Cours Automatique Regulation [PDF]

Zitiervorschau

⎡ t K −1 ⎤ 1 LP ⎢ e at ⎥ = k ⎣ ( K − 1 )! ⎦ ( p − a )

τ

ds( t ) + s( t ) = K .e( t ) dt

t ⎛ − s( t ) = K ⎜ 1 − e τ ⎜ ⎝

H( p ) =

⎞ ⎟u ( t ) ⎟ ⎠

S( p ) K = E( p ) 1 + τ . p

Automatique et régulation régulation Automaattiqu iquee et régulation Step Response

G dB

wo

20

0 -3 dB

11.8 0 .f1

f1

z=0.1

Pulsation W

20.logK

1.6

z=2

-20 -40

z=0.1

z=0.3

z=1 z=0.7

1.4

z=0.5

-40 dB/d e c

-60

z=0.5

1.2

z=0.7

⎡ ⎛ t y( t ) = Ka .⎢( t − τ ) + τ . exp⎜ − ⎝ τ ⎣

⎞⎤ ⎟⎥ .u( t ). ⎠⎦

-100 -3 10 Dephasage 0

-50

-90 -100

-150 -180

-200 -3 10

⇒ H(j.w) =

− jKτ K + 1 + (τ.w)² 1 + (τ.w)²

-2

-1

10

10

Amplitude

-80

0

10

z=0.7 z=0.5

1

10 Pulsation W

wo

0.8

z=2

z=2

z=1

1

0.6

z=1

z=0.1

0.4

⎧ ⎪ ⎪ K ⎪ Re ( H(jw) ) = ⎪ 1 + τ²w² ⇒ ⎨ Kτ ⎪ Im ( H(jw) ) = − ⎪ 1 + τ²w² ⎪ ⎪ 0.2

0

-2

10

-1

10

10 0

0

1

10

K .w02 K S( p ) = 2 = H( p ) = E( p ) p + 2.z .w0 . p + w02 p 2 2.z + p+1 Cours, Travaux w0 w02 dirigés

100

200

300

400

500

Time (sec)

et Travaux pratiques

Pour le⎤ technicien supérieur ⎡ 1 − zw0 t 2 s( t ) = K ⎢1 − .e . sin w0 1 − z .t + ϕ ⎥ . 2 ⎢⎣ ⎥⎦ 1− z

(

)

Cours, Cours,Travaux Travauxdirigés dirigésetetTravaux Travauxpratiques pratiques

Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII) an

dy n dt n

+ ... + a 2

dy 2 dt 2

dy dx m dx 2 dx + a1 + a0 .y = bm m + ... + b2 2 + b1 + b0 .x dt dt dt dt

Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Institut Supérieur des études technologiques de Sfax Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

600

Plan du cours Nomenclature Chapitre 1 : Notion de systèmes lineaires asservis 1. Notion de systèmes................................................................................................................. 2 1.1. Définition........................................................................................................................... 2 1.2. Classification des systèmes.............................................................................................. 2 1.2.1. Les systèmes linéaires .............................................................................................. 2 1.2.2. Les systèmes invariants ............................................................................................ 3 1.2.3. Les systèmes à modèle déterministe ........................................................................ 3 1.2.4. Les systèmes asservis .............................................................................................. 3 1.3. Performances des systèmes asservis .............................................................................. 5 1.3.1. Notion de stabilité...................................................................................................... 5 1.3.2. Notion de rapidité ...................................................................................................... 5 1.3.3. Notion de précision ................................................................................................... 6 2. Notion de signal....................................................................................................................... 6 2.1. Définition........................................................................................................................... 6 2.2. Signaux canoniques ......................................................................................................... 6 3. Réponses particulières d’un système scalaire ..................................................................... 7 3.1. Réponse impulsionnelle.................................................................................................... 7 3.2. Réponse indicielle............................................................................................................. 7 4. Réponse à un signal quelconque........................................................................................... 7 Chapitre 2 : Les systèmes linéaires continus 1. Présentation........................................................................................................................... 10 1.1. Définition......................................................................................................................... 10 1.2. Principe de proportionnalité ............................................................................................ 10 1.3. Principe d'additivité ou de superposition......................................................................... 11 2. Mise en équation d’un système linéaire .............................................................................. 11 3. Transformée de Laplace ....................................................................................................... 12 3.1. Formulation mathématique ............................................................................................. 13 3.2. Propriétés et théorèmes ................................................................................................. 13 3.3. Table des transformées de Laplace................................................................................ 14 3.4. Exemple.......................................................................................................................... 17 4. Série de TD N°1...................................................................................................................... 19

Cours d’automatique et régulation

-I-

Chapitre 3 : Représentation graphique des systèmes linéaires continus 1. Fonction de transfert............................................................................................................. 21 2. Diagramme fonctionnel......................................................................................................... 22 2.1. Définition......................................................................................................................... 22 2.2. Exemple de schéma bloc d’un système en boucle fermée ............................................. 22 2.3. Règles de simplification .................................................................................................. 22 2.3.1. Mise en série........................................................................................................... 22 2.3.2. Mise en parallèle ..................................................................................................... 23 2.3.3. Structure en boucle fermée ..................................................................................... 23 2.3.4. Déplacement des nœuds d’informations ................................................................. 24 2.3.5. Permutation de deux nœuds successifs.................................................................. 24 2.3.6. Déplacement de sommateurs ................................................................................. 24 2.3.7. Permutation de deux sommateurs successifs ......................................................... 25 2.4. Principales transmittances électriques et mécaniques ................................................... 25 2.5. Applications .................................................................................................................... 26 2.5.1. Système électronique.............................................................................................. 26 2.5.2. Moteur à courant continu......................................................................................... 28 3. Lieux de transfert................................................................................................................... 29 3.1. Introduction..................................................................................................................... 29 3.2. Interprétation dans le plan complexe .............................................................................. 29 3.3. Les lieux de transfert ...................................................................................................... 30 3.3.1. Lieu de Bode ........................................................................................................... 30 3.3.2. Lieu de Nyquist ....................................................................................................... 30 3.3.3. Lieu de Black........................................................................................................... 31 3.3.4. Abaque de Black ..................................................................................................... 31 4. Série de TD N°2...................................................................................................................... 32 Chapitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires 1. Etude d'un système de premier ordre.................................................................................. 35 1.1. Etude temporelle............................................................................................................. 35 1.1.1. Définition ................................................................................................................. 35 1.1.2. Réponse impulsionnelle .......................................................................................... 35 1.1.3. Réponse indicielle ................................................................................................... 36 1.1.4. Application............................................................................................................... 36 1.1.5. Relation temps–fréquence ...................................................................................... 37 1.2. Etude harmonique .......................................................................................................... 37 1.2.1. Représentation de Bode.......................................................................................... 38 1.2.2. Représentation deNyquist ....................................................................................... 39 1.2.3. Représentation de Black ......................................................................................... 40 2. Etude d'un système de second ordre .................................................................................. 41 2.1. Définition......................................................................................................................... 41 2.2. Etude temporelle............................................................................................................. 42 2.2.1. Réponse impulsionnelle .......................................................................................... 42 2.2.2. Réponse indicielle ................................................................................................... 43

Cours d’automatique et régulation

- II -

2.3. Etude harmonique .......................................................................................................... 47 2.3.1. Diagrammes de Bode.............................................................................................. 47 2.3.2. Représentation dans le plan de Nyquist.................................................................. 50 2.3.3. Représentation dans le plan de Black ..................................................................... 50 2.3.4. Exemple .................................................................................................................. 51 3. Série de TD N°2...................................................................................................................... 52 Chapitre 5 : Performances des systèmes linéaires asservis 1. Introduction............................................................................................................................ 58 2. Stabilité................................................................................................................................... 58 2.1. Définition......................................................................................................................... 58 2.2. Condition de stabilité ...................................................................................................... 58 2.2.1. Critère de Routh...................................................................................................... 59 2.2.2. Applications............................................................................................................. 59 2.3. Critère de Nyquist ........................................................................................................... 60 2.3.1. Critère de Nyquist simplifié...................................................................................... 60 2.3.2. Marge de gain ......................................................................................................... 61 2.3.3. Marge de phase ...................................................................................................... 61 2.4. Critère de Black .............................................................................................................. 62 2.4.1. Critère de Black....................................................................................................... 62 2.4.2. Abaque de Black–Nichol’s....................................................................................... 63 2.5. Critère de Bode............................................................................................................. 64 2.5.1. Critère de Rivers ..................................................................................................... 64 2.5.2. Critère de Bode ....................................................................................................... 64 3. Précision ................................................................................................................................ 64 3.1. Définition......................................................................................................................... 64 3.2. Classe d’un système....................................................................................................... 65 4. Rapidité .................................................................................................................................. 66 4.1. Rappel et définition ......................................................................................................... 66 4.2. Critère de Naslin ............................................................................................................. 66 5. Série de TD N°3...................................................................................................................... 68 6. Série de TD N°4...................................................................................................................... 69 Chapitre 6 : Les régulateurs 1. Généralités ............................................................................................................................. 72 1.1. Tâches du régulateur...................................................................................................... 72 1.2. Inventaire........................................................................................................................ 72 2. Rôles des régulateurs ou correcteurs ................................................................................. 73 3. Réglage proportionnel .......................................................................................................... 73 3.1. Principe........................................................................................................................... 73 3.2. Statisme.......................................................................................................................... 73 3.3. Correcteur à action Proportionnelle ................................................................................ 74 3.4. Correcteur à action Dérivée............................................................................................. 74 3.5. Correcteur à action Intégrale........................................................................................... 75

Cours d’automatique et régulation

- III -

4. Types de correcteurs ............................................................................................................ 75 4.1. Correcteur à action Proportionnelle Dérivée................................................................... 75 4.2. Correcteur à action Proportionnelle Intégrale ................................................................. 75 4.3. Correcteur à action Proportionnelle Intégrale Dérivée .................................................... 76 5. Série de TD N°5...................................................................................................................... 77 Problèmes 1. Problème n°1 ......................................................................................................................... 80 2. Problème n°2 ......................................................................................................................... 80 3. Problème n°3 ......................................................................................................................... 81 4. Problème n°4 ......................................................................................................................... 81 5. Problème n°5 ......................................................................................................................... 82 6. Problème n°6 ......................................................................................................................... 82 7. Problème n°7 ......................................................................................................................... 84 Travaux Pratiques TP d'initiation : Equipement du laboratoire............................................................................. 87 TP1 : Étude d’un système de premier ordre............................................................................ 94 TP2 : Étude d’un système de second ordre .......................................................................... 101 TP3 : Simulation d’un système de premier et de second ordre........................................... 109 TP 4 : Simulation de la régulation de vitesse d’un moteur .................................................. 114 Annexe Bibliographie

Cours d’automatique et régulation

- IV -

Nomenclature

J C ch k Im Re m Ta wa

Argument. Capacité. Classe d'un système. Coefficient d’amortissement d'un système de second ordre. Constante du temps ou temps de réponse d'un système de premier ordre. Dépassement relatif d’ordre k. Déphasage en degrés. Échelon de position unitaire. Entrée d'un système. Erreur ou écart. Force électromotrice. Fréquence de coupure d'un système de premier ordre. Gain en décibels. Gain statique du régulateur Dérivée. Gain statique du régulateur Intégral. Gain statique du régulateur Proportionnel. Gain statique d'un système de premier ordre ou de second ordre. Impulsion de Dirac. Inductance. Marge de gain. Marge de phase. Moment d'inertie. Moment du couple de charge. Ordre du dépassement relatif. Partie imaginaire. Partie réelle. Pôles de l’équation caractéristique d'un système. Pseudo–période. Pulsation amortie.

wc

Pulsation de coupure d'un système de premier ordre.

wR

Pulsation de résonance. Pulsation propre non amortie d'un système de second ordre. Pulsation.

