Decision dans le plan temps frequence 2746207699, 9782746207691 [PDF]

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Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisanl. aux termes de l'article L 112-5, d'une pari, que les "copies nu reproductions strictement réscrn~cs à l'usage privé du copisle ct non dc.sllnées il une utilisation collective'l ct, d'autre parl, que les analyses cl les COU11C5 cÎlaiions dans un but d'exemple ct d'illustration, "Ioute représentation ou reproduction intégrale, uu parlÎellc, faite sans le consentement dc l'auteur ou de ses ayants droil ou uY1.-lnls cause, èsl

micHe" (article L i 22-4). Cdlc rcpréscmütïon ou reproduction, pur quelque procêdê que cc soir, constituerai! donc une contrefaçon sanctionnée pm'les anldcs L 335·2 ct suivants du Code de la propriété intellectuelle.

Décision dans le plan tenlps-fréquence

sous la direction de

Nadine Martin Christian Doncarli

Il a été tiré de cet Olwrage 30 exemplaires ltors C0111merce résapés aux rm.:mbres du comUé scielltiflque, wlX {U/let/l's el () /'tfditenr lwmcrotés (le j il 30

..................

~

...

_-----~~~~~~-~~~~~~-

Décision dans le plan temps-fTéquence sous la directioJ1 de Nadit/e Marlill el Christian DO!1carli

fait partie de la série TRAJTEMENT

DU

SIGNAL ET

DE

IJ.MAGE

dirigée par Francis Castanié et Henri lVlaÎtre

TRAITÉ SOUS

ICZ

INFORMATlON - COMMANDE

COMMUNICATION

la direction scientifique de Bernard Dubuisson

Le traité Information, Commande, Con1munÎCation répond au besoin de disposer d'un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à Ja 111aîtrise des systèmes technologiques.

Conçu volontairemem dans lill esplit d'échange disciplinaire, le traité IC2 est j 1état de ]lart dans les dornaines suivants retenus par le con1ité scientirique: Réseaux et télécoms Traitement du signal et de l'image Infmmatiquc et systèrnes d'information Systènles automatisés et productjque Management et gestion des snes CogniUon et traiten1cnt de l'information. Chaque ouvrage présente aussi bien les aspccts fondanlcniaux qu1expélimcntaux. Une dassillcation des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaîllé orientent le lecteur vers ses pojnts d'intérêt immédIats: celui-ci dispose ainsi d~un guide pour ses réflexions ou pour ses choix.

Les savoirs, théoTies et méthodes rassemblés dans chaque ouvTage ont été choisis pour leur pertinence dans Pavancéc des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d'expérimentations réelles.

Liste des auteurs Piene-Olivier AMBLARD LIS CNRS Grenoble Eric CHASSANDE-MOTTIN Laboratoire de Physique ENS Lyon, CNRS Lyon François COMBET LIS INPG Grenoble Manuel DAVY IRCCyN CNRS Nantes

Christian DONCARLI IRCCyN Ecole Centrale de Nantes Matthieu DURNERIN LIS CNRS Grenoble Patrick FLANDRIN Laboratoire de Physique ENS Lyon, CNRS Lyon Cyril I-IORY LIS INPG Grenoble Pierre JAUSSAUD LIS INPG Grenoble

Hélène LAURENT IRCCyN Eeole Cemrale de Nantes Nadine MARTIN LIS

CNRS Grenoble Philippe RAVIER LIS INPG Grenoble Cédric RICI-IARD LM2S Université de Technologie de Troyes LotH SENHADJI LTSI INSERM Université de Rennes 1 Mohammud Bagher SHAMSOLLAHI LTSI INSERM Université de Rennes 1

Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . Christian DONCARLI cl Nudinc MARTIN

J5

Chapitre 1. Tcmps-fl"équence ct décision - une introduction

19

Patrick FLANDRIN

19 22

L L Introduction ... L~. Réécrire. . . .. . ..... . 1.3. Adapter . . . . . . . . . . . . . J.3. L Hypothèses comp05ites 13.2. Chirps . . . . . . . . 1.3.3. Rohustesse ... , . , 1.4. Partir du plan . . . . . . . . lA.l. Filtrage adapté temps-fréquence .

26 26 28

29 31 31 32 33

1.4.2. Apprentlssage , . , .. 1.4.3. Reconnaissance de formes.

35

J.5. Bibliographie . . . . . , , . , . Chapitre 2. Détection de Iton~st:ltionnari~és .. , . . . . . . . Piene-Olivier AMBLARfl, Eric CHASSANDE-MOHIN, Christian DONCARLl, Matthieu DURNERIN, Patrick FLANDRIN, Hélène LAURENT, Nadine MARTIN, Philippe RA VIER

1,1. Détection de non-stationnarités à l'ordre 2 , . , , . . . . ..

41

. .....

2.1,1. Test d'hypothèse dans le plan temps-fréquence . . . . . . 2.1.2. Densité de probabilité du périodogramme sous Ho .. . 2.J.3. Seuil de délection du lesllemps-fréquence ...

41

42 45

48

10

Décision temps-fréquence

2.1 A. Test temps-fréquence récursif. . . . . . . . .

50

2.1.5.1nlluence de l'estimateur temps-fréquence.

53 54

2.1.6. RésultaI: sur UI1 signal açadé111ique ...... . 2.1.7. Ehlde de signaux réels. , ... , ...... . 2,1.8. Conclusion, . , . . . . . . . , . . . . . . 2.1.9. Bibliographie . . . . , , , . ' , , , ' 2.2, Détection de sauts Ih!quentiels ' . . . ...... . 2.2.1. Introduction , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Principe de la m':thodc . . . . . . . . 2.2,2,1. Surveillance, .. , , , . 2.2.2.2. Segmentation .. , . . . . .. . ..... , . , 2.2.2,3. Choix laissés à l'utilisateur, , , , . , . 2,2,3. Résultats .. 2.2,3. L Surveillance ... :1,,2.3.2. Segmentation, ......... . 2.2.4. Conclusion. . . . . . ...... . 2,2,5, Bibliographie . , ., ' , , ... ' , , , , 2.3. Detection de transitoires par ondelettes adaplées ... 2.3.1. Sur les signaux transitoires et Jeur détection. 2.3.1.1. Colltexte de détee(Îon , , , , . , 2,3,1.2. Quelques approches de détection , .. , ' . . . . , 2.3.2. Une approche fondée sur un partitionnement du plan temps-fréquence , , .. , .. , , .. , , , . ' , , , , , , , , , , , 2.3,2, l, Notion sur le découpage du plan temps-fréquence, 2,3.2.2. Paquets d'ondelettes .. , , , , , , , 2.32.3, Mélhodologie de détection, , , :U,2.4, J11ustrations 2.3,3. Pour conclure. . ..... 2,3.4, Bibliographie , , ' , , . , . ' , , , " ",,'" ,2A. Détection temps-fréquence ell'éallocation . . . . . . , . . . . . . , 2.4, J. Introduction ' , , ,. " " " " " " " ' " 2.4.2. Détection ... 2.4.1.1. DétectÎon oplimale, . , . . . . . . . , . 2.4.2.2, Délection temps-fréquence. 2.4.3, Détecter les chirps linéaires, , , " "",,' 2,4.4. Détecter Ics chirps en loi de puissance . . . . . , . 2.4.5. L'exemple des ondes gravitationnelles . . . . . 2.4.5.1, Un modèle pour la coalescence de binaires. . .... . 2.4.5.2. Un détecteur temps-fréquence simplifié . . . . . . . . . .

2.4.5.3. Une illust.ration , , 2.4,6, Conclusion, ' 2.4,7, Bibliographie

, ...... . , , , , , ' , ,

57 60 61 63

63 64

64 68

69 72 72

80 83 83

84 84 86

86 88

89 91

95 97 102 102 103 103

105 105 106 108 109 114 liS 117 121 123

125

Table des matières

Chapitre 3. Détection pnr représentations temps-frétillence discrètes. .

11

127

Cédric RICHARD 3.1. Position du problème . . . . . . . . .' . . . . . . . . , , , , 3.2. Délection à structure libre par distributions de Wigner-Ville. . . 3.3, Détection à struclure imposêe purdistribulions de Wigner-Ville. 3.3.1. Espuces linéaires. espaces induits cl bases . . . . . . . . . . . 3.3.2. Comparaison des approches. . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Innucnce de la malédiction de la dimensionnalité. . . . . . . 3.4. Distribution de Wigner-Ville discrète classique ct redondance . 3.4.1. Familles génératrices. . . . . . . . . . . 3.4.2. Cas de l'ulItodistribution. . . 3.4.2.1. AUlodislributton de slgnaux complexes. 3.4.2.2. Autodistribution de signaux réels 3.4.3. Conséquences en détection 3.5. Bibliographie. . . . . . . . . . . .

. . . . .

.. .. .. .. ..

Chapitre 4. Classification

127 129 131 132 133 135 J 37 138 140 141 141 143 145

147

Malluel DAVY

4.1. Introduction. 4.1. f. Classer des signaux. pour quoi fnÎl'c? , 4.1.2. Un exemple .. . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Eléments de classificalion supervisée. 4.1.3.1. Contras le de Fisher. , . , .... 4.1.3.2. Règle du plus proche représenlant. 4.1.3.3. Règle des k plus proches voisins .. . 4.2. Intérét des approches temps-tréquence . . . . . . 4.3. ClassifÏçatioll temps-fréquence: diffél'entes stratégies ... , .. 4.3.1. Les travaux fondateurs en temps-fréquence , , , .. . . . . . . . 4.3.2. Recherche de la représenta lion lemps-fréquence ct de la distance optimales. . . . . . . . . . ..... . 4.3.3. Classification utilisant le pian des ambiguïtés. , ... . 4.3.4. Utïlisation de techniqués dc traitement d'images pour la classification. ..,., .... ,., .... ,., . . . . . . . . ,. 4.4. Améliorer les résultats de classification dans le plan temps-fréquence, . . . . . . . . . . , . 4.4.1. Critères . . . . . . . . . 4.4.1.1. Critère du premier ordre. 4.4.1.2. Critère de lype Fisher. . . .... . 4.4.1.3. Critère de probabilité d'erreur. . . . . ...... . 4.4,2. Pertinence des crÎteres proposés application à l'exemple. 4.4.3. Méthode de conception . . .......... .

147 147 149 149 151 15~

153 154 156 156 156 157

159

159 159 160 160 161 162 163

12

Décision lemps-fréquence

4.5. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Annexe: distances pour la décision . . . . . . . . . . 4.6.1. Distances Lq, distance quadratique, corrélation 4.6.2. Distances entre densités de probabilité . . . . . 4.6.3. Distances spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Annexe: noyaux paramétriques de rcprésentations temps-fréquence. 4.7.1. Noyau radialement gaussien . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Noyau de Choi-Williams à marginalcs généralisées . 4.7.3. Noyau exponentiel multiforme orientable. 4.8. Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 5. Extraction de motifs temps-fréquence.

