Cours CMM1 CD-Partie3-2022-09-30 [PDF]

Zitiervorschau

Constructions métalliques

Cédric DESPREZ      v.30/09/2022

Constructions métalliques (Partie 3)

7 ‐ Résistance des sections : moment fléchissant (M) (flexion pure) 8 ‐ Résistance des sections : effort tranchant (V) 9 ‐ Résistance des sections : effort normal (N) 10 ‐ Résistance des sections : Interaction M – V (flexion simple) 11 ‐ Résistance des sections : Interaction My – Mz (flexion biaxiale) 12 ‐ Résistance des sections : Interaction N‐My‐Mz (flexion composée/biaxiale) 13 ‐ Résistance des sections : Interaction N ‐ V ‐ My ‐ Mz

Supports construits sur la base des cours de : C. Desprez, S Capdevielle et J‐F Georgin

INSA de LYON Département Génie Civil et Urbanisme Laboratoire Géomécanique, Matériaux et Structures

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M)

7 – ELU : Résistance des sections : Moment fléchissant M (flexion pure)

z M x

Objectif : déterminer la résistance d’une section à partir de son modèle de comportement

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Exemples de section sous M seul Section centrale de poutre isostatique  sous chargement symétrique

x V

a

p

z y

Zone centrale d’une poutre en  flexion 4 points

y

L 0

F

z

pL/2

x V

F L 0

F

‐F M 0

pL²/8 0

M 0

Fa 0

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Elasticité 𝜀

Limite élastique 𝜀

𝜀

𝜀

z

avec  𝑓

𝜎 avec  𝜎

𝑀. 𝑧 𝐼

Plastification totale

z

z

z

.

𝜎

𝑓 𝐸

z

z

𝜎

Début plastification

z

z

𝜎

𝑓

𝜎

𝑓

𝑓 Création d’une rotule plastique

70

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Développement de rotules plastiques

Mais attention : plastification possible que si la section  ne présente pas d’instabilité locale avant de plastifier 71

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Risque de voilement local ‐ ‐

Les profilés métalliques sont souvent constitués de parois minces (âme, semelles…) Lorsqu’elles sont comprimées, ces sections peuvent présenter des instabilités appelées « Voilement » (flambement local de parties de la section)

Voilement  semelle

Voilement  âme

72

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections

Capacité de rotation haute basse aucune aucune

73

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Charge critique de voilement

Contrainte critique élastique de voilement :

𝜎

𝑘 .π .𝐸 12 1 𝜈

𝑡 𝑐

Analyse similaire au  flambement, mais avec  théorie des plaques

𝑘 tient compte de : Conditions limites, et  distribution des contraintes dans la plaque

Pour utiliser la capacité de plastification de la section, il faut que 𝑓

𝜎 74

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Risque de voilement local

La contrainte de voilement s’exprime en fonction de l’élancement des âmes et semelle :

𝜎

𝑘 .π .𝐸 12 1 𝜈

𝑡 𝑐

.

Avec β

.

𝜎

𝑡 β 𝑐

Dépends des  matériaux et CL des  âmes et semelles

Dépends de la  géométrie des  âmes et semelles

Pas de de voilement si :

𝑓

𝜎

𝑓

β

𝑡 𝑐

𝑐 𝑡

β 𝑓

De nombreuses études paramétriques et expérimentales ont permis de classifier les sections en fonction de  Voir les 3 tableaux suivants 75

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections

Pour un profilé, on détermine successivement : ‐ La classe de la ou des parois interne(s)  comprimée(s) (tableau de droite) ‐ La classe de la ou des semelle(s) en console  (tableau page suivante) On garde la classe la plus DEFAVORABLE

76

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections

78

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) c) Moment résistant

Sections de classe 1 ou 2 Moment résistant = Moment max admissible  par la section entièrement plastifiée (𝑀 , )

𝑏

𝑀

ℎ ℎ 𝑡

𝑟

,

𝑓 ℎ 2 .𝑏 .𝑡 𝛾 2

𝑡 2

𝑓 ℎ ℎ 2 𝑡 𝛾 2 4

𝑡

Ame

Semelle

Moment résistant 𝑏 .𝑡

𝑧

ℎ 2 𝑦

𝑦

𝑧

𝑡 2 𝑦

ℎ .𝑡 2 ℎ 4 𝑦

Calcul à la main possible  de 𝑊 , , mais donné  dans les catalogues

𝑀

,

𝑊

Critère ELU sections 1 et 2 :

