Complemente de Matematica [PDF]

Zitiervorschau

Nicolae Cotfas

Liviu-Adrian Cotfas

COMPLEMENTE ˘ DE MATEMATICA I

˘ ¸ II DIN BUCURES EDITURA UNIVERSITAT ¸ TI

Introducere Analiza complex˘ a, spat¸iile Hilbert, transformarea Fourier, ecuat¸iile diferent¸iale, polinoamele ortogonale ¸si funct¸iile speciale sunt elemente de baz˘ a ale aparatului matematic utilizat ˆın mecanica cuantic˘a ¸si fizica matematic˘ a. Prezenta lucrare ˆı¸si propune s˘ a ofere un acces cˆat mai facil la anumite not¸iuni matematice ¸si ˆın acela¸si timp, o familiarizare cu unele elemente ale formalismului matematic utilizat ˆın descrierea sistemelor cuantice. Paragrafele cont¸inˆ and subiecte mai avansate sunt marcate cu *. In partea a doua a lucrarii, aflat˘ a ˆın preg˘ atire, se vor prezenta not¸iuni ¸si rezultate din geometria diferent¸ial˘ a, teoria grupurilor ¸si a algebrelor Lie, teoria operatorilor ¸si referitoare la ecuat¸iile cu derivate part¸iale. Cartea se bazeaz˘ a pe cursurile predate de primul autor la Facultate de Fizic˘a, Universitatea din Bucure¸sti. Not¸iunile ¸si rezultatele teoretice au fost amplu ilustrate de al doilea autor prin inserarea unor exercit¸ii ¸si a unor aplicat¸ii bazate pe programul MATHEMATICA.

Bucure¸sti, 2012

Nicolae Cotfas Liviu-Adrian Cotfas

5

Cuprins 1 Elemente de analiz˘ a complex˘ a 1.1 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 S ¸ iruri de numere complexe . . . . . . . . . . 1.3 Functii complexe de variabil˘ a complex˘a . . 1.4 Integrala complex˘ a . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Serii Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Calculul integralelor cu ajutorul reziduurilor

. . . . . .

9 9 16 18 29 48 59

. . . . .

73 73 82 92 96 100

3 Tensori pe spat¸ii vectoriale finit-dimensionale 3.1 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Operat¸ii cu tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Exemple de tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 105 107 109

4 Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 4.1 Spat¸ii cu produs scalar . . . . . . . . 4.2 Baze ortonormate . . . . . . . . . . . 4.3 Dualul unui spat¸iu cu produs scalar 4.4 Sisteme de vectori coerent¸i . . . . .

113 113 116 121 126

2 Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale 2.1 Spat¸ii vectoriale . . . . . . . . . . . . 2.2 Transform˘ari liniare . . . . . . . . . 2.3 Dualul unui spat¸iu vectorial . . . . . 2.4 Sume de spat¸ii vectoriale . . . . . . . 2.5 Produs tensorial de spat¸ii vectoriale

7

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

8

CUPRINS

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adjunctul unui operator . . . . . . . . . . . . . . . . Transform˘ari unitare ¸si transform˘ari ortogonale . . . Transformarea Fourier finit˘ a. . . . . . . . . . . . . . Operatori autoadjunct¸i (hermitici) . . . . . . . . . . Produs tensorial de spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

5 Elemente de teoria distribut¸iilor 5.1 Distribut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Distribut¸ii temperate . . . . . . . . . . 5.3 Transformarea Fourier a funct¸iilor . . 5.4 Transformarea Fourier a distribut¸iilor 5.5 Aplicat¸ii ˆın mecanica cuantic˘a . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

128 134 137 142 146 150 154

. . . . .

