Dev Pendule Invese [PDF]

Zitiervorschau

Département Génie mécanique Filière d’ingénieur : Mécatronique & Productique

Réalisé par : TANNOURI el Mehdi

Demandé par : M. Zakaria

LE 04/03/2021

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Le but devoir : ➢ Analyse cinématique pour déterminer les variables généralisés du système en termes de déplacement et flux. ➢ Analyse des efforts appliqués ➢ Détermination de l’énergie cinétique et potentielle ➢ Utilisation de l’approche lagrangienne pour construire une modèle mathématique ➢ Détermination schéma bloc. ➢ Simulation de modèle pendule inverse 20-sim

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I.

Description et modélisation d’un pendule inversé :

Le principe de fonctionnement est très simple en théorie : quand le pendule penche vers la droite, le chariot doit le rattraper en effectuant un mouvement vers la droite. Et inversement. La difficulté c’est de régler l’intensité et la forme de la réaction du chariot en fonction de l’angle que le pendule fait avec la verticale. Alors maintenant on va faire à partir du formalisme d'Euler Lagrange nous avons développé un modèle du pendule inverse et même temps module de moteur à courant continue Afin de présenter la simulation d’un système. 1. ÉTUDE CINEMATIQUE DE SYSTEME. • Coordonnées généralisées du système : L’ensemble du chariot pendule a deux degrés de liberté qui sont représentées par deux coordonnées généralisées, x pour le déplacement horizontal du chariot, 𝜃 pour la rotation du pendule. La direction positive de x est le sens à droite en mètre et celui de l’angle est le sens des aiguilles d’une montre en radian.

Figure : Schéma l’ensemble chariot et pendule inverse Soit : ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

m1 : masse du pendule m2 : masse du chariot l : demi-longueur du pendule d : frottements du pendule F(t) : force exercée sur le chariot b: frottements de déplacement du chariot 𝑋𝐺 :Position du chariot

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▪ ▪

𝜃(𝑡): L’angle du pendule g : intensité de pesanteur • variables de configurations Sont:

𝑋𝐺 , 𝑌𝐺 , 𝑋𝑚2 , 𝑌𝑚2 , 𝜃 . 𝑋𝐺 : est l’abscisse de centre de masse de chariot. 𝑌𝐺 ∶ Est l’ordonné de centre de masse de chariot. 𝑋𝑚2 : est l’abscisse de centre de masse de pendule. 𝑌𝑚2 : est l’ordonné de centre de masse de pendule. 𝜃 : est l’angle d’inclinaison de pendule par rapport à son vertical La position de la masse 𝑚2 du Pendule, la position du chariot (𝑚1 ), et l’angle établi par la tige du Pendule θ, sont liés par les équations suivantes : 𝑙

𝑋𝑚2 =𝑋𝐺 + 2 sin 𝜃 𝑙

𝑌𝑚2 = 𝑌𝐺 + 2 cos 𝜃 𝑌𝐺 =cte 2-Analyse des efforts extérieurs appliquées au système : On calcule donc le travail virtuel : 𝛿𝑤 = 𝐹𝛿𝑋𝐺 + (𝑈 − 𝑒) 𝛿𝑞 𝑒𝑠𝑞 = U-e

et

𝑋

𝑒𝑠 𝐺 = F

𝛿𝑋𝐺 , 𝛿𝑞 : les déplacements virtuels. U : tension d’alimentation de moteur à courant continue. e : est la force contre-électromotrice F : est la force permettant l’entrainement du chariot. On va maintenant chercher la relation entre F et 𝐶𝑚 : F=𝐶𝑚

𝑅2 𝑅1𝑅3

car on utilise un système poulie courroie pour assurer le mouvement de

chariot. Et on sait que 𝐶𝑚 =K 𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 Donc :

𝑅2

F=K 𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑅1𝑅3

4

K : constante électrique de moteur. 𝑅1 : Le rayon de roue d’enté 1. 𝑅2 : Le rayon de roue d’enté 2. 𝑅3 : Le rayon de roue d’enté 3. 𝑅2

Pour trouver 𝑅1𝑅3

on utilise formule Willis (construction mécanique)

3-Formalisme de Lagrange : 𝝏𝑻

𝝏𝑽

Le formalisme de Lagrange décrit par : 𝒅𝒕𝒅 (𝝏𝑻 ) - 𝝏𝒒 + 𝝏𝒒 + 𝝏𝒒̇

𝝏𝑫 𝝏𝒒̇

𝒒

= 𝒆𝒔

T : Energie cinétique de système V : Energie potentiel de système D : La fonction de dissipation 𝑒𝑠𝑞 : Efforts de système •

L’énergie cinétique du système : T= 𝑇𝐶 + 𝑇𝑚2 + 𝑇𝑚1 + 𝑇𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡

𝑇𝐶 :L’énergie cinétique du chariot : 1

2 𝑇𝐶 = 2 𝑚1 *𝑉𝑚1

avec

𝑚1 : la masse de chariot. 𝑉𝑚1 : vitesse de chariot. Alors

1

𝑇𝐶 = 2 𝑚1 𝑋𝐺̇ 2

𝑇𝑚2 : L’énergie cinétique du pendule :

