Curs Analiza Matematica Calcul Dif [PDF]

Zitiervorschau

 MATEMATICA  ANALIZA CALCULUL DIFERENT  IAL

RODICA LUCA{TUDORACHE

 MATEMATICA  ANALIZA CALCULUL DIFERENT  IAL

CUPRINS Notatii ..................................................................... 8 Capitolul 1 Preliminarii

1. Multimi. Relatii. Fun tii ...............................................11 2. Multimea numerelor reale .............................................. 18

Capitolul 2

Siruri si serii de numere reale

1. Siruri de numere reale ..................................................36 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Sir onvergent, sir divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Proprietati ale sirurilor u limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Operatii u siruri u limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Proprietati de ompatibilitate a onvergentei u relatia de ordine din IR . . 44 Teoreme fundamentale ^n teoria onvergentei sirurilor reale . . . . . . . . . . . . . . . 46 Pun te limita ale unui sir. Limita superioara si limita inferioara . . . . . . . . . . 51

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Serie onvergenta, serie divergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 Proprietati generale ale seriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Criterii de onvergenta pentru serii u termeni nenegativi . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Criterii de onvergenta pentru serii u termeni oare are . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Serii absolut onvergente si serii semi onvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Produsul Cau hy (produsul onvolutiv) al doua serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

2. Serii de numere reale ...................................................66

Capitolul 3

Spatii metri e. Spatiul IRk

1. Spatii metri e .........................................................107 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Metri a, spatiu metri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Siruri de pun te ^n spatii metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Multimi des hise, multimi ^n hise, pun te deosebite pentru o multime . . . 119 Prin ipiul ontra tiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. Spatii normate. Spatii prehilbertiene ..................................132 3. Spatiul IRk ............................................................141

Capitolul 4

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

1. Limite de fun tii ......................................................157 5

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Cadrul general al spatiilor metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 Limite de fun tii ^n spatiul IRk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Extinderi ^n IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Teoreme de ara terizare, proprietati ale fun tiilor u limita . . . . . . . . . . . . . 168 Limite iterate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Limita ^n dire tia ~!. Limite partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Cadrul general al spatiilor metri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Continuitatea fun tiilor ve toriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Continuitatea partiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Continuitatea laterala a unei fun tii ve toriale de o variabila reala . . . . . . . 183 Fun tii ve toriale uniform ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Proprietati ale fun tiilor ontinue pe multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Fun tii reale de o variabila reala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

2. Fun tii ontinue ...................................................... 178

Capitolul 5

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

1. Diferentiala si derivata unei fun tii ^ntr-un pun t ......................202 1.1. De nitia diferentialei si a derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 1.2. Operatii u fun tii diferentiabile (derivabile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 1.3. Derivate laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2. Derivate si diferentiale de ordin superior .............................. 211 3. Teoreme fundamentale ale al ulului diferential ....................... 216 4. Formula lui Taylor. Pun te de extrem .................................231 4.1. Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 4.2. Studiul pun telor de extrem u ajutorul derivatelor de ordin superior . . . . 236

Capitolul 6 Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

1. Diferentiale si derivate partiale ........................................242 1.1. Diferentiala si derivata partiala a unei fun tii ^ntr-un pun t . . . . . . . . . . . . . 242 1.2. Derivate partiale si diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 1.3. Derivata dupa o dire tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264

2. Fun tii ompuse ...................................................... 265 6

2.1. Diferentiala si derivatele partiale de ordinul ^nt^ai ale fun tiilor ompuse . .265 2.2. Diferentiale si derivate partiale de ordin superior ale fun tiilor ompuse . .271 2.3. Fun tii omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

3. Formula lui Taylor .................................................... 277 4. Fun tii impli ite ...................................................... 284 5. Transformari regulate. Dependenta si independenta fun tionala ....... 292 5.1. Transformari regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.2. Dependenta si independenta fun tionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296

6. Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi ......................... 300 6.1. Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 6.2. Extreme onditionate sau u legaturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Index de matemati ieni ............................................... 318 Bibliogra e ..............................................................320

7

Notatii 8 uanti atorul universal (ori are, ori e) 9 uanti atorul existential (exista) 2 apartenenta unui element la o multime (apartine)  in luziunea unei multimi ^n alta multime (in lusa) ) semnul impli atiei logi e (rezulta) , semnul e hivalentei logi e (e hivalent) P (X ) familia partilor multimii X ; multimea vida [i2I Ai reuniune de multimi \i2I Ai interse tie de multimi A  B produsul artezian al multimilor A si B A n B diferenta multimilor A si B IN multimea numerelor naturale f1; 2; 3; :::g Z multimea numerelor ^ntregi f0;n1; 2; :::g o 6 0 Q multimea numerelor rationale pq j p; q 2 Z; q =

IR multimea numerelor reale IR IR n f0g IR+ multimea numerelor reale nenegative fx j x 2 IR; x  0g IR multimea numerelor reale nepozitive fx j x 2 IR; x  0g IR+ multimea numerelor reale pozitive fx j x 2 IR; x > 0g IR multimea numerelor reale negative fx j x 2 IR; x < 0g IR dreapta reala extinsa IR [ f+1; 1g C multimea numerelor omplexe fa + ib j a; b 2 IRg sup A marginea superioara a multimii A inf A marginea inferioara a multimii A V (x) sistemul ve inatatilor pun tului x lim a limita sirului (an )n n!1 n lim sup an , nlim !1an limita superioara a sirului (an )n n!1 lim inf a , lim an limita inferioara a sirului (an )n n!1 n n!1

8

LIM(an ) multimea pun telor limita ale sirului (an )n 1 X an seria u termenul general an n=1 (X; d) spatiu metri , u metri a d : X  X ! IR (V; k
k) spatiu normat, u norma k
k : V ! IR (H; <
;
>) spatiu prehilbertian, u produsul s alar <
;
>: H  H ! IR (C ) S (x; r) sfera des hisa u entrul ^n x si de raza r > 0 S (x; r) sfera ^n hisa u entrul ^n x si de raza r > 0 A0 multimea pun telor de a umulare ale multimii A (multimea derivata) A multimea pun telor aderente ale multimii A (aderenta sau ^n hiderea multimii A) Æ A, int A multimea pun telor interioare multimii A (interiorul multimii A) Fr A multimea pun telor frontiera ale multimii A (frontiera multimii A) IRn = |IR  IR 


 IR} spatiul liniar aritmeti u n dimensiuni {z n ori

f~ = (f1 ; f2 ; : : : ; fm ) fun tie ve toriala lim f~(~x) limita fun tiei f~ ^n pun tul ~x0 ~x!~x0 lim f~(x); f~(x0 0) limita fun tiei f~ la st^anga ^n pun tul x0 x!x0

xx0

lim f lim f (x; y)g; ylim !y0 fxlim !x0 f (x; y)g limite iterate f 0(x0 ); f~0 (x0 ) derivata fun tiei f , respe tiv f~ ^n pun tul x0 2 IR df (x0 ); df~(x0 ) diferentiala fun tiei f , respe tiv f~ ^n pun tul x0 2 IR C n(I ) multimea fun tiilor f : I ! IR derivabile de n ori pe I , u f (n) ontinua pe I C 1(I ) multimea fun tiilor f : I ! IR are admit derivate de ori e ordin pe I f (~x ) derivata partiala a fun tiei f ^n raport u variabila xi ^n pun tul ~x0 2 IRn xi 0 df (~x0 ) diferentiala fun tiei f ^n pun tul ~x0 2 IRn C k (D) multimea fun tiilor f : D ! IR; D  IRn , are au toate derivatele partiale p^ana la ordinul k in lusiv ontinue pe D df (~x ) derivata fun tiei f ^n raport u ~! (dupa dire tia ~!) ^n pun tul ~x0 d~! 0 Q.E.D. quod erat demonstrandum (lat.) { eea e trebuia demonstrat. x!x0 y!y0

9

Capitolul 1 PRELIMINARII 1. Mult imi. Relat ii. Fun t ii

O ole tie (ansamblu) A de obie te av^and anumite proprietati omune, are le deosebes de alte obie te, formeaza o multime. Obie tele sale se numes elemente. Da a a este un element al multimii A vom s rie a 2 A si vom iti "a apartine lui A". Da a a nu apartine lui A vom s rie a 62 A. O multime poate de nita spe i ^and individual elementele sale (sinteti ),

az ^n are elementele se s riu ^ntre a olade. De exemplu, A = fa; b; ; dg este multimea formata din elementele a; b; ; d. Un alt mod de de nire a unei multimi

onsta ^n spe i area unei proprietati pe are o au elementele sale (analiti ). De exemplu, multimea pun telor (x; y) din plan are apartin er ului u entrul ^n origine si raza 1 se noteaza A = f(x; y) j x2 + y2 = 1g. Multimea are nu are ni i un element se numeste multimea vida si se noteaza

u ;. Fie multimile A si B . Da a e are element al lui A apartine si lui B se spune a A este o submultime (sau parte) a lui B si se s rie A  B sau B  A. Se iteste "multimea A este in lusa ^n multimea B " sau "multimea B in lude ( ontine) multimea A". Da a A nu este in lusa ^n B , adi a exista elemente ale lui A are nu fa parte din B , se s rie A 6 B si se iteste "multimea A nu este in lusa ^n B ". Multimile A si B sunt egale da a ori e element al lui A apartine lui B si re ipro , ori e element al lui B apartine lui A; se noteaza A = B . De i A = B da a si numai da a A  B si B  A.

12

Preliminarii

Da a E este o multime, atun i multimea are are a elemente toate submultimile lui A se numeste multimea partilor lui E si se noteaza u P (E ). Relatia de in luziune "" de nita mai sus ^ntre partile unei multimi E (sau ^ntre elementele multimii P (E )) are urmatoarele proprietati: a) A  A; 8 A 2 P (E ) (relatia este re exiva); b) Da a A  B si B  A atun i A = B (relatia este antisimetri a);

) Da a A  B si B  C atun i A  C (relatia este tranzitiva). Multimea A este stri t in lusa ^n multimea B da a A  B si exista el putin un element b 2 B , b 62 A. Operatii u multimi Fie E o multime, iar A si B

doua parti ale ei (A  E; B  E ). Multimea elementelor are apartin el putin uneia dintre multimile A si B se numeste reuniunea multimilor A si B ; se noteaza A [ B si se iteste "A reunit

u B ". De i A [ B = fx j x 2 A sau x 2 B g: Multimea elementelor are apartin si lui A si lui B se numeste interse tia multimilor A si B ; se noteaza u A \ B si se iteste "A interse tat u B ". De i A \ B = fx j x 2 A si x 2 B g: Da a A si B nu au ni i un element omun, atun i interse tia lor este multimea vida, A \ B = ;. ^In a est az se spune a multimile A si B sunt disjun te. Operatiile de reuniune si interse tie au urmatoarele proprietati a) A [ A = A a') A \ A = A (idempotenta), b) (A [ B ) [ C = A [ (B [ C ) b') (A \ B ) \ C = A \ (B \ C ) (aso iativitatea),

) A [ B = B [ A

') A \ B = B \ A ( omutativitatea), d) A [ (B \ C ) = (A [ B ) \ (A [ C ) d') A \ (B [ C ) = (A \ B ) [ (A \ C ) (distributivitatea), e) A [ ; = A e') A \ ; = ;, f) A [ E = E f') A \ E = A, pentru ori e multimi A; B; C  E .

13

Multimi.Relatii.Fun tii

Se de nes ^n mod asemanator reuniunea si interse tia unei familii oare are de multimi (Ai)i2I , Ai  E , 8 i 2 I , unde I este o familie de indi i nita sau in nita S at x 2 Ai g; i2I Ai = fx j 9 i0 2 I astfel ^n ^ T i2I Ai = fx j x 2 Ai ; 8 i 2 I g. Multimea elementelor are apartin lui A si nu apartin lui B se numeste diferenta dintre multimile A si B ; se noteaza A n B si se iteste "A minus B ". De i A n B = fx j x 2 A si x 62 B g. Da a A \ B = ; atun i A n B = A si B n A = B . Diferenta E n A se mai numeste omplementara multimii A fata de E si se noteaza u CE A sau CA. De i CE A = fx j x 2 E si x 62 Ag. Multimea tuturor pere hilor (a; b), a 2 A si b 2 B , onsiderate a elemente, se numeste produsul artezian al lui A u B ; se noteaza A  B si itim "A ori B ". De i A  B = f(a; b) j a 2 A si b 2 B g. Multimile A si B se numes fa torii produsului artezian A  B , iar a si b se numes oordonatele sau proie tiile elementului (a; b). Da a A = B , ^n lo de A  A vom s rie A2, adi a A2 = f(a1 ; a2 ) j a1 2 A si a2 2 Ag. Doua elemente (a; b) si (a0 ; b0) ale produsului artezian A  B sunt egale da a si numai da a a = a0 si b = b0 . Se poate de ni produsul artezian A1 A2 : : : An a n multimi A1; A2; : : : ; An,

a ind multimea tuturor grupelor (n-uplelor) (a1 ; a2 ; : : : ; an), unde a1 2 A1 , a2 2 A2 , ..., an 2 An . De i A1  A2  : : :  An = f(a1 ; a2 ; : : : ; an ) j a1 2 A1 ; a2 2 A2 ; : : : ; an 2 An g. Da a A1 = A2 = : : : = An = A produsul artezian A1  A2 


 An se noteaza u An . Se numeste relatie binara (relatie) ^ntre multimile A si B , notata u R o 0

14

Preliminarii

submultime a produsului artezian A  B . De i R  A  B . Da a elementele a 2 A si b 2 B sunt ^n relatia R, vom nota (a; b) 2 R sau aRb. O relatie R  A  A se numeste relatie de e hivalenta pe multimea A da a ea veri a urmatoarele onditii a) (a; a) 2 R, 8 a 2 A (relatia este re exiva); b) Da a (a; b) 2 R atun i (b; a) 2 R (relatia este simetri a);

) Da a (a; b) 2 R si (b; ) 2 R atun i (a; ) 2 R (relatia este tranzitiva). O relatie R  A  A se numeste relatie de ordine pe multimea A da a ea veri a urmatoarele onditii a) (a; a) 2 R, 8 a 2 A (relatia este re exiva); b) Da a (a; b) 2 R si (b; a) 2 R atun i a = b (relatia este antisimetri a);

) Da a (a; b) 2 R si (b; ) 2 R atun i (a; ) 2 R (relatia este tranzitiva). O multime pe are s-a de nit o relatie de ordine se numeste multime ordonata. Relatia de egalitate a multimilor este o relatie de e hivalenta, iar relatia de in luziune este o relatie de ordine pe multimea P (E ). O relatie de ordine R  A  A se numeste totala da a pentru ori e elemente a; b 2 A avem aRb sau bRa. O multime A dotata u o relatie R de ordine totala se numeste multime total ordonata sau lant. Fie X o multime dotata u o relatie de ordine "", iar A  X . Elementul M 2 X se numeste majorant pentru multimea A da a a  M; 8 a 2 A, iar elementul m 2 X se numeste minorant pentru multimea A da a m  a; 8 a 2 A. O multime are admite majoranti (minoranti) se numeste majorata sau marginita superior (respe tiv minorata sau marginita inferior). Unei relatii de ordine  de nita pe o multime X i se aso iaza o relatie " 0 9 a" 2 A astfel ^n ^at a" > m ". Demonstratie. Da a m = sup A atun i m este un majorant pentru multimea A, de i are lo a). Deoare e el este el mai mi majorant pentru A, pentru ori e " > 0 arbitrar, momentan xat, elementul m " < m nu este majorant pentru A, de i exista un element a" 2 A astfel ^n ^at a" > m ", adi a are lo onditia b). Re ipro , sa presupunem a au lo proprietatile a) si b). Proprietatea a) ne spune a m este un majorant pentru multimea A. Proprietatea b) ne arata a m este el mai mi majorant pentru A. ^Intr-adevar, da a ar exista un alt majorant al multimii A, m < m, atun i a  m; 8 a 2 A. Lu^and " = m m rezulta din b)

a exista a" 2 A astfel ^n ^at a" > m m + m ) a" > m, eea e ontrazi e faptul a m este majorant. De i m este el mai mi majorant, adi a m = sup A. Q.E.D. Fie A  IR o multime minorata. Un el mai mare minorant se numeste marginea inferioara a lui A si se noteaza inf A.

Teorema 1.2.3. Elementul m este marginea inferioara a multimii A (m = inf A) da a si numai da a sunt veri ate onditiile a) m  a; 8 a 2 A; b) 8 " > 0 9 a" 2 A astfel ^n ^at a" < m + ". Demonstratie. Da a m = inf A atun i m este un minorant pentru A, adi a m  a; 8 a 2 A, de i are lo a). ^In plus m este el mai mare minorant. Atun i

24

Preliminarii

pentru ori e " > 0 arbitrar, momentan xat, m + " nu poate un minorant pentru A, adi a exista a" 2 A astfel ^n ^at a" < m + ", de i are lo proprietatea b). Re ipro , sa presupunem a au lo proprietatile a) si b). Proprietatea a) ne spune a m este un minorant pentru A. Proprietatea b) ne arata a m este

el mai mare minorant, deoare e da a ar exista un alt minorant m > m u m  a; 8 a 2 A, atun i lu^and " = m m rezulta a exista a" 2 A astfel ^n ^at a" < m + m m ) a" < m, eea e ontrazi e faptul a m este un minorant pentru A. De i m = inf A. Q.E.D. Teorema 1.2.4. Ori e multime A  IR, A 6= ;, minorata are margine inferioara. Demonstratie. Deoare e A este minorata (are minoranti) rezulta a multimea ( A) este majorata, de i onform axiomei (A15) exista sup( A), ( A 6= ;). Din Teorema 1.2.2 avem a) a  sup( A); 8 a 2 A; b) 8 " > 0 9 ( a") 2 ( A) astfel ^n ^at a" > sup( A) ". Relatiile de mai sus se pot s rie e hivalent astfel a') a  sup( A); 8 a 2 A; b') 8 " > 0 9 a" 2 A astfel ^n ^at a" < sup( A) + ". Folosind Teorema 1.2.3 de ara terizare a marginii inferioare a unei multimi, din a') si b') rezulta a exista inf A = sup( A), de i A are margine inferioara. Q.E.D. Din demonstratia Teoremei 1.2.4 dedu em a sup( A) = inf A. Asemanator se demonstreaza a inf( A) = sup A. Un minorant (majorant) al unei multimi A  IR are apartine lui A se numeste el mai mi (respe tiv el mai mare) element al lui A si se noteaza u min A (respe tiv max A). O multime nevida A  IR se numeste marginita da a ea este majorata si minorata. O multime A  IR nemajorata sau neminorata se numeste multime nemarginita. Teorema 1.2.5. Pentru A  IR multime marginita, nevida, elementele

25

Multimea numerelor reale

sup A si inf A sunt uni e. Demonstratie. Deoare e multimea A este marginita, rezulta a exista sup A si inf A. Presupunem a exista M1 ; M2 2 IR, M1 = sup A, M2 = sup A. Din Teorema 1.2.2 avem a) x  M1 ; 8 x 2 A; b) 8 " > 0 9 x1" 2 A astfel ^n ^at x1" > M1 " si a') x  M2 ; 8 x 2 A; b') 8 " > 0 9 x2" 2 A astfel ^n ^at x2" > M2 ". Fie " > 0 arbitrar, momentan xat. Din relatiile b) si a') avem M1 " < x1"  M2 ) M1 " < M2 , iar din relatiile b') si a) obtinem M2 " < x2"  M1 ) M2 " < M1 . Deoare e " este arbitrar, din inegalitatile de mai sus dedu em M1  M2 si M2  M1 . De i M1 = M2 , adi a sup A este uni . Din relatia inf A = sup( A) rezulta a si inf A este uni . Q.E.D. Teorema 1.2.6. Multimea numerelor reale (IR; +;
; ) este un orp omutativ total ordonat arhimedian, adi a satisfa e onditia

8 x 2 IR; 8 y > 0 9 n 2 IN

astfel ^n ^at ny > x:

(1:2:1)

Vom demonstra proprietatea de mai sus prin metoda redu erii la absurd. Presupunem a 9 x0 2 IR si 9 y0 > 0 astfel ^n ^at 8 n 2 IN sa avem ny0  x0, de i n  xy , 8 n 2 IN . Rezulta astfel a multimea IN a numerelor naturale este majorata, de i onform axiomei (A15) exista z = sup IN . Deoare e z 1 < z , din teorema de ara terizare a marginii superioare (Teorema 1.2.2), lu^and " = 1 rezulta a 9 m 2 IN astfel ^n ^at m > z 1, adi a z < m + 1. Am obtinut o ontradi tie, deoare e m + 1 2 IN , iar z = sup IN . Dedu em astfel a pentru 8 x 2 IR; 8 y > 0 9 n 2 IN astfel ^n ^at ny > x. Q.E.D. Rezultatul un pi modi at se gaseste^n literatura de spe ialitate sub numele de Lema lui Eudoxus-Arhimede Demonstratie.

0

0

26

Preliminarii

8 x 2 IR; 9 n 2 IN astfel ^n ^at n > x.

Teorema 1.2.7. Multimea numerelor rationale Q este densa (^n sensul ordinii) ^n IR, adi a 8 a; b 2 IR u a < b exista r 2 Q astfel ^n ^at a < r < b. Demonstratie. Fie a; b 2 IR, a < b. Pentru a 2 IR lu^and x = a si y = 1 ^n (1.2.1), rezulta a 9 p 2 IN astfel ^n ^at p > a, de i a + p > 0. Notam u a0 = a + p si b0 = b + p; avem a0 < b0 . Pentru y = b0 a0 > 0 si x = 1,

onform relatiei (1.2.1) 9 n 2 IN astfel ^n ^at 1 < n(b0 a0) sau na0 + 1 < nb0 . f 2 IN astfel Apoi pentru x = na0 si y = 1 ^n (1.2.1) obtinem existenta lui m f > na0 . Fie m el mai mi num ^n ^at m ar natural astfel ^n ^at m > na0 . De i m 1  na0 . Avem na0 < m  na0 + 1 < nb0 ) na0 < m < nb0 , a0 < mn < b0 , , a < mn p < b. De i pentru a; b 2 IR, a < b am gasit numarul r = mn p 2 Q astfel ^n ^at a < r < b. Q.E.D. o n Exemplu. Multimea A = 11
2 + 21
3 +


+ n(n1+1) ; n 2 IN este formata din elementele sirului an = 11
2 + 21
3 +


+ n(n1+1) , n 2 IN . Deoare e 1 =1 1 n an = 1 21 + 12 13 +


+ n1 n+1 n+1 = n+1 ; n 2 IN , n o n ; n 2 IN . S multimea A se poate s rie astfel A = n+1  irul (an)n2IN ind res ator (an < an+1; 8n 2 IN ) rezulta a inf A =min A = a1 = 12 , iar sup A = nlim !1 an = 1.

^Intr-adevar, pentru ultima a rmatie, veri am ele doua onditii din Teorema 1.2.2 (teorema de ara terizare a marginii superioare) n < 1; 8 n 2 IN ; a) an = n+1 b) 8 " > 0 9 n" 2 I8N hastfeli ^n ^at an" > 1 ", unde < 1 " + 1; 0 < "  1; n" = : " 1; " > 1; (am notat u [x℄ partea ^ntreaga a numarului real x). Multimea A nu are un element maxim. Da a am presupune a exista max A, atun i ar rezulta a exista un element an = nn+1 = max A; n0 2 IN , u proprietatea an  an ; 8 n 2 IN . Inegalitatea obtinuta este falsa, deoare e 0

0

0

0

Multimea numerelor reale

an > an ; 0

27

8 n > n0. Dedu em astfel a 6 9 max A.

Doua multimi A si B se numes e hipotente sau e hivalente sau spunem

a A si B au a eeasi putere da a ^ntre elementele a estora se poate stabili o

orespondenta biunivo a, adi a exista o fun tie bije tiva f : A ! B . Vom nota A  B . Relatia "" este o relatie de e hivalenta pe multimea partilor unei multimi E a) A  A; 8 A; b) A  B ) B  A;

) A  B si B  C ) A  C; (A; B; C  E ). O multime este nita av^and p elemente, da a ea are a eeasi putere u multimea primelor p numere naturale. Elementele multimii vor notate u a1; a2 ;: : :; ap dupa orespondenta u elementele 1; 2; : : : ; p ale multimii primelor p numere naturale. O multime nevida are nu este nita se numeste in nita. Conform de nitiei lui Dedekind o multime este in nita da a este e hipotenta u o submultime proprie a sa. Conform de nitiei lui Cantor o multime este in nita da a ontine o submultime e hipotenta u IN . O multime A se numeste numarabila da a ea este e hipotenta u multimea numerelor naturale. Elementele unei multimi numarabile se pot reprezenta prin sirul in nit de elemente distin te a1; a2 ; : : : ; an; : : : , dupa orespondenta e s-a stabilit u elementele lui IN . O multime se numeste

el mult numarabila da a ea este vida, nita sau numarabila. O multime in nita se numeste nenumarabila da a ea nu este e hipotenta u IN sau u o submultime a ei. Exemple. Multimea numerelor naturale pare este numarabila, onform orespondentei f : IN ! 2IN; f (n) = 2n. Asemanator multimea numerelor naturale impare este numarabila, onform apli atiei bije tive f : IN ! 2IN 1, f (n) = 2n 1. Multimea numerelor ^ntregi este si ea numarabila, deoare e exista apli atia bije tiva 8 < 2n; n > 0; f : Z ! IN; f (n) = : 2n + 1; n  0:

28

Preliminarii

Teorema 1.2.8. Multimea numerelor rationale Q este numarabila. Demonstratie. Folosind tabloul de mai josose poate stabili o orespondenta n p ^ntre multimea Q \ (0; 1) = q j p; q 2 IN; p < q si IN dupa liniile trasate. De i Q \ (0; 1)  IN . S riem Q = [n2Z (Q \ [n; n +1)). Deoare e Q \ [n; n +1) este numarabila (se

arata a mai sus), iar reuniunea unei multimi numarabile de multimi numarabile este numarabila (vezi Problema 11), rezulta a multimea Q este numarabila. Q.E.D. 1 1 1 ! 1 1 ! 1


2 ! 3 4 5 6 7 . % . % . 2 2 2 2 2


3 5 7 9 11 # % . % . 3 3 3 3 3


4 5 7 8 10 . % . 4 4 4 4 4


5 7 9 11 12 # % . 5 5


6 7 ... Teorema 1.2.9. (Cantor) Multimea numerelor reale nu este numarabila. Demonstratie. Aratam a multimea (0; 1℄ nu este numarabila, de unde va rezulta on luzia teoremei. Folosim reprezentarea numerelor sub forma de fra tii ze imale. Presupunem prin absurd a multimea numerelor din intervalul (0; 1℄ este numarabila, de i ea poate exprimata a un sir 1 = 0; a11 a12 a13 a14 : : : a1n : : : 2 = 0; a21 a22 a23 a24 : : : a2n : : : 3 = 0; a31 a32 a33 a34 : : : a3n : : : ... n = 0; an1 an2 an3 an4 : : : ann : : : ...

Multimea numerelor reale

29

Ai i 0;nan1 an2 : : : reprezinta numarul real a a arui dezvoltare ze imala in nita este 1 X a m ; (se onsider a 1 = 0; 999:::9:::). m 10 m=1 Numarul real  = 0; b1; b2 ; : : : bn : : :, unde b1 = a11 + 1, b2 = a22 + 1, : : :, bn = ann + 1, : : : (da a akk = 9 se ia bk = 1) se gaseste ^n (0; 1℄, dar este diferit de n; 8 n. Ceea e am obtinut ontrazi e faptul a toate numerele din (0; 1℄ se gases ^n sirul de mai sus. De i (0; 1℄ este o multime nenumarabila, de unde rezulta a IR este nenumarabila. Q.E.D. Ca o onse inta a Teoremei 1.2.7, multimea numerelor irationale IR n Q este o multime nenumarabila. Ori e interval I din IR (vezi notatiile de mai jos) are o in nitate de numere rationale si o in nitate de numere irationale. Cantor a demonstrat a IR este e hipotenta u P (IN ), (vezi [8℄). Deoare e exista o orespondenta biunivo a ^ntre multimea numerelor reale si multimea pun telor de pe o dreapta (pe are s-a stabilit o origine, un sens si o unitate de masura), vom identi a multimea numerelor reale u pun tele a estei drepte, numita dreapta reala. Astfel vom folosi deseori limbajul geometri , spun^and "pun t" pe dreapta ^n lo de numar real sau "dreapta reala" ^n lo de multimea numerelor reale. Fie IR = IR [ f+1; 1g dreapta reala extinsa (sau ^n heiata), unde 1 si +1 nu sunt numere propriu-zise, i simboluri (elemente), numite minus in nit, respe tiv plus in nit. Elementul +1 se mai noteaza u 1. Relatia de ordine pe IR se prelungeste pe IR lu^and 1 < +1 si 8 x 2 IR; 1 < x; x < +1. Elementele +1 si 1 se numes numere reale in nite sau pun tele de la in nit ale dreptei reale, iar numerele reale se mai numes ^n a est ontext numere reale nite. Multimea IR este total ordonata, iar +1 ( 1) este el mai mare (respe tiv

el mai mi ) element al ei. Adunarea si ^nmultirea din IR se extind ^n IR lu^and prin de nitie: x + (+1) = (+1) + x = +1; (x 6= 1); x + ( 1) = ( 1) + x = 1; (x 6= +1);

30

Preliminarii 8
0; 1; da a x < 0; 8 < 1; da a x > 0; x
( 1) = ( 1)
x = : +1; da a x < 0; x x +1 = 1 = 0; (x 2 IR). Urmatoarele operatii nu au sens, de a eea se numes forme nedeterminate: a) (+1)+ ( 1); (+1) (+1); ( 1) + (+1); ( 1) ( 1); ( are se redu pe s urt la 1 1); b) 0
(1); (1)
0, (pe s urt 0
1);

) ++11 ; +11 ;


, (pe s urt 11 ) si ele nu pot apata un sens de ^at prin examinarea expresiilor din are provin. Pentru o multime A  IR nemajorata vom folosi si notatia sup A = +1, iar pentru o multime A  IR neminorata vom folosi notatia inf A = 1. Vom nota u IR = IR n f0g; IR+ = fx j x 2 IR; x  0g { multimea numerelor reale nenegative; IR+ = fx j x 2 IR; x > 0g { multimea numerelor reale pozitive; IR = fx j x 2 IR; x  0g { multimea numerelor reale nepozitive; IR+ = fx j x 2 IR; x < 0g { multimea numerelor reale negative; [a; b℄ = fx j x 2 IR; a  x  bg { interval ^n his, (a < b); [a; b) = fx j x 2 IR; a  x < bg { interval ^n his la st^anga si des his la dreapta, (a < b); (a; b℄ = fx j x 2 IR; a < x  bg { interval des his la st^anga si ^n his la dreapta, (a < b); (a; b) = fx j x 2 IR; a < x < bg { interval des his la st^anga si des his la dreapta, (a < b); [a; +1) = fx j x 2 IR; x  ag { interval nemarginit la dreapta si ^n his la st^anga (sau semiaxa ^n hisa la st^anga u originea ^n a); (a; +1) = fx j x 2 IR; x > ag { interval nemarginit la dreapta si des his la st^anga (sau semiaxa des hisa la st^anga u originea ^n a); x
(+1) = (+1)
x = :

Multimea numerelor reale

31

( 1; a℄ = fx j x 2 IR; x  ag { interval nemarginit la st^anga si ^n his la dreapta (sau semiaxa ^n hisa la dreapta u originea ^n a); ( 1; a) = fx j x 2 IR; x < ag { interval nemarginit la st^anga si des his la dreapta (sau semiaxa des hisa la dreapta u originea ^n a). Pentru un numar real x0 2 IR numim ve inatate a sa, ori e multime de numere (pun te) V  IR are ontine un interval des his (a; b) e ontine pe x0 . De i x0 2 (a; b)  V . Ori e ve inatate V a lui x0 ontine o ve inatate simetri a a sa ( 9 " > 0 astfel ^n ^at (x0 "; x0 + ")  V ). Pentru un numar real x 2 IR, multimea tuturor ve inatatilor sale, notata V (x) si numita sistemul ve inatatilor pun tului x, are urmatoarele proprietati V1 ) x 2 V; 8 V 2 V (x); V2 ) 8 V 2 V (x) si U  V ) U 2 V (x); V3 ) 8 V1 ; V2 2 V (x) ) V1 \ V2 2 V (x); V4 ) 8 V 2 V (x) 9 U 2 V (x) astfel ^n ^at V 2 V (y ); 8 y 2 U . O multime X ^n are pentru e are element x am atasat o familie de multimi V (x) u proprietatile V1 V4 se numeste spatiu topologi , iar stru tura determinata de familia de multimi V (x), x 2 X se numeste topologie. De i IR este un spatiu topologi , iar topologia de nita u ajutorul intervalelor des hise se numeste topologia uzuala a lui IR. O familie de ve inatati V0(x) a pun tului x u proprietatile a) V0(x)  V (x); b) 8 V 2 V (x) 9 U 2 V0 (x) astfel ^n ^at U  V , se numeste sistem fundamental de ve inatati. Pentru x0 2 IR multimea intervalelor des hise f(a; b); a < x0 < b; a; b 2 IRg si multimea intervalelor des hise entrate ^n x0 f(x0 "; x0 + "); " > 0g sunt sisteme fundamentale de ve inatati ale pun tului x0 . Numim ve inatate a elementului +1 ori e submultime V  IR are ontine un interval nemarginit la dreapta, des his la st^anga si elementul +1, pe are o vom nota V = (a; +1℄. Numim ve inatate a elementului 1 ori e submultime U  IR are ontine un interval nemarginit la st^anga, des his la dreapta si ele-

32

Preliminarii

mentul 1, pe are o vom nota U = [ 1; b). Ca si pe IR, se poate introdu e pe IR, pentru e are element x 2 IR, sistemul ve inatatilor sale, are veri a proprietatile V1 V4 . Topologia lui IR de nita u a este ve inatati este o extindere a topologiei uzuale a lui IR. Multimea numerelor omplexe C = f(a; b); a; b 2 IRg  IR  IR dotata u operatiile "+" : C  C ! C; (x1 ; y1) + (x2 ; y2) = (x1 + x2; y1 + y2); "
" : C  C ! C; (x1 ; y1)
(x2; y2) = (x1 x2 y1y2; x1y2 + y1x2 ) este un orp omutativ. Elementul (0; 1) se noteaza u i, iar z = (x;py) not = x + iy. Deoare e (0; 1)
(0; 1) = i2 = ( 1; 0) se justi a s rierea i = 1. Astfel C = fa + ib j a; b 2 IRg si IR  C , in luziunea ind stri ta. Se onsidera ^ntr-un plan un sistem ortogonal de axe. Pentru numarul omplex z = a + ib, a; b 2 IR pun tul M din plan, de oordonate a si b se numeste imaginea geometri a a lui z . Numarul z se numeste a xul pun tului M . Unghiul ' 2 [0; 2 ) dintre semidreapta Ox si semidreapta OM (par urs ^n sens dire t trigonometri , adi a invers a elor de easorni ) se numeste argumentul redus al lui z si se noteaz a arg z, (vezi Fig.1). De i 8 8 > > k = 0; M 2 adran I > > > > < > > > > ar tg ab + k; da a a 6= 0; unde >> k = 1; M 2 II [ III > > < > : arg z = >> k = 2; M 2 IV ; > >  > da a b > 0; a = 0; > 2; > > > : 3 ; da a b < 0; a = 0: 2 Numerele ' + 2k, k 2 Z se numes argumente ale lui z, iar totalitatea lor se noteaza u Arg z. Lungimea segmentului OM pse numeste modulul numarului

omplex z si se noteaza u r. De i r = jOM j = a2 + b2 . Cu ajutorul lui r si a lui ' obtinem reprezentarea trigonometri a a lui z, z = r( os ' + i sin ').

33

Exer itii si probleme y

x

b

M

rr j 0

x a

Fig. 1

Exer it ii  si probleme

Sa se veri e urmatoarele proprietati a) A  A [ B; 8 A; B ; b) A  B , A [ B = B ;

) A  B ) A [ C  B [ C; 8 C ; d) A  C si B  C ) A [ B  C ; e) A \ B  A; 8 A; B ; f) A  B , A \ B = A; g) A  B ) A \ C  B \ C; 8 C ; h) C  A si C  B ) C  A \ B , (A; B; C  E ). 2. Fie (Ai )i2I o familie de p arti ale unei multimi E , (I este o familie de indi i). Sa se demonstreze relatiile lui Morgan a) C ([i2I Ai ) = \i2I (CAi ); b) C (\i2I Ai ) = [i2I (CAi ). 3. Fie (Ai )i2I , (Bj )j 2J dou a familii de multimi si A o multime (I; J familii de indi i). Sa se arate a a) ([i2I Ai )  ([j 2J Bj ) = [(i;j )2I J (Ai  Bj ); b) (\i2I Ai )  (\j 2J Bj ) = \(i;j )2I J (Ai  Bj ). 4. Fie fun t ia f : X ! Y , iar A; B  X si C; D  Y . Atun i au lo relatiile a) f (A [ B ) = f (A) [ f (B ); b) f (A \ B )  f (A) \ f (B );

) f (A n B )  f (A) n f (B ); d) f 1(C [ D) = f 1(C ) [ f 1 (D); e) f 1(C \ D) = f 1(C ) \ f 1 (D); f) f 1 (C n D) = f 1(C ) n f 1(D). 1.

34

Preliminarii

Sa se generalizeze apoi a este relatii la familii oare are de multimi din X , respe tiv Y . 5. Fie f : X ! Y o fun t ie. Sa se arate a a) f este inje tiva , 9 g : Y ! X surje tiva astfel ^n ^at g Æ f = 1X . b) f este surje tiva , 9 g : Y ! X inje tiva astfel ^n ^at f Æ g = 1Y . 6. Fie f : X ! Y  si g : Y ! Z doua fun tii. Sa se arate a a) Da a f si g sunt inje tive (surje tive) atun i g Æ f este inje tiva (respe tiv surje tiva). b) Da a f si g sunt bije tive atun i g Æ f este bije tiva si (g Æ f ) 1 = f 1 Æ g 1 . 7. S a se arate, folosind Lema lui Eudoxus{Arhimede, a ori e numar real este egal

u marginea superioara a multimii numerelor rationale mai mi i de ^at el, adi a 8 x 2 IR; x = supfr 2 Q j r < xg. 8. Fie A; B  IR dou a multimi marginite, nevide. Da a x  y; 8 x 2 A; 8 y 2 B atun i inf A  sup A  inf B  sup B . 9. Fie A; B  IR, A  B . Da  a exista inf A; sup A; inf B si sup B (2 IR), sa se arate a inf B  inf A  sup A  sup B . 10. Fie A; B  IR dou a multimi nevide. Sa se demonstreze proprietatile a) sup(A + B ) = sup A + sup B ; b) inf(A + B ) = inf A + inf B , unde A + B = fa + b j a 2 A; b 2 B g. 11. S a se arate a reuniunea nita sau in nita dar numarabila de multimi numarabile este si ea o multime numarabila. 12. S a se determine inf A, sup A, min A si max A, unde A este a) A = (1; 2℄ [ [5; 6); o n b) A = 112 + 212 +


+ n12 ; n 2 IN ; o n n

) A = ( n1) ; n 2 IN ; n o 2 d) A = n22n n+1 ; n 2 IN ; +1 o n n 1 e) A = (1 n ) sin 2 ; n 2 IN . 13. (Inegalitatea lui Cau hy-Buniakowski-S hwarz). Fie ai ; bi 2 IR, i = 1; n (n 2 IN ). Sa se arate a

35

Exer itii si probleme n X i=1

jaibij 

n X i=1

a2i

!1=2




n X i=1

b2i

!1=2

,

egalitatea obtin^andu-se da a si numai da a exista ;  2 IR, nu ambele nule astfel ^n ^at jbi j + jai j = 0; 8 i = 1; n. 14. (Inegalitatea lui Bernoulli). Fie ai > 1, i = 1; n (n 2 IN ), toate numerele av^and a elasi semn. Sa se arate a ! n Y

i=1

(1 + ai )  1 +

n X

ai . i=1 Fie ai > 0;

(Inegalitatea mediilor). i = 1; n. Sa se arate a n a1 + a2 +


+ an p n a1 a2


an  1 1  1, n a1 + a2 +


+ an egalitatile obtin^andu-se da a si numai da a a1 = a2 =


= an . 16. (Inegalitatea lui H older). Fie ai ; bi 2 IR+ , i = 1; n, iar p; q > 1 u p1 + 1q = 1. Atun i !1=p n !1=q n n X X X p . bqi
ai ai bi  i=1 i=1 i=1 si p 2 IR, p  1. 17. (Inegalitatea lui Minkowski). Fie ai ; bi 2 IR+ , i = 1; n  Atun i !1=p !1=p n !1=p n n X X X p p . bpi + ai (ai + bi )  i=1 i=1 i=1 15.

Capitolul 2 SIRURI SI SERII DE NUMERE REALE 1. S iruri de numere reale

1.1. Sir onvergent, sir divergent De nitia 2.1.1. Se numeste sir de numere reale sau sir numeri o fun tie reala f de nita pe multimea numerelor naturale, f : IN ! IR. Vom nota valorile fun tiei f (n) u an, n 2 IN , iar sirul u (an)n2IN sau (an)n. Pentru un sir de numere reale vom mai folosi notatia (an)n2IN  IR. De nitia 2.1.2. Elementele an , n 2 IN se numes termenii sirului, iar an se

numeste termenul general al sirului. De nitia 2.1.3. Sirul (an )n2IN se numeste majorat sau marginit superior (minorat sau marginit inferior) da a multimea termenilor sai este majorata (respe tiv minorata). De nitia 2.1.4. Sirul (an )n2IN se numeste marginit da a este majorat si minorat. De i sirul (an )n2IN este marginit da a multimea termenilor sai este marginita, adi a 9 m; M 2 IR astfel ^n ^at m  an  M; 8 n 2 IN sau e hivalent 9 K > 0 astfel ^n ^at janj  K; 8 n 2 IN . De nitia 2.1.5. Sirul (an )n2IN se numeste res ator (des res ator) da a an  an+1 ; 8 n 2 IN (respe tiv an  an+1 ; 8 n 2 IN ). Da a inegalitatile de mai sus sunt stri te vom spune a sirul este stri t res ator (respe tiv stri t des res ator). De nitia 2.1.6. Sirul (an )n2IN se numeste monoton (stri t monoton) da a el este res ator sau des res ator (respe tiv stri t res ator sau stri t des res ator).

37

Siruri de numere reale

Fie (an)n2IN un sir de numere reale, iar (nk )k2IN un sir stri t res ator de numere naturale. Sirul (xk )k2IN de nit prin xk = ank , k 2 IN se numeste subsir al sirului (an)n2IN . Vom nota (xk )k2IN  (an)n2IN . De nitia 2.1.8. Sirul (an )n2IN  IR are limita a 2 IR da a ^n afara ori arei ve inatati a pun tului se a a el mult un numar nit de termeni ai sirului. De i sirul (an)n2IN are limita a da a pentru ori e ve inatate V a pun tului a exista un rang nV 2 IN astfel ^n ^at pentru ori e n  nV avem an 2 V . Vom nota nlim !1 an = a sau an ! a, pentru n ! 1 si vom spune a (an )n tinde atre a. De nitia 2.1.9. Un sir (an )n2IN  IR u limita a 2 IR se numeste sir

onvergent. Un sir (an )n2IN  IR are nu este onvergent se numeste divergent. Teorema 2.1.1. Sirul (an )n2IN este onvergent la a 2 IR da a si numai da a De nitia 2.1.7.

8 " > 0 9 n0 (") 2 IN

astfel ^n ^at

8 n  n0 (")

are lo jan

aj < ":

(2:1:1)

Demonstratie. Da a sirul (an )n este onvergent atun i pentru " > 0 si ve inatatea lui a, V = (a "; a + ") exista un rang nV not = n0(") 2 IN astfel ^n ^at an 2 V; 8 n  n0 ("). De i jan aj < "; 8 n  n0 ("). Re ipro , presupunem a are lo onditia (2.1.1). Fie V o ve inatate a pun tului a. Atun i exista " > 0 astfel ^n ^at (a "; a + ")  V . Conform relatiei (2.1.1) pentru " > 0 exista n0 (") astfel ^n ^at pentru ori e n  n0(") sa avem jan aj < " , a " < an < a + " , an 2 (a "; a + "). Deoare e (a "; a + ")  V dedu em a an 2 V; 8n  n0 ("). De i nlim !1 an = a.

Q.E.D.

Sirul (an)n2IN  IR are limita +1 da a ori e ve inatate a pun tului +1 ontine toti termenii sirului u ex eptia eventual a unui numar nit dintre ei. Notam nlim !1 an = +1 sau an ! +1, pentru n ! 1. De nitia 2.1.11. Sirul (an )n2IN  IR are limita 1 da a ori e ve inatate a pun tului 1 ontine toti termenii sirului u ex eptia eventual a unui numar nit dintre ei. De nitia 2.1.10.

38

Siruri si serii de numere reale

Notam nlim !1 an = 1 sau an ! 1, pentru n ! 1. Teorema 2.1.2. Sirul (an )n are limita +1 da a si numai da a 8 M > 0 9 nM 2 IN

astfel ^n ^at

8 n  nM

(2:1:2)

are lo an > M:

Presupunem a sirul (an)n are limita +1. Pentru M > 0,

onsider^and ve inatatea lui +1, V = (M; +1℄, dedu em existenta unui rang nV

u proprietatea a an 2 V , 8 n  nV , adi a an > M; 8 n  nV . Re ipro , presupunem a are lo relatia (2.1.2). Fie V o ve inatate a pun tului +1. Atun i exista o multime (M; +1℄  V , u M > 0. Pentru M exista nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo inegalitatea an > M , de i an 2 (M; +1℄ sau an 2 V; 8 n  nM . Q.E.D. ^In mod asemanator se arata Teorema 2.1.3. Sirul (an )n are limita 1 da a si numai da a Demonstratie.

8 M > 0 9 nM 2 IN

astfel ^n ^at

8 n  nM

are lo an < M:

(2:1:3)

Sirurile u limita +1 sau 1 sunt siruri divergente. De nitia 2.1.12. Vom numi siruri u limita sirurile onvergente si sirurile

u limita +1 sau 1. 1.2. Proprietati ale sirurilor u limita Teorema 2.1.4. Limita unui sir onvergent este uni a. Demonstratie. Fie (an )n2IN un sir onvergent. Presupunem a nlim !1 an = a si nlim !1 an = b u a; b 2 IR; a < b. Sa onsideram ve inatatile V1 = (a "; a + ") si V2 = (b "; b + ") u 0 < " < b 2 a . Evident V1 \ V2 = ;. Pentru V1, din Teorema 2.1.1 dedu em a exista nV 2 IN astfel ^n ^at pentru ori e n  nV sa avem an 2 V1 , jan aj < ". Pentru V2 rezulta a exista nV 2 IN astfel ^n ^at pentru ori e n  nV sa avem an 2 V2 , jan bj < ". Atun i pentru n  maxfnV ; nV g obtinem jan aj < " si jan bj < " sau an 2 V1 \ V2 , eea 1

1

2

2

1

2

e este absurd. De i presupunerea fa uta este falsa, iar limita sirului este uni a. Q.E.D.

39

Siruri de numere reale

Teorema 2.1.5. Un sir onvergent este marginit. Demonstratie. Fie (an )n2IN un sir onvergent u

limita a 2 IR. Conform

Teoremei 2.1.1 avem 8 " > 0 9 n0 (") astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo jan aj < ". Pentru " = 1 dedu em existenta unui rang n1 2 IN astfel ^n ^at jan aj < 1; 8 n  n1 . Consideram M = maxfja1j; ja2j; : : : ; jan 1 j; ja + 1j; ja 1jg. Atun i janj  M; 8 n 2 IN , de i sirul este marginit. Q.E.D. 1

Conse inta 2.1.1. Un sir nemarginit este divergent. Teorema 2.1.6. Da a ^ntr-un sir (an )n  IR u limita a

2 IR s himbam

ordinea termenilor, adaugam sau suprimam un numar nit de termeni, se obtine un sir av^and a eeasi limita.

Proprietatile din de nitia sirului onvergent sau u limita +1 sau 1 nu se modi a ^n urma operatiilor de mai sus, adi a ^n afara ori arei ve inatati a limitei ram^ane el mult un numar nit de termeni. Q.E.D. Teorema 2.1.7. Da a sirul (an )n2IN are limita a 2 IR atun i ori e subsir al Demonstratie.

sau are a eeasi limita.

Demonstratie. ^In afara ori arei ve inatati a limitei a 2 IR ram^ane el mult

un numar nit de termeni ai sirului, de i si ai ori arui subsir al sau. Q.E.D.

Conse inta 2.1.2. Da a un sir de numere reale are doua subsiruri u limite

diferite, atun i el este divergent.

1.3. Operatii u siruri u limita Teorema 2.1.8. Fie sirurile (an )n si (bn )n u limita, iar suma (diferenta) limitelor are sens. Atun i sirul suma (an +bn )n (respe tiv sirul diferenta (an bn )n ) are limita si

lim ( + bn) = nlim !1 an + nlim !1 bn , (respe tiv lim ( bn) = nlim !1 an nlim !1 bn ). Demonstratie. Sa onsideram mai ^nt^ai azul nlim !1 an = a 2 IR si nlim !1 bn = = b 2 IR. Din Teorema 2.1.1 de ara terizare a limitei avem 8 " > 0 9 n1 ("=2) astfel ^n ^at 8 n  n1 ("=2) are lo jan aj < "=2 si a n!1 n a n!1 n

40

Siruri si serii de numere reale

8 " > 0 9 n2("=2) astfel ^n ^at 8 n  n2 ("=2) are lo jbn bj < "=2 . Atun i pentru un " > 0 si n  n0(") def = maxfn1 ("=2); n2("=2)g rezulta j(an + bn ) (a + b)j = j(an a)+(bn b)j  jan aj + jbn bj < "=2+ "=2 = ".

Obtinem a nlim !1(an + bn ) = a + b. Fie a um sirul (an)n u limita a 2 IR, iar sirul (bn)n u limita +1. De i 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo jan aj < " si 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo bn > M . Fie M > 0; pentru " = a exista n0(a) not = n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo 0 < an < 2a. Atun i pentru n  maxfn1; nM g avem an + bn > 0 + M = M , de i nlim !1(an + bn ) = +1. ^In mod asemanator se demonstreaza azurile lim a = a 2 IR; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1(an + bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1(an + bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1(an + bn ) = 1, pre um si ele referitoare la diferenta sirurilor (an)n si (bn )n. Q.E.D. Teorema 2.1.9. Fie sirurile (an )n2IN si (bn )n2IN u limita, iar produsul limitelor are sens. Atun i sirul produs (anbn )n2IN are limita si lim (a b ) = nlim n!1 n n !1 an
nlim !1 bn :  Demonstratie. Sa onsideram si ai i mai ^nt^ai azul nlim !1 an = a 2 IR si lim b = b 2 IR. Avem n!1 n 8 " > 0 9 n1(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 (") are lo jan aj < " si 8 " > 0 9 n2(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n2 (") are lo jbn bj < ". Sirul (bn)n este marginit, de i exist aM >0 astfel ^o n ^at jbnj  M; 8 n 2 IN . n   Pentru " > 0 de nim n0 (") = max n1 2M" ; n2 2j"aj . Atun i pentru ori e n  n0 (") avem janbn abj = janbn abn + abn abj = j(an a)bn + a(bn b)j   jan aj
jbnj + jaj
jbn bj < 2M"
M + jaj
2j"aj = 2" + 2" = ", adi a nlim !1 an bn = ab. Da a nlim !1 an = 0, iar nlim !1 bn = b 2 IR atun i " janbn j  M jan j < M
M = "; 8 n  n1("=M ),

41

Siruri de numere reale

de i nlim !1(an bn ) = 0. Mai sus am folosit doar marginirea sirului (bn )n , adi a da a lim a = 0, iar (bn )n este marginit, rezulta a (anbn )n are limita si a easta este n!1 n 0, nlim !1(an bn ) = 0. ^In mod asemanator se demonstreaza si elelalte azuri lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = b > 0 ) nlim !1(an bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = b < 0 ) nlim !1(an bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = b > 0 ) nlim !1(an bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = b < 0 ) nlim !1(an bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1(an bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1(an bn ) = 1; lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1(an bn ) = 1. Q.E.D. Teorema 2.1.10. Fie sirurile (an )n2IN si (bn )n2IN u limita, u bn 6= 0;   8n 2 IN , iar ^atul limitelor are sens. Atun i sirul ^at abnn n2IN are limita si an nlim !1 an . = lim n!1 bn lim b n!1 n   Demonstratie. Sa onsideram azul nlim !1 an = a 2 IR si nlim !1 bn = b 2 IR . Atun i, din Teorema 2.1.1 avem 8 " > 0 9 n1 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1(") are lo jan aj < " si 8 " > 0 9 n2 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n2(") are lo jbn bj < " . Deoare e b 6= 0, rezulta a 9 > 0 si 9nn3 2 IN astfel^ n ^ at jbonj  ; 8 n  n3 .   " j b j Atun i pentru " > 0 si n  n0 (") = max n1 "2 ; n2 2jaj ; n3 avem   an jan aj + jaj
jbn bj < a an a 1 1  + a = bn b bn bn b jbnj jbj
jbnj 1

" jaj 1 " jbj " " <
+

= + = ".

2 jbj 2jaj 2 2 an a De i nlim !1 bn = b . ^In mod asemanator se demonstreaza si elelalte azuri  ) lim an = 0; lim a = 0 ; lim b = b 2 I R n n n!1 n!1 n!1 bn an lim a = 1 ; lim b = b > 0 ) lim = 1; n n n!1 n!1 n!1 bn an lim a = 1; nlim n!1 n !1 bn = b < 0 ) nlim !1 b = 1; n

42

Siruri si serii de numere reale

an = 1; lim a = 1 ; lim b = b > 0 ) lim n n n!1 n!1 n!1 bn an lim a = 1 ; lim b = b < 0 ) lim = 1; n n n!1 n!1 n!1 bn an lim a = a; nlim n!1 n !1 bn = 1 ) nlim !1 bn = 0; : : : Q.E.D. Observatia 2.1.1. ^In enuntul Teoremei 2.1.10 se poate ^nlo ui ipoteza ^ bn 6= 0; 8 n 2 IN u nlim !1 bn = b 6= 0. In a est az exista n0 2 IN astfel ^n ^at bn 6= 0; 8 n  n0 si modi ^and primii termeni ai sirului obtinem un sir (b0n )n u b0n 6= 0; 8 n 2 IN . Teorema 2.1.11. a) Fie  > 0;  6= 1 si sirul (an )n2IN  IR u limita a 2 IR. Atun i sirul (an )n2IN are limita a . an b) Fie (an)n2IN u nlim !1 an = 1. Da a  > 1 atun i nlim !1  = 1, iar da a an 0 <  < 1 atun i nlim !1  = 0. an

) Fie (an)n2IN u nlim !1 an = 1. Da a  > 1 atun i nlim !1  = 0, iar da a an 0 <  < 1 atun i nlim !1  = 1. Demonstratie. Pentru pun tul a) sa onsideram  > 1. Presupunem prin redu ere la absurd a an 6! a, pentru n ! 1. Rezulta atun i a exista un interval u entrul ^n a, (u; v), ^n exteriorul aruia se a a o in nitate de termeni ai sirului (an )n. Dedu em existenta unui subsir (ank )k  (an )n u proprietatea

a pentru ori e k 2 IN are lo ank > v, (presupun^and a la dreapta lui v sunt o in nitate de termeni). Fie 2 IR u  = v. Atun i pentru ori e k 2 IN avem ank > , eea e este o ontradi tie, a i > a. Da a  < 1, not^and 0 = 1 avem an = (01)an . Atun i onform elor de mai sus obtinem a (0)an ! (0)a , de i an ! a; pentru n ! 1. ^In mod asemanator se demonstreaza pun tele b) si ). Q.E.D. Teorema 2.1.12. a) Fie  > 0 si sirul (an )n2IN de numere reale, onvergent

u limita a > 0. Atun i nlim !1 log an = log a. b) Da a an ! 0 si an > 0; 8 n 2 IN , atun i nlim !1 log an = 1, (nlim !1 log an = = +1) pentru  > 1 (respe tiv  < 1).

) Da a an ! +1 atun i nlim !1 log an = +1, (nlim !1 log an = 1) pentru  > 1 (respe tiv  < 1).

43

Siruri de numere reale

Demonstratie. a) Demonstram teorema mai ^nt^ai ^n azul a = 1 si presupunem a  > 1. Presupunem prin redu ere la absurd a log an 6! 0, pentru n ! 1. Rezulta atun i a exista un interval (u; v ) u entrul ^n 0 si un subsir (ank )k al sirului (an)n astfel ^n ^at log ank > v sau ank > v , 8 k 2 IN . Deoare e v > 0 si v > 1 rezulta a ank 6! 1, eea e este o ontradi tie, deoare e an ! 1, pentru n ! 1. Da a  < 1 s riem log an = log  an . Conform elor de mai sus log  an ! 0, de unde rezulta a logan ! 0, pentru n ! 1. Pentru azul general a 6= 1, avem aan ! 1, pentru n ! 1. Atun i onform primei parti a demonstratiei rezulta a log an log a = log aan ! 0. De i log an ! loga, pentru n ! 1. b) Fie  > 1, iar M > 0 un numar real pozitiv. Pentru  M exista un rang n0 de la are an <  M , (an ! 0). Rezulta a log an < M pentru n  n0 , adi a nlim !1 log an = 1. ^In mod asemanator se arata a pentru  < 1 avem nlim !1 log an = +1.

) Da a  > 1, iar an ! 1, pentru n ! 1, atun i pentru M1 > 0 exista nM 2 IN astfel ^n ^at an > M1 , 8 n  nM . Fie M > 0, iar M1 = M . Rezulta atun i a exista nM not = n1 2 IN astfel ^n ^at an > M sau logan > M , 8 n  n1 . De i nlim !1 log an = +1. ^In mod asemanator se arata a da a  < 1 si an ! 1, pentru n ! 1 atun i lim logan = 1. Q.E.D. n!1 Teorema 2.1.13. Fie sirurile (an )n2IN si (bn )n2IN u limita, an > 0, 8 n 2 IN , bn iar operatia ab are sens, unde a = nlim !1 an , b = nlim !1 bn . Atun i sirul (an )n2IN are bn b limita si nlim !1 an = a . Demonstratie. (I) Sa onsideram azul nlim !1 an = a > 0 si nlim !1 bn = b 2 IR. Presupunem mai ^nt^ai a a = 1. Vom arata a da a an > 1; 8 n 2 IN (sau an < 1; 8 n 2 IN ) atun i abnn ! 1. ^In primul az (an > 1; 8 n 2 IN ) putem presupune a bn > 0; 8n 2 IN , e bn < 0; 8n 2 IN . Consideram bn > 0; 8n 2 IN ; presupunem prin redu ere la absurd a abnn 6! 1, pentru n ! 1. Deoare e  b  n b k ann > 1; 8 n 2 IN , rezulta a exista un subsir ank k al sirului (abnn )n astfel 1

1

1

1

1

44

Siruri si serii de numere reale

^n ^at pentru ori e k 2 IN , abnnkk > v, (v > 1). De i bnk > lglgav , de unde rezulta nk bnk ! +1, eea e este o ontradi tie. Da a bn < 0; 8 n 2 IN , atun i onform

elor de mai sus an bn ! 1, de i abnn = an1bn ! 1, pentru n ! 1. ^In al doilea az (an < 1; 8 n 2 IN ), notam a0n = a1n . Atun i abnn = (a0n1)bn si abn ! 1, pentru n ! 1.

onform primei parti a demonstratiei (a0n)bn ! 1, de i bn n Pentru azul general a> 0, not am u n = aan . Atun i onform elor de  mai sus rezulta a n ! 1, aan ! 1 . Deoare e abnn = n
abn , din Teorema 2.1.11 b bn si Teorema 2.1.9 rezulta a nlim !1 an = a . (II) Sa onsideram a = 0 si b > 0. Presupunem prin redu ere la absurd a abnn 6! 0, pentru n !1. Rezulta atun i a exista un numar real Æ > 0 si un subsir   bnk b ank k  ann n astfel ^n ^at pentru ori e k 2 IN avem abnnkk  Æ . Putem presupune lg Æ .

a bnk > 0; 8 k 2 IN . Dedu em astfel a lg ank  blgnkÆ si de i nlim lg a  n k !1 b Am obtinut o ontradi tie, a i, onform Teoremei 2.1.12 nlim lg a = 1 . !1 nk Fara probleme deosebite se demonstreaza si elelalte azuri bn a = +1; b > 0; nlim !1 an = +1; bn a = +1; b < 0; nlim !1 an = 0; bn a 2 IR; a > 1; b = +1; nlim !1 an = +1; bn a 2 IR; 0 < a < 1; b = +1; nlim !1 an = 0; bn a 2 IR; a > 1; b = 1; nlim !1 an = 0; bn a 2 IR; 0 < a < 1; b = 1; nlim !1 an = +1. Q.E.D.  Observatia 2.1.2. Din Teorema 2.1.13 dedu em a pentru  2 IR, nlim !1 an = = a , pentru a > 0 sau pentru a = 0 si  > 0. 1.4. Proprietati de ompatibilitate a onvergentei u relatia de ordine din IR Teorema 2.1.14. Fie (an )n2IN si (bn )n2IN  IR u an  bn ; 8 n 2 IN (sau de la un rang ^n olo). Da a nlim !1 an = a 2 IR si nlim !1 bn = b 2 IR atun i a  b. Demonstratie. Deoare e nlim !1 an = a si nlim !1 bn = b avem 8 " > 0 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo jan aj < " si 8 " > 0 9 n2 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n2 are lo jbn bj < ":

Siruri de numere reale

45

Pentru " > 0 si n  n0 = maxfn1; n2g obtinem, tin^and ont si de inegalitatea din enunt, a " < an  bn < b + ". De i a < b + 2"; 8 " > 0. Presupunem prin redu ere la absurd a a > b. Atun i pentru " = a 2 b , din inegalitatea de mai sus, dedu em a a < b + 2 a 2 b , de unde rezulta a a < a. Contradi tia obtinuta ne

ondu e la on luzia a  b. Q.E.D. Observatia 2.1.3. Teorema de mai sus se extinde si la azurile a 2 IR, b 2 IR si anume a = 1; b 2 IR sau a = 1; b = +1 sau a 2 IR; b = +1,

onform ordinii din IR. Teorema 2.1.15. Fie sirul (an )n2IN  IR si a 2 IR. Da a exista (n )n2IN  IR+

u nlim !1 n = 0 astfel ^n ^at jan aj  n ; 8 n 2 IN (sau exista n0 2 IN astfel ^n ^at sa aiba lo inegalitatea de mai sus pentru n  n0 ) atun i nlim !1 an = a, ( riteriul majorarii). Demonstratie. Deoare e n ! 0; pentru n ! 1 avem 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo n < ". Atun i pentru " > 0 si n0 (") de mai sus, obtinem jan aj  n < ", de i lim a = a. Q.E.D. n!1 n Teorema 2.1.16. Fie sirurile (an )n2IN , (n )n2IN , ( n )n2IN  IR astfel ^n ^at n  an  n ; 8 n 2 IN (sau de la un rang ^n olo). Da a nlim !1 n = nlim !1 n = a atun i exista nlim !1 an = a ( riteriul lestelui). Demonstratie. Din ipoteza avem 8 " > 0 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo jn aj < " si 8 " > 0 9 n2 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n2 are lo j n aj < ": Atun i pentru " > 0 si n  maxfn1; n2 g not = n0 avem a " < n  an  n < a + ", de unde rezulta jan aj < ". De i nlim !1 an = a. Q.E.D. Observatia 2.1.4. Teorema se extinde si la azul a = 1 sau a = +1.

46

Siruri si serii de numere reale

1.5. Teoreme fundamentale ^n teoria onvergentei sirurilor reale Teorema 2.1.17.

(Bolzano{Weierstrass) (I) Un sir de numere reale res ator

si marginit superior este onvergent, iar limita sa este marginea superioara a multimii termenilor sirului. (II) Un sir de numere reale des res ator si marginit inferior este onvergent, iar limita sa este marginea inferioara a multimii termenilor sirului.

(I) Fie (an)n2IN un sir res ator, an  an+1; 8 n 2 IN si marginit superior, adi a 9 M 2 IR astfel ^n ^at an  M; 8 n 2 IN . Conform axiomei (A15) dedu em a exista supfan; n 2 IN g not =  2 IR. Din Teorema 1.2.2 de ara terizare a marginii superioare avem a) an  ; 8 n 2 IN ; b) 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at an >  ". Deoare e sirul (an)n este res ator, dedu em a pentru " > 0 arbitrar, momentan xat, avem an  an >  "; 8 n  n0. De i  " < an   <  + "; 8 n  n0 . Rezulta a pentru 8 " > 0 9 n0 2 IN astfel^n ^at 8 n  n0 are lo jan j < ",

eea e ne spune (Teorema 2.1.1) a nlim !1 an = . (II) Se poate demonstra^n a eeasi maniera a^n prima parte a demonstratiei, folosind Teorema 1.2.3 sau se poate obtine rezultatul folosind prima parte a teoremei (I) ^n felul urmator: da a (an)n este un sir des res ator si marginit inferior, atun i sirul ( an )n este res ator si marginit superior, de i onform primei parti a teoremei avem lim ( an ) = supf an ; n 2 IN g = inf fan; n 2 IN g ) n!1 lim a = inf fan; n 2 IN g. Q.E.D. n!1 n Demonstratie.

0

0

Conse inta 2.1.3. Un sir monoton este onvergent da a si numai da a el

este marginit.

Teorema 2.1.18.

(Cantor) Fie

47

Siruri de numere reale

[a1; b1 ℄  [a2 ; b2℄  : : :  [an; bn℄  [an+1; bn+1 ℄  : : :

un sir des res ator de intervale ^n hise ale lui IR astfel ^n ^at nlim !1(bn Atun i exista un pun t uni 2 IR omun tuturor intervalelor, adi a \1 [an ; bn℄ = f g.

an ) = 0.

n=1

Demonstratie. Deoare e [an+1 ; bn+1 ℄  [an ; bn ℄; 8 n 2 IN rezulta an  an+1  bn+1  bn ; 8 n 2 IN . Sirul (an)n este res ator si marginit superior de b1 , iar sirul (bn)n este des res ator si marginit inferior de a1 . Conform Teoremei 2.1.17 rezulta a exista 0 0

= nlim !1 an si = nlim !1 bn . Deoare e nlim !1(bn an ) = 0 dedu em a = . Aratam ^n ontinuare a pentru ori e k 2 IN pun tul 2 [ak ; bk ℄. Fie k 2 IN

xat. Atun i

ak  ak+p  bk+p  bk ; 8 p 2 IN . Pentru p ! 1, deoare e plim !1 ak+p = plim !1 bk+p = , (sirurile (ak+p)p si (bk+p)p sunt sirurile (ap)p si (bp)p din are s-au suprimat primii k termeni), obtinem ak   bk . De i 2 [ak ; bk ℄. Deoare e k era arbitrar, dedu em a 2 \1k=1[ak ; bk ℄. Pun tul este uni determinat. ^Intr-adevar, da a ar mai exista un pun t

1 u proprietatea an  1  bn ; 8 n 2 IN , tre ^and la limita pentru n ! 1, obtinem  1  , adi a 1 = . Q.E.D. Teorema 2.1.19. (Lema lui Cesaro) Un sir marginit de numere reale are

el putin un subsir onvergent.

Demonstratie. Fie (xn )n2IN un sir marginit de numere reale. Atun i exista un interval [a1 ; b1 ℄ are ontine toti termenii sirului. ^Impartim a est interval a +b . Cel putin [a1; b1 ℄ ^n doua subintervale egale, lu^and mijlo ul saui pun tul 2i h h a + b a + b unul dintre ele doua subintervale formate a1 ; 2 si 2 ; b1 va ontine o in nitate de termeni ai sirului. Notam u [a2 ; b2 ℄ un subinterval din ele doua

are ontine o in nitate de termeni ai sirului. Cu intervalul [a2 ; b2℄ pro edam ^n a elasi mod a si u [a1 ; b1℄, adi a ^l ^mpartim ^n doua, alegem un subinterval ^n

are se gaseste o in nitate de termeni ai sirului si ^l notam u [a3 ; b3 ℄. Construim 1

1

1

1

astfel prin re urenta un sir des res ator de intervale ^n hise

1

1

48

Siruri si serii de numere reale

[a1 ; b1 ℄  [a2 ; b2 ℄  : : :  [an; bn ℄  [an+1 ; bn+1℄  : : :

are ontin o in nitate de termeni ai sirului dat. Din onstru tie avem b2 a2 = b 2 a , b3 a3 = b 2 a = b 2 a , : : :, bn an = b2n a , de unde rezulta a nlim !1(bn an ) = 0. Prin urmare sirul de intervale ([an; bn ℄)n2IN satisfa e onditiile din Teorema 2.1.18 (Cantor). Rezulta a exista un singur pun t omun tuturor intervalelor [an ; bn℄, iar = nlim !1 an = nlim !1 bn . Vom arata ^n ontinuare a exista un subsir al sirului (xn)n2IN are onverge la . Deoare e ^n e are interval exista o in nitate de termeni ai sirului (xn )n, putem sele ta elementele xn 2 [a1 ; b1 ℄; xn 2 [a2 ; b2 ℄ u n2 > n1 , : : : si ^n general xnk 2 [ak ; bk ℄ u nk > nk 1; k 2 IN . Am obtinut astfel subsirul (xnk )k2IN al sirului (xn )n astfel ^n ^at ak  xnk  bk ; k 2 IN . Pentru k ! 1, folosind Teorema 2.1.16 rezulta a klim x = . Q.E.D. !1 nk Teorema 2.1.20. a) Un sir nemajorat ontine un subsir u limita +1. b) Un sir neminorat ontine un subsir u limita 1. Demonstratie. a) Fie (xn )n2IN un sir nemajorat, adi a 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at xnM > M sau supfxn; n 2 IN g = +1. Sa onsideram multimea Vk = (k; +1), k > 0 arbitrar, momentan xat. O astfel de multime ontine o in nitate de termeni ai sirului. ^Intr-adevar, da a am presupune a a easta multime ontine doar un numar nit de termeni xp ; xp ; : : : ; xpm atun i, onsider^and M = maxfjxp j; jxp j; : : : ; jxpm jg > 0, intervalul (M; +1) nu va ontine ni i un termen al sirului. Ceea e am obtinut este absurd, deoare e sirul (xn )n este nemajorat. De i multimea Vk ontine o in nitate de termeni ai sirului. Pentru V1 = (1; 1) alegem un termen al sirului xn 2 V1, de i xn > 1. Pentru V2 = (2; 1) alegem xn 2 V2 , u n2 > n1 , de i xn > 2. ^In general pentru Vk = (k; +1) alegem xnk 2 Vk u nk > nk 1 , de i xnk > k. ^In a est fel am

onstruit un subsir (xnk )k2IN al sirului (xn)n2IN u xnk > k; 8 k 2 IN . De i 1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1 1

49

Siruri de numere reale

lim

= 1. b) Fie sirul (xn )n2IN neminorat, adi a 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at xnM < M sau inf fxn ; n 2 IN g = 1. Atun i se arata asemanator a ori e multime Uk = ( 1; k); k 2 IN ontine o in nitate de termeni ai sirului. Construim subsirul (xnk )k astfel xn 2 U1 ) xn < 1; xn 2 U2 ; n2 > n1 ) xn < 2; ... x 2U ; n >n ) xnk < k; ... nk k k k 1 Astfel klim x = 1. Q.E.D. !1 nk Din Teorema 2.1.19 si Teorema 2.1.20 dedu em Conse inta 2.1.4. Un sir de numere reale are el putin un subsir u limita. De nitia 2.1.13. Un sir (xn )n2IN  IR se numeste sir fundamental sau sir Cau hy da a

x k!1 nk

1

1

2

2

8 " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n; m  n0(") are lo jxn xm j < ": (2:1:4)

Lu^and m = n + p obtinem de nitia e hivalenta De nitia 2.1.14. Sirul (xn )n2IN este fundamental da a 8 " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo jxn+p xn j < "; 8 p 2 IN:

(2:1:5)

(Cau hy) Un sir de numere reale este onvergent da a si numai da a este sir fundamental. Demonstratie. Presupunem a sirul (xn )n2IN este onvergent u limita x. De i 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo jxn xj < ". Atun i pentru " > 0 arbitrar, momentan xat si ori e m; n  n0 ("=2) not = ne 0 (") avem jxn xm j = j(xn x) + (x xm )j  jxn xj + jx xm j < 2" + 2" = ". Teorema 2.1.21.

50

Siruri si serii de numere reale

De i pentru ori e " > 0 exista ne 0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 m; n  ne 0 (") avem jxn xm j < ". Rezulta a sirul (xn )n este sir Cau hy. Re ipro , sa presupunem a (xn)n este un sir Cau hy, adi a are lo relatia (2.1.4). Vom arata mai^nt^ai a sirul (xn)n este marginit. ^Intr-adevar, lu^and " = 1 ^n (2.1.4) rezulta a exista n0 (1) not = n1 2 IN astfel ^n ^at pentru ori e m; n  n1 are lo jxn xm j < 1. Pentru m = n1 avem jxn xn j < 1; 8 n  n1 si jxnj = jxn xn + xn j  jxn xn j + jxn j < 1 + jxn j; 8 n  n1 . Da a notam u M = maxfjx1j; jx2j; : : : ; jxn 1 j; 1 + jxn jg atun i jxnj  M; 8 n 2 IN , adi a sirul (xn )n este marginit. Conform Teoremei 2.1.19, sirul (xn)n2IN ontine un subsir onvergent (xnk)k2IN . Fie x = klim x . Vom arata a sirul (xn )n2IN are limita x, de i este onvergent. !1 nk Conform Teoremei 2.1.1 avem 8 " > 0 9 k0("=2) 2 IN astfel ^n ^at 8 k  k0 are lo jxnk xj < "=2. Sa onsideram pentru un " > 0, n1 (") = maxfn0("=2); k0("=2)g. Atun i pentru n  n1 ("), onsider^and un k  n1("), obtinem nk  k  n1 (") si jxn xj = jxn xnk + xnk xj  jxn xnk j + jxnk xj < 2" + 2" = ". De i pentru ori e " > 0 exista n1 (") 2 IN astfel ^n ^at pentru 8 n  n1 (") avem jxn xj < ", de unde dedu em a sirul (xn )n este onvergent, u limita x, (limita subsirului (xnk )k ). Q.E.D. Observatia 2.1.5. Teorema lui Cau hy este foarte importanta, deoare e ne da o ara terizare a unui sir onvergent, ^n are nu apare limita sa. Observatia 2.1.6. Se poate arata a ori are dintre Teoremele 2.1.17, 2.1.18, 2.1.19 si 2.1.21 ^mpreuna u Axioma lui Eudoxus-Arhimede (Teorema 1.2.6) este e hivalenta u axioma (A15) de existenta a marginii superioare. sin1 + sin 2 +


+ sin n , n 2 IN , este un sir Exemplul 2.1.1. Sirul an = 2 22 2n ^ Cau hy. Intr-adeva r, sa onsideram un " > 0 arbitrar, momentan xat. Atun i jan+p an j = sin2 1 + sin222 +


+ sin2nn + sin(2nn+1+ 1) +


+ sin(2nn++p p) 1 1


sin n = sin(n + 1) + sin(n + 2) +


+ sin(n + p)  2 22 2n 2n+1 2n+2 2n+p 1

1

1

1

1

1

1

1

Siruri de numere reale

51

 j sin(2nn+1+ 1)j + j sin(2nn+2+ 2)j +


+ j sin(2nn++p p)j  2n1+1 + 2n1+2 +


+ 2n1+p =   = 21n 1 21p < 21n ; 8 p 2 IN .

Pun^and onditia 21n < " obtinem n > log2 1" . De i rangul n0 (") din de nitia sirului Cau hy este 8   1 + 1; da a 0 < "  1; > < log 2 " n0 (") = > : 1; da a " > 1: Atun i pentru ori e n  n0 (") si pentru ori e p 2 IN avem jan+p an j n1, de i jxn xj < 12 . Continuam pro edeul de sele tie a termenilor sirului (xn )n; astfel presupun^ and a l-am ales pe xnk 2  1 ; x + 1 alegem un 2 Vk = x k1 ; x + k1 , din ve inatatea Vk+1 = x k+1 k+1 ^ termen xnk 2 Vk+1, u nk+1 > nk . In felul a esta onstruim subsirul (xnk )k2IN   (xn)n2IN u jxnk xj < k1 ; 8 k 2 IN . De ai i rezulta a klim x = x. !1 nk b) Da a x = +1 este pun t limita pentru sirul (xn)n2IN , atun i onsider^and ve inatatile lui +1, Vk = (k; +1℄; k 2 IN , onstruim a ^n Teorema 2.1.20, a) subsirul (xnk )k , xnk 2 Vk , de i klim x = +1. !1 nk

) Da a x = 1, pentru ve inatatile lui 1, Uk = [ 1; k); k 2 IN

onstruim subsirul xnk 2 Uk ( a ^n Teorema 2.1.20 b)), de i klim x = 1. !1 nk Re ipro , da a sirul (xn)n2IN ontine un subsir (xnk )k2IN u limita x, atun i ^n ori e ve inatate a lui x se gases toti termenii subsirului, u ex eptia eventual a unui numar nit dintre ei. De i ^n ori e ve inatate a lui x se a a o in nitate de termeni ai sirului (xn )n. Rezulta a x este pun t limita al sirului (xn )n. Q.E.D. Conse inta 2.1.5. Un sir de numere reale are el putin un pun t limita. Demonstratie. Da a sirul este marginit, din Teorema 2.1.19 dedu em 1

2

1

2

+1

existenta unui subsir onvergent. Limita a estui subsir este un pun t limita al sirului dat. Da a sirul este nemajorat, Teorema 2.1.20 a) ne spune a el ontine un subsir

u limita +1, de i +1 este pun t limita pentru sirul nostru. Da a sirul este neminorat, Teorema 2.1.20 b) ne da existenta unui subsir u

53

Siruri de numere reale

limita 1, de i 1 este pun t limita pentru sirul dat. Q.E.D.

Conse inta 2.1.6. Multimea pun telor limita ale unui sir (xn )n2IN

este nevida.

 IR

Teorema 2.1.23. Multimea pun telor limita ale unui sir are un el mai

mare element ( nit sau in nit) si un el mai mi element ( nit sau in nit).

