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COURS D'ALGÉBRE II SMA-SMI

par : Bouher Rashid

2014-2015

Table des matières I

Cours et exercices corrigés

2

1 Structures usuelles 1.1

1.2

1.3 1.4

Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Exemple de groupes : Groupe symétrique 1.1.2 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Groupe produit . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Sous groupes . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Homomorphismes de groupes . . . . . . Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sous anneaux . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Homomorphismes d'anneaux . . . . . . . Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 les corps R et C . . . . . . . . . . . . . exos corrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . et Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

2 Polynômes 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Généralités et Notions de base sur les polynômes à une inéterminée : Dénitions et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Degré d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés arithmétiques des polynômes à coecients dans R ou C . . Théorème d'Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . exos corrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 5 5 8 8 9 11 13 13 15 17 17 21

26 . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

26 28 28 29 30 31 32 35 36

3 Fractions rationnelles

39

II

50

3.1 3.2 3.3

Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition en éléments simples dans R[X] et dans C[X] . . . . . . . . . exos corrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

méthodologie (méthodes et astuces à retenir )

1

39 42 48

Première partie Cours et exercices corrigés

2

Chapitre 1 Structures usuelles

1.1 Groupes 1. Loi de composition interne  Dénition 1 : On appelle loi de composition interne (lci) sur E toute application ∗ de E × E dans E ∗ : E×E →E

(x, y) 7→ ∗(x, y) qui est souvent notée par l'un des symboles suivants : +, ∗, × , ♦, >, ?, ⊥, . . .  Remarque : au lieu de ∗(x, y) = z on notera x ∗ y = z  Exemples : • + et × sont des lois dans R • ∩ et ∪ sont des lois dans P(E) • en revanche ÷ n'est pas une lois sur R car elle n'est dénie sur R × {0} ainsi ÷ sera une lois sur R∗ 2. Associativité, commutativité  Dénition 2 : soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne ∗ ainsi le couple (E, ∗) est dit magma •On dit que ∗ est associative si et seulment si ∀x, y, z ∈ E , x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z dans ce cas le parenthésage n'a pas d'importance • on dit que ∗ est commutative si et seulement si ∀x, y ∈ E x ∗ y = y ∗ x  Exemples : • + est associative et commutative dans N • ÷ n'est ni associative ni commutative dans R∗ il claire que 1 ÷ 2 6= 2 ÷ 1 et que 1 ÷ (2 ÷ 3) 6= (1 ÷ 2) ÷ 3 • ∩ et ∪ sont associatives et commutatives dans P(E) 3. Élément neutre, inverse  Dénition 3 : Soit (E, ∗) un magma. On appelle élément neutre (ou simplement neutre) de(E, ∗) tout élément e ∈ E vériant

∀x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x

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 Exemples • 1 est l'élément neutre de × dans R • 0 est l'élément neutre de + dans N • E est l'élément neutre de ∩ dans P(E)  Proposition 1 : l'élément neutre lorsqu'il existe est unique . Preuve : Exercice 1  Dénition 4 : Soit (E, ∗) un magma admettant un élément neutre e et soit x ∈ E on appelle inverse de x tout élément y ∈ E tel que x ∗ y = y ∗ x = e , un élément admettant un inverse est dit inversible .  Exemples : • dans tout magma muni d'un neutre, le neutre est son propre inverse. • dans(Z, +) tout élément x est inversible et admet pour inverse −x. • dans (R, ×) , tout élément x diérent de 0 est inversible et a pour inverse • dans (Z, ×) , seul 1 et −1 sont inversibles, et ont pour inverse eux-mêmes  Proposition 2 : soit (E, ∗) un magma dont ∗ est associative , alors il y a l'unicité de l'inverse dans ce magma Preuve : Exercice 2  Remarques : • pour montrer qu'un élément est inversible ou pour vérier que e est l'élément neutre pour une loi non commutative , il faut montrer deux égalités • l'inverse d'un élément x, sera toujours noté : x−1 si la loi est multiplicative et −x si la loi est additive on dit aussi −x est le symétrie de x . 4.

Groupe

 Dénition 5 : Un groupe G est un ensemble non vide muni d'une loi de composition ∗ tel que :  ∗ est associative .  ∗ admet un élément neutre dans G , souvent noté e .  tout élément de G est inversible . le geoupe G sera noté (G, ∗) ou tout simplemen G, si de plus ∗ est commutative (G, ∗) est dit un groupe commutative ou abélien .  Exemples : - (C, +), (R, +), (Q, +) sont des groupes . - (N, +) n'est pas un groupe , car aucun élément non nul n'est inversible . - (R, ×) aussi n'est pas un goupe car 0 n'est pas inversible Propsitions :

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Soit (G, ∗) un Groupe , alors : - l'élément neutre e est unique - tout élément admet un invers est un seul - ∀x, y, z ∈ G x ∗ y = z ∗ y ⇒ x = z ( simplication à droite) - ∀x, y, z ∈ G y ∗ x = y ∗ z ⇒ x = z (simplication à gauche) - ∀x, y ∈ G (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 ∀x ∈ G (x−1 )−1 = x (l'inverse de l'inverse ) Preuve : Exercice 3 .  Ordre d'un groupe : - Dénition 6 : un groupe est dit ni si le nombre de ses éléments est ni. Dans ce cas, son cardinal est appelé l'ordre du groupe G, on le note |G|. Si le groupe n'est pas ni, il est dit inni.  puissance dans un groupe : - Dénition 7 : soit (G, .) un groupe et n ∈ Z et a ∈ G , on dénit an de la façon suivante : i) a0 = e ii) an = a ∗ an−1 , si n > 0 iii )(a−n )−1 = an , si n < 0  Conséquences : - an = (a−n )−1 = (a−1 )−n - an = |a ∗ .{z . . ∗ a} nf ois

1.1.1

Exemple de groupes : Groupe symétrique et Groupe produit

1.1.2

Groupe symétrique



Permutation

- Dénition 1 : Soit E un ensemble non vide. On appelle permutation de E toute bijection de E . Et on note S(E) l'ensemble des permutations de E . En particulier, Sn est l'ensemble des permutations de N∗n = 1, 2, ..., n où n ≥ 1 .  Remarque : Card(Sn ) = n!  Proposition : Pour tout ensemble non vide E , (S(E), o) est un groupe Preuve : Exercice 4 .  Remarques : • Le groupe(S(E), o) est appelé (ou groupe des permutations). En particulier, (Sn , o) est appelé groupe symétrique d'ordre n ou de degré n . • De plus, si deux ensembles E et E 0 sont équipotents et si ϕ est une bijection de E dans E 0 , alors, l'application qui, à toute bijection σ de E , associe l'application ϕ ◦ σ ◦ ϕ−1 est un isomorphisme de groupes de S(E) dans S(E 0 ). Cette dernière remarque permet de ramener l'étude du groupe des permutations d'un ensemble ni E à celle de Sn où n est le cardinal de E

groupe symétrique

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Notation : un élément de S

est représenté par   1 2 ... n σ= σ(1) σ(2) . . . σ(n)

n

en particulier l'application identié , le neutre de groupe Sn se note   1 2 ... n Id = 1 2 ... n par exemple ,

 σ=

1 2 3 4 5 6 3 5 1 4 6 2



représente l'élément σ de S6 dénit par : σ(1) = 3, σ(2) = 5, σ(3) = 1, σ(4) = 4, σ(5) = 6, σ(6) = 2.  Exemples : Si n = 1 le groupe S1 se réduit à l'application identié de E1 dans lui même . Si n = 2 , S2 = {Id, σ} où σ dénie par , σ(1) = 2, σ(2) = 1 . Si n = 3 , S3 est formé de six éléments suvants :       1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ0 = Id = , σ1 = , σ2 = 1 2 3 1 3 2 3 2 1

 σ3 =

1 2 3 2 1 3



 , σ4 =

1 2 3 2 3 1



 , σ5 =

1 2 3 3 1 2



= σ42

On vérie par exemple que σ1 ◦ σ3 = σ5 et σ3 ◦ σ1 = σ4 . Donc S3 n'est pas commutatif . 

sycle et transposition :

- Dénition 2(sycle) : Soit σ un élément de Sn avec n ≥ 2 et soit p un entier de {2, . . . , n} on dit que σ est un sycle de longueur p s'il existe p-éléments a1 , a2 . . . , ap distincts de En = {1, . . . , n} tels que : σ(a1 ) = a2 , σ(a2 ) = a3 . . . , σ(ap−1 ) = ap , et si pour tout élément b de En \{1, . . . , n} on a σ(b) = b . On dit alors que l'ensemble {1, . . . , n} est le de sycle σ (c'est l'ensemble des élément qui ne sont pas invariants par σ ) .
en général en représente un sycle en écrivant : σ = a1 a2 . . . ap dans Sn un sycle de longueur n est appelé une permutation circulaire .

support

 Exemple  : 
1 2 3 4 5 6 7 σ= est le sycle σ = 1 5 2 6 4 . 5 6 3 1 2 4 7 cette dernière notation ne dit pas que la permutation σ est un élément de S7 mais qu'elle pourait en fait être un élément de Sn pour tout n ≥ 6 ( en principe le contexte est claire mais , sans grande importance .) le support de σ est {1, 2, 4, 6} , les éléments 3 et 7 sont
xes par σ .
on remarque qu'on peut écrire σ = 5 2 6 4 1 , ou σ = 2 6 4 1 5 . . .

6

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Propriétés .



1. Si σ = a1 a2 . . . ap alors σ −1 = ap ap−1 . . . a1 est aussi un sycle . 2. les puissances d'un sycle
ne sont pas toujours des sycles . par exemple soit le sycle −1 σ = 1 2 3 4 5 6


on constate que σ 2 = 1 3 5 ◦ 2 4 6 en revanche σ 5 est le cycle 1 6 5 4 3 2 . Pour être précis et si σ est un cycle de longueur p on montrer que σ k est un sycle si et seulment si k et p sont premiers entre eux 3. Soit σ un sycle de longueur p ≥ 2 alors σ p = Id et ∀k ∈ {1, . . . , p − 1} σ k 6= Id. 4. deux sycles σ1 et σ2 dont les supports sont disjoints commutent σ1 ◦ σ2 = σ2 ◦ σ1 .

 Dénition 3 (Transposition) : Soit n ∈ N∗ \{1} on dit qu'un élément σ de Sn est une transposition si σ est un sycle de longueur 2  Remarque : -Une transposition est donc une permutation qui se contente d'échanger deux éléments , on ne confondra pas les mots " permutation" et " transposition " . 





Décomposition en produit de sycles

Proposition 1 (décomposition en produit de sycles ) : Toutes permutation de Sn avec n ≥ 2 se décompose en un produit de sycles à supports deux à deux disjoints cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs . Proposition 2 (Décomposition d'une permutation en produit de transposition ) . Tout sycle de Sn peut s'écrire comme produit de transpositions . Il en décole que toutes permutation de Sn peut s'écrire comme produit de taranspositions .

Remarques et exemple

. - Pour décomposer une permutation σ en un produit de transpositions , il est plus commode en général d'écrire σ comme un produit de sycles à supports disjoints pour ensuite décomposer chaque   σk en un produit de transpositions . Par exemple : σ =


1 2 3 4 5 6 7 8 2 7 5 6 = 1 4)(4 8)(2 7)(7 5)(5 6 = 1 4 8 4 7 3 8 6 2 5 1 - Il n'y a pas d'unicité de la décompostion d'une permutation en un produit de transpositions par exemple : σ = (1 2 3) = (1 2)(2 3) = (1 2)(1 3)(1 2)(1 3) = (2 3)(1 3)

signateur d'une permutation

:

 Dénition 4 ( Inversion d'une permutation) : Soit σ un élément de Sn avec n ≥ 2 soit i ≤ j deux éléments distincts de En On dit que {i, j} est une inversion de σ si σ(i) > σ(j). On note Inv(σ ) le nombre d'inversion de la permutation σ .  Dénition 5 .( Signature d'une permutation) : Soit σ un élément de Sn avec n ≥ 2 et soit Inv(σ ) le nombre de ses inversions la quantité (σ) = (−1)Inv(σ) est applée signature de σ On dit que σ est une permutation paire si (σ) = 1 donc si σ est un nombre pair d'nversions

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dans le cas contraire c'est-à-dire si (σ) = −1 ou encore si σ est un nombre impaire d'inversions , on dit que σ est une permutation impaire .  Remarques : - l'application identité est une permutation paire ne présente en eet aucune inversion . - On sait qu'une transposition présente toujours un nombre impaire d'inversion . Toute transposition est donc une permutation impaire . 

