Dihedral homologi på skjemaer og étale descent [PDF]

Zitiervorschau

Dihedral homologi på skjemaer og étale descent av Arthur Mårtensson

MASTEROPPGAVE for graden Master i Matematikk (Master of Science)

Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo November 2012 Faculty of Mathematics and Natural Sciences University of Oslo

Sammendrag Formålet med denne teksten er å innføre nødvendig teori og utvide definisjonen av dihedral homologi av en k-algebra A til å gjelde generelle skjemaer over k, tilsvarende det Weibel har gjort for syklisk homologi. Geller-Weibels om étale descent for syklisk homologi tilpasses også til dihedral homologi.

Innledning I første kapittel kommer jeg med de algebraiske definisjonene som er nødvendige. Jeg begynner med å gjengi Hochschild-homologi og syklisk homologi for en algebra A etter Loday [Lod], og følger opp med dihedral homologi. Etter et avsnitt om spektralsekvenser fra [Wei] gjengir jeg resultatet on étale descent for syklisk homologi fra Geller-Weibel ([GW]) og viser at det samme holder for dihedral homologi. I kapittel 2 innfører jeg den skjemateorien som trengs for kapittel 3 og 4. De første to avsnittene er hentet fra Hartshorne ([Hart, II.1-2]). Avsnittet om étale avbildninger er fra Milne ([Mil, I.2-3]). Kohomologiteorien til slutt er hentet fra Weibel ([Wei, 5.7]) og Hartshorne. Kapittel 3 starter med gjengivelse av noen av definisjonene i [W], før jeg definerer dihedral homologi HD∗ (X), HD∗0 (X) for et vilkårlig skjema X, og beviser følgende teorem. Teorem 0.1. Dersom X = Spec A er et affint skjema, har vi en isomorfi: HD∗ (X) ≈ HD∗ (A) og tilsvarende for

HD∗0 (X).

Til slutt har jeg et lite kapittel hvor målet er å tilpasse noen av resultatene i [GW, §4] til dihedral homologi. Geller-Weibel bruker dette til å bevise algebraisk étale descent for syklisk homologi. Her bruker jeg det til å gi et alternativt bevis av étale descent, med indirekte bruk av Geller-Weibels resultat heller enn direkte som i kapittel 1.

1

Dihedral homologi

Stående antagelser I dette kapittelet jobber vi over en unital, kommutativ grunnring k. k-algebraer er unitale med mindre annet er spesifisert, og med unntak av avsnitt 1.1 og 1.2 skal k-algebraer også være kommutative. Vi setter ⊗ = ⊗k .

1.1

Hochschild- og syklisk homologi

Gitt en k-algebra A, består Hochschild-komplekset av A-moduler Cn (A) = A⊗n+1 hvor A⊗n+1 betyr A ⊗ . . . ⊗ A, med n + 1 faktorer. Definisjon (Hochschild-kantavbildningen). Kantavbildningen b i Hochschildkomplekset b

b

b

b

C∗ (A) : · · · → − Cn (A) → − ··· → − C1 (A) → − C0 (A) → 0 2

(1)

er definert som b(a0 , a1 , . . . , an ) =

n−1 X

(−1)i (a0 , a1 , . . . , ai ai+1 , . . . an )

i=0

+ (−1)n (an a0 , a1 , . . . , an ) Det er hensiktsmessig å dele opp b i de leddene som dukker opp i definisjonen over, slik: 0≤i 0, n partall  HDR ⊕ HDR HDn =  n n−4 n−8 Ω /dΩn−1 ⊕ HDR ⊕ HDR ⊕ ··· n > 0, n odde

og den skakkdihedrale ved  n n−4 n−8 ⊕ HDR ⊕ ···  Ω /dΩn−1 ⊕ HDR 0 HDn =  n−2 n−6 n−10 HDR ⊕ HDR ⊕ HDR ⊕ ···

n > 0, n partall n > 0, n odde

hvor hver av følgene slutter med grad 0, 1, 2, eller 3, avhengig av resten til n mod 4.

1.4

Spektralsekvenser

Jeg gjengir her definisjonen av spektralsekvenser i [Wei, 5.1, 5.2].

9

Gitt et dobbeltkompleks C∗∗ med abelske grupper: .. .  d y v

.. .  d y v

d

d

d

d

.. .  d y v

h h h h −− · · · −− C(p+1)(q+1) ←−− −− Cp(q+1) ←−− · · · ←−− −− C(p−1)(q+1) ←−−    d d d y v y v y v

d

h · · · ←−− −−

C(p−1)q  d y v

d

h ←−− −−

d

h Cpq ←−− −−  d y v

d

h ←−− −− · · ·

d

d

d

d

C(p+1)q  d y v

h h h h −− · · · −− C(p+1)(q−1) ←−− −− Cp(q−1) ←−− · · · ←−− −− C(p−1)(q−1) ←−−    d d d y v y v y v

.. .