Fie (xn)n2IN un sir de numere reale. Vom demonstra

a multimea pun telor sale limita are un el mai mare element. Da a sirul (xn)n este nemajorat atun i +1 este pun t limita al sirului (xn)n (Conse inta 2.1.5), de i +1 va el mai mare pun t limita. Da a sirul (xn )n este majorat, atun i exista M > 0 astfel ^n ^at xn  M; 8 n 2 IN . Sa notam u A = fx 2 IR; x este pun t limita al lui (xn )n g multimea pun telor limita nite ale sirului (xn)n. Deoare e (xn)n este majorat, el nu poate avea pe +1 a pun t limita ( onform de nitiei). Avem doua azuri: a) A = ; si b) A 6= ;. a) Da a A = ; rezulta a 1 este singurul pun t limita pentru sirul nostru, de i el va si el mai mare (si el mai mi ) pun t limita. b) Da a A 6= ; atun i onform axiomei (A15) exista sup A 2 IR. Vom arata

a sup A 2 A, de i sup A = max A. Conform Teoremei 1.2.2 avem i) a  sup A; 8 a 2 A; ii) 8 " > 0 9 a" 2 A astfel ^n ^at a" > sup A ". Ori e ve inatate V a lui sup A, V = (sup A "; sup A + "), " > 0, ontine un element a" 2 A, de i a" 2 A \ V . Deoare e a" este pun t limita ^nseamna a ori e ve inatate a sa V1 = (a" "1; a" + "1), u 0 < "1 < minfa" sup A + "; sup A a"g

ontine o in nitate de termeni ai sirului. Din in luziunea V1  V dedu em a V ontine o in nitate de termeni ai sirului, de i sup A este si el un pun t limita al sirului (xn)n, adi a sup A 2 A. Rezulta a sup A = max A, de i multimea pun telor limita are un el mai mare element. ^In mod asemanator se arata a multimea pun telor limita pentru un sir (xn)n are un el mai mi element ( nit sau in nit). Q.E.D. Notam multimea pun telor limita ale unui sir (xn)n2IN u LIM (xn). Conform Conse intei 2.1.6 avem LIM (xn) 6= ;. Demonstratie.

54

Siruri si serii de numere reale

Cel mai mare pun t limita al unui sir (xn)n2IN  IR se numeste limita superioara a sirului si se noteaza u limn!1 sup xn sau nlim !1xn . Cel mai mi pun t limita al unui sir (xn)n2IN  IR se numeste limita inferioara a x. sirului si se noteaza u lim inf x sau nlim n!1 n !1 n De nitia 2.1.17. Limita superioara si limita inferioara ale unui sir (xn )n se numes limitele extreme ale sirului. Evident lim inf x  lim sup xn . n!1 n n!1 Teorema 2.1.24. Fie (xn )n2IN un sir de numere reale, iar a 2 IR. a) Da a xn  a; 8 n 2 IN atun i   a; 8  2 LIM (xn). b) Da a xn  a; 8 n 2 IN atun i   a; 8  2 LIM (xn). Demonstratie. a) Deoare e sirul este majorat, +1 nu este pun t limita pentru sirul (xn )n. Fie  2 LIM (xn). Da a  = 1 atun i se veri a imediat inegalitatea   a. Sa onsideram a um un pun t limita  2 IR (da a exista). Conform de nitiei exista un subsir (xnk )k2IN  (xn)n2IN u klim x = , adi a !1 nk 8 " > 0 9 k0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 k  k0(") are lo jxnk j < ". De i  " < xnk  a; 8 k  k0 . Rezulta a  " < a; 8" > 0, adi a   a. ^In mod asemanator se demonstreaza partea a doua a teoremei. Q.E.D. Teorema 2.1.25. Un sir (xn )n2IN  IR are limita da a si numai da a De nitia 2.1.16.

limitele sale extreme sunt egale. Da a sirul are limita, limitele extreme si limita sirului sunt egale.

Sa presupunem a (xn )n are limita x 2 IR. ^Inseamna a ori e subsir al sau are a eeasi limita (Teorema 2.1.7), de i sirul are un singur pun t limita, pe x 2 IR. De i LIM (xn) = fxg, de unde rezulta a limn!1 sup xn = lim inf x = x. n!1 n Re ipro , sa presupunem a limitele extreme sunt egale, adi a limn!1 sup xn = lim inf x not = x 2 IR. n!1 n Atun i LIM (xn) = fxg si x = nlim !1 xn , deoare e ori e ve inatate a lui x ontine toti termenii sirului u ex eptia eventual a unui numar nit dintre ei. ^Intr-adevar, ^n az ontrar, da a ar exista o ve inatate u proprietatea a ^n afara ei ram^ane o in nitate de termeni ai sirului, atun i din a ea in nitate de termeni Demonstratie.

Siruri de numere reale

55

se poate onstrui un subsir u limita (Conse inta 2.1.4 si Conse inta 2.1.5), iar limita respe tiva (6= x, onform Teoremei 2.1.24) ar trebui sa apara ^n LIM (xn). Contradi tia la are am ajuns ne ondu e la on luzia a nlim !1 xn = x. Q.E.D. n ; n 2 IN , u limita Exemplul 2.1.3. Pentru sirul onvergent an = n o2n + 1 1 1 2 , multimea pun telor sale limita este LIM (an ) = 2 , de i 1. limn!1 sup an = lim inf a = lim a = n n n!1 n!1 n 2 n 1 n + sin Exemplul 2.1.4. Fie sirul an = ( 1) 1 + n 2 ; n 2 IN . Pentru a determina multimea pun telor sale limita, des ompunem sirul^n patru subsiruri

onvergente  4k 1 4k ! e; pentru k ! 1; 4 k a4k = ( 1) 1 + + sin 4k 2 4k 1  (4k 1) ! e 1; pentru k ! 1; 1 + sin a4k 1 = ( 1)4k 1 1 + 4k 1 4k 2 2  1 (4k 2) ! e; pentru k ! 1; a4k 2 = ( 1)4k 2 1 + + sin 4k 2 4k 3 2  (4 k 3) ! e + 1; pentru k ! 1. 1 + sin a4k 3 = ( 1)4k 3 1 + 4k 3 2 De i LIM (an) = f e 1; e + 1; eg, lim sup an = e, lim inf a = e 1. n!1 n n!1 Teorema 2.1.26. (I) a) L = lim sup 2 IR , n!1 8 < 1) 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^ n ^at 8 n  N (") are lo xn < L + "; : 2) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^ n ^at xn0 > L ": b) L = lim sup xn = +1 , n!1 b1) 8 M > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 > M , b2) 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at xnM > M (sirul este nemajorat).

) L = limn!1 sup xn = 1 , 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo xn < M (nlim !1 xn = 1). (II) a) l = lim inf 2 IR , n!1 8 < 1) 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^ n ^at 8 n  N (") are lo xn > l "; : 2) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^ n ^at xn0 < l + ": b) l = lim inf x = +1 , n!1 n 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo xn > M (nlim !1 xn = +1).

56

Siruri si serii de numere reale

) l = lim inf x = 1 , n!1 n

1 ) 8 M > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 < M ,

2 ) 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at xnM < M (sirul este neminorat). Demonstratie. (I) a) Fie L = lim sup xn 2 IR. Deoare e L este pun t n!1 limita pentru sirul (xn)n2IN , rezulta a exista subsirul (xnk )k2IN u klim x = L, !1 nk de i 8 " > 0 9 k0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 k  k0 are lo jxnk Lj < " ) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0 = nk  n (k  k0 ) astfel ^n ^at jxnk Lj < " ) xn0 > L "; adi a are lo pun tul 2). Demonstram 1) prin redu ere la absurd. Presupunem a nu are lo 1), adi a 9 "0 > 0 astfel ^n ^at 8 n 2 IN 9 n0  n u xn0  L + "0. De i la dreapta lui L + "0 se gaseste o in nitate de termeni ai sirului, de i exista un subsir al sirului (xn )n u toate elementele mai mari sau egale u L + "0 . A est subsir are onform Conse intei 2.1.4 el putin un pun t limita  are veri a inegalitatea   L + "0. A est pun t este pun t limita si pentru sirul (xn)n, eea

e este absurd, deoare e L era el mai mare element din LIM (xn). Rezulta astfel

a are lo relatia 1). Re ipro , sa presupunem a au lo relatiile 1) si 2). Vom arata a L = lim sup xn . Din 2) avem a n!1 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 > L ". Combin^and u 1) si lu^and n  N (") rezulta a 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 < L + ". De i pentru " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at pentru 8 n  N (") 9 n0  n u jxn0 Lj < ", adi a (xn)n are un subsir u limita L. Rezulta a L este pun t limita pentru sirul (xn)n2IN . Vom arata ^n ontinuare a L este el mai mare pun t limita. Presupunem prin redu ere la absurd a exista L1 > L, L1 2 LIM (xn). Consideram mai ^nt^ai

azul L1 2 IR. Ve inatatea V = (L1 "0; L1 + "0), unde "0 = L 2 L ontine o in nitate de termeni ai sirului. Da a luam ^n relatia 1), " = L 2 L obtinem a 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo xn < L + " = L + L 2 L , de unde rezulta xn < L+2L . De i la dreapta lui L+2L se gaseste un numar nit de termeni 1

1

1

1

1

57

Siruri de numere reale

ai sirului. Contradi tia la are am ajuns ne ondu e la on luzia a presupunerea fa uta este falsa. De i L este el mai mare pun t limita. Asemanator se arata a se obtine o ontradi tie da a onsideram L1 = 1. b) Avem L = lim sup xn = +1 , 9 (xkn )k2IN u limita +1, adi a n!1 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo xkn > M , 8 M > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 > M , de i are lo b1 ). Relatiile b1 ) si b2 ) sunt e hivalente. Evident are lo impli atia b1 ))b2). Pentru ealalta impli atie b2))b1 ), vom folosim metoda redu erii la absurd. Presupunem a nu are lo b1 ), adi a 9 M0 > 0; 9 n0 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 are lo xn  M0 . f 1) nu exist Luam Mf = max fM0 ; x1 ; x2; : : : ; xn 1 g; ^n intervalul (M; a ni i un f termen al sirului (xn  M; 8 n 2 IN ). Ceea e am obtinut ontrazi e b2) ( u f). M =M

) L = limn!1 sup xn = 1 , LIM (xn) = f 1g (ori e subsir al sau are limita 1, ^n az ontrar ar apare a pun t ^n multimea LIM (xn )). Ori e ve inatate a lui 1, U = [ 1; M ) ontine o in nitate de termeni ai sirului. De fapt ontine toti termenii sirului u ex eptia unui nit dintre ei. ^Intr-adevar, da a ar exista o astfel de ve inatate U0 = [ 1; M0) u proprietatea

a ^n afara ei ram^ane un numar in nit de termeni, am avea doua posibilitati. O posibilitate este existenta unui interval^n are se gases a ei termeni, az ^n are,

onform Lemei lui Cesaro, exista un subsir onvergent, de i limita sa ar trebui sa apara ^n LIM (xn ), eea e este absurd. A doua posibilitate este nemarginirea multimii termenilor, de i +1 2 LIM (xn ), eea e este din nou absurd. De i lim x = 1. n!1 n ^In mod asemanator se demonstreaza partea a doua a teoremei, orespunzatoare limitei inferioare. Q.E.D. Teorema 2.1.27. (I) Da a sirul (xn )n2IN este majorat atun i L = lim sup xn 2 IR [ f 1g , n!1 L = nlim (supfxn ; xn+1; : : :g). !1 (sup fxk ; k  ng) = ninf 2IN 0

58

Siruri si serii de numere reale

(II) Da a sirul (xn )n2IN este minorat atun i l = lim inf x 2 IR [ f+1g , n!1 n l = nlim (inf fxn ; xn+1; : : :g). !1 (inf fxk ; k  ng) = nsup 2IN Demonstratie. (I) Deoare e sirul (xn )n este majorat, rezulta a 9 M > 0 astfel ^n ^at xn  M; 8 n 2 IN . Fie L = limn!1 sup xn 2 IR [f 1g. De nim pentru ori e n 2 IN , yn = sup fxk ; k  ng = sup fxn; xn+1 ; : : :g 2 IR. Sirul (yn)n este des res ator, deoare e yn+1  yn ; 8 n 2 IN , supfxn+1 ; xn+2 ; : : :g  sup fxn ; xn+1 : : :g; 8 n 2 IN . Atun i nlim y . Avem doua posibilitati a) L 2 IR sau b) L = 1. !1 yn = ninf 2IN n a) Da a L 2 IR avem onform Teoremei 2.1.26 (I)a) 1) 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo xn < L + "; 2) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 > L ". Din 1) rezulta a = n0 ("). 8 " > 0; yn = sup fxk ; k  ng  L + 2" < L + ", 8 n  N ("=2) not Din 2) avem 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at L "=2 < xn0 , de unde rezulta L 2"  sup fxk ; k  n0 g = yn0  sup fxk ; k  ng = yn. De i 8 " > 0 si 8 n 2 IN avem L " < yn, de unde obtinem L  yn; 8 n 2 IN . Astfel am obtinut a pentru ori e " > 0 9 n0(") astfel ^n ^at 8 n  n0 (") avem L  yn < L + " ) jyn Lj < ", adi a nlim !1 yn = L. b) Da a L = 1 atun i onform Teoremei 2.1.26 (I) ) rezulta a lim x = 1 , 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo n!1 n xn < M . Atun i obtinem 8 M > 0 9 n0M = n2M astfel ^n ^at 8 n  n0M are lo yn = sup fxk ; k  ng  2M < M; adi a nlim !1 yn = 1. Re ipro , e L = nlim !1 yn, yn = sup fxn ; xn+1 ; : : :g. Vom arata a L = lim sup xn . Si ai i avem doua posibilitati a) L 2 IR sau b) L = 1. n!1 a) Da a L 2 IR atun i

Siruri de numere reale

59

8 " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo jyn Lj < " ,

L " < yn < L + ".

De i pentru ori e " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") avem xn  sup fxn ; xn+1 ; : : :g = yn < L + ", adi a avem veri ata onditia 1) din Teorema 2.1.26 (I)a). Deoare e (yn)n este monoton des res ator, rezulta a yn  L sau sup fxn; xn+1; : : :g  L. Astfel pentru ori e " > 0, 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at xn0 > sup fxn ; xn+1 ; : : :g "  L ", adi a onditia 2) din Teorema 2.1.26 (I)a). Rezulta a L = lim sup xn. n!1 b) Presupunem a L = 1. Atun i nlim !1 yn = 1 , 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo yn < M , sup fxn; xn+1 ; : : :g < M ) xn < M . Rezulta astfel a 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo xn < M , de i nlim sup xn = 1. !1 xn = 1 si lim n!1 Asemanator se demonstreaza partea a doua a teoremei. Q.E.D. Observatia 2.1.7. Da a (xn )n2IN este nemajorat atun i sup fxk ; k  ng = +1; 8 n 2 IN , (iar limn!1 sup xn = 1). Da a (xn)n2IN este neminorat atun i inf fxk ; k  ng = 1; 8 n 2 IN , (iar lim inf x = 1). n!1 n Teorema 2.1.28. Da a (an )n2IN  IR, atun i a) lim sup( an) = lim inf a ; n!1 n n!1 b) lim inf( an ) = limn!1 sup an. n!1 Demonstratie. a) Fie l = lim inf a 2 IR. Din Teorema 2.1.26 (II)a) avem n!1 n 1) 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo an > l "; 2) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at an0 < l + ". , 10) 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo an < ( l) + "; 20) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at an0 > ( l) ". Din Teorema 2.1.26 (I)a) dedu em a l = limn!1 sup( an ), adi a lim sup( an) = n!1

60

Siruri si serii de numere reale

= lim inf a . n!1 n Da a l = lim inf a = +1, atun i din Teorema 2.1.26 (II)b) avem a n!1 n 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo an > M , 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo an < M . De i din Teorema 2.1.26 (I) ) rezulta a limn!1 sup( an ) = 1, de i limn!1 sup( an) = = lim inf a . n!1 n Da a l = lim inf a = 1, onform Teoremei 2.1.26 (II) ) avem n!1 n 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at anM < M , 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at anM > M . Din Teorema 2.1.26 (I)b) rezulta a limn!1 sup( an ) = +1, de i limn!1 sup( an) = = lim inf a . n!1 n ^In mod asemanator se demonstreaza pun tul b). Q.E.D. Teorema 2.1.29. Fie (an )n2IN , (bn )n2IN  IR u an  bn ; 8 n 2 IN (eventual exista n0 2 IN astfel ^n ^at an  bn ; 8 n  n0 ). Atun i (I) limn!1 sup an  lim sup bn ; (II) lim inf a  lim inf b . n!1 n n!1 n n!1 Demonstratie. (I) Fie l1 = lim sup an si l2 = lim sup bn . Avem trei azuri n!1 n!1 dupa valorile lui l1. a) Da a l1 = 1 atun i inegalitatea l1  l2 este evidenta. b) Da a l1 2 IR si l2 = +1, inegalitatea este de asemenea evidenta. Sa presupunem a l2 < +1. Aratam ^n ontinuare a l2 nu poate 1. ^Intr-adevar da a l2 ar 1, atun i onform Teoremei 2.1.26 am avea 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo bn < M . Dedu em atun i a 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo an  bn < M , adi a l1 = limn!1 sup an = 1. Contradi tia la are am ajuns ne ondu e la on luzia a l2 2 IR. Atun i din Teorema 2.1.26 avem 1) 8 " > 0 9 N1 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N1 (") are lo an < l1 + "; 2) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at an0 > l1 " si 10 ) 8 " > 0 9 N2 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N2(") are lo bn < l2 + ";

Siruri de numere reale

61

20) 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n00  n astfel ^n ^at bn00 > l2 ". Atun i pentru " > 0 arbitrar si pentru ori e n 2 IN exista n0  n astfel ^n ^at l1 " < an0 . Lu^and n  N2 (") dedu em a 9 n0  n  N2 (") astfel ^n ^at l1 " < an0  bn0 < l2 + ". De i pentru ori e " > 0 avem l1 " < l2 + ", de unde rezulta l1  l2 .

) Da a l1 = 1 atun i 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at anM > M ) 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at bnM  anM > M , adi a l2 = +1. Pentru inegalitatea a doua lim inf a  lim inf b , se poate pro eda a mai n!1 n n!1 n sus folosind Teorema 2.1.26 sau se poate folosi Teorema 2.1.28 si anume (I ) an  bn ) ( an )  ( bn ) ) lim sup( bn )  lim sup( an ) ) n!1 n!1 lim inf b  lim inf a ) lim inf a  lim inf b . Q.E.D. n n n n!1 n!1 n!1 n!1 n Teorema 2.1.30. Fie (xn )n2IN un sir de numere reale pozitive. Atun i are lo urmatorul sir de inegalitati

sup pn xn  limn!1 sup xxn+1 . lim inf xn+1  lim inf pn xn  limn!1 n!1 xn n!1 pn x  lim supn pn x este eviDemonstratie. Inegalitatea din mijlo lim inf n n n!1 n!1 denta. Trebuie sa demonstram inegalitatile extreme pn x si 2) lim sup pn x  lim sup xn+1 . xn+1 1) lim inf  lim inf n n n!1 xn n!1 n!1 n!1 xn xn+1 xn+1 Notam l = lim inf si L = limn!1 sup x . n!1 xn n a) Da a l = 0 atun i inegalitatea 1) este evidenta. Avem de demonstrat inegalitatea 2). Pentru L = 1, inegalitatea 2) este evidenta. Pentru L < 1 (L  0) avem 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo xxn+1 < L + ". n xN (")+1 xN (")+2 xn De i x < L + "; x < L + "; : : : ; < L + ", xn 1 N (") N (")+1 de unde rezulta p xn n xN (") (L + ")1 N (")=n ; n  N (") + 1. < (L + ")n N (") ) n xn < p xN (") Tre em ^n inegalitatea de mai sus la limite superioare si obtinem, onform Teoremei 2.1.29

62

Siruri si serii de numere reale

p    n xN (") (L + ")1 N (")=n = sup pn xN (") (L + ")1 N (")=n = nlim limn!1 sup pn xn  limn!1 !1 = L + ". pn x  L + ", adi a lim sup pn x  L. De i pentru ori e " > 0 avem lim sup n n n!1 n!1 b) Da a l 2 IR+ atun i avem doua situatii L = 1 sau L < 1. b1 ) Da a L = 1 inegalitatea 2) este evidenta si trebuie s-o demonstram pe 1). Din Teorema 2.1.26 avem 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo xxn+1 > l ". n xN (")+1 xN (")+2 xn De i x > l "; x > l "; : : : ; > l ", xn 1 N (") N (")+1 de unde rezulta p xn n xN (") (l > (l ")n N (") ) n xn > p ")1 N (")=n ; 8 n  N (") + 1. xN (") Tre ^and la limita inferioar a, obtinem onform Teoremei 2.1.29  p p inf n xN (") (l ")1 N (")=n = l ". lim inf n xn  lim n!1 n!1 De i 8 " > 0 avem lim inf pn xn  l ", de unde rezulta lim inf pn xn  l. n!1 n!1 b2 ) Da a L < 1 atun i trebuie demonstrate ambele inegalitati 1) si 2). Demonstratiile sunt ele de mai sus: a) pentru 1) si b) pentru 2).

) Da a l = 1 atun i si L = 1 si este su ient sa demonstram inegalitatea 1). Avem 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo xxn+1 > M ) n xnM +1 xnM +2 xn > M; > M; : : : ; >M ) xnM xnM +1 xn 1 p xn p > M n nM ) xn > xnM M n nM ) n xn > n xnM M 1 nM =n ; 8 n  nM +1. xnM Tre ^and la limite inferioare obtinem    p p n x  lim inf n x M 1 nM =n = lim p n xn M 1 nM =n = M . lim inf n n M M n!1 n!1 n!1 p n De i 8 M > 0 avem lim inf xn  M , adi a lim inf pn xn = 1 (=limn!1 sup pn xn ). n!1 n!1 Q.E.D. Conse inta 2.1.7. Fie (xn )n2IN un sir de numere reale pozitive. Da a exista pn x = l. xn+1 2 l = nlim I R atun i exist a lim n !1 x n!1

n

Exer itii si probleme

63

Exer it ii  si probleme

Folosind teoremele de ara terizare ale limitelor unor siruri (Teoremele 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3) sa se arate a 3n + 1 3 2 a) nlim !1(2n + 1) = 1; ) nlim !1( 3n + 2) = 1. !1 4n + 1 = 4 ; b) nlim 2. S a se arate a n 1 a) sirul en = 1 + ; n 2 IN este stri t res ator si marginit; n  n+1 1 b) sirul yn = 1 + ; n 2 IN este stri t des res ator si marginit; n     1 n+1 1 n 0;  > 0; (sirul lui Heron); 2 xn 1 d) xn+1 = xn + xn 1 ; n  2; x1 = x2 = 1 (sirul lui Fibona

i); e) yn+1 = yn + yn 1 ; n  2; y1 = 2; y2 = 1 (sirul lui Lu as). x +x 8. Fie x1 > x2 > 0  si xn+1 = n n 1 ; n  2. Sa se arate a 2 a) Subsirul (x2k 1 )k2IN este des res ator, iar subsirul (x2k )k2IN este res ator. b) Sirul (xn )n2IN este onvergent. 9. S a se al uleze limitele urmatoarelor siruri pn p ( n + 1)! n!; n 2 IN (sirul lui Traian Lales u); a) an = n+1 "    # 1 n 1 n+1 1+ ; n 2 IN . b) an = n 1 + n+1 n 10. (Teorema lui Stolz-Cesaro) Fie  sirurile (an )n2IN , (bn )n2IN  IR are satisfa

onditiile i) bn > 0; 8 n 2 IN ; sirul (bn )n este stri t res ator u nlim !1 bn = 1; an+1 an ii) 9 nlim !1 bn+1 bn = l 2 IR. an Atun i 9 nlim !1 bn = l. 11. S a se p al uleze limitele urmatoarelor siruri 1 + 2p +


+ np ; n 2 IN; p 2 IN ; a) xn = p+1    n p  1 2 p n + m p  1 b) xn = + a+ +


+ a + a+ ; n 2 IN; a 2 IR; n n n n m 2 IN; p 2 s IN ; p p p 1 + 2 + 3 3 +


+ n n 33n (n!)3 n ; n 2 IN ; d) xn = ; n 2 IN .

) xn = (3n)! n 12. Fie (an )n2IN ; (bn )n2IN  IR dou a siruri de nite astfel     1 1 an+1 = an 1 + ; bn+1 = bn 1 + ; n 2 IN , 2 n n

u a1 ; b1 2 IR+ xati. Sa se arate a a1 + a2 +


+ an = 0. lim n!1 b1 + b2 +


+ bn 13. a) S a se determine  2 IR astfel ^n ^at sirul (xn )n2IN de nit prin 1 x1 = ; xn+1 = xn + 1; n 2 IN 3 sa e onvergent.

65

Exer itii si probleme

b) Sa se determine  2 IR astfel ^n ^at sirurile (xn )n2IN si (yn )n2IN de nite prin 1 1 x1 = y1 = 1; xn+1 = xn + yn ; yn+1 = xn + yn; 8 n 2 IN 4 2 sa e onvergente. 14. Folosind Teorema 2.1.21 (Cau hy) s a se studieze onvergenta sirurilor

os 1! os 2!

os n! a) an = + +


+ ; n 2 IN ; 1
2 2
3 n(n + 1) sin x sin 2x sin nx b) bn = 2 + 2 +


+ 2 ; n 2 IN; x 2 IR; 1 2 n

os x os 2x

os nx

) n = + 2 +


+ n ; n 2 IN; x 2 IR. 3 3 3 15. S a se arate a sirurile 1 1 1 a) an = 1 + p + p +


+ p ; n 2 IN ; n 2 3 1 1 1 b) bn = 1 + p5 + p5 +


+ p5 ; n 2 IN n 2 3 sunt divergente. 16. S a se determine multimea pun telor limita LIM (an ), lim inf a , lim sup a n!1 n n!1 n pentru urmatoarele siruri n n a) an = sin ; n 2 IN ; b) an = [1 + ( 1)n ℄ n( 1)n + os ; n 2 IN ; 3. 6  1 1=n n ; n 2 IN .

) an = ( 1) 1+ +e n 17. Fie  sirurile (xn )n , (yn )n de numere reale marginite. Sa se arate a a) lim sup(xn + yn )  lim sup xn + lim sup yn ; n!1 n!1 n!1 b) lim inf ( x + y )  lim inf x + lim inf y ; n n n n!1 n!1 n!1 n 





) lim sup(xn yn )  lim sup xn lim sup yn ; n!1  n!1  n!1   lim inf y , d) lim inf ( x y )  lim inf x n!1 n n!1 n n n!1 n ultimele doua inegalitati av^and lo pentru (xn )n , (yn )n  IR+ . 18. Fie (xn )n , (yn )n  IR. Da  a sirul (xn )n este onvergent si nlim !1 xn > 0 atun i 





sup yn ; a) lim sup(xn yn ) = nlim !1 xn  lim n!1  n!1  inf y . b) lim inf (x y ) = nlim n!1 n n!1 n n !1 xn lim 19. S a se demonstreze a da a xn > 0; 8 n 2 IN si lim sup xn 6= 0, iar n!1 1 lim sup xn
lim sup = 1 n!1 n!1 xn atun i sirul (xn )n este onvergent. 20. Fie (xn )n , (yn )n dou a siruri de numere reale. Da a nlim !1 xn = 1 atun i sirurile (xn yn )n si (yn)n au a eleasi pun te limita.

66

Siruri si serii de numere reale

2. Serii de numere reale

2.1. Serie onvergenta, serie divergenta

Fie sirul (an )n2IN de numere reale. De nim sirul (Sn)n2IN ^n felul urmator S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; : : : ; Sn = a1 + a2 +


+ an ; : : : De nitia 2.2.1. Pere hea ((an )n2IN ; (Sn )n2IN ) se numeste serie de termen general an. Sirul (Sn)n2IN se numeste sirul sumelor partiale aso iat sirului (an)n sau seriei. Elementele sirului (an)n se numes termenii 1seriei. X Vom nota seria u a1 + a2 +


+ an +


sau an. 1 X

n=1

Seria an se numeste onvergenta da a sirul sumelor n=1 partiale (Sn)1n este onvergent. Limita S a sirului (Sn)n se numeste suma seriei si X se noteaza an = S . De nitia 2.2.2.

n=1

1 X

Seria an se numeste divergenta da a sirul sumelor n=1 partiale (Sn)n este divergent. Da a nlim

a suma seriei este +1, !1 Sn = +11 sau nlim !1 Sn = 1 spunem 1 X X respe tiv 1 si notam an = +1, respe tiv an = 1. n=1 n=1 Uneori primul termen al sirului (an)n este notat a0. Atun i seria se de neste 1 X an = a0 + a1 + a2 +


+ an +


, n=0 iar sirul sumelor partiale (Sn)n0 este S0 = a0 , S1 = a0 + a1 ; : : :, Sn = a0 + a1 + +


+ an ; : : : 1 X Exemplul 2.2.1. Seria q n 1 = 1 + q + q 2 +


+ q n 1 +


se numeste n=1 seria geometri a (de ratie q ). Avem an = q n 1 ; n 2 IN si 8 1 qn ; da a q 6= 1; > < Sn = a1 + a2 +


+ an = 1 + q + q 2 +


+ q n 1 = > 1 q : n; da a q = 1: De nitia 2.2.3.

67

Serii de numere reale

1 X 1 . S = Pentru jqj < 1 seria qn 1 este onvergenta u suma S = nlim n !1 1 q n=1 1 X De i qn 1 = 1 1 q . n=1 Pentru jqj  1 seria este divergenta, deoare e nlim !1 Sn este +1 da a q  1 si nu exista pentru q  1. 1 1 X Exemplul 2.2.2. Seria 2 este onvergenta, deoare e sirul sumelor n=1 n partiale este onvergent. ^Intr-adevar sirul (Sn)n este res ator si marginit superior, deoare e 1 1 1 +


+ 1 = 1 + 1 1 + 1 1+ Sn = 1 + 2 +


+ 2 < 1 + 2 n 1
2 (n 1)n 2 2 3 1 1 1 +


+ n 1 n = 2 n < 2; 8 n 2 IN; n  2; de i Sn < 2; 8 n 2 IN: De i onform Teoremei 2.1.17 sirul (Sn)n este onvergent, iar suma seriei 1 X an este S = nlim !1 Sn  2. n=1 1 1 X 1 +


+ 1 +


, numita seria armoni a = 1+ Exemplul 2.2.3. Seria 2 n n=1 n este divergenta. Sirul sumelor partiale este Sn = 1 + 12 +


+ n1 ; n 2 IN , are este divergent u limita +1 (Exemplul 2.1.2). 1

Teorema 2.2.1. Seria

da a

8 " > 0 9 n0 (") 2 IN

X

n=1

astfel ^n ^at

an este onvergenta u suma S da a si numai

8 n  n0 (")

are lo ja1 + a2 +


+ an S j < ":

(2:2:1) an este onvergenta u Demonstratie. Conform De nitiei 2.2.2 seria n=1 suma S da a si numai da a sirul (Sn)n este onvergent u limita S , adi a onform Teoremei 2.1.1 avem 8 " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo jSn S j < " , 8" > 0 9n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo ja1 + a2 +


+ an S j 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo jan+1 + an+2 +


+ an+pj < "; 8 p 2 IN:

(2:2:2)

1 X

Seria an este onvergenta da a si numai da a sirul (Sn)n n=1 este onvergent, de i e hivalent, onform Teoremei 2.1.21, sirul (Sn)n este sir fundamental, adi a 8" > 0 9n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n  n0 (") are lo jSn+p Snj < "; 8p 2 IN , 8" > 0 9n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n  n0 (") are lo jan+1 + an+2 +


+ an+pj 0 9 k0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 k  k0(") are lo jS Tk j < ":

1

+1

ai .

(2:2:4)

a) Fie " > 0, m > nk arbitrar, momentan xat si k  k0 u nk < m  nk+1. Atun i da a Sm = a1 +


+ am putem s rie Snk  Sm  Snk ; da a termenii ank +1 ; : : : ; ank sunt  0 sau Snk  Sm  Snk ; da a termenii ank +1 ; : : : ; ank sunt  0. Deoare e S " < Tk = Snk < S + "; S " < Tk+1 = Snk < S + " 0

+1

+1

+1

+1

+1

72

Siruri si serii de numere reale

rezulta a S " < Sm < S + " ) jSm S j < ". Cum m este arbitrar, mai mare de ^ at nk dedu em a jSm S j < "; 8 m  nk +1. 1 X an este onvergenta u suma S . De i mlim !1 Sm = S , adi a seria 0

0

n=1

1 X

b) Seria bk este onvergenta, de i are lo relatia (2.2.4). Deoare e nlim !1 an = k=1 = 0 rezulta a 8 " > 0 9 n0(") astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo janj < p" . Fie " > 0, n00 def = maxfn0("); nk (")g, iar m > n00 arbitrar, momentan xat, u nk < m  nk+1 (k  k0 ). Atun i avem X X Sm = Snk + ai = Tk + ai , 0

nk 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo ab n < l + ". n Pentru " = 1 rezulta a 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 avem an < (l +1)bn. Con luziile teoremei rezulta din Teorema 2.2.12, unde M = l + 1. b) Da a l 2 (0; 1) atun i onform Teoremei 2.1.26 avem 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo ab n > l ". n Pentru " = l =2 rezulta a 9 n2 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n2 are lo an > l2 bn . Din Teorema 2.2.12 dedu em on luziile teoremei ^n a est az. Da a l = 1 din Teorema 2.1.26 rezulta a 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo ab n > M . n Dedu em a pentru M = 1 exista n0 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 are lo an > bn . Folosind Teorema 2.2.12 rezulta astfel on luziile teoremei.

) Da a 0 < l  l < 1 ombin^and pun tele a) si b) obtinem a 1 1 1 1 X X X X an (D) ) bn (D); an (C) ) bn (C); n=1

n=1

n=1

n=1

77

Serii de numere reale

1 X n=1

bn (C) )

1 X n=1

an (C);

1 X n=1

bn (D) )

1 X n=1

an (D),

adi a ele doua serii au a eeasi natura. Q.E.D. 1 1 X X Pentru doua serii are au a eeasi natura vom folosi notatia an  bn . n=1

n=1

Conse inta 2.2.3. si

1 X n=1

(Criteriul de omparatie u limita) Fie seriile

bn u an ; bn > 0; 8 n 2 IN si l = nlim !1

an . bn

1 X

n=1

an

a) Da a l 2 (0; 1) atun i ele doua serii au a eeasi natura. 8 1 1 X X > > > an (C) b (C) ) > n < n =1 n =1 b) Da a l = 0 atun i >> X 1 1 X > bn (D): a (D) ) > n : n=1

n=1

8 1 X > > > > n <

) Da a l = 1 atun i >> X

n1=1

a

(C) )

1 X

n1=1

bn

(C)

X

(D) ) an (D): n=1 n=1 1 X 1 Exemplul 2.2.6. Seria sin este divergenta, deoare e are a eeasi natura > > :

n=1

bn

n

sin n = 1 2

u seria armoni a n1 (divergenta). ^Intr-adevar avem l = nlim !1 n1 n=1 2 (0; 1). 1 X Teorema 2.2.15. (Criteriul de ondensare al lui Cau hy) Fie seria an u n=1 an  0; 8 n 2 IN . Da a sirul (an )n2IN este monoton des res ator atun i seriile 1 1 X X an si 2n a2n au a eeasi natura. 1 X

n=1

1

n=0

Demonstratie.

Fie (Sn)n2IN sirul sumelor partiale pentru seria

(Tn)n0 sirul sumelor partiale pentru seria

1 X

n=0

1 X n=1

an ,

iar

2na2n = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 +


.

Observam a pentru ori e n 2 IN exista k 2 IN [ f0g astfel ^n ^at 2k  n
1 si divergenta

1 6= 0, de i seria Da a   0 atun i nlim !1 n

1 X n=1

1 este n

divergenta. Da a  > 0 atun i sirul an = n1 este monoton des res ator. Conform 1 1 X X Teoremei 2.2.15 seria an are a eeasi natura u seria bn, unde bn = 2na2n = n=0 n=1 1 X 1 = 2n (2n) = (2n)1  = (21 )n. Seria bn este seria geometri a u ratia 21  . n=0 1 X Din Exemplul 2.2.1 rezulta a da a 21  < 1 ,  > 1 seria bn este onvergenta, iar da a 21   1 , 1

  1 seria

1 X

n=0

n=0

bn este divergenta.

^In on luzie X an este onvergenta da a  n=1 divergenta. Q.E.D.

>

1, iar pentru   1 este

79

Serii de numere reale

Teorema 2.2.16. (Criteriul raportului al lui d'Alembert, forma u marginire) an , an > 0; 8 n 2 IN . Fie n=1 a) Da a 9  < 1 si 9 n0 2 IN astfel ^n ^at aan+1  ; 8 n  n0 atun i seria 1 X

este onvergenta. b) Da a 9 n1 genta.

n

2 IN

a astfel ^n ^at n+1 an

 1, 8 n  n1 atun i seria este diver-

a) Putem ^nlo ui primii n0 1 termeni ai seriei, fara sa modi am natura ei, u alte numere astfel ^n ^at sa e veri ata inegalitatea Demonstratie.

an+1 an

 ; 8 n 2 IN:

(2:2:10)

Atun i s riind inegalitatea (2.2.10) pentru n := 1; 2; : : : ; n 1, obtinem a2 a a  ; 3  ; : : : ; n  . a1 a2 an 1 ^Inmultind inegalitatile de mai sus membru u membru, dedu em an  n 1 ) an  a1 n 1 ; 8 n 2 IN . a1 1 X Deoare e seria a1 n 1 u  < 1 este onvergenta (este seria geometri a n=1

1 X

u ratia mai mi a de ^at 1), rezulta onform Teoremei 2.2.12 a seria an este n=1

onvergenta. b) Si ai i putem presupune a inegalitatea aan+1  1 are lo pentru 8 n 2 IN , ^nlo uind primii n1 1 termeni ai seriei sau pur sin simplu elimin^andu-i din serie. Astfel avem an+1  an; 8 n 2 IN , inegalitate are ne ondu e la on luzia a sirul (an)n este un sir res ator1de numere pozitive, de i (an)n nu poate sa onvearga X la zero. Rezulta a seria an este divergenta. Q.E.D. n=1 Teorema 2.2.17. (Criteriul raportului al lui d'Alembert u limite extreme) 1 X a an+1 an , an > 0; 8 n 2 IN si e l = lim sup n+1 , l = lim Fie inf . n!1 an n!1 an n=1 a) Da a l < 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l > 1 atun i seria este divergenta.

) Da a l  1 sau l  1 nu putem pre iza natura seriei ( az de dubiu).

80

Siruri si serii de numere reale

Demonstratie. a) Din Teorema 2.1.26 (I)a) dedu em a 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo aan+1 < l + ". n  Alegem " > 0 astfel ^n ^at l + " < 1; de exemplu pentru " = 1 2 l , rezulta a   exista n0 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 avem aan+1 < l + 1 2 l ) aan+1 < l +2 1 . n n an+1 l + 1 De i 9  = 2 < 1 si 9 n0 2 IN astfel ^n ^at a < ; 8 n  n0. Conform n

1 X

Teoremei 2.2.16 a) rezulta a an este onvergenta. n=1 b) Da a l 2 (1; 1) atun i din Teorema 2.1.26 (II)a) rezulta a 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo aan+1 > l ". n Alegem " > 0 astfel ^n ^at l " > 1; de exemplu pentru " = l 2 1 rezulta a 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo aan+1 > l +2 1 > 1. De i 9 n1 2 IN astfel n ^n ^at 8 n  n1 avem aan+1 > 1. Conform Teoremei 2.2.16 b) rezulta a seria n 1 X an este divergenta. n=1 an+1 Da a l = 1 atun i nlim !1 an = 1, adi a 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo aan+1 > M . n Pentru M = 1 rezulta a 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo aan+1 > 1. n 1 X Conform Teoremei 2.2.16 b) dedu em a seria an este divergenta. n=1

) Da a l  1 sau l  1 nu putem pre iza natura seriei. Exista serii are veri a inegalitatile de1mai sus si are sunt onvergente, iar altele sunt divergente. X De exemplu seria 2( 1)n n are an = 2( 1)n n = 2n 1( 1)n  2n1 1 . Deoare e n=1 1 1 1 X X seria 2n 1 este onvergenta, rezulta din Teorema 2.2.12 a seria an este n=1 n=1

onvergenta. Pentru a easta serie avem an+1 l = lim inf an+1 = lim inf 22( 1)n 1 = 81 < 1, iar l = lim = 2 > 1. sup n!1 an n!1 n!1 an 1 X Pentru seria 2n ( 1)n avem an = 2n ( 1)n si nlim !1 an = 1, de i seria este +1

n=1

81

Serii de numere reale

divergenta. Limitele extreme de mai sus sunt ^n a est az inf 21+2( 1)n = 21 < 1, iar l = 8 > 1. Q.E.D. l = lim inf an+1 = lim n!1 n!1 an 1 n X 2n avem Exemplul 2.2.7. Pentru seria 2 n=1   an+1 1 an+1 1 n ( 1) 2 limn!1 sup a = limn!1 sup 2 = 2 < 1, lim inf = 8 1, lim sup an+1 n!1

n!1

a



=8>1 .

n De i seria este divergenta. Conse inta 2.2.5. (Criteriul raportului al lui d'Alembert u limita) Fie 1 X an+1 an u an > 0; 8 n 2 IN si e l = nlim seria !1 an . n=1 a) Da a l < 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l > 1 atun i seria este divergenta.

) Da a l = 1 nu putem pre iza natura seriei. Teorema 2.2.18. (Criteriul radi alului (rada inii) al lui Cau hy, forma u 1 X marginire) Fie seria an u an  0; 8 n 2 IN . n=1 a) Da a 9  < 1 si 9 n0 2 IN astfel ^n ^at pn an  ; 8 n  n0 atun i seria este onvergenta. b) Da a 9 n1 2 IN astfel ^n ^at pn an  1; 8 n  n1 atun i seria este divergenta. Demonstratie. a) Ca si ^n demonstratia Teoremei 2.2.16 putem presupune

a are lo inegalitatea pn an 1 pentru 8 n 2 IN . Atun i rezulta an  n ; 8n  1. X Deoare e seria geometri a n este onvergenta ( < 1), din Teorema 2.2.12

1 X

n=1

dedu em a seria an este onvergenta. pn a n=1 b) Da  a a a an 6! 0, adi a seria n  1 , an  1; 8 n  n1 rezult 1 X an este divergenta. Q.E.D. n=1 Teorema 2.2.19. (Criteriul radi alului al lui Cau hy{Hadamard u limita

82

Siruri si serii de numere reale

sup pn an . superioara) Fie seria an; an  0; 8 n 2 IN si e l = limn!1 n=1 a) Da a l < 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l > 1 atun i seria este divergenta.

) Da a l = 1 nu putem pre iza natura seriei. Demonstratie. a) Da a l < 1 din Teorema 2.1.26 (I)a) dedu em a 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo pn an < l + ".   Pentru " = 1 2 l rezulta a 9 n0 2 IN astfel ^n ^at pn an < l +2 1 . De i  9  = l +2 1 < 1 si 9 n0 2 IN astfel ^n ^at pn an < ; 8 n  n0 . Conform Teoremei 1 X 2.2.18 rezulta a seria an este onvergenta. n=1 b) Da a l 2 (1; 1) atun i onform Teoremei 2.1.26 (I)a) avem 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at np0 an0 > l ". l 1 l + 1 p 0 0 n 0 Fie " = 2 ; atun i 8 n 2 IN 9 n  n astfel ^n ^at an > 2 > 1. De i pentru 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at an0 > 1, adi a (an)n nu onverge la 0. Rezulta a seria este divergenta. Da a l = 1 atun i onform Teoremei 2.1.26 (I)b) avem 8 M > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at np0 an0 > M . Pentru M = 1 rezulta a 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at np0 an0 > 1 ) an0 > 1. De i (an)n nu onverge la zero, de unde dedu em a seria este divergenta.

) Da a l = 1 nu putem pre iza natura seriei. Exista serii onvergente,  altele divergente pentru are a s l = 1. Astfel, de exemplu, pentru seria armoni  generalizata avem limn!1 sup n n1 = 1; 8  2 IR. Cunoastem a a easta serie este

onvergenta pentru  > 1 si divergenta pentru   1. Q.E.D. Conse inta 2.2.6. (Criteriul radi alului al lui Cau hy u limita) Fie seria 1 X pn a . an u an  0; 8 n 2 IN si e l = nlim n !1 n=1 a) Da a l < 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l > 1 atun i seria este divergenta.

) Da a l = 1 nu putem pre iza natura seriei. 1 X

83

Serii de numere reale

Exemplul 2.2.9.

Pentru seria

1 X n=1

2(

1)n

n

avem

n 1 = lim 2 n n 1 = 1 < 1. n sup 2 limn!1 sup pn an = lim n!1 2 n!1 Rezulta onform Teoremei 2.2.19 (Conse int  a 2.2.6)

 a seria este onvergenta. 1 X n Exemplul 2.2.10. Pentru seria 2n ( 1) avem n=1 n n p 1 n n = lim 21 n = 2 > 1. limn!1 sup an = lim sup 2 n!1 n!1 Dedu em onform Teoremei 2.2.19 (Conse int a 2.2.6) a seria este divergenta. 1 " 5 + ( 1)n #n X avem Exemplul 2.2.11. Pentru seria 2 n=1 pn a = lim sup 5 + ( 1)n = 3 > 1. lim sup n 2 n!1 n!1 Rezulta onform Teoremei 2.2.19 a seria este divergenta. Observatia 2.2.7. Din Teorema 2.1.30 dedu em a da a are lo Teorema 2.2.17 ( riteriul raportului) atun i are lo si Teorema 2.2.19 ( riteriul radi alului). De i riteriul radi alului este mai puterni (tare), el put^andu-se apli a si pentru serii pentru are nu se poate apli a riteriul raportului (vezi Exemplele 2.2.9{ 2.2.10 si demonstratia Teoremei 2.2.17). Teorema 2.2.20. (Criteriul lui Kummer u limite extreme) Fie sirul (n )n2IN 1 X  IR+ si seria an u an > 0; 8 n 2 IN . (

1)

(

n=1

a) Da a l = lim inf n!1 genta. 1 X b) Da a seria 1

a n n an+1

(

1)

1)

(

1)

!

n+1 > 0 atun i seria

1 X

n=1

an este onver-

a este divergenta, iar l = lim sup n n an+1 n!1 n 1 n=1 X an este divergenta. atun i seria

!

n+1 < 0

n=1 Demonstratie. a) Da a l 2 (0; 1) atun i din Teorema 2.1.26 avem 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo n aan n+1 > l ". n+1 l Pentru " = 2 atun i 9 n0 2 IN astfel^n ^at 8 n  n0 avem n aan n+1 > l2 , n+1

n an

l n+1 an+1 >  an+1 : 2

(2:2:11)

84

Siruri si serii de numere reale

S riem inegalitatea (2.2.11) pentru n := n0 ; n0 + 1; : : : ; n 1 si obtinem l n an n +1 an +1 >  an +1 ; 2 l n +1 an +1 n +2 an +2 >  an +2 ; 2 ... l n 1 an 1 n an >  an : 2 Adun^and inegalitatile de mai sus rezulta l n an n an >  (an +1 + an +2 +


+ an ) ; 8 n  n0 + 1 ) 2 2 2 an +1 + an +2 +


+ an < (n an n an ) < n an ; 8 n  n0 + 1 ) l l 2 a1 + a2 +


+ an < (a1 + a2 +


+ an ) + n an ; 8 n  n0 + 1 ) l 2 Sn  M; 8 n  n0 + 1; unde M = a1 + a2 +


+ an + n an ; l de unde rezulta a Sn  maxf1S1; S2 ; : : : ; Sn ; M g; 8 n 2 IN . Dedu em a sirul X (Sn)n este marginit, iar seria an este onvergenta. 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n=1

!

an Da a l = 1 atun i nlim !1 n an+1 n+1 = 1, de i 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo nan n+1 an+1 > Man+1 . Pentru M = 1 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 avem nan n+1an+1 > an+1.

La fel a mai sus obtinem an +1 + an +2 +


+ an < n an n an < n an ; 8 n  n1 + 1 ) Sn  a1 + a2 +


+ an + n an = M; 8 n  n1 + 1 ) Sn  maxfM; S1 ; S2 ; : : : ; Sn g; 8 n 2 IN . 1 X Rezulta a sirul (Sn)n2IN este marginit, iar seria an este onvergenta. 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

b) Da a l = lim sup n!1

a n n an+1

!

n+1

n=1

2 ( 1; 0) atun i avem

!

8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo n aan n+1 < l + ". n+1 l Pentru " = 2 rezulta a 9 n2 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n2 avem ! 1 l an n+1 an+1 n an n n+1 < < 0 ) < ) a > = 1 . n an+1 2 an+1 n n n+1 n +1

85

Serii de numere reale

1 X n=1

Deoare e seria

1 X

1 este divergenta, din Teorema 2.2.13 rezulta a seria 

n=1 n

an este divergenta.

!

an 1 atun i nlim  n+1 = 1, de i n !1 an+1 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo n aan n+1 < M . an n+1 Pentru M = 1 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 avem n a n+1 < 1 < 0, de n+1 1 X unde rationamentul ontinua a mai sus si obtinem a seria an este divergenta. n=1

Da a l =

Q.E.D.

Teorema 2.2.21. (Criteriul lui Raabe-Duhamel u limite extreme) Fie seria ! an 1 , iar l = an u an > 0; 8 n 2 IN si e l = lim sup n a n!1 n +1 n=1 ! an = lim inf n a 1 . n!1 n+1 a) Da a l > 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l < 1 atun i seria este divergenta. Demonstratie. Folosim Teorema 2.2.20, lu^and n = n 2 IR+. ! ! inf n aan 1 > 1 , a) Da a lim inf n aan n 1 > 0 , lim n !1 n!1 n+1 n+1 l > 1 atun i seria este onvergenta. ! ! an an b) Da a limn!1 sup n a n 1 < 0 , lim sup n 1 1 atun i nlim =  > 1, de i seria este onvergenta. !1 a n+1 an Da a  = 1 avem nlim !1 n an+1

!

1 = . Din Criteriul lui Raabe-Duhamel (Conse inta 2.2.7) rezulta a pentru  < 1 seria este divergenta, iar pentru  > 1 seria este onvergenta. Pentru  = 1 si  = 1 folosim Criteriul lui Bertrand (Conse inta 2.2.8). Deoare e " ! # an n
ln n lim n a 1 1 ln n = nlim = 0 < 1; n!1 !1 n n+1 rezulta a seria este divergenta. Q.E.D. 1 X Exemplul 2.2.14. Fie seria an , unde n=0 ( + 1)


( + n 1) ( + 1)


( + n 1) an = ; n 2 IN , a0 = 1, n! ( + 1)


( + n 1) numita seria hipergeometri a a lui Gauss. Avem aan = ((n ++ n1)()( ++ nn)) = 1 + + 1 n  + nn2 , n+1 n2 (   +  + 2 + 2 ) n ( + 1  ) unde n = . (n + )(n + ) Sirul (n )n este marginit (este onvergent u limita   +  + +2 + 2 ). Conform Criteriului lui Gauss (Teorema12.2.23) dedu em a da a X

+ 1  > 1 ,  > 0 atun i seria an este onvergenta, iar da a + 1

 1

n=1

,   0 atun i seria

1 X

n=1

an este divergenta. 1 X

(Criteriul logaritmi u limite extreme) Fie seria an n=1 1 1 ln ln

u an > 0; 8 n 2 IN si l = lim sup an , iar l = lim inf an . n!1 ln n n!1 ln n a) Da a l > 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l < 1 atun i seria este divergenta. Demonstratie. a) Da a l 2 (1; 1) atun i Teorema 2.2.24.

89

Serii de numere reale

1 ln an > l ". 8 " > 0 9 N (") 2 IN; N (")  2 astfel^n ^at 8 n  N (") are lo ln n  Pentru " = l 2 1 rezulta a 9 n0  2 astfel ^n ^at 8 n  n0 avem ln a1n > l + 1 =  > 1 ) ln 1 > ln n ) a < 1 . n ln n 2 an n 1 1 X

u  > 1 este Conform Teoremei 2.2.12 si Conse intei 2.2.4 (seria

onvergenta) rezulta a

1 X

n=1

an este onvergenta. ln 1

an Da a l = 1 atun i nlim !1 ln n = 1; de i

 n=1 n

ln 1

8 M > 0 9 nM 2 IN; nM  2 astfel ^n ^at 8 n  nM avem ln ann > M . Pentru M =  > 1 rezulta a 9 n 2 IN; n  2 astfel ^n ^at 8 n  n are lo 1 1 ln an >  ) a < 1 ; de unde dedu em a si mai sus a seria X an este n ln n n n=1

onvergenta. b) Da a l < 1 atun i ln 1 8 " > 0 9 N (") 2 IN; N (")  2 astfel^n ^at 8 n  N (") are lo ln ann < l + ".  Pentru " = 1 2 l rezulta a 9 n1 2 IN; n1  2 astfel ^n ^at 8 n  n1 avem ln a1n < l + 1 =  < 1 ) a > 1 . n ln n 2 n Conform Teoremei 2.2.12 si a Conse intei 2.2.4 rezulta a seria este divergenta. 1 ln a  n Da a l = 1 atun i nlim !1 ln n = 1, adi a 1 ln an < M . 8 M > 0 9 nM 2 IN; nM  2 astfel ^n ^at 8 n  nM are lo ln n Pentru M = 1 9 n1 2 IN; n1  2 astfel ^n ^at 8 n  n1 avem 1 ln a < ln n ) an > n. De i an 6! 0, de unde dedu em a seria este n divergent a. Q.E.D. 1 X an u Conse inta 2.2.9. (Criteriul logaritmi , forma u limita) Fie n=1 1 ln a n an > 0; 8 n 2 IN si e l = nlim !1 ln n .

90

Siruri si serii de numere reale

a) Da a l > 1 atun i seria este onvergenta. b) Da a l < 1 atun i seria este divergenta. 1 X Exemplul 2.2.15. Fie seria nln  ,  > 0 u termenul general an = nln  . n=1 1 ln  ln ln n an Avem nlim !1 ln n = ln . !1 ln n = nlim Da a ln  > 1 , ln  < 1 ,  < e 1 atun i seria este onvergenta. Da a ln  < 1 , ln  > 1 ,  > e 1 atun i seria este divergenta. Da a ln  = 1 ,  = e 1 riteriul logaritmi nu ne da ni i o informatie despre natura seriei. ^Inlo uind^n seria noastra pe  = e 1 obtinem seria armoni a 1 X 1 , are este divergenta. n n=1

1 X

De i nln x este onvergenta pentru 0 <  < e 1 si este divergenta pentru n=1   e 1. 1 X Teorema 2.2.25. (Criteriul integral al lui Ma -Laurin{Cau hy) Fie an n=1

u an  0; 8 n 2 IN . Presupunem a exista o fun tie ontinua si monoton 1 X an este des res atoare f : [1; 1) ! IR+ u f (n) = an ; 8 n 2 IN . Atun i seria n =1 Z n

onvergenta (divergenta) da a si numai da a sirul (Fn )n2IN , Fn = f (x) dx este 1

onvergent (respe tiv divergent).

Deoare e f este ontinua u valori^n IR+ rezulta a Fn este bine de nit pentru ori e n 2 IN si ^n plus sirul (Fn)n este monoton res ator. 1 X Seria an u an = f (n) este onvergenta da a si numai da a, onform n=1 Teoremei 2.2.2 (Cau hy) avem Demonstratie.

8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo an+1 + an+2 +


+ an+p < " , f (n + 1) + f (n + 2) +


+ f (n + p) < ":

(2:2:12) Sirul (Fn)n2IN este onvergent da a si numai da a sirul (Fn)n este sir Cau hy,

91

Serii de numere reale

adi a 8 " > 0 9 ne 0(")Z 2 IN astfel ^n ^Zat 8 n  ne 0(") are lo Fn+p Fn < "; 8 p 2 IN Z n+p n +p n , 1 f (x) dx 1 f (x) dx < " , n f (x) dx < ": (2:2:13) Avem Z n+p Z n+1 Z n+p f (x) dx. f (x) dx +


+ f (x) dx = n+p 1 n n Deoare e Z n+1 f (n + 1)  f (x) dx  f (n); Znn+2 f (n + 2)  f (x) dx  f (n + 1); n+1 ... Z n+p f ( n + p)  f (x) dx  f (n + p 1), n +p 1 obtinem prin adunare Z n+p

f (n + 1) + f (n + 2) +


+ f (n + p)  n  f (n) + f (n + 1) +


+ f (n + p 1);

f (x) dx  8 p 2 IN:

(2:2:14)

Din relatia (2.2.14) rezulta a (2.2.12) si (2.2.13) sunt e hivalente, adi a seria an este onvergenta da a si numai da a sirul (Fn )n este onvergent. n=1 Partea a doua a teoremei poate dedusa din prima parte sau se poate arata

a mai sus a 1(Sn)n ! 1 , (Fn)n ! 1, unde (Sn)n este sirul sumelor partiale X pentru seria an. Q.E.D. n=1 1 X 1 , p > 0. Consideram fun tia Exemplul 2.2.16. Fie seria p n=2 n ln n 1 , ontinua si monoton des res atoare. Atun i f : [2; 1) ! IR+ , f (x) = x lnp x da a p 6=Z 1 avem Z n n 1 1 h(ln n) p+1 (ln2) p+1i. (ln x) p+1 n F (n) = f (x) dx = dx = = p p+1 2 1 p 2 2 x ln x Sirul (Fn)n2 este onvergent , p > 1 si este divergent , p < 1. Z n n dx Da a p = 1 atun i Fn = 2 x ln x = ln(ln x) 2 = ln(ln n) ln(ln2) ! 1, pentru n ! 1. 1 X

92

Siruri si serii de numere reale

De i seria este onvergenta pentru p > 1 si divergenta pentru 0 < p  1. 2.4. Criterii de onvergenta pentru serii u termeni oare are Teorema 2.2.26. (Lema lui Abel) Fie 1 ; 2 ; : : : ; p , d1 ; d2 ; : : : ; dp 2 IR (p 2 IN ) u urmatoarele proprietati a) jAij  K; 8 i = 1; p, unde A1 = 1; A2 = 1 + 2, : : :, Ap = 1 + 2 +


+ p; b) d1  d2 


 dp  0. Atun i are lo inegalitatea

j 1 d1 + 2d2 +


+ pdpj  Kd1 :

(2:2:15)

Demonstratie. Din de nitia numerelor Ai ; i = 1; p avem

1 = A1 ; 2 = A2 A1 ; 3 = A3 A2 ; : : : ; p = Ap Ap 1 .

Atun i j 1 d1 + 2d2 +


+ pdpj = jA1d1 + (A2 A1)d2 +


+ (Ap Ap 1)dpj = = jA1(d1 d2) + A2 (d2 d3) +


+ Ap 1(dp 1 dp) + Apdpj   jA1(d1 d2)j + jA2(d2 d3)j +


+ jAp 1(dp 1 dp)j + jApdpj = = jA1j(d1 d2) + jA2j(d2 d3) +


+ jAp 1j(dp 1 dp) + jApjdp   K (d1 d2 + d2 d3 +


+ dp 1 dp + dp) = Kd1, adi a inegalitatea (2.2.15). Q.E.D. 1 X Teorema 2.2.27. (Criteriul lui Diri hlet) Fie seria an bn , u an ; bn 2 IR. Da a

1 X

n=1

a) seria an are sirul sumelor partiale marginit, iar n=1 b) sirul (1bn)n2IN este monoton des res ator, onvergent la 0, X an bn este onvergenta. atun i seria n=1

1 X

Fie (Sn)n sirul sumelor partiale pentru seria an. Din n=1 ipoteza a) rezulta a 9 M > 0 astfel ^n ^at jSnj  M; 8 n 2 IN . Apoi, deoare e (bn )n este monoton des res ator si nlim !1 bn = 0 dedu em a bn  0; 8 n 2 IN si Demonstratie.

8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo bn < ":

(2:2:16)

93

Serii de numere reale

Fie " > 0 arbitrar, momentan xat. Pentru 2M" > 0 relatia (2.2.16) ne da  existenta unui rang n0 2M" not = n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo bn < 2M" . 1 X Vom arata a seria anbn veri a Teorema 2.2.2 (Teorema lui Cau hy). n=1 Fie p 2 IN ; notam 1 = an+1, 2 = an+2 , : : :, p = an+p; d1 = bn+1, d2 = bn+2 ; : : :, dp = bn+p si veri am ipotezele din Teorema 2.2.26 (Lema lui Abel). Avem jAij = j 1 + 2 +


+ ij = jan+1 + an+2 +


+ an+ij = jSn+i Snj   jSn+ij + jSnj  2M; 8 i = 1; p, de i este veri ata onditia a) din Teorema 2.2.26 u K = 2M . Conditia b) din Teorema 2.2.26 este si ea veri ata, deoare e (bn)n este monoton des res ator, de i d1  d2 


 dp  0, (bn+1  bn+2 


 bn+p  0). Atun i, din Lema lui Abel rezulta a j 1d1 + 2d2 +


+ pdpj  Kd1 ; adi a " jan+1bn+1 + an+2 bn+2 +


+ an+pbn+pj  2Mbn+1 < 2M 2M = ", pentru n + 1  n1 sau n  n1 1. De i pentru ori e " > 0 9 ne 0 (") = n1 1 astfel ^n ^at jan+1bn+1 +


+ an+pbn+pj < ", 8 p 2 IN . 1 X Dedu em astfel onform Teoremei 2.2.2 a seria an bn este onvergenta. Q.E.D. n=1 1 sin nx X Exemplul 2.2.17. Sa onsideram seria , x 2 IR. Pentru x = k, k

2 Z , seria devine

1 X

n=1

n=1

n

0 si este onvergenta. Pentru x 6= k;

k

2 Z , notam

1 . Sirul (b ) este monoton des res ator, onvergent la 0. Sen n n nx sin (n+1)x 1 X sin ria an are sirul sumelor partiale (Sn)n, unde Sn = 2 sin x 2 ; 8 n 2 IN: n=1 2 1 Rezulta a jSnj  x ; 8 n 2 IN , adi a sirul (Sn)n este marginit. Conform sin 2 1 X Teoremei 2.2.27 dedu em a seria sinnnx , pentru x 6= k; k 2 Z , este onn=1 vergenta. ^In on luzie seria data este onvergenta pentru ori e x 2 IR. 1 X Teorema 2.2.28 (Criteriul lui Abel) Fie seria an bn , u an ; bn 2 IR. Da a

an = sin nx si bn =

n=1

94

Siruri si serii de numere reale

1 X

a) seria an este onvergenta, iar n=1 b) sirul (bn)n este monoton si marginit, 1 X an bn este onvergenta. atun i seria n=1 Demonstratie. Deoare e sirul (bn )n este monoton si marginit, onform Teoremei 2.1.17 (Teorema lui Bolzano-Weierstrass) rezulta a el este onvergent. Presupunem a (bn )n este monoton des res ator. Notam u b = nlim !1 bn si e sirul (1b0n )n, unde b0n = bn b, are este monoton des res ator, onvergent la 0. Seria X an este onvergenta, de i are sirul sumelor partiale marginit. Conform Teo-

n=1

remei 2.2.27 (Criteriul lui Diri hlet) dedu em a seria Dar anb0n = anbn

an b, de i an bn = an b0n + an b, iar

1 X

1 X

n=1

1 X

n=1

an b0n

an bn =

este onvergenta.

1 X

n=1

an b0n + b

1 X

n=1

an .

Rezulta a seria an bn este suma a doua serii onvergente, de i este si ea onn=1 vergenta. Da a sirul (bn )n este monoton res ator, atun i ( bn )n este monoton des1 X

res ator si onform primei parti a demonstratiei dedu em a seria an( bn ) = 1 X

1 X

n=1

1 X

( anbn ) = ( an bn) este onvergenta. De i si seria noastra anbn = n=1 n=1 n=1 este onvergenta. Q.E.D. 1 an X Exemplul 2.2.18. Seria , unde a 2 IR, jaj < 1 si  > 0 este onn n=1

1 X

vergenta, onform Teoremei 2.2.28, deoare e seria an este onvergenta (seria n=1   1 geometri a), iar sirul este monoton des res ator (la 0) si marginit. n

n

1 X

(Criteriul lui Leibniz) Fie seria alternata ( 1)n 1 n, n=1

u n  0; 8 n 2 IN . Da a sirul (n )n este monoton des res ator si onvergent 1 X la 0 atun i seria ( 1)n 1 n este onvergenta. n=1 Demonstratie. Apli am Teorema 2.2.27 pentru an = ( 1)n 1 si bn = n . Teorema 2.2.29.

95

Serii de numere reale

1

X Avem ^ndeplinite ipotezele din a easta teorema. ^Intr-adevar seria ( 1)n 1 n=1 are sirul sumelor partiale marginit jSnj  1; n 2 IN , iar sirul1(bn)n este monoX ton des res ator, onvergent la 0. Dedu em astfel a seria ( 1)n 1n este n=1

onvergenta. Q.E.D. 1 ( 1)n 1 1 ( 1)n 1 X X , Exemplul 2.2.19. Seriile 2 sunt onvergente onn n n =1 n=1     form Criteriului lui Leibniz, deoare e sirurile n1 n, n1 n sunt monoton des res atoare, onvergente la 0. 2

2.5. Serii absolut onvergente si serii semi onvergente De nitia 2.2.5.

modulelor

1 X n=1

Seria

1 X

n=1

an

se numeste

janj este onvergenta. Notam

De nitia 2.2.6.

Seria

1 X

n=1

1 X

n=1

absolut onvergenta

an (A.C.).

se numeste semi onvergenta sau simplu on-

an

vergenta da a ea este onvergenta, dar nu este absolut onvergenta.

(S.C.).

Exemplul 2.2.20. 1 X

seria modulelor n=1 = 2 > 1).

Seria

da a seria

Notam

1 X

n=1

an

( 1)n 1 este absolut onvergenta, deoare e n2

1 X n=1

1 este onvergenta, (este seria armoni a generalizata u  = n2

n 1 ( 1) este semi onvergenta, deoare e ea Exemplul 2.2.21. Seria n n=1 este onvergent a onform Criteriului lui Leibniz (vezi Exemplul 2.2.19), iar seria 1 1 X modulelor n este divergenta. n=1

Teorema 2.2.30. O serie

1 X

1 X

n=1

1 X

an absolut onvergenta este onvergenta.

1 X

Deoare e an este absolut onvergenta, rezulta a janj n=1 n=1 este onvergenta. Conform Teoremei 2.2.2 rezulta a 8 " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo jan+1j + jan+2j +


+ jan+pj < "; 8 p 2 IN: Demonstratie.

96

Siruri si serii de numere reale

Atun i 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") si 8 p 2 IN avem jan+1 + an+2 +


+ an+pj  jan+1j + jan+2j +


+ jan+pj < ". 1 X Am obtinut ara terizarea Cau hy (Teorema 2.2.2) pentru seria an, de unde n=1 rezulta a a easta este onvergenta. Q.E.D. Observatia 2.2.9. La seriile u termeni nenegativi absoluta onvergenta

oin ide u onvergenta. Pentru a studia absoluta onvergenta a unei serii putem folosi ori are dintre

riteriile de onvergenta prezentate pentru seriile u termeni nenegativi. Vom da ^n ontinuare doua dintre a este riterii, av^and ^n vedere on luziile deosebite ale lor. 1 X an u an 2 IR ; 8 n 2 IN , Teorema 2.2.31. (Criteriul raportului) Fie n=1 an+1 an+1  iar l = lim sup si l = lim inf . an  n!1 an n!1 a) Da a l < 1 atun i seria este absolut onvergenta. b) Da a l > 1 atun i seria este divergenta. Demonstratie. Apli am Criteriul raportului al lui d'Alembert u limite 1 1 X X extreme (Teorema 2.2.17) pentru seria janj. Da a l < 1 rezulta a janj 1 X

n=1

n=1

este onvergenta, adi a an este absolut onvergenta. n=1 Da a l 2 (1; 1) atun i din Teorema 2.1.26 (II)a) rezult a a an+1 8 " > 0 9 N (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  N (") are lo a > l ". n l 1 Pentru " = 2 dedu em a 9 n0 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 are lo an+1 l +1 >  > 1 ) jan+1 j > jan j. Rezulta a jan j 6! 0 si de i an 6! 0, adi a an 1 2 X seria an este divergenta. n=1

n+1 n!1

Da a l = 1 atun i lim aa = 1, adi a n an+1 8 M > 0 9 nM 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nM are lo a > M . n an+1 Pentru M = 1 rezulta a 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo a > 1 , n

97

Serii de numere reale

1 X

jan+1j > janj. De i an 6! 0 si astfel Teorema 2.2.32. l = lim sup n!1

q

n

an este divergenta.

(Criteriul radi alului) Fie

janj.

a) Da a l < 1 atun i seria b) Da a l > 1 atun i seria Demonstratie.

n=1

1 X n=1

1 X

n=1

1 X

n=1

Q.E.D.

an u an 2 IR;

8 n 2 IN si

an este absolut onvergenta. an este divergenta.

Da a l < 1 atun i din Teorema 2.2.19 dedu em a 1 X

1 X n=1

janj

este onvergenta, de i seria an este absolut onvergenta. n=1 Da a l 2 (1; 1) atun i din Teorema 2.1.26 rezult a a q 0 8 " > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at n jan0 j > l ". q l + 1 l 1 0 n 0 0 Pentru " = 2 dedu em a 8 n 2 IN 9 n  n astfel^n ^at jan j > 2 > 1 1 X ) jan0 j > 1. Rezulta a (an)n nu onverge la 0, adi a seria an este divergenta. n=1 Da a l = 1 atun i onform Teoremei 2.1.26 avem q 8 M > 0; 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at n0 jan0qj > M . Pentru M = 1 obtinem a 8 n 2 IN 9 n0  n astfel ^n ^at n0 jan0 j > 1 ) jan0 j > 1. 1 X De ai i dedu em a an 6! 0 si a an este divergenta. Q.E.D. n=1

1 X

O serie an se numeste omutativ onvergenta sau nen=1

onditionat onvergenta da a ori e serie obtinuta din ea prin s himbarea ordinii termenilor este onvergenta. 1 De nitia 2.2.7.

Teorema 2.2.33. Da a seria

serie

1 X n=1

bn obtinuta din seria

1 X n=1

X

n=1

an este absolut onvergenta, atun i ori e

an prin s himbarea ordinii termenilor este ab-

1 X an . solut onvergenta si are a eeasi suma u seria n=1 1 X

Demonstratie.

Deoare e

n=1

an este absolut onvergenta rezulta a 9M > 0

98

Siruri si serii de numere reale

1 X

(M este suma seriei janj) astfel ^n ^at n=1 ja1 j + ja2 j +


+ janj  M; 8 n 2 IN . 1 X Atun i jb1j + jb2 j +


+ jbnj  M; 8 n 2 IN , de i si seria bn este absolut n=1

onvergenta. 1 1 1 X X X Fie S si T suma seriei an , respe tiv suma seriei bn , adi a S = an , T

=

1 X

n=1

n=1

n=1

bn , iar (Sn )n si (Tn )n sirul sumelor partiale pentru seria 1 X

1 X

n=1

n=1

an , respe tiv

sirul sumelor partiale pentru seria bn . Fie bije tia lui IN pe IN u n=1 an = b (n) ; 8 n 2 IN . Pentru e are n 2 IN notam u kn = maxf (1); (2); : : : ; (n)g. Atun i diferenta Tkn Sn = b1 + b2 +


+ bkn (a1 + a2 +


+ an) = b1 + b2 +


+ bkn b (1) + b (2) +


+ b (n) este egala u 0 sau u o suma de termeni am u m > n. De i jTkn Snj  japj + jap+1j +


+ jaq j;

(2:2:17)

unde q  p > n. 1 X Fie " > 0. Deoare e seria an este absolut onvergenta, din Teorema 2.2.2 n=1 rezulta a 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo jan+1j + jan+2j +


+ jan+pj < ". De i pentru n  n0 (") din (2.2.17) dedu em a jTkn Snj < "; adi a lim (T Sn) = 0 si de i T = S . Q.E.D. n!1 kn Conse inta 2.2.10. O serie

vergenta.

Teorema 2.2.34.

1 X

n=1

an absolut onvergenta este omutativ on-

(Riemann) Fie

seria

1 X n=1

an semi onvergenta. Atun i

s himb^and onvenabil ordinea termenilor putem obtine a) o serie onvergenta u suma un numar real dat; b) o serie divergenta u suma +1;

99

Serii de numere reale

) o serie divergenta u suma 1; d) o serie divergenta, pentru are sirul sumelor partiale nu are limita (ni i nita, ni i in nita). Nu vom prezenta demonstratia Teoremei 2.2.34, are este onstru tiva (vezi [5℄). 1 X Fie o serie de numere reale an. Notam u n=1 8 8 < a ; da  < 0; a a  0 ; da a an  0; n n a+n = : an = : 0; da a an < 0; an ; da a an < 0: Atun i an = a+n an ; jan j = a+n + an ; 8 n 2 IN ; (2:2:18) ja j + an ; a = janj an ; 8 n 2 IN: a+n = n n 2 2 De nitia 2.2.8. Seriile 1 X n=1

1 X

n=1

a+n = a+1 + a+2 +


+ a+n


;

an

= a1 + a2 +


+ an +


;

(2:2:19)

se numes seriile termenilor nenegativi, respe tiv a termenilor nepozitivi, ^nmultiti 1 X an .

u ( 1) aso iate seriei n=1 Elimin^and eventualii termeni nuli ai seriilor de mai sus (nu modi am natura a estora), obtinem seriile1termenilor pozitivi si ai termenilor negativi, ^nmultiti X

u ( 1), aso iate seriei an. n=1 1 ( 1)n 1 X 1 + 1 1 + 1


; Exemplul 2.2.22. Pentru seria = 1 n 2 3 4 5 n=1 seriile (2.2.19)1;2 sunt 1 + 0 + 13 + 0 + 51 +


; respe tiv 0 + 21 + 0 + 14 + 0 + 61 +


. Ele au a eeasi natura u seriile 1 + 31 + 51 +


; (seria termenilor pozitivi), respe tiv 1 + 1 + 1 +


; (seria termenilor negativi ^nmultiti u ( 1)). 2 4 6

100

Siruri si serii de numere reale

Teorema 2.2.35. O serie

1 X n=1

an este absolut onvergenta da a si numai

1 X a+n , ^at si seria termenilor nepozitivi da a at^at seria termenilor nenegativi n=1 1 X an sunt onvergente. ^nmultiti u ( 1), n=1 1 X an onvergenta este semi onvergenta da a si numai da a seriile Seria n=1 1 1 X X a+n si an sunt divergente. n=1 n=1 1 1 X X

Demonstratie.

Da a

n=1

an este absolut onvergenta, de i 1 X

n=1

janj este on1 X

vergenta, atun i din relatiile (2.2.18)2 dedu em a seriile a+n si an sunt n=1 n=1

onvergente. 1 1 X X + Re ipro , da a seriile an si an sunt onvergente, atun i din (2.2.18)1 1 X

n=1

n=1

1 X

rezulta a seria janj este onvergenta, de i seria an este absolut onvern=1 n=1 genta. 1 1 X X Da a seria an este onvergenta, dar seria janj este divergenta, atun i n=1

din (2.2.18)2 rezulta a seriile seriile

1 X

n=1

a+n

1 X

si

1 X

n=1

an

1 X

n=1

a+n

si

1 X

n=1

n=1

an

sunt divergente. Re ipro , da a

sunt divergente, relatiile (2.2.18)2 ne ondu la on luzia 1 X

a seria janj este divergenta, de i seria an nu este absolut onvergenta. n=1 n=1 Q.E.D. 1 Teorema 2.2.36. O serie

X

n=1

da a ea este omutativ onvergenta.

an este absolut onvergenta da a si numai

Prima parte a teoremei rezulta din Conse inta 2.2.10. 1 X Re ipro , da a seria an este omutativ onvergenta atun i ea este onverDemonstratie.

n=1

genta. Da a presupunem prin redu ere la absurd a seria

1 X

n=1

an

nu este absolut

101

Serii de numere reale

onvergenta, atun i din Teorema 2.2.34 dedu em a, s himb^and onvenabil ordinea termenilor putem obtine o serie divergenta. A est lu ru ontrazi e faptul 1 X

a seria an este omutativ onvergenta. De i presupunerea fa uta este falsa n=1

si ^n on luzie seria

1 X

n=1

an este absolut onvergenta.

Q.E.D.

2.6. Produsul Cau hy (produsul onvolutiv) al doua serii De nitia 2.2.9. Numim serie produs Cau hy sau serie produs onvolutiv al 1 1 1 X X X seriilor an si bn seria n = 1 + 2 +


+ n +


, unde n = a1 bn+ n=1 n=1 n=1 +a2bn 1 +


+ an 1 b2 + anb1 ; n 2 IN . Teorema 2.2.37. (Mertens) Seria produs Cau hy dintre o serie onvergenta

si una absolut onvergenta este o serie onvergenta, iar suma sa este egala u produsul sumelor elor doua serii. 1 1 X X

Demonstratie.

Fie seria

n=1

an

absolut onvergenta, iar seria

n=1

vergenta. Notam u (An)n, (Bn)n sirurile sumelor partiale pentru seriile respe tiv

1 X

n=1

bn , iar u A si B

sumele a estor serii. 1 X

1 X

1 X

bn

on-

1 X

n=1

an ,

Pentru seria produs Cau hy n al seriilor an si bn , notam sirul n=1 n=1 n=1 sumelor partiale u (Cn)n. 1 X Deoare e seria bn este onvergenta, rezulta a nlim !1 Bn = B . Da a notam n=1

u n = Bn B , n 2 IN , atun i nlim !1 n = 0. Avem Cn = 1 + 2 +


+ n = a1 b1 +(a1 b2 + a2 b1 )+


+(a1 bn + a2 bn 1 +


+ an b1 ) = = a1 (b1 + b2 +


+ bn ) + a2 (b1 + b2 +


+ bn 1 ) +


+ anb1 = = a1 Bn + a2 Bn 1 +


+ anB1 = a1 (n + B )+ a2 (n 1 + B )+


+ an (1 + B ) = = B (a1 + a2 +


+ an)+ a1n + a2 n 1 +


+ an1 = BAn + a1n + a2n 1 +


+ +an1.

102

Siruri si serii de numere reale

De i

BAn = a1 n + a2 n 1 +


+ an 1 ;

de unde rezulta a jCn BAn j  ja1n + a2 n 1 +


+ an 1j  ja1jjnj + ja2jjn 1j +


+ janjj1j: (2:2:20) 1 1 X X Deoare e seria an este absolut onvergenta, adi a janj este onvern=1 n=1 genta, rezulta a sirul sumelor partiale este marginit, adi a 9 K > 0 astfel ^n ^at ja1j + ja2j +


+ janj  K; 8 n 2 IN: (2:2:21) Sirul (n)n este onvergent la 0, de i (2:2:22) 8 " > 0 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 avem jnj < 2"K : Pe de alta parte nlim !1 an , adi a Cn

8" > 0 9n2 2 IN astfel ^n ^at 8n  n2 are lo janj < 2(j j + j j +"


+ j 1

2

n1

1 j)

:

(2:2:23) Atun i, folosind (2.2.21){(2.2.23) obtinem pentru " > 0 si n  n0 = maxfn1 ; n1 + n2 2g ja1 jjnj +


+ janjj1j = (ja1jjnj +


+ jan n +1jjn j)+ +(jan n +2 jjn 1 j +


+ janjj1j)  2"K (ja1j + ja2j +


+ jan n +1j)+ + 2(j j +

"
+ j j) (jn 1 j +


+ j1j) < 2"K K + 2" = ". 1 n 1 De i din inegalitatea de mai sus si relatia (2.2.20) rezulta a pentru 8 " > 0 9 n0 astfel^n ^at pentru 8 n  n0 avem jCn BAn j < "; adi a nlim !1(Cn BAn ) = 0. Deoare e nlim

a nlim !1 An = A, dedu em !1 Cn = nlim !1(Cn BAn + BAn ) = AB . 1 X Astfel seria produs Cau hy n este onvergenta, u suma AB . Q.E.D. 1

1

1

1

1

1

1

n=1 Conse inta 2.2.11. Seria produs Cau hy al doua serii onvergente u ter-

meni nenegativi este o serie onvergenta, u suma egala u produsul sumelor elor doua serii. Conse inta 2.2.12. Seria produs Cau hy al doua serii absolut onvergente este o serie absolut onvergenta, u suma egala u produsul sumelor elor doua serii.

