Droga do rzeczywistości: wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących Wszechświatem 8374691794, 9788374691796 [PDF]

Zitiervorschau

Roger Penrose DROGA DO RZECZlWISTOSCI ~

Wyczerpujqcy przewodnik po prawach rzqdzqcych Wszechswiatem

Przetozyt Jerzy Przystawa

Tytul oryginalu angielskiego THE ROAD TO REALITY A complete Guide to the Laws of the Universe Copyright © Roger Penrose, 2004 All Rights Reserved Recenzje merytoryczne Prof. dr hab. Marek Dernianski Prof. dr hab. Jerzy Lukierski Prof. dr hab. Kacper Zalewski Konsultacja naukowa przekladu Prof. dr hab. Marek Demianski Dr hab. Marek Wolf Opracowanie indeksu Prof. dr hab. Jerzy Przystawa Redaktor prowadzqcy i koordynacja wydawnicza Adam Rysiewicz Projekt okladki i stron tytulowych Roman Kirilenko Sklad i lamanie Wydawnictwo 6D, Warszawa Komputerowe opracowanie indeksu Aleksander Michalski Redakcja Anna Kaniewska Magdalena Korytowska Korekta Anna Kaniewska

Ksh!zka dofinansowana ze srodk6w Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyzszego (decyzja nr 814/DWP/P/2006)

ISBN 978-83-7469-179-6 Wydawca Proszynski i S-ka SA ul. Garazowa 7, 02-651 Warszawa Druk i oprawa Drukarnia Naukowo-Techniczna Oddzial Polskiej Agencji Prasowej SA ul. Minska 65, 03-828 Warszawa

Pamiyci DENNISA SCIAMY, kt6ry przekazal mi fascynacjy fizykq, ksiqzky ty poswiycam

Spis tresci Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

Podziykowania ...........................................................

XIX

Notacja ..................................................................

XXI

Prolog ................................................................... .

1 Korzenie nauki ......................................................

7

W poszukiwaniu sit, kt6re uksztaltowaly swiat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prawda matematyczna .............................................. Czy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"? ............ Trzy swiaty i trzy glybokie tajemnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dobro, Prawda i Piykno .............................................

7 9 12 17 21

2 StaroZytne twierdzenie i wsp6lczesne zagadnienie . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.1

1.2 1.3

1.4 1.5

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Twierdzenie Pitagorasa ............................................. Postulaty Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dow6d twierdzenia Pitagorasa na podstawie podobienstwa figur ........... Geometria hiperboliczna: obraz konforemny ........................... Inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej ............................ Nieco historii geometrii hiperbolicznej .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwiqzek z przestrzeniq fizycznq .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 27 30 32 36 41 44

3 Rodzaje liczb w swiecie fizyki .......................................

50

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Katastrofa pitagorejska? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . System liczb rzeczywistych ........................................... Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy liczby naturalne potrzebujq fizycznej rzeczywistosci? ................. Liczby dyskretne w swiecie fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 53 58 62 64

4 Magiczne liczby zespolone ..........................................

69

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Magiczna liczba "i" ................................................. Rozwiqzywanie r6wnan z liczbami zespolonymi ......................... Zbieznos6 szereg6w potygowych ...................................... Plaszczyzna zespolona Caspara Wessel a ............................... Jak skonstruowa6 zbi6r Mandelbrota? .................................

69 72 74 78 81

Spis tresci

5 Geometria logarytmow,

pot~g

i pierwiastkow ......................

84

Geometria algebry zespolonej ........................................ Idea zespolonego logarytmu ......................................... Wielowartosciowosc funkcji, logarytmy naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zespolone wyrazenia potygowe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pewne odniesienia do wsp6lczesnej fizyki cZi!stek elementarnych ..........

84 88 90 94 98

6 Rachunek rozniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych ........................................................

101

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Czym si! porzi!dne funkcje? .......................................... Nachylenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pochodne wyzszych rZyd6w; funkcje gladkie klasy C"" .................... Eulerowskie pojycie funkcji .......................................... Reguly r6zniczkowania ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calkowanie .......................................................

7 Rachunek rozniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych ...... 7.1 7.2 7.3 7.4

120

Gladkosc zespolona; funkcje holomorficzne ............................ Calkowanie po konturze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szeregi potygowe a gladkosc zespolona ................................ Przedluzenie analityczne ............................................

120 121 125 127

8 Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone ...............

133

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Idea powierzchni Riemanna ......................................... Odwzorowania konforemne .......................................... Sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Genus zwartej powierzchni Riemanna ................................. Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym '" . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Rozklad Fouriera i hiperfunkcje ................................... 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

133 136 140 143 146 150

Szeregi Fouriera ................................................... Funkcje na okrygu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozszczepienie czystosci na sferze Riemanna ........................... Transformata Fouriera .............................................. Rozszczepienie czystosci w jyzyku transform at Fouriera .................. Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni? ................................... Hiperfunkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 154 158 161 163 165 168

10 Powierzchnie ........................................................

175

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

VI

101 103 106 109 112 114

Wymiary zespolone i wymiary rzeczywiste .............................. Gladkosc, pochodne cZi!stkowe ....................................... Pola wektorowe i 1-formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skladowe, i10czyny skalarne .......................................... Warunki Cauchy'ego-Riemanna ......................................

175 177 181 186 188

11 Liczby hiperzespolone ..............................................

193

11.1 Algebra kwaternion6w .............................................. 11.2 Czy kwatemiony maji! znaczenie fizyczne? .............................

193 195

Spis tresci

11.3 Geometria kwaternion6w ........................................... .

11.4 Jak skladac obroty? ................................................ . ll.5 Algebry Clifforda ................................................. . 11.6 Algebry Grassmanna ............................................... .

12 Rozmaitosci n-wymiarowe ......................................... . 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9

Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiar6w? ..................... . Rozmaitosci i laty wsp6lrzydnosciowe ................................ . Skalary, wektory i kowektory ........................................ . Iloczyny grassmannowskie .......................................... . Calki form ....................................................... . Pochodna zewnytrzna .............................................. . Element objytosciowy; konwencja sumacyjna .......................... . Tensory: zapis abstrakcyjno-wskaznikowy i zapis graficzny ............... . Rozmaitosci zespolone ............................................. .

13 Grupy symetrii ..................................................... . 13.1 13.2 13.3 13.4

13.5 13.6 13.7 13.8 13.9

13.10

Grupy przeksztalcen ............................................... . Podgrupy i grupy proste ............................................ . Transformacje liniowe i macierze .................................... . Wyznaczniki i slady ................................................ . Wartosci wlasne i wektory wlasne .................................... . Teoria reprezentacji i algebry Liego .................................. . Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc ................. . Grupy ortogonalne ................................................ . Grupy unit arne ................................................... . Grupy symplektyczne .............................................. .

14 Rachunek rozniczkowy i calkowy na rozmaitosciach ............. . 14.1 R6zniczkowanie na rozmaitosciach? .................................. . Przesuniycie r6wnolegle ............................................ . Pochodna kowariantna ............................................. . Tensory krzywizny i torsji ........................................... . Linie geodezyjne, r6wnolegloboki i krzywizna .......................... . Pochodna Liego ................................................... . Do czego potrzebna jest metryka .................................... . 14.8 Rozmaitosci symplektyczne ......................................... .

14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

15 Wil!zki wlokniste i koneksje cechowania .......................... . 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

15.7 15.8

Fizyczne powody wprowadzenia wi,!zek w16knistych .................... . Matematyczna idea wi,!zki .......................................... . Ciycia wi,!zek ..................................................... . Wi'!zka Clifforda .................................................. . Wi'!Zki wektorowe zespolone, wi,!zki kostyczne ......................... . Przestrzenie rzutowe ............................................... . Nietrywialnosc w koneksji wi,!zki ..................................... . Krzywizna wi,!zki .................................................. .

198 201 203 205 211 211 214 216 220 222 224 229 232 235 239 239 242 246 252 254 257 261 265 271 276 282 282 284 287 291 293 298 305 308 312 312 315 318 320 324 327 331 334

VII

Spis tresci

16 Drabina nieskonczonosci ........................................... 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7

Ciala skonczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jakiej geometrii potrzebuje fizyka: skonczonej czy nieskonczonej? ......... Rozne rozmiary nieskonczonosci ..................................... Argument przekqtniowy Cantora ..................................... Zagadki w podstawach matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maszyny Turinga i twierdzenie GOdla ................................. Fizyczne rozmiary nieskonczonosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341 343 347 351 355 357 361

17 Czasoprzestrzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Czasoprzestrzen fizyki Arystotelesa ................................... Czasoprzestrzen wzglydnosci Galileusza ............................... Dynamika Newtona w terminach czasoprzestrzeni ....................... Zasada rownowaZnosci .............................................. Czasoprzestrzen newtonowska w ujyciu Cartana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stala skonczona prydkosc swiatla ..................................... Stozki swietlne ..................................................... Rezygnacja z czasu absolutnego ...................................... Czasoprzestrzen ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina ....................

366 368 370 373 377 382 383 386 390

18 Geometria Minkowskiego . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . . .. . .. .. . .. . . . . . . .. .. .

394

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7

4-przestrzen Euklidesa i 4-przestrzen Minkowskiego ..................... Grupy symetrii przestrzeni Minkowskiego .............................. Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks blizniqt ......................... Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego ................... Firmament niebieski jako sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia newtonowska i moment pydu ................................. Energia relatywistyczna i moment pydu ................................

394 397 399 404 409 413 415

19 Pola klasyczne Maxwella i Einsteina ...............................

421

19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8

VIII

341

Stopniowe odejscie od dynamiki Newtona .............................. Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella ......................... Prawa zachowania i przeplywu w teorii Maxwella ........................ Pole Maxwella jako krzywizna cechowania ............................. Tensor energii-pydu ................................................ Rownanie pola Einsteina ............................................ Dalsze zagadnienia: stala kosmologiczna; tensor Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia pola grawitacyjnego .........................................

421 423 427 429 435 438 442 444

20 Lagranzjany i hamiltoniany ........................................

450

20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

Magiczny formalizm Lagrange'a ...................................... Bardziej symetryczny formalizm Hamiltona ............................ Male drgania ...................................................... Dynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna ................. Lagranzowskie ujycie pol ............................................ Rola lagranzjanu we wspolczesnej teorii ...............................

450 454 457 461 464 466

Spis tresci

21

Cz~stka

kwantowa ................................................. .

471

Zmienne nieprzemienne ........................................... . Hamiltoniany mechaniki kwantowej .................................. . R6wnanie Schrodingera ............................................ . Eksperymentalne podstawy mechaniki kwantowej ...................... . Zrozumienie dualizmu falowo-korpuskularnego ........................ . Czym jest rzeczywistosc kwantowa? .................................. . Holistyczna natura funkcji falowej ................................... . Tajemnicze "skoki kwantowe" ....................................... . Rozklad prawdopodobienstwa i funkcja falowa ......................... . Stany polozeniowe ................................................ . Opis w przestrzeni pyd6w ........................................... .

471 474 476 478 482 484 488 492 494 496 498

22 Kwantowa algebra, geometria i spin .............................. .

503

21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9 21.10 21.11

22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22.10 22.11 22.12 22.13

23

Procedury kwantowe U i R .......................................... . Liniowosc U i klopoty z R .......................................... . Unitarnosc, przestrzen Hilberta, zapis Diraca .......................... . Ewolucja unitarna: Schrodinger i Heisenberg .......................... . "Obserwable" kwantowe ........................................... . Pomiary TAK/NIE; operatory rzutowe .................................. . Pomiary zerowe; skrytnosc .......................................... . Spin i spinory ..................................................... . Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych .............................. . Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany ............................... . Harmoniki sferyczne ............................................... . Relatywistyczny kwantowy moment pydu .............................. . Ogolny, izolowany obiekt kwantowy .................................. .

Spl~tany

23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10

swiat kwantowy .......................................... .

552

Mechanika kwantowa ukladu wielu cial ............................... . Ogrom przestrzeni stanow wielocz,!stkowych .......................... . Spl,!tanie kwantowe, nierownosci Bella ............................... . Eksperymenty EPR typu Bohma ..................................... . Przyklad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobienstwa .............. . Dwie tajemnice spl,!tania kwantowego ................................ . Bozony i fermiony ................................................. . Stany kwantowe bozonow i fermion6w ................................ . Teleportacja kwantowa ............................................. . Quanglement ..................................................... .

552 554 557 559 563 565 567 569 571 576

antycz~stki

..................................... .

582

Konflikt miydzy teori,! kwantow'! a teori,! wzglydnosci .................. . Dlaczego antycz'!stki implikuj,! istnienie pol kwantowych? ............... . Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej .................. . Trudnosci z relatywistyczn,! formul,! energii ........................... . Nieinwariantnosc %t .............................................. . Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta ....... . R6wnanie Diraca .................................................. . Droga Diraca do odkrycia pozytronu ................................. .

582 583 585 587 589 591 593 595

24 Elektron Diraca i 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 24.8

503 506 509 511 514 518 520 524 528 534 536 540 544

IX

Spis tresci

25 Model standardowy fizyki

cz~stek

elementarnych .................

600

Poczqtki wsp6lczesnej fizyki cZqstek elementarnych ...................... Zygzakowy model elektronu ......................................... Oddzialywania elektroslabe; asymetria odbiciowa ....................... Sprzyzenie ladunkowe, parzystosc i odbicie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupa syrnetrii oddzialywan elektrostabych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cz'!stki silnie oddziatujqce ........................................... "Kwarki kolorowe" ................................................. Wyjscie poza model standardowy? ....................................

600 601 605 610 613 616 619 623

26 Kwantowa teoria pol a ...............................................

627

25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7 25.8

26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10 26.11

Fundamentalny status KTP we wsp6lczesnej fizyce teoretycznej ........... Operatory kreacji i anihilacji ......................................... Algebry nieskonczenie wymiarowe .................................... Antycz'!stki w KTP ................................................. Pr6znie aiternatywne ............................................... Oddziatywania: lagranzjany i calki po drogach .......................... Rozbiezne calki po drogach: recepta Feynmana ......................... Konstrukcja diagram6w Feynmana; macierz S .......................... Renormalizacja .................................................... Jak z lagranzjan6w otrzymac diagramy Feynmana? ...................... Diagramy Feynmana i wyb6r pr6zni ...................................

27 Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo .............. 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13

x

627 629 631 633 635 637 641 643 647 651 652 657

Symetria czasowa w ewolucji dynamicznej .............................. Aspekty submikroskopowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entropia .......................................................... Zywotnosc koncepcji entropii ........................................ Wyprowadzenie drugiego prawa termodynamiki - czy nie? ............... Czy caly WszechSwiat jest "uktadem izolowanym"? ...................... Rola Wielkiego Wybuchu ............................................ Czarne dziury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horyzonty zdarzen i osobliwosci czasoprzestrzeni ....................... Entropia czarnej dziury ............................................. Kosmologia ....................................................... Diagramy konforemne .............................................. Nasz nadzwyczaj wyj'!tkowy Wielki Wybuch ............................

657 659 660 663 666 670 672 677 682 684 687 693 696

28 Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadiow rozwoju Wszechswiata ..............................................

705

28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7

Poczqtkowe spontaniczne zlamanie symetrii ............................ Kosmiczne defekty topologiczne ...................................... Ktopoty z pocz'!tkowym ztamaniem symetrii ............................ Kosmologia inflacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy przestanki inflacji s,! prawidlowe? ................................. Zasada antropiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny? ......

705 709 713 716 722 727 731

Spis tresci

28.8 Hipoteza krzywizny Weyla .......................................... . 28.9 Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga .......................... . 28.10 Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych ...................... .

734 738 741

29 Paradoks pomiaru ................................................. .

751

29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9

Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej ........................... . Ontologie niekonwencjonalne ....................................... . Macierz gystosci .................................................. . Macierz gystosci dla spinu kula Blocha ............................. . Macierz gystosci w przypadku efekt6w EPR ........................... . Filozofia FAPP dekoherencji srodowiskowej ........................... . Kot Schrodingera w ontologii kopenhaskiej ............................ . Czy inne ontologie konwencjonalne mogq rozwiqzac problem "kota"? ..... . Kt6re niekonwencjonalne ontologie mogq pom6c? ..................... .

751 754 760 762 766 771 772 775 778

30 Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego .................... .

784

30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9 30.10 30.11 30.12 30.13 30.14

±;

Czy dzisiejsza teoria kwantowa wytrzyma pr6by czasu? .................. . Kluczowa rola kosmologicznej asymetrii czasu ......................... . Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego ................. . Temperatura czarnej dziury Hawkinga ................................ . Temperatura czarnej dziury wynikajqca z periodycznosci zespolonej ....... . Wektory Killinga, przeplyw energii - i podr6ze w czasie! ................ . Wyplyw energii z orbit ujemnej energii ............................... . Eksplozje Hawkinga ............................................... . Perspektywa bardziej radykalna ..................................... . Grudka materii Schrodingera ....................................... . Fundamentalny konflikt z zasadami Einsteina ......................... . Preferowane stany Schrodingera-Newtona? ........................... . FELIX i propozycje z nim zwiqzane .................................. . Pochodzenie fluktuacji we wczesnym WszechSwiecie .................... .

784 785 787 791 795 800 803 805 809 813 816 819 822 826

31 Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny ...................... .

835

31.1 Niewyjasnione parametry ........................................... . 31.2 Supersymetria .................................................... . 31.3 Algebra i geometria supersymetrii ................................... . 31.4 Czasoprzestrzen wyzej wymiarowa ................................... . 31.5 Poczqtkowa teoria strunowa hadron6w ............................... . 31.6 W kierunku strunowej teorii swiata ................................... . 31.7 Strunowe motywacje dla dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni ........ . 31.8 Teoria strun jako kwantowa teoria grawitacji? ......................... . 31.9 Dynamika strun ................................................... . 31.10 Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni? ..... . 31.11 Czy powinnismy zaakceptowac argument stabilnosci kwantowej? .......... . 31.12 Klasyczna niestabilnosc dodatkowych wymiar6w ........................ . 31.13 Czy strunowa KTP jest skonczona? ................................... . 31.14 Magiczne przestrzenie Calabiego-Yau; teoria M ....................... . 31.15 Struny i entropia czarnych dziur ..................................... .

835 839 842 845 849 852 855 856 859 861 866 869 872 874 879

XI

Spis tresci

31.16 Zasada holografiezna ............................................... 31.17 Perspektywa D-bran ................................................ 31.18 Jaki jest fizyezny status teorii strun? ...................................

883 886 889

32 Zawtrzenie podejscia Einsteina; zmienne ptrtlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

898

32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7

Kanoniezna grawitaeja kwantowa ..................................... Chiralny wklad do zmiennyeh Ashtekara ............................... Postac zmiennyeh Ashtekara ......................................... Zmienne pytlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematyka wyzlow i splotow ........................................ Sieei spinowe ...................................................... Jaki jest status pytlowej teorii grawitaeji kwantowej? .....................

898 899 902 905 907 910 916

33 Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow . . . . . . . . . . . . . . . . .

921

33.1 Teorie z geometriq 0 elementaeh dyskretnyeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Twistory jako promienie swietlne ..................................... 33.3 Grupa konforemna; uzwareona przestrzen Minkowskiego ................ 33.4 Twistory jako spinory wyzej wymiarowe ................................ 33.5 Zasady geometrii twistorow i wspolrzydne twistorowe .................... 33.6 Geometria twistorow jako bezmasowyeh eZqstek wirujqcyeh ............... 33.7 Twistorowa teoria kwantow .......................................... 33.8 Twistorowy opis pol bezmasowyeh .................................... 33.9 Twistorowa kohomologia snopow ..................................... 33.10 Twistory i rozszezepienie ezystosci na dodatnie i ujemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.11 Grawiton nieliniowy ................................................ 33.12 Twistory i ogolna teoria wzglydnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.13 W kierunku twistorowej teorii ezqstek elementarnyeh .................... 33.14 laka jest przysztosc teorii twistorow? ..................................

921 925 931 934 937 940 944 947 949 954 956 961 962 963

34 Ktortrdy wiedzie droga do rzeczywistosci? .......................... 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 34.10

Wielkie teorie XX wieku - i co dalej? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fizyka fundamentalna inspirowana matematyeznie ...................... Rola mody w fizyce teoretycznej ...................................... Czy eksperyment jest w stanie obalic zlq teoriy? ......................... Skqd nadejdzie kolejna rewolueja w fizyee? ............................. Co to jest rzeczywistosc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wplyw mentalnosei na teorie fizyczne ................................. Nasza zmudna matematyczna droga do rzeezywistosci .................... Piykno i euda ...................................................... Odpowiedzielismy na powazne pytania, ale jeszeze powazniejsze ezekajq na odpowiedz ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

971 971 975 978 981 985 988 990 994 998 1002

Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1007 Bibliografia .............................................................. 1009 Indeks rzeczowy .......................................................... 1057 Indeks nazwisk ........................................................... 1109

Przedmowa CHCIALBYM, zeby czytelnik tej ksiqzki mogl poczue smak jednej z najwazniejszych i najbardziej podniecajqcych wypraw odkrywczych, jakich dokonala ludzkose. Jest to wyprawa w poszukiwaniu zasad, ktore rzqdzq zachowaniem siy naszego Wszechswiata. Wyprawa ta trwa juz ponad trzy i pol tysiqca lat, nie jest wiyc rzeczq dziwnq, ze dokonalismy podczas niej waznych i zasadniczych odkrye. Okazalo siy jednak, ze jest to bardzo trudna ekspedycja i ze prawdziwe zrozumienie sensu tych odkrye dociera do nas bardzo wolno. Trudnosci te byly przyczynq wielokrotnego blqdzenia po manowcach; stqd przestroga, zeby posuwae siy ostroznie. J ednakZe XX wiek okazal siy plodny w nadzwyczajne odkrycia, ktore w calkiem nowym swietle postawily wyniki naszych bad an, do tego stopnia, ze wielu wspolczesnych badaczy oglosilo juz niejednokrotnie, ze jestesmy bardzo blisko wlasciwego zrozumienia wszystkich podstawowych zasad fizyki. W moim opisie obecnych teorii fundamentalnych, teraz, kiedy XX wiek jest juz za nami, bydy przyjmowal bardziej sceptyczny punkt widzenia. Dlatego nie wszystkie wyrazane przeze mnie opinie zostanq dobrze przyjyte przez tych "optymistow", tym bardziej ze oczekujy i spodziewam siy w najblizszym czasie jeszcze bardziej radykalnych zmian kierunkow naszych poszukiwan niz te, ktore nastqpily w minionym stuleciu. Czytajqcy ty ksiqzky zauwaZy, ze nie unikam w niej poslugiwania siy formulami matematycznymi, aczkolwiek zdajy sobie sprawy, iz moze to istolD.ie zredukowae liczby czytelnikow. Dlugo i powaznie nad tym siy zastanawialem i doszedlem do wniosku, ze to, co mam do powiedzenia, nie moze bye wlasciwie przekazane bez zapisu matematycznego i zbadania sensu pewnych istotnych pojye matematycznych. Nasze zrozumienie zasad, ktore lezq u podstaw zachowania siy fizycznego swiata, jest rzeczywiscie zwiqzane z ich matematycznq strukturq. Niektorych takie stwierdzenie moze zaniepokoie, poniewaZ utwierdzili siy w przekonaniu, ze nie Sq w stanie zrozumiee zadnej matematyki, i to na najbardziej nawet elementarnym poziomie. JakZe mogy ich zachycae - zapytajq - do proby zrozumienia sensu poszukiwan istoty teorii fizycznych, kiedy oni nie Sq w stanie poradzie sobie nawet z najprostszymi dzialaniami na ulamkach? Istotnie, z tym jest pewien klopot. Pomimo to jestem optymistq, jesli chodzi 0 mozliwose porozumienia siy miydzy nami. Bye moze jestem optymistq nieuleczalnym. Zastanawiam siy, czy ci

Przedmowa

XIV

czytelnicy, kt6rzy utrzymuj,!, ie nie S,! w stanie poradzic sobie z ulamkami, trochy samych siebie nie oszukuj,!, poniewaz spora ich czysc z pewnosci,! posiada w tym wzglydzie mozliwosci, z jakich nie zdaj,! sobie sprawy. lestem pewien, ze s,! wsr6d nich tacy, kt6rzy na widok szeregu matematycznych symboli, jakkolwiek prosto podanych, widz,! tylko surow'! twarz rodzica lub nauczyciela, kt6ry usiluje wymusic na nich udzial w jakims konkursie papuziego recytowania niezrozumialych formul - obowi,!zek i tylko obowi,!zek - i nie dostrzegaj'! ani sladu magii czy uroku tego przedmiotu, jakie, przy wlasciwym podejsciu, moglyby siy ujawnic. Byc moze dla niekt6rych juz jest za p6zno; niemniej pozostajy optymist'! i wierzy, ze wiele os6b, nawet wsr6d tych, kt6re nigdy nie opanowaly sztuki dzialan na ulamkach, potrafi uchwycic slady tego cudownego swiata, kt6ry powinien byc r6wniez i dla nich dostypny. ledna z serdecznych przyjaci6lek mojej mamy, jeszcze z czas6w szkolnych, r6wniez nie byla w stanie dae sobie rady z ulamkami. Opowiedziala mi 0 tym sarna, kiedy juz zakonczyla znakomit'! kariery artystki baletowej. Bylem w6wczas mlody i nie do konca oddalem siy jeszcze matematyce, ale juz uwazano mnie za kogos, komu ta dziedzina sprawia przyjemnosc. "To wszystko przez to upraszczanie" wyznala - "nigdy nie potrafilam poj,!c, na czym to polega". Byla to elegancka i bardzo inteligentna kobieta i nie mialem najmniejszej w'!tpliwosci, ze zdolnosci umyslowe osoby, kt6ra potrafi po mistrzowsku opanowac zawilosci choreografii, z pewnosci,! nie S,! mniejsze niz te, jakich wymaga rozwi,!zywanie problem6w matematycznych. Na tej podstawie, grubo przeceniaj,!c moje talenty dydaktyczne, podj,!lem, jak wielu innych przede mn,!, pr6by wytlumaczcnia jej prostoty i logicznego charakteru procedury "upraszczania". Przypuszczam, ze moje wysilki okazaly siy w r6wnym stopniu bezowocne jak wysilki moich poprzednik6w. (Przypadkiem tak siy sklada, ze jej ojciec byl wybitnym geologiem i czlonkiem Towarzystwa Kr6lewskiego, musiala wiyc miec wystarczaj,!ce przygotowanie do rozumienia zagadnien z zakresu nauk przyrodniczych. Moze to 6w czynnik "surowej twarzy" zdecydowal 0 jej negatywnym stosunku do tych spraw?) 1ednakie zastanawiam siy, czy w jej przypadku, tak jak i wielu innych, nie zachodzila jakas bardziej racjonalna przeszkoda, kt6rej, przy calej mojej matematycznej nonszalancji, nie bylem w stanie zauwaiyc. Albowiem rzeczywiscie tkwi w tym glybszy problem, kt6ry napotykamy nieustannie w matematyce i fizyce, i z kt6rym po raz pierwszy stykamy siy w przypadku niewinnej na poz6r operacji upraszczania wsp6lnego czynnika w liczniku i mianowniku zwyklego ulamka. Osoby, dla kt6rych upraszczanie ulamk6w, dziyki wielokrotnemu powtarzaniu tych operacji, stalo siy drug,! natur,!, mog,! nie zdawae sobie sprawy z trudnosci, kt6ra kryje siy za tymi z pozoru banalnymi dzialaniami. Bye moze wlasnie ci, dla kt6rych upraszczanie okryte jest mgl,! tajemnicy, dostrzegaj,! lepiej ten powazny problem. Co to za problem? Dotyka on samej istoty sposobu, w jaki matematycy nadaj,! byt matematycznym pojyciom, i stosunku, w jakim te pojycia pozostaj,! do fizycznej rzeczywistosci.

Przedmowa

Przypominam sobie swoje zaskoczenie, kiedy nauczyciel zadal nam pytanie, czym naprawdt( jest ulamek (na przyklad ~) - mialem wawczas okolo lllat! Pojawialy sit( razne sugestie, na przyklad dotycz'1ce podzialu tortu na kawalki i temu podobne, ale nauczyciel odrzucal te wyjasnienia na (slusznej) podstawie, ze one jedynie odnosz'1 sit( do nieprecyzyjnej sytuacji fizycznej, do ktarej precyzyjne matematyczne pojt(cie ulamka moze bye zastosowane; nie tiumacz'1 nam jednak wcaIe, jaka naprawdt( jest matematyczna trese tego pojt(cia. Byly tez i inne propozycje, na przyklad taka, ze ~ to jest "cos takiego z liczb '1 3 na garze i liczb '1 8 na dole, z lini'1 poziom'1 pomit(dzy nimi" i bylem naprawdt( zdziwiony, kiedy zauwaiylem, ze nauczyciel traktuje te pomysly calkiem serio! Dzisiaj juz nie pamit(tam, jak ta sprawa zostala ostatecznie rozstrzygnit(ta, ale na bazie moich doswiadczen i przemyslen jako studenta matematyki domyslam sit(, ze maj nauczyciel podj'1l odwazn'1 probt( zdefiniowania nam istoty ulamka na podstawie bardziej przystt(pnego pojt(cia Idasy r6wnowaznosci. Co to za pojt(cie? I w jaki sposob moze bye zastosowane do wyjasnienia, czym naprawdt( jest ulamek? Zacznijmy od propozycji mojego kolegi szkolnego, ze "jest to cos, co rna 3 na gorze i 8 na dole". Sugeruje nam w ten sposob, ze ulamek moze bye opisany uporz'1dkowan'1 par'1 liczb calkowitych, w tym przypadku 3 i 8. Z pewnosci'1 jednak nie mozemy powiedziee, ze dany ulamek jest tak '1 wlasnie par'1, gdyz na przyklad l~ jest t'1 sam'1 liczb '1 co~, podczas gdy para (6,16) z pewnosci '1 nie jest t'1 sam'1 par'1 co (3, 8). Tu wlasnie kryje sit( sens upraszczania, poniewaz mozemy l~ zapisae jako ~~~, uproscie przez czynnik 2 na gorze i na dole i uzyskae~. Dlaczego wolno nam tak zrobie i "zrownae" w pewnym sensie part( (6, 16) z par'1 (3, 8)? Matematyk nam na to odpowie - i bt(dzie to wygl'1dalo na uchylanie sit( od odpowiedzi - ze procedura upraszczania jest wbudowana w definicjy ulamka: kazd '1 pary liczb calkowitych (a x n, b x n) bt(dziemy uwazali za przedstawiciela tego samego ulamka co para (a, b), gdy n bt(dzie dowoln'1 liczb '1 calkowit'1 razn'1 od zera (i gdzie b tez nie moze bye zerem). Ale nawet w ten sposob nie odpowiadamy na pytanie, czym naprawdy jest ulamek; jedynie pokazujemy, jak moze bye przedstawiony. Czym wit(c jest ulamek? Posluguj'1c sit( pojt(ciem "klasy rownowaznosci", mozemy powiedziee, ze ulamek ~ przedstawia nieskonczon'1 kolekcjt( par liczb

(3,8), (-3, -8), (6, 16), (-6, -16), (9, 24), (-9, -24), (12,32), ... , przy czym kazda para moze bye uzyskana z kazdej innej pary z tej listy za pomoc'1 opisanej wlasnie procedury upraszczania *. Dla kompletnosci potrzebujemy juz tylko definicji okreslaj'1cych, jak mamy dodawae, odejmowae i mnoiye takie nieskonczone zbiory par liczb calkowitych zakladaj'1c, ze obowi'1zuj'1 reguly zwyklej alge* Ttt listtt nazywamy "klasq r6wnowaznosci", poniewaz jest to klasa element6w (elementami w tym przypadku Sq pary liczb calkowitych), w kt6rej kazdy element jest w pewnym sensie uwazany za r6wnowazny kazdemu innemu.

