

Output einer DMU

Y

Output aller DMUs

Y¯ι

Output aller DMUs, speziell in DIS-DEA-Variante 1

Y(ι)

Output aller DMUs, speziell in DIS-DEA-Variante 2

z

Produktion; Effizienz im Additiven Modell

ψ

Distanzfunktion

ω

Outputgewicht in einem outputorientierten LP

Indizes i

Input

ι

Periode; Fenster

¯ι

Fenster (mit Bezug zur Summenbildung)

(ι)

Gesamtheit aller Perioden eines Fensters

j

Output

k

DMU

l

Fensterbreite

κ

Periode in einem Fenster

m

Anzahl der Inputs

n

Anzahl der DMUs

o

zu analysierende DMU

t

Periode im Betrachtungszeitraum

T

L¨ange des Betrachtungszeitraums

ξ

Skalenertragsannahme

s

Anzahl der Outputs

XXI

XXII

Symbolverzeichnis

Sonstige mathematische Symbole und Abk¨ urzungen (in)

Inputbezug

max

Maximum

min

Minimum

(out) Outputbezug seq

sequenzielles Modell

R

Menge der reellen Zahlen

R+

Menge der positiven reellen Zahlen

∗

Optimalit¨at der L¨osung eines LPs bzw. eines Effizienzwertes

1 Einleitung 1.1 Hierarchische Datenstrukturen bei der dynamischen Effizienzanalyse mit Data Envelopment Analysis If eras can be neatly labeled, then the present era [..] must be called the Era of Efficien” cy.“ 1 Dieses nunmehr 20 Jahre alte Zitat, das die Relevanz des Effizienzbegriffes sowie der Effizienzmessung innerhalb der Wirtschaftswissenschaften unterstreicht, ist auch heute noch hochaktuell: Unternehmen sehen sich mehr denn je zunehmendem Wettbewerbsdruck ausgesetzt.2 Stetig wachsende Kundenanforderungen an Sach- und Dienstleistungen lassen Unternehmen gerade in wirtschaftlich schlechten Zeiten unter Handlungsdruck geraten, der h¨aufig in der Forderung nach Effizienzsteigerungen“ artikuliert wird.3 ” Im betriebswirtschaftlichen Verst¨andnis stellt dabei die Effizienz ein Kriterium dar, anhand dessen die Vorziehensw¨ urdigkeit von Handlungen, Methoden, Verfahren, Entscheidungen oder Unternehmungen verglichen werden kann.4 Ein solcher Vergleich st¨ utzt sich dabei in der Regel auf eine Vielzahl von Kriterien, wie folgendes einfaches Beispiel zeigt: Verschiedene Unternehmen einer Branche versuchen, durch Werbung in verschiedenen Medien den Umsatz sowie ihre Bekanntheit zu erh¨ohen. Fraglich ist nun, wie zwei dieser Unternehmen hinsichtlich der Effizienz bewertet werden sollen, wenn sie zwar identische Werbeausgaben in s¨amtlichen Kan¨alen aufweisen, das eine Unternehmen jedoch einen h¨oheren Umsatz und das andere einen h¨oheren Bekanntheitsgrad erreicht? Zur Beantwortung solcher Fragen — d.h. zur Charakterisierung der Effizienz bei mehreren unterschied” 1

Silkman (1986), S. 1.

2

Siehe Heuer (2001), S. 117 f.

3

Zur Forderung nach mehr Effizienz speziell im Bereich des Marketing siehe z.B. Hammerschmidt (2006), S. 1, sowie die dort genannten Quellen; Mahajan (1991), S. 189.

4

Vgl. dazu Kleine (2002), S. 1.

2

Einleitung

lichen Kriterien“ 5 — stehen Konzepte zur Verf¨ ugung, die auf Farrell (1957), Koopmans (1951) und letztlich auf Pareto (1897) zur¨ uckgehen.

Die Data Envelopment Analysis (im Folgenden: DEA) ist ein nicht-parametrisches Verfahren zur methodischen Umsetzung dieses auf den Arbeiten von Farrell, Koopmans und Pareto zur¨ uckgehenden Effizienzkonzeptes und bildet den dieser Arbeit zugrunde liegenden methodischen Fokus.6 Analyseeinheiten stellen so genannte decision making units (DMUs) dar, leistungserstellende Einheiten, die anhand derselben, u.U. vielf¨altigen Kriterien miteinander verglichen werden sollen. Die Kriterien beschreiben dabei den Leistungserstellungsprozess der Vergleichseinheiten und lassen sich in Inputs und Outputs einteilen. Die beobachteten DMUs werden unter Beachtung gewisser Regeln“ (Axiome) zur Konstruk” tion einer solchen Menge herangezogen, die alle f¨ ur m¨oglich erachteten Leistungen enth¨alt und daher auch — im mathematischen Sinne — maßgeblich f¨ ur die Effizienzbewertung ist. Die derart konstruierte Technologiemenge besitzt n¨amlich einen ¨außeren, effizienten Rand, bez¨ uglich dessen sich jedes Element dieser Menge durch Abstandmessung evaluieren l¨asst. Die DEA bewertet jede DMU insbesondere anhand eines eindimensionalen Effizienzmaßes und reduziert somit die Vielzahl der relevanten Kriterien auf ein einziges. Zum Einsatz gelangen hier Techniken der Linearen Programmierung. Pro DMU muss ein separates Lineares Programm (im Folgenden: LP) aufgestellt und gel¨ost werden; gem¨aß der Dualit¨atstheorie 7 gibt es hierbei zu jedem (primalen) LP ein duales LP, das im Falle der L¨osbarkeit denselben Zielwert — hier: denselben Effizienzwert — wie das Primalprogramm liefert. Parameter des primalen LPs entsprechen Nebenbedingungen des Duals und umgekehrt. Oftmals werden in einer DEA beide Programme berechnet, um die Ergebnisinterpretation zu erweitern: W¨ahrend im Primalprogramm eine (DMU-spezifische) Gewichtung der effizienzrelevanten Kriterien zur Ermittlung eines eindimensionalen Effizienzwertes erfolgt, sucht das Dualprogramm nach einem Referenzpunkt f¨ ur die zu evaluierende DMU auf dem effizienten Rand der Technologiemenge, der eine Linearkombination gewisser (effizienter) Vergleichseinheiten darstellt. 5

Kleine (2002), S. 2.

6

In dieser Arbeit wird die f¨ ur die DEA englischsprachige Originalbezeichnung gegen¨ uber der im deut¨ schen Sprachgebrauch gelegentlich verwendeten, jedoch unvollst¨andigen Ubertragung Data Envelop” ment Analyse“ bevorzugt.

7

Siehe z.B. Luenberger (1973); Haupt, Lohse (1975); Schrijver (1986); Bazaraa, Jarvis, Sherali (1990).

Hierarchische Datenstrukturen bei der dynamischen Effizienzanalyse mit DEA

3

Seit ihrer Einf¨ uhrung in die wissenschaftliche, zun¨achst Operations Research-gepr¨agte Diskussion durch eine Arbeit von Charnes, Cooper, Rhodes (1978) hat sich die DEA als flexibles, vielseitig einsetzbares Instrument der Effizienzmessung in unterschiedlichen Bereichen etablieren k¨onnen,8 was sich letztlich auch durch die Vielzahl von methodenorientierten sowie anwendungsgetriebenen Weiterentwicklungen des Basismodells begr¨ unden l¨asst. Die Zahl der Publikationen in Form von Artikeln in wissenschaftlichen Zeitschriften, B¨ uchern, Monografien, Konferenzbeitr¨agen und Arbeitsberichten zum Thema DEA umfasst mittlerweile mehrere Tausend; laufend aktualisierte Bibliografien k¨onnen dabei kaum den Anspruch auf Vollst¨andigkeit erheben.9 Zum großen Teil werden in der DEA-Literatur statische Modelle verwendet; dynamische Modelle machen bei den methodischen Weiterentwicklungen und auch, als Konsequenz, bei den empirischen Anwendungen einen relativ geringen Anteil aus.10 Dies ist verwunderlich angesichts der Tatsache, dass die Motivation f¨ ur eine dynamische Betrachtungsweise vielf¨altig sein kann und eine dynamische Perspektive insbesondere dann sinnvoll erscheint, wenn Effizienzentwicklungen (im Gegensatz zu statischen Bestandsaufnahmen) den Untersuchungsfokus bilden. Effizienzentwicklungen sind beispielsweise im Rahmen der ¨okono¨ mischen Wachstumstheorie 11 von Bedeutung oder auch zur Uberpr¨ ufung der Wirksamkeit effizienzf¨ordernder Maßnahmen in Folgeperioden. Genau diese Art (Kontroll-)Information ben¨otigen Unternehmen, um zu testen, ob die eingangs erw¨ahnten notwendigen Effizi” enzsteigerungen“ auch tats¨achlich erreicht werden konnten.12 8

Siehe Ray (2004), S. ix.

9

Siehe Seiford (2006); die Bibliografie von Tavares (2002) umfasst mehr als 3200 Eintr¨age von u ¨ber 1600 Autoren in 42 L¨ andern.

10

Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 177 f.: An overwhelming proportion of the empirical applications of ” DEA has been based on cross-section data, although there is nothing inherent in the technique that imposes this limitation.“ Siehe auch Sengupta (1995), S. xi.

11

Siehe Barro, Sala-i Martin (2004); de la Croix (2002); Solow (2000). Zu empirischen Anwendungen der DEA siehe z.B. Berg, Førsund, Jansen (1992); Førsund (1993); Odeck (2000); Shestalova (2003); Timmer, Los (2005).

12

Im Bereich des Marketing nennt Hammerschmidt (2006) diesen Controlling-Aspekt als zuk¨ unftiges Forschungsfeld der DEA; siehe Hammerschmidt (2006), S. 299. Beispiele f¨ ur Effizienzanalysen im Zeitablauf werden in Kapitel 2.3.3, S. 60 ff. angef¨ uhrt. Beispielsweise im Bereich des Marketing sind nicht-konstante Effizienzentwicklungen aufgrund dynamischer Effekte wie etwa carryover effects, hysteris, new trier effects oder stocking effects zu erwarten; siehe Lilien, Kotler, Moorthy (1992), S. 661f.

4

Einleitung

Zur Analyse von Effizienzentwicklungen ben¨otigt man eine so genannte Paneldatenstruktur ; das heißt, dass man bei den zu vergleichenden DMUs die performancerelevanten Kriterien nicht nur in einer Periode misst, sondern in einer Reihe aufeinander folgender Perioden. Blickt man in die DEA-basierte Literatur, so stellt man fest, dass sich eine Effizienzanalyse im Zeitablauf gr¨oßtenteils auf die Anwendung von Malmquist-Produktivit¨atsindizes 13 und auf die Window Analysis 14 beschr¨ankt — letztere ist der Spezialfall eines DEA-basierten Panelmodells, von denen es insgesamt drei Klassen gibt. W¨ahrend der Malmquist-Produktivit¨atsindex (MPI) prinzipiell keine Variante der DEA zur Panelanalyse darstellt, sondern Ergebnisse einer (meist statisch-komparativen) DEA nutzt, um daraus Ursachen f¨ ur Effizienzver¨anderungen zu analysieren,15 ist die Window Analysis ein speziell f¨ ur eine Paneldatenstruktur entwickeltes Verfahren.16 In einer Window Analysis f¨ uhrt man eine DEA in so genannten Fenstern durch, einer Folge einer gewissen Anzahl aufeinander folgender Perioden. Dabei u ¨berlappen sich die Analysefenster, was neben der horizontalen Perspektive — Effizienzmessung im Zeitablauf — eine vertikale Perspektive er¨offnet, die eine Sensitivit¨atsanalyse gestattet.17 Allerdings besitzt dieses Verfahren eine konzeptionell-methodische Schw¨ache in dem Sinne, dass die Hierarchie in den Daten nicht ber¨ ucksichtigt wird: Jede Vergleichseinheit wird pro Periode als separate Einheit betrachtet. Diese Vorgehensweise missachtet folglich, dass Entscheidungen pro DMU m¨oglicherweise f¨ ur mehrere aufeinander folgende Perioden getroffen werden. Zudem spiegeln sich Effizienzentwicklungen nicht notwendig im Effizienzmaß wider, also in der zentralen Kenngr¨oße, die eine DEA erzeugt. Infolgedessen k¨onnten die Resultate der Window Analysis missverst¨andliche Informationen u ¨ber Effizienz¨anderungen liefern 13

Siehe Malmquist (1953) bzw. die erweiterte Arbeit von Caves, Christensen, Diewert (1982); f¨ ur eine ¨ Ubersicht siehe z.B. Grosskopf (1993).

14

Siehe die urspr¨ ungliche Arbeit von Charnes, Clark, Cooper, Golany (1984), S. 103ff; Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 292 ff. Zur vorwiegenden Anwendung der Window Analysis als panelbasiertes DEAModell siehe z.B. Banker, Janakiraman, Natarajan (2004), S. 477, und Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 178.

15

Teilweise wird der MPI als Alternative zur Window Analysis gesehen (siehe z.B. Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 178); diese Darstellung ist nach der genannten Charakterisierung des MPI allerdings missverst¨ andlich, da der MPI keine DEA ersetzt.

16

Siehe z.B. Tulkens, Vanden Eeckaut (1995). Aus Konsistenzgr¨ unden zur Verwendung der englischen Bezeichnung Data Envelopment Analysis wird auch hier die englischsprachige Originalbezeichnung gegen¨ uber der in deutschen Publikationen auftretenden Begriffe der Fensteranalyse“ oder Fenster” ” technik“ (siehe B¨ urkle, Raber (1995)) bevorzugt.

17

Zu Einzelheiten sei auf Kapitel 3.2.2 verwiesen.

Zielsetzung und Strukturierung der Arbeit

5

und schlimmstenfalls sogar zu Fehlsteuerungen f¨ uhren. Ben¨otigt wird ein Verfahren, das die konzeptionelle Schw¨ache bisher eingesetzter Instrumente behebt, und das sich daher auch f¨ ur die Analyse von Effizienzentwicklungen eignet.

1.2 Zielsetzung und Strukturierung der Arbeit Aufgrund der Tatsache, dass es kein u ¨berzeugendes dynamisches DEA-Modell gibt, das hierarchische Datenstrukturen bei der Analyse von Paneldatens¨atzen angemessen ber¨ ucksichtigt, wird in der vorliegenden Arbeit ein eigenes Modell entwickelt. Die zentrale Anforderung an ein solches Modell besteht darin, die konzeptionell-methodische Schw¨ache bestehender Verfahren zu beheben — nur ein bereits aus konzeptioneller Perspektive geeignetes Verfahren kann u ¨berhaupt zur Analyse von Effizienzentwicklungen eingesetzt werden. Der Arbeit liegt daher eine methodische Perspektive zugrunde. Da zur Durchf¨ uhrung einer DEA Lineare Programme aufgestellt und gel¨ost werden m¨ ussen, wird sich die Darstellung der DEA wie auch des eigenen Modells auf die Nennung und Interpretation der entsprechenden Linearen Programme konzentrieren. Neben der Entwicklung einer konzeptionell u ¨berzeugenden Methode der DEA-basierten Panelanalyse wird zu kl¨aren sein, inwiefern die Ergebnisse einer solchen Analyse anhand objektiver Verfahren wie inferenzstatistische Tests analysiert werden k¨onnen. Die Literatur zu diesem wichtigen Aspekt ist sp¨arlich; daher besteht ein zweites Ziel dieser Arbeit ¨ darin, die M¨oglichkeiten zu statistisch gest¨ utzten Verfahren zur Uberpr¨ ufung von Effizienzentwicklungen entscheidend auszubauen. Zur Bearbeitung dieser Zielsetzungen wird die in Abbildung 1.1 illustrierte Grobstruktur zugrunde gelegt.18 Die hellgrauen Pfeile deuten den Verlauf der logischen Abfolge der Kapitel an, w¨ahrend die dunkelgrauen Pfeile R¨ uckgriffe auf fr¨ uhere Ausf¨ uhrungen illustrieren. Das Kernst¨ uck der Arbeit stellt Kapitel 4 dar, also derjenige Teil, der die L¨ ucke methodisch u ¨berzeugender DEA-Modelle zur Analyse von Paneldatens¨atzen zu schließen versucht.

18

Diese Illustration konzentriert sich auf die Hauptbestandteile der Kapitel; eine Reproduktion des Inhaltsverzeichnisses wird bewusst vermieden.

6

Einleitung

Methodische Perspektive: DEA als Verfahren der Effizienzmessung Kapitel 1 Einleitung Kapitel 2 • Grundlagen: theoretisch (Produktions- und Entscheidungstheorie) und methodisch (Distanzfunktionen) • Vorstellung sämtlicher Basismodelle und ausgewählter statischer Weiterentwicklungen • Vorstellung dynamischer Modelle als eine zusätzliche Form der Weiterentwicklung statischer Modelle: Spezielle Eignung der Panelmodelle zur Analyse von Effizienzentwicklungen Kapitel 3 inhaltl. Fokus

• Systematisierung bestehender Konzepte zur Panelanalyse (drei Modellklassen) • Methodische Beschreibung der am weitesten verbreiteten Konzepte • Malmquist-Produktivitätsindex (nur „Aufbaumodul“) • Window Analysis • Kombination von Malmquist und Window Analysis Kapitel 4

method. Forschungsbedarf

Entwicklung eines Konzeptes zur Panelanalyse mit DEA • Darstellung als Modifikation jeder der drei Modellklassen • Darstellung sämtlicher Basismodelle sowie deren statischer Weiterentwicklungen • Softwaretechnische Umsetzung • Anschließende Analysen: Identifikation des Mehrwertes gegenüber bestehenden Verfahren Kapitel 5

Anwendung in der Praxis

Empirische Illustration des entwickelten Konzeptes

Kapitel 6 Fazit

¨ Abbildung 1.1: Uberblick u ¨ber die Struktur der vorliegenden Arbeit

Zielsetzung und Strukturierung der Arbeit

7

Kapitel 2 geht sowohl auf die Grundlagen der Data Envelopment Analysis als auch auf mathematische Formulierungen (statischer) Modelle ein. Als theoretische Grundlagen der DEA finden sich im Schrifttum produktionstheoretische wie auch allgemeinere entscheidungstheoretische Bez¨ uge. Die Entscheidungstheorie verhilft dazu, den reinen produktionstheoretischen Effizienztest, also die Einteilung der DMUs in effiziente und ineffiziente Einheiten, um ein (reellwertiges) Effizienzmaß zu erg¨anzen. Die in jeder DEA verwendeten Effizienzmaße lassen sich anhand von Distanzfunktionen beschreiben, die sich in radiale, nicht-radiale und hybride Funktionen einteilen lassen. Bez¨ uglich der mathematischen Modellformulierungen werden zun¨achst die beiden grundlegenden und auch g¨angigsten CCR- und BCC-Basismodelle beschrieben,19 um sie sp¨ater auch f¨ ur das zu entwickelnde Panelmodell aufstellen zu k¨onnen. Um das Anwendungsspektrum f¨ ur dieses Panelmodell nicht auf die genannten zwei Basismodelle zu beschr¨anken, sondern zus¨atzlich f¨ ur weiterentwickelte Modelle zu o¨ffnen, werden im weiteren Verlauf des Kapitels vier Modelle in ihren jeweiligen Grundz¨ ugen vorgestellt. Die Wahl dieser Modelle richtet sich dabei nach den Annahmen bez¨ uglich der vier zentralen Parameterklassen, die in den Linearen Programmen eines CCR- bzw. BCC-Modells zu finden sind. Variiert man jeweils eine dieser Annahmen, gelangt man zu dem entsprechenden modifizierten Modell. Im Einzelnen handelt es sich bei diesen Parameterklassen um (i) das Effizienzmaß; (ii) die effizienzrelevanten Kriterien, d.h. die Inputs und Outputs; (iii) die Gewichtungsfaktoren der Inputs und Outputs im Primalprogramm; (iv) die Gewichtungsfaktoren der effizienten Einheiten zur Bestimmung eines Referenzpunktes im Dualprogramm, wobei die beiden erstgenannten Parameter sowohl in den Primal- als auch in den Dualprogrammen auftreten.20 Da sich s¨amtliche vorgestellten Modelle anhand der zugrunde 19

Benannt nach C(harnes), C(ooper) und R(hodes) sowie nach B(anker), C(harnes) und C(ooper); siehe Charnes, Cooper, Rhodes (1978) sowie Banker, Charnes, Cooper (1984).

20

Welche Annahmen bez¨ uglich jeder dieser Parameterklassen in den CCR- bzw. BCC-Basismodellen gelten und inwiefern die vier vorgestellten Weiterentwicklungen diese Annahmen variieren, wird in den jeweiligen Abschnitten der Modelle erl¨ autert.

8

Einleitung

liegenden Distanzfunktion charakterisieren lassen, dient diese (und nicht die Parameterklassifikation in den LPs) zur Systematisierung. Kapitel 2.3 leitet die Darstellung der dynamischen Varianten einer DEA ein, die zwar auch als weiterentwickelte Modelle der DEA beschrieben werden, jedoch prinzipiell auf jedem der vorgestellten statischen Modelle fußen k¨onnen. Die eingangs erw¨ahnten Panelmodelle stellen dabei diejenige Klasse der dynamischen Weiterentwicklungen dar, die zur Analyse von Effizienzentwicklungen in besonderem Maße geeignet erscheinen. Sie bilden den inhaltlichen Fokus der Arbeit. Kapitel 3 widmet sich ausf¨ uhrlich denjenigen Modellen, die in der DEA-Literatur zur Analyse von Paneldatens¨atzen diskutiert werden. Zwar gibt es drei Klassen solcher Modelle; haupts¨achlich beziehen sich jedoch methodische wie empirische Arbeiten auf den Malmquist-Produktivit¨atsindex sowie auf die Window Analysis. Gelegentlich werden beide Verfahren miteinander kombiniert, ein Vorgehen, das kritisch eingesch¨atzt wird und die Frage offen l¨asst, ob der Malmquist-Produktivit¨atsindex u ¨berhaupt Ergebnisse solcher Panelmodelle verwenden kann, die Analysen in u uhren. Es ¨berlappenden Fenstern durchf¨ wird insbesondere zu kl¨aren sein, ob das eigene Modell bez¨ uglich der Kombinierbarkeit mit dem Malmquist-Produktivit¨atsindex besser geeignet ist als bestehende Panelmodelle. Ein gesonderter Abschnitt beschreibt noch einmal die konzeptionelle Schw¨ache jeder Modellklasse einer panelbasierten DEA, woraus sich der erw¨ahnte methodische Forschungsbedarf ergibt. Kapitel 4 stellt das im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelte Konzept zur Panelanalyse mit DEA vor. Dieses Konzept, f¨ ur das die Bezeichnung DISaggregierende DEA (kurz: DIS-DEA gew¨ahlt wird, umfasst dabei zwei Varianten. In Variante 1 wird die Technologiemenge aus periodenspezifischen DMUs konstruiert, w¨ahrend in Variante 2 fensterbezogene DMUs maßgeblich sind. Folglich erfolgt bei Variante 1 die Effizienzmessung nach der Maßgabe langfristig effizienter Einheiten, wohingegen bei Variante 2 eine kurzfristige Perspektive zugrundeliegt. Beide Varianten evaluieren dabei ausschließlich fensterspezifische DMUs und generieren folglich so genannte Fenstereffizienzen, sind aber dennoch in der Lage, diese langfristige Effizienz in periodenspezifische Bestandteile zu zerlegen, woraus sich auch die Bezeichnung DISaggregierende DEA erkl¨art. Die Varianten ¨ sind im Ubrigen nicht als konkurrierende, sondern als einander erg¨anzende Verfahren zu

Zielsetzung und Strukturierung der Arbeit

9

verstehen, deren simultane Anwendung verschiedenartige Ergebnisse und somit ein breites Ergebnisspektrum erzeugt.21 Ziel dieses Kapitels ist es vor allem, die in Kapitel 2 vorgestellten Modelle der DEA auf beide Varianten dieses Konzeptes zu u ¨bertragen. Dieses Vorhaben erfordert die explizite Aufstellung der in einer DEA verwendeten Linearen Programme. Schwerpunkt dieses Kapitels bildet daher die Darstellung der mathematischen Modellformulierungen. Ferner wird die DIS-DEA als Variante jeder verf¨ ugbaren Klasse von Panelmodellen beschrieben, um dem hier vorgeschlagenen Verfahren ein m¨oglichst breites Anwendungsspektrum zu er¨offnen. Nach der Darstellung der CCR- und BCC-Basismodelle in beiden Varianten der DISDEA erfolgt zun¨achst eine Gegen¨ uberstellung mit der Window Analysis. Anhand dieser Gegen¨ uberstellung werden die grundlegenden Unterschiede und Gemeinsamkeiten hinsichtlich der Durchf¨ uhrung der Analyse, der erzielbaren Ergebnisse sowie eines methodenbedingten Sensitivit¨atsaspektes hervorgehoben. Anschließend werden auch die vier zentralen statischen Weiterentwicklungen der Basismodelle auf den Fall der DIS-DEA u ¨bertragen. Ein spezielles methodisches Problem der DIS-DEA wird in Kapitel 4.5 adressiert, f¨ ur das verschiedene L¨osungskonzepte vorgestellt und bewertet werden. Aufgrund der speziellen Modellstruktur s¨amtlicher Modelle der DIS-DEA ist es dar¨ uber hinaus notwendig, die Prozedur in einer neuen Software zu implementieren, damit das Konzept auch tats¨achlich in empirischen Anwendungen eingesetzt werden kann. Die Beschreibung der softwaretechnischen Umsetzung der DIS-DEA in einer Software namens myDEA erfolgt in Kapitel 4.6. Schließlich beschreibt Kapitel 4.7 verschiedene M¨oglichkeiten, die Ergebnisse einer DIS-DEA in anschließenden Analysen auszuwerten. Das Ziel dieses Abschnittes besteht vor allem darin, in Erg¨anzung zur genannten Gegen¨ uberstellung der DIS-DEA und der Window Analysis den Mehrwert zu identifizieren, der sich durch die Anwendung einer DIS-DEA ergibt. Neben der Erstellung von Effizienzrankings geht es hierbei gem¨aß des o.g. zweiten Ziels der Arbeit vor allem um inferenzstatistische Untersuchungen auf Effizienzentwicklungen im Zeitablauf. Ferner wird, wie ebenfalls weiter oben angek¨ undigt, die M¨oglichkeit gepr¨ uft, den Malmquist-Produktivit¨atsindex auf Resultate der DIS-DEA anzuwenden. 21

Auch Tulkens, Vanden Eeckaut (1995) argumentieren in ihrer Arbeit u ¨ber DEA-basierte Panelmodelle f¨ ur den Einsatz mehrerer Verfahren zur Analyse eine Datensatzes: We would argue, however, that ” several methods are better than only a few: our experience is indeed that by analyzing a same data set in various ways, one gets a much better understanding of what these data contain, and one finally reaches conclusions that [are] more strongly founded.“ Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 495.

10

Einleitung

In Kapitel 5 wird das Verfahren der DIS-DEA anhand einer empirischen Anwendung illustriert. Als Anwendungsbeispiel dient die Untersuchung der Werbeeffizienz der gr¨oßten werbetreibenden Unternehmen in den USA und ist in diesem Sinne als Erweiterung der Studie von Luo, Donthu (2001) zu verstehen. Hierbei werden wie in der Ausgangsstudie Daten genutzt, die j¨ahrlich von Advertising Age im Internet ver¨offentlicht werden und zum einen werbekanalspezifische Ausgaben der genannten Unternehmen einerseits sowie deren j¨ahrliche Ums¨atze andererseits beinhalten.22 Eine Gegen¨ uberstellung der DIS-DEA mit herk¨ommlichen Panelmodellen zeigt an diesem konkreten Beispiel, inwieweit sich die Ergebnisse unterscheiden, welche Fehlinformationen herk¨ommliche Verfahren m¨oglicherweise liefern und welche Zusatzinformationen die DIS-DEA bereitstellt. Kapitel 6 fasst die wesentlichen Erkenntnisse der Arbeit zusammen und identifiziert dar¨ uber hinaus weiteren Forschungsbedarf sowohl auf methodischer als auch auf empirischer Seite.

22

Siehe http://adage.com/datacenter/.

2 Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA) 2.1 Grundlagen der DEA 2.1.1 Ursprung der DEA Die Data Envelopment Analysis (DEA) ist ein auf mathematischer Programmierung basierendes nicht-parametrisches Verfahren der Effizienzmessung. Sie geht auf einen Artikel von Charnes, Cooper und Rhodes aus dem Jahre 1978 zur¨ uck, der wiederum auf einer Arbeit von Farrell (1957) basiert.23 Der ¨okonomische Effizienzbegriff hat seinen Ursprung im 1897 von Pareto formulierten wohlfahrts¨okonomischen Prinzip, nach dem ein Zustand (Pareto-)effizient ist, wenn es unm¨oglich ist, ein Individuum besser zu stellen, ohne gleichzeitig ein anderes schlechter zu stellen.24 Koopmans u ¨bertrug 1951 diesen Effizienzbegriff auf die Produktionstheo¨ des rie und begr¨ undete die so genannte Aktivit¨atsanalyse.25 Aufgrund der Ubertragung Effizienzbegriffes nach Pareto auf den Produktionsbereich durch Koopmans spricht man insbesondere im Zusammenhang der DEA auch von Pareto-Koopmans-Effizienz. Als Aktivit¨at wird dabei im Allgemeinen die Realisierung eines Produktionsprozesses verstanden, der anhand von Inputs und Outputs beschrieben werden kann.26 H¨aufig werden die Be23

Siehe Charnes, Cooper, Rhodes (1978) und Farrell (1957). Farrells Arbeit The Measurement of Pro” ductive Efficiency“ stellt dabei die erste empirische Anwendung des Pareto-Koopmans-Konzeptes zur Effizienzbeurteilung von Produktionen dar. Zum Begriff der Produktion siehe die folgenden Ausf¨ uhrungen.

24

Siehe Pareto (1897).

25

Siehe Koopmans (1951). Zum Effizienzbegriff nach Koopmans siehe auch Scheel (2000), S. 59 ff.

26

Ein Produktionsprozess beschreibt dabei das (technische) Herstellungsverfahren von G¨ utern oder

12

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

griffe Aktivit¨at und Produktion synonym verwendet.27 Zum effizienzorientierten Vergleich von Aktivit¨aten bzw. Produktionen werden als Kriterien die Inputs und Outputs herangezogen, wobei Inputs generell zu minimieren und Outputs generell zu maximieren sind. Eine Produktion wird als Pareto-Koopmans-effizient bezeichnet, wenn sie gegen¨ uber jeder anderen Produktion bez¨ uglich s¨amtlicher Kriterien mindestens genauso gut“ ist und ” bez¨ uglich mindestens eines Kriteriums besser“.28 ” Die DEA vergleicht solche Produktionen, in der DEA-Literatur als decision making units (DMUs) bezeichnet,29 hinsichtlich ihrer Effizienz miteinander. Als Beurteilungsmaßstab wird dabei eine so genannte Technologiemenge zugrunde gelegt, die s¨amtliche f¨ ur m¨oglich erachteten Produktionen enth¨alt.30 Im Allgemeinen ist die wahre Technologie unbekannt oder nicht ohne großen Aufwand ermittelbar, so dass innerhalb einer DEA aus beobachteten DMUs eine relative Technologiemenge konstruiert wird, die insbesondere die beobachteten DMUs enth¨alt.31 Als Folge ergibt sich, dass im Allgemeinen eine absolute Effizienzmessung unm¨oglich ist und sich daher auf die aus beobachteten DMUs konstruierte relative Technologiemenge beschr¨ankt.32 Diese Technologiemenge besitzt einen effizienten Rand, d.h. eine Teilmenge, die aus Pareto-Koopmans-effizienten Produktionen besteht. Zur Quantifizierung der Effizienz einer DMU wird der Abstand der zugeh¨origen Aktivit¨at zum effizienten Rand durch eine Distanzfunktion gemessen.33 Dienstleistungen (Outputs) durch den Verbrauch von Einsatzfaktoren (Inputs), siehe auch Kapitel 2.1.2. 27

Weitere in der Literatur anzutreffende Synonyme sind Technologie“ sowie Input-Output-Beziehung/” ” System/-Vektor“.

28

Im Laufe des Kapitels wird diese Aussage pr¨ azisiert.

29

Hierin offenbart sich auch der konzeptionelle Unterschied der DEA zur klassischen Produktionstheorie: W¨ ahrend letztere ihre Effizienz¨ uberlegungen auf Planungsdaten bezieht, ist die DEA eine deskriptive Ex-post-Analyse, die vollzogene Produktionen miteinander vergleicht, also Produktionen, u ¨ber die bereits Entscheidungen getroffen wurden. Verglichen werden in einer DEA also Organisationen, die ” vergleichbare Entscheidungen zu treffen hatten“, siehe Kleine (2002), S. 127.

30

Die Eruierung der M¨ oglichkeit einer Produktion erfolgt dabei z.B. anhand des technischen Wissens. Siehe Hammerschmidt (2006), S. 23.

31

In der Literatur wird anstelle des Begriffes der Technologiemenge auch die Bezeichnung Produkti” ¨ onsm¨ oglichkeitenmenge“, die w¨ ortliche Ubersetzung des in der anglo-amerikanischen DEA-Literatur gebr¨ auchlichen production possibility set, verwendet. Die konstruierte Technologiemenge umh¨ ullt“ ” die beobachteten Daten. Aus dieser Tatsache erkl¨ art sich auch die Bezeichnung envelopment (engl.) = Umh¨ ullung.

32

Siehe z.B. Allen (2002), S. 43.

33

Zu unterschiedlichen Distanzfunktionen siehe Kapitel 2.1.3. Distanzfunktionen zeichnen sich insbeson-

Grundlagen der DEA

13

Durch die Tatsache, dass zur Effizienzbeurteilung mittels DEA explizit mehrere Inputs und mehrere Outputs zugelassen sind, l¨asst sich die Methode als multikriterieller Ansatz ucksichtigung mehrerer Inputs oder Outputs — ohne bezeichnen.34 Vielfach wird die Ber¨ dass diese in denselben Einheiten gemessen werden m¨ ussten — als ein zentraler Vorteil der DEA gesehen. Zugleich fließen s¨amtliche Input- und Outputquantit¨aten einer DMU in das Effizienzmaß ein. Die Abstandsmessung impliziert eine Zielgewichtung,35 die durch die multikriterielle Perspektive des Ansatzes notwendig wird. Hier sind allgemeinere, der Produktionstheorie u ¨bergeordnete entscheidungstheoretische Erkenntnisse notwendig. Zur theoretischen Fundierung der DEA sind also insgesamt sowohl produktions- als auch entscheidungstheoretische Betrachtungen angebracht. Auch wenn diese Arbeit eine methodische Perspektive einnimmt, sollen dennoch die in der Literatur zur DEA u ¨blichen theoretischen Bez¨ uge n¨aher erl¨autert werden, um sp¨ater die eigene, in dieser Arbeit vorgestellte Variante eines DEA-basierten Panelmodells geeignet einordnen zu k¨onnen.

2.1.2 Produktions- und entscheidungstheoretische Bez¨ uge der DEA Als Produktion wird im Allgemeinen eine Kombination und Transformation von Produktionsfaktoren (Inputs) nach bestimmten Verfahren zu Produkten (Outputs) bezeichnet.36 Zur effizienzorientierten Bewertung von Produktionen gibt es zwei prinzipielle Herangehensweisen: Die erste Alternative besteht darin, eine Produktionsfunktion zu sch¨atzen, also eine funktionale Darstellung der Abh¨angigkeit des Outputs von Inputfaktoren, um dann die Effizienz einer Produktion anhand ihres Abstandes zur gesch¨atzten Funktion zu messen. Die zweite M¨oglichkeit stellt die auf Koopmans zur¨ uckgehende Aktivit¨atsanalyse dar, bei der die Menge aller realisierbaren Kombinationen von Input und Output den ¨ Ausgangspunkt jeder produktionstheoretischen Uberlegung bildet.37 Diese Menge besitzt dere dadurch aus, dass sie reellwertige Funktionswerte besitzen und demnach die Effizienz innerhalb einer DEA durch eine eindimensionale Gr¨ oße quantifiziert wird. 34

Hierzu vgl. auch die Diskussion von Dyckhoff, Allen (1999), S. 413. Zu vektoriellen Entscheidungsmodellen im Allgemeinen siehe Kleine (2002), S. 14.

35

Siehe z.B. Glaser, Kleine (2004). Auf die Gestalt dieser Zielgewichtung wird in Kapitel 2.1.2 und Kapitel 2.1.3 eingegangen.

36

Vgl. z.B. Schweitzer (1993), Sp. 3328.

37

Vgl. Kleine (2002), S. 68.

14

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

einen ¨außeren“, effizienten Rand, und die Effizienz jeder Produktion wird als Abstand ” zum effizienten Rand dieser Menge quantifiziert. Im Prinzip spielt die Wahl einer dieser beiden Ans¨atze f¨ ur die Effizienzmessung mittels DEA keine Rolle, da sie ¨aquivalent sind.38 Der erstgenannte Ansatz wird oftmals dazu verwendet, die DEA gegen¨ uber alternativen Verfahren der Effizienzmessung abzugrenzen.39 Die Aktivit¨atsanalyse hingegen stellt explizit eine Verbindung zur Ermittlung von Referenzpunkten her, die sich einerseits in den innerhalb einer DEA verwendeten Linearen Programmen wiederfinden und aus denen sich andererseits managementorientierte Handlungsempfehlungen zur Effizienzsteigerung einzelner DMUs ableiten lassen.40 Die Operations-Research-basierte Literatur zur DEA fußt auf dieser Aktivit¨atsanalyse, die auch den Ausgangspunkt der folgenden Darstellung bildet.41 In der Literatur finden sich verschiedene, nicht deckungsgleiche Listen von Axiomen, die die Annahmen u ¨ber solche Technologiemengen beschreiben. Teilweise lassen sich die Unterschiede dadurch erkl¨aren, dass einige Autoren Grundvoraussetzungen an Inputs und Outputs explizit als Axiom formulieren.42 Zus¨atzlich nehmen einige Autoren redundante Axiome auf, nur um ein Charakteristikum von Technologiemengen hervorzuheben. Ein allgemeing¨ ultiges Modell findet sich hingegen bei Kleine (2002).43 Grunds¨atzlich ist eine Technologiemenge T M definiert als die Menge aller f¨ ur m¨oglich erachteten Produktionen:
 s+m T M := z ∈ R+ |z ist realisierbar ⊆ Rs+m + . Hierbei bezeichnet s die Zahl der produzierten Outputs und m die Zahl der hierf¨ ur einge38

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 29, sowie die dort genannte Quelle zum mathematischen Beweis.

39

Der Tradition des Schrifttums folgend, wird der Ansatz der Produktionsfunktionen auch in Kapitel 2.1.4 zur verfahrensbezogenen Einordnung der DEA verwendet.

40

Die Ermittlung von Referenzpunkten f¨ ur beobachtete Aktivit¨ aten kommt speziell in der so genannten Envelopment-Form von in der DEA verwendeten Linearen Programmen zum Ausdruck.

41

Z.B. F¨ are, Grosskopf (1996), S. 16: in Data Envelopment Analysis (DEA) it [die Aktivit¨atsanalyse] ” is the most frequently used model of the frontier technology.“

42

Ein Axiom ist ein als g¨ ultig anerkannter Grundsatz (einer Theorie), der nicht bewiesen werden muss, sondern auf einem logischen Fundament basiert.

43

Aus diesem Grund bildet die dort genannte Formalisierung und Axiomatik von Technologiemengen innerhalb einer DEA die Grundlage der folgenden Ausf¨ uhrungen. An geeigneten Stellen werden a¨quivalente Darstellungen in den Arbeiten weiterer Autoren (Tulkens (1993); F¨are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1994); Dyckhoff, Allen (1999); Steinmann (2002); Dyckhoff, Gilles (2004); Cooper, Seiford, Tone (2006)) zitiert.

Grundlagen der DEA

15

setzten Inputfaktoren. z stellt einen Vektor der Dimension s + m dar, der alle Variablen, Inputs wie Outputs, beinhaltet. S¨amtliche Elemente der Technologiemenge lassen sich annahmengem¨aß durch dieselben — metrisch skalierten und positiven — Inputs und Outputs beschreiben, und s¨amtliche beobachteten Produktionen sind Realisationen desselben, im Allgemeinen unbekannten Produktionsprozesses.44 Unterstellt wird zus¨atzlich, dass jeder Input ein zu minimierendes bzw. jeder Output ein zu maximierendes Kriterium darstellt.45 Diese Tatsache l¨asst sich durch ein vektorielles Produktionsmodell beschreiben: 
. max (−x, y)|(x, y) ∈ T M ⊆ Rs+m + Aus Gr¨ unden der einfacheren Notation werden dabei die Inputs meist mit dem negativen Vorzeichen versehen, damit von einer s¨amtliche Variablen betreffenden Maximierungsaufgabe gesprochen werden kann. Grunds¨atzlich bilden alle beobachteten DMUProduktionen zk := (xk , yk )k=1,...,n Elemente der Technologiemenge.46 Weiter wird ausgeschlossen, dass ohne den Einsatz von Input Output erzeugt werden kann.47 Alle weiteren

44

Diese beiden grunds¨ atzlichen, nicht die Konstruktion einer Technologiemenge betreffenden Annahmen formulieren z.B. Dyckhoff, Allen (1999) und Allen, Dyckhoff (2001) als Axiome.

45

Kleine (2002) formuliert die Interpretation dieser Annahme wie folgt: Die Zielsetzung eines Produzen” ten besteht [..] in einer Vermeidung der Verschwendung von Ressourcen bei der Herstellung m¨oglichst vieler Produkte.“

46

Siehe Tulkens (1993): A1; Steinmann (2002): Axiom 7; Cooper, Seiford, Tone (2006): A1; diese Eigenschaft wird teilweise auch als empirische Vollst¨ andigkeit“ bezeichnet. Allerdings gibt es auch DEA” Technologien, f¨ ur die die empirische Vollst¨ andigkeit nicht zutrifft: In den so genannten Supereffizienzmodellen (siehe z.B. Andersen, Petersen (1993); Zhu (2001); Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002)) wird die zu analysierende DMU von der Technologiemenge absichtlich ausgeschlossen, um Aussagen dar¨ uber zu treffen, in welchem Maße sie selbst die Lage des effizienten Randes beeinflusst. Supereffizienzmodelle sind folglich in gewisser Hinsicht im Rahmen einer Sensitivit¨atsanalyse verwendbar und erm¨ oglichen zudem eine Rangreihung effizienter Einheiten, die bez¨ uglich empirisch vollst¨andiger Technologien s¨ amtlich mit demselben Effizienzwert ausgestattet werden, wodurch ein unmittelbarer Vergleich effizienter Einheiten unm¨ oglich wird. Wenn auch weder Sensitivit¨atsanalysen noch eine Unterscheidung effizienter Einheiten im Fokus der vorliegenden Arbeit stehen, wird sich der Begriff der Supereffizienz im weiteren Verlauf der Arbeit als n¨ utzlich herausstellen, und zwar zur formalen Charakterisierung periodenspezifischer Effizienzwerte im Rahmen des Konzeptes der DIS-DEA, siehe Kapitel 4.2.1.2.

47

Diese Annahme wird gelegentlich als Ausschluss eines Schlaraffenlandes“ bezeichnet. Siehe z.B. Bauer, ” Staat, Hammerschmidt (2006), S. 36.

16

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Eigenschaften lassen sich an der folgenden Formalisierung herleiten:  z∈

T Mξ :=

s+m R+ |z

=

n 

 λk · zk ; λ ∈ Λξ ⊆

Rn+

.48

k=1

Diese Formulierung besagt, dass alle Produktionen z zur Technologiemenge geh¨oren, die sich als Linearkombination der n Beobachtungen zj darstellen lassen. Solche Linearkombinationen werden auch als virtuelle Produktionen bezeichnet. Die konkrete Ausgestaltung (insbesondere: die Skalenertragsannahme) der Technologiemenge wird durch die Zusatzbedingung ξ an die DMU-zugeh¨origen Linearfaktoren λ = (λ1 , ..., λn ) erreicht, d.h. der Vektor λ der Linearfaktoren ist auf eine gewisse Teilmenge des Rn+ beschr¨ankt. Im Allgemeinen lassen sich folgende Technologien unterscheiden:49 • konstante Skalenertr¨age (constant returns-to-scale): 
ΛCRS = λ ∈ Rn+ ; 50 • nicht-abnehmende Skalenertr¨a ge (non-decreasing returns-to-scale):  n  n λk ≥ 1 ; ΛN DRS = λ ∈ R+ k=1

• nicht-zunehmende Skalenertr¨a ge (non-increasing returns-to-scale):  n  n λk ≤ 1 ; 51 ΛN IRS = λ ∈ R+ | k=1

• variable  Skalenertr¨age (variable returns-to-scale): n  n ΛV RS = λ ∈ R+ | λk = 1 ; 52 k=1

48

Vgl. Kleine (2002), S. 130 f.

49

Siehe Kleine (2002), S. 131. Eine umfassendere Liste findet sich in derselben Publikation, S. 156 ff.; f¨ ur die Zwecke des Kapitels 2.2 gen¨ ugen jedoch die hier aufgez¨ ahlten Arten von Technologiemengen. An den Formulierungen erkennt man ferner, dass es sich jeweils um deterministische, nicht probabilisitische Technologiemengen handelt; siehe z.B. Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 476.

50

Diese Annahme liegt dem urspr¨ unglichen CCR-Modell nach Charnes, Cooper, Rhodes (1978) zugrunde.

51

Siehe z.B. Seiford, Thrall (1990)

52

Erstmals wurden variable Skalenertr¨ age im BCC-Modell nach Banker, Charnes, Cooper (1984) diskutiert. Eine kritische Anmerkung zur Rechtfertigung der Bezeichnung variable Skalenertr¨age findet sich in Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 477: this [variable Skalenertr¨age] is only true however in the ” special sense that returns are increasing (I) only in the lower range of the inputs up to some point, and are decreasing (D) beyond. As there are other forms conceivable of variable returns, we think it more accurate to use ‘ID’ rather than ‘VRS’.“

Grundlagen der DEA

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53 • free disposal  hull : n  ΛF DH = λ ∈ {0, 1}n | λk = 1 ; 54 k=1

• free replicability hull : ΛF RH {λ ∈ Nn0 } .55 Bis auf die FDH- und FRH-Technologien sind alle Technologien konvex, d.h. mit zwei Elementen ist auch deren Konvexkombination in der Technologiemenge enthalten.56 Zudem lassen sich die in empirischen Anwendungen am h¨aufigsten anzutreffenden CRS- und VRS-Annahmen durch die u ¨brigen konvexen Technologien charakterisieren: T MCRS = T MN DRS ∪ T MN IRS

sowie T MV RS = T MN DRS ∩ T MN IRS .

Wie auch Tulkens u.a. anmerken, besteht zwischen den einzelnen Technologien folgende Hierarchie:57 T MF DH ⊆ T MV RS ⊆ T MN IRS ⊆ T MCRS , d.h. die Restriktionen an die Skalenertr¨age werden, von links nach rechts gelesen, st¨arker, wobei die Annahme konstanter Skalenertr¨age die strengste Form darstellt. Zus¨atzlich zu den Grundannahmen sowie der Skalenertragsannahme (die bzgl. einzelner Technologien die Konvexit¨at beinhaltet) wird h¨aufig als letzte Forderung an die Technologiemenge die Disposabilit¨at gestellt.58 Die Disposabilit¨at bezieht sich dabei auf Verschwendbarkeit bzw. (kostenlose) Entsorgung von Inputs oder Outputs und besagt, dass mit einer Produktion (x, y) auch Produktionen (¯ x, y) bzw. (x, y¯) in der Technologiemenge enthalten sind, sofern x¯ gr¨oßer als oder gleich x bzw. y¯ kleiner als oder gleich y ist.59 53

Nach Wissen des Autors existiert weder f¨ ur die FDH-, noch f¨ ur die FRH-Technologie eine etablierte deutsche Entsprechung.

54

Siehe Tulkens (1993).

55

Eine grafische Veranschaulichung der verschiedenen Technologien findet sich z.B. in Hammerschmidt (2006), S. 29.

56

Die Konvexit¨ at wird teilweise explizit als Axiom formuliert: Tulkens (1993): Axiome 3-5 (je nach Skalenertragsannahme); Steinmann (2002): Axiome 1-3; Bauer, Staat, Hammerschmidt (2006): A3, Cooper, Seiford, Tone (2006): A4.

57

Siehe Tulkens (1993) sowie Tulkens, Vanden Eeckaut (1995).

58

Diese Eigenschaft findet sich nicht direkt in der Formulierung von Kleine (2002).

59

Diese Form der Disposabilit¨ at wird im Allgemeinen als starke Disposabilit¨at bezeichnet, siehe z.B.

18

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

In die o.g. Formulierung einer Technologiemenge von Kleine ließe sich die Disposabilit¨at integrieren, indem man anstelle des Gleichheitszeichens bez¨ uglich der Inputs xj ein ≥“ ” und bez¨ uglich der Outputs yj ein ≤“ setzt. Die Formulierung von Kleine schließt dem” nach Elemente aus der Technologiemenge aus, die im Pareto-Koopmans-Sinn schlechter sind als die Beobachtungen, also gem¨aß dem vektoriellen Produktionsmodell c.p. mehr Input ben¨otigen bzw. c.p. weniger Output erzeugen. Da innerhalb einer DEA nach effizienten Referenzen f¨ ur beobachtete DMUs gesucht wird, ist gegen dieses Vorgehen nichts einzuwenden. Die Konkretisierung der Technologiemenge, insbesondere die Skalenertragsannahme, legt die Referenzmenge fest, also die Menge, die den Ausgangspunkt f¨ ur die sp¨atere Effizienzmessung bildet. Sie hat somit maßgeblichen Einfluss insbesondere auf die H¨ohe der ¨ ausgewiesenen (In-)Effizienzen der beobachteten DMUs.60 Welche inhaltlichen Uberlegungen zur Konkretisierung einer Technologiemenge eine Rolle spielen k¨onnen, f¨ uhrt bspw. Allen (2002) aus.61 Um Aussagen u ¨ber die Effizienz von Produktionen einer Technologiemenge herzuleiten, sind Kenntnisse der produktionstheoretischen Ziele notwendig. Diese k¨onnen sich auf Quantit¨aten der Inputs bzw. Outputs beziehen, aber auch auf eine monet¨are Bewertung derselben. Eine monet¨are Bewertung beruht auf einer Aggregation der mit Preisen bewerteten Inputs und Outputs, wohingegen eine auf reinen Mengenangaben basierende Analyse eine derartige Zusammenfassung anderweitig durchf¨ uhren muss.62 Je nach Zielsetzung variieren auch die Effizienzarten, die anhand der Effizienzanalyse untersucht werden k¨onnen.63 Unabh¨angig von der Zielsetzung wird zun¨achst auf das von Koopmans formulierte Dominanzkriterium zur¨ uckgegriffen, um zu testen, ob eine DMU bez¨ uglich der Steinmann (2002) sowie Bauer, Staat, Hammerschmidt (2006). Tulkens (1993) bezeichnet diese Eigenschaft als free disposal postulate. Neben der starken Disposabilit¨at existiert auch eine schwache Form; ¨ vgl. dazu z.B. Steinmann (2002), S. 12. Im Ubrigen sei auf die Konsistenz der Disposabilit¨at mit der oben genannten angenommenen Inputminimierung bzw. Outputmaximierung verwiesen. 60

Vgl. z.B. Bauer, Staat, Hammerschmidt (2006), S. 52 f.

61

Siehe Allen (2002), S. 45 ff.

62

Auf welche Weise die DEA unterschiedlich skalierte, mengenm¨aßig erfasste Inputs bzw. Outputs methodisch aggregiert, wird in Kapitel 2.2 konkretisiert.

63

Man unterscheidet vor allem die rein technische Effizienz, die sich auf den (technischen) Transformationsprozess von Inputs in Outputs bezieht, die Skaleneffizienz, die sich auf die optimale Produktionsgr¨ oße bezieht, sowie die allokative Effizienz, die die kostenminimale L¨osung betrachtet. Auf diese unterschiedlichen Effizienzarten wird in Kapitel 2.2 im Kontext der DEA eingegangen.

Grundlagen der DEA

19

konstruierten Technologiemenge effizient ist.64 Dabei dominiert — in der allgemeinen entscheidungstheoretischen Formulierung — eine Alternative eine andere genau dann, wenn mindestens ein Zielfunktionswert dieser Alternative im Vergleich zur anderen h¨oher und ” kein Zielfunktionswert niedriger ausf¨allt“.65 In die Terminologie der Produktionstheorie u uglich ¨bersetzt, bedeutet dies, dass eine Produktion eine andere dominiert, wenn sie bez¨ mindestens eines Kriteriums besser ist als die andere Produktion und bez¨ uglich der restlichen Kriterien mindestens genauso gut.66 Eine DMU wird als effizient bezeichnet genau dann, wenn sie nicht dominiert wird:67 Definition 2.1. uglich des zuEine DMU k mit der geleisteten Produktion zk ∈ T M heißt effizient (bez¨ geh¨origen vektoriellen Produktionsmodells68 ) genau dann, wenn gilt:
z
∈ T M : z
≥ zk . F¨ ur effiziente DMUs gibt es nach dieser Definition also keine weiteren Elemente der Technologiemenge, die bez¨ uglich s¨amtlicher Inputs und Outputs besser sind. Ineffiziente DMUs zeichnen sich dementsprechend dadurch aus, dass es in der Technologiemenge mindestens eine nicht-triviale Linearkombination anderer DMUs gibt, die effizient sind. Anhand der Effizienzdefinition kann also nachgepr¨ uft werden, ob eine DMU effizient ist oder nicht. Welche dieser dominierenden, effizienten Einheiten als Referenzpunkt f¨ ur die ineffiziente DMU festgelegt wird, h¨angt von der verwendeten Distanzfunktion ab, die gleichzeitig f¨ ur eine Vervollst¨andigung des reinen Effizienztests um ein Effizienzmaß sorgt. Einer solchen Distanzfunktion liegt implizit eine Aggregationsregel zugrunde, also eine Regel, die die Multidimensionalit¨at effizienzrelevanter Kriterien auf ein einziges Kriterium reduziert. Distanzfunktionen messen unter Verwendung eines Gewichtungsfaktors den Abstand jeder Produktion zum effizienten Rand der Technologiemenge bzw., ¨aquivalent dazu, den Abstand zur Randproduktionsfunktion.69 Entscheidungstheoretisch gesehen, entspricht eine 64

Siehe Koopmans (1951).

65

Siehe Kleine (2002), S. 20.

66

Hierbei stellt die Gesamtheit der Inputs und Outputs die Kriterien dar.

67

Zum Effizienztest vgl. auch Wendell, Lee (1977) sowie Dinkelbach, Rosenberg (2004).

68

Siehe S. 15.

69

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 29.

20

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Aggregation der mitunter mehreren entscheidungsrelevanten Kriterien auf eine eindimensionale Gr¨oße einer so genannten Kompromissl¨osung vektorieller Entscheidungsmodelle.70 Zur Ableitung eines (metrischen) Effizienzmaßes wird daher ein Bezug zur Entscheidungstheorie notwendig, denn die Produktionstheorie bietet nur eine L¨osung hinsichtlich des Effzienztests an, beinhaltet also ein ausschließlich bin¨ares Effizienzverst¨andnis“.71 Gene” rell besteht das entscheidungstheoretische Modell aus vier Komponenten: (i) Alternativen, zwischen denen entschieden werden muss; (ii) Zielen, d.h. Eigenschaften, hinsichtlich derer eine Entscheidung getroffen werden soll; (iii) Zust¨anden, d.h. Ereignissen in der Umwelt, die einen Einfluss auf die Entscheidung besitzen und (iv) Konsequenzen, d.h. Wirkungen der Alternativen hinsichtlich der Zust¨ande und der Ziele.72 Im Kontext der DEA stellen die DMUs die Alternativen dar, die Ziele sind die Inputs und Outputs, w¨ahrend die Konsequenzen die Input- und Outputmengen darstellen. Ferner geht man von einem einzelnen Entscheidungstr¨ager aus.73

2.1.3 Distanzfunktionen als aggregierte Effizienzmaße 2.1.3.1 Aggregation von Input-Output-Abweichungen, Gewichtung von Abweichungen und Orientierung In einer DEA bildet grunds¨atzlich der Abstand der Produktion (xo , yo ) einer bestimmten DMU o zum effizienten Rand der Technologiemenge die Grundlage f¨ ur die Effizienz dieser DMU. Ausgangspunkt der Effizienzanalyse f¨ ur DMU o sind Produktionen der Technologiemenge, die im Pareto-Koopmans-Sinn besser sind als DMU o, also h¨ochstens genauso viele Inputs x = xo −d− einsetzen, um mindestens den Output der DMU o, also y = yo +d+ erzeugen. Hierbei sind nur positive Abweichungen d− , d+ ≥ 0 zugelassen. Eine Distanz70

Siehe Kleine (2002), S. 43 ff.

71

Siehe z.B. Hammerschmidt (2006), S. 37 und S. 39. Dyckhoff, Allen (1999) begr¨ unden die Eignung entscheidungstheoretischer Grundlagen der DEA mit dem folgenden Argument: In jedem Fall geht ” es um die Beurteilung der G¨ ute oder Vorziehensw¨ urdigkeit von (Produktionen als) Handlungsalternativen. [...] Mit derartigen Sachverhalten besch¨ aftigt sich grunds¨atzlich die Entscheidungstheorie.“ In diesem Zusammenhang nennen die beiden Autoren auch eine Verbindung zwischen der DEA und dem Multi Criteria Decision Making.

72

Siehe Allen (2002), S. 57 ff.

73

F¨ ur eine umfassendere Beschreibung der entscheidungstheoretischen Bez¨ uge siehe insbesondere Kleine (2002).

Grundlagen der DEA

21

funktion aggregiert s¨amtliche Abweichungen zu einer reellwertigen Gr¨oße:74 ψ : Rm+s →R + und kann zur Formulierung eines allgemeinen DEA-Modells zur Effizienzbewertung der DMU o verwendet werden:
 max ψ(d− , d+ )|x + d− = xo , y − d+ = yo , d− , d+ ≥ 0, (x, y) ∈ T M .75 Die L¨osung dieses Problems zeigt an, ob die betrachtete DMU o effizient ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Abweichungen (d− , d+ ) gleich 0 sind. Dabei wird der Abstand der Produktion einer DMU o zur Technologiemenge u ¨ber alle m¨oglichen Produktionen des Dominanzbereiches maximiert.76 Um jedoch einen reellwertigen Funktionswert zu generieren, der dann als Abstand und letztlich als Effizienzmaß verstanden werden kann, muss eine Distanzfunktion die m¨oglicherweise unterschiedlich skalierten Abweichungen vergleichbar machen. Dies geschieht anhand der Normierung durch einen Gewichtungsvektor w, der komponentenweise mit dem Vektor der Abweichungen (d− , d+ ) multipliziert wird. Das allgemeine DEA-Modell zur Bestimmung der Effizienz von DMU o lautet somit 
max ψ(w− d− , w+ d+ )|x + d− = xo , y − d+ = yo , d− , d+ ≥ 0, (x, y) ∈ T M . F¨ ur die Wahl des Gewichtungsfaktors w gibt es u.a. folgende M¨oglichkeiten:77 • Einfache Gewichtung: w := 1; − xmin ur jeden Input xi sowie wi+ := • Bandbreitengewichtung: wi− := 1/(xmax i i ) f¨ 1/(yjmax − yjmin ) f¨ ur jeden Output yj ; 74

Generelle Eigenschaften klassischer Distanzfunktionen sind Nicht-Negativit¨at, Identit¨at, Symmetrie und Konvexit¨ at, siehe z.B. Glaser, Kleine (2004), S. 7. Die zweite bzw. vierte Eigenschaft k¨onnen durch die schwache Identit¨ at bzw. der Quasikonkavit¨ at abgeschw¨acht werden, siehe ebenfalls Glaser, Kleine (2004), S. 9.

75

Zu dieser Formulierung sowie den darauf aufbauenden, im Folgenden genannten: Siehe Kleine (2002), S. 180 ff.

76

Siehe Kleine (2002), S. 183 f. F¨ ur ein abweichendes Verfahren in Form von Distanzminimierungen siehe Briec (1999).

77

In Anlehnung an Kleine (2002), S. 188.

22

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA) • DMU-spezifische Gewichtung: wo− := 1/xo,i f¨ ur Input xi der DMU o sowie wo+ := ur Output yj der DMU o. 1/yo,j f¨

Die Wahl des Gewichtungsvektors w ist dabei unabh¨angig von der konkreten Ausgestaltung der Distanzfunktion ψ. Die einfache Gewichtung ergibt nur dann Sinn, wenn s¨amtliche Inputs und s¨amtliche Outputs dieselbe Einheit aufweisen (und somit eine Gewichtung im Prinzip u ussig ist). Bei der Bandbreitengewichtung werden Abweichungen d ins ¨berfl¨ Verh¨altnis zu einer input- bzw. outputspezifischen Bandbreite gesetzt.78 Bei Input xi (bzw. Output yj ) kann die maximale Inputmenge xmax := max{xk,i |k = 1, ..., n} (bzw. die i minimale Outputmenge yjmin := min{yk,j |k = 1, ..., n}) direkt an den beobachteten DMUs (bzw. die maximale Outputk = 1, ..., n abgelesen werden. Die minimale Inputmenge xmin i menge yjmax ) wird durch die Technologiemenge T M festgelegt: xmin := min{xi |z ∈ T M } i (bzw. yjmax := max{yj |z ∈ T M }). Bandbreitengewichtungen normieren demnach die Abweichungen d zu prozentualen Abweichungen im Verh¨altnis zu einer im Rahmen der Technologiemenge maximal m¨oglichen Differenz. — Die letztgenannte Gewichtung erfolgt DMU-spezifisch.79 Variablenspezifische Abweichungen einer DMU werden hierbei ins Verh¨altnis zur tats¨achlich gemessenen Menge dieser Variable gesetzt. Folglich k¨onnen betragsm¨aßig identische Abweichungen bei einer Variable bei verschiedenen DMUs zu unterschiedlichen Gewichtungen f¨ uhren. Insgesamt bleibt festzuhalten, dass die Wahl einer Gewichtung w sowohl die Effizienzwerte der DMUs als auch die Referenzpunkte f¨ ur ineffiziente Einheiten beeinflusst. Ein allgemeines Kriterium zur Wahl einer geeigneten Gewichtung existiert nicht. Daher muss im Einzelfall — also in einer spezifischen Anwendungssituation — gekl¨art werden, ob jede DMU spezifische Variablengewichtungen w¨ahlen oder ein einheitliches Bewertungssystem u ¨ber alle DMUs zugrunde liegen sollte. Das bisher dargestellte, allgemeine Konzept einer Distanzfunktion ber¨ ucksichtigt simultan Input- und Outputverbesserungen und wird daher auch als nicht-orientiert bezeichnet.80 Im Gegensatz dazu wird bei orientierten Distanzfunktionen eine Kriterienklasse bzw. Va78

Siehe z.B. Cooper, Park, Pastor (1999).

79

Siehe z.B. Bardhan, Bowlin, Cooper, Sueyoshi (1996), S. 325 ff.

80

Siehe z.B. Scheel (2000), S. 90. Synonym wird auch der Begriff graph verwendet; siehe z.B. Briec (1997), S. 95.

Grundlagen der DEA

23

riablenart (also entweder s¨amtliche Inputs oder s¨amtliche Outputs) konstant gehalten, wodurch das Effizienzmaß dann ausschließlich durch die Outputs oder die Inputs beeinflusst wird.81 Die Wahl einer solchen Orientierung bietet sich insbesondere an, wenn der Handlungsspielraum (des Managements) der DMUs ausschließlich die Outputs oder die Inputs betrifft. Eine Inputorientierung liegt beispielsweise dann nahe, wenn die Inputs verschiedene Kosten darstellen und das Management einer DMU das Ziel einer Kostenreduktion verfolgt.82

2.1.3.2 Konzeptionen verschiedener Distanzfunktionen Radiale Distanzfunktionen Die im urspr¨ unglichen DEA-Artikel von Charnes, Cooper, Rhodes (1978) verwendete Distanzfunktion ist eine so genannte radiale Distanzfunktion. Die Konzeption einer radialen Distanzfunktion geht auf die Arbeiten von Debreu und Farrell zur¨ uck.83 Radiale Distanzfunktionen ermitteln f¨ ur eine DMU o den Faktor, um den s¨amtliche Kriterien mindestens verbessert werden m¨ ussten, damit diese DMU effizient wird. Diese ¨aquiproportionale Verbesserung stellt, grafisch gesehen, eine radiale Bewegung auf einer Hyperebene des Rn in Richtung des effizienten Randes der Technologiemenge T M dar. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Minkowski-Metrik (Lp −Norm), n¨amlich um die Tschebyscheff-Norm L∞ ,84 die auch als Maximin-Norm bezeichnet wird.85 Zentraler Nachteil einer radialen Distanzfunktion besteht in der Tatsache, dass ermittelte Referenzpunkte nicht notwendig Pareto-Koopmans- (bzw. stark) effizient sind, sondern nur Farrell- (bzw. schwach) effizient.86 Schwache Effizienz bedeutet dabei, dass zwar keine Verbesserung bez¨ uglich s¨amtlicher, wohl aber bez¨ uglich einzelner Kriterien m¨oglich ist. 81

Siehe z.B. Glaser, Kleine (2004). Die Wahl einer Orientierung impliziert dabei, dass die Gewichte w der konstant zu haltenden Kriterien auf 0 gesetzt werden.

82

Siehe z.B. Thanassoulis (2001), S. 22 f. Die CCR- und BCC-Basismodelle sind orientierte Modelle; siehe Kapitel 2.2.1.

83

Siehe Debreu (1951); Farrell (1957).

84

Siehe Briec (1999).

85

Eine Maximin-Norm ermittelt f¨ ur die DMU o eine minimale Abweichung, die u ¨ber alle sie dominierenden DMUs maximiert wird, wodurch DMU o in eher positivem Licht“ bzw. wohlwollend“ beurteilt ” ” wird; siehe z.B. Kleine (2002), S. 185. Formal l¨ asst sich eine radiale Distanzfunktion ψrad darstel+ + uhrungen siehe Kleine len durch ψrad (w− d− , w+ d+ ) = mini,j {wi− d− i , wj yj }. Zu detaillierteren Ausf¨ (2002), S. 183 ff.

