Complex Analysis [PDF]

Zitiervorschau

CUPRINS Prefaţă …………….………………..……….…………........… vii 1. Numere complexe …………….………………..……….………. 1 Corpul numerelor complexe. Forma algebrică (carteziană) a unui număr complex. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Modulul unui număr complex. Conjugatul unui număr complex. Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică (polară) a numerelor complexe. Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Rădăcinile de ordinul n ale unităţii. Mulţimi de puncte în plan. Punctul de la infinit. Proiecţia stereografică. 2. Funcţii elementare ….………………………….......….…….… 17 Funcţia polinomială. Funcţia raţională. Funcţia exponenţială. Funcţia logaritm. Funcţia putere a unui număr complex cu exponent complex. Funcţii trigonometrice. Funcţii hiperbolice. Transformări elementare.

iv

ANALIZĂ COMPLEXĂ

3. Analiticitate …………………….…………….……………..…. 29 Limite. Continuitate. Diferenţiabilitate. Ecuaţiile Cauchy-Riemann. Functii analitice. Funcţii armonice. 4. Integrala complexă. Teorema lui Cauchy ………..………….. 47 Curbe şi domenii. Integrala unei funcţii complexe continue de o variabilă reală. Integrala unei funcţii complexe de o variabilă complexă. Proprietăţi ale integralei complexe. Antiderivate (Primitive). Teorema integrală a lui Cauchy (Teorema CauchyGoursat). Teorema lui Cauchy pentru dreptunghi. Teorema lui Cauchy pentru cerc. Teorema lui Cauchy pentru domenii simplu conexe. 5. Formula integrală a lui Cauchy şi consecinţe .......................... 75 Formula integrală a lui Cauchy. Teorema valorii medii a lui Gauss. Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate. Calculul unor integrale cu formulele integrale ale lui Cauchy. Teorema lui Morera. Inegalităţile lui Cauchy. Teorema lui Liouville. Teorema fundamentală a algebrei. 6. Şiruri şi serii de funcţii …………………..………………….... 89 Şiruri şi serii de numere. Şiruri şi serii de funcţii. Convergenţa uniformă. Criteriul convergenţei dominate al lui Weierstrass.

Dumitru D. DRĂGHIA

v

Şiruri şi serii de funcţii analitice. Convergenţa uniformă, diferenţierea şi integrarea. Serii de puteri. Serii Taylor. Teorema Cauchy-Hadamard. Teorema lui Taylor. Serii Maclaurin. Zerourile funcţiilor analitice. Teorema de identitate. Teorema unicităţii. Teorema maximului modulului. 7. Teorema reziduului şi aplicaţii ………………..……….…… 115 Serii Laurent. Teorema lui Laurent. Clasificarea şi caracterizarea singularităţilor funcţiilor analitice. Teorema lui Weierstrass. Singularitatea de la infinit. Comportarea funcţiilor întregi. Noţiunea de reziduu. Teorema reziduului. Calculul reziduurilor. Calculul unor integrale complexe. Evaluarea unor integrale reale improprii. BIBLIOGRAFIE …….……………………..……...………….. 145

Prefaţă

Cursul de Analiză complexă este un curs introductiv, care are drept scop prezentarea noţiunilor de bază şi a celor mai importante rezultate ale teoriei funcţiilor complexe de o variabilă complexă. Analiza complexă are aplicaţii numeroase în domenii ca: teoria numerelor, fizică, hidrodinamică, tehnică, teoria potenţialului, ecuaţii diferenţiale,

transformări

conforme,

transformări

Fourier

şi

transformări Laplace, ecuaţii Laplace, probleme Dirichlet, funcţii armonice, funcţii eliptice, suprafeţe Riemann etc. Cursul de Analiză complexă presupune cunoaşterea noţiunilor şi rezultatelor fundamentale ale Analizei matematice şi ale Geometriei analitice. Între funcţiile reale şi funcţiile complexe există multe asemănări, dar există şi deosebiri fundamentale. În acest curs, noţiunea centrală este noţiunea de funcţie analitică.

viii

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Studiul funcţiilor analitice urmează trei abordări: 1. Teoria lui Riemann, care are la bază noţiunea de diferenţiere şi ecuaţiile Cauchy-Riemann; 2. Teoria lui Cauchy, care se bazează pe noţiunea de integrare şi pe teorema integrală a lui Cauchy; 3. Teoria lui Weierstrass, bazată pe teoria seriilor de puteri. Definiţiile sunt urmate de exemple. Teoremele sunt demonstrate, însoţite de observaţii şi aplicate la rezolvarea unor exerciţii. Notaţiile sunt standard. În final, studentul va trebuie să ştie: • Să definească şi să exemplifice noţiunile de bază; • Să enunţe şi să demonstreze principalele teoreme; • Să efectueze operaţii cu numere complexe; • Să rezolve ecuaţii în corpul numerelor complexe; • Să descrie analitic şi geometric o mulţime de numere complexe; • Să definească funcţiile elementare şi să justifice proprietăţile lor; • Să construiască transformări de la un domeniu la alt domeniu; • Să justifice principalele proprietăţi ale funcţiilor analitice; • Să studieze analiticitatea unei funcţii de o variabilă complexă; • Să dezvolte o funcţie în serie Taylor şi în serie Laurent; • Să definească integrala complexă şi să justifice proprietăţile ei; • Să aplice consecinţele teoremei integrale a lui Cauchy; • Să determine singularităţile unei funcţii analitice; • Să calculeze reziduurile unei funcţii în punctele singulare izolate;

Dumitru D. DRĂGHIA

ix

• Să calculeze integrale folosind una sau mai multe metode: ¾ parametrizarea curbei de integrare; ¾ calcularea unei primitive a funcţiei de integrat; ¾ aplicarea teoremei integrale a lui Cauchy; ¾ folosirea formulelor integrale ale lui Cauchy; ¾ aplicarea teoremei reziduului. Mulţumesc profesorului Nicu Boboc de la Facultatea de Matematică şi Informatică a Universităţii din Bucureşti pentru observaţiile şi sugestiile făcute pe marginea manuscrisului privind îmbunătăţirea conţinutului şi modului de prezentare.

17 iunie 2005

D. D. D.

1 NUMERE COMPLEXE

Corpul numerelor complexe Mulţimi de puncte în planul complex

Corpul numerelor complexe Mulţimea numerelor complexe este, prin definiţie, mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale:

= { ( x, y ) : x, y ∈ Notăm

=

Fie ( x, y ) ∈

×

sau

şi ( a, b ) ∈

=

2

}.

.

.

Noţiunea de egalitate a elementelor din şi operaţiile binare de adunare şi înmulţire sunt definite astfel: • egalitatea: ( x, y ) = ( a, b ) dacă şi numai dacă x = a şi y = b ; • adunarea: ( x , y ) + ( a , b ) = ( x + a, y + b ) ; • înmulţirea: ( x, y ) ⋅ ( a, b ) = ( xa − yb, xb + ya ) . Mulţimea numerelor complexe formează un corp comutativ faţă de operaţiile binare de adunare şi de înmulţire. Elementul neutru (nul) pentru adunare este ( 0, 0 ) .

2

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Elementul opus (faţă de adunare) al unui element oarecare ( x, y ) din este ( − x, − y ) . Elementul neutru (unitate) pentru înmulţire este (1,0 ) . Elementul invers (faţă de înmulţire) al unui element nenul ( x, y ) din

⎛

x −y ⎞ , 2 . 2 2 ⎟ ⎝x +y x +y ⎠

este ( x, y ) −1 = ⎜

2

Există un izomorfism de corpuri între corpul numerelor reale R , definit de şi o submulţime a corpului numerelor complexe corespondenţa x ↔ ( x,0 ) , x ∈ R , care păstrează operaţiile de adunare şi de înmulţire:

( x,0 ) + ( y,0 ) = ( x + y,0 ) ; ( x,0 ) ⋅ ( y,0 ) = ( xy,0 ) .

Notăm x = ( x, 0 ) Astfel

(x∈ ). R = R × {0} , adică mulţimea

numerelor reale este o

submulţime a numerelor complexe . Cu alte cuvinte, corpul al numerelor complexe este o extensie a corpului R al numerelor reale. Avem următoarea incluziune ⊂ . Există o proprietate importantă a corpului numerelor reale pe care corpul numerelor complexe nu o are. Dacă x ∈ R , atunci este adevărată una din următoarele relaţii: x = 0, x > 0, − x > 0 (regula trichotomiei). În plus, suma şi produsul a două numere reale pozitive sunt pozitive (proprietatea de închidere). Un corp cu o relaţie de ordine ≤ care satisface regula trichotomiei şi este compatibilă cu adunarea şi înmulţirea (proprietatea de închidere) se numeşte corp ordonat. În corpul al numerelor complexe nu poate fi definită o astfel de relaţie de ordine, i.e. Corpul al numerelor complexe nu este corp ordonat.

Dumitru D. DRĂGHIA

3

Forma algebrică a numărului complex Observăm că ( 0,1) ⋅ ( 0,1) = ( −1,0 ) = −1 . Notăm i = ( 0,1) . Atunci i 2 = i ⋅ i = −1 . Numărul complex i se numeşte unitatea imaginară. Astfel, ecuaţia algebrică x 2 + 1 = 0 , care nu are soluţii reale, are soluţiile i şi −i în corpul numerelor complexe. Dacă ( x, y ) ∈ C , atunci

( x, y ) = ( x, 0 ) + ( 0, y ) = ( x, 0 ) + ( 0,1) ⋅ ( y,0 ) = x + iy . Notăm z = ( x , y ) . Oricare număr complex z ∈ C are forma z = x + iy , numită forma algebrică (sau carteziană) a numărului complex. Numerele complexe de forma z = ( 0, y ) = iy se numesc numere complexe pur imaginare. Fie z = ( x, y ) un număr complex. Numărul real x se numeşte partea reală a lui z , iar numărul real y se numeşte partea imaginară a lui z . Notăm: Re z = x , Im z = y . Deci, un număr complex oarecare z ∈ îl putem scrie sub una din formele următoare: z = ( x, y ) ,

z = x + iy , z = ( Re z, Im z ) ,

z = Re z + i Im z.

4

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Aşa cum un număr real x este reprezentat printr-un punct pe o dreaptă (axa numerelor reale), un număr complex z = ( x, y ) este reprezentat printr-un punct în plan. Termenii număr complex şi punct în planul complex vor fi folosiţi alternativ. Axa x -ilor este numită axa reală şi axa y -ilor este numită axa imaginară. Există o altă interpretare a numerelor complexe. Fiecare punct ( x, y ) al planului complex determină un vector cu punctul iniţial în ( 0, 0 ) şi cu punctul terminal în ( x, y ) . Lungimea acestui vector este distanţa de la origine la punctul

( x, y ) , adică

x2 + y2 .

Adunarea numerele complexe corespunde adunării vectorilor.

Modulul unui număr complex Distanţa de la origine la punctul ( x, y ) se numeşte modulul sau valoarea absolută a numărului complex z = ( x, y ) . Se notează z =

x2 + y2 .

Dumitru D. DRĂGHIA

5

Deci, modulul numărului complex z = Re z + i Im z este numărul pozitiv sau zero z = (Re z) 2 + (Im z) 2 . Distanţa dintre două puncte z = ( x, y ) şi w = (u, v ) este dată de

z − w = ( x − u)2 + ( y − v )2 . Pentru fiecare număr real pozitiv r , există o infinitate de numere complexe diferite z = ( x, y ) a căror valoare absolută este r . Acestea sunt punctele de pe cercul cu centrul în origine şi de rază r , care are ecuaţia x 2 + y 2 = r 2 sau, echivalent, z = r . Cercul cu centrul într-un punct z0 = ( x0 , y0 ) şi de rază r are ecuaţia ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = r 2 sau, echivalent, z − z0 = r . 2

2

Modulul are următoarele proprietăţi: 1) z ≥ 0 , ( z ∈ C ) ; z = 0 ⇔ z = 0 ; 2)

− z = z , ( z ∈ C) ;

3)

Re z ≤ z , Im z ≤ z , ( z ∈ C ) ;

4)

z + w ≤ z + w , z − w ≤ z − w , ( z , w∈ C ) ;

5)

zw = z w , ( z , w∈ C ) ;

6)

z −1 =

7)

z z , ( z , w ∈ C, w ≠ 0 ) . = w w

1 1 −1 = = z , ( z ∈ C, z ≠ 0 ) ; z z

6

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Conjugatul unui număr complex Printre punctele care au aceeaşi valoare absolută ca şi z = ( x, y ) , există un punct care joacă un rol special. Acesta este punctul ( x, − y ) , simetricul punctului ( x, y ) faţă de axa reală, care se numeşte conjugatul lui z = ( x, y ) şi se notează z = ( x, − y ) . Sub forma algebrică, conjugatul numărului complex z = x + iy este z = x − iy . Deci, conjugatul unui număr complex z = ( x, y ) oarecare îl putem scrie sub una din formele următoare: z = ( x, − y ) ;

z = x − iy ; z = Re z − i Im z . Din definiţii rezultă următoarele proprietăţi: 1)

z = z , ( z ∈ C) ;

2)

z = z , ( z ∈ C) ;

3)

z + w = z + w , ( z , w∈ C ) ;

4)

z ⋅ w = z ⋅ w , ( z , w∈ C ) ;

⎛z⎞ z ⎟ = , ( z , w ∈ C, w ≠ 0 ) ; ⎝ w⎠ w

5) ⎜

6) Re z = 7)

z+z z−z , Im z = , ( z ∈ C) ; 2 2i

z ⋅ z = z , ( z ∈ C) . 2

Dumitru D. DRĂGHIA

7

Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică (polară) a numerelor complexe

⎛ x y⎞ , ⎟⎟ z z⎠ ⎝ este un punct de pe cercul unitate. Prin urmare, există θ ∈ astfel ⎛ x y⎞ încât ⎜ , ⎟ = ( cos θ ,sin θ ) . ⎜ z z⎟ ⎝ ⎠ Rezultă că z = z (cos θ + i sin θ ) . Adesea se notează r = z . Dacă z = x + iy este un număr complex nenul, atunci ⎜ ⎜

Aceasta este forma polară (trigonometrică) a numărului complex

z = x + iy .

Un număr real θ astfel încât x = z cos θ şi y = z sin θ este un argument al unui număr complex z = x + iy . Oricare număr complex are o infinitate de argumente, care diferă între ele printr-un multiplu întreg de 2π . Notăm arg z = θ . Pentru z = 0 , argumentul este nedefinit. Pentru oricare număr complex nenul z , argumentul (unic determinat) care aparţine intervalului ( −π , π ] se numeşte argumentul principal al lui z şi se notează Arg z . Avem următoarele relaţii:

−π < Arg z ≤ π , arg z = Arg z + 2kπ , k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ⋅⋅⋅ . Argumentul principal Arg z al unui număr complex nenul z este determinat, prin definiţie, astfel: 1) dacă z = x , x ∈ (0, ∞ ) , atunci Arg z = 0 ;

⎛ π⎞ ⎟; ⎝ 2⎠

2) dacă z = x + iy , x, y ∈ (0, ∞ ) , atunci Arg z ∈ ⎜ 0,

8

ANALIZĂ COMPLEXĂ

3) dacă z = iy , y ∈ (0, ∞ ) , atunci Arg z =

π 2

;

⎛π ⎞ ,π ⎟ ; ⎝2 ⎠

4) dacă z = x + iy , − x, y ∈ (0, ∞ ) , atunci Arg z ∈ ⎜ 5) dacă z = x , x ∈ (− ∞,0 ) , atunci Arg z = π ;

⎛ ⎝

6) dacă z = x + iy , x, y ∈ (− ∞,0 ) , atunci Arg z ∈ ⎜ −π , − 7) dacă z = iy , y ∈ (− ∞,0 ) , atunci Arg z = −

π 2

π⎞

⎟; 2⎠

;

⎛ π ⎞ ,0⎟ . ⎝ 2 ⎠

8) dacă z = x + iy , − x, y ∈ (− ∞,0 ) , atunci Arg z ∈ ⎜ −

Avem, de asemenea, următoarele relaţii: 1) Arg z = − Arg z , ( z ≠ x < 0 ) ; 2)

z1 = z2 ⇔ ( z1 = z2 , arg z1 = arg z2 (mod 2π ) ) ;

3) arg ( z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 (mod 2π ) ; 4)

z n = r n (cos nθ + i sin nθ ) , n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ ;

5) (cos θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ , n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ ; 6) arg

1 = − arg z (mod 2π ) , ( z ≠ 0 ) ; z

7) arg

z1 = arg z1 − arg z2 (mod 2π ) , ( z2 ≠ 0 ) . z2

Dumitru D. DRĂGHIA

9

Folosind ecuaţia lui Euler

eiθ = cos θ + i sin θ , oricare număr complex z ≠ 0 poate fi scris în forma exponenţială

z = reiθ . Fie z1 = r1e

iθ1

şi z 2 = r2 e

iθ 2

.

Atunci forma polară a produsului este z1 z 2 = r1r2 e n inθ

Prin inducţie, z = r e Formula lui Moivre n

i (θ1 +θ 2 )

.

, n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ .

(cos θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ , n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ are forma polară

(e )

iθ n

= einθ , n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ .

Forma polară a inversului unui număr complex nenul z = re iθ este z −1 = r −1e −iθ . Forma polară a câtului a două numere complexe z1 = r1e

z2 = r2eiθ 2 ≠ 0 este

iθ1

şi

z1 r1 i (θ1 −θ2 ) = e . z 2 r2

Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex Fie z = r (cos θ + i sin θ ) . Fie n un număr întreg pozitiv.

Un număr complex z0 = r0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) este o rădăcină de n

ordinul n a numărului complex z , dacă z0 = z ; scriem z0 = z 1 n .

10

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Deoarece r0 (cos nθ 0 + i sin nθ 0 ) = r (cos θ + i sin θ ) este forma n

n

echivalentă a ecuaţiei z0 = z , rezultă soluţiile următoare:

r0 = r 1 n , θ 0 =

θ + 2kπ n

(k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ).

Notăm că există n soluţii distincte, pentru k = 0, 1, 2, , n − 1 . Prin urmare, un număr complex z ≠ 0 , are exact n rădăcini de ordinul n distincte:

θ + 2kπ θ + 2kπ ⎛ z1 n = r1 n ⎜ cos + i sin n n ⎝

⎞ ⎟ , k = 0,1, 2,3, ⋅⋅⋅, n − 1 . ⎠

Geometric, rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex z sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris într-un cerc cu centrul în origine şi de rază egală cu r0 = n z . Diferenţa dintre argumentele a două rădăcini de ordinul n succesive ale unui număr complex este egală cu

2π . n

Rădăcinile de ordinul n ale unităţii sunt:

2kπ 2kπ + i sin , k = 0,1, 2,3, ⋅⋅⋅, n − 1 . n n Geometric, rădăcinile de ordinul n ale unităţii sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris într-un cerc cu centrul în origine şi de rază r0 = 1 . 2π 2π + i sin , atunci rădăcinile de Dacă notăm ω = ω1 = cos n n ordinul n ale unităţii sunt ω k = ω k , k = 0,1, 2,3, ⋅⋅⋅, n − 1 , i.e.

ω k = cos

1, ω , ω 2 , ω 3 , ⋅⋅⋅, ω n −1 . Observăm că ω n = ω 0 = 1 .

Dumitru D. DRĂGHIA

11

Produsul a două rădăcini oarecare de ordinul n ale unităţii este, de asemenea, o rădăcină de ordinul n a unităţii. Suma tuturor celor n rădăcini ale unităţii este egală cu zero:

1−ωn = 0. 1−ω Dacă z0 este o rădăcină particulară de ordinul n a unui număr complex z , atunci toate rădăcinile de ordinul n ale lui z sunt z0 , z0ω , z0ω 2 , , z0ω n−1 . 1 + ω + ω 2 + ω 3 + ⋅⋅⋅ + ω n −1 =

Mulţimi de puncte în planul complex O noţiune de bază este vecinătatea unui punct. Mulţimea punctelor interioare unui cerc cu centrul în z0 şi cu raza

r > 0 , i.e.

{z ∈

: z − z0 < r }

se numeşte vecinătate a punctului z0 . Această mulţime se numeşte disc de centru z0 şi de rază Mulţimea

{z ∈

r.

: 0 ≤ r < z − z0 < R}

se numeşte coroană circulară de centru z0 şi de raze r şi R . Un punct w se numeşte punct interior al unei mulţimi dacă există o vecinătate a lui w care conţine numai puncte din mulţime. Un punct w se numeşte punct exterior al unei mulţimi dacă există o vecinătate a lui w care nu conţine puncte ale mulţimii. Dacă un punct w nu este nici punct interior, nici punct exterior al unei mulţimi se numeşte punct frontieră al mulţimii. Mulţimea tuturor punctelor frontieră ale unei mulţimi se numeşte frontiera mulţimii. O mulţime se numeşte mulţime deschisă dacă nu conţine nici un punct frontieră al ei.

12

ANALIZĂ COMPLEXĂ

O mulţime este deschisă dacă şi numai dacă oricare punct al său este punct interior. Oricare vecinătate a oricărui punct este mulţime deschisă. Exemple de mulţimi deschise: mulţimea vidă, mulţimea tuturor numerelor complexe, intersecţia oricăror două mulţimi deschise, reuniunea oricărei familii de mulţimi deschise, exteriorul oricărui cerc, oricare coroană circulară. Fie z0 ∈ şi ε > 0 . Mulţimea

{z ∈

: 0 < z − z0 < ε }

se numeşte vecinătate punctată a punctului z0 . O mulţime se numeşte închisă dacă conţine toate punctele sale frontieră. Mulţimea vidă, mulţimea tuturor numerelor complexe, intersecţia oricărei familii de mulţimi închise, reuniunea oricăror două mulţimi închise sunt mulţimi închise. Mulţimile

{

şi z ∈

{z ∈

: 0 ≤ r ≤ z − z0 ≤ R}

: z − z0 ≥ r} sunt, de asemenea, mulţimi închise.