x:v

Przedmowa

XVI

bry. Musimy tei powiedziec, jak naleiy identyfikowac liczby calkowite jako szczegolny przypadek ulamkow. Taka definicja obejmuje wszystko, co trzeba wiedziec, aby poslugiwac sii( ulamkami w matematyce (na przyklad, ie ~ to taka liczba, ktora dodana do samej siebie daje w wyniku liczbi( 1 itd.), a operacja upraszczania, jak widzielismy, zawarta jest jui w tej definicji. lednakie wszystko to wydaje sii( bardzo formalne i mamy prawo w'!tpic, czy taka definicja pozwala na intuicyjne zrozumienie tego, czym jest ulamek. Aczkolwiek poslugiwanie sii( poji(ciem klasy rownowainosci, czego opisana procedura jest szczegolnym przypadkiem, stanowi poti(ine matematyczne narzi(dzie do ustalenia konsystencji i istnienia w sensie matematycznym, jednak z trudem pozwala nam intuicyjnie zrozumiec, co to jest ~! Trudno wii(c dziwic sii(, ie przyjaciolka mojej matki nie mogla sobie z tym poradzic. W moim opisie poji(C matematycznych bi(di( sii( staral w miari( moiliwosci unikac tego rodzaju matematycznej pedanterii, ktora prowadzi do definiowania ulamkow w terminach "nieskonczonej klasy par", choc taka definicja odznaczalaby sii( precyzj,! i scislosci,! matematycZll,!. W moim opisie bi(di( bardziej troszczyl sii( 0 intuicyjne przekazanie idei oraz urody i magii zawartych w wielu wainych poji(ciach matematycznych. 6w ulamek ~ moina przedstawic nasti(puj,!co: jest to element, ktory dodany do siebie 8 razy daje w wyniku 3. Urok polega na tym, ie ta idea odpowiada rzeczywistosci, pomimo ie w swiecie fizycznym na ogol nie mamy do czynienia z rzeczami dosti(pnymi w ilosciach ulamkowych, a przyslowiowe kawalki tortu tylko w sposob przybliiony oddaj,! to, 0 co chodzi. (Inaczej jest w przypadku liczb naturalnych, takich jak 1, 2, 3, gdyi one scisle odpowiadaj,! przedmiotom dosti(pnym w otaczaj,!cym nas swiecie.) 0 tym, ie poji(cie ulamka jest logicznie spojne, moiemy przekonac sii(, wykorzystuj,!c opisan,! "definicji(" podan,! w ji(zyku nieskonczonej kolekcji par liczb calkowitych. To jednak nie oznacza, ie ulamek ~ jest tak,! wlasnie kolekcj,!. lui lepiej myslec 0 ~ jako 0 pewnym bycie w sensie platonskim, istniej,!cym samoistnie, i 0 tym, ie nieskonczona kolekcja par jest dla nas wyl,!cznie konstrukcj,! pozwalaj,!c c 2 > O. Teraz otrzymalismy identyczne rownanie jak poprzednio, ale w miejscu liczby a mamy teraz liczby b, a w miejscu liczby b mamy liczby c. Zauwazmy jednak, ze odpowiednie liczby calkowite S,! teraz mniejsze niz poprzednio. To rozumowanie mozemy powtarzae w nieskonczonose, otrzyrnuj,!c w efekcie ci,!g rownan:

a 2 = 2b z , b 2 = 2c 2 , c2 = 2d2 , d Z = 2e 2,

... ,

gdzie

51

3

Rodzaje liczb w swiecie fizyki

i wszystkie te liczby s,! liczbami naturalnymi (dodatnimi liczbami calkowitymi). J ednakZe kazdy malej,!cy ci,!g liczb naturalnych musi siy skonczye, co jest sprzeczne z nieskonczonosci,! tego ci,!gu. Doszlismy wiyc w naszym rozumowaniu, wynikaj,!cym z zalozenia, ze istnieje liczba wymierna, kt6rej kwadrat wynosi 2, do sprzecznosci. W takim razie istnienie takiej liczby jest niemozliwe, co bylo do udowodnienia 2 • Trzeba zwr6cie uwagy na kilka krok6w przedstawionego dowodu. Przede wszystkim, zgodnie z utartymi zwyczajami dowodzenia matematycznego, odwolywalismy siy do pewnych wlasnosci liczb, kt6re wydawaly siy "oczywiste" albo uwazalismy je za udowodnione gdzie indziej. Na przyklad uZylismy argumentu, ze drug a potyga liczby nieparzystej jest zawsze liczb,! nieparzyst'!, co wiycej, zakladalismy, ze jdli liczba naturalna nie jest nieparzysta, to musi bye parzysta. Przyjylismy tez za rzecz oczywist'!, ze kazdy malej,!cy ci,!g liczb naturalnych musi bye skonczony. Jednym z powod6w, dla kt6rych moze bye potrzebne tak staranne identyfikowanie wszystkich zalozen argumentacji - nawet jesli niekt6re z tych zalozen mog,! wydawae siy najzupelniej oczywiste - jest fakt, ze matematycy S,! czysto zainteresowani innymi konstrukcjami niZ tylko te, kt6rych dotyczy dow6d. Jesli te inne konstrukcje spelniaj,! te same zalozenia, w6wczas dow6d bydzie wazny r6wniez w odniesieniu do nich i w ten spos6b udowodnione twierdzenie moze miee znaczenie bardziej og61ne, niz pocz'!tkowo oczekiwano. Gdy siy zas okaie, ze jakid niezbydne do dowodu zalozenie nie jest spelnione w tym alternatywnym przypadku, to r6wniez i sarno twierdzenie moze okazae siy w6wczas nieprawdziwe. (Przykladowo, jest rzecz'! wazn,! uswiadomie sobie, ze do dowodu twierdzenia Pitagorasa w rozdz. 2.2 wykorzystano postulat r6wnoleglosci, poniewai w geometrii hiperbolicznej twierdzenie Pitagorasa nie jest prawdziwe.) W przytoczonym dowodzie pocz'!tkowymi elementami s,! liczby calkowite i z tych liczb konstruujemy liczby wymierne, zdefiniowane jako stosunki liczb calkowitych. Wsr6d nich, istotnie, niepodobna znaleze liczby, kt6rej kwadrat byiby r6wny 2. Istniej,! jednak inne liczby poza liczbami calkowitymi i wymiernymi. I rzeczywiscie, potrzeba znalezienia pierwiastka kwadratowego z 2 zmusila staroZytnych Grek6w, poniek,!d wbrew ich woli w tym czasie, do wyjscia poza zbiory liczb calkowitych i wymiernych - a wiyc tych liczb, kt6rych istnienie byli sklonni zaakceptowae. Ta koniecznose doprowadzila ich do odkrycia liczb, kt6re obecnie nazywamy liczbami rzeczywistymi. Dzisiaj przez to pojycie rozumiemy liczby, kt6re mog'! bye przedstawione w postaci ulamka dziesiytnego, skonczonego lub nieskonczonego (oczywiscie, takie przedstawienie liczby byio nieznane staroZytnym Grekom). Liczba 2 rna pierwiastek kwadratowy w zbiorze liczb rzeczywistych i mozemy go zapisae w postaci:

J2 52

=

1,414213 562 373095048801 68872 ...

Fizyczn,! roly takich liczb rzeczywistych rozpatrzymy w nastypnym rozdziale.

System liczb rzeczywistych

3.2

Z ciekawosci zapytajmy, dlaczego przedstawiony dow6d nieistnienia pierwiastka kwadratowego z 2 nie stosuje sit( do liczb rzeczywistych (albo do stosunk6w liczb rzeczywistych, co wychodzi na to sarno). Co sit( stanie, jesli w tym dowodzie zastqpimy liczby naturalne liczbami rzeczywistymi? Podstawowa r6znica sprowadza sit( do tego, ze w odr6znieniu od liczb naturalnych, dowolny scisle malejqcy ciqg dodatnich liczb rzeczywistych (a nawet ulamk6w) nie musi bye skonczony i w tym punkcie dow6d sit( zalamuje3 • (Rozwazmy, na przyklad, nieskonczony ciqg 1 1 1 1 1 ) R' . .meWla . . d omo, cow tym konte k"SCle mla . 10 by ' 1'2'4'8'16'32'.... owmez u1amkow oznaczae wyrazenie "parzysta" alba "nieparzysta" liczba rzeczywista. Akurat w tym miejscu dow6d nie napotyka przeszkody, poniewai kazda liczba rzeczywista moze bye uwazana za "parzystq", gdyz dla kaidej liczby rzeczywistej a mozna znaleie liczbt( rzeczywistq c takq, ze a = 2c i kazdq liczbt( rzeczywistq mozna zawsze podzielie przez 2.

3.2 System liczb rzeczywistych

Tak wit(c Grecy zostali zmuszeni do uswiadomienia sobie, ze jesli idee geometrii (Euklidesa) majq miee wlasciwe zastosowanie, nie wystarczy do tego poslugiwanie sit( liczbami wymiernymi. Obecnie, rzecz jasna, nie martwimy sit( zbytnio tym, ze jakies wielkosci geometryczne nie dajq sit( wyrazie za pomocq samych liczb wymiernych. Nie martwimy sit(, poniewai pojt(cie liczby rzeczywistej jest nam dobrze znane i oswojone. Aczkolwiek nasz kalkulator kieszonkowy podaje wyniki tylko za pomocq skonczonej ilosci cyfr, to rozumiemy dobrze, iz jest to jedynie przyblizenie, wymuszone przez fakt, ze sam kalkulator jest obiektem 0 skonczonych rozmiarach. Jestesmy gotowi pogodzie sit( z tym, ze idealne (platonskie) liczby matematyczne mogq wymagae nieskonczonych ulamk6w dziesit(tnych. Dotyczy to, oczywiscie, nawet dziesit(tnego rozwinit(cia wit(kszosci zwyklych ulamk6w, takich na przyklad, jak

t = 0,333333333 ... , i~

= 2,416666666 ... ,

~ = 1,285714285714285 ... , i~; = 1,60135135135 ....

JednakZe w przypadku ulamk6w ich rozwinit(cie dziesit(tne jest zawsze ostatecznie okresowe, to znaczy, ze od pewnego miejsca nieskonczona sekwencja cyfr sklada sit( ze skonczonej grupy cyfr, kt6ra powtarza sit( nieskonczonq ilose razy. W podanych przykladach te powtarzajqce sit( sekwencje cyfr stanowiq, odpowiednio, 3, 6, 285714 i 135. Staro.zytni Grecy nie znali rozwinit(cia dziesit(tnego, ale znaleili sw6j wlasny spos6b na to, zeby poradzie sobie z liczbami niewymiernymi. Odkryli mianowicie, ze mozna liczby przedstawiae w postaci czegos, co dzisiaj nazywamy ulamkiem

53

3

Rodzaje liczb w swiecie fizyki

ciqg/ym[*I. Nie rna potrzeby, zebysmy siy zaglybiali w ty sprawy, ale kilka kr6tkich uwag moze siy przydac. Ulamkiem ci,!glym4 nazywamy skonczone alba nieskonczone wyraZenie typu a + (b + (c + (d + .... t 1t 1t 1, gdzie a, b, c, d, ... s,! liczbami calkowitymi dodatnimi: 1

a + ------:-1--

b + ----:1;---

c+-d+ ...

Dowoln'! liczby wymiern,! wiyksz,! od 1 mozna przedstawie w postaci skonczonego ulamka ci,!glego (dla jednoznacznosci rozwiniycia wymagamy, zeby koncowa liczba naturalna byla wiyksza od 1), na przyklad: 52 9

=

5+

1 1+_1_ 1 3+2

a dla przedstawienia dodatniej liczby wymiernej mniejszej od 1 jako pierwsz,! liczby naturaln,! bierzemy zero. N atomiast dla przedstawienia liczb rzeczywistych, kt6re nie s,! wymierne, uZywamy nieskonczonych ulamk6w ci,!glych[3.l 1• Na przyklad takich jak te 5 :

71t =

J2 = 1 + (2 + (2 + (2 + (2 + ... t 1t l t l t\ J3 = 5 + (3 + (1 + (2 + (1 + (2 + ( 1 + (2 + .. ·tl t l t l tltltlt\ 3 + (7 + (15 + (1 + (292 + (1 + (1+ (1 + (2 + ... tltltltltltltltl.

W przypadku dwu pierwszych przyklad6w nieskonczone sekwencje liczb naturalnych, kt6re siy w nich pojawiaj,! -w pierwszym przykladzie 1,2,2,2, ... , oraz 5, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2 w drugim - maj,! ty wlasnose, ze wystypuj,! cyklicznie (w pierwszym przypadku powtarza siy nieskonczon,! ilose razy liczba 2, a drugim sekwencja 1, 2)13.21• Pamiytajmy, ze jak to juz wyjasnilismy, w notacji dziesiytnej tylko liczby wymierne mog,! bye przedstawione w postaci wyraZen okresowych (cyklicznych), skonczonych alba nieskonczonych. Z tego punktu widzenia odkrycie Grek6w, ze

[*] W Polsce uZywana jest tez nazwa "ulamek lancuchowy" (przyp. Hum.).

,a [3.1] Przeprowadi eksperyment z twoim kalkulatorem kieszonkowym (jesli rna on klawi-

"...r "

54

sze i "x-I ,,), aby uzyskac opisane wyrazenia z takq dokladnosciq, jaka jest dostypna. Wei 1C = 3,141 592653589793 (ffikazowka: za kazdym razem zwracaj uwagy na calkowitq czysc kazdej liczby, odejmij jq, a wtedy znajdi odwrotnosc reszty.) B [3.2] Zakladajqc okresowosc przedstawien tych dwu ciqglych ulamk6w, pokaz, ze Sq one r6wne liczbom zapisanym po lewej stronie r6wnosci. (ffikazowka: znajdi r6wnania kwadratowe, kt6rych te liczby Sq pierwiastkami, i zapoznaj siy z przyp. 6).

System liczb rzeczywistych

3.2

w przedstawieniu za pomoc,! ulamk6w ci,!glych liczby wymierne daj,! sit( zapisae w postaci ulamk6w skonczonych, moze bye uwaiane za powazne ulatwienie. Pojawia sit( naturalne pytanie: a jakie liczby, przedstawione w postaci ulamk6w ci,!glych, bt(d,! mialy zapis cykliczny? OdpowiedZ na to pytanie, w postaci naprawdt( godnego uwagi twierdzenia, jako pierwszy podal wielki matematyk XVIII wieku, Joseph C. Lagrange (z jego najwazniejszymi odkryciami spotkamy sit( p6zniej, szczeg6lnie w rozdz. 20); S,! to liczby, kt6re otrzymaly nazwt( liczb niewymiemych kwadratowych 6• C6Z to S,! kwadratowe liczby niewymierne i jakie jest ich znaczenie w geometrii Grek6w? S,! to liczby, kt6re mog,! bye zapisane w postaci

a+Jb, gdzie liczby a i b S,! ulamkami, ale liczba b nie moze bye kwadratem innej liczby wymiernej. Liczby tego rodzaju S,! wazne w geometrii euklidesowej, poniewaz to najczt(sciej spotykane liczby niewymierne, na jakie natrafiamy przy konstrukcjach geometrycznych wykonywanych za pomoC£! linijki i cyrkla. (Przypomnijmy sobie twierdzenie Pitagorasa, kt6re w rozdz. 3.1 doprowadzilo nas do problemu liczby J2.lnne proste konstrukcje prowadz'! do innych liczb 0 wskazanej postaci.) Szczeg6lnymi przypadkami kwadratowych liczb niewymiernych s,! te, w kt6rych pierwszy skladnik, a = 0, natomiast b jest liczb,! naturaln'! (ale nie kwadratem innej) alba liczb,! wymiern,! wit(ksz,! od 1, na przyklad: J2,

J3, 15, ./6,)7, J8,.JiQ, Jli, ....

Przedstawienie liczby tego rodzaju w postaci ulamka ci,!giego - a nawet, bardziej og6lnie, przedstawienie pierwiastka kwadratowego Fa z dowolnego ulamka a (dodajmy, ze a musi bye liczb,! wit(ksz,! od 1, ale nie moze bye kwadratem innego ulamka) - jest zdumiewaj,!ce! Sekwencja liczb naturalnych, kt6re definiuj,! tt( liczbt( w postaci ulamka ci,!giego, rna intryguj,!c£! charakterystyczn,! wlasnose. Zaczyna sit( ona od pewnej liczby naturalnejA, po kt6rej nastt(puje palindromiczna sekwencja (tzn. taka, kt6ra jest identyczna przy czytaniu od lewej do prawej ina odwr6t), B, C, D, ... , D, C, B, po czym pojawia sit( liczba 2A, a potem sekwencja B, C, D, ... , D, C, B, 2A powtarza sit( nieskonczon,! ilose razy. Dobrym przykladem jest liczba M, w przypadku kt6rej jest to sekwencja nastt(puj,!ca:

3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6 , ... W tym przypadku A = 3, a palindromiczna sekwencja B, C, D, ... , D, C, B jest sekwencj,! skladaj,!c£! sit( z trzech liczb 1, 2, 1. Jak wiele z tych spraw bylo znanych staroiytnym Grekom? Wydaje sit(, ze wiedzieli oni bardzo duzo, prawdopodobnie wszystko to, 0 czym m6wilismy (wl,!czaj,!c w to twierdzenie Lagrange'a), chociaz w niekt6rych przypadkach mogli nie posiadae rygorystycznych dowod6w. Prawdopodobnie wsp6lczesny Platonowi matematyk Theaetetos odkryl wiele tych zwi,!zk6w. R6wniei w dialektyce Platona7 znajdujemy wiele oznak, ze posiadal on tt( wiedzt( (l'!cznie z palindromiczn,! sekwencj,!, 0 kt6rej przed chwil,! m6wilismy).

55

3

Rodzaje liczb W swiecie fizyki

Aczkolwiek poszerzenie naszego zbioru 0 kwadratowe liczby niewymierne pozwala w znacznym stopniu uwzglydnie potrzeby geometrii Euklidesa, okazuje siy, mimo wszystko, niewystarczaj'!ce. W dziesi'!tej (i najtrudniejszej) ksi,!ice Euklidesa rozwaiane s,! liczby 0 postaci a + .Jb, gdzie a i b s,! dodatnimi liczbami wymiernymi. Nie s,! to na ogol kwadratowe liczby niewymierne, chociai pojawiaj,! siy one w konstrukcjach geometrycznych dokonywanych za pomoq linijki i cyrkla. Do konstrukcji tego typu wystarczylyby liczby, jakie jestesmy w stanie utworzye z liczb naturalnych dziyki zastosowaniu wielu dzialan, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnoienie, dzielenie i wyci,!ganie pierwiastka kwadratowego. Jednakie operowanie wyl,!cznie takimi liczbami z jednej strony staje siy ogromnie skomplikowane, a z drugiej i tak nie wystarczaj,! one do opisu tych konstrukcji w geometrii Euklidesa, ktorych nie da siy wykonae jedynie za pomoc,! cyrkla i linijki. Wiycej zyskamy, jesli wykonamy krok bardziej odwainy - a jak bardzo odwainy, 0 tym przekonamy siy w rozdz. 16.3-5 - i uwzglydnimy takie liczby, ktore mog,! bye przedstawione za pomoq najzupelniej ogolnych nieskonczonych ulamkow ci,!glych. I w ten sposob Grecy odnalezli drogy do opisu wszystkich liczb potrzebnych w geometrii Euklidesa. We wspolczesnej terminologii liczby te nazywamy liczbami rzeczywistymi. W pelni zadowalaj'!ca ich definicja najprawdopodobniej zostala podana dopiero w XIX wieku, w pracach Dedekinda, Cantora i innych. Jednakie jeden z uczniow Platona, wielki grecki matematyk i astronom Eudoksos, jui w IV wieku p.n.e. posiadl zasadnicze zrozumienie tej idei, warto zatem, abysmy powiedzieli 0 niej kilka zdan. Przede wszystkim zauwaimy, ie w geometrii Euklidesa liczby wyraiane s,! raczej poprzez stosunki diu go sci odcinkow aniieli bezposrednio, poprzez same dlugosci. Dziyki temu nie potrzeba bylo jakiejs specjalnej miary dlugosci (takiej jak np. cal czy grecki daktylosl*l). Co wiycej, posluguj,!c siy stosunkami dlugosci, nie martwiono siy 0 zgodnose, kiedy zachodzila potrzeba mnoienia przez siebie kilku takich stosunkow (zaspokajaj,!c niejako potrzeby uwzglydnienia wyiszych wymiarow, jakichS "hiperobjytosci", kiedy trzeba by mnoZye przez siebie wiycej nii trzy dlugosci). Pierwszym krokiem w teorii Eudoksosa bylo ustalenie kryterium, co to znaczy, ie jakis stosunek dlugosci a : b mialby bye wiykszy nii stosunek innych dlugosci, c : d. Kryterium to jest nastypuj,!ce: stosunek a : b jest wiykszy od stosunku c : d, jesli istniej,! dwie liczby naturalne MiN takie, ie jeieli a dodamy do siebie M razy i dlugosc ta bydzie wiyksza od dlugosci, jak,! otrzymamy po dodaniu do siebie b N razy, to d dodane do siebie N razy bydzie dluisze od c dodanego do siebie M razy[3.31• Analogiczne kryterium formuluje warunek, ieby stosunek a: b byl mniejszy od stosunku c : d. Warunkiem rownosci tych stosunkow jest niespel-

J

56

[*] Obie te miary odpowiadajq staropoiskiej mierze "palec" rownej szerokosci 8 ziarenjyczmienia (przyp. dum.). liJ1 [3.3] Czy rozumiesz, jak dziaia to kryterium?

System liczb rzeczywistych

3.2

nienie zadnego z tych dwu kryteri6w. W ten spos6b dzit(ki pomyslowemu rozwiqzaniu problemu r6wnosci dwu stosunk6w Eudoksos otrzymal w rezultacie abstrakcyjne pojt(cie "liczby rzeczywistej" wyrazone przez stosunki dlugosci odcink6w. Udalo mu sit( teZ skonstruowae reguly dodawania i mnozenia takich liczb rzeczywistych[3.4l. lednakZe istnieje podstawowa r6znica w sposobie traktowania liczb rzeczywistych, inaczej bowiem pojmowali je Grecy, a inaczej traktuje je wsp6lczesna matematyka. Dla Grek6w liczby byly "dane" w relacjach pomit(dzy odleglosciami w przestrzeni fizycznej, a jedynym problemem bylo okreslenie, jak te miary "odleglosci" sit( zachowuj'!. Albowiem "przestrzen" wydawala sit( bytem idealnym w sensie Platona, podczas gdy r6znego rodzaju obiekty fizyczne wystt(puj,!ce w tej przestrzeni nie odpowiadaly pojt(ciu platonskiego idealu8• (Co prawda, jak sit( 0 tym przekonamy w rozdz. 17.9 i 19.6, 8, og6lna teo ria wzglt(dnosci Einsteina w spos6b fundamentalny zmienila nasze widzenie przestrzeni i materii.) Obiekt fizyczny, taki jak kwadrat wyrysowany na piasku czy szescian wykuty z marmuru, m6g1 bye rozpatrywany przez staroZytnych Grek6w jako dobre, a czasami nawet znakomite przyblizenie do geometrycznego idealu Platona. Kazdy taki obiekt byl jednak tylko przybIizeniem. Tymczasem sarna przestrzen - tak sit( przynajmniej wydawalo - byla czyms wykraczaj,!cym daleko poza takie przyblizenie: byla bytem na tyle abstrakcyjnym, ze z powodzeniem uWaZano j,! za bezposredni,! realizacjt( platonskiej rzeczywistosci. Nalezalo zdefiniowae, jak mierzye odleglosci w tej idealnej geometrii, i w tym celu trzeba bylo wydobye to idealne pojt(cie liczby rzeczywistej z geometrii przestrzeni Euklidesa, kt6q uWaZano za dan'!. I to zadanie, z powodzeniem, wykonal Eudoksos. W XIX i XX wieku pojawilo sit( przekonanie, ze matematyczne pojt(cie liczby powinno bye niezalezne od natury otaczaj,!cej nas przestrzeni fizycznej. Skoro udalo sit( wykazae, ze istniej,! matematycznie sp6jne geometrie inne niz geometria Euklidesa, to wydawalo sit( calkiem niewlasciwe, zeby matematyczne pojt(cie "geometrii" mialo bye koniecznie wyekstrahowane z hipotetycznej natury "aktualnej" przestrzeni fizycznej. Ponadto powinno bye rzecz'! bardzo trudn,!, 0 ile w og6le mozIiw,!, przedstawienie szczeg610wej natury tej hipotetycznej "platonskiej geometrii fizycznej" w terminach zachowan niedoskonalych obiekt6w fizycznych. Aby zbadae naturt( liczb, za pomoq kt6rych mamy zdefiniowae "odleglosci geometryczne", trzeba koniecznie zdae sobie dokladnie sprawt( z tego, co sit( dzieje w odleglosciach zar6wno nieskonczenie malych, jak i nieograniczenie duZych. Tymczasem nawet obecnie w tych sprawach nie mamy dostatecznej jasnosci (do tego tematu powr6ct( w p6zniejszych rozdzialach). Wlasnie dlatego daleko bardziej odpowiednie bylo rozwinit(cie pojt(cia Iiczby bez bezposredniego odwolywania sit( do fizycznych pomiar6w. Tak rozumuj,!c, Richard Dedekind i Georg Cantor rozwint(Ii teorit( liczb rzeczywistych bez uZywania pojt(e odnosz'!cych sit( bezposrednio do geometrii.

rm [3.4] Czy potrafisz sformulowac te reguly?

57

3

Rodzaje liczb W 5wiecie fizyki

Definicja liczby rzeczywistej sformulowana przez Dedekinda wychodzi z rozwaZenia nieskonczonych zbiorow liczb wymiernych. Pomyslmy sobie, ze wszystkie liczby wymierne (zarowno dodatnie, jak i ujemne oraz zero) zostaly uporzqdkowane od mniejszych do wiykszych. Mozemy sobie wyobrazic, ze to uporzqdkowanie biegnie od lewej do prawej i liczby wymierne ujemne rozciqgajq siy do nieskonczono sci w lewo, z zerem posrodku, a liczby wymierne dodatnie rozciqgajq siy do nieskonczonosci w prawo. (To rozwazanie sluZy tylko pewnej wizualizacji; procedura zastosowana przez Dedekinda jest calkowicie abstrakcyjna.) Dedekind proponuje rozwaZyc dokonanie "przekroju", ktory podzieli ten zbior dokladnie na dwie cZysci, przy czyrn wszystkie liczby po lewej stronie tego przekroju bydq mniejsze od tych po prawej. Jesli "ostrze noza", ktory dokonuje przekroju, "nie trafia" w jakqs liczby wymiernq, ale pomiydzy dwiema liczbami wymiernymi, to mowimy, ze definiuje one "niewymiernq liczby rzeczywistq". Bardziej poprawnie byloby powiedziec, ze tak siy dzieje, kiedy liczby po lewej stronie przeciycia nie majq liczby najwiykszej, a te po prawej - najmniejszej. Kiedy zbior takich "liczb niewymiernych" dolqczymy do znanego juz zbioru liczb wymiernych, otrzymamy kompletnq rodziny liczb rzeczywistych. Ta procedura Dedekinda prowadzi przez proste definicje do regul dodawania, odejmowania, mnozenia i dzielenia liczb rzeczywistych. Ponadto umozliwia nam dokonanie kroku nastypnego i zdefiniowanie pojycia gran icy. Poslugujqc siy tym pojyciem, jestesmy w stanie przyporzqdkowac nieskonczonym ulamkom ciqglym, takim jak

1 + (2 + (2 + (2 + (2 + ... t1 ) -1 ) -1 )

-1

alba jak nieskonczone sumy 111

1

1--+---+--... 3 5 7 9 ' konkretne liczby rzeczywiste. W ten sposob przedstawiony ulamek ciqgly daje h, podczas gdy nieskonczona suma daje w wyniku 1t. Mozliwosc przejscia do granicy jest sprawq fundamentalnq dla wielu pojyc matematycznych i na tym tei: zasadza siy wielka ui:ytecznosc liczb rzeczywistych9. (Czytelnik moglby pamiytac, ze mozliwosc "przejscia do granicy" byla niezbydna do podania ogolnej definicji pola figury; zob. rozdz. 2.3.)

t

3.3 Liczby rzeczywiste w fizycznym 5wiecie

58

W tym miejscu spotykamy siy z bardzo trudnym problemem. Jednym z powaznych czynnikow inspirujqcych postyp w rozwoju idei matematycznych byla zawsze proba stworzenia takich struktur i koncepcji, ktore mozliwie najbardziej precyzyjnie odzwierciedlalyby zachowanie siy swiata fizycznego. Na ogol nie jest jednak mozliwe zbadanie elementow swiata fizycznego w sposob tak precyzyjny, zeby bezpo-

Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie

3.3

srednio wyabstrahowac z nich klarowne pojt(cia matematyczne. Najczt(sciej postt(P jest dokonywany winny sposob: rozwoj pojt(c matematycznych rna swoj,! wIasn,! dynamikt( i nowe koncepcje rodz,! sit( same w jej wlasnych ramach. Idee matematyczne rozwijaj,! sit(, a razem z nimi, w sposob naturalny, pojawiaj,! sit( roznego rodzaju problemy. Niektore z nich (np. problem znalezienia dlugosci przek'!tnej kwadratu) mog,! doprowadzic do zasadniczego rozwinit(cia koncepcji matematycznych, za pomoq ktorych problem zostal pocz'!tkowo sformulowany. Czasem do przyjt(cia tych nowych koncepcji jestesmy po prostu zmuszeni, w innych przypadkach pojawiaj,! sit( one jako wynik poszukiwan sformulowania bardziej eleganckiego, prostszego czy wygodniejszego. Z tych powodow wydaje sit( czasem, ze droga postt(pu matematycznego zmierza w innym kierunku niz ten, ktory byl pocz'!tkowo zamierzony, czyli do wlasciwego przedstawienia swiata fizyki. J ednakZe w wielu przypadkach owo pragnienie matematycznej spojnosci i elegancji prowadzi nas do odkrycia pojt(c i struktur matematycznych, ktore, jak sit( okazuje, ujmuj,! zagadnienia swiat a fizyki w sposob glt(bszy i bardziej rozlegly, niZ tego pocz'!tkowo oczekiwalismy. Czasem sprawia to wrazenie, jakby sarna Natura kierowaia sit( wymogami elegancji i spojnosci, podobnymi do tych, ktore steruj,! matematycznym rozumowaniem. Dobrym przykladem jest przedstawiony tu problem liczb rzeczywistych. Natura nie dostarcza nam bezposrednich dowodow, ze fizyczne pojt(cie "odleglosci" moze byc ekstrapolowane do dowolnie duzej skali; w jeszcze mniejszym stopniu dostarcza nam dowodow na to, ze takie pojt(cie mozna stosowac na poziomie nieskonczenie malych rozmiarow. Nie rna zadnego dowodu na to, ze w zgodzie z geometri,!, ktora do ich opisu posluguje sit( liczbami rzeczywistymi, "punkty" w przestrzeni rzeczywiscie istniej,!. W czasach Euklidesa z trudem mozna bylo znalezc fizyczne uzasadnienie pogl,!du, ze euklidesowe pojt(cie "odieglosci" rna sens dalej niZ poza zasit(g, powiedzmy, 1012 metrow lO , alba ze mozna sensownie rozpatrywac odleglosci mniejsze niz 10-5 metra. Gdy jednak spojrzymy przez pryzmat elegancji i spojnosci koncepcji systemu liczb rzeczywistych, mozemy spostrzec, ze wszystkie dotychczasowe, otwarte i uiyteczne teorie fizyczne, bez zadnego wyj'!tku, posluguj,! sit( tym staroiytnym pojt(ciem liczby rzeczywistej. Jdeli w czasach Euklidesa bylo niewiele dowodow uzasadniaj,!cych takie podejscie, to dzisiaj nasza wiara w system liczb rzeczywistych zostala naprawdt( wynagrodzona. Rozwoj wspolczesnej kosmologii pozwolil nam rozci,!gn,!c zakres odleglosci mierzonych liczbami rzeczywistymi do 1026 metrow i wit(cej, podczas gdy dokladnosc naszych badan w dziedzinie cz'!stek elementarnych daje nam wgl,!d w rozmiary rzt(du 10-17 , a nawet jeszcze mniejsze. (Jedyna skala odieglosci, przy ktorej pojawiaj,! sit( powazne zastrzdenia, jest 0 18 rzt(dow wielkosci mniejsza od tej ostatniej, a wit(c dotyczy odieglosci rZt(du 10-35 metra. Jest to tak zwana "skala Plancka" grawitacji kwantowej i pojawi sit( ona w naszej dyskusji pMniej; zob. rozdz. 31.1, 6-12,14 i 32.7.) Mozemy uwazac za znakomite uzasadnienie stosowania takiej idealizacji matematycznej fakt, ze potrafilismy rozci,!gn,!c zakres stosowalnosci pojt(cia liczby

59

3

Rodzaje liczb w swiecie fizyki

60

rzeczywistej 026 rZyd6w wielkosci - od 17 rZyd6w (10 17 ) od wielkosci najmniejszych do najwiykszych w czasach Euklidesa - do rozpiytosci co najmniej 1043 we wsp6tczesnej fizyce. Ale mozliwosci zastosowan systemu liczb rzeczywistych w swiecie fizycznym s,! duzo wiyksze. Przede wszystkim powinnismy wzi,!e pod uwagy, ze wielkosciami fizycznymi, kt6re w spos6b precyzyjny mozemy opisae za pomoq liczb rzeczywistych, s,! nie tylko odlegiosci, ale r6wniez pola powierzchni i objytosci. Objytosci mierzymy jako trzecie potygi, a pola jako drugie potygi odlegiosci. Zgodnie z tym w przypadku objytosci musimy rozwazae liczby, kt6re stanowi,! trzecie potygi rozmiar6w uprzednio dyskutowanych. W czasach Euklidesa prowadziloby to do rozwaZania obszar6w 0 wielkosci (10 17 )3 = 1051 • Tymczasem we wsp6tczesnych teoriach musimy rozwazae wielkosci rZydu co najmniej (1043 )3 = 10129 • Ponadto, zgodnie ze stanem wsp6tczesnej wiedzy, s,! tei innego rodzaju pomiary fizyczne, do kt6rych niezbydne jest uiycie liczb rzeczywistych. Tutaj mamy przede wszystkim na mysli problem czasu. Wedlug teorii wzglydnosci czas musi bye dol'!czony do rozmiar6w przestrzeni i w ten spos6b przechodzimy do rozwazania czasoprzestrzeni (kt6r,! bardziej szczeg610wo zajmiemy siy w rozdz. 17). Objytose czasoprzestrzeni jest czterowymiarowa, w zwi,!zku z czym powinnismy poszerzye zakres stosowanych liczb 0 zakres odpowiadaj,!CY swiatowym rozmiarom czasowym (wedlug najnowszych teorii to jest skala 43 rZyd6w wielkosci), co razem z wielkosciami przestrzennymi daje w sumie co najmniej 10172 • P6zniej zobaczymy, ze istnieje potrzeba rozwaZania nawet jeszcze wiykszych liczb rzeczywistych (zob. rozdz. 27.13 i 28.7), aczkolwiek w pewnych przypadkach nie jest jasne, ze koniecznie trzeba poslugiwae siy liczbami rzeczywistymi (a nie wystarczylyby, na przyklad, tylko liczby calkowite). Jeszcze wazniejsza rola liczb rzeczywistych dla rozwoju teorii fizycznych, ito od czas6w Archimedesa, poprzez Galileusza i Newtona, do Maxwella, Einsteina, Schr6dingera, Diraca i innych, polega na tym, ze tworz'! one ramy, w kt6rych mozemy sformulowae zasady rachunku r6iniczkowego i calkowego (zob. rozdz. 6). Bez tego rachunku nie mozna skonstruowae zadnej skutecznej teorii dynamicznej. Konwencjonalne podejscie do rachunku r6zniczkowego wymaga infinitezymalnej natury liczb rzeczywistych. Inaczej m6wi,!c, na koncu skali, kt6ry odpowiada malym liczbom, konieczne jest wykorzystanie calego zakresu liczb rzeczywistych. Idee rachunku r6zniczkowego lez,! u podstaw okreslenia wielkosci fizycznych takich jak prydkose, pyd, moment pydu, energia. W konsekwencji system liczb rzeczywistych w spos6b fundamentalny wkracza do teorii fizycznych, umozliwiaj,!c okreslenie, czym S,! rozwazane przez nas wielkosci fizyczne. W tym miejscu, podobnie jak we wspomnianym juz przypadku obliczania p61 powierzchni (w rozdz. 2.3 i 3.2), musimy przywolae na pomoc system liczb rzeczywistych w zakresie liczb nieskonczenie malych. Pomimo to nadal wydaje siy uprawnione pytanie, czy system liczb rzeczywistych jest naprawdy "poprawn,! metod'!" opisu swiata fizycznego w jego najglybszych aspektach. Kiedy na pocz'!tku lat dwudziestych XX wieku rodzily siy idee

Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie

3.3

mechaniki kwantowej, wowczas wydawalo siy, ze w skali mikroswiata zaczynamy dostrzegae jakqs dyskretnq czy tez ziarnistq struktury materii ll . Wydawalo siy, ze energia moze bye rozwai:ana tylko w pewnych skonczonych porcjach - czy w "kwantach", a wielkosci fizyczne takie jak "dzialanie" czy "spin" mogq wystypowae tylko jako wielokrotnosci pewnych podstawowych jednostek (zob. rozdz. 20.1, 5, gdzie jest zdefiniowane klasyczne pojycie dzialania, a w rozdz. 26.6 jego kwantowy odpowiednik; czym jest spin - zob. rozdz. 22.8-12). Idqc w tym kierunku, wielu fizykow probowalo skonstruowae alternatywny obraz swiata, w ktorym dyskretne (0 skonczonych rozmiarach) procesy rzqdzityby wszystkimi zjawiskami na tym poziomie. Zgodnie z obecnym rozumieniem mechaniki kwantowej, teoria ta nie zmusza (ani nawet tego nie sugeruje) do przyjycia punktu widzenia, ze na najnizszych poziomach kwantowego mikroswiata przestrzen, czas czy energia majq struktury ziarnistq bqdz dyskretnq (zob. rozdz. 21 i 22, w szczegolnosci ostatnie zdanie rozdz. 22.13). Pomimo to idea, zgodnie z ktorq swiat kwantowy moglby miee u swoich fundamentow struktury dyskretnq, nie zostala zarzucona. Na przyklad wielki tworca teorii kwantow Erwin Schrodinger byt jednym z pierwszych, ktory sugerowal, ze konieczne moze bye przejscie do rozwazania jakiejs dyskretnej struktury przestrzeni 12. Koncepcja pnedziaiu ciqglego, tak popularna obecnie wsr6d matematyk6w, jest ogromn,!, bardzo przesadn'! ekstrapolacj,! tych obserwacji, kt6re s,! nam dostypne.