86

Zur (schwachen) Effizienz nach Farrell siehe Farrell (1957).

24

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Nicht-radiale Distanzfunktionen Um die konzeptionelle Schw¨ache radialer Distanzfunktionen auszugleichen, ber¨ ucksichtigen nicht-radiale Distanzfunktionen alle m¨oglichen Abweichungen im Dominanzbereich einer DMU o, um den Abstand zum effizienten Rand zu messen. Hierbei bestehen aufgrund der Tatsache, dass der Abstand zwischen zwei Punkten nicht einheitlich definiert ist,87 unterschiedliche M¨oglichkeiten der Effizienzermittlung. Die additiven Distanzfunktionen stellen die bekanntesten nicht-radialen Distanzfunktionen dar; sie verwenden die L1 -Metrik bzw., anschaulich gesprochen, die Cityblock-Metrik.88 In der Literatur werden additive Distanzmaße mit unterschiedlichen Gewichtungen w eingesetzt.89 Charnes u. a. (1985a) verwenden eine einfache Gewichtung aller Abweichungen, die folglich nicht translationsinvariant ist; folglich haben die Einheit, in denen Inputs und Outputs gemessen werden, einen Einfluss auf die H¨ohe der Abweichungen. Eine Bandbreitengewichtung findet sich bei Cooper u. a. (1999).90 Schließlich gibt es auch Anwendungen von DMU-spezifischen Gewichtungen, und zwar im Russell-Modell nach F¨are u. a. (1985)91 sowie in einer Arbeit von Cooper, Tone (1997).92 Neben den additiven Distanzfunktionen gibt es weitere nicht-radiale Distanzfunktionen, die beispielsweise in Anlehnung an die Lp -Metrik formuliert werden k¨onnen. F¨ ur p > 1 etwa werden gr¨oßere Abweichungen st¨arker und kleinere Abweichungen schw¨acher gewichtet. Aufgrund ihrer geringen Relevanz in praktischen Anwendungen sei hier lediglich auf die diesbez¨ uglichen Quellen verwiesen.93

Hybride Distanzfunktionen Die letzte Gruppe von Distanzfunktionen bilden die so genannten hybriden Modelle. Sie kombinieren radiale und nicht-radiale Ans¨atze zu einem neuen Modell. Im Grunde genommen verwenden hybride Modelle eine radiale Di87

Vgl. Kleine (2001), S. 234.

Die L1 -Metrik ist ein Spezialfall der Lp -Metrik, die f¨ ur zwei Vektoren x und y definiert ist durch n p 1/p . Formalhaben nicht-radiale Distanzfunktionen folgende Gestalt: Lp (x, y) := ( i=1 |xi − y i| ) m s + + ψnon-rad (w− d− , w+ d+ ) = i=1 wi− · d− i + j=1 wj · dj . 89 ¨ Zu einer Ubersicht vgl. Kleine (2002), S. 191ff, oder Bardhan, Bowlin, Cooper, Sueyoshi (1996). 88

90

Cooper, Park, Pastor (1999). Die Autoren verwenden die Bezeichnung range adjusted measure.

91

Siehe F¨ are, Grosskopf, Lovell (1985), S. 160 f.

92

Siehe Cooper, Tone (1997), S. 77 f. Die Autoren verwenden die Bezeichnung Measure of Inefficiency Proportions.

93

Zu den allgemeinen Minkowski-Metriken siehe z.B. Glaser, Kleine (2004), S. 13. Weitere nicht-radiale Distanzfunktionen finden sich bei De Borger, Ferrier, Kerstens (1998) sowie bei Pastor, Ruiz, Sirvent (1999).

Grundlagen der DEA

25

stanzfunktion, die um eine nicht-radiale Komponente erweitert wird. Die nicht-radiale Erg¨anzung soll dabei genannte konzeptionelle Schw¨ache der rein radialen Distanzfunktionen ausgleichen. Die am weitesten verbreitete Variante ist die nicht-archimedische Distanzfunktion, bei der eine radiale Distanzfunktion mit einer nicht-radialen addiert wird, wobei letztere durch eine infinitesimal kleine (nicht-archimedische) Gr¨oße  > 0 gewichtet wird.94 Dieser Teil der hybriden Distanzfunktion stellt die zus¨atzlichen, u ¨ber das proportionale Maß hinausgehenden Verbesserungsm¨oglichkeiten einer DMU dar.95

2.1.4 Einordnung der DEA in Verfahren zur Sch¨ atzung von Produktionsfunktionen Obwohl dieser Arbeit die Perspektive der DEA zugrunde liegt und es demnach nicht darum geht, in einer konkreten Anwendungssituation ein geeignetes Verfahren der Effizienzmessung auszuw¨ahlen, soll dennoch der Vollst¨andigkeit halber eine methodische Einordnung erfolgen.96

94

In empirischen Anwendungen wird  meist durch 10−6 ersetzt.

95

Die radiale und hybride Distanzfunktion liefern also dann denselben Wert f¨ ur eine DMU o, wenn die durch die radiale Funktion ermittelte Referenz bereits Pareto-Koopmans-effizient ist. Formal l¨asst + + − − + + sich eine hybride Distanzfunktion darstellen durch: ψhyb (w d , w d ) = mini,j {wi− d− i , wj dj } + s

m



− + − + − +  i=1 di + j=1 dj , wobei xo = x + d + di sowie yo = y − d − di . Durch d wird also die u ¨ber das proportionale Maß hinausgehende Verbesserungsm¨ oglichkeit beschrieben.

96

Gong, Sickles (1992) besch¨ aftigen sich in einer solchen gegen¨ uberstellenden Analyse mit der Frage, ab wann Datenunsicherheiten die Sch¨ atzergebnisse der DEA derart beeinflussen, dass ein (parametrisches) ¨ Verfahren bevorzugt werden sollte, die explizit solche Unsicherheiten modelliert. Im Ubrigen h¨angt die Wahl einer geeigneten Klasse der Effizienzmessung nicht davon ab, ob die Anwendungssituation eine dynamische Betrachtung erfordert, also derjenigen Erweiterung von Basismodellen der DEA zuzurechnen ist, die den Fokus der vorliegenden Arbeit bildet. Somit liegt bei der Wahl einer geeigneten Klasse von Effizienzmessverfahren ein Entscheidungsproblem vor, das unabh¨angig vom dynamischen Aspekt der Anwendung gel¨ ost werden muss. Die hier vorgestellten und neu entwickelten Verfahren der DEA-basierten Panelanalyse sind somit dann geeignet, wenn die DEA als generell geeignetes Instrument zur Effizienzmessung in einer gegebenen Anwendung identifiziert worden ist. Ein Beispiel f¨ ur ein derartiges Vorgehen liefert Hammerschmidt (2006), der die DEA als u ¨berlegenes Verfahren zur Effizienzmessung im Marketing beschreibt; siehe Hammerschmidt (2006), S. 138 ff. Die Pr¨ ufung der DEA im Vergleich zu konkurrierenden Verfahren erfolgt anhand eines speziell auf den Marketingbereich abgestimmten Kriterienkataloges. Charnes, Cooper, Learner, Phillips (1985b) stellen in ihrem Beitrag die erste Verbindung zwischen der DEA und ihrer potenziellen Anwendung im Marketing her. Wei¨ tere konzeptionelle Uberlegungen sowie Anwendungen der DEA, die sich dem Bereich des Marketing zuordnen lassen, beschreiben Kamakura, Ratchford, Agrawal (1988); Boles, Donthu, Lohtia (1995); Donthu, Yoo (1998); Thomas, Barr, Cron, Slocum (1998); Pilling, Donthu, Henson (1999); Luo (2003). Vgl. zum Marketing als Anwendungsbereich der DEA auch Kapitel 5.2.

26

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Um die DEA gegen¨ uber alternativen Verfahren der Effizienzmessung abzugrenzen, wird im Schrifttum meist die Perspektive der klassischen Produktionstheorie verwendet — und nicht die bisher zugrunde gelegte Aktivit¨atsanalyse nach Koopmans. Das zentrale Analyseinstrument der Produktionstheorie stellen Produktionsfunktionen dar. S¨amtliche Verfahren der Effizienzmessung ben¨otigen einen Referenzmaßstab, den sie in der Ermittlung eines Input-Output-Zusammenhanges anhand beobachteter Produktionen suchen. Insofern lassen sich Verfahren der Effizienzmessung als Produktionsfunktionen klassifizieren, wodurch ihre Systematisierung hinsichtlich ihrer Eigenschaften als Produktionsfunktionen geeignet erscheint.97 Gefolgt wird hierbei der von Boles, Donthu, Lohtia (1995) vorgestellten Einteilung, die von Bauer, Hammerschmidt, Garde (2004) erweitert und konkretisiert wurde.98 Die Systematisierung, die in Abbildung 2.1 illustriert ist, gelangt zu f¨ unf Klassen von Produktionsfunktionen (hellgrau schattiert), wobei sich u ¨bergeordnet die Verfahren reiner Outputbetrachtung, reiner Inputbetrachtung sowie simultaner Output-Input-Betrachtung ergeben.

Reine Output- bzw. reine Inputbetrachtungen Die Verfahren reiner Output- bzw. reiner Inputbetrachtung k¨onnen sowohl quantitative als auch qualitative Gr¨oßen verwenden. Der Hauptvorteil liegt in der einfachen Bestimmung der Vergleichsgr¨oßen. Der Hauptkritikpunkt betrifft die fehlende Gegen¨ uberstellung von Outputs und Inputs, wodurch eine Effizienzmessung im eigentlichen Sinne nicht stattfindet, da sowohl Inputs als auch Outputs produktionsentscheidende Kriterien darstellen.99 Bei der Anwendung der Verfahren der absoluten Effizienzmessung werden beide Kriterienklassen — Inputs und Outputs — betrachtet. Allerdings werden lediglich einzelne Gr¨oßen in Relation zueinander gesetzt, wodurch der Ineffizienzgrad in der Gesamtsicht unbestimmt bleibt. Problematisch ist bei dieser isolierten Perspektive ferner, dass je nach gebildeter Relation als Effizienzkennzahl die Produktionen verschieden bewertet werden k¨onnen und ein Ranking der Produktionen in der Regel von dieser Kennzahl abh¨angt. Folglich ist eine ganzheitliche Messung entweder nicht m¨oglich, oder sie geht im Falle der Verwendung von u ¨bergeordneten Kennzahlen zu Lasten der Aussagekraft u ¨ber die Quellen der Ineffizienz. Zudem wird nur das 97

Siehe dazu auch Kapitel 2.1.2 ab S. 13.

98

Siehe Bauer, Hammerschmidt, Garde (2004), S. 10. Eine ausf¨ uhrliche Erl¨auterung findet sich, aufbauend auf der genannten Quelle, auch in Hammerschmidt (2006), S. 104 ff.

99

Siehe Dyckhoff, Gilles (2004), S. 771.

Grundlagen der DEA

27

Verfahren der Effizienzmessung

Reine OutputBetrachtung

Reine InputBetrachtung

Verfahren absoluter Effizienzmessung

Parametrische Verfahren

Statische Effizienzmessung

Output-InputBetrachtung

Verfahren relativer Effizienzmessung

Semiparametr. Verfahren (z.B. stochastische DEA)

Nicht-parametrische Verfahren (z.B. DEA)

Dynamische Effizienzmessung (z.B. Window Analysis)

Abbildung 2.1: Effizienzmessverfahren (in Anlehnung an Bauer, Hammerschmidt, Garde (2004)). beste Element als Referenz ausgewiesen, und unterschiedliche Wege zum Erfolg werden negiert.100 Output-Input-Betrachtungen: Verfahren relativer Effizienzmessung101

Die relative

Effizienzmessung vergleicht grunds¨atzlich mehrere Produktionen anhand des Verh¨altnisses von Outputs zu Inputs miteinander. Bei diesen Verfahren ist der Einsatz mehrerer relevanter Einflussparameter und Ergebnisindikatoren m¨oglich und somit eine ganzheitliche Betrachtung sichergestellt.102 Zudem werden die Effizienzunterschiede quantifiziert, 100

Vgl. Bauer, Hammerschmidt, Garde (2004), S. 10. Zwar kann dieses Problem durch zweidimensionale Rankings, beispielsweise auf Basis von Portfolio-Analysen, umgangen werden. Allerdings bleibt die Effizienzmessung absolut, da der Grad der Ineffizienz einer Produktion im Sinne des Abstandes zu einem Referenzpunkt nicht quantifiziert wird; vgl. Bauer, Hammerschmidt, Garde (2004), S. 10 f.

101

Die Verfahren absoluter Effizienzmessung werden wegen der geringen Bedeutung hier nicht weiter betrachtet; vgl. dazu auch Bauer, Hammerschmidt, Garde (2004), S. 11.

102

Vgl. Mahajan (1991), S. 190.

28

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

an denen beispielsweise ein systematisches Benchmarking ansetzen kann.103 Die Aussage, dass mit einer gegebenen Inputmenge eine bestimmte Outputmenge erzeugt werden k¨onnte, kann dabei entweder theoretisch erfolgen oder aber empirisch belegt werden.104 Hierdurch ergibt sich die Einteilung in parametrische und nicht-parametrische Verfahren.

Relative Effizienzmessung: Parametrische Verfahren Bei den parametrischen Verfahren wird a priori ein bestimmter (parametrisierbarer) funktionaler Zusammenhang zwischen Input und Output angenommen, der f¨ ur alle betrachteten Produktionen gleich ist. Hierbei wird eine Annahme u ¨ber die Verteilung der Outputs unterstellt. Ziel eines parametrischen Verfahrens ist die m¨oglichst valide statistische Sch¨atzung der unbekannten Parameter anhand der beobachteten Daten. Ein bekanntes parametrisches Verfahren stellt in diesem Zusammenhang die Regressionsanalyse dar, anhand derer speziell im Kontext der Effizienzmessung eine Durchschnittsproduktion modelliert wird.105 Die Effizienz einer Produktion wird dann als Abstand zu dieser Average-Practice-Funktion ermittelt. Als effizient werden solche Einheiten klassifiziert, die auf oder u ¨ber der gesch¨atzten Regressionsfunktion liegen.106 Abweichungen kommen annahmegem¨aß ausschließlich durch nichtkontrollierbare Einfl¨ usse oder Messfehler zustande, wodurch insbesondere Ineffizienzen als zuf¨allige Schwankungen interpretiert werden.107 Eine systematische Orientierung an den besten Einheiten erfolgt hier nicht, so dass eine gewisse Inkonsistenz mit Effizienzdefinition 2.1 vorliegt.108 Der Deterministic Frontier Approach 109 (DFA) als weiteres parametrisches Verfahren erf¨ ullt hingegen diese Anforderung, indem nur negative Abweichungen von der Regressionsfunktion zugelassen werden. Hierdurch entsteht eine Randproduktionsfunktion, wobei Abweichungen von dieser Funktion als Ineffizienz gelten. Die Stochastic Fron103

Vgl. Thomas, Barr, Cron, Slocum (1998), S. 497.

104

Vgl. Steinmann (2002), S. 7.

105

Obwohl es auch nicht-parametrische Regressionsanalysen gibt, wird die Regressionsanalyse als Verfah¨ ren der Effizienzmessung ausschließlich in parametrischer Variante eingesetzt. Ublicherweise werden hierbei die nicht-erkl¨ arten Abweichungen der Beobachtungen von dieser Funktion als normalverteilt angenommen, wodurch insbesondere Abweichungen in beide Richtungen zugelassen sind.

106

Siehe Bowlin, Charnes, Cooper, Sherman (1984); Luo, Donthu (2001).

107

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 110.

108

Vgl. dazu auch Nyhan, Martin (1999), S. 348.

109

Siehe Aigner, Chu (1968).

Grundlagen der DEA

29

tier Analysis 110 (SFA) erweitert die DFA in dem Sinne, dass die Abweichungen von der Randproduktionsfunktion in eine systematische und eine unsystematische Komponente zerlegt werden. Die systematische Abweichung kann dann als managementbedingte Ineffizienz interpretiert werden, w¨ahrend die unsystematische Komponente extern bedingte Zufallsschwankungen erfasst.111 Grunds¨atzlich lassen sich unterschiedliche Funktionstypen anpassen und auch unterschiedliche Verteilungsannahmen u ¨ber die Fehler modellieren.112 Die zentrale Kritik an parametrischen Verfahren betrifft deren konstituierendes Merkmal, n¨amlich die Anpassung einer vorab definierten funktionalen Form. Unzweckm¨aßige Spezifizierungen f¨ uhren dazu, dass Ineffizienzen m¨oglicherweise mit Spezifizierungsfehlern verwechselt werden. Parametrische Verfahren unterstellen ferner identische Input- und Outputgewichte f¨ ur alle Vergleichseinheiten.113 Insgesamt ist also eine sinnvolle Anwendung parametrischer Verfahren nur dann gegeben, wenn das theoretische Modell exakt ” mit der Wirklichkeit u ¨bereinstimmt“.114

Relative Effizienzmessung: Nicht-parametrische Verfahren Die zweite Klasse von Verfahren der relativen Effizienzmessung, zu denen auch die DEA geh¨ort, bilden die nicht-parametrischen Verfahren. Im Gegensatz zu den parametrischen Methoden wird kein a priori spezifizierter, theoretisch untermauerter Funktionstyp angepasst, sondern eine empirische (Rand-)Produktionsfunktion identifiziert.115 Nicht-parametrische Verfahren kommen somit ohne Annahme u ¨ber die wahre“, dem Produktionsprozess zugrunde ” liegende Funktion aus. Sie stellen mathematische Programmierungsmodelle dar, also Optimierungsaufgaben unter Nebenbedingungen, die mit Hilfe entsprechender Algorithmen gel¨ost werden k¨onnen.116 Die nicht-parametrisch ermittelte Funktion besteht aus linea110

Siehe hierzu die urspr¨ unglichen Arbeiten von Aigner, Lovell, Schmidt (1976); Battese, Corra (1977); Meeusen, Broeck (1977) sowie Coelli, Rao, Battese (1998), S. 183 ff.

111

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 116. ¨ F¨ ur eine umfassende Ubersicht dieser M¨ oglichkeiten sei auf das Lehrbuch von Lovell und Kumbhakar verwiesen. Siehe Lovell, Kumbhakar (2000).

112

113

Vgl. z.B. Allen, Dyckhoff (2001), die Situationen aufzeigen, in denen diese Annahme nicht gerechtfertigt erscheint.

114

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 121.

115

Vgl. z.B. Varian (1984).

116

Im Falle der DEA kann aufgrund der Linearit¨ at der verwendeten Programme auf L¨osungsmethoden der Lineraren Programmierung zur¨ uckgegriffen werden. Zur Linearen Programmierung im Allgemeinen siehe Luenberger (1973); Schrijver (1986); Bazaraa, Jarvis, Sherali (1990); Fang, Puthenpura (1993).

30

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

ren Teilabschnitten,117 die die am weitesten außen liegenden Beobachtungen miteinander verbinden und somit eine Best-Practice-Orientierung garantieren.118 Die Tatsache, dass die Gesamtfunktion aus Teilabschnitten besteht, impliziert zus¨atzlich, dass nicht nur eine einzige Strategie“ (im Sinne einer Input-Output-Transformation) als effizient angesehen ” wird, sondern i.d.R. unterschiedliche Strategien erfolgreich sein k¨onnen. Diese Annahme erscheint insbesondere bei nicht-monet¨ar oder nicht einheitlich bewertbaren Variablen als sinnvoll. Insgesamt werden nicht-parametrische Verfahren bez¨ uglich der Sch¨atzung einer Randproduktionsfunktion als vergleichsweise flexibel angesehen.119 Neben den allgemeinen Vorteilen der nicht-parametrischen Verfahren bietet die DEA insbesondere den Vorteil einer eindimensionalen Effizienzgr¨oße. Die effizienzrelevanten Kriterien k¨onnen unterschiedlich skaliert sein. Auf diese Weise kann auch unterschiedlichen nominalskalierten Rahmenbedingungen der zu vergleichenden Produktionen Rechnung getragen werden, die nicht beeinflussbar sind, jedoch ihre Effizienz beeintr¨achtigen. Als zus¨atzlicher Vorteil erweist sich bei Nicht-Existenz von Marktpreisen f¨ ur einzelne Inputs und Outputs auch die fehlende Notwendigkeit der Vorab-Festlegung von Gewichtungsfaktoren. Allerdings ist es ebenso m¨oglich, Gewichtungen, die bspw. auf Basis von Expertensch¨atzungen ermittelt wurden, zu integrieren, um die Effizienzbewertung realistischer erscheinen zu lassen.120 Durch die Vorabeingrenzung der Gewichte wird ferner verhindert, dass Objekte als effizient dargestellt werden, die nur bei unwichtigen Merkmalen gut abschneiden. Allerdings ist die DEA ausreißerempfindlich: Einzelne DMUs k¨onnen die Lage des effizienten Randes erheblich beeinflussen. Aus diesem Grund wurden Sensitivit¨atsanalysen entwickelt, um solche Ausreißer zu identifizieren.121 Als nachteilig wird allerdings zeitweilig die Nichtbeachtung stochastischer Einfl¨ usse (z.B. ¨ Messfehler) bewertet, die eine inferenzstatistische Uberpr¨ ufbarkeit der erhaltenen Ergeb117

Vgl. z.B. Cantner, Hanusch (1998); zur Veranschaulichung der Linearit¨at in Teilabschnitten siehe auch F¨are, Grosskopf (1996), S. 14.

118

Vgl. z.B. Cantner, Hanusch (1998), S. 299.

119

Vgl. z.B. Hammerschmidt (2006), S. 122.

120

Diese Modellerweiterungen werden unter dem Schlagwort weights restrictions diskutiert, die in Kapitel 2.2.3 beschrieben werden.

121

Sensitivit¨ atsanalysen k¨ onnen beispielsweise durch die Berechnung von Supereffizienzen durchgef¨ uhrt werden, siehe z.B. Andersen, Petersen (1993); Zhu (2001); Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002); Xue, Harker (2002); Chen, Motiwalla, Khan (2004); Chen (2005); Staat, Hammerschmidt (2005). An anderer Stelle der vorliegenden Arbeit wird das Konzept der Supereffizienz nochmals aufgegriffen, und zwar zur Charakterisierung periodenspezifischer Effizienzen innerhalb einer Variante der DIS-DEA; siehe dazu auch Fußnote 46, S. 15.

Grundlagen der DEA

31

nisse unm¨oglich macht. Obwohl Charnes u. a. (1985c)122 bez¨ uglich der DEA einige Anhaltspunkte liefern, bleiben nicht-parametrische Verfahren in diesem Punkt hinter den Pr¨ ufungsm¨oglichkeiten anderer (parametrischer) Messverfahren — wie z.B. der Stochastic Frontier Analysis — zur¨ uck. Relative Effizienzmessung: Semiparametrische Verfahren Als Kombination parametrischer und nicht-parametrischer Verfahren k¨onnen so genannte semiparametrische Ans¨atze beschrieben werden. Sie versuchen, die Vorteile beider Verfahren in einem Ansatz zu vereinen. Insbesondere im Zusammenhang mit der DEA gibt es mittlerweile eine Reihe von Ans¨atzen zur Ber¨ ucksichtigung von Zufallsabh¨angigkeiten.123 In einem Beitrag von Cooper u. a. (2002) findet sich eine beispielartige Auflistung einiger solcher Ans¨atze, die sich wie folgt gliedern lassen:124 • Nicht-parametrisches Vorgehen, das Maximum-Likelihood -Methoden benutzt, um statistische Hypothesen u ¨ber beobachtete Produktionen zu testen; • Berechnung eines effizienten Randes, der eine gegebene Menge an beobachteten Produktionen in den meisten F¨allen umh¨ ullt, mit Hilfe von Chance Constrained Programming;125 • Entwicklung eines Chance Constrained -DEA-Modells, das abschnittsweise lineare Umh¨ ullungen von Konfidenzintervallen f¨ ur zufallsabh¨angige Produktionen benutzt. Stochastische Schwankungen in Inputs und Outputs k¨onnen verfahrenstechnisch in einer groben Unterteilung auf zwei verschiedene Arten ber¨ ucksichtigt werden:126 122

Siehe Charnes, Cooper, Lewin, Morey, Rousseau (1985c).

123

Sengupta beispielsweise geht davon aus, dass verschiedene Aspekte einer solchen Zufallsabh¨angigkeit verschiedenen Phasen der DEA zuzuordnen sind. Sengupta (2000), S. 97: (a) the characterization ” phase, where stochastic variations in input output data affect the efficient frontier, (b) the control phase, where allocative efficiency is considered and the agent chooses optimal inputs and outputs to stochastic market prices, (c) the post-optimal phase [...] where the residuals or slacks from the efficiency frontier are analyzed in terms of their statistical distribution and finally (d) the estimation phase where a parametric form of the frontier is specified and an econometric method applied to estimate the stochastic frontier.“

124

Vgl. Cooper, Huang, Lelas, Li, Olesen (1998); Cooper, Deng, Huang, Li (2002).

125

Chance Constrained Programming bezeichnet eine der g¨ angigsten Ans¨atze in Optimierungsproblemen mit zufallsabh¨ angigen Parametern; siehe z.B. Olesen, Petersen (1995); Cooper, Deng, Huang, Li (2002).

126

Zur ausf¨ uhrlicheren Darstellung dieser zwei Methoden sei auf Sengupta (2000), S. 97 ff., verwiesen.

32

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

(i) Aufteilung der Daten (als Summe) in einen systematischen und einen unsystematischen Teil mit anschließender Anwendung einer DEA auf den systematischen Teil der Variablen; (ii) direkte Ber¨ ucksichtigung der Schwankungen in der Formulierung des Linearen Programms mit anschließender Ermittlung des effizienten Randes. Das unter (i) beschriebene Verfahren findet seine Umsetzung in einer Zwei-Phasen-Methode und wird bereits im Bereich der Qualit¨atskontrolle erfolgreich angewendet.127 Zur unter (ii) genannten Methode gibt es zwei verschiedene methodische Umsetzungsm¨oglichkeiten.128 Eine dieser M¨oglichkeiten ist das bereits oben erw¨ahnte Chance Constrained Programming.129 Die andere M¨oglichkeit findet insbesondere dann Anwendung, wenn Paneldaten vorliegen und Schwankungen in Inputs oder Outputs durch deren erwartete Varianz gemessen werden k¨onnen.130 Zur detaillierteren Diskussion, insbesondere bez¨ uglich entsprechender Modellformulierungen, sei auf die hier genannten Quellen verwiesen. Insgesamt bleibt festzuhalten, dass sich die Forschung auf dem (weiten und breitgef¨acherten) Gebiet der stochastichen DEA bisher theoretischen Aspekten gewidmet hat und es dort in vielen Problemkreisen noch keine abschließenden G¨ utebeurteilungen — beispielsweise hinsichtlich asympototischer Sch¨atzgenauigkeiten — gibt.131 Empirische Anwendungen sind bisher sehr selten.132 Sicherlich h¨angt diese Tatsache zu einem großen Teil damit zusammen, dass die softwaretechnische Umsetzung weit hinter den bisher gewonnenen theoretischen Erkenntnissen zur¨ uckbleibt.133 127

Sengupta (2000), S. 99: This two-step method involving separation of the systematic and the unsy” stematic components and then using the systematic components only is widely adopted in practical applications of the modern theory of quality control. Sengupta (1996) has successfully applied this technique for DEA models in respect of the international airlines data over the period 1981-88 showing that it produces a reliable estimate of the scale economies and also dynamic efficiency in air transport.“

128

Vgl. Sengupta (2000), S. 100.

129

Vgl. hierzu beispielsweise Cooper, Huang, Lelas, Li, Olesen (1998), Li (1998), Cooper, Deng, Huang, Li (2002) und Cooper, Deng, Huang, Li (2004).

130

Vgl. Sengupta (2000), S. 100.

131

Vgl. hierzu etwa Cooper, Huang, Lelas, Li, Olesen (1998), S. 72 f., Cooper, Deng, Huang, Li (2002), S. 1355, und Cooper, Deng, Huang, Li (2004), S. 19 f.

132

Vgl. bspw. Cooper, Deng, Huang, Li (2002), S. 1355 f.

133

Nach dem Wissen des Autors existiert bisher keine solche Software.

Grundlagen der DEA

33

Abschließende Bemerkungen zur Wahl einer geeigneten Verfahrensklasse Eine generelle Empfehlung hinsichtlich der Wahl parametrischer, semiparametrischer oder nichtparametrischer Verfahren der Effizienzmessung kann nicht gegeben werden. Dennoch l¨asst sich sagen, dass es sich bei der Wahl um eine Entscheidung zwischen Flexibilit¨at und ” Struktur“ 134 handelt, wobei semiparametrische Verfahren eine Art Kompromissl¨osung bez¨ uglich dieser beiden Kriterien darstellen. Grosskopf bemerkt, dass parametrische Verfahren Zufallseinfl¨ usse ber¨ ucksichtigen und auch Messfehler zulassen, w¨ahrend Fehler bei der Spezifizierung der funktionalen Form des Input-Output-Zusammenhanges zu verzerrten Ergebnissen f¨ uhren.135 Nicht-parametrische Verfahren verhalten sich genau entgegengesetzt — sie unterstellen keine funktionale Form und sind daher frei von Spezifizierungsfehlern, w¨ahrend weder Zufallseinfl¨ usse noch Messfehler modelliert werden k¨onnen. Nichtparametrische Verfahren sind allerdings aus rechentechnischer Perspektive tendenziell weniger aufw¨andig und stellen ein breites Ergebnisspektrum auf der Ebene der Analyseeinheiten zur Verf¨ ugung.136 Coelli u.a. kommen zu dem Schluss, dass die Eignung einer der beiden Modellklassen nicht generell beurteilt werden kann, sondern anwendungsspezifisch erfolgen muss.137 So scheint die SFA beispielsweise f¨ ur Anwendungen im Landwirtschaftsbereich besser geeignet zu sein als die DEA.138 Im Gegensatz dazu scheint die DEA im Non-Profit-Sektor besser geeignet zu sein als die SFA, da keine (Markt-)Preise existieren, oft mehrere Outputs von Bedeutung sind — die SFA ist nur f¨ ur den Fall eines einzigen Outputs entwickelt — und dabei Ziele wie Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung keine Rolle spielen.

134

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 140.

135

Siehe Grosskopf (1993), S. 190.

136

Grosskopf (1993), S. 190: the nonparametric approach provides an enormous amount of disaggregated ” information.“

137

Coelli, Rao, Battese (1998), S. 219: The selection of the appropriate method should be made on a ” case-by-case basis.“

138

Coelli, Rao, Battese (1998) beziehen ihr Urteil dabei insbesondere auf den Landwirtschaftsbereich in Entwicklungsl¨ andern: Die Datenerhebung solcher Anwendungen leide i.d.R. unter hoher Datenungenauigkeit bzw. großen Messfehlern und sei zudem beispielsweise vom unbeeinflussbaren Faktor Wetter abh¨ angig.

34

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

2.2 Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen 2.2.1 Basismodelle unter Verwendung radialer Effizienzmaße Sowohl die Darstellungen in diversen Lehrb¨ uchern als auch die in einer Vielzahl von Beitr¨agen in wissenschaftlichen Zeitschriften beschriebenen Anwendungen der DEA beziehen sich zu einem großen Teil auf die beiden Basismodelle mit konstanten bzw. variablen Skalenertr¨agen, d.h. auf solche Modelle, die die Technologiemenge T MCRS bzw. T MV RS aus Kapitel 2.1.2 unterstellen. Beiden Modellen liegt urspr¨ unglich eine radiale Distanzfunktion zugrunde, die jedoch in den meisten F¨allen um einen nicht-radialen Teil erg¨anzt wird, so dass im Prinzip eine hybride Distanzfunktion zum Einsatz gelangt. Hierbei muss jeweils entweder eine Input- oder eine Outputorientierung zugrunde gelegt werden.139 2.2.1.1 CCR-Modell Das Modell mit konstanten Skalenertr¨agen stellt zugleich das urspr¨ ungliche DEA-Modell dar, das in der urspr¨ unglichen Arbeit von Charnes, Cooper, Rhodes (1978) verwendet worden ist. Es wird im Allgemeinen auch als CCR-Modell bezeichnet.140 Ausgangspunkt sind n beobachtete Produktionen leistungserstellender Einheiten, den DMUs, deren relative Effizienz gemessen werden soll. Als Effizienzkriterium wird hierbei die Produktivit¨at herangezogen, also der Quotient aus Output und Input:141 Produktivit¨at der DMU =

Output der DMU . Input der DMU

Die Outputs yk := (yk,1 , ..., yk,s ) bzw. die Inputs xk := (xk,1 , ..., xk,m ) jeder DMU k liegen im Allgemeinen in unterschiedlichen Einheiten vor. Insbesondere ist es explizit erlaubt, dass die einzelnen Variablen nur nicht-monet¨ar bewertet werden k¨onnen.142 Das f¨ uhrt dazu, dass der oben genannte Quotient nicht ohne Weiteres gebildet werden kann. Mit entscheidungstheoretischen Zusatz¨ uberlegungen kann dieses Problem allerdings folgendermaßen gel¨ost werden: Da als Produktionsziele s¨amtliche Outputs zu maximieren bzw. 139

Das am weitesten verbreitete nicht-orientierte Modell, das Additive Modell, wird in Kapitel 2.2.2.1 erl¨ autert.

140

Nach den Anfangsbuchstaben der drei Autorennamen C(harnes), C(ooper) und R(hodes).

141

Siehe Dyckhoff, Allen (1999), S. 420.

142

Dieser Umstand erkl¨ art die Tatsache, dass die DEA zumindest anfangs haupts¨achlich im Non-ProfitSektor eingesetzt worden ist.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

35

s¨amtliche Inputs zu minimieren sind, besteht insgesamt das Ziel, die Effizienz zu maximieren. Jeder DMU wird daher erlaubt, diejenige Zielgewichtung vorzunehmen, die einerseits daf¨ ur sorgt, dass die Outputs bzw. die Inputs zu einer reellwertigen Gr¨oße verdichtet werden und gleichzeitig ihre eigene Effizienz maximiert. Die gewichteten Outputs bzw. Inputs werden dabei als virtuell bezeichnet.143 Die Produktivit¨at einer gewissen DMU o bestimmt sich demnach folgendermaßen: s virtueller Output der DMU o j=1 uo,j · yo,j = m Produktivit¨at der DMU o = . virtueller Input der DMU o i=1 vo,i · xo,i Dabei bezeichnet uo,j (bzw. vo,i ) die Gewichtung des Outputs yj (bzw. des Inputs xi ) bei DMU o.144 Als Effizienzwert f¨ ur DMU o ergibt sich nach den obigen Ausf¨ uhrungen die L¨osung folgender Maximierungsaugabe:

max uo ,vo

s uo,j · yo,j j=1 m i=1 vo,i · xo,i uo,j ≥ 0 ∀ j = 1, ..., s vo,i ≥ 0 ∀ i = 1, ..., m.

Um die Bewertung der DMU o in Relation zu den u ¨brigen Beobachtungen zu setzen, werden an die DMU-spezifischen Zielgewichtungen folgende Nebenbedingungen gestellt: Wird eine DMU-spezifische Zielgewichtung zur Bewertung der Leistung irgendeiner der n DMUs angesetzt, soll der Effizienzwert auf 1 beschr¨ankt sein.145 Somit wird eine Interpre143

Vgl. dazu den Begriff der virtuellen Produktion, siehe Kapitel 2.1.2, S. 16.

144

Die Gewichtungsfaktoren werden auch als Multiplikatoren bezeichnet.

145

Ohne Normierungsbedingungen w¨ are einerseits das Effizienzmaß als reziproker Abstand zum effizienten Rand f¨ ur effiziente Einheiten nicht definiert; andererseits ist eine Normierung auch deshalb sinnvoll, weil die Effizienz ohnehin relativ ist, und durch die Beschr¨ ankung nach oben durch 1 ihre unmittelbare Interpretation (als Prozentzahl) erleichtert wird. Im Prinzip werden die in den Nebenbedingungen auftretenden Effizienzwerte auch Kreuzeffizienzen genannt, vgl. z.B. Doyle, Green (1995) sowie Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002). Eine Kreuzeffizienz ist demnach die Effizienz einer DMU, gewonnen anhand des f¨ ur irgendeine Vergleichseinheit optimalen Bewertungsschemas. Anhand von Kreuzeffizienzen k¨ onnen u.a. Sensitivit¨ atsanalysen durchgef¨ uhrt oder auch ein Ranking effizienter Einheiten erstellt werden, die zun¨ achst einmal alle das Effizienzmaß von 1 besitzen. Im Laufe dieser Arbeit wird auf den Aspekt der Kreuzeffizienz im Rahmen der Berechnung periodenspezifischer Effizienzkennziffern innerhalb des Konzeptes der DIS-DEA zur¨ uckgegriffen, siehe Kapitel 4.5.3.2.

36

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

tation der Effizienz als relative Zahl m¨oglich. Das so genannte Quotientenprogramm zur Bestimmung der Effizienz θo von DMU o ist damit komplett:

Modell 2.2 (CCR-Modell, Quotientenprogramm). s j=1 uo,j · yo,j max θo = m uo ,vo i=1 vo,i · xo,i s u j=1 o,j · yk,j unter m ≤ 1 ∀ k = 1, ..., n i=1 vo,i · xk,i uo,j ≥ 0 ∀ j = 1, ..., s vo,i ≥ 0 ∀ i = 1, ..., m.

Entgegen der g¨angigen Notation in der Literatur wird hier der Effizienzwert θ durch o indiziert, um die Zugeh¨origkeit zur analysierten DMU o zu kennzeichnen. Zur Ermittlung der Effizienz s¨amtlicher n DMUs sind entsprechend n Quotientenprogramme getrennt voneinander aufzustellen und zu l¨osen. Um diese L¨osung jeweils zu bestimmen, wird das Quotientenprogramm in ein Lineares Programm (im Folgenden gelegentlich: LP) u uhrt. ¨berf¨ Die Idee hierzu ist folgende: Der Quotient des Modells 2.2 in der Zielfunktion wird mit dem Kehrwert des Gesamtinputs erweitert. Der Nenner der Produktivit¨at — der virtuelle Input — ist somit gleich 1. In der Zielfunktion erh¨alt man neue Multiplikatoren f¨ ur die Outputvariablen; die neuen Gewichtungsfaktoren f¨ ur die Inputs sind nun in einer zus¨atzlichen Nebenbedingung erfasst.146 Man gelangt so zu folgendem Linearen Programm, das sich mit bekannten Verfahren wie beispielsweise dem Simplex-Algorithmus l¨osen l¨asst:147

146

Zur Rechtfertigung dieser Vorgehensweise siehe Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 24, Theorem 2.1.

147

Zum Simplex-Algorithmus siehe z.B. Haupt, Lohse (1975); Bazaraa, Jarvis, Sherali (1990); Nering, Tucker (1993).

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

37

Modell 2.3 (CCR-Modell, Lineares Programm, Multiplier-Form). max θo = µo

unter

s 

µo,j · yo,j

j=1 m  i=1 s 

νo,i · xo,i = 1 µo,j · yk,j ≤

j=1

m 

νo,i · xk,i

∀ k = 1, ..., n

i=1

uo,j ≥ 0 ∀ j = 1, ..., s vo,i ≥ 0 ∀ i = 1, ..., m. Dabei sind die Gewichte aus den unter Modell 2.2 genannten Gewichte durch die Transformationen entstanden: µo,j = m

i
=1

uo,j 1 , νo,i = m vo,i
· xo,i
i
=1 vo,i
· xo,i


Fasst man die Gewichte µo,j bzw. νo,i zu Vektoren sowie die Werte der Inputvariablen xk,i und der Outputvariablen yk,j zu Datenmatrizen zusammen, l¨asst sich das vorangegangene Lineare Programm auch in Vektorschreibweise notieren:148

Modell 2.4 (CCR-Modell, Lineares Programm, Vektorschreibweise). max µ
o · yo µo

unter νo
· xo = 1 µ
o · Y ≤ νo
· X νo , µo ≥ 0.

148

Die Vektorschreibsweise erleichtert insbesondere die softwaretechnische Umsetzung der Modelle. Modelle in Vektorschreibweise finden sich in Anhang A.

38

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Hierbei sind µo := (µo,1 , ..., µo,s )
∈ Rs , νo := (νo,1 , ..., νo,m )
∈ Rm , yk := (yk,1 , ..., yk,s )
∈ Rs


xk := (xk,1 , ..., xk,m ) ∈ R Y := (y1 , ..., yn ) ∈ R

s×n

X := (x1 , ..., xn ) ∈ R

∀k = 1, ..., n, m

∀k = 1, ..., n,

,

m×n

.

Gem¨aß der Dualit¨atstheorie gibt es zu jedem Linearen Programm ein assoziiertes duales Programm, welches einige wichtige Eigenschaften erf¨ ullt und insbesondere verwendet werden kann, um das Originalprogramm (in diesem Zusammenhang auch Primalprogramm genannt) zu l¨osen.149 Variablen des Primalprogramms entsprechen Nebenbedingungen im Dualprogramm und umgekehrt; ist das Primalprogramm ein Maximierungsproblem, so ist das Dualprogramm ein Minimierungsproblem und umgekehrt.150 Das Dualprogramm des Duals ist wieder das Primalprogramm. Im Dualit¨atstheorem werden folgende Aussagen u ¨ber die Verbindung der L¨osung der Primal- und Dualprogramme hergeleitet:151 (i) Besitzt das Primal- bzw. Dualprogramm eine optimale L¨osung, so besitzt das zugeh¨orige Dualprogramm dieselbe optimale L¨osung. (ii) Besitzt das Primal- bzw. Dualprogamm eine unbeschr¨ankte L¨osung, so besitzt das zugeh¨orige Programm keine zul¨assige L¨osung. (iii) Besitzt das Primal- bzw. Dualprogramm keine L¨osung, so besitzt das zugeh¨orige Dualprogramm entweder keine L¨osung, oder die L¨osung ist unbeschr¨ankt. Das bedeutet, dass im Falle der L¨osbarkeit die Zielwerte des Primal- und Dualprogamms — also die Effizienz der DMU o — u ¨bereinstimmen. Die gleichzeitige Verwendung beider Programme hat den Vorteil, dass die Ergebnisinterpretation erweitert wird. W¨ahrend sich das oben genannte Primalprogramm auf die DMU-spezifischen Gewichte bezieht und deswegen auch als Multiplier-Form bezeichnet wird, kommt im zugeh¨origen Dualprogramm 149

Vgl. z.B. Bazaraa, Jarvis, Sherali (1990).

150

Weitere Eigenschaften sind beispielsweise in Haupt, Lohse (1975), S. 243 ff., aufgelistet.

151

Siehe Theorem A.3 von Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 317.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

39

die Perspektive der Referenzpunktermittlung zum Tragen. Da die (potenziellen) Referenzpunkte f¨ ur eine DMU o auf dem effizienten Rand, der Datenumh¨ ullung liegen, bezeichnet man diese Modellform auch als Envelopment-Form.152 Es lautet: Modell 2.5 (CCR-Modell, Duales Programm, Envelopment-Form). min θo unter θo · xo,i ≥ yo,j ≤

n 

n 

λo,k · xk,i

∀i = 1, ..., m

k=1

λo,k · yk,j

∀j = 1, ..., s

k=1

λo,k ≥ 0. Die hier auftretende Variable θo entspricht der Nebenbedingung νo · xo = 1 des Primals, und die Variable λo korrespondiert mit den Nebenbedingungen −νo · X + µo · Y ≤ 0.153 Dabei besteht λo entsprechend der Anzahl der primalen Nebenbedingungen aus n Kompo¨ nenten: λo = (λo,1 , ..., λo,n ). Im Ubrigen ist der Parameter hier nicht willk¨ urlich gew¨ahlt, sondern stimmt mit λ = (λ1 , ..., λn ) aus den Axiomen zu den Technologiemengen u ¨berein.154 Der zus¨atzliche Index o verweist lediglich darauf, dass in Programm 2.5 ein Referenzpunkt f¨ ur DMU o gesucht wird. Dementsprechend gibt λo,k das Gewicht von DMU k zur Berechnung des Referenzpunktes f¨ ur DMU o an. Insgesamt l¨asst sich die durch das Dualprogramm formulierte Optimierungsaufgabe wie folgt interpretieren:155 Gesucht ist der f¨ ur die betrachtete DMU o kleinstm¨ogliche Faktor θo , f¨ ur den (1.) keine Gewichtung λo,1 ·y1,j +...+λo,n ·yn,j des Outputs j s¨amtlicher Vergleichseinheiten k = 1, ..., n den Output j der DMU o unterschreitet und (2.) keine Gewichtung λo,1 ·x1,i +...+λo,n ·xn,i des Inputs i s¨amtlicher Vergleichseinheiten k = 1, ..., n den Input i der DMU o u ¨berschreitet, wobei Aussage (1.) f¨ ur jeden Output j und Aussage (2.) f¨ ur jeden Input i gelten muss. Ist 152

Die Bezeichnungen Multiplier-Form bzw. Envelopment-Form werden im Folgenden aus Gr¨ unden des h¨ oheren Konkretheitsgrades gegen¨ uber den Bezeichnungen Primal- bzw. Dualprogramm bevorzugt.

153

Zu diesen Korrespondenzen vgl. Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 44.

154

Siehe Kapitel 2.1.2.

155

Vgl. dazu Schefczyk (1996), S. 170 f.

40

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

die L¨osung θo∗ des obigen Linearen Programms echt kleiner als 1, so bedeutet dies, dass es eine lineare Kombination anderer DMUs gibt, die mindestens gleichviel Output erzeugt, jedoch dazu nur einen um θo∗ proportional reduzierten Input ben¨otigt. Aus diesem Grund ist das bisher vorgestellte Modell inputorientiert. (X · λo , Y · λo ) u ¨berbietet die durch ur DMU (θo∗ · xo , θo∗ · yo ) beschriebene Produktion und stellt somit einen Referenzpunkt f¨ o dar, der auf dem effizienten Rand liegt. Der Nachteil dieses Referenzpunktes besteht darin, dass die durch ihn beschriebene Produktion nicht effizient sein muss im Sinne von Pareto-Koopmans, ein Nachteil, den radiale Distanzfunktionen generell besitzen. Um u ¨ber das radiale, proportionale Effizienzmaß θo∗ hinausgehende Ineffizienzen zu entdecken, also Ineffizienzen, die sich auf einzelne Variablen beziehen, ist das Maß durch eine nichtradiale Komponente zu erg¨anzen.156 Die u ucken sich ¨ber θo∗ hinausgehenden Ineffizienzen dr¨ in Slackwerten aus, die aufgrund der hier vorliegenden Inputorientierung f¨ ur die Inputs durch

∗ s− o,i := θo · xo,i −

n 

λo,k · xk,i

∀i = 1, ..., m,

k=1

sowie f¨ ur die Outputs durch

s+ o,j :=

n 

λo,k · yk,j − yo,j

∀j = 1, ..., s

k=1

definiert sind. Das Superskript − (bzw. +) kennzeichnet, der Optimierungsrichtung entsprechend, die Variablenart — Inputs werden minimiert, Outputs maximiert. Rechnerisch k¨onnen die zus¨atzlichen Inputverschwendungen und Outputdefizite mit Hilfe eines Linearen Programms ermittelt werden, das aus zwei Phasen besteht:

156

Dadurch entsteht ein hybrides Effizienzmaß; vgl. Kapitel 2.1.3.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

41

Modell 2.6 (Inputorientiertes 2-Phasen-LP, Variablenslacks). (I) Sei θo∗ eine L¨osung von Programm 2.5. (II) L¨ose max zo =

m 

s− o,i +

i=1

s 

s+ o,j

j=1

∗ unter s− o = θo · x o − X · λ o ,

s+ o = Y · λ o − yo , + λo , s − o , so ≥ 0.

− − −
m×1 −
s×1 Hierbei bezeichnen s− und s+ die o := (so,1 , ..., so,m ) ∈ R o := (so,1 , ..., so,s ) ∈ R

Vektoren der Input- bzw. Outputslacks. Unter Bezugnahme auf dieses Modell l¨asst sich nun definieren, wann eine DMU als effizient einzustufen ist:

Definition 2.7 (CCR-Effizienz). +∗ DMU o ist CCR-effizient genau dann, wenn f¨ ur die optimale L¨osung (θo∗ , λ∗o , s−∗ o , so ) des +∗ Linearen Programms 2.6 gelten: θo∗ = 1 und s−∗ o , so = 0.

Ist also die Bedingung aus Definition 2.7 f¨ ur eine DMU erf¨ ullt, so gibt es bez¨ uglich im Vergleich zu den u ¨brigen DMUs nicht nur kein proportionales Verbesserungspotenzial, sondern auch nicht bez¨ uglich irgendeiner einzelnen Variable. Damit ist Definition 2.7 konsistent mit der Definition der Pareto-Koopmans-Effizienz.

F¨ ur das CCR-Basismodell kann neben der bisher dargestellten Inputorientierung ebenso eine Outputorientierung gew¨ahlt werden. Unter Verwendung einer rein radialen Distanzfunktion ist f¨ ur eine DMU o bei gegebenem Input derjenige Faktor gesucht, um den s¨amtliche Outputs erh¨oht werden m¨ ussten, um (zumindest schwach) effizient zu sein. Diese Aufgabe wird durch die Envelopment-Form gel¨ost:

42

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Modell 2.8 (Outputorientiertes CCR-Modell, Envelopment-Form). max ηo unter ηo · yo,j ≤ xo,i ≥

n 

n 

λo,k · yk,j

∀j = 1, ..., s

k=1

λo,k · xk,i

∀i = 1, ..., m

k=1

λo,k ≥ 0. Im Falle konstanter Skalenertr¨age h¨angen die L¨osungen des input- bzw. outputorientierten Modells reziprok zusammen, d.h. sind θo∗ bzw. ηo∗ L¨osungen der Programme 2.5 bzw. 2.8, uglich so gilt θo∗ = 1/ηo∗ . Die Multiplier-Form beinhaltet nun eine Minimierungsaufgabe bez¨ des virtuellen Inputs, w¨ahrend der virtuelle Output auf 1 beschr¨ankt ist: Modell 2.9 (Outputorientiertes CCR-Modell, Multiplier-Form). min ηo = πo

unter

s  j=1 s 

m 

πo,i · xo,i

i=1

ωo,i · yo,j = 1 ωo,j · yk,j ≤

j=1

m 

πo,i · xk,i

∀ k = 1, ..., n

i=1

πo,i ≥ 0 ∀ i = 1, ..., m ωo,j ≥ 0 ∀ j = 1, ..., s. V¨ollig analog zum inputorientierten Modell kann zur Untersuchung auf Pareto-KoopmansEffizienz ein 2-Phasen-Programm aufgestellt und gel¨ost werden.157 2.2.1.2 BCC-Modell Die CCR-Modelle unterliegen konstanten Skalenertr¨agen, d.h. dort liegt die Technologiemenge T MCRS 158 zugrunde. Diese restriktive Annahme ist einer der Hauptkritikpunkte zum urspr¨ unglichen DEA-Modell, denn in vielen Anwendungssituationen erweisen sich 157

Siehe Modell A.1 in Anhang A.1, S. 193.

158

Siehe Kapitel 2.1.2.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

43

konstante Skalenert¨age als unangemessen, insbesondere dann, wenn die Produktionsgr¨oße nicht im Einflussbereich des Entscheidungstr¨agers liegt. Um die Annahme konstanter Skalenertr¨age aufzuheben, haben Banker, Charnes, Cooper (1984) ein Modell formuliert, das variable Skalenert¨age ber¨ ucksichtigt, also von unterschiedlichen Skalenniveaus abstrahiert. Das bedeutet, dass jeder potenzielle Referenzpunkt auf eine einheitliche Gr¨oße gesetzt wird. Auf diese Weise erkl¨art sich auch die im Vergleich zum CCR-Modell 2.5 zus¨atzliche Nebenbedingung, die entsprechend gekennzeichnet ist:159

Modell 2.10 (Inputorientiertes BCC-Modell, Envelopment-Form). min θo unter θo · xo,i ≥ yo,j ≤ n 

n 

n 

xk,i · λo,k

∀i = 1, ..., m

k=1

yk,j · λo,k

∀j = 1, ..., s

k=1

λo,k = 1 (ZUSATZ)

k=1

λo,k ≥ 0. F¨ ur die zus¨atzliche Nebenbedingung der Envelopment-Form muss es in der MultiplierForm einen zus¨atzlichen Parameter geben.160 Dieser Parameter, im folgenden Modell als uber, auf welchem Abschnitt der Randproduktionsuo bezeichnet, gibt Informationen dar¨ funktion die Referenzeinheit liegt. Gilt uo < 0 (bzw. uo > 0), so liegen steigende (bzw. fallende) Skalenertr¨age vor, w¨ahrend die DMU o im Falle uo = 0 bereits auf optimalem Niveau produziert.

159

Das Modell wird i.d.R. abk¨ urzend als BCC-Modell nach den Autoren des zugeh¨origen Artikels genannt.

160

Zu den Korrespondenzen der Variablen und Nebenbedingungen der Multiplier- und Envelopment-Form des BCC-Modelle vgl. Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 88.

44

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Modell 2.11 (Inputorientiertes BCC-Modell, Multiplier-Form). max θo = µo

unter

s 

µo,j · yo,j − uo

j=1 m  i=1 s 

νo,i · xo,i = 1 m 

µo,j · yk,j − uo ≤

j=1

νo,i · xk,i

∀k = 1, ..., n

i=1

µo,j , νo,i ≥ 0, uo ∈ R. Die Ergebnisinterpretationen des CCR-Modells u ¨bertragen sich auf die hier vorgestellten BCC-Modelle. Zur Ermittlung von Ineffizienzen u ¨ber das radiale Maß θo hinaus l¨asst sich v¨ollig analog zum CCR-Modell ein slackbasiertes Programm formulieren, das hier nur f¨ ur den inputorientierten Fall dargestellt wird: Modell 2.12 (Inputorientiertes 2-Phasen-LP, Variablenslacks). (I) Sei θo∗ eine L¨osung von Programm 2.10. (II) L¨ose max zo =

m  i=1

s− o,i +

s 

s+ o,j

j=1

∗ unter s− o = θo · x o − X · λ o ,

s+ o = Y · λ o − yo , + λo , s − o , so ≥ 0.

Auf Basis dieses slackbasierten Programms kann dann analog zum CCR-Fall die BCCEffizienz definiert werden:161 Definition 2.13 (BCC-Effizienz). +∗ Eine DMU o ist BCC-effizient genau dann, wenn f¨ ur die optimale L¨osung (θo∗ , λ∗o , s−∗ o , so ) +∗ des Linearen Programms 2.12 gelten: θo∗ = 1 und s−∗ o , so = 0.

161

Die Definition gilt mit der entsprechenden Modifikation bez¨ uglich der Nebenbedingungen in Phase II von Modell 2.12 auch f¨ ur ein outputorientiertes Modell.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

45

Um die zentrale Idee einer DEA und deren Umsetzung im Quotientenprogramm auch f¨ ur BCC-Modelle ersichtlich zu machen, wird f¨ ur den Fall variabler Skalenertr¨age dieses Quotientenprogramm noch einmal explizit genannt: Modell 2.14 (Inputorientiertes BCC-Modell, Quotientenprogramm). max unter

s j=1 µo,j · yo,j − uo m ν ·x s i=1 o,i o,i µ · yk,j − uo o,j j=1 m ≤ 1 ∀k = 1, ..., n ν i=1 o,i · xk,i µo,j , νo,i ≥ 0, uo ∈ R.

Auf die ausf¨ uhrliche Darstellung der outputorientierten Modelle soll hier verzichtet werden; die Modellformulierungen finden sich in Anhang A.162 Um den Zusammenhang der Ergebnisse bei Anwendung des CCR- bzw. BCC-Modells abschließend grafisch zu veranschaulichen, wird ein einfaches Beispiel mit einem Input (Werbeausgaben) und einem Output (Umsatz) betrachtet.163 Hier wird zus¨atzlich deutlich, dass die Verfahren zu unterschiedlichen Effizienzarten Auskunft geben, jede CCReffiziente DMU auch BCC-effizient sein muss, jedoch die Effizienzklassifikation im Allgemeinen auseinanderf¨allt. Von technischer Ineffizienz spricht man dann, wenn die Leistung einer DMU nicht auf der Randproduktionsfunktion liegt. Unterstellt man wie im BCCModell nicht-konstante Skalenertr¨age, so beinhaltet diese technische Ineffizienz m¨oglicherweise auch so genannte Skalenineffizienz. Diese liegt vor, wenn eine DMU nach Abbau der technischen Ineffizienz ihre Effizienz durch Ver¨anderung des Produktionsvolumens ” verbessern kann.“ 164 Aus Abbildung 2.2, bei der beispielhaft ein Input und ein Output betrachtet werden, lassen sich zu den einzelnen DMUs folgende Aussagen u ¨ber Effizienz und Arten der Ineffizienz treffen: (i) DMU A ist sowohl CCR- als auch BCC-effizient. 162

Im Einzelnen: Multiplier-Form: Modell A.2, S. 193; Envelopment-Form: Modell A.3, S. 194; Slackbasiertes 2-Phasen-LP: Modell A.4, S. 194.

163

Zu einer ¨ ahnlichen grafischen Veranschaulichung verschiedener Skalenertragsannahmen siehe z.B. Coelli, Rao, Battese (1998), S. 152.

164

Cantner, Hanusch (1998), S. 230.

46

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Output

CCR-effizienter Rand BCC-effizienter Rand

C A R3

D B

R2 R1

F

E Input

Abbildung 2.2: Exemplarischer Vergleich inputorientierter CCR- und BCC-Basismodelle (ii) DMU B ist sowohl CCR- als auch BCC-ineffizient. Da der CCR-Referenzpunkt R2 und der BCC-Referenzpunkt R1 auseinanderfallen, besteht f¨ ur DMU B sowohl rein technische als auch Skalenineffizienz. Das Ausmaß f¨ ur die Skalenineffizienz von DMU B berechnet sich dabei als Streckenverh¨altnis Effizienz als Streckenverh¨altnis

R2 R3 R3 B

R1 R2 , R3 B

w¨ahrend sich die technische

bestimmt.

(iii) DMU C ist BCC-effizient, jedoch CCR-ineffizient. Also liegt hier reine Skalenineffizienz vor.165 (iv) DMU D ist sowohl CCR- als auch BCC-ineffizient. DMU A ist Referenzpunkt. Aufgrund der unter (i) genannten Eigenschaften von DMU A ist DMU D rein technisch ineffizient. 165

Zur Bestimmung von Skalenineffizienzen an der optimalen L¨ osung des eingesetzten BCC-Modells siehe z.B. Cantner, Hanusch (1998), S. 234 ff.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

47

Insgesamt l¨asst sich festhalten, dass CCR-Modelle unabh¨angig vom Skalenniveau eine Gesamteffizienz ermitteln, w¨ahrend BCC-Verfahren Effizienz unter DMU-spezifisch gegebenem Niveau quantifizieren. Die H¨ohe der Skaleneffizienz einer DMU l¨asst sich dabei durch die Ergebnisse des CCR- und BCC-Modells berechnen, da folgender Zusammenhang gilt: CCR-Effizienz=BCC-Effizienz × Skaleneffizienz. Eine weitere Aufteilung der rechten Seite der Gleichung ist dann m¨oglich, wenn Marktpreise f¨ ur Inputs vorliegen und folglich eine Effizienzanalyse auch die kostenminimale L¨osung ber¨ ucksichtigen kann. DEA-Modelle auf Basis von Inputpreisen weisen zus¨atzlich zu den genannten Effizienzarten auch allokative Effizienzen aus. Zu Details sei an dieser Stelle auf die diesbez¨ ugliche Literatur verwiesen.166

2.2.2 Basismodelle unter Verwendung nicht-radialer Effizienzmaße 2.2.2.1 Additives Modell Die CCR- sowie die BCC-Modelle ben¨otigen jeweils die Wahl einer speziellen Orientierung. Bei Inputorientierung wird nach dem Faktor gesucht, um den eine DMU s¨amtliche Inputfaktoren reduzieren muss, um im Vergleich zu den u ¨brigen DMUs auf den effizienten Rand projiziert zu werden. Nun gibt es Situationen, in denen man versuchen m¨ochte, simultan Inputverschwendungen und Outputdefizite zu vermeiden. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn sowohl auf Inputseite als auch auf Outputseite Variablen bestehen, die vom Management direkt kontrolliert werden k¨onnen. Ein Modell, das diese Idee umsetzt, ist das so genannte Additive Modell, das hier f¨ ur den Fall konstanter Skalenertr¨age vorgestellt wird:

166

Siehe Sengupta (2000), S. 15ff; Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 245 ff. Zu Anwendungen, die explizit allokative Effizienzen analysieren, siehe Byrnes, Valdmanis (1994); Goto, Tsutsui (1998); Linna (1998); Athanassopoulos, Gounaris (2001); McKillop, Glass, Ferguson (2002); Banker, Janakiraman, Natarajan (2004); Silva Portela, Thanassoulis (2005).

48

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Modell 2.15 (Additives CCR-Modell, Envelopment-Form). max zo =

m 

s− o,i +

i=1

s 

s+ o,j

j=1

unter s− o = xo − X · λo , s+ o = Y · λo − yo , + λo , s − o , so ≥ 0.

F¨ ur den Fall variabler Skalenertr¨age ist die gewohnte Nebenbedindung

n

k=1

λo,k = 1

hinzuzuf¨ ugen. Formal entspricht das Additive Modell der Phase II der slackbasierten Programme mit dem einzigen Unterschied, dass auf Input- bzw. Outputseite das proportionale Maß θo bzw. ηo nicht mehr auftritt und somit Inputs und Outputs gleichermaßen optimiert werden. Das hierzu duale Modell hat folgende Gestalt: Modell 2.16 (Additives CCR-Modell, Multiplier-Form). min zo = µ, ν

unter

m 

νo,i · xo,i −

i=1 s 

µo,j · yk,j ≤

j=1

s 

µo,j · yo,j

j=1 m 

νo,i · xk,i

∀k = 1, ..., n

i=1

µo,j , νo,i ≥ 1. Variable Skalenertr¨age k¨onnen durch Hinzuf¨ ugen des Parameters uo wie in Modell 2.11 modelliert werden.167 Das Additive Modell ermittelt f¨ ur eine zu beurteilende DMU denjenigen Punkt auf der Randproduktionsfunktion, der innerhalb des Dominanzbereichs von der Produktion der Einheit o am weitesten entfernt ist. Zur Abstandsmessung gelangt hier die L1 -Metrik zum Einsatz.168

167

Siehe S. 44.

168

Vgl. hierzu auch Kapitel 2.1.2.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

49

2.2.2.2 Free Disposal Hull-Modell Die in den CCR- und BCC-Standardmodellen implizite Annahme der beliebigen Teilbarkeit von Inputs und Outputs169 bei der Konstruktion der Technologiemenge ist in vielen praktischen Anwendungen nicht gerechtfertigt. Folglich w¨ urde die DEA bei Aufrechterhalten dieser Annahme m¨oglicherweise Referenzpunkte ausweisen, die in der Praxis nicht realisiert werden k¨onnen. In solchen F¨allen ist es angebracht, die restriktiven Annahmen insbesondere der CRS- bzw. VRS-Technologien in geeigneter Form abzuschw¨achen. Ein g¨angiges Modell ist bereits in Kapitel 2.1.2 erw¨ahnt worden: Die Free Disposal Hull Technologie170 weist ausschließlich reale, effiziente DMUs als Referenzpunkte f¨ ur ineffiziente Einheiten aus und stellt daher eine so genannte endliche Technologie dar.171 Beispielhaft sei ein inputorientiertes FDH-Modell anhand der Envelopment-Form dargestellt:172 Modell 2.17 (FDH-Modell, Envelopment-Form). min θo unter θo · xo,i ≥ yo,j ≤

n 

n 

λo,k · xk,i

∀i = 1, ..., m

k=1

λo,k · yk,j

∀j = 1, ..., s

k=1

λo,k ∈ {0, 1}. Die entscheidende Modifikation gegen¨ uber den CCR- bzw. BCC-Modellen erkennt man an der letzten Nebenbedingung: Durch die Beschr¨ankung der λ-Gewichte auf die Werte 0 169

Dies erkennt man an der Tatsache, dass die Gewichtungsfaktoren λ — mit Ausnahme der FDH- und FRH-Technologien — als positiv reellwertig angenommen werden; siehe die Formulierungen unterschiedlicher Technologien in Kapitel 2.1.2.

170

Siehe Tulkens (1993).

171

Zum Begriff der endlichen Technologie siehe Kleine (2002), S. 75. Eine weitere nicht-konvexe Technologie ist ebenfalls in Kapitel 2.1.2 in Form der Free Replicability Hull-Technologie genannt worden, bei der die n beobachteten DMUs sowie ganzzahlige Vielfache und deren Linearkombinationen zul¨assige Produktionen darstellen. Verfeinerungen dieser beiden nicht-konvexen Technologien werden beispielsweise von Kleine (2002) beschrieben. Falls in praktischen Anwendungen nicht-konvexe Technologien verwendet werden, dann meist in Form der FDH-Technologie. Teilweise erkl¨art sich dieser Umstand durch die Tatsache, dass die FDH-Technologie die einzige nicht-konvexe Technologie darstellt, die in freier oder kommerzieller Software verf¨ ugbar ist. Aus diesem Grund konzentriert sich die Darstellung von Modellen mit nicht-konvexen Technologiemengen hier auf den Fall der FDH-Technologie.

172

Zu diesem sowie zum outputorientierten Modell siehe Tulkens (1993), S. 187.