166 168 168 169 171 171 171

17'l 172 173

177

Cyril HORY et Nadine MARTIN 5.1. Scgmcntation par tiltragc non linéairc . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Segmentation morphologique: notions élémcntaires. . 5.1.1.1. Algorithme LPE seuil par seuil . . . . . . . . . . . 5.1.1.2. Prétraitemcnt : modélisation des connaissanccs Cl priori. 5.1.2.LPEetRTF . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Application sur des signaux réels. . . . . 5.1.3.1. Un signal de bioacoustique. 5.1.3.2. Un signal dc cavitation . . . . . 5.1.4. Limite de la fonction gradient. . . . . 5.1.5. Conclusions de l'approche par LPE . 5.1.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . 5.2. Cosegmentation RTF/cspace de mesures 5.2.1. Vers une interprétation statistique. 5.2.1.1. Modèle statistique . . . . . . . 5.2.1.2. Redéfinition du problème d'interprétation. 5.2.2. Interprétation dans l'espace des caractéristiques. 5.2.2.1. Modèle de mélange local. . . . . . . . . . . 5.2.2.2. Momcnts d'ordrc 1 ct 2 dcs caractéristiques locales 5.2.2.3. Estimation dcs paramètrcs d'unc loi du X2 centré. 5.2.2.4. Caractérisation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.5. Choix de la taille de cellule. . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Deux exemples d'application sur des signaux réels. . . 5.2.4. Conclusion sur l'approche par espace des caractéristiques. 5.2.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180 181 182 184 185 188 188 191 192 195 196 198 199 199 200 201 202 203 204 206 207 208 210 211

Table des mntières

Chapitre 6. De la physique à la détection. . . . . . . . . . . . . . . . . . François COMBET, Pierre .IAUSSAUD, Nadine MARTIN, Lofti SENHADJ1, Mohammad SI-IAMSOLLAI-Il

13

213

6.1. En mécanique: détection de chocs. . 213 214 6.1.1. Pourquoi un tel modèle ? . . . . 6.1.1.1. Définition d'un choc. . . . 214 6.1.1.2. Exemples de situation de choc. 215 6.1 .1 .3. Réponse d'un système mécanique à un choc. 216 6.1.1.4. Modèle « multichoc » . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.2. Quel est l'intérêt de ce modèle? . . . . . . . . . . . 225 225 6.1.2.1. Analyse de Fourier d'une réponse à des chocs 6.1.2.2. Analyse de Fourier glissante d'une réponse à des chocs. 227 6.1.2.3. Alternatives. . . . . . . . . . . . . 228 6.1.3. Analyse de Prony en stationnaire. . . . 229 6.1.3.1. Historique de l'analyse de Prony 229 230 6.1.3.2. L'analyse de Prony. 6.1.3.3. Le modèle exact de Prony. . . 232 6.1.3.4. Le modèle approché de Prony 233 6.1.3.5. Prony corrélation. . . . . . . . 234 6.1.3.6. Systèmes linéaires en jeu. . . 235 6.1.3.7. Conditionnement des matrices C et V 236 6.1.3.8. Autres identifications . . . . . . . . . . 239 6.1.4. Non-stationnarité et modèle multichoc . . . 239 6.1.4.1. Rupture de modèle sur la fenêtre d'observation. 240 6.104.2. Détecti0t: des instants: courbe des amplitudes . 242 6.1.4.3. Prony temps-fréquence. . . . . . . . . . . . . . . 246 6.1.5. Application à un signal vibratoire de remontée méç.an~~. 248 6.1.5.1. Signal de pylône compression synthétisé. ~)~ 248 7 S' l' 1 /-r/ . - "\,\\\ 751 6 · 1C·5 '-'1 Igna ree . . . . . . . . . . . . . . . . . . \el\ ;53 6. 1.. 6 one USlon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -G.,. .. 'j"nj1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '\-:':".(;;" .

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Tndex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

177

Avant-propos

La connaissance d'un phénomène physique passe fréquemment par l'acquîsition d'un signal monodimensionnel et, ced, dans divers domaines d'application, Citons entre autres des signaux d'origine bîotogÎque~ mécanique. sismique ou acoustique, Ces mesures sont exploitées il des fins de descriplion, d'analyse ou de décision. Ce demicr point. la prise de décision, constitue l'objet de cet ouvrage,

Plus précisément, cet ouvrage s'intéresse aux signaux non stationnaires, La 11011stationnarité est une propriété très présente dans la nature mais difficile à maîtriser théoriquement. Que peut vouloir dire une fréquence évolutive au cours du temps alors que, par essence même, la définition du mot fréquence sous-entend une dÎmcnsÎon temporelle infinie et, de ce fait, une absence de localité? NéanmoÎns. même SI le problème suscite encore des questions captivantcs t nous ne revisiterons pas les concepts Ihéoriques nécessaires à l'élaboration de méthodes d1analyse de signaux non stationnaires tels que, par exemple, la fréquence instantanée. De nombreux ouvrages Qnt traité et traitent encore de ce sujet. Nous allons considérer que nous «( maîtrisons li ces concepts et ces méthodes et nous proposons au 1ecteur de s'interesser au dornaine temps-fréquence ou temps~échelIe. domaine d'observation pertinent dans un contexte non stationnaire. Le vocable « Décisîon )} du titre de cet ouvrage, couramment utilisé dans la communauté nationa1e depuis quelques années, doit être pris dans un sens large, il est d'ailleurs relativement imprécis. II s'agit ici de pot1er un jugement sur la mesure. de détenniner queUes en sont les différentes parties, structures ou composantes. 11 s'agit d'interpréter, de reconnaître. d'cxtmire, de détecter ou de classifier. Chaque chapitre de ccl ouvrage mettra en lumière rune ou l'autre de ces problématiques: l'objet des chapitres l, 2, 3 et 6 est de détecter, l'objet du chapitre 4 est de classifier, l'objet du chapitre 5 est d'extraire des 1lI01i!"

16

Décision temps~fi'équcnce

propose des Pour résoudr e ces problèm es, la théorie de tralleme nt du signal chapitre 1. le dans ues parcour es approch ces de algorH'hmes optimau x. Nous parlons dans les ent conduîs nOlis aire stationn non approch es dont lèS limites en régime et par , réc~nles es, novatric es chapitre s suivant s il des contribu tions théoriqu rer ce considé de lecteur au cnt conséqu ent sujettes à évolutio n. Les auteurs demand docume nt comme un état de l'arl au jour de j'édition . abordée sous Une préscl1tatîon succinc te du contenu de cCl ouvrage peut être atiol1 a Iïnform de nature la trois angles diftërcn ts : la philoso phie de rapproc he. priol'i ou les applica tions concem écs.

Philosophie des llppfoèhes toutes sur la Les approch es de décision proposé es dans ce truité ne s'appui ent pas r il optimis er les même philoso phie. Face à ce prob1ème, une 50Iutîon peut consiste prédéfin ie. Cetle paramè tres œune méthod e d'analy se dans une optique de décision 4. chapitre le et 1.3 section philoso phie est mise cn avant dans la défini comme Sous un autre point de vue, le problèm e de décision peut être vu et Cette donnée. se d'analy e méthod une pour un post-tra itement fi l'analys e et cc, (). et 5 s chapitre les et 2.4 ~.2. 2.1, deuxièm e piste est examin ée dans les sections inconto urnable Les varÎables temps et fréquence étant U valeurs discrètes, il est réquence temps-f tion distlibu 'une cl ation de donner une définition précise de la discrétis e. probJèm ce ment dans un context e décision nel. Le chapitre 3 aborde sérÎeuse

brfOl'll1utiOil il priori également par Quelle que soil la philosophie retenue, les approches se distinguent connnis sances leur façon d'appré hender les informa tions ou connais sances a priori: qui fi généré système le sur , observé slgnal du modele le comple tes ou partiell es sur un espace génère cas, notre dans qui, se d'analy e l'observ ation ou SUI' la méthod gérer ces il facultés tes différen ns d'obser vation temps-f réquenc e. NOliS observo informa tîons au cours des chapitres.

priori est partielle et se résume à certaine s pl'Oprîétés sur le: s. signal. les méthod es proposé es s'appui eront SHf les proprié tés suivante

Si Pinfûm mlion

il

A vam-propos

17

En défectÎOil Dans la section 2.l, la non-stationl1arité est quelconque et dèteclable par des variations des moments d'ordre ::, Dans ln section 2 d'énergie. Hs ne sont alors pas détectés par notre critère, révolution de l'énergie dans la bande du motif étant insuffisante. Un critère de détection cn temps [DUR 99] est adapté il cc type de non-stationnarité et permet d'en délecter temporeUement les principaux motîfs. Le critère permet de bien cerner l'influence en fréquence des transitoires et d'envisager une analyse stationnaire pour les fréquences qUÎ ne sont pas louchées pnr les 1100stmionnarités. lt apparaît égalemem que les élémcnts délcctés nvec une probabilité de- fausse nlamH! comprise entre 1O~2 et 1O~3 sont diffici1ement exploitables. Les non-stationnarités délectées à cette échelle ne sont pas suffisamment significatives. Une projection des résultats sur les axes temps ou trétluence fournil des indicateurs plus compacts que dans le plall lemps-fréquence (voir ligures 2Are! 2.4g).

~

.~

â. E

i)

tembre 1999.

lFLA 86] FLANDRIN p" ( On detection-Estimation Procedures in the Tlme-Frequcncy Plane )), dans ICASSP. Tokyo, p. 2331-2334. 19X6. [FRI B9] FRIEDLANDER 8.. PORAT B.o ({ Detection of transient Signais by the Gabor representation H, JEEE Tmns. on ASSP, vol. 37, n 2, Jëvrier 1989. C

pnmÎtreJ HORY C. Mt\RT1N N.. CHEmK1A:-l .1\ •• {, Spectrogmm Segmentation by Menus of Stntisticul Feaiures Cor Non-Stutionury Signal Itllcl1)retutiol1 )). Soumis ù JEEE 7hmsacliuns UI1 SÎgl1a/ PI'O('('SSÎIIg, il paraître.

[HOR à

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62

Décision temps-Iréqueflcc

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[KAY

[KUM 84,1 KCMAR V.• CAR1WLL C.W .. {( Performance of Wigner distribution function based detection methods )J, Opl. Eng., vol. 23, nU 6, p. 731-737,1984-.

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tCl11pS~

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[),1AR 9l] MAR!NOVICII N.M ..

Rt)\'T~'iAN

L.M., Signallnoise

SUb5-1JitCiJ

dccomposilion làr

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1,

SigJ!twx aléatoires,

[SAP 90J SAPORTA G., Prohahilifès, analyse de dOllnées et sralislique, Technip, Paris, 1990, [SPA 73) SI'i\TARU A., ThéorÎe de la transmission de /ï/?làrlï1atiolt. {'odes el décÎ,I'ùms, vol. 2, Masson, Paris, 1973. [TllE 68] VAN TREES H.L. Detee/ioll, EstùnotioH amI ModulatioJl Them:!'. John Wilcy and Sons:, New Yorle, 1968. [\VHA 7! l WHALEN A.D., Detection r~lSigllals in Noi.':,'e. Academie Press, New York, 1971.