Idey dyskretnosci Schrodinger wiqzal z poglqdami staroi:ytnych Grekow, ktorzy tez rozwazali ziarnistq budowy Natury. Rowniez Einstein w swoich ostatnich opublikowanych pracach sugerowal, ze odpowiedniq dla przyszlej fizyki powinna bye jakas teoria algebraiczna oparta na wielkosciach dyskretnych I3 : "Mozna podae solidne powody, dla kt6rych rzeczywistose nie moze bye opisana za pomoq ci,!gtego pola. [... J Zjawiska kwantowe [... Jwskazuj,! na potrzeby znalezienia czysto algebraicznej tearii, kt6ra opisywataby rzeczywistose. Nikt jednak nie wie, jak skonstruowae podstawy takiej teorii,,14.

Inni naukowcy15 rowniez usitowali rozwijae te idee (zob. rozdz. 33.1). TakZe ja sam pod koniec lat piyedziesiqtych zajmowalem siy tq sprawq i nawet skonstruowalem schemat, ktory nazwalem teoriq "sieci spinowych". W tym kombinatorycznym podejsciu do fizyki podstawowym elementem konstrukcyjnym powinien bye dyskretny charakter kwantowy spinu (a wiyc dyskretny, ale niekoniecznie oparty na liczbach rzeczywistych; schemat ten zostanie krotko opisany w rozdz. 32.6). Aczkolwiek moje wlasne idee na tym polu nie rozwinyly siy do poziomu spojnej teorii (jednakZe, przeformulowane, zostaly wykorzystane w tzw. teorii twistorow; zob. rozdz. 33.2), to teoria sieci spinowych zostala ostatnio przejyta przez innych fizykow i wykorzystana w jednym z glownych program ow ataku na fundamentalny problem kwantowej grawitacji l6 • Krotki opis tych roznych pomystow przedstawiy w rozdz. 32. Ale tak czy inaczej, dzisiejsze stanowisko fizyki teoretycznej - i tak

61

3

Rodzaje liczb w swiecie fizyki

bylo przez 24 stulecia - polega na tym, ze liczby rzeczywiste wci,!z stanowi,! podstawowy skladnik naszego rozumienia fizycznego swiata.

3.4 Czy liczby naturalne

62

potrzebuj~

fizycznej rzeczywistosci?

W rozdz. 3.2, opisuj,!c podejscie Dedekinda do problemu liczb rzeczywistych, przyj,!lem zalozenie, ze "zrozumiale" jest pojycie liczb wymiernych. I faktycznie, nie jest rzecz'! trudn'! przejse od liczb calkowitych do wymiernych; liczby wymierne s,! po prostu stosunkami liczb calkowitych (zob. Przedmowa). Ale jak siy przedstawia sprawa ze zrozumieniem, czym s,! liczby calkowite? Czy to s,! liczby zakorzenione w ideach fizycznych? Z cal,! pewnosci,! dyskretne podejscie do fizyki, 0 kt6rym m6wilismy w dwu poprzednich rozdzialach, zwi,!zane jest z naszym zrozumieniem pojycia liczby naturalnej (a wiyc kolejnej liczby porz,!dkowej) oraz jego poszerzenia, poprzez wl,!czenie liczb ujemnych do pojycia liczby calkowitej. Grecy nie uwazali liczb ujemnych za "prawdziwe liczby", dlatego zapytajmy najpierw, jaki jest fizyczny status samych liczb naturalnych. Liczby naturalne S,! wielkosciami, kt6re obecnie oznaczamy symbolami 0, 1, 2, 3, 4 itd., a wiyc s,! to nieujemne liczby calkowite. (Wsp6lczesne procedury wl,!czaj,! do tego spisu liczb naturalnych r6wniez 0, co jest wlasciwe z matematycznego punktu widzenia, ale staroi:ytni Grecy nie uWaZali zera za "prawdziw,! liczby". Na wl,!czenie zera trzeba bylo czekae na hinduskich matematyk6w z Indii, poczynaj,!c od Brahmagupty w VII wieku, po kt6rym pojawili siy Mahawira w IX wieku i Bhaskara w XII w.) Znaczenie liczb naturalnych jest jasne i niedwuznaczne. S,! to rzeczywiscie najbardziej elementarne "liczby kolejne", kt6re odgrywaj,! zasadnicz'! roly przy formulowaniu wszystkich praw geometrii i fizyki. Na liczbach naturalnych mozemy wykonywae pewne dobrze nam znane operacje, przede wszystkim operacje dodawania (jak np. 37 + 79 = 116) i mnozenia (np. 37 x 79 = 2923), kt6re pozwalaj,! w okreslony spos6b l,!czye ze sob,! pary liczb naturalnych tak, aby w wyniku otrzymywae inne liczby naturalne. Te operacje S,! niezalezne od natury geometrii swiata. Mamy jednak prawo postawie pytanie: czy liczby naturalne, same w sob ie, maj,! jakis sens, a wiyc czy mozemy powiedziee, ze istniej,! w oderwaniu od natury swiata fizyki? Bye moze nasza idea liczb naturalnych jest uzalezniona od trwalego istnienia w tym swiecie dobrze okreSlonych obiekt6w materialnych. W koncu liczby naturalne pojawiaj,! siy wtedy, kiedy zamierzamy policzye jakieS konkretne rzeczy. Ale to by oznaczalo, ze liczby naturalne maj,! sens tylko wtedy, gdy w swiecie fizycznym istniej,! trwale dobrze odr6znialne rzeczy, kt6re maj,! ty wlasnose, ze mog,! bye "policzone". A co by bylo, gdyby nasz WszechSwiat mial tak'! wlasciwose, ze istniej,!ce w nim obiekty zmienialyby swoj,! licznose? Czy w takim swiecie pojycie liczb naturalnych byloby r6wnie "naturalne" i oczywiste jak w naszym? A moze nasz WszechSwiat zawiera tylko skonczon,! ilose "rzeczy", a w takim razie tych "naturalnych" liczb tez bylaby tylko skonczona ilose? Po-

ezy liczby naturalne potrzebujq fizycznej rzeczywistosci?

3.4

nadto jestesmy w stanie wyobrazie sobie wszechSwiat wypelniony tylko jakimis amorficznymi substancjami, do ktorych stosowanie pojycia liczby byloby najzupelniej nieodpowiednie. Czy w takim swiecie pojycie "liczby naturalnej" mialoby jakis zwi,!zek z rzeczywistosci,!? Nawet gdyby mieszkancy takiego swiata z trudem znajdowali jakis fizyczny odpowiednik naszego pojycia "liczby naturalnej", to trudno sobie wyobrazie, ze tak fundamentalne pojycie nie odgrywaloby zadnej istotnej roli. Istnieje wiele sposobow wprowadzenia liczb naturalnych do czystej matematyki i nie wydaj,! siy one zwi'!zane z naszymi wyobrazeniami 0 otaczaj,!cym swiecie. Podstawowym pojyciem, ktore musimy tutaj przywolae, jest pojycie zbioru - abstrakcyjne - w zaden sposob niezwi'!Zane ze specyficzn,! natur,! naszego WszechSwiata. Z tym pojyciem zwi'!zane s,! pewne subtelnosci, ktore na razie pominiemy, ale powrocimy do nich pozniej (w rozdz. 16.5). RozwaZmy pewien szczegolny sposob (antycypowany przez Cantora, ale ostatecznie rozwiniyty przez wybitnego matematyka Johna von Neumanna), w ktorym liczby naturalne zostaj,! wprowadzone za pomoc,! abstrakcyjnego pojycia zbioru. Procedura ta pozwala nam na zdefiniowanie czegos, co nazywamy "liczbami porz,!dkowymi". Najprostszy mozliwy zbior bydziemy nazywali "zbiorem zerowym" alba "zbiorem pustym". Charakteryzuje siy on tym, ze nie zawiera anijednego elementu! Zbior pusty jest zwykle oznaczany symbolem 0, i mozemy napisae definicjy:

0= {}, gdzie nawiasy klamrowe ograniczaj,! pewien zbior, ktorego elementy s,! wymienione w srodku. W danym przypadku wewn'!trz nawiasow nie rna zadnych elementow, a wiyc omawiany zbior jest istotnie zbiorem pustym. Przyporz,!dkujmy zbiorowi 0 liczby naturaln,! o. Mozemy teraz pojse krok dalej i zdefiniowae zbior, ktorego jedynym element em bydzie 0, czyli zbior {0}. Wazne jest, zebysmy mieli swiadomose, iz zbior {0} nie jest tym samym zbiorem co zbior pusty 0. Zbior {0} zawiera jeden element (tym elementem jest 0), podczas gdy 0 nie zawiera w ogoIe zadnego elementu. Przyporz,!dkujmy zbiorowi {0} liczby naturaln,! 1. Nastypnie zdefiniujemy zbior zawieraj,!cy dwa elementy i tymi element ami b,!d,! oba przed chwil,! rozwazane zbiory, 0 i {0}, a wiyc zbior {0, {0}}, i temu zbiorowi przyporz,!dkujmy liczby 2. Liczby 3 przyporz,!dkujemy zbiorowi, ktory bydzie zawieral wszystkie te trzy elementy, a wiyc {0, {0}, {0, {0}}, a liczby 4 zbiorowi {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0, {0}}}} itd. Wprawdzie zwykle nie myslimy 0 liczbach naturalnych w ten sposob, ale tak wlasnie do definicji tego pojycia dochodz,! matematycy (por. z dyskusj,! przeprowadzon,! w Przedmowie). Ponadto ten przyklad pokazuje nam, ze liczby naturalne 17 mog,! bye wyprowadzone doslownie z niczego, dziyki posluzeniu siy jedynie abstrakcyjnym pojyciem zbioru. Mozemy skonstruowae nieskonczon'! sekwencjy calkowicie abstrakcyjnych (platonskich) bytow idealnychzbiorow - zawieraj,!cych, odpowiednio, jeden, dwa, trzy itd., elementow, po jednym zbiorze dla kazdej liczby naturalnej, zupelnie bez odniesienia do fizycznej

63

3

Rodzaje liczb w swiecie fizyki

natury naszego WszechSwiata. Na rys. 1.3 zilustrowalismy pewien rodzaj niezaleznego istnienia platonskich idei matematycznych, lecz "istnienie" moze bye wyprowadzone i rozpoznane jedynie na drodze pracy umyslowej i natyzenia wyobrazni, bez jakiegokolwiek zwiqzku ze szczegolami natury otaczajqcego nas swiat a fizyki. Co wiycej, konstrukcja Dedekinda pokazuje, jak ta czysto rozumowa procedura moze bye kontynuowana, umozliwiajqc nam "zbudowanie" calego systemu liczb rzeczywistych 18 , i wszystko to nadal bez odnoszenia siy do fizycznej realnosci. Pomimo ze, jak to juz podkreslalismy, liczby rzeczywiste majq bezposredni zwiqzek z realnq strukturq WszechSwiata - co ilustruje bardzo tajemniczy charakter "pierwszej zagadki" zobrazowanej na rys. 1.3.

3.5 Liczby dyskretne w swiecie fizyki

64

Wybieglismy nieco do przodu. Przypomnijmy sobie, ze przeprowadzajqc konstrukcjy Dedekinda, posluZylismy siy zbiorem liczb wymiernych, a nie bezposrednio zbiorem liczb naturalnych. Nadmienialismy juz, ze jesli mamy zdefiniowane pojycie liczby naturalnej, to nie jest trudno okreslie, co rozumiemy przez liczby wymierne. Ale, jako krok posredni, wlasciwe bydzie zdefiniowanie pojycia liczby calkowitej, ktora jest albo liczbq naturalnq, albo "przeciwienstwem" liczby naturalnej (liczba zero jest swoim wlasnym przeciwienstwem). W sensie formalnym nie jest trudno podae definicjy "przeciwienstwa": do kazdej liczby naturalnej (z wyjqtkiem liczby 0) dodajemy pewien "znak" zapisywany jako ,,-" i definiujemy logicznie wszystkie arytmetyczne reguly dodawania, odejmowania, mnozenia i dzielenia (z wyjqtkiem dzielenia przez 0). To jednak nie przybliza nas wcale do odpowiedzi na pytanie, jakie jest "fizyczne znaczenie" liczby ujemnej. COZ by to bowiem mialo na przyklad znaczye, ze na polu mamy minus trzy krowy? Mysly, ze w odroznieniu od samych liczb naturalnych, nie rna zadnej ewidentnej fizycznej tresci w pojyciu liczby ujemnej w odniesieniu do fizycznych przedmiotow. Ujemne liczby calkowite z calq pewnosciq majq ogromne znaczenie organizacyjne, na przyklad przy sporzqdzaniu bilansow bankowych i w innych operacjach finansowych. Ale czy one majq bezposredni zwiqzek ze .swiatem fizycznym? Kiedy uZywam slow "bezposredni zwiqzek", nie mam na mysli takich sytuacji, w ktorych moze siy wydawae, ze ujemne liczby rzeczywiste Sq wlasciwymi miarami; tak na przyklad odleglose mierzona w jednym kierunku moze bye uwazana za dod atniq, a mierzona w kierunku przeciwnym za ujemnq (albo w odniesieniu do czasu, kiedy czas rozciqgajqcy siy w przeszlose moglby bye traktowany jako ujemny). Raczej mam na mysli liczby dotyczqce wielkosci skalamych, a wiyc tych, w ktorych nie pojawia siy kwestia kierunku (przestrzennego czy czasowego). I w przypadku takich wielkosci okazuje siy, ze system liczb calkowitych zarowno dodatnich, jak i ujemnych rna bezposrednie fizyczne znaczenie. Jest faktem godnym uwagi, ze dopiero w ostatnim stuleciu stalo siy jasne, iz liczby calkowite rzeczywiscie majq bezposredni zwiqzek ze swiatem fizyki. Pierw-

Liczby dyskretne w swiecie fizyki

3.5

szym przyldadem wielkosci, ktora wydaje siy wlasciwie kwantyfikowana za pomoc-t:!

N?,

T~t,

ST~~, /, t

lustro

~

·N

Co

en

274

~~?,

,. " . .+,(ST)"~

,..s--->-

t'

lustro

('f,t)

=

1

~~

Rys. 13.19. Operacja sprzyzenia hermitowskiego (*) wygodnie przedstawiona jako odbicie w plaszczyznie horyzontalnej. To odbicie zamienia "ramiona" z "nogami" i odwraca porzlldek mnozenia: (STf = T' S'. Mamy tez graficzne przedstawienie hermitowskiego iloczynu skalarnego (vlw) =v'w (a wiyc wziycie jego sprzyzenia zespolonego odwroci do gory nogami graf znajdujllCY siy na prawym skraju rysunku).

Grupy unitarne

W szczegolnym przypadku w = v otrzyrnujemy operacjt( *:

norm~

13.9

wektora v ze wzglt(du na

Ilvll = (vlv). Mozemy wybrac baz~ (e p liczby zespolone

••• ,

en) dla V, a wowczas skladowymi ha'b w tej bazie s,! n 2 ha'b

= h(ea , eb ) = (e a I eb ),

ktore tworz'! elementy macierzy hermitowskiej. Bazt( (e p ortonormalnq ze wzglt(du na *, jesli (e i

I e) = { j

±1 gdy i = j

°

gdy

i:;t:.

.•• ,

en) nazywamy pseudo-

.

j'

w przypadku gdy wszystkie znaki ± s,! +, a wit(c gdy wszystkie ±1 s,! 1, wowczas baza jest ortonormalna. Zawsze mozna znaleic bazt( pseudoortonorrnaln,!, i to roznymi sposobarni. W kazdej z tych baz macierz ha'b jest macierz,! diagonaln,! z + 1 i-I na diagonali. Dla danej operacji * calkowita liczba plus jedynek, p, jest zawsze taka sarna i taka sarna jest liczba minus jedynek, q. Umozliwia to zdefiniowanie niezrnienniczego pojt(cia sygnatury (p, q) dla danej operacji *. Jesli q = 0, to rnowimy, ze * jest dodatnio okrdlona. W tym przypadku 21 norma dowolnego niezerowego wektora jest zawsze dodatnia[13.541:

v :;t:. 0

irnplikuje

I vii> O.

Zauwazmy, ze pojt(cie "dodatniej okreslonosci" jest uogolnieniern pojt(cia zdefiniowanego w rozdz. 13.8 na przypadek zespolony. Transformacjt( liniow,! T, ktorej odwrotnosci,! jest T*, a wit(c tak,!, ze

T- 1 = T,* czyh. TT * = I = T*T, nazywamy transformacj,! unitamq, gdy operacja ,,*" jest dodatnio okreslona; w przeciwnym wypadku nazywarny j,! pseudounitamq[13.551• Termin "rnacierz unit am a" odnosi sit( do macierzy T spelniaj,!cej podany warunek, gdzie symbol" *" oznacza zwykle sprzt(zenie zespolone, a wit(c gdy T- 1 = T. Grupa transformacji unitamych w n wyrniarach, czyli rnacierzy unitamych (n x n), nosi nazwt(grupy unitamej U(n). W ogolnym przypadku, gdy operacja ,,*" rna sygnaturt( (p, q), mamy do czynienia z pseudounitam,! grup,! U(p, q)22. Jesli te transformacje maj,! wyznacznik jeden, wowczas otrzyrnujerny, odpowiednio, grupy SU(n) i SU(p, q). Transforrnacje unitame odgrywaj,! zasadnicz'! rolt( w mechanice kwantowej (ale maj,! tez wielkie znaczenie w kontekscie czysto maternatycznym). B [13.54] Pokaz to. B [13.55] Pokaz, ze te transformacje zachowuj,! hermitowsk,! odpowiedniosc pomiydzy wektorami va kowektorami v' oraz ze te transformacje zachowuj,! hab"

275

13

Grupy symetrii

13.10 Grupy symplektyczne W dwu poprzednich rozdzialach zetknylismy siy z grupami ortogonalnymi i unitarnymi. Oba rodzaje grup nazywamy grupami klasycznymi, a pojycie to oznacza grupy Liego inne niz grupy sporadyczne (zob. rozdz. 13.2). Listy grup klasycznych uzupelnia rodzina grup symplektycznych. Grupy symplektyczne maj,! wielkie znaczenie w fizyce klasycznej, jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 20.4, ale s,! wazne rowniei: w fizyce kwantowej, szczegolnie w dziedzinie zagadnien nieskonczenie wielowymiarowych (rozdz. 26.3). Co to jest grupa symplektyczna? Powroemy raz jeszcze do pojycia formy biliniowej, ale teraz, w miejscu symetrii (g(x, y) = g(y, x», jaka jest wymagana przy definicji grupy ortogonalnej, naloi:ymy warunek antysymetrii:

s(x,y) =-s(y,x), wraz z warunkiem liniowosci:

s(x,y + w) = s(x,y) + sex, w), sex, AY) = AS(X,y), gdzie liniowose wzglydem pierwszej zmiennej, x, wynika z antysymetrii. Nasz'! formy antysymetryczn,! mozemy tez zapisae w postaci

s(x,y) =xasabl = xTSy, podobnie jak w przypadku symetrycznym, ale teraz sab S,! antysymetryczne:

sba = - sab' czyli ST = -S, gdzie elementami macierzy S S,! sab. Z'!damy, zeby macierz S byla macierz,! nieosobliw'!. W takim przypadku Sab S,! zwi,!zane z elementami macierzy odwrotnej, sab, relacjame3

gdzie sab = _ia. Zauwazmy, ze - analogicznie do macierzy symetrycznej - macierz antysymetryczna S jest rowna jej transpozycji wziytej ze znakiem minus. Wazne jest tei:, zebysmy zauwaZyli, ze antysymetryczna macierz S 0 wymiarze (n x n) moze bye macierz,! nieosobliw,! tylko wtedy, gdy n jest liczb,! parzyst'![13.S61• Tutaj n jest wymiarem przestrzeni V, do ktorej nalez'! x i y, a wiyc rzeczywiscie n jest parzyste. Elementy T grupy GL(n), ktore zachowuj,! tak'! nieosobliw,! antysymetryczn,! macierz sab (albo, rownowaznie, formy biliniow'! s), w sensie takim, ze

sabTacTbd=sCd' czyli TTST=S, nazywamy symplektycznymi, a grupa tych elementow nosi nazwy grupy symplektycznej (jak przekonamy siy w rozdz. 20.4, odgrywa ona wazn,! roly w mechanice

276

~ [13.56] Udowodnij to.

Grupy symplektyczne 13.10

klasycznej). W literaturze matematycznej mamy do czynienia z pewnym ldopotem terminologicznym. Matematycznie bardziej poprawne byloby zdefiniowanie (rzeczywistej) grupy symplektycznej jako formy rzeczywistej zespolonej grupy symplektycznej Sp(~n, q, ktora jest grupq zespolonych macierzy Tab (albo T) spelniajqcych po dane relacje. Ta szczegolna forma rzeczywista, ktorq wlasnie zdefiniowalismy, jest grupq niezwartq. Jednak, zgodnie z uwagami, ktore poczynilismy pod koniec rozdz. 13.7- Sp( tn, q jest grupq polprostq - istnieje inna forma rzeczywista grupy zespolonej, ktora jest zwarta, i wlasnie ty zwartq grupy zwykle nazywamy (rzeczywistq) grupq symplektycznq Sp(tn). Jak znajdujemy te rozne formy rzeczywiste? Podobnie jak w odniesieniu do grup ortogonalnych, istnieje pojycie sygnatury, ktore jednak nie jest tak dobrze znane jak w przypadku grup ortogonalnych i unitarnych. Grupa symplektyczna transformacji rzeczywistych zachowujqcych sab bylaby przypadkiem "sygnatury rozszczepionej" i mialaby sygnatury (tn, tn). W przypadku zwartym grupa symplektyczna mialaby sygnatury (n, 0) alba (0, n). Jak definiujemy takq sygnatury? Dla kazdej pary liczb naturalnychp i q, takiej, ze p + q = n, mozemy zdefiniowac odpowiedniq "formy rzeczywistq" grupy zespolonej Sp(tn, q, biorqc tylko te elementy, ktore Sq rowniez pseudounitarne dla sygnatury (p, q), a wiyc nale:lq do grupy U(p, q) (zob. rozdz. 13.9). W ten sposob otrzymujemy24 pseudosymplektycznq grupy Sp(p, q). Inaczej mowiqc, grupa Sp(p, q) stanowi przeciycie grupy Sp(tn, q z grupq U(p, q). W zapisie wskainikowym mozemy zdefiniowac grupy Sp(p, q) jako grupy zespolonych transformacji liniowych Tab' ktore zachowujq antysymetryczne Sab' jak poprzednio, oraz macierz hermitowskq H 0 elementach h a'b' W sensie takim, ze

fa'b' Tab ha'a =hb'b gdzie H rna sygnatury (p, q), a wiyc mozemy znaleic pseudoortonormalnq bazy, w ktorej H przyjmuje postac diagonalnq z p jedynkami i q minus jedynkami; zob. rozdz. 13.925 • Zwartq klasycznq grupq symplektycznq Sp(tn) jest moja grupa Sp(n, 0) alba Sp(O, n), lecz w fizyce klasycznej formq najwazniejszq jest Sp( tn, t n )l13.571• Podobnie jak w przypadku grup ortogonalnych i unitarnych mozemy dokonac wyboru bazy, w ktorej sldadowe sab przyjmujq szczegolnie prostq postac. Nie powinnismy jednak oczekiwac, ze ta postac bydzie diagonalna, poniewaz jedynq antysymetrycznq macierzq diagonalnq jest macierz zerowa! Potrafimy wszakZe znaleic takq bazy, w ktorej macierz sab bydzie miala na glownej przekqtnej bloki macierzy 2 x 2 0 postaci

t1l11 [13.57] Stosuj,!c ten przepis, znajdz jawny opis Sp(l) i Sp(l, 1). Czy rozumiesz, dlaczego grupy Sp(n, 0) S,! zwarte?

277

13

Grupy symetrii

t

W znajomym przypadku rozszczepionej sygnatury Sp( tn, n) bierzemy rzeczywiste transformacje liniowe, kt6re zachowuj,! tlz,e~

..;.~ ~ "'!*to.'0 :;:" Iz,f>~

:'~ ~~

........... \

"4.

"

'-_,

--

Przesuni~ty

~ensorQ

"';':.:;.,: ~ . . . '

G1

•

'-.:/

•. :

~j

Pole .:.:' otensorowe ..:.'

"", ',' ::.:.:.;. a). Przeprowadzony przez Cantora blyskotliwy dow6d tego wyniku (i sam wynik, rzeez jasna) stanowiq jedno z najbardziej oryginalnych i znaczqcych osiqgniye w calej historii matematyki. Przy tym jest on na tyle pro sty, ze mogy podae go tutaj w calosci. Najpierw wyjasniy notacjy. Jesli mamy dwa zbiory A i B, w6wczas zbi6r Jr oznacza zbi6r wszystkich odwzorowan A w B. Do czego jest nam potrzebna taka notacja? Wyobrazmy sobie, ze zbi6r A leZy przed nami, a kazdy jego element reprezentowany jest przez pewien "punkt". Aby sobie wyobraziC zbi6r Jr, kaidemu z tych punkt6w przyporzqdkujemy jakis element B. Jest to odwzorowanieA na B, poniewaz przyporzqdkowuje element B kazdemu elementowi A (zob. rys. 16.5). Powodem wykladniczej notacji Jr jest fakt, ze gdy ty proeedury zastosujemy do zbior6w skonczonych, powiedzmy do zbioru A 0 a elementaeh i do zbioru Bob elementach, w6wczas calkowita ilose sposob6w przyporzqdkowania elementu B a kazdemu elementowi A wynosi rzeczywiscie b • (Istnieje b mozliwosci dla pierwszego elementuA; istnieje b mozliwosci dla drugiego; tyle sarno dla trzeciego; i tak dalej, dla kazdego elementuA. Calkowita ilose jest wiyc b x b x b x b x ... x b, b a wystypuje tutaj a razy, a wiyc mamy b .) W zapisie Cantora mamy

na oznaczenie mocy zbioru Jr, gdzie a i f3 stanowiq, odpowiednio, moce zbior6w A i B.

351

16

Drabina nieskonclonosci

B xA

B

Rys. 16.5. Dla dowolnych zbior6w A, B zbi6r wszystkich odwzorowan

I

I

I

I

I

111111

A

Ana B oznaczamy Er (zob. r6wniez rys. 6.1). KaZdemu elementowi A przyporzlIdkowany jest jakis element B. Powstaje w ten spos6b przekr6j B x A, traktowany jako wiljZka nad A (jak na rys. 15.6a) z tym wyWkiem, ze pojycie cillglosci nie jest tu potrzebne.

Specjalne znaczenie rna przypadek f3 = 2. Niech B bt(dzie zbiorem dwuelementowym i niech tymi dwoma element ami bt(d,! znaczki "in" i "out". W tej sytuacji kaidy element zbioru F oznacza przyporz'!dkowanie znaczka "in" lub "out" kazdemu elementowi zbioruA. Takie przyporz,!dkowanie oznacza dokonanie wyboru jakiegos podzbioru A (mianowicie podzbioru z elementami "in"). Tak wit(c F w tym przypadku jest po prostu zbiorem podzbiorow A (ten zbior podzbiorow A jest zwykle oznaczany jako z4). A zatem: a

2 jest calkowit'! liczb,! podzbiorow dowolnego zbioru

352

0

a elementach.

Przejdzmy teraz do zdumiewaj,!cego dowodu Cantora. Przeprowadzimy go klasyczn,! metod,! staroiytnych Grekow przez reductio ad absurdum (zob. rozdz. 2.6 i 3.1). Najpierw zalozmy, ze a = 2a , a wit(c istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mit(dzy zbioremA a jego zbiorem podzbiorow z4. W takim przypadku kazdy element A, przy tej odpowiedniosci, odpowiada pewnemu konkretnemu podzbiorowi Sea) zbioruA. Mozemy sit( spodziewac, ze niekiedy zbior Sea) bt(dzie zawieral a jako swoj element, a niekiedy nie. Rozwaimy wybor wszystkich elementow a, dla ktorych podzbior Sea) nie zawiera a. Ten wybor bt(dzie pewnym podzbiorem Q zbioru A (i ten podzbior, jesli potrzeba, moze byc zbiorem pustym, a moze tei byc calym zbiorem A). Przy zalozonej odpowiedniosci wzajemnie jednoznacznej dla pewnego q musi zachodzic Q = Seq). Teraz mozemy zapytac: czy q naleZy do Q, czy nie? Najpierw zalozmy, ze q nie naleZy do Q. W takim razie q musi nalezec do zbioru, ktory wlasnie wybralismy jako podzbior Q, a wit(c, w rezultacie, q naleZy do Q: mamy sprzecznosc. Musimy wit(c przyj,!c zalozenie altern atywne, ze q naleZy do Q. Ale wtedy q nie moze nalezec do zbioru, ktory wybralismy i nazwalismy Q, a zatem w efekcie q nie naleZy do Q: znowu sprzecznosc. NaleZy wit(c wyci,!gn,!c wniosek, ze nasza zalozona odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mit(dzy zbiorami A a z4 nie istnieje.

