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Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

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BRAMOS-Consulting-BET. est une société d’ingénierie et d’études techniques spécialisées dans différents domaines de génie civil, elle a été créée en Mars 2010. Son siège est situé à Résidence Annakhil, 83, boulevard Mohamed V, Oujda. Cette structure, dont la forme juridique est SARL, assure les études techniques, le suivi et la coordination dans les secteurs de BTP suivants : VRD ; Etudes techniques et ingénierie ; Ouvrages métalliques ; Assainissement ; Aménagement ; Etudes en béton armé (tout corps d’état) ; Métré ; L’organigramme de l’organisme d’accueil est présenté comme suit :

Directeur Général : Mostafa BRAHIMI

Secrétariat : C

Hayat AMEZYANE

hef Service

Technicienne : Souad DIB Ingénieur : Ilyes BEREHAB

Figure 1 : L’organigramme de l’organisme d’accueil

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Grace à son directeur, lauréat de l’école Centrale (France), le bureau d’étude multiplie les efforts pour satisfaire les besoins des différents acteurs du secteur BTP grâce à la modernisation de ses processus d’études, essais, expertise, assistance et conseil.

    

Assistance à la maitrise d’ouvrage ; Diagnostic, Expertise et Faisabilité de projets ; Ordonnancement, Coordination et pilotage (OCP) ; Suivi de chantier ; Formation ;

Aujourd’hui, et plus que jamais réitère son engagement de contribuer à bâtir le MAROC.

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II.1 Introduction Le Béton Armé est parmi les matériaux de construction qui est le plus utilisé et le plus économique dans la plupart des constructions .il est le plus répondu dans notre pays de fait que la majorité des ouvrages sont construits en B.A Il constitue une branche de G.C qui’ a pour but de dimensionner les ouvrages d’une façon économique. Présentation de l’ouvrage : Le présent rapport résume un travail de dimensionnement d’un bâtiment (R+4+S/sol) implanté à la ville d’OUJDA, zone classée par le règlement parasismique Marocain ( RPS 2000 ) comme une zone de sismicité moyenne > qui se caractérise aussi par un climat non agressif , d’où le type des fissurations peu préjudiciables . Il s’agit d’un bâtiment (R+4+S/sol) à usage d’habitation, l’élévation totale du bâtiment est de 18,6 m, il est composé de :  S/sol de 2,20 m de hauteur ;  Rez-de-chaussée de 4 m de hauteur utilisé comme Parking ;  3 étages courants de hauteur 2,8m chacun à usage d’habitation ;  Une terrasse accessible avec un mur de hauteur 1,2 m ; Le bâtiment concerné présente une forte symétrie, en effet il est divisé en deux parties similaires.

II.2 But La bonne tenue d’un bâtiment dépend essentiellement des fondations sur lesquelles il repose. Pour cela, il est nécessaire que le sol choisi soit bien étudié .Vu que l’influence majeur sur la résistance et la stabilité de l’ouvrage, c’est le choix des fondations dans les zones sismiques. II.3 Choix d’une structure Le choix d’une construction d’élévation importante est à cause de la tendance s’explique par l’urbanisation très dense imposée par la croissance démographique, à cause de développement théorique et pratique de la technologie du bâtiment.

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II.4 caractéristiques géométriques du bâtiment Dimensions en élévation :

Hauteur totale : H = 18.6 m Hauteur RDC : h = 4 m Hauteur étage : h = 2,80 m Hauteur acrotère : h = 1.2 m Dimensions en plan :

Longueur totale : L = 15.47 m Largeur totale : l = 11.29 m (cf. annexe 1 : Plan architectural du bâtiment)

II.5 Caractéristiques géométriques du sol Le sol d'assise de la construction est un sol meuble d'après le rapport du laboratoire de la mécanique des sols, - La contrainte du sol est бsol = 2 bars.

II.6 Les éléments d’une construction Les principaux éléments d’une construction comprennent :  Les fondations, qui permettant à la construction de reposer sur le sol tout en la supportant et en assurant sa stabilité.  La structure ou ossature, qui assure la stabilité aérienne de l’ouvrage, supporte toutes les charges appliquées et transmet aux fondations les sollicitations dues au poids de l’édifice, aux charges d’occupation et aux constructions exercées par le vent, la neige, les secousses sismiques, ... etc.  Les murs porteurs qui peuvent être intégrés à la structure, Ainsi que les poteaux, les poutres et les planchers qui définissent l’ossature.  Les cloisons intérieures ou murs de refends, qui peuvent être parfois intégrés à la structure.  Les systèmes de circulation verticale : ascenseurs, escaliers mécaniques, escaliers.  l’enveloppe, constituée de la façade, des pignons et de la toiture, qui sépare l’intérieur de l’extérieur de la construction et qui la protège des sollicitations

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diverses : pluie, vent, chaleur, froid, bruit, lumière solaire, ... etc. Elle joue un rôle fondamental dans les économies d’énergie.

II.7 les actions : Ce sont les charges appliquées aux structures : Actions permanentes notées G (ce sont des charges dont l’intensité est constante ou varie très peu dans le temps. Elles sont obtenues à partir des dimensions géométriques des éléments et des ouvrages) ; Actions variables notées Q :  Charges d’exploitation QB (qui dépendent de l’utilisation des locaux, elles sont généralement définies dans les pièces du marché) ;  Charges climatiques comportant la neige Sn et le vent W (sauf dispositions contraires des pièces du marché, les actions du vent et de la neige sont calculées à l’aide du règlement neige et vent) ;  Charges appliquées en cours d’exécution (équipement de chantier) ;  actions dues aux variations de température T et au retrait. Les charges accidentelles : séismes, incendies.

II.8 Conception de la structure 1. Planchers Nous avons utilisé un deux types de plancher ; plancher corps creux pour tous les niveaux avec un plancher terrasse d’une forme de pente pour permettre l’écoulement des eaux pluviales vers les conduites d’évacuation. Plancher dalle pleine pour Balcon.

2. Escaliers Sont des éléments en gradins, ils permettent la circulation verticales des personnes entre les étages. Ils sont construits en B.A.

3. Maçonnerie Ils se composent d’une enveloppe extérieure isolant de l’humidité et du bruit.

 Les murs de façade sont constitués par double parois en briques creuses, dont l’épaisseur est (15 + 10) cm, séparés par une lame d’air de 5 cm.

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 Les murs intérieurs de 10 cm d’épaisseur en briques creuses. 4. Revêtement 

Enduit en ciment pour les murs et les plafonds.



Carrelage pour les planchers et les escaliers.

5. Fondations : L’infrastructure, constitué des éléments structuraux des sous-sols éventuels et le système de fondation doivent former un ensemble résistant et rigide, cet ensemble devra être capable de transmettre les charges sismiques horizontales en plus des charges verticales, de limiter les tassements différentiels .Le système de fondation doit être homogène.

6. Type de coffrage utilisé Les éléments structuraux « Poteaux, Poutres et les Voiles » sont réalisés par le coffrage métallique ou coffrage en bois. Pour les planchers corps creux et les escaliers, on utilise les coffrages en bois.

II.9 Caractéristiques mécaniques des matériaux 1. Le Béton C’est un matériau de construction reconstituant artificiellement la roche, composé de granulats, de sable, de ciment, d’eau et éventuellement d’adjuvants pour en modifier les propriétés. C’est le matériau de construction le plus utilisé au Monde, que ce soit en bâtiment ou en travaux publics. Il présente une très bonne résistance à la compression .Par contre il a une mauvaise résistance à la traction. Son coefficient de dilatation thermique est identique à celui de l’acier : 10-5. Le coefficient de retrait du béton est de l’ordre de 2.10-4.

 Composition du béton :

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-

Granulats (sable 0/5, gravier 5/25).

-

Gravions : 800L.

-

Sable : 400L.

-

Ciment : 300 à 400 kg \ m³.

-

Eau de gâchage : 150 à 200 L.



Masse volumique :

La masse volumique des bétons courants est comprise entre 2200Kg/ m³ et 2400 Kg/ m³, elle peut augmenter avec les modalités de mise en œuvre et elle est de l’ordre de 2500 Kg/ m³ pour un béton armé courant.

 Résistance caractéristique : La résistance à la compression est égale à la rupture par compression à « j » jours sur un cylindre de 200 cm2 de section.  Compression : fC28 = 25 Mpa « pour j = 28 jours ».  Traction : fT28 = 0,6 + 0,06 fC28 = 2,1 Mpa.

 Module de déformation longitudinale du béton :  Module instantané : E i  11000  Module différé :

3

f c28  32164,195 Mpa.

E v  3700 3 f c28  10818,9 Mpa.

 Contrainte de calcul de béton comprimé : a. Etat limite ultime « E.L.U » :

ζ bc Si :

: La déformation du béton à la compression.

0  ζ bc  2 0 00



σ bc 

0,85. f c28   ζ θ.γ b .1   2  bc 2  

  

................ I .7.

La courbe est sous forme d’une parabole. Si

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2 0 00  ζ bc  3,5 0 00



σ bc 

0,85. f c28 ............................. I .8. θ.γ b

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La courbe est sous forme d’un rectangle. si t  24 heures  1  θ   0,9 si 1  t  24 heures ......................... I .9. 0,85 si t  1 heure  Avec :

σ bc 0,85  θ. γ

f

c28

b

2‰

3,5‰

ζab

Figure 2 : Diagramme Contrainte- déformations du béton b. Etat Limite Service « E.L.S » : La contrainte admissible du béton à la compression

σ bc  0,6. f c28  15 Mpa.

2. Les Armatures : Les armatures en acier à pour objectif de supporter les efforts de traction dans les pièces fléchies et tendues, et de renforcer les sections de pièces comprimées. La quantité des armatures est calculée de façon à assurer la résistance aux charges déterminées. Les armatures d’acier utilisées dans le béton armé sont fabriquées en barres laminées à chaud et en fils étirés à froids.

 Type d’acier utilisé :

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Les ronds lisses FeE215 et FeE 235 correspondent, respectivement, à des limites d’élasticités garanties de 215 MPa et 235 MPa. Les aciers à haute adhérence FeE400 et FeE500 correspondent, respectivement, à des limites d’élasticité garanties de 400 MPa et 500 MPa. Treillis soudé de type TS520.

 Contrainte de calcul d’acier : Les caractéristiques mécaniques des aciers d’armature sont dégagées de façon empirique à des essais de traction, en déterminant la relation entre  et la déformation relative. a. Etat Limite Ultime « E.L.U » : Fe : Limite d’élasticité de l’acier : Fe = 500 Mpa. γs : Coefficient de sécurité γs = 1,15. γs = 1 en situation accidentelle. Es : Module d’élasticité de l’acier ES =2 × 105 Mpa.

L 

Si

Fe 400   1,739 γ s  E s 1,15  2  10 5

0

00

.

ζs  ζ L  σs  ζs  Es . Fe 400  σs   347,826 Mpa. γs 1,15 3,5 αL   0,668 Mpa. 3,5  1,739 μ L  0,8 * α L (1  0,4 α L )  0,392.

 σs 

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σs

fc /s Allongement

-10‰ +10‰

Raccourcissement



- fc /s

Figure 3 : Diagramme Contrainte- déformations d’acier

b. Etat Limite Service (E.L.S) : Les contraintes admissibles de l’acier sont données comme suite : Fissuration préjudiciable, il n’y a aucune vérification à effectuer en ce qui concerne σ s. Fissuration peu préjudiciable. σS  σS

2  avec σ s  min  f e .110. η. f c28  .................... I .10. 3 

Fissuration très préjudiciable. 1  σ S  σ s avec σ s  min  f e .90 η. f c28  .......................... I .11. 2 

Avec : coefficient de fissuration. 1,0 η 1,60

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pour Rond Lisse. pour Haute Adhérence.

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3) Association acier-béton : L’adhérence entre l’acier et le béton est la condition essentielle à la réalisation d’une pièce en béton armé. Il faut se donner les moyens d’obtenir cette adhérence par un bétonnage correct et de la rendre durable par un enrobage approprié. Le BAEL prévoit un certain nombre de dispositions des armatures afin d’assurer un bétonnage correct et un bon ancrage des barres et résister à la poussée au vide.

II.10 Principe de calcul aux états limites : 1) États limites : On appelle « État limite », tout état d’une structure (ou d’une partie de celle-ci) au-delà duquel elle cesserait de remplir les fonctions ou ne satisferait plus aux conditions pour lesquelles elle a été conçue. Les états limites peuvent être classés en deux catégories : Les états limites ultimes (ELU) : correspondant à la ruine de l’ouvrage ou de l’un de ses composants par perte d’équilibre, rupture ou flambement ; Les états limites de service (ELS) : au-delà desquels ne sont plus satisfaites les conditions normales d’exploitation ou de durabilité (déformation excessive, ouverture excessive de fissures).

2) Principe de justification : Dans la méthode de calcul aux états limites, on considère des coefficients de sécurité partiels : Des coefficients minorants appliqués aux matériaux (𝛾𝑠 𝑒𝑡 𝛾𝑏) ; Des coefficients majorants appliqués aux actions. Ces coefficients sont fixés par le BAEL 91 selon la nature de l’action, les différents types d’actions en présence et l’état limite considéré. La vérification de la sécurité consiste à s’assurer que l’on a bien, pour chaque état limite : Sollicitations agissantes < Sollicitations résistantes Les sollicitations sont les valeurs de N, V et M (efforts et moments) calculées à partir des actions.

II.11 Combinaison de calcul Les sollicitations sont calculées en appliquant à la structure les combinaisons d’actions définies ci-après : Les combinaisons de calcul à l’état limite ultime « E.L.U » sont : 1. Pour les situations durables : P1 = 1,35 G + 1,5 Q.

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2. Pour les situations accidentelles « séisme, choc… » P2 = G + Q  E. P3 = G + Q  1,2 E. P4 = 0,8 G  E. Les combinaisons de calcul à l’état limite service de résistance : P5 = G + Q. Avec

G : Charge permanente. Q : Charge d’exploitation. E : L’effort de séisme.

II.12 Les règlements utilisés  B.A.E.L 91 Modifié 99.  RPS 2000 – Maroc.

II.13 Les logiciels utilisés 

AUTOCAD 2010 : Pour les dessins des plans.



Autodesk Concrete Building Structures (CBS).



Autodesk Robot Structural Analysis version 2014.



Microsoft excel 2010.

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III.1 Conception : 1) Plan de coffrage : Un plan de coffrage peut être considéré comme étant une vue de dessus du coffrage avant le coulage du béton. Cependant, les éléments horizontaux (planchers, poutres et linteaux) et les éléments verticaux (murs et poteaux) n’obéissent pas aux mêmes règles :  Pour les ouvrages horizontaux : les contours du coffrage sont dessinés, le béton étant considéré non coulé ;  Pour les ouvrages verticaux : ils sont représentés comme s’ils étaient coupés par un plan horizontal juste en dessous du niveau des poutres et linteaux. Le respect des règles suivantes permet d’avoir un plan de coffrage bien conçu :  La vérification de l’alignement entre les poteaux ;  L’évitement de grandes portées des poutres ;  L’évitement de grandes retombées des poutres dans les milieux visibles de bâtiment (cela influence l’aspect esthétique de la construction);  L’évitement des poteaux au milieu des pièces. La démarche suivie lors de la réalisation de notre plan de coffrage est :  Une bonne lecture du plan architectural et la décision à propos de l’utilisation des joints ;  La mise en place des poteaux et des poutres, en respectant l’aspect architectural et esthétique de la structure ;  Les poutres ne doivent pas avoir de grandes portées afin d’éviter des retombées excessives ;  La définition des planchers ainsi que leur sens de portée ;  Le pré dimensionnement des éléments porteurs de la structure. Le gradient de température impose l’utilisation des joints de dilatation, alors que la variation d’inertie (charges horizontales et verticales) stipule l’emploi des joints de rupture. (cf. annexe 2 : Plans de coffrage du bâtiment)

2) Système porteur : Le travail du bureau d’études consiste à définir, à partir des plans de l’architecte, la structure la plus simple possible. Cette structure sera la plus fiable et la plus facilement calculable, c’est la réflexion menée lors de la pré-étude. Les éléments porteurs constituent la structure d’un bâtiment et permettent de véhiculer les charges jusqu’aux fondations : Les planchers transportent les charges horizontalement, ils portent généralement dans le sens de la plus petite portée. Les ossatures transportent des charges horizontalement et verticalement :

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Les poutres reprennent les planchers qui viennent reposer dessus, les maçonneries d’étage ou les voiles lorsqu’ils n’existent pas à l’étage inférieur. Les poutres reposent le plus souvent sur des poteaux. Elles peuvent néanmoins appuyer sur des voiles BA voire sur la maçonnerie pour de faibles charges. Les poteaux assurent la transmission verticale des charges vers les fondations. Les fondations, qui reportent les charges sur le sol, supportent les poteaux, les voiles et les maçonneries.

