Cours de Mécanique Des Sols Avancée - 20210204 [PDF]

Zitiervorschau

REPUBLIQUE DU BENIN --------------MINISTERE DE L´ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE (MESRS) ---------------UNIVERSITÉ NATIONALE DES SCIENCES, TECHNOLIGIES, INGÉNIERIE ET MATHEMATIQUES (UNSTIM) ---------------CENTRE UNIVERSITAIRE D’ABOMEY ----------------ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES TRAVAUX PUBLICS (ENSTP) --------------------------------------------------------------------------

COURS DE MECANIQUE DES SOLS AVANCEE (R01 du 04.01.2021)

Cycle d´Ingénieur de Conception Géotechniques

Nom de l´Étudiant (e):

Nom de l´Enseignant: Dr.-Ing. Marx F. AHLINHAN Maître-Assistant des Universités / CAMES

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

TABLES DES MATIERES

I

TABLES DES MATIERES TABLES DES MATIERES ................................................................................................. I BIBLIOGRAPHIE .............................................................................................................. V 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 1.4 1.4.1 1.4.1.1 1.4.1.2 1.4.2

RAPPEL DE RHEOLOGIE DES SOLS......................................................... 6 Sols et critère d´élasticité ...................................................................................... 6 Rappel de quelques notions .................................................................................. 6 Module drainé et non drainé ................................................................................. 7 Sols et critère de plasticité ..................................................................................... 8 Essais de chargement et charges cycliques ...........................................................14 Comportement sous chargement statique et cyclique ...........................................16 Comportement sous chargement statique ............................................................. 16 Comportement des sables ............................................................................. 16 Comportement des argiles ............................................................................ 17 Comportement sous chargement cyclique ............................................................ 19

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2

2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.6

FONDATIONS ................................................................................................ 22 Généralités .............................................................................................................22 Comportement d´une semelle chargée .................................................................. 23 Méthode générale de justification d´une semelle superficielle ............................. 24 Détermination de la contrainte ultime ...................................................................24 Analyse qualitative de la rupture .......................................................................... 24 Détermination de la charge limite d´une semelle fondée dans un sol drainé à l´aide de la théorie de la plasticité .......................................................... 25 Détermination de la charge limite d´une semelle fondée dans un sol non drainé à l´aide de la théorie de la plasticité.................................................... 28 Estimation des tassements .....................................................................................28 Détermination du tassement par la théorie de l´élasticité ..................................... 29 Détermination du tassement par la méthode d´intégration par tranches .............. 31 Détermination du tassement par la méthode pressiométrique .............................. 31 Tassements admissibles ........................................................................................ 32 Excentricité admissible ou sécurité de basculement .............................................33

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2

FONDATIONS PROFONDES .......................................................................35 Généralités .............................................................................................................35 Pieu soumis à une charge axiale ............................................................................ 35 Mobilisation de la résistance limite de pointe ...................................................... 35 Mobilisation du frottement latéral ........................................................................ 36

2.4.3

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

TABLES DES MATIERES

II

3.2.3 3.2.3.1 3.2.4 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 3.6 3.7

Détermination de la charge limite d´ un pieu isolé ............................................... 36 Groupe de pieux soumis à un effort de compression.................................... 38 Groupe de pieux soumis à un effort de traction.................................................... 40 Pieu soumis à des efforts parasites et divers .........................................................41 Frottement négatif................................................................................................. 41 Fluage latéral d´une couche compressible ............................................................ 42 Pieu soumis à une charge latérale, P-Y courbe .....................................................43 Réaction du sol pour les pieux chargés axialement ...............................................47 Courbes de transfert de charge axiale t-z .............................................................. 47 Courbes de transfert de charge axiale Q-z............................................................. 49

4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.2.1 4.3.2.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8 4.3.9 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.2.1 4.4.2.2 4.4.2.3 4.4.2.4 4.5 4.5.1 4.5.1.1

OUVRAGES DE SOUTÈNEMENTS – POUSSEE -BUTEE ..................... 51 Types d´ouvrages de soutènement ........................................................................ 51 Murs-poids ............................................................................................................ 51 Rideaux (murs encastrés)...................................................................................... 51 Ouvrages de soutènements composites ................................................................ 51 Etats limites ...........................................................................................................52 Poussées des terres ................................................................................................ 52 Etats de sol au repos ............................................................................................. 52 Equilibres limites de poussée et de butée ............................................................. 54 Equilibre de limite de butée .......................................................................... 55 Equilibre limite de poussée........................................................................... 55 Etude d´un cas simple ........................................................................................... 56 Etude de cas général ............................................................................................. 58 Poussée due à la sucharge ..................................................................................... 60 Surface brisée du terrain naturel ........................................................................... 60 Poussée et butée dans l´espace 3D ....................................................................... 61 Distribution de la pression de poussée et de butée ............................................... 62 Frottement sol-écran ............................................................................................. 63 Dimensionnement des Murs-poids ........................................................................ 64 Fonctionnement mécanique .................................................................................. 64 Vérifications de stabilité ....................................................................................... 64 Vérification au poinconnement .................................................................... 65 Vérification au renversement........................................................................ 65 Vérification au glissement ............................................................................ 65 Instabilité générale ou glissement général .................................................... 66 Dimensionnement des Rideaux .............................................................................66 Méthodes classiques ............................................................................................. 66 Méthode de la butée simple .......................................................................... 66

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

TABLES DES MATIERES

III

4.5.1.2 4.5.1.3 4.5.2 4.5.2.1 4.5.2.2

Rideau encastré non ancré en tête................................................................. 67 Rideau encastré ancré en tête........................................................................ 67 Méthodes d´interaction sol-structure .................................................................... 67 Méthode de module de réaction.................................................................... 68 Méthodes des éléments finis ......................................................................... 69

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.2.1 5.2.2.2 5.2.3 5.2.3.1 5.2.3.2 5.2.4 5.2.5 5.2.6

STABILITE DES PENTES ET DES TALUS...............................................70 Introduction ...........................................................................................................70 Talus naturels ........................................................................................................ 70 Talus artificiels ..................................................................................................... 74 Vérification de la stabilité des pentes et du terrain ...............................................74 Concept de justification ........................................................................................ 74 Glissement plan .................................................................................................... 76 Pente infinie .................................................................................................. 76 Pente ou talus de dimensions finies .............................................................. 78 Glissement rotationnel ou circulaire: méthode des tranches ................................ 79 Méthode de tranches de FELLENIUS .......................................................... 81 Méthode de tranches de BISHOP ................................................................. 82 Méthode des éléments finis .................................................................................. 83 Instrumentation : inclinomètre, piézomètre .......................................................... 84 Surveillance : mesurer, analyser, prévenir............................................................ 86

6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.1.1 6.2.1.2 6.2.1.3 6.2.1.4 6.2.1.5 6.2.2 6.2.2.1 6.2.2.2 6.3 6.3.1 6.3.1.1 6.3.1.2

AMELIORATION ET RENFORCEMENT DES SOLS............................. 88 Généralités .............................................................................................................88 Soutènements en sols renforcés.............................................................................88 La terre armée (armatures peu extensibles) .......................................................... 88 Description.................................................................................................... 88 Principe de dimensionnement ....................................................................... 88 Choix et mise en œuvre du remblai .............................................................. 88 Applications des ouvrages en Terre Armée .................................................. 88 Autres procédés de renforcement avec des armatures peu extensibles ........ 88 Clouage des sols ................................................................................................... 89 Description.................................................................................................... 89 Principe de dimensionnement ....................................................................... 89 Renforcement des sols d´assise ............................................................................. 89 Renforcement par inclusions rigides .................................................................... 89 Principe ......................................................................................................... 89 Justification d´un remblai reposant sur des inclusions rigides traversantes ................................................................................................... 89

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

TABLES DES MATIERES

6.3.1.3 6.3.2 6.3.2.1 6.3.2.2 6.3.2.3 6.3.2.4

IV

Justification d´un dallage ou d´un radier souple reposant sur des inclusiond rigides traversantes...................................................................... 89 Collonnes ballastrées et autres inclusions souples ............................................... 89 Description.................................................................................................... 89 Dimensionnement ......................................................................................... 89 Applications .................................................................................................. 90 Contrôle ........................................................................................................ 90

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

BIBLIOGRAPHIE

V

BIBLIOGRAPHIE [1]

PHILIPPONNAT, G. et HUBERT B., Fondations et ouvrages en terre, éditions Eyrolles 2008.

[2]

COSTET, J. et SANGLERAT, Cours pratique de mécanique des sols, calcul des ouvrages tome 2, éditions Bordas 1985.

[3]

DEGOUTTE, G., ROYET, P., Aide mémoire de mécanique des sols, réedition 2009.

[4]

Eurocode 7, EN 1997-1, Geotechnical design, Part 1: General Rules, 2010.

[5]

Eurocode 7, EN 1997-2, Geotechnical design, Part 2: Ground Investigations and testing, 2010.

[6]

API RP 2A-WSD, Recommended Practice for Planning, Designing and Constructiing of Fixed Offshore Platforms - Working Stress Design, 2007.

[7]

Empfehlungen des Arbeitsausschusses Wasserstrassen, EAU, 1996

[8]

BERTHAND, Y., de BUHAN, P., Schmitt, N. Aide-mémoire Mécanique des sols, 3e édition, Dunod 2018

[9]

Dormieux, L., et Bourgeois, E., Introduction à la mécanique des milieux poreux, Presses de l´ENPC, 2002

[10]

C. PLUMELLE, Théorie et pratique de la géotechnique. Edition du Moniteur, Paris, 2013.

[11]

F. SCHLOSSER, Eléments de mécanique des sols. Presse Ponts et Chaussées, Paris 2002.

[12]

H. S. Yu. Plasticity and Geomechanics, Springer Science+Business Media, LLC, USA, 2006.

[13]

Gotschol, A. (2002), Veränderlich elastisches und plastisches Verhalten nichtbindiger Böden und Schotter unter zyklisch-dynamischer Beanspruchung. Schriftenreihe Geotechnik Universität Gh Kassel, Heft 12

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Ufereinfassungen

Haefen

und

6

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

1

Rappel de rhéologie des sols

1.1

Sols et critère d´élasticité

1.1.1

Rappel de quelques notions

En élasticité, le milieu pesant est caractérisé par son poids volumique γ, son module d´élasticité E, son coefficient de Poisson ν et son seuil de plasticité. Le seuil de plasticité délimite le domaine au-delà duquel le niveau de contraintes conduit à des déformations plastiques ; donc, si ce seuil est dépassé, la théorie de l´élasticité ne s´applique plus. La théorie d´élasticité permet donc de déterminer les contraintes et les déformations en chaque point du massif à partir des paramètres cités ci-avant. Pour les problèmes relativement simples, une résolution mathématique est possible à l´aide, par exemple, de la théorie de Boussinesq. L´utilisation des méthodes numériques comme celle des éléments finis, permet de traiter les cas plus complexes. Dans un système d´axes orthonormés, les formules qui relient contraintes et déformations se traduisent par les équations (4-1 à 4-3) selon les conventions de la Figure 1-1 étendues à un système à trois diemensions.

