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Mécanique Générale - Niveau 1

Chap.1:

OUTILS MATHEMATIQUES VECTEURS & TORSEURS

L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les torseurs.

1. VECTEURS : Un vecteur est une grandeur mathématique défini par son sens, son module, sa direction et son point d’application. 

Si son point d’application est quelconque : vecteur libre.



Si son point d’application est fixe : vecteur lié et s’écrit (A, X ).



Si son point d’application est libre sur un support : vecteur glissant.

Géométrique

Analytique

Caracteristiques d’un vecteur

X

A







B i, j, k liée au repère R O, i, j, k



L’expression de X dans la base B est :

* Direction.

B

Adoption d’une base

* Sens. * Point d’application. * Module ou norme.

 x   X  x i  y j  z k  y  z B  x , y , z : sont les composantes de X

2. OPERATIONS ALGEBRIQUES SUR LES VECTEURS : L'objectif est de voir de façon élémentaire certaines opérations sur les vecteurs.

2.1 Module d’un vecteur :  X = x12  y12  z12 2.2 Vecteur unitaire:   X u : u  X

 X =1

2.3 Egalité de deux vecteurs :

















Soient X 1  x1 i  y1 j  z1 k et X 2  x2 i  y2 j  z2 k

  X1  X 2

x1 = x 2 ; y1 = y 2 ; z1 = z 2

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2.4 Vecteurs opposés :   x1 =- x 2 ; y1 =- y 2 ; z1 =- z 2 X1   X 2 2.5 Somme des vecteurs :

X , X   X 1

2

1

X2

Géométrique

Analytique  x2   x1      X 1  x1 i  y1 j  z1 k   y1  ; X 2  x2 i  y 2 j  z 2 k   y 2  z  z  B 2  B 1 

X1

X2

 x1  x2    X 1  X 2  ( x1  x2 ) i  ( y1  y 2 ) j  ( z1  z 2 ) k   y1  y 2  z z  2  B 1

X2 X1  X 2

X1

   

    X1  X 2 = X 2  X1       X1  ( X 2  X 3 ) = ( X1  X 2 )  X 3     a ( X1  X 2 ) = a X 1 + a X 2 ; a  R    (a+b) X 1 = a X 1 + b X1 ; a, b  R

2.6 Multiplication par un réel :

, X    X

Géométrique

Analytique

* Même direction que X . * Sens :- même si  0

X

- opposé si

*  X 

 0

X

 x1    X  x1 i  y1 j  z1 k   y1  z  B 1    x1     X   x1 i   y1 j   z1 k    y1   z  1 B

3. PRODUIT SCALAIRE : Par définition, le produit scalaire de 2 vecteurs X 1 et X 2 est:

  X 1  X 2  X 1 X 2 Cosθ

 

tel que

  θ = ( X1 ^ X 2 )

Dans une base orthonormée directe i, j,k : Si X1  x1 i  y1 j  z1 k Alors on aura :

et X 2  x2 i  y2 j  z2 k   X1. X 2  x1 . x2  y1. y2  z1. z2

NB : Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE. ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

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Propriétés: 

Commutativité: X 1  X 2  X 2  X 1



Distributivité à droite et à gauche: X 1 ( X 2  X 3 )  X 1 . X 2  X 1 . X 3 et ( X 1  X 2 )  X 3  X 1. X 3  X 2 . X 3



Multiplication par un réel:  . (X . Y )  ( . X ) . Y  X ( . Y)



Normes: X 



Calculs sur les vecteurs d’une base orthonormée directe

X. X  x1  x2  x3 2

i. j  j. k  k. i  0 ; 

2

λ R

2

i. i  j. j  k. k  1

Cas de nullité : o Un des vecteurs est nul. o Les deux vecteurs sont orthogonaux.







 d   d  d   X1  X 2  X 1 X 2  X 2 X1 dt dt dt

Dérivée d’un produit scalaire :

4. PRODUIT VECTORIEL : Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs X et Y noté X  Y est égale Z tel que :

Si on définit l’angle   (X , Y) , alors

X  Y  X . Y . Sin  k



Sa direction est perpendiculaire au plan formé par X et Y .



Son sens est celui de la rotation de X vers Y (sens de tire-bouchon).



Sa norme est l’aire du parallélogramme formé par X et Y :



Z  X  Y  X  Y  Sin X ,Y





( X , Y , Z ) forme un trièdre direct, quelque soit le point O.

Méthode de calcul :

 

Dans une base i, j,k , si X  x1 i  x2 j  x3 k et Y  y1 i  y2 j  y3 k , alors on aura :

Calcul à effectuer:

y1 x1 x2  y2 x3 y3

Première composante : On barre la première ligne et on calcule le déterminant restant:

x1 y1 x2  y2 x3 y3



x2 y2  x2 y3  x3 y2 x3 y3

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

x1 y1 x2  y2 = x3 y3

x2 y3  x3 y2 ? ? 3

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Deuxième composante : On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant restant:

x1 y1 x2  y2 x3 y3

x1 y1    (x1 y3  x3 y1) x3 y3



x1 y1 x2  y2 = x3 y3



x2 y3  x3 y2 x3 y1  x1 y3 ?

Troisième composante : On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant restant:

x1 y1 x2  y2 x3 y3

x1 y1  x1 y2  x2 y1 x2 y2



x1 y1 x2  y2 = x3 y3



x2 y3  x3 y2 x3 y1  x1 y3 x1 y2  x2 y1

Propriétés: 

Anti-commutativité: X  Y   Y  X



Distributivité à droite et à gauche: X  (Y  Z)  X  Y  X  Z et (X  Y)  Z  X  Z  Y  Z



Multiplication par un réel:  . (X  Y)  ( . X )  Y  X  ( . Y)



Cas de nullité : o o

; λ R

Un des vecteurs est nul. Les deux vecteurs ont même direction.



Dérivée d’un produit vectoriel :



Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:





   d  d  d  X1  X 2  X1  X 2  X1 X 2 dt dt dt

i  j  k , j  k  i , k i j i  i  j  j  k k 0 Méthode pratique : on écrit 2 fois la base, le sens est donné par l’ordre d’écriture

i j k

;

j  i   k



i j k i j k

4.3 Produit Mixte : Le résultat du produit mixte de trois vecteurs (X ,Y,Z) est un SCALAIRE égale au volume du parallélépipède formé par ces vecteurs.

X. (Y  Z)  a . Propriétés: 

X. (Y  Z) 0 si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.



X . (Y  Z)  Y (Z  X )  Z (X  Y)

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5. CHANGEMENT DE BASE : Soient

deux

bases

orthonormées

directes

B0 (i 0 , j 0 , k 0 ) et B1 (i1 , j 1 , k 1 ) tel que k1k 0

5.1 Projection des vecteurs de bases : Si on exprime les vecteurs de la base B1 (i1 , j1 , k 1 ) dans B0 (i 0 , j 0 , k 0 ) , on obtient: 

i1  Cos i0  Sin j 0



j1  Sin i0  Cos j 0



k1k 0

Inversement, si on exprime les vecteurs de la base B0 (i 0 , j 0 , k 0 ) dans B1 (i1 , j1 , k 1 ) , on obtient: 

i0 Cos i1  Sin j1



j0 Sin i1  Cos j1



k 0 k 1 5.2 Changements de bases d'un vecteur quelconque :

Soit

U (a, b, c) B1 un vecteur exprimé dans la base B1 (i1 , j1 , k 1 ) . L'expression de U dans la base

B0 (i 0 , j 0 , k 0 ) sera : U a i1  b j1  c k1  a (Cos i0  Sin j 0)  b (Sin i0  Cos j 0)  c k 0 U  (a Cos  b Sin) i0  (a Sin  b Cos ) j 0  c k 0 D’où :

U  (a Cos  b Sin , a Sin  b Cos , c)

B0

6. MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT :  Le moment par rapport au point P d’un vecteur V de point d’application A est par définition :



M P V  PA  V Cas particuliers : Le moment est nul :

 - S’il est calculé au point d’application A du vecteur V

 - S’il est calculé à un point P  au support du vecteur V : ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

   M V   PA  V  0

: M A V  AA  V  0 P

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Propriété : On connaît le moment en P, comment l’obtient-on en Q ?