III.2 Pré dimensionnement 1) Pré dimensionnement des poutres Les poutres sont des éléments horizontaux en béton armé sollicitées par des moments de flexion et des efforts tranchants. Leur rôle est la transmission des charges du plancher aux poteaux. Le calcul des poutres se fera en flexion simple avec les sollicitations les plus défavorables. Soient b la largeur des poutres et h leur hauteur : b = 25 cm; h dépend de la nature de la poutre :

La poutre est considérée porteuse (chargée) si son axe est perpendiculaire au sens des poutrelles ou si elle subit une charge ponctuelle (autre poutre ou poteau suspendu), non porteuse (non chargée) dans le cas contraire.   0,4 h  b  0,8 h Les tableaux suivants présentent le pré dimensionnement des poutres de notre bâtiment :

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Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO N° Poutres

Poutres PN1 NON PN2 PORTEUSES PN3 PN4 PN5 PN6 PN7

L (m)

h=L/16 (m)

2,81 3,08 3,30 2,54 3,67 2,30 3,31

0,18

0,19 0,21 0,16 0,23 0,14 0,21

h*0,4 (m)

0,07 0,08 0,08 0,06 0,09 0,06 0,08

h*0,8 (m)

0,14 0,15 0,17 0,13 0,18 0,12 0,17

Hauteur (m)

0,20 0,25 0,25 0,20 0,25 0,20 0,25

Largeur (m)

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Poids propre de la poutre(KN) 3,51 4,81 5,16 3,18 5,73 2,88 5,17

Tableau 1 : Pré dimensionnement des poutres non porteuses

N° Poutres

L

h=L/12

h*0,4

h*0,8

hauteur

poutres N1 Porteuses N2 hyperstatiques N3 N4 N5 N6

3,86 2,51

0,32 0,21

0,13 0,08

0,26 0,17

0,40 0,25

Poids propre de la poutre(KN) 0,25 9,65 0,25 3,92

3,31 4,24 3,76 3,72

0,28 0,35 0,31 0,31

0,11 0,14 0,13 0,12

0,22 0,28 0,25 0,25

0,30 0,40 0,35 0,35

0,25 0,25 0,25 0,25

4,97 10,6 8,23 8,14

N8

4,69

0,39

0,16

0,31

0,40

0,25

11,73

N9 N10 N11 N12 N13 N14 N15 N16 N17 N18 N19 N20 N21

3,05 3,80 4,12 3,31 4,00 3,75 3,32 5,83 3,94 4,17 4,70 3,31 4,02

0,25 0,32 0,34 0,28 0,33 0,31 0,28 0,49 0,33 0,35 0,39 0,28 0,34

0,10 0,13 0,14 0,11 0,13 0,13 0,11 0,19 0,13 0,14 0,16 0,11 0,13

0,20 0,25 0,27 0,22 0,27 0,25 0,22 0,39 0,26 0,28 0,31 0,22 0,27

0,30 0,35 0,40 0,30 0,35 0,35 0,30 0,50 0,35 0,35 0,40 0,30 0,35

0,20 0,25 0,25 0,20 0,25 0,25 0,20 0,25 0,25 0,25 0,25 0,20 0,25

4,58 8,31 10,3 4,97 8,75 8,20 4,98 18,22 8,62 9,12 11,75 4,97 8,79

Tableau 2 : Pré dimensionnement des poutres porteuses hyperstatiques

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largeur

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO N° Poutres

poutres Porteuses Isostatiques

L

h=L/10

h*0,4

h*0,8

hauteur

largeur

N2 N5

2,51 3,76

0,25 0,37

0,10 0,14

0,20 0,30

0,30 0,40

Poids propre de la poutre(KN) 0,25 4,70 0,25 9,40

N7 N10

3,30 3,80

0,33 0,38

0,13 0,15

0,26 0,30

0,30 0,40

0,20 0,25

4,95 9,50

Tableau 3 : Pré dimensionnement des poutres porteuses isostatiques

2) Pré dimensionnement des planchers : Les planchers sont des aires horizontales qui servent à limiter les étages, ils ont une épaisseur h faible par rapport à leur dimension en plan, leur fonction principale est de résister et supporter les charges et surcharges afin de les transmettre aux éléments porteurs. L’épaisseur h d’un plancher est fonction de son type : 

Si le plancher est à corps creux (ou plancher en hourdis), alors : ℎ= (𝐿/22.5) où L est la plus petite portée.



Si le plancher est à dalle pleine, alors : (Lx étant la plus petite portée de la dalle)

On a opté, dans ce projet, pour deux types de planchers à corps creux, et à dalle pleine, ceci est dû aux raisons suivantes :     

La facilité de stockage, de transport et de mise en œuvre ; Les portées de l’ouvrage permettent leur utilisation ; Une réduction importante du poids de la structure ; Gain en temps et en coût (ils n’exigent pas des mains d’œuvres qualifiées) ; Réservations pour gaines (eau, électricité) ;

Dans notre cas les dalles pleines reposent sur 2 appuis ont une portée égale à : 1,19 m

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Pour des considérations pratiques ; on doit majorer à : h = 20 cm.

Predimensionnement des plachers

Predimensionnement des plachers à

à (corps creux)

(dalle pleine)

h

3,75/22,5 = O, 167

15+5

h

20 (cm)

Tableau 4 : Pré dimensionnement des planchers Les planchers en hourdis sont caractérisés par leur sens de portée. Il est donné par la plus petite portée des panneaux de la structure, autrement dit les poutrelles sont disposées parallèlement à la plus petite direction. Ainsi, on peut déterminer les poutres porteuses (principales) et celles non porteuses (secondaires). Cette règle peut être dépassée si des problèmes de retombée se posent.

Figure 4 : Sens de portée d'un plancher en hourdis 3) Pré dimensionnement des voiles : Selon l’article 7.3.1.4.1 du RPS 2000, l’épaisseur minimale du voile est fonction de la hauteur nette he de l’étage : emin = max (15 cm, he / 20) pour un voile non rigidifié à ses deux extrémités. emin = max (15 cm, he / 22) pour un voile rigidifié à une extrémité. emin = max (15 cm, he / 25) pour un voile rigidifié à ses deux extrémités. Dans notre cas, he = 3 m et le voile est considéré non rigidifié à ses deux extrémités  e = 15 cm. On fixera alors l’épaisseur des voiles à 20 cm.

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III.3 Descente de charge : La descente de charge est l’opération qui consiste à déterminer la charge au niveau de chaque élément et finalement les charges qui arrivent aux fondations. Les charges permanentes s’accumulent d’un étage à l’autre sans aucune diminution alors que celles d’exploitation suivent une loi de dégression verticale. Cette dégression s’applique aux bâtiments de grand nombre de niveaux (cinq niveaux ou plus) à vocation d’habitation ou de bureaux. Donc, pour notre projet, la loi de dégression est applicable. 1) Charges permanentes : L'évaluation de ces charges nécessite la connaissance de l’épaisseur des différents matériaux constituant le plancher. En utilisant les masses volumiques des matériaux fixées par la réglementation, on en déduit les charges surfaciques uniformément réparties sur le plancher. La charge permanente totale est obtenue en faisant le cumul des différentes charges partielles sur chaque plancher. Plancher « terrasse » : On a, la charge G = ρ*e ρ : Poids volumique e : l’épaisseur de l’élément D’où le tableau suivant : Tableau 5 : Charge permanente de la terrasse N°

Éléments

Épaisseur (m)

Poids volumique (KN/m3)

Charges (KN/m ²)

1

Couche de gravier

0.05

17

0,85

2

Étanchéité multicouche

0.02

6

0.12

3

Béton en forme de pente

0.06

22

1.32

4

Feuille de polyrâne

-

-

0.01

5

Isolation thermique

0.04

4

0.16

6

Dalle en corps creux

(15+5)

-

2.75

7

Enduit de plâtre

0.02

10

0.2

Donc G=5.41KN/m²

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Figure 5 : Les éléments constituant le plancher -terrasse Plancher "étage – courant" : N°

Éléments

Épaisseur (m)

Poids volumique (KN/m3)

Charges (KN/m ²)

1

Revêtement en carrelage

0.02

22

0.44

2

Mortier de pose

0.02

20

0.4

3

Dalle en corps creux (15+5)

0.15

-

2.75

4

Enduit de plâtre

0.02

10

0.2

5

Cloisons de séparation interne

0.1

9

0.9

Donc G=4.69 KN/m² (15+5)

Tableau 6 : Charge permanente du plancher haut d’un étage courant

Figure 6 : Les éléments constituant le plancher –étage courant

22

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Calcul de la charge permanente de l’acrotère : L’acrotère est un élément structural contournant le bâtiment conçu pour la protection de ligne Conjonctif entre lui-même et la forme de pente contre l’infiltration des eaux pluviales.

5cm

10cm

3cm 7cm G

120cm

Figure 7 : Coupe transversale de l'acrotère S= [1.20.1+0.050.1+ (0.030.1)/2+0.070.1  S=0.1315 m² G=Sx25  G= 3.2875 KN/ml 2) Charges d’exploitations : Elles sont définies par les conditions d'utilisation de l'ouvrage. Pour notre cas c’est un bâtiment à usage d’habitation, les charges à prendre en considération sont les suivantes : Eléments

Surcharges

Acrotère Plancher terrasse accessible Plancher étage courant (habitation) Les escaliers

1 KN/m² 1,5 KN/m2 1,5 KN/m 2 2.5 KN/m²

Tableau 7 : Charges d'exploitation

23

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 Dégression des Surcharges d’Exploitation Sous terrasse …………………… Q0. Sous étage 1 …………………….. Q0+Q1. Sous étage 2 ……………………. Q0 +0,95 (Q1 + Q2). Sous étage 3 ……………………. Q0 +0,90 (Q1 + Q2 + Q3). Sous étage 4 ……………………. Q0 + 0,85 (Q1 + Q2 + Q3 + Q4). Sous étage n …………………….. Q0 +

3 n (Q1+Q2+…………. +Qn) Pour n≥5. 2n

 Dégression des Surcharges d’Exploitation

La Terrasse 4ème étage 3ème étage 2ème étage 1 er étage RDC Sous /sol

Q0 Q0 + Q1 Q0 + 1.9Q1 Q0 + 2.7Q1 Q0 + 3.4Q1 Q0 + 4 Q1 Q0 + 4.5Q1 Q =

Q (KN/m2) 1,500 3,000 4,350 5,550 6,600 7,500 8,250 8,2500

Tableau 8 : Dégression des surcharges d’exploitation  évaluation des charges

.

valeur cumulée des charges

Valeur non cumulée des charges

et sur charges

et sur charges

Q(kN/m2)

G(kN/m2)

Q(kN/m2)

G(kN/m2)

1,50

5,41

1,50

5,41

3,00

10,10

1,50

4,69

4,35

14,79

1,50

4,69

5,55

19,48

1,50

4,69

6,60

24,17

1,50

4,69

7,50

28,86

1,50

4,69

8,25

33,55

1,50

4,69

Tableau 9 : Evaluation des charges 24

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25

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Dans toute structure, deux types d’éléments sont à distinguer :  Les éléments porteurs principaux qui contribuent directement au contreventement ;  Les éléments secondaires qui ne contribuent pas au contreventement d’une façon directe.

IV.1 Dimensionnement des poteaux: Les poteaux sont des éléments essentiels de la structure porteuse verticale et qui servent à :  Supporter les charges verticales (effort de compression) ;  Participer à la stabilité transversale par le système poteaux-poutres pour combattre les efforts horizontaux (effets du vent, de la dissymétrie des charges et des changements de température) ;  Chaîner la structure verticalement ;  Limiter l’encombrement (surfaces réduites des sections des poteaux) ;  Transmettre les charges verticales et horizontales aux fondations. Le dimensionnement des poteaux se fait par rapport à la compression simple et en ne tenant compte que de la combinaison de charges à l’ELU.

Figure 8 : Rectangles de charge des poteaux 5-A et 1-F (cf. annexe 3 : calcul des surfaces revenant à chaque poteau)

26

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1) Détermination des sections des poteaux et de l’effort normal ultime agissant sur chaque poteau: Afin de calculer les charges transmises aux poteaux, on évalue les charges permanentes et d’exploitation pour chaque poteau dans les différents étages et ceci par la détermination des surfaces d’action (rectangles de charge) affectées à chaque poteau. Pour le cas des planchers à hourdis, le rectangle de charge est délimité en prenant la moitié de chaque poutre (ou la moitié de la dalle en cas d’absence de poutre). Dans ce qui suit, on va développer le calcul des poteaux 5-A (poteau d’angle) et 1-F (poteau de rive), puis on donnera les résultats des autres poteaux sous forme de tableaux. La détermination des sections des poteaux nécessite :    

L’évaluation des charges de chaque plancher sur les différents poteaux ; Le calcul des charges cumulées (du PH 2ème étage jusqu’au PH RDC) ; La détermination de l’effort ultime 𝑁𝑢 = 1.35 ∗ 𝐺 + 1.5 ∗ 𝑄 ; La correction de cet effort normal ultime : 𝑁𝑢 = (1.35 ∗ 𝐺 + 1.5 ∗ 𝑄) ∗ 𝐶𝑐

Ce coefficient Cc , dû à la continuité, dépend de la position du poteau. Il vaut : 15% pour les poteaux courants de la file centrale d’un bâtiment à deux travées ; 10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le cas des bâtiments comportant au moins trois travées

Figure 9 : Majoration des charges transmises aux poteaux Il faut signaler que la dite correction ne concerne que la transmission de charge d’un élément à un autre et non pas d’un élément à lui-même, et par conséquent, le poids propre du poteau ne subira pas une correction.    

27

Le pré dimensionnement des sections de poteaux en considérant le cas le plus défavorable As = 0 (le béton reprend seul l’effort de compression) ; La formule à utiliser est : 𝑎 ∗ 𝑏 ≥ 𝑁𝑢 /𝜎𝑏 = 𝑁𝑢 /14,16 où a et b sont les dimensions planes des poteaux ; Le calcul du poids propre des poteaux ; Le redimensionnement des poteaux tout en tenant compte de leurs poids propres

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Terrasse poteau

Nu(MN)

α

fc28

Br(cm2)

P3

0,190

0,708

25

P12

0,080

0,708

25

B(cm2)

144,81 25*25 61,00 25*25

4éme étage poteau

Nu(MN)

P3

0,518

0,708

25

P12

0,217

0,708

25

α

fc28

Br(cm2)

B(cm2)

394,82 25*25 165,34 25*25

3éme étage poteau

Nu(MN)

P3

0,295

0,708

25

P12

0,450

0,708

25

α

fc28

Br(cm2)

B(cm2)

224,88 25*25 342,91 25*25

2éme étage poteau

Nu(MN)

P3

0,470

0,708

25

P12

1,020

0,708

25

α

fc28

Br(cm2)

B(cm2)

358,60 25*25 777,80 30*30

1er étage poteau

Nu(MN)

P3

0,671

0,708

25

P12

2,582

0,708

25

α

fc28

Br(cm2)

B(cm2)

511,60 25*25 1968,10 50*50

RDC poteau

Nu(MN)

P3

1,439

0,708

25

P12

1,441

0,708

25

α

fc28

Br(cm2)

B(cm2)

1096,88 40*40 1098,67 40*40

Sous/sol poteau

Nu(MN)

P3

1,850

0,708

25

P12

1,857

0,708

25

28

α

fc28

Br(cm2)

B(cm2)

1410,58 40*40 1415,57 40*40

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Tableau 10 : Détermination de la section des poteaux 5-A et 1-F

(cf. annexe 5 : dimensionnement des poteaux du bâtiment)

2) Ferraillage des poteaux : À ce stade, on va détailler le ferraillage des deux poteaux 5-A et 1-F l’un au niveau du 1er étage et l’autre au niveau du 2éme étage. Le calcul de ferraillage de l’ensemble des poteaux et aux différents niveaux sera résumé en annexes. Les différentes étapes à suivre lors du ferraillage d’un poteau à section rectangulaires sont énumérées comme suit : a) Détermination des armatures longitudinales : Calcul de la longueur de flambement Lf :

La longueur de flambement Lf est évaluée en fonction de la longueur libre L0 des pièces et de leurs liaisons effectives. La longueur libre L0 est définie comme étant la longueur :  Entre faces supérieures de deux planchers consécutifs ;  Entre la face supérieure de la fondation et la face supérieure du premier plancher.

