Corige Examen [PDF]

Zitiervorschau

TD: Oscillateur ` a r´ eseau d´ ephaseur 1 Position du probl` eme On souhaite r´ealiser un oscillateur ` a r´eseau d´ephaseur.

1 1. On ´etudie le filtre ci-dessus: calculer sa fonction de transfert. On pourra poser x = − RCω . Vs On montrera que Ve = H1 .H2 .H3 avec: 1 1 1 = 1+jx.(1+H12 .(1+H1 )) H1 = 1+jx ; H2 = 1+ 1 R = 1+jx.(1+H et H3 = 1+ R
1) Zc (Zc +R)//Zc //Zc //Zc (H ) H2 1 2. Pour quelle pulsation ce filtre introduit-il un d´ephasage de π entre la sortie et l’entr´ee ? Donner alors le gain du filtre. 3. On r´ealise le circuit ci-dessous en prenant R2 ' 30.R1  R (par exemple: R = 1 kΩ et R1 = 10 kΩ) et C quelconque (par exemple: 22 nF). On fait varier R2 de fa¸con `a observer les oscillations. Quelle est l’imp´edance d’entr´ee du montage ?

4. Le gain du filtre d´ephaseur calcul´e ` a la question 1◦ n’est valable que si la r´esistance d’utilisation est infinie (i.e. la r´esistance que l’on placerait ` a la sortie du filtre en parall`ele sur R). Pour que le filtre fonctionne correctement, il suffit de supprimer la r´esistance R du cot´e de l’entr´ee de l’A.O. et de remplacer R1 par R. Ainsi cette r´esistance joue deux rˆ oles. On r´ealise cette modification et on observe la tension de sortie. Expliquer le fonctionnement de l’oscillateur (Quelle est la condition sur R2 pour avoir des oscillations ?). Quelle est la fr´equence de ces oscillations ? 5. Proposer une autre m´ethode que celle expos´ee `a la question 3◦ pour faire fonctionner le circuit. Solution: 1. Le filtre est constitu´e de trois cellules C,R en cascade. La cellule la plus en aval a pour fonction de transfert: R 1 H1 = R+Z = 1+ 1 1 = 1+j.x . c j.R.C.ω

La cellule interm´ediaire a pour fonction de transfert: /(Zc +R) 1 1 H2 = R/R/ /(Zc +R)+Zc = 1+ Zc .(R+(Zc +R)) = 1+ Zc .(1+ R ) = R R+Zc R.(Zc +R) La cellule la plus en amont a pour fonction de transfert: /(Zc +(R//(R+Zc ))) 1 H3 = R/R/ Zc .(R+(Zc +(R//(R+Zc )))) = /(Zc +(R//(R+Zc )))+Zc = 1+

H3 =

1 1+j.x. 1+ Z

R.(R+(R+Zc )) c .(R+(R+Zc ))+R.(R+Zc )

1

H3 =

1+(1+H1 ).

1+

1 1+ ZRc . 1+ Z

R c +(R//(R+Zc ))

1


=

=

 1+j.x.

R.(Zc +(R//(R+Zc )))

1 1+j.x.(1+H1 )



 c 1+ 2.R+Z R+Zc .

1+j.x.

R 2.R+Zc Zc . +R R+Zc

1 1+j.x.(1+H2 .(1+H1 ))

1 Zc 2.R+Zc . R R+Zc

Le filtre a pour fonction de transfert: H = H1 .H2 .H3 . 1




ISEN-Brest. Kany.

TD: Oscillateur `a r´eseau d´ephaseur

2. Le filtre cr´ee un d´ephasage de π lorsque H est un r´e√ el n´egatif. Il faut donc calculer quand la partie 1 1 = − 6. Ce qui donne: H = − 29 qui est bien un r´eel imaginaire de H s’annule; on obtient: x = − RC.ω n´egatif. 3. L’imp´edance d’entr´ee est d´efinie par Ze = Viee . On a: Ze = R1 . 2 4. L’A.O. r´ealise la fonction amplificateur inverseur. Si on s’arrange pour que HA.O. = − R R1 = −29, on √ Vs 1 1 obtiendra: Vs = −29.Ve et Ve = − 29 pour x = − RC.ω = − 6, d’o` a la u: ω = √6.R.C . Le circuit oscille ` ω 1 fr´equence f = 2.π = 2.π.√6.R.C . 5. On pourrait utiliser un montage suiveur (qui pr´esente une imp´edance d’entr´ee infinie) entre le filtre et la r´esistance R1 .

2 Code avec Mathematica ` re ´seau de ´phaseur Oscillateur a In[1]:= x=.; H1 = 1/(1+I x); H2 = 1/(1+I x (1+H1)); H3 = 1/(1+I x (1+H2 (1+H1))); H = Simplify[H1 H2 H3] Out[5]=

1 ----------------------2 3 1 + 6 I x - 5 x - I x

In[6]:= ReH=(1-5 x^2)/((1-5 x^2)^2+(6 x-x^3)^2); ImH=(-6 x+x^3)/((1-5 x^2)^2+(6 x-x^3)^2); In[8]:= sol=Solve[ImH==0,x] Out[8]= {{x -> 0}, {x -> -Sqrt[6]}, {x -> Sqrt[6]}} In[9]:= ReH/.sol Out[9]=

1 1 {1, -(--), -(--)} 29 29

In[10]:= omega=-1/(R C x)/.sol Out[10]= 1 1 {ComplexInfinity, -----------, -(-----------)} Sqrt[6] C R Sqrt[6] C R

3 Code avec Python # -*- coding: utf-8 -*from sympy import *

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