5

2 𝑉𝑚1 = 𝑋𝐺̇ 2

1 1 2 𝑇𝑚2 = 2m𝑉𝑚2 +2 𝐽𝑡 𝜃̇ 2 2 𝑉𝑚2 = 𝑋𝑚̇ 2

2

𝑙2

2 𝑌𝑚̇ 2 = 𝑋𝐺̇ 2 + 𝑙𝑋𝐺̇ 𝜃̇cos 𝜃 +

+

4

𝜃̇ 2

𝐽𝑡 : Le moment d’inertie de la tige 1 𝑇𝑚2 = 2m2 ( 𝑋𝐺̇ 2 + 𝑙𝑋𝐺̇ 𝜃̇cos 𝜃 +

𝑙2 4

1

𝜃̇ 2 ) +

𝐽 2 𝑡

𝜃̇ 2

𝑇𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 :L’énergie cinétique du rotor et l'induit de moteur :

Figure : Schéma équivalent du moteur à courant continu 1

𝑇𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 = 2L𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 2

tel que : L : l’inductance de l’induit

On va maintenant établir l’équation entre Vc et Ω𝑚 𝑉𝑐 =

Ω𝑚 R1 R3 𝑅2

=𝑋𝐺̇

j’ai obtenu cette équation grâce de formule de Willis

(construction mécanique) 𝑇𝑚 =

1

R2𝑋 ̇

𝐺 𝐽 ( ) 2 𝑚 𝑅1R3

2

𝐽𝑚 : L’inertie de rotor

L’Energie cinétique du système total : T= 𝑇𝐶 + 𝑇𝑚2 + 𝑇𝑚1 + 𝑇𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡

6

R2𝑋 ̇

1

𝐺 𝐽 ( ) 2 𝑚 𝑅1R3

2

▪

𝑇𝑚 =

▪

𝑇𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 = 2L𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 2

▪

1 𝑇𝑚2 = 2 𝑚2 ( 𝑋𝐺̇ 2 + 𝑙𝑋𝐺̇ 𝜃̇cos 𝜃 +

▪

1 𝑇𝐶 = 2 𝑚1 𝑋𝐺̇ 2

1

R2𝑋 ̇

1

T= 𝐽𝑡 𝜃̇ 2

+

1

4

1

𝜃̇ 2 ) +

1

𝐽 2 𝑡

𝜃̇ 2

1

+2L𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 2 +

2

𝐺 𝐽 ( ) 2 𝑚 𝑅1R3

𝑙2

𝑚 ( 𝑋𝐺̇ 2 + 𝑙𝑋𝐺̇ 𝜃̇cos 𝜃 + 2 2

1

T= 2 𝑀é𝑞 𝑋𝐺̇ 2

+

1

𝐽 2 é𝑞

𝜃̇ 2

1

𝑚2 𝑙𝑋𝐺̇ 𝜃̇cos 𝜃

2

1

L𝑖𝑖𝑛𝑑 2

2

𝑀é𝑞 = 𝑚1 + 𝐽é𝑞 = m2 •

𝑙2 4

+

1

𝐽𝑚 ( 𝑟 )

2

+ m2

𝐽𝑡

L ‘énergie potentielle du système : L’énergie potentielle du centre de gravité du pendule : 𝑙

V =2 m2gcos 𝜃

•

Énergie de dissipation du système : 1

D = 2 𝑅𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 2

+

1

𝑏 𝑋𝐺̇ 2 + 2

1

b : le coefficient de frottement de chariot 𝑏𝑡 : Le coefficient de frottement de la tige ave le chariot.

L’équation de Lagrange pour la variable généralisé 𝑋𝐺

7

̇2

𝑏 𝜃 2 𝜃

R : la résistance circuit de l’induit du moteur.

•

4

𝜃̇ 2 ) +

𝑚 𝑋̇ 2 2 1 𝐺 Donc

Avec

𝑙2

+

1 2

𝒅 𝝏𝑻 ( 𝒅𝒕 𝝏𝑿𝑮̇

𝑑 𝑑𝑡

𝝏𝑻

𝝏𝑽

𝝏𝑫

𝑮

𝑮

𝑮

1

m 𝑙𝜃̇ cos 𝜃

(𝑀é𝑞 𝑋𝐺̇ +

2 1

𝑀é𝑞 𝑋𝐺̈ +

•

𝑑

) +b𝑋𝐺̇ = F

m2 𝑙 𝜃̈cos 𝜃 -

2

1 2

𝑚2 𝑙 𝜃̇ 2 sin 𝜃 + b𝑋𝐺̇ = F

L’équation de Lagrange pour la variable généralisé 𝜃 : 𝝏𝑻

𝝏𝑽

𝝏𝑫

) - 𝝏 𝜽 + 𝝏 𝜽 + 𝝏 𝜽̇ = 𝒆𝒔𝜽

𝒅 𝝏𝑻 ( 𝒅𝒕 𝝏 𝜽̇

𝑑𝑡

𝑿

) - 𝝏𝑿 + 𝝏𝑿 + 𝝏𝑿 ̇ = 𝒆𝒔 𝑮

1

( 𝐽é𝑞 𝜃̇ +

𝐽é𝑞 𝜃̈ + •

1

m 𝑙𝑋𝐺̇ cos 𝜃 ) +

2

𝑚2 𝑙𝑋𝐺̈ cos 𝜃 -

2

𝑙 2

1 2

m2 𝑙𝑋𝐺̇ 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 -

𝑙 2

m2g 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑏𝜃 𝜃̇ = 0

𝑚2 g 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑏𝜃 𝜃̇ = 0

L’équation de Lagrange pour la variable généralisé q :

