Serii Taylor [PDF]

Zitiervorschau

Serii Taylor Maria Joi¸ta

1

Serii Taylor

1.1

Formula lui Taylor

Fie I

R un interval deschis m¼ arginit sau nu ¸si f : I ! R.

De…nitia 1.1 Spunem c¼a func¸tia f este de clasa C n pe I dac¼a func¸tia f este de n ori derivabil¼a pe I s¸i derivata de ordinul n este o func¸tie continu¼a pe I. Spunem c¼a func¸tia f este de clasa C 1 pe I dac¼a func¸tia f are derivat¼a de orice ordin în orice punct din I. De…nitia 1.2 Fie f 2 C n (I) s¸i x0 2 I. Polinomul de gradul n, Tn;f;x0 = f (x0 )+

f (1) (x0 ) (x 1!

x0 )+

f (2) (x0 ) (x 2!

2

x0 ) +:::+

f (n) (x0 ) (x n!

n

x0 )

se nume¸ ste polinomul Taylor de gradul n asociat func¸tiei f in punctul x0 : De…nitia 1.3 Fie

n

: I ! R; n (x)

= f (x)

Tn;f;x0 (x):

Rela¸tia f (x) = Tn;f;x0 (x) +

n (x); x

2I

se nume¸ ste formula lui Taylor de ordinul n; iar func¸tia din formula lui Taylor. Propozitia 1.4 Fie f 2 C n (I); x0 2 I s¸i formula lui Taylor. Atunci: 2 C n (I);

1.

n

2.

(k) n (x0 )

= 0; 8 k

n (x) n x!x0 (x x0 )

3. lim

n;

= 0:

Dem. A…rma¸tiile sunt evidente. 1

n

n;

restul de ordinul n

: I ! R restul de ordinul n din

Propozitia 1.5 (Forma Peano a restului) Fie f 2 C n (I); x0 2 I s¸i n : I ! R; restul de ordinul n din formula lui Taylor. Atunci exist¼a o func¸tie ! : I ! R continu¼a in x0 cu !(x0 ) = 0 astfel încât n (x) =

(x

n

x0 ) !(x); 8x 2 I: n!

Dem. Consider¼ am func¸tia ! : I ! R; ( n!(f (x) Tn;f;x0 (x)) (x x0 )n ! (x) = 0 Din lim ! (x) = lim

x!x0

x!x0

n! (f (x) (x

dac¼ a x 6= x0 : dac¼ a x = x0

Tn;f;x0 (x)) = 0 = !(x0 ) n x0 )

rezult¼ a c¼ a ! este continu¼ a in x0 ¸si !(x0 ) = 0. În plus, f (x) de unde n (x)

=

(x

n

(x

Tn;f;x0 (x) =

x0 ) !(x); 8x 2 I n! n

x0 ) !(x); 8x 2 I: n!

Teorema 1.6 (Forma Lagrange a restului) Fie f 2 C n+1 (I); x0 2 I s¸i n : I ! R; restul de ordinul n din formula lui Taylor. Atunci, pentru orice x 2 I; exist¼a x 2 (0; 1) astfel încât n (x) =

f (n+1) (x0 + x (x (n + 1)!

Dem. C¼ aut¼ am n : I ! R de forma Fie g : I ! R; g (t) = f (t)+

f (1) (t) (x 1!

t)+

n (x)

f (2) (t) (x 2!

x0 ))

= (x

2

t) +:::+

n+1

(x

x0 ) n+1

x0 )

:

k.

f (n) (t) (x n!

n

t) +(x

n+1

t)

k:

Clar, g 2 C 1 (I) ¸si g 0 (t)

f (2) (t) f (3) (t) f (n+1) (t) 2 (x t) + (x t) + ::: + (x 1! 2! n! f (2) (t) f (n) (t) n 1 f (1) (t) (x t) ::: (x t) (n + 1) (x 1! (n 1)!

= f (1) (t) +

=

f (n+1) (t) (x n!

n

t)

(n + 1) (x

2

n

t) k:

n

t)

n

t) k

Fie x 2 I; x 6= x0 . Observ¼ am c¼ a g(x0 ) = f (x) = g(x). Din Teorema lui Rolle aplicat¼ a func¸tiei g pe intervalul [x0 ; x] sau [x0 ; x], rezult¼ a c¼ a exist¼ a cx 2 (x0 ; x) sau cx 2 (x; x0 ) astfel încât g 0 (cx ) = 0. Atunci k=

f (n+1) (cx ) : (n + 1)!