Remarques et propriété

: - la signature est un morphisme du groupe (Sn , ◦) dans le groupe ({−1, 1}, ×) . - Une permutation et son inverse ont la même signature . - La signature d'un sycle de longueur p est (−1)p−1 . -Pour calculer la signature de σ ∈ Sn le plus simple est souvent de décomposer σ en sycles à support disjoints σ = σ1 ◦ σ2 ◦ . . . σp et d'écrire (σ) = (σ1 )(σ2 ) . . . (σp ) - La décomposition d'une permutation σ en un produit de transposition n'est pas unique .

1.1.3

Groupe produit

 Dénition 1 et Proposition : Soient G1 et G2 deux groupes , l'ensemble G1 × G2 est un groupe , appelé ; produit directe des groupes G1 et G2 . Preuve : Exercice 5 .  Proposition : G1 × G2 est abélien si et seulment si G1 et G2 sont abéliens Preuve : Exercice 6 .  Remarque : la notion de produit direct se gén¯alise à une famille (non vide) quelconque (éventuellement innie) de groupes.

1.1.4

Sous groupes

 Dénition 1 : Soit (G, ∗) un groupe. Soit H ⊂ G et H 6=  . On dit que H est un sousgroupe de (G, ∗) si et seulement si H est un groupe pour la loi ∗ induite  Théorème : Soit (G, .) un groupe noté multiplicativement. Soit H ⊂ G. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) H est un sous-groupe de G . (ii) H 6=  , H est stable par la loi de G et ∀x ∈ H, x−1 ∈ H . (iii) H 6=  et ∀x, y ∈ H on a x.y −1 ∈ H Démonstration : Exercice 7 .

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 Remarques : • Si H est un sous-groupe de G . - L'élément neutre de H est le même que celui de G - Le symétrique d'un élément de H est le même dans H que dans G • Si la loi de G est une loi notée additivement, on a : - H 6=  et H est stable par la loi de G et ∀x ∈ H on a : −x ∈ H - H 6=  et ∀x, y ∈ H x − y ∈ H . • Si G est un groupe alors les ensembles {e} et G sont des groupes . • Pour montrer qu'un ensemble est un goupe il sut de montrer que c'est un sous-groupe d'un groupe connu . De plus il y a une transitivité dans ce sens c'est-à-dire si (K, ∗) est un sous-groupe de (H, ∗) et si (H, ∗) est un sous-groupe de (G, ∗) alors(K, ∗) est un sousgroupe de (G, ∗) .  Propositions : • Soit G un groupe et soit (Hi )i∈I une famille non vide de sous-groupes de G. Alors ∩i∈I Hi un sous-groupe de G . • Soit G un groupe et soit a un élément de G . Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant a. Ce sous-groupe est appelé groupe engendré par a et est noté gr(a). • Soit G un groupe dont la loi est notée multiplicativement et soit a un élément de G on a : gr(a) = {. . . a−2 , a−1 , 1, a1 , a2 , . . .} = {ai /i ∈ Z} . • Les sous-groupes de (Z, +) sont exactement les (nZ, +) où n ∈ N Preuve : Exercice 8 .  Exemples : - (2Z, +) est le sous-groupe de (Z, +) engendré par 2 . - (Z, +) est le sous-groupe de (R, +) engendré par 1. - dans (C∗ , ×) gr(i) = {1, i, −i, 1} .  Exercice d'aplication : Soit G = R∗ × R et ∗ la loi dans G dénie par : (x, y) ∗ (x0 , y 0 ) = (xx0 , xy 0 + y) 1. Montrer que (G, ∗) est un groupe non commutatif . 2. Montrer que (]0, +∞[×R, ∗) est un sous-groupe de (G, ∗) 1.1.5

Homomorphismes de groupes

 Dénition 1 : Soit (G, ∗) et (G0 , ∗0 ) deux groupes , On appelle homomorphisme (ou morphisme) du groupe (G, ∗) dans le groupe (G0 , ∗0 ) , toute application f : G → G0 telle que : ∀x, y ∈ G, f (x ∗ y) = f (x) ∗0 f (y) * Un homomorphisme bijectif est appelé isomorphisme. * Un homomorphisme de (G, ∗) dans (G, ∗) est appelé endomorphisme de (G, ∗). * Un endomomorphisme bijectif est appelé automorphisme .  Exemples : - L'application f de (Z, +) dans (R, ×) défnie par f (n) = 2n est un homomorphisme de groupes

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- L'application :

h : (Z, +) → (Z, +) n 7→ pn est un endomorphisme du groupe (Z, +) mais qui n'est pas un automorphisme si p 6= 1 et p 6= −1  Remarques : * L'ensembles des automorphismes d'un groupe G est noté Aut(G) . * On dit que G et G0 sont isomrphe s'il existe un isomorphisme f du groupe G dans G0 .  Exercices 9 . : à l'aide de la dénition ; 1) Montrer que l'application :

f : C∗ → R∗ z 7→ |z| est un homomorphisme du groupe (C∗ , .) dans (R∗ , .) . 2) Montrer que l'application :

g : R → C∗ x 7→ cos x + i sin x est un homomorphisme du groupe (R, +) dans le groupe (C∗ , .) . 3) Montrer que l'application :

exp : R → R∗+ x 7→ ex est un homomorphisme du groupe (R, +) dans le groupe (R∗+ , .) . 4) les applications f, g et exp sont-elles des isomorphismes ? des endomorphismes ? des automorphismes ? justier .  Théorème : Soit f : G → G0 un homomorphisme du groupe (G, ∗) dans le groupe (G0 , ∗0 ) , alors on a : 1) f (e) = e0 (e et e0 sont réspictivement les éléments neutres de G et G0 ) . 2) ∀x ∈ Gf (x−1 ) = (f (x))−1 3) Image de f notée Imf = {f (x)/x ∈ G} = f (G) est un sous-groupe de (G0 , ∗0 ) . 4) le noyau de f noté kerf = f −1 {e0 } est un sous-groupe de (G, ∗) . 5) f est surjectif ⇔ Imf = G0 6) f est injectif ⇔ kerf = {e} Démonstration : Exercice 10 .  Propositions : - Aut(G) est un groupe pour la composition . - Soient G et G0 deux groupes isomorphes. Alors, G est abélien ⇔ G0 est abélien . Preuve : Exercice 11 .

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1.2 Anneaux  Dénition 1 : Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne ♦ et⊥ , On dit que (A, ♦, ⊥) est un anneau si et seulement si : -(A, ♦) est un groupe abélien . -(A, ⊥) est un monoi˙ d c'est-à-dire que A est un ensembe non vide et la loi ⊥ est associative et admettant un élément neutre . - ⊥ est distributive par rapport à la 1 ère loi . Si de plus ⊥ est commutative on dit que (A, ♦, ⊥) est un .

anneau commutatif

 Remarques : • on préfère souvent noté la première loi par + au lieu de ♦ et la deuxième loi par × ou ∗ ou bien encore ”.” au lieu de ⊥ ainsi l'anneau sera noté (A, +, ×) . . . • la dénition précédente est équivalente à : un anneau A est un ensemble non vide sur lequel se trouvent dénis deux lois de compositions interne ( la première est notée additivement + la seconde multiplicativement × ) vériant les conditions suivantes : 1. + est associative , 2. + admet un neutre noté 0 . 3. tout élément de A admet un oposé additif . 4. + est commutative . 5. × est associative . 6. il existe un neutre multiplicatif (l'élément unité de l'anneau) noté 1 . 7. × est distributive( distributive à droite et distributive à gauche ) par rapport à + c'est-à-dire : ∀x, y, z ∈ A, (x + y) × z = x × z + y × z . et z × (x + y) = z × x + z × y . Si le produit × est commutatif alors A est dit anneau commutatif . • Le fait que A possède un élément unité est un point essentiel de la notion d'anneau , on parle alors de la notion de l'anneau unitaire . 

Exemples d'anneaux 1. Anneau nul .

.

Soit A = {x} un ensemble réduit à un élément. 1. Montrer qu'il existe sur A une unique structure d'anneau unitaire , que cette structure est commutative et que 1 = 0. 2. Inversement, que peut-on dire d'un anneau unitaire (A, +, ∗) tel que 1 = 0 .

2. Anneaux de nombres .

Les ensembles suivants ont une structure naturelle d'anneau unitaire :Z, Q, R, C . Citons aussi D = {a/10n , a ∈ Z, n ∈ Z}. Peut-on remplacer 10 par un entier quelconque ? Citons encore Z[i] = {a + bi, a, b ∈ Z} ⊂ C qui est appelé ou encore Z[j] = {a + bj, a, b ∈ Z} (où j = exp(2iπ/3)) .

Gauss 3. Anneau d'endomorphisme .

l'anneau des entiers de

Soit (G, +) un groupe abélien. Alors (Endgr (G), +, ◦) est un anneau unitaire .

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4. Anneaux produits . Soient Q(Ai )i∈I des anneaux. L'addition et la multiplication terme à terme détermine sur B = i∈I Ai une structure d'anneau unitaire. On dit que B est des Ai .

l'anneau produit 5. Anneaux de polynômes . R[X] et C[X] sont des anneaux unitaires .(voir le chapitre des polynômes ) . 6. Anneaux quotient . Z/nZ et R[X]/hX 2 + 1i sont des anneaux unitaires.



Régles du calcule dans un anneau

. Soit (A, +, ×) un anneau et a, b, c, d des éléments de A on a : • a × 0A = 0A × a = 0A (on dit que 0A est absorbant) . En eet a × 0A = a × (0A + 0A ) = a × 0A + a × 0A . dù , par régularité des éléments dans le groupe (A, +) , a × 0A = 0A . De même de l'autre coté . • a × (−b) = −(a × b) = (−a) × b . En eet ab + a × (−b) = a(b + (−b)) = a × 0A = 0A . D'où a(−b) = −(ab) . De même de l'autre égalité .

• Développement des produits de sommes . (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (attention à l'ordre des produits) . Immédiatement en applicant deux fois • Pour n ∈ N on dénit an par a0 = 1A et ∀n ∈ N, an+1 = an a . alors ∀(n, p) ∈ N2 , an+p = an ap ( immédiatement par associativité) . et ∀(n, p) ∈ N2 , (an )p = anp . ( mais attention : (ab)n = ab × ab, . . . ab, × n'est pas nécessairement commutative ) . • Dans le groupe (A, +) , on a toujours la dénition et les propriétés n.a, n ∈ Z et de plus : (n.a) × b = n.(ab) = a(n.b) ( qu'on peu noter nab ) . En eet , pour n ∈ N , on le montre aisément par récurence , en utilisant la distributivité de × eur + , puis pour n = −p avec p ∈ N , on a : (p(−a)) × b = (p(−a) × b) = p(−ab) = a × (p(−b)) d'après les règles précédentes . D'où (n.a) × b = n.(ab) = a × (n.b) selon la règle (−p)x = p(−x) . • dans un anneau (A, +, ×) , a et b deux éléments de A qui commutent on a pour tout n∈N. n

(a + b) =

n X

Cnp ap bn−p (f ormuledubinme)

p=0

an − bn = (a − b)

n−1 X p=0

12

ap bn−p−1

Cours d'Algébre II 1.2.1

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Sous anneaux

 Dénition 1 : Soient A un anneau commutatif et B une partie non vide de A. On dit que B est un sous-anneau de A si les conditions suivantes sont vérifées : 1. B est un sous-groupe du groupe additif A . 2. Les relations x ∈ B et y ∈ B impliquent xy ∈ B . 3. L'élément unité 1 de A appartient à B . On vérife facilement que l'ensemble B , muni des deux lois de composition induites par celles de A , est un anneau . Généralement tout sous anneaux est un anneaux .  Proposition . Soient A un anneau commutatif et B une partie de A . Les conditions suivantes sont équivalentes : a) B est un sous-anneau de A . b) 1 ∈ B et quels que soient x, y ∈ B ,on a x − y ∈ B et xy ∈ B . Preuve : Exercice 12 .  Proposition . Soit A un anneau commutatif . Toute intersection de sous-anneaux de A est un sous-anneau de A . Preuve : Exercice 13 .  Dénition 2 . Soit A un anneau commutatif et soit S une partie non vide de A . On appelle sous-anneau engendré par S le plus petit sous-anneau de A contenant S . C'est l'intersection de tous les sous-anneaux de A contenant S .  Exemple : Le plus petit sous-anneau de C contenant le nombre i est Z[i] = {a + bi = a; b ∈ Z} (anneau de Gauss) . En eet, soit B un sous-anneau de C contenant le nombre i , alors 1 ∈ B et par conséquent Z⊂C. Comme i ∈ B , alors Z[i] ⊂ B . Comme Z[i] est un sous-anneau de C , alors il est le plus petit contenant i .  Exercice d'application : 1. Soit d ∈ N qui √ ne soit pas un carré d'entier . Montrer que Z[ d] est un sous anneau de R . 2. Montrer que Z est le seul sous-anneau de Z .