Détection de n()n~stalionnaritês

63

2.2. Détection de sauts fréquentiels 2 2.2. LIll/mdl/clion L'unalysc de l'évolution du contenu spectml des signullx fi'avère primordiale lorsque l'on s'inléresse aux problèmes de scgrnentation et de surveillance de processus industriels lcls que les machines tournantes (moteurs. engrenages ... ). En effet. 1orsqu'ul1c défaillance d'un composant apparaît dans de teIs systèmes. cela se traduit souvent au niveau du spectre par r apparition, la dérive ou encore la di~parition de composantes fréquentielles. Cc~ modifications pouvant prendre une infinité de formes. nous axerons notre champ dÏnvestIgatjon RUf une famille de signaux particuiiers que sont les sîgnullx (juusi .stationnuires par morceaux.

Les principaux outils développés jusqu'ô ce jour pour la détection de changements brusques reposenl sur une approche paramétrique ct sont basés sur la notion de ruptures de modèles. Ces méthodes rcpol-ient génémlemcnt sur l'hypothèse {1ue les signaux analysés sont descriplJbles au moyen d'une modélisation dynamique paramétrique de type au!orégressivc ou aUlorégrcssive il moyenne mobile lAPP 83. BAS 83 J, Elles s'intéressent alors a la détection de changemcnts brusques d'un ou ùe plusiems panlmètres du modèle. Toules ccs méthodes voient leurs performances étroitement liées la bonne concordancc entre le signal el le modèle estimé, Or. une modélisation pertinente des ~îgnaux n'cst pa.s toujours accessible. Afin d'îlIustl'cr notre propos. prenons un exemple d'application réelJe qui sera repris thms la suile de celle section: i'analyse d'un signal musical. Lorsque l'on travaiHe sur des signaux musicaux, on ne maîtrise souvent pas tous les phénomènes mis en jcu. En premier Heu. on ne: connaît pas le nombre de composantes pl'éSeI1H:.s dans le signal (combkn d'instruments itltervÎennent-ils dans la plage étudiée, combien d'harmoniques doit-oil rechercher pour rendre compte du timbre de chaque instrument 7). On ne connaît pus non plus le modèle à considérer. Si tf priori, les signaux musÎcuux sont des signaux pUl'cment stationnaires par morceaux (chaque chungeme:nl de note cotTespondant à Uil changement de composante fréquentielle), la réalité s'éloigne souvent de cc cas idéal. En effet. même lors de rémission d'une successron d{,~ notes tenues, on n'a généralement pas alTaire à des fré{!ucllccS pures mais fi des évolutions fréqucllUel1cs oscillanl mHour de fréquences nominales. Ces varÏcull, une alarme est déclenchée. Le du iable préjudic tation augmen une à a conduir importal1t. En effet choisir A trop faib1e façon sen.sible le nombre de fausses alarmes. A l'invers e, augmen ter.\ fcra chuter de n: plus .\ est détectio de mpidité la de nt détrime nu HIux de rausses alarmes majs, ccla.

Détection de non-slatiol1mlrités

75

grand~

plus le retard à ia détection sera important. L'analy_.;;c de ces deux paramètres antagonistes. taux de fausses alarmes (FA) el retard à la détection (E). en foncHon du seuH .\ choisÎ. paraît donc être particulièrement révélatrice des performances des différcnts indices étudiés. Les résultats obknu." lors de nos éludes seronl présentés .'ious ce formalisme anulogue il celui des courbes de caraeléristiqucs opérationnelles du récepteur.

22.3.) .2,lntcrprétatiDn des résullats La première classc s'intéresse il des sauts fréquenlieIs abrupts. NOliS présentons ici les résuÎtats obtenus à panir d'un spectrogramme ayant une fenétn: de lissuge de longueur L 121 points et d"une imngeue de longueur 1> = 5. La valeur de ce facteur p înOuë directement sur la nervosité de l'indice, son augmentation entraînant un lîssage def' courbes de détection. La séparation des courbes uvee cl sans rupture s'cn trouve uugmcntéc lorsque ]J uugmente, cc qui facilite le choîx du seuil de délection t\. Cependant, il cst à noter qu'augmenter p de façon trop importante occnsionnc unc réaction plu:.. lente de l'indice lors de l'apparition de !a rupture et donc un retard à la détection beaucoup plus grand. Un compmmîl-l est donc à trouver, la réduction du taux de ratisses alarmcs sc faisant au détrimcnt ùe la précision de déleclÎon. On petll constater sur la J1gure 2.12 présentant les ditTérents indit:es que ceux-ci réagissent assez différemment L'indice IS5U de ln divergence de Jensen semble en effet être plus senslhle au bruit que les trois autres proposés. Ses variations d'amplitude sont heaucoup plu;.~ marquées: la plage de valeurs prise pur les indices com:spondanlù l'absence de ruplure est bien moindre pour Inti KI>' Jnr/ KI! ou fnd v :: {facleur:} pour ceux-cl ct racleur S pour fur/Je}. Cette sensibilité pourra occasionner un fort retard à la détection si l'on veut se préserver d'un taux de fausses alarmes élevé. Ind Kt! el lnt! L2 présentent d'nutre part des évolutions similain:s tandis que IndJ(1I autorise, ÙU [ail Je la présence du terme logarithmique, une meilleure séparation des courbes correspondant aux cas avec et sans rupture. Le seuil de délcctÎon sera d'autalll plus l'acite à choisir que les indices avec ct sans rupture seronl éloignés les uns des autres. Pour huI Kil, la valeur moyenne de J'indice en l'absence (respectivement en la prél-lcnce) de mptme est proche de 0,1 (respeclÎvement 0,7). Ce fadeur 7 est, de loin, le plus important. Ces observations sont confirmées par la ligure 2.13 qui expose révolution du relard moyen il la détection cn [onction du taux de rausses alarmes. On constate en effet que léS meilleurs résultats. obtenus pour hu! {(Il' Induîscnl un retnrû de 8 points pOUf un taux de fausses alarmes nuL La con·élation. quant à elle, s'avère moins discrimÎnamt: que le calcul de hu! Hu- Enfin. concernant l'approche puramétrique, la présence d'un .saul fréquemiel abrupt induit une forte coloration ùe r erreur de prédictÎon autorisant une déteelion rclatÎvc-ment rapide. Les performances se révèlent cependant inférieures il celles obtenues pour Jnd fù;. La deuxième classe de signaux s'intéresse à la dérive d'une composante fréquentielle. Nous présentons ici les résultats obtenus à partir d'un spectrogramme uyanlune fenêtre de lissage de longueur L 121 points et d'une imugetle de longueur]J = G.

76

Décision temps-fréquence

I.J [t75,

(1,+'

4-50

650 Temps

Tcn1p~

0, 09

1

ri

0,035

0,02

0.1)3

1

0

0,[)05~1~,_ _ _~-+---~~-

4jO

650

450

~50

Tcmp",

TemjJs

~

Signa! liVC',: nlplurc Signal sans ruplLlf':

Figure 1.12. Cfllsse 1: é\lo/Itliolllles dijfénmts indices corrcspmuJallls poltr p 5 (sfJèClmgrtmmrc: L = UU

=

:Iml".)

.: lmlKt!

O_JmIJ"

ê

t;u

. CnrrdHlÎoo

4-0

0: MétlwJe pilnllllêlrill!J'~

:ü

."

.1

'"-e:': 10

1

,0

~

15

Figure 2.13.

C/(JSSi/

1: él'olwioll de l'éc(Jr! à /(/ déft'ction J... = li1)

pO/lrp = 5 (sjJecTrogramme:

DétCl'tiflii de non-stationnarités

77

Si les cnmrortemelltfi rc1atil's des différents indices restent globalement analogues, on cons laie sur la figure 2.14 que la rupture se l'ail sentir plus lard, comparativemenl au cas de figure de]a classe 1. La rupture n'étant ras franche. son influence se traduit pelit il petit sur j' évolulion temporelle des indices, Le plus petit relard à la détection, ohtenu pour 11/{!I(II' esl cie 17 pour un taux de J'ausses alarmes nul (voir figure 2,15). La corrélatÎon s'avère dans ce cas également moins discrimÎnante que le calcul de Ind Ku, Enfin, concernant l'approche paramétriquc. une dérive lente de fréquence induit une coloration plus faible ùe l'cm:::ur de prédîclÎon tl partir de l'instant de rupture, introduisant de ce fait un relard plus important il la déicciion, DiSjnnCl~

Divergence ue Küllb:u.:k

d,; KolT11ogmov

1.15

:2

O,R

"E

UA5

[1.1 ' 450

650

R50

450

Tcmp~

Divergence de Jensen

650 Temps

R50

Dislanl'è L:.; O,()Ü5

0.1175 0,05

,0,05

c, -5

'" E

E

0,025·

O.iJ25-

0' 450

~

650 Temps

xso

Dm ,,'"

450

65()

K50

Temr~

Signa! a'!t"l: rupllln.: Signa! :SUjb ruplUre

Figure 2.14. ClaSSé .2 " é\'olwioll des d~tlàelll.\· indices CO/T'_'3pondollls pour fJ = 1} (Sju:ctlVgrawn1i:o' L = 121}

L'éluùe menée SUI' la troisième classe montre unc fois encore la supériorité de lïndice issu de ln divergence de Kiillback (IudKt!) pour notre application (voir figure 2, 17), Cependant. les performances obtenues, quoique toujours m:l:cptables. sc ; dégradenl comparativement aux cas ue J1gures présentÉS aupuravunt. De hons résuhals sont en faÎ! atteints, pour celle classe, lorsque J'on peUl s'uffnmchîr des contrainles

78

Décision

tcmps~rréqueIlcc

Spcctrogramme : L"" 12l ;

r:= 5

__, 60r-----~--~----"----~~-: !mIL~

; IndKo : ImlKII 1 0: Intll e ~ ~ ~ Correlation o ; 1vIClhmk paramétriquc 1

1_.,

!

:

1

'". - =:-: - - - - -- ------ ------ - -"""'''".""" "".....