103

Exer itii si probleme

Demonstratie.

Fie seriile

1 X n=1

an

si

1 X n=1

bn

absolut onvergente. Conform

Conse intei 2.2.11 rezulta a seria produs Cau hy 1 X

n=1

janj si

1 X

n=1

1 X

n=1

dn

al seriilor onvergente

jbnj este onvergenta, ( u suma egala u produsul sumelor elor

doua serii). 1 1 X X Atun i termenul general n al seriei produs Cau hy al seriilor an si bn n=1 n=1 veri a inegalitatea j nj = ja1bn + a2bn 1 +


+ anb1 jja1 jjbnj + ja2jjbn 1j +


+ janjjb1j = dn; 8n 2 IN , de i j nj  dn; 8 n 2 IN . Folosind Criteriul de 1 omparatie u marginire de prima1spe ie (Teorema X X 2.2.12) dedu em a seria j nj este onvergenta, de i seria n este absolut n=1 n=1

onvergenta. Partea a doua a Conse intei 2.2.12 rezulta din Teorema 2.2.37. Q.E.D. Observatia 2.2.10. Seria produs Cau hy al doua serii semi onvergente nu este neaparat o serie onvergenta; ea poate o serie divergenta, asa um vom vedea din exemplul are urmeaza. 1 ( 1)n 1 X pn . TerExemplul 2.2.23. Sa onsideram seria semi onvergenta n=1 menul general al seriei produs al seriei de mai sus u ea ^nsasni este 1 ( 1) p sau

n = a1 an + a2 an 1 +


+ an a1 ; unde an = n ( 1)n 1 ( 1)n 1 + q( 1)n 1 +


+ ( p1)n 1 =( 1)n 1 Xn q 1 .

n = p + q n n 2(n 1) 3(n 2) 2 k=1 k (n k + 1) 3 n 1 X X 1 n 1 5. De i seria produs este ( 1) 4 q n=1 k=1 k (n k + 1) n X Deoare e j nj = q 1  nn = 1, 8 n 2 IN , rezulta a n 6! 0, pentru k=1 k (n k + 1 1 X n ! 1, de i seria n este divergenta. n=1

104

Siruri si serii de numere reale Exer it ii  si probleme

Sa se studieze sirul sumelor partiale pentru urmatoarele serii, dedu ^andu-se apoi natura a estora si suma lor, ^n az de onvergenta 1 1 1 X X X a 1 1 ; b) 3n 1 sin3 n ; a 2 IR; ) a) n 2 a ; a 2 [0; 1℄; 3 n=1 n=1 4 os 2n n=1 (3n 2)(3n + 1) 1 p X p p d) ( n +  + 1 2 n +  + n +  1);  > 0; n=1 1 n+1 1 3n2 + n 2 1 5n2 + 12n + 8 X X X ; f) ln ; g) . e) 2 3 3 n n! n=1 n=1 n=1 n (n + 1) (n + 2) 1 n X X 2. Fie an o serie onvergenta u an  0; 8n 2 IN si a1 6= 0, iar Sn = ak , n=1 k=1 n 2 IN . Sa se demonstreze a urmatoarele serii sunt onvergente 1 a 1 a X X n n a) ; b) 2. S S n=1 n n=1 n 1 X an o serie onvergenta u an > 0; 8 n 2 IN . Sa se arate a urmatoarele 3. Fie n=1 serii sunt onvergente 1 p 1  X X 1  1. a) an an+1 ; b) an 1 + an+1 n=1 n=1 1 X 4. S a se arate a da a seria an u an  0, 8 n 2 IN este onvergenta, atun i si n=1 seriile 1 1 pa X X an n ; b) a) n=1 n n=1 1 + an sunt onvergente. 1 1 a X X n 5. Fie seria an u an  0; 8 n 2 IN divergenta. Sa se arate a seria n=1 n=1 1 + an este divergenta. 6. Folosind riteriile de omparat ie sa se dedu a natura urmatoarelor serii p 1 an 1 1 1 X X 3n  ; ) X 2n sin  ; d) X ln n ; p ; b) a) ; a 2 IR + n 2 3 3n n=1 n! n=1 n n=1 n + 2n + 5 n=1 1 1 h sin n 1 1
3
5


(2n 1) 1 i X X X 3n e) ar sin 2 ; f) e n3 +1 1 ; g)
pn . 7n + 1 n=1 n=1 n=1 2
4
6


(2n) 7. S a se studieze u ajutorul riteriului radi alului al lui Cau hy urmatoarele serii n 1  2n + 1 n 1 6n2 + 7n + 4 !n 1 q X X X a) (n + 1)(n + a) n ; ; b) ; ) 2 n=1 5n + 3 n=1 2n + 5n + 7 n=1 1.

105

Exer itii si probleme

#n 1  3 + ( 1)n n X 13 + 23 +


+ n 3 n ; e) a > 0; d) . n3 4 5 n=1 n=1 8. S a se studieze natura urmatoarelor serii u termeni pozitivi u ajutorul riteriilor lui d'Alembert, al lui Raabe-Duhamel sau al lui Bertrand 1 n! 1 1
3
5


(2n 1) 1 xn X X X ; x > 0 ; s > 0; b) ;

) ; a) s 2n n=1 n n=1 2
5
8


(3n 1) n=1 n 1 an n! 1 X X n! d) ; a > 0; e) ;  > 0; n n=1 n n=1 ( + 1)


( + n 1)  1 X ( 1)


( n + 1) 2 ;  2 IR;  6= 1; 2; : : :; f) (2n + 1) ( + 1)( + 2)


( + n) n=1  1 X  1 ; a 2 0 ; g) ; a tg na ) 2 n=1 (1 + tg a)(1 + tg 2 )


(1 + 1 a(a + r)


(a + nr r)  X ; a > 0; b > 0; r > 0;  2 IR. h) n=1 b(b + r )


(b + nr r ) 9. S a se studieze, folosind Criteriul radi alului al lui Cau hy si Criteriul raportului al lui d'Alembert u limite extreme, natura seriei x + xy + x2 y + x2 y2 +


+ xn yn 1 + xn yn +


; (x; y > 0). 10. S a se arate, folosind indu tia dupa p 2 IN si Criteriul de ondensare al lui 1 1 X 1 2 Cau hy, a seriile p n sunt divergente, unde L n = n ln n; L n = n ln n
ln ln n, L n=2 : : :, Lp n = n ln n
ln ln n


|ln ln{z


ln} n; (pentru p = 1 vezi demonstratia Teoremei

1 X

2.2.22).

"

p ori

(Criteriul general al lui Bertrand, numit si Criteriul logaritmi al lui Bertrand) 1 X Fie seria an , u an > 0; n 2 IN . n=1   an p p L (n + 1) > 0 atun i seria a) Da a 9 p 2 IN [f0g astfel ^n ^at lim inf L n n!1 an+1 este onvergenta.   an p p b) Da a 9 p 2 IN [f0g astfel ^n ^at lim sup L n L (n + 1) < 0 atun i seria an+1 n!1 este divergenta, unde L0 n = n, iar Lpn, p 2 IN sunt de nite ^n Problema 10. Indi atie. Se foloseste Criteriul lui Kummer u an = Lp n. 12. S a se studieze urmatoarele serii folosind Criteriul logaritmi 1 1 1 np 3 X X X n2 + 2 1 1 a) . ln n ; b) lnln n ; ) 3 n=2 (ln ln n) n=2 (ln n) n=1 n + 2n + 1 13. Folosind Criteriul integral al lui Cau hy s a se studieze seria 11.

106

Siruri si serii de numere reale

1 X

1 q ; q > 0. n=2 n ln n
(ln ln n) 14. S a se studieze a (absoluta sau simpla) a urmatoarelor serii p5 n onvergent 1 1 1 X X X 2n + 1 (n!)2 ; b) ( 1)n 1 n ; ) ( 1)n 1 ; a) ( 1)n 1 n+1 3 (2n)! n =1 n =1 n=1   1 sin n 1 X X 1
3


(2n 1)  n 1 ;  2 IR; e) d) ( 1) ;  2 IR; 2 IR; 2
4


(2n) n=1 n n=1 1 os n 1 sin n
sin 1 X X n ;  > 0; f) ;  2 IR; 2 IR; g)  n n n=1 1 sin n
os nn2=1 1 sin n X X 3 ; i) ;  > 0. h) n n=1 n=1 lg(n + 1) 1 X 15. S a se arate a da a ^ntr-o serie alternata ( 1)n 1 n are satisfa e onditiile n=1 din Criteriul lui Leibniz (sirul (n )n este monoton des res ator u limita egala u 0), ^nlo uim suma seriei u suma partiala Sn fa em o eroare mai mi a de ^at primul termen neglijat n+1 . Eroarea este prin lipsa da a n este par si prin adaos da a n este impar. 16. S a se al uleze seria produs pentru urmatoarele serii, oment^andu-se apoi rezultatele 1 1 1 ( 1)n X X a) si ; a > 0; (n)!(a + n) n"=0 (n)! n =0 # " # 1  3 n 1  3 n 1  X X 1 n b) 1
2 + 2n+1 . si 1 + n=1 2 n=1 2 1 1 1 X X X (Pentru seriile an si bn seria produs Cau hy este

n , unde n=0 n=0 n=0

0 = a0 b0 ; 1 = a0 b1 + a1 b0 ; : : : ; n = a0 bn + a1 bn 1 +


+ an b0 ; : : :).

Capitolul 3 SPAT  II METRICE. SPAT  IUL

IRk

1. Spat ii metri e

1.1. Metri a, spatiu metri De nitia 3.1.1. Fie X o multime nevida. Se numeste metri a sau distanta pe X o apli atie d : X  X ! IR are satisfa e urmatoarele proprietati, numite

axiomele metri ii

a) d(x; y)  0; 8 x; y 2 X ; d(x; y) = 0 , x = y; b) d(x; y) = d(y; x); 8 x; y 2 X ;

) d(x; y)  d(x; z) + d(z; y); 8 x; y; z 2 X , (numita inegalitatea triunghiulara). De nitia 3.1.2. O multime X 6= ; dotata u o metri a d se numeste spatiu metri si se noteaza u (X; d). De nitia 3.1.3. Pentru un spatiu metri (X; d) elementele multimii X se numes pun te, iar pentru x; y 2 X numarul d(x; y) se numeste distanta dintre x si y . Teorema 3.1.1. Da a (X; d) este un spatiu metri atun i au lo urmatoarele inegalitati

1) d(x1; xn)  d(x1 ; x2) + d(x2 ; x3) +


+ d(xn 1; xn), pentru ori e n pun te x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 X (n 2 IN , n  3). 2) jd(x; z) d(y; z)j  d(x; y); 8 x; y; z 2 X . 3) jd(x; y) d(x1 ; y1)j  d(x; x1) + d(y; y1), pentru ori e pun te x; y; x1 ; y1 2 X , (inegalitatea patrulaterului). Demonstratie. 1) Vom demonstra inegalitatea prin indu tie dupa n 2 IN ,

108

Spatii metri e. Spatiul IRk

n  3.

Pentru n = 3 avem d(x1 ; x3 )  d(x1 ; x2 ) + d(x2 ; x3 ), inegalitate adevarata, onform axiomei ) din De nitia 3.1.1. Presupunem inegalitatea adevarata pentru n pun te si o vom demonstra pentru (n + 1) pun te. De i e x1 ; x2; : : : ; xn+1 2 X . Atun i din axioma ) a metri ii avem d(x1 ; xn+1 )  d(x1 ; xn ) + d(xn ; xn+1 ), de unde rezulta folosind ipoteza (inegalitatea adevarata pentru n pun te) a d(x1 ; xn+1 )  d(x1 ; x2 ) + d(x2 ; x3 ) +


+ d(xn 1 ; xn ) + d(xn ; xn+1 ). Astfel din prin ipiul indu tiei matemati e rezulta a are lo proprietatea 1) pentru ori e n pun te x1 ; x2; : : : ; xn 2 X . 2) Fie x; y; z 2 X . Conform axiomei ) avem d(x; z)  d(x; y) + d(y; z); de unde rezulta d(x; z ) d(y; z )  d(x; y ): (3:1:1) Apoi din inegalitatea d(y; z)  d(y; x) + d(x; z) obtinem d(y; z ) d(x; z )  d(y; x):

(3:1:2)

Din (3.1.1), (3.1.2) si axioma b) a metri ii rezulta inegalitatea 2). 3) Fie x; y; x1; y1 2 X . Apli am proprietatea 1) pentru x; x1 ; y1; y; avem d(x; y )  d(x; x1 ) + d(x1 ; y1 ) + d(y1; y ), de unde rezulta d(x; y ) d(x1 ; y1 )  d(x; x1 ) + d(y1 ; y ): (3:1:3) Apoi, onform a eleiasi proprietati, pentru x1 ; x; y; y1 avem d(x1 ; y1)  d(x1 ; x) + d(x; y ) + d(y; y1), de unde obtinem d(x1 ; y1) d(x; y )  d(x1 ; x) + d(y; y1):

Din (3.1.3), (3.1.4) si axioma b) rezulta proprietatea 3). Q.E.D. Exemplul 3.1.1. Multimea X = IR u metri a d : IR  IR ! IR, d(x; y ) = jx y j este spatiu metri , deoare e

(3:1:4)

Spatii metri e

109

a) d(x; y) = jx yj  0; 8 x; y 2 IR; d(x; y) = jx yj = 0 , x = y; b) d(x; y) = jx yj = jy xj = d(y; x); 8 x; y 2 IR;

) d(x; y) = jx yj = j(x z) + (z y)j  jx zj + jz yj = d(x; z)+ +d(z; y); 8 x; y; z 2 IR. Exemplul 3.1.2. Fie X 6= ;. Apli at ia 8 < 1; x 6= y; d : X  X ! IR; d(x; y ) = : 0; x = y este o metri a, numita metri a dis reta. Spatiul (X; d) se numeste spatiu metri dis ret. ^Intr-adevar, din de nitie dedu em imediat a d(x; y)  0; d(x; y) = 0 , x = y si d(x; y ) = d(y; x); 8 x; y 2 X . Sa veri am inegalitatea triunghiulara d(x; y )  d(x; z ) + d(z; y ); 8 x; y; z 2 X . Da a x = y atun i d(x; y) = 0 si inegalitatea de mai sus este veri ata pentru ori e z 2 X . Da a x 6= y atun i d(x; y) = 1, iar pentru z 2 X avem urmatoarele posibilitati i) da a z = x atun i d(x; z) = 0 si d(z; y) = 1; de i inegalitatea de mai sus devine 1  1; ii) da a z = y atun i d(y; z) = 0 si d(x; z) = 1; inegalitatea de mai sus devine 1  1; iii) da a z 6= x si z 6= y atun i d(x; z) = 1 si d(y; z) = 1; inegalitatea de mai sus devine 1  2. De i ^n toate azurile este veri ata axioma ) a metri ii. Exemplul 3.1.3. Fie multimea IRn = |IR  IR 


 IR} = f~x = (x1 ; x2; : : : ; xn); xi 2 IR; i = 1; ng, n 2 IN . {z de n ori Urmatoarele apli atii d : IRn IRn ! IR, Æ : IRn IRn ! IR,
: IRn IRn ! IR de nite prin v u n n X uX d(~x; ~y) = t (xi yi)2 ; Æ (~x; ~y) = jxi yij;
(~x; ~y) = max jxi yi j, i=1;n i=1 i=1 n unde ~x = (x1 ; x2; : : : ; xn); ~y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 IR , sunt metri i. Vom veri a axiomele pentru apli atia d. Avem

110

Spatii metri e. Spatiul IRk

a) d(~x; ~y)  0; 8v~x; ~y 2 IRn si u n n X uX (xi yi)2 = 0 , d(~x; ~y) = 0 , t (xi yi )2 = 0 , i=1 i=1 2 (xi yi) = 0; 8vi = 1; n , xi =vyi; 8 i = 1; n , ~x = ~y; u n u n X uX 2 t t (yi xi )2 = d(~y; ~x); 8 ~x; ~y 2 IRn; b) d(~x; ~y) = (xi yi) = u i=1 i=1

) d(~x; ~y)  d(~x; ~z) + d(~z; ~y); 8 ~x; ~y; ~z 2 IRn. Inegalitatea de mai susveste e hivalentav u v u n u n u n X uX uX 2 2 t t t (xi yi)  (xi zi ) + u (zi yi)2. i=1 i=1 i=1 Da a notam xi zi = ai , zi yi = bi , i = 1; n atun i xi yi = ai + bi; i = 1; n si inegalitatea devine v v v u n u n u n X X u uX t t (ai + bi )2  t a2i + u b2i , i=1 i=1 i=1

are este adevarata (este inegalitatea lui Minkowski, vezi Problema 17, Capitolul 1, u p = 2). Propunem ititorului sa veri e axiomele a){ ) pentru apli atiile Æ si
. jx yj este o Exemplul 3.1.4. Apli atia d1 : IR  IR ! IR, d1 (x; y ) = 1 + jx y j metri a pe IR, deoare e a) d1(x; y)  0; 8 x; y 2 IR; d1(x; y) = 0 , x = y; b) d1(x; y) = d1(y; x); 8 x; y 2 IR;

) d1(x; y)  d1 (x; z) + d1 (z; y); 8 x; y; z 2 IR , jx yj  jx zj + jy zj ; 8 x; y; z 2 IR. 1 + jx y j 1 + jx z j 1 + jy z j Primele doua proprietati de mai sus sunt evidente. Pentru a demonstra inegalitatea de la pun tul ), sa onsideram fun tia f : IR ! IR, f (x) = 1 +x x ,

are este res atoare (f 0(x)  0; 8 x 2 IR+). Atun i pentru x1  x2 obtinem f (x1 )  f (x2 ). Lu^and x1 = jx yj si x2 = jx zj + jy zj (evident x1  x2 ) rezulta f (x1 )  f (x2 ) sau jx y j  jx z j + jy z j  jx z j + jy z j , 1 + jx y j 1 + jx z j + jy z j 1 + jx z j 1 + jy z j

Spatii metri e

111

adi a inegalitatea de la pun tul ). Fie (X; d) un spatiu metri . De nitia 3.1.4. Se numeste sfera des hisa u entrul ^n x0 2 X si de raza r > 0 multimea Sd (x0 ; r) = fx 2 X j d(x0; x) < rg. De nitia 3.1.5. Se numeste sfera ^n hisa u entrul ^n x0 2 X si de raza r > 0 multimea S d (x0 ; r) = fx 2 X j d(x0 ; x)  rg: Sferele de mai sus se noteaza uneori mai simplu u S (x0; r), respe tiv S (x0 ; r). De nitia 3.1.6. Multimea A din spatiul metri (X; d) este marginita da a exista x0 2 X si M > 0 astfel ^n ^at A  S (x0 ; M ). De i A  (X; d) este marginita da a exista x0 2 X si M > 0 astfel ^n ^at d(x; x0 )  M; 8 x 2 A. De nitia 3.1.7. Multimea A din spatiul metri (X; d) se numeste nemarginita da a A nu este marginita. De nitia 3.1.8. Se numeste ve inatate a pun tului x0 2 X o multime V  X are ontine o sfera des hisa u entrul ^n x0 ; de i exista r > 0 astfel ^n ^at S (x0 ; r)  V . Observatia 3.1.1. Ori e sfera des hisa S (x0 ; r), r > 0 este o ve inatate pentru x0 . De nitia 3.1.9. Multimea tuturor ve inatatilor unui pun t x 2 X se numeste sistemul de ve inatati ale pun tului x. Vom nota sistemul de ve inatati u V (x). Teorema 3.1.2. Sistemul de ve inatati V (x) ale unui pun t x 2 X are urmatoarele proprietati

V1 ) 8 V 2 V (x); x 2 V ; V2 ) 8 V 2 V (x) si U  V atun i U 2 V (x); V3 ) 8 V1 ; V2 2 V (x); V1 \ V2 2 V (x); V4 ) 8 V 2 V (x) 9 W 2 V (x) astfel ^n ^at 8 y 2 W rezulta V 2 V (y ). Demonstratie. V1 ) Pentru V 2 V (x) exista S (x; r)  V , r > 0. x 2 S (x; r)  V .

Atun i

112

Spatii metri e. Spatiul IRk

V2 ) Da a V 2 V (x) atun i exista S (x; r)  V , r > 0. Pentru U  V avem S (x; r)  V  U , de unde rezulta a U 2 V (x). V3 ) Fie V1 ; V2 2 V (x), iar S (x; r1 )  V1 si S (x; r2 )  V2 , unde r1 ; r2 > 0. Atun i pentru r = minfr1; r2g avem S (x; r)  V1 \ V2, de i V1 \ V2 2 V (x). V4 ) Fie V 2 V (x), iar S (x; r)  V . Vom arata a multimea W are veri a

onditia din V4) este S (x; r). ^Intr-adevar pentru un element arbitrar y 2 S (x; r), momentan xat, exista S (y; r0)  S (x; r), unde r0 < r d(x; y). Pentru a veri a

ultima in luziune avem 8 z 2 S (y; r0), adi a d(y; z) < r0 rezulta d(x; z)  d(x; y) + d(y; z) < < d(x; y ) + r0 < d(x; y ) + r d(x; y ) = r; de unde dedu em a z 2 S (x; r). Astfel W este ve inatate pentru e are din pun tele sale. Q.E.D. Conse inta 3.1.1. Un spatiu metri este un spatiu topologi (vezi Capi{ tolul 1). De nitia 3.1.10. Fie x 2 X . Multimea U (x) este un sistem fundamental de ve inatati pentru x da a a) U (x)  V (x); b) 8 V 2 V (x) 9 U 2 U (x) astfel ^n ^at U  V . Exemplul 3.1.5. Multimea tuturor sferelor S (x; r), r > 0, este un sistem fundamental de ve inatati pentru x 2 X , fS (x; r) j r > 0g = U (x). ^Intr-adevar U (x)  V (x) si pentru o ve inatate V 2 V (x) oare are, momentan xata, exista S (x; r)  V , r > 0, adi a exista U = S (x; r) 2 U (x) astfel ^n ^at U  V . Exemplul 3.1.6. Multimea tuturor sferelor entrate^n x si u raza n1 , n 2 IN este un sistem fundamental de ve inatati, fS (x; n1 ) j n 2 IN g = Ue (x). ^Intr-adevar avem Ue (x)  V (x). Apoi pentru ve inatatea V 2 V (x), exista S (x; r)  V , r > 0. Pentru r > 0 exista n0 2 IN astfel ^n ^at n1 < r. Atun i S (x; n1 ) 2 Ue (x) si S (x; n1 )  S (x; r)  V . De nitia 3.1.11. Metri ile d1 si d2 de nite pe multimea X se numes e hivalente da a a) pentru ori e x 2 X si ori e r > 0 exista  > 0 astfel ^n ^at Sd (x; )   Sd (x; r) si 0

0

0

2

1

113

Spatii metri e

b) pentru ori e x 2 X si ori e r > 0 exista  > 0 astfel ^n ^at Sd (x; )   Sd (x; r). Teorema 3.1.3. Da a pentru doua metri i d1 ; d2 : X  X ! IR exista

onstantele a; b 2 IR; 0 < a  b astfel ^n ^at 1

2

ad1 (x; y )  d2 (x; y )  bd1 (x; y );

(3:1:5)

8 x; y 2 X;

si d2 sunt e hivalente. Demonstratie. Fie x 2 X si r > 0. Atun i pentru  = ar avem Sd (x; )   Sd (x; r). ^Intr-adevar pentru ori e y 2 Sd (x; ), adi a d2 (x; y) <  avem d1 (x; y )  a1 d2 (x; y ) < a = r; de unde rezulta a y 2 Sd (x; r). Pentru  = rb avem Sd (x; )  Sd (x; r). ^Intr-adevar pentru ori e y 2 2 Sd (x; ), adi a d1(x; y) <  avem d2 (x; y )  bd1 (x; y ) < b = r; de unde rezulta a y 2 Sd (x; r). Dedu em astfel a metri ile d1 si d2 sunt e hivalente. Q.E.D. Exemplul 3.1.7. Metri ile d, Æ si
de nite pe IRn (din Exemplul 3.1.3) sunt e hivalente, deoare e exista inegalitatile p1n Æ (~x; ~y)  d(~x; ~y)  Æ (~x; ~y) si
(~x; ~y)  d(~x; ~y)  pn
(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn. ^Intr-adevar avem !1=2 n n X X 2 Æ (~x; ~y) = jxi yij  (xi yi)
n1=2 = pn d(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn, i=1 i=1

onform inegalitatii lui Cau hy (Problema 13, Capitolul 1). v u n n X uX 2 t Apoi d(~x; ~y) = (xi yi)  jxi yij = Æ(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn. i=1 i=1 Pentru inegalit a  t ile dintre d  s i
avem v u n r p uX d(~x; ~y) = t (xi yi)2  n
max(xi yi)2 = n
max jxi yi j = i=1;n i=1;n i=1 p n = n
(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IR sv i u n uX
(~x; ~y) = max j xi yij  t (xi yi)2 = d(~x; ~y); 8 ~x; ~y 2 IRn . i=1;n i=1 Observatia 3.1.2. Inegalitatile (3.1.5) sunt onditii su iente nu si ne esare pentru e hivalenta a doua metri i. De exemplu pe IR metri ile d(x; y) = jx yj si atun i metri ile d1

2

1

2

1

1

2

1

2

114

Spatii metri e. Spatiul IRk

jx yj sunt e hivalente, dar nu satisfa dubla inegalitate (3.1.5). 1 + jx y j Metri ile d si d1 sunt e hivalente. Pentru x 2 IR arbitrar, momentan xat si pentru r > 0 exista  = 1 +r r astfel ^n ^at Sd (x; )  Sd(x; r). Ultima in luziune

d1 (x; y ) =

1

este adevarata, deoare e 8 y 2 Sd (x; ) ) d1 (x; y) <  ) 1 +jxjx yj yj < 1 +r r ) jx yj < r ) y 2 Sd (x; r). Iar pentru x 2 IR si r > 0 exista  > 0 astfel ^n ^at Sd (x; )  Sd (x; r). Da a r  1 atun i putem alege ori e  > 0 astfel ^n ^at sa e veri ata in luziunea de mai sus. Da a r < 1 luam  = 1 r r ; atun i 8 y 2 Sd (x; ) ) d(x; y) <  ) jx yj < 1 r r ) f (jx yj) <  r  jx yj < r ) d (x; y) < r ) y 2 S (x; r), 0 astfel ^n ^at d(x; y)  a1 d1(x; y) atun i, deoare e d1 (x; y ) < 1; 8 x; y 2 IR, ar rezulta a d(x; y ) < a1 , jx y j < a1 ; 8 x; y 2 IR,

eea e este absurd. 1

1

1

1.2. Siruri de pun te ^n spatii metri e

Fie (X; d) un spatiu metri . De nitia 3.1.12. O apli atie f : IN ! X se numeste sir de pun te din spatiul metri (X; d). Vom nota sirul de pun te f u (xn)n2IN , unde xn = f (n); 8 n 2 IN . De nitia 3.1.13. Sirul de pun te (xn )n2IN  (X; d) este onvergent u limita x 2 X da a pentru ori e ve inatate V a pun tului x exista nV 2 IN astfel ^n ^at 8 n  nv are lo xn 2 V . d Pentru un sir onvergent vom folosi notatia nlim !1 xn = x sau xn ! x, pentru n ! 1 sau mai simplu xn ! x, pentru n ! 1.

115

Spatii metri e

De nitia 3.1.14.

gent.

Un sir (xn)n2IN are nu este onvergent se numeste diver-

Sirul (xn)n2IN  (X; d) este marginit da a multimea termenilor sirului este marginita, adi a exista x 2 X si M > 0 astfel ^n ^at xn 2 S (x; M ) , d(xn ; x)  M; 8 n 2 IN . De nitia 3.1.16. Fie sirul (xn )n2IN  (X; d). Sirul (xnk )k2IN , unde (nk )k este un sir stri t res ator de numere naturale, se numeste subsir al sirului (xn)n. Teorema 3.1.4. Sirul (xn )n2IN  (X; d) onverge la x 2 X da a si numai De nitia 3.1.15.

da a

8 " > 0 9 n0(") 2 IN

astfel ^n ^at

8 n  n0 (") are lo d(xn; x) < ": (3:1:6)

Demonstratie. Fie " > 0 si V = S (x; ") sfera des hisa u entrul ^n x si de raza ". Conform De nitiei 3.1.13 rezulta a exista nV not = n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo xn 2 S (x; "), adi a d(xn; x) < ". Re ipro , presupunem a are lo relatia (3.1.6). Fie V o ve inatate a lui x. Din De nitia 3.1.8 rezulta a exista S (x; ")  V , u " > 0. Din ipoteza, pentru " > 0 exista n0 2 IN astfel^n ^at d(xn ; x) < "; 8 n  n0 . Rezulta a ^n afara sferei S (x; ") exista un numar nit de termeni ai sirului, de i si ^n afara lui V ram^ane un numar nit de termeni ai sirului. De i xn ! x, pentru n ! 1. Q.E.D. Teorema 3.1.5. Limita unui sir onvergent (xn )n  (X; d) este uni a. Demonstratie. Presupunem prin redu ere la absurd a nlim !1 xn = x si lim x = y u x 6= y. Conform Teoremei 3.1.4 avem n!1 n 8 " > 0 9 n0 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 are lo d(xn; x) < " si 8 " > 0 9 n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 are lo d(xn; y) < ". Fie d0 = d(x; y) > 0. Atun i pentru " = d3 din ele de mai sus rezulta

a exista n2 2 IN , n2 = maxfn0; n1g astfel ^n ^at d(xn; x) < d3 si d(xn ; y) < d3 ; 8 n  n2. De ai i dedu em d0 = d(x; y )  d(x; xn ) + d(xn ; y ) < d3 + d3 = 23d , 0

0

2

2

0

0

0

0

eea e este absurd. De i presupunerea fa uta este falsa. Dedu em astfel a limita lui (xn)n este uni a. Q.E.D.

116

Spatii metri e. Spatiul IRk

Observatia 3.1.3.

Proprietatea are a aparut ^n demonstratia Teoremei

3.1.5, adi a 8 x; y 2 X; x 6= y; 9 S1 (x; a); a > 0; S2 (y; b); b > 0 u este proprietatea de separare (Hausdor) a spatiilor metri e.

S1 \ S2 = ;

Teorema 3.1.6. Un sir onvergent este marginit. Demonstratie. Fie (xn )n2IN  (X; d) un sir onvergent

u nlim !1 xn = x. Conform Teoremei 3.1.4 avem veri ata relatia (3.1.6). Luam " = 1; atun i exista n1 2 IN astfel ^n ^at d(xn; x) < 1, 8 n  n1 . De nim M astfel M = maxfd(x1 ; x); d(x2 ; x); : : : ; d(xn 1 ; x); 1g > 0. Atun i avem d(xn; x)  M; 8 n 2 IN , adi a sirul (xn )n este marginit. Q.E.D. Din De nitiile 3.1.13 si 3.1.14 dedu em Propozitia 3.1.1. a) Da a s himbam ordinea termenilor unui sir (xn )n natura sa (proprietatea de a onvergent sau divergent) nu se s himba. b) Da a adaugam sau suprimam un numar nit de termeni dintr-un sir, 1

natura sa nu se s himba.

Din Teorema 3.1.4 (relatia 3.1.6) rezulta Conse inta 3.1.2. Sirul (xn )n2IN  (X; d) este onvergent u limita x 2 X da a si numai da a nlim !1 d(xn ; x) = 0.

Teorema 3.1.7. Ori e subsir al unui sir onvergent este onvergent si are

a eeasi limita u sirul dat.

Fie (xn)n2IN  (X; d), iar (xnk )k un subsir al sau. Conform Teoremei 3.1.4 avem veri ata relatia (3.1.6). Atun i pentru " > 0 si k  n0 avem nk  k  n0 si de i d(xnk ; x) < ". Dedu em astfel a klim x = x. Q.E.D. !1 nk Teorema 3.1.8. Fie (xn )n2IN  (X; d), x 2 X , iar (n )n2IN  IR+ u lim  = 0 astfel ^n ^at d(xn; x)  n; 8 n 2 IN . Atun i nlim n!1 n !1 xn = x, ( riteriul majorarii). Demonstratie. Deoare e nlim !1 n = 0, avem onform Teoremei 2.1.1 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo n < ". Atun i pentru " > 0 si n0(") de mai sus, din ipoteza rezulta a d(xn; x) < < ", 8 n  n0 ("). De i nlim !1 d(xn ; x) = 0. Conform Conse intei 3.1.2 rezulta a Demonstratie.

117

Spatii metri e

lim = x. Q.E.D.

x n!1 n

Teorema 3.1.9. Metri ile d1 ; d2 : X  X

numai da a

! IR sunt e hivalente da a si

d d x, pentru n ! 1 atun i xn ! x; pentru i) 8 x 2 X si 8 (xn )n  X; xn ! n ! 1. d d ii) 8 x 2 X si 8 (xn)n  X; xn ! x, pentru n ! 1 atun i xn ! x; pentru n ! 1. Demonstratie. Vom demonstra a onditia a) din De nitia 3.1.11 este e hivalenta u onditia i) de mai sus. Presupunem a are lo a) din De nitia 3.1.11, adi a 8 x 2 X si 8 r > 0 9  > 0 astfel ^n ^at Sd (x; )  Sd (x; r). d Fie x 2 X si (xn)n  X u xn ! x, adi a 8 "> 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo d2(xn; x) 0 si n1 = n0 () astfel ^n ^at 8 n  n1 avem xn 2 Sd (x; )  Sd (x; ") ) xn 2 Sd (x; ") , d1 (xn ; x) < ", d adi a xn ! x, pentru n ! 1. Re ipro , presupunem a avem ^ndeplinita onditia i). Presupunem prin redu ere la absurd a nu are lo onditia a) din De nitia 3.1.11, adi a 9 x0 2 X si 9 r0 > 0 astfel ^n ^at 8  > 0 are lo Sd (x0; ) 6 Sd (x0; r0 ) sau 9 x0 2 X si 9 r0 > 0 astfel ^n ^at 8  > 0 9 x 2 Sd (x0 ; ) si x 62 Sd (x0 ; r0). d = xn 2 Sd (x0 ; n1 ) si xn 62 Sd (x0 ; r0). De i xn ! x0 Pentru  = n1 9 x not d si d1 (xn; x0)  r0 , adi a xn 6! x0 . Ceea e am obtinut ontrazi e ipoteza i) d (xn ! x0 ). Dedu em a presupunerea fa uta este falsa, de i are lo onditia a) din De nitia 3.1.11. ^In mod asemanator se arata a onditia b) din De nitia 3.1.11 este e hivalenta u ii). Q.E.D. De nitia 3.1.17. Sirul (xn )n2IN  (X; d) se numeste sir fundamental sau 2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

1

118

Spatii metri e. Spatiul IRk

sir Cau hy da a

8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n; m  n0(") are lo d(xn; xm ) < " ,

(3:1:7) 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo d(xn+p; xn) < "; 8 p 2 IN: (3:1:8) Teorema 3.1.10. Un sir fundamental (xn )n2IN  (X; d) este marginit. Demonstratie. Pentru " = 1 ^n (3.1.7) rezulta a exista n0 (1) not = n1 2 IN astfel ^n ^at 8 n; m 2 IN , n; m  n1 are lo d(xn; xm ) < 1. De i pentru ori e n  n1 avem d(xn ; xn ) < 1. De nim M = max fd(x1 ; xn ); d(x2 ; xn ); : : : ; d(xn 1 ; xn ); 1g. Atun i avem d(xn; xn )  M; 8 n 2 IN sau xn 2 S (xn ; M ), adi a sirul (xn )n este marginit. Q.E.D. Teorema 3.1.11. Un sir onvergent este sir fundamental. Demonstratie. Sirul (xn )n2IN  (X; d) este onvergent u limita x ( onform Teoremei 3.1.4) da a 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo d(xn; x) < ". Pentru " > 0 onsideram rangul n0("=2) not = ne 0 (") pentru are d(xn; x) < "=2; 8 n  ne 0("). Atun i pentru ori e m; n  ne 0 (") are lo d(xn ; xm )  d(xn ; x) + d(x; xm ) < 2" + 2" = ". Rezulta a (xn)n2IN veri a relatia (3.1.7), adi a este sir fundamental. Q.E.D. De nitia 3.1.18. Spatiul metri (X; d) se numeste omplet da a ori e sir fundamental este sir onvergent. Exemplul 3.1.8. Spatiul metri (IR; d) u d(x; y ) = jx y j este spatiu metri omplet, deoare e are lo Teorema 2.1.21 (Cau hy): un sir de numere reale este onvergent da a si numai da a este sir fundamental. Observatia 3.1.4. Exista spatii metri e are nu sunt omplete. De exemplu spatiile metri e (Q; d) u d(x; y) = jx yj si (Q; d1) u d1(x; y) = 1 +jxjx yj yj . n  1 Sirul xn = 1 + n 2 Q este sir Cau hy, dar nu este onvergent ^n (Q; d) si ni i 1

1

1

1

1

1

1

119

Spatii metri e

^n (Q; d1), deoare e nlim !1 xn = e 62 Q. 1.3. Multimi des hise, multimi ^n hise, pun te deosebite pentru o multime

Fie (X; d) un spatiu metri . De nitia 3.1.19. O multime A  X se numeste des hisa da a ea este ve inatate pentru ori e pun t al ei. De nitia 3.1.20. O multime A  X se numeste ^n hisa da a omplementara sa este des hisa. Spatiul ^ntreg X este o multime des hisa. Prin onventie multimea vida ; se

onsidera multime des hisa. Conform De nitiei 3.1.20 dedu em a X si ; sunt si multimi ^n hise. Teorema 3.1.12. Sferele des hise din spatiul metri (X; d) sunt multimi

des hise.

Demonstratie. Fie S (x; r0 )  (X; d), r0 > 0, x 2 X . Vom arata a pentru ori e element y 2 S (x; r0) exista o sfera S (y; r)  S (x; r0). Fie y 2 S (x; r0) si sfera S (y; r) entrata ^n y si de raza egala u r = r0 d(x; y). Vom demonstra a S (y ; r)  S (x; r0 ), (vezi Fig.1). Pentru a easta, e z 2 S (y ; r), adi a d(y; z ) < r.

Atun i d(z; x)  d(z; y ) + d(y; x) < r + d(y; x) = r0 d(x; y ) + d(x; y ) = r0 . De i z 2 S (x; r0), de unde rezulta a S (y; r)  S (x; r0). Q.E.D. r

z

ro

y x

Fig. 1

r y

ro x

Fig. 2

120

Spatii metri e. Spatiul IRk

Teorema 3.1.13. Sferele ^n hise din spatiul metri (X; d) sunt multimi

^n hise.

Fie S (x; r0)  (X; d), r0 > 0, x 2 X . Vom arata a S (x; r0 ) este o multime^n hisa, arat^and a multimea X n S (x; r0 ) este o multime des hisa, adi a este ve inatate pentru e are pun t al ei. Fie y 2 X n S (x; r0 ), (d(x; y) > r0) si S (y; r), unde r = d(x; y) r0 > 0, (vezi Fig.2). Atun i S (y; r)  X n S (x; r0 ). ^Intr-adevar, da a z 2 S (y; r), adi a d(y; z ) < r, atun i d(z; x)  d(x; y ) d(y; z ) > d(x; y ) r = d(x; y ) d(x; y ) + r0 = r0 . Rezulta a z 62 S (x; r0 ), adi a z 2 X n S (x; r0 ). Q.E.D. Teorema 3.1.14. a) Reuniunea unei familii oare are de multimi des hise Demonstratie.

este o multime des hisa. Interse tia unei familii nite de multimi des hise este o multime des hisa. b) Interse tia unei familii oare are de multimi ^n hise este o multime ^n hisa. Reuniunea unei familii nite de multimi ^n hise este o multime ^n hisa.

Demonstratie. a) Fie (Ai )i2I o familie oare are de multimi des hise si A = [i2I Ai . Fie x 2 A; rezulta a 9 i0 2 I astfel ^n ^at x 2 Ai . Deoare e Ai este des hisa rezulta a Ai este ve inatate pentru x, de i exista S (x; r0)  Ai . Atun i S (x; r0)  A, adi a A este ve inatate pentru x. Pun tul x ind arbitrar, dedu em a multimea A este des hisa. Fie (Ai)ni=1 o familie nita de multimi des hise si A = \ni=1 Ai. Fie x 2 A; rezulta a x 2 Ai; 8 i = 1; n. Deoare e multimile Ai sunt des hise, rezulta a ele sunt ve inatati pentru x, adi a exista S (x; ri)  Ai, i = 1; n. Atun i multimea S (x; r), unde r = minfri ; i = 1; ng, este in lusa ^n A. De i A este ve inatate pentru pun tul x, de unde dedu em a A este des hisa. 0

0

0

0

^In mod asemanator se demonstreaza b). Q.E.D. De nitia 3.1.21. Un pun t x 2 X se numeste pun t de a umulare pentru o multime A  X da a ori e ve inatate a sa ontine pun te din A, diferite de x, adi a 8 V 2 V (x); V \ (A n fxg) 6= ;.

121

Spatii metri e

Teorema 3.1.15. Pun tul x 2 X este pun t de a umulare pentru multimea A da a si numai da a exista un sir (xn )n2IN  A, xn 6= x; 8n 2 IN u nlim !1 xn = x. Demonstratie. Presupunem a x este pun t de a umulare pentru multimea A. Sa luam V = S (x; n1 ); n 2 IN . Deoare e V \ (A n fxg) 6= ;, exista el putin un element xn 2 V \ (A n fxg), adi a xn 2 A, xn 6= x si d(xn; x) < n1 . Din inegalitatea obtinuta dedu em a nlim !1 xn = x. Re ipro , presupunem a exista (xn)n2IN  A, xn 6= x, 8n 2 IN u nlim !1 xn = x. Fie V o ve inatate arbitrara, momentan xata a pun tului x. Rezulta a exista o sfera des hisa S (x; "), " > 0 in lusa ^n V . Pentru a easta sfera S (x; ") exista n0 (") 2 IN astfel ^n ^at xn 2 S (x; "), 8 n  n0 ("). Astfel obtinem a xn (") 2 2 S (x; ")  V , xn 2 A, xn 6= x, de i V \ (A n fxg) 6= ;. Q.E.D. De nitia 3.1.22. Pun tul x 2 X se numeste pun t aderent pentru multimea A da a ori e ve inatate a sa ontine pun te din A, adi a 8 V 2 V (x); V \ A 6= ;. Teorema 3.1.16. Pun tul x 2 X este pun t aderent pentru multimea A da a si numai da a exista un sir (xn )n2IN  A, u nlim !1 xn = x. Demonstratie. Presupunem a x este pun t aderent pentru multimea A. Sa onsideram ve inatatea S (x; n1 ). Deoare e S (x; n1 ) \ A 6= ;, rezulta a exista

el putin un element, sa-l notam u xn 2 S (x; n1 ) \ A, de i d(xn; x) < n1 . De i lim x = x. n!1 n Re ipro , presupunem a exista (xn)n2IN  A u nlim !1 xn = x. Atun i ori e ve inatate V a lui x ontine toti termenii sirului u ex eptia unui numar nit dintre ei, de i V \ A 6= ;. Q.E.D. De nitia 3.1.23. Un pun t x 2 X se numeste pun t izolat al multimii A da a el apartine multimii, dar nu este pun t de a umulare pentru A. De nitia 3.1.24. Un pun t x 2 X se numeste pun t interior pentru multimea A da a exista o ve inatate a sa in lusa ^n multimea A. De nitia 3.1.25. Un pun t x 2 X se numeste pun t frontiera pentru multimea A da a ori e ve inatate a sa ontine pun te at^at din multime, ^at si 0

0

din omplementara sa.

0

122

Spatii metri e. Spatiul IRk

De nitia 3.1.26. Multimea pun telor de a umulare pentru o multime A   (X; d) se numeste multimea derivata a lui A si se noteaza u A0 . De nitia 3.1.27. Multimea pun telor aderente ale unei multimi A se numeste aderenta sau ^n hiderea lui A si se noteaza u A. De nitia 3.1.28. Multimea pun telor interioare ale multimii A se numeste Æ interiorul lui A si se noteaza u A sau int A. De nitia 3.1.29. Multimea pun telor frontiera ale multimii A se numeste frontiera lui A si se noteaza u Fr A. Teorema 3.1.17. ^Intr-un spatiu metri (X; d) sunt veri ate urmatoarele proprietati ale interiorului unei multimi a) AÆ  A; 8 A. b) A este des hisa , A =AÆ .

) A1  A2 ) AÆ 1 AÆ 2 . Æ

a) Fie x 2A un element arbitrar, momentan xat. Din De nitia 3.1.24 rezulta a exista o ve inatate V a pun tului x astfel^ n ^at V  A. Æ Dar x 2 V  A, de i x 2 A. Deoare e x este arbitrar rezulta a A A. b) Da a A este o multime des hisa, onform De nit iilor 3.1.19 si 3.1.24, ea Æ Æ este formata numaiÆ din pun te interioare, Æde i A A. Deoare e A A (pun tul a)) rezulta a A =A. Re ipro da a A =A rezulta a pun tele multimii A sunt pun te interioare, de i onform De nitiilor 3.1.24 si 3.1.19, multimea A este o multime des hisa.

) Fie A1, A2 doua multimi ale spatiului metri (X; d) u A1  A2 si e Æ x 2A1 . Rezulta a exista o ve inatate V a pun tului x astfel ^n ^at V  A1 . Dar A1  A2 , de i rezulta a V  A2 , adi a x este pun t interior si pentru multimea Æ Æ Æ Æ A2 . De i x 2A2 . Deoare e x este arbitrar ^n multimea A1 , rezulta a A1 A2 . Q.E.D. Teorema 3.1.18. Interiorul unei multimi A  (X; d) este o multime desDemonstratie.

hisa si este ea mai mare multime des hisa in lusa ^n multimea respe tiva. Æ Æ Demonstratie. Da a A= ; atun i prin onventie A este o multime des hisa. Æ Æ

Da a A6= ;, sa onsideram un element oare are, momentan xat, x 2A. Conform

Spatii metri e

123

De nitiei 3.1.24 rezulta a exista o ve inatate V  A are ontine o sfera des hisa S (x; ")  V , " > 0. De i x 2 S (x; ")  A. Tre ^and la interioare (Teorema Æ z }| { Æ S (x; ") A. Dar onform Teoremelor 3.1.12 si 3.1.17 b) avem 3.1.17,

)) obt  inem Æ z }| { Æ S (x; ") = S (x; "), de i S (x; ") A. Deoare e S (x; ") este o ve inatate a pun tului Æ Æ x, rezulta a x este pun t interior pentru multimea A. Dedu em astfel a A are numai pun te interioare, de i multimea AÆ este des hisa. Pentru a demonstra a AÆ este ea mai mare multime des hisa in lusa ^n multimeaÆA, Æsa onsideram o multime des hisa D  A. Conform Teoremei 3.1.17 Æ

) avem DA si onform Teoremei 3.1.17 b) obtinem D A. Q.E.D. Teorema 3.1.19. ^Intr-un spatiu metri (X; d) au lo urmatoarele proprietati Æ Æ ÆÆ Æ z }| { Æ Æ Æ Æ z }| { a) A=A; b) A1 \ A2 =A1 \ A2 ; ) A1 [ A2 A1 [ A2, 8 A; A1 ; A2  X . Æ Demonstratie. a) Din Teorema 3.1.18 rezulta a A este o multime des hisa, ÆÆ Æ de i onform Teoremei 3.1.17 b) ea oin ide u interiorul sau, adi a A=A. Æ z }| { b) Fie x 2 A1 \ A2 . Rezulta a exista o ve inatate V a pun tului x astfel ^n ^at V  A1 \ A2, de i exista o ve in atate V Æa pun tului xÆ astfelÆ ^n ^at V  A1 Æ si VÆ  A2 . Dedu em astfel a x 2A1 si x 2A2, de i x 2A1 \ A2. Rezulta a z }| { Æ Æ A1 \ A2 A1 \ A2 . Re ipro , e x 2AÆ 1 \ AÆ 2, adi a x 2AÆ 1 si x 2AÆ 2. Rezulta a exista o ve inatate V1 a lui x astfel ^n ^at V1  A1 si exista o ve inatate V2 a pun tului x astfel ^n ^at V2  A2 . Atun i V = V1 \ V2 este o ve inatate a pun tului x u Æ z }| { Æ Æ proprietatea V  A1 \ A2 . Dedu em astfel a x 2 A1 \ A2 , de i A1 \ A2  Æ z }| {  A1 \ A2 , are ^mpreuna u ealalta in luziune ne da egalitatea b). ÆÆ z }|Æ { Æ

) Avem A1 A1  A1 [ A2 , de unde rezulta a A1 A1 [ A2 sau Æ Æ Æ z }| { z }| { z }| { Æ Æ Æ Æ A1  A1 [ A2 . Asemanator A2  A1 [ A2 . Rezulta astfel a A1 [ A2  A1 [ A2 . Q.E.D.

124

Spatii metri e. Spatiul IRk

Æ

z

}|

iar

Æ

Æ

{

Æ

Observatia 3.1.5. In luziunea A1 [ A2 A1 [ A2 nu are lo pentru ori e multimi A1; A2. De exemplu ^n spatiul metri (IR; d) u d(x; y) = jx yj, sa

onsideram multimile A1 = [2; 3℄, A2 = [3; 4℄. Avem z

Æ

}|

{

Æ

z }| {

A1 [ A2 = [2; 4℄ = (2; 4);

adi Æa, ^n a est exemplu, multimea z }| { A1 [ A2 .

Æ

A1 [ A2 = (2; 3) [ (3; 4), Æ Æ A1 [ A2 este stri t in lusa

^n multimea

Teorema 3.1.20. ^Intr-un spatiu metri (X; d), pentru ori e multime A  X

au lo urmatoarele relatii Æ z}|{

a) CA = CA; b) C AÆ = CA. Demonstratie. a) Fie x 2 CA , x 62 A , 9 V ve inatate a pun tului x Æ z}|{ astfel^n ^at V \A = ; , 9 V ve inatate a lui x astfel^n ^at V  CA , x 2 CA. Rezulta astfel relatia a). b) Vom demonstra folosind pun tul a) a omplementarele elor doua multimi Æ din relatia b) C A si CA sunt egale. Avem Æ Æ Æ z }| { a) C (C A) =A= C (CA) = C (CA). Æ De i C A= CA. Q.E.D. Teorema 3.1.21. ^Intr-un spatiu metri (X; d) sunt veri ate urmatoarele proprietati ale aderentei unei multimi

a) A  A; 8 A. b) A este ^n hisa , A = A.

) A este ^n hisa , ori e sir onvergent de pun te din A are limita ^n multimea A. d) A1  A2 ) A1  A2. Demonstratie. a) Fie x 2 A. Atun i pentru ori e ve inatate V a pun tului x avem V \ A  fxg, de unde rezulta a V \ A 6= ;, de i x 2 A. Dedu em a A  A. b) Da a A este ^n hisa atun i CA este des hisa. Conform Teoremei 3.1.17 b)

125

Spatii metri e

Æ

z}|{

multimea CA esteÆ des hisa da a si numai da a CA = CA. Dar Teorema 3.1.20 z}|{ a) ne spune a CA = CA. De i CA este des hisa , CA = CA , A = A.

) Presupunem a A este ^n hisa si e (xn)n  A u nlim !1 xn = x. Conform De nitiei 3.1.13 rezulta a pentru ori e ve inatate V a pun tului x exista nV 2 IN astfel^n ^at xn 2 V , 8 n  nV . Rezulta a 8 V; V \ A 6= ;, (xn 2 V \ A; 8n  nV ), adi a x este pun t aderent pentru A. Dedu em a x 2 A. Conform pun tului b) avem A = A, de i x 2 A. Re ipro , sa presupunem a ori e sir onvergent de pun te din A are limita ^n multimea A. Vom arata a A  A, de unde ^mpreuna

u in luziunea A  A va rezulta a A = A, de i onform pun tului b) multimea A este ^n hisa. Fie x 2 A. Conform Teoremei 3.1.16 exista un sir de pun te (xn)n  A u nlim !1 xn = x. Din ipoteza avem a x 2 A. De i A  A. d) Fie A1 ; A2 doua multimi ale spatiului metri (X; d) u A1  A2 si e x 2 A1 . Rezulta a pentru ori e ve inatate V a pun tului x avem V \ A1 6= ;. Deoare e A1  A2 dedu em a V \ A1  V \ A2 si V \ A2 6= ;. De i pentru ori e ve inatate V a pun tului x, V \ A2 6= ;, adi a x este pun t aderent pentru A2 , x 2 A2 . Deoare e x este arbitrar ^n multimea A1 rezulta a A1  A2 . Q.E.D. Teorema 3.1.22. Aderenta unei multimi A  (X; d) este o multime ^n hisa si este ea mai mi a multime ^n hisa are ontine a ea multime. Æ z}|{ Demonstratie. Conform Teoremei 3.1.20 avem CA = CA. Rezulta a CA este o multime des hisa, onform Teoremei 3.1.18 (este interiorul multimii CA), adi a A este o multime ^n hisa. Pentru a demonstra a A este ea mai mi a multime ^n hisa are ontine pe A, sa onsideram o multime ^n hisa E  A. Conform Teoremei 3.1.21 d) avem A  E si folosind Teorema 3.1.21 b) dedu em

a A  E , (E = E ). Q.E.D. Teorema 3.1.23. ^Intr-un spatiu metri (X; d) au lo urmatoarele proprietati a) A = A; b) A1 [ A2 = A1 [ A2 ; ) A1 \ A2  A1 \ A2 , 8 A; A1 ; A2  X . Demonstratie. a) Din Teorema 3.1.22 rezulta a A este o multime ^n hisa, de i onform Teoremei 3.1.21 b) ea oin ide u aderenta sa, adi a A = A.

126

Spatii metri e. Spatiul IRk

b) Vom arata a omplementarele multimilor A1 [ A2 si A1 [ A2 sunt egale, de unde va rezulta egalitatea b). Folosind Teoremele 3.1.20 a) si 3.1.19 b), pre um si relatiile lui Morgan (Problema 2, Capitolul 1) avem Æ Æ Æ Æ }| { z }| { z }| { z }| { z C (A1 [ A2 ) = C (A1 [ A2 ) = CA1 \ CA2 = CA1 \ CA2 = CA1 \ CA2 = = C (A1 [ A2 ). De ai i dedu em a A1 [ A2 = A1 [ A2 .

) Avem A1 \ A2  A1 si A1 \ A2  A2; de unde, folosind Teorema 3.1.21 d) dedu em A1 \ A2  A1 ; A1 \ A2  A2 ; de i A1 \ A2  A1 \ A2 . Q.E.D. Observatia 3.1.6. In luziunea A1 \ A2  A1 \ A2 nu are lo pentru ori e multimi A1 ; A2  X . De exemplu, ^n spatiul metri (IR; d) u d(x; y) = jx yj, sa onsideram multimile A1 = (1; 2) si A2 = (2; 3). Avem A1 \ A2 = ; = ;; iar A1 \ A2 = [1; 2℄ \ [2; 3℄ = f2g, adi a, ^n a est exemplu, multimea A1 \ A2 este stri t in lusa ^n A1 \ A2. Teorema 3.1.24. ^Intr-un spatiu metri (X; d) au lo urmatoarele proprietati a) A1  A2 ) A01  A02; b) (A1 [ A2)0 = A01 [ A02 ;

) (A1 \ A2 )0  A01 \ A02 ; 8 A1 ; A2  X . Demonstratie. a) Fie A1 ; A2 u A1  A2 si e x 2 A01 . Atun i pentru ori e ve inatate V a pun tului x, V \ (A1 n fxg) 6= ;. Deoare e A1  A2 rezulta a 8 V; V \ (A2 n fxg) 6= ;; de i x 2 A02 . Dedu em astfel a A01  A02 . b) Fie x 2 (A1 [ A2 )0; de i pentru ori e ve inatate V a pun tului x avem V \ ((A1 [ A2 ) n fxg) 6= ;. Presupunem prin redu ere la absurd a x 62 A01 [ A02 , de i x 62 A01 si x 62 A02 . Rezulta a exista o ve inatate V1 a pun tului x astfel ^n ^at V1 \ (A1 n fxg) = ; si exista o ve inatate V2 a pun tului x astfel ^n ^at V2 \ (A2 n fxg) = ;. Atun i multimea V = V1 \ V2 este o ve inatate a lui x

are satisfa e onditia V \ ((A1 [ A2) n fxg) = ;; eea e ontrazi e ipoteza a x 2 (A1 [ A2 )0 . De i rezulta a x 2 A01 [ A02 si ^n on luzie (A1 [ A2 )0  A01 [ A02 . Pentru ealalta in luziune avem A1  A1 [ A2 ) A01  (A1 [ A2 )0 si A2  A1 [ A2 ) A02  (A1 [ A2 )0 . De i A01 [ A02  (A1 [ A2 )0 . Din ele doua in luziuni dedu em a (A1 [ A2 )0 = A01 [ A02 .

Spatii metri e

127

) Fie x 2 (A1 \ A2)0. Rezulta a pentru ori e ve inatate V a pun tului x avem V \ ((A1 \ A2 ) nfxg) 6= ;. Din a easta relatie dedu em a V \ (A1 nfxg) 6= ; si V \ (A2 n fxg) 6= ;. De i x 2 A01 si x 2 A02, adi a x 2 A01 \ A02. Q.E.D. Observatia 3.1.7. In luziunea A01 \ A02  (A1 \ A2 )0 nu are lo pentru ori e doua multimi A1; A2  X . De exemplu^n spatiul metri (IR; d) u d(x; y)= jx yj, sa onsideram multimile A1 = (0; 1) si A2 = (1; 3). Atun i (A1 \ A2 )0 = ;0 = ;, iar A01 \ A02 = [0; 1℄ \ [1; 3℄ = f1g. ^In a est exemplu multimea (A1 \ A2 )0 este stri t in lusa ^n multimea A01 \ A02. Teorema 3.1.25. Pentru ori e multime A din spatiul metri (X; d) au lo urmatoarele relatii a) A0  A; b) A = A [ A0;

) A n A  A0 . Demonstratie. a) Fie x 2 A0 ; de i ori e ve inatate V a pun tului x are proprietatea V \ (A n fxg) 6= ;. Atun i din V \ A  V \ (A n fxg), rezulta a V \ A 6= ;. De i x este pun t aderent pentru multimea A, adi a x 2 A. Am obtinut A0  A. b) Din in luziunile A  A (Teorema 3.1.21 a)) si A0  A (pun tul a)) rezulta

a A [ A0  A. Pentru a demonstra ealalta in luziune, sa onsideram x 2 A. Atun i ori e ve inatate V a pun tului x are proprietatea a V \ A 6= ;. Pentru pun tul x exista doua posibilitati: x 2 A sau x 62 A. Da a x 2 A atun i x 2 A [ A0 . Da a x 62 A atun i ori e ve inatate V a pun tului x are proprietatea V \ A = V \ (A nfxg) 6= ;. Rezulta a x este pun t de a umulare pentru multimea A, de i x 2 A0  A [ A0 . Dedu em astfel a A  A [ A0 . Din ele doua in luziuni rezulta a A = A [ A0.

) Avem A n A = (A [ A0 ) n A = (A n A) [ (A0 n A) = ; [ (A0 n A) = A0 n A  A0 . Q.E.D. Conse inta 3.1.3. Multimea A este ^n hisa da a si numai da a A0  A. Demonstratie. Conform Teoremelor 3.1.21 b) si 3.1.25 b) avem A este ^n hisa , A = A , A = A [ A0 , A0  A. Q.E.D. Teorema 3.1.26. Pentru ori e multime A din spatiul metri (X; d) au lo

128 urmatoarele relatii

Spatii metri e. Spatiul IRk

a) Fr A = A \ CA; b) Fr A = Fr(CA); ) Fr A = An AÆ ; d) AÆ = A n Fr A; e) A = A [ Fr A: Demonstratie. a) Conform De nitiei 3.1.25 pun tul x 2 Fr A da a si numai da a ori e ve inatate a sa ontine pun te at^at din multimea A, ^at si din

omplementara sa, de i x 2 Fr A def , x 2 A \ CA; adi a Fr A = A \ CA. b) Avem Fr(CA) = CA \ (C (CA)) = CA \ A = Fr A.

) Din pun tul a) si Teorema 3.1.20 b) dedu em a Fr A = A \ C AÆ = An AÆ . d) Folosind Teoremele 3.1.21 a) si 3.1.17 a) avem Æ Æ A n Fr A = A n (A \ CA) = A n (A \ C A) = A \ C (A \ C A) = = A \ (CA[ AÆ ) = (A \ CA) [ (A\ AÆ ) = ; [ (A\ AÆ =AÆ . e) Avem A [ Fr A = A [ (A \ CA) = (A [ A) \ (A [ CA) = A \ X = A, deoare e A [ CA = X , (A [ CA  X si X = A [ CA  A [ CA). Q.E.D. Exemplul 3.1.9. Sa determinam interiorul, multimea derivata, aderenta si frontiera urmatoarelor submultimi ale lui (IR; d), unde d(x; y) = jx yj a) A = (0; 1℄ [ (2; 3); b) B = n1 n 2 IN . Pentru multimea A avem AÆ = (0; 1) [ (2; 3); A0 = [0; 1℄ [ [2; 3℄ = A; iar Fr A = f0; 1; 2; 3g. Pentru multimea B aratam mai ^nt^ai a interiorul sau este multimea vida, adi a multimea B nu are pun te interioare. ^Intr-adevar, ori e element x = n1 2 B nu este pun t interior, deoare e 6 9 V ve inatate a pun tului x astfel^n ^at V  B .  1 1 Ori e ve inatate V = n "; n + " , " > 0 ontine numere irationale are nu apartin lui B . Pun tele multimii B sunt hiar izolate. Pentru ori e element x = n1 2 B exista o ve inatate V a pun tului x astfel ^n ^at V \ B = fxg; de exemplu n o 1 = 1 are proprietatea V \ B = 1 . V = n1 "; n1 + " u 0 < " < n1 n+1 n(n+1) n 0 ^ Multimea derivata este B = f0g. Intr-adevar, pentru ori e ve inatate a pun tului 0, V = ( "; "), " > 0, avem V \ (B n f0g) = V \ B 6= ;. Pentru h i 1 n = " + 1 elementul n1 2 V \ (B n f0g) = V \ B . Ori e pun t al multimii B nu

Spatii metri e

129

este pun t de a umulare, ind pun t izolat. De asemenea se arata a ori e pun t x0 6= 0, x0 6= n1 , n 2 IN nu este pun t de a umulare pentru multimea B . Aderent a multoimii B , onform Teoremei 3.1.25, este B = B [ B 0 , de i n B = 0; n1 ; n 2 IN , iar frontiera multimii B , onform Teoremei 3.1.26 ), este Fr B = B n BÆ = B n ; = B . De nitia 3.1.30. O multime A din spatiul metri (X; d) se numeste ompa ta da a ori e sir (xn )n2IN de elemente din A ontine un subsir (xnk )k2IN onvergent la un pun t din A. Compa titatea de nita mai sus se numeste ompa titate prin siruri sau ompa titate se ventiala. Teorema 3.1.27. O multime ompa ta A  (X; d) este marginita si ^n hisa. Demonstratie. Vom demonstra mai ^nt^ai a multimea A este marginita. Presupunem prin redu ere la absurd a A este nemarginita. Fie u 2 A; atun i pentru ori e r > 0 avem A 6 S (u; r). De i 9 x 2 A si x 62 S . Pentru r = n 2 IN exista xn 2 A, xn 62 S (u; r), adi a d(xn; u) > n. Am onstruit astfel un sir (xn)n de elemente din A. Deoare e A este ompa ta, rezulta onform De nitiei 3.1.30

a exista un subsir onvergent (de i si marginit) (xnk )k  (xn)n. Dar (xnk )k este nemarginit, deoare e d(xnk ; u) > nk sau klim d(x ; u) = 1. Contradi tia la !1 nk

are am ajuns ne ondu e la on luzia a ipoteza fa uta este falsa. De i A este marginita. Demonstram ^n ontinuare a A este ^n hisa. Fie (xn)n un sir onvergent de pun te din A si e x = nlim !1 xn . Ori e subsir (xnk )k  (xn )n are limita x. Deoare e multimea A este ompa ta rezulta a x 2 A. Conform Teoremei 3.1.21

) dedu em a multimea A este ^n hisa. Q.E.D. Observatia 3.1.8. Re ipro a Teoremei 3.1.27 nu este adevarata. ^In Se tiunea 3 vom arata a ^n spatiul IRk re ipro a Teoremei 3.1.27 este adevarata. De nitia 3.1.31. Fie spatiul metri (X; d) si A; B  X , u A; B 6= ;. Spunem a multimile A si B sunt separate da a A \ B = ; si A \ B = ;. De nitia 3.1.32. Spatiul metri (X; d) se numeste spatiu onex da a nu

130

Spatii metri e. Spatiul IRk

exista doua multimi nevide A; B  X , separate astfel ^n ^at A [ B = X . Urmatoarele doua de nitii sunt e hivalente u De nitia 3.1.32. De nitia 3.1.33. Spatiul metri (X; d) este spatiu onex da a nu exista doua multimi A; B ^n hise, nevide, disjun te astfel ^n ^at X = A [ B . De nitia 3.1.34. Spatiul metri (X; d) este spatiu onex da a nu exista doua multimi des hise A; B  X , u A; B 6= ;, A \ B = ; astfel ^n ^at X = A [ B . De nitia 3.1.35. O submultime A a unui spatiu metri este onexa da a privita a subspatiu este spatiu onex. Urmatoarele doua de nitii sunt e hivalente u de nitia 3.1.35. De nitia 3.1.36. O multime A  (X; d) se numeste onexa da a nu exista doua multimi des hise G1 si G2 astfel ^n ^at A  G1 [ G2 ; A \ G1 6= ;; A \ G2 6= ; si (A \ G1 ) \ (A \ G2 ) = ;. De nitia 3.1.37. Multimea A se numeste onexa da a ori um am des ompune-o ^n doua multimi A1 si A2, disjun te si nevide, A = A1 [ A2 , el putin una dintre ele are el putin un pun t de a umulare al eleilalte. De nitia 3.1.38. O multime A  (X; d) des hisa si onexa se numeste domeniu. 1.4. Prin ipiul ontra tiilor

Fie (X; d) un spatiu metri . Apli atia ' : X ! X se numeste ontra tie da a 9 q 2 (0; 1) astfel ^n ^at d('(x); '(y ))  q d(x; y ); 8 x; y 2 X . De nitia 3.1.40. Pun tul x 2 X se numeste pun t x al apli atiei ' : X ! X da a '(x) = x. Teorema 3.1.28. (Teorema de pun t x a lui Bana h sau prin ipiul ontra tiilor) O ontra tie ' a spatiului metri omplet (X; d) are un singur pun t x. Demonstratie. Demonstram mai^nt^ai a exista un pun t x pentru apli atia '. Fie x0 2 X un element al spatiului si onstruim sirul x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : : ; xn = '(xn 1 ); n 2 IN , De nitia 3.1.39.

Spatii metri e

131

numit sirul aproximatiilor su

esive. Fie Æ = d(x0 ; x1). Da a Æ = 0 atun i x1 = x0 = '(x0 ), de i x0 este pun t x al apli atiei '. Da a Æ > 0 atun i avem d(x2 ; x1 ) = d('(x1 ); '(x0 ))  q d(x1 ; x0 ) = qÆ , d(x3 ; x2 ) = d('(x2 ); '(x1 ))  q d(x2 ; x1 )  q 2 Æ , ... d(xn+1 ; xn ) = d('(xn ); '(xn 1 ))  q n Æ . Apli ^and indu tia matemati a dedu em a inegalitatea de mai sus este adevarata pentru 8 n 2 IN . Folosind a easta inegalitate vom arata a sirul (xn)n este un sir fundamental. ^Intr-adevar pentru 8 p 2 IN avem d(xn+p; xn )  d(xn+p; xn+p 1 ) + d(xn+p 1 ; xn+p 2 ) +


+ d(xn+2 ; xn+1 )+ +d(xn+1; xnp)  qn+np 1Æ + qn+p 2Æ +


+ qn+1Æ + qnÆ = Æ(qn+p 1 +


+ qn) = = Æqn 11 qq < 1Æq q . De i Æq n d(xn+p; xn ) < (3:1:9) 1 q ; 8 n; p 2 IN: n Deoare e nlim !1 q = 0, pentru n ! 1, din inegalitatea de mai sus rezulta a sirul (xn )n este sir Cau hy. Spatiul (X; d) ind spatiu metri omplet, dedu em

a (xn)n este onvergent. Fie = nlim !1 xn , de i nlim !1 d(xn ; ) = 0. Pun tul este pun t x al apli atiei '. ^Intr-adevar pentru 8 n 2 IN avem 0  d('(xn); '( ))  qd(xn; ): Din nlim !1 d(xn ; ) = 0, rezulta a nlim !1 d('(xn ); '( )) = 0, de i nlim !1 '(xn ) = '( ), adi a '( ) = nlim !1 '(xn ) = nlim !1 xn+1 = . Elementul , pun tul x al apli atiei ', este uni . Da a am presupune a mai exista un element 1 2 X u '( 1) = 1 atun i am obtine 0  d( ; 1) = d('( ); '( 1))  q d( ; 1) ) (1 q)d( ; 1)  0 ) d( ; 1) = 0 ) = 1 : Q.E.D. Observatia 3.1.9. Din inegalitatea (3.1.9) dedu em Æq n d(xn ; )  d(xn ; xn+p ) + d(xn+p; ) < 1 q + d(xn+p; ). Deoare e plim !1 d(xn+p; ) = 0, din relatiile de mai sus obtinem

132

Spatii metri e. Spatiul IRk

= d(1x0 ; xq1) qn; 8 n 2 IN . Rezulta a eroarea are se fa e ^nlo uind solutia e uatiei '(x) = x u aproximanta de ordinul n, xn, este mai mi a sau egala u d(1x0 ; xq1) qn. Observatia 3.1.10. Metoda de demonstratie de mai sus se numeste metoda aproximatiilor su

esive, utilizata pentru prima data de Pi ard ^n anul 1891 pentru a demonstra existenta si uni itatea solutiilor e uatiilor diferentiale. d(xn ; ) 

Æq n 1 q

2. Spat ii normate. Spat ii prehilbertiene

Fie K un orp, iar V o multime nevida oare are de elemente, notate u ~u; ~v ; w; ~ : : :. De nitia 3.2.1. Doua legi de ompozitie de nite peste tot pe V , una interna, numita adunare, " + " : V  V ! V; si alta externa fata de K , numita ^nmultirea u elemente din K , "
" : K  V ! V; determina o stru tura de spatiu liniar (ve torial) da a a) adunarea determina pe V o stru tura de grup omutativ, adi a 1. 8 ~u; ~v; w~ 2 V are lo (~u + ~v) + w~ = ~u + (~v + w~ ); 2. 9 ~0 2 V astfel ^n ^at 8 ~v 2 V are lo ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v; 3. 8 ~v 2 V 9 ( ~v) 2 V astfel ^n ^at ~v + ( ~v) = ( ~v ) + ~v = ~0; 4. 8 ~v; w~ 2 V are lo ~v + w~ = w~ + ~v si b) ^nmultirea u elemente din K satisfa e onditiile 5. 8 a 2 K; 8 ~v; w~ 2 V are lo a(~v + w~ ) = a~v + a~w; 6. 8 a; b 2 K; 8 ~v 2 V are lo (a + b)~v = a~v + b~v; 7. 8 a; b 2 K; 8 ~v 2 V are lo a(b~v ) = (ab)~v; 8. 8 ~v 2 V are lo 1~v = ~v. Multimea V dotata u a easta stru tura se numeste spatiu liniar sau ve torial peste orpul K . Elementele spatiului ve torial V se numes ve tori, iar ele ale

orpului K se numes s alari. ^Inmultirea u elemente din K se mai numeste ^nmultirea ve torilor u s alari.

133

Spatii normate. Spatii prehilbertiene

Pentru K = IR, V se numeste spatiu ve torial real, iar pentru K = C , el se numeste spatiu ve torial omplex. Sa onsideram ^n ontinuare un spatiu liniar V peste orpul K (K = IR sau K = C ). De nitia 3.2.2. Apli atia k
k : V ! IR se numeste norma pe V da a satisfa e urmatoarele proprietati (numite axiomele normei) a) k~uk  0; 8 ~u 2 V ; k~uk = 0 , ~u = ~0; b) k~uk = jj k~uk; 8  2 K; 8 ~u 2 V ;

) k~u + ~vk  k~uk + k~vk; 8 ~u; ~v 2 V . De nitia 3.2.3. Pentru un ve tor ~u 2 V numarul k~uk se numeste norma ve torului ~u. De nitia 3.2.4. Un spatiu liniar V pe are s-a de nit o norma k
k se numeste spatiu liniar normat sau spatiu normat; se noteaza (V; k
k). Teorema 3.2.1. ^In spatiul liniar normat (V; k
k) au lo urmatoarele proprietati

a) k

~uk = k~uk; 8 ~u 2 V ; b) jk~uk k~vkj  k~u ~vk; 8 ~u; ~v 2 V . Demonstratie. a) Relatia rezulta din axioma b) a normei u  =

1.

b) Avem k~uk = k(~u ~v) + ~vk  k~u ~vk + k~vk ) k~uk k~vk  k~u ~vk. De asemenea obtinem k~vk = k(~v ~u) + ~uk  k~v ~uk + k~uk ) k~vk k~uk  k~v ~uk. Din ele doua inegalitati de mai sus rezulta inegalitatea b) din enunt. Q.E.D. Exemplul 3.2.1. Multimea IR este spatiu liniar peste orpul IR, iar apli atia j
j : IR ! IR are aso iaza numarului real x modulul sau jxj, este o norma. ^Intr-adevar a) jxj  0; 8 x 2 IR; jxj = 0 , x = 0; b) jxj = jj jxj; 8  2 IR; 8 x 2 IR;

) jx + yj  jxj + jyj; 8 x; y 2 IR. De i (IR; j
j) este spatiu normat. Exemplul 3.2.2. Multimea IRn este spatiu liniar peste orpul numerelor

134

Spatii metri e. Spatiul IRk

reale ^n raport u operatiile " + " : IRn  IRn ! IRn (~x; ~y) ! ~x + ~y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn); unde ~x = (x1 ; x2; : : : ; xn), ~y = (y1 ; y2; : : : ; yn ) 2 IRn ; "
" : IR  IRn ! IRn (; ~x) ! ~x = (x1 ; x2; : : : ; xn); unde  2 IR, ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn) 2 IRn. Spatiul IRn se numeste spatiul liniar (ve torial) aritmeti u n dimensiuni. Elementul ~x = (x1 ; x2; : : : ; xn) 2 IRn (notat uneori mai simplu u x) se numeste ve tor n-dimensional, iar x1 ; x2 ; : : : ; xn se numes omponentele sale. A estea

oin id u oordonatele ve torului ~x ^n raport u baza anoni a f~e1 ; ~e2; : : : ; ~eng   IRn, unde ~e1 = (1; 0; : : : ; 0); ~e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; ~en = (0; 0; : : : ; 1). Pe spatiul liniar real IRn apli atiile k
kd, k
kÆ si k
k
de nite prin v u n n X X t k~xkd = u x2i ; k~xkÆ = jxi j; k~xk
= max jxi j, ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), i=1;n i=1 i=1 sunt norme. Se veri a ele trei axiome ale De nitiei 3.2.2 pentru e are din apli atiile de mai sus. De nitia 3.2.5. Normele k
k1 si k
k2 : V ! IR se numes e hivalente da a 9 a; b 2 IR, 0 < a  b astfel ^n ^at ak~uk1  k~uk2  bk~uk1 ; 8 ~u 2 V . Exemplul 3.2.3. Normele k
kd , k
kÆ si k
k
de nite pe spatiul IRn ^n Exemplul 3.2.2 sunt e hivalente, deoare e p p1n k~xkÆ  k~xkd  k~xkÆ si k~xk
 k~xkd  nk~xk
; 8 ~x 2 IRn . Demonstratiile a estor inegalitati sunt asemanatoare u ele orespunzatoare metri ilor d; Æ si
(vezi Exemplul 3.1.7). Teorema 3.2.2. Un spatiu normat (V; k
k) este spatiu metri . Demonstratie. De nim pe V apli atia d : V  V ! IR prin d(~u; ~v) = k~u ~vk; 8 ~u; ~v 2 V: (3:2:1) Deoare e k
k este o norma, avem veri ate axiomele din De nitia 3.1.1 a) d(~u; ~v) = k~u ~vk  0; 8 ~u; ~v 2 V ; d(~u; ~v) = k~u ~vk = 0 , ~u ~v = ~0 , ~u = ~v; b) d(~u; ~v) = d(~v; ~u) , k~u ~vk = k~v ~uk , k~u ~vk = k (~u ~v)k ,

Spatii normate. Spatii prehilbertiene

135

k~u ~vk = j 1jk~u ~vk; 8 ~u; ~v 2 V ;

) d(~u; ~v)  d(~u; w~ )+d(w~ ; ~v) , k~u ~v k  k~u w~ k+kw~ ~v k; 8 ~u; ~v; w~ 2 V .

Ultima inegalitate este adevarata deoare e k~u ~vk = k(~u w~ ) + (w~ ~v)k  k~u w~ k + kw~ ~vk. Dedu em astfel a d este o metri a pe multimea V . Q.E.D. De nitia 3.2.6. Metri a de nita pe un spatiu normat (V; k
k) prin formula (3.2.1) se numeste metri a indusa de norma k
k. Din (3.2.1) pentru ~v = ~0 rezulta a k~uk = d(~u; ~0); 8 ~u 2 V . Observatia 3.2.1. Da a normele k
k1 si k
k2 de nite pe spatiul liniar V sunt e hivalente, din Teorema 3.1.3 dedu em a metri ile induse de a este norme d1 si d2 sunt e hivalente. Observatia 3.2.2. Metri ile induse de normele k
kd , k
kÆ si k
k
pe spatiul liniar real IRn de nite ^n Exemplul 3.2.2 sunt metri ile d, Æ, respe tiv
din Exemplul 3.1.3. Observatia 3.2.3. Nu ori e metri a provine dintr-o norma. De exemplu metri a de nita ^n Exemplul 3.1.4 jx y j d1 : IR  IR ! IR, d1 (x; y ) = 1 + jx y j nu provine dintr-o norma. Demonstram a est lu ru prin redu ere la absurd. Presupunem a exista o norma k
k : IR ! IR astfel ^n ^at d1 (x; y) = kx yk; 8 x; y 2 IR. Pentru y = 0 obtinem kxk = d1(x; 0) = 1 +jxjjxj . A easta apli atie k
k nu veri a axioma b) a normei j = jj jxj ; 8 ; x 2 IR. kxk = jjkxk , 1 +jxjx j 1 + jxj Este su ient sa vedem a pentru x = 1,  = 2 relatia de mai sus ne da 23 = 1,

eea e este fals. De i presupunerea fa uta este falsa. Dedu em astfel a metri a d1 nu provine dintr-o norma. Sfera des hisa u entrul ^n ~x0 2 V si de raza r > 0 este multimea S (~x0 ; r) = f~x 2 V j k~x ~x0 k < rg, iar sfera ^n hisa u entrul ^n ~x0 2 V si de raza r > 0 este multimea S (~x0 ; r) = f~x 2 V j k~x ~x0 k  rg.