𝜀𝜀𝑥𝑥 =

1 �𝜎𝜎 − ν�𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑧𝑧 ��; 𝐸𝐸 𝑥𝑥

𝜃𝜃𝑦𝑦𝑦𝑦 =

1 ∙ 𝜏𝜏 𝐺𝐺 𝑦𝑦𝑦𝑦

𝜀𝜀𝑦𝑦 =

1 �𝜎𝜎 − ν(𝜎𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝜎𝑥𝑥 )�; 𝐸𝐸 𝑦𝑦

𝜃𝜃𝑧𝑧𝑧𝑧 =

1 ∙ 𝜏𝜏 𝐺𝐺 𝑧𝑧𝑧𝑧

𝜀𝜀𝑧𝑧 =

1 �𝜎𝜎 − ν�𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 ��; 𝐸𝐸 𝑧𝑧

𝜃𝜃𝑥𝑥𝑥𝑥 =

1 ∙ 𝜏𝜏 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥

Eq. 1-1

Eq. 1-2

Eq. 1-3

Le module de cisaillement G est relié au module d´élasticité E et au coefficient de poisson ν par la formule : 𝐺𝐺 =

𝐸𝐸 2(1 + 𝜈𝜈)

Il en découle que G = E/2,6 pour ν = 0,3 et G = E/3 pour ν = 0,5.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

Eq. 1-4

7

1.1.2

Module drainé et non drainé

Dans le chapitre précédent nous avons vu que les déformations dépendent non seulement des charges appliquées mais également du temps (phénomène de consolidation). Ainsi deux modules peuvent être définies en termes de la condition de drainage du sol : •

Le module d´élasticité non drainé Eu associé au coefficient de Poisson non drainé νu. Ce module définit le rapport entre contrainte et déformation lorsque la durée des charges est suffisamment brève, eu égard à la perméabilité des sols et aux conditions de drainage, de sorte que le phénomène de consolidation n´ait pas le temps de s´établir.

•

Le module d´élasticité drainé E´ associé au coefficient de Poisson non drainé ν´. Ce module est utilisé lorsque les charges ont une durée d´application suffisante pour que la consolidation ait le temps de se réaliser entièrement. Dans les sols très perméables le module drainé E´ s´applique aussi pour des chargements de courte durée.

Afin de fixer les idées, nous indiquons ci-après des ordres de grandeur des modules d´élasticité pour différentes catégories de sol ainsi que les valeurs couramment adoptées pour le coefficient de Poisson.

E´ (MPa)

Eu (MPa)

Argile

2 à 30

4 à 50

Sable

10 à 100

n´a pas de sens, le sable étant drainant

Grave compactée

E=150 à 500 MPa

Roche tendre

E=500 à 10000 MPa (il n´y a pas de distinction entre E´et Eu du fait de cimentation des grains

Tableau 1-1: Ordre de grandeur des modules drainés et non-drainés des types de sol Les valeurs habituellement retenues pour le coefficient de Poisson sont : νu.= 0,5 si les sols sont saturés (déformation à volume constant), νu.= ν´= 0,3 dans les autres cas. Une application de la théorie d´élasticité est par exemple le calcul des tassements.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

8

Figure 1-1: Definition des contraintes

1.2

Sols et critère de plasticité

Tout comme de nombreux matériaux les sols manifestent un comportement plastique dès qu´ils sollicités au-delà d´un certain seuil. La formulation d´un tel comportement repose sur l´introduction de deux notions : celle de critère plastique d´une part, et de règle d´écoulement plastique d´autre part.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

9

Figure 1-2: Domaines d´élasticité initiale et actuelle L'interprétation des essais expérimentaux réalisés sur des éprouvettes permet de mettre en évidence l'existence d'un domaine d'élasticité initial (généralement convexe) d´un sol, dans l'espace des contraintes (Figure 1-2). Ce domaine C(0) est tel qu'au terme de tout cycle de chargement, représenté par une courbe fermée (telle que (1) sur la Figure 1-2) contenue dans le domaine, n'apparaît aucune déformation plastique. A l'inverse, le suivi d'un trajet de chargement tel que (2), au cours duquel le seuil d'élasticité représenté par la frontière de C(0) est franchi, va engendrer des déformations plastiques. Il en résulte également une modification du domaine d'élasticité, appelé domaine d'élasticité actuel C(E) manifestation de l´écrouissage du matériau, symbolisé par E. Il est alors commode de caractériser ces domaines par la donnée d’une fonction de charge, notée f (σ, E), telle que, pour un état d’écrouissage donné E

𝑓𝑓(𝜎𝜎, 𝐸𝐸) < 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 à 𝑙𝑙´𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶(𝐸𝐸)

𝑓𝑓(𝜎𝜎, 𝐸𝐸) = 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠é à 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓è𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶(𝐸𝐸)

Eq. 1-5

𝑓𝑓(𝜎𝜎, 𝐸𝐸) > 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 à 𝑙𝑙´𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶(𝐸𝐸)

On observera que la seule situation physiquement possible correspond à f (σ, E) ≤ 0, c’est-àdire que le point représentatif de l’état de contrainte ne peut jamais être extérieur au domaine d’élasticité actuel. Ainsi, la portion AB du trajet de chargement 2 correspond au franchissement de la frontière du domaine C(0) ( f (σ, E =0 ) > 0), mais à l' «entrainement» de la frontière du domaine actuel C(E) (f (σ ,E) = 0), les paramètres d'écrouissage E évoluant avec s dans cette phase de «charge plastique». On utilise fréquemment dans les calculs de simulation deux modèles simplifiés d’écrouissage : Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

10

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

•

Celui de l’écrouissage "isotrope" (Figure 1-3-a) dans lequel le domaine C(E) est obtenu par homothétie de centre l’origine et de rapport λ(E ) ≥ 1 à partir du domaine initial. On peut alors adopter comme fonction de charge : 𝑓𝑓(𝜎𝜎, 𝐸𝐸) = 𝑓𝑓0 (λ−1 (𝐸𝐸)𝜎𝜎)

•

Eq. 1-6

Celui de l'écrouissage "cinématique" (Figure 1-3-b) où le domaine actuel est obtenu par translation d'une quantité (E) du domaine initial, ce dont il est possible de rendre compte par la fonction de charge :

𝑓𝑓(𝜎𝜎, 𝐸𝐸) = 𝑓𝑓0 (𝜎𝜎 − 𝛼𝛼(𝐸𝐸))

Eq. 1-7

A un domaine d'élasticité actuel C(E) donné, correspond une infinité de choix possibles pour la fonction de charge, qui respecte les conditions de l´équation Eq. 1-5. Il conviendra alors de vérifier que la formulation de la loi de comportement est indépendante du choix effectué. Le critère de plasticité de Mohr-Coulomb fournit l´exemple d´un critère isotrope utilisé classiquement pour les sols et est exprimé par la relation suivante :

𝑓𝑓(𝜎𝜎) = (𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎3 ) + (𝜎𝜎1 + 𝜎𝜎3 ) ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 2𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≤ 0

Eq. 1-8

Où σ1 et σ3 désignent respectivement les contraintes principales majeure et mineure, c la cohésion du sol et φ l´angle de frottement interne du sol, dont la valeur peut dépendre des paramètres d´écrouissage E. Le critère de Tresca correspond au cas où l´angle de frottement interne est nul. Il existe également d´autres critères de plasticité tels que : le critère de von Mises, le critère de Cam-clay. Le cas de la plasticité parfaite correspond à la situation où le domaine d'élasticité est fixe, de sorte qu'il n'y a plus lieu de distinguer les domaines d'élasticité initial et actuel. La fonction de charge n'est plus alors argumentée par des paramètres d'écrouissage. La Figure 1-3 montre le diagramme « contrainte-déformation » obtenu à la suite due chargement de compression uniaxiale d´un matériau de sol. Elle caractérise le comportement local du matériau sous sollicitation uniaxiale de compression. La valeur de la déformation Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

11

correspondant à l'allongement résiduel consécutif au cycle charge-décharge, s'appelle la déformation plastique, notée εp. La notion centrale caractérisant le comportement plastique d'un matériau est celle d'irréversibilité et non pas celle de non-linéarité, même si les deux notions coïncident dans le cas où l'élasticité du matériau est linéaire dans le cadre de la transformation infinitésimale. La mise en évidence de cette irréversibilité nécessite l'application d'un cycle charge-décharge, seul à même de faire apparaître une déformation plastique au terme de ce cycle. La Figure 1-5 montre la différence essentielle existant entre un modèle élastique non linéaire et un modèle élastoplastique, en dépit de la similitude des courbes de première charge. Un cas particulier important de comportement élastoplastique est celui du matériau élastique parfaitement plastique pour lequel la courbe contrainte-déformation comporte un p alierhorizontal. La Figure 1-6 donne une représentation schématique d'un tel comportement pour lequel le seuil d'élasticité σ0 demeure constant, c'est-à-dire que l’écrouissage du matériau disparaît. Ce modèle idéal du matériau élastoplastique parfait est souvent associé à la notion de ductilité, par opposition à celle de fragilité qui évoque l'idée de rupture brutale de l'élément de matière lorsque le seuil d'élasticité est atteint. Le comportement de Mohr-Coulomb présente un comportement élastique parfaitement plastique sans écrouissage. Il a une grande utilisation dans la géotechnique vu les résultats obtenus dans les calculs. Dans le plan de Mohr, la droite intrinsèque est représentée par : τ=

σn tanφ + c, où σn et τ sont respectivement les contraintes normales et de cisaillement, et c et φ respectivement la cohésion et l’angle de frottement interne du matériau (Figure 1-7). Le critère de Coulomb à trois dimensions suppose que la contrainte intermédiaire n’intervient pas. La forme du critère est celle d’une pyramide irrégulière construite autour de la trisectrice (Figure 1-8) sur l’hexagone irrégulier de Mohr-Coulomb.