Un element cx 2 (x0 ; x) sau cx 2 (x; x0 ) este de forma cx = x0 + x 2 (0; 1). Prin urmare n (x) =

f (n+1) (x0 + x (x (n + 1)!

x0 ))

(x

n+1

x0 )

x

(x

x0 ) cu

:

Observatia 1.7 1. Func¸tia f de clasa C n (I) poate … aproximat¼a în jurul punctului x0 cu polinimul Taylor de gradul n asociat func¸tiei f în x0 . Eroarea de aproximare în valoare absolut¼a este mai mic¼a sau egal¼a cu " = supfj

n (x)j ; jx

x0 j < rg:

2. Dac¼a f este de clas¼a C n+1 (I); folosind forma Lagrange a restului, "=

rn+1 Mr (n + 1)!

unde Mr = supf f (n+1) (x) ; jx x0 j rg, este o estimare pentru eroarea de aproximare a func¸tiei f cu polinomul Taylor de gradul n în x0 , f (x) ' Tn;f;x0 (x) ; pe intervalul I0 = (x0 r; x0 + r) : Observatia 1.8 Liniarizarea unei func¸tii de clas¼a C 1 în jurul unui punct x0 înseamn¼a aproximarea func¸tiei cu polinomul Taylor de gradul 1 asociat func¸tiei f în x0 ( aproximarea punctelor de gra…cul func¸tiei f cu puncte de pe tangenta la gra…c în punctul (x0 ; f (x0 ))) f (x) ' T1;f;x0 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x

x0 ) pentru jx

x0 j < r:

Exercitii 1.9 1. Estima¸ti o valoare absolut¼a pentru eroarea de aproximare sin x ' x pentru jxj < 10 3 : Dem. Din formula lui Taylor de ordinul 1; avem c¼a sin x = T1;sin;0 (x) +

1 (x)

=x+

1 (x); 8x

2 R:

Din formula Lagrange pentru rest, avem c¼a 1 (x)

=

sin(2) ( x x) 2 x = 2!

sin( x x) 2 x ; pentru 2!

x

2 (0; 1) :

Atunci, j 1 (x)j =

sin( x x) 2 x 2!

2

10 6 jxj < ; pentru orice x cu jxj < 10 2 2

de unde, rezult¼a o eroarea absolut¼a de aproximare de 21 10 3

6

:

3

1.2 Fie I

Serii Taylor R un interval deschis m¼ arginit sau nu, f 2 C 1 (I) ¸si x0 2 I.

De…nitia 1.10 Seria de puteri 1 f (n) (x ) P 0 (x n! n=0

n

x0 )

se nume¸ ste seria Taylor asociat¼a func¸tei f in punctul x0 . Seria Taylor asociat¼a func¸tei f in punctul x0 = 0; 1 f (n) (0) P xn n! n=0

se nume¸ ste seria Mac-Laurin asociat¼a func¸tei f: Observatia 1.11 1. În general, restul de ordinul n din formula lui Taylor nu coincide cu restul de ordinul n din seria Taylor. 2. Seria Taylor asociat¼a func¸tei f in punctul x0 este o serie de puteri, deci este convergent¼a pe mul¸timea de convergen¸t¼a s¸i are o sum¼a, care, în general, nu coincide cu f: De…nitia 1.12 Spunem c¼a func¸tia f este dezvoltabil¼a în serie Taylor într-o vecinatate a punctului x0 , dac¼a exist¼a r > 0 astfel încât seria Taylor asociata 1 P n f (n) (x0 ) (x x0 ) ; s¼a …e convergent¼a pe (x0 r; x0 r) I func¸tiei f în x0 ; n! n=0

s¸i

f (x) =

1 f (n) (x ) P 0 (x n! n=0

n

x0 ) ; 8x 2 (x0

r; x0

r)

I:

Teorema 1.13 Fie f 2 C 1 (I) s¸i x0 2 I. Func¸tia f este dezvoltabil¼a în serie Taylor într-o vecinatate (x0 r; x0 r) a punctului x0 , dac¼a s¸i numai dac¼a lim n (x) = 0; 8x 2 (x0 r; x0 r) I; unde n (x) este restul de ordinul n n!1 din formula lui Taylor. Dem. Fie Mc mul¸timea de convergen¸ta¼ a seriei Taylor asociat¼ a func¸tiei f în x0 ¸si x1 2 Mc \ I. Dac¼ a lim n (x1 ) = 0; din egalitatea n!1

n

(x1 ) = f (x1 )