.. .

.. .

er det generelt vanskelig å regne ut homologien til totalkomplekset. Men det skal ikke mye til for å komme til konklusjonen at Hn (Tot∗ C∗∗ ) bør ha en sammenheng med den horisontale homologien Hih (C∗j ), og den vertikale homologien Hjv (Ci∗ ) for i + j = n. Spektralsekvenser er redskapet som kobler dem. 0 for Cpq , og ignorerer de horisontale differensialene, får vi Om vi skriver Epq 0 1 0 ). Vi kan nå være homologien Hq (Ep∗ }. La Epq en familie med komplekser {Ep∗ 1 danne horisontale komplekser E∗q med avbildningene avledet av dh . Homologien 1 2 Hp (E∗q ) på disse kaller vi Epq 2 2 → E(p−2)(q+1) med Det kan vises at vi har en kantavbildning d2 : Epq 2 2 3 d ◦ d = 0. Vi kan da igjen ta homologi og få Epq , og slik fortsetter det til r r r → E(p−r)(q+r−1) . En slik samling med kantavbildning drpq : Epq generelle Epq r {Epq } kalles for en spektralsekvens. r , dersom drpq = 0 for alle store r, kalles spektralGitt en spektralsekvens E∗∗ r+1 r , og vi kaller denne stabile = Epq sekvensen regulær. For alle slike r er da Epq ∞ verdien for Epq . Vi sier at en spektralsekvens konvergerer svakt til H∗ dersom vi får en samling abelske grupper Hn , hver med en filtrasjon · · · ⊆ Fp−1 Hn ⊆ Fp Hn ⊆ · · · ⊆ Hn ∞ og isomorfier Epq ≈ Fp Hp+q /Fp−1 Hp+q . Vi sier den nærmer seg H∗ dersom ∪Fp Hn = Hn og ∩Fp Hn = 0. Vi sier at spektralsekvensen konvergerer mot H∗ dersom den er regulær, den nærmer seg H∗ , og vi har Hn = lim(Hn /Fp Hn ). Notasjonen for å angi en H∗ er ←− r Epq ⇒ Hp+q

hvor vi som regel lar r = 2. Merknad 1.4.1. En spektralsekvens konvergerer bare mot én H∗ , men hva H∗ er kan være vanskelig å se kun ut fra gruppene i spektralsekvensen. Ta for ∞ eksempel en spektralsekvens som har Epq = Z/2 for p, q ≥ 0 og 0 ellers. Da kan 3 H3 være Z8 , men også Z2 × Z4 eller Z2 . 10

Nedenfor følger et lemma av egen produksjon for senere referanse. Beviset består kun i å skrive ut definisjonene og bekrefte at de holder, og er derfor utelatt. r Lemma 1.4.2. Gitt et endelig antall spektralsekvenser i E∗∗ for 0 ≤ i ≤ m, la r spektralsekvensen E∗∗ være gitt ved den direkte summen av i E i hvert ledd. Da r r har vi at i E∗∗ er regulær for alle i hvis og bare hvis LmE∗∗ er regulær. Dersom r r r H∗ , konvergerer i E∗∗ i E∗∗ for alle i nærmer seg i H∗ , og E∗∗ nærmer seg i=0 iL m r mot i H∗ for alle i hvis og bare hvis E∗∗ konvergerer mot i=0 i H∗ . 1 I steden for å definere E∗∗ ut fra vertikal homologi kan en starte med horisontal. Vi bytter da om på rollene til p og q, slik at for eksempel d2 er en avbildning 2 2 fra Epq til E(p+1)(q−2) . Teorien for spektralsekvenser over dobbeltkomplekser av ∗∗ kokjeder, Er , er helt tilsvarende som for kjeder, men avbildningene dh og dv går oppover og mot høyre i diagrammet over.