.",

::...-~:..-

Figure 2.15. Clas.\·u 2: él'ofUTio/J de l'énlrt ci la délCCTioll 1'0111' P = 5 (spectro gramme : L = 121)

qu'à panir de structure du signal. De fail, une détection fiable ne pourra être acquise du contenu du moment où la RTF de référence II' sera représentative de la totalité tative du représen soit Ir' tte l'image soit]J. que quel que, Pour fréquentiel du signal. tiel de façon signal à tout instant, il faut qu'e11e présente un lissage du contenu fréquen que de bons résulà atténuer l'inOuence de la gigue. Nous constatons sur cet exemple élevé, jJ = 20. tats sont obtenus pour de forts lissages (voir figure 2.16) et pourp assez l'utilisation du Si, dans le cas où le signal est proche de la stationnarité par morceaux, bons résullats spectrogramme s' avère particulièrement intéressante fournissant de très le cas présent, pour une grande facilité d'utilisation (un seul paramètre à régler); dans adaptée. Du fait l"utilisation de la pseudo-Wigner-Ville lissée se révèle beaucoup plus ls et fréquende la liberté autorisée par cette RTF dans le choix des lissages tempore En conclusion, tiels, son utilisation permet de mieux s'adapte r à la situation traitée. les deux presi l'utilisation de la pseudo-Wigner-Ville lissée ne se justifiait pas pour orer nettemcnt mières classes, en revanche, pour cette troisième. elle permet d'améli lissages impoles performances des indices en regard d'un spectrogramme. Les forL" stationnaire, non sés tendent en fait à « transformer)) le signal, initialement nettement également à des en un signal stationnaire par morceaux. Cependant, ils conduisent (voir figure indices moins nerveux cl répercutant la rupture avant son apparition réelle détectio n: de 2.16). Cela entraîne donc en parallèle une dégradation des performances encore /"ois une un compromis est encore une fois à trouver. La corrélation s'avère permet qu'elle er moins performante que l'indice Tnd KH' On peut cependant remarqu s entre RTF d'about ir à de meilleurs résultats que ceux obtenus par certaines distance s obterésultat les cas telle que Kolmogorov. Enfln. nous ne présentons pas dans cc e des contcxt du effet en nus par la méthode paramétrique. Celle dernière classe sort Pour e. proposé e signaux stationnaires par morceaux, cadre d'applic ation de la méthod

Détection de non-stati01111arilés

79

tenir compte des légères variations de fréquence dans les zones réputées stationnaires cl ainsi obtenir une quasi-blancheur de l'innovation avant rupture, cela sans poser de modèle {/ priori d'évolution des paramètres, nous avons imposé dans l'algorithme un coefficient traduisant l'inadéquation du modèle et du signal. L'algorithme d'estimation s'adapte alors également aux changements de fréquence induits par la rupture rendant la détection difficile. Le test de blancheur de l'eneur de prédiction est donc inadapté dans ce cas. Divergence de Küllback

Distanee de Kolmogorov 0,6

0,7

c

0,-1

n,5 ~

-5 .=

~

c - 0,2

0,3

0,1 450

650 Temps

0

H50

450

650

850

Temps

Divergence de Jensen

10 d'ondelettes fz.'!j:l (If J{2"n ~ k)} ,".fj: ne peut être une base orthogonale, Pour obtenir une base orlhogonalc. il faut extraire de cette ramÎlJe des paquets de sorte que les indices 8, J associés génèrent une partilion {[2'"f, 2'U + Ill} dc J'axe fréquenliel. A litre d'exemple, nGU, avons choisi une balle orthogonale particulière, illuslrée par les nœuds en trait gras, Cc choix provoque le découpage du plan temps-fréquence présenté ml bas cie la figure 2,25. Cc choix est tom 11 raÎl arbitraire, ct d'autres hus.es orthogonales. done d'autres découpages, auraient pu êlre présentées. Cet arbÎtraire rail toul l'intérêt des paquets d'ondelettes, puisqu'un arbre de décomposition correspond en l"ail il un catalogue tic bu:';es orthogonales ou à un catalogue de pavages du phm tctups-fréqucl1cc. Ainsi. confronté II ulle npplication parl1cuHère, le traiteur du signal peut choisir dans le catalogue lu base adéquate. Evidemment. rnutomatisation du choix de la hase pass.e par un critère de choix de base.

94

Déci:-;ion lemps-fréquent'C ._ ...

~

_~

()j!)

~)~.

1

Sî,;!flal

x15) ,(6) ,(7) x(S) :

@il d3

Echelle t

d4

il "

© ddl

dd2:

Echclle 2

\ il

dad

[:J

EchcUe 3

ddt

Pavage associé

aux paquets !'cte-nu:> (cases grasscs)

u'mpsCH lXltfHCIS d'muidc th:S i,!t IIIJ pOl'Oge dll plan des opératcu rs Il associé li mu: base ofrlwgor wlc !T'tenue. Il falll noter l'ù!\'l'fslrl/l êciutnlW eS/llécessaire fiOUl' ('/ 9 lorsque le IIIL'/I(! CS! impair (ii II//(! pn~rm1tlellf' donnée). CeF bieu ù l'l1.l:'c dc,\)hfquci1ces llld corre.\'fJc dmmée lll' p}'t~ro/lde aS,mret que 1'(L\"c }wri:(mr af li WlC (IIIX pmblèw f's dc rcplielllCl 1J dnlfc Cf lon déci/mU fa li dft esi Cc'ci 9-Jj. \VIC {MAL 98, MErV2, ucs. -les.filTr es Iwwériql lêS Il t:/ [1 ofll des l'épouses fi'écJllcllliellcs périodiq

Figure 2.25. Ar/nT! de décomfJo'sitioll frCfJlICIHY'

Critère de choix ùe basc

d'un criChoisir une hase dans l'arbre de décomposllion repo~c sur I"utilisaüon lièrcmcnt ct les lèrc. Lorsque le crîtèn.: est associé fi un coût C. 1" arbre est dérou lé en nce .alors au plus coûts de tous les mcuds sont calculés. L'algoriLhmc de choix comme fils il celui de leur père, profond de j'arbre, en compar unlla somme des COÛLiÇ de deux

Détection ùe non-stationnarilés

95

La règle de sélection esl alors : si e(père)

>

e(lils 1)

si e(père) ,;; e(!ils 1)

e(fil, 2), conserver les fils: fission

+ e(îils 2),

conserver le père; fnsion

CeHe façon de procéder assure que les nœuds retenus correspondent il une hal'é orthogonale. Un eotn clussique est une S011e d'entropie dl.! Shannon des coeflTcienls, coM en générai choisi pour des ohjectifs de cOll1pn~ssîon [MAL 98. \VIC 941, Mais des critère:; de sélection ne reposanl pas l'ur l'évalumion de COÜl peuvent être imuginés, Dans cet esprit. nous exposons dan~ le paragraphe suivant le critère de segmentation retenu en vue de délecter des signaux lransitoires.

2.3.2.3, Jrlérlmdologie de défection L'idée sous-tendant lu méthode de délec[ion Je trunsitoire présentée ici est 1" oblention d'un découpage du plan lCl1lpK-rréquence udapté au transitoire. Autrement dit. nous souhaitons que le découpage du plan soit fin d.ms leI' zones d' existcm:c du transitoire et sOÎl plus Wehe dans les zones du plan nc contenant que de l'information relative nu bruit Nous nOlis concentrons dans la suite sur le découpage du plan tempsfréquence issu d'une décomposition en paquets d'ondelettes. l'utilisation des onùelettes de Malvar étant décrile dans [RAY 98a, RAY 98bl,

Nom; supposons le bruH gaussien (ou p1'l.:sque). Unc ùécompositlon cn paquets d'ondelettes élant une transrormation linéaire. les cDcmdcnls en paquets d'ondc1ctlci" associés au bruit sont gaussiens. Par contre. les transitoires étant fortement oseiHanls et bien localisés èn temps. leurs cocllïcients en paquels d'ondclcues sont Ires impulsjfs et donc fortement non gaussiens (cette remarque implique que l'on replace le transitoirt! dans une modélisatiolll'lochnsüque), Le critère de choix de la hase repose alors sur un crÉtère de gaussianité. an souhaite que les bandes fréquentielles adjacentes gaussienne.\ fusionnent cl que Jes bnodcs adjacentes non gaussiennes ne fusionnent pas, Le critère est alors 1RAY 0 II : Fils gaussiens alors fusion Fils non gaussiens ou un ms non gaussien alors fission Cette stratégie permet d'obtenir une segmcntalïon adaptée au signal transiloire, Le critère de sé1ection de base est donc fondé sur un test de gaussianilé. Tester que des échantillons sont distribués suivant L1ne loi gaussienne n'est pas triviuL De plus. les bandes fréquentielles analysées duns le problème traité ici pCUvênt eompolicr un nombre faible de cocnkients, ccci inlerdisant l'utilisation de résulLals asymplotiqucs. Ln mesure de gaus

~

..

TeJllp~ ($)

Figure 2.29. Ditccfioll de corps errailfs. PmITlClWX .nrpéricm:y: l 'ob.l'ell'atioll

tÎ gauche et sun spectrogramme il dmite. Pal/I/ctiux ft/ilin/x: l'epréscllwtion temps-j}'éfJ/lCllCC associée à la base dt.: paquers d'oudelettes obtClIllf.:, olYlnf sCI/Îlfa1?e à gaul'hc et aprè.'f il dmile. F'mEneaux Înfi.trieurs: signal rccon\[mi f après smillage il gal/che, énergie (Ill cours du (t'1UpS li dm/Je 1ell traÎl pleil1l11'Gili ie traitement el ell pointillé après},

101

Décision tcmps-fréquence

Un ;;;ignal de corps cnants est présenté figure 2.29 (panneau supéricur gauche) et sa structure temps-fréquence est dévoilée par le spectrogramme du panneau supérieur droit. Sur le signal, on discerne assez nettement trois événements violents autour de 1 s. De plus, sur toute la durée de robservation.le signal est très fluctUe Ics indices de l'enveloppe et de la phase ,. = (0 .... iJ!2)i(.r3 _. 1) ct /.: = {JIU3 - 11, le décalage dc pha,e", = 7r le taux de modulatIon:

rI..

[2.96]

Détection de nnn-~tmionnarîlé'i

117

el l' amplilude:

Il.971 Outre la forme proprement dite de l'approximation. on trouvera dans [CHA 981 1es conditions pour quc celle-ci soit vaUde. L'~valuation de phase sW.tionnaire s'apparenle. pour chaque fréquence, à un développemenl de Taylor dont le résultat de J'approximation seraÎlIc premier lerme. On peul obtenir tCHA 981 une bonne évaluation du rcS{c intégral de ce développement. Le donUline de validité est alors ohtenu pm" une majoration du reste ainsi évalué. ce qui revient alors il fixer une erreur relative maximale dc l'approximation. Deux remarques peuvent être faîtcs il ce point Premièrement, alors que les ,. conditions de chirp >; 1::2:.47] sont couramment présentées de manière heuristique eomme validant J'approximation de phase stationnaire (voir par exemple [FIN 931, [SAT 91] ou IDEL 92]), la validité de l'approximation de phase stationnaire s' avère en fait contrôlée par un critère lînalemelll plus compli,]ué (voir [CHA 981 pour la forme génémle que prend ce critère).