Tn;f;x0 (x1 ) ; 8n 2 N

deducem c¼ a exist¼ a lim Tn;f;x0 (x1 ) = f (x1 ) :

n!1

Reciproc, dac¼ a lim Tn;f;x0 (x1 ) = f (x1 ) ; atunci exist¼ a n!1

lim

n!1

n (x1 )

= lim (f (x1 ) n!1

4

Tn;f;x0 (x1 )) = 0:

1.3

Dezvolt¼ ari în serii de puteri

Exercitii 1.14 Ar¼ata¸ti c¼a func¸tia f : I ! R este dezvoltabil¼a în serie Taylor pe o vecin¼atate a punctului x0 : 1. f : R ! R; f (x) = ex ; x0 = 0:

Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C 1 (R) s¸i f (n) (x) = ex ; 8x 2 R; 8n 2 N: Seria Taylor asociat¼a func¸tei f în punctul x0 = 0 este 1 f (n) (0) 1 1 P P xn = xn : n! n=0 n=0 n!

Pentru orice x 2 R; exist¼a n (x)

=

x

2 (0; 1) astfel încât

f (n+1) ( x x) n+1 e xx x = xn+1 ; (n + 1)! (n + 1)!

(restul de ordinul n din formula lui Taylor sub forma Lagrange). Din j

n (x)j

=

e xx n+1 jxj (n + 1)!

n+1

jxj ejxj (n + 1)!

s¸i n+1

jxj = 0; pentru orice x 2 R n!1 (n + 1)! lim

rezult¼a c¼a func¸tia f (x) = ex este dezvoltabil¼a în serie de puteri ale lui x pe R s¸i 1 1 P ex = xn ; 8x 2 R: n=0 n! 2. f : R ! R; f (x) = sin x; x0 = 0:

Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C 1 (R) s¸i ( k ( 1) cos x dac¼a n = 2k + 1 (n) f (x) = 8x 2 R k ( 1) sin x dac¼a n = 2k

s¸i deci f (n) (0) =

k

( 1) 0

dac¼a n = 2k + 1 : dac¼a n = 2k

Seria Taylor asociat¼a func¸tei f în punctul x0 = 0 este n 1 f (n) (0) 1 P P ( 1) xn = x2n+1 : n! (2n + 1)! n=0 n=0

5

Pentru orice x 2 R; exist¼a

x

2 (0; 1) astfel încât

n (x) =

f (n+1) ( x x) n+1 x (n + 1)!

(restul de ordinul n din formula lui Taylor sub forma Lagrange). Din j

n (x)j

=

f (n+1) ( x x) n+1 jxj (n + 1)!

n+1

jxj (n + 1)!

s¸i n+1

jxj = 0; pentru orice x 2 R n!1 (n + 1)! lim

rezult¼a c¼a func¸tia f (x) = sin x este dezvoltabil¼a în serie de puteri ale lui x pe R s¸i n 1 P ( 1) x2n+1 ; 8x 2 R: sin x = n=0 (2n + 1)! 3. f : R ! R; f (x) = cos x; x0 = 0:

Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C 1 (R) s¸i ( k+1 ( 1) sin x dac¼a n = 2k + 1 (n) f (x) = 8x 2 R k ( 1) cos x dac¼a n = 2k

s¸i deci 0 k ( 1)

f (n) (0) = Pentru orice x 2 R; exist¼a

x

n (x)

dac¼a n = 2k + 1 : dac¼a n = 2k

2 (0; 1) astfel încât =

f (n+1) ( x x) n+1 x (n + 1)!

(restul de ordinul n din formula lui Taylor sub forma Lagrange). Din j

n (x)j =

f (n+1) ( x x) n+1 jxj (n + 1)!

n+1

jxj (n + 1)!

s¸i n+1

jxj = 0; pentru orice x 2 R n!1 (n + 1)! lim

rezult¼a c¼a func¸tia f (x) = cos x este dezvoltabil¼a în serie de puteri ale lui x pe R s¸i 1 ( 1)n P cos x = x2n ; 8x 2 R: (2n)! n=0 6

4. f : R ! R; f (x) = sinh x; x0 = 0: Dem. f 2 C 1 (R) s¸i sinh x = =

ex

e

2 1 P 1 1 2 n=0

x

1 1 1 1 P 1 P n xn ( x) 2 n=0 n! n=0 n! n 1 P ( 1) n 1 x = x2n+1 ; 8x 2 R: n! n=0 (2n + 1)!