M Q V  QA  V  QP  PA  V  QP  V  PA  V  QP  V  M P V Nous appellerons loi de distribution ou loi du transfert de moment la relation:

   (P, Q) M Q (V )  M P (V )  QP  V

7. SOMME DE n VECTEURS :









Soit l’ensemble de vecteurs E = ( A1 ,V1 ), ( A2 ,V2 ).......( An ,Vn )

     La somme S de l’ensemble E est : S ( E)  V1  V2 .......  Vn n     S (E) est un vecteur libre et est appelé aussi la résultante R(E) tel que : R( E )  Vi i 1





Si l’origine du premier vecteur est confondue avec l’extrémité du dernier vecteur on a R(E) = 0

8. MOMENTS DE n VECTEURS PAR RAPPORT A UN POINT : 



Le moment par rapport à P de E est M P E   PA1  V1  PA2  Vn  ........  PAn  Vn n  M P E  est appelé moment résultant de (E) : M P E    PAi  Vi i 1

M P E  est un vecteur dépendant du point P tel que : n

n

i 1

i 1





n

n

i 1

i 1

M Q E    QAi  Vi   QP  PAi  Vi  QP  Vi   PAi  Vi

 (P, Q) M Q (E)  M P (E)  QP  R(E)

9. NOTIONS SUR LES TORSEURS Afin de simplifier la présentation des calculs sur les vecteurs ou ensemble de vecteurs (représentant des forces, des vitesses...) et leurs moments (tels que les moments de force bien connus), nous allons présenter un formalisme simple permettant de manipuler ces grandeurs : il s'agit de la notion de torseur, que nous allons présenter à partir de l'exemple d'un ensemble de forces. ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

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Mécanique Générale - Niveau 1

Bien que cette formulation ne soit pas indispensable pour présenter la mécanique générale, nous l'utiliserons fréquemment dans la suite du cours. Nous pensons en effet que cette présentation permet d'alléger la formulation des équations et de donner une certaine unité à la présentation des principaux résultats.

9.1 Torseurs : Un torseur noté antisymétrique.

 

ou

  ou

…….définit en un point P

 A ou  A ou …..

est un champ de vecteurs

Pour définir un torseur   en un point A, il suffit de préciser :  Le vecteur R : Appelé résultante du torseur, constituant un champ uniforme.  Le vecteur M A : appelé moment du torseur en un point A, constituant un champ non uniforme. N.B : R et M A sont les éléments de réduction du torseur.

9.2 Notation : Un torseur

  se note au point A dans un repère (R)



par :

 BA =  R 

A

M A  B

X L     Si R   Y  et M A   M  Z N  B  B Le torseur

  s’écrit soit :  BA

    A =  R  X x  Y y Z z   M A  L x  M y  N z  B

ou

 BA

X  = Y Z 

A

L  M N  B

NB : le moment d’un torseur doit vérifier la relation de transfert de moment tel que

 (P, Q) M Q (T )  M P (T )  QP  R(T )

9.3 Cas particuliers de torseurs : 9.3.1 Torseur nul :

  R  0 0 =     Ce type de torseur est nul en tout point.  M  0 B 9.3.2 Torseur couple :

  R0 C =     M  C  B o

On dit qu’un couple n’a pas de point d’application.

o

La somme de n couples est un couple.

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Mécanique Générale - Niveau 1

9.3.3 Torseur glisseur :

  R  g  =      M  0 B  X      R  Y    Z      g A     L      AP  R   M    N      A

Les Coordonnées en A seront :

o

Le moment d’un glisseur est nul sur l’axe et non nul ailleurs.

o

Le moment d’un glisseur est perpendiculaire à l’axe et à la résultante.

o

Le moment augmente si on s’éloigne de l’axe (en module).

Remarques: 1/ La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment en tout point de l'espace. 2/ Les deux vecteurs définis dans un torseur sont de natures différentes. Pour un torseur de force, le vecteur résultant est une force ayant des composantes dont les unités sont en (N), alors que le moment en un point est un moment dont les composantes ont des unités en (N.m). 3/ Attention quand l'on demande de définir un torseur, il est nécessaire de donner une réponse pour la résultante et une réponse pour le moment.

9.4 Opérations usuelles sur les torseurs : NB : Les torseurs doivent être calculés au même point et exprimés dans le même repère.

On pose :

o

 

A 1 B

 A  R1  =    et  M A ( 1 )  B

Somme de deux torseurs :

 

A 1 B

 A  R2  =     M A ( 2 )  B

 

A 2 B

+ 



A 2 B

  A   R1  R2  =    M A ( 1 )  M A ( 2 )  B

   =   A B

A B

 A  R  =      M A ( ) B

o

Multiplication par un réel :

o

Co-moment de 2 torseurs :  1B   2 B = R1  M A ( 2 )  R2  M A ( 1 )

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A

A









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Mécanique Générale - Niveau 1

9.5 Torseurs équivalents : Deux torseurs sont dits équivalents, s’ils ont les mêmes éléments de réductions, lorsqu’ils sont calculés en même point.

 

A 1 B

et

 

A 2 B

 

sont équivalents 

A 1 B

= 

   R1  R2    M (  )  M A 1 A ( 2 ) 



A 2 B

9.6 Invariants de torseur : Invariant vectoriel : la résultante du torseur. Invariant scalaire : le produit scalaire de la résultante par le moment d’un torseur

  R(T ) M Q (T )  R(T ) M P (T ) 9.7 Axe central d’un torseur : L’axe central Δ est le lieu des points où la résultante et le moment du torseur sont colinéaires.



Partant d’un torseur connu au point P, soit u le vecteur unitaire d’orientation de Δ et Q un point appartenant à l’axe cherché tel que

  R(T )  M Q (T )  0

Soit H la projection de P sur Δ, elle est

obtenu par

  R(T )  M P (T ) et Q est tel que HP   2 R(T )

 P QP  QH  HP   R (T )  HP l’axe passant par H et Q constitue l’axe central du torseur T  . 

L’axe central Δ ne peut exister que si la résultante est différente de zéro.



L’axe central Δ, sil existe doit être parallèle à la résultante R(T ) .



Si M P (T )  0 , l’axe central Δ est le lieu des points ayant un moment nul.





 u

P Q

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H

9

Mécanique Générale - Niveau 1

Chap.2:

STATIQUE

Après un rappel sur les expressions des torseurs associés aux différents types d'actions mécaniques, nous introduirons le principe de la statique puis les méthodes de résolution d'un problème de statique.

1. SOLIDES ET SYSTEMES MATERIELS : 1.1Système matériel: Ensemble de matière dont les atomes peuvent être de même nature ou non, déformable ou non, compressible ou incompressible.

1.2 Solide: Ensemble de matière dont les atomes sont de même nature, géométriquement parfait, indéformable et homogène.

2. ACTION MECANIQUE : 2.1 Définition : Action mécanique : Toute cause ayant pour effet de maintenir au repos, ou de modifier l’état de repos ou de mouvement d’un mécanisme ou de certaines de ses parties.

2.2 Actions mécaniques Une action mécanique fait intervenir deux corps, l’un exerçant l’action l’autre la subissant, elle peut être: 

Une action de contact (pression, Force appliquer par un opérateur, action d’une liaison, couple appliquer par un moteur,………).