Arg C

α z τ Dk ϕ

u (t ) e(t)

ε

f.e.m fc Gdb τd τi KP K δ(t) L Am

ϕm

w0 w

Cours d’automatique et régulation

-V-

D I PD PID PI P Rch R s(t) tm Tpic t10% t5% t90% Ts tk

Régulateur Dérivée. Régulateur Intégral. Régulateur Proportionnel Dérivée. Régulateur Proportionnel Intégral Dérivée. Régulateur Proportionnel Intégral. Régulateur Proportionnel. Résistance de charge. Résistance. Sortie d'un système. Temps de montée. Temps de pic. Temps de réponse à 10%. Temps de réponse à 5%. Temps de réponse à 90%. Temps de stabilisation Temps du dépassement relatif d’ordre k.

LP-1

Transformée Laplace inverse.

LP p Ω n

Transformée Laplace. Variable de Laplace Vitesse de rotation angulaire. Zéros de l’équation caractéristique d'un système.

Cours d’automatique et régulation

- VI -

Notion de systèmes linéaires asservis

Chapitre 1

Cours d’automatique et régulation

-A-

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

Chapitre 1 : Notion de systèmes lineaires asservis 1. Notion de systèmes 1.1. Définition Un système peut être défini comme un ensemble d’éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l’intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelés signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes : x1(t)…xN(t) pour les signaux d’entrée de commande. y1(t)…yM(t) pour les signaux de sortie. Les signaux de sortie d’un système sont aussi appelés réponse du système. y1(t) x1(t) SYSTEME xN(t) yM(t) Remarque Les systèmes à une entrée et à une sortie sont appelés systèmes monovariables ou systèmes scalaires. Un système est connu par son action sur le milieu extérieur. Lorsqu’on applique certains signaux d’entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie particuliers. Le système est parfaitement connu par la connaissance des relations liant les entées avec les sorties. Exemple Soit le circuit électrique suivant : 1 x(t ) = R.i(t ) + ∫ i(t ).dt C avec y (t ) =

1 i(t ).dt . C∫

On a donc l’équation du système : R .C .

R

x(t )

i (t )

C

y (t )

dy (t ) + y (t ) = x(t ) . dt

1.2. Classification des systèmes 1.2.1. Les systèmes linéaires Un système est linéaire si la réponse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d’entrée est égale à la combinaison linéaire des réponses. x1(t)

SYSTEME

y1(t)

x2(t)

SYSTEME

y2(t)

Si on applique à l’entrée : x(t ) = a .x1 (t ) + b.x 2 (t ) . On obtient en sortie : y (t ) = a . y1 (t ) + b. y 2 (t ) . Cette propriété des systèmes linéaires est aussi appelée principe de superposition. Cours d’automatique et régulation

2

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

1.2.2. Les systèmes invariants Un système est dit invariant (stationnaire) si la réponse du système à un signal x(t) différé d’un temps τ est la même que la réponse y(t) du système mais différée de τ . Entrée

Entrée

x(t )

x(t − τ )

t

t t- τ

Sortie

Sortie

y (t )

y (t − τ )

t −τ

t −τ

t- τ Un système invariant est aussi appelé système à paramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence. Exemple: ƒ Moteur Courant

MOTEUR

Couple

Si on néglige l’usure, le moteur n’évolue pas dans le temps : le système est invariant.

1.2.3. Les systèmes à modèle déterministe Un modèle déterministe ( ≠ stochastique) possède des entrées et des paramètres non bruités de telle façon que son comportement soit parfaitement prévisible en avance. 1.2.4. Les systèmes asservis L’étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents processus rencontrés. Il existe deux solutions pour commander un système : 1. Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties. Exemple : Rhéostat

Résistance chauffante

Four

Pour utiliser ce type de commande, il est nécessaire de connaître le système et les réponses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiples perturbations peuvent modifier l’action de ces commandes : si la porte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne correspondent plus à la température intérieure. 2. Commande en boucle fermée Pour améliorer les performances d’une commande, il est indispensable d’observer les sorties du système pour les comparer à ce que l’on désire obtenir. Dans ce deuxième type de commande, les sorties du système sont contrôlées. C’est à ce niveau que l’on rencontre la notion de système asservi.

Cours d’automatique et régulation

3

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une correspondance définie entre une ou plusieurs grandeurs d’entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques plus élevés. Un système asservi est caractérisé par la présence de : • Chaînes directes: Elles comprennent des éléments amplificateurs et éventuellement, des convertisseurs de puissance, en liaison avec la source d’énergie. • Chaînes de retour : Elle sont constituées d’éléments de précision généralement passifs. Ce ne sont pas des chaînes de puissance ; elles transmettent à l’entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comparées aux signaux d’entrée au moyen de comparateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d’entrée et les informations images des signaux de sortie. Exemple : Chauffage d’un immeuble

θe θ

Système

T

Figure A

θe

θe θ0

+

-

T

a

θ

Système

Figure B

θe

θe +

-

a

T

Système

θC θ

-+

P Figure C La figure A représente le système. La température θ à l’intérieur de l’immeuble est fonction de la température T de l’eau chaude envoyé dans les radiateurs et de la température extérieure θ e . Nous représentons cette description, volontairement simplifiée par une boite munie d’une sortie θ , d’une entrée de commande T à la disposition de l’opérateur et d’une perturbation θ e . Le rayonnement solaire dans l’immeuble, le vent ou d’autres grandeurs agissant aussi sur la température θ . C’est volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises en compte par notre modèle qui doit, avant tout, être simple. C’est l’utilisateur qui règle T, en

Cours d’automatique et régulation

4

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

vue d’obtenir θ = 19°C par exemple (en régime permanent). Il sait, par expérience, qu’il obtient un bon résultat en réglant T. La figure B représente alors une première tentative de réglage automatique de T, tel que T = a .(θ − θ e ) . Dans cette configuration, l’opérateur n’aura plus besoins de retoucher T en fonction de la température extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse de θ e . Quand θ 0 = θ e on a T=0, ce qui signifie qu’on doit bien entendue, couper le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats. La figure C représente une amélioration du réglage automatique de T. Supposons que par temps froide le soleil pénètre à l’intérieur de l’immeuble. La température θ va s’élever sans pour autant que la température T de l’eau des radiateurs ne soit réduite puisqu’il ne dépend que θ e . Il se produira une surchauffe et on doit modifier T, c’est à dire pour diminuer θ 0 . Il est clair que cette opération peut s’effectuer de façon automatique en rendant θ 0 dépendant de la température θ effectivement atteinte dans l’immeuble. Pour cela θ est comparée à une consigne θ C , réglable par l’utilisateur à l’aide d’une boucle d’asservissement.

1.3. Performances des systèmes asservis 1.3.1. Notion de stabilité On dit qu’un système est stable, lorsque celui-ci tend à revenir à son état d’équilibre lorsqu’on lui applique une perturbation de courte durée.

1.3.2. Notion de rapidité La rapidité quantifie le temps de réponse du système.

Le temps mis par la réponse pour ne plus dépasser ±5% de la valeur finale. Ce temps est retenu comme critère de rapidité : t5%

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5

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

1.3.3. Notion de précision La précision quantifie l’erreur lorsque l’équilibre est atteint.

Avec e(t ) et s (t ) de même nature. Autrement, l’erreur est mesurée à la sortie du comparateur.

2. Notion de signal 2.1. Définition Un signal dans un système de commande automatique représente une grandeur physique qui peut être une température, une force, une pression, une vitesse, une tension, un débit. Ce signal peut être sous forme logique (binaire), analogique, numérique (codé), selon la nature de commande : analogique ou numérique. Dans notre cas, nous étudions les signaux analogiques relatif à la commande linéaire continue des processus. En pratique, un signal est une tension entre 0 et 5V ou un courant entre 0 et 20 mA, cas de processus industriels. • Un signal s (t ) est causal si s (t ) = 0 ∀ t < 0 . • Un signal s (t ) est déterministe si s (t ) est connu.

• Un signal s(t ) est aléatoire si ∃ t tel que s(t ) est inconnu.

2.2. Signaux canoniques ƒ

Impulsion de Dirac 1 Si ε → ∞ alors → 0 .

ε

Si ε → 0 alors

1

ε

e(t)=δ(t) ε

→ ∞.

t

e(t ) est une impulsion de Dirac idéale.

ƒ Echelon de position Si t > 0 : e(t ) = e0 . Si t < 0 : e(t ) = 0 . Si e0 = 1 : e(t ) est un échelon de position unitaire noté u (t ) . ƒ Echelon de vitesse e(t ) = tgα .t .u (t ) . Si tgα = 1 : e(t ) = t .u (t ) e(t ) est appelée échelon de vitesse unitaire.

Cours d’automatique et régulation

1

ε e(t) e0 t

e(t)

α

t

6

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

e(t)

ƒ Echelon d’accélération e(t ) = a .t 2 .u (t ) . Si a=1 : e(t ) appelée échelon d’accélération unitaire.

t e(t)

ƒ Sinusoïde e(t ) = E m . sin(ωt ).u (t ) . Si Em=1 : e(t ) appelée sinusoïde unitaire.

t

3. Réponses particulières d’un système scalaire On considère ici un système scalaire, c’est à dire à une entrée et à une sortie. x(t)

Système

y(t)

Pour connaître le comportement du système et le comparer à d’autres systèmes, on étudie les réponses à quelques signaux particuliers.