136

Spatii metri e. Spatiul IRk

Din (3.2.1) si De nitia 3.1.6 dedu em a multimea A  V este marginita da a si numai da a 9 M > 0 astfel ^n ^at (3:2:2)

k~xk  M; 8 ~x 2 A:

Inegalitatea k~xk  M; 8 ~x 2 A arata a A  S (~0; M ). Din De nitia 3.1.7 dedu em a multimea A  V este nemarginita da a 8 M > 0 9 ~xM 2 A astfel ^n ^at k~xM k > M . Teorema 3.1.4 si relatia (3.2.1) ne da ara terizarea u " si n0 (") a unui sir (~xn )n2IN u limita ~x si anume Teorema 3.2.3. Sirul (~xn )n  (V; k
k) este onvergent u limita ~x 2 V , lim ~x = ~x, da a si numai da a n!1 n 8 " > 0 9 n0 (") 2 IN

astfel ^n ^at

8 n  n0 (")

are lo k~x

~xk < ":

(3:2:3)

Pe baza Teoremei 3.2.3 se dedu urmatoarele proprietati ale sirurilor ^ntr-un spatiu normat (V; k
k). Teorema 3.2.4. a) Da a nlim !1 ~xn = ~x atun i nlim !1 k~xn k = k~xk. b) Da a nlim !1 ~xn = ~x si nlim !1 ~yn = ~y atun i pentru 8 ; 2 K are lo lim (~xn + ~yn) = ~x + ~y. n!1

) Da a 9 (n)n  IR, nlim !1 n = 0 astfel ^n ^at k~xn ~xk  n ; 8 n 2 IN atun i nlim !1 ~xn = ~x. Demonstratie. a) Din inegalitatea b) din Teorema 3.2.1 avem jk~xnk k~xkj  k~xn ~xk, de unde rezulta proprietatea a) din enunt. b) Din inegalitatea k(~xn + ~yn) (~x+ ~y)k = k(~xn ~x)+ (~yn ~y)k  jj k~xn ~xk+j j k~yn ~yk rezulta a nlim !1(~xn + ~yn) = ~x + ~y.

) Proprietatea rezulta din inegalitatea din enunt si Teorema de ara terizare pentru nlim !1 n = 0 (Teorema 2.1.1). Q.E.D. De nitia 3.2.7. Un spatiu liniar normat (V; k
k) se numeste spatiu Bana h da a V este spatiu metri omplet ^n raport u metri a indusa de norma.

Spatii normate. Spatii prehilbertiene

Exemplul 3.2.4.

137

Spatiul normat (IR; j
j) este spatiu Bana h, (vezi Exemplul

3.1.8). Sa onsideram a um un spatiu liniar H peste orpul K (K = IR sau K = C ). De nitia 3.2.8. Apli atia g : H  H ! K se numeste produs s alar pe spatiul H da a satisfa e urmatoarele proprietati (numite axiomele produsului s alar) a) g(~x; ~x)  0; 8 ~x 2 H ; g(~x; ~x) = 0 , ~x = ~0; b) g(~x; ~y) = g(~y; ~x); 8 ~x; ~y 2 H ;

) g(~x + ~y; ~z) = g(~x; ~z) + g(~y; ~z); 8 ~x; ~y; ~z 2 H ; d) g(~x; ~y) = g(~x; ~y); 8  2 K; 8 ~x; ~y 2 H . De nitia 3.2.9. Numarul real sau omplex g (~x; ~y) se numeste produsul s alar al ve torilor ~x si ~y. El se mai noteaza u < ~x; ~y >. De nitia 3.2.10. Un spatiu liniar H pe are s-a de nit un produs s alar <
;
> se numeste spatiu prehilbertian; se noteaza (H; <
;
>). Exemplul 3.2.5. Pe spatiul liniar real IRn de nim apli atia <
;
>: IRn  IRn ! IR; < ~x; ~y >= x1 y1 + x2 y2 +


+ xn yn ; ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ); ~y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn) 2 IRn :

(3:2:4)

A easta apli atie este un produs s alar pe spat  iul IRn , deoare e n n X X a) < ~x; ~x >= x2i  0; 8 ~x 2 IRn; < ~x; ~x >= 0 , x2i = 0 , i=1 i=1 xi = 0; 8 i = 1; n , ~x = ~0. b) < ~x; ~y >= x1 y1 + x2 y2 +


+ xnyn = y1x1 + y2x2 +


ynxn =< ~y; ~x >; 8 ~x; ~y 2 IRn.

) < ~x + ~y; ~z >= (x1 + y1)z1 +(x2 + y2)z2 +


+(xn + yn)zn = (x1 z1 + x2z2 + +


+ xnzn ) + (y1z1 + y2z2 +


+ ynzn ) =< ~x; ~z > + < ~y; ~z >; 8 ~x; ~y; ~z 2 IRn. d) < ~x; ~y >= (x1)y1 + (x2 )y2 +


+ (xn)yn = (x1 y1 +


+ xn yn) = =  < ~x; ~y >; 8  2 IR; 8 ~x; ~y 2 IRn. Rezulta astfel a (IRn; <
;
>) u <
;
> de nit ^n (3.2.4) este spatiu prehilbertian. Prosusul s alar de nit de (3.2.4) pe spatiul IRn se numeste produsul

138

Spatii metri e. Spatiul IRk

s alar eu lidian.

Pentru n = 1 din ele de mai sus dedu em a spatiul liniar real IR este spatiu prehilbertian u produsul s alar = xy; 8x; y 2 IR. Teorema 3.2.5. (Inegalitatea lui Cau hy-Buniakowski-S hwarz) ^Intr-un spatiu prehilbertian real sau omplex (H; <
;
>), pentru ori e ~x; ~y 2 H are

lo inegalitatea

q

q

(3:2:5) Demonstratie. Presupunem a H este spatiu liniar real (demonstratia este asemanatoare si da a H este spatiu liniar omplex). Din axiomele d) (pentru  = 0) si b) din De nitia 3.2.8 rezulta a =0, de i pentru ~x = ~0 are lo inegalitatea (3.2.5). Pentru ~x; ~y 2 H u ~x 6= ~0, iar  2 IR, din axioma a) a De nitiei 3.2.8 avem j < ~x; ~y > j  < ~x; ~x >
< ~y; ~y >:

< ~x ~y; ~x ~y >= 2 < ~x; ~x >

2 < ~x; ~y > + < ~y; ~y > 0:

(3:2:6)

Inegalitatea obtinuta are lo pentru ori e  2 IR (< ~x; ~x >6= 0) da a si numai da a determinantul aso iat trinomului de mai sus este
 0. De i 4(< ~x; ~y >)2 4 < ~x; ~x >
< ~y; ~y > 0 , j < ~x; ~y > j  p< ~x; ~x >
p< ~y; ~y >, adi a avem veri ata inegalitatea (3.2.5). Q.E.D. Observatia 3.2.4. Egalitatea^n inegalitatea (3.2.5) se obtine da a si numai da a ve torii ~x si ~y sunt oliniari, adi a 9 ;  2 IR u 2 + 2 6= 0 astfel ^n ^at ~x + ~y = ~0. ^Intr-adevar, presupunem si ai i a H este spatiu liniar real si e ~x; ~y doi ve tori oliniari, adi a are lo relatia de mai sus. Da a  6= 0 atun i obtinem  ~y = ~x sau ~y = ~x;  2 IR. Inegalitatea (3.2.5) devine egalitate, adi a  j < ~x; ~x > j = p< ~x; ~x >
p< ~x; ~x > , j < ~x; ~x > j = p< ~x; ~x >
p2 < ~x; ~x > , jj < ~x; ~x >= jj < ~x; ~x >. Re ipro , sa presupunem a (3.2.5) este o egalitate, adi a j < ~x; ~y > j = p< ~x; ~x >
p< ~y; ~y > , < ~x; ~y >= p< ~x; ~x >
p< ~y; ~y >. Da a ~x = ~0 atun i ve torii ~x si ~y sunt oliniari, deoare e ~x = 0~y. Da a ~x 6= 0 rezulta a determinantul aso iat trinomului din (3.2.6) este zero, de i trinomul are

139

Spatii normate. Spatii prehilbertiene

p

< ~x; ~y > p < ~y ; ~y > = < ~x; ~x > . < ~x; ~x >

Rezulta a < ~x ~y; ~x ~y >= 0 solutie dubla 1 = 2 = p< ~y; ~y > pentru  = p< ~x; ~x > . Conform pun tului a) din De nitia 3.2.8 avem ~x ~y = 0 p< ~y; ~y > p< ~y; ~y > pentru  = p< ~x; ~x > sau ~y = ~x = p< ~x; ~x > ~x, adi a ~x si ~y sunt oliniari. Din inegalitatea (3.2.5) dedu em pentru ~x; ~y 6= ~0 inegalitatea p< ~xj ;;p~y ~yj ; ~y >  1. Rezulta a 9 ' 2 [0; ℄ astfel ^n ^at

os ' = p< ~x;;p~y ~y; ~y > :

(3:2:7)

De nitia 3.2.11. a) Unghiul ' de nit de (3.2.7) se numeste unghiul ve torilor ~x si ~y. b) Doi ve tori ~x si ~y se numes ortogonali da a < ~x; ~y >= 0. Unghiul nul ~0 este prin de nitie ortogonal pe ori e ve tor. Doi ve tori ~x si ~y nenuli sunt ortogonali da a si numai da a unghiul ' de nit de (3.2.7) este de

90Æ.

(Inegalitatea lui Minkowski) Pentru ori e doi ve tori ~x; ~y din spatiul prehilbertian real sau omplex (H; <
;
>) are lo inegalitatea Teorema 3.2.6. q

q

q

< ~x + ~y ; ~x + ~y >  < ~x; ~x > + < ~y; ~y >:

(3:2:8)

Presupunem si ai i a H este spatiu liniar real. Conform inegalitatii (3.2.5) avem < ~x + ~y; ~x + ~y >=< ~x; ~x > +2 + < ~y; ~y >< ~x;~x > + p +2 < ~x; ~x >p< ~y; ~y >+ < ~y; ~y >= p< ~x; ~x > + p< ~y; ~y > 2 , de unde rezulta inegalitatea (3.2.8). Q.E.D. Observatia 3.2.5. Egalitatea ^n inegalitatea (3.2.8) are lo da a si numai da a ~y = ~x u  > 0. ^Intr-adevar da a ~y = ~x,  > 0 atun i < ~x; ~x >= =  < ~x; ~x >, iar p< ~x; ~x >p< ~y; ~y > = p< ~x; ~x >p< ~x; ~x > =  < ~x; ~x >, Demonstratie.

140

Spatii metri e. Spatiul IRk

de i are lo egalitatea ^n (3.2.8) (vezi demonstratia Teoremei 3.2.6). Re ipro sa presupunem a are lo egalitatea ^n (3.2.8), adi a p p < ~x; ~y >= < ~x; ~x > < ~y; ~y > (^n spatiu liniar real). Atun i din Observatia 3.2.4 rezulta a ~x si ~y sunt oliniari ~y = ~x u  > 0 (da a ~x = ~0 p sau ~y = ~0 se veri a relatia de oliniaritate, iar da a ~x 6= ~0 si ~y 6= ~0 atun i ~y = p> ~x = ~x;  > 0). Teorema 3.2.7. Un spatiu prehilbertian real sau omplex (H; <
;
>) este spatiu normat. Demonstratie. De nim pe H apli atia k
k : H ! IR prin q

k~xk = < ~x; ~x >; 8 ~x 2 H:

(3:2:9)

Pe baza axiomelor produsului s alar sunt veri ate axiomele normei (De nitia 3.2.2). ^Intr-adevar a) k~xk = p< ~x; ~x >  0; q8 ~x 2 H ; k~xk = 0 , p< ~x; ~x > = 0 , ~x = ~0: b) k~xk = p< ~x; ~x > = jj2 < ~x; ~x > = jj k~xk; 8  2 IR (C ); 8 ~x 2 H .

) k~x + ~yk  k~xk + k~yk , p< ~x + ~y; ~x + ~y >  p< ~x; ~x > + p< ~y; ~y >; 8 ~x; ~y 2 H , are este inegalitatea lui Minkovski (3.2.8). Rezulta astfel a (H; k
k) este spatiu normat. Q.E.D. De nitia 3.2.12. Norma (3.2.9) de nita pe un spatiu prehilbertian real sau

omplex (H; <
;
>) se numeste norma indusa de produsul s alar. Cu ajutorul normei (3.2.9) inegalitatea lui Cau hy (3.2.5) se s rie j < ~x; ~y > j  k~xk k~yk; 8 ~x; ~y 2 H . Norma indusa de produsul s alar <
;
> pe spatiul prehilbertian H indu e metri a d : H  H ! IR de nita prin d(~x; ~y) = k~x ~yk = (< ~x ~y; ~x ~y >)1=2 . De nitia 3.2.13. Un spatiu prehilbertian H real sau omplex, are este

omplet ^n norma indusa de produsul s alar se numeste spatiu Hilbert. Exemplul 3.2.6. Spatiul liniar real IR u produsul s alar < x; y >= xy este spatiu Hilbert.

141

Spatiul IRk

Pentru siruri de elemente dintr-un spatiu prehibertian avem proprietatile din Teorema 3.2.4. ^In plus, ^ntr-un spatiu prehilbertian (H; <
;
>) avem Teorema 3.2.8. a) Da a nlim !1 ~xn = ~x, iar nlim !1 ~yn = ~y atun i lim < ~xn; ~yn >=< ~x; ~y >. n!1 b) Da a unul dintre sirurile (~xn)n sau (~yn)n este marginit, iar elalalt tinde la ~0, atun i nlim !1 < ~xn ; ~yn >= 0. Demonstratie. a) Avem j < ~xn; ~yn > < ~x; ~y > j = j < ~xn ; ~yn > < ~x; ~yn > + < ~x; ~yn > < ~x; ~y > j = = j < ~xn ~x; ~yn > + < ~x; ~yn ~y > j  j < ~xn ~x; ~yn > j + j < ~x; ~yn ~y > j   k~xn ~xk
k~ynk + k~xk
k~yn ~yk, de unde rezulta on luzia a). b) Din inegalitatea j < ~xn; ~yn > j  k~xnk
k~ynk obtinem on luzia b). Q.E.D. 3. Spat iul

IRk

Din Se tiunea 2 stim a spatiul IRk = |IR  IR 


 IR} = f~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xk ); xi 2 IR; i = 1; kg; (k 2 IN ), {z k ori se organizeaza a spatiu liniar real ^n raport u operatiile " + " : IRk  IRk ! IRk ; (~x; ~y) ! ~x + ~y = (x1 + y1; : : : ; xk + yk ), "
" : IR  IRk ! IRk ; (; ~x) ! ~x = (x1 ; : : : ; xk ),  2 IR; ~x = (x1 ; : : : ; xk ); ~y = (y1 ; : : : ; yk ) 2 IRk (vezi Exemplul 3.2.2). Pe a est spatiu liniar aritmeti u k dimensiuni am de nit metri ile d; Æ;
(vezi Exemplulv3.1.3) u k k X uX d(~x; ~y) = t (xi yi)2 ; Æ (~x; ~y) = jxi yi j;
(~x; ~y) = max jxi yi j, i=1;k i=1 i=1 normele k
kv d ; k
kÆ ; k
k
(vezi Exemplul 3.2.2) u k k X uX 2 t xi ; k~xkÆ = jxi j; k~xk
= max jxi j k~xkd = i=1;k i=1 i=1 si produsul s alar eu lidian <
;
> (Exemplul 3.2.5)

142

Spatii metri e. Spatiul IRk

< ~x; ~y >=

k X i=1

xi yi; ~x = (x1 ; : : : ; xk ); ~y = (y1 ; : : : ; yk ) 2 IRk .

Norma indusa de produsul s alar eu lidian este k
kd, numita norma eu lidiana, iar metri a indusa de norma eu lidiana este d, numita metri a eu lidiana. Din Teorema 3.2.3 dedu em a sirul (~xn)n2IN  (IRk ; k
kd ) este onvergent

u limita ~x 2 IRk da a si numai da a 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo k~xn ~xkd < ": (3:3:1)

Relatia (3.3.1) se poate s rie ^n mod e hivalent astfel 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo k~xn ~xk < "; unde k
k este norma eu lidiana sau ori e alta norma e hivalenta u a easta (k
kÆ , k
k
; : : :). ^In ele e urmeaza vom lu ra u norma eu lidiana k
kd.

Teorema 3.3.1. Un sir de elemente din IRk este onvergent da a si numai ^ da a toate ele k siruri oordonate (siruri de numere reale) sunt onvergente. In plus limita sirului din IRk este k-uplul format din limitele elor k siruri oordonate. Demonstratie. Sa presupunem a (~xn )n2IN este un sir de elemente din IRk ,

onvergent u limita ~x 2 IRk , adi a are lo relatia (3.3.1). Notam omponentele elementelor sirului (~xn)n si ale limitei ~x astfel ~x1 = (x11 ; x21 ; : : : ; xk1 ), ~x2 = (x12 ; x22 ; : : : ; xk2 ),

...

~xn = (x1n ; x2n ; : : : ; xkn ),

si

...

~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xk ).

v u k uX t

Deoare e jxin xi j  (xin xi )2 = k~xn ~xkd; 8 i = 1; k; 8 n 2 IN , i=1 rezulta din (3.3.1) a pentru ori e i = 1; k avem 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo jxin xij < ".

Spatiul IRk

143

i i Dedu em astfel din Teorema 2.1.1 a pentru ori e i = 1; k, nlim !1 xn = x , adi a sirurile omponente (xin)n2IN , i = 1; k sunt onvergente u limitele xi ( omponentele lui ~x). Sa presupunem a um a ele k siruri oordonate (xin )n2IN , i = 1; k sunt

onvergente u limitele xi , i = 1; k. Fie ~x = (x1 ; x2; : : : ; xk ) elementul din IRk

are are omponentele limitele sirurilor (xin)n2IN ; i = 1; k. Din Teorema 2.1.1 dedu em lim x1 = x1 , 8" > 0 9n1 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n  n1(") are lo jx1n x1 j < k" ; n!1 n 2 = x2 , 8" > 0 9n2 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n  n2 (") are lo jx2 x2 j < " ; lim x n n!1 n k ... k = xk , 8" > 0 9n (") 2 IN astfel ^n ^ k xk j < " : lim x a t 8 n  n ( " ) are lo j x k k n n n!1 k Fie " > 0; notam u n0 (") = maxfn1("); n2("); : : : ; nk (")g 2 IN . Atun i pentru 8 n  n0 ("v) avem u k n uX X k~xn ~xkd = t (xin xi )2  jxin xi j < k k" = ". i=1 i=1 De i onform relatiei (3.3.1) rezulta a (~xn )n2IN este onvergent u limita ~x. Q.E.D. Exemplul 3.3.1. Sa al ulam limita sirului (~xn )n , unde ~xn = (an ; bn ; n) 2 3 2 IR , iar s n k2 + k + 3 (n!)2 ; b = X (n + 1)2 ; = p + ; n  2; an = n n 1 n n n (2 n )!8 k ( k + 1) n k =1 p

1 = ;  > 0. !)2 ; n  1. Pentru sirul (an)n folosim Conse inta 2.1.7. Notam u n = (2(nn)!8 n Avem [(n + 1)!℄2
(2n)!8n = (n + 1)2 1 ; pentru n ! 1. n+1 = ! n +1 2 n [2(n + 1)℄!8 (n!) 8(2n + 1)(2n + 2) 32 pn  = lim a = 1 . Dedu em astfel a nlim n !1 n!1 n 32 Pentrun (b"n)n avem #  n  2 2 X X bn = 1 + k(k 3+ 1) (n +n 1) = n + 3 k1 k +1 1 (n +n 1) = k=1 k=1   1 ( n + 1)2 n2 3n 1 =n+3 1 n+1 = n(n + 1) ! 1; pentru n ! 1. n

144

Spatii metri e. Spatiul IRk

Pentru sirul ( n)n2IN vom arata a el este monoton si marginit. Din relatia de re urenta rezulta a n > 0, 8 n 2 IN . Demonstram ^n ontinuare prin indu tie matemati a a sirul ( nq)n2IN este stri t res ator, adi a n < n+1, 8 n 2 IN . Avem 2 = p + 1 =  + p > p = 1 . Apoi presupun^and a n < n+1 obtinem n+1 = p + n < p + n+1 = n+2 , de i n+1 < n+2. Sirul ( n)n2IN este marginit superior. Aratam prin indu tie matemati a a p

n < 1 + 2; 8 n 2 IN . Avem 1 =  < 1 + 2 (deoare e 1 + 3 + 42 > 0). Apoi din n < 1 + 2 rezulta a n+1 = p + n < p1 + 3 < 1 + 2, (deoare e 42 + 4 > 0). Apli ^and Teorema 2.1.17 dedu em a sirul ( n)n2IN este onvergent, de i p 9 = nlim la limit a ^  n relat  ia de re urent  a  obt  inem

=  + , !1 n  0. Tre ^and p 1 + 4 . 1 + de unde rezulta = 2 p ! 1 + 4  1 + 1 . De i nlim !1 ~xn = 32 ; 1; 2 Pe baza Teoremei 3.2.4 si a de nitiei sirurilor din IR sau IRk avem Teorema 3.3.2. a) Da a (~xn )n , (~yn)n sunt doua siruri de elemente din IRk ,

onvergente la ~x, respe tiv ~y 2 IRk , atun i sirul suma (~xn + ~yn)n este onvergent la ~x + ~y. b) Da a (~xn)n  IRk este onvergent la ~x 2 IRk , iar (n)n  IR este onvergent la  2 IR atun i sirul (n~xn )n este onvergent la ~x.

) Da a nlim !1 ~xn = ~x atun i nlim !1 k~xn kd = k~xkd . d) Da a nlim !1 ~xn = ~x si nlim !1 ~yn = ~y atun i nlim !1 d(~xn ; ~yn) = d(~x; ~y) ( , lim k~x ~ynkd = k~x ~ykd). n!1 n Proprietatile de mai sus stabiles ompatibilitatea dintre onvergenta ^n spatiul IRk si stru tura algebri o-topologi a a lui IRk . Teoremele fundamentale din teoria onvergentei sirurilor reale (Teoremele 2.1.17, 2.1.18, 2.1.19 si 2.1.21) se extind si ^n spatiul IRk (k  2). Sa extindem mai ^nt^ai ordinea si marginirea de la spatiul IR la spatiul IRk . De nitia 3.3.1. Fie ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xk ) si ~y = (y1 ; y2; : : : ; yk ) 2 IRk .

Spatiul IRk

145

Spunem a ~x este mai mi sau egal u ~y si notam ~x  ~y da a xi  yi ; 8 i = 1; k: (3:3:2) Relatia de nita mai sus pe spatiul IRk este o relatie de ordine - re exiva ~x  ~x; 8 ~x 2 IRk ; - antisimetri a ~x  ~y si ~y  ~x ) ~x = ~y; - tranzitiva ~x  ~y si ~y  ~z ) ~x  ~z. Spre deosebire de relatia "" de nita pe spatiul IR, relatia de mai sus "" nu este totala, de i este o relatie de ordine partiala. De nitia 3.3.2. Fie multimea A  IRk . Elementul ~a 2 IRk se numeste majorant pentru A da a ~x  ~a; 8 ~x 2 A. Elementul ~b 2 IRk se numeste minorant pentru A da a ~b  ~x; 8 ~x 2 A. De nitia 3.3.3. Multimea A  IRk se numeste majorata da a poseda el putin un majorant. Multimea A  IRk se numeste minorata da a poseda el putin un minorant. De nitia 3.3.4. Multimea A  IRk se numeste marginita da a ea este majorata si minorata. De i A  IRk este marginita da a 9 m~ ; M~ 2 IRk astfel ^n ^at ~ 8 ~x 2 A: m ~  ~x  M; (3:3:3) Pentru o multime A  IRk , de nim pentru ori e i =1; k, apli atia Pi : A ! IR, Pi (~x) = xi , ~x = (x1 ; : : : ; xk ), numita proie tia multimii A pe oordonata i. Teorema 3.3.3. Multimea A  IRk este marginita da a si numai da a multimile Pi (A)  IR; 8 i = 1; k sunt marginite. Demonstratie. Vom fa e demonstratia pentru k = 2. Sa presupunem mai ^nt^ai a multimea A  IR2 este marginita, adi a 9 m~ = (m1 ; m2) si M~ = ~ 8 ~x 2 A , = (M1 ; M2 ) 2 IR2 astfel ^n ^at m~  ~x  M; (m1 ; m2)  (x1 ; x2 )  (M1 ; M2 ); 8 ~x = (x1 ; x2) 2 A. Din ultimul sir de inegalitati dedu em a m1  x1  M1 ; 8 x1 2 P1 (A) si m2  x2  M2 ; 8 x2 2 P2 (A). De ai i rezulta a multimile P1 (A) si P2 (A) sunt marginite ^n IR (vezi Fig.3).

146

Spatii metri e. Spatiul IRk x2 A P2(A)

x1 0

P1(A)

Fig. 3

Re ipro sa presupunem a multimile P1(A) si P2(A) sunt marginite ^n IR, adi a 9 m1 ; M1 2 IR astfel ^n ^at m1  x1  M1 , 8 x1 2 P1(A) , m1  P1 (~x)  M1 ; 8 ~x 2 A si 9 m2 ; M2 2 IR astfel ^n ^at m2  x2  M2 , 8 x2 2 P2(A) , m2  P2 (~x)  M2 ; 8 ~x 2 A. Atun i De nitia 3.3.1 u relatiile (3.3.2) ne ondu la (m1 ; m2)  (x1 ; x2 )  (M1 ; M2 ); 8 ~x = (x1 ; x2) 2 A, adi a A este marginita ^n IR2 . Q.E.D. Norma k
kd de nita pe spatiul IRk indu e o relatie de marginire, de nita de (3.2.2) si anume A  IRk este marginita (^n norma) , (3:3:4) 9 M > 0 astfel ^n ^at k~xkd  M; 8 ~x 2 A: Teorema urmatoare ne spune a marginirea indusa de ordinea (3.3.2) (De nitia 3.3.4) oin ide u marginirea indusa de norma (relatia (3.3.4)). Teorema 3.3.4. O multime A  IRk este marginita fata de ordinea din IRk da a si numai da a A  IRk este marginita ^n norma. Demonstratie. Presupunem a multimea A este marginita fata de ordinea din IRk , adi a 9 m~ ; M~ 2 IRk astfel ^n ^at ~ 8 ~x 2 A; m ~ = (M1 ; M2 ; : : : ; Mk ). m ~  ~x  M; ~ = (m1 ; m2 ; : : : ; mk ); M Inegalitatea de mai sus ne spune a (m1 ; m2 ; : : : ; mk )  (x1 ; x2; : : : ; xk )  (M1; M2 ; : : : ; Mk ) sau

147

Spatiul IRk

mi  xi  Mi ; 8 i = 1; k; 8 ~x = (x1 ; : : : ; xk ) 2 A. Notam u Ci = maxfjMi j; jmijg; i = 1; k; atun i jxij 8 ~x = (x1 ; : : : ; xk ) 2vA. Dedu em atun i a

k~xkd =

u k uX t

k

k

X X x2i  jxi j  Ci = C0 > 0; i=1 i=1 i=1

 Ci; 8 i = 1; k;

8 ~x 2 A.

De i A este marginita ^n norma. Re ipro , sa presupunem a A este marginita ^n norma, adi a 9 K > 0 astfel ^n ^at k~xkd  K; 8 ~x 2 A. Atun i jxij  k~xkd  K; 8 i = 1; k; 8 ~x 2 A. Dedu em astfel a Pi(A) este marginita ^n IR, 8 i = 1; k, de i onform Teoremei 3.3.3 multimea A este marginita fata de ordinea din IRk . Q.E.D. De nitia 3.3.5. Multimea I (~a; ~b) = f~x 2 IRk j ~a  ~x  ~bg  IRk ,

u ~a < ~b se numeste intervalul ^n his (k-dimensional) determinat de elementele ~a si ~b, iar multimea J (~a; ~b) = f~x 2 IRk j ~a < ~x < ~bg se numeste intervalul des his determinat de ~a si ~b. Notam u I (~x0 ) multimea tuturor intervalelor des hise are ontin pun tul ~x0 . A easta multime formeaza un sistem fundamental de ve inatati pentru ~x0 . Mai mult si ai i, a si^n IR, se pot lua intervalele des hise simetri e I(~x0 ~r; ~x0 + ~r) not = I (~x0; ~r), unde ~r > ~0. Av^and de nita ordinea^n IRk se introdu sirurile monoton res atoare si ele monoton des res atoare ^n spatiul IRk . Teorema 3.3.5. (Teorema de onvergenta a sirurilor monotone) Un sir

res ator si majorat de elemente din IRk este onvergent la un pun t din IRk . Un sir des res ator si minorat de elemente din IRk este onvergent la un element din

IRk .

Demonstratie. Sa onsideram un sir (~xn )n2IN  IRk res ator. Rezulta atun i a toate ele k siruri oordonate (x1n)n, (x2n)n; : : : ; (xkn)n  IR sunt res atoare. Deoare e sirul (~xn)n2IN este marginit ^n IRk rezulta a sirurile oordonate sunt marginite ^n IR.

148

Spatii metri e. Spatiul IRk

Conform Teoremei 2.1.17 (Bolzano-Weierstrass) dedu em a ele k siruri oordonate sunt onvergente, de i apli ^and Teorema 3.3.1 rezulta a sirul (~xn)n este

onvergent ^n IRk . Asemanator se arata partea a doua a teoremei. Q.E.D. Teorema 2.1.18 (Cantor) poate extinsa ^n IRk sub doua forme u ajutorul intervalelor k-dimensionale (De nitia 3.3.5) sau u ajutorul sferelor. Teorema 3.3.6. (Cantor) Fie I (~a1 ; ~b1 )  I (~a2 ; ~b2 ) 


 I (~an ; ~bn )  I (~an+1 ; ~bn+1 ) 


un sir de intervale k-dimensionale ^n hise din IRk , are se in lud des res ator une~ le pe altele, u sirul diagonalelor mari onvergent la 0, adi a nlim !1 k~an bn kd = 0. ~ Atun i exista un pun t uni ~ 2 IRk omun tuturor intervalelor 2 \1 n=1 I (~an ; bn ). Demonstratie. Pentru k = 2 vezi Fig.4. Etapele demonstratiei sunt a eleasi a ale demonstratiei Teoremei 2.1.18. Sirul (~an)n este res ator ^n IRk , majorat de ~b1 , iar sirul (~bn)n este des res ator, minorat de ~a1 . Conform Teoremei 3.3.5 rezulta a sirurile (~an)n si (~bn )n sunt onvergente, de i 9 ~0 ; ~00 2 IRk astfel ~ ~0 ~00 ^n ^at nlim !1 ~an = si nlim !1 bn = . 2

x

x2 b1 b2 b3

a2

a3

a4

c

x1 x4 x2 c x3

b4

a1 x1 0

x1 0

Fig. 4

Fig. 5

~ ~0 ~00 Din ipoteza avem nlim !1 k~an bn kd = 0 = k k, de unde dedu em a = ~ ; din sirul de inegalitati

~0 = ~00 not ~an  ~an+p  ~bn+p  ~bn ; 8 n; p 2 IN , rezulta a ~ 2 I (~an; ~bn); 8 n 2 IN , de i ~ 2 \1n=1 I (~an; ~bn).

Spatiul IRk

149

Pentru uni itate, sa presupunem a mai exista d~2 IRk , d~2 I (~an; ~bn); 8n 2 IN , adi a ~an  d~  ~bn; 8 n 2 IN . Din a este inegalitati dedu em a 0  d~ ~an  ~bn ~an, de i kd~ ~ankd  k~bn ~ankd. ~ ~ Rezulta astfel a nlim !1 ~an = d; din uni itatea limitei obtinem d = ~ . Q.E.D. Teorema 3.3.7. (Cantor) Fie un sir de sfere ^n hise are se in lud des res ator u sirul razelor tinz^and la 0. Atun i sferele au ^n omun un element si numai unul. Demonstratie. Pentru k = 2 vezi Fig.5. Teorema se poate redu e la Teorema 3.3.6, in luz^and sferele ^n intervale ^n hise, obtin^andu-se un sir de intervale k-dimensionale, are se in lud des res ator, u sirul diagonalelor mari onvergent la 0. Sau se poate fa e o demonstratie dire ta, folosind Teorema lui Cau hy de mai jos (vezi Teorema 3.3.8). Sa onsideram a avem sferele ^n hise S (~x1 ; r1 )  S (~x2 ; r2 ) 


 S (~xn ; rn)  S (~xn+1 ; rn+1) 




u nlim !1 rn = 0. Avem ~xn+p 2 S (~xn; rn); 8 p; n 2 IN ; de i k~xn+p ~xn kd  rn; 8 n; p 2 IN: (3:3:5) Deoare e nlim !1 rn = 0 rezulta a sirul (~xn )n2IN este un sir Cau hy (De nitia 3.1.17 u d - metri a eu lidiana). Conform Teoremei 3.3.8 rezulta a (~xn)n este

onvergent, de i exista ~x = nlim !1 ~xn . ^In inegalitatea (3.3.5)^l xam pe n si tre em la limita pentru p ! 1. Rezulta

a k~x ~xn kd  rn; 8 n 2 IN; adi a ~x 2 S (~xn; rn); 8 n 2 IN . Pun tul ~x 2 IRk este uni , deoare e da a presupunem a 9 x~0 2 IRk u x~0 2 S (~xn ; rn), 8 n 2 IN , atun i ~0 k~xn x~0 kd  rn; 8 n 2 IN . Deoare e nlim !1 rn = 0 rezulta a nlim !1 ~xn = x , de i ~x = x~0 (din uni itatea limitei). Q.E.D. Notiunea de sir Cau hy, are a aparut si ^n demonstratia Teoremei 3.3.7, a fost de nita pentru azul general al unui spatiu metri ^n De nitia 3.1.17. Pentru

azul spatiului IRk de nitia este a eeasi u observatia a metri a d este metri a eu lidiana, iar d(~xn+p; ~xn) se poate s rie u ajutorul normei eu lidiene. De i

150

Spatii metri e. Spatiul IRk

De nitia 3.3.6.

Sirul (~xn)n2IN  IRk este sir fundamental (Cau hy) da a

8" > 0 9n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n; m  n0 (") are lo k~xn ~xm kd 0 9n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n  n0 (") are lo k~xn+p ~xn kd 0 9n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8n; m  n0 (") are lo jxin xim jk~xn ~xm kd 0 9 x" 2 A astfel ^n ^at x" < m + ". Pentru " = n1 ; n 2 IN , din b) dedu em a 9 xn 2 A astfel ^n ^at xn < m + n1 . Am onstruit astfel sirul (xn)n  A astfel ^n ^at m  xn < m + n1 . Rezulta

a nlim !1 xn = m. Deoare e A este ompa ta ea este ^n hisa, de i m 2 A = A. Rezulta a m este el mai mi element al multimii A. Asemanator se arata a A are un el mai mare element. Q.E.D. Observatia 3.3.2. Vom identi a spatiul IR2 u E2 { multimea pun telor unui plan raportat la un sistem de axe ortogonale, aso iind unui element (x; y) 2 2 IR2 pun tul uni M (x; y) 2 E2. ^In mod asemanator spatiul IR3 va identi at

u E3 { multimea pun telor din spatiu raportat la un sistem de axe triortogonal. Astfel ^n urs vom ^nt^alni elemente (x; y) 2 IR2 sau (x; y; z) 2 IR3 notate si u M (x; y ), respe tiv M (x; y; z ). Din a elasi motiv elementelor ~x = (x1 ; : : : ; xk ) 2 2 IRk le vom mai spune si pun te. Exer it ii  si probleme

Sa se arate a distanta d de nita pe un spatiu metri (X; d) poate ara terizata numai prin urmatoarele doua onditii a) d(x; y) = 0 , x = y; 1.

153

Exer itii si probleme

b) d(y; z )  d(x; y) + d(x; z ); 8 x; y; z 2 X , adi a din a) si b) rezulta a d(x; y)  0; 8x; y 2 X si d(x; y) = d(y; x); 8x; y 2 X . (Rezultatul de mai sus apartine lui A. Lindenbaum). 2. S a se demonstreze a da a d : S  S ! IR este o metri a pe multimea S atun i si fun tia d1 : S  S ! IR de nita prin d(x; y) ; x; y 2 S , d1 (x; y) = 1 + d(x; y) este o metri a pe multimea S . x Indi atie. Se foloseste fun tia f : IR+ ! IR; f (x) = , (vezi Exemplul 3.1.4). 1+x 1 1 3. Fie X = (0; 1)  IR. S a se arate a apli atia d1 (x; y) = , pentru x y x; y > 0 este o metri a pe X . Apoi sa se arate a metri ile d1 si d, unde d(x; y) = jx yj, sunt e hivalente, dar nu satisfa dubla inegalitate (3.1.5). 4. S a se arate a metri a dis reta 8 < 1; da  a x 6= y; %0 : IR  IR ! IR, %0 (x; y) = : 0; da a x = y; de nita pe IR nu este e hivalenta u metri a d : IR  IR ! IR, d(x; y) = jx yj. 5. Fie fun t ia 8 < x 1; da  a x  0; f : IR ! IR, f (x) = : x; da a x > 0: Sa se arate a apli atia % : IR  IR ! IR de nita prin %(x; y) = jf (x) f (y)j este o metri a pe IR, are nu este e hivalenta u metri a d : IR  IR ! IR, d(x; y) = jx yj. 6. S a se arate a (IN; d1 ) este spatiu metri , unde 1 1 . d1 : IN  IN ! IR, d1 (m; n) = m n Sa se arate apoi a a est spatiu metri nu este omplet. 7. S a se arate a spatiul metri ((0; 1); d1 ), unde 1 1 , d1 : (0; 1)  (0; 1) ! IR; d1 (x; y) = x y nu este omplet. Q ii metri e si e X = ni=1 Xi . Sa se demonstreze a 8. Fie (Xi ; di ), i = 1; n spat urmatoarele apli at ii d; Æ;
: X  X ! IR+ de nite prin v u n uX

d(x; y) = t

d2i (xi ; yi ); Æ(x; y) =

i=1 8 x = (x1; x2 ; : : : ; xn),

n X

di (xi ; yi );
(x; y) = max di (xi ; yi ), i=1;n y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 X , sunt metri i pe multimea X . i=1

154

Spatii metri e. Spatiul IRk

Sa se pre izeze sferele des hise si ^n hise entrate ^n ~x0 si de raza r > 0 ^n spatiile metri e (IR2 ; d), (IR2 ; Æ), (IR2 ;
), (IR3 ; d), (IR3 ; Æ), (IR3 ;
), unde d; Æ;
sunt de nite ^n Exemplul 3.1.3. Sa se arate, folosind reprezentarile gra e obtinute a pe multimea IR2 metri ile d; Æ;
sunt e hivalente. 10. S a se demonstreze a (IRn ; %), unde % : IRn  IRn ! IR+ este de nita prin n X jxi yij n %(~x; ~y) = i (1 + jxi yi j) ; ~x; ~y 2 IR , 2 i=1 este spatiu metri si apoi sa se arate a a easta metri a nu provine dintr-o norma. 11. Fie E o mult ime nevida, (X; d) spatiu metri si B(E; X ) = ff j f : E ! X; f marginitag. Sa se arate a apli atia % : B(E; X )  B(E; X ) ! IR de nita prin %(f; g) = sup d(f (x); g(x)); 8 f; g 2 B(E; X ) x2 E este o metri a pe B(E; X ), numita metri a onvergentei uniforme sau metri a lui Ceb^ asev. 12. S a se arate a a) Da a (xn )n2IN si (yn )n2IN sunt siruri onvergente ^n spatiul metri (X; d) atun i (d(xn ; yn ))n2IN este un sir onvergent ^n IR. b) Da a (xn )n2IN si (yn )n2IN sunt siruri Cau hy ^n spatiul metri (X; d) atun i (d(xn ; yn ))n2IN este sir Cau hy ^n IR. 13. Fie A o mult ime a spatiului metri (X; d). Numarul d(A) 2 IR de nit prin d(A) = sup d(x; y) se numeste diametrul multimii A (prin onventie da a A = ; x; y2 A atun i d(A) = 0). Sa se arate a a) A este marginita , d(A) < 1. b) Da a A  B atun i d(A)  d(B ).

) d(A) = d(A); 8 A  (X; d). d) Da a multimea A  X este ompa ta (A 6= ;) atun i 9 (x0 ; y0 ) 2 A  A astfel ^n ^at d(x0 ; y0 ) = d(A). 14. Fie mult imea sirurilor de numere reale onvergente

= fx = (xn )n2IN ; xn 2 IR; 8 n 2 IN ; (xn )n onvergentg. Sa se arate a apli atia (x; y) ! d(x; y) = sup jxn yn j 2 IR; x = (xn )n2IN ; y = (yn )n2IN 2 n2IN 9.

Exer itii si probleme

155

de neste o metri a pe si a spatiul metri ( ; d) este omplet. 15. S a se gaseas a interiorul, multimea derivata, aderenta si frontiera urmatoarelor submultimi ale uzuala d(x; y) = jx yj   lui IR, dotat u metri a n + 1 n sin ; n 2 IN ; a) A = n 3   n 1 + ( 1)n + ( 1)n ; n 2 IN ; b) A = 2 2n + 3   2 + ( 1)n n ; n 2 IN .

) A = [( 3; 1) \ Q+ ℄ [ 3n + 1 1 ; 16. Fie A = [0; 1) u metri a eu lidian a d si e fun tia f : A ! IR; f (x) = 1 + x2 8 x 2 A. Sa se arate a fun tia f satisfa e relatia d(f (x); f (y))  d(x; y); 8 x; y 2 A si a fun tia f are un singur pun t x. 17. S a se al uleze u pre izia de 10 4 uni a rada ina reala a e uatiei x3 + 12x 1 = 0. 18. Fie C ([a; b℄) (notat a si C 0 ([a; b℄)) multimea tuturor fun tiilor reale de nite si

ontinue pe [a; b℄ (a < b) C ([a; b℄) = ff j f : [a; b℄ ! IR; f ontinua pe [a; b℄g. Sa se arate a apli atiile a) f ! kf k0 = sup jf (x)j; x2[a;b℄ Z b

b) f ! kf k1 = jf (t)j dt a sunt norme pe C ([a; b℄). 19. S a se demonstreze a multimea sirurilor marginite de numere reale l1 = fx = (xn )n2IN  IR; (xn )n marginitg notata si u m, u apli atia x ! kxk1 = sup jxn j; 8 x = (xn )n2IN 2 l1 n2IN este spatiu liniar normat omplet, de i spatiu Bana h. 20. Fie Mm;n (IR) mult imea matri ilor u elemente reale de tipul m  n (m linii si n oloane) are se organizeaza a spatiu liniar real (^n raport u adunarea matri ilor si ^nmultirea u numere reale a a estora) de dimensiune mn. Sa se demonstreze a apli atiile

156

Spatii metri e. Spatiul IRk

A ! kAk1 =

0 11=2 m X n X  a2 A ;

ij i=1 j0=1 n X

1

A ! kAk2 = max  jaij jA; i=1;m j =1 m X

!

jaij j ; A ! kAk3 = max j =1;n i=1
A ! kAk4 = max jaij j; i = 1; m; j = 1; n ; m X n X A ! kAk5 = jaij j; A 2 Mm;n (IR); A = (aij )i=1;m; j=1;n , i=1 j =1 sunt norme e hivalente pe spatiul Mm;n (IR). 21. S a se arate a urmatoarele apli atii <
;
>: IR3  IR3 ! IR de nite prin a) < ~x; ~y >= x1 y1 + x1 y3 + x2 y2 + x3 y1 + 2x3 y3 ; b) < ~x; ~y >= 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 + x3 y3 ; ~x = (x1 ; x2 ; x3 ); ~y = (y1 ; y2 ; y3 ) 2 IR3 , sunt produse s alare pe spatiul liniar IR3 . 22. S a se al uleze limitele urmatoarelor siruri din spatiul IRk a) ~xn = (an ; bn ) 2 IR2 ; 2 3  n2 n X 2 k 7 63 6 k=1 7 n 7 an = 66 ; n 2 IN;  > 0; bn = bn 1 ; n  2; b1 xat. 7 3 ( n + 1) ( n + 1)! 4 5 b) ~xn = (an ; bn ; n ; dn ) 2 IR4 ; !1=(2n) n p 1 X n2 + 1 2 2 an = 4 k(k + 1)(k + 2); bn = sin  n + n; n = ; n k=1 n dn = n( 2 ar tg n); n 2 IN .

Capitolul 4 LIMITE DE FUNCT  II. CONTINUITATEA FUNCT  IILOR 1. Limite de fun t ii

1.1. Cadrul general al spatiilor metri e

Fie (X; d1) si (Y; d2) doua spatii metri e si apli atia f : D ! Y , unde D  X , iar x0 2 X un pun t de a umulare pentru multimea D (x0 2 D0). De nitia 4.1.1. (De nitia u ve inatati) Fun tia f are limita l 2 Y ^n pun tul x0 2 D0 da a pentru ori e ve inatate V 2 V (l) exista o ve inatate U 2 V (x0 ) (4:1:1) astfel ^n ^at 8 x 2 (U n fx0g) \ D are lo f (x) 2 V: Vom nota xlim !x f (x) = l sau f (x) ! l; pentru x ! x0 . De nitia 4.1.1 nu se s himba da a pentru l si x0 se iau sisteme fundamentale de ve inatati. Si anume da a xam pentru l si x0 sistemele fundamentale de ve inatati V0(l), respe tiv V0 (x0) atun i avem urmatoarea de nitie e hivalenta De nitie 4.1.2. Fun tia f are limita l 2 Y ^n pun tul x0 2 D0 da a 0

8 V 2 V0 (l) 9 U 2 V0 (x0 ) astfel ^n ^at 8 x 2 (U n fx0 g) \ D are lo f (x) 2 V:

(4:1:2)

Propozitia 4.1.1. De nitiile 4.1.1 si 4.1.2 sunt e hivalente. Demonstratie. Sa presupunem a are lo De nitia 4.1.1 si e V0 2 V0 (l). Deoare e V0 (l)  V (l) rezulta a V0 2 V (l). Conform De nitiei 4.1.1, pentru V0 exista U 2 V (x0 ) astfel^n ^at 8 x 2 (U nfx0 g)\D avem f (x) 2 V0. Deoare e V0(x0 ) este un sistem fundamental de ve inatati, pentru U 2 V (x0 ) exista U0 2 V0(x0 )

158

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

astfel ^n ^at U0  U . Atun i pentru 8 x 2 (U0 nfx0 g) \ D  (U nfx0 g) \ D rezulta

a f (x) 2 V0, adi a avem (4.1.2). Re ipro sa presupunem a are lo (4.1.2). Fie V 2 V (l). Deoare e V0 (l) este sistem fundamental de ve inatati rezulta a 9 V1 2 V0(l) astfel ^n ^at V1  V . Pentru V1, onform (4.1.2), dedu em a exista U 2 V0 (x0)  V (x0 ) astfel ^n ^at 8 x 2 (U n fx0 g) \ D are lo f (x) 2 V1  V , adi a am obtinut (4.1.1). Q.E.D. Consider^and sistemul sferelor des hise^n spatiile X si Y , obtinem urmatoarea de nitie e hivalenta u De nitia 4.1.1. De nitia 4.1.3. (De nitia u sfere des hise) Fun tia f are limita l 2 Y ^n pun tul x0 2 D0 da a 8 SY (l; ") 9 SX (x0 ; Æ(")) astfel ^n ^at 8 x 2 (SX (x0 ; Æ) n fx0g) \ D (4:1:3) are lo f (x) 2 SY (l; "): A easta de nitie este e hivalenta u De nitia 4.1.4. (De nitia u " si Æ (")) Fun tia f are limita l 2 Y ^n pun tul x0 2 D0 da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; 0 < d1(x; x0 ) < Æ(") (4:1:4) are lo d2(f (x); l) < ": Teorema 4.1.1. (Teorema de ara terizare a limitei u ajutorul sirurilor) Elementul l 2 Y este limita fun tiei f ^n pun tul x0 2 D0 da a si numai da a 8 (xn)n2IN  D n fx0 g u nlim (4:1:5) !1 xn = x0 are lo nlim !1 f (xn ) = l: Demonstratie. Sa presupunem a xlim !x f (x) = l, adi a avem veri ata

onditia (4.1.4). Sa onsideram un sir (xn)n2IN  D nfx0 g u nlim !1 xn = x0 , (exista astfel de siruri, deoare e x0 este pun t de a umulare pentru D, vezi Teorema 3.1.15). Atun i, onform Teoremei de ara terizare 3.1.4, avem 8 " > 0 9 n0(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0(") are lo d1(xn; x0 ) < ". Pentru " > 0 arbitrar, momentan xat, sa luam " = Æ(") din relatia (4.1.4). Rezulta atun i, onform elor de mai sus, a exista n0(Æ(")) not = n1(") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 (") are lo d1(xn; x0 ) < Æ("). Deoare e xn 2 D, xn 6= x0 ; 8 n 2 IN 0

159

Limite de fun tii

avem d1(xn; x0 ) > 0. Din (4.1.4) dedu em a 8 n  n1 (") avem d2 (f (xn); l) < ". De i 8 " > 0 9 n1 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n1 (") are lo d2 (f (xn); l) < ". Rezulta astfel a nlim !1 f (xn ) = l. Re ipro , sa presupunem a avem (4.1.5). Vom demonstra (4.1.4) prin metoda redu erii la absurd. Presupunem a nu are lo (4.1.4), adi a 9 "0 > 0 astfel ^n ^at 8 Æ > 0 9 xÆ 2 D u 0 < d1 (xÆ ; x0) < Æ si d2 (f (xÆ ); l)  "0. = xn 2 D Pentru Æ = n1 , n 2 IN dedu em din relatia de mai sus a 9 x1=n not 1

u 0 < d1 (xn; x0) < n si d2(f (xn); l)  "0. Astfel am dedus existenta unui sir (xn)n2IN  D n fx0 g, u nlim !1 xn = x0 , dar pentru are f (xn ) 6! l. Con luzia la

are am ajuns ontrazi e ipoteza (4.1.4). Rezulta de i a presupunerea fa uta este falsa, de unde dedu em a are lo (4.1.4), adi a xlim !x f (x) = l. Q.E.D. Observatia 4.1.1. Da a putem pune ^n evidenta un sir (xn )n2IN  D nfx0 g

u nlim !1 xn = x0 , pentru are sirul (f (xn ))n2IN nu are limita, atun i rezulta a fun tia f nu are limita ^n x0 . Observatia 4.1.2. Da a putem determina doua siruri (x0n )n2IN , (x00n )n2IN  0 00 0  D n fx0 g u nlim !1 xn = nlim !1 xn = x0 pentru are exista nlim !1 f (xn ) = l1 si lim f (x00n) = l2 , iar l1 6= l2, atun i fun tia f nu are limita ^n pun tul x0 2 D0. n!1 Observatia 4.1.3. Din Teorema 4.1.1 rezulta a limita fun tiei f (atun i

^and exista) este uni a. 0

1.2. Limite de fun tii ^n spatiul IRk

Fie D o multime din IRp si f~ : D ! IRq o fun tie de nita pe D u valori ^n spatiul IRq (pentru q = 1 vom nota fun tia u f ). Da a p = q = 1, f se numeste fun tie reala de variabila reala. Da a p > 1, q = 1, f se numeste fun tie reala de variabila ve toriala sau fun tie reala de p variabile reale. Da a p = 1, q > 1, f~ se numeste fun tie ve toriala ( u valori ve toriale) de variabila reala. Da a p > 1, q > 1, f~ se numeste fun tie ve toriala de variabila ve toriala

160

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

sau fun tie ve toriala de p variabile reale. De i fun tia f~ aso iaza unui element ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xp) 2 D un element ~y = (y1; y2; : : : ; yq ) 2 IRq . Fun tia f~ poate des ompusa ^n q fun tii reale f1 ; f2 ; : : : ; fq : D  IRp ! IR, f~(~x) = (f1(~x); f2 (~x); : : : ; fq (~x)); unde f1 (~x) = y1 ; f2 (~x) = y2 ; : : : ; fq (~x) = yq : Fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fq se numes fun tiile

omponente ale lui f~. Pe de alta parte, q fun tii reale f1; f2 ; : : : ; fq de nite pe o a eeasi multime D  IRp pot onsiderate ^ntotdeauna a ind omponentele reale ale unei fun tii ve toriale f~ : D ! IRq . Tin^and seama de a este onsideratii, putem redu e ^ntotdeauna studiul unei fun tii ve toriale la studiul unor fun tii reale. Stru tura de spatiu liniar a multimii IRk ne permite sa de nim urmatoarele operatii u fun tii ve toriale. Fie D  IRp si f~, ~g doua fun tii de nite pe D u valori ^n spatiul IRq . Suma f~ + ~g si produsul u numarul real , f~, sunt fun tii de nite pe D u valori ^n IRq

(f~ + ~g)(~x) = f~(~x) + ~g(~x); 8 ~x 2 D, (f~)(~x) = f~(~x); 8 ~x 2 D. Produsul dintre o fun tie reala ' : D  IRp ! IR si fun tia ve toriala f~ : D   IRp ! IRq este fun tia 'f~ : D ! IRq , de nita prin ('f~)(~x)= '(~x)f~(~x); 8~x 2 D. Pentru fun tiile f~ : E  IRp ! F  IRq si ~g : F ! IRr se de neste fun tia

ompusa ~h = ~g Æ f~ : E ! IRr astfel ~h(~x) = ~g(f~(~x)) = (g1 (f~(~x)); g2 (f~(~x)); : : : ; gr (f~(~x))); 8 ~x 2 E . A ompune fun tia ve toriala ~g u fun tia ve toriala f~ revine la a ompune

omponentele reale gi, i = 1; r ale lui ~g u fun tia f~. Pentru ompunerea unei fun tii reale g : F  IRq ! IR u o fun tie ve toriala f~ : E  IRp ! F  IRq se foloses omponentele f1; f2 ; : : : ; fq ale fun tiei f~. ^In a est az obtinem fun tia h = g Æ f~ : E ! IR; h(~x) = (g Æ f~)(~x) = g (f1 (~x); f2 (~x); : : : ; fq (~x)); 8 ~x 2 E . De nitia 4.1.5. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq se numeste marginita (pe multimea D) da a multimea valorilor f (D)  IRq este marginita, adi a 9 M > 0 astfel ^n ^at kf~(~x)kq  M; 8 ~x 2 D, unde k
kq este o norma pe spatiul IRq .

Limite de fun tii

161

Propozitia 4.1.2. Fun tia ve toriala f~ : D  IRp ! IRq este marginita da a si numai da a toate omponentele sale f1 ; f2 ; : : : ; fq sunt marginite. Demonstratie. Fie f~(~x)=(f1 (~x); f2 (~x); : : : ; fq (~x)), ~x 2 D, unde fj : D ! IR; j = 1; q. Sa onsideram pe spatiul IRq norma eu lidiana k
kq . Atun i avem q X ~ jfj (~x)j  kf (~x)kq  jfj (~x)j; 8 ~x 2 D; 8 j = 1; q. j =1 Da a fun tia f~ este marginita atun i fun tia reala kf~(
)k este marginita si din prima inegalitate dedu em a fun tiile jfj (
)j, de i si fj (
), j = 1; q sunt

marginite. Re ipro , da a fun tiile fj (
), j = 1; q suntq marginite, atun i si fun tiile X jfj (
)j, j = 1; q sunt marginite, de i si suma lor jfj (
)j este marginita. Din a j =1 ~ doua inegalitate de mai sus rezulta a fun tia kf (
)k este marginita, de i f~ este si ea marginita. Q.E.D. Dedu em astfel a studiul fun tiilor ve toriale marginite se redu e la studiul fun tiilor reale marginite. De nitiile 4.1.1 { 4.1.4, pre um si Teorema 4.1.1 se pot formula asemanator si pentru fun tiile f~ : D  IRp ! IRq . De nitia 4.1.6. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq ^n pun tul ~x0 2 D0 da a pentru ori e ve inatate V 2 V (~l) exista o ve inatate U 2 V (~x0 ) (4:1:6) astfel ^n ^at 8 ~x 2 (U n f~x0g) \ D are lo f~(~x) 2 V: De nitie 4.1.7. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq ^n pun tul ~x0 2 D0 da a 8 V 2 V0 (~l) 9 U 2 V0 (~x0 ) astfel ^n ^at 8 ~x 2 (U n f~x0 g) \ D are lo f~(~x) 2 V: (4:1:7) De nitia 4.1.8. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq ^n pun tul ~x0 2 D0 da a 8 Sq (~l; ") 9 Sp(~x0; Æ(")) astfel ^n ^at 8 ~x 2 (Sp(~x0 ; Æ) n f~x0g) \ D (4:1:8) are lo f~(~x) 2 Sq (~l; "):

162

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

De nitia 4.1.9. ~x0 2 D0 da a

Fun tia f~ : D  IRp ! IRq are limita ~l 2 IRq ^n pun tul

8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D; 0 < dp(~x; ~x0 ) < Æ(")

are lo dq (f~(~x); ~l) < ":

(4:1:9)

Teorema 4.1.2. Elementul ~l 2 IRq este limita fun tiei f~ : D  IRp ! IRq ^n pun tul ~x0 2 D0 da a si numai da a ~ ~ 8 (~xn)n2IN  D n f~x0g u nlim !1 ~xn = ~x0 are lo nlim !1 f (~xn ) = l:

(4:1:10)

Mentionam a De nitia 4.1.8 se exprima e hivalent u ajutorul normelor din spatiile IRp si IRq astfel De nitia 4.1.10. Fun tia f~ are limita ~l 2 Y ^n pun tul ~x0 2 D0 da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D u 0 < k~x ~x0 kp < Æ(") (4:1:11) are lo kf~(~x) ~lkq < "; unde k
kp, k
kq sunt norme ^n spatiul IRp, respe tiv IRq , (~l = (l1 ; l2; : : : ; lq ), ~x0 = (x10 ; x20 ; : : : ; xp0 )). Notam ~xlim f~(~x) = ~l sau f~(~x) ! ~l, pentru ~x ! ~x0 . !~x De exemplu, da a luam k~xkp = max jxi j si k~ykq = max jyj j relatia (4.1.11) i=1;p j =1;q ne ondu e la 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D; ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xp) u 0 < jxi xi0 j < Æ; 8 i = 1; p are lo jfj (~x) lj j < "; 8 j = 1; q. ^In mod asemanator se pot gasi formularile pentru limita lim f~(~x) = ~l ^n ~x!~x

azul ^n are se onsidera si alte norme (k
kd, k
kÆ ; : : :) ^n spatiile IRp si IRq . Observatia 4.1.4. ^In azul spatiilor IRk , k  2 nu am introdus pun te improprii, la in nit. De i da a f~ : D  IRp ! IRq , p  2; q  2 at^at pun tul ~x0 ,

^at si limita ~l sunt pun te obisnuite ^n spatiul IRp, respe tiv IRq . ^In azul fun tiilor reale de mai multe variabile reale f : D  IRp ! IR (q = 1) limita l poate +1 sau 1 (De nitia 4.1.6 si Teorema 4.1.2 se pot reformula si pentru a este azuri). 0

0

Limite de fun tii

163

^In azul fun tiilor ve toriale de o singura variabila reala f~ : D  IR ! IRq (p = 1) se pot onsidera si limitele x!lim+1 f (x), x!lim1 f (x), da a +1 sau 1 sunt pun te de a umulare ale multimii D (De nitia 4.1.6 si Teorema 4.1.2 se pot reformula si pentru a este azuri). ^In azul fun tiilor ve toriale de o singura variabila reala f~ : D  IR ! IRq (p = 1) se pot de ni limitele laterale ^ntr-un pun t x0 2 IR, la fel a si pentru fun tiile reale de o singura variabila reala. Astfel avem urmatoarele 1.3. Extinderi ^n IR

Pentru q = 1 avem azul unei fun tii reale f : D  IRp ! IR. Fie ~x0 2 D0, iar l = 1. Ve inatatile lui +1 sunt multimile V = fy 2 IR; y > M g [ f+1g, M 2 IR. De i f (x) 2 V , f (x) > M . Atun i De nitia 4.1.6 ne ondu e la urmatoarea ara terizare (de nitia analiti a) pentru limita +1 a lui f ^n ~x0 . De nitia 4.1.11. Fun tia f : D  IRp ! IR are limita +1 ^n pun tul ~x0 2 D0 da a 8 M 2 IR 9 ÆM > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D; 0 < k~x ~x0 kp < ÆM are lo f (x) > M: Notam ~xlim f (~x) = +1 sau f (~x) ! +1, pentru ~x ! ~x0 . !~x Fara a restr^age generalitatea putem lua ^n De nitia 4.1.11, M > 0. Asemanator obtinem pentru limita 1 a fun tiei f ^n pun tul ~x0 2 D0 urmatoarea ara terizare (de nitia analiti a). De nitia 4.1.12. Fun tia f : D  IRp ! IR are limita 1 ^n pun tul ~x0 2 D0 da a 8 M 2 IR 9 ÆM > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D; 0 < k~x ~x0 kp < ÆM are lo f (x) < M . Notam ~xlim f (~x) = 1 sau f (~x) ! 1, pentru ~x ! ~x0 . !~x Fara a restr^ange generalitatea putem lua^n De nitia 4.1.12, M < 0. Tre ^andu-l pe M ^n M obtinem urmatoarea de nitie e hivalenta u De nitia 4.1.12. De nitia 4.1.13. Fun tia f : D  IRp ! IR are limita 1 ^n pun tul ~x0 2 D0 da a 8 M > 0 9 ÆM > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D, 0 < k~x ~x0 kp < ÆM are lo f (x) < M . 2Æ . Pentru p = 1 avem o fun tie ve toriala de o singura variabila reala 1Æ .

0

0

164

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

f~ : D

~ ~  IR ! IRq . Putem onsidera xlim lim1 f~(x) = ~l, (+1, !1 f (x) = l sau x! respe tiv 1 pun t de a umulare pentru D). Obtinem astfel urmatoarele ara -

terizari analiti e.

Fun tia f~ : D  IR ! IRq are limita ~l 2 IRq pentru x ! 1 (1 este pun t de a umulare pentru D) da a 8 " > 0 9 M 2 IR astfel ^n ^at 8 x 2 D; x > M are lo kf~(x) ~lkq < ", (putem lua mai sus M > 0). De nitia 4.1.15. Fun tia f~ : D  IR ! IRq are limita ~l 2 IRq pentru x ! 1 ( 1 este pun t de a umulare pentru D) da a 8 " > 0 9 M 2 IR astfel ^n ^at 8 x 2 D; x < M are lo kf~(x) ~lkq < " , 8 " > 0 9 M > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; x < M are lo kf~(x) ~lkq < ". 3Æ . Pentru p = q = 1 avem o fun tie reala de o singura variabila reala f : D  IR ! IR. Pentru limita 1 sau 1 si pentru x0 = 1 sau 1 (pun t de a umulare pentru D) obtinem urmatoarele ara terizari analiti e. De nitia 4.1.16. Fun tia f : D  IR ! IR are limita +1 pentru x ! 1 (1 pun t de a umulare pentru D) da a 8 M 2 IR 9 h 2 IR astfel ^n ^at 8 x 2 D; x > h are lo f (x) > M , (putem lua mai sus M > 0; h > 0). Notam xlim !1 f (x) = 1. De nitia 4.1.17. Fun tia f : D  IR ! IR are limita 1 pentru x ! 1 (1 pun t de a umulare pentru D) da a 8 M 2 IR 9 h 2 IR astfel ^n ^at 8 x 2 D; x > h are lo f (x) < M , 8 M > 0 9 h > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; x > h are lo f (x) < M . Notam xlim !1 f (x) = 1. De nitia 4.1.18. Fun tia f : D  IR ! IR are limita +1 pentru x ! 1 ( 1 pun t de a umulare pentru D) da a 8 M 2 IR 9 h 2 IR astfel ^n ^at 8 x 2 D; x < h are lo f (x) > M , 8 M > 0 9 h > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; x < h are lo f (x) > M . Notam x!lim1 f (x) = 1. De nitia 4.1.19. Fun tia f : D  IR ! IR are limita 1 pentru x ! 1 ( 1 pun t de a umulare pentru D) da a De nitia 4.1.14.

Limite de fun tii

165

8 M 2 IR 9 h 2 IR astfel ^n ^at 8 x 2 D; x < h are lo f (x) < M , 8 M > 0 9 h > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D x < h are lo f (x) < M . Notam x!lim1 f (x) = 1. 4Æ . Pentru o fun tie ve toriala de o variabila reala f~ : D  IR ! IRq (p = 1)

putem introdu e notiunea de limita laterala. De nitia 4.1.20. O multime Vd (x0 ) se numeste ve inatate la dreapta pentru pun tul x0 2 IR da a ea ontine un interval [x0 ; x0 + Æ), u Æ > 0. De nitia 4.1.21. Pun tul x0 2 IR este pun t de a umulare la dreapta pentru D  IR da a ori e ve inatate la dreapta a pun tului x0 ontine elemente din D, diferite de x0 . De i 8 Vd (x0 ); (Vd(x0 ) n fx0 g) \ D 6= ;. Tin^and ont de De nitia 4.1.20, De nitia 4.1.21 este e hivalenta u De nitia 4.1.22. Pun tul x0 2 IR se numeste pun t de a umulare la dreapta pentru D  IR da a 8 Æ > 0 9 xÆ 2 D u x0 < xÆ < x0 + Æ. ^In mod asemanator se introdu ve inatatea la st^anga si pun tul de a umulare la st^anga. De nitia 4.1.23. O multime Vs (x0 ) se numeste ve inatate la st^anga pentru pun tul x0 2 IR da a ea ontine un interval (x0 Æ; x0 ℄, u Æ > 0. De nitia 4.1.24. Pun tul x0 2 IR este pun t de a umulare la st^anga pentru D  IR da a ori e ve inatate la st^anga a pun tului x0 ontine elemente din D, diferite de x0 . De i 8 Vs(x0 ); (Vs(x0 ) n fx0g) \ D 6= ;. Conform De nitiei 4.1.23, De nitia 4.1.24 este e hivalenta u De nitia 4.1.25. Pun tul x0 2 IR se numeste pun t de a umulare la st^anga pentru D  IR da a 8 Æ > 0 9 xÆ 2 D u x0 Æ < xÆ < x0 . Folosind un argument asemanator u el din demonstratia Teoremei 3.1.15 obtinem Teorema 4.1.3. Pun tul x0 2 IR este pun t de a umulare la st^anga (dreapta)

166

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

pentru multimea D  IR da a si numai da a (respe tiv xn > x0 ) onvergent la x0 .

9 (xn)n2IN  D n fx0 g u xn < x0

Da a x0 este pun t de a umulare la st^anga sau la dreapta pentru D atun i el este pun t de a umulare pentru D. Da a x0 este pun t de a umulare, nu rezulta neaparat a el este pun t de a umulare la st^anga si la dreapta, dar el este pun t de a umulare ma ar ^ntr-una din ele doua parti. De nitia limitei laterale la st^anga sau la dreapta ^ntr-un pun t este asemanatoare u de nitia limitei^ntr-un pun t, numai a ^n lo de ve inatati vor apare ve inatati laterale. Si anume avem De nitia 4.1.26. Elementul ~l 2 IRq este limita fun tiei f~ : D  IR ! IRq la dreapta ^n x0 (x0 { pun t de a umulare la dreapta pentru D) da a 8 V 2 V (~l) 9 Vd(x0 ) astfel ^n ^at 8 x 2 (Vd(x0 ) nfx0g) \ D are lo f~(x) 2 V . ~ ~ ~ ~ Notam xlim and Vd(x0 ) = [x0 ; x0 + Æ); !x f (x) = l sau f (x0 + 0) = l. Consider^ x>x Æ > 0, De nitia 4.1.26 este e hivalenta u De nitia 4.1.27. Elementul ~l 2 IRq este limita fun tiei f~ : D  IR ! IRq la dreapta ^n x0 (x0 { pun t de a umulare la dreapta pentru D) da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; x0 < x < x0 + Æ are lo kf~(x) ~lkq < ". Pentru limita la st^anga avem De nitia 4.1.28. Elementul ~l 2 IRq este limita fun tiei f~ : D  IR ! IRq la st^anga ^n x0 (x0 { pun t de a umulare la st^anga pentru D) da a 8 V 2 V (~l) 9 Vs(x0) astfel ^n ^at 8 x 2 (Vs(x0 ) nfx0g) \ D are lo f~(x) 2 V . ~ ~ ~ ~ Notam xlim and Vs(x0 ) = (x0 Æ; x0 ℄; !x f (x) = l sau f (x0 0) = l. Consider^ x 0, De nitia 4.1.28 este e hivalenta u De nitia 4.1.29. Elementul ~l 2 IRq este limita fun tiei f~ : D  IR ! IRq la st^anga ^n x0 (x0 { pun t de a umulare la st^anga pentru D) da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; x0 Æ < x < x0 are lo kf~(x) ~lkq < ". Cu o demonstratie asemanatoare u a Teoremei 4.1.1 obtinem Teorema 4.1.4. Fun tia f~ : D  IR ! IRq are limita ~ls 2 IRq (~ld 2 IRq ) la st^anga (respe tiv la dreapta) ^n pun tul x0 (x0 { pun t de a umulare la st^anga 0 0

0 0

167

Limite de fun tii

(respe tiv la dreapta) pentru multimea D) da a si numai da a 8 (xn)n2IN  D n fx0 g; xn < x0 (respe tiv xn > x0 ); nlim !1 xn = x0 are lo ~ ~ lim f~(xn) = ~ls (respe tiv nlim n!1 !1 f (xn ) = ld ). ^In teorema de mai sus, pentru limita la st^anga se pot onsidera siruri res atoare, onvergente la x0 , iar pentru limita la dreapta se pot onsidera siruri des res atoare, onvergente la x0 , (putem realiza a est lu ru prin s himbarea ordinii termenilor sirurilor). Teorema 4.1.5. Da a x0 2 IR este pun t de a umulare si la dreapta si la st^anga pentru multimea D atun i fun tia f~ : D  IR ! IRq are limita ^n x0 da a si numai da a f~ are limita si la st^anga si la dreapta ^n x0 si a estea sunt egale. Demonstratie. Presupunem a fun tia f~ are limita ~l 2 IRq ^n pun tul x0 2 D (pun t de a umulare si la st^anga si la dreapta). Conform De nitiei 4.1.10 avem 8" > 0 9Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8x 2 D; 0 < jx x0 j < Æ(") are lo kf~(x) ~lkq < ". Consider^and pe r^and pun tele x pentru are x < x0 si x > x0 obtinem ~ ~ ~ De nitiile 4.1.27 si 4.1.29. ^In plus xlim !x f (x) = xlim !x f (x) = l. xx ~ ~ ~ Re ipro , presupunem a 9 xlim !x f (x) = xlim !x f (x) = l . Din De nitiile 4.1.27 xx si 4.1.29 avem 8 " > 0 9 Æ1 (") astfel ^n ^at 8 x 2 D; x0 Æ1 < x < x0 are lo kf~(x) ~lkq < ", 8 " > 0 9 Æ2 (") astfel ^n ^at 8 x 2 D; x0 < x < x0 + Æ2 are lo kf~(x) ~lkq < ". Pentru " > 0 sa luam Æ(") = minfÆ1("); Æ2(")g. Atun i 8 x 2 D; 0 < jx x0 j < Æ(") are lo kf~(x) ~lkq < ", ~ ~ adi a am obtinut De nitia 4.1.10. Rezulta a xlim !x f (x) = l. Q.E.D. Din De nitiile 4.1.10, 4.1.27 si 4.1.29 obtinem 0 0

0 0

0 0

0 0

0

Teorema 4.1.6. Da a x0 este pun t de a umulare numai la dreapta pentru multimea D (nu este pun t de a umulare la st^anga) atun i fun tia f~ : D  IR ! IRq are limita ^n x0 da a si numai da a are limita la dreapta ^n x0 . Da a x0 este pun t de a umulare numai la st^anga pentru multimea D (nu este pun t de a umulare la dreapta) atun i fun tia f~ : D  IR ! IRq are limita

168

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

^n x0 da a si numai da a are limita la st^anga ^n x0 .

Asemanator, ^n azul unei fun tii f : D  IR ! IR se de nes limitele laterale in nite (+1 sau 1) ^ntr-un pun t x0 2 IR (pun t de a umulare la st^anga sau la dreapta pentru D). Observatia 4.1.5.

1.4. Teoreme de ara terizare, proprietati ale fun tiilor u limita

Revenim la azul general al unei fun tii f~ : D  IRp ! IRq si prezentam o teorema de ara terizare a limitei unei fun tii. Teorema 4.1.7. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq (q > 1) are limita ~l 2 IRq ^n pun tul ~x0 2 D0 da a si numai da a toate ele q fun tii omponente u valori reale au limita ^n ~x0 , limitele lor ind oordonatele lui ~l. Demonstratie. Conform Teoremei 4.1.2 fun tia f~ = (f1 ; f2 ; : : : ; fq ), unde fj : D  IRp ! IR, j = 1; q , are limita ~l 2 IRq ^n pun tul ~x0 2 D0 da a si numai da a ~ ~ ~ 8(~xn )n2IN  D nf~x0 g u nlim !1 ~xn = ~x0 are lo nlim !1 f (~xn )= l, (l =(l1 ; l2 ; : : : ; lq )). Apli ^and Teorema 3.3.1 dedu em a pentru ori e j = 1; q avem 8(~xn )n2IN  D n f~x0 g u nlim !1 ~xn = ~x0 are lo nlim !1 fj (~xn )= lj . Din Teorema 4.1.2 rezulta a fun tiile omponente fj : D  IRp ! IR, j = 1; q au limita ^n ~x0 2 D0 si ~xlim f (~x) = lj , 8 j = 1; q . !~x j Re ipro , da a fun tiile fj : D  IRp ! IR, j = 1; q au limita (lj ; j = 1; q) ^n pun tul ~x0 2 D0, se arata a mai sus, folosind Teorema 4.1.2 si Teorema 3.3.1

a fun tia f~ : D  IRp ! IRq , f~ = (f1; f2 ; : : : ; fq ) are limita ^n x0 , si anume ~l = (l1 ; l2 ; : : : ; lq ). Q.E.D. Teorema 4.1.8. (Cau hy-Bolzano) Fie f~ : D  IRp ! IRq , ~x0 pun t de a umulare pentru D. Atun i fun tia f~ are limita ^n ~x0 2 D0 da a si numai da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x0; ~x00 2 D; 0 < k~x0 ~x0 kp < Æ("); (4:1:12) 0 < k~x00 ~x0 kp < Æ(") are lo kf~(~x0 ) f~(~x00 )kq < ": Demonstratie. Presupunem a f~ are limita ^n pun tul ~x0 2 D0 . Conform De nitiei 4.1.10 avem 0

Limite de fun tii

8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D; 0 < k~x ~x0 kp < Æ(") are lo kf~(~x) ~lkq < ".

169

Atun i pentru " > 0 arbitrar, momentan xat si Æ("=2) not = Æ1 (") de mai sus rezulta a pentru ~x0 ; ~x00 2 D u 0 < k~x0 ~x0 kp < Æ1; 0 < k~x00 ~x0 kp < Æ1 avem kf~(~x0 ) ~lkq < "=2 si kf~(~x00 ) ~lkq < "=2. De i kf~(~x0 ) f~(~x00)kq = k(f~(~x0) ~l)+(~l f~(~x00 ))kq  kf~(~x0 ) ~lkq + kf~(~x00) ~lkq < < "=2 + "=2 = ", adi a am obtinut (4.1.12). Sa presupunem a um a are lo onditia (4.1.12). Fie (~xn)n2IN un sir arbitrar din D n f~x0g, onvergent la ~x0 2 D0, adi a 8 " > 0 9 n0 (") 2 IN astfel ^n ^at 8 n  n0 (") are lo k~xn ~x0 kp < ": (4:1:13) Pentru " > 0 arbitrar, momentan xat, (4.1.12) ne da existenta unui element Æ (") > 0. Consider^and " = Æ ("), din (4.1.13) dedu em a 9 n0 (Æ (")) not = n1(") astfel ^n ^at 8 n  n1(") avem k~xn ~x0 kp < Æ("). Atun i pentru ori e n; m  n1 (") avem 0 < k~xn ~x0 kp < Æ("); 0 < k~xm ~x0 kp < Æ("). Din (4.1.12) dedu em a kf~(~xn ) f~(~xm )kq < ". De i pentru 8 " > 0 9 n1 (") astfel ^n ^at 8 n; m  n1 (") are lo kf~(~xn ) f~(~xm )kq < ". Rezulta a sirul (f~(~xn ))n2IN este un sir Cau hy ^n spatiul IRq . Conform Teoremei 3.3.8 dedu em a sirul (f~(~xn))n2IN este onvergent, de i are limita ^n IRq , ~ ~ (nlim !1 f (~xn ) = l). Vom arata ^n ontinuare a ori are ar sirurile (~x0n), (~x00n)  D n f~x0 g, 0 00 ~ 0 ~ 00 ^

u nlim !1 ~xn = ~x0 , nlim !1 ~xn = ~x0 , avem nlim !1 f (~xn ) = nlim !1 f (~xn ). Intr-adevar, sa

onsideram sirul ~x01 ; ~x001 ; ~x02 ; ~x002 ; : : : ; ~x0n ; ~x00n; : : :, de pun te din D n f~x0 g, are este

onvergent la ~x0 . Din ele de mai sus dedu em a sirul f~(~x01 ); f~(~x001 ); f~(~x02 ); f~(~x002 ); : : : ; f~(~x0n ); f~(~x00n ); : : : este onvergent. Deoare e sirurile (f~(~x0n))n si (f~(~x00n))n sunt subsiruri ale sirului de mai sus, rezulta a ele sunt onvergente si au a eeasi limita. Q.E.D.