Figure 1-3: Modèles d´écrouissage isotrope et cinématique Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

12

Figure 1-4: Diagramme σ-ε pour un matériau élastoplastique avec écrouissage

Figure 1-5: Courbe σ-ε représentatives des comportements (a) élastique non-linéaire et (b) élastoplastique

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

13

Figure 1-6: Schéma de comportement élastoplastique parfait

Figure 1-7: Courbe intrinsèque du modéle de Mohr-Coulomb

Figure 1-8: Pyramide de Mohr-Coulomb dans l´espace des contraintes principales pour c=0. Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

14

Il existe d´autres modèles de sol tels que : von Mises, Tresca, Soft Clay, CamClay, Hardening Soil, Hardening Soil Small Strain, etc…

1.3

Essais de chargement et charges cycliques

Les essais de chargement permettent de déterminer le comportement et les caractéristiques mécaniques du sol. Nous distinguons les essais de chargement au laboratoire et les essais de chargement in-situ. Types d´essai Essai oedométrique Essai de cisaillement rectiligne

Caractéristiques mécaniques Essais de chargement Module Oedométrique Eoed au laboratoire Angle de frottement interne φ Cohésion c Essai de cisaillement triaxial Angle de frottement interne φ Cohésion c, Module d´élasticité E Essais de chargement Essai de charge d´une fondation Capacité de portante réelle de la in-Situ superficielle ou d´une fondation fondation in situ profonde Tabelle 1-1: Type d´essai de chargement et caractéristiques mécaniques Le chargement appliqué à l´échantillon ou à l´ouvrage géotechnique peut être statique ou cyclique suivant l´environnement dans lequel l´ouvrage géotechnique est destiné. La charge cyclique est définie comme un type de charge répétée qui présente une certaine régularité tant dans son ampleur que dans sa fréquence. Le chargement produit par les machines fabriquées par l´homme, est souvent régulier et peut être décrit par exemple par une onde sinusoïdale (Figure 1-9b). Pour que les données obtenues à partir du chargement cyclique naturel soient utiles aux ingénieurs (Figure 1-9a), le chargement cyclique naturel doit être simplifié pour passer d'une forme d'onde irrégulière à une forme d'onde régulière avec une période et une amplitude constantes (Figure 1-9b). La période et l'amplitude constantes doivent être identiques à celles de la forme d'onde naturelle. Ces deux paramètres sont traduits par σ et N, où σ est l'amplitude de la contrainte cyclique et N le nombre de cycles.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

15

Figure 1-9: a) Contrainte cyclique irrégulière (aléatoire) b) contrainte cycle répétées (régulière) On distingue deux types de chargement cyclique du point de vue origine: • •

Les contraintes cycliques naturelles (action du vent, des vagues, etc.) qui induisent de contraintes cycliques irrégulières et aléatoires très complexes. Les contraintes répétées des tests de laboratoire qui sont régulières. La charge cyclique induite par une machine (produite par l'homme) est obtenue par l´entrée de valeurs. Le cycle de contrainte est généralement de forme sinusoïdale (Figure 1-9b) et peut être décrit par l'ensemble de valeurs suivant : - Contrainte cyclique maximale σmax Contrainte cyclique minimale σmin - Contrainte cyclique σcyc =σmax - σmin – Contrainte cyclique moyenne σm = (σmax + σmin)/2 - Amplitude de la contrainte cyclique σa = (σmax - σmin)/2 - Fréquence f - Nombre de cycles appliqués n - Nombre de cycles jusqu'à la rupture N. La direction, le signe et le type de la charge cyclique jouent un rôle crucial dans l'évaluation de la fatigue ou de l´accumulation de la déformation plastique. Le type de charge cyclique peut modifier de manière significative la durée de vie en fatigue, en particulier pour les matériaux non homogènes (par exemple le béton et les roches). Ces paramètres sont également très importants pour la préparation des tests de laboratoire et pour le choix ou le développement d'un modèle correct du comportement de perte de résistance.

Tableau 1-2 présente la classification approximative des sollicitations répétées du sol d´après Gotschol (2002) Sollicitations répétées du sol Fréquence Inertie Accumulation déformation

Cyclique 0 à 1 Hz Non (négligeable) de Principalement plastique

Cyclique / Dynamique dynamique 1 à 10 Hz >10 Hz Oui (significatif) Oui significatif) Plastique et elastique Principalement élastique

Tableau 1-2: Classification approximative des sollicitations répétées du sol d´après Gotschol (2002) [13] Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

1.4

Comportement sous chargement statique et cyclique

1.4.1

Comportement sous chargement statique

1.4.1.1

Comportement des sables

16

Les courbes de contrainte-déformation obtenues au cours des essais drainés de cisaillement rectiligne ou triaxiaux ont généralement l´une des deux allures de la figure 5.26. L´ordonnée de la Figure 1-10 représente la contrainte de cisaillement τ mesurée au cours d´un essai de cissaillement consolidé lent ou le déviateur σ1-σ3 mesuré au cours d´un essai triaxial consolidé drainé. Pour les deux types d´essai précédents, l´ordonnée de la Figure 1-11 représente respectivement la variation d´épaisseur relative δh/h et la déformation volumétrique εv.

Figure 1-10: Courbes cisaillement-déformation d´un sable

Figure 1-11: Courbes de variation de volume-déformation d´un sable Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

17

La courbe I, d´allure monotone, correpond à des sables lâches qui se densifient pendant le cisaillement (sols contractants), jusqu´à atteindre au voisinage de la surface de rupture, un certain poids volumique dit poids volumique critique, également traduit par un indice des vides critiques. Les essais réalisés sur les sables denses qui se décompactent pendant le cisaillement (sols dilatants) conduisent à des courbes ayant l´allure de la courbe II. Deux résistances aux cisaillement sont alors distinguées: une résistance maximale, dite résistance de pic et une résistance sous grande déformation, dite résistance á l´état critique. Pour les sables lâches, ces deux résistances se confondent. Si le poids volumique initial du sable correspond à celui de l´état critique, l´essai se fait à volume constant. Sous grande déformation, la même résistance critique est obtenue quelle que soit la compacité initiale ; c´est celle qui correspond à l´état critique. 1.4.1.2

Comportement des argiles

Les courbes contrainte-déformation obtenues au cours des essais triaxiaux ont généralement l´une des allures de la Figure 1-12. Les essais de cisaillement rectiligne conduisent à des courbes d´allure similaire.

Figure 1-12: Courbes cisaillement-déformation d´une argile

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

18

Figure 1-13: Courbes de variation de pression interstitielle-déformation d´une argile L´ordonnée de la Figure 1-13 représente la variation de la pression interstitielle u, mesurées au cours d´un essai triaxial avec mesure de la pression interstitielle, en fonction de la déformation axiale ε1. Le comportement des argiles est voisin de celui des sables. Selon que l´argile est surconsolidée ou non, le cisaillement intervient sous une contrainte moyenne nettement inférieure à la pression de préconsolidation, deux résistances au cisaillement peuvent être distinguées (courbe II). De même que pour les sables denses, elles correspondent à la résistance de pic et à la résistance à l´état critique. Les argiles surconsolidées cisaillées sous contraintes moyennes inférieures à la pression de préconsolidation révèlent une tendance á la dilatance se manifestant par une diminution de u. Dans les autres cas, le omportement est contractant (courbe I) Si des déplacements très importants sont imposés, de l´ordre du décimètre ou plus, la résistance au cisaillement diminue pour atteindre un nouveau palier correspondant à de nouvelles caractéristiques dites résiduelles φr et cr. Ces caractéristiques se mesurent à l´aide d´essais spéciaux dont le courant est l´essai de cisaillement alterné (Norme NF P 94-071-2). D´une manière plus schématique, on peut retenir ce qui suit (Figure 1-14) :

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

19

Figure 1-14: Schématisation des niveaux de résistance au cisaillement • •

•

Les caractéristiques de pic correspondent á l´effort nécessaire pour provoquer la rupture. Les caractéristiques à l´état critique sont mobilisables, après rupture avec contractance ou dilatance du sol, mais sans réarrangement sensible su squelette des grains. Les caractéristiques résiduelles sont celles qui subsistent lorsque le déplacement a provoqué un lissage du plan de rupture, c´est-à-dire une réorientation des grains ou plaquettes d´argile selon ce plan.

Selon les déformations qui peuvent survenir au cours de chaque phénomène étudié, il conviendra de considérer l´une ou l´autre de ces trois caractéristiques. 1.4.2

Comportement sous chargement cyclique

Sous une sollicitation à amplitude de contrainte contrôlée, on distingue trois types de phénomènes, schématisés sur la Figure 1-15, à savoir: • • •

le rochet: la déformation augmente d´une manière continue, conduisant ainsi à des phénomènes de rupture comme îa liquéfaction ou la mobilité cyclique. l´accommodation: c´est une stabilisation du chemin contrainte-déformation sur une boucle d´hystérisis. l´adaptation: après un certain nombre de cycles, la courbe contrainte-déformation présente un chemin réversible, donc un comportement parfaitement élastique.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

20

Figure 1-15: Principaux comportements cycliques observables dans le sable Figure 1-16, Figure 1-17 et Figure 1-18 montrent les résultats des essais triaxiaux cycliques sur le sable et sur l´argile.

Figure 1-16: Résultats d´essai triaxial cyclique sur un sable Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

21

Figure 1-17: Résultats d´essai triaxial cyclique sur une argile normalement consolidée

Figure 1-18: Acculumation de la déformation plastique dans un essai triaxial cyclique

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

2

Fondations

2.1

Généralités

22

La fondation est la composante d´un ouvrage qui transmet au sol d´assise le poids de l´édifice et les surcharges normales et accidentelles appliquées sur l´ouvrage. Si les charges que la fondation transmet ne sollicitent que les couches superficielles, alors la fondation est raisonnablement encastrée à une petite profondeur dans le sol. Par conséquent, la fondation est dite superficielle. Une fondation superficielle est définie par les caractéristiques géométriques suivantes (Figure 2-1):  la largeur B d´une semelle est le plus petit côté de la semelle,  la longueur L d´une semelle rectangulaire correspond au grand côté,  la hauteur d´encastrement D est l´épaisseur minimale des terres au-dessus du niveau de fondation. Si un dallage ou une chaussée surmonte la fondation, ceux-ci sont pris en compte dans la hauteur d´encastrement.  l´ancrage h de la semelle est la profondeur de pénétration de la semelle dans la couche porteuse.

Figure 2-1: Définitions d´une semelle de fondation Il convient de distinguer les semelles suivantes :     

les semelles circulaires B=2R pour les charges concentrées, les semelles carrées L=B pour les charges concentrées, les semelles rectangulaires B < L 5B (Figure 2-2a) pour les charges non concentrées. Un radier général (Figure 2-2c) est une semelle de grande dimension portant tout ou partie d´un ouvrage. La largeur B est de plusieurs mètres. Le radier général s´impose lorsque la recherche de l´accord entre la descente de charge et la contrainte admissible

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

23

conduit à augmenter la largeur des semelles au point où les semelles se touchent ou il y a recouvrement entre les zones d´action des semelles. Le radier général permet de limiter les tassements différentiels. La semelle est considérée comme superficielle lorsque le rapport D/B est faible, et surtout lorsque la justification de la fondation ne prend en compte que la résistance du sol sous le niveau d´assise.