50

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Output

CCR-Modell BCC-Modell FDH-Modell

Input Abbildung 2.3: Grafische Darstellung des effizienten Randes unter Verwendung verschiedener Technologien und 1 geht eine DMU entweder u ¨berhaupt nicht oder vollst¨andig in die Berechnung des Referenzpunktes f¨ ur DMU o ein. Zur L¨osung des o.g. Programms bedient sich die FDH-Methodik ebenso Techniken der Linearen Programmierung, allerdings mit wesentlichen Modifikationen.173 Auf diese Weise wird erreicht, dass sich der effiziente Rand der aktuellen Datenstruktur enger anpasst. Folglich sind die Effienzwerte (u.U. erheblich) h¨oher als bei Anwendung eines CCR- oder BCC-Modells. Eine grafische Veranschaulichung dieses Sachverhaltes findet sich in Abbildung 2.3. Die Standard-L¨osungsmethoden Linearer Programmierung sind auf FDH-Modelle nicht mehr anwendbar. Zur Ermittlung der optimalen Gewichtungsfaktoren gelangt hier eine Vektorvergleichsmethode zum Einsatz, die einen kompletten Aufz¨ahlungsalgorithmus bedeutet. Dabei ist es wie bei den Basismodellen m¨oglich, entweder Input- oder Outputorientierung zu w¨ahlen. Gleichzeitig ist gew¨ahrleistet, dass die Effizienz einer DMU 173

Siehe Tulkens (1993), S. 187 ff.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

51

ausschließlich im Vergleich zu den anderen DMUs gesch¨atzt wird. Bei der Tatsache, dass ausschließlich beobachtete DMUs als Referenzpunkt dienen k¨onnen, ist allerdings Folgendes einschr¨ankend anzumerken: • Zum einen besteht i.d.R. bei der ineffizienten DMU und der Referenzeinheit ein unterschiedlicher Input-Output-Mix, also ein anderes Verh¨altnis der eingesetzten Inputs bzw. der produzierten Outputs. Im Einzelfall ist zu entscheiden, ob dies u unschenswert ist. ¨berhaupt w¨ • Zum anderen ist es m¨oglich, dass eine ineffiziente DMU einen Ausreißer als Referenzpunkt besitzt, w¨ahrend die konvexen Technologien meist nicht-triviale Linearkombinationen als Referenzpunkte ausweist. Also verst¨arkt ein FDH-Modell die Abh¨angigkeit und Sensitivit¨at der Ergebnisse von einzelnen in die Analyse einbezogenen DMUs. Zur abschließenden Anwendungsempfehlung sei gesagt, dass im Einzelfall zu pr¨ ufen ist, inwiefern die Annahmen bez¨ uglich der Vorgehensweise zur Konstruktion von Referenzeinheiten — und somit letztlich zur Ermittlung von Soll-Positionen — mit der Anwendungssituation vereinbar sind. Beim Prozess der Modellauswahl ist abzuw¨agen, wie stark vereinfachende Annahmen auf die evaluativen Aussagen u ¨ber die (modellhaft abgebildete) Realit¨at wirken.

2.2.3 Statische Erweiterungen von Basismodellen 2.2.3.1 Beschr¨ ankte Gewichtungsfaktoren In allen genannten Formulierungen der Basismodelle bestehen mit Ausnahme der NichtNegativit¨at keine Bedingungen an die Werte der Multiplikatoren. Somit wird klar, das f¨ ur jede DMU ohne Einschr¨ankung diejenigen Gewichte einzelner Variablen gew¨ahlt werden, die die Effizienz maximieren. Die ermittelten DMU-spezifischen Gewichte k¨onnen mitunter erheblich variieren.174 Insbesondere ist es m¨oglich, dass der Effizienzwert einer DMU nur 174

Z.B. Roll, Golany (1993), S. 99: Likewise, it is usually deemed inappropriate to accord widely differing ” weights to the same factor, when assessing different DMUs.“ Auch folgende Quellen besch¨aftigen sich mit Modellen, die die Wahl der Gewichtungsfaktoren zus¨ atzlich einschr¨anken: Dyson, Thanassoulis (1988); Allen, Athanassopoulos, Dyson, Thanassoulis (1997). Teilweise besteht die Motivation f¨ ur eine zus¨ atzliche Beschr¨ ankung der Gewichtungsfaktoren darin, dass Pr¨aferenzen bez¨ uglich einzelner Variablen ber¨ ucksichtigt werden sollen, siehe dazu Wei, Yu (1997); Halme, Korhonen (2000); Korhonen, Soismaa, Siljam¨ aki (2002).

52

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

von einigen wenigen betrachteten Variablen maßgeblich beeinflusst wird, w¨ahrend die restlichen, schlecht“ ausgepr¨agten Inputs oder Outputs durch ein Gewicht von 0 ausgeblendet ” werden. Unter Umst¨anden ist eine DMU nur aufgrund eines spezifischen Output-InputVerh¨altnisses effizient.175 Um diesem Mangel entgegenzuwirken, sind Modelle entwickelt worden, die Zusatzbedingungen an die Multiplikatoren in die Modellformulierung integrieren. Solche Zusatzbedingungen k¨onnen beispielsweise durch Vorinformationen bez¨ uglich durchschnittlicher relativer Wichtigkeiten einzelner Variablen oder durch erw¨ unschte Mindestgewichte hergeleitet werden.176 Einschr¨ankungen der Multiplikatoren lassen u.U. anwendungsbezogen realistischere Effizienzbeurteilungen zu und integrieren in diesem Sinne Zusatzinformationen in ein DEA-Modell. Formal ist der Parameter Variablenrelevanz“ ” nun nicht mehr bin¨ar, sondern reellwertig. Es gibt zwei grunds¨atzliche Methoden, Zusatzbeschr¨ankungen an die Multiplikatoren in ein grundlegendes DEA-Modell zu integrieren:177 • die Assurance Region-Methode, • die Cone Ratio-Methode. Die Assurance Region-Methode besteht darin, f¨ ur das Verh¨altnis von Multiplikatoren jeweils Unter- und Obergrenzen festzulegen. I.d.R. normiert man dabei diese Verh¨altnisse auf den ersten Input bzw. auf den ersten Output: (in)

(in)

ν1 · U1,i ≤ νi ≤ ν1 · O1,i , (out)

µ1 · U1,j

(out)

≤ µj ≤ µ1 · O1,j ,

i = 2, ..., m, j = 2, ..., s.

Die zus¨atzlichen Exponenten (in) bzw. (out) zeigen dabei an, um welche Variablenart bzw. Kriterienklasse (Input oder Output) es sich jeweils handelt. Das inputorientierte CCR-Modell hat mit den zus¨atzlichen Bedingungen an die Multiplikatoren folgende Gestalt:

175

Siehe z.B. Roll, Golany (1993); Allen, Athanassopoulos, Dyson, Thanassoulis (1997); Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002).

176

Vorinformationen k¨ onnen etwa in Form von Expertenmeinungen vorliegen, siehe z.B. Charnes, Cooper, Lewin, Seiford (1994b), S. 54 ff., oder Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002).

177

Siehe Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 165 ff.

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

53

Modell 2.18 (CCR-Assurance Region-Modell, Multiplier-Form). max µ
o · yo unter νo
· xo = 1, µ
o · Y ≤ νo
· X, µ
o · P ≤ 0, νo
· Q ≤ 0, µo , νo ≥ 0, ⎛ (in) (in) (in) (in) U12 −O12 U13 −O13 ⎜ ⎜ −1 1 0 0 wobei P := ⎜ ⎜ 0 0 −1 1 ⎝ .. .. .. .. ⎛

(out)

U12

⎜ ⎜ −1 und Q := ⎜ ⎜ 0 ⎝ ..

(out)

−O12

(out)

U13

(out)

−O13

1

0

0

0

−1

1

..

..

..

.. ..

⎞

⎟ .. ..⎟ ⎟ .. ..⎟ ⎠ .. .. .. ..

⎞

⎟ .. ..⎟ ⎟. .. ..⎟ ⎠ .. ..

Im Vergleich zu Modell 2.4 stellen die Ungleichungen µ
o ·P ≤ 0 sowie νo
·Q ≤ 0 die erw¨ahnten zus¨atzlichen Nebenbedingungen dar. Zur L¨osung dieses Optimierungsproblems sollte aus Gr¨ unden der einfacheren Interpretierbarkeit der Ergebnisse auf die Envelopment-Form zur¨ uckgegriffen werden:178 Modell 2.19 (CCR-Assurance Region-Modell, Envelopment-Form). min θo unter θo · xo + P · πo ≥ X · λo , y o − Q · τo ≤ Y · λ o , λo , πo , τo ≥ 0. Auf die formale Darstellung des outputorientierten Modells soll an dieser Stelle verzichtet werden. Analog zu den Definitionen der CCR- bzw. BCC-Effizienz l¨asst sich die AR178

Vgl. Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 167.

54

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Effizienz formulieren.179 Eine allgemeinere als die soeben vorgestellte Methode zur Ber¨ ucksichtigung zus¨atzlicher Nebenbedingungen an die Multiplikatoren stellt die Cone Ratio-Methode dar.180 Nach dieser Methode ist jeder m¨ogliche Multiplikatorenvektor auf Inputseite, νo , Element m , der durch nicht-negative Richtungsvektoren a1 , ..., ar eines konvexen Kegels V ⊂ R+

aufgespannt wird. Folglich l¨asst sich jeder derartig restringierte Vektor νo als spezielle Linearkombination dieser Richtungsvektoren darstellen:

vo =

r 

αo,i · ai ,

αi ≥ 0 ∀i = 1, ..., r

i=1

=: αo
· A, wobei αo = (αo,1 , ..., αo,r )
∈ Rr+ und A = (a1 , ..., ar )
∈ Rr×m gelten. Der konvexe Kegel + s¨amtlicher zul¨assiger Gewichte V ist folglich durch V := α
· A ⊂ Rm + gegeben. Zur Veranschaulichung der Idee diene Abbildung 2.4 des zweidimensionalen Falles. Analog l¨asst sich die Menge U := β
· B ⊂ Rs+ zul¨assiger Outputmultiplikatoren als konvexer Kegel definieren; mit diesen Bezeichnungen lautet das inputorientierte CCR-Modell insgesamt: Modell 2.20 (CCR-Cone Ratio-Modell, Multiplier-Form). max µ
o · yo unter νo
· xo = 1, µ
o · Y ≤ νo
· X, νo ∈ V, µo ∈ U. Die Zusatzbedingungen an die Gewichtungsfaktoren aus Modell 2.18 lauten hier also νo ∈ V, µo ∈ U. Daran ist zu erkennen, dass sich die Assurance Region-Methode als spezielle ¨ Cone Ratio-Methode auffassen l¨asst.181 Im Ubrigen lassen sich die Zusatzbedingungen, die 179

F¨ ur weitere Einzelheiten sei an dieser Stelle auf Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 165 ff., verwiesen.

180

Die Bezeichnung Cone Ratio leitet sich dadurch ab, dass die Menge der zul¨assigen Input- bzw. Outputmultiplikatoren auf einen konvexen Kegel (polyhedral convex cone) beschr¨ankt wird.

181

Insbesondere gelangt letztere, allgemeinere Methode dann zur Anwendung, wenn es nicht m¨oglich ist,

Mathematische Formulierungen von DEA-Modellen

55

v1 a1

V a2

v2 Abbildung 2.4: Grafische Darstellung des Cone-Ratio-Prinzips im Falle zweier Inputs die Freiheit der Multiplikatorenwerte bei der Effizienzmessung einschr¨anken, prinzipiell auf jedes in Kapitel 2.2 erl¨auterte Basismodell — orientierte CCR- bzw. BCC-Modelle sowie das unorientierte Additive Modell — aufsetzen.182

2.2.3.2 Nicht-beeinflussbare Variablen In vielen Anwendungssituationen gibt es Variablen, die zwar zur Beschreibung des Produktionsprozesses notwendig sind und daher in die Effizienzanalyse einbezogen werden sollten, jedoch vom Management nicht beeinflusst werden k¨onnen.183 Beispielsweise beschreiben solche Variablen Umweltbedingungen, die sich einer Kontrolle durch den Manager entziehen. Das inputorientierte CCR-Modell steht hier beispielhaft f¨ ur alle DEA-Basismodelle, bei denen eine Unterscheidung zwischen beeinflussbaren und nicht-beeinflussbaren Variadie Restriktionen an die Multiplikatoren explizit zu formulieren. Vgl. Cooper, Seiford, Tone (2006). 182

Zu weiteren Betrachtungen, insbesondere bez¨ uglich der hier nicht erw¨ahnten Envelopment-Formen der Linearen Progamme, sei auf Cooper, Seiford, Tone (2006), Kapitel 6, S. 165 ff. verwiesen.

183

Siehe z.B. Charnes, Cooper, Lewin, Seiford (1994b), S. 50 ff., sowie f¨ ur eine ausf¨ uhrlichere Darstellung Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 207 ff.

56

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

blen vorgenommen werden kann:184 Modell 2.21 (CCR-Modell mit NB-Variablen, Envelopment-Form). min θo − 

 

s− o,i +

i∈B

unter θo · xo,i = xo,i = yo,j =

n  k=1 n 

n 

s 

 s+ o,j

j=1

xk,i · λo,k + s− o,i ,

i ∈ B,

k=1

xk,i · λo,k + s− o,i ,

i ∈ N B,

yk,j · λo,k − s+ o,j ,

j = 1, ..., s,

k=1 + λo,k , s− o,i, , so,j ≥ 0.

Im Wesentlichen werden hier also die Inputverschwendungen und Outputdefizite aus der Zielfunktion ausgeschlossen, sofern es sich um nicht beeinflussbare Variablen (NB) handelt. Somit fließen sie nicht direkt in die Berechnung des Effizienzmaßes f¨ ur eine DMU ein. Die Ber¨ ucksichtigung von NB-Variablen in den Nebenbedingungen beeinflusst jedoch die Ermittlung der Referenzpunkte ineffizienter Einheiten.185

2.3 Dynamische DEA-Modelle Die in Kapitel 2.2 vorgestellten Basismodelle der DEA sind grunds¨atzlich f¨ ur Querschnittsanalysen formuliert:186 Die Produktionen von n DMUs beziehen sich auf eine einzige Periode. Eine Erweiterung der in Kapitel 2.2 vorgestellten Basismodelle stellt eine Dynamisierung dieser Modelle dar. Hierbei f¨allt bei einem Blick in die Literatur auf, dass unter einem dy” 184

Die Abk¨ urzung N B bedeutet hierbei nicht beeinflussbar“; entsprechend stellt N B (bzw. B) in Modell ” 2.21 die Menge nicht-beeinflussbarer (bzw. beeinflussbarer) Variablen dar.

185

Das zu Modell 2.21 duale Modell findet sich z.B. bei Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 210. Zu einer ausf¨ uhrlicheren Darstellung von DEA-Modellen mit nicht-beeinflussbaren Variablen siehe z.B. Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 203 ff., sowie Coelli, Rao, Battese (1998), S. 171 ff.

186

In der anglo-amerikanischen Literatur verwendet man hierf¨ ur den Begriff cross sectional analysis. Grifell-Tatj´e und Lovell merken an, dass ein Großteil empirischer DEA-Anwendungen statische Modelle verwenden; siehe Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 177 f.

Dynamische DEA-Modelle

57

namischen DEA-Modell“ keineswegs eine eindeutige Spezifizierung gemeint ist. Vielmehr stehen zur Dynamisierung statischer Basismodelle etliche M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung, die aus teilweise v¨ollig unterschiedlichen Anwendungssituationen heraus entwickelt worden sind. Unterschiedliche dynamische DEA-Modelle k¨onnen folglich in den seltensten F¨allen als Alternativen aufgefasst werden. Aufgrund der Vielzahl unterschiedlicher Spezifika, die eine dynamische Effizienzanalyse mit DEA sinnvoll erscheinen lassen k¨onnen, ist es schwierig, s¨amtliche Modelle, die unter den Begriff dynamische DEA“ fallen, zu ” systematisieren. Dennoch soll hier eine Einteilung der wichtigsten — d.h. am h¨aufigsten diskutierten bzw. zitierten — dynamischen Varianten der DEA vorgenommen werden, um so eine bisher fehlende Abgrenzung von DEA-basierten Panelmodellen als spezielle dynamische Modelle zu erm¨oglichen.

2.3.1 Dynamische Produktionen F¨are, Grosskopf (1996) entwickeln ein Modell dynamischer Produktion in mehreren Schritten.187 Dieses Modell basiert auf dem Netzwerkgedanken, der den Einsatz gewisser Outputs als Inputfaktoren f¨ ur nachfolgende Perioden beschreibt. Eine dynamische Produktion zeichnet sich also dadurch aus, dass nicht nur Endprodukte hergestellt werden, sondern auch Zwischenprodukte, die in Folgeperioden zur Produktion weiterer Outputs verwendet werden.188 In einem ersten Schritt f¨ uhren die Autoren den Parameter Zeit“ im Rahmen ” einer statisch-komparativen Analyse in die Betrachtung ein. Im Wesentlichen kommt hier der Malmquist-Produktivit¨atsindex (MPI) zum Einsatz, und zwar haupts¨achlich zum Vergleich zweier statischer Technologien.189 Ein weiterer dynamischer Aspekt betrifft die Ber¨ ucksichtigung einer Budgetrestriktion, die sich auf mehrere Perioden bezieht. Im Gegensatz zu der statisch-komparativen Analyse, die eine reine Ex-post-Betrachtung darstellt, ist dieses Modell nun auch zur Planung geeignet. Es beantwortet insbesondere die Frage, wie Inputs auf verschiedene Perioden in der Zukunft verteilt werden sollten, um (allokativ) effizient zu sein. Allerdings sind auch bei diesem Modell die Technologiemengen periodenspezifisch.190 Das eigentliche Modell dynamischer Produktion liegt vor, wenn 187

Zur axiomatischen Beschreibung dynamischer Produktionen siehe auch Hackman (1990).

188

Zur Betrachtung von Zwischenprodukten in einer DEA siehe auch Jaenicke (2000).

189

Der MPI wird ausf¨ uhrlich in Kapitel 3 beschrieben.

190

F¨are, Grosskopf (1996), S. 7: Notice that the technologies are still in some sense, static, i.e., there is ” no connection between the inputs, outputs or technologies over time.“

58

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Produktionen u ¨ber mehrere Perioden hinweg miteinander verbunden sind und somit auch nicht mehr pro Periode eine Technologiemenge konstruiert wird, sondern f¨ ur den gesamten Beobachtungszeitraum.191 Zentrales Charakteristikum des dynamischen Produktionsmodells ist die Annahme, dass Inputs nicht nur in der Periode ihres Einsatzes, sondern auch in Folgeperioden Outputs beeinflussen k¨onnen und folglich nicht pro Periode u ¨ber Produktionen Entscheidungen zu treffen sind, sondern u ¨ber mehrere Perioden in der Zukunft. Dies impliziert die Notwendigkeit der Modellierung von wechselnden Intensit¨aten des Inputeinsatzes, Zwischenprodukten als Inputs in Folgeperioden und lagerbaren Inputs. Ein ¨ahnliches Modell schlagen Emrouznejad und Thanassoulis vor:192 Auch ihr Modell ber¨ ucksichtigt intertemporale Abh¨angigkeiten von Input-Output-Niveaus. Grundlage die¨ ses Modells ist die Uberlegung, dass gewisse Inputs nicht nur in der aktuellen Periode zu einem Output f¨ uhren, sondern in weiteren, zuk¨ unftigen Perioden eine Erh¨ohung des Outputs bewirken. Dies hat zur Folge, dass eine zeitliche Koinzidenz zwischen Inputs und Outputs nicht mehr gegeben ist. Als Beispiele werden Anlageverm¨ogen, zeitlich verz¨ogerte Outputs und nicht-messbare Zwischenprodukte angef¨ uhrt.193 Anlageverm¨ogen, wie beispielsweise Roboter in einer Autofabrik, tr¨agt in der Regel u ¨ber mehrere Perioden zur Produktivit¨at einer Entscheidungseinheit bei. Verz¨ogerte Outputs treten beispielsweise im Bereich des Marketing in Form von Ums¨atzen durch Werbekampagnen auf.194 Nichtbzw. schwer messbare Zwischenprodukte k¨onnen im F&E-Bereich laufende Forschungsarbeiten sein.195 In der Modellformulierung wird explizit zwischen periodenspezifischen Inputpfaden“ (d.h. periodenspezifischen Inputs innerhalb eines mehrere Perioden um” ¨ fassenden Fensters), Anderungen bez¨ uglich gelagerter Inputs und der Ausgangsmenge an Inputs sowie zwischen Outputpfaden“ und der gelagerten Menge an Inputs in der letzten ” Periode als zus¨atzlicher Output unterschieden. Diese Unterteilung in verschiedene Inputund Outputarten f¨ uhrt zu einer Mehrzahl an Nebenbedingungen in den entsprechenden 191

Formal stellt die so genannte Produkttechnologie das kartesische Produkt der statischen Technologiemengen dar; siehe F¨ are, Grosskopf (1996), S. 152. 192 ¨ Aus Gr¨ unden der starken Ahnlichkeit mit dem von F¨ are und Grosskopf diskutierten Modell wird das Modell von Emrouznejad und Thanassoulis an dieser Stelle erw¨ahnt. 193

Siehe Emrouznejad, Thanassoulis (2005), S. 366 f.

194

Emrouznejad, Thanassoulis (2005), S. 367: [T]he team may have been successful in building up ” goodwill among potential clients which will manifest itself in increased sales over future periods.“

195

Emrouznejad, Thanassoulis (2005), S. 367: A research team may generate intermediate outputs in ” the form of research ideas and provisional research results which are incomplete for publication.“

Dynamische DEA-Modelle

59

Linearen Programmen.196

2.3.2 Dynamische Aspekte bez¨ uglich der Inputs Im Wesentlichen finden sich bei Sengupta (1995) und Sengupta (2000) insgesamt vier Klassen dynamischer Modelle, von denen zwei eine Erg¨anzung der oben beschriebenen Modelle dynamischer Produktion darstellen. Sengupta w¨ahlt als Systematisierungskriterium der identifizierten Klassen dynamischer DEA-Modelle den Begriff des Produktionsrandes. Mit Ausnahme des in Fußnote 199 erw¨ahnten Modells der growth frontier betreffen dabei s¨amtliche dynamischen Erweiterungen Besonderheiten auf der Inputseite. Expansion frontier Solche Modelle beziehen sich auf technische und allokative Effizienzdimensionen. Die Zielfunktion des entsprechenden Linearen Programms wird dabei auf den gesamten Planungshorizont bezogen. Die Optimierungsaufgabe wird durch eine quadratische Verlustfunktion modelliert, in der die zuk¨ unftigen Zahlungsstr¨ome197 auf die gegenw¨artige Periode diskontiert werden. Innerhalb der Funktion repr¨asentieren Abschnitte quadratischer Form die Anpassungskosten, die wiederum in Kosten f¨ ur Inputschwankungen und Kosten f¨ ur ein Abweichen von der optimalen Allokation aufgespalten werden. Annahmegem¨aß werden diese Abweichungen durch zeitliche Ver¨anderungen in den Zielsetzungen bzw. Pr¨aferenzen des Managements hervorgerufen. Adjustment frontier Diese Modellart ist vor allem im Bereich flexibler Herstellungssysteme198 sinnvoll, also dann, wenn Inputs durch schnelle Ver¨anderung von Technologien h¨aufig angepasst werden m¨ ussen. Zeitliche Verz¨ogerungen dieser Anpassungen erfordern dabei die kontinuierliche Anpassung der Produktionsfunktion. W¨ahrend diese beiden Modelle echte Erweiterungen des von F¨are und Grosskopf formulierten dynamischen Modells darstellen, sind die unter den Bezeichnungen Technolo196

Emrouznejad, Thanassoulis (2005), S. 373: Model (M1) modifies static DEA essentially by assessing ” the DMU over horizon simultaneously and by adding constraint sets C4 and C5. Thus, the model measures the extent to which inputs, both flow and stock, can be reduced further, given the initial and terminal stock input of the unit and given its output levels during the assessment period.“

197

Sengupta spricht allerdings – unkorrekterweise – von Kosten.

198

Sengupta spricht von flexible manufacturing systems; siehe Sengupta (1995), S. 25.

60

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

gy/capacity frontier bzw. Growth frontier vorgestellten Varianten in jenem enthalten.199

2.3.3 Modelle zur Analyse von Paneldatens¨ atzen Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten dynamischen DEA-Modellen modellieren Panelmodelle keine Entscheidungen u ¨ber mehrere Perioden, beispielsweise in Form von Budgetrestriktionen oder dynamische Produktionen. Die Bezeichnung Panelmodelle deutet an, dass diese Klasse dynamischer DEA-Verfahren aus einer bestimmten Datenkonstellation heraus motiviert werden kann: Im Gegensatz zu statischen Analysen k¨onnen die Produktionen einer einzelnen DMU o miteinander verglichen werden, sofern Daten aus verschiedenen Perioden im Sinne einer Zeitreihe vorliegen: (xo,κ , yo,κ ), κ = 1, ..., T. Hierbei indiziert κ die verschiedenen Perioden, in denen stets dieselben Inputs und dieselben Outputs gemessen werden.200 Eine Kombination dieser beiden Situationen f¨ uhrt zu einem Paneldatensatz ; es werden Produktionen von n DMUs in aufeinander folgenden Perioden beobachtet:201 (xk,κ , yk,κ ), k = 1, ..., n, κ = 1, ..., T. Neben dieser rein formalen Herleitung von Paneldatens¨atzen zur Effizienzanalyse — die Notwendigkeit der Anpassung der bisher vorgestellten statischen Modelle ergibt sich aus der spezifischen Datenstruktur — ist es ebenso m¨oglich, aus (außermathematischen) Fragestellungen heraus die Sichtweise einer kontinuierlichen Effizienzmessung im Zeitablauf zu motivieren. Die Literatur zur DEA, die der dynamischen Effizienzmessung, speziell der 199

Im Falle einer technology frontier entsteht die Notwendigkeit einer dynamischen Betrachtung dadurch, dass gewisse Inputs einen Einfluss auf Outputs in mehreren Folgeperioden besitzen. Als Beispiele hierf¨ ur werden das Vorhandensein von Aktienkapital, Haltbarkeit von Inputs sowie intangible Gr¨oßen wie wachsende Erfahrung oder der Erwerb von Fachkenntnissen (jeweils im Zusammenhang mit der untersuchten Produktion) genannt. Sengupta spricht im Zusammenhang mit den letztgenannten Beispielen auch von learning by doing; siehe Sengupta (1995), S. 7 ff. Der unter der Bezeichnung growth frontier beschriebene Ansatz stellt im Wesentlichen das statisch-komparative Modell nach F¨are, Grosskopf (1996) dar.

200

Man beachte dabei, dass die Mengen der Inputs bzw. Outputs u ¨ber die verschiedenen Perioden variieren k¨ onnen.

201

Vgl. z.B. Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 478.

Dynamische DEA-Modelle

61

Effizienzmessung unter Verwendung von Paneldatens¨atzen zuzurechnen ist, l¨asst sich in methodenorientierte und anwendungsgetriebene Arbeiten einteilen. W¨ahrend das Hauptziel der ersten Gruppe in der (Weiter-)Entwicklung methodischer Varianten der DEA besteht, befasst sich die zweite Gruppe mit volks- und privatwirtschaftlichen Fragestellungen der Effizienzmessung, die speziell eine dynamische Sichtweise nahelegen. Ohne auf Einzelheiten s¨amtlicher bisheriger empirischer Anwendungen von DEA-basierten Panelanalysen einzugehen, werden im Folgenden die in der Literatur behandelten Problemstellungen beschrieben, zu deren L¨osung die DEA in einer panelspezifischen Variante herangezogen worden ist. Im Rahmen volkswirtschaftlicher Untersuchungen finden sich im genannten Zusammenhang haupts¨achlich Arbeiten, die der Wachstumstheorie202 zuzurechnen sind. Gegenstand der Wachstumstheorie ist die Erkl¨arung der Ursachen von Wirtschaftswachstum im Allgemeinen. Eine Untersuchungsgr¨oße hierbei ist die Totale Faktorproduktivit¨at, die als Produktivit¨atsmaß denjenigen Teil eines Produktionswachstums beschreibt, der nicht auf den Einsatz von Produktionsfaktoren zur¨ uckzuf¨ uhren ist.203 Als Ursache f¨ ur diesen (unerkl¨arten) Rest des Produktionswachstums wird u ¨blicherweise technischer Fortschritt angenommen. DEA-bezogene Anwendungen haben sich bisher u.a. auf die Untersuchung des landwirtschaftlichen Sektors,204 der verarbeitenden Industrie,205 des Dienstleistungssektors,206 der Energieindustrie207 sowie privater Haushalte in ¨armlichen Regionen208 bezogen. Panelanalysen mit DEA, die dem betriebswirtschaftlichen Bereich oder dem Non-Profit202

Im anglo-amerikanischen Raum lautet die Entsprechung growth theory. Zur Wachstumstheorie siehe z.B. die Monografien von Solow (2000); de la Croix (2002); Barro, Sala-i Martin (2004).

203

In der haupts¨ achlich anglo-amerikanischen Literatur hierzu findet sich die Entsprechung Total Factor Productivity. Auf diese Gr¨ oße wird insbesondere in Kapitel 3.2.1 eingegangen.

204

Siehe Timmer, Los (2005).

205

Timmer, Los (2005) beziehen sich dabei auf 40 unterschiedlich entwickelte L¨ander; Lynde, Richmond (1998) untersuchen ausschließlich die britische Wirtschaft, w¨ ahrend Shestalova (2003) sowie Arcelus, Arozena (1999) OECD-L¨ ander betrachten.

206

Siehe Arcelus, Arozena (1999). Diese Autoren bezeichnen die verarbeitende Industrie sowie den Dienstleistungssektor als considered essential to the economic growth of any nation.“ Arcelus, Arozena ” (1999), S. 254.

207

Siehe Sueyoshi, Goto (2001).

208

Siehe Liu, Yin (2004).

62

Effizienzmessung mit Data Envelopment Analysis (DEA)

Sektor zuzuordnen sind, verfolgen gr¨oßtenteils die Zielsetzung einer Maßnahmenkontrolle, d.h. einer Wirksamkeitspr¨ ufung von Programmen oder Reformen zur Effizienzsteigerung. Konsequenterweise werden Effizienzwerte vor und nach Durchf¨ uhrung solcher Maßnahmen oder Programme miteinander verglichen und auf ihre Entwicklung u uft. Hierbei ¨berpr¨ k¨onnen sich die Maßnahmen auf einzelne Betrachtungseinheiten, aber auch auf s¨amtliche DMUs gleichzeitig beziehen.209 Bisherige empirische Anwendungen haben beispielsweise die Entwicklung der Effizienz privatwirtschaftlicher Krankenh¨auser,210 von Apotheken,211 Unternehmen der Computerindustrie,212 Banken,213 Fluggesellschaften,214 Einheiten der US-Air Force215 sowie Grundschulen216 untersucht. Kontinuierliche Effizienzmessungen spielen dar¨ uber hinaus insbesondere im Rahmen (unternehmensinterner) Controlling- und Monitoring-Systeme eine bedeutende Rolle217 und erm¨oglichen die Untersuchung von Entwicklungstendenzen betriebswirtschaftlicher Produktivit¨at. W¨ahrend die dynamischen Modelle nach F¨are und Grosskopf sowie Sengupta in eigenst¨andigen Lehrb¨ uchern ausf¨ uhrlich behandelt und auch in wissenschaftlichen Zeitschriften recht umfangreich diskutiert werden, finden sich nur wenige Beitr¨age mit explizitem Bezug zur Panelanalyse.218 Abgesehen von Arbeiten, die die Window Analysis als Variante 209

Vgl. zu diesen beiden Perspektiven auch Kapitel 4.7, S. 135 ff.

210

Siehe Linna (1998); Helmig, Lapsley (2001).

211

Siehe F¨ are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1992); Althin (2001).

212

Siehe Thore, Kozmetsky, Phillips (1994).

213

Siehe Resti (1997); Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004).

214

Siehe Sengupta (1997); Sickles, Good, Getachew (2002).

215

Siehe Bowlin (1987); Clarke (1992).

216

Siehe Sengupta (1997).

217

Siehe z.B. Brockett, Golany, Li (1999), S. 169 f.; Wenk (2006) beurteilt u.a. die DEA als Performance Management-System sowie deren Einsatz als Managementsystem, kommt allerdings zu dem Schluss, dass die DEA als alleiniges Instrument in diesem Kontext ungeeignet ist, und zwar weder in der Gr¨ undungs-, noch in der Wachstums-, noch in der Stagnationsphase des Unternehmenszyklus’; siehe Wenk (2006), S. 241. Allerdings sind diese Beurteilungen teilweise unvollst¨andig bzw. unzutreffend: Es gibt DEA-Modelle unter Ber¨ ucksichtigung von Investitionen, die zu Outputs in mehreren Folgeperioden f¨ uhren k¨ onnen; insofern ist Wenks Aussage auf S. 143 unter Punkt 5. zu widersprechen. Dar¨ uber hinaus existieren DEA-Modelle, die externe Umweltfaktoren in die Analyse einbeziehen; diese Modelle betrachten nicht-beeinflussbare Variablen. Folglich ist Wenks Aussage auf S. 225 unter Punkt 5. bzw. unter dem Abschnitt Ergebnis“ auf derselben Seite nicht korrekt. ” 218 Ein Instrument, das bei Vorliegen von Paneldatens¨ atzen h¨ aufig angewandt wird, stellt der MalmquistProduktivit¨ atsindex (MPI) dar. Wie im folgenden Kapitel ausgef¨ uhrt wird, handelt es sich hierbei jedoch nicht um eine echte Variante der Panelanalyse mit DEA, sondern um einen Index, der Resultate einer DEA-basierten Panelanalyse verwendet und folglich als eine der DEA anschließende

Dynamische DEA-Modelle

63

der DEA-basierten Panelanalyse modelltheoretisch diskutieren oder empirisch anwenden, widmen sich nach Wissen des Autors nur Tulkens, Vanden Eeckaut (1995) einer systematischen Auflistung von DEA-Panelmodellen. Insbesondere gibt es kein Panelmodell im Kontext der DEA, das aus methodisch-konzeptioneller Perspektive zufriedenstellend ist.219 Forschungsbedarf bez¨ uglich dynamischer Data Envelopment Analysis aus methodischer Perspektive ist folglich haupts¨achlich im Rahmen der Panelmodelle auszumachen.

Analyse angesehen werden kann. Der MPI ersetzt kein DEA-Panelmodell, sondern stellt lediglich eine Erg¨ anzung desselben dar. 219

Siehe dazu Kapitel 3.3, S. 79 ff.

3 Analyse von Paneldatens¨ atzen als eine Form der dynamischen Effizienzmessung mit DEA 3.1 Klassen der DEA-basierten Panelanalyse: Periodenspezifische, sequenzielle und intertemporale Analysen Grunds¨atzlich bestehen drei verschiedene M¨oglichkeiten, einen Paneldatensatz mit DEA auszuwerten:220 Periodenspezifische Analyse Bei einer periodenspezifischen Analyse wird pro Periode κ eine Technologiemenge gem¨aß eines Prinzips ξ konstruiert:  per T Mξ,κ :=

s+m z κ ∈ R+ |zκ =

n 

 λj,κ · zj,κ ; λκ ∈ Λξ ⊆ Rn+

.221

j=1

Element dieser Technologiemenge sind alle Produktionen, die sich unter Beachtung der 220

Zu dieser Einteilung vgl. Tulkens, Vanden Eeckaut (1995) sowie die dort genannten Quellen. Ein allgemeines Modell zur Panelanalyse mit nicht-parametrischen Verfahren der Effizienzmessung beschreiben Kneip, Simar (1996). Der Fokus jener Arbeit liegt jedoch auf stochastischen Varianten nicht-parametrischer Verfahren, die f¨ ur inferenzstatistische Untersuchungen genutzt werden k¨onnen, und auf einigen statistischen Eigenschaften der intuitiv sinnvollen, einfachen Sch¨atzer der Effizienz (beispielsweise deren Konvergenzgeschwindigkeiten). U.a. betrachten Kneip und Simar stochastische Versionen der DEA und FDH, siehe Kneip, Simar (1996), S. 195. In der folgenden Darstellung wird jedoch die erstgenannte Quelle als Bezugsrahmen gew¨ ahlt, da sie explizit verschiedene Klassen von Panelmodellen innerhalb der DEA beschreibt.

221

Vgl. Kapitel 2.1.2.

Klassen der DEA-basierten Panelanalyse

65

Regel ξ als Linearkombination beobachteter Produktionen der Periode κ darstellen lassen. F¨ ur jede Periode κ wird die Menge der realisierbaren Produktionen aufs Neue bestimmt, was man u.a. an den periodenspezifischen Linearfaktoren λκ erkennen kann. Die Technologien aufeinander folgender Perioden werden in keine bestimmte Relation gesetzt.222 Sequenzielle Analyse Eine sequenzielle Analyse verwendet pro Periode κ eine Technologiemenge, zu deren Konstruktion nicht nur die aktuellen Beobachtungen (xk,κ , yk,κ ), sondern auch alle bisherigen Beobachtungen (xk,t , yk,t )t=1,...,κ verwendet werden. Aus diesem Grund erkl¨art sich auch die Doppelsumme bei der Darstellung der aus Beobachtungen konstruierten Linearkombinationen:  seq T Mξ,κ

zκ ∈

:=

Rs+m + |zκ

=

n κ  

 λj,t · zj,t ; λκ ∈ Λξ ⊆

Rκ×n +

.

t=1 j=1

Im Unterschied zur periodenspezifischen Analyse werden Referenzpunkte aus Produktionen s¨amtlicher bisheriger Perioden (inklusive der aktuellen κ) zusammengesetzt. In der formalen Darstellung erkennt man diese Tatsache u.a. an der Dimension von λκ , die nun anstelle von n (der DMU-Anzahl) κ × n (Anzahl bisheriger Perioden multipliziert mit der DMU-Anzahl) betr¨agt. Im Laufe der Zeit k¨onnen folglich h¨ochstens effiziente Produktionen hinzukommen, so dass zwischen den einzelnen Technologiemengen folgende Beziehungen bestehen: seq seq seq ⊆ T Mξ,2 ⊆ ... ⊆ T Mξ,T . T Mξ,1

Intertemporale Analyse Die intertemporale Analyse geht von einer einzigen Technologiemenge f¨ ur den gesamten Beobachtungszeitraum t = 1, ..., T aus:  seq T Mξ,κ

:=

zκ ∈

Rs+m + |zκ

=

n T  

 λj,t · zj,t ; λκ ∈ Λξ ⊆

RT+×n

,

t=1 j=1

so dass periodenspezifische Produktionen (xk,κ , yk,κ ) grunds¨atzlich mit den Produktionen aller anderen Perioden des Beobachtungszeitraumes verglichen werden und somit alle periodenspezifischen Technologiemengen identisch sind: 222

Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 479: successive production sets [..] are essentially unrelated to ” one another.“

66

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

seq seq T Mξ,κ ≡ T Mξ,T

∀κ = 1, ...., T.

Jede der drei Modellklassen beinhaltet eine Folge von Analysen, die sich auf eine Teilmenge aufeinander folgender Perioden bezieht. Eine solche Teilmenge soll im Folgenden Fenster genannt werden. Bei einer periodenspezifischen Analyse stellen die Fenster die Perioden selbst dar. Eine sequenzielle Analyse, die sich insgesamt auf die Perioden 1, ..., T bezieht, beinhaltet eine DEA der Fenster (1, ..., ι), ι = 1, ..., T. Die intertemporale Analyse stellt das letzte Fenster der sequenziellen Analyse dar. Die drei vorgestellten M¨oglichkeiten der Panelanalyse mit DEA implizieren unterschiedliche Antworten auf die Frage, ob sich die Technologiemenge im Laufe der Zeit ver¨andern kann. Die intertemporale Analyse geht davon aus, dass keine Ver¨anderungen m¨oglich sind, w¨ahrend die periodenspezifische Variante ohne Einschr¨ankung solche Ver¨anderungen zul¨asst. Die sequenzielle Analyse unterstellt aufgrund der monoton wachsenden Folge periodenspezifischer Technologiemengen, dass ausschließlich Verbesserungen bzw. Fortschritte (Verschiebungen des effizienten Randes nach außen) auftreten k¨onnen.223 Hinsichtlich einer vergleichenden Eignungsbewertung der drei Modellklassen zur Effizienzanalyse von Paneldatens¨atzen mit DEA ist anzumerken, dass ein pauschales Urteil nicht m¨oglich ist und auch nicht sinnvoll erscheint. Vielmehr wird man in einer spezifischen Anwendungssituation die Annahme hinsichtlich der Technologiemenge herleiten m¨ ussen. W¨ahrend in stark technologisch gepr¨agten Anwendungsgebieten die Annahme gerechtfertigt erscheint, dass aufgrund (technischer) Weiterentwicklungen im Zeitablauf h¨ochstens Verbesserungen m¨oglich sind und somit eine periodenspezifische Analyse wenig zweckm¨aßig erscheint,224 ist die DEA allerdings mittlerweile auch f¨ ur andere Bereiche (wie z.B. f¨ ur das Marketing) ge¨offnet worden, bei denen der Produktionsbegriff weiter gefasst werden muss in dem Sinne, dass er einen ganz allgemeinen Wertsch¨opfungspro223

W¨ ahrend bereits Solow (1956) – technischen – Fortschritt mit Verschiebungen von Randproduktionsfunktionen nach außen bzw. (technischen) R¨ uckschritt mit Verschiebungen von Randproduktionsfunktionen nach innen in Verbindung gebracht hat, findet sich in Tulkens, Vanden Eeckaut (1995) die ¨ Ubertragung dieses Konzeptes auf nicht-parametrisch ermittelte Randproduktionsfunktionen, speziell unter Verwendung von DEA- bzw. FDH-Technologien.

224

Z.B. Timmer, Los (2005), S. 52: The possibility of ‘technological regress’ seems awkward and hard ” to defend from a knowledge perspective on technology, as it would involve ‘forgetting’.“

Klassen der DEA-basierten Panelanalyse

67

zess beschreibt, der sich nicht notwendig durch tangible, physische Gr¨oßen auszeichnet.225 Beispielsweise k¨onnen Regulierungsvorg¨ange, eine Ver¨anderung der Konkurrenzsituation ¨ oder Anderungen ur sein, dass die Mo¨okonomischer Umweltbedingungen Ursachen daf¨ dellierung von R¨ uckschritt“ ad¨aquat sein kann.226 ” Methodisch gesehen besitzt der sequenzielle Ansatz hinsichtlich der Ergebnisinterpretation eine Besonderheit in dem Sinne, dass mit jeder neuen Periode eine wachsende Anzahl an Vergleichseinheiten zur Verf¨ ugung steht und es folglich f¨ ur eine DMU im Zeitablauf immer schwieriger wird, als effizient klassifiziert zu werden. Timmer und Los sehen diese Eigenschaft sogar als einen Nachteil der sequenziellen Analyse an.227 Ferner bemerken Asmild u.a., dass eine sequenzielle Analyse mit zunehmender Zeit dem Nachteil der intertemporalen Analyse n¨aherkommt, der darin besteht, dass aktuelle Leistungen mit denjenigen Leistungen verglichen werden, die schon l¨anger zur¨ uckliegen und m¨oglicherweise keinen fairen Vergleichsmaßstab darstellen.228 Allerdings sei nochmals darauf verwiesen, dass die Eignung eines speziellen Ansatzes immer nur im Zusammenhang mit einer spezifischen Anwendung gekl¨art werden kann und aus diesem Grunde eine generelle Bewertung unangemessen ist. F¨ ur die folgenden Betrachtungen werden aufgrund der methodischen Perspektive der vorliegenden Arbeit mit dem Ziel gr¨oßtm¨oglicher Verwendbarkeit in empirischen Anwendungen stets s¨amtliche Modelle der Panelanalyse herangezogen.

225

Hammerschmidt (2006), S. 18: Gerade im Kontext des Marketing ist der klassische, enge Begriff der ” Produktion als technischer Prozess einer Transformation materieller Inputs in materielle Outputs zu erweitern und generisch zu verstehen. [...] Auch das Marketing ist somit Teil des Wertsch¨opfungsprozesses als ein [..] durch Menschen veranlasste[r], systematisch vollzogene[r] Transformationsprozess [..] Daher finden auch im Marketing Produktionsprozesse statt.“ Die DEA wird in jener Arbeit ferner als geeignetes Verfahren der Effizienzmessung im Bereich des Marketing identifiziert; siehe dazu auch Fußnote 96, S. 25.

226

Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 74: This, however, is only part of the truth, as the ” production possibility set also depends on regulation, competitive situation, economic conditions etc., which means that what was possible in the past may not be possible today.“ Grifell-Tatj´e und Lovell f¨ uhren als m¨ ogliche Gr¨ unde f¨ ur nicht-neutrale Produktivit¨ ats¨ anderungen beispielhaft beh¨ordliche Beschr¨ ankungen und verhaltenere Konsumentennachfrage an; siehe Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 178.

227

Timmer, Los (2005), S. 53: A possible disadvantage of the intertemporal approach is the dimensiona” lity problem. It has been pointed out that technical efficiency scores of a single observation estimated using DEA will tend to decrease as the number of observations included in the DEA application increases.“

228

Siehe Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 81.

68

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

3.2 Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse 3.2.1 Malmquist-Produktivit¨ atsindex: Dekomposition von Effizienzwerten eines panelbasierten Verfahrens Der Malmquist-Produktivit¨atsindex229 nutzt i.d.R. Ergebnisse einer periodenspezifischen Panelanalyse, d.h. Ergebnisse einer Folge statischer DEA-Modelle.230 Hierbei sollte f¨ ur jede Periode dasselbe DEA-Modell angewandt werden.231 Der MPI verwendet speziell die Effizienzwerte — in Form der ¨aquivalenten Distanzfunktionswerte — einer periodenspezifischen Panelanalyse und analysiert die Ursachen von Produktivit¨atsver¨anderungen von einer Periode κ auf die folgende Periode κ + 1. Da pro Periode κ eine Technologiemenge T Mκ konstruiert wird und periodenspezifische Effizienz durch Abstandsmessung zum periodenspezifischen effizienten Rand ermittelt wird, h¨angt die Effizienzver¨anderung einer DMU o von κ nach κ + 1 von zwei generellen Wirkungsrichtungen ab, n¨amlich von der Ver¨anderung der Produktion der DMU o einerseits und von den Ver¨anderungen s¨amtlicher Vergleichseinheiten andererseits.232 Im ersten Fall ver¨andert die DMU o ihre Position zum effizienten Rand; im zweiten Fall ver¨andert sich die Lage des effizienten Randes insgesamt. Im Allgemeinen tritt eine Kombination dieser beiden Effekte auf. Im Falle eines outputorientierten Modells bedeutet eine Verschlechterung der effizienten DMUs von κ nach κ+1, dass sich der effiziente Rand nach innen verschiebt und den Abstand zu den ineffizienten Einheiten verk¨ urzt.233 Ausl¨oser einer Außenverschiebung aufgrund technischen Fortschrittes sind z.B. Lerneffekte bei den effizienten DMUs.234 Der MPI zerlegt die gesamte Effizienzver¨anderung einer DMU o — die in diesem Zusammenhang auch als Totale Faktorproduktivit¨at bezeichnet wird235 — in die beiden ge229

Siehe Malmquist (1953); Caves, Christensen, Diewert (1982) liefern eine Erweiterung der erstgenannten ¨ Arbeit; f¨ ur eine Ubersicht siehe z.B. Grosskopf (1993).

230

Siehe z.B. Berg u. a. (1992); Førsund (1993); F¨ are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1994). Allerdings sei darauf hingewiesen, dass der MPI weder auf die Nutzung von Ergebnissen einer periodenspezifischen DEA noch auf die Nutzung von Resultaten einer DEA beschr¨ankt ist, sondern sogar die Ergebnisse parametrischer Effizienzmessverfahren verwenden kann, siehe z.B. Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 182.

231

Zu den unterschiedlichen DEA-Modellen inkl. Bezug zur Konstruktion der Technologiemenge bzw. zur Verwendung einer gewissen Distanzfunktion siehe Kapitel 2.

232

Siehe z.B. Førsund, Kalhagen (1999), S. 282.

233

Vgl. Flegg, Allen, Thurlow (2003), S. 2.

234

Vgl. Sengupta (2000), S. 9.

235

Siehe F¨ are, Grosskopf (1996), S. 53. Die Totale Faktorproduktivit¨at stellt dabei eine zentrale Gr¨oße

Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse

69

nannten Bestandteile. In einer allgemeinen Formulierung setzt sich der Index dabei aus unglichen Formulierung werden vier Distanzfunktionswerten zusammen:236 In seiner urspr¨ dabei die Produktionen (xo,κ , yo,κ ) und (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) der DMU o in den Perioden κ und κ + 1 jeweils durch das Distanzmaß D bez¨ uglich der beiden Technologiemengen T Mκ und T Mκ+1 bewertet. Es kommen somit ausschließlich die Maßst¨abe der beiden zu vergleichenden Perioden zum Einsatz, wodurch sich auch die in der Literatur u ¨bliche Bezeichnung Adjacent Malmquist Index erkl¨art.237 Die urspr¨ ungliche Formulierung des MPI unterstellt ferner ein outputorientiertes Modell mit konstanten Skalenertr¨agen.238 In diesem Fall l¨asst er sich notieren als239 M (xo,κ+1 , yo,κ+1 , xo,κ , yo,κ )  κ 1 Dκ (xo,κ , yo,κ ) 2 Dκ+1 (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) D (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) · · = . Dκ (xo,κ , yo,κ ) Dκ+1 (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) Dκ+1 (xo,κ , yo,κ ) Zur Unterscheidung der einzelnen Effekte l¨asst sich der Index in die folgenden Komponenten zerlegen: EffCh := sowie

 TeCh :=

Dκ+1 (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) Dκ (xo,κ , yo,κ )

Dκ (xo,κ , yo,κ ) Dκ (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) · κ+1 κ+1 D (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) D (xo,κ , yo,κ )

 12

.240

¨ Die erste Komponente misst die Anderung der technischen Effizienz (Efficiency Change)

innerhalb wachstumstheoretischer Untersuchungen dar, wie bereits in Fußnote 203, S. 61, angemerkt. 236

Distanzfunktionswerte sind dabei ¨ aquivalent zu Effizienzwerten, siehe Kapitel 2.1.3.2, bzw. speziell in diesem Zusammenhang F¨ are, Grosskopf (1996), S. 56 f.

237

adjacent (engl.) = angrenzend, benachbart. F¨ ur eine alternative Vorgehensweise, die unter dem Begriff base period Malmquist productivity index diskutiert wird, siehe z.B. Althin (2001). Der Basisperioden” MPI“ vergleicht Produktivit¨ atsver¨ anderungen zwischen zwei aufeinander folgenden Perioden nicht anhand der diesen Perioden zugeh¨ origen Distanzwerte, sondern anhand von Distanzfunktionswerten, die sich auf eine vorab festgelegte Periode beziehen.

238

Weiterentwicklungen des MPI, die von u.a. von diesen Annahmen abweichen, werden an sp¨aterer Stelle dieses Abschnittes erw¨ ahnt.

239

Die Arbeiten zum MPI von F¨ are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1992) und F¨are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1994) unterstellen ausdr¨ ucklich konstante Skalenertr¨ age deshalb, weil bei fallenden bzw. variablen Skalenertr¨ agen gewisse Input- oder Outputmaße mitunter nicht zu ermitteln sind; siehe auch Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 492.

240

Siehe z.B. F¨ are, Grosskopf (1996), S. 57.

70

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

zwischen zwei Perioden.241 Hierbei wird die Produktivit¨at der DMU o in κ + 1 mit der Technologie und dem In- und Outputeinsatz aus dieser Periode zu ihrer Produktivit¨at der Vorperiode κ ins Verh¨altnis gesetzt. Die Ver¨anderung der Technologie (Technical Change) wird durch den zweiten Term ausgedr¨ uckt: Die Verschiebung des effizienten Randes ergibt sich aus der Wurzel des Produktes der Technologieverh¨altnisse mit den Produktionen in κ bzw. κ + 1. Eine m¨ogliche Konstellation ist in Abbildung 3.1 anhand eines outputorientierten Modells mit konstanten Skalenertr¨agen illustriert.242 Hierbei sind mit den Notationen aus der obigen Definition des MPI ER(κ) := effizienter Rand in Periode κ, κ

D (xκ , yκ ) = 0F /0E, κ

D (xκ+1 , yκ+1 ) = 0C/0D, Dκ+1 (xκ , yκ ) = 0F /0B, Dκ+1 (xκ+1 , yκ+1 ) = 0C/0A. Die Abst¨ande der in den beiden Perioden analysierten Produktionen zu den periodenspezifischen effizienten R¨andern sind durch die durchgezogenen bzw. gestrichelten Pfeile angedeutet. Beide periodenspezifischen Leistungen sind technisch ineffizient, was man daran erkennt, dass vom Punkt (xo,κ , yo,κ ) der durchgezogene Pfeil bzw. vom Punkt (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) der gestrichelte Pfeil nach oben in Richtung des jeweiligen periodenspezifischen (durchgezogenen bzw. gestrichelten) effizienten Randes zeigt. Allerdings konnte sich die DMU von einer Periode auf die n¨achste — abgesehen von der Verschiebung des effizienten Randes nach außen — stark verbessern, was durch den durchgezogenen Pfeil nach unten vom Punkt (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) in Richtung des Punktes (xo,κ+1 , D) angezeigt wird. Die Messung des technischen Fortschrittes durch das o.g. geometrische Mittel stellt allerdings eine Kompromissl¨osung dar, denn prinzipiell ist die Blickrichtung bei der Bewertung 241

¨ Der Basisperioden-MPI stimmt hierbei in Bezug auf die Anderung der technischen Effizienz, EffCh, mit dem Adjacent MPI u ¨berein. Allerdings unterscheiden sich beide Indizes hinsichtlich der Technologie¨ anderung, TeCh; hier setzt der Basisperioden-MPI eine feste Periode als Beurteilungsmaßstab an. Zu einer Diskussion u ¨ber konzeptionelle Vor- und Nachteile beider Varianten sei auf Althin (2001) ¨ verwiesen. Im Wesentlichen betreffen die dort ausgef¨ uhrten Uberlegungen den so genannten Zirkeltest – den Test auf die G¨ ultigkeit von Produktdarstellungen des MPI – und die Abh¨angigkeit von der Wahl einer Basisperiode.

242

Zu einer ¨ ahnlichen grafischen Veranschaulichung siehe z.B. Grosskopf (1993); Timmer, Los (2005).

Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse

71

\ (5ț $ (5ț % & \R ț  ' ( ) \R ț



[R ț

[R ț

[

Abbildung 3.1: Grafische Illustration des outputorientierten MPI unter Verwendung konstanter Skalenertr¨age von Produktivit¨ats¨anderungen nicht eindeutig:243 Einerseits kann die aktuelle Produktion (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) am effizienten Rand der Vergangenheit, also bez¨ uglich T Mκ , gemessen werden, oder die vergangene Produktion (xo,κ , yo,κ ) am aktuellen effizienten Rand T Mκ+1 .244 Eine Produktivit¨atsverbesserung liegt hier vor, wenn der MPI einen Wert gr¨oßer Eins annimmt. Dementsprechend deutet ein Wert kleiner als Eins auf eine Verschlechterung 243

Siehe Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 492; Sueyoshi, Goto (2001), S. 235.

244

Sueyoshi und Goto kritisieren insbesondere letztere Variante, da sie Leistungen anhand zuk¨ unftiger Maßst¨ abe bewertet und somit unrealistisch ist: the index measurement has such a shortcoming in ” a realistic point of view.“ Sueyoshi, Goto (2001), S. 235. Die in der Arbeit von Tulkens und Vanden Eeckaut vorgeschlagenen Prozeduren zur Analyse von Produktivit¨atsver¨anderungen kommt hingegen ohne die Bildung des geometrischen Mittels zweier Distanzfunktionswert-Quotienten als Kompromiss aus; siehe Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 492.

72

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

der Totalen Faktorproduktivit¨at hin.245 Die gleiche Ergebnisinterpretation l¨asst sich auf die einzelnen Komponenten u ¨bertragen. Demnach hat eine Einheit ihre relative Effizienz verbessert, wenn das Ergebnis des ersten Terms u ¨ber Eins liegt. Eine Verschiebung des Produktionsrandes kann an dem Ergebnis der zweiten Komponente abgelesen werden. Je nachdem, ob das Resultat gr¨oßer oder kleiner Eins ist, liegt ein technologischer Fortschritt (Außenverschiebung) oder R¨ uckschritt (Innenverschiebung) vor. Welcher der beiden Effekte — Verschiebung der DMU oder Verschiebung des Randes — die Totale Faktorproduktivit¨at st¨arker beeinflusst, l¨asst sich durch den Vergleich der Quotienten EffCh bzw. TeCh herausfinden.246 Der MPI ist nach seiner urspr¨ unglichen Formulierung unter der Annahme eines outputorientierten Modells mit konstanten Skalenertr¨agen auf vielf¨altige Weise weiterentwickelt worden. Diese Modifikationen betreffen zum einen die beiden genannten zentralen Annahmen des MPI und zum anderen alternative Zerlegungen sowie die Nutzung von DEAEffizienzwerten alternativer Panelmodelle. Im Folgenden werden diese unterschiedlichen Weiterentwicklungen in ihren jeweiligen Grundz¨ ugen vorgestellt. Neben der Outputorientierung ist es m¨oglich, einen inputorientierten MPI aufzustellen.247 Dieser ist unter der Bedingung konstanter Skalenertr¨age reziprok zur oben formulierten outputorientierten Version.248 Tulkens und Vanden Eeckaut erg¨anzen das Anwendungsfeld des MPI durch die Formulierung eines (auf alle g¨angigen DEA- und FDH-Technologien erweiterten) Algorithmus’ zur Bestimmung technischen Fort- oder R¨ uckschrittes.249 GrifellTatj´e und Lovell zeigen, dass der MPI im Falle nicht-konstanter Skalenertr¨age nicht exakt Produktivit¨ats¨anderungen misst, sondern — abh¨angig von der H¨ohe der Skalenertr¨age — eine systematische Verzerrung aufweist.250 Sie schlagen eine Modifikation des MPI vor, der 245

Vgl. F¨ are, Grosskopf (1996).

246

Vgl. Worthington, Lee (2005), S. 6.

247

Siehe z.B. Caves, Christensen, Diewert (1982); F¨ are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1992), S. 90 (die – im Gegensatz zu der erstgenannten Arbeit – explizit die verwendeten Distanzfunktionen aufstellen); Grosskopf (1993), S. 183.

248

Vgl. F¨ are, Grosskopf (1996), S. 55.

249

Siehe Tulkens, Vanden Eeckaut (1995).

250

Siehe Grifell-Tatj´e, Lovell (1995), S. 170 und S. 172. Produktivit¨ats¨anderungen werden u ¨bersch¨atzt (untersch¨ atzt), wenn der Input bei fallenden (steigenden) Skalenertr¨agen zunimmt. Im Falle abnehmender Inputs ist die Verzerrung entsprechend entgegengesetzt. Vgl. dazu auch Arcelus, Arozena

Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse

73

die entstehende Verzerrung korrigiert. Ferner schlagen dieselben Autoren in einer sp¨ateren Arbeit vor, die Totale Faktorproduktivit¨at in drei Komponenten zu zerlegen, die eine entsprechend detailliertere Aufteilung bedeutet.251 Im Einzelnen lautet der derartig zerlegte MPI: M (xo,κ+1 , yo,κ+1 , xo,κ , yo,κ ) =

Dκ+1 (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) Dκ (xo,κ , yo,κ ) · κ+1 · Dκ (xo,κ , yo,κ ) D (xo,κ , yo,κ )



Dκ (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) Dκ+1 (xo,κ , yo,κ ) · Dκ+1 (xo,κ+1 , yo,κ+1 ) Dκ (xo,κ , yo,κ )

 .

Im Vergleich zum urspr¨ unglichen MPI wird hier nicht die Kompromissl¨osung bei der Darstellung der Technologiever¨anderung verwendet, sondern die Prospektive“. Das bedeutet, ” dass die Leistung der Vorperiode anhand des aktuellen Technologierandes evaluiert wird; dies wird am zweiten Faktor deutlich. Der dritte Faktor (Ausdruck in großen Klammern) stellt die Verzerrung der Technologiever¨anderung dar, die von Grifell-Tatj´e und Lovell (1997) als ein Indikator daf¨ ur angesehen wird, wie gut es dem Management (der DMU) gelungen ist, die Produktion auf die sich ver¨andernde Technologie anzupassen.252 Die Formulierung eines weiter verallgemeinerten MPI, der auch die obige Zerlegung von Grifell-Tatj´e, Lovell (1997) als Spezialfall beinhaltet, findet sich bei Arcelus, Arozena (1999). In dieser Formulierung findet sich zus¨atzlich ein Term, der den Beitrag der Produktivit¨ats¨anderung zur H¨ohe der Economies of Scale misst. Dieser Term ist der Quotient zweier Skalenindizes, die die Skaleneffizienz der Produktion (xκ+1 , yκ ) bzw. die Skaleneffizienz von (xκ , yκ ) messen.253 Jeder dieser beiden Skalenindizes ist wiederum ein Quotient, und zwar ein Quotient aus Distanzfunktionswerten mit konstanten Skalenertr¨agen ¨ einerseits und variablen Skalenertr¨agen andererseits. Eine Anderung des Produktionsniveaus tr¨agt demnach positiv zur gesamten Produktivit¨ats¨anderung bei, wenn Expansion (Schrumpfung) in Umgebungen steigender (fallender) Skalenertr¨age festzustellen sind. F¨ ur die mathematischen Formulierungen der einzelnen Komponenten sei hier auf Arcelus, Arozena (1999) sowie die dort genannten Quellen verwiesen.

(1999), S. 255. 251

Siehe Grifell-Tatj´e, Lovell (1997).

252

Siehe Grifell-Tatj´e, Lovell (1997), S. 182.

253

Siehe Arcelus, Arozena (1999), S. 257.

74

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

Zu den allgemeinen Vorteilen des MPI gegen¨ uber alternativen Kennzahlen wie z.B. dem Laspeyres-, Paasche- oder T¨ornqvist-Index254 z¨ahlen die Tatsachen, dass der MPI keine Annahmen u ¨ber die funktionale Form von Zusammenh¨angen zwischen Inputs und Outputs ben¨otigt (ein Vorteil, der sich von der DEA als nicht-parametrisches Verfahren auf den MPI u ¨bertr¨agt) und keine effiziente Produktion unterstellt.255 Arcelus und Arozena merken an, dass der MPI im Gegensatz zu den Alternativen, die sie in den T¨ornqvist- bzw. Fisher Ideal-Indizes sehen, folgende Vorteile besitzt:256 (i) der MPI kann in verschiedene Produktivit¨atskomponenten zerlegt werden; (ii) ben¨otigt keinerlei Preisinformationen; (iii) kann mehrere Inputs und Outputs simultan ber¨ ucksichtigen, ohne ein Aggregationsproblem aufzuweisen; (iv) ben¨otigt kein vorab festgelegtes Optimierungskriterium wie z.B. Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung.257

3.2.2 Window Analysis: Kombination aus sequenzieller und intertemporaler Analyse Der Begriff der Window Analysis wurde grundlegend von Charnes et al. (1985) im Kontext der Effizienzmessung von Instandhaltungseinheiten bei der US-Air Force gepr¨agt.258 Die Window Analysis ist prinzipiell eine Variante der sequenziellen Analyse, bei der die Anzahl der simultan analysierten Perioden konstant bleibt.259 Jede DMU wird pro Periode κ als separate Einheit betrachtet. Die DEA wird in periodenweise verschobenen, sich u ¨berlappenden Fenstern der Form 1, ..., l; 2, ..., l + 1; ...; T − l + 1, ..., T konstanter L¨ange

254

Siehe Sueyoshi, Goto (2001) und die dort genannten Quellen sowie zu letztgenanntem Index auch F¨are, Grosskopf (1996), S. 58 ff.

255

Beide Argumente finden sich auch in Grosskopf (1993), S. 175.

256

Zu diesen generellen Vorteilen vgl. auch Grifell-Tatj´e, Lovell (1995), S. 174.

257

Im Wesentlichen beziehen sich die Autoren dabei auf die Nutzung von DEA-Resultaten. Siehe Arcelus, Arozena (1999), S. 255. Zu den Vorteilen des MPI gegen¨ uber dem T¨ornqvist-Index siehe auch F¨are, Grosskopf, Lindgren, Roos (1992), S. 97: [the MPI] allows us to aggregate inputs and outputs without ” price data and explicitly allows for (technical) inefficiency.“

258

Vgl. Charnes, Clark, Cooper, Golany (1984), S. 103 ff.

259

Siehe z.B. Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 70. Tulkens und Vanden Eeckaut merken an, dass die Window Analysis im Gegensatz zu den u ¨blichen Verfahren nicht der Annahme unterliegt, dass Technologiemengen u ¨ber die Zeit konstant sind; siehe Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 480.

Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse

75

l durchgef¨ uhrt.260 Pro Fenster handelt es sich dabei um eine intertemporale Analyse.261 Implizit wird unterstellt, dass es innerhalb eines jeden Fensters keine technologischen Ver¨anderungen gibt.262 Eine h¨ohere Anzahl von Untersuchungsobjekten macht die Analyse bei einer hohen Anzahl von Inputs und Outputs tendenziell aussagekr¨aftiger.263 Die Fensterbreite muss jedoch ¨ anhand inhaltlicher Uberlegungen getroffen werden und nicht anhand der Variablenanzahl. Saisonl¨angen oder Konjunkturzyklen k¨onnten geeignete Auswahlkriterien darstellen. Die Fensterbreite muss so gew¨ahlt werden, dass wichtige Effizienzver¨anderungen, die z.B. durch ver¨anderte Produktionstechnologien entstehen, nicht durch zu breite Fenster verdeckt werden. Gleichzeitig muss eine gewisse Kontinuit¨at durch gen¨ ugend breite Zyklen gew¨ahrleistet werden.264 Asmild u.a. empfehlen, die Fensterbreite so zu w¨ahlen, dass 260

Betr¨ agt der Betrachtungszeitraum T also beispielsweise 10 aufeinander folgende Perioden und die Fensterbreite l = 3, so wird zun¨ achst eine DEA bezogen auf die Perioden 1 bis 3 durchgef¨ uhrt, dann 2 bis 4 usw., wobei jeweils ln = 3n Untersuchungseinheiten verglichen werden. Aufgrund der sich u ¨berlappenden Fenstern spricht man der Window Analysis die Eigenschaft einer moving average-Prozedur zu; siehe z.B. Yue (1992); Charnes, Cooper, Lewin, Seiford (1994b); Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004).

261

Siehe Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 70, sowie Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 480: Successive such windows [..] yield a sequence of reference production sets, that we might call ” ‘locally intertemporal’.“

262

Diese Tatsache sehen Asmild u.a. als generelles Problem der Window Analysis, insbesondere dann, wenn Resultate der Window Analysis mit dem MPI kombiniert werden sollen. Siehe Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 70.