DeuxièmemenL si l'on applique cc critère au cas des ondes gravitationnelles, on

obtient que. pour une erreur rchllÎve d'approximation au plus égale fi:r (Yc" la fréquence doit être bornée par: [2.98] cc qui csl en accord avec les conditions (de chirp) qualitatives en [2.94], Les critères exact et heurislique :mnt donc (l jJosleriori de même nature. mais le résultat de [CHA 98J apporle la possibilité supplémenlaire d'un contrôle quantitatif de J'approxi, mation. Lu figure 2.30, qui prés.ente un exemple typique d'une forme d'onde, illustre l'ef-

ficacité de l'approximation de phase :-;hJtionnaire, 2,4,5,2. Un détecteur lempsJréquellce silllp/~/ié A slrktement parler, le détecleur lemps-fréquence optimal r2,80J nécessite le calcul d\lI1c version filtrée (cn temps) de la distribution de Bertrand de l'observation, ce qui est en pratique djflîcilc il mettre en œuvre il cause d'un coût de calcul imporlnnL Pour aboulïr à une solulion pratiquement cxp)oimble. il est oblîgatoirc de considérer une description lemps-rréquence plus simple (malS toujours précise) à lu place de ln fonclion exacte f'u(f,.il donnée en 12.81]. Alors qu'une simplijicnlion ne semble pas possible duns le cas généraL il apparaît qu'clle peut être efrectuée dans le cas spécîfique des ondes gravitationnelles, grâce aux valeurs des paramètres physiques qui sont impliqués.

118

Décision temps-fréquence

Temps (s)

o -10

f5

-20 -30

b)

..j -40-l---~~~~=:;::;;:~_·~··~-~~"~_rr_~~~ _":~.,... HP l !O I()U Fréquence

() "t"" ---"y-~-.~ .. ,.

()

cl

4 6 Masse 1 (en masses: solaires)

gradwlÎmmellcs. Le Figure 2.30. \-'afidiuJ rIe f'appmxi llutfùJ;! de phase SIatÎOf1l1aire des IHUh'S par il/le bt'!wire imi,w' Oili/ellc gral'itati l'omit' dt' !1 SiglUll (a) rcpré:wHrt: le II/odèle I/ClI'(OIlÎC de 200 !Hp,. Le dis/wICL' uni! iÎ sirl/fJe itH j() cr _ l1h 1 de objets deux de coa!escentc compos{c df' p!Jase staoIÎolI SOli appmxim speclre de cc rigll/d (bJ {ligJtf' plcint!) ~'S( bim approché par 01/ \'l'rtjie (cj YS/. {2. crifèrc le jJar e) t!O/l.ç fa fllage dc ji'éqlœnc c û(~JiJ1ie

tiolllwirc (ligne pOÎnrille lclk lfobsCI1'!uirm {fixée par lesJhf~ que ('elfe tJ!Jl'roxi ma/ioll Ji1/lcrùmlle dOJls la bwulc fi'iJquem variété Je couples de l/UtSSCS (tri), 111/(' !JOlIr r) déteCfclf dli ha,I'sL' CI Iwltfc fjucllces de ('()l1jJftre 1,1111, l j)L, et iOJ.\I,::, d Ill;; mû f10sslhlcs pOlir les ahjefs de la binaire (ml l'lIrie Cmf;]

(ll'ee 1

~ ~: ~

10t lAI ligne poiwil!L;c (placée arbitrnirclI1CIII

Ù

500 l-I;:;) désiglle 10 fréquence

approchée pOlir fa mUt/irc de de cm'lml't! lUf/ffIJ dll déll'CfCW: ce (Jlli perme! d'ai'olr mU! bome

l' lIpjlJ,-xfiJUtuioJ!,

Détection de IlOfH,trti.ionnarités

119

De Bertrand filtré" Bertrand, Approximation bande étroite

En effet, sÎ nous revenons à [2.81 J. nOlis pouvons éCr1re d'une façon équivalente:

r2r+I-',! (,

,

\ l'pIV)" R t-, J')

1- li!

dl

[2,991

avec: 12,1001 et: Il.101 J

A cause de~ limitations aux basses fréqucncês (bruit sismique; et aux hautes fréquences {bruit de photons). la largeur effecl!vc d'observation est nécessairement res~ f :( f+ (avee comme valeurs treinte ft un imerval1c en fréquence pa~sc-bande typiques, que l'on pourrait raisonnablement choisIr, J- ~ 50Hz el f+ ~ 500Hz). Cccl a pour conséquence que le speclre de Fourier:

/ P}t\(f, Jj,,-i2rr çl dl, }'"'+l'I (,\,.(u)Ar.-(-u») ,0-1 R(JA,Ju)) R(JÀ;,(-u))

12.102]

est non nul seulemenl dans la bande:

1011' 'h

12.1031

f-

A l'intérieur de la bande de fréquence délinie ci-dessus. on peut considérer (voir par exemple IINN 96, INN 971) que la densité spectrale de puissance [,,(l) du bruit d'observation n(t) varie. cn moyenne, conlÎnûmcnl el sc comporh:: 5 en r" (I) = cr" f-c, uvee, '" 1. En supp;,

.fourllol

[AUG 95j AUGER E, FLA>JDRL\i P.• (, Improvlng the rCl)ùahility or limc-fn:qucnçy und lImeSCi.lk fcprescntmiotl~ by the rcassignntenl I1lcthod >t_ IEEE TratlSilcIÎrJfjS on Signal Processing. vol. SP-43. ne, 5. p. 1068-1089. 1995.

IAUG, il pumürc!

AUGER

E.

FLA>4DRIN P., CI·IASSANDl~-Mornr-;

dans HhlWMsch E, Auger F.. Ovarlez l.P, (dîr,}, mè~. Paris, ü parüîtrc,

E., " La réallocatioo

TeJllps~/h1'fllellc(,: cOllcclns ('f OUlUS,

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Her-

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L. .... __ .,

.~~..._~

1

i

Zones frctjucnticllcs dîscriminll!l!cs

h) Contraste dé Fisher

Figure 4.3. SpCCITCS moyms des signtllcr (l'apprentissage de la da.I'se 1 ct lie la classe 2 el contraste de FiJhcI' CII!ré CL':; dasses dans les cas NI IV:; = 50 (poimiflé) Cl ;Vj = N'2 = 1000 IfruÎt plein!

Etant donné l'un de ces éléments représenuHifs. la règle du plus proche représcn-

tnnl affecte une donnée inconnue J>! duns:R ;1 la classe :"'ij) tC'llc que: [4.3J La figure 4.4u illustre graphiquement ce principe. L'élément inconnu (représentë pnr une croix) est affecté il lu classe des ronds. car le cercle blanc est plus proche que le carré évidé,

4.1.3.3. Règle des k plus pfnches l'nisil/s Le principe de celte règle L'st le suivant; une donnée inconnue .1''..' est entourée dans ~R d'élémenls dc l'apprenlissage appar(cnunt;) différentes classes. La distance d d~ll1s jt étant choIsie. on détermine les k données {;t:)l' :rTJ , •• >: ? d'apprentît'îsage les plus proches de:r",' au sens de ri, ont nettement différents selon que l'on utilise ta corrélation ou la dislance de Kolmogorov, Le deuxième résultat important est également iHustré par les résultats du tableau 4.4: Je taux d'erreur varie signific'llivement cn fonction de la représentation lcmps~ fréquence choisie.

4.3.2, Reclwrche lie la l'eprésclltatlOIl temps ..jhJquelIce et de la dis/auee optimalt!s Les travaux précédents montrent qu'il es! nUlUrel de rechercher le couple repréxentalion temps-fréquence/distance qui minimise le taux le de Fisher

Noyau hinaire optimal

figure 4.5. CommsfC lie Fisher de l'afJfJreUlis.Wlgc U\h = j\j:z = 50) dans plusfilr! COllfrt1SfC) le plan des amhigl/ï/ és (lrs ::.rHles '"'S plus cluires L'onY!:'lJ Ollde/ll (/If CI1!OyOIl

binaire optimal p01l1' la classific ation (JI

18)

doppler-retard Cepend ant. ne gmeler que certains points et négliger ]eur position ances de la pcrforrn ÎCs grève qui nte importa conduit à une pene dïnfonm ltion permet pas ne e nli,'isag d'apprC s donnée de nomhrc l~îiblc méthode. Par nilleurs. un trop nécesiance e-covar varianc de matrice la de ni T) t;. une bonne e~limation de b..~Fî"hef( nobis. MahaJa de saire au cnlcul de la distance point lE = il j = 0), elle 6, Lu fonctioll d'ambiguïté d'uli signai èS! symélriquc pllr mpporl au tc, est ùonL' redondan

Clnssillcalinn

159

4.3.4. Utilisatioll tic techniques tle trailcme!1/ (l'images pour la classificatio1l Si les représentalion:-i lemps-fréquence som des fonctions mathématlques. eUes sont également des images sur lesquelles un expert saura reconnaître la signature d'un phénomène physique: le spectrogramme d'un cri de dauphin ne rcs::;cmble pas il celui d'un enrcgistremenl musical. Dans celte optique, pourquoi ne pas utiIiscr des outils issus du traitement des images pour segmenter lu représcntution lemps-fréquence. en extïJire des zones d'intérêt et les comparer il un dictionnaire de formes connue!')'! Les outils de reconnaissance de forme sur des images étant particulièrement nombreux, nous invitons te lecteur il se reporter fi des ouvrage~ spécialisés,

4.4. Amélinrer les résultaIs de classification dans le (Il an tem(ls-frétluence Dans la section précédente; notl!' aVOns établi que les ~!Teurs de classifica!ion pouvaient être diminuées en recherchant une 1" honne représentation tcnlps-rréquencc et une ( bonne jj distance. Une procédure d'optimisation dc-vraît nous permettre d'aborder ceUc recherche de façon systématique, moyennant la définition d'un critère calculé sur les données disponibles (l'ensemble ct'apprentissage). Compte tenu de fa dimensionalité. il n'cs! pas envisageable d'optimiser au sens général une représentation lemps-fréquence. On pourra se restreindre à la classe de Cohen, Oll une représentation lemps-fréquence est déterminée par un noyau, dom on pem trouver des formes paramétriques 7. Celle idée n'cslloutt:roÎs pas limitativc. ct rien n'empêchc, cn Ihéorie, d'élendre la recherche il d'autres distributions temps-fréqucnce. sous réserve qu'eHefl. acceptent une ïntcrprétation cn (t'nllCs de disfrilmlhm de pro!Jabilirf. légitimant J'usage des tp-divcrgenccs. Par ailleurs. on détermillera la distance donnant les meilleurs résultats pour une forme de noyau donnée; ce qui conduit au meilleur couple (noyau. distance). On notera dans la suÎ1e la représentarîün temps-fréquence de ;1', de noyau (ù. par e;;~. ).j

4.4.1. Critères Dans différents travaux. J'idée de noyau optimal a été abordéc" CependanL le tennc optimal reste :-ioumis il la défini lion d·un critère per'linent. Nous en présentons trois souvent utilisés, On suppose: rnaÎntcnant que les l'Cprésclllniions temps-fréquence des Fîgnaux d'apprentissage ont élé calculées, Dans la imite. on ne manipule plus que des éléments du type e;;':.;.

7. Voir en

liI1l1CXC

-L7.

160

Décision temps-fréquence

4.4.1.1. Critère dit premier ordre Le critère suivant a souvent été proposé (voir par exemple [ATL 971). Il consiste à éloigner l'élément représentatif e~'J de la classe Wi des éléments représentatifs des autres classe.", Une distance cl étant donnée. cela revient à maximiser: c

i-1

IV.