Une action à distance (poids, forces électriques et magnétiques,....).

Une action mécanique peut s’exercer :  Sur un point (action ponctuelle).

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Mécanique Générale - Niveau 1

 Sur une surface (action d’un solide sur un autre au point de contact, pression d’un liquide, d’un gaz,....)  Sur un volume (poids par exemple). Une action mécanique peut être :  Intérieure au système considéré (action d’une partie du système sur une autre).  Extérieure au système considéré (action exercée par l’environnement sur le système). Quel que soit son type, une action mécanique fait intervenir un ensemble de force (élémentaires ou non)d’où on la représente par un torseur

 ( F ) 

12

M

  F12     C F12 

 Somme géométrique des forces exercées par « 1 » sur « 2 ». Elle est appelée force.  Somme des moments des forces exercées par « 1 » sur « 2 » (au point M) appelée couple

N.B : L'ensemble des actions mécaniques qui s'exercent à l'intérieur d'une liaison parfaite peut être représenté par un torseur résultant exprimé au centre de la liaison. (voir tableau des liaisons)

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Mécanique Générale - Niveau 1

Symbole

Nom de la liaison

Encastrement

Pivot d’axe

 (O , x )

Torseur des actions du solide 2 sur le

Nom de la

solide 1

liaison

O

X  Y Z 

L  M N 

X  Y Z 

0  M N 

En tout point O

Points de

 (O , x )

Symbole

Torseur des actions du solide 2 sur le solide1 O

Appui plan de normale

0  0 Z 

L  M 0 

Linéaire rectiligne  d’axe (O , x ) de  normale (O , z )

0  0 Z 

0  M 0 

 (O , z )

En tout point

O

Point du plan (O,

z ,x) O

Glissière  d’axe (O , x )

0  Y Z 

L  M N 

Pivot glissant  d’axe (O , x )

0  Y Z 

0  M N 

X  Y Z 

0  0 0

Sphérique ou Rotule de centre O

O

En tout point

Linéaire annulaire  d’axe (O , x )

0  Y Z 

0  0 0

Points de

Ponctuelle de normale

0  0 Z 

0  0 0

Au point O

Glissière hélicoïdale  d’axe (O , x )

O

 (O , x )

O

 (O , z )

X  Y Z 

Au point O O

Points de

 (O , z )

L  pX   Points de  M  (O , x ) N  O

3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE : 3.1 Enoncé : Pour qu’un mécanisme composé d’un ou plusieurs solides soit en équilibre dans un repère galiléen sous l’effet de n actions extérieures, il faut que les conditions suivantes soient satisfaites :  Etat d’équilibre du mécanisme avant l’étude.  Egalisation du torseur statique des actions mécanique extérieures s’exerçant sur (S) au torseur nul.

T

S

( S  S )

A

  R( S  S )  0  0    A avec M ( S  S )  0  S  R( S  S)  0 : théoreme de la résultantestatique.  A  M S ( S  S)  0 : théorème du moment statique.

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Mécanique Générale - Niveau 1

La projection de ces deux théorèmes sur les axes du repère fourni au maximum six équations analytiques permettant de déterminer les inconnues statiques et/ou géométriques. Remarques : a) Le principe fondamental de la statique n’est en fait qu’un cas particulier du principe fondamental de la dynamique. b) Pour un ensemble de solides si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul par rapport au repère galiléen, les différents solides constituant l’ensemble ne sont pas forcément en équilibre, seul l’ensemble est en équilibre. c) Dans le cas d’un problème plan (par exemple X et Y), la projection fournit trois équations : 

Deux équations liées à la résultante statique suivant x et y.



Une équation pour le moment statique portée par l’axe z

3.2 Principe des actions mutuelles (action et réaction) : 

Si un système matériel E1 exerce une action mécanique F (1  2) sur un système matériel E2 alors le



système matériel E2 exerce sur le système matériel E1 une action mécanique F (2  1) telle que :

  F (1  2)  - F(2  1) Ces deux actions mécaniques sont dites réciproques et les torseurs représentant ces deux actions mécaniques réciproques sont opposés :





  ( F (S1  S2 ))

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M





  -  ( F (S2  S1 ))

M

13

Mécanique Générale - Niveau 1

4. DEMARCHE DE RESOLUTION D’UN PROBLEME STATIQUE: Isoler le système si  ...... et déterminer son extérieure si  ..... ,

Etablir le bilan et identifier les actions mécaniques extérieures à si ,

Construire au centre de liaison, le torseur statique associé à chaque action mécanique,

Isoler un autre sous système en liaison avec le premier système et déterminer son extérieure

Effectuer le transfert de tous les torseurs en un point bien déterminé,

Appliquer le principe fondamental de la statique PFS sur si  .....

Oui

Nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations Non Déterminer les inconnues statiques et/ou géométriques du système

Finir l’étude.

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14

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Chap.3:

CINEMATIQUE

La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie les mouvements des corps par rapport au temps, indépendamment de leurs causes.

1. Paramétrage de la position d’un point : 1.1 Système des coordonnées : En mécanique on définit la position d’un point M par rapport à un repère de référence choisi ( R ) à l’aide du vecteur position de M par rapport à OR : OR M Les paramétrages qui définissent la position d’un point M dans un repère ( R ) sont habituellement : 

Les coordonnées cartésiennes,



Les coordonnées cylindriques ou polaires,



Les coordonnées sphériques.

Le type de coordonnées est choisi en fonction du problème que l’on a à traiter (problème à symétrie de révolution autour d’un axe, problème à symétrie sphérique …). 1.1.1 Les coordonnées cartésiennes :

z z

 x, y, z sont les coordonnées de M dans un repère R(O, x, y, z) , tel que O

origine de repère et

M

   ( x , y , z ) les vecteurs unitaires orthogonaux de R O

définissant une base B.

 La donnée des 3 variables x, y, z  définit 1 point et un seul de l’espace.

y

y

x

x

Le vecteur de position de M par rapport à R  x   (origine) : OM  x x  y y  z z   y   z  B

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15

Mécanique Générale - Niveau 1

1.1.2 Les coordonnées cylindriques ou polaires :

  , z sont les coordonnées de M dans un repère    R 1 (O, u, v, z ) tel que O origine de repère et (u , v , z )

z z

M

les vecteurs unitaires orthogonaux de R1 définissant une base B1.

 La donnée des 3 variables ,, z  définit 1 point et un seul de l’espace. Le vecteur de position de M par rapport à R1 (origine) :

v

 O x

y

y





x

u

   OM   .u  z z   0  z   B1

Ce même vecteur peut être exprimé dans R

x   Cos

  Cos    OM   Cos x   Sin y  z z    Sin   z  B 

y   Sin

1.1.3 Les coordonnées sphériques :

 sont les coordonnées de M dans un repère R2(O,i, j,v)    tel que O origine de repère et (i , j , v ) les vecteurs unitaires 

z

 i

z

orthogonaux de R2 définissant une base B2.

M

La donnée des 3 variables ,,  définit 1 point et un seul de l’espace.  Le vecteur de position de M par rapport à R2 (origine) : 

   OM   i   0  0   B2



v



O

y

 x

j



u

x   Cos Sin

Ce même vecteur peut être exprimé dans R1

y   Sin Sin   Sin    OM   Sin u   Cos z   0    Cos    B1

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z   Cos

16

Mécanique Générale - Niveau 1

Ce même vecteur peut être exprimé dans R   Cos Sin    OM   Sin Cos x   Sin Sin y   Cos z    Sin Sin    Cos   B

1.2 Changement de système de coordonnées : On peut facilement passer d’un système à un autre en remarquant qu’on doit exprimer le même vecteur position dans les systèmes de coordonnées. Exemple : Passer de polaires en cartésiennes ou réciproquement :

OM   u  z1 z et OM  x x  y y  z z

x   Cos ;

en identifiant :

y   Sin

z  z1 Pour le passage inverse :  

x y 2

2

;   arc tg

y x

et z1  z .