263

Banker u.a. haben in diesem Zusammenhang die Faustregel n > 3(m + s) entworfen, wobei m die Zahl der Inputs und s die Zahl der Outputs bezeichnet; vgl. Banker, Charnes, Cooper, Swarts, Thomas (1989), S. 139, sowie auch Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 272. Einige Autoren – z.B. Asmild u. a. (2004) – betonen, dass durch die vervielfachte Anzahl an DMUs pro Fenster eine sinnvolle Analyse u oglich wird, da in vielen Anwendungen eine relativ große Anzahl an Inputs und ¨berhaupt erst m¨ Outputs zur Verf¨ ugung steht, verglichen mit der Zahl der DMUs. Teilweise wird bei Vorliegen eines Paneldatensatzes die Window Analysis dazu verwendet, einen h¨oheren Stichprobenumfang“ (eine ” h¨ ohere DMU-Anzahl) analysieren zu k¨ onnen, wie z.B. in Charnes, Cooper, Golany, Learner, Phillips, Rousseau (1994a), S. 153: [The experiments] enabled us [...] to increase the “sample size” by replicating ” RUs across quarters.“

264

Siehe B¨ urkle, Raber (1995), S. 5. Charnes, Cooper, Golany, Learner, Phillips, Rousseau (1994a) machen allerdings keine derartigen Vorschl¨ age: [T]he problem of choosing the width for a window (and the ¨ sensitivity of DEA solutions to window width) is currently determined by trial and error. Ahnlicher Ansicht sind Tulkens und Vanden Eeckaut: For the size of the window [..] it seems to be hard to find more than an ad hoc justification; siehe Tulkens, Vanden Eeckaut (1995), S. 480, sowie Day, Lewin, Li, Salazar (1994): It should be noted, however, that choosing the number of time periods to be included in the window is at present a matter of judgment. Insgesamt ist also zu konstatieren, dass die wissenschaftliche Diskussion u ¨ber die Wahl der Fensterbreite in einer Window Analysis keineswegs abgeschlossen ist. Mit Hilfe der DIS-DEA wird hierzu jedoch ein Beitrag geleistet; siehe Kapitel 4.7.3, S. 146.

76

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

technologische Ver¨anderungen innerhalb eines Fensters vernachl¨assigt“ werden k¨onnen, ” f¨ uhren jedoch kein (statistisches) Kriterium an, das Auskunft dar¨ uber gibt, wann solche Ver¨anderungen als vernachl¨assigbar angesehen werden d¨ urfen.265 Eine weitere Empfehlung geben die Autoren in dem Sinne, dass die Fensterbreite so klein gew¨ahlt werden sollte, dass keine unfairen“ Vergleiche entstehen.266 ” Werden n Objekte u ¨ber T Perioden mit jeweils m Inputs und s Outputs betrachtet, hat eine Untersuchungseinheit k in der Periode κ den Inputvektor xk,κ := (xk,1,κ , ..., xk,m,κ )
und den Outputvektor yk,κ := (yk,1,κ , ..., yk,s,κ )
. F¨ ur eine Fensterbreite l und eine Anfangsperiode ι lautet die Inputmatrix f¨ ur dieses Fenster267 X(ι) = (x1,ι , ..., xn,ι , x1,ι+1 , ..., xn,ι+1 , ..., x1,ι+l−1 , ..., xn,ι+l−1 ) ∈ Rm×nl und die Outputmatrix Y(ι) = (y1,ι , ..., yn,ι , y1,ι+1 , ..., yn,ι+1 , ..., y1,ι+l−1 , ..., yn,ι+l−1 ) ∈ Rs×nl . ¨ Ublicherweise werden die Effizienzwerte in einer Tabelle dargestellt. Durch einen Objektvergleich in den jeweiligen Spalten wird angezeigt, welche Einheiten in diesem Zeitfenster auf dem fensterspezifischen Rand liegen und wie groß die Effizienzunterschiede zu den ineffizienten Objekte sind. Die Effizienzwerte einer DMU in einer bestimmten Periode k¨onnen dar¨ uber hinaus trotz konstanter Daten in verschiedenen Fenstern variieren, falls sich die u ur den relativen Effi¨brigen Produktionen ver¨andern, da diese als Referenz f¨ zienzwert dienen. Oftmals wird in diesem Zusammenhang auch von vertikaler Effizienz gesprochen. Eine zeilenweise Betrachtung erm¨oglicht f¨ ur jede Einheit die Untersuchung von Effizienztrends; diese Effizienzart heißt u ¨blicherweise horizontale Effizienz.268 Durch den Vergleich der Fenster untereinander ist es neben einer Trendanalyse m¨oglich, 265

Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 70: [..] for a DEA window analysis to give credible ” results, the window width should be chosen so it is reasonable to assume that the technological change within each window is negligible.“

266

Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 81: The window width [..] is selected to be as small ” as possible to minimize the problem of unfair comparisons over time.“

267

Vgl. Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 70.

268

Vgl. Charnes, Clark, Cooper, Golany (1984), S. 104 ff., sowie Kapitel 4.7.2, S. 139.

Zentrale Konzepte der DEA-basierten Panelanalyse

77

die Stabilit¨at der Input- und Outputdaten sowie der Ergebnisse sowohl innerhalb der Zeitfenster als auch fenster¨ ubergreifend zu pr¨ ufen und Ausreißer zu diagnostizieren.269 Dazu kann die Analyse von Mittelwerten und Varianzen eingesetzt werden. Außerdem k¨onnen Strukturbr¨ uche identifiziert werden, die beispielsweise in der Einf¨ uhrung einer neuen Technik begr¨ undet sind. Insgesamt erzeugt die Window Analysis ein breiteres Ergebnisspektrum als eine periodenspezifische oder rein intertemporale Analyse sowie implizite Zusatzinformationen u ¨ber die Ergebnisstabilit¨at.270 Bei der Existenz von Saisoneinfl¨ ussen ist eine Untersuchung hinsichtlich der Frage m¨oglich, welche Einheiten sich am besten auf diese einstellen k¨onnen. Problematisch ist hierbei allerdings, dass die Anfangsund die Endperiode der Betrachtung methodenbedingt seltener als andere Perioden verwendet werden.271 Insbesondere im Falle der j¨ ungsten Periode ist dies zu bem¨angeln, da diese die aktuellen Daten beinhaltet, somit die Effizienzh¨ohe zum Analysezeitpunkt widerspiegelt und folglich Ausgangspunkt der abzuleitenden Handlungsempfehlungen ist. Zur L¨osung dieses Problems gibt es verschiedene M¨oglichkeiten. Eine g¨angige Methode ist ein rotierendes Modell, in dem die ersten Perioden an die j¨ ungsten Perioden angeschlossen werden, bis alle Perioden gleich h¨aufig in die Analyse eingehen.272 Fraglich bleibt, ob dieses Vorgehen sinnvoll erscheint, d.h. ob der beschriebene methodische Kunstgriff nicht eher zu Lasten des Analyseziels, einer Effizienzmessung im Zeitablauf (im Gegensatz zu Zeitzyklen), geht.

3.2.3 Nutzung von Resultaten der Window Analysis bei der Berechnung von Malmquist-Produktivit¨ atsindizes Da der MPI als Aufbaumodul einer effizienzorientierten Panelanalyse zu verstehen ist, bleibt zu kl¨aren, ob er tats¨achlich dazu geeignet ist, speziell die Ergebnisse einer Window Analysis zu verwenden. Es gibt einige Studien, die eine solche Kombination in empirischen Anwendungen vornehmen.273 Allerdings identifizieren Asmild u.a. (2004) ein zentrales 269

Siehe Webb (2003), S. 312, sowie Kapitel 4.7, S. 135, und Kapitel 4.7.3, S. 146.

270

Vermutlich stellen Cooper, Seiford, Tone (2006) wegen dieser modellinh¨arenten Sensitivit¨atsanalyse die Window Analysis innerhalb des Themas Data variations vor.

271

Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 293: Another deficiency is apparent in that the beginning and ending ” period DMUs are not tested as frequently as the others.“

272

Vgl. Hanow (1999), S. 149.

273

Asmild u. a. (2004) f¨ uhren als Beispiele solcher Studien folgende an: Thore u. a. (1994) wenden eine Window Analysis mit der Fensterbreite l = 2 auf einen Datensatz von US-amerikanischen Compu-

78

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

Problem dieses Vorgehens. Es besteht darin, dass in der Window Analysis eine periodenspezifische Leistung in mehreren Fenstern, d.h. anhand mehrerer Technologiemengen, evaluiert wird.274 In der Regel resultiert diese Tatsache in unterschiedlichen Effizienzwerten f¨ ur eine DMU in ein und derselben Periode. Folglich ist unklar, welcher dieser Effizienzwerte in die Berechnung des MPI eingehen sollte.275 Betr¨agt die Fensterbreite beispielsweise drei, so ist die dritte Periode im ersten, zweiten und dritten Fenster enthalten; wendet man nun den MPI auf die zweite und dritte Peiode an, stehen die Ergebnisse des ersten sowie des zweiten Fensters zur Verf¨ ugung (das dritte Fenster enth¨alt die zweite Periode nicht mehr und entf¨allt daher f¨ ur diesen Zweck). Produktivit¨atsver¨anderungen zwischen der zweiten und dritten Periode sind aber aufgrund der Datenvariation davon abh¨angig, ob man die Ergebnisse des ersten oder des zweiten Fensters verwendet. Auch wenn die Wahl sowohl des fr¨ uheren als auch des sp¨ateren Fensters angemessene Ergebnisse liefern, was die H¨ohe des MPI betrifft,276 wird man feststellen, dass die Dekompositionseigenschaft des MPI verloren geht, und zwar aufgrund der Tatsache, dass in einer Window Analysis Produktivit¨atsver¨anderungen (auch) durch Datenvariationen hervorgerufen wer¨ den k¨onnen.277 Diese Schwierigkeit wird im Ubrigen bei all jenen Panelmodellen auftreten, bei denen Analysen in nicht u uhrt werden; nur der ¨berschneidungsfreien Fenstern durchgef¨ periodenspezifische Ansatz bleibt — trivialerweise — von Produktivit¨atsver¨anderungen durch Datenvariation unber¨ uhrt. Zur reinen Quantifizierung von Produktivit¨atsver¨anderungen — ohne Zerlegung in unterschiedliche Ursachen — kann der MPI allerdings innerhalb jeder denkbaren Panelmodellklasse angewandt werden. terherstellern an; Goto, Tsutsui (1998) analysieren Kosteneffizienzen und technische Effizienzen bei japanischen und US-amerikanischen Elektrizit¨ atsversorgern zwischen 1984 und 1993, ebenfalls unter Verwendung eines Window Analysis-Modells der Fensterbreite 2; Sueyoshi, Goto (2001) verwenden den Datensatz von Goto, Tsutsui (1998) unter dem methodischen Gesichtspunkt von Effizienzmaßen, die Slackwerte ber¨ ucksichtigen. 274

Hierin besteht gerade das konstitutive Merkmal einer Window Analysis, das eine modellinh¨arente Sensitivit¨ atsanalyse erm¨ oglicht. Siehe dazu Kapitel 3.2.2.

275

Dieses Problem wird in Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004) unter dem Begriff same period frontier diskutiert.

276

Zu einem Beispiel siehe Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 75 f. Die Autoren merken zus¨ atzlich an, dass die Anlage der Window Analysis als durchschnittsbildendes Verfahren der Plausibilit¨ at der MPI-Werte sogar zutr¨ aglich ist: Calculating Malmquist indices from DEA window scores ” means that the extreme variation in the index values that are often observed are leveled out by the inherent averaging present in the window analysis, hence making the index values more plausible, but at the cost of the decomposition property.“ Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 85.

277

Zu dieser Schlussfolgerung siehe auch Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 76.

Konzeptionell-methodische Schw¨ache bestehender DEA-basierter Panelmodelle

79

3.3 Konzeptionell-methodische Schw¨ ache bestehender DEA-basierter Panelmodelle Die drei vorgestellten Klassen von Panelmodellen innerhalb einer DEA bewerten stets periodenspezifische Produktionen von DMUs, wie man an den Formulierungen der jeweiligen periodenspezifischen Technologiemengen erkennt.278 Insbesondere werden Produktionen, die zwar derselben DMU, jedoch unterschiedlichen Perioden angeh¨oren, als separate Einheiten betrachtet. Somit wird die Zugeh¨origkeit periodenspezifischer Leistungen zu einer DMU — genauer gesagt, die hierarchische Struktur der Daten279 — missachtet; dieser Sachverhalt ist in Abbildung 3.2 illustriert.280 Bis auf die periodenspezifische Analyse, die volle Flexibilit¨at gegen¨ uber Technologie¨anderungen modelliert, unterstellen die u ¨brigen Panelmodelle eine gewisse Kontinuit¨at des zugrunde liegenden Produktionsprozesses, n¨amlich innerhalb der einzelnen Fenster. Folglich m¨ ussten fenster- und nicht periodenspezifische DMU-Leistungen die Analyseeinheit darstellen. Gleichzeitig w¨are es w¨ unschenswert, periodenspezifische Leistungen im Verh¨altnis zur gesamten, aggregierten Leistung des Fensters zu bewerten — andernfalls z¨oge man keine Zusatzerkenntnisse aus den detailliert, d.h. periodenspezifisch vorliegenden Daten. Insgesamt bleibt festzuhalten, dass alle verf¨ ugbaren Modelle zur Panelanalyse mit DEA eine konzeptionelle Schw¨ache besitzen, die in der Missachtung der hierarchischen Datenstruktur besteht. Folglich besteht hinsichtlich der Entwicklung eines DEA-basierten Modells zur Analyse von Paneldaten erheblicher methodischer Forschungsbedarf. Ein Modell, das die konzeptionelle Schw¨ache der bisherigen Verfahren behebt, m¨ usste fensterspezifische Leistungen analysieren und gleichzeitig in der Lage sein, periodenspezifische Effizienzwerte zu ermitteln. Im folgenden Kapitel wird ein solches Modell in zwei Varianten entwickelt und f¨ ur s¨amtliche Basismodelle der DEA formuliert. Jede dieser zwei Varianten ist im 278

Siehe Kapitel 3.1, S. 64.

279

Paneldaten sind als hierarchische Daten – mit der Gr¨ oße Zeit“ als hierarchiebildender Parameter – ” charakterisierbar.

280

Auch Charnes u.a. merken an, dass die Window Analysis die Frage offen l¨asst, aus welchen theoretischen Gr¨ unden DMUs in verschiedenen Perioden als separate Einheiten betrachtet werden sollten; siehe Charnes, Cooper, Lewin, Seiford (1994b), S. 60: Similarly, the theoretical implications of representing ” each DMU as if it were a different DMU for each period in the window remain to be worked out.“ Nach Wissen des Autors ist eine derartige theoretische Begr¨ undung – sofern sie u ¨berhaupt existieren sollte – bisher ausgeblieben.

80

Analyse von Paneldatens¨atzen mit DEA

bisherige DEA-Panelmodelle DMU 1 Periode 1

DMU 3 Periode 2

DMU 2 Periode 2

DMU 2 Periode 3 DMU 1 Periode 2

DMU 3 Periode 1

DMU 3 Periode 2

DMU 2 Periode 1 DMU 1 Periode 3

„hierarchische Struktur“ DMU 1 DMU 1 DMU 1 Periode 1 Periode 2 Periode 3

DMU 2 DMU 2 DMU 2 Periode 1 Periode 2 Periode 3

DMU 3 DMU 3 DMU 3 Periode 1 Periode 2 Periode 3

Zeit Abbildung 3.2: Missachtung der hierarchischen Datenstruktur bei DEA-basierten Panelanalysen: Die konzeptionelle Schw¨ache bestehender Verfahren Kontext der drei vorgestellten Modellklassen anwendbar.281

281

Hierbei tritt sie als Trivialfall der periodenspezifischen Analyse auf, bei der die Begriffe Periode und Fenster zusammenfallen.

4 Konzept der DISaggregierenden DEA (DIS-DEA) zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten 4.1 Grundidee des Konzeptes der DIS-DEA Wie in Kapitel 3 deutlich wurde, gibt es keine dynamische Variante der DEA zur Analyse von Paneldaten, die der hierarchischen Struktur der Daten gerecht wird.282 Im Folgenden soll daher ein eigenes auf der DEA basierendes Konzept der Panelanalyse entwickelt werden, das diesen zentralen Mangel aus konzeptioneller Perspektive behebt. Zur DEAbasierten Panelanalyse stehen grunds¨atzlich drei Modellklassen zur Verf¨ ugung, deren Eignung je nach Anwendungssituation verschieden bewertet werden d¨ urfte. Um dem zu entwickelnden Konzept — das unter der Bezeichnung DIS-DEA dargestellt werden wird — ein m¨oglichst breites Anwendungsspektrum zu erm¨oglichen, soll es als Modifikation jeder dieser drei Modellklassen formuliert werden.283 Das bisher am weitesten verbreitete Verfahren zur dynamischen DEA-basierten Effizienzanalyse bei Vorliegen einer Paneldatenstruktur stellt die Window Analysis dar. Insbesondere lassen sich sowohl der periodenspezifische als auch der intertemporale Ansatz als Spezialf¨alle der Window Analysis auffassen, und zwar mit l = 1 bzw. l = T als Fensterbreite.284 Die DIS-DEA wird daher zun¨achst als Modifikation der Window Analysis 282

Bei Paneldatens¨ atzen ist, wie bereits angemerkt, der Parameter Zeit die hierarchiebildende Gr¨oße: Periodenspezifische Produktionen geh¨ oren zu DMUs; Analyseeinheit einer DEA sind genau diese DMUs.

283

Auf die Berechnung von Malmquist-Produktivit¨ atsindizes auf Basis von Resultaten der DIS-DEA wird in Kapitel 4.7.4 eingegangen.

284

Siehe Kapitel 3.1, S. 66.

82

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

formuliert. Da sich die sequenzielle Analyse im Gegensatz zu den beiden erstgenannten Modellklassen durch eine wachsende Fensterbreite auszeichnet und diese Tatsache aus notationstechnischen Gr¨ unden die simultane Behandlung mit der periodenspezifischen und ¨ intertemporalen Analyse erheblich erschweren w¨ urde, erfolgt die Ubertragung des hier vorgestellten Konzeptes der Panelanalyse auf den Fall der sequenziellen Analyse in einem gesonderten Abschnitt.285 Die DIS-DEA wird in zwei Varianten konzipiert, deren Ergebnisse sich erg¨anzen, so dass eine simultane Anwendung ein breiteres Ergenisspektrum erzeugt. Da sich die DIS-DEA als Verfahrensmodifikation der Window Analysis auffassen l¨asst, wird die DEA wie bei der Window Analysis in sich u uhrt. Die konstante Fenster¨berlappenden Fenstern durchgef¨ breite l muss wie bei der Window Analysis vorab festgelegt werden.286 Ebenso muss wie bei der Window Analysis ein f¨ ur die Analysezwecke geeignetes Basismodell ausgew¨ahlt werden. Die Tatsache, dass periodenspezifische Produktionen DMU-zugeh¨orig sind und die DMUs die Analyseeinheiten einer DEA darstellen, wird innerhalb der DIS-DEA durch eine fenster- und DMU-spezifische Aggregation dieser Inputs und Outputs ber¨ ucksichtigt. F¨ ur die Multiplier-Formen der zugeh¨origen Linearen Programme der DIS-DEA gilt somit, dass in der Zielfunktion keine periodenspezifische, sondern eine fensterspezifisch aggregierte Gr¨oße der analysierten DMU steht. Die Optimalit¨at der DMU-spezifischen Gewichtungsfaktoren bezieht sich daher simultan auf alle einem Fenster zugeh¨origen Perioden. Diese Eigenschaft birgt den Vorteil in sich, dass pro DMU und Analysezeitraum (=Fenster) die Strategien der Effizienzmaximierung nicht variieren k¨onnen und die DMU in ihrer Ganzheit bewertet, also eine Fenstereffizienz ausgewiesen wird. Die beiden Varianten der DIS-DEA unterscheiden sich dabei in den Nebenbedingungen sowohl hinsichtlich der Multiplier-, als auch hinsichtlich der Envelopment-Form der verwendeten Linearen Programme. W¨ahrend bei Variante 1 Referenzpunkte aus den (l¨angerfristigen) fensterspezifischen DMUs ermittelt werden, stellen bei Variante 2 (k¨ urzerfristige) periodenspezifische Produktionen den Referenzmaßstab dar. Welche unterschiedlichen Ergebnisinterpretationen diese Unterschiede mit sich bringen, wird in den entsprechenden Abschnitten (Kapitel 285

Siehe Kapitel 4.2.3, S. 109.

286

Somit besteht auch beim Konzept der DIS-DEA das Problem der Wahl einer geeigneten Fensterbreite. Kapitel 4.7.2 wird diese Problematik aufgreifen und einen L¨ osungsvorschlag, der sich speziell bei der DIS-DEA anbietet, unterbreiten.

Grundidee des Konzeptes der DIS-DEA

83

4.2.1.2 und Kapitel 4.2.2.2) erl¨autert. Auch wenn innerhalb einer DIS-DEA fensterspezifische Leistungen miteinander verglichen werden, erm¨oglicht das Konzept dennoch eine periodenspezifische Evaluation der DMUs. Sowohl die L¨osungen der fensterspezifischen Multiplier- als auch der Envelopment-Formen k¨onnen f¨ ur eine solche Evaluation herangezogen werden. Ausgehend von der aggregierten L¨osung k¨onnen folglich periodenspezifische Aussagen insbesondere u ¨ber die Effizienzwerte der betrachteten DMUs hergeleitet werden. Die Fenstereffizienz einer DMU wird in (periodenspezifische) Bestandteile zerlegt, disaggregiert, woraus sich auch die Bezeichnung DIS-DEA erkl¨art.287 Der konzeptionelle Unterschied zwischen der DIS-DEA und der Window Analysis sowie auch zwischen den beiden Varianten der DIS-DEA untereinander ist in Abbildung 4.1 illustriert. Die vorgeschlagene Prozedur der DIS-DEA besteht insgesamt aus drei Schritten: (i) fenster- und DMU-spezifische Aggregation von Inputs und Outputs; (ii) Durchf¨ uhrung einer DEA pro Fenster unter Zuhilfenahme spezieller Linearer Programme, die fensterpezifisch aggregierte DMU-Leistungen evaluieren;288 (iii) Berechung periodenspezifischer Effizienzwerte unter Zuhilfenahme fensteroptimaler L¨osungen (Disaggregation). F¨ ur die in Schritt (i) notwendige Aggregation der Inputs und Outputs wird hier die Summenbildung verwendet. Da in der DEA grunds¨atzlich von metrisch skalierten Inputs und Outputs ausgegangen wird und aus dem Grunde auch die genannten Distanzfunktionen zur Effizienzmessung zum Einsatz gelangen k¨onnen, erscheint die Summe als geeignete Umsetzung dieser Aggregation. Die Bildung des arithmetischen Mittels perioden- und ¨ DMU-spezifischer Leistungsparameter je Fenster w¨are ebenso m¨oglich und im Ubrigen zur Summe a¨quivalent, da die Effizienz einer DMU als Quotient von Output und Input operationalisiert wird und folglich derselbe Skalierungsfaktor (in Form der Fensterbreite 287

Das zusammengesetzte Wort disaggregieren beschreibt Verteil-, Aufteil-, Trennungs- bzw. St¨ uckelungsvorg¨ ange.

288

Die Modellwahl selbst ist, wie bereits weiter oben erw¨ ahnt, nicht in die Prozedur integriert und sollte wie bei jeder DEA am Analyseziel sowie an situationsspezifisch gerechtfertigten Annahmen ausgerichtet werden, z.B. an Annahmen u age und Beeinflussbarkeit einer Variablenart. ¨ber Skalenertr¨

84

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

1HEHQEHGLQJXQJHQ%VSO 

=LHOIXQNWLRQ Window Analysis

Periodenspezifische Produktionen

DMUjPer ț

DMU1Per ț

DMU1Per ț +1

DMU1Per ț +2

DMU2Per ț

DMU2Per ț +1

DMU2Per ț +2

DMU3Per ț

DMU3Per ț +1

DMU3Per ț +2

DIS-DEA-Variante 1

Fensterspezifische Produktionen

DMUjPer ț, Per ț +1, Per ț +2

DMU1Per ț, Per ț +1, Per ț +2

„DIS“

DMU2Per ț, Per ț +1, Per ț +2 DMUjPer ț +2

DMU3Per ț, Per ț +1, Per ț +2

DMUjPer ț +1 DMUjPer ț

DIS-DEA-Variante 2 DMUjPer ț, Per ț +1, Per ț +2

„DIS“ DMUjPer ț +2

Periodenspezifische Produktionen DMU1Per ț

DMU1Per ț +1

DMU1Per ț +2

DMU2Per ț

DMU2Per ț +1

DMU2Per ț +2

DMU3Per ț

DMU3Per ț +1

DMU3Per ț +2

DMUjPer ț +1 DMUjPer ț

”1

Abbildung 4.1: Gegen¨ uberstellung struktureller Unterschiede zwischen den Varianten der DIS-DEA und der Window Analysis

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

85

l) f¨ ur Outputs und Inputs den Wert des Quotienten nicht ver¨andert. Formal l¨asst sich Schritt (i) demnach wie folgt beschreiben: Ist als Fensterbreite l ≤ T gew¨ahlt, so ist f¨ ur alle Fenster ι = 1, ..., T − l + 1, f¨ ur alle DMUs k = 1, ..., n und f¨ ur alle Outputs j = 1, ..., s sowie alle Inputs i = 1, ..., m zu berechnen: (a) yk,j,¯ι := (b) xk,i,¯ι :=

ι+l−1  κ=ι ι+l−1  κ=ι

yk,j,κ , xk,i,κ .

Hierbei suggeriert der Index ¯ι die f¨ ur das Analysefenster g¨ ultige Summenbetrachtung.289 Dann werden f¨ ur alle Fenster ι = 1, ..., T − l + 1 in Schritt (ii) die DMUs k = 1, ..., n anhand des gew¨ahlten DEA-Modells mit yk,j,¯ι als Outputs und xk,i,¯ι als Inputs analysiert. Hierzu stehen zwei Varianten der DIS-DEA zur Verf¨ ugung. Um die DIS-DEA mit Schritt (iii) abzuschließen, sind die Effizienzwerte jeder DMU o der Perioden κ = ι, ..., ι + l − 1 des Fenster ι unter Zuhilfenahme der aus Multiplier- und Envelopment-Form erhaltenen L¨osungen des Fensters ι zu berechnen.

4.2 Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA 4.2.1 DIS-DEA-Variante 1 als Modifikation der Window Analysis: Fensterspezifische Referenzen 4.2.1.1 Formulierungen f¨ ur die Basismodelle CCR und BCC und Ergebnisinterpretationen F¨ ur alle g¨angigen DEA-Basismodelle (also f¨ ur CCR- und BCC-Modelle mit jeweils Inputund Outputorientierung sowie f¨ ur slackbasierte Programme) werden im Folgenden die Linearen Programme aufgef¨ uhrt, die sich auf die Variante 1 beziehen. Wie bereits in Abbildung 4.1 angedeutet, dienen als Vergleichsmaßstab f¨ ur eine fensterspezifisch zu evaluierende DMU s¨amtliche beobachteten fensterspezifischen Produktionen.290 Alle im Fol289

F¨ ur die Aggregation wird der Index ¯ι deswegen verwendet, weil ι allein auch eine Periode indizieren kann.

290

Siehe Kapitel 3.3, S. 80.

86

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

genden genannten Linearen Programme m¨ ussen f¨ ur jede DMU o und f¨ ur jedes Analysefenster ι = 1, ..., T − l + 1 gel¨ost werden; der Rechenaufwand hinsichtlich der Anzahl der erforderlichen LPs ist demnach zu demjenigen einer Window Analysis identisch. Zun¨achst wird das inputorientierte CCR-Modell in der Mutliplier-Form dargestellt:291 Modell 4.1 (CCR, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µo,j,¯ι

unter

s 

µo,j,¯ι · yo,j,¯ι

j=1 m  i=1 s 

νo,i,¯ι · xo,i,¯ι = 1 µo,j,¯ι · yk,j,¯ι ≤

m 

j=1

νo,i,¯ι · xk,i,¯ι ∀k = 1, ..., n

i=1

µo,j,¯ι , νo,i,¯ι ≥ 0. Der zus¨atzliche Index ¯ι des Effizienzmaßes θ f¨ ur das analysierte Fenster ι wird aufgrund der dynamischen Dimension des Verfahrens notwendig. Er deutet sowohl bei den Gewichtungsfaktoren µ und ν, als auch bei den Inputs x und y darauf hin, dass (pro Fenster) ein g¨angiges statisches DEA-Modell zugrunde liegt, wobei die dem Zeitraum ι zurechenbaren Inputs und Outputs in die Analyse eingehen. Durch die zugeh¨orige Envelopment-Form wird deutlich, dass der effiziente Rand jeweils aus den fensterweise aggregierten InputOutput-Vektoren aller Vergleichseinheiten gebildet wird: Modell 4.2 (CCR, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,i,¯ι ≥ yo,j,¯ι ≤

n 

n 

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι ∀i = 1, ..., m

k=1

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι ∀j = 1, ..., s

k=1

λo,k,¯ι ≥ 0. 291

S¨ amtliche hier vorgestellten Modelle beider Varianten der DIS-DEA werden in A.2 in Vektorschreibweise wiedergegeben, weil jene Notation diejenige ist, die f¨ ur die softwaretechnische Umsetzung am g¨ unstigsten erscheint. Aus Gr¨ unden der Anschaulichkeit wird im Haupttext die detaillierte Schreibweise bevorzugt.

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

87

Somit l¨asst sich in Anlehnung an Kapitel 2.1.2 die zugrunde liegende Technologiemenge folgendermaßen notieren:  T MCRS,¯ι :=

z¯ι ∈

Rs+m ι + |z¯

=

n 

 λk,¯ι · zk,¯ι ; λ¯ι ∈ ΛCRS,¯ι ⊆

Rn+

.

k=1

Wie das CCR-Modell gleicht auch das BCC-Modell pro Fenster strukturell dem statischen BCC-Modell; konsequenterweise ist hier auch der gegen¨ uber dem CCR-Modell zus¨atzliche Parameter uo innerhalb der Multiplier-Form mit dem Zusatzindex ¯ι versehen:

Modell 4.3 (BCC, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µo,j,¯ι

unter

s 

µo,j,¯ι · yo,j,¯ι − uo,¯ι

j=1 m  i=1 s 

νo,i,¯ι · xo,i,¯ι = 1 µo,j,¯ι · yk,j,¯ι − uo,¯ι ≤

m 

j=1

νo,i,¯ι · xk,i,¯ι ∀k = 1, ..., n

i=1

µo,j,¯ι , νo,i,¯ι ≥ 0, uo,¯ι ∈ R. Die Variable uo,¯ι , deren Vorzeichen die Art der Skalenertr¨age determiniert,292 bezieht sich hier auf das Fenster als Ganzes, wie man sowohl an der Zielfunktion als auch an den Nebenbedingungen erkennt. Die entsprechende Envelopment-Form enth¨alt gegen¨ uber dem CCR-Modell die (aus dem statischen Modell bekannte) Zusatzbedingung, dass die Summe der Lambda-Werte (die hier fensterspezifisch sind) Eins ergibt:

292

Siehe Kapitel 2.2.1.2, S. 42.

88

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Modell 4.4 (BCC, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,i,¯ι ≥ yo,j,¯ι ≤ n 

n 

n 

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι ∀i = 1, ..., m

k=1

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι ∀j = 1, ..., s

k=1

λo,k,¯ι = 1

k=1

λo,k,¯ι ≥ 0. Dementsprechend liegt dem BCC-Modell die folgende Technologiemenge zugrunde:  T MV RS,¯ι :=

z¯ι ∈

Rs+m ι + |z¯

=

n 

 λk,¯ι · zk,¯ι ; λ¯ι ∈ ΛV RS,¯ι ⊆

Rn+

,

k=1

wobei  ΛV RS,¯ι :=

λ¯ι ∈ Rn+ |

n 

 λk,¯ι = 1 .

k=1

Pro Fenster ι wird also in den CCR- und BCC-Basismodellen der DIS-DEA-Variante 1 eine Technologiemenge aus fensterspezifischen Produktionen konstruiert, bez¨ uglich derer sich jede fensterbezogene DMU evaluieren l¨asst. Die in Kapitel 2.1.3 dargestellten Distanzfunktionen werden folglich auf fensterweise aggregierte Produktionen angewandt. Dies gilt nicht nur f¨ ur die in den CCR- und BCC-Basisprogrammen verwendeten radialen Effizienzmaße, sondern auch f¨ ur hybride Effizienzmaße, die speziell zus¨atzliche Verbesserungen bzgl. einzelner Inputs (bzw. einzelner Outputs) ausweisen.293 Hybride Distanzfunktionen modellieren explizit Variablenslacks. Die Linearen Programme, in denen diese Variablenslacks verwendet werden, sind pro Fenster ι strukturgleich zum statischen Modell:

293

Siehe Kapitel 2.1.3.2 bzw. die dort genannten Modelle 2.6 und 2.12.

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

89

Modell 4.5 (Inputorientiertes 2-Phasen-LP). ∗ osung der inputorientierten Envelopment-Form des CCR- (oder BCC-) (I) Sei θo,¯ ι L¨

Programms von DIS-DEA-Variante 1. (II) L¨ose max ωo,¯ι =

m 

s− o,i,¯ ι+

i=1

s 

s+ o,j,¯ ι

j=1

∗ unter s− ι − X¯ ι · λo,¯ ι o,¯ ι = θo,¯ ι · xo,¯

s+ ι · λo,¯ ι − yo,j,¯ ι o,¯ ι = Y¯ + λo,¯ι ≥ 0, s− o,¯ ι ≥ 0, so,¯ ι ≥ 0.

Hierbei sind − −
m×1 , s− o,¯ ι := (so,1,¯ ι , ..., so,m,¯ ι) ∈ R

xk,¯ι := (xk,1,¯ι , ..., xk,m,¯ι )
∈ Rm×1 , X¯ι := (x1,¯ι , ..., xn,¯ι )
∈ Rm×n , + +
s×1 , s+ o,ι := (so,1,¯ ι , ..., so,s,¯ ι) ∈ R

yk,¯ι := (yk,1,¯ι , ..., yk,s,¯ι )
∈ Rs×1 , Y¯ι := (y1,¯ι , ..., yn,¯ι )
∈ Rs×n , n  ∗ xk,i,¯ι · λo,k,¯ι ∀i = 1, ..., m, s− ι− ι · xo,i,¯ o,i,¯ ι := θo,¯ s+ o,j,¯ ι :=

n 

k=1

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι − yo,j,¯ι ∀j = 1, ..., s.

k=1

Die Input- und Outputslacks werden also in der DIS-DEA-Variante 1 fensterspezifisch bestimmt, was man auch an der jeweiligen Dimension erkennt, die mit der Anzahl der ¨ ur s+ ) u das raInputs (f¨ ur s− ) bzw. mit der Anzahl der Outputs (f¨ ¨bereinstimmt. Uber ∗ uglich einzelner Vadiale Effizienzmaß θo,¯ ι hinaus wird also Verbesserungspotenzial bez¨

riablen ermittelt, das sich auf die dem Fenster zugeh¨origen Perioden insgesamt bezieht. Insbesondere ist in der DIS-DEA-Variante 1 nicht ermittelbar, in welcher Periode speziell Handlungsbedarf besteht.294 294

In Variante 2 wird diese Einschr¨ ankung aufgehoben, siehe Kapitel 4.2.2.

90

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

S¨amtliche bisher genannten DIS-DEA-Modelle der Variante 1 k¨onnen v¨ollig analog auch outputorientiert formuliert werden. Im Vergleich zu den inputorientierten LPs wird in den Multiplier-Formen nun jeweils der virtuelle Input durch die Wahl geeigneter Gewichtungsfaktoren (πo,i,¯ι )i=1,...,m minimiert:

Modell 4.6 (CCR, outputorientiert, Multiplier-Form). min ηo,¯ι = πo,i,¯ι

unter

s  j=1 s 

m 

πo,i,¯ι · xo,i,¯ι

i=1

ωo,j,¯ι · yo,j,¯ι = 1 ωo,j,¯ι · yk,j,¯ι ≤

j=1

m 

πo,i,¯ι · xk,i,¯ι

∀k = 1, ..., n

i=1

ωo,j,¯ι , πo,i,¯ι ≥ 0. ∗ Die Envelopment-Formen suchen nun den gr¨oßtm¨oglichen Faktor ηo,¯ ι , so dass keine vir-

tuelle fensterspezifische DMU mehr Input als die DMU o ben¨otigt, um mindestens das ∗ ηo,¯ ι -fache des Outputs dieser DMU zu erzeugen:

Modell 4.7 (CCR, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,j,¯ι ≤ xo,i,¯ι ≥

n 

n 

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι ∀j = 1, ..., s

k=1

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι ∀i = 1, ..., m

k=1

λo,k,¯ι ≥ 0. Die Multiplier-Form des BCC-Modells enth¨alt gegen¨ uber dem CCR-Modell einen zus¨atzlichen Parameter vo,¯ι , dessen Vorzeichen ¨ahnlich wie beim inputorientierten Modell die Art der Skalenertr¨age aufs Fenster bezogen bestimmt:

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

91

Modell 4.8 (BCC, outputorientiert, Multiplier-Form). min

πo,i,¯ι

unter

ηo,¯ι = s  j=1 s 

m 

πo,i,¯ι · xo,i,¯ι − vo,¯ι

i=1

ωo,j,¯ι · yo,j,¯ι = 1 ωo,j,¯ι · yk,j,¯ι + vo,¯ι ≤

j=1

m 

πo,i,¯ι · xk,i,¯ι ∀k = 1, ..., n

i=1

ωo,j,¯ι , πo,i,¯ι ≥ 0, vo,¯ι ∈ R.

Die Envelopment-Form zeichnet sich wie gewohnt durch die normierte Summe der λ-Werte als zus¨atzliche Nebenbedingung aus: Modell 4.9 (BCC, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,j,¯ι ≤ xo,i,¯ι ≥ n 

n 

n 

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι ∀j = 1, ..., s

k=1

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι ∀i = 1, ..., m

k=1

λo,k,¯ι = 1

k=1

λo,k,¯ι ≥ 0. Da die Formulierungen der Technologiemengen nicht von der gew¨ahlten Orientierung des DEA-Modells abh¨angen, gelten f¨ ur die genannten outputorientierten Modelle die im Rahmen der inputorientierten Modellformulierungen genannten Technologiemengen f¨ ur konstante bzw. variable Skalenertr¨age. Der Vollst¨andigkeit halber sei abschließend das slackbasierte Programm zur Identifizierung zus¨atzlichen, einzelne Outputs betreffenden Verbesserungspotenzials (also u ¨ber das ∗ proportionale Maß ηo,¯ ι hinaus) genannt:

92

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Modell 4.10 (Outputorientiertes 2-Phasen-LP). ∗ (I) Sei ηo,¯ osung der outputorientierten Envelopment-Form des CCR- (oder BCC-) ι L¨

Programms von DIS-DEA-Variante 1. (II) L¨ose max ωo,¯ι =

m  i=1

s− o,i,¯ ι+

s 

s+ o,j,¯ ι

j=1

unter s− ι − X¯ ι · λo,¯ ι o,¯ ι = xo,¯ ∗ s+ ι · λo,¯ ι − ηo,¯ ι o,¯ ι = Y¯ ι · yo,¯ + λo,¯ι ≥ 0, s− o,¯ ι ≥ 0, so,¯ ι ≥ 0,

4.2.1.2 DISaggregationsschritt: Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte mittels fensteroptimaler L¨ osungen Auch wenn innerhalb der DIS-DEA-Variante 1 die Effizienz fensterweise aggregierter Input-Output-Daten evaluiert wird, erm¨oglicht das Konzept die Ermittlung periodenspezifischer Effizienzwerte. Aus den vorgestellten Multiplier- und Envelopment-Formen der Linearen Programme wird deutlich, dass pro DMU, jedoch f¨ ur mehrere aufeinander folgende Perioden gleichzeitig, eine einzige Menge optimaler Gewichtungsfaktoren bestimmt und der effiziente Rand fensterweise aus den entsprechend aggregierten Leistungen konstruiert wird.295 Die fensteroptimalen L¨osungen — sowohl der Multiplier- als auch der Envelopment-Form — k¨onnen zur Bewertung der einzelnen, diesem Fenster zugeh¨origen Perioden herangezogen werden und erm¨oglichen unterschiedliche Interpretationen. Hierbei bieten sich jeweils zwei Alternativen an, die zun¨achst f¨ ur die Multiplier-Form beschrieben werden.296 Die erste Alternative bezieht sich ausschließlich auf eine der beiden Variablenarten gem¨aß der gew¨ahlten Orientierung des Modells und erh¨alt daher die Bezeichnung partielle Periodeneffizienz“, w¨ahrend die zweite Alternative periodenspezi” fische Inputs und Outputs verwendet und daher die totale Periodeneffizienz“ darstellt. ” Beispielhaft sei dieses Vorgehen anhand des inputorientierten CCR-Modells erl¨autert. Hierbei ist zus¨atzlich darauf hinzuweisen, dass sich alle hergeleiteten periodenspezifischen 295

Vgl. dazu die genannten Formulierungen der CCR- bzw. BCC-Technologien.

296

Diese beiden Alternativen sind f¨ ur beide Orientierungen anwendbar.

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

93

Effizienzwerte auf den rein radialen Teil des fensterspezifischen Effizienzmaßes beziehen, potenzielle Slackwerte also vernachl¨assigt werden.297 Partielle Periodeneffizienz – Multiplier-Form Die Zielfunktion der Multiplier-Form lautet max θo,¯ι = µo,j,¯ι

s 

µo,j,¯ι · yo,j,¯ι ;

j=1

die erste Nebenbedingung bezieht sich auf die Normierung des virtuellen fensterspezifischen Inputs:

m 

νo,i,¯ι · xo,i,¯ι = 1.

i=1

Da hier ein inputorientiertes Modell betrachtet wird, liegt es nahe, zur Berechnung der Periodeneffizienz zun¨achst nur den fensterspezifischen Input durch den periodenspezifischen zu ersetzen. Als Periodeneffizienz ergibt sich somit s  µ∗ θo,κ

=

µ∗o,j,¯ι · yo,j,¯ι

j=1 m 

l·

i=1

∗ νo,i,¯ ι · xo,i,κ

,

∗ wobei µ∗o,j,¯ι und νo,i,¯ osung von Modell 4.1 (S. 86) darstellen.298 Die Fensterbreite ι die L¨

l stellt dabei den geeigneten Skalierungsfaktor dar. Die periodenspezifische Effizienzmessung bewertet gem¨aß obiger Gleichung den Quotienten aus fensterbezogenem Output und ¨ dem aufs Fenster hochgerechneten“ periodenspezifischen Input. Aquivalent l¨asst sich die” se Periodeneffizienz auch als diejenige Effizienz beschreiben, die sich f¨ ur Periode κ ergeben h¨atte, wenn die aufs Fenster bezogene durchschnittliche Outputmengen erzeugt worden µ∗ die durch (l · xo,κ , yo,¯ι ) beschriebene Produktion evaluiert, w¨aren. Somit wird durch θo,κ

die nicht mehr in der Technologiemenge T MCRS,¯ι enthalten sein muss. Folglich sind die derartig bestimmten Periodeneffizienzen nicht mehr nach oben durch Eins beschr¨ankt. 297

Effizienzmaße, die Slackwerte ber¨ ucksichtigen, werden in der Literatur unter der Bezeichnung slackadjusted efficiency measures diskutiert. Siehe dazu Torgersen, Førsund, Kittelsen (1996) und Sueyoshi, Goto (2001). Die letztgenannte Arbeit bezieht sich dabei explizit auf ein Panelmodell. Der zentrale Nachteil der slack-adjusted efficiency measures besteht darin, dass die leichte Interpretierbarket eines (radialen) Maßes verloren geht. In empirischen Anwendungen werden daher Slackwerte gr¨oßtenteils separat betrachtet.

298

Das zus¨ atzliche Superskript µ kennzeichnet die Berechnung des Effizienzwertes anhand der Gewichtungsfaktoren.

94

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Werte gr¨oßer als Eins bedeuten gerade, dass (l · xo,κ , yo,¯ι ) jenseits des effizienten Randes liegt und also supereffizient“ ist.299 In DIS-DEA-Variante 1 sind somit die periodenspezi” fischen Effizienzwerte als Supereffizienzwerte zu charakterisieren. Je h¨oher der Wert, desto effizienter ist der periodenspezifische Faktoreinsatz im Vergleich zum fensterspezifischen. Totale Periodeneffizienz – Multiplier-Form Die alternative Berechnung einer periodenspezifischen Effizienzkennzahl l¨ost die Annahme durchschnittlicher Outputerzeugung auf:300 s  µ∗,alt θo,κ

=

j=1 m  i=1

µ∗o,j,¯ι · yo,j,κ ∗ νo,i,¯ ι · xo,i,κ

.

Bei dieser Berechnung werden also neben periodenspezifischen Inputs auch periodenspezifische Outputs fensteroptimal durch (µ∗o,j,¯ι )j=1,...,s bewertet. Auch f¨ ur die totale Periodeneffizienz gilt die Charakterisierung als Supereffizienzwert: Die periodenspezfische Produktiµ∗,alt on (yo,κ , xo,κ ) ist nicht notwendig ein Element der Technologiemenge, wodurch auch θo,κ

nicht auf Eins normiert ist. ¨ Partielle Periodeneffizienz – Envelopment-Form Ahnlich wie die L¨osung von Modell 4.1 (S. 86) k¨onnen die Ergebnisse der zugeh¨origen Envelopment-Form (Modell 4.2, S. 86) genutzt werden, um periodenspezifische Effizienzkennziffern zu berechnen. Auch hier werden in Analogie zur Nutzung der Multiplier-LP-L¨osungen zwei alternative Berechnungen vorgeschlagen. Generell wird anhand der Envelopment-Form ein Referenzpunkt f¨ ur eine DMU o bestimmt, wodurch insbesondere die Konkurrenzperspektive eingenommen wird. Die Durchschnittsannahme eines Teils der Periodeneffizienz wird sich — im Gegensatz zur Multiplier-Form — also nicht auf die Variablenart beziehen, sondern auf die Refe299

Generell ist das Konzept der Supereffizienz dazu geeignet, eine Unterscheidung zwischen effizienten Einheiten vorzunehmen. Dies geschieht methodisch dadurch, dass die zu evaluierende Einheit von den Nebenbedingungen sowohl der Multiplier- als auch der Envelopment-Form ausgeschlossen und demnach auch nicht zur Konstruktion der Technologiemenge herangezogen wird. Das Supereffizienzmaß kann dabei als Maß daf¨ ur interpretiert werden, wie sicher“ die Position einer DMU auf dem effizi” enten Rand ist. Zum Themenbereich der Supereffizienz siehe Andersen, Petersen (1993); Zhu (2001); Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002); Xue, Harker (2002); ?; Chen, Motiwalla, Khan (2004); Staat, Hammerschmidt (2005) sowie auch Fußnote 46, S. 15, und Fußnote 121, S. 30.

300

Das zus¨ atzliche Superskript alt“ deutet auf die alternative Berechnung hin. ”

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

95

renzeinheiten. Wie man an der ersten Nebenbedingung von Modell 4.2 (S. 86) erkennt, berechnet sich die Fenstereffizienz gem¨aß n  ∗ θo,¯ ι

=

k=1

xk,i,¯ι · λ∗o,k,¯ι xo,i,¯ι

∀ i = 1, ..., m.

Hier treten zwei fensterspezifische Gr¨oßen auf, n¨amlich im Z¨ahler die Inputs xk,i,¯ι s¨amtlicher Vergleichseinheiten k sowie im Nenner der Input xo,i,¯ι der zu analysierenden DMU o. Die partielle Periodeneffizienz bleibt bei den fensterspezifischen Inputs der Referenzeinheiten, w¨ahrend der Input der Einheit o periodenspezifisch angesetzt wird. Da DMU o im Allgemeinen nicht s¨amtliche Inputs gleichm¨aßig auf die Perioden des Fensters verteilt, ist die Periodeneffizienz nun inputspezifisch:301 n  λ∗ θo,i,κ

=

k=1

xk,i,¯ι · λ∗o,k,¯ι l · xo,i,κ

,

Hierbei bezeichnet λ∗o,k,¯ι die optimale Gewichtung der DMU k im Referenzset der analysierten DMU o im Fenster ι. λ∗ µ∗ Der Effizienzwert θo,i,κ , der aus demselben Grund wie θo,κ eine Supereffizienz darstellt, gibt

an, wie der periodenspezifische Input im Vergleich zum fensterbezogenen Referenzpunkt zu bewerten ist. Bei fenstereffizienten Einheiten ergibt sich aufgrund der Tatsache, dass alle Gewichte λo,k,¯ι mit Ausnahme des eigenen λo,o,¯ι gleich 0 sind, ein direkter DMUinterner Vergleich perioden- und fensterspezifischer Effizienz. Die Periodeneffizienz einer fenstereffizienten Einheit in H¨ohe von beispielsweise 75% bedeutet demnach, dass die Beibehaltung des periodenspezifschen Inputverbrauchs innerhalb des gesamten Fensters zu einer Effizienz von nur 75% gef¨ uhrt h¨atte. Niedrige Werte sprechen folglich f¨ ur einen im Vergleich zum Fenster ineffizienten — hohen — Inputverbrauch. Diese Ergebnisart ist in einer traditionellen Window Analysis nicht enthalten. Totale Periodeneffizienz – Envelopment-Form Die alternative Berechnung der via Envelopment-Form berechneten periodenbezogenen Effizienzwerte r¨ uckt von der Annahme konstanten, durchschnittlichen Inputverbrauchs bei den Referenzeinheiten der DMU 301

Bez¨ uglich des outputorientierten Modells gilt eine entsprechende Aussage; das zus¨atzliche Superskript λ kennzeichnet explizit die Berechnung des Effizienzwertes durch die Gewichtungen der Referenzeinheiten.

96

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

o ab, so dass ausschließlich periodenbezogene Daten verwendet werden: n  λ∗,alt θo,i,κ =

k=1

xk,i,κ · λ∗o,k,¯ι .

xo,i,κ

Tabelle 4.1: Periodenspezifische Effizienzwerte innerhalb der DIS-DEA-Variante 1 DIS-DEA-Variante 1 partiell

total CCR-Input, Multiplier-Form

s 

µ∗,ν∗ θo,κ

=

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,¯ι

j=1 m 

∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

l·

i=1

s 

µ∗,ν∗,alt θo,κ

j=1 m 

=

i=1

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,κ ∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

CCR-Input, Envelopment-Form n 

λ∗ θo,i,κ =

k=1

λ∗o,k,¯ι ·xk,i,¯ι l·xo,i,κ

n 

λ∗,alt θo,i,κ =

k=1

λ∗o,k,¯ι ·xk,i,κ xo,i,κ

CCR-Output, Multiplier-Form π∗,ω∗ ηo,κ

s 

l·

j=1 m 

=

i=1

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ

∗ πo,i,¯ ι ι ·xo,i,¯

s 

π∗,ω∗,alt ηo,κ

=

j=1 m  i=1

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ ∗ πo,i,¯ ι ·xo,i,κ

CCR-Output, Envelopment-Form n 

λ∗ ηo,j,κ =

k=1

λ∗o,k,¯ι ·yk,j,¯ι l·yo,j,κ

n 

λ∗,alt ηo,j,κ =

k=1

λ∗o,k,¯ι ·yk,j,κ yo,j,κ

BCC-Input, Multiplier-Form s 

µ∗,ν∗ θo,κ

=

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,¯ι −uo,¯ι

j=1

l·

m 

i=1

∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

µ∗,ν∗,alt θo,κ

s 

l·

=

j=1

l·

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,κ −uo,¯ι m 

i=1

∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

BCC-Input, Envelopment-Form siehe CCR-Input, Envelopment-Form siehe CCR-Input, Envelopment-Form BCC-Output, Multiplier-Form π∗,ω∗ ηo,κ =

l· m 

s 

j=1

i=1

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ

∗ πo,i,¯ ι ι −vo,¯ ι ·xo,i,¯

π∗,ω∗,alt ηo,κ =

l·

s 

j=1

l·

m 

i=1

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ

∗ πo,i,¯ ι ι ·xo,i,κ −vo,¯

BCC-Output, Envelopment-Form siehe CCR-Output, Envelopment-Form siehe CCR-Output, Envelopment-Form

Die Berechnungen periodenspezifischer Effizienzwerte f¨ ur alle u ¨brigen DEA-Basismodelle sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. Bez¨ uglich der Multiplier-Form des BCC-Modells

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

97

ist anzumerken, dass die zus¨atzliche Variable uo,¯ι (bzw. uo,¯ι ) nicht mit der Fensterl¨ange l skaliert werden darf, da sie bereits fensterbezogen ist. Bei den Multiplier-Formen der BCC-Modelle sind die (fensterbezogenen) Skalenparameter uo,¯ι bzw. vo,¯ι zu beachten, da sie in die Zielfunktion des entsprechenden Linearen Programms eingebunden sind.

Insgesamt l¨asst sich festhalten, dass die periodenspezifischen Effizienzwerte einer DISDEA je nach Nutzung der Multiplier- oder Envelopment-Form unterschiedliche Perspektiven unterstellen und folglich auch unterschiedliche Interpretationen erm¨oglichen. Zusammenfassend sind diese Unterschiede noch einmal u ¨berblicksartig in Tabelle 4.2 dargestellt, ¨ wobei aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit zus¨atzlich zwischen Input- und Outputorientierung unterschieden wird.

µ∗ Hinsichtlich der Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte θo,κ ist abschließend anzu∗ merken, dass eine m¨ogliche Nicht-Eindeutigkeit der LP-L¨osungen µ∗o,¯ι bzw. vo,¯ ι die Nichtµ∗ Eindeutigkeit von θo,κ nach sich zieht. Im Allgemeinen ist dies f¨ ur effiziente, nicht jedoch

f¨ ur ineffiziente Einheiten der Fall.302 Hieraus ergibt sich die Frage, welche fensterspezifische L¨osung zur Ableitung periodenspezifischer Effizienzwerte herangezogen werden sollte. Die Beantwortung dieser Frage ist nicht-trivial und wird daher in einem eigenen Abschnitt behandelt, in dem verschiedene L¨osungsans¨atze vorgestellt und diskutiert werden.303 An dieser Stelle sei bereits erw¨ahnt, dass die hier pr¨asentierte Vorgehensweise zur Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte anhand fensteroptimaler LP-L¨osungen durch ein Zusatzverfahren erg¨anzt werden sollte. Dieses Zusatzverfahren umfasst sowohl einen Test auf Eindeutigkeit einer LP-L¨osung als auch die Wahl einer L¨osung durch Anwendung einer zus¨atzlichen Entscheidungsregel.

302

Siehe z.B. Appa (2002) sowie die dort genannten Verweise.

303

Siehe Kapitel 4.5, S. 122.

98

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Tabelle 4.2: Interpretationen verschiedener Periodeneffizienzen Multiplier-Form Envelopment-Form partielle Periodeneffizienz, inputorientiert Berechnung des Quotienten aus dem fen- Berechnung des Quotienten aus der Insterspezifischen Output und dem aufs putreferenz (fensterspezifische Inputs der Fenster hochgerechneten periodenspezifi- Referenzeinheiten) und dem eigenen aufs schen Input unter Verwendung fenster- Fenster hochgerechneten periodenspezifioptimaler Gewichtungsfaktoren schen Input unter Verwendung fensteroptimaler Gewichtungsfaktoren totale Periodeneffizienz, inputorientiert Berechnung des Quotienten aus dem pe- Berechnung des Quotienten aus der Inpuriodenspezifischen Output und dem peri- treferenz (periodenspezifische Inputs der odenspezifischen Input unter Verwendung Referenzeinheiten) und dem eigenen periodenspezifischen Input unter Verwendung fensteroptimaler L¨osungen fensteroptimaler Gewichtungsfaktoren partielle Periodeneffizienz, outputorientiert Berechnung des Quotienten aus dem aufs Berechnung des Quotienten aus der OutFenster hochgerechneten periodenspezifi- putreferenz (fensterspezifische Outputs schen Output und dem fensterspezifischen der Referenzeinheiten) und dem eigenen Input unter Verwendung fensteroptimaler aufs Fenster hochgerechneten periodenGewichtungsfaktoren spezifischen Output unter Verwendung fensteroptimaler Gewichtungsfaktoren totale Periodeneffizienz, outputorientiert Berechnung des Quotienten aus dem pe- Berechnung des Quotienten aus der Outriodenspezifischen Output und dem peri- putreferenz (periodenspezifische Outputs odenspezifischen Input unter Verwendung der Referenzeinheiten) und dem eigenen periodenspezifischen Output unter Verfensteroptimaler L¨osungen wendung fensteroptimaler Gewichtungsfaktoren

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

99

4.2.2 DIS-DEA-Variante 2 als Modifikation der Window Analysis: Periodenspezifische Referenzen 4.2.2.1 Formulierungen f¨ ur die Basismodelle CCR und BCC und Ergebnisinterpretationen In Variante 1 der DIS-DEA wird pro Fenster der effiziente Rand aus entsprechend aggregierten Leistungen ermittelt. Die Berechnung periodenspezifischer Effizienzkennziffern unter Verwendung fensteroptimaler L¨osungen ist dabei auf zwei verschiedene Arten m¨oglich: Zum einen kann, je nach Orientierung des Modells, unter der Annahme durchschnittlichen Inputverbrauchs (durchschnittlicher Outputerzeugung) der aufs Fenster hochgerechnete Output (Input) evaluiert werden. Beide Alternativen sind als Supereffizienzen charakterisiert worden: Eine (zumindest teilweise) periodenspezifische Leistung wird anhand einer Technologiemenge evaluiert, zu deren Konstruktion sie nicht herangezogen worden ist. Periodenspezifische Effizienzwerte, die durch die DIS-DEA-Variante 1 ermittelt werden, k¨onnen nicht als Beitrag zur Fenstereffizienz interpretiert werden. Daher wird im Folgenden eine zweite Variante der DIS-DEA vorgestellt, bei der genau diese Interpretation m¨oglich ist. Zwar bilden in dieser Variante wiederum fensterweise aggregierte Input-Output-Daten den Ausgangspunkt der Berechnungen, da weiterhin die konzeptionelle Schw¨ache der Window Analysis bez¨ uglich der Ber¨ ucksichtigung einer hierarchischen Datenstruktur behoben werden soll. Der konzeptionelle Unterschied zu Variante 1 besteht darin, dass die in der Multiplier- und Envelopment-Form auftretenden Nebenbedingungen nun periodenspezifisch sind. Bez¨ uglich der Multiplier-Form bedeutet dies, dass bereits die periodenspezifischen Effizienzkennziffern auf Eins normiert sind. Die Technologiemenge wird nun aus periodenspezifischen Leistungen konstruiert. Die Konvexit¨at sowohl der CCR- als auch der BCC-Technologie f¨ uhrt dann dazu, dass mit periodenspezifischen Leistungen auch DMU-bezogene fensterspezifische Durchschnittsproduktionen Elemente der Technologiemenge sind. Folglich sind bei Variante 2 fenster- und periodenspezifische Effizienzwerte analog interpretierbar. Wie im vorangegangenen Abschnitt zur DIS-DEA-Variante 1 werden nun s¨amtliche Basismodelle formuliert. Diese Programme zur Umsetzung der zentralen Idee der Variante 2 sind wie bei Variante 1 f¨ ur jedes Fenster ι = 1, ..., T − l + 1 sowie f¨ ur jede DMU o = 1, ..., n ¨ zu l¨osen. Da sich beim Ubergang von den CCR- zu den BCC-Modellen spezielle Modifika-

100

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

tionen ergeben, werden in diesem Abschnitt im Gegensatz zur Darstellung der Variante 1 zun¨achst die CCR-Modelle f¨ ur beide Orientierungen genannt und anschließend die Linearen Programme des BCC-Modells. Das CCR-Modell in der inputorientierten Formulierung lautet: Modell 4.11 (CCR, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µo,¯ι

unter

s 

µo,j,¯ι · yo,j,¯ι

j=1 m  i=1 s 

νo,i,¯ι · xo,i,¯ι = 1 µo,j,¯ι · yk,j,κ ≤

j=1

m 

νo,i,¯ι · xk,i,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

i=1

µo,j,¯ι , νo,i,¯ι ≥ 0. Im Unterschied zur DIS-DEA-Variante 1 werden hier in den Nebenbedingungen nicht die fensterspezifischen Outputs durch die fensterspezifischen Inputs s¨amtlicher DMUs beschr¨ankt, sondern die periodenbezogenen Outputs durch die periodenbezogenen Inputs. Das hat zur Folge, dass die Zahl der entsprechenden Nebenbedingungen bei der Variante 1, n, nun um das l-fache ansteigt.304 Gleichzeitig ist auch die fensterspezifische Effizienz der   DMU o auf Eins normiert; hierbei seien y˜o,κ := j µo,j,¯ι · yo,j,κ bzw. x˜o,κ := i νo,i,¯ι · xo,i,κ :

y˜o,κ ≤ x˜o,κ , y˜o,κ ≥ 0, x˜o,κ ≥ 0 =⇒ y˜o,¯ι =

ι+l−1 

y˜o,κ ≤

κ=ι

ι+l−1  κ=ι

x˜o,κ = x˜o,¯ι =⇒

y˜o,¯ι ≤ 1. x˜o,¯ι

Modell 4.11 sucht also Gewichtungsfaktoren f¨ ur die fensterweise aggregierten Outputs einer DMU o so, dass die resultierende Effizienz maximal wird unter der Nebenbedingung, dass die periodenspezifische Effizienz s¨amtlicher Vergleichseinheiten, bewertet mit genau diesen Gewichtungsfaktoren, h¨ochstens Eins ergibt. In der zu Modell 4.11 geh¨origen Envelopment-Form gibt es entsprechend n · l Variablen. Diese n · l Variablen stellen die Gewichte periodenspezifischer Leistungen (xk,i,κ , yk,j,κ ) dar, die zur Konstruktion eines effizienten Referenzpunktes f¨ ur DMU o in Frage kommen. 304

Insbesondere sind die hier vorliegenden Nebenbedingungen mit denjenigen einer (traditionellen) Window Analysis identisch.

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

101

Genauer gesagt, ist der Referenzpunkt eine Linearkombination DMU- und periodenspezifischer Produktionen, wodurch sich auch jeweils die Doppelsumme (¨ uber alle DMUs k und alle Perioden κ) in der rechten Seite der Nebenbedingung erkl¨art.

Modell 4.12 (CCR, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,i,¯ι ≥ yo,j,¯ι ≤

n ι+l−1  

xk,i,κ · λo,k,κ

k=1 κ=ι n ι+l−1  

yk,j,κ · λo,k,κ

∀i = 1, ..., m

∀j = 1, ..., s

k=1 κ=ι

λo,k,(ι) ≥ 0. Hierbei ist λo,k,(ι) = (λo,k,κ )κ=ι,...,ι+l−1 . Die in Modell 4.12 unterstellte Technologiemenge lautet demnach:

 T MCRS,(ι) :=

z(ι) ∈

Rs+m + |z(ι)

=

n ι+l−1  

 λk,κ · zk,κ ; λ(ι) ∈ ΛCRS,(ι) ⊆

Rn×κ +

.

k=1 κ=ι

Im Gegensatz zur Variante 1 wird hier der Index (ι) anstelle von ¯ι verwendet. Er deutet an, dass die zur Konstruktion herangezogenen DMUs nicht die aggregierten Produktionen, sondern die Gesamtheit aller periodenspezifischen Produktionen darstellen. Anhand dieser Darstellung erkennt man erneut, dass auch die zu evaluierende fensterspezifische Produktion zo,¯ι (bzw. die Durchschnittsproduktion zo,¯ι /l) in T MCRS,(ι) enthalten ist, und zwar, in dem man λk,κ = 0, ∀k = o, und λo,κ = 1 (bzw. λo,κ = 1/l) setzt.