Figure 10 : La longueur libre d’un poteau

29

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Lf = 0.7L0 si le poteau à ses extrémités :  

Soit encastré dans un massif de fondation ; Soit assemblé à des poutres de plancher ayant au moins la même raideur que lui dans le sens considéré et la traversant de part en part (cas d’un poteau intérieur). Lf = L0 dans tous les autres cas. Calcul du rayon de giration minimal imin :

 Imin : le moment quadratique minimal de la section de béton seul par rapport à un axe passant par le centre de surface ;  B : aire de la section droite de béton. Calcul de l’élancement mécanique :

L’élancement est limité à 70 pour la justification des poteaux soumis à la compression réputée centrée. Calcul du coefficient de sécurité (coefficient de flambage) α :

Le coefficient α est toujours inférieur à 1. Il est à diviser par :  Si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours ;  Si la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours et on prend fcj au lieu de fc28. Calcul de la section réduite Br:

Br (m²) = (a - 0.02)*(b - 0.02) Calcul de la section théorique d’acier longitudinal:

Calcul de la section d’acier minimale: 30

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Amin = max (A(4u), A(0.2%)) A (4u) = 4u (m) avec u : le périmètre de la section A (0.2%) = 0.2*B/ 100 la section d’acier à adopter:

A = max (Ath , Amin ) La section des armatures A doit vérifier : A ≤ 5* 𝐵/ 100 (section d’acier maximale), sinon on redimensionne la section du béton. L’espacement C entre les armatures longitudinales:

 C doit vérifier : C < min (a + 10 cm, 40 cm), a étant la petite dimension de la section plane du poteau.  Dans le cas contraire, on ajoute des armatures de disposition. b) Détermination des armatures transversales :

 Le diamètre des armatures transversales est au moins égal à la valeur la plus proche de 1/3 du diamètre maximal des armatures longitudinales qu’elles maintiennent :  

   

L’espacement des cours successifs d’armatures transversales est au plus égal à : 40 cm ; La plus petite dimension de la pièce augmentée de 10 cm ; 15 fois le diamètre minimal des armatures longitudinales (si A > Amin) ;

La longueur de recouvrement :  Lr = Ls , pour les pièces soumises aux chocs ;  Lr = 0.6*Ls , dans les cas courants.

Ls : étant la longueur de scellement et est donnée par 𝜏𝑠𝑢 : la contrainte limite d’adhérence.  Le nombre de cours v sur la longueur Lr est tel que : v ≥ 3.

31

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c) Dispositions constructives impératives : Les armatures transversales doivent être perpendiculaires aux armatures longitudinales. Elles doivent former une ceinture continue sur le contour de la pièce et entourer les armatures longitudinales. Les ancrages et recouvrements sont nécessairement droits. Calcul d’armature pour les poteaux P3 (premier étage) et P12 (2éme étage) : 1er ETAGE Section Nom

P3

Br (m²)

I (m)

Nu L0 (MN) (m)

Lf (m)

λ

0,25 0,25 0,05

0,07

0,67 1

2,1

2 9

a

b

Chois d'armature

Acier (cm²)

3

α (k=1,1)

0,679

Asth (cm²)

Asmax (cm²)

Asc (cm²)

2,04E01

31,25

4

Øl

Øt

4 HA 12 HA6

2 éme ETAGE Section Nom

a

P12

0,3

L0 Nu ( (M m N) )

B (m²)

Br (m²)

I (m)

0,3 0,09

0,08

0,0 1,0 9 20

b

3

α

Lf (m)

λ

(k=1,1)

Asth (cm²)

Asmax (cm²)

Asc (cm²)

Øl

Øt

2,1

2 0,705 4

7,175 7

45

7,175 7

4 HA 16

HA 6

(cf. annexe 6 : Calcul des armatures pour tous les poteaux)

32

Chois d'armature

Acier (cm²)

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POTEAU Armatures longitudinales

Armatures transversales

P3

P12

Lf (m)

2,1

2,1

imin (m)

0,07

0,09

𝝀

29

24

𝜶 Br (m2)

0,679

0,705

0,05

0,08

Ath (cm2)

1,43

-0,79

Amin (cm2)

4

4,8

A (cm2)

4

4,8

4 HA 12

4 HA 16

𝝓𝒕 St en zone courantes (cm) Lr (cm)

HA6

HA6

18

24

31,746

42,328

St en zone de recouvrement (cm)

10

14

Tableau 11 : Les armatures longitudinales et transversales des poteaux P3 et P12

Figure 11 : Schéma de ferraillage des poteaux P3 et P12

33

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IV.2 Dimensionnement des voiles: 1) Généralités : Les voiles et murs sont des éléments ayant deux dimensions grandes par rapport à la troisième appelée épaisseur, généralement verticaux et chargés dans leur plan. Ces éléments peuvent être :  En maçonnerie non armée ou armée, auxquels on réservera le nom de murs ;  En béton armé ou non armé, et appelés voiles. On utilise aussi l’expression murs en béton banché pour désigner les voiles en béton non armé. Le rôle des voiles et murs est :  De reprendre les charges permanentes et d’exploitation apportées par les planchers ;  De participer au contreventement de la construction (vent et séisme) ;  Assurer une isolation acoustique entre deux locaux et une protection incendie (coupe-feu) ;  De servir de cloison de séparation entre deux locaux. Qu’ils soient appelés armés ou non armés, les voiles en béton comportent un minimum d’armatures : - Au droit des ouvertures (concentration des contraintes) ; - À leur jonction avec les planchers ; - À leurs extrémités. L’ensemble des calculs présentés dans ce paragraphe fait l’objet du DTU 23.1. Les murs non armés comportent des armatures minimales de comportement fixées forfaitairement alors que les murs armés comportent des armatures de comportement et des armatures de résistance. Le calcul d’un voile se déroule selon trois phases :  Descente de charges ;  Détermination des sollicitations ;  Calcul des armatures de résistance si nécessaire. 2) Domaine d’application et de validité : Les voiles doivent vérifier les conditions suivantes :  Épaisseur supérieure ou égale à 10 cm ;  Longueur supérieure ou égale à 5 fois l’épaisseur ;  Élancement inférieur ou égal à 80 ;  Fc28 inférieure ou égale à 40 MPa ;  Excentricité e inférieure ou égale à (2 cm et Lf / 300) ;  Dosage en ciment supérieur ou égal à 300 Kg / m3.

34

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3) Justification des voiles :

Figure 12 : Les niveaux de justification d’un voile Deux justifications doivent être faites :

 La première à mi-hauteur au flambement ;  La seconde en tête de voile à la compression simple. La contrainte moyenne créée par la descente de charges aux niveaux I et II doit être inférieure à une contrainte limite déterminée par calcul.

Figure 13 : Les niveaux de justification d’un voile supportant une charge verticale Dans le cas d’un voile supportant une poutre (charge ponctuelle), les vérifications à faire sont les suivantes :  La première à mi-hauteur ;  La seconde sous l’appui de la poutre. La diffusion de charges à prendre en compte est caractérisée qui diffère selon que le mur sera armé ou non :

35

par l’angle

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

= 1/3 pour un mur non armé ;



= 2/3 pour un mur armé.

4) Descente de charges : Les voiles ont pour dimensions les valeurs suivantes : Voiles V1 V2 V3 V4 V5

Longueur (m) 4,70 3,70 2,9 2,70 2,30

Épaisseur (m) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Hauteur (m) 3 3 3 3 3

Tableau 12 : Les dimensions des voiles Les rectangles de charge associés à chaque voile sont représentés dans le tableau ci-après :

Voiles S (m^2) V1 8,81 V2 8,81 V3 8,81 V4 8,81 RDC V5 3,80

1er étage

2éme étage

36

Voiles V1 V2 V3 V4 V5

Voiles V1 V2 V3 V4 V5

R1 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 4,95

S (m^2) 8,81 8,81 8,81 8,81 3,80

R2 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 2,88

R1 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 4,95

R3 (KN) 4,81 4,81 4,81 4,81 4,95

R2 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 2,88

R4 Charge des murs Charge d'escalier (KN) (KN) (KN) 0,00 9,32 12,47 0,00 0,00 12,47 0,00 0,00 12,47 0,00 0,00 12,47 0,00 9,32 0,00

R3 (KN) 4,81 4,81 4,81 4,81 4,95

R4 (KN) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

S (m^2) R1(K) R2(K) R3(K) R4(KN) 8,81 9,65 9,65 4,81 0,00 8,81 9,65 9,65 4,81 0,00 8,81 9,65 9,65 4,81 0,00 8,81 9,65 9,65 4,81 0,00 3,80 4,95 2,88 4,95 0,00

Charge des murs (KN) 9,32 0,00 0,00 0,00 9,32 Charge des murs (KN) 9,32 0,00 0,00 0,00 9,32

Charge d'escalier (KN) 12,47 12,47 12,47 12,47 0,00 Charge d'escalier (KN) 12,47 12,47 12,47 12,47 0,00

G(KN) 87,22 77,90 77,90 77,90 39,92

Q(KN) 13,22 13,22 13,22 13,22 5,70

G (KN) 87,22 77,90 77,90 77,90 39,92

Q (KN) 13,22 13,22 13,22 13,22 5,70

G (KN) 87,22 77,90 77,90 77,90 39,92

Q (KN) 13,22 13,22 13,22 13,22 5,70

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3éme étage

4 éme étage

Voiles V1 V2 V3 V4 V5

Voiles V1 V2 V3 V4 V5

S(m^2) 8,81 8,81 8,81 8,81 3,80

R1 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 4,95

R2 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 2,88

Charge R4 Charge des murs d'escalier (KN) (KN) (KN) 0,00 9,32 12,47 0,00 0,00 12,47 0,00 0,00 12,47 0,00 0,00 12,47 0,00 9,32 0,00

R3 (KN) 4,81 4,81 4,81 4,81 4,95

R1 S(m^2) (KN) 8,81 9,65 8,81 9,65 8,81 9,65 8,81 9,65 3,80 4,95

R2 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 2,88

R3 R4 (KN) (KN) 4,81 0,00 4,81 0,00 4,81 0,00 4,81 0,00 4,95 0,00

R1 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 4,95

R2 (KN) 9,65 9,65 9,65 9,65 2,88

R3 (KN) 4,81 4,81 4,81 4,81 4,95

Voiles S(m^2) V1 8,81 V2 8,81 V3 8,81 V4 8,81 Terrasse V5 3,80

Charge des murs (KN) 9,32 0,00 0,00 0,00 9,32

R4 (KN) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Charge d'escalier (KN) 12,47 12,47 12,47 12,47 0,00

Charge d’acrotère (KN) 17,27 0,00 0,00 0,00 8,45

G (KN) 82,70 65,43 65,43 65,43 39,05

G(KN) Q(KN) 87,22 13,22 77,90 13,22 77,90 13,22 77,90 13,22 39,92 5,70

G (KN) 87,22 77,90 77,90 77,90 39,92

Q(KN) 13,22 13,22 13,22 13,22 5,70

Q(KN) 13,215 13,215 13,215 13,215 5,7

Tableau 13 : Rectangles de charge associés à tous les voiles Par la suite on va se contenter de détailler le calcul d’un seul voile V (V2) avec le maximum des charges. Les charges transmises au voile V aux différents niveaux sont comme suit : Charge d'exploitation (KN)

Charge permanente (KN) Niveau x Terrass e 4éme 3éme Voile 2éme V 1er

G(KN) 65,43 77,90 77,90 77,90 77,90

PP du voile 70,5 70,5 70,5 70,5 70,5

G+PP du voile 135,93 148,40 148,40 148,40 148,40

G cumulées 135,93 284,33 432,73 581,13 729,53

Q

Q cumulées

13,22 13,22 13,22 13,22 13,22

Tableau 14 : Descente de charges du voile V

37

13,22 26,43 39,65 52,86 66,08

Effort normal (KN) Nu 203,33 423,49 643,65 863,81 1083,98

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5) Ferraillage du voile : On fait, dans un premier temps, l’hypothèse que le voile est un mur non armé.

a) Effort normal limite ultime et contrainte limite : Calcul de la longueur de flambement Lf :

 Pour les voiles non raidis latéralement par des murs en retour, la longueur de flambement Lf est donnée en fonction de la hauteur libre L du voile entre nus de planchers :

Tableau 15 : Longueur de flambement selon le type de voile

L’hypothèse courante est que le voile est articulé en tête et en pied ; la longueur de flambement vaut : Lf = L = 4,70 m. Calcul de l’élancement mécanique :

= 64.08 < 80 Calcul du coefficient de sécurité (coefficient de flambage) α :

= 0,455

Le coefficient α est toujours inférieur à 1. Il est à diviser par : o si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours ; o 1.2 si la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours et on prend fcj au lieu de fc28.

Donc, la nouvelle valeur de ce coefficient vaut : α = 0.4136 Calcul de la section réduite Br:

Br (m²) = a *(e - 0.02)

38

Br (m²) = 0,666 m²

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO Calcul de l’effort normal limite ultime:

À ce stade, on doit s’assurer que l’effort Nu sollicitant le voile à l’état limite ultime est bien inférieur à Nulim résistant équilibré par la section du béton et par la section d’acier (si elle est nécessaire). Nulim , dans le cas d’un mur non armé, est donné par :



Nulim= 5,101MN

La contrainte limite ultime:



=6,893 Mpa

La contrainte créée par la descente de charges ne doit pas donc dépasser 6.893 MPa pour que le mur soit non armé.

b) Vérification des contraintes : Le control à mi-hauteur:



=1,446 Mpa< 𝜎𝑢𝑙𝑖𝑚

Le control sous appuis des poutres :

+

Où 𝜎2 représente la diffusion de charges due à la poutre : N étant la charge apportée par la poutre : N = 0.0824 MN

 𝜎2 = 0,0183 Mpa

39

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𝜎𝑢 = 1,446 + 0,0183 = 1,4643 Mpa < (𝜎𝑢𝑙𝑖𝑚/𝛼) = 16.666 MPa Les deux contrôles montrent que le voile comportera uniquement des armatures minimales.

c) Armatures minimales de comportement : o Chaînage horizontal : il doit être prévu en ceinturage de façade. 𝐶𝐻= (1.5∗400)/𝑓𝑒 = 1.2 cm2, soit 2 HA 10

o Aciers de peau : pour limiter les effets hygrothermique. Section minimale : Aciers verticaux : (0.6∗400)/𝑓𝑒=0.48 𝑐𝑚2/𝑚, soit HA 6 et un espacement de 50 cm. Aciers horizontaux : (1.2∗400)/𝑓𝑒=0.96 𝑐𝑚2/𝑚, soit HA 6 et un espacement de 25 cm. Enrobage minimal : 3 cm (cas d’une exposition courante).

o Aciers de renforts : Avant dernier planché (PH 3éme étage) : Aciers verticaux : 𝐴𝑇= (400/𝑓𝑒)=0.8 𝑐𝑚2/𝑚, soit HA 6 et un espacement de 33 cm. Ces armatures vont être ancrées de part et d’autre du plancher (en remplacement des aciers de peau). Plancher sous terrasse (PH 4ème étage) : Aciers verticaux : 𝐶𝑉= (1.5∗400)/𝑓𝑒 = 1.2 cm2, soit 2 HA 10 avec U en HA 6 tous les 30 cm. Ces aciers partent du dessus du plancher inférieur et sont ancrés dans le plancher terrasse. Aciers horizontaux : 𝑅𝐻= (2.35∗400) 𝑓𝑒 = 1.88 cm2, soit 3 HA 10. C’est dans le plancher lui-même que seront posées ces armatures.