1.3 Angles d’Euler : 1ère Rotation

x, y,z  u,v,z Rot(z,)



z

z1 

v

z

y1

y

w

v   y

O

 x





u x

u

 x1

2ème Rotation

u,v,z  u,w,z  Rot(u,)

Les 3 angles d’Euler sont les suivants :

1

z1

z



   z,z  : angle orienté par u  u,x  : angle orienté par z

  x,u : angle orienté par z

 u

w

1

v

1

1

Ces 3 angles qui sont utilisés dans l’étude du mouvement gyroscopique portant les noms suivants : ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

17

Mécanique Générale - Niveau 1

3ème Rotation

u,w,z   x , y ,z  Rot(z1,)

1

1

1 1

 : angle de précession.

y1



 : angle de mutation.

z1

 : angle de rotation propre.

w

 u

x1

2. Cinématique d’un point : 2.1 Dérivation d’un vecteur : 2.1.1 Définition : La dérivée du vecteur V t  par rapport à la variable t  dans l’espace vectoriel E  est le vecteur suivant :

 d V  lim V t h  V t   dt  E h0 h 2.1.2 Remarque :  La variable t  est quelconque, qui sera bientôt associée au temps.  La variable d’un vecteur, que la dérivée représente dépend de l’espace vectoriel de référence, c’est à dire en pratique de la position de l’observateur qui étudie la variation du vecteur, d’ou la nécessité de

      notations précises.  dV  ou  dV  ou encore  dV  qui se lit : dérivée du vecteur V par rapport à dt dt  E  B  dt  R la variable t  dans R.

2.2 Propriétés : o Dérivée de la somme de vecteurs :

dtd V V   ddtV    ddtV  1

1

2

R

2

R

R

o Dérivée du produit d’une fonction scalaire par un vecteur :

 

 d  V    dV    d   dt   V     dt  avec    dt   R  R  R o Dérivée d’un produit scalaire :

dtd V  V    ddtV   V 1

1

2

R

R

2

   V 1   dV 2   dt R

o Dérivée d’un produit vectoriel :

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18

Mécanique Générale - Niveau 1

dtd V  V    ddtV   V 1

1

2

R

R

2

   V 1   dV 2  dt  R

o Dérivée d’une fonction de fonction : Supposons que le vecteur V est fonction de t  et par l’intermédiaire de la fonction  .

 dtdV t    ddV   

Alors :

R

avec

 dt 

  d

R

R

2.3 Dérivée d’un vecteur exprimée dans la base de dérivation :





Dérivée d’un vecteur V exprimée dans la base du repère R O,x, y,z : soit V axbycz

 dV           a x  a  d x   b y  b  d y   c z  c  d z   dt   dt   dt   dt   R  R  R  R

( a,b,c : sont fonction de t  )

Comme les vecteurs unitaires sont constants dans la base de R ,

alors

 dV   dt 

:

Avec

dy    dx   dt   0 ;    0 ;  ddtz   0 dt  R  R  R

   a x  b y  c z  R

2.4 Changement de base de dérivation :









Soient R O,x, y,z et R 1 O,x1, y1,z1 deux repères orthonormés directes. Considérons un vecteur V exprimé dans la base du repère R1 : V ax1by1cz1 où ( a,b,c : sont fonction de t  ) . Cherchons la dérivée du vecteur V par rapport à la variable t  dans la base du repère R . Cas ou : z1 z

 

Posons :   x , x1 ou  est fonction de ( t ). La dérivée de V par rapport à la variable t dans R :





   dV          d a x1  b y 1  c z 1    da x1    db y 1    dc z 1   dt   R  dt  R  dt  R  dt  R   R  dt    d x1      b y 1  b  d y 1   c z 1  c  d z 1   a x1  a   dt   dt   dt   R  R  R

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Mécanique Générale - Niveau 1

 dV 

 dV    dV   a  d x1   b  d y1    dt   dt   dt   dt   R  R1  R  R

 Or la somme a x1  b y1  c z1 =   dt    R1

  c  d z1  dt  R

   dt   R

d z1  0 comme z  z 1     dt  R

Pour calculer  d x1  on considère que le vecteur x1 est fonction de t  par l’intermédiaire de  : x1 t .

 dt 

      Alors  d x1    d x1  d    d x1  avec d    dt R  d R dt

 d R

R

Par projection on obtient : x1  cos x  sin y ;

  d x   d  = y1 R

 d x1  d    [ (cos x  sin y)] R   sin x  cos y  y1 dt  d  R

N.B : La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à son angle polaire est le vecteur directeur perpendicularité (déduite par une rotation d’angle + 90°). De même façon (

d y1 )R   x1 par suite  dV    dV   a  y1  b  x1 dt  dt R  dt R1

    Ou encore pour mettre en évidence le vecteur V :  dV    dV    z  (ax1by1cz1) dt dt 

On pose :  R1 R   z où

R 

R1

 R1 R : le vecteur de rotation de R1 par rapport à R .  dV    dV   R1 R  V  dt   dt   R  R1

(E)

2.5 Propriétés du vecteur rotation : 2.5.1 Composition des vecteurs rotations :



On note Bi xi , yi , zi

 la base du repère orthonormé directe R O, x , y , z . Etant donné un vecteurV ,

on peut écrire successivement :

i

i

i

i

 dV        d V    R2 R1  V  dt      R1  dt  R 2

 dV     dt    Rn1

 dV     Rn Rn1 V   dt    Rn

n  dV       d V     Ri Ri 1  V  dt      R1  dt  Rn i 1

Faisons la somme et après simplification on obtient : 

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20

Mécanique Générale - Niveau 1

Or d’après (E) on a

 dV        dV    Rn R1   V  dt      R1  dt  Rn

Par équivalence entre ces deux dernières équations en obtient :

 Rn R1   Rn Rn1  + ………………….. + R2 R1  n

 Rn R1     Ri Ri 1  i 1

Exemple : Expression du vecteur rotation en fonction des angles d’Euler





En reprenant les notations du paragraphe étudier précédemment  R3 R   z   u   z1

2.6 Inversion des bases de dérivation :  dV   dt 

     dV    R1  dt

    R2 R1   V   R2

 dV   dt 

      d V    R1 R2   V     R 2  dt  R1

 R2 R1 =   R1 R2 

2.7 Vecteur vitesse d’un point par rapport à un repère : Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à un repère (R), est la dérivée du vecteur position OP par rapport au temps (t), dans un repère (R) :

 d  V P R    OP   dt R





Si OP  s alors V P  ds t  v t avec t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire ( s )

dt

2.8 Vecteur accélération d’un point par rapport à un repère : Le vecteur accélération d’un point P par rapport à un repère ( R ), est la dérivée du vecteur vitesse

V P R par rapport au temps ( t ), dans un repère ( R ) :

 d   P R    V P R   dt R

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21

Mécanique Générale - Niveau 1

3. Cinématique du solide : Dans ce cours, nous nous intéresserons uniquement au solide indéformable. Si M 1, M2, M3 et M4 sont quatre points quelconque du solide, la définition du solide indéformable se traduit mathématiquement par l’une des deux relations suivantes : M 1M 2 est indépendante du temps, ou bien M1M 2  M 3M 4  cte

3.1 Distribution des vitesses dans un solide : Soient les deux points A et B d’un solide (1), sont en mouvement par rapport