Analog ergibt sich die Formulierung des outputorientierten CCR-Modells; lediglich die Rollen der Inputs x und der Outputs y sowie die Richtung der Optimierung (Minimierung vs. Maximierung) sind zu vertauschen:

102

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Modell 4.13 (CCR, outputorientiert, Multiplier-Form). min ηo,¯ι = πo,i,¯ι

unter

s  j=1 s 

m 

πo,i,¯ι · xo,i,¯ι

i=1

ωo,j,¯ι · yo,j,¯ι = 1 ωo,j,¯ι · yk,j,κ ≤

j=1

m 

πo,i,¯ι · xk,i,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

i=1

ωo,j,¯ι , πo,i,¯ι ≥ 0 Die zugeh¨orige Envelopment-Form lautet: Modell 4.14 (CCR, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,j,¯ι ≤ xo,i,¯ι ≥

n ι+l−1  

k=1 κ=ι n ι+l−1  

yk,j,κ · λo,k,κ

xk,i,¯ι · λo,k,κ

∀j = 1, ..., s

∀i = 1, ..., m

k=1 κ=ι

λo,k,(ι) ≥ 0. Um ausgehend vom CCR-Modell das BCC-Modell zu entwickeln, ist gem¨aß der oben beschriebenen Konzeption der Variante 2 in der Multiplier-Form im Gegensatz zur Variante 1 nicht nur eine einzige neue Variable uo,¯ι , sondern f¨ ur jede Periode κ des Fensters ι eine Variable hinzuzuf¨ ugen. Das liegt daran, dass periodenspezifische Produktionen zur Konstruktion des effizienten Randes herangezogen werden und somit auch pro Periode die Art ¨ der Skalenertr¨age bestimmt wird. Uber die Perioden des Fensters kann dann eine fensterbezogene Information u ¨ber die Art der Skalenertr¨age als Summe der periodenspezifischen Werte gewonnen werden. Dieser Umstand zeigt sich in den Modellformulierungen einerseits in der Zielfunktion dadurch, dass der fensterbezogene Skaleneffekt als Summe der periodenspezifischen Skaleneffekte uo,κ auftritt. Andererseits tritt in den Normierungsnebenbedingungen, die periodenspezifisch sind, ausschließlich die entsprechend periodenspezifische Variable uo,κ auf:

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

103

Modell 4.15 (BCC, inputorientiert, Multiplier-Form).

max θo,¯ι = µo,j,¯ι

unter

s 

µo,j,¯ι · yo,j,¯ι −

i=1 s 

uo,κ

κ=ι

j=1 m 

ι+l−1 

νo,i,¯ι · xo,i,¯ι = 1 µo,j,¯ι · yk,j,κ − uo,κ ≤

m 

j=1

νo,i,¯ι · xk,i,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

i=1

µo,j,¯ι , νo,i,¯ι ≥ 0, uo,κ ∈ R. Aufgrund der Tatsache, dass bei Variante 2 in der Multiplier-Form l neue Variablen eingef¨ uhrt werden, muss die Envelopment-Form entsprechend viele neue Nebenbedingungen aufweisen. Genauer gesagt, korrespondiert jede Variable uo,κ mit der periodenbezogenen Nebenbedingung, dass die Summe der zugeh¨origen λo,k,κ -Werte Eins ergibt. Das Skalenniveau wird also hier pro Periode auf Eins normiert. Durch einen Vergleich mit dem CCR-Modell kann daher jeder periodenspezifische Effizienzwert in die rein technische Effizienz und die Skaleneffizienz aufgespalten werden. Modell 4.16 (BCC, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,i,¯ι ≥ yo,j,¯ι ≤ n 

n ι+l−1  

xk,i,κ · λo,k,κ

k=1 κ=ι n ι+l−1  

yk,j,¯ι · λo,k,κ

∀i = 1, ..., m

∀j = 1, ..., s

k=1 κ=ι

λo,k,κ = 1 ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

k=1

λo,k,(ι) ≥ 0. Die hier zugrundeliegende Technologiemenge l¨asst sich wie folgt beschreiben:  T MV RS,(ι) :=

z(ι) ∈ Rs+m + |z(ι) =

n ι+l−1   k=1 κ=ι

 λk,κ · zk,κ ; λ(ι) ∈ ΛV RS,(ι) ⊆ Rn×κ +

,

104

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

wobei  ΛV RS,(ι) :=

λ(ι) ∈ Rnl +|

n 

 λk,κ = 1 ∀κ = ι, ..., ι + l − 1 .

k=1

Die Annahme, dass f¨ ur jede Periode die Summe periodenspezifischer λ-Werte auf Eins normiert ist, ist st¨arker als die herk¨ommliche“ Darstellung von Referenzpunkten durch ” Konvexkombinationen der Vergleichseinheiten, die die Summe s¨amtlicher dem Fenster zugeh¨origer λ-Werte auf Eins normieren w¨ urde.305 Da in der DIS-DEA-Variante 2 allerdings explizit nach periodenspezifischen Referenzpunkten gesucht wird, muss folglich im BCCModell auch periodenweise von Skalenineffizienzen abstrahiert werden. Ebenso wie beim CCR-Modell kann aus dem inputorientierten Modell das outputorientierte durch die u ¨blichen Modifikationen hergeleitet werden. In der Multiplier-Form treten wiederum l periodenspezifische Skalenparameter auf: Modell 4.17 (BCC, outputorientiert, Multiplier-Form).

min ηo,¯ι = πo,i,¯ι

unter

s  j=1 s 

m 

πo,i,¯ι · xo,i,¯ι −

ι+l−1 

i=1

vo,κ

κ=ι

ωo,j,¯ι · yo,j,¯ι = 1 µo,j,¯ι · yk,j,κ + vo,κ ≤

j=1

m 

νo,i,¯ι · xk,i,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

i=1

µo,j,¯ι , νo,i,¯ι ≥ 0, vo,κ ∈ R. Die Envelopment-Form beinhaltet im Vergleich zum CCR-Modell l zus¨atzliche Nebenbedingungen an die Summe periodenspezifischer λ-Werte:

305

Eine schw¨ achere Variante der DIS-DEA Nr. 2 best¨ unde demnach f¨ ur variable Skalenertr¨age darin, nur fensterweise von Skalenineffizienzen zu abstrahieren. Diese Variante ist dann akzeptabel, wenn ausschließlich fensterspezifische Leistungen analysiert werden sollen. In einer solchen schw¨acheren Variante abe es in den Envelopment-Formen im Vergleich zum CCR-Modell die einzige Zusatzbedingung  g¨ k κ λk,κ = 1, die sich in den Multiplier-Formen durch den einzigen Zusatzparameter uo (bzw. vo ) u an die in der Formulierung der Technologiemenge h¨atte ¨bersetzen ließe. Die Zusatzbedingung
 λ-Werte  nl amtliche Bemerkungen gelten auch f¨ ur folgende Gestalt: Λschwach k κ λk,κ = 1 . S¨ V RS,(ι) := λ(ι) ∈ R+ | das outputorientierte BCC-Modell.

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

105

Modell 4.18 (BCC, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,j,¯ι ≤ xo,i,¯ι ≥ n 

n ι+l−1  

yk,j,κ · λo,k,κ

k=1 κ=ι n ι+l−1  

xk,i,¯ι · λo,k,κ

∀j = 1, ..., s

∀i = 1, ..., m

k=1 κ=ι

λo,k,κ = 1 ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

k=1

λo,k,(ι) ≥ 0.

Wie schon im Fall der DIS-DEA-Variante 1 werden abschließend ebenfalls Programme f¨ ur beide Orientierungen aufgef¨ uhrt, die sowohl f¨ ur den CCR- als auch f¨ ur den BCC-Fall formuliert werden k¨onnen und Variablenslacks beinhalten, um u ¨ber das proportionale Maß hinausgehende Verbesserungen explizit zu ermitteln.306 Der zentrale Vorteil der Variante 2 liegt dabei in der Periodenspezifit¨at der Slackwerte:307 Modell 4.19 (Inputorientiertes 2-Phasen-LP). ∗ osung der inputorientierten Envelopment-Form des CCR- (oder BCC-) (I) Sei θo,¯ ι L¨

Programms von DIS-DEA-Variante 2. (II) L¨ose max ωo,(ι) =

m  i=1

s− o,i,(ι) +

s  j=1

s+ o,j,(ι)

∗ unter s− ι − X(ι) · λo,(ι) ι · xo,¯ o,(ι) = θo,¯

s+ ι o,(ι) = Y(ι) · λo,(ι) − yo,¯ + λo,(ι) ≥ 0, s− o,(ι) ≥ 0, so,(ι) ≥ 0.

306

Wie schon in Kapitel 4.2.1 bemerkt, liegt diesen Programmen eine hybride Distanzfunktion zugrunde, siehe Kapitel 2.1.3.2.

307

In DIS-DEA-Variante 1 ist es, wie bereits fr¨ uher angemerkt, nicht m¨oglich, die fensterspezifischen Slackwerte in ihre periodenspezifischen Bestandteile zu zerlegen.

106

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Hierbei sind − −
m×1 , s− o,(ι) := (so,1,(ι) , ..., so,m,(ι) ) ∈ R + +
s×1 s+ , o,(ι) := (so,1,(ι) , ..., so,s,(ι) ) ∈ R ∗ s− ι− ι · xo,i,¯ o,i,(ι) := θo,¯

s+ o,j,(ι) :=

n ι+l−1  

n ι+l−1  

xk,i,κ · λo,k,κ

∀i = 1, ..., m,

κ=ι k=1

yk,j,κ · λo,k,κ − yo,j,¯ι ∀j = 1, ..., s.

κ=ι k=1

Bei der outputorientierten Formulierung tritt das Effizienzmaß η entsprechend als Vorfaktor der Outputs y auf: Modell 4.20 (Outputorientiertes 2-Phasen-LP). ∗ (I) Sei ηo,¯ osung der outputorientierten Envelopment-Form des CCR- (oder BCC-) ι L¨

Programms von DIS-DEA-Variante 2. (II) L¨ose max ωo,(ι) =

m  i=1

s− o,i,(ι) +

s  j=1

s+ o,j,(ι)

unter s− ι − X(ι) · λo,(ι) o,(ι) = xo,¯ ∗ s+ ι ι · yo,¯ o,(ι) = Y(ι) · λo,(ι) − ηo,¯ + λo,(ι) ≥ 0, s− o,(ι) ≥ 0, so,(ι) ≥ 0.

Die LPs der DIS-DEA-Variante 2 sind aufgrund der beschriebenen modifizierten Programmstruktur weder in kommerzieller noch in frei verf¨ ugbarer DEA-Software implementiert. Aus diesem Grunde ist zur konkreten Berechnung, wie sie in Kapitel 5 im Rahmen einer Illustration gezeigt werden wird, die Programmierung einer eigenen Software vonn¨oten.308 308

Auch die Variante 1 ist in keiner verf¨ ugbaren Software implementiert. Aufgrund der Strukturgleichheit fensterbezogener Programme mit statischen DEA-Modellen k¨ onnen allerdings zumindest pro Fenster die notwendigen Analysen mit Hilfe verf¨ ugbarer Software durchgef¨ uhrt werden. Allerdings muss hierbei der Anwender die Daten fensterweise aggregieren und auch die anschließende Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte eigenh¨ andig durchf¨ uhren. Um die Anwendung der DIS-DEA-Variante 1

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

107

4.2.2.2 DISaggregationsschritt: Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte mittels fensteroptimaler L¨ osungen Die DIS-DEA-Variante 2 besitzt gegen¨ uber der Variante 1 eine ge¨anderte Modellstruktur in dem Sinne, dass fensterweise aggregierte Produktionen (xk,¯ι , yk,¯ι ) an dem durch periodenspezifische Produktionen (xk,κ , yk,κ ) konstruierten effizienten Rand gemessen werden. Diese simultane Analyse wird erm¨oglicht durch die Definition der aggregierten Inputs und Outputs als Summe periodenspezifischer Inputs und Outputs: Da CCR- und BCCTechnologien konvex sind,309 ist mit periodenspezifischen Produktionen auch die Fensterleistung in der Technologiemenge enthalten. Die Fenstereffizienz ergibt sich hierbei als Zielwert der zugrunde liegenden LPs. Die periodenspezifische Effizienz kann als Kreuzeffizienz θ(o,¯ι),(o,κ) aufgefasst werden, d.h. das f¨ ur die fensterbezogene Produktion (xo,¯ι , yo,¯ι ) der DMU o optimale Bewertungsschema wird zur Evaluation ihrer periodenspezifischen Produktionen (xo,κ , yo,κ ) angesetzt, also zur Evaluation weiterer Elemente der Technologiemenge.310 Die Charakterisierung der periodenspezifischen Effizienz als spezielle Kreuzeffizienz ist bei Variante 1 nicht m¨oglich, weil dort periodenspezifische Produktionen nicht notwendig zur Technologiemenge geh¨oren. Genau hierin besteht der konzeptionelle Unterschied zwischen den beiden Varianten der DIS-DEA. Generell k¨onnen auch bei Variante 2 sowohl die L¨osungen der Multiplier- als auch der Envelopment-Formen zur Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte herangezogen werden. Bez¨ uglich der Multiplier-Formen ist anzumerken, dass in der jeweiligen Zielfunktion Fensterproduktionen stehen und folglich auch hier die Berechnung partieller Periodeneffizienzen sinnvoll erscheint. Hierbei muss allerdings beachtet werden, dass die partiellen Periodeneffizienzen nicht notwendig auf 1 beschr¨ankt und somit auch nicht als Kreuzeffizienzwert interpretierbar sind.311 Die Berechnungsvorschriften bez¨ uglich des CCR-Modells softwaretechnisch vollst¨ andig zu unterst¨ utzen, sollen sowohl die notwendige Aggregation der Rohdaten als auch die Ableitung periodenspezifischer Effizienzkennziffern in dieser Software ber¨ ucksichtigt werden. Zur Beschreibung dieser Software, die unter der Bezeichnung myDEA entwickelt worden ist, siehe Kapitel 4.6, S. 130. 309

Siehe Kapitel 2.1.2.

310

Genauer gesagt, handelt es sich hierbei um eine Kreuzeffizienz im weiteren Sinne, da eine DMU anhand eines f¨ ur ein anderes Element der Technologiemenge optimalen Bewertungsschemas bewertet wird, das nicht notwendig zur Konstruktion der Technologiemenge herangezogen wird, jedoch in derselben enthalten ist.

311

Wenn also im Folgenden von Periodeneffizienzen der DIS-DEA-Variante 2 als Kreuzeffizienzen gespro-

108

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Tabelle 4.3: Periodenspezifische Effizienzwerte innerhalb der DIS-DEA-Variante 2 DIS-DEA-Variante 2 partiell

total CCR-Input, Multiplier-Form

s 

µ∗,ν∗ θo,κ

=

j=1 m 

s 

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,¯ι

µ∗,ν∗,alt θo,κ

∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

l·

i=1

=

j=1 m  i=1

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,κ ∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

CCR-Input, Envelopment-Form n 

Berechnung wie totale Periodeneffizienz

λ∗,alt θo,i,κ

=

k=1

λ∗o,k,κ ·xk,i,κ xo,i,κ

CCR-Output, Multiplier-Form π∗,ω∗ ηo,κ

s 

l·

=

j=1 m 

i=1

s 

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ

π∗,ω∗,alt ηo,κ

∗ πo,i,¯ ι ι ·xo,i,¯

=

j=1 m  i=1

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ ∗ πo,i,¯ ι ·xo,i,κ

CCR-Output, Envelopment-Form n 

Berechnung wie totale Periodeneffizienz

λ∗,alt ηo,j,κ

=

k=1

λ∗o,k,κ ·yk,j,κ yo,j,κ

BCC-Input, Multiplier-Form s 

µ∗,ν∗ θo,κ

=

j=1

ι+l−1 

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,¯ι − l·

m 

i=1

κ
=ι

uo,κ


∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

s 

µ∗,ν∗,alt θo,κ

=

j=1

µ∗o,j,¯ι ·yo,j,κ −uo,κ m 

i=1

∗ νo,i,¯ ι ·xo,i,κ

BCC-Input, Envelopment-Form Berechnung wie totale Periodeneffizienz siehe CCR-Input, Envelopment-Form BCC-Output, Multiplier-Form π∗,ω∗ ηo,κ

l·

=

s 

j=1

m  i=1

s 

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ

∗ πo,i,¯ ι− ι ·xo,i,¯

ι+l−1  κ
=ι

vo,κ


π∗,ω∗,alt ηo,κ

=

m 

j=1

i=1

∗ ωo,j,¯ ι ·yo,j,κ

∗ πo,i,¯ ι ·xo,i,κ −vo,κ

BCC-Output, Envelopment-Form Berechnung wie totale Periodeneffizienz siehe CCR-Output, Envelopment-Form

Basismodelle und DISaggregation innerhalb der DIS-DEA

109

gleichen denjenigen der Variante 1, w¨ahrend bei den BCC-Modellen anstelle der fensterbezogenen Skalenparameter uo,¯ι bzw. vo,¯ι die Summe periodenspezifischer Skalenparameter auftritt. Auch bei der totalen Periodeneffizienz, die von der Durchschnittsannahme bez¨ uglich genau einer Variablenart absieht, gleichen sich die Berechnungsvorschriften beider Varianten bez¨ uglich des CCR-Modells. Bei variablen Skalenertr¨agen ist zu beachten, dass nun periodenspezifische Skalenparameter uo,κ bzw. vo,κ auftreten und folglich die Skalierung der virtuellen Inputs und Outputs mit der Fensterbreite l entf¨allt. Bez¨ uglich der Envelopment-Form fallen partielle und totale Periodeneffizienzen zusammen. Dies liegt daran, dass in Variante 2 der effiziente Rand aus periodenspezifischen Leistungen konstruiert wird und es folglich nur periodenspezifische Referenzen gibt. Die Berechnungen periodenspezifischer Effizienzwerte sind f¨ ur alle vorgestellten DEAModelle in Tabelle 4.3 zusammengefasst.

4.2.3 DIS-DEA als Modifikation der sequenziellen Analyse Eine DIS-DEA l¨asst sich grunds¨atzlich als Variante jeder der drei Modellklassen zur DEAbasierten Panelanalyse auffassen. Bisher wurde die DIS-DEA aus Notationsgr¨ unden als Modifikation der Window Analysis beschrieben, die die zwei Klassen der periodenspezifischen sowie intertemporalen Analyse als Spezialf¨alle beinhaltet. Die noch fehlende Beschreibung der DIS-DEA als sequenzielle Analyse wird in diesem Abschnitt nachgeholt, indem die notwendigen Hinweise zur Modifikation s¨amtlicher Modellformulierungen zusammengestellt werden. Die sequenzielle Analyse unterscheidet sich von den beiden anderen Modellklassen durch eine wachsende Fensterbreite. Umfasst der Beobachtungszeitraum die Perioden κ = 1, ..., T , so wird eine DEA in den Fenstern ι = 1, ..., T durchgef¨ uhrt, die die Perioden κ = 1, ..., ι ¨ umfassen (und eben nicht mehr die Perioden κ = ι, ..., ι + l − 1). Diese Anderung muss in s¨amtlichen bisherigen formalen Darstellungen (sowohl der Input- und Outputaggregationen als auch der Modellformulierungen) erfolgen. Zus¨atzlich ergibt sich aus der wachsenden Fensterbreite, dass anstelle der konstanten Fensterl¨ange l der Window Analysis im Fenster ι die Fensterl¨ange ι besteht. Die bisherige Darstellung beider Varianten der DIS-DEA ist insgesamt auch f¨ ur die sequenzielle Analyse nutzbar, wenn folgende formalen chen wird, sind stets die totalen Periodeneffizienzen gemeint.

110

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Modifkationen beachtet werden: Input- und Outputaggregationen F¨ ur jedes Fenster ι und f¨ ur alle DMUs k = 1, ..., n sind fensterspezifische Outputs bzw. fensterspezifische Inputs wie folgt zu berechnen: seq (i) yk,j,¯ ι :=

(ii) xseq k,i,¯ ι :=

ι  κ=1 ι  κ=1

yk,j,κ f¨ ur jeden Output j = 1, ..., s sowie xk,i,κ f¨ ur jeden Input i = 1, ..., m.

Modellformulierungen f¨ ur DIS-DEA-Variante 1 Zur Evaluation einer DMU o k¨onnen s¨amtliche Linearen Programme der DIS-DEA-Variante 1 mit den abweichend definierten seq seq fensterspezifischen Outputs (yo,j,¯ ι )j=1,...,s und Inputs (xo,i,¯ ι )i=1,...,m eingesetzt werden.

Modellformulierungen f¨ ur DIS-DEA-Variante 2 Der in den bisherigen Formulierungen ι+l−1  auftretende Ausdruck κ=ι ist regelm¨aßig durch ικ=1 zu ersetzen. Im Einzelnen be¨ trifft diese Anderung die in den Envelopment-Formen verwendeten Linearkombinationen von Inputs bzw. Outputs aller Vergleichseinheiten sowie in den BCC-Multiplier-Formen die Summe der Skalenparameter uo,κ bzw. vo,κ . Bez¨ uglich der Vektorschreibweisen der Envelopment-Formen ergeben sich dadurch abweichend festgelegte Matrizen λo,(ι) , X(ι) und Y(ι) : nι×1 (i) λseq ; o,(ι) := (λo,1 , ..., λo,ι ) ∈ R seq (ii) X(ι) := (Xo,1 , ..., Xo,ι ) ∈ Rm×nι ; seq (iii) Y(ι) := (Yo,1 , ..., Yo,ι ) ∈ Rs×nι .

In s¨amtlichen Programmen — sowohl in den CCR- als auch in den BCC-Formulierungen — ist dar¨ uber hinaus die Fensterbreite l durch ι zu ersetzen. Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte In den Tabellen 4.1 (Variante 1, S. 96) bzw. 4.3 (Variante 2, S. 108) ist die Fensterbreite l regelm¨aßig durch ι zu ersetzen. Die Gewichtungsfaktoren µ¯∗ι und ν¯ι∗ beziehen sich wie bisher aufs Fenster ι; allerdings umfasst das Fenster ι nun die Perioden 1, ..., ι.

Synopsis: DIS-DEA und Window Analysis

111

4.3 Synopsis: DIS-DEA und Window Analysis Die DIS-DEA ber¨ ucksichtigt die durch den Parameter Zeit hierarchisierte Datenstruktur, indem fensterweise aggregierte Daten Ausgangspunkt der Analyse bilden. Im Folgenden werden Gemeinsamkeiten und Unterschiede der DIS-DEA-Varianten mit dem im Bereich der effizienzorientierten Panelanalyse mit DEA weit verbreiteten Verfahren, der Window Analysis, differenzierter dargestellt und u ¨berblicksartig zusammengefasst.312 Dieser Vergleich orientiert sich an den deskriptiven Kriterien Durchf¨ uhrung der Analyse, erzielbare Analyseergebnisse sowie modellinh¨arente Sensitivit¨atsanalysen.313

4.3.1 Vergleich bez¨ uglich der Durchf¨ uhrung der Analyse Sowohl die DIS-DEA als auch die Window Analysis f¨ uhren Effizienzanalysen in sich u ¨berlappenden Fenstern durch, wobei ein Fenster stets eine feste, vorgegebene Anzahl aufeinander folgender Perioden umfasst. Hierdurch ergibt sich eine sowohl horizontale als auch vertikale Perspektive der periodenspezifischen Effizienzwerte. Die horizontale Perspektive gestattet Aussagen u ¨ber Effizienzentwicklungen innerhalb eines Fensters und auch u ¨ber den gesamten Beobachtungszeitraum. Die vertikale Perspektive ergibt sich durch die Anlage der Analysen in u ¨berlappenden Fenstern, so dass pro Periode und DMU bis zu l (l= Fensterl¨ange) Effizienzwerte vorliegen.314 Diese erm¨oglichen eine Untersuchung, wie sich die Datenvariationen auf die Effizienzwerte auswirken.315 Strukturelle Unterschiede der DIS-DEA im Vergleich zur Window Analysis sind allerdings hinsichtlich des Aufbaus der zugrunde liegenden Linearen Programme zu konstatieren. In der DIS-DEA werden 312

Die dargestellten Vergleiche gelten sinngem¨ aß auch f¨ ur die sequenzielle Analyse; lediglich die variierende Fensterbreite muss beachtet werden.

313

Hierbei ist zu beachten, dass sich der Vergleich bez¨ uglich anschließender Analysen (der an dieser Stelle auf modellinh¨ arente Sensitivit¨ atsanalysen beschr¨ ankt wird) erheblich erweitern l¨asst. Da die verschiedenen M¨ oglichkeiten zur Weiterverwendung von Ergebnissen eines Panelmodells erst allgemein erl¨ autert werden m¨ ussen, bevor ein Vergleich der DIS-DEA mit der Window Analysis stattfinden kann, wird im sp¨ ateren Kapitel 4.3 der hier pr¨ asentierte Vergleich vervollst¨andigt.

314

F¨ ur die erste bzw. letzte Periode ergibt sich nur ein einziger Effizienwert, da nur das erste bzw. letzte Fenster diese Periode umfasst; f¨ ur die zweite bzw. vorletzte Periode des Betrachtungszeitraumes ergeben sich zwei Effizienzwerte usw. Eine Periode liegt aufgrund der Fensterl¨ange l jedoch in maximal l sich u ¨berlappenden Fenstern.

315

Ist der Effizienzwert einer DMU in einer bestimmten Periode h¨oher in einem fr¨ uhen Fenster als in einem sp¨ aten, so deutet dies darauf hin, dass in sp¨ ateren Perioden bessere Referenzen beobachtet wurden als in fr¨ uheren, also u ¨ber alle periodenspezifischen Produktionen eine positive, effizienzsteigernde Entwicklung stattgefunden hat.

112

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

fensterweise aggregierte Daten betrachtet. Die Multiplier-Formen suchen nach optimalen Gewichtungsfaktoren f¨ ur diese aggregierten Produktionen, und auch in den EnvelopmentFormen werden f¨ ur aggregierte Produktionen Referenzen bestimmt. In der Window Analysis bilden ausschließlich periodenbezogene Leistungen die Analyseeinheit. W¨ahrend bei beiden DIS-DEA-Varianten fensterbezogene Produktionen in den jeweiligen Zielfunktionen stehen, unterscheiden sich die Varianten jedoch hinsichtlich der Nebenbedingungen. Die DIS-DEA Nr. 2 gleicht hier der Window Analysis, da hier periodenspezifische DMUs die L¨osungen der entsprechenden Linearen Programme beeinflussen. Zur grafischen Veranschaulichung der strukturellen Unterschiede zwischen den Varianten der DIS-DEA und der Window Analysis sei auf Abbildung 4.1 verwiesen.316

4.3.2 Vergleich bez¨ uglich der erzielbaren Analyseergebnisse Eng verbunden mit den strukturellen Unterschieden zwischen der DIS-DEA und der Window Analysis sind die verschiedenartigen Ergebnisse, die beide Verfahren hervorbringen. Durch die Tatsache, dass bei der DIS-DEA fensterspezifisch aggregierte Leistungen analysiert werden, ergibt sich pro Fenster und DMU ein Effizienzwert. Dieser Effizienzwert spiegelt die Leistung wider, die innerhalb dieses Fensters erbracht wurde. Da die Window Analysis nur periodenbezogene Leistungen miteinander vergleicht, ergibt sich gerade nicht eine solche Fenstereffizienz. Zwar ist es m¨oglich, eine solche nachtr¨aglich beispielsweise durch Bildung des arithmetischen Mittels u ¨ber alle Perioden des Fensters zu bestimmen; allerdings ist diese Aggregation mit Problemen behaftet, da den periodenspezifischen Effizienzwerten in der Regel unterschiedliche LP-L¨osungen, d.h. voneinander abweichende Bewertungsschemata zugrunde liegen. Die Fenstereffizienz einer DIS-DEA ist demnach eine Erweiterung des Ergebnisspektrums, die sich durch die modellinh¨arente Analyse aggregierter Daten ergibt. Obwohl die DIS-DEA fensterspezifische Leistungen analysiert, sind — wie bei der Window Analysis — auch perioden- und damit k¨ urzerfristige Effizienzbewertungen m¨oglich. Dadurch, dass den Varianten eine unterschiedliche Konstruktion der Technologiemenge zugrunde liegt, ergeben sich im Vergleich auch unterschiedliche Interpretationen dieser periodenbezogenen Effizienzwerte. In Variante 1 werden die Axiome zur Konstruktion der 316

Siehe Kapitel 4.1, S. 81.

Synopsis: DIS-DEA-Varianten und Window Analysis

113

Technologiemenge auf fensterweise summierte Daten angewandt. Die periodenspezifischen Effizienzwerte, die nicht Element der Technologie sein m¨ ussen, sind als Supereffizienzwerte charakterisierbar. In Variante 2 werden fensterweise aggregierte Daten an periodenspezifischen Beobachtungen gemessen. Auf diese Weise werden perioden- und fensterspezifische Effizienzbewertungen simultan erzeugt, und dadurch ist die disaggregierte Effizienz, formal ein Kreuzeffizienzwert,317 als Beitrag zur l¨angerfristigen Fenstereffizienz einer DMU interpretierbar. In einer Window Analysis ist weder die Ergebnisinterpretation von DISDEA-Variante 1 noch von Variante 2 m¨oglich, so dass auch hier bez¨ uglich der periodenspezifischen Bewertung die DIS-DEA als Erweiterung der Window Analysis aufgefasst werden kann. Periodenspezifische Effizienzwerte bilden den Ausgangspunkt zur Analyse von Effizienzentwicklungen im Zeitablauf, was ein zentrales Ergebnis einer DEA-Panelanalyse darstellt. Pro DMU l¨asst sich ein solcher Verlauf bestimmen, aus dem abgelesen werden kann, ob eine Effizienzsteigerung, –senkung oder eine konstante Entwicklung stattgefunden hat. Analysiert man die Effizienzverl¨aufe innerhalb eines Fensters, so besitzt die ¨ Window Analysis den Nachteil, dass eine DMU trotz Anderungen in der Produktion m¨oglicherweise u ¨ber mehrere Perioden ¨ahnlich bewertet wird. Das liegt daran, dass jede DMU pro Periode separat analysiert wird und Produktions¨anderungen durch die Wahl entsprechender Gewichtungsfaktoren abgefangen“ werden k¨onnen. Im Gegensatz dazu ” werden in einer DIS-DEA Effizienzver¨anderungen direkt durch das (periodenbezogene) Effizienzmaß widergespiegelt. Insofern besitzt die DIS-DEA hinsichtlich der Analyse von Effizienzverl¨aufen einen konzeptionellen Vorteil. Ein weiterer Vorteil hinsichtlich der horizontalen, Effizienzverl¨aufe betreffenden Perspektive ergibt sich durch die in einer DISDEA ermittelten Fenstereffizienzen. Diese Fenstereffizienzen k¨onnen ebenfalls die Basis f¨ ur eine Analyse im Zeitablauf bilden, wenn auch mit steigender Fensterl¨ange (d.h. mit fallendem Datenvariationsanteil) in aufeinander folgenden Perioden mit tendenziell geringeren Effizienzschwankungen zu rechnen ist.318 Neben den Unterschieden zwischen der DIS-DEA und der Window Analysis hinsichtlich der erzeugten Effizienzwerte und deren Nutzung zur Analyse von Effizienzver¨anderungen 317

Siehe dazu auch Fußnote 311.

318

Siehe hierzu auch Kapitel 4.7, S. 142.

114

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

im Zeitablauf liefern die Multiplier- und Envelopment-Formen der DIS-DEA weitere von der Window Analysis abweichende Ergebnisse. Auch dies ist eine Folge des strukturellen Unterschieds beider Verfahren. In beiden Varianten der DIS-DEA wird pro DMU und Fenster ein Vektor optimaler Gewichtungsfaktoren bestimmt, w¨ahrend dies in der Window Analysis pro DMU und Periode geschieht. Weiter oben wurde bereits diskutiert, inwie¨ fern dieser Umstand zur konzeptionellen Uberlegenheit der DIS-DEA beitr¨agt. Bez¨ uglich der Envelopment-Formen ist festzustellen, dass die DIS-DEA-Variante 1 fensterspezifische Benchmarks liefert und somit Verbesserungspotenzial in Bezug auf l¨angerfristig effiziente Einheiten ausweist. Variante 2 hingegen ¨ahnelt der Window Analysis bez¨ uglich der Envelopment-Formen, da die Technologie aus periodenspezifischen Produktionen besteht. Genauer gesagt, sind die Referenzen, aus denen Soll-Positionen f¨ ur ineffiziente DMUs konstruiert werden, periodenspezifisch; es erfolgt eine Orientierung an kurzfristig effizienten Einheiten. Slackwerte, die das in den hier behandelten DEA-Basismodellen zugrunde liegende proportionale Effizienzmaß erg¨anzen, werden in der DIS-DEA fensterspezifisch ausgewiesen, wobei sie in Variante 2 den einzelnen Perioden zugewiesen werden k¨onnen, sich dort also eine nat¨ urliche Dekomposition in die periodenspezifischen Bestandteile ergibt. Gegen¨ uber der Window Analysis besteht der Unterschied, dass die Slackwerte die Fenstereffizienz erg¨anzen, w¨ahrend bei der Window Analysis u ¨ber die Periodeneffizienz hinausgehende Verbesserungsnotwendigkeit ermittelt wird. Da die Periodeneffizienz in der Regel schwankt, ist die Bezugsbasis f¨ ur Slackwerte somit pro Periode unterschiedlich, was eine direkte Vergleichbarkeit u ¨ber mehrere Perioden erschwert. Somit kann abschließend festgestellt werden, dass sich der konzeptionelle Vorteil der DIS-DEA auch auf den Bereich der Slackwerte u ¨bertr¨agt.

4.3.3 Vergleich bez¨ uglich modellinh¨ arenter Sensitivit¨ atsanalysen Die Window Analysis ist nicht nur zum Zweck der Panelanalyse mit DEA entwickelt worden, sondern auch als ein Konzept zur modellinh¨arenten Sensitivit¨atsanalyse. Durch die Analyse in u ¨berlappenden Fenstern — sowohl bei der Window Analysis als auch bei der DIS-DEA — ergibt sich die Perspektive der vertikalen Effizienz. Die unterschiedliche Charakterisierung periodenspezifischer Effizienzwerte der beiden DIS-DEA-Varianten

Synopsis: DIS-DEA-Varianten und Window Analysis

115

ist allerdings bei der DMU-spezifischen, vertikalen Aggregation dieser Effizienzwerte zu beachten. Bei Variante 1 sind die Periodeneffizienzen Supereffizienzen, bei Variante 2 Kreuzeffizienzen, so dass eine vertikale Aggregation mittlere Super- bzw. mittlere Kreuzeffizienzen erzeugt. Weiter vervielfacht sich in einer Window Analysis durch die simultane Analyse mehrerer Perioden die Anzahl der Vergleichseinheiten um die Fensterl¨ange. Diese Tatsache ist besonders n¨ utzlich, wenn die Anzahl der zu verwendenden Inputs und Outputs im Vergleich zur Anzahl der DMUs f¨ ur eine statische Analyse zu hoch sind und durch die simultane Analyse mehrerer Perioden u ¨berhaupt erst eine DEA erm¨oglicht wird.319 Allerdings k¨onnen durch die reine Zahl der Vergleichseinheiten in einer DEA nicht unbedingt robustere Resultate erzeugt werden. Da eine Randproduktions- und keine durchschnittsbildende Funktion gesch¨atzt wird, nimmt mit einer h¨oheren DMU-Anzahl die Ausreißeranf¨alligkeit sogar zu. Die DIS-DEA-Variante 1 wirkt dieser erh¨ohten Anf¨alligkeit dadurch entgegen, dass sie den effizienten Rand aus fensterbezogenen Daten konstruiert. Pro DMU werden periodenspezifische hocheffiziente Leistungen durch potenziell schlechtere Leistungen in den Restperioden des Fensters gegl¨attet“. Falls Einheiten in einer bestimmten Periode ” besonders effizient sind, spiegelt sich dies im anschließend berechneten periodenbezogenen Effizienzwert wider.320 Variante 2 hingegen konstruiert aus periodenspezifischen Leistungen einen effizienten Rand — wie die Window Analysis — und reagiert damit auch in gleichem Maße wie die Window Analysis auf Ausreißer. Ein weiterer Sensitivit¨atsaspekt bezieht sich auf die Wahl optimaler Gewichtungsfaktoren f¨ ur die Input-Output-Variablen. In der Window Analysis werden diese Faktoren nur indirekt beeinflusst, indem sie sich auf eine h¨ohere Anzahl an Vergleichseinheiten beziehen. Allerdings sind sie periodenbezogen und k¨onnen u ¨ber die Perioden des Fensters schwanken, im Gegensatz zur DIS-DEA, bei der pro DMU und Fenster nur ein Vektor optimaler Gewichtungsfaktoren bestimmt wird. Insofern erzwingt die DIS-DEA durch die Analyse aggregierter Daten eine erh¨ohte zeitliche Stabilit¨at der Gewichtungsfaktoren, in dem diese pro Fenster als konstant angenommen werden.

319

Siehe dazu auch Fußnote 263, S. 75.

320

Hierbei sind die unterschiedlichen Interpretationen gem¨ aß Tabelle 4.2, S. 98, zu beachten.

116

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Tabelle 4.4: Vergleich beider Varianten der DIS-DEA mit der Window Analysis Kriterium

DIS-DEA 1

DIS-DEA 2 Window Analysis Durchf¨ uhrung der Analyse allgemeine Analyse in u ¨berlap- Analyse in u ¨berlap- Analyse in u ¨berlapStruktur penden Fenstern; penden Fenstern; penden Fenstern; dadurch horizon- dadurch horizon- dadurch horizontale und vertikale tale und vertikale tale und vertikale Perspektive Perspektive Perspektive zu analysieren- fensterweise aggre- fensterweise aggre- periodenspezifische de DMUs gierte Produktionen gierte Produktionen Produktionen Referenzen fensterweise aggre- periodenspezifische periodenspezifische gierte Produktionen Produktionen Produktionen Analyseergebnisse Effizienzwerte Fenstereffizienz und Fenstereffizienz und Periodeneffizienz Periodeneffizienz (in Periodeneffizienz (in zwei Varianten) zwei Varianten) Multiplierfensteroptimale Ge- fensteroptimale Ge- periodenoptimale Form wichtungsfaktoren wichtungsfaktoren Gewichtungsfaktoren EnvelopmentReferenzpunkt aus Referenzpunkt aus Referenzpunkt aus periodenspezifischen periodenspezifischen Form fensterspezifischen Produktionen Produktionen Produktionen Slackwerte fensterspezifische fensterspezifische periodenspezifische Slackwerte ohne Slackwerte mit Slackwerte Dekomposition in Dekomposition in Periodenslacks Periodenslacks horizontale Ef- Entwicklung direkt Entwicklung direkt Entwicklung nicht periodenspe- direkt an periodenfizienz an periodenspe- an Effizienz spezifischer Effizienz zifischer Effizienz zifischer messbar messbar messbar modellinh¨arente Sensitivit¨at vertikale Effizi- Aggregation von Su- Aggregation von Aggregation von Peenz pereffizienzen Kreuzeffizienzen riodeneffizienzen MultiplierKonstanz der Ge- Konstanz der Ge- Variabilit¨at der GeForm wichtungsfaktoren wichtungsfaktoren wichtungsfaktoren u ¨ber alle Perioden u ¨ber alle Perioden u ¨ber die Perioden des Fensters des Fensters des Fensters Envelopmentgeringere Ausreißer- h¨ohere Ausreißer- h¨ohere AusreißerForm anf¨alligkeit wegen anf¨alligkeit wegen anf¨alligkeit wegen fensterspezifischer periodenspezifischer periodenspezifischer Referenzen Referenzen Referenzen

¨ Ubertragung weiterer statischer Modelle auf den Fall der DIS-DEA

117

In Tabelle 4.4 sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede von den DIS-DEA-Varianten und der Window Analysis noch einmal u ¨berblicksartig zusammengefasst.

¨ 4.4 Ubertragung weiterer statischer Modelle auf den Fall der DIS-DEA Hauptbestandteil der Kapitel 4.2.1 und 4.2.2 war die Formulierung aller g¨angigen Basismodelle (d.h. der CCR- und BCC-Modelle) im Kontext der DIS-DEA. F¨ ur alle gebr¨auchlichen Technologien stehen somit dynamische Varianten der Panelanalyse zur Verf¨ ugung.321 Erg¨anzend werden in diesem Abschnitt diejenigen weiterentwickelten statischen Modelle auf den Fall der DIS-DEA u ¨bertragen, die in Kapitel 2.2.2 und Kapitel 2.2.3 erl¨autert worden sind, um das Anwendungsspektrum dementsprechend zu erweitern. Hierbei wird die DIS-DEA, wie auch in den Kapiteln 4.2.1 und 4.2.2, als Modifikation der Window Analysis aufgefasst.

4.4.1 Basismodelle unter Verwendung nicht-radialer Effizienzmaße 4.4.1.1 Additives Modell Im Gegensatz zu den CCR- und BCC-Modellen ist das Additive Modell unorientiert in dem Sinne, dass Inputverschwendungen sowie Outputdefizite simultan ausgewiesen werden und in das Effizienzmaß einfließen.322 Das Additive Modell kann problemlos auch im Rahmen beider DIS-DEA-Varianten formuliert werden; exemplarisch beziehen sich die folgenden Darstellungen auf die Envelopment-Form.323

DIS-DEA-Variante 1 Das Additive Modell lautet unter der Annahme konstanter Skalenertr¨age:

321

Die Software myDEA erm¨ oglicht die Anwendung beider Varianten der DIS-DEA. Siehe Kapitel 4.6, S. 130.

322

Dem Additiven Modell liegt eine nicht-radiale Distanzfunktion zur Quantifizierung von Ineffizienz zugrunde, siehe Kapitel 2.2.2.1.

323

Zum statischen Additiven Modell siehe z.B. Cooper, Seiford, Tone (2006), S. 150 ff.

118

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Modell 4.21 (Additives CCR-Modell der DIS-DEA 1). max zo,¯ι =

m 

s− o,i,¯ ι+

i=1

s 

s+ o,j,¯ ι

j=1

unter s− ι − X¯ ι · λo,¯ ι o,¯ ι = xo,¯ s+ ι · λo,¯ ι − yo,¯ ι o,¯ ι = Y¯ + λo,¯ι ≥ 0, s− o,¯ ι ≥ 0, so,¯ ι ≥ 0.

Formal entspricht also das Additive Modell — bis auf den in den Nebenbedingungen auf∗ ur die tretenden Effizienzfaktor θo,¯ ι , der hier fehlt — Phase (II) der Modelle 4.5 bzw. 4.10. F¨

Modellierung variabler Skalenertr¨age ist Modell 4.21 lediglich durch die Nebenbedingung n 

λo,k,¯ι = 1

k=1

zu erg¨anzen.324

DIS-DEA-Variante 2 Zur Formulierung des Additiven Modells f¨ ur die DIS-DEA Nr. 2 l¨asst sich — wie bei DIS-DEA Nr. 1 — die formale Analogie zur Phase II der Modelle 4.19 bzw. 4.20 heranziehen:325 Modell 4.22 (Additives CCR-Modell der DIS-DEA 2).

max zo,(ι) =

m ι+l−1   i=1

κ=ι

unter s− o,i,κ = xo,i,κ − s+ o,j,κ =

n 

s− o,i,κ +

s ι+l−1  

s+ o,j,κ

j=1 κ=ι n 

xk,i,κ · λo,k,κ

∀i = 1, ..., m, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

yk,j,κ · λo,k,κ − yo,j,κ

∀j = 1, ..., s, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

k=1

k=1 + λo,k,κ ≥ 0, s− o,i,κ ≥ 0, so,j,κ ≥ 0.

324

Modell 4.5: S. 89; Modell 4.10: S. 106; Modell 4.21: S. 118.

325

Modell 4.19: S. 105; Modell 4.20: S. 106.

¨ Ubertragung weiterer statischer Modelle auf den Fall der DIS-DEA

119

Zur Annahme variabler Skalenertr¨age sind Modell 4.22 die Nebenbedingungen n 

λo,j,κ = 1, κ = ι, ..., ι + l − 1

j=1

hinzuzuf¨ ugen.

4.4.1.2 Free Disposal Hull-Modell Die nicht-konvexe FDH-Technologie weist im Gegensatz zu den CCR- und BCC-Technologien ausschließlich reale Produktionen als Referenzeinheiten aus.326 Die Annahme einer solchen Technologie ist auch im Rahmen einer DIS-DEA modelltechnisch umsetzbar, in dem die Zusatzbedingung an die Gewichtungsfaktoren λ aus der allgemeinen Formulierung der Technologiemenge  T MF DH :=

z∈

Rs+m + |z

=

n 

 λk · zk ; λ ∈ ΛF DH =

n

λ ∈ {0, 1} |

k=1

n 

 λk = 1

k=1

auf die Technologiemengen, die einer DIS-DEA zugrunde liegen, angewandt werden. F¨ ur Variante 1 der DIS-DEA lautet die FDH-Technologie jedes Fensters ι  T MF DH,¯ι :=

z¯ι ∈

Rs+m ι + |z¯

=

n 

 λk,¯ι · zk,¯ι ; λ¯ι ∈ ΛF DH,¯ι ⊆

Rn+

,

k=1



wobei ΛF DH,¯ι =

λ ∈ {0, 1}n |

n 

 λk,¯ι = 1 .

k=1

Bei Variante 2 liegt pro Fenster ι die Menge  T MF DH,(ι) :=

z(ι) ∈ Rs+m + |z(ι) =

n ι+l−1   k=1 κ=ι

326

Siehe dazu insbesondere Kapitel 2.2.2.2, S. 49.

 λk,κ · zk,κ ; λ(ι) ∈ ΛF DH,(ι) ⊆ Rk×κ +

.

120

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

zur Effizienzbewertung zugrunde, wobei  ΛF DH,(ι) =

n

λ ∈ {0, 1} |

n 

 λk,κ = 1, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1 .

k=1

Die in Kapitel 2.2.2.2 erw¨ahnte wesentliche Modifikation der Linearen Programme betrifft bei der DIS-DEA somit jedes Analysefenster ι.327

4.4.2 Statische Erweiterungen von Basismodellen 4.4.2.1 Beschr¨ ankte Gewichtungsfaktoren Als eine Erweiterung der urspr¨ unglichen DEA-Modelle sind in Kapitel 2.2.3.1 zwei M¨oglichkeiten vorgestellt worden, die Wahl optimaler Gewichtungsfaktoren einzuschr¨anken und damit die Effizienzbewertung m¨oglicherweise objektiver zu gestalten. Die Assurance Region- sowie die Cone Ratio-Methoden unterscheiden sich gegen¨ uber den u ¨blichen CCRund BCC-Basismodellen durch entsprechende Nebenbedingungen an die Gewichtungsfaktoren. Die zus¨atzlichen Nebenbedingungen a¨ußern sich innerhalb der Assurance Region-Methode in den Matrizen P und Q, die die unteren und oberen Schranken f¨ ur alle Input- bzw. Outputgewichte beinhalten.328 Um also ein DIS-DEA-Modell im Sinne der Assurance Region-Methode zu erweitern, sind diese Matrizen f¨ ur die (in beiden Varianten vorliegenden) fensterspezifischen Gewichtungsfaktoren aufzustellen und in derselben Form wie im statischen AR-Modell als Zusatzbedingungen (Multiplier-Form, siehe Modell 2.18) bzw. als modifizierte Nebenbedingungen (Envelopment-Form, siehe Modell 2.19) ins Modell einfließen zu lassen. Ebenso problemlos k¨onnen alle bisherigen Modelle der DIS-DEA als Cone Ratio-Variante formuliert werden. Hierzu ist f¨ ur die fensterspezifischen Inputgewichte (bzw. f¨ ur die fensterspezifischen Outputgewichte) ein konvexer Kegel V (bzw. U ) festzulegen, auf den sie jeweils beschr¨ankt sind. Wie im statischen Modell 2.20 sind diese Beschr¨ankungen 327

Zur konkreten Aufstellung der Linearen Programme bzw. zu deren L¨osung sei an dieser Stelle auf Tulkens (1993) sowie die dort genannten Quellen verwiesen.

328

Siehe hierzu Modell 2.18 in Kapitel 2.2.3.1, S. 53.

¨ Ubertragung weiterer statischer Modelle auf den Fall der DIS-DEA

121

als modifizierte Nebenbedinungen des gew¨ahlten Basismodells zu ber¨ ucksichtigen. Da in beiden Varianten der DIS-DEA die Gewichte fensterspezifisch sind und damit in ihrer Anzahl mit der Input- bzw. Outputanzahl u ¨bereinstimmen, bleibt die Dimension der Kegel U und V gegen¨ uber dem statischen Modell gleich. Eine entsprechende Aussage gilt f¨ ur die Dimensionen der Matrizen P und Q im Rahmen der Assurance Region-Methode.

4.4.2.2 Nicht-beeinflussbare Variablen

Als letzte Erweiterung von Basismodellen der DEA sind in Kapitel 2.2.3.2 solche Modelle vorgestellt worden, die eine Unterscheidung zwischen beeinflussbaren und nichtbeeinflussbaren Variablen vornehmen. Beispielhaft wird an dieser Stelle wie in Kapitel 2.2.3.2 das inputorientierte Modell mit konstanten Skalenertr¨agen in der EnvelopmentForm betrachtet. Die Formulierung f¨ ur DIS-DEA-Variante 1 lautet: Modell 4.23 (NB-Modell, DIS-DEA-Variante 1).  min θo,¯ι − 



s− o,i,¯ ι+

xo,i,¯ι = yo,j,¯ι =

n  k=1 n 

 s+ o,j,¯ ι

j=1

i∈B

unter θo,¯ι · xo,i,¯ι =

s 

n 

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι + s− o,i,¯ ι,

i ∈ B,

k=1

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι + s− o,i,¯ ι,

i ∈ N B,

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι − s+ o,j,¯ ι,

j = 1, ..., s.

k=1

Hierbei ist lediglich zu beachten, dass pro Fenster ι eine Analyse mit den entsprechend aggregierten Outputs und Inputs durchzuf¨ uhren ist, was man an dem gegen¨ uber Modell 2.2.3.2 zus¨atzlichen Index ¯ι erkennt. Bei DIS-DEA-Variante 2 ist zu beachten, dass die Referenzpunkte aus periodenspezifischen Produktionen ermittelt werden und folglich auch die Slackwerte periodenspezifisch sind:

122

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Modell 4.24 (NB-Modell, DIS-DEA-Variante 2).  min θo,¯ι − 

 ι+l−1 

s− o,i,κ

i∈B κ=ι

unter θo,¯ι · xo,i,¯ι = xo,i,¯ι = yo,j,¯ι =

n ι+l−1  

+

s ι+l−1  

 s+ o,j,κ

j=1 κ=ι

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι + s− o,i,κ ,

k=1 κ=ι n ι+l−1   k=1 κ=ι n ι+l−1  

i ∈ B,

xk,i,¯ι · λo,k,¯ι + s− o,i,κ ,

i ∈ N B,

yk,j,¯ι · λo,k,¯ι − s+ o,j,κ ,

j = 1, ..., s.

k=1 κ=ι

4.5 Bestimmung von eindeutigen L¨ osungen Linearer Programme innerhalb des Konzeptes der DIS-DEA 4.5.1 Zur m¨ oglichen Nicht-Eindeutigkeit periodenspezifischer Effizienzwerte Beide Varianten der DIS-DEA sind so konzipiert, dass Effizienzbewertungen l¨angerfristiger (fensterspezifischer) Leistungen auch zur Ableitung k¨ urzerfristiger (periodenspezifischer) Effizienzkennziffern herangezogen werden k¨onnen. Diese periodenspezifischen Effizienzkennziffern, f¨ ur die jeweils zwei Alternativen vorliegen, h¨angen jedoch von den speziellen LP-L¨osungen ab, d.h. von den variablenbezogenen Gewichtungsfaktoren der MultiplierForm und von den Lambdas der Envelopment-Form. Sofern die L¨osung eindeutig ist, ist auch die periodenspezifische Effizienzkennziffer eindeutig. Im Allgemeinen ist dies f¨ ur ineffiziente Einheiten der Fall. Besitzen die LPs nicht nur eine einzige L¨osung, verliert die periodenspezifische Effizienzkennziffer ihre Eindeutigkeitseigenschaft. Im Allgemeinen ist dies f¨ ur effiziente Einheiten der Fall.329 Es macht folglich im Hinblick auf die H¨ohe der periodenspezifischen Effizienzwerte einen Unterschied, welche fensteroptimale L¨osung herangezogen wird. Diese Situation ist unbefriedigend insbesondere deshalb, weil noch nicht einmal die Rangfolge der periodenspezifischen Effizienzwerte f¨ ur eine DMU innerhalb eines 329

Siehe Doyle, Green (1994).

Bestimmung von eindeutigen LP-L¨osungen innerhalb der DIS-DEA

123

Fensters eindeutig ist. Da aber ein zentrales Anliegen einer DEA-basierten Panelanalyse die Untersuchung von Effizienzentwicklungen im Zeitablauf ist, muss ein L¨osungskonzept entwickelt werden, das (i) einen Test auf Eindeutigkeit einer LP-L¨osung beinhaltet und (ii) die Wahl einer geeigneten L¨osung aus der Menge s¨amtlicher L¨osungen unterst¨ utzt. Diese beiden Anforderungen an ein L¨osungskonzept werden im Folgenden er¨ortert. Vorab sei angemerkt, dass vom Nichteindeutigkeitsproblem prinzipiell Variante 1 st¨arker betroffen ist als Variante 2. Dies liegt an der in Variante 2 um ein Vielfaches h¨oheren Anzahl an Nebenbedingungen, was zu einer tendenziell geringeren relativen Anzahl effizienter Einheiten f¨ uhrt.

4.5.2 Eindeutigkeitstest Um zu u ufen, ob die L¨osung einer linearer Optimierungsaufgabe eindeutig ist, stehen ¨berpr¨ einige algebraische Charakterisierungen zur Verf¨ ugung. Dar¨ uber hinaus existieren einige Methoden, die konstruktiv sind in dem Sinne, dass aus einer L¨osung eine weitere bestimmt werden kann. S¨amtliche im Folgenden skizzierten L¨osungsans¨atze k¨onnen innerhalb der DIS-DEA in Form zus¨atzlicher Linearer Programme umgesetzt werden. Einen entsprechenden Literatur¨ uberblick liefert Appa, der sich wie folgt zusammenfassen l¨asst:330 • Mangasarian (1979) liefert neun algebraisch ¨aquivalente Formulierungen der Eindeutigkeit einer LP-L¨osung; zwei dieser Formulierungen werden als einfach u ufbar ¨berpr¨ bezeichnet, da sie nur“ die L¨osung weiterer Linearer Programme ben¨otigen.331 ” • Kantor (1993) reduziert eine LP-L¨osung auf die Normalform, ben¨otigt jedoch in jedem Fall die L¨osung von mehr als einem neuen Linearen Programm.332 • Tijssen, Sierksma (1998) beschreiben ebenso wie Kantor einen konstruktiven Ansatz, der allerdings nicht direkt auf die Standard-Simplexmethode anwendbar ist. 330

Siehe Appa (2002).

331

Siehe Mangasarian (1979), S. 159.

332

Siehe Kantor (1993); weitere Eigenschaften der dort beschriebenen konstruktiven Methode bleiben hier aufgrund der Irrelevanz bez¨ uglich des Nichteindeutigkeitsproblems innerhalb der DIS-DEA unerw¨ahnt.

124

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

• Appa selbst entwickelt einen konstruktiven Algorithmus namens Pufas,333 der die Schwierigkeiten der oben genannten konstruktiven Ans¨atze ausgleicht und sogar verwendet werden kann, um eine repr¨asentative L¨osung zu ermitteln. Zudem ben¨otigt Pufas die Berechnung von h¨ochstens einem neuen LP.

4.5.3 Eignungspr¨ ufung verschiedener Konzepte zur L¨ osung des Eindeutigkeitsproblems 4.5.3.1 Einschr¨ ankung der L¨ osungsmenge durch zus¨ atzliche Beschr¨ ankungen der Gewichtungsfaktoren Ein erster Ansatz zur Einschr¨ankung des Nichteindeutigkeitsproblems stellt die Anwendung von Modellen dar, die die Wahl der optimalen Gewichtungsfaktoren durch zus¨atzliche Nebenbedingungen erschweren. Haupts¨achlich sind dies die in Kapitel 2.2.3.1 beschriebenen Assurance-Region- bzw. Cone-Ratio-Modelle. Ziel dieser Modelle ist der Ausschluss extremer optimaler Gewichtungsfaktoren, also solcher, die schlecht ausgepr¨agte Inputs bzw. Outputs durch eine Gewichtung von 0 ausblenden, und somit die Effizienzbewertung auf m¨oglicherweise sehr wenigen Variablen beruht. Die zus¨atzlichen Nebenbedingungen der AR- bzw. CR-Modelle an die Gewichtungsfaktoren bilden entweder Expertenmeinungen u ¨ber die relative Wichtigkeit einzelner Variablen oder k¨onnen vorab rechnerisch durch eine Analyse s¨amtlicher DMUs hergeleitet werden.334 Allerdings schr¨anken AR- bzw. CRModelle den L¨osungsraum nur ein, ohne das Nichteindeutigkeitsproblem zu l¨osen. Zudem m¨ ussen die zus¨atzlichen Nebenbedingungen zur Bewertung s¨amtlicher DMUs herangezogen werden, ver¨andern folglich auch die Effizienzevaluationen der in unbeschr¨ankten Modellen als ineffizient klassifizierten DMUs. Eine Festlegung auf einen einzigen Vektor optimaler Gewichtungsfaktoren garantiert in diesem Zusammenhang nur die Anwendung eines so genannten common set of weights (CSW), also eines Bewertungsschemas, das ungliches Ziel zur Anwendung eines CSW ist eine opf¨ ur alle DMUs gleich ist.335 Urspr¨ timale Diskriminierung zwischen effizienten und ineffizienten DMUs.336 Allerdings wirkt ein CSW dem Prinzip einer DEA (n¨amlich der Formulierung von Gewichtungsfaktoren 333

Siehe Appa (2002), S. 1129.

334

Siehe z.B. die in Doyle, Green (1995) genannten Quellen.

335

Siehe Cook, Kress (1990); Roll, Golany (1993); Sinuany-Stern, Friedman (1998).

336

Siehe Sinuany-Stern, Friedman (1998).

Bestimmung von eindeutigen LP-L¨osungen innerhalb der DIS-DEA

125

als Parameter in DMU-spezifischen Linearen Programmen) entgegen und sollte eine Analyse h¨ochstens erg¨anzen, nicht jedoch ersetzen. Insgesamt stellen demnach weder ARbzw. CR-Modelle noch ein CSW-Ansatz ein zufriedenstellendes Konzept zur L¨osung des Nichteindeutigkeitsproblems dar. 4.5.3.2 Formulierung von Senkund¨ arzielen wie bei der Berechnung von Kreuzeffizienzen Dem Konzept der Kreuzeffizienz liegt die Idee zugrunde, dass eine DMU nicht nur anhand ihres eigenen optimalen Bewertungsschemas (der DMU-spezifischen Gewichtungsfaktoren), sondern auch anhand der f¨ ur die Vergleichseinheiten optimalen Input-OutputGewichtungen evaluiert wird.337 Gr¨ unde f¨ ur ein solches Vorgehen liegen in der Freiheit der Wahl der Gewichtungsfaktoren in Basismodellen, die eine u.U. unrealistische Effizienzbewertung hervorbringen, weil sie eine Analyseeinheit im bestm¨oglichen Licht erscheinen lassen.338 Durch die Effizienzbewertung einer DMU anhand jedes optimalen Vektors von Gewichtungsfaktoren gelangt man zu einem umfassenderen Bild der Effizienzevaluation, das vom reinen self-appraisal um das peer-appraisal erg¨anzt wird. Von den eindimensionalen Effizienzkennziffern θo := θo,o geht man also u ¨ber zu den Effizienzwerten θo,k , k = 1, ..., n, wobei θo,k die Effizienz der Einheit o bezeichnet, die durch Bewertung mit den f¨ ur Einheit k optimalen Gewichtungsfaktoren entsteht. S¨amtliche Effizienzkennziffern lassen sich in einer n × n−Matrix zusammenfassen; die u ¨blichen stehen in dieser Matrix auf der Hauptdiagonalen. Die Nichteindeutigkeit von L¨osungen Linearer Programme u ¨bertr¨agt sich auch auf die Kreuzeffizienzen, und zwar so, dass noch nicht einmal ein eindeutiges Ranking der Werte θo,k, , k = 1, ..., n, erstellt werden kann.339 In der Literatur werden hierzu verschiedene L¨osungsvorschl¨age diskutiert, denen jedoch allen die Formulierung eines sekund¨aren Op337

Erstmals wurde der Begriff der Kreuzeffizienz von Sexton u. a. (1986) diskutiert. Demselben Themenbereich widmen sich Doyle, Green (1994); Doyle, Green (1995); Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002); Lu, Sun (2005); dort sind jeweils weitere Verweise zu finden.

338

Siehe z.B. Boussofiane, Dyson, Thanassoulis (1991).

339

Z.B. Doyle, Green (1995), S. 210: Although a different set of weights could not lead to a greater ” self-efficiency, it can lead to a different pattern of cross-efficiencies.“ Allerdings merken die Autoren auch an, dass dieser Umstand nicht unbedingt einen Nachteil darstellt: Rather than see this as a ” shortcoming, it is possible to arrange that the weights are chosen in a systematic way.“ Doyle, Green (1995), S. 210.

126

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

timierungsproblems (zus¨atzlich zum obersten Ziel der Effizienzmaximierung von DMU o) zugrunde liegt.340 Diese L¨osungskonzepte k¨onnen auf den Fall der DIS-DEA u ¨bertragen werden, und zwar auf beide Varianten.341 Im Wesentlichen werden innerhalb der Kreuzeffizienz-Literatur vier verschiedene Formulierungen sekund¨arer Optimierungsziele behandelt.342 Jede dieser Formulierungen kann sowohl aggressiv“ als auch wohlwollend“ ausgerichtet werden. Dabei bestimmt eine ag” ” gressive (bzw. wohlwollende) Formulierung die Variablengewichtungen einer DMU o derart, dass sie m¨oglichst weit von den Optima der Vergleichseinheiten entfernt sind (bzw. m¨oglichst nah an den Optima der Vergleichseinheiten liegen).343 Bei der aggressiven Formulierung ist das sekund¨are Ziel demnach eine Minimierungsaufgabe, w¨ahrend man bei der wohlwollenden Formulierung ein Maximierungsproblem zu l¨osen hat: (i) min bzw. max

1 n−1

 (ii) min bzw. max

 ˜ (Oo,k − I˜o,k )

k=o

 ˜ ˜ Oo,k / Io,k

k=o

(iii) min bzw. max (iv) min bzw. max

1 n−1



k=o

 ˜ (Oo,k /I˜o,k )

k=o

˜ o,k /I˜o,k , ∀k = o. O

˜ o,k (bzw. I˜o,k ) den virtuellen Output (bzw. Input) von DMU k, bewerHierbei bezeichnet O tet mit den f¨ ur DMU o optimalen Faktoren. Alternative (i) bezieht sich auf die OutputInput-Differenzen und besitzt somit den Vorteil einer relativ einfachen Berechnung als Lineares Programm. Die drei restlichen Alternativen sind nicht-lineare Probleme, die einen entsprechend h¨oheren Aufwand bei der L¨osungsbestimmung verursachen.344 Alternative 340 341

Siehe hierzu die Fußnote 337 genannten Quellen. ¨ Die Ubertragung der L¨ osungskonzepte, die innerhalb der Literatur zur Kreuzeffizienz diskutiert werden, bezieht sich dabei auf die Erzeugung eindeutiger fensteroptimaler L¨osungen.

342

Siehe Doyle, Green (1995). Weitere Ans¨ atze, die nicht auf einer Durchschnittsbildung basieren, finden sich bspw. in Doyle, Green (1994); dort werden Median-, Minimum- und Varianz-bezogene Formulierungen diskutiert.

343

Die aggressive Formulierung tendiert daher dazu, u ¨ber alle DMUs m¨oglichst weit auseinander liegende Gewichtungsfaktoren zu w¨ ahlen.

344

Vorgehensweisen zur L¨ osung der Alternativen (ii) bis (iv) finden sich in Doyle, Green (1995).

Bestimmung von eindeutigen LP-L¨osungen innerhalb der DIS-DEA

127

(ii) summiert die Outputs und Inputs s¨amtlicher Vergleichseinheiten (mit Ausnahme von DMU o) auf und analysiert den Quotienten dieser aggregierten Leistungen. Alternative (iii) minimiert (bzw. maximiert) die durchschnittliche Kreuzeffizienz aller u ¨brigen DMUs, w¨ahrend die letzte Alternative jede einzelne Kreuzeffizienz von Vergleichseinheiten minimiert (bzw. maximiert). S¨amtliche Formulierungen beziehen sich also auf die Effizienzen der Vergleichseinheiten mit Ausnahme derjenigen DMU o, f¨ ur die das Nichteindeutigkeitsproblem der optimalen Gewichtungsfaktoren gel¨ost werden soll. Grunds¨atzlich gibt es zwei M¨oglichkeiten, diese L¨osungskonzepte des Nichteindeutigkeitsproblems auf den Fall der DIS-DEA zu u ¨bertragen, um die Eindeutigkeit fensterspezifischer LP-L¨osungen und damit die Eindeutigkeit periodenspezifischer Effizienzwerte zu erzwingen: • L¨osungsweg I. Man integriert die Berechnung von Kreuzeffizienzen in die DIS-DEA. Das heißt, man w¨ahlt die Gewichtungsfaktoren der DMU o zur Maximierung der eigenen Fenstereffizienz so, dass die Fenster-Kreuzeffizienzen der Vergleichseinheiten in irgendeiner Form minimiert oder maximiert werden, je nachdem, ob eine aggressive oder wohlwollende Formulierung des sekund¨aren Problems zugrunde gelegt werden soll.345 Die L¨osung dieses Konzeptes kann dann zur Berechnung sowohl partieller als auch totaler periodenspezifischer Effizienzwerte herangezogen werden. • L¨osungsweg II. Man wendet das Sekund¨arziel nicht auf s¨amtliche fensterbezogenen Produktionen der Vergleichseinheiten an, sondern auf die Produktionen der DMU o in allen u ¨brigen Perioden innerhalb des analysierten Fensters. Hierbei ist zu beachten, dass das Prim¨arziel, also die Maximierung der Fenstereffizienz von DMU o, u ¨ber s¨amtliche Perioden des Fensters dasselbe bleibt. Insofern scheint in diesem Fall eine wohlwollende Formulierung geeigneter, da sie f¨ ur eine ausgeglichene Verteilung der Effizienzen u urlich ¨ber die Perioden des Fensters sorgt, anstatt eine Periode willk¨ zu bevorzugen. Auch L¨osungsweg II dient letztlich der Ermittlung eindeutiger periodenspezifischer Effizienzwerte sowohl partieller als auch totaler Art. W¨ahrend L¨osungsweg I die peer-appraisals zur Findung einer eindeutigen L¨osung f¨ ur DMU o einbezieht, richtet sich L¨osungsweg II auschließlich an die eigenen DMU-spezifischen Pro345

Diese Entscheidung muss vom Anwendenden getroffen werden.

128

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

duktionen innerhalb des Analysefensters. Die Wahl einer dieser beiden L¨osungsm¨oglichkeiten sollte sich dabei an der gew¨ unschten Perspektive orientieren. Beide L¨osungswege beinhalten jedoch zus¨atzlich die Wahl einer Formulierung des Sekund¨arziels. Auch hier¨ bei k¨onnen inhaltliche Uberlegungen eine Rolle spielen. Zudem haben insbesondere Doyle und Green (1995) in umfangreichen empirischen und simulationsbasierten Studien zeigen k¨onnen, dass alle vier Formulierungen innerhalb einer aggressiven oder wohlwollenden Ausrichtung keine auff¨allig unterschiedlichen Kreuzeffizienzen erzeugen.346 Als weiteres Kriterium zur Festlegung einer der Formulierungen (i) bis (iv) kann daher der Rechenaufwand dienen, der Methode (i) als g¨ unstig erscheinen l¨asst.