1.5

Étale descent

Definisjon. Etter [Lod, E.1] er en homomorfi av kommutative, unitale ringer φ : k → A étale dersom tre kriterier holder. Det ene er at φ er flat, med andre ord at A blir en flat k-modul med denne avbildningen. Det andre er at φ gjør A til en endeliggenerert k-algebra. Det tredje er at den er uramifisert, som vil si at Ω1A|k = 0. Dersom A er endeliggenerert over k er hypotesen om at φ er uramifisert ekvivalent med at følgende holder: For hvert primideal p ⊂ A og inversbildet q = k ∪ p har vi en likhet qAp = pAp , og den avledede avbildningen av restkropper Ap /pAp ⊃ kq /qkq er en endelig separabel utvidelse. Eksempel 1.5.1. Dersom k er en kropp og A er en endelig, separabel utvidelse av k, så er A étale over k. Et annet eksempel på en étale avbildning er gitt ved k → k[x]/(xr − a) dersom ra er invertibel i k ([Mil, 3.3.4]). Gitt to k-algebraer A og B, og en avbildning A → B, finnes et kompleks f

δ

δ

1 r 0→A− → B −→ B ⊗A 2 → · · · → B ⊗A r −→ B ⊗A r+1 → · · · Pr+1 hvor δr = i=0 (−1)i ei , med

(6)

ei (b0 , . . . , br ) = (b0 , . . . , bi−1 , 1, bi , . . . , br ) Dette komplekset kalles Amitsurkomplekset til B/A, og dersom B er trofast flat over A, så er komplekset en eksakt sekvens ([Mil, 2.18]). Anta nå at vi har en kovariant funktor F fra kategorien av k-algebraer til kategorien av k-moduler. Vi sier at F tilfredsstiller trofast flat descent dersom den avledede sekvensen F (f )

0 → F (A) −−−→ F (B) → F (B ⊗A 2 ) → · · · er eksakt for alle k-algebraer A og B, hvor B er trofast flat over A. Dersom sekvensen ikke er eksakt får vi en homologi H ∗ (B/A, F ) på dette komplekset. Den kalles Amitsurkohomologien til B/A med hensyn på F . Geller-Weibel viste i [GW] at Hochschild-homologi tilfredsstiller trofast flat descent for étale utvidelser. De viser også at syklisk homologi ikke tilfredsstiller dette kriteriet, og gir i steden følgende resultat: 11

Teorem 1.5.2 ([GW, 3.4]). Gitt en nöthersk, endeligdimensjonert k-algebra A og en trofast flat, étale utvidelse B av A, finnes en spektralsekvens 2 Epq = Hp (B/A, HC−q ) ⇒ HCp+q (A)

(7)

som konvergerer dersom et av følgende er oppfylt: 1. Q ∈ k. 2. A = k 0 [x1 , . . . , xn ] for k 0 en algebraisk lukket kropp. 3. A er en endeliggenerert algebra over Z[ 21 ]/n eller Z[i]/n. 4. B er Nisnevich over A. Det vil si at for ethvert primideal p ⊂ A finnes et primideal q ⊂ B over p slik at Ap /pp ≈ Bq /qq . 5. B = B1 × · · · × Bn og hver Bi er en lokalisering av A. Teorem 1.5.3 (Étale descent for dihedral homologi). Gitt en nöthersk, endeligdimensjonert k-algebra A og en trofast flat, étale utvidelse B av A, dersom spektralsekvensen (7) konvergerer, konvergerer også spektralsekvensene 2 Epq = Hp (B/A, HD−q ) ⇒ HDp+q (A),

02 0 0 Epq = Hp (B/A, HD−q ) ⇒ HDp+q (A)

Bevis. Vi har at 0 Hp (B/A, HC−q ) = Hp (B/A, HD−q ⊕ HD−q ) 0 = Hp (B/A, HD−q ) ⊕ Hp (B/A, HD−q ).

og resultatet følger av 1.4.2.

2

Skjemaer

Stående antagelser I denne seksjonen er ringer alltid kommutative med enhet. Knipper tar verdier i objekter av algebraisk natur (ringer, grupper, moduler, algebraer, etc.) og er presisert der det er nødvendig.

2.1

Knipper

I studiet av skjemaer ser man, i tillegg til topologien på et rom, på “funksjoner” på dette rommet. Knipper er det begrepet om funksjoner som blir brukt. Definisjon. Gitt et topologisk rom X, la Top(X) være kategorien av åpne mengder i X med inklusjonsavbildninger. Da vil et preknippe være en kontravariant funktor F fra Top(X) til kategorien av kommutative ringer. Dersom s ∈ F(U ) og V ⊆ U , la s|V , eventuelt ρU V (s) være bildet av s gitt ved inklusjonen. Vi skriver ofte Γ(U, O) for F(U ), eventuelt med et av argumentene utelatt dersom de er underforstått. Γ(X, F) kalles for den globale seksjonen av F. Denne funktoren kalles et knippe dersom den er bestemt av lokale data, det vil si at:

