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Cours de construction métallique I III. Eléments fléchis en construction métallique (flexion simple)
Equipe enseignante :
Sami MONTASSAR (E-mail: [email protected]) Ramzi ZAKHAMA (E-mail: [email protected])
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, 2019-2020 1
Quelques éléments fléchis usuels
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Principaux types de profilés laminés utilisés en flexion
IPE ou IPN
HEA , HEB ou HEM
Tube rectangulaire
U
Cornière
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Critères de choix du type de profilé laminé La résistance : sécurité structurale. La rigidité : elle est directement liée à l’inertie du profilé. Le déversement : les profilés laminés en I sont particulièrement sensibles à leur rapport Iz/Iy. (Pour une même résistance en section, un profilé IPE présente une moins bonne résistance au déversement qu’un profilé HEA, HEB ou HEM). Le poids (par mètre) : a une influence sur le prix de l’élément, ainsi qu’éventuellement sur son principe de montage. La hauteur du profilé : peut être déterminante lorsqu’il s’agit de limiter son encombrement. 4
Déformations et contraintes dans une section fléchie
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Déversement latéral des éléments fléchis Le phénomène du déversement se manifeste lorsqu’un élément fléchi selon son axe fort n’est pas tenu latéralement. La partie comprimée de sa section peut alors éventuellement se dérober. Un tel phénomène peut être assimilé au flambement de la partie comprimée de la section entre deux points d’appui latéraux. Extrémité encastrée
Position après déversement sous charge Charge fixe appliquée verticalement
Position sans charge
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Système statique
Position non déformée
Position déformée
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Soit une poutre en I parfaitement élastique et initialement rectiligne, chargée par des moments d'extrémité égaux et opposés selon son axe de forte inertie (dans le plan de l'âme).
La poutre n'est pas maintenue latéralement sur sa longueur sauf à chaque extrémité où la flèche latérale et la rotation de torsion des sections sont empêchées, mais où leur rotation est libre à la fois dans le plan et hors du plan.
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Déversement et déformations résultantes (seule une moitié de la poutre est représentée, les déformations maximales se situant à mitravée). v
Position non déversée
Translation
Rotation
Position déversée
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Selon l’EC3, on utilise la procédure suivante pour vérifier (dans le cas général) le déversement des éléments fléchis : 1) Calcul du moment critique de déversement (dépendant des propriétés de section transversale brute et prenant en compte les conditions de chargement, la distribution réelle des moments et les maintiens latéraux) : π 2 . E.I z M cr = C 1. . 2
(k.L )
2
k I w (k.L )2 .G.I t 2 . + + C . z − C . z 2 g 3 j − C 2 .z g − C 3 .z j 2 π .E.I z kw I z
(
• Le facteur k concerne la rotation d’extrémité hors plan de chargement. Il est analogue au rapport longueur de flambement sur longueur réelle d’un élément comprimé.
) (
)
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• kw concerne le gauchissement d’extrémité. Sauf dispositions particulières prises pour empêcher tout mouvement aux extrémités, on prendra kw = 1. • Pour le cas d’une poutre bi-encastrée, le gauchissement est en partie empêché par la plaque de tête. On pourrait prendre kw = 0,7. • Une meilleure solution serait d’empêcher le déversement en plaçant des raidisseurs sur l’âme du poteau. on pourrait admettre dans ce cas kw = 0,5. E G= 2(1 + ν ) 12
Coordonnée du centre de cisaillement
Coordonnée suivant z du point d’application de la charge
Distance entre le point d’application de la charge et le centre de cisaillement
z g = za − zs
z j = zs −
(
)
0,5 ∫A z y 2 + z 2 dA Iy
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• Dans l’évaluation de zj : - z est négatif pour la semelle comprimée; - zj est positif lorsque la semelle ayant la valeur la plus élevée de Iz est comprimée au point de moment le plus élevé. - zj = 0 pour tout profil à semelles égales y compris les profils • Pour en les Ucharges ou en Z.descendantes, zg est négatif pour les charges appliquées au dessus du centre de cisaillement. • Dans le cas général, zg est négatif pour les charges agissant en direction du centre de cisaillement depuis leur point d’application. • Si la charge est empêchée de se déplacer latéralement avec la poutre, alors zg = 0.