Închiderea unei mulţimi este mulţimea închisă constând din toate punctele mulţimii împreună cu frontiera mulţimii. Există mulţimi care nu sunt nici deschise, nici închise. Exemplu:

{

mulţimea z ∈

: 0 < z ≤ 1} nu este nici deschisă, nici închisă.

De asemenea, există mulţimi care sunt deschise şi închise. De exemplu, mulţimea vidă şi mulţimea tuturor numerelor complexe sunt mulţimi deschise şi închise. Oricare mulţime finită este mulţime închisă. Fie z1 , z2 ∈ . Mulţimea definită prin

[ z1 , z2 ] = { z ∈

: z = (1 − t ) z1 + tz2 , 0 ≤ t ≤ 1}

sau, echivalent,

[ z1 , z2 ] = { z ∈

: z = z1 + t ( z2 − z1 ) , 0 ≤ t ≤ 1}

se numeşte segment cu originea z1 şi extremitatea z 2 .

Dumitru D. DRĂGHIA

13

Fie n > 2 şi z1 , z2 ,

, zn ∈

.

n −1

Mulţimea

∪ [z , z ] se numeşte linie poligonală determinată de i

i +1

i =1

punctele z1 , z2 ,

, zn .

O mulţime deschisă este mulţime conexă dacă oricare două puncte ale ei pot fi unite printr-o linie poligonală conţinută în mulţime. Oricare vecinătate a oricărui punct este mulţime conexă. Oricare coroană circulară este mulţime conexă. Cele mai importante mulţimi în teoria funcţiilor complexe sunt domeniile. O mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu. Oricare vecinătate a oricărui punct este domeniu. Oricare coroană circulară este domeniu. Un domeniu împreună cu unele din punctele, niciunul sau toate punctele frontierei sale se numeşte regiune. Oricare două puncte dintr-un domeniu pot fi unite printr-o linie poligonală conţinută în domeniu. Linia poligonală poate avea laturile paralele cu axele de coordonate. Oricare punct dintr-un disc poate fi unit cu centrul discului prin două segmente de dreaptă, conţinute în disc: unul paralel cu axa reală şi altul paralel cu axa imaginară. O mulţime se numeşte mărginită dacă oricare punct al mulţimii este în interiorul unui cerc

{z ∈

: z = R} . Altfel, mulţimea este

nemărginită. Dacă A este o mulţime mărginită, atunci diametrul mulţimii A este, prin definiţie, numărul real diam A = sup

{ z − w , z, w ∈ A} .

Un punct z 0 se numeşte punct de acumulare (sau punct limită) al unei mulţimi dacă oricare vecinătate a lui z 0 conţine cel puţin un punct al mulţimii distinct de z 0 . Echivalent, un punct z0 nu este

14

ANALIZĂ COMPLEXĂ

punct de acumulare al unei mulţimi dacă există o vecinătate a lui z0 care nu conţine puncte din mulţime distincte de z 0 . Notăm că originea este singurul punct de acumulare al mulţimii z { n = i n, n = 1, 2,3, } . Un punct de acumulare (limită) al unei mulţimi poate să fie sau să nu fie în mulţime. De exemplu, punctele limită ale mulţimii deschise

{z ∈

: z < 1} sunt { z ∈ : z ≤ 1} , adică toate punctele mulţimii şi

{

toate punctele de pe frontieră z ∈

: z = 1} .

O mulţime este închisă dacă şi numai dacă conţine toate punctele sale de acumulare (limită). Oricare punct al unui domeniu este punct de acumulare al acelui domeniu. Oricare vecinătate a unui punct limită al unei mulţimi conţine o infinitate de puncte ale mulţimii. Fie S o mulţime. O familie {Gα } de mulţimi deschise se numeşte

acoperire deschisă a mulţimii S , dacă S ⊆ ∪ α Gα . Familia {Gα } poate fi nenumărabilă. O mulţime este compactă dacă oricare acoperire deschisă a sa conţine o subacoperire finită. Oricare mulţime finită este compactă. O mulţime este compactă dacă şi numai dacă este închisă şi mărginită. Teorema lui Cantor. Dacă {K n }n=1 este un şir descrescător de mulţimi compacte nevide din planul complex astfel încât lim diam K n = 0 , atunci atunci există un punct unic z0 ∈ ∞

n →∞

∞

astfel încât ∩ K n = {z0 }. n =1

■

Dumitru D. DRĂGHIA

15

Fie E şi F două mulţimi de puncte din plan şi un punct a ∉ E . Distanţa dintre punctul a şi mulţimea E este definită prin

dist ( a, E ) = inf a − z . z∈E

Distanţa dintre mulţimile E şi F este definită de

dist ( E , F ) = inf { z ′ − z′′ , z ′ ∈ E , z ′′ ∈ F } . Punctul de la infinit Planul complex finit poate fi extins cu un punct “ideal”, numit punctul de la infinit şi notat cu simbolul ∞. Punctele planului împreună cu punctul de la infinit formează planul complex extins, numit şi planul lui Gauss. Fie ε > 0 . Mulţimea

{z ∈

: z >1 ε}

se numeşte vecinătate a punctului de la infinit. Pentru a interpreta geometric punctul de la infinit, folosim reprezentarea numerelor complexe prin puncte ale unei sfere. Considerăm sfera unitate cu centrul în originea planului complex. Unim polul nord N al sferei cu fiecare punct z din plan. Dreapta determinată de punctul z din plan şi de polul nord N al sferei intersectează suprafaţa sferei într-un singur punct P . Astfel fiecare punct de pe sferă, cu excepţia polului nord, este imaginea unui anume punct din plan. Asociem polului nord N al sferei punctul de la infinit şi obţinem o corespondenţă bijectivă dintre punctele sferei şi punctele planului extins. Sfera este cunoscută ca sfera lui Riemann, iar corespondenţa se numeşte proiecţia stereografică a planul lui Gauss pe sfera lui Riemann.

16

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Observăm că exteriorul cercului unitate cu centrul în origine din planul complex corespunde emisferei nordice fără ecuator şi fără polul nord. Dreptele din plan sunt cercuri care trec prin punctul de la infinit. Dacă oricare vecinătate a lui ∞ conţine cel puţin un punct al unei mulţimi date din planul complex, atunci spunem că ∞ este punct de acumulare al acelei mulţimi. De exemplu: punctul de la infinit este punct de acumulare al mulţimii { zn = ni, n = 0,1, 2,3, } . De asemenea, domeniile

{z ∈

: Im z > 0} , { z ∈ : Re z > 0} ,

au ca punct de acumulare punctul de la infinit. Remarcă. O mulţime este nemărginită dacă şi numai dacă punctul de la infinit este unul din punctele sale de acumulare.

2 FUNCŢII ELEMENTARE

Funcţii elementare Transformări elementare

Fie A şi B mulţimi de numere complexe. O funcţie de o varibilă complexă cu valori complexe, definită pe A , cu valori în B se notează f : A → B . Folosim adesea expresia ”funcţia f ( z ) “, unde z este o variabilă complexă care aparţine domeniului de definiţie al funcţie f .

Funcţii elementare Cele mai importante funcţii elementare sunt funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile trigonometrice, funcţiile hiperbolice. 1) Funcţia polinomială Funcţia P ( z ) = an z n + an −1 z n −1 + " + a2 z 2 + a1 z + a0 , ( z ∈ ^ ) , cu a0 , a1 , a2 ," , an ∈ ^ , an ≠ 0 , n ≥ 0 , este polinomul de gradul n . Cazuri particulare importante sunt: funcţia constantă, funcţia identitate, funcţia liniară, funcţia pătratică, funcţia putere naturală.

18

ANALIZĂ COMPLEXĂ

(a) w = P ( z ) = 0 , (Polinomul identic nul); (b) w = f ( z ) = z0 , z0 ∈ C , (Funcţia constantă); (c) w = f ( z ) = z , (Funcţia identitate); (d) w = f ( z ) = az + b, a, b ∈ C , (Funcţia afină); (e) w = f ( z ) = z 2 , (Funcţia pătratică); (f) w = f ( z ) = z n , n ∈ N , (Funcţia putere).

2) Funcţia raţională Funcţia R( z ) =

P(z ) , cu condiţia Q( z ) ≠ 0 , unde P( z ) şi Q( z )

Q( z ) sunt polinoame, se numeşte funcţie raţională. Cazuri particulare importante sunt: funcţia inversiune, funcţia liniar-fracţionară (transformarea omografică sau transformarea lui Möbius), funcţia lui Jukovski. (a) w = f ( z ) =

1 ; z

(b) w = f ( z ) =

az + b , a , b, c, d ∈ C, ad − bc ≠ 0 ; cz + d

(c) w = f ( z ) =

1⎛ 1⎞ ⎜z + ⎟. 2⎝ z⎠

3) Funcţia exponenţială Funcţia exp z : ^ → ^ \ {0} , definită prin expresia următoare:

Dumitru D. DRĂGHIA

19

exp z = e x ( cos y + i sin y ) , ( z = x + iy ) , se numeşte funcţie exponenţială. Această funcţie este notată şi e z . Pe axa reală funcţia exponenţială de o variabilă complexă coincide cu funcţia exponenţială de o variabilă reală. Din definiţie rezultă următoarele proprietăţi: (i) ez ≠ 0 , ( z ∈ ^) ; (ii)

e x +i 0 = e x , ( x ∈ \ ) ; e0 = 1 ;

(iii)

eiy = cos y + i sin y , ( y ∈ \ ) ;

(iv)

e 2π i = 1 ;

(v)

Re e z = e x cos y , Im e z = e x sin y , ( z = x + iy ) ;

(vi)

e z = e Re z , ( z ∈ ^ ) ;

(vii) Arg e z = Im z , arg e z = Im z + 2kπ , k ∈ ] , ( z ∈ ^ ) ; (viii) e z1 + z2 = e z1 e z2 , ( z1 , z2 ∈ ^ ) ; (ix)

e z + 2π i = e z , ( z ∈ ^ ) ;

(x)

1 = e− z , ( z ∈ ^ ) ; z e

(xi)

e z1 = e z1 − z2 , ( z1 , z2 ∈ ^ ) ; z2 e

(xii) e z = e z , ( z ∈ ^ ) .

20

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Funcţia exponenţială de o variabilă complexă este o funcţie periodică cu o perioadă pur imaginară 2π i . Dacă restriţionăm domeniul de definiţie la o mulţime de forma { z ∈ ^ : y0 < Im z ≤ y0 + 2π } , atunci funcţia exponenţială este bijectivă pe ^ \ {0} . Funcţia

exp : { z ∈ ^ : z = x + iy, x ∈ \, y ∈ ( −π , π ]} → ^ \ {0} ,

se numeşte determinarea principală a funcţiei exponenţiale.

4) Funcţia logaritmică Fie ecuaţia e z = w cu necunoscuta z = x + iy . Atunci avem

w = e x şi Arg w = y , de unde rezultă că z = ln w + i Arg w . Notăm Log w = z = ln w + i Arg w . Dacă domeniul de definiţie al funcţiei w = e z este restricţionat la fâşia { z ∈ ^ : −π < Im z ≤ π } , atunci inversa sa este funcţia logaritmică principală z = Log w . Funcţia definită prin Log z = ln z + i Arg z , ( z ≠ 0 ) , unde −π < Arg z ≤ π , se numeşte determinarea sau ramura principală a logaritmului. Această funcţie este extensie a funcţiei logaritmice reale: Log x = ln x + i Arg x = ln x , ( x > 0 ) .

5) Funcţia putere a unui număr complex cu exponent complex Dacă x > 0 şi r este un număr real oarecare, atunci x r = e r ln x . Pentru z , c ∈ C, z ≠ 0 , funcţia z c = ec Log z se numeşte ramura principală a funcţei putere.

Dumitru D. DRĂGHIA

21

6) Funcţii trigonometrice Din formulele eix = cos x + i sin x , e − ix = cos x − i sin x , rezultă, pentru oricare număr real x ,

sin x =

eix − e− ix , 2i

cos x =

eix + e− ix . 2

Principalele funcţii trigonometrice sinus şi cosinus de o variabilă complexă sunt definite prin ecuaţiile următoare:

sin z =

eiz − e − iz , ( z ∈ ^) ; 2i

cos z =

eiz + e − iz , ( z ∈ ^) . 2

Aceste formule sunt numite formulele lui Euler. Proprietăţile şi formulele importante din trigonometrie sunt valabile şi în cazul complex. Dar, formula fundamentală sin 2 z + cos 2 z = 1 , valabilă şi în planul complex nu implică sin z ≤ 1 sau cos z ≤ 1 . Avem

sin z = 0 dacă şi numai dacă z = kπ , k ∈ ] ,

cos z = 0 dacă şi numai dacă z = ( 2k + 1)

π 2

, k ∈] ,

adică zerourile funcţiilor sinus şi cosinus sunt toate reale. 7) Funcţii hiperbolice Funcţiile sinus hiperbolic şi cosinus hiperbolic sunt definite de:

22

ANALIZĂ COMPLEXĂ

sh z =

e z − e− z , ( z ∈ ^) ; 2

ch z =

e z + e− z , ( z ∈ ^) . 2

Între funcţiile hiperbolice şi funcţiile trigonometrice există relaţiile următoare: sh ( iz ) = i sin z , ch ( iz ) = cos z , ( z ∈ ^ ) ;

sin ( iz ) = i sh z , cos ( iz ) = ch z , ( z ∈ ^ ) .

Funcţia constantă, funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică se numesc funcţii elementare primitive (fundamentale). Cu ajutorul lor se construiesc celelalte funcţii elementare. Toate funcţiile care se pot obţine printr-un număr finit de operaţii elementare (adunare, înmulţire, împărţire şi compunere) cu funcţii elementare primitive se numesc funcţii elementare.

Transformări elementare Interpretarea geometrică a funcţiilor de o variabilă complexă conduce la rezultate care au aplicaţii în fizică. Expresii ca translaţie, rotaţie şi simetrie sunt folosite pentru a exprima caracteristici geometrice dominante ale unor funcţii. Informaţii despre transformări se obţin punând în evidenţă imaginile unor puncte, curbe şi domenii. 1) Translaţia w = f ( z ) = z + c Aplicaţia w = f ( z ) = z + c , unde c = c1 + ic2 este o constantă complexă, este o translaţie de vector c a planului. Adică, imaginea oricărui punct z = ( x, y ) este punctul z = ( x + c1 , y + c2 ) .

Dumitru D. DRĂGHIA

23

Un domeniu şi imaginea sa printr-o translaţie sunt geometric congruente.

2) Transformarea w = f ( z ) = bz Aplicaţia definită de ecuaţia w = bz , unde b ≠ 0 este un număr complex, transformă oricare punct z ≠ 0 în punctul w determinat de w = b z şi Arg w = Arg z + Arg b . Această transformare constă dintr-o rotaţie a vectorului z în jurul originii de unghi Arg b şi o dilataţie, dacă b > 1 , sau o contracţie, dacă b < 1 . Dacă b = 1 , adică b = eiθ , atunci transformarea w = bz este o rotaţie în jurul originii de unghi θ . De exemplu, aplicaţia w = iz este o rotaţie a fiecărui punct z în jurul originii, în sensul contrar acelor de ceasornic, cu un unghi de π 2 radiani.

3) Transformarea afină w = f ( z ) = bz + c Transformarea afină (sau liniară) definită de funcţia liniară

w = f ( z ) = bz + c, b ≠ 0 se obţine prin compunerea translaţiei

w = z + c cu transformarea w = bz . Adică, transformarea liniară constă dintr-o rotaţie, o dilataţie sau o contracţie, urmate de o translaţie.

4) Inversiunea w = f ( z ) =

1 z

Funcţia definită de w = f ( z ) =

1 se numeşte inversiune. z

24

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Oricare punct z ≠ 0 este transformat prin funcţia w = punct w determinat de w =

1 într-un z

1 şi Arg w = − Arg z . z

Mai întâi, observăm că imaginea unui punct de pe cercul unitate

1 este simetricul său faţă de axa z reală, deoarece w = 1 şi Arg w = − Arg z . z = 1 prin funcţia inversiune w =

Semicercul superior este transformat în semicercul inferior şi invers. Deci, cercul unitate este transformat în el însuşi. Imaginea unui cerc z = r prin transformarea inversiune w = este cercul w =

1 z

1 . r

Semicercul superior este transformat în semicercul inferior şi invers. Punctele din interiorul cercului unitate, diferite de origine, sunt aplicate pe punctele din exteriorul cercului unitate şi invers, deoarece z < 1 ⇔ w > 1 şi Arg w = − Arg z . Discul punctat 0 < z < r , de rază r , este transformat în exteriorul discului de rază

1 1 , w > , şi invers. r r

Astfel, oricărei vecinătăţi a originii îi corespunde o vecinătate a punctului de la infinit şi invers. Dacă scriem

1 ⎛ 1 =⎜ z ⎜⎝ z 2

⎞ 1 z ⎟ , atunci transformarea w = rezultă ⎟ z ⎠

din compunerea inversiunii faţă de cercul unitate cu simetria faţă de axa reală.

Dumitru D. DRĂGHIA

25

5) Transformarea lui Möbius w = f ( z ) =

az + b cz + d

Transformarea lui Möbius sau transformarea omografică este

az + b , unde a, b, c, d ∈ ^ şi ad − bc ≠ 0 . cz + d Condiţia ad − bc ≠ 0 asigură că transformarea nu este constantă.

definită de w = f ( z ) =

Mulţimea tuturor transformărilor lui Möbius formează un grup. Dacă c = 0 , transformarea lui Möbius se reduce la o transformare liniară. Dacă c ≠ 0 , transformarea lui Möbius poate fi scrisă sub forma

w=

a bc − ad 1 . + ⋅ c c cz + d

De aici deducem că transformarea lui Möbius este compusa a trei transformări: o translaţie, o inversiune şi iarăşi o translaţie. Această transformare aplică cercurile şi dreptele pe cercuri şi drepte, imaginea unei drepte este o dreaptă sau un cerc, precum imaginea unui cerc poate fi o dreaptă sau un cerc. În planul extins, dreptele sunt considerate cercuri care trec prin punctul de la infinit. Ecuaţia

( w − w1 )( w2 − w3 ) = ( z − z1 )( z2 − z3 ) ( w − w3 )( w2 − w1 ) ( z − z3 )( z2 − z1 )

defineşte în mod unic o transformare a lui Möbius care aplică trei puncte distincte date z1 , z2 , z3 pe trei puncte distincte specificate

w1 , w2 , w3 , respectiv. Raportul anarmonic a patru puncte z1 , z2 , z3 , z4 este definit prin

[ z1 , z2 , z3 , z4 ] =

( z4 − z1 )( z2 − z3 ) . ( z4 − z3 )( z2 − z1 )

Raportul anarmonic a patru puncte este invariant faţă de o transformare a lui Möbius: [ w1 , w2 , w3 , w4 ] = [ z1 , z2 , z3 , z4 ] .

26

ANALIZĂ COMPLEXĂ

6) Transformarea w = f ( z ) = z 2 Un punct oarecare z este transformat prin w = z 2 în punctul w 2

determinat de w = z şi Arg w = 2 Arg z . Astfel această transformare aplică întreg planul pe el însuşi. Un cerc z = r este transformat în cercul w = r 2 . Un semidisc z < r şi 0 ≤ Arg z ≤ π este transformat în discul întreg w < r 2 . Imaginea domeniului unghiular α < Arg z < β este domeniul unghiular 2α < Arg w < 2 β . În

coordonate

carteziene 2 2 u + iv = x − y + 2ixy .

transformarea

w = z2

Deci, prin această transformare imaginea punctului

(

)

devine

( a, a )

este

punctul 0, 2a 2 . Semidrepta y = x > 0 şi semidreapta y = x < 0 sunt aplicate amândouă pe semiaxa w = iv , v > 0 . Dreptele paralele cu axele de coordonate sunt transformate în parabole. Imaginea hiperbolei x 2 − y 2 = c1 , ( c1 ≠ 0 ) este dreapta u = c1 . Imaginea hiperbolei 2 xy = c2 , ( c2 ≠ 0 ) este dreapta v = c2 . 7) Transformarea w = f ( z ) = Ramura principală a funcţiei w =

Arg w = drept −

π

z 1

z , determinată de w = z 2 şi

1 Arg z , aplică domeniul −π < Arg z < π pe semiplanul 2

2

< Arg w
0 pe o elipsă.

Remarcă. Transformarea lui Jukovski w =

1 2

( z +1 z)

aplică

cercul unitate z = 1 pe intervalul închis [ −1,1] , celelalte cercuri pe elipse şi semidreptele Arg z = θ pe arce de hiperbole.

3 ANALITICITATE

Limite şi continuitate Diferenţiabilitate Ecuaţiile Cauchy-Riemann Analiticitate Funcţii armonice

În teoria funcţiilor complexe considerăm patru clase de funcţii: 1) 2) 3) 4)

funcţii de o variabilă reală, cu valori reale; funcţii de o variabilă reală, cu valori complexe; funcţii de o variabilă complexă, cu valori reale; funcţii de o variabilă complexă, cu valori complexe.

Limite Fie D ⊆ ^ un domeniu şi z0 un punct de acumulare pentru D . Fie f : D → ^ . Prin definiţie, limita funcţiei f în punctul z0 este w0 , şi scriem

lim f ( z ) = w0 , dacă pentru oricare ε > 0 există δ > 0 astfel încât

z → z0

0 < z − z0 < δ ⇒ f ( z ) − w0 < ε . Dacă limita funcţie f există, în punctul z0 , atunci ea este unică.