𝜕𝑇

𝜕𝑉

𝜕𝐷

) - 𝜕𝑞 + 𝜕𝑞 + 𝜕𝑞̇ = 𝑒𝑠𝑞

𝑑 𝜕𝑇 ( 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇

𝑑 𝑑𝑡

( L𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 ) + R𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 = U-e 𝑑𝑖𝑖𝑛𝑑 𝑢𝑖𝑡

L

𝑑𝑡

+ R𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 = U-e

Alors toute l’équation de Lagrange j’ai trouvé : 1

𝑀é𝑞 𝑋𝐺̈ + 𝐽é𝑞 𝜃̈ + L

𝒅𝒊𝒊𝒏𝒅𝒖𝒊𝒕 𝒅𝒕

F=𝑪𝒎

1 2

2

m2 𝑙 𝜃̈cos 𝜃 -

m 𝑙𝑋𝐺̈ cos 𝜃 -

𝑙 2

1 2

m2 𝑙 𝜃̇ 2 sin 𝜃 + b𝑋𝐺̇ = F

𝑚2 g 𝑠𝑖𝑛 𝜃

+ 𝑏𝑡 𝜃̇ = 0

+ R𝒊𝒊𝒏𝒅 = U-e 𝑹𝟐

𝑹𝟏𝑹𝟑

𝑪𝒎 =K 𝒊𝒊𝒏𝒅𝒖𝒊𝒕 𝑅2

F=K 𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑅1𝑅3 e=k𝐶𝑚 =k

F𝑅1𝑅3 𝑅2

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L’ensemble des équations j’ai obtenu, donc maintenant on va partir de faire le schéma bloc et faire des interprétations sur le résultat.

𝑑𝑖 D’après les équations ci-dessus on va sortir 𝜃̈ et 𝑋𝐺̈ et 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡 . 𝑑𝑡

𝟏

𝑿𝑮̈ = 𝑴𝒆𝒒 [−

𝟏 𝟐

𝟏 ̇ 𝑹𝟐 𝒎𝟐 𝒍 𝜽̈𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐 𝒎𝟐 𝒍 𝜽̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐛𝑿𝑮̇ + 𝐊 𝒊𝒊𝒏𝒅𝒖𝒊𝒕 𝑹𝟏𝑹𝟑]

𝟏 𝟏 = 𝒋é𝒒 [− 𝟐 𝒎𝟐 𝒍𝑿𝑮̈ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 +

𝜽̈ 𝟏

𝒒̈ =𝑳 [−𝑹𝒒̇ + 𝑼 − 𝐤 •

𝐅𝑹𝟏𝑹𝟑 𝑹𝟐

𝒍 𝟐

𝒎𝟐 𝐠 𝒔𝒊𝒏 𝜽 − 𝒃𝒕 𝜽̇ ]

]

Simulation dans par utilisation par équation 20-sim :

✓ parameters real L = 4e-3; real R = 4; real R1=1; real R2=1; real R3=1; real k = 0.2; real b = 0.3;

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real J = 0.5; real M=10; real m=1; real l=2; real bt=0.1; real g=-9.8; real j=1.2;

✓ variables: real e; real di; real i; real dw; real dx; real x; real F;

✓ equations:

di = (1/L)*(v - e - R*i); dw = (1/j)*(-(1/2)* 𝒎𝟐*l*cos(theta)+(l/2)*𝒎𝟐 *g*sin(theta)-bt*sin(theta)); dx =(1/M)*(-(1/2)* 𝒎𝟐 *l*dw*cos(theta)+(1/2)* 𝒎𝟐 *l*xg*xg*sin(theta)-b*v+F);

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e= k*F*(R1*R2/R2); F=k*i*(R2/R1*R3);

i = int(di); w = int(dw); x=int(dx); xg=int(x); theta = int(w); Résultat :

Fig :La variation de déplacement en fonction du temps

•

Simulation dans par utilisation de schéma bloc 20-sim : ✓ Le schéma bloc de système pendule inverse : Modèle 20-sim :

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FIG : schéma bloc de système pendule inverse Les graphes :

Fig :La variation de l’angle en fonction du temps

Fig :La variation de la vitesse angulaire en fonction du temps

Fig :La variation de déplacement en fonction du temps •

Simulation par utilisation de les bond graphe 20-sim :

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Figur :Bond graph du système pendule inverse.

✓ Résultat :

Figure : La variation du théta en fonction du temps

Figure:La variation de déplacement en fonction du temps

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