Argument przekqtniawy Cantara

16.4

Wreszcie trzeba pokazac, ze a ::;;: 2a , a wiyc ze istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna miydzy A a jakims podzbiorem zbioru Y. Uzyskujemy to, wykorzystuj,!c odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn'!, ktora przyporz,!dkowuje kazdy element a zA szczegolnemu podzbiorowiA, zawieraj,!cemu tylko ten jeden element a i zadnego innego. W ten sposob dowiedlismy, ze a < Y, co bylo do okazania, poniewaz pokazalismy, ze a::;;: 2a , ale a"# 2a • Aczkolwiek ta argumentacja moze bye zrodtem pewnej niejasnosci (zachycam kazdego nieprzekonanego czytelnika do przeanalizowania tego dowodu jeszcze raz), jest nadzwyczaj "elementarna", w tym sensie, ze do jej zrozumienia nie potrzeba specjalnej znajomosci matematyki. Z tego punktu widzenia jej dalekosiyzne implikacje S,! naprawdy imponuj,!ce. Przekonujemy siy nie tylko, ze w sensie fundamentalnym liczb rzeczywistych jest wiycej niZ liczb naturalnych, ale takZe ze nie rna kresu wielkosci mozliwych liczb nieskonczonych. Ponadto, w nieco zmodyfikowanej postaci, pokazuje ona, ze nie istnieje sposob obliczeniowy, ktory pozwolilby nam rozstrzygn'!e, czy jakas ogolna procedura obliczeniowa zostanie doprowadzona do konca (Turing). Jej konsekwencj,!jest tez slynne twierdzenie G6dla o nierozstrzygalnosci, ktore glosi, ze nie istnieje taki zbior wiarygodnych regu! matematycznych, ktory obejmowalby wszystkie procedury niezbydne do ustalenia prawdy matematycznej. W nastypnym rozdziale sprobujy przybliZye czytelnikowi urok myslenia matematycznego, ktore prowadzi do tego rodzaju wynikow. Teraz jednakZe sprobujmy zrozumiee, w jaki sposob przedstawiony wynik prowadzi do dokonanego przez Cantora pierwszego wielkiego przelomu w naszym mysleniu 0 nieskonczonosci, a mianowicie do zrozumienia, ze istnieje duzo wiycej liczb rzeczywistych niz liczb naturalnych, pomimo ze wszystkich ulamkow jest dokladnie tyle, Be jest liczb naturalnych. (Przelom ten polega rowniei: na tym, ze doprowadzil do wniosku 0 istnieniu nietrywialnej teorii nieskonczonego!) Do takiego wniosku dojdziemy, jesli potrafimy zauwaZyc, ze moc zbioru liczb rzeczywistych, ktor,! zwykle oznaczamy liter'! C, jest rowna 2xo :

C = 2xo. Na tej podstawie dochodzimy do wniosku, ze C > Xo' jak tego potrzebowalismy. Jest wiele sposob6w pokazania, ze C = 2xo. Aby z kolei pokazae, ze 2xo::;;: C (i to jest w zasadzie wszystko, czego potrzebujemy, zeby C > Xo)' wystarczy ustalic, ze miydzy zr'l a pewnym podzbiorem ~ zachodzi odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna. Kaidy element 2N mozemy traktowac jako przyporz'!dkowanie 0 lub 1 ("in" alba "out") kazdej liczbie naturalnej, tzn. taki element mozna sobie wyobrazic jako ci,!g nieskonczony, na przyk!ad: 100110001011101.. . Ten konkretny element zbioru 2N przyporz,!dkowuje 1liczbie naturalnej 0, przyporZ,!dkowuje 0 liczbie naturalnej 1, przyporz,!dkowuje 0 liczbie naturalnej 2, przyporz,!dkowuje 1 liczbie naturalnej 3, przyporz,!dkowuje 1 liczbie naturalnej 4 itd.,

353

16

Drabina nieskoliclonosci

zatem naszym podzbiorem jest {O, 3, 4, 8, .. .}. Mozemy spr6bowac odczytac caly ten ci,!g cyfr jako binarne rozwiniycie pewnej liczby rzeczywistej, w kt6rej przecinek dziesiytny umieszczamy na samym koncu po lewej stronie. Niestety, taki przepis nie do konca siy sprawdza ze wzglydu na irytuj,!cy fakt pewnej dwuznacznosci w przedstawieniach, kt6re prowadz'! do nieskonczonego ci,!gu skladaj,!cego siy z samych zer alba z samych jedynek[16.111. Mozemy sobie z tym poradzic wieloma prostymi sposobami. Jednym z nich byloby przeplatanie cyfr binarnych na przyklad cyfq 3, w wyniku czego otrzymalibysmy ,313030313130303031303131313031 ... , co moglibysmy traktowac jako zwykle rozwiniycie dziesiytne jakiejs liczby rzeczywistej. W ten spos6b istotnie ustanowilismy odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn'! miydzy zbiorem 2M a pewnym podzbiorem]R (tym mianowicie, w kt6rym rozwiniycia dziesiytne maj,! ty dziwaczn'!, poprzeplatan,! tr6jk,! postac). St,!d 2Ko :::; C (i to daje nam wynik Cantora C > Xo)' czego potrzebowalismy. Aby wydedukowac, ze C = 2Ko, musimy pokazac, ze C :::; 2Ko. Zauwazmy, ze kazda liczba rzeczywista lez'!ca scisle w przedziale od 0 do 1 rna rozwiniycie binarne (takie jak poprzednio rozwazane), aczkolwiek czasami niejednoznaczne. Wobec tego ten konkretny zbi6r liczb rzeczywistych rna z pewnosci,! moc :::; 2Ko. Istnieje wiele prostych funkcji, kt6re odwzorowuj,! ten przedzial na caly zbi6r ]R[16.121, co oznacza, ze C :::; 2Ko, a zatem C = 2Ko, jak chcielismy wykazac. Oryginalna wersja tego dowodu, podana przez Cantora, r6znila siy nieco od tutaj przedstawionej, ale zasadnicze argumenty s,! te same. Wersja Cantora byla bardziej bezposrednia, ale r6wniez stanowila dow6d przez sprowadzenie do niedorzecznosci. Hipotetyczna odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna miydzy N a zbiorem liczb rzeczywistych, lei,!cych dokladnie w przedziale pomiydzy 0 i 1, byla przedstawiona jako ulozona w porz'!dku pionowym lista wszystkich liczb rzeczywistych, zapisanych w rozwiniyciu dziesiytnym. Sprzecznosc z zalozeniem, ze lista ta jest kompletna, Cantor uzyskal za pomoc,! tzw. argumentu przek'!tniowego, polegaj,!cego na tym, ze now'! liczby rzeczywist'!, nieznajduj,!C'! siy na tej liscie, uzyskuje siy, id'!c wzdluz g16wnej przek,!tnej tego ukladu liczb, zaczynaj'!c w lewym g6rnym rogu i zmieniaj,!c tak, zeby w n-tym miejscu znalazla siy jakas liczba inna od n-tej liczby rzeczywistej na liscie. (Istnieje wiele popularnych wersji tego dowodu; zob. np. wersjy podan,! w rozdz. 3 mojej ksi,!zki Nowe szaty cesarza. )[16131 a Ten typ dowodzenia (wl,!czaj,!c w to m6j spos6b pokazania, ze a < 2 ) jest nazywany "argumentem przek'!tniowym" Cantora.

ta [16.11] Wyjasnij to. ta [16.12] Przedstaw jeden z tych sposob6w. Wskaz6wka: zob. np. rys. 9.S.

354

~ [16.13] Wyjasnij, ze jest to w zasadzie ten sam argument, kt6ry przedstawilem w tekscie, a w przypadku a = Xo' aby pokazac, ze a < 2 •

Zagadki w podstawach matematyki

16.5

Jak zauwaZylismy, moc continuum (a wi((c JR.), 2Ko, oznaczana jest zwykle literq C. Cantor niewqtpliwie wolalby oznaczye jq jako ~1' przez co rozumial "nast((pnq najmniejszq" liczb(( kardynalnq po ~o. WloZyl wiele wysilku w udowodnienie, ze 2Ko = ~1' co si(( nie powiodlo, i od tej pory ta supozycja, znana pod nazwq hipotezy continuum, stala si(( jednym z najbardziej znanych nierozwiqzanych problemow matematycznych. W sensie "bezwzgl((dnym" pozostaje nierozwiqzana do dnia dzisiejszego. Kurt G6del i Paul Cohen potrafili pokazae, ze hipoteza continuum (podobnie zresztq jak aksjomat wyboru) nie moze bye wykazana metodami standardowej tearii mnogosci. Jednakze, ze wzgl((du na twierdzenie o nierozstrzygalnosci G6dla, do ktorego powroc(( za chwil((, a takze rozne zwiqzane z tym sprawy, nie rozwiqzuje to zagadnienia prawdziwosci hipotezy continuum. Jest nadal mozliwe, ze jakies bardziej pot((zne metody dowodzenia niz te, jakimi dysponuje standardowa teoria mnogosci, moglyby rozstrzygnqe kwesti((, czy hipoteza continuum jest prawdziwa, czy nie; a moze jej prawdziwose czy falszywose moze bye zalezna od tego, jakq "filozofiq matematyki" si(( kierujemy8. Wspominalismy 0 tym w rozdz. 1.3, ale raczej w kontekscie aksjomatu wyboru, a nie hipotezy continuum. Relacja a < 2a mowi nam, ze nie moze istniee nieskonczonose najwi((ksza; poniewaZ, gdybysmy chcieli przyjqe jakqs liczb(( kardynalnq Q jako najwi((kszq, to liczba kardynalna 2[1 musialaby bye uznana za jeszcze wi((kszq. Ten fakt (i argument Cantora, ktory tego dowiodl) mial ogromne znaczenie dla samych podstaw matematyki. Bertrand Russell, ktory byl poczqtkowo przekonany, ze musi istniee najwi((ksza liczba kardynalna (ta mianowicie, ktora jest liczbq klas wszystkich klas), powqtpiewal w scislose dowodu Cantara, jednakZe okolo 1902 roku po jego szczegolowym przestudiowaniu zmienil zdanie. W rezultacie sam zastosowal argument Cantora do "zbioru wszystkich zbiorow", co doprowadzilo do odkrycia slawnego "paradoksu Russella"! Paradoks ten przedstawia si(( nast((pujqCo. RozwaZmy zbi6r R, ktory zawiera "wszystkie zbiory, jakie nie Sq swoimi wlasnymi elementami". (W tej chwili nie rna znaczenia, czy czytelnik jest gotow uwierzye w istnienie zbior6w, kt6re mogq bye swoimi elementami. Jesli zaden zbior nie naleZy do samego siebie, to R jest zbiorem wszystkich zbiorow.) Zapytajmy teraz: a co z samym zbiorem R? Czy R jest swoim wlasnym elementem? Zalozmy, ze jest. Jesli tak, poniewaz naleZy on do zbioru R, zawierajqcego zbiory, ktore nie Sq swoimi wlasnymi elementami, to znaczy, ze nie jest swoim wlasnym elementem - mamy wi((c sprzecznose! Alternatywnym zalozeniem jest to, ze nie naleZy on do samego siebie. Ale w takim razie musi bye czlonkiem calej rodziny zbiorow, ktore nie Sq swoimi elementami, to znaczy musi nalezee do zbioru R. W takim razie R naleZy do R, co zaprzecza zalozeniu, ze nie naleZy on do samego siebie. Jest to sprzecznose oczywista! Warto zauwaZye, ze taka sytuacja powstaje w przypadku dowodu Cantora, ze a < 2a, jesli probujemy go zastosowae do przypadku, gdy przez a rozumiemy "zbior

355

16.5 Zagadki w podstawach matematyki

16

Drabina nieskoriclonosci

wszystkich zbior6w,,[16.14J. I rzeczywiscie, wlasnie w ten spos6b Russell doszedl do odkrycia owego paradoksu9 • Naprawdl( ten argument jedynie wykazuje, ze nie istnieje cos takiego jak "zbi6r wszystkich zbior6w". (Cantor zdawal sobie z tego spralO Wl( i wiedzial 0 paradoksie Russella na cale lata przed nim .) Moze wydawae sil( dziwne, ze takie naturalne pojl(cie jak "zbi6r wszystkich zbior6w" jest wrl(cz zakazane. Mozna sobie wyobraiae, ze uprawniony jest kaidy opis zbioru, kt6ry podaje dobrze zdefiniowanq regull(, jak rozstrzygnqe 0 tym, czy cos naleiy, czy tei nie naleiy do tego zbioru. W tym przypadku wydaje sil(, ze taka regula istnieje z calq pewnosciq, gdyz do tego zbioru naleiy kaidy zbi6r! Kruczek w tym wypadku polega raczej na tym, ze pozwalamy, aby ten sam status przyznae zar6wno tej monstrualnej kolekcji wszystkich zbior6w, jak kaidemu z jej element6w, a mianowicie okreslajqc je tq samq nazwq: zbi6r. Rzecz cala sprowadza sil( do jasnego wyobrazenia 0 tym, czym w istocie jest zbi6r. A kiedy jui odpowiemy sobie na to pytanie, w6wczas powstaje kwestia: czy kolekcjl( wszystkich takich "rzeczy" mozemy uwaiae za zbi6r? Dowiedzielismy sil( od Cantora i Russella, ze odpowiedi na to pytanie musi brzmiee: NIE! Sposobem, jakim matematycy pr6bujq obejse tl( oczywiscie paradoksalnq sytuacjl(, jest rozr6znienie mil(dzy "zbiorami" a "klasami". (Pomyslmy sobie, ze za klasy uwazamy jakies wielkie i "buntownicze" byty, jakich nie chcemy widziee w naszym klubie, podczas gdy zbiory Sq zawsze dostatecznie porzqdne i godne szacunku.) Z grubsza m6wiqc, przez klaSfi bl(dziemy rozumieli dowolnq kolekcjl( zbior6w, kt6rq wolno bl(dzie uwaiae za pewnq calose. Niekt6re klasy Sq wystarczajqco poprawne, aby mozna je same uwazae za zbiory, podczas gdy inne mogq bye "zbyt duze" lub "zbyt balaganiarskie", zeby je traktowae jako zbiory. Z kolei nie zawsze wolno nam lqczye klasy, aby utworzye wil(ksze kolekcje. Tak wil(c nie jest dozwolone utworzenie "zbioru wszystkich zbior6w" (ani "klasy wszystkich klas"), ale w pelni uprawnione jest utworzenie "klasywszystkich zbior6w". TI( "najwyzszq" klasl( Cantor oznaczylliterq Q i przypisywal jej nieomal boskie znaczenie. Nie mamy prawa tworzye klas wil(kszych niz Q. Klopot z 2n polegalby na tym, ze prowadzilby do "skolekcjonowania" wszystkich r6znych "podklas" Q, kt6rych wil(kszose nie nalezalaby do kategorii zbior6w, a zatem jest to niedozwolone. Muszl( wyznae, ze ja sam jestem zdecydowanie nieusatysfakcjonowany tym wszystkim. Procedura taka moglaby bye rozsqdna, gdyby istnialo jasne kryterium pozwalajqce jednoznacznie okreslie, kiedy jakas klasa kwalifikuje sil( do tego, zeby jq nazwae zbiorem. Jednakie, jak sil( okazuje, to rozr6znienie dokonuje sil( bardzo okrl(znq drogq. Klasl( proponujemy uwaiae za zbi6r wtedy i tylko wtedy, gdy ona sarna moze bye elementem jakiejs innej klasy. Wedlug mnie w ten spos6b wpl(dzamy sil( w jeszcze wil(ksze klopoty, polegajqce na tym, ze nie spos6b wskazae oczywistego miejsca do wytyczenia granicy. Jeslijuz takq granicl( wytyczymy, to po chwili okazuje sil(, ze zostala okreslona zbyt wqsko. Wydaje sil(, ze nie rna zadnego powodu, bysmy nie mogli do naszego klubu zbior6w dolqczye jakichS wil(kszych (lub

356

r!1i [16.14] Pokai, ze tak jest.

Maszyny Turinga i twierdzenie GOdla

16.6

bardziej nieporz,!dnych) klas. Oczywiscie, musimywystrzegac siy jawnych sprzecznosci. Okazuje siy, ze im bardziej liberalne s,! reguly przyjycia do tego klubu zbiorow, tym potyzniejsze staj,! siy metody matematycznego dowodzenia na podstawie takiej koncepcji zbioru. Sprobujmy jednak otworzyc drzwi naszego klubu 0 wlos za szeroko i od razu katastrofa - SPRZECZNOSCl - i cala budowa natychmiast siy wali. Dlatego narysowanie linii demarkacyjnej okazuje siy jedn,! z najbardziej subtelnych i trudnych procedur matematycznych ll . Wielu matematykow wolaloby wycofac siy z takiego ekstremalnego liberalizmu, sklaniaj,!c siy do bardziej sztywnego podejscia "konstruktywistycznego", zgodnie z ktorym 0 zbiorze mowimy tylko wtedy, gdy mozemy podac bezposredni przepis konstrukcyjny pozwalaj'!cy na okrdlenie, kiedy jakis element naleiy do zbioru, a kiedy nie. Z pewnosci,! zbiory zdefiniowane jedynie na podstawie aksjomatu wyboru nie spelnialyby takich sztywnych regul. Okazuje siy jednak, ze takZe ci radykalni konserwatysci nie s,! wcale mniej narazeni na "argument przek,!tniowy Cantora" niz radykalni liberalowie. W nastypnym rozdziale dowiemy siy, na czym polega ktopot.

16.6 Maszyny Turinga i twierdzenie Godla Najpierw musimy sobie wyjasnic, co to znaczy "skonstruowac" cos w matematyce. W tym miejscu, dla naszych niezbyt wyrafinowanych rozwazail, najlepiej bydzie ograniczyc siy do podzbiorow zbioru wszystkich liczb naturalnych, N. Mozemy postawic pytanie: ktore z tych podzbiorow S,! zdefiniowane w sposob "konstruktywny"? Na szczyscie mamy do dyspozycji kapitalne pojycie, ktore rozwazali rozni dwudziestowieczni 10gicy12, a ostatecznie sprecyzowal w 1936 roku Alan Turing. Jest to pojycie obliczalnoSci. PoniewaZ znajomosc komputerow jest dzisiaj rzecz'! zwykt'!, wiyc moze wystarczy, jesli dla wyjasnienia tego pojycia odwolam siy raczej do funkcjonowania tych fizycznych urz'!dzen, zamiast podejmowac proby precyzyjnego matematycznego sformulowania. Mowi,!c z grubsza, obliczeniem (albo algorytmem) jest cos, co wykonatby idealny komputer, a przez slowo "idealny" rozumiemy taki komputer, ktory moglby pracowac bez "wyczerpania" dowolnie dlugo, nigdy nie popelniaj,!c blydu i dysponuj,!c nieograniczon,! pamiyci,!. W matematyce taki wyidealizowany twor nazywamy maszyn,! Turinga13. Kazda konkretna maszyna Turinga T oznacza pewne specyficzne obliczenie wykonywane na liczbach naturalnych. Dzialanie T na jak,!s liczby naturaln,! n zapisujemy jako T(n) i zwykle otrzymujemy w wyniku jak,!s inn,! liczby naturaln,! m:

T(n) =m. Maszyna Turinga moze miec ty cechy, ze siy "zapytli", poniewaz wykonywane obliczenie moze nie miec konca. Maszyny Turinga, ktora nie konczy pracy, gdy zaczyna od pewnej liczby naturalnej n, bydy nazywal wadliwq. Maszyny bydy nazywal skutecznq, jesli, przeciwnie, wykonuje obliczenia do konca, bez wzglydu na to, od jakiej liczby zaczyna.

357

16

Drabina nieskonclonosci

Przyldadem wadliwej maszyny Turinga bylaby taka, ktora zaczynaj grupa: SU(3) ortogonalna 241, 248, 265, 268-269, 271-272, 276-278, 282 Poincarego 265, 398-399, 419, 540-541, 543-544, 738, 930-931,934, 967 p6tprosta 264-265, 277, 930 niezwarta 264 zespolona 265, 277 zwarta 264-265, 277 prosta 240-242, 245-246, 257, 261, 264-265, 268, 277, 279,301,526,623,716, 845, 886, 930, 999 ci~gta 245, 264, 301, 999 klasyczna 279 skonczona 245-246 przeksztalcen 239, 930, 933-934 przesuniyc pocz~tku ukladu (4-wymiarowa) 397-398 pseudoortogonalna O(p, q) 269 pseudosymplektyczna Sp(p, q) 277 pseudounitarna U(p, q) 275, 277 renormalizacji 647, 649, 656 ruch6w euklidesowych 265, 397-398,930 rzeczywista 241, 252, 258, 265, 269, 277-279, 281, 309, 338, 398, 620, 915 skonczona 53, 97, 99, 241-242, 244-246, 258, 260, 270, 301-302,647,649,739 S1-(2, iC) 278 SL(n, JR) 280 SL(n, JR) 252 SO(I) 708 SO(2) 278, 707-708, 748 SO(2,1) 278 SO(2,4) 886 SO(2m) 279 S,9(2m + 1) 279 SO(3) 114,280 SO(3) (obrotow wlasciwych) 241-245,247,265,278, 280,300,524-527,539, 549, 707 SO(6) 885-886 SO(n) 269, 281 SO(p, q) (pseudoortogonalna) 269,934 Sp(l) 278 Sp(I,I) 278 Sp(l, iC) 278 Sp(m) 279 Sp(m,m) 309 Sp(n, 0) 277 Sp(p, q) 277-278 Sp(tn) 277 Sp( n, iC) 277 Sp(!n, -l:n) 277-278 sporadyczna E, 245, 623 sporadyczne 245-246, 276, 623, 876

skonczone proste 246 SU(I,I) 278 SU(2) 278, 613, 621, 623-626, 904,915,937 SU(2) x U(I) 613, 621, 623-626, 840 SU(2) x U(I)/Z, 625 SU(2,2) 278 SU(3) 617-618, 620-624, 626, 652,963 SU(3) x SU(2) x U(I)/Z6 623, 626, 840 SU(5) 623, 709 SU(lO) 623 SU(m + 1) 279 SU(n) 275, 278, 281 SU(p, q) 275 symetrii 239-244, 246, 251, 257, 265, 269, 276, 278, 282, 309,315,323,340,390, 397-399,419,437,544, 613-615, 620-624, 626, 649,652,654,687-688, 707-709,711, 716, 738, 741,748,787,835, 839, 845, 866, 875, 885-886, 904,924,930-931,935, 963,966,996-997 czasoprzestrzeni Galileusza 390 cz~stek etementarnych 623, 708, 716, 839, 866, 875, 996 geometrii Minkowskiego 390 hiperbolicznej 3-przestrzeni 269 kwadratu 240, 243-244, 257 modelu standardowego 622-624, 626, 649, 708, 875,924 oddzialywan silnych 621, 623, 626 o zlej sygnaturze 741 przestrzeni Euklidesa ]E' 397-398 Minkowskiego 390, 397, 399,419,437,738, 931 n-wymiarowej 252 promieni swietlnych 930 wektorowej 246,251,282, 620 sfery Riemanna 269, 398, 966, 997 teorii wzglydnosci 257, 265, 399, 738 wewn jednostki: Plancka Plancka (Plancka-Wheelera) 396,415,526,649,663, 685-686,699,727,791, 797,799,837,841-842, 856,862,864,869,871, 874,880,918,972-973 Stoneya ---> jednostki: Plancka jednowymiarowa (-y) przestrzen euklidesowa 367

rozmaitosc 223 skierowana 228 zespolona 929 oscylator harmoniczny 545 lowisz-Slonce, uklad 444

K kanoniczna grawitacja kwantowa ---> kwantowa: grawitacja kanoniczna postac macierzy 257 transformacji Iiniowej 257 procedura kwantowania 474 regula komutacji ---> kanoniczna: relacja komutacji relacja komutacji 474, 638, 924, 945 kqt Brewstera 549 Cabibbo 622--623, 997 fazowy zespolony 634 hiperboliczny 32-33, 35-36, 38-39,41-42,44, 145,270, 408-409,796 pomi«dzy krzywymi 33, 411 slabego mieszania ---> kqt: Weinberga srodkowy 408, 798 Weinberga 614, 622-623, 997 kierunek czasopodobny 390, 399-401, 407,419,929 czasu 59, 64, 131, 159, 185, 187, 286,293,298,368-369, 375, 377, 379, 384, 390, 399-401,407,419,462, 473-474,482,491,530, 532-533, 535, 544, 560, 562,564,566,572,576, 603, 610-611, 658, 660, 668, 670, 685, 693, 699, 706, 714, 726, 769, 788-790, 793, 797, 801-802, 844,873,910,916,921, 924-926,929,943,960961,968,977,986,1000 czysto przestrzenny 401 Majorany 528, 535, 539, 869, 968 promienia swietlnego 339, 384, 410, 775, 929, 940, 943-944,968 przestrzennopodobny 400, 404, 895,929 przestrzenny 64, 367, 381, 384385,400-401,404,407, 436,474-475,482,485487,528,530-531,548, 572,576,611,895,912, 925,929 spinu 203, 522, 529-531, 534-535, 539, 557, 560-561, 563-564, 572, 574-575,

603,607,762-763,766-770,869,899,910-912, 925-926, 940 zerowy 107, 184, 399, 401, 409-410,535,693,929,968 klasa 50, 61, 76,106,108-111,117-118,121-122, 124, 129, 131, 142-143, 150, 157, 165, 168, 170-173, 179-181, 183, 199, 213, 215-216, 226, 231, 237, 245-246,261,264,276-277, 279,283,308-309,312,327, 342,348,352,355-356,360, 391,419,421-422,432-433, 435,439,447,455,460,463-464,471,474-477,480,482-484,488-491,500,508,514-515,531-532,536,539-540, 542,545-547,550-551,557, 561-562,565-566,569,572-576,578,586-588,606,626626,627--628,632-634,637-641, 643-644, 646-647, 656, 658-659,661,665,670,683, 687,693,701,730,739-740, 748, 752, 757-759, 761-764, 773-774, 779, 786-787, 803-804,807,812,815,822,825, 827-828, 830-831, 833-834, 848,851-852,854-856,858-859,861-863,868-869,871-872, 875, 885, 887, 895, 899, 901-902,904-907,910,915, 917,922,929,931,941,944-945,951,959,963,965,969-970,971,991-992,996-997, 999 homologii 122, 124, 951 homotopii 122 rownowaZnosci 170, 342, 348, 432,439,693,764,931, 951 metryk 432, 693, 931 rozniczkowalnosci 118 wszystkich klas 111, 172, 246, 279,348,355-356,477, 540, 562, 572, 574, 634, 638-639, 661, 670, 683, 852,869,904,917 wszystkich zbiorow n 356 klasyczna teoria czarnych dziur 683, 740, 804, 807 pola 421, 435, 464, 474, 488, 514-515,557,632--634, 638-639,641,739,779, 787, 803, 815, 862, 885, 901,910,929 w lO-wymiarowej przestrzeni 862 klasyczne przejscie graniczne 872 reguly komutacji 787, 855 urzqdzenie pomiarowe 561, 773-774, 831

1071

Indeks rzeczowy

1072

zachowanie 213, 419, 477, 490, 562,572,641,644,701, 758,774,779,787,827 klasyfikacja grup 245-246, 999 prostych 245-246, 999 widm atomowych 997 kohomologia 174, 926, 949-954, 956,960,968 cecha 926, 952, 968 snop6w 174,926, 949-951,953-954, 956 pieIWsza 949-951, 956 holomorficznych 174 wyZszego rzydu 956 kolo jednostkowe 142-143, 146, 158,167,213,227-229,407 domkniyte 213, 227-229 magiczne 344-345, 363 Poincarego 33, 138, 407 "zamkniyte" 146, 664, 698, 765 kompleksyflkacja 265, 269, 279, 281,396-397,399-400,419, 795-797, 960 czasoprzestrzeni 797, 960 grupy 265, 269, 279, 281, 397 przestrzeni396, 795-797, 960 komutator 258-259, 299, 301, 304, 308-310,336,340,473,653, 840,855,894,945-946 algebry Liego 310 grupy 258-259, 299 koncepcja inflacyjna 704, 706, 718, 722-724, 731, 743 "wielu swiat6w" 463, 508, 731, 755, 757-758, 775, 777-778, 829, 991-992 kondensacja Bosego-Einsteina 569,751 grawitacyjna 676, 698 koneksja 287, 290--294, 296, 298-299, 301-309, 312-313, 331-338,362,371-372,378, 381-382,391,430-434,438, 495-496,621,623,713-714, 748,874-875,903-905,916, 919,922,996 bez torsji 291. 296, 298, 301-304,306,336,372,378, 391 cechowania 312-313, 337-338, 430,432,434,495,621, 623,713-714,748,905 dualna wobec D(l) 623 Christoffela 306 elektromagnetyczna 313, 337, 432,434,495,621 r ~ koneksja: spinowa Levi-Civity 306, 308 kauzalna 922 metryki 305, 307-308, 391, 874-875, 903 Riemanna 306, 309, 874 SL(2, iC) 919

spinowa 903, 905 wiijZki 312, 331-334, 336-337, 371-372, 430-433, 496, 621,623,713,904,996 stycznej 332, 334, 336 w zapisie wskainikowym 336 zalezna od drogi 334, 336 wsp61rzydnosciowa 290--291, 304 z krzywiznq 291-292, 298, 301, 304, 336-337, 381, 391, 431,438,623,714,904 z symetri'l D(l) 337, 433 z torsj'l291, 296, 298, 301-304, 306,336,372,378,391 bez krzywizny 291, 298, 301 zalezna od drogi 291-292, 298, 334, 336, 433-434 konforemne (-y) diagramy czasoprzestrzenne 693-695, 797-798, 801 geometria 32-34, 36, 38-39, 43-44,137,146,406-407, 693, 749 model plaszczyzny hiperbolicznej 33 obraz 32, 37, 138, 693, 792 odwzorowanie 33-38, 43-44, 121, 137-139, 176, 406, 689,693 reprezentacja geometrii hiperbolicznej 36, 407 przeksztalcenie 138-139, 142, 930,934 sfery 142, 934 przeskalowanie 431, 932 r6wnowainosc 145 ruchy 138-139, 530 splaszczenie czasoprzestrzeni 443 struktura 140,145, 177,283, 411,432,693,930,932, 934,936,959 tensor 443, 734, 901 teoria pola 432, 883, 955 transformacja 138, 142, 145, 411,431,793,935 konstrukcja nieliniowego grawitonu 959, 961-962,964,1001 Warda 962-963 kontrakcja 219, 230--231, 234, 272, 274,289,303,411,441-442, 730,770,801,941 FitzGeralda-Lorentza 411 tensorowa (transwekcja) 219, 230,274,289,303,801 wskaznika 230, 272, 289, 770 kontur calkowania 120--121, 124, 126,171-172,646,948-949, 952,962 zamkniyty 124, 126, 171 kopia czasoprzestrzeni 924 eksperymentatora 753

kosmiczne defekty topologiczne 709-710 kr6tkofalowe promieniowanie tla ~ promieniowanie: reliktowe kosmologia 28, 45, 60, 442-443, 445, 448, 539, 548, 670--672, 674-675, 684, 687-690, 694, 696, 698, 701, 703-704, 712, 716-718,720,722-724,727, 730, 734-735, 740--743, 745-746, 749, 785, 817, 826, 828, 830--831, 841, 864, 866, 883-884, 886, 915, 966, 971-974, 978, 982-984, 1008 chaotyczna 749 inflacyjna 690, 698, 704, 716, 718,720, 722-724, 727, 741,746,830,841,983-984 kwantowa 548, 706, 723-724, 741,745,749,817,828, 830,834,971,974,978, 982-983 kowariancja lorentzowska 974 kowektor 188, 216-222, 230, 233-235, 237-238, 272, 274, 288-289, 303, 307, 312, 326-327, 332, 416, 436, 454 holomorficzny 235 kreacja 551, 584-585, 629-631, 633-637,646,648-649,653, 655,809-810,839,867 antyczqstki 584-585, 634 cZ'lstki 584-585, 629-631, 634, 636, 646, 653 krysztal nieliniowy 577 typu Mi:issbauera 833 kryterium estetyki 975, 987 Poppera 981-983 sp6jnosci matematycznej 637, 975 krzywa 33, 42-43, 48, 76, 95, 101, 104, 106-107, 114-116, 120--122, 127, 136, 138, 149, 168, 170,175,185,190,202,217, 223, 226, 228-229, 268, 283, 285-288, 291-294, 296-298, 301-302, 304-307, 309-311, 312,319,322-323,325,332-337,362,371-372,374-375, 378,381-382,384, 389-391, 394-396,404,411,421,429-432,436,438-441,443,448, 451-453,465,467,471,475, 480, 536, 582, 623, 640, 652, 665-667, 672-673, 682-683, 688-689, 691-693, 697-699, 714,717-719,721,730,734-739,741,743-746,749,751, 786,792-794,802, 807, 809-810, 814, 817, 833, 841-842, 844,847,852, 858-859, 861, 870--872, 874, 877, 880--881,