3.1. Réponse impulsionnelle On appelle réponse impulsionnelle, la réponse notée h(t ) , obtenue par l’application d’une impulsion de Dirac δ(t) à l’entrée du système, celui- ci étant initialement au repos. y(t)=h(t) 1

δ(t) t

t

3.2. Réponse indicielle On appelle réponse indicielle, la réponse notée ω (t ) , obtenue par l’application d’un échelon unité u (t ) à l’entrée du système, celui-ci étant initialement au repos.

y (t ) = ω (t )

u (t ) 1 t

t

4. Réponse à un signal quelconque Définition de la convolution temporelle On considère un système scalaire linéaire invariant de réponse impulsionnelle h(t ) . Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au repos, la réponse y (t ) à un

Cours d’automatique et régulation

7

Chapitre 1

Notion de systèmes linéaires asservis

signal d’entrée quelconque x(t ) est donnée par le produit de convolution entre x(t ) et la réponse impulsionnelle du système :

y (t ) =

+∞

∫ x(v ).h(t − v ).dv = x(t ) ⊗ h(t )

−∞

Cette expression est fondamentale. Elle permet, en connaissant le système par sa réponse impulsionnelle h(t ) et l’entrée x(t ) , de déterminer y (t ) . Elle peut donc remplacer totalement l’équation différentielle régissant le système. Cette expression se note de façon condensée : y (t ) = x(t ) ⊗ h(t ) . ‘ ⊗ ’ est l'opérateur de convolution ; y (t ) est la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du système. Remarques • Le produit de convolution est commutatif : y (t ) = x(t ) ⊗ h(t ) = h(t ) ⊗ x(t ) . • L’impulsion de Dirac et la réponse impulsionnelle (si x et y ont la même dimension) sont homogènes à l’inverse d’un temps. Ce sont des éléments mathématiques qui permettent de formaliser les comportements des systèmes mais qui n’ont pas de réalité physique. Si l’impulsion de Dirac est appliquée à l’instant zéro, la réponse impulsionnelle est forcément nulle pour t < v car h(t − v ) = 0 , le système étant supposé causal (cas des systèmes physiquement réalisables). De plus, si le signal est lui-même causal (appliqué au temps t = 0 ), alors x(v ) = 0 si v < 0 . Les bornes de l’intégrale de convolution se simplifient et le produit de convolution s’écrit :

y (t ) =

+∞

∫ x(v ).h(t − v ).dv 0

Exemple: Calcul de la réponse indicielle d’un circuit RC à partir de sa réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle d’un circuit RC s’écrit : h( t ) =

1

τ

.exp

−

t

τ

avec τ = R.C .

On se propose d’utiliser la convolution pour déterminer la réponse indicielle ω (t ) du circuit RC à un échelon d’amplitude E à partir de sa réponse impulsionnelle h(t ) .

w( t ) = h( t ) ⊗ E .u( t ) =

+∞

+∞

0

0

∫ h( t −ν ).E .u(ν ).dν = E ∫ h( t −ν ).dν .

Soit +∞

E⎡ t −ν w( t ) = E . ∫ .exp( − ).dν = ⎢τ .exp( − τ τ τ ⎣ τ 0 1

t −ν

Cours d’automatique et régulation

+∞

t ⎞ ⎤ ⎛ )⎥ = E .⎜ 1 − exp( − ) ⎟ τ ⎠ ⎦0 ⎝

8

.

Les systèmes linéaires continus

Chapitre 2

Cours d’automatique et régulation

9

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

Chapitre 2 : Les systèmes linéaires continus 1. Présentation On appelle système dynamique un système dont l'étude ne peut être réalisée qu’en prenant en compte les valeurs passées du phénomène. Les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d'entrées. Les phénomènes d'inertie (inertie mécanique, inertie thermique...) influent sur le comportement du système. Nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants.

1.1. Définition Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par deux propriétés, la proportionnalité et l’additivité. 1.2. Principe de proportionnalité L’effet est proportionnel à la cause

Remarque L'effet de proportionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa position d'équilibre ou que le régime permanent s'est établi.

La caractéristique Entrée/Sortie d'un système linéaire est une droite dont la pente

Y est appelée gain du système. X

Cours d’automatique et régulation

10

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

La réponse, en régime définitif, d’un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée.

1.3. Principe d'additivité ou de superposition

Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant la réponse d'un système à des sollicitations simples de déterminer par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus complexes.

2. Mise en équation d’un système linéaire Un système dynamique linéaire peut être représenté par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie. Sortie Entrée y x Système

linéaire L’équation générale d’un système linéaire est de la forme : an

dy n dt n

+ a n −1

dy n −1 dt n −1

+ ... + a 2

dy 2 dt 2

+ a1

dy dx m dx m −1 dx 2 dx + a0 . y = bm m + bm −1 m −1 + ... + b2 2 + b1 + b0 .x dt dt dt dt dt

Nous ne savons résoudre dans le cas général que les équations différentielles du premier et du second ordre et dans quelques cas particuliers des équations d’ordre supérieur. Le problème de l’automatisation est plus complexe que la résolution puisqu’il s’agit de déterminer la loi d’entrée x qui permet d’obtenir la sortie désirée y. La représentation par l'équation différentielle nécessite pour connaître la réponse à une entrée de résoudre l'équation. Principe de la résolution La solution d’une équation différentielle est la somme d’une solution générale et de la solution particulière. La solution générale représente la composante transitoire, la solution particulière représente la composante permanente. La solution générale est

Cours d’automatique et régulation

11

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

déterminée par la résolution de l'équation sans second membre. La solution particulière est déterminée en fonction de la forme de x(t ) . Exemple circuit RC R

ue

C

us

En utilisant la loi des mailles on obtient : ⎧u e ( t ) − u s ( t ) = R.i( t ) ⎪ ⎨i = C . du s ⎪⎩ dt D’où l’équation différentielle en substituant i dans la première équation : du u e ( t ) − u s ( t ) = R .C . s dt du ⇒ u e ( t ) = R.C . s + u s ( t ) dt La solution générale est solution de l’équation suivante : du R.C . s + u s ( t ) = 0 dt La solution est de la forme s g ( t ) = K .e at Par identification, on détermine le coefficient « a ». 1 1 a=− =− RC τ Le coefficient K sera déterminer en fonction des conditions initiales.

La solution particulière dans le cas où u e ( t ) = U 0 est solution de l’équation cidessous : du R .C . s + u s ( t ) = U 0 dt La solution particulière est de la même forme que l’entrée. Ici s p ( t ) = U 0

La solution complète est la somme des deux solutions : −

t RC

u s ( t ) = s g ( t ) + s p ( t ) = K .e + U0 La dernière constante est déterminée en fonction des conditions initiales (on suppose ici que le condensateur est complètement déchargé). u s ( t = 0 ) = 0 ⇒ K = −U 0 t ⎛ − RC ⎜ D’où u s ( t ) = U 0 1 − e ⎜ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

3. Transformée de Laplace L'étude des systèmes s'accompagne inévitablement de la manipulation d'équations différentielles. Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant: la transformée de Laplace.

Cours d’automatique et régulation

12

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

3.1. Formulation mathématique Soit f (t ) une fonction réelle de la variable réelle t , définie pour toute valeur de t , sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour t < 0 . La transformée Laplace de f (t ) est définie par l'égalité :

F ( p) =

+∞

∫e

− pt

. f (t ).dt

0

p étant une variable complexe. On note : F ( p ) = LP[ f (t )] et f (t ) = LP −1 [F ( p )] . On dit que F ( p ) est la transformée de f (t ) et que f (t ) est l'original de F ( p ) . Pour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Laplace, il est nécessaire de savoir effectuer le passage de f (t ) à F ( p ) mais aussi de F ( p ) à f (t ) .

3.2. Propriétés et théorèmes Les propriétés de la transformée de Laplace sont réunies dans le tableau ci-après : Originale

Transformée de Laplace

f(t)

F(p)

Linéarité

a . f 1 ( t ) + b. f 2 ( t )

a.F1 ( t ) + b.F2 ( t )

Dérivation

f ′(t )

p .F ( p ) − f ( 0 + )

Dérivation d’ordre n

f n (t ) (n>0)

Intégration

∫ f ( t ).dt

F( p ) p

Retard

f ( t −θ )

e −θp .F ( p )

Changement d’échelle

f ( a .t )

1 ⎛ p⎞ .F ⎜ ⎟ a ⎝a⎠

Propriété

p n .F ( p ) − p n −1 . f ( 0 + ) − ... − p . f

n−2

(0+ ) − f

n −1

(0+ )

A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants : ƒ

Théorème de la valeur finale :

lim p .F ( p ) = lim f ( t ) p →0

ƒ

t →∞

Théorème de la valeur initiale :

lim p .F ( p ) = lim f ( t )

p →∞

ƒ

t →0

Théorème de Borel : Si f (t ) et g (t ) ont respectivement pour transformée de Laplace F ( p ) et G ( p ) , alors h(t ) = f (t ) ⊗ g (t ) a pour transformée : H ( p ) = F ( p ).G ( p ) .

Cours d’automatique et régulation

13

Chapitre 2

ƒ

Les systèmes linéaires continus

Théorème du développement de Heaviside : Pour trouver l’originale d’une fraction F( p ) , où le degré de F ( p ) est inférieur au degré de G ( p ) , on la rationnelle G( p ) décompose en éléments simples de première espèce, et l’on applique la formule:

⎡ t K −1 ⎤ 1 LP ⎢ e at ⎥ = k ⎣ ( K − 1 )! ⎦ ( p − a ) 3.3. Table des transformées de Laplace Il est souvent plus simple de calculer la transformée de Laplace d’une fonction à partir de la transformée connue d’une autre fonction en utilisant les propriétés et théorèmes énoncés. A partir de quelques résultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement les Transformées de Laplace de la plupart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d’éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroupe dans des tables de Transformées de Laplace. Une table résumée des Transformées de Laplace les plus usuelles en électronique est la suivante : f (t )

F ( p)

δ(t )

1

δ ( n )( t )

pn

A p A p²

A A.t t n −1 n entier n ≥ 1 ( n − 1 )!

A pn 1 1 + Tp 1 p( 1 + Tp ) 1 p²( 1 + Tp )

t

1 −T .e T 1−e

−

t T

t − T + Te 1 T1 − T2

n>0

−

t T

t ⎛ −t − ⎜ e T1 − e T2 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

t t ⎛ − − ⎞ ⎜ T .e T1 − T .e T2 ⎟ 2 ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ t t − 1 ⎛⎜ 2 − T2 T1 2 − T1 .e t − (T1 + T2 ) − T2 .e T1 − T2 ⎜ ⎝

1 ( 1 + T1 p ).( 1 + T2 p ) 1 p .( 1 + T1 p ).( 1 + T2 p )

1 1− T1 − T2

Cours d’automatique et régulation

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 p².( 1 + T1 p ).( 1 + T2 p )

14

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

f (t )

F ( p)

1 T

( T − t ).e 3

−

p

t T

( 1 + Tp ) 2 1

t

t −T .e T2

( 1 + Tp ) 2 1

t

t⎞ − ⎛ 1 − ⎜ 1 + ⎟.e T T⎠ ⎝

t − 2T + ( t + 2T ).e

−

p.( 1 + Tp ) 2 1

t T

p 2 .( 1 + Tp ) 2 p

w02 1 − z²

w0

.e

− zw0t

(

. sin w0 1 − z² t + θ

)

1+

θ =π − Arc cos z

(

.e − zw0t . sin w0 1 − z² t

)

1

0< z b 2 :

(

1 e p1t − e p2t p1 − p 2

)

⎧⎪ p = −a + a 2 − b 2 avec ⎨ 1 ⎪⎩ p 2 = −a − a 2 − b 2 Si a 2 = b 2 : t .e − at 1 Si a 2 < b 2 : .e − at . sin wt avec w = b 2 − a 2 w

Cours d’automatique et régulation

p2 2z p+ 2 w0 w0

1

Ψ = Arc cos z

t−

p2 2z p+ 2 w0 w0

1 p + 2ap + b 2 2

15

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

f (t ) Si a 2 > b 2 :

F ( p)

1 1 1 ⎞ ⎛ 1 + ⎜ pt − pt ⎟ 2 1 p1 − p 2 ⎝ e b e 2 ⎠

⎧⎪ p = −a + a 2 − b 2 avec ⎨ 1 ⎪⎩ p 2 = −a − a 2 − b 2 1 Si a 2 = b 2 : 2 1 − e − at − a.t .e −at a ⎞ 1 ⎛ e − at 2 2 ⎜ Si a < b : 2 ⎜ 1 − ( a . sin wt + w. cos wt ) ⎟⎟ w b ⎝ ⎠