R1 

R

*A

B*

à un repère R (voir figure ci-contre). Appliquons la relation de changement de base de dérivation au vecteur AB , entre le repère R et le repère lié au solide (1) R1 on trouve :

O

 d AB        d AB   1 R   AB  dt      R  dt  R1

   0 car le vecteur  dt    R1

d AB  or 

AB étant constant dans R1

 d AB            d ( AO  OB )    d OB    d OA   V B 1 R   V  A 1 R   dt     dt    dt  R  R   R  dt  R Par suite, la relation entre les vecteurs vitesse des points A et B du solide (1) s’écrit :

V B 1 R   V  A 1 R   1 R   AB

3.2 Mouvements plans d’un solide : 3.2.1 Définition : Par définition, le mouvement d’un solide est dit mouvement plan si tous les points qui le constituent ont des trajectoires planes et contenues dans des plans parallèles. L’étude d’un tel mouvement peut donc se restreindre à l’étude d’une « tranche » de solide contenue dans le plan du mouvement. La section choisie est généralement celle qui passe par le centre de masse. Remarque : le choix du référentiel fixe d’étude est immédiat (deux vecteurs de base définissant le plan du mouvement, par exemple i et j ). Ainsi, dans un tel référentiel, le vecteur rotation instantanée ne peut être

 

que perpendiculaire au plan du mouvement, donc porté par l’axe O, k .

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Mécanique Générale - Niveau 1

3.2.2 Exemples de mouvements plans : 

Translation rectiligne : Le solide (S) glisse le long de (O, x ) avec VA S R0   VA x

y

Calculons VB S R0   ?

y1

R0 

V B S R0   V A S R0   BA   S R0 

R1  x1

(S) O

A

B

or

 S R0   0 car la position angulaire de R1  par

rapport à

z

x

R0  est

constante, donc pour un mouvement de

translation rectiligne : VB S R0   VA S R0   VA x

Remarque : Si un solide est en translation  S R0   0 alors tous ses points ont la même vitesse (à l’instant t ). 

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe :

 y

 v

 u

 y1 M B

 z

A

o

VM

S

(S)

α θ

 x

  à la vitesse

Le solide (S) tourne autour de l’axe A, z

 x1

angulaire :  S R0    z

VA S R0   0

VB S R0    AB x1   z  AB  y1 VB S R0   AB  y1

R0   V A S R0   MA  S R0    MA u   z  MA v

VM S R0 MA v Remarque : La vitesse est proportionnelle au rayon AM (en mouvement de rotation).

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23

Mécanique Générale - Niveau 1

4. Champ des vecteurs accélération des points d’un solide : Soient deux points A et B d’un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R0.

VBS R0   VAS R0   BA  S R0 

on dérive% (t) dans R 0



 dV B S R0           dV A S R0     d ( BA  ( S R0 ))        dt dt dt   R0   R0   R0    d BA    S R0   BA   d S R0    B S R0    A S R0     dt    dt   R0   R0

 d S R0      A S R0   ( S R0   BA)  S R0   BA     dt   R0

or

 d BA        d BA   S R0   BA  dt   dt    R0   R1

avec

 d BA   dt   0  R1

On note que le repère R1 est lié au solide (S). D’ou la relation :   d BA      S R0   BA   d  S R 0   S R0   S R0   AB  B S R0    A S R0     dt    dt   R1   R0



 d S R   0   B S R0    A S R0   BA    S R0   S R0   AB   dt   R0







Remarque : Le champ des vecteurs d’accélération des points d’un solide ne vérifie pas la relation du changement de point du moment d’un torseur, à cause de l’existence du terme S R0    S R0   AB  .   Par suite, il n’est pas représentable par un torseur.

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24

Mécanique Générale - Niveau 1

5. Composition des vecteurs vitesses :









Soit un point P mobile par rapport à R0 O,x, y,z et R1 O1,x1, y1,z1 : Cherchons la relation entre V P R0  et V P R1 .

y

z1

y1

 d OO1     d(OO1O1P)    V P R0    dOP    or   V O R  1 0   dt  dt  dt R0  R0  R

.P

R0 

x1

R1 

0

et  d O1 P    d O1 P   R R   O P  V P R   R R   O P 1 0 1 1 1 0 1  dt    R0

O1

 dt    R1

par suite :

O

z

x

V P R0   V P R1   V O1  R1 R0     R1 R0  O1 P

Si on considère à l’instant (t) quelconque, le point P lié au repère R1  : V P R10 et on aura

V PR1 R0   V  O1  R1 R0     R1 R0  O1 P d’ou la relation : V P R0   V P R1 V  P  R1 R0  Avec :  V P R0 

: Vecteur vitesse absolue.

 V P R1

: Vecteur vitesse relative.

 V PR1 R0 

: Vecteur vitesse d’entraînement.

Généralisation : Soit n points, P mobile par rapport à n repères Ri (i = 1,2…..n)

V P R1   V P R2 V  P  R2 R1 

V P R2   V P R3 V  P  R3 R2  V P Rn1   V P Rn V  P  Rn Rn1  Après simplification :

n  V P R1   V P Rn  V ( P  Ri / Ri 1 )

Or V P R1   V P Rn V  P  Rn R1 

i 1

n  V P Rn R1   V ( P  Ri / Ri 1 ) i 1

Par définition on a :

V P R1   V P R2 V  P  R2 R1 

V P R2   V P R1 V  P  R1 R2 



Faisons la somme et après simplification on obtient : V  P  R2 R1    V ( P  R1 / R2 ) ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

25

Mécanique Générale - Niveau 1

6. Composition des vecteurs accélérations : y

z1

R0 

y1

Soit un point P mobile par rapport à

.P

x1

R1 







R0 O, x, y, z



et

R1 O1 , x1 , y1 , z1 . Cherchons la relation entre P R0  et P R1  ? On sait que :

O1

V P R0   V P R1   V P  R1 R0 

O

z

x

V P R0   V P R1   V O1  R1 R0   R1 R0   O1P dérivons chaque terme par rapport au temps ( t ) dans R0 :

d  d  d  d  d   V P R0    V P R1    V O1  R1 R0    R1 R0   O1 P  R1 R0    O1 P  dt dt dt dt dt   R0   R0   R0   R0   R0

En appliquant la relation de changement de base de dérivation, on trouve alors :

P R0   P R1   P  R1 R0   2R1 R0   V P R1  

 P R0  : Vecteur accélération absolue.



 P R1  : Vecteur accélération relative.



 P  R1 R0 



2R1 R0   V P R1  : Vecteur accélération de Coriolis.

: Vecteur accélération d’entraînement.

7. Vitesse de glissement - Condition de roulement sans glissement : y

Deux roues de friction :

Considérons deux solides (S1) et (S2) en contact à un instant donné.

1

R0 

I 2

z O

I1 I2

Appelons I le point de (S1) et (S2) en contact à cet instant. On définit la vitesse de glissement V g1 2 du solide (S1) par rapport

x le solide (S2) par:

V g1 2  V I 1 / 0  V I  2 / 0

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26

Mécanique Générale - Niveau 1

Si la condition de roulement sans glissement est réalisée, cette vitesse est nulle soit :

V g1 2  0

V I 1/ 0  V I  2 / 0

donc

Remarques : 

Les points I

1

et I

2

ne coïncident qu'à un instant t , aussi l'égalité de leurs vitesses ne

V 1 0 I 1   V 2 0 I 2 

conduit en aucun cas à l'égalité de leurs accélérations: 

Les points I 1 et I 2 ne sont pas fixes par rapport à (S1) et (S2)

8. Torseurs cinématiques : Le torseur cinématique du mouvement du solide (2) par rapport au solide (1) s’écrit au point O : origine du repère locale associé à la liaison :

  2 1      O     ( 2 / 1) V (O 2 / 1) B V O  2 1  B O

 

O

21

B



On pose :  2 1   x x   y y   z z

et



V O  2 1  Vx x  Vy y  Vz z

  2 1   x x   y y   z z   x    O  2 / 1 B      y V O  2 1  V x  V y  V z   x y z B O  z O O

O

Vx   Vy  V z  B

Changement de point de calcul du torseur cinématique : Connaissant le torseur cinématique au point (O), cherchons ce torseur au point (P) ?