Figure 2-2: Types de fondations superficielles

2.2

Comportement d´une semelle chargée

Considérons une semelle superficielle chargée axialement. Les tassements sont fonction de l´intensité de la charge appliquée et ont l´allure présentée sur la Figure 2-3b. Qu est la charge limite de la semelle c´est-à-dire la charge maximale que peut supporter celle-ci et qui entraîne sa rupture. Comme cette valeur n´est pas très précise, Qu est définie conventionnellement comme la charge correspondant à un certain enfoncement, en général pris égal B/10. Soit A l´aire de la surface de la semelle, la contrainte limite ou contrainte de rupture de la semelle qu est donnée par la formule : 𝑞𝑞𝑢𝑢 =

𝑄𝑄𝑢𝑢 𝐴𝐴

Eq. 2-1

𝑞𝑞𝑢𝑢 et 𝑄𝑄𝑢𝑢 sont à remplacer respectivement par 𝑞𝑞´𝑢𝑢 et 𝑄𝑄´𝑢𝑢 si les contraintes et charges effectives sont considérées. Les charges maximales (nominales) à appliquer aux fondations peuvent être calculées avec un facteur global de sécurité Fs (variant entre 2 et 3) par la formule : Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

24

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

𝑄𝑄𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =

𝑄𝑄𝑢𝑢 𝐹𝐹𝑠𝑠

Eq. 2-2

Notons que le facteur de sécurité globale Fs est peu recommandé de nos jours, les facteurs partiels de sécurité sont par contre recommandés pour le dimensionnement des structures de fondation.

Figure 2-3: Chargement d´une semelle superficielle

2.3

Méthode générale de justification d´une semelle superficielle

Toute justification de fondation exige que ces deux aspects de la stabilité soient examinés. Ils se traitent pratiquement de façon indépendente.  État limite de mobilisation de la capacité portante (critère de rupture). Le problème consiste à déterminer la contrainte de rupture 𝑞𝑞𝑢𝑢 . Il se résoud en considérant qu´un équilibre limite de plasticité est atteint. La vérification porte à la fois sur E.L.U (État Limit Ultime) et les E.L.S (État Limite de Service).  État limite vis-à-vis des déformations (tassement). La contrainte moyenne de service 𝑞𝑞 est inférieure ou égale à la contrainte nominale 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 sous E.L.S. La contrainte est suffisamment modérée pour considérer que le seuil de plasticité n´est atteint en aucun point du massif de sol dans lequel la fondation est ancrée. Dans ces conditions, le tassement peut être calculé en faisant appel à la théorie de l´élasticité.

2.4

Détermination de la contrainte ultime

2.4.1

Analyse qualitative de la rupture

La pression exercée par la fondation sur le sol a tendance à poinçonner le terrain et donc à enfoncer la zone de terrain située sous l´assise de la fondation. Pour s´enfoncer, la zone d´assise de la fondation doit faire un mouvement par rapport à la zone non sollicitée directement. Il s´agit là d´un phénomène de cisaillement du terrain.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

25

Les études sur modèles réduits ont permis de mettre en évidence plusieurs zones de sol dans lesquelles le comportement est différent pendant la phase de rupture. Ainsi trois zones principales peuvent être distinguées au moment de la rupture (Figure 2-4).  La zone I est située directement sous la fondation. Le sol fortement comprimé est en équilibre surabondant et se déplace avec la fondation. Il forme un coin limité par les points A, B et C.  La zone II est refoulée vers la surface. Les déplacements et cisaillements sont très importants et il s´y produit une rupture généralisée.  Dans la zone III, le sol est peu ou n´est pas pertubé par la rupture. En pratique, les sols n´étant pas homogènes et les charges n´étant pas rigoureusement centrées, il se produit généralement un poinçonnement par rupture dite localisée avec basculement de la fondation d´un côté ou de l´autre.

Figure 2-4: Schéma de rupture d´une semelle superficielle 2.4.2

Détermination de la charge limite d´une semelle fondée dans un sol drainé à l´aide de la théorie de la plasticité

Considérons la fondation de la Figure 2-5 soumise à une charge Nk. La charge limite de la fondation est déterminée en superposant trois états de résistance que sont :  la résistance du sol pulvérulent sous le niveau de la semelle, entraînant une certaine résistance Qγ (Figure 2-6a), γ2 est le poids volumique des terres sous le niveau de la semelle,  l´action des terres situées au-dessus du niveau des fondations et supposées agir comme une surcharge q0=γ1·D (ou q´0=γ1·D, le cas échéant) sur un milieu pulvérulent non pesant, d´où une résistance Qp (Figure 2-6b), γ1 est le poids volumique des terres audessus du niveau de la semelle,  l´action de la cohésion, d´où une résistance Qc (Figure 2-6c). La charge limite de la fondation ou capacité portante sera Qu=Qγ +Qp +Qc et la contrainte de rupture qu=qγ +qp +qc avec qi=Qi/S. Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

26

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

Plan de Cissaillement

Figure 2-5: Système et définition de rupture d´une semelle La contrainte de rupture 𝑞𝑞𝑢𝑢 d´une fondation superficielle dans une condition drainée conformément à l´Eurocode 7 s´écrit, Réf. [4]: 𝑞𝑞𝑢𝑢 = 0,5 ∙ 𝛾𝛾2 ∙ 𝑏𝑏´ ∙ 𝑁𝑁𝛾𝛾 ∙ 𝑠𝑠𝛾𝛾 ∙ 𝑖𝑖𝛾𝛾 + 𝛾𝛾1 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝑁𝑁𝑞𝑞 ∙ 𝑠𝑠𝑞𝑞 ∙ 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 𝑐𝑐´ ∙ 𝑁𝑁𝑐𝑐 ∙ 𝑠𝑠𝑐𝑐 ∙ 𝑖𝑖𝑐𝑐

Eq. 2-3

𝛾𝛾1 poids volumique du sol latéral à la fondation

𝛾𝛾2 poids volumique du sol sous la base de la fondation

𝑐𝑐´ cohésion du sol sous la base de la fondation

𝑁𝑁𝛾𝛾 , 𝑁𝑁𝑞𝑞 , 𝑁𝑁𝑐𝑐 sont des coefficients numériques qui dépendent de l´angle de frottement interne φ, Réf. [4].

𝜋𝜋

𝜑𝜑

Avec: 𝑁𝑁𝑞𝑞 = (𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ) ∙ �𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � + �� , 4

2

𝑁𝑁𝑐𝑐 =

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

𝑁𝑁𝑞𝑞 −1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

, 𝑁𝑁𝛾𝛾 = �𝑁𝑁𝑞𝑞 − 1� ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

27

Figure 2-6: Décomposition de la charge ultime Tableau 2-1 donne les valeurs retenues par le DTU 13.12 Règles pour le calcul des fondations superficielles. φ [°] 0 5 10 15 20

0 0,1 0,5 1,4 3,5

𝑁𝑁𝛾𝛾

1,0 1,6 2,5 4,0 6,4

𝑁𝑁𝑞𝑞

𝑁𝑁𝑐𝑐

5,14 6,50 8,40 11,00 14,80

φ [°] 25 30 35 40 45

8,1 18,1 41,1 100 254

𝑁𝑁𝛾𝛾

10,7 18,4 33,3 64,2 135

𝑁𝑁𝑞𝑞

20,7 30,0 46,0 75,3 134

𝑁𝑁𝑐𝑐

Tableau 2-1: Termes de portance pour fondations superficielles en fonction de l´angle de frottement interne selon le DTU 𝑠𝑠𝛾𝛾 , 𝑠𝑠𝑞𝑞 , 𝑠𝑠𝑐𝑐 sont des coefficients dépendant de la forme de la fondation. 𝑖𝑖𝛾𝛾 , 𝑖𝑖𝑞𝑞 , 𝑖𝑖𝑐𝑐 sont des

coefficients qui dépendent de l´inclination de la charge appliquée à la semelle. L´Eurocode 7 EN 1997-1 recommande les expressions suivantes. Forme 𝒔𝒔𝜸𝜸 𝒔𝒔𝒒𝒒 Rectangle b´ 6 et D > 3 m, ou lorsque De/B > 6, De est la hauteur d´encastrement équivalente, Ref. [1]. Les fondations profondes peuvent être massives (puits) ou élancées (pieux).Les puits se placent en limite des deux domaines de fondations (superficielles et profondes). Ils se rattachent, par le principe de réalisation, aux fondations profondes, mais sont généralement calculés suivant les règles des fondations superficielles énumérées au chapitre 2 Les pieux sont entre autre une réponse technique à l´éloignement en profondeur du sol de capacité portante suffisante. On distingue différents types de pieux selon leur mode fonctionnement.  Les pieux flottants ou résistants par le frottement latéral : ces pieux transmettent la plus grande partie des charges au sol par l´intermédiaire du frottement latéral. C´est le cas des pieux dans des sols argileux et des sols sableux lâches.  Les pieux chargés en pointe : ils transmettent pratiquement toutes les charges sur une couche résistante profonde.  Les pieux résistant à la fois en pointe et par frottement latéral : ce sont des pieux frottant dans leur partie supérieure et transmettant la charge restante à un sol plus résistant dans laquelle leur base se repose.