(

)

(p

1 2

+ 2ap + b 2

)

2

⎛ ⎞ b.e − at ⎜1 − ⎟ + . sin( wt ϕ ) ⎜ ⎟ w ⎝ ⎠ w avec w = b 2 − a 2 et tgϕ = a

1 = 2 b

1 at .e . sin( wt ) w

1

( p − a )2 + w 2 p−a

e at . cos( wt )

( p − a )2 + w 2

1 .sh( wt ) w

1 p − w2 p 2 p − w2 1

ch( wt )

1 at .e .sh( wt ) w

2

( p − a )2 − w 2 p−a

e at .ch( wt )

( p − a )2 − w 2

e bt − e at b−a

1 ( p − a) − ( p − b )

b.e bt − a.e at b−a

p ( p − a) − ( p − b )

( c − a ).e bt − ( c − b ).e at b−a

p+c ( p − a) − ( p − b )

e − at e −bt e − ct + + ( b − a )( c − a ) ( a − b )( c − b ) ( a − c )( b − c )

1 ( p + a )( p + b )( p + c )

sin( wt ) − w.t . cos( wt ) 2.w 3

1 ( p + w 2 )2

Cours d’automatique et régulation

2

16

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

f (t )

F ( p)

1 .t . sin( wt ) 2w

p ( p + w 2 )2

sin( wt ) − w.t . cos( wt ) 2.w

p2 ( p 2 + w 2 )2

cos( wt ) −

2

p3 ( p 2 + w 2 )2

1 w.t . sin( wt ) 2

p 2 − w2 ( p 2 + w 2 )2

t . cos( wt )

wt

e2 3.w 2

1 p − w2

Formules en

⎧sin( ix ) = +i .sh( x ) avec⎨ ⎩ cos( ix ) = ch( x )

2

changer w en iw

wt ⎛ −3 ⎜ 3 sin⎛⎜ 3 .wt ⎞⎟ − cos⎛⎜ 3 .wt ⎞⎟ + e 2 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

wt e2

⎛ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ −3 wt2 ⎜ cos⎜ .wt ⎟⎟ + 3 sin⎜⎜ .wt ⎟⎟ − e 3.w ⎜⎝ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 p + w3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

p p + w3

3

3

wt − ⎛ 3 ⎞⎞ 1 ⎛⎜ wt e + 2.e 2 .cos⎜⎜ .wt ⎟⎟ ⎟ 3 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠

p2 p 3 − w3

e −bt − e − at

1 p+a +

2( b − a ). π .t 3

e

−a ²

e −a

4t

2 πt

3

.e

(

p

p

π .t a

p+b

−a²

4t

1 −bt e − e −at t

e −a

)

p

⎛ p+a⎞ ⎟⎟ Ln⎜⎜ ⎝ p+b⎠

3.4. Exemple

i(t) ue

Cours d’automatique et régulation

R

C

us

17

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

Le comportement de chaque constituant est décrit par les équations suivantes :

⎧u e ( t ) − u s ( t ) = R.i( t ) ⎪ ⎨i = C . du s ⎪⎩ dt Passons dans le domaine symbolique On pose : L [ u s ( t )] = U s ( p ) , L [ u e ( t )] = U e ( p ) , L [ i( t )] = I ( p ) . Nous savons que la dérivée première d’une fonction temporelle est : ⎡ df ( t ) ⎤ si L [ f ( t )] = F ( p ) L⎢ = p .F ( p ) − f ( 0 + ) , ⎥ ⎣ dt ⎦ de même pour la dérivée seconde : • ⎡ df 2 ( t ) ⎤ + 2 L⎢ = p . F ( p ) − p . f ( 0 ) − f (0+ ) 2 ⎥ ⎣ dt ⎦ Nous supposons que les conditions initiales sont nulles : u e ( t ) − u s ( t ) = R .i( t ) ⇒ U e ( p ) − U s ( p ) = R .I ( p )

du s ⇒ I ( p ) = C . p .U s ( p ) dt En substituant I(p), on obtient : i = C.

U e ( p ) − U s ( p ) = R .C .U s ( p )

⇒

Us( p ) =

1 .U e ( p ) 1 + τ .p

On prend pour l’entrée u e ( t ) = U 0 , donc dans le domaine symbolique U e ( p ) =

Us( p ) =

U0 . p

U 1 . 0 1 + τ .p p

Décomposition en éléments simples : U ⎛ A 1 B⎞ Us( p ) = . 0 = U 0 ⎜⎜ + ⎟⎟ 1 + τ .p p ⎝ 1 + τ .p p ⎠ On déduit donc B = 1

A = −τ

⇒

⎛ A. p + B.( 1 + τ . p ) ⎞ ⎟⎟ U s ( p ) = U 0 ⎜⎜ ( 1 + τ .p ) p ⎠ ⎝

⎛ −τ 1⎞ + ⎟⎟ . La décomposition s’écrit U s ( p ) = U 0 ⎜⎜ ⎝ 1 + τ .p p ⎠ t ⎛ − RC ⎜ D’où la solution : u s ( t ) = U 0 1 − e ⎜ ⎝

Cours d’automatique et régulation

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

18

Chapitre 2

Les systèmes linéaires continus

4. Série de TD N°1 Exercice n°1 1. s1 ( t ) = 2. exp(− 0 ,5.t ) 2. s 2 ( t ) = 4.(1 − exp (− 0 ,1.t )) 3. s 3 ( t ) = 3t ² Calculer la transformée de Laplace des signaux causaux, on vérifiera les théorèmes des valeurs finale et initiale. Donner la réponse indicielle de ces trois fonctions. Exercice n°2 Donner les transformées de Laplace des fonctions suivantes : 1. y1 ( t ) = t . exp(− a .t ).u (t ) . 2. y 2 ( t ) = exp(− a .t ). sin(w.t ).u (t ) . 3. 4.

y 3 ( t ) = sin 2 (w.t ).u (t ) . y 4 ( t ) = sin Ω .t . sin wt .u (t ) .

Exercice n°3 Inverser la transformation de Laplace (p est la variable de Laplace) en utilisant la table de Laplace. 4 . 1. F1 (p) = 0,1 p + 3 3 . 2. F2 (p) = p 2 + 3 p+ 2 0,5. exp(− 2 p ) 3. F3 (p) = . 1+ p 4(1 + 2 p) 4. F4 (p) = . p(1 + p) Si f 4 ( t ) est la réponse indicielle d’un processus P, donner la réponse impulsionnelle. Exercice n°4 Calculer la transformée de Laplace inverse de chacune des fonctions suivantes : 1 1. F1 ( p ) = . ² p ² ⎛⎜ p ² + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ 1 2. F2 ( p ) = . 3 ( p + 1) . p 2 + 2p + 2

(

3. F3 (p) = 4. F4 (p) =

)

1 . p . p4 + 4 1 − exp( −3 p)

(

)

2

2

p(p + 1) (p + 2 p + 10)

Cours d’automatique et régulation

.

19

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

Chapitre 3

Cours d’automatique et régulation

20

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

Chapitre 3 : Représentation graphique des systèmes linéaires continus 1. Fonction de transfert Un système linéaire d’entrée x(t ) et de sortie y (t ) est régi par une équation différentielle à coefficients constants du type : an

dy n dt n

+ a n −1

dy n −1 dt n −1

+ ... + a 2

dy 2 dt 2

+ a1

dy dx m dx m −1 dx 2 dx + a0 . y = bm m + bm −1 m −1 + ... + b2 2 + b1 + b0 .x dt dt dt dt dt

Si on écrit la transformation de la Laplace de l’équation différentielle à conditions initiales nulles on trouve :

H( p ) =

Y( p ) appelée fonction de transfert ou transmittance du système : X( p ) y (t ) = LP −1 (Y ( p ))

x(t )

LP

LP H ( p)

X ( p ) = LP (x(t ))

Y ( p ) = H ( p ).X ( p )

H ( p ) est appelée fonction de transfert du système. Le but de cette représentation est de pouvoir déterminer les caractéristiques de la sortie y (t ) connaissant la fonction de transfert H ( p ) du système et le signal d’entrée x(t ) . On peut mettre H ( p ) sous la forme :

Y( p ) bm .p m + bm−1 .p m−1 + .......+ b0 H( p ) = = X( p ) an .p n + an−1 .p n−1 + .......+ a0 H ( p ) peut s’écrire sous la forme : H ( p ) = k0

( p − z1 ).( p − z 2 )......( p − z m ) ; ( p − p1 ).( p − p 2 )......( p − p n )

L’ensemble des zi forme les zéros de H ( p ) , l’ensemble des pi forme les pôles de H ( p ) , et n est l’ordre de système. Exemple • Le circuit intégrateur : circuit RC :

x(t ) = R .i(t ) +

1 i( t ).dt . C∫

dy(t) x(t ) = RC . + y (t ) . dt avec y(t) = y (t ) =

R

x(t)

C

y(t)

1 i( t ).dt C∫

Cours d’automatique et régulation

21

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

On appliquant la transformée de Laplace on trouve :

RC . p.Y ( p ) + Y ( p ) = X ( p )

(RC . p + 1).Y ( p ) = X ( p )

⇒

D’où la fonction de transfert de ce système

H ( p) =

Y(p) 1 . = X(p) 1 + RC . p

2. Diagramme fonctionnel 2.1. Définition Le diagramme fonctionnel ou schéma bloc, constitue une représentation graphique d’un système asservi ou d’une partie du système. Chaque diagramme fonctionnel est constitué d’un certains nombre de symbole graphique qui sont : Elément ou groupe d’élément :

G( p )

X ( p)

Y ( p)

* Comparateur algébrique X ( p)

* Branchement d’un signal Y ( p)

ε ( p)

+_

Y ( p)

Y ( p)

2.2. Exemple de schéma bloc d’un système en boucle fermée X ( p)

+_

Deux signaux de même nature

ε ( p)

G1 ( p )

Y ( p)

G2 ( p ) Capteur

2.3. Règles de simplification 2.3.1. Mise en série Soit un système formé par la mise en série de deux sous systèmes de fonction de transfert G1 ( p ) et G2 ( p ) . La fonction de transfert de l’ensemble est G ( p ) = G1 ( p ).G2 ( p ) .

X ( p)

G1 ( p )

G2 ( p )

Y ( p)

Equivalent à :

X ( p)

Cours d’automatique et régulation

G1 ( p ).G2 ( p )

Y ( p)

22

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

2.3.2. Mise en parallèle Soit un système formé par la mise en parallèle de deux sous systèmes de fonction de transfert G1 ( p ) et G2 ( p ) . La fonction de transfert de l’ensemble est : G ( p ) = G1 ( p ) + G2 ( p ) .

G1 ( p ) + +

X ( p) G2 ( p )

Y ( p)

Equivalent à :

X ( p)

G1 ( p ) + G2 ( p )

Y ( p)

2.3.3. Structure en boucle fermée X ( p)

+_

ε ( p)

G1 ( p )

Y ( p)

G2 ( p ) Equivalent à :

X ( p)

F ( p)

Y ( p)

On a Y ( p ) = ε ( p ).G1 ( p ) et ε ( p ) = X ( p ) − Y ( p ).G2 ( p ) .