170

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

Din Teorema 4.1.8 dedu em a Teorema 4.1.2 poate formulata ^n spatiul ^n mod e hivalent astfel Teorema 4.1.9. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq are limita ^n pun tul ~x0 2 D0 ~ da a si numai da a 8 (~xn )n  D n f~x0 g u nlim !1 ~xn = ~x0 , sirul valorilor (f (~xn ))n are limita ^n IRq . ^In mod asemanator Teorema 4.1.7 poate reformulata e hivalent astfel Teorema 4.1.10. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq (q > 1) are limita ^n pun tul ~x0 2 D0 da a si numai da a toate ele q fun tii omponente au limita ^n ~x0 . ^In mod ne esar limita lui f~ ^n ~x0 este q-uplul format din limitele fun tiilor

omponente. Observatia 4.1.6. Teorema lui Cau hy-Bolzano poate formulata si ^n

azul general al unei fun tii f : D  (X; d1) ! (Y; d2), x0 2 D0, unde (X; d1) este spatiu metri , iar (Y; d2) este spatiu metri omplet. Vom prezenta ^n ontinuare ^ateva proprietati ale fun tiilor u limita. Teorema 4.1.11. a) Fie f~1 ; f~2 : D  IRp ! IRq , iar ~x0 2 D0 . Da a 9 ~xlim f~ (~x) = ~l1 si 9 ~xlim f~ (~x) = ~l2 atun i pentru ori e ;  2 IR rezulta a !~x 1 !~x 2 9 ~xlim (f~1 (~x) + f~2(~x)) = ~l1 + ~l2 . !~x b) Fie f~ : D  IRp ! IRq , iar ' : D ! IR, ~x0 2 D0. Da a 9 ~xlim f~(~x) = ~l si !~x 9 ~xlim '(~x) = a atun i 9 ~xlim ['(~x)f~(~x)℄ = a~l. !~x !~x

) Fie f1; f2 : D  IRp ! IR, iar ~x0 2 D0. Da a 9 ~xlim f (~x) = l1 si !~x 1 lim f2(~x) = l2 atun i ~x!~x 9 ~xlim [f (~x)
f2(~x)℄ = l1
l2 ; (pentru l1; l2 2 IR pentru are are sens l1
l2), !~x 1 f1 (~x) l1 = (pentru l1; l2 2 IR; l2 6= 0 si ll are sens), 9 ~xlim !~x f2 (~x) l2 9 ~xlim f (~x)f (~x) = l1l (l1 > 0 si l1l are sens). !~x 1 d) Fie f; F1; F2 : D ! IR, D  IRp; ~x0 2 D0. Da a F1 (~x)  f (~x)  F2 (~x); 8 ~x 2 D; u k~x ~x0 kp < a (o ve inatate a lui ~x0 ) si 9 ~xlim F (~x) = ~xlim F (~x) = l atun i 9 ~xlim f (~x) = l, ( riteriul lestelui). !~x 1 !~x 2 !~x e) Fie '~ : D  IRp ! E  IRq si f~ : E  IRq ! IRr , ~x0 pun t de a umulare IRk

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

0

2

2

2

0

0

0

0

171

Limite de fun tii

= ~xlim '~ (~x) pun t de a umulare pentru E , ('~ (~x) 6= ~y0 , pentru !~x ~x 6= ~x0 ). Da a 9 ~ylim f~(~y) = ~l atun i fun tia ~g : D  IRp ! IRr , ~g = f~ Æ '~ , !~y ~g(~x) = (f~ Æ '~ )(~x) = f~('~ (~x)) are limita ^n ~x0 si lim ~g(~x) = ~l. ~x!~x p q 0 ~ f) Fie f : D  IR ! IR , ~x0 2 D si ~xlim f~(~x) 6= ~0. Atun i exista o !~x ve inatate U a lui ~x0 astfel ^n ^at f~(~x) 6= ~0, ori are ar ~x 6= ~x0 din U \ D. g) Fie f : D  IRp ! IR, ~x0 2 D0 si ~xlim f (~x) = l 6= 0. Atun i exista o !~x ve inatate U a lui ~x0 astfel ^n ^at f are a elasi semn u l pe U \ D n f~x0 g. Demonstratie. a) Fie (~xn )n2IN  D nf~x0 g un sir arbitrar, momentan xat,

u nlim f~ (~x) = ~l1 si 9 ~xlim f~ (~x) = ~l2 , rezulta onform !1 ~xn = ~x0 . Deoare e 9 ~xlim !~x 1 !~x 2 ~ ~ ~ ~ Teoremei 4.1.2, a nlim !1 f1 (~xn ) = l1 si nlim !1 f2 (~xn ) = l2 . Folosind proprietatile sirurilor dedu em a lim (f~1 (~xn) + f~2(~xn )) = ~l1 + ~l2 . n!1 Apli ^and din nou Teorema 4.1.2 rezulta a 9 ~xlim (f~1(~x) + f~2(~x)) = ~l1 + ~l2. !~x ^In mod asemanator se demonstreaza b){d). e) Fie (~xn)n2IN  D n f~x0 g u nlim ~ (~xn ) = ~y0 , iar din !1 ~xn = ~x0 . Atun i nlim !1 ' ~ ~ ~ '~ (~xn ) 6= ~y0 , (~xn 6= ~x0 ) si ~ylim f (~y) = l rezulta a nlim ~ (~xn )) = ~l. !1 f (' !~y De i apli ^and Teorema 4.1.2 dedu em a 9 ~xlim f~('~ (~x)) = ~l. !~x f) Da a ~l = ~xlim f~(~x) 6= ~0 atun i 9 i0 2 f1; 2; : : : ; q g astfel ^n ^at li 6= 0; sa !~x presupunem a li > 0. De i pentru fun tia reala fi : D  IRp ! IR are lo lim fi (~x) = li > 0. Da a luam V = (0; ),  > li , onform De nitiei 4.1.6 ~x!~x exista o ve inatate U a pun tului ~x0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 (U n f~x0 g) \ D rezulta a fi (~x) 2 V , adi a fi (~x) > 0. De i fi (~x) 6= 0, 8 ~x 2 (U n f~x0 g) \ D, de unde dedu em a f~(~x) 6= ~0, 8 ~x 2 (U n f~x0 g) \ D. Pun tul g) rezulta din demonstratia lui f). Q.E.D. Exemplul 4.1.1. Fun tia reala f : D  IR2 ! IR, 1 f (x; y ) = (x2 + y 2) sin ; unde D = f(x; y ) 2 IR2 ; x 6= 0 si y 6= 0g, xy are limita ^n pun tul (0; 0). ^I ntr-adevar avem 0  (x2 + y2) sin xy1  x2 + y2; 8 (x; y) 2 D. pentru D si e ~y0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

172

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

Deoare e (x;ylim (x2 + y2) = 0, apli ^and riteriul lestelui, dedu em a exista )!(0;0) lim f (x; y) = 0. (x;y)!(0;0) Exemplul 4.1.2.  ia f : IR2 ! IR, de nita prin 8 Fun t xy > < ; da a (x; y ) 6= (0; 0); 2 f (x; y ) = > x + y 2 : 0; da a (x; y) = (0; 0) nu are limita ^n pun tul (0; 0). Vom arata a est lu ru folosind Observatia 4.1.2 si anume vom pune^n evidenta doua siruri^n spatiul IR2, onvergente la (0; 0), pentru are sirurile imaginilor prin fun tia f sunt onvergente la elemente diferite.  1 1 Pentru sirul (xn; yn) = n ; n ! (0; 0) avem   1 1 1 1 1 n f ; = 1 1 = ! = l1 ; pentru n ! 1, n n 2 2 n +   n 1 1 iar pentru sirul (x0n ; yn0 ) = n2 ; n ! (0; 0), avem  1 n 1 1 ! 0 = l2; pentru n ! 1. f 2; = 1 n 1 = 2 n n n +1 n +n Deoare e limitele de mai sus sunt diferite (l1 = 21 6= l2 = 0), rezulta a nu exista lim f (x; y). (x;y)!(0;0) O alta metoda pentru a demonstra a 6 9 (x;ylim f (x; y ) este metoda dru)!(0;0) murilor (sau a pantelor), si anume al ulam limita fun tiei f ^n (0; 0) pe diverse drumuri. Sa onsideram ai i drepte de e uatie y = mx; m 2 IR (vezi Fig.1) si tindem la (0; 0) pe a este drepte. Atun i mx2 m lim f ( x; mx ) = lim = 2 2 2 x!0 x!0 x + m x 1 + m2 . 2

2

2

3

4

2

y

x 0

Fig. 1

173

Limite de fun tii

Deoare e am obtinut dependenta de drum (de panta dreptei; pentru drepte diferite, u oe ienti unghiulari diferiti, obtinem limite diferite) rezulta a 6 9 (x;ylim f (x; y ). )!(0;0) ^In metoda drumurilor se pot folosi parabole de e uatie y = mx2 sau x = my2, hiperbole de e uatii xy = m, et . 1.5. Limite iterate

Fie fun tia ve toriala de p variabile reale f~ : D  IRp ! IRq si fun tiile sale partiale de nite astfel f~1 : x1 ! f~(x1 ; x2 ; : : : ; xp ), f~2 : x2 ! f~(x1 ; x2 ; : : : ; xp ), ... f~p : xp ! f~(x1 ; x2 ; : : : ; xp ),

are sunt fun tii ve toriale de o singura variabila reala. Sa onsideram urmatoarele limite ale a estor fun tii lim f~ (x ) = xlim f~(x1 ; x2 ; : : : ; xp ); i = 1; p, xi !ai i i i !ai ^n azul ^n are ai este pun t de a umulare al multimii Di = fxi j xi 2 IR; ~x = (x1 ; : : : ; xp) 2 Dg. Limita fun tiei f~i este un element din IRq are depinde de elelalte p 1 variabile reale, diferite de xi . Apoi se poate onsidera limita lim lim f~(x1; x2 ; : : : ; xp); i 6= j . xj !aj xi !ai A easta limita depinde de elelalte p 2 variabile diferite de xi si xj . Da a se onsidera limitele dupa toate variabilele xi ; i = 1; p, ~ lim lim


xiplim !aip f (x1 ; x2 ; : : : ; xp ); fi1 ; i2 ; : : : ; ipg = f1; 2; : : : ; pg; (4:1:14)

xi1 !ai1 xi2 !ai2

se obtine un element din IRq are nu mai depinde de ni i una din variabile. De nitia 4.1.30. Limita (4.1.14) se numeste limita iterata a fun tiei f~. Pentru fun tia f~ de p variabile reale exista p! limite iterate. De exemplu pentru fun tia de doua variabile f~(x; y) limitele iterate sunt ~l12 = lim lim f~(x; y ) si ~l21 = lim lim f (x; y ). x!x y!y y!y x!x 0

0

0

0

174

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

A estea sunt limitele fun tiei f~ ^and x si y tind su

esiv atre x0 , respe tiv y0. Legatura dintre limite si limitele iterate este data de urmatoarea teorema.

Teorema 4.1.12. Da a exista limita fun tiei ^ntr-un pun t si una din limi-

tele iterate ^n a est pun t, atun i a este limite sunt egale.

Pentru a simpli a s rierea, vom demonstra teorema pentru o fun tie de doua variabile f~ : D  IR2 ! IRq , (p = 2). Fie (x0 ; y0) 2 D0 si sa ~ presupunem a 9 ~l = (x;y)!lim(x ;y ) f~(x; y) si ~l12 = xlim !x ylim !y f (x; y ). Vom arata a ~l = ~l12 . ~ ~ ~ Pentru x 2 ProiOxD = D1, notam u F~ (x)= ylim !y f (x; y ), de i l12 = xlim !x F (x). Fie " > 0 arbitrar, momentan xat. Deoare e 9 ~l = (x;y)!lim(x ;y ) f~(x; y) rezulta

a (De nitia 4.1.6) exista o ve inatate U a pun tului (x0; y0) astfel ^n ^at pentru 8 (x; y) 2 (U n f(x0 ; y0)g) \ D sa avem Demonstratie.

0

0

0

0

0

0

0

kf~(x; y) ~lkq < ":

0

(4:1:15)

~ ~ Deoare e pentru e are x 2 D1 exista ylim !y f (x; y ) = F (x), atun i lim kf~(x; y) ~lkq = kF~ (x) ~lkq . y!y Tre ^and la limita ^n inegalitatea (4.1.15) dedu em din relatia de mai sus a pentru 8 x; x 6= x0 u (x; y0) 2 U \ D avem kF~ (x) ~lkq  ". Dedu em astfel, folosind Teorema 3.2.4, a ~ ~ ~ ~ lim kF~ (x) ~lkq = k xlim x!x !x F (x) lkq = kl12 lkq  ": Deoare e " a fost ales arbitrar, rezulta a ~l = ~l12 . Q.E.D. Observatia 4.1.7. a) Da a exista doua limite iterate diferite, atun i fun tia nu are limita ^n pun tul respe tiv. b) Da a exista numai una din ele trei limite ~ ~ lim f~(x; y), xlim !x ylim !y f (x; y ); ylim !y xlim !x f (x; y ) (x;y)!(x ;y ) nu rezulta a si elelalte doua limite exista. Este posibil a numai una sau numai doua din a este limite sa existe. Exemplul 4.1.3. Pentru fun tia f : D  IR2 ! IR, D = IR2 n f(0; 0)g, x2 y 2 f (x; y ) = 2 2 , x y + (x y )2 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

175

Limite de fun tii

exista limitele iterate xlim flim f (x; y)g = ylim f lim f (x; y)g = 0, dar nu exista !0 y!0 !0 x!0 lim f (x; y). (x;y)!(0;0) ^Intr-adevar, avem limflim f (x; y)g = xlim 0 = 0 si ylim f lim f (x; y)g = ylim 0 = 0. x!0 y!0 !0 !0 x!0 !0 Vom arata a 6 9(x;ylim f (x; y ) u ajutorul ara terizarii u siruri (Obser)!(0;0)   vatia 4.1.2). Pentru sirul zn = n1 ; n1 ! (0; 0), f (zn) = f ( n1 ; n1 ) = 1 ! 1 = l1, iar   pentru sirul zen = n1 ; n1 ! (0; 0) avem f (zen) = f ( n1 ; n1 ) = 1 + n2 (11 n)2 ! 0 = l2. Deoare e l1 6= l2 rezulta a 6 9 (x;ylim f (x; y ). )!(0;0) Exemplul 4.1.4. Pentru fun tia f : D  IR2 ! IR, unde 1 1 D = f(x; y ) 2 IR2 ; x 6= 0 si y 6= 0g, f (x; y ) = (x + y ) sin sin x y nu exista limitele iterate xlim flim f (x; y)g si ylim f lim f (x; y)g, dar totusi exista !0 y!0 !0 x!0 lim f (x; y). (x;y)!(0;0) ^Intr-adevar, deoare e lim sin 1 nu exista  pentru yn = 1 , sin 1 = 0 ! 0, y!0 y 2n yn  1 1 iar yn0 =  + 2n , sin y0 = 1 ! 1 rezulta a n 2 ! 1 1 1 1 1 1 6 9 ylim f (x; y ) = ylim (x + y) sin x sin y = ylim x sin sin + y sin sin , !0 !0 !0 x y x y de i 6 9 xlim flim f (x; y)g. ^In mod asemanator se arata a 6 9 ylim f lim f (x; y)g. !0 y!0 !0 x!0 Din inegalitatea 1 1 0  (x + y) sin x sin y  jx + yj; 8 x; y 2 D, prin tre ere la limita pentru x ! 0 si y ! 0, obtinem a (x;ylim f (x; y ) = 0. )!(0;0) 2

2

1.6. Limita ^n dire tia ~! . Limite partiale

Fie fun tia f~ : D  IRp ! IRq , ~x0 = (x10 ; x20 ; : : : ; xp0 ), ~! = (!1; : : : ; !p) 2 2 IRp. De nitia 4.1.31. Fun tia f~ are limita ^n ~x0 ^n dire tia ~! da a fun tia t ! f~(~x0 + t~! ) 2 IRq ; t 2 A = ft  0 j ~x0 + t~! 2 Dg 6= ;

176

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

are limita ^n t = 0 2 A0, adi a exista ~l 2 IRq astfel ^n ^at lim f~(~x0 + t~! ) = lim f~(x10 + t!1 ; x20 + t!2 ; : : : ; xp0 + t!p) = ~l: t! t! t>0

t>0

0

0

(4:1:16)

^In a est az ~l se numeste limita fun tiei f~ ^n dire tia ~!. Pentru ~! = ~ek (k 2 f1; : : : ; pg) limita lim f~(~x0 + t~ek ) = lim f~(x10 ; x20 ; : : : ; xk0 + t; : : : ; xp0 ) t! t! t>0 t>0 este limita ^n pun tul ~x0 a fun tiei f~ ^n dire tia pozitiva a axei Oxk . De nitia 4.1.32. Limita fun tiei t ! f~(~x0 + t~ek ), t 2 B = ft 2 IR j ~x0 + t~ek 2 Dg 6= ; ^n pun tul t = 0 2 B 0 , (atun i ^and exista) se numeste limita partiala ^n pun tul ~x0 a fun tiei f~ ^n raport u variabila xk , (k = 1; n). ^In mod e hivalent putem introdu e limita partiala u de nitia urmatoare. De nitia 4.1.33. Limita fun tiei partiale f~k : xk ! f~(x10 ; x20 ; : : : ; xk 1;0 ; xk ; xk+1;0; : : : ; xp0 ) de nita pe multimea Dk = fxk j xk 2 IR; (x10 ; x20 ; : : : ; xk ; : : : ; xp0) 2 Dg ^n pun tul xk0 2 Dk0 , (atun i ^and exista) se numeste limita partiala ^n pun tul ~x0 a fun tiei f~ ^n raport u variabila xk . Observatia 4.1.8. Nu pentru ori e fun tie f~ se poate de ni limita ^ntr-un pun t dupa o dire tie !~ sau limitele partiale, deoare e multimea A, respe tiv B de mai sus poate ;, sau 0 62 A0, respe tiv 0 62 B 0 , sau nu exista limita (4.1.16), respe tiv limitele din De nitia 4.1.32. Legatura dintre limita fun tiei f~ si limita dupa o dire tie !~ este data de teorema urmatoare. Teorema 4.1.13. Da a exista ~l = ~xlim f~(~x), iar ~! este un ve tor din IRp !~x 0

0

0

pentru are ~x0 este pun t de a umulare pentru multimea

E = D \ f~x0 + t~! ; t  0g 6= ;, atun i exista limita lui f~ ^n ~x0 ^n dire tia ~! si este egala u ~l. Demonstratie. Pentru ori e sir (tn )n , tn ! 0 avem ~xn = ~x0 + tn ~!

de i

! ~x0 ,

177

Limite de fun tii

~ ~ lim f~(~xn) = nlim !1 f (~x0 + tn ~!) = l: Q.E.D. Asemanator se poate formula si demonstra urmatoarea teorema. Teorema 4.1.14. Da a exista ~l = ~xlim f~(~x), unde ~x0 este pun t de a umu!~x lare pentru multimea F = D \f~x0 + t~ek ; t 2 IRg 6= ;, atun i exista limita partiala a fun tiei f~ ^n ~x0 ^n raport u variabila xk si este egala u ~l. Re ipro ele Teoremelor 4.1.13 si 1.1.14 sunt false, dupa um vom vedea din exemplele urmatoare. xy Exemplul 4.1.5. Fun tia f : IR2 n f(0; 0)g ! IR, f (x; y ) = 2 2 are x +y limita ^n pun tul (0; 0) ^n ori e dire tie ~! = ( os ; sin );  2 [0; 2). ^Intr-adevar t2 sin  os  f ( t

os ; t sin  ) = lim f ((0 ; 0) + t ( os ; sin  )) = lim lim = t! t2 os2  + t2 sin2  t! t! t>0 t>0 t>0 = sin  os . ^In Exemplul 4.1.2 am vazut a 6 9 lim f (x; y). (x;y)!(0;0) 1 1 Exemplul 4.1.6. Fun tia f : D  IR2 ! IR, f (x; y ) = (x + y ) sin sin , x y 2 unde D = f(x; y) 2 IR ; x 6= 0 si y 6= 0g, are limita 0 ^n pun tul (0; 0), dupa um am vazut ^n Exemplul 4.1.4. Pentru a easta fun tie nu putem de ni (nu putem vorbi de) limitele partiale ale fun tiei f ^n raport u variabila x sau variabila y, deoare e D \ f(t; 0); t 2 IRg = ;; D \ f(0; t); t 2 IRg = ;. ^Insa pentru fun t8ia g : IR2 ! IR, de nita prin 1 1 > < (x + y ) sin sin ; x 6= 0  si y 6= 0; x y g (x; y ) = > : 0; x = 0 sau y = 0; putem apli a hiar Teorema 4.1.14. Fun tia g are limita ^n pun tul (0; 0), deoare e lim g(x; y) = x;ylim g (x; y ) = x;ylim g (x; y ) = 0, x;y ! ; ! ; ! ; n!1

0

0

0

0

(

)

(0 0)

(x;y)2D

(

)

(0 0)

(

)

(0 0)

(x;y)2D1 (x;y)2D2 unde D1 = f(x; y); y = 0g, iar D2 = f(x; y); x = 0; y 6= 0g, (IR2 = D [ D1 [ D2 ).

Limitele partiale^n raport u variabilele x si y sunt exa t ultimele doua limite de mai sus, adi a xlim g (x; 0) = 0; ylim g (0; y ) = 0. !0 !0

178

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

2. Fun t ii ontinue

2.1. Cadrul general al spatiilor metri e

Fie (X; d1) si (Y; d2) doua spatii metri e si f : D ! Y , unde D  X , iar x0 2 D. De nitia 4.2.1. Fun tia f se numeste ontinua ^n pun tul x0 2 D da a 8 V 2 V (f (x0)) 9 U 2 U (x0 ) astfel ^n ^at 8 x 2 U \D are lo f (x) 2 V: (4:2:1) De nitia 4.2.2. Fun tia f se numeste ontinua ^n pun tul x0 2 D da a are lo una din urmatoarele doua situatii a) x0 este pun t de a umulare pentru D si exista xlim !x f (x) = f (x0 ); b) x0 este pun t izolat pentru multimea D. Propozitia 4.2.1. De nitia 4.2.1 este e hivalenta u De nitia 4.2.2. Demonstratie. Sa presupunem a are lo De nitia 4.2.1. Pun tul x0 2 D este pun t izolat pentru D sau pun t de a umulare pentru D. Da a x0 este pun t izolat atun i are lo b). Da a x0 este pun t de a umulare pentru D, atun i De nitia 4.2.1 a rma a f are limita ^n x0 si xlim !x f (x) = f (x0 ) (vezi De nitia 4.1.1), de i are lo a). Re ipro , e De nitia 4.2.2^ndeplinita si presupunem a x0 este pun t izolat pentru D. Atun i exista o ve inatate U 2 V (x0 ) astfel ^n ^at U \ D = fx0 g. Pentru ori e ve inatate V 2 V (f (x0 )) avem 8 x 2 U \ D ) f (x) = f (x0) 2 V . De i are lo De nitia 4.2.1. Da a x0 este pun t de a umulare pentru D, onform De nitiei 4.1.1 si tin^and seama a f (x0) 2 V , rezulta (4.2.1). Q.E.D. Consider^and sistemele fundamentale de ve inatati { sferele des hise^n spatiul X si ^n spatiul Y obtinem de nitiile urmatoare, e hivalente u ele de mai sus. De nitia 4.2.3. Fun tia f este ontinua ^n pun tul x0 2 D da a 8 SY (f (x0 ); ") 9 SX (x0 ; Æ); Æ = Æ(") astfel ^n ^at (4:2:2) 8 x 2 SX (x0 ; Æ) \ D are lo f (x) 2 SY (f (x0); "): 0

0

Fun tii ontinue

179

Fun tia f este ontinua ^n pun tul x0 2 D da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 x 2 D; d1(x; x0 ) < Æ(") (4:2:3) are lo d2(f (x); f (x0)) < ": Din De nitia 4.2.2 si Teorema 4.1.1 dedu em urmatoarea teorema. Teorema 4.2.1. Fun tia f : D  X ! Y este ontinua ^n x0 2 D da a si

De nitia 4.2.4.

numai da a

8 (xn )n2IN  D u nlim !1 xn = x0 are lo nlim !1 f (xn ) = f (x0 ):

(4:2:4)

Continuitatea si limita unei fun tii ^ntr-un pun t sunt proprietati lo ale, e depind de omportarea fun tiei numai pe o anumita ve inatate a a elui pun t. De nitia 4.2.5. Fun tia f : D  X ! Y este ontinua pe multimea D da a ea este ontinua ^n e are pun t din D. Observatia 4.2.1.

2.2. Continuitatea fun tiilor ve toriale

Fie D o multime din spatiul IRp si f~ : D ! IRq o fun tie ve toriala de p variabile reale. De nitia 4.2.4 din azul general al spatiilor metri e se exprima e hivalent u ajutorul normelor din spatiile IRp si IRq astfel De nitia 4.2.6. (De nitia analiti a a ontinuitatii fun tiei f~ ^n ~x0 ) Fun tia f~ este ontinua ^n ~x0 2 D da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D u k~x ~x0 kp < Æ(") (4:2:5) are lo kf~(~x) f~(~x0 )kq < "; unde k
kp, k
kq sunt norme^n spatiul IRp, respe tiv IRq , (~x0 = (x10 ; x20 ; : : : ; xp0)). jxij si De exemplu, da a onsideram si ai i, a si ^n Se tiunea 1, k~xkp = max i=1;p jyj j atun i (4.2.5) se exprima astfel k~ykq = max j =1;q 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D; ~x = (x1 ; x2; : : : ; xp);

u 0 < jxi xi0j < Æ; 8 i = 1; p are lo jfj (~x) fj (~x0 )j < "; 8 j = 1; q: Din Teorema 4.2.1 si Teorema 3.3.1 rezulta teorema urmatoare.

180

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

Teorema 4.2.2. Fun tia ve toriala f~ : D  IRp ! IRq este ontinua ^n ~x0 2 D ( ontinua pe D) da a si numai da a toate fun tiile omponente f1 ; f2 ; : : : ; fq : D ! IR sunt ontinue ^n ~x0 (respe tiv ontinue pe D). Observatia 4.2.2. Teorema de mai sus redu e studiul ontinuitatii fun tiilor

ve toriale de mai multe variabile reale la a ela al ontinuitatii omponentelor lor reale de mai multe variabile reale. Teorema 4.2.3. a) Da a fun tia f~ : D  IRp ! IRq este ontinua ^n ~x0 2 D (sau pe D) atun i fun tia kf~(
)kq este ontinua ^n ~x0 (respe tiv pe D). b) Da a f~ : D  IRp ! IRq este ontinua ^n ~x0 si f~(~x0 ) 6= ~0 atun i exista o ve inatate U a lui x0 astfel ^n ^at fun tia este diferita de ~0 pe U \ D.

) Da a fun tia f : D  IRp ! IR este ontinua ^n ~x0 si f (~x0 ) 6= ~0 atun i exista o ve inatate U a lui ~x0 astfel ^n ^at fun tia are a elasi semn u f (~x0 ) pe U \ D. d) Da a fun tia f~ : D  IRp ! IRq este ontinua ^n ~x0 atun i exista o ve inatate U a lui ~x0 astfel ^n ^at fun tia f~ este marginita pe U \ D. e) Da a pentru fun tia f~ : D n f~x0 g  IRp ! IRq , ontinua, exista ~xlim f~(~x) !~x atun i f~ se poate prelungi prin ontinuitate ^n pun tul ~x0 , pun^and f~(~x0 ) = = ~xlim f~(~x). !~x Demonstratie. a) Deoare e fun tia f~ este ontinua ^n ~x0 2 D avem relatia (4.2.5). Din inegalitatea jkf~(~x)k kf~(~x0 )kj  kf~(~x) f~(~x0 )k, dedu em a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D u k~x ~x0 k < Æ(") are lo jkf~(~x)k kf~(~x0 )kj < ". De i fun tia kf~(
)k este ontinua ^n ~x0 . Asemanator se arata a da a f~ este ontinua pe D atun i kf~(
)k este ontinua pe D. Proprietatile b){ ) rezulta din Teorema 4.1.11, f){g). d) Luam ^n (4.2.5) " = 1. Atun i 9 Æ0 > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D, k~x ~x0 kp < Æ0 are lo kf~(~x) f~(~x0 )kq < 1, 0

0

181

Fun tii ontinue

de unde rezulta kf~(~x)kq  kf~(~x) f~(~x0 )kq + kf~(~x0)kq < 1 + kf~(~x0 )kq . De i exista U = Sp(~x0 ; Æ0) astfel ^n ^at kf~(~x)kq  M; 8 ~x 2 U , unde M = 1 + kf~(~x0 )kq . e) De nim fun tia8~g : D  IRp ! IRq , prin > < f~(~x); ~x 2 D n f~x0 g; ~g(~x) = > x); ~x = ~x0 : : lim f~(~ ~x!~x Evident ~g este ontinua pe D. Q.E.D. ~ ~g : D  IRp ! IRq ontinue ^n ~x0 Teorema 4.2.4. a) Fie fun tiile f; ( ontinue pe multimea D). Atun i pentru 8 ;  2 IR, fun tia f~ + ~g este

ontinua ^n ~x0 (respe tiv pe multimea D). b) Fie fun tiile f;~ ~g : D  IRp ! IRq ontinue ^n ~x0 ( ontinue pe multimea ~ g >: D  IRp ! IR, < f;~ ~ g > (~x) =< f~(~x);~g(~x) > este D). Atun i fun tia < f;~

ontinua ^n ~x0 (respe tiv pe D).

) Fie '~ : D  IRp ! IRq si f~ : E  IRq ! IRr . Da a fun tia '~ este

ontinua ^n ~x0 , iar fun tia f~ este ontinua ^n pun tul ~y0 = ' ~ (~x0 ), atun i fun tia p r ~g : D  IR ! IR , ~g = f~ Æ '~ , ~g (~x) = f~('~ (~x)), ~x 2 D este ontinua ^n ~x0 . d) Da a fun tiile f1; f2 : E  IRp ! IR sunt ontinue ^n ~x0 (sau pe multimea D), iar operatiile impli ate au sens, atun i fun tiile f1
f2 , f1 =f2 , (f2 6= 0), f1f sunt ontinue ^n ~x0 (respe tiv pe multimea D). Demonstratie. Folosim teorema de ara terizare u siruri (Teorema 4.2.1). ~ ~ a) Fie (~xn)n  D, nlim !1 ~xn = ~x0 , iar ;  2 IR. Atun i nlim !1 f (~xn ) = f (~x0 ), lim ~g(~xn) = ~g(~x0 ). Din proprietatile sirurilor din spatiul IRk rezulta a n!1 lim (f~(~xn ) + ~g(~xn)) = f~(~x0) + ~g(~x0). n!1 De i f~ + ~g este ontinua ^n ~x0 . Asemanator rezulta proprietatea si pentru multimea D. ~ ~ b) Din proprietatea nlim !1 < f (~xn );~g(~xn ) >=< f (~x0 );~g(~x0 ) > (Teorema 3.2.8) dedu em pun tul b).

) Pentru (~xn)n  D, nlim ~ (~xn ) ! '~ (~x0 ) = ~y0 , iar !1 ~xn = ~x0 avem ~yn = ' f~(~yn ) ! f~(~y0). Rezulta a 0

2

182

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

~g (~xn ) = f~('~ (~xn )) ! f~('~ (~x0 )) = ~g (~x0 ); pentru n ! 1. Dedu em a ~g este ontinua ^n ~x0. Asemanator rezulta proprietatea multimea D.

pentru

Pun tul d) se demonstreaza ^n mod asemanator, folosind teorema de ara terizare u siruri. Q.E.D. 2.3. Continuitatea partiala

Fie fun tia f~ : D  IRp ! IRq si ~x0 = (x10 ; x20 ; : : : ; xp0) 2 D. Sa onsideram fun tia partiala, de o singura variabila reala f~i : xi ! f~(x10 ; x20 ; : : : ; xi 1;0 ; xi ; xi+1;0 ; : : : ; xp0 ), de nita pe multimea Di = fxi j xi 2 IR; (x10 ; x20 ; : : : ; xi ; : : : ; xp0 ) 2 Dg 6= ;. De nitia 4.2.7. Da a fun tia partiala f~i este ontinua ^n pun tul xi0 2 Di , spunem a fun tia f~ este ontinua (partial) ^n raport u variabila xi ^n pun tul ~x0 . Conform De nitiei 4.2.6 (pentru p = 1) fun tia f~(x1; x2 ; : : : ; xn) este ontinua partial ^n raport u variabila xi ^n pun tul ~x0 2 D da a 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 xi 2 Di; jxi xi0 j < Æ(") are lo kf~i(xi) f~i(xi0 )kq < " , kf~(x10 ; x20 ; : : : ; xi; : : : ; xp0) f~(x10 ; x20 ; : : : ; xi0 ; : : : ; xp0 )kq < ":

(4:2:6)

Observatia 4.2.3. Fun tia f~ este ontinua partial ^n raport u variabila xi ^n pun tul ~x0 2 D (f~i ontinua ^n xi0 2 Di ) da a este ^ndeplinita una dintre

onditiile a) xi0 este pun t izolat pentru Di; b) xi0 este pun t de a umulare pentru Di, fun tia f~ are limita partiala ^n ~x0 ^n raport u xi si a easta este egala u f~(~x0 ). Da a fun tia f~ este ontinua ^n pun tul ~x0 , vom mai spune a f~ este ontinua ^n a est pun t ^n raport u ansamblul variabilelor, pentru a fa e distin tie ^ntre a easta ontinuitate si ontinuitatea partiala ^n raport u ^ate o variabila.

183

Fun tii ontinue

Teorema 4.2.5. Da a fun tia f~ : D  IRp ! IRq este ontinua ^ntr-un pun t ~x0 2 D (^n raport u ansamblul variabilelor) atun i ea este ontinua ^n

a est pun t ^n raport u e are variabila.

Demonstratie. Deoare e f~ este ontinua ^n ~x0 2 D avem relatia (4.2.5). p X Consider^and k~xkp = jxi j dedu em din (4.2.5) a i=1 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 D u jxi xi0j < Æ("); i = 1; p; are lo kf~(~x) f~(~x0 )kq < ". ^In parti ular, da a jx1 x10 j < Æ(") si x2 = x20 ; : : : ; xp = xp0 rezulta kf~(x1 ; x20 ; : : : ; xp0) f~(x10 ; x20 ; : : : ; xp0)kq < ", adi a are lo (4.2.6). De i f~ este ontinua ^n raport u variabila x1 ^n pun tul ~x0 . ^In mod asemanator se arata a f~ este ontinua si ^n raport u elelalte vari-

abile. Q.E.D.

Observatia 4.2.4.

fun tia

Re ipro a Teoremei 4.2.5 este falsa. Sa onsideram 8 >
x2 + y 2

2.4. Continuitatea laterala a unei fun tii ve toriale de o variabila reala

Fie f~ : D  IR ! IRq ; iar x0 2 D. De nitia 4.2.8. Spunem a fun tia f~ este ontinua la dreapta (st^anga) ^n x0 2 D da a x0 este pun t izolat la dreapta (respe tiv st^anga) pentru D sau da a x0 este pun t de a umulare la dreapta (st^anga), exista limita la dreapta (st^anga)

184

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

^n a el pun t si este egala u valoarea fun tiei ^n x0 . Teorema 4.2.6. Fun tia f~ : D  IR ! IRq este ontinua ^n x0 da a si numai da a ea este ontinua la st^anga si la dreapta ^n a el pun t. Avem de nitii e hivalente pentru De nitia 4.2.8, date u ajutorul ve inatatilor sau u "; Æ("). Teorema de ara terizare u siruri este Teorema 4.2.7. Fun tia f~ : D  IR ! IRq este ontinua la dreapta (st^anga) ^n x0 2 D da a 8 (xn )n  D, xn  x0 (xn  x0 ) u nlim !1 xn = x0 are lo lim f~(xn) = f~(x0 ): n!1 De nitia 4.2.9. Da a ^ntr-un pun t x0 2 D, f~ : D  IR ! IRq nu este

ontinua, vom spune a x0 este pun t de dis ontinuitate. De nitia 4.2.10. Un pun t x0 2 D de dis ontinuitate se numeste pun t de q ~ dis ontinuitate de spe ia I-a da a exista limita la st^anga ^n x0 , xlim !x f (x) 2 IR xx De nitia 4.2.11. Un pun t de dis ontinuitate are nu este pun t de dis ontinuitate de spe ia I-a se numeste pun t de dis ontinuitate de spe ia a II-a. Exemplul 4.2.1. Pentru fun tia 8 > 1; x > 0; > > < f : IR ! IR; f (x) = sgn(x) = > 0; x = 0; > > : 1; x < 0; pun tul x = 0 este pun t de dis ontinuitate de spe ia I-a, deoare e f (x) = 1. f (x) = 1 si 9 lim 9 lim x! x! 0 0

0 0

x0 0

8
0 x 0 astfel ^n ^at 8 ~x0 ; ~x00 2 A; k~x0 ~x00 kp < Æ(") (4:2:7) are lo kf~(~x0 ) f~(~x00 )kq < "; (unde k
kp; k
kq sunt norme ^n spatiul IRp, respe tiv IRq ). Observatia 4.2.5. Notiunea de uniforma ontinuitate este o notiune globala, de nita pe ^ntreaga multime A. Teorema 4.2.8. O fun tie f~ uniform ontinua pe o multime este ^n mod

ne esar ontinua pe a ea multime, de i ontinua ^n e are pun t al multimii.

Demonstratie. Fie ~x0 2 A arbitrar, momentan xat. ^In (4.2.7) luam ~x00 = ~x0 . Atun i obtinem 8 " > 0 9 Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8 ~x 2 A u k~x ~x0 kp < Æ(") are lo kf~(~x) f~(~x0 )kq < ". Am obtinut (4.2.5), de i f~ este ontinua ^n ~x0 . Deoare e ~x0 era arbitrar, rezulta

a f~ este ontinua pe A. Q.E.D. Observatia 4.2.6. Re ipro a Teoremei 4.2.8 este falsa, dupa um se vede din exemplul urmator. Fie fun tia f : IR ! IR, f (x) = x2 , ontinua pe IR.

186

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

A easta fun tie nu este uniform ontinua pe IR. Vom demonstra a est lu ru arat^and a 9 "0 > 0 astfel ^n ^at 8 Æ > 0 9 xÆ ; yÆ 2 IR astfel ^n ^at jxÆ yÆ j < Æ si jf (xÆ ) f (yÆ )j  "0. ^Intr-adevar pentru "0 = 1 si Æ > 0 arbitrar, momentan xat, determinam elementele8 xÆ si yÆ (xÆ > yÆ ) din ondit iile 8 < jx < xÆ yÆ = Æ=2 Æ yÆ j = Æ=2 ) 2 : jx2 : x + y = 2=Æ; Æ Æ Æ yÆ j = 1 2 2 de unde rezulta xÆ = Æ 4+Æ 4 ; yÆ = 4 4ÆÆ . Teorema 4.2.9. O fun tie ve toriala f~ : D  IRp ! IRq este uniform

ontinua pe A  D da a si numai da a toate omponentele sale f1 ; f2 ; : : : ; fq : D ! IR sunt uniform ontinue pe A. Demonstratie. Consider^and ^n De nitia 4.2.12 (^n (4.2.7)) normele eu lidiene k
kp si k
kq , teorema rezulta din inegalitqatile X jfj (~x0) fj (~x00)j  kf~(~x0 ) f~(~x00 )k  jfj (~x0 ) fj (~x00 )j. j =1 0 00 ^Intr-adevar, inegalitatea kf~(~x ) f~(~x )k < " impli a jfj (~x0 ) fj (~x00 )j < ", pentru e are j = 1; q, iar inegalitatile jfj (~x0 ) fj (~x00 )j < q" , pentru j = 1; q, impli a kf~(~x0 ) f~(~x00)k < ". Q.E.D. Teorema de mai sus redu e studiul fun tiilor ve toriale de mai multe variabile reale uniform ontinue la studiul ontinuitatii uniforme a omponentelor lor reale. Teorema 4.2.10. Da a fun tia f~ este uniform ontinua (^n raport u ansamblul variabilelor) pe A  D, atun i ea este uniform ontinua ^n raport u e are variabila. Demonstratie. Sa presupunem a f~ este uniform ontinua pe A, de i 8 " > 0 9 Æ(") > 0 8 ~x0 ; ~x00 2 A; k~x0 ~x00 k < Æ(") are lo kf~(~x0) f~(~x00 )k < ", (~x0 = (x01 ; x02 ; : : : ; x0p), ~x00 = (x001 ; x002 ; : : : ; x00p )). Da a luam x02 = x002 = a2 ; : : : ; x0p = x00p = ap atun i jx01 x001 j = k(x01 ; a2; : : : ; ap) (x001 ; a2 ; : : : ; ap)k. De i da a jx01 x001 j < ", atun i kf~(x01; a2 ; : : : ; ap) f~(x001 ; a2; : : : ; ap)k < ". De-

187

Fun tii ontinue

du em a f~ este uniform ontinua ^n raport u variabila x1 , atun i ^and se dau

elorlalte variabile valorile ( xate) a2; a3; : : : ; ap. ^In mod asemanator se arata a f~ este uniform ontinua si ^n raport u elelalte variabile. Q.E.D. Observatia 4.2.7. Da a f este uniform ontinua ^n raport u e are variabila, nu rezulta a ea este uniform ontinu a. De exemplu fun tia 8 xy > < ; (x; y ) 6= (0; 0); f : D  IR2 ! IR; f (x; y ) = > x2 + y 2 : 0; (x; y) = (0; 0); 2 unde D = f(x; y) 2 IR ; 1  x  1; 1  y  1g nu este ontinua ^n origine, de i nu este uniform ontinua. Pentru y 2 [ 1; 1℄, fun tia partiala x ! f (x; y) de nita pe intervalul ompa t [ 1; 1℄ este ontinua, de i uniform ontinua (vezi Teorema 4.2.12 de mai jos). De asemenea pentru 8 x 2 [ 1; 1℄, fun tia partiala y ! f (x; y) de nita pe [ 1; 1℄ este ontinua, de i uniform ontinua. De nitia 4.2.13. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq se numeste holderiana de ordin  2 (0; 1℄ da a 9 K > 0 astfel ^n ^at kf~(~x0) f~(~x00)kq  K k~x0 ~x00kp ; 8 ~x0 ; ~x00 2 D:

(4:2:8)

De nitia 4.2.14. Fun tia f~ : D  IRp ! IRq se numeste lips hitziana da a 9 L > 0 astfel ^n ^at kf~(~x0) f~(~x00 )kq  Lk~x0 ~x00 kp; 8 ~x0 ; ~x00 2 D, (este o fun tie holderiana de ordin  = 1). Teorema 4.2.11. Ori e fun tie holderiana f~ : D  IRp ! IRq este uniform

ontinua pe D. Demonstratie. Fie " > 0 arbitrar, momentan xat. Atun i exista Æ (") =  1= = K" > 0 astfel ^n ^at 8 ~x0 ; ~x00 2 D u k~x0 ~x00 kp < Æ(") arelo     (4:2:8) kf~(~x0 ) f~(~x00 )kq  K k~x0 ~x00 kp < K K" 1= = K K" = ":

De i f~ este uniform ontinua pe D. Q.E.D.

188

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

p

Exemplul 4.2.4. Fun tia f : [0; 1) ! IR, f (x) = x este holderiana pe [0; 1) u  = 1=2, de i este uniform ontinua pe [0; 1). Ea veri a inegalitatea jf (x) f (y)j  jx yj1=2 , jpx pyj  jx yj1=2; 8 x; y 2 [0; 1).

^Intr-adevar avem px = q(x y) + y  qjx yj + y  qjx yj + py ) px py  q  jx yjq= jx yj1=2 si q py = (y x) + x  jy xj + x  qjy xj + px ) py px  q  jy xj = jx yj1=2: De i jpx pyj  jx yj1=2; 8 x; y 2 [0; 1). Observatia 4.2.8. De nitia 4.2.12 se poate reformula si ^n azul general al spatiilor metri e. O apli atie f : D  (X; d1) ! (Y; d2) este uniform ontinua pe A  D da a 8" > 0 9Æ(") > 0 astfel ^n ^at 8x0 ; x00 2 A u d1(x0 ; x00) < Æ(") are lo d2 (f (x0 ); f (x00 )) < ". Teorema 4.2.8 ram^ane adevarata ^n spatii metri e. Folosind De nitia 4.2.12 rezulta urmatoarea propozitie. ~ ~g : D  IRp ! IRq uniform ontinue pe D. Atun i Propozitia 4.2.2. Fie f; pentru 8 ; 2 IR, fun tia f~ + ~g este uniform ontinua pe D. Observatia 4.2.9. Da a fun tiile reale f; g : D  IRp ! IR sunt uniform

ontinue pe D, nu rezulta neaparat a f
g este uniform ontinua. De exemplu fun tiile f; g : IR ! IR, f (x) = x, g(x) = x sunt uniform ontinue pe IR (se veri a (4.2.7)), dar f
g = x2 nu este uniform ontinua pe IR (vezi Observatia 4.2.6). Da a presupunem despre una din fun tiile f; g a este marginita, atun i uniforma ontinuitate se onserva si la produs. 2.6. Proprietati ale fun tiilor ontinue pe multimi Teorema 4.2.12. O fun tie ontinua f~ : D  IRp ! IRq transforma o multime ompa ta K  D ^ntr-o multime f~(K ) ompa ta. Demonstratie. Fie (~yn )n2IN un sir de pun te din f~(K ). De i 8 n 2 IN 9 ~xn 2 K astfel ^n ^at ~yn = f~(~xn). Deoare e multimea K este ompa ta, sirul

Fun tii ontinue

189

(~xn)n ontine un subsir onvergent (~xnk )k2IN u klim ~x = ~x0 2 K . Din onti!1 nk nuitatea lui f~ (Teorema 4.2.1) rezulta a klim f~(xnk ) = f~(~x0 ). De i sirul (~yn)n !1

ontine subsirul (~ynk )k , ~ynk = f~(~xnk ), onvergent la f~(~x0 ) 2 f~(K ). Dedu em astfel a multimea f~(K ) este ompa ta. Q.E.D. Pentru q = 1 obtinem teorema lui Weierstrass. Mai pre is avem Teorema 4.2.13. (Weierstrass) Fun tia reala ontinua f : K  IRp ! IR, unde K este o multime ompa ta, este marginita si ^si atinge efe tiv marginile.

Conform Teoremei 4.2.12, multimea f (K ) este ompa ta, de i marginita si ^n hisa. Fie M = ~xsup f (~x) 2 IR, m = ~xinf f (~x) 2 IR. Deoare e 2K 2K f (K ) este ^n hisa, rezulta a m; M 2 f (K ), de i 9 ~xM ; ~xm 2 K astfel ^n ^at f (~xM ) = M; f (~xm ) = m. Q.E.D. Teorema 4.2.14. (Cantor) O fun tie f~ : D  IRp ! IRq ontinua pe multimea ompa ta K  D este uniform ontinua pe K . Demonstratie. Presupunem prin redu ere la absurd a f~ nu este uniform

ontinua pe multimea ompa ta K , adi a 9"0 > 0 astfel ^n ^at 8Æ > 0 9~x0Æ ; ~x00Æ 2 K; k~x0Æ ~x00Æ k < Æ si kf~(~x0Æ ) f~(~x00Æ )k  "0; (lu ram u normele eu lidiene din IRp si IRq ). Pentru Æ = n1 , 9 ~x0n ; ~x00n 2 K u k~x0n ~x00n k < n1 si kf~(~x0n ) f~(~x00n)k  "0. Deoare e K este ompa ta, sirul (~x0n)n2IN ontine un subsir (~x0nk )k2IN onvergent la un element ~x0 2 K . Din inegalitatea k~x0nk ~x00nk k < n1k ; 8 k 2 IN , dedu em

a sirul (~x00nk )k este onvergent si el la ~x0 2 K . Atun i fun tia f~ ind ontinua, obtinem lim f~(~x0nk ) = f~(~x0 ); klim f~(~x00nk ) = f~(~x0 ). k!1 !1 Dar din ipoteza noastra avem a kf~(~x0nk ) f~(~x00nk )k  "0. Tre ^and la limita obtinem 0 = kf~(~x0) f~(~x0 )k  "0 , eea e este absurd. De i presupunerea fa uta este falsa. Rezulta a f~ este uniform ontinua pe multimea ompa ta K . Q.E.D. De nitia 4.2.15. O multime A  IRk se numeste onexa (prin ar e) da a 8 ~x1 ; ~x2 2 A exista un interval [t1 ; t2℄  IR si o fun tie '~ : [t1 ; t2℄ ! IRk u urmatoarele proprietati a) '~ este ontinua pe [t1 ; t2℄; Demonstratie.

190

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

b) '~ (t1 ) = ~x1 ; '~ (t2 ) = ~x2 ;

) '~ (t) 2 A; 8 t 2 [t1; t2 ℄. De i multimea valorilor fun tiei '~ al atuieste un drum ontinuu^ntre pun tele ~x1 si ~x2 . Geometri , o multime este onexa, da a 8 ~x1 ; ~x2 2 A, ele pot unite printr-un drum ontinuu ontinut ^n A (vezi Fig.2). De nitia 4.2.15 poate extinsa si la o multime A dintr-un spatiu metri (X; d). Conexiunea prin ar e (De nitia 4.2.15) impli a onexiunea de nita ^n Capitolul 3 (De nitia 3.1.36). Re ipro a nu este adevarata ^n spatii metri e, dar ^n spatiul IRk ele doua tipuri de onexiuni oin id. x1 A

x2 t1

t2

Fig. 2

Teorema 4.2.15. Imaginea printr-o fun tie ontinua f~ : D  IRp ! IRq a unei multimi onexe E  D este o multime onexa. Demonstratie. Fie ~y1 ; ~y2 2 f~(E ). Atun i 9 ~x1 ; ~x2 2 E u f~(~x1 ) = ~y1 , f~(~x2 ) = ~y2 . Deoare e E este onexa, onform De nitiei 4.2.15 rezulta a 9 [t1 ; t2 ℄ si '~ : [t1 ; t2℄ ! IRp u proprietatile a){ ). Sa onsideram fun tia f~ Æ '~ : [t1; t2 ℄ ! IRq . A easta fun tie are proprietatile

din De nitia 4.2.15, adi a a') f~ Æ '~ este ontinua, ind ompunerea a doua fun tii ontinue; b') (f~ Æ '~ )(t1 ) = f~('~ (t1)) = f~(~x1 ) = ~y1; (f~ Æ '~ )(t2 ) = f~('~ (t2 )) = f~(~x2) = ~y2;

') (f~ Æ '~ )(t) = f~('~ (t)) 2 f~(E ); 8 t 2 [t1; t2 ℄. Dedu em astfel a f~(E ) este onexa. Q.E.D.

Fun tii ontinue

191

Teoremele 4.2.12, 4.2.14 si 4.2.15 ram^an adevarate si pentru fun tii de nite ^n spatii metri e, f : D  (X; d1) ! (Y; d2). Observatia 4.2.10.

2.7. Fun tii reale de o variabila reala

Vom fa e ^n ontinuare ^ateva pre izari asupra fun tiilor reale de nite pe un interval I  IR si asupra fun tiilor reale monotone de nite pe o multime D  IR. Teorema 4.2.16. (Teorema de interse tie a lui Cau hy) Fie fun tia ontinua f : I ! IR, unde I este un interval din IR, iar a; b 2 I u a < b. Da a f (a)
f (b) < 0 atun i exista un element 2 (a; b) astfel ^n ^at f ( ) = 0. Demonstratie. Conform proprietatii ) din Teorema 4.2.3 (f este ontinua ^n pun tul a), rezulta a exista un Æ > 0 astfel ^n ^at f sa aiba a elasi semn u f (a) pe o^ntreaga ve inatate la dreapta lui a, [a; a + Æ ). Sa presupunem f (a) < 0, iar f (b) > 0. Atun i f (x) < 0; 8 x 2 [a; a + Æ). Notam u A multimea pun telor u 2 I pentru are f (x) < 0; 8 x 2 [a; u); de i A = fu 2 I j f (x) < 0; 8 x 2 [a; u)g. A easta multime A este nevida, deoare e a + Æ 2 A, iar ori e element al multimii A este mai mi de ^at b. Rezulta a exista marginea superioara a lui A; e = sup A. Din Teorema 1.2.2 dedu em a 8 " > 0 9 u" 2 A astfel ^n ^at u" > ". Cum u" 2 A rezulta a f (x) < 0; 8 x 2 [a; u"). Deoare e " 2 [a; u"), obtinem f ( ") < 0. Din ontinuitatea lui f ^n pun tul , dedu em a lim f ( ") = lim f (x) = f ( )  0. x! "!0 x< De i f ( )  0, (vezi Fig.3). Presupunem ^n ontinuare a f ( ) < 0. Din proprietatea ) a Teoremei 4.2.3 rezulta a exista o ve inatate V a pun tului pe are f are a elasi semn u f ( ), adi a f ( ) < 0; 8 x 2 V = [ Æ1 ; + Æ1 ℄. Cum pe intervalul [a; Æ1) am aratat a f (x) < 0, dedu em a f (x) < 0; 8 x 2 [a; + Æ1℄. De i + Æ1 2 A, dar + Æ1 > = sup A, eea e ontrazi e de nitia lui . Rezulta

a presupunerea fa uta este falsa. Atun i ^n mod ne esar f ( ) = 0; 2 (a; b). Q.E.D. De nitia 4.2.16. Spunem a fun tia f : I  IR ! IR are proprietatea lui

192

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor y

0

a

a+d

)

ue

A +

c-e

c

x

b

Fig. 3

Darboux (sau este ontinua ^n sens Darboux) da a 8 a; b 2 I , a < b si 8  2

2 [f (a); f (b)℄ sau  2 [f (b); f (a)℄, exista un element 2 [a; b℄ astfel ^n ^at f ( )= . Teorema 4.2.17. O fun tie f : I ! IR u proprietatea lui Darboux, are

proprietatea a f (I ) este un interval.

Din De nitia 4.2.16 rezulta a f (I ) are proprietatea a o data u doua pun te ontine si toate pun tele intermediare, eea e arata a f (I ) este interval. Q.E.D. Observatia 4.2.11. Re ipro a teoremei de mai sus nu este adevarata, dupa

um arata urmatorul exemplu. Sa onsider am fun tia 8 < x; x 2 Q \ [0; 1℄; f : [0; 1℄ ! IR; f (x) = : 3 x ; x 2 (IR n Q) \ [0; 1℄: A easta fun tie are proprietatea a f ([0; 1℄) este un interval, dar f nu are proprietatea lui Darboux. Avem in luziunea evidenta f ([0; 1℄)  [0; 1℄. Vom arata a avem hiar egalitate de multimi, adi a f ([0; 1℄) = [0; 1℄. ^Intr-adevar, pentru 8  2 [0; 1℄, exista x0 2 [0; 1℄ astfel ^n ^at f (x0 ) = . Da a  2 Q atun i p putem lua x0 =  si avem f (px0) = f () = , iar da a  62 Q luam x0 =  62 Q pentru are f (x0 ) = f ( ) = . ^Insa fun tia f nu are proprietatea lui Darboux. Sa onsideram a = 12 si          b = p13 . Atun i pentru 8  2 f p13 ; f 21 = 31 ; 12 nu exista x0 2 21 ; p13 astfel ^n ^ at f (x0 ) = . ^Intr-adevar pentru  2 31; 21 avem   8 x0 2  21 ; p13  \ Q; f (x0 ) = x0 ; iar 21 ; p13 \ 13 ; 21 = ;; de i f (x0) 6=  si 8 x0 2 21 ; p13 \ (IR n Q); f (x0) = x30 ; iar 81 ; 31 \ 13 ; 21 = ;; de i f (x0 ) 6= . Teorema 4.2.18. (Cau hy) O fun tie ontinua f : I  IR ! IR are propriDemonstratie.

3

3

3

3

3 3

3

3

Fun tii ontinue

193

etatea lui Darboux.

Demonstratie. Da a f (a) = f (b) atun i pentru  = f (a), pun tul este a sau b. Da a f (a) 6= f (b), iar  = f (a) atun i luam = a, iar da a  = f (b) luam = b. Sa presupunem f (a) 6= f (b), mai pre is f (a) < f (b) (asemanator se arata teorema da a f (a) > f (b)) si e  2 (f (a); f (b)). Introdu em fun tia ajutatoare ' : I ! IR, '(x) =  f (x); 8 x 2 I . Atun i '(a) =  f (a) > 0, iar '(b) =  f (b) < 0. Apli ^and fun tiei ontinue ' Teorema 4.2.16, dedu em

a 9 2 (a; b) astfel ^n ^at '( ) = 0 , f ( ) = . Q.E.D. Observatia 4.2.12. Nu ori e fun tie f : I ! IR u proprietatea lui Darboux

este ontinua. De exemplu sa onsider ia 8 am fun t  > < sin ; x 2 (0; 1℄; x f : [0; 1℄ ! IR; f (x) = > : 1; x = 0: A easta fun tie nu are limita ^n x = 0, de i nu este ontinua ^n pun tul x = 0. Totusi fun tia are proprietatea lui Darboux. ^Intr-adevar, e doua pun te a; b 2 2 [0; 1℄ u a < b. Da a a 6= 0 rezulta a f are proprietatea lui Darboux pe [a; b℄, ind ontinua ( ompunere de fun tii elementare). Da  a a = 0, iar b 2 (0; 1℄ avem  2 ; 2 , f ia toate f (0) = 1, f (b) = sin b . Atun i pe intervalul Ik = 4k + 3 4k + 1 valorile din intervalul [ 1; 1℄. Pentru b > 0 intervalul [0; b℄ ontine o in nitate de asemenea intervale Ik ,  2 ; 2   [0; b℄. 4k + 3 4k + 1 De i f ia de o in nitate de ori valorile uprinse ^ntre sin 6 si 1. Conse inta 4.2.1. Da a f : I ! IR este o fun tie ontinua pe intervalul I , atun i f (I ) este un interval. Teorema 4.2.19. Singurele multimi onexe ale lui IR sunt intervalele. Demonstratie. Fie A  IR o multime onexa. Sa aratam a ea este un interval. Notam u m = inf A 2 IR si M = sup A 2 IR. Vom demonstra a multimea A, u ex eptia eventual a apetelor m si M , oin ide u intervalul determinat de m si M . Evident A  [m; M ℄. Avem m 2 A sau m 62 A; vom arata a (m; M )  A. Fie x un pun t arbitrar, m < x < M . Din teoremele de ara terizare ale lui m si

194

Limite de fun tii. Continuitatea fun tiilor

rezulta a 9 a1 2 A si a2 2 A astfel ^n ^at m < a1 < x < a2 < M . Deoare e A este onexa, rezulta a pentru a1 ; a2 exista un interval [t1 ; t2℄ si o fun tie ' : [t1 ; t2℄ ! IR u proprietatile a) ' este ontinua pe t1 ; t2℄; b) '(t1 ) = a1, '(t2 ) = a2;

) '(t) 2 A; 8 t 2 [t1; t2 ℄. De i '(t1 ) = a1 < x < a2 = '(t2 ). Deoare e x este o valoare intermediara pentru ', onform Teoremei 4.2.18 exista t 2 [t1 ; t2℄ astfel ^n ^at '(t) = x. Conform pun tului ) de mai sus dedu em

a '(t) = x 2 A. Elementul x ind arbitrar, rezulta a (m; M )  A. De i (m; M )  A  [m; M ℄, de unde dedu em a A este un interval. Re ipro , sa aratam a intervalele sunt multimi onexe. Fie I un interval, iar x1 ; x2 2 I , u x1 < x2 . Luam ^n De nitia 4.2.15 drept interval [t1 ; t2 ℄, intervalul [x1 ; x2 ℄, iar fun tia ' fun tia identi a. De i exista fun tia ' : [x1 ; x2 ℄ ! [x1 ; x2 ℄ (' = id) u proprietatile a') ' este ontinua; b') '(t1 ) = x1 ; '(t2 ) = x2 ;

') '(t) = t 2 I; 8 t 2 [t1 ; t2℄. Dedu em astfel a intervalul I este o multime onexa. Q.E.D. Teorema 4.2.20. O fun tie de nita pe un interval, f : I ! IR u proprietatea lui Darboux, nu poate avea dis ontinuitati de spe ia ^nt^aia. Demonstratie. Fie x0 2 I un pun t de dis ontinuitate pentru f . Presupunem prin redu ere la absurd a x0 este de spe ia I-a, de i 9 xlim !x f (x) = ld 2 IR, !x f (x) = ls 2 IR si 9 xlim x>x x ; 8 x 2 (x0 ; x0 + Æ ): (4:2:10) ^In parti ular f (x0 + 2Æ ) > . Din a easta ultima inegalitate si (4.2.9) dedu em a f (x0 ) <  < f (x0 + 2Æ ); de i  este valoare intermediara pentru f pe (x0 ; x0 + Æ2 ). Conform proprietatii lui Darboux exista un pun t 2 (x0 ; x0 + 2Æ ) astfel ^n ^at f ( ) = . Dar  < , iar (4.2.10) pentru x = ne da  > . Contradi tia la are am ajuns ne ondu e la on luzia a presupunerea fa uta este falsa. De i fun tia f nu poate avea pun te de dis ontinuitate de spe ia I-a. Q.E.D. Observatia 4.2.13. Un pun t de dis ontinuitate pentru o fun tie f : I ! IR

u proprietatea lui Darboux este ^n mod ne esar de spe ia a doua. De nitia 4.2.17. Fun tia f : D ! IR, D  IR se numeste res atoare (stri t res atoare) pe D, da a pentru ori e doua pun te x1 ; x2 2 D, u x1 < x2 rezulta f (x1)  f (x2 ) (respe tiv f (x1) < f (x2 )). Fun tia f : D ! IR, D  IR se numeste des res atoare (stri t des res atoare) pe D, da a pentru ori e doua pun te x1 ; x2 2 D, u x1 < x2 rezulta f (x1 )  f (x2 ) (respe tiv f (x1 ) > f (x2)). O fun tie are veri a una dintre onditiile de mai sus se numeste fun tie monotona. Teorema 4.2.21. Fie fun tia monotona f : D ! IR. Da a x0 este pun t de a umulare la dreapta (st^anga) pentru D atun i exista xlim !x f (x) (respe tiv x>x lim f (x)) nita sau nu. x!x x x0 g, A. Vom arata a m = xlim !x f (x).

iar m = inf x>x Da a m 2 IR atun i din teorema de ara terizare avem a) m  f (x); 8 x 2 D; x > x0 ; b) 8 " > 0 9 x" 2 D, x" > x0 astfel ^n ^at f (x") < m + ". Fie " > 0 arbitrar, momentan xat. Intervalul [x0 ; x"), unde x" este elementul din relatia b) de mai sus, reprezinta o ve inatate pentru pun tul x0 . Pentru x 2 (x0 ; x" ) \ D, din monotonia lui f dedu em m " < m  f (x)  f (x" ) < m + ". De i jf (x) mj < "; 8 x 2 ([x0; x") n fx0 g) \ D. Conform De nitiei 4.1.27 rezulta a f are limita la dreapta ^n pun tul x0 , egala u m, adi a m = xlim !x f (x). x>x Da a m = 1 dedu em a 8 M 2 IR 9 xM > x0 ; xM 2 D u f (xM ) < M . Pentru M 2 IR arbitrar, intervalul [x0 ; xM ) este o ve inatate la dreapta pentru x0 , pentru are avem f (x) < M; 8 x 2 ([x0 ; xM ) n fx0 g) \ D: Rezulta a exista lim f (x) = 1. x!x x>x Da a x0 2 D (pun t de a umulare la dreapta) atun i m 2 IR si f (x0 )  xlim !x f (x). x>x Da a x0 este pun t de a umulare la st^anga atun i se arata a mai sus a lim f (x) = sup ff (x) j x 2 D; x < x0 g, nita sau +1, x!x x 1) sau azul m = 1 ^and derivatele sunt nite Teorema 5.1.9 se poate reformula astfel Teorema 5.1.10. Fun tia f~ : D ! IRm este derivabila ^n x0 2 D (x0 pun t de a umulare la st^anga si la dreapta pentru D) da a si numai da a este derivabila la st^anga si la dreapta ^n x0 si derivatele laterale sunt egale.

Derivatele si diferentialele fun tiilor elementare sunt prezentate ^n tabelul de mai jos. 2. Derivate  si diferent iale de ordin superior

Vom onsidera mai ^nt^ai azul unei fun tii reale f : D ! IR. Fie D1 6= ; multimea pun telor ^n are f este diferentiabila (, derivabila). De nitia 5.2.1. Fun tia x ! f 0 (x); x 2 D1 se numeste fun tia derivata sau derivata fun tiei f . Se noteaza u f 0. De nitia 5.2.2. Fun tia f este de doua ori derivabila ^n pun tul x0 2 2 D1 \ D10 da a fun tia f 0 este derivabila ^n x0 . ^In a est az (f 0)0 (x0) not = f 00(x0 ) se numeste derivata a doua (sau de ordinul al doilea) a fun tiei f ^n x0 . De nitia 5.2.3. Da a D2 este multimea pun telor ^n are fun tia f este de doua ori derivabila atun i fun tia x ! f 00(x); x 2 D2, notata u f 00 , se numeste derivata a doua a fun tiei f .

212

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

Tabel u fun tiile elementare, derivatele si diferentialele lor

Derivata Diferentiala Fun tia 0 y= y =0 dy = 0 y = x (da a  2 IR; x > 0) y 0 = x 1 dy = x 1 dx y = ax (a > 0) y 0 = ax ln a dy = ax ln a dx 1 dx y = loga x y0 = dy = x ln a x ln a (a > 0; a 6= 1; x > 0) y = sin x y 0 = os x dy = os x dx y = os x y 0 = sin x dy = sin x dx 1 dx y = tg x ( os x 6= 0) y0 = 2 dy = 2

os 1x

os dxx 0 y = tg x (sin x 6= 0) y = dy = sin12 x sindx2 x y = ar sin x; x 2 [ 1; 1℄ y0 = p 1 x2 ; x 2 ( 1; 1) dy = p1 x2 1 ; x 2 ( 1; 1) dy = p dx y = ar

os x; x 2 [ 1; 1℄ y0 = p 1 x2 1 x2 dx 1 dy = y = ar tg x y0 = 1 + x12 1 + dx x2 y = ar

tg x y0 = dy = 1 + x2 1dx+ x2 p2 1 y0 = p 2 y = ln(x + x + a) dy = p 2 x x +a + a p (x + x2 + a > 0) Prin re urenta vom spune a fun tia f este de n ori derivabia ^n x0 da a f (n 1) este derivabila ^n x0 si f (n) (x0 ) = (f (n 1) )0 (x0 ) se numeste derivata a n-a (sau de ordinul n) a fun tiei f ^n x0 . ^In mod asemanator se introdu derivatele laterale de ordin superior ale fun tiei f ^ntr-un pun t x0. Sa onsideram fun tia de doua variabile (x; h) ! df (x)(h) = f 0(x)h 2 IR; 8 (x; h) 2 D1  IR. Fix^and primul argument al fun tiei de mai sus obtinem diferentiala lui f ^ntr-un

Derivate si diferentiale de ordin superior

213

pun t x 2 D1 , iar da a xam al doilea argument obtinem fun tia ' : x ! df (x)(h) = f 0 (x)h; x 2 D1 ;

(5:2:1)

numita fun tia diferentiala a lui f orespunzatoare resterii h a variabilei independente. De nitia 5.2.4. Fun tia f se numeste de doua ori diferentiabila ^n x0 2 D1 \ D10 da a fun tia (5.2.1) este diferentiabila ^n x0 , pentru ori e h 2 IR. Deoare e o fun tie este diferentiabila da a si numai da a ea este derivabila, dedu em a fun tia (5.2.1) este diferentiabila ^n x0, pentru ori e h 2 IR da a si numai da a ea este derivabila ^n x0 , pentru ori e h 2 IR. De i f este de doua ori diferentiabila ^n x0 da a si numai da a ea este derivabila de doua ori ^n a el pun t. Diferentiala fun tiei ' ^n x0 este fun tia d'(x0 ) : IR ! IR; d'(x0 )(k) = '0 (x0 )k = f 00 (x0 )hk. De i pentru e are h 2 IR avem fun tia IR 3 k ! f 00 (x0 )hk. A easta familie de fun tii se identi a u fun tia de doua variabile (h; k) ! f 00(x0 )hk; (h; k) 2 IR2 . De nitia 5.2.5. Da a f este de doua ori diferentiabila ^n x0 2 D1 \ D10 , fun tia notata d2 f (x0) : IR2 ! IR de nita prin d2 f (x0 )(h; k) = f 00 (x0 )hk; (h; k) 2 IR2 , se numeste diferentiala de ordinul al doilea sau diferentiala a doua a fun tiei f ^n x0 . Prin re urenta fun tia f este de n ori diferentiabila ^ntr-un pun t x0 da a ea este derivabila de n ori ^n a el pun t. ^In a est az diferentiala de ordinul n a fun tiei f ^n x0 este fun tia notata dnf (x0) : IRn ! IR si de nita prin dn f (x0 )(h1 ; h2 ; : : : ; hn ) = f (n) (x0 )h1 h2


hn ; (h1 ; h2 ; : : : ; hn ) 2 IRn . ^In mod uzual pentru diferentialele de ordin superior (n  2) se onsidera numai azul ^n are variabilele sunt egale h1 = h2 =


= hn = h. De i diferentiala de ordinul n poate onsiderata o fun tie de o singura variabila reala dn f (x0 ) : IR ! IR; dn f (x0 )(h) = f (n) (x0 )hn ; h 2 IR.

214

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

Deoare e dx(h) = h; 8 h 2 IR (diferentiala fun tiei identi e pe IR) relatia de mai sus se s rie a o egalitate de fun tii astfel dn f (x0 ) = f (n) (x0 )(dx)n sau folosind notatia (dx)n = dxn avem dn f (x0 ) = f (n) (x0 ) dxn , relatie adevarata si pentru n = 1, de i pentru 8 n 2 IN . Observatia 5.2.1. Din De nitia 5.2.2 rezulta a da a fun tia f este derivabila de doua ori ^n x0 atun i f este derivabila el putin ^n pun tele unui sir ^ (xn )n  D, xn 6= x0 , nlim !1 xn = x0 , (bine^nteles derivabila si ^n x0 ). In azul unei fun tii f : I ! IR, unde I este un interval din IR (sau o reuniune de intervale) vom presupune pentru o fun tie f derivabila de doua ori ^n x0 2 I a ea este derivabila pe o ^ntreaga ve inatate V a pun tului x0, mai pre is pe V \ D, (adi a derivata ^nt^aia f 0 exista pe V \ D). ^In general da a f este derivabila de n ori ^ntr-un pun t x0 2 I atun i derivata de ordinul n 1, a si derivatele de ordin mai mi de ^at n 1 exista nu numai ^n x0 , i pe o ^ntreaga ve inatate a lui x0 , interse tata u D. De nitia 5.2.6. Fun tia f : D ! IR se numeste diferentiabila (derivabila) de n ori pe A  D da a ea este diferentiabila (respe tiv derivabila) de n ori ^n ori e pun t x0 2 A. ^In mod asemanator pentru fun tia ve toriala f~ : D  IR ! IRm , f~ = (f1 ; f2 ; : : : ; fm ) se de neste derivata de ordinul n (n  2) ^n pun tul x0 f~(n) (x0 ) = (f~(n 1) )0 (x0 ) = (f1(n) (x0 ); : : : ; fm(n) (x0 )) si diferentiala de ordinul n a fun tiei f~ ^n x0 dn f~(x0 ) = f~(n) (x0 ) dxn = (f1(n) (x0 ) dxn ; f2(n) (x0 ) dxn ; : : : ; fm(n) (x0 ) dxn). Fun tia f~ este derivabila (diferentiabila) de n ori ^n x0 da a si numai da a toate fun tiile omponente fi; i = 1; m sunt derivabile (respe tiv diferentiabile) de n ori ^n x0 . Fun tia f~ : D  IR ! IRm este derivabila de n ori pe A  D da a ea este derivabila de n ori ^n e are pun t x0 2 A. Exemplul 5.2.1. Pentru fun tia f : IR ! IR; f (x) = ex avem

Derivate si diferentiale de ordin superior

215

f (n) (x) = ex ; dn f (x) = ex dxn ; 8 n 2 IN; 8 x 2 IR. Pentru fun tia g : IR ! IR; g(x) = sinx avem  n n n ; dng (x) = sin x + g (n) (x) = sin x + 2 2 dx ; 8 x 2 IR; 8 n 2 IN . Pentru fun tia h : IR ! IR; h(x) = os x avem  n n h(n) (x) = os x + ; dn h(x) = os x + dxn ; 8 x 2 IR; 8 n 2 IN .

2 2   Pentru fun tia ve toriala f~ : (0; 1) ! IR; f~(x) = x1 ; ln x avem n n! ( 1)n+1 (n 1)! ! ( 1) f~(n) (x) = ; 8 x 2 (0; 1); 8 n 2 IN si ; xn+1 xn ! n n! n+1 (n 1)! ( 1) ( 1) n n dnf~(x) = dx ; dx ; 8 x 2 (0; 1); 8 n 2 IN . xn+1

xn

Formulele derivatelor de mai sus se demonstreaza prin indu tie matemati a. Folosind rezultatele din Se tiunea 1 si indu tia matemati a obtinem urmatoarele teoreme. Teorema 5.2.1. Fie fun tiile f~1 ; f~2 : D ! IRm . Da a f~1 si f~2 sunt diferentiabile (, derivabile) de n ori ^n x0 2 D, iar a; b 2 IR, atun i fun tia af~1 + bf~2 este diferentiabila de n ori ^n x0 si dn (af~1 + bf~2 )(x0 ) = adn f~1 (x0 ) + bdn f~2 (x0 ), (af~1 + bf~2 )(n) (x0 ) = af~1(n) (x0 ) + bf~2(n) (x0 ). Teorema 5.2.2. Fie fun tiile f1 ; f2 : D ! IR diferentiabile (derivabile) de n ori ^n x0 2 D. Atun i fun tiile f1 f2 , f1 =f2 (pentru f2 6= 0) sunt diferentiabile de n ori ^n x0 . ~ ~g : D ! IRm si  : D ! IR diferentiabile Teorema 5.2.3. Fie fun tiile f; ~ g >: D ! IR (derivabile) de n ori ^n x0 . Atun i fun tiile f~ : D ! IRm si < f;~ sunt diferentiabile de n ori ^n x0 . Teorema 5.2.4. Fie ' : E ! IR diferentiabila de n ori ^n x0 si f~ : D ! IRm diferentiabila de n ori ^n y0 = '(x0 ). Atun i fun tia f~ Æ ' : E ! IRm este diferentiabila de n ori ^n x0 . Teorema 5.2.5. Fie f : I ! IR de nita pe intervalul I  IR, o fun tie stri t monotona u f (I ) = J interval. Da a f este derivabila de n ori ^n x0 2 I si da a f 0 (x0 ) 6= 0 atun i fun tia inversa ' = f 1 este derivabila de n ori ^n pun tul

216

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

orespunzator y0 = f (x0 ) 2 J .

Proprietatile de mai sus ram^an adevarate si ^n azul fun tiilor derivabile de n ori pe o multime. Pentru I interval din IR vom nota C (I ) = ff : I ! IR j f ontinua pe I g, C 1 (I ) = ff : I ! IR j f derivabila pe I u derivata f 0 ontinua pe I g, C 2 (I ) = ff : I ! IR j f derivabila de doua ori pe I u f 00 ontinua pe I g, ... C n (I ) = ff : I ! IR j f derivabila de n ori pe I u f (n) ontinua pe I g, ... C 1 (I ) = \n2IN C n (I ) { multimea fun tiilor are admit derivate de ori e ordin pe I , ( ontinue pe I ). O fun tie f 2 C n(I ), (C 1(I )), se numeste fun tie de lasa C n (respe tiv C 1 ) sau fun tie regulata de lasa C n (respe tiv C 1 ). Pentru o fun tie ve toriala f~ : I ! IRm , vom spune a este de lasa C k (C 1) pe I da a fi 2 C k (I ); 8 i = 1; m (respe tiv fi 2 C 1(I ); 8 i = 1; m). Vom nota f~ 2 C k (I ) (respe tiv f~ 2 C 1(I )). 3. Teoreme fundamentale ale al ulului diferent ial

Fie fun tia f : D  IR ! IR, iar x0 2 D. De nitia 5.3.1. Pun tul x0 2 D se numeste pun t de maxim lo al (sau relativ) al fun tiei f da a exista o ve inatate a pun tului x0 , V (x0 ) astfel ^n ^at f (x)  f (x0 ), 8 x 2 D \ V (x0 ). Pun tul x0 2 D se numeste pun t de minim lo al (sau relativ) al fun tiei f da a exista o ve inatate a pun tului x0 , V (x0 ) astfel ^n ^at f (x)  f (x0 ), 8 x 2 D \ V (x0). Un pun t x0 2 D de minim sau maxim lo al se numeste pun t de extrem lo al (sau relativ).

Teoreme fundamentale ale al ulului diferential

217

De nitia 5.3.2. Da a f (x) < f (x0 ); (f (x) > f (x0 )), 8 x 2 D \ V (x0 ) nfx0 g atun i pun tul x0 se numeste pun t de maxim (respe tiv minim) lo al stri t. Da a f (x)  f (x0), (f (x)  f (x0)), 8 x 2 D pun tul x0 se numeste pun t de

maxim (respe tiv minim) absolut (sau global).

Ori e pun t de extrem absolut este pun t de extrem relativ. Re ipro a a estei a rmatii este falsa. Notiunea de extrem relativ este o notiune lo ala; ea nu se s himba da a valorile fun tiei se s himba ^n afara unei ve inatati a pun tului. Teorema 5.3.1. (Fermat) Da a fun tia f : I ! IR, (I interval), este Æ derivabila ^ntr-un pun t de extrem x0 2I atun i derivata sa este nula ^n a est pun t, f 0 (x0 ) = 0. Demonstratie. Presupunem a x0 este pun t de maxim pentru fun tia f . Atun i exista o ve inatate V a pun tului x0 astfel ^n ^at f (x)  f (x0 ); 8 x 2 V \ I . Din ipoteza, fun tia f este derivabila ^n pun tul x0 , adi a exista f (x) f (x0 ) 2 IR. f 0 (x0 ) = xlim !x x x0 Folosind Teorema 4.1.1 rezulta a 8 (xn )n  V \ I , xn 6= x0 , nlim !1 xn = x0 , avem f (xn ) f (x0 ) = f 0(x0). lim n!1 xn x0 Consider^and un sir (xn)n  V \ I , u nlim !1 xn = x0 si xn > x0 ; 8 n 2 IN , atun i obtinem f (xn ) f (x0 )  0 ; de i f 0 (x0 )  0. xn x0 Pentru un sir (xn)n  V \ I u nlim !1 xn = x0 si xn < x0 ; 8 n 2 IN , avem f (xn ) f (x0 )  0; de i f 0(x0 )  0. xn x0 Din ele doua inegalitati obtinute, rezulta a f 0(x0 ) = 0. ^In mod asemanator se arata a da a x0 este pun t de minim atun i f 0(x0 ) = 0. Q.E.D. De nitia 5.3.3. Fie fun tia f : I ! IR de nita si derivabila pe intervalul I . Un pun t x0 2 I pentru are f 0 (x0 ) = 0 se numeste pun t stationar sau riti . Teorema 5.3.1 a rma a pun tele de extrem lo al ale unei fun tii f : I ! IR, Observatia 5.3.1.