30

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Observaţii (i) lim f ( z ) = w0 ⇔ lim f ( z ) = w0 , i.e. lim f ( z ) = lim f ( z ) ; z → z0

z → z0

z → z0

z → z0

(ii) lim f ( z ) = w0 ⇒ lim f ( z ) = w0 , i.e. lim f ( z ) = lim f ( z ) . z → z0

z → z0

Cazuri particulare:

z → z0

z → z0 ⇔ z → z 0 ;

z → z0

z → z0 ⇒ z → z0 ;

z → 0 ⇔ z → 0 ; z → z0 ⇔ z − z 0 → 0 . Funcţia f ( z ) de o variabilă complexă z = x + iy poate fi scrisă

f ( z ) = Re f ( z ) + i ⋅ Im f ( z ) sau f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) , unde u ( x, y ) = Re f ( z ) şi v( x, y ) = Im f ( z ) . Între limita unei funcţii complexe de o variabilă complexă şi limitele componentelor sale reale de două variabile reale există o legătură strânsă. Teoremă.

Fie D un domeniu, z0 = ( x0 , y0 ) un punct de

acumulare pentru D , w0 = ( u0 , v0 ) . Fie o funcţie f : D → ^ ,

f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) , ( z = x + iy ∈ D ) . Atunci

lim f ( z ) = w0 z → z0

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

dacă şi numai dacă u( x, y ) = u0 şi lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

v ( x, y ) = v0 .

Demonstraţie. Deoarece lim f ( z ) = w0 este echivalentă cu z → z0

lim f ( z ) = w0 , rezultă că

z → z0

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

Im f ( z ) = Im lim f ( z ) . z → z0

Re f ( z ) = Re lim f ( z ) şi z → z0

Dumitru D. DRĂGHIA

31

Invers, din ultimele două relaţii rezultă lim f ( z ) = w0 . În final, z → z0

avem lim f ( z ) = z → z0

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

u ( x, y ) + i ⋅

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

v ( x, y ) .

Continuitate Definiţie. Fie D ⊆ ^ un domeniu. Fie f : D → ^ şi z0 ∈ D . Funcţia f este continuă în punctul z0 dacă lim f ( z ) = f ( z0 ) , adică z → z0

∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 : z − z0 < δ ⇒ f ( z ) − f ( z0 ) < ε . O funcţie este continuă într-un domeniu, dacă este continuă în fiecare punct din domeniu. Teoremă. Funcţia f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) este continuă întrun punct z0 = x0 + iy0 dacă şi numai dacă funcţiile u ( x, y ) şi

v ( x, y ) sunt continue în punctul ( x0 , y0 ) .

Demonstraţie. Dacă f ( z ) este continuă în z0 , atunci oricare ar fi

ε > 0 , există

δ >0

astfel

încât

z − z0 < δ

implică

f ( z ) − f ( z0 ) < ε . Din z − z0 < δ rezultă inegalităţile:

u ( x, y ) − u ( x0 , y0 ) , v ( x, y ) − v ( x0 , y0 ) ≤ f ( z ) − f ( z0 ) < ε . Astfel, din continuitatea funcţiei f ( z ) în punctul z0 rezultă

continuitatea funcţiilor u ( x, y ) şi v ( x, y ) în punctul ( x0 , y0 ) . Reciproc, dacă u( x, y ) şi v ( x, y ) sunt continue în

( x0 , y0 ) ,

atunci continuitatea funcţiei f ( z ) în z0 rezultă din inegalitatea

f ( z ) − f ( z0 ) ≤ u ( x, y ) − u ( x0 , y0 ) + v ( x, y ) − v ( x0 , y0 ) .

32

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Multe proprietăţi ale funcţiilor continue de o variabilă complexă pot fi deduse din proprietăţile corespunzătoare ale funcţiilor reale de două variabile reale. Dacă f ( z ) este continuă într-un punct z0 , atunci

f ( z ) este

continuă în z0 . Dacă două funcţii sunt continue într-un punct, atunci suma şi produsul lor sunt continue în acel punct; câtul lor este continuu în oricare punct în care numitorul este diferit de zero. Polinoamele sunt funcţii continue în întreg planul complex. Propoziţie. Fie o funcţie f definită pe o vecinătate a unui punct

z0 şi fie imaginea acelei vecinătăţi conţinută într-un domeniu pe care este definită o funcţie g . Dacă f este continuă în z0 şi g este continuă în f ( z0 ) , atunci funcţia compusă g [ f ( z )] este continuă în z0 .

■

Diferenţiabilitatea unei funcţii într-un punct Definiţie. Fie o funcţie f de o variabilă complexă al cărei domeniu de definiţie conţine o vecinătate a unui punct z0 . Funcţia f este diferenţiabilă (sau ^ - diferenţiabilă) în z0 dacă

f ( z ) − f ( z0 ) . Această limită se numeşte derivata funcţiei z → z0 z − z0 f ( z ) − f ( z0 ) f în punctul z0 şi se notează f ′( z0 ) = lim . Cu alte z → z0 z − z0 cuvinte, o funcţie f este diferenţiabilă în z0 , dacă există f ′ ( z0 ) .

există lim

Dumitru D. DRĂGHIA

33

Definiţia derivatei mai poate fi scrisă în felul următor:

f ′( z0 ) = lim

h→ 0

f ( z0 + h ) − f ( z0 ) , h

unde valoarea f ( z0 + h ) este definită pentru h suficient de mic. Notăm că h tinde către zero, trecând prin puncte din plan, nu numai de-a lungul axei reale. Există o altă definiţie, echivalentă, a diferenţiabilităţii unei funcţii într-un punct. Definiţie. O funcţie f este diferenţiabilă într-un punct z0 dacă

există c ∈ ^ astfel încât f ( z ) = f ( z0 ) + c ( z − z0 ) + ε ( z ) ( z − z0 ) , unde lim ε ( z ) = 0 . z → z0

Demonstrăm echivalenţa celor două definiţii. Presupunem că

f ( z ) = f ( z0 ) + c ( z − z0 ) + ε ( z ) ( z − z0 ) , unde c este o constantă şi lim ε ( z ) = 0 . Atunci c = z → z0

f ( z ) − f ( z0 ) + ε ( z ) şi, trecând la limită, z − z0

f ( z ) − f ( z0 ) . Astfel, rezultă că f este diferenţiabilă în z0 z − z0 şi f ′( z0 ) = c . Reciproc, dacă f ′( z0 ) există, atunci avem c = f ′( z0 ) şi f ( z ) − f ( z0 ) ε ( z) = − f ′( z0 ) . Deci, dacă f este diferenţiabilă în z − z0 z0 , atunci f ( z ) = f ( z0 ) + f ′ ( z0 )( z − z0 ) + ε ( z ) ( z − z0 ) , cu c = lim z → z0

lim ε ( z ) = 0 . z → z0

34

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Există o diferenţă fundamentală între cazul unei variabile reale şi cazul unei variabile complexe. Propoziţie. Oricare funcţie reală de o variabilă complexă definită pe un domeniu are derivata egală cu zero sau derivata nu există. Demonstraţie. Fie D ⊆ ^ un domeniu şi fie f : D → \ o funcţie reală de o variabilă complexă. Presupunem că există f ′ ( z0 ) într-un punct z0 ∈ D . Atunci, avem simultan:

f ′( z0 ) = lim

f ( z0 + h ) − f ( z0 ) ∈\ , h

f ′( z0 ) = lim

f ( z0 + ih) − f ( z0 ) ∈^ . ih

h→ 0 h∈\

ih → 0 h∈\

Din condiţiile de mai sus rezultă că f ′ ( z0 ) = 0 sau f ′ ( z0 ) nu există. În plus, dacă derivata există în fiecare punct al domeniului D , atunci funcţia este constantă. Cazul unei funcţii complexe de o variabilă reală t ∈ \ poate fi redus la cazul real. Dacă f ( t ) = f1 ( t ) + if 2 ( t ) , atunci f ′ ( t ) = f1′ ( t ) + if 2′ ( t ) . Existenţa derivatei f ′ ( t ) este echivalentă cu existenţa simultană a derivatelor f1′ ( t ) şi f 2′ ( t ) . Formulele de derivare de bază pentru funcţiile de o variabilă complexă sunt aceleaşi ca în cazul funcţiilor reale de variabilă reală.

Dumitru D. DRĂGHIA

35

Propoziţie. Dacă o funcţie f ( z ) are derivată într-un punct z0 şi

g ( z ) are derivată în punctul f ( z0 ) , atunci funcţia compusă F ( z ) = g [ f ( z ) ] are derivată în punctul z0 şi derivata ei este F ′( z0 ) = g ′ [ f ( z0 )] f ′( z0 ) . ■ Proprietatea de diferenţiabilitate a unei funcţii implică proprietatea de continuitate a funcţiei. Propoziţie. Dacă f este diferenţiabilă în z0 , atunci f este continuă în z0 . Demonstraţie. Dacă f este diferenţiabilă în z0 , atunci din

f ( z ) − f ( z0 ) lim ( z − z0 ) = 0 z → z0 z − z0

egalităţile lim [ f ( z ) − f ( z0 )] = lim z → z0

z → z0

rezultă că lim f ( z ) = f ( z0 ) . z → z0

Observaţie. Reciproca nu este adevărată. Continuitatea unei funcţii într-un punct nu implică existenţa derivatei în acel punct. De exemplu, funcţia f ( z ) = z

2

este continuă în oricare punct

din plan, dar nu este diferenţiabilă decât în origine. Fie funcţia f ( z ) = z . 2

Pentru oricare z avem:

f ( z + h) − f ( z ) h

2

=

z+h − z

2

=

( z + h )( z + h ) − z z

h h zh + hz + hh h = = z + z + h. h h

Dacă z = 0 , atunci f ′ ( 0 ) = 0 .

36

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Fie z ≠ 0 . Atunci

f ′( z ) = lim

h→ 0 h∈\

= lim

h→ 0 h∈\

⎛ h ⎞ f ( z + h) − f ( z ) = lim ⎜ z + z + h ⎟ = z + z h→ 0 h h ⎠ h∈\ ⎝ ⎛ ih ⎞ f ( z + ih ) − f ( z ) = lim ⎜ z + z + ih ⎟ = − z + z. h→ 0 ih ih ⎠ h∈\ ⎝

De aici rezultă că

f ′( z)

există dacă şi numai dacă

z + z = − z + z , adică z = 0 . 2 Deci, f ( z ) = z este diferenţiabilă numai în origine, f ′ ( 0) = 0 . Acest exemplu arată că o funcţie poate fi diferenţiabilă într-un punct, dar nu este diferenţiabilă în nici o vecinătate a acelui punct. De asemenea, părţile reală şi imaginară ale unei funcţii f de o variabilă complexă pot avea derivate parţiale de toate ordinele continue într-un punct şi f să nu fie diferenţiabilă în acel punct.

Ecuaţiile Cauchy-Riemann Fie o funcţie f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) , z = x + iy . Următoarele ecuaţii diferenţiale sunt cunoscute sub numele de ecuaţiile Cauchy-Riemann (sau ecuaţiile D’Alembert-Euler):

∂v ⎧ ∂u ⎪ ∂x ( x, y ) = ∂y ( x, y ) ⎪ ⎨ ⎪ ∂v ( x, y ) = − ∂u ( x, y ) . ⎪⎩ ∂x ∂y Ecuaţiile Cauchy-Riemann ne dau o condiţie necesară, dar nu şi suficientă, pentru diferenţiabilitatea funcţiei într-un punct.

Dumitru D. DRĂGHIA

37

f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) este diferenţiabilă în punctul z0 = x0 + iy0 , atunci derivatele parţiale Propoziţie. Dacă o funcţie

de ordinul întâi există în punctul ( x0 , y0 ) şi satisfac ecuaţiile lui Cauchy-Riemann în punctul ( x0 , y0 ) . Demonstraţie. Calculăm limita raportului

f ( z 0 + h ) − f ( z0 ) , h

întâi când h → 0 prin valori reale, apoi prin valori imaginare.

f ( z0 + h ) − f ( z0 ) h u ( x0 + h, y0 ) − u ( x0 , y0 ) v ( x0 + h, y0 ) − v ( x0 , y0 ) = lim + i ⋅ lim h→ 0 h→ 0 h h ∂u ∂v = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) . ∂x ∂x

f ′( z0 ) = lim

h→ 0

Dacă h → 0 pe axa imaginară ( ih → 0 ⇔ h → 0 ) , atunci

f ( z0 + ih) − f ( z0 ) h→ 0 ih u ( x0 , y0 + h) − u ( x0 , y0 ) v( x0 , y0 + h) − v( x0 , y0 ) = lim + i ⋅ lim h→ 0 h → 0 ih ih

f ′( z0 ) = lim

v( x0 , y0 + h) − v( x0 , y0 ) u ( x0 , y0 + h) − u ( x0 , y0 ) + lim h → 0 h h ∂v ∂u = ( x0 , y0 ) − i ( x0 , y0 ) . ∂y ∂y = −i ⋅ lim

h→ 0

Dar, funcţia f ( z ) fiind diferenţiabilă în punctul z0 , cele două expresii trebuie să fie egale:

38

ANALIZĂ COMPLEXĂ

f ′( z0 ) =

∂u ∂v ∂v ∂u ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) − i ( x0 , y0 ) . ∂x ∂x ∂y ∂y

Egalând părţile reale şi părţile imaginare, obţinem:

∂v ⎧ ∂u ⎪ ∂x ( x0 , y0 ) = ∂y ( x0 , y0 ) ⎪ ⎨ ⎪ ∂v ( x , y ) = − ∂u ( x , y ) . 0 0 ⎪⎩ ∂x 0 0 ∂y (Ecuaţiile Cauchy-Riemann) Observaţie. Derivata funcţiei f ( z ) în punctul z0 este dată de oricare din ecuaţiile următoare:

f ′( z0 ) =

∂u ∂v ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) , ∂x ∂x

f ′( z0 ) =

∂v ∂u ( x0 , y0 ) − i ( x0 , y0 ) . ∂y ∂y

Aceste ecuaţii pot fi scrise, mai concis, astfel:

f ′( z0 ) =

∂f ( x0 , y0 ) , ∂x

f ′( z0 ) = −i

∂f ( x0 , y0 ) . ∂y

Derivata f ′( z0 ) mai poate fi calculată cu una din următoarele formule:

Dumitru D. DRĂGHIA

39

f ′( z0 ) =

∂u ∂u ( x0 , y0 ) − i ( x0 , y0 ) , ∂x ∂y

f ′( z0 ) =

∂v ∂v ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) . ∂y ∂x

Exemplu. Considerăm funcţia

f ( z ) = z = x 2 + y 2 . Avem 2

u ( x, y ) = x 2 + y 2 şi v ( x, y ) = 0 şi derivatele parţiale:

∂u ∂v ∂v ∂u ( x, y ) = 2 x , ( x, y ) = 0 , ( x, y ) = 2 y şi ( x, y ) = 0 . ∂y ∂x ∂x ∂y Observăm că ecuaţiile Cauchy-Riemann nu sunt satisfăcute pentru z ≠ 0 . Prin urmare, f ′ ( z ) nu există, dacă z ≠ 0 . Ecuaţiile Cauchy-Riemann sunt satisfăcute numai pentru x = y = 0 , dar aceasta nu garantează existenţa derivatei f ′ ( 0 ) . Satisfacerea ecuaţiilor Cauchy-Riemann într-un punct nu este suficientă pentru diferenţiabilitatea funcţiei în acel punct. Dar, cu anumite condiţii de continuitate, avem următoarea teoremă. Teoremă. Fie funcţia f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) definită într-o vecinătate a unui punct z0 = x0 + iy0 . Dacă derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor u( x, y ) şi v ( x, y ) există în acea vecinătate, sunt continue în punctul ( x0 , y0 ) şi satisfac ecuaţiile Cauchy-Riemann în

( x0 , y0 ) , atunci derivata

f ( z ) este diferenţiabilă în z0 .

f ′( z0 ) există, i.e.

40

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Demonstraţie. Din teorema de aproximare liniară pentru funcţii cu valori reale de două variabile reale, avem relaţiile următoare:

u ( x, y ) − u ( x0 , y0 ) =

∂u ∂u ( x0 , y0 )( x − x0 ) + ( x0 , y0 )( y − y0 ) ∂x ∂y

+ε1 ( x, y )( x − x0 ) + ε 2 ( x, y )( y − y0 ), v( x, y ) − v( x0 , y0 ) =

∂v ∂v ( x0 , y0 )( x − x0 ) + ( x0 , y0 )( y − y0 ) ∂x ∂y

+ε 3 ( x, y )( x − x0 ) + ε 4 ( x, y )( y − y0 ), unde

lim

( x , y )→ ( x0 , y0 )

ε j ( x, y ) = 0

( j = 1, 2,3, 4 ) .

Prin urmare:

f ( z ) − f ( z0 ) = u ( x, y ) − u ( x0 , y0 ) + i [ v( x, y ) − v( x0 , y0 ) ] =

∂u ∂u ( x0 , y0 )( x − x0 ) + ( x0 , y0 )( y − y0 ) ∂x ∂y

⎡ ∂v ⎤ ∂v +i ⎢ ( x0 , y0 )( x − x0 ) + ( x0 , y0 )( y − y0 ) ⎥ ∂y ⎦ ⎣ ∂x + [ε1 ( x, y ) + iε 3 ( x, y ) ] ( x − x0 ) + [ε 2 ( x, y ) + iε 4 ( x, y ) ] ( y − y0 ). De aici, rezultă:

Dumitru D. DRĂGHIA

f ( z ) − f ( z0 ) z − z0

41

∂v ⎡ ∂u ⎤ x − x0 = ⎢ ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ⎥ ∂x ⎣ ∂x ⎦ z − z0 ⎡ ∂u ⎤ i ( y − y0 ) ∂v −i ⎢ ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ⎥ ∂y ⎦ z − z0 ⎣ ∂y + [ε1 ( x, y ) + iε 3 ( x, y ) ]

x − x0 z − z0

+ [ε 2 ( x, y ) + iε 4 ( x, y ) ]

y − y0 . z − z0

Folosim ecuaţiile Cauchy-Riemann şi obţinem:

f ( z ) − f ( z0 ) z − z0

∂v ⎡ ∂u ⎤ x − x0 = ⎢ ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ⎥ ∂x ⎣ ∂x ⎦ z − z0 ∂v ⎡ ∂u ⎤ i ( y − y0 ) + ⎢ ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ⎥ ∂x ⎣ ∂x ⎦ z − z0 + [ε1 ( x, y ) + iε 3 ( x, y ) ]

x − x0 z − z0

+ [ε 2 ( x, y ) + iε 4 ( x, y ) ]

y − y0 . z − z0

Apoi, după simplificare, avem:

42

ANALIZĂ COMPLEXĂ

f ( z ) − f ( z0 ) z − z0

∂v ⎡ ∂u ⎤ = ⎢ ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ⎥ ∂x ⎣ ∂x ⎦ + [ε1 ( x, y ) + iε 3 ( x, y ) ]

x − x0 z − z0

+ [ε 2 ( x, y ) + iε 4 ( x, y ) ]

y − y0 . z − z0

Deoarece

lim

( x , y ) → ( x0 , y0 )

ε j ( x, y ) = 0 ,

x − x0 y − y0 ≤ 1 şi ≤1, z − z0 z − z0

rezultă

lim z → z0

f ( z ) − f ( z0 ) ∂u ∂v = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) . ∂x ∂x z − z0

Exemple 1). Funcţia exponenţială e z = e x ( cos y + i sin y ) diferenţiabilă şi

( e )′ = e z

v ( x, y ) = e x sin y .

z

( z ∈ ^)

este

. În acest caz u ( x, y ) = e x cos y şi

Aplicăm

teorema

şi

obţinem

f ′ ( z ) = e cos y + ie sin y , z ∈ ^ . x

x

2). Funcţia f ( z ) = z f ′ ( 0) = 0 .

2

este diferenţiabilă numai în origine şi

Dumitru D. DRĂGHIA

43

Funcţii analitice Analiticitatea este conceptul cel mai important pentru funcţiile complexe. Definiţie. O funcţie se numeşte analitică într-un punct dacă şi numai dacă este diferenţiabilă într-o vecinătate a punctului. O funcţie este analitică într-un domeniu dacă şi numai dacă este diferenţiabilă în fiecare punct al domeniului. O funcţie analitică în întreg planul complex se numeşte funcţie întreagă. Notă. Noţiunea de funcţie analitică este denumită şi prin termenii sinonimi: funcţie olomorfă, funcţie regulată, funcţie monogenă. Observaţii (i) Mulţimea tuturor punctelor în care o funcţie dată este analitică trebuie să fie o mulţime deschisă. (ii) Oricare funcţie analitică este continuă în domeniul ei de analiticitate. Condiţii suficiente pentru analiticitatea unei funcţii într-un domeniu rezultă din condiţii suficiente pentru diferenţiabilitatea funcţiei într-un punct. Teoremă. Fie o funcţie f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) definită într-un domeniu D . Dacă u( x, y ) şi v ( x, y ) au derivate parţiale de ordinul întâi continue care satisfac ecuaţiile Cauchy-Riemann în toate punctele domeniului D , atunci f ( z ) este analitică în domeniul D .

■

Notă importantă. Stabilirea analiticităţii funcţiilor elementare este un exerciţiu foarte simplu.

44

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Polinoamele, funcţia exponenţială şi funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus sunt funcţii întregi. Dacă două funcţii sunt analitice într-un domeniu D , atunci suma şi produsul lor sunt funcţii analitice în D . Câtul a două funcţii analitice în D este funcţie analitică în D , cu condiţia ca funcţia de la numitor să fie diferită de zero în D . Dacă o funcţie f ( z ) este analitică într-un domeniu D şi g ( z ) este o funcţie analitică într-un domeniu care conţine imaginea lui f , atunci funcţia compusă g [ f ( z )] este analitică în D . Teoremă. Dacă o funcţie f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) este analitică într-un domeniu D şi dacă f ′( z ) ≡ 0 în D , atunci f ( z ) este constantă.

f ( z ) = u( x, y ) + iv( x, y ) analitică într-un ∂u ∂u ∂v ∂v domeniu D . Din ipoteză rezultă că = = = = 0 în D , ∂x ∂y ∂x ∂y deci funcţiile u ( x, y ) şi v ( x, y ) sunt constante pe oricare segment de dreaptă din D paralel cu una din axele de coordonate. Dar oricare două puncte din domeniul D pot fi unite printr-o linie poligonală în Demonstraţie. Fie

interiorul domeniului ale cărei laturi sunt paralele cu axele de coordonate. Astfel, f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) este constantă în D . Corolar. Fie f ( z ) = u( x, y ) + iv( x, y ) analitică într-un domeniu D . Dacă una din următoarele funcţii: u ( x, y ) , v ( x, y ) ,

f ( z ) , arg f ( z ) este constantă constantă.