⇒ Y ( p ) = ( X ( p ) − Y ( p ).G2 ( p )).G1( p ) . ⇒ Y ( p ).( 1 + G1 ( p ).G2 ( p )) = G1 ( p ).X ( p ) . D’où F ( p ) =

G1 ( p ) Y( p ) = : Formule de Black. X ( p ) 1 + G1 ( p ).G 2 ( p )

T ( p ) = G1( p ) : Fonction de transfert en boucle ouverte. F ( p ) : Fonction de transfert en boucle fermée. Remarques : * Dans le cas où G2 ( p ) = 1

⇒ F ( p) =

G1 ( p ) Y( p ) = . X ( p ) 1 + G1 ( p )

F(p) a une chaîne de retour de transmittance 1. * Il est toujours possible de ramener un système à retour non unitaire à un système à retour unitaire.

Cours d’automatique et régulation

23

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

X ( p)

+_

ε ( p)

G1 ( p )

Y ( p)

G2 ( p ) Equivalent à :

1 G2 ( p )

X ( p)

ε ( p)

+_

Y ( p)

G1 ( p ).G 2( p )

2.3.4. Déplacement des nœuds d’informations • De l’amant à l’aval

X(p)

G(p)

Y(p)

=

X(p)

G(p)

Y(p)

1 G(p)

X(p)

X(p)

• De l’aval à l’amant

X(p)

G(p)

Y(p)

=

X(p)

G(p)

Y(p)

Y(p)

G(p)

Y(p)

2.3.5. Permutation de deux nœuds successifs N1

N1

=

N2

N2

2.3.6. Déplacement de sommateurs • De l’amant à l’aval

X1(p)

+

+

G(p)

X2(p)

Cours d’automatique et régulation

Y(p)

=

X1(p)

G(p)

X2(p)

G(p)

+

+

Y(p)

24

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

• De l’aval à l’amant

G(p)

X1(p)

+

X1(p)

Y(p) =

+

X2(p)

+

G(p)

+

Y(p)

1 G (p )

X2(p)

2.3.7. Permutation de deux sommateurs successifs X(p)

+

+

X1(p)

+

Y(p)

+

X(p)

=

+

+

X2(p)

X2(p)

+

+

Y(p)

X1(p)

2.4. Principales transmittances électriques et mécaniques R

Résistance

I(p)

i

u=L

u

di

U(p)

dt

I(p)

i

C

Condensateur

1 C

u= u

∫ idt

Frottement visqueux (amortisseur)

F

F

F

m

Masse

X(p)

1/Lp 1/Cp

I(p) U(p) I(p)

Cp

F(p)

K

X(p)

1/K

fv.p

F(p)

dt d² x

X(p)

dt ²

w

Cours d’automatique et régulation

U(p)

Lp

dx

F =m F

Inertie en rotation

F(p)

F

F = fv

U(p) X(p)

F=Kx

Ressort

1/R

I(p)

i

L

Inductance

I(p)

U(p)

u=Ri

u

U(p)

R

C=J

dw dt

Ω(p)

m.p²

J.p

F(p)

C(p)

25

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

2.5. Applications 2.5.1. Système électronique i1(t)

C1

R1

e(t)

R3

i2(t)

R2 u(t)

v(t)

C2

s(t)

Les équations régissant ce système sont :

I1 ( p) ⎧ ⎪ V ( p) = C .p + U ( p) 1 ⎪ ⎨U ( p ) = R2 (I 1 ( p ) − I 2 ( p )) ⎪ I ( p) S ( p) = 2 ⎪ C2 . p ⎩

E( p) − V ( p) ⎧ ⎪⎪ I 1 ( p ) = R1 ⎨ U ( p) − S ( p) ⎪I 2 ( p ) = R3 ⎩⎪

Le diagramme fonctionnel relatif à ces systèmes d’équations :

E(p)

+_

1 R1

I1(p)

_ R2

+

U(p)

+_

1 R3

I2(p)

1 C2 p

S(p)

1 C1 p

+

V(p)

+

C2 p E(p)

+_

1 R1

I1(p)

_ +

R2

1 C1 p

V(p)

Avec : B1

+

1 R3 .C2 . p = 1 1+ R3 .C2 . p

Cours d’automatique et régulation

U(p)

+_

1 R3 .C 2 p

S(p)

B1

+

=

1 1 + R3 .C2 . p

26

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

C2 p 1 R1

+_

E(p)

=

R2

+

1 C1 p

V(p) Avec : B2

_

I1(p)

+

U(p)

B1

S(p)

B2

1 B1

+

R2 .B1 1 + B1 .R2 .C 2 . p

E(p)

+_

1 R1

I1(p)

B2

S(p)

1 C1 p

V(p)

E(p)

+_

+

1 B1

+

1 .B2 R1

S(p)

1 B 2 .C 1 p +

V(p)

E(p)

+_

+

B2 R1

1 B1

S(p)

1 V(p) 1 + B1 B2 .C1 p B3

B2 R1 Avec : B3 = R 2⎛ 1 1+ ⎜ + 1 ⎞⎟ R1 ⎝ B1 B2.C1.p ⎠

Cours d’automatique et régulation

27

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

2.5.2. Moteur à courant continu Vu de l’extérieur, la machine peut être représentée par la mise en série d’une résistance R, d'une inductance L et d’une f.e.m à vide Ev donnée par la relation Ev = K .Ω , si Ω est la vitesse de rotation. Nous supposerons que l'ensemble fixé à l'arbre de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du couple de frottement est C = f .Ω (frottement visqueux).

Ve(p)

di( t ) + K .Ω ( t ) dt Soit en variable de Laplace Ve ( p ) = R.I ( p ) + L. p.I ( p ) + K .Ω ( p ) dΩ ( t ) Equation mécanique : J . = K .i( t ) − f .Ω ( t ) − Cch ( t ) dt J . p.Ω ( p ) = K .I ( p ) − f .Ω ( p ) − Cch ( p ) Soit en variable de Laplace

Equation électrique : Ve ( t ) = R.i( t ) + L.

C ch ( t ) est le moment du couple de charge. Si l’on suppose que la charge mécanique de notre moteur est une génératrice à courant continu débitant sur une charge Rch , alors on peut dire que : E K² K² C ch = K .I ch = K . = .Ω soit Cch = .Ω = K'.Ω . Rch Rch Rch Le système peut être représenté par : Cch(p)

Ω( p )

Système

Ve(p)

On peut écrire alors : C ( p) V ( p) K K Ω( p ) = et I( p ) = e .Ω ( p ) − .I ( p ) − ch R + L. p R + L. p f + J .p f + J .p Le digramme fonctionnel de ce système est le suivant : Cch(p)

1 f + J .p Ve(p)

1 R + L. p

+_

I(p)

K f + J .p

_ +

Ω( p )

K R + L. p

Cours d’automatique et régulation

28

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

3. Lieux de transfert 3.1. Introduction On applique au système une entrée harmonique : u( t ) = u o . sin( wt ). En régime permanent ; on admet que la sortie est également un signal sinusoïdal déphasé ; on a donc : y( t ) = A.u o . sin( wt + φ ). On peut dire la même chose de l’entrée u( t ) = u o . cos( wt ). Donc également de l’entrée u( t ) = u o . cos( wt ) + j .u o . sin( wt ) = u o .e jwt qui ; d’après le théorème de superposition nous donne la sortie :

y( t ) = A( w ).u o .cos( wt + φ ) + j .A( w ).u o . sin( wt + φ ) = A( w ).u o .e jwt +φ . Plus généralement ; on peut donc considérer une entrée de la forme u o .e jwt ; qui nous donnera une sortie de la forme : A( w ).u o .e jwt +φ . Appliquons cette entrée à l’équation différentielle ; an

dy n dt n

+ a n −1

dy n −1 dt n −1

+ ... + a1

dy dx du m du m −1 + a0 . y = bm m + bm −1 m −1 + ... + b1 + b0 .x dt dt dt dt

On obtient :

[a .( jw ) = [b n

n

]

+ a n −1 .( jw ) n −1 + ... + a0 .( jw )0 .A.u o .e j ( wt +φ )

]

m m −1 + ... + b0 .( jw )0 .u o .e jwt m .( jw ) + bm −1 .( jw )

Ou bien :

.

[ [

] ]

bm .( jw ) m + bm−1 .( jw ) m−1 + ... + b0 .( jw )0 y( jw ) jφ = A.e = . u( jw ) a n .( jw ) n + a n −1 .( jw )n −1 + ... + a0 .( jw )0 Il apparaît dans cette expression que le terme de droite n’est rien d’autre que la fonction de transfert dans la quelle on a remplacé les "p" par des "jw". jφ

On a donc : A( w ).e = H ( p = jw ) ; où A est le gain en amplitude du signal et φ le déphasage de ce signal.

3.2. Interprétation dans le plan complexe Im

A( w ).u o [cos( wt + φ ) + j . sin( wt + φ )]

A( w ).u o [sin( wt + φ )]

φ

u o [cos( wt ) + j . sin( wt )]

A( w ).u o [cos( wt + φ )]

Re

A.u o .e j( wt +φ ) est le vecteur d’amplitude A et de déphasage φ par rapport au vecteur d’origine : u o .e jwt .

Cours d’automatique et régulation

29

Chapitre 3

Représentation graphique des systèmes linéaires continus

On obtient donc le gain A( w ) en prenant le module du nombre complexe H ( jw ) et le sin φ déphasage φ en recherchant l’angle φ ( tgφ = ) donc : cos φ

⎧ A = H ( jw ).H * ( jw ) ; ⎪ ⎛ Im( H ( jw )) ⎞ ⎨ ⎪φ = arctg ⎜⎜ Re( H ( jw )) ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎩ Remarque : Attention à la définition de l’arctg : on doit en considérer deux définitions différentes pour les demi-plans réels positifs et négatifs. ƒ

Pour les parties réels positifs : La définition précédente est bonne. ⎛ ⎛ Im( H ( jw )) ⎞ ⎞ ⎜ φ = arctg ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝ Re( H ( jw )) ⎠ ⎠ ⎝

ƒ

⎛ Im( H ( jw )) ⎞ ⎟⎟. Pour les parties réels négatifs : φ = −π + arctg ⎜⎜ ⎝ Re( H ( jw )) ⎠

Lorsque la partie réelle est nulle, on n’a pas besoin de cette définition, on considère directement l’affixe (le vecteur est sur l’axe des imaginaires).

H ( jw ) =

bm .( jw )m + bm−1 .( jw )m−1 + ... + b0 an .( jw )n + an−1 .( jw )n−1 + ... + a0

Pour un système physique; le gain tend vers 0 quand la fréquence tend vers ∞ ; on a donc : m 1 ⇒ H ( j .w ) dB → −20.log 10 (τ .w) . wc

H ( j .10.w1 ) dB − H ( j .w1 ) dB = −20.log 10 (τ .10.w1 ) − (− 20.log 10 (τ .w1 ))

= −20.(log 10 (τ .10.w1 ) − log 10 (τ .w1 ))

= −20.log 10

τ .10.w1 = −20.log 10 (10 ) = −20 dB τ .w1

→ C’est une droite de pente –20dB/décade. ou

H ( j .2.w1 ) dB − H ( j .w1 ) dB = −20.log 10 (τ .2.w1 ) − (− 20.log 10 (τ .w1 ))

= −20.(log 10 (τ .2.w1 ) − log 10 (τ .w1 ))

= −20.log 10

τ .2.w1 = −20.log 10 (2 ) = −6 dB τ .w1

C’est une droite de pente –6dB/octave. Représentation de la phase ϕ = Arg ( H ( j .w )) = − arctgτ .w . Etude des asymptotes • Pour w → 0 ⇒ ϕ = 0 : asymptote horizontale.