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• It est le moment d’inertie de torsion • Iz est le moment d’inertie de flexion suivant l’axe de faible inertie • L est la longueur de la poutre entre points latéralement maintenus • Iw est le moment d’inertie de gauchissement. • C1, C2 et C3 sont donnés par les tableaux suivants :
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Cas de moments d’extrémités
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Cas de charges transversales
Mcr doit être calculé avec les caractéristiques de la section brute. Pour les sections de classe 4, le calcul de Mcr sera fait en considérant que la constante de torsion uniforme It est nulle. 17
Comparaison des moments critiques élastiques pour des profils en I et en H.
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Comparaison du moment critique élastique d'un profil en caisson (qui possède une rigidité de flexion et de torsion élevée) avec des profils ouverts de diverses formes. 1,0
0,1 Rapport de Mcr à Mcr pour profil en caisson 0,01
0,001 0 10 20 30 40 50 60 70 Rapport de longueur à la hauteur
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2) Calcul du paramètre d’élancement réduit
λ LT = βw = 1 = =
Wel , y W pl , y Weff , y W pl , y
β w .W pl , y . f y M cr
si la section est de classe 1 et 2 si la section est de classe 3 si la section est de classe 4
si λ LT ≤ 0,4 ⇒ il n' est pas nécessaire de tenir compte du déversement 20
3) si λ LT > 0,4
[
Φ LT = 0,5 1 + α LT (λ LT − 0, 2 ) Courbe de déversement Facteur d’imperfection αLT
2 + λ LT
]
a b c d 0,21 0,34 0,49 0,76
Sections transversales Limites Courbe de déversement Sections en I laminées h/b ≤ 2 a h/b > 2 b Sections en I soudées h/b ≤ 2 c h/b > 2 d Autres sections d 21
χ LT =
1 2
Φ LT + Φ 2LT − λ LT
mais χ LT ≤ 1
Le coefficient de réduction à appliquer à la capacité plastique ou élastique de la section (≤1)
Le moment de flexion maximal MEd,y doit être inférieur au moment ultime de déversement : fy M Ed , y ≤ χ LT .β w .W pl , y .
γ M1
γM1 coefficient partiel de sécurité de résistance des éléments aux =1,1 instabilités
Il n’est pas nécessaire de vérifier la résistance au déversement d’une poutre si sa semelle comprimée est tenue latéralement sur toute sa longueur (c’est par exemple le cas des solives d’un plancher solidarisés à la dalle béton ou au platelage en tôles d’acier). 22
Comparaison de résultats d'essais et de moments critiques élastiques théoriques.
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Calcul de Mcr – Quelques cas particuliers : Poutres en I à section transversale constante monosymétrique et à semelles inégales :
(
)
I w = β f . 1 − β f .I
βf =
I fc I fc + I ft
2 . h y s
hs = h – tf : distance entre les centres de cisaillement des semelles.
Moment d’inertie de flexion de la semelle comprimée suivant l’axe de faible inertie de la section Moment d’inertie de flexion de la semelle tendue suivant l’axe de faible inertie de la section
Les approximations suivantes peuvent être utilisées pour calculer zj :
h - Lorsque β f > 0,5 alors z j = 0,8. 2. β f − 1 . s 2 hs - Lorsque β f < 0,5 alors z j = 2. β f − 1 . 2
(
(
)
)
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Poutres en I à section transversale constante et doublement symétrique : - Sections transversales doublement symétriques ⇒ zj = 0.
M cr = C 1.
π 2 .E.I z k 2 I w
(k.L )2
.
(k.L )2 .G.I t
. + kw I z π 2 .E.I z
- Moment d’inertie de torsion
It =
(
(
+ C 2 .z g
1 2.b .t 3f + d .t w3 3
)2
− C 2 .z g
)
h −t f - Moment d’inertie de gauchissement I w = I z 2
2
25
- Dans le cas de chargement par moments d’extrémité (C2 = 0) ou de charges transversales appliquées au centre de cisaillement (zg = 0) : 2
π 2 . E .I z
k I w (k.L )2 .G.I t M cr = C 1. . . + 2 (k.L ) kw I z π 2 . E .I z
- Lorsque de plus k = kw = 1 (pas d’encastrement aux extrémités) :
M cr = C 1.
