Concursul Regi0nal Mihoc PDF [PDF]

Zitiervorschau

Societatea de Ştiinţe Matematice Filiala Ialomiţa Colegiul Naţional „Mihai Viteazul” Slobozia

PAPACU NICOLAE

DUMITRU COSTICĂ BĂNICĂ ANCA

TUDOR MIOARA MĂRGĂRIT MARIAN

POPESCU MARCEL

TONȚ ADRIANA

CONCURSUL REGIONAL DE MATEMATICĂ „GHEORGHE MIHOC” EDIȚIILE 1995-2018 REZULTATE ȘI SUBIECTE ‐ENUNȚURI ŞI REZOLVĂRI-

SLOBOZIA 2019 1

Lucrare editată de Colegiul Naţional „Mihai Viteazul” Slobozia B-dul Unirii, 10, Slobozia, Ialomița www.cnvmslobozia.com [email protected] tel 0243 236 322 editori: Vitalie Buzu, Nicolae Papacu Tehnoredactare: Tudor Mioara, Anca Bănică, Bratu Oana, Papacu Nicolae

CONCURSUL REGIONAL DE MATEMATICĂ ”GHEORGHE MIHOC”: Edițiile 1995-2018 Rezultate și subiecte – enunțuri și rezolvări- /Papacu Nicolae, Dumitru Costică, Tudor Mioara, Bănică Anca, Mărgărit Marian, Popescu Marcel, Tonț Adriana

2

Concursul de Matematică „Gheorghe Mihoc“, Slobozia, la a 25-a ediţie Prof. Univ. Dr. Ion Chiţescu Facultatea de Matematică şi Informatică, Universitatea din Bucureşti Concursul de Matematică „Gheorghe Mihoc“, care se desfăşoară la Slobozia, a ajuns în anul 2014 la a 20-a ediţie. Sunt onorat de invitaţia pe care mi-au adresat-o organizatorii ca, în calitatea mea de preşedinte al concursului, să scriu câteva rânduri cu aceasta ocazie aniversară. 1. Câte ceva despre începuturi Iniţiativa demarării acestui concurs au avut-o domnii Costică Dumitru (profesor de mare valoare şi prestigiu din municipiul Slobozia, preşedinte al Filialei Ialomiţa a Societăţii de Ştiinţe Matematice din România timp de mulţi ani) şi Inocenţiu Drăghicescu (Conf. Univ. Dr. la Universitatea Politehnică din Bucureşti, fiu al zonei geografice – născut la Amara). M-am alăturat imediat domniilor lor cu mare entuziasm, ţinând cont şi de vechea prietenie care mă leagă de colegul Inocenţiu Drăghicescu. Motivarea alegerii numelui lui Gheorghe Mihoc pentru denumirea concursului a fost triplă: Gheorghe Mihoc a fost un mare matematician român, Gheorghe Mihoc a iubit mult Slobozia unde a venit de multe ori cu multă plăcere, iar noi, cei trei “fondatori” ai concursului, i-am fost studenţi şi l-am iubit. Mi s-a făcut onoarea (meritată?) să fiu preşedinte al concursului şi, de atunci, am rămas în această funcţie de care am căutat să mă achit cât mai bine. Subliniez că, de la început şi până acum, colaborarea dintre noi, cei trei “fondatori” a continuat neîncetat, pentru bunul mers al concursului. 2. Câte ceva despre Gheorghe Mihoc Gheorghe Mihoc (1906-1981) a fost unul din cei mai importanţi matematicieni români. El rămâne cunoscut mai ales pentru contribuţiile sale în domeniul teoriei probabilităţilor. Trebuie subliniată şi activitatea sa de mare importante în statistica matematică, teoria asigurărilor şi matematica actuarială (tratatul său intitulat “Tratat de matematici actuariale”, Universitatea Bucureşti, Institutul de statistică, actuariat şi calcul, Bucureşti, 1943, este şi astăzi o lucrare greu de egalat). Vom schiţa câteva aspecte privind viaţa şi activitatea lui Gheorghe Mihoc. După absolvirea Facultăţii de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti, în 1928, a plecat în Italia, unde, în 1930 a obţinut titlul de doctor în ştiinţe statistice şi actuariale la Universitatea din Roma, sub îndrumarea lui Guido Castelnouvo. Întors în ţară, şi-a început îndelungata colaborare cu Octav Onicescu (al cărui discipol a fost) la Institul de statistică, actuariat şi calcul (înfiinţat şi condus de Octav Onicescu).

3

În 1934 şi-a susţinut teza de doctorat la Universitatea din Bucureşti (titlul tezei: “Asupra proprietăţilor generale ale variabilelor statistice interdependente”) sub conducerea lui Octav Onicescu. Începând cu anul 1937, Gheorghe Mihoc trece cu totul la Universitatea din Bucureşti, unde a funcţionat până la sfârşitul carierei, având pe parcurs colaborări cu Institutul de statistică, actuariat şi calcul, Politehnica din Bucureşti şi Academia Comercială din Bucureşti. A fost şef de catedră la Calculul Probabilităţilor şi Statistică Matematică, apoi la Matematici Aplicate şi, apoi, din nou, la Calculul Probabilităţilor şi Statistică Matematică (ca succesor al lui Octav Onicescu). Menţionăm că Gheorghe Mihoc a avut o îndelungată activitate la Casa Centrală a Asigurărilor Sociale, începând cu 1929, unde, între anii 1939-1945, a funcţionat ca director al mai multor direcţii. Opera de probabilist a lui Gheorghe Mihoc îl situează în primele rânduri ale matematicii româneşti. Teoria lanţurilor cu legături complete, elaborată împreună cu Octav Onicescu, este una din cele mai mari realizări matematice româneşti. Citări legate de această teorie apar în operele unor mari matematicieni, ca M. Frechet, A. Blanc-Lapierre, R. Fortet şi colateral, P. Billingsley. Şcoala românească, prin C. T. Ionescu Tulcea, Gh. Marinescu, R. Theodorescu, M. Iosifescu şi Ş. Grigorescu, a continuat studiul şi aprofundarea teoriei lanţurilor cu legături complete. Gh. Mihoc mai are contribuţii importante în teoria asigurărilor (după cum am mai amintit deja), statistică matematică, teoria generală a proceselor stohastice (în particular, teoria generală a lanţurilor probabilistice), extinderea legii lui Poisson şi analiză matematică (formule de medie pentru polinoame, ecuaţii diferenţiale şi ecuaţii cu derivate parţiale). Activitatea de matematician cercetător a lui Gheorghe Mihoc nu poate fi despărţită de activitatea sa de matematician profesor. A scris, singur sau în colaborare, un mare număr de monografii şi cursuri, după care au învăţat multe generaţii de studenţi şi matematicieni formaţi. Cursurile sale erau impecabile, atât prin claritate (îmi amintesc scrisul său frumos pe tablă, cu caractere îngrijite şi mari…) cât şi prin magia apropierii umane care le caracteriza. În cursul vieţii sale, Gheorghe Mihoc a deţinut multe funcţii importante, dintre care menţionăm următoarele: decan al Facultăţii de Matematică şi Fizică a Universităţii din Bucureşti, prorector al Universităţii din Bucureşti, rector al Universităţii din Bucureşti, director al Centrului de Statistică al Academiei Române, membru corespondent al Academiei Române, membru al Academiei Române, preşedinte al Academiei Române. Încheiem trecerea în revistă a vieţii şi activităţii lui Gheorghe Mihoc cu menţiunea obligatorie că el, împreună cu Octav Onicescu, au pus bazele şcolii româneşti de Teoria Probabilităţilor şi Statistică Matematică. Moartea l-a surprins pe Gheorghe Mihoc, pe atunci preşedinte al Academiei Române, într-o iarnă friguroasă care nu l-a iertat şi care a adus mult frig şi în sufletele tuturor celor care l-au cunoscut şi iubit. Ca unul care a avut onoarea şi şansa de a-i fi student, ţin să pun în evidenţă ceva ce am simţit şi eu şi mulţi colegi: imensa bunătate care îl caracteriza pe omul Gheorghe Mihoc. Era convins (şi această convingere o împărtăşea tuturor) că niciodată nu trebuie ratată ocazia de a face bine. Şi a făcut mult bine.....

4

3. Concursul “Gheorghe Mihoc”: evoluţie şi perspective Început ca un concurs de matematică local (judeţean), concursul „Gheorghe Mihoc” a crescut în amploare şi nivel, devenind treptat concurs interjudeţean şi, acum, naţional. Această evoluţie a fost posibilă, în primul rând, datorită sprijinului acordat de organele de conducere locale şi sponsorilor, care s-au implicat cu entuziasm şi dăruire şi cărora le mulţumim din inimă. Credem, de asemenea, că nivelul matematic ridicat al ediţiilor succesive a făcut să sporească interesul pentru concursul nostru, făcându-l din ce în ce mai „popular” pe plan naţional. Legat de acest al doilea aspect, ţinem să aducem mulţumiri colegiale autorităţilor şcolare locale, care au asigurat o desfăşurare perfectă a ediţiilor succesive ale concursului, autorilor de probleme şi membrilor comisiilor de corectare. Ne dorim ca şi în viitor, Concursul de Matematică „Gheorghe Mihoc” să rămână unul din punctele de reper în peisajul matematicii şcolare din România.

5

Concursul de Matematică „Gheorghe Mihoc” – 25 de ani de tradiție și excelență În octombrie 1894, cinci tineri ingineri, absolvenţi ai Şcolii de Poduri şi Şosele din Bucureşti (azi Universitatea "Politehnica" Bucureşti), au luat în discuţie rezultatele slabe obţinute de candidaţi la examenul de admitere din acel an. În concluzie, s-a propus înfiinţarea unei reviste româneşti de matematică pentru "elevii liceelor noastre", revistă care va apare începând cu anul 1895 și având denumirea Gazeta Matematică. În anul 1901 revista inaugurează colecţia Biblioteca Gazetei Matematice cu publicarea volumului „Culegere de probleme de aritmetică, algebră, geometrie şi trigonometrie“, autori I. Ionescu, A. Ioachimescu, Gh. Ţiţeica, V. Cristescu, care va cunoaşte mai multe ediţii, iar în anul următor se organizează primul concurs destinat cititorilor revistei. În anul 1910 se constituie Societatea Gazeta Matematică care a asigurat în continuare administrarea ”Gazetei Matematice”. Indiferent de numele pe care l-a avut (Societatea Gazeta Matematică 1910-1949, Societatea de Științe Matematice și Fizice 1949-1964, Societatea de Științe Matematice din România, (S.S.M.R) din 1964 și în prezent) asociația profesorilor de matematică, a matematicienilor și a celor care îndrăgesc matematica a avut un rol primordial în dezvoltarea matematicii în România. Societatea este cea care a organizat toate concursurile importante de matematică din țară. La nivel central exista o activitate deosebită a societății, dar la nivel local erau zone în care societatea nu avea niciun membru. Începând cu anul 1940 au apărut filiale ale societății, în special în marile orașe. Odată cu reforma administrativ-teritorială din 1968, s-au înființat în multe județe filiale ale societății. Unul din primele județe, în care ia ființă o filială, este și județul Ialomița. Cel care are inițiativa, este profesorul Dumitru Costică, dânsul fiind și cel care a fost președintele filialei vreme de 45 de ani (1968-2013) și care este în prezent președinte de onoare la filialei Ialomița. Filiala Ialomița a S.S.M.R. a desfășurat o activitate bogată încă de la înființare. Începând cu anul 1975, filiala, împreună cu alte instituții de învățământ, a organizat ”Sesiuni de referate și comunicări științifice” pentru elevi și profesori, la nivel județean. Aceste acțiuni ale filialei erau patronate de profesori universitari de renume precum. Este de amintit numele academicienilor Gheorghe Mihoc, Octav Onicescu, Nicolae Teodorescu, Solomon Marcus, etc. In anul 1995 s-au aniversat 100 de ani de apariţie neîntreruptă a revistei „Gazeta Matematică”. Societatea de Ştiinţe Matematice din România a celebrat momentul prin diferite manifestări la nivel naţional. Filiala Ialomiţa a S.S.M.R. prin preşedintele său, profesor Dumitru Costică a avut ideea organizării unui concurs interjudeţean de matematică. Necesitatea concursului a apărut şi datorită faptului că a fost o perioadă în care existau foarte puţine concursuri de matematică iar dorinţa elevilor de a participa la competiţii nu putea fi satisfăcută doar de Olimpiada Naţională de Matematică. Concursurile, de orice tip, sunt cele prin care se poate „măsura” progresul şi performanţa. Spiritul de competiţie şi de performanţă reprezintă un element esenţial în ierarhia valorilor, ierarhie care se realizează şi prin concursurile şcolare. Un astfel de concurs este şi Concursul de Matematică „Gheorghe Mihoc” numit astfel în memoria Academicianului Gheorghe Mihoc în semn de respect şi omagiu adus celui care mulţi ani a patronat activitatea matematică din judeţ. Înainte de a obţine rezultate remarcabile în domeniul matematicii superioare, profesori universitari români au parcurs fiecare etapă a însuşirii matematicii de nivel gimnazial sau liceal. Au reuşit aceasta şi prin participarea la diferite concursuri şcolare de matematică sau sesiuni de comunicări şi referate ştiinţifice. După ce au obţinut recunoaşterea internaţională a valorilor lor în domeniu, mulţi dintre ei nu au uitat că baza pregătirii lor în domeniul matematicii s-a realizat în şcoala românească. Un astfel de exemplu a 6

fost şi Academicianul Gheorghe Mihoc. În calitatea sa de Preşedinte al Academiei Române găsea timp pentru a se deplasa la Slobozia pentru a coordona sesiunile de comunicări şi referate ale elevilor şi profesorilor. Concursul de Matematică „Gheorghe Mihoc” este printre primele concursuri interjudețene din România. El s-a născut la ideea profesorului Dumitru Costică și realizat cu contribuția d-lor conf. dr. Ion Chițescu și Inocențiu Drăghicescu. Pe bună dreptate putem considera că domniile lor sunt fondatorii acestui concurs. Concursul a fost și este organizat de filiala Ialomița a S.S.M.R. și de Colegiul Național ”Mihai Viteazul” din Slobozia, școală de referință în învățământul ialomițean și cel românesc, iar Inspectoratul Școlar Județean partener la toate edițiile desfășurate. Filiala Ialomița a S.S.M.R. este una din filialele cu activitatea deosebită, la ora actuală în colaborare cu diferite instituții de învățământ organizează anual cinci concursuri regionale sau interjudețene, o sesiune de referate și comunicări științifice și editează o revistă de matematică. La prima ediţie au participat elevi din judeţele Brăila, Călăraşi, Constanţa, Prahova şi Ialomiţa. Ediţia inaugurală a avut parte de un succes şi interes deosebit, fapt ce a dus la continuarea acestei idei. S-a ajuns actualmente la ediţia a XXIV-a, iar numărul judeţelor participante a crescut adăugându-se pe parcurs judeţele Buzău, Tulcea, Galaţi, Dâmboviţa, Vâlcea, Vrancea, Vaslui, Giurgiu şi municipiul Bucureşti). De la prima ediție, și în prezent, președintele concursului este prof. univ. dr. Ion Chițescu, fost decan al Facultății de Matematică Informatică, Universitatea din București. Din Comisia Ştiinţifică în afară de preşedintele concursului au făcut parte şi fac parte personalităţi recunoscute la nivel naţional: prof. univ. dr. Dumitru Popa, Universitatea „Ovidius” Constanţa, prof. univ. dr. Stere Ianoş (†), Universitatea Bucureşti, conf. univ. dr. I.C. Drăghicescu, Universitatea Politehnică Bucureşti, prof. dr. Marcel Ţena, redactor şef la Gazeta Matematică, prof. Mircea Trifu secretar general al S.S.M.R., etc. Concursul precede faza naţională a Olimpiadei de Matematică şi reprezintă un excelent prilej de evaluare a nivelului de pregătire. Concursul este unul de importanţă naţională prin calitatea şi valoarea profesorilor şi elevilor care participă la acest concurs. Anual, laureații concursului se regăsesc în listele cu premianții Olimpiadei Naționale de Matematică. De asemenea subiectele şi lista premianţilor apar anual în Gazeta Matematică și în Revista de Matematică din Ialomița. Concursul se regăsește anual în Calendarul Activităților Naționale sau Regionale ale Ministerului Educației Naționale și în Calendarul Activităților Societății de Științe Matematice din România. Concursul este unul fără taxă de participare şi fără alte cheltuieli băneşti pentru elevi. Acest lucru este posibil prin contribuţia financiară a diferiţilor sponsori locali, a Consiliul Judeţean Ialomiţa și mai ales prin susținerea materială și morală din partea autorităţilor locale: Primăria Municipiului Slobozia şi Consiliul Local. Încă de la prima ediție Primăria Municipiului Slobozia și Consiliul Local au asigurat suportul material pentru o bună desfășurare a concursului. Primăria este cea care a asigurat fondul de premiere, unul din cele mai mari din țară, pentru fiecare ediție. Începând cu ediția a XIX-a Primăria Slobozia a instituit un premiu special, recompensat material, pentru cel mai bine clasat slobozean la nivelul fiecărui an de studiu. Sprijinul autorităților locale în organizarea concursului, implicarea organizatorilor și rezultatele de excepție obținute de elevii orașului Slobozia și județului Ialomița promovează imaginea și contribuie la mărirea prestigiului municipiului Slobozia și județului Ialomița. Prof. Nicolae Papacu, Președinte filiala Ialomița a S.S.M.R. 7

Partea I Enunțuri și rezultate

EDIȚIA I, 19-20 mai 1995 În cadrul manifestărilor prilejuite de centenarul revistei ”Gazeta Matematică”, filiala Ialomița a Societății de Științe Matematice, în colaborare cu Direcția județeană pentru tioneret și sport șu cu Liceul teoretic ”Mihai Viteazul” din Slobozia, a organizat în zilele de 19-20 mai 1995, la liceul teoretic ”Mihai Viteazul”, Concursul interjudețean de matematică ”Gheorghe Mihoc”. Concursul, dedicat în același timp, memoriei ilustrului dispărut al cărui nume îl poartă, a readus în mintea celor prezenți imaginea marelui savant, profesor și om care, cu ani în urmă, în mai multe rânduri, a patronat, în inegalabila sa generozitate diferitele manifestări cu caracter matematic organizate pe aceste meleaguri ialomițene. Au participat concurenți din clasele VI-XII reprezentând județele limitrofe Brăila, Călărași, Constanța, Prahova, precum și – bineînțeles - din județul Ialomița. Din partea comitetului de redacție al G.M. au fost d-nii conf. dr. Ion Chițescu, de la facultatea de Matematică a Universității din București și conf. dr. Inocențiu Drăghicescu. De la catedra de matematică 3 a Universității Politehnice din București. A participat, de asemenea, ca invitat, prof. Armand Martinov, de la Liceul de informatică din București. Comisia științifică a concursului a avut următoarea alcătuire: Conf. dr. Ion Chițescu – președinte, Conf. dr. Inocențiu Drăghicescu, Prof. Armand Martinov, Prof. Costică Dumitru – președintele Filialei Ialomița a S.S.M.R., Prof. Teodor Popescu – vicepreședinte al Filialei Ialomița a S.S.M.R., inspector școlar. Dintru început trebuie menționate, în termeni superlativi, atât organizarea concursului, cât și realizarea în sine a acestuia, toți cei implicați și îndeosebi conducerea liceului la care s-au desfășurat lucrările meritând cele mai călduroase felicitări pentru reușita deplină a acțiunii. Ținând seama că aceasta a fost ediția inaugurală a concursului, succesul său reprezintă, conform asigurărilor organizatorilor, cea mai bună încurajare a proiectelor de a-l reedita anual. O garanție în acest sens o constituie și modul în care acțiunea a fost sprijinită de către autoritățile locale, precum și de sponsorii AMONIL S.A., CARTEXIM S.R.L. și editura HUMANITAS, a căror generozitate trebuie relevată cu tot respectul și toată prețuirea ce se cuvin celor ce au considerat că o astfel de întreprindere, departe de a fi rentabilă în termeni economici, aduce după sine, în timp, o astfel de rentabilitate, de o calitate cu totul aparte și atât de necesară viitorului societății. Concursul propriu zis a fost precedat de o deschidere festivă în cadrul căreia au adresat cuvinte de salut participanților d-l ing. Iulian Zaharia, președintele Consiliului Județean Ialomița și d-l prof. Alex. Cobușceanu, directorul Liceului ”Mihai Viteazul”. Au luat cuvântul, de asemenea, d-l conf. dr. Ion Chițescu, care le-a evocat participanților câteva pagini ale începuturilor Gazetei Matematice și d-l conf. dr. Inocențiu Drăghicescu, care a prezentat cartea ”Exerciții și probleme elementare de teoria probabilităților”, al cărei autor este împreună cu conf. dr. Gh. Budianu. Lucrarea, recent apărută la Casa de editură și presă ”ANSA” 8

SRL din București, constituie și un omagiu postum adus academicienilor Octav Onicescu și Gheorghe Mihoc. Concursul a constat din probe scrise desfășurate pe parcursul a trei ore, la fiecare clasă dânduse câte trei probleme, seturile acestora fiind alcătuită de cei trei oaspeți din comisia științifică. Corectarea lucrărilor s-a făcut de către profesori din Slobozia împreună cu profesorii oaspeți care au însoțit concurenții. Conform celor prevăzute în organizarea concursului urma să fie acordate, la fiecare clasă, câte un premiu întâi în valoare de 50.000 lei, câte un premiu doi în valoare de 35.000 lei, câte un premiu trei în valoare de 25.000 lei și câte o mențiune în valoare de 10.000 lei. În urma desfășurării concursului s-au acordat premiile și mențiunile următoare:

Premianții Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune i:

Clasa a VI-a Cioacă Florin, Lic. “M. Viteazul”, Slobozia Stan Bogdan, Şc. gen. nr. 2, Câmpina Pol Ana-Maria, Lic. “Al. I. Cuza” Ploieşti Gonciar Ștefania, Şc. gen. nr. 7, Brăila Clasa a VII-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune I:

Nicolau Ioana, Șc. gen. nr. 24, Constanța Zagarin Mădălina, Șc. gen. nr. 2, Borcea Fulger Elena, Șc. gen. nr. 27, Constanța Sava Andrei, Șc. Gen. nr. 1. Urziceni Clasa a VIII-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune I:

Marin Bogdan, Lic. “I. L. Caragiale” Ploieşti Zaharia Mihai, Şc. Normală Slobozia Alexe Bogdan, Lic. “Al. I. Cuza” Ploieşti Mihalache Dan, Şc. gen. nr. 31, Brăila Clasa a IX-a

Premiul I: Cornățeanu Remus, Lic. de Artă Slobozia Premiul III: și Menţiune Specială: Pintilie Adina Lic. Teoretic Urziceni Menţiune I: Nedelcu Adina, Lic. “G.M. Murgoci” Brăila Clasa a X-a Anton Ramona, Lic. “M. cel Bătrân” Constanța Secăreanu Ioana, Lic. “M. cel Bătrân” Constanța Premiul III: Berbec Ioana, Lic. “M. cel Bătrân” Constanța Menţiune I: Stejar Cristian, Lic. “N. Bălcescu” Brăila Premiul I:

9

Clasa a XI-a Premiul I: Mihai Stere, Lic. “Ovidius” Constanța Premiul II: Popescu Julian, Coleg. “Gh. Murgoci” Brăila Premiul III: Toma Mădălina, Lic. Teoretic Feteşti Menţiune I: și Menţiune specială : Răducanu Cristian, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Clasa a XII-a Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune I:

Iorga Bogdan, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Spânu Daniela, Lic. “I.L. Caragiale” Ploieşti Limona Lucian, Lic. “M. cel Bătrân” Constanța Apfelbaum Marcel, Lic. “Gh. Murgoci” Brăila

Pe lângă aceștia, la fiecare clasă, au fost recompensați, în ordinea punctajelor obținute, și câte doi concurenți prin mențiuni a câte 10.000 lei fiecare constând în cărți. Tuturor participanților li s-au decernat diplome de participare. Cazarea, masa și cheltuielile celelalte au fost asigurate de organizatorii concursului. În aceeași notă de ospitalitate și generozitate autoritățile locale au acordat distincții oaspeților din comisia științifică după cum urmează: d-lui conf. dr. Ion Chițescu, președintele comisiei – cheia Municipiului Slobozia, iar d-lor conf. dr. Inocențiu Drăghicescu și prof. Armand Martinov – medalia jubiliară ”400 de ani de atestare documentară a orașului Slobozia”. De asemenea, li s-a oferit câte un exemplar din volumul jubiliar ”SLOBOZIA – 400, editat de Consiliul local al Municipiului Slobozia. Onorați și – deopotrivă – emoționați, cei distinși și-au exprimat gratitudinea considerând aceasta și ca un legământ pentru sprijinirea viitoarelor concursuri sau altor activități organizate de filiala Ialomița a S.S.M.R. O cât se poate de agreabilă reuniune a încheiat întreaga acțiune printr-o cină amicală la care au fost prezenți toți profesorii participanți la concurs, organizatori sau oaspeți, precum și d-nii ing. Gabi Ionașcu, viceprimar al Municipiului Slobozia și prof. dr. Nicolae Stancu, inspector de general al Inspectoratului școlar județean Ialomița. Spiritul prietenesc și cordial care a dominat această reuniune reprezintă, suntem convinși, o certitudine a adeziunii celor prezenți față de ideile nobile care i-au călăuzit pe organizatorii concursului, precum și fașă de proiectele lor similare pentru anii următori. Notă. Prezentarea primei ediții a concursului aparținând de distinșilor domni profesori a apărut cu titlul Concursul Interjudețean de Matematică ”Gheorghe Mihoc” – Ediția I – Slobozia 1995 în Gazeta Matematică nr. 7/1995

EDIŢIA a II-a, 8-10 noiembrie 1996 SUBIECTE Clasa a VII-a I. Fie 𝑎 și 𝑏 două numere raționale. Să se rezolve în numere raționale ecuația 𝑎√2 + 𝑏 = 𝑥√2.. G.M. 10

II. Fie ABCD un patrulater convex cu AB CD , AD neparalel cu CB, iar (AE şi (DF

bisectoarele unghiurilor DAB, respectiv ADC, astfel încât F   AB,E  DC  . Dacă AE = DF, demonstraţi că AD  AB . Emil Vasile 2 2 III. Să se rezolve în numere întregi ecuaţia: (𝑥 − 𝑦) = 2(𝑥 − 𝑦 ) Clasa a VIII-a I. Fie a,b,c>0. Să se demonstreze echivalenţa:

1 1 1 1 1 1 1       . b c c a a b 2a b c  II. Să se demonstreze că dacă x2  y 2  z2  2xyz  1, atunci: abc 

 x  yz y  xz z  xy   1 x2 1 y 2 1 z2  .

M. Chiriţă III. Fie tetraedrul OABC în care muchiile OA, OB, OC sunt egale. Să se arate că dacă medianele care pornesc din O a două feţe sunt perpendiculare între ele, atunci a treia mediană ce porneşte din O este perpendiculară pe planul determinat de acestea două. G.M. Clasa a IX-a I. Să se determine numerele a, b 

*





, cu proprietatea , 8a  b 

 

 0,1,2,...,a  b .



Emil Vasile

II. Fie M mijlocul laturii (AB) a triunghiului ABC m A  90o , m B  90o

 şi N un punct

astfel încât NM  AC şi NB  BC . Să se arate că NP=R, unde P este mijlocul laturii (BC) şi R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. Apostol Constantin III. Fie ABCD un pătrat şi M un punct interior pătratului pentru care MA=1, MB= 2 şi MC= 3. a) Să se arate că MB=MD. b) Să se calculeze lungimea laturii pătratului. M. Chiriţă Clasa a X-a I. Să se rezolve ecuaţia:

5x  12x  13x G.M. II. Să se arate că într-un triunghi ascuţitunghic ABC, în care O este centrul cercului circumscris, au loc relaţiile:



  sin  A

tg BAO  tg CAO 2

  tg CBO  tg  ABO  tg  ACO  tg BCO . sin C  sin B  2

2

Constantin Apostol III. Să se determine trei numere complexe a, b, c distincte astfel încât: 11

a) |a|=|b|=|c|=1. 2 2 2 b) z  a  z  b  z  c  6, z  , z  1. M. Chiriţă Clasa a XI-a

nxn ,n  . n  xn x1 1) Să se arate că, pentru orice n  2 este adevărată relaţia: xn  . 1   1 1 2  ...  n  1  x1  1   2) Să se calculeze lim xn . I. Fie x1  0. Definim şirul  xn n prin relaţia de recurenţă: xn1 

n 

II. Pentru fiecare matrice A  M2 

A : M2 



 se defineşte funcţia : ,A  X   det  A  X   det  A  X  .

Să se arate că : 1)  A    A , 

;

2) AB  A  B , A,B  M2  3) Pentru orice n 

*

M. Chiriţă

;

există şirurile  xn n , yn n astfel încât An  xn  A  yn  I2 ,

unde I2 este matricea unitate de ordinul al doilea. Nicolae Papacu

1 0 III. Se consideră matricea A   0  0 Să se determine An , n 

*

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0  . 1  1

. G.M. Clasa a XII-a

I. Fie a  calculeze :

şi I 

x

2

un interval cu proprietatea că x 2  x  a  0 pentru orice x I . Să se

dx (discuţie după valorile lui a).  x a G.M.

II. Fie n 

*

şi f :



1 1  1 sin x sin x 2 ...sin x n , x  0 , f x   , x  0.  

Să se arate că f admite primitive dacă şi numai dacă  =0.

Nicolae Papacu

12

III. Fie  X, un monoid. Să se arate că există o mulţime T şi o funcţie injectivă  : X  F(T )

cu proprietatea că  ab   a   b pentru orice a,b  X . Aici F(T)  f : T  T  . Ion Chiţescu Concursul pentru cea mai frumoasă rezolvare a unei probleme a profesorului Gheorghe Mihoc Problemă propusă în Gazeta Matematică în anul 1928: Fie I centrul cercului înscris al triunghiului ABC şi d o dreaptă ce trece prin I şi taie laturile triunghiului în M, N şi P; simetricele acestor puncte, respectiv faţă de dreptele AI, BI, CI se regăsesc pe o dreaptă d’ tangentă cercului înscris. Ducând dreptele da,db,dc, respectiv prin Ia, Ib, Ic, centrele cercurilor exînscrise triunghiului şi efectuând construcţii analoage obţinem dreptele d’a,d’b,d’c ce sunt tangente cercurilor exînscrise Ia, Ib, Ic. Să se arate că dacă dreptele d, da,db,dc sunt paralele, atunci dreptele d’, d’a,d’b,d’c sunt de asemenea paralele. Notă: Se va premia cea mai frumoasă soluţie ce se va prezenta la juriu, până la festivitatea de premiere.