12

• For U ⊆ X åpen, dersom {Vi } er en åpen overdekning av U , og s ∈ F(U ) er et element slik at s|Vi = 0 for alle i, så er s = 0. • For U ⊆ X åpen, dersom {Vi } er en åpen overdekning av U , og vi har elementer si ∈ Vi slik at si |Vi ∩Vj = sj |Vi ∩Vj for alle i, j, så finnes en s ∈ U slik at s|Vi = si . Definisjon. Dersom F er et preknippe på X, og x er et punkt i X, definerer vi stilken Fx av F om x som den direkte grensen av objektene F(U ) for alle åpne U 3 x, via restriksjonsavbildningene ρ. Det betyr at et element i stilken rundt x er representert av et par (U, u), bestående av en omegn U om x og et element u ∈ F(U ). Et annet par (V, v) representerer det samme elementet dersom det finnes en omegn W ⊆ (U ∩ V ) om x slik at u|W = v|W . Nå som vi har definert objektene i kategorien av knipper over X, vil det være naturlig å definere morfier mellom dem. Definisjon. Gitt to (pre-)knipper F og G over X, består en morfi φ : F → G av en ringhomomorfi φ(U ) : F(U ) → G(U ) for hver åpen mengde U ⊆ X, slik at når V ⊆ U så kommuterer følgende diagram: φ(U )

F(U ) −−−−→ G(U )   ρU V ρ0 y y UV φ(V )

F(V ) −−−−→ G(V ) Prekjernen i denne avbildningen er preknippet U 7→ ker(φ(U )), og prebildet og prekokjernen er definert tilsvarende. En isomorfi av knipper er en morfi med en tosidet invers. Dersom F og G i definisjonen over er knipper, vil prekjernen i avbildningen mellom dem også være et knippe, kalt ker φ. Generelt er derimot prebildet og prekokjernen bare preknipper. Det leder til følgende definisjon. Definisjon. Gitt et preknippe F, finnes et knippe F + og en avbildning θ : F → F + slik at for ethvert knippe G og enhver avbildning φ : F → G, finnes en unik morfi ψ : F + → G slik at ψ ◦ θ = φ. F + kalles knippefiseringen av preknippet F. Dersom F er et knippe, vil den være isomorf med F + ved universalitet. For en knippemorfi φ : F → G, er bildet im(φ) definert som knippefiseringen av prebildet, og kokjernen coker(φ) som knippefiseringen av prekokjernen. Definisjon. La f : X → Y være en koninuerlig funksjon mellom topologiske rom. For ethvert knippe F på X definerer vi knippet f∗ F på Y ved å sette (f∗ F)(V ) = F(f −1 (V )) for alle åpne V ⊆ Y .

2.2

Skjemaer

Gitt en ring A er det topologiske rommet Spec A definert slik: Et punkt i Spec A er et primideal p ⊂ A. En basis for de lukkede mengdene er gitt ved {V (a)|a ideal i A}, hvor V (a) er unionen av alle primidealer q slik at a ⊆ q. 13