1.2.2

Idéaux

 Dénition 1 : Soit (A, +, .) un anneau commutatif. Une partie I de A est dite un idéal de A ssi : 1. (I, +) est un sous-groupe de (A, +) 2. ∀a ∈ I, ∀x ∈ A, ax ∈ I (on dit que les éléments de I sont absorbants.)

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 Remarque : On notera 0 et 1 les éléments neutres respectifs de A pour les lois + et × .  Propriétés : 1. Soit A un anneau commutatif unitaire et I une partie de A. Alors I est un idéal de A si et seulement si i) I 6=  ii) I est stable pour la loi + iii) ∀x ∈ I, ∀a ∈ A, a × x ∈ I 2 . Soit I un idéal de A , alors : I = A ⇔ 1A ∈ I Preuve : Exercice 14 .  Exemples : 1. nZ est un idéal de (Z, +, .) . 2. L'idéal engendré par une partie de A . Soit H une partie de A , l'intersection de tous les idéaux de A contenat H est idéal de A, appelé A, c'est d'ailleurs le plus petit idéal de A contenant H .

L'idéal engendré par

 Remarques : - {0} est un idéal de A . - Pour tout a dans A, l'ensemble aA = {a × x/x ∈ A} est un idéal de A . 

somme et produit des idéaux .

 Proposition : La somme , le produit et l'intersection de deux idéaux de A est un idéal de A . Preuve : Exercice 15 : Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. Si I et J sont deux idéaux de A, on note

I + J = {i + j/i ∈ I, j ∈ J} I.J = {i1 .j1 , . . . , in .jn /n ≥ 1 i ∈ I, j ∈ J} On dit que deux idéaux I et J sont étrangers si I + J = A 1. Montrer que I + J et IJ sont encore des idéaux de A . 2. Montrer que I.J ⊂ I ∩ J . 3. Montrer que (I + J).(I ∩ J) ⊂ I.J . 4. Montrer que si I et J sont étrangers, alors I.J = I ∩ J . 

Ideal principal.

- Dénition 2 : Tout idéal de A de la forme aA (où a est élément de A) est appelé idéal principal . L'anneau A est dit principal si et seulement si tous ses idéaux sont principaux .

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Idéaux premiers - idéaux maximaux .

- Exercice 16 . Soit A un anneau commutatif . On dit qu'un idéal I est premier si xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I . On dit queI est maximal si, pour tout idéal J de A tel queI ⊂ J , on a J = I ou J =A. 1. Déterminer les idéaux premiers de Z . 2. Soit I un idéal et x ∈ A\I . Soit J l'idéal engendré par I et x . Montrer que

J = {a ∈ A; ∃i ∈ I, ∃kZ, a = i + kx}. 3. En déduire que tout idéal maximal est premier .

1.2.3

Homomorphismes d'anneaux

 Dénition 1 : Soit (A, +, ∗) et (B, +, ∗) deux anneaux unitaires. On note 1A et 1B les neutres multiplicatifs et 0A et 0B les neutres additifs . Un morphisme danneaux unitaires f : A → B est une application vériant les propriétés suivantes : • f : (A, +) → (B, +) est un morphisme de groupes c'est-à-dire :

f (a + b) = f (a) + f (b), ∀a, b ∈ A . • f : (A, ∗) → (B, ∗) est un morphisme de monoides c'est-à-dire :

f (a ∗ b) = f (a) ∗ f (b), ∀a, b ∈ A • f (1A ) = 1B .  Remarques : - On a automatiquement f (0A ) = 0B - Un morphisme d'anneaux unitaires f : A → B est un isomorphisme s'il existe un morphisme d'anneaux g : B → A tel que g ◦ f = idA et f ◦ g = idB . On dit alors que A et B sont isomorphes . Et on a toujours morphisme bijectif = isomorphisme .  Théorème (Propriété universelle de l'anneau Z) . Soit A un anneau unitaire. Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires

f :Z→A Il est donné par

f (k) = k.1A . On dit que Z est un objet initial de la catégorie des anneaux unitaires. Preuve : Exercice 17 .

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 Proposition : Comme pour les morphismes du goupes Si ϕ est un morphisme d'anneaux (A, +, ×) vers (B, +, ×) et si A0 est un sous-anneau de A alors ϕ(A0 ) ∈ B est aussi un sous anneau mais deB . Démonstration : évidente en considérons Imϕ/A0 .  Proposition et dénition . Si ϕ est un morphisme d'anneaux (A, +, ×) vers (B, +, ×) et si ϕ est bijictif alors ϕ−1 est aussi un morphisme d'anneaux bijictif de (B, +, ×) vers (A, +, ×) on dit alors que ϕ est un isomorphisme d'anneaux . Démonstration : se base toujours sur les morphisme du groupes .  Remarque : comme pour les morphismes du groupes On note ker(f )={a ∈ A, f (a) = 0B } ∀(a, b) ∈ A2 , f (a) = f (b) ⇔ b − a ∈ ker(f ) . Le morphisme f est injectif ⇔ ker(f )={0} . 

.

Caractéristique d'un anneau unitaire

 Dénition 2 : Le noyau de l'unique morphisme

f :Z→A est de la forme nZ pour un unique n ∈ N . Cet entier n est appelé la caractéristique de l'anneau A. C'est le plus petit entier non nul (s'il existe) tel que n.1A = 0 . Il vérie aussi na = 0 pour tout a ∈ A (pourquoi ?).  Exercice d'application 1. Motrer que l'application suivante est un morphisme d'anneaux unitaire .

evx : R[X] → R x 7→ P (x) 2. Soit A, B, C trois anneaux unitaires et f : A → B et g : B → C deux morphismes d'anneaux unitaires. Montrer que g ◦ f : A → C el l'application idA sont des morphismes d'anneaux unitaire . 3. Montrer que les surjections canoniques

π1 : Z → Z/nZ et

π2 : R[X] → R[X]/hX 2 + 1i

sont des morphismes d'anneaux unitaires.

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1.3 Corps  Dénition 1 : Soit K un ensemble muni de deux lois + et × . On dit que (K, +, ×) est un corps si : • (K, +, ×) est un anneau commutatif non réduit a {0} . • K ∗ = K\{0} c'est-à-dire que tout élément non nul de K est inversible pour le produit .  Exemples et Remarques . -(Q, +, ×) ,(R, +, ×) et (C, +, ×) sont des corps mais pas (Z, +, ×) . - Dans un corps tous les éléments non nuls sont simpliable . donc 0 n'admet pas des diviseurs - Un corps est un cas particulier d'anneau intègre (xy = 0 implique x = 0 ou y = 0) . - Si (K, +, ×) est un corps (K 2 , +, ×) n'est pas un corps .( idem avec k n si n ≥ 2 ) .

on peut aussi parler de sous-corps et morphisme de corps , mais c'est très simple car tout cela se base sur la notion d'anneau vue en haut du fait que tout cors et un cas particulier d'un anneau intègre , en tout cas nous allons donner quellques dénitions  Sous-corps . - Dénition 2 : soit (K, +, ×) un corps . on dit qu'une partie S est un sous-corps de K si : 1. S est un sous anneau de l'anneau (K, +, ×) . 2. ∀x ∈ S avec x 6= 0 , x−1 ∈ S . 3. muni des lois induites (S, +, ×) possède alors lui-mme  une structure de corps .  morphisme de corps . - Dénition 3 : Soient (K, +, ×) et (L, +, ×) deux corps . On dit qu'une application f de K dans L est un morphisme de corps si f est un morphisme d'anneaux de (K, +, ×) vers l'anneau (L, +, ×) .(déjà vu )

1.3.1

les corps

R

et

C

 Introduction : Dans cette partie nous donnons juste la structure de ces corps et quellques grandes lignes , car vous avez déjà fait ce cours au terminale . 

Le corps commutatif (C, +, ×)

 Dénition 1 : Un nombre complexe est un élément (a, b) ∈ R2 on note C l'ensemble des nombres complexes (l'ensemble C n'est autre que R2 , muni des lois que nous allons dénir). - Addition , sur C : On dénit la somme de deux complexes (a, b) et (c, d) par :

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

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- Multiplication sur C : On dénit le produit des complexes (a, b) et (c, d) par :

(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)  Théorème 1 . (C, +, ×) est un corps commutatif . Démonstration : - (C, +) est un groupe commutatif, d'élément neutre (0, 0) . Le symétrique (ou opposé ) d'un complexe (a, b) est le complexe (−a, −b) . • Commutativité de la loi × : Soient (a, b) et (c, d) deux complexes. Grâce à la commutativité de la multiplication sur R , on a :

(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = (c, d) × (a, b) • Associativité de la loi × : Soient (a, b), (c, d) et (e, f ) des complexes. Alors : ((a, b) × (c, d)) × (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) × (e, f ) = ((ac − bd)e − (ad + bc)f, (ac − bd)f + (ad + bc)e) = (ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce) (a, b) × ((c, d) × (e, f )) = (a, b) × (ce − df, cf + de) = (a(ce − df ) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df )) = (ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf ) • Distributivité de × sur + : Toujours en revenant aux dénitions des lois + et × sur C , on montre la relation : ((a, b) + (c, d)) × (e, f ) = ((a, b) × (e, f )) + ((c, d) × (e, f )) Grâce à la commutativité de la multiplication, on a également la distributivité à gauche . • (1, 0) est élément neutre de × :

∀(a, b) ∈ C, (a, b) × (1, 0) = (a × 1 − b × 0, a × 0 + b × 1) = (a, b) • Inverse d'un complexe (a, b) 6= (0, 0) : Soit (a, b) un complexe non nul. Si a2 + b2 = 0 , alors nécessairement a2 = 0 et b2 = 0 , donc a = 0 et b = 0 ce qui est absurde. Donc a2 + b2 > 0 , et   a c = a2 +b ac − bd = 1 2 (a, b) × (c, d) = (1, 0) ⇔ ⇔ ad + bc = 0 d = a2−b +b2  Notation : L'opposé d'un complexe z se note −z . Si z1 et z2 sont deux complexes, on note z1 −z2 le complexe z1 + (−z2 ) L'inverse d'un complexe z non nul se note z1 . z Si z1 et z2 sont deux complexes avec z2 non nul, on note z1 le complexe z1 × 2

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1 z2

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Plongement de R dans C .