Premiile concursului

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Clasa a VII-a Ştefan Cristian, Lic. “M. Viteazul” Ploieşti Avram Sorin Alexandru, Lic. “M. Viteazul” Ploieşti Laza Andrei, Ş.g. nr. 7 Feteşti Mărgărit Alexandru, Ş.g. nr. 2 Slobozia Ilie Mădălin, Ş.g. nr. 15 Buzău

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Clasa a VIII-a Cioacă Florin, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Ene Ciprian, Şc. Norm. Buzău Stan Gheorghe, Ş.g. nr. 2 Câmpina Oprea George, Ş.g. Măgurele Buzoiu Mădălina, Ş.g. nr. 5 Buzău Clasa a IX-a

Premiul I: Apostol Costin, Lic. “Iulia Haşdeu” Buzău Premiul II: Iancu Mihai, Lic. “Al. Vlahuţă” Rm. Sărat Premiul III: Porumbel Daniel, Lic. “Iulia Haşdeu” Buzău Menţiune: Radu Mihaela, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Menţiune: Bădicioiu Alexandra, Lic. “I.L. Caragiale” Ploieşti Menţiune specială : Sava Andrei, Lic. Teoretic Urziceni Menţiune specială: Savu Iulia, Lic. “I.L. Caragiale” Ploieşti 13

Clasa a X-a Premiul I: Grigore Bogdan, Lic. “M. Viteazul” Ploieşti Premiul II: Minescu Ana Maria, Lic. “M. Viteazul” Ploieşti Premiul III: Nicolae Mihai, Şc. Norm. Slobozia Menţiune: Zotic Marius Adrian, Lic. Teoretic Feteşti Menţiune: Anghelescu Leon, Lic. “P. Georgescu” Ţăndărei Menţiune: Ştefan George, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Menţiune specială: Ghiţă Ştefania, Coleg. “B.P. Haşdeu” Buzău Menţiune specială: Tache Silvia, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Clasa a XI-a Premiul I: Epure Mihai, Lic. de Artă Slobozia Premiul II: Badea Dorin Alexandru, Lic. “G.M. Murgoci” Brăila Premiul III: Nedelcu Adina, Lic. “G.M. Murgoci” Brăila Menţiune: Cornăţeanu Marian, Lic. de Artă Slobozia Menţiune: Popescu Sabin Adrian, Lic. “I.L. Caragiale” Ploieşti Premiu Special: Băbuş Ana-Maria, Lic. “N. Bălcescu” Brăila Menţiune specială: Pâslaru Liviu, Coleg. “B.P. Haşdeu” Buzău Menţiune specială: Bociu Lorena Viorica, Lic. “N. Grigorescu” Câmpina Clasa a XII-a Premiul I: Stejar Cristian, Lic. “N. Bălcescu” Brăila Premiul II: Necula Ciprian, Lic. “I.L. Caragiale” Ploieşti Premiul III: Negroiu Iulian Alexandru, Lic. “I.L. Caragiale” Ploieşti Menţiune: Brătulescu Carmen, Lic. Teoretic Feteşti Menţiune: Voicu Ramiro, Lic. “M. Viteazul” Slobozia Menţiune specială : Budariu Gigi Daniel, Coleg. “Gh. Murgoci” Brăila Menţiune specială : Mihăescu Marga, Lic. “M. Viteazul” Slobozia

EDIŢIA a III-a, 31octombrie-2noiembrie 1997 SUBIECTE Clasa a VII-a I. Fie Două semidrepte [OX, [OY şi pe ele punctele A, B (pe [OX) şi C, D (pe [OY). Se mai presupune că OC=a, CD=b, a>b>0. Să se determine lungimea segmentului AB astfel încât să fie îndeplinite simultan proprietăţile: a) CB este mediană în triunghiul OAC. b) Unghiurile OAD şi ODA au aceeaşi măsură. II. Se consideră un triunghi ABC cu următoarea proprietate: există un număr natural nenul n astfel încât măsurile unghiurilor A, B, C să fie proporţionale cu numerele n, n+1, n+2. Fie I punctul de intersecţie a bisectoarelor triunghiului ABC. Se cere măsura AIC. 14

III. Fie x şi y două numere naturale nenule. Să se demonstreze echivalenţa:

4x  y 1 x 5    . 2x  3y 2 y 6

Clasa a VIII-a I. Fie ABC un triunghi astfel încât m(BAC)  90o. Construim în exteriorul lui ABC triunghiurile dreptunghice isoscele A’BC (A’B=A’C), B’CA (B’C=B’A), C’AB(C’A=C’B). Să se arate că dreptele B’C’ şi AA’ sunt perpendiculare. II. Fie ABCD un pătrat. Notăm cu M şi N punctele de intersecţie ale cercului de diametru AB cu cercul înscris în pătratul ABCD. Fie P mijlocul laturii CD. Să se arate că triunghiul MNP este echilateral. III. a) Să se arate că 5 este număr iraţional. b) Să se construiască grafic un segment de lungime 5 , fiind dat un segment de lungime 1. Clasa a IX-a I. Fie ABCD un tetraedru regulat şi fie M un punct interior segmentului AC. Se duce prin M un plan paralel cu muchiile AB şi CD care taie muchiile BC, BD şi AD respectiv în N, P, Q. a) Să se arate că patrulaterul MNPQ este dreptunghi. b) Să se determine poziţia lui M, pentru care aria lui MNPQ este maximă. II Fie A şi B două puncte fixe în spaţiu şi a un număr real. Să se determine locul geometric al punctelor M din spaţiu pentru care: MA2-MB2=a. III. Să se rezolve şi să se discute sistemul de ecuaţii:

 xy 2  ax  y  0

unde a este un număr real fixat. Clasa a X-a I. Se consideră dreptunghiul ABCD şi mijloacele P, Q ale laturilor[AD], respectiv [BC]. Pe prelungirea laturii DC se consideră punctul M (MC0, b>0, c>0 şi a+b+c=k, atunci :

k2 ab  bc  ca   a2  b2  c 2 . 3

III. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ şi B1 simetricul lui A faţă de B, C1 simetricul lui C’ faţă de C, D1 simetricul lui C’ faţă de D’, A1 simetricul lui A faţă de A’. Să se arate că: a) A1D1 şi B1C1 sunt coplanare. b) Notăm (A1D1,B1C1)  A’C’  {M } . Să se arate că

d 2 M, ABC   d 2 M,BCC '   d 2 M, AB 'C '   d 2 M, ADD '   a2 , unde a este latura cubului. c) Să se afle m  B1C1, AC  . Clasa a X-a I. Rezolvaţi ecuaţia:

3x  1 2x  1  x 1  1. 2x 1 3

II. Să se demonstreze că nu există numere complexe z de modul număr întreg pentru care să fie adevărată egalitatea: 18

4z2  4z  3.

III. Într-un triunghi se duc trei ceviene concurente. Pentru fiecare dintre ele se consideră dreapta determinată de mijlocul său şi de mijlocul laturii corespunzătoare a triunghiului. Să se arate că cele trei drepte sunt concurente. I. Să se determine matricele A  M2 



Clasa a XI-a pentru care este adevărată egalitatea:

4 3 A3   .  3 2  II. Fie şirul  xn n0 , unde x0  0, x1, x2  * şi

xn xn1  2xn1xn2  xn2 xn3  0, pentru n  3. Să se determine termenul general şi să se studieze convergenţa şirului. III. În piramida ABCD un plan paralel cu (BCD) taie muchiile AB, AC şi AD în E, F respectiv în G. Un plan paralel cu (ACD) care trece prin E taie muchiile BC şi BD în H, respectiv în I. a) Demonstraţi că, indiferent de poziţia punctului E   AB ,V EFGHCDI   V  ABCD.

3 4 şi V BEHI   125cm3 .

b) Calculaţi V EFGHCDI  , cunoscând că: V  AEFG  27cm3 Clasa a XII-a I. Să se calculeze primitivele funcţiei: f  x  

 b    a ,  .   II. Fie a,b  ,a  b şi o funcţie f :

arctgx

ax  b2

,a  0, pe un interval I inclus în

 a, b bijectivă. Atunci f nu este o funcţie raţională.

III. a) Să se arate că dacă a, b,c  0,  atunci

a

2

b) Dacă z1, z2 , z3 

 b2  c2



3





2

 3 a3  b3  c3 .

cu z1  z2  z3  1 şi dacă

z1  z2  z2  z3  z1  z3  3 , 2

atunci z1, z2 , z3 sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral.

EDIŢIA a V-a, 20 - 21 noiembrie 1999 SUBIECTE Clasa a VII-a

I. Determinaţi x  II. Aflaţi x, y 

*

astfel încât  x  1999

2000

din proporţia:

  x  2001

x 1 2  . 4 y 2

19

2000

.

2

2

III. Fie S un punct situat în planul triunghiului oarecare ABC şi fie A’, B’, C’ simetricele punctului S faţă de mijloacele laturilor [BC], [CA] şi respectiv [AB]. Arătaţi că: a) Triunghiurile ABC şi A’B’C’ sunt congruente. b) Dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente. Clasa a VIII-a I. Fie triunghiul ABC în care AB=2-x, unde x  . Ducem MN BC,

M (AB, N (AC, astfel încât AM=1 şi AN= 1 x  . 2

Ordonaţi crescător lungimile segmentelor AM, MB, AN şi NC. II. Fie fracţia raţională

3x2  12 F x  2 , x  \ 4;2. x  2x  8

a) Simplificaţi fracţia F(x). b) Aflaţi x  astfel încât F  x   * . III. Fie pătratele ABCD şi ABEF situate în plane perpendiculare, cu AB=a. Calculaţi: a) Măsura unghiului dintre dreptele AC şi AE. b) Distanţa de la E la dreapta AC. c) Distanţa de la F la dreapta CD. d) Distanţa de la A la planul (ECD). e) Tangenta trigonometrică a unghiului diedru format de planele (AEC) şi (ABC). Clasa a IX-a I. Fie n  ,n  1. Stabiliţi semnul numărului

a  n  2 2n  4  n  2 2n  4  2 2. II. Să se arate că dacă A, B, C sunt trei mulţimi oarecare, avem incluziunea

A \ C   A \ B   B \ C .

Incluziunea de mai sus poate fi strictă sau nestrictă? Argumentaţi răspunsul.

 

1 

3 

 

III. Fie f :  .     ,   definită prin f  x   x 2  x  1. 2 4 Să se arate că f este bijectivă şi să se calculeze f 1 (adică inversa lui f). Clasa a X-a I. Să se rezolve ecuaţia

x  1  x  4  x  9  x  16  x  25  15. II. Se dau numerele a>0, b>0 şi   0, . Să se dea condiţiile necesare şi suficiente pentru ca să avem simultan: a) Există un triunghi ABC cu proprietăţile: BC=a, AC=b şi măsura unghiului B să fie egală cu  . b) Toate triunghiurile cu proprietăţile de la a) sunt congruente. 20

III. Fie z \ . Să se arate că pentru orice n  bn reale, astfel încât

*

există şi sunt unic determinate numerele an,

zn  an z  bn . Clasa a XI-a

I. Reamintim că un polinom

P  X   a0  a1 X  ...  an X n 

X

Se numeşte reciproc dacă ai=an-i, pentru i=1, 2, …, n. Să se demonstreze că produsul a două polinoame reciproce este un polinom reciproc. II. Fie n  , n  2. Fie a  ,a  1,a  1 n. Să se afle inversa matricei pătratice de ordinul n:

a 1  M  1   1 

1 1  1.   a 

1 1 a 1 1 a 1 1

III. Fie 0  a  b   . Să se calculeze

a(a  1)(a  2)...(a  n) . n b(b  1)(b  2)...(b  n) lim

Clasa a XII-a I. Două puncte mobile pornesc în acelaşi moment din originea axelor de coordonate O, primul punct mobil M1 parcurgând axa Ox pozitivă cu viteza constantă v1  0 , iar al doilea punct mobil M2 parcurgând axa Oy pozitivă cu viteza constantă v 2  0 . Să se determine locul geometric al punctului M care împarte în fiecare moment segmentul M1M2 într-un raport constant k>0, adică

MM1  k. MM2

II. Fie G, un grup abelian. Pentru fiecare n 

*



notăm



Gn  x G | x n  e

şi presupunem că mulţimea Gn are cel mult n elemente. Să se arate că: a) Gn este subgrup al grupului G, pentru orice n  * . b)Singurele subgrupuri finite ale grupului G sunt grupurile Gn, unde n  * . III. Fie a  şi I  un interval nedegenerat astfel încât x 2  ax  1  0,  x  I. Să se calculeze primitivele funcţiei f : valorile lui a).

21

 , f x 

1 (discuţie după x  ax  1 2

Premiile Concursului Clasa a VII-a Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune : Menţiune :

Voiteanu Mircea, Şcoala Nr. 2, Slobozia, Ialomiţa Manea Flavius, Şcoala Nr. 11, Călăraşi Antone Ionuţ, Şcoala „Tudor Vladimirescu”, Drăgăşani Dorin Radu, C.N. „M. Viteazul”, Ploieşti Decianu Florentina, Şcoala Nr. 1, Năvodari - Constanţa Clasa a VIII-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Pantelimon Ioana, Şcoala Nr. 2, Slobozia Tocan Ioana, C.N. „I.L. Caragiale”, Ploieşti Roşca Ştefan, Şcoala Nr. 1, Rm. Sărat Alexe Alexandru, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Truţoiu Laura, Şcoala „Tudor Vladimirescu”, Drăgăşani Clasa a IX-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Spirea Andreea, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Martin Liviu, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Costache Sebastian, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Vişan Răzvan, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Căpăţână Adrian, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia

Clasa a X-a Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Purice Radu Andrei, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Fulger Stan, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Tănase Raluca, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Petrişan Daniela, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Dragomir Irina, C.N. „I.L. Caragiale”, Ploieşti Clasa a XI-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune: Menţiune:

Petre Liviu, C.N. „Barbu Ştirbei”, Călăraşi Puia Gabriel, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Lungu Alexandra, C.N. „N. Grigorescu”, Câmpina Cioacă Florin, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Rusu Valentin, C.N. „I.L. Caragiale”, Ploieşti Nistor Teodor-Cristian, Liceul Feteşti Clasa a XII-a

Premiul I: Ene Ionuţ, Liceul Urziceni Premiul II: Apostol Bogdan, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Premiul III: Fulger Elena, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa 22

Menţiune: Menţiune: Menţiune:

Florea Florentina, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Porumbel Daniel, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Pătrănescu Oana, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău

EDIŢIA a VI-a, noiembrie 2000 SUBIECTE Clasa a VII-a I.. Să se construiască un triunghi ABC cu următoarele proprietăţi:



a) m A  45o ; b) AB=4cm şi BC=6cm. Câte soluţii are problema? II. Să se determine toate numerele naturale scrise cu două cifre care se divid cu suma cifrelor lor. III. Fie ABC un triunghi cu următoarea proprietate: unghiurile exterioare unghiurilor A, B, C sunt direct proporţionale cu numerele 3, 4 şi 5. Să se determine măsurile unghiurilor

A,

B,

C.

Clasa a VIII-a I. Fie x>0 un număr real. Se presupune că x, x+5, x+10 sunt lungimile laturilor unui triunghi. Să se demonstreze că pentru orice număr k>0, numerele x  k , x  5  k , x  10  k sunt lungimile laturilor unui triunghi. II. Să se arate că 2000 nu este număr raţional. III. Pentru ce valori ale lui a  egalitatea

x 1 x  2  a 1 a  3

este proporţie, cu x>0?

Clasa a IX-a I. Se consideră tetraedrul ABCD în care O este centrul sferei circumscrise, iar L, M, N sunt respectiv mijloacele muchiilor [BC], [CD], [BD]. Să se demonstreze că LOM  LON  NOM dacă şi numai dacă triunghiul ABC este echilateral. II. Fie a  . Să se studieze sistemul :

a  3 x  2y  4  2x  a  3 y  4

În funcţie de valorile lui a. III. Să se rezolve în

ecuaţia: x2    x . 2

Clasa a X-a I. Să se determine numerele strict pozitive p cu proprietatea că, pentru orice z1, z2  , este adevărată egalitatea: 23



z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 p

p

p

p

.

II. Să se arate că într-un triunghi oarecare ABC este adevărată inegalitatea:

9 sin A sinB  sinB sinC  sinC sin A  . 4 III. Să se arate că oricare ar fi numerele a1,a2 ,a3 ,...,an  0, n  1, este adevărată inegalitatea: 1 a1  a2  a3  ...  an   n  1. a1a2a3 ...an În ce caz avem egalitate? Clasa a XI-a I. Fie un tetraedru OABC în care OA  OB, OB  OC, OC  OA,

OA  a, OB  b, OC  c şi fie h lungimea perpendicularei dusă din O pe planul (ABC). Să se arate că:

a2  b2  c2 . 3 şi polinomul P  X   n3 X n   n2  2 X  n2  n  1. h

II. Fie n 

*

Să se arate că ecuaţia P(X)=0 nu are rădăcini întregi. III. Fie a,b astfel încât a  b  1 şi fie an n1 ,  bn n1 două şiruri de numere reale convergente către a, respectiv b. Studiaţi convergenţa şirului  cn n1 dat de egalitatea:

cn  an  b1 an1  b2 ...a2  bn1 a1  bn . Clasa a XII-a

I. Fie a  . Construim şirul an n0 definit astfel:

a0  a şi an1  an2  an  1 , n  . 2

Să se determine valorile lui a pentru care şirul an n0 este convergent şi să se calculeze limita sa pentru aceste valori. II. Să se calculeze:





dx.

ln x  x 2  1 x 1 2

III. Fie n  ,n  2. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Există A  Mn   astfel încât A2  2A  5In  On . b) Numărul n este par.

24

Premiile Concursului Clasa a VII-a Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune : Menţiune :

Chiuru Andrei, Lic. . „Radu Vlădescu”, Ploieşti Mosescu Dragoş, Şcoala Gen. Nr. 23, Brăila Popescu Gabriela, Şcoala Gen. „Sf. Vasile”, Ploieşti Olteanu Andreea, Şcoala Gen. Nr. 2, Slobozia Popa Irina, Liceul de Artă, Slobozia Clasa a VIII-a

Voiteanu Victor, Şcoala Gen.Nr. 2, Slobozia Chirbocea Sterian, Şcoala Gen. Măgurele, Prahova Premiul II: Toma Ana Maria, Lic. „Iorga”, Brăila Moroianu Raluca, Şcoala Gen. Nr. 10, Călăraşi Premiul III: Corea Mihai, Clegiul Naţional, Ploieşti Premiul I:

Clasa a IX-a Premiul I: Dinu Răzvan, C.N. “Mihai Viteazul”, Ploieşti Premiul II: Sulhan Alexandru, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Premiul III: Ganea Roxana, Liceul „Al. I. Cuza”, Slobozia Aron Bogdan, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Menţiune: Vasilescu Andra, Liceul „M. Viteazul”, Slobozia Clasa a X-a Premiul I:

Premiul II:

Spirea Andreea, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Bratu Florin, C.N. “Nicolae Bălcescu”, Brăila Curtasan Eden, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Pascu Iuliana, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Vădeanu Vladimir, C.N. “Nicolae Bălcescu”, Brăila Clasa a XI-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Păunescu Liviu, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Laza Dorin, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Tănase Raluca, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Petrişan Daniela, C.N. „B.P. Haşdeu”, Buzău Fulger Aurel, C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanţa Clasa a XII-a

Premiul I: Premiul II: Premiul III: Menţiune: Menţiune:

Cioacă Florin Daniel, Liceul Teoretic, Slobozia Dincă Petre Liviu, C.N. „Barbu Ştirbei”, Călăraşi Dumitrache Petre-Nicu, C.N. “Nicolae Bălcescu”, Brăila Crăciun Marian, Liceul Teoretic, Slobozia Iliescu Oana Adina, Liceul Teoretic, Sinaia. 25

EDIŢIA a VII-a, noiembrie 2001 SUBIECTE I. Numerele a,b,c 

* 

Clasa a VII-a sunt direct proporţionale cu 2, 3 şi respectiv 6.

Demonstraţi că 2a+3b+6c=7 dacă şi numai dacă a2  b2  c 2  1. II. Aflaţi numărul xyz astfel încât

34  . x  y 2  z2 2

III. Pe laturile (AB) şi (AC) ale unui triunghi oarecare se construiesc în afară pătratele ABDE şi ACFG. Arătaţi că: a) EC   BG ; b) EC  BG. Clasa a VIII-a I. Fie E  2a  5b  19c  6ab  12bc  2c  8 . Determinaţi valorile lui a, b, c  care expresia este minimă. II. Să se rezolve în  sistemul 2

2

2

pentru

 x 3  y 3  35  5 5 x  y  211. III. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub şi M   AB arbitrar. Considerăm N  DD ' , astfel încât AM=DN, iar P este mijlocul lui [MN]. Să se afle ce descrie P atunci când M parcurge [AB]. Justificaţi răspunsul. Clasa a IX-a I. a) Simplificaţi fracţia 𝐹 =

𝑋 2000 +𝑋 1000 +𝑋 998 +𝑋 997 +𝑋 996 +⋯+𝑋+1 𝑋 2001 +𝑋 999 +𝑋 998 +𝑋 997 +𝑋 996 +⋯+𝑋+1



.







1 1 1    abc, iar A  a2b2  1 b2c 2  1 c 2a2  1 . a b c Demonstraţi că există B  cu proprietatea B2  A. II. Se consideră ecuaţia ax 2  b  x   c x  d , unde a,b,c,d  ,a  0 ; [x] reprezintă partea b)Fie a, b,c 

*

astfel încâ

întreagă a lui a, iar {x} reprezintă partea fracţionară a lui x. Ce condiţie trebuie să satisfacă respectivii coeficienţi a, b, c, d pentru ca ecuaţia să aibă soluţii reale? Care sunt acestea? III. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’, astfel încât:

AA '  min  AB,BC .

Notăm cu O intersecţia diagonalelor dreptunghiului ABCD. Să se demonstreze că paralelipipedul este cub dacă şi numai dacă CO '  A'C. Clasa a X-a I. În triunghiul ABC, înălţimea AA’, mediana BB’ şi bisectoarea CC’ sunt concurente  A'  BC,B '  AC,C '  AB . a)Arătaţi că BB’ intersectează segmentul [A’C’] în mijlocul acestuia. 26

b)Dacă s este aria triunghiului A’B’C’, iar S este aria triunghiului ABC, să se arate că:

s

S . 4

II. Fie a,b,c>0, astfel încât a2  b2  c 2  abc  4 . Să se arate că:

 2  a 2  b   2  b2  c   2  c 2  a  1.  2  a 2  b  2  b2  c  2  c 2  a

III. Fie M  o mulţime nevidă cu proprietăţile: a)  z  cu z  1 z  M ; b)  z1, z2  M  z1  z2  M. Să se arate că M= . Clasa a XI-a I. Fie z1, z2 , z3 

*

.

a) Dacă z1  z2  z3 , atunci z1  z2  z3 =0 dacă şi numai dacă

z1z2  z1z3  z2 z3  0 . b) Dacă z1  z2  z3 = z1z2  z1z3  z2 z3  0 , atunci z1  z2  z3 II. Să se arate că:

  , n   1 2  , n 

a) şirul an  2  3 b) şirul bn

n

n

*

*

, are limita 1.

, nu are limită.

(Acoladele semnifică partea fracţionară.) III. Fie numerele reale x1, x2 ,..., xn ,a, astfel încât pentru orice k=1,2,3,…,n este adevărată inegalitatea 1 a xk  S, unde S  x1  x2  ...  xn . Să se arate că:

x12 x22 xn2 S   ...   . ax1  x2  ...  xn x1  ax2  ...  xn x1  x2  ...  axn a  n  1 Clasa a XII-a I. Să se calculeze: n

 x 2y x   y 2x y  , unde x, y  , n  * .    x 2y x    II. Să se determine funcţiile f :  care verifică condiţiile: a) f este derivabilă în x0  0 şi f’(0)=1+f(0)=2. b) f (2x )  f 2 ( x )  x 2  2x(1 f ( x )),()x  . III. Fie (G,) un grup cu n elemente. Pentru fiecare k  cu proprietatea (k,n)=1, definim aplicaţia fk : G  G,fk ( x)  xk , pentru orice x G. Să se arate că mulţimea  formată din aceste aplicaţii este un grup abelian finit relativ la operaţia de compunere a funcţiilor. 27

Premianţii concursului Clasa a VII-a Premul I: Iancu Teodor Daniel, Şcoala Generala 2, Slobozia Tănase Gheorghe Narcis, Şcoala Generala 7, Feteşti Andrei Alexandru, Şcoala „Mihai Eminscu”, Brăila Menţiuni: Iancu Bogdan, C.N. „Mihai Viteazul”, Ploieşti Petre Camelia Maria, C.N. „Mihai Eminscu”, Călăraşi Presa Irina, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Binder Elena Sabina, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Petrea Carmen Daniela, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Clasa a VIII-a Premiul I: Popa Irina, Liceul de Artă, Slobozia Premiul II: Ibram Remzi, Şcoala Generala 12, Constanţa Premiul III: Butnaru Andrada, C.N. „Mihai Viteazul”, Ploieşti Menţiuni: Bănceanu Alexandru, C.N. „Nicolae Bălaşa”, Brăila Pupezeanu Otilia, C.N. „Nicolae Bălaşa”, Brăila Clasa a IX-a Premiul I: Voiteanu Mircea, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia Premiul II: Fulger Andreea, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Premiul III: Delianu Florentina, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Menţiuni: Voicu Ciprian, Liceul Teoretic, Urziceni Rumalschi Radu, C.N. „I.L. Caragiale”, Ploieşti

Clasa a X-a Premiul I: Pantelimon Ioana, Liceul Internaţional de Informatică, Constanţa Premiul II: Nicolae Iulian, C.N. „I.L. Caragiale”, Ploieşti Premiul III: Mirici Irina, C.N. „Mihai Eminscu”, Călăraşi Menţiuni: Petre Vlad, C.N. „I.L. Caragiale”, Ploieşti Amărioarei Alexandru, C.N. „Nicolae Bălcescu”, Brăila Clasa a XI-a Premiul I: Nicorici Ileana, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Premiul II: Cuciumita Cleopatra, Liceul Teoretic „Anghel Saligny”, Cernavodă Premiul III: Săndulescu Vlad, Nicolae Bălcescu”, Brăila Menţiuni: Duţă Alexandru Andrei, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia Dochiu Marian, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia

28

Clasa a XII-a Premiul I: Păunescu Liviu, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Premiul II: Laza Dorin Andrei, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Premiul III: Fulger Aurel Mihai, C.N. „Mircea cel Bătrân”, Constanţa Menţiuni: Ştefănescu Valentin, C.N. „Mihai Viteazul”, Ploieşti Floreanu Cristian, C.N. „Barbu Ştirbei“, Călăraşi.

EDIȚIA a VIII-a, 15-16 noiembrie 2002 SUBIECTE Clasa a V-a I. Calculaţi: 1. 20023 − 20022 · 2001 − 2002 · 2001 − 2002; 0

2

5

20

0

2.[52002 + 55 ∙ 52 : (53 )19 + (52 ∙ 25 )4 : (57 ∙ 219 )] − 22 ∙ 33 (𝑎 − 𝑏) ∙ 20022002 : 20012001 , unde 𝑎 = 3 ∙ 42524 , iar 𝑏 = 21 ∙ 22 ∙ 23 ∙ ⋯ ∙ 2100 − (16631 )2; 3. Produsul tuturor numerelor de forma (𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥 ), ştiind că 𝑥 şi 𝑦 sunt numere naturale nenule mai mici decât 10; 𝑥 ≠ 𝑦. II. 1) Aflaţi necunoscuta y din ecuaţia: 1000𝑦 + 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2002 = 1001 ∙ 2002 . 2) Stabiliţi numerele naturale 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ştiind că :4 ∙ (22𝑎 ∙ 5𝑎 + 𝑥𝑦𝑦 ̅̅̅̅̅) + 2𝑏 = 2001 . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅; aflaţi 3) Suma a şapte numere naturale consecutive este un număr natural de forma 1𝑎000 aceste numere. III. Un număr de trei cifre împărţit la răsturnatul său dă câtul 2 şi restul 100, iar diferenţa dintre cifra sutelor şi cea a unităţilor numărului este egală cu 4. Aflaţi numărul. Clasa a VI-a 2660∙10𝑛−1

168

I. 1) Se consideră: 𝑎 = 2𝑛+1 ∙5𝑛+3∙2𝑛∙5𝑛+2 +7∙2𝑛+3 ∙5𝑛 şi 810 = a)Calculaţi 𝑎 şi 𝑏.

2 15

12,(2)∙(0,2+ ∙𝑏) 2,1(3) 26

.

b) Comparaţi 𝑎39 şi 𝑏 .

2) Fie a, b, c cifre în baza 10 şi diferite două câte două, 𝑛 = ̅̅̅ 𝑎𝑏 + ̅̅̅ 𝑏𝑎 + ̅̅̅ 𝑏𝑐 + ̅̅̅ 𝑐𝑏 + 𝑎𝑐 ̅̅̅ + 𝑐𝑎 ̅̅̅ . a) Arătaţi că 11|𝑛. ̅̅̅̅̅. b) Arătaţi că dacă 9|𝑛, atunci 9|𝑎𝑏𝑐 c) Determinaţi ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 dacă 𝑛 = pătrat perfect. ̂ şi 𝐵𝑂𝐶 ̂ adiacente şi suplementare. Ştiind că suplementul complementului II. Fie unghiurile 𝐴𝑂𝐵 ̂ este cu 1000 mai mare decât complementul suplementului 𝐵𝑂𝐶 ̂ , să se determine unghiului 𝐴𝑂𝐵 ̂ ̂ măsurile unghiurilor 𝐴𝑂𝐵 şi 𝐵𝑂𝐶 . III. Punctele 𝑀0 , 𝑀1 , 𝑀2 , ⋯ , 𝑀49 , 𝑀50 se află pe dreapte d (în această ordine), astfel încât 𝑀0 𝑀1 = 1cm , 𝑀1 𝑀2 = 2cm,..., 𝑀49 𝑀50 = 50cm. Să se afle lungimea segmentului 𝑀40 𝑀50 .

29

Clasa a VII-a I. Să se determine toate numerele raţionale 𝑎, 𝑏, 𝑐 care au proprietatea că: 𝑎√𝑛 + 𝑏√𝑛 + 1 + 𝑐 √𝑛 + 2 = 0 , pentru orice 𝑛 ∈ ℕ. II. În orice triunghi 𝐴𝐵𝐶, înălţimea 𝐴𝐷 şi mediana 𝐵𝑀 sunt congruente . Să se calculeze masura ̂. 𝑀𝐵𝐶 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ III. Să se determine cifrele nenule 𝑥, 𝑦 în baza 10 care au proprietatea că 𝑥+𝑦−1 = 0, 𝑥(𝑦). Clasa a VIII-a I. Pentru ce valori ale numărului real 𝑎 mulţimea [0,𝑎) ∪ [1,2] este interval? II. Fie 𝐴𝐵 un diametru al cercului (𝐶) şi 𝑃 un punct din planul cercului nesituat pe cerc sau pe 𝐴𝐵. Să se construiască cu rigla o perpendiculară pe 𝐴𝐵, care trece prin 𝑃. III. Să se determine toate numerele raţionale 𝑎, 𝑏, 𝑐 care au proprietatea că: 𝑎√𝑛 + 𝑏√𝑛 + 1 + 𝑐 √𝑛 + 2 = 0 , pentru orice 𝑛 ∈ ℕ. Clasa a IX-a I. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ cu proprietatea că 𝑎 ≠ 0 şi 2𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0. Să se arate că 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 are rădăcini reale distincte şi cel puţin una din rădăcini este în [0,1]. II. Se dau punctele 𝐴 şi 𝐵 situate de aceeaşi parte a planului dat 𝛼. Să sa determine în planul 𝛼 un punct 𝑀, astfel încât suma 𝐴𝑀2 + 𝐵𝑀2 să fie minimă. III. Pentru ce valori ale numărului real 𝑎, mulţimea [0,𝑎) ∪ [1,2] este interval? Clasa a X-a I. Fie 𝑝 > 0 un număr prim şi 𝑎 ∈ ℝ astfel încât 𝑝𝑎 ∈ ℚ. 1) Arătaţi că 𝑎 ∈ ℝ sau 𝑎 ∈ ℝ\ℚ. 2) Daţi un exemplu de număr 𝑎 ∈ ℝ\ℚ pentru care 𝑝𝑎 ∈ ℚ. II. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ cu proprietatea că 𝑎 ≠ 0 şi 2𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0. Să se arate că 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 are rădăcini reale distincte şi cel puţin una din rădăcini este în [0,1]. III. Fie un triunghi 𝐴𝐵𝐶 cu bisectoarele interioare 𝐴𝐴′ , 𝐵𝐵 ′, 𝐶𝐶 ′ , 𝐴′ ∈ (𝐵𝐶), 𝐵 ′ ∈ (𝐶𝐴), 𝐶 ′ ∈ (𝐴𝐵). În plus, 𝐴𝐴′ intersectează cercul circumscris lui 𝐴𝐵𝐶 în 𝐴′′ şi în mod similar, 𝐵𝐵 ′ în 𝐵′′ şi 𝐶𝐶 ′ în 𝐶′′. Să se demonstreze că : 𝐴𝐴′

𝐴𝐴′′

𝐵𝐵′

𝐶𝐶 ′

9

+ 𝐵𝐵′′ + 𝐶𝐶 ′′ ≤ 4.