în D , atunci f ( z ) este

Dumitru D. DRĂGHIA

45

Demonstraţie. Dacă partea reală u ( x, y ) sau partea imaginară

v ( x, y ) este constantă, atunci f ′( z ) =

∂u ∂u ∂v ∂v −i = + i = 0 în ∂x ∂y ∂y ∂x

D , deci f ( z ) este constantă. Dacă

funcţia

modul

f ( z ) , adică

funcţia u 2 + v 2 este

constantă, atunci avem egalităţile următoare:

∂u ∂v + v = 0 şi ∂x ∂x

∂u ∂v +v = 0 . Folosind ecuaţiile Cauchy∂y ∂y ∂u ∂v = = 0 . Deci, f ′( z ) = 0 în D . Riemann, obţinem ∂x ∂y Dacă funcţia arg f ( z ) este constantă în D , atunci u = kv , unde k este o constantă. Observând că Re ⎡⎣ (1 + ik ) f ⎤⎦ = u − kv = 0 , rezultă că f este u

u

constantă.

Funcţii armonice Vom vedea mai departe că dacă o funcţie este analitică într-un punct, atunci are derivate de oricare ordin în acel punct. În particular, existenţa derivatei implică continuitatea derivatei (echivalent, continuitatea derivatelor parţiale ale părţilor reală şi imaginară ale funcţiei). O funcţie reală continuă U ( x, y ) , definită într-un domeniu D , se numeşte funcţie armonică în D , dacă U ( x, y ) are derivate parţiale de ordinul întâi şi de ordinul al doilea continue care satisfac pe D ecuaţia lui Laplace:

∂ 2U ( x, y ) ∂ 2U ( x, y ) + = 0. ∂x 2 ∂y 2

46

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Dacă f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) este o funcţie analitică într-un domeniu D , atunci părţile ei reală şi imaginară sunt funcţii armonice în D , adică

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v + = 0 şi + = 0. ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 Funcţia v este, prin definiţie, o funcţie armonică conjugată a funcţiei u . Deci, dacă f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) este analitică în D , atunci v este o funcţie armonică conjugată a funcţiei u . Reciproc, dacă v este o funcţie armonică conjugată a funcţiei u în D , atunci funcţia f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) este analitică în D . În consecinţă, o funcţie f ( z ) = u( x, y ) + iv ( x, y ) este analitică într-un domeniu D dacă şi numai dacă v este o funcţie armonică conjugată a funcţiei u în D . Dacă v este o funcţie armonică conjugată a funcţiei u într-un domeniu D , nu este în general adevărat că u este o funcţie armonică conjugată a funcţiei v în D . Exemplu. Fie funcţia întreagă f ( z ) = z 2 . Atunci v ( x, y ) = 2 xy este o armonică conjugată a lui

u ( x, y ) = x 2 − y 2 , dar u nu poate fi o armonică conjugată a lui v , întrucât funcţia v + iu nu este analitică peste tot. O funcţia v este o funcţie armonică conjugată a unei funcţiei u într-un domeniu D dacă şi numai dacă funcţia u este o funcţie armonică conjugată a funcţiei − v în D .

4 INTEGRALA COMPLEXĂ. TEOREMA LUI CAUCHY

Curbe şi domenii Integrala unei funcţii complexe continue de o variabilă reală Integrala unei funcţii complexe de o variabilă complexă Antiderivate (Primitive) Teorema integrală a lui Cauchy (Teorema Cauchy-Goursat)

Curbe Fie

planul complex finit.

• O curbă continuă în planul complex este definită parametric de o funcţie complexă continuă z (t ) = x(t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b (adică, x (t ) şi y (t ) sunt funcţii reale continue, de variabilă reală t ). Notăm C curba definită de z (t ) = x(t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b . Punctul z (a ) se numeşte punctul iniţial al curbei C , iar punctul z (b) se numeşe punctul terminal al curbei C . • O curbă C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , se numeşte curbă închisă dacă punctul iniţial z ( a ) coincide cu punctul terminal z (b) , i.e. z (a ) = z (b) . • O curbă C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , se numeşte curbă simplă

dacă

a < t1 < b, a < t2 < b

şi

t1 ≠ t2

z (t1 ) ≠ z (t2 ) , adică dacă nu se autointersectează.

implică

48

ANALIZĂ COMPLEXĂ

• •

•

• • • •

O curbă care este simplă şi închisă se numeşte curbă simplă închisă sau curbă Jordan. O curbă Jordan împarte planul în două domenii disjuncte: un domeniu mărginit, numit interiorul curbei şi un domeniu nemărginit, numit exteriorul curbei. Curba este frontiera fiecăruia dintre cele două domenii. O curbă C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , se numeşte curbă netedă dacă derivata sa z ′(t ), a ≤ t ≤ b , este continuă şi z′(t ) ≠ 0, a ≤ t ≤ b . O curbă care are derivată continuă pe porţiuni se numeşte contur (sau curbă netedă pe porţiuni, sau drum). Oricare linie poligonală este un contur. Cercurile, poligoanele (triunghiurile, dreptunghiurile etc.) sunt contururi simple închise. “Suma” a două curbe C1 şi C2 este o curbă C formată astfel încât punctul terminal al curbei C1 coincide cu punctul iniţial al curbei C2 . Scriem C = C1 + C2 .

• Oricare contur C poate fi exprimat ca suma unui număr finit de curbe netede C = C1 + C2 + ⋅⋅ ⋅ + Cn . • Notăm în felul următor: −C : z (a + b − t ), a ≤ t ≤ b , conturul C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , dar parcurs în sens opus. • Lungimea unei curbe C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , este marginea superioară a tuturor sumelor

∑

n k =1

z (tk ) − z (tk −1 ) ,

unde a = t0 < t1 < t2 < ⋅⋅⋅ < tn = b . • Dacă lungimea unei curbe este finită, curba se numeşte curbă rectificabilă. • Dacă o curbă nu este contur, atunci lungimea ei poate să nu fie finită. • Oricare contur este rectificabil. • Fie C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , o curbă netedă.

Dumitru D. DRĂGHIA

49

Lungimea curbei C este dată de formula L =

∫

b

a

z ′(t ) dt .

• Lungimea unei curbei netede este invariantă faţă de schimbarea reprezentării ei parametrice. Fie C : z (t ), a ≤ t ≤ b şi C : Z (r ), c ≤ r ≤ d două parametrizări

ale curbei netede C . Considerăm o funcţie reală h : [ c, d ] → [ a, b ]

continuă, cu derivata continuă şi pozitivă, care aplică intervalul [ c, d ] pe intervalul [ a , b ] . Un exemplu de astfel de funcţie este funcţia

b−a ad − bc , c≤r≤d . ⋅r + d −c d −c Scriem t = h( r ), c ≤ r ≤ d . Atunci Z ( r ) = z (h( r )), c ≤ r ≤ d şi Z ′(r ) = z ′(h(r ))h′(r ), c ≤ r ≤ d , h( r ) =

b

d

d

a

c

c

L = ∫ z ′(t ) dt = ∫ z ′(h ( r )) h′ ( r ) dr = ∫ Z ′(r ) dr . • Un segment de dreaptă

[ z0 , z1 ] este reprezentat prin ecuaţia

z (t ) = z0 + t ( z1 − z0 ), 0 ≤ t ≤ 1 , sau

z (t ) = (1 − t ) z0 + tz1 , 0 ≤ t ≤ 1 .

• Lungimea unui segment [ z0 , z1 ] este dată de formula 1

1

0

0

L = ∫ z ′(t ) dt = ∫ z1 − z0 dt = z1 − z0 . Exemple de curbe (1) C1 : z1 (t ) = eit = cos t + i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ; (2) C2 : z2 (t ) = e − it = cos t − i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ; (3) C3 : z3 (t ) = − eit = − cos t − i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ;

50

ANALIZĂ COMPLEXĂ

(4) C4 : z4 (t ) = −e − it = − cos t + i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ; (5) C5 : z5 (t ) = eit , 0 ≤ t ≤ π ; (6) C6 : z6 (t ) = e 2it , 0 ≤ t ≤ π 2 ; (7) C7 : z7 (t ) = e 2it , 0 ≤ t ≤ 2π . Primele patru curbe sunt curbe simple închise şi reprezintă cercul unitate. Ele diferă una de alta prin punctul iniţial sau prin sens. Curbele C1 , C2 au punctul iniţial (1,0 ) , pe când curbele C3 , C4 au punctul iniţial ( −1,0 ) . Curbele C6 şi C7 nu sunt curbe simple deoarece sunt parcurse de două ori. Curbele C1 , C3 sunt orientate în sens pozitiv, iar C2 , C4 au orientarea în sensul negativ. Curbele C5 : z5 (t ) = eit , 0 ≤ t ≤ π , C6 : z6 (t ) = e 2it , 0 ≤ t ≤ π 2 diferă în sens formal deoarece iau naştere din parametrizări diferite, dar reprezintă amândouă semicercul unitate din semiplanul superior şi au aceeaşi lungime π . Curbele C1 : z1 (t ) = eit , 0 ≤ t ≤ 2π , C7 : z7 (t ) = e 2it , 0 ≤ t ≤ 2π reprezintă amândouă cercul unitate, dar lungimea curbei C1 este 2π , iar lungimea curbei C7 este 4π .

Domenii • O mulţime S din planul complex se numeşte convexă dacă pentru oricare două puncte z , w ∈ S , segmentul [ z , w] este conţinut în S .

Dumitru D. DRĂGHIA

51

• Discurile şi interioarele dreptunghiurilor sunt exemple de mulţimi convexe. • O mulţime S din planul complex se numeşte stelată dacă există un punct z0 în S astfel încât, pentru oricare punct z din S , segmentul [ z0 , z ] este conţinut în S .

• Oricare mulţime stelată este conexă. • Un domeniu D se numeşte domeniu simplu conex dacă toate punctele din interiorul oricărei curbe simple închise inclusă în D sunt puncte ale lui D . • Mulţimea punctelor interioare unui contur simplu închis este domeniu simplu conex. • Frontiera C a unui domeniu are o orientare pozitivă, sau este parcursă în sens pozitiv, dacă o persoană care ar merge pe frontieră ar avea totdeauna domeniul în stânga sa. • Frontiera unui disc are orientare pozitivă dacă este parcursă în sensul contrar acelor de ceasornic şi orientare negativă dacă este parcursă în sensul acelor de ceasornic. • Dacă o curbă simplă închisă este dată fără a specifica domeniul, atunci presupunem că domeniul este interiorul curbei, iar sensul pozitiv este sensul contrar acelor de ceasornic. Oricare domeniu dublu conex poate fi “transformat” în domeniu simplu conex. Considerăm un domeniu dublu conex cu frontiera C formată din frontiera exterioară C1 şi o frontieră interioară C2 . Construim segmentul de dreaptă AB , numit tăietură, care uneşte C1 cu C2 . Atunci domeniul mărginit de conturul C1 , segmentul de dreaptă

AB , conturul C2 şi segmentul de dreaptă BA este simplu conex. Frontiera C este “transformată” în suma de curbe: C = C1 + AB + C2 + BA = C1 + AB + C2 − AB = C1 + C2 .

52

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Exemple de domenii (1) Oricare disc circular { z ∈

: 0 ≤ z − z0 < r} (interiorul unui

cerc) este un domeniu simplu conex. (2) Oricare mulţime deschisă şi stelată este domeniu simplu conex. (3) Un disc punctat { z ∈ : 0 < z − z0 < r} (interiorul unui cerc, exclusiv centrul cercului) nu este domeniu simplu conex. (4) Exteriorul unui cerc { z ∈ : z − z0 > r} nu este domeniu simplu conex. (5) O coroană circulară

{z ∈

: r < z − z0 < R} (domeniul

cuprins între două cercuri concentrice) este domeniu dublu conex. Notă importantă. Termenul ”sensul pozitiv” nu este echivalent cu termenul “sensul contrar acelor de ceasornic”. Pentru o coroană circulară, sensul pozitiv de-a lungul cercului exterior este sensul contrar acelor de ceasornic, pe când sensul pozitiv de-a lungul cercului interior este sensul acelor de ceasornic.

Integrala unei funcţii complexe continue de o variabilă reală Definim integrala unei funcţiei complexe continue de o variabilă reală f (t ) = f1 (t ) + if 2 (t ) , a ≤ t ≤ b , prin egalitatea: b

b

a

a

b

∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt + i ∫ f (t ) dt . 1

2

a

b

b

b

b

a

a

a

a

Avem: Re ∫ f (t ) dt = ∫ Re f (t ) dt şi Im ∫ f (t ) dt = ∫ Im f (t ) dt .

Dumitru D. DRĂGHIA

53

Din definiţie rezultă proprietatea de liniaritate a integralei: b

b

a

a

∫ ( cf (t ) + g (t ) ) dt = c ∫

b

f (t ) dt + ∫ g (t ) dt , c ∈ . a

Integrala funcţiei complexe continue de o variabilă reală are următoarea proprietate importantă. Propoziţie. Fie f (t ) , a ≤ t ≤ b , o funcţiei complexă continuă de o variabilă reală. Atunci b

b

a

a

∫ f (t ) dt ≤ ∫

f (t ) dt .

⎛b

⎞ f ( t ) dt ⎟ , rezultă că ∫ ⎝a ⎠

Demonstraţie. Dacă notăm α = Arg ⎜ b

∫ a

f (t ) dt

b

b

a

a

= e − iα ∫ f (t ) dt = ∫ e −iα f (t ) dt = ⎛ b − iα ⎞ b = Re ⎜ ∫ e f (t ) dt ⎟ = ∫ Re ( e − iα f (t ) ) dt ≤ ⎝a ⎠ a b

≤∫e a

− iα

b

f (t ) dt = ∫ e a

− iα

b

f (t ) dt = ∫ f (t ) dt. a

54

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Integrala unei funcţii complexe de o variabilă complexă Fie o curbă netedă C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b . Dacă f ( z ) este o funcţie complexă continuă pe C , atunci

f ( z (t )) z′(t ) este continuă pentru a ≤ t ≤ b . Definiţie. Integrala unei funcţiei complexe continue f ( z ) pe o curbă netedă C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , este definită de egalitatea:

∫

b

f ( z ) dz =

C

∫

f ( z ( t )) z ′( t ) dt .

a

Un avantaj al definiţiei de mai sus este că ne dă posibilitatea să folosim proprietăţile integralei Riemann. Integrandul f ( z (t )) z ′(t ) dt poate fi obţinut prin substituţia formală z = z (t ) , dz = z′(t )dt în f ( z ) dz . Observăm că, în cazul special în care curba este intervalul real a , b [ ] : z (t ) = t , a ≤ t ≤ b , definiţia integralei coincide cu definiţia integralei funcţiei complexe continue de o variabilă reală dată mai sus:

∫

b

a

b

b

a

a

f (t ) dt = ∫ Re f (t ) dt + i ∫ Im f (t ) dt .

Proprietăţi ale integralei complexe Propoziţie. Dacă C : z (t ), a ≤ t ≤ b şi C : Z (r ), c ≤ r ≤ d , sunt două parametrizări ale unei curbei C , atunci

∫

b

a

d

f ( z (t )) z ′(t ) dt = ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( Z (r )) Z ′(r ) dr . C

c

(Integrala este independentă de parametrizarea curbei).

Dumitru D. DRĂGHIA

55

Demonstraţie. Considerăm o funcţie reală h continuă, cu derivata continuă şi pozitivă, care aplică intervalul [ c, d ] pe intervalul

b−a ad − bc ⋅r + . Dacă scriem d −c d −c t = h( r ), c ≤ r ≤ d , noua parametrizare a curbei C este Z ( r ) = z (h( r )), c ≤ r ≤ d . Atunci valoarea a integralei este

[a, b] .

∫

C

De exemplu,

h( r ) =

b

d

a

c

f ( z ) dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t ) dt = ∫ f ( z (h(r )) z ′(h(r )) h′(r ) dr d

= ∫ f ( Z (r )) Z ′(r ) dr. c

Propoziţie. Fie C : z (t ), a ≤ t ≤ b , o curbă netedă. Fie două subintervale [ a , c ] şi [ c, b ] ale intervalului [ a, b ] ; fie C1 şi C2 restricţiile curbei C la subintervalele [ a , c ] şi [ c, b ] , respectiv.

Fie f ( z ) o funcţie continuă pe curba netedă C . Atunci

∫

f ( z ) dz =

C1 +C2

∫ f ( z ) dz + ∫

C1

f ( z ) dz .

C2

b

Demonstraţie. Avem

∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z (t )) z′(t ) dt =

C

c

=∫ a

a

b

f ( z (t )) z ′(t ) dt + ∫ f ( z (t )) z ′(t ) dt = c

∫ f ( z ) dz + ∫

C1

f ( z ) dz.

C2

Teoremă. Fie C un contur cu lungimea L şi f ( z ) o funcţie continuă pe C , cu f ( z ) ≤ M pe C . Atunci

∫ f ( z ) dz ≤ ∫

C

C

f ( z ) dz ≤ ML .

56

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Demonstraţie. Dacă C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , este parametrizarea conturului C , atunci

∫

b

f ( z ) dz

∫

=

C

a

b

f ( z (t )) z ′(t ) dt ≤ ∫ f ( z (t )) z ′(t ) dt = a

b

= ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t ) dt ≤ C

a

b

≤ M ∫ z ′(t ) dt = ML. a

În consecinţă,

∫ f ( z ) dz ≤ ∫

C

f ( z ) dz ≤ ML .

C

Propoziţie. Fie −C conturul C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , parcurs în sens opus. Atunci

∫

−C

f ( z ) dz = − ∫ f ( z ) dz . C

Demonstraţie. Fie conturul C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b . Pentru a obţine conturul −C , parcurs în sens invers sensului în care este parcurs conturul C , facem schimbarea de variabilă s = a + b − t , a ≤ t ≤ b . Atunci avem:

∫

−C

b

f ( z ) dz = ∫ f ( z (a + b − t )) z ′(a + b − t ) ( −1) dt = a

a

a

b

b

= − ∫ f ( z ( s )) z ′( s ) ( −ds ) = ∫ f ( z ( s )) z ′( s ) ds = b

= − ∫ f ( z ( s )) z ′( s ) ds = − ∫ f ( z ) dz. a

C

Dumitru D. DRĂGHIA

57

Exemplu. Calculăm

∫

z n dz , pentru n întreg.

z =r

Fie z ( t ) = reit , 0 ≤ t ≤ 2π , parametrizarea cercului z = r . Atunci

∫

z dz = ir n

n +1

z =r

2π

∫e

i ( n +1)t

2π

dt =

0

= ir

n +1

∫ ( re )

it n

ireit dt

0

2π

∫ ⎡⎣cos ( n + 1) t + i sin ( n + 1) t ⎤⎦ dt. 0

Rezultă că

∫

z n dz = 0

z =r

1 dz = 2π i . z z =r

( n ≠ −1) ; ∫

Valoarea acestei integrale este independentă de raza cercului.

Observaţie. Fie f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) o funcţie complexă continuă pe un contur parametrizat C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b . Dacă notăm u = u( x (t ), y (t )) , v = v ( x (t ), y (t )) , dx = x′(t )dt şi dy = y ′(t )dt , avem:

∫

C

b

b

a

a

f ( z ) dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t ) dt = ∫ (u + iv)(dx + idy ) = b

b

a

a

= ∫ udx − vdy + i ∫ udy + vdx. Deci, integrala complexă pe un contur se exprimă în termenii a două integrale reale pe contur:

58

ANALIZĂ COMPLEXĂ

∫ f ( z ) dz = ∫ u( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ u( x, y )dy + v( x, y )dx ,

C

C

C

Această ecuaţie poate fi luată ca definiţie a integralei complexe.

Antiderivate (Primitive) Prin definiţie, o antiderivată (sau primitivă) a unei funcţii f este o funcţie diferenţiabilă F astfel încât F ′ = f . Observaţie. Dacă f : D → este o funcţie continuă pe un domeniu D ⊆ şi dacă F , G : D → sunt primitive ale funcţiei f în domeniul D , atunci diferenţa F − G este o constantă în D . Teoremă. Fie f : D → este o funcţie continuă pe un domeniu D⊆ şi C : z (t ) = x(t ) + iy (t ) , a ≤ t ≤ b , un contur în domeniul D . Dacă există o primitivă a funcţiei f ( z ) , atunci

∫ f ( z ) dz = F ( z(b)) − F ( z(a )) .

C

În particular, dacă C este un contur închis, atunci

∫

C

f ( z ) dz = 0 .

Demonstraţie. Întrucît F ( z ) are derivata continuă f ( z ) în D , rezultă următoarele egalităţi:

∫

C

b

f ( z ) dz = ∫ F ′( z ) dz = ∫ F ′( z (t )) z ′(t ) dt = C

=∫

b

a

a

d ( F ( z (t )) ) dt = F ( z (b)) − F ( z (a)). dt

Dumitru D. DRĂGHIA

59

Observaţie. De-a lungul oricărui contur cu punctul iniţial z0 = z ( a ) şi punctul terminal z1 = z ( b ) , avem

∫

z1

z0

f ( z ) dz = F ( z1 ) − F ( z0 ) .