Ein letztes Kriterium zur L¨osung des Nichteindeutigkeitsproblems bezieht sich ausschließlich auf die Einheit, deren zugeh¨origes Lineares Programm nicht eindeutig l¨osbar ist. Die optimalen Gewichtungsfaktoren der fensterspezifischen Inputs bzw. Outputs k¨onnen derart gew¨ahlt werden, dass die Varianz der resultierenden periodenspezifischen Werte minimiert oder auch maximiert wird. Eine Minimierung der Varianz periodenspezifischer Effizienzwerte bedeutet dabei, dass diejenige fensteroptimale L¨osung gew¨ahlt werden sollte, die Effizienzschwankungen u ¨ber die Perioden des Fensters minimiert und demnach die aggregierte Leistung, ¨ahnlich wie bei L¨osungsweg II, gerecht“ verteilt. Eine Varianz” maximierung hingegen bedeutet, dass einzelne Perioden — zu Lasten der restlichen — bevorzugt bewertet werden, wobei allerdings unklar ist, um welche Perioden es sich dabei jeweils handeln sollte. Folglich entst¨ unde wie bei L¨osungsweg II eine gewisse Willk¨ ur, die wiederum die Nutzbarkeit der Ergebnisse f¨ ur Managemententscheidungen in Zweifel ziehen k¨onnte. Aus diesem Grund ist die Varianzminimierung daher sicherlich die besser geeignete Variante, da sie eine Gleichbehandlung (und damit auch eine Vergleichbarkeit) aller periodenspezifischen Effizienzen des Fensters gew¨ahrleistet. Da ein varianzbezogenes sekund¨ares Ziel eine quadratische Form hat, sind zur praktischen Durchf¨ uhrung des vorgeschlagenen alternativen L¨osungskonzeptes Methoden nicht-linearer Programmierung einzusetzen. Diese sind tendenziell erheblich rechenaufw¨andiger. F¨ ur eine ausf¨ uhrlichere Diskussion dieser Problematik sei auf Doyle u.a. (1994) verwiesen.347

346

Doyle, Green (1995), S. 217 f.: differences in end-results between the four methods [..] are never very ” large.“

347

Siehe Doyle, Green (1994).

Bestimmung von eindeutigen LP-L¨osungen innerhalb der DIS-DEA

129

4.5.3.3 Nutzung des Pufas-Afros- und des Fourier-Motzkin-Algorithmus’ Neben der Einschr¨ankung des L¨osungsraumes durch Zusatzbedingungen an die Gewich¨ tungsfaktoren und die Ubertragung des L¨osungskonzeptes innerhalb von Kreuzeffizienzberechnungen stehen zwei Algorithmen zur Untersuchung des Nichteindeutigkeitsproblems zur Verf¨ ugung. Beide Algorithmen besitzen gewisse konzeptionelle Vorteile gegen¨ uber den bisher vorgestellten Ans¨atzen. Pufas steht f¨ ur proving uniqueness or finding an alternative solution.348 Der Algorithmus stellt dabei eine Modifikation der geometrischen Methode von Appa dar und ist konstruktiv in dem Sinne, dass im Falle der Nichteindeutigkeit uber anderen einer LP-L¨osung eine weitere L¨osung konstruiert wird.349 Sie besitzt gegen¨ konstruktiven Methoden den Vorteil, dass sie direkt auf die Standard-Simplex-Methode anwendbar ist — im Gegensatz zur Methode von Tijssen und Sierksma350 — und die L¨osung von h¨ochstens einem neuen LP ben¨otigt — im Gegensatz zur Methode von Kantor.351 Zus¨atzlich zu Pufas schl¨agt Appa den Algorithmus Afros vor (algorithm for finding a representative optimal solution), der Pufas verwendet, um einige verschiedene L¨osungen zu konstruieren, deren Mittelwert als repr¨asentative L¨osung dient.352 Die Kombination von Pufas und Afros kann daher als Aufbaumodul der DIS-DEA verwendet werden, um im Rahmen der Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte Eindeutigkeit zu erzielen. Eine letzte Alternative in diesem Zusammenhang besteht im Fourier-Motzkin-(F-M-) Algorithmus.353 Dieser Algorithmus stellt eine Projektionsmethode dar. Seine zentralen Vorteile liegen darin, dass er (i) s¨amtliche Primal- und Duall¨osungen bestimmt und (ii) nicht auf Surrogatmodelle zur¨ uckgreifen muss, wie sie bei der Berechnung von Kreuzeffiziungliche Quotientenprogramm verwenenzen zum Einsatz gelangen,354 sondern das urspr¨ 348

Siehe Appa (2002).

349

Siehe Appa (2002).

350

Siehe Tijssen, Sierksma (1998).

351

Siehe Kantor (1993).

352

Das arithmetische Mittel der verschiedenen L¨ osungen ist wegen der Konvexit¨at der Technologiemenge wieder Element derselben.

353

Siehe Appa, Williams (2006); Williams (1986).

354

Appa, Williams (2006), S. 605: [..] makes it unnecessary to use surrogate models [..] to obtain the opti” mal choice of weights for each DMU that maximises its own efficiency while minimising or maximising the average of the cross-efficiencies of its peers.“

130

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

det. Wie der Pufas/Afros-Algorithmus kann die F-M-Methode einer DIS-DEA als Zusatzmodul angeschlossen werden. Hierzu steht frei erh¨altliche Software zur Verf¨ ugung.355 Die einzige Unsicherheit bez¨ uglich des F-M-Algorithmus’ besteht in der Tatsache, dass systematische Untersuchungen zum Rechenaufwand in Abh¨angigkeit der Modellkomplexit¨at (Anzahl der DMUs; Variablenanzahl) bisher fehlen.356 Ansonsten stellt die F-M-Methode aufgrund der genannten Eigenschaften im Hinblick auf die L¨osung des Nichteindeutigkeitsproblems den umfassendsten L¨osungsansatz dar.

4.6 Softwaretechnische Umsetzung der DIS-DEA durch myDEA Wie gegen Ende des Kapitels 4.2.2.1 angemerkt, sind beide Varianten der DIS-DEA in keiner frei oder kommerziell verf¨ ugbaren Software implementiert. Aus diesem Grund wird eine eigene Software ben¨otigt, die (i) die in einer DIS-DEA ben¨otigten fensterweisen Datenaggregationen, (ii) die ver¨anderten Modellstrukturen (insbesondere bei Variante 2) und (iii) die Diaggregation in periodenspezifische Effizienzwerte bew¨altigen kann. Der Name der zur Implementierung der DIS-DEA-Varianten genutzten Software myDEA bezieht sich auf die Eigenschaften Erweiterbarkeit und Anpassungsf¨ahigkeit an die individuellen Bed¨ urfnisse potenzieller Nutzer. myDEA ist so programmiert, dass jeder Nutzer Modellerweiterungen implementieren kann. Ferner k¨onnen auch neuartige Modellformulierungen eingebunden werden, sofern sie sich anhand einer gewissen Systematik, die allen DEAModellen gemein ist, beschreiben lassen.357 Aus diesem Grund ist es m¨oglich, auch die DIS-DEA durch myDEA abzubilden.358 In myDEA sind s¨amtliche in Kapitel 2.1.2 angef¨ uhrten DEA-Technologien integriert. Jedes Modell mit konstanten, nicht-steigenden, nicht-fallenden bzw. variablen Skalenertr¨agen kann sowohl input- als auch outputorientiert berechnet werden. Gleiches gilt f¨ ur die FDH355

Siehe Appa, Williams (2006), S. 613: PORTA Version 2, Free Software Foundation, Boston.

356

Appa, Williams (2006), S: 614: [..] more systematic work is needed to check the computational limits ” of the F-M method.“

357

Jede DEA l¨ asst sich als lineares Optimierungsproblem abbilden, das durch die drei Elemente Zielfunktion, Nebenbedingungen und Variablen charakterisierbar ist.

358

Zu programmiertechnischen Details von myDEA siehe Anhang B.

Softwaretechnische Umsetzung der DIS-DEA durch myDEA

131

Abbildung 4.2: myDEA: Verf¨ ugbarkeit der DIS-DEA im Analyse-Men¨ u Technologie. Zus¨atzlich ist f¨ ur jedes genannte Modell die Berechnung von Supereffizienzen m¨oglich. Bez¨ uglich jeder einzelnen Variable kann unterschieden werden, ob sie in die Berechnung der Effizienzwerte eingehen werden soll; somit ist jedes Modell auch unter Ber¨ ucksichtigung einzelner nicht-beeinflussbarer Variablen berechenbar.359 Im Folgenden wird anhand einer exemplarischen Anwendung erl¨autert, wie eine DIS-DEA durch Anwendung der Software myDEA durchgef¨ uhrt werden kann. Einbindung in die Men¨ ustruktur Beide Varianten der DIS-DEA sind unter dem Men¨ upunkt Analyse w¨ahlbar, und zwar in den vorgestellten CCR- und BCC-Basismodellen f¨ ur beide Orientierungen gem¨aß Kapitel 4.2.1.1 und Kapitel 4.2.2.1, wie Abbildung 4.2 illustriert. Datenimport und Datenspeicherung Bevor eine DIS-DEA durchgef¨ uhrt werden kann, muss eine entsprechende Datendatei f¨ ur den Datenimport vorbereitet werden. myDEA sieht hierf¨ ur das Excel-Format vor; die Daten des gesamten Beobachtungszeitraumes m¨ ussen in einer Excel-Arbeitsmappe enthalten sein, wobei pro Periode ein Tabellenblatt reserviert werden sollte. Wird diese Datei u ¨ber die Import-Funktion ausgew¨ahlt, so erscheint ein Fenster, in dem die gew¨ unschten zu analysierenden Perioden ausgew¨ahlt werden k¨onnen. Dies ist der in Abbildung 4.3 unter Punkt (i) illustrierte Schritt. Statische Analysen, f¨ ur die Daten nur einer einzigen Periode vorliegen, stellen somit den Trivialfall der Periodenauswahl dar. Die verwendeten Inputs und Outputs sowie deren Bezeichnungen und Kennzeichnungen in der Datendatei (z.B. {I} f¨ ur Inputs und {O} f¨ ur Outputs) m¨ ussen f¨ ur alle Perioden u ¨ber359

In myDEA werden solche Variablen, die nicht in die Berechnung des Effizienzwertes eingehen, als mess” spezifisch“ bezeichnet. Vgl. zu den Modellen mit nicht-beeinflussbaren Variablen auch Kapitel 2.2.3.2.

132

(i)

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

(ii)

(iii)

(iv)

Abbildung 4.3: myDEA: Datenimport und Datenspeicherung einstimmen. Die Abfrage der Kennzeichnung verwendeter Variablen bezieht sich auf s¨amtliche Perioden, u ¨bernimmt jedoch standardm¨aßig diejenigen der ersten Periode (Schritt (ii) in Abbildung 4.3). Die Daten-Ansicht ist nun mehrperiodig (siehe Punkt (iii) in Abbildung 4.3), w¨ahrend die Ansicht der Dateneinstellungen derjenigen der statischen Modelle gleicht. Sollten einzelne Kriterien gem¨aß der Modelle mit nicht-beeinflussbaren Variablen nicht in die Berechnung des Effizienzwertes eingehen sollen, sind diese Kriterien als nicht mess-spezifisch auszuw¨ahlen (Schritt (iv) in Abbildung 4.3). Modelldialoge und Ergebnisfenster Nach der Modellauswahl erscheint ein Modelldialog, der wie bei einem statischen Modell die Auswahl der gew¨ unschten Ergebnisse erm¨oglicht. Zus¨atzlich ist in diesen Dialog die Wahl der zu analysierenden Perioden κ sowie die Wahl der Fensterbreite l integriert (siehe Abbildung 4.4). Statische Modelle stellen hier wieder den Trivialfall dar, bei dem nur eine Periode zu analysieren und folglich nur eine Fensterbreite von Eins zul¨assig ist. Um die Modelle der DIS-DEA durch den verwendeten LP-Solver berechnen zu k¨onnen, m¨ ussen zun¨achst die erforderlichen Linearen Programme erzeugt werden, wobei pro DMU T − l + 1 Programme an den Solver weitergeleitet werden. Die Datenaggregation pro Fenster gem¨aß

Softwaretechnische Umsetzung der DIS-DEA durch myDEA

133

Abbildung 4.4: myDEA: Modelldialog Schritt (i) jeder DIS-DEA (siehe Kapitel 4.1) geschieht dabei im Hintergrund und wird nicht angezeigt. Zur Umsetzung der DIS-DEA-spezifischen Modellstrukturen sind neue Elemente wie beispielsweise die Datenmatrizen X¯ι f¨ ur Variante 1 oder X(ι) f¨ ur Variante 2 implementiert. Die Berechnung der periodenspezifischen Effizienzen via Multiplier- oder Envelopment-Form wird durch die Einbindung zus¨atzlicher Nebenbedingungen in die entsprechenden Linearen Programme erreicht, ohne dass sie den Zielfunktionswert oder die Werte der Variablen beeinflussen w¨ urden. Das Ergebnisfenster (siehe Abbildung 4.5) beinhaltet die zuvor im Modelldialog ausgew¨ahlten Variablenwerte und ist auf der Ebene der Men¨ upunkte Daten sowie Dateneinstellungen angesiedelt. Die Bezeichnung des gew¨ahlten Modells erscheint eine Ebene tiefer; wiederum darunter erfolgt die Ergebnisanzeige pro Analysefenster. Im hier illustrierten Beispiel umfasst der Beobachtungszeitraum drei Perioden, so dass bei einer Fensterbreite von zwei ebensoviele Analysefenster entstehen.

Datenexport Die Speicherung der Ergebnisse ist als .txt-Datei m¨oglich und muss im Falle der DIS-DEA fensterspezifisch erfolgen. Im vorliegenden Beispiel ergeben sich zwei zu speichernde Ergebnisdateien. Die Export-Funktion ist wie bei den statischen Modellen in den Men¨ upunkt Datei integriert (siehe Schritt (i) in Abbildung 4.6) und ¨offnet ein weiteres Fenster, in dem der Ort der zu speichernden Ergebnisse ausgew¨ahlt werden kann

134

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Abbildung 4.5: myDEA: Ergebnisfenster

(i)

(ii)

Abbildung 4.6: myDEA: Datenexport

(Schritt (ii) in Abbildung 4.6). Eine Zusammenfassung der Ergebnisse s¨amtlicher Analysefenster sowie grafische Auswertungen beispielsweise der Effizienzverl¨aufe einzelner DMUs ist hingegen noch nicht m¨oglich.

Weiter muss einschr¨ankend erw¨ahnt werden, dass myDEA innerhalb eines Analysefensters pro DMU und Periode nur jeweils einen Effizienzwert berechnet, also insbesondere auch im Falle nicht-eindeutiger L¨osungen der verwendeten Linearen Programme. Ein L¨osungskonzept, das ggf. zur Eindeutigkeit bzw. Repr¨asentativit¨at der periodenspezifischen Effizienz f¨ uhren w¨ urde,360 ist in myDEA noch nicht implementiert.

360

Siehe Kapitel 4.5 ab Seite 122.

Post-DIS-DEA-Analysen

135

4.7 Post-DIS-DEA-Analysen H¨aufig werden die durch eine DEA ermittelten Effizienzwerte dazu genutzt, um weiterf¨ uhrende Analysen durchzuf¨ uhren, sowohl zur Beurteilung der Sensitivit¨at der Ergebnisse als auch zu ihrer weiteren Verarbeitung, beispielsweise in Form einer Verdichtung. Im Rahmen einer dynamischen Panelanalyse bietet es sich dar¨ uber hinaus an, speziell Effizienzentwicklungen zu identifizieren und u ¨ber eine rein deskriptive Analyse hinaus m¨oglicherweise statistisch gesicherte Aussagen dar¨ uber abzuleiten, in welcher Form Effizienzentwicklungen stattgefunden haben.361 Ziel dieses Abschnittes ist es daher, die u ¨blichen einer (panelbasierten) DEA anschließenden Analysen — hier als Post-DEA-Analysen bezeichnet — dahingehend zu u ufen, ob und wie sie auf die Nutzung von Resultaten ¨berpr¨ der DIS-DEA angewandt werden k¨onnen. Im Einzelnen sind diese Post-DEA-Analysen: • Sensitivit¨atsanalysen; • Erstellung von Rankings als die am h¨aufigsten verwendete Verdichtung von Effizienzwerten; • inferenzstatistische Untersuchungen der Effizienzwerte auf Produktivit¨ats¨anderungen; • die Berechnung von Malmquist-Produktivit¨atsindizes als die prominenteste methodische Variante der Untersuchung von Produktivit¨ats¨anderungen.362 W¨ahrend die beiden erstgenannten Analysen unabh¨angig von der speziellen Datensituation von Panelmodellen durchgef¨ uhrt werden k¨onnen, beziehen sich die beiden letztgenannten Punkte explizit auf die Effizienzmessung in einer Folge aufeinander folgender Perioden. Insbesondere bei diesen beiden Post-DEA-Analysen wird es darum gehen, den Mehrwert zu identifizieren, den eine DIS-DEA durch die Berechnung sowohl fenster- als auch periodenspezifischer Effizienzwerte erzeugt.363 Dabei werden die Ausf¨ uhrungen in der 361

Nur auf diese Weise sind dann auch gesicherte Aussagen beispielsweise u ¨ber die Wirksamkeit getroffener Maßnahmen zur Effizienzsteigerung m¨ oglich.

362

Siehe Kapitel 3.2.1.

363

An dieser Stelle wird also der in Kapitel 4.3 begonnene Vergleich der DIS-DEA mit der Window Analysis wie angek¨ undigt komplettiert.

136

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

gr¨oßtm¨oglichen Allgemeing¨ ultigkeit dargestellt; sollten Einschr¨ankungen hinsichtlich der Nutzung einer speziellen Modellklasse notwendig werden, wird dies an den entsprechenden Stellen explizit erw¨ahnt. Auf eine generelle Problematik, die nicht nur die DIS-DEA betrifft, sei bereits an dieser Stelle hingewiesen: Nur bei den beiden Extremf¨allen“ der ” Window Analysis — also bei der periodenspezifischen sowie bei der intertemporalen Analyse — sind die periodenbezogenen Effizienzwerte eindeutig.364 In einer regelrechten“ ” Window Analysis — also einer solchen mit einer Fensterbreite l zwischen 2 und T − 1 — gibt es aufgrund der sich u ¨berlappenden Fenster pro DMU und Periode bis zu l Effizienzwerte. Zwar bilden diese Effizienzwerte die Ausgangslage f¨ ur Sensitivit¨atsanalysen, die aufgrund der speziellen Analysestruktur m¨oglich sind; hinsichtlich der Analyse von Effizienzentwicklungen ergeben sich jedoch die genannten Probleme.365 Ob und ggf. wie diese Probleme bei einzelnen Post-DEA-Analysen gel¨ost werden k¨onnen, wird ebenso in den jeweiligen Abschnitten dargestellt.

4.7.1 Erstellung von Rankings Rankings stellen die g¨angigste Art der Verdichtung von Effizienzwerten dar. Insbesondere Entscheidungstr¨ager sind an vollst¨andigen Rankings aller Vergleichseinheiten u ¨ber die reine Effizienzklassifikation hinaus interessiert; folglich stellen sie eine speziell maunglich nagementorientierte Aufbereitung von Ergebnissen einer DEA dar.366 Das urspr¨ metrische Niveau der Effizienzwerte367 wird dabei auf ein ordinales herabgesetzt. Diese Entwertung wird hierbei absichtlich in Kauf genommen, um von den differenzierten Er364

Eine zus¨ atzliche Schwierigkeit ergibt sich hierbei bei jeder DIS-DEA: Aufgrund einer m¨oglichen NichtEindeutigkeit der LP-L¨ osungen sind nicht einmal die Periodeneffizienzen innerhalb eines Fensters zwangsl¨ aufig eindeutig. Dieses Problem kann allerdings durch Anwendung eines der in Kapitel 4.5 vorgestellten L¨ osungskonzeptes prinzipiell behoben werden, wenn auch der Rechenaufwand insgesamt steigt.

365

Siehe dazu auch Kapitel 3.2.3. Asmild u. a. (2004) erl¨ autern diese Problematik hinsichtlich der Nutzung von Resultaten der Window Analysis zur Berechnung von Malmquist-Produktivit¨atsindizes: Using ” DEA window analysis scores, however, raises the question of how to define the “same period frontier” in a DEA window analysis.“ Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004), S. 67.

366

Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002), S. 250: Often decision-makers are interested in a complete ” ranking, beyond the dichotomized classification, in order to refine the evaluation of the units.“ Allerdings ist die durch refine (engl.) = verfeinern umschriebene Zielsetzung eines Rankings irref¨ uhrend, da Rankings nicht aus der Effizienzklassifikation, sondern aus Effizienzwerten abgeleitet werden und somit keine Anhebung des Datenniveaus, sondern eine Herabsetzung desselben erfolgt.

367

Vgl. dazu auch Kapitel 2.1.2, speziell S. 20.

Post-DIS-DEA-Analysen

137

gebnissen einer DEA zu einfacheren Kennziffern zu gelangen. Gelegentlich wird die DEA sogar ausschließlich dazu verwendet, ein Ranking von DMUs im Rahmen eines multikriteriellen Ansatzes zu ermitteln.368 Aufgrund der Tatsache, dass in beiden DIS-DEA-Varianten sowohl perioden- als auch fensterspezifische Effizienzwerte berechnet werden k¨onnen, lassen sich die oben skizzierten M¨oglichkeiten zur Ableitung von Rankings prinzipiell auf beide Effizienztypen anwenden.369 Im Vergleich zur Window Analysis stehen somit mehr M¨oglichkeiten zur Ableitung von Rankings zur Verf¨ ugung. Verwendet man fensterspezifische Effizienzwerte, l¨asst sich u ¨ber alle DMUs einerseits pro Fenster ein Ranking erstellen. Andererseits lassen sich s¨amtliche Fenstereffizienzen des gesamten Beobachtungszeitraumes in eine Rangfolge bringen. Das erstgenannte Ranking spiegelt dabei eine vertikale Perspektive wider, da f¨ ur einen gegebenen Zeitraum die Produktionen s¨amtlicher DMUs zueinander in Beziehung gesetzt werden. Die zweite Alternative erweitert diese Perspektive, indem zus¨atzlich die aggregierten Leistungen in allen u ¨brigen Fenstern in das Ranking eingehen. W¨ahrend separate Rankings innerhalb jedes Fensters nur eine Vereinfachung der fensterspezifischen Effizienzwerte darstellen, f¨ uhrt ein Gesamtranking eine Informationsverdichtung der separaten Fensteranalysen durch. Da in der traditionellen Window Analysis Fenstereffizienzen nicht ohne Weiteres ausgewiesen werden k¨onnen,370 stellt das Gesamtranking einen Mehrwert der DIS-DEA dar. Durch den Vergleich der separaten Rankings aufeinander folgender Fenster ist es zudem m¨oglich zu analysieren, inwiefern die Datenvariation das Effizienzranking beeinflusst. Auch diese Interpretationsm¨oglichkeit ist der DIS-DEA vorbehalten. Wie bei fensterspezifischen Effizienzwerten stehen auch bei der Nutzung periodenspezifischer Effizienzwerte zur Ableitung von Rankings diverse M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung. Hierbei ist jedoch darauf zu achten, dass die Interpretation der Periodeneffizienzen u ¨ber 368

Adler, Friedman, Sinuany-Stern (2002), S. 250: [..] ranking units is an established approach in the ” social sciences, in general [..] and in multiple-criteria decision making (MCDM), in particular.“

369

Zu prinzipiellen M¨ oglichkeiten bei der Ableitung von Rankings in einer herk¨ommlichen“ DEA” Panelanalyse ¨ außern sich auch Banker, Janakiraman, Natarajan (2004), S. 477: [..] we present an ” alternative way of analyzing efficiency trends over time and efficiency differences across DMUs in a panel data setting.“

370

Siehe Kapitel 4.3 ab Seite 116.

138

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

Tabelle 4.5: M¨oglichkeiten der Erstellung von Rankings innerhalb der DIS-DEA

Perspektive einzelne DMUs

alle DMUs

Perspektive einzelne DMUs

alle DMUs

Nutzung von Fenstereffizienzen einzelnes Fenster Beobachtungszeitraum (keine M¨oglichkeit) beide DIS-DEA-Varianten (Ranking von (T − l + 1) Werten) beide DIS-DEA-Varianten beide DIS-DEA-Varianten (Ranking von n Werten) (Ranking von (T − l + 1)n Werten) Nutzung von Periodeneffizienzen einzelnes Fenster Beobachtungszeitraum beide DIS-DEA-Varianten beide DIS-DEA-Varianten (Ranking von l Werten) (Ranking von (T − l + 1)l Werten) nur DIS-DEA 2 (Ranking von nur DIS-DEA 2 (Ranking von (T − l + 1)nl Werten) nl Werten)

die beiden Varianten der DIS-DEA variiert und somit nicht alle Alternativen f¨ ur beide Varianten gleichermaßen sinnvoll erscheinen. W¨ahrend in Variante 1 die Periodeneffizienzen einer DMU als Supereffizienzen charakterisiert werden k¨onnen, sind sie in Variante 2 Kreuzeffizienzen, also gewisse Abst¨ande zum effizienten Rand der aus periodenspezifischen Leistungen konstruierten Technologiemenge. Bei Variante 1 besitzen die periodenspezifischen Effizienzwerte DMU-spezifische Bezugspunkte, w¨ahrend der Maßstab bei Variante 2 f¨ ur alle DMUs derselbe ist, n¨amlich der Rand der entsprechenden Technologiemenge. Folglich ergibt bei Variante 1 ein Ranking s¨amtlicher Periodeneffizienzen innerhalb eines Fensters keinen Sinn, wohl aber bei Variante 2. Dieselbe Beurteilung gilt auch hinsichtlich der Eignung von Periodeneffizienzen, die u ¨ber den gesamten Betrachtungszeitraum in eine Rangfolge gebracht werden: Auch diese M¨oglichkeit ist Variante 2 vorbehalten. Auf DMU-Ebene hingegen k¨onnen die Ergebnisse beider Varianten der DIS-DEA — unter Beachtung der oben genannten Interpretationsunterschiede — in ein Ranking eingehen. Je nach gew¨ unschter Perspektive kann sich ein solches Ranking dabei auf einzelne Fenster oder auch auf den gesamten Beobachtungszeitraum beziehen. S¨amtliche Alternativen zur Bildung von Rankings sind in Tabelle 4.5 zusammengefasst.

Post-DIS-DEA-Analysen

139

Abschließend sei darauf hingewiesen, dass ein vollst¨andiges Ranking anhand von Periodeneffizienzen erst dann durchgef¨ uhrt werden kann, wenn auch die effizienten Einheiten unterscheidbar sind. Trivialerweise liefern die L¨osungskonzepte zur Erzeugung eindeutiger Periodeneffizienzen gleichzeitig eine L¨osung zur Diskriminierung der effizienten Einheiten, da sie gerade diesem Problemkreis entlehnt worden sind.371

4.7.2 Inferenzstatistische Untersuchungen auf Effizienzver¨ anderungen Die Hauptintention zur Anwendung einer DEA auf Paneldaten ist die Analyse von Effizienzentwicklungen.372 In der Regel bezieht sich diese Analyse auf eine m¨ogliche Verlagerung des effizienten Randes im Zeitablauf, eine generelle Entwicklung, die s¨amtliche DMUs betrifft, so dass solche Analysen in der Regel auf aggregiertem Niveau — u ¨ber alle DMUs — stattfinden.373 Dabei ist darauf zu achten, dass die Effizienz in jeder DEA eine relative Gr¨oße darstellt und folglich bei der Analyse von Effizienzen im Zeitablauf m¨oglicherweise wechselnde Bezugsgr¨oßen existieren. Wie schon in Kapitel 3.1 erw¨ahnt, impliziert die Wahl einer Panelmodellklasse die Annahme u ¨ber technologische Ver¨anderungen.374 W¨ahrend die periodenspezifische Analyse von Periode zu Periode ver¨anderte Technologiemengen zul¨asst, geht die intertemporale Analyse davon aus, dass die Technologie im gesamten Betrachtungszeitraum dieselbe bleibt. Wenn man also von Effizienzentwicklungen“ spricht, ” sind dabei stets die Entwicklungen unter Beachtung m¨oglicher Technologie¨anderungen gemeint. Alle weiteren Ausf¨ uhrungen unterstellen daher, dass die zu analysierenden Effizienzwerte unter Beachtung dieser Art von Relativit¨at interpretiert werden. Um gesicherte Informationen dar¨ uber zu erhalten, ob sich Effizienzwerte im Zeitablauf tats¨achlich ver¨andert haben, ist eine rein deskriptive oder grafische Inspektion der Effizienzwerte um eine statistische Analyse zu erg¨anzen. Allerdings ist die Literatur zu 371

Siehe Kapitel 4.5. Tendenziell ist dieses Problem bei der DIS-DEA-Variante 2 im Vergleich zu einer aggregierten Analyse geringer: Fenstereffizienz kann nur durch durchg¨angige Periodeneffizienz erreicht werden; folglich f¨ allt die Anzahl fenstereffizienter DMUs prinzipiell geringer aus als bei Variante 1.

372

Die anglo-amerikanische Literatur spricht in diesem Zusammenhang von der Analyse so genannter production shifts oder auch frontier shifts.

373

Prinzipiell w¨ are auch eine DMU-spezifische Perspektive sinnvoll; zu beiden Perspektiven siehe auch Banker, Janakiraman, Natarajan (2004), S. 477.

374

Siehe S. 66.

140

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

inferenzstatistischen Optionen in diesem Bereich ¨außerst sp¨arlich.375 Daher soll in dem vorliegenden Abschnitt nicht nur u uft werden, ob und ggf. wie die bisher in der ¨berpr¨ Literatur diskutierten Tests auf DIS-DEA-Resultate anwendbar sind, sondern auch, wie sich diese Konzepte erweitern lassen und welchen Mehrwert die DIS-DEA hinsichtlich inferenzstatistischer Untersuchungen im Zeitablauf bietet. Vorab sei angemerkt, dass bisher ausschließlich Ergebnisse der intertemporalen Analyse genutzt worden sind, um entsprechende Tests durchzuf¨ uhren. Grund hierf¨ ur ist das zentrale Anliegen zu analysieren, ob sich der effiziente Rand — periodenbezogen verstanden — im Zeitablauf verschoben hat. Anstatt zu analysieren, ob sich die relative Lage periodenbezogener Produktionen zu ihrem periodenspezifischen Rand ver¨andert hat, geht es also vielmehr darum, die Ver¨anderung des effizienten Randes als Ganzes zu beurteilen. Allgemeine Effizienzver¨anderungen dr¨ ucken sich also insbesondere durch eine Verschiebung des effizienten Randes aus. Um diese Verschiebungen analysieren zu k¨onnen, m¨ ussen s¨amtliche Effizienzwerte dieselbe Bezugsgr¨oße aufweisen; diese ist bei einer intertemporalen Analyse durch die Modellierung einer einzigen Technologiemenge f¨ ur den gesamten Beobachtungszeitraum gegeben.376 Eine Systematisierung der M¨oglichkeiten zur inferenzstatistischen Untersuchungen auf generelle — alle DMUs betreffende — Effizienzver¨anderungen ist in Abbildung 4.7 illustriert, wobei zwischen den Vorschl¨agen bisheriger Arbeiten — grau unterlegt — und den hier erstmals diskutierten M¨oglichkeiten unterschieden wird. Zus¨atzlich ist angegeben, welche Resultate einer DIS-DEA f¨ ur jede dieser Optionen verwendet werden k¨onnen. Daraus leitet sich ab, inwiefern die DIS-DEA das Anwendungsspektrum in dem hier behandelten Zusammenhang im Vergleich zu den bestehenden Panelmodellen erweitert. Den Dateninput f¨ ur die angegebenen Tests liefern zun¨achst einmal jeweils DMU- und periodenbezogene Effizienzwerte. Da die Periodeneffizienzen der DIS-DEA-Variante 1 eine DMU-spezifische Basis besitzen, sind sie f¨ ur die Zwecke einer DMU-¨ ubergreifenden Analyse generell nicht geeignet.377 F¨ ur Variante 2 hingegen gibt es diese Einschr¨ankung nicht. Allerdings werden in beiden Varianten auch fensterspezifische Effizienzen erzeugt, die alternativ zu den Periodeneffizienzen Gegenstand der Untersuchung sein k¨onnen. Dabei 375

Nach Wissen des Autors besch¨ aftigen sich nur zwei Artikel mit diesem Themengebiet: Sueyoshi, Aoki (2001) und Banker, Janakiraman, Natarajan (2004).

376

Siehe Kapitel 3.1.

377

Dieselbe Argumentation ist auch in Kapitel 4.7.1 verwendet worden.

Post-DIS-DEA-Analysen

141

kann einerseits die Folge der Fenstereffizienzen im gesamten Betrachtungszeitraum analysiert werden; diese Perspektive schließt den Effekt von Datenvariationen ein. Andererseits k¨onnen die Effizienzen in u unsch¨berschneidungsfreien Zeitr¨aumen die Datenbasis des gew¨ ten Tests bilden; diese Perspektive ist beispielsweise dann sinnvoll, wenn Quartalsdaten vorliegen und eine Entwicklung u ¨ber mehrere aufeinander folgende Jahre untersucht werden soll. Hinsichtlich der Nutzung von Fenstereffizienzen erweitert somit die DIS-DEA das Anwendungsspektrum inferenzstatistischer Tests: Der Dateninput muss nicht periodenspezifisch sein, sondern kann allgemeiner als zeitraumspezifisch“ bezeichnet werden, ” wobei sowohl Perioden als auch Fenster Zeitr¨aume“ sein k¨onnen. Nutzt man perioden” spezifische Effizienzwerte (der DIS-DEA-Variante 2), ist zu beachten, dass diese im Falle sich u ¨berlappender Fenster nicht eindeutig sind.378 Eine M¨oglichkeit zur L¨osung dieses Problems besteht darin, pro DMU die u ¨ber alle sich u ¨berlappenden Fenster durchschnittlichen Periodeneffizienzen zu verwenden. Alternativ k¨onnte man s¨amtliche Periodeneffizienzen ber¨ ucksichtigen, d.h. pro DMU bis zu l St¨ uck. Dies f¨ uhrt dann allerdings zu der Schwierigkeit, dass f¨ ur den Vergleich zweier Perioden nicht nur zwei Verteilungen, sondern Verteilungen von Verteilungen miteinander verglichen werden m¨ ussten und sich dadurch die Konstruktion eines geeigneten Tests erheblich verkompliziert. Zun¨achst einmal werden die Aussagen der bisherigen Arbeiten zu inferenzstatistischen Tests im Rahmen eines dynamischen DEA-Modells kurz zusammengefasst, um so den Erweiterungsbedarf in diesem Bereich zu identifizieren. Banker u. a. (2004) beziehen sich in ihrer Arbeit auf den inferenzstatistischen Vergleich zweier Verteilungen von Effizienzwerten, wobei zur Untersuchung von Produktivit¨atsver¨anderungen die Verteilungen der Effizienzwerte zweier Perioden miteinander verglichen werden.379 Im Rahmen dieses Tests werden die Verteilungen der Effizienzwerte in zwei unterschiedlichen Perioden als stochastisch unabh¨angig angesehen, was je nach Verteilungsannahme zu einem F -Test oder Kolmogorov-Smirnov-Test f¨ uhrt.380 Im Prinzip handelt es sich bei dem Test um 378

Diese Problematik ist bereits zu Beginn des vorliegenden Abschnittes erw¨ahnt worden.

379

Banker u. a. (2004) nutzen dabei einen Test, der urspr¨ unglich in einem statischen Kontext die Verteilungen von Effizienzwerten zweier Untergruppen aller DMUs analysiert, siehe Banker, Janakiraman, Natarajan (2004), S. 481.

380

Erw¨ ahnt werden bei Banker u. a. (2004) explizit die Exponentialverteilung sowie die HalbNormalverteilung, die jeweils zu einer F -Statistik als Pr¨ ufgr¨ oße f¨ uhren. Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist im nicht-parametrischen Fall angemessen, also dann, wenn keine Verteilungsannahme getroffen wird bzw. getroffen werden kann. Eine Verteilungsannahme ist sicherlich nur dann sinnvoll, wenn eine aus”

142

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

einen varianzanalytischen Ansatz. Sollten sich signifikante Gruppenunterschiede ergeben, bedeutet dies insbesondere, dass es zwischen den beiden untersuchten Perioden Unterschiede in den Verteilungen der Effizienzwerte gibt, die sich sowohl auf Lage- als auch auf Skalengr¨oßen beziehen k¨onnen. Zur speziellen Untersuchung auf eine allgemeine Produktivit¨atssteigerung oder Produktivit¨atssenkung ist die Nullhypothese entsprechend gerichtet zu formulieren.

• Periodeneffizienzen eines DEA-basierten Panelmodells inkl. DIS-DEA-Variante 2 • Fenstereffizienzen beider DIS-DEA-Varianten • Gewisse Supereffizienzen Entwicklung einzelner DMUs

Entwicklung mehrerer DMUs

Durbin-Watson-Test, ACF, PACF im Rahmen einer Zeitreihenanalyse (z.B. ARMA-Modelle)

Vergleich zweier Zeiträume

unverbundene Stichproben F- bzw. KolmogorovSmirnov-Test (Banker et al., 2004)

Tests innerhalb von Zusatzmodellen unter Beachtung der hierarchischen Datenstruktur

Tests ohne Aufstellung eines Zusatzmodells

verbundene Stichproben Wilcoxon-/ Vorzeichentest

Vergleich von mehr als zwei Zeiträumen

unverbundene Stichproben F-Test Kruskal-WallisRanktest (Sueyoshi und Aoki, 2001)

verbundene Stichproben

Vorschlag von Banker et al., 2004, zu „serial correlation“; Durbin-WatsonTest, ACF, PACF

Friedman-/ Kendall-WTest

Abbildung 4.7: Systematisierung der M¨oglichkeiten zur inferenzstatistischen Untersuchung von Effizienz¨anderungen (grau unterlegt: in der Literatur diskutierte Tests) Sueyoshi, Aoki (2001) wenden zur Untersuchung von frontier shifts den Rangtest von Kruskal und Wallis an.381 Wie auch bei Banker u. a. (2004) gehen Effizienzwerte in die Teststatistik ein, die mittels einer intertemporalen Analyse gewonnen werden.382 Die Effireichend große“ Anzahl an DMUs vorliegt; zu den asymptotischen Eigenschaften von DEA-basierten Effizienzsch¨ atzern siehe Banker (1993). Zu inferenzstatistischen Tests innerhalb der DEA im Allgemeinen siehe auch Banker (1996). 381

Siehe Kruskal, Wallis (1952) sowie Kendall, Alan (1967).

382

Siehe Sueyoshi, Aoki (2001), S. 6.

Post-DIS-DEA-Analysen

143

zienzwerte s¨amtlicher periodenbezogener Produktionen werden in eine Rangfolge gebracht; anschließend werden die entstehenden Rangwerte pro Periode summiert und dann quadriert.383 Sollten die Effizienzwerte u ¨ber alle Perioden in etwa gleichm¨aßig verteilt sein, sind diese quadrierten Werte in etwa gleich hoch; weichen die quadrierten Werte zu stark“ ” voneinander ab, deutet dies im Umkehrschluss darauf hin, dass es zumindest eine Periode gibt, deren Effizienzwerte durchg¨angig h¨oher sind als die restlichen. Daraus kann dann auf eine nicht-konstante Entwicklung der Produktivit¨at geschlossen werden. Bez¨ uglich der Anwendung der sowohl von Banker u. a. (2004) als auch von Sueyoshi, Aoki (2001) vorgeschlagenen Tests auf DIS-DEA-Resultate sind differenzierte Aussagen zu treffen: • Verwendet werden k¨onnen uneingeschr¨ankt Periodeneffizienzen der Variante 2, falls l = T gilt. Falls eine echte“ Window Analysis (mit 2 ≤ l ≤ T − 1) vorliegt, ” sind Periodeneffizienzen der Variante 2 mit den einf¨ uhrenden Einschr¨ankungen — Nicht-Eindeutigkeit der Periodeneffizienzen — nutzbar. • Unter Beachtung der einf¨ uhrenden Bemerkungen zur Annahme u ¨ber die Technologiemenge k¨onnen Effizienzwerte, die aus sich u ¨berlappenden Fenstern oder auch aus u ¨berschneidungsfreien Fenstern stammen, analysiert werden. Diese Effizienzwerte k¨onnen Fenstereffizienzen beider Varianten oder auch Periodeneffizienzen der Variante 2 darstellen. Wie bereits in Abbildung 4.7 angedeutet, bleibt die Diskussion statistischer Tests zur Untersuchung von Produktivit¨ats¨anderungen weit hinter den theoretischen M¨oglichkeiten zur¨ uck. Die identifizierten L¨ ucken — unabh¨angig davon, ob das Panelmodell in einer DISDEA-Variante gew¨ahlt wird — und m¨ogliche L¨osungen werden im Folgenden systematisch beschrieben. Die hier vorgeschlagenen Weiterentwicklungen betreffen im Einzelnen: (i) Supereffizienzen als alternativer Dateninput (auf den Fall der DIS-DEA nur bei der Analyse in u ¨berschneidungsfreien Fenstern u ¨bertragbar); (ii) Vergleich von mehr als zwei Perioden oder Fenstern: Erweiterung des von Sueyoshi, Aoki (2001) besetzten Feldes in Abbildung 4.7; 383

Hierbei erw¨ ahnen die Autoren auch, was bei Vorliegen so genannter Bindungen geschehen sollte, die eine Zusatzregel bei der Ableitung der Rangwerte erfordern; siehe Sueyoshi, Aoki (2001), S. 6 f.

144

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

(iii) Tests f¨ ur verbundene Stichproben;384 (iv) weitere Verfahren der dynamischen Panel- und Zeitreihenanalyse zur expliziten Betrachtung serieller Korrelationen. Hierbei ist bez¨ uglich der Erweiterungen (ii) bis (iv) anzumerken, dass bei einer Analyse u ¨ber s¨amtliche DMUs die Nutzung periodenspezifischer Effizienzen auf DIS-DEA-Variante 2 beschr¨ankt ist. Zu (i): Supereffizienzen Anstelle der zeitraumspezifischen Effizienzen, die in bisherigen Studien anhand der intertemporalen Analyse gewonnen wurden, kann eine potenzielle Verschiebung des effizienten Randes auch alternativ durch Supereffizienzen gemessen werden.385 Hierzu ist ein Basiszeitraum festzulegen, beispielsweise die erste Periode des gesamten Betrachtungszeitraumes. Die Effizienzen aller u ussten neu ¨brigen Perioden m¨ berechnet werden, und zwar innerhalb eines Supereffizienz-Modells, das jeweils alle Produktionen des Basiszeitraumes als Nebenbedingungen enth¨alt. Im Gegensatz zu dem von Sueyoshi, Aoki (2001) formulierten Test gingen also nicht nur die resultierenden R¨ange in die Teststatistik ein, sondern metrische Effizienzwerte. Der Umweg u ¨ber die Rangwerte w¨ urde u ussig; vielmehr k¨onnten bei Nutzung der beschriebenen Supereffizienzen die ¨berfl¨ urspr¨ unglichen F - bzw. Kolmogorov-Smirnov-Tests (f¨ ur unabh¨angige Stichproben) verwendet werden. Zu (ii): Vergleich von mehr als zwei Perioden oder Fenstern Als Erweiterung von dem in Banker u. a. (2004) vorgeschlagenen Vergleich zweier Perioden mittels F - oder Kolmogorov-Smirnov-Tests ist es prinzipiell auch denkbar, im Rahmen eines so genannten Allgemeinen Linearen Modells386 mehr als zwei Perioden simultan zu vergleichen und 384

Banker, Janakiraman, Natarajan (2004) diskutieren ausschließlich solche Tests, denen die Annahme unverbundener Stichproben unterliegt.

385

Prinzipiell entspricht ein solches Vorgehen der zentralen Idee des Malmquist-Produktivit¨atsindexes: Auch dort werden periodenspezifische Leistungen anhand des Randes der vorangegangenen bzw. folgenden Periode beurteilt. Zwar ist der MPI eine DMU-spezifische Gr¨oße; allerdings k¨onnen f¨ ur zwei aufeinander folgende Perioden die MPIs aller DMUs gegen Eins“ getestet werden, beispielsweise an” hand des Wilcoxon- oder Vorzeichentests. Auf diese Weise h¨ atte man ein statistisches Kriterium zur Verf¨ ugung, anhand dessen Produktivit¨ ats¨ anderungen von einer Periode auf die folgende untersucht werden k¨ onnen.

386

Siehe z.B. Schmitz (1994), S. 169 ff.

Post-DIS-DEA-Analysen

145

dabei zu testen, welche dieser Perioden sich hinsichtlich der Effizienzwertverteilung voneinander unterscheiden und in welche Richtung — Produktivit¨atssteigerung oder Produktivit¨atssenkung — dieser Effekt geht. Zum Einsatz k¨onnten hier der Friedman- bzw. der Kendall-W-Test gelangen. Zu (iii): Tests f¨ ur verbundene Stichproben Neben den Tests auf Effizienzunterschiede zwischen Zeitr¨aumen, die die Effizienzen verschiedener Zeitr¨aume als stochastisch unabh¨angig ansehen, sind ebenso Tests sinnvoll, die verbundene Stichproben untersuchen, weil so die DMU-Zugeh¨origkeit der zeitraumspezifischen Effizienzwerte und damit deren hierarchische Datenstruktur ber¨ ucksichtigt wird. Tests f¨ ur verbundene Stichproben gibt es jeweils mit oder ohne Verteilungsannahme und f¨ ur den Vergleich zweier oder auch mehrerer Zeitr¨aume. Welche Tests im Einzelnen verwendet werden k¨onnen, ist ebenfalls Abbildung 4.7 zu entnehmen. Zu (iv): Weitere Verfahren der Panel- und Zeitreihenanalyse Neben den unter (iii) vorgeschlagenen Tests, die verbundene Stichproben analysieren und folglich die hierarchische Datenstruktur — die DMU-Zugeh¨origkeit periodenspezifischer Effizienzwerte — ber¨ ucksichtigen, liefern Banker u. a. (2004) einen Hinweis auf weitere solche Verfahren: We can specify a suitable structure to represent the evolution of inefficiency scores over ” time to reflect potential serial correlation and covariation, and estimate its parameters in a second stage procedure based on the empirical distribution of the estimated efficiency scores. While differences over time and across groups can be evaluated in this manner, in this paper we shall restrict our attention to relatively simple test procedures employed in prior DEA literature.“ 387 Zur Analyse, ob Effizienzen fr¨ uherer Perioden die aktuellen Effizienzen beeinflussen, sind Methoden der dynamischen Panelanalyse geeignet.388 Hierbei steht eine große Vielfalt an Modellierungsinstrumenten zur Verf¨ ugung, die sich in zwei Klassen unterteilen lassen. W¨ahrend die erste Modellklasse ein Regressionsmodell um dynamische Komponenten wie beispielsweise verz¨ogerte Variablen erweitert, besteht die andere Klasse aus den auf die Paneldatensituation u ¨bertragenen Konzepten der Zeitreihenanalyse. Die erstgenannte Modellklasse sollte dann bevorzugt werden, wenn sich die postulierten Zusammenh¨ange theoretisch fundieren lassen. Die auf Zeitreihen387

Banker, Janakiraman, Natarajan (2004), S. 481.

388

Siehe van Doorn (2004), S. 167 ff. Die weiteren Ausf¨ uhrungen beziehen sich auf dieselbe Quelle.

146

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

analysen basierenden Methoden sind insbesondere bei Fehlen solcher theoretischer Erkenntnisse vorzuziehen und stellen daher f¨ ur die Untersuchung von Effizienzverl¨aufen die besser geeignete Klasse dar. Hauptvertreter dieser Klasse — und damit auch ein Kandidat zur Analyse von Resultaten der DIS-DEA mit den eingangs genannten Einschr¨ankungen bez¨ uglich Variante 1 — sind dabei so genannte ARMA-Modelle, die stochastische Prozesse in einen A(uto)-R(egressiven) und M(oving)-A(verage)-Bestandteil zerlegen.389 Da hier ausschließlich ein Merkmal — n¨amlich die zeitraumbezogenen Effizienzwerte — beobachtet wird, kommt ausschließlich die Analyse des autoregressiven Bestandteils zum Tragen. Der Durbin-Watson-Test im Falle einer einfachen Autokorrelation390 bzw. die Autokorrelationsfunktion (ACF) sowie die Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) innerhalb des Box-Jenkins-Ansatzes391 stellen dabei bekannte Verfahren zur Pr¨ ufung auf Autokorrelationen dar. Sollte also die Anwendung dieser Verfahren ein signifikantes Ergebnis liefern, lassen sich zuk¨ unftige Effizienzwerte tats¨achlich zu einem gewissen Teil anhand der vergangenen Werte vorhersagen; die Effizienzverl¨aufe w¨aren somit zumindest zu einem gewissen Teil systematisch. Das Vorzeichen des zugeh¨origen Regressionskoeffizienten gibt dabei an, ob Produktivit¨atssteigerungen oder -senkungen vorliegen. Neben der Analyse von Produktivit¨atsver¨anderungen, die sich auf alle DMUs insgesamt beziehen, kann aus einer Folge von periodenspezifischen Effizienzwerten andererseits pro ¨ DMU ein Verlauf von Effizienzbeurteilungen auf m¨ogliche Anderungen oder Tendenzen untersucht werden. Eine solche Vorgehensweise ist in der Literatur bisher nicht diskutiert worden, w¨are jedoch prinzipiell m¨oglich, und zwar anhand der bereits oben erw¨ahnten ARMA-Modelle der Zeitreihenanalyse. Die statistische Untermauerung von Effizienztrends f¨ ur eine einzige DMU w¨are in diesem Fall allerdings nur bei einem sehr langen Beobachtungszeitraum m¨oglich.

4.7.3 Sensitivit¨ atsanalysen Im Falle der DIS-DEA als Modifikation der Window Analysis er¨offnen sich hinsichtlich der Kategorie Sensitivit¨atsanalysen“ zus¨atzliche M¨oglichkeiten, die sich aufgrund der ” 389

Siehe Schlittgen, Streitberg (1999), S. 132 ff. sowie S. 253 ff.

390

Siehe z.B. Schlittgen, Streitberg (1999), S. 19.

391

Siehe Schlittgen, Streitberg (1999), S. 301 ff.

Post-DIS-DEA-Analysen

147

speziellen Analysestruktur ergeben. Der Aspekt der Sensitivit¨atsanalyse ist bereits in Kapitel 4.3.3 behandelt worden, da sie u ¨ber die Klassifizierung als Post-DEA-Analyse hinaus auch als generelles Vergleichskriterium der DIS-DEA und der Window Analysis herangezogen werden kann und an dieser Stelle eine Wiederholung der dort get¨atigten Aussagen vermieden werden soll. Verwendet man die Ergebnisse einer DIS-DEA in Form der Effizienzwerte sich u ¨berlappender Fenster, ergibt sich als Nebeneffekt, dass die hier ¨ erw¨ahnten Tests zur inferenzstatistischen Uberpr¨ ufung signifikanter Datenvariationen herangezogen werden k¨onnen und somit eine Form der Sensitivit¨atsanalyse darstellen. Die Fenstereffizienzen sind dabei — anstelle der in einer traditionellen Window Analysis u ¨blichen Periodeneffizienzen — der angemessene Dateninput f¨ ur solche Tests, da sich die zu untersuchende Aussage auf ein Fenster als Ganzes bezieht.392 Zus¨atzlich ist die Verwendung von Fenstereffizienzen hinsichtlich der Konstruktion eines statistischen Tests einfacher als die Nutzung von Periodeneffizienzen. In einer Window Analysis werden n¨amlich durch die strukturbedingte Datenvariation pro DMU nicht nur ein neuer Effizienzwert erzeugt, sondern f¨ ur jede Periode des neuen Fensters, also insgesamt bis zu l St¨ uck. Im Falle der DIS-DEA betrifft die Datenvariation die Fenstereffizienz im Ganzen; somit sind zur Untersuchung auf Effizienzunterschiede zweier Fenster lediglich zwei Verteilungen (von Effizienzwerten) miteinander zu vergleichen, und nicht — wie eine traditionelle Window Analysis erfordern w¨ urde — zwei Verteilungen von Verteilungen. Die DIS-DEA erlaubt ¨ daher eine einfachere Konstruktion eines Tests zur Uberpr¨ ufung signifikanter Datenvariationen. Je nach dem, ob die Datenvariationen f¨ ur nur zwei aufeinander folgende Fenster oder f¨ ur s¨amtliche Fenster des Beobachtungszeitraumes untersucht werden sollen, ist der geeignete Test — siehe Abbildung 4.7 — auszuw¨ahlen. Als zweiter Nebeneffekt der Analyse in u ¨berlappenden Fenstern kann die inferenzstatistische Untersuchung der Ergebnisstabilit¨at bei unterschiedlichen Fensterbreiten angef¨ uhrt werden. Tendenziell ist davon auszugehen, dass eine Erh¨ohung der Fensterbreite einen geringeren Effekt hat, je n¨aher sie an ihrer H¨ochstbreite liegt.393 Da pro Fenster eine intertemporale Analyse vorliegt, nach der es annahmegem¨aß keine Technologie¨anderungen 392

¨ Die bessere Eignung der Fenstereffizienzen liegt somit in der konzeptionellen Uberlegenheit der DISDEA gegen¨ uber der Window Analysis begr¨ undet.

393

In einer echten Window Analysis, die nicht einen der beiden Spezialf¨alle l = 1 (periodenspezifische Analyse) oder l = T (intertemporale Analyse) darstellt, ist die gr¨oßte Fensterbreite durch T − 1 gegeben.

148

Konzept der DIS-DEA zur dynamischen Effizienzanalyse bei Paneldaten

gibt,394 k¨onnte zur Festlegung der Fensterbreite die kleinste Fensterbreite herangezogen werden, bei der die Datenvariationen u ¨ber den gesamten Betrachtungszeitraum insignifikante Effekte aufweisen. Ein potenzielles Problem hierbei besteht darin, dass signifikante Effizienzver¨anderungen in aufeinander folgenden Fenstern auch durch Technologie¨anderungen hervorgerufen werden k¨onnten. Allerdings stimmen die Daten in zwei aufeinander folgenden Fenstern der L¨ange l in l − 1 Perioden u ¨berein, so dass Technologie¨anderungen in dieser Periode relativ groß sein m¨ ussen, um einen Effekt innerhalb einer Menge von l Perioden zu haben. Mit steigender Fensterbreite wird der skizzierte Effekt jedoch tendenziell kleiner. Zum Vergleich der Effizienzwerte aller Fenster k¨onnen zus¨atzlich die Verteilungen der Werte optimaler Gewichtungsfaktoren sowohl der Multiplier- als auch der Envelopment-Form des eingesetzten DEA-Modells herangezogen werden. Da sich jede dieser Analysen auf mehr als zwei Zeitr¨aume bezieht, kommen gem¨aß Abbildung 4.7 der Friedman- bzw. der Kendall-W-Test in Frage.395

4.7.4 Nutzung von Resultaten der DIS-DEA bei der Berechnung von Malmquist-Produktivit¨ atsindizes Wie in Kapitel 3.2.3 angemerkt, ist eine Nutzung von Resultaten der Window Analysis zur Berechnung von Malmquist-Produktivit¨atsindizes problematisch. Dies liegt daran, dass — bis auf die periodenspezifische Analyse — eine DEA in u ¨berlappenden Fenstern durchgef¨ uhrt wird und folglich Ver¨anderungen der Effizienzwerte im Zeitablauf auch durch Datenvariationen hervorgerufen werden k¨onnen. W¨ahrend die H¨ohe des MPI weiterhin interpretierbar bleibt, unabh¨angig davon, welche Effizienzwerte zu dessen Berechnung herangezogen werden, geht die Dekompositionseigenschaft verloren.396 Die DIS-DEA, die als Modifikation jeder der drei bestehenden Modellklassen zur Panelanalyse mit DEA formuliert worden ist,397 unterliegt demnach ebenso diesem generellen Problem. Folglich k¨onnen Malmquist-Indizes auf Basis von Resultaten der DIS-DEA zwar ermittelt und die erhaltenen Werte ohne Einschr¨ankung auch interpretiert werden; allerdings w¨are eine Zerlegung des MPI in verschiedene Ursachen zu Produktivit¨ats¨anderungen nur dann sinnvoll, 394

Siehe Kapitel 3.1, S. 66.

395

F¨ ur kurze Beobachtungszeitr¨ aume ist der Stichprobenumfang zur Anwendung dieser Tests zu gering.

396

Siehe dazu die Diskussion auf S. 77 ff.

397

Hierbei sei nochmals darauf hingewiesen, dass die DIS-DEA den periodenspezifischen Ansatz, die erste der drei Modellklassen aus Kapitel 3.1, als Trivialfall enth¨ alt.

Post-DIS-DEA-Analysen

149

¨ wenn diejenige Anderung isoliert werden k¨onnte, die sich auf die Datenvariation bezieht.398 Im vorangegangenen Kapitel 4.7.2 ist die Anwendung eines inferenzstatistischen Tests zur ¨ Uberpr¨ ufung signifikanter Effekte der Datenvariation vorgeschlagen worden. Hieraus l¨asst sich folgendes heuristisches Kriterium ableiten: Ergeben sich nicht-signifikante Datenvariationen anhand des in Kapitel 4.7.2 diskutierten Tests,399 ist der Effekt der Datenvariation auf die Dekompositionseigenschaft des MPI vernachl¨assigbar. In diesem Fall k¨onnen dann die von Asmild u. a. (2004) ge¨außerten Bedenken — hinsichtlich der Nutzung von Resultaten der DIS-DEA — entkr¨aftet werden. Letztlich ist f¨ ur dieses positive Nebenresultat die strukturelle Besonderheit der DIS-DEA verantwortlich, die die Anwendung eines Kriteriums erlaubt, anhand dessen die Kombinierbarkeit von Resultaten der Window Analysis in einer DIS-DEA-Variante und des MPI ohne Verlust der zentralen Eigenschaft des MPI gepr¨ uft werden kann. Insofern ist die DIS-DEA in diesem Zusammenhang gegen¨ uber der traditionellen Window Analysis u ¨berlegen. Sollte sich der Effekt von Datenvariationen statistisch nicht ablehnen lassen, besteht weiterhin — wie bei der traditionellen Window Analysis — die M¨oglichkeit der einfachen Berechnung des MPI auf Basis von Periodeneffizienzen ohne Dekomposition des MPI.400 Bei der Berechnung von Malmquist-Indizes auf Basis von Effizienzwerten der DIS-DEA — unabh¨angig davon, ob zus¨atzlich die in statischen Analysen u ¨bliche Dekomposition vorgenommen werden darf — ist zu beachten, dass nicht die fensterbezogenen Effizienzwerte, sondern die disaggregierten periodenspezifischen Werte zu verwenden sind. Hier besteht bei der DIS-DEA das zus¨atzliche Problem, dass die periodenspezifischen Effizienzwerte nicht eindeutig sein m¨ ussen. Dieses Problem kann jedoch durch Anwendung eines der in Kapitel 4.5 vorgeschlagenen L¨osungskonzepte behoben werden. Bevor also MPIs anhand von Effizienzen der DIS-DEA bestimmt werden k¨onnen, m¨ ussen pro DMU sowohl der Eindeutigkeitstest als auch die Bestimmung einer eindeutigen LP-L¨osung gem¨aß eines der in Kapitel 4.5 vorgestellten Konzepte erfolgen. 398

Dieses Problem ist nicht DIS-DEA-spezifisch und stellt daher einen Problemkreis von allgemeiner, auch die Window Analysis betreffender Relevanz dar – siehe den von Asmild, Paradi, Aggarwall, Schaffnit (2004) identifizierten Forschungsbedarf.

399

Siehe Abbildung 4.7, S. 142.

400

Welchem Fenster die Periodeneffizienzen entlehnt werden, spielt hinsichtlich der Berechenbarkeit des MPI keine Rolle.

5 Empirische Illustration der DIS-DEA im Vergleich zur Window Analysis am Beispiel von Werbeeffizienz 5.1 Zielsetzung Das Hauptziel dieses Abschnittes besteht darin, im Rahmen eines empirischen Beispiels — das im Bereich der Werbeerfolgsmessung angesiedelt ist und die erste DEA-basierte Studie auf diesem Gebiet in geeigneter Weise modifiziert — Ergebnisunterschiede der DIS-DEA einerseits und der Window Analysis andererseits gegen¨ uberzustellen. Im Wesentlichen st¨ utzt sich dieser Vergleich auf Kapitel 4.4, das eine grunds¨atzliche Gegen¨ uberstellung von DIS-DEA und Window Analysis beinhaltet. Zus¨atzlich werden gem¨aß des zweiten Ziels der Arbeit — Bereitstellung eines inferenzstatistischen Instrumentariums zur Untersuchung von Effizienzver¨anderungen401 — entsprechende statistische Tests durchgef¨ uhrt, deren Dateninput Effizienzwerte darstellen, die ohnehin die zentralen Ergebnisse jeder DEA darstellen. Aus diesem Grund konzentriert sich die empirische Illustration auf die Analyse der ermittelten Effizienzwerte und deren statistische Auswertungen; s¨amtliche Analysen werden sich dabei auf die zu vergleichenden DMUs in ihrer Gesamtheit beziehen, um DMU-unabh¨angig Aussagen u ¨ber m¨oglicherweise unterschiedliche Ergebnisse auf¨ decken zu k¨onnen. Die statistischen Tests, die zur Uberpr¨ ufung methodischer Unterschiede der Effizienzwerte einerseits sowie zur Untersuchung der Effizienzwerte auf Ver¨anderungen im Zeitablauf andererseits zum Einsatz gelangen, werden ferner verbundene Stichproben analysieren, da nur so die DMU-Zugeh¨origkeit der Effizienzwerte angemessen ber¨ ucksich401

Siehe dazu auch Kapitel 1.2.

Studie von Luo, Donthu (2001) als Basis

151

tigt wird.402 Zus¨atzlich sei bereits an dieser Stelle daran erinnert, dass s¨amtliche Effizienzuhen (sp¨aten) werte relativ zur Technologiemenge zu verstehen sind.403 Insbesondere die fr¨ Perioden des Beobachtungszeitraumes werden im Vergleich zu den restlichen Perioden seltener analysiert und h¨aufiger mit nachfolgenden (vorangehenden) Perioden verglichen, ein Umstand, der insbesondere bei der Ergebnisinterpretation ber¨ ucksichtigt werden muss.

5.2 Studie von Luo, Donthu (2001) als Basis 5.2.1 Problemstellung Das Anwendungsbeispiel zur empirischen Illustration der DIS-DEA stammt aus dem Bereich des Marketing, einem vergleichsweise jungen Anwendungsfeld der DEA.404 Speziell ur wird Werbung als kommunikationspolitische Maßnahme betrachtet.405 Als Grundlage f¨ die hier pr¨asentierte Empirie wird eine Studie von Luo, Donthu (2001) herangezogen, die die erste Anwendung der DEA zum Zwecke der Werbeeffizienzmessung darstellt und hier insbesondere um die dynamische Perspektive einer Paneldatensituation erweitert wird. Oftmals f¨allt ein Großteil des Marketingbudgets dem Bereich der Werbung zu. Zahlreiche Autoren unterstreichen daher die Relevanz der Werbeeffizienz bzw. deren Messung zum Zwecke von Kosteneinparungen im Bereich des Marketing.406 Luo, Donthu (2001) 402

Siehe dazu auch Abbildung 4.7, S. 142.

403

Siehe dazu auch S. 139.

404

Das Marketing sieht sich in zunehmendem Maße der Forderung nach Budgetrechtfertigung gegen¨ uber; siehe z.B. Sommer (1994); Shaw, White (1999) sowie Miller, Cioffi (2005). Zum Thema Marketingproduktivit¨ at siehe z.B. Daum (2001); zur theoretischen Begr¨ undung der DEA im Bereich des Marketing sowie zu potenziellen Anwendungsfeldern in diesem Bereich sei auf die bereits zitierte Monografie von Hammerschmidt (2006) verwiesen, die zugleich die zentrale Quelle in diesem Bereich darstellt. Zur Anwendung der DEA im Marketing in weiteren Publikationen siehe auch Fußnote 96, S. 25, sowie z.B. Backhaus, Wilken (2003); B¨ uschken (2003a); B¨ uschken (2003b); Backhaus, Streffer, Wilken (2005a); Backhaus, Streffer, Wilken (2005b); Diller, Metz, Keller (2005); Backhaus, Wilken (2006); Cheong, Leckenby (2006); Horsky, Nelson (1996). B¨ uschken (2003a) erw¨ ahnt, dass sich Anwendungen der DEA im Bereich des Marketing auf die Bereiche der Werbeeffizienz sowie der Vertriebseffizienz konzentriert haben; siehe B¨ uschken (2003a), S. 6, sowie die dort genannten Quellen.

405

Siehe dazu die Konzeptualisierung bei Hammerschmidt (2006) bzw. Kapitel 5.2.2.

406

Siehe z.B. B¨ uschken (2003a), S. 2 f., der speziell Automobilhersteller betrachet: For car manufac” turers, advertising typically accounts for a major share of total marketing expenditures“; Cheong, Leckenby (2006), S. 1: Given the huge amounts of money spent on advertising, practitioners are ” concerned about possible inefficiency in their use of advertising money, about how to uncover such

152

Empirische Illustration der DIS-DEA

stellen jedoch fest, dass es lange Zeit keine Forschungsbestrebungen gegeben hat, anhand empirischer Studien zu analysieren, ob und ggf. in welchem Maße Ineffizienzen im Werbebereich vorliegen.407 Ziel ihrer Untersuchung ist daher, die Erkenntnisse in diesem Bereich voranzutreiben, und zwar durch Anwendung der DEA im Rahmen zweier empirischer Studien.408 Bevor auf Einzelheiten dieser Studie eingegangen wird, woraus sich Hinweise zur Gestaltung der hier pr¨asentierten eigenen Empirie ableiten lassen, wird der bisher verwendete Begriff der Werbeeffizienz n¨aher beleuchtet. Hammerschmidt (2006) beschreibt die Werbeeffizienz neben der Verkaufsf¨orderungseffizienz409 als einen Teil der Kommunikationseffizienz,410 die wiederum neben der Produkt-, Preis-, und Distributionseffizienz die gesamte Marketingeffizienz im Rahmen einer disaggregierten Betrachtung ausmacht.411 Die Werbeeffizienz selbst kann dabei nach den beiden unterschiedlichen Aspekten des Werbeerfolgs und der Werbewirkung unterschieden werden. W¨ahrend die Werbeerfolgsmessung412 einen Zusammenhang zwischen Werinefficiency, and how to improve the efficiency of their advertising“; sowie Hammerschmidt (2006), S. 75, Fußnote 263: Das Thema steht insbesondere in der Werbepraxis auf der Agenda der aktuellen ” Managementherausforderungen weit oben“. In diesem Zusammenhang wird zudem h¨aufig ein ber¨ uhmtes Zitat des amerikanischen Kaufhauspioniers John Wanamaker (1837–1922) angef¨ uhrt, der schon zu Beginn des 20. Jahrhunderts die Relevanz einer Werbeerfolgskontrolle erkannt hat: I know half of my ” advertising is wasted, I just don’t know which half.“ 407

Luo, Donthu (2001), S. 7: Unfortunately, there has not been much research effort, to date, that ” empirically evaluates advertising efficiency and proposes ways to boost advertising efficiency. [...] Filling this void would help management to effectively and efficiently budget its advertising programs and thus achieve competitive advantage of advertising promotion relevance.“ In einer sp¨ateren Studie derselben Autoren findet sich eine ¨ ahnliche Beurteilung, die jedoch zus¨ atzlich den Vergleich zwischen DEA und SFA thematisiert: Given the critical importance of this practical issue, it is surprising that no study ” has empirically measured it, let alone compare and benchmark advertising inefficiency using multiple methodologies“; Luo, Donthu (2005), S. 28. Eine weitere neuere Anwendung der DEA im Bereich der Werbeeffizienz stellt die Arbeit von F¨ are u. a. (2004) dar.