30

Clasa a XI-a I. Fie 𝑎 ∈ ℕ, 𝑎 > 0 şi 𝑏 > 0. Se defineşte şirul (𝑥𝑛 )𝑛 prin relaţia 𝑥𝑛 = {√𝑎2 𝑛2 + 𝑏𝑛} , unde {𝑡} este partea fracţionară a numărului real 𝑡. Să se arate că şirul (𝑥𝑛 )𝑛 este convergent şi să se calculeze lim𝑛 𝑥𝑛 . II. Fie 𝑧 ∈ ℂ cu |𝑧| = 1 şi 𝑛 ∈ ℕ∗ astfel încât 1 + 𝑧 + 𝑧 𝑛 = 0. Arătaţi că : 1) avem relaţia 𝑧 3 = 1; 2) numărul 𝑛 are forma 𝑛 = 3𝑘 + 2 , cu 𝑘 ∈ ℕ. III. Fie 𝑝 > 0 un număr prim şi 𝑎 ∈ ℝ astfel încât 𝑝𝑎 ∈ ℚ. 1)Arătaţi că 𝑎 ∈ ℝ sau 𝑎 ∈ ℝ\ℚ. 2) Daţi un exemplu de număr 𝑎 ∈ ℝ\ℚ pentru care 𝑝𝑎 ∈ ℚ. Clasa a XII-a I. Pe o mulţime nevidă 𝑀 definim operaţiile ∗ şi ∘ prin 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 şi 𝑥 ∘ 𝑦 = 𝑦, pentru orice 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀. Arătaţi că: 1) Operaţiile ∗ şi ∘ sunt asociative. 2) Fiecare din operaţiile ∗ şi ∘ are element neutru dacă şi numai dacă 𝑀 conţine un singur element. II. Fie numerele 𝑝, 𝑞 reale nenule. Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: 𝑎𝑝 𝑏𝑞 1) Avem inegalitatea 𝑎𝑏 ≤ + , (∀)𝑎 > 0, 𝑏 > 0. 𝑝 1

𝑞

1

2) Avem simultan 𝑝 > 1 şi 𝑝 + 𝑞 = 1. III. Se consideră două numere reale 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 şi elipsa de ecuaţie ecuaţiile tangentelor duse din punctul 𝑀(5𝑎, 5𝑏) la elipsă. Premianţii concursului Clasa a V– a 1. Bejgu Andreea – C.N. „ Mihai Viteazul” - Slobozia 2. Bengescu Adela – Liceul de Artă – Slobozia 3. Dumitrescu Diana – C.N. „Mihai Viteazul” – Slobozia 4. Gavrilă Amalia – Şc. nr. 2 – Slobozia 5. Mocanu Raluca – Liceul de Artă - Slobozia Clasa a VI-a 1. Andrei Cristina – Şc. nr. 2 „Sf. Andrei” - Slobozia 2. Iosif George Mădălin – C.N. „Mihai Viteazul” - Slobozia 3. Chioveanu Adrian – C.N. „Mihai Viteazul” - Slobozia 4.Marin Adrian-Bogdan – Şc. nr.2 „Sf. Andrei” – Slobozia 5. Butoi-Varga Ştefania - Şc. nr.2 „Sf. Andrei” – Slobozia 31

𝑥2 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2 = 1. Să se scrie

Clasa a VII – a 1. Dobrota Valentin – Liceul Teoretic „Ovidius” - Constanţa 2. Cepoi Alexandru – Şc. nr.31 – Brăila 3. Beteringhe Elena – Sc. nr. 2 – Ţăndărei 4. Oprea Mihaela – C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia 5. Diaconu Irina – C.N. „Gh. Murgoci” – Brăila Clasa a VIII – a 1. Urda Ioan Daniel – Liceul Sportiv - Constanţa 2. Istrate Stefan – Alexeni – Ialomiţa 3. Săvescu Cristian – Şc. nr.23 – Ploieşti 4. Andrei Alexandru-Florin – Şc. „Mihai Eminescu” Brăila 5. Pană Emilia – Şc.nr.3 Slobozia Clasa a IX – a 1. Bratu Ovidiu – C.N. „N. Balcescu” Brăila 2. Ibram Remzi – C.N. „Mircea cel Bătrân” – Constanţa 3. Popa-Balaciu Irina – C.N. „Mihai Viteazul” – Slobozia 4. Stanciu Ioana – Liceul Teoretic „ M. Eminescu” – Călăraşi 5. Moraru Catalin – C.N. „Mihai Vitezul” – Ploieşti Clasa a X – a 1. Voiteanu Mircea – C.N. „Mihai Viteazul” - Slobozia 2. Puhalschi Radu-Cristian – C.N. „I. L. Caragiale” – Ploieşti 3. Andrei Asiria – C.N. „MihaiViteazul” – Slobozia 4. Fulger Andreea – C.N. „Mircea cel Batran” – Constanţa 5. Brînză Horaţiu-Vlăduţ – C.N. „ Gh. Murgoci” - Brăila Clasa a XI – a 1. Nicolae Iulian-Mihai – C.N. I.L. Caragiale” - Ploieşti 2. Pantelimon Ioan – Ruxandru – Lic. Internaţional de inf. – Constanţa 3. Chirvasitu Alexandru – C.N. „Mircea cel Bătrân” – Constanţa 4. Andronescu Corina-Raluca – C.N. „Mircea cel Bătrân” – Constanţa 5. Popescu Adrian – C.N. „Mihai Viteazul” – Slobozia Clasa a XII – a 1. Nicorici Constantin – C.N. „ Mircea cel Bătrân” Constanţa 2. Bratu Eugen-Florin – C.N. „N. Balcescu” – Brăila 3. Vădeanu T.V. Vladimir – C.N. „ N. Balcescu” – Brăila 4. Plăiaşu Tanase – C.N. „ I.L. Caragiale” – Ploieşti 5. Carpen Amarie Gh. Alexandra – Liceul Teoretic - Urziceni 32

EDIŢIA a X-a, 24- IV-2004 SUBIECTE Clasa a VI-a I. Să se determine numerele naturale 𝑥 şi 𝑦 astfel încât 𝑁 ⋮ 2004, unde 𝑁 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 334𝑥𝑥𝑦. 1 2 3 2003 1 1 1 1 II. a) Arătaţi că 3|(𝑎 + 𝑏) dacă 𝑎 = 2 + 3 + 4 + ⋯ + 2004 şi 𝑏 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2004 . 𝑥

𝑦

𝑧

𝑡

b) Să se afle 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, ştiind că 𝑥𝑦𝑧𝑡 = 1756920 şi 2 = 3 = 4 = 5. ̂ ) = 2𝑚(𝐴𝐶𝐵 ̂) III. Fie ∆𝐴𝐵𝐶 în care 2𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 şi 𝑚(𝐴𝐵𝐶 a) Stabiliţi natura triunghiului 𝐴𝐵𝐶: isoscel, dreptunghic, echilateral sau dreptunghic isoscel. ̂ ) = 𝑚(𝐸𝐶𝐵 ̂ ), b) Dacă 𝐷 este mijlocul lui (𝐵𝐶), 𝐸 ∈ (𝐴𝐶) astfel încât 𝑚(𝐸𝐵𝐶 {𝐹} = 𝐴𝐷 ∩ 𝐵𝐸 şi aria ∆𝐴𝐵𝐶 este 𝑎, să se calculeze aria ∆𝐴𝐵𝐹.

Clasa a VII-a I. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un paralelogram şi 𝐸, 𝐹 mijloacele laturilor 𝐴𝐵 şi 𝐴𝐷. Arătaţi că dreptele 𝐶𝐸 şi 𝐶𝐹 împart diagonala 𝐵𝐷 în trei segmente de lungimi egale. II. Arătaţi că 31 divide numărul: 1 + 2 + 22 + 23 + ⋯ + 22004 . III. Determinaţi numerele întregi 𝑥, 𝑦 care satisfac relaţia 4𝑥𝑦 + 𝑦 − 3𝑥 + 2 = 0. Clasa a VIII-a I. Arătaţi că dacă 𝑎 ∈ ℝ şi 𝑏 ∈ ℝ, atunci are loc inegalitatea: 𝑎+𝑏 2

𝑎2 + ( 2 ) ≤ 4(𝑎2 + 𝑏 2 ). Când are loc egalitatea? II. Considerăm cubul 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′, având muchia de lungime 1 şi mijloacele 𝑀, 𝑁, 𝑃 ale muchiilor 𝐴𝐵, 𝐶′𝐷′ şi 𝐴𝐷. Aflaţi: a) lungimile laturilor triunghiului 𝑀𝑁𝑃 şi deduceţi că acesta este dreptunghic. b) Măsura unghiului diedru dintre planele (𝑀𝑁𝑃) şi (𝐴𝐵𝐶𝐷). ̂ ) . Arătaţi că III. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un patrulater convex astfel încât 𝑚(𝐴̂ ) ≠ 𝑚(𝐶̂ ) şi (𝐵̂ ) ≠ 𝑚(𝐷 punctele de intersecţie ale bisectoarelor unghiurilor patrulaterului 𝐴𝐵𝐶𝐷 reprezintă vârfurile unui patrulater inscriptibil. Clasa a IX-a I. Arătaţi că dacă 𝑎 ∈ ℝ şi 𝑏 ∈ ℝ nu sunt simultan nule, atunci are loc inegalitatea |𝑎+𝑏|+|𝑎−𝑏| √2 ≤ √𝑎2 2 ≤ 2 . +𝑏

33

II. Reprezentaţi grafic funcţia 𝑓: ℝ → ℝ care satisface relaţia (𝑓(𝑥) − 𝑥 2 )(4 + 𝑦 2 − 𝑓(𝑦)) ≥ 4, (∀)𝑥, 𝑦 ∈ ℝ III. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tetraedru regulat şi în interiorul său un punct 𝑀 astfel încât distanţele 𝑀𝐴, 𝑀𝐵, 𝑀𝐶 sunt egale cu √3 , iar distanţa 𝑀𝐷 este egală cu 1. Calculaţi volumul tetraedrului. Clasa a X-a I. Fie 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, iar 𝑃 = un polinom cu coeficienţi complecşi astfel încât 𝑎1 ≠ 0. Arătaţi că dacă ∑𝑛𝑘=2 𝑘|𝑎𝑘 | ≤ |𝑎1 |, atunci polinomul 𝑃 are cel mult o rădăcină 𝑧 ∈ ℂ cu proprietatea că |𝑧| < 1. II. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐 numere reale strict pozitive diferite de 1, iar 𝑥, 𝑦, 𝑧 numere reale astfel încât 𝑎 𝑥 = 𝑏𝑐, 𝑏 𝑦 = 𝑐𝑎, 𝑐 𝑧 = 𝑎𝑏. Arătaţi că 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 2. III. Determinaţi valorile parametrului real 𝑚 astfel încât pentru orice numere reale 𝑎, 𝑏, 𝑐 are loc inegalitatea 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ≥ 𝑚(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 . ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑛 𝑧 𝑛

Clasa a XI-a I. Fie 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) cu proprietatea că există 𝑋 ∈ 𝑀𝑛 (ℂ), 𝑋 inversabilă astfel încât 𝑋𝐴𝑋 −1 = 𝐵. Arătaţi că există 𝑌 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ), 𝑌 inversabilă astfel încât 𝑌𝐴𝑌 −1 = 𝐵. 1 II. Fie (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ un şir de numere reale care satisface condiţia 0 ≤ 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ≤ , (∀) 𝑛 ∈ ℕ. 𝑛 Arătaţi că există 𝑎 ∈ ℝ astfel încât lim𝑛→∞ (2𝑛 𝑎 − 𝑥𝑛 ) = 0. III. Calculaţi ∑𝑛𝑘=0(𝑛 − 2𝑘)2 𝐶𝑛𝑘 . Clasa a XII-a I. Fie 𝐺 mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul 3 cu zero deasupra diagonalei principale şi unu pe diagonala principală . i) Arătaţi că 𝐺 este un grup în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor. ii) Determinaţi forma matricelor 𝐴 ∈ 𝐺 care au proprietatea că 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴 pentru orice 𝑋 ∈ 𝐺. 1 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑥

II. Calculaţi lim𝑛→∞ 𝑛 ∫0 III. Demonstraţi că :

𝑥 2𝑛 +1

𝑑𝑥

a) pentru orice 𝑡 ∈ [0, ∞) are loc inegalitatea 𝑒 𝑡−2 ≥

𝑡2 4

.

b) pentru orice 𝑥 ∈ [0, ∞) şi orice 𝑦 ∈ [0, ∞) are loc inegalitatea 𝑒 𝑥+𝑦−2 ≥

(𝑥+𝑦)2 4

. Când are loc egalitatea?

Premiile Concursului Clasa a VI – a Premiul I : Bejgu Andreea – C.N. „ Mihai Viteazul” - Slobozia 34

Premiul I : Ciucă Bogdan – C.N. „Mihai Viteazul” – Slobozia Premiul II : Udrea Cosmin - Şc. Gen. Nr. 2, Urziceni, Ialomiţa; Premiul III : Mincu Diana - Liceul de Artă, Slobozia Menţiune 1 : Mihalcea Şerban – Liceul de Artă, Slobozia, Ialomiţa, Menţiune 2 : Buriceanu Florin, Școala nr. 1 Urziceni

Clasa a VII – a Premiul I : Vătășelu Sotina – L.T. “M. Eminescu”, Călărași Premiul II : Sima Cotizo – C.N. “I.L. Caragiale”, Ploiești Premiul III : Mocanu Livia – Școala nr.7 Fetești Menţiune 1 : Gornea Diana – Școala nr.7 Fetești Menţiune 2 : Ogrezeanu Mihaela - Şc. Nr. 2, ”Sf. Andrei” Slobozia

Clasa a VIII – a Premiul I : Zlotea Dorin – C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa ; Premiul II : Mirică Ema - C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa; Premiul III : Mocanu Lucian - C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanța; Menţiune 1 : Radu Iulian – Liceul Teoretic „M. Eminescu”, Călărași Menţiune 2 : Vasiliu Radu – Școala nr. 1 Buzău. Clasa a IX – a Premiul I : Alexandrescu Andreea – C.N. “C. Cantacuzino”, Sinaia Premiul I : Istrate Ștefan – Liceul Teoretic Urziceni Premiul I : Tănase Narcis – Liceul Teoretic Fetești; Premiul II : Florescu Patricia - C.N. ”I.L. Caragiale” Ploiești Premiul III : Munteanu Ciprian – Liceul Militar ”M. Basarab” Buzău Clasa a X – a Premiul I : Bănică Dan - C.N. ”I.L. Caragiale” Ploiești; Premiul II: Constantinescu Simona - C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanța Premiul III : Ibram Remzi – C.N. “Mircea cel Bătrân”, Constanța; Menţiune 1 : Popa Irina – C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa Menţiune 2 : Posea Simona – C.N. „ B.P. Hașdeui”,Buzău. Clasa a XI – a Premiul I : Ablai Ainur – C.N. “ Mircea cel Bătrân”, Constanţa; 35

Premiul II : Andrei Asiria – C.N. „ Mihai Viteazul”, Slobozia Premiul III : Ciuraru Cosmin - Liceul Teoretic ”M. Eminescu” Călărași Menţiune 1 : Manea Flavius - Liceul Teoretic ”M. Eminescu” Călărași Menţiune 2 : Șindrilaru Elvin – C.N. „ M. Viteazul”, Ploiești. Clasa a XII – a Premiul I : Nicolae Iulian-Mihai – C.N. ”I.L. Caragiale” - Ploieşti Premiul II: Petre Vlad – C.N. ”I.L. Caragiale” - Ploieşti Premiul III : Eșanu Liviu – Liceul Internațional de Informatică Constanța Menţiune 1: Baraitaru Răzvan – Liceul Teoretic ”A. Saligny Cernavodă Menţiune 2 : Grigorescu Costin – Liceul Teoretic Urziceni

EDIŢIA a XI-a, 20 noiembrie 2004 SUBIECTE Clasa a V-a I. a) Aflaţi restul împărţirii numărului 𝑎 = 1 + 4 + 42 + 43 + ⋯ + 42004 la 21. b)Se dă numărul 𝑥 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2004. Să se arate că numărul 2𝑥 + 2005 este pătrat perfect. c) Se dau numerele 𝐴 = 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ ⋯ ∙ 𝑎1998 şi 𝐵 = 𝑎999 ∙ (𝑎999 )1999 , unde 𝑎 ∈ ℕ. Să se compare 𝐴 şi 𝐵. *** II. Să se determine numerele ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 ştiind că : 3𝑎+𝑏 + 3𝑏+𝑐 + 3𝑐+𝑎 = 351. *** III. Să se determine numerele naturale nenule care împărţite la 4 dau câtul 𝑎 şi restul 𝑏, iar împărţite la 10 dau câtul 𝑏 şi restul 𝑎. *** Clasa a VI-a I. Punctele 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 , aparţin, în această ordine, segmentului (AB). Ştiind că 𝐴𝐴1 = 1𝑐𝑚, 𝐴1 𝐴2 = 2𝑐𝑚, 𝐴2 𝐴3 = 22 𝑐𝑚, ...., 𝐴𝑛−1 𝐴𝑛 = 2𝑛−1 𝑐𝑚 şi 𝐴𝐵 = 1055𝑐𝑚, aflaţi: a) valoarea maximă a numărului natural 𝑛; b) lungimea segmentului [𝐴𝑛 𝐵], pentru 𝑛 determinat anterior. *** 36

II. a) Determinaţi ultima cifră a numărului 5 ∙ 6𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ. b)Să se arate că pentru orice număr natural 𝑛, 𝑛 ≥ 1, numărul 𝐴=

36𝑛 ∙5𝑛+1 ∙7−22𝑛+1 ∙32𝑛+1 ∙5𝑛 6𝑛 ∙5𝑛−1 ∙19+2𝑛+1 ∙15𝑛

este număr natural.

*** III. Fie a un număr prim astfel încât a+8 este număr prim. Determinaţi numărul a astfel încât 𝑎+4 fracţia 𝑎+10 să fie ireductibilă. Marian Mărgărit, Slobozia

Clasa a VII-a I. Arătaţi că pentru orice 𝑛 ∈ ℕ∗ , numărul 9 ∙ 22𝑛 + 12 ∙ 2𝑛 + 4 este pătrat perfect . *** II. Se dau 61 de unghiuri congruente cu măsurile egale cu 1200 : ∡𝐴1 𝑂𝐴2 , ∡𝐴3 𝑂𝐴4 ,...., ∡𝐴121 𝑂𝐴122 . Semidreapta [𝑂𝑋 împarte fiecare unghi în câte două unghiuri care au măsurile exprimate în grade printr-un număr natural. Demonstraţi că există unghiurile ∡𝐴𝑖 𝑂𝐴𝑖+1 şi ∡𝐴𝑗 𝑂𝐴𝑗+1 , cu 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, ⋯ ,122} astfel încât ∡𝐴𝑖 𝑂𝑋 ≡ ∡𝐴𝑗 𝑂𝑋. *** 1

1

1

III. Demonstraţi că 1 + 2 + 22 + ⋯ + 2𝑛 < 2, pentru orice valori ale lui 𝑛 ∈ ℕ. ***

Clasa a VIII-a I. Să se arate că nu există numere reale 𝑥, 𝑦, 𝑧 astfel încât: 12𝑦 − 4𝑥 2 = 1 {24𝑧 − 9𝑦 2 = 4 4𝑥 − 16𝑧 2 = 9 Aurel Doboşan, Lugoj II. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un patrulater circumscriptiv. Să se arate că diagonalele sale sunt perpendiculare dacă şi numai dacă una din diagonale este mediatoarea celeilalte. *** III. Fie 𝑉𝐴𝐵𝐶 un tetraedru regulat. a) Fie 𝑀 un punct pe muchia 𝑉𝐴 astfel încât 𝑉𝐴 = 4𝑉𝑀 şi fie 𝑁 mijlocul muchiei 𝐵𝐶. Arătaţi că 𝑀𝑁 trece prin mijlocul înălţimii din 𝑉 a tetraedrului 𝑉𝐴𝐵𝐶. b) Arătaţi că triunghiul 𝐴𝑀𝑁 este isoscel. ***

37

Clasa a IX-a I. Să se arate că nu există numere reale 𝑥, 𝑦, 𝑧 astfel încât: 12𝑦 − 4𝑥 2 = 1 {24𝑧 − 9𝑦 2 = 4 4𝑥 − 16𝑧 2 = 9 Aurel Doboşan, Lugoj II. Rezolvaţi în ℕ ecuaţia 5[√𝑛] = 𝑛 + 2. Aurel Doboşan, Lugoj

III. Fie VABC un tetraedru regulat. a) Fie 𝑀 un punct pe muchia 𝑉𝐴 astfel încât 𝑉𝐴 = 4𝑉𝑀 şi fie 𝑁 mijlocul muchiei 𝐵𝐶. Arătaţi că 𝑀𝑁 trece prin mijlocul înălţimii din 𝑉 a tetraedrului 𝑉𝐴𝐵𝐶. b) Arătaţi că triunghiul 𝐴𝑀𝑁 este isoscel. *** Clasa a X-a I. Să se determine cel mai mare număr natural 𝑛 ≥ 1 cu proprietatea că următoarea implicaţie este adevărată: ∀𝑧1 , 𝑧2 , ⋯ , 𝑧𝑛 ∈ ℂ : (∑𝑛𝑘=1 𝑧𝑘 = 0 ) şi (∑𝑛𝑘=1 𝑧𝑘2 = 0)⇒(𝑧1 = 𝑧2 = ⋯ = 𝑧𝑛 = 0). Radu Miculescu, Bucureşti II. Să se arate că unica funcţie injectivă 𝑓: ℝ → ℝ care are proprietatea că 𝑓 (𝑥 + 𝑓(𝑦 + 𝑓(𝑧))) = 𝑓(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1) + 1, (∀) 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ este dată de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. Petruş Alexandrescu, Bucureşti III. Patrulaterul convex 𝐴𝐵𝐶𝐷 are laturile de lungimi 𝑎, 𝑏, 𝑐 ş𝑖 𝑑. Se notează cu 𝑆 aria sa. Să se arate că 𝐴𝐵𝐶𝐷 este pătrat dacă şi numai dacă : 4𝑆 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑2 . ***

Clasa a XI-a I. Fie şirurile (𝑎𝑛 )𝑛 , (𝑏𝑛 )𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ, cu 𝑎0 , 𝑏0 > 0, ce îndeplinesc relaţiile: 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 + 2𝑏𝑛−1 ; 𝑏𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 3𝑏𝑛−1 , (∀)𝑛 ≥ 1. Să se demonstreze că şirul (𝑥𝑛 )𝑛 , cu 𝑥𝑛 =

𝑎𝑛 𝑏𝑛

, este convergent şi să se calculeze limita sa. *** 38

II. Să se rezolve în ℝ∗+ ecuaţia: 2

4

𝑥+ 2 𝑦

+2

4

𝑦+ 2 𝑥

= 16. ***

III. Fie 𝜋 un plan şi 𝐴, 𝐵 două puncte în spaţiu care nu aparţin planului 𝜋 şi nu sunt egal depărtate de planul . Să se determine un punct 𝑀 în planul 𝜋 astfel încât |𝐴𝑀 − 𝑀𝐵| să fie maxim. *** Clasa a XII-a I. Se consideră matricele 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑛 (ℂ), 𝐴 inversabilă şi notăm 𝐴−1 inversa ei. Să se demonstreze că dacă 3𝐴𝐵𝐴−1 + 𝐴 = 2𝐴−1 𝐵𝐴, atunci 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵𝐴−1 − 𝐴−1 𝐵𝐴) = 0. Cezar Lupu, student, Bucureşti II. Fie 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑎 ≠ 0. Se defineşte legea de compoziţie ∗ pe ℤ dată după cum urmează : 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑎𝑥𝑦 − 𝑎𝑏(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑎𝑏 + 1) , pentru orice 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. 1) Să se arate că legea poate fi rescrisă sub forma: 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) + 𝑏 2) Să se arate că ⏟ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ ⋯ ∗ 𝑥 = 𝑎𝑛−1 (𝑥 − 𝑏)𝑛 + 𝑏 ∈ 𝑀, (∀)𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑥 ∈ ℤ . 𝑛 𝑜𝑟𝑖

3) Să se determine părţile finite ale lui ℤ, stabile faşă de ∗. Nicolae Papacu, Slobozia III. i) Să se enunţe teorema lui Lagrange. ii)Fie 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ o funcţie derivabilă cu derivata mărginită, unde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Să se arate că 𝑓 este mărginită. iii)Fie 𝑓: ℝ → ℝ o funcţie derivabilă pe ℝ\{1} cu proprietatea că există 𝑀 > 0 astfel încât : |𝑥𝑓’(𝑥) ln 𝑥 − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀𝑥(ln 𝑥)2 , (∀)𝑥 ∈ (0,1) ∪ (1, ∞). Să se arate că lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 0. Radu Miculescu, Bucureşti

Premianţii concursului Clasa a V – a Premiul I : Drăgoi Octav – Şc. Gen. Nr.3 Slobozia, Ialomiţa; Premiul II : Popescu Teodor - Şc. Gen. Nr. 3, Slobozia, Ialomiţa; Premiul III : Radu Oana – Şc. Gen. Nr.3, Slobozia, Ialomiţa; Menţiune : Marin Gina – Şc. Gen. Nr.3 Slobozia, Ialomiţa, Menţiune :Prahoveanu Goerge – Şc. Gen. Nr.3 Slobozia, Ialomiţa. Clasa a VI – a Premiul I : Radu Andreea – Şc. Gen. Nr.3 Slobozia, Ialomiţa; Premiul II : Frăţilă Vlad - Şc. Gen. Nr. 3, Slobozia, Ialomiţa; Premiul III : Costea Elisa – Şc. Gen. Nr.3, Slobozia, Ialomiţa, Premiul III : Drăjneanu Alina – Şc. Gen. Nr.3, Slobozia, Ialomiţa; 39

Menţiune : Neghină Cornel – Liceul de Artă, Slobozia, Ialomiţa. Clasa a VII – a Premiul I : Cârstoiu Cristina – C.N. “Vlaicu Vodă”, Curtea de Argeş, Argeş; Premiul II : Udrea Cosmin - Şc. Gen. Nr. 2, Urziceni, Ialomiţa; Premiul III : Sandu Smaranda – C.N. „ Bălcescu” Brăila; Menţiune : Mihalcea Şerban – Liceul de Artă, Slobozia, Ialomiţa, Menţiune : Mocanu Raluca – Liceul de Artă, Slobozia, Ialomiţa.

Clasa a VIII – a Premiul I : Ciocan Cristina – C.N. “ Bălcescu”, Brăila; Premiul II : Bulimar Eliza – C.N. “Bălcescu”, Brăila; Premiul III : Manea Mara - C.N. “Bălcescu”, Brăila; Menţiune : Goga Steliana – Liceul Teoretic „ Ovidius” Constanţa; Menţiune : Marin Adrian - Şc. Gen. Nr. 2, Slobozia, Ialomiţa. Clasa a IX – a Premiul I : Marin Violeta – C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa ; Premiul II : Spiridon Adrian – Lic. Teoretic Urziceni, Ialomiţa; Premiul III : Mirică Ema - C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa ; Menţiune : Barzan Ruxandra – Liceul Teoretic „Ovidius”, Constanţa, Menţiune : Baranga Ionuţ - C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa. Clasa a X – a Premiul I : Andrei Alexandru – C.N. “Bălcescu”, Brăila; Premiul II : Caragea Andrei – Lic. Pedagogic, Galaţi; Premiul III : Burceanu Elena – C.N. „ Mircea cel Bătrân” Constanţa; Menţiune : Petre Camelia – Lic. „ M. Eminescu”, Călăraşi; Menţiune : Petrache Lavinia - C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa. Clasa a XI – a Premiul I : Bratu Ovidiu – C.N. “Bălcescu”, Brăila ; Premiul II : Gudu Diana – C.N. “Mihai Viteazul”, Slobozia, Ialomiţa; Premiul III : Cantaragiu Ramona – Lic. „ M. Eminescu”, Călăraşi; Menţiune : Amza Cristina – Lic. „ Barbu Ştirbei”, Călăraşi; Menţiune : Drăgan Anca – C.N. „ Bălcescu”, Brăila.

40

Clasa a XII – a Premiul I : Ablai Ainur – C.N. “ Mircea cel Bătrân”, Constanţa; Premiul II : Tardea Anca – C.N. “ Bălcescu”, Brăila; Premiul III : Andrei Asiria – C.N. „ Mihai Viteazul”, Slobozia ; Menţiune : Buboiu Manuela – C.N. „ Kogălniceanu”, Galaţi, Menţiune : Bordianu Andreea – C.N. „Bălcescu”, Brăila.

EDIŢIA a XII-a, 25 martie 2006 SUBIECTE Clasa a V-a 𝑛

I. a) Arătaţi că fracţia 8𝑛+1 este ireductibilă pentru orice 𝑛 ∈ ℕ∗ . 𝑛+1

b)Determinaţi valorile lui 𝑛 ∈ ℕ∗ pentru care fracţia 8𝑛+1 este reductibilă.

Ilie Neacşu, Slobozia II. Să se găsească toate numerele : a) de forma ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 , 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, astfel încât ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 + 11(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑏𝑎 . 1

1

1

b) de forma 𝑥𝑦 ̅̅̅ cu proprietatea : 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 1. Marian Mărgărit, Slobozia III. Arătaţi că: a) Numărul 𝐴 = 20022002 + 20032003 + 20042004 + 20052005 + 20062006 nu este pătrat perfect; b) 123321 > 321123 . Marcel Popescu, Slobozia Clasa a VI-a I. Să se arate că: ̅̅̅̅̅ dacă şi numai dacă 7|2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐; a) 7|𝑎𝑏𝑐 b) 1 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 32 + 4 ∙ 33 + 5 ∙ 34 + ⋯ + 365 ∙ 3364 =

3371 +1

.

4

Ilie Neacşu, Slobozia II. Se consideră numerele raţionale nenule 𝑥, 𝑦, 𝑧 astfel încât: Calculaţi :

(5𝑦+4𝑧)(5𝑧+4𝑥)(5𝑥+4𝑦) 𝑥𝑦𝑧

5𝑦+4𝑧−𝑥 3𝑥

=

5𝑧+4𝑥−𝑦 3𝑦

=

5𝑥+4𝑦−𝑧 3𝑧

.