Tilsvarende kan en gi en basis for de åpne mengdene ved {D(f )|f ∈ A}, hvor D(f ) er komplementet til V ((f )). En kan definere et knippe av ringer O på Spec A, ved å la O(D(f )) = Af , ringen A lokalisert på {1, f, f 2 , f 3 , . . .}. Vi får da en naturlig restriksjonsmorfi D(f ) → D(f g) for alle f, g ∈ A. Gitt en vilkårlig åpen mengde U = S i∈I D(fi ) ⊆ Spec A har vi at O(U ) er gitt ved knippeaksiomene. Definisjon. La A være en ring. Spekteret til A er et par bestående av det topologiske rommet Spec A, sammen med knippet O beskrevet over. For å komme videre, trenger vi å definere kategorien vi jobber i, nemlig lokalt beringede rom. Definisjon. Et beringet rom er et par (X, OX ), bestående av et topologisk rom X og et knippe OX av ringer over X. En morfi (f, f # ) : (X, OX ) → (Y, OY ) er gitt ved en kontinuerlig funksjon f : X → Y , og en knippeavbildning f # : OY → f∗ OX over Y . Det beringede rommet (X, OX ) er lokalt beringet dersom stilken OX,p er en lokal ring for ethvert punkt p ∈ X, med maksimalideal mp . For en morfi (f, f # ) av lokalt beringede rom kreves det at for ethvert punkt p ∈ X, er den avledede morfien fp# : OY,f (p) → OX,p en lokal homomorfi av lokale ringer. En isomorfi av lokalt beringede rom har en tosidet invers. Det vil si at dersom (f, f # ) er en isomorfi, så er f en homeomorfi av de underliggende topologiske rommene, og f # en isomorfi av knipper. Proposisjon 2.2.1. Spektra av ringer er en underkategori av kategorien av lokalt beringede rom, og funktoren som tar A til (SpecA, OSpec A ) er kontravariant, som kommer frem fra følgende punkter [Hart, II.2.3]. • Gitt en ring A, er (Spec A, OSpec A ) et lokalt beringet rom. • Gitt en ringhmomorfi φ : A → B, gir den en naturlig morfi av lokalt beringede rom (f, f # ) : (Spec B, OSpec B ) → (Spec A, OSpec A ) • Gitt to ringer A, B, er enhver morfi av lokalt beringede rom fra Spec B til Spec A avledet av en ringhomomorfi φ : A → B som over. Vi kan nå definere skjemaer. Definisjon. Et affint skjema er et lokalt beringet rom (X, OX ), som er isomorft med spekteret (Spec A, OSpec A ) av en ring A. Et skjema er et lokalt beringet rom (X, OX ), slik at det for ethvert punkt p ∈ X finnes en åpen omegn U ⊆ X om p slik at (U, OX |U ) er et affint skjema. Vi kaller en slik omegn for en affin omegn, og den resulterende topologien for Zariskitopologien på X. OX kalles strukturknippet til skjemaet. Vi kaller et skjema X for et skjema over k for en ring k dersom hvert punkt har en omegn isomorf med spekteret til en k-algebra. Gitt et skjema X og et punkt x ∈ X, så skriver vi mx for makimalidealet i den lokale ringen OX,x . Kroppen k(x) = OX,x /mx kaller vi for restkroppen til x. Vi sier at en skjemaavbildning f : X → Y er lokalt av endelig type dersom det finnes en affin overdekning {Spec Bi } av Y , slik at f −1 (Spec Bi ) kan dekkes 14

av affine åpne Spec Aij , hvor Aij er endeliggenerert som algebra over Bi for alle i, j. En viktig type skjemaer er de projektive rommene. Gitt en gradert ring L∞ S = i=0 Si , definer S+ til å være idealet generert av Si for i > 0. Vi lar mengden Proj S være mengden av alle homogene primidealer p som ikke innholder S+ . Dersom f er et homogent element i S+ , lar vi D+ (f ) = {p ∈ Proj S|f ∈ / p}. Da danner {D+ (f )|f homogen i S} en basis for en topologi på Proj S. Strukturknippet O på Proj S er gitt ved den affine overdekningen (D+ (f ), O|D+ (f ) ) = Spec S(f ) hvor S(f ) er underringen av elementer av grad 0 i den lokaliserte ringen Sf . Definisjon. Gitt en ring A, definerer vi det projektive n-rommet over A til å være PnA = Proj A[x0 , . . . , xn ], med den vanlige graderingen av polynomringer.

2.3

Étale avbildninger

Vi sier at en avbildning mellom skjemaer er étale dersom den er både flat og uramifisert. Definisjon. En skjemaavbildning f : X → Y er flat dersom den avledede stilkavbildningen fp# : OY,f (p) → OX,p er en flat homomorfi for alle p ∈ X. Ekvivalent er f flat dersom gitt affine åpne U ⊆ X og V ⊆ Y slik at f (U ) ⊆ V , så er homomorfien Γ(V, OY ) → Γ(U, OX ) flat. En skjemaavbildning f : X → Y er uramifisert i et punkt x ∈ X dersom den er av lokalt endelig type og OX,x /(mf (x) OX,x ) er en endelig, separabel kroppsutvidelse av restkroppen k(f (x)). Avbildningen f er uramifisert dersom den er uramifisert i alle punkter i X. Siden vi har to forskjellige typer avbildninger vi kaller for étale, er det ønskelig at de stemmer overens der det gir mening. Proposisjon 2.3.1. Gitt to algebraer A, B over k og en étale avbildning φ : A → B, så er den avledede avbildningen f : Spec B → Spec A også étale. Bevis. Dette er egentlig bare en oversettelse av definisjoner fra ringteori til skjemateori. Dersom B er flat over A, er f også flat, og B endeliggenerert som algebra over A gir at f er av lokalt endelig type. En inspeksjon viser at φ uramifisert også gir f uramifisert, ved kommentarene etter definisjonen i kapittel 1. Eksempel 2.3.2. Enhver åpen immersjon av skjemaer er étale. Proposisjonen over lar oss også lage eksempler ut fra 1.5.1. For eksempel er skjemaavbildningen Spec (A[x]/(xr − a)) → Spec A étale dersom ra er invertibel i A.