3.2

Pieu soumis à une charge axiale

Le comportement d´un pieu soumis à une charge axiale est influencé par la résistance du pieu, la nature du sol et le mode de chargement. 3.2.1

Mobilisation de la résistance limite de pointe

Considérons un pieu pénétrant d´une hauteur h dans la couche d´ancrage. Si une charge croissante est transmise à la base de ce pieu, la courbe charge/enfoncement (Figure 3-1a) aura une allure similaire à celle correspondant au chargement d´une fondation superficielle. La résistance de pointe dépend de l´enfoncement du pieu c´est-à-dire du tassement. La résistance limite Qu sera atteinte conventionnellement pour un enfoncement de B/10, B étant la largeur ou le diamètre du pieu.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

36

Figure 3-1: Relation entre la contrainte et la déformation d´un pieu 3.2.2

Mobilisation du frottement latéral

En fonction du déplacement relatif entre le pieu et le sol avoisinant, la mobilisation du frottement latéral unitaire τ (Figure 3-1b), obéit à un comportement tout à fait différent de la mobilisation de la résistance de pointe, puisque le déplacement n´est plus dû à un tassement du sol mais à une distortion par cisaillement. Il apparaît que le frottement latéral se mobilise rapidement, et proportionnellement au déplacement, pour atteindre une quasi-stabilisation correspondant au frottement unitaire limite qs. Ce palier est obtenu pour les déplacements faibles compris généralement entre 5 et 15 mm. 3.2.3

Détermination de la charge limite d´ un pieu isolé

Les fondations profondes traversent généralement une ou plusieurs couches de qualité plus ou moins bonne pour s´ancrer dans un horizon présentant des caractéristiques mécaniques plus favorables, appelé couche d´ancrage (Figure 3-2). La hauteur d´encastrement ou fiche du pieu, D, est sa longueur enterrée. L´ancrage h est la hauteur de pénétration du pieu dans la couche d´ancrage. Si le pieu est fiché dans un milieu homogène (monocouche), l´ancrage D est égal à la hauteur d´encastrement h. La charge limite Qu du pieu en compression est obtenue en additionnant la charge limite de pointe Qpu correpondant au poinçonnment du sol sous la base du pieu et la charge limite Qsu mobilisable par frottement entre le fût du pieu et le sol. 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑄𝑄𝑢𝑢 = 𝑄𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑄𝑄𝑢𝑢 = 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠

Eq. 3-1 Eq. 3-2

La charge de pointe limite est donnée par la formule suivante : 𝑄𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝐴𝐴 ∙ 𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝

La charge limite en frottement latéral est donnée par la formule suivante :

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

Eq. 3-3

37

FONDATIONS PROFONDES

𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠 = � 𝑃𝑃𝑖𝑖 ∙ 𝑞𝑞𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝑒𝑒𝑖𝑖

Avec: 𝐴𝐴:

aire de la section droite du pieu à la pointe,

𝑃𝑃𝑖𝑖 :

périmètre de la section i du pieu,

𝑞𝑞𝑠𝑠𝑠𝑠 :

frottement latéral unitaire limite dans la couche i,

𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝 : 𝑒𝑒𝑖𝑖 :

Eq. 3-4

résistance limite de pointe,

épaisseur de la couche i,

La charge de fluage Qc marque la limite du domaine pseudo-élastique par lequel l´enfoncement du pieu est grossièrement proportionnel à la charge appliquée. Pour les pieux à section pleine ou les pieux circulaires fermés ou considérés bouchés (plugged en anglais), la détermination de A et P ne présente pas de difficulté. Les autres cas sont présentés sur la Figure 3-3.

Figure 3-2: Pieu isolé soumis à une charge axiale

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

38

Figure 3-3: Définitions de A et P pour différents types de fondations profondes 3.2.3.1

Groupe de pieux soumis à un effort de compression

Lorsque que les pieux sont suffisament rapprochés (espacement e entre pieux inférieur à 8 fois le diamètre d du pieu) et soumis à un effort de compression, il ne suffit pas seulement de vérifier la résistance d´un pieu considéré comme isolé. En effet, il arrive que la charge globale Qgu du groupe de n pieux soit inférieure à la somme des charges limites des pieux du groupe Qui considérés comme isolés à cause de l´interaction entre les pieux. Le coefficient d´efficacité Ce du groupe de pieux est défini comme suit: 𝐶𝐶𝑒𝑒 =

𝑄𝑄𝑔𝑔𝑔𝑔 ∑ 𝑄𝑄𝑢𝑢𝑢𝑢

Eq. 3-5

Le coefficient d´efficacité 𝐶𝐶𝑒𝑒 peut prendre la valeur de 0,7 pour e/d=3, et la valeur 1,0 pour e/d=8.

Le coefficient d´efficacité 𝐶𝐶𝑒𝑒 d´un groupe de pieux de maillage mxn rangées de pieux identiques et régulièrement espacés dans un sol sableux peut être déterminé par la formule de CONVERSE-LABARRE. 𝐶𝐶𝑒𝑒 = 1 −

Avec: 𝑑𝑑: 𝑒𝑒:

𝑑𝑑

2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � � 𝜋𝜋

𝑒𝑒

∙ �2 −

1 1 − � 𝑚𝑚 𝑛𝑛

diamètre des pieux. distance entre axes de pieux voisins.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

Eq. 3-6

39

FONDATIONS PROFONDES

d

Figure 3-4: Définition d´un groupe de pieux chargé en compression Par ailleurs, la transmission des contraintes en profondeur sous un groupe est différente de celle sous un pieu isolé. Il y a en effet interférence des contraintes induites par chaque pieu et un effet de radier apparaît (Figure 3-5).

Figure 3-5: Action d´ un groupe de pieux en profondeur chargé en compression La Figure 3-5 montre qu´une couche compressible profonde qui n´est pas ou peu sollicitée par un pieu unique peut poinçonner ou tasser sous l´effet d´un groupe de pieux. Si les pieux sont frottants, K. TERZAGHI a montré que la réparttition des contraintes en profondeur peut être estimée en assimilant le groupe à un radier fictif situé au tiers inférieur de la longueur des pieux (A´-B´ sur la Figure 3-5b). Si les pieux travaillent essentiellement en pointe, le radier fictif doit être situé au niveau de la pointe (A-B sur la Figure 3-5b).

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

3.2.4

40

Groupe de pieux soumis à un effort de traction

La vérification de la capacité portante d´un groupe de pieux soumis à un effort de traction s´effectue en deux étapes conformément à l´Eurocode 7, EN 1997-1, Ref. [4]. D´abord il sera vérifié que la résistance à l´arrachement de chaque pieu est suffisante (GEO). Pour le calcul des actions, les actions défavorables engendrées par l´effort de traction (E1GT,k, E1QT,k) seront différenciées des actions favorables engendrées par l´effort de compression (E1GC,k).

Figure 3-6: Groupe de pieux soumis à un effort de traction 𝐸𝐸1𝑇𝑇,𝑑𝑑 = 𝐸𝐸1𝐺𝐺𝐺𝐺,𝑘𝑘 ∙ 𝛾𝛾𝐺𝐺 + 𝐸𝐸1𝑄𝑄𝑄𝑄,𝑘𝑘 ∙ 𝛾𝛾𝑄𝑄 − �𝐸𝐸1𝐺𝐺𝐺𝐺,𝑘𝑘 + 𝐹𝐹𝑆𝑆,𝑘𝑘 � ∙ 𝛾𝛾𝐺𝐺,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

Eq. 3-7

𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝛾𝛾𝐺𝐺,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑄𝑄𝑘𝑘,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝛾𝛾𝑄𝑄,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ≤ 𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝛾𝛾𝐺𝐺,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + �𝐺𝐺𝐸𝐸,𝑘𝑘 + 𝐹𝐹𝑆𝑆,𝑘𝑘 � ∙ 𝛾𝛾𝐺𝐺,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Eq. 3-8

Ensuite la vérification de l´ascension du massif de terre mobilisé par le groupe de pieux est à effectuer (Figure 3-6). Il s´agit d´un état limite d´équilibre statique (Equilibrum limit State EQU) conformément à l´Eurocode 7.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

41

FONDATIONS PROFONDES

La détermination du poids du massif de terre mobilisé 𝐺𝐺𝐸𝐸,𝑘𝑘 s´opère suivant l´approche de la geométrie du massif de terre mobilisé autour d´un pieu (Figure 3-6 à droite). 1 𝐺𝐺𝐸𝐸,𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 ∙ �𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑏𝑏 �𝐿𝐿 − ∙ ��𝑙𝑙𝑎𝑎2 + 𝑙𝑙𝑏𝑏2 � ∙ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜´�� ∙ 𝜂𝜂 ∙ 𝛾𝛾 3

Avec: 𝑛𝑛:

nombre de pieux, poids volumique du sol

3.3

𝛾𝛾:

3.3.1

Frottement négatif

𝜂𝜂:

Eq. 3-9

facteur d´adaptation (𝜂𝜂 = 0,80)

Pieu soumis à des efforts parasites et divers

Considérons un pieu (Figure 3-7) traversant une couche molle pour aller s´ancrer dans un substratum résistant. Si la couche molle est surchargée, par exemple par un remblai, cette couche va tasser sous le poids de la surcharge. Le sol s´enfonce par rapport au pieu et non l´inverse comme c´est le cas dans les conditions courantes de sollicitations des pieux.

Figure 3-7: Frottement négatif sur un pieu S´il y a déplacement, il y a frottement au contact sol/pieu. Il se développe donc un frottement latéral dirigé vers le bas qui provoque un effort de compression dans le pieu. Les déplacements verticaux du sol (tassements) sont maximaux à la partie supérieure et diminuent avec la profondeur à cause de la diminution avec la profondeur de la contrainte

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

42

induite par la surchage. De plus, le déplacement AA´ est dû au tassement de la couche d´épasseur H et le déplacement CC´ n´est dû qu´au tassement d´une couche d´épaisseur H-z. À partir d´une profondeur H´, le tassement du sol est égal ou inférieur à l´enfoncement du pieu sous l´effet de la charge verticale qu´il supporte. Le point situé à cette profondeur est appelé point neutre N. Soit 𝜎𝜎´𝑣𝑣 (𝑧𝑧) la contrainte effective verticale à une profondeur quelconque z et à proximité immédiate du fût du pieu. Par définition la contrainte horizontale 𝜎𝜎´ℎ (𝑧𝑧) est donnée par la formule: 𝜎𝜎´ℎ (𝑧𝑧) = 𝐾𝐾 ∙ 𝜎𝜎´𝑣𝑣 (𝑧𝑧)

Avec: 𝐾𝐾:

Eq. 3-10

coefficient de pression des terres au contact sol/pieu

Soit 𝛿𝛿 l´angle de frottement sol/pieu qui dépend du type de pieu et de la nature du sol. Le frottement négatif unitaire 𝑓𝑓𝑛𝑛 (𝑧𝑧) est donné par la formule: 𝑓𝑓𝑛𝑛 (𝑧𝑧) = 𝐾𝐾 ∙ 𝜎𝜎´𝑣𝑣 (𝑧𝑧) ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

Eq. 3-11

Pour le calcul de la valeur maximale du frottement négatif Fn, il convient de faire une hypothèse simple qui consiste à admettre que la contrainte verticale 𝜎𝜎´𝑣𝑣 correspond au poids des terres et à la surcharge à la profondeur considérée. Le frottement négatif total sur le pieu est alors obtenu par intégration de la formule du frottement négatif unitaire depuis la partie supérieure du pieu jusqu´à la profondeur du point neutre.