. Ilie Neacşu, Slobozia

III. Se consideră triunghiul 𝐴𝐵𝐶 cu 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶. Paralelele duse prin punctele 𝐵 şi 𝐶 la bisectoarea ̂ intersectează dreptele 𝐴𝐶 ş𝑖 𝐴𝐵 în 𝐷, respectiv 𝐸. unghiului 𝐵𝐴𝐶 41

a) Să se arate că dreptele 𝐷𝐸 ş𝑖 𝐵𝐶 nu sunt paralele. b) Dacă 𝐷𝐸 ∩ 𝐵𝐶 = {𝐹}, să se arate că triunghiul 𝐹𝐸𝐶 este isoscel. Marian Mărgărit, Slobozia

Clasa a VII-a 1 1 1 1 1 I. Fie numerele : 𝑛1 = 1∙2 + 3∙4 + 5∙6 + ⋯ + 2003∙2004 și 𝑛2 = 2∙3 + 4∙5 + 6∙7 + ⋯ + 2004∙2005 . a) Calculaţi media lor aritmetică. 1

1

1

1002

b) Arătaţi că 𝑛2 < 2005 < 𝑛1 . Vasile Tarciniu, Odobeşti II. a) Să se demonstreze că dacă 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, atunci are loc următorul criteriu de divizibilitate: 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ⋮ 17 ⇔ (𝑎 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛−1 − 5𝑎𝑛 ) ⋮ 17 . b) Să se aplice acest criteriu pentru a stabili dacă 17 este divizor al lui 2006. III. Se consideră triunghiul ascuţitunghic 𝐴𝐵𝐶. Înălţimea din 𝐴 intersectează bisectoarea din 𝐵 în 𝑃; bisectoarea din 𝐵 intersectează mediana din 𝐶 în 𝑄; mediana din 𝐶 intersectează înălţimea din 𝐴 în 𝑅. Să se arate că punctele 𝑃, 𝑄, 𝑅 nu pot fi vârfurile unui triunghi echilateral. I.C. Drăghicescu, Bucureşti Clasa a VIII-a I. Dacă 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ∗ astfel că 4𝑥−2 + 4𝑦+2 ≤ 2𝑥+𝑦+1 , să se arate că numărul 2𝑥 + 2𝑦 este divizibil prin 34. Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin 𝑥+1

II. Determinaţi 𝑛 natural astfel încât ecuaţia: [𝑛+1] + 𝑛 =

𝑥+𝑛+1 𝑛

să admită 2006 soluţii. Gh. Ghiţă, Buzău

III. Fie 𝑉𝐴𝑀𝑁 ş𝑖 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 două piramide regulate cu bazele în acelaşi plan. Demonstraţi că: a)

𝐴𝑙 (𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹) 𝐴𝑙 (𝑉𝐴𝑀𝑁)

2√2

∈(

3

, 2).

b) 𝑑( 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢𝑙 𝑏𝑎𝑧𝑒𝑖 𝐴𝑀𝑁; (𝑉𝑀𝑁))
1, 𝑏 > 0 astfel încât 2𝑎 + 𝑏 = 10. Rezolvaţi în ℝ ecuaţia: 1 log1 (𝑥−𝑎)

(10)

𝑎

− 𝑎𝑙𝑔(𝑥+𝑏) = 𝑎 + 𝑏 . Marin Chirciu, Piteşti

II. Fie tetraedrul [𝐴𝐵𝐶𝐷] şi punctul M în spaţiu. Dacă 𝐺, 𝐺𝐴 , 𝐺𝐵 , 𝐺𝐶 respectiv 𝐺𝐷 sunt centrele de greutate ale tetraedrelor [𝐴𝐵𝐶𝐷], [𝑀𝐵𝐶𝐷], [𝑀𝐴𝐶𝐷], [𝑀𝐴𝐵𝐷], [𝑀𝐴𝐵𝐶] , să se arate că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐺𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐺𝐵 + 𝐶𝐺𝐶 + 𝐷𝐺𝐷 = 0 dacă şi numai dacă 𝑀 = 𝐺. Marius Olteanu, Rm. Vâlcea III. Dacă 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ ℂ sunt distincte două câte două, să se demonstreze echivalenţa: 𝑧 |𝑧 −𝑧 |+𝑧 |𝑧 −𝑧 | 𝑧 +𝑧 |𝑧1 − 𝑧2 | = |𝑧1 − 𝑧3 | ⇔ 2 1 3 3 1 2 = 2 3 . |𝑧1 −𝑧3 |+|𝑧1 −𝑧2 |

2

Interpretare geometrică. Aurel Doboşan, Lugoj

Clasa a XI-a I. a) Să se arate că pentru orice 𝑛 ∈ ℕ∗ , ecuaţia : √𝑛2 𝑥 + 1 + √𝑛2 𝑥 + 2 + ⋯ + √𝑛2 𝑥 + 𝑛 = 𝑛2 are o soluţie unică 𝑥𝑛 ≥ 0. b) Să se demonstreze că lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 1. Dumitru Popa, Constanţa 2 ∗ (ℝ), II. Fie 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ cu 𝑎 ≤ 4𝑏 şi matricele 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 𝑛 ∈ ℕ , astfel încât 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Să se arate că 𝑑𝑒𝑡(𝐴2 + 𝑎𝐴𝐵 + 𝑏𝐵 2 ) ≥ 0. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti

43

III. În triunghiul 𝐴𝐵𝐶, cu 𝐴̂ = 900 , considerăm bisectoarea 𝐴𝐸, 𝐸 ∈ 𝐵𝐶 şi mediana 𝐵𝐷, 𝐷 ∈ 𝐴𝐵∙𝐴𝐶 𝐴𝐶. Fie {𝐾} = 𝐴𝐸 ∩ 𝐵𝐷 şi {𝑇} = 𝐴𝐵 ∩ 𝐶𝐾. Să se demonstreze relaţia: 𝐸𝑇 = 𝐴𝐵+𝐴𝐶 . Gheorghe F. Molea, Curtea de Argeş Clasa a XII-a 𝑎 𝑏 I. Fie 𝐺 = {( ) |𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 𝑠𝑎𝑢 𝑏 ≠ 0}. Să se arate că pentru orice 𝐴 ∈ 𝐺 şi orice −𝑏 𝑎 𝑛 ∈ ℕ∗ , ecuaţia 𝑋 𝑛 = 𝐴 are exact 𝑛 soluţii distincte în 𝐺. Marcel Ţena, Bucureşti 2𝜋

II. Să se calculeze ∫0

1 2+cos 𝑥

𝑑𝑥. ***

III. Fie (𝐴, +,∙) un inel cu 0 ≠ 1, care are un număr impar de elemente inversabile. Să se arate că 1 + 1 = 0. ***

Premianţii concursului Clasa a V – a Premiul I : Drăjneanu Diana – Şc. 3 Slobozia; Premiul II : Antohe Andreea – Lic. de Artă Slobozia; Premiul III : Naca Andrei – Şc. 7 Feteşti; Menţiune : Ion Dragoş – Şc. 2 „Spriu Haret” Tăndărei, Menţiune : Stoicescu Andreea – Şc. 3, Slobozia. Clasa a VI-a Premiul I : Drăgoi Octav – Şc. 3 Slobozia; Premiul II : Popescu Teodor – Şc. 3 Slobozia; Premiul III : Radu Oana – Şc. 3 Slobozia; Menţiune : Iordache Mihaela – Şc. 3 Slobozia, Menţiune : Marcu Andreea – Lic. de Artă Slobozia. Clasa a VII – a Premiul I : Voicu Bianca – C.N. – „ I.L. Caragiale” Ploieşti; Premiul II : Drobrota Adina – Lic. Pedagogic Galaţi; Premiul III : Dumitrascu Claudia – Şc. 7 Feteşti; Menţiune : Ioniţă Carmen-Florentina – Şc. 2 Urziceni, Menţiune : Damian Oana – Şc. „Fanuş Neagu” Brăila. Clasa a VIII – a Premiul I : Mincu Diana – Lic. de Artă Slobozia; 44

Premiul II : Buriceanu Dorin – Şc. 1 Urziceni; Premiul III : Udrea Cosmin – Şc. 2 Urziceni; Mentiune : Mihalcea Serban – Lic. de Artă Slobozia, Menţiune : Gîndea Aura – Lic. Teoretic „M. Eminescu” Călăraşi. Clasa a IX – a Premiul I : Răşcanu Oana – C.N. – „Vasile Alecsandri” Galaţi; Premiul II : Florea Mihai – C.N. „ Mihai Viteazul” Ploieşti; Premiul III : Bunea Rodica – C.N. „Gh. Murgoci” Brăila; Menţiune : Scarlat Georgiana C.N. „Gh. Murgoci” Brăila, Menţiune : Teodor Alexandru – Lic. de Artă Slobozia.

Clasa a X – a Premiul I : Ceobanu Victor „Lic. „Al. I. Cuza” Ploieşti, Premiul II : Diaconu Irina – C.N. – „Gh. Murgoci” Brăila; Premiul III : Lupu Maria-Gabriela – Lic. Teoretic Feteşti; Mentiune : Mirica Emma – C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia, Menţiune : Moraru Ionuţ – C.N. „ Gh. Murgoci” Brăila. Clasa a XI – a Premiul I : Caragea Andrei – Lic. Pedagocic Galaţi; Premiul II : Costea Sergiu – C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia; Premiul III : Cristea Liviu – C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia; Menţiune : Tănase Narcis-Ciprian – Lic. Teoretic Feteşti, Menţiune : Munteanu Alexandru – C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti. Clasa a XII – a Premiul I : Sava Alexandru – C.N. „ Vasile Alecsandri” Galaţi; Premiul II : Gudu Diana – C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia; Premiul III : Petrăreanu Madi – Lic. Teoretic „Al.I. Cuza” Ploieşti; Menţiune : Aldea Olga – C.N. „ I.L. Caragiale” – Ploieşti, Menţiune : Ioniţă Mădălina – C.N. „Gh. Murgoci” Brăila.

EDIŢIA a XIII-a, 31 martie 2007 SUBIECTE Clasa a VII-a I. Arătaţi că, pentru orice 𝑛 ∈ ℕ, numărul 6𝑛 + 21𝑛 + 2004 nu este pătrat perfect. Liliana Toderiuc, Bucureşti

45

II. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un pătrat şi 𝑀 un punct situat în interiorul său. Fie 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 simetricele punctului 𝑀 în raport cu 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴. i) Să se arate că tripletele (𝐸, 𝐵, 𝐹), (𝐹, 𝐶, 𝐺), (𝐺, 𝐷, 𝐻), (𝐻, 𝐴, 𝐸) sunt coliniare. ii) Să se arate că aria patrulaterului 𝐸𝐹𝐺𝐻 este constantă, oricare ar fi poziţia punctului 𝑀 şi să se determine această constantă. Rodica Marinescu şi Victor Marinescu, Craiova III. Fie 𝐴𝐵𝐶 un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în 𝐴, astfel încât 3𝐴𝐵 = 7𝐴𝐶. Să se arate că măsura unghiului 𝐵 este strict mai mare decât 22° 30′. Titu Zvonaru, Comăneşti şi Bogdan Ioniţă, Bucureşti

Clasa a VIII-a I. Să se exprime toate numerele naturale 𝑥, 𝑦 cu proprietatea că: 1 (𝑥 + 𝑦) = √𝑥 − 1 + √𝑦 − 1 . 2 *** II. Se consideră o piramidă regulată având ca bază un poligon regulat cu 𝑛 laturi, 𝑛 ≥ 3. Să se calculeze volumul piramidei, ştiind că latura bazei este 𝑎 şi muchia laterală este 𝑏. *** 𝑏 III. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 numere reale strict pozitive. Să se arate că, dacă 𝑎 + 𝑏 > 𝑎𝑐 + 𝑑, atunci 𝑎

𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑐 + 𝑏𝑑?

Liviu Oprişan, Bucureşti Clasa a IX-a 1

1

I. Să se rezolve ecuaţia: [𝑥 2 − 𝑥 + 2] = [−𝑥 2 + 𝑥 + 2] , unde [𝑎] reprezintă partea întreagă a numărului real 𝑎. Ilie Diaconu, Cluj-Napoca II. Fie 𝑛 ∈ ℕ∗ . Să se rezolve ecuaţia: cos n 𝑥 − sinn x = 1 . Inocenţiu Drăghicescu, Bucureşti ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dacă şi numai dacă 𝑀 este III. Fie 𝐴𝐵𝐶 un triunghi şi 𝑀 ∈ 𝐵𝐶. Să se arate că 𝐴𝐵 mijlocul lui [𝐵𝐶]. *** Clasa a X-a I. Să se rezolve sistemul: √2𝑥 + 1 + √3𝑦 + 1 = 4 { . 22𝑥+√3𝑦+1 + 23𝑦+√2𝑥+1 = 64 Marcel Chiriţă, Bucureşti 46

II. Fie 𝑧 un număr complex cu proprietatea |𝑧| < 1 . Să se arate că există două numere complexe 𝑧1 , 𝑧2 cu proprietatea |𝑧1 | = |𝑧2 | = 1, astfel încât 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 . Marcel Ţena, Bucureşti −1+𝑖√3

1−𝜆𝜀

III. Fie 𝜀 = 2 şi mulţimile 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ|𝑧 = 1−𝜆𝜀2 , 𝜆𝜖ℝ}, 𝐵 = {𝑧 ∈ ℂ|𝑧 = cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼 , 𝛼𝜖[0,2𝜋)}. Să se arate că: a) 𝐴 ⊂ 𝐵. b) Există 𝑧0 ∈ ℂ astfel încât 𝐵 ∖ 𝐴 = {𝑧0 }. Lidia Păunescu, Târgovişte

Clasa a XI-a I. Fie 𝐴 ∈ ℳ𝑝 (ℂ), cu 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑑 ≠ 0, unde 𝑝 ≥ 2. Definim şirul (𝐴𝑛 )𝑛≥0 prin 𝐴0 = 𝐴, 𝐴𝑛 = 𝐴∗𝑛−1, pentru orice 𝑛 ≥ 1. Să se calculeze 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑛 ), 𝑛 ∈ ℕ, în funcţie de 𝑛, 𝑝 ş𝑖 𝑑. Inocenţiu Drăghicescu, Bucureşti II. Să se determine toate numerele reale 𝛼, 𝛽 cu proprietatea că şirurile 𝑥𝑛 = sin 𝑛𝛼 şi 𝑦𝑛 = cos 𝑛𝛽, 𝑛 ∈ ℕ∗ , sunt convergente. Nelu Chichirim, Constanţa III. Fie 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀2 (ℂ). Să se arate că: 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝐵)2 + 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝐵)2 = 2[𝑑𝑒𝑡 (𝐴2 + 𝐵 2 ) + 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵 + 𝐵𝐴)] . Marius Damian, Brăila Clasa a XII-a

I. Să se rezolve în ℤ6 × ℤ6 sistemul: {

2̂𝑥 + 4̂𝑦 = 0̂ . 𝑥 + 𝑦 = 2̂ *** 1

II. Să se determine o primitivă a funcţiei 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2+sin 𝑥 . *** III. Fie (𝐺, +) grup abelian şi 𝐸𝑛𝑑(𝐺) mulţimea endomorfismelor grupului G. Definim 𝑓 + 𝑔 şi 𝑓 ∘ 𝑔 prin (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), ∀𝑥 ∈ 𝐺 , pentru 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) . Să se arate că (𝐸𝑛𝑑(𝐺), +,∘) este inel. *** 47

Premianţii concursului Clasa a VII – a Premiul I : Drăgoi Octav, Şc. nr.3 Slobozia, Premiul I :Radu Oana, Şc. nr.3 Slobozia; Premiul II : Pisică Dana, C.N. Tonitza” Constanţa, Premiul II : Popa Emanuela, Şc. „ M. Eminescu” Brăila; Premiul III : Chitaru Vlad, Şc. „M. Eminescu” Brăila. Clasa a VIII – a Premiul I : Iacov Carmen, Şc. „ M. Eminescu” Călăraşi; Premiul II : Bercaru Andrei, Lic. cu Progr. Sportiv Brăila; Premiul III : Damian Oana, Şc. „Fănuş Neagu” Brăila; Menţiune : Bengescu Laura, Lic. de Artă Slobozia; Menţiune :Dumitraşcu Claudiu, Şc. nr.7 Feteşti. Clasa a IX – a Premiul I : Mihalcea Şerban, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia; Premiul II : Dunaev Mihail „ Lic. Tehnic A. Saligny” Cernavodă); Premiul III : Florea Răzvan, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia; Menţiune : Bengescu Adela, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia.

Clasa a X - a Premiul I : Căpâlnaşiu Adela, C.N. „Mircea cel Bătrân” Constanţa; Premiul II : Toader Bogdan, C.N. „Gh. Murgoci” Brăila; Premiul III : Scarlat Georgiana, C.N. „ N. Bălcescu” Brăila; Mentiune : Bâncă Alexandra, Lic. Tehnic Urziceni, Menţiune :Maria Bogdan, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia. Clasa a XI - a Premiul I : Maria Violeta, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia; Premiul II : Herghelegiu Cristina, C.N. „Mihai Eminescu” Buzău; Premiul III : Diaconu Irina, C.N. „Gh. Murgoci” Brăila; MentiunE : Coteţ Silvia, C.N. „N. Bălcescu” Brăila, Menţiune :Cazan Mădălina, Lic. Teoretic Urziceni. Clasa a XII - a Premiul I : Cristea Liviu, C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia; Premiul II : Pană Emilia, C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia; 48

Premiul III : Tănase Narcis, Lic. Teoretic Feteşti; Menţiune : Costea Sergiu, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia, Menţiune :Zvincu Oana, Lic. M. Eminescu Călăraşi. EDIŢIA a XIV-a, 4-6 aprilie 2008 SUBIECTE Clasa a VII-a I. Dacă 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 atunci: 𝑥 3 +𝑦 3

𝑥 2 +𝑥𝑦+𝑦 2

𝑦 3 +𝑧 3

𝑧 3 +𝑥3

2

+ 𝑦 2 +𝑦𝑧+𝑧 2 + 𝑧 2 +𝑥𝑧+𝑥 2 ≥ 3 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧). D. M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti

II. Fie triunghiul ascuţitunghic 𝐴𝐵𝐶 şi punctele 𝐷 ∈ (𝐵𝐶), 𝐸 ∈ (𝐴𝐶), 𝐹 ∈ (𝐴𝐵) astfel încât dreptele 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 sunt concurente în 𝐻. Demonstraţi că 𝐻 este ortocentrul triunghiului 𝐴𝐵𝐶 dacă şi numai dacă 𝐻𝐴 ∙ 𝐻𝐷 = 𝐻𝐵 ∙ 𝐻𝐸 = 𝐻𝐶 ∙ 𝐻𝐹 . *** III. Să se determine 𝑎 ∈ ℕ∗ pentru care numărul 𝑎2 + 621 este pătrat perfect. ***

Clasa a VIII-a I. Să se determine funcţiile 𝑓: ℝ → ℝ care au proprietatea: 𝑓(1 − 𝑥) + 2𝑓(1 + 𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 6 , pentru orice 𝑥 ∈ ℝ. *** II. Fie cubul 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’, 𝑀 simetricul punctului 𝐴 faţă de punctul 𝐵, 𝑁 piciorul perpendicularei dusă din 𝐶 pe 𝐵𝐷’ şi 𝑃 centrul pătratului 𝐴𝐷𝐷’𝐴’. Arătaţi că punctele 𝑀, 𝑁, 𝑃 sunt coliniare. Luca Tuţă, Buzău ̅̅̅ pentru care are loc egalitatea: √100 − 𝑎𝑏 ̅̅̅ = 𝑎√𝑏 . III. Aflaţi numerele de forma 𝑎𝑏 *** Clasa a IX-a I. Se consideră funcţia 𝑓: (0, ∞) → ℝ şi 𝑎 > 0 astfel încât 𝑓(𝑎) = 1. Să se demonstreze că dacă: 𝑎 𝑎 (𝑥) ∙ 𝑓(𝑦) + 𝑓 ( ) ∙ 𝑓 ( ) = 2𝑓(𝑥𝑦) , pentru orice 𝑥, 𝑦 ∈ (0, ∞), atunci f este constantă. 𝑥

𝑦

Adriana Tonţ, Slobozia 49

II. Se consideră un poligon regulat 𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛 înscris în cercul de centru O şi mulţimile de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vectori: = {𝑂𝐴 𝑂𝐴2 , ⋯ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴𝑛 } , 𝑌 = {𝑂𝐴 𝑂𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴2 , ⋯ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴2 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴𝑛 } . Să se determine mulţimea 𝑋 ∩ 𝑌. Marcel Ţena, Bucureşti 𝑎 +𝑝

𝑎 +𝑝

𝑎 +𝑝

III. Se consideră suma 𝑆 = 𝑎1 +𝑞 + 𝑎2 +𝑞 + ⋯ + 𝑎𝑛 +𝑞, unde 𝑎𝑘 ∈ ℝ, 𝑎𝑘 > 0, 𝑘 ∈ {1,2, ⋯ , 𝑛}, 1

2

𝑛

astfel încât 𝑎12 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 = 𝑐, 𝑐 > 0 şi 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ, 𝑞 > 0, 𝑝 ≠ 𝑞 . Să se arate că: 𝑝√𝑛+√𝑐

a) 𝑆 ≤ 𝑛 ∙ 𝑞

√𝑛+√𝑐 𝑝√𝑛+√𝑐

b) 𝑆 ≥ 𝑛 ∙ 𝑞

√𝑛+√𝑐

, dacă 𝑝 < 𝑞; , dacă 𝑝 > 𝑞. Inocenţiu C. Drăghicescu, Bucureşti

Clasa a X-a I. Fie 𝑛 un număr natural impar, 𝑛 ≥ 3. Să se arate că numărul: 𝑎𝑛 = (𝑛 − 2)(𝑛 − 1)(𝑛 + 1)𝑛+1 + 𝑛(𝑛 + 1)𝑛 − 2 este divizibil prin 𝑛3 . Dumitru Acu, Sibiu II. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: 4𝑥 + (4𝑥 − 11)2𝑥 + 3𝑥 2 − 23𝑥 + 30 = 0 Nicolae Papacu, Slobozia III. Fie O punctul de intersecţie al diagonalelor patrulaterului convex 𝐴𝐵𝐶𝐷, iar 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 proiecţiile punctului 𝑂 respectiv pe 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1 1 1 1 a) 𝑂𝑃2 + 𝑂𝑅2 = 𝑂𝑄2 + 𝑂𝑆2 . b) Patrulaterul 𝐴𝐵𝐶𝐷 are diagonalele perpendiculare. Nicolae Bişboacă, Alba Iulia Clasa a XI-a I. Fie 𝑘 ∈ ℕ∗ şi numerele reale 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑘 , 𝑎𝑘+1 astfel încât: [𝑛𝑎1 ] + [𝑛𝑎2 ] + ⋯ + [𝑛𝑎𝑘 ] = [𝑛𝑎𝑘+1 ], pentru orice 𝑛 ∈ ℕ∗ . Să se arate că 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘+1 . Vasile Popa, Galaţi 50

II. Să se arate că pentru orice număr natural 𝑛 ≥ 1, ecuaţia: 1 1 1 𝑥 1 + √𝑛2 + ⋯ + √𝑛2 = 1 are o soluţie unică reală notată 𝑥𝑛 şi lim𝑛→∞ 𝑛𝑛 = − 2. √𝑛2 +1+𝑥 +2+𝑥 +𝑛+𝑥 Dumitru Popa, Constanţa III. Pentru 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (ℤ), 𝑛 ≥ 2, definim 𝑓𝐴 : ℳ𝑛 (ℤ) → ℳ𝑛 (ℤ) prin : 𝑓𝐴 (𝑋) = 𝐴𝑋. Să se arate că 𝑓𝐴 este injectivă dacă şi numai dacă 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0. ***

Clasa a XII-a I. În inelul ℤ𝑛 , 𝑛 ≥ 2, considerăm 𝑎̂, 𝑏̂ ∈ ℤ𝑛 şi mulţimile 𝐴 = {𝑥̂ ∈ ℤ𝑛 |𝑎̂𝑥̂ = 0̂} , 𝐵 = {𝑥̂ ∈ ℤ𝑛 |𝑎̂𝑥̂ = 𝑏̂}. Fie 𝑑 cel mai mare divizor comun al numerelor 𝑎 ş𝑖 𝑛. a) Determinaţi mulţimea 𝐴 în cazul 𝑛 = 100 , 𝑎 = 5. b) Dacă 𝑑 divide 𝑏, arătaţi că 𝐵 ≠ ∅. c) Dacă 𝑑 divide 𝑏, arătaţi că 𝐴 ş𝑖 𝐵 au acelaşi număr de elemente. Nicolae Papacu, Slobozia 1

𝐼

II. Notăm 𝐼𝑛 = ∫0 𝑥 𝑛 𝑒 𝑥 𝑑𝑥, unde 𝑛 ∈ ℕ. Calculaţi lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑘=1 𝑘+1 . 𝑘 Traian Tămâian, Carei, Satu Mare III. Fie 𝐿, 𝐾 două corpuri şi 𝑓, 𝑔: 𝐿 → 𝐾 două funcţii astfel încât: i) 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿; ii) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑔(𝑥)𝑔(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿; iii) ∀𝑦 ∈ 𝐾, ∃𝑥 ∈ 𝐿 astfel încât 𝑓(𝑥) = 𝑦 sau 𝑔(𝑥) = 𝑦. Să se arate că 𝐿 ş𝑖 𝐾 sunt corpuri izomorfe. Marcel Ţena, Bucureşti

Premianţii concursului Clasa a VII – a Premiul I : Drăjneanu Diana ( Şc. Nr.3 Slobozia); Premiul II : Stegăroiu Petre ( C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti); Premiul III : Albu Constantin ( C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti); Menţiuni : Mihai Roxana ( Lic. de Artă „ Ionel Perlea” Slobozia), Pojer Corneliu ( Şc. Nr.2 „ Ion Heliade Rădulescu” Urziceni), Tănase Adrian ( Şc. Nr.2 „ Ion Heliade Rădulescu” Urziceni), Găsdaru Bianca ( Lic. de Artă „Ionel Perlea” Slobozia), Naca Andrei ( Şc. nr.7 „Aurel Vlaicu” 51

Feteşti), Nichiforov Anca ( Şc. nr.7 „Aurel Vlaicu” Feteşti), Antohe Andreea ( Lic. de Artă „Ionel Perlea” Slobozia). Clasa a VIII – a Premiul I : Drăgoi Octav ( Şc. Nr.3 Slobozia), Duma Andrei (Şc. „Sf. Vineri” Ploieşti), Pisică Dana ( Şc. „N. Tonitza Constanţa”), Radu Oana ( Şc. Nr.3 Slobozia), Sevastian Ana Denisei ( C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti); Premiul II : Dragomir Mihaela ( Şc. Nr.2 „Ion Heliade Rădulescu” Urziceni); Premiul III : Bulgaru Elena ( Şc. nr. 11 „ George Tutoveanu” Bârlad); Menţiuni : Bulai Lavinia ( C.N. „Calistrat Hogaş” Tecuci), Hulea Alexandru ( C.N. „Calistrat Hogaş” Tecuci), Marcu Andreea ( Lic. de Artă „ Ionel Perlea” Slobozia). Clasa a IX – a Premiul I : Mihai Bogdan ( Gr. Şc. Industrial „Ştefan Procopiu” Bârlad); Premiul II : Valcu Georgiana ( C.N. „Barbu Ştirbei” Călăraşi); Premiul III : Dochiţa Mihai ( Lic. Teoretic „Spiru Haret” Tecuci); Menţiuni : Cârciumaru Andreea (C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti), Bosânceanu Andra ( Lic. Teoretic „ Carol I” Feteşti), Drăgan Raluca ( Lic. de Artă „ Ionel Perlea” Slobozia),Drăjneanu Alina ( C.N. „Mihai Vitezul” Slobozia), Ghidel Radu ( C.N. „ Mihai Vitezul” Ploieşti), Ionescu Ovidiu ( C.N. „Barbu Stirbei” Călăraşi), Vasile Sorin ( C.N. „ I. L. Caragiale” Ploieşti).

Clasa a X - a Premiul I : Mincu Diana ( Lic. de Artă „Ionel Perlea” Slobozia); Premiul II : Mihalcea Şerban ( C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia); Premiul III : Dunaev Mihail ( Lic. Teoretic „Anghel Saligny” Cernavodă); Menţiuni : Florea Răzvan ( C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia), Barbu Vlad ( C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti), Bejgu Andreea ( C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia), Dumitrescu Diana ( C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia), Petre Georgiana-Alina ( Gr. Şc. „Al.I. Cuza” Slobozia), Pâslaru Alexandru ( L.I.C. Teoretic „Spiru Haret” Tecuci), Blănaru Adina ( Gr. Şc. Ind. „Ştefan Procopiu” Bârlad). Clasa a XI - a Premiul I : Marin Bogdan-Adrian ( C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia); Premiul II : Cotac Oana ( Lic. Teoretic „ Anghel Saligny” Cernavodă); Premiul III : Teodor Alexandru ( Lic. de Artă „Ionel Perlea” Slobozia); Mentiuni : Nuţu Bogdan ( Colegiul „ M. Cantacuzino” Sinaia), Mutu Rares ( Lic. Teoretic „Anghel Saligny” Cernavodă), Ene Vladimir ( Lic. Teoretic „ Anghel Saligny” Cernavodă), Simion Sorin-Ionuţ ( Lic. Teoretic „ Al. I. Cuza” Ploieşti), Sachelarie Dan ( Lic. Teoretic „ Spiru Haret” Tecuci), Stănescu George ( C.N. „ Mihai Eminescu” Buzău).

Clasa a XII - a Premiul I : Damian Alexandru ( C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti); 52

Premiul II : Ion Ana – Maria ( Lic. Teoretic „Grigore Moisil” Urziceni); Premiul III : Ceobanu Victor ( C.N. „ I.L. Caragiale” Ploieşti); Mentiuni : Mirica Emma ( C.N. „ Mihai Viteazul” Slobozia), Antonache Marian ( Gr. Şc. Ind. „ Ştefan Procopiu” Bârlad), Cazan Mădălina ( Lic. Teoretic „Grigore Moisil” Urziceni), Alionte Ana-Maria ( C.N. „Calistrat Hogaş” Tecuci), Bedea Bogdan ( Lic. Teoretic „Carol I” Feteşti), Cuciureanu Cornelia ( Gr. Şc. „Al. I. Cuza” Slobozia), Urechea Laura ( Lic. Teoretic „ Carol I” Feteşti).