  2 1    2 1      P   et  2 1 B    V O  2 1 V P  2 1  B  B O

 

O 21 B

P

Si on connaît la vitesse au point (O), alors la vitesse au point (P) est :

V P 2 1  V O 2 1  PO   2 1

Tableau des torseurs cinématiques des liaisons normalisées : L'ensemble des mouvements qui s'exercent à l'intérieur d'une liaison peut être représenté par un torseur cinématique exprimé au centre de la liaison. (Voir tableau des liaisons usuelles)

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27

Mécanique Générale - Niveau 1

Symbole Nom de la liaison

Torseur cinématique du solide 2 sur le solide 1

Nom de la liaison

Symbole

Torseur cinématique du solide 2 sur le solide1

Encastrement

0 0   0 0 0 0   O

En tout point

Appui plane de  normale (O , z )

Pivot d’axe

 0    0 0  0 0 O

Points de

 (O , x )

Linéaire rectiligne  d’axe (O , x ) de normale

 u    0 v  0 O

Linéaire annulaire  d’axe (O , x )

 u     0 0   O

Au point O

Ponctuelle de normale

 u     v  0   O

Points  de (O , z )

 (O , x )

Glissière d’axe

0 u    0 0 0 0   O

En tout point

Pivot glissant  d’axe (O , x )

 u     0 0 0 0   O

Points de

 (O , x )

Rotule ou Sphérique de centre O

 (O , z )

Points du plan

 u  p    0  Points 0 0 0   de (O , x ) O

Glissière hélicoïdale  d’axe (O , x )

Au point O

En tout point

(O, z , x )

 (O , z )

 (O , x )

 0     0 0   O

0 u    0 v   0   O

Si on compare le torseur statique d’une liaison sans frottement avec son torseur cinématique on constate



 





 

R S1  S 2  V O  S1 / S 2  M O S1  S 2   S1  S 2

que la somme :



est toujours

nulle.

Composition des torseurs cinématiques : Considérons n repères R1 , R2 , …, Rn en mouvement les uns par rapport aux autres. Le torseur cinématique du mouvement Ri par rapport à Ri-1 au point P s’écrit :



Ri Ri 1

 Ri Ri 1        V P  R R  i i 1  P



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     n

et

Rn R1

i 2

Ri Ri 1



28

Mécanique Générale - Niveau 1

Travaux dirigés:

MECANIQUE GENERALE Niveau 1

ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

29

Mécanique Générale - Niveau 1

CHAPITRE 1

TD Mécanique Générale Niveau 1

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

OUTILS MATHEMATIQUES VECTEURS & TORSEURS

Réalisé par Wiem CHAANBANE

Exercice 1 :

 

Si x, y, z sont les vecteurs unitaires d’une base orthonormée directe. On donne : V 1x1, y1, z1  , V 2x2, y2, z2  et V 3x3, y3, z3  . 1 - Calculer

V 1 V 2 puis V 2 V 1 .

2 - Calculer

V 1V 1

3 - Calculer

2.V 13.V 2

4 - Calculer

V 1(V 2 V 3) puis V 1V 2 V 1V 3 . Comparer les résultats.

Exercice 2 :



Soit un espace vectoriel muni d'un repère orthonormé O,i, j,k



A/ Soit un repère fixe R0(O,x0, y0,z0) , Soient des repères mobiles R1(O,x1, y1,z1) , R2(O,x2, y2,z2) . On note:

  

  

  x0,x1  y0,y1 ,   x1,x2  z1,z2 .

1- Faire des représentations planes permettant de visualiser chaque changement de base. 2- Déterminer les expressions des vecteurs de la base b 2 exprimés dans b 1 . 3- Déterminer les expressions des vecteurs de la base b 0 exprimés dans b 1 . 4- Déterminer directement les produits scalaires: x1x2 , x1z 2 , z1x2 . 5- Déterminer directement les produits vectoriels: z1 z 2 , y1 z 2 , z1 y2 B/ Soit les vecteurs A 3,4,1 , B 2,6,3 , C 5,1,2 , D 1,4,5

            1- Calculez les produits scalaires : A.B , A.C , A.D , C .B , B.D et C .D

            2- Calculez les produits vectoriels: A  B , A  C , A  D , C  B , B  D et C  D 



C/ Soit deux vecteurs u et v tels que: ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

30

Mécanique Générale - Niveau 1

      5 ; v  4 et   i, v  u  2 et   i, u  4 4  1- Représentez les vecteurs dans le plan O, i, j

 

  



 

 

; w  3 et   i, w 

3 4



     2- Calculez les coordonnées cartésiennes de u , v et w dans la base i, j , k





      3- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique): u.v , u .w et v.w       4- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique): u  v , u  w et v  w

Exercice 3 : A/ Soit les vecteurs forces F A0,YA,0 ; F B 0,YB,ZB  et F C XC,YC,ZC  appliqués à





un solide aux points Aa,0,0 , B0,b,0 et C 0,0,c  dans un repère R O, x, y,z . 1/ Ecrivez le torseur de chaque force à son point d’application. 2/ En déduire le torseur de chaque force en O. 3/ Donner le torseur équivalent à la somme. B/ Soit les vecteurs forces F AX A,YA,Z A  et F B X B,YB,0 appliqués à un solide aux points





Aa,b,0 et Bc,b,4d  dans un repère R O,x, y,z . 1- Ecrivez le torseur

  et   on leurs points puis en O ? A

B

2- Calculer la somme de deux torseurs ? 3- Déterminer le torseur équivalent

 aux torseurs   et   ?

4- Calculer le comoment de deux torseurs

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A

B

  et   A

B

31

Mécanique Générale - Niveau 1

Exercice 4 : A/ Soit un torseur

  de résultante: R 3,1,4 et de moment au point O: M(O) 2,3,0

Calculer le torseur

  au point A(2,-1,4) et B(6,-3,-2).

B/ On considère une poigné de serrage d’un mécanisme, à l’extrémité

z

de la quelle s’exerce une action mécanique représentée par le glisseur

A,F , tel que dans un repère orthonormé directe RO,x, y,z :

F o

y

F Fx xFz z et

 

x

OAd y . La vis de serrage a pour axe O, z . 1 – Déterminer le moment au point O du glisseur 2 – En déduire le moment du glisseur

 

A,F .

A,F  par rapport à l‘axe O,z (moment de serrage) et par rapport à

l’axe O, x (moment de basculement).

C/ On pose que la poutre ci-dessous est soumise à l’effort F Fx xFy y

y

F O

Ecrivez le torseur

  de F

l

A

x

en A puis en O.

a  1  D/ Soient deux vecteurs glissants : en A(1,0,0) U 1a  et en B(0,1,0) V  2  1  a      a) Ecrivez le torseur

  et   on leurs points puis en O. A

B

b) Pour quelle valeur de a sont-ils équivalent à un Couple ? à un Glisseur ? c) Calculer le moment du couple et déterminer le support de glisseur.