408

Luo, Donthu (2001), S. 8: The purpose of this study is to address this largely ignored issue of ” advertising efficiency by applying Data Envelopment Analysis (DEA).“

409

Diese bezeichnet Hammerschmidt (2006) als Promotion-Effizienz.

410

Im Gegensatz zur Hammerschmidt (2006) wird beim Begriff der Promotion-Effizienz die Schreibweise mit Bindestrich bevorzugt, um den englischsprachigen ersten Teil des Begriffes optisch abzugrenzen. – Alternative Kommunikationsformen werden aufgrund der relativ geringen Beanspruchung des Kommunikationsbudgets nicht n¨ aher betrachtet, siehe Hammerschmidt (2006), S. 72.

411

Zur aggregierten Marketingeffizienz siehe Hammerschmidt (2006), S. 46 ff.

412

Korrekterweise m¨ usste man eigentlich von der Werbeerfolgseffizienzmessung sprechen. Im Folgenden ist unter Werbeerfolgsmessung stets die Werbeerfolgseffizienzmessung gemeint; der erstgenannte Begriff wird ausschließlich wegen seiner K¨ urze bevorzugt.

Studie von Luo, Donthu (2001) als Basis

153

beausgaben und ¨okonomischem Erfolg (z.B. einer Werbekampagne oder auch eines gesamten Unternehmens) beurteilt und sich — konform mit der Operationalisierung der Effizienz durch die Produktivit¨at — als das Verh¨altnis der Werbeinvestitionen zu den ” finanziellen Effekten“ definiert,413 untersucht die Werbewirkungsmessung414 den Einfluss von Werbung auf psychische und verhaltensbezogene Gr¨oßen auf Kundenseite.415 Diese psychischen und verhaltensbezogenen Gr¨oßen stellen dabei unmittelbare Wirkungen der Werbung dar, die dem ¨okonomischen Erfolg auf Unternehmensseite vorgelagert sind. Sie sind eine notwendige, allerdings nicht hinreichende Bedingung f¨ ur den ¨okonomischen Erfolg.416 Welche Konsequenzen dieser Zusammenhang hinsichtlich der Konzeption einer empirischen Studie mit Hilfe der DEA hat, wird in Kapitel 5.3 ausf¨ uhrlicher diskutiert.

5.2.2 Konzeptionelle und methodische Spezifika der Studie Luo, Donthu (2001) f¨ uhren zwei Untersuchungen unter Zuhilfenahme der DEA durch, von denen die erste dem Bereich der Werbeerfolgsmessung und die zweite der Werbewirkungsmessung zugeschrieben werden kann.417 Die erste Studie analysiert die gr¨oßten werbetreibenden Unternehmen in den USA unter Verwendung dreier Inputs und zweier Outputs. Auf Inputseite dienen die Ausgaben in den drei Werbekan¨alen Druckmedien, TV&Radio und Außenwerbung als Effizienzkriterien, w¨ahrend auf der Outputseite der Umsatz und das Betriebsergebnis in die Analyse eingehen.418 In der zweiten Studie werden Kampagnen im Bereich der Außenwerbung miteinander verglichen, wobei vier Inputs (Anzahl großgedruckter W¨orter auf dem Plakat; 413

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 77.

414

Hier gilt eine entsprechende Anmerkung wie in Fußnote 412.

415

So genannte psychografische Faktoren sind beispielsweise Bekanntheitsgrad, Kundenzufriedenheit, Anzahl erzielter Kundenkontakte, Markenpr¨ aferenz, Kaufabsicht und Image; siehe Daum (2001), S. 72.

416

Siehe z.B. Hammerschmidt (2006), S. 77, und Pepels (1996), S. 191 ff.

417

Luo, Donthu (2001) nehmen diese Zuordnung nicht explizit vor, sondern sprechen lediglich vom Makrobzw. Mikrolevel, der der jeweiligen Studie zugrunde liegt: One [study] uses secondary source data ” to investigate “macro” level advertising questions and the other utilizes primary research data and provides tips at the “micro” level for improving advertising efficiency.“ Luo, Donthu (2001), S. 8.

418

Luo, Donthu (2001) begr¨ unden die Wahl der Inputs, indem sie auf die u ¨bliche Aufspaltung von Werbeausgaben verweisen: Following the commonly used breakdown of advertising spending by print, ” broadcast, and outdoor, we also include these three variables as inputs in DEA analysis.“ Luo, Donthu (2001), S. 14. Die Wahl der Outputs erfolgt ohne weitere Begr¨ undung, l¨asst sich jedoch vermutlich auf die Datenverf¨ ugbarkeit innerhalb der verwendeten Quellen zur¨ uckf¨ uhren: [..] we use two variables as ” outputs – sales and operating income, both available in the company profile reports on the website.“

154

Empirische Illustration der DIS-DEA

Anzahl der auf dem Plakat genannten Informationskategorien wie Telefonnummer oder Kaufvorschlag; Farbe als Kategorialvariable — schwarz-weiß oder farbig; Grafikanteil) und zwei Outputs (Erinnerung an die Werbung als Quote befragter Probanden; Qualit¨at der Werbung als Expertenurteil) verwendet werden. F¨ ur die Erweiterung um eine dynamische Dimension im Sinne einer Panelanalyse eignet sich jedoch lediglich die erstgenannte Studie, da die betrachteten Werbekampagnen einmalige, in sich abgeschlossene kommunikationspolitische Maßnahmen und keine in regelm¨aßigen Zeitabschnitten wiederkehrende Aktivit¨aten darstellen.419 Dementsprechend erfolgt hier eine Fokussierung auf die erstgenannte Untersuchung, die als Basis f¨ ur die empirische Illustration der DIS-DEA und deren Gegen¨ uberstellung mit der Window Analysis dient. Sie unterteilt die betrachteten Unternehmen in effiziente und ineffiziente Werbetreibende, identifiziert Effizienzunterschiede bez¨ uglich verschiedener Werbekan¨ale und analysiert die Entwicklung der Werbeerfolgseffizienz von 1997 auf das folgende Jahr.420 Die Autoren w¨ahlen hierzu ein dreistufiges Vorgehen: Zun¨achst wird ein inputorientiertes CCR-Modell auf den Datensatz des Jahres 1998 angewandt.421 Anschließend erfolgt die Analyse so genannter Inputkongestion“, ” die sich auf eine m¨ogliche Outputerh¨ohung bei Verringerung einzelner Inputs bezieht.422 Schließlich werden Effizienzentwicklungen durch einen Vergleich der Jahre 1997 und 1998 aufgedeckt, indem zun¨achst f¨ ur beide Jahre separate Analysen durchgef¨ uhrt werden und anstelle der jeweils ineffizienten Einheiten die zugeh¨origen effizienten Referenzpunkte in eine gemeinsame Analyse eingehen.423 Die Untersuchung der Unterschiede beider Jahre

419

Siehe dazu auch Kapitel 3.1.

420

Siehe Luo, Donthu (2001), S. 8.

421

S¨ amtliche Daten – sowohl die Werbeausgaben auf Inputseite als auch die ¨okonomischen Gr¨oßen auf Outputseite – stammen von Advertising Age, einer amerikanischen Zeitschrift, die Nachrichten, Analysen und weitere Informationen sowie Daten aus den Bereichen Werbung, Marketing und Medien ver¨ offentlicht. Die Daten k¨ onnen gegen Geb¨ uhr auf der Internetseite http://adage.com in der Rubrik Data Center jahresweise abgerufen werden.

422

Somit deckt diese Analyse ein Ph¨ anomen auf, das durch keine in dieser Arbeit vorgestellte Technologiemenge modelliert wird. Zum Begriff der input congestion siehe Dervaux, Kerstens, Vanden Eeckaut (1998); Cherchye, Kuosmanen, Post (2001); Cooper, Gu, Li (2001a) sowie Cooper, Gu, Li (2001b). Zur Modellierung der input congestion durch ein DEA-LP siehe Seiford, Zhu (1999). Nur vereinzelt findet sich das Konzept der input congestion in DEA-Software umgesetzt; nach Barr (2004) sind dies die kommerziellen Pakete DEA Solver Pro und OnFront sowie das nicht-kommerzielle Paket DEA Excel Solver.

423

Luo, Donthu (2001), S. 14: This involves first running two separate DEA analyses for the two years ” and then pooling the observations from both years after within-group inefficiencies are removed by creating virtual efficient observations.“

Kritikpunkte an der Basisstudie und Implikationen f¨ ur die eigene Untersuchung

155

anhand inferenzstatistischer Tests zeigt, dass die Effizienzwerte signifikant verschieden und von 1997 nach 1998 gefallen sind.

5.3 Kritikpunkte an der Basisstudie und Implikationen f¨ ur die eigene Untersuchung Variablenselektion Gelegentlich besteht aufgrund der Tatsache, dass zwischen Werbemaßnahmen und ¨okonomischem Erfolg ein nur mittelbarer Zusammenhang besteht, die Ansicht, dass sich eine Werbeerfolgsmessung schwieriger gestalte als eine Werbewirkungsmessung, die auf die unmittelbare Wirkung der Werbung auf psychografische Gr¨oßen zur¨ uckgreift.424 Diese Problematik konkretisiert sich in der teilweise kritisch beurteilten Wahl o¨konomischer Gr¨oßen (wie z.B. des Umsatzes) als Output im Rahmen einer Effizienzanalyse. Durch eine Werbeerfolgsmessung wird nicht erkl¨art, warum und wie die Werbung wirkt.425 Einerseits wird dies als Schw¨ache der Werbeerfolgsmessung angesehen, denn die Komplexit¨at gerade des Werbebereichs [..] verlangt viel st¨arker eine multidimen” sionale Konzeptualisierung [..] der Outputseite“.426 Andererseits stellt die Umsatzgenerierung das prim¨are Ziel von Werbung dar.427 Zudem kann die Fokussierung auf ¨okonomische Gr¨oßen als Output von Werbemaßnahmen inhaltliche Gr¨ unde haben; beispielsweise kann eine solche Analyse feststellen, ob insbesondere gr¨oßere Unternehmen relativ hohe Wer424

Siehe z.B. Hammerschmidt (2006), S. 79. Allerdings ist auch die Werbewirkungsanalyse mit Problemen behaftet: Die Quantifizierung der Werbewirkung erfolgt h¨aufig mittels so genannter Werbetests, in denen oftmals Beurteilungen auf Basis eines einzigen Kontaktes gef¨allt werden, und zwar von Testpersonen, die isoliert vom realen Umfeld bzw. in Laborexperimenten antworten.

425

Siehe Pepels (1996), S. 103.

426

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 217. Weiter findet sich bei demselben Autor ein Ausblick auf zuk¨ unftigen Forschungsbedarf auf diesem Gebiet: Gerade eine Weiterentwicklung der Effizienzanalyse auf ” Basis disaggregierter, psychografischer Outputs erscheint viel versprechend f¨ ur die Beantwortung inhaltlicher Fragestellungen der Werbepraxis“, siehe Hammerschmidt (2006), S. 219. Auch Luo und Donthu erkennen diesen Forschungsbedarf, wenn auch nicht in dem von Hammerschmidt genannten Konkretheitsgrad: [..] the selected inputs and output variables [..] might not be exhaustive [...] Future ” research [..] could give a more thorough measurement of ad spending efficiency.“ Luo, Donthu (2005), S. 34.

427

Siehe z.B. Gopalakrishna, Chatterjee (1992); Lodish u. a. (1995); Lenskold (2002). Luo und Donthu ateren Studie selbst zu diesem Thema: Advertising is generally undertaken ¨außern sich in einer sp¨ ” to increase company sales and/or profits.“ Luo, Donthu (2005), S. 33. Allerdings steht außer Zweifel, dass die Werbung den Umsatz tats¨ achlich beeinflusst und somit der Umsatz u ¨berhaupt als Output von Werbeausgaben verwendet werden darf: Past advertising response research [..] has established ” the relationship between media spending and sales volume“; Luo, Donthu (2005), S. 29.

156

Empirische Illustration der DIS-DEA

beausgaben aufweisen und aus diesem Grund tendenziell ineffizienter sind als kleinere Unternehmen. Die Wahl der Outputs sollte sich also insgesamt am jeweiligen Analyseziel ausrichten — unabh¨angig von der Frage, ob der Begriff der Werbeeffizienz dadurch umfassend oder sogar vollst¨andig konzeptualisiert w¨are. Die Tatsache, dass eine Werbeerfolgsmessung nicht kl¨art, aufgrund welcher psychografischen Determinanten die Werbung letztendlich auf ¨okonomische Outputs wirkt, kann durchaus als eine zul¨assige Eingrenzung verstanden werden. Dieser inhaltliche Schwerpunkt wird daher auch der folgenden empirischen Studie zugrunde gelegt.428 Abschließend bleibt zu kl¨aren, welche ¨okonomischen Gr¨oßen als Outputs in die Analyse eingehen sollen. Luo, Donthu (2001) verwenden hierf¨ ur neben dem Umsatz das Betriebsergebnis. Die Korrelationen der Werbeausgaben in den drei betrachteten Kan¨alen sind zum einen erheblich geringer als die Korrelationen zwischen Werbeausgaben und Umsatz. Zum anderen stellt der Umsatz einen definitorischen Bestandteil des Betriebsergebnisses“ ” dar, wobei andere definitorische Bestandteile (z.B. die Herstellungskosten) mit Ausnah” me der Werbeausgaben kaum durch Werbung beeinflussbar sind“.429 Aus diesem Grunde wird in der vorliegenden Studie von der Verwendung des Betriebsergebnisses abgesehen und ausschließlich der Umsatz als Output herangezogen. Die Wahl der Inputs gestaltet sich im Gegensatz zu den bisherigen Darstellungen zur Va¨ riablenselektion vergleichsweise unkritisch: Ublicherweise werden hier die Ausgaben f¨ ur Werbung in unterschiedlichen Kan¨alen betrachtet,430 wobei einige Kan¨ale aufgrund in¨ haltlicher Uberlegungen teilweise zusammengefasst werden, wie beispielsweise TV- und Radiowerbung.431 Da die Bedeutung des Internet als Werbemedium in den letzten Jahren ¨ enorm gestiegen ist und sich auf Basis sachlogischer Uberlegungen zu keinem der traditionellen Kan¨ale zuteilen l¨asst, werden in der hier durchgef¨ uhrten Empirie neben den von 428

Der in Fußnote 426 erw¨ ahnte Forschungsbedarf hat dadurch nicht an Gewicht verloren; die hier gew¨ahlte inhaltliche Fokussierung auf die Werbeerfolgsmessung begr¨ undet sich auch dadurch, dass das vorrangige Ziel dieses Kapitels nicht in der Neukonzeption der Werbeeffizienzanalyse besteht, sondern in der Demonstration des entwickelten Panelmodells anhand einer konkreten Anwendung.

429

Zu beiden Zitaten siehe Hammerschmidt (2006), S. 215. ¨ Siehe Fußnote 418, S. 153, und die Ubersicht empirischer Studien zur Werbeerfolgsmessung bei Hammerschmidt (2006), S. 217 ff., speziell diejenigen Studien, in denen die Werbeeffizienz auf dem von Luo, Donthu (2001) zitierten Makrolevel analysiert wird.

430

431

Eine Trennung von Werbeausgaben etwa in die Medien TV und Radio ist beispielsweise dann sinnvoll, wenn allokative Effizienz Hauptgegenstand der Untersuchung ist und somit Effizienzsteigerungspotenzial identifiziert werden soll, das sich aufgrund einer Umverteilung der Ausgaben bez¨ uglich dieser Medien ergibt.

Kritikpunkte an der Basisstudie und Implikationen f¨ ur die eigene Untersuchung

157

Luo, Donthu (2001) analysierten drei Werbekan¨alen die Ausgaben f¨ ur Internetwerbung separat betrachtet.432 Wahl der Skalenertr¨ age Neben der in der Ausgangsstudie getroffenen Variablenselektion ist die dortige Skalenertragsannahme des DEA-Modells in einigen nachfolgenden Arbeiten kritisiert worden. Luo und Donthu f¨ uhren in ihrer sp¨ateren Studie selbst an, dass konstante Skalenertr¨age in dem genannten Zusammenhang keine sinnvolle Festlegung darstellen.433 Auch in der Praxis ist ein oftmals abnehmender Grenznutzen insbesondere bei hohen Werbeausgaben beobachtet worden.434 In der Werbewirkungsforschung spricht man von einem s-f¨ormigen Verlauf der Budget-Absatz-Funktion.435 Insgesamt scheint daher die Annahme variabler Skalenertr¨age sinnvoll zu sein;436 abgesehen von der Ausgangsstudie findet sich diese Annahme in s¨amtlichen sp¨ateren Arbeiten zu diesem Thema.437 Zeitliche Perspektive Die inhaltliche Erweiterung der verwendeten Ausgangsstudie bezieht sich — abgesehen von den bisher angef¨ uhrten Modifikationen — auf die dynamische Perspektive. Zwar vergleichen auch Luo, Donthu (2001) die Effizienzwerte zweier aufeinander folgender Jahre miteinander; allerdings bleibt unklar, warum zun¨achst periodenspezifisch ineffiziente Einheiten durch ihre jeweiligen effizienten virtuellen Referenzpunkte ersetzt werden, bevor eine gemeinsame Analyse beider Perioden erfolgt.438 Allerdings 432

Dieses Vorgehen entspricht zudem der Studie von Cheong, Leckenby (2006): As Internet advertising ” has been in constant evolution since its debut in the early 1990’s, it, as well as traditional media advertising, needs to be considered an important input variable.“ Cheong, Leckenby (2006), S. 2. Diese Studie stellt zus¨ atzlich die erste Arbeit unter Verwendung der DEA dar, die Ausgaben f¨ ur Internetwerbung getrennt erfasst: [..] there is no publicly available study of which the authors are aware that ” formally has used the DEA model in the Internet medium environment to assess its effectiveness“; Cheong, Leckenby (2006), S. 3. Die Verwendung des Begriffes effectiveness anstelle von efficiency ist allerdings sachlich inkonsequent.

433

Luo, Donthu (2005), S. 30: Since different advertisers may operate at different economies of scale, the ” variable return to scale DEA model is used.“

434

Siehe z.B. Meffert (2000), S. 791, sowie die Arbeiten von Gopalakrishna, Chatterjee (1992) und Lodish u. a. (1995).

435

Siehe Hammerschmidt (2006), S. 215, sowie die dort genannte Quelle.

436

Siehe dazu auch Hammerschmidt (2006), S. 220. Dass die Wahl der Skalenertragsannahme einen erheblichen Einfluss auf die Werbeerfolgseffizienz haben kann, zeigt B¨ uschken (2003b) in seiner Studie am Beispiel des Automobilmarktes.

437

Siehe die bereits vielfach angef¨ uhrten Studien von B¨ uschken (2003b), Cheong, Leckenby (2006) und Luo, Donthu (2005).

438

Siehe dazu auch Kapitel 5.2.2.

158

Empirische Illustration der DIS-DEA

stellen Luo, Donthu (2001) bereits bei dem Vergleich periodenspezifisch effizienter Einheiten signifikante Effizienzunterschiede zwischen den beiden Jahren fest; bei einem l¨angeren Zeitraum sind daher erst recht Effizienzver¨anderungen zu erwarten. Zudem kann eine auf einen l¨angeren Beobachtungszeitraum ausgerichtete Analyse Effizienztrends aufdecken, die sich m¨oglicherweise nicht nur auf wenige Perioden beschr¨ankt.439 Sonstige Kritikpunkte Neben den bisher diskutierten kritischen Beurteilungen zur Ausgangsstudie und deren Implikationen f¨ ur die Illustration der DIS-DEA an diesem Beispiel sind zwei weitere Kritikpunkte zu konstatieren. Diese betreffen zwar nicht den Kern des hier verfolgten Ziels, sollen aber der Vollst¨andigkeit halber dennoch angef¨ uhrt werden. Der erste Aspekt betrifft die Wahl der gemeinsam analysierten DMUs. B¨ uschken (2003b) merkt dazu an, dass eine simultane Analyse von werbetreibenden Unternehmen aus unterschiedlichen Industrien unrealisitisch sei, da den Industrien m¨oglicherweise v¨ollig unterschiedliche Marktbedingungen zugrunde l¨agen.440 Dieses Argument kann jedoch dahingehend entkr¨aftet werden, dass der Vergleich von Ergebnissen eines CCR- und eines BCC-Modells Skaleneffekte aufdeckt, die Ausdruck unterschiedlicher Marktbedingungen in verschiedenen Industrien sein k¨onnen. Variable Skalenertr¨age setzen somit jedes Wer” be(produktions)niveau“ als optimal voraus und abstrahieren somit vom genannten Problem.441 Aus diesen Gr¨ unden werden auch hier s¨amtliche Vergleichseinheiten simultan analysiert. In F¨allen, in denen explizit industrieinterne Vergleiche durchgef¨ uhrt werden sollen, sind gruppenspezifische Analysen m¨oglich.442 439

Hammerschmidt (2006) nennt dynamische Verfahren als wichtiges zuk¨ unftiges Forschungsgebiet im Rahmen der Marketingeffizienzanalyse. Dieser Forschungsbedarf d¨ urfte aufgrund der konzeptionellen Einordnung in die Marketingeffizienzanalyse auch die Werbeeffizienzanalyse betreffen. Siehe dazu Hammerschmidt (2006), S. 299: Hierzu m¨ ussen die fast ausschließlich im Produktionsbereich entwickelten ” dynamischen DEA-Modelle auf das Marketing u ¨bertragen werden. Erste Ans¨atze existieren im Vertriebsbereich in Form von Window-Analysen und Untersuchungen aus Basis des Malmquist-Indexes. Diese gilt es voranzutreiben.“

440

Siehe B¨ uschken (2003a), S. 3.

441

Zum anderen kann ein Vergleich mit anderen Industrien durchaus sinnvolle Hinweise auf Effizienzverbesserungen geben; siehe z.B. Bauer, Meeder, Jordan (2002). Eine solche Sichtweise geht zudem mit dem Begriff des Benchmarking konform, dem oftmals ein branchen¨ ubergreifender Fokus zugewiesen wird; siehe Backhaus (2003), S. 195.

442

Neben der externen Gruppierungsvariable Industrie“ kann auch anhand eines DEA-internen Ver” fahrens entschieden werden, welche DMUs gruppenweise zusammengefasst und anschließend bewertet werden sollen. Zu einem solchen Vorgehen sei auf das von Backhaus, Wilken (2004) vorgeschlagene Verfahren verwiesen; siehe dazu auch Kapitel 6.2. Zu einer axiomatischen Beschreibung der Wahl so genannter Benchmarking-Partner siehe Hougaard, Tvede (2001).

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

159

Der zweite Problemkreis betrifft die Wahl einer geeigneten Methode zur Werbeerfolgsmessung: Luo, Donthu (2005) kommen aufgrund des in ihrer sp¨ateren Studie durchgef¨ uhrten Vergleichs zwischen der DEA und der SFA zu dem Schluss, dass stets beide Verfahren zum Einsatz gelangen sollten, da sie unterschiedliche Ergebnisse erzeugen k¨onnen.443 Dieser Ansicht kann jedoch insofern widersprochen werden, als die Wahl zwischen parametrischen und nicht-parametrischen Verfahren nicht auf empirischer, sondern auf konzeptioneller Ebene zu geschehen hat, da sie eine Annahme u ¨ber die grunds¨atzliche Beschaffenheit der Produktionsfunktion beinhaltet.444

5.4 Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich 5.4.1 Datenbasis und Modellwahl Analyseeinheiten sind wie in der Ausgangsstudie von Luo, Donthu (2001) die gr¨oßten werbetreibenden Unternehmen der USA. Wie in Kapitel 5.3 deutlich geworden ist, wird die Ausgangsstudie allerdings in einigen Punkten modifiziert: • Als Effizienzkriterien werden auf Outputseite der Umsatz sowie auf Inputseite die Werbeausgaben in den Kan¨alen Druckmedien (Zeitungen und Zeitschriften), TV& Radio, Außenwerbung und Internet betrachtet.445 Geografischer Bezug stellt f¨ ur s¨amtliche Variablen der US-amerikanische Raum dar; zeitlicher Bezug sind Jahre. Die Daten stammen wie in der Ausgangsstudie von Advertising Age.446 443

Luo, Donthu (2005), S. 28: Therefore, it is suggested that both [DEA und SFA] approaches be used ” in all applications.“

444

Siehe dazu auch die Diskussion in Kapitel 2.1.4.

445

Wie in der Ausgangsstudie werden die – u ¨ber alle Unternehmen geringen – Ausgaben durch Werbung in den yellow pages zur Außenwerbung gerechnet. Allerdings wirbt der Großteil der Unternehmen nicht in den yellow pages, und zwar u ussen ¨ber den gesamten Beobachtungszeitraum. Werte von 0 m¨ in einer DEA jedoch aufgrund berechnungstechnischer Restriktionen h¨aufig durch sehr kleine“ posi” tive ersetzt werden. Dadurch erg¨ abe sich m¨ oglicherweise der unerw¨ unschte Effekt, dass Unternehmen ausschließlich aufgrund ihrer besonders guten“ (niedrigen) Ausgaben im Bereich der yellow pages als ” effizient eingestuft werden. Aus diesem Grund wird auf eine separate Betrachtung dieser Inputvariable verzichtet.

446

Siehe dazu Fußnote 421, S. 154. Die Angaben zu unternehmensspezifischen Ums¨atzen sowie zu unternehmensbezogenen Werbeausgaben werden dabei in unterschiedlichen Dateien zum Download auf der Seite http//adage.com bereit gestellt. Insbesondere im Rahmen des hier vorgestellten Beispiels sei

160

Empirische Illustration der DIS-DEA

• Aufgrund der ge¨außerten Bedenken hinsichtlich der Annahme konstanter Skalenertr¨age werden hier variable Skalenertr¨age unterstellt. • Die dynamische Perspektive der Analyse umfasst die Jahre 1998 bis 2005, so dass hier T = 8 gilt.447 • F¨ ur insgesamt n = 52 Unternehmen liegen vollst¨andige Datens¨atze u ¨ber den gesamten Beobachtungszeitraum vor.448 Diese Anzahl erf¨ ullt die in diesem Zusammenhang geltende Faustregel zur Mindestanzahl zu analysierender DMUs in Abh¨angigkeit von uglich der Vergleichbarkeit der Daten der Kriterienanzahl, die hier 5 betr¨agt.449 Bez¨ ist einschr¨ankend anzumerken, dass f¨ ur das Jahr 2000 keine Aufteilung der Ausgaben in die Inputs Außenwerbung und Internet vorliegt. Um den Beobachtungszeitraum nicht erheblich zu verk¨ urzen und aufgrund der Tatsache, dass Druckmedien sowie TV&Radio den mit Abstand gr¨oßten Teil aller Werbeausgaben darstellen,450 werden die Ausgaben f¨ ur Außenwerbung und Werbung im Internet f¨ ur das Jahr 2000 gem¨aß des unternehmenspezifisch geltenden Verh¨altnisses im vorangegangenen Jahr aufgespalten. Zus¨atzlich sind aus berechnungstechnischen Gr¨ unden s¨amtliche Werte von 0 durch den kleinstm¨oglichen positiven Wert ersetzt worden.451 Neben diesen Spezifizierungen wird ein inputorientiertes Modell gew¨ahlt, um explizit Ineffizienzen hinsichtlich der Werbeausgaben in den einzelnen Kan¨alen aufdecken zu k¨onnen.452 Weiter werden s¨amtliche Analysen f¨ ur verschiedene Fensterbreiten durchgef¨ uhrt, um die nochmals darauf verwiesen, dass die DEA m¨ ogliche Datenfehler unber¨ ucksichtigt l¨asst, etwa potenziell unvollst¨ andige Angaben hinsichtlich der Inputs. 447

Der Betrachtungszeitraum h¨ atte zus¨ atzlich auf die Jahre 1996 und 1997 ausgedehnt werden k¨onnen; allerdings ist f¨ ur diese beiden Jahre die Internetwerbung nicht separat erfasst. Eine separate Betrachtung des Mediums Internet ist daher erst ab 1998 m¨ oglich.

448

Eine Liste der untersuchten Unternehmen findet sich in Anhang C, Tabelle C.1.

449

Die Mindestanzahl ist laut Banker u. a. (1989) durch n > 3(m + s) gegeben, also in diesem Fall durch n > 15. Siehe dazu auch Fußnote 263, S. 75.

450

Siehe dazu auch Tabelle C.3, S. 205.

451

Die Werbeausgaben werden von Advertising Age in Mio. US$ angegeben; die Genauigkeit der hier verwendeten Daten liegt bei vier Nachkommastellen. Ein Wert von 0 wird daher durch den Wert von 0,0001 (also 100 US$) ersetzt. Siehe dazu auch Anhang C, Tabelle C.2.

452

Hier kann nur vermutet werden, dass auch in der Ausgangsstudie Inputorientierung zugrunde liegt, und zwar anhand der inhaltlichen Fragestellung, die durch die empirische Analyse behandelt werden soll: How can the top 100 advertisers improve their advertising efficiency in terms of their spending ” on print, broadcast, and outdoor?“ Luo, Donthu (2001), S. 8.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

161

entsprechenden Effekte aufzudecken und zu quantifizieren. Konkret werden hierbei die Fensterbreiten l = 2, 3, 4 betrachtet. Die h¨ochste Fensterbreite l = 4 erkl¨art sich da¨ durch, dass es andernfalls keine Fenster ohne Uberlappung g¨abe und folglich selbst das erste und das letzte Fenster zumindest teilweise gemeinsame Daten bes¨aßen, d.h. Technologiemengen nie u ¨berschneidungsfrei w¨aren. Hier jedoch soll zumindest ansatzweise gew¨ahrleistet sein, dass sich der generelle Input-Output-Zusammenhang bez¨ uglich der Einflussst¨arke durchaus im Zeitablauf ver¨andern kann, insbesondere wegen des im Laufe der Zeit verst¨arkt genutzten Mediums Internet.

5.4.2 Deskriptive Analysen der Rohdaten Bevor die eigentliche DEA in den genannten Varianten durchgef¨ uhrt wird, sei zun¨achst darauf hingewiesen, dass die Verwendung der gew¨ahlten Inputs nicht nur durch inhaltli¨ che Uberlegungen, sondern auch durch die Analyse der Korrelationen mit dem (einzigen) Output gerechtfertigt erscheint.453 Da der Zeitbezug Perioden sind, w¨are es w¨ unschenswert, wenn in jeder einzelnen Periode signifikante Korrelationen s¨amtlicher Inputs mit dem Output vorl¨agen. Die Variablenwahl betrifft bei Panelanalysen jedoch den gesamten Beobachtungszeitraum, so dass letztendlich anhand einer alle Perioden gleichzeitig betreffenden Analyse eine Entscheidung getroffen werden muss. Auf Periodenebene stellt man lediglich f¨ ur die Jahre 1998 und 2002 nicht-signifikante Korrelationen zwischen Werbeausgaben im Internet und Umsatz sowie f¨ ur das Jahr 2005 eine nicht-signifikante Korrelation zwischen Außenwerbung und Umsatz fest. Analysiert man die Ausgangsdaten der 52 DMUs s¨amtlicher Perioden zusammen, ergeben sich f¨ ur alle Inputs signifikante Korrelationen mit dem Umsatz, und zwar zwischen 0,199 (Internet) sowie 0,39 (TV&Radio). In der Gesamtsicht ist daher auch statistisch gesehen die Wahl der vier genannten Outputs sinnvoll.455

453

Luo, Donthu (2001), S: 14: Since the most important consideration in DEA application is the selection ” of inputs and related output variables [..] it is worth mentioning that the relationship between inputs and outputs should be positively correlated in DEA analysis.“ Zur Rechtfertigung der Inputwahl anhand von Korrelationsanalysen siehe auch Charnes, Cooper, Lewin, Seiford (1994b) sowie Donthu, Yoo (1998).

455

Bemerkenswert erscheinen allerdings die insgesamt abnehmenden Werte sowohl f¨ ur Druckmedien als auch f¨ ur TV&Radio sowie die stark schwankenden Werte f¨ ur Außenwerbung und Internet.

162

Empirische Illustration der DIS-DEA

Tabelle 5.1: Ergebnisse der Korrelationsanalyse Periode

Druckmedien

TV&Radio Außenwerbung Internet Jahresanalysen (N=52) 1998 0,536** 0,437** 0,507** 0,207 (n.s.) 1999 0,525** 0,485** 0,488** 0,317* 2000 0,392** 0,481** 0,450** 0,428** 2001 0,329** 0,371** 0,276* 0,421** 2002 0,291* 0,370** 0,251* 0,063 (n.s.) 2003 0,312* 0,339** 0,302* 0,251* 2004 0,372** 0,379** 0,369** 0,270* 2005 0,267* 0,306* 0,189 (n.s.) 0,236* Gesamtanalyse (N=416) 1998-2005 0,365** 0,390** 0,331** 0,199** Ausgangsstudie von Luo und Donthu (N=63) keine Angabe454 0,61* 0,44* 0,17* keine Angabe **: p < 0, 01, *: p < 0, 05, n.s.: nicht signifikant

Eine erste grobe deskriptive Analyse u ¨ber s¨amtliche DMUs zeigt zun¨achst einmal, dass sowohl auf Outputseite als auch auf Inputseite im Laufe der Jahre steigende Werte zu verzeichnen sind. W¨ahrend der Umsatz von etwa 1,15 Billionen US$ im Jahre 1998 auf rund 1,63 Billionen US$ steigt, was einem Anstieg um 41,1% entspricht, sind bez¨ uglich der Werbeausgaben in den einzelnen Medien noch h¨ohere Raten vom ersten bis zum letzten betrachteten Jahr zu verzeichnen (zwischen 60,9% f¨ ur TV&Radio und 1033,7% f¨ ur das Internet).456 Aufgrund der h¨oheren Zuwachsraten auf Inputseite sind insgesamt fallende Quotienten aus Umsatz und Ausgaben im jeweiligen Werbemedium zu verzeichnen, wie Abbildung 5.1 veranschaulicht.457 Eine intertemporale Analyse m¨ usste folglich fallende Effizienzwerte hervorbringen.458

456

Die Umsatzentwicklung s¨ amtlicher Betrachtungseinheiten findet sich im Anhang in Abbildung C.1, S. 204.

457

Aufgrund der verschiedenen Gr¨ oßenordnungen der Werte sind die Druckmedien und TV&Radio einerseits sowie Außenwerbung und Internet andererseits separat dargestellt.

458

Zur intertemporalen Analyse als eine Klasse von DEA-basierten Panelmodellen siehe Kapitel 3.1.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

163

9000

200 Druckmedien

Internet

TV&Radio

Außenwerbung

180

8000

160

7000

140

Umsatz/Werbeausgaben

Umsatz/Werbeausgaben

6000 120

100

80

5000

4000

3000 60

2000

40

1000

20

0 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

0 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Jahr

Jahr

Abbildung 5.1: Ums¨atze pro Werbeausgaben (jeweils in Summe u ¨ber alle DMUs)

Tabelle 5.2: Ums¨atze pro Werbeausgaben (Quotient aus Summen u ¨ber alle DMUs) Periode Druckmedien 1998 175,3033 1999 155,839 2000 155,6044 2001 166,6076 2002 166,4696 2003 135,0078 2004 129,6255 2005 118,517

TV&Radio Außenwerbung 76,032 3222,5659 75,6108 3140,9399 73,4573 3081,4349 79,099 2876,3359 79,5694 2859,0224 70,0994 2708,2204 68,0258 2361,2658 70,2602 2335,4251

Internet 8283,502 4930,4476 4913,4892 3936,8755 1425,5406 1878,9351 1069,1181 1031,2329

5.4.3 Fensterspezifische Effizienzwerte 5.4.3.1 Deskriptive Analysen Fenstereffizienzen sind Ergebnisse, die sich unmittelbar nur in einer DIS-DEA und nicht in einer Window Analysis ergeben.459 In einer Window Analysis besteht allerdings die M¨oglichkeit, Fenstereffizienzen k¨ unstlich“ zu erzeugen, und zwar durch Bildung des arith” metischen Mittels der entsprechenden Periodeneffizienzen:460 459

Siehe dazu auch Kapitel 4.3.2.

460

Die Bildung des arithmetischen Mittels als eine Form der Verdichtung periodenspezifischer Effizienzwerte ist in der Window Analysis in g¨ angiges Vorgehen; vgl. Cooper, Seiford, Tone (2006).

164

Empirische Illustration der DIS-DEA

WA θo,κ,¯ ι :=

ι+l−1 1  WA θ
. l κ
=ι o,κ,κ

Diese Vorgehensweise ist insofern zu rechtfertigen, als jede Periode des Fensters mit demselben Gewicht in die Berechnung eingeht, eine zweckm¨aßige Annahme, da sie eine Gleichberechtigung“ der Perioden modelliert.461 Alle folgenden Analysen verwenden ” daher diese Art der Berechnung von Fenstereffizienzen im Rahmen der Window Analysis. Eine grafische Illustration der mittleren Fenstereffizienzen der DIS-DEA-Varianten einerseits und der Window Analysis andererseits findet sich in Abbildung 5.2.462 F¨ ur jede Fensterbreite von 2 bis 4 ist der zeitliche Verlauf der Effizienzwerte u ¨ber die jeweiligen Fenster dargestellt. Beim Vergleich der beiden DIS-DEA-Varianten untereinander f¨allt auf, dass die Fenstereffizienzen der Variante 1 stets h¨oher ausfallen als diejenigen der Variante 2 — ein Resultat, das sich aufgrund der h¨oheren Anzahl an Nebenbedingungen innerhalb der Variante 2 zwingend ergibt. Die Differenz zwischen den Fenstereffizienzen spiegelt gerade den Unterschied wider, der durch die verschiedenen Perspektiven der beiden Varianten hinsichtlich der Referenzpunktermittlung zustande kommt. Dieser Unterschied w¨achst mit steigender Fensterbreite: W¨ahrend bei l = 2 die mittleren Differenzen u ¨ber alle DMUs zwischen 2,54% (Fenster 3) und 4,84% liegen (Fenster 2), betragen sie f¨ ur l = 3 mindestens 4,35% (Fenster 5) und h¨ochstens 6,09% (Fenster 2). Bei l = 4 bewegen sich die Differenzen sogar zwischen 5,15% (Fenster 5) und 7,94% (Fenster 2).463 Je l¨angerfristig die Perspektive der Analyse, desto eher weichen folglich die Effizienzwerte in ihrer (absoluten) H¨ohe voneinander ab. Insgesamt bestehen jedoch f¨ ur jede Fensterbreite sehr hohe Korrelationen zwischen den Ergebnissen beider Verfahren (zwischen 0,95 und 0,99, abh¨angig vom jeweiligen Fenster bei gew¨ahlter Fensterbreite). Dies spricht insgesamt f¨ ur einen systematischen (beinahe 461

Trotzdem sei darauf hingewiesen, dass eine derartige Erzeugung von Fenstereffizienzen innerhalb der Window Analysis aufgrund der fehlenden Ber¨ ucksichtigung der hierarchischen Datenstruktur L¨osungen verschiedener LPs miteinander verdichtet.

462

Die Standardabweichungen der mittleren Fenstereffizienzen bewegen sich f¨ ur alle drei Verfahren und f¨ ur s¨ amtliche Fensterbreiten zwischen 0,26 und 0,34. In der Abbildung werden trotz der Diskretheit ¨ der Daten aus Illustrations- und Ubersichtlichkeitsgr¨ unden die durchschnittlichen Fenstereffizienzen einer Methode miteinander verbunden.

463

S¨ amtliche mittleren Differenzen der Fenstereffizienzen aller Paarvergleiche der drei Verfahren sind in Anhang C.4 bis Anhang C.7 aufgef¨ uhrt.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

165

0,7

0,6

0,5

Effizienz

0,4 DIS-DEA 1 DIS-DEA 2 Window Analysis 0,3

0,2

0,1

0,0 1

2

3

4

5

6

7

Fenster

l=2 DIS-DEA 1 DIS-DEA 2 Window Analysis Fenster 1 0,5361 0,4974 0,6370 Fenster 2 0,5251 0,4767 0,4754 Fenster 3 0,5328 0,5074 0,5091 Fenster 4 0,5495 0,5144 0,5208 Fenster 5 0,5506 0,5272 0,5268 Fenster 6 0,5455 0,5110 0,5335 Fenster 7 0,5232 0,4949 0,5307

0,7

0,6

0,5

Effizienz

0,4 DIS-DEA 1 DIS-DEA 2 Window Analysis 0,3

0,2

0,1

0,0 1

2

3

4

5

6

Fenster

l=3 DIS-DEA 1 DIS-DEA 2 Window Analysis Fenster 1 0,5327 0,4745 0,5701 Fenster 2 0,5183 0,4574 0,4600 Fenster 3 0,5379 0,4779 0,4827 Fenster 4 0,5466 0,4953 0,4952 Fenster 5 0,5361 0,4926 0,5024 Fenster 6 0,5132 0,4687 0,5150

0,7

0,6

0,5

Effizienz

0,4

DIS-DEA 1 DIS-DEA 2 Window Analysis

0,3

0,2

0,1

0,0 1

2

3 Fenster

4

5

l=4 DIS-DEA 1 DIS-DEA 2 Window Analysis Fenster 1 0,5175 0,4508 0,5333 Fenster 2 0,5322 0,4528 0,4418 Fenster 3 0,5467 0,4716 0,4646 Fenster 4 0,5290 0,4686 0,4741 Fenster 5 0,5157 0,4642 0,4850

Abbildung 5.2: Fenstereffizienzen der DIS-DEA-Varianten und der Window Analysis im Vergleich f¨ ur wachsende Fensterbreiten (als Mittelwerte u ¨ber alle DMUs)

166

Empirische Illustration der DIS-DEA

gleichbleibenden) Unterschied der Fenstereffizienzen. Gleichzeitig deutet dieses Ergebnis darauf hin, dass sich die beiden Varianten der DIS-DEA nicht in ihren Tendenzaussagen zu Effizienzentwicklungen widersprechen. Beide Methoden k¨onnen somit — zumindest in dem hier vorliegenden Kontext der Werbeeffizienzmessung — simultan eingesetzt werden, ohne widerspr¨ uchliche Resultate zu erzeugen. Die auff¨alligsten Unterschiede zwischen der DIS-DEA einerseits und der Window Analysis andererseits bestehen zum einen in den Ergebnissen f¨ ur Fenster 1: Dort sind die Werte f¨ ur die Window Analysis extrem hoch; ein unerw¨ unschter Effekt also, der durch die geringen Einsatzmengen bez¨ uglich der Variable Internet in diesem Jahr zustande kommt, innerhalb der DIS-DEA allerdings durch die fensterspezifische Datenaggregation offenbar behoben wird.464 Zum anderen suggerieren die Ergebnisse der Window Analysis gegen Ende des Betrachtungszeitraumes steigende Effizienzen, w¨ahrend die DIS-DEA fallende Effizienz ermittelt, eine allgemeine Tendenz, die eher den Verlauf der Gr¨oße Ums¨atze pro Werbe” ausgaben“ f¨ ur die beiden Hauptwerbekan¨ale Druckmedien und TV&Radio wiedergibt.465 Variante 1 liefert in der Regel h¨ohere Fenstereffizienzen als die Window Analysis, wobei die Spannweiten der mittleren Differenzen je nach Fensterbreite zwischen 9,6% und 15,1% liegen.466 Beim Vergleich zwischen Variante 2 und Window Analysis stellt man fest, dass sowohl positive als auch negative Differenzen auftreten. Im Mittel unterscheiden sich die beiden Methoden je nach Fensterbreite zwischen 9,4% und 14,1%.467 Die gr¨oßeren Differenzen zwischen beiden DIS-DEA-Varianten und der Window Analysis a¨ußern sich dementsprechend auch in niedrigeren Korrelationen als beim Vergleich der beiden DIS-DEA-Varianten untereinander. Der Gleichlauf der Fenstereffizienzen liegt folglich auf einem geringeren, wenn auch — absolut gesehen — auf einem relativ hohen Niveau (zwischen 0,8 und 0,96; siehe Tabelle 5.3). Insgesamt liegen die Fenstereffizienzen f¨ ur alle drei Verfahren auf einem h¨oheren Niveau als 464

Siehe dazu auch Tabelle C.2: 38 der 52 Unternehmen haben in diesem Jahr keine Internetwerbung betrieben.

465

Siehe Abbildung 5.1, S. 163.

466

Siehe dazu im Detail Tabellen C.4 bis C.7 in Anhang C, S. 203.

467

Siehe auch dazu Tabellen C.4 bis C.7.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

Tabelle 5.3: Korrelationen der Fenstereffizienzen DIS-DEA 1 vs. DIS-DEA 2 0,9667 0,9632 0,9001 0,9831 0,9886 0,9687 0,9920 0,0919 DIS-DEA 1 vs. l=3 DIS-DEA 2 Fenster 1 0,9587 Fenster 2 0,9654 Fenster 3 0,9625 Fenster 4 0,9694 Fenster 5 0,9733 Fenster 6 0,9726 Spannweite 0,0146 DIS-DEA 1 vs. l=4 DIS-DEA 2 Fenster 1 0,9620 Fenster 2 0,9508 Fenster 3 0,9589 Fenster 4 0,9569 Fenster 5 0,9693 Spannweite 0,0185 l=2 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Fenster 6 Fenster 7 Spannweite

DIS-DEA 1 vs. Window Analysis 0,8031 0,9538 0,9412 0,9600 0,9816 0,9489 0,9532 0,1784 DIS-DEA 1 vs. Window Analysis 0,8886 0,9014 0,9300 0,9341 0,9544 0,9204 0,0658 DIS-DEA 1 vs. Window Analysis 0,8519 0,8863 0,9301 0,9301 0,9282 0,0782

DIS-DEA 2 vs. Window Analysis 0,8245 0,9820 0,9761 0,9804 0,9858 0,9737 0,9588 0,1613 DIS-DEA 2 vs. Window Analysis 0,9007 0,9329 0,9650 0,9555 0,9583 0,9392 0,0643 DIS-DEA 2 vs. Window Analysis 0,8806 0,9463 0,9570 0,9329 0,9429 0,0764

167

168

Empirische Illustration der DIS-DEA

die von Luo, Donthu (2001) errechneten periodenspezifischen Effizienzen im Jahr 1998, f¨ ur die ein Mittelwert von 0,34 ermittelt worden ist. Ein direkter Vergleich mit der Ausgangsstudie ist allerdings zum einen aufgrund der unterschiedlichen zeitlichen Perspektiven nicht m¨oglich; zum anderen liegen sowohl eine andere Skalenertragsannahme als auch unterschiedliche Anzahlen an DMUs zugrunde, so dass die unterschiedlichen Ergebnisse im Vergleich zur Ausgangsstudie auch durch diese beiden Faktoren hervorgerufen werden.468 F¨ ur steigende Fensterbreiten sind zudem f¨ ur alle Verfahren geringere Schwankungen der Fenstereffizienzen zu beobachten, ein Effekt, der mit dem geringer werdenden Datenvariationsanteil bzw. mit der steigenden Gl¨attung“ zusammenh¨angt.469 ” 5.4.3.2 Statistische Analysen Zur inferenzstatistischen Untersuchung der ausgewiesenen Fenstereffizienzen werden die beiden Varianten der DIS-DEA und die Window Analysis paarweise miteinander verglichen. Zum Einsatz gelangen hier sowohl der nicht-parametrische Wilcoxon- als auch der nicht-parametrische Vorzeichentest, die pro Fenster durchgef¨ uhrt werden.470 Die Ergebnisse sind aus Tabelle 5.4 abzulesen; sie lassen sich wie folgt zusammenfassen: • Beim Vergleich zwischen den beiden DIS-DEA-Varianten untereinander ergeben sich f¨ ur alle Fenster und f¨ ur jede Fensterbreite signifikante Differenzen. Zusammen mit den hohen und hoch signifikanten Korrelationen best¨atigt sich somit die Aussage, dass die beiden Verfahren strukturell a¨hnliche Resultate erzeugen, die sich lediglich um einen konstanten Betrag unterscheiden. • Der Vergleich zwischen der Window Analysis und den beiden DIS-DEA-Varianten f¨allt unterschiedlich aus: W¨ahrend die DIS-DEA 1 gr¨oßtenteils signifikant h¨ohere Fenstereffizienzwerte als die Window Analysis erzeugt, unterscheiden sich DIS-DEA 2 und Window Analysis nur in etwa einem Drittel aller F¨alle, wobei sowohl positive 468

Bei einer steigenden Anzahl an DMUs ist c.p. ein geringerer Anteil an effizienten Einheiten zu erwarten, was sich tendenziell mindernd auf die mittlere Effizienz der untersuchten DMUs auswirkt.

469

Siehe dazu auch S. 113.

470

Das parametrische Pendant, der t-Test, darf hier aufgrund der verletzten Normalverteilungsannahme nicht verwendet werden (f¨ ur s¨ amtliche Vergleiche gilt p > 0, 05 bei Anwendung eines KolmogorovSmirnov-Tests auf Normalverteilungsannahme). Nicht nur im Hinblick auf die Fenstereffizienzen, sondern auch f¨ ur s¨ amtliche Analysen der Periodeneffizienzen gilt eine ¨ahnliche Aussage; aus diesem Grund werden im gesamten Kapitel ausschließlich nicht-parametrische Tests angewandt.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

169

Tabelle 5.4: Inferenzstatistische Untersuchung auf Unterschiede der Fenstereffizienzen

l=2 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Fenster 6 Fenster 7 l=3 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Fenster 6 l=4 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 n.s.: nicht

DIS-DEA: V1 vs. V2 Wilcoxon Vorzeichen + + + + + + + + + + + + + + Wilcoxon Vorzeichen + + + + + + + + + + + + Wilcoxon Vorzeichen + + + + + + + + + + signifikant, +: signifikant

DIS-DEA 1 vs. WA DIS-DEA 2 vs. WA Wilcoxon Vorzeichen Wilcoxon Vorzeichen – n.s. – – + + n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. + + n.s. n.s. + + n.s. n.s. + + n.s. n.s. n.s. + – n.s. Wilcoxon Vorzeichen Wilcoxon Vorzeichen n.s. n.s. – – + + n.s. – + + n.s. + + + n.s. n.s. + + n.s. n.s. n.s. + – n.s. Wilcoxon Vorzeichen Wilcoxon Vorzeichen n.s. n.s. – n.s. + + + + + + n.s. + + + n.s. + + + n.s. n.s. positiv, –: signifikant negativ (p < 0, 05)

als auch negative Differenzen auftreten. Dies best¨atigt die Ergebnisse der deskriptiven Analyse: Zwar liefern beide Verfahren in einem Großteil der Fenster ¨ahnliche Ergebnisse; es gibt jedoch auch Unterschiede, die in der Gesamtsicht — u ¨ber alle Fensterbreiten und jeweils u ¨ber alle Fenster — unsystematisch sind. Die Verwendung der konzeptionell unterlegenen Window Analysis weist daher Ergebnisschwankungen auf, die in beide Richtungen gehen k¨onnen, wodurch sich m¨oglicherweise eine inkorrekte Wiedergabe von Effizienzen im Zeitablauf ergibt. • Je gr¨oßer die Fensterbreite, desto gr¨oßer sind auch die Unterschiede zwischen der DIS-DEA-Variante 2 und der Window Analysis.471 Die im vorangegangenen Punkt 471

Dieses Resultat ergibt sich f¨ ur beide Tests.

170

Empirische Illustration der DIS-DEA genannten Effekte hinsichtlich der DIS-DEA 2 und der Window Analysis verst¨arken sich demnach f¨ ur wachsende Fensterbreiten.

F¨ ur jede Fensterbreite und jedes Verfahren ergeben sich ferner signifikante Verteilungsunterschiede der Fenstereffizienzen. Damit ist sowohl bei den DIS-DEA-Varianten als auch bei der Window Analysis ein signifikanter Effekt der systematischen Datenvariation zu beobachten; anders formuliert, signalisieren bereits die Fenstereffizienzen — trotz teilweise gemeinsamer Datenbasis — nicht-konstante Effizienzentwicklungen.472

5.4.4 Periodenspezifische Effizienzwerte: Fensterinterne horizontale Perspektive Sowohl beide Varianten der DIS-DEA als auch die Window Analysis ermitteln pro DMU und Periode (eines Fensters) einen Effizienzwert. W¨ahrend dieser Effizienzwert ein unmittelbares Ergebnis der Window Analysis darstellt, da (innerhalb jedes Analysefensters) periodenspezifische Produktionen mit periodenspezifischen Produktionen verglichen werden, ergeben sich in einer DIS-DEA die periodenspezifischen Werte gerade im Rahmen des DISaggregationsschrittes, also durch eine Zerlegung der Fenstereffizienz in ihre periodenspezifischen Bestandteile.473 Die periodenspezifischen Effizienzen, die innerhalb der DIS-DEA-Variante 1 ermittelt werden, sind dabei als Supereffizienzen charakterisierbar, w¨ahrend sich die anhand der Variante 2 errechneten Werte als Kreuzeffizienzen auffassen lassen. In Bezug auf periodenspezifische Effizienzwerte ist daher nur die Variante 2 mit den entsprechenden Resultaten der Window Analysis vergleichbar. Da in diesem Kapitel die Darstellung methodischer Unterschiede hinsichtlich der zentralen Analyseergebnisse im Vordergrund steht, konzentriert sich die Darstellung folglich auf den Vergleich zwischen DIS-DEA-Variante 2 und Window Analysis. Im Rahmen der Ermittlung periodenspezifischer Effizienzwerte innerhalb des DIS-DEAVerfahrens sind zudem zwei Berechnungsalternativen vorgestellt worden.474 F¨ ur alle folgenden Analysen werden dabei — ebenso aus Gr¨ unden der Vergleichbarkeit mit der Win472

Die Ergebnisse des Friedman-Tests sind in Anhang C.8 dargestellt. Die eindeutigen Ergebnisse bez¨ uglich der Window Analysis sind dabei auf die bereits erw¨ ahnten hohen Effizienzen jeweils in Fenster 1 zur¨ uckzuf¨ uhren; allerdings bleibt es bei diesem Resultat, auch wenn Fenster 1 von der Analyse ausgeschlossen wird.

473

Siehe dazu ausf¨ uhrlich Kapitel 4.3.2.

474

Siehe dazu Kapitel 4.2.2.2, speziell Tabelle 4.3, S. 108.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

171

dow Analysis — ausschließlich die totalen Periodeneffizienzen betrachtet, die durch Anwendung der fensteroptimalen Gewichtungsfaktoren auf die periodenspezifischen Produktionen gewonnen werden.475 Die Analyse periodenspezifischer Effizienzwerte erlaubt gem¨aß der Struktur u ¨berlappender Fenster zwei Perspektiven: W¨ahrend die horizontale Perspektive die Analyse von Effizienzentwicklungen erlaubt, spiegelt die vertikale den Effekt der Datenvariation wider. Die horizontale Perspektive wiederum l¨asst sich zweierlei auswerten: Zum einen k¨onnen fensterinterne Verl¨aufe der Periodeneffizienzen Gegenstand der Untersuchung sein. Zum anderen lassen sich die Periodeneffizienzen vertikal aggregieren, also pro Periode u ¨ber jedes Fenster, das diese Periode enth¨alt. Auf diese Weise gelangt man pro DMU und Periode zu einem Effizienzwert, und es l¨asst sich fenster¨ ubergreifend die Entwicklung der ¨ Effizienz im Zeitablauf analysieren. Aus Gr¨ unden der gr¨oßeren Ubersichtlichkeit sind beide M¨oglichkeiten der horizontalen Analyse — fensterintern sowie fenster¨ ubergreifend — Gegenstand getrennter Abschnitte. Die Darstellung der vertikalen Perspektive folgt im Anschluss an die horizontale. Im vorliegenden Abschnitt geht es zun¨achst um die fensterinterne Perspektive. Hierbei ist ¨ es zweckm¨aßig, pro Fenster zu den Anderungen der Periodeneffizienzen von einer Periode auf die jeweils folgende u ¨berzugehen; diese Effizienz¨anderungen sind Gegenstand sowohl der deskriptiven als auch der statistischen Analyse. 5.4.4.1 Deskriptive Analysen Wie aus Tabelle 5.5 hervorgeht, sind die Korrelationen der Effizienz¨anderungen insgesamt sehr gering und gr¨oßtenteils nicht signifikant.476 Das bedeutet, dass die mittels DIS-DEA 2 und Window Analysis ermittelten fensterinternen Verl¨aufe keine bzw. eine in ¨außerst geringem Maße (lineare) Beziehung zueinander besitzen. Zwar w¨achst die Spannweite der 475

Die partiellen Periodeneffizienzen unterstellen im hier gew¨ ahlten inputorientierten Modell u ¨ber s¨amtliche Perioden eines Fensters durchschnittliche Outputerzeugung. Folglich unterliegen partielle Periodeneffizienzen der DIS-DEA 2 einerseits und der Window Analysis andererseits unterschiedlichen Annahmen, wodurch eine direkte Vergleichbarkeit nicht gegeben ist. Die partiellen Periodeneffizienzen erweitern allerdings das in einer DIS-DEA erzeugte Ergebnisspektrum; vgl. dazu ausf¨ uhrlich Kapitel 4.3.2. Die Berechnung der totalen Periodeneffizienzen ist zudem noch nicht in der Software myDEA implementiert, da die verwendeten Programmpakete keine Divisionen zweier Ver¨anderlicher unterst¨ utzen. Aus diesem Grund erfolgten die notwendigen Berechnungen in Microsoft Excel.

476

Deskriptive Statistiken zu den fensterinternen Periodeneffizienzen finden sich in Anhang C.6.

172

Empirische Illustration der DIS-DEA

¨ Tabelle 5.5: Korrelationen der fensterinternen Anderungen der Periodeneffizienzen zwischen DIS-DEA 2 und Window Analysis ¨ Anderung Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Fenster 6 Fenster 7 Spannweite *: p < 0, 05;

l=2 l=3 l=4 1 auf 2 1 auf 2 2 auf 3 1 auf 2 2 auf 3 3 auf 4 0,060 0,035 0,084 0,100 –0,092 –0,145 –0,022 –0,003 –0,172 –0,091 –0,129 0,391** 0,155 –0,091 0,147 –0,144 0,158 –0,160 0,109 0,325* 0,107 –0,130 0,033 0,035 0,274* –0,059 0,060 0,113 0,003 –0,231 –0,128 0,086 0,112 k.A. k.A. k.A. –0,174 k.A. k.A. k.A. k.A. k.A. 0,448 0,497 0,622 **: p < 0, 01

Korrelationen bei gr¨oßerer Fensterbreite an, allerdings bleiben die Korrelationen auch dort insignifikant. Die Window Analysis weicht immer st¨arker von den durch die DISDEA 2 ermittelten Verl¨aufen der Periodeneffizienzen ab; hier kann lediglich vermutet werden, dass f¨ ur gr¨oßere Fensterbreiten, die hier nicht untersucht worden sind, der Effekt m¨oglicherweise signifikant wird. 5.4.4.2 Statistische Analysen Zun¨achst werden anhand der nicht-parametrischen Wilcoxon- und Vorzeichentests die DIS-DEA 2 und die Window Analysis dahingehend untersucht, ob sie in aufeinander folgenden Perioden (innerhalb jedes Fensters) gleiche Effizienz¨anderungen ermitteln. Da es f¨ ur die Fensterbreiten l = 3 und l = 4 mehr als ein Paar aufeinander folgender Perioden innerhalb eines Fensters gibt, werden f¨ ur diese Fensterbreiten die Effizienzver¨anderungen zus¨atzlich bez¨ uglich des gesamten Fensters untersucht. Die zentralen Ergebnisse der Tabelle 5.6 lassen sich wie folgt zusammenfassen:477 • F¨ ur jede Fensterbreite gibt es Fenster, in denen beide Verfahren unterschiedliche fensterinterne Verl¨aufe der Periodeneffizienz ermitteln. Beide Verfahren liefern so477

¨ betitelten Zeile der Tabelle beziehen sich dabei auf die Die Formulierungen in der mit Anderung“ ” Perioden des Fensters, deren Ergebnisse in den entsprechenden Spalten stehen. Beispielsweise steht ¨ demnach 1 auf 2“ f¨ ur die Anderung, die zwischen der ersten und zweiten Periode des Fensters zu ” ¨ beobachten ist. Betr¨ agt die Fensterbreite l, so sind l − 1 Anderungen zu analysieren.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

173

Tabelle 5.6: Wilcoxon-Test zur Untersuchung auf Unterschiede fensterinterner Effizienz¨anderungen l=2 l=3 l=4 ¨ 1 auf 2 1 auf 2 2 auf 3 1 auf 2 2 auf 3 3 auf 4 Anderung Fenster 1 + + n.s. + – n.s. Fenster 2 – n.s. – n.s. n.s. n.s. Fenster 3 n.s. n.s. n.s. – n.s. n.s. Fenster 4 n.s. – n.s. n.s. – n.s. Fenster 5 n.s. n.s. + + n.s. – Fenster 6 n.s. – n.s. k.A. k.A. k.A. Fenster 7 n.s. k.A. k.A. k.A. k.A. k.A. n.s.: nicht signifikant; k.A.: keine Analyse; +: signifikant positiv; –: signifikant negativ (p < 0, 05)

mit nicht dieselben Informationen, wie sich die Werbeerfolgseffizienz der einzelnen Unternehmen im Laufe eines Fensters entwickelt hat. Schlimmstenfalls gibt es Unternehmen, f¨ ur die die Window Analysis eine Steigerung (Minderung) ermittelt, die DIS-DEA jedoch das Gegenteil.

• Je h¨oher die Fensterbreite, desto mehr Fenster sind von unterschiedlichen fensterinternen Verl¨aufen betroffen. Konkret betreffen diese unterschiedlichen Tendenzaussagen der beiden Methoden f¨ ur l = 2 die Effizienzentwicklungen von 1998 auf 1999 und von 1999 auf 2000, f¨ ur l = 3 von 1998 auf 1999 (Fenster 1), von 2000 auf 2001 (Fenster 2), von 2001 auf 2002 (Fenster 4) und von 2003 auf 2004 (Fenster 6) sowie f¨ ur l = 4 von 1998 auf 1999 (Fenster 1), von 1999 auf 2000 (Fenster 1 und 2), von 2002 auf 2003 (Fenster 4 und 5) sowie von 2004 auf 2005 (Fenster 5).478

• In der Gesamtsicht — also u ¨ber alle Effizienzver¨anderungen innerhalb eines Fensters — liefert der Friedman-Test f¨ ur die Fensterbreiten l = 3 und l = 4 jeweils f¨ ur Fenster 1 unterschiedliche Verl¨aufe sowie f¨ ur l = 4 zus¨atzlich f¨ ur die Fenster 3 und 5.479 478

In Tabelle 5.6 bedeutet + (−) demnach, dass die DIS-DEA 2 h¨ohere (niedrigere) Werte ermittelt als die Window Analysis.

479

Die Ergebnisse des Friedman-Tests sind in Anhang C.9 wiedergegeben.