Ediţia a XV-a, 3-5 aprilie 2009 SUBIECTE Clasa a VII-a Subiectul I. Alegem la întâmplare 10 numere reale mai mari decât 1 şi mai mici decât 55. Arătaţi că printre acestea există cel puţin trei care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi. Bianca Teodora Iordache Subiectul II. Să se arate că numărul a  n5  2009n este divizibil cu 30 pentru orice n număr natural. Ion Neaţă Subiectul III. Se consideră punctul D situat pe latura BC a triunghiului ABC . Ducem DE AB , E  AC şi

DF AC , F  AB . Să se arate că S FBD  S EDC  S AEDF. Gheorghe Stoica

Clasa a VIII-a Subiectul I. Să se determine funcţia de gradul întâi f :  , care verifică egalităţile: f 2  8 şi f 3x  2 y  2  f 3x  1  f 2 y 1  2 , pentru orice x, y  . Alfred Eckstein, Viorel Tudoran Subiectul II. Fie paralelipipedul dreptunghic cu muchiile de lungimi a, b, c şi diagonala de lungime d . Dacă

d

abc să se arate că paralelipipedul este cub. 3

Neculai Stanciu Subiectul III. Se consideră prisma triunghiulară regulată dreaptă ABCABC care are lungimea bazei de 12 3 cm, O este centrul bazei ABC , iar M este mijlocul segmentului BC . Ştiind că măsura unghiului determinat de OM cu AC este de 600 , să se afle aria laterală şi volumul prismei date. E. Blăjuţ 53

Clasa a IX-a Subiectul I. Să se demonstreze că în orice triunghi ABC avem relaţia lui Sylvester: OH  OA  OB  OC , unde H este ortocentrul triunghiului ABC , iar O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Subiectul II. Într-un triunghi ascuţitunghic ABC se consideră, respectiv, medianele, înălţimile şi bisectoarele sale interioare şi fie mulţimile lungimilor acestora M m  ma , mb , mc , M h  ha , hb , hc , Mi  ia , ib , ic . Să se demonstreze că luându-se câte un element din fiecare mulţime, suma

 

acestora aparţine intervalului 9r,

9R  . 2  Inocenţiu Drăghicerscu

Subiectul III.

x  y  z  k  Să se rezolve în mulţimea numerelor reale sistemul de ecuaţii:  , 1 xy  x  y z  a  a  k 2  3  unde a, h . I.V. Maftei, Mihai Haivas Clasa a X-a Subiectul I.

a x , x     0,  , f  x    x b , x   

Fie a  0 , a  1, b  0 , b  1 şi funcţia f :

. Să se arate că

următoarele afirmaţii sunt echivalente: p: f este injectivă; q: f este surjectivă; r: loga b . Marcel Ţena Subiectul II. Fie a, b, c, d numere strict mai mari decât 1, cu proprietatea că produsul a oricare trei dintre ele este diferit de al patrulea. Să se arate că log bcd a  log acd b  log abd c  log abc d  2 . a

b

c

d

D.M. Bătineţu - Giurgiu Subiectul III. Fie numerele complexe nenule şi distincte z k , k  1, n , n  3 , care verifică relaţiile

z  zk  zk , k  1, n , unde z  z1  z2  zn . 1. Să se demonstreze că z  0 . 2. Dacă n  3 şi z1  z2  z3 , atunci să se arate că z1 , z 2 , z3 sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral. Nicolae Papacu

54

Clasa a XI-a Subiectul I. În reperul rectangular xOy se consideră punctele A2,3 şi B8,7. Să se determine punctul M  AB astfel încât AM 2  AB  MB , AM  MB. Gh. Tutulan Subiectul II. Pentru fiecare număr natural n  4 , fie  o rădăcină primitivă de ordinul n a unităţii. Demonstraţi că pentru orice matrice A  M 2   cu TrA   şi det A   2 are loc egalitatea: n

 k 1

k





det A   k I 2  0 . Traian Tămâian

Subiectul III. Se consideră şirul cu termenul general dat de partea fracţionară a numărului n2  an  b , n   , unde a şi b . Să se arate că oricare ar fi numerele a şi b există limita acestui şir şi să se afle această limită. Inocenţiu Drăghicescu Clasa a XII-a Subiectul I. Fie K un corp comutativ. Un polinom f  a0  a1 X   an X n  KX  cu an  0 se numeşte reciproc dacă ak  an k , k  0, n . Să se arate că produsul a două polinoame reciproce este un polinom reciproc. Marcel Ţena Subiectul II. 2

Să se calculeze

1

 2  sin x dx . 0

Subiectul III. Fie f : 1,1 

1

o funcţie continuă şi I n  n  xn f xdx . Să se calculeze lim I 2n şi lim I 2n 1 . 1

n 

n 

Dumitru Popa Lista premianţilor Clasa a VII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Custură Mihai, Şc. Nr. 3 Slobozia Iacob Andrei, C.N. „Gh. M. Murgoci”, Brăila Sava Loredana Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni Dinu Valentina, Lic. Pedagogic „M. Basarab” Slobozia Dănăilă Miruna, C.N. „N. Bălcescu”, Brăila 55

Huiu Andreea Cristina, Şc. „I. Creangă”, Brăila Cazacu Andrei Gabriel, Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni Iancu Cristina Ioana, Lic. De Artă „I. Perlea” Slobozia Miriţescu Cătălina, Gr. Şc. Agricol Fundulea Peltea Marius, Şc. Nr. 7 Feteşti

Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Clasa a VIII-a Naca Andrei, Şc. Nr. 7 Feteşti Ciocîrlan Dan, Şc. Nr. 11 Buzău Ţapu Liviu, Şc. „M. Eminescu” Brăila Agrigoroaie Gabriela, Şc. „G. Palade” Buzău Lozneanu Dragoş, Şc. „M. Eminescu” Brăila Iacob Robert, Şc. „M. Eminescu” Brăila Bărzulea Amalia, Şc. „N. Titulescu” Călăraşi Tatu Daniela, Şc. Nr. 2 „Sf. Andrei” Slobozia Nan Mihai, Şc. Nr. 7 Feteşti Antohe Andreea, Lic. De Artă „I. Perlea” Slobozia Nichifor Ana, Şc. Nr. 7 Feteşti Popina Sebastian Marius, , Şc. „G. Palade” Buzău Pojar Mihai, Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni Buzoianu Diana, Şc. Nr. 2 „Sf. Andrei” Slobozia

Clasa a IX-a Drăgoi Octav, Lic. Internaţional de Informatică, Bucureşti David Octavian, Lic.Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă Radu Oana, C.N. de Informatică „Tudor Vianu” Bucureşti Bercu Andrei, C.N. „Gr. Moisil” Urziceni Fieraru Mihai, C.N. de Informatică „Tudor Vianu” Bucureşti Druncea Mihai, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Constantin Simona, C.N. „B. Ştirbei” Călăraşi Popa Constantina, Lic. Teoretic „Al. I. Cuza” Ploieşti Florea Alexandru, C.N. „M. Viteazul” Slobozia

Menţiuni:

Clasa a X-a Matei Adrian, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Bengescu Laura, C.N. „Mircea cel Bătrân” Constanţa Cârciumaru Andreea, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Conache Maria C.N. „N. Bălcescu” Brăila Vîlcu Cristina Georgiana, C.N. „B. Ştirbei” Călăraşi Popia Andreea Marilena, C.N. „B. Ştirbei” Călăraşi

Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Clasa a XI-a Blănaru Adina, Gr. Şc. „Şt. Procopiu” Vaslui Străteanu Elena, C.N. „M. Eminescu ” Buzău Mincu Diana, Lic. De Artă „I. Perlea” Slobozia Florea Răzvan, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia

Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea:

56

Huiu Andreea Mariana, C.N. „Barbu Ştirbei” Călăraşi Mihai Valentin, Lic. Teoretic „Gr. Moisil” Urziceni Chivu Daniel Dumitru, Lic. Teoretic „Carol I” Feteşti Sezciuc Radu, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia

Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Clasa a XII-a Marin Bogdan, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Bunache Cristian, Lic. teoretic „Gr. Moisil” Urziceni Coţac Oana Cristina, Lic.Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă Ganea Raluca, , Lic. Teoretic „Al. I. Cuza” Ploieşti Barbu Georgiana, , Lic. Teoretic „Al. I. Cuza” Ploieşti Barbu Tiberiu, C.N. „M. Eminescu ” Buzău

Ediţia a XVI-a, 26-28 martie 2010 SUBIECTE Clasa a VII-a Subiectul I Se dă triunghiul ABC . Fie AD bisectoarea unghiului BAC şi BE mediană, D BC , E  AC. Dacă mAFE  600 , unde F  AD  BE şi AD  BE , arătaţi că triunghiul ABC este echilateral. Subiectul II Să se arate că dacă a reprezintă lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, iar b, c lungimile catetelor aceluiaşi triunghi dreptunghic, atunci are loc inegalitatea:

2

bc bc  2. a

Când are loc egalitatea din stânga? Subiectul III Pentru ce valori ale numărului natural n , numărul s 

1 n n2 este natural?   3 2 6

Iulian Vlăduţiu, G.M.

Clasa a VIII-a Subiectul I Fie triunghiul ABC cu lungimile laturilor egale cu a, b, c . Să se arate că dacă

a

4

 b4  c 4



2





 2 a8  b8  c8 , atunci triunghiul ABC este dreptunghic. Nicolae Papacu, G.M.

Subiectul II

1  a 2 1  b2 1  c 2 Dacă a, b, c  0 şi a  b  c  1 , atunci este adevărată egalitatea    4. bc ac ab

Ion Neaţă

57

Subiectul III În piramida triunghiulară regulată VABC cu muchia bazei AB  a , notăm cu M mijlocul muchiei CV . Dacă mMBC  300 , aflaţi distanţa de la punctul A la dreapta BM . Ion Tudor, G.M. Clasa a IX-a Subiectul I Fie triunghiul ABC şi punctele M, N pe laturile AB , respectiv BC astfel încât

AM   şi MB 

BN   , unde  ,  ,   0 . Notăm cu P intersecţia dreptelor CM şi AN . Să se arate că: NC   1 1 1 AP  BP  CP  0 .







G.M. Subiectul II Se consideră un triunghi ascuţitunghic ABC cu lungimile laturilor BC  a , CA  b , AB  c şi aria egală cu 4. Notăm cu x, y, z distanţele de la ortocentrul triunghiului la vârfurile A, B respectiv C . Să se arate că dacă a x  b y  c z  4 a  b  c , atunci triunghiul ABC este echilateral. Lucian Dragomir Subiectul III

 1    ,   care satisfac egalitatea  2010  1  2 f x  1  3 f x  1  4 f x    1  2010 f x  2009, pentru orice x .

Să se determine toate funcţiile f :

Dumitru Popa Clasa a X-a Subiectul I Fie p, q numere reale strict pozitive. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) p  q ii) Pentru orice numere reale strict pozitive a1 , a2 , a3 are loc inegalitatea:

a

q 1

 a2q  a3q

  a 1 q

p 1

 a2p  a3p



1 p

Subiectul II Fie ABC un triunghi cu AB  AC şi M A  600 . Pe laturile AB şi AC se construiesc în exteriorul triunghiului pătrate având centre O1 şi O2 , iar pe latura BC se construieşte în exterior triunghiul echilateral de centru O3 . Să se arate că triunghiul O1O2O3 este echilateral. Petru Todor Subiectul III Să se rezolve ecuaţia log 2 x  log3 x , x  0 . Ion Nedelcu

58

Clasa a XI-a Subiectul I Fie matricea A  M n 

 cu





A4  On . Să se arate că det A2  I n  1. Viorica Frecuş

Subiectul II

1 Să se calculeze lim

n

1 3 1 1  1  n 1 n ln 2 ln 3 ln n . lnln n Dumitru Popa

Subiectul III a) Să se determine funcţiile f :  cu proprietatea lui Darboux, astfel încât: cos f x  x sin f x, oricare ar fi x . b) Să se arate că nu există funcţii g :  cu proprietatea lui darboux, astfel încât cos ggx  x sin ggx , oricare ar fi x . Marian Andronache

Clasa a XII-a Subiectul I Fie A,, un inel şi a, b  A două elemente inversabile. Să se demonstreze că următoarele două afirmaţii sunt echivalente: i) ba1  a 1  b1 ii) b  a  1 Marcel Ţena Subiectul II

 x x2 x3 xn    ln 1  xdx      0  1  x 1  x 2 1  x3 1  x n  Să se calculeze lim . n ln n 1

Dumitru Popa Subiectul III Fie f :  o funcţie continuă cu proprietatea că f x f  x  1, oricare ar fi x . Să se  4

calculeze

dx

 1  2 sin x1  f x . 2



4

Radu Ghenghiu Lista premianţilor Clasa a VII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea:

Radu Raluca, C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti. Crestez Paul, C.N. „N. Bălcescu” Brăila Muşat Alin, C.N. „N. Bălcescu” Brăila 59

Menţiuni:

Gae Silviu, Şc. Nr. 2 „Sf. Andrei” Slobozia Gheorghe Matei, Liceul de Artă „I. Perlea” Slobozia Iordache Vladimir, Şc. Nr. 3 Slobozia Iorgulescu Tiberiu, C.N. „Mircea cel Bătrân” Constanţa Popa Andreea, C.N. „N. Bălcescu” Brăila Iacov Mihai, Şc. „N. Titulescu” Călăraşi

Clasa a VIII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Turcu Denis, C.N. „N. Bălcescu”, Brăila Custură Mihai, Şc. Nr. 3 Slobozia Tănase Mircea, Şc. Movila, Ialomiţa Ardelean Daniela, Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni Toma Ioana, Şc. Nr. 2 „Sf. Andrei” Slobozia Tapluk Aurelia, Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni Iacob Andrei, C.N. „Gh. M. Murgoci”, Brăila Cazacu Andrei Gabriel, Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni Marin Alexandru, Şc. Nr. 2 „I.H. Rădulescu” Urziceni

. Clasa a IX-a Premiul I:

Drăjneanu Diana, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Pojar Mihai, C.N. „Gr. Moisil” Urziceni

Premiul al III-lea: Menţiuni:

Nicolae Alexandra, C.N. „N. Bălcescu”, Brăila Petre Bogdan, C.N. „M. Viteazul” Ploieşti Veigang Rădulescu Vlad, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti Mihai Roxana, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Pîrău Dan, Gr. Şc. „N. Iorga” Negreşti, Vaslui Stegăroiu Petre C.N. „M. Viteazul” Ploieşti

Clasa a X-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Drăgoi Octav, Lic. Internaţional de Informatică, Bucureşti Gîţ Alexandru, Lic. Internaţional de Informatică, Bucureşti Duma Andrei, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti Geambaşu George, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Muşat Cristina, C.N. „Gh. M. Murgoci”, Brăila Pîrvu Alexandra„C.N. „Gr. Moisil” Urziceni David Octavian, Lic.Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă

Clasa a XI-a Premiul I: Premiul al II-lea:

Mihai Bogdan, Gr. Şc. „Şt. Procopiu” Vaslui Bîrsan Răzvan, Gr. Şc. „Şt. Procopiu” Vaslui 60

Premiul al III-lea: Menţiuni:

Bengescu Laura, C.N. „Tudor Vianu” Bucureşti Matei Adrian, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Vasile Sorin, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Purdea Lelia, Lic. Teoretic „A. Saligny” Cernavodă

Clasa a XII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-a: Menţiuni:

Blănaru Adina, Gr. Şc. „Şt. Procopiu” Vaslui; Sezciuc Radu, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Sevastian Emma, C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti Florea Răzvan, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia, Mincu Diana, Lic. de Artă „I. Perlea” Slobozia; Scarlat Daniel, Lic. Teoretic „Carol I” Feteşti

Premiul special „Florin Cioacă”: Drăgoi Octav, clasa a X-a, Lic. Internaţional de Informatică, Bucureşti

Ediţia a XVII-a, 25-27 martie 2011 SUBIECTE Clasa a VII-a Subiectul I Fie ABCD un romb de latură 1 cu mABC  600 . Considerăm punctul E cu CE  AB , CE  AB şi astfel încât punctele C şi E sunt separate de dreapta AB. Fie punctul F pe dreapta AB astfel încât DF  DE . Să se calculeze lungimea segmentului AF. Neculai Stanciu, Gazeta Matematică Subiectul II Să se rezolve în numere naturale ecuaţia x 2  1  y 2 . *** Subiectul III Se consideră triunghiul ABC , E mijlocul laturii AC , F mijlocul laturii AB Bisectoarea unghiului BAC intersectează medianele CF şi BE în punctele M , respectiv N . Să se arate că:

FM EN BC 2 , atunci triunghiul ABC este dreptunghic.   MC NB 2 AB  AC FM EN 2 b)   FC EB 3 a) Dacă

Nicolae Papacu, Slobozia

61

Clasa a VIII-a Subiectul I Considerăm mulţimea: A  a3  b3  c3  3abc a, b, c   , a  b  c  a . Care este cel mai mic





element al mulţimii A? Elena Iurea, Gazeta Matematică Subiectul II Fie ABCDABCD un paralelipiped dreptunghic. Drumul cel mai scurt (parcurs pe suprafaţa paralelipipedului) între C şi A trece prin P AD şi are lungimea de 20cm. Ştiind că AP  3 cm şi

CP 3  , aflaţi volumul paralelipipedului. AC 4

Verona Marin, Gazeta Matematică

Subiectul III Se consideră o piramidă patrulateră regulată SABCD cu AB  2a , SO  a , unde AC  BD  O. Să se afle lungimea minimă a segmentului AP, unde P este un punct variabil pe cercul circumscris triunghiului SBC. Sorana Dinu, Răzvan Dinu, Slobozia

Clasa a IX-a Subiectul I Fie şirul an n1 definit prin a1  1 şi an1  an  şirului sunt numere naturale.





1 1  8an  1 , n  1. Să se arate că termenii 2 Cătălin Cristea, Gazeta Matematică

Subiectul II În triunghiul ascuţitunghic ABC fie H A , M A , I A înălţimea, mediana, respectiv bisectoarea din A. Considerând şi analoagele, să se arate că dacă H A , M B , I C  şi H B , M C , I A  sunt triplete de drepte concurente, atunci triunghiul ABC este echilateral. I.C. Drăghicescu, Bucureşti Subiectul III Fie ABC un triunghi oarecare şi x, y, z  cu x  y  z  0 . Considerăm pe laturile AB şi AC punctele variabile M, respectiv N astfel încât x 

MB NC y  z . Să se arate că dreapta MN trece MA NA

printr-un punct fix. Marcel Popescu, Slobozia

Clasa a X-a Subiectul I Fie z1 , z2 numere complexe cu proprietatea că z15  z 25  2 , z13  z 23  2 , z1 z 2  1 . Să se arate că z1  z 2  2 . Aurel Doboşan, Gazeta Matematică

62

Subiectul II

log 7 x  4  log 2  y  5  Să se rezolve sistemul: log 7  y  4  log 2  z  5 log z  4  log  x  5 2  7 Octav Drăgoi, Bucureşti Subiectul III

y2  z 2 z 2  x2 x2  y2 1  1 1 1          6 . Să se arate că pentru orice x, y, z  0 , avem x y z 2 x y z Cătălin Cristea, Gazeta Matematică Clasa a XI-a Subiectul I Fie an n1 un şir definit prin: a1  2 şi nan1  2n  2 an  n2n , n  1. Să se calculeze





lim n2 a1a2 an . n

Traian Tămâian, Gazeta Matematică Subiectul II Fie funcţiile f , g : orice x





, f x  e x sin x , gx  e x cos x . Să se arate că pentru orice n

 



şi

avem: f n x  g n x  2n e2 x . 2

2

Marcel Ţena, Bucureşti Subiectul III Se consideră matricele A, B  M n 

AB2  On .

 astfel încât A  B4  A4  B4 . Să se arate că Liviu Smarandache, Gazeta Matematică

Clasa a XII-a Subiectul I





Fie 0  a  b . Să se arate că 4 b  a  3

3

b

a

2

 b2  1   ln 2  . dx  3 2 x2 1  a  1



1



Constantin Rusu, Gazeta Matematică Subiectul II Fie K  un corp în care operaţiile sunt cele induse din a  K  , există b  K  pentru care a  b  şi ab

d  , liber de pătrate, astfel încât K 

 d   x  y def

şi astfel încât pentru orice . Să se demonstreze că există

d / x, y 

. Marcel Ţena, Bucureşti

Subiectul III Să se arate rădăcinile polinomului f  X 5  4 X 4  aX 3  bX 2  2 X  c   X  nu pot avea acelaşi modul. I.C. Drăghicescu, Bucureşti 63

Lista premianţilor

Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Clasa a VII-a Popescu Andreea, Şc. nr. 3, Slobozia Oancea Emilia, C.N . „N. Balcescu” Brăila Copaciu Tiberiu, C.N. „Al. I Cuza” Ploiesti Orlea Martina, Şc. Fănuş Neagu, Brăila, Chiriac Andreea, Lic. „M Eminescu” Călăraşi Niculescu Mihai Alexandru, Şc. „N. Titulescu” Călăraşi Sarcoseli Claudiu, Şc. Fănuş Neagu, Brăila

Clasa a VIII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Popa Andreea, C.N . „N. Balcescu” Brăila Gae Silviu, Şc. nr. 2 „Sf. Andrei”, Slobozia Bîrsan Andrei, C.N. „Mihai Viteazul”, Ploieşti Bob Cristian, Lic. „M Eminescu” Călăraşi Barbu Luiza, Şc. nr. 2 „I. H. Rădulescu”, Urziceni Calotescu Andreea, Şc. nr.7 „Aurel Vlaicu”, Feteşti Gheorghe Matei, Lic. de Artă „Ionel Perlea”, Slobozia

Clasa a IX-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Vasilache Cosmin, Lic. Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă Radu Cristiana Laura, C.N. „B. Ştirbei” Călăraşi Ţuţuianu Ana, C.N. „B. Ştirbei” Călăraşi Kusztos Andrei, C.N. „I. L. Caragiale”, Ploieşti Custură Mihai, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia Ionete Sînziana, C.N. „I. L. Caragiale”, Ploieşti Tănase Mircea, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia

Clasa a X-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Veigang Rădulescu Vlad, C.N. „I. L. Caragiale”, Ploieşti Stegăroiu Petre, C.N. „Mihai Viteazul”, Ploieşti Mihăilescu Maria, C.N. „I. L. Caragiale”, Ploieşti Mihai Roxana, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia Drăjneanu Diana, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia Ichim Georgiana, Lic. Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă Antohe Andreea, Liceul de artă „Ionel Perlea”, Slobozia

Clasa a XI-a Premiul I:

Ţăranu Cristian, C.N . „N. Balcescu” Brăila 64

Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Duma Andrei, C.N. „I. L. Caragiale”, Ploieşti Sevastian Denisse, C.N. „Mihai Viteazul”, Ploieşti David Octavian, Lic. Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă Geambaşu George, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia Buzilă Eugen, Liceul Teoretic „Carol I”, Feteşti Bercu Andrei, C.N. „Grigore Moisil”, Urziceni

Clasa a XII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Mihai Bogdan, Gr. Şc. „Şt. Procopiu”, Vaslui Cojocaru Alexandru, C.N. „I. L. Caragiale”, Ploieşti Conache Maria, C.N . „N. Balcescu” Brăila Bîrsan Vasile Razvan, Gr. Şc. „Şt. Procopiu”, Vaslui Purdea Leila, Lic. Teoretic „A. Saligny”, Cernavodă Vîlcu Cristina, C.N. „B. Ştirbei” Călăraşi Bosînceanu Andrada, Lic. Teoretic „Carol I”, Feteşti

Premiul special „Florin Cioacă”: Gae Silviu, clasa a VIII-a, Şcoala nr. 2 „Sf. Andrei”, Slobozia Drăjneanu Diana, clasa a X-a, C.N. „Mihai Viteazul”, Slobozia

Ediţia a XVIII-a, 23-25 martie 2012 .SUBIECTE Clasa a VII-a Subiectul I a) Fie numerele naturale nenule a, b cu a  b . Arătaţi că b  a  a, b, unde a, b reprezintă c.m.m.d.c. pentru numerele a şi b. b) Demonstraţi că oricare ar fi numerele naturale nenule a1 , a2 ,, a2011 cu proprietatea

a1  a2    a2011 are loc inegalitatea

1 1 1 1 1 , unde      a1 , a2  a2 , a3  a2010, a2011 a1 a2011

c, d  reprezintă c.m.m.m.c. al numerelor c şi d.

Alexandru Lăutaru, Petroşani, G.M. 12/2011 Subiectul II Să se determine lungimile laturilor unui triunghi isoscel, ştiind că lungimile laturilor sale sunt numere naturale şi că lungimea unei înălţimi este egală cu

2012 . Nicolae Papacu, Slobozia

65

Subiectul III Triunghiul ABC este dreptunghic în B, iar M este mijlocul înălţimii BD, D AC. Perpendiculara din D pe AM intersectează pe BC în E. Demonstraţi că triunghiul AEC este isoscel. Romanţa Ghiţă, Ioan Ghiţă, Blaj

Clasa a VIII-a Subiectul I Determinaţi numerele naturale nenule n pentru care ( a reprezintă partea întreagă a numărului real a)

n  2010 n  2011 şi sunt numere naturale. n 1 n



 



Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu, G.M. 12/2011 Subiectul II Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile x  3, 7  x, x  2 . Determinaţi x astfel încât diagonala paralelipipedului să aibă lungime minimă. Ioan Voicu, Răduleşti, Ialomiţa Subiectul III Să se determine toate intervalele I  a, b , a  b care au proprietatea: pentru orice

 a  b a  b  , y x  a, , b rezultă x  y  I şi x  y  I .  2    2  Nicolae Papacu, Slobozia

Clasa a IX-a Subiectul I Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale ecuaţia:

 n   n 3 2   1  n . Romanţa Ghiţă, Ioan Ghiţă, Blaj, G.M. 11/2011

Subiectul II Într-un triunghi având lungimile laturilor în progresie aritmetică se consideră centrul I al cercului înscris şi centrul O al cercului circumscris. Să se arate că: a) Una din paralelele duse la laturile triunghiului prin centrul său de greutate conţine punctul I. b) Una din bisectoarele triunghiului este perpendiculară pe OI. I.C. Drăghicescu, Bucureşti 66

Subiectul III Fie ABC un triunghi şi P   AB, Q   AC, astfel încât

PB AC QC AB . Ştiind că  ,  PA BC QA BC

centrul cercului înscris în triunghiul ABC aparţine lui PQ, să se arate că ABC este triunghi dreptunghic. Vasile Berghea, Avrig, G.M. 11/2011

Clasa a X-a Subiectul III Considerăm numerele complexe distincte z1 , z 2 , z3 de modul 1 astfel încât

z 2 z3 z3 z1 z1 z 2    1 . Să se demonstreze că z1 , z 2 , z3 sunt afixele unui 2 2 z1  z2  z2  z3  z3  z1 2 triunghi echilateral. Florin Stănescu, Găieşti, G.M. 12/2011 Subiectul II Fie z . Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) z  i b) z satisface, simultan, inegalităţile

z 1 i  1 z 2  1  i  1. Octav Drăgoi, Bucureşti Subiectul III Un patrulater este circumscris unui cerc. Dacă se cunosc lungimile a trei dintre laturile sale, se cere să se afle maximul ariei patrulaterului şi să se precizeze când se realizează acesta. I.C. Drăghicescu, Bucureşti

Clasa a XI-a Subiectul I Fie A, B  M 2 

 astfel încât

AB  O2 . Să se demonstreze că detA  Bn  detAn  Bn  ,

oricare ar fi numărul n  1 natural. Nicolae Bourbăcuţ, Sarmizegetusa Regia, G.M. 1/2012 Subiectul II Fie numerele a  0, b  0, c  0 . Să se demonstreze inegalitatea 67

a  3b a  3c 1   . a  b3a  b a  c3a  c a Benedict Niculescu, Bucureşti Subiectul III Fie a  1 . Se consideră o funcţie continuă F : 0,   0,  , astfel încât F1  1 şi Fa  a . Să se arate că există c  1, a astfel încât Fc 1  ln Fc  a Cătălin Cristea, Craiova, G.M. 4/2011

Clasa a XII-a Subiectul I Fie n un număr natural, n  2 , şi G,  un grup cu n 2  n  1 elemente. Ştiind că funcţia f : G  G , f x  x n , este endomorfism al grupului, să se arate că G,  este abelian. Marin Stroe, Hunedoara, G.M. 12/2011 Subiectul II Se consideră şirul I n n1 , dat prin relaţia I n 

x 2n1 1 (x 2  1) n dx , n  1. 1

2

1. Studiaţi monotonia şi mărginirea şirului I n n1 şi calculaţi lim nI n  . n

1 1 1   k k 5  k 1 k  2 n

2. Calculaţi lim   n

Nicolae Papacu, Slobozia Subiectul III 

cos2 x  sin x2012 0 1  sin x2012  cos x2012 dx . 2

Să se calculeze

Florin Nicolaescu, Balş . Lista premianţilor Clasa a VII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Zecheru Daniela, C.N. „Al. I. Cuza” Ploieşti Dinu Sabina, Şcoala nr. 3 Slobozia Hristescu Andrei, Şcoala nr. 3 Slobozia Băcanu Andreea, Şc. nr. 2 „Sf. Andrei” Slobozia Lăcătuş Andreea, Şcoala nr. 3 Slobozia 68

Păunescu Adrian, Şcoala nr. 2 „I. H. Rădulescu” Urziceni Oprea Adrian, Şcoala nr. 2 „I. H. Rădulescu” Urziceni Piscan Ioana Sabina, Şcoala nr. 7 „A. Vlaicu” Feteşti

Clasa a VIII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Ceacîreanu Filip, C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti Copaciu Tiberiu, C.N. „Al. I. Cuza” Ploieşti Tiţa Iulian, Şcoala nr. 2 „I. H. Rădulescu” Urziceni Popescu Andreea, Şcoala nr. 3 Slobozia Danciu Andra, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia

Clasa a IX-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Gae Silviu, cls. a IX-a, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Bîrsan Andrei, C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti Roşu Octavian, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Matache Cristian, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Cană Baicu Cosmin, C.N. „Barbu Ştirbei” Călăraşi Iordache Vlad, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Ilie Vlad, Liceul „A. Saligny”, Cernavodă

Clasa a X-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Custură Adrian Mihai, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Ţuţuianu Ana Maria, C.N. „Barbu Ştirbei” Călăraşi Vasilache Cosmin, Liceul „A. Saligny”, Cernavodă Şchiaua Dragoş, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Puia Cristian, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Kusztos Răzvan, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti

Clasa a XI-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Drăjneanu Diana, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Mihăilescu Elena, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Antohe Andreea, Liceul de Arta „Ionel Perlea” Slobozia Veigang Rădulescu Vlad Petre, C.N. „I. L. Caragiale” Ploieşti Ichim Georgiana, Liceul „A. Saligny”, Cernavodă Tatu Daniela, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Pojar Mihai, C.N. „Gr. Moisil” Urziceni

Clasa a XII-a Premiul I:

David Octavian, Liceul „A. Saligny”, Cernavodă 69

Premiul al II-lea: Premiul al III-lea:

Buzilă Eugen, Liceul „Carol I” Feteşti Geambaşu George, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Panţîru Dragoş, Liceul „A. Saligny”, Cernavodă

Premiul „F. Cioacă” pentru originalitate: Popescu Andreea, cls. a VIII-a, Şcoala nr. 3 Slobozia Drăjneanu Diana, cls. a XI-a, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia

Ediţia a XIX-a, 22-24 martie 2013 SUBIECTE Clasa a VII – a Subiectul I Să se arate că oricum am alege 23 de numere reale din intervalul 1,2012 , există trei printre acestea care pot fi lungimile laturilor unui triunghi. Mihai Bunget, Tg. Jiu, GM 10/2012 Subiectul II Arătaţi că un triunghi este dreptunghic în A dacă şi numai dacă are loc egalitatea

ma  b2  c2 

a (se folosesc notaţiile uzuale). 2

Gheorghe Stoica, Petroşani

Subiectul III Să se arate că: 86  1 

1 1 1   ...   89 . 2 3 2005 Ion Burcă, Slatina Clasa a VIII – a

Subiectul I Arătaţi că, pentru orice n număr natural nenul, avem:

5 13 25 2n2  2n 1 n  n  2    ...   . 2 2 2 2 2

Grigore Tarţa, Gherla, GM 1/2013 Subiectul II Să se rezolve ecuaţiile:

 x  x  x

a)          2013 2 3 6

 x  x  x

b)          2014 2 3 6

unde  y este partea întreagă a lui y  .