Spre deosebire de cazul funcţiilor reale de o variabilă reală, în cazul complex, continuitatea funcţiei f ( z ) nu este condiţie suficientă pentru existenţa unei antiderivate (primitive). Exemplu. Funcţia f ( z ) = z este continuă pe

∫

2π

z dz =

z =r

∫ re

− it

, dar

2π

⋅ ire dt = ir it

0

2

∫ dt = 2π ir . 2

0

Teoremă. Fie f : D → o funcţie continuă pe un domeniu D⊆ şi fie C : z (t ) = x(t ) + iy (t ) , a ≤ t ≤ b , un contur în domeniul D . Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) există F : D → astfel încât F ′ = f , (ii) dacă C este închis, atunci (iii)

∫

C

∫

C

f ( z ) dz = 0 ;

f ( z ) dz depinde numai de punctele iniţial şi terminal ale

conturului C . Demonstraţie. Arătăm că ( i ) ⇒ ( ii ) ⇒ ( iii ) ⇒ ( i ) .

( i ) ⇒ ( ii ) : Aceasta rezultă din teorema precedentă.

( ii ) ⇒ ( iii ) :

Presupunem că C1 şi C2 sunt contururi cu acelaşi

punct iniţial şi cu acelaşi punct final. Cosiderăm conturul C = C1 − C2 . Acesta este contur închis. Deci, din ( ii ) rezultă

∫

C

f ( z ) dz = 0 .

60

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Astfel, avem:

0 = ∫ f ( z ) dz = ∫

C1 − C2

C

Deci,

∫ f ( z ) dz = ∫ C1

C2

f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz − ∫ f ( z ) dz . C1

C2

f ( z ) dz şi ( iii ) este adevărată.

( iii ) ⇒ ( i ) : Definim o funcţie

F şi arătăm că este diferenţiabilă şi că F ′ = f , adică F este o primitivă a lui f . Fixăm z0 ∈ D . Pentru oricare z ∈ D există un contur cu punctul iniţial z0 şi cu punctul terminal z . Definim F ( z ) =

z

∫ f ( w) dw . Arătăm că F ′ ( z ) = f ( z ) . z0

Întrucât D este domeniu, există ε > 0 , astfel încât dacă h < ε , atunci segmentul de dreaptă [ z , z + h] este conţinut în D . Atunci z

F ( z + h ) = ∫ f ( w ) dw + ∫ z0

adică

[ z , z + h]

f ( w ) dw ,

F ( z + h) − F ( z ) 1 f ( w ) dw . = ⋅∫ h h [ z , z + h]

Întrucât

∫[

z , z + h]

f ( z) f (z) dw = (( z + h ) − z ) = f ( z ) , h h

rezultă că

F ( z + h) − F ( z ) f ( w) − f ( z ) − f (z) = ∫ dw . [ z , z + h] h h

Dumitru D. DRĂGHIA

61

Atunci

F ( z + h) − F ( z ) − f ( z) h

≤

1 h

≤

1 ⋅ h ⋅ sup f ( w ) − f ( z ) = h w∈[ z , z + h ]

∫[

z , z + h]

= sup

w∈[ z , z + h ]

f ( w ) − f ( z ) dw ≤

f ( w) − f ( z ) .

Trecând la limită pentru h → 0 , obţinem F ′ ( z ) = f ( z ) în D . Mai departe vom folosi această teoremă.

Teorema integrală a lui Cauchy Teorema integrală a lui Cauchy este teorema fundamentală a integrării complexe. Ea este numită şi teorema Cauchy-Goursat. Teorema lui Cauchy afirmă: Integrala unei funcţii analitice pe un contur închis într-un domeniu simplu conex este egală cu zero, sau, echivalent, Integrala unei funcţii analitice pe un contur într-un domeniu simplu conex depinde numai de punctele iniţial şi terminal ale conturului. Acest rezultat este dat, mai întâi, pentru un dreptunghi, apoi pentru un cerc, în al treilea rând, pentru un contur închis inclus într-un domeniu simplu conex.

62

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Teorema lui Goursat. Dacă f ( z ) este o funcţie analitică într-un domeniu care conţine un dreptunghi C şi interiorul său, atunci

∫ f ( z ) dz = 0 .

C

Demonstraţie. Împărţim domeniul dreptunghiular cu frontiera C în

patru

domenii

dreptunghiulare

congruente,

cu

frontierele

dreptunghiuri C1 , C2 , C3 , C4 congruente. Atunci

∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ∫

C

C1

C2

C3

f ( z ) dz ,

C4

de unde rezultă inegalitate următoare:

∫ f ( z ) dz ≤ ∫ f ( z ) dz + ∫

C

C1

f ( z ) dz +

C2

∫ f ( z) dz + ∫

C3

f ( z ) dz .

C4

Există cel puţin una din integralele din partea dreaptă, pe care o notăm

∫

1 C( )

f ( z ) dz , astfel încât

∫

C

f ( z ) dz ≤ 4

∫

1 C( )

f ( z ) dz .

Apoi repetăm procedeul de mai sus pentru C

(1)

şi observăm că

pentru cel puţin unul din cele patru dreptunghiuri, pe care îl notăm

C ( 2) , avem inegalităţile:

∫

C

f ( z ) dz ≤ 4 ∫

1 C( )

f ( z ) dz ≤ 42

∫

2 C( )

f ( z ) dz .

Dumitru D. DRĂGHIA

63

Continuând nelimitat procedeul, obţinem un şir de dreptunghiuri

{C ( ) } şi un şir de integrale {∫

}

n

f ( z ) dz , cu proprietăţile:

n C( )

∫

C

f ( z ) dz ≤ 4 ∫

1 C( )

f ( z ) dz ≤

K (1) ⊃ K ( 2) ⊃ K ( 3) ⊃ unde am notat cu K

( n)

≤ 4n

∫

n C( )

f ( z ) dz ≤

⊃ K ( n ) ⊃ K ( n +1) ⊃

, ,

, pentru fiecare n , reuniunea domeniului

dreptunghiular cu frontiera sa C

( n)

.

∞ n Conform teoremei lui Cantor, ∩ K ( ) = { z0 } . n =1

Deoarece f ( z ) este analitică în z0 , avem

f ( z ) = f ( z0 ) + f ′ ( z0 )( z − z0 ) + η ( z )( z − z0 ) , cu lim η ( z ) = 0 .

z → z0

Întegrând, obţinem

∫

n C( )

f ( z ) dz = ∫

n C( )

=∫

n C( )

⎡⎣ f ( z0 ) + f ′ ( z0 )( z − z0 ) + η ( z )( z − z0 ) ⎤⎦ dz = f ( z0 ) dz + ∫

n C( )

f ′ ( z0 )( z − z0 ) dz +

+ ∫ ( n) η ( z )( z − z0 ) dz = ∫ ( n) η ( z )( z − z0 ) dz. C

C

Prin urmare, pentru ε > 0 oarecare şi pentru n suficient de mare,

∫

n C( )

f ( z ) dz ≤ ∫

n C( )

η ( z ) z − z0 dz < ε d n Ln = ε

dL , 4n

64

ANALIZĂ COMPLEXĂ

unde d n , Ln sunt diagonala şi perimetrul dreptunghiului C

( n)

, pentru

fiecare n , iar d , L sunt diagonala şi perimetrul dreptunghiului C . Deci,

∫

C

de unde rezultă că

f ( z ) dz ≤ 4n

∫

C

∫

n C( )

f ( z ) dz ≤ dLε ,

f ( z ) dz = 0 .

Teorema următoare arată că o funcţie analitică într-un disc închis are o primitivă şi, prin urmare, teorema lui Cauchy este adevărată pentru un cerc. Teoremă. Dacă f ( z ) este o funcţie analitică într-un domeniu D

{

}

care conţine un disc închis z : z − z0 ≤ r , atunci

∫

f ( z ) dz = 0 .

z − z0 = r

Demonstraţie. Este suficient să demonstrăm că f ( z ) are o

{

}

primitivă pe un domeniu care conţine discul închis z : z − z0 ≤ r . Există r ′ > r cu proprietatea z − z0 < r ′ ⇒ z ∈ D .

{

}

Arătăm că f ( z ) are o primitivă pe domeniul z : z − z0 < r ′ . Pentru aceasta alegem un punct oarecare z = x + iy în discul

{

}

deschis z : z − z0 < r ′ . Fie C1 conturul format din segmentul de dreaptă orizontal de la punctul z0 = x0 + iy0 la punctul x + iy0 , urmat de segmentul de dreaptă vertical de la punctul x + iy0 la punctul z = x + iy .

Dumitru D. DRĂGHIA

65

Fie, de asemenea C2 conturul format din segmentul de dreaptă vertical de la punctul z0 = x0 + iy0 la punctul x0 + iy , urmat de segmentul de dreaptă orizontal de la punctul x0 + iy la punctul z = x + iy . Cele două contururi formează un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Definim F ( z ) =

∫

C1

x

y

x0

y0

f ( z ) dz = ∫ f (t + iy0 ) dt + ∫ f ( x + it )i dt .

Deoarece integrala de-a lungul fiecărui dreptunghi este zero, rezultă:

0=∫

C1 − C2

f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫

− C2

C1

f ( z ) dz

= ∫ f ( z ) dz − ∫ f ( z ) dz. C1

Adică,

∫

C1

C2

f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz .

Deci, F ( z ) =

C2

∫

C2

y

x

y0

x0

f ( z ) dz = ∫ f ( x0 + it )i dt + ∫ f (t + iy ) dt .

Calculăm derivatele parţiale:

∂F ( z ) ∂ = ∂y ∂y

(∫

∂F ( z ) ∂ = ∂x ∂x

)

y

f ( x + it )i dt = if ( x + iy ) = if ( z ) ,

y0

(∫

x

x0

)

f (t + iy ) dt = f ( x + iy ) = f ( z )

şi obţinem ecuaţiile Cauchy-Riemann pentru F ( z ) :

66

ANALIZĂ COMPLEXĂ

∂F ( z ) ∂F ( z ) = −i = f ( z) . ∂x ∂y Din continuitatea funcţiei f ( z ) rezultă continuitatea derivatelor parţiale ale funcţiei F ( z ) . Deci, F ( z ) este analitică în punctul z .

{

}

Întrucât z este oarecare în discul z : z − z0 < r ′ , rezultă că

{

}

funcţia F ( z ) este analitică în întreg discul z : z − z0 < r ′ . În concluzie, F ′( z ) =

∂F = f ( z ) în { z : z − z0 < r ′} , ∂x

{

}

adică f ( z ) are o primitivă pe discul z : z − z0 < r ′ . Având în vedere o observaţie la teorema din paragraful precedent, rezultă că

∫

f ( z ) dz = 0 .

z − z0 = r

Integrala unei funcţii analitice de-a lungul unei curbe continue Existenţa unei primitive locale (i.e. pe un disc) pentru o funcţie analitică ne sugerează o definiţie a integralei funcţiei de-a lungul unei curbe continue oarecare (nu neapărat netedă). Fie C : z (t ) = x (t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b , o curbă continuă într-o mulţime deschisă G ⊆ . Există o partiţie a = t0 < t1 < t2 < şi o acoperire finită { D0 , D1 , D2 ,

< tn = b a intervalului [ a, b ]

, Dn } a curbei C cu discuri, unde

Dk este un disc centrat în z ( tk ) astfel încât:

Dumitru D. DRĂGHIA

67

z ([tk , tk +1 ]) ⊂ Dk ⊂ G

( k = 0,1, 2,

, n − 1) .

Presupunem curba C : z (t ), a ≤ t ≤ b , netedă pe porţiuni, adică, pentru k = 0,1, 2,

, n − 1 , restricţia Ck : zk (t ), tk ≤ t ≤ tk +1 a curbei

C : z (t ), a ≤ t ≤ b la intervalul [tk , tk +1 ] este de clasă C1 . Fie f o funcţie analitică pe G .

Dacă Fk este o primitivă a funcţiei f pe discul Dk , atunci avem

∫

C

n −1

n −1

k = 0 Ck

k =0

f ( z ) dz = ∑ ∫ f ( z ) dz = ∑ ⎡⎣ Fk ( z ( tk +1 ) ) − Fk ( z ( tk ) ) ⎤⎦ .

Astfel, chiar dacă funcţia f nu are o primitivă pe întreaga mulţime deschisă G , integrala sa poate fi exprimată în funcţie de primitive locale. Propoziţie. Fie C : z (t ), a ≤ t ≤ b , o curbă continuă oarecare într-o mulţime deschisă G . Fie a = t0 < t1 < t2
0 astfel încât dacă z − z0 < δ , atunci

z ∈ D şi f ( z ) − f ( z0 ) < ε . Fie un cerc C0 : z − z0 = ρ < δ în interiorul conturului C . Funcţia f ( z ) ( z − z0 ) este analitică pe C şi în interiorul conturului C , excepţie în punctul z0 . Atunci, conform teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe, avem:

Dumitru D. DRĂGHIA

77

f ( z)

∫ z−z

C

dz =

0

f ( z)

∫ z−z

C0

dz .

0

Putem scrie această egalitate în felul următor:

f ( z)

∫ z−z

C

0

dz = f ( z0 ) ∫

C0

f ( z ) − f ( z0 ) 1 dz + ∫ dz − z − z0 z z 0 C0

= 2π if ( z0 ) +

∫

C0

f ( z ) − f ( z0 ) dz. z − z0

Avem următoarele inegalităţi:

∫

C0

f ( z ) − f ( z0 ) f ( z ) − f ( z0 ) ε dz ≤ ∫ dz < ⋅ 2πρ = 2πε . ρ z − z0 z − z0 C0

Facem ε → 0 şi obţinem

∫

C0

f ( z ) − f ( z0 ) dz = 0 . z − z0

În concluzie,

f ( z)

∫ z−z

C

dz = 2π if ( z0 ) .

0

Observaţie. Formula integrală a lui Cauchy exprimă faptul că dacă o funcţie este analitică în interiorul unui contur simplu închis şi pe contur, atunci valorile funcţiei în interiorul conturului sunt complet determinate de valorile ei pe contur. Următoarea teoremă arată că, pentru funcţii analitice în interiorul unui cerc şi pe cerc, media valorilor funcţiei pe circumferinţă este egală cu valoarea funcţiei în centrul cercului.

78

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Teorema valorii medii a lui Gauss. Dacă f este o funcţie analitică într-un disc închis z − z0 ≤ r , atunci

1 f ( z0 ) = 2π

2π

∫

f ( z0 + reiθ ) dθ .

0

Demonstraţie. Înlocuim z = z0 + reiθ în formula integrală a lui Cauchy şi obţinem:

f ( z0 ) =

1 2π i

1 = 2π

∫

z − z0 = r

2π

∫

f ( z) 1 dz = z − z0 2π i

2π

∫ 0

f ( z0 + reiθ ) iθ ire dθ = reiθ

f ( z0 + reiθ ) dθ . ,

0

Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate Teoremă. Fie o funcţie f ( z ) analitică într-un domeniu simplu conex care conţine un contur simplu închis C şi fie un punct oarecare z0 interior conturului C . Atunci derivatele funcţiei

f ( z ) de toate ordinele există, sunt analitice în punctul z0 şi au următoarea reprezentare integrală

f ( n ) ( z0 ) =

n! f ( z) dz ∫ 2π i C ( z − z0 ) n +1

( n = 1, 2,3, ⋅⋅ ⋅) .

(Formulele integrale ale lui Cauchy pentru derivate)

Dumitru D. DRĂGHIA

79

Demonstraţie. Fie f ( z ) o funcţie analitică în interiorul unui contur simplu închis C şi pe conturul simplu închis C ; fie z0 un punct oarecare în interiorul lui C . Arătăm că derivata funcţiei f ( z ) în punctul z0 există şi are reprezentarea integrală

f ′( z0 ) =

1 f ( z) dz . ∫ 2π i C ( z − z0 )2

Fie h astfel încât z0 + h să fie în interiorul conturului C . Folosim formula integrală a lui Cauchy f ( z0 ) =

1 f ( z) dz ∫ 2π i C z − z0

şi evaluăm:

f ( z 0 + h ) − f ( z0 ) 1 ⎛ 1 1 ⎞ = − ⎜ ⎟ f ( z ) dz = ∫ 2π ih C ⎝ z − z0 − h z − z0 ⎠ h

=

⎞ 1 ⎛ 1 h + ⎜ ⎟ f ( z ) dz = 2 2 2π i C∫ ⎜⎝ ( z − z0 ) ( z − z0 ) ( z − z0 − h ) ⎟⎠

=

1 f ( z) h f ( z) dz + dz. 2 2 ∫ ∫ 2π i C ( z − z0 ) 2π i C ( z − z0 ) ( z − z0 − h )

Din continuitatea lui f ( z ) pe C rezultă

f ( z) ≤ M

( z ∈C) .

Apoi, din inegalitatea:

h h f ( z) M dz < ⋅ 2 ⋅L , 2 ∫ 2π i C ( z − z0 ) ( z − z0 − h ) 2π d ( d − h )

80

ANALIZĂ COMPLEXĂ

unde L este lungimea conturului C , d = min z0 − z şi z∈C

h 0 . Facem r → ∞ şi deducem că f ′( z0 ) = 0 . Întrucât z0 este oarecare, rezultă că f ′( z ) = 0 pe ^ . Deci, f ( z ) este constantă. Teorema lui Liouville afirmă: Dacă f ( z ) este funcţie întreagă neconstantă, atunci există un şir de puncte {zn } astfel încât f ( zn ) → ∞ . O aplicaţie importantă a teoremei lui Liouville este o demonstraţie simplă a teoremei fundamentale a algebrei.

88

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Teorema fundamentală a algebrei. Oricare polinom neconstant are cel puţin un zerou. Demonstraţie. Fie P( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ⋅⋅⋅ + an z n , an ≠ 0 , un polinom de gradul n . Presupunem că P( z ) nu se anulează nicăieri. Atunci 1 P( z ) este funcţie întreagă şi lim

z→ ∞

1 = 0. P( z )

Modulul lui 1 P( z ) este mărginit în întreg planul. Aplicând teorema lui Liouville, rezultă că 1 P( z ) este funcţie constantă, adică P( z ) este constant, contrar ipotezei. Corolar. Oricare polinom de gradul n are n zerouri, fiecare zerou fiind socotit cu ordinul său de multiplicitate. Corolar. Oricare polinom de grad n ia oricare valoare complexă de n ori. Demonstraţie. Fie P( z ) este polinom de gradul n şi c un număr complex oarecare. Atunci Q ( z ) = P( z ) − c este polinom de gradul n . Din corolarul precedent rezultă că Q ( z )

are n

zerouri

z1 , z2 , z3 ," , zn . Dar Q ( zk ) = 0 este echivalent cu P ( zk ) = c ,

( k = 1, 2,3,..., n ) .

6 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

Şiruri şi serii de numere Şiruri şi serii de funcţii Şiruri şi serii de funcţii analitice Convergenţa uniformă, diferenţierea şi integrarea Serii de puteri. Serii Taylor Teorema de identitate Teorema maximului modulului

Şiruri şi serii de numere complexe Fie {zn } un şir de numere complexe. Spunem că şirul {zn } are limita z0 (sau {zn } converge la z0 ) dacă oricare ar fi ε > 0 , există un număr întreg pozitiv n0 astfel încât

n > n0 ⇒ zn − z0 < ε . Limita este unică. Fie zn = xn + iyn , n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ şi z0 = x0 + iy0 . Atunci:

lim zn = z0 dacă şi numai dacă lim xn = x0 şi lim yn = y0 . n →∞

n →∞

n →∞

Expresia z1 + z2 + z3 + ⋅ ⋅⋅ + zn + ⋅⋅ ⋅ , pe care o notăm

∑

∞

z ,

n =1 n

se numeşte serie. Numerele z1 , z2 , z3 , ⋅ ⋅⋅, zn , ⋅⋅⋅ se numesc termenii seriei. Sumele sn = z1 + z2 + z3 + ⋅⋅ ⋅ + zn sumele parţiale ale seriei.

( n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) se numesc

90

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Dacă şirul sumelor parţiale {sn } este convergent, spunem că seria converge sau seria este convergentă. Limita şirului sumelor parţiale se numeşte suma seriei . Notăm

∑

∞

z = lim sn .

n =1 n

n →∞

Dacă şirul şirul sumelor parţiale {sn } nu este convergent, spunem că seria diverge sau seria este divergentă.

∑ x + i ⋅ ∑ y rezultă că lim s = s dacă şi numai dacă lim ∑ x = Re s şi lim ∑ y = Im s . Adică, Seria cu termeni complecşi ∑ z este convergentădacă şi numai dacă seriile cu termeni reali ∑ x şi ∑ y sunt n

Deoarece sn =

n

k =1

k

k =1

k

n →∞

n

n

k =1

n →∞

n

k

k =1

n →∞

k

∞

n =1 n

∞

∞

n =1 n

n =1

n

convergente. Aplicând criteriul general al lui Cauchy pentru şirul {sn } , obţinem următorul criteriu general pentru convergenţa seriilor. Seria

∑

∞

z este convergentă dacă şi numai dacă oricare ar fi

n =1 n

ε > 0 , există un întreg pozitiv N (ε ) astfel încât n > N (ε ) implică sn + p − sn =

∑

n+ p

z 0 , există un întreg N (ε , z0 ) astfel încât dacă n ≥ N (ε , z0 ) , atunci f n ( z0 ) − f ( z0 ) < ε .

92

ANALIZĂ COMPLEXĂ

{ f n ( z0 )}

Aceasta înseamnă că şirul de numere

converge pentru

fiecare z0 ∈ E . Funcţia limită este definită de lim f n ( z0 ) = f ( z0 ) n →∞

Definiţie. Un şir de funcţii

( z0 ∈ E ) .

{ f n } converge uniform la o funcţie f

pe o mulţime E dacă oricare ar fi ε > 0 , există un întreg N (ε ) astfel încât dacă n ≥ N (ε ) , atunci f n ( z ) − f ( z ) < ε , pentru oricare

z∈E . Propoziţie. Dacă un şir de funcţii mulţime E , atunci

{ fn }

converge uniform pe o

{ f n } converge punctual pe mulţimea

E.