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32

Mécanique Générale - Niveau 1

TD de MG Niveau 1

CHAPITRE 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Réalisé par Wiem CHAANBANE

STATIQUE Exercice 1 : Système de serrage simultané Le mécanisme représenté sur la figure 1 et schématisé sur la figure 2 permet de serrer simultanément deux pièces (1) et (2), de masse négligeable, sur le bâti (0) à l’aide des brides (3) et (4). Pour l’étude statique, les liaisons des pièces (1) et (2) avec le bâti peuvent être considérée comme des liaisons encastrement.

      (L, H et h constantes positives) AI  Lx  hy, BJ  Lx  hy, AC  Hy, BD  Hy         ( x, x3 )  ( y, y3 )  ( x, x4 )  ( y, y4 )   / 4.    Le plan (O , x , y ) de normal z est un plan se symétrie pour notre mécanisme. Entre la pièce (5) et le bâti (0) on a une liaison appui plan, l’action de l’écrou (8) sur (6) en E (effort de





serrage) est donnée F  Fy. L’action du ressort (7) est négligée.

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33

Mécanique Générale - Niveau 1

Questions :





On se propose de déterminer les efforts de serrage F3 / 1 et F4 / 2 appliqués respectivement en I et en J. Pour cela :



1- Isoler (3) + (4) + (5) + (6) et appliquer le théorème de la résultante générale en projection sur x. 2- Isoler (3) et appliquer le théorème du moment statique par rapport au point A. 3- Isoler (4) et appliquer le théorème du moment statique par rapport au point B.



4- Isoler (6) et appliquer le théorème de la résultante générale en projection sur y . 5- Déduire les efforts de serrage en I et J.

Exercice 2 : La figure ci dessus représente une potence de maintien d'un palan. Le système du palan exerce sur la potence au point M un effort P=2000 daN susceptible de se déplacer le long de la poutre (3) Les liaisons en A, B et D sont des liaisons pivots d'axe horizontal.

On traitera le problème dans le plan de la figure.

1. Isoler l'ensemble de la potence et faire un bilan des inconnues ? 2. Isoler la tige 2 et déterminer les actions A1 / 2 et A3 / 2 ? 3. Isoler la poutre 3 et déterminer l’action A1 / 3 ?

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34

Mécanique Générale - Niveau 1

Exercice 3 : Une lame (2) de compacteur (schéma(1)) de poids

  P2  P2 y , utilisée sur les chantiers pour tasser et égaliser les sols, est articulés en C sur un châssis (1) et est manœuvrée en A par un vérin hydraulique, composé d’un corps (3) et d’une tige (4), articulé en B sur (1). Les liaisons en A, B et C sont des liaisons pivots dont les centres portent le même nom. On se place dans le plan de symétrie de l’appareil, la lame est en équilibre. Schématise le poids de la lame et désigne l’action du sol



(0) sur la lame (2) par F . On se propose de déterminer les actions exercées sur les liaisons en A et C. on suppose que les liaisons sont

 

symétriques par rapport au plan ( E , x , y ). Sont donnés :

 P2  2000 N , F  F  5000 N , A(c, d ,0), B( g , h,0), C (e, f ,0), G2 (a, b,0). 1. Isoler et transférer en E les torseurs correspondants aux actions mécaniques qui s’exercent sur la lame (2). 2. Appliquer le PFS sur (2) et résoudre le système d’équation correspondant. 3. Choisir un autre sous ensemble l’étudier statiquement pour réduire le nombre d’inconnues. ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

35

Mécanique Générale - Niveau 1

4. Déterminer les actions mécaniques en A et en B.

CORRECTION TD N° 2   Il s’agit d’un problème plan suivant (O, x , y ). 1. On isole (3) + (4) + (5) + (6) Inventaire des actions/







Action de (1) sur (3) en I (appui ponctuel)  1 / 3 I

Action de l’écrou (8) en E F E

X I   0  0 

0  0 0 

 0 0     F 0  0 0  

Action de (0) sur (5) en O (appui plan)  0 / 5 O

0 0     YO 0  0 N  O 

 X J 0    Action de (2) sur (4) en J  2 / 4 J   0 0  0 0     Théorème de la résultante générale :  s  0   Par projection sur x : s.x  X I  X J  0 (1)

2. On isole (3) Inventaire des actions 



 X I 0   Action de (1) sur (3) en I  1 / 3 I   0 0  0 0       s  X c x3  X C (cos / 4 x  sin  / 4 y    Action de (6) sur (3) en C :  6 / 3 C    c  0    2  XC   0  2  2    6 / 3 C   X C 0  2 0  0     ( x , y , z )

 Action de (5) sur (3) en A (liaison pivot)  5 / 3 A

 X A 0     YA 0  0 0  

  Théorème du moment statique au point A :  A  0     A6 / 3  C 6 / 3  AC  s ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

36

Mécanique Générale - Niveau 1

 2  XC     0 0  2        2     0  H    XC    0  0  2    2 XC     0   H 2           A1/ 3  I 1/ 3  AI  s1/ 3

  6 / 3 A

        

 2 XC  2 0  2  XC 0  2  2 0 H XC  2  

 L  X I   0  X I 0           0 h  0   0    1 / 3 A   0 0   0   0    hX   0  hX  I  I       2    X C  hX I  0 (2) Par projection sur z  A .z   H 2 3. on isole (4) Inventaire des actions

 X J 0     0 0  0 0  



action de (2) sur (4) en J  2 / 4 J



 X B 0   action de (5) sur (4) en B  5 / 4    YB 0  0 0  

  2  2  s  YD y4   YD x  YD y   action de (6) sur (4) en D  6 / 4     2 2    D  0   2 YD   0  2  2    6 / 4 D   YD 0  2 0  0     ( x , y , z ) Théorème du moment résultant au point B     0  B

 L  X J   0            B 2 / 4   J 2 / 4  BJ  s2 / 4   h    0    0   0   0    hX  J      

    B 6 / 4   D 6 / 4  BD  s6 / 4

  2 / 4 B

X J 0     0 0   0  hX  J 

 2   YD    2     0 0    2     H   YD    0  0  2 2   0   HYD         2  

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37

Mécanique Générale - Niveau 1

  2 YD   0   2   6 / 4 B   2 YD 0   2  2 HYD   0 2     4. on isole (6) : Inventaire des actions









  2 HYD  0 (3) D’où :  B .z  hX J  2

 0 0   Action de l’écrou (8) en E F E   F 0  0 0    2 XC   2 2  Action de (3) sur (6) en C  3 / 6 C   XC 2  0     2 YD   2 2  Action de (4) sur (6) en D  4 / 6 D   YD 2   0  

  0  0 0      0  0 0   

Action de (5) sur (6) en K liaison pivot glissant  5 / 6 K

Théorème de la résultante générale :





s  0

X K 0     0 0   0 N  K 

  2 2 XC  YD  0 (4) Par projection sur y s . y   F  2 2

5. on a un système de 4 équations à 4 inconnues ( X I , X F , X C , X D ) Notre système admet une solution unique 2 (1)  X I  X J ; (3) devient hX I  HYD  0 ; (3) + (2)  X C  YD 2 Donc (4)  F  2 X C  0  X C  F / 2

H 2 F .  hX I  à 2 2 HF HF  XI  Et X F   2h 2h

(2) 

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    D’où F3 / 1    

HF   2h  0  0  

 HF      2h  et F4 / 1  0   0     

38

Mécanique Générale - Niveau 1

TD Mécanique Générale Niveau 1

CHAPITRE 3

Réalisé par Wiem CHAANBANE

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

CINEMATIQUE

Exercice 1 :



 







On considère les repères R 0 O,i, j,k , R 1 O,u,v,k et R 2 O,u,n,t tels que  (i,u)( j,v) et  (v,n)(k,t) . Un point M est tel que OM R n , avec R = constante. a) Donnez les expressions de n et t dans B1 b) Donnez les expressions de u,v,n et t dans B0 c) Donnez les coordonnées cartésiennes du point M dans B0











 et de l'accélération  M / R du point M par

d) Donnez les expressions de la vitesse V M / R0 et de l'accélération  M / R0 du point M par rapport au repère de référence R 0 . e) Donnez les expressions de la vitesse V M / R1

1

rapport au repère de référence R 1 .