Soit C0 l'ensemble des complexes de la forme (a, 0) . L'ensemble C0 est non vide, et pour tous réels a et b : (a, 0) − (b, 0) = (a − b, 0) ∈ C0 et

(a, 0) × (b, 0) = (ab, 0) ∈ C0

Enn (1, 0) ∈ C et , si a 6= 0 :

1 1 = ( , 0) ∈ C0 (0, 1) b En conclusion . (C0 , +, ×) est un sous-corps de (C, +, ×) . Soit alors l'application f : R → C0

a 7→ f (a) = (0, a) f est bijective par dénition de C0 . Pour tous réels a et b , on a manifestement : f (a + b) = f (a) + f (b) et f (ab) = f (a)f (b) Donc f est un isomorphisme de (R, +, ×) sur (C0 , +, ×) . : L' isomorphisme f permet d'identier R à C0 (d'où , par abus de langage , R ⊂ C ) , les lois + et × sur C prolongeant alors celles de R.

Convention

Pour tout x ∈ R , on notera donc x le complexe (x, 0) ; en particulier 0 est le complexe (0, 0) et 1 le complexe (1, 0) .  Remarque . ∀x ∈ R∀(a, b) ∈ C, x × (a, b) = (xa, xb) . En eet x × (a, b) = (x, 0) × (a, b) = (xa − 0 × b, xb + 0 × a) = (xa, xb) .  Dénition 2 : z ∈ C est imaginaire si et seulement si z 6∈ R (c'est-à-dire z = (a, b) avec b 6= 0) . Si z s'écrit (0, b) , avec b non nul, on dit que z est un imaginaire pur .  Notation : On note i le complexe (0, 1) . On a en particulier :

i2 = (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) = −1 Tout complexe z = (a, b) peut alors s'écrire grâce au nombre i sous la forme a + ib , avec a et b réels. En eet, soit z = (a, b) un complexe. Alors :

z = (a, 0) + (0, b) = a × (1, 0) + b × (0, 1) = a + ib  Dénition 3 : Le réel a est la partie réelle de z (notée Re(z))) , b est sa partie imaginaire de z (notée Im(z)). L'expression a + ib est appelée écriture algébrique du complexe z .

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 Remarque . Il n'existe pas d'ordre total sur C prolongeant l'ordre ≤ sur R et qui fasse de (C, +, ×) un corps totalement ordonné (c'est-à-dire tel que la relation d'ordre soit compatible avec la loi + sur C et avec la loi × sur {z ∈ C|0 ≤ z}). (voir algébre I pour la dénition du relation d'ordre ) . Si un tel ordre ≤ existait, on aurait nécessairement i2 ≥ 0 (ou bien i ≥ 0 , auquel casi2 ≥ 0 , ou bien i ≤ 0 donc 0 = i − i ≤ −i et donc i2 = (−i)2 ≥ 0). Or i2 = −1 , on a donc −1 ≥ 0 , ce qui est incompatible avec l'ordre sur R . Conjugué, module d'un complexe :  Dénition 4 : Le conjugué du complexe z = a + ib (avec a, b ∈ R) est le complexe z¯ = a − ib .  Dénition 5 : on appelle module du complexe z le réel positif z z¯ , que l'on note |z| .

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1.4 exos corrigées

Exercices du chapitre I Exercice 18 . On dénit une loi de composition interne ∗ sur R par ∀(a, b) ∈ R2 ;

a ∗ b = ln(ea + eb ) 1. Quelles en sont les propriétés ? (commutativité, associativité) 2. Possède-t-elle un élément neutre ? 3. Y a-t-il des éléments réguliers ? Exercice19 . Soit ∗ une loi de composition interne sur E . Pour A, B ∈ P(E) on pose A ∗ B = {a ∗ b/a ∈ A, b ∈ B} . 1. Etudier les propriétés de ∗ sur E (commutativité, associativité, existence d'un neutre) conservées par ∗ sur P(E). 2. La loi ∗ est-elle distributive sur l'union ? sur l' intersection ? Exercice 20 . Soit E et F deux ensembles et ϕ : E → F une application bijective On suppose E muni d'une loi de composition interne ∗ et on dénit une loi > sur F par par :

∀x, y ∈ F, x>y = ϕ(ϕ−1 (x) ∗ ϕ−1 (y)) a) Montrer que si ∗ est commutative (resp . associative) alors > l'est aussi . b) Montrer que si ∗ possède un neutre e alors > possède aussi un neutre à préciser . Exercice 21 . Soit : Soit E = [0, 1] . On dénit une loi ∗ sur E par :

∀x, y ∈ E, x ∗ y = x + y − xy 1. Montrer que ∗ est une loi de composition interne, commutative et associative . 2. Montrer que ∗ possède un neutre . 3. Quels sont les éléments symétrisables ? réguliers ? Exercice 22 . Soit ⊥ une loi de composition interne associative sur E . On suppose qu'il existe a ∈ E tel que l'applicatio f : E → E dénie pars

f (x) = a ⊥ x ⊥ a soit surjective et on note b un entécédent de a par f . 1. Montrer que e = a ⊥ b et e0 = b ⊥ a , sont neutres resp. à gauche et à droite puis que e = e0 . 2. Montrer que a est symétrissable et f bijective . Exercice 23 . Soit E un ensemble ni non vide muni d'une loi de composition interne associative notée  . Montrer qu'il existe e ∈ E tel que e  e = e .

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Exercice 24 . Soit G = R∗ × R et ? la loi de composition interne dénie sur G par :

(x, y) ? (x0 , y 0 ) = (xx0 + xy 0 + y). 1. Montrer que ? n'est pas commutative . 2. Montrer qure (G, ?) est un groupe non commutatif . 3. Montrer que R∗+ × R est un sous-groupe de (G, ?) . Exercice 25 . Sur E =] − 1, 1[ on dénit une loi ? par

∀x, y ∈ E, x ? y =

x+y . 1 + xy

1. Montrer que (E, ?) est un groupe . 2. (E, ?) est-il abélien ? Exercice 26 . On considère les applications de R\{0, 1} dans lui même dénies par :

i(x) = x, f (x) = 1 − x, g(x) =

1 x x−1 1 , h(x) = , k(x) = , l(x) = . x x−1 x 1−x

1. Démontrer que ce sont des permutations de E . 2. Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l'ensemble G = {i, f, g, h, k, l} 3 . Montrer que G muni de la composition des applications ◦ est un groupe . 4. (G, ◦) est-il commutatif ? Exercice 27 . Soit H et K deux sous-groupes d'un groupe (G, ?) tel que H ∪K en soit aussi un sous-groupe Montrer que H ⊂ K ou K ⊂ H . Exercice 28 . Pour a ∈ N, on note : aZ = {ak/k ∈ Z} 1. Montrer que aZ est un sous-groupe de (Z, +) . On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous-groupe de Z est de cette forme 2. Vérier que le groupe {0} est de la forme voulue . Soit H un sous-groupe de (Z, +) non réduit à {0} . 3. Montrer que H + = {h ∈ H/h > 0} possède un plus petit élément. On note a =min(H + ) . 4. Etablir que aZ ⊂ H . 5. En étudiant le reste de la division euclidienne d'un élément de H par a montrer que H ⊂ aZ . 6. Conclure que pour tout sous-groupe H de Z, il existe un unique a ∈ N tel que H = aZ . Exercice 29 . Soit G un ensemble non vide muni d'une loi de composition intrerne associative ? on suppose que tout élément de G est régulier ( simpliable) . Montrer que G est un groupe . Exercice 30 . Soit ω ∈ C et H = {a + ωb/a, b ∈ Z}. Montrer que H est un sous-groupe de (C, +) .

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Exercice 31 . Soit a ∈ C∗ et H = {an/n ∈ Z} . Montrer que H est un sous groupe de (C∗ , ×) . Exercice 32 . Soit a un élément d'un ensemble E . On forme H = {f ∈ G(E)/f (a) = a} . Montrer que H est un sous-groupe de (G(E), ◦) . Exercice 33 . Soit (G, ×) un groupe, H un sous -groupe de (G, ×) et a ∈ G . 1. Montrer que aHa−1 = {axa−1 /x ∈ H} est un sous-groupe de (G, ×) . 2. A quelle condition simple aH = {ax/x ∈ H} soit un sous-groupe de (G, ×) . Exercice 34 . Soit fa,b : C → C

z 7→ az + b avec a ∈ C∗ , b ∈ C . Montrer que ({fa,b avce a ∈ C∗ , b ∈ C}, ◦) est un groupe . Exercice 35 . Soit G un groupe noté multiplicativement . Pour a ∈ G , on note σa la'ppliction de G vers G dénie par : σa (x) = axa−1 . 1. Montrer que σa est un endomorphisme du groupe (G, ×) . 2. Vérier que : ∀a, b ∈ G σa ◦ σb = σab 3. Montrer que σa est bijective et déterminer son application réciproque . 4. En déduire que Γ = {σa /a ∈ G} muni du produit de composition est un groupe . Exercice 36 . Soit (G, ?) un groupe et a ∈ G. On dénit une loi de composition interne > sur G par : x>y = x ? a ? y . 1. Montrer que (G, >) est un groupe 2. Soit H un sous groupe de (G, ?) et K =sym(a) ?H = { sym(a)?x/x ∈ H} Montrer que K est un sous-groupe de (G, >). Montrer que f : x → x? sym(a) est un isomorphisme de (G, ?) vers (G, >) . Exercice 37 . Déterminer la signature de :     1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 a: b: 3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6 Exercice 38 . Soit n ≥ 5 Montrer que si

a b c




et

a

0

b0 c 0




sont deux cycles d'ordre 3 de Gn , alors il existe une permutation σ , paire, telle que

σ ◦ a b c ◦ σ −1 = a 0 b0 c0

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Exercice 39 . On dénit sur Z2 deux lois de compositions internes notées + et ? par :

(a, b) + (c, d) = (a + b, b + d) et (a, b) ? (c, d) = (ac, ad + bc) 1. Montrer que (Z, +, ?) est un anneau commutatif 2. Montrer que A = {(a, 0)/a ∈ Z} est un sous-anneau de (Z2 , +, ?) . Exercice 40 . Montrer qu'un anneau (A, +, ×) n'a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, tous ses éléments non nuls sont réguliers Exercice 41 . Soit x et y deux élments
d'un anneau (A, +, ×) . 1. Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent . 2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x + y est nilpotent . 3. Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l'est aussi 4. Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible. Préciser (1 − x) . - vocabulaire : un élément x est dit nilpotent si ∃n ∈ N∗ tel que xn = 0 et xn−1 6= 0 . Exercice 42 . : On considère (A, +, ×) un anneau de Boole c'est-à-dire un anneau non nul tel que tout élément est idempotent pour la 2ème loi ce qui signie , ∀x ∈ Ax2 = x 1. Montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , xy + yx = 0A et en déduire que ∀x ∈ A, x + x = 0A . En déduire que l'anneau A est commutatif . 2. Montrer que la relation binaire dénie sur A par x ≤ y ⇔ yx = x est une relation d'ordre. (voir algébre I pour la dénition du relation d'ordre ) Exercice 43 . √ √ Soit d ∈ N , on √ note Z[ d] = {a + b d/(a, b) ∈ Z2 } Montrer que Z[ d] est un sous-anneau de (R, +, ×) Exercice 44 .