=

5. f : R ! R; f (x) = cosh x; x0 = 0: Dem. f 2 C 1 (R) s¸i cosh x = =

1 1 1 1 P ex + e x 1 P n = xn + ( x) 2 2 n=0 n! n! n=0 1 1 + ( 1)n 1 P 1 P 1 xn = x2n ; 8x 2 R: 2 n=0 n! n=0 (2n)!

6. f : R ! R; f (x) = arctan x; x0 = 0:

Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C 1 (R). Din seria binomial¼a cu ob¸tinem dezvoltarea în serie Taylor pentru f 0 ; f 0 (x)

= =

=

1 s¸i x ! x2 ,

1 ( 1) ( 2) ::: ( n) P 1 =1+ x2 2 1+x n! n=1 1 P n ( 1) x2n ; 8x 2 R cu x2 < 1:

n

n=0

Prin integrare termen cu termen, f (x) = arctan x = Din

1 ( 1)n P x2n+1 + c; 8x 2 R cu jxj < 1: 2n + 1 n=0

arctan 0 = rezult¼a c¼a c = 0. Deci, arctan x =

1 ( 1)n P 02n+1 + c n=0 2n + 1

1 ( 1)n P x2n+1 ; 8x 2 R cu jxj < 1: n=0 2n + 1

7. f : ( 1; 1)! R; f (x) = arcsin x; x0 = 0:

7

Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C 1 : Din seria binomial¼a cu ob¸tinem dezvoltarea in serie Taylor pentru f 0 ; f 0 (x)

1

=

p

=

1+

=

1

1+

x2

= 1

n=1 1 P

2n

( 1)

n=1

1 2

si x !

x2 ,

1 2

x2 3 2

1 2

1 P

=

2n 1 ::: 2 n! 1 3 5 ::: (2n 2n n!

x2 1)

n

x2n ; 8x 2 R cu

x2 < 1:

Prin integrare termen cu termen, 1 1 3 5 ::: (2n P 1) 2n+1 x +c; 8x 2 R cu jxj < 1: n n! (2n + 1) 2 n=1

f (x) = arcsin x = x+ Din

arcsin 0 = 0 + rezult¼a c¼a c = 0: Deci, arcsin x = x +

1 1 3 5 ::: (2n P 1) 2n+1 0 +c n 2 n! (2n + 1) n=1

1 1 3 5 ::: (2n P 1) 2n+1 x ; 8x 2 R cu jxj < 1: n n! (2n + 1) 2 n=1

8. f : R ! R; f (x) = ex ; x0 = 2: Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C 1 : Din ex = ex = e(x

2)+2

= e2 e(x

2)

= e2

9. f : R ! R; f (x) = sin x; x0 =

1 P

n=0

1 n n! x ; 8x

1 1 P (x n=0 n!

n

2 R; ob¸tinem c¼a

2) =

1 e2 P (x n=0 n!

n

2) ; 8x 2 R:

4:

1

Dem. Stim ¸ c¼a f 2 C : Din cos x =

n 1 ( 1)n 1 P P ( 1) x2n ; (8) x 2 R s¸i sin x = x2n+1 ; 8x 2 R; (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0

ob¸tinem c¼a sin x = = =

+ = sin x cos + cos x sin x 4 4 4 4 p n 1 1 ( 1)n 2n+1 P 2 P ( 1) x + x 2 n=0 (2n + 1)! 4 n=0 (2n)! p n 1 ( 1)[ 2 ] n 2 P x ; 8x 2 R: 2 n=0 n! 4 8

4

sin 2n

4

4

10. f : Rnf 2; 12 g ! R; f (x) =

5x 2x2 +3x 2

(a) x0 = 0; (b) x0 =

1; 5x 2x2 +3x 2

Dem. Descompunem

2x2

5x + 3x

5x a b = + (2x 1) (x + 2) 2x 1 x + 2 1 2 1 + ; 8x 2 Rnf 2; g: 2x 1 x + 2 2

=

2

= (a) Din seria binomial¼a cu 1 2x

=

1 si x !

1

=

1

în frac¸tii simple,

=

=

2x, ob¸tinem c¼a

1 P

n

n

( 1) ( 2x) 1 2x n=0 1 P 2n xn ; 8x 2 R cu j 2xj < 1: n=0

Din seria binomial¼a cu =

Atunci 2

1 P

=

2n xn +

n=0 1 P

=

n=0

Prin urmare, 2x2

5x + 3x

2

=

2x

1

= = =

n

( 1) 2n

1 ( 1)n P xn 2n n=0

2n xn ; 8x 2 R cu

j 2xj < 1 : x 2