𝑀 𝑧

𝑧

Exprimé en taux de travail

,

𝑓 𝛾

𝑀 ,

,

1 79

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) c) Moment résistant

Moment résistant = Moment max admissible  par la section entièrement élastique (𝑀 , )

Sections de classe 3 𝑀

Sections de classe 4

,

𝑊

𝑓 𝛾

,

Moment résistant = Moment max admissible par la  section « efficace » entièrement élastique (𝑀 , )

𝑀

,

𝑊

,

𝑓 𝛾

Critère ELU sections 3 et 4 :

𝑀

𝑀

Exprimé en taux de travail

,

,

1 80

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) c) Moment résistant

Exemple de données constructeurs

81

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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) d) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis du moment fléchissant (M) 𝑀 𝑀 non

1

Risque de déversement

oui 𝑀

Classes 1 et 2

𝑀 𝑀

,

𝑀 𝑊

é

Classes 3 ou 4

𝑀

,

,

𝑀

𝑓 𝛾

Classes 3

𝑀

,

𝑊

,

𝑓 𝛾

𝑀

,

Classes 4

𝑀

,

𝑊

,

𝑓 𝛾 82

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V)

8 – ELU : Résistance des sections : Effort tranchant V (cisaillement)

z

V

x

Objectif : déterminer la résistance d’une section à partir de son modèle de comportement

83

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) a) Comportement d’une section en cisaillement (1/2) Exemples de section sous V seul Section d’extrémité de poutre  isostatique sous chargement symétrique

x V

a

p

z y

Section d’extrémité d’une poutre en  flexion 4 points

y

L 0

F

z

pL/2

x V

F L 0

F

‐F M 0

pL²/8 0

M 0

Fa 0

84

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) a) Comportement d’une section en cisaillement (2/2)

Profil des contraintes de cisaillement 𝜏

𝑍

𝑉. 𝑆 𝑍 𝐼 .𝑏 𝑍

𝑆 𝑍 : moment statique de la partie de section  𝑏 𝑍 : largeur de la section en 𝑍

𝑉. 𝑆 0 𝐼 . 𝑡

𝜏

𝑍

𝑉 𝐴

𝜏

Aire de cisaillement (Dans les catalogues pour  les profilé standard)

Condition pour assurer la résistance de la section en cisaillement : 𝜏 𝜏

déterminé avec  critère de Von Mises

(En cisaillement pur 𝜎

𝜎

0)

²

3 𝜏

²

𝑓²

𝜏

𝜏

𝑓 3

Pour vérifier selon l’EC3, il faut exprimer  cette condition en effort (slide suivant) 85

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) b) Effort tranchant résistant b) Moment résistant L’effort tranchant résistant 𝑉

,

correspond à l’effort tranchant qui assure

D’où : 

𝜏

𝑉

𝑉 𝐴

𝜏

𝑓 3

𝐴 .𝑓 ,

3. 𝛾

Critère ELU : ,

1

Mais attention : plastification possible que si la section  ne présente pas d’instabilité locale avant de plastifier. Il faut donc également s’assurer qu’il n’y à pas de risque  de voilement par cisaillement 86

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) c) Risque de voilement local (1/2) b) Moment résistant Effet de l’effort tranchant Equilibre élémentaire

Cisaillement  Vertical

Cisaillement  vertical

Cisaillement  horizontal

Cisaillement  horizontal

Résultantes Traction

Compression

Compression

Risque de  voilement de  l’âme dans la  direction  principale de  compression 

Traction 87

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) c) Risque de voilement local (2/2)

Le risque de voilement dépend de  l’élancement de l’âme 

𝑏

ℎ ℎ 𝑟

Pas de risque de voilement par cisaillement si

𝑡

𝑡

ℎ 𝑡

72. 𝜀

Avec 𝜀

(rq : Critère identique aux sections de classe 1  vis‐à‐vis du moment fléchissant. Cf slide 76)

Exemple de raidisseurs  si risque de voilement

88

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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) d) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de l’effort tranchant (V) 1