0

218

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

din interiorul intervalului I , sunt pun te stationare. Observatia 5.3.2. Re ipro a Teoremei lui Fermat este falsa. Exista fun tii derivabile^ntr-un pun t interior domeniului de de nitie, u derivata^n a el pun t egala u 0, dar pentru are pun tul respe tiv nu este pun t de extrem. De exemplu fun tia f (x) = x3 ; x 2 IR, are ^n pun tul x = 0 derivata f 0(0) = 0. Totusi x = 0 nu este pun t de extrem al a estei fun tii. Observatia 5.3.3. Fun tia f poate avea un extrem ^ntr-un pun t x0 , fara

a ea sa e derivabila ^n x0 . De exemplu fun tia f (x) = jxj; x 2 IR, are un minim ^n pun tul x = 0, dar nu are derivata ^n a est pun t. ^Intr-un mod asemanator se demonstreaza urmatoarea teorema, generalizare a teoremei lui Fermat. Æ Teorema 5.3.2. Da a pentru fun tia f : I ! IR (I interval), x0 2I este pun t de extrem, iar f admite derivate laterale ^n x0 atun i fd0 (x0 )
fs0 (x0 )  0, (de i 0 apartine intervalului determinat de f 0 (x0 ) si f 0 (x0 )). d

s

Teorema 5.3.3. (Darboux) Da a f : I  IR ! IR este derivabila pe intervalul I , atun i derivata sa f 0 are proprietatea lui Darboux pe a est interval. Demonstratie. Fie a; b 2 I u a < b. Vom arata a pentru ori e  2 2 [f 0 (a); f 0(b)℄ sau  2 [f 0(b); f 0(a)℄ exista un element 2 [a; b℄ astfel^n ^at f 0( )= . Da a f 0(a) = f 0(b) atun i luam = a sau = b. Sa presupunem^n ontinuare

a f 0(a) 6= f 0(b), mai pre is f 0(a) < f 0(b). Fie  2 (f 0(a); f 0(b)) si sa onsideram fun tia ajutatoare h : I ! IR, h(x) = f (x) x. Fun tia h este derivabila pe I , de i ^n mod ne esar este ontinua. Conform Teoremei 4.2.13, apli ata pentru h pe intervalul [a; b℄, rezulta a exista 2 [a; b℄ astfel ^n ^at h( ) = x2inf[a;b℄ h(x). Din inegalitatea f 0(a) <  < f 0(b) dedu em a f 0(a)  < 0 si f 0(b)  > 0, de i h0(a) < 0 si h0(b) > 0. Din Teorema 4.1.11, g) rezulta, pentru h0(a) < 0, a exista o ve inatate V1 a lui a astfel ^n ^at h(x) h(a) < 0; 8 x 2 V1 \ I n fag. x a ^In parti ular, pentru x 2 V1 \ (a; b℄ avem x > a si din inegalitatea de mai sus rezulta h(x) < h(a). De i h ^si atinge marginea inferioara ^ntr-un pun t diferit

Teoreme fundamentale ale al ulului diferential

219

de a. Apoi din inegalitatea h0 (b) > 0, dedu em a exista o ve inatate V2 a lui b astfel ^n ^at h(xx) bh(b) > 0; 8 x 2 (V2 \ I ) n fbg. ^In parti ular, pentru x 2 2 V2 \ [a; b) avem x < f~(b) f~(a); f~(a) >= kf~(b) f~(a)k2 ; iar '0( ) =< f~(b) f~(a); f~0( ) >, obtinem kf~(b) f~(a)k2  kf~(b) f~(a)k
kf~0( )k
(b a). ^Impartind relatia de mai sus prin kf~(b) f~(a)k avem kf~(b) f~(a)k  kf~0( )k(b a): Q.E.D. Conse inte ale Teoremelor 5.3.5 si 5.3.6 Teorema 5.3.8. Fie fun tia f : I ! IR derivabila, unde I este un interval. Atun i derivata sa este nula pe I da a si numai da a f este onstanta pe a est interval.

Demonstratie. Sa presupunem a f 0 (x) = 0; 8 x 2 I . Fie x1 ; x2 2 I u x1 < x2 . Pe intervalul [x1 ; x2 ℄ fun tia f satisfa e ipotezele din Teorema 5.3.6. Rezulta atun i a exista 2 (x1; x2 ) u proprietatea f (x2 ) f (x1 ) = f 0 ( )(x2 x1 ). Deoare e f 0( ) = 0 dedu em a f (x1) = f (x2). Pun tele x1 ; x2 ind arbitrare, tragem on luzia a f este onstanta pe I . Re ipro a este evidenta. ^Intr-adevar da a f (x) = ; 8 x 2 I atun i

223

Teoreme fundamentale ale al ulului diferential

f (x) f (x0 ) = 0; 8 x0 2 I . 9 xlim !x x x0 De i f 0(x0 ) = 0; 8 x0 2 I . Q.E.D. 0

Observatia 5.3.6. Da a o fun tie f are derivata 0 pe o reuniune de intervale, atun i f nu este neaparat onstanta pe a ea reuniune de intervale, dar este

onstanta pe e are interval al multimii. De8exemplu pentru fun tia < 1; x < 0; f : ( 1; 0) [ (0; 1) ! IR; f (x) = : 1; x > 0; 0 derivata sa este 0, f (x) = 0; 8 x 6= 0.

Conse inta 5.3.4. Da a f si g sunt doua fun tii derivabile pe un interval I si da a derivatele lor sunt egale pe I , atun i diferenta lor este onstanta pe a est interval.

Demonstratie. Se onsidera fun tia h(x) = f (x) g (x). Deoare e f 0 (x) = g 0(x); 8 x 2 I , rezulta a h0 (x) = 0; 8 x 2 I . Conform Teoremei 5.3.8 dedu em a h(x) = C , de i f (x) = g(x) + C; 8 x 2 I . Q.E.D. Teorema 5.3.9. Fie fun tia f : I ! IR derivabila pe intervalul I . Da a f 0 (x)  0; 8 x 2 I , atun i f este monoton res atoare pe I . Da a f 0 (x)  0; 8 x 2 I atun i f este monoton des res atoare pe I . Demonstratie. Presupunem a f 0 (x)  0, iar x1 ; x2 2 I u x1 < x2 . Conform Teoremei 5.3.6 exista 2 (x1 ; x2) astfel ^n ^at f (x2 ) f (x1 ) = f 0 ( )(x2

x1 ):

(5:3:4)

Deoare e f 0( )  0 dedu em a f (x2)  f (x1 ), de i fun tia f este res atoare pe I . Da a f 0(x)  0; 8 x 2 I atun i din relatia (5.3.4) dedu em a f (x2 )  f (x1 ), adi a fun tia f este des res atoare pe I . Q.E.D. Observatia 5.3.7. Da a f 0 (x) > 0; 8 x 2 I atun i din (5.3.4) rezulta a fun tia f este stri t res atoare pe I . Da a f 0(x) < 0; 8 x 2 I atun i fun tia f este stri t des res atoare pe I .

Conse inta 5.3.5. Da a x1 si x2 sunt pun te stationare onse utive ale unei fun tii f : I ! IR, derivabila pe intervalul I , atun i ^ntre a este doua

224

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

pun te fun tia f este stri t monotona.

Demonstratie. Fie x1 ; x2 pun te stationare onse utive, u x1 < x2 . De i = f 0(x2 ) = 0 si f 0(x) 6= 0; 8 x 2 (x1; x2 ). Conform proprietatii lui Darboux a derivatei fun tiei f , dedu em a f 0 are a elasi semn pe (x1 ; x2), adi a f 0 (x) > 0 sau f 0 (x) < 0, 8 x 2 (x1 ; x2 ). ^Intr-adevar, da a am presupune a 9 y1; y2 2 (x1 ; x2) astfel ^n ^at f 0(y1) > 0 si f 0(y2) < 0, atun i din proprietatea lui Darboux, rezulta a 9 2 (y1; y2) astfel ^n ^at f 0( ) = 0. Ceea e am obtinut este fals, a i f 0(x) 6= 0 pe (x1; x2 ). De i f 0(x) > 0; 8 x 2 (x1 ; x2 ), adi a f este stri t res atoare pe (x1; x2 ) sau f 0(x) < 0; 8 x 2 (x1 ; x2 ), adi a f este stri t des res atoare pe (x1 ; x2). Q.E.D. Da a multimea pun telor stationare ale unei fun tii f : I ! IR este formata din pun te izolate, atun i intervalul I se poate reprezenta a o reuniune de intervale u extremitatile pun te stationare. Pe e are interval, f este stri t f 0 (x1 )

monotona. O onditie su ienta a un pun t sa e pun t de extrem este a el sa e pun t interior stationar, iar anularea derivatei ^n a el pun t sa se fa a u s himbare de semn. Da a anularea derivatei se fa e fara s himbare de semn, iar pun tul stationar este izolat, atun i el nu este pun t de extrem. Teorema 5.3.10. Fie fun tia f : I ! IR, unde I este interval, iar x0 2 I . 0 Da a f este ontinua pe I , derivabila pe I n fx0 g si exista xlim !x f (x) = l 2 IR atun i exista f 0 (x0 ) si f 0 (x0 ) = l. Demonstratie. Sa onsideram un sir (xn )n  I , xn 6= x0 ; 8 n 2 IN , u lim x = x0 . Apli ^and Teorema 5.3.6 pe intervalul (x0 ; xn) sau (xn ; x0) dedu em n!1 n existenta unui element n 2 (x0 ; xn) sau (xn ; x0) astfel ^n ^at f (xn ) f (x0 ) = f 0(n); 8 n 2 IN: xn x0 0 Deoare e nlim !1 n = x0 si n 6= x0 ; 8 n 2 IN , rezulta a nlim !1 f (n) = l, f (xn ) f (x0 ) = l: Sirul ales (xn )n ind arbitrar, dedu em a de i nlim !1 xn x0 f (x) f (x0 ) 9 xlim = l, !x x x0 adi a f are derivata ( nita sau in nita) ^n x0 , egala u l: f 0(x0 ) = l. Q.E.D. 0

0

225

Teoreme fundamentale ale al ulului diferential

0 Observatia 5.3.8. Da a ^n Teorema 5.3.10, xlim !x f (x) 2 IR, atun i f este derivabila ^n x0, iar derivata f 0 este ontinua ^n x0 . Teorema 5.3.11. Da a fun tia f : I ! IR, unde I este un interval din IR, are derivata marginita pe I , atun i f este lips hitziana pe I , de i este uniform

ontinua pe I . Demonstratie. Presupunem a jf 0 (x)j  M; 8 x 2 I (M > 0). Fie x si y 2 I pun te arbitrare, u x < y. Conform Teoremei 5.3.6, exista un pun t  2 (x; y ) astfel ^n ^at f (x) f (y ) = f 0 ( )(x y ). Atun i jf (x) f (y)j = jf 0( )j
jx yj  M jx yj. Dedu em astfel a f este lips hitziana, iar din Teorema 4.2.11 rezulta a f este uniform ontinua pe I . Q.E.D. Teorema 5.3.12. (Cau hy) Fie f si g doua fun tii de nite pe un interval I si un pun t x0 2 I . Da a a) f (x0) = g(x0) = 0; b) f si g sunt derivabile ^n x0 ;

) g0(x0 ) 6= 0, atun i exista o ve inatate V a lui x0 astfel ^n ^at g (x) 6= 0; 8 x 2 V n fx0 g si f (x) f 0 (x0 ) = g 0 (x ) . lim x!x g (x) 0 Demonstratie. Din de nitia lui g 0 (x0 ) 6= 0 avem g (x) g (x) g (x0 ) = lim 6= 0. g 0(x0 ) = xlim x!x x x0 !x x x0 De i exista o ve inatate V a pun tului x0 astfel ^n ^at pentru 8 x 2 V nfx0g avem g (x) 6= 0. Apoi pentru 8 x 2 V n fx0 g obtinem f (x) f (x) f (x0 ) f (xx) fx(x ) , = = g (x) g (x) g (x0 ) g(xx) gx(x ) f (x) f (x0 ) !x f (x) xlim f 0 (x0 ) x x0 = de i lim = x!x g (x) g (x) g (x0 ) g 0 (x0 ) . Q.E.D. lim x x x!x 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Teorema 5.3.12 este unos uta si sub numele de prima regula a lui l'Hospital. Teorema 5.3.13. Fie I un interval din IR, x0 un pun t de a umulare ( nit sau in nit) al lui I , iar f si g doua fun tii de nite pe I , u ex eptia eventual a 0

226

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

lui x0 . Da a

a) xlim !x f (x) = 0 si xlim !x g (x) = 0; b) f si g sunt derivabile pe I , u ex eptia eventual a lui x0 ;

) g0(x) 6= 00; 8 x 2 I n fx0g; f (x) d) 9 xlim !x g 0 (x) = l ( nit sau in nit), 0

0

0

atun i

1) g(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0 g; f (x) 2) fun tia fg are limita ^n x0 si xlim !x g (x) = l. Demonstratie. (I) Vom lua mai ^nt^ai azul ^n are x0 2 IR (este nit). 1Æ . Pentru a pre iza mai exa t situatia presupunem a x0 2IÆ, iar f; g : I n fx0 g ! IR. Deoare e g 0(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0 g, rezulta a g 0 pastreaza semn onstant at^at la st^anga, ^at si la dreapta lui x0 . Dedu em astfel a g este stri t monotona la st^anga lui x0 si de asemenea la dreapta lui x0 . Rezulta atun i

a g(x) 6= xlim !x g (x) = 0, adi a g (x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0 g. Prelungim iile f;8g, de nind fun tiile f; g pe I astfel 8 prin ontinuitate fun t < f (x); da  a x 6= x0 ; g = < g(x); da a x 6= x0 ; f(x) = : : 0; da a x = x0 ; 0 da a x = x0 : Atun i  lim f(x) = xlim x!x !x f (x) = 0 = f (x0 ); xlim !x g(x) = xlim !x g (x) = 0 = g(x0 ). Dedu em astfel a fun tiile f si g sunt ontinue ^n pun tul x0 . ^In ori e pun t x 2 I n fx0 g fun tiile f si g sunt derivabile si f0(x) = f 0(x), g0 (x) = g 0(x) 6= 0. Apli am pe intervalul [x; x0 ℄, (x 2 I n fx0 g), Teorema 5.3.5 si obtinem a 9 2 (x; x0 ) sau (x0; x) astfel ^n ^at f(x) f(x0 ) f0 ( ) f (x) f 0 ( ) = ) = . g(x) g(x0 ) g0 ( ) g (x) g 0 ( ) f 0 (x) Conform ipotezei d) rezulta a exista xlim !x g 0 (x) = l. De i da a x ! x0 f (x) atun i ! x0, de i 9 xlim !x g (x) = l. Asemanator se demonstreaza teorema ^n azurile 2Æ . x0 2IÆ, iar f; g : I ! IR; 0

0

0

0

0

0

0

0

227

Teoreme fundamentale ale al ulului diferential

3Æ. x0 2 I \ Fr I , iar f; g : I n fx0g ! IR sau f; g : I ! IR; 4Æ. x0 2 I 0 n I (6= ;), iar f; g : I ! IR. (II) Presupunem a x0 este in nit, si anume x0 = 1 ( azul x0 = 1 se trateaza asemanator). De asemenea putem presupune a I este de forma I = (a; +1) u a > 0 (^n az ontrar putem lua restri tiile fun tiilor f si g la un asemenea interval, eea e nu modi a existenta limitei fun tiei fg ^n pun tul +1).   De nim urmatoarele fun t  ii pe intervalul 0 ; a1       F (y ) = f y1 ; G(y ) = g y1 ; 0 < y < a1 ; a < y1 < 1 . A este fun t ii F si G veri a ipotezele teoremei pentru pun tul y0 = 0, u  1 I1 = 0; a , y0 2 I10 n I1 ( azul 4Æ din (I)). ^Intr-adevar avem ! 1 1. ylim F (y ) = ylim f = lim f (z) = 0; !0+ !0+ y! z!1 lim G(y) = lim g 1 = lim g(z) = 0. y!0+

y!0+

z !1

y





2. Fun tiile F si G sunt derivabile pe 0; a1  si  1 ; G 0 (y ) = g 0 1 1 ; 8 y 2 0; 1 . F 0 (y ) = f 0 y1 y  y  y  a  3. G0(y) 6= 0; 8 y 2 0; a1 ; deoare e y1 g0 y1 6= 0; 8 y 2 0; a1 . 1 0 1 f 0 ( y1 ) F 0 (y ) f 0 (x) y f (y) 4. 9 ylim = lim = lim = lim = l. !0+ G0 (y ) y!0+ y1 g 0( y1 ) y!0+ g 0 ( y1 ) x!1 g 0 (x) Atun i, onform primei parti a demonstratiei (I), dedu em a G(y) 6= 0; 8 y 2 (0; a1 ) si F 0 (y ) F (y ) = lim = l. lim y!0+ G0 (y ) y!0+ G(y ) Rezulta atun i a g(x) 6= 0; 8 x 2 (a; 1), iar F (y ) f (x) = lim = l, lim x!1 g (x) y!0+ G(y ) h(x)). Q.E.D. adi a eea e doream sa aratam, (am notat u xlim h(x) = lim x! !0+ x>0 Teorema 5.3.13 este unos uta sub numele de regula lui l'Hospital pentru 0

azul . 0 Observatia 5.3.9. Re ipro a Teoremei 5.3.13 nu este adevarata. Da a fg are limita ^n x0 , nu rezulta a si fg00 are limita ^n x0 , dupa um vom vedea din 2

2

2

2

2

0

228

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

exemplul urmator.  Fie f; g : 2 ; 2 nf0g de nite prin f (x) = x2 sin x1 , g(x) = sin x, ( azul (I), 1Æ ). Avem x2 sin x1 x sin x1 f (x) lim = xlim = xlim = 0. x!0 g (x) !0 sin x !0 sinx x f (x)=0 si 9 xlim g (x)=0, Fun tiile f si g sunt derivabile pe ( 2 ; 2 )nf0g, 9 xlim !00 !0 iar g0(x) = os x 6= 0, 8 x 2 ( 2 ; 2 ) n f0g. Fun tia fg0 nu are limita ^n x = 0. ^Intr-adevar f 0 (x) 2x sin x1 os x1 2x sin x1 os x1 = = os x os x . g 0 (x)

os x 2 x sin x1 f 0 (x) 1 Deoare e xlim = 0, dar 6 9 xlim

os x , rezulta a 6 9 xlim . !0 os x !0 !0 g 0 (x) Observatia 5.3.10. Regula lui l'Hospital (Teorema 5.3.13) si Teorema lui Cau hy (Teorema 5.3.12) nu au a elasi ^amp de apli abilitate (vezi Problema 12). Teorema 5.3.14. Fie I un interval din IR, x0 un pun t de a umulare ( nit sau in nit) al lui I , iar f si g doua fun tii de nite pe I , u ex eptia eventual a lui x0 . Da a

a) 9 xlim !x jg (x)j = 1; b) f si g sunt derivabile pe I , u ex eptia eventual a lui x0 ;

) g0(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g; f 0 (x) d) 9 xlim !x g 0 (x) = l 2 IR, f (x) atun i 9 xlim !x g (x) = l. Demonstratie. Presupunem mai ^nt^ai a x0 nu este extremitatea st^anga a intervalului I si vom demonstra a fun tia fg are ^n x0 limita la st^anga egala u l. Vom folosi teorema de ara terizare u siruri stri t res atoare a limitei unei fun tii (Teorema 4.1.4). Deoare e g0(x) 6= 0 pe intervalul I \ ( 1; x0 ), onform proprietatii lui Darboux, derivata g0 are semn onstant pe a est interval. Sa presupunem a g 0 (x) > 0, 8 x 2 I , x < x0 . Rezulta a fun tia g este stri t res atoare la st^anga lui x0 . 0

0

0

229

Teoreme fundamentale ale al ulului diferential

Fie (xn)n  I un sir stri t res ator u nlim !1 xn = x0 . Atun i sirul (g (xn))n este si el stri t res ator. Deoare e nlim !1 jg (xn)j = 1 (ipoteza a)), rezulta a (g(xn))n este nemarginit. Apli am Teorema 5.3.5 fun tiilor f si g pe e are interval [xn ; xn+1). Dedu em existenta unui pun t n 2 (xn;0xn+1 ) astfel ^n ^at f (xn+1 ) f (xn ) f (n) = . g (xn+1 ) g (xn) g 0(n ) Deoare e nlim !1 xn = x0 rezulta a nlim !1 n = x0 , (n < x0 ), iar din ipoteza d) 0 f (n ) dedu em a nlim !1 g 0 (n ) = l, de i lim f (xn+1) f (xn) = l. n!1 g (xn+1 ) g (xn ) Apli am a um Teorema lui Stolz-Cesaro (Capitolul 2, Se tiunea 1, Problema 10) f (xn ) si dedu em a 9 nlim !1 g (xn) = l. f (x) Sirul (xn)n ind arbitrar, onvergent ( res ator) la x0 , rezulta a 9 xlim !x g (x) = l. xx Da a x0 este o extremitate a intervalului I , limita ^n x0 este egala u a ea limita laterala are are sens ^n a est pun t, de i onform elor de mai sus rezulta f (x)

a 9 xlim !x g (x) = l. Da a x0 este pun t interior al intervalului I , din egalitatea limitelor laterale, rezulta a fun tia fg are limita ^n x0 , egala u l. Q.E.D. Teorema 5.3.14 este unos uta sub numele de regula lui l'Hospital pentru 1

azul . 1 Vom da^n ontinuare doua generalizari ale Teoremelor 5.3.13, 5.3.14 si 5.3.12. Teorema 5.3.15. Fie I un interval din IR, x0 un pun t de a umulare ( nit sau in nit) al lui I , iar f; g doua fun tii de nite pe I , u ex eptia eventual al lui 0 0

0 0

0

x0 . Da a

a) fun tiile f si g sunt derivabile de n ori pe I , u ex eptia eventual a lui x0 ;

230

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

b) g(n)(x0 ) 6= 0; 8 x 2 I n fx0g; (k) (k)

) xlim !x f (x) = 0 si xlim !x g (x) = 0 k = 0; n 1 lim jg(k)(x)j = +1; k = 0; n 1; x!x f (n) (x) d) 9 xlim !x g (n) (x) = l 2 IR, 0

0

sau

0

0

atun i

1) g(x) 6= 0; g0(x) 6= 0; : : : ; g(n 1)(x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0 g; f (x) f 0 (x) f (n 1) (x) f (n) (x) 2) xlim = lim =


= lim = lim = l. !x g (x) x!x g 0 (x) x!x g (n 1) (x) x!x g (n) (x) Demonstratie. Pentru n = 1 teorema este demonstrata (Teorema 5.3.13 si Teorema 5.3.14). Presupunem adevarata teorema pentru n 1 si o vom demonstra pentru n. Apli am Teorema 5.3.13, respe tiv Teorema 5.3.14 fun tiilor f (n 1) si g(n 1) . Dedu em a g(n 1)(x) 6= 0, 8 x 2 I n f0g si f (n) (x) f (n 1) (x) = xlim lim !x g (n) (x) = l. x!x g (n 1) (x) Deoare e am presupus teorema adevarata pentru n 1 rezulta a g (x) 6= 0; g 0 (x) 6= 0; : : : ; g (n 1) (x) 6= 0; 8 x 2 I n fx0 g, adi a are lo pun tul 1) din on luzia teoremei si f 0 (x) f (n 1) (x) f ( x) = lim =


= lim ; 9 xlim x!x g (n 1) (x) !x g (x) x!x g 0 (x) de unde rezulta pun tul 2). Q.E.D. Teorema 5.3.16. Fie I  IR un interval, x0 2 I , iar f; g : I ! IR. Da a a) f si g sunt derivabile de n ori ^n x0 , (de i derivabile de n 1 ori pe o ve inatate a lui x0 ); b) f (x0 ) = f 0(x0 ) =


= f (n 1) (x0 ) = 0; g (x0 ) = g 0 (x0 ) =


= g (n 1) (x0 ) = 0;

) g(n)(x0 ) 6= 0, 0

0

0

0

0

0

0

0

0

atun i

1) exista o ve inatate V

avem

a lui x0 astfel ^n ^at pentru ori e x

g (x) 6= 0; g 0(x) 6= 0; : : : ; g (n 1) (x) 6= 0 si

2 V n fx0g sa

231

Formula lui Taylor. Pun te de extrem

f (x) f 0 (x) f (n 1) (x) f (n) (x0 ) 2) xlim = lim = : : : = lim = g(n)(x ) . !x g (x) x!x g 0 (x) x!x g (n 1) (x) 0 Demonstratie. Apli am Teorema 5.3.12 fun tiilor f (n 1) si g (n 1) ; dedu em

a exista o ve inatate V a lui x0 astfel ^n ^at f (n 1) (x) f (n) (x0 ) g (n 1) (x) 6= 0; 8 x 2 V n fx0 g si xlim !x g (n 1) (x) = g (n) (x0 ) . Deoare e fun tiile f; g; f 0; g0; : : : ; f (n 2) ; g(n 2) sunt ontinue ^n pun tul x0 , avem lim f (k)(x) = f (k) (x0 ) = 0; k = 0; 1; : : : ; n 2 si x!x lim g(k)(x) = g(k)(x0 ) = 0; k = 0; 1; : : : ; n 2. x!x Apli am Teorema 5.3.15 pentru n 1 si obtinem on luzia teoremei. Q.E.D. 0

0

0

0

0

0

4. Formula lui Taylor. Pun te de extrem

4.1. Formula lui Taylor

Fie fun tia f : I ! IR, I interval din IR, f derivabila de n ori ^n x0 2 I . Vom presupune, pentru simplitatea expunerii, a primele n 1 derivate exista pe ^ntreg intervalul I . De nitia 5.4.1. Polinomul f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) Tn (x) = f (x0 )+ ( x x0 )+ ( x x0 )2 +


+ ( x x0 )n ; x 2 I 1! 2! n! (5:4:1) se numeste polinomul lui Taylor de gradul (ordinul) n, atasat fun tiei f ^n pun tul x0 . Pentru e are x 2 I notam u Rn (x) = f (x) Tn (x):

(5:4:2)

Atun i avem relatia f (x) = Tn (x) + Rn (x);

8 x 2 I:

(5:4:3)

232

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

De nitia 5.4.2. Rn (x)

de nit de (5.4.2) se numeste restul de ordinul n, iar relatia (5.4.3) se numeste formula lui Taylor de ordinul n, orespunzatoare fun tiei f ^n pun tul x0 . Derivatele polinomului lui Taylor sunt (n) 00 (x0 ) f (x0 ) f n 1 ( x x0 ) +


+ Tn0 (x) = f 0 (x0 ) + 1! (n 1)! (x x0 ) , f (n) (x0 ) f 000 (x0 ) n 2 ( x x0 ) +


+ Tn00 (x) = f 00 (x0 ) + 1! (n 2)! (x x0 ) ; ... Tn(n) (x) = f (n) (x0 ); Tn(n+k) (x) = 0; 8 k 2 IN; 8 x 2 I: Pentru x = x0 obtinem Tn (x0 )= f (x0 ); Tn0 (x0 )= f 0 (x0 ); : : : ; Tn(n) (x0 )= f (n) (x0 ); Tn(n+k) (x0 )=0; 8k 2 IN . Din De nitia 5.4.2 dedu em a restul Rn are derivata de ordinul n ^n pun tul x0 . De asemenea, deoare e f si Tn au derivate p^ana la ordinul n 1 in lusiv, pe ^ntreg intervalul I , rezulta a si restul Rn are derivate p^ana la ordinul n 1 in lusiv, pe I . ^In plus, avem Rn (x) = f (x) Tn (x); 8 x 2 I ; Rn0 (x) = f 0 (x) Tn0 (x); 8 x 2 I ; ... Rn(n 1) (x) = f (n 1) (x) Tn(n 1) (x); 8 x 2 I ; Rn(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) Tn(n) (x0 ). De i Rn(x0 ) = 0; Rn0 (x0 ) = 0; : : : ; Rn(n 1) (x0 ) = 0; Rn(n) (x0 ) = 0. Vom prezenta ^n ontinuare doua teoreme are ne vor pre iza forma restului Rn (x) din formula lui Taylor. Teorema 5.4.1. Da a f este derivabila de n ori ^n x0 2 I atun i exista o fun tie  : I ! IR u proprietatile xlim !x (x) = (x0 ) = 0 astfel ^n ^at f 0 (x0 ) f (n) (x0 ) (x) f (x) = f (x0 )+ ( x x0 )+


+ ( x x0 )n + (x x0 )n; 8 x 2 I: 1! n! n! (5:4:4) Demonstratie. Vom arata a Rn (x) lim = 0, unde Rn (x) = f (x) Tn(x). x!x (x x )n 0

0

0

Formula lui Taylor. Pun te de extrem

233

Pentru a easta sa notam u g(x) = (x x0 )n. Avem g 0(x) = n(x x0 )n 1 ; g 00(x) = n(n 1)(x x0 )n 2 ; : : : ; g (n 1) (x) = n!(x x0 ); g (n) (x) = n!. De i g (x0 ) = 0; g 0 (x0 ) = 0; : : : ; g (n 1) (x0 ) = 0; g (n) (x0 ) = n! 6= 0, iar Rn (x0 ) = 0; Rn0 (x0 ) = 0; : : : ; Rn(n 1) (x0 ) = 0; Rn(n) (x0 ) = 0. Apli am Teorema 5.3.16(ns)i dedu em Rn (x) Rn (x0 ) 0 = g(n) (x ) = n! = 0. lim x!x g (x) 0 Astfel de nim fun tia 8 > Rn (x) > < n! ; x 2 I n fx0 g;  : I ! IR; (x) = > (x x0 )n > : 0; x = x0 : Din ele de mai sus avem xlim !x (x) = 0 = (x0 ). Dedu em a (x) Rn (x) = (x x0)n; 8 x 2 I: (5:4:5) n! Q.E.D. De nitia 5.4.3. Restul (5.4.5) se numeste restul lui Peano, iar formula (5.4.4) se numeste formula lui Taylor u restul lui Peano. Teorema 5.4.2. Da a fun tia f : I ! IR este derivabila de (n +1) ori pe I , atun i pentru ori e x1 ; x2 2 I si p 2 IN xat, exista un element n uprins ^ntre x1 si x2 , adi a de forma n = x1 + n (x2 x1 ), n 2 (0; 1) astfel ^n ^at f 0 (x1 ) f 00 (x1 ) f (n) (x1 ) f (x2 )= f (x1 )+ ( x2 x1 ) + ( x2 x1 )2 +


+ ( x2 x1 )n+ 1! (x x )p 2! n! 2 1 n p +1 ( n +1) + p n! (x2 n) f (n): (5:4:6) Demonstratie. Fie A onstanta reala are realizeaza egalitatea f 00 (x1 ) f (n) (x1 ) f 0 (x1 ) ( x2 x1 )+ ( x2 x1 )2 +


+ (x2 x1 )n+ f (x2 ) = f (x1 )+ 1! 2! n ! +(x2 x1 )pA. Sa onsideram fun t ia ' : I ! I00R de nita prin f 0 (t) f (t) f (n) (t) '(t) = f (t) + ( x2 t) + ( x2 t)2 +


+ (x2 t)n+ 1! 2! n! 0

0

234

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

+(x2 t)pA; 8 t 2 I . Fun tia ' este derivabila pe I , de i si pe intervalul (x1 ; x2 ) (sau (x2 ; x1 )), iar '(x1 ) = f (x2 ); '(x2 ) = f (x2 ). Conform Teoremei 5.3.3 rezulta a exista n 2 (x1 ; x2) sau (x2 ; x1) astfel ^n ^at '0 (n) = 0. Dar f 00 (t) f 0 (t) f 000 (t) f 00 (t) '0 (t) = f 0 (t) + ( x2 t) + ( x2 t)2 (x2 t)+ 1! 1! 2! 1! (4) 000 (n+1) (n) t) + f 3!(t) (x2 t)3 f 2!(t) (x2 t)2 +


+ f n! (t) (x2 t)n (fn (1)! (x2 t)n 1 p(x2 t)p 1 A. (n+1) De i '0(t) = f n! (t) (x2 t)n p(x2 t)p 1A. Egalitatea '0(n) = 0 se s rie atun i f (n+1) (n) (x2 n)n p(x2 n)p 1A = 0, n! (n+1) de unde rezulta A = f p n(! n) (x2 n)n p+1. De i am obtinut relatia (5.4.6). Q.E.D. Pentru x2 := x si x1 := x0 relatia (5.4.6) se s rie f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) 2 f (x) = f (x0 ) + ( x x0 ) + ( x x0 ) +


+ ( x x0 )n + 1! (x x )p 2! n! 0 n p +1 ( n +1) + p n! (x n) f (n); (5:4:7) unde n = x0 + n(x x0 ); n 2 (0; 1). De nitia 5.4.4. Restul Rn (x) din formula (5.4.7), adi a (x x0 )p(x n)n p+1 f (n+1) ( ), Rn (x) = n p n! se numeste restul lui S hlomli h-Ro he, iar formula (5.4.7) se numeste formula lui Taylor u restul lui S hlomli h-Ro he. Pentru p = 1 obtinem restul lui Cau hy (x x0 )(x n)n f (n+1)( ), Rn (x) = n n! iar pentru p = n + 1 obtinem restuln+1lui Lagrange (x x0 ) f (n+1) ( ). Rn (x) = n (n + 1)!

Formula lui Taylor. Pun te de extrem

235

Pun tul intermediar n depinde de x; x0 ; n si p. De i ^n formula lui Taylor u restul lui Cau hy pun tul n este diferit de el din formula lui Taylor u restul lui Lagrange. Da a notam u h = x x0 atun i n = x0 + nh, iar formula lui Taylor (5.4.7) se s rie f (n) (x0 ) n f 0 (x0 ) h+


+ h + Rn , f (x0 + h) = f (x0 ) + 1! n! unde Rn poate navea una din formele h +1 (1 n )n p+1 (n+1) f (x0 + n h); (S hlomli h-Ro he), Rn = p n! hn+1 (1 n )n (n+1) f (x0 + n h); (Cau hy), Rn = n ! hn+1 (n+1) Rn = (n + 1)! f (x0 + nh); (Lagrange). Pentru x0 = 0 2 I formulele lui Taylor de mai sus sunt unos ute si sub numele de formulele lui Ma -Laurin si au formele urmatoare. Teorema 5.4.3. Da a f este derivabila de n ori ^n 0 2 I atun i exista  : I ! IR u xlim (x) = (0) = 0 astfel ^n ^at !0 f 00 (0) 2 f (n) (0) n (x)xn f 0 (0) x+ x +


+ x + ; 8 x 2 I. f (x) = f (0) + 1! 2! n! n! Teorema 5.4.4. Da a f este de (n + 1) derivabila pe I , (0 2 I ), atun i pentru 8 x 2 I si p 2 IN exista n uprins ^ntre 0 si x, n = n x, n 2 (0; 1) astfel Observatia 5.4.1.

^n ^at

f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n xn+1 (1 n )n p+1 (n+1) x+ x +


+ x + f (nx). f (x) = f (0)+ 1! 2! n! p n! Pentru p = 1 restuln+1de mai susn are forma x (1 n ) (n+1) f (nx), Rn (x) = n! iar pentru p = n + 1 obtinem xn+1 (n+1) Rn (x) = (n + 1)! f (nx), (n depinde de n si de x). Exemplul 5.4.1. Formula lui Ma -Laurin u restul lui Lagrange apli ata

pentru fun tiile f1 (x) = ex ; x 2 IR; f2 (x) = sin x; x 2 IR; f3 (x) = os x; x 2 IR, ne ondu e la formulele urmatoare. Pentru 8 x 2 IR avem x x2 xn xn+1 x x e = 1+ + +


+ + e ; 0 <  < 1, 1! 2! n! (n + 1)!

236

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala p X

sin x = ( k=1 2p 1 2 (0; 1), p X sin x = ( k=1 2p 2 (0; 1), p X

os x = ( k=0 2p 2 (0; 1), pX1

os x = ( k=0 2p 1 2 (0; 1).

2p

2k 1

1)k 1 (2xk 1)! + ( 1)p (2xp)! sin(2p 1 x); pentru n = 2p 1; 2k 1

2p+1

1)k 1 (2xk 1)! + ( 1)p (2xp + 1)! os(2p x); pentru n = 2p; 2p+1

2k

1)k (2xk)! + ( 1)p+1 (2xp + 1)! sin(2px); pentru n = 2p; 2k

2p

1)k (2xk)! + ( 1)p (2xp)! os(2p 1 x); pentru n = 2p 1;

4.2. Studiul pun telor de extrem u ajutorul derivatelor de ordin superior

Fie fun tia f : I  IR ! IR. Din Teorema 5.3.1 stim a ^ntr-un pun t de extrem din interiorul intervalului, ^n are f este derivabila, derivata fun tiei se anuleaza. Dar nu ori e pun t pentru are f 0(x) = 0 (pun t stationar) este pun t de extrem. Studiul pun telor de extrem pentru fun tia f ^l putem fa e e u ajutorul semnului derivatei de ordinul^nt^ai^n ve inatatea lui x0 , e u ajutorul derivatelor de ordin superior ale fun tiei f ^n x0 . Pentru metoda a doua prezentam urmatorul rezultat. Teorema 5.4.5. Fie f : I ! IR derivabila de n ori (n  2) ^ntr-un pun t x0 2 I astfel ^n ^at f 0 (x0 ) = 0; f 00 (x0 ) = 0;


; f (n 1) (x0 ) = 0; f (n) (x0 ) 6= 0. a) Da a n este par, atun i x0 este pun t de extrem pentru f si anume pun t de maxim da a f (n) (x0 ) < 0, si pun t de minim da a f (n) (x0 ) > 0. b) Da a n este impar, iar x0 este pun t interior al intervalului I , atun i x0 nu este pun t de extrem al fun tiei f .

Demonstratie. Din formula lui Taylor de ordinul n u restul lui Peano, ^n pun tul x0 2 I , avem

237

Formula lui Taylor. Pun te de extrem

f (n) (x0 ) (x) f (x) = f (x0 ) + ( x x0 )n + ( x x0 )n; x 2 I , n! n! unde  : I ! IR si xlim  ( x ) =  ( x ) = 0. De i 0 !x 0

f (x) f (x0 ) =

(x

x0 )n (n) [f (x

0 ) + (x)℄:

n!

(5:4:8)

(n) (n) Din proprietatile fun tiei  dedu em a xlim !x [f (x0 )+ (x)℄ = f (x0 ) 6= 0. Da a f (n) (x0) > 0 atun i din Teorema 4.1.11, g) rezulta a exista o ve inatate V a lui x0 astfel ^n ^at f (n) (x0 )+ (x) > 0; 8 x 2 V \ I . Da a f (n) (x0 ) < 0 atun i exista o ve inatate V a lui x0 astfel ^n ^at f (n) (x0 ) + (x) < 0; 8 x 2 V \ I . a) Da a n este par atun i rezulta a (x x0 )n  0; 8 x 2 I . Da a f (n)(x0 ) > 0, din relatia (5.4.8) dedu em a f (x) f (x0 ) > 0; 8 x 2 (V \I )nfx0 g , f (x0 ) < f (x); 8 x 2 (V \I )nfx0 g, adi a x0 este pun t de minim (stri t) pentru f . Da a f (n)(x0 ) < 0, din relatia (5.4.8) rezulta a f (x) f (x0 ) < 0; 8 x 2 (V \I )nfx0 g , f (x0 ) > f (x); 8 x 2 (V \I )nfx0 g, adi a x0 este pun t de maxim (stri t) pentru f . b) Sa presupunem a x0 este pun t interior intervalului I , iar n este impar. Atun i (x x0)n < 0 da a x < x0 si (x x0 )n > 0 da a x > x0 . Da a f (n)(x0 ) > 0 atun i f (n)(x0 ) + (x) > 0; 8 x 2 V , (putem onsidera ai i a V  I ), de unde rezulta a f (x) f (x0 ) < 0 , f (x) < f (x0 ) pentru x 2 V; x < x0 si f (x) f (x0 ) > 0 , f (x) > f (x0 ) pentru x 2 V; x > x0 . Dedu em astfel a x0 nu este pun t de extrem. Asemanator, da a f (n)(x0 ) < 0 atun i f (x) > f (x0 ); pentru x 2 V , x < x0 si f (x) < f (x0); pentru x 2 V , x > x0 . De i x0 nu este pun t de extrem al fun tiei f . Q.E.D. Conse inta 5.4.1. Fie f : I ! IR o fun tie derivabila de doua ori ^n x0 2 I ,

u f 0 (x0 ) = 0 si f 00 (x0 ) 6= 0. Da a f 00 (x0 ) < 0 atun i x0 este pun t de maxim, iar da a f 00 (x0 ) > 0 atun i x0 este pun t de minim. 0

238

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

Conse inta 5.4.2. Da a f : I ! IR este derivabila de doua ori ^ntr-un Æ pun t x0 2I si da a f are ^n x0 un minim, atun i f 00 (x0 )  0, iar da a f are ^n x0 un maxim atun i f 00 (x0 )  0. Conse inta 5.4.3. Da a f : I ! IR este derivabila de trei ori ^n pun tul Æ x0 2I si da a f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0, atun i x0 nu este pun t de extrem al fun tiei f . Exemplul 5.4.2. Sa onsider am fun tia 8 < xn ; x  0; f : IR ! IR; f (x) = : n 1 =x x + e ; x > 0; n 2 IN: ^In ori e pun t x 6= 0, f are derivate de ori e ordin , ind o fun tie elementara. ^In plus, al ul^and derivatele laterale ^n pun tul x = 0, obtinem 0 = f (0) = f 0(0) =


= f (n 1) (0) = f (n+1) (0) =


; iar f (n) (0) = n! > 0. Da a n este par atun i x = 0 este pun t de minim (global, deoare e f (0) = 0 < f (x); 8 x 2 IR ), iar da a n este impar atun i x = 0 nu este pun t de extrem

(este pun t de in exiune).

Exer it ii  si probleme

Sa se studieze derivabilitatea si sa se al uleze derivatele urmatoarele fun tii 8 < ln(x2 + 3x); da a 0 < x < 1; a) f : (0; 1) ! IR; f (x) = : 5 (x 1) + 2 ln 2; da a x  1:   4 tg x ; tg x sin x . b) f : IR ! IR; f (x) = max 2 8 < x2 ; da a x 2 Q;

) f : IR ! IR; f (x) = : 2 x ; da a x 2 IR n Q: 8 < x2 sin 1 ; da  a x 6= 0; x 2. Fie fun t ia f : IR ! IR; f (x) = : 0; da a x = 0: Sa se arate a f este derivabila pe IR, dar iei este dis ontinua ^n origine. 8 derivata fun t 1 + x > < ar tg ; da a x 6= 1; 1 x 3. Fie fun t ia f : IR ! IR, f (x) = > : 0; da a x = 1: Sa se arate a f nu este derivabila ^n x = 1, desi 9 xlim f 0(x). !1 1.

Exer itii si probleme

239

Sa se determine a; b 28IR astfel ^n ^at fun tia < x2 x + 1; da a x  0; f : IR ! IR; f (x) = : a sin x + b os x; da a x > 0; sa e derivabila pe IR. 5. S a se demonstreze pentru fun tiile f; g : I ! IR, (I interval), folosind indu tia matemati a, formula lui Leibniz-Newton n X (f (x)g(x))(n) = Cnk f (k) (x)g(n k) (x); n 2 IN k=0 si apoi sa se apli e pentru urmatoarele fun tii a) f (x) = ex sin x; x 2 IR; b) f (x) = xm ln x; x 2 IR+ ; m 2 IN ;

) f (x) = sin ax sin bx; x 2 IR; a; b 2 IR . 1 6. S a se demonstreze a polinoamele lui Ceb^asev Pn (x) = n 1 os(n ar

os x), 2 n 2 IN veri a e uatia (1 x2 )Pn00 (x) xPn0 (x) + n2 Pn (x) = 0. 1 7. S a se demonstreze a polinoamele lui Legendre Pn (x) = n [(x2 1)n ℄(n) ; 2 n! n = 0; 1; 2; : : : veri a e uatia (1 x2 )Pn00 (x) 2xPn0 (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0. 8. S a se studieze apli abilitatea teoremei lui Rolle (Teorema 5.3.3) pentru fun tia 8 < x2 + 1; da  a x 2 [ 1; 0℄; f : [ 1; 1℄ ! IR; f (x) = : x + 1; da a x 2 (0; 1℄: 9. S a se studieze apli abilitatea teoremei lui Lagrange (Teorema 5.3.6) pentru fun tia 8 p < x + 1; da a x 2 (0; 3℄; f : [ 4; 3℄ ! IR; f (x) = : x + 1; da a x 2 [ 4; 0℄: 2 10. S a se studieze apli abilitatea teoremei lui Cau hy (Teorema 5.3.5) pentru urmatoarele fun tii si apoi sa se 8determine onstanta din enuntul teoremei x3 > < x2 + 1; da a x 2 (1; 3℄; f : [0; 3℄ ! IR; f (x) = > 3 4 : x + ; da a x 2 [0; 1℄; 3 g : [0; 3℄ ! IR; g(x) = x. 11. S a se studieze apli abilitatea Teoremei 5.3.14 (regula lui l'Hospital) pentru fun tiile f (x) = x + sin x os x; g(x) = esin x (x + sin x os x) si pun tul limita x0 = +1. 4.

240

Cal ulul diferential al fun tiilor de o variabila reala

Sa se arate a pentru urmatoarele fun tii se poate apli a Teorema 5.3.12, dar nu se poate apli a Teorema8 5.3.13 < x2 ; da  a x 2 Q; a) f; g : IR ! IR; f (x) = : g(x) = sin x; ^n x0 = 0. 0; da a x 2 IR n Q; 8  < x2 sin 1 ; da  a x 6= 0;   x ; ! IR; f (x) = : g(x) = sin x; ^n x0 = 0. b) f; g : 2 2 0; da a x = 0; 13. S a se al uleze folosind regulile lui l'Hospital (Teoremele 5.3.12{5.3.16) urmatoarele limite 2  1=ln x 1  sin x x2 os x sin x a) xlim ; ; b) xlim !1 2 ar tg x !1 x ; )p xlim !0 x3 ! p x x x2 + x tg x sin x px ; e) lim ; f) lim (tg x)sin 2x . d) xlim x!1 x2 !0 sin3 x x!=2 x 3 < min x ; ; da a x 6= 0; x a) f : IR ! IR; f (x) = > : 0; da a x = 0; b) f : (0; 1) ! IR; f (x) = (x 1) ln x x;

) f : IR ! IR; f (x) = sin4 x os3 x. 23. ^ Intr-o sfera de raza data R sa se ^ns rie un ilindru de volum maxim. 24. S a se ir ums rie unei sfere un on av^and volumul minim. 25. S a se ^ns rie ^ntr-o sfera de raza R un trun hi de on av^and una din baze un

er mare si a) suprafata laterala maxima; b) suprafata totala maxima. 26. S a se gaseas a volumul maxim al unui on ^ns ris ^ntr-o sfera de raza R. 22.

Capitolul 6 CALCULUL DIFERENT  IAL AL FUNCT  IILOR DE MAI MULTE VARIABILE REALE 1. Diferent iale  si derivate part iale

1.1. Diferentiala si derivata partiala a unei fun tii ^ntr-un pun t

Fie fun tia f : D ! IR, D  IRn, (n  2), iar ~x0 = (x10 ; x20 ; : : : ; xn0 ) 2DÆ . De nitia 6.1.1. Fun tia f se numeste diferentiabila ^n ~x0 da a exista apli atia liniara df (~x0) : IRn ! IR, numita diferentiala fun tiei f ^n ~x0 si exista o fun tie  : D ! IR u proprietatile ~xlim (~x) = (~x0 ) = 0 astfel ^n ^at sa avem !~x relatia 0

f (~x) = f (~x0 ) + df (~x0 )(~x ~x0 ) + (~x)k~x ~x0 k;

8 ~x 2 D;

(6:1:1)

unde k
k este norma eu lidiana pe spatiul IRn. Lema 6.1.1. Da a fun tia  : D  IRn ! IR are limita 0 ^n pun tul ~x0 , atun i exista fun tiile 1 ; 2 ; : : : ; n de nite pe D are au limita 0 ^n ~x0 si are

veri a egalitatea

(~x)k~x ~x0 k = 1 (~x)(x1 x10 )+ 2(~x)(x2 x20 )+


n (~x)(xn xn0 ); 8 ~x 2 D. Re ipro , da a fun tiile 1 ; 2 ; : : : ; n de nite pe D au limita 0 ^n pun tul ~x0 , atun i exista o fun tie  : D ! IR u limita 0 ^n ~x0 are sa veri e egalitatea de mai sus.

Demonstratie. ~x0 = (x10 ; x20 ).

Vom fa e demonstratia pentru doua fun tii 1 ; 2 , iar

Sa presupunem mai ^nt^ai a avem fun tia  : D ! IR u

243

Diferentiale si derivate partiale

lim (x1; x2 ) = 0. De nim fun tiile 1 si 2 astfel x1 x10 x x ; 1 (x1 ; x2 ) = (x1 ; x2 ) 1 10 = (x1 ; x2 ) q k~x ~x0 k (x1 x10 )2 + (x2 x20 )2 x2 x20 x x ; 2 (x1 ; x2 ) = (x1 ; x2 ) 2 20 = (x1 ; x2 ) q k~x ~x0 k (x1 x10 )2 + (x2 x20 )2 (x1 ; x2) 6= (x10 ; x20 ). Atun i j1(x1 ; x2)j = j(x1; x2 )j jkx~x1 ~xx10kj  j(x1; x2 )j; 0 j x2 x20 j j2(x1 ; x2)j = j(x1; x2 )j k~x ~x k  j(x1; x2)j; 0 de i (x ;x )lim 1 (x1 ; x2 ) = 0; lim  (x ; x ) = 0. !(x ;x ) (x ;x )!(x ;x ) 2 1 2 ^In plus pentru (x1 ; x2 ) 6= (x10 ; x20 ) avem (x x )2 1 (x1 ; x2 )(x1 x10 ) + 2 (x1 ; x2 )(x2 x20 ) = (x1 ; x2 ) 1 10 + k~x ~x0 k 2 +(x1 ; x2) (xk2~x x~x20k) = (x1; x2 )k~x ~x0k. 0 Re ipro , presupunem a avem fun tiile 1 (x1; x2 ) si 2 (x1 ; x2) u lim  (x ; x ) = 0, i = 1; 2. De nim fun tia (x ;x )!(x ;x ) i 1 2  (x ; x )(x x ) + 2 (x1 ; x2 )(x2 x20 ) (x1 ; x2 ) = 1 1 2 1 10 ; (x1 ; x2 ) 6= (x10 ; x20 ). k~x ~x0k Atun i avem (x1 ; x2 )k~x ~x0 k = 1 (x1 ; x2 )(x1 x10 )+ 2 (x1 ; x2 )(x2 x20 ); 8 (x1 ; x2 ) 2 D si j(x1; x2)j  j1(x1 ; x2)j jkx~x1 ~xx10kj + j2(x1 ; x2 )j jkx~x2 ~xx20kj  0 0  j1(x1 ; x2)j + j2(x1 ; x2 )j, de unde rezulta a (x ;x )lim (x1 ; x2 ) = 0. Q.E.D. !(x ;x ) Pentru o fun tie , fun tiile 1 si 2 din Lema 6.1.1 nu sunt uni e. Folosind Lema 6.1.1, De nitia 6.1.1 se poate formula ^n mod e hivalent si astfel De nitia 6.1.2. Fun tia f este diferentiabila ^n ~x0 da a exista apli atia liniara df (~x0) : IRn ! IR si fun tia ~ : D ! IRn, ~ = (1; 2; : : : ; n) u lim ~ (~x) = ~ (~x0 ) = ~0 astfel ^n ^at ~x!~x (x1 ;x2 )!(x10 ;x20 )

1

1

2

2

10

10

20

1

20

1

0

2

10

20

2

10

20

244

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

f (~x) = f (~x0 ) + df (~x0 )(~x ~x0 )+ < ~ (~x); ~x ~x0 >; f (~x) = f (~x0 ) + df (~x0 )(~x ~x0 ) + 1 (~x)(x1 + : : : + n(~x)(xn xn0 );

8 ~x 2 D ,

x10 ) + 2 (~x)(x2 8 ~x 2 D:

x20 )+

(6:1:2)

Da a fun tia f este diferentiabila ^n ~x0 2DÆ atun i din (6.1.1) dedu em a lim f (~x) = f (~x0), (deoare e ~xlim df (~x0 )(~x ~x0 ) = 0), adi a fun tia f este on~x!~x !~x tinua ^n ~x0 . Exista fun tii ontinue are nu sunt diferentiabile. O fun tie are nu este ontinua ^ntr-un pun t ~x0 nu este diferentiabila ^n a el pun t. Æ De nitia 6.1.3. Da a fun tia f este diferentiabila ^n ~x0 2D , numim gradientul fun tiei f ^n ~x0 , notat rf (~x0 ) sau grad f (~x0 ) sau f 0 (~x0 ), matri ea fun tionalei liniare df (~x0) ^n raport u baza anoni a f~e1 ; ~e2; : : : ; ~eng din IRn. Da a df (~x0)(~ek ) = Ak ; k = 1; n, atun i rf (~x0 )= (A1; A2; : : : ; An) = A~ 2 IRn si pentru ori e ~h = (h1 ; h2; : : : ; hn) 2 IRn avem 0

0

n

X ~ ~h >=< rf (~x0 ); ~h >; df (~x0 )(~h) = Ai hi =< A; i=1

8 ~h 2 IRn:

(6:1:3)

Cu ajutorul gradientului, De nitia 6.1.1 este e hivalenta u De nitia 6.1.4. Fun tia f : D  IRn ! IR se numeste diferentiabila ^n Æ ~x0 2D da a exista A~ 2 IRn , notat si rf (~x0 ), numit gradientul fun tiei f ^n ~x0 , si exista fun tia  : D ! IR u ~xlim (~x) = (~x0 ) = 0 astfel ^n ^at !~x ~ ~x ~x0 > +(~x)k~x ~x0 k; 8 ~x 2 D , f (~x) = f (~x0 )+ < A; 0

f (~x) = f (~x0 ) +

n X i=1

Ai (xi

xi0 ) + (~x)k~x ~x0 k;

8 ~x 2 D:

(6:1:4)

De nitia 6.1.2 este atun i e hivalenta u De nitia 6.1.5. Fun tia f este diferentiabila ^n ~x0 da a exista A~ 2 IRn , notat si rf (~x0), numit gradientul fun tiei f ^n ~x0 si fun tia ~ : D ! IRn, ~ = (1 ; 2 ; : : : ; n ) u ~xlim ~ (~x) = ~ (~x0 ) = ~0 astfel ^n ^at !~x ~ ~x ~x0 > + < ~ (~x); ~x ~x0 >; 8 ~x 2 D , f (~x) = f (~x0 )+ < A; 0

f (~x) = f (~x0 ) +

n X i=1

Ai (xi

xi0 ) +

n X i=1

i (~x)(xi

xi0 );

8 ~x 2 D:

(6:1:5)

245

Diferentiale si derivate partiale

Proprietatea de diferentiabilitate este o proprietate lo ala a fun tiei; da a s himbam valorile fun tiei ^n afara unei ve inatati a pun tului ~x0 atun i proprietatea de diferentiabilitate nu se s himba. De i o fun tie este Æ diferentiabila ^n ~x0 2D da a are lo una din relatiile (6.1.1){(6.1.5) numai pe o ve inatate a pun tului ~x0 . De nitia 6.1.6. Fun tia f se numeste derivabila ^n raport u xk (k 2 f1; 2; : : : ; ng) ^n pun tul ~x0 2DÆ da a apli atia t ! f (~x0 + t~ek ) = f (x10 ; x20 ; : : : ; xk 1;0 ; xk0 + t; xk+1;0 ; : : : ; xn0 ); ~x0 + t~ek 2 D este derivabila ^n t = 0, adi a exista f (~x0 + t~ek ) f (~x0 ) f (x10 ; : : : ; xk0 + t; : : : ; xn0 ) f (x10 ; x20 ; : : : ; xn0 ) lim = lim t!0 t!0 t t (6:1:6) si este nita. Limita (6.1.6) se poate s rie e hivalent lim f (x10 ; x20 ; : : : ; xk ; : : : ; xn0) f (x10 ; x20 ; : : : ; xk0; : : : ; xn0) : (6:1:7) Observatia 6.1.1.

xk !xk0

xk

xk0

Da a f este derivabila ^n raport u xk ^n pun tul ~x0 , limita (6.1.6) sau (6.1.7) se numeste derivata partiala ^n raport u xk a fun tiei f ^n f (~x0 ) (se iteste "df la dxk ") sau fx0 k (~x0 ). De i pun tul ~x0 ; se noteaza u x De nitia 6.1.7.

k

f f (~x0 + t~ek ) f (~x0 ) ( ~x0 ) = lim : t!0 xk t

(6:1:8)

Æ

De nitia 6.1.8. Fie Ak D multimea pun telor ^n are f este derivabila ^n raport u variabila xk , (k 2 f1; 2; : : : ; ng). Da a Ak 6= ; atun i fun tia f (~x) 2 IR; ~x 2 Ak ; (6:1:9) xk se numeste derivata partiala a lui f ^n raport u variabila xk . Fun tia f poate admite n derivate partiale. Observatia 6.1.2. ^In azul parti ular al fun tiilor de doua variabile f : D ! IR, D  IR2 , ~x = (x10 ; x20 ), limita (6.1.8) pentru k = 1; 2 se s rie astfel ~x !

246

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

f (x10 + t; x20 ) f (x10 ; x20 ) f ( x10 ; x20 ) = lim = t!0 x1 t f (x1 ; x20 ) f (x10 ; x20 ) = x lim ; !x x1 x10 f f (x10 ; x20 + t) f (x10 ; x20 ) ( x10 ; x20 ) = lim = t!0 x2 t f (x10 ; x2 ) f (x10 ; x20 ) = x lim : !x x2 x20 Da a notam variabilele fun tiei u x si y, iar ~x0 = (x0 ; y0) avem f (x; y0) f (x0 ; y0) f , ( x0 ; y0) = xlim ! x x x x0 f f (x0 ; y ) f (x0 ; y0 ) ( x0 ; y0) = ylim . ! y y y y0 1

10

2

20

0

Se observa a tre erea la limita se fa e pe drumuri paralele u axele de

oordonate, (vezi Fig.1). 0

y

D pt fy

yo pt fx x 0

xo

Fig. 1

Exemplul 6.1.1.

Derivatele partiale ale fun tiei f (x; y) = xy ^n pun tul

(1; 1) sunt f (x; 1) f (1; 1) x+1 f (1 ; 1) = xlim = lim = 1, !1 x!1 x 1 x x 1 f (1; y ) f (1; 1) y+1 f (1 ; 1) = ylim = lim = 1. ! 1 y ! 1 y y+1 y+1 Observatia 6.1.3. Din ele de mai sus dedu em a derivata partiala a unei fun tii f ^n raport u o variabila se fa e deriv^and fun tia ^n raport u a ea variabila, a si um ar o fun tie de o singura variabila, pastr^and elelalte variabile

onstante. De nitia 6.1.9. O fun tie f : D  IRn ! IR se numeste diferentiabila pe

247

Diferentiale si derivate partiale

multimea A

DÆ (derivabila partial ^n raport u xk , (k 2 f1; 2; : : : ; ng), pe A)

da a f este diferentiabila (respe tiv derivabila partial ^n raport u variabila xk ) ^n ori e pun t ~x0 2 A. Folosind regulile de derivare de la fun tii de o variabila (Capitolul 5) putem astfel dedu e derivatele partiale ale unei fun tii pe multimile de de nitie orespunzatoare. Exemplul 6.1.2. Pentru fun tia f : D ! IR; D = f(x; y; z ) 2 IR3 ; x2 + z 2 6= 0g, f (x; y; z ) = xy 2 + x sin(y + z ) + ln(x2 + z 2 ); avem f 2x ( x; y; z ) = y 2 + sin(y + z ) + 2 2 , x x +z f (x; y; z) = 2xy + x os(y + z), y 2z f ( x; y; z ) = x os(y + z ) + 2 2 ; 8 (x; y; z ) 2 D. z x +z Legatura dintre diferentiabilitate si derivabilitate partiala este stabilita ^n teorema urmatoare. Teorema 6.1.1. Da a fun tia f : D  IRn ! IR este diferentiabila ^n Æ ~x0 2D atun i exista toate derivatele partiale ^n ~x0 si rf (~x0 ) =

!

f f f ( ~x0 ); ( ~x0 ); : : : ; (~x ) ; x1 x2 xn 0

(6:1:10)

n f X (~x0 )hi; 8 ~h =(h1 ; h2; : : : ; hn) 2 IRn: (6:1:11) df (~x0 )(~h) =< rf (~x0 ); ~h >= x i i=1 Demonstratie. Da a fun tia f este diferentiabila ^n ~x0 , atun i avem relatia (6.1.2). Lu^and ~x = ~x0 + t~xk , (k 2 f1; 2; :::; ng momentan xat) obtinem f (~x0 + t~ek ) = f (~x0 ) + df (~x0 )(t~ek ) + k (~x0 + t~ek )t ) f (~x0 + t~ek ) = f (~x0 ) + t df (~x{z0)(~ek )} +tk (~x0 + t~ek ): | Ak

^Impartind prin t 6= 0 relatia de mai sus obtinem f (~x0 + t~ek ) f (~x0 ) = A +  (~x + t~e ), t

k

k

0

k

248

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

f (~x0 ) = Ak . De i fun tia f este de unde pentru t ! 0 dedu em a exista x k derivabila ^n raport u xk ^n pun tul ~x0 . Deoare e k era arbitrar din multimea f1; 2; :::; ng rezulta a f are toate derivatele partiale ^n pun tul ~x0 si ! f f f rf (~x0 ) = x (~x0 ); x (~x0); : : : ; x (~x0 ) ; iar 1

2 n f (~x0 )hi ; 8 ~h = (h1 ; h2; : : : ; hn) 2 IRn: Q.E.D. df (~x0 )(~h) = x i i=1 Conse inta 6.1.1. Da a fun tia f nu admite o derivata partiala ^n raport n X

u una din variabile, atun i ea nu este diferentiabila.

Din Teorema 6.1.1 dedu em a diferentiala df (~x0) este uni a. Re ipro a Teoremei 6.1.1 nu este adevarata, dupa um vom vedea din exemplul urmator. Exemplul 6.1.3. Fun tia 8 xy > < ; (x; y ) 6= (0; 0); 2 2 f : IR ! IR, f (x; y )= > x + y 2 : 0; (x; y) = (0; 0); are derivate partiale ^n (0; 0), dar nu este diferentiabila ^n (0; 0). ^Intr-adevar f f (x; 0) f (0; 0) 0 = 0; (0 ; 0) = xlim = lim !0 x!0 x x x 0 f (0; y ) f (0; 0) 0 = 0. f (0 ; 0) = ylim = lim !0 y!0 y y y 0 Fun tia f nu are limita ^n pun tul (0; 0), (vezi Exemplul 4.1.2), de i nu este

ontinua si ni i diferentiabila ^n a est pun t. Exemplul 6.1.4. Sa onsideram fun tia f : IR ! IR, 8 p 1 > < x2 + y 2 os 2 2 ; (x; y ) 6= (0; 0); x +y f (x; y ) = > : 0; (x; y) = (0; 0): Din inegalitatea p p 1 2 2 2  x2 + y 2 ; 8 (x; y ) 2 IR n f(0; 0)g, x + y os 2 2 x +y dedu em a exista (x;ylim f (x; y ) = 0 = f (0; 0), de i f este ontinua ^n pun tul )!(0;0) (0; 0). Dar fun tia f nu are derivate partiale ^n (0; 0), deoare e j xj os x1 f (x; 0) f (0; 0) = xlim ; 6 9 xlim !0 !0 x 0 x 2

249

Diferentiale si derivate partiale

f (0; y ) f (0; 0) , de i f nu este diferentiabila ^n (0; 0). ^n mod asemanator 6 9 ylim !0 y 0 Sa onsideram fun tiile parti ulare pi de nite prin pi(~x) = xi , ~x 2 IRn, i = 1; n. A este fun tii pi proie teaza pe ~x pe axele Oxi , i = 1; n. Deoare e rpi(~x) = (0; 0; : : : ; 0; |{z} 1 ; 0 : : : ; 0) = ~ei; 8 ~x 2 IRn si i ~ ~ dpi(~x)(h) =< ~ei ; h >= hi ; 8 ~x 2 IRn ; 8 ~h 2 IRn , rezulta a diferentiala fun tiei pi este independenta de ~x. Am obtinut a dpi(~x) = pi; 8 ~x 2 IRn. Se noteaza dpi(~x) = dxi; i = 1; n (dxi = pi), de i dxi(~h) = hi, i = 1; n. ^In mod impropriu fun tiile dxi se numes diferentialele variabilelor independente.n Atun i n f X X f ~ ~ (~x0 )hi = x (~x0 )dxi(~h) df (~x0 )(h) =< rf (~x0 ); h >= x i i i=1 i=1 sau a egalitate de fun tii df (~x0 ) =

n X

f (~x0 )dxi: i=1 xi

(6:1:12)

   De nitia 6.1.10. Apli atia d = dx1 + dx2 +


+ dx , x1 x2 xn n prin are fun tiei f : D ! IRni se aso iaza diferentiala ei ^n ~x0 , adi a X f (~x0 )dxi f ! df (~x0 ) = i=1 xi

se numeste operatorul de diferentiere. Vom prezenta ^n ontinuare o teorema are ne da onditii su iente pentru diferentiabilitate. Teorema 6.1.2. (Criteriu de diferentiabilitate) Da a fun tia f : D ! IR, D  IRn , admite toate ele n derivate partiale pe o ve inatate V a pun tului Æ ~x0 2D si a estea sunt ontinue ^n ~x0 , atun i f este diferentiabila ^n ~x0 . Demonstratie. Vom fa e demonstratia ^n azul unei fun tii de doua variabile f = f (x; y), iar ~x0 = (x0 ; y0), azul general demonstr^andu-se ^n mod asemanator. Avem f (x; y ) f (x0 ; y0 ) = [f (x; y ) f (x; y0 )℄ + [f (x; y0 ) f (x0 ; y0 )℄; 8 (x; y) 2 V (= S ((x0; y0); r)).

250

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Vom apli a teorema lui Lagrange (Teorema 5.3.6) pentru fun tia '(y ) = f (x; y ) u x xat pe V (x0 ; y0 )x (ve inatatea V restr^ansa la x, adi a u x = onstant) si apoi pentru fun tia (x) = f (x; y0) pe V (x0 ; y0)y , (vezi Fig.2). Rezulta a exista  2 (y0; y) sau (y; y0) astfel ^n ^at f f (x; y ) f (x; y0 ) = '(y ) '(y0 ) = '0 ( )(y y0 ) = (x;  )(y y0 ) y si exista  2 (x0 ; x) sau (x; x0 ) astfel ^n ^at f (x; y0 ) f (x0 ; y0 ) = (x) (x0 ) = 0 ( )(x x0 ) = f (; y0)(x x0 ). x De i avem 0

f f f (x; y ) f (x0 ; y0 ) = (x;  )(y y0 ) + (; y0)(x x0 ) = y x f f = (x0 ; y0)(x x0) + y (x0 ; y0)(y y0)+ " x # " f f + x (; y0) x (x0 ; y0) (x x0 ) + f (x; ) y # f (x ; y ) (y y0); 8 (x; y) 2 V: y 0 0 y

D V(xo,yo)

V(xo,yo) x

(xo,yo)

yo h

y

(x,y)

x

0

xo

x x

V(xo,yo)y

o

Fig. 2

Sa onsider8am fun tiile > < f (; y ) 0 1 (x; y ) = > x :

f (x ; y ); (x; y) 2 V (x0; y0) n f(x0 ; y0)g; x 0 0 0; (x; y) = (x0 ; y0);

(6:1:13)

Diferentiale si derivate partiale 8 >
:

f (x; ) y

f (x ; y ); (x; y) 2 V (x0 ; y0) n f(x0 ; y0)g; y 0 0 0; (x; y) = (x0 ; y0):

251

Fun tiile de mai sus veri a onditiile f f lim 1 (x; y ) = (x0 ; y0 ) (x ; y ) = 0; deoare e  este ^ntre x0 (x;y)!(x ;y ) x x 0 0 este ontinua ^n si x, iar da a (x; y) ! (x0 ; y0) atun i (; y0) ! (x0 ; y0), iar f x (x0 ; y0); f f (x ; y ) = 0; deoare e  este ^ntre y0 lim 2 (x; y ) = (x0 ; y0 ) (x;y)!(x ;y ) y y 0 0 si y, iar da a (x; y) ! (x0 ; y0) atun i (x; ) ! (x0 ; y0), iar f este ontinua ^n y (x0 ; y0). Atun i relatia (6.1.13) devine f (x; y ) = f (x0 ; y0 ) + A1 (x x0 ) + A2 (y y0 ) + 1 (x; y )(x x0 )+ +2(x; y)(y y0); 8 (x; y) 2 V , f ( x0 ; y0 ), A2 = (x0 ; y0 ). Conform De nitiei 6.1.5 si Observatiei unde A1 = f x y 6.1.1 dedu em a fun tia f este diferentiabila ^n pun tul ~x0. Q.E.D. Re ipro a Teoremei 6.1.2 nu este adevarata, dupa um vom vedea din exemplul urmator. Exemplul 6.1.5. Fun tia f : IR2 ! IR, 8 1 ; (x; y) 6= (0; 0); > < (x2 + y 2 ) sin p x2 + y 2 f (x; y ) = > : 0; (x; y) 6= (0; 0); f este diferentiabila ^n (0; 0), dar derivatele sale partiale f  s i

are exista ^n x y ori e pun t (x; y) 2 IR2 nu sunt ontinue ^n (0; 0). ^Intr-adevar, din inegalitatea 1 2  x2 + y 2 , (x + y 2 ) sin p 2 2 x +y rezulta a 9 (x;ylim f (x; y ) = 0 = f (0; 0), de i f este ontinua ^n (0; 0). )!(0;0) Apoi derivatele partiale ale fun tiei f ^n origine sunt x2 sin jx1j f (x; 0) f (0; 0) f 1 = 0; A1 = (0; 0) = xlim = lim = lim x sin !0 x!0 x!0 x x x jxj 0

0

0

0

252

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

! 1 x sin  jxj ; jxj y 2 sin jy1j f f (0; y ) f (0; 0) 1 A2 = (0; 0) = ylim = lim = lim y sin = 0: ! 0 y ! 0 y ! 0 y y y jy j Pentru a arata a f este diferentiabila ^n (0; 0), (De nitia 6.1.4), vom arata

a exista o fun tie  : IR2 ! IR u proprietatile (x;ylim (x; y ) = (0; 0) = 0 )!(0;0) astfel ^n ^at p f (x; y ) = f (0; 0)+ A1 (x 0)+ A2 (y 0)+ (x; y ) x2 + y 2 ; 8 (x; y ) 2 IR2 . Impun^and onditia8 de mai sus, gasim pentru fun tia  urmatoarea forma px2 + y2 sin p 1 ; (x; y) 6= (0; 0); > < x2 + y 2 (x; y ) = > : 0; (x; y) = (0; 0): Deoare e px2 + y2 sin px21+ y2  px2 + y2; dedu em a exista lim (x; y) = 0 = (0; 0). De i fun tia  de mai sus satisfa e toate onditiile (x;y)!(0;0) din De nitia 6.1.4, de unde rezulta a f este diferentiabila ^n (0; 0). Derivatele part iale ale fun tiei f ^n raport u x si y sunt 8 1 x 1 ; (x; y) 6= (0; 0); > < 2x sin p p p

os f 2 2 2 2 2 x +y x +y x + y2 ( x; y ) = > x : 0; (x; y) = (0; 0); 8 1 y 1 ; (x; y) 6= (0; 0); > < 2y sin p p p

os f 2 2 2 2 2 x +y x +y x + y2 (x; y) = >: y 0; (x; y) = (0; 0): f (x; y) si Se arata, folosind de exemplu metoda drumurilor, a 6 9 (x;ylim )!(0;0) x f (x; y), de i ele doua derivate nu sunt ontinue ^n (0; 0). 6 9 (x;ylim )!(0;0) y f Conse inta 6.1.2. Da a derivatele partiale , i = 1; n, exista si sunt xi

ontinue pe A  D, (A des hisa), atun i f este diferentiabila pe A. Folosind De nitia 6.1.4 rezulta urmatoarea teorema. Æ Teorema 6.1.3. Da a f; g : D ! IR sunt diferentiabile ^n ~x0 2D (sau pe o Æ multime A D), iar ; 2 IR atun i si fun tiile f + g , fg , f=g (g 6= 0) sunt diferentiabile ^n ~x0 (respe tiv pe A) si d(f + g )(~x)= df (~x) + dg (~x); pentru ~x = ~x0 (respe tiv pentru ori e ~x 2 A),

253

Diferentiale si derivate partiale

d(fg )( ~x)= g (~x)df (~x)+ f (~x)dg (~x); pentru ~x = ~x0 ; (respe tiv pentru ori e ~x 2 A), ! g (~x)df (~x) f (~x)dg (~x) f ( ~x)= ; pentru ~x = ~x0 , (respe tiv pentru ori e d g g 2(~x) ~x 2 A). 1.2. Derivate partiale si diferentiale de ordin superior

Fie fun tia f : D ! IR, D  IRn, iar Ai DÆ , (Ai 6= ;) multimea pun telor ^n are f este derivabila ^n raport u variabila xi . De nitia 6.1.11. Da a derivata partiala a fun tiei f ^n raport u variabila xi , adi a fun tia f ~x ! (~x); ~x 2 Ai , xi Æ este derivabila ^n raport u variabila xj ^n pun tul ~x0 2Ai, vom spune a f este derivabila!de doua ori ^n pun tul ~x0 ^n raport u variabilele xi si xj . ^In a est az  f 2f ( ~x0 ) not = (~x ) ( itim "d doi f la dxj dxi") se numeste derivata xj xi xj xi 0 partiala de ordinul al doilea a fun tiei f ^n pun tul ~x0 ^n raport u variabilele xi si xj . Uneori derivata se mai noteaza u fx00ixj (~x0 ). 2 2f (~x0 ) not = xf2 (~x0), iar pentru i 6= j derivata de Da a i = j derivata x x i

2f

j

i

ordinul al doilea x x (~x0) se numeste derivata mixta. i

j

2

f Fun tia f poate avea n2 derivate partiale de ordinul al doilea x x , i j i; j = 1; n. Prin re urenta se de nes derivatele partiale de un ordin N ale fun tiei f ^n pun tul ~x0 2DÆ . Astfel ! N 1f  N f (~x ) = (~x0 ); xk xk


xkN 0 xk xk


xkN k1 ; k2 ; : : : ; kN 2 f1; 2; : : : ; ng, este derivata partiala de ordinul N a fun tiei f ^n pun tul ~x0 ^n raport u variabilele xkN ; xkN ; : : : ; xk . Exemplul 6.1.6. Fie fun tia f : IR3 ! IR, f (x; y; z ) = x2 yz + xy 2 z + xyz 2 . Avem f f ( x; y; z ) = 2xyz + y 2 z + yz 2 ; ( x; y; z ) = x2 z + 2xyz + xz 2 ; x y 1

2

1

2

1

1

254

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

f (x; y; z) = x2 y + xy2 + 2xyz; z2 !   f f ( x; y; z ) = (2xyz + y 2 z + yz 2 ) = 2yz ; ( x; y; z ) = 2 x x x ! x 2  f  f ( x; y; z ) = (x2 z + 2xyz + xz 2 ) = 2xz + 2yz + z 2 ; ( x; y; z ) = xy x y ! x   f 2f ( x; y; z ) = (2xyz + y 2z + yz 2 ) = 2xz + 2yz + z 2 ; ( x; y; z ) = yx y x y 3 8 (x; y; z) 2 IR , et . ^In exemplul de mai sus avem  2 f (x; y; z) =  2 f (x; y; z); 8 (x; y; z) 2 IR3 . xy yx

^In general derivatele mixte nu sunt egale, adi a derivarea nu este permutabila ^n raport u variabilele. Vom prezenta ^n ontinuare doua teoreme are dau onditii su iente pentru a derivatele mixte sa e egale. Teorema 6.1.4. (Criteriul lui S hwarz) Fie f : D ! IR, D  IRn , pentru 2f 2f si (i 6= j ) pe o ve inatate V a pun

are exista derivatele mixte xi xj xj xi Æ tului ~x0 2D. Da a a este derivate sunt ontinue ^n ~x0 atun i ele sunt egale ^n 2f 2f a est pun t ( ~x0 ) = (~x ). xi xj xj xi 0 Demonstratie. Si ai i vom fa e demonstratia pentru azul unei fun tii de doua variabile f : D ! IR, D  IR2 , f = f (x; y), ~x0 = 2(x0 ; y0). Prin2 ipoteza f f (x; y), yx (x; y), exista V (x0; y0) (S ((x0 ; y0); r))  D astfel ^n ^at exista xy 8 (x; y) 2 V si 2f 2f (x; y) = xy (x0 ; y0), 9 (x;y)!lim(x ;y ) xy 0

0

2

2

f f 9 (x;y)!lim(x ;y ) yx (x; y) = yx (x0 ; y0).

Sa onsideram expresia E (x; y ) = [f (x; y ) f (x0 ; y )℄ [f (x; y0) f (x0 ; y0)℄. Exista un interval I u y0 ^n interior astfel^n ^at pentru ori e v 2 I pun tele (x; v) si (x0 ; v) sa e ^n V . De nim fun tia '(v) = f (x; v) f (x0 ; v); v 2 I . Atun i E (x; y ) = '(y ) '(y0 ). Pentru x xat putem apli a fun tiei ' Teorema 5.3.6 pe intervalul [y; y0℄, deoare e derivabilitatea fun tiei ' revine la derivabilitatea lui f ^n raport u a doua variabila. Avem 0

0

255

Diferentiale si derivate partiale y

h

D

V (x,y) (x,h) (xo,yo)

x 0

x

Fig. 3

f f '0 (v ) = (x; v ) (x ; v), y y 0 de i 9  2 (y0; y) sau (y; y0) astfel ^n ^at " E (x; y ) = '(y ) '(y0 ) = '0 ( )(y

y0 ) =

f (x; ) y

#

f (x ;  ) (y y 0

y0 ) =

= ['1 (x) '1(x0 )℄(y y0), (u; ), u 2 J , iar J este un interval onvenabil ales u x0 ^n unde '1 (u) = f y interior. Fun tia '1 este derivabila, deoare e exista derivata!^n raport u2 x a derivatei  f f lui f ^n raport u y ^n pun tul (u; ), adi a 9 x ( u;  ) = (u; ). y xy Atun i exista  ^ntre x si x0 (vezi Fig.3) astfel ^n ^at 2f 0 (; )(x x0 )(y y0). '(y ) '(y0 ) = '1 ( )(x x0 )(y y0 ) = xy De i E (x; y ) =

2f (; )(x x0 )(y xy

y0 );

8 (x; y) 2 V n f(x0; y0)g:

(6:1:14)

Pe de alta parte vom s rie pe E (x; y) sub forma E (x; y ) = [f (x; y ) f (x; y0)℄ [f (x0 ; y ) f (x0 ; y0 )℄. Notam u (u) = f (u; y) f (u; y0). Atun i E (x; y) = (x) (x0 ). ^In mod asemanator obtinem pun tele  0 si 0,  0 ^ntre x si x0 , iar 0 ^ntre y si

256

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

y0 astfel ^n ^at

2f 0 0 ( ;  )(x x0 )(y E (x; y ) = yx

y0 );

8 (x; y) 2 V n f(x0; y0)g:

(6:1:15)

Din relatiile (6.1.14) si (6.1.15) rezulta

2f 2f 0 0 ( ;  )(x x0)(y y0 )= ( ;  )(x x0)(y y0); 8(x; y) 2 V nf(x0; y0)g; xy yx 2f 2f 0 0 de unde obtinem xy (; ) = yx ( ;  ). Pentru (x; y) ! (x0 ; y0) rezulta a (; ) ! (x0; y0) si ( 0; 0) ! (x0 ; y0), iar din ontinuitatea derivatelor mixte de ordinul al doilea ^n (x0 ; y0) dedu em a 2f 2f ( x0 ; y0) = (x ; y ) : Q.E.D. xy yx 0 0 Conse inta 6.1.3. Da a derivatele partiale mixte de ordinul al doilea ale Æ unei fun tii f : D ! IR, D  IRn , exista si sunt ontinue pe multimea A D, atun i ele sunt egale doua ^ate doua, adi a

2f 2f ( ~x) = (~x); xi xj xj xi

8 ~x 2 A; i; j = 1; 2; : : : ; n; u i 6= j .