Avec:

𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝑃𝑃 ∙ [0,5𝛾𝛾0 ∙ 𝐻𝐻02 ∙ 𝐾𝐾0 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝛿𝛿0 + (𝛾𝛾0 ∙ 𝐻𝐻0 ∙ 𝐻𝐻´1 + 0,5𝛾𝛾1 ∙ 𝐻𝐻´12 ) ∙ 𝐾𝐾1 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝛿𝛿1 ] 𝑃𝑃:

Eq. 3-12

périmètre de la section droite du pieu

Les indices 0 et 1 désignent respectivement les caractéristiques effectives du remblai et du sol compressible. Si le sol est situé sous la nappe, il faut considérer le poids volumique déjaugé. 3.3.2

Fluage latéral d´une couche compressible

Lorsqu´une couche compressible d´épaisseur H est soumise à un chargement dissymétrique (Figure 3-8), ce dernier provoque au voisinage de sa bordure non seulement des tassemments verticaux, mais également des mouvements latéraux. La couche compressible a tendance à fluer latéralement d´autant plus que le coefficient de sécurité vis-à-vis de la rupture circulaire est faible.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

43

FONDATIONS PROFONDES

Figure 3-8: Fluage d´une couche compressible, méthode de TSCHEBOTARIOFF Si des pieux sont situés dans cette zone, ils sont soumis à des efforts de flexion qui peuvent entraîner leur rupture. Ce problème se pose couramment pour les culées de pont fondées sur pieux et situées en extrémité de remblais d´accès. La méthode de TSCHEBOTARIOFF permet de calculer les efforts parasites correspondants dans ces pieux. Il s´agit d´une approche empirique simple utilisée depuis longtemps. Il est admis que les pieux de la file arrière sont soumis sur la hauteur H de la couche compressible à une pression latérale triangulaire qui s´applique sur une largeur 2B, B étant le diamètre du pieu (Figure 3-8). Pour un coefficient de sécurité global vis-à-vis de la rupture circulaire Fs=1,5, la pression maximale à mi-hauteur de la couche est égale à 0,4·γ0·H0 où γ0·H0 représente le poids de la surcharge. Si Fs est sensiblement inférieur à 1,5, il convient de modifier le projet. Les pieux sont considérés comme articulés ou encastrés en bordure de la couche compressible selon les conditions particulières du site. Si les pieux sont articulés aux deux extrémités de la couche compressible, le moment maximum situé à mi-hauteur de celle-ci est donné par la formule : 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,067𝛾𝛾0 ∙ 𝐻𝐻0 ∙ 𝐻𝐻 2 ∙ 𝐵𝐵

3.4

Eq. 3-13

Pieu soumis à une charge latérale, P-Y courbe

Le comportement d´un pieu soumis à une charge latérale est influencé par les caractéristiques mécaniques du pieu, par la nature et le comportement du sol et par la loi de chargement.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

44

La méthode de WINKLER (1867) est la plus ancienne méthode analytique permettant de prédire la réaction latérale du sol. Elle suppose que le comportement du sol est linéaire et représenté par des séries de ressorts rapprochés sans couplages entre elles (Figure 3-9). Cette méthode relie directement le comportement du sol (réaction ou pression p) au comportement du pieu (déplacement y) sous chargement latéral (Figure 3-9).

Figure 3-9: Illustration du pieu mobilisant la réaction latérale du sol 𝑝𝑝 = 𝑘𝑘ℎ (𝑧𝑧)𝑦𝑦

Avec : 𝑘𝑘ℎ (𝑧𝑧):

Eq. 3-14

coefficient de réaction en N/m3.

Cette équation est aussi exprimée sous la forme : Eq. 3-15

𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝑦𝑦

𝐸𝐸𝑠𝑠 = 𝑘𝑘ℎ ∙ 𝐷𝐷

Avec : 𝑝𝑝:

𝐸𝐸𝑠𝑠 :

𝐷𝐷:

Eq. 3-16

réaction du sol par unité de longueur du pieu (N/m) module de réaction du sol (N/m2) diamètre ou largeur du pieu (m)

La méthode P-y permet également d´analyser le comportement d´un pieu soumis à une charge latérale. Elle est une généralisation du modèle de WINKLER et tient compte du comportement non-linéaire du sol. La réaction du sol pour le sable est non linéaire. En absence d´information plus précise la réaction latérale 𝑝𝑝 d´un sol sableux dépend de la profondeur z et est donnée par l´expression : 𝑝𝑝 = 𝐴𝐴 ∙ 𝑝𝑝𝑢𝑢 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ �

𝑘𝑘 ∙ 𝑧𝑧 ∙ 𝑦𝑦 � 𝐴𝐴 ∙ 𝑃𝑃𝑢𝑢

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

Eq. 3-17

45

FONDATIONS PROFONDES

Avec: 𝐴𝐴:

facteur tenant compte du chargement cyclique ou statique 𝐴𝐴 = 0,9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑧𝑧 𝐴𝐴 = �3,0 − 0,8 � ≥ 0,9 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐷𝐷 𝑝𝑝𝑢𝑢 :

Eq. 3-18

réaction ultime du sol à la profondeur z (kN/m)

𝑝𝑝𝑢𝑢 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[(𝐶𝐶1 ∙ 𝑧𝑧 + 𝐶𝐶2 ∙ 𝐷𝐷) ∙ 𝛾𝛾´ ∙ 𝑧𝑧 , 𝛾𝛾´:

poids volumique déjaugé

𝜑𝜑´:

angle de frottement interne

𝐶𝐶3 ∙ 𝐷𝐷 ∙ 𝛾𝛾´ ∙ 𝑧𝑧 ]

Eq. 3-19

profondeur considérée

𝑧𝑧:

𝐶𝐶1 , 𝐶𝐶2 , 𝐶𝐶3 : coefficients dépendant de 𝜑𝜑´ et déterminés à partir de la Figure 3-10 𝐷𝐷:

diamètre moyen du pieu de la surface naturelle du terrain à la profondeur z

Figure 3-10: Coefficients C1, C2, C3 en fonction de l´angle de frottement interne d´après API (2007), Ref. [6]

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

Figure 3-11: Valeurs de k en fonction de la densité relative Dr et de l´angle de frottement interne d´après API (2007), Ref. [6] Figure 3-12 présente les courbes p-y générées par le logiciel LPILE.

Figure 3-12: P-y courbes générées par le logiciel LPILE pour un sol sableux Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

46

47

3.5

FONDATIONS PROFONDES

Réaction du sol pour les pieux chargés axialement

La fondation du pieu doit être conçue et dimensionnée pour résister aux charges axiales statiques et aux charges axiales cycliques. La résistance axiale du sol est assurée par une combinaison d´adhérence ou de charge axiale du sol transfert le long du fut du pieu et la résistance à la pointe du pieu. La relation entre la contrainte de cisaillement sol-pieu et le déplacement local du pieu à n'importe quelle profondeur est décrite à laide d'´une courbe t-z (Figure 3-13). De même, la relation entre la résistance axiale à la pointe mobilisé et le déplacement est décrite à l'aide d'une courbe Q-z (Figure 3-13).

Figure 3-13: Model idéalisé utilisé pour l´analyse du tranfert de charge T-z et Q-z

3.6

Courbes de transfert de charge axiale t-z

Diverses méthodes empiriques et théoriques sont disponibles pour développer des courbes pour le transfert de charges axiales et le déplacement des pieux, (t-z) courbes. Les Courbes développées à partir d'essais de chargement des pieux dans des profils de sol représentatifs ou sur la base d'essais de sol en laboratoire qui modélisent l'installation des pieux peuvent également être justifiées. D'autres informations peuvent être utilisées, à condition il peut être démontré que ces informations permettent des garanties contre les déformations et les rotations excessives.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

48

En l'absence de critères plus définitifs, les courbes t-z sur la Figure 3-14 et dans le Tableau 3-1 sont recommandées pour les sols non carbonatées. où z = déplacement local du pieu, en. (mm), D = diamètre du pieu, en pouces. (mm), t = adhérence pieu-sol mobilisé, lb/ft2 (kPa), tmax = adhérence maximale pieu-sol ou frottement unitaire, lb/ft2(kPa).

Figure 3-14: Courbes typiques de transfert de charge/déplacement axial des pieux (t-z) [6]

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

49

FONDATIONS PROFONDES

Tableau 3-1: Valeur numériques des courbes typiques de transfert de charge/déplacement axial des pieux (t-z) [6]

3.7

Courbes de transfert de charge axiale Q-z

Il convient de déterminer la capacité de charge à la pointe comme décrit au chapitre 3.2.3. Toutefois, un déplacement relativement important de la pointe du pieu est nécessaire pour mobiliser cette résistance à la pointe calculée. Un déplacement de la pointe du pieu jusqu'à 10 % du diamètre du pieu peut être nécessaire pour une mobilisation complète dans les sables et les sols argileux. En l´absence de critères plus définitifs, il est recommandé d´utiliser la courbe de la Figure 3-15 et du Tableau 3-2 pour les sables et les argiles. où z = déplacement axiale de la pointe, en. (mm), D = diamètre du peiu, en pouces. (mm), Q = résistance à la pointe mobilisée, lb (KN). Qp = résistance à la pointe, lb (KN), calculée

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

Tableau 3-2: Valeur numérique de Résistance à la pointe- Déplacement Q-z courbe

Figure 3-15: Résistance à la pointe- Déplacement Q-z courbe

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

50

51

FONDATIONS PROFONDES

4

OUVRAGES DE SOUTÈNEMENTS – POUSSEE BUTEE

4.1

Types d´ouvrages de soutènement

Pour l´étude du comportement des ouvrages de soutènement, de leur dimensionnement et des vérifications de stabilités internes et externes, il convient de distinguer trois types d´ouvrages : murs-poids, rideaux et ouvrages de soutènement composites (Figure 4-1).