𝑉 𝑉

𝑉

non ,

𝐴 .𝑓 ,

Risque de voilement  par cisaillement ℎ 72. 𝜀 𝑡

oui Non traité ici

3. 𝛾

89

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9 – ELU : Résistance des sections : Effort normal N (traction ‐ compression)

z

N y

x

Objectif : déterminer la résistance d’une section à partir de son modèle de comportement

90

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9 – Résistance des sections : Effort normal (N) a) Comportement d’une section en traction‐compression Exemple de section en traction compression

Poutre treillis (chaque barre est en traction ou en compression)

91

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9 – Résistance des sections : Effort normal (N) b) Effort normal résistant Mode de ruine : plastification en traction Effort normal résistant  de traction 𝑁

,

𝐴. 𝑓 𝛾 Critère ELU :

𝑁 𝑁 ,

Mode de ruine : plastification en compression Effort normal résistant de  compression (sections classes 1,2 ou 3) 𝑁

,

𝐴. 𝑓 𝛾

1

Mais attention, en  compression il faut aussi vérifier le risque de  flambement

92

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9 – Résistance des sections : Effort normal (N) c) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de l’effort normal (N) 𝑁 𝑁

𝑁 𝑁

𝑁 ,

non ,

1

Risque de  flambement

oui

𝑁

𝑁

𝐴. 𝑓 𝛾

93

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10 – ELU : Résistance des sections : Intéraction M ‐ V

z

V

M x

94

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10 – Résistance des sections : interaction M‐V a) Comportement d’une section fléchie en cisaillement (1/2) Exemples de section sous M et V Section d’extrémité d’une poutre en console

p

z y

x

z y

L

pL V

M

Section sur appui intermédiaire  d’une  poutre continue

0 Pl/2 0

V 3PL/8

x

L

L 0

5PL/8

0 3PL/8

M 0

PL²/8 0

95

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10 – Résistance des sections : interaction M‐V a) Comportement d’une section fléchie en cisaillement (2/2)

Contraintes  normales (sous M)

Contraintes de  cisaillement (Sous V)

𝜎

au niveau des semelles

𝜏

au niveau de l’âme

Les contraintes maximales ne sont pas atteintes aux même  endroit du profilés, mais l’âme doit reprendre 𝜎 𝑧 + 𝜏 𝑧 Interaction M‐V à prendre en compte dans la vérification des efforts résistants 96

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10 – Résistance des sections : interaction M‐V b) Interaction M‐V

𝑉

𝜏

Traduction en critère  règlementaire (en effort)

𝜏

𝜏 2

𝜎

𝑉

,

𝑉

,

𝑀

,

2

𝜎

𝑀

critère de Von Mises  (contraintes)

,

𝑀

𝑀

Observation 1 : les semelles ne sont quasiment pas impactées par les contraintes de cisaillement : Hypothèse 1 :  même en présence d’effort tranchant le moment fléchissant résistant est au moins  égal à la part de moment fléchissant repris par les semelles 𝑀 , Observation 2 : lorsque les contraintes de cisaillement restent modérées  cisaillement admissibles sont proche de 𝜎 . ,

Hypothèse 2 :  Tant que 𝑉

les contraintes de 

le moment fléchissant résistant reste 𝑀

Observation 3 : Le critère limite de résistance suit un profil parabolique lors de l’interaction entre les  contraintes de cisaillement et les contraintes normales de flexion ,

Hypothèse 3 :  Si 𝑉 le moment fléchissant résistant se situe entre 𝑀 La valeur du moment résistant réduit 𝑀 , et est décrit par une parabole.

,

et 𝑀 . 97

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10 – Résistance des sections : interaction M‐V c) Moment résistant réduit (1/2) 𝑉

,

𝑉

,

𝑀

,

Critères ELU :

1 et  

2 ,

𝑀

,

,

1

𝑀

Calcul du moment résistant réduit 𝑴𝑽,𝑹𝒅 Si

Si

𝑉

𝑉

𝑉

,

2

𝑉

,

2

le cisaillement n’affecte pas le moment  fléchissant résistant qui reste :

une partie de l’âme ne peut plus participer à  la résistance vis‐à‐vis du moment fléchissant  à cause de l’effort tranchant.

𝑀 𝑀

, ,

𝑀 𝑀

𝑀

, ,

,

(classes 1 et 2) (classes 3 et 4)

à calculer 

(slide suivante)

98

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10 – Résistance des sections : interaction M‐V c) Moment résistant réduit (2/2) 𝑀

,

Calcul de 𝑀

,

se calcul en prenant pour l’aire de cisaillement une limite d’élasticité réduite On prend  1

.