Prin indu tie matemati a obtinem

Conse inta 6.1.4. Da a fun tia f : D ! IR, D  IRn , admite derivate Æ partiale p^ana la un anumit ordin N , ontinue pe A D, atun i ^n al ularea derivatelor partialep mixte nu onteaza ordinea de derivare, adi a pentru 8 p  N f pf (~x) = x x


x (~x); 8 ~x 2 A; xi xi


xip j j jp unde fj1 ; j2 ; : : : ; jp g este o permutare a indi ilor fi1 ; i2 ; : : : ; ip g. Teorema 6.1.5. (Criteriul lui Young) Da a fun tia f : D ! IR, D  IRn , f f si , u i 6= j pe o ve inatate V are derivate partiale de ordinul ^nt^ai xi xj Æ a pun tului ~x0 2D si da a a estea sunt diferentiabile ^n ~x0 , atun i derivatele 2f 2f si exista ^n ~x0 si sunt egale ^n partiale mixte de ordinul al doilea xi xj xj xi 2f 2f a est pun t ( ~x0 ) = (~x ). xi xj xj xi 0 Demonstratie. Demonstram teorema pentru azul unei fun tii de doua variabile f : D  IR2 ! IR, f = f (x; y), iar ~x0 = (x0 ; y0). Mai ^nt^ai, deoare e f  s i sunt diferentiabile^n ~x0 , din Teorema 6.1.1 dedu em derivatele partiale f x y 1

2

1

2

Diferentiale si derivate partiale

257 2

f ,

a exista toate derivatele partiale de ordinul al doilea ^n (x0 ; y0), de i si xy 2f ^n (x0 ; y0). yx Fie (x; y) 2 V

arbitrar, momentan xat, u x 6= x0 si y 6= y0. Consideram

din nou expresia E (x; y ) = [f (x; y ) f (x0 ; y )℄ [f (x; y0 ) f (x0 ; y0)℄ si fun tia '(v) = f (x; v) f (x0; v) de nita pe I u y0 interior. Fun tia ' este f ( x; v ) (x ; v). Atun i, onform Teoremei 5.3.6, derivabila pe I si '0 (v) = f y y 0 exista  ^ntre y0 si y astfel ^n ^at E (x; y ) = '(y ) '(y0) = '0 ( )(y y0 ), adi a " # " ! f f f f E (x; y ) = (x; ) y (x0 ; ) (y y0) = y (x; ) y (x0 ; y0) y f (x ;  ) y 0

!#

f (x ; y ) (y y0). y 0 0 fun tia f este diferentiabila ^n (x0; y0), y

Deoare e

onform De nitiei 6.1.5 rezulta ! !  f f  f f (x; ) y (x0 ; y0) = x y (x0 ; y0)(x x0 ) + y y (x0 ; y0)( y0)+ y +1(x; )(x x0 ) + 2(x; )( y0), unde (x;)!lim(x ;y ) i(x; ) = i(x0 ; y0) = 0; i = 1; 2. De asemenea ! ! f  f f  f (x ; ) y (x0 ; y0) = x y (x0 ; y0)(x0 x0 )+ y y (x0 ; y0)( y0)+ y 0 +3(x0 ; )(x0 x0 ) + 4(x0 ; )( y0), unde lim !y j (x0 ;  ) = !j (x0 ; y0 ) = 0; j = 3; 4. 2f Deoare e y f = , expresia E (x; y) se s rie x yx 0

0

0

"

2f 2f E (x; y ) = (x ; y )(x x0 ) + y2 (x0 ; y0)( y0) + 1 (x; )(x x0 )+ xy 0 0 # 2f +2(x; )( y0) y2 (x0 ; y0)( y0) 4 (x0 ; )( y0) (y y0) = " 2f = xy (x0 ; y0)(x x0) + 1(x; )(x x0 ) + 2(x; )( y0)

258

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale #

2f (x ; y )(x x0 )(y y0)+ 4 (x0 ;  )( y0 ) (y y0 ) = xy 0 0 +1 (x; )(x x0 )(y y0) + 5 (x; )( y0)(y y0), unde am notat u 5(x; ) = 2 (x; ) 4 (x0; ). De i lim  (x; ) = 5 (x0; y0) = 0. (x;)!(x ;y ) 5 ^In mod asemanator, onsider^and (u) = f (u; y) f (u; y0) si E (x; y ) = (x) (x0 ) = 0( )(x x0 ), unde  este ^ntre x0 si x, obtinem 2 f E (x; y ) = (x ; y )(x x0 )(y y0) + e 2(; y)(x x0 )(y y0)+ yx 0 0 +e 5 (; y)( x0 )(x x0 ) si (;y)!lim(x ;y ) e 2 (; y) = (;y)!lim(x ;y ) e 5 (; y) = 0. 0

0

Atun i obtinem 2f (x ; y )(x x0 )(y xy 0 0 0

2

0

0

0

y0 )+1(x;  )(x x0 )(y y0)+5 (x;  )( y0 )(y y0) =

f (x0 ; y0)(x x0 )(y y0)+ e 2(; y)(x x0)(y y0)+ e 5(; y)( = yx ^Impartind ambii membri ai egalitatii de mai sus u (x x0 )(y y 6= y0 ) dedu em

x0)(x x0 ). y0 ) (x 6= x0 ,

 y0  2 f  x0 2f = : ( x0 ; y0)+ 1 (x;  )+ 5 (x;  ) ( x0 ; y0 )+ e 2 (; y )+ e 5(; y ) xy x x0 yx y y0 (6:1:16) Sa onsider am (x; y) 2 V n f(x0 ; y0)g u x x0 = y y 0. Atun i dedu em    x y0  y0 jy y0 j x0 jx x0 j 0 =  =  = 1 ; iar = 1. y y0 x x0 jx x0 j x x0 y y0 jy y0 j Da a (x; y) ! (x02; y0) rezulta a  ! x0 si  ! y0, iar din (6.1.16) dedu em f 2f (x0 ; y0). Q.E.D.

a xy (x0 ; y0) = yx f f , , i 6= j Conse inta 6.1.5. Da a derivatele partiale de ordinul ^nt^ai xi xj Æ ale fun tiei f : D ! IR, D  IRn , exista pe A D si a estea sunt diferentiabile pe 2f 2f si exista A, atun i derivatele partiale mixte de ordinul al doilea xi xj xj xi pe A si sunt egale.

Prin indu tie matemati a dedu em

Conse inta 6.1.6. Da a fun tia f

:

D

! IR, D  IRn

admite toate

259

Diferentiale si derivate partiale

Æ derivatele partiale de ordinul N 1 pe o ve inatate V a pun tului ~x0 2D si a estea sunt diferentiabile ^n ~x0 , atun i exista toate derivatele partiale de ordinul N ^n ~x0 si

N f N f ( ~x0 ) = (~x ), xi xi


xiN xj xj


xjN 0 ori are ar permutarea fj1 ; j2 ; : : : ; jN g a indi ilor fi1 ; i2 ; : : : ; iN g. 1

2

1

2

Exista fun tii pentru are derivatele mixte sunt diferite, dupa um vom vedea din exemplul urmator. Exemplul 6.1.7. 8 Fun tia f : IR2 ! IR, de nita prin > xy (x2 y 2 ) > < ; da a (x; y ) 6= (0; 0); f (x; y ) = > x2 + y 2 > : 0; da a (x; y) = (0; 0); are derivate partiale de ordinul al doilea mixte ^n pun tul (0; 0), diferite. ^Intr-adevar 8 > x4 y + 4x2 y 3 y 5 > < ; da a (x; y ) 6= (0; 0); f ( x2 + y 2 )2 ( x; y ) = > x > : 0; da a (x; y) = (0; 0); 8 > x5 4x3 y 2 xy 4 > < ; da a (x; y ) 6= (0; 0); f ( x2 + y 2 )2 ( x; y ) = > y > : 0; da a (x; y) = (0; 0): Apoi ! f (x; 0) f (0; 0) x  f 2f y y x = 1; (0 ; 0) = xlim (0 ; 0) = = lim !0 x!0 x xy x y x 0 5 4

y f (0; y ) f (0; 0) 2f  f y x x (0; 0) = y x (0; 0) = ylim = ylim = 1: !0 !0 y yx y 0 2f 2f De i xy (0; 0) = 1 6= 1 = yx (0; 0). De nitia 6.1.12. Da a fun tia f : D ! IR, D  IRn are toate derivatele partiale de ordinul al doilea ^n pun tul ~x0 2DÆ , atun i matri ea, notata 2f H (f )(~x0 ) = (aij )i;j =1;n 2 Mn (IR), unde aij = (~x ), se numeste hessiana xj xi 0 sau matri ea lui Hesse a fun tiei f ^n ~x0 . De i !

5

4

260

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale 0 B B B B B B B B B B B 

2f 2f (~x ) ( ~ x ) x21 0 x2 x1 0 2f 2f ( ~x0 ) (~x ) x1 x2 x22 0 . .

2

1

f


x x (~x0 ) CC n 1 C 2f


x x (~x0 ) CCC

... 2 CCC 2 Mn(IR). C C 2 2 2 A f f f ( ~ x ) ( ~x0 ) ( ~x0 )


0 x1 xn x2 xn x2n Æ Fie fun tia f : D ! IR, D  IRn si e A D (A 6= ;) multimea pun telor ^n

are f este diferentiabila. Sa onsideram fun tia n f X (~x; ~h) ! df (~x)(~h) =< rf (~x); ~h >= x (~x)hi; i (6:1:17) i=1 n ~ ~ 8 (~x; h) 2 A  IR ; h = (h1 ; h2; : : : ; hn): Da a xam primul argument ~x 2 A ^n fun tia (6.1.17) obtinem diferentiala fun tiei f ^n pun tul ~x 2 A. Da a xam al doilea argument ^n fun tia (6.1.17) obtinem fun tia  : ~x ! df (~x)(~h) =< rf (~x); ~h >; ~x 2 A; (6:1:18) numita diferentiala fun tiei f orespunzatoare resterii ~h sau fun tia diferentialaÆ. De nitia 6.1.13. Fun tia f este diferentiabila de doua ori ^n pun tul ~x0 2A da a fun tia diferentiala de ordinul ^nt^ai (6.1.18) este diferentiabila ^n ~x0 pentru e are ~h 2 IRn. Deoare e f f f (~x)h1 + x (~x)h2 +


+ x (~x)hn; ~h 2 IRn, (~x) = df (~x)(~h) = x 1 2 n Æ rezulta a fun tia  este diferentiabila ^n ~x0 2A, pentru e are ~h 2 IRn da a si f numai da a fun tiile derivate partiale ~x ! x (~x), i = 1; n sunt diferentiabile i f ^n ~x0 . ^Intr-adevar, da a ~x ! x (~x), i = 1; n sunt diferentiabile ^n ~x0 , atun i i

onform Teoremei 6.1.3, rezulta a si ombinatia a estora, adi a fun tia  este diferentiabila ^n ~x0 , pentru 8 h1; : : : ; hn 2 IR. Re ipro , da a fun tia  este diferentiabila ^n ~x0 pentru 8 ~h 2 IRn, atun i lu^and ~h = (0; 0; : : : ; |{z} 1 ; : : : ; 0) H (f )(~x0 ) =

obtinem a ~x !

f (~x) xi

..

..

n

i

este diferentiabila ^n ~x0 , 8 i = 1; n. Rezulta astfel a

261

Diferentiale si derivate partiale

fun tia f este diferentiabila de doua ori ^n ~x0 2AÆ da a si numai da a toate fun tiile derivate partiale de ordinul ^nt^ai sunt diferentiabile ^n ~x0 . De i f are toate derivatele partiale de ordinul al doilea ^n ~x0 si , onform Teoremei 6.1.5, derivatele partiale de ordinul al doilea mixte ^n ~x0 sunt egale. Da a f este diferentiabila de doua ori^n ~x0 2AÆ , atun i prin diferentiala sa de ordinul al doilea ^n ~x0 , notata u d2 f (~x0 ) vom ^ntelege multimea diferentialelor fun tiilor  ^n ~x0 pentru ori e ~h 2 IRn, de i fun tiile ~k ! d(~x0 )(~k) =   (~x0 )k1 +   (~x0 )k2 +


+   (~x0 )kn = x1 x2 xn 2f 2f 2f = x2 (~x0 )h1 k1 + x x (~x0 )h2 k1 +


+ x x (~x0 )hnk1+

1 2 1 n 1 2f 2f 2f + x x (~x0 )h1k2 + x2 (~x0 )h2k2 +


+ x x (~x0 )hnk2 +


+ 2 1 2 n 2 2f 2f 2f (~x0)hnkn; ~k; ~h 2 IRn. + x x (~x0)h1 kn + x x (~x0 )h2kn +


+ x 2 n 1 n 2 n A easta familie de fun t  ii se identi  a

u fun t  ia de doua variabile ve toriale n n 2f 2f X X   d2 f (~x0 ) : (~h; ~k) ! (~x0)hj ki = x x (~x0 )hikj . i j i;j =1 xi xj i;j =1 ^In general se foloseste azul ~h = ~k. De i vom onsidera diferentiala a doua a fun tiei f ^n pun tul ~x0 , apli atia n X 2f d2 f (~x0 ) : IRn ! IR; d2 f (~x0 )(~h) = (~x0)hi hj ; ~h 2 IRn; (6:1:19) x x i j i;j =1

sau a egalitate de fun tii d2 f (~x0 ) =

2f (~x0 )dxi dxj ; i;j =1 xi xj n X

(6:1:20)

ultima ind o forma patrati a pe spatiul IRn ^n diferentialele dxi, i = 1; n ale fun tiilor pi(~x) = xi ; i = 1; n. Expresiile (6.1.19) si (6.1.20) ne du u g^andul la operatia de ridi are la patrat. Astfel este motivata introdu erea exponentului, notat f2g si s rierea relatiilor (6.1.19) si (6.1.20) sub forma unor puteri simboli e !f2g    2 ~ h + h +


+ h f (~x0 ); ~h 2 IRn , d f (~x0 )(h) = x 1 x 2 x n 1

2

n

262

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

!f2g    dx + dx +


+ dx f (~x0 ). x1 1 x2 2 xn n Prin re urenta fun tia f este de N ori diferentiabila ^ntr-un pun t ~x0 da a ea are toate derivatele partiale de ordinul (N 1) pe o ^ntreaga ve inatate V a lui ~x0 si a estea sunt diferentiabile ^n ~x0 . Diferentiala de ordinul N a fun tiei f

d2 f (~x0 ) =

este fun tia

dN f (~x0 ) : IRn  IRn 


 IRn ! IR; N X N f (2) (N ) dN f (~x0 )(~h(1) ; ~h(2) ; : : : ; ~h(N ) ) = (~x0)h(1) i hi


hiN , x x


x i i iN i ;i ;:::;iN =1 ( i) (i) n ( i ) ( i ) ~ unde h = (h1 ; h2 ; : : : ; hn ) 2 IR ; i = 1; N . Da a variabilele sunt egale ~h(i) = ~h, i = 1; n, vom onsidera diferentiala de ordinul N a fun tiei f ^n ~x0 apli atia 1

dN f (~x0 ) : IRn ! IR; N X dN f (~x0 )(~h) =

1

2

N f (~x0)hi hi


hiN i ;i ;:::;iN =1 xi xi


xiN !fN g    h + h +


+ h f (~x0 ): x1 1 x2 2 xn n 1

=

1

2

1

1

2

2

2

2

=

(6:1:21)

Ca egalitate de fun tii avem dN f

N X

N f (~x0 )dxi dxi


dxiN i ;i ;:::;iN =1 xi xi


xiN !fN g    dx + dx +


+ dx f (~x0 ); x1 1 x2 2 xn n

(~x0 ) =

1

1

=

1

2

2

2

=

(6:1:22)

are este o forma N -liniara pe spatiul IRn ^n diferentialele dxi , i = 1; n. Folosind formula multinomialaX N! xk1 xk2


xknn , (x1 + x2 +


+ xn)N = k +k +


+kn =N k1 !k2 !


kn ! relatia (6.1.22) se mai s rie X N! N f dN f (~x0 )= x0 )dxk1 dxk2


dxknn . k xk


xkn (~ k ! k !


k ! x n 1 2 k +k +


+kn =N 1 2 n De nitia 6.1.14. O fun tie f : D ! IR, unde D este o multime des hisa din IRn, este de lasa C k pe D da a f are toate derivatele partiale p^ana la ordinul k in lusiv ontinue pe D. 1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

263

Diferentiale si derivate partiale

Multimea fun tiilor de lasa C k pe D se noteaza C k (D). Prin C 0(D)  C (D) vom ^ntelege multimea fun tiilor ontinue pe D. Sa onsideram o fun tie ve toriala f~ : D  IRn ! IRm , f~ = (f1 ; f2; : : : ; fmÆ)

u fj : D ! IR; j = 1; mÆ. Vom spune a fun tia f~ este diferentiabila ^n ~x0 2D (sau pe o multime A D) da a toate fun tiile omponente f1; f2; : : : ; fm sunt diferentiabile ^n ~x0 (respe tiv pe Æmultimea AÆ ). Asemanator, spunem a fun tia f~ este derivabila partial ^n ~x0 2D (pe A D) da a fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fm sunt derivabile partial ^n ~x0 (respe tiv pe A). ^In a est az apar mn derivate partiale fj , i = 1; n, j = 1; m. De i ration^and pentru e are din ele m fun tii u valori xi reale, putem studia diferentiabilitatea si derivabilitatea fun tiei ve toriale f~. Da a fun tia f~ : D  IRn ! IRm , f~ = (f1; f2; : : : ; fm ) are fj toate derivatele partiale x , j = 1; m, i = 1; n, ^n pun tul ~x0, atun i matri ea i ! fj 2 Mmn(IR) se numeste gradientul fun tiei f~ ^n ~x0 sau ia obiana xi j =1;m; i=1;n fun tiei f~, notata rf~(~x0 ). De i De nitia 6.1.15.

0

rf~(~x0 ) =

B B B B B B B B B B 

f1 (~x ) x1 0 f2 (~x ) x1 0 .

.. fm (~x ) x 0 1

f1 (~x ) x2 0 f2 (~x ) x2 0 .









.. fm (~x )


x 0 2

f1 (~x ) xn 0 f2 (~x ) x 0

1 C C C C C C C C C C A

2 Mmn(IR). ... fm (~x ) x 0 n

n

Da a fun tia f~ : D  IRn ! IRn, f~ = (f1; f2; : : : ; fn) j are toate derivatele partiale f (~x ), i; j = 1; n, ^n pun tul ~x0, determinantul xi 0 gradientului fun tiei f~ ^n ~x0 , notat DD((xf1;; xf2 ;; :: :: :: ;; fxn)) (~x0 ) se numeste ia obianul 1 2 n ~ sau determinantul fun tional al fun tiei f ^n ~x0 . De i De nitia 6.1.16.

264

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

D(f1 ; f2 ; : : : ; fn) (~x ) = det rf~(~x0 ) = D(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 0 1.3. Derivata dupa o dire tie



f1 (~x ) x1 0 f2 (~x ) x1 0 .

.. fn (~x ) x 0 1

f1 (~x ) x2 0 f2 (~x ) x2 0 .









.. fn (~x )


x 0 2

f1 (~x ) xn 0 f2 (~x ) x 0

... fn (~x ) x 0 n

n



:

Fie fun tia f : D ! IR, D  IRn, ~x0 2DÆ , iar ~! 2 IRn, ~! = (!1; !2; : : : ; !n)

u k~!k = 1, (unde k
k este norma eu lidiana). De nitia 6.1.17. Spunem a fun tia f este derivabila ^n raport u ~! ^n pun tul ~x0 da a fun tia t ! f (~x0 + t~!), ~x0 + t~! 2 D, t > 0 este derivabila la dreapta ^n pun tul t = 0. ^In a est az derivata a estei fun tii la dreapta ^n t = 0 df (~x ). se numeste derivata fun tiei f ^n raport u ~! ^n ~x0 si se noteaza d~ ! 0 Teorema 6.1.6. Da a fun tia f~ : D  IRn ! IR este diferentiabila ^n Æ ~x0 2D atun i f este derivabila ^n raport u ori e ~! ^n pun tul ~x0 si df (~x ) = df (~x0)(~!) =< rf (~x0); ~! >. d~! 0 Demonstratie. Din De nitia 6.1.1 avem f (~x) = f (~x0 ) + df (~x0 )(~x ~x0 ) + (~x)k~x ~x0 k; 8 ~x 2 D, unde  : D ! IR are proprietatile ~xlim (~x) = (~x0 ) = 0. !~x Luam ^n relatia de mai sus ~x = ~x0 + t~!, t > 0 si obtinem f (~x0 + t~! ) = f (~x0 ) + df (~x0 )(t~! ) + (~x0 + t~!)kt~!k ) f (~x0 + t~! ) f (~x0 ) = t df (~x0 )(~!) + jtj(~x0 + t~! ); (k~!k = 1). De i f (~x0 + t~!t) f (~x0) = df (~x0)(~!) + (~x0 + t~!). Tre ^and la limita pentru t ! 0 obtinem f (~x0 + t~! ) f (~x0 ) df ( ~x0 ) = lim = df (~x0)(~!) =< rf (~x0 ); ~! > : Q.E.D. t!0 d~! t Exemplul 6.1.8. ia f : IR2 ! IR, de nita prin 8 Fie fun t xy > < ; da a (x; y ) 6= (0; 0); f (x; y ) = > x2 + y 2 : 0; da a (x; y) = (0; 0): Sa studiem existenta derivatei fun tiei f ^n pun tul (0; 0) dupa versorul ~v = ( os ; sin ),  2 [0; 2 ). Conform De nitiei 6.1.17 avem 0

265

Fun tii ompuse

t2 sin  os  . sin  os  sin2 f ((0; 0) + t~v ) f (0; 0) = = 2t . 2 2 2 2 t= t t t os  + tsin  Da a sin2 = 0, de i  2 0; 2 ; ; 32 atun i exista f ((0; 0) + t~v ) f (0; 0) df (0 ; 0) = lim = 0. t!0 d~v t   df Da a sin2 6= 0, de i  2 [0; 2) n 0; 2 ; ; 32 atun i 6 9 d~ (0; 0). v 2. Fun t ii ompuse

2.1. Diferentiala si derivatele partiale de ordinul ^nt^ai ale fun tiilor ompuse

Fie fun tiile '~ : D  IRn ! IRm ; ~x =(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ! ~u = '~ (~x)=('1 (~x); : : : ; 'm (~x)); ~x 2 D si f : E  IRm ! IR; ~u = (u1; u2; : : : ; um) ! y = f (~u) 2 IR; ~u 2 E , unde D si E sunt multimi des hise, iar '~ (D)  E . De nim fun tia ompusa F = f Æ '~ : D ! IR, ~x ! y = F (~x) = (f Æ '~ )(~x) = f ('~ (~x)) = f ('1 (~x); : : : ; 'm (~x)); ~x 2 D. Teorema 6.2.1. Da a fun tiile 'j , j = 1; m sunt diferentiabile ^n ~x0 2 D, iar fun tia f este diferentiabila ^n ~u0 = '~ (~x0 ) 2 E , uj 0 = 'j (~x0 ), j = 1; m, atun i fun tia ompusa F = f Æ ' ~ este diferentiabila ^n pun tul ~x0 . ^In plus dF (~x0 ) =

m X

f (~u0)d'j (~x0 ); j =1 uj

m f X F ' ( ~x0 ) = ( ~u0 ) j (~x0 ); i = 1; n: xi xi j =1 uj

(6:2:1) (6:2:2)

Demonstratie. Din diferentiabilitatea fun tiei f ^n ~u0 si j = 1; m ^n ~x0 , avem ( onform De nitiei 6.1.1 si Teoremei 6.1.1) f (~u) f (~u0 ) =

m X

f (~u0)(uj j =1 uj

uj 0 ) + (~u)k~u ~u0 k1 ;

a fun tiilor 'j ,

8 ~u 2 E;

(6:2:3)

266

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

u  : E ! IR; ~ulim (~u) = (~u0) = 0 si !~u 0

'j (~x) 'j (~x0 ) =

n X

'j (~x0 )(xi i=1 xi

xi0 ) + j (~x)k~x ~x0 k2 ;

8 ~x 2 D; (6:2:4)

u j : D ! IR; ~xlim  (~x) = j (~x0 ) = 0, j = 1; m, !~x j unde k
k1 si k
k2 sunt normele eu lidiene ^n spatiile IRm , respe tiv IRn. ^Inlo uind relatia (6.2.4) ^n (6.2.3), adi a lu^and ~u = '~ (~x), uj = 'j (~x), ~u0 = '~ (~x0 ), uj 0 = 'j (~x0 ), obtinem " n ' m f X X j ( 'j (~x0 )) (~x )(x x )+ F (~x) F (~x0 ) = f ('~ (~x)) f ('~ (~x0 )) = u x 0 i i0 0

+j (~x)k~x sau 0

~x0 k2 F (~x)

m X

#

+ ('~ (~x))k'~ (~x) n X

0

j =1

i=1

j

'~ (~x0 )k1 1

m X

' f ( ~u0 ) j (~x0 )A (xi F (~x0 ) =  xi i=1 j =1 uj

i

xi0 )+

1

f (~u0)j (~x)A k~x ~x0k2 + ('~ (~x))k'~ (~x) '~ (~x0 )k1 = +  u j j =1 0 1 n X m f X j (~x0 )A (xi xi0) + (~x); 8 ~x 2 D, =  u (~u0) ' x j i i=1 j =1 unde  : D ! IR0este fun tia 1 m f X (~x) =  u (~u0)j (~x)A k~x ~x0 k2 + ('~ (~x))k'~ (~x) '~ (~x0)k1 . j j =1 De nim8fun t  ia  : D ! IR prin m f X k'~ (~x) '~ (~x0 )k1 ; ~x 6= ~x ; > > < ( ~u0 )j (~x) + ('~ (~x)) 0 k~x ~x0 k2 (~x) = >> j=1 uj : 0; ~x = ~x0 :

Evident atun i avem

F (~x)

n X

0

m X

1

' f F (~x0 ) =  ( ~u0 ) j (~x0 )A (xi xi i=1 j =1 uj

xi0 ) + (~x)k~x ~x0 k2 ;

8 ~x 2 D:

(6:2:5) Ram^ane sa aratam a  veri a onditiile ~xlim (~x) = (~x0 ) = 0. A doua !~x

onditie este ^ndeplinita (din de nitia lui ). Sa o veri am a um pe prima. 0

267

Fun tii ompuse

Avem

0

1

m f X f A  (~u0)j (~x) = u (~u0) ~xlim  (~x) = 0: lim !~x j ~x!~x j =1 uj j j =1 m X

Apoi k'~ (~x)

+jj (~x)jk~x 

=

'~ (~x0 )k1  ~x0 k2

#

2 0 n X m X j 6  4 i i=1 j =1 82 0 > > n X m < X j 6  4 > > i : i=1 j =1



' (~x ) x 0

De i k'~ (~x) k~x

m X

j ( ) 'j (~x0 )j 

'j ~x j =1 0 n X m ' X i=1



j =1



(~x ) xi 0

3 12 1=2 n X A 7 5

i=1

3 12 1=2 A 7 5

' (~x ) x 0

'~ (~x0 )k1 ~x0 k2

iar k'~ (~x) (' ~ (~x)) k~x

(6:2:6)

0

0

2

 64

n X i=1

1

'~ (~x0 )k ~x0 k2

j

1 A

m " X n X j =1 i=10

'j (~x )(x xi 0 i

!1=2

jxi xi0 j2 m X

9 > > =

j =1

;



m ' X j =1



j

xi

j('~ (~x))j

1

+

jxi xi0 j +  jj (~x)jA k~x ~x0 k2 

+

0 m X 

j =1

+ jj (~x)j>> k~x

0

m X

xi0 )



(~x0 )

1

jj (~x)jA k~x ~x0 k2 =

~x0 k2 .

3 12 1=2 A 7 5

82 0 > > n X m

> : i=1 j =1

j =1

m X

+ jj (~x)j; ~x =6 ~x0, j =1

'j (~x ) xi 0

3 12 1=2 A 7 5

m X

9 > > =

j =1

;

+ jj (~x)j>>.

Deoare e limita pentru ~x ! ~x0 a fun tiei din membrul drept al inegalitatii de mai sus este 0, dedu em a k'~ (~x) '~ (~x0 )k1 = 0, lim  ( ' ~ ( ~ x )) ~x!~x k~x ~x0k2

are ^mpreuna u (6.2.6) ne dau ~xlim (~x) = 0. !~x Din relatia (6.2.5) rezulta a fun tia F = f Æ '~ este diferentiabila ^n ~x0 si derivatele sale partiale ^n ~x0msunt X f F ' ( ~x0 ) = ( ~u0 ) j (~x0 ); i = 1; n. xi xi j =1 uj Diferentiala fun tiei F ^n ~x0 este 0 1 n X m f n F X X ' j (~x ) dx =  u (~u0) x (~x0 )A dxi = dF (~x0 ) = x 0 i 0

0

i j i j =1 i=1 !i=1 m n ' X X f f = u (~u0) xj (~x0 ) dxi = u (~u0) d'j (~x0 ): j i j j =1 i=1 j =1 m X

Q.E.D.

268

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Observatia 6.2.1. ^In formulele (6.2.2) am al ulat derivata partiala a fun tiei ompuse F = f Æ '~ ^n raport u variabila xi , deriv^and pe r^and ^n raport u a ea variabil a (xi ) prin intermediul e areia din variabilele initiale uj , ! f 'j si adun^and apoi rezultatele. j = 1; m uj xi

Vom prezenta ^n ontinuare ^ateva azuri parti ulare ale formulelor (6.2.1) si (6.2.2). 1. Pentru m = n = 1 avem fun tiile ' : D  IR ! IR, f : E  IR ! IR u '(D)  E si fun tia ompusa F = f Æ ' : D ! IR, F (x) = (f Æ ')(x) = f ('(x)), iar x0 2 D, u0 = '(x0 ) 2 E . Atun i dF (x0 ) = d(f Æ')(x0 ) = f 0 (u0 ) d'(x0 ) si F 0 (x0 ) = (f Æ')0(x0 ) = f 0 (u0 )'0 (x0 ). 2. Pentru m 2 IN , m  2 si n = 1 avem fun tiile '~ : D  IR ! IRm , '~ = ('1 ; '2 ; : : : ; 'm ), f : E ! IR u '~ (D)  E si fun tia ompusa F = f Æ '~ : D ! IR, F (x) = (f Æ '~ )(x) = f ('~ (x)), iar x0 2 D, ~u0 = '~ (x0 ) 2 E . Atun i m X f (~u ) d' (x ) si dF (x0 ) = d(f Æ '~ )(x0 ) = u 0 j 0 j =1

m X

j

f (~u0)'0j (x0 ). u j j =1 Da a m = 2 pentru fun tia F (x) = (f Æ '~ )(x) = f ('1(x); '2(x)), u ~u0 = '~ (x0 ) = ('1 (x0 ); '2 (x0 )) avem f f ( ~u0 ) d'1 (x0 ) + (~u ) d' (x ) si d(f Æ '~ )(x0 ) = u1 u2 0 2 0 f f F 0 (x0 ) = ( ~u0 )'01 (x0 ) + (~u )'0 (x ). u1 u2 0 2 0 Am al ulat derivata fun tiei F prin intermediul derivatelor partiale ale lui f . 3. Pentru n 2 IN , n  2 si m = 1 avem fun tiile ' : D  IRn ! IR, f : E  IR ! IR, u '(D)  E si fun tia ompusa F = f Æ ' : D ! IR, F (~x) = (f Æ ')(~x) = f ('(~x)), iar ~x0 2 D, u0 = '(~x0 ). Atun i dF (~x0 ) = d(f Æ ')(~x0 ) = f 0 (u0 ) d'(~x0 ) si ' F ( ~x0 ) = f 0 (u0 ) (~x0 ); i = 1; n. xi xi Da a n = 2 pentru fun tia F (~x) = (f Æ ')(~x) = f ('(~x)), u ~x0 = (x10 ; x20 ) 2 IR2 , u0 = '(~x0 ) avem F 0 (x0 ) = (f Æ '~ )0 (x0 ) =

269

Fun tii ompuse

dF (~x0 ) = d(f Æ ')(~x0 ) = f 0 (u0 ) d'(~x0 ) si ' F ' F ( ~x0 ) = f 0 (u0 ) (~x0 ); ( ~x0 ) = f 0 (u0 ) (~x0 ). x1 x1 x2 x2 Conse inta 6.2.1. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m sunt diferentiabile pe D, iar f este diferentiabila pe E ( u ' ~ (D)  E ), atun i fun tia ompusa F = f Æ '~ este diferentiabila pe D si au lo formulele (6.2.1) si (6.2.2) pentru 8 ~x 2 D. Conse inta 6.2.2. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale ontinue pe D, iar fun tia f are derivate partiale ontinue pe E , atun i fun tia

ompusa F = f Æ ' ~ are derivate partiale ontinue pe E . ' f ; j = 1; m sunt Demonstratie. Deoare e j , i = 1; n, j = 1; m, si xi uj

ontinue, rezulta a 'j ; j = 1; m si f sunt diferentiabile (de i si ontinue). Atun i rezulta a fun tia ompusa F = f Æ '~ este diferentiabila , iar din formulele (6.2.2)

dedu em a derivatele sale partiale sunt ontinue. Q.E.D. Teorema 6.2.2. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale ^n raport

u variabila xi (i = 1; n) ^n pun tul ~x0 2 D, iar fun tia f este diferentiabila ^n pun tul ~u0 = ' ~ (~x0 ) 2 E atun i fun tia ompusa F = f Æ '~ are derivata partiala

^n raport u xi ^n pun tul ~x0 , data de formula

m f X F ' ( ~x0 ) = ( ~u0 ) j (~x0 ). xi xi j =1 uj Demonstratie. Conform ipotezei, avem 'j 'j (~x0 + t~ei ) 'j (~x0 ) 'j (~x0 + t~ei ) uj 0 ( ~x0 ) = lim = lim ; j = 1; m. t!0 t!0 xi t t Apoi din diferentiabilitatea lui f ^n pun tul ~u0, avem (vezi (6.2.3)) m f X f (~u) f (~u0 ) = (~u0)(uj uj0) + (~u)k~u ~u0k1; 8 ~u 2 E , j =1 uj

u  : E ! IR, ~ulim (~u) = (~u0 ) = 0. !~u Atun i F (~x0 + t~eti ) F (~x0) = = (f Æ '~ )(~x0 + t~eti) (f Æ '~ )(~x0) = f ('~ (~x0 + t~ei ))t f ('~ (~x0 )) = 0 1 m f X 1 = t  u (~u0)('j (~x0 + t~ei ) uj0) + ('~ (~x0 + t~ei ))k'~ (~x0 + t~ei) '~ (~x0 )k1A = j j =1

m

' X f x0 + t~ei ) '~ (~x0 )

'j (~x0 + t~ei ) 'j (~x0 )

~ (~

: + ('~ (~x0 + t~ei))

= u (~u0)

t t j j =1 1 0

270

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Fun tiile t ! 'j (~x0 + t~ei ) sunt ontinue ^n 0 ('j sunt derivabile ^n raport u xi ^n ~x0 ), j = 1; m, iar  este ontinua ^n pun tul orespunzator ~u0 . Rezulta a fun tia ompusa t ! ('~ (~x0 + t~ei)) este ontinua ^n 0 si lim ('~ (~x0 + t~ei )) = 0. t!0 Deoare e k
k este o fun tie ontinua, tre ^and la limita ^n relatia obtinuta mai sus, obtinem m f F (~x0 + t~ei ) F (~x0 ) X 'j (~x0 + t~ei ) 'j (~x0 ) lim ( ~ u ) lim = + 0 t!0 t!0 t uj t j =1

m f

'~ (~x0 + t~ei ) '~ (~x0 )

X

(~u ) 'j (~x ),

= + lim ('~ (~x + t~e )) lim t!0

0

i

t!0

t

1

j =1 uj

0 x 0 i

F de i x (~x0 ) exista, este nita si este data de formula din enuntul teoremei. i Q.E.D. Conse inta 6.2.3. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale pe D, iar fun tia f este diferentiabila pe E , atun i fun tia ompusa F = f Æ ' ~ are derivate partiale pe E date de formulele (6.2.2). Exemplul 6.2.1. Sa onsideram fun tiile z = z (t), t(x; y ) = bx ay si fun tia ompusa F (x; y ) = z (t(x; y )) = z (bx ay ). Atun i onform pun tului 3 de la azurile parti ulare ( u f  z, '  t) avem t F t F ( x; y ) = z 0 (t) (x; y ) = bz 0 (bx ay ); ( x; y ) = z 0 (t) (x; y ) = x x y y 0 = az (bx ay), iar diferentiala fun tiei F este dF (x; y ) = z 0 (t) dt(x; y ) = z 0 (t)(b dx a dy ) = bz 0 (t) dx az 0 (t) dy , ( u t(x; y) = bx ay). 1 Exemplul 6.2.2. Sa onsideram fun tiile f = f (u; v ), u(t) = t2 , v (t) = si t fun tia ompusa   1 2 F (t) = f (u(t); v (t)) = f t ; . t Atun i onform pun tului 2 de la azurile parti ulare ( u x t) avem f f f 2 1 F 0 (t) = (u(t); v (t))u0(t) + (u(t); v (t))v 0(t) = t ; 2t+ u  v u t   f 2 1 1 + v t ; t t2 ; iar

271

Fun tii ompuse

dF (t) =

1 f

f f ( u(t); v (t)) du(t) + (u(t); v (t)) dv (t) = u! v

1 t2 ; 2 t v t 



2t f u

dt.



t2 ;

1 t

Exemplul 6.2.3. Sa onsideram fun tiile f = f (u; v ), u(x; y ) = xy , x v (x; y ) = si fun tia ompusa y ! x F (x; y ) = f (u(x; y ); v (x; y )) = f xy; : y

Din (6.2.1) si (6.2.2) avem ! F x u f f xy; ( x; y ) = ( x; y ) + x u y x v ! + 1 f xy; x ;

!

x v x f xy; xy; ( x; y ) = y y x u y

!

+

y v y ! ! ! x u x v x f f f F (x; y) = u xy; y y (x; y) + v xy; y y (x; y) = x u xy; y y ! x f x xy; si y 2 v y ! ! ! x f x f x f xy; du(x; y )+ xy; dv (x; y ) = xy; (y dx + x dy )+ dF (x; y ) = u y v y u y ! ! !# ! " x 1 x 1 f xy; x dx+ x f xy; xy; + dx 2 dy = y + f v y !y y u y y v y !# " x x f x xy; xy; dy . + x f 2 u y y v y Diferentiala dF putea s risa si dire t, av^and ^n vedere a stiam derivatele

partiale, adi a " F F f dF (x; y ) = (x; y ) dx+ (x; y ) dy = y x y u

+

"

x

!

!#

x xy; y

!

+ 1 f

x xy; y v y

!#

dx+

x x f x f xy; xy; dy . 2 u y y v y 2.2. Diferentiale si derivate partiale de ordin superior ale fun tiilor ompuse

Teorema 6.2.3. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale de ordinul al doilea ^n pun tul ~x0 2 D, iar fun tia f este diferentiabila de doua ori ^ntr-o ve inatate a pun tului ~u0 = ' ~ (~x0 ) 2 E atun i fun tia ompusa F = f Æ '~ are

272

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

derivate partiale de ordinul al doilea ^n ~x0 si au lo formulele m X 2f ' ' 2F ( ~x0 ) = ( ~u0) l (~x0 ) j (~x0 )+ xk xi xk xi l;j =1 ul uj m f 2 X + u (~u0) x 'xj (~x0 ); k; i = 1; n: j k i j =1

(6:2:7)

Demonstratie. Deoare e fun tia f este diferentiabila de doua ori pe o f ; j = 1; m, diferentiabile ve inatate U a pun tului ~x0 , ea are derivate partiale u j pe U . Rezulta a fun tia f este diferentiabila pe U . Vom presupune, fara a f ; j = 1; m exista pe toata mi sora generalitatea problemei, a derivatele u j multimea de de nitie E . Deoare e fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale de ordinul al doilea ^n pun tul ~x0 2 D, ele au derivate partiale de ordinul ^nt^ai pe o multime V are ontine segmente paralele u axele Oxi, i = 1; n, are tre prin ~x0 . Si ai i vom presupune, fara a mi sora generalitatea , a derivatele partiale 'j , i = 1; n; j = 1; m exista pe toata multimea D. xi Deoare e fun tiile 'j , j = 1; m, au derivate partiale pe D, iar fun tia f este diferentiabila pe E , rezulta ( onform Conse intei 6.2.3) a fun tia ompusa F = f Æ '~ are derivate partiale pe D si m f X ' F ( ~x) = ( '~ (~x)) j (~x); xi xi j =1 uj

8 ~x 2 D; i = 1; n:

(6:2:8)

Toate fun tiile din membrul drept al relatiei de mai sus au derivate ^n ~x0 f j au derivate part  iale ^  n ~x0 , iar fun tiile ('~ (~x)); j = 1; m au (fun tiile ' xi uj derivate partiale^n ~x0 , deoare e fun tiile 'j au derivate partiale^n ~x0 , iar fun tiile f (~u); j = 1; m sunt diferentiabile ^n ~u0 (Teorema 6.2.2)). Rezulta a fun tiile uj F ; i = 1; n au derivate partiale ^n pun tul ~x0 , adi a fun tia ompusa F are xi derivate partiale de ordinul al doilea ^n ~x0. Deriv^and relatiile (6.2.8) ^n raport u xk , k 2 f1; 2; : : : ; ng, ^n pun tul ~x0 , obtinem 0 1 ! m f 2F  X  F 'j A (~x0 ) = x (~x ) = ('~ (~x)) x (~x) (~x0 ) = x x 0 x x u k

i

k

i

k

j =1

j

i

273

Fun tii ompuse "

#

!

m  X ' f f j ('~ (~x)) ' ( ~x) (~x0 ) = ( '~ (~x)) (~x0 ) j (~x0 )+ = x u xi xi k j j =1 xk uj j =1 " # m m m 2 X f X X 2f ' 'j + u (~u0) x 'xj (~x0) = ( ~u0 ) l (~x0 ) (~x )+ xk xi 0 j k i j =1 j =1 l=1 ul uj m f m 2f 2 X X 'l j + u (~u0) x 'xj (~x0) = u u (~u0) x (~x0 ) ' (~x )+ xi 0 j k i l j k j =1 l;j =1 m f 2 X (~u0) x 'xj (~x0); k; i = 1; n: Q.E.D. + u j k i j =1 Conse inta 6.2.4. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale de ordinul al doilea pe D, iar fun tia f este diferentiabila de doua ori pe E , atun i fun tia ompusa F = f Æ ' ~ are derivate partiale de ordinul al doilea pe D. Teorema 6.2.4. Da a fun tiile 'j : D ! IR; j = 1; m sunt diferentiabile de doua ori ^n ~x0 2 D, iar fun tia f este de doua ori diferentiabila ^ntr-o ve inatate a pun tului ~u0 = ' ~ (~x0 ) 2 E , atun i fun tia ompusa F = f Æ '~ este diferentiabila de doua ori ^n pun tul ~x0 si avem m m f X X 2f d2 F (~x0 ) = ( ~u0 ) d'l (~x0 ) d'j (~x0 ) + ( ~u0 ) d2 'j (~x0 ): (6:2:9) j =1 uj l;j =1 ul uj m X

Demonstratie. Deoare e fun tiile 'j ; j = 1; m sunt diferentiabile de doua ori ^n ~x0, atun i ele au derivate partiale de ordinul ^nt^ai ^ntr-o ve inatate V a pun tului ~x0 si a estea sunt diferentiabile ^n ~x0 . Rezulta a fun tia ompusa F are derivate partiale de ordinul ^nt^ai ^n ve inatatea V date de formula (6.2.2),

adi a

m f X F ' ( ~x) = ( '~ (~x)) j (~x); i = 1; n; ~x 2 V . xi xi j =1 uj

Toate fun tiile din membrul drept al relatiilor de mai sus sunt diferentiabile  ' j ^n ~x0 x sunt diferentiabile ^n ~x0 , deoare e 'j sunt diferentiabile de doua ori i f sunt diferentiabile ^n ~u0, ^n ~x0 ; apoi fun tiile 'j sunt diferentiabile ^n ~x0 , u j deoare e f este de doua ori diferentiabila pe ove inatate a pun tului ~u0, de i f F si u ('~ (~x)) sunt diferentiabile ^n ~x0 , j = 1; m . Rezulta a x , i = 1; n sunt j i diferentiabile ^n ~x0 , adi a F este diferentiabila de doua ori ^n ~x0 . Dedu em de ai i a fun tia ompusa F are toate derivatele de ordinul al doilea ^n ~x0 (date de

274

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

formulele (6.2.7)), iar derivatele mixte sunt egale ^n ~x0 . ^Inmultind (6.2.7) u dxk dxi si sum^and dupa k si i de la 1 la n obtinem relatia (6.2.9). Q.E.D. Prin indu tie matemati a se demonstreaza teorema urmatoare are ne da existenta derivatelor partiale si a diferentialelor de ordin superior pentru fun tia

ompusa F . Teorema 6.2.5. Da a fun tiile 'j : D ! IR, j = 1; m sunt diferentiabile de p ori (sau au derivate partiale de ordinul p) pe D, iar fun tia f : E ! IR ('~ (D)  E , '~ = ('1; '2; : : : ; 'm)) este diferentiabila de p ori pe E , atun i fun tia

ompusa F = f Æ ' ~ este diferentiabila de p ori (respe tiv are derivate partiale de ordinul p) pe D. Da a fun tiile 'j ; j = 1; m au derivate partiale de ordinul p, ontinue pe D, iar fun tia f are derivate partiale de ordinul p ontinue pe E , atun i fun tia

ompusa F = f Æ ' ~ are derivate partiale de ordinul p ontinue pe E .

Vom prezenta ^n ontinuare un az parti ular. Pentru fun tiile '~ : D  IR2 ! IR2 , '~ (x; y ) = ('1 (x; y ); '2(x; y )), f : E  IR2 ! IR; '~ (D)  E (n = m = 2), u ~x0 = (x0; y0) 2 D, ~u0 = f (~x0) = (u0; v0) 2 E , fun tia ompusa F : D ! IR, F = f Æ '~ = f ('1 (x; y ); '2 (x; y )) are urmatoarele derivate partiale de ordinul al doilea ! !  2 f  2 f '1 2  2 f '1 '2  2 f '2 2 f  2 '1 f  2 '2 = + 2 uv x x + v2 x + u x2 + v x2 ; x2 u2 x

! !  2 f  2 f '1 2  2 f '1 '2  2 f '2 2 f  2 '1 f  2 '2 = + 2 uv y y + v2 y + u y2 + v y2 ; y 2 u2 y !  2 f '2 '2  2 f '1 '1  2 f '1 '2 '2 '1 2f + = + + + xy u2 x y uv x y x y v 2 x y  2 '1 f  2 '2 + f + ; u xy v xy !  2 f '2 '2  2 f '1 '1  2 f '1 '2 '2 '1 2f + = + + + yx u2 y x uv y x y x v 2 y x  2 '1 f  2 '2 + f + ; u yx v yx unde derivatele partiale ale fun tiilor '1(x; y) si '2(x; y) se al uleaza ^n pun tul (x0 ; y0), iar ele ale fun tiei f (u; v) ^n pun tul orespunzator (u0; v0).

275

Fun tii ompuse

2z 2z 2z pentru fun tia Exemplul 6.2.4. Sa al ulam 2 , 2 , x y xy z (x; y ) = f (u; v; w), unde u = x2 + y 2 , v = x2 y 2 , w = xy , (f 2 C 2 (D); D  IR3 ).

Nu vom mai s rie variabilele fun tiilor are apar ^n ompuneri, dar vor sub^ntelese ^n e are din azurile respe tive. Derivatele partiale de ordinul ^nt^ai ale fun tiei z sunt f f f z f u f v f w = + + = 2 x + 2x + y , x u x v x w x u v w z f u f v f w f f f = + + = 2y u 2y v + x w . y u y v y w y 2

z Pentru derivata a doua x 2 se poate apli a formula (6.2.7) sau se poate fa e z ^n raport un al ul dire t, asa um vom pro eda^n ontinuare. Vom deriva pe x

u x astfel ! ! !  f f f f  f  2 z  z = x 2x u + 2x v + y w = 2 u + 2x x u + = x2 x x !

!

 f + y x . w Vom deriva pe f ^n raport u x prin intermediul variabilelor sale u; v; w u ! ! ! !  f  f u  f v  f w  2 f u = u u x + v u x + w u x = u2 x + x u  2 f v  2 f w 2f 2f 2f + vu + = 2 x 2 + 2x + y . x wu x u vu wu ^In mod asem an2ator avem 2 !  f  f u  f v  2 f w 2f 2f 2f = + + = 2 x + 2 x + y , x v ! uv x v 2 x wv x uv v 2 wv  2 f u  2 f v  2 f w 2f 2f 2f  f = + + = 2 x +2 x + y . x w uw x vw x w2 x uw vw w2

+2 f v

 f + 2x x v

Atun i, tin^and ont a derivatele de ordinul al doilea mixte sunt egale (f 2 C22 (D)), obtinem ! ! 2f 2f 2f 2f f f z + 2 x 2 x + 2 x 2 x = 2 + + 2 x + y + x2 u v u2 vu wu uv

! ! ! 2f 2f 2f 2f f f 2f +2x v2 + y wv + y 2x uw + 2x vw + y w2 = 2 u + v + 2 2 2 2 2 2f 2  f + 4xy  f + 4xy  f . +4x2 uf2 + 4x2 vf2 + y2 w + 8 x 2 uv uw vw

276

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Pentru derivata!de ordinul al doilea a fun tiei !z ^n raport u y avem!  f f f f  f  2 z  z = 2 y = 2 = 2 y +x + 2 y 2 y y y y u v w u y u

! ! ! 2 f  f  f f f 2 v 2y y v + x y w = 2 u v + 2y uf2 u + y ! !  2 f v  2 f w  2 f w  2 f u  2 f v 2 y + + vu + + + y wu y uv!y v 2 y !wv y 2f f f  2 f u  2 f v  2 f w 2f = 2 + 2 y 2 y +x uw + + 2 y + y vw y w2 y u! v u2 vu ! 2 2f 2f 2f 2f 2f 2y 2y uv + x 2y uw 2y vf2 + x wv 2y vw + + x wu ! ! 2 2 2 2 2f f f 2f 2  f +4xy  f + x w2 = 2 u v +4y2 uf2 +4y2 vf2 + x2 w 8 y 2 uv uw 2 f 4xy vw . 2z Asemanator pentru derivata xy obtinem 2z f 2f 2f 2f 2f = + 4 xy 2 4xy 2 + xy 2 + 2(x2 + y 2 ) + xy w u v w uw 2f +2(x2 y2) vw . 2.3. Fun tii omogene

De nitia 6.2.1. O multime D  IRn se numeste on u v^arful ^n ~x0 2 IRn da a pentru ori e ~x 2 D are lo t(~x ~x0 ) 2 D; 8 t > 0. De nitia 6.2.2. Fun tia f : D ! IR, (D  IRn este on u v^arful ^n ~0) se numeste omogena de gradul  2 IR da a f (t~x) = t f (~x);

8 ~x 2 E; 8 t > 0:

(6:2:10)

Teorema 6.2.6. (Euler) Fie fun tia f : D ! IR, (D este on u v^arful ^n ~0) diferentiabila pe D n f~0g. Atun i f este omogena de grad  da a si numai da a x1

f f f ( ~x) + x2 (~x) +


+ xn (~x) = f (~x); x1 x2 xn

(numita relatia lui Euler).

8 ~x 2 D n f~0g;

(6:2:11)

277

Formula lui Taylor

Presupunem a f este omogena de grad  pe D, adi a are lo relatia (6.2.10). Deriv^and-o ^n raport u t, pentru ~x 2 E n f~0g xat, avem f f f x1 (t~x) + x2 (t~x) +


+ xn (t~x) = t 1 f (~x). x1 x2 xn Pentru t = 1 obtinem relatia (6.2.11). Re ipro , presupunem a are lo (6.2.11). Pentru ~x 2 D arbitrar, dar xat,

onstruim fun tia f (t~x) t ! '(t) =  ; t > 0, t

are este diferentiabil a . Deriv^ a nd a easta fun tie avem " # 1 f f f 0 ' (t) = +1 (tx1 ) (t~x) + (tx2 ) (t~x) +


+ (txn ) (t~x) f (t~x) . t x1 x2 xn ~ Deoare e relatia (6.2.11) are lo pentru 8 ~x 2 D nf0g rezulta a '0(t) = 0; 8 t > 0. De i '(t) = '(1) = f (~x); 8 t 2 (0; 1); adi a are lo relatia (6.2.10). Q.E.D. Demonstratie.

3. Formula lui Taylor

Fie fun tia f : D ! IR, unde D este o multime des hisa din spatiul IRn, ~x0 2 D, ~x0 = (x10 ; x20 ; : : : ; xn0 ). Presupunem a f este diferentiabila de N ori ^n ~x0. De nitia 6.3.1. Polinomul 1 1 TN (~x) = f (~x0 ) + df (~x0 )(~x ~x0 ) + d2 f (~x0 )(~x ~x0 ) + : : : + 1! 2!N (6:3:1) X 1 + N ! dN f (~x0 )(~x ~x0 ) = f (~x0) + k1! dk f (~x0 )(~x ~x0 ) k=1

se numeste polinomul lui Taylor de gradul N atasat fun tiei f ^n pun tul ~x0 . Deoare e !   fkg  k f (~x0 )= d f (~x0 )(~x ~x0 )= (x1 x10 ) +(x2 x20 ) +


+(xn xn0 ) x1 x2 xn X kf k! = x0 )(x1 x10 )k


(xn xn0 )kn , k xk


xkn (~ k ! k !


k ! x 1 2 n 1 2 n k +k +


+kn =k dedu em a polinomulNlui Taylor s ris sub forma X X 1 kf (~x )(x1 TN (~x) = f (~x0 ) + k k kn 0 k=1 k +k +


+kn =k k1 !k2 !


kn ! x1 x2


xn 1

1

1

2

2

1

1

2

2

278

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

x10 )k

1




(xn xn0 )kn

este un polinom de gradul N ^n omponentele ve torului ~x ~x0 . Teorema 6.3.1. Fie fun tia f : D ! IR, unde D este o multime des hisa si

onvexa din spatiul IRn , diferentiabila de N +1 ori pe D. Pentru ori e ~x0 , ~x 2 D exista un pun t ~N pe segmentul determinat de a este pun te (~N = ~x0 +N (~x ~x0 ), N 2 [0; 1℄) astfel ^n ^at 1 dN +1f (~ )(~x ~x ); (6:3:2) f (~x) = TN (~x0 ) + N 0 (N + 1)! unde TN (~x) este polinomul lui Taylor de gradul N al fun tiei f ^n ~x0 . De nitia 6.3.2. Fun tia 1 dN +1f (~ )(~x ~x ) ~x ! RN (~x) = N 0 (N + 1)! se numeste restul de ordinul N sub forma lui Lagrange. Formula (6.3.2) se numeste formula lui Taylor de ordinul N u restul lui Lagrange orespunzatoare fun tiei f ^n pun tul ~x0 . ^In azul unei fun tii de doua variabile Teorema 6.3.1 se formuleaza astfel Teorema 6.3.2. Fie fun tia f : D ! IR, D  IR2 , diferentiabila de N + 1 ori pe multimea des hisa si onvexa D. Pentru ori e (x0 ; y0), (x; y ) 2 D exista un pun t ~ = (;  ) pe segmentul determinat de a este pun te astfel ^n ^at 1 f (x; y ) = f (x0 ; y0 ) + df (x0 ; y0)(x x0 ; y y0 ) +


+ 1! 1 N + N ! d f (x0; y0)(x x0 ; y y0) + (N +1 1)! dN +1f (; )(x x0 ; y y0): (6:3:3) Pentru a ^ntelege mai bine lu rurile, vom fa e ^n ontinuare demonstratia Teoremei 6.3.2, Teorema 6.3.1 demonstr^andu-se ^ntr-un mod asemanator. Demonstratia Teoremei 6.3.2. Sa xam doua pun te P1 (x1 ; y1) si P2 (x2 ; y2) din D. De nim fun tia ajutatoare ' : [0; 1℄ ! IR prin '(t) = f (x1 + t(x2 x1 ); y1 + t(y2 y1 )); t 2 [0; 1℄. Din onvexitatea multimii D, pun tele (x1 +t(x2 x1 ); y1 +t(y2 y1)) se gases ^n D, de i fun tia ' este bine de nita. Deoare e f este de (N +1) ori diferentiabila pe D, iar fun tiile t ! x1 + t(x2 x1 ) si t ! y1 + t(y2 y1 ) sunt elementare, de i

279

Formula lui Taylor

derivabile pe (0; 1) ( hiar pe [0; 1℄), rezulta onform Teoremei 6.2.5 a fun tia ' este derivabila de (N + 1) ori pe (0; 1); folosind un rationament asemanator u

el ^nt^anit^n demonstratia Teoremei 6.2.5 rezulta a ' este derivabila si ^n 0 si 1. Apli ^and Teorema lui Taylor

u restul lui Lagrange (Teorema 5.4.4) obtinem 2 N N +1 t t t t '(N +1) (N t), '(t) = '(0) + '0 (0) + '00 (0) +


+ '(N ) (0) + 1! 2! N! (N + 1)! pentru e are t 2 [0; 1℄, u 0 < N < 1. Pentru t = 1 dedu em 1 1 1 '(N +1) ( ): (6:3:4) 1 '(1) = '(0)+ '0 (0)+ '00 (0)+


+ '(N ) (0)+ N 1! 2! N! (N + 1)! Sa al ulam derivatele fun tiei ', folosind formulele de la fun tii ompuse. Avem f f '0 (t) = (x1 + t(x2 x1 ); y1 + t(y2 y1 ))(x2 x1 ) + (x1 + t(x2 x1 ); y1+ x y f f +t(y2 y1))(y2 y1) = (x2 x1 ) x + (y2 y1) y , (fara sa mai s riem" argumentele lui f ), " 2f 2f #  2f  '00 (t) = (x2 x1 ) (x2 x1 ) 2 + (y2 y1 ) + ( y2 y1 ) (x2 x1 ) + x yx xy # 2 2 2f 2f + (y2 y1)2 yf2 = +(y2 y1) y2 = (x2 x1 )2 xf2 + 2(x2 x1 )(y2 y1) xy # "  f2g  = (x2 x1 ) x + (y2 y1) y f (x1 + t(x2 x1); y1 + t(y2 y1)); : : : ; " #   fN +1g ( N +1) ' (t) = (x2 x1 ) x + (y2 y1) y f (x1 + t(x2 x1 ); y1 + t(y2 y1 )).

Apoi '(1) = f (x2 ; y2 ); '(0) = f (x1 ; y1 ); f f '0 (0) = (x2 x1 ) (x1 ; y1) + (y2 y1 ) (x1 ; y1 ) = df (x1 ; y1 )(x2 x y "

'00 (0) = (x2 "

'(N ) (0) = (x2

#f2g

x1 ; y2

y1 ),

  + ( y2 y1 ) f (x1 ; y1 ) = d2 f (x1 ; y1 )(x2 x1 ; y2 y1 ); : : : ; x y #  fN g  f (x1 ; y1 ) = dN f (x1 ; y1 )(x2 x1 ) + (y2 y1 ) x y

x1 )

x1 ; y2 y1 ); " '(N +1) (N ) = (x2

 x1 ) + (y2 x

#  fN +1g y1 ) f (x1 + N (x2 y

x1 ); y1 +

280

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

+N (y2 y1)) = dN +1f (x1 + N (x2 x1 ); y1 + N (y2 y1))(x2 x1 ; y2 y1). ^Inlo uind expresiile de mai sus pentru derivatele lui ' ^n (6.3.4) obtinem 1 f (x2 ; y2) = f (x1 ; y1 ) + df (x1 ; y1)(x2 x1 ; y2 y1 ) +


+ 1! 1 N + N ! d f (x1 ; y1)(x2 x1 ; y2 y1) + (N +1 1)! dN +1f (; )(x2 x1 ; y2 y1); (6:3:5) unde  = x1 + N (x2 x1 );  = y1 + N (y2 y1). Tre ^and pe (x2; y2) ^n (x; y), iar pe (x1 ; y1) ^n (x0 ; y0), relatia (6.3.5) este to mai formula (6.3.3). Fa em pre izarea a da a (x; y) 6= (x0; y0) atun i pun tul (; ) se gaseste pe segmentul des his determinat de pun tele (x0 ; y0) si (x; y), iar da a (x; y) = (x0 ; y0) atun i (; ) = (x0 ; y0). Q.E.D. Pentru N = 0 Teoremele 6.3.1 si 6.3.2 ne dau Conse inta 6.3.1. Fie fun tia f : D ! IR diferentiabila pe multimea des hisa si onvexa D din spatiul IRn . Pentru ori e ~x0 , ~x 2 D exista un pun t ~ pe segmentul determinat de a este pun te astfel ^n ^at

f (~x) = f (~x0 ) + df (~)(~x ~x0 ) , f (~x) = f (~x0 )+ < rf (~); ~x ~x0 > , f f f f (~x) = f (~x0 )+(x1 x10 ) (~)+(x2 x20 ) (~)+


+(xn xn0 ) (~): (6:3:6) x1 x2 xn Conse inta 6.3.2. Fie fun tia f : D ! IR diferentiabila pe multimea des hisa si onvexa D din IR2 . Pentru ori e (x0 ; y0 ), (x; y ) 2 D exista un pun t (; ) pe segmentul determinat de a este pun te astfel ^n ^at f f (x; y ) = f (x0 ; y0) + (x x0 ) (;  ) + (y x

f y0 ) (;  ): y

(6:3:7)

Formulele (6.3.6) si (6.3.7) se numes formulele lui Lagrange si sunt generalizari ale formulei lui Lagrange (Teorema 5.3.6) de la fun tii de o variabila reala. Teorema 6.3.3. Fie fun tia f : D ! IR, unde D este o multime des hisa

si onvexa din IRn . Presupunem a f are derivate partiale de ordinul N ontinue pe D si e ~x0 2 D. Atun i exista  : D ! IR u lim (~x) = (~x0 ) = 0 astfel ~x!~x0 ^n ^at

f (~x) = TN (~x) +

(~x) k~x ~x0 kN ; N!

8 ~x 2 D;

(6:3:8)

281

Formula lui Taylor

unde TN (~x) este polinomul lui Taylor de gradul N al fun tiei f ^n ~x0 , iar este norma eu lidiana ^n IRn .

k
k

Fun tia ~x ! N(~x!) k~x ~x0kN se numeste restul de ordinul N sub forma lui Peano, iar formula (6.3.8) se numeste formula lui Taylor u restul lui Peano. Cazul unei fun tii de doua variabile ne ondu e la Teorema 6.3.4. Fie fun tia f : D ! IR, unde D este o multime des hisa si De nitia 6.3.3.

onvexa din IR2 . Presupunem a f are derivate partiale de ordinul N ontinue pe D si e (x0 ; y0) 2 D. Atun i exista o fun tie  : D ! IR u lim (x; y) = (x;y)!(x0 ;y0 ) = (x0 ; y0) = 0 astfel ^n ^at

f (x; y ) =

1 dk f (x ; y )(x 0 0 k=1 k ! N X

(x; y ) x0 ; y y0 )+ k(x; y) (x0 ; y0)kN ; N!

8 (x; y) 2 D:

(6:3:9) Si de a easta data vom prezenta demonstratia Teoremei 6.3.4, demonstratia Teoremei 6.3.3 ind asemanatoare. Demonstratia Teoremei 6.3.4. Deoare e fun tia f are derivate partiale de ordinul N ontinue pe D, rezulta a f este diferentiabila de N ori pe D, de i

onform formulei lui Taylor de ordinul N 1 u restul lui Lagrange (Teorema 6.3.2) avem 1 1 dN 1f (x ; y )(x f (x; y ) = f (x0 ; y0 )+ df (x0 ; y0)(x x0 ; y y0 )+


+ 0 0 1! (N 1)! 1 x0 ; y y0 ) + dN f (;  )(x x0 ; y y0 ); 8 (x; y ) 2 D, N! unde (; ) = (x0; y0)+ N 1((x; y) (x0; y0)), N 1 2 [0; 1℄, ( = x0 + N 1 (x x0 ),  = y0 + N 1 (y y0 )). Restul din formula de mai sus este !   fN g 1 (x x0 ) x + (y y0) y f (; ). RN 1 (x; y ) = N! Folosind dezvoltarea binomului lui Newton si faptul a derivatele mixte de ordinul N ale fun tiei f sunt egale, obtinem N 1X N f RN 1 (x; y ) = CNi (x x0 )N i (y y0 )i N i i (;  ). N! x y i=0

282

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Deoare e derivatele partiale sunt ontinue pe D, atun i pentru x ! x0 si y ! y0 rezulta a  ! x0 si  ! y0 , de i N f N f i i ( ;  ) = C lim C N xN i y i (x0 ; y0 ) N xN i y i x!x y!y00 N f

N f i CN N i i x y

si (; ) = (x0 ; y0) + i (x; y); unde (x;y)!lim(x ;y ) i(x; y) = i (x0; y0) = 0, i = 0; N . De i N N X X 1 1 N f N i i i (x ; y )(x x0 ) (y y0) + N ! i (x; y)(x C RN 1 (x; y ) = N ! i=0 N xN i y i 0 0 i=0 !fN g 1 (x x )  + (y y )  1 x0 )N i (y y0 )i = f (x0 ; y0) + (x; y )%N , 0 0 N! x y N! q 2 2 unde % = (x 8 x0 ) "+ (y y0) , iar # N > 1 X > N i i <  (x; y )(x x0 ) (y y0 ) ; (x; y ) 6= (x0 ; y0); (x; y ) = > %N i=0 i > : 0; (x; y) = (x0 ; y0): Deoare e jx x0 j  %, jy y0j  %, obtinem N N X X 1 N j(x; y)j  %N ji(x; y)j% = ji(x; y)j. i=0 i=0 Din (x;y)!lim(x ;y ) ji(x; y)j = 0 rezulta a (x;y)!lim(x ;y ) (x; y) = 0(= (x0; y0)). N 1 X De i f (x; y) = f (x0 ; y0) + k! dk f (x0 ; y0)(x x0; y y0) + N1 ! (x; y)%N , k=1 adi a inegalitatea (6.3.9). Q.E.D. Pentru N = 2 formula lui Taylor u restul lui Peano (6.3.9) se s rie f f f (x; y ) = f (x0 ; y0 ) + (x0 ; y0 )(x x0 ) + (x0 ; y0 )(y y0 )+ x y " # 2f 2f  2f 1 2 2 + 2 x2 (x0 ; y0)(x x0 ) +2 xy (x0 ; y0)(x x0 )(y y0)+ y2 (x0 ; y0)(y y0) + + 12 (x; y)[(x x0 )2 + (y y0)2 ℄, unde (x;y)!lim(x ;y ) (x; y) = (x0; y0) = 0. Observatia 6.3.1. Formulele (6.3.8) si (6.3.9) ram^an adevarate da a f este diferentiabila de N ori pe D si derivatele partiale de ordinul N sunt ontinue ^n ~x0 , respe tiv (x0 ; y0 ). CNi N i i x y 0

0

0

0

0

0

0

0

283

Formula lui Taylor

Pentru ~x0 = ~0 formulele (6.3.2) si (6.3.8) se mai numes formulele lui Ma Laurin u restul lui Lagrange, respe tiv u restul lui Peano. Exemplul 6.3.1. Sa dezvoltam fun tia f (x; y ) = ex sin y p^ana la termenii de ordinul al treilea u ajutorul formulei lui Ma -Laurin u restul lui Lagrange. Fun tia f este de lasa C 1 pe IR2 , (D = IR2 ). De i onform formulei (6.3.3) u (x0 ; y0) = (0; 0) si N = 3 avem ! 1   fkg x +y f (x; y ) = f (0; 0) + f (0; 0) + R3 (x; y ), x y k=1 k ! !   f4g 1 unde R3(x; y) = 4! x x + y y f (; ), u (; ) = (x; y),  2 (0; 1) pentru (x; y) 6= (0; 0) si (; ) = (0; 0) pentru (x; y) = (0; 0). Derivatele partiale ale fun tiei f sunt f f 2f 2f 2f = ex sin y ; = ex os y ; 2 = ex sin y ; = ex os y ; 2 = ex sin y ; x y x xy y

3 X

3f x3 4f x4 4f y 4

3f x2 y 4 = ex sin y; x 3fy = ex sin y.

= ex sin y;

3 3f x sin y ;  f = ex os y ; = e xy 2 y 3 4 4 f x sin y ;  f = ex os y ; = ex os y; x2 y = e 2 xy 3

= ex os y;

Atun i pentru ori e (x; y) 6= (0; 0) avem 1 f (x; y ) = y + xy + (3x2 y y 3) + R3 (x; y ), 3! 1 unde R3(x; y) = 4! [e sin  x4 + 4e os  x3 y 6e sin  x2 y2 4e os  xy3+ +e sin  y4); u  = x;  = y;  2 (0; 1). q Exemplul 6.3.2. Sa al ulam aproximativ numarul N = sin2 1; 55 + 8e0;015 p ple ^and de la valoarea fun tiei z(x; y) = sin2 x + 8ey pentru x0 = 2 rad si y0 = 0 (=2  1; 571). Vom aproxima pe N folosind Conse inta 6.3.1 z z z (1; 55; 0; 015)  z (x0 ; y0 ) + (1; 55 x0 ) (x0 ; y0) + (0; 015 y0 ) (x0 ; y0). x y z 4, sin x os x 4 ey z p =0 ; = ( x ; y )= Deoare e x (x0; y0)= p 2 0 0 2 sin x + 8ey (  ;0) y sin x + 8ey (  ;0) 3 2

2

284

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

iar z(x0 ; y0) = 3, obtinem N  3 + 0; 015 43 = 3; 02: 4. Fun t ii impli ite

Fie fun tia F : D ! IR, D = A  B , A  IRn, B  IR. Sa onsideram e uatia F (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; y ) = 0 , F (~x; y ) = 0 u ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ): (6:4:1) De nitia 6.4.1. O fun tie de n variabile f (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = f (~x) de nita pe o multime E  A este solutie ^n raport u y a e uatiei (6.4.1) pe multimea E da a F (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; f (x1 ; x2 ; : : : ; xn )) = 0; 8 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 E , F (~x; f (~x)) = 0; 8 ~x 2 E . Pentru n = 1 e uatia (6.4.1) se va s rie F (x; y) = 0, unde F : D ! IR; D  A  B  IR2 . De nitia 6.4.2. Da a exista o singura fun tie f de nita pe o multime E

are sa veri e e uatia (6.4.1) si eventual si alte onditii suplimentare, vom spune

a fun tia f este de nita de e uatia (6.4.1). Fun tia f se numeste fun tie de nita impli it sau mai simplu fun tie impli ita. Exemplul 6.4.1. Sa onsideram fun tia F (x; y ) = x y 2 de nita pe IR2 . E uatia F (x; y) = 0 , x y2 = 0 are o in nitate de solutii pe multimea [0; 1). Fie A1 si A2 doua multimi disjun te oare are u proprietatea a A1 [ A2 = [0; 1). Atun i fun tia f : [0; 1)8!pIR de nita prin < x; da a x 2 A1 ; f (x) = : p x; da a x 2 A2 ; veri a e uatia F (x; y) = 0, deoare e x f 2 (x) = 0; 8 x 2 [0; 1). Dintre toate solutiile^n raport u y ale e uatiei F (x; y) = 0 numai doua sunt ontinue si anume p px; 8 x 2 [0; 1). f1 (x) = x si f2 (x) = Exemplul 6.4.2. E uatia x2 + y 2 + 4 = 0; (x; y ) 2 IR2 nu are ni i o solutie reala ni i ^n raport u x, ni i ^n raport u y.

Fun tii impli ite

Exemplul 6.4.3. E uatia x + 3y = 0; (x; y ) 2 IR2 raport u y pe IR si anume fun tia f (x) = x3 .

285 are o singura solutie ^n

Vom prezenta ^ateva rezultate are dau onditii su iente de existenta a fun tiilor impli ite. Teorema 6.4.1. Fie fun tia F : D ! IR; D = A  B; A  IRn ; B  IR Æ Æ si (~x0 ; y0 ) 2 D, ~x0 2A, y0 2B . Da a sunt ^ndeplinite urmatoarele onditii a) F (~x0; y0) = 0; b) exista o ve inatate U  A a pun tului ~x0 si exista o ve inatate V  B a

pun tului y0 astfel ^n ^at i) pentru ori e pun t x 2 U xat, fun tia y ! F (~x; y) este ontinua si stri t monotona pe V ; ii) pentru ori e pun t y 2 V xat, fun tia ~x ! F (~x; y) este ontinua ^n ~x0 , atun i 1) exista o ve inatate U0  U a pun tului ~x0 si o ve inatate V0  V a lui y0 astfel ^n ^at pentru ori e ~x 2 U0 xat, e uatia ^n y (6.4.1) are o solutie uni a y = f (~x); y 2 V , pentru are F (~x; f (~x)) = 0; 8 ~x 2 U0 ; 2) fun tia f : U0 ! V0 de nita de e uatia (6.4.1) este ontinua ^n ~x0 si veri a egalitatea f (~x0 ) = y0 .

Demonstratie. Sa alegem ; 2 V  B astfel ^n ^at  < y0 < si notam V0 = (; ). Conform ipotezei i) pentru ~x = ~x0 , fun tia y ! F (~x0; y) este stri t monotona pe [; ℄. Deoare e F (~x0; y0) = 0, iar  < y0 < rezulta

a fun tia F (~x0; y) are semne diferite ^n  si . Presupunem a F (~x0; ) < 0, F (~x0 ; ) > 0. Din ipoteza ii) fun tia ~x ! F (~x; ) este ontinua ^n ~x0 . Deoare e F (~x0 ; ) < 0, exista o ve inatate U 0  U a lui ~x0 astfel ^n ^at F (~x; ) < 0; 8 ~x 2 U 0 . De asemenea, din ipoteza ii) fun tia ~x ! F (~x; ) este ontinua ^n ~x0 , iar din F (~x0; ) > 0 dedu em a exista o ve inatate U 00  U a lui x0 astfel ^n ^at F (~x; ) > 0, 8 ~x 2 U 00 . Luam U0 = U 0 \U 00 , are este o ve inatate a lui ~x0 si F (~x; ) < 0, F (~x; ) > 0, 8 ~x 2 U0 . Fie ~x0 2 U0 arbitrar. Din ipoteza i) fun tia y ! F (~x0; y) de variabila y este ontinua si stri t monotona pe [; ℄. Deoare e este ontinua, rezulta

286

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

a are proprietatea lui Darboux, adi a 9 y0 2 (; ) astfel ^n ^at F (~x0 ; y0) = 0. Pun tul y0 este uni , deoare e fun tia y ! F (~x0; y) este stri t monotona. Pun tul ~x0 2 U0 ind ales arbitrar, rezulta a pentru 8 ~x 2 U0 xat, exista un singur pun t y = f (~x) 2 V0 astfel ^n ^at F (~x; y ) = 0, de unde dedu em pun tul 1). Pentru ~x = ~x0 avem F (~x0 ; y0) = 0 si um y0 este singurul pun t din V0

u a easta proprietate dedu em a f (~x0 ) = y0. Ve inatatea V0 de la ^n eputul demonstratiei a fost aleasa arbitrar. Din demonstratia de mai sus rezulta a pentru ori e ve inatate V0 a lui y0 = f (~x0) exista o ve inatate U0 a lui ~x0 astfel ^n ^at pentru ori e ~x 2 U0 sa avem f (~x) 2 V0 . De ai i dedu em a f este ontinua ^n ~x0 , eea e ^n heie demonstratia teoremei. Q.E.D. Conse inta 6.4.1. Da a ^n Teorema 6.4.1 se ^nlo uieste ipoteza (ii) u ii') pentru ori e y 2 V xat, fun tia ~x ! F (~x; y) este ontinua pe U , atun i fun tia de nita impli it f este ontinua pe U0 .