1

⇒ ϕ = − Arctg 1 = −

π

•

Pour w =

•

Pour w → ∞ ⇒ ϕ = Arg( H ( j .w )) = −arctg∞ = −

τ

Cours d’automatique et régulation

4

.

π 2

: asymptote horizontale ϕ = −

π 2

.

38

Chapitre 4

Etude des systèmes élémentaires

1 w = Bode Diagram

τ

0

w1

10.w1

-3 db

-20

-20db|dec

Magnitude (dB)

-10

-30

Phase (deg)

-40 0

-45

-90 -1

0

10

1

10

10

2

10

3

10

Frequency (rad/sec)

1.2.2. Représentation de Nyquist

( ) ( ( Soient x = Re (H ( jw )) et y = Im (H ( jw )) .

))

On trace la courbe Im H ( j .ω ) = f Re H ( jw )

D’où x =

K

1 + (τ .w)

2

(1) ; y = −

K .τ .w

1 + (τ .w)

2

(2)

(y 0

4 3 3 0

3 0 0

3

59

Chapitre 5

Performances des systèmes asservis linéaires

12 − 3 9 −0 = 3 ; b2 = = 3 ; b3 = 0 . 3 3 Le coefficient de la deuxième colonne, quatrième ligne est nul donc le système est marginalement instable. D’où on peut écrire le polynôme auxiliaire. 3.p2 + 3 = 0 Î p = j . b1 =

2°/ D(p) = p3+a.p2 +b.p+c. Etudier la stabilité de ce système en fonction de a, b, et c.

p3

1

b

2

a

c

p

p1 p0

ab − c a c

0

Condition de stabilité a, b, c >0 et ab>c.

K . p( p + 1 )( p + 3 ) Étudier la stabilité de ce système en boucle fermée en fonction de K. D(p) = p3+4.p2+3.p +K

3°/ Soit T ( p ) =

p3

1

3

2

4

k

p

p1 p0

12 − K 4 K

0

•

K>0 12 − K Î K0 4 Le système est stable lorsque 0 < K < 12. Remarque L’étude de la stabilité par la détermination des pôles n’est applicable que si on connaît la fonction de transfert ou l’équation différentielle du système. Souvent on ne dispose pas de T(p) analytiquement par contre des essais expérimentaux sont possibles. Et on dispose alors du tracé de Nyquist, Bode et Black, il s’agit d’étudier la stabilité du système à partir de ces tracés : on dit qu’on étudie la stabilité en boucle fermée à partir de la transmittance en boucle ouverte.

2.3. Critère de Nyquist 2.3.1. Critère de Nyquist simplifié Pour l'étude de la stabilité du système en boucle fermée, on va tracer dans le plan complexe la réponse harmonique en boucle ouverte et examiner son tracé par rapport au point critique "–1". Si |T(j ωπ)|>1, le système est instable, si |T(j ωπ)|0). 1. Déterminer la valeur de K de telle sorte que l’écart permanent à la réponse indicielle soit de 5%. 2. Pour cette valeur de K l’asservissement est-il suffisamment stable ? Exercice n°2 : Un correcteur est régi par l’équation intégro–différentielle suivante : t ⎡ ⎤ dx( t ) + 0 ,05.∫ x( t ).dt ⎥ . u( t ) = K .⎢ x( t ) + 5. dt 0 ⎣⎢ ⎦⎥ u( t ) : Signal de sortie du correcteur. x( t ) : Signal d’entrée du correcteur. 1. Quel est le type de correcteur et son intérêt. 2. Tracer dans le lieu de Bode la réponse harmonique du correcteur pour K=5. 3. En déduire une nouvelle valeur de K telle que le correcteur présente un point invariant pour une certaine pulsation w0 que l’on précisera. Exercice n°3 : Dans le système bouclé suivant, le gain k reste à déterminer. Pour cela, on demande de s( p ) ε ( p ) calculer la fonction de transfert F ( p ) = et , puis de tracer le lieu des pôles c( p ) c( p ) de F ( p ) quand k varie de 0 à + ∞ . Où sont les pôles pour k = 1 ? Pour k = 10 ? Choisir la valeur de k qui assure un pôle double.

C( p ) ε ( p ) +

E( p ) k

1 p

50 p + 10

s(p)

-

Cours d’automatique et régulation

77

Chapitre 6

Les régulateurs

Exercice n°4 : Dans l’asservissement suivant de COBAYE, il y a un retour tachymétrique. Expliquer. Les gains a et b étant paramétrables, calculer la fonction de transfert en fonction de a et b . Déduire le gain statique et donc l’erreur statique de l’asservissement. Déterminer a et b pour imposer un pôle double p = −0 ,1 puis p = −10 à l’asservissement. En pratique, quel capteur supplémentaire cet asservissement nécessite t’il par rapport au précédent ?

a

+

5 0 ,1 p + 1

+

1 p

-

-

b Exercice n°5 : Calculer la fonction de transfert du système bouclé suivant où un processus du second ordre est asservi à l’aide d’un filtre correcteur Proportionnel Intégral Dérivé (P.I.D) à retrouver sur le schéma bloc. Quelle est la relation entre e( t ) et u( t ) ? Qu’obtient-on pour les valeurs g = 11 , Ti = 11 et Td = 10 11 ?

Td p

E( p )

C( p )

g

+ -

+ U( p ) +

+

10 (1 + p )(1 + 10 p )

S( p )

1 Ti p

Exercice n°6 :

S ( p ) E( p ) S ( p ) , et . C ( p ) C ( p ) E( p ) Que valent le gain statique et le temps de réponse à 5% de ce système bouclé? C( p ) E( p ) C ( p ) E( p ) 0,1 S( p ) S( p ) p+a 0,1 λ. p +1 + + p+b p +1 -

Pour le schéma bloc ci-après (à gauche), calculer

p+a en série p+b dans la chaîne d’action de l’asservissement, entre la sortie du comparateur et l’entrée du processus. On ajoute (à droite) un filtre correcteur de fonction de transfert D( p ) = λ .

Calculer la fonction de transfert du système bouclé ainsi corrigé. Montrer que pour a=1 et b=2, on divise par 2 le temps de réponse à 5% du système bouclé sans correcteur pour une certaine valeur de λ. Le gain statique est il conservé ?

Comment diviserait-on par 3 le temps de réponse en conservant le gain statique ?

Cours d’automatique et régulation

78

Les problèmes

Cours d’automatique et régulation

79

Problèmes

Problèmes 1. Problème n°1 On considère le circuit suivant : R

Ve

Vs

C

Vs ( p ) = H ( p) en fonction de R et C. Ve ( p) Calculer H(p) pour les valeurs suivantes : R = 3 kΩ et C = 10 µF. 1. Etablir la fonction de transfert

2. Relever expérimentalement la réponse indicielle et en déduire H(p). 3. Relever la réponse harmonique et la porter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(p).

2. Problème n°2 On considère le circuit suivant : R1

C Ve

Vs R2

Vs( p ) en fonction de en fonction de R1, R2 et C. Ve( p ) Calculer H(p) pour les valeurs suivantes : R1 = 2 KΩ , R2 = 1 KΩ et C = 10 µF. 2. Relever expérimentalement la réponse indicielle et en déduire H(p).

1. Etablir la fonction de transfert H ( p ) =

3. Relever la réponse harmonique et la porter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(p).

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80

Problèmes

3. Problème n°3 On considère le circuit suivant :

C

R1 Ve

Vs

R2

Vs( p ) = H ( p ) en fonction de en fonction de R1, R2 et C. Ve( p ) 2. Calculer H(p) pour les valeurs suivantes : R1=3KΩ , R2=1.5KΩ et C=10µF.

1. Etablir la fonction de transfert

3. Relever expérimentalement la réponse indicielle et en déduire H(p). 4. Relever la réponse harmonique et la porter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(p).

4. Problème n°4 On considère le circuit suivant : R

Ve

r,L

C

Vs

Vs( p ) = H ( p ) en fonction de R, L, r et C. Ve( p ) En déduire la valeur du coefficient d'amortissement z et la pulsation propre non amortie w0 en fonction de R, r, L et C. Suivant les valeurs de z donner l'expression de la pseudo–pulsation wp et la pulsation de résonance wr. 2. Déterminer H(p) pour R=0Ω , C=1µF, L=1H et r=350Ω . En déduire la valeur de z, w0, wp et wr. 3. Mêmes questions pour les valeurs R=1kΩ et R=1,8kΩ . 4. Tracer dans les diagrammes de Bode et Black les trois réponses harmoniques H(jw). 1. Etablir la fonction de transfert

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81

Problèmes

5. Problème n°5 On désire réguler un processus de fonction de transfert G(p) par un correcteur C(p). Le schéma fonctionnel est représenté par la figure ci-dessous.

E

X +

U C(p)

-

S G(p)

1. Identifier le processus grâce à la réponse à un échelon en boucle ouverte. En déduire l'expression de G(p). 2. Tracer G(jw) dans le diagramme de Black. En déduire la valeur du gain Ko et la période To du pompage limite. 3. On choisit C(p)=K (K>0), déterminer expérimentalement la valeur du gain Ko et la période To du pompage limite. 4. En déduire d'après le tableau de Ziegler et Nichol's la valeur de K, Ti et Td du régulateur PID. 5. Visualiser la réponse à un échelon en boucle fermée, conclure. On rappelle que la sortie bipolaire de la carte est comprise entre +10 V et -10 V et que les entrées doivent être comprises entre +5 V et -5 V.

6. Problème n°6 Etude d'un asservissement de position 1° Principe de fonctionnement Il s'agit d'un asservissement de position potentiomètrique dont l'organe d'action est un moteur à courant continu à excitation constante. Le mouvement de rotation du moteur est transformé, par un réducteur et une poulie, en mouvement rectiligne d'un index devant une règle graduée. L'ensemble est schématisé par la figure ci-dessous : s(t) e(t) x(t) + K Moteur Réducteur Poulie A -

r(t)

v(t)

Vitesse Capteur

K est un atténuateur compris entre 0 et 1. A est un préamplificateur de gain 10 ou 100. Le moteur est alimenté par un amplificateur de puissance de gain en tension unitaire. La fonction de transfert approchée de l'ensemble moteur et amplificateur de puissance a pour expression : Kv avec Kv gain en vitesse et T constante de temps. G ( p) = p (1 + Tp )

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82

Problèmes

Dans ces conditions le schéma fonctionnel de l'asservissement peut être représenté par la figure ci-dessous : U(p) X(p) E(p) S(p) K A G(p) ++ +

Décalage

2° Etude qualitative Réaliser le montage de l'asservissement en boucle fermée et observer la réponse indicielle avec «physcope » en mode synchronisation sur l'entrée. On prendra le générateur de fonction en mode signaux carrés de fréquence 1 Hz. Faire varier le produit KA et expliquer qualitativement les modifications du signal de sortie.