40

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IV.3 Dimensionnement des fondations : 1) Introduction : On appelle fondations les éléments qui jouent le rôle d’interface entre la structure porteuse et le sol. Elles sont adaptées à la fois à l’ouvrage et à la nature du sol et prennent des formes diverses de manière à assurer une bonne répartition des contraintes. Dans une construction, les fondations assurent le transfert des efforts repris par l’ossature de la construction au terrain qui lui sert d’assise. Par voie de conséquence, elles doivent être aptes à répondre aux forces de réaction du terrain. Pour déterminer les dimensions des fondations, il faut connaître l’ensemble des charges amenées par l’ouvrage :    

Son poids propre après achèvement ; Toutes les surcharges qui peuvent lui être appliquées ; La force portante du sol ; La typologie de la structure.

Avant de choisir le type de fondations le mieux convenable à supporter l’ouvrage, il est nécessaire de procéder à un calcul préliminaire afin d’adopter la solution optimale pour notre structure. Ce choix est en fonction de plusieurs paramètres : o Les caractéristiques du sol support ; o Le type d’ouvrage à construire ; o La nature et l’homogénéité du sol ; o La capacité portante du terrain de fondations ; o La charge totale transmise au sol ; o L'aspect économique ; o La facilité de réalisation. On distingue trois types de fondations : Les fondations superficielles : Sont mises en œuvre lorsque la construction peut prendre appui sur une couche de résistance acceptable à faible profondeur par rapport au niveau le plus bas de la construction et non par rapport au sol naturel. Elles sont linéaires ou ponctuelles ou peuvent correspondre à la surface de la construction (cas du radier). Les fondations profondes : Permettent d’aller chercher la couche résistante à une profondeur adéquate, en traversant les couches de qualité moindre. Les fondations spéciales : Répondent à des objectifs liés à la nature des terrains et la présence d’eau éventuelle sous forme de nappe phréatique. 2) Choix de type de fondations: Avec une charge admissible au sol d’assise de 2 bars, il y a possibilité de projeter à priori, des fondations superficielles de type :  Semelles ponctuelles, réalisées en béton armé, transmettent au sol d’assise des charges amenées par des points porteurs isolés. Pour des raisons de commodités de coffrage, elles sont carrées ou rectangulaires. 41

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 Semelles excentrées : une semelle est dite excentrée lorsque la résultante des efforts verticaux ne coïncide pas ou ne passe pas par son centre de gravité ; seule la portion de semelle qui se trouve directement sous l’élément porteur intervient dans le report des charges. Pour pallier les effets de l’excentrement, on adopte des dispositions constructives (poutre de redressement par exemple).  Semelles filantes : sont en béton armé, au pied d’un mur ou sous une file de points porteurs. Elles peuvent être assimilées comme l’association de plusieurs semelles ponctuelles.  Radier : c’est une dalle en béton armé servant de fondation à une construction. Son utilisation est requise lorsque : le sol n’est pas porteur, le bon sol se situe à trop grande profondeur ou l’aire des semelles est supérieure à la moitié de celle du bâtiment. Le radier, en béton armé, forme une surface d’appui égale ou supérieure à l’emprise du bâtiment afin d'assurer une meilleure répartition des contraintes sur le sol d’assise. Celuici doit être homogène, formé d’une couche d’épaisseur sensiblement constante et dépourvu de points durs. L’ensemble travaille à la flexion comme un plancher renversé. D’après les données de notre problème (une contrainte moyenne admissible du sol de 2 bars, la proximité du bon sol par rapport à la surface et des charges modérées), on va opter pour des semelles isolées, excentrées et filantes 3) Dimensionnement des fondations sur semelles : a) Sollicitations et états limites - Répartition des contraintes au sol :  o Les calculs de fondations sont effectués à l’état limite de service pour le dimensionnement de la surface au sol (la portance du sol intègre déjà un coefficient de sécurité de l’ordre de 3) ; le dimensionnement vis-à-vis de leur comportement mécanique s’effectue à l’état limite ultime.

Figure 14 : Diagramme de répartition rectangulaire des contraintes sous une semelle rigide o Le diagramme de répartition des contraintes normales (pression) au contact sol-semelle dépend à la fois de la rigidité de la semelle et de la nature du sol (pulvérulent, cohérent non rocheux ou rocheux). Pour notre projet, on considère que les semelles seront fondées sur un sol nonrocheux, une répartition rectangulaire des contraintes au sol est alors admise avec 42

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𝑝=𝑃𝐵 où 𝑝 est l’effort de calcul, 𝑃 est la charge centrée verticale transmise au sol et B étant la longueur de la semelle.

b) Calcul des semelles rectangulaires sous poteaux rectangulaires soumises à une charge verticale centrée : Le poteau a une section a*b, la semelle est un rectangle A*B, avec 𝑎≤𝑏 et 𝐴≤𝐵 ; le choix des dimensions de la semelle est fait en adoptant la démarche suivante :

Les sections d’armatures Aa dans le sens de la largeur et Ab dans le sens de la longueur sont données, en utilisant la méthode des bielles, par :

Ancrage des barres : La longueur de scellement 𝑙𝑠 d’une barre est donnée par : Avec :

On compare respectivement les longueurs de scellement 𝑙𝑠𝑎 et 𝑙𝑠𝑏 des barres à 𝐴/4 et 𝐵/4 : 

43

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 Si 𝑙𝑠𝑎≤𝐴/4 : les barres dans le sens de la largeur n’ont pas besoin de crochets, sinon il faut en placer ;  Si 𝑙𝑠𝑏≤𝐵/4 : les barres dans le sens de B n’ont pas besoin de crochets, sinon il faut en placer.

c) Calcul des semelles sous voile soumises à une charge verticale centrée : Ces semelles sont considérées comme une succession de bielles de béton travaillant en compression, inclinées et transmettent aux aciers inférieurs des efforts de traction. Les armatures verticales des murs et des poteaux doivent être prolongées jusqu’à la base de la semelle ; il est nécessaire de prévoir des ancrages courbes pour ces armatures. Dimensions de la semelle :

On appelle P la charge centrée verticale transmise au sol par mètre linéaire dans le sens du mur, qui comprend les charges sur un mètre de mur et le poids propre d’un mètre de mur et de semelle ; 𝜎 est la contrainte limite admissible au sol, 𝜎𝑠𝑜𝑙 étant la contrainte effectivement appliquée. On doit vérifier les conditions suivantes :

La Détermination des armatures :

• La contrainte au sol est : 𝜎𝑠𝑜𝑙=𝑃𝑢/ (𝐵∗1 𝑚). • L’effort de traction au centre des armatures vaut : 𝐹=(𝐵−𝑏)/8𝑑. • La contrainte limite de traction de l’acier étant 𝜎𝑠, la section d’armatures transversales par mètre de semelle vaut : 𝐴𝑠=𝐹𝜎𝑠=(𝐵−𝑏)/8𝑑𝜎𝑠. Pour déterminer la longueur des barres et leur mode d’ancrage, on calcule la longueur de scellement 𝑙𝑠 :  Si 𝑙𝑠>𝐵/4 : toutes les barres doivent être prolongées jusqu’aux extrémités de la semelle et comporter des ancrages courbes ;  Si 𝐵/82𝐵2+ (𝑎−2𝑏) 𝐵−𝑃/𝑠𝑒𝑟𝜎≥0  On résout l’équation : 2𝐵2+ (𝑎−2𝑏) 𝐵−𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎=0 ; la racine positive de cette équation est : 𝐵= (− (𝑎−2𝑏) +√ (𝑎−2𝑏) 2+8𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)/4 ==> 𝐵≥ (− (𝑎−2𝑏) +√ ((𝑎−2𝑏)^ 2+8𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)/4 𝑒𝑡 𝐴=2𝐵+𝑎−2𝑏  La hauteur de la semelle h est donnée par : ℎ≥1/4*max (𝐴−𝑎 ;−𝑏)+5 𝑐𝑚  Les hauteurs utiles sont : 𝑑𝑏=ℎ−6 𝑐𝑚 et 𝑑𝑎=ℎ−6𝑐𝑚−Φ𝑏

Figure 16 : Semelle excentrée dans une direction 45

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La Détermination des armatures :

Asa 

Pu ( A  a ) 8 xdax S

Et Asb 

Pu ( B  b) 8 xdbx S

e) Calcul des semelles rectangulaires excentrées dans les deux directions :

Figure 17 : Semelle excentrée dans les deux directions Pour une semelle excentrée dans les deux directions, rencontrée à un angle de limite de propriété ou au croisement de deux joints de rupture, son dimensionnement est donné par les formules ci-dessous :

 𝐴𝐵≥𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎 ; (𝐴−𝑎)=(𝐵−𝑏) ==>𝐵^2+ (𝑎−𝑏) 𝐵−𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎≥0  On résout l’équation : 𝐵^2+ (𝑎−𝑏)*𝐵−𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎=0 ; la racine positive de cette équation est 𝐵=(−(𝑎−𝑏)+√(𝑎−𝑏)2+4𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)2 ==> 𝐵≥− (𝑎−𝑏) +√ ((𝑎−𝑏)^2+4𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)/2 𝑒𝑡 𝐴=𝐵+𝑎−𝑏 • La hauteur de la semelle h est donnée par : ℎ≥14max (𝐴−𝑎 ; 𝐵−𝑏) +5 𝑐𝑚 • Les hauteurs utiles sont : 𝑑𝑏=ℎ−6 𝑐𝑚 et 𝑑𝑎=ℎ−6𝑐𝑚−Φ𝑏 Asa 

46

Pu ( A  a ) 8 xdax S

Et

Asb 

Pu ( B  b) 8 xdbx S

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f) Exemples de calcul des semelles :

Exemple de calcul d’une semelle isolée Données : 𝜎=2 𝑏𝑎𝑟𝑠 et une profondeur de 1.5 m. En prend semelles 14 (S14) comme exemple de calcul : Poteau 65x65cm Nu=1.076 MN. Nser=0.78MN Fc28=25MPa

B

b N ser 65  0.78 1.076  x  , max ;   1.97m en prend B  2m a  SOL 65  0.20 0.20 

A

La hauteur utilisée doive respecter B b (2  0.65)  (ha et hb)  ( A  a) ;  0,337  (ha et hb)  (2  0.65)  1.35 4 4 En prend une semelle carrée de 2x2 et de hauteur 0.40cm Le poids propre veut 2 x2 x0.40x25x103  0.04MN Soit Nu fectife  1.76  0.04 *1.35  1.13MN b N 65  0.821 1.13  x  , max ;   2.38m a  SOL 65  0.20 0.20  a 65 A  xB  x1.10  2.40m b 65 Pour déterminer le diamètre des armatures il faut que : Is /Ø=35 Pour : fc28 =25MPa et fe=500MPa Is /Ø=35 A 2400 Isb  Isa  45a  ;a   17.14 soit HA16 4 4 x35 Calcul pratique da = 40-5=35cm B

Asa 

Pu ( A  a) 1.13 x(2.40  0.65 )   16 .25 cm² 8 xdax S 8 x0.35 x 434 .78

Soit 9HA16

Calcul pratique db = 40-5=35cm Asa 

Pu ( A  a) 1,13 x(2.40  0.65 )   16 .25 cm² Soit 9HA16 8 xdbx S 8 x0.35 x 434 .78

 Le calcul d’espacement : 47

a xB  2m b

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𝑠𝑡𝑎= (𝐴−2𝑐−𝜙)/ (𝑛−1)= (2.4−2∗0.05−0.016)/(9−1)=0.285 𝑚 ==>𝑠𝑡𝑎=𝑠𝑡𝑏=30 𝑐𝑚  La hauteur en rive :

En l’absence de crochets, la hauteur en rive vaut : 𝑒≥ 𝑚𝑎𝑥 {15 𝑐𝑚 ; (6∅+6𝑐𝑚)}=15 𝑐𝑚 (cf. annexe 7 : Calcul des surfaces nécessaires pour toutes les semelles) (cf. annexe 8 : Ferraillage des semelles)

Exemple de calcul d’une semelle filante Soit la semelle continue SF1 recevant une charge verticale centrée par mètre de mur de 0.2334 MN /m à l’ELS et de 0.3202 MN /m à l’ELU.

La charge verticale centrée est composée de : o la charge répartie due aux escaliers et au poids propre du voile : 0.791 MN/m à l’ELU et 0.577 MN/m à l’ELS. o des charges concentrées dues aux poutres et qui seront remplacées par une charge répartie équivalente : 0.0325 MN/m à l’ELU et 0.0241 MN/m à l’ELS. Donc la charge verticale centrée totale est de : 0.8235 MN/m à l’ELU et 0.6011 MN/m à l’ELS. Dimensions de la semelle :

 La largeur de la semelle est donnée par : 𝐵≥𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎= 0,6011/0,2= 3,005m ≅ 3,10m  Sa hauteur utile vaut : 𝑑≥ (𝐵−𝑏)/4 = (3,10-0,65)/4 =0,612 m  En prenant une largeur de 3,1 m et une hauteur totale moyenne de 1 m, son poids    

propre est de l’ordre de : 𝑝𝑝=3.1∗1∗25=0.0775 𝑀𝑁/𝑚 Les charges appliquées au sol valent ainsi : 𝑃𝑠𝑒𝑟=0.6786 𝑀𝑁𝑚⁄ ; 𝑃𝑢=0.9254 𝑀𝑁/𝑚 Vérification : 𝐵≥ (𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)=3.393𝑚==>𝐵=3,4 𝑚 On calcule à nouveau le poids propre de la semelle avec B = 3,4m, puis on évalue les efforts à l’ELU et à l’ELS : 𝑃𝑠𝑒𝑟=0.6861 𝑀𝑁𝑚⁄ ; 𝑃𝑢=0.9382 𝑀𝑁/𝑚 𝐵≥𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎 =3.43 𝑚==>𝐵=3.4 𝑚

Pour que la hauteur totale soit un nombre rond de centimètres, compte tenu de l’enrobage de 5 cm et du demi diamètre des barres, on prendra h = 1 m et d = 94 cm. Calcul des armatures :

As 

Pu ( B  b ) = 7,891 𝑐𝑚2 8 xdx S

En plaçant des barres tous les 15 à 25 cm, soit en utilisant 4 à 6 barres par mètre, cette section peut être réalisée avec 4 HA16.