Nicolae Papacu, Slobozia 70

Subiectul III Fie ABCD un dreptunghi şi E un punct în spaţiu. Dacă triunghiurile ECB şi CBA sunt congruente şi AC  BE , arătaţi că E   ABC  . Calculaţi lungimea segmentului ED. Romanţa şi Ioan Ghiţă, Blaj Clasa a IX – a Subiectul I Să se arate că nu există pătrate perfecte de forma: n 9n  2012 , n 



. G.M. 9/2012

Subiectul II În triunghiul isoscel ABC ( AB = AC ), ortocentrul H este mijlocul unei înălţimi. Să se arate că: a) Punctul H este pe înălţimea din A şi avem

AB BC AC   2 3 3





b) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC atunci: HI  2  3 AH Marcel Ţena, Bucureşti Subiectul III Pe latura  BC  a triunghiului ABC se consideră un punct D. Arătaţi că : a) Dacă mA  900 , atunci AD  min  BD, DC 

b) Dacă mA  900 , atunci AD  max  BD, DC  Gheorghe Stoica, Petroşani Clasa a X – a Subiectul I Fie a, b, c numere întregi cu a2  4b  c2 . Să se arate că numărul a2  2b se scrie ca sumă de două pătrate perfecte. Julieta Raicu, Blaj, GM 9/2012 Subiectul II Se consideră trei numere reale nenule a, b, c cu următoarea proprietate: există trei numere complexe z1, z2 , z3 de module r1, r2 , r3 astfel încât az1  bz2  cz3  0. Să se arate că

 a  b a  c r 2  b  cb  a  r 2  c  a c  b r 2  z bc

1

ca

2

3

ab

i  i  A şi

 z2  z3

2

I.C. Drăghicescu, Bucureşti

Subiectul III Fie z  Definim mulţimile A  a  bz a, b  avem echivalenţa: A 

1

 , i  a  bi a, b   . Să se arate că

z 2  A. Marcel Ţena, Bucureşti

71

Clasa a XI – a Subiectul I Fie matricele A, B  M 2  orice n 



 cu proprietatea

AB  BA  A. Să se arate că ABn A  O2 , pentru

. Marian Cucoaneş, Mărăşeşti, GM 11/2012

Subiectul II

 

Să se calculeze limita şirului  an n1 , unde an  1 

n  n   n  . 1 2 ...1  2   n 1  n  2   n  n  2

Marcel Popescu, Slobozia Subiectul III Să se calculeze lim





ln 1  x2012   ln 1  x 

2012

x2013

x0

. Daniel Sitaru, Drobeta Turnu-Severin

Clasa a XII – a Subiectul I Fie G un grup finit comutativ. Spunem că un element a din G are proprietatea (A) dacă există un subgrup H al lui G astfel încât produsul tuturor elementelor din H este egal cu a. Să se arate că mulţimea elementelor lui G cu proprietatea (A) este un subgrup al lui G. Antonia Ciocan, Bucureşti, G.M. 9/2012 Subiectul II Fie n 



şi I n 

1

xn 0 x2  x 1dx . Să se arate că In este număr iraţional.

I.C. Drăghicescu, Bucureşti Subiectul III Spunem că un grup abelian G,  cu elementul neutru e are proprietatea (P), dacă se îndeplinesc simultan condiţiile: a) Hn  x  G / xn  e are cel mult n elemente pentru orice n   .

  b) H  x  G k  , x 

k



 e este finită.

1) Să se dea un exemplu de grup infinit G,  cu proprietatea (P). 2) Să se arate că există m  N  astfel încât H  Hm . 3) Să se arate că toate subgrupurile finite ale lui G sunt Hd , unde d este divizor al lui m. Marcel Ţena, Bucureşti

72

Lista premianţilor Clasa a VII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Antonie Iordache Ionuţ, Şc. Gimnazială „G. Enescu”, Sinaia Gheorghe Alina, Şc. Gimnazială „I.H. Rădulescu, Urziceni Turcea Adrian, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia Bâra Andrei, Şc. Gimnazială „I.H. Rădulescu” Urziceni Barbu Andrei, Şc. Gimnazială „I.H. Rădulescu” Urziceni Marin Bogdan, Şc. Gimnazială „N. Titulescu” Călăraşi Voinea Eduard, Şc. Gimnazială „Sf. Vasile” Ploieşti

Clasa a VIII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Zecheru Daniela, C.N. „Al. I. Cuza” Ploieşti Chirea Miruna Maria, Şc. Gimnazială „M. Viteazul” Călăraşi Hristescu Andrei, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia Dinu Sabina, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia Nicoară Cătălina, Şc. Gimnazială „I.H. Rădulescu” Urziceni Piscan Ioana, Şc. Gimnazială „A. Vlaicu” Feteşti Sava Ştefan, Şc. Gimnazială „I.H. Rădulescu” Urziceni Lăcătuş Andreea, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia Dincă Iustin, Şc. Gimnazială nr. 7 Giurgiu

Clasa a IX-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Ceacîreanu Filip, C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti Neagu Robert, C.N. „B. P. Haşdeu” Buzău Chiriac Andreea, Lic. Teoretic „M. Eminescu” Călăraşi Comănici Codruţa, C.N. „Gr. Moisil” Urziceni Danciu Andra, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Mocanu Diana, C.N. „Sf. Sava” Bucureşti Popescu Andreea, C.N. „M. Viteazul” Slobozia

Clasa a X-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Ciubotaru Alexandra, C.N. „Sf. Sava” Bucureşti Bîrsan Andrei, C.N. „Mihai Viteazul” Ploieşti Icăţoiu Cosmin, C.N. „Al. Vlahuţă” Râmnicu Sărat Gae Silviu, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Ichim Marina, C.N. „Sf. Sava” Bucureşti Ilie Vlad, Lic. „A. Saligny”, Cernavodă Roşu Octavian, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti

73

Clasa a XI-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Drăgan Relu, C.N. „B. P. Haşdeu” Buzău Vasilache Teodor, Lic. „A. Saligny”, Cernavodă Ţuţuianu Ana Maria, C.N. „Barbu Ştirbei” Călăraşi Ion Daniela, C.N. „B. P. Haşdeu ” Buzău Radu Cristiana, C.N. „Barbu Ştirbei” Călăraşi Custură Mihai, C.N. „M. Viteazul” Slobozia

Clasa a XII-a Premiul I: Premiul al II-lea: Premiul al III-lea: Menţiuni:

Drăjneanu Diana, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia Popina Sebastian Marius, C.N. „B. P. Haşdeu ” Buzău Jercăianu Alexandru, C.N. „B. P. Haşdeu ” Buzău Pojar Mihai, C.N. „Gr. Moisil” Urziceni David Rodica, C.N. „B. P. Haşdeu ” Buzău Mihăilescu Elena, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti Tatu Daniela, C.N. „M. Viteazul” Slobozia

Premiul „F. Cioacă” pentru originalitate în rezolvarea unei probleme: Drăjneanu Diana, C.N. „Mihai Viteazul” Slobozia.

Ediţia a XX-a, 28-30 martie 2014 SUBIECTE Clasa a VII-a Subiectul I. Se consideră triunghiul ABC cu m  A  1350 . Perpendiculara în A pe AB

intersectează latura  BC în D , iar bisectoarea unghiului B intersectează latura  AC în E . Să se determine măsura unghiului BED . Traian Preda, Bucureşti, G.M. nr. 1/2014 Subiectul II. Se consideră patrulaterul convex ABCD . Arătaţi că dacă triunghiurile ABC , CDB , DAC și ABD au acelaşi perimetru, atunci ABCD este dreptunghi. *** n n Subiectul III. Deteminaţi numerele naturale n pentru care numărul 3  22 este pătrat perfect. Nicolae Papacu, Slobozia Clasa a VIII-a

Subiectul I. Se consideră cubul ABCDABCD . Dacă M este mijlocul muchiei CC , determinaţi măsura diedrului format de planele  ABM  şi  AMC . Cezar Ozunu, Dăneţi, G.M. nr. 2/2014

74

Subiectul II. Să se determine x  0,1 cu proprietatea că:

x  x .  x

(Notăm cu x partea fracţionară a lui x şi cu  x partea întreagă a lui x ). Subiectul III. Fie k  . Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale ecuaţia: x2  k 2 1 x  2k  1  0 .



***



*** Clasa a IX-a Subiectul I. Fie ABCD un patrulater înscris într-un cerc de rază R. Să se arate că AB  BC  CD  DA  4R4 . Constantin Rusu, G.M. nr. 1/2014 Subiectul II. Arătaţi că numărul 1 2  3  2  3  4  3  4  5   n  n 1 n  2 nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi n 



.

Inocenţiu Drăghicescu, Bucureşti Subiectul III. Să se arate că, pentru orice triunghi ABC care nu este obtuzunghic şi orice numere

m, n, p3,4,5,

 , este adevărată inegalitatea:

cos A cos B cos C 3 .  n  p  m sin A sin B sin C 2sin Asin B sin C

Inocenţiu Drăghicescu, Bucureşti

Clasa a X-a Subiectul I. Fie b un număr real strict pozitiv şi n un număr natural nenul. Să se arate că ecuaţia z n1  bz n  z  b are o rădăcină complexă de modul 1 dacă şi numai dacă b  1 şi n  4k 1 unde k  . Ioan Băietu, Botoşani, G.M. nr. 10/2013 Subiectul II. Să se rezolve în numere reale ecuaţia:

2tgx  2ctgx  4 . Subiectul III. Să se rezolve în numere complexe ecuaţia:

1 z  1 2z  3z2 





 nz n1   n 1 1 z  z 2 

Subiectul I. Pentru un şir  an n0

Marcel Ţena, Bucureşti



 z n1 , unde n . Marcel Chiriţă, Bucureşti

Clasa a XI-a dat, definim şirurile  xn n0 şi  yn n0 prin: xn  min  an , an1 

şi yn  max  an , an1  , pentru orice n  0 .

a) Să se arate că dacă şirul  an n0 este convergent, atunci şirurile  xn n0 şi  yn n0 sunt şi ele convergente. b) Este adevărată reciproca? *** G.M. nr. 11/2013 Subiectul II. a) Să se demonstreze că pentru orice t 0,1 , avem inegalitatea:

2t  1  t 2 . b) Să se rezolve ecuaţia: 75

2sin x  2cos x  3 . Marcel Ţena, Bucureşti

Subiectul III. Fie a, b

n



0 b 0  a 0 b  . Să se calculeze M n , pentru  0 a 0  b 0 a

a 0 și matricea M   b  0

. Inocenţiu Drăghicescu, Bucureşti Clasa a XII-a

Subiectul I. Să se determine funcţiile derivabile f :  0,    0,  cu f 1  proprietatea: f   x  

2013 f  x  , pentru orice x  0,  . x2014  x

Subiectul II. Pentru orice k 





, notăm Uk  x 

determine: a) Cel mai mare subgrup G al grupului

Um şi U n . b) Cel mai mic subgrup al H grupului H.

1 , care au 2

Supliment G.M. nr. 10/2013 x  1 . Fiind date m, n   , să se k



 , cu proprietatea că G  , cu proprietatea că Um

este subgrup al grupurilor şi U n sunt subgrupuri ale lui Marcel Ţena, Bucureşti

1

Subiectul III. Se consideră şirul I n n1 , unde I n  xn arctg  nx  dx . Să se calculeze lim  nIn  .



n

0

Nicolae Papacu, Slobozia

Lista premianţilor Clasa a VII-a Premiul I: Căpraru Adrian-Mircea-Gabriel, C.N."M. Viteazul" Ploieşti, Drăgoi Sabina, ICHB, Lipan Dragoș, Șc. Gimnazială "F. Neagu" Brăila, Stănescu Andrei, Şc. Gimnazială „Sf. Andrei” Slobozia Premiul al II-lea: Călin Cristian, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia Mențiuni: Ilie Alexandru, C.N."M. Viteazul" Ploieşti, Belceanu Cătălin, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia, Ovreiu Auraş, Sc. Gimnazială ,, A. Vlaicu “ Feteşti Clasa a VIII-a Premiul I: Barbu Andrei Cristian, Şc. Gimnazială „I. H. Rădulescu” Urziceni Premiul al II-lea: Drăghici Delia, C.N."M. Viteazul" Ploieşti 76

Premiul al III-lea: Vlad Miruna, C.N. "N. Bălcescu" Brăila Mențiuni: Turcea Adrian, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia, Bâra Andrei Robert, Şc. Gimnazială „I. H. Rădulescu” Urziceni, Gheorghe Alina Andreea, Şc. Gimnazială „I. H. Rădulescu” Urziceni, Stănculescu Anca, Şc. Gimnazială nr. 3 Slobozia Clasa a IX-a Premiul I: Zecheru Daniela Cristina, C.N."Al.I.Cuza" Ploieşti Premiul al II-lea: Lăcătuş Andreea, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Premiul al III-lea: Dinu Sabina, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Mențiuni: Hristescu Andrei, C.N. „M. Viteazul” Slobozia, Lazăr Andreea, C.N. „M. Viteazul” Slobozia, Meiroșu Rareș, C.N. "N. Bălcescu" Brăila Clasa a X-a Premiul I: Neagu Robert, C.N.“B.P.Haşdeu” Buzău Premiul al II-lea: Chiriac Andreea, C.N. “B. Ştirbei” Călăraşi, Tiţă Iulian, C.N.”Gr. Moisil”, Urziceni Premiul al III-lea: Kelesidis Evgnosia-Alexandra, C.N."M. Viteazul" Ploieşti Mențiuni: Dragomir Horia Alexandru, C.N. "I. C. Brătianu" Pitești, Ceacîreanu Mihai Filip, C.N."M. Viteazul" Ploieşti, Șerbănescu Corina Ioana, C.N. "I. L. Caragiale" , Ploieşti, Barbu Andrei, C.N. "N. Bălcescu" Brăila Clasa a XI-a Premiul I: Ilie Cătălin-Andrei, C.N. "M. Viteazul" Ploieşti Premiul al II-lea: Bîrsan Andrei, C.N. "M. Viteazul" Ploieşti Premiul al III-lea: Gae Silviu, C.N. „M. Viteazul” Slobozia Mențiuni: Matache Cristian-Răzvan, C.N."I. L. Caragiale", Ploieşti, Ilie Vlad, Lic. Teoretic "A. Saligny" Cernavodă, Icătoiu Cosmin, C.N. “Al. Vlahuță” Rm. Sărat, Minciu Oana, Liceul de Arte ”I. Perlea” Slobozia Clasa a XII-a Premiul I: Cosma Ioan-Adrian, C.N. „Gh. Șincai” București Premiul al II-lea: Drăgan Relu, cls. a XII-a, C.N.“B.P.Hasdeu” Buzău Premiul al III-lea: Kusztos Răzvan-Emanuel, C.N."I. L. Caragiale", Ploieşti Mențiuni: Vasilache Teodor Cosmin, Lic. Teoretic "A. Saligny" Cernavoda, Toma Theodor, C.N. "N. Bălcescu" Brăila, Țuțuianu Ana Maria, C.N. “B. Ştirbei” Călăraşi, Bantaş Mihai, C.N. „Gh. Șincai” București Premiul „Fl. Cioacă” pentru originalitate în rezolvarea unei probleme: Stănescu Andrei, cls. a VII-a, Şc. Gimnazială „Sf. Andrei” Slobozia.

77

Ediția a XXI-a, 27-29 martie 2015 Subiecte Clasa a VII-a Subiectul I Dacă a,b sunt cifre nenule astfel încât a  b  10 , iar c astfel încât ab  c  25 , arătați că numărul 2015a  2015b  c este pătrat perfect. D.M. Bătinețu-Giurgiu, București, Neculai Stanciu, Buzău Subiectul II a) Determinaţi numerele naturale n pentru care 16n 12n este pătrat perfect. b) Determinaţi numerele naturale n care verifică relaţia 16n 12n  11n  5n  4n . Nicolae Papacu, Slobozia Subiectul III Fie paralelogramul ABCD. Se notează cu E simetricul punctului A față de diagonala BD. Demonstrați că punctele B, C, E, D sunt pe același cerc. Ion Voicu, Rădulești, Ialomița Clasa a VIII-a Subiectul I Determinați numărul natural n și numărul natural prim p , astfel încât numărul pn  8 să fie un cub perfect. Nicolae Papacu, Slobozia Subiectul II Determinați numerele prime p și q astfel încât

 p 1!1  q6  39 p

( Dacă n  1 este un număr natural, notăm n!  1 2  3   n ) . Cristian Moanță, Lucian Tuțescu, Craiova, Supliment G.M., 2/2015 Subiectul III Se consideră tetraedrul ABCD și punctele M   AB , N   AC  și P   AD  astfel încât

1 1 MA  AB , N este mijlocul lui AC și AP  AD . Fie Q și R punctele de intersecție ale 3 3 planului (MNP) cu dreptele BC, respectiv CD. Să se arate că dreapta de intersecție a planelor (ABR) și (ADQ) este paralelă cu planul (BCD). Marian Mărgărit, Slobozia

Clasa a IX-a Subiectul I 2 2 Să se rezolve ecuația x2  5 x  2x  0 Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul II 78

Dacă A, B, C sunt măsurile unghiurilor unui triunghi, să se demonstreze că numerele

A B C sunt lungimile laturilor unui triunghi. cos ,cos ,cos 2 2 2

D.M. Bătinețu-Giurgiu, București, Neculai Stanciu, Buzău, G.M. nr.2/2015 Subiectul III Fie H ortocentrul triunghiului ascuțitunghic ABC. Calculați măsura unghiului A, știind că

BH  CH  BA  CA  4 BC Mihaela Berindeanu, București Clasa a X-a Subiectul I Să se rezolve în numere reale ecuația:

2log5 x 1  5  xlog5 4  2 . Camelia Macsut, Supliment G.M. 3/2015

Subiectul II Să se arate că în orice triunghi ABC, are loc egalitatea

1 1 1 1 1  2 2  2 2 AI BI CI AI  BI  CI r

unde I, r semnifică centrul, respectiv raza cercului înscris.

Florin Rotaru, Focșani Subiectul III Fie z1, z2 ,

, zn 



, n



4

n

 

n 1  4n  8 Re zk2 . . Să se arate că:  zk  zk k 1 k 1

Daniel Sitaru, Drobeta Turnu Severin Clasa a XI-a Subiectul I

1 a ha hb    Se consideră matricea A  1 b hb hc  , unde cu a, b, c se notează lungimile laturilor 1 c h h  c a  unui triunghi, iar cu ha , hb , hc lungimile înălțimilor triunghiului. Să se arate că det A  0 . În ce condiții avem det A  0 ? Lucian Dragomir, Oțelu Roșu, Supliment G.M., 12/2014 Subiectul II Fie numărul real x0 . Considerăm șirul  xn n0 , cu termenul general satisfăcând relația de recurență xn1 

3xn2  xn  2 2xn2  xn  3

Să se arate că șirul este convergent și să i se afle limita. Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul III Să se determine funcțiile derivabile f : (i)

f  0  0 .



79

cu proprietățile:

f   f  x   1, pentru orice x .

(ii)

Marcel Țena, București

Clasa a XII-a Subiectul I

    2

Să se determine o primitivă a funcției f :  0,

f  x   sin x ln tgx  ctgx  .

, definită prin

Vasile Mircea Popa, Sibiu, Supliment G.M., 2/2015 Subiectul II Fie  A, ,  un inel cu proprietatea că x2  0 sau x2  1 , pentru orice x  A . Să se demonstreze că: a) Grupul elementelor inversabile din inelul A este U  A  x  A x2  1 .





b) Inelul A este comutativ. Lurențiu Panaitopol, Toma Albu, București Subiectul III 1





Să se calculeze lim  ln xn  ex dx . n

0

Traian Tămâian, Carei Lista premianților Clasa a VII-a Premiul I: Săvulescu Ştefan, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti Premiul al II-lea: Sima Cosmin Alexandru, Şc. Gimnazială „A. Vlaicu” Feteşti Premiul al III-lea: Vârlan Mihnea, Şc. Gimnazială Centrală Câmpina Mențiuni: Bâra Sînziana, Șc. Gimnaziala „I. H. Radulescu” Urziceni; Mihai Raluca, Șc. Gimnazială Nr. 1 Rîmnicu Sărat Clasa a VIII-a Premiul I: Dumitru Cătălin, C.N. ,,B.P. Haşdeu” Buzău; Ovreiu Auraş, Şc. Gimnazială „A. Vlaicu” Feteşti; Stănescu Andrei, Şc. Gimnazială „Sf. Andrei” Slobozia Mențiuni: Buf Sorina, Şc. Gimnazială Nr. 3 Slobozia; Căpraru Adrian, C.N. ,,Mihai Viteazul” Ploieşti; Săceleanu Andrei, Şc. Gimnazială „A. Vlaicu” Feteşti Clasa a IX-a Premiul I: Bâra Andrei, Liceul Internațional de Informatică Constanţa; Corcescu Tiberiu, Liceul Internațional de Informatică Constanţa; Gheorghe Alina, C.N. Militar ,,D.Cantemir” Breaza Mențiuni: Voinea Eduard, C.N. ,,Mihai Viteazul” Ploieşti; Milcu Ana Maria, Liceul Internațional de Informatică Constanţa; Zevri Radu, Liceul Internațional de Informatică Constanţa; Turcea Adrian, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia; 80

Clasa a X-a Premiul I: Zecheru Daniela, C.N. „Al. I. Cuza” Ploieşti Premiul al II-lea: Sava Ştefan, C.N. Militar ,,D.Cantemir” Breaza Premiul al III-lea: Constantin Maria, C.N. ,,Mihai Viteazul” Ploieşti Mențiuni: Dinu Sabina, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia; Lăcătuș Andreea, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia; Ioniță Cristian, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia; Manole Daniela, Liceul Teoretic „A. Saligny” Cernavodă; Hristescu Andrei, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia Clasa a XI-a Premiul I: Dragomir Horia Alexandru, C.N. „I. C. Brătianu” Piteşti Premiul al II-lea: Chiriac Andreea, C.N. ”Barbu Știrbei” Călăraşi Premiul al III-lea: Tiţă Iulian, C.N. „Grigore Moisil” Urziceni Mențiuni: Troscot Silviu, C.N. ,,Al. Vlahuţă“ Rîmnicu Sărat; Savu Mihnea, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti; Leca Silviu, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia Clasa a XII-a Premiul I: Ilie Vlad, Liceul Teoretic „A. Saligny” Cernavodă; Matache Cristian, C.N. „I.L. Caragiale” Ploieşti. Premiul al III-lea: Gae Silviu, C.N. ,,Mihai Viteazul” Slobozia Mențiune: Icatoiu, Vlad, , C.N. ,,Al. Vlahuţă“ Rîmnicu Sărat

Ediția a XXII-a, 1-3 aprilie 2016 Subiecte Clasa a V-a Subiectul I. a) Aflați valorile numărului natural nenul n pentru care fracția

4n  3 este reductibilă. 5n 1

b) Arătați că suma numerelor care împărțite la 2016 dau restul de două ori mai mare decât câtul, se poate scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive. Marcel Popescu, Slobozia Subiectul II. Un număr natural se numește cub bipătratic dacă este cub perfect și se scrie ca suma a două pătrate perfecte nenule diferite. Un număr natural se numește pătrat bicubic dacă este pătrat perfect și se scrie ca suma a două cuburi perfecte nenule diferite. a) Dați exemplu de un cub bipătratic și un exemplu de pătrat bicubic. b) Arătați că există o infinitate de cuburi bipătratice și o infinitate de pătrate bicubice. Cătălin Cristea, Craiova, G.M. nr. 11/2015 Subiectul III. Mulțimea numerelor naturale pare și nenule se scrie într-un tabel în felul următor: Linia 1 2 Linia 2 4, 6 81

Linia 3 8, 10, 12 Linia 4 14, 16, 18, 20 Linia 5 22, 24, 26, 28, 30 ........................................................................................................... a) Aflați cu ce număr începe linia 2016. b) Aflați pe ce linie se găsește numărul 2016 c) Aflați valoarea numărului natural nenul n astfel încât suma elementelor liniei n să fie egală cu 8020. Marcel Popescu, Slobozia Clasa a VI-a Subiectul I. Două dintre numerele raționale a, b, c sunt numere naturale. Numerele a, b, c sunt direct proporționale cu numerele k , k 1, k  2 , unde k este număr natural impar mai mare sau egal cu 3. Determinați numerele a, b, c, k știind că a  c  112  2b . Dan Nedeianu, Drobeta Turnu Severin, G.M. nr. 12/2015 Subiectul II. Se consideră unghiurile DAB , BAC , CAE ascuțite și congruente două câte două, astfel încât  AD   AB și  AC    AE  . Fie P  BE  DC , M   AB  DC și

N  BE  AC .

a) Să se arate că unghiurile AMP și ANP sunt suplementare. b) Dacă AMP  ANP , atunci să se arate că dreptele AP și BC sunt perpendiculare. Marian Mărgărit, Slobozia

2 3 4   2 22 23

Subiectul III. Se consideră numărul S  1   Să se arate că 3  S  4 .



2016 . 22015 Marian Mărgărit, Slobozia

Clasa a VII-a 3 3 Subiectul I. Arătați că numărul  2n  1   2n 1 se scrie ca suma a trei pătrate perfecte, oricare ar fi n 



.

Aurel Doboșan, Lugoj, G. M. Nr. 1/2016 Subiectul II. Se consideră ABCD paralelogram cu AC=2AB, AC  AB . Dacă E este mijlocul segmentului  AD , perpendiculara din D pe CE taie perpendiculara în B pe AB în punctul F, să se arate că dreapta EF trece prin mijlocul segmentului  AC

Sorana Ionescu, Slobozia Subiectul III. Să se arate că pentru orice număr natural n : a) 5n  3n nu se divide prin 7; b) 5n  3n nu este pătrat perfect. Nicolae Papacu, Slobozia Clasa a VIII-a Subiectul I. În trapezul ABCD puncctele M și N sunt mijloacele laturilor neparalele AD, respectiv BC, CM  DN  Q , raportul bazelor este a) Exprimați aria trapezului în funcție de k și t . 82

AB  k  1 , iar A DQC  t . CD

b) Există k, t naturale astfel încât aria trapezului să fie 2016? Mihail Frăsilă, Constantin Petrea, Pașcani Subiectul II.

x y . 2 BAC   m  BAD  m  CAD  600 ,

x2  xy  y2 

a). Fie x, y  0 numere reale. Demonstrați că

b). Tetraedrul ABCD îndeplinește condițiile: m 

AB  AC  AD  BC  BD  CD . Demonstrați că ABCD este un tetraedru regulat. Cătălin Cristea, Craiova, G.M. nr. 2/2016 Subiectul III. Se dă cubul ABCDABCD și fie P piciorul perpendicularei din C pe AC . a) Să se arate că triunghiurile APD și ABC sunt congruente. b) Aflați cosinusul unghiului format de planele  APD și  ABC  . Ion Neață, Slatina Clasa a IX-a

Subiectul I. Să se rezolve ecuația x  22x  10x  9 . Constantin Nicolau, Curtea de Argeș, G.M. nr. 12/2015 Subiectul II. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC cu a  b  c , unde a  BC , b  AC , c  AB . 1). Să se arate că există un unic pătrat cu două vârfuri pe BC și celelalte două vârfuri pe AB și BC . 2). Notăm cu Sa aria acestui pătrat. Fie Sb și Sc ariile pătratelor construite analog pentru laturile CA și AB . Să se arate că Sa  Sb  Sc . Inocențiu Drăghicescu, București 2

Subiectul III. Să se arate că

1 1   n 1 n  2



1 4  pentru orice n  3n 3



.

Valentin Nicula, București

Clasa a X-a pentru care n 29 2  41  n 29 2  41  2 . Aurel Doboșan, Lugoj, G.M. nr. 12/2015 Subiectul II. Să se determine toate funcțiile f :  cu proprietatea: Subiectul I. Să se determine numărul n 



n

 f  k  f  n  k   2 f  n , n  n

.

k 0

Marcel Țena, București

Subiectul III.

a  0,  .

a  1x  a y  a y 1  y Să se rezolve în numere reale sistemul a  1  a z  a z 1 , unde  z x x 1 a  1  a  a Nicolae Papacu, Slobozia 83

Clasa a XI-a n

Subiectul I. Să se calculeze lim

n!

.

n 1 1  1   1 2 3 n

e

Cătălin Pană, Râmnicu Vâlcea Subiectul II. Fie matricele de ordinul 2 cu elemente numere reale A, B, C astfel încât A2015  B2015  C2015  AB  BC  CA  O2 . Să se arate că A2  B2  C2  O2 . Există matrice nenule cu proprietățile din enunț? Lucian Tuțescu, Craiova, G.M. nr. 12/2015

exi n n Subiectul III. Fie x1, x2 , , xn   0,  . Să se arate că    x . xi 2 i 1 i i 1 1  e n

Daniel Sitaru, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XII-a Subiectul I. Se consideră ecuația x  3x  5x2  mx  2  0 , unde m , m  0 . Notând cu x1, x2 , x3 , x4 rădăcinile ecuației, să se demonstreze că exact 3 dintre punctele de afixe x1, x2 , x3 , x4 sunt situate în planul complex de aceeași parte a axei imaginare. Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul II. Fie funcția f : 0,1  de două ori derivabilă, cu f  0  0 și f   0  0 . Să se 4

1

calculeze lim n n

2

3

 x

 f  n  dx . 0

Florin Rotaru, Focșani, G.M. nr. 12/2015 un „polinom infinit”, adică o expresie scrisă unic

Subiectul III. Numim serie formală peste sub forma f  X   a0  a1 X  a2 X 2 



  an X n , unde an  , n  , iar X este o n0

nedeterminată. Două serii formale se înmulțesc „precum polinoamele”, adică    n  n n a X b X    n   n   cn X , unde cn   aibj . i  j n  n0  n0  n0 Determinați seriile formale cu proprietatea: f 2  X   f  2 X 

Marcel Țena, București

Premianții acestui concurs sunt:

Clasa a V-a Premiul I: Toader Sebastian (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al II-lea: Dumitru Maria (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al III-lea: Șerban Ioana (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia)

84

Mențiuni: Drăgan Mihaela (Șc. Gimn. „Al. Odobescu” Urziceni), Țigău Mara (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Dinu Raluca (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Iagăr Vlad (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Istrate Mihai (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia), Duzi Mihai (Șc. Gimn. „Al. Odobescu” Urziceni), Mihai Dragoș (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia). Clasa a VI-a Premiul I: Petre Alexandru (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al II-lea: David Andrei (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al III-lea: Costea Andreea (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Mențiuni: Niță Eduard (C.N. „Gr. Moisil” Urziceni), Parfinescu Claudiu (Șc. Gimn. „A. Vlaicu” Fetești), Berbece Rian (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia) Clasa a VII-a Premiul I: Ionescu Dan (Şc. Gimn. "Sf. Andrei" Slobozia) Premiul al II-lea: Manea Lidia (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al III-lea: Neacșu Liviu (C.N. „B.P. Hașdeu” Buzău) Mențiuni: Băceanu Robert (C.N. „B.P. Hașdeu” Buzău), Frunză Vladimir (C.N. „I.L. Caragiale” Ploiești), Gurău Denis (Șc. Gimn. „A. Vlaicu” Fetești), Negoiță Anca (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Bordea Cosmin (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Clasa a VIII-a Premiul I: Dinu Andreea (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Donescu Irina (C.N. ”N. Bălcescu” Brăila), Mincu Mihai (Șc. Spectrum Ploiești), Nicoară Laura (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Mențiuni: Buzoianu Dan (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Vârlan Mihnea (Șc. Centrală Câmpina) Clasa a IX-a Premiul I: Dumitru Cătălin (C. N. „B.P. Hașdeu” Buzău), Olteanu Cătălina (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Premiul al III-lea: Gheorghe Antonia (C.N. „I.L. Caragiale” Ploiești) Mențiuni: Călin Cristian (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Nastasia Alexandru (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Surugiu Horia (C.N. "Gh. Șincai" București), Bercaru Teodora (C.N. „Spiru Haret” București), Irimia Alexandra (C.N. „M. Viteazul” Ploiești), Moraru Mircea (C.N. "Gh. Șincai" București) Clasa a X-a Premiul I: Bonifate Tudor (C.N. „I.L. Caragiale” Ploiești) Premiul al II-lea: Gheorghe Alina (C. N. Militar „D. Cantemir” Breaza) Premiul al III-lea: Voinea Eduard (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Mențiuni: Popa Iulia (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Bazavan Cristian (C.N. „Spiru Haret” București) Clasa a XI-a Premiul I: Sava Ștefan (C. N. Militar „D. Cantemir” Breaza) 85

Premiul al II-lea: Mușat Mihai (C.N. „I.L. Caragiale” Ploiești) Premiul al III-lea: Lazăr Andreea (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Mențiuni: Constantin Maria (C.N. „M. Viteazul” Ploiești), Dinu Sabina (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Hristescu Andrei (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Clasa a XII-a Premiul I: Dragomir Horia (C.N. „I. C. Brătianu” Pitești) Premiul al II-lea: Tiță Iulian (C.N. „Gr. Moisil” Urziceni) Premiul al III-lea: Stănișor Ștefan (ICHB) Mențiuni: Grosulea Andreea (C.N. "Gh. Șincai" București), Focșăneanu Bogdan (C.N. "Gh. Șincai" București)

Ediția a XXIII-a, 31 martie-2 aprilie 2017 Subiecte Clasa a V-a Subiectul I. Pe o tablă sunt scrise numerele 1,2,3,...,2017. Un pas constă în ștergerea a două numere de pe tablă și punerea în loc a restului împărțirii sumei lor la 251. După mai mulți pași, pe tablă rămân două numere. Dacă unul dintre aceste numere este 1007, aflați care este celălalt număr. Cristina Militaru, București, G.M. nr. 1/2017 Subiectul II. Aflați câtul și restul împărțirii numărului 2  32017  51017 la numărul 22  32015  51015 Marcel Popescu, Slobozia Subiectul III. Aflați pentru fiecare x4,5,6,7,8,9 numărul abcde cu proprietatea că dacă punem x la sfârșitul lui, obținem un număr de 4 ori mai mic decât numărul obținut prin așezarea lui x la începutul numărului abcde . Marcel Popescu, Slobozia

Clasa a VI-a

Subiectul I. Fie n un număr natural, n  2 . Arătați că

2n2 1 se scrie ca o fracție zecimală periodică mixtă. n5  n

Constantin Petrea, Pașcani, G. M. nr. 2/2017 Subiectul II. Se consideră numerele naturale nenule a, b, c astfel încât a  b  c și 6c  17b 11a .