163 163 182 188 195 203

6 Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare 225 6.1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3 Sisteme diferent¸iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7 Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate 7.1 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Funct¸ii Legendre asociate . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Polinoame Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Polinoame Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Polinoame de tip hipergeometric . . . . . . . . . . 7.6 Funct¸ii speciale asociate . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Ecuat¸ii Schr¨ odinger rezolvabile explicit . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

251 251 261 263 268 272 279 286

Capitolul 1

Elemente de analiz˘ a complex˘ a 1.1

Numere complexe

1.1.1 Mult¸imea numerelor complexe C = R + Ri = {z = x + yi | x, y ∈ R }.

considerat˘a ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare (x + yi) + (x′ + y ′ i) = (x + x′ ) + (y + y ′ )i ¸si de ˆınmult¸ire cu un num˘ ar real α(x + yi) = αx + αyi este spat¸iu vectorial real de dimensiune 2. Scrierea unui num˘ ar complex sub forma z = x + yi reprezint˘ a dezvoltarea lui ˆın raport cu baza {1, i}. Aplicat¸ia R2 −→ C : (x, y) 7→ x + yi

este un izomorfism care permite identificarea celor dou˘ a spat¸ii vectoriale ¸si conduce la o reprezentare geometric˘ a natural˘a a numerelor complexe ˆın plan (planul complex). 1.1.2 Relat¸ia i2 = −1 permite definirea unei operat¸ii suplimentare pe C (x + yi)(x′ + y ′ i) = (xx′ − yy ′ ) + (xy ′ + yx′ )i.

numit˘ a ˆınmult¸irea numerelor complexe. Mult¸imea C considerat˘a ˆımpreuna cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire a numerelor complexe este corp comutativ. In particular, fiecare num˘ ar complex nenul admite un invers 9

10

Complemente de Matematic˘a

(x + yi)−1 =

x − yi x y 1 = 2 = 2 − i. x + yi x + y2 x + y 2 x2 + y 2

Im z

|z|

z Re z

z¯ Figura 1.1: Conjugatul unui num˘ ar complex

1.1.3 Definit¸ie. Fie z = x + yi un num˘ ar complex. Num˘ arul Re z = x se nume¸ste partea real˘ a a lui z. Num˘ arul Im z = y se nume¸ste partea imaginar˘ a a lui z. Num˘ arul z¯ = x − yi se nume¸ste conjugatul lui z. Num˘ arul |z| =

p

x2 + y 2 se nume¸ste modulul lui z.

1.1.4 MATHEMATICA Re[x+y I], Im[x+y In[1]:=I 7→ Out[1]= ıi In[2]:=Sqrt[-4] 7→ Out[2]=2 ıi In[3]:=(3+2 I)^2 7→ Out[3]=5+12 ıi In[4]:=(3+2 I)/(5-I) 7→ Out[4]= 12 + 2ıi

I], Abs[x+y I], Conjugate[x+y I]

7 → In[6]:=Im[3+4 I] 7→ In[7]:=Abs[3+4 I] 7 → In[8]:=Conjugate[3+4 I] 7→ In[5]:=Re[3+4 I]

Out[5]=3 Out[6]=4 Out[7]=5 Out[8]=3−4 ıi.

1.1.5 Propozit¸ie. Relat¸iile z1 ± z2 = z¯1 ± z¯2

z1 z2 = z¯1 z¯2

(z n ) = (¯ z )n

|¯ z | = |z|

|z|2 = z z¯

(¯ z) = z

Re z =

z+¯ z 2

Im z =

z−¯ z 2i

z = Re z+i Im z.

au loc oricare ar fi numerele complexe z1 , z2 ¸si z. Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezult˘ a direct din definit¸ie (pag. 10-3). 1.1.6 Oricare ar fi ϕ ¸si ψ avem

11

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) +i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) = cos(ϕ+ψ) + i sin(ϕ+ψ). Utilizˆand notat¸ia lui Euler eit = cos t + i sin t relat¸ia anterioar˘ a devine eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ) . 1.1.7 Pentru orice num˘ ar nenul z = x+yi exist˘a arg z ∈ (−π, π] ˆıncˆ at

z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z)) = |z| ei argz .

z

y |z| arg z

x Figura 1.2: Modulul ¸si argumentul unui num˘ ar complex Num˘ arul arg z, numit argumentul principal al lui z = x+yi, este   arctg xy dac˘ a x>0  arg z =

                     

π + arctg

y x

dac˘ a x < 0, y > 0

−π + arctg

y x

dac˘ a x < 0, y < 0

π 2

dac˘ a x = 0, y > 0

π 2

dac˘ a x = 0, y < 0.