3° Réponse harmonique en boucle ouverte Le but de l'opération est de tracer G(jw) réelle dans Black et d'en déduire la valeur de KA qui permet d'avoir une stabilité satisfaisante pour un temps de réponse le meilleur possible. On opère de la façon suivante : Ouvrir la boucle d'asservissement. Régler KA = 1 et vérifier que l'off set du générateur est à 0. Sélectionner signaux sinusoïdaux et régler l'amplitude de telle sorte que le signal ne soit pas écrêté par « physcope ». Agir simultanément sur le décalage de manière à centrer le signal de sortie. Pour chaque valeur de la fréquence relever le gain en amplitude et le déphasage. Faire varier f de 10 Hz à 1Hz (10, 8, 5, 3, 2.5, 2, 1.5, 1) par exemple. Tracer la réponse dans Black. En déduire la valeur de Kv et T (déphasage de -135°) et la valeur de KA qui assure une stabilité suffisante.

4° Réponse en boucle fermée Pour KA = 10 effectuer l'analyse harmonique et comparer aux valeurs issues de l'abaque de Black.

5° Correcteur à avance de phase Le but de la manipulation est de vérifier qualitativement l'efficacité d'un réseau correcteur à avance de phase représenté par le schéma ci-dessous :

C

R1 x(t)

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R2

x’(t)

83

Problèmes

R1=27kΩ , R2=8,2kΩ et C=µF. Le schéma fonctionnel devient alors :

E(p)

X(p) +-

U(p)

X'(p) C(p)

KA

S(p) G(p)

Comparer les réponses en boucle fermée avec et sans correcteur pour diverses valeurs de KA et conclure sur l'intérêt d'un tel correcteur.

7. Problème n°7 Etude d'un asservissement de vitesse 1° Principe de fonctionnement Il s'agit de faire tourner une charge mécanique à une vitesse donnée (sortie) conformément à la loi d'évolution d'une grandeur d'entrée (consigne). L'écart entre la consigne et la vitesse du moteur est pré amplifié et éventuellement écrêté avant d'attaquer l'amplificateur de puissance du moteur à courant continu et excitation constante. La mesure de la vitesse est transformée en tension par une dynamo tachéométrique. La mesure du courant absorbé par le moteur est transformée en tension par un transformateur d'intensité. La boucle secondaire de courant permet de limiter le courant dans le moteur pendant les phases transitoires et a un effet stabilisateur (le courant est l'image du couple absorbé et par conséquent la variation de courant est l'image de la variation de vitesse Cm - Cr = Jθ'').

K est un atténuateur compris entre 0 et 1. M est un préamplificateur de gain 1 ou 10 avec éventuellement écrêtage. G est un amplificateur de puissance qui alimente le moteur. Une commande permet de débrayer ou d'embrayer la charge.

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84

Problèmes

2° Etude qualitative Réaliser le montage de l'asservissement en boucle fermée et observer la réponse indicielle avec « physcope » en mode synchronisation sur l'entrée. On prendra le générateur de fonction en mode signaux carrés de fréquence 1Hz. Faire varier le produit KM en gardant G = 10 et expliquer qualitativement les modifications du signal de sortie avec et sans bouclage de courant du point de vue stabilité et précision.

3° Réponse harmonique en boucle ouverte a) Sans bouclage de courant à vide Le but de l'opération est de tracer G(jw) réelle dans Black et d'en déduire la valeur de KM qui permet d'avoir une stabilité satisfaisante pour un temps de réponse le meilleur possible. On opère de la façon suivante : Ouvrir la boucle d'asservissement. Régler KM = 1, pas d'écrêtage et G = 10 de plus vérifier que l'off set du générateur est à 0. Sélectionner signaux sinusoïdaux et régler l'amplitude de telle sorte que le signal ne soit pas écrêté par physcope. Pour chaque valeur de la fréquence relever le gain en amplitude et le déphasage. Faire varier f de 0,2 Hz à 80Hz (0.2, 5, 10, 20, 30, 40, 50, 80) par exemple. Tracer la réponse dans Black. En déduire une modélisation de G(p), le processus est-il naturellement intégrateur.

b) Même étude avec bouclage de courant à vide Expliquer quel type de correction effectue ce bouclage de courant.

4° Réponse indicielle en boucle fermée Compte tenu des résultats précédents et des critères de stabilité choisir K de telle sorte que la réponse indicielle soit satisfaisante du point de vue de la stabilité avec et sans bouclage de courant à vide. Quel correcteur faut-il envisager pour régler le problème de l'écart statique. Déterminer les paramètres d'un régulateur PID (K, Ti, Td) par la méthode du pompage limite et par la méthode du pivot. Relever la réponse dans ces conditions. Expliquer qualitativement quelle peut-être l'influence de la charge sur le comportement de l'asservissement.

6° Réponse harmonique en boucle fermée Pour KM = 2 effectuer l'analyse harmonique et comparer aux valeurs issues de l'abaque de Black Nichol's.

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85

Les travaux pratiques

Cours d’automatique et régulation

86

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX

Laboratoire d'Automatique et régulation Travaux Pratiques

TP d'initiation : Equipement du laboratoire

TP Initiation Equipement du laboratoire

Cours d’automatique et régulation

87

TP Initiation

Equipement du laboratoire

Annexe 1 NOTICE D’UTILISATION DE L’OSCILLOSCOPE NUMERIQUE « TEKTRONIX TDS 220»

Fig. 1 : Panneau avant du TDS 220

Fig.2 : Zone d’affichage autour de l’écran 1- Mode d’acquisition (normal, détection crêtes, moyenne). 2- Etat de déclenchement. 3- Marqueur de position horizontale du déclenchement. 4- Indique la différence de temps entre le centre du réticule et la position de déclenchement horizontale. 5- Marqueur de niveau de déclenchement. 6- Cet indicateur donne la valeur numérique du niveau de déclenchement.

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7- Icône indiquant le type de déclenchement (front montant, front descendant, vidéo ligne, vidéo trame) 8- Signal sur lequel est synchronisé le déclenchement. 9- Cet indicateur montre le paramètre de base de temps de la fenêtre si il est utilisé. 10- Base de temps. 11- Sensibilités verticales. 12- L’écran affiche momentanément les messages en ligne. 13-0 Vdes voies si 1 et 2. 88

TP Initiation

Equipement du laboratoire

L’exploitation du TDS 220 A- Mise en service de l’oscilloscope : bouton Marche / Arrêt (Power) situé sur le haut de l’appareil. B- Mise en service des voies : L’oscilloscope possède 2 voies : CH1 et CH2. Pour les mettre en service, il suffit d’appuyer sur les boutons : CH1 MENU et CH2 MENU. Pour mettre les voies hors service, appuyez sur ces mêmes boutons. Remarque : Le fait d’appuyer sur ces boutons permet d’afficher un menu dans la partie droite de l’écran. C- Réglage du couplage CC de la voie Dans le menu CH1 ou C112, il faut faire apparaître dans la case couplage, le terme CC (couplage continu). Pour cela appuyez autant de fois que nécessaire sur le bouton situé en face la case couplage. Vous verrez apparaître successivement : Masse ; CC (Couplage Continu) ; CA (Couplage Alternatif). Remarque : Dans le cas du couplage CC, la tension appliquée est visualisée telle qu’elle est réellement. Si l’on utilise le couplage CA, la tension est visualisée sans composante continue. D- Réglage du zéro Régler le 0V à votre convenance grâce au potentiomètre POSITION au-dessus de CH1 MENU pour la voie 1 ou CH2 MENU pour la voie 2. Le zéro est repéré à gauche de l’écran par une flèche précédée d’un chiffre indiquant le numéro de la voie (fig2 marqueurs 13). E- Utilisation sans sonde Les mesures étant effectuées sans sonde, vérifiez que le menu sonde de chaque voie affiche 1X. F- Type de Base de temps Vérifier que la base de temps sélectionnée est : Base de temps principale. Pour cela, faire apparaître le menu de la base de temps en appuyant sur le bouton HORIZONTAL MENU. G- Réglage de la base de temps La base de temps se règle avec le commutateur : SEC/DIV. Le réglage permet d’aller de 5s/div à 5ns/div. Remarque : Au milieu et en bas de l’écran est affichée la valeur de la base de temps. (Exemple : M 10.0ms). H- Réglage des sensibilités verticales Le réglage des sensibilités verticales, s’effectue à l’aide des commutateurs : VOLTS/DIV. Le réglage permet d’aller de 5 V/div à 2 mV/div. Remarque : En bas de l’écran, on peut visualiser en permanence la sensibilité des 2 voies. (Exemple CH15.00V). I- Déclenchement 1. Choix de la voie et du type de déclenchement L’oscilloscope doit être synchronisé sur un signal. C’est généralement le signal injecté sur la voie 1 qui sert à la synchronisation. Pour cela, appuyez sur le bouton : «TRIGGER MENU ». En appuyant sur le bouton situé en face la case Source, vous sélectionnerez CH1. Cours d’automatique et régulation

89

TP Initiation

Equipement du laboratoire

Remarque : La synchronisation peut aussi se faire sur « CH2 », sur l’entrée de synchronisation prévue à cet effet «EXT TRIG » ou sur la tension délivrée par le secteur. Vous devez également indiquer le style de déclenchement souhaité : exemple : FRONT ; PENTE ; MONTANTE. 2. Réglage du seuil de déclenchement Sur le côté droit de l’écran, se trouve une flèche (fig.2 marqueur 5). Elle indique le niveau (ou seuil) de déclenchement de l’oscilloscope. Il faut que la flèche soit située entre le minimum et le maximum de la tension de la voie de synchronisation. Si ce n’est pas le cas, l’oscillogramme n’est pas stable. Pour le rendre stable, c’est à dire déclencher correctement l’oscilloscope, il faut régler le bouton rotatif NIVEAU dans la colonne TRIGGER Remarque : En bas à droite de l’écran, est affichée la voie de synchronisation (fig2 : marqueur 8) ainsi que la valeur du seuil de déclenchement de l’oscilloscope (fig2 marqueur 6). 3. Réglage de la position horizontale de déclenchement

En haut de l’écran, se trouve une flèche (fig.2 marqueur 3). Elle indique la position horizontale du déclenchement de l’oscilloscope. Le réglage de cette position horizontale de déclenchement se fait en agissant sur le bouton rotatif POSITION dans la colonne HORIZONTAL. Ce réglage est particulièrement important dans le cas d’un déclenchement monocoup.