Anneau de Boole

Anneau des entiers de Gauss (1777-1855)

On note Z[i] = {a + ib|(a, b) ∈ Z 2 } . 1. Montrer que Z[i] , est un anneau commutatif pour l'addition et la multiplication des complexes. 2. Déterminer les éléments inversibles à l'intérieur de Z[i] . Exercice 45 . Soit m A = { n , m ∈ Z et n ∈ N} 2 1. Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×) 2. Quels en sont les éléments inversibles ? Exercice 46 . Pour a, b ∈ R , on pose a>b = a + b − 1 et a ? b = ab − a − b + 2. Montrer que (R, >, ?)est un corps . Exercice 47 . √ √ √ 2 Soit d ∈ N tel que √ d 6∈ Q on note Q[ d] = {a + b d/(a, b) ∈ Q } . Montrer que (Q[ d], +, ×)est un corps

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Exercice 48 . Soit A un anneau commutatif ni non nul. Montrer que A ne possède pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, A est un corps . Exercice 49 . Soit F un sous corps de (Q, +, ×) . Montrer que F = Q

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Chapitre 2 Polynômes

2.1 Généralités et Notions de base sur les polynômes à une inéterminée : Dénitions et structure  Dénition 1 : On appelle polynôme à une indéterminée à coecients dans K toute suite presque nulle (c'est-à-dire nulle à partir d'un certain rang) d'éléments de K . Si on choisit de noter X l'indéterminée, suite(an ) nulle à partir du rang p + 1 se P+∞ une telle k p note alors a0 + a1 +, . . . , +ap X = k=0 ak X , cette somme étant en fait nie. L'ensemble des polynômes à une indéterminée à coecients dans K se note alors K[X] . - On appelle monôme tout polynôme du type P = λX k avec λ ∈ K . - On appelle polynôme constant tout polynôme du type P = λX 0 = λ avec λ ∈ K . - On appelle polynôme nul le polynôme correspondant à la suite nulle se note P = 0. - On appelle coecient dominant d'un polynôme le coecient de son monôme de plus haut degré . - On appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coecient dominant est égal à 1 .  Remarques . - Si P est un polynôme non nul de coecient dominant λ , alors Pλ est un polynôme unitaire : on dit que c'est le polynôme normalisé de P . - Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coecients sont égaux . En particulier, un polynôme est nul si et seulement si ses coecients sont nuls . - L'indéterminée X n'est pas un élément de K . Donc faite attention , à la résoulution des équations polynomiales . 

OpérationsPsur les polynômes P

+∞ k k Soient P = +∞ k=0 ak X et Q = k=0 bk X deux polynômes de K[X] et λ ∈ K . • Addition , on dénit le polynôme P + Q par :

P +Q=

+∞ X k=0

26

(ak + bk )X k .

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• Multplication , on dénit le polynôme P × Q par : P ×Q=

+∞ X

X

ck X k , ck =

ap b q .

p+q=n

k=0

• Multiplication par un scalaire , on dénit le polynôme λ.P par : λ.P =

+∞ X

λak X k

k=0

• Composition de polynômes , on dénit le polynôme P ◦ Q par : P ◦ Q = P (Q) =

+∞ X

ak Qk

k=0

 Remarque . Dans le cas particulier où Q = X , le polynôme P ◦ Q vaut P (X) . Le polynôme P peut donc aussi bien être noté P ou P (X) .  Dénition 2 : - Un polynôme P est dit pair si P (−X) = P (X) . - Un polynôme P est dit impair si P (−X) = −P (X) .

Structures de

.

 K[X]  Propiétés : Soient P, Q et R dans K[X] alors on a : - P + Q = Q + P (commutativité ) . - P + (Q + R) = (P + Q) + R ( associativité) . - P + 0 = 0 + P (existence d'un élément neutre) . Conclusion : (K[X], +) est un groupe abélien . Le produit de Cauchy, encore parfois noté (P × Q) possède les propriétés élémentaires suivantes : - P Q = QP (commutativité ) . - P (QR) = (P Q)R ( associativité) . - P.1 = 1.P = P (existence d'un élément neutre) . Conclusion : (K[X], .) est aussi un groupe abélien . et par distributivité c'est-à-dire : - P (Q + R) = P Q + P R on conclut que : Conclusion : (K[X], +, .) est un anneau commutatif unitaire .

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2.2 Degré d'un polynôme  Dénition 1 : Soit P un polynôme non nul on appelle le degré de P , et on note deg(P ) ou encore d◦ P , le plus grand entier naturel n tel que an 6= 0 . Le coecient an est le coecient de plus haut degré , appellé ainsi , le coecient dominant • par convention −∞ est le degré du polynôme nul P (X) = 0 . pour tout X . • Un polynôme constant est de la forme P (X) = kX 0 = k.1 = k avec k non nul donc c'est un polynôme de degré 0 .  Propositions : Soit P, Q ∈ K[X] et k ∈ K∗ alors on a : 1) deg(P + Q) ≤ max(deg(P ),deg(Q)) avec égalité si deg(P )=deg(Q) . 2) deg(k.P )= k .deg(P ) . 3) deg(P Q) =deg(P )+deg(Q). 4) deg(P ◦ Q)=deg(P )× deg(Q) . Preuve : Exercice 1 . Exemples : Soient les polynômes suivants : P = X 2 + 2X + 1 et Q = X − 1 on a : 1) deg(P + Q) = 2 2)deg(5.P ) =2 3)deg(P Q)= 2+1 =3 4)deg(P ◦ Q)= 2 × 1 = 2

2.3 Fonctions polynomiales  Dénition 1 : Soit K un anneau commutatif et unitaire. Soit

P = a0 + a1 X+, . . . , +an X n un polynôme à coecients dans A . On dénit l'application

P˜ : λ 7→ a0 1 + a1 λ+, . . . , +an λn de K dans K . P˜ est appelée fonction polynomiale associée à P .  Exemples : • Une fonction du type P (x) = a0 + a1 x+, . . . , +an xn où tous les coecients a0 , . . . , an sont tous nuls est appellée la fonction polynôme nulle . • Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : p(x) = xp (p ∈ N) sont des fonctions polynômes de degré p (avec la convention 00 = 1 lorsque p = 0) . • Les fonctions constantes x 7→ k , avec k 6= 0 , sont des fonctions polynômes de degré 0 . la fonction q dénie par q(x) = xa n'est pas une fonction polynomiale . mais attention la 4

2 fonction Q dénie par Q(x) = xx+−1 1 l'est car après simplications on trouve Q(x) = x −1 qui est bien une fonction polynôme de degré 2 .

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 Remarque : Si P = a0 + a1 X+, . . . , +an X n et Q = b0 + b1 X+, . . . , +bn X n sont deux polynômes de K[X] , alors il est clair que pour tout λ ∈ K[X] .

] ˜ ˜ (P^ + Q)(λ) = P˜ (λ) + Q(λ), (P Q)(λ) = P˜ (λ)Q(λ), 1f K (λ) = 1K On en déduit que l'application ϕ : P 7→ P˜ est un morphisme d'anneaux de K[X] dans l'anneau F(K, K) des fonctions de K dans K . Ce morphisme n'est pas en général injectif , il faut donc faire attention à bien distinguer un polynôme P de sa fonction polynomiale associée e P˜ . Autrement dit , si les fonctions polynomiales associées à deux polynômes sont égales , les deux polynômes ne sont pas nécessairement égaux .  Exemple : si nous considérons l'anneau K = Z/2Z alors le polynôme P = X 2 − X ∈ K[X] est un polynôme non nul , cependant sa fonction polynomiale associée est nulle, puisque pour 2 tout k ∈ Z/2Z on a : k − k = 0  Théorème (Théorème du reste) Soit P ∈ K[X] et λ un élément de A . Alors il existe un unique polynôme Q ∈ K[X] tel que : P = (X − λ)Q + P˜ (λ) Preuve : Exercice 2 .

2.4 Racines d'un polynôme  Dénition 1 : On dit que l'élément a ∈ K est une racine ou un zéro du polynôme P ∈ K[X] si P (a) = 0  Proposition : soit P un polynôme de K[X] et a un élément de K l'élément a est une racine de P si et seulement si X − a divise P . Preuve : Exercice 3 .  Corollaire : Soit K un anneau commutatif intègre. Un polynôme non nul de degré n possède au plus n racines . Démonstartion : Exercice 4 .  Dénition 2 : En revenant à la notion de la fonction polynômiale vue en haut , on dira que λ ∈ K est une racine (ou un zéro) du polynôme P ∈ K[X] si P˜ (λ) = 0 . On dit alors qu'un corps K est algébriquement clos , si tout polynôme P ∈ K[X] , non constant , admet au moins une racine dans K . Le corps C est algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert. ( viendra par la suite ) .

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 Dénition 3 : Un nombre a est racine d'ordre α (α ∈ N∗ ) d'un polynôme P ∈ K[X] si et seulment si P (X) est divisible par (X − a)α mais pas par (X − a)α+1 . ( On dit aussi que α est l'ordre du multiplicité de a) .  Remarques : • en pratique , la dérivation des polynômes est un outil qui permet d'étudier les racines multiples d'un polynôme . • une racine simple a d'un polynôme P est une racine d'ordre 1 . dans ce cas ce racine P 0 (a) 6= 0 . • une racine doule a d'un polynôme P est une racine d'ordre 2 . c'est-à-dire ; P (a) = 0 et P 0 (a) = 0 mais P 00 (a) 6= 0 • une racine triple a d'un polynôme P est une racine d'ordre 3 et c'est aussi la racine de P 0 c'est-à-dire ; P 0 (a) = 0 et aussi la racine de P 00 c'est-à-dire ; P 00 (a) = 0 mais qui n'est pas racine de P (3) .  Exemples : -Le polynôme P (X) = X 4 − 10X 3 + 21X 2 − 16X + 4 admet 1 et 2 comme racines doubles et peu s'écrire :P (X) = (X − 1)2 (X − 2)2 il est donc divisible par (X − 1)2 et par (X − 2)2 . -le polynôme P (X) = X 2 − 1 admet 1 et −1 comme racines simples et peu s'écrire comme P (X) = (X − 1)(X + 1) donc divisible par (X − 1) et (X + 1) .

2.5 Polynôme dérivé  Dénition 1 : Soit P = a0 + a1 X+, . . . , +an X n ∈ K[X] le polynôme dérivé du polynôme P est aussi un polynôme et il est déni ainsi

P 0 = a1 X + 2a2 , . . . , +nan X n−1 Si P est un polynôme constant, son polynôme dérivé est nul .  Remarque : Le polynôme dérivé de P est donc noté P 0 . Par analogie avec les fonctions, on notera ensuite P 00 la dérivée de P 0 , puis P (n) la dérivée n-ième de P . en eet cette notation est bien dénie à l'aide du récurrence comme suite : P (0) = P, P (1) = P, et P (k+1) = (P (k) )0 pour k ≥ 2 . 

Propiétés

Soient P, Q ∈ K[X] et λ ∈ K . • Dérivée d'un somme (P + Q)0 = P 0 + Q0 . • Dérivée d'un produit et formule de Leibniz (λP )0 = λP 0 + P λ0 = λP 0 + 0 = λP 0 . (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 . P k (k) (n−k)  plu généralement ( formule de Leibniz ) (P Q)(n) = nk=0 Cm P Q . On peut aussi montrer par récurrence sur m ∈ N, que P m = mP m−1 P 0

30

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• Dérivée d'un composée (P ◦ Q)0 = Q0 × (P 0 ◦ Q) .  Exemples . - (X 2 + X)0 = (X 2 )0 + X 0 = 2X + 1 . - (7.X)0 = 7.X 0 = 7.1 = 7 . qui est en eet sous la forme d'un produit c'est-à-dire : (7.X)0 = 7.X 0 + X.70 = 7.1 + X.0 = 7 . (X 2 )0 = (X.X)0 = X 0 .X + X.X 0 = 1.X + X.1 = X + X = 2X . - Si P ∈ K[X] P (−X)0 = (−X)0 × P 0 (−X) = −1 × P 0 (−X) = −P 0 (−X) .  Remarque : Ces propriétés sont analogues a celles des foctions , en identiant un polynôme à coecients dans un corps commutatif K , à sa fonction polynôme associée .

2.6 Formule de Taylor  Proposition : Soit K un corps commutatif de caractéristique nulle et P = a0 + a1 X+, . . . , +an X n ∈ K[X] un polynôme de degré n . et soit P˜ = a0 + a1 x+, . . . , +an xn sa fonction polynômiale associée Alors n X 1 ˜ (k) P (0)X k P (X) = k! k=0

cette formule est connue par la proposition suivante .

formule d'Euler Mac-Laurin

elle est en eet déduite de

 Proposition : P Soit P = a0 + a1 X+, . . . , +an X n = nk=0 ak X k ∈ K[X] Alors, pour tout k ∈ {0, . . . , n} (n)

on a ak = Pk! .  Remarque : Il existe deux manière de représenter , en eet si le polynôme P est est un polynôme à coecients dans un corps commutatif inni alors l'application qui à P ∈ K[X] associe la fonction polynomiale P˜ ∈ KK est une application injective. Autrement dit, toute fonction polynomiale est associé à un unique polynôme, ce qui justie le fait que l'on confonde polynôme et fonction polynomiale. Cette identication repose sur le fait que R et C sont des corps innis. Mais tous les corps ne sont pas innis comme vous le verrez l'année prochaine ansi on peut donner les formules suivants (voir analyse I pour plus de détailles )

formule de Taylor

 Proposition (formule de Taylor ) Soit K = R ou C , P ∈ K[X] et a ∈ K alors on a :

P =

+∞ X P (n) (a) n=0

n!