'}< ( i) - '\' '\' . n

~.

ô'

"

Q

.g

ru_œ

~

li

Ku 11 back

1 1 - . " (i l

i

-1 )1' O~('il)

!Matusit" 1 (m:;, 1)

--

f)1-'''d/

-- .....--------

. .....

..

---.----

Cus particulier de ln disumce de Chcmofr pour nt = 1/2 1/1/'"

l Kolmog~;~-v--- -

(il.l' ) -- N°'· e~:! (l. f) . ) 1og N"~.il.fJ Ne.~'~\Ln

_U'·m

n.. _---_......

Bhnttacharyyu

r-M~t~~~~~

-----I----~--

-log(-u)

f (0 ~ TrI ~ ----

::.:..-....... --1

Il .... u!

Kolmogorov

11···

[JI INe~:(t:f)'/m

.. Ne,ut. n'---fll

Matustt~ générali~ée pour ln = l parliculie~_~~_la di:~~ncc de M~~~~_sita généralisée po~~~_~~~=..2------

Cas part.îculier de la distance de

Tableau 4.1. Quelques ;p-dil'CI:r;C/lces

COIHymWWm lItilhùs ]JOUf 10 décision c111mitcUlelJ{ dit sif?/wl

~

~

g "nn

Classificalion

171

On peut alors écrire la divergence de Jensen:

14.171 Le paramètre

4.6.3~

Hl

sera choisi cn général égal il

a.

Distallces spectrales

Une exten:;ion des deux l'amilles de distances précédentes pEut être obtenue facÎlel11cnt en ulHlsant les distances Lq entre les images normalisées:

[4.181 On remarque que Je cas particulier q = 1 ~sl la distance de Kolmogorov. Dans Je même esprit, on peut tlêflnir la dch'iariol1 speCTrale logarithmique '-VIN 94j:

[4.191 4.7. Annexe: noyaux paramétl"iques de représentations temps-fré!IUence Le problème de l'optimisation du noyau d'une représentation temps-fréquence sc heurte à plusieurs problèmes, dont la dimension Î1I1por!ante du n-oyau, Itl nét:essité quïl respecte certnÎnes contraintes, etc, Nous présentons dans. C'cUe l:lnnexe des formes parumélriques de noyaux adaptées à l'optimisation dans le cadre de la classiIkatÎon. Parmi les propriétés souhaitables pour les représentations lemps-fréquence UlÎHsëcs, on retient en particuljer la nécessitê d'obtenir des représentations lcmpsfréquence il valeurs réelles. ce qui correspond il une contrainte de symétrie ccn[w1c pour r,D. Nous présentons dans un premier temps le noyau radialement gaussien tNRG).

4.7~L

Noyau radialement gallss"en

Proposé il l'origine dans [BAR 93! avec pour ohjectif l'amélioration de la lisibillté des représentations lemps-fréqucnce. il s'écrit sous la !"orme :

14.20] où {p. tJ) représenten! les coordonnées polaires dans le pîan des ambiguïtés (p:J = ( + r'2 ~ lnn(O) = (/T) ct 11(&) est la fonction dt: contour du noyau, Lc Jong

172

DédsÎon temps-fréquence

d'une ligne passant par le point (~ = 0, T = 0) et d'angle fi, le noyau est de profil gaussien centré CI d'écarllype û{O). Comme le noyml doit être fI symétrk centrale. la fonction de contour a(O) est périodique. de période ïT. ce qui permet de l'écrire sous la forme d'une série de Fourier:

=

[1(8)

li" + 2:](/"

cos(21'8)

+ Il,, sin(2pIlJ]

[421j

1,;;;;.,1

Si l'on reslreint celle somme aux ])rWL,< premiers cocffidenls. on a besoin de 2pnw,,; + 1 paramètres pour décrire le noyau. En outre, pour éviter que la fonction Œ(O} Oe prenne des valeurs négatives, le cocflident Ull esl remplacé par uo coefficient calculé de telle sorte que la valeur minimale de a(O) soit une ccrwine valeur c, La ligure 4.12 représente plusieurs formes de ce noyau pour les ordres PIllHX = 1 ct PIlll\X = 2.

4~7.2.

Noyan (le Chai.. n'ifliams à marginales généralisées

Proposé dans lXIA 96'1, le noyau de Choi-Williams tl marginales généralisées (CWMG) s'écrit: [4.22] où '1] est le nomhre de branches, Ok les angles des branches et ;; règle la largeur des branches. La figure .4,12 représente des noyaux avec différents nombres de hmnchcs.

4.7.3. Noyau exponemiel multijorme orientable Lui aussi proposé dans un objectif de réduction des interférences. le noyau exponentiel multiforme orientable (NEMO) peut être employé pour la classification. Son expression est [COS 951 :

[4.23]

où A vaui ([TI;/Tnç,,]"p. Le choix Li = 2 et i = 0.5 conduit à A ~. 1TI;Î'I1)ÇO 1 : le noyau es! syrnêLriquc par rapport aux axes ( 0 et T = O. Pour li "}' = 1, on a fi = T(/ TOÇO: le noyau n' est pas symétrique par rapport aux axes. Pour CI :f O. le noyau vaut 1 sur les axes E, = 0 cl T = 0 (conservation des murginales). Le cas particulier't' = 0, 0; = 1 et ,\ = 1 correspond au noyau de Choi-\~liHiums, La t1gure 4.12 représente quelques exemples de cc noyau.

Cias:>ifkalÎOll

0,5

ç

173

1.

0,5 •

(l

()

·(1,5 ·64

o

o

NRG, onln.: 1

~ç 0,0

t\RG, ordre t

n.5

64 -;

·(}.5 -6.+

(l

NRG.

ordr~:2

é,

()

-11.5

~64

o

f)

CWMG, ::

~EMO.

symétrique

brallt:he~

NEil/IO. s;{lIIélriqut:

CWMG. 3 branche~

NEMO,

n~ylllélfiqlle

Figure .... 12. Exemples de 1I0)YllfT paraméfrÎqlfc.\' dans /(' plan dcs flm!JiJillf"lés. pour ddfën:nf s jt?Ux de pammèml.l' où AlRG cSlle noyau radialciJ/cJlI gmtxsiell, NEMO cst le }Joyall cxpo/ll?lllie! /IIulflforme nriemab lc cl Cn'MG l'SI li' Iloyau de OlOi-Wi lliams ft IIU/rgina/c.Y géllùaliJ Ù's

4.8. Bibliographie IATL 97J ATLAS L .. DROPPO] .. MCLAU GHLIN L mcci'dingx (~f'["C IlIlcmmiOlwl Symposil/m ou T'fTS, p. 233-236. 1994,

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stntionnaire~,

175

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Chapitre 5

Extraction de motifs temps-fréquence

\( J[ entre dans toutes les actions humaines plus de hasard que de décision J), dit André Gide. Cette citation. un tant soit peu lapidaire, pourrait moUver le souci de concevoir des algorithmes numériques de décision en esquive flulle décision humaine qui, au demeurant, reste inégalée lorsque prise par un expert

Les préoccupations de cc chapitre se tournent vers l'interprétation d'une représentation tCl11jJs-fréqucnce (RTF) d'un signal non stationnaire. intcl1m!lation souvent complexe et délicate. Pourquoi cl comment décider si un point d\l1lc RTF

provient du bruît seulement ou porte aussÎ l'énergie d'unc information signal? Nous proposons deux alternatives qui tentent de répondre il celte question. Dans notre eus, l'espace d'obscl'Vation associé au signal discret r[k] éludié est llll sous-ensemble de ,)(2 tel que pour toul élément (k,v) de cet ensemble. nOlé C. il existe un coefficient de la représcmatîon temps-Jh~qllcnce Pr[k,v], v représentant la variable fréquence normalisée par la fhSquencc- cl' échuntîllonnage :

C ~ \(k. v) 1 (k, v)

E

iTI" el p,

[l

I"'nj 0

50 C

ur tom le plan tempsfréquence, Un traitement similaire auruÎt pu être r~aIisé- sur un scalogramme si lu nalUre du signal analysé J'avaît exigé, Le traitement aurait été en lout point identÎclue, hurmls la taiJle de cellule qui aurait alors varié suivant "axe des fréquences (des échelles)" Du faît de leur grande dynamique. les RTF sont tracéeS L'Il écheHe logarithmique pour une meiHeure visualisation des 111011rS, Les axes fréquenliels sont représentés en fréquence normalisée. Les paramètres de construction des RTF ct de contrôle de la 'segmenlalion sont donnés dans les légendes des figures correspondantes. Le premier signal. présenté en I1gurc 5.1 Lest renregîslrcl11cm acoustique de la réponse impulsiollllellc de l'auditorium de l'Opéra Bastîl)e. Cct enregistrement est réalisé pour caractériser les propriétés ncoustjques de la salle en termes de réverbération, Le spectre est à large hande à l'instant de rémission de l'impulsion, puis les fréquences élevées disparaissem progressivement du fall d'Ull temps de réverbération plus court. La forme du motif spectral est bien donnée par la segmentation superposée il la RTF en ilgurc 5.lla. L'instant d'émission de l'impulsion est particulièrell1ent bien détecté du rail de In croissance brutule de r êncrgic. La segmentation fou11lÎt aussi une estimnlion du temps de réverhération des fréquences dc propagation du son.

Extrnction de motifs temps-fréquence

:!U9

0,5

-10 -8 "",

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IOOOE o l" -1 000--

I{S

15;

25 x 10;

IVlonlclH:-' non œniréf> d'orûre 1

5000 a)

i

10000 151100

Temps (ptS)

bl

Figure 5.11. Réponse iWj1l1!simmeUe de l'opch'iI Bosfilk Lo RTF frairéc (0) esr /e spectrogramme du signaI calcllM sur lfllelénê!n'

2'Q

c "w

4

D.lX-

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4 l(}l Momcllts non çentfC\ ù'onke 1

IJOO~~!!i~~~~I~ J' .; 1 Il

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0

O'JIIli .50UO 5

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tcmps~rréquenœ

0 0 3 JO' Moments non centrés d"ordre J

-a 2000j ~

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~ '""

1500, 1

1000·:

MoitI 1

500

r-,.·!otif .2

t.lnllf 7

0 Il

ù)