Convergenţa uniformă permite să permutăm operaţiile de trecere la limită. Astfel, datorită convergenţei uniforme funcţia limită păstrează multe proprietăţi ale funcţiilor şirului. Teoremă. Fie

{ f n } un şir convergent uniform către o funcţie

f

pe o mulţime E . Dacă fiecare funcţie f n este continuă într-un punct z0 ∈ E , atunci funcţia limită f este continuă în z0 , i. e.

(

)

(

)

lim lim f n ( z ) = lim lim f n ( z ) .

z → z0 n → ∞

n → ∞ z → z0

Demonstraţie. Inegalitatea următoare

f ( z ) − f ( z0 ) ≤ f ( z ) − f n ( z ) + f n ( z ) − f n ( z0 ) + f n ( z0 ) − f ( z0 ) este adevărată pentru oricare n . Fie ε > 0 , oarecare. Din convergenţa uniformă a şirului

{ fn }

Dumitru D. DRĂGHIA

93

(z ∈ E) .

f ( z) − f N ( z) < ε 3

rezultă că există N astfel încât

Deci, f ( z ) − f ( z0 ) ≤ ε 3 + f N ( z ) − f N ( z0 ) + ε 3 . Din continuitatea funcţie f N în punctul z = z0 , rezultă că există

δ > 0 astfel încât dacă z − z0 < δ , atunci f N ( z ) − f N ( z0 ) < ε 3 . Deci, pentru oricare ε > 0 , există δ > 0 astfel încât dacă z − z0 < δ , atunci f ( z ) − f ( z0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε . Fie

{ f n } un şir de funcţii definite pe o mulţime

Asociem şirului

Sn ( z ) = ∑ k =1 f k ( z ) n

E şi z0 ∈ E .

{ f n } un nou şir de funcţii {Sn } definite ( z ∈ E ) , numit şirul sumelor parţiale.

Dacă există S ( z0 ) = lim Sn ( z0 ) , spunem că seria n→ ∞

este convergentă în punctul z0 şi are suma S ( z0 ) = Seria

∑

∞ k =1

∑

∞ k =1

∑

∑ ∞ k =1

∞ k =1

de

fk ( z)

f k ( z0 ) .

f k ( z ) este absolut convergentă dacă seria modulelor

f k ( z ) este convergentă.

Dacă şirul sumelor parţiale {Sn } converge uniform pe o mulţime

E , atunci seria

∑

∞ k =1

f k ( z ) se numeşte uniform convergentă pe E .

Teoremă. Dacă o serie

∑

∞ k =1

f k ( z ) este convergentă uniform pe

o mulţime E şi dacă toate funcţiile f k sunt continue pe E , atunci suma seriei, S ( z ) , este continuă pe E .

94

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Demonstraţie. Înlocuim, în teorema precedentă, şirul şirul sumelor parţiale Sn ( z ) =

(

∑

n k =1

fk ( z)

(

)

( n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) şi

lim lim S n ( z ) = lim lim Sn ( z )

z → z0

echivalent,

lim

z → z0

n→ ∞

(∑

∞ n =1

n → ∞ z → z0

)

(

)

f n ( z ) = ∑ n =1 lim f n ( z ) ∞

z → z0

{ fn }

cu

avem

( z0 ∈ E ) ,

)

( z0 ∈ E ) .

De aici rezultă că, pentru z0 ∈ E ,

(

)

(

)

lim S ( z ) = lim lim S n ( z ) = lim lim Sn ( z ) =

n →∞

z → z0

n →∞

n →∞ z → z0

= lim S n ( z0 ) = S ( z0 ) . , n →∞

O condiţie suficientă pentru uniform convergenţa unei serii de funcţii este dată de următoarea teoremă. Criteriul convergenţei dominate al lui Weierstrass. Fie

{ fn }

un şir de funcţii definite pe o mulţime E şi {un } un şir de numere reale astfel încât f n ( z ) ≤ un oricare ar fi z ∈ E , n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ . Dacă seria de numere

∑

∞ n =1

∑

∞

u converge, atunci seria de funcţii

n =1 n

f n ( z ) converge uniform şi absolut pe mulţimea E .

Demonstraţie. Convergenţa absolută a seriei

∑

∞ n =1

aplicând criteriul comparaţiei. Seria cu termeni pozitivi

f n ( z ) rezultă

∑

∞

u este

n =1 n

Dumitru D. DRĂGHIA

95

convergentă, i.e. oricare ar fi ε > 0 , există un întreg N (ε ) astfel încât dacă n > N (ε ) , atunci

∑

n+ p k = n +1

uk < ε

( p = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

Dar, pentru oricare z ∈ E , rezultă următoarele inegalităţi:

∑

n+ p

f k ( z ) ≤ ∑ k = n +1 f k ( z ) ≤ ∑ k = n +1 uk < ε n+ p

k = n +1

n+ p

Astfel, din criteriul Cauchy rezultă că seria

( p = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

∑

∞ n =1

f n ( z ) este

uniform convergentă pe E . Teoremă. Dacă un şir de funcţii continue

{ fn }

pe un contur C

este uniform convergent către o funcţie f pe C , atunci

lim ∫ f n ( z ) dz = ∫ lim f n ( z ) dz .

n→ ∞

C

C

n→ ∞

Demonstraţie. Deoarece funcţia limită f este continuă pe C , există

∫

C

f ( z ) dz . Fie ε > 0 . Din ipoteză rezultă că există un întreg

N = N (ε ) > 0 astfel încât dacă n > N , atunci f n ( z ) − f ( z ) < ε , oricare ar fi z ∈ C . Atunci, pentru n > N , avem

∫

C

f n ( z ) dz − ∫ f ( z ) dz C

=

∫ (f C

n

( z ) − f ( z ) ) dz ≤

≤ ∫ f n ( z ) − f ( z ) dz < ε L, C

unde L este lungimea lui C . Astfel, lim

n→ ∞

∫f

C

n

( z ) dz = ∫ f ( z ) dz . C

96

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Corolar. Dacă

∑

∞ n =1

{ fn }

este un şir de funcţii continue şi dacă seria

f n ( z ) converge uniform pe un contur C , atunci ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ∞ ⎞ . f ( z ) dz = f ( z ) dz ⎜ ⎟ ∑ ∑ n n ⎜ ⎟ ∫C ⎝ n=1 ∫ n =1 ⎝ C ⎠ ⎠

Demonstraţie. Aplicăm teorema pentru şirul sumelor parţiale

Sn ( z ) = ∑ k =1 f k ( z ) ( n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅ ) şi obţinem n

⎛ ∞ ⎞ lim ∫ Sn ( z ) dz = ∫ ⎜ ∑ f n ( z ) ⎟ dz , n→ ∞ ⎠ C C ⎝ n =1 n

lim ∫ S n ( z ) dz = lim ∫ ∑ f k ( z ) dz

n →∞

C

n →∞

C k =1

n ⎛ ⎞ = lim ∑ ⎜ ∫ f k ( z ) dz ⎟ n →∞ k =1 ⎝ C ⎠

∞ ⎛ ⎞ = ∑ ⎜ ∫ f n ( z ) dz ⎟ . n =1 ⎝ C ⎠

Deci,

∞ ⎛ ⎞ ⎛ ∞ ⎞ f ( z ) dz = ⎜ ∫ f n ( z ) dz ⎟ . ∑ n ⎟ ∫C ⎜⎝ ∑ n =1 n =1 ⎝ C ⎠ ⎠

Cu ajutorul acestui corolar dăm mai departe o demonstraţie simplă teoremei lui Taylor pentru funcţii complexe.

Dumitru D. DRĂGHIA

97

Şiruri şi serii de funcţii analitice. Convergenţă uniformă, diferenţiere şi integrare Teoremă.

Dacă

{ fn }

este un şir de funcţii analitice pe un

domeniu D care converge uniform la o funcţie f pe toate submulţimile compacte ale domeniului D , atunci f este analitică în D . Demonstraţie. Este suficient să arătăm că f ( z ) este analitică într-un punct arbitrar z0 din domeniul D . Construim o vecinătate D0 a lui z0 conţinută în D . Funcţia

f ( z ) este continuă pe D0 . Fie C un contur simplu închis oarecare conţinut în D0 . Din ipoteză, f n ( z ) este analitică în D0 şi

∫

C

f n ( z ) dz = 0 , pentru fiecare n . Astfel, 0 = lim

∫

n →∞ C

f n ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz . C

Din teorema lui Morera rezultă că f ( z ) este analitică în D0 . În particular, f ( z ) este analitică în z0 . Corolar. Dacă

{ fn }

domeniu D şi seria

este un şir de funcţii analitice pe un

∑

∞ n =1

f n ( z ) converge uniform la f ( z ) pe

toate submulţimile compacte ale domeniului D , atunci funcţia f este analitică în D . Demonstraţie. Pentru oricare contur simplu închis C inclus în D avem:

∫

C

∞ ⎛ ⎞ ⎛ ∞ ⎞ f ( z ) dz = ∫ ⎜ ∑ f n ( z ) ⎟ dz = ∑ ⎜ ∫ f n ( z ) dz ⎟ = 0 . n =1 ⎝ C ⎠ C ⎝ n =1 ⎠

98

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Corolar. Dacă

{ fn }

este un şir de funcţii analitice într-un

domeniu D , uniform convergent la f ( z ) pe toate submulţimile compacte ale lui D , atunci

(lim f ( z))′ = lim f ′( z) n →∞

n

n →∞

n

( z ∈ D) .

Demonstraţie. Fie z ∈ D . Fie C un contur simplu închis într-o vecinătate D0 a punctului z conţinută în domeniul D . Din ipoteză rezultă că f ( z ) este analitică în D . Prin urmare,

f ′( z ) =

1 f (ζ ) dζ . ∫ 2π i C (ζ − z )2

converge uniform la

f (ζ )

(ζ − z )

( lim f ( z) )′ n →∞

n

De

2

asemenea,

pentru ζ ∈ C . Atunci

= f ′( z ) =

=

şirul

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C (ζ − z )2

f n (ζ ) ⎞ 1 ⎛ lim ⎜ ⎟ dζ 2π i C∫ ⎜⎝ n →∞ (ζ − z )2 ⎟⎠

⎛ 1 ⎞ f n (ζ ) d ζ = lim ⎜ ⎟ 2 n →∞ ⎜ 2π i ∫ ⎟ z ζ − ( ) C ⎝ ⎠ = lim f n′ ( z ). , n →∞

⎧⎪ f (ζ ) ⎫⎪ n ⎨ 2⎬ ⎪⎩ (ζ − z ) ⎭⎪

Dumitru D. DRĂGHIA

Corolar. Dacă

99

{ fn }

este un şir de funcţii analitice într-un

domeniu D , uniform convergent la f pe toate submulţimile

{ f ( ) } de k

compacte ale domeniului D , atunci şirul derivatelor ordinul k

este uniform convergent pe toate submulţimile

compacte ale lui D la f

(lim f ( z)) n →∞

n

n

(k )

(k )

, i.e.

= lim f n( ) ( z ) k

n →∞

( z ∈ D ) ( k = 1, 2,3, ⋅⋅ ⋅) .

Demonstraţie. Fie z0 ∈ D şi 0 < ρ < r , astfel încât discul închis

z − z0 ≤ r este înclus în domeniul D . Fie z cu z − z0 ≤ ρ . Atunci: fn(

k)

( z ) − f (k ) ( z ) =

=

f n (ζ ) f (ζ ) k! k! dζ − dζ ≤ k +1 ∫ ∫ 2π i ζ − z0 = r (ζ − z ) 2π i ζ − z0 = r (ζ − z )k +1

≤

k! 2π

2π

∫ 0

f n (ζ ) − f (ζ )

ζ −z

k +1

r dθ
0 astfel încât an z0 n ≤ M pentru n →∞

n = 1, 2,3," . Deoarece an z = an z0n ( z z0 ) ≤ M z z0 , n = 1, 2,3," , n

rezultă că

∑

∞

n

n

n=0

an z ≤ M

Corolar. Dacă seria

∑

Corolar.

Dacă seria

∞ n =0

1 , cu condiţia z < z0 . 1 − z z0

∑

atunci seria

n

∞ n =0

an z n diverge într-un punct z = z0 ,

an z n diverge pentru z > z0 .

∑

∞ n =0

an z n converge pentru oricare

z = x ∈ \ , atunci seria converge pentru oricare z ∈^ . Demonstraţie. Dacă seria

z0 ∈ ^ ,

∑

∞ n =0

atunci,

din

∑

corolarul

∞ n =0

an z0n diverge într-un punct

precedent,

rezultă

că

seria

an x n este divegentă pentru x > z0 , contrazicând ipoteza.

Teorema lui Cauchy-Hadamard. Fie seria

A = lim sup n an . n→∞

∑

∞ n =0

an z n

şi

Dumitru D. DRĂGHIA

103

∑

A = 0 , atunci seria

(i) Dacă

∞ n =0

an z n

este

absolut

convergentă în tot planul complex; (ii) Dacă A = ∞ , atunci seria

∑

∞ n =0

an z n converge numai în

punctul z = 0 ;

∑

(iii) Dacă 0 < A < ∞ , atunci seria

∞ n =0

an z n converge pentru

z < 1 A şi diverge pentru z > 1 A . Demonstraţie. (i) Din 0 = A = lim sup n→ ∞ rezultă că lim n→ ∞

n

n

an = lim n→ ∞

n

∑

∞ n =0

∑

∞ n =0

an z

kn

{kn } ,

akn → ∞ .

Pentru oricare z ≠ 0 , avem Deci

n

an z n este absolut convergentă în tot planul.

(ii) Dacă A = ∞ , atunci există un şir crescător de indici astfel încât

an

an z = 0 pentru oricare z ∈ ^ .

Aplicând criteriul lui Cauchy, rezultă că seria converge, i.e. seria

n

ak n z

kn

kn

ak n z

kn

= k n ak n z → ∞ .

∑

→ ∞ , adică seria

∞

n =0

an z n nu îndeplineşte

condiţia necesară pentru convergenţă. (iii) Fie 0 < A < ∞ . Dacă z = 0 , atunci seria

∑

∞

n =0

an z n se

reduce la termenul constant a0 şi, deci, este absolut convergentă. Dacă z ≠ 0 şi z < 1 A , putem scrie z = ε 2 A , cu 0 < ε < 1 . Întrucât A ε > 1 , din proprietatea limitei superioare rezultă că există N 1 , astfel încât dacă n > N1 , atunci Apoi, pentru n > N1 , avem

n

n

n

an < A ε .

an z < A z ε = ε < 1 .

104

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Din criteriul lui Cauchy, rezultă că seria

∑

∞

n =0

an z n este absolut

convergentă. Dacă z > 1 A , atunci z = 1 ( Aε ) , cu 0 < ε < 1 . Din proprietatea limitei superioare, rezultă că există un şir crescător de indici {kn } astfel încât Atunci

kn

akn z

Deci, akn z

R=

kn

kn

lim sup n an

a kn → A .

→ A z = 1 ε > 1.

→ ∞ , adică seria

1

kn

∑

∞

n =0

an z n diverge.

se numeşte raza de convergenţă a seriei.

n→∞

Dacă A = lim sup n an = 0 , atunci R = ∞ . n→∞

Dacă A = lim sup n an = ∞ , atunci R = 0 . n→∞

Cercul z = R se numeşte cercul de convergenţă al seriei. Interiorul cercului de convergenţă se numeşte discul de convergenţă al seriei. O serie de puteri converge în discul de convergenţă z < R şi diverge în exteriorul cercului de convergenţă z > R . Pe cercul de convergenţă z = R , o serie converge în toate, în niciunul sau numai în unele puncte. O serie de puteri este definită de coeficienţii ei şi aceşti coeficienţi sunt singurii care determină raza de convergenţă.

Dumitru D. DRĂGHIA

105

Teoremă. Fie o serie

∑

∞

n =0

an z n de puteri cu raza de convergenţă

R > 0 . Atunci seria converge uniform în oricare disc închis z ≤ r , unde r < R . Demonstraţie. Aplicăm criteriul lui Weierstrass pentru seria de puteri

∑

∞

n =0

an z n . Fie

z1 astfel încât r < z1 = ρ < R . Atunci

inegalitatea an z n ≤ an z1n este valabilă pentru oricare n şi z , cu

z ≤ r . Seria

∑

∞

n =0

an z1n converge, deci, conform criteriului lui

Weierstrass, rezultă că seria

∑

∞

n =0

an z n este uniform convergentă

pentru z ≤ r , r < R . Există serii de puteri care converg, dar nu converg uniform. Cel mai simplu exemplu este seria geometrică. Pe de altă parte, există serii de puteri care converg uniform în discul închis de convergenţă. Un exemplu este seria

∑

∞

n =1

zn n2 .

Teorema lui Taylor. Dacă f ( z ) o funcţie analitică într-un domeniu D şi z0 este un punct din domeniul D , atunci ∞

f ( z) = ∑ n=0

f ( n ) ( z0 ) n ( z − z0 ) , n!

seria fiind convergentă pentru z − z0 < δ , unde δ este distanţa de la z0 la frontiera lui D .

106

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Demonstraţie. Fie Cρ : ζ − z0 = ρ , ρ < δ . Fie z astfel încât

z − z0 < ζ − z0 . Atunci avem f ( z ) =

f (ζ )

∫ ζ − z dζ

dezvoltarea

Cρ

1 ζ −z

=

1 1 1 = ⋅ ζ − z 0 − ( z − z 0 ) ζ − z 0 1 − ( z − z 0 ) ( ζ − z0 ) ∞

=∑ n=0

1

( ζ − z0 )

n +1

( z − z0 )

n

.

Convergenţa seriei fiind uniformă pe C ρ , integrăm termen cu termen şi obţinem:

⎛ ∞ ⎞ 1 n z − z f (ζ ) dζ = ⎜ ⎟ ( ) ∑ 0 n +1 ∫⎜ ⎟ C ρ ⎝ n = 0 ( ζ − z0 ) ⎠ ∞ ⎛ 1 f (ζ ) n = ∑ ( z − z0 ) ⎜ dζ ∫ ⎜ 2π i C (ζ − z0 )n +1 n=0 ρ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Folosind formula integrală a lui Cauchy, rezultă dezvoltarea în serie Taylor f ( z ) =

∞

∑ n =0

f ( ) ( z0 ) n ( z − z0 ) . n! n

Astfel, am obţinut următorul rezultat important pentru teoria funcţiilor analitice.

Dumitru D. DRĂGHIA

107

Teoremă. O funcţie f este analitică într-un punct z0 dacă şi numai dacă f ( z ) =

∑

∞

an ( z − z0 ) într-un disc z − z0 ≤ r , n

n =0

unde coeficienţii sunt unic determinaţi:

an =

f ( n ) ( z0 ) 1 = 2π i n!

f ( z) dz n +1 ( ) z z − 0 z − z0 = r

∫

Reprezentarea f ( z ) =

∞

∑ n=0

( n = 0,1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

f (n) ( 0 ) n z se numeşte dezvoltarea în n!

serie Maclaurin a funcţiei f ( z ) . Avem dezvoltările în serie Maclaurin ale funcţiilor elementare: ∞

1 n z n =1 n !

ez = 1 + ∑

( z < ∞);

z 2 n −1 ( 2n − 1)!

( z < ∞);

z 2n cos z = 1 + ∑ ( −1) ( 2n ) ! n =1

( z < ∞);

∞

sin z = ∑ ( −1)

n +1

n =1

∞

n

z 2 n −1 n =1 ( 2n − 1) ! ∞

sh z = ∑

∞

z 2n n =1 ( 2n ) !

ch z = 1 + ∑ ∞

Log (1 + z ) = ∑ ( −1) n =1

■

n −1

( z < ∞); ( z < ∞); zn n

( z < 1) .

108

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Zerourile funcţiilor analitice Dacă o funcţie f este analitică într-un punct z0 , atunci există r0 astfel încât pentru z − z0 < r0 funcţia f este reprezentată printr-o serie Taylor

n

f ( z ) = a0 + ∑ n =1 an ( z − z0 ) , unde a0 = f ( z0 ) şi ∞

an = f ( n ) ( z0 ) n ! ( n = 1, 2,3,") .

Dacă z0 este un zerou al funcţie f , atunci a0 = 0 . Dacă, în plus,

f ′ ( z0 ) = f ′′ ( z0 ) = " = f (

m −1)

( z0 ) = 0 ,

f(

m)

( z0 ) ≠ 0 ,

atunci z0 este numit zerou de ordinul m al funcţiei f . Teoremă. Dacă f este funcţie analitică într-un punct z0 care este un zerou al lui f , atunci există o vecinătate a lui z0 în care

f nu are alte zerouri. (Cu alte cuvinte: zerourile unei funcţii analitice sunt izolate). Demonstraţie. Presupunem că funcţia analitică f are în punctul

z0 un zerou de ordinul m . Atunci

∑

f ( z ) = ( z − z0 )

m

Notăm g ( z ) =

∑

∞ n=0

∞ n =0

am + n ( z − z0 )

am + n ( z − z0 )

n

n

(a

m

≠ 0, z − z0 < r0 ) .

( z−z

0

< r0 ) şi observăm

că g ( z0 ) = am şi că funcţia g ( z ) este continuă în z0 . În consecinţă, oricare ar fi ε > 0 , există δ > 0 astfel încât

z − z0 < δ ⇒ g ( z ) − am < ε .

Dumitru D. DRĂGHIA

109

În particular, dacă ε = am 2 , atunci există δ ε astfel încât

z − z 0 < δ ε ⇒ g ( z ) − am < am 2 . Rezultă că g ( z ) ≠ 0 pentru z − z0 < δ ε .