1.1.8 MATHEMATICA Arg[x+y I], N[Arg[x+y I]] In[1]:=Arg[-1] 7→ Out[1]=π In[3]:=Arg[2+3 I] 7→ In[4]:=N[Arg[2+3 I],9] 7→ In[2]:=Arg[I^15] 7→ Out[2]=− π2 1.1.9 Funct¸ia arg : C∗ −→ (−π, π]

Out[3]=ArcTan[ 32 ] Out[4]=0.982793723

12

Complemente de Matematic˘a

este discontinu˘ a pe semidreapta numerelor reale negative (−∞, 0) = { z | Re z < 0, Im z = 0 } deoarece pentru x ∈ (−∞, 0) avem lim arg(x + yi) = −π

yր0

¸si

lim arg(x + yi) = π.

yց0

z

|z|

|Im z|

|Re z| Figura 1.3: Relat¸ia ˆıntre |z|, |Re z| ¸si |Im z|. 1.1.10 Propozit¸ie. Oricare ar fi num˘ arul complex z = x + yi avem  |x|  ≤ |x+yi| ≤ |x| + |y| |y|  adic˘ a



|Re z| 

Demonstrat¸ie. Avem |x + yi| = iar relat¸ia

q

x2 + y 2 ≥

√

|Im z| 

x2 = |x|

≤ |z| ≤ |Re z| + |Im z|. q

x2 + y 2 ≥

|x + yi| =

q

y 2 = |y|

q

x2 + y 2 ≤ |x| + |y|

este echivalent˘ a cu relat¸ia evident adev˘arat˘ a x2 + y 2 ≤ (|x| + |y|)2 . 1.1.11 Propozit¸ie. Aplicat¸ia modul | | : C −→ R |z| = |x + yi| =

q

x2 + y 2

este o norm˘ a pe spat¸iul vectorial real C, iar d : C × C −→ R d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | = este distant¸a asociat˘ a.

q

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

13

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi num˘ arul complex z = x + yi avem |z| = ¸si

q

x2 + y 2 ≥ 0

|z| = 0 Dac˘a α este num˘ ar real atunci |αz| = |(αx) + (αy)i| =

⇐⇒

q

(αx)2

+

z = 0.

(αy)2

=

q

α2 (x2 + y 2 ) = |α| |z|.

Oricare ar fi numerele z1 = x1 + y1 i ¸si z2 = x2 + y2 i avem relat¸ia |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(¯ z1 + z¯2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 + z1 z¯2 + z¯1 z2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re (z1 z¯2 ) ≤ |z1 |2 + |z2 |2 + 2|Re (z1 z¯2 )| din care rezult˘ a c˘ a

≤ |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 z¯2 | = (|z1 | + |z2 |)2 |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.

1.1.12 Dac˘a consider˘am R2 ˆınzestrat cu norma uzual˘ a || || : R2 −→ R, atunci ||(x, y)|| = ceea ce arat˘ a c˘ a aplicat¸ia liniar˘ a

||(x, y)|| =

q

x2 + y 2

q

x2 + y 2 = |x + yi|

R2 −→ C : (x, y) 7→ x + yi

este un izomorfism de spat¸ii vectoriale normate care permite identificarea spat¸iilor normate (R2 , || ||) ¸si (C, | |). Dac˘a se are ˆın vedere doar structura de spat¸iu vectorial normat, spat¸iile (R2 , || ||) ¸si (C, | |) difer˘a doar prin notat¸iile utilizate. Distant¸a d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | =

q

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

dintre dou˘ a numere z1 = x1+y1 i ¸si z2 = x2+y2 i ˆın planul complex corespunde distant¸ei dintre punctele corespunz˘ atoare din planul euclidian (a se vedea Fig. 1.4 ) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =

q

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

14