2.4

Knippekohomologi

Definisjon. Gitt en abelsk kategori A, så kalles et objekt I ∈ A injektivt, dersom det for enhver avbildning f : A → I og enhver injektiv avbildning g : A → B med A, B ∈ A, finnes en avbildning h : b → I slik at f = hg. Dersom det for enhver C ∈ A finnes en injektiv avbildning C → I med I injektiv, sier vi at A har nok injektiver. 15

En sekvens med injektive elementer I 0 → I 1 → · · · kalles en injektiv resolusjon av et objekt K, dersom det finnes en augmentering  : K → I 0 slik at sekvensen  0→K→ − I0 → I1 → I2 → · · · er eksakt. Gitt to injektive resolusjoner av K, finnes en unik kjedehomotopi mellom dem. Siden kategorien av knipper over et topologisk rom X er abelsk med nok injektiver, kan definisjonen ovenfor anvendes på denne. Funktoren Γ(−) som tar et knippe til den tilsvarende globale seksjonen, vil ta den injektive resolusjonen til et kokjedekompleks. Vi får da følgende definisjon. Definisjon. Gitt et knippe K over et topologisk rom X, og en injektiv resolusjon In av K, er knippekohomologien H ∗ (X, K) til K gitt ved kohomologien på kjedekomplekset 0 → Γ(I 0 ) → Γ(I 1 ) → Γ(I 2 ) → · · · Siden Γ(−) er en venstreeksakt funktor, er 0 → Γ(K) → Γ(I 0 ) → Γ(I 1 ) eksakt, så H 0 (X, K) ≈ Γ(K). Derfor er kohomologien ukjent kun i de positive gradene. Om vi i stedet for ett enkelt knippe, har et kokjedekompleks av knipper over et topologisk rom X, vil en “god” generalisering av knippekohomologi ta opp i seg både kohomologien over kokjedekomplekset, og knippekohomologien til hvert enkelt element. Dette er ideen bak hyperkohomologi. Definisjon. Gitt et (horisontalt) kokjedekompleks K ∗ i en abelsk kategori med nok injektiver, er en Cartan-Eilenbergresolusjon av K ∗ et dobbeltkompleks I ∗∗ (i øvre halvplan) sammen med en augmentering p : K p → I p0 , slik at for hver kolonne er I p∗ en injektiv resolusjon av K p , i tillegg til at de horisontale avbildningene induserer injektive resolusjoner på kokantene og kohomologien til K ∗ . Dersom K p = 0, er I pq = 0 for alle q ≥ 0. En slik resolusjon er unik opp til kjedehomotopi. For kategorien av knipper over et topologisk rom er kohomologien til kokjedekomplekset Γ(Tot∗ (I ∗∗ )) = Tot∗ (Γ(I ∗∗ )) kalt hyperkohomologien til K ∗ , og skrives H∗ (X, K ∗ ). Lemma 2.4.1. Gitt et skjema X og to knipper F, G på X, har vi en isomorfi H n (X, F ⊕ G) ≈ H n (X, F) ⊕ H n (X, G) Gitt to knippekomplekser F ∗ , G ∗ på X, har vi isomorfier Hn (X, F ∗ ⊕ G ∗ ) ≈ Hn (X, F ∗ ) ⊕ Hn (X, G ∗ ) Bevis. Siden vilkårlige direkte produkter av injektive objekter er injektive, kommer begge resultatene fra en inspeksjon av de tilsvarende resolusjonene.

2.5

Cech-kohomologi

Cech-kohomologi over et skjema X er basert på en overdekning U av X. Men siden den vanlige topologien på X er så grov, vil overdekninger i klassisk topologisk forstand ikke være tilstrekkelig. Her følger definisjonen av overdekninger, slik de er brukt videre i denne oppgaven. 16