Exercice 2 Considérons une centrifugeuse de laboratoire composée d’un bâti (S0), d’un bras (S1) et d’une éprouvette (S2) contenant deux liquides de masses volumiques différentes. Sous l’effet centrifuge due à la rotation du bras (S1), l’éprouvette (S2) s’incline pour se mettre pratiquement dans l’axe du bras et le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté vers le fond de l’éprouvette, ce qui réalise la séparation des deux liquides (voir figure ci-contre). y2

z1 S1

β

A

O

z





y1

z1

G

β

S0

x

x



S2

x





x2



y1 y

Soient : R O,x , y ,z un repère lié à (S0).





R 1 O, x , y1 , z1 un repère lié à (S1). ISET de Mahdia Département Génie Mécanique

39

Mécanique Générale - Niveau 1





R2 O, x2 , y 2 , z1 un repère lié à (S2).

 Les solides (S0) et (S1) ont une liaison pivot d’axe (O, x ).  Les solides (S1) et (S2) ont une liaison pivot d’axe (A, z 1 ) telle que OA  a y1 (a constante positive exprimée en mètres) Posons :   ( y, y1 ) avec    t (ω constante positive exprimée en radians par seconde).

  ( x, x 2 ) ;  étant une fonction du temps inconnue. Soit G le centre d’inertie de (S2) tel que : AG  b x2 ; (b=cste>0 ; [m]) 1. Déterminer le vecteur rotation de la base du repère R1 , lié au solide (S1), par rapport à la base du









repère R :  S1 R   R1 R ? 2. Déterminer le vecteur rotation de la base du repère R 2 , lié au solide (S2), par rapport à la base du









repère R :  S2 R   R2 R ? 3. Déterminer le vecteur vitesse du point G par rapport au repère R : V G R ? 4. Déterminer le vecteur accélération du point G par rapport au repère R : G R ?

Exercice 3 :



Soit R O, x , y , z

 repère lié au bâti (0) d’un régulateur à boules schématisé comme l’indique la

figure suivante : y1 y1

y3

x2

y2



B 2



1

z

3 C

A O

z1

O 0

x

x3 D

x 4

z1

  R A, x , y , z  Repère lié au bâti (2). R B, x , y , z  Repère lié au bâti (3).

Soient : R1 O, x , y1 , z1 Repère lié au bâti (1) 2

2

3

3

1

2

3

1

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Mécanique Générale - Niveau 1





R4 D,x , y1,z1 Repère lié au bâti (4).

 

Le corps (1) a une liaison pivot d’axe O, x avec (0). Le levier (2) a une liaison pivot d’axe  A, z1  avec (1).   Le levier (3) a une liaison pivot d’axe  B, z1  avec (2).  

 

La pièce (4) a une liaison pivot glissant d’axe O, x avec (0). La pièce (4) a une liaison pivot d’axe  C,z1  avec (3).   On pose :   t    y, y1  ;  t    x, x 2  . 

 OA  r y1







r  0  AB  l x 2 l  0  ;

 

;

DCr y1

et

BCl x3 .

 Le point D est située sur l’axe O,x . QUESTIONS : Déterminer : 1. les vecteurs rotations: 1 0 , 2 0 , 3 0 , 3 2. 2. les vecteurs vitesse du point B : V B 1 , V B1 0, V B 0 . 3. les vecteurs vitesse du point C : V C 2 , V C2 0 , V C 0 . 4. les vecteurs accélération du point B : B 1 , B1 0 , B 0 .

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Mécanique Générale - Niveau 1

CORRECTION TD N° 3

Exercice 3 : Régulateur à boules 

      (2 / 0)  (2 / 1)  (1/ 0)   z1   x      (3 / 0)  (3 / 1)  (1/ 0)   z1   x         (3 / 2)  2 z1  (3 / 0)  (0 / 2)   z1   x   z1   x

1. (1/ 0)   x ;



2. V ( B / 1) 







d d d  d  OB R1  OA  AB R1  r y1 R1  l x2 R1 dt dt dt dt       l (2 /1)  x2   l ( z1  x2 )  l y2   V (B /1)  l y2

   V (B 1/ 0)  V ( A 1/ 0)  BA  (1/ 0)      V ( A / 0)  V ( A /1)  l x2   x    d d  OA R0  OA R1  l (cos  x  sin  y1 )   x dt dt     d  r y1 R0  l sin  z1  r (x  y1 )  l sin  z1 dt   V ( B 1/ 0)  (r  l sin  ) z1







   V ( B / 0)  V ( B /1)  V ( B 1/ 0) 

   ly2  (r  l sin  ) z1

    V (B / 0)  l cos  y1  l sin  x  (r  l sin  ) z1









 d d d  d V ( B / 0)  OB R0  OA  AB R0  r y1 R0  l AB R0 dt dt dt dt           r((1/ 0)  y1 )  l ((2 / 0)  x2 )  r(x  y1)  l (z1  x)  x2       rz1  l (z1  x)  (cos x  sin y1)     V (B / 0)  (r  l sin  ) z  l cos  y  l sin  x







1





1



 

 d d d d 3. V (C / 2)  AC R2  AB  BC R2  AB R2  l BC R2 dt dt dt dt d  d  l x2 R2  l x3 dt dt R2    l (3 / 2)  x3    l  2  z  x









1

3



  V (C / 2)  2L y3



   V (C  2 / 0)  V (B  2 / 0)  (2 / 0)  BC     V ( B / O)  V ( B / 2)  (2 / 0)  BC

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Mécanique Générale - Niveau 1





 d d OB R0  AB R2  (2 / 0)  BC dt dt   d d   r y1 R0  l x2  (2 / 0)  BC dt dt        r x  y1   l( z1   x)  x2  (2 / 0)  BC



    V (C  2 / 0)  r z1  l y2  l y3

      V (C / 0)  V (C / 2)  V (C  2 / 0)  r z1  l (cos  y1  sin  x)     l y3  r z1  l y2    V (C / 0)  r z1  2l sin  x  d d d  d  d   V (C / 0)  OC R0  OA  AB  BC R0  r y1 R0  l x2 R0  l x3 R0 dt dt dt dt dt        r (1/ 0)  y1  l (2 / 0)  x2  l (3 / 0)  x3            r x  y1   l ( z1   x)  (cos  x1  sin  y1  l ( z1   x)  (cos  x  sin  y1 







 



 

 



    V (C  2 / 0)  r z1  l y2  l y3







  d  d  d   4.  ( B / 1)  V ( B / 1) R1  ly2 R1  ly2  l y2  dt dt dt  R1        l y2  l (2 /1)  y2  l y2  l  z1  y2     (B /1)  l y2  l x2



 



d 









 ( B 1/ 0)  V ( B 1/ 0) R dt       (B / 0)   (B /1)   (B 1/ 0)  2(1/ 0)  V (B /1)

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Mécanique Générale - Niveau 1

Références bibliographiques

[1] : Jean Luis Fanchon, ; NATHAN ; 2003. [2] : Claude Chéze-Eléne Lange, ; ELLIPSES, 1995.

[3] : Bernard Gendreau, ; ELLIPSES, 1993.

[4] : Yves Bremont – Paul Reocreux, ;ELLIPSE, 2003.

[5] : Abdelmajid FATNASI ; ; EDITON un plus 1999.

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