Figure 4-1: Types d´ouvrages de soutènement

4.1.1

Murs-poids

Les murs-poids sont majoritairement constitués de pierre ou de béton (armé ou non), et présentent une semelle à la base avec ou sans talon, épaulement ou contrefort. Le poids du mur permet généralement d´apporter une force stabilisatrice et inclut parfois une masse supplémentaire de sol, rocher ou remblai. 4.1.2

Rideaux (murs encastrés)

Les rideaux sont contitués des parois minces en cacier, béton armé ou bois. Leur stabilité peut être assurée par la présence d´ancrages, de butons et de butée des terres. Les rideaux de palplanches autostables, ancrés ou butonnés et les parois moulées entrent dans cette catégorie. 4.1.3

Ouvrages de soutènements composites

Lorsqu´un ouvrage de soutènement comporte des éléments structuraux appartenant aux deux types précédents, il entre dans cette troisième catégorie. Les batardeaux, les ouvrages en terre renforcés par des ancrages ou des géotextiles, et des parois clouées en sont des exemples courants.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

4.2

52

Etats limites

Les pathologies des murs de soutènement, et leurs effets sur les ouvrages existants, sont très nombreux. Aussi pour tout type de murs de soutènement, il est impératif de prendre en compte les états limites (Tableau 4-1). Murs-poids

Ouvrages de soutènement Rideaux composites

Instabilité d´ensemble Rupture d´éléments de structure (ancrage, rideau, étai, buton, liaisons, etc.) Rupture combinée sol / Structure Rupture par soulèvement hydraulique ou érosion régression Mouvements de l´ouvrage susceptibles de provoquer la ruine ou d´affecter son utilisation ou celle des ouvrages voisins Fuites inacceptables à travers ou sous le mur ou le rideau Transport inacceptable de particules de sol à travers ou sous le mur Modifications inacceptables de l´écoulement de l´eau souterraine Défaut de portance du sol sous l´ouvrage Rupture par défaut d´équilibre vertical Rupture pa glissement ou renversement Rupture par rotation ou translation Tableau 4-1: Etats limites des ouvrages de soutènement

4.3

Poussées des terres

La poussée des terres sur les ouvrages de soutènement dépend de la nature du sol, de sa stratification, de son état de consolidation, et de sa résistance au cisaillement. Les déplacements, la rigidité et la rugosité de l´ouvrage ont aussi un rôle essentiel. Erddruckkraft E Poussée / Butée -s

Ep

+s

Ea -s

E0 +s

Figure 4-2: Effort poussée Ea et butée Ep en fonction du déplacement du mur

4.3.1

Etats de sol au repos

Lorsque les déplacements relatifs du mur ou du rideau, par rapport au terrain sont faibles, le sol est considéré en état de contraintes au repos. Si le terrain est incliné vers le haut à partir de

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

53

FONDATIONS PROFONDES

la tête du mur, avec un angle β < φ´ par rapport à l´horizontale, le coefficient de pression des terres au repos K0 s´exprime :

𝐾𝐾0 = (1 − sin 𝜑𝜑´) ∙ √𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ∙ (1 + sin 𝛽𝛽)

Eq. 4-1

Considérons un massif de sol semi-indéfini à surface libre horizontale et n´étant soumis à aucune force extérieure. Soit σv la contrainte verticale sur une facette horizontale en un point M quelconque du milieu (Figure 4-3). Par raison de symétrie, cette contrainte est principale. Soit σh la contrainte horizontale sur un élélemt de facette verticale. Cette contraainte est également principale.

Figure 4-3: Contraintes principales dans un sol à surface horizontale Par définition, σh et σv sont liées par la formule suivante :

𝜎𝜎ℎ = 𝐾𝐾0 ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣 Avec: 𝐾𝐾0 coefficient de pression des terres au repos.

𝐾𝐾0 dépend de la nature du sol, de la profondeur considérée et de l´histoire du sol.

Nature du sol

Ordre de grandeur de K0

Sable

0,5

Argile

0,7

Argile très molle, vase

1

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Eq. 4-2

FONDATIONS PROFONDES

54

Roche à très grande profondeur (tunnels ≥1 profonds)

La direction de la force résultante est considérée parallèle à la surface du terrain. Lorsque les déplacements sont importants, les états limites d´équilibre plastique de poussée et de butée apparaissent. 4.3.2

Equilibres limites de poussée et de butée

Il existe plusieurs théories permettant d´évaluer les valeurs de poussée et butée des terres, parmi lesquelles :

Figure 4-4: Représentation des surfaces de glissement suivant les théories de a) Coulomb b) Rankine c) Boussinesq

•

•

•

Théorie de Coulomb (Figure 4-4a) : le sol est apparenté à un bloc qui glisse sur une surface. L´équilibre des forces en jeu (poids, réaction et frottement à la base du bloc, inclinaison de la force sur la paroi) permet de déterminer les forces des poussées et butées. Cette méthode donne des résultats acceptables dans le cas des sols homgènes et frottants. Théorie de Rankine (Figure 4-4b) : tout le massif est considéré en équilibre plastique et l´état d´équilibre est identique pour tous les points situés à une même profondeur. Les lignes de glissement sont considérées rectilignes. Lorsque les déplacements de la paroi sont suffisants, le sol peut entrer en état d´équilibre de poussée active, s´il participe au mouvement du mur, et de butée passive s´il y oppose (Figure 4-2). Théorie de Boussinesq (Figure 4-4) : la rugosité de l´ouvrage est prise en compte via l´angle de frottement δ compris entre 0 (pas de frottement) et φ (frottement maximal). Le sol est considéré en partie en équilibre de Rankine et en partie en équilibre de Boussinesq.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

55

4.3.2.1

FONDATIONS PROFONDES

Equilibre de limite de butée

Supposons que, dans le massif semi-indéfini à surface libre horizontale, la partie à gauche de M soit remplacé par un écran. Au point M, la contrainte horizontale règnant sur l´écran est égale à σh (Figure 4-5). Supposons maintenant que l´on force l´écran à se déplacer vers le massif. Les contraintes horizontales sur l´écran vont croître jusqu´à ce que se produise la rupture du massif de terre. La résistance maximale atteinte avant rupture correspond à un état d´équilibre limite : c´est l´état d´équilibre passif. La contrainte horizontale appelée contrainte horizontale de buttée passive prend alors la valeur donnée par la formule suivante :

𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣

Eq. 4-3

Avec: 𝐾𝐾𝑝𝑝 coefficient de butée des terres.

Figure 4-5: Déplacement de l´écran correspondant à une mise en butée

4.3.2.2

Equilibre limite de poussée

Si, au contraire, l´écran se déplace vers la gauche, le sol a tendance à suivre ce mouvement et la contrainte σh diminue jusqu´à une valeur limite correspondant à l´effondrement du massif de sol. Juste avant la rupture, un nouvel état d´équilibre limite est atteint : c´est l´état d´équilibre actif défini par la formule :

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

56

𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣

Eq. 4-4

Avec: 𝐾𝐾0 coefficient de poussée des terres. 4.3.3

Etude d´un cas simple

Le cas le plus simple correspond aux hypothèses suivantes ; • • • •

Sol pulvérulent : φ≠0, c=0, poids volumique γ (milieu pesant) Surface du sol horizontale Ecran vertical et lisse Pas de surcharge

Figure 4-6: Ecran vertical lisse et surface horizontale

Figure 4-7: Etats limites de poussée et butée dans la représentation de Mohr Sur la Figure 4-7, le cercle I représente l´état des contraintes au repos avec σh=K0∙σv. L´équilibre est surabondant et le cercle de Mohr n´est pas tangent à courbr intrinsèque.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

57

FONDATIONS PROFONDES

Le cercle II représente l´équilibre limite de butée tel que σhp=Kp∙σv et le cercle III représente l´équilibre limite de poussée tel que σha=Ka∙σv. Dans le cas d´écrans verticaux avec surface libre horizontale, les coefficients de poussée et de butée s´expriment :

𝜋𝜋 𝜑𝜑 𝐾𝐾𝑎𝑎 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � − � 4 2

Eq. 4-5

φ étant l´angle de frottement interne du sol

Alors :

𝜋𝜋 𝜑𝜑 1 𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � + � = 4 2 𝐾𝐾𝑎𝑎

𝜋𝜋 𝜑𝜑 𝜎𝜎ℎ𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � − � ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣 4 2

𝜋𝜋 𝜑𝜑 𝜎𝜎ℎ𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � + � ∙ 𝜎𝜎𝑣𝑣 4 2

Eq. 4-6

Eq. 4-7

Eq. 4-8

Comme la contrainte verticale σv=γ∙z (poids propre des terres), γ étant le poids volumique du sol, z étant la profondeur du point considéré, les formules précédentes montrent que les contraintes horizontales sont proportionnelles à la profondeur et fournissent la valeur de la résultante des pressions appliquées sur l´écran. Pour un mur de hauteur H, les résultantes de poussée et de butée s´appliquernt au tiers inférieur du mur et sont données respectivement par :

1 𝜋𝜋 𝜑𝜑 1 𝐸𝐸𝑎𝑎 = 𝛾𝛾 ∙ 𝐻𝐻 2 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � − � 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑄𝑄𝑎𝑎 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 ∙ 𝛾𝛾 ∙ 𝐻𝐻 2 2 4 2 2 1 𝜋𝜋 𝜑𝜑 1 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝛾𝛾 ∙ 𝐻𝐻 2 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 � + � 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑄𝑄𝑝𝑝 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 ∙ 𝛾𝛾 ∙ 𝐻𝐻 2 2 4 2 2 Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Eq. 4-9

Eq. 4-10

FONDATIONS PROFONDES

4.3.4

58

Etude de cas général

Le calcul de la poussée et de la butée est basé sur la théorie de Coulomb. On suppose un joint de glissement plan dans le sol, dans lequel la résistance au cisaillement du sol est mobilisée. L'équilibre des forces du massif de sol à l´état de rupture donne alors la valeur de la résultante de la poussée correspondant à l'inclinaison de la surface de glissement ϑ considérée (Figure 4-8). La force réelle de poussée ou de butée qui se produit, résulte d´une variation de l'angle du plan de glissement ϑ. On suppose et on considère la poussée maximale lors de la variation de ϑ, alors qu´on considère la butée minimale lors de la variation de ϑ. La solution du problème de poussée de terre se basant sur la théorie de Coulomb se résume comme suit :

β α

G

α δa

Tc = c´ Lc

ϕ´ Q

Ea

Ea Q

E

Ea

G

N Tϕ = N tan ϕ´

ϑa

Gleitkörper mit angreifenden Kräften

Tc

Krafteck

ϑa

Variation des Gleitflächenwinkels

Figure 4-8: Détermination de la poussée active d´après la théorie de Coulomb

1 𝐸𝐸𝑎𝑎ℎ = 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ + 𝑝𝑝𝑝𝑝𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐸𝐸𝑎𝑎ℎ tan (𝛿𝛿𝑎𝑎 − 𝛼𝛼) 2 1 𝐸𝐸𝑝𝑝ℎ = 𝛾𝛾𝐻𝐻 2 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ + 𝑝𝑝𝑝𝑝𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑝𝑝ℎ tan (𝛿𝛿𝑝𝑝 − 𝛼𝛼) 2

Eq. 4-11

Eq. 4-12

Avec: 𝛾𝛾 le poids volumique du sol, H la hauteur de l´écran, p la surcharge uniforme en surface, c la cohésion du sol, 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ le coefficient de poussée due au poids propre du sol, 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ

le coefficient de poussée due à la surcharge uniforme, 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ le coefficient de poussée due la cohésion du sol, 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ .le coefficient de butée due au poids propre du sol, 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ le coefficient de butée due à la surcharge uniforme, 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ le coefficient de butée due la cohésion du sol.