Să se arate că 1122 divide numărul n   c  a  c  bb  a  a  b  c  . Marian Mărgărit, Slobozia 86

Subiectul III. În triunghiul neisoscel ABC , bisectoarea unghiului BAC intersectează madiatoarea laturii BC în punctul M . Să se arate că unghiurile BAC și BMC sunt suplementare. Marian Mărgărit, Slobozia

Clasa a VII-a Subiectul I. SE consideră triunghiul oarecare ABC și ceviana AA , A   BC  , astfel încât triunghiurile ABA și ACA au perimetre egale. Similar, se constriesc cevienele BB și CC . Să se arate că AA , BB și CC sunt concurente. Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul II. 1. Să se determine numerele naturale nenule n pentru care 3n  7n  8n  4n  5n  9n . 2. Să se arate că 4n  5n  9n nu este pătrat perfect oricare ar fi numărul natural nenul n . Nicolae Papacu, Slobozia Subiectul III. Se consideră triunghiul ABC în care m  ABC   800 , m  ACB   700 . Fie D  Int  ABC 

astfel încât triunghiul BCD este echilateral. Notăm DC  AB  E . Să se arate că ED  EA . Sorana Ionescu, Slobozia Clasa a VIII-a Subiectul I. Să se arate că există o infinitate de valori ale numărului natural n pentru care numărul 2017n 17 este divizibil cu 20. Nicolae Papacu, Slobozia Subiectul II. Fie ABCDA1B1C1D1 un cub și punctul T   BB1  astfel încât

BT 1  . Fie M   D1T   ABC  . TB1 2

Știind că aria triunghiului ACM este egală cu 36cm2 , calculați distanța de la punctul C la planul  AC1M  . Daniela Tilincă, Adriana Mihăila, Brăila, Supliment G.M. nr. 2/2017 Subiectul III. Fie numerele a, b, c strict pozitive. Să se demonstreze inegalitatea:

ab bc ca ab  bc  ca  2  2 1  4  2 2 2 . 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a b c 2

Costel Anghel, Slatina

87

Clasa a IX-a Subiectul I.



Fie x, y, z  0 . Să se demonstreze că x2  y2

 y

2





 z 2 z 2  x2  xyz  x  y  y  z  z  x  . Florin Rotaru, Focșani

Subiectul II. Se consideră triunghiul ABC de laturi BC  a , CA  b , AB  c și punctele A  (BC) , B  CA , C  ( AB) , astfel încât BA  CB  AC  x . Să se precizeze, în ce condiții există

x  0 astfel încât aria triunghiului ABC să fie minimă și în aceste condiții, să se calculeze x în funcție de a, b, c . Benedict Niculescu, București, G.M. nr. 3/2017 Subiectul III.

x 1 y 1 z 1    6 unde x, y, z sunt numere reale strict x  yz y  zx z  xy pozitive care satisfac relația x  y  z  1 . Demonstrați inegalitatea

Vasile Mircea Popa, Sibiu Clasa a X-a Subiectul I. Fie z1, z2 , z3 , z4 njumere complexe astfel încât z1  z2  z1  z2 și z3  z4  z3  z4 . Să se arate că z13  z23 și z36  z46 . Marcel Țena, București Subiectul II. 2 x 2  5x Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x 5x   1. x

3

Subiectul III.



Vasile Șteopoaie, Sângeorz - Băi

 



a) Demonstrați că an2  bn2   a  b  an1  bn1  ab an  bn , pentru orice a, b

n



.



și



2

b) Demonstrați că sin14 x  cos14 x  1 7sin2 x cos2 x 1  sin2 x cos2 x . c) Rezolvați ecuația sin14 x  cos14 x 

169 6 cos  2x  în intervalul 64

   0, 2    Marius Iosifescu (adaptare)

Clasa a XI-a Subiectul I.

5 x   2x



n n Se consideră șirul  xn n1 , definit prin x1  0 , xn1  , pentru orice n  1. Să se 3 x   4x  n

n

arate că șirul este convergent și să se calculeze lim xn . n

Inocențiu Drăghicescu, București 88

Subiectul II. Considerăm șirurile de numere reale  an n1 , bn n1 , unde a1  b1  și an1  2

1

1  an , 2

1  an , pentru n  1. Consideră de asemenea șirul de matrice  An n1 , unde 2 bn  a An   n  . Se cere:  bn an  i. Să se calculeze lim an și lim bn . bn1 

n

n

ii. Să se arate că pentru orice n 



există k  

iii. Notând cu kn cel mai mic număr k 



astfel încât Ank  I2 . pentru care Ank  I2 să se calculeze lim knbn . n

Marcel Țena, București Subiectul III. Să se determine funcțiile derivabile f :





  0,  cu proprietatea că tangenta la graficul

funcției în fiecare punct M x0 , f  x0  intersectează Ox în punctul M  x0 1,0 . Andrei Vernescu, București Clasa a XII-a Subiectul I. 1n

Să se calculeze lim 

n 0

1  x ln  2  x  dx . Ion Nedelcu, Ploiești, G.M. nr. 11/2016

Subiectul II. Fie L un corp comutativ și K  L un alt corp, operațiile din K fiind induse de cele din L . Presupunem că orice polinom f  K  X  , este ireductibil în inelul K  X  , rămâne ireductibil în inelul L  X  . Să se demonstreze egalitatea:





K    L h  K  X  , h  0, cu h    0 . Marcel Țena, București



Subiectul III. Arătați că

  cos(sin x)  sin(cos x) dx  4

2

2 0

.

Daniel Sitaru, Drobeta Turnu-Severin

Premianții concursului sunt: Clasa a V-a Premiul I: Costea Anamaria (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al II-lea: Popescu Mihnea (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al III-lea: Litu Bogdan (Șc. Gimn. ”A. Vlaicu” Fetești)

89

Mențiuni: Hughineață Rareș (Șc. Gimn. ”I.H. Rădulescu Urziceni), Agheorghesă Sebastian (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia), Oprea Mircea (Șc. Gimn. ”A. Vlaicu” Fetești) Clasa a VI-a Premiul I: Dumitru Maria (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Toader Sebastian (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al III-lea: Șerban Ioana (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Mențiuni: Lazăr Razvan (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia). Clasa a VII-a Premiul I: Barbu Bianca (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Premiul al II-lea: Berbece Rian (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia) Premiul al III-lea: Stanca Victor (Șc. Gimn. nr. 56 București) Mențiuni: Petre Alexandru (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Țărnică Dalia (C.N. „M. Viteazul” Ploiești), Mihai Alexandru (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Clasa a VIII-a Premiul I: Badea Andrada (C.N. ”N. Bălcescu” Brăila), Drăgan Andrei (C.N. „M. Viteazul” Ploiești), Tănăsescu Alexandru (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Mențiuni: Ionescu Dan (Şc. Gimn. "Sf. Andrei" Slobozia), Manea Lidia (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Neacșu Liviu (C.N. „B.P. Hașdeu” Buzău), Trufaș Dafina (C.N. ”N. Bălcescu” Brăila), Negoiță Anca (C.N. „M. Viteazul” Slobozia)

Clasa a IX-a Premiul I: Donescu Irina (C.N. ”N. Bălcescu” Brăila) Premiul al II-lea: Bâra Sînziana (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Premiul al III-lea: Mincu Mihai (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Mențiuni: Dinu Andreea (Lic. Internațional. de Informatică, Constanța), Vârlan Mihnea (C.N. ”N. Grigorescu” Câmpina), Nicoară Laura (Lic. Internațional. de Informatică, Constanța) Clasa a X-a Premiul I: Dumitru Cătălin (C. N. „B.P. Hașdeu” Buzău) Premiul al II-lea: Ovreiu Auraș (Lic. Teoretic ”Carol I” Fetești) Premiul al III-lea: Ducaru Andrei (C.N. "Sf. Sava" București) Mențiuni: Gheorghe Antonia (C.N. „I.L. Caragiale” Ploiești), Staicu Astrid Diana (C.N. "Sf. Sava" București), Stănescu Andrei (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Săceleanu Andrei (Lic. Teoretic ”Carol I” Fetești), Buf Sorina (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Clasa a XI-a Premiul I: Bonifate Tudor (C.N. „I.L. Caragiale” Ploiești) Premiul al II-lea: Voinea Eduard (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Premiul al III-lea: Vlad Mihai (C.N. „B. Știrbei” Călărași) 90

Mențiuni: Popa Iulia (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Neculai Andreea (Lic. Teoretic ”Carol I” Fetești), Bițineanu Virginia (C.N. „Gr. Moisil” Slobozia) Clasa a XII-a Premiul I: Constantin Maria (C.N. „M. Viteazul” Ploiești), Lazăr Andreea (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Premiul al III-lea: Dinu Sabina (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Ioniță Cristian (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Sava Ștefan (C. N. Militar „D. Cantemir” Breaza)

Ediția a XXIV-a, 4-6 mai 2018 Subiecte Clasa a V-a Subiectul I. Determinați numărul ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 știind că ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑑𝑐𝑏𝑎 = 2 ∙ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 +3068. Ion Neață, Slatina, G.M., nr. 9/2017 Subiectul II. Considerăm 900 de numere naturale nenule a căror sumă este 45449. Arătați că cel puțin 10 dintre aceste numere sunt egale. Marcel Popescu, Slobozia Subiectul III. Determinați forma generală a numerelor naturale care împărțite la 8 dau restul 5, împărțite la 9 dau restul 6 și împărțite la 10 dau restul 7. Determinați cel mai mare număr de cinci cifre cu proprietățile de mai sus. Marcel Popescu, Slobozia Clasa a VI-a Subiectul I. Arătați că oricum am alege trei puteri cu baza 2, există două dintre ele care au suma sau diferența divizibilă cu 5. Traian Preda, București, G.M., nr. 2/2018 𝑚 𝑛 𝑝 Subiectul II. Să se determine numerele prime distincte 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞 astfel încât 𝑛+1 = 𝑝+1 = 𝑞+3 = 𝑞

.

𝑚+12

Marian Mărgărit, Slobozia ̂ și 𝐶𝐴𝐸 ̂ astfel Subiectul III. Se consideră triunghiul ascuțitunghic 𝐴𝐵𝐶 și unghiurile drepte 𝐵𝐴𝐷 încât 𝐵 și 𝐸 se află de-o parte și de alta a dreptei 𝐴𝐶, iar 𝐶 și 𝐷 se află de-o parte și de alta a dreptei 𝐴𝐵. a) Dacă 𝐴𝐸 ∩ 𝐷𝐶 = {𝐹}, 𝐵𝐸 ∩ 𝐴𝐶 = {𝐺} și 𝐵𝐸 ⊥ 𝐶𝐷, atunci arătați că 𝐹𝐺 ⊥ 𝐶𝐸. ̂ și 𝐵𝐻𝐶 ̂ sunt b) Dacă 𝐵𝐷 ∩ 𝐶𝐸 = {𝐻}, 𝐵𝐸 ⊥ 𝐶𝐷 și 𝐵𝐸 ≡ 𝐶𝐷, atunci arătați că unghiurile 𝐵𝐴𝐶 complementare. Marian Mărgărit, Slobozia Clasa a VII-a Subiectul I. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația 29𝑥 + 20𝑥 = 𝑦 2 . Nicolae Papacu, Slobozia

91

Subiectul II. Fie triunghiul dreptunghic ABC cu 𝑚(∢𝐴) = 900 . Se consideră bisectoarea (AD a unghiului A, 𝐷 ∈ (𝐵𝐶). Notăm cu r1 raza cercului înscris în triunghiul ABD și cu r2 raza cercului 1 1 1 1 înscris în triunghiul ACD. Arătați că 𝑟 − 𝑟 = √2 (𝑐 − 𝑏), unde b = AC și c = AB. 1

2

Constantin Petrea, Pașcani Subiectul III. Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația 𝑥 𝑦 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 = 4𝑥𝑦. Victor Săceanu, Drobeta Turnu Severin, Supliment G.M., nr. 3/2018 2 2

Clasa a VIII-a Subiectul I. Dacă 𝑥 și 𝑦 sunt numere reale astfel încât 𝑥𝑦 > 0, să se arate că 65 4

𝑥𝑦 (𝑥+𝑦)2

+

4(𝑥+𝑦)2 𝑥𝑦

≥

∙

Artur Bălăucă, Botoșani Subiectul II. Să se arate că dacă 𝑥, 𝑦, 𝑧 sunt numere întregi distincte două câte două, astfel încât 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 26, atunci 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≥ 29. Costin Negrii, București Subiectul III. Fie VABC o piramidă regulată cu baza triunghiul echilateral ABC și fie M mijlocul laturii (BC). Dacă triunghiul BMV este isoscel, determinați măsura unghiului dintre dreapta AV și planul (VBC). Dorina și Vladimir Baban, Supliment G.M. nr. 3/2018

Clasa a IX-a Subiectul I. Să se determine mulțimea tripletelor de numere reale (𝑥, 𝑦, 𝑧) care verifică sistemul 𝑧 = 𝑥 + {𝑦} {𝑥 = 𝑦 + 3{𝑧} 𝑦 = 𝑧 − 2{𝑥} Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul II. Pe laturile triunghiului ABC se consideră punctele A’∈(BC), B’∈(CA), C’∈(AB) astfel încât ariile triunghiurilor AB’C’, BC’A’, CA’B’ sunt egale. Să se demonstreze inegalitatea 1 𝑎𝑟𝑖𝑎(𝐴′𝐵′𝐶′) ≥ 4 𝑎𝑟𝑖𝑎(𝐴𝐵𝐶). În ce caz avem egalitate? Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul III. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐 numere naturale nenule astfel încât 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 2017. Arătați că ecuația 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 nu are rădăcini raționale. Gheorghe Stoica, Petroșani, Supliment G.M. nr. 12/2017 Clasa a X-a log 𝑎+1(𝑥 + 1) = log 𝑎 𝑦 Subiectul I. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul {log 𝑎+1(𝑦 + 1) = log 𝑎 𝑧 , log 𝑎+1 (𝑧 + 1) = log 𝑎 𝑥 unde 𝑎 ∈ (0,1) ∪ (1, ∞). Nicolae Papacu, Slobozia

92

Subiectul II. Pentru 𝑛 ≥ 3, 𝑛 număr natural, se consideră numerele complexe distincte două câte două 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧𝑛 . Să se arate că există un număr complex 𝑧, cu proprietatea |𝑧| = 1, astfel încât ∑𝑛𝑖=1|𝑧 − 𝑧𝑖 | ≥ 𝑛. Dan Nedeianu, Drobeta Turnu Severin 𝑛 𝑛 Subiectul III. Să se arate că √√2018 + √2017 + √√2018 − √2017 este număr irațional, oricare ar fi 𝑛 ≥ 2, 𝑛 număr natural. Liviu Smarandache, Craiova, G.M., nr. 11/2017

Clasa a XI-a Subiectul I. Dacă 𝐴 ∈ 𝑀2 (ℤ) este o matrice cu proprietatea că mulțimea 𝑀 = {𝐴𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ∗ } este finită, demonstrați că această mulțime are cel mult 6 elemente. Marcel Țena, București 𝑥𝑛+1 Subiectul II. Se consideră șirul (𝑥𝑛 )𝑛≥1 definit prin 𝑥1 = 1 și 𝑛2 = 1 + 3√𝑥𝑛 pentru orice 𝑛 ∈ ℕ∗ . Să se calculeze lim𝑛→∞

3

√𝑥𝑛+1 𝑛

√𝑛!

Subiectul III. Fie șirul (𝑎𝑛 )𝑛≥1 lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1 − 2𝑎𝑘 ).

și lim𝑛→∞

1+ 3√𝑥𝑛 𝑛

.

Florin Rotaru, Focșani definit prin 𝑎𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 4 +𝑘 2 +1 , 𝑛 ∈ ℕ∗ . Să se calculeze 𝑘

Traian Tămâian, Carei, Supliment G.M., nr. 10/2017

𝜋 2

Subiectul I. Să se calculeze integrala ∫0 număr natural nenul.

Clasa a XII-a 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥 𝑑𝑥, (𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑛+2

unde 𝑎, 𝑏 sunt numere reale și 𝑛 este

Inocențiu Drăghicescu, București Subiectul II. Fie 𝑝 un număr prim și ℤ𝑝 [𝑋] inelul polinoamelor cu coeficienți în corpul ℤ𝑝 . Pentru fiecare 𝑢 ∈ ℤ𝑝 [𝑋] considerăm funcțiile 𝐷𝑢 , 𝑆𝑢 : ℤ𝑝 [𝑋] → ℤ𝑝 [𝑋], unde 𝐷𝑢 (𝑓) = 𝑓(𝑢), 𝑆𝑢 (𝑓) = 𝑢(𝑓), pentru orice 𝑓 ∈ ℤ𝑝 [𝑋]. Să se arate că: a) Orice endomorfism al inelului ℤ𝑝 [𝑋] este o funcție 𝐷𝑢 , cu 𝑢 ∈ ℤ𝑝 [𝑋]. b) Orice automorfism al inelului ℤ𝑝 [𝑋] este de forma 𝐷𝑢 , cu 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 1. c) Pentru 𝑢 = 𝑋 𝑝 , funcția 𝑆𝑢 este un endomorfism al inelului ℤ𝑝 [𝑋]. Marcel Țena, București 1

22018 −1

Subiectul III. Fie 𝑓: [0,1] → ℝ o funcție continuă cu ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2018 . Să se arate că există 𝑎 ∈ (0,1) cu 𝑓(𝑎) = (𝑎 + 1)2017 . Florin Rotaru, Focșani, G.M., nr. 1/2018 Premianții concursului sunt: Clasa a V-a Premiul I: Boiangiu Ana (Șc. Gimn. ”Al. Ciucurencu” Tulcea) Premiul al II-lea: Bîzgă Nicolescu Carmen (C.N. ”Z. Golescu” Pitești) Premiul al III-lea: Papacioc Rareș (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Mențiuni: Mușat Delia Andrada (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia), Negoescu Cîrstea Andrei Daniel (C.N. ”Z. Golescu” Pitești), Șerban Rareș Mario (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia) 93

Clasa a VI-a Premiul I: Popescu Mihnea (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al II-lea: Litu Bogdan (Șc. Gimn. ”A. Vlaicu” Fetești) Premiul al III-lea: Agheorghesă Sebastian (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia) Mențiuni: Ion Diana (Șc. Gimn. ”I.H. Rădulescu Urziceni) Clasa a VII-a Premiul I: Toader Sebastian (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Premiul al II-lea: Oprea Horațiu (C.N. ”M. Viteazul” Ploiești) Premiul al III-lea: Donțu Alexandru (C.N. ”M. Viteazul” Ploiești) Mențiuni: Dumitru Maria (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia), Ruse Petru (C.N. ”M. Viteazul” Ploiești), Paraschiv Miruna Maria (Lic. Teoretic ”Gr. Moisil” Tulcea), Grădinaru Adela Victoria (Lic. Teoretic ”Gr. Moisil” Tulcea), Clasa a VIII-a Premiul I: Biteș Rareș (Șc. Gimn. ”I.H. Rădulescu Urziceni) Premiul al II-lea: Voicu Oana Georgiana (Șc. Gimn. ”Traian” Pitești) Premiul al III-lea: Berbece Rian (Șc. Gimn. „Sf. Andrei” Slobozia), Ghiță Alexandru (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Mențiuni: Petre Alexandru (Șc. Gimn. nr. 3 Slobozia) Clasa a IX-a Premiul I: Ionescu Dan (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Premiul al II-lea: Neacșu Miclea Liviu Ștefan (C.N. „B.P. Hașdeu” Buzău) Premiul al III-lea: Manea Lidia (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Mențiuni: Negoiță Anca (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Gaiță Ștefan Andrei (C.N. ”Al. I. Cuza” Ploiești), Șcheaua Andreea (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Clasa a X-a Premiul I: Vârlan Mihnea (C.N. ”N. Grigorescu” Câmpina) Premiul al II-lea: Donescu Irina (C.N. ”N. Bălcescu” Brăila) Premiul al III-lea: Mincu Mihai (C.N. „M. Viteazul” Ploiești) Mențiuni: Bâra Sînziana (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Clasa a XI-a Premiul I: Ovreiu Auraș (Lic. Teoretic ”Carol I” Fetești) Premiul al II-lea: Dumitru Cătălin (C. N. „B.P. Hașdeu” Buzău) Premiul al III-lea: Buf Sorina (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Mențiuni: Nastasia Alexandru (C.N. „M. Viteazul” Slobozia), Moraru Mircea (C.N. ”Gh. Șincai” București), Săceleanu Andrei (Lic. Teoretic ”Carol I” Fetești), Ducaru Andrei (C.N. "Sf. Sava" București) Clasa a XII-a Premiul I: Bâra Andrei Robert (Lic. Teoretic Internațional de Informatică Constanța) Premiul al II-lea: Miclăuș Adrian (C.N. ”Barbu Știrbei” Călărași) Premiul al III-lea: Bazavan Cristian (C. N. „Spiru Haret” București), Popa Iulia (C.N. „M. Viteazul” Slobozia) Mențiuni: Vlad Radu Mihai (C.N. ”Barbu Știrbei” Călărași) 94

PARTEA A II-A REZOLĂVRI Ediţia a II-a, 8-10 noiembrie 1996 Clasa a VII-a I.  x  a 2  b Dacă x  a  0  2 

b  x a

, contradicţie. Avem deci x-a=0 şi b=0.

Discuţie: Pentru b≠0  ecuaţia nu are soluţie în . Pentru b=0  ecuaţia are soluţia x=a în . II. Fie AE ∩ DF={O}. A

B

F

O C E Din AB II CD, AE secantă  EAB  AED (1). Din [AE bisectoare a unghiului DAB  EAB  EAD (2). Din (1) şi (2)  AED  EAD, deci ADE este isoscel şi cum [DO este bisectoare a unghiului ADE  DO mediană, adică AO=OE (3). Analog DO=OF (4). Din (3) şi (4)  AFED paralelogram şi cum AE=DF  AFED dreptunghi  AD  AB. D

III. Notând x-y=z, ecuaţia se scrie z2 =2(y+z-y2) sau y2+(y-1)2+(z-1)2=2 şi cum y,z   y=0, z-1=  1 sau y=1, z-1=  1. Așadar y=0, z∈ 0,2 sau y=1,z∈ 0,2 . În final, mulțimea soluţiilor ecuaţiei este

0,0,2,0,1,1,3,1 .

Clasa a VIII-a I. (  )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           evidentă. 2a 2a 2a 2  a a a  2a 2a 2a 2  a a a 

95

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    b c c a a  b 2a b c  b c c a a b 4 b c  4c a  4a b  1 1 1 1 Arătăm că     1 , cu egalitate pentru b=c. bc 4b c  Într-adevăr, (1) se scrie succesiv

1 bc 2 2   4bc   b  c    b  c   0 , cu egalitate pentru b=c. b  c 4bc

Analog avem şi

1 1 1 1      2 , cu egalitate pentru c=a. c a 4c a 1 1 1 1     3 , cu egalitate pentru a=b. ab 4a b Adunând (1), (2), (3) avem

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               , care, conform ipotezei devine bc c a ab 4b c  4c a 4a b egalitate  a=b=c. II. Din x, y, z 

avem că relaţia de arătat se mai scrie

 x  zy   z  yx   y  xz2  1 x2  1 y 2  1 z2  1 2



2

2



2

2



Dar 1 x2 1 y 2  1 x2  y 2  x2 y 2  z2  2xyz  x2 y 2   z  xy  şi analog 2

1 y 1 z    x  yz și 1 z 1 x    y  zx  , care înmulţite dau relaţia (1). 2

2

2

2

2

2

III. Fie M,N,P mijloacele laturilor BC, CA, AB. Notăm AB=c, BC=a, CA=b, OA=OB=OC=m. O

N

A

C

P

M B

Folosind teorema medianei şi linia mijlocie în triunghi, avem că

OM  OP  OM  OP  MP  2

2

2





2 OB2  OC2  BC2







2 OA2  OB2  AB2

4 4  4m2  a2  4m2  c2  b2  a2  b2  c 2  8m2 . Analog OM  ON  a2  b2  c 2  8m2 , ON  OP  a2  b2  c 2  8m2 şi deci OM  OP  OM  ON  ON  OP şi cerinţa problemei este imediată. 96



AC2 4

Clasa a IX-a I. Din a,b 

*





 , 8a  b 

 0,1,2,...,a  b este echivalentă cu

a  b  8a  b  a  b  1. Avem a  b  8a  b  a  b  1 care după calcule devine 2

2

a a  2b  8  b  b  1  0 1  2  8a  b  a  b  1  2 Din a,b  *  a  0; b(b-1)  0 şi cu (1)  a+2b-8  0, cu soluţiile (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (5,1). Dintre acestea, varianta a=2, b=1 nu verifică (2), deci rămân soluţii perechile (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (5,1). II. Fie Q mijlocul lui [AC] şi O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. C

Q

P O B

A

M N

OP  BC,NB  BC  OP BN OP  BC,NB  BC  OP BN OQ  AC,NM  AC  OQ NM. OQ  AC,NM  AC  OQ NM AB Din OP BN , OQ NM şi PQ  BM   POQ  BNM U.LU . .  2 PO=BN şi cum PO  PB,BN  PB  PONB dreptunghi, de unde NP=BO=R= raza cercului circumscris triunghiului ABC. III. a) Fie N exterior pătratului ABCD astfel ca MB=BN= 2 , MB  BN . B

A M

N D

C 97

Cum şi AB  BC  ABM  CBN  ABM  CBN (L.U.L.)  CN=AM=1 şi cum MN2  MB2  BN2  2  2  4  3  1  MC2  CN2  MC  CN , de unde avem că MCNB



 



este patrulater inscriptibil. Atunci m MCB  m MNB  450  M  AC şi deci MB=MD. b) Fie a=AB  AC  a 2,1 3  a 2

a

1 3 2 6 1 3 2 6  a  2 2 2 2 Clasa a X-a x

x

 5   12  I. Ecuaţia se mai scrie:       1.  13   13  x x  5   12  Fie f :  ,f  x        care este strict descrescătoare, fiind sumă de funcţii strict  13   13  2 2  5   12  descrescătoare  f injectivă. Cum f  2        1 şi ecuaţia se scrie f(x)=f(2)  x=2  13   13  este soluţie unică. II. Notăm:

    m OAC   m OCA  y şi avem x  y  C, y  z  A, x  z  B . m OAB   m OBA  z m OBC  m OCB  x

A

O C

B

Cum A  B  C  1800 , avem imediat că x  90o  A, y  90o  B, z  90o  C .









o o tgBAO  tgCAO tg 90  C  tg 90  B ctgC  ctgB    sin2 A sin2 A sin2 A sin B  C  sin A 1  2  = 2 . sin A sin B sinC sin A sin B sinC sin A sin B sinC

Analog avem şi

98

tgCBO  tgABO tgACO  tgBCO 1 .   2 2 sin A sinB sinC sin B sin C III.. Soluţia 1 Fie 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝑠𝑖𝑛𝜑1 , 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑠𝑖𝑛𝜑2 , 𝑐 = cos 3 + sin 3 , cu 1,2 ,3  [0,2 ),1,2 ,3 distincte și z=cos   i sin,  [0,2 ) .

(cos  cos1 )2  (sin  sin1 )2  (cos  cos2 )2  (sin  sin2 )2  (cos  cos3 )2  (sin  sin3 )2  6   2(cos cos1  sin sin1  cos cos2  sin sin2  cos cos3  sin sin3 )  0 adică (cos1  cos2  cos3 )cos  (sin1  sin2  sin3 )sin  0,   [0.2 ) Cum putem alege  astfel încât

cos  0,cos  0;sin  0,sin  0  cos1  cos2  cos3  0, sin1  sin2  sin3  0, adică 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 şi cum |a| = |b| = |c|=1  a,b,c sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral înscris în cercul C(0,1), deci a  ,| a | 1; b  a ,c  a 2 , unde  2    1  0 . Soluţia 2 Din |a| = |b| = |c|=1  a, b, c sunt afixele punctelor A, B, C de pe cercul C(0,1). Trebuie sa avem: MA2  MB2  MC2  6, M C(0,1) (1) Fie H ortocentrul triunghiului ABC.