48

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 Pour se dispenser des crochets, il faut que la longueur de scellement soit inférieure à 𝐵/4 On a : 𝑙𝑠/𝜙=44.1==>𝑙𝑠=44.1𝜙≤𝐵/4==> 𝜙=𝐻𝐴 16.  1 HA 16 = 2.01 cm2, donc : 𝑛=7,891/2,01=3,926 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑚è𝑡𝑟𝑒, soit un espacement de : 100/3,926 =25.47 𝑐𝑚.  donc on prend 4 HA 16 par mètre. Les barres 4 HA 16 seront espacées de 25 et munies de crochets. Calcul des armatures longitudinales de répartition :

𝐴𝑟=(𝐴𝑠*𝐵)/4=(8.04∗3.4)/4=6.834 𝑐𝑚2, on choisit 6 HA12 (l’utilisation d’acier HA 6 est interdite au niveau des semelles) avec un espacement de : 𝑠𝑡≤(𝐵−2𝑐−𝜙)/(𝑛−1)=(340−2∗5−1.2)/(6−1)=65.76 =>𝑠𝑡=65 𝑐𝑚 Hauteur en rive:

𝑒≥ {15 𝑐𝑚 ; (12∅+6𝑐𝑚)}=25.2 𝑐𝑚==>𝑒=25 𝑐𝑚 Exemple de calcul d’une semelle excentrée dans une direction s18 Soit le poteau P18 de section 45 cm*45 cm qui transmet à la semelle excentrée S18 une charge verticale de 2.265 MN à l’ELU et de 1.643 MN à l’ELS. Dimensions de la semelle :

 𝐵≥ (− (𝑎−2𝑏) +√ ((𝑎−2𝑏)^ 2+8𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)/4 ==>B =2,2 m  𝐴=2𝐵+𝑎−2𝑏==>𝐴=3.9 𝑚  ℎ≥1/4max (𝐴−𝑎 ; 𝐵−𝑏) +5 𝑐𝑚=1/4max (345 ; 175) +5 𝑐𝑚=95 𝑐𝑚 𝑑𝑏=ℎ−6 𝑐𝑚=89 𝑐𝑚 𝑑𝑎=ℎ−6𝑐𝑚−Φ𝑏  En prenant une semelle de 3.9 m sur 2.2 m, de hauteur 0.95 m, le poids propre vaut : 𝑝𝑝=0.95∗2.2∗3.9∗25=0.2037 𝑀𝑁  Le poids propre de l’avant-poteau est : 𝑝𝑝𝑎𝑣=0.45∗0.45∗1.5∗25=0.0076 𝑀𝑁 Soit : 𝑃𝑠𝑒𝑟=1.643+0.2037+0.0076≅1.854 𝑀𝑁 𝑃𝑢=2.265 +1.35∗ (0.2037+0.0076)=2.550 𝑀𝑁 • Vérification : 𝐵=2.2 𝑚 ; 𝐴=3.9 𝑚 Calcul des armatures :

Asb 

49

Pu ( B  b) = 10,481 cm 2 ==> 7 𝐻𝐴 14 8 xdbx S

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= 20,992 cm 2 ==> 14 𝐻𝐴 14 𝑙𝑠=(𝜙 /4)∗(𝑓𝑒/𝜏𝑠) avec 𝜏𝑠=0.6∗𝜓𝑠2∗𝑓𝑡28=2.835 𝑀𝑃𝑎===>𝑙𝑠𝑎=𝑙𝑠𝑏=62 𝑐𝑚 𝑙𝑠𝑎𝐵/5 donc les barres // à B seront munies de crochets. Calcul des espacements :

𝑠𝑡𝑎= (𝐴−2𝑐−𝜙)/ (𝑛−1)=0.291 𝑚==>𝑠𝑡𝑎=30 𝑐𝑚 𝑠𝑡𝑏= (𝐵−2𝑐−𝜙)/ (𝑛−1) =0.347 𝑚==>𝑠𝑡𝑏=35 𝑐𝑚 La hauteur en rive:

Il faut enrober les crochets des barres HA 14 : 𝑒 ≥{15 𝑐𝑚 ; (12∅+6𝑐𝑚)}=22.8 𝑐𝑚 On choisit une hauteur en rive de 25 cm, Exemple de calcul d’une semelle excentrée dans les deux directions s20

𝑃𝑠𝑒𝑟 = 0,789 MN 𝑃𝑢 = 1,089 MN 𝑎 𝑏

Dimensions de la semelle :

 𝐵≥ (− (𝑎−𝑏) +√ ((𝑎−2𝑏)^ 2+4𝑃𝑠𝑒𝑟/𝜎)/2 ==>B =1,5 m  𝐴=𝐵+𝑎−𝑏==>𝐴=1.5 𝑚  ℎ≥1/4max (𝐴−𝑎 ; 𝐵−𝑏) +5 𝑐𝑚=1/4max (345 ; 175) +5 𝑐𝑚=35 𝑐𝑚 𝑑𝑏=ℎ−6 𝑐𝑚=29 𝑐𝑚 𝑑𝑎=ℎ−6𝑐𝑚−Φ𝑏 Calcul des armatures :

Asb 

Pu ( B  b) = 12,443 cm 2 ==> 11 𝐻𝐴 12 8 xdbx S

= 17,45 cm 2 ==> 16 𝐻𝐴 12 Calcul des espacements :

𝑠𝑡𝑎= (𝐴−2𝑐−𝜙)/ (𝑛−1)=0.02 𝑚==> 𝑠𝑡𝑎=2 𝑐𝑚 50

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𝑠𝑡𝑏= (𝐵−2𝑐−𝜙)/ (𝑛−1) =0.347 𝑚==> 𝑠𝑡𝑏= 1 𝑐𝑚 La hauteur en rive:

𝑙𝑠=(𝜙 /4)∗(𝑓𝑒/𝜏𝑠) avec 𝜏𝑠=0.6∗𝜓𝑠2∗𝑓𝑡28=2.835 𝑀𝑃𝑎===>𝑙𝑠𝑎=𝑙𝑠𝑏=53 𝑐𝑚 𝑙𝑠𝑎>𝐴/5 𝑒𝑡 𝑙𝑠𝑏>𝐵/5 donc les barres seront munies de crochets. Il faut enrober les crochets des barres HA 12 : 𝑒 ≥{15 𝑐𝑚 ; (12∅+6𝑐𝑚)}=20.4 𝑐𝑚 On choisit une hauteur en rive de 25 cm, 4) Dimensionnement des poutres de redressement :

Une poutre de redressement est un élément structural adopté pour pallier les effets de l’excentrement inévitable des semelles de rive et de coins. Elle est placée entre deux semelles, une centrée et l’autre excentrée dans la direction de l’excentrement. Elle se coule normalement en même temps que les semelles où son ferraillage est ancré. Les poutres de redressement reprennent le moment de flexion engendré par l’effort normal aux pieds des poteaux et ceci dans le but d’éviter le poinçonnement des semelles. a) Calcul du moment fléchissant et de l’effort tranchant :

Figure 18 : Emplacement d’une poutre de redressement

Dans ce qui suit, on va détailler le calcul de ferraillage de la poutre de redressement PDR9 placée entre la semelle S14 et la semelle excentrée S18. On a : L = 3.9 m ; B’ = 2.2 m ; b’ = 0.45 m et e = 1.5 m. calcul des moments fléchissant Le moment fléchissant engendré par l’excentrement est donné par :

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Avec P1 étant l’effort normal transmis à la semelle excentrée S18. 𝑀𝑢=(2.265∗3.9/(3,93−1.5)∗(2.2/2))− 2.265∗(2.2−0.45/2)=−0.4249 𝑀𝑁𝑚 calcul de l’effort tranchant L’effort tranchant engendré par l’excentrement est donné par :

v𝑢= 2.265*(1-(1(1,5/3,9))*(0,45/2,2)) = 1,979𝑀𝑁 Détermination de la section de la poutre PDR9 Les dimensions transversales de PDR9 sont définies comme suit : bPDR = 0.45 m ; on prend d = 0,7 m.

= 0,632m

En ajoutant 5 cm d’enrobage, on obtient : h = 0.75 m. b) Ferraillage de PDR9 : Mu (MNm)





0,4249

0,136

0,184

z (m) 0,649

15,07

Ast (cm2/m) 4 HA 20+ 2 HA 14

Tableau 16: Ferraillage longitudinal de la poutre PDR9

Vu (MN) 1,979

At HA 8

St(cm) 1*3,5+7*20+8*2+9*2+10*1

Tableau 17 : Ferraillage transversal de la poutre PDR9

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IV.4 Dimensionnement des poutres: Les poutres sont des éléments horizontaux en béton armé sollicitées par des moments de flexion et des efforts tranchants. Leur rôle est la transmission des charges du plancher aux poteaux. La section d’une poutre est soumise à un moment de flexion, elle reste plane et pivote. Le haut de la poutre est comprimé, le bas est tendu (le béton reprend un effort normal de compression et l’acier un effort de traction). En flexion simple, la justification concerne l'état limite ultime de résistance de la section. On suppose qu'il n'y a pas d'effets du second ordre (flambement, déversement, …) qui nécessiteraient en plus une justification à l'état limite ultime de stabilité de forme. La justification consiste à montrer que le moment de flexion sollicitant la pièce sous la combinaison fondamentale vis-à-vis de l'état limite ultime reste inférieur au moment résistant limite calculé. Les déformations limites de la section sont déterminées par la méthode des trois pivots. Dans la structure de bâtiment, on distingue deux types de poutres :  Poutres isostatiques ;  Poutres hyperstatiques (continues). Dans la suite, on détaillera un exemple de chacune des deux poutres. 1) Poutres isostatiques : Une poutre isostatique est un système pour lequel le nombre de réactions et moments d’appui inconnus est égal au nombre d’équations fournies par la statique. Comme exemple de poutres isostatiques, on va calculer le ferraillage de la poutre N7.

Figure 19 : La poutre isostatique N7

a) Calcul en flexion simple : La méthodologie utilisée pour le ferraillage d’une poutre isostatique consiste à : 1. Calculer le moment maximal ultime dans la travée : 𝑀𝑢= (𝑃𝑢*𝐿^2)/8 (poutre uniformément chargée).

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La poutre N7 est une poutre porteuse, donc elle supporte la moitié d’un plancher en plus de son poids propre. Déterminons le ferraillage de la poutre N7 au niveau du PH RDC (la poutre N7 sera ferraillée d’une façon identique pour tous les niveaux). Soit g1 le poids propre de la poutre N7 : 𝑔1=𝑏ℎ𝜌𝑏𝑎𝑔=0.2∗0.3∗2500∗10=1,5𝐾𝑁/𝑚 𝑔1=1,5∗10−3𝑀𝑁/𝑚 Et g2 la charge permanente transmise par les planchers à la poutre N7 : 𝑔2=𝑙/2*𝑔p Où : 𝑙/2*𝑔p : la charge transmise par le plancher ; 𝑔2= (2,6/2)∗4,69=0.0061 𝑀𝑁/𝑚 𝐺=𝑔1+𝑔2=0.0076 𝑀𝑁/𝑚 Et Q la charge d’exploitation transmise par les planchers à la poutre N7 : 𝑄= (𝑙/2)*𝑞𝑝

(𝑙/2)*𝑞𝑝 : la charge transmise par le plancher ; 𝑄= 0,002 𝑀𝑁/𝑚 𝑃𝑢=1.35𝐺+1.5𝑄=1.35∗0,0076+1,5*0,002=0.0133 𝑀𝑁/𝑚  𝑀𝑢= (𝑃𝑢*𝐿^2)/8 = 0,0181MN.m  Calcule du moment réduit :

u =



Mu = 0,104 ≥0.104 b d²fbu

On est dans le pivot A 𝜀𝑒≤𝜀𝑠𝑡 0.4 𝑀𝑃𝑎 ; 𝑆𝑡 ≤ min (0.9𝑑; 40 𝑐𝑚) = 𝑆𝑡𝑚𝑎𝑥 = 40 𝑐𝑚 ; 𝜙𝑡 ≤ min (𝜙𝑙; ℎ /35 ; 𝑏 /10) = min (12;8,57; 20) = 8,57 𝑚𝑚 Les trois conditions sont bien vérifiées. Pour des raisons de mise en œuvre, les espacements d’armatures transversales sont choisis parmi la suite de Caquot : 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35 et 40.

Tableau 18 : Méthode de Caquot pour calculer l’espacement des armatures transversales d’une poutre

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Donc, dans notre cas, on obtient les espacements suivants : 𝑆𝑡 (𝑐𝑚) Nombre de répétition Nombre cumulé Nombre arrondi Nombre de répétition Abscisse(cm)

20 20

40 1,97 1,97 2 3 140

Tableau 19 : Espacement des armatures transversales de la poutre N7 A la fin de la poutre, on ajoute un espacement de 25 cm. 𝑆𝑡 (𝑐𝑚) Nombre de répétition Nombre cumulé Nombre arrondi Nombre de répétition Abscisse(cm)

20 20

40 1,97 1,97 2 3 165

Tableau 20: Espacement des armatures transversales de la poutre N7 avec vérification de l’espacement

d) Ancrage : o Enrobage des armatures : L’enrobage d’une armature doit être tel que : 𝑐 ≥ max (𝜙 𝑜𝑢 𝑎, 𝑒), avec : 𝜙 : diamètre de l’armature si elle est isolée ; 𝑎 : largeur du paquet dont elle fait partie dans le cas contraire ; 𝑒 = 5 cm : ouvrages à la mer ou exposés aux embruns ou aux atmosphères très agressives ; 𝑒 = 3 cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives, parois exposées aux intempéries, aux condensations ou au contact d’un liquide ; 𝑒 =1 cm : parois situées dans des locaux couverts et clos non exposées aux condensations. 𝑐 ≥ max (1.2, 1) = 1.2 𝑐𝑚 o Disposition des armatures :  Distance entre les barres : 𝑒𝑣 ≥ max [2,0, 𝐶𝑔: 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑡𝑠 𝑑𝑢 𝑏é𝑡 ]  𝑒𝑣 ≥ max [2.0 ; 2.5] = 2.5𝑐𝑚 𝑒ℎ ≥ max [2.0 ; 1.5𝐶𝑔] 𝑒ℎ ≥ max [2.0 ; 3.75]= 3.75 𝑐𝑚 57

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 Distance entre axes des files verticales : il faut que le bétonnage soit réalisé correctement entre les files d’armatures (ménager le passage des aiguilles vibrantes dans le béton) :

Figure 20 : Disposition des armatures o Contrainte limite d’adhérence : Afin d’assurer un ancrage correct (empêcher le glissement de l’armature dans la gaine du béton qui l’enrobe), il faut limiter la contrainte d’adhérence à la valeur : 𝜏𝑠𝑢 = 0.6*𝜓𝑠 ^2*𝑓𝑡28, Avec : 𝜓𝑠 = 1.5 pour les barres à haute adhérence. 𝜏𝑠𝑢 = 0.6 ∗ 1.5^2 ∗ 2.1 = 2.835 𝑀𝑃𝑎 o Longueur de scellement et ancrage : On définit la longueur de scellement droit ls comme étant la longueur à mettre en œuvre pour avoir un bon ancrage droit ou ancrage total (la barre commence à glisser lorsqu’elle atteint sa limite d’élasticité fe) :

Par manque de place (appuis de rive), on est obligé d’utiliser des ancrages courbes.

Figure 21 : Ancrage courbe

58

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Considérons l’exemple d’une barre HA 12 : Longueur de scellement : 𝑙𝑠 = (1,2*500)*(4*2.835) = 52,91 cm Le rayon de courbure de l’axe des barres :

𝑟 = 5.5𝜙 = 5.5 ∗ 1.2 = 6.6 𝑐𝑚

La longueur du retour rectiligne : Pour « les retours d’équerre »: 𝜃 = 90° = 1.57 𝑟𝑎𝑑 𝜑 = 0.4 𝛼 = exp(𝜑𝜃) = 1.87 𝛽 = (𝛼−1) /𝜑 = 2.19

Et on a: 𝑙𝑠 = 𝛼𝑙1 + 𝛽𝑟 + 𝑙2 1.87𝑙1 + 𝑙2 =52 91 − 2.19 ∗ 6 6= 38.456 𝑐𝑚 𝐿 = 𝑙2 + 𝑟 + (𝜙/2) + 𝑐 = 30 𝑐𝑚 𝑙2 = 𝐿 − 𝑟 – (𝜙/2) − 𝑐 = 21.6 𝑐𝑚 𝑙1 = (38.456 − 𝑙2) /1.87 = 9.014 𝑐𝑚 (cf. annexe 9 : Ferraillage des poutres isostatiques)

59

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5) Poutres continues : Le dimensionnement des poutres continues (ou hyperstatiques) se fait par rapport à la flexion simple. Donc les sollicitations qu’on doit évaluer sont les moments de flexion en travées et sur appuis et les efforts tranchants. Pour faire trois méthodes se présentent :

a) Méthode forfaitaire : La méthode forfaitaire ne s’applique qu’aux éléments fléchis (poutre, dalle calculée dans un seul sens). Elle exige que : 1. Q ≤ max (2G ; 5 kN/m²) ; 2. Les différentes travées ont la même section (le moment quadratique I est constant sur toute la poutre) ; 3. Le rapport entre deux portées successives doit être compris entre 0,85 et 1,25 (0,85 ≤ li/li+1 ≤ 1,25) ; 3. La fissuration est considérée comme peu nuisible. Le principe de calcul des sollicitations M et V: • Calcul de M : Les moments maximaux en travée et sur appui sont fixés forfaitairement à partir de la valeur maximale du moment dans une travée isostatique de référence. Soient : - M0 la valeur maximale dans la travée de référence (isostatique, soumise aux mêmes charges et de même portée que la travée étudiée). - Mw et Me : valeurs absolues des moments respectivement sur l’appui de gauche et sur l’appui de droite de la travée continue. - 𝛼=𝑄/(𝐺+𝑄 ) . Les différents moments sont définis comme suit :  En cas de deux travées :

Figure 22 : Moments sur appuis et en travées en cas d'une poutre à deux travées    En cas de plus de deux travées :

60

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Figure 23 : Moments sur appuis et en travées en cas d'une poutre à plus de deux travées

Dans le cas d’un appui de rive solidaire d’un poteau ou d’une poutre, il convient de disposer sur cet appui des armatures supérieures afin d’équilibrer un moment dont la valeur minimale est : 𝑀𝑎 = −0.15𝑀0. Longueur des chapeaux et arrêts des barres inférieures du second lit : Afin de résister aux moments négatifs au niveau des appuis, des armatures sont disposées dans la partie supérieure de l’appui et sont étalées sur une longueur précise dite longueur de chapeau. La longueur des chapeaux à partir des nus des appuis est au moins égale à : • 1/5 de la plus grande portée des 2 travées encadrant l’appui considéré s’il s’agit d’un appui n’appartenant pas à une travée de rive ; • 1/4 de la plus grande portée des 2 travées encadrant l’appui considéré s’il s’agit d’un appui appartenant à une travée de rive.