0,2

0,6 0,4 Proportion

i

0,8

Figure 5.12. SU/lcme!!1s de

t!au/J!JiIlS. Lu RTF ,wgmctlu!c (a) est lm 'V.ltfCll'Ogrmnme calcifIé sur uile fCl/âIrc de HO!Jnirlg tir' 5J j poil!fs arec 1/11 reCOUl'femeflf tic 50 'ih Le !lwJlbre de l'orx jréqut:lJ{icl/cs csi de 102-1 poims. La cellule gliss(mœ cOf/liem ;1 x 7 !loin!.l' cl fa probabiliré tif! f(lIIsJe alarme CSl de 1 O·~:!. L ·c.\]Jaci' de,,' {'(/tac!ùistiqucs (h) jJi'I'III(( dc d{llérencief Jes {/'Ois 1/uages de [Joims correspoNdant mn !mis mot({iî d'amplifudes p{IIS illljlorlfll1fcs. Sur }O.!Îgllfc (l'J. les courbes de régressioll de ccs {mis /1/ot(f::; sonr SIIJfcf]H!sées ((1/ réseau fjf(forilfUc (!sfimt' lors dc ln demière irération de /'oll1ul'illllll(', Le ré. J~

ml;,linll

Liui)ii.m~ rigjJ~,; ~-C[ô;e

hl

[)'~1

11Il Il Il Il Il Il Il Il Il Il Il ,0:; 111 III Il Il Il J Il 1111 o

tJmL.i

1I.è

0.-1

0.6

0.8

1

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1,4

1.6

l,~

figure liA. kloclèlc d'excita/ion de la pinee dc l'cn1muées mécaniques de li/figure 6,1 pOHr ulle vitesse de .J, 16 mis, a; répartiliou des chocs MW la pince fors dli passage d'ull galet, h) n!pal'litiolJ des 12 galets ml' le l'yMoe, c} sflcccs.\'ùm des../8 Înstants de

CfIOC,'

Dans les remontées mécaniques, application citée dUl1s le paragraphe 6.1,1. 13 force d'excitation liée â la pince peut être modélisée p3r une tcHe équation. Au

112

Décision temps-fréquence

passage d"un pylônc compression de remontée mécanique, la partie supérieure de la pince du télésiège doit s'insérer entre le câble et les galets. A chaque angle de la pince se produit un choc (voir ligure 6.4a}. En projection sur l'axe vertical. la direction et I"amplitudc de ces chocs dépendent de la variation de ia quantité de mouvement de la pince suivant cet rIXC. Les deux chocs en bout d'aiguiHc cmrespündenl à une bl'Llsque variation de la quantité de mouvement dirigée vers le bas. tandis que les deux chocs dus au plat de la pince correspondent il une brusque varlation dc quuntîté de lTlOUVCI1îetll dirigée vers le haut et d'amplitude plus fnible, Le pylône étudié ri 12 gnlets (voir figure 6.4b). Ainsi, ln pince subit cette série de 4 chocs pour chacun des 12 galets. Connaissant la vitesse du câble. il est alors pos.sible de modélise!' la succession des ÎU:itants des 4 x 12 = 48 chocs subis au passage de ce pylône, Ce modèle est représenté sur la figure 6.4c pour une vitesse de 4,16 mis. Le calcul des instants tm lient comple du fait que le choc ne se produit pas sous le centre du galet mais un peu avant ou après suivant que la pince entre ou sorle de dessous le galet dans Je sens de la marche. Ce modèle d'excitation est très simple, D'autres modèles peuvent être élaborés en remplaçant chaque fonction de Dîme par une fonction plus complexe telle qu'une impulsion de durée finie ou lIne nJllclion en dent de scie. Des exemples sont donnés dans [LAL 99]. Pour un système à 1 mode propre. d'amül1Îssement sous-critique défini par la relation f6.2]. la réponse Ym(t) à l'excitation cm ôl t~t111_) est il chaque instant lm_ la somme de deux 1ennes (voir 6, t .3). L'un est la convoJutïoll de cette excitation avec la réponse impulsionnelle hl \ l) définie dans l'équation [6.4], l'aulre est le lemle transitoire d'oscillation libre défini par l'équation [6.5]. Ainsi, la réponse l'm(l) s'écrit:

Ym (t):;;:;; CmÛ( t - Lm)it hl (l)+ amIe ~iil(l~t!l1) sin{ Dl (t - tm) + 41rnd U( t

lm)

[6.12] avec amI et {Pm] amplitude et phase du tenne d'osciHation tibre à l'instant lm. Ces paramètres sont définis de telle sorte que la réponse Ym(t} \iérifie les conditions inltiales du système. Ces conditions initiales sont délInies, à chaque instant t m, par l'état du système créé par l'excitntion précédente. La posHlon initiale YO!m du système il l'instant t lll est défini par Yot :;: ;: Ym-! (tm) et la vÎtestlc initiale vOtm par VOl",

=Ym~l(lm)'

'"

De la physique ii la dèlcctîon

223

Ln répollse y ( t) il la série des M excitations définie par l'équation [6.11] est la somme des M répnnses YM tl) de ['équation [6,12], En intégrant l'équation [6.4]. Y\ tj s'écrit:

[6,13]

Cc modêle de réponse peut s'écrire sous lu forme générale suivante: M

y(t)

L:

Amle-UII'-I",lsin(QI(t"'tm)+II'lTltl U(t--!m)

[6.14]

m",1

avec:

AmI

l

[a ml

+ e~~~ 7.em am! sl'n (ml p "'1'

Qi

-

QI

\7m=I,1\1

arclg

Si les chocs successifs sont très rappmchés de telle sorte qu'un choc excite le système avm1t que la réponse au choc précédent soit totalement amortie. J'interprétation des observations, que ce soit dans le domaine temporel ou fréquentiel, devient délicate, Sur le plan expérimental, rnmplitude observée résulte de la projection de la réponse sur 10 direction dans laquelle le capteur cITecme la mesure. Dans ce chapitre, nous ne considérerons que la mesure dans la direction verticale. De plus, la réponse est le plus souvent observée il raide d"un accélèromètrc qui mesure une accélération et non lin déplacement.. Dans ce cas, le signal observé suit un rnodèle un peu différent, iJ s'obtient en calculant Ja dérivée seconde de ln réponse y (t) définie dans

[6,14] cl s'écrit:

224

Décision temps-fréquence M

y(t)=~ LAIl11

. e -uill-lm) 5111

(~ ( 1-1 ) +!lml -1 )U( t-t m ) !;,![ m

[6.15]

111""'[

avec:

La comparaison entre les équations [6.14J et [6.15] montre que, dans les deux types de mesure, le modèle s'écrit sous ln forme d'une somme de sinusoïdes amorties. Une mesure en déplacement a des termes d'amplitude ct de phase fonction des paramètres amI ,;. = 4. Pour un signal conlenunt deux fréquences. la fréquence maximale du signal doit être plutôt proche de 1/3 de la fréquence d'échantillonnage.

238

Décision temps-fréquence

Sur le plan expérimental, il est bien évident qu'il est impossible de jouer de cette façon avec la fréquence d'échantillonnage. Par contre, il peut être intéressnnt d'insérer une étape préliminaire d'interpolation afin de se rapprocher de la valeur optimale, ce qui permet de gagner sur la précision de l'estimation surtout si le rapport signal sur bruit est faible. Cette étape s'est révélée très importante dans la détection d'instants proposée dnns le paragraphe 6. 1.4.

OJ';

Q 0,6 "

liA 0,2

lfigul'c 6.S.ili/luenec de l 'éclwllli!lol1lwge slIr le conditionnement de C: le cas P = 1 correspond à 11/1 signal simulé contenallf IIne/i'équcnce amortie, le cas P = 4, deux fréquences all/orties. Le rapport signal .l'TIr bl'llit est de II dB

Le conditionnement de la matrice V définie dans [6.34] est moins sensible à la fi:équence d'échantillonnage que le conditionnement de C (voir figure 6.9). Toutefois, il est important de surveiller sa valeur car elle détermine la précision sur le calcul des amplitudes Ai' sur lesquelles s'appuient la détection des instants présentée dans le paragraphe 6.1.4.

0,8 ~ Il,6 ~

OA 0,2

6

10

12

14

16

18

20

Figure 6.9. h?fluence de l 'écfIl1llti//olllwge .l'III' le conditiollnement de l~': le cas P = 1 corre"polII! à /fn signaisillll//(; col1fellallf IlIIejiùluellce amortie, le cas P =./, den". Féqllenccs amorties. Le rapport signal sur hruil est de II dB

De la physique à la détection

239

6.1.3,8. Al/tres identfficaliol1s

En présence d'un bruit blanc additif, le modèle de Prony n'est plus adapté (voir paragraphe 6.1.3.4), les performances se dégradent dès que le rapport signal sur bruit diminue. La méthode de Prony corrélation est déjà bien moins sensible (voir paragraphe 6.1.3.4). De nombreuses autres extensions permettent d'améliorer aussi les performances, citons par exemple, le calcul des coefficients à partir de l'espace signal seulement, espace séparé de l'espace bruit à partir d'une décomposition en valeurs singulières de la matrice C [I-IEN 81, KUM 82, KUM 83]; l'introduction de statistiques d'ordre supérieur si le bruit additif est gaussien, qu'il soit blanc ou coloré [PAP 90], des modèles spécifiques dc bruit coloré [NEH 82, SAK 86, SAT 78], un débruitage des données par seuillage des coellïcients d'ondelettes [YOU 01]. Vu sous l'angle plus général d'identification de la réponse d'un système dont la fonction de transfert est définie par des pôles et des zéros et sans poser de liens a priori entre ces racines, Steiglitz et Mc Bride proposent un algorithme d'identification basé sur un calcul itératif de filtres de Kalman [STE 65], algorithme dont la convergence est étudiée dans [STO 81]. Dans le but de modéliser des oscillations électromécaniques, Sanchez et Chow comparent empiriquement les performances de cette approche avec la méthode de Prony et celle basée sur une décomposition en valeurs singulières [SAN 99]. Toutes ces approclles font l'hypothèse que l'entrée du système est aléatoire et égale à un bruit blanc. Shaw propose une approche basée sur un modèle ARMA déterministe, l'entrée du système est alors une impulsion, modèle particulièrement adapté dans le domaine de la mécanique. Le critère d'elTeur obtenu est non linéaire et résolu par un algorithme itératiqSHA 94, SHA 01]. 6.1.4. NOIl-statioll1wrÎté et lIlodèle 1II11!tic!IOC

Pour approximer un signal par le modèle multichoc défini par l'équation [6.16], l'approche proposée doit être adaptée à des sigl1aux 11011 stationnaires. Quand les oscillations ne sont pas amorties, une identification du modèle de Prony sur une fenêtre glissante est perfOm1allte telle que l'application en biomédical présentée dans [GAR 00]. Par contre, la présence d'amOItÎssement nécessite une algorithmique adaptée. Alal en 1982 [ATA 82] a proposé une solution récursive qui estime d'abord la première impulsion, puis après déflation, soustraction du modèle au signal, estime les impulsions suivantes. Il initie une modélisation dite « multi-impulsion », 1111111iplilse en langue anglaise, dans le domaine du codage des signaux de parole. Celle approche se limite à la recherche des impulsions d'entrée, estimation de l'amplitude et de l'instant d'excitation à partir d'une réponse Împulsionnelle prédéterminée ou estimée par une modélisation autorégrcssive, En 1996, pour l'analyse de signaux transitoires électromagnétiques, S. Yvetot [VVE 96] présente une étude complète, qui introduit un modèle de la fonction de transfert par la méthode de Prony, modèle