Teorema de identitate Comportarea unei funcţii analitice într-un şir de puncte influenţează comportarea funcţie peste tot. Teoremă. Fie f ( z ) o funcţie analitică într-un disc z − z0 < R şi

{ zn }

un şir de puncte distincte care converge la z0 . Dacă

f ( zn ) = 0 pentru oricare n , atunci f ( z ) = 0 pentru oricare z din discul z − z0 < R . Demonstraţie. Funcţia f ( z ) are reprezentarea în serie de puteri:

f ( z ) = a0 + ∑ k =1 ak ( z − z0 ) ∞

k

(z−z

0

< R) .

Din continuitatea lui f ( z ) în z0 , rezultă că

(

)

a0 = f ( z0 ) = f lim zn = lim f ( zn ) = 0 . n→ ∞

n→ ∞

(

Atunci putem scrie f ( z ) = ( z − z0 ) a1 + şi avem 0 = a1 +

∑

∞ k =2

a k ( z n − z0 )

k −1

∑

∞ k =2

a k ( z − z0 )

( n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

Trecem la limită pentru zn → z0 şi rezultă a1 = 0 .

k −1

)

110

ANALIZĂ COMPLEXĂ

În acelaşi fel, obţinem şi următoarele:

(

f ( z ) = ( z − z0 ) a 2 + ∑ k = 3 a k ( z − z 0 ) 2

∞

Apoi, prin inducţie, rezultă an = 0

(z−z

f ( z) = 0

0

k −2

) şi a

2

= 0.

( n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) ,

adică

< R) .

Teorema precedentă este generalizată pentru domenii oarecare. Teoremă. Fie f ( z ) o funcţie analitică într-un domeniu D şi

{ zn }

un şir de puncte distincte care converge la un punct z0 din

D . Dacă f ( zn ) = 0 pentru oricare n , atunc f ( z ) = 0 oricare ar fi z din D . Demonstraţie. Fie K un disc inclus în domeniul D , cu centrul în punctul limită z0 . Din teorema precedentă rezultă că funcţia

f ( z ) = 0 pentru z ∈ K . Fie z ′ ∈ D \ K . Arătăm, în continuare, că f ( z ′) = 0 . Unim punctul limită z0 cu punctul z′ printr-o curbă continuă L inclusă în domeniul D . Notăm cu ρ distanţa dintre curba L şi frontiera domeniului D . Dividem curba L în arce prin punctele z0 , z1 , z2 , ⋅⋅⋅, zn −1 , zn = z ′ astfel încât z j − z j +1 < ρ

( j = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, n − 1) .

Construim discurile K j : z − z j < ρ , j = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, n . Prin construcţie, discul K j este inclus în domeniul D şi conţine centrul z j +1 al următorului disc K j +1 , j = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, n − 1 . În discul K 0 cu centrul în z0 , funcţia f ( z ) se anulează. Presupunem că

j ≤ n − 1.

f ( z ) se anulează în toate discurile K j ,

Dumitru D. DRĂGHIA

111

Arătăm că f ( z ) = 0 pentru z ∈ K j +1 . Deoarece z j +1 se află în discul K j , z j +1 este un punct limită pentru o mulţime pe care funcţia se anulează. Atunci, din teorema precedentă rezultă că funcţia f ( z ) se anulează în întreg discul K j +1 . Aceasta implică faptul că funcţia f ( z ) se anulează în discul K n ; în

particular, f ( z ′) = 0 . Deoarece z ′ ∈ D \ K a fost ales arbitrar, rezultă că f ( z ′) = 0 pentru toate punctele z ′ ∈ D \ K . Deci, f ( z ) = 0 pentru z ∈ D . O consecinţă a acestei teoreme este teorema de identitate. Teorema de identitate. Fie

{ zn }

un şir de puncte cu un punct

limită într-un domeniu D . Dacă f ( z ) şi g ( z ) sunt funcţii analitice în D , astfel încât f ( zn ) = g ( zn ) pentru oricare n , atunci f ( z ) = g ( z ) pentru oricare z din D . Demonstraţie. Fie z0 punctul limită al şirului

{ } care converge la z

există un subşir znk

0

{ zn } .

Atunci

.

Notăm h( z ) = f ( z ) − g ( z ) . Deoarece h ( znk ) = 0 pentru toate

{ }

elementele şirului znk , rezultă că h( z ) = 0 pe D . Această proprietate importantă a funcţiilor analitice este exprimată şi în forma următoare. Teorema unicităţii. Există cel mult o funcţie analitică f ( z ) întrun domeniu D care admite valori date pe o mulţime de puncte E din D şi care are cel puţin un punct limită z0 în D .

112

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Demonstraţie. Întrucât z0 este punct limită pentru E , putem

alege din E un şir de puncte {zn } care diferă de z0 şi diferite între ele, care converge la z0 . Aplicaţii (i) Teorema identităţii arată că există o singură funcţie întreagă care coincide cu sin x ( x ∈ \ ). Fie E segmentul 0 < z = x < π 2 de pe axa reală. Fiecare punct al mulţimii E este punct limită pentru E şi aparţine lui ^ . Teorema identităţii afirmă că există cel mult o funcţie f ( z ) care este analitică în ^ şi ale cărei valori pentru z = x ∈ E coincid cu valorile funcţiei f ( x ) = sin x ( 0 < x < π 2 ).

(

Această funcţie este f ( z ) = eiz − e − iz

)

2i = sin z .

(ii) Aplicăm teorema de identitate pentru demonstrarea identităţii trigonometrice sin 2 z + cos2 z = 1 în planul complex. Funcţia f ( z ) = sin 2 z + cos 2 z este o funcţie întreagă. Identitatea f ( z ) = 1 pentru oricare 0 < z = x < π 2 rezultă din teorema lui Pitagora. Deci, sin 2 z + cos2 z = 1 pentru oricare z din ^ . Observaţie Formula integrală a lui Cauchy ne arată că: Valorile unei funcţii analitice pe un contur simplu inchis determină valorile funcţiei în interiorul conturului. Teorema de identitate ne spune mai mult:

Dumitru D. DRĂGHIA

113

Comportarea funcţiei într-un şir de puncte din interiorul sau de pe conturul simplu închis determină comportarea funcţiei analitice în toate punctele domeniului.

Teorema maximului modulului Următoarea teoremă arată că Dacă o funcţie f ( z ) este analitică, neconstantă într-o vecinătate a unui punct z0 , atunci există cel puţin un punct z în acea vecinătate astfel încât f ( z ) > f ( z0 ) . Teorema maximului modulului. Dacă f ( z ) este analitică şi neconstantă într-un domeniu D , atunci f ( z ) nu are valoare maximă în D . Demonstraţie. Considerăm un disc oarecare z − z0 ≤ R conţinut în D . Presupunem că f ( z ) ≤ f ( z0 ) pentru z − z0 ≤ R . Pentru fiecare r , 0 ≤ r ≤ R , folosind teorema valorii medii a lui Gauss, avem:

f ( z0 )

=

1 2π

∫

≤

1 2π

∫

2π

0

2π

0

f ( z0 + reiθ ) dθ ≤

∫ ⎡⎣ f ( z ) − 0

0

∫

2π

0

f ( z0 + reiθ ) dθ

f ( z0 ) dθ = f ( z0 ) ,

2π

de unde rezultă

1 2π

f ( z0 + reiθ ) ⎤⎦ dθ = 0

(0 ≤ r ≤ R ) .

114

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Ultimul integrand este continuu şi pozitiv. Atunci, pentru z în discul închis z − z0 ≤ R , avem f ( z0 ) − f ( z0 + reiθ ) = 0 , adică

f ( z ) = f ( z0 ) . Dar aceasta înseamnă că f ( z ) este constantă în discul z − z0 ≤ R . Prin urmare, f ( z ) trebuie să fie constantă în acest disc. Din teorema de identitate rezultă că f ( z ) este constantă în întreg domeniul D . Deci, dacă f ( z ) nu este constantă, atunci f ( z ) nu are maximum în D . Corolar. Dacă

f ( z ) este analitică şi neconstantă într-un

domeniu D mărginit şi este continuă pe închiderea sa D , atunci f ( z ) atinge maximul numai pe frontiera lui D . Observaţie. Este posibil ca modulul unei funcţii analitice neconstante să atingă minimul într-un domeniu şi nu pe frontieră. De fapt, modulul funcţiei atinge minimul într-un zerou al funcţiei.

7 TEOREMA REZIDUULUI ŞI APLICAŢII

Serii Laurent Clasificarea şi caracterizarea singularităţilor Teorema reziduului Calculul reziduurilor Calculul unor integrale complexe Evaluarea unor integrale reale

Serii Laurent Dacă o funcţie f ( z ) este analitică într-un punct z0 , atunci f ( z ) are o reprezentare în serie de puteri f ( z ) =

∑

∞

an ( z − z0 ) într-o n

n =0

vecinătate a lui z0 . Observăm că seria

∑

∞

b ( z − z0 )

n =1 n

−n

poate fi considerată o serie

de puteri în variabila 1 ( z − z0 ) , convergentă pentru 1 z − z0 < R , unde R este raza de convergenţă. Astfel, seria

∑

∞

b ( z − z0 )

−n

n =1 n

reprezintă o funcţie

f1 ( z )

analitică pentru z − z0 > R1 = 1 R . Dacă R2 este raza de convergenţă a seriei atunci

f 2 ( z ) = ∑ n = 0 a n ( z − z0 )

z − z0 < R2 .

∞

n

este

∑

∞ n =0

analitică

a n ( z − z0 ) , n

în

discul

116

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Dacă R1 < R2 , atunci funcţiile f1 ( z ) şi f 2 ( z ) sunt analitice în coroana circulară R1 < z − z0 < R2 .

f ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) este analitică în

În concluzie, funcţia

oricare punct din coroana circulară R1 < z − z0 < R2 . Notăm a− n = bn şi avem

a− n

∞

f ( z) = ∑ n =1

( z − z0 )

∞

+ ∑ an ( z − z 0 )

n

n

n=0

sau ∞

f ( z) =

∑ a (z − z )

n =−∞

n

Definiţie. O expresie de forma serie Laurent.

n

0

∑

.

a ( z − z0 ) se numeşte n =−∞ n ∞

n

Seria Laurent generalizează noţiunea de serie de puteri. Seria

∑

Laurent este considerată ca suma a două serii

∑

∞ n =1

a − n ( z − z0 )

−n

∞ n =0

a n ( z − z0 )

n

şi

dacă şi numai dacă cele două serii sunt

convergente. Domeniul de convergenţă al unei serii Laurent este o coroană circulară. Dacă R1 < ρ < R2 , seria Laurent f ( z ) =

∑

∞ n =−∞

an ( z − z0 ) este n

convergentă uniform pe cercul γ : z − z0 = ρ . Multiplicăm

f ( z ) = ∑ n =−∞ an ( z − z0 ) ∞

n

cu

1 − k −1 ( z − z0 ) , 2π i

unde k este un întreg arbitrar, apoi integrăm termen cu termen de-a lungul cercului γ . Astfel, obţinem:

Dumitru D. DRĂGHIA

117

∞ 1 f ( z) 1 n − k −1 = dz an ( z − z0 ) dz . ∑ k +1 ∫ ∫ 2π i γ ( z − z0 ) 2π i γ n =−∞

Deci

1 f ( z) dz = ak ∫ 2π i γ ( z − z0 )k +1

( k = 0, ± 1, ± 2, ⋅⋅⋅) .

Această relaţie exprimă coeficienţii unei serii Laurent în funcţie de suma seriei. Teorema următoare arată că oricare funcţie analitică într-o coroană circulară are o reprezentare în serie Laurent. Teorema lui Laurent. Dacă o funcţie f ( z ) este analitică într-o coroană

circulară

R1 < z − z0 < R2 ,

atunci

f ( z)

are

reprezentarea în serie Laurent

f ( z) =

∞

∑ a (z − z ) (R

n =−∞

n

n

0

1

< z − z0 < R2 ) .

Coeficienţii sunt unic determinaţi:

an =

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C (ζ − z0 )n +1

( n = 0, ± 1, ± 2, ⋅⋅⋅) ,

unde C este un contur simplu închis, în jurul punctului z0 , conţinut în coroana circulară. Demonstraţie. Fie z un punct oarecare din coroana circulară R1 < z − z0 < R2 . Funcţia f ( z ) este analitică în coroana circulară închisă ρ1 ≤ z − z0 ≤ ρ 2 , unde ρ1 şi ρ 2 verifică inegalităţile

R1 < ρ1 < z − z0 < ρ2 < R2 .

118

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Fie cercurile C1 : z − z0 = ρ1 şi C2 : z − z0 = ρ 2 . Scriem formula integrală a lui Cauchy

f ( z) =

1 f (ζ ) 1 f (ζ ) dζ − dζ . ∫ ∫ 2π i C2 ζ − z 2π i C1 ζ − z

Dacă ζ este pe cercul C2 şi ρ1 ≤ z − z0 ≤ ρ 2 , atunci avem ∞ 1 1 1 1 n = ⋅ =∑ z − z0 ) , n +1 ( ζ − z ζ − z0 1 − z − z0 n =0 (ζ − z0 ) ζ − z0

convergenţa seriei fiind uniformă pe cercul C2 . Deci, ∞ 1 1 n =∑ z − z0 ) . n +1 ( ζ − z n =0 (ζ − z0 )

Multiplicăm această egalitatea cu

f (ζ ) şi integrăm termen cu 2π i

termen de-a lungul cercului C2 . Astfel, obţinem

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C2 ζ − z

∞ ⎛ 1 f (ζ ) dζ = ∑⎜ n +1 ∫ ⎜ n = 0 2π i C2 ( ζ − z0 ) ⎝

∞

= ∑ an ( z − z0 ) , n

n=0

cu an =

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C2 (ζ − z0 )n +1

( n = 0,1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

⎞ n ⎟ ( z − z0 ) ⎟ ⎠

Dumitru D. DRĂGHIA

119

Procedăm în mod similar pentru ζ pe cercul C1 şi avem

−

∞ 1 1 1 1 n −1 = ⋅ = ∑ (ζ − z 0 ) , n ζ − z z − z0 1 − ζ − z0 n =1 ( z − z0 ) z − z0

convergenţa seriei fiind uniformă pe C1 . Deci,

−

∞ 1 1 n −1 . = ∑ (ζ − z0 ) n ζ − z n =1 ( z − z0 )

Multiplicăm această egalitatea cu

f (ζ ) şi integrăm termen cu 2π i

termen de-a lungul cercului C1 . Astfel, avem

−

∞ ⎛ 1 n −1 f (ζ ) (ζ − z0 ) dζ = ∑⎜ ∫ ⎜ n =1 ⎝ 2π i C1

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C1 ζ − z

∞

=∑ n =1

cu a− n =

a− n

( z − z0 )

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C1 (ζ − z0 ) − n +1

n

⎞ 1 ⎟ ⎟ ( z − z )n 0 ⎠

,

( n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

În concluzie, ecuaţia

f ( z) =

1 f (ζ ) 1 f (ζ ) dζ − dζ ∫ ∫ 2π i C2 ζ − z 2π i C1 ζ − z

devine ∞

∞

f ( z ) = ∑ a n ( z − z0 ) + ∑ a − n ( z − z 0 ) , n =0

n

n =1

−n

120

ANALIZĂ COMPLEXĂ

unde coeficienţii seriilor sunt, respectiv,

an =

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C2 (ζ − z0 )n +1

a− n =

( n = 0,1, 2,3, ⋅ ⋅⋅) ,

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C1 (ζ − z0 )− n +1

( n = 1, 2,3, ⋅ ⋅⋅) .

f (ζ ) este analitică în ρ1 ≤ z − z0 ≤ ρ 2 , din formula ζ − z0 integrală a lui Cauchy rezultă că putem calcula coeficienţii an Întrucât

înlocuind C1 şi C2 cu un contur simplu închis C oarecare în jurul punctului z0 , cuprins între cercurile C1 şi C2 . Astfel, dezvoltarea funcţiei f ( z ) în serie Laurent este f ( z ) =

an =

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C (ζ − z0 )n +1

∑

∞

an ( z − z0 ) , cu n

n =−∞

( n = 0, ± 1, ± 2, ⋅⋅⋅) .

Deoarece ρ1 şi ρ 2 pot fi alese oricât de aproape de R1 şi R2 , respectiv, această dezvoltare în serie Laurent este valabilă pentru oricare punct z din coroana circulară R1 < z − z0 < R2 .

Propoziţie. Reprezentarea în serie Laurent a unei funcţii analitice este unică. Demonstraţie. Presupunem că există două reprezentări ale unei funcţii analitice în serie Laurent într-o coroană circulară R1 < z − z0 < R2 ,

f ( z) =

∞

∑

n =−∞

an ( z − z0 ) = n

∞

∑ b (z − z )

n =−∞

n

0

n

.

Dumitru D. DRĂGHIA

121

Fiecare serie converge uniform pe un contur simplu închis C în jurul lui z0 , inclus în coroana circulară. Multiplicăm egalitatea

∑

∞

an ( z − z0 ) = ∑ n =−∞ bn ( z − z0 ) , cu ( z − z0 ) ∞

n

n =−∞

n

− k −1

,

unde k este un întreg oarecare. Integrăm apoi, termen cu termen, de-a lungul Obţinem astfel egalitatea ∞

∑ a ∫(z − z ) n

n =−∞

n − k −1

dz =

0

∞

∑ b ∫(z − z )

n =−∞

C

n

conturului C .

n − k −1

0

dz ,

C

de unde rezultă că 2π iak = 2π ibk , pentru oricare întreg k .

( k = ⋅⋅⋅ − 3, −2, −1,0,1, 2,3, ⋅⋅⋅) .

Deci ak = bk

Observăm că seria de puteri pozitive ale lui z − z0 converge în interiorul cercului z − z0 = R2 , iar seria de puteri negative ale lui

z − z0 converge în afara cercului z − z0 = R1 . ∞

Fie f ( z ) =

∑ a (z − z )

n =−∞

0

n

n

dezvoltarea în serie Laurent a unei

funcţii f ( z ) . Seria

∑

−1

an ( z − z0 ) de puteri negative ale lui z − z0 se n

n =−∞

numeşte partea principală a dezvoltării funcţiei în serie Laurent. Seria

∑

∞ n =0

an ( z − z0 ) de puteri pozitive ale lui z − z0 se n

numeşte partea analitică a dezvoltării funcţiei în serie Laurent.

122

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Clasificarea şi caracterizarea singularităţilor funcţiilor analitice Definiţie. Spunem că o funcţie f ( z ) are o sigularitate într-un punct z0 (sau, z0 este punct singular al funcţiei f ( z ) ), dacă funcţia nu este analitică în punctul z0 . Dacă o funcţie este analitică într-o vecinătate punctată a unei singularităţi z0 , z ∈ ^ : 0 < z − z0 < ε , atunci singularitatea z0

{

}

se numeşte singularitate izolată (alternativ, punct singular izolat). Comportatea unei funcţii f ( z ) în vecinătate unei singularităţi izolate z0 poate fi descrisă după cum urmează: (i)

f ( z ) este mărginită într-o vecinătate punctată a lui z0 ;

(ii)

lim f ( z ) = ∞ ;

(iii)

f ( z ) nu satisface nici (i), nici (ii).

z → z0

Exemple (1)

f ( z) =

sin z , z ≠ 0. z

Funcţia f ( z ) este mărginită într-o vecinătate punctată a originii. Exemplul nu este interesant din punct de vedere al singularităţilor, deoarece funcţia f ( z ) poate deveni analitică în z = 0 , dacă definim f (0) = 1 . (2) f ( z ) = 1 z , z ≠ 0. Funcţia f ( z ) are o singularitate izolată în origine şi lim1 z = ∞ . z→ 0

Dumitru D. DRĂGHIA

123

(3) f ( z ) = e1 z , z ≠ 0 . Pentru z = x ∈ \ , avem lim+ e1 x = ∞ şi lim− e1 x = 0 . x→ 0

x→ 0

Astfel, într-o vecinătate a originii, funcţia e1 z nu este nici mărginită, nici nu tinde la infinit. Definiţie. Dacă o funcţie f ( z ) are o singularitate izolată într-un punct z0 şi dacă lim f ( z ) există şi este finită, atunci singularitatea se z → z0

numeşte singularitate eliminabilă (sau aparentă). Avem următoarele caracterizări importante. Propoziţie.

Fie

f ( z)

analitică

într-un

disc

punctat

0 < z − z0 < R şi z0 un punct singular izolat al lui f ( z ) . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) Partea principală a dezvoltării funcţiei

( n < 0) ;

Laurent este egală cu zero, adică an = 0 (ii)

f ( z ) în serie

lim f ( z ) există şi este finită; z → z0

(iii) lim ( z − z0 ) f ( z ) = 0 ; z → z0

(iv)

f ( z ) este mărginită.

Demonstraţie. Demonstrăm că (iv) implică (i). Fie 0 < r < R şi fie M > 0 astfel încât f ( z ) ≤ M Fie f ( z ) =

∞

∑ n =1

z − z0 ≤ r ) .

∞

a− n

( z − z0 )

(0 ≤

n

+ ∑ an ( z − z0 ) n=0

dezvoltarea funcţiei f ( z ) în serie Laurent.

n

(0
0 şi are un pol de ordinul al doilea în z0 = 1 .

Dumitru D. DRĂGHIA

129

Definiţie. O singularitate izolată care nu este nici sigularitate eliminabilă (aparentă), nici pol se numeşte sigularitate izolată esenţială. Observaţie. Un punct singular izolat z0 al unei funcţii f ( z ) este punct singular izolat esenţial dacă şi numai dacă partea principală a dezvoltării în serie Laurent a funcţiei f ( z ) , într-o vecinătate a lui z0 , are o infinitate de termeni nenuli: ∞

f ( z) = ∑ n =1

∞

a− n

( z − z0 )

n

+ ∑ a n ( z − z0 ) . n

n =0

Exemple (1) Funcţia

2

f ( z ) = e1 z = 1 +

1 1 1 1 1 + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ are o z 2 2! z 4 3! z 6

singularitate izolată esenţială în origine.