Figure 24 : Longueur des chapeaux et arrêts des barres inférieures du second lit L’arrêt des barres inférieures du second lit se fait à une distance de L/10 des nus des appuis. Dans la pratique, en raison des coûts de façonnage, les crochets terminant les chapeaux et les armatures de second lit sont très fréquemment remplacés par des sur longueurs droites.

61

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Dans une poutre comportant des travées inégales ou inégalement chargées, les chapeaux doivent s’étendre dans les travées les plus courtes et les moins chargées sur une longueur plus grande que dans les travées les plus longues et les plus chargées. • Calcul de V : Les efforts tranchants peuvent être déterminés en admettant la discontinuité des différents éléments, à condition de majorer les efforts tranchants calculés pour une travée indépendante : - de 15% pour l’appui intermédiaire d’une poutre à deux travées ;

Figure 25 : Efforts tranchants d'une poutre à deux travées

b) La méthode de Caquot : Cette méthode est utilisée dans le cas d’une surcharge ne respectant pas la première condition. La méthode de Caquot permet de transformer l’étude du système hyperstatique en un système isostatique simple : une poutre sur deux appuis. Le moment au droit d’un appui a est calculé en ne tenant compte que des charges se trouvant sur les deux travées encadrant cet appui, c'est-à-dire la travée située à gauche de l’appui qui sera affectée de l’indice w et la travée située à droite de l’appui qui sera affectée de l’indice e. On considère de chaque côté de l’appui étudié des travées fictives de longueur L’w à gauche de l’appui et L’e à droite de l’appui. Ces longueurs sont définies de la manière suivante en fonction des portées réelles l des travées :  L’= L pour la travée de rive ;  L’= 0,8L pour une travée intermédiaire. • Calcul de M :

62

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Figure 26: Chargement d'une poutre continue - Sur appui : • Cas de charges réparties :

𝑀𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖𝑒 = −

𝑃

∗ 𝐿 8 5 ∗ (𝐿

𝑃𝑒 ∗ 𝐿 𝑒 𝐿 𝑒)

• Cas d’une charge concentrée : Des charges concentrées sur la travée de gauche Fw et Fe sur la travée de droite produisent sur l’appui a un moment dont l’expression est la suivante :

𝑘 et 𝑘𝑒 sont des coefficients définis par : a étant la distance relative à une charge F, elle est toujours comptée à partir de l’appui étudié et est toujours considérée positive. - En travée :

Le calcul du moment : Les moments en travées sont calculés en considérant les travées réelles (la portée est L et non pas L’) chargées ou non suivant le cas et soumises aux moments sur appuis définis précédemment. Le moment fléchissant :

63

𝑀𝑡 (𝑥)=𝜇 (𝑥) +|𝑀𝑎 | (1−𝑥/𝐿) +|𝑀𝑎𝑒|𝑥/𝐿

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Ou 𝜇 (𝑥)=−𝑃𝑥^2/2+𝑃𝑥𝐿/2 est le moment fléchissant dans la travée isostatique. On calcule : 𝑀𝑡′ (𝑥0)=0 𝑥0  𝑀𝑡 (𝑥0)=𝑀𝑡𝑚𝑎𝑥 La charge permanente règne naturellement sur toute la longueur de la poutre mais la charge d’exploitation peut régner ou non sur une travée donnée. Il y a lieu donc de déterminer les combinaisons de charges qui conduisent aux effets les plus défavorables. Sur la figure ci-dessous sont représentées les différentes combinaisons de charges possibles à l’ELU :

Figure 27 : Combinaisons de charge possibles - Le cas 1 : permet de calculer le moment minimal sur la travée 2. - Le cas 2 : permet de calculer le moment maximal sur la travée 2. - Le cas 3 : permet de donner les moments maximas aux appuis de la travée 2.

64

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Le calcul de V : Les efforts tranchants sont calculés en tenant compte des moments sur appuis évalués par la méthode de Caquot. Les efforts tranchants extrêmes sur appuis sont :

Avec :  𝑉0 𝑒𝑡 𝑉0𝑒 : efforts tranchants sur appui ai des travées de référence en valeur algébrique  𝑀𝑖−1, 𝑀𝑖 𝑒𝑡 𝑀𝑖+1 : moments sur appuis avec leurs signes.

c) La méthode de Caquot minorée : Lorsque la première condition est vérifiée mais une ou plus des trois autres conditions ne le sont pas, on applique la méthode de Caquot minorée. Il s’agit du même enchaînement de la méthode de Caquot, sauf que les charges permanentes sont pondérées d’un coefficient égal à 2/3 et qu’on introduit des coefficients β pour prendre en considération la variation de l’inertie. Les coefficients β sont donnés par la formule : • Cas de charges réparties :

𝑀𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖𝑒 = −

𝑃 ∗ 𝐿 ∗ 𝑃𝑒 ∗ 𝐿 𝑒 8 5 ∗ (1 )

• Cas d’une charge concentrée :

Il est à noter que si les quatre conditions sont vérifiées, il est toujours possible d’utiliser la méthode de Caquot minorée ce qui conduit à un ferraillage meilleur que celui obtenu par la méthode forfaitaire. Cependant, la méthode de Caquot minorée demande plus de calculs que la méthode forfaitaire.

65

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e) Exemple de calcul d’une poutre continue :

Figure 28 : Les travées de la poutre N Cas d’une poutre à inertie constante : N = (N6 ; N8 ; PN4, PN2) au niveau du PH RDC Répartition des charges sur la poutre en étude

RDC poutre

éléments

Surf./long.

G (unit.)

G (Tot.)

Q (Unit.)

Q (Tot.)

1,5

11,2163

P1 poids propre plancher

-

-

8,1400

7,4775

4.69

35,0695

mur

0 43,2095

KN/m

11,2163

KN/m

P2 poids propre plancher

-

-

11,7300

9,19

4.69

43,1011

mur

1,5

13,7850

0 54,8311

KN/m

13,7850

KN/m

P3 poids propre plancher

-

-

3,1800

5,1

4.69

23,9190

mur

1,5

7,6500

0 27,0990

KN/m

7,6500

KN/m

P4 poids propre plancher

-

-

4,8100

6,16

4.69

28,8904

1,5

9,2400

mur 33,7004

KN/m

9,2400

Tableau 21 : Charges transmises aux différentes travées de la poutre N

66

KN/m

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Dans les quatre travées on a : q 5 KN/m² la condition d’inertie et de rapport de porte ne sont pas vérifiée c’est à dire on va utiliser la méthode de Caquot. 

Évaluation des moments fléchissant par la méthode de Caquot Travée fictives L’

La méthode prévoit des réductions sur les longueurs réelles (Ii) des travées:  L’ = 1 pour les travées de rive sans porte-à faux  L’ = 0,8 et 1 pour les travées intermédiaires. Moments sur appuis - cas des charges réparties

Figure 29 : Cas de chargement pour moment maximal sur appui

N.B: Le moment maximal sur un appuie s'obtient en chargeant les 2 travées l'encadrant.

𝑀𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖𝑒 =

Exemple sur la poutre P2

Mappuie =

67

∗

∗ ∗(

)

𝑃 ∗ 𝐿 8 5 ∗ (𝐿

𝑃𝑒 ∗ 𝐿𝑒 𝐿𝑒)

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= 62,15 KNm

ELU P1

P2

P3

P4

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Charge permanente g [kN/m]

3,72 3,72 28,81

4,69 3,28 36,55

2,54 1,78 18,07

3,08 3,08 22,47

Charge exploitation q [kN/m] Chargée C 1,35g+1,5q [kN/m]

11,22

13,78

7,65

9,24

55,72

70,02

35,86

44,19

Déchargée D 1,35g [kN/m]

38,89

49,35

24,39

30,33

Ma cas 1 CCCC [kNm]

0,00

-89,73

-62,15

-36,15

Tableau 22 : Moments maximaux aux appuies de la poutre P2 Moment maximal en travée

Figure 30 : Cas de chargement pour moment maximal en travée

N.B: Le moment maximal en travée s'obtient en chargeant la travée concernée et en déchargeant les 2 travées voisines. Soit une travée isolée d'une poutre continue

68

0,00

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Figure 31 : Une travée isolée d’une poutre continues Les moments sur appui Me et Mw assurent la continuité de la poutre. Les réactions d’appuis : R1 =R2 =

Effort tranchant : V(x ) = R I - P.x = p ( − ) Le moment fléchissant est maximal au point où V(x) = 0

p( − )

=0

Position ou la valeur du moment est maximale =

− ∗

Exemple de la poutre P2 :

o=

∗

= 2,30 m

ELU

P1

P2

P3

P4

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Charge permanente g [kN/m]

3,72 3,72 28,81

4,69 3,28 36,55

2,54 1,78 18,07

3,08 3,08 22,47

Charge exploitation q [kN/m] Chargée C 1,35g+1,5q [kN/m]

11,22

13,78

7,65

9,24

55,72

70,02

35,86

44,19

Déchargée D 1,35g [kN/m]

38,89

49,35

24,39

30,33

Ma cas 1 CCCC [kNm]

0,00

-89,73

-62,15

-36,15

0,00

Ma cas 2 : DCDC [kNm]

0,00

-75,17

-60,64

-34,59

0,00

Ma cas 3 : CDCD [kNm]

0,00

-77,48

-45,19

-26,35

0,00

V (effort tranchant) X0 Mtmax [m] (vérefie X0)

69

124,47

161,10

38,12

56,82

2,23

2,30

1,06

1,29

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effort tranchant : ∗

v =p*xo =

exemple de la poutre P2 : ∗

v=

=161,10 KN

ELU P1

P2

P3

P4

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Charge permanente g [kN/m]

3,72 3,72 28,81

4,69 3,28 36,55

2,54 1,78 18,07

3,08 3,08 22,47

Charge exploitation q [kN/m] Chargée C 1,35g+1,5q [kN/m]

11,22

13,78

7,65

9,24

55,72

70,02

35,86

44,19

Déchargée D 1,35g [kN/m]

38,89

49,35

24,39

30,33

Ma cas 1 CCCC [kNm]

0,00

-89,73

-62,15

-36,15

0,00

Ma cas 2 : DCDC [kNm]

0,00

-75,17

-60,64

-34,59

0,00

Ma cas 3 : CDCD [kNm]

0,00

-77,48

-45,19

-26,35

0,00

V (effort tranchant)

124,47

161,10

38,12

Tableau 23 : Les efforts tranchants sur la poutre continues P2

Donc le moment fléchissant a pour expression :

M(x)=(

∗

)∗ −p∗

El sa valeur maximale est :

Mtmax=(

∗

)∗ o−p∗

Exemple de la poutre P2 :

70

56,82

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∗

Mtmax= (

) ∗ 2 30 − 70 02 ∗

− 75 17

= 110, 15 KNm

ELU

P1

P2

P3

P4

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Charge permanente g [kN/m]

3,72 3,72 28,81

4,69 3,28 36,55

2,54 1,78 18,07

3,08 3,08 22,47

Charge exploitation q [kN/m] Chargée C 1,35g+1,5q [kN/m]

11,22

13,78

7,65

9,24

55,72

70,02

35,86

44,19

Déchargée D 1,35g [kN/m]

38,89

49,35

24,39

30,33

Ma cas 1 CCCC [kNm]

0,00

-89,73

-62,15

-36,15

0,00

Ma cas 2 : DCDC [kNm]

0,00

-75,17

-60,64

-34,59

0,00

Ma cas 3 : CDCD [kNm]

0,00

-77,48

-45,19

-26,35

0,00

V (effort tranchant) X0 Mtmax [m] (vérefie X0) Mtmax [kNm]



124,47

161,10

38,12

56,82

2,23

2,30

1,06

1,29

139,02

110,15

24,92

1,94

Flexion simple à l’ELU :  Moment ultime réduit u

Nous appellerons moment ultime réduit u la quantité suivante : u =

Mu b d²fbu

 Exemple de la poutre P2 u =

71

∗

∗

=

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ELU P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

3,72

4,69

2,54

3,08

3,72

3,28

1,78

3,08

55,72

70,02

35,86

44,19

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Chargée C 1.35g+1.5q [kN/m] Mtmax [kNm]

139,02

110,15

24,92

1,94

b (m)

0,25

0,25

0,25

0,25

d (m)

0,36

0,36

0,16

0,21

µ

0,303

0,240

0,275

0,012

Le diagramme idéal pour une poutre en flexion est celui pour lequel les limites mécaniques des matériaux sont atteintes.  Raccourcissement unitaire maximum de béton de 3.5%o  Allongement unitaire maximum de l’acier de 10%0 OD l’image de la section avant déformation AB l’image de la section après déformation

O bc= 3.5%0 B yu

d A

st =10%0

D

Dans cette situation idéale : les déformations des matériaux étant connues, les paramètres  et sont connus :

bc = bc + st 72

3.5 13.5

= yu = u = 0.259 d

u = 0.259

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u est aussi égal à : u = 0.8 u (1 – 0.4 u) En remplaçant u par sa valeur : u = 0.8 u (1 – 0.4 u ) = 0.186

u = 0.186 u s’exprime également par une équation du second degré en , qui une fois résolue nous donne : u = 1.25 ( 1 - √ 1- 2 u )  Vérification de la valeur du moment ultime réduit u Selon la valeur du moment ultime réduit u, la section sera armée soit uniquement par des armatures tendues, soit par des armatures tendues et comprimées.

Dans notre cas on a : P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

0,303

0,240

0,275

0,012

µ



C'est-à-dire que pour P2 u ≥ 0.186 or (section armée par des armatures tendues) st = 10%0 bc = 3.5%0

u < 1= 0,372

 

 = 1.25 (1 - √ 1- 2  ) =1 25 ∗ (1 − √1 − 2 ∗ 0 10 ) = 0 129 Z = d (1 - 0.4*) = 0,46*(1-0,4*0,129) = 0,44m  exemple de la poutre P2

ELU P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

Portée l [m]

3,72

4,69

2,54

3,08

Portée fictive l' [m]

3,72

3,28

1,78

3,08

Chargée C 1.35g+1.5q [kN/m]

55,72

70,02

35,86

44,19

Mtmax [kNm] b (m) d (m) µ

139,02 0,25 0,36 0,303 0,4654 µ < µ1

110,15 0,25 0,36 0,240 0,3488 µ < µ1

24,92 0,25 0,16 0,275 0,4114 µ < µ1

1,94 0,25 0,21 0,012 0,0156 µ < µ1

ᾳ µ > 0,186 73

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Z

0,29

0,31

Mu. s AS = Z . fe ∗

= 

∗

0,13

0,21

AS en m2 M en MN.m Z en m fe 500 en Mpa

=

∗

Vérifier la condition de non fragilité : ∗ AS ≥ 0.23 f t 28 b.d = ∗

∗

=0,0000869m²

fe

Donc la condition de non fragilité est vérifiée 

Dimensionnement des armatures chapeaux

Mu . s AS = Z . fe ∗ ∗

=

=

P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

0,25 0,36

0,25 0,36

0,25 0,16

0,25 0,21

0,303

0,240

0,275

0,012

0,4654

0,3488

0,4114

0,0156

µ < µ1

µ < µ1

µ < µ1

µ < µ1

0,29

0,31

0,13

0,21

10,91

8,18

4,29

0,51

6T16

4T12+2T16

4T12

2T10

b (m)

d (m) µ ᾳ µ >0,186 Z AS(cm2) ON PREND Mappui Asmax (chapeaux) ON PREND

74

0,00 ---------

0,09

0,06

0,04

0,00

7,14

4,45

7,07

---------

6T12+1T10

4T12

4T16

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

Effort tranchant :  Sollicitation de calcul

La sollicitation d’effort tranchant Vu est toujours déterminée à l’état limite ultime (E.L.U). La combinaison de base dans les cas courants pour calculer Vu est : 1.35G + 1.5Q  Contrainte tangentielle conventionnelle Pour calculer la contrainte de cisaillement ou contrainte tangente, on applique l’expression suivante :

u = Vu / b.d  =

∗

Vu : effort tranchant en MN

u : contrainte tangentielle en Mpa

=

b,d : en m

Exemple de la poutre P2 :

b (m)

P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

0,25

0,25

0,25

0,25

0,36

0,36

0,16

0,21

124,47

161,10

38,12

56,82

1,38

1,79

0,95

1,09

d (m) Vu effort tranchant

La contrainte tangentielle conventionnelle doit satisfaire aux états limites suivants

Armatures droites (  = /2) : - fissuration peu nuisible  =

[

∗

;

u  u = min 0.20fc28 / b ; 5 Mpa ]=

Mpa

La condition est vérifiée : Si cette condition n’est pas vérifiée, il convient de revoir les dimensions de la poutre et notamment sa largeur. 