240

Décision tcmps-fi·équcncc

mulli-impulsion monomodèle ou multimodèle, et qui évalue l'apport de la transformée en ondelelles pour la détection d'instants d'excitations. L'approche présentée est dans la même ligne que celle de S. Yvetot. Le modèle de base est celui de Prony, parfaitement adapté à chacune des réponses prises individuellement. L'approche est multimodèle dans le sens où nous faisons l'hypothèse que la fonction de transfert du système peut évoluer au cours du temps. Elle doit alors être estimée pour chaque choc. Cette hypothèse de non-stationnarité n'est pas vérifiée dans toutes les applications. Néanmoins, elle permet de s'affranchir des évolutions de la configuration mécanique du système. Pour y faire face, nous avons choisi d'appliquer la méthode de Prony sur une fenêtre glissante avec une configuration adaptée au fait que les sinusoïdes soient amorties. Cette option, contrairement aux modélisations purement non stationnaires, évite d'avoir il choisir un modèle de non-stationnarité. La seule contrainte est ulle contrainte de stationnarité locale qu'il n'est pas déraisonnable de supposer lors de la réponse à un choc. La taille de celle fenêtre, optimale lorsqu'elle est choisie égale à la durée de la réponse d'un choc, est un paramètre fondamental. L'algorithme proposé estime cette taille en exploitant les propriétés de l'estimateur sur des fenêtres « très courtes}) ou « longues ». Appliquer un modèle de Prony à chaque choc nécessite impérativemcnt L1ne étape préliminaire de détection des instants d'arrivée de ces chocs. Nous proposons une approche originale qui s'inspire il nouveau de la modélisation dc Prony. Cette étape de détection est liée il la sensibilité de la méthode de Prony aux non-stationnarités du signal, en particulier au retard ou il l'avance de phase, cette demière constituant une rupture du modèle sur la fenêtre d'observation. Tous les points particuliers de cet algorithme que nous avons appelé Pron)' lemps:fi'éqllence sont étudiées dans ce paragraphe.

6.1.4.1. Rupture de modèle su!" lafcnëtre d'ohservation Une somme de sinusoïdes amorties est un signal qui peut être considéré comme stationnaire si la stationnarité pour des signaux déterministes est détïnie comme l'existence d'une relation simple, analytique et non divergente entre les amplitudes du signal il diftërcntes dates [BRI 81J. Dès que le signal mesuré présente une avance de phase, le signal n'est plus stationnaire. Une aval/ce de phase de l'observation sur la réponse du système signifie que les sinusoïdes sont précédées de points vérifiant un autre modèle (réponse précédente ou bruit ambiant). Dans ce cas, le modèle de Prony n'est plus compatiblc avec lcs données observées. L'application de la méthode sur une telle fenêtre conduit il des erreurs d'estimation non négligeables. Lors de la résolution du premier système. équation [6.32], une rupture additive de modèlc dans la fcnètrc d'observation provoquc une erreur d'estimation des paramètres AR propOitionnelle au rapport de

De la physique il la détection

24\

la puissance du modèle précédent l'instomt de ehoc sur la puissance de la réponse au choc [ROB 96]. Lors de ln résolution du second système, équation [6.35], Yvetot [YVE 93. YYE 96] a montré que l'estimation des amplitudes est perturbée par un biais multiplicatif lié aux pôles du modèle et un binis additif qui dépend des échantîllons du signal avant la rupture. Suivant que ces échantillons représentent du bruit ou la tin de ln réponse au choc précédent, ce binis sera plus o1l1110ins important. Dans le cas d'un retard de phase de l'observation sur la réponse du système, les premiers échantillons des sinusoïdes ne sont pas pris en compte. Dans ce cas moins défavorable, le modèle de Prony est toujours applicable mais les paramètres estimés sont, bien évidemment. ceux con·espondant ft l'observation. Le décalage temporel influe donc sur l'estimation de l'amplitude et de la phase, soit dans la résolution du deuxième système. équation [6.35]. Pour un retard de phase (Pr' l'amplitude complexe de chaque mode p sera égale à :

[6.40] L'amplitude est perturbée par un terme nmltiplicatiC fonction exponentielle du retard de phase, tandis que la phase est perturbée par un terme additif égal au retard de phase.

60

60

tO

20

JO

40

50

60

Figure 6.10. Scnsibilité de J'analyse de Prol/y al/ jJositioJ/llemellt de lajèllJlre cl 'ObSe/'l'lIlioll : aWlI7ce de phase, jèllêtrc calJe cl l'installt du choc ct retard de phasc. Courhe el1 blcu : signa! simlllé (cxp(~(),';(t-·J{))).siil(1;r (j,U (1 JO)) (/l'CC T,. = J s ; rapjJort signal cl hr/lit (bruit h/anc addit{/) = 18 dB. Courbe elll'Ouge: /1/odèle estime de PrO/{F Ù /III ordre P = 2 m'eL' flile taille defel1are N = JO p()illts (délimitée IJOr deux harres l'cI'ricC/hw).

141

Décisîmi

iemps-fh~quence

Cette sensibilité an positionnement de la fenêtre d'observation pal' rapport il la réponse d'un ehoe est illustrée sur la figure 6.10 pour le retard ct l'avance de phase.

6.l A.2. Détectiou des

il/STallls :

courbe des amplitude,)'

Un moyen de pallier la sensibilité de la métbode à une rupture de modèle SUI' la fenêtre d'observation consiste fi estimer préalablement les instants de mplure. Nous proposons une approche basée sur les propriétés du modèle de Prony dans le but

d'estimer les înstants de chocs dans llll signal vérifiant le modèle muHîchoc de l'équation [6.16] discrétisé ù une période Tc- Les instants de chocs sont notés tm "'" km~I~. Supposons dans un premier temps que les réponses aux chocs sont disjointes. Considérons ulle fenêtre glissunte en temps de Nf points. Nf de l'ordre du nombre de points entre chocs et repérée par l'indice de 50n premier point noté k f .

Lorsque km :Ç k f $. k m+ 1 Nf, Je signai observé dans la fenêtre est cn rcL:'lrd de phase (Pr kr1lp par rapport il l\instant de choc km (voir paragraphe 6.1.4. J) et suit un modèle qui, avec une origine fixée nu début de la fenêtre. s'écrit, pour O,;k,;Nr-1

YdleJ

P

1 L: Amr

YI' [1< =

[6.4 J]

r~1

D'après cette équation, l'amplitude du mode p, notée Ap LKr J, s'écrit:

[6.42] Cette équation montre- que l'amplitude de chaque mode estimée sur la fenêtre est une exponentielle fonction de l'indice Kr et maximale pour k r :;:;; km.

Lorsque km+ 1 - Nf + 1.:::;; 1e r 5; km -1, le signal est en avance de phase, 1u H:nêtre contienl tlné rupture de modèle, L'estÎmatlon des amplitudes sera perturbée sur ulle durée correspondant ù la largeur de fenêtre Nf. Cependant, les parametres du modèle de Prony sont estimés en deux phases distinctes: estimation des pôles complexes, équation [6.33], puis des amplitudes complexes, équation [6.36]. Il est donc envisageable de choÎsir des taBles de fènêtre différentes pour chaque phase. Cette possibîlité est intéressante dans ce contexte de dètectÎùl1 afin d'être sensible il une variation plutôt qu'à une estimation précise.

En choisissant pour la deuxième phase une taille de fenêtre Nfbis très inférieure il NI', J'estimation des amplitudes sera perturbée sur une durée beaucoup plus faible ( f" [bis), La figure 6.11 représente deux analyses de Prony, rune avec la même

De la physique- ilIa détection

243

wille de renêtre pour les deux phases, l'autre avec deL1x tailles de lénêtre diflërentes. Le choix N fbis = 2P semble être un bon compromis afin de ne pas tl'Op dégrader ln qualité de l'estimation des amplitudes, Lu courbe du bas de la lîgurc 6,11 montre une réduction notable de la durée de perturbation, de 20 points il 4- points. I--···-~

-

.

..-----

o.~~~ ·05

-1.[...........

o

10

•

'

,

20

30

...JO

,~ .. ~~-

SO

60

70

(IJ:~[~~~ ()

\0

n-l:= - ,= o

10

20

~-~ 30

4()

50

60

60

10

,_

30

l'~r

50

1

90

20

0.5.

40

80

70

SO

80

90

90

Figure 6.1 1. C01/rhes dt?\' (l}Jlplillldes c,I'limées, àj!!t1lioll /6.42), sllr le signa! simule représewé sur la Ji....!!;rtf'C du haul. Courbe c~-t!c;lI!èc (lI'ec wU! taille de ji.mèlre gllssa!lU! idelllique pour les

N/= N,this = lO pU' slir [a fIgure du milieu, [JflL~ ({l'lX wu' faille heC//fcou? plusjlrib!e pOf/}' hl denrièmc phase, Nlbis = 2P """-./ pts, .\'1/1' fafigurt' du htlx.

df:NI.V phases de Pmny,

Ainsi, lorsque ln fenêtre glisse point pHI' point SUI' tm sÎgnal 11lultichoc, chaque courbe Ap[KrJ représenle une succession d'exponentielles nmorties maximales aux instants de chocs recherchés. Cette propriété est vmie quel que soit le mode p variant de l il p, EtHnt donnè qu'il n'y a aucune raison pour privilégier un mode. Je détecteur que nous proposons esl construit sur If! somme des ampHtudes estimées pour chaque mode. A insÎ, les instants km 50111 estîmés par les mguments des maxima de la somrne des amplitudes des modèles locaux sur chaque fenêtre: p

km

~argl11axLAn[krl kr

poooJ

lM3]

•

La robustesse du détecteur est mnéliorée en ne retenant que les maxima quj sont suivis d'une décroïssance exponentielle. Les paramètres Àk r et à kr d'un modèle de fonction exponentielle sont estimés par moindres carrés sur la courbe d':EI-IORA! t\" MORF M., ii Enhnnccmcnt of sinusoids i11 colorcd noise and Ihe \\'hilcnlng perfurmance of exact Jeast squnres predictors )', IEEE TralU'. On ACONs!" Speech, Sigl/ol PrucessilTg, vol. ASSP~30. p. 353-362,juÎn 1981. [PAP 90J Pi\PADOPOULOS C.K., NrK1As C. L.,

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Décision temps-fréquence

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6.2. Détection de transitoires et analyse de signatures en épilepsie 3 L'épilepsie est une maladie du système nerveux central dont souffre, à des degrés divers, environ 1 % de la population [THO 94] (chiffre contirmé dans plusieurs pays d'Europe et aux Etats-Unis). Elle se manifeste par la répétition de crises, dénommées épisodes critiques, les périodes hors crises étant appelées infercritiqlles. La fréquence des crises est variable (de quelques-unes par an à plusieurs par jour) tout comme leur 2. Remerciements il Michelle Vieira ct François Vial du LIS pour leur participation aClive aux nombreuses relectures. 3. Section rédigée par Lorti SENl-lADJl et Mohammad SI-IA!\-'lS0LLAHI. La recherche menée sur cc thème s'cflèctue en collIER J.M" BELLANGER J..I.,