Indeks rzeczowy 885, 893, 895-896, 899-906, 910,921-923,928,935, 948-949, 956-961, 965, 972, 978, 982,984,994,1001,1006 analityczna 121, 168 calkowa pola 114, 302, 396, 438 calkowania 223, 305 czasopodobna 389-391, 395, 640,718-719,735,738, 802,870,872,895 zamkni~ta 391, 718-719, 870 dzwonowa 665-666 gladka 138, 293-294, 298, 305, 640,739,858,906 holomorficzna 168, 190, 335, 852,872,877,957,959 homologiczna 122 homotopiczna 122 horyzontalna 332-335 racjonalna ~ krzywa: wymierna styczna 43, 106, 138, 228, 285, 287-288, 293-294, 296, 302, 332-333, 384, 389, 452, 640, 666, 737, 844, 895,1001 wymierna 877 wyZszego rz~du 844, 859, 877, 1006 zamkni~ta (l-rozmaitosc) 149, 168,228,391,448,714, 718-719,741,870 skierowana 228 zerowa na lorentzowskiej wst~dze swiata 872 zespolona 120, 168, 175, 228, 325, 335, 396, 852, 877, 896, 928, 959-960 krzywizna 42, 48, 101, 104, 107, 291-293,296-298, 301, 304, 307, 309, 322-323, 334-337, 372, 378, 381-382, 391, 429, 431-432,438,440-441,443, 467, 623, 682-683, 688-689, 692,698,714,717,721,734-739,741,744-746,749,807, 809-810,814,833,842,844, 859,861,870-871,885,895, 900-902,904-906,910,922-923, 948, 959-960, 965, 982, 984 cechowania 337, 429, 432, 623, 714 czasoprzestrzeni 372, 381, 391, 438, 440, 682-683, 689, 734,736-737,807,810, 814,833,842,859,861, 870-871,885,904,922 duza w skali Plancka 871 dodatnia 297-298, 322-323, 441, 688, 698, 741, 982, 984 dualna 623, 902, 948, 959-960 funkcji 104, 107, 335, 844, 906, 922-923 Gaussa 42, 296, 298 generyczna 895

koneksji 291-292, 298, 301, 304, 336-337,381, 391, 431, 438,623,714,904 wiljzki 336-337, 431, 623 krzywej 42, 48, 101, 104, 107, 291-293,296-298,301, 304,307,309,322-323, 334-337,372,378,381-382,391,429,431-432, 438, 440-441, 443, 467, 623, 682-683, 688-689, 692, 698, 714, 717, 721, 734-739,741,744-746, 749,807,809-810,814, 833, 842, 844, 859, 861, 870-871,885,895,900-902,904-906,910,922-923,948,959-960,965, 982,984 linii swiata 372, 381, 432, 910 przestrzeni podstawowej 859, 861 przestrzenna 323, 372, 381, 391, 438, 440, 443, 682-683, 688-689,692,698,717, 734, 736-737, 741, 744-745,807,810,814,833, 842,844,859,861,870-871, 885, 895, 901, 904, 906,910,922,948,959-960,965,982,984 dodatnia 323, 688, 698, 741, 982,984 ujemna 688, 741, 965, 982 Wszechswiata 689, 717, 744, 965,982 zerowa 682, 717, 870, 895, 906,982 Ricciego 292, 381, 440-441, 443,734-737,859,861, 910,959 skalarna 291, 441, 467, 721 wewn~trzna powierzchni 904 ujemna 297-298, 688, 741, 746, 965,982 Weyla 381, 432, 443, 683, 734-739,749,809-810,833, 900-902,910,959-960,965 antysamodualna 902, 959-960 plaska w sensie Ricciego 959 wiljili 334-337, 381, 431, 623, 735,737 zerowa 107, 682, 688, 717, 735, 737, 870, 895, 906, 960, 982 zewn~trzna 904 kumulacja grawitacyjna 737, 827 informacji 807 kwadrat 24-25, 295 dlugosci 24-28, 30-31, 42, 50-51,59,469,509,519, 818,859,918 hiperboliczny 39-40, 43

modulu 177, 494, 514, 517, 555-556, 638-639, 758-759, 762-763, 777, 788-790, 831-832,966,995 funkcji falowej 494, 514, 555 odleglosci metrycznej 862 wiljzki wektorowej 326 wlasnosci symetrii 239 kwant 47,60-61,64-66,68,77,86, 98-99, 117, 121, 156, 158-159, 161-162,172-174,199,204, 237-238,247,251,254-255, 257,260-262,271,273-276, 278, 282, 309, 327, 331, 339, 347,362-364,382,384,389, 396,399,418-420,421-422, 426,430,433-434,439,446, 457,464-469,471,474-486, 489-498,500,502-502,503-518, 520-528, 530-532, 534, 536,539-542,544-551,552-558,562-576,578-580,582-592,595,598,600,604,609-610, 612-616, 618, 620-622, 625-626,627,629-630,632639,641-644,647,649-653, 655, 658, 660, 663, 671, 679, 683, 685, 701, 704, 708, 715, 721,730,734,738-740,742-743, 747-749, 751-755, 757-764, 768, 771-777, 779-782, 784-792,794,803,805,807-809,812-817,819-834,835, 837-838,849,851-852,854-863,866-869,871,873-874, 879-880, 883-885, 889, 892, 894-895, 898-907, 909-913, 915-919, 921-922, 924-925, 927,929-930,936,944-946, 960-961, 964-966, 970-970, 971-974,976,978-979,985-986, 991-998, 1000-1003, 1005, 1007 cechowania 612, 621 dzialania 61, 174, 503, 507, 512, 635,658,755,762 energii 61, 66, 476, 500, 524, 540, 545-548, 584-586, 589-590, 635, 650, 660, 671, 721, 742, 748, 803, 813,819,858,862,867-868, 884, 973-974 energii Plancka 545, 862, 867, 974 pola elektromagnetycznego 422, 426,481,604,612,655, 974 grawitacyjnego ~ grawiton kwantowa (-y, -e) algebra 61, 237, 251, 260, 503, 524-525, 549, 592, 653, 794,924,945,994 chromodynamika (QeD) 616, 621,652

1073

Indeks rzeczowy

1074

elektrodynamika (QED, EK) 60-61, 65, 98-99, 158, 162, 199, 204, 262, 275, 282, 327, 331,347,362,382,384, 389,399,419-420,422, 426,430,433-434,446, 457, 464-465, 468-469, 471, 474-476, 478-480, 484-485,489-490,492-495,500,503-510,513-515,520,523,525,528, 530, 534, 544--548, 550, 552-555, 557-558, 562-569,571-576,578,580, 582-585, 588, 590--592, 595,600,604,610,613-615,620,622,627,632, 634-635, 637-639, 641-642,644,647,649-650, 652, 655, 660, 663, 671, 683, 685, 708, 721, 730, 734, 739, 747, 749, 751-755,757-758,760,762, 764, 768, 771, 773-777, 779-782, 784--792, 803, 808,812,816,820--821, 823-826, 828-833, 837-838,851-852,854,857-859, 861-863, 868-869, 871, 873, 889, 895, 898, 900, 904--906, 909, 913, 915-918, 921-922, 924, 927,929,936,945,960, 971-974, 978-979, 985-986,991-993,995,998, 1000, 1002, 1005, 1007 fizyka 47, 61, 65, 98-99, 199, 257,273,282,309,331, 382, 457, 471, 476, 485, 493, 504--505, 510, 548, 571,592,604,638,660, 730,751-752,759-760, 774,784--785,794,826-827,834-834,835,852, 857,902,921-922,927, 936,945,965,972,974 cZllstek elementamych 98-99, 199,660,927,974 geometria 237, 327, 331, 503, 528, 530--532, 534, 734, 740,760,789,794,828-830,833,858,869,898, 905,913,915,918,921-922,929,936,945 czasoprzestrzeni 237, 740, 794, 830, 833, 858, 921-922,929,936 grawitacja 60-61, 238, 582, 650, 663, 671, 683, 685, 730, 734, 740, 749, 784--787, 790--792, 803, 815, 817, 826, 838, 856-858, 871, 873-874, 880, 889, 898, 902,904--907,913,915-918,921-922,929,936,

973-974, 978-979, 986, 1000, 1007 kanoniczna 898, 916-917 informacja 471, 494, 547, 557, 573-576, 580, 683, 762, 771, 777, 782, 812, 925, 995 informatyka 550 interferencja 433 komputer 555, 574, 576 komputeryzacja 574 kryptografia 574, 576 mechanika ~ mechanika: kwantowa wielu cial 552 nieoznaczonosc 500, 506, 819, 827-828,929,973 obliczenia 251, 504, 546, 557, 580,583,649,742,789-790,874,880,1000 probabilistyka 66 procedura R 117, 261, 309, 396, 464, 474-475, 493, 503, 505, 507, 509, 518, 546, 553, 567, 572, 578, 583, 632, 647,650,658,740,755, 757, 759, 762, 772, 786, 790, 826-828, 830, 871. 873, 922, 929-930, 974, 991 U 117, 261, 309, 396, 464, 474-475, 493, 503, 505, 507, 509, 518, 546, 553, 567, 572, 578, 583, 632, 647, 650, 658, 740, 755, 757, 759, 762, 772, 786, 790, 826-828, 830, 871, 873, 922, 929-930, 974, 991 rachunek zaburzeii 874, 892, 1000 redukcja stanu ~ kwantowa: procedura R rzeczywistosc 61, 430, 471, 479, 484-485, 492-493, 504, 513, 575, 588, 604, 627, 638, 751-753, 759-760, 763-764,771,775, 781, 809,835,851,869 spl'ltanie 389, 507, 552, 557-558, 563, 565-566, 571, 576, 578,753-754, 768, 771, 809,830,973 superpozycja 508, 517, 520, 522, 540,546,604, 614-615, 620,632,637-639,660, 739,752-753, 773-777, 780--781, 813-814, 819, 821-824,828-830,905, 917, 925, 992, 995 teleportacja 571-576, 751, 925 teoria grawitacji 61, 582, 650, 671, 683, 685, 734, 785-787.

792, 803, 815, 838, 856-858, 873-874, 880, 889, 902,904--907,913,915-916,918,921-922,929, 936, 973-974, 978, 986, 1000, 1007 informacji 471, 547, 683, 777, 782 pola (KTP) 61, 66, 77, 121, 158, 172, 257, 273, 362, 396, 399, 422, 426, 446, 464-466, 469, 475, 492, 514,526,546-548,567, 583-584,590,600,610, 625-626, 627, 632, 635, 638, 649, 653, 671, 715, 738-739,742,759,785-786,792,803,808,815, 832-833, 857, 859, 873-874, 880, 883, 895, 901, 907,910,919,921-922, 925,927,929,936,971, 973-974, 978, 994--995, 998, 1002 bozonow 546 fotonow 546 Maxwella 384, 547, 600 renormalizowalna 975 spojna i skoiiczona 872 w zakrzywionych przestrzeniach 792, 978 pol oddzialuj'lcych 627 spinu 61, 278, 567, 590, 913, 998 kwantyzacja 422, 474-476, 554, 629, 638, 650, 787, 838, 871, 898-899, 904, 924, 929, 945, 1001 geometryczna 475 momentu pt;du 1001 pola grawitacyjnego 422 teorii Einsteina 650, 838, 898-899, 1001 kwarki 65, 99, 343, 527-528, 567-568,591,601,608,612-613, 615, 617-624, 650, 713, 820, 832, 836-837, 841, 855 b 99, 343, 608, 619-622, 841 bezmasowe 713 c 65, 527, 608, 618, 620, 624, 713,836 d 608, 617-618, 620, 650, 713, 837 denny ~ kwarki: b dolny ~ kwarki: d dziwny ~ kwarki: s gomy ~ kwarki: u koIorowe 619-622, 624 podstawowe 620 pit;kny ~ kwarki: b powabny ~ kwarki: c prawdziwy ~ kwarki: t s 65, 99, 568, 608, 612, 615, 617-619,622,624,841 smakowe 620

Indeks rzeczowy szczytowy ---+ kwarki: u t 65, 620, 624, 713 u 608, 617-618, 620-621, 624, 713 kwaternionowa mechanika kwantowa 364 reprezentacja obrotow 278 kwaterniony 193-204, 209, 251, 259, 278, 322, 364, 591, 595, 922,976 podwojne 197, 278

L lagranzjan 450, 452, 454--456, 464--469, 474, 628, 637-639, 642, 651-654, 859, 882, 969-970 materii 467-468 Maxwella 468-469 pola 454, 466, 468-469, 639, 652,859 strony 859 laplasjan 190, 475, 537, 591, 864--865 2-wymiarowy 190, 865 liczba 5,10 barionowa 489, 550, 584, 686, 698, 742, 983 calkowita Cartana 280 e 10, 13, 15, 22-23, 35, 42-43, 50-68,69-75,77,81-83, 84-85, 88-94, 96, 98-99, 101-102,111-112, 118, 124, 126, 131, 134, 145, 148, 152, 156, 161-162, 169,173,175,177-178, 195-201, 207-208, 211, 213, 215-216, 219, 235, 241, 246-248, 252, 254, 256-257,259,262,264-265, 274, 276-277, 280, 294--295, 318, 322, 324, 330-331,338, 341-351, 353-355, 358-359, 361, 363-364,383,393,411, 420, 430, 449-449, 450, 464,471-472,474,477, 486, 494, 503, 506, 509, 511,528,530,532,535-536, 538-539, 550, 555-556, 568-569, 574, 584, 586,588,631-632,637, 639,643,649,651,658, 664-665, 672, 675, 682, 687,720,733,742-743, 762,770-771, 800, 806, 830, 838, 843, 846-847, 851, 855-856, 860-861, 866,868-869, 874, 877, 881-883,885,904,908, 911-912,918,921,924--925, 927-929, 935-936, 940, 963, 966, 983, 991, 995-997, 1000 elementow algebry supersyrnetrii 893

falowa 477, 486, 503, 510, 539, 554--556, 568-569, 588, 946,963 i 66, 193,474,506 krzywych wymiernych 877 kwantowa 61, 65-66, 68, 86, 98-99,262,331,433,464, 489,503,509,514--515, 528, 530-532, 534, 539, 548, 550, 557, 568, 571, 574, 584--585, 588, 604, 632, 637, 639, 649, 743, 762,830, 851, 868-869, 885, 894, 911, 925, 929, 978, 994--996 bozon/fermion 99, 571 leptonowa 612 elektronowa 612 muonowa 612 taonowa 612 OJ (Cantora) 68 11 55, 58, 93 p«tli diagramu Feynmana 845, 873 stron 850, 881 skladowych spinora 528, 595, 893 stopni swobody 236, 363, 460, 464, 536, 554--556, 671, 676,848,861,866,880-882, 884--885 urojona 42-43, 92, 94--95, 124, 175, 193, 198, 404, 432, 474,506,658,796,798 wymiarow czasowych 60, 894, 936, 940 przestrzennych 60, 450, 894, 936,940 liczby calkowite 13, 50-52, 54, 60, 62, 64-65,67,87-90,92,96, 98, 108, 111, 115, 125, 131, 152,161-162,177,199, 211,215,241,248,254, 262, 275, 280, 341-343, 348, 350-352, 393, 460, 527-528,537,543,550-551, 743, 864-865, 881, 911-912,918,921,930 modulo p 341, 921 dziesi«tne 52-54, 67, 354, 364 hiperzespolone 193 kardynalne 348-350, 355 nieporownywalne 349 nieskonczone 348-350, 355 skonczone 349-350 kwadratowe 10, 43, 52-53, 55-56, 67,69,71-74,193,248, 253-254, 348, 358, 588 kwantowe 61, 65-66, 68, 86, 98-99,262,331,433,464, 489,503,509,514--515, 528, 530-532, 534, 539, 548, 550, 557, 568, 571, 574, 584--585, 588, 604,

632, 637, 639, 649, 743, 762,830,851,868-869, 885,894,911,925,929, 978, 994--996 addytywne 65, 68, 98, 584--585 dokladne 99 drgan 868-869 dyskretne 61, 548, 550, 639 kwarkowa 99 momentu p«du 528, 539, 548, 550, 869, 911 multiplikatywne 98-99 dokladne 99 przybliZone 98 naturalne 15, 52-56, 62-65, 89-90,92, 112, 143, 148, 193,277,341,346-350, 353,357-359,361,363364,649,686,800,806, 871,885,904,911-912,995 nieparzyste 51-53, 98, 199-200, 204,527,845,911,928, 935,940 niewymierne 50, 53, 55-56, 58, 67,90,134 kwadratowe 55-56, 67 p-adyczne 364 parzyste 51-53, 98-99, 131, 199-200, 204, 276, 361, 911, 928,935 pierwsze 10, 54--55, 64, 69, 85, 131,341-345,348,353, 361, 364, 464, 877, 905, 921,994,999 Porzlldkowe 58, 62-63, 68, 79, 99,102,118,178,247,256, 347,353,364,411,556, 568,674,761 nieskonczone 58, 68, 353 skonczone 58, 68, 353, 761 rzeczywiste 52-54, 56-68, 69-74, 77-79,81-83, 86, 89-90, 92-96, 102-103, 108, 110-111,119,121-122,124, 131, 161-162, 169, 173, 175-176,178,193-195, 197,204,206,215,217, 219,246-247,252,259, 265,268,277-278,280, 318,324,330-331,336338,341,343,346-347, 350-351, 353-354, 361, 385,404,430,496,509, 511,514,516,555-556, 604,639,684,760-761, 765, 796-798, 840, 843, 851, 866, 904, 911, 921, 924--925,928,940,966, 994--996 infinitezyrnalne 60, 346 ujemne 42-43, 48, 58, 62, 64-65, 69,74--75,90,96, 102, 118, 131,159,586,588,643,761 wymierne 50, 52-56, 58, 62, 64, 66-68,69-70,72,77,89-90,

1075

Indeks rzeczowy

1076

134, 161,341,347-348, 350-351,362,912 zespolone 66, 69-74, 77-S3, 84-94,96-97,99,109,118, 121, 124, 126, 134, 141, 145, 148-149, 156, 162, 173,175-176,178,193, 196-199,206,235,240-241, 246-247, 254, 257, 259,265,269,271,274-275, 277-278, 320-322, 324,326,330-331,337-338,343,361,363,411, 433,486,494,498,503, 506,510-511,515,528, 530-532, 534, 554-556, 568-569, 588, 632, 639, 800,843,851,866,896, 905,909,925-930,936-937,939-940,942,945-946,954,994-996 skrycone 0 module 1 331 sprzyzone 82-83, 176, 511, 937 uogolnione 193 Liego algebry 245, 257-261, 265, 278, 300-302,310,398,524-526,541,549,595,839-840 grupy ortogonalnej 278 symplektycznej 278 unitarnej 278 rzeczywiste 259, 265 zespolone 259, 265 grupy 242, 245, 258--261, 264-265, 276, 278, 299-301, 524-526,549,595,839,876 nawiasy 259, 264, 298-300, 302, 304,309,840 pochodna 298--299, 302-303, 307,462 linia geodezyjna 4 geodezyjna: linia quanglementu 575, 926 linia swiata 8, 370-373, 377-378, 380-381,384-385,389,391, 393,395-396,399,401-403, 410,417-418,432,439-440, 542,574,640,682,693,695, 721,732,752,774,797,801-S02,910,943-944 czasopodobna 389, 391, 395, 401,403,417-418,640, 735,802,870,895,910 cz~stki 76, 185, 370-373, 380-381,385,389,393,395-396,402-403,417-418, 510,517,542,559,574, 605--{)06, 611, 613--{)15, 621--{)22, 640, 643,660, 695--{)96, 715, 735, 751, 829,834,867,912,943-944 inercjalnej 371, 402-403, 418

masowej 389, 396, 418, 715, 735,943 fotonu 384, 389, 396, 399, 522-523,532,549,577, 605, 611, 613--{)15, 621, 644-645,648,715 obserwatora 399, 401, 410, 439-440, 579, 696, 797, 801-S02 na diagramie Feynmana 611--{)12,642--{)44,653 przestrzennopodobna 389, 393, 696, 801 spl~tana 558, 577, 910, 914 swietlna 389, 410, 674, 682, 735, 801,895,939-940,944 zakrzywiona 910, 959 zerowa 254, 320, 385, 389, 399, 410, 549, 636, 693--{)94, 715,735,870,895,939940,959 zrodla (czasopodobna) 389, 391, 395,401,403,417-418, 613,640,735,802,870, 895,910 linie sit pola magnetycznego 433-434 spektralne 4 linie widmowe spinowo-sieciowe 906, 925-926 twistorowe 939, 943, 947, 949, 955,958--961,966, 1001, 1006 widmowe 547-548, 551, 674, 751, 892 zerowe 4 linia swiata: zerowa liniowosc 217, 238, 271, 276, 288, 303,506,508,613,632,764765, 773, 784, 851 iloczynu skalarnego 217 kowektorow 217, 288 pochodnej kowariantnej 287 rownaft Maxwella 632 tensora 303 logarytm 35, 73, 84, 88-93, 95, 100, 117, 123-124, 126, 133-134, 136-137,142,167,172,652, 661, 663--{)66, 703, 721-722, 879,882,892 iloczynu 88 liczby zespolonej 73, 88-89, 92 naturalny 35, 90-92, 100, 661, 664,703,892 objytosci przestrzeni fazowej 666, 879 rzeczywisty 92, 134, 137, 167 zespolony 73, 88-S9, 92-93, 123-124, 126, 133, 137 lokalna dodatniosc energii 871 rownowaZnosc grup SU(2) i 0(2,4) 937 struktura grupy 258, 260, 264, 301,316 symetria 308-309, 392, 714, 935 teoria grup ci~glych 258

I:. ladunek antykwarka d 712 elektryczny 64-65, 68, 99, 375, 423, 427-430, 433, 435-436, 467, 489, 584, 597, 605--{)o6, 612--{)13, 618, 634, 636, 643, 647--{)49, 651, 685, 703, 712, 799, 837-S38, 880 bozonu W 612--{)13 czarnej dziury 703 elektronu 65, 68, 99, 430, 489, 597,606,634,636,647--{)49 goly 649 kwarku 65, 99, 618 dolnego 618, 837 morza Diraca 636 pozytronu 612, 648 protonu 65, 68, 430, 606, 618, 712 zerowy 636 kolorowy 621--{)22 magnetyczny 422-423, 429, 467, 547, 600, 710, 712, 800,982 Plancka 686, 837 podstawowy 429, 836-S37 Yanga-Millsa 882, 887 lamanie supersymetrii 841-842 symetrii 243, 607, 614-615, 622, 624, 650, 652, 654, 704, 706-716,722,727,748, 786, 830, 875, 931, 981, 996-998 laty (powierzchni) 18,30,39,50, 55, 69-71, 73, 79, 89, 93, 95, 101,108-109,111,113-114, 117,125,131,133-138,140-141, 144, 158, 163, 174, 177-178, 180-184, 188-189, 191, 193,201,203-204,212,214-216,219-220,223,225,232, 235, 237, 246, 248, 253, 257, 259, 265, 270, 278, 283-285, 288--292,298,306,312,316-317,333--334,361,363,394, 404,415,442,444,451-452, 455, 461, 469, 493-494, 496, 507, 520, 527, 555, 580, 588, 599-599,600,615,620,625--{)26, 632, 637, 647, 653--{)54, 665, 668, 683, 716, 748, 755, 760-761,770,785,787,795, 815,826, 839-S41, 844, 855, 869,886,902,904-905,937-938, 947-952, 956-957, 959, 961,976,979,981,996-997, 1000, 1002-1003 nakladaj~ce siy 137, 181, 183, 189,216,956,961 wspolrzydnosciowe 214-216, 219, 232, 235, 283, 290, 361,451,949-950

Indeks rzeczowy I'!cze przyczynowe 831, 927 quanglementowe 790, 926, 985 luk okrc,gu 33-34, 36, 38-39, 42, 44,88, 163-164, 201-203, 228,287,307,402,408,410, 445 wektorowy 201-203 M macierz( e) 238, 246-264, 267-269, 271,273-278,280,415,423, 459-461, 525, 545, 595, 603-{i04, 614, 620, 643, 646, 656, 754, 760-771, 777-778, 781-782,795,809,832,862,865, 905,913,919,937,941-942, 979,994, 1005-1006 algebry Liego 258, 260-261, 278, 595 antysymetryczna 251, 276-278 bezsladowa 278 blokowo-diagonalna 263 diagonalna 257, 263, 275, 277, 771,777 dodatnio okreslona 268, 459-461,545 dodatnio p61okreslona 268 gystosci 754, 760-771, 777-778, 781-782,795,809,832, 913 efekt6w EPR 766 spinu! 762 stanu czystego 764-766, 771, 782, 809, 832 grupy Liego 258, 260-261, 278, 595 obrot6w 254, 269, 595 SU(3) 620 hermitowska 255, 273-275, 277-278,614,761,765,770 hermitowsko sprzyzona 274 iloczynu grupowego 258 1-formy 919 kwadratowa n x n 248, 250, 253-254, 262-263, 267 nieosobliwa 251, 267-268, 276, 280 nieujemnie okreslona 461, 761, 765 normalna 255, 260, 545, 768, 771 odwrotna 251, 261-262, 267, 273,276,415,614 ortogonalna 269, 278, 766, 768, 777,782 osobliwa 251-252, 264, 267-268, 273, 276, 280, 795 o wyznaczniku 1 252, 254 Pauliego 525, 595 prostok,!tna m x n 261 rozproszen --+ macierz: "S" reprezentacji 258-260, 263-264, 525,765,777,862,994 w pelni redukowalnej 862

rzeczywista 252, 267-269, 271, 277,461,620,754,763765, 771, 777, 809 "s" 238, 252, 256-257, 261-264, 267,269,276,278,459-460,545,595,643,646, 656,754,761,763-764, 768-769, 771, 777-778, 782,832,865,979,1005-1006 sumy 258, 264, 604, 754, 770-771, 777, 862 symetryczna 267-268, 276, 278, 459,461,545 tozsamoSciowa 768 transponowana 261, 273 unitama 255, 275, 278, 832 zespolona 269, 273, 275, 277, 764,782,905,937,994 magnetyczny biegun poludniowy 429, 710, 712 p61nocny 429, 710, 712 monopoI429,601, 710, 712,982 masa 8, 41-42, 48, 65-{i6, 113,209, 213-214,222-223,295,357-359, 361, 364, 372, 374-376, 380-382, 389-390, 395-396, 399,407,409,413-419,431, 433,435-440,443-445,447, 449,454,471,475,477,479, 481,500,521-522,524,526, 532, 534, 536, 540-544, 546, 549, 572, 583-587, 589-590, 593-594, 596-598, 601, 603, 608-Q09,612-{i17, 623, 625-{i26, 634, 636, 643-Q45, 649, 651,659, 669, 673, 677-{i79, 681-{i86, 698, 712-713, 715, 720, 728-729, 731-733, 735-737,741-744,746, 752, 754, 792-793, 798-800, 803, 805-807,818-822,824,827,836-838,841-842,851,856,860, 865-866, 880-883, 889, 892, 899-900,904,914,924,928-931, 938, 940-949, 954-957, 963,966-967,969-970,972-973, 981, 985, 993, 997, 1001-1002 addytywna 65, 416, 418, 585, 589-590 aktywna 375, 439, 443, 636 bezwladnosci 375-376, 659 bialego karla 679, 681-{i82 biema 375-376 bozonu Higgsa 841, 924, 931 bozonu W 601, 612-{i13, 713, 715,924,931 bozonu Z 601, 612-{i13, 713, 715 calkowita 8, 213, 223, 372, 380-381, 414-416, 418-419, 436,439,444,447,544, 636,673,678,684,743,

819,821,824,881,946, 963,967 czamej dziury 444, 677-{i78, 682-{i86,698, 712, 731-733,792,799-800,805-807, 880 cz'!stki 66, 213-214, 372, 381, 389-390,395-396,399, 407,409,413,416-418, 431,433,435,454,475, 477,479,481,500,521-522, 524, 532, 534, 536, 543,546,549,572,583-587,589-590,593,596-597,601,603,608-{i09, 613-{i16, 625-{i26, 634, 643-{i45, 669, 715, 735, 754,803,805,820,836-838, 841-842, 856, 860, 865-866,889,892,899, 904, 928-931, 938, 940-947,963,981,997 elektronu 521, 546, 594, 596-598,603, 608-{i09, 613, 615,651,679,713,728-729,800,837-838 energia 66, 414-418, 435, 440, 444,447,475,477,479, 500,524,526,540,544, 583-585, 587, 589-590, 597, 636, 659, 678, 731, 741-743,746,805,807, 818-819,821,860,881, 883,928,930,944,981 grawitacyjna 372, 375-376, 381, 439,443-445,447,636, 678, 698, 735, 737, 798, 818,820-821, 827, 856, 860,889,900 aktywna 375, 439, 443, 636 gwiazdy 443-444, 678-{i79, 681-{i82, 735, 798,827 hadronu 616, 851, 860 konserwatywna 416 kwarka 601, 608, 615, 623, 713, 836 leptonu 6" 7, 623, 713, 836 morza Diraca 636 neutrina 522, 549, 609, 634, 713, 735-736,838,947,997 elektronowego 838 neutronu 608, 617, 679, 681-{i82, 729 Plancka 433, 479, 686, 799, 837-838,866,881,889 pozytronu 596 protonu 65, 546, 598, 608, 617, 728-729,806,838,841 pr6zni 636, 735, 880 Sionca 444, 678-{i79, 682, 735-736,792,805,807 spoczynkowa 416-418, 433, 479, 524,543,585,587,590, 593,596,603,643,645, 967, 997

1077

Indeks rzeczowy

1078

antycz'lstki 585, 596 superpartnera 981 taonu 609, 617 WszechSwiata 673, 713, 720, 731-732, 741-742, 805 Ziemi 358, 364, 374, 415, 444, 532,636,643,678-679,792 masa/energia 66, 414--418, 435, 440,444,447,475,477,479, 500,524,526,540,544,583-585,587,589-590,597,636, 659,678,731,741-743,746, 805,807,818-819,821,860, 881,883,928,930,944,981 calkowita 8, 213, 223, 372, 380-381,414--416,418-419, 436,439,444,447,544, 636, 673, 678, 684, 743, 819,821,824,881,946, 963,967 spoczynkowa 416-418, 433, 479, 524,543,585,587,590, 593,596,603,643,645, 967, 997 WszechSwiata 673, 713, 720, 731-732, 741-742, 805 wz6r Einsteina (E = me') 435, 440 maszyna Turinga 357-359, 361, 364,993 skuteczna 357-359 uniwersalna 358 wadliwa 357-359 materia barionowa 698,741-742,983 ciemna 742-743, 750, 983 normalna 720, 742, 746, 801 mechanika klasyczna 283, 308-309, 312, 327,419,421,464,471, 508, 546, 557, 566, 658, 774,869,871,971 kwantowa (kwantowa mechanika) 47, 60-61, 117, 156, 162, 173, 247, 251, 255, 257, 273,309,327,331,347, 363-364,382,399,419, 421,433,439,457,464, 471,474,477-478,483, 490,492-496,500,502-505, 508-509, 513-515, 517,520,522,524-525, 531-532,536,541,544, 546,548,550-551,552-553, 556--557, 562-563, 565-569, 572-573, 576, 582, 585, 588-589, 598, 638,658,663,685,701, 734, 738-739, 747, 751-755, 759-760, 773-775, 777, 780, 784-785, 787, 790-791,794,803,807, 814,816,820,823-824, 826,828-829,831,833, 835,837,852,857,868-

-869,871,898,912,917-918,921,925,927,930, 936,945,960,966,971-974,976,986,991-992, 994-995, 998, 1003, 1005, 1007 cZ'lstki punktowej 638 o spinie 925 elektronu ze spinem 592 konwencjonalna 505, 508, 566, 753, 755, 785, 823, 826,991 kwaternionowa 364 nierelatywistyczna 553 oktonionowa 363 operatorowe sformulowanie 514 spinu 347, 522, 532, 912, 925 wielu cial 552 Newtona 415, 450, 471, 546, 685,760,784,971,976 statystyczna 666 mechanizm Higgsa 626, 931 inflacyjny 831 lamania symetrii 931, 981 metryka 145, 206, 266, 268-270, 283,305-308,310,387,389-391,395-397,403-406,410-411,431-432,448,453,460, 470,536,549,684,692-694, 703, 718-720, 738-740, 743, 750,794,796,799-800,827, 849, 858-859, 862-863, 865, 872, 874-875, 880-881, 886, 893-894,903,905-907,918-919,924,929-934,938,959 czasoprzestrzeni 283, 385, 389, 391, 397,431,692-694, 718-719, 738-739, 799-800,816,827,849,858-859,861,880,924,929 dodatnio okreslona 268-270, 305-307,391,453,693, 739,872,924 lO-czasoprzestrzeni 859 Eddingtona-Finkelsteina 680 euklidesowa 406, 739, 796 FLRW 688, 720 geometrii hiperbolicznej 405, 692 indukowana 404, 859, 872, 933 jednostkowej 3-sfery 692 kanoniczna zdegenerowana 893 Kerra 684, 703, 799-800, 880 Kerra-Newmana 799-800 konforemna 145-146,411,431, 530,693-694,886,930-932,934,959 lorentzowska 283, 306, 390, 397, 432,453,693,739-740, 750,849,872,931,934 (1 + 1)-wymiarowa 872 konforemna 693, 931, 934

+

materii 720, 799 Minkowskiego 395-397, 403, 718-719,930,933,935 na wstydze Swiata 859, 872 niezdegenerowana 391, 893 p!aska 396, 403, 405-406, 720, 739, 849, 859, 863, 865, 875, 880, 886, 933, 959 geometrii Minkowskiego 403 w sensie Ricciego 849, 863, 875,959 zespolona Cg 396 plaszczyzny Euklidesa 405 powierzchni 283, 391, 405, 859, 872,903,906,918 p6lriemannowska 311 proporcjonalna 387, 431-432, 720, 743 przestrzeni 28, 206, 283, 305, 385, 389, 391, 395-397, 403-404,410,431,692-694, 718-720, 738-739, 799-800, 816, 827, 849, 858-859, 861-863, 865, 875, 880, 886, 893, 903, 924,929-931, 933-935, 938 bazowej 893 de Sittera 718-720 hiperbolicznej 692 Minkowskiego 395-397, 403, 718-719,930,933,935 pseudoeuklidesowej JE;',4 933 pseudoriemannowska 305 riemannowska 305, 307, 410, 739-740,750,862,872,874 "bez brzegu" 739 rzeczywista 874 rozmyta 929 Schwarzschilda 799-800 Schwarzschilda-Kerra 799-800 skwantowana 929 stanu stacjonarnego (Wszechswiata) 720, 886 wiecznej czarnej dziury 799 zakrzywiona 283, 404, 536, 880 czarnej dziury 880 og61nej teorii wzglydnosci 404 mezon 99, 527, 568, 590, 610-611, 617, 622, 634 i(o 99, 527, 617 K" 611, 622, 634 K,. (dlugi) 590, 622, 634 K, (kr6tki) 527, 622 It 634 It° 610 miara gystosci 162, 229, 381, 509, 754, 761,767,769-771,777, 782, 972-973 lukowa k'lta 33, 44, 88 objytosci przestrzeni 60, 219, 223, 338, 642, 663, 666, 671, 687, 733