Dimension des armatures transversales

Choisir le diamètre de l’armature transversale

75

t  min ( h/35 ; l min ; b/10 )

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

 =≤

[

;

;

]=

t: diamètre des armatures transversales l min: diamètre minimal des armatures longitudinales h : hauteur totale de la poutre. b : largeur de la poutre.

t

l min



P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

11,43

11,43

5,71

7,14

; b/10 )

Espacement maximum des cours d’armatures

Exemple de la poutre P2 Stmax  min 0.9d; 40cm;

At .fe 0.4 b

≤

[

∗

;

;

∗ ∗

]=

P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

0,36

0,36

0,16

0,21

0,25

0,25

0,25

0,25

0 ,0114

0 ,0114

0,00571

0,00714

ON PREND

2T8

2T8

2T8

2T8

At( m²)

0,01

0,01

0,01

0,01

Espacement maximum des cours d’armatures (cm)

32,4

32,4

14,4

18,9

d (m) b (m) t

l min



Espacement des armatures transversales

St 

76

; b/10 )

0.9. At .fe s .b (u – 0.3ft 28k)

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

∗



∗

k=0

si

(

∗ −

∗

∗ )

=

-

Reprise de bétonnage fissuration très préjudiciable

-

cas de flexion simple sans reprise de bétonnage ou reprise avec indentation  5 mm

Avec k=1

si

Exemple de la poutre P2 P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

0,25

0,25

0,25

0,25

1,38

1,79

0,95

1,09

32,4

32,4

14,4

18,9

20,87

13,49

14,4

18,9

b (m) u ( Mpa)

Espacement maximum des cours d’armatures (cm) Espacement des armatures transversales(cm) Donc on 

a

St

Stmax

Répartition des armatures transversales

St < Stmax -

-

77

placer le 1ercours d’armature transversale à une distance du nu de l’appui égale à St /2. effectuer la répartition des cours en appliquant la suite de CAQUOT définie par les valeurs : 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 16 – 20 – 25 – 30 – 35 – 40 . Répéter chacune des valeurs de la progression autant de fois qu’il y a de mètres dans la demi-portée.

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

Exemple de la poutre P2 St(cm) Nombre de répartition Nombre cumulé Nombre arrondis Nombre de répétition Abscisses (cm)

St0/2 13/2

6,5

St0 13 3,654

St1 16 1,183

St2 20 1,183

St3 25 1,183

St3 St3 St3 30 35 40 1,183 1,183 1,183

3,654

4,837

6,02

7,203

8,386 9,569 10,752

4

5

6

7

8

9

10

4

1

1

1

1

1

1

58,5

74,5

94,5

119,5

149,5 184,5 224,5

Tableau 24 : La répartition des armatures transversales



Flexion simple à l’ELS : Les hypothèses de calculs pour l’E.L.S H1. Les sections droites planes avant déformations restent planes après déformations. H2. Il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton qui les entoure. H3. Le béton tendu est négligé. H4. Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques. H5. Par convention, le rapport entre les coefficients d’élasticité longitudinal de l’acier et celui du béton, rapport appelé > et noté a pour valeur 15. H6. On ne déduit pas les aires d’acier de l’aire du béton comprimé. H7. On peut remplacer dans les calculs, la section totale d’un groupe de barres tendues ou comprimées par la section d’une barre unique située au centre de gravité du groupe.

Les éléments de structure en béton armé, soumis à un moment de flexion simple sont généralement calculés à l’état limite de service dans les cas suivants :  Fissuration préjudiciable.  Fissuration très préjudiciable. Les vérifications à effectuer concernant les états limites de service vis à vis de la durabilité de la structure conduit à s’assurer du non-dépassement des contraintes limites de calcul à l’E.L.S :  Compression du béton  Traction des aciers suivant le cas de fissuration envisagé ( état limite d’ouverture des fissures).

78

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

Contraintes de calcul (à l’E.L.S) 

Contrainte de compression du béton limitée à :

bc = 0.6 fcj  

=

∗

=

Contrainte de traction des aciers limitée suivant les cas de fissuration :

-

fissuration préjudiciable :

st = inf ( 2/3 fe ; 110 .ftj ) 

=

( ∗

;

∗√

∗

)=

où : coefficient de fissuration de l’acier utilisé =1 pour aciers ronds lisses  = 1.6 pour aciers haute-adhérence ≥ 6 mm. En compression

En traction

fc 28 (MPa ) 25

ft 28 (MPa ) 2,1

Détermination des armatures (Section rectangulaire sans armatures comprimées) Moment résistant du béton : Mrsb  C’est le moment de service maximum que peut équilibrer une section sans lui adjoindre des armatures comprimées. Les matériaux ont alors atteint leurs contraintes admissibles.

bc  = y1 / d bc y1 = st d – y1 n

79

y1 d d – y1 st /n

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

nbc d’où  =

nbc + st

Remarque : Lorsque l’E.L.S est atteint. Les contraintes sont alors égales à leurs valeurs admissibles. bc = bc

et st = st

Dans ce cas nous pouvons calculer : n bc = n bc + st

=

∗

=

∗



La position de la fibre neutre y =  . d = O, 11 *0,36 = 0,04



Le bras de levier Z = d – y1 / 3 = d (1 -  / 3) = 0,36 – 0,04 /3 = 0,35 m D’ où

Mrsb = ½ b y1 bc.Z

 Exemple de la poutre P2 rs = 0,5*0,25*0,04*15*0,35= 0,0257 Mpa.m

P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

b (m)

0,25

0,25

0,25

0,25

Y1 (m)

0,04

0,04

0,02

0,02

Z (m)

0,35

0,35

0,15

0,20

Mrsb (Mpa.m)

0,0257

0,0257

0,0051

0,0088

La comparaison de ce moment résistant avec le moment de service doit nous permettre de choisir entre un système d’armature simple, ou d’armatures doubles.

80

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO



Exemple poutre P2 P1 (25x40)

P2 (25x40)

P3 (25x20)

P4 (25x25)

3,72

4,69

2,54

3,08

3,72

3,28

1,78

3,08

0,25

0,25

0,25

0,25

Portée l [m] Portée fictive l' [m] b (m) d (m)

0,36

0,36

0,16

0,21

d' (m)

0,02

0,02

0,02

0,02

Y1’m)

0,04

0,04

0,02

0,02

Z (m)

0,35

0,35

0,15

0,20

Mrsb (Mpa.m)

0,0257

0,0257

0,0051

0,0088

Mser (Mpa.m)

0,1002

0,0781

0,0190

0,0013

Mser< Mrsb

NON

NON

NON

OUI

ssc (Mpa)

11,88

11,88

3,22

-

Asc (cm2)

5,04

3,54

2,28

-

Ast (cm2)

14,54

11,32

6,57

-

Mser≤ Mrsb : armature simple Dans ce cas nous pouvons nous fixer :  =  nous obtenons des résultats approchés satisfaisants. Z= d(1-  /3)

D’où

81

Mser Aser =

Z . st

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO



Exemple poutre P4 Aser =

0 0041 = 0 0001m 0 251 ∗ 201 63

N.B: S’assurer du respect de la condition de non fragilité : Aser ≥ Amin

82

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

FLEXION SIMPLE ( E.L.U) SECTION RECTANGULAIRE Mu , b, d , d’, fc28 , fe

Données

=

Mu b.d2 .f bu

Non

u < 0.186

bc = 3.5%0 u < l

Oui

st = 10%0 fsu = fe / s

oui

Non Armatures comprimées

u = 1.25 ( 1 -  1- 2 u )

sc = (3.5 10-3 + l) d – d’ - l

Z = d (1- 0.4 u )

d sc = F(sc)

AS =

MR = l.b.d².fbu

Mu Z . fsu

AS  0.23 f t 28 b.d fe

Z = d(1- 0.4 l ) STOP Mu - MR ASC = (d - d’) . sc

MR

Ast =

Mu - MR

s

(d - d’)

fe

+ Z

STOP 83

Figure 32 : Organigramme de calcul d’une section rectangulaire en flexion simple à l’ELU

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

FLEXION SIMPLE ( E.L.S) SECTION RECTANGULAIRE Mser , b, d , d’, fc28 , fe

Données

nbc = nbc + st

y1 =  . d Z= d(1- /3) Mrsb = ½ b y1 bc.Z

Non

Oui Mser Mrsb

nbc (y1 – d’)

Mser

sc =

Aser = y1

AS  0.23 f t 28 b.d fe

Mser - Mrsb Asc =

Z . st

( d – d’) . sc

STOP Mser – Mrsb

Mrsb

Ast =

+ Z

(d - d’)

STOP

84

1 st

Figure 33 : Organigramme de calcul d’une section rectangulaire en flexion simple à l’ELS

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IV.5 Etude du plancher (dalle nervurée): 1) Définition : Les planchers sont des plans horizontaux séparant deux étages d'un bâtiment et capables de supporter les charges d’utilisation. Les planchers doivent répondre aux critères suivants :

 Résistance et stabilité (supporter les charges d’utilisation, limiter la flèche et être durable) ;

 Étanchéité et protection à l’air, au feu et aux effractions ;  Isolation thermique et acoustique ;  Fonction architecturale ;  Fonctions techniques : facilité de mise en œuvre, liaisons avec les porteurs verticaux, passage de gaines (eau, chauffage, électricité). Les planchers peuvent être classés en fonction du matériau constitutif. On distingue :    

Planchers en bois ; Planchers en béton armé ; Planchers en béton précontraint ; Planchers mixtes acier-béton.

Le type de plancher utilisé dans notre projet est un plancher en béton armé à corps creux composé de trois éléments principaux : Les corps creux ou "entrevous" qui servent de coffrage perdu. La hauteur de l'entrevous et du plancher dépendent de la portée des poutrelles. les poutrelles en béton armé ou précontraint qui assurent la tenue de l'ensemble et reprennent les efforts de traction grâce à leurs armatures ; Une dalle de compression armée coulée sur les entrevous qui reprend les efforts de compression. Une nervure ou poutrelle est une poutre de section en Té qui travaille à la flexion simple, elle supporte les charges permanentes et les charges d’exploitation ainsi que son poids propre et les transmet aux poutres.

85

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

Figure 34 : Les éléments constitutifs d’un plancher à corps creux Les planchers hourdis sont calculés en les considérants reposés sur deux appuis. Les poutrelles sont lancées à priori suivant la plus petite dimension du plancher afin de minimiser leur flèche. Le calcul d’un plancher consiste à déterminer son épaisseur par rapport à sa portée et la section des aciers à mettre dans la partie basse des poutrelles. La dalle de compression reçoit un quadrillage d'armatures de répartition.

2) Dimensionnement des poutrelles : Les poutrelles sont des poutres de section en Té, associées à des planchers et seront calculées en deux phases :  Avant le coulage du béton : la poutrelle est supposée simplement appuyée, elle est calculée comme une poutre isostatique avec un moment fléchissant maximal en travée de pl2/8.  Après le coulage du béton : la poutrelle prend corps avec la dalle de compression, elle travaille comme une poutre hyperstatique sur des appuis continus, et par conséquent création des moments au niveau des appuis continus d’où un soulagement de la poutrelle. Ce soulagement est traduit par diminution du moment à mi- travée.

3) Exemple de dimensionnement du plancher H1 en 15 + 5:

 Dimension de la poutrelle :

86

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

60 cm

h =15+5cm. h 0 =5cm, hauteur de la dalle de compression b 0 = 12cm, largeur de la nervure

5 cm

l 0 l  b 1  min  ; ;8 h 0   2 10  l0 : distance entre deux poutrelles l0=60-12=48cm l : largeur de la plus grand travée l =412cm D’où

b 1  min 24;41 .2;40  24 cm

17 cm

3cm 12 cm

b = 2b1+b0=2x24+12=60cm

Figure 35 : Dimensions de la poutre en Té  Charges et surcharges :  poids propre du plancher : G=4.69 x0.60 =2.976 KN / ml  Surcharge : Q=1,5 x0.60=0.9KN/ml  Poids propre de la poutrelle : G1=0,12x0.05x25=0.15KN/ml  G totale = 2.976 + 0,15= 3,126 KN/ml  Vérification des conditions d’application de la méthode forfaitaire: Cette méthode est utilisée si les conditions suivantes sont vérifiées :  1ère Condition : ……………. Q  min (2G, 5KN/m²)  Plancher terrasse : Q= 1.5 KN/m²  min (10.82 , 5 KN/m²) = 5 KN/m² ................................................CV  Plancher étage courant : Q= 1.5 KN/m²  min (9.38 , 5 KN/m²) = 5 KN/m² ………………………………..CV Li  1.25  2ème Condition: ………………. 0.8  Li 1 3.05  0.8  = 0.740  0,8 ……………………………………………………CNV 4.12 3.30  0.8  = 0,8  0.8 …………………………………………………….CV 4.12 Cette méthode n’est pas applicable car la 2éme condition n’est pas vérifiée, c.à.d: Donc on utilise la méthode de Caquot exposée ci-dessous

87

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

 La méthode de Caquot : « 1 er ETAGE » 1er Cas : Etat limite ultime ELU Les résultats obtenue par cette méthode (M, T) sont exposer au tableau suivent :

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Charge permanente g [kN/m] Charge exploitation q [kN/m] Chargée C 1.35g+1.5q [kN/m] Déchargée D 1.35g [kN/m] Ma cas 1 CCCC [kNm] Ma cas 2 : DCD [kNm] Ma cas 3 : CDC [kNm] Vu (max) [kN] X0 Mtmax [m] (vérefie X0) Mtmax [kNm]

3.05 T1

4.12 T2

3,05 3,05 3,12 2,40 7,81 4,21

4,12 3,29 3,12 2,40 7,81 4,21

0,00 0,00 0,00

-9,27 -7,38 -6,89 14,17 1,23 5,96

3.30 T3 3,30 3,30 3,12 2,40 7,81 4,21 -9,98 -7,67 -7,69

16,15 2,05 9,04

0,00 0,00 0,00 10,55 1,94 7,13

Tableau 25 : Les résultats des moments et des efforts tranchants de la poutrelle du plancher H1 à l’ELU 2 éme Cas : État limite ultime ELS Les résultats obtenue par cette méthode (M, T) sont exposer au tableau suivent :

Portée l [m] Portée fictive l' [m] Charge permanente g [kN/m] Charge exploitation q [kN/m] Chargée C g+q [kN/m] Déchargée D g [kN/m] Ma cas 1 CCCC [kNm] Ma cas 2 : DCD [kNm] Ma cas 3 : CDC [kNm] Vw (effort tranchant gauche) X0 Mtmax [m] (vérefie X0) Mtmax [kNm]

88

3.05 T1 3.05 3.05

4.12 T2 4.12

3.30 T3 3.30 3.30

3,12 2,40

3,29 3,12 2,40

5,52

5,52

5,52

3,12

3,12

3,12

0,00 0,00 0,00

-6,55 -5,29 -4,97 10,05 1,23 4,17

3,12 2,40

-7,05 -5,51 -5,52 11,42 2,05 6,31

0,00 0,00 0,00 7,44 1,34 3,97

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

Tableau 26 : Les résultats des moments et des efforts tranchants de la poutrelle du plancher H1 à l’ELS  Ferraillage : Mtab = b h0  bc (d – h0/2) =  0.60x0.05x14.16x103 x(0.17  0.04 )  63.72KN .m > Mu = 9, 04 2

KN.m Donc l’axe neutre est dans la table de compression, la section sera donc calculer comme étant rectangulaire de section (b, h) Pour le calcul on utilise les formules suivantes : Mu  ; ;   d (1  0,4. )   1,25(1  1  2. ) b.d 2 . f bc Mu . s

As=

;

Amin=

0,23 .b.d . f t 28 fe

Les résultats dans le tableau : POUR E.L.U

Appuis et traveès 1

Mu

b (cm)

d (cm)