(2) Funcţia

f ( z ) = sin

1 1 1 1 1 1 = 2 − ⋅ 6 + ⋅ 10 − ⋅⋅⋅ 2 z z 3! z 5! z

are o

singularitate izolată esenţială în origine.

2 (3) Funcţia f ( z ) = z sin

1 z

1 1 ⎛1 ⎞ = z2 ⎜ − + − ⋅⋅ ⋅ ⎟ 3 5 ⎝ z 3! z 5! z ⎠ 1 1 = z− + − ⋅⋅⋅ 6 z 120 z 3

are o singularitate izolată esenţială în origine.

130

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Teorema lui Weierstrass. Dacă f ( z ) are o sigularitate izolată esenţială în z0 şi dacă r > 0 , ε > 0 şi a ∈ ^ sunt date, atunci există z cu z − z0 < r astfel încât f ( z ) − a < ε . Demonstraţie. Fie a un număr complex oarecare şi ε > 0 . Presupunem că f ( z ) − a ≥ ε > 0 oricare ar fi z într-un disc punctat

1 . f ( z) − a Atunci g ( z ) ≤ 1 ε pentru 0 < z − z0 < δ .

0 < z − z0 < δ . Notăm g ( z ) =

Rezultă că g ( z ) are o singularitate eliminabilă în z0 şi putem

1 2 = a0 + a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) + ⋅ ⋅⋅ . f ( z) − a 1 Observăm că lim = a0 . z → z0 f ( z ) − a Sunt posibile două cazuri: a0 = 0 sau a0 ≠ 0 .

scrie g ( z ) =

Dacă a0 ≠ 0 , atunci lim f ( z ) = z → z0

1 + a şi f ( z ) are singularitate a0

eliminabilă în z0 . Dacă a0 = 0 , presupunem că ak este primul coeficient nenul. Atunci

1

= ak + ak +1 ( z − z0 ) + ak + 2 ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ 2

( f ( z ) − a )( z − z0 )

k

şi

lim ( z − z0 )

z → z0

k

( f ( z ) − a ) = zlim ( z − z0 ) →z

k

f ( z) =

0

Astfel rezultă că f ( z ) are un pol de ordinul k în z0 .

1 . ak

Dumitru D. DRĂGHIA

131

Întrucât

ipoteza exclude amândouă f ( z ) − a ≥ ε > 0 nu poate fi adevărată.

cazurile,

inegalitatea

Corolar. Dacă f ( z ) are o singularitate izolată esenţială în z0

şi a este un număr complex oarecare, atunci există un şir {zn } astfel încât zn → z0 şi lim f ( zn ) = a . z n → z0

Demonstraţie. Fie {δ n } un şir cu δ n > 0 şi lim δ n = 0 . Atunci, n→ ∞

conform teoremei, există un şir

{ zn }

astfel încât f ( zn ) − a < 1 n

pentru 0 < zn − z0 < δ n . Deci, f ( zn ) → a când zn → z0 .

Singularitatea de la infinit Definiţie. O funcţie f ( z ) are o sigularitate izolată în punctul de la infinit dacă f ( z ) este analitică într-o vecinătate a lui ∞ , exclusiv punctul de la infinit, adică dacă există un număr real R astfel încât

f ( z ) este analitică pentru R < z < ∞ . Notăm că f (z) este analitică pentru z > R dacă şi numai dacă

f (1 z ) este analitică pentru 1 z < 1 R . Deci, f ( z ) are o singularitate izolată în ∞ dacă şi numai dacă

f (1 z ) are o singularitate izolată în 0 .

132

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Mai mult, sigularitatea lui f ( z ) în punctul de la infinit este eliminabilă, pol sau esenţială după cum singularitatea lui f (1 z ) în origine este eliminabilă, pol sau esenţială, respectiv.

Exemple (1) Funcţia f ( z ) = z 2 + 1 are un pol de ordinul doi în z = ∞ , deoarece f (1 z ) = 1 z 2 + 1 are un pol de ordinul doi în z = 0 . (2) Funcţia

f ( z ) = e z are o singularitate izolată esenţială în

z = ∞ , deoarece f (1 z ) = e1 z are o singularitate izolată esenţială

în z = 0 . Comportarea funcţiilor întregi Dacă f ( z ) = funcţia f (1 z ) =

z = 0.

∑

k n =0

an z n este un polinom de gradul k , atunci

)

(

k −1 1 ak + ∑ n =0 an z k −n are un pol de ordinul k în k z

Deci, f ( z ) are un pol de ordinul k în ∞ .

O funcţie întreagă f are un pol de ordinul k în ∞ dacă şi numai dacă lim

z→ ∞

f ( z) =A zk

( A ≠ 0, A ≠ ∞ ) .

f ( z) =A z →∞ z k este un polinom de gradul k . Mai mult, dacă lim

( A ≠ 0, A ≠ ∞ ) , atunci

f ( z)

Astfel, o funcţie întreagă transcendentă nu poate avea un pol în punctul de la infinit.

Dumitru D. DRĂGHIA

133

Adică, funcţiile întregi transcendente trebuie să aibă singularităţi esenţiale în punctul de la infinit. Teorema Weierstrass arată că o funcţie întreagă transcendentă devine arbitrar de aproape de fiecare valoare complexă în afara

oricărui cerc z = R .

Exemplu de sigularitate care nu este izolază Funcţia f ( z ) =

1 are o singularitate în origine, deoarece sin (1 z )

lim f ( z ) nu există. Punctele zn = z→ 0

1 nπ

( n = ±1, ± 2, ± 3, ⋅⋅⋅)

sunt

singularităţi ale lui f . Oricare vecinătate punctată 0 < z < ε a singularităţii z = 0 conţine singularităţi zn = 1 ( nπ ) ale lui f ( z ) , deoarece lim zn = 0 . n→ ∞

Deci, originea este o sigularitate care nu este singularitate izolată a funcţiei f ( z ) =

1 . sin (1 z )

Reziduul unei funcţii analitice într-un punct singular izolat Dacă funcţia f ( z ) este analitică într-o vecinătate punctată a lui

z0 , atunci f ( z ) are o reprezentare în serie Laurent

f ( z ) = ∑ n =−∞ an ( z − z0 ) , ∞

cu an =

1 f (ζ ) dζ ∫ 2π i C (ζ − z0 )n +1

n

( n = 0, ± 1, ± 2, ⋅⋅⋅) ,

134

ANALIZĂ COMPLEXĂ

unde C este un contur simplu închis care înconjoară punctul z0 şi este conţinut în vecinătatea punctată a lui z0 . (Teorema lui Laurent).

1 f ( z ) dz , din dezvoltarea în 2π i C∫ serie Laurent a funcţiei f ( z ) , se numeşte reziduul funcţiei f ( z ) în punctul z0 . Definiţie. Coeficientul a−1 =

Notăm Rez ( f ; z0 ) = a−1 .

Notă. Ecuaţia

∫

C

f ( z ) dz = 2π i ⋅ a−1 poate fi folosită pentru

calcularea unor integrale. Exemple. Fie C un contur simplu închis care înconjoară originea. (1)

∫e

1z

dz = 2π i ;

C

Din serie de puteri e1 z = 1 +

(2)

1

∫ sin z

2

1 1 + + ⋅⋅⋅ , rezultă că a−1 = 1 . z 2! z 2

dz = 0 ;

C

3

5

1 1 1⎛ 1⎞ 1⎛1⎞ Din sin 2 = 2 − ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ − ⋅⋅ ⋅ , rezultă că a −1 = 0 . z z 3! ⎝ z ⎠ 5! ⎝ z ⎠ (3)

∫z

C

z 2 sin

2

1 π 1 sin dz = − i ; Rezultă a−1 = − din seria de puteri 3 6 z

1 1 1 1 1 ⎛1 ⎞ = z2 ⎜ − + − ⋅⋅⋅ ⎟ = z − + − ⋅⋅⋅ . 3 5 z 6 z 120 z 3 ⎝ z 3! z 5! z ⎠

Dumitru D. DRĂGHIA

135

Teorema reziduului Teorema reziduului generalizează formula

∫

C

f ( z ) dz = 2π i ⋅ a−1 .

Teorema reziduului. Fie f ( z ) o funcţie analitică în interiorul unui contur simplu închis C şi pe acest contur, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate z1 , z2 , z3 , ⋅⋅ ⋅, zn din interiorul conturului C . Fie

Rez ( f ; z1 ) , Rez ( f ; z2 ) , ⋅⋅⋅, Rez ( f ; zn )

reziduurile funcţiei f ( z ) în punctele z1 , z2 , z3 , ⋅⋅ ⋅, zn , respectiv. Atunci

∫

n

f ( z ) dz = 2π i ⋅ ∑ Rez ( f ; zk ) . k =1

C

Demonstraţie. În jurul singularităţilor zk , construim cercuri Ck exterioare două câte două, conţinute în interiorul conturului C . Din teorema lui Cauchy pentru domeniu multiplu conex rezultă:

∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫

C

C1

Deoarece

∫

C2

f ( z ) dz + ⋅⋅⋅ + ∫ f ( z ) dz . Cn

f ( z ) dz = 2π i ⋅ Rez ( f ; zk )

( k = 1, 2, ⋅⋅⋅, n ) ,

Ck

ecuaţia de mai sus se reduce la formula

∫

C

n

f ( z ) dz = 2π i ⋅ ∑ Rez ( f ; zk ) . k =1

136

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Observaţie. Formula integrală a lui Cauchy este un caz particular al formulei din teorema reziduului. Justificare. Fie f ( z ) o funcţie analitică în interiorul unui contur simplu închis C şi pe acest contur, care înconjoară punctul z0 , cu condiţia f ( z0 ) ≠ 0 . Atunci funcţia g ( z ) =

f ( z) are un pol simplu în z0 şi z − z0

g ( z) =

∞

∑ a (z − z )

n =−1

n

0

n

.

Apoi,

( z − z0 ) g ( z ) = a−1 + a0 ( z − z0 ) + a1 ( z − z0 )

2

+ ⋅⋅⋅ .

Reziduul funcţiei g ( z ) în z0 este

a−1 = lim ( z − z0 ) g ( z ) = lim f ( z ) = f ( z0 ) . z → z0

z → z0

Astfel,

f ( z)

∫ z−z

C

0

dz = ∫ g ( z ) dz = 2π i ⋅ f ( z0 ) .

C

Calculul reziduurilor Metoda de bază pentru calcularea reziduului unei funcţii analitice f ( z ) într-un punct singular izolat z0 este dezvoltarea funcţiei în serie Laurent într-o vecinătate punctată a lui z0 (i.e. 0 < z − z0 < r ) şi determinarea coeficientului dezvoltare.

termenului 1 ( z − z0 ) din această

Dumitru D. DRĂGHIA

137

Observaţie. Dacă o funcţie f ( z ) este analitică într-o vecinătate punctată a unui punct z0 şi dacă f ( z ) are un pol de ordinul k în z0 , atunci reziduul lui f ( z ) în z0 se calculează astfel:

Rez ( f ; z0 ) =

( k −1) 1 k lim ⎡( z − z0 ) f ( z ) ⎤ . ⎦ ( k − 1)! z → z0 ⎣

Justificare. Fie f ( z ) analitică, cu un pol de ordinul k în z0 . Atunci

( z − z0 ) f ( z ) = k

−1

∑ a (z − z )

n =− k

n

0

n+k

+ g ( z ) ( z − z0 ) , k

unde g ( z ) este o funcţie analitică în z0 . Diferenţiem apoi de k − 1 ori şi calculăm valoarea în z0 . Astfel, rezultă

Rez ( f ; z0 ) =

( k −1) 1 k lim ⎡( z − z0 ) f ( z ) ⎤ . ⎦ ( k − 1)! z → z0 ⎣

Există o altă metodă de calcul pentru reziduul unei funcţii f ( z ) într-un pol z0 , dacă funcţia poate fi scrisă sub forma unui cât

f ( z) =

p( z ) . q( z )

p( z ) , unde p( z ) şi q( z ) q( z ) sunt funcţii analitice în z0 şi p( z0 ) ≠ 0 .

Propoziţie. Fie o funcţie de forma f ( z ) =

138

ANALIZĂ COMPLEXĂ

(i) Dacă z0 un pol simplu ( q( z0 ) = 0 şi q′( z0 ) ≠ 0 ) al funcţiei

f ( z ) , atunci reziduul lui f ( z ) în polul simplu z0 este dat de formula

Rez ( f ; z0 ) =

p ( z0 ) . q′( z0 )

(ii) Dacă z0 un pol dublu ( q( z0 ) = q′( z0 ) = 0 şi q′′( z0 ) ≠ 0 ) al funcţiei f ( z ) , atunci reziduul lui f ( z ) în polul dublu z0 este

Rez ( f ; z0 ) = 2

p′( z0 ) 2 p ( z0 ) q′′′( z0 ) . − q′′( z0 ) 3 [ q′′( z0 ) ]2

Demonstraţie. Notăm că z0 este punct singular izolat al lui f ( z ) dacă şi numai dacă q( z0 ) = 0 . (Aceata rezultă printr-un argument de continuitate şi din faptul că zerourile unei funcţii analitice care nu este identic nulă sunt puncte izolate). Dezvoltăm funcţiile p( z ) şi q( z ) în serii Taylor într-un disc centrat în z0 şi obţinem, pentru 0 < z − z0 < r ,

( z − z0 ) f ( z ) =

p ( z0 ) + p′( z0 ) ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ , q′( z0 ) + q′′( z0 ) ( z − z0 ) 2! + ⋅⋅⋅

respectiv,

( z − z0 )

2

f ( z) =

p ( z0 ) + p′( z0 ) ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ . q′′( z0 ) 2! + q′′′( z0 ) ( z − z0 ) 3! + ⋅⋅⋅

Astfel, rezultă că Rez ( f ; z0 ) = lim ( z − z0 ) f ( z ) = z → z0

p ( z0 ) ≠ 0, q′( z0 )

Dumitru D. DRĂGHIA

sau

139

⎛p ⎞ ( z − z0 ) p ( z ) Rez ( f ; z0 ) = Rez ⎜ ; z0 ⎟ = lim q( z) ⎝q ⎠ z → z0 = lim z → z0

p(z) p ( z0 ) = ≠ 0, q ( z ) − q ( z 0 ) q ′ ( z0 ) z − z0

respectiv,

p′( z0 ) 2 p( z0 )q′′′( z0 ) ′ 2 − Rez ( f ; z0 ) = lim ⎡( z − z0 ) f ( z ) ⎤ = 2 ., ⎦ z → z0 ⎣ q′′( z0 ) 3 [ q′′( z0 )]2 Exemple (1) Funcţia f ( z ) =

cos z are punctele singulare izolate zn = nπ sin z

( n = 0, ± 1, ± 2, ⋅⋅⋅) .

Fiecare din aceste puncte este pol simplu, iar reziduul funcţiei este

Rez ( f ; zn ) =

p (nπ ) cos nπ = =1 q′(nπ ) sin nπ

(2) Funcţia f ( z ) =

1

z ( e z − 1)

( n = 0, ± 1, ± 2, ⋅⋅⋅) .

are un pol de ordinul al doilea în

origine.

(

)

În acest caz, p( z ) = 1 , q( z ) = z e z − 1 , q (0) = 0 , q′(0) = 0,

q′′(0) = 2, q′′′(0) = 3 .

140

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Reziduul funcţiei în acest pol este

Rez ( f ;0) = 2

p′(0) 2 p (0)q′′′(0) 1 − =− . 2 q′′(0) 3 [ q′′(0) ] 2

Calculul unor integrale complexe Prezentăm acum câteva aplicaţii ale teoremei reziduului la calculul unor integrale complexe. 1. Calculăm integrala

1

∫ z( z − 3) dz , unde C este un

contur

C

simplu închis oarecare. Funcţia f ( z ) =

1 are doi poli simpli z1 = 0 şi z2 = 3 . z ( z − 3)

Reziduul funcţiei f în z1 = 0 este lim zf ( z ) = lim z →0

z →0

1 1 =− , z−3 3

1 1 = . z →3 z 3

iar reziduul în z2 = 3 este lim( z − 3) f ( z ) = lim z →3

Analizăm toate cazurile posibile. Dacă z1 = 0 este interior şi z2 = 3 este exterior conturului C , atunci

∫

C

1 2π ⎛ 1⎞ dz = 2π i ⎜ − ⎟ = − i. 3 z ( z − 3) ⎝ 3⎠

Dacă z1 = 0 este exterior şi z2 = 3 este interior conturului C , atunci

∫

C

1 1 2π dz = 2π i ⋅ = i. z ( z − 3) 3 3

Dumitru D. DRĂGHIA

141

Dacă amândoi polii sunt interiori conturului C , atunci

Rez ( f ; z1 ) = −

1 1 şi Rez ( f ; z2 ) = . 3 3

Deci,

∫

C

1 ⎛ 1 1⎞ dz = 2π i ⎜ − + ⎟ = 0 . z ( z − 3) ⎝ 3 3⎠

2. Calculăm integrala

∫

z 4 − z 3 − 17 z + 2

( z − 1)

C

3

dz de-a lungul

unui contur simplu închis care conţine z0 = 1 în interior. Punctul z0 = 1 este un pol de ordinul 3 pentru funcţia

f ( z) =

z 4 − z 3 − 17 z + 2

( z − 1)

3

.

Atunci reziduul funcţiei f în pol z0 = 1 se calculează astfel:

a−1 =

1 ′′ 1 3 lim ⎡ ( z − 1) f ( z ) ⎤ = lim (12 z 2 − 6 z ) = 3 . ⎣ ⎦ → z 1 2! 2 z→1

Deci,

∫

C

z 4 − z 3 − 17 z + 2

( z − 1)

3

dz = 6π i.

142

ANALIZĂ COMPLEXĂ

Evaluarea unor integrale reale folosind teorema reziduului Reamintim că integrala improprie

∞

∫ f ( x ) dx este, prin definiţie, a

R

lim ∫ f ( x ) dx , dacă această limită există.

R →∞ a

Aplicăm teorema reziduului la evaluarea unor integrale reale. ∞

1.

Calculăm

1 dx . x +1 −∞

∫

2

Funcţia complexă f ( z ) =

1 are poli simpli în z1 = −i şi z +1 2

z2 = i .

Considerăm conturul C format din segmentul real [ − R, R ] , cu

R > 1 , urmat de semicercul z = R din semiplanul superior (i.e. z = R eiθ , cu 0 ≤ θ ≤ π ). Atunci, în interiorul lui C este numai polul z2 = i . Reziduul funcţiei în acest pol simplu este

lim( z − i ) f ( z ) = z →i

Deci,

∫z

C

R

2

dat

1 . 2i

1 1 dz = 2π i ⋅ = π . 2i +1 π

1 1 1 Avem ∫ 2 dx = ∫ 2 dz − ∫ 2 2iθ ⋅ Rieiθ dθ . x + z + R e + 1 1 1 C 0 −R

de

Dumitru D. DRĂGHIA

143

Observăm că π

∫R e

1

iθ

2 2 iθ

0

+1

⋅ Rie dθ

π

≤∫ 0

R 2 2 iθ

Re

π

≤∫ 0

=

+1

dθ ≤

R 2 2 iθ

Re

πR R2 −1

−1

dθ =

R →∞ ⎯⎯⎯ → 0.

Astfel rezultă că ∞

R

1 1 1 dx = lim ∫ 2 dz = π . ∫−∞ x 2 + 1 dx = Rlim →∞ ∫ x2 + 1 R→ ∞ z +1 −R C

2π

2. Calculăm

1

∫ a + b cosθ dθ , pentru a şi b , cu a > b . 0

Deoarece 0 ≤ θ ≤ 2π , putem considera cercul unitate z = 1 sau, echivalent, z = eiθ . Folosind definiţia funcţiei trigonometrice cos θ =

dz = iz dθ , e − iθ =

eiθ + e − iθ şi 2

z +1 z 1 z+z , obţinem cos θ = , sau cos θ = . 2 z 2

144

ANALIZĂ COMPLEXĂ 2π

Atunci

1

1 iz dz . a + ( b 2 )( z + 1 z ) z =1

∫ a + b cosθ dθ = ∫ 0

Funcţia

f ( z) =

1 iz 2 1 = ⋅ 2 a + ( b 2 )( z + 1 z ) i bz + 2az + b

are doi poli simpli:

z1 =

−a − a 2 − b2 −a + a 2 − b2 şi z2 = . b b

Polul z1 este în interiorul cercului unitate, iar polul z2 este în exteriorul cercului unitate. Avem

1 1 Rez ( f ; z1 ) = lim ( z − z1 ) f ( z ) = ⋅ . 2 z → z1 i a − b2 În fine, 2π

1

1 iz 2π dz = . 2 2 + + a b z z 2 1 ( )( ) − a b z =1

∫ a + b cosθ dθ = ∫ 0

Dumitru D. DRĂGHIA

145

BIBLIOGRAFIE

1. Ahlfors, Lars V.: Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1966. 2. Boboc, Nicu: Funcţii complexe, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969. 3. Conway, John B.: Functions of one Complex Variable, Springer Verlag, Berlin, 1973. 4. Churchill, Ruel V., Brown, James W., and Verhey, Roger F.: Functions of complex variables, McGraw-Hill, Inc., 1974. 5. Lang, Serge: Complex Analysis, Addison-Wesley, Reading, 1977. 6. Markusevici, A. I.: The Theory of Analytic Functions: A Brief Course, Mir Publisher, 1983. 7. Mayer, Octav: Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, Editura Academiei, Bucureşti, 1981. 8. Mocanu, Gheorghe: Introducere în teoria funcţiilor complexe, Editura Universităţii din Bucureşti, 1996. 9. Silverman,

Herb:

Complex

Variables,

Houghton

Mifflin

Company, Boston, 1975. 10. Stoka, Marius: Funcţii de variabilă reală şi funcţii de variabilă complexă, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964.