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Equipement du laboratoire

J- Capture d’un signal monocoup Utilisez le mode monocoup pour saisir une acquisition unique d’un signal. Procédure à suivre : ƒ Réglez les boutons VOLTS/DIV et SEC/DIV à des valeurs adaptées au signal à visualiser. ƒ Appuyez sur le bouton ACQUISITION et sélectionnez NORMALE. ƒ Appuyez sur le bouton TRIGGER MENU et choisissez le MODE MONOCOUP. ƒ Sélectionnez PENTE MONTANTE s’il s’agit d’une tension croissante ou PENTE DESCENDANTE s’il s’agit d’une tension décroissante. ƒ Utilisez le bouton rotatif NIVEAU pour régler le seuil de déclenchement entre les deux niveaux extrêmes de la tension. ƒ Utilisez le bouton rotatif POSITION dans la colonne HORIZONTAL pour régler la position horizontale de déclenchement (l ou 2 division en partant de la gauche de l’écran par exemple). ƒ Si la mention «Armed » (armé) ou «Ready» (prêt) n’apparaît pas en haut de l’écran, appuyez sur RUN/STOP. ƒ Lorsque l’acquisition est terminée, «Stop » s’affiche. Appuyez de nouveau sur RUN/STOP pour lancer une nouvelle acquisition en mode monocoup. K- Autoset La touche AUTOSET en haut à gauche, permet de ne faire aucun réglage préliminaire avant de visualiser un signal. En appuyant sur ce bouton, l’oscilloscope se débrouille tout seul pour afficher le signal, choisir le bon calibre, la bonne base de temps ... C’est pratique mais attention, cela modifie tous les réglages préalables. L- Faire des mesures L’oscilloscope permet de faire de nombreuses mesures. Appuyer sur la touche : MESURES. ƒ La 1 case permet de choisir la Source ou le Type de mesure à effectuer. Appuyez sur le bouton en face pour choisir Source ou Type. ƒ Sur les 4 autres cases, on peut afficher des mesures relatives à la voie 1 et/ou à la voie 2. Exemples de mesures : Fréquence, Période, Moyenne, Tension crête-crête ( C—C ), Tension efficace. M- Curseurs On peut faire des mesures de tension et de durée en appuyant sur la touche : CURSEURS. ƒ • Sur la 1 case, on choisit le type de curseur que l’on veut : Aucun, Tension ou Temps. Les curseurs apparaissent sur l’écran : horizontaux pour des mesures de tension et verticaux pour des mesures de temps. ƒ Sur la 2 case, on choisit la source : CH1 ou CH2. ƒ Sur la 3 case, apparaît l’écart (Delta) entre les deux curseurs. ƒ Sur la 4 case, apparaît la valeur de la tension ou du temps, où se trouve le curseur 1. ƒ Sur la 5 case, apparaît la valeur de la tension ou du temps, où se trouve le curseur 2. Les curseurs se déplacent en agissant sur les 2 potentiomètres : POSITION dans la colonne VERTICAL. N- Langage Pour choisir le mode «français », appuyez sur UTILITAIRE et sélectionnez le langage à l’aide du bouton en face la dernière case.

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Equipement du laboratoire

O- Affichage Pour augmenter ou diminuer le contraste de l’affichage, appuyez sur AFFICHAGE et réglez à l’aide des deux derniers boutons. P- ModeXY Pour le tracé de courbes en mode XY (c’est à dire CH2 en fonction de CH1) appuyez sur le bouton AFFICHAGE et sélectionnez le mode XY à la 3 case. Q- Signal bruité Si le signal que vous visualisez est bruité, l’oscilloscope peut faire l’acquisition de plusieurs signaux et en faire la moyenne avant de l’afficher. Pour cela appuyer sur le bouton ACQUISITION et sélectionner Moyenne. Sinon restez dans le mode Normal. R- Menu mathématiques Appuyez sur la touche MATH MENU afin d’afficher les opérations mathématiques sur les signaux. Appuyez à nouveau sur cette touche pour effacer l’affichage d’un signal mathématique. Opérations possibles : CH1-CH2 ; CH2-CH1 ; CH1+CH2 ; CH1 inversée ou CH2 inversée. Remarque importante : Les opérations effectuées tiennent compte des réglages effectifs de chaque voie : en particulier des sensibilités verticales et des zéros. Il est donc impératif de choisir le même zéro et le même calibre sur les deux voies pour additionner ou soustraire deux tensions.

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Equipement du laboratoire

Annexe 2 Agilent 33120A - 15 MHz Function/Arbitrary Waveform Generator

Fig. 1 : Panneau avant de l’Agilent 33120A 1- Function / Modulation keys 2- Menu operation keys 3- Waveform modify keys 4- Single / Internal Trigger key (Burst and Sweep only) 5- Recall / Store instrument state key 6- Enter Number key 7- Shift / Local key 8- Enter Number “units” Cours d’automatique et régulation

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TP n°1

Etude d’un système de premier ordre

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX

Laboratoire d'Automatique et régulation TP1 : Étude d’un système de premier ordre

TP 1 Étude d’un système de premier ordre Objectif : Identifier les paramètres d’un système du premier ordre par la méthode indicielle et la méthode harmonique.

Contenu : Partie 1 : Analyse temporelle d’un système du premier ordre : ¾ Étude en boucle ouverte. ¾ Étude en boucle fermée. Partie 2 : Analyse temporelle d’un système du premier ordre : ¾ Lieu de Bode. ¾ Lieu de Nyquist. ¾ Lieu de Black.

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TP n°1

Etude d’un système de premier ordre

Partie 1 : Analyse temporelle d’un système du premier ordre

1. Etude en boucle ouverte 1) Visualiser à l’aide de l’oscilloscope une tension Ve carrée (Umax=6V, Umin=0V) de fréquence f=10Hz issue d’un générateur basse fréquence (G.B.F). 2) Appliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l’entrée d’un montage RC donner par la figure suivante : R Ve

C

Vs

3) Visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système). 4) Relever sur papier millimétrique ces deux courbes. (noter les échelles de temps et de tension) 5) Déterminer graphiquement les valeurs de K et τ.

2. ETUDE THEORIQUE

Refaire l’étude du montage RC théoriquement (R=10KΩ et C=10nF) et tracer sur le même papier millimétrique la réponse théorique du système.

3. CONCLUSION

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TP n°1

Etude d’un système de premier ordre

Partie 2 : Analyse harmonique d’un système du premier ordre 1. MODE OPERATOIRE 1) Visualiser à l’aide de l’oscilloscope une tension Ve sinusoïdale (Umax=6V, Umin=0V) de issue d’un générateur basse fréquence (G.B.F). 2) Appliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l’entrée d’un montage RC précédent. 3) Visualiser sur l’oscilloscope les tensions Ve et Vs (sortie du système). 4) Remplir le tableau suivant : F(Hz) w(rd/s) Vs(v) Ve(v) G Gdb Δt ϕ°

100

200

6K

8K

9K

7K

300

400

500 600 700 800

10K 20K 30K 40K 50K 60K

70K

900

1K

2K

3K

4K

5K

80K 90K 100K 200K 300K

2. LIEU DE Bode 1) Tracer sur papier semi-logarithmique le lieu du gain et le lieu des phases. 2) Retrouver les valeurs de K et τ.

3. LIEU DE Nyquist 1) Tracer dans le plan complexe le lieu de Nyquist du système. 2) Retrouver les valeurs de K et τ.

4. LIEU DE BLACK 1) Tracer le lieu de transfert du système sur l’abaque de Black. 2) Retrouver les valeurs de K et τ.

5. ETUDE THEORIQUE

Refaire l’étude du montage RC théoriquement (R=10KΩ et C=10nF) et tracer sur les mêmes abaques le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de Black.

6. CONCLUSION

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TP n°1

Etude d’un système de premier ordre

Annexe 1 Réponse à un échelon de position (réponse indicielle) d’un système de premier ordre. e ( t ) = E .u ( t ) ⇒ E ( p ) =

E K S( p ) = . p 1 + τ .p Pour t = 0 Pour t = τ Pour t = 3.τ ⇒ Pour t → ∞

E p

⇒

s ( t ) = K . E .( 1 − e

−

t

τ

)

s(0) = 0 ⇒ s(τ) = K.E.(1-e-1) = 0.63.K.E ⇒ s(3.τ) = K.E.(1-e-3) = 0.95.K.E s( ∞ ) = K.E ⇒ t

∂s( t ) K .E −τ = s' ( t ) = − .e τ ∂t

On définie : Le temps de réponse à 5%, obtenu lorsque la courbe s(t) atteint 95% de sa valeur finale. tr à 5% = 3.τ tr : détermine la rapidité du système. ε( ∞ ) = 1-K : détermine la précision du système (la meilleur précision est obtenue lorsque K=1).

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TP n°1

Etude d’un système de premier ordre

Annexe 2

• Détermination du gain : Le gain en décibel est : Gdb = 20*log10(Vs/Ve)

•

Détermination de l’argument : 1.5

1.5

Vs

Vs Ve

1

0.5

0.5

0

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

1

-0.5

-0.5

-1

-1

-1.5

Ve

1

0

1

2

3

4

5

6

……..Volt/Div ………Sec/Div

Arg(°) = - 360*t/T

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7

-1.5

0

……

0.1

0.2

1

0.3

2

0.4

0.5

3

0.6

4

0.7

5

0.8

0.9

6

1

7

..Volt/Div ………Sec/Div

Arg(°) = +360*t/T

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Etude d’un système de premier ordre

Annexe 3

H ( p) =

⇒

K K et en posant p=jw ⇒ H ( jw ) = . 1 + τ .p 1 + jτw

H ( j .w ) =

⇒ H(j.w) =

K

1 + ( τ w )²

. exp( − jArctg ( τ w )) =

− jK τ K + 1 + (τ.w )² 1 + (τ.w )²

⇒

H . exp( j ϕ )

⎧ ⎪ ⎪ K ⎪ Re ( H(jw) ) = ⎪ 1 + τ²w² ⎨ Kτ ⎪ Im ( H(jw) ) = − ⎪ 1 + τ²w² ⎪ ⎩⎪

.

Représentation du lieu de Bode • •

On trace les deux courbes suivantes : H(j.w) dB de la fonction H(j.ω) en fonction de la pulsation w. ϕ = Arg(H(j.w)) de la fonction H(j.ω) en fonction de la pulsation w.

Représentation du module en db K = 20 log K − 10 log[ 1 + ( τ .ω ) 2 ] H ( j .w ) dB = 20 log 1 ( 1 + ( τ .ω ) 2 ) 2 Etude des asymptotes • Pour w → 0 ⇒ H ( j .w ) dB → 20 log K : Asymptote d’équation H ( j .w ) dB =20log K

1

•

Pour w =

•

Pour w → ∞ ⇒ H ( j .w ) dB → −20 log τ .w .

τ

⇒ H ( j .w ) dB = 20 log K − 3dB .

C’est une droite de pente –20dB/décade ou –6dB/octave. Représentation de la phase ϕ = Arg(H(j.w))= −arctgτ.ω . Etude des asymptotes • Pour w → 0 ⇒ ϕ = 0 : asymptote horizontale. 1 • Pour w = ⇒ ϕ = − Arctg1= − π . 4 τ

•

Pour w → ∞ ⇒ ϕ = Arg( H ( j .w )) = − arctg∞ = −

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π 2

: asymptote horizontale ϕ = −

π 2

99

.

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Etude d’un système de premier ordre

Représentation du lieu de Nyquist

( ) ( ( Soient x = Re (H ( jw )) et y = Im (H ( jw )) .

))

On trace la courbe Im H ( j .ω ) = f Re H ( jw )

D’où x =

K 1 + (τ .w)

(1) ⇒ 1 + ( τ .w )² =

2

(1) ; y = −

K .τ .w

1 + (τ .w)

2

(2) (y