Indeks rzeczowy fazowej 663, 666, 671, 687, 733 pola powierzchni 143, 175, 188, 212,219,235,283,419, 848, 913, 955 miejsce geometryczne 28, 247, 404, 657, 895, 927-928, 939-940, 942-943, 948 zdarzen 367, 482, 729, 927, 939, 948 mieszanina probabilistyczna 768-771, 777-778, 828-830 r6znych geometrii 829 minimum lokalne energii potencjalnej 459 funkcji 106, 453 mnozenie 15, 56-58, 62, 64, 69, 78, 84-86,88-91,93,96-97,100, 139,176,193-200,207,209, 230, 240-242, 246-247, 251, 257-259,261-262, 274, 280, 287, 300-301, 326, 334, 337-338, 342, 345-346, 361, 364, 467, 482, 494, 496, 525, 570, 595, 614, 626, 632 grupowe 246, 257-258, 301 lewostronne 243 prawostronne 243 kwaternion6w 194-197, 200, 209 Iiczb naturalnych 15, 56, 64 Iiczb zespolonych 78, 84-86, 88, 93, 176, 198--199,241,247, 257, 259, 326, 337-338, 361 macierzy 251,258,280,525,595, 614 oktonion6w 197, 345-346 skalarne 230, 287, 334, 467 transformacji Iiniowych 258, 274,280 wektor6w przez skalar 230, 247 moc continuum 355 iloczynu kartezjanskiego zbior6w 350 sumy zbior6w 959 zbioru liczb 63, 347-351, 353 ~o63,271,348-351,353

calkowitych 350 kwadratowych 348 naturalnych N (~o) 63, 271, 348--351, 353 rzeczywistych 271, 350-351, 353,362 wymiernych 350, 362 zespolonych 362, 959 mod 49,86-88,93, 156-157, 177, 341,343,460-461,485,494-495,514,517,536,545,555-556, 638-639, 724, 746, 758-759,762-763,777,788-790, 830-832, 851, 860, 863-868, 872, 875-876, 895, 966, 978-980, 985, 995 bezmasowy 860

drgan 460--461, 536, 545, 868, 875-876 fourierowski 461, 864 najniZszego wzbudzenia 860 normalny 156, 460--461, 536, 545,639,790,860,863 o energii zerowej 864, 866 podstawowy 461 wibracyjny (struny) 461, 851, 860,864,866-867,876 wzbudzony 860, 864, 866-867 model anty-de Sittera 718-720 Konforemna Teoria Pola 884 Beltramiego konforemny 43, 406-407 Chana i 'Thou 624, 963 de Sittera 718-721 10-przestrzeni 869 ekpirotyczny 896 FLRW 688, 720 inflacyjny 690,717-718,720-721, 724, 727, 742, 745, 982-984 Kaluzy-K1eina 313-314, 847-849, 855, 858-859, 862, 864,885,930,936 konforemnie plaski 737, 965 kosmologiczny 442, 448, 671-672, 675, 687, 689, 694, 717-718,741,826,828, 886,984 Einsteina 886 hiperboliczny 741 inflacyjny 718, 984 konforemnie plaski 737 niestandardowy 724 oscylacyjny 730 oscylatora 892 rzutowy geometrii hiperbolicznej 406 stacjonarny czarnej dziury 799 standardowy fizyki cZ1jstek elementarnych 600,613,623,627-628, 649,660,706,708,836, 924,974,981,983 kosmologii 671-672, 687, 690, 701,717,724,826,971, 974, 982-983 strunowy 851, 855, 876 Tolmana 690-691 wszechswiata stacjonarnego 719-721, 1005 zabawka kwantowej grawitacji 871, 904 zgodnosciowy 703 modul funkcji falowej 494-495, 514, 555 Iiczby zespolonej 86, 88, 93, 639, 866 przestrzeni 485, 495, 866-867, 875-876, 966 moment

bezwladnosci 659 dipolowy 745 kwadrupolowy 745 magnetyczny 535, 594, 642, 710, 748,800 atomu 535 czarnej dziury 800 elektronu 594, 642, 800 pl(du 60, 260, 412-415, 418-419, 435-437, 467, 476, 483, 493, 524-528, 536-537, 539-550, 559, 572, 659, 684,792,799-800,869, 880, 883, 911, 918, 924, 930, 941-942, 944-946, 963, 968, 1001 atomu wodoru 546, 548, 1001 calkowity ukladu 413, 545 czarnej dziury 684, 792, 799-800,880,883 cZ1jstki masywnej 963 elektronu 546-547, 800, 1001 orbitalny 546-547 relatywistyczny 415, 419, 540-541,545-546,1001 cZ1jstki ze spinem 419, 542, 549,559,941 kwantowy 260, 483, 524-525, 528,536,539-541,546-550,869,911,924 spinowy 419, 542, 918, 930 monopol cechowania 710, 712 kosmiczny 711-712, 716 magnetyczny 429, 601, 710, 712, 982

N nachylenie 101, 103-106, 114-117, 120,184-185,385,401,449, 563-564,579,682,743 krzywej 101, 104, 106, 114-116, 120,682,743 zespolonej 120 natl(zenie funkcji falowej 486, 697 padaj1jcej fali 489 promieniowania ciala czarnego 480,697 naturalny uklad jednostek ~ jednostki: Plancka wsp61rzl(dnych obserwatora 439 neutrino 522, 601, 605, 608-609, 634,947,997 bezmasowe 522, 609, 947 elektronowe v, 609 lewoskrl(tne 997 masywne 735, 997 mionowe 609 taonowe 609 nieholomorficzna regula kwadrat6w modulu 966, 995 struktura czasoprzestrzeni 996

1079

Indeks rzeczowy nieinwariantnosc relatywistyczna energii 589 masy 589 pochodnej czasowej 589 nieliniowosc bezir6dlowego pola Maxwella 613 pola cechowania 613 nielokalnosc kohomologii 952 kwantowa 751, 925, 985 nieoznaczonosc czasu :i:ycia 500, 819, 825 energii 500, 647, 818-819, 821, 825 grawitaCY,jnej 821, 825 kwantowa 500, 506, 819, 827-S28, 929, 973 masy 500, 819 nier6wnosc Bella 557-558, 561, 563, 771, 830,993 "bez prawdopodobienstwa" 558 tr6jk~ta

1080

w geometrii Euklidesa 402-403 Lorentza 402-403 nieskonczonosc 25, 27, 32, 43, 51-52,58,75,78,81,83,117, 134-136, 140, 142, 161-162, 164-165,173,227,322,327-329,341-343,346-347,350-351,353,355,361,364,408-409,447,465-466,480,628, 632,637,644,647,649,670, 678, 681, 683, 693--{j94, 696, 737, 795, 799-S00, 804-805, 818,820,836,838-839,841, 849, 883-S84, 931, 933, 939-940,960,962,966-967,999 czasoprzestrzeni 409, 465, 628, 681, 683, 693--{j94, 799, 962 konforemna 693--{j94, 696, 883-S84, 931, 933 KTP 628, 649, 839, 841, 849 na diagramie Feynmana 647, 962 na stozku zerowym 795, 800, 933,962 najwiyksza 355 3-przestrzeni hiperbolicznej 966 w geometrii hiperbolicznej 408-409 zerowa 447, 693--{j94, 795, 800, 836,931,933,962 przyszlosci 800, 931, 933, 962 niestabilnosc dodatkowych wymiar6w 869 ukladu 586 nietrywialnosc koneksji wi¥ki 331 topologiczna 211-212, 331 niezmienniczosc 431, 467-468, 475, 500,550,560,594,607,611,

613, 625, 738, 743, 745, 855, 859, 922, 983 CP611 CPT 611 cechowania 431, 467-468 elektromagnetycznego 431, 467 lagranzjanu 466, 469, 474, 638 Lorentza 743, 922 obrotowa spinu 0 560 relatywistyczna 500, 594, 738 skalowania fiuktuacji 983 struny ze wzglydu na parametryzacjy 855 wzglydem obrotu 467, 560 odbicia w czasie (T) 611, 613 odbicia przestrzennego (P) 466-467,474,610,625 odbic 607, 611, 613 og61nego przeksztalcenia wsp61rzydnych 467 sprzyzenia ladunkowego (C) 467,607,738 translacji przestrzennej 466, 474 w czasie 467 norma 32, 68, 70-72, 84, 98, 101, 117,156,167,192,196,200, 219,229,231,242-245,251-252, 255, 259-260, 273, 275, 277,280,301,305,319,321, 323,371-372,411,425,444, 456-458, 460-461, 465, 479, 485-486, 494-495, 497, 500, 509-511,515-521,526,528, 536,544-545,548-550,555-556, 559, 565, 570, 572, 576, 587,597-598,600, 616--Q17, 628, 633, 636--Q39, 647, 649--{j56, 658, 664--Q65, 676, 688, 691--{j92, 703-704, 708, 715-716, 720, 739, 742, 746, 755, 757,760,762-764, 766, 768, 770-771, 775, 782-783, 786, 789-790, 794, 797, 801, 805, 825, 829, 831, 836, 838-841, 843-S47, 849, 856-863,865, 870-S71, 883, 892-893, 901, 903,910,913,926-927,937-938, 940-942, 953, 967, 969, 975,981,995,1000 funkcji falowej 486, 494, 509510,555,654,658 twistora 273, 893, 926-927, 937-938, 940-942 wektora 219, 231, 259, 275, 280, 323,457,494,509-510, 517,519,762,770,801, 849,859

0 objytosc 56, 60, 101, 219, 222-223, 229-231,338,380-382,392, 428,439-440,442,448,462,

465-466,470,494,642,661--{j68, 67O--Q72, 675, 677, 679, 687,699,732-735,739,782, 812, 879, 881 przestrzeni fazowej 462, 663--{j67, 67O--Q71, 687, 699, 732-733, 812, 879 obojytne twistory nierzutowe 938 rzutowe 938-940, 943 obraz Heisenberga 499, 506, 513-514, 551,629 kwarkowy 608, 855 oddzialywania 433, 514, 548, 605, 616, 708, 716, 786, 996 Schr6dingera 506, 508, 513-514, 548,554,772 strunowy 850, 855 obroty (wlasciwe, bez odbicia) 25-26, 85-S7, 97, 99, 123-124, 134, 139, 145, 147-148, 198-204,206,211,213,228, 236, 240-244, 247, 254, 257, 260,269,271,278-280,287, 300, 323, 344-345, 350, 380, 391,397-399,408-409,419, 433,437,467,469,512,524-525,530,539-541,560,574, 595, 622, 655, 684--Q85, 687, 707-708,738-739,763,797, 804-806, 839, 845, 869, 872-S73, 875, 880, 885, 900, 912, 915,924,930,933-935,941, 984 czasoprzestrzenne 419, 437 infinitezyrnalne 254, 524 lewoskrytne 200, 941 lorentzowskie 419, 437, 540 na plaszczyznie zespolonej 85 n-wyrniarowe 203 skladanie 203 obiekt6w spinorialnych 203-204, 280 prawoskrytne 200-201, 228, 941 przestrzenne 399, 419, 433, 437, 512,524,541 skladanie 202, 408 obserwable 497, 502, 514-516, 518, 535,541-544,548,550,762, 995 ci~gle 518 komutuj~ce 502, 541-543 obserwator inercjalny 379, 401 zewnytrzny 33, 679--{j81, 683, 696, 737 obszar jednosp6jny 318, 434 niejednosp6jny 434 nieorientowalny 228 otwarty 127-128, 132, 137-138, 147,150,157,167-171, 182, 215-216, 225, 235,

Indeks rzeczowy 237,260,316,669,950, 952,959 sp6jny 132, 150 skierowany (zorientowany) 226, 228-229,694,803 topologicznie nietrywialny 434 trywialny 333, 434, 953 "zamkni"ty" na plaszczyznie zespolonej 127, 132-132, 133, 138, 141, 146-147, 156, 171, 229 zwarty226-229,427,429 4-wyrniarowy 427 odbicia 78, 84-86, 98-99, 138-139, 142,150,176,201-206,240-243, 257, 262, 269, 274, 278, 280,288,318,329,331,343, 419,437,445,478-479,490-491, 500, 520-523, 540, 545, 549, 562, 576-580, 605, 607, 610-611, 613, 625, 658-659, 673,695,698,701,724,726-727,730-731,743,747-749, 753, 775, 777, 786-789, 798, 809-810, 812-813, 816, 822-825, 832-833, 853, 896, 910, 918,930,941,966,969,997-998,1006 na plaszczyznie zespolonej 138, 176,240 n-wyrniarowe 205-206 skladanie 203 obiekt6w spinorialnych 203-204, 280 sldadanie 202, 540 zwierciadlane cZqstki 98 odbicie czasu 98-99, 206, 262, 269, 343, 419,437,522-523,549, 562,576-578,610-611, 613, 658-659, 695, 698, 701,726,731,747,753, 786, 788-789, 798, 809-810, 812-813, 816, 823-824, 832-833, 918, 998 przestrzenne 269, 437, 576, 579, 610-611,625,695,731, 786,896 przestrzenno-czasowe (PT) 437, 578, 611, 724, 786 odchylenie geodezyjne 297-298, 322-323, 380-381 ruchu Merkurego 785 odcinek jednosp6jny 317, 333 osi rzeczywistej 86-87 otwarty 169-171,174,889 prostej 27-28, 45, 202, 285, 531, 912 oddzialywania 98, 239, 243, 257, 279,286,312-314,337,430, 433-434,468,514,520-521, 544, 546, 548, 568, 589, 594,

596,600-602,604-607,609-617,621-626,633-634,637-638,643-644,650-654,656, 676, 683, 706, 708-716, 721-722,786,819,836,841-842, 849, 856, 864, 867, 889-890, 892,902,916,935,956,963-964, 970, 974-975, 995-997, 1001, 1003-1004 elektromagnetyczne 313, 337, 433, 594, 596, 600-601, 604-605, 612-613, 615, 621-622,634,651,708, 715, 836, 842, 892, 974, 1003 elektroslabe 605, 613-615, 622-624, 626, 650, 652, 654, 708-716, 721-722, 786, 902,963,996-997 grawitacyjne 239, 650, 656, 676, 819,889,892,902,916, 974, 1004 silne 434, 568, 600-601, 616-617,621-623,626,650-651, 656, 709, 841-842, 856,892,963,974,1003 slabe 98, 434, 568, 600-601, 605-607, 609-615, 622-626, 650-652, 654, 708-716, 721-722, 786, 841-842, 892, 902, 935, 963-964, 974, 996-997, 1003-1004 Yanga-Millsa 434, 890, 1001 odleglosc 79, 268, 294, 306, 408 afiniczna 294-295 euldidesowa 34, 37, 43-44, 59, 367,930 hiperboliczna 34-36, 43-44, 408, 796 kqtowa 744 lorentzowska 268, 396, 796, 974 Plancka -) dlugosc: Plancka odpowiedniosc nielokalna 928, 940 wzajemnie jednoznaczna 348-349,352-354,359 ciqgla 949 odwr6cenie czasu 403, 576, 658, 669, 689, 699, 726, 787, 789, 801, 927 sygnatury 405, 408, 718 odwzorowanie 33-39, 43-44, 48, 85-86, 102, 121, 133-134, 137-142, 145-147, 149, 159-160,176,178,217,311,316, 318-319,322,351-352,362, 364,406,410,689,693,1002 antypodalne 410 bezodbiciowe 138-139 biliniowe 140 ciqgle 145, 176,316,318-319 dodawania liczb zespolonych 85 gladkie 147, 149, 178 holomorficzne 134, 138-139, 145-147, 159-160

homograficzne 140, 145 K1eina 43, 406 konforemne 33-38, 43-44, 121, 137-139,176,406,689, 693 geometrii hiperbolicznej 33-34,36,43 liniowe i niejednorodne 139 mnozenia liczb zespolonych 85-86 Mobiusa 140-141 p61kuliste 38, 43 p61plaszczyznowe Poincart:go 48 rzutowe (geometrii hiperbolicznej) 37-38, 43-44, 141, 316,318,322,406,1002 tozsarnoSciowe 318 zespolone 85-86, 133, 138-139, 142,145,147,160,176, 178,1002 okrqg bazowy 317 jednostkowy na plaszczyznie zespolonej 80, 93, 96, 127, 129, 142, 155, 157-158, 227,321,334,339-340 Sl 149,316-322,331-339,409, 430,665,689 wielki 11, 213, 369, 382, 388, 444, 533, 615, 622, 626, 651,678-679,687,690, 698,709,713,746,822-823, 838, 841-842, 856, 864,889,973,996,1004 zbieznosci szeregu pot"gowego 80, 119, 128, 156 zwarty 540 okres drgan 151, 457, 480 funkgi 151-153, 155, 161, 163-164, 166, 168, 191,730, 797-798 inflagi 717, 721-722 p61rozpadu 502 urojony 152, 502, 795, 797 okr"gi Clifforda 322-323 wichrowate 322-323 omnium 910, 919 ontologia 751-752, 754-755, 757-760, 763, 765-769, 771-772, 775,777-782,809,826,831 fali pilotujqcej 755, 758, 779 macierzy g"stosci 754, 763, 766-769,771,777-778,809 mieszaniny stan6w 763, 769, 777-778 sp6jnych historii 755, 757, 778, 781 stanu spinowego 767 szkoly kopenhaskiej 752 teorii kwantowej 751, 759-760, 777, 779 transakcyjna 781 wielu swiat6w 755, 758, 778

1081

Indeks rzeczowy

1082

operacja holomorficzna 175-176, 190, 196,235,967,996 nieholomorficzna 175-176, 995-996 operator 182, 184-185, 190, 199-201,204,216-217,219,224-226,274,283,287-294,299, 301-303, 310, 334, 336, 340, 426,430,433,455,462,465, 471-474, 476-477, 482-484, 496-498,500, 504, 511-512, 514-519, 524-525, 527-528, 536-538,541-544,546,550-551,554,572,585-594,598-599,602,621,629-631,633-638, 653, 655, 658, 755-756, 759,787,790-791,794,814, 817-818,832,839,864-865, 867,899,905,913,924,929, 945-948,957,967,995 anihilacji 629-631, 634-637, 653, 655, 839, 867 antyczl/stki 634 Casimira 527, 542-543, 550, 967 grupy Poincarego 543, 967 SO(3) 527 D'Alemberta 591-592 Diraca 474,498,504,514,591-593 dodatnio okreslony 511 energii calkowitej 585 falowy ~ dalambercjan funkcji falowej 433, 482-483, 498,537,586,591,594, 629-631,633,635,945-946 gradientu 289, 303, 602, 947 Hamiltona ~ hamiltonian hermitowski 274, 504, 511-512, 514-515,572,630,653, 655,755-756,995 hermitowsko sprzyzony 511, 514-515,630,655 holomorficzny 946 jednorodnosci Eulera 946 kanonicznie sprzyzony 899, 945 Kleina-Gordona 594 kowektorowy 288 kreacji 551, 629-631, 633-637, 653,655,839,867 antyczl/stki 634 kwantowy 274, 474, 482-484, 504,511,514-515,518, 524-525,527-528,541, 544, 546, 572, 587-588, 590-591, 629, 635, 755, 794,905,929,945-946,995 Laplace'a 536, 591-592, 864 liniowy 219, 287-288, 483, 496, 498, 511-512, 514-515, 518,525,586,591,899 momentu pydu 483, 525, 527-528,537,543,546 nieunormowany 637

normalny 515-517, 572, 755, 839,995 odwracania czasu 658 odwrotny 477, 498 pydu 474, 476-477, 482-483, 496,498,504,514,517-518, 524-525, 527-528, 537,541,543,546,554, 589, 591, 594, 638, 655, 899,945 pochodnej cZl/stkowej 185, 283, 290-291, 303,455,473,590 drugiej 301, 472, 590-591 kowariantnej 287, 289, 621 po czasie 465, 591, 658 pola 184,216,219,224,288-289, 294, 299, 301, 303, 430,455,462,472-474, 511, 515, 588-589, 594, 621, 630-631, 633, 635, 637,787,814,839,929, 946 polozenia 482-483, 498, 504, 514,517-518,524,554, 591, 594, 638, 945 pomiaru 496, 504, 515, 518-519, 572, 755-756, 759, 790-791 przeplatania 913 przestrzeni Hilberta 511-512, 517,525,587,630,635 rozniczkowy 184, 190, 201, 216-217,219,283,287,289, 299,462,471,474,476477, 482, 500, 550, 554, 588-589,592,814,946,957 cZl/stkowy 283, 500, 550, 554. 588,814 drugiego rZydu 190, 554 samosprzyzony 515, 518 skladowej momentu pydu 525, 527,537,543 skrytnosci 945-946, 948 spinu calkowitego 527, 543 super rozproszeii 832 symetrii 473-474, 544 tozsamosci 301, 519, 630 unitamy 511-512 zdegenerowany 518 orbita elektronu w atomie wodoru 546-547 eliptyczna Keplera-Newtona 546-547 kwantowomechaniczna 546 planety 446, 657 ujemnej energii 547, 803 orientacja kierunek pytli (na sferze) 158 objytosci czasoprzestrzeni 470 obrotowa ciala 211 obszaru 466 plaszczyzny zespolonej 176 sfery 158, 228, 323 ortogonalne

cZystosci 460 przeciycie 33 ortogonalnosc 206-207, 279, 386-387, 39~00, 419, 515-516, 535, 550, 564, 632, 768, 777, 995-996 euklidesowa 386 lorentzowska 399 stanow wlasnych 515-516, 777, 995 oscylator 515, 545-546, 548, 892 harmoniczny 515, 545-546, 548 osobliwosc czamej dziury 683, 696, 698-699,726,730,737,740, 747,785,795,810,812, 880-881, 1004, 1007 czasopodobna 695, 737-738, 870 czasoprzestrzeni 682-683, 689, 695-696, 726, 731, 734, 737-738,740,747,785, 787,810,812,869-871, 895,910,918,972,1004, 1007 diagramu Feynmana 851 ultrafioletowa 647 funkcji 78-81, 128, 130, 163, 644 zespolona 80, 128 gola (naga) 737, 880-881 poczl/tkowa 689, 726, 730, 737-738,749,786,795,810, 812,918 przestrzennopodobna 696, 738, 808 teorii klasycznej 730, 871 Wielkiego Kresu 689. 699, 730, 740, 747, 785 Wielkiego Wybuchu 689, 703, 726,730-731,734,737, 740, 747, 785-787, 1007 zapadania grawitacyjnego 683 os obrotu (3-wymiarowego) 87, 930 n-wymiarowego 203 rzeczywista 57, 59-60, 70-71, 79, 86-87, 118, 333, 404, 423, 574, 645, 673, 781, 925, 994, 999 na sferze Riemanna 586 skosna ukladu wspolrzydnych 206 urojona 79, 404, 474, 955

P paczka falowa 485-487, 489-491, 499,504,508 fotonu 490-491 para cZl/stek EPR 562, 566, 573, 575, 611, 659, 766, 768, 777, 836,841 funkcji holomorficznych 169-171,362,951 zdarzeii 562, 584, 650, 701, 715, 927,939

Indeks rzeczowy paradoks bliinillt 391, 399, 402--403 pomiaru 540, 567, 751-752, 777, 779, 781, 784, 972, 985-986 Russella 355-356, 360 VIR 356, 360, 403, 432, 566, 752,777,779,985 zegarow 402, 431--432 parametr Barbero-Immirziego 904, 915 czasowy 367, 671-672, 692, 728, 755, 793-794, 860 czasu kosmicznego 692 Feynmana 646 odciycia (cut-off) 226, 628, 649, 830, 838, 975 zespolony 131, 142, 144-145, 149,175,191,411,549, 940, 958-959 parametry Kerra 684, 799, 880 kosmologiczne 671, 740--741 niewyjasnione 623, 835--836 parowanie 8, 544, 558, 648, 690-691, 708, 715, 717, 722, 743, 809--810, 812, 939-940, 959, 1007 czarnej dziury 809--810, 812 pary cZllstka/antyczllstka 98, 584-585, 803-804 Coopera 569 parzystosc 98-99, 199-200, 610, 896 g98 obrotow 99, 199-200 periodycznosc czasowa 482 przestrzenna 151, 478, 482 zespolona 795, 797-799 p~d 60, 162,213-214,260,412--419,435--441,443--445,447, 454--457,459,466--467,474--483, 485--487, 493-500, 504, 514,517-518,524-528,530, 533, 536-537, 539-550, 554, 559-560, 572, 577, 589-591, 594, 629, 638, 643-647, 649-650, 653, 655-656, 659, 661, 670-671,684,720--721,754, 792, 799-801, 803--805, 820, 822-824, 827, 833, 838, 863, 867, 869, 873, 880--881, 883, 893,899,903,911,918,924, 930, 941-942, 944-946, 963, 968,1001 calkowity 213,413--415,419, 436,438,444,447,455--456, 494, 527, 537, 544-547, 643, 646, 673, 684, 911, 945, 963 cZllstki bezmasowej 941, 944-946 cZllstki masywnej 963

fotonu 533, 577, 644-645, 822--824,833 kanonicznie sprzyzony ze wspolrzydnll uogolnionll 467 klasyczny 474--475,477,482--483, 500, 539, 546-547, 572, 643-644, 661, 869, 899,944 kwantowomechaniczny 474--475, 643, 911, 924 liniowy 498, 514, 517, 525, 591, 899,930 przestrzenny 415--416, 419, 436--438,445,456--457,466, 474--475,482--483,485, 487, 500, 524, 540--541, 548, 572, 589, 629, 670, 803-804 uogolniony 447,454--455,459, 467 pytla 123-125, 132, 146-147, 149, 158,190--191,199-200,212-213,236,287,292,305,313, 320, 334, 336, 347, 357, 391, 432,434,461,646-648,714, 845-846,849--851,856,858, 873,876,881-883,898,905-908, 910, 913-918, 921, 930, 978,987,1006 diagramu Feynmana 647, 845, 851,873 spilltana 907-908 topologicznie nietrywialna 434 Wilsona 905 zamkniyta 124, 146-147, 158, 212-213, 287, 336, 391, 434,647,714,849--851, 876,905,907,1006 p-formy 219, 221-226, 229-231, 235,239,283,304,845 holomorficzne 235 proste 219, 222, 231 zamiana na (n - p )-wektor 229-230 piana 22, 29, 175,577,735,771-772, 827-828, 918, 921, 923, 987 spinowa 918, 921, 923, 987 pierscien 156-158, 167-168, 194-195,204,342,908 z dzieleniem 195, 204, 342 przemienny 342 z jedynkll194, 204 zbieinosci 156-158, 167-168 pierwiastek 22, 34, 43, 48, 52-53, 55-56,69,71-74,84,89,96-98, 100, 131, 193,241,343, 494, 500, 533, 587-592, 594, 596,598,729,749,892,911 kwadratowy 34, 43, 52-53, 55-56,69,71-74, 193,494, 500, 533, 587-592, 594, 596, 892, 911 Clifforda-Diraca 591

operatora 588, 591-592 liczby zespolonej 72-74, 89, 96, 193,343,588 stopnia z 22, 48, 72-74, 89, 96-97,100,343 wielomianu 518 5-przestrzen 718-719, 848, 864--865,884 Minkowskiego 718-719, 865 plaska w sensie Ricciego 864 pion 841 dodatni 11+ 610 neutralny 11° 610 ujemny 11- 610 platonski (-a) bryIa 9 byt 15, 19, 39, 57, 63, 239 ideal 21, 57, 239, 989 swiat form idealnych 63 matematycznych 21 plaski element n-wymiarowy 218 przestrzennopodobny 400, 801, 870 plaskosc 295, 447, 718, 724-725, 731,828,848--849,858--859, 861,869,871,873--874,894, 906,910,960,962,982-984 przestrzenna 718, 724-725, 859, 861, 873, 894, 910, 962, 983-984 Ricciego 848--S49, 858--S59, 861, 869, 871, 874, 894, 910, 962 w 10 wymiarach 859, 861 WszechSwiata 447, 718, 724-725, 869,874,983 asymptotyczna 447 plaszczyzna 25, 27-28, 32-33, 36, 38,42,48,78-79,85,109, 121, 128-129, 133-134, 136-145, 150, 156-157, 160, 163-164,167,172,176-178,185, 190--192, 198, 201-203, 206, 212-213,218,220,227,229, 270,284-286,296,321-322, 325,327-330,335,337,339, 343-346,363,400,405--406, 410,469,486--487,519,530, 532-533,563-564,689,693, 707,711,719,764,797,844, 896,931,933-934, 939-940, 942-943, 997 antysamodualna 942-943 czasopodobna 411 euklidesowa 27, 32, 36, 139, 202, 227,284-286,296,322, 797,934 uzwarcona 934 Fano 345-346 hiperboliczna 32-33, 36, 42, 138, 145,270,296,405,689, 693 Lamberta 42, 405

1083

Indeks rzeczowy

1084

n-plaszczyzna styczna 218 przestrzenna 405, 410, 486-487 r6wnikowa kuli 141 rzutowa 38, 141-143,285, 322, 327-330, 339, 343, 345, 363,406,939-940,943 IP"(IFq) (nad cialem IF.) 343 samodualna 942-943 stalej fazy 487 styczna 218, 229, 285-286, 469, 707,844,942 zerowa 933, 942-943 zespolona 78-79, 85, 109, 121, 128-129, 133-134, 136-137, 139-145, 150, 156, 160, 163-164, 172, 176-177,191,198,227,321, 325,335,337,486-487. 530,764,797,896,931, 940,942-943,997 pochodna 104-108, 110-114, 117-118, 120, 125-126, 131, 171, 177, 179-182, 184-185, 189, 192, 198, 217-219, 224-226, 283-284, 287-291, 298-299, 301-304,307,309-310,312, 333, 426, 435-436, 454-455, 462,464-466,469,472-473, 511, 537, 590-591, 621, 649, 658,817,844,859,871,903, 910,957,994,999,1003 cz~stkowa 131, 177, 179-180, 182, 184-185, 189, 192, 283,290-291,303,310, 455,473,590 we wsp6lrz«dnych 182, 185, 283,290-291,303,473 druga 180, 182, 590 mieszana 180 wyiszego rz«du 180 druga 104-107, 110, 112, 180, 182,192,301,472,590-591,871,957 funkcjonalna 465, 903 hiperfunkcji 171 iloczynu funkcji 112, 171 kowariantna 287-290, 309, 312, 435,537,621 czasoprzestrzenna 435 we wsp6lrz«dnych 290 Liego 298-299, 302-303, 307, 462 niezaleina od wyboru wsp6lrz«dnych 181, 284, 303,436,844 n-ta funkcji zespolonej 106 pierwsza 107, 110, 112, 120, 287-288, 464, 590-591, 844,859,871 pola wektorowego 218, 284, 287-288,299,302,307, 455,462 sumy funkcji 112, 171 trzecia 110, 472 wariacyj na 466, 994

wyZszego rz«du 104-105, 117, 120,302 zewn«trzna 185, 218-219, 224-225,289,303,426,436 podejscie Ashtekara-Lewandowskiego ~ podejscie: zmiennych p«tlowych Hawkinga 739, 809, 873, 977-978 perturbacyjne 860, 906, 962, 1000 sieciowe 978 zmiennych p«tlowych 898, 906, 914,917,919,921,987 podgrupa (-y) 242-245, 252, 258, 280, 315, 399, 617, 625-626, 787,934 grupy obrot6w 242-244 nie-normalne 243-245, 617 niezmiennicze (normalne) 242-245,252,617 symetrii kwadratu 243-244 podobienstwo figur 30, 758 przestrzenne 396, 496, 530, 729, 912,929 podprzestrzen D-brany 887-888 l-wymiarowa wektorowa przestrzeni 1(:2 321 podrozmaitosc 325, 703, 844, 883 zespolona wi~ki 325 podr6i kanalikowa (wonnhole travel) 802 w czasie 82, 391, 410, 800-802 pokrycie grupy (podw6jne) 278, 280 plaszczyzny podw6jne 339 przestrzeni dwukrotne 278 polaryzacja eliptyczna 532-533 fotonu 521-523, 532-533, 549, 563,577,941 kolowa 522, 532-533, 549, 900, 941 lewoskr«tna 522, 941 prawoskr«tna 522, 941 lin iowa 522, 549, 961 plaska 522, 532, 961 pr6ini 647, 649 pole 554 bezmasowe 209, 735-736, 856, 860, 900, 928, 931, 938, 947-949, 954-957, 1001 swobodne 209, 947-948 bozonowe 655 cechowania 239, 337, 429-430, 432-435, 495, 594, 613, 634,710,712,714,905, 962 ci~gle 58, 61,118,143,145,176, 191,213,301,310,323, 362,397,434,464,710-711, 921, 925

jednostkowych wektor6w spinorowych 324 dylatonowe 859, 882 elektromagnetyczne 382, 421-423, 426, 430, 433-434, 436,441,443,448,481, 488, 495, 533, 554, 589, 594, 596, 604-605, 612, 621, 632, 634, 637, 655, 671, 804-805, 848, 900, 974 elektryczne 374-375, 383, 422-423, 429, 469, 479, 532-533, 554-555, 634, 648, 712,900 elektronu 634, 648 element6w plaskich 206, 218-220,222,901 fermionowe 567-569, 631, 634 fizyczne 59-62, 70-71, 148,331, 337,396,404,421-422, 429-431,436-438,454, 468-469,485,494,531-532, 610, 627, 648--649, 721. 724, 726, 779, 848, 852, 872, 880-881, 885, 890, 902, 910, 926, 936, 960, 964-965, 970, 987 grawitacyjne 190, 374-378, 381-382,404, 421-423, 435, 437-439, 443-444, 446,454,456,475,671, 676-678,680,701,711, 735-736, 771-772, 787, 794,814-816,818,820, 833,847-848,856,858, 860, 900, 902, 910, 962, 974 cz~stki 381, 437, 456, 735, 820, 860, 974 Sionca 381, 735-736 statyczne 190, 680 struny kosmicznej 711 Ziemi 375-376, 381, 435, 438, 446,454,678,815 Higgsa 601, 615-616, 721 w kosmologii 721 Killinga 801, 814, 816-817, 859, 862, 885 klasyczne 421, 435, 464, 474, 488,514-515,557,632-634, 638-639, 641, 739, 779, 787, 803, 815, 862, 885, 901, 910, 929 kowektorowe 217-218, 288-289, 327 krzywizny 104, 335, 337, 381, 429,431-432,438,623, 714,735-736,859,895, 900,910,922,948,960 kwantowe 61, 66, 77, 86, 121, 158,172,257,273,331, 362,396,399,419,422, 426, 433, 446, 464-466, 469,474-475,492,503,