MA2  MA2  (MO  OA)2  MO2  OA2  2MO  OA  2  2MO  OA . Analog MB2  2  2MO  OB,MC2  2  2MO  OC şi atunci (1) devine 2MO(OA  OB  OC)  0,()M C(o,1) (2) 2MO  OH  0,()M C(0,1) Dacă H  O, atunci putem alege M  C(0,1) astfel ca să avem m(MOH )  90o şi atunci (2) este falsă. În concluzie, avem că H=O, adică ortocentrul lui ABC coincide cu centrul cercului circumscris lui ABC  ABC este triunghi echilateral. Clasa a XI-a I. 1) xk 1 

n1 kxk 1 1 1 n1 1 1 1     (  )  k  xk xk 1 xk k xk k 1 xk 1 k 1 k

x1 1 1 1 1 1     ...  , de unde xn  . 1  xn x1 1 2 n 1  1 1 2  ...  n  1 x1  1   1 1 1 1 2) Fie yn     ...  . Din 1 2 3 n 

99

1  1 1 1 1  1  y 2n  1      ...   n1  n1  ...  n1 n1   2 3 4 2 2   2 1 2  2 1  1 1 1 1 2 2n1 n  1 1  1      ...   n  n  ...  n   1   ...  n  1 2 4 4 2 4 2 2  2 2 2 avem că lim y 2n   şi cum  yn n1 este strict crescător avem că lim yn   . n

n

x1  lim x  0 . yn1x1  1 n n

xn 

 a11 a12  b b  x y ,B   11 12 , X    . z t   a21 a22   b21 b22  a  x a12  y a11  x a12  y A  X   11   2 a22 x  a21y  a12 z  a11t  a21  z a22  t a21  z a22  t

II. Fie A  

1) A  X   2  a22 x   a21y   a12 z   a11t     2 a22 x  a21y  a12 z  a11t   A  X , 2)

 X  M2     A  A AB  x   2((a22  b22 )x  (a21  b21 )y  (a12  b12 )z  (a11  b11 )t )   2(a22 x  a21y  a12 z  a11t )  2(b22 x  b21y  b12z  b11t ) 

 A  x   B  x , x  M2    AB  A  B 3) A  x1A  y1I2 , alegem x1  1, y1  0

A2  a11  a22  A  a11a22  a12a21  I2 , de unde cu 1),2)

A  a

11 a22

2

A

 a11a22 a12a21I2  a11  a22 A  a11a22  a12a21 I2 , alegem

x2  a11  a22 , y2   a11a22  a12a21 

Din An  a11  a22  An1  a11a22  a12a21  An2 avem

A  a11  a22 A  a11a22  a12a21 A n 1

n

n 2

de unde

xn  a11  a22  xn1  a11a22  a12a21  xn2

yn  a11  a22  y n1  a11a22  a12a21  y n2 III.

0 0 A  I4  B, unde B   0  0 0 0 2 B  0  0

0 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0  1  0

0 0  0 1 3 , B  0 0   0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0  , B4  B5  ...  O4 0  0 100

An  I4  B   Cn0I4  Cn1B  Cn2B2  Cn3B3  I4  nB  n

 1    0  0  0

n  n  1 n  n  1 n  2   2 6   n  n  1 1 n . 2   0 1 n  0 0 1 

n  n  1 2 n  n  1 n  2 3 B  B  2 6

n

Clasa a XII-a ,

1  x   1 2  dx   dx. I. I   2 2 x  x a 1 1  x  2 a 4   1 1 x  a 1 1  2 4 a) a   ,   I  ln  C. 4 1 1 1  2 a x   a 4 2 4 1 1  C. b) a   I   1 4 x 2 1 x 1 1  2  C. arctg c) a   ,    I  1 1 4  a a 4 4 II. Pentru x   ,0 sau x  0,  avem

1 1 1 1  x n1 1 1 1   f  x  dx   sin x sin x2 ...sin xn dx    cos xn   n sin x sin x2 ...sin xn1 dx  1 x n1 1 1 1 1 n 1 n 1 1 1  cos n  sin sin 2 ...sin n1   cos n  [ x sin sin 2 ...sin n1  n x n x x x x x x x n 1 n 1 x 1 1 1 k 1 1 1  sin sin 2 ...sin n1  k 1 cos k sin k 1 ... sin n1 ]dx.  n k 1 x x x x x x x Fie g :  , ,

101

 1 n  1 n1 1 1 1 x n n1 1 1 1 k x cos ( x sin sin ...sin  sin sin 2 ...sin n1  k 1    n 2 n 1 n x n k 1 x x x x x x x   1 1 1 g x    cos k sin k 1 ...sin n1 ), pentru x  0 x x x  0, pentru x  0    Se observă că g este continuă şi deci g are primitive; fie G :  o primitivă a sa. Considerăm F :  ,  1 x n1 1 1 1 cos  sin sin 2 ...sin n1  G  x   c1, pentru x  0  n n x x x x F x    c2 , pentru x  0  Impunem F continuă în 0  G 0  c1  c2  k.  1 x n1 1 1 1 cos  sin sin 2 ...sin n1  G  x   G 0  k, pentru x  0  n n x x x x F x    k, pentru x  0   F  x   F  0 1 xn 1 1 1 G  x   G  0  F ' 0  lim  lim  cos n   sin sin 2 ...sin n1    x 0 x 0 x 0 x x 0 x n x x  

 G '(0)  g(0)  0 (1) F '( x )  f ( x ),  x   0 (2) Din (1), (2)  f are primitive dacă şi numai dacă   0 . În acest caz F este o primitivă a lui f. III. Alegem T=X. Definim  : X  F( X ) astfel: def

a  X   a : X  X,  a  x   a  x,  x  X. Arătăm că  este injectivă. Fie a,b  X cu  a    b   ae    be , adică

a  e  b  e  a  b ( e este elementul neutru al monoidului).  a  b    a   b ,  a, b  X Arătăm că

 a  b  x    a  b x    ab  x   a  b  x   a  b  x 

  a  b x ,  x  X   a   b   a  b.

102

Ediţia a III-a, 31 octombrie – 2 noiembrie 1997 Clasa a VII-a I. Y D C

b

a

O

B

A

X

Din OAD  ODA  OA  OD  a  b CB mediană în OAC  OB  BA 

ab . 2

II.

        m  A m B  m C  m  A  m B   m C  180    



1 1 m AIC  180o  m IAC  m ICA  180o  m BAC  m ABC 2 2 o

n

n 1

n2

3  n  1

3  n  1



 

60o  m B  60o  n 1

 

1  m AIC  90o   60o  120o. 2 A

I B

C

III.

 24xx3yy  21  8x  2y  2x  3y  6x  5y  yx  56 .   yx  56  5x  y6  k  x  5k,

y  6k 

4x  y 20k  6k 14k 1    . 2x  3y 10k  18k 28k 2

103

Clasa a VIII-a I. Fie B ' D  A'C, D  A'C şi C ' E  A' B, E  A' B .

AB '2  A 'C '2  AB '2  A ' B2  BC '2  2A ' B  BE  AB '2  A ' B2  BC '2  2A ' B  BC 'sin B 1

AC '2  A ' B '2  AC '2  A 'C2  B 'C2  2A 'C  CD  AC '2  A 'C2  B 'C2  2A 'C  B 'C sinC 2 Dar AB’=B’C, A’B=A’C, BC’=AC’ şi BC 'sin B  Acum din (1) şi (2) 

AB 2 AC 2 sin B  sinC  B 'C sinC . 2 2

 AB '2  A 'C '2  AC '2  A ' B '2 de unde avem că AA '  B 'C ' . B’

A C’

D

E

C

B

A ’ II. Fie O centrul pătratului şi L mijlocul lui [AB]. D

M A O

P

C

L N B

AB (raze în cele două cercuri)  OLM este triunghi echilateral  2 m OLM  60o  m MPL  90o  60o  30o . Analog m NPL  30o 

OM  ML  OL 













 

I .U.  m MPN  60o şi cum MP=PN  PML  PNL   MPN echilateral.  

104

m ; m, n  * , m, n   1. n 2 2 5n  m  5 | m  m  5m1, m1  *

III. a) Presupunem că

5

5n2  25m12  n2  5m12  5 | n  n  5n1, n1 

*

şi deci (m,n)  5, în contradicţie cu (m,n)=1. b) Se ia o dreaptă d, A,B d astfel încât AB=2 şi în B se construieşte perpendiculara d’ pe d; se ia C  d ' cu BC=1.

AC  AB2  BC2  5 . d’ 1 2

A

C d B

Clasa a IX-a

I. a) Fie AB=a latura tetraedrului regulat, AM=x. D Q

P

A

B M

N C

Din faptul că (MNPQ) II AB  MN II AB, PQ II AB. Din (MNPQ) II CD  MQ II CD, PN II CD. Deci MN II PQ, MQ II PN  MNPQ paralelogram. Dar MN II AB, MQ II CD şi AB  CD  MN  MQ şi deci MNPQ este dreptunghi. b)

AMQ

ACD 

AM MQ x MQ  ,   MQ  x ( se putea observa direct că AMQ este AC CD a a

triunghi echilateral). MCN este triunghi echilateral  MN=MC=a-x.

a  x  a  x  a2 cu egalitate pentru x=a-x  x  şi deci  MN  MQ  x(a  x )     2 4 2   2

A(MNPQ)

M este la mijlocul lui [AC].

105

II. M

A

N

B

Fie MN  AB  MA2  MB2  MN2  NA2  MN2  NB2  NA2  NB2 

 NA2   AB  NA  2NA  AB  AB2  a  NA  2

a  AB2  ct. 2AB

Cum A este fix  N este fix. Locul geometric al lui M este planul perpendicular pe AB care trece prin N, unde

N  AB cu NA 

a  AB2 . 2AB

III. x(a+1)=2 1) a  1  0, a  1 x 

2 2a . , y a 1 a 1

2) a+1=0, a=-1  sistemul nu are soluţii.

Clasa a X-a I. Fie MP  BC  S, PN  BC  T  . A

B N

T Q

P

S D

C

M

Avem că (PQ este bisectoarea lui MPN  SC  BT .

MCS

BTN

SC MC  1 PD MD BT BN DPN   2 PD ND MDP 

Fie triunghiul BDC şi punctele coliniare M, Q, N. Cu teorema lui Menelaus avem

MC ND QB MC NB    1 şi cum QB  QC    3 MD NB QC MD ND Din (1), (2), (3)  SC=BT.

106

II. Pentru n par avem cosm x  1 sinn x  1, de unde sinx=0 şi

cosm x  1  x  2k , k 

pentru m impar şi x  k , k 

pentru m par .



Pentru n=1  cos2m x  1 sin x  . Notăm 1+sinx=t, t  0,2  2t  t 2 2



m

 t2

1 1

2

t  0, t  1 sin x  1, sin x  0 , de unde x  2k sau  impar şi x  k sau 



 2

 2k, k 

pentru m

 2k , k  pentru m par. 2 2 Pentru m=1, n  3 , n impar  cos x  sinn x  cos x  1  sin2m x . Notăm





1 cos x  t  0,2  t 2  2t  t 2 ; t  0, t  1  cos x  1, cos x  0 , de unde x  k , 

 2

n

 2k , k  .

Pentru m=2, n  3 , n impar  cos2 x  sinn x  1 





 sinn x  sin2 x  0  sin2 x sinn2 x  1  0   x  k , 



 2k , k  . 2 Pentru m  3, n  3 , n impar  cosm x  sinn x  cos2 x  sin2 x   cos2 x 1 cosm2 x   sin2 x 1 sinn2 x   0 , de unde cos x  0 sau cosm2 x  1 şi

sin x  0 sau 







sin x  1  sin x  1 sau cosm2 x  1

x    2k ,2k , k  2

pentru m impar şi x  

 2

 2k , k , k 

pentru m par.

 5  

III. 3x 2  5  2x  3,5  x 2  1,  , de unde  x  2,1 . 3 Pentru  x   2  3x 2  2  x  2  5 ,

1 care nu convin. 3 1 22 22  1 Pentru [x] = 1  3x 2  2  x  1  5, 3x 2  2x  7  0, x1,2  , convine x  3 3 3x2  2x  1  0, x1  1 x2 

.

107

Clasa a XI-a I. Fie A’1, A’2 simetricele lui A’ faţă de A1, A2. A

A’1

A’2 A1

A2

B

C

A ’

Avem că A1A2 este linie mijlocie în A '1 A ' A '2 şi A '1 AA '2 este triunghi isoscel cu



AA '1  AA '2  AA ' şi m  A '1 AA '2   2m A .

A1A2 

C1C2 

A '1 A '2 B' B'  AA 'sin A şi analog B1B2  1 2  BB 'sin B , 2 2

C '1 C '2  CC 'sinC . 2 2 2 2 2 2  A1A2  B1B2  CC 1 2    AA 'sin A  BB 'sinB  CC 'sinC   AA '  BB '  CC ' .



3 a2  b2  c 2

a

 b2  b2  sin A  sin B  sin C  4 4R2 3  81R4 3  81R2 9R 3    A1A2  B1B2  C1C2  . 2 16 4 16R



II.. Notăm

2

5

2

2

x2  34x  64  a,



4

2

 3 a 

2



 b2  c 16R

2



2 2



 a b 1 x2  34x  33  b  0 şi avem sistemul  5 4 a  b  31

a  b 1  a  b 1   5  5 4 3 2 4  b  1  b  31 b  4b  10b  10b  5b  30 Funcţia f : 0,   , f  x   b5  4b4  10b3  10b2  5b este strict crescătoare şi cum

f 1  30  ecuaţia f  b  30 are unica soluţie b=1  a=2, de unde

x2  34x  33  1; x1,2  17  257 . III. Lemă Fie ABCD patrulater strâmb, adică ABCD tetraedru şi

M   AB, N  BC , P  CD, Q  DA astfel încât M,N,P,Q sunt coplanare. 108

MA NB PC QD     1. Atunci MB NC PD QA

Dem. A

A Q’

M

X

T

Q O D

B

D

B Z

P

N

Y

C

C

Fie Q '  MNP    AD şi A1,B1,C1,D1 proiecţiile punctelor A,B,C,D pe planul (MNP).

MA NB PC QD MA NB PC Q ' D AA1 BB1 CC1 DD1    1         1 şi cum avem şi MB NC PD QA MB NC PD Q ' A BB1 CC1 DD1 AA1 Q ' D QD    Q '  Q şi deci M,N,P,Q coplanare. Q ' A QA Fie acum X,Y,Z,T punctele de contact dintre o sferă şi laturile AB, BC, CD, DA ale pătratului strâmb ABCD. Dacă O este centrul sferei  OX  AB, OY  BC, OZ  CD, OT  DA şi OX=OY=OZ=OT= razab sferei.

AOX  AOY

I.C.  XA  AT. Analog XB=BY, YC=CZ, ZD=DT. Atunci

XA YB ZC TD     1 şi , folosind lema  X,Y,Z,T sunt coplanare. XB YC ZD TA Clasa a XII-a I. A  a  b In  bB , unde

1 1 B   1

1 1 1

1 1  este matrice de ordinul n, B2  nB, B3  n2B, …, Bk  nk 1B.   1

Ak  a  b  In  bB   Ck0 a  b  In  Ck1 a  b  k

Ck3  a  b 

b3 n2B 

Ck2 a  b 

b2 n 2 

k 3

k 2

k 1

k

bB  Ck2 a  b 

k 2

b2nB 

1 k k 1  Ckk bk nk 1B  a  b  In  (Ck1 a  b  bn  n 1 k k k  Ckk bk nk )B  a  b  In  a  b  bn   a  b   B.  n

II. 109

Y n N

P

m

M

O

A

X

a) Dacă m II n, cum m  AM, n  AN , atunci avem că AM II AN, ceea ce este imposibil. b) Fie m  n  P, M 0,  , N 0,   k , A a,0 cu a, k fixe,  variabil.

yM  yM   0  a     mMP  xM  xA 0  a a  a      k    MP  : y     x xP  , de unde   a a NP  : y    k   y  2  k x  P   k y k y  k yP  k  P  axP  P   yP2  4axP  k 2 . 2 2 2 Deci locul geometric al lui P este parabola de ecuaţie yP2  4axP  k 2 . mAM 

III. f  x    

cos 3x  3   cos3x   f  x    este perioadă pentru f. sin  x     sin x

Pentru a reprezenta grafic f este suficient să reprezentăm funcţia pe un interval de lungime

    

acesta  ,  . 2 2

 , fie

cos  3x  cos3x   f  x   f este impară şi deci Gf este sin  x   sin x   simetric faţă de origine. Ne restrângem atunci studiul lui f la  0,  .  2  k    f  x   0  cos3x  0  x   , x   ,  6 3 6 2 lim f  x     x  0 asimptotă verticală. Cum f  x  

x 0,x 0

110

3sin3x  sin x  cos3x  cos x 2sin3x  sin x  cos2x   sin2 x sin2 x 2cos2x  cos4x 2cos2 2x  2cos2x  1   sin2 x sin2 x 1 3 1 1 3 f '  x   0  cos2x   x  arccos 2 2 2 x 1 1 3    arccos 0 2 2 6 4 2 f 'x 

f’(x) | - - - - - - - - - - - - f(x) | 0 -1

0



+ + +

+ 0

1

-1

Ediţia a IV-a, 30 octombrie – 1 noiembrie 1998 Clasa a VII-a I. a) E(a, b,c )  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2 b) (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  9; a, b, c  , 9  02  02  32  02  02  (3)2

9  12  22  22  (1)2  22  22  12  (2)2  22  (1)2  (2)2  22   12  (2)2  (2)2  (1)2  (2)2  (2)2 (a, b,c)  {(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,1, 2),(1, 2,1),(2,1,1),(2,3,3),(3,2,3),(3,3,2),(0,3,3),(3,0,3),(3,3,0), (2, 1,3),(2,3, 1),(1,2,3),(1,3,2),(3,2, 1),(3, 1,2),(0, 1,3),(0,3, 1)(1,0,3),(1,3,0),(3,0, 1), 111

(3, 1,0),(2, 1, 1),(1,2, 1),(1, 1,2),(0, 1, 1),(1,0, 1),(1, 1,0)}

1  1   1  1 2 n 1 1 1 * 1 n   2  3   n  n  2 , n  \ 1     (n  1)  n  1 1 n  1 1 1  1  1  1 3 2  4  A  n,2  1 2 1 2  1 2   2  2      ,  n  2 n 2 3 n2  2  3   n  2 1 1 1 1 1 1 Pentru k  2  1 k  1 2  0, 1 k  1 2  0, ,1 k  1 2  0 de unde 2 2 3 3 n n 1 A n, k   A n,2  , n  * \ 1 . 2  

II. A  n,1  1 1  2 3

*

III. Fie CM  AB, CN  AD. A

A M

B

B

D

M

N D

N

A C

B N

M

C

D

C Avem cazurile:

1) M  BA, N  DA

ACM  ACN I.U.  CM  CN şi AM  AN 1 BCM  DCN I.C.  BM  DN

 2

Din (1) şi (2)  AB=AD 2) M  BA, N  DA . Este valabilă demonstraţia de la 1). 3) M  BA, N  DA .

ACM  ACN I.U.  CM  CN BCM  DCN I.C.  BCM  DCN





 



de unde m MCN  m BCD  90o  AMCN are



trei unghiuri drepte şi deci şi m BAD  90o . 4) M  BA, N  DA . Analog ca la 3).

112

\ 1

Clasa a VIII-a

 1  1  ay  1 2a  ay  1  2 a  x  1  x  1  2 I. x  1,  a   a  ay  a  2a2  y  1 2a  x  1  x  1 1 a1 a  1 a 2a  1 1 a2  1 a  2a2 ,    x 1 x 1  1  x  1  y  3 x    \ 1  1) 1 a  0  a  1   1 1 y 3   y  3   1  x  1 1 a 2) 1 a  0  a  1  2a  1 *  x 1 1 Dacă a=-1 sau a=  se observă că ecuaţia  *  nu are soluţie reală. 2 1 a  a  x 1 x   1  2a  1  2a  1  Dacă a  1 şi a     a  2a  1 2  y  1 2a y  1 2a  1 a  1 a  2 3 4 II. x=0, y=t, z= t cu t  este soluţie a ecuaţiei x  y  z2 . III. BC  a 2 . Notăm AA’=x>0. B’ A ’ x

a

a

A a

B a

C

B 'C2  a2  2a2  3a2 , A 'C2  a2  x 2 , A ' B '2  a  x   a2  2a2  2ax  x 2 2





a) m A ' B 'C  90o  A ' B '2  B 'C2  A 'C2  2a2  2ax  x 2  3a2  a2  x 2 

 4a2  2ax  x  2a . 113

b) A'C2  B 'C2  a2  x2  3a2  x2  2a2  x  a 2 . Clasa a IX-a 2     a  b  0   3  8  0,      2  a  b   8  0  a b) 1o A  0  a2  4b  0  A    şi cum A\B are un singur element  2 3 3 3 a ab a a    8  0,   8  0  a3  64  0  a  4 4 2 4 8 o 2 A  0  a2  4b  0  A are 2 elemente şi cum A\B are un singur element

I.a) Fie   A  B  

a)

 A  B    A  B  2  4  2a  b  0  4b  8a  16 a2  4b  a2  8a  16  a  4  0  a  4 . 2

M(a,b) este pe parabola a2  4b  0 sau pe dreapta 4+2a+b=0, dar M a, b  C  4,4 .

b 4

C

-4

0

4

2 a  b  c   a2  b2  c 2 care după calcule devin II. ab  bc  ca 

a

3  a  b  c  ab  ac  bc  0 2 2 2  a  b    b  c   c  a   0  2 2 2 2a  2b  2c  2ab  2ac  2bc  0 2

2

2

III.

114

A1 D’

D1

C’ B’

A ’

O

D

C B1

A

B C1

a) A1A' CC1, A1A'  CC1  A1A'CC este paralelogram şi deci mijlocul O al segmentului 1 [A’C] coincide cu mijlocul segmentului  AC 1 1  1

D1A ' D ' B ' DB CB1    D1A ' B1C este paralelogram şi deci mijlocul O al segmentului D1A '  D ' B '  DB  CB1 

[A’C] coincide cu mijlocul segmentului D1B1 

 2

Din (1) şi (2)   AC 1 1  şi D1B1  au acelaşi mijloc şi anume O, care este centrul cubului ABCDA’B’C’D’  A1D1, BC 1 1 coplanare. b) Din a)   A1D1,B1C1   A 'C  O şi deci relaţia de arătat devine

d 2 O, ABC   d 2 O,BCC '   d 2 O, A ' B 'C '   d 2 O,  ADD '   a2 , adică

a2 a2 a2 a2     a2 . 4 4 4 4 c) AC  BD, BD CB1 

AC  CB1    AC  CC1B1   AC  B1C1 . AC  CC1  Clasa a X-a

2 a  1 2  b  1   1. b a b  2  5b  2 3b 2 a   a1  , a2  b  1. 2 2 2a  a  b  2  3b  3b  0,   5b  2 1,2 4 2

I. Notăm 3x  a  0, 2x  b  0 şi avem

x

3b 3 3 3 A doua soluţie nu convine pentru că a>0, b>0, de a   3x   2x      x  1 2 2  2 2 este soluţia ecuaţiei. II. Fie z=a+bi, a,b  . 115





4 a2  b2  2abi  4 a  bi   3 4a2  4b2  4a  3  8ab  4b 

3 1 a)b  0  4a2  4a  3  0  a1  , a2   2 2 3 3 z1  | z1 |  2 2 1 1 z2   | z2 |  2 2 1 1 b)a    1 4b2  2  3  b  0 şi deci z   ca la a). 2 2 III. Fie AA1,BB1,CC1 cevienele concurente în M, A2, B2, C2 mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] şi A3, B3, C3 mijloacele laturilor[AA1], [BB1], [CC1]. A

A3

C2

B2 B1

B3 M

C1 B

C3

A1

C

A2

A3 este pe linia mijlocie [B2C2] şi avem

A3C2 C3B2 B3 A2 BA1 AC1 CB1       1 pentru că AA1, BB1, CC1 sunt concurente ( teorema A3B2 C3 A2 B3C2 CA1 BC1 AB1 lui Ceva directă). Folosind reciproca teoremei lui Ceva, se obţine că cevienele A2A3, B2B3, C2C3 sunt concurente în triunghiul A2B2C2. Clasa a XI-a

a b    M2  c d 

I. Fie A  

  A2   A   I2  O2 , unde   Tr  A  a  d

este urma lui A şi

  det A .

 

det A3   det A  8  9  1  det A  1  det A  3







A2   A  I2  A3   A2  A    A  I2   A   2  1 A  I2

 





 







2  Tr A3  Tr  2  1 A  I2   2  1 Tr  A  Tr I2    2  1   2    3  3   3  3  2  0    1   2  0 2

116

4 3 .  3 2  4 3  6 3  2 1  3A   A Pentru   2  A3  3A  2I2     .  3 2   3 0   1 0  Pentru   1  A3  0  A  I2  I2  

II. xn xn1  xn1xn2  xn1xn2  xn2 xn3 ,  n  3 arată că şirul

yn  xn xn1  xn1xn2 , n  2 este constant, deci yn  y2 ,  n  2 , adică xn xn1  xn1xn2 =x2x1,  n  2 , care arată că şirul zn  xn xn1, n  1 este progresie aritmetică cu raţia x2x1 deci

zn  z1   n  1 r   n  1 x2 x1,  n  1, adică xn xn1   n  1 x2 x1,  n  1.

Avem şi xn1xn2   n  2 x2 x1,  n  2 , de unde

xn n 1 n 1  ,  n  3  xn  x ,  n  3 . xn2 n  2 n  2 n2 1 x2n  22nn 21 x2n2  22nn 21  22nn  34 x2n4   22nn 21  22nn  34   32  x2,  n  2 2 x2n1  2n2n 1x2n1  2n2n 1 22nn  32 x2n3   2n2n 1 22nn  32   21  x1,  n  1  , x1x2  0 Din lim  n  1 x1x2   şi xn xn1   n  1 x2 x1,  n  1  şirul  xn n0 nu este n  , x1x2  0 convergent. Se poate arăta din (1) şi (2) că

 , x2  0  , x1  0 lim x2n   şi lim x2n1   . n  n   , x  0  , x 1  0 2   III.

117

A

G

E F

B

D

I

H C a) Notăm V1=V(AEFG), V2=V(BEHI), V=V(ABCD) şi atunci V(EFGHCDI)  3

3 V 4

3

V V 1  AE   BE  1 1  V1  V2  V  1  2      1 4 V V 4  AB   AB  4 Notând AE  x  0, BE  y  0 , (1) devine

x3  y 3

 x  y 3



1 x2  xy  y 2 1 2 2    4 x2  xy  y 2   x  y   3  x  y   0 . 2 4 4 x  y 





V V AE BE   1  3 1  3 2  1  3 V  3 V1  3 V2  3  5  8  V  83  512cm3 şi deci AB AB V V V (EFGHCDI )  V  V1  V2   512  27  125  512  152  360cm3 .

b)

Clasa a XII-a I.

arctgx

 ax  b

2

dx  

1  1  arctgx 1 1 ' arctgxdx     dx .    a  ax  b  a ax  b a ax  b x 2  1





  a2     a2  b2  a    0  1  x  a     2  a  b  0     2 2 a  b2 ax  b x  1 ax  b x  1    b  1    b     a2  b2   arctgx arctgx 1     dx    ln | ax  b |  ln x 2  1   arctgx   C cu ,  , Deci  2 a ax  b a  a 2  ax  b







determinaţi mai sus.

118



II. Presupun că   f :

 a, b bijectivă şi funcţie raţională  f  x  

P x cu P,Q  Qx

X .

Dacă gradP>gradQ  lim f  x    sau   şi deci Imf conţine un interval de forma x 

c,  sau  ,c  în contradicţie cu Imf=(a,b). Deci gradP  gradQ  lim f  x   lim f  x   0 dacă gradPgradQ demonstraţia este ca mai sus. Pentru gradP  gradQ  lim f  x   lim f  x   număr finit. (1) x 

x 

şi ecuaţia f '  x   0 are un număr finit de rădăcini, fiind

Cum f derivabilă pe

polinomială  f are un număr finit de puncte de extrem local. (2) Din (1) şi (2)  f îşi atinge cel puţin un extrem global, în contradicţie cu Imf=(a,b). III. 2



3.a) 3 a3  b3  c



3 2

2 3

a b c     3   3

3

3



 3 a2  b2  c



2 3

 a3  b3  c 3  3 a2  b2  c 2     3 3  

      1 3 2 3

a3

 b3

2 3

 c3

2 3

2 3

Funcţia f : 0,   , f  x   x este concavă şi deci avem

 x  x  x  f  x1   f  x2   f  x3  f 1 2 3   x1, x2, x3 0, . 3 3   Luând x1  a3 , x2  b3 , x3  c3 se obţine exact (1).









b) | z1  z2 |2  | z2  z3 |2  | z1  z3 |2   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3 



 



  z1  z3  z1  z3  2 z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z1z2  z2 z3  z2 z3  z3 z1  z3 z1 

       6  z  z  z  z  z   z z  z  z  z   z z  z  z  z    6   z  z  z   z  z  z   | z |  | z |  | z |   3 | z  z  z 



 2 | z1 |2  | z2 |2  | z3 |2  z1 z2  z3  z2 z3  z1  z3 z1  z2  1

1

2

3

1

2

1

2

3

2

2

1

2

3

1

2

3

1

3

1

2

2

2

3

3

2

3

1

2

3

|2

şi atunci | z1  z2 |2  | z2  z3 |2  | z3  z1 |2  3 | z1  z2  z3 |2  0  z1  z2  z3  0 şi cum | z1 || z2 || z3 | 1  z1, z2 , z3 sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral.

119

Ediţia a V-a, 20 – 21 noiembrie 1999 Clasa a VII-a I. În

avem a2000  b2000  a  b sau a  b , deci

 x  19992000   x  20012000  x  1999  x  2001, care este imposibilă, sau x  1999  x  2001 2x  4000  x  2000  x 1 2    x  1 y  2  8 , de unde avem cazurile: 4 y 2  x 1 1  x 1 2  x 1 4 x  2 x  3 x  5  sau   sau   sau  y  2  8 y  6  y  2  4 y  2  y  2  2 y  0

II.

x  1  8  x  9  x  1  1  x  1  2  x 0  x  1  sau   sau   sau  y  2  1 y  1 y  2  8 y  10 y  2  4 y  6  x  1  4  x  1  8  x  7  x  3  sau    y  2  2 y  4 y  2  1 y  3 Dar x, y 

*

, deci nu convin toate soluţiile găsite. Soluţia este deci

2,6,3,2,9, 1, 1, 6, 3, 4, 7, 3 .

III. A

B’

C’

T

C1

B1

G B

S A’

A1

C

a) Fie A1, B1, C1 mijloacele segmentelor [BC], [CA], [AB]. A1B1 este linie mijlocie în triunghiurile ABC şi SA’B’, de unde avem

AB A1B1 A ' B '    AB  A ' B ' şi AB A ' B '  ABA’B’ paralelogram. AB  2A1B1  A ' B ' 

Analog ACA’C’ şi BCB’C’ paralelograme. Avem deci AB  A ' B ', BC  B 'C ', CA  C ' A '  ABC  A ' B 'C ' L.L.L. . b) Din ABA’B’ paralelogram  BB’ trece prin mijlocul lui [AA’] (1) 120

Din ACA’C’ paralelogram  CC’ trece prin mijlocul lui [AA’] (2) Din (1) şi (2)  AA’, BB’, CC’ sunt concurente, punctul de concurenţă T fiind mijlocul lui [AA’] ( de fapt şi mijlocul lui [BB’] şi mijlocul lui [CC’] ). Observaţie: Punctul T de concurenţă între AA’, BB’, CC’ se găseşte pe dreapta SG, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Într-adevăr, AA1 şi ST sunt mediane în triunghiul ASA’ şi notând cu G '  AA1  ST 

G ' A1 1  şi cum AA1 este şi mediană în triunghiul ABC, G' A 2

rezultă că G’=G centrul de greutate al triunghiului ABC.

Clasa a VIII-a I. A

A 1 M

2-x N

B x-1

1-x B

C

C M

Cazul 1 2-x>1, x2 şi atunci AB = 2-x