𝜌 𝑓 au lieu de 𝑓 avec 𝜌

,

Profil élastique

Profil plastique

Pour une poutre en I, l’EC3 (partie 1‐1.6.2.8) propose Sinon à calculer

𝑀

,

1

𝑊

,

. .

avec 

𝑀

,

𝑀

et 𝐴 = aire de l’âme 99

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10 – Résistance des sections : interaction M‐V d) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de M et V Critères ELU :

1 et  

1

,

𝑉 (et donc 𝑉 , ) se calcul comme  dans la partie « Effort tranchant »

oui

,

𝑊

,

non

,

2

(classes 3 et 4) 𝑀 , 𝑀 ,

(classes 1 et 2) 𝑀 , 𝑀 , 𝑀

𝑉

𝑉

𝑀

𝑊

,

avec 

.

,

𝑀

. ,

𝑀

𝑓 𝛾 classes 3 𝑀

,

𝑊

,

classes 4 𝑓 𝛾

𝑀

,

𝑊

,

𝑓 𝛾 100

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11 – ELU : Résistance des sections : Interaction My ‐ Mz (flexion biaxiale ou déviée)

z My y

x Mz

101

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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz a) Comportement d’une section en flexion biaxiale (1/2) Exemples de section sous My et Mz Sections soumise à un moment fléchissant  autour de deux axes simultanément

Vent + poids propre

Neige + poids propre sur panne inclinée

102

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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz a) Comportement d’une section en flexion biaxiale (2/2) Exemples de section sous My et Mz (M selon axe fort y‐y) (M selon axe faible z‐z)

z y

z y z y

z

y

z

z

y

z

y

y

Image : Pierre LATTEUR ‐ UCLouvain 103

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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz b) Critère de résistance 𝑀 et 𝑀 contribuent aux contraintes normales dans la section On ne peut pas mobiliser les 2 moments résistants en même temps (un dans chaque direction)

Vérifier 

, ,

1 et 

, ,

1 ne suffit pas Critères ELU : 𝑀 𝑀

L’EC3 (partie 1‐1.6.2.9) propose la vérification suivante :

𝑀 𝑀

, ,

(M selon axe fort y‐y) 𝛽

Valeurs sécuritaires (ok pour toutes sections)

1

1

Section I ou H

2

Sections creuses circulaires

2

Avec 𝑛

𝑁 𝑁 ,

𝛼

5.n   (et 𝛽

1

1

2

𝛽 1,66 / (1−1,13.n²) et

Si seulement 𝑀 et 𝑀

,

(M selon axe faible z‐z)

𝛼

Sections creuses rectangulaires

,

𝑛

0 car 𝑁

6

0 104

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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz c) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de My et Mz Critères ELU : 𝑀 𝑀

𝑀 𝑀

, ,

,

Classes 1 et 2

𝑀

𝑀

,

𝑀 𝑀

,

,

,

,

,

,

et 𝑀 𝑊 𝑊

,

,

𝑓 𝛾

,

𝑓 𝛾

𝑀

,

1

,

Classes 3 ou 4

𝑀

,

,

𝑀

, ,

Classes 3

𝑀 𝑀

, ,

, ,

𝑊 𝑊

,

𝑓 𝛾

,

𝑓 𝛾

et  𝑀

𝑀

,

, ,

Classes 4

𝑀 𝑀

, ,

, ,

𝑊 𝑊

,

𝑓 𝛾

,

𝑓 𝛾

105

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12 – ELU : Résistance des sections: Interaction N‐M et N‐My‐Mz (flexion composée)

z

z

My

M N y

x

y

N x Mz

106

Constructions métalliques

Cédric DESPREZ      v.30/09/2022

12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz a) Comportement d’une section en flexion composée (1/2) Exemple d’éléments soumis à N et M

Têtes de poteaux d’un portique isostatique  symétrique et chargé uniformément 

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Cédric DESPREZ      v.30/09/2022

12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz a) Comportement d’une section en flexion composée (2/2)

Evolution d’une section  sous N et M croissant

Elastique

Elasto‐plastique

Plastique limite

En présence de N, le bras de levier disponible pour l’axe neutre  diminue et le moment résistant est plus faible

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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz b) Moment résistant réduit (1/2) Pour une section bi‐symétrique (ie : I ou H) Cas de la flexion autour de l’axe fort (Y‐Y)

Sections de classe 1 et 2 ,

Si 𝑁

.

et 𝑁

.