Indeks rzeczowy 514-515,517,522,526, 530-532, 534, 546-548, 555, 557, 567-568, 573, 575, 583-584, 588, 590, 600, 610, 625-626, 627, 632-635, 638-639, 641, 649, 653, 655, 671, 715, 721,730,738-739,742, 759,764,771-773, 785-787,794,803,808,812, 815, 820, 825, 827, 832--833, 851, 854, 857, 859, 880, 883, 895, 898, 900-901, 907, 910, 912, 919, 921-922,925,929,936, 946, 970-970, 971, 974, 976, 978, 994-995, 1002 kwarkowe 621 magnetyczne 382-383, 421-423, 426, 429-430, 433-434, 436,441,443,448,469, 479, 481, 488, 495, 532-533, 535, 554-555, 589, 594, 596, 601, 604-605, 612,621,632,634,637, 655, 671, 710, 712, 804--805, 832, 848, 892, 900, 974,982 Maxwella 60, 337, 383, 421-423, 425-426,429-432,435-436, 443, 469, 479, 481, 488, 547, 555, 600, 613, 633, 637, 710, 848--849, 881,896, 900-901, 931, 947 bezzr6dlowe 613, 881, 896 swobodne (bez zr6del) 469, 555, 600, 613, 637, 881, 896,947 na 2-wymiarowej wstydze 860 naladowane 374, 382, 430, 468, 589, 594, 605, 634 nieliniowe 613, 633, 867, 928, 959,961-962,1001 potencjalne 413, 454, 475, 531, 639 powierzchni 33, 60, 73, 114-115, 133-137, 141, 143-145, 149,175,177,188-189, 212, 216, 219, 228, 235, 283,287,381,419,448, 454, 633, 715, 791, 815, 817,848,851--852,859, 871, 873, 877, 879--882, 896,906,910,913-914, 918,930,955,988,1001-1002 czarnej dziury 791, 879--880, 882 horyzontu 715, 791, 879--881 pod krZYW:j 114 tr6jk:jta sferycznego 287 ujemne 114, 136-137,228, 287

relatywistyczne 399, 548, 579, 589,594,652,738 rzeczywiste 41, 58-61, 69-74, 78-82, 90, 93, 118, 120-121, 123-124, 131, 136-137, 142,162-163,173,175-176, 178, 187, 189, 191, 197, 206, 219, 235-236, 246-247, 259, 265, 269, 277-278, 281, 309-310, 316,320,323,329-331, 334, 336-338, 353-354, 361-362,394,397,399, 421, 430-431, 433, 438, 481,485-486,502,554-555,604,614,627,632-634, 637-639, 712, 726, 759, 779, 795, 797, 832, 843, 851, 874, 880, 890, 901, 925, 928-929, 938, 940, 943, 945, 954, 958, 960,984,994-996 samooddzialuj:jce 633 sil41, 79, 113, 120, 124, 193, 375-376,378,382,413, 421,423,429,433-434, 454-455, 627, 639-641, 657, 712, 716, 848, 890, 923,977,980,988,1001 sily centralnej 657 sily ciyzkosci 375-376, 378, 413 skalarne 179, 184, 187-188, 216-219, 229, 273-274, 284, 289, 299, 302-303, 334,430,448,461,510, 554-555, 630, 633-634, 721,724,849,859,931-932 gladkie 216, 284, 334, 555, 931 rzeczywiste 430, 554-555, 633-634 zespolone 273-274, 334, 510, 554-555 spinorowe 324, 326, 634, 875, 895,941 Majorany 634 na S' 324, 326 stale 875 stacjonarne 382, 466, 640, 814--816, 820 stale 41, 61, 66, 73, 88, 96, 135, 139, 147, 173, 176, 186, 227, 235-236, 265, 273, 284, 320, 322, 336, 338, 378,413,421,441-442, 456,468,486-487,494, 506-507,511,523,533, 589,600,614-616,623, 678, 720-721, 730, 743, 773, 820, 825, 859, 875, 882, 886, 896, 961, 974, 978,982,984,997 swobodne 190,209,236,363, 375-378,438,469,555,

600,613,633,637,735-736,833,947-948,970 bezmasowe 209, 947-948 symetryczne 272, 277, 305, 308, 437, 527, 568, 610, 632, 680,745,787,812,843, 859--860, 880--881 tensorowe 284, 287, 289, 299, 303,305,308,312,327, 362,816,859,900,929 antysymetryczne nieosobliwe 308 wektora Killinga 801, 816--817, 859,862 wektorowe 181, 183-184, 186-188,209,216-220,235-236,246-247,272,284, 287-289, 299-302, 307, 310,316,320-322,324-327, 337, 394, 455-456, 462, 473, 494, 506-507, 510,632-633,814,816, 900,904,937-938,950, 953,956-957,959,961 holomorficzne 235 rzeczywiste 187, 219, 235-236, 246-247, 310, 316, 337,394,632-633 zespolone 235-236, 246-247, 272, 320-322, 324-326, 337, 394, 494, 506, 510, 632-633, 904, 937-938, 953 widzenia obserwatora 925, 928 Yanga-Millsa 712, 880--881 zespolone 66, 69-74, 77--83, 84-97,99,109-111,118, 120-132, 133-134, 136-149, 150-151, 154-156, 158, 160, 162-164, 168, 171-173, 175-178, 188-189,191,193,196-199, 206, 227-229, 235-236, 240-241, 246-247, 252, 254,257,259,265,269, 271-275, 277-279, 281, 309,320-326,329-331, 334-335,337-338,343, 361-363,394,396-397, 399,411,419,426,431, 433, 486-488, 494-495, 498,502-502,503,506-507, 510-511, 515, 517, 522, 528, 530-532, 534, 549,554-556,559,568-569,586,588,602,614, 632-634, 638-639, 646, 739,758, 764-765, 770, 773, 782, 795, 797--800, 843,851--852,866,874, 877,896,901-902,904-905,909,922,925-931, 936-943, 945-946, 949, 953-955, 957-960, 966, 969, 994-997, 1001-1002

1085

Indeks rzeczowy

1086

zewnytrzne 163, 218, 224, 376, 454, 475, 477, 549, 589, 594,596,645,892 ziemskie 381, 432, 454, 814 polozenie cZ'lstki 162, 213-214, 381, 414, 418,454,456,474-475, 482,487,493-496,504, 509, 517-518, 524, 542, 553-556, 560, 567, 570, 572, 594, 629, 638-39, 659, 661, 754, 758, 827, 829,929,945 rownowagi 457-458, 545 srodka masy 414, 418, 544, 659, 685 uogolnione 451, 455, 467, 469 pomiar 33, 48, 57, 60, 87, 382-383, 393,430-431,480,492-494, 496-497,500,503-504,507-509,514-521,523,530-531, 535,540,549,555,557,559-564,566-567,571-575,579-580, 585, 594, 613, 639, 720, 743, 752, 754-759, 762-763, 766-770, 772-774, 777-782, 784, 789-791, 823-824, 827, 829, 831, 836-837, 911-912, 918, 925, 972-973, 984-986, 991-992, 995-996 energii 500, 585, 973 kwantowy 492-493, 500, 503-504, 507, 514-516, 518, 520,531,557,563-564, 566,571-572,580,639, 752,754-755,757-759, 762, 772-774, 777, 779, 782,784,789-790,827, 831,911,973,985,992, 996 momentu pydu 493 pydu 493, 496, 500, 504, 514, 827 polozenia 493-494, 496, 500, 504,509,514,555,758-759,827 rzutowy 518-521, 530, 549, 756 spinu 530-531, 535, 557, 560-561,572,575,762-763, 766-769,912,918 TAK/NIE 430, 497, 500, 504, 507,516-521,523,530-531, 549, 560-564, 567, 572,575,579,585,639, 754-755, 757, 762-763, 766-769,779, 789-790, 827,912 zerowy 520-521, 523, 549 poprawki kwantowe 595, 641, 832, 859, 970 radiacyjne 832 postulat 11, 27-28, 30-32, 35-36, 41-43,45-46,50,52,284, 332, 405, 518-521, 523-524,

549,737-738,756,841,854, 877,886,891,929,961,974 przyczynowosci 929 rownoleglosci (pi'lty postulat Euklidesa) 27-28, 30-32, 35-36, 41-43, 46, 50, 52, 284,405 rzutowy 518-521, 523-524, 549, 756 Taniyamy-Shimury 891 potencjal 19, 190, 430, 432, 434, 443,454,468-469,598,621, 626, 633, 637, 655, 707, 721, 758,820,885 elektromagnetyczny 430, 432, 443,468,598,621,637 "kapelusz meksykanski" 707, 721 kwantowy 721, 758, 820 Maxwella 430, 443, 469, 633 pola elektrostatycznego 190 grawitacyjnego 190, 443, 820 Yanga-Millsa 885 powierzchnia 11, 25-26, 30-31, 33-34,42-45,48,60,73,101, 114-116, 121, 133-137, 140-146,149,174-174,175,177-181,185,188-189,202,212, 214,216,218-219,223-224, 227-229,235,237,244,270, 283, 286-287, 293, 296-298, 313-314,369,381,389,391, 400,405,419,427-429,446, 448,454,456,463,466,469, 500, 549, 572-574, 633, 644, 658, 678-D83, 685-D87, 689, 691-D93, 695, 703-704, 707, 711,715,717-718,720,743, 791-792, 797-798, 815, 817, 844, 846, 848, 850-852, 856, 858-859, 861, 865-866, 870-873,875,877,879-883,894-896,899,903-906,908,910-911,913-914, 918-919, 921, 930-931,955,957,988,1001-1003,1006 danych wyjsciowych 848 2-wymiarowa 177, 188,212,224, 298,313-314,405,846, 850-851,883,906 horyzontu czarnej dziury 679, 682, 685, 703,791,879-880 zdarzen 679-D80, 682, 685, 715,791 jednospojna 212 kuli 11,42,44-45,48, 136, 141, 202, 212, 227, 244, 707, 1003 niezwarta 142 n-powierzchnia 149, 229, 896 pUlapkowa 703 Riemanna 121, 133-137, 140-145, 175, 177-178, 189,

212,235,283,391,419, 851-852, 866, 872--873, 875,877,896,955,1001-1002, 1006 dodatnio okreslona 391, 872 o genusie zero 877 o wyZszym genusie 955, 1002 teorii stron 142, 852, 872, 955,1001 zwarta (zamkniyta) 142-143 2-wymiarowa zorientowana 142 szescianu 11, 177 wielospojna 212 wyzszych wymiarow 188 zwarta 142-143, 149,227,427-429, 448, 682, 691, 703, 870,895,931 powierzchnia trojk'lta euklidesowego 43-44, 136, 202, 227,293 hiperbolicznego 33-34, 42-45, 145,270 minimalna (wstyga swiata) 293, 859,872 sferycznego 42 pozytron 595-599, 601, 609, 611-D12, 635, 647-D49 prawa algebry Liego 839 dynamiki 148,367,369-370,450, 595,616,641,657,660-D61,666-D72,674-D75, 685,698,703,717,724-726,731,738,746,749, 780, 789-790, 888, 998 Arystotelesa 367 Galileusza 369-370, 657 Newtona 370, 450, 657 kwantowej teorii pola 66, 77, 422, 426, 546, 627, 738, 815, 832, 859, 936, 974, 995,1002 prawdopodobienstwo 66, 211, 488-489,494-496,504,509,516-519,521,530-531,535,547, 555-558, 560-564, 572, 579-580, 583, 591, 598, 636, 638-D39, 641-D42, 653, 664-D65, 672, 729, 733-734, 751-752, 756-763, 766-771, 773, 777, 780, 782, 787-790, 812, 823, 830-831, 911-913, 918, 925, 966, 974, 995-996 czyste 504, 766, 911-912 kwantowe 66, 504, 509, 516-517, 530-531,557,562-564, 572,591,639,641,751, 757-759,761-763,777, 788-790,812,830,911-913, 974 przejscia 504, 516, 653, 756, 830 przeskoku 504, 516, 752, 790 w teorii sieci spinowych 918 waZone 763, 766

Indeks rzeczowy wyniku pomiaru 516, 530-531, 557, 561, 564, 580, 763, 767,769-770,780,789, 918, 925, 995-996 prawo Coulomba 547 Gaussa 43, 48, 209, 428-429, 665 Iqcznosci dodawania 194 mnozenia 194, 197, 240 grupowego 240 "odwrotnego kwadratu" 380, 546-547, 650, 656--656, 657, 788, 974 powszechnego ciqienia 847 przemiennosci dodawania 194 mnozenia 193-194, 197,251 rozdzielnosci 194, 207, 259 mnozenia wzgllidem dodawania 194, 207 r6wnolegloboku 84-85, 201, 246-247 tr6jkqta (dodawania wektor6w) 11,33,84-85,88,93,201-202, 246-247, 408-409 hiperbolicznego 409 skladania obrot6w 201 tr6jkqt6w podobnych 84-85, 88, 93,201 zachowania 8, 10-12, 71, 82, 119, 134, 137, 148, 165,343,367, 373,380,413-416,419,422, 427, 429, 435-438, 441-442, 446-447, 450, 456, 462-463, 466-467, 474, 477, 489, 524, 551,594,612,614,641, 659--660, 666--667, 669, 731,734,758-759,773,775, 780, 804-805, 812, 825-826, 855, 888, 966, 979, 987, 994-995, 1003 4-Plidu 419 calkowe 8, 367, 422, 427, 436-438,447,641,660, 888,1003 energii calkowitej 438, 660 energii-Plidu 413, 415-416, 436-438,477,524 calkowe 436, 438, 660 liczby barionowej 489 ladunku elektrycznego 427, 435 masy 8, 415-416, 437, 447, 524,731,966 masy-energii 415-416, 447, 524,731 momentu Plidu 414-415, 419, 467 Plidu 413-416, 419, 436-438, 467,474,477,524 pola ciqglego 435 prawdopodobienstwa dla R 759,812 ruchu srodka masy 415,437

strumienia magnetycznego 422 Wiena 480 pn;dkosc 47,60, 101,213-214,373, 382-385, 387, 390, 393, 396, 399-402, 407-413, 415-418, 423, 426, 431, 433, 437, 439, 443,451-452,454-455,459, 464,469,526,541,544,561-562, 571, 576, 579, 588-589, 603, 657, 659, 661, 665--666, 674,676--679,681,685,690, 767, 817, 834, 837, 855, 872, 933,937,940,943-944 CZqstki masywnej 407, 431 orbitalna Ziemi 410 swiatla 47,373,382-385,387, 393, 396, 399-400, 402, 407-412,415,423,426, 433,439,443,526,561-562, 571, 576, 588, 603, 678--679, 685, 767, 817, 834, 837, 855, 872, 933, 937,940,943-944 ucieczki 677--679, 690, 834 uog6lniona 451-452, 454-455, 459,464,469 zegara 433 zygzakowego ruchu elektronu 603 problem anomalii kwantowych 859 czasu w grawitacji kwantowej 786, 917 w kosmologii kwantowej 817 zamrozonego 917 Dirichleta 192, 887 hierarchiczny 889, 892 holonomii 964 horyzontu 715, 717, 724 kwantyzacji twistor6w 924 ladunku (podstawowego) 837 masy 359, 626, 636, 728, 731, 806,837,860,914,956 metryki (sieci spinowej) 918 mieszanej skrlitnosci 949 modul6w (w teorii strun) 866-867,895 nielokalnosci 985 og6lnej kowariantnosci ~ zasada: og6lnej kowariantnosci plaskosci Wszechswiata 718 pomiaru 514, 518, 521, 567, 580, 752,754,772,985 redukcji wektora stanu 917 renormalizacji 967 rozbieinosci 80, 970 tachionowy 855-856 uporzqdkowania czynnik6w 475 wartosci poczqtkowych 131, 863, 918 wiqzania 21, 31, 57, 72-73, 81, 101, 104, 131, 147, 152,

165,168,192,201,279, 336, 355, 360-361, 448, 475, 513, 545, 557, 565, 596, 633, 653, 669, 671, 701, 704, 711, 715, 717, 725, 730, 746-747, 754, 768,775,793,817,826, 831, 838, 854, 857-858, 892,914,916-918,962, 964, 973, 985, 993, 1002, 1005 wymiarowosci (teorii strun) 860-861, 876 jako "efekt energetyczny" 876 zmieniajqcych sili stalych 749 proces Hawkinga 803-805, 808, 812, 880 Yanga-Millsa typu drzewo 1006 promieniowanie ciala doskonale czamego 479-480,500,675,697,717, 751 elektromagnetyczne 479-480, 597,697,701,871 Y 684 grawitacyjne 447, 697 Hawkinga 795, 803-804, 807, 810-811, 882 mikrofalowe tla (2,7 K) ~ promieniowanie: reliktowe reliktowe 49, 675, 687--688, 690, 697, 699, 720, 734, 743-745, 983-984 termiczne (czamej dziury) 795, 806,811 tla 49, 675--676, 687--688, 691, 697, 745, 1005 promien Hubble'a 834 krzywizny 688, 735-736, 745 newtonowskiej czamej dziury ~ wz6r: Michella R6ntgena 488, 681--682, 796, 822-823,825,940,968 swietlny 294, 329-330, 339, 384-385,389,405,409-410, 415, 693, 714, 735, 775, 895, 925-930, 938-940, 943-944, 968-969 w nieskonczonosci 693, 939 wodzqcy 124, 796 WszechSwiata 686, 688, 690--691, 697--698, 701, 732, 745,805,972 zbieinosci szeregu potligowego 91 Ziemi 617, 676, 678, 734, 745, 775,881 propagator Feynmana 603--604, 642--643,646,653,655 elektronu 603, 643 prosta 8, 26 r6wnolegla 27-28, 31, 41, 201, 247-248, 284-287, 301, 327-329, 394

1087

Indeks rzeczowy

1088

zespolona 74, 81-82, 85-86, 90, 92,94,96,109,124,126, 140, 142, 147, 156, 160, 172, 198, 257, 265, 277, 320-322, 325, 334, 361, 363,486,528,588,632-633,639,765,843,877, 937,945,958,995 pr6znia 380, 441, 445, 629-630, 634-637,647,649-650,652-654,664,704,706,708,720-721,735,742-743,746,786, 794--795,803-804,833,845, 847-848,858,861,880,915, 960,962,966,972-973 cZ'lstek ~ stan: pr6zniowy falszywa 706, 720-721, 746, 794 sztuczna 972 termiczna 794--795 prMnie alternatywne 635-637, 654, 794 przedluzenie analityczne 127, 129-131, 134, 150, 168, 172, 612, 740, 895 holomorficzne 797 przedzial domkni, teoria: zmiennych p~tlowych Bohra, atomu 546, 1001 Cantora, niesko6czonych liczb kardynalnych 57, 347-348, 353,999 cechowania 279, 313-314, 337-338,431-433,435,467-468, 594, 621-622, 624, 626, 654, 710, 712-713, 716, 905, 962-963, 995-996 nieabelowa 621-622, 710, 712,716 Chan-'Thou 624, 626, 877 cZ'lstek elementarnych 238, 242, 257, 286, 312-314, 399, 434, 471, 583, 601, 627-628, 636-637, 649-650, 656, 716, 839-840, 866, 875, 924, 927, 962, 971, 974, 981, 996-997 4-rozmaitosci Donaldsona 892 de Broglie'a-Bohma 500, 779, 781 Diraca, elektronu 60, 65, 479, 546-548, 582, 590-591, 594--595, 597-598, 600, 604, 610, 627, 637-638, 642,647,651,685,710-712,774,832,899,994, 998, 1001 drga6 121, 457, 536, 616, 895 dualna 12, 273, 553, 585, 624, 876-878, 882, 887, 918, 963-964, 986 Einsteina 11, 45, 47, 57, 60-61, 134, 136, 177, 283, 286, 291,293,297,312-313, 366, 373, 377, 380, 382, 388, 390, 392, 399, 402, 404,419,421-422,431-432, 437, 439, 443-446, 448--449,467,469,471, 479, 571, 582, 600, 627-628, 650, 680, 693, 703, 723,749,751,784--786, 814-817,826-827,838-

-839, 845, 848-849, 854, 857-858, 860-861, 872, 880-881, 898-899, 902, 904, 914--916, 918, 921, 936, 961, 971-972, 983, 985-986,994,998,1000-1001, 1007 Einsteina-Maxwella 60, 422, 443,600,848-849,998 elektromagnegtyzmu Maxwella 60, 149,313,337,382-384, 422-423,426-427,432, 443,468--469,547,600, 665, 668, 710, 848-849, 881,971,998 elektroslaba 613-615, 622, 624, 626,650,652,654,709-713,715,721,786,902, 996 F 432, 755, 759, 879, 936, 971 fizyczna 11, 21, 59-60, 66, 77, 121, 209, 211, 239, 271, 291,313,337,343,361, 366,383,388,396,422, 432, 448, 463, 468--469, 477,494,586,610,627-628, 650, 654, 657-658, 660,668,672,704,710-711,713,716,724,734, 738,751,778,792,826, 839, 846-848, 852-854, 860-861, 872, 875, 878, 880-881, 889-890, 892-893,902,910,918,921, 924--926, 935-936, 962, 964--966, 970-970, 971-972, 974--977, 989-990, 993-996, 998-1002 fizyki hadron6w 851 form r6zniczkowych Cartana 422 fundamentalna 23, 57, 60-61, 66,121,131,190,269,282, 293, 343, 382, 388, 396, 399,431-432,435,439, 461, 468--469, 595, 613, 632,654,678,685,710, 716,785,791,816,826, 831,836,839,857,860, 885,887,892,902,909, 916,921,925-926,929, 936, 940, 954, 956, 971, 973, 993-996, 1007 funkcji analitycznych 93 Galois 279 grawitacji 61, 190,291,313,373, 377,380,382,421-422, 435,439,445,467-469, 582,650,671,678,683, 685,734,738,784--787, 792,803,815,817,838, 842-843, 845-847, 856-858, 860-861, 873-874, 878-880, 887, 889, 894, 902,904--907,913,915-

-916,918,921-922,929, 936,962,964,973-974, 978, 986, 1000-1001, 1007 Einsteina 291, 373, 377, 380, 421-422,469,582,650, 784, 815, 845, 858, 860, 904, 1001, 1007 kwantowej 61, 582, 650, 671, 683,685,734, 785-787, 792,803,815,838,856-858,873-874,880,889, 902,904--907,913,915-916,918,921-922,929, 936,973-974,978,986, 1000,1007 Newtona 190, 373, 377, 380, 382,439,445,685,784, 817 Newtona-Cartana 382, 817 grup 242, 245-247, 257-258, 260,265,269,278-279, 282,377,399,431, 614, 621,624,647,652,654, 716,738-739,741,787, 840, 866, 876, 885-886, 909, 930-931, 936, 963, 966,996,999 ci'lgiych 247, 258, 260, 377, 738 lokalna 258 prostych 245, 265, 716, 886, 930, 999 hamiltonowska 457, 461, 464, 466,553,760,854,864, 898, 914, 965 harmonik sferycznych 538-539, 550 spinowo-waZonych 538 hiperfunkcji 174, 927, 967 homotopii 236, 923 inflacyjna -> kosmologia: inflacyjna 11-wymiarowej supergrawitacji 878-879,887,936 jednolita 448, 614-615, 622, 706, 874,893,918,1000 Kaluzy-Kleina -> model: Kaluzy-Kleina kategorii 373, 898, 923, 987, 999 kohomologii 926, 951, 953, 956 kwantowa 61, 65-66, 77, 121, 158-159,172,247,257,271, 273--274, 278, 282, 347, 362, 382,384,396,399,419, 421-422,426,433,439,446, 457, 464-469, 471, 475-476, 492-494,500,504--505, 513-514,526, 546-548, 553-554, 557, 566-567, 579, 582-586, 589-590, 595, 600,604,610,614,616, 625-626,627,632,635-638, 647, 649-653, 655, 658, 671, 683,685,715,734,738-739, 742,751,755,758-760,774,

1101

Indeks rzeczowy

1102

777, 779, 782, 784-787, 791-792,803,808,815-816, 826, 830, 832-833, 835, 838, 852,855-859,861-862,869, 871, 873-874, 880, 883, 889, 895, 898, 901-907, 909-910, 913, 915-916, 918-919, 921-922,925,927,929,936, 945, 960-961, 965-966, 970-970, 971-974, 978, 986, 994-998, 1000, 1002, 1007 nierelatywistyczna 464, 553-554,582,586 pol oddzialuj,!cych 627 relatywistyczna 399, 464, 476, 548, 553-554, 582-586, 590, 627, 638, 738, 945, 998 Wielkiego Wybuchu 739, 786 kwaternionow 196, 209, 922, 976 lagranzowska 457, 461, 464, 466-468,553,760,854,965 liczb 57, 59--{i0, 65-66, 82, 131, 198,313,343,347-349,353, 361,411,449,460,464,477, 584, 632, 651, 838, 845, 848, 856, 861, 885, 891, 905, 909, 918, 921, 925-930, 935-936, 940, 966, 983, 994-997, 999-1000 pierwszych 131, 343, 353, 905, 994,999 linii widmowych 547-548, 892 M 61, 134, 141, 196,205,371, 373, 377, 382, 384, 389, 392, 396, 399, 403, 432-433, 443, 474-475, 538, 547, 551, 583, 625,655,657,710-711,784, 816-817, 851, 862, 869, 872, 874, 876, 878-880, 887, 889-890, 915-916, 918, 923, 936, 953, 961, 963, 965-966, 971,978,990,998,1000 macierzy 247, 258, 260, 280, 777, 905, 994, 1005 macierzy S 1005 Maxwella, elektromagnetyzmu 60,149,238,313,337,382-384,422-423,426-427, 432, 434, 443, 468-469, 547, 600, 621, 624, 654, 665, 668, 710, 712, 847-849, 858, 877, 881,902,918,971,998 Mie 47, 57, 60-61, 66, 77, 196, 246-247,294,313,347,353, 360-362, 373, 379, 383, 396, 401,403,416,421-422, 432-433, 439, 446, 449, 457, 464, 467-468, 471, 477, 490, 508,536,547,553,567,571, 583,589-591,607,610, 615--{i16, 624--{i25, 627, 637, 651, 657, 678, 680, 682, 710-711,715-716,723,730, 738-739,741,745,758--759,

777,779,781,784-786,792, 799,814,817,834,838-839, 845-847, 852, 854-858, 861, 873-874, 876-878, 881-883, 885,887,891-892,896, 898-899, 902-907, 913-916, 918-919,921-922,925-927, 929-930, 936, 945, 955, 964-966, 969, 971-977, 986-987, 989, 993-994, 996-998, 1001-1002, 1007 mnogosci 23, 355, 360, 923 nieliniowego grawitonu 961-962,964 n-kategorii 923, 987 Newtona 47, 60, 190,373,377, 379-380, 382-383, 413, 421-422,439,443,445,449, 463,468, 471, 546, 678, 685, 760,784-785,817,847,881, 971,994 grawitacji 190, 373, 377, 380, 382,439,445,685,784, 817 niepopperowska 982 nierenormalizowalna 649--{i50, 838,845-846,856,1000 nieskoiiczonosci Cantora 347, 353,999 obserwacyjnie falsyfikowalna 981-982 oddzialywaii cz,!stek elementarnych 286, 312-314,434, 650, 974, 996 elektromagnetycznych 313, 594,613,615,622,715, 974 elektroslabych 613, 615, 622, 624,626,650,652,654, 709-713, 715, 721, 786, 902,996 silnych 434,616,651,709, 856,974 slabych 434, 613, 615, 622, 624--{i26, 650, 652, 654, 709-713, 715, 721, 786, 902,964,974,996 ogolnie kowariantna 312, 899 percepcji 508, 777-778 pola 60-61, 66, 77, 82, 121, 158, 172, 198, 257, 265, 273, 324, 337, 353, 362, 382-383, 396, 399,404,411,421-422,426, 432-433, 435, 437, 439, 446, 448,461,464-466,468-469, 475,492,514,526,546-548, 567, 583-584, 590, 594, 600-601, 610, 615, 621, 625--{i26, 627, 632--{i33, 635, 649,651,653,671,710-712, 715,721,724,738-739,742, 759,785-787,803, 808, 814-815, 832-833, 842-843, 848-849, 852-853, 856-862,

871-872, 875, 877, 880--881, 883, 886, 889-890, 895, 901-902,905,907,909-910, 918-919,921-923,925-931, 936, 940, 955-956, 962, 964-966, 970-970, 971, 974-975, 982, 994-995, 1001-1002 grawitacyjnego 382, 404, 422, 435, 437, 439, 446, 475, 814-815, 833, 848, 856, 858, 860, 902, 974 klasyczna 435, 464, 633, 803, 815,862,910,929 kwantowa -4 kwantowa: teoria pola bozonow 546, 567, 895 fotonow 426, 546, 600 Poincan!go-niezmiennicza 786 popperowska 982-983 powierzchni Riemanna 121, 142, 852,872-873,955,1001-1002 Reggego 893, 905-906, 922, 1005 relatywistyczna 399, 422, 464, 476, 547-548, 553-554, 582-586, 589-591,627,638,738,926, 945, 998, 1001 renormalizowalna 628, 649--{i52, 654,715-716,836,838, 845-846, 856-857, 975, 1000 reprezentacji (grup) 257-258, 260, 282, 903, 964, 994 ci,!glych 260 rozmaitosci zespolonych 324, 877, 929, 936, 1001-1002 Seiberga-Wittena 892-893 sieci spinowych 61, 66, 347, 908-909, 912-916, 918, 925-926,930,987 snopow holomorficznych 927 spinorow 141,205,338,538539, 875, 936, 980 spinowo-torsyjna Einsteina-Cartana-Sciamy-Kibble'a 291 struktur q-zdeformowanych 909 strun 121,134, 142, 211, 246, 313, 324, 338, 461, 623, 627, 654, 693, 787, 839, 846-847, 849, 851-862, 864, 866-867, 871-887,889-893,895,898, 902, 906, 915, 930, 936, 953, 955, 963-965, 971-973, 977-978,981-982,987, 1000-1002 heterotyczna E, x E, 876 heterotyczna 0(32) 876, 882 na hipertorusie 874 typu I 849, 876, 882, 887, 930, 955 typu IIA 876, 882 typu lIB 876, 882

Indeks rzeczowy strunowa hadronow 849, 851 supergrawitacji 291, 313, 842-843, 845-847, 878-879, 887, 936, 1000 superstrun 856, 877, 936 supersymetrii 654, 839-840, 842, 849, 856, 878, 881, 887, 890, 963, 980-981, 1000 systemow calkowalnych 962, 964 toposow 923 trajektorii Reggego 1005 twistorow 61, 121, 134, 141, 158, 269, 273, 278, 310, 322, 324, 326-327, 339, 526, 543, 580, 793, 852, 855, 890, 893, 896, 898,900-903,910,918-919, 921,923,925-931,935-936, 940, 944--945, 947, 951, 953-956, 960-970, 977-978, 980, 986-987, 996, 1001-1002 Weyla 431-433, 448, 625, 738, 910 wyzlow 347, 907, 913, 919, 923 i splotow 907, 923 wi TWU wszystkiego 47, 59, 211, 239, 353, 382,413,415,426,431,437, 439, 457, 464, 467-468, 477, 493, 508, 553, 600-601, 604, 610,613--614,617,626-626, 627-628,636-637,647,650, 653--654, 657-658, 668, 671-672, 683, 750, 754, 779, 784--785,814,816,831,835, 838-839,848-849,852,854, 856-858, 862, 871, 874, 876-878, 880, 882-883, 886, 904, 915, 921, 927, 953, 964, 971,978,981,989,994--995, 1000-1001 wzglydnoki 11,39,45,47,57, 60, 134,136,141,149,177,196, 257, 265, 267-269, 278, 283, 286, 293--294, 297, 306, 308, 312-313,366,373,380, 382-383,388-392,396,399, 401-404,407-408,411,413, 415-416,418-419, 421-422, 431, 437, 442-446, 448-449, 456, 464-465, 467, 471, 474-475, 479, 483, 490, 500, 514,526,551,553,567,571, 579, 582-583, 589, 591, 625, 627-628, 633, 638-639, 650, 658, 670, 672, 678, 684-685, 723,730-731,734,738-739, 751,760,782,784--786,791, 802-803,808,814-817, 826-827, 834-834, 835, 838, 843, 845, 848, 852, 854, 856-858, 860, 864, 872-873, 880-882, 898-899, 902, 905, 910, 914, 916-917, 919, 922,