Definisjon. Gitt et skjema X, er en overdekning U av X en samling kollektivt surjektive skjemaavbildninger Ui → X, for i ∈ I en generell indeks. Med kollektivt surjektiv menes her at alle punkter i X blir truffet av minst én slik avbildning. Dersom alle avbildningene oppfyller en egenskap E, kaller vi U for en E-overdekning av X. Ved missbruk av notasjon, dersom avbildningen U → X er med i U , sier vi at U ∈ U . Eksempel 2.5.1. En klassisk åpen overdekning av et skjema X, kan sees på som en samling åpne immersjoner, og kalles da en Zariskioverdekning av X. Cech-kohomologi kan defineres ut fra klassiske overdekninger, og da er snittet av åpne mengder en sentral del. For å få en analog til snittet som fungerer for våre overdekninger trenger vi pullback i kategorien av skjemaer. Definisjon. Gitt skjemaer X, U, V og to avbildninger φ : U → X og ψ : V → X, finnes det et skjema (unikt opp til unik isomorfi) U ×X V , kalt fiberproduktet av U og V , og avbildninger θU : (U ×X V ) → U , θV : (U ×X V ) → V , slik at φ ◦ θU = ψ ◦ θV . Disse avbildningene er slik at for ethvert skjema Y med avbildninger φ0 : Y → U og ψ 0 : Y → V slik at φ ◦ φ0 = ψ ◦ ψ 0 , finnes en unik avbildning θ : Y → (U ×X V ) slik at θU ◦ θ = φ0 og θV ◦ θ = ψ 0 . Dette eksisterer ved [Hart, II.2], og når U og V er underskjemaer av X, er U ×X V isomorft med U ∪ V . Vi har også, gitt en k-algebraavbildning A → B, at Spec (B ⊗A B) = Spec B ×Spec A Spec B. La X være et skjema med overdekning U = {Ui → X}, i ∈ I, og la F være et preknippe på X. Sett en ordning på I, og sett Ui0 ,...,iq = Ui0 ×X Ui1 ×X · · ·×X Uiq . Cech-komplekset Cˇ ∗ (U , F) er da gitt ved Y Cˇ q (U , F) = F(Ui0 ,...,iq ) i0 0 HH∗ (PnA ) = HC∗ (PnA ) = 0 ellers 0 hvis ∗ er et oddetall > 0 Siden vi jobber med trivielle involusjoner, har vi at  R hvis ∗ = 0 + n HH∗ (PA ) = HH∗− (PnA ) = 0 0 hvis ∗ = 6 0 og vi har da ved SBI-sekvensene og splitting av syklisk homologi at:  R hvis ∗ > 0 og ≡ 2 mod 4 n HD∗ (PA ) = 0 ellers  R hvis ∗ > 0 og ≡ 0 mod 4 HD∗0 (PnA ) = 0 ellers Observasjon 3.3.2. Gitt et skjema X og en overdekning U av X, så splitter Cech-komplekset Cˇ ∗ (U , HCq ) i ett kompleks over HDq og ett over HDq0 . Dette gir at Cech-kohomologi splitter.

4

Étale descent for dihedral homologi

Stående antagelser I dette kapittelet er skjemaer og algebraer alltid over en kommutativ, unital ring k med 2 invertibel, med mindre annet er spesifisert. 21

4.1

Descentspektralsekvens

Følgende teorem er Teorem 4.1.1. [GW, A.5] La F ∗ være et kompleks av preknipper på et generelt skjema X, og skriv H q for preknippet U 7→ Hq (U, F ∗ ). For enhver overdekning U av X, finnes da en spektralsekvens ˇ p (U , H q ) ⇒ Hp+q (X, F ∗ ) E2pq = H

(10)

som konvergerer dersom det finnes et tall d slik at for p > d, så er H p (X, H q ) = 0 og H p (U, H q ) = 0 for alle U ∈ U og alle q. Dette er argumenteringen som ligger til grunn for koblingen mellom 4.1.1 og 1.5.3: Gitt en k-algebra A, og en étale, trofast flat utvidelse B av A, sett X = Spec A og Y = Spec B. Vi har da at Spec (B ⊗A n ) = Y ×X n , og bruker vi Spec-funktoren på Amitsurkomplekset (6) til B/A, tar seksjoner av et preknippe F q på dette, og til slutt tar homologi, får vi spektralsekvensen (10) med hensyn på overdekningen U = {Y → X}. + Har vi at F q = Totq D∗∗ , så gir 0.1 at (10) er gitt ved E2pq = HDq (B ⊗p ), − og tilsvarende for D∗∗ . Men dette er Amitsurkohomologien til B/A, og vi har dermed at gitt A og B som over, dersom vi kan vise at (10) konvergerer, så oppfyller dihedral og skakkdihedral homologi étale descent for B/A.