π 2 .E.I z L2
I w L2 .G.I t . + 2 I z π .E.I z 26
Pour tout profil simple en I ou H à semelles égales soumis à un moment uniforme et comportant des maintiens d'extrémité simples on a l’expression simplifiée suivante :
L
λLT = λ λ LT = LT β w0.5 λ1
iz 2 0.25
L 1 iz 1 + h 20 t f
E λ1 = π fy
0.5
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Applications (Déversement) Application III-1 On considère une poutre constituée d’un IPE220 d’une portée de 5 m sur appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie. Calculer le moment critique de déversement élastique pour les trois positions d’application de la charge suivantes : - sous l’aile inférieure, - au centre de cisaillement, - sur l’aile supérieure.
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Application III-2 On considère une poutre constituée d’un IPE220 d’une portée de 5 m assemblée aux extrémités à deux poteaux. Elle est soumise à une charge uniformément répartie appliquée au centre de cisaillement. Calculer le moment critique de déversement élastique en fonction des conditions d’appui suivantes : - liaison poutre-poteau articulée (attache par cornières), - liaison poutre-poteau semi-rigide (attache par plaque frontale boulonnée), - liaison poutre-poteau rigide (attache soudée).
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Application III-3 On considère une poutre constituée d’un IPE220 d’une portée de 5 m. Elle est soumise à une charge uniformément répartie appliquée au centre de cisaillement. Calculer le moment critique de déversement élastique pour les deux cas suivants : - avec un appui latéral intermédiaire à mi-portée, - sans appui latéral intermédiaire.
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Application III-4 On considère une poutre simple constituée d’un HEA240 d’une portée de 6 m en acier S235. Elle est sollicitée à l’une de ces extrémités par un moment de flexion selon l’axe de forte inertie. Calculer le moment ultime de déversement de cette poutre.
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Application III-5 Une poutre HEA400 de 6 m de portée, encastrée à ses deux extrémités en regard de la torsion et de la flexion, supporte son poids propre g et en son centre de gravité un palan. Calculer le moment ultime de déversement de cette poutre.
Q = 400 kN g (kN/m) 6m
S.235 HEA 400
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Effort tranchant La résistance des matériaux montre que dans une section ouverte à parois minces soumise à un effort tranchant VEd, la contrainte maximale de cisaillement τEd est calculé par : Moment statique de la section partielle située au dessus de l’endroit où la contrainte tangentielle est calculée
VEd S τ Ed = It
épaisseur de la section où la contrainte tangentielle est calculée
Inertie d’ensemble de la section
La rupture par cisaillement (en l’absence de phénomène de voilement) se produira après déformation plastique et même écrouissage. La contrainte limite élastique de cisaillement τy s’obtient en appliquant le critère de Von Mises. 33
τ Ed ≤ τ y =
fy 3
Pour les profilés en I : - S = Sy moment statique de la demi-section par rapport à y, - I = Iy moment d’inertie de la section selon y, - T = tw épaisseur de l’âme.
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Le schéma de contrainte de cisaillement dans un profil en I en supposant un comportement élastique. - La presque totalité de l'effort tranchant est transmise par l'âme ⇒ on peut supposer que les semelles ne participent pas à la reprise de l’effort tranchant. - La variation de la contrainte de cisaillement dans l'âme est très faible ⇒ pour le dimensionnement, on peut supposer une contrainte de cisaillement moyenne sur la totalité de la hauteur de l'âme. 35
(
)
VEd ≤ Vc ,Rd = V pl ,Rd = f y / 3 Av / γ M 0
Aire de cisaillement Av
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Moment fléchissant la résistance des sections au moment fléchissant n’est pas affectée par la présence de l’effort tranchant si 1 VEd ≤ V pl ,Rd 2 Dans le cas contraire, il y a une réduction qu’il faut prendre en compte. Le risque de déversement est négligeable et n’a pas à être pris en compte lorsque λ LT ≤ 0,4 4 cas peuvent être rencontrés 38