924--925, 927, 930, 936, 947, 961,971-972,974,978,985-986, 994, 996, 998, 1000-1001, 1006-1006, 1007 prozni 880 ogolna 11, 45, 47, 57, 134, 136, 267, 283, 286, 293, 297,312-313,366,373, 380,382,390-392,402-404,411,431,437,443-446,448-449,456,467, 471,475,526,551,582, 628, 633, 650, 658, 670, 672, 678, 684-685, 723, 730-731,734,738-739, 751,784--786,791,802, 808,814-817,826-827, 835, 838, 843, 845, 848, 852, 854, 856-858, 860, 864, 872-873, 880-882, 898-899, 902, 905, 910, 914,916-917,919,924, 927,930,947,961,971-972, 974, 978, 985-986, 994,998, 1000-1001, 1006-1006, 1007 szczegolna 11, 149, 196, 265, 268-269, 306, 308, 373, 383, 388-389, 392, 399, 401-403,407,415,418-419,421-422,464,475, 483,514,551,571,579, 582-583, 589, 625, 627, 639, 658, 738, 826, 835, 838, 898, 922, 924, 930, 947,971,985 Yanga-Millsa 434, 621, 712, 877, 881,883-884,890, 892, 965,1001 zbiorow kwantowych 922 zmiennych pytlowych 347, 882, 905-907, 913-916, 918, 921,930,987 termodynamika 421-422, 660-661, 666-671, 674-675, 685, 717, 724--726, 731, 738, 746, 749, 789-790, 792, 795, 797-798, 971,998 statystyczna 421, 660, 795, 797-798 TKTP 510-511, 559-560, 571, 574, 761, 764--765, 770, 787 tlumienie drgan 536 ruchu 659 topologia 48, 122, 126, 135-136, 143-145, 149, 197, 211-213, 236-237,310,316,320,323, 331-334,338,410,430,434, 448,612,645-647,655,709-712,714,772,850-851,872-873, 877, 886, 889, 895, 907, 910,912,914,919,921,923, 953,959,969,997 algebraiczna 923

diagramu Feynmana 647, 850 euklidesowa 48, 211, 213, 430 hipertorusa 895 ogolna 136, 236, 711, 907, 923 ograniczona 236 powierzchni 135-136, 143-145, 149,212,448,851,873,914 Riemanna 135-136, 144--145, 873 przestrzeni 136, 149, 211, 213, 236-237, 316, 323, 338, 410, 448, 711, 772, 873, 877, 886, 889, 895, 921, 953, 959 rozmaitosci 136, 149,212-213, 877,914,997 zespolonej 136, 877, 997 sfery S2 877 wyzlow i splotow 907, 910, 914 wi'lZki 331, 334, 953, 969 topologiczna kwantowa teoria pola ---> TKTP nietrywialnosc 211-212, 331 rownowaZnosc 850 dyskretna 144 struktura sieci spinowych 912, 914 trywialnosc 211-212, 331 torsja 213, 291-292, 295-296, 298, 301-304,306,336,372,378, 380-381,391,410,444,449, 462, 734--737, 745, 839, 868, 900,956 koneksji 291, 296, 298, 301-304, 306,336,372,378,391 topologiczna 213 torus 135-136, 143-145,212-213, 227,874,895 Riemanna 135-136, 144--145, 212 tozsamosc algebraiczna 908 Bianchiego (druga) 291-292, 337,441 Jacobiego 259-260, 309 komutatorowa 309 Ricciego 292, 910 trajektoria 376, 454-456, 462-463, 535,546,605,638,659,851, 944, 979, 1005 cZ model: FLRW inflacyjny 690, 704, 716-718, 720-727,731,741-742,746,830 jednorodny 45, 485, 675, 687-688, 713,716-718,724-727,729, 731,736-737,826,982 kombinatoryczny 912 niesko6czony 63, 341, 670, 689, 693, 699, 729, 804, 820, 991 obserwowalny 688, 693, 695, 698-699, 718, 732, 734, 741. 820, 888, 972, 982, 1004 otwarty 691 partycypacyjny Wheelera 834 sko6czony 62-63, 341, 670, 672, 689, 693, 699, 729, 804, 820, 991 stacjonarny de Sittera 719-721 statyczny, przestrzennie ograniczony 442, 724 wygladzony 732 zamkniyty przestrzennie 149,442, 691 wymiar dodany czasoprzestrzeni 338 grupy symplektycznej 278, 309 przestrzeni wektorowej 194, 213, 217-218,247,250-251, 256, 259,261-262,265,280,283, 316-318,320-322,324-325, 329-332,337-338,363,483, 506,620,632-633, 904, 937-938 rzeczywisty 11, 60, 137, 175-176, 194,196-197,204,206,235, 256,265,269,309,316,318, 331-332,337-338,363,394, 398,553,555-556,620,632-633, 796, 817, 846, 860, 880,928,931,938,940,943, 958,960 wewnytrzny przestrzeni 313-314, 409, 885, 965 zespolony 130, 175-176, 188, 193, 196-198, 206, 229, 235, 254, 265, 269, 309, 320-322, 324-325, 335, 337, 363, 394, 397,419,433,486-487,506, 511,528,555-556,632--633, 646, 782, 904, 928-930, 936-938, 940, 958, 960, 994995, 1001

wz6r Bakera-Campbella-Hausdorffa 310 Balmera 551 Bekensteina-Hawkinga 685-686, 698,880,882--883 Cotesa-Eulera 94 Lamberta 34, 270 Michella 680, 881 Rayleigha-Jeansa 480 Leibniza 112, 289, 473, 511

Z zaburzenie pola metrycznego 860 przestrzeni nieosobliwe 870-871 w spos6b generyczny 895 zachowania nieanalityczne 966-967 nieholomorficzne 966, 995 zachowanie antyholomorficzne 896 4-pydu 419, 643-644, 803--804 energii 413-416, 418, 435-438, 446-447, 456, 462, 466-467, 477, 500, 506, 513, 524, 547, 584,660,731,746,780,792, 801--805, 821 energii-pydu 413-416, 435-438, 447, 466-467, 477, 524, 792, 803--804 holomorficzne 148, 150, 852, 896, 945-946, 967 iloczynu skalarnego 511-512, 759,803 liczby barionowej 489, 584 !adunku 422, 427-428, 435-436, 467, 489, 584, 605, 612, 703 masy 8,223,414-416,418-419, 436-437, 447, 524, 549, 590, 593, 644, 673, 731, 746, 824, 966 masy-energii 414-416, 418, 447, 524, 731, 746 momentu pydu 413-415, 419, 435-436,467, 524, 559, 792 normy 71, 509, 511, 775 objytosci przestrzeni fazowej 667,812 pydu 413-416, 419, 435-438, 447, 466-467, 474, 477, 524, 559, 577, 643-644, 659, 673, 792, 803-804 prawdopodobie6stwa 641, 758-759,812,966,995 tachionowe 855 zacmienie SIo6ca 445 zak 4,19,41,52,89,108,172,195, 207, 229-230, 236, 256, 265, 280, 283, 299, 302, 336, 359, 361,406,444,446,458-459, 476,479,482,506,517,522, 533, 542-544, 547, 558, 566, 573, 584, 603-615, 625, 634,

643, 649, 652, 658, 664-665, 673,683,689,693,699,701, 712,714,721,726-727,733, 737-738, 754, 756, 763, 766-767, 775, 787-789, 799, 812, 821,823,826--827,831,854, 856,858,863,866,881--882, 888,902,910,912,929,940, 957,963,982,993,997 antyneutrina 608-609, 634 elektronu 479, 603-604, 609, 615, 854,902 neutrina 609, 634, 997 zamkniyte krzywe czasopodobne 391, 718-719, 870 pytle (diagramu Feynmana) -> Pl'tla: zamkniyta zapadanie grawitacyjna 678, 683, 736 zapis (tensorowy, macierzowy) 2-spinorowy 598, 601-602, 900, 947 abstrakcyjno-wskaznikowy 232,252 graficzny 252 z przekresleniem 593 zygzakowy 605 zasada antropiczna 699, 727-733, 747, 749, 786, 990-991 mocna 728-730, 749 slaba 728, 749 dynamiki Newtona 370 druga 660, 731, 749 pierwsza 371 trzecia 372-373, 414, 468 ekwipartycji energii 665 Hamiltona 452-454, 464-466, 511,546,589,639,641, 760,976 holograficzna 883--886 identycznosci cZllstek kwantowych 433 liniowej zespolonej superpozycji stan6w 522, 638 Macha 383, 514, 723, 747, 749, 838, 902, 905, 910, 919, 965,990,994 nieoznaczonosci Heisenberga 486, 499-500, 819-820, 827--828, 929, 973 energia/czas 500, 819 polozenie/pyd 499-500, 820 og6lnej kowariantnosci 439, 670, 816,834,858,905,907,914, 916-917 przyczynowosci 682, 718-719, 830, 929 r6wnowainosci 373-376, 382, 384, 436, 438-439, 794, 816,833,854,952,985 Einsteina 374, 382, 436, 985 stacjonarnego dzialania 452, 465,639

1107

Indeks rzeczowy superpozycji 522, 614, 638, 660, 773, 819, 823, 833, 905, 925,995 wzgl"dnosci 366, 368, 371, 382-383, 386-387, 390, 399-400, 412-413,415,464,553,579, 582, 589, 628, 670, 723, 760, 791, 815--816, 826, 835, 857, 873,914,922,925,985-986, 1007 Galileusza 366, 368, 371, 383, 387,413,985 zasady mechaniki kwantowej 433, 439, 464,505,514,522,582,589, 638,751,759-760,774,785, 791, 803, 816, 826, 835, 857, 917, 925, 936, 945, 974, 976, 986, 1003, 1007 zbior 63, 339, 342 dokladny 236, 350, 353-354, 503,599,756,882 domkni"ty 149 fraktalny 725 liczb calkowitych Z 52, 67, 342, 350-352 kwadratowych 52, 56, 67, 348 naturalnych N 63--64, 347-350, 353, 357, 359 wymiernych 52, 56, 58, 64, 67, 347-348, 350-351 zespolonych 265 maksymalnie sprecyzowany 757, 778 Mandelbrota 16-17, 81-83 niepusty 237, 350 nierekurencyjny 359 nieskonczony 16, 58, 63, 213, 236,342,347-351,353,891 otwarty 136, 149-149, 150, 213, 216, 236-237, 309, 348, 669,949-951,959 podzbiorow 81, 133, 150, 349, 351-354,357,359 pozaskonczony 361 projektorow 756-757, 778, 781, 783 przeliczalny nierekurencyjnie 361 rekurencyjnie 359 pusty63, 237, 289,348,350, 352 rekurencyjny 359 roznic doskonalych 363 skonczony 16, 58, 63, 213, 236237,342,347-351,353, 361,761,863,891,922

Steina 922, 951 zupelny komutujqcych operatorow (obserwabli) 542 zewnytrznych 527 ortogonalnych projektorow 756 zwarty213, 227, 237, 863, 959 zdanie typu il, 361 zdarzenia 8, 18, 367, 369-370, 384-387,389-391,401-402,409410,440,482,516,520,548, 562, 564, 566, 574, 580, 584, 597, 640, 650, 679--683, 685, 696, 701, 715, 729, 737, 777, 786-789,791,803,823,830--831,880-882,927,929,938-939,948,960,968,982,993, 1000 jako punkty czasoprzestrzeni 370,384,831,927,960 jednoczesne 367, 401, 564 na stozku swietlnym 384, 409, 939 zderzenie 376, 416, 446, 481, 622, 684, 703, 734, 1004 proton-proton 622 zespolona liniowosc struktur przestrzeni Hilberta 765 przestrzen wektorowa 246-247, 272, 320-322, 324-325, 337, 494, 506, 510, 632--633, 904, 937-938 rzutowa 3-przestrzen 929 3-rozmaitosc Calabiego-Yau 866,877,1001 zespolony promien iiwietlny 928, 938-939, 969 tensor Maxwella 901 Weyla 901 zlamanie przyczynowosci 391, 715 supersymetrii 842 symetrii 243, 607, 614--615, 621--624,652,654,704,706-716,722,786-787,829-830,842,981,996-998 cechowania, nieabelowej 716 oddzialywan elektroslabych 622,624,654,708-709, 712-716, 722, 996 spontaniczne 615, 704, 706-708,710-712,714, 996-998

U(2) 615, 622--624, 652, 654, 708-709,712,715 wzglydem odbic 607 zmienne Ashtekara ~ zmienne: pytlowe dynamiczne 483-484, 496, 500, 513-514, 915 heisenbergowskie 513 kanoniczne 903, 919, 945 kanonicznie sprzyzone 903, 945 niezalezne 189, 196, 363, 452, 466, 476, 500, 543, 550, 866,905,945 pydowe 498, 554, 903, 945 pytlowe (Ashtekara-Rovellego-Smolina) 347, 898-899, 902-903,916,919,925 polozenia 162, 482-483, 498, 500,513-514,554,594, 903,929,945 twistorowe 543, 945, 963-964, 987 zwarta 4-objytosc 428, 466 hiperpowierzchnia przestrzennopodobna 691, 870, 895 przestrzennopodobna 6-przestrzen riemannowska 862 6-rozmaitosc 874 zwartosc 142, 227, 236-237, 264--265,548,551,863 grupy polprostej 265 przestrzeni 227, 237, 548, 551, 863 topologicznej 237 sfery kierunkow przestrzennych 548 zwierciadlo paraboliczne 490, 823 polprzepuszczajqce 490, 773, 787 zyg 576, 598, 601, 603--616, 622, 625, 634,651,713,902,997 elektronu 601, 603--605, 607, 609, 611,615,651,713,902 neutrina 609, 612, 634, 713, 997

Z zrodlo pola 172, 197, 429, 435, 439, 443, 522-523,577,613,710,820, 881, 896, 910 elektromagnetycznego 443 fotonow 522-523, 577 grawitacyjnego 435, 439, 443, 820,910 lokalnie znikajqcego 910 punktowe 910

Indeks nazwisk A Abbott B. 449 Adams C. C. 919 Adams F. J. 209, 339 Adams Walter Sydney 446 Adler S. L. 363 Afriat A. 580 Abaronov Yakir 339, 581, 832 Abmavaara Y. 68, 341, 921, 967 Aitchison I. 654 Albert D. 783 Alpher Ralph Asher 702 Amati Daniele 853 Ambjorn J. 750 Ampere Andre Marie 423 Anderson Carl David 1006 Anguine K. 749 Antoci S. 448 Archimedes z Syrakuz 60, 101, 994 Arfken G. 550 Arndt M. 834, 1004 Arnold V. I. 392 Arystoteles ze Stagiry 367, 369, 377,392 Ashtekar Abhay Vasant 68, 655, 749, 845, 894, 896, 899-900, 902, 904, 917-920, 977 Atiyah Michael Francis 968

8 Back Ernst 49 Baez John 893, 920, 967 Bagger J. 893, 1006 Bahcall John N. 750 Bailey T. N. 173-174,598,832,969 BanchoffTom 419 Barbour J. B. 448, 748 Barnes V. E. 626 Barrow J. D. 749 Becquerel Antoine-Henri 601 Bekenstein Jacob David 791-792, 879, 882, 886, 915 Belinskii V. A. 749 Bell John Stewart 831 Beltrami Eugenio 38, 48 Berberian S. K. 967 Bergmann P. G. 918-919 Berry M. V. 339 Bilaniuk O. M. 393 Bjorken J. D. 656

Blanchard Alain 703, 750 Bloch Felix 762, 765-766 Block Martin 625 Bohm David Joseph 434, 557, 559, 573, 758, 766, 776, 911-912, 992, 1005 Bohr Niels Henrik David 508, 547, 752,774 Boltzmann Ludwig 664-665, 994 Bolyai Janos 43 Bombelli Raphael 74 Bondi Hermann 68, 392, 402, 447, 703,1005 Bonnor W. B. 449 Borel Felix Edouard Justin Emile 874,895 Borner G. 748 Born Max 514 Boskovic Rudjer Josip 448 Bouwmeester Dik 974 Bradley James 410 Braginsky V. 549 Brahmagupta 89 Brekke L. 364 Bremernann H. 174 Brooks R 17 Brown J. W. 419 Bryant R L. 896 Bucher M. 750, 1005 Burbidge E. M. 749 Burkert W. 22 Burkill J. C. 67, 118

C Cachazo F. 897 Calabi Eugenio 876, 891, 954 Candelas Philip 877, 889, 1000 Cantor Georg 68, 347, 350-352, 354-357 Cardano Gerolamo 69, 73-74, 82 Carnot Sadi Nicolas Leonard 421, 661 Cartan Elie 210, 224, 245, 364, 377-378, 381, 391 Carter Brandon 704, 727-728, 749, 799 Cauchy Augustin-Louis 122, 125-126, 132, 137, 188-190, 192, 946 Cayley Arthur 197, 251 Chadwick James 601

Chambers RG. 448 Chandrasekhar Subrahmanyan 684, 703 Chew Geoffrey 979,1006 Christian J. 833 Church Alonzo 118,364 Churchill R V. 192 Clausius Rudolf 422, 661 Clifford William Kingdon 209, 310, 323,943-944,1005 Cohen Paul 23 Collins P. D. 893, 1005 Colombeau J. F. 174 Compton Arthur Holly 612 Connes Alain 237, 656, 924, 967 Conway J. H. 67, 279, 580 Cotes Roger 94,100 Coulomb Charles Augustin de 644 Cramer J. G. 781 Crane Louis 918 Crowe M. J. 209 Crumeyrolle A. 210

D Dapprich Johannes 833 Darmon Henri 23 Darwin Charles 730, 734 Das A. 502, 896 Davenport Harold 67 Davies P. 832 Davis M. 364 Davisson Clinton Joseph 479 Davydov A. S. 655 Dedekind Julius Wilhelm Richard 57-58,62,64 Derow Peter 780 Desargues Girard 344 Deser S. 893 Deutsch D. 548, 780, 1005 Devlin "Keith 279 Dhar J. 393 Diamond Fred 891 Dicke Robert Henry 448, 702, 728 Dine M. 895 Dirac Paul Adrien Maurice 174, 509-510,548,551,558,583, 591-592, 594-596, 602, 611, 628,634-636,654,710,727728, 749, 837, 916, 918, 976, 982,1005

Indeks nazwisk

Dodelson Scott 703, 748, 750 Dolan L. 279 Doppler Christan 745 Doran J. L. 210 Douady A. 82 Dowker Fay 781 Drake Stillman 368, 392 Dray Tevian 922 Duggins Andrew 993, 1006 Dunham W. 118 Du Sautoy Marcus 132, 1006 Dyson Freeman John 1006

E Eastwood M. G. 969 Eddington Arthur Stanley 445, 580,668,702,736,836,1006 Ehrenberg W. 448 Einstein Albert 11, 230, 248, 283, 293,312,365,372, 375-376, 378-80,382-384,388,403,415, 432, 421-422, 435-39, 441-445, 448,478-479, 481, 500, 582-584,587,589-90,690,746.750, 766, 816, 819, 842, 896, 898, 975 Elitzur Avshalom 549, 578 Elkies Noam 23 Ellingstrud Geir 877 Elliot J. P. 549 Ellis G. F. R. 237, 895 Escher Maurits Cornelis 32-38, 45, 138,407-408,691 Eudoksos z Knidos 56--57, 89 Euklides z A1eksandrii 60, 68, 138, 693, 978 Euler Leonhard. 23, 76, 93, 96, 100, 102, 104, 107-108, 110111, 121, 127, 131-132, 642, 647, 994, 1006 Everett Hugh 548, 753

F

1110

Faraday Michael 382, 421 Fermat Pierre de 13-15, 23, 101 Fermi Enrico 606-607, 631 Fernow R. C. 834 Ferro Scipione del 74 Feynman Richard Phillips 593, 622,641,645,648,651,655656,781,846,922,965,975 Fields John Charles 891, 924 Fierz Markus E. 919, 968 Finkelstein David 655, 967 Fitch Val Logsdon 611 FitzGerald George Francis 412, 415 Flanders H. 237, 448 Floyd R. M. 832 Fock Vladimir A1exandrovich 637 Fontana Niccolo (Tartaglia) 73 Fortney L. R. 549 Fourier Joseph 151-152, 161-163, 165,498-499,517 Frege Friedrich Ludwig Gottlob 348

Frenkel A. 821 Friedmann A1eksander A1eksandrowicz 689, 692-693, 695, 699 Frittelli S. 969

G Galileusz (Galileo Galilei) 60, 348, 367,369, 374--376, 382, 413, 454, 457, 833, 985 Gamow George 702 Gandy R. 364 Gangui A. 748 Gauss Carl Friedrich 48, 78, 224, 297,423,450 Gell-Mann Murray 617-618, 626, 782, 992, 1005 Germer Lester Halbert 478 Geroch Robert 550, 625, 967, 979, 1005 Ghirardi Giancarlo 821 Gibbons Gary W. 795, 797, 800, 833,893,896 Gibbs Josiah Willard 422, 994 Gisin N. 581, 781, 833 Glashow Sheldon Lee 606, 626 Gleason Andrew Mattei 580, 1006 Goddard P. 893 Giidel Kurt 360-361 Goldbach Christian 361, 500, 720, 1005 Goldberg J. N. 550 Goldblatt R. 967 Goldstein S. 500 Gottesman D. 832 Goudsmit Samuel Abraham 595 Graham R. D. 548, 780 Grassi Renata 781 Grassmann Hermann 209, 986 Greene Brian 893-894, 896, 918 Green George 224, 655 Green Michael 852-853, 893-894 Griffiths P. 968 Griffits Robert 755 Groemer H. 550 Gunning R. C. 968 Giirsey F. 209 Gurzadyan Vahe G. 49, 745, 984 Guth Alan 722-723

H Haehnelt M. G. 748 Hall Aspeth 785 Hall Edwin Herbert 68 Halverson N. W. 49 Hameroff Stuart 992, 1006 Hamilton William Rowan 193, 195-197,201,209,450,1006 Hanany S. 49 Han M. Y. 1008 Hansen B. M. S. 703 Hansen R. O. 969 Hardy Godfrey Harold 41, 48 Hardy Lucien 558 Hariot Thomas 42

Hartle James 364, 420, 702, 734, 738--739,741-742,747,750, 786,920,984 Hartnoll S. A. 894 HalVey F. R. 174, 968 Hausdorff Felix 136 Hawking Stephen W. 702-704, 741, 749,754,771,781-782,793, 805-806, 809, 832-833, 870, 895, 967, 983 Hawkins T. 280 Heaviside Oliver 119, 471-472 Heisenberg Werner 500, 511-513, 638, 647-648, 784, 892, 897 Helgason S. 237 Hermite Charles 271 Hertz Heinrich Rudolf 383, 426 Hestenes D. 209, 625 Hey A. 654 Heyting A. 48 Hilbert David 48, 467-468, 513 Hiley B. 500, 755 Hirschfeld J. W. P. 363 Hodges Andrew 962, 969, 1006 Hodge William Vallance Douglas 425 Horowitz G. T. 896 Howie J. 363 Hoyle Fred 720, 729, 749, 893, 1005 Huang Kerson 625 Hubbard J. 82 Hubble Edwin 674 Huggett S. A. 968 Hughston Lane P. 833, 893, 968, 1006 Hulse Russell Allan 445 Hurwitz Adolf 197

Immirzi Giorgio 967 Infeld Leopold 598, 625 Isenberg J. 969 Isham Christopher J. 833, 923, 967 Israel Werner 703

J Jackson J. D. 549 Jacobi Carl Gustav Jacob 259, 297 Johnson C. 896 Jordan D. 236, 280 Jordan Pascual 628 Jozsa Richard O. 581, 782, 967

K Kahler Erich 875 Kahn D. W. 192 Kaku M. 626 Kaluza Theodor (Kaluza Teodor) 313-314,887 Kane G. 892 Kasper J. E. 896 Katz S. 896 Kauffman Louis H. 919 Kay B. S. 832 Kelley J. L. 236, 338

Indeks nazwisk Kent Adrian 778-779, 782 Kepler Johannes 657, 977 Kerr R. P. 703 Kibble Tom Walter Bannerman 449,833 Killing Wilhelm 245, 703, 802 Kirschner Robert 743 Klein Felix Christian 193 Klein Oskar 313-314, 407, 448, 838,846 Kobayaschi S. 237 Kocharyan A. A. 49 Kodaira Kunihiko 969 Kolb E. W. 830 Komar A. B. 364 Kontsevich M. 896 Krauss L. M. 750 Kreimer D. 967 Kruskal M. D. 832 Kuchar K. 918

L Labastida J. M. F. 919 Lagrange Joseph Louis (Giuseppe Luigi Lagrangia) 55, 358, 450, 468, 639 Lambert Johann Heinrich 33, 43, 45,405,994 Landsman N. P. 655 Lang S. 1005 Laplace Pierre Simon 423, 450 Laporte O. 625 Lasenby J. 210 Lawrie I. 893 Lawson H. B. 598 Lee Tsung Dao 205 Legendre Adrien-Marie 450 Leggett Anthony J. 567 Leibniz Gottfried Wilhelm von 113,192,223,289,977 Lemaitre Georges-Henri 687, 689 Lenard Philipp Eduard Anton 479 Levi-Civita Tullio 251, 281, 306 Levitt M. H. 920 Lewandowski Jerzy 919-920 Lewis J. D. 896 Lichnerowicz A. 894 Liddle Andrew R. 703 Lie Marius Sophus 261, 311 Linde A. 580, 750, 1005 Littlewood J. E. 67 Livio Mario 749 Loll Renata 750 Lorentz Hendrick Antoon 268, 383, 826, 936, 986 Lounesto P. 210, 598 Lubanski J. K. 543 Uiders G. 549 Ludvigsen M. 448 Luminet Jean-Pierre 703 Lyth D. H. 748 Lyttleton R. A. 68

MacDuffee Cyrus Colton 280 Mach Ernst 748 Mac Lane Saunders 923 Magueijo J. 749 Mahavira 62 Mahler K. 364 Majorana Ettore 534, 538-540, 550 Maldacena Juan 883, 886, 890, 896 Mandelbrot Benoit 16, 19, 81--82, 725 Manogue Corinne A. 363, 922, 967 Marsden J. E. 191 Marshall William 824, 834 Mason L. J. 969 Matelski J. P. 17 Mattuck R. D. 656 Maxwell James Clerk 422, 464, 614,633,665-666,784,901, 948 McLennan J. A. Jr. 967 Merkulov Sergiej A. 969 Michell John 679 Mie Gustav 468, 693 Milgrom Mordehai 750 Millikan Robert Andrews 68, 479 Minassian E. 895 Minkowski Hermann 393, 425, 427 Misner Charles W. 749, 918 Mobius Augustus Ferdinand 228 Moller Christian 646 Montgomery Deane 279 Moore A. W. 364, 392 Mott Nevill Francis 580, 830, 834 Moussouris John 967 Munkres J. R. 338 N Nambu Yoichiro 626, 850, 855 Napier ---> Neper Narayan Ramesh 702 Nayfeh A. H. 310 Needham T. R. 83,131 Negrepontis Stelios 67 Neper (Napier) John 100 Netterfield 49 Neumann John (Janos) von 63, 518,549,762,994 Newman Ezra T. 210,449, 550, 800,832,962 Newton Isaac 43, 366, 371, 375, 381-382,390,392,399,414, 435,448 NgY. J. 782 Nielsen M. A. 549-550, 581, 782, 893 Nirenberg L. 238 Nomizu K. 237 Nordstrom Gunnar 880, 883 Norton S. P. 68 Nother Emmy Amalie 474 Novikov I. D. 393, 832

0 M MacCallum M. A. H. 919, 968

O'Donnell P. 238, 1005 Oppenheimer Julius Robert 599

Ostrogradsky Michail Wasiliewicz 224,423,450 Ozsvath Istvan 749

P Page D. 782, 833 Pais A. 448, 470, 598, 625, 702 Pan J. 196, 271, 581 Pappos z A1eksandrii 339 Pars L. A. 210 Pauli Wolfgang 448, 569-570, 595-596,601-602,610,619,629, 679,968,976 Pearle P. 781 Peat F. D. 749 Pedrini B. 68 Penney D. E. 119 Penrose Roger 23, 67, 118, 238, 338, 364,392,420,449,550,581, 625, 702-703, 749, 780-781, 805, 831, 833, 893, 895--896, 909,919-920,968-969,1005-1006 Penzias Arno Allan 702 Percival I. C. 834 Perez A. 920 Periwal V. 895 Perjes Zoltan 963 Perry M. J. 449, 798, 800 Peskin M. E. 656 Philiponos Ioannes 374 Pitagoras z Samos 5, 9-11, 22, 47, 89 Pitagorejczycy 50 Planck Max 421, 479, 481, 697 Platon z Aten 11-13,15,17-18, 21-22,55,57,349,643,989990 Poincare Jules Henri 31, 39, 44, 137,223,234,264,380,381, 385,394,395,400,411,412, 415,422,543,545,546,751. 43,225,237,384,419,429, 739 Poisson Simeon Denis 309, 461, 787 Polchinski Joseph 857, 895 Popper Karl 984, 1005 Post Emil 9, 29, 76, 138, 347, 364, 377,439,476,491,594,841, 853,902 Powell Cecil Frank 617 Preskill J. 832 Pressley A. 967 Priestley H. A. 83, 132 R Raine D. J. 749 Rayleigh, lord ---> Strutt John William Randall L. 1004 Reasenberg Robert D. 446 Rees Martin 748 Reeves J. N. 703 Regge Tulio 617, 967

1111

Indeks nazwisk Reisenberg M. P. 920 Reissner H. 880, 883 Rideout 967 Riemann Bernhardt 133, 136, 146-147 Rimini Alberto 821 Rindler Wolfgang 48, 210, 236-238, 281,310-311,339-340,420, 448-449,470,549-550,598-599,625,704,797,832,893, 895, 968-970, 1005-1006 Robertson Howard Percy 687, 689 Robinson D. S. 449, 943 Rogers A. 893 Roentgen Wilhelm Conrad 488, 681 Roseveare N. T. 449, 831 Rossi H. 968 Rovelli Carlo 68, 833, 919, 978, 1005 Rubinstein J. 655 Runde V. 364 Russell Bertrand Arthur William 68,364

S Saccheri Girolamo 41-42, 48, 50 Sachs Rayner 449, 919 Sakellariadou M. 748 Salam Abdus 606, 626, 628, 980 Sato Mikio 168-169 Saupe D. 82 SchanuelS.967 Scherk Joel 856 Schild A. 68, 922, 967 Schilling T. A. 500 Schmidt Erhard 777 SchrOder P. V. 655 Schr6dinger Erwin 60-61, 68, 448, 495,512-513,540,546,557, 580,598,638,748,772,779-780,813,822-824,828,965, 991, 1003, 1006 Schwachh6fer L. J. 964 Schwarz John H. 856 Schwinger Julian 655 Sciama Dennis William 449, 748, 919 Sen Amitabha 899 Shankar R. 502, 548-550, 598, 655 Shawhan P. 449 Shaw Ronald 626 Shih Y. H. 581 Shilov G. 174 Shimony A. 580 Shrock R. 655 Simon B. 548 Simon Christoph 824, 834 Singer I. M. 969 Singh S. 23, 364 Sinha Bikash 748, 834 Sitter Willem de 392 Slipher Vesto Melvin 702 Smith D. A. 209

Smolin Lee 68, 730, 749, 895-896, 919-920,967,1004 Smoot George F. 703 Snyder Hartland 68, 682 Sobczyk Garret 209 Sommerfield Charles P. 881 Sorabji R. 67 Sparling George 963 Squires E. J. 781, 833 Stachel J. 68 Stapp Henry 558, 566, 578 Starobinski A1eksiej 716 Stevin Simon 374 Stoney George Johnstone 68, 837 Straus E. G. 448 Strauss 192 Struik Dirk J. 192 Strutt John William (lord Rayleigh) 480 Sundrum R. 896 Susskind Leonard 832, 851 Swain J. 550 Synge John Lighton 448

T Tait P. G. 209 Tales z Miletu 9-10 Tartaglia 4 Fontana Niccolo Taylor Brook 119, 302, 311 Taylor Richard 891 Teitelboim C. 893 Terrell J. 420 Thiele R. 118 Thiemann Thomas 920 Thirring Walter E. 280 Thomas I. 48 Thomas Richard 1002 'tHoof! Gerardus 892 Thorne Kip S. 896 Tipler Frank J. 702, 704 Tittel W. 580, 1004 TodK. P. 749 Tolman Richard Chase 701, 722 Tomonaga Sin-ltiro 628 Torres S. 49 Trautman Andrzej 338, 598 nou Florence (Sheung nun) 623, 626,748,893,963 Turing Alan Mathison 353, 360-361, 364 Turok Neil 741, 750, 897, 1005 Twiss Richard Q. 571 U Unruh W. G. 832 Unti T. W. J. 449

V Vafa Cumrun 880, 882, 896 Valentini Antony 781 van der Waerden Bartel Leendert 82-83,279,598,625 van Heijenoort J. 364 van Kerkwijk Marten H. 702

Varadarajan M. 920 Veneziano Gabriele 851, 893 Vickers J. A. G. 449 Voigt Woldemar 892

W Wald R. M. 448, 655, 702-703, 832, 968 Walker A. G. 687, 689 Ward Richard S. 962-963 Warren John 78 Weber H. 502 Weber Tullio 821 Weinberg Steven 624, 626, 628, 747, 781, 821 Wells R. O. 968, 1005 Werbos P. J. 581, 781, 832 Wessel Caspar 78, 81 Weyl Hermann 210, 280, 431-432, 448,736,812 Wheeler John Archibald 364, 420, 611,702,730-731,782,827-828,997 Whittaker E. T. 968 Wick Gian-Carlo 738-739, 872-873 Wien Wilhelm 480 Wigner Eugene 774, 782, 992, 1006 Wilder R. I. 364 Wiles Andrew 13-14, 23 Williams R. K. 805, 832 Willmore T. J. 48, 237 Wilson Kenneth Geddes 905 Wilson Robert Woodrow 702 Winicour J. 470 Witten Edward 852-853, 860, 876, 878-879, 890-891, 893-894, 896-897,910,919,969 Woodhouse Nick M. J. 185, 192, 237, 339, 500, 969 Woodin W. H. 364 Wooters W. K. 581, 782 Wright E. M. 67 Wu Chien-Shiung 205, 607 Wykes A. 82 y Yang Chen Ning 607, 626 Yau Shing-Tung 449, 896 YuiN.896 Yukawa Hideki 601, 617

Z Zee A. 550, 599, 625-626, 655-656, 919 Zehnder Ludwig 491-492, 521 Zeilinger Antony 581, 834 Zeldowicz Jakow B. 749 Zimba J. 550, 580 Zinn-Justin J. 656, 750 Zippin Leo 279 Znajek R. L. 805, 832 Zumino Bruno 980, 1005 Zweig George 617