174

Empirische Illustration der DIS-DEA

5.4.5 Periodenspezifische Effizienzwerte: Fenster¨ ubergreifende horizontale Perspektive Wie bereits weiter oben angemerkt, gelangt man zu einem einzigen periodenspezifischen Effizienzwert pro DMU, wenn man s¨amtliche Effizienzwerte u ¨ber all diejenigen Fenster in Form des arithmetischen Mittels aggregiert, die die entsprechende Periode enthalten. Die derart ermittelten Periodeneffizienzen bilden dann den Ausgangspunkt der Analyse von Effizienzentwicklungen im gesamten Beobachtungszeitraum. In diesem Sinne erg¨anzen sie die bisher besprochene horizontale Perspektive erheblich, die auf die Analyse fensterinterner Verl¨aufe der Effizienzwerte beschr¨ankt ist und daher nur einen Ausschnitt des gesamten Beobachtungszeitraumes abbildet. Ziel dieses Abschnittes ist daher zu untersuchen, welche Entwicklungen der Werbeffizienz beide Methoden — DIS-DEA 2 und Window Analysis — f¨ ur den Zeitraum von 1998 bis 2005 ermitteln, ob und ggf. wie sich die Ergebnisse unterscheiden und welche Methode eher mit der deskriptiven Analyse der Rohdaten konform geht. 5.4.5.1 Deskriptive Analysen Die Mittelwerte der vertikal aggregierten Periodeneffizienzen u ur ¨ber alle DMUs sind f¨ verschiedene Fensterbreiten — in Analogie zu Abbildung 5.2 — in Abbildung 5.3 dargestellt. Hieran erkennt man zun¨achst, dass der bereits bei den Fenstereffizienzen auff¨allig hohe Wert zu Beginn des Betrachtungszeitraumes f¨ ur die Window Analysis auch hier auftritt. Die geringe Nutzung des Internets als Werbemedium im Jahre 1998 bewirkt demnach einen Sondereffekt hinsichtlich der durchschnittlichen Effizienz aller Unternehmen, w¨ahrend die DIS-DEA durch die fensterbezogene Aggregation der Input-Output-Daten diesen Sondereffekt ausgleichen kann. Die ermittelten Effizienzwerte liegen zwar f¨ ur beide Methoden (mit Ausnahme des Jahres 1998) in derselben Gr¨oßenordnung, und ihre Korrelationen sind jeweils signifikant mit p < 0, 01,480 jedoch sind f¨ ur alle Fensterbreiten gewisse methodisch bedingte Ergebnisunterschiede festzustellen, die in Abbildung 5.3 zusammengefasst sind: In den Jahren 1999 und 2000 liegt die mittlere Werbeeffizienz, die die Window Analysis ausgibt, unterhalb derjenigen Werte, die sich durch Anwendung der DIS-DEA 2 ergeben. In den restlichen sechs Jahren hingegen liefert die Window Analysis einen h¨oheren Durchschnittswert. Dies l¨asst 480

Siehe Tabelle 5.7.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

175

0,9 0,8 0,7

Effizienz

0,6 0,5

Window Analysis DIS-DEA 2

0,4 0,3 0,2 0,1 0 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Jahr

l=2 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

DIS-DEA 2 0,5000 0,5137 0,5196 0,5284 0,4914 0,5146 0,4749 0,4729

Window Analysis 0,8258 0,4631 0,4951 0,5220 0,5268 0,5297 0,5191 0,5293

0,9 0,8 0,7

Effizienz

0,6 0,5

Window Analysis DIS-DEA 2

0,4 0,3 0,2 0,1 0 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Jahr

l=3 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

DIS-DEA 2 0,4845 0,5152 0,5002 0,4893 0,4699 0,4810 0,4186 0,4253

Window Analysis 0,8257 0,4492 0,4715 0,4982 0,4984 0,5003 0,4784 0,4904

0,9 0,8 0,7

Effizienz

0,6 0,5

Window Analysis DIS-DEA 2

0,4 0,3 0,2 0,1 0 1998

1999

2000

2001

2002 Jahr

2003

2004

2005

l=4 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

DIS-DEA 2 0,5108 0,5204 0,5108 0,4667 0,4524 0,4461 0,3761 0,3809

Window Analysis 0,8249 0,4417 0,4668 0,4820 0,4731 0,4535 0,4342 0,4365

Abbildung 5.3: Vertikal aggregierte Periodeneffizienzen der DIS-DEA-Varianten und der Window Analysis im Vergleich f¨ ur wachsende Fensterbreiten (als Mittelwerte u ¨ber alle DMUs)

176

Empirische Illustration der DIS-DEA

Tabelle 5.7: Korrelationen der vertikal aggregierten Periodeneffizienzen zwischen DISDEA 2 und Window Analysis N=52 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Spannweite N=416 1998-2005

l=2 0,407 0,632 0,751 0,869 0,861 0,740 0,561 0,520 0,462 l=2 0,631

l=3 0,411 0,689 0,783 0,872 0,897 0,728 0,687 0,550 0,486 l=3 0,657

l=4 0,421 0,740 0,800 0,852 0,878 0,786 0,697 0,682 0,457 l=4 0,691

einerseits vermuten, dass die Unterschiede zwischen beiden Methoden nicht systematisch bzw. die ermittelten Effizienzentwicklungen nicht identisch sind. Letzteres erkennt man auch daran, dass sich die Kurven der beiden Methoden unabh¨angig von der Fensterbreite zweimal schneiden.481 Andererseits scheint die DIS-DEA 2, u ¨ber den gesamten Beobachtungszeitraum gesehen, eine niedrigere Durchschnittseffizienz auszugeben. M¨oglicherweise werden also durch die Window Analysis in der Mehrheit der analysierten Perioden Werbeineffizienzen nicht ausreichend aufgedeckt. ¨ Uber die abgebildeten Entwicklungen der Werbeeffizienz l¨asst sich weiterhin sagen, dass die Unterschiede zwischen beiden Methoden steigen, je gr¨oßer die Fensterbreite ist. Zudem f¨allt auf, dass die Window Analysis, abgesehen vom Jahr 1998, insgesamt eine relativ geringe Spannweite der durchschnittlichen periodenspezifischen Effizienzwerte suggeriert. Diese Beobachtung ist erstaunlich angesichts der deskriptiven Analyse der Ausgangsdaten, aufgrund derer von einem tendenziellen R¨ uckgang der Werbeeffizienz auszugehen ist.482 Diesen tendenziellen R¨ uckgang findet man durch die Resultate der DIS-DEA wiedergegeben, und zwar umso eher, je gr¨oßer die Fensterbreite ist. Insbesondere ist bei l = 4 auff¨allig, dass die anhand der DIS-DEA 2 berechneten mittleren Werbeeffizienzen 481

Trotz der Diskretheit der Daten werden die jahresspezifischen Durchschnittseffizienzen aus ¨ Illustrations- und Ubersichtlichkeitsgr¨ unden durch Strecken miteinander verbunden; siehe dazu auch Fußnote 462.

482

Der Zusatz tendenziell“ begr¨ undet sich durch die fehlende Monotonie der Effizienzentwicklungen. ”

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

177

mit den Werten des naiven“ Quotienten Ums¨atze pro Werbeausgaben beinahe identisch ” sind: W¨ahrend letztgenannter Quotient von 50,62 (1998) auf 39,43 (2005) zur¨ uckgeht, f¨allt die anhand der DIS-DEA 2 bestimmte durchschnittliche Periodeneffizienz von 51% im Jahre 1998 auf 38% im Jahre 2005 zur¨ uck.483 Im Gegensatz hierzu ist bez¨ uglich der Window Analysis zu konstatieren, dass sich die mittlere Werbeeffizienz von 1999 auf 2005 nur um etwa 0,5 Prozentpunkte verringert. Der offenkundige R¨ uckgang der Werbeeffizienz — als aggregierte Gr¨oße u ¨ber alle werbetreibenden Unternehmen — wird somit nicht aufgedeckt. 5.4.5.2 Statistische Analysen Zur inferenzstatistischen Untersuchung der deskriptiven Befunde sowohl der Entwicklungen der durchschnittlichen Werbeeffizienz als auch methodischer Unterschiede zwischen DIS-DEA 2 und Window Analysis werden ¨ahnlich wie bei der Analyse der Fenstereffizienzen verschiedene Tests angewandt.484 Zun¨achst einmal beantwortet der Friedman-Test die Frage, ob eine Methode bei gegebener Fensterbreite Effizienzentwicklungen u ¨ber den gesamten Beobachtungszeitraum ausweist. Die zentralen diesbez¨ uglichen Erkenntnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen: • F¨ ur die DIS-DEA 2 ergeben sich f¨ ur jede betrachtete Fensterbreite hochsignifikante Ergebnisse.485 Daher kann f¨ ur jede Fensterbreite die Nullhypothese abgelehnt werden, dass die vertikal aggregierten Periodeneffizienzen u ¨ber alle Perioden derselben Verteilung gen¨ ugen. Somit haben in jedem Fall Effizienzentwicklungen stattgefunden. • Im Gegensatz zur DIS-DEA 2 liefert die Window Analysis bei Ausschluss der Daten aus dem Jahr 1998 kein signifikantes Testergebnis. F¨ ur den Zeitraum von 1999 bis 2005 scheint also selbst bei einer Fensterbreite von l = 4 die Werbeeffizienz konstant geblieben zu sein. Dieses (angesichts Abbildung 5.1 kontraintuitive) Ergebnis deckt sich mit den Ergebnissen der deskriptiven Analyse der durchschnittlichen Werbeeffizienz. 483

Siehe Anhang C.2.

484

Hierbei sei darauf verwiesen, dass die Datenbasis jedes Tests auf der Ebene der Unternehmen angesiedelt ist, im Gegensatz zur deskriptiven Analyse, die durch die Mittelwertbildung eine gewisse Vereinfachung bedeutet.

485

Zu den Ergebnissen des Friedman-Tests siehe Anhang C.10.

178

Empirische Illustration der DIS-DEA

Tabelle 5.8: Inferenzstatistische Untersuchung auf Effizienzentwicklungen der mittels DISDEA 2 berechneten Periodeneffizienzen l=2 l=3 l=4 Jahre Wilcoxon Vorzeichen Wilcoxon Vorzeichen Wilcoxon Vorzeichen 1998-1999 n.s. n.s. + + n.s. n.s. 1999-2000 n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. 2000-2001 n.s. n.s. n.s. – – – 2001-2002 n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. 2002-2003 n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. 2003-2004 – – – – – – 2004-2005 n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. 1998-2000 k.A. k.A. n.s. n.s. n.s. n.s. 1999-2001 k.A. k.A. – – – – 2000-2002 k.A. k.A. – – – – 2001-2003 k.A. k.A. n.s. n.s. n.s. n.s. 2002-2004 k.A. k.A. – – – – 2003-2005 k.A. k.A. – – – – n.s.: nicht signifikant; k.A.: keine Analyse; signifikante Effizienzsteigerung: +; signifikante Effizienzminderung: – (p < 0, 05)

Um das Ergebnis bez¨ uglich der DIS-DEA 2 zu konkretisieren, dass zwischen 1998 und 2005 Entwicklungen der Werbeeffizienz vorliegen, werden zun¨achst erg¨anzende Paarvergleiche aufeinander folgender Perioden unter Zuhilfenahme des Wilcoxon- und des Vorzeichentests durchgef¨ uhrt. Die Ergebnisse sind in Tabelle 5.8 dargestellt und lassen sich wie folgt interpretieren: • F¨ ur s¨amtliche Fensterbreiten liegen signifikante Effizienzminderungen von 2003 auf ¨ 2004 vor. W¨ahrend dies f¨ ur l = 2 die einzige signifikante Anderung u ¨ber den gesamten Zeitraum darstellt (der sieben Paarvergleiche umfasst), k¨onnen f¨ ur l = 3 und l = 4 zus¨atzliche Effizienzsenkungen von 2000 auf 2001 konstatiert werden, sowie f¨ ur l = 3 zus¨atzlich eine Effizienzsteigerung von 1998 auf 1999. ¨ • Die geringe Anzahl signifikanter Anderungen liegt m¨oglicherweise darin begr¨ undet, dass ausschließlich direkt aufeinander folgende Perioden Gegenstand dieses Paarvergleichs sind. • F¨ ur die Window Analysis liegt mit Ausnahme des bereits erw¨ahnten Sondereffektes

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

179

im Jahre 1998 keine einzige Effizienzver¨anderung vor.486 Die Analyse aufeinander folgender Perioden und die simultane Analyse s¨amtlicher Perioden liefert hier ein deckungsgleiches Ergebnis. Um allgemeine Effizienztrends besser abbilden zu k¨onnen als durch den Paarvergleich aufeinander folgender Perioden, werden abschließend die genannten Tests auf periodenspezifische Effizienzwerte angewandt, zwischen denen zumindest zwei Jahre liegen.487 Erwartungsgem¨aß ergibt sich durch einen solchen Vergleich ein umfassenderer Eindruck des allgemein geltenden Werbeeffizienztrends: • Die DIS-DEA 2 ermittelt sowohl f¨ ur l = 3 als auch f¨ ur l = 4 ausschließlich signifikante Effizienzminderungen, und zwar von 1999 auf 2001, von 2000 auf 2002, von 2002 auf 2004 und von 2003 auf 2005. Die letzten zwei Befunde sind mit Hinweis auf die Analyse aufeinander folgender Perioden gr¨oßtenteils auf die signifikanten ¨ Anderungen zwischen 2003 und 2004 zur¨ uckzuf¨ uhren. • F¨ ur die Window Analysis best¨atigt sich das bereits durch die simultane Untersuchung s¨amtlicher Perioden erhaltene Ergebnis, dass Effizienzentwicklungen kontraintuitiv wiedergegeben werden: Mit Ausnahme des Effektes aus dem Jahre 1998 ergeben sich f¨ ur keinen Vergleich zweier Perioden κ, κ + 2, (κ = 1999, ..., 2003) signifikante Entwicklungen, und zwar weder f¨ ur l = 3, noch f¨ ur l = 4. Die Window Analysis ist also selbst bei einer Fensterbreite von 4 nicht in der Lage, die Werbeeffizienz in ihrer Gesamtentwicklung u ¨ber alle Unternehmen plausibel abzubilden. Die konzeptionelle Schw¨ache der Methode kann folglich zu Fehlinterpretationen von Effizienzentwicklungen f¨ uhren, sich also in empirischen Anwendungen als ungeeignet erweisen. Hier wird suggeriert, dass die Werbeerfolgseffizienz der gr¨oßten werbetreibenden Unternehmen in den USA u ¨ber sieben Jahre konstant geblieben ist. Im Hinblick auf die Kontrolle etwaig durchgef¨ uhrter effizienzsteigernder Maßnahmen ist zu sagen, dass die Window Analysis keinen Effekt dieser Maßnahmen erkennen l¨asst, w¨ahrend die DIS-DEA 2 aussagt, dass es sogar Effizienzminderungen gegeben hat. 486

Dieses Resultat ist nicht in Tabelle 5.8 dargestellt.

487

Die Analyse bei Vorliegen der Fensterbreite l = 2 entf¨ allt hierbei, da die betroffenen Jahre eine Paarvergleichs nie in demselben Fenster liegen und die verglichenen Werte somit unter Verwendung unterschiedlicher Technologiemengen ermittelt worden sind.

180

Empirische Illustration der DIS-DEA

5.4.6 Periodenspezifische Effizienzwerte: Vertikale Perspektive Die vertikale Perspektive erlaubt, wie bereits erw¨ahnt, die Analyse des Datenvariationseffektes, der durch die Struktur der Analyse in u ¨berlappenden Fenstern zustande kommt. Auf diese Weise wird jedes Unternehmen bis zu l mal pro Jahr evaluiert. Dementsprechend kann durch die vertikale Perspektive die Frage beantwortet werden, wie sich die Werbeeffizienz eines Jahres bei fortlaufender Fensternummer entwickelt: Bei steigender (fallender) Periodeneffizienz werden die Referenzeinheiten im Laufe der Zeit schlechter (besser). Indirekt ist somit auch eine Analyse m¨oglich, in welche Richtung sich die allgemeine Werbeeffizienz s¨amtlicher Vergleichseinheiten entwickelt.

5.4.6.1 Deskriptive Analysen In Tabelle 5.9 sind f¨ ur jedes Jahr und f¨ ur beide Methoden — DIS-DEA 2 und Window Analysis — die periodenspezifischen Effizienzwerte als arithmetisches Mittel u ¨ber alle DMUs dargestellt.488 Die Jahre 1998 und 2005 als erste und letzte Periode des Betrachtungszeitraumes scheiden bei jeder Fensterbreite aus der Analyse aus, da sie in jeweils nur einem Fenster enthalten sind. Die Ziffer nach der Jahreszahl (J) gibt jeweils an, aus welchem Analysefenster (F) der Wert stammt.489 Auff¨allig ist hierbei, dass — bei der DISDEA 2 mit einer einzigen Ausnahme490 — beide Methoden innerhalb eines Jahres immer steigende durchschnittliche Werbeeffizienzen und somit u ¨ber alle DMUs einen durchweg positiven Datenvariationseffekt ermitteln. Selbst bei der gr¨oßten Fensterbreite l = 4 sind die bis zu vier Effizienzwerte bez¨ uglich ihrer H¨ohe wie die Fensternummer sortiert. Um einen Eindruck davon zu bekommen, in welchem Maße die verschiedenen Periodeneffizienzen eines Jahres (J) u ¨ber je zwei Analysefenster (FF) zusammenh¨angen, sind in Tabelle 5.10 entsprechende Korrelationen dargestellt.491 Je h¨oher die Korrelationen, desto ¨ahnlicher wirkt sich die Datenvariation auf alle verglichenen Unternehmen aus. Der Ver488

Die Standardabweichungen liegen f¨ ur beide Methoden in derselben Gr¨oßenordnung – meist um 0,3 – und insgesamt zwischen 0,25 und 0,38.

489

Die Anzahl der Analysefenster betr¨ agt T − l + 1 und somit 7 (6,5) f¨ ur die Fensterbreite 2 (3,4).

490

N¨amlich bei l = 3 im Jahre 2003 zwischen dem 5. und 6. Fenster.

491

Da sich bei l = 2 mit Ausnahme der Jahre 1998 und 2005 zwei Fenster u ¨berlappen, liegt hier pro Periode ein Korrelationswert vor. Bei l = 3 (bzw. l = 4) sind es maximal 3 (bzw. 6) verschiedene Korrelationen.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

181

Tabelle 5.9: Periodenspezifische Effizienzen pro Jahr und Fenster (als Mittelwerte u ¨ber alle DMUs) f¨ ur l = 2 und l = 3

J–F 1998–1 1999–1 1999–2 2000–2 2000–3 2001–3 2001–4 2002–4 2002–5 2003–5 2003–6 2004–6 2004–7 2005–7

l=2 DD2 0,5218 0,4729 0,5234 0,4280 0,5111 0,5037 0,5572 0,4717 0,5548 0,4996 0,5376 0,4844 0,5000 0,4897

WA 0,8258 0,4483 0,4779 0,4730 0,5172 0,5011 0,5429 0,4987 0,5549 0,4986 0,5609 0,5062 0,5320 0,5293

J–F 1998–1 1999–1 1999–2 2000–1 2000–2 2000–3 2001–2 2001–3 2001–4 2002–3 2002–4 2002–5 2003–4 2003–5 2003–6 2004–5 2004–6 2005–6

l=3 DD2 0,5524 0,4457 0,5056 0,4253 0,4748 0,5424 0,3916 0,4757 0,5643 0,4157 0,4932 0,5466 0,4284 0,4986 0,4845 0,4323 0,4939 0,4377

WA 0,8257 0,4391 0,4593 0,4456 0,4591 0,5097 0,4617 0,4930 0,5400 0,4453 0,4964 0,5534 0,4492 0,4974 0,5544 0,4565 0,5002 0,4904

J–F 1998–1 1999–1 1999–2 2000–1 2000–2 2000–3 2001–1 2001–2 2001–3 2001–4 2002–2 2002–3 2002–4 2002–5 2003–3 2003–4 2003–5 2004–4 2004–5 2005–5

l=4 DD2 0,5278 0,4954 0,5502 0,3990 0,4929 0,5674 0,3809 0,4249 0,4849 0,5464 0,3532 0,4163 0,5078 0,5108 0,4180 0,4375 0,4943 0,3829 0,4571 0,3942

WA 0,8249 0,4305 0,4529 0,4380 0,4544 0,5079 0,4397 0,4578 0,4914 0,5392 0,4022 0,4437 0,4949 0,5518 0,4152 0,4488 0,4964 0,4134 0,4551 0,4365

DD2: DIS-DEA 2; WA: Window Analysis

gleich von DIS-DEA 2 und Window Analysis zeigt somit, dass der Datenvariationseffekt bei der DIS-DEA 2 im genannten Sinne un¨ahnlicher ist als bei der Window Analysis: Bei jedem Paarvergleich der Korrelationen stellt man fest, dass die Window Analysis h¨ohere Korrelationen zwischen den verschiedenen Periodeneffizienzen einer Periode erzeugt.

Insgesamt bleibt nach der deskriptiven Analyse festzuhalten, dass erstens beide Methoden strukturell gleich auf die Datenvariation reagieren, indem ein durchweg positiver Datenvariationseffekt ermittelt wird, und dass sich zweitens die Datenvariation bei der Window Analysis in h¨oherem Maße ¨ahnlich auf s¨amtliche DMUs auswirkt als bei der DIS-DEA 2.

182

Empirische Illustration der DIS-DEA

Tabelle 5.10: Korrelationen periodenspezifischer Effizienzen pro Jahr

J–FF 1999–12 2000–23 2001–34 2002–45 2003–56 2004–67

l=2 DD2 0,868 0,588 0,737 0,816 0,852 0,839

WA 0,948 0,943 0,967 0,951 0,970 0,991

J–FF 1999–12 2000–12 2000–13 2000–23 2001–23 2001–24 2001–34 2002–34 2002–35 2002–45 2003–45 2003–46 2003–56 2004–56

l=3 DD2 0,618 0,683 0,702 0,819 0,757 0,822 0,843 0,814 0,847 0,898 0,836 0,813 0,921 0,863

WA 0,968 0,989 0,937 0,956 0,989 0,937 0,972 0,949 0,900 0,948 0,956 0,910 0,971 0,989

J–FF 1999–12 2000–12 2000–13 2000–23 2001–12 2001–13 2001–14 2001–23 2001–24 2001–34 2002–23 2002–24 2002–25 2002–34 2002–35 2002–45 2003–34 2003–35 2003–45 2004–45

l=4 DD2 0,785 0,677 0,805 0,787 0,784 0,769 0,797 0,806 0,808 0,924 0,785 0,822 0,769 0,851 0,868 0,882 0,840 0,840 0,928 0,858

WA 0,981 0,993 0,943 0,956 0,993 0,976 0,923 0,989 0,939 0,973 0,983 0,927 0,860 0,955 0,901 0,950 0,988 0,943 0,956 0,972

DD2: DIS-DEA 2; WA: Window Analysis

5.4.6.2 Statistische Analysen ¨ Zur inferenzstatistischen Uberpr¨ ufung des Datenvariationseffektes wird jeweils der Effekt untersucht, ob sich die Effizienzwerte einer Periode in aufeinander folgenden Fenster signifikant ¨andern.492 Die Testergebnisse sind in Tabelle 5.11 wiedergegeben. Die Testergebnisse verdeutlichen, dass f¨ ur jede Fensterbreite in den meisten F¨allen ein 492

F¨ ur l = 3 bzw. l = 4 ist zudem die Anwendung eines Friedman-Tests auf die Periodeneffizienzen der Jahre 2000 bis 2003 m¨ oglich, da in diesen Zeiteinheiten mindestens drei Effizienzwerte pro DMU und Periode vorliegen. S¨ amtliche Testergebnisse in diesen Jahren sind f¨ ur beide Methoden signifikant mit p < 0, 01. Allerdings gibt dieser Test keine Auskunft dar¨ uber, in welche Richtung der Effekt geht. Aus diesem Grund und aus Gr¨ unden der Vergleichbarkeit mit der Darstellung in Tabellen 5.9 und 5.10 werden im Folgenden nur Paarvergleiche aufeinander folgender Fenster untersucht.

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

183

Tabelle 5.11: Inferenzstatistische Untersuchung des Datenvariationseffektes l=2 J–FF DD2 1999–12 +/+ 2000–23 +/+ 2001–34 +/+ 2002–45 +/+ 2003–56 +/+ 2004–67 n.s./n.s.

WA +/+ +/+ +/+ +/n.s. +/+ +/+

l=3 J–FF DD2 1999–12 n.s./n.s. 2000–12 +/+ 2000–23 +/+ 2001–23 +/+ 2001–34 +/+ 2002–34 +/+ 2002–45 +/+ 2003–45 +/+ 2003–56 n.s./n.s. 2004–56 +/+

WA +/n.s. +/n.s. +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+

l=4 J–FF DD2 1999–12 +/n.s. 2000–12 +/+ 2000–23 +/+ 2001–12 +/+ 2001–23 +/+ 2001–34 +/+ 2002–23 +/+ 2002–34 +/+ 2002–45 n.s./n.s. 2003–34 +/+ 2003–45 +/+ 2004–45 +/+

WA +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+ +/+

DD2: DIS-DEA 2; WA: Window Analysis; +: signifikant positiver Datenvariationseffekt (Wilcoxon-/Vorzeichentest); p < 0, 05

signifikanter Datenvariationseffekt vorliegt, wenn man jeweils Periodeneffizienzen zweier aufeinander folgender Fenster betrachet. Ausnahmen bilden bei l = 2 das Jahr 2004 f¨ ur die DIS-DEA 2 sowie das Jahr 2002 f¨ ur die Window Analysis; bei l = 3 das Jahr 1999 f¨ ur beide Methoden und zus¨atzlich das Jahr 2000 bez¨ uglich der Fenster 1 und 2 (2003 bez¨ uglich der Fenster 5 und 6) f¨ ur die Window Analysis (DIS-DEA 2) sowie bei l = 4 die Jahre 1999 und 2002 (Fenster 4 und 5) f¨ ur die DIS-DEA 2. Bei allen sonstigen Vergleichen ist der Datenvariationseffekt durchg¨angig positiv. Das bedeutet, dass die deskriptiven Ergebnisse des vorangegangenen Abschnittes gr¨oßtenteils auch statistisch signifikant sind. Beide Methoden verhalten sich somit ¨ahnlich bez¨ uglich der vertikalen Perspektive und daher auch ¨ahnlich bez¨ uglich derjenigen Sensititiv¨atsanalyse, die durch die Analysestruktur u ¨berlappender Fenster erm¨oglicht wird.

5.4.7 Abschließende Bemerkungen Der Fokus des vorliegenden Kapitels lag auf der Gegen¨ uberstellung der zentralen Ergebnisse der DIS-DEA und der Window Analysis in Form der Effizienzwerte bzw. der daraus ersichtlichen Tendenzaussagen zur Entwicklung der Werbeeffizienz der gr¨oßten werbetrei-

184

Empirische Illustration der DIS-DEA

benden Unternehmen in den USA. Anhand des methodischen Vergleichs konnte demonstriert werden, dass die DIS-DEA einerseits und die Window Analysis andererseits unterschiedliche Ergebnisse erzeugen, was die Fenstereffizienzen sowie die fensterinterne und fenster¨ ubergreifende horizontale Perspektive der Periodeneffizienzen betrifft. Somit gelangten beide Methoden zu unterschiedlichen Effizienzverl¨aufen, wobei beide Varianten der DIS-DEA (deren Ergebnisse ein hohes Maß an Gleichlauf und somit an Konsistenz besitzen) die plausibleren Werte erzeugten. Lediglich bez¨ uglich der vertikalen Perspektive und damit hinsichtlich der modellinh¨arenten Sensitivit¨atsanalyse verhielten sich die beiden Verfahrensklassen ¨ahnlich. Inhaltlich konnte wie in der Studie von Luo, Donthu (2001) als erste DEA-basierte Untersuchung zur Werbeerfolgseffizienz auch hier festgestellt werden, dass die gr¨oßten werbetreibenden Unternehmen in den USA in ihrer Gesamtheit Ineffizienzen aufweisen und somit insgesamt so genanntes over-advertising vorliegt. Die durchschnittliche Werbeeffizienz der betrachteten Unternehmen im Zeitraum zwischen 1998 und 2005 liegt • bez¨ uglich der l¨angerfristigen Fenstereffizienz zwischen 51% und 55% bei der DISDEA 1 bzw. zwischen 45% und 53% bei der DIS-DEA 2, abh¨angig von der gew¨ahlten Fensterbreite, die zwischen 2 und 4 Jahre betr¨agt; • bez¨ uglich der k¨ urzerfristigen Periodeneffizienz zwischen 38% und 53% bez¨ uglich DISDEA 2; ebenso abh¨angig von der Fensterbreite. Im Konkurrenzvergleich und aus reinen Effizienzgesichtspunkten kann daher gesagt werden, dass die Notwendigkeit besteht, die Werbeausgaben im Mittel auf etwa die H¨alfte, in einzelnen Jahren sogar noch st¨arker zu reduzieren. Durch die dynamische Perspektive der hier vorgelegten Untersuchung konnte zudem festgestellt werden, dass die Werbeeffizienz u uckgegangen ist. Dies sollte die Unternehmen ¨ber alle DMUs im Zeitablauf sogar noch zur¨ (insbesondere diejenigen, die bei der Effizienzbewertung unterdurchschnittlich abschneiden) dazu veranlassen, die H¨ohe ihrer Werbebudgets kritisch zu hinterfragen. Bei einer solchen kritischen Hinterfragung sollte allerdings darauf geachtet werden, welche effizienten Unternehmen als Referenz angegeben werden: Wenn auch durch die Wahl variabler Skalenertr¨age verschiedene optimale Produktionsniveaus“ zugelassen wurden, so bleibt ” die Eruierung aus, ob erfolgreiche Werbeeffizienz von anderen Branchen tats¨achlich auf

Empirische Ergebnisse: DIS-DEA und Window Analysis im Vergleich

185

die eigene u ¨bertragen werden kann. Zus¨atzliche Analysen der so genannten Inputkongestion k¨onnten Aufschluss dar¨ uber geben, ob m¨oglicherweise eine Reduzierung von Werbung sogar einen positiven Effekt erzielen kann.493 Zudem k¨onnten weiterf¨ uhrende Slackanalysen ermitteln, ob bei einzelnen Inputs eine Reduzierung der Ausgaben u ¨ber das ausgewiesene proportionale Maß hinaus m¨oglich sind. Aus einer solchen Analyse w¨are folglich f¨ ur jedes einzelne Unternehmen ersichtlich, welches Medium besonderes Kosteneinspraungspotenzial betrifft, um mit den effizientesten werbetreibenden Unternehmen gleichziehen zu k¨onnen. Neben diesen erg¨anzenden Analysen, die die Inputseite betreffen, sei abschließend noch einmal darauf hingewiesen, dass inbesondere bez¨ uglich der Festlegung und Messung der Werbeoutputs Forschungsbedarf besteht und zuk¨ unftige Studien in diesem Bereich nicht ausschließlich monet¨are, sondern auch psychografische Gr¨oßen verwenden sollten.494

493

Siehe dazu auch Luo, Donthu (2001), die eine solche Analyse durchf¨ uhren, sowie die Ausf¨ uhrungen auf S. 154.

494

Siehe dazu auch Luo, Donthu (2005), S. 34.

6 Fazit 6.1 Zusammenfassung der Arbeit und Darstellung zentraler Ergebnisse Die effizienzorientierte Beurteilung leistungserstellender Einheiten ist in vielen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften von hoher Relevanz. Zunehmender Wettbewerbsdruck, der u.a. durch wachsende Kundenanforderungen an Sach- und Dienstleistungen entsteht, veranlasst Unternehmen zur Durchf¨ uhrung von Maßnahmen, die die Effizienz ihrer Leistungserstellung erh¨ohen sollen. Um zu analysieren, ob und wie sich die Effizienz im Laufe der Zeit entwickelt und ob die ergriffenen Maßnahmen die gew¨ unschte effizienzsteigernde Wirkung erzielt haben, ist die Anwendung eines Verfahrens vonn¨oten, das speziell diesem dynamischen Aspekt der Analyse gerecht wird. In der vorliegenden Arbeit ist die Data Envelopment Analysis (DEA) als ein vielseitig anwendbares, flexibles Instrument der relativen Effizienzmessung vorgestellt worden. Mittels Techniken der Linearen Programmierung wird aus realen Beobachtungen, die sich anhand von Inputs und Outputs beschreiben lassen, auf nicht-parametrische Weise ein effizienter (Produktionsfunktions-)Rand gesch¨atzt. Bez¨ uglich dieses Randes k¨onnen s¨amtliche Einheiten — in der Literatur decision making units (DMUs) genannt — evaluiert werden. Zur Analyse von Effizienzentwicklungen im Zeitablauf bzw. zur Kontrolle, ob effizienzsteigernde Maßnahmen tats¨achlich erfolgreich gewesen sind, ist allerdings eine Modifikation der DEA-Grundmodelle notwendig, die alle f¨ ur eine statische Perspektive ausgelegt sind. Im Besonderen sind hierf¨ ur die so genannten Panelmodelle geeignet, die eine Klasse dynamischer Verfahrensvarianten der DEA darstellen. Beim Blick in die Literatur zur DEA f¨allt allerdings auf, dass einerseits dynamische Verfahren einen geringen Anteil verf¨ ugba-

Zusammenfassung und zentrale Ergebnisse

187

rer Arbeiten darstellen, und dass andererseits die bestehenden Panelmodelle konzeptionell insofern unbefriedigend sind, als sie die hierarchische Datenstruktur der betrachteten Vergleichseinheiten unber¨ ucksichtigt lassen. Aus diesem Grund bestand das Anliegen der Arbeit darin, ein eigenes DEA-basiertes Modell zu entwickeln, das die Schw¨ache bestehender Panelmodelle behebt.

In Kapitel 2 erfolgte zun¨achst die Vermittlung einer methodischen Grundlage, um sp¨ater das eigene Panelmodell theoretisch einordnen zu k¨onnen. Zentral waren hier die Ausf¨ uhrungen zu produktions- und entscheidungstheroetischen Bez¨ ugen der DEA. Die eigentliche Effizienzmessung wird innerhalb einer DEA durch Anwendung von Distanzfunktionen durchgef¨ uhrt; diese sind ferner dazu geeignet, verschiedene Modelle zu charakterisieren. Im Rahmen der mathematischen Darstellung verschiedener DEA-Modelle sind neben den grundlegenden Varianten vom Typ CCR und BCC vier weitere statische Modelle beschrieben worden, in denen jeweils die Annahme bez¨ uglich einer der vier auftretenden Parameterklassen gelockert wird. Auf diese Weise standen nicht nur die statischen Basis¨ modelle, sondern ebenso die zentralen statischen Varianten f¨ ur die sp¨atere Ubertragung auf das eigene Modell zur Verf¨ ugung.

Kapitel 3 befasste sich mit der Darstellung bestehender dynamischer DEA-Modelle, die zur Analyse von Paneldatens¨atzen geeignet sind. In der Literatur finden sich drei Klassen solcher Modelle. Zudem wird im Rahmen der dynamischen Effizienzmessung h¨aufig der Malmquist-Produktivit¨atsindex angewandt, der Resultate eines Panelmodells nutzt, um Ursachen f¨ ur Effizienzver¨anderungen festzustellen. Die Window Analysis stellt jedoch dasjenige Panelmodell dar, das im Rahmen methodisch orientierter sowie anwendungsbezogener Arbeiten vornehmlich genutzt wird. Die Analyse erfolgt dabei in einer Folge u ¨berlappender Fenster“, wobei ein Fenster einen Abschnitt des gesamten Beobachtungs” zeitraumes darstellt. Dadurch enstehen zwei Perspektiven der Effizienzmessung: die horizontale und die vertikale. W¨ahrend die horizontale Perspektive Effizienzentwicklungen im Zeitablauf widerspiegelt, erlaubt die vertikale Perspektive Aussagen dar¨ uber, wie sich Datenvariationen auf die Effizienz innerhalb einer Periode auswirken. Die Window Analysis weist jedoch aus konzeptioneller Sicht eine erhebliche Schw¨ache auf; die Vergleichseinheiten werden pro Periode als separate Einheiten modelliert. Dies stellt eine Missachtung der Tatsache dar, dass periodenspezifische Leistungen DMU-spezifisch sind und somit auch

188

Fazit

nicht losgel¨ost von ihrem Bezugspunkt analysiert werden sollten. Insgesamt f¨ uhrte diese Beobachtung zu dem Schluss, dass ein Verfahren fehlt, das der hierarchischen Struktur in Paneldatens¨atzen gerecht wird.

In Kapitel 4 ist unter der Bezeichnung DIS-DEA ein eigenes Verfahren der DEA-basierten Panelanalyse vorgestellt worden. Es kann prinzipiell als Vertreter jeder der drei Modellklassen zur Panelanalyse formuliert werden und wurde in zwei Varianten formuliert, die einander erg¨anzende Resultate erzeugen. Der Grundgedanke jedes Modells einer DIS-DEA ist die Analyse von fensterweise aggregierten Produktionen einer DMU; auf diese Weise wird die durch den Parameter Zeit hierarchisierte Datenstruktur ber¨ ucksichtigt. W¨ahrend in DIS-DEA-Variante 1 die fensterspezifischen Produktionen der Vergleichseinheiten zur Konstruktion der Technologiemenge herangezogen werden, sind dies in Variante 2 periodenspezifische Produktionen. Das bedeutet, dass die Effizienzbewertung in Variante 1 nach der Maßgabe langfristig effizienter DMUs geschieht, wohingegen Variante 2 einer kurzfristigen Perspektive unterliegt. Trotz der Analyse fensterweise aggregierter Produktionen erlaubt die DIS-DEA ebenso die Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte; dies geschieht im so genannten DISaggreggationsschritt. S¨amtliche in Kapitel 2 genannten statischen Basismodelle sowie statische Erweiterungen sind in Kapitel 4 f¨ ur die Zwecke der DIS-DEA formuliert worden und stehen somit zur Verwendung in empirischen Anwendungen zur Verf¨ ugung; Entsprechendes gilt f¨ ur die Berechnungsvorschriften im Rahmen des DISaggregationsschrittes. Ein konzeptioneller Vergleich der DIS-DEA mit der Window Analysis hat gezeigt, dass die DIS-DEA Vorteile insbesondere bez¨ uglich des Ergebnisspektrums und der Analyse von Effizienzentwicklungen aufweist. Ein spezielles rechentechnisches Problem der DIS-DEA im Rahmen der Berechnung periodenspezifischer Effizienzwerte, das die Nicht-Eindeutigkeit dieser Werte nach sich ziehen kann, konnte in Form der Pufas-Afros- und Fourier-MotzkinAlgorithmen gel¨ost werden. Abschließend ist anhand der Darstellung von Post-Analysen deutlich geworden, dass die Resultate der DIS-DEA im Zusammenhang mit der Erstellung von Effizienzrankings vielf¨altiger eingesetzt werden k¨onnen als Resultate der Window Analyis. Zudem sind verschiedene M¨oglichkeiten pr¨asentiert worden, die erhaltenen Effizienzwerte inferenzstatistisch auszuwerten, und zwar haupts¨achlich zur Untersuchung der Fragen, wann Effizienzver¨anderungen stattgefunden haben und in welche Richtung sie gegangen sind. Auch bez¨ uglich der Konstruktion von Malmquist-Indizes auf Basis von

Ausblick auf zuk¨ unftige Forschungsfelder

189

Effizienzwerten der DIS-DEA hat sich die Methode gegen¨ uber bestehenden Verfahren der Panelanalyse als vorteilhaft erweisen k¨onnen. Zur Demonstration der DIS-DEA in einer empirischen Anwendung wurde in Kapitel 5 die Werbeeffizienz der gr¨oßten werbetreibenden Unternehmen in den USA in einem Zeitraum von acht Jahren untersucht. Grundlage der Untersuchung bildete eine Studie von Luo, Donthu (2001), die jedoch bez¨ uglich einiger Spezifika wesentlich modifiziert worden ist. Den Schwerpunkt der empirischen Analyse bildete die vergleichende Darstellung der Ergebnisse der DIS-DEA einerseits und der Window Analysis andererseits. Zur rechentechnischen Umsetzung der DIS-DEA gelangte die in Kapitel 4.6 beschriebene eigene Software myDEA zum Einsatz. Das zentrale Ergebnis der Gegen¨ uberstellung empirischer Ergebnisse ¨ bestand darin, dass sich die konzeptionelle Uberlegenheit der DIS-DEA auch in plausibleren Effizienzwerten niederschlug, und zwar sowohl hinsichtlich der Fenster- als auch der Periodeneffizienzen. Die Window Analysis suggeriert eine ¨außerst hohe durchschnittliche Werbeeffizienz im Jahre 1998, einen Effekt, der durch die dortige beinahe vernachl¨assigbare Nutzung des Mediums Internet zustande kommt. Zudem ist eine kaum nennenswerte Effizienzschwankung zwischen 1999 und 2005 festzustellen, obwohl im Verh¨altnis zum Umsatz u ¨berproportional steigende Werbeausgaben vorliegen. Das empirische Beispiel illustriert somit, dass die Anwendung der Window Analysis m¨oglicherweise irref¨ uhrende oder kontraintuitive Ergebnisse erzeugt. Lediglich bez¨ uglich der vertikalen Perspektive, die durch die Analyse in u ¨berlappenden Fenstern entsteht und eine besondere Form der Sensitivit¨atsanalyse gestattet, verhalten sich die DIS-DEA und die Window Analysis ¨ahnlich.495

6.2 Ausblick auf zuk¨ unftige Forschungsfelder Auch wenn mit der DIS-DEA ein DEA-basiertes Panelmodell in den Basismodellen CCR und BCC sowie in zentralen Varianten zur Verf¨ ugung steht, das die konzeptionelle Schw¨a¨ che bestehender Verfahren l¨ost, besteht dennoch weiterer Forschungsbedarf. Die Ubertragung der statischen weiterentwickelten Modelle auf den Fall der DIS-DEA geschah jeweils am Beispiel eines Modells; hier sind weitere Modellspezifikationen m¨oglich, die im Fall 495

Wie in Kapitel 5 erl¨autert, ist f¨ ur diesen Vergleich ausschließlich DIS-DEA-Variante 2 betrachtet worden.

190

Fazit

einer empirischen Anwendung von Relevanz sein k¨onnten und f¨ ur diese Zwecke auch formuliert werden m¨ ussten. Zudem beschr¨ankte sich die Darstellung auf vier zentrale Klassen ¨ von Weiterentwicklungen; die Ubertragung weiterer Modelle im Kontext der DIS-DEA — beispielsweise allokative Modelle oder Modelle, bei denen im Vergleich zum CCR- oder BCC-Basismodell mehr als eine Parameterklasse variiert wird — steht noch aus. Bez¨ uglich der empirischen Illustration ist einschr¨ankend anzumerken, dass sich der Ergebnisvergleich zwischen DIS-DEA einerseits und Window Analysis andererseits auf die Spezifika des Anwendungsbeispiels bezog. Nur weitere empirische Anwendungen k¨onnen Klarheit dar¨ uber verschaffen, in welchem Maße sich die Ergebnisse beider Verfahren voneinander unterscheiden, wenn die Modellspezifikationen bzw. die Datensituationen variieren, also • die Anzahl der DMUs oder die Anzahl der Effizienzkriterien variiert; • das eingesetzte Modell konstante Skalenertr¨age verwendet oder beschr¨ankte Gewichtungsfaktoren aufweist; • nicht-konvexe Technologien zugrunde gelegt werden oder • die L¨ange des Beobachtungszeitraumes erheblich von der hier betrachteten abweicht. F¨ ur empirische Anwendungen ist es zudem notwendig, die bisher verf¨ ugbare Software myDEA in gewisser Hinsicht zu erweitern. Die aktuelle Version steht als Open-SourceSoftware unter der Internetadresse www.mydea.org zur Verf¨ ugung, erm¨oglicht allerdings noch nicht die Berechnung totaler Periodeneffizienzen und ist zudem auf die beiden Basismodelle vom Typ CCR und BCC beschr¨ankt. W¨ unschenswert w¨are die Implementierung von Additiven Modellen, von FDH-Modellen, von Modellen mit beschr¨ankten sowie mit nicht-beeinflussbaren Variablen, da diese zentrale Erweiterungen der CCR- und BCCBasismodelle darstellen. Zur Erweiterung des Einsatzfeldes w¨are ebenso die Berechnung von Malmquist-Indizes sinnvoll, um den in Kapitel 4.7.4 erw¨ahnten Vorteil der DIS-DEA tats¨achlich nutzbar zu machen. Neben diesem methodischen und empirischen Forschungsbedarf besteht ein weiteres zuk¨ unftiges Forschungsfeld darin, M¨oglichkeiten zur Implementierung von Ergebnissen der DIS-DEA in unternehmensinterne Monitoring- und Controllingsysteme zu eruieren. W¨ahrend in der DEA-basierten Literatur oft von einer ex post-Analyse gesprochen wird, bleibt

Ausblick auf zuk¨ unftige Forschungsfelder

191

zu kl¨aren, inwiefern kontinuierliche Wettbewerbsbeobachtungen oder auch ein internes Benchmarking f¨ ur Planungszwecke oder zur Ableitung von effizienzsteigernden Maßnahmen genutzt werden k¨onnen. Abschließend sei angemerkt, dass der Einsatz der DIS-DEA nicht auf die Situation eines Paneldatensatzes beschr¨ankt ist, sondern prinzipiell immer dann verwendet werden kann, wenn die zu vergleichenden Einheiten in irgendeiner Form gruppiert sind. W¨ahrend sich eine Paneldatensituation durch den Parameter Zeit als hierarchiebildende Gr¨oße ergibt, w¨ urde ebenso beispielsweise eine organisatorische oder verwaltungstechnische Zugeh¨origkeitsvariable von DMUs dazu f¨ uhren, dass eine DIS-DEA sowohl auf aggregiertem (Vergleich der Gruppen) als auch auf disaggregiertem Niveau (gruppeninterner Vergleich) Effizienzbewertungen erm¨oglicht. Die Begriffe der Fenster- bzw. Periodeneffizienz w¨aren dann entsprechend mit gruppen¨ ubergreifender“ bzw. gruppeninterner“ Effizienz zu ver” ” allgemeinern. Falls es keinen nat¨ urlichen“ hierarchiebildenden Parameter gibt, kann zur ” Festlegung von Gruppen das von Backhaus, Wilken (2004) vorgeschlagene Verfahren zum Einsatz gelangen. Ein wichtiges Anwendungsfeld einer solchen gruppierten Effizienzanalyse mit DEA best¨ unde beispielsweise in einem simultanen brancheninternen und branchen¨ ubergreifenden Benchmarking. Allerdings ist hierbei zu beachten, dass bei der hier pr¨asentierten Form der DIS-DEA als Panelanalyse pro DMU und Zeiteinheit eine Produktion vorliegt, w¨ahrend dies bei einer anderen hierarchiebildenden Gr¨oße nicht der Fall sein muss. Zudem sorgt der Parameter Zeit f¨ ur eine nat¨ urliche Reihenfolge der DMUspezifischen Produktionen; auch dies ist bei einer anderen Gruppierungsvariable nicht notwendig gegeben. Inwieweit die hier pr¨asentierten Modelle der DIS-DEA dennoch auf den allgemeinen Fall der gleichzeitigen aggregierten und disaggregierten Analyse angepasst werden m¨ ussen, sollte Gegenstand zuk¨ unftiger Forschungsarbeiten sein, ebenso wie die empirische Erprobung solcher Verfahren.

A Weitere Modellformulierungen A.1 Statische Modelle In diesem Abschnitt finden sich der Vollst¨andigkeit halber die noch nicht erw¨ahnten statischen DEA-Modelle. Modell A.1 (Outputorientiertes 2-Phasen-LP, CCR, Variablenslacks). (I) Sei θo∗ eine L¨osung von Programm 2.8. (II) L¨ose max zo =

m  i=1

s− o,i +

s 

s+ o,j

j=1

unter s− o = xo − X · λo , ∗ s+ o = Y · λ o − θ o · yo , + λo , s − o , so ≥ 0.

Modell A.2 (BCC, outputorientiert, Multiplier-Form). min θo = νo,i

unter

s  j=1 m  i=1

m 

νo,i · xo,i − vo

i=1

µo,j · yo,j = 1 νo,i · xk,i − vo ≥

s  j=1

µo,j , νo,i ≥ 0, vo ∈ R.

µo,j · yk,j

∀k = 1, ..., n

194

Weitere Modellformulierungen

Modell A.3 (BCC, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo unter ηo · yo,j ≤ xo,i ≥ n 

n 

n 

yk,j · λo,k

∀j = 1, ..., s

k=1

xk,i · λo,k

∀i = 1, ..., m

k=1

λo,k = 1

k=1

λo,k ≥ 0. Modell A.4 (Outputorientiertes 2-Phasen-LP, BCC, Variablenslacks). (I) Sei ηo∗ eine L¨osung von Programm A.3. (II) L¨ose max zo =

m  i=1

s− o,i +

s 

s+ o,j

j=1

unter s− o = xo − X · λo , ∗ s+ o = Y · λo − θo · yo , + λo ≥ 0, s− o ≥ 0, so ≥ 0.

A.2 Modelle der DIS-DEA in Vektornotation A.2.1 DIS-DEA-Variante 1 In Kapitel 4 ist wegen der gr¨oßeren Anschaulichkeit auf die detaillierte Darstellung s¨amtlicher Linearen Programme der DIS-DEA zur¨ uckgegriffen worden. Die Verwendung der Linearen Programme der DIS-DEA beider Varianten erfordert zur Programmierung jedoch eine Vektorschreibweise. Aus diesem Grund werden hier alle genannten Programme in Vektornotation bereitgestellt.

Modelle der DIS-DEA in Vektornotation Modell A.5 (CCR, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µ
o,¯ι · yo,¯ι µo,¯ι


unter νo,¯ ι = 1 ι · xo,¯
µ
o,¯ι · Y¯ι ≤ νo,¯ ι ι · X¯

µo,¯ι , νo,¯ι ≥ 0.

Hierbei sind xj,¯ι := (xj,1,¯ι , ..., xj,m,¯ι )
∈ Rm×1 , X¯ι := (x1,¯ι , ..., xn,¯ι )
∈ Rm×n , yj,¯ι := (yj,1,¯ι , ..., yj,s,¯ι )
∈ Rs×1 , Y¯ι := (y1,¯ι , ..., yn,¯ι )
∈ Rs×n , νj,¯ι := (νj,1,¯ι , ..., νj,m,¯ι )
∈ Rm×1 , µj,¯ι := (µj,1,¯ι , ..., µj,s,¯ι )
∈ Rs×1 .

Modell A.6 (CCR, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,¯ι ≥ X¯ι · λo,¯ι yo,¯ι ≤ Y¯ι · λo,¯ι λo,¯ι ≥ 0.

Hierbei ist λo,¯ι := (λo,1,¯ι , ..., λo,n,¯ι )
∈ Rn×1 .

195

196

Weitere Modellformulierungen

Modell A.7 (BCC, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µ
o,¯ι · yo,¯ι − uo,¯ι µo,¯ι


unter νo,¯ ι = 1 ι · xo,¯
µ
o,¯ι · Y¯ι − uo,¯ι ≤ νo,¯ ι ι · X¯

µo,¯ι , νo,¯ι ≥ 0, uo,¯ι ∈ R.

Modell A.8 (BCC, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,¯ι ≥ X¯ι · λo,¯ι yo,¯ι ≤ Y¯ι · λo,¯ι e
· λo,¯ι = 1 λo,¯ι ≥ 0.

Hierbei ist e = (1, ..., 1) ∈ Rn . Modell A.9 (CCR, outputorientiert, Multiplier-Form).
min ηo,¯ι = πo,¯ ι ι · xo,¯ πo,¯ι


unter ωo,¯ ι = 1 ι · yo,¯

ωo,¯ ι ≤ πo,¯ ι ι · Y¯ ι · X¯

ωo,¯ι , πo,¯ι ≥ 0.

Hierbei sind πj,¯ι := (πj,1,¯ι , ..., πj,m,¯ι )
∈ Rm×1 , ωj,¯ι := (ωj,1,¯ι , ..., ωj,s,¯ι )
∈ Rs×1 .

Modelle der DIS-DEA in Vektornotation

197

Modell A.10 (CCR, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,¯ι ≤ Y¯ι · λo,¯ι xo,¯ι ≥ X¯ι · λo,¯ι λo,¯ι ≥ 0.

Modell A.11 (BCC, outputorientiert, Multiplier-Form).
min ηo,¯ι = πo,¯ ι − vo,¯ ι ι · xo,¯ πo,¯ι


unter ωo,¯ ι = 1 ι · yo,¯

ωo,¯ ι + vo,¯ ι ≤ πo,¯ ι ι · Y¯ ι · X¯

ωo,¯ι , πo,¯ι ≥ 0, vo,¯ι ∈ R.

Modell A.12 (BCC, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,¯ι ≤ Y¯ι · λo,¯ι xo,¯ι ≥ X¯ι · λo,¯ι e
· λo,¯ι = 1 λo,¯ι ≥ 0.

A.2.2 DIS-DEA-Variante 2 Analog zur Variante 1 werden s¨amtliche genannten LPs auch f¨ ur Variante 2 in Vektorschreibweise bereitgestellt.

198

Weitere Modellformulierungen

Modell A.13 (CCR, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µ
o,¯ι · yo,¯ι µo,¯ι


unter νo,¯ ι = 1 ι · xo,¯
µ
o,¯ι · yk,κ ≤ νo,¯ ι · xk,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

µo,¯ι , νo,¯ι ≥ 0.

Modell A.14 (CCR, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,¯ι ≥ X(ι) · λo,(ι) yo,¯ι ≤ Y(ι) · λo,(ι) λo,(ι) ≥ 0.

Hierbei sind λo,(ι) := (λo,ι , ..., λo,ι+l−1 )
∈ Rnl×1 , λo,κ := (λo,1,κ , ..., λo,n,κ )
∈ Rn×1 , X(ι) := (Xι , ..., Xι+l−1 ) ∈ Rm×nl , Xκ := (x1,κ , ..., xn,κ ) ∈ Rm×n , κ = ι, ..., ι + l − 1, xk,κ := (xk,1,κ , ..., xk,m,κ )
∈ Rm×1 , k = 1, ..., n; κ = ι, ..., ι + l − 1, xk,¯ι := (xk,1,¯ι , ..., xk,m,¯ι )
∈ Rm×1

und analog Y(ι) := (Yι , ..., Yι+l−1 ) ∈ Rs×nl , Yκ := (y1,κ , ..., yn,κ ) ∈ Rs×n , κ = ι, ..., ι + l − 1, yk,κ := (yk,1,κ , ..., yk,s,κ )
∈ Rs×1 , k = 1, ..., n; κ = ι, ..., ι + l − 1, yk,¯ι := (yk,1,¯ι , ..., yk,s,¯ι )
∈ Rs×1 .

Modelle der DIS-DEA in Vektornotation

199

Modell A.15 (CCR, outputorientiert, Multiplier-Form).
min ηo,¯ι = πo,¯ ι ι · xo,¯ πo,¯ι


unter ωo,¯ ι = 1 ι · yo,¯

ωo,¯ ι · yk,κ ≤ πo,¯ ι · xk,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

πo,¯ι , ωo,¯ι ≥ 0. Modell A.16 (CCR, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,¯ι ≤ Y(ι) · λo,(ι) xo,¯ι ≥ X(ι) · λo,(ι) λo,(ι) ≥ 0. Modell A.17 (BCC, inputorientiert, Multiplier-Form). max θo,¯ι = µ
o,¯ι · yo,¯ι − e
· uo,(ι) µo,¯ι


unter νo,¯ ι = 1 ι · xo,¯
µ
o,¯ι · yk,κ − uo,κ ≤ νo,¯ ι · xk,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

µo,¯ι , νo,¯ι ≥ 0, uo,(ι) ∈ Rl .

Hierbei ist uo,(ι) := (uo,ι , ..., uo,ι+l−1 ). Modell A.18 (BCC, inputorientiert, Envelopment-Form). min θo,¯ι unter θo,¯ι · xo,¯ι ≥ X(ι) · λo,(ι) yo,¯ι ≤ Y(ι) · λo,(ι) n  λo,k,κ = 1 ∀κ = ι, ..., ι + l − 1 k=1

λo,k,(ι) ≥ 0.

200

Weitere Modellformulierungen

Modell A.19 (BCC, outputorientiert, Multiplier-Form).

min ηo,¯ι = πo,¯ ι − e vo,(ι) ι · xo,¯ πo,¯ι


unter ωo,¯ ι = 1 ι · yo,¯

ωo,¯ ι · yk,κ + vo,κ ≤ πo,¯ ι · xk,κ

∀k = 1, ..., n, ∀κ = ι, ..., ι + l − 1

l

πo,¯ι , ωo,¯ι ≥ 0, vo,(ι) ∈ R .

Hierbei ist, analog zum inputorientierten Modell, vo,(ι) := (vo,ι , ..., vo,ι+l−1 ). Modell A.20 (BCC, outputorientiert, Envelopment-Form). max ηo,¯ι unter ηo,¯ι · yo,¯ι ≤ Y(ι) · λo,(ι) xo,¯ι ≥ X(ι) · λo,(ι) n  λo,k,κ = 1 ∀κ = ι, ..., ι + l − 1 k=1

λo,k,(ι) ≥ 0.

B Technische Informationen zur Software myDEA B.1 Verwendete Programmpakete myDEA basiert auf der Programmiersprache Java 5. Vor der eigentlichen Programmeinrichtung muss daher die ben¨otigte Java runtime Environment 5.0 (JRE) installiert werden. Anschließend kann myDEA unter Windows durch Ausf¨ uhren einer Batch-Datei gestartet werden. Zur lokalen Nutzung ist der unter www.mydea.org verf¨ ugbare Ordner myDEA mit s¨amtlichen Unterordnern auf den gew¨ unschten Rechner zu kopieren. Die grafische Benutzeroberfl¨ache GUI mit dem Standard Widget Toolkit (SWT) dient der Sicherstellung eines system¨ahnlichen Aussehens der Software auf verschiedenen Plattformen wie z.B. Windows oder Linux. Um Texdateien importieren zu k¨onnen, wird das Programmpaket com.ostermiller-utils.util eingesetzt;496 das Paket jxl bietet vergleichbare Funktionen f¨ ur Excel-Dateien.497 Da myDEA die DMU-Daten in Matrizen speichert und mit diesen operiert, ist eine Matrixunterst¨ utzung notwendig; hierzu gelangt das jama-Paket zum Einsatz. S¨amtliche Linearen Programme werden in myDEA durch Anwendung des GNU Linear Programming Kit (GLPK) berechnet.498 Der LP-Solver GLPK ist frei nutzbar und bietet eine gute Java-Schnittstelle.499 Ergebnisse k¨onnen mit einer Genauigkeit von bis zu 16 Nachkommastellen angegeben werden.500 Alle verwendeten Programmpakete sind unein¨ geschr¨ankt nutzbar in freier Software, sofern keine Anderungen des Quellcodes vorgenom496

Siehe http://ostermiller.org/utils/CSV.html.

497

Siehe http://www.andykhan.com/jexcelapi.

498

GLPK ist u ¨ber das Java Application Programming Interface org.gnu.glpk in Java nutzbar.

499

Prinzipiell w¨ are es jedoch auch m¨ oglich, jeden anderen LP-Solver zu verwenden.

500

Dieser Wert ist, verglichen mit anderen freien und kommerziellen DEA-Softwares, ein hoher Wert.

202

Technische Informationen zur Software myDEA

men werden.

B.2 Der XML-basierte Ansatz von myDEA Allen bisher implementierten DEA-Basismodellen ist gemein, dass sie ein lineares Optimierungsproblem abbilden. Jedes Optimierungsproblem l¨asst sich dabei durch folgende drei Elemente charakterisieren: (i) Zielfunktion, (ii) Nebenbedingungen und (iii) Variablen. F¨ ur derartige Probleme gibt es verschiedene Beschreibungsm¨oglichkeiten, von denen insbesondere die so genannte Extensible Markup Language (XML) geeignet erscheint, um strukturierte Daten abzubilden.501 myDEA verwendet hierbei eine eigens entwickelte XMLSyntax. Um neu programmierte Modelle auch anwenden zu k¨onnen, muss das Analyse-Men¨ u angepasst werden, speziell die Dateien AnalysisMenu.xml sowie die einzelnen AnalysisMenu * *.properties. Innerhalb der XML-Datei AnalysisMenu.xml beschreiben die Elemente und die verschiedenen Men¨ upunkte und den Text bzw. das entsprechende DEA-Modell. Soll ein neues Modell implementiert werden, muss lediglich ein neues -Element der AnalysisMenu.xml-Datei hinzugef¨ ugt werden. Durch ein so genanntes Kindelement von wird das neue Modell eingebunden und ist dann u ¨ber einen neuen Dialog anwendbar. Um einen Modelldialog hinzuzuf¨ ugen, stehen zwei M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung: (i) Der Name der XML-Datei, in der das Modell formuliert wird, wird in das Element geschrieben. Mit Hilfe dieser Datei wird dann ein Dialog erstellt, der Auswahlm¨oglichkeiten f¨ ur alle in der Modell-XML-Datei durch deklarierten Variablen anbietet. Alle Variablen, die mit bzw. deklariert wurden, werden immer bzw. nie in der Ergebnissicht pr¨asentiert. (ii) Es wird ein JFace-Dialog implementiert, der u ¨ber die Methode getModel() ein Model zur¨ uckgibt. Diese M¨oglichkeit ist dann vorteilhaft, wenn in modellspezifischen Dialogen weitere, speziellere Auswahlm¨oglichkeiten angeboten werden sollen, die durch die bisherigen, durch XML-Dateien erzeugten Dialoge noch nicht gegeben sind. 501

Siehe z.B. Balzert (2000), S. 970.

C Details zur empirischen Illustration Bemerkung: S¨amtliche Namen beziehen sich auf die im Jahre 2005 genannten Namen. Tabelle C.1: Liste der betrachteten Unternehmen American Express Co. Anheuser-Busch Cos. AT&T Bayer Best Buy Co. Bristol-Myers Squibb Co. Campbell Soup Co. Cendant Corp. Clorox Co. Coca-Cola Co. ConAgra Foods DaimlerChrysler Dell Computer Diageo Estee Lauder Cos. Federated Department Stores Ford Motor Co. Gap Inc.

General Electric Co. General Mills General Motors Corp. GlaxoSmithKline Hewlett-Packard Co. Home Depot Honda Motor IBM J.C. Penney Co. Johnson & Johnson Kellogg Co. Kroger Co. L’Oreal Mattel McDonald’s Corp. Merck Co. Microsoft Corp.

Nestle News Corp. Nike Novartis PepsiCo Pfizer Procter & Gamble Co. Schering-Plough Corp. Sears Holdings Corp. Sony Corp. Sprint Nextel Corp. Time Warner Viacom Volkswagen Wal-Mart Stores Walt Disney Co. Wendy’s International

204

Details zur empirischen Illustration

1800000 1600000 1400000

Umsatz

1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Jahr

Abbildung C.1: Umsatzentwicklungen (in Summe u ¨ber alle DMUs) in Mio. US$

60

Umsätze pro Werbeausgaben

50

40

30

20

10

0 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Jahr

Abbildung C.2: Entwicklung des Quotienten Ums¨atze pro Werbeausgaben (jeweils in Summe u ¨ber alle DMUs)

Ergebnisse der empirischen Illustration

205

Tabelle C.2: Anzahl notwendiger Ersetzungen von 0 durch 0,0001 Periode Druckmedien 1998 0 1999 0 2000 0 2001 0 2002 0 2003 0 2004 0 2005 0

TV&Radio Außenwerbung 0 1 0 1 0 3 0 7 0 3 0 4 0 3 0 3

Internet 38 4 7 1 1 0 0 0

Tabelle C.3: Effizienzkriterien (jeweils in Summe u ¨ber alle DMUs) in Mio. US$ Periode Druckmedien 1998 6568,6683 1999 8184,0473 2000 8969,4 2001 8594,1 2002 8939,3 2003 10912,5 2004 11718,4 2005 13713

TV&Radio Außenwerbung 15683,4901 357,3269 17430,0616 406,0547 19655,7 452,9312 18763,6 497,8007 19451,6 520,5003 21903,4 544,0004 23151 643,3003 25234,9 695,9003

Internet Umsatz 139,0124 1151509,5 258,677 1275393,4 259,5698 1395678 363,7001 1431842 1043,9001 1488122 784,1 1473273 1420,8 1519003 1576 1625223

206

Details zur empirischen Illustration

Tabelle C.4: Mittlere Differenzen der Fenstereffizienzen (¨ uber alle DMUs) f¨ ur l = 2 l=2 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Fenster 6 Fenster 7 Spannweite

DIS-DEA 1 vs. DIS-DEA 2 0,0387 0,0484 0,0254 0,0353 0,0234 0,0345 0,0283 0,0250

DIS-DEA 1 vs. Window Analysis –0,1010 0,0497 0,0236 0,0286 0,0238 0,0119 –0,0075 0,1507

DIS-DEA 2 vs. Window Analysis –0,1397 0,0013 –0,0017 –0,0064 0,0004 –0,0226 –0,0358 0,1410

Tabelle C.5: Mittlere Differenzen der Fenstereffizienzen (¨ uber alle DMUs) f¨ ur l = 3 l=3 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Fenster 6 Spannweite

DIS-DEA 1 vs. DIS-DEA 2 0,0582 0,0609 0,0599 0,0513 0,0435 0,0444 0,0174

DIS-DEA 1 vs. Window Analysis –0,0375 0,0583 0,0552 0,0514 0,0336 –0,0018 0,0958

DIS-DEA 2 vs. Window Analysis –0,0957 –0,0026 –0,0048 0,0001 –0,0099 –0,0463 0,0958

Ergebnisse der empirischen Illustration

207

¨ Tabelle C.6: Mittlere fensterinterne Anderungen periodenspezifischer Effizienzwerte ¨ Anderung Fenster Fenster Fenster Fenster Fenster Fenster Fenster

1 2 3 4 5 6 7

¨ Anderung

l=2 1 auf 2 DIS-DEA 2 –0,0490 –0,0973 –0,0074 –0,0855 –0,0552 –0,0532 –0,0103

1 auf 2 DIS-DEA 2 Fenster 1 –0,0324 Fenster 2 –0,0674 Fenster 3 –0,0824 Fenster 4 –0,0386 Fenster 5 –0,0164 *: p < 0, 05; **: p < 0, 01

1 auf 2 1 auf 2 Window DIS-DEA 2 –0,3775 –0,1068 –0,0049 –0,0309 –0,0161 –0,0667 –0,0442 –0,071 –0,0563 –0,0479 –0,0547 –0,0006 –0,0027 k.A. l=4 1 auf 2 2 auf 3 Window DIS-DEA 2 –0,3944 –0,0964 0,0015 –0,0580 –0,0165 –0,0687 –0,0443 –0,0703 -0,0553 –0,0372

l=3 1 auf 2 2 auf 3 Window DIS-DEA 2 –0,3866 –0,0204 –0,0002 –0,0833 –0,0167 –0,0600 –0,0436 –0,0648 –,05600 –0,0663 –0,0542 –0,0462 k.A. k.A.

2 auf 3 Window 0,0065 0,0026 –0,0477 –0,0471 –0,0409 –0,0099 k.A.

2 auf 3 3 auf 4 Window DIS-DEA 2 0,0075 –0,0181 0,0033 –0,0716 –0,0477 0,0017 –0,0461 –0,0546 –0,0414 –0,0629

3 auf 4 Window 0,0017 –0,0555 –0,0285 –0,0354 –0,0186

Tabelle C.7: Mittlere Differenzen der Fenstereffizienzen (¨ uber alle DMUs) f¨ ur l = 4 l=4 Fenster 1 Fenster 2 Fenster 3 Fenster 4 Fenster 5 Spannweite

DIS-DEA 1 vs. DIS-DEA 2 0,0667 0,0794 0,0751 0,0603 0,0515 0,0279

DIS-DEA 1 vs. Window Analysis –0,0157 0,0904 0,0822 0,0549 0,0307 0,1061

DIS-DEA 2 vs. Window Analysis –0,0825 0,0111 0,0071 –0,0054 –0,0208 0,0936

208

Details zur empirischen Illustration

Tabelle C.8: P-Werte des Friedman-Tests zur Untersuchung des Datenvariationseffektes

l=2 l=3 l=4

DIS-DEA 1 0,092 0,091 0,024

DIS-DEA 2 0,011 0,003 0,046

Window Analysis 0,000 0,000 0,000

Tabelle C.9: P-Werte des Friedman-Tests zur Untersuchung fensterinterner Effizienzverl¨aufe Fenster Fenster Fenster Fenster Fenster Fenster

1 2 3 4 5 6

l=3 0,000 0,122 0,771 0,239 0,270 0,113

l=4 0,000 0,298 0,015 0,298 0,017 k.A.

Tabelle C.10: P-Werte des Friedman-Tests zur Untersuchung von Effizienzentwicklungen

l=2 l=3 l=4

DIS-DEA 2 0,005 0,000 0,000

Window Analysis 0,054 0,264 0,069

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