V ≤ 1 V Ed pl ,Rd er 1 cas 2 λ LT ≤ 0,4
M Ed ≤ M c ,Rd
Pour les sections de classe 1 ou 2 : Mc,Rd=Mpl,Rd=Wpl.fy/γM0 : Moment résistant plastique Pour les sections de classe 3 : Mc,Rd=Mel,Rd=Wel.fy/γM0 : Moment résistant élastique Pour les sections de classe 4 : Mc,Rd=Weff.fy/γM1 : Moment résistant au voilement local
V > 1 V Ed pl ,Rd 2 ème cas 2 λ LT ≤ 0,4
M Ed ≤ M v ,Rd 39
Mv,Rd est le moment résistant plastique réduit du fait de l’effort tranchant, déterminé en utilisant une limite d’élasticité réduite pour l’aire de cisaillement seule
f red = (1 − ρ ) f y
2VEd ρ = − 1 V pl ,Rd
2
- Pour les sections transversales en I à semelles égales et fléchies suivant l’axe de forte inertie
M v ,Rd
2 f A ρ y v = w pl − γ 4 t w M0 40
V ≤ 1 V Ed pl ,Rd 3ème cas 2 λ LT > 0,4
M Ed ≤ M b ,Rd M b ,Rd = χ LT β w
V > 1 V Ed pl ,Rd 4 ème cas 2 λ LT > 0,4
W pl , y f y
γ M1
M Ed ≤ min (M b ,Rd ; M v ,Rd )
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Etats limites de service Contreflèche de la poutre non chargée
δ max = δ 1 + δ 2 − δ 0 Variation de la flèche de la poutre due aux charges permanentes immédiatement après la mise en charge Variation de la flèche de la poutre due aux charges variables augmentées de toute déformation dans le temps due aux charges permanentes 42
Flèches verticales maximales recommandées
Conditions
Limites
δmax δ2 Toitures en général (non accessibles aux usagers) L/200 L/250 Toitures supportant fréquemment du personnel autre L/250 L/300 que le personnel d’entretien Planchers en général (*) L/250 L/300 Planchers et toitures supportant des cloisons en plâtre L/250 L/350 ou en autres matériaux fragiles ou rigides Planchers supportant des poteaux Cas où δmax peut nuire à l’aspect du bâtiment
L/400 L/500 L/250 –
(*) Pour les machines nécessitant des conditions de flèches sur les planchers plus sévères, les critères devront être précisés par le client ou l’autorité compétente 43
Les valeurs limites recommandées pour les flèches horizontales d’un bâtiment classique en présence ou non de charge de vent
Sans charge Avec charge de vent de vent Portique sans pont roulant
h/150
h/125
Autres bâtiments à niveau unique
h/300
h/250
Dans un bâtiment à plusieurs niveaux
Entre chaque étage
h/300
h/250
Pour la structure dans son ensemble
h0/500
h0/420
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Valeurs des flèches pour des configurations usuelles
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Applications (Calcul d’une poutre laminée) Application III-6
Poutrelle de platelage Poutre principale
Poteau
Poutre secondaire
1m
6m
12 m
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S.235 Qn = 2 t/m 2 t platelage = 10 mm 1 f = L poutrelle de platelage 300 1 f = L poutre secondaire 300 1 f = L poutre principale 500
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Application III-7 A l’ELU, qEd,ult = 8,3 kN/m A l’ELS, qEd,ser = 3,0 kN/m
Acier S.235
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Application III-8
a) Système statique
b) Détail
c) Chargement
Données IPE500 en acier S.235 Charges permanentes : g = 3 kN/m Charges variables : p = 5 kN/m Charge concentrée à mi-travée : P = 140 kN Flèche relative admissible : 1/200 Travail à faire 1) Déterminer les sollicitations maximales à l’ELU. 2) Déterminer la classe de la section 3) Vérifier la résistance de la poutre (effort tranchant – interaction effort tranchant et moment fléchissant – moment fléchissant) 4) Vérifier la condition de flèche 5) Vérifier la poutre au déversement 49
Application III-9 : On considère une poutre courte de longueur 1,4 m tenue latéralement soumise à un effort concentré de 1050 kN. Elle est constituée d’un IPE 400 en acier S275. Vérifier cette poutre.
1050 kN 0,7 m
0,7 m
50
Application III-10 : On considère une poutre principale, supportant deux poutres secondaires, constituée d’un IPE600 en acier S275. Les points de connexion poutre principale – poutre secondaire sont considérés comme des maintiens latéraux. Vérifier cette poutre.
Maintien latéral
382,4 kN
2,5 m
193,7 kN
3,2 m
5,1 m
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Organigrammes Récapitulatifs de Calculs