(X − a)

n

, P (X + a) =

+∞ X P (n) (a) n=0

31

n!

(X)n

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2.7 Propriétés arithmétiques des polynômes à coecients dans R ou C Introduction : Il s'agit de répéter pour les polynômes des résultats similaires à ceux qui ont été énoncés pour les entiers ( algébre I) donc l'arithmétique sur les polynômes est tout à fait analogue à celle sur les entiers à condition de travailler sur des polynômes à coecents dans un corps commutatif ainsi la plupart des résultas ne seront pas démontrer ici !  .

Division euclidiennne

 Dénition 1 : (Divisibilité dans K[X]) Soit K un anneau commutatif . On dit qu'un polynôme P dans K[X] est un multiple d'un polynôme S dans K[X] , ou, de manière équivalente, que S est un diviseur de P , lorsqu'il existe un polynôme T dans K[X] tel que P = ST et on not S|P .  Propriétés de divisibilité dans K[X] . Soient A, B, C, D ∈ K[X] on a : - Réexivité , A|A . - Transitivité , Si A|B et B|C alors A|C . - " Pseudo-antisymétrie " , Si A|B et B|A , alors il existe λ ∈ K∗ tel que B = λA . On dit alors que les polynômes A et B sont associés . - Produit , Si A|B et C|D , alors AC|BD . En particulier, si A|B alors An |B n pour tout n ∈ N. - Multiplication/division par un polynôme , Si D 6= 0, A|B ⇔ AD|BD .  Théorème (Division euclidienne ). Soit K un corps commutatif, A un polynôme de K[X] et B un polynôme non nul de K[X] . Il existe un couple (Q, R) unique de polynômes vériant la double condition :

A = QB + R

et deg(R) < deg(B)

A s'appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient, et R le reste . Démonstration : Exercice 5 .  Remarque . Soient A, B ∈ R[X] . La division euclidienne de A par B est la même dans R[X] ou dans C[X]  Exemple : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K . Le reste de la division euclidienne de P par X − a est P (a) .  Remarques . - Soient A, B ∈ K[X] avec B 6= 0 . Alors B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul . - Soient A, B ∈ R[X] . Si B divise A dans C[X] , alors B divise également A dans R[X] . Soient P ∈ K[X] et a ∈ K . a est une racine de P si et seulement si X − a divise P .

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Algorithme de la division euclidienne .

Concrètement , on disposera les divisions euclidiennes de polynômes comme les divisions de nombres entiers . Exemple 1 : pour diviser P = X 2 + 2X + 1 par Q = X − 1 on cherche (R, B) ∈ K[X]2 tel que P = QB + R et deg(R) 1 diérente de 1 , (a 6= 1) montrer qu'il y a une innité de racines) . 4. En déduire que P est de la forme αX k (X − 1)l avec α ∈ C[X], (k, l) ∈ N∗ 2 . 5. Quel est l'ensemble des polynômes de P ∈ C[X] tel que XP (X − 1) = (X − 2)P (X) .

Pour la correction des exos visitez votre page facebook : https://www.facebook.com/groups/etudiantssmia/

38

Chapitre 3 Fractions rationnelles

3.1 Fractions rationnelles  Dénition 1 : On appelle fraction rationnelle à une indéterminée tout couple (P, Q) de P , dont Q est dit le dénominateur K[X] × K[X]\{0} .Qui forme un quotient qu'on note Q et P est dit le numérateur . P .Si P S = QR , on identie les deux fractions rationnelles Q et R S ( On dit aussi que ce sont deux représentants de la même fraction) . Toute fraction rationnelle admet au moins un représentant irréductible (P0 , Q0 ) (c'est à dire tel que P0 et Q0 soient premiers entre eux). L'ensemble des fractions rationnelles est noté K(X) . C'est un corps de l'anneau intègre K[X] .  Remarques : K[X] P } = {Q /P ∈ K[X], Q ∈ • Attention aux : notations K[X] et K(X) , " K(X) = { K[X]\{0} K[X]\{0}} " . A ˜ les fonctions polynômiales • Si F = B est une fraction rationnelle et si on note A˜ et B associées à A et B . ˜ A(x) associé à F est dénie ainsi : x 7→ F˜ (x) = ˜ sur K privé des

La fonction rationnelle

B(x)

racines de B . • le corps K(X) contient l'anneau K[X] car ∀P ∈ K[X], P ∈ K(X) car P = P1 .

Opérations sur les fractions rationnelles  Somme et produit de deux fractions rationnelles P P •

. Soient F1 = Q et F2 = Q deux fractions bien dénies on a : 1 2 P Q +P Q • F1 + F2 = F2 + F1 = 1 Q2 Q 2 1 . 1

• F1 .F2 = F2 .F1 =

2

P1 .P2 Q1 .Q2 .

1

2

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Généralement si F1 , F2 , F3 ∈ K(X) alors on a : • (F1 + F2 ) + F3 = F1 + (F2 + F3 ) , F1 .(F2 .F3 ) = (F1 .F2 ).F3 . • F1 + 0K(X) = F1 = 0K(X) + F1 , F1 .1K(X) = F1 = 1K(X) .F1 . • F1 .(F2 + F3 ) = F1 .F2 + F1 .F3 , (F1 + F2 ).F3 = F1 .F3 + F2 .F3 . • F1 + (−F1 ) = F1 − F1 = 0 = (−F1 ) + F1 et si F1 6= 0 alors F1−1 .F1 = 1 = F1 .F1−1 .

Produit par un scalaire A de K(X) par : λF = λA On dénit le produit d'un élément λde K par un élément F = B B .  Dérivation . 

 Dénition 2 : P On dénit la fraction dérivée de F = Q

0

0

Q ∈ K(X) que l'on note F 0 , par : F 0 = P Q+P Q2



Degré d'une fraction rationnelle A



Partie entière d'une fraction rationnelle

. F = B un élément de K(X) l'entier relatif deg(F )=deg(A)-deg(B ) , est applé degré de F . .

 Proposition et dénition Tout élément F de K(X) s'écrit de manière unique sous la forme F = P + G où P est un polynôme et G est une fraction rationnelle de degré strictement négatife . on dit que le polynôme P est la partie entière de la fraction rationnelle F .  Remarques et propiétés : A et soit A = BQ + R la division euclidienne de A par B alors on a • Posons F = B R F = Q+ B avec deg(R)< deg(B ) . La partie entière de F est donc le quotion dans la division euclidienne de A par B . • Notons E(F ) la partie entière de toute fraction rationnelle F - ∀P ∈ K[X] E(P ) = P . - Soit F ∈ K(X) alors on a : E(F ) = 0 ⇔ deg(F ) < 0 . A - Soit F = B avec deg(A)≥ deg(B ) . alors deg(E(F ))=deg(A)− deg(B ) . - Soient F, G ∈ K(X) et λ, µ ∈ K alors : E(λF + µG) = λE(F ) + µE(G)  : P Soit R = Q une fraction écrite sous forme irréductible . On appelle pôle de R toute racine de Q. a est un pôle d'ordre n de R si a est une racine de multiplicité n de Q ; si n = 1 , on dit que a est un pôle simple de R .  Exemple : X 2 −3X+2 Soit R(X) = . R n'est pas sous forme irréductible, car on a : X 4 −1

Pôle d'une fraction rationnelle

R(X) =

X−2 (X+1)(X+i)(X−i) .

donc les pôles de R sont : −1, i, −i . Ils sont tous simples . 

Zéro d'une fraction rationnelle

: P (X) On dit qu'un nombre a est zéro d'ordre α d'une fraction F (X) = Q(X) si a est zéro d'ordre α de P est que a n'est pas un pôle de F .

40

Cours d'Algébre II  Exemple :

(X−1)2

Soit F (X) = X 2 +1 

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donc 1 est zéro d'ordre 2 de F .

Partie principal d'une fraction rationnelle relative à un pôle ou partie polaire . Proposition : Soit F ∈ K(X) admettant α comme pôle de multiplicité m ≥ 1 . λk P m Alors F s'écrit de manière unique F = m k=1 k +G , où (λ1 , . . . , λm ) ∈ K et

(X−α)

G est une fraction rationnelle n'admettant pas α comme pôle λk P On dit alors que m est de F relativement au pôle α . k=1 (X−α)k  Remarque : les poôles de G et de F sont identiquent (sauf α) de même ordre .

la partie polaire



Détermination pratique des coecients λ

. La partie entière est totalement déterminée par la Détermination des coecients λk  Cas d'un pôle simple : Soit F ∈ K(X) admettant α comme pôle simple . λ +G où α n'est pas pôle de G . voici les trois méthodes Donc ∃λ ∈ K tel que F = (X−α) pour calculer λ . k

A(α)

A 1) Posons F = (X−α)Q avec A(α) 6= 0 et Q(α) 6= 0 alors λ = Q(α) . paratiquement on multiplie F par (X − α) , et après simplication on substitue α à X . 2) En utilisant la fonction rationnelle a ssocie à F on écrit λ = limx→α (x − α)F˜ (x) . Ce passage à la limite est plotôt réserver au cas où K = R . A(α)

A avec A(α) 6= 0 alors λ = B 0 (α) . 3) Posons F = B

 cas d'un pôle double : Soit F ∈ K(X) admettant α comme pôle double . µ λ Donc ∃λ ∈ K tel que F = (X−α) 2 + X−α +G où α n'est pas pôle de G . A 1) Posons F = (X−α) 2 Q avec A(α) 6= 0 et Q(α) 6= 0 alors λ =

A(α) Q(α) .

2) En utilisant la fonction rationnelle a ssocie à F on écrit λ = limx→α (x − α)2 F˜ (x) . Ce passage à la limite est plotôt réserver au cas où K = R . 2A(α)

A 3) Posons F = B avec A(α) 6= 0 alors λ = B 00 (α) . µ λ 4) une fois λ calculé on peut écrire H = F − (X−α) = (X−α) +G . Ou bien α n'est un pôle de H ( donc µ = 0 et c'est ni ) ou bien α est un pôle simple de H et on est remené aux méthodes connues .

 Cas d'un pôle multiple : Soit F ∈ K(X) admettant α comme pôle multiple d'ordre m ≥ 2 . P λk ∃ (λ1 , . . . , λm ) ∈ Km tels que F = m k=1 (X−α)k +G où α n'est pas pôle de G .

41

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1 On peut assez facilement calculer les coecients λm de (X−α) m : A(α)

A 1) posons F = (X−α) m Q avec A(α) 6= 0 et Q(α) 6= 0 alors λm = Q(α) . 2) On peut aussi écrire λm = limx→α (x − α)m F˜ (x) . A 3) Posons F = B avec A(α) 6= 0 alors

λ=

m!A(α) . B (m) (α)

Pm−1 λk λ 4)une fois λm calculé on peut écrire H = F − (X−α) m = k=1 (X−α)k +G . on est alors en mesure λm−1 ect. . . . cette méthode est cependant très lourde  si m est grand ansi pour de grandes valeurs de m λ A(α) 6= 0 avec on revient à F = m Q(α) 6= 0 (X−α) Q Pm λk A Pm = k=1 λk (X − α)m−k + (X − α)m G. L'égalité F = k=1 (X−α)k +G devient : B la substitution qui consiste à remplacer X par X + α donne alors : A(α + X) = (λm + λm−1 X+, . . . , +λ1 X m−1 )Q(α + X) + X m G(X + α) on peut alors calculer successivement λm , λm−1 , . . . , λ1 par une méthode de division suivant les puissances croissantes du polynôme A(α + X) par le polynôme Q(α + X) .  Exemples : Voir la paragraphe de la décomposition en élements simples .