4.2

Konvergerens av descentsekvens

Jeg runder av oppgaven med en liten oppsummering av hypoteser for hvilke (10) konvergerer for syklisk homologi, hentet fra [GW, §4], kobler dette til antagelser om når étale descent holder, og viser at sekvensen (10) konvergerer for (skakk)dihedral homologi under disse hypotesene. Vi trenger to definisjoner til om skjemaer for å formulere teoremene i denne seksjonen, [Hart, §3.1]: Definisjon. Dersom et skjema X har en overdekning av åpne affine SpecAi hvor hver Ai er en nöthersk ring, sier vi at X er lokalt nöthersk. Dersom overdekningen også kan antas å være endelig sier vi at skjemaet er nöthersk. Vi definerer dimensjonen dim X til et skjema X til å være det høyeste naturlige tallet n slik at det eksisterer en kjede Z0 ( · · · ( Zn av lukkede, irredusible undermengder av det topologiske grunnrommet til X. Vi sier X er endeligdimensjonert dersom det eksisterer en slik n. Eksempel 4.2.1. Dersom A er en nöthersk ring, er X = Spec A nöthersk, og dimensjonen til X er Krull-dimensjonen til A. Teorem 4.2.2. Gitt et nöthersk, endeligdimensjonert skjema X, konvergerer spektralsekvensen (10) for preknippet Tot∗ D∗∗ , dersom et av følgende kriterier er oppfylt: 1. U er en étale overdekning og et av følgende punkter holder: • Q ∈ k. • X er av endelig type over k og k er algebraisk lukket. • X er av endelig type over Z[ 12 ]/n eller Z[i]/n. 22

2. U er en Nisnevichoverdekning av X. 3. U er en Zariskioverdekning av X. At U = {fα : Uα → X} er en Nisnevichoverdekning av X, vil si at den er en étale overdekning, og at det for ethvert punkt x ∈ X finnes en α og en u ∈ Uα , slik at fα (u) = x og at den induserte avbildningen k(x) → k(u) er en isomorfi. Alle disse tilfellene er da spesialtilfeller av étale overdekninger, men étale descent holder ikke generelt ([GW, 3.1]). Geller-Weibel bruker så disse hypotesene til å bevise étale descent i et antall tilfeller ved argumentet i avsnittet over. Hypotesen 1 samsvarer åpenbart med tilsvarende hypoteser for algebraer over k, og om B er en Nisnevichutvidelse av A, er U = {Spec B → Spec A} en Nisnevichoverdekning av Spec A. Det gjenstår da å vise at et direkte produkt av lokaliseringer gir en Zariskioverdekning. Lemma 4.2.3. Gitt en kommutativ, nöthersk og endeligdimensjonert A, og en étale, trofast flat utvidelse B = B1 ×B2 ×· · ·×Bn av A, hvor hver Bi er en lokalisering av A for alle i, så er U = {Spec Bi → Spec A} en Zariskioverdekning. Konvergens av spektralsekvensen 10 for denne overdekningen og med preknippet Tot∗ D∗∗ impliserer konvergens av 1.5.3 for B/A med syklisk homologi. Bevis. Siden Bi er en lokalisering av A for alle i er Spec Bi → Spec A en åpen immersjon, og siden A → B er injektiv, er U kollektivt surjektiv. U er derfor en Zariskioverdekning. Vi har også at n Y Γ(Spec B, −) ≈ Γ(Spec Bi , −) i=1

så Cech-kokjedene til de to overdekningene U og V = {Spec B → A} er isomorfe. Dermed kan vi bruke argumentasjonen over på overdekningen V til å vise implikasjon av konvergens. Følgende teorem blir da siste byggestein i et skjemateoretisk bevis for 1.5.3 Teorem 4.2.4. Gitt et nöthersk, endeligdimensjonert skjema X, og en overdekning U . Spektralsekvensen (10) konvergerer for F ∗ = Tot∗ D∗∗ hvis og bare + − hvis det konvergerer for både Tot∗ D∗∗ og Tot∗ D∗∗ . ˇ p (U , HCq ). Dette er, siden CechBevis. Dersom F ∗ = Tot∗ D∗∗ , har vi E2pq = H p ˇ ˇ p (U , HDq0 ). Vi har da at kohomologi splitter, isomorft med H (U , HDq ) ⊕ H ∗∗ E2 er en direkte sum av to spektralsekvenser, og resultatet følger av 1.4.2.

Referanser [Lod] Jean-Louis Loday: Cyclic Homology, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-38753339-7 [Hart] Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, GTM 52, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9 [W]

Charles Weibel: Cyclic homology for schemes, Preprint, November 21, 1994, K-theory Preprint Archives, http://www.math.uiuc.edu/Ktheory/0043/ 23

[GW] Charles Weibel, Susan Geller: Étale descent for hochschild and cyclic homology, Commentarii Mathematici Helvetici, bind 66 s. 368-388 (1991), ISSN 0010-2571 [Wei] Charles Weibel An introduction to homological algebra, CSAM 38, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55987-1 [Mil]

James S. Milne Étale cohomology, PMS 33, Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3

24