Fie ~a 2 U0 arbitrar, iar b = f (~a) 2 V0. Fun tia F veri a ipotezele Teoremei 6.4.1 pentru pun tul (~a; b) ^n lo de (~x0 ; y0). Atun i exista o ve inatate U1  V1  U0  V0 a pun tului (~a; b) si o fun tie uni a g(~x) : U1 ! V1 astfel ^n ^at g(~a) = b si F (~x; g(~x)) = 0; 8 ~x 2 U1 . ^In plus fun tia g este ontinua ^n ~a. Deoare e f (~a) = b si F (~x; f (~x)) = 0; 8 x 2 U1  U0 , dedu em a g (~x) = f (~x); 8 ~x 2 U1 , de i fun tia f este ontinua ^n pun tul ~a. Pun tul ~a a fost ales arbitrar^n U0 , de unde dedu em a fun tia f este ontinua ^n ori e pun t ~x 2 U0 . Q.E.D. Teorema 6.4.2. Fie fun tia F : D ! IR, D  A  B , A  IRn , B  IR si (~x0 ; y0) 2 D, ~x0 2AÆ , y0 2BÆ . Da a sunt ^ndeplinite onditiile a) F (~x0; y0) = 0; F F F b) F 2 C 1(U V ) (fun tia f are derivate partiale x ;:::; ;

ontinue xn y 1 pe U  V ), unde U este o ve inatate a lui ~x0 , iar V o ve inatate a lui y0 ; (~x ; y ) 6= 0;

) F y 0 0 Demonstratie.

atun i

1) exista o ve inatate U0  U a pun tului ~x0 , o ve inatate V0  V

a pun tului

287

Fun tii impli ite

y0 si o fun tie uni a f : U0 ! V0 astfel ^n ^at f (~x0 ) = y0 si F (~x; f (~x)) = 0; 8 x 2 U0 ; 2) fun tia f are derivate partiale de ordinul ^nt^ai ontinue pe U0 (f 2 C 1 (U0)) si f (~x) = xi

F (~x; f (~x)) xi ; F (~x; f (~x)) y

8 ~x 2 U0 ; 8 i = 1; n:

(6:4:2)

3) Da a F are derivate partiale de ordinul k ontinue pe U  V (F 2 C k (U  V )) atun i fun tia impli ita f are derivate partiale de ordinul k

ontinue pe U0 (f 2 C k (U0 )). Demonstratie. Fun tia F veri a ipotezele Teoremei 6.4.1. ^Intr-adevar, deoare e Fy0 este ontinua si nenula ^n (~x0; y0), ea este diferita de 0 pe o ^ntreaga (~x; y) 6= 0, 8 ~x 2 U , y 2 V . ve inatate a lui (~x0 ; y0). Putem presupune a F y Din ipoteza b) a teoremei, fun tia F (~x; y) este diferentiabila, de i ontinua pe U  V . ^In parti ular pentru e are y 2 V xat, fun tia ~x ! F (~x; y ) este

ontinua pe U , de i avem ipoteza b) ii) din Teorema 6.4.1 ( hiar ipoteza ii') din Conse inta 6.4.1). Apoi, deoare e pentru ~x 2 U xat, fun tia y ! F (~x; y) are derivata Fy0 (~x; y) 6= 0 pentru y 2 V , rezulta a fun tia y ! F (~x; y) este stri t monotona pe V . Fiind derivabila, a easta fun tie este ontinua pe V si avem astfel si ipoteza b) i) veri ata. Ipoteza a) este a eeasi ^n teorema noastra si Teorema 6.4.1. Dedu em astfel a are lo pun tul 1) din Teorema 6.4.1. Conform Conse intei 6.4.1 fun tia impli ita f este ontinua pe ^ntreaga ve inatate U0 . Vom arata ^n ontinuare a fun tia f are derivate partiale ontinue pe U0 . Mai ^nt^ai vom demonstra a f este diferentiabila pe U0 . Fie ~a 2 U0 un pun t arbitrar si b = f (~a) 2 V0. Deoare e fun tia F este diferentiabila pe U  V , ea este diferentiabila ^n pun tul (~a; b) 2 U  V . De i 9 i : U  V ! IR, i = 1; n,  : U  V ! IR u lim i (~x; y ) = i (~a; b) = 0, i = 1; n si (~x;y)!(~a;b)

288 lim

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

(~x;y)!(~a;b)

(~x; y ) = (~a; b) = 0 astfel ^n ^at n X

F F ( ~a; b)(xi ai ) + (~a; b)(y y i=1 xi n X + i(~x; y)(xi ai ) + (~x; y)(y b): i=1

F (~x; y ) F (~a; b) =

b)+

(6:4:3)

Pentru ~x 2 U0 si y = f (~x) 2 V0 avem F (~x; y) = F (~x; f (~x)) = 0, iar F (~a; b) = F (~a; f (~a)) = 0. Atun i relatia (6.4.3) ne ondu e la n X

#

"

"

#

F F ( ~a; b) + i (~x; f (~x)) (xi ai )+ (~a; b) + (~x; f (~x)) (f (~x) f (~a)) = 0: y i=1 xi (6:4:4) Deoare e fun tia f este ontinua ^n pun tul ~a, iar fun tiile i(~x; y) si (~x; y) sunt ontinue ^n pun tul orespunzator (~a; f (~a)) = (~a; b), dedu em a fun tiile

ompuse i(~x; f (~x)) si (~x; f (~x)) sunt ontinue ^n ~a si lim i (~x; f (~x)) = i(~a; f (~a)) = i(~a; b) = 0, i = 1; n, ~x!~a lim (~x; f (~x)) = (~a; f (~a)) = (~a; b) = 0. ~x!~a " # F F Apoi din ~xlim ( ~ a ; b ) +  ( ~ x ; f ( ~ x )) = (~a; b) 6= 0, dedu em a exista o !~a y y ve inatate U1 a lui ~a astfel^n ^at pentru ~x 2 U1 sa avem F (~a; b)+ (~x; f (~x)) 6= 0. y Din (6.4.4) obtinem, pentru 8 ~x 2 U1 f (~x)

F (~a; b) + i (~x; f (~x)) x i f (~a) = (xi i=1 F (~a; b) + (~ x; f (~x)) y 3 2 F a; b) n 7 6 X 6 x (~ 7 i + ( ~ x ) 7 (xi ai ); 6 = 5 4 F i=1 (~a; b) y

unde am notat (~x) =

n X

F (~a; b) + i (~x; f (~x)) xi F (~a; b) + (~x; f (~x)) y

F (~a; b) xi : F ( ~a; b) y

ai ) =

(6:4:5)

Fun tii impli ite

289

Deoare e ~xlim (~x) = 0, din (6.4.5) rezulta a fun tia f este diferentiabila ^n !~a pun tul ~a, iar derivatele sale partiale ^n pun tul ~a sunt F F ( ~a; b) (~a; f (~a)) f xi i = ; i = 1; n . ( ~a) = x F F xi (~a; b) (~a; f (~a)) y y Pun tul ~a a fost ales arbitrar si atun i dedu em a fun tia f este diferentiabila ^n ori e pun t ~x 2 U0 , iar derivatele sale partiale ^n ~x sunt F (~x; f (~x)) f x i : (~x) = F xi (~x; f (~x)) y F si F sunt ontinue pe U  V , iar fun tia f este Deoare e fun tiile x y i F

ontinua pe U0 , rezulta a fun tiile ompuse x (~x; f (~x)) si F (~x; f (~x)) sunt y i f , i = 1; n sunt ontinue pe U0.

ontinue pe U0 si de i si fun tiile x i Demonstratia pun tului 3) al teoremei se fa e prin indu tie matemati a. Pentru k = 1 a rmatia a fost demonstrata mai sus. Sa presupunem a rmatia de la pun tul 3) adevarata pentru k = p si o vom demonstra pentru k = p + 1. De i sa presupunem a fun tia F (~x; y) are derivate partiale de ordinul p + 1 ontinue pe U  V . Atun i ea are derivate partiale de ordinul p ontinue pe U  V si de i f are derivate partiale de ordinul p ontinue pe U0 . Din ipoteza, fun tiile F F ; i = 1; n si au derivate partiale de ordinul p ontinue pe U  V . Atun i xi y F (~x; f (~x)); i = 1; n si F (~x; f (~x)) au derivate partiale de fun tiile ompuse x y i ordinul p ontinue pe U0 si de i pentru e are i 2 f1; : : : ; ng fun tia F (~x; f (~x)) f x i (~x) = F xi (~x; f (~x)) y are derivate partiale de ordinul p ontinue pe U0. A easta ^nseamna a fun tia f are derivate partiale de ordinul p + 1 ontinue pe U0 . Astfel prin indu tie matemati a rezulta a pun tul 3) al teoremei este adevarat pentru ori e k 2 IN . Q.E.D.

290

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Pentru k = 2 ^n pun tul 3) al Teoremei 6.4.2, derivatele partiale de ordinul al doilea2 ale fun tiei f pe U0 sunt date de formulele f (~x) = x x i

2F

=

j

xi xj

! F 2 y

 2 F F F  2 F F F xi y xj y xj y xi y ! F 3 y

2

F F + yF2 x x i

j

(~x; f (~x));

i; j = 1; n. z z  2 z  2 z 2z Exemplul 6.4.4. Sa al ulam , , 2 ,  s i ^n pun tul x y x xy y 2 x = y = 2 pentru fun tia z (x; y ) de nita de relatia (x + y)ez xy z = 0 si are ^n pun tul (2; 2) are valoarea 0, (z(2; 2) = 0). Fun tia F (x; y; z) = (x + y)ez xy z satisfa e toate onditiile din Teorema ! F 1 3 z 6.4.2 F (2; 2; 0) = 0; z (2; 2; 0) = (x + y)e 1 (2;2;0) = 3 6= 0; F 2 C (IR ) .

Conform formulelor (6.4.2) avem F ( x; y; z ) ez y 1; z x = = (2 ; 2) = F z (2 ; 2 ; 0) x (x + y )e 1 3 ( x; y; z ) (2;2;0) z F (x; y; z) ez x 1: z y = = (2 ; 2) = F z (2 ; 2 ; 0) y (x + y )e 1 3 ( x; y; z ) (2;2;0) z Apoi pentru derivatele de ordinul al doilea avem      F F 2 2  F F F +  F F 2 2z xz x z z x = (2; 2) = x z   F 3 x2 2

2

2

2

=

=

2 ( ez

ez

2

z

y )[(x + y ) 1℄ + (x + y) ( z [(x + y)e 1℄3  F F 2  F F F

2z (2; 2) = xy ( 1)[(x + y)ez

ez

2

xy

1℄2

ez ez

(2;2;0) 2 y ) (2;2;0) =

+

10 , 27

2  2 F F F  2 F F F xz y z yz x z z 2 x y  3 F (2;2;0) z z z z z z e e x x ye e e y x y ez

z

(

)[( + ) 1℄ [(x + y)ez 1℄3

(

=

)[( + )

1℄ +

291

Fun tii impli ite

1; = (2;2;0) 27 2     F F  F F F +  F F 2 2 y z yz y z z y

+ (x + [(y)xe+(ey)ez y)(1℄e 3 z z

z

x)

2z = (2; 2) =   F 3 y 2 (2 ; 2 ; 0) z 2 ez (ez x)[(x + y )ez 1℄ + (x + y )ez (ez x)2 10 . = = (2;2;0) [(x + y)ez 1℄3 27 m ~ Sa onsideram a um fun tia ve toriala F : D ! IR , D = A  B , A  IRn, B  IRm , (m > 1), F~ = (F1 ; F2 ; : : : ; Fm ) si sistemul de e uatii 2

2

2

2

2

Fi (~x; ~y) = 0; i = 1; m

(6:4:6)

sau e hivalent e uatia ve toriala F~ (~x; ~y) = ~0:

(6:4:7)

Spunem a un sistem de m fun tii reale f1 ; f2 ; : : : ; fm (sau e hivalent fun tia ve toriala f~ = (f1; f2 ; : : : ; fm ) de n variabile) de nite pe E  A este o solutie a sistemului (6.4.6) ^n raport u variabilele y1 ; y2 ; : : : ; ym pe multimea E da a Fi (~x; f1 (~x); : : : ; fm (~x)) = 0; 8 ~x 2 E; i = 1; m , F~ (~x; f~(~x)) = ~0. De nitia 6.4.4. Da a sistemul (6.4.6) are pe multimea E o singura solutie ~ f = (f1 ; : : : ; fm ) spunem a fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fm sunt de nite impli it de sistemul de e uatii (6.4.6) sau a sunt fun tii impli ite. Se mai spune ^n a est az

a fun tia f~ este de nita impli it de e uatia (6.4.7). Teorema 6.4.3. Fie fun tia F~ : D ! IRm , D = A  B , A  IRn , B  IRm , Æ F~ = (F1 ; : : : ; Fm ), iar (~x0 ; ~y0) 2D. Da a a) F~ (~x0; ~y0) = ~0; b) fun tiile Fj 2 C 1 (U  V ), j = 1; m, unde U este o ve inatate a pun tului ~x0 , iar V o ve inatate a lui ~y0 ;

) DD((Fy1 ;; Fy 2;; :: :: :: ;; yFm)) (~x0 ; ~y0) 6= 0, 1 2 m De nitia 6.4.3.

atun i

1) exista o ve inatate U0  V0  U  V a pun tului (~x0 ; ~y0) si o fun tie ve toriala uni a f~ : U0 ! V0 , f~(~x) = (f1 (~x); : : : ; fm (~x)) astfel ^n ^at f~(~x0 ) = ~y0 si

292

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

F~ (~x; f~(~x)) = ~0 ^n U0 ; j 2) fun tiile fj : U0 ! IR, j = 1; m au derivate partiale de ordinul ^nt^ai f xi

ontinue pe U0 si D(F1 ; F2 ; : : : ; Fj 1 ; Fj ; Fj +1 ; : : : ; Fm ) fj D(y1; y2 ; : : : ; yj 1; xi ; yj +1; : : : ; ym ) ; j = 1; m; i = 1; n: = D(F1 ; F2 ; : : : ; Fm ) xi D(y1; y2 ; : : : ; ym ) 3) Da a fun tiile Fj ; j = 1; m au derivate partiale de ordinul k ontinue pe U  V , atun i fun tiile fj ; j = 1; m vor avea derivate partiale de ordinul k

ontinue pe U0 .

Pentru demonstratia Teoremei 6.4.3, are se fa e prin indu tie matemati a ^n raport u m, vezi [12℄. 5. Transform ari regulate. Dependent  a  si independent  a fun t ional a

5.1. Transformari regulate

Fie f~ : E ! IRn, E  IRn, f~ = (f1; f2; : : : ; fn). De nitia 6.5.1. Spunem a fun tia ve toriala f~ este o transformare regulata ^ntr-un pun t ~x0 2EÆ da a fun tiile f1; f2; : : : ; fn au derivate partiale de ordinul ^nt^ai ontinue ^ntr-o ve inatate V a lui ~x0 si da a determinantul fun tional (ia obianul) J (~x0 )  DD((xf1;; xf2;; :: :: :: ;; fxn)) (~x0 ) 6= 0. 1 2 n Æ Teorema 6.5.1. O transformare regulata f~ ^ntr-un pun t ~x0 2E are urmatoarele proprietati a) f~ este regulata ^ntr-o ve inatate U a pun tului ~x0; b) f~ este diferentiabila (de i si ontinua) ^n pun tul ~x0 .

a) Deoare e

fi xj

exista si sunt ontinue ^n ve inatatea V a lui ~x0 , rezulta a ia obianul J (~x) = DD((xf1;; xf2;; :: :: :: ;; fxn)) (~x) este ontinuu ^n V si 1 2 n este diferit de 0 ^n ~x0. Dedu em a 9 V 0 ve inatate a lui ~x0 astfel ^n ^at J (~x) 6= 0; Demonstratie.

Transformari regulate. Dependenta si independenta fun tionala

293

fi sunt ontinue si J (~x) 6= 0; 8 ~x 2 V 0. De i pe V \ V 0 derivatele partiale x j 8 ~x 2 V \ V 0, adi a f~ este o transformare regulata pe V0 = V \ V 0.

fi sunt ontinue pe V , din riteriul de diferentiabilitate deb) Deoare e x j du em a f~ este diferentiabila ^n ~x0 (de i si ontinua ^n ~x0 ). Q.E.D. Teorema 6.5.2. Ia obianul unei transformari regulate f~ : D  IRn ! IRn pe domeniul D pastreaza semn onstant pe a est domeniu.

Da a am presupune a ia obianul J (~x) ar lua doua valori de semne diferite, ind ontinuu pe D, ar trebui sa se anuleze ^ntr-un pun t ~x0 2 D. De i f~ nu ar regulata ^n ~x0 , eea e ontrazi e ipoteza. Rezulta astfel

a ia obianul pastreaza semn onstant pe D. Q.E.D. Teorema 6.5.3. (Derivarea fun tiilor inverse) Fie f~ : E  IRn ! IRn o Æ transformare regulata ^ntr-o ve inatate U a pun tului ~x0 2E . Atun i a) exista o ve inatate U0  U a pun tului ~x0 si o ve inatate V0  F = f~(E ) a pun tului ~y0 = f~(~x0 ) astfel ^n ^at restri tia lui f~ la U0 este o apli atie bije tiva Demonstratie.

a lui U0 pe V0 . b) Transformarea inversa ~y ! ~x = '~ (~y) = ('1 (~y); '2(~y); : : : ; 'n(~y)) ~y 2 V0 satisfa e onditia ~x0 = '~ (~y0 ), este regulata ^n ~y0 si ^n plus ! 1 D('1 ; '2 ; : : : ; 'n ) D(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) (~y ) = D(x ; x ; : : : ; x ) (~x0) : D(y1 ; y2; : : : ; yn) 0 1 2 n

2 U0 ,

(6:5:1)

Demonstratie. Consideram fun tia F~ : E  IRn ! IRn , F~ (~x; ~y) = f~(~x) ~y, (Fi (~x; ~y) = fi (~x) yi; i = 1; n) si e uatia F~ (~x; ~y) = ~0 ^n ne unos uta ~x. Fun tia F~ ^ndeplineste onditiile din Teorema 6.4.3 astfel ^n ^atÆe uatia F~ (~x; ~y) = ~0 poate rezolvata ^n raport u ~x. ^Intr-adevar pun tul ~x0 2E , ~y0 2 IRn si F~ (~x0; ~y0) = f~(~x0 ) ~y0 = ~0. Apoi, e V o ve inatate oare are a lui ~y0 . Fun tiile Fi ; i = 1; n au derivatele partiale Fi f F ( ~x; ~y) = i (~x), i (~x; ~y) = Æij , (Æij = 0 da a i 6= j si Æij = 1 da a i = j ), xj xj yj

ontinue ^n ve inatatea U  V si D(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) D(F1 ; F2 ; : : : ; Fn ) ( ~x0 ; ~y0 ) = (~x ) 6= 0. D(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) D(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 0

294

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Conform Teoremei 6.4.3 rezulta a exista o ve inatate U 0  U si o ve inatate V0  V astfel ^n ^at pentru ori e pun t ~y 2 V0 exista un pun t uni ~x = '~ (~y) 2 U 0 astfel ^n ^at F~ (~x; ~y) = ~0 , ~y = f~(~x). S-a de nit astfel fun tia '~ : V0 ! U 0 u '~ (~y0 ) = ~x0 . De ai i rezulta a f~ este bije tiva pe U0 = f~ 1 (V0 )  U 0 , adi a fun tia f~ : U0 ! V0 este bije tiva. Din ontinuitatea fun tiei f~ ^n ~x0 , pentru ve inatatea V0 exista o ve inatate U 00 a lui ~x0 astfel ^n ^at f~(U 00 )  V0 . De i U 00  f~ 1 (V0 ) = U0 , adi a U0 este ve inatate pentru ~x0 . Fun tia inversa '~ : V0 ! U0 , '~ = ('1; '2; : : : ; 'n) are, onform Teoremei 6.4.3, derivate partiale de ordinul ^nt^ai ontinue pe V0 si veri a egalitatile '~ (~y0 ) = ~x0 ; F~ ('~ (~y); ~y) = ~0 , f~('~ (~y)) = ~y; 8 ~y 2 V0 : Sa aratam ^n ontinuare a determinantul fun tional DD(('y1;; 'y 2;; :: :: :: ;; y'n)) este 1 2 n nenul ^n ~y0, de unde va rezulta a '~ este transformare regulata ^n ~y0. Din relatia f~('~ (~y)) = ~y; 8 ~y 2 V0 sau e hivalent fi ('1 (y1 ; y2; : : : ; yn); : : : ; 'n (y1 ; y2; : : : ; yn)) = yi ; i = 1; n, prin derivare ^n raport u yj ; j = 1; n obtinem fi 'n fi '1 +


+ = Æij ; 8 i = 1; n. x1 yj xn yj Relatiile de mai sus se s riu n X

fi 'k k=1 xk yj

= Æij ;

i; j = 1; n;

si ele pot interpretate a elementele produsului matri ilor 'k yj

!n

(6:5:2) fi xk

!n

i;k=1

si

. Determinantii a estor matri i sunt D(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) D('1 ; '2 ; : : : ; 'n )  s i respe tiv . D(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) D(y1 ; y2; : : : ; yn) Din proprietatea det(AB ) = det(A)det(B ) si din relatiile (6.5.2) dedu em D(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) D('1 ; '2 ; : : : ; 'n) (~x) D(y ; y ; : : : ; y ) (~y) = 1. D (x ; x ; : : : ; x ) k;j =1

1 2

n

1 2

n

Transformari regulate. Dependenta si independenta fun tionala

295

De i DD(('y1;; 'y 2;; :: :: :: ;; y'n)) (~y) 6= 0, 8 ~y 2 V0 si ^n plus 1 2 n ! 1 D('1 ; '2 ; : : : ; 'n ) D(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) (~y) = D(x ; x ; : : : ; x ) (~x) ; 8 ~y 2 V0; ~x = '~ (~y): D(y1; y2 ; : : : ; yn) 1 2 n (6:5:3) Rezulta a '~ este o transformare regulata pe V0 si au lo relatiile (6.5.3), de i si (6.5.1). Q.E.D. Conse inta 6.5.1. Da a f~ : E  IRn ! IRn este o transformare regulata pe o multime des hisa D  E , atun i multimea f~(D) este des hisa. Demonstratie. Pentru ori e pun t ~x 2 D, pun tul f~(~x) este interior multimii valorilor f~(D), de i a easta multime este formata numai din pun te interioare, adi a este des hisa. Q.E.D. Pentru n = 1 Teorema 6.5.3 ne ondu e la Æ Teorema 6.5.4. Fie f : I ! IR, I interval din IR, x0 2I . Presupunem a f are derivata ontinua pe I , iar f 0 (x0 ) 6= 0. Atun i exista o ve inatate U0  I a lui x0 si o ve inatate V0 a lui y0 astfel ^n ^at f jU : U0 ! V0 este bije tiva, iar inversa a estei apli atii, ' : V0 ! U0 are derivata ontinua pe U0 si (' 1)0 (y) = f 01(x) ; 8 y 2 V0 ; x = '(y). De nitia 6.5.2. O fun tie f~ : D  IRn ! IRn , unde D este multime des hisa, se numeste lo al bije tiva pe D da a pentru e are pun t ~x 2 D exista o ve inatate U a sa astfel ^n ^at restri tia lui f~ la U este bije tiva. O transformare regulata pe o multime des hisa, onform Teoremei 6.5.3 este lo al bije tiva, dar nu este neaparat bije tiva, dupa um vom vedea din exemplul urmator. Exemplul 6.5.1. Transformarea f~ : IR2 ! IR2 , f~ = (f1 ; f2 ), unde f1 (x1 ; x2 ) = ex os x2 , f2 (x1 ; x2 ) = ex sin x2 , este regulata pe IR2. ^Intr-adevar fun tiile f1, f2 au derivate partiale de ordinul ^nt^ai ontinue pe IR2 si f1 f1 x os x x sin x x e e D(f1 ; f2 ) 2 2 = (x ; x ) = 1 x2 = D(x1 ; x2 ) 1 2 f2 f2 ex sin x2 ex os x2 0

1

1

1

x1 x2

1

1

1

296

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

= e2x os2 x2 + e2x sin2 x2 = e2x 6= 0; 8 (x1 ; x2 ) 2 IR2. Apli atia f~ nu este bije tiva pe IR2, deoare e pun tele (x1 ; x2 +2k); k 2 Z au a eeasi imagine (ex os x2 ; ex sin x2 ) = ex ( os x2 ; sin x2 ). 1

1

1

1

1

1

5.2. Dependenta si independenta fun tionala

Fie fun tiile reale f1; f2;


; fm de nite pe o multime E  IRn. De nitia 6.5.3. Spunem a fun tia reala ' : E ! IR depinde de fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fm pe o multime D  E da a exista o fun tie reala de m variabile  : B ! IR, B  IRm astfel ^n ^at '(~x) = (f1 (~x); f2 (~x); : : : ; fm (~x)); 8 ~x 2 D. De nitia 6.5.4. Fun tiile reale f1 ; f2 ; : : : ; fm de nite pe multimea E  IRn sunt ^n dependenta fun tionala pe multimea D  E sau sunt dependente fun tional pe D da a el putin una din ele depinde de elelalte pe multimea D. Fun t iile f1 ; f2 ; : : : ; fm : E ! IR sunt independente fun tional ^ntr-un pun t Æ ~x0 2E da a nu exista ni i o ve inatate a lui ~x0 astfel ^n ^at una dintre ele sa depinda de elelalte pe a ea ve inatate. Fun tiile f1 ; f2; : : : ; fm sunt independente pe o multime des hisa D  E da a ele sunt independente ^n ori e pun t ~x 2 D. Exemplul 6.5.2. Fie fun tiile f (x; y ) = x2 + y 2 , g (x; y ) = xy , h(x; y ) = x y de nite pe IR2. Deoare e f (x; y ) = 2g (x; y ) + h2 (x; y ); 8 (x; y ) 2 IR2 , rezulta a f depinde pe IR2 de fun tiile g si h, de i fun tiile f; g si h sunt fun tional dependente pe IR2. 8 < 1; x  0; Exemplul 6.5.3. Fun tiile f (x) = x2 si g (x) = : 1; x > 0; de nite pe IR sunt independente^n jurul originii. ^Intr-adevar, ori are ar fun tia  avem (f ( x)) = (x2 ) = (f (x)), iar g( x) 6= g(x), 8 x 6= 0. De i nu putem avea g(x) = (f (x)) pentru x 6= 0. Rezulta a g nu depinde de f ^n ni i o ve inatate a originii.

297

Transformari regulate. Dependenta si independenta fun tionala

^In mod asemanator, pentru ori e fun tie  avem 8 < (g(x)) = : ( 1); x  0; (1); x > 0; de i fun tia ompusa (g(x)) ia numai doua valori, ^n ori e ve inatate a originii, ^n timp e multimea valorilor fun tiei f (x) = x2 este in nita, ^n ori e ve inatate a originii. De i nu putem avea f (x) = (g(x)) ^n ni i o ve inatate a lui 0, adi a f nu depinde de g ^n ni i o ve inatate a originii. Dedu em astfel a f si g sunt independente ^n jurul originii. Propozitia 6.5.1. Da a fun tiile reale f1 ; f2 ; : : : ; fm de nite pe E  IRn sunt dependente fun tional pe multimea D  E , atun i imaginea multimii D prin fun tia f~ : E ! IRm , f~ = (f1 ; f2 ; : : : ; fm ) nu ontine pun te interioare. Demonstratie. Deoare e fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fm sunt dependente fun tional pe D, una dintre a este fun tii, de exemplu fm depinde de elelalte. De i exista o fun tie  : B ! IR, B  IRm 1 astfel ^n ^at fm (~x) = (f1 (~x); : : : ; fm 1 (~x)); 8 ~x 2 D. Fie ~y 2 f~(D) arbitrar, momentan xat. De i 9 ~x 2 D astfel ^n ^at ~y = f~(~x) , yi = fi(~x); i = 1; m. Pentru ym obtinem ym = fm (~x) = (f1 (~x); : : : ; fm 1 (~x)) = (y1 ; y2 ; : : : ; ym 1 ). Atun i pentru ori e " > 0 avem ym + " 6= ym, de i ym + " 6= (y1; y2; : : : ; ym 1). Rezulta a pun tul (y1; y2; : : : ; ym 1; ym + ") nu mai apartine lui f~(D). Dedu em astfel a ori e ve inatate V a pun tului ~y = (y1; y2; : : : ; ym 1; ym) 2 2 f~(D) ontine pun te de forma (y1; : : : ; ym 1; ym + ") are nu apartin lui f~(D). De i pun tul ~y nu este pun t interior lui f~(D). Deoare e y a fost ales arbitrar, rezulta a f~(D) nu are pun te interioare. Q.E.D. Teorema 6.5.5. Fie fun tiile reale f1 ; f2 ; : : : ; fm de nite pe multimea Æ E  IRn , iar ~x0 2E . Da a a este fun tii au derivate partiale de ordinul nt^ai ! ^ fi

ontinue ^ntr-o ve inatate a pun tului ~x0 si da a rangul matri ii ^n xj ji =1;m;n pun tul ~x0 este egal u numarul fun tiilor m, atun i fun tiile sunt independente ^n ~x0 . =1

298

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale !

fi are ^n ~x0 rangul Demonstratie. Deoare e matri ea fun tionala xj ji =1;m;n m, rezulta a exista un determinant de ordinul m, diferit de zero ^n pun tul ~x0 . De ai i dedu em a m  n. Pentru a arata a fun tiile f1 ; : : : ; fm sunt independente ^n ~x0 , vom demonstra a nu exista ni i o ve inatate V a pun tului ~x0 astfel ^n ^at una dintre ele =1

sa depinda de elelalte. Vom presupune prin redu ere la absurd a exista o ve inatate V a lui ~x0 astfel ^n ^at una dintre fun tii, de exemplu fm depinde de

elelalte fun tii pe multimea V . Conform Propozitiei 6.5.1, imaginea multimii V prin fun tia f~ = (f1; f2; : : : ; fm ) nu ontine ni i un pun t interior. ^In parti ular pun tul ~y0 = f~(~x0 ) nu este pun t interior multimii f~(V ). ! fi Deoare e rang x (~x0 ) i ;m = m, sa presupunem a determinantul j j =1;n D(f1 ; f2 ; : : : ; fm ) (~x ) 6= 0. Fix^and xm+1 = xm+1;0 ; : : : ; xn = xn0 , fun tia ve toD(x1 ; x2 ; : : : ; xm ) 0 riala de m variabile F~ (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) = f~(x1 ; x2 ; : : : ; xm ; xm+1;0 ; : : : ; xn0 ) este o transformare regulata ^n pun tul ~x00 = (x10 ; : : : ; xm0 ) 2 E 0, unde E 0 = f~x 2 E j xm+1 = xm+1;0 ; : : : ; xn = xn0 g. Atun i pun tul ~y0 = F~ (x10 ; x20 ; : : : ; xm0 ) = f~(~x0 ) este un pun t interior al multimii F~ (U ), unde U este o ve inatate a pun tului ~x00 ( onform Teoremei 6.5.3). Alegem U astfel^n ^at (x1 ; : : : ; xm ; xm+1;0; : : : ; xn0 ) 2 V , pentru 8 (x1 ; : : : ; xm) 2 U . Dedu em astfel a F~ (U )  f~(V ) si de i ~y0 este pun t interior si pentru f~(V ). Contradi tia la are am ajuns ne ondu e la on luzia a ipoteza fa uta este falsa. De i fun tiile f1; f2 ; : : : ; fm sunt independente ^n pun tul ~x0. Q.E.D. Conse inta 6.5.2. Da a fun tia f~ = (f1 ; : : : ; fm ) : E ! IRm este o transÆ formare regulata ^ntr-un pun t ~x0 2E atun i fun tiile reale f1 ; f2 ; : : : ; fm sunt =1

independente ^n ~x0 .

D(f1 ; f2 ; : : : ; fm ) Demonstratie. Deoare e (~x ) 6= 0, rezulta a rangul maD(x1 ; x2 ; : : : ; xm ) 0 ! fi tri ii fun tionale x x0 este egal u numarul fun tiilor m si de i i ;m ^n ~ j j =1;n fun tiile f1 ; f2; : : : ; fm sunt independente ^n pun tul ~x0 , onform Teoremei 6.5.5. =1

299

Transformari regulate. Dependenta si independenta fun tionala

Q.E.D.

Teorema 6.5.6. Fie fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fm de nite pe multimea E  IRn , Æ nt^ai iar ~x0 2E . Da a fun tiile fi ; i = 1; m au derivatele partiale de ! ordinul ^ fi este egal

ontinue ^ntr-o ve inatate U a lui ~x0 si da a rangul matri ii xj ji =1;m;n

u s  m pe U , atun i printre fun tiile f1 ; : : : ; fm exista s fun tii independente pe U , iar elelalte m s depind de a estea. =1

Pentru demonstratia Teoremei 6.5.6 vezi [12℄.

Conse inta 6.5.3. Da a numarul fun tiilor f1 ; f2 ; : : : ; fm este mai mare de ^at numarul variabilelor x1 ; x2 ; : : : ; xn , atun i fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fm nu pot

independente.

Demonstratie. Deoare e n < m rezulta a rangul matri ii fun tionale poate el mult n, de i mai mi de ^at numarul fun tiilor. Se apli a astfel Teorema 6.5.6.

Q.E.D.

Conse inta 6.5.4. Fie fun tiile f1 ; f2 ; : : : ; fn : D ! IR, D este des hisa,

u derivatele partiale de ordinul ^nt^ai ontinue pe D. Atun i a este fun tii sunt dependente fun tional pe D da a si numai da a determinantul fun tional D(f1 ; : : : ; fn ) este identi zero pe D. D(x1 ; : : : ; xn ) Exemplul 6.5.4. Fie fun tiile f1 (x; y; z ) = xy z; f2 (x; y; z ) = xz + y; f3 (x; y; z ) = (x2 + 1)(y 2 + z 2 );

(x; y; z) 2 IR3. Deoare e

D(f1 ; f2 ; f3 ) (x; y; z) = D(x; y; z )

=



y z 2x(y2 + z2 )



x

1

2y(x2 + 1)

f1 f1 f1 x y z f2 f2 f2 x y z f3 f3 f3 x y z

1

x 2z(x2 + 1)



=



=

300

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale



0 0 1 = = xy + z 1 + x2 x 2 2 2 2 2 2 2yz(x + 1) + 2x(y + z ) 2xz(x + 1) + 2y(x + 1) 2z(x + 1) xy + z 1 2 = 0; 8 (x; y; z ) 2 IR3 , = 2(1 + x ) (xy + z)(xz + y) xz + y dedu em a fun tiile f1; f2 ; f3 sunt dependente pe IR3 . Relatia de legatura dintre a este fun tii este f3 = f12 + f22. 6. Pun te de extrem libere. Extreme u leg aturi

6.1. Extreme libere

Fie fun tia f : E  IRn ! IR, iar ~x0 = (x10 ; x20; : : : ; xn0 ) 2 E . De nitia 6.6.1. Pun tul ~x0 2 E se numeste pun t de extrem lo al sau relativ al fun tiei f da a exista o ve inatate V a pun tului ~x0 astfel ^n ^at diferenta f (~x) f (~x0 ) pastreaza semn onstant sau este nula pe V \ E . Pun tul ~x0 se numeste pun t de maxim (pun t de minim) lo al sau relativ al fun tiei f da a f (~x) f (~x0 )  0 (respe tiv f (~x) f (~x0 )  0); 8~x 2 V \ E . De nitia 6.6.2. Da a ^n inegalitatile de mai sus avem f (~x) f (~x0 ) = 0 numai pentru ~x0 , spunem a ~x0 este pun t de maxim lo al stri t (respe tiv pun t de minim lo al stri t). De nitia 6.6.3. Da a f (~x) f (~x0 )  0, (f (~x) f (~x0 )  0), 8 ~x 2 E atun i ~x0 se numeste pun t de maxim absolut (respe tiv pun t de minim absolut). Ori e pun t de extrem absolut este pun t de extrem relativ. Re ipro a nu este adevarata, dupa um se vede din gra ele fun tiilor desenate ^n gurile de mai jos. ^In Fig.4 pun tul x0 este pun t de minim absolut (de i si relativ), iar ^n Fig.5 pun tele x1 ; x2 sunt pun te de maxim relativ, iar pun tele x3 ; x4 sunt pun te de minim relativ. Teorema 6.6.1. (Fermat) Da a fun tia f : E  IRn ! IR are derivate Æ partiale ^ntr-un pun t de extrem ~x0 2E , atun i derivatele partiale se anuleaza ^n

301

Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi y

y

0

xo

x

x3

Fig. 4

a el pun t, adi a

x

x4 0

x1

x2

Fig. 5

rf (~x0) = ~0.

Demonstratie. Sa onsideram fun tiile reale de o variabila reala t ! Fi (t) = f (~x0 + t~ei ); t 2 IR; i = 1; n; u ~x0 + t~ei 2 E . A este fun tii sunt derivabile^n t = 0 si au pe t = 0 a pun t de extrem. Conform f (~x0) = 0; 8 i = 1; n Teoremei 5.3.1 rezulta a Fi0(0) = 0; 8 i = 1; n, adi a x i sau e hivalent rf (~x0 ) = ~0. Q.E.D. Æ De nitia 6.6.4. Un pun t ~x0 2E se numeste pun t stationar sau pun t

riti al fun tiei f da a f este diferentiabila ^n pun tul ~x0 si da a diferentiala sa este nula ^n a est pun t, df (~x0) = 0. n f X (~x0 )dxi avem df (~x0) = 0 da a si numai da a Deoare e df (~x0) = x i i=1 f (~x ) = 0; 8 i = 1; n. De i pun tul ~x0 este pun t stationar al fun tiei f xi 0 da a f este diferentiabila ^n ~x0 si are derivatele partiale nule ^n a est pun t.

Teorema 6.6.1 ne spune a ori e pun t de extrem lo al din interiorul multimii E ,^n are fun tia f este diferentiabila, este pun t stationar al fun tiei. Re ipro a Teoremei 6.6.1 nu este adevarata, dupa um vom vedea din exemplul urmator. Exemplul 6.6.1. Fie fun tia f (x; y ) = x2 y 2 , de nita pe IR2 . Avem f f f f ( x; y ) = 2x, (x; y ) = 2y . De i (0; 0) = 0, (0; 0) = 0. Fun tia este x y x y diferentiabila ^n (0; 0), (derivatele partiale sunt ontinue), de i (0; 0) este pun t stationar al fun tiei f . Totusi pun tul (0; 0) nu este pun t de extrem, deoare e

302

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

pentru pun tele (x; 0) avem f (x; 0) = x2  0 = f (0; 0), iar pentru pun tele (0; y) avem f (0; y) = y2  0 = f (0; 0). De i ^n pun tul (0; 0) fun tia f nu are ni i minim lo al, ni i maxim lo al. De nitia 6.6.5. Pun tele stationare ale fun tiei f : E  IRn ! IR are nu sunt pun te de extrem se numes pun te sa. Ca si ^n azul fun tiilor de o singura variabila reala, vom da ^n ontinuare

onditii su iente pentru a un pun t stationar sa e pun t de extrem. De i vom identi a printre pun tele stationare unele pun te de extrem (dar nu neaparat toate pun tele de extrem). De nitia 6.6.6. Fun tia u : IRn ! IR, u(~h) = a11 h21 + a22 h22 +


+ ann h2n +2a12 h1 h2 +


+2an 1;n hn 1 hn , ~h 2 IRn ,

u aij 2 IR, i; j = 1; n, i  j , se numeste forma patrati a pe spatiul IRn. Unei forme patrati e i se aso iaza matri ea (aij )ni;j=1 2 Mn(IR), simetri a, numita matri ea formei patrati e. Æ Teorema 6.6.2. Fie f : E  IRn ! IR si e ~x0 2E pun t stationar al lui f . Da a f are derivate partiale de ordinul al doilea ontinue ^ntr-o ve inatate V a lui ~x0 atun i

(I) 1. Da a    d2 f (~x0 )(~h) = h1 + h2 +


+ hn x x x

!f2g

2f (~x0)hi hj 1 2 n i;j =1 xi xj este o forma patrati a pozitiv de nita, adi a d2 f (~x0 )(~h) > 0; 8 ~h 2 IRn n f~0g, atun i pun tul ~x0 este pun t de minim. 2. Da a d2f (~x0)(~h) este o forma patrati a negativ de nita, adi a d2 f (~x0 )(~h) < 0; 8 ~h 2 IRn n f~0g, atun i pun tul ~x0 este pun t de maxim. (II) Da a d2f (~x0)(~h) este o forma patrati a nede nita, adi a 9 ~h0 6= ~0, ~h00 6= ~0 din IRn astfel ^n ^at d2 f (~x0 )(~h0 ) < 0 si d2 f (~x0 )(~h00 ) > 0, atun i ~x0 nu este pun t de extrem (~x0 este pun t sa). (III) Da a d2f (~x0 )(~h) este o forma patrati a semide nita pozitiv (sau nega-

tiv), adi a

d2 f (~x0 )(~h)  0;

f (~x0 ) =

n X

8 ~h 2 IRn si 9 ~h0 6= ~0 astfel ^n ^at d2f (~x0)(~h0 ) = 0,

Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi

303

(respe tiv d2f (~x0 )(~h)  0; 8~h 2 IRn si 9~h00 6= ~0 astfel ^n ^at d2f (~x0 )(~h00)=0),

atun i nu putem stabili u ajutorul diferentialei a doua natura pun tului stationar ~x0 .

Demonstratie. Deoare e fun tia f are derivate partiale de ordinul al doilea

ontinue pe V (putem onsidera V = S (~x0 ; r)  E , de i V este multime des hisa

si onvexa), vom apli a Teorema lui Taylor u restul lui Peano (Teorema 6.3.3), de ordinul al doilea. Avem 1 (~x) 1 2 f (~x) = f (~x0 ) + df (~x0 )(~x ~x0 ) + d2 f (~x0 )(~x ~x0 ) + 1! 2! 2! k~x ~x0 k ; 8 ~x 2 V; (6:6:1) unde  : V ! IR; ~xlim (~x) = (~x0 ) = 0. !~x Pun tul ~x0 este stationar, de i df (~x0)(~x ~x0 ) = 0. Atun i relatia (6.6.1) ne da 1 (~x) f (~x) f (~x0 ) = d2 f (~x0 )(~x ~x0 ) + k ~x ~x0 k2 ; 8 ~x 2 V . 2 2 ~x ~x0 Da a notam u ~! = k~x ~x k , avem k~!k = 1, iar 0 d2 f (~x0 )(~x ~x0 ) = k~x ~x0 k2 d2 f (~x0 )(~!). De i i 1h (6:6:2) f (~x) f (~x0 ) = d2 f (~x0 )(~!) + (~x) k~x ~x0 k2 ; 8 ~x 2 V: 2 (I) 1. Sa presupunem a d2 f (~x0)(~h) esten pozitiv de nita. ^In a est az fun tia 2 X f ~! ! Q(~! ) = d2 f (~x0 )(~!) = (~x0 )!i!j , i;j =1 xi xj de nita pe multimea  = f~! 2 IRn j k~!k = 1g, este ontinua si stri t pozitiva. Deoare e multimea  este ompa ta (^n hisa si marginita), rezulta a fun tia Q este marginita si ^si atinge marginile. Fie m = inf !~ 2 Q(~!), iar ~!0 un element din  ^n are Q ^si atinge marginea inferioara, m = Q(~!0 ) > 0. Atun i din (6.6.2) obtinem 1 f (~x) f (~x0 )  [m + (~x)℄k~x ~x0 k2 ; 8 ~x 2 V . 2 Fun tia  este ontinua ^n ~x0 , de i pentru m > 0 de mai sus exista S (~x0; Æ) astfel ^n ^at j(~x)j < m; 8 ~x 2 S (~x0 ; Æ) sau m < (~x) < m; 8 ~x 2 S (~x0 ; Æ). 0

304

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Rezulta atun i 1 f (~x) f (~x0 )  (m m)k~x ~x0 k2 = 0; 8 ~x 2 S (~x0 ; Æ ), 2 (putem onsidera Æ < r). A easta ultima inegalitate ne ondu e la on luzia a pun tul ~x0 este pun t de minim lo al pentru fun tia f . 2. Da a d2f (~x0 )(~h) este negativ de nita atun i diferentiala a doua a fun tiei g (~x) = f (~x) este pozitiv de nita. Conform pun tului 1, ~x0 este pun t de minim pentru fun tia g, de i ~x0 este un pun t de maxim pentru fun tia f . (II) Da a d2f (~x0 )(~h) este o forma patrati a nede nita, atun i exista ve torii ~h0 ~h00 !~ 0 = ~ 0 , ~! 00 = ~ 00 2  astfel ^n ^at d2 f (~x0 )(~! 0 ) < 0 si d2 f (~x0 )(~! 00) > 0. kh k kh k Fun tiile t ! F (t) = f (~x0 + t~! 0 ) si t ! G(t) = f (~x0 + t~! 00 ); ~x0 + t~! 0 ; ~x0 + t~! 00 2 V au derivate de ordinul al doilea ontinue si satisfa onditiile F 0 (0) = df (~x0 )(~! 0 ) = 0; G0 (0) = df (~x0 )(~! 00) = 0, adi a t = 0 este pun t stationar pentru fun tiile F si G. ^In plus F 00 (0) = d2 f (~x0 )(~! 0) < 0; G00 (0) = d2 f (~x0 )(~! 00 ) > 0. Conform Conse intei 5.4.1 rezulta a t = 0 este pun t de maxim pentru F si pun t de minim pentru G, adi a 9 Æ > 0 astfel ^n ^at pentru 0 < jtj < Æ are lo f (~x0 + t~! 0 )  f (~x0 ) si f (~x0 + t~! 00 )  f (~x0 ). De ai i dedu em a ~x0 nu este pun t de extrem pentru fun tia f . (III) Da a d2f (~x0 )(~h) este semide nit0a pozitiv sau negativ, ^nseamn a e1 a  0 00 ~ ~ xista ~!0 2  astfel ^n ^at d2f (~x0 )(~!0) = 0, ~!0 = ~h0 sau ~!0 = ~h00 A. Atun i kh k kh k relatia (6.6.2) ne da ~x ~x0 1 f (~x) f (~x0 ) = (~x)k~x ~x0 k2 ; pentru ~x u 2 k~x ~x0 k = ~!0; adi a ~x = ~x0 + ~h0 sau ~x = ~x0 + ~h00 . Deoare e semnul lui (~x) nu este unos ut, nu putem stabili natura pun tului stationar ~x0 . Q.E.D. n X 2f (~x )h h este hessiana Matri ea formei patrati e d2f (~x0)(~h) = x x 0 i j i;j =1

i

j

Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi

305

2

f (~x0 ). ^In ipotezele Teoremei 6.6.2, a easta = x x j i matri e este simetri a ( onform Criteriului lui S hwarz). Sa onsideram sirul minorilor prin ipali ai matri ii H (f )(~x0), adi a a11 a12


a1n a a


a a11 a12 21 22 2 n ; :::;
=
1 = a11 ;
2 = n . . . . .. .. . a21 a22 . an1 an2


ann Combin^and Teorema 6.6.2 u Teorema lui Sylvester de la forme patrati e obtinem H (f )(~x0 ) = (aij )ni;j =1, u aij

Teorema 6.6.3. ^In ipotezele Teoremei 6.6.2 avem 1. Da a
1 > 0;
2 > 0; : : : ;
n > 0 atun i d2f (~x0 )(~h) este pozitiv de nita, de i ~x0 este pun t de minim pentru f . 2. Da a
1 < 0;
2 > 0; : : : ; ( 1)n
n > 0 atun i d2f (~x0 )(~h) este negativ de nita, de i ~x0 este pun t de maxim pentru f .

3. Da a
1  0;
2  0; : : : ;
n  0 sau
1  0;
2  0; : : : ; ( 1)n
n  0 si exista el putin un element j 2 f1; 2; : : : ; ng astfel ^n ^at
j = 0 ^n e are din sirurile de mai sus, atun i d2 f (~x0 )(~h) este semide nita pozitiv, respe tiv semide nita negativ, de i nu putem de ide natura pun tului ~x0 u ajutorul lui d2 f (~x0 )(~h). 4. Da a sirul minorilor prin ipali
1; : : : ;
n nu este ^n ni i unul din azurile pre edente, atun i d2 f (~x0 )(~h) este nede nita, de i ~x0 nu este pun t de extrem.

^In azul fun tiilor de doua variabile, Teorema 6.6.2 ne ondu e la urmatoarea teorema. Æ Teorema 6.6.4. Fie f : E  IR2 ! IR si (x0 ; y0 ) 2E pun t stationar al lui f . Presupunem a f are derivate partiale de ordinul al doilea ontinue ^ntr-o ve inatate V a lui ~x0 si notam

1.

Atun i Da a AC

A=

2f 2f 2f ( x ; y ) ; B = ( x ; y ) ; C = (x ; y ): x2 0 0 xy 0 0 y 2 0 0

B 2 > 0 si A > 0 atun i (x0 ; y0 ) este pun t de minim pentru f .

306

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

2. Da a AC 3. Da a AC 4. Da a AC

B 2 > 0 si A < 0 atun i (x0 ; y0) este pun t de maxim pentru f . B 2 < 0 atun i pun tul (x0 ; y0 ) nu este pun t de extrem. B 2 = 0 atun i nu putem stabili natura pun tului stationar u ajutorul diferentialei a doua ^n pun tul (x0 ; y0 ).

Teorema rezulta din Teorema 6.6.2 tin^and ont a d2 f (x0 ; y0 )(h1 ; h2 ) = Ah21 + 2Bh1 h2 + Ch22 ; (h1 ; h2 ) 2 IR2 . Exemplul 6.6.2. Sa onsideram fun tia z (x; y ) = x3 + y 3 3xy; (x; y ) 2 IR2 . Pun tele stationare le determinam rezolv^and sistemul 8 8 z > > ( x; y ) = 0 < 3x2 < 3y = 0 x ) z 2 : > > 3y 3x = 0: : (x; y) = 0 y Obtinem pun tele stationare M1 (0; 0) si M2 (1; 1). Derivatele2de ordinul al doilea2 ale fun tiei z sunt2 z z z ( x; y ) = 6x; ( x; y ) = 3; (x; y) = 6y. 2 x xy y 2 2

2

z z (0 ; 0) = 0, B = (0; 0) = 3, Pentru pun tul M1 (0; 0) avem A = x 2 xy 2z C = 2 (0; 0) = 0, iar AC B 2 = 9 < 0. Rezulta a M1 nu este pun t de y extrem (este pun t sa). Pentru pun tul M2 (1; 1) avem A = 6, B = 3, C = 6, iar AC B 2 = 27 > 0, A > 0. Rezulta a M2 este pun t de minim lo al pentru fun tia z, iar valoarea minima este z(1; 1) = 1. Exemplul 6.6.3. Sa onsideram fun tia u(x; y; z ) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z; (x; y; z ) 2 IR3 . Pun tele stationare ale fun tiei u sunt solutiile sistemului 8 u 8 > > ( x; y; z ) = 0 > 2 > > > > x > 3x + 12y = 0 > < < u (x; y; z) = 0 ) >> 2y + 12x = 0 > > y > > : > > u 2z + 2 = 0 > : ( x; y; z ) = 0 z Obtinem pun tele M1 (0; 0; 1) si M2(24; 144; 1). Derivatele partiale de ordinul al doilea ale fun tiei u sunt

307

Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi

2u 2u 2u 2u 2u = 6 x; = 2 ; = 2 ; = 12 ; x2 y 2 z 2 xy xz Diferentiala a doua a fun tiei u ^n pun tul M1 este d2 u(0; 0; 1) = 2dy 2 + 2dz 2 + 24dx dy .

= 0;

2u yz

= 0.

Deoare e sirul minorilor prin ipali ai formei patrati e de mai sus este 0 12 0
1 = 0;
2 = 0 12 = 144;
3 = 12 2 0 = 288, 12 2 0 0 2 dedu em a d2u(0; 0; 1) este nede nita, de i M1 nu este pun t de extrem pentru fun tia u. Pentru pun tul M2 (24; 144; 1) avem d2 u(24; 144; 1) = 144dx2 + 2dy 2 + 2dz 2 + 24dx dy . Deoare e pentru forma patrati a obtinuta avem 144 12 0 144 12 = 144 > 0;
= 12 = 288 > 0,
1 = 144 > 0;
2 = 2 0 3 12 2 0 0 2 dedu em a d2u(M2) este pozitiv de nita, de i M2 este pun t de minim lo al pentru fun tia u. Valoarea minima a lui u este u(M2) = 6913. 6.2. Extreme onditionate sau u legaturi

Fie fun tia f : E ! IR, unde E este o multime des hisa din IRn, iar A  E . De nitia 6.6.7. Spunem a fun tia f are ^n ~x0 2 A un extrem relativ la multimea A, da a restri tia fun tiei f la multimea A are^n pun tul ~x0 un extrem. De i f are ^n ~x0 un maxim (minim) relativ la multimea A da a exista o ve inatate V a lui ~x0 astfel ^n ^at f (~x)  f (~x0 ); (respe tiv f (~x)  f (~x0 ) ) 8 ~x 2 V \ A. Pun tul ~x0 are veri a inegalitatea de mai sus se numeste pun t de maxim, (respe tiv pun t de minim) al fun tiei f relativ la multimea A. Extremele fun tiei f relative la o multime A  E se numes extreme onditionate, iar extremele unei fun tii studiate la ^n eputul se tiunii se mai numes extreme libere sau extreme ne onditionate.

308

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Un pun t de extrem onditionat este pun t de extrem liber, dar nu ori e pun t de extrem liber este pun t de extrem onditionat. ^In ele e urmeaza vom studia urmatoarea problema de extrem onditionat. Sa onsideram sistemul de m < n fun tii reale F1 ; F2 ; : : : ; Fm de nite pe E , iar multimea A va de nita a multimea solutiilor sistemului Fi (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = 0; i = 1; m:

(6:6:3)

De i A = f~x j ~x 2 E; F1 (~x) = 0; : : : ; Fm(~x) = 0g. ^In a est az extremele fun tiei f relative la multimea A se mai numes extreme onditionate de sistemul (6.6.3). Deoare e multimea A este formata din a ele valori ale argumentelor (x1 ; x2 ; : : : ; xn) 2 E are sunt legate^ntre ele prin ele m e uatii Fi = 0; i = 1; m, extremele onditionate de a est tip se mai numes extreme u legaturi. De nitia 6.6.8. Fun tia L(~x; ~) = f (~x) + 1 F1 (~x) + 2 F2 (~x) +


+ m Fm (~x) se numeste fun tia lui Lagrange, iar 1; 2; : : : ; m se numes multipli atorii lui Lagrange. Teorema urmatoare ne da onditii ne esare de existenta a pun telor de extrem onditionat. Teorema 6.6.5. Fie ~x0 2 E o solutie a sistemului de e uatii (6.6.3), adi a ~x0 2 A. Presupunem a fun tia f si fun tiile Fi ; i = 1; m au derivate partiale de ordinul ^nt^ai ontinue ^ntr-o ve inatate V a lui ~x0 si matri ea fun tionala !

Fi are ^n pun tul ~x0 rangul m. Da a ~x0 este pun t de extrem al fun tiei xj ji =1;m;n f , onditionat de sistemul (6.6.3), atun i exista ~0 2 IRm astfel ^n ^at (~x0 ; ~0 ) este pun t stationar al fun tiei L, de i solutie a sistemului =1

8 > > > < > > > :

f F F L ~ ( ~x; ) = ( ~x) + 1 1 (~x) +


+ m m (~x) = 0; i = 1; n; xi xi xi xi L ~ (~x; ) = Fj (~x) = 0; j = 1; m: j Demonstratie.

Deoare e matri ea

!

Fi are ^n pun tul ~x0 xj ji =1;m;n =1

(6:6:4) rangul m

Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi

309

rezulta a exista un determinant fun tional de ordinul m al a estei matri i, diferit de zero ^n ~x0. Putem presupune a D(F1 ; F2 ; : : : ; Fm ) (~x ) 6= 0. D(x1 ; x2 ; : : : ; xm ) 0 Sistemul (6.6.3) se poate rezolva^n raport u variabilele x1 ; x2 ; : : : ; xm ^n jurul pun tului ~x0 . ^Intr-adevar avem ^ndeplinite ipotezele Teoremei 6.4.3. Rezulta a exista o ve inatate V1  A a pun tului ~x10 = (x10 ; x20 ; : : : ; xm0 ) ^n spatiul IRm si o ve inatate V2 a pun tului ~x20 = (xm+1;0 ; : : : ; xn0) ^n spatiul IRn m astfel ^n ^at pentru ori e pun t ~x2 = (xm+1 ; : : : ; xn) 2 V2 sistemul (6.6.3) are o solutie uni a ~x1 = (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) ^n V1 , data de 8 8 > > > > x1 = '1 (~x2 ) x = ' ( x ; : : : ; x ) > > 1 1 m +1 n > > > > > > > > < x2 = '2 (~ < x2 = '2 (xm+1 ; : : : ; xn ) x2 ) (6:6:5) , ... ... > > > > > > > > > > > > > > 2 : x = ' (~ : x = ' (x ; : : : ; x ) m m x ): m m m+1 n Avem x10 = '1(~x20 ); : : : ; xm0 = 'm(~x20 ). Fun tiile '1; : : : ; 'm au derivate partiale ontinue pe V2 . S riind a (6.6.5) este solutie pentru (6.6.3) obtinem Fi ('1 (xm+1 ; : : : ; xn ); : : : ; 'm (xm+1 ; : : : ; xn ); xm+1 ; : : : ; xn ) = 0; i = 1; m. Diferentialele a estor fun tii sunt egale u 0 pe V2, de i si^n pun tul ~x20 , adi a Fi F F ( ~x0 )d'1 (~x20 ) + i (~x0 )d'2 (~x20 ) +


+ i (~x0 )d'm (~x20 )+ x1 x2 xm (6:6:6) Fi Fi + x (~x0 )dxm+1 +


+ x (~x0 )dxn = 0; i = 1; m: m+1 n Sa onsideram a um fun tia ompusa F (~x2 ) = f ('1 (~x2 ); '2 (~x2 ); : : : ; 'm (~x2 ); xm+1 ; : : : ; xn ) de nita pe V2. Deoare e fun tia f are ^n ~x0 un extrem onditionat de sistemul (6.6.3) rezulta a fun tia F are ^n pun tul ~x20 un extrem liber. ^In a est az diferentiala lui F ^n pun tul ~x20 este zero, adi a f f f dF (~x20 ) = ( ~x0 )d'1 (~x20 ) + ( ~x0 )d'2 (~x20 ) +


+ (~x )d' (~x2)+ x1 x2 xm 0 m 0 f + xf (~x0)dxm+1 +


+ x (~x0 )dxn = 0: m+1 n (6:6:7)

310

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Din relatiile (6.6.6) si (6.6.7) dedu em, pentru ori e sistem de numere 1 ; 2; : : : ; m , a !

!

m m Fi F f X f X i i i d'2 +


+ + d'1 + + x1 i=1 x1 ! x2 i=1 x2 ! m m X f X Fi Fi f + x + i x d'm + x + i x dxm+1 + (6:6:8) m m m+1 ! i=1 m+1 i=1 m f X Fi +


+ x + i x dxn = 0: n n i=1 Alegem numerele 1; 2; : : : ; m astfel ^n ^at oe ientii diferentialelor d'1; d'2 ; : : : ; d'm sa se anuleze, adi a f F F F ( ~x0 ) + 1 1 (~x0 ) + 2 2 (~x0 ) +


+ m m (~x0 ) = 0; i = 1; m: (6:6:9) xi xi xi xi Sistemul de mai sus ^n 1 ; 2; : : : ; m are solutie uni a ~0 = (10 ; 20; : : : ; m0 ), deoare e DD((Fx1;; :: :: :: ;; Fx m)) )(~x0 ) 6= 0. 1 m Cu valorile m10 ; 20 ; : : : !; m0 egalitatea (6.6.8) se ms rie ! X Fi f X Fi f + i dxm+1 +


+ +  dxn = 0: xm+1 i=1 xm+1 xn i=1 i xn

Pentru a a easta egalitate sa aiba lo pentru ori e valori ale variabilelor independente dxm+1 ; : : : ; dxn este ne esar si su ient sa se anuleze oe ientii a estor variabile m X f F ( ~x0 ) + i i (~x0 ) = 0; j = m + 1; n: xj i=1 xj

(6:6:10)

Din (6.6.9) si (6.6.10) rezulta a (~x0 ; ~0) este solutie a sistemului (6.6.4). Q.E.D. ! Fi De nitia 6.6.9. Un pun t ~x0 2 E pentru are rang (~x ) = m se xj 0 numeste pun t stationar ( riti ) al fun tiei f onditionat de sistemul (6.6.3) da a 9 ~0 2 IRm astfel ^n ^at (~x0 ; ~0) 2 E  IRm este pun t stationar al fun tiei lui Lagrange, adi a (~x0 ; ~0) este solutie a sistemului (6.6.4). Teorema 6.6.5 ne spune a ori e pun t de extrem onditionat este pun t stationar onditionat. Re ipro a nu este adevarata.

311

Pun te de extrem libere. Extreme u legaturi

Vom da ^n ontinuare onditii su iente de extrem onditionat. Presupunem

a fun tia f si fun tiile Fi , i = 1; m au derivate partiale de ordinul al doilea ontinue ^ntr-o ve inatate a pun tului ~x0 si e (~x0 ; ~0) 2 E  IRm solutie a sistemului (6.6.4). De nim fun tia (~x) = L(~x; ~0) = f (~x)+ 10F1 (~x)+


+ m0Fm (~x); ~0 = (10 ; : : : ; m0 ). Pun tul ~x0 este pun t stationar al fun tiei , de i d(~x0 ) = 0. Apoi deoare e (~x) (~x0 ) = f (~x) f (~x0 ); ~x 2 A, rezulta a ~x0 este pun t de extrem al fun tiei f onditionat de sistemul (6.6.3) da a si numai da a ~x0 este pun t de extrem liber pentru . Trebuie de i sa studiem natura diferent ialei a doua a fun tiei  ^n pun tul ~x0 , adi a m 2 X  (~x0 )dxidxj . d2 (~x0 ) = i;j =1 xi xj Diferentialele dx1 ; : : : ; dxn nu sunt independente, relatiile dintre ele se obtin prin diferentierea e uatiilor sistemului (6.6.3) Fi F ( ~x0 )dx1 +


+ i (~x0 )dxn = 0; i = 1; m. x1 xn D(F1 ; F2 ; : : : ; Fm ) Da a D(x ; x ; : : : ; x ) (~x0 ) 6= 0, din sistemul de mai sus putem exprima pe 1 2

m

nXm

dx1 ; : : : ; dxm ^n fun tie de dxm+1 ; : : : ; dxn . Obtinem dxi = aik dxm+k ; k=1 i = 1; m; are introduse ^n d2 (~x0 ) ne dau d2 (~x0 ) =

nXm

k;l=1

Akl dxm+k dxm+l ,

adi a o forma patrati a pe spatiul IRn m2. Ai i aik se2 exprima ^n fun tie de Fi F  Fi f ( ~x0 ), iar Akl ^n fun tie de i (~x0 ), ( ~x0 ), (~x ); i = 1; m; xj xj xj xl xj xl 0 j; l = 1; n. Din Teorema 6.6.2 dedu em atun i a) da a d2(~x0 ) este forma patrati a pozitiv (negativ) de nita, atun i ~x0 este pun t de minim (respe tiv maxim) pentru f onditionat de sistemul (6.6.3); b) da a d2(~x0 ) este forma patrati a nede nita, atun i ~x0 nu este pun t de extrem pentru f ;

312

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

) da a d2 (~x0 ) este semide nita pozitiv sau negativ, atun i nu putem stabili natura pun tului ~x0 numai u ajutorul diferentialei a doua a lui . Exemplul 6.6.4. Sa determinam extremele fun tiei f (x; y; z ) = xyz , onditionate de e uatiile x2 + y2 + z2 = 1 si x + y + z = 0 ^n IR3 . Fun tia lui Lagrange este L(x; y; z; ; ) = xyz + (x2 + y 2 + z 2 1) + (x + y + z ). Pun tele sale8stationare sunt solut iile sistemului 8 L = 0 > > yz + 2x +  = 0 > > > > > > x > > > > L = 0 > > xz + 2y +  = 0 > > > > < < y L = 0 ) >> xy + 2z +  = 0 z > > > > L = 0 > > > > x2 + y 2 + z 2 1 = 0 > >  > > > > > > : : L x + y + z = 0:  = 0 Pun^and onditia a sistemul format din primele trei e uatii ale sistemului de mai sus ^n ne unos utele  si  sa e ompatibil obtinem e uatia yz 2x 1 x)(z x)(y z ) = 0. xz 2y 1 = 0 ) (y xy 2z 1 Astfel 8sistemul de mai sus este e hivalent u sistemul >  = 31 (yz + xz + xy ) > > > > > > 2x =  yz > > < (y x)(z x)(y z) = 0 > > > > > x2 + y 2 + z 2 = 1 > > > > : x+y+z =0 Obt  inem solut iile     M1 p16 ; p16 ; p26 u  = 2p1 6 ;  = 61 ; M2 p16 ; p16 ; p26 u  = 2p1 6 ;  = 16 ;     M3 p16 ; p26 ; p16 u  = 2p1 6 ;  = 61 ; M4 p16 ; p26 ; p16 u  = 2p1 6 ;  = 16 ;     M5 p26 ; p16 ; p16 u  = 2p1 6 ;  = 61 ; M6 p26 ; p16 ; p16 u  = 2p1 6 ;  = 16 : Sa onsideram fun tiile 1 (x; y; z) = L(x; y; z; 2p1 6 ; 61 ) = xyz + 2p1 6 (x2 + y2 + z2 1) + 16 (x + y + z); 2 (x; y; z) = L(x; y; z; 2p1 6 ; 16 ) = xyz 2p1 6 (x2 + y2 + z2 1) + 16 (x + y + z): Vom studia diferentialele de ordinul al doilea ale fun tiei 1 ^n pun tele

Exer itii si probleme

313

si M5 si apoi ale fun tiei 2 ^n pun tele M2; M4 si M6 . Legaturile din problema ne8 dau 8 < dz = dx < x dx + y dy + z dz = 0 dy ) : (x : dx + dy + dz = 0 z ) dx + (y z ) dy = 0: Pentru pun tul M1 avem d2 1 (M1 ) = p16 dx2 + p16 dy 2 + p16 dz 2 p46 dx dy + p26 dx dz + p26 dy dz , 8 8 < dz = dx < dy = dx dy

are ^n prezenta legaturilor : p3 ) 3 : dz = 0; 6 dx + p6 dy = 0 p devine d21 (M1) = 6 dx2 . Rezulta a pun tul M1 este pun t de minim pentru fun tia f supusa la ele doua legaturi, iar f (M1) = 3p1 6 . Asemanator se arata

a M3 si M5 sunt si ele pun te de minim pentru f , iar f (M3) = f (M5 ) = 3p1 6 . Pentru pun tul M2 avem d2 2 (M2 ) = p16 dx2 p16 dy 2 p16 dz 2 + p46 dx dy p26 dx dz p26 dy dz . 8 < ) Legaturile dintre diferentialele dx; dy si dz sunt : dzp3= dx p3 dy dx dy = 0 6 6 8 < dz = 0 : dy = dx: p Obtinem d22 (M2 ) = 6 dx2 . Dedu em a pun tul M2 este pun t de maxim pentru fun tia f supusa la ele doua legaturi, iar f (M2 ) = 3p1 6 . Asemanator se arata a M4 si M6 sunt pun te de maxim pentru f , iar f (M4 ) = f (M6) = 3p1 6 . De i fun tia f supusa la ele doua legaturi admite trei pun te de minim M1 ; M3 si M5 u valoarea fmin = 3p1 6 si trei pun te de maxim M2 ; M4 si M6

u valoarea fmax = 3p1 6 . M1 ; M3

Exer it ii  si probleme 1. S a se al uleze, folosind de nitia, urmatoarele derivate partiale f x f a) (0; 1) si (1; 1) pentru fun tia f (x; y) = ar tg ; x y y f f f b) ( 1; 0; 1), (1; 2; 1), (1; 1; 3) pentru fun tia f (x; y; z ) = x3 + 3x2 y + z 3 . x y z 2. S a se al uleze derivatele partiale de ordinul ^nt^ai si de ordinul al doilea pentru

314

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

urmatoarele fun tii x+y y ; ) f (x; y) = xy + xy ; a) f (x; y) = ln tg ; b) f (x; y) = ar tg x 1 xy  z x xyz d) f (x; y; z ) = e ; e) f (x; y; z ) = ; f) f (x; y; z ) = xy=z , y (fun tiile ind de nite pe domeniile lor de de nitie). 3. S a se arate a fun tia f (x; y) = ex2 y2 sin(2xy) veri a relatia 2f 2f + = 0. x2 y2 4. Ar atati a fun tiile de mai jos satisfa relatiile indi ate f f a) f (x; y) = xy + xey=x ; x + y = xy + f ; x y p 2f 2f b) f (x; y) = ln (x a)2 + (y b)2 ; + = 0; x2 y2 f f f

) f (x; y; z ) = ln (tg x + tg y + tg z ); sin 2x + sin 2y + sin 2z = 2; x y z 3f 2f  f  = xy + 2x + f . d) f (x; y; z ) = exyz ; xyz xy x 5. S a se studieze proprietatea de diferentiabilitate a fun tiei f ^n pun tul (0; 0) si f f si ^ntr-un pun t (x; y) arbitrar din IR2 , unde existenta derivatelor partiale x 8 y 1 > < xy sin ; (x; y) 6= (0; 0); 2 2 x + y2 f : IR ! IR; f (x; y) = > : 0; (x; y) = (0; 0): 8 2! > x > < y 2 ln 1 + ; y 6= 0; y2 6. Fie fun t ia f : IR2 ! IR; f (x; y) = > > : 0; y = 0: Sa se arate a exista derivatele partiale de ordinul al doilea mixte ale fun tiei f ^n ori e pun t (x; y) 2 IR2 , dar a estea nu sunt ontinue ^n (0; 0). Sa se studieze apli abilitatea Teoremelor 6.1.4 si 6.1.5. 7. S a se al uleze diferentialele de ordinul ^nt^ai si de ordinul al doilea pentru urmatoarele fun tii p 2(x + sin y) a) f (x; y) = ln(x + x2 + y2 ); b) f (x; y) = ar tg ; 4 x sin y z

) f (x; y; z ) = xy . 8. Se onsider a fun tia f (x; y; z ) = x2 + 2y2 + 3z 2 si pun tul M0 (2; 1; 1). Sa se   df

al uleze (M0 ), unde ~s = p12 ; 0; p12 . d~s  p  y 9. S a se determine derivata fun tiei z (x; y) = ar tg ^n pun tul M0 21 ; 23 are x apartine er ului de e uatie x2 + y2 2x = 0, dupa dire tia tangentei la er ^n M0 .

Exer itii si probleme

315

Aratati a fun tiile de mai jos veri a egalitatile s rise alaturat   z y z a) z = xy + x'(t); t(x; y) = ; x + y = xy + z; ' 2 C 1 (I ); I  IR ; x x y   u u b) u = sin x + f (sin y sin x);

os x + os y = os x os y; f 2 C 1 (I ); I  IR ; y x w w w yz + (x2 y2 ) = 0;

) w = f (u; v); u = xy; v = x2 + y2 z 2 ; xz x y z   2 1 f 2 C (D); D  IR ;       x 2u 2 2u x 2u d) u(x; y) = xf +y 2 = 0; f; g 2 C 2 (I ); I  IR . +y g ; x2 2 +2xy y y x xy y 11. S a se arate a da a f : E ! IR (E  IR2 este on u v^arful ^n origine) este o fun tie omogena de gradul n atun i avem relatia 2f 2f 2f + y2 2 = n(n 1)f (x; y). x2 2 + 2xy x xy y Sa se generalizeze apoi relatia de mai sus. 12. S a se dezvolte fun tia f (x; y; z ) = x2 + y2 + z 2 + 2xy yz 4x 3y z + 4

u ajutorul formulei lui Taylor ^n ve inatatea pun tului M0 (1; 1; 1). 13. S a se dezvolte polinomul P (x; y) = 2x3 3x2 y + 2y3 + 9x2 3y + 6x + 3 dupa puterile lui (x + 1) si (y 1). 14. S a se s rie dezvoltarea dupa puterile lui x si y a fun tiei f (x; y) = esin (ax+by) p^ana la termenii de gradul al doilea in lusiv. 15. S a se al uleze aproximativ numarul y a) ar tg (1; 02=0; 95) pornind de la valoarea fun tiei z = ar tg pentru x = 1 si x y = 1; p p b) 5e0;02 + 2; 032 folosind fun tia z = 5ex + y2 si (x0 ; y0 ) = (0; 2). 16. S a se al uleze derivatele y0 si y00 ale fun tiei y = y(x) pentru x = 1 si y = 1 da a fun tia y este de nita prin 4x2 xy + y2 4 = 0. z z  2 z  2 z  2 z 17. S a se al uleze , , 2 , , pentru x = y = z = 0 da a fun tia x y x xy y2 z = z (x; y) este de nita prin z 2 xey yez zex = 0. z z si da a z = z (x; y) este o fun tie impli ita de nita prin 18. S a se al uleze x y relatia F (x y; y z; z x) = 0; (F 2 C 1 (D); D  IR3 ). 19. S a se arate a da a (y + z ) sin z y(x + z ) = 0 de neste ^n mod impli it z z fun tia z = z (x; y) atun i are lo relatia z sin z y2 = 0. x y 10.

316

Cal ulul diferential al fun tiilor de mai multe variabile reale

Sa se al uleze derivatele y0 si z 0 ale fun tiilor y = y(x) si z = z (x) de nite prin sistemul urm ator 8 < x+y+z 4=0 : x2 + y 2 + z 2 2x 10 = 0; ^n pun tul A(2; 3; 1), (x = 2; y 8 = 3; z = 1). < xyu yv 2 + 2v 3 = 0 21. Fie sistemul de e uat ii : 2 4u + 2v2 x3 y = 0: Sa se arate a sistemul se poate rezolva gasind u si v a fun tii de x si y ^ntr-o u u v v ve inatate a pun tului (x; y; u; v) = (1; 2; 0; 1) si sa se determine , , , . x y x y 22. S a se arate u ajutorul determinantilor fun tionali a ^ntre grupurile de fun tii indi ate^n ontinuare exista relat ii de legatura dire te. Sa se gaseas a apoi a este relatii. 8 1 > 8 > u= > ax > (x y)(x z ) > > > > < u= p 2 < 2 1 x + y a) > b) > v = (y z )(y x) by > > ; : v= p 2 > > 1 > x + y2 > ; : w= ( z x )( z y) 8 > > u=x+y+z >
v = x3 + y3 + z 3 + 6xyz > > : w = xy (x + y ) + yz (y + z ) + zx(z + x); 8 > > u=x+y+z > < d) > v = x2 + y2 + z 2 xy yz zx > > : w = x3 + y 3 + z 3 3xyz: 23. S a se stabileas  a da  atoarele fun tii a urm     z+x x+y y+z ; v=g ; w=h u=f y+z x z+x y x+y z sunt ^n dependenta fun tionala (f; g; h sunt fun tii bije tive). 24. S a se determine fun tia ' astfel ^n ^at u = '(x + y) si v = '(x)'(y) sa e ^n dependenta fun tionala. 25. S a se determine extremele urmatoarelor fun tii a) z (x; y) = 2x2 + 2xy 5y2 + 6x + 6y; (x; y) 2 IR2 ; b) z (x; y) = (x + y)e (x2 +y2 ) ; (x; y) 2 IR2 ;

) z (x; y) = x3 y2 (a x y); (x; y) 2 IR2 ; a > 0; d) z (x; y) = sin x + sin y + os(x + y); 0 < x < 32 ; 0 < y < 32 . e) u(x; y; z ) = xy2 z 3 (a x 2y 3z ); (x; y; z ) 2 IR3 ; a > 0; 20.

Exer itii si probleme

317

y2 z 2 2 f) u(x; y; z ) = x + + + ; x; y; z > 0. 4x y z 26. S a se determine triunghiul de arie maxima are se poate ^ns rie ^ntr-un er de raza data R. 27. S a se ^mparta numarul 24 ^n trei parti astfel ^n ^at produsul lor sa e maxim. 28. S a se arate a fun tia f : IR2 ! IR de nita prin f (x; y) = (1 + ey ) os x yey are o in nitate de maxime lo ale si ni i un minim lo al. 29. S a se determine pun tele de extrem u legaturi ale urmatoarelor fun tii x y a) z (x; y) = x2 + y2 ; + = 1; (a; b > 0); a b  b) z (x; y) = os2 x + os2 y; x y = ; x; y 2 (0; 2); 4 x2 y 2

) z (x; y) = x + y; 2 + 2 = 1; (a; b > 0); a b d) u(x; y; z ) = xy + xz + yz ; xyz = 1; ^n domeniul x > 0; y > 0; z > 0; e) u(x; y; z ) = xm yn z p ; x + y + z = a; (a > 0; m; n; p 2 IN ; m; n; p  2); f) u(x; y; z ) = xyz u xy + xz + yz = 8; x + y + z = 5. 30. Se d a un er si trei pun te xe A; B; C ^n planul er ului. Sa se determine pun tul M pe er astfel ^n ^at suma MA2 + MB 2 + MC 2 sa e maxima sau minima. 31. S a se determine triunghiul ABC pentru are produsul sinm A sinn B sinp C , m; n; p > 0 este maxim.

318

Index de matemati ieni

Index de matemati ieni Abel, Niels Henrik (1802-1829), matemati ian norvegian d'Alembert, Jean le Rond (1717-1783), mat. fran ez Arhimede, din Syra uza (287?-212 ^.e.n.), mat. gre Bana h, Stefan (1892-1945), mat. polonez Bernoulli, Jakob (Ja ques I) (1654-1705), mat. elvetian Bertrand, Joseph Louis Fran ois (1822-1900), mat. fran ez Bolzano, Bernard (1781-1848), mat. eh Buniakowski, Vi tor Iakovlevi i (1804-1889), mat. rus Cantor, Georg (1845-1918), mat. german Cau hy, Augustin Louis (1789-1857), mat. fran ez Ceb^asev, Pafnuti Lvovi i (1821-1894), mat. rus Cesaro, Ernesto (1859-1906), mat. italian Darboux, Jean Gaston (1842-1917), mat. fran ez Dedekind, Ri hard Julius Wilhelm (1831-1916), mat. german Diri hlet, Peter Gustav Lejeune (1805-1859), mat. german Duhamel, Jean Marie Constant (1797-1872), mat. fran ez Eu lid, din Alexandria (

a. 450-380 ^.e.n.), mat. gre Eudoxus, din Cnidos (

a. 408-355 ^.e.n.), mat. gre Euler, Leonard (1707-1783), mat. elvetian Fermat, Pierre de (1601-1665), mat. fran ez Fibona

i, Leonardo din Pisa (1175?-1250?), mat. italian Gauss, Karl Friedri h Johann (1777-1855), mat. german Hadamard, Ja ques Salomon (1865-1963), mat. fran ez Hausdor, Felix (1868-1942), mat. german Heron, din Alexandria (

a. 75 e.n.), mat. gre Hesse, Ludwig Otto (1811-1874), mat. german Hilbert, David (1862-1943), mat. german

Index de matemati ieni

319

Holder, Otto Ludwig (1859-1937), mat. german l'Hospital, Guillaume Fran ois Antoine Marquis de (1661-1704), mat. fran ez Kummer, Ernst Eduard (1810-1893), mat. german Lagrange, Joseph Louis (1736-1813), mat. fran ez Lales u, Traian (1882-1929), mat. rom^an Legendre, Adrien Marie (1752-1833), mat. fran ez Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), mat. german Lips hitz, Rudolf Otto (1832-1903), mat. german Ma -Laurin, Colin (1698-1746), mat. s otian Mertens, F. (1840-1927), mat. german Minkowski, Hermann (1864-1909), mat. rus Morgan, Augustus de (1806-1871), mat. englez Newton, Isaa (1643-1727), mat. englez Peano, Giuseppe (1858-1932), mat. italian Raabe, Josef Ludwig (1801-1859), mat. elvetian Riemann, George Frederi Bernhard (1826-1866), mat. german Ro he, Jean (n.1901), mat. fran ez Rolle, Mi hel (1652-1719), mat. fran ez S hlomil h, Oskar (1823-1901), mat. german S hwarz, Hermann Amandus (1843-1921), mat. german Sylvester, James Joseph (1814-1897), mat. englez Taylor, Brook (1685-1731), mat. englez Weierstrass, Karl Wilhelm Theodor (1815-1897), mat. german Young, William Henri (1863-1942), mat. englez

320

Bibliogra e

BIBLIOGRAFIE 1. N. Calistru, Gh. Ciobanu, Curs de Analiza Matemati a, Vol.I, Institutul Politehni Iasi, 1988. 2. G.M. Fihtenholt, Curs de al ul diferential si integral, Vol.I, Editura Tehni a, Bu uresti, 1963. 3. G.M. Fihtenholt, Curs de al ul diferential si integral, Vol.II, Editura Tehni a, Bu uresti, 1964. 4. G.M. Fihtenholt, Curs de al ul diferential si integral, Vol.III, Editura Tehni a, Bu uresti, 1965. 5. N. Gheorghiu, T. Pre upanu, Analiza matemati a, Editura Dida ti a si Pedagogi a, Bu uresti, 1979. 6. C. Ia ob, ... ( ole tiv), Matemati i lasi e si moderne, Vol.I, Editura Tehni a, Bu uresti, 1978. 7. O.V. Manturov, N.M. Matveev, A ourse of higher mathemati s, Mir Publishers, Mos ow, 1989. 8. C. Meghea, Bazele analizei matemati e { Tratat de analiza, Editura Stiinti a si En i lopedi a, Bu uresti, 1977. 9. M. Ni oles u, Analiza matemati a, Vol.I, Editura Tehni a, Bu uresti, 1957. 10. M. Ni oles u, Analiza matemati a, Vol.II, Editura Tehni a, Bu uresti, 1958. 11. M. Ni oles u, Analiza matemati a, Vol.III, Editura Tehni a, Bu uresti, 1960. 12. M. Ni oles u, N. Din uleanu, S. Mar us, Analiza matemati a, Vol.I, Editura Dida ti a si Pedagogi a, Bu uresti, 1966. 13. A. Pre upanu, Bazele analizei matemati e, Editura Universitatii "Al.I.Cuza", Iasi, 1993. 14. Gh. Siret hi, Cal ul diferential si integral, Vol.I, Notiuni fundamentale, Editura Stiinti a si En i lopedi a, Bu uresti, 1985. 15. Gh. Siret hi, Cal ul diferential si integral, Vol.II, Exer itii, Editura Stiinti a si En i lopedi a, Bu uresti, 1985.

Bibliogra e

321

16. O. Stanasila, Analiza matemati a, Editura Dida ti a si Pedagogi a, Bu uresti, 1981. 17. R. Tudora he, Culegere de probleme de analiza matemati a, Vol.I Cal ulul diferential, Universitatea Tehni a "Gh. Asa hi", Iasi, 2000. 18. R. Tudora he, Culegere de probleme de analiza matemati a, Vol.II Cal ulul integral, Universitatea Tehni a "Gh. Asa hi", Iasi, 2001.