3.2 Décomposition en éléments simples dans R[X] et dans C[X]

1.

Décomposition en éléments simples dans R[X] et dans C[X]

.

 Propsition 1 : (Décomposition en éléments simples sur C(X)) A Soit F = B ∈ C(X) et soient α1 , . . . , αp les pôles distincts de F avec multiplicités r1 , . . . , rp . Pk P λk,j alors F s'écrit de manière unique sous la forme : F = E + pk=1 ( rj=1 (X−αk )j ) . Pk λk,j Où E est la partie entière de F et λk,j ∈ C alors que rj=1 (X−αk )j est la partie polaire associée au pôles αk . Cette écriture est appelée de F dans C(X) . Preuve : L'existence de E s'obtient par division euclidienne de A par B , et l'unicité vient facilement avec des considérations de degré. Au passage , on note que si E 6= 0 , son degré est celui de F . Pour le reste , on peut raisonner par récurrence sur le nombre de pôles et , pour un pôle donné, " faire descendre l'ordre de multiplicité " en multipliant F par (X − αi ) .

décomposition en éléments simples

 Remarques : λk,j • les élément (X−α j sont appelées , élément simples de première espèce . k) c

+d

k,j k,j • les élément (X 2 −b j sont appelées , élément simples de seconde espèce . k X+ck )

42

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PratiqueP de la décomposition dans C(X) .

Soit F = Q une fraction rationnelle à coecients dans C. Dans C[X] tous les polynômes sont scindés (c'est-à-dire il admet tant de racine que son degré voir chapitre II) et Q s'écrivant sous la form Q(X) = (X − a)α (X − b)β . . . (X − l)γ on a la décomposition théorique :

a1 a2 lγ aα b1 P =E+ + +, . . . , + +, . . . , + + 2 α Q X − a (X − a) (X − a) X −b (X − l)γ (il n'y a que des éléments de première espèce). La décomposition s'eectue donc de la manière suivante : • Première étape : déterminer la partie entière de la fraction. • Deuxième étape : décomposer si nécessaire le dénominateur en facteurs irréductibles , et écrire la forme de la décomposition , puis déterminer les coecients .  Exemple : Décomposer dans C(X) , la fraction rationnelle A(X) =

X 4 +1 . X 3 −1

on a deg(X 4 + 1) > deg(X 3 − 1) donc La partie entière E(A) de A n'est pas nulle et par division euclidien on a E(A) = X . puis on a (X 3 − 1) = (X − 1)(X − j)(X − j 2 ) alors suite à cette factorisation , on conclut que A se décompose sous la forme

A(X) = X+

a X−1

b c ¯ ¯, b = ¯b + X−j + X−j 2 . En écrivant A = A , on a a = a

et c = c¯ Puis on multiplie A par (X − 1) ; on obtient : X 4 +1 b c X(X − 1) + a+ (X − 1) 2 X−j (X−j)(X−j) X−j 2

=

(

+

)

En posant X = 1 on trouve donc a = 32 , de même la multiplication par (X − j) ¯ −1 donne b = −1 3 et donc c = b = 3 D'où la décomposition de A :

A(X) = X+ 13

2 1 1 ( X−1 − X−j − X−j 2)

 Exercice d'application : Décomposer dans C(X) , la fraction rationnelle B(X) = réponse : B(X) =

1 X+1

4

. (X 2 −1)2

1 1 1 + (X+1) 2 − X−1 + (X−1)2 à vérier ! .

 Proposition 2 : ( Décomposition dans R(X)) A Soit F = B ∈ R(X) sous forme . Q Qp irréductible p rk 2 sk Soit B = λ k=1 (X − αk ) la factorisation de B dans R[X] k=1 (X + bk X + ck ) . alors la fraction rationnelle F es'écrit de manière unique sous la forme λk,j ck,j +dk,j P Pk Pp Psk F = E + pk=1 rj=1 + k=1 j=1 (X−αk )j (X 2 +bk X+ck )j  Remarques : λk,j • les fractions sont appelées éléments simples de première espèce . (X−αk )j

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• les fractions 

ck,j +dk,j sont appelées éléments simples de seconde espèce . (X 2 +bk X+ck )j

Pratique de la décomposition dans R(X) .

Toutes les méthodes vues précédemment (dans " Pratique de la décomposition dans C(X)") s'appliquent encore dans le cas d'une décomposition sur R . Mais il apparait cette fois ci dans la décomposition théorique des éléments simples de deuxième espèce . Il y a donc ici une autre étape, consistant à déterminer les coecients ck,j et dk,j ci-dessus .

 Exemple : Décomposer dans R(X) , la fraction rationnelle : D(X) =

X 3 +1 . X(X−1)(X 2 +1)2

Le dénominateur ici est déjà factorisé et deg(X 3 +1 )= 3 et deg(X(X −1)(X 2 +1)2 )= deg(X )+deg((X − 1))+deg((X 2 + 1)2 )= 6 la fraction D a P = 0 comme partie en-

a

+

b

+ cX+d +

eX+f

tière la décomposition théorique est D(X) = X X−1 X 2 +1 (X+1)2 . En multipliant D par (X 2 + 1)2 et en faisant X = i , on obtient e et f . En faisant passer dans le 1er membre, on obtient une fraction dont le énominateur est X(X − 1)(X 2 + 1) . Il sut alors par exemple d'utiliser la multiplication par X 2 + 1 et de faire de nouveau X = i pour ne plus avoir que des éléments de première espèce, dont on peut déterminer les coecients avec une des méthodes vues plus haut, ou encore en multipliant les deux membres de l'égalité par X , et en faisant tendre X vers +∞. Finalement, on obtient donc :

D(X) =

−1 X

1 X−1 X + 2(X−1) + 2(X 2 +1) + (X+1)2

 Exercice d'application : Décomposer dans C(X) , la fraction rationnelle 2X 7 +X 6 −X 3 +3 . F (X) = (X 2 +X+1)3 On eectue la division euclidienne de A par B , puis du quotient par B et on réitère l'opération .F (X) = 2X − 5+ à vérier ! . 

3X+10 X 2 +X+1

Récapitulatif des méthodes utilisées

2X+3 + (X−7X−5 2 +X+1)2 + (X 2 +X+1)3

. Pour décomposer sur R une fraction rationnelle irréductible , de partie entière nulle , on peut : 1. Siaest un pôle d'ordre k de la fraction, multiplier par (Xa)k et remplacer X par a 2. Multiplier par (X 2 + pX + q) et remplacer X par une racine complexe du trinôme (X 2 + pX + q) . 3. Des considérations de parité donnent des relations entre certains coecients . 4. Faire passer certains termes connus dans l'autre membre et réduire . 5. Méthode des divisions euclidiennes successives . 6. Remplacer X par un réel ou un complexe xé diérent des pôles .

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7. Faire tendre X vers l'inni (limite), aprés avoir éventuellement multiplié par un facteur approprié . par la consédération des fonctions rationnelles associés aux fractions . L'emploi des méthodes suivantes est également possible , mais fortement déconseillé : 8∗. Faire la décomposition sur C et regrouper les termes conjugués . 9∗. Méethode des coecients indéterminés (pôles compliqués) : il est toujours possible d'identier les coecients de la décomposition théorique en réduisant au même dénominateur . Pour bien comprendre voici une liste des exemples classiques ou représentatifes de décomposition en éléments simples . 

Exemples de références 1.

Décomposer F = PP où P est un polynôme scindé 0

.

soit P un polynôme scindé de K[X] . Si P = (X − α)m Q avec Q(α) 6= 0 alors P 0 = (X − α)m−1 (mQ + (X − α)Q0 ) . Q0

0

m m On en déduit que PP = X−α + Q . ainsi X−α est la partie polaire de F pour le pôle α . Conclusion : Soient α1 , . . . , αr les racines distincts de P de multiplicité m1 , . . . , mr 0 P mk . alors on a : PP = rk=1 X−α 2.

Décomposer F 

dans C(X) .

k

= X n1−1

A=1 A Ici F = B avec , les pôles simples sont les racine n − ième B = Xn − 1 l'unité c'est-à-dire de 1 . ωk 1 A(ω ) ∀k ∈ {0, . . . , n − 1} on a : B 0 (ωk ) = n−1 k n . n(ωk ) La décomposition simples de F s'écrit : donc P en éléments ωk F = X n1−1 = n1 n−1 K=1 X−ω

ωk de

=

k

3.

Décomposer F = X 1−1 dans R(X) . 2n

On utilise la décomposition dans C(X) et regroupe deux-à-deux les termes conjuguées . Les racine 2n − ième ωk de l'unité sont ωk = ∀k ∈ {0, . . . , n − 1} ω2n−k = ω¯k . Ainsi on utilise se qui préssède ;

1

X 2n −1 1 2n X −1 4.

exp(ikπ) avec n

=

1 2n(X−1)

1 1P − 2n(X+1) + 2n

=

1 2n(X−1)

1 − 2n(X+1) +

n−1 k=1

Décomposer F = (X 1−1) dans C(X) n

0 ≤ k ≤ 2n − 1 .

ωk ( X−ω

ω¯k + X− ω¯ ) .

k kπ 1 Pn−1 X cos( n )−1 2n k=1 X 2 −2X cos( kπ )+1 . n

2

les pôles , tous doubles sont les racine n − ième ωk de l'unité . Le mieux est de procéder par dérivation de la décomposition de G = X n1−1 .

45

Cours d'Algébre II 1 X n −1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

=

BOUHER RASHID 1 n

Pn−1 ωk

nX n−1 (X n −1)2

⇒

=

ωk 1 Pn−1 n k=0 (X−ωk )2

k=0 X−ωk nX n 1 Pn−1 ωk X (X n −1)2 = n k=0 (X−ωk )2 . n(X n −1+1) 1 Pn−1 ωk (X−ωk +ωk ) = . n 2 (X −1) n k=0 (X−ωk )2 P Pn−1 ωk2 n−1 ωk 1 1 1 − = + n n 2 2 k=0 X−ωk k=0 (X−ωk )2 . X −1 (X −1) n P P ωk2 n−1 ωk n−1 1 1−n 1 = + n 2 2 2 k=0 k=0 (X −1) n X−ωk n (X−ωk )2 .

1 dans R(X) Décomposer F = X(X+1)(X+2)(X+3),...(X+n)

. les pôles sont : −1, −2, −3, . . . , −n ils son tous simples . la forme de la décomposition λk P est F = nk=1 Xk +k λk s'obtient en multipliant F par (Xk + k) et en substituant −k à Q X . On trouveQ : 1 1 Qn 1 λk = k6=0 −k+j = k−1 j=0 j−k j=j+k j−k Q Q (−1)k (−1)k k 1 = (−1)k ki=1 1i n−k = = i=1 i k!(k−1)! n! Cn 5.

1 Conclusion : F = X(X+1)(X+2)(X+3),...(X+n) 6.

=

1 n!

(−1)k k k=0 X+k Cn

Pn

Décomposer F = X (X1 −1) dans R(X) 3

2

Les pôles sont : 0 (triple) , 1 (simple) et −1 simple . Comme dans les exemples vues la partie entière est nulle la forme de la décomposic d e tion donc est F = Xa3 + Xb2 + X + X−1 + X+1 . L'mparité de F donne immédiatement b = 0 et e = d . On trouve a en multipliant par X 3 et on substituant 0 à X ce qu donne a = −1 . De mme  on trouve d = e en multipliant par X − 1 et on substituant 1 à X ce qu donne d = e = + 21 . c 1 1 À ce stade on a F = X 3 (X12 −1) = − X13 + X + 2(X−1) + 2(X+1) si on utilise la méthode : limx→∞ xF (x) , on trouve 0 = c + 1 1 1 1 Finalement F =− X13 − X + 2(X−1) + 2(X+1) . 7.