La contrainte de la poussée ou butée s´écrit donc : q=dQ(z)/dz

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

59

FONDATIONS PROFONDES

𝑒𝑒𝑎𝑎ℎ = 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ + 𝑝𝑝𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ − 𝑐𝑐𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑞𝑞𝑎𝑎ℎ tan (𝛿𝛿𝑎𝑎 − 𝛼𝛼)

Eq. 4-13

𝑒𝑒𝑝𝑝ℎ = 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ + 𝑝𝑝𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ + 𝑐𝑐𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑞𝑞𝑝𝑝ℎ tan (𝛿𝛿𝑝𝑝 − 𝛼𝛼)

Eq. 4-14

Les coefficients de poussée et de butée ainsi l´inclinaison du plan de glissement s´écrivent :

cos 2 (ϕ' ±α )

k agh , pgh =

2

 sin( ϕ' ±δ a , p ) sin( ϕ'  β )  cos α 1 ±  cos( α − δ a , p ) cos( α + β )   cos α cos β = k agh , pgh cos(α + β ) 2 cos ϕ' cos β (1 − tan α tan β ) cos(α − δ a , p ) = 1 ± sin( ϕ' ±δ a , p  α  β ) 2

k aph , pph k ach , pch



ϑa , p = ±ϕ' + arc cot tan(α ± ϕ' ) + 

1

cos(α ± ϕ' )

sin( δ a , p ± ϕ' ) cos(α + β )   − sin(β  ϕ' ) cos( δ a , p − α ) 

Pour le cas courant α = β = 0 alors par approximation k ach , pch = 2 k agh , pgh cos δ a , p . Pour les paramètres sélectionnés, les coefficients de pression du sol kagh et kpgh sont donnés dans le Tableau 4-2.

kah

ϕ’

kph

δa=0

δa=2/3 ϕ’

δp=0

δp=-1/3ϕ’

δp=-1/2ϕ’

δp=-2/3ϕ’

10°

0,70

0,65

1,42

1,52

1,56

1,61

15°

0,59

0,52

1,70

1,89

1,99

2,10

20°

0,49

0,43

2,04

2,40

2,60

2,81

22,5°

0,45

0,38

2,24

2,72

2,99

3,30

25°

0,41

0,35

2,46

3,09

3,47

3,91

27,5°

0,37

0,31

2,72

3,54

4,06

4,70

30°

0,33

0,28

3,00

4,08

4,81

5,74

32,5°

0,30

0,25

3,32

4,74

5,76

7,15

35°

0,27

0,22

3,69

5,56

7,02

9,15

37,5°

0,24

0,20

4,11

6,59

7,94

9,34

10,49

40°

0,22

0,18

4,60

7,89

9,76

11,74

13,44

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

δp=-ϕ’

FONDATIONS PROFONDES

45°

60

0,17

0,14

5,83

11,76

15,49

19,66

23,71

Tableau 4-2: Coefficient de poussée et de butée pour le cas α = β = 0 p

Sand

Sableγs

γ´s Ton

γ´T Argile

eaph = p´ kaph eagh = σv´ kagh each = -c´ kach w = γw zw

Figure 4-9: Contrainte de poussée active et pression intertitielle pout sol lité et avec nappe phréatique

4.3.5

Poussée due à la sucharge q

p ϕ´

ϕ´ ϑa

ϑa oder

ϑa

p kaph

Figure 4-10: Poussée due à la surcharge

4.3.6

Surface brisée du terrain naturel

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

oder

61

FONDATIONS PROFONDES β3 β1

β2

ea1 ea3

ea2

ea

Figure 4-11: Approche de JENNE pour la considération de surface brisée du terrain naturel

h1

p = γh1

+

h2

volle Effet Abschirmung teilweise d´écran Abschirmung

ϕ´

γh1ka

+

ϑa

p ka = γh1ka

γh2ka eao

=

eua

ea

Figure 4-12: Effet d´écran dû à un encastrenment au mur de soutènement

4.3.7

Poussée et butée dans l´espace 3D

La poussée et la butée plane c´est-à-dire dans l´espace 2D étudiée dans les chapitres précédents s'applique aux murs dont la longueur est nettement supérieure à la hauteur du mur. Avec une longueur limitée (largeur de mur b), dans le cas de poussée, il y a un effet de voûte dans le sol derrière le mur, de sorte que la pression spatiale active de la terre (3D Eah) est plus faible que dans le cas 2D. Dans le cas de butée, les résistances sont également mobilisées dans le sol devant ou derrière le mur, de sorte que la résistance de terre spatiale (3D Eph) est supérieure à la résistance 2D. Ces effets peuvent être pris en compte par des facteurs de correction à appliquer aux termes individuels de la poussée et de la butée: 𝑒𝑒𝑎𝑎ℎ 3𝐷𝐷 = 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ 𝜇𝜇𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ + 𝑝𝑝𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ 𝜇𝜇𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ − 𝑐𝑐´𝐾𝐾𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ 𝜇𝜇𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ

Eq. 4-15

Le facteur de correction µagh dépend du rapport (z/b) de la profondeur z sur la largeur b du mur. Valeur de µagh pour α = β = δa = 0 sont données dans le Tableau 4-3.

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

FONDATIONS PROFONDES

z/b

µagh

62

0

1

2

3

4

6

8

10

1

0,82

0,70

0,59

0,50

0,37

0,30

0,25

Tableau 4-3: Facteur de correction µagh pour α = β = δa = 0 d´après DIN 4085 (2/1987) L´effort de la butée spaciale en 3D s´écrit. 1 𝐸𝐸𝑝𝑝ℎ 3𝐷𝐷 = 𝛾𝛾ℎ2 𝑏𝑏 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ 𝜇𝜇𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ + 𝑝𝑝ℎ𝑏𝑏𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ 𝜇𝜇𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ + 𝑐𝑐´ℎ𝑏𝑏𝑏𝑏𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ 𝜇𝜇𝑝𝑝𝑝𝑝ℎ 2 1 + 0,30 h / b 1,095 h / b

für h / b < 3,33 für h / b ≥ 3,33

1 + 0,90 h / b  2,191 h / b

für h / b < 3,33 für h / b ≥ 3,33

µ pgh =  Avec

µ pch = 

4.3.8

Eq. 4-16

Distribution de la pression de poussée et de butée

Comme déjà montré dans les chapitres précédents, la répartition classique de la pression du sol c´est-à-dire une augmentation linéaire de la pression du sol avec la profondeur, ne s'applique qu'en cas de rotation autour du pied de mur. Pour d'autres mécanismes de déformation, par exemple dans le cas de murs soutenus par des tirants, il se produit des redistributions de la pression du sol. Les autres déplacements ou déformations provoquent dans le sol, derrière l’écran et de façon plus ou moins accentuée, un phénomène appelé effet de voûte dont la conséquence est de concentrer les efforts au voisinage des appuis fixes et au contraire de les diminuer dans les zones de grands déplacements. La Figure 4-13 en donne une illustration qualitative. Cependant, la charge de pression de terre qui en résulte sur le mur ne change pas. En pratique, la pression terre est donc d'abord déterminée en supposant la répartition classique. Ici, la pression terre résultante est formée par le poids propre du sol, la cohésion et les surcharges de grande surface. Pour ces charges, une répartition des contraintes est alors choisie en fonction des conditions d´appui et donc de la figure de déformation du mur attendue. Les charges de pression de l´eau et les pressions de la terre provenant des surcharges surfaciques concentrées ne sont pas incluses dans la redistribution.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

63

FONDATIONS PROFONDES

h

s

s

a) Fußpunktdrehung

b) Parallelverschiebung

s

c) Kopfpunktdrehung

s

d) Elastische Wand

Figure 4-13: Répartition de la poussée selon le type de déplacement de l’écran Les quatre diagrammes présentés à la Figure 4-13 montrent l’allure approximative de la répartition de la poussée pour quatre déplacements particuliers de l’écran: •

une rotation autour du pied (Figure 4-13a)

•

une translation horizontale (Figure 4-13b

•

une rotation autour du sommet (Figure 4-13c)

•

un déplacement de flexion entre un encastrement au pied et un appui fixe au sommet (Figure 4-13d)

4.3.9

Frottement sol-écran

L’angle de frottement δ entre le sol et le parement arrière l´écran dépend des facteurs suivants: • • • •

la rugosité du parement l’angle de frottement interne du sol le tassement relatif entre le mur et le sol l’inclinaison de la surface.

En première approximation on peut déterminer cet angle de frottement δ en fonction de l’état de surface du parement, comme il est indiqué dans le Tableau 4-1. Etat de surfae du parement Surface très lisse ou lubrifiée Surface peu rugueuse (palplanche, béton lisse, béton traité) Surface rugueuse (béton, béton projeté, maçonnerie, acier) Murs caissons

Cours de Mécanique des Sols Avancée, R01 du 04.02.2021

Angle de frottement sol-écran δ=0 1 δ= φ 3 2 δ= φ 3 2 δ≥ φ 3

FONDATIONS PROFONDES

Angle de frottement sol-sol

64

δ=φ

Tableau 4-4: Angle de frottement sol-écran en fonction de l’état de surface du parement

4.4

Dimensionnement des Murs-poids

4.4.1

Fonctionnement mécanique

La distribution de la poussée est supposée linéaire dans le cas des murs-poids. Cette hypothèse suppose que le mur est rigide et qu´il se déplace suffisamment pour solliciter la poussée. En revanche, la butée nécessite que le mur se déplace notablement pour pouvoir être activée, elle n´est donc généralement pas prise en compte pour la vérification de la stabilité. En fonction du type de mouvement du mur (translation ou rotation) et densité du sol, le déplacement relatif v/h (avec v le déplacement maximal et h hauteur de la zone en poussée ou en butée) est compris entre 0,05 et 1% (poussée) et entre 3 et 25% (butée). Figure 4-14 représente de manière simplifié les actions qui s´appliquent sur un mur-poids. Dans le cas d´un mur en T renversé on définit couramment un écran fictif vertical.

Figure 4-14: Actions sur un mur-poids et représentation de la ligne fictive dans le cas des murs en T renservé

4.4.2

Vérifications de stabilité

Figure 4-15 représente des différents mécanismes de ruptures possibles dans le cas des murpoids.

Cours de mécanique des sols avancées R01 du 24.12.2020

65

FONDATIONS PROFONDES

Figure 4-15: Mécanismes de ruine à considérer : a) Poinçonnement b) Renversement c) Glissement, d) Rupture de la structure e) Instabilité générale

4.4.2.1

Vérification au poinconnement

Le principe de justification consiste à vérifier que la contrainte de référence qref appliquée par les actions sur le sol est inférieure à la contrainte limite du sol qlim. (Figure 4-15a). Cette vérification est conduite suivant la méthode employée pour les fondations superficielles aux chapitres 2.4.2 et 2.4.3. 4.4.2.2

Vérification au renversement

Un mur-poids est susceptible de se renverser si les actions motrices (poussée, surcharge) apportent un moment global supérieur à celui des actions stabilisatrices (poids, butée) (Figure 4-15b).La vérification de renversement est faite si le degré d´utilisation µrenv respecte la condition suivante : µ𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 4.4.2.3

∑ 𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑀𝑀𝑖𝑖/𝐴𝐴(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)