Au delà

.

Pas de réduction de 𝑀

𝑀

,

𝑀

, ,

1 , ,

1

𝑛 0,5. 𝑎

(On considère que la capacité d’écrouissage  compense la faible réduction de 𝑀 , )

Cas de la flexion autour de l’axe faible (Z‐Z) Si 𝑁

.

.

Pas de réduction de 𝑀

Au delà Si 𝑛 ,

𝑀

𝑛

𝑎

𝑁 𝑁 , 𝐴

Critères ELU 2. 𝑏. 𝑡 𝐴

1 et  0,5

,

,

, ,

, ,

1

𝑀

, ,

Si 𝑛 𝑀

𝑎∶

, ,

, ,

𝑎∶ 𝑀

, ,

1

𝑛 1

𝑎 𝑎

(Voir partie interaction My‐Mz pour 𝛼 et 𝛽) 109

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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz b) Moment résistant réduit (2/2) Pour une section bi‐symétrique (ie : I ou H)  (suite)

Sections de classe 3 Il faut que la somme des  contraintes normale soit  𝑓

𝑁 𝐴

𝑀

ℎ 2

,

𝐼

𝑀

𝑏 2

,

𝐼

𝑓 𝛾

𝑁 𝑁

Critère ELU 𝑀 , 𝑀, 𝑀 , , 𝑀 ,,

1

Sections de classe 4 non  traités dans ce cours

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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz c) Récapitulatif

Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de N, My et Mz Classes 1 et 2

Critères ELU 1 et 

,

,

, ,

, ,

flexion y‐y

,

𝑁

et 𝑁

.

non

oui

𝑀

𝐴 .𝑡 .𝑓 . 𝛾 non

oui

1

flexion z‐z

flexion y‐y

𝑁

.

Non traité ici

Critère ELU 𝑀 , 𝑀, 𝑀 , , 𝑀 , ,

𝑁 𝑁

1 flexion z‐z

.

Classes 4

Classes 3

𝑊

, ,

𝑛

,

𝑓 𝛾

𝑀

𝑎

𝑛

non

oui

𝑎

𝑀

, ,

𝑀

𝑀

, ,

𝑀

, ,

𝑀

1 , ,

1

𝑛 0,5. 𝑎

, ,

𝑀

𝑊

, ,

,

𝑓 𝛾

𝑁 𝑁 , 𝐴

2. 𝑏. 𝑡 𝐴

0,5

, ,

𝑀

, ,

𝑀

, ,

1

𝑛 1

𝑎 𝑎 111

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13 – ELU : Résistance des sections : Interaction N, V, My et Mz

z V y

My N x

Mz

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13 – Résistance des sections : interaction N‐My‐Mz‐V a) Comportement d’une section en flexion composée déviée Exemple d’éléments soumis à N, M et T

Têtes de poteaux d’un portique hyperstatique  symétrique et chargé uniformément 

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13 – Résistance des sections : interaction N‐My‐Mz‐V b) Critères de résistance Le principe est d’ajouter l’effet de l’effort tranchant (V) au  moment résistant réduit par l’effort normal (N) 𝑀 , On obtient alors 𝑀

Critères ELU ,

, ,

Pour calculer 𝑀

si

𝑉

𝑉

,

𝑉

𝑉

,

,

, , ,

, , ,

1

, ,

pas besoin de réduire le moment résistant réduit du à l’effort  N à cause de V

2

𝑀

si

1 et 

,

, ,

𝑀

,

il faut réduire la valeur u moment résistant réduit 𝑀

2

𝑀

, ,

𝑀

,

,

à cause de V 

mais en considérant  1

𝜌 𝑓 au lieu de 𝑓

Par exemple : pour une section en I de classe 1  Avec My‐N sans V 𝑀

, ,

𝑀

, ,

, .

Donc 𝑀

avec 𝑀 , ,

Avec My‐N et V 𝑊

, ,

𝑊

,

,

𝑀

, , ,

𝑊

1 ,

𝜌 𝑓 𝛾

1 1

𝑛 0,5. 𝑎

, .

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