1 Décomposer F = X(X +1)(X +X+1)(X −X+1) dans R(X) 2

2

2

.

f X+j

a bX+c dX+e La décomposition est de la forme : F = X +X 2 +1 + X 2 +X+1 + X 2 −X+1 . L'mparité de F donne immédiatement c = 0, j = −e, f = d . a dX+e dX−e On cherche a, b, det e tel que F = X + XbX 2 +1 + X 2 +X+1 + X 2 −X+1 . On trouve a en multipliant par X et on substituant 0 à X , donc a = 1 . On trouve b en multipliant par X 2 + 1 et on substituant i à X 2 + 1 , donc b = −1 . On trouve d, e en multipliant par X 2 + X + 1 et on substituant j à X 2 + X + 1 , donc d = 0 et e =+ 21 . 1 1 1 Finalement F = X − XX 2 +1 + 2(X 2 +X+1) − 2(X 2 −X+1) . 8.

X Décomposer F = (X−1) dans R(X) 5

4

On a : X 5 = (X −1+1)5 = (X −1)5 +5(X −1)4 +10(X −1)3 +10(X −1)2 +5(X −1)+1. 10 10 5 1 On en déduit que F = X + 4+ X−1 + (X−1) 2 + (X−1)3 + (X−1)4 .

46

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9.

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X dans R(X) Décomposer F = (X −X+1) 8

2

3

.

Par des divisions successive par B = X − X + 1 . • X 8 = Q1 B + R1 , avec Q1 = X 6 + X 5 − X 3 − X 2 + 1 et R1 = X − 1. • Q1 = Q2 B + R2 avec Q2 = X 4 + 2X 3 + X 2 − 2X − 4 et R2 = −2X + 5 . • Q2 = Q3 B + R3 avec Q3 = X 2 + 3X + 3 et R3 = −2X − 7 . 8 R3 R2 R1 Ainsi X 8 = R1 + R2 B + R3 B 2 + Q3 B 3 puis F = X 3 B = Q3 + B + B + B . 2

2

X8 = (X 2 −X+1) 3

+ 3− X2X+7 2 −X+1

Finalement F = X + 3X − .  Exercice d'application . Décomposer en ééments simples les fractions suivantes : 2 +X+1 • A(X) = X 21−1 . • E(X) = (XX 2 +1)(X 2 −1) . 2

X+1 • B(X) = X 31−1 . • F (X) = (X 2 +X+1)(X 2 −X+1) . 2

X+1 2X +1 • C(X) = (X−1) 2 . • G(X) = (X 2 +1)3 (X 2 −X+1) . 2

2

X +1 X +1 • D(X) = (X−1) 7 . • H(X) = X 4 +X 2 +1 .

47

2X−5 (X 2 −X+1)2

3

− (X 2X−1 −X+1)3

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3.3 exos corrigées

Exercices du chapitre III Exercice 1 . ) Eectuer la décompsition en éléments simples sur R(X) des fractions rationnelles suivantes :

I

2+2X+5 2+1 X X 1 1) 2 2) 3) (X−1)(X−2)(X−3) X −3X+2 X(X−1)2 3+3X 2−5 2 3X−1 6X X 4) 5) 6) X 2(X+1)2 X 4−1 (X 2+1)2015

II ) Eectuer la décompsition en éléments simples sur C(X) des fractions rationnelles suivantes :

3 4 1 3) 2) (X 2+1)2 X 4+X 2+1 (X 3−1)2 2+3X+5 2+1 1 X X 4) 5) 6) X 6+1 X 2−3X+2 X(X−1)4(X 2−2)2

1)

Exercice 2 . Décomposer en éléments simples dans C(X) les fractions rationnelles suivantes :

1)

1

X n−1

1 (X−1)(X n−1) n! 3) (X−1)(X−2)...(X−n) 2 X 4) X 4−2X 2 cos(2a)+1 1 5) X 2n+1

2)

Exercice 3 . a) Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle F tel que F 2 = X . 1 b) Montrer qu'il n'existe pas de F ∈ C(X) tel que F 0 = X . Exercice 4 . soient p, q ∈ N∗ prmiers entre eux . Déterminer les racines et les pôles de :

F (X) = en précisant les multiplicités respictives . 48

Xp − 1 Xq − 1

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Exercice 5 . Soit :

1

F (X) =

1)3 (X

(X − + 1)3 1. Quelle relation entre la partie polaire de F en 1 et celle en −1 . 2. Former la décomposition en éléments simples de la fraction F . 3. En déduire un couple (U, V ) ∈ R[X]2 tel que (X + 1)3 U + (X − 1)3 V = 1 Exercice 6 . Soit :

1 X(X − 1) a) Donner la décompsition en éléments simples de F b) En déduire une simplication pour n ≥ 1 de : F (X) =

n X k=1

1 k(k + 1)

c) procéder de même pour calculer : n X k=1

Exercice 7 . Exprimer la dérivée d'ordre n de :

1 )(n) = indication : ( ( X−a

1 k(k + 1)(k + 2)

1 X(X 2 + 1)

(−1)n n! ) (X−a)n+1

Exercice 8 . calculer la dérivée neme de :

X2

1 +1

Exercice 9 . Soit :

1 ∈ C(X) +1 a ) En réalisant la décomposition en éléments simples de F exprimer F (n) b ) Montrer qu'il existe Pn ∈ R[X] tel que F (X) =

X2

F (n) =

(X 2

Pn + 1)n+1

c ) Déterminer les racines de Pn . Exercice 10 . Facultatif Décomposer en éléments simples sur R(X) puis C(X) la fraction :

G=

49

X5 (X 4 − 1)2

Pour la correction des exos visitez votre page facebook : https://www.facebook.com/groups/etudiantssmia/

Deuxième partie méthodologie (méthodes et astuces à retenir )

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liens utils :

voici deux liens vers les cours des plynômes et les groupes sur un serveur : 1. https ://www.youtube.com/watch ?v=dDKI3jkMjfw 2. https ://www.youtube.com/results ?search_query=groupes+ et voici un lien vers la page ociell (SMA-SMI) : 3. https ://www.facebook.com/groups/etudiantssmia/ ce dernier lien est forttement conseilé car il représente une page dont vous trouvez , l'orientation , des cours , des TDs des exemples d'examen corrigés , exercices corrigés , conseilles ....

Méthodologie : astuces et méthodes à retenir : - Pour montrer qu'une loi interne est commutative, ou est associative , ou admet un neutre , ou que certains éléments admettent un symétrique , revenir à la dénition . - Pour montrer qu'un ensemble E muni d'une loi ∗ est un groupe Ne pas oublier de montrer que ∗ est interne dans E . - Si la loi ∗ n'est pas une loi usuelle, revenir à la dénition d'un groupe : montrer que ∗ est associative , que E admet un neutre pour ∗ , et que tout élément de E admet un symétrique pour ∗ . Si la loi ∗ est une loi usuelle , essayer de montrer que (E, ∗) est un sous-groupe d'un groupe usuel (G, ∗) : Montrer que E ⊂ G , que le neutre de (G, ∗) est dans E , que pour tout (x, y) ∈ E 2 x ∗ y ∈ E , et que, pour tout x ∈ E , le symétrique x−1 de x dans G est dans E . - Essayer de trouver un isomorphisme de (E, ∗) sur un groupe connu, ou un morphisme d'un groupe connu sur (E, ∗) Pour montrer qu'une application est un morphisme de groupes Revenir à la dénition . Pour montrer que deux groupes sont isomorphes . Trouver un isomorphisme de l'un des deux groupes sur l'autre . . Il est souvent plus facile de montrer qu'un ensemble muni d'une loi interne est un groupe en montrant qu'il est un sous-groupe d'un groupe connu . . Pour prouver l'injectivité d'un morphisme de groupes f : G → G0 , on commence la démonstration par : " Soit x ∈ G tel que f (x) = e0 " et on montre que x = e . . Il est souvent plus facile de montrer qu'un triplet (A, +, ×) est un anneau en montrant qu'il est un sous anneau d'un anneau connu . . Il est souvent plus facile de montrer qu'un triplet (K, +×) est un corps en montrant qu'il est un sous-corps d'un corps connu . . Attention aux confusions de notations entre polynômes et fonctions polynômes. Lorsqu'on écrit une fonction polynôme P , on doit toujours faire précéder l'écriture de P (x) d'un quanticateur ( x peut alors prendre toutes les valeurs de R ou de C) . Lorsqu'on écrit un polynôme P , les écritures P et P (X) sont indiérentes et ne doivent pas être précédées de quanticateur , X étant une " indéterminée ". Par exemple , les notations X pour le polynôme P1 déni par P1 (x) = x ou encore les notations du type X = 1 pour P1 (x) = 1 ont à éviter .

Sous-groupes en pratique

Injectivité et morphisme de groupes Sous-anneaux en pratique

Sous-corps en pratique Polynômes

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Egalité de polynômes

. Pour montrer que deux polynômes de même degré nsont égaux on peut : - Montrer qu'ils ont la même décomposition, c'est-à-dire étudier chaque coecient . - Montrer qu'ils possèdent les mêmes racines avec le même ordre de multiplicité et le même coecient dominant . - Montrer que leur diérence est le polynôme nul . - Montrer qu'ils coincident en un nombre de points strictement supérieur à nou sont g
aux sur un intervalle de R non réduit à un point . Lorsque l'on simplie une égalité du type P Q = RQ par un polynôme Q, on doit s'assurer que Q n'est pas le polynôme nul. . Pour montrer qu'un polynôme est nul , on peut : - Montrer qu'il admet plus de racines que son degré . - Montrer que son degré est inni . - Montrer qu'il s'annule sur un intervalle de R non réduit à un point et admet ainsi une innité de racines . Si le produit de deux polynômes P et Q est nul (ou s'annule sur un intervalle de R non réduit à un point) , alors P = 0 où Q = 0 . Attention , écrire que P 6= 0 ne signie pas que P ne s'annule pas sur R mais que P n'est pas le polynôme nul, c'est-à-dire n'est pas identiquement nul sur R . Tout polynôme périodique de R[X] est constant . . Un nombre a est racine d'un polynôme P si et seulement si P (a) = 0 . Si a est racine de P alors on ∀x , P (x) = (x − a)R(x) avec degR = degP − 1 . Si on a ∀k ≤ p P (k) (a) = 0 alors ∀x , P (x) = (x − a)p R(x) avec degR = degP − p . Si de plus R(a) 6= 0 ,on dit que a est racine de P de multiplicité p . Pour montrer que aest racine d'ordre p de P on peut : - Soit montrer que ∀k ≤ p P (k) (a) = 0 et P (k+1) (a) 6= 0 . - Soit factoriser P en P (x) = (x − a)p R(x) et montrer que R(a) 6= 0 . . Avant d'eectuer la division d'un polynôme P par un polynôme Q sur I , on doit s'assurer que Q ne s'annule pas sur I c'est-à-dire que ∀x ∈ I, Q(x) 6= 0 . - Pour montrer qu'un polynôme A est divisible par un polynôme B , il sut de montrer que toutes les racines de B sont racines de A avec au moins le même ordre de multiplicité . - Pour déterminer le reste de la division suivant les puissances décroissantes d'un polynôme A par un polynôme B de degrén ≥ 1 , on peut envisager les deux méthodes : - on pose la division euclidienne de A par B . - On écrit ∃ ∈ R[X]2 tels que A = BQ + R avec deg(R)≤ n − 1 et on substitue à X des valeurs qui annulent B . Dans le cas où B ne possède que des racines simples, on peut écrire R sous la forme : Pn−1 k R(X) = k=0 λk X et en ¢rivant cette relation pour les di¯entes racines de B , on en déduit un système de n équations linaires à n inconnues dont les (λk ) sont les solutions. On résout ce système et on trouve ainsi le reste de la division suivant les puissances décroissantes de A par B . - Pour factoriser un polynôme réel dans R[X] , on le factorise d'abord dans C[X] puis on regroupe les facteurs comportant des racines complexes non réelles conjuguées deux à deux . Bouher Rashid , Filière : Sciences mathématiques et applications .

Polynôme nul

Racines des polynômes et factorisation

Division des polynômes

Étudiant à la Faculté Des sciences Agadir

à props de moi :

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