μ

α

Z (cm)

(KN.m)

As (cm2)

Amin

Adopté (cm2)

0

10,00

17,00

0

0

17

0

0,16

1T6=0,28

1-2

5,96

60,00

17,00

0,0243

0,0307

16,79

0,82

0,99

2T8=1,01

2

9,27

10,00

17,00

0,2265

0,3256

14,79

1,44

0,16

2T10=1,57

2-3

9,04

60,00

17,00

0,0368

0,0469

16,68

1,25

0,99

2T10=1,57

3

9,98

10,00

17,00

0,2439

0,3554

14,58

1,57

0,16

4T8=2,01

3-4

7,13

60,00

17,00

0,0290

0,0368

16,75

0,98

0,99

2T8=1,01

4

0

10,00

17,00

0

0

17

0

0,16

1T6=0,28

Tableau 27 : Le calcul du ferraillage de la poutrelle du plancher H1 aux appuis et aux travées à l’ELU

89

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

POUR E.L.S

Appuis et traveès 1

Mu

b (cm)

d (cm)

μ

α

Z (cm)

(KN.m)

As (cm2)

Amin

Adopté (cm2)

0

10,00

17,00

0

0

17

0

0,16

1T6=0,28

1-2

4,17

60,00

17,00

0,0170

0,0214

16,85

0,57

0,99

2T8=1,01

2

6,55

10,00

17,00

0,1601

0,2193

15,51

0,97

0,16

2T10=1,57

2-3

6,31

60,00

17,00

0,0257

0,0325

16,78

0,86

0,99

2T10=1,57

3

7,05

10,00

17,00

0,1723

0,2380

15,38

1,05

0,16

4T8=2,01

3-4

3,97

60,00

17,00

0,0162

0,0204

16,86

0,54

0,99

2T8=1,01

4

0

10,00

17,00

0

0

17

0

0,16

1T6=0,28

Tableau 28 : Le calcul du ferraillage de la poutrelle du plancher H1 aux appuis et aux travées à l’ELS  Vérification à l’E.L.U : Condition de non fragilité :

 travée (2-3) : Amin=0,23.b.d.ƒt28/ƒe= 0.23x60x17x2.1/500 = 0,99cm2 1.25 cm2  0.99 cm2  appui (3) : Amin=0,23.b.d.ƒt28/ƒe=0.23x10x17x2.1/500 = 0,16cm2 1.57cm2  0.16 cm2 Vérification contrainte tangentielle du béton :

Vumax= 16,15 KN Fissuration non préjudiciable :

 u  min( 0,2. f c 28 /  b ;4MPA)  3,33 MPA 16.15x10 3

 u  Vu b d   0.791MPA 0. 0,12 x0,17  u  0.791MPA   u  3,33MPA.......................................................CV 90

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO Calcul des Armatures transversale :

h b0 ; ;l )  min(200 / 35;120 / 10;10)mm  5,71mm 35 10 On adopte un cadre  6 1 cadre T6  At = 2 T 6 = 0.56 cm²

t  min(

Espacement des armatures transversales:

St ≤ min (0, 9*d; 40cm) = min (0, 9x17; 40cm) = 15,3cm On adopte: St=15cm Vérification de la compression du béton vis avis de l’effort tranchant:

Appui intermédiaire

 bc 

2.Vu 16,15  2x  1.759MPA b0. 0,9d 0.12 x0.9 x0.17 x1000

 bc  0,8

f c 28

b



0.8 x 25  13,33MPA 1.5

  bc  1.759MPA   bc  13,33MPA...................................................CV

 Vérification à l’E.L.S : Vérification des contraintes : Mu ; M ser

 



 1 2

 En travée (2-3) :



f c 28 100 α=0,0469 ;

γ=9.04/6,31=1.432 (γ-1)/2+ƒc28/100= (1.432-1)/2+25/100 = 0.466  α=0,0469 ≤ 0,466 ……………………………………………………………….….. CV  -Appui intermédiaire : α= 0,3256 γ=9.27/6.55=1,415 (γ-1)/2+ƒc28/100= (1,415-1)/2+25/100=0,457 α= 0,3256< 0,457 ………………………………………………………………… CV Condition de la flèche : h/L≥1/22.5  0.2 / 4.12  0,0485  1 / 22.5  0,044......................................................CV Mt h   0.20 / 4.12  0,0485  6,31 / 15x16.57  0,0254....................................CV L 15.M 0 A 3,6   1.57 / 12 x17  0,00769  3.6 / 500  0,0072.................................................CV b0 .d fe

 Donc le calcul de la flèche est inutile 91

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 Escaliers.  Acrotère.  Balcon  Etude du dallage  Calcul des chainages

92

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V.1 escaliers V.1.1 Introduction Un escalier se compose d’un certains nombre de marches dont la longueur est l’emmarchement, la largeur est le giron, la partie vertical est la contre marche, le support des marches s’appelle la paillasse. Une suite ininterrompue de marches qu’on appelle une volée, qui peut être droite ou courbe. La partie horizontale d’un escalier entre deux volées est un palier. Du coté du vide les volées et les paliers sont munis d’un garde-corps ou rampe deux volées parallèles ou en biais sont réunis par un ou plusieurs paliers ou un cartier tournant, cette dernière disposition de construction plus délicate, permet de gagner un peu de place sur le développement de l’escalier.

Palier Marche Contre marche Paillasse

Emmarchement Giron

Figure 36 : schéma d'un escalier

93

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Figure 37 : Vue en plan des escaliers V.1.2 Etudes des escaliers à deux volées avec palier intermédiaire

1.40

1,90

1.40

Figure 38 : Schéma statique des escaliers

V.1.2.1 Calcul de nombre des marches Soit : h : hauteur de contre marche, H : hauteur d’un demi-étage, g : largeur de la marche, n : nombre de contre marches, n-1 : nombre de marches, L : projection horizontale de la longueur total du volée.

94

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H=

300 = 150 cm, on prend h = 17 cm. 2

Donc n =

H 150 = 9 (nombre de contre marches par volée)  h 17

n-1 = 8 (nombre de marches) Giron………………………………..g = 30cm D’autre part : (n-1).g = L  L = 240 cm. D’après la formule de Blondel, on a : 59 cm ≤ 2h+g ≤ 66cm. 2 x 17+30 = 64 cm et que 59 cm ≤ 64 cm ≤ 66 cm. L’inclinaison de la paillasse : tg  =

17 = 0,56   = arctg  = 29,540. 30

V.1.2.2 Epaisseur de la paillasse et de palier a. Epaisseur de la paillasse : Condition de résistance : 190 l l ≤ ep ≤ ; on a l = = 218 cm. 20 30 cos

7,27 ≤ ep ≤ 10,9 on prend ep = 15 cm. b. Epaisseur de palier : epalier=

15 ep = cos cos

epalier= 17,24 cm

on prend epalier= 15 cm.

On adopte epalier= epaillasse= 15 cm.

95

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V.1.2.3 Descente de charge a. volée

Tableau 29 Descente de charge (volée) Ep

désignation

(m)

densit é

KN m

3

KN m 2

Revêtement en carrelage horizontal

0,02

20,00

0,40

Mortier de ciment horizontal

0,02

20,00

0,40

Lit de sable fin

0,02

18,00

0,36

0,02

20,00

0,23

0,14

25,00

4,02

Poids propre des marches h  22 2

/

22,00

1,87

Garde- corps

/

/

0,10

0,02

10,00

0,23

Revêtement en carrelage vertical ep x 20 x h/g Poids propre de la paillasse

ep  25 cos 

Enduit en plâtre ep/cos  -charge permanente : G=7,61 KN/m2. -Surcharge d'exploitation : Q=2,5 KN/m2 . quvol= (1,35G+1,5Q).1 m =14,02 KN/ml. qser vol= (G+Q).1 m= 10,11 KN/ml.

quvol =14,02 KN/ml.

96

poids

qser vol

=10,11 KN/ml.

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

b. Palier

Tableau 30 Descente de charge (palier) Densité

Poids

(KN/m3)

KN/m2

0,14

25,00

3,5

Revêtement en carrelage

0,02

20,00

0,40

Mortier de pose

0,02

0,20

0,40

Lit de sable fin

0,02

18,00

0,36

nduit de plâtre

0,02

10,00

0,2

Désignation Poids propre du palier ep  25

ep (m)

- charge permanente : G=4,86 KN/m². - surcharge d'exploitation : Q=2,5 KN/m². qupal= (1,35 G+1,5 Q ).1m = 10,31 KN/ml. qserpal= (G+Q).1m = 7.36 KM/ml.

qupal =10,31

KN/ml.

qserpal =7.36 KN/ml.

V.1.2.4 Détermination des sollicitations

R 1.40

1,90

1.40

Figure 39 : Schéma statique de l’escalier

97

R A

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a. E.L.U : Réactions des appuis

F

V

 0  R A  R B  (q 2  1,40)  (q1  1,90)  (q 2  1,40)  R A  R B  55.50KN

 1.40 2  1.90    1.40    M /  0  R  q 2  1.90   1.40 q1  1.40   1.90  1.40 q 2  4,70   B A  2   2    2  R A  27 .75 KN

 1.40 2  1.90    1.40    M /  0  R  q 2  1.90   1.40 q1  1.40   1.90  1.40 q 2  4.70   A B  2   2    2  R B  27 .75KN q2

Effort tranchant et moment fléchissant 

0  x  1.40

A

T x   RA  q2 x   x2   M x  R x  q A 2  2 



1.40  x  3.3

T x   R A  1.40q 2  q1 x  1.40  2   1.40  x  1.40  q1 M x   R A x  1.40 x  2 q 2  2    

0  x  1.40

T x    RB  q2 x   x2 M x    RB x  q2 2 

98

q1 q2 A

q2 B

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

q1

q2

q2

A

B 1.40

1.9

1.40 4.7

27.75

13.32

13.32 27.75

38.66 (x=2.35)

Figure 40 : Diagrammes des sollicitations Tableau 31 : Effort tranchant et moment fléchissant(E.L.U) Réactio x

n

(m)

(KN)

Effort

Moment

tranchan

fléchissan

t

t

(KN)

(KN.m)

0

27.75

27.75

0

1.40

-

13.32

28.74

2.35

-

0

38.66

3.3 0 4.70

-

-13.32

28.74

27.75

-27.75

0

T

M max

Moment

max

(KN.m

sur

(KN)

)

appuis (Ma=0.3M0 )

27.7 5

38.66

11.60

Moment en travée (Mt=0.8M0 )

30.93

Remarque : les appuis doivent équilibrer un moment : M a  0.3M 0 qui conduit a un moment réduit en travée : M t  0.8M 0

99

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

-11.60

-11.60

30.93

Figure 41 : Diagramme des moments retenus b. E.L.S Réactions des appuis

F

V

 0  R A  R B  (q2  1,40)  (q1 1,90)  (q2  1,40)  R A  R B  39.82KN

 1.40 2  1.90    1.40     M / B  0  R A   2 q 2  1.90  2  1.40 q1  1.40  2  1.90  1.40 q 2  4,70    R A  19 .91KN  1.40 2  1.90    1.40     M / A  0  R B   2 q 2  1.90 2  1.40 q1  1.40 2  1.90  1.40 q 2  4.70    R B  19 .91KN

Effort tranchant et moment fléchissant 

0  x  1.40

q2

T x   RA  q2 x   x2 M  x   R A x  q 2 2 



A

1.40  x  3.3

T x   R A  1.40q 2  q1  x  1.40  2   1.40  x  1.40  q1 M x   R A x  1.40 x  2 q 2  2   

q1 q2 A

q2 B

100

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO



0  x  1.40

T x    RB  q2 x   x2   M x   R x  q B 2  2  q1

q2

q2

A

B 1.40

1.9

1.40 4.7

19.91

9.60

9.60 19.91

25.92 (x=2.35)

Figure 42 : Diagrammes des sollicitations Tableau 32 Effort tranchant et moment fléchissant(E.L.S) Réactio x

n

(m)

(KN)

Effort

Moment

tranchan

fléchissan

t

t

(KN)

(KN.m)

0

19.91

19.91

0

1.40

-

9.60

20.66

2.35

-

0

25.92

3.3 0 4.70

101

-

-9.60

20.66

19.91

-19.91

0

T

M max

Moment

max

(KN.m

sur

(KN)

)

appuis (Ma=0.3M0 )

19.9 1

25.92

7.77

Moment en travée (Mt=0.8M0 )

20.73

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

Remarque : les appuis doivent équilibrer un moment : M a  0.3M 0 qui conduit a un moment réduit en travée : M t  0.8M 0 -7.77

-7.77

20.73

Figure 43 : Diagramme des moments retenus Conclusion : (E.L.U) :

(E.L.S) :

Mt max= 30,93 kn.m

Mt max= 20,73 kn.m

Ma max= 11,60kn.m

Ma max= 7,77kn.m

Tmax = 27,75 kn

Tmax = 19,91 kn

V.1.2.5 calcul de ferraillage a. E.L.U a.1 En travée

 d= 12.5 cm

d= e-c-Ф/2 = 15-2-1/2 

30,93  10 3

100  12,5  14,16 2

 0,140  l = 0.372 (acier FeE500)

Donc A  n'existe pas.





  1,25 1  1  2   0,189   1  0,40  0,92

s 

fe

s

 434 ,78 MPa.

M tmax 30930 A   6,18 cm 2   d   s 0,92 12,5  434,78

102

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

Am in  0,23  b  d 

f t 28  1,21 cm 2 fe

Am ax  Acal ; Am in   6,18 cm 2

Choix : 5T14 esp 20. T14 e = 20cm  min 3h ;33cm = min 45 ; 33 cm = 33 cm  condition vérifiée Armatures de répartition Arep 

A 7,70   1,92cm 2 4 4

Ar : 4T8  Ar = 2,01 cm2/ml T8  e = 25cm  min 4h ;45cm2 = min 60 ; 45 cm = 45 cm  condition vérifiée. a.2 En appui



11,60  10 3

100  12,5  14,16 2

 0,05  l = 0.372 (acier FeE500)

  0,064 ;   0,97 A  2,20 cm 2 Am in  1,21 cm 2 Am ax  Acal ; Am in   2,20 cm 2

Choix : 4T10 esp 25. Ar : 2T8 Ar = 1,01cm2/ml T8  e = 25cm. b. E.L.S : Fissuration peu nuisible   Flexion simple   1 f c 28      Section rectangulaire  2 100  FE500

b.1 En travée :

103



Mu M ser



30 ,93  1,49 20 ,73

 b b

Rapport de stage ingénieur / Génie Civil ENSAO

  0,189  0,49

Condition vérifiée.

b.2 En appui :

  0,064  0,49

Condition vérifiée.

Les conditions sont vérifiées, donc la vérification des fissurations est inutile.

Vérification de la flèche : h 1 15    0.031  0.062  c.n.v L 16 480 Mt h 20.73    0.133  0.0425  c.n.v L 20M 0 20 x7.77 A 4.2 7.70    0.0061  0.008  c.v b.d fe 100  12.5

On à deux conditions sont non vérifiées, on passe au calcul de la flèche par « la méthode exposée » dans les références du béton armé ; selon les règles de BAEL 91. Calcul de la flèche : Cette condition n'est pas vérifiée, donc on doit procéder au calcul de la flèche. 2 L’axe neutre : b. y  30( As  As ) y  30(d . As  d . As )  0

b. y 3  15 As (d  y ) 2  BAEL 91 3 Moment d'inertie: I=

a) Moment d’inertie de la section homogène réduite «I » : -La Position De Laxe Neutre

b. y 2  30 ( As  As ) y  30 (d . As  d . As )  0  100 y 2  (30 x7.70 ). y  (30 x12 .5 x7.70 )  0  100 y 2  231 y  2887 .5  0

 = 231²+4x100x2887.5 = 1208361 On prend la racine positive :

y=4.34 cm

Donc : 3

I=

100 (4.34 )  15 7.70 x (12.5-4.34)2=10415.52cm4 3

I = 10415.52cm4

104

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Calcul des contraintes ELS

 bc

M ser 20.73  10 5   15MPa. -------OK.   y1  (  4.34)  8.63MPa < bc 8 I 10415.52  10

 s  n. s

M ser 20.73  10 5  (d  y1 )  15   (12.5  4.34)  243.61MPa I 10415.52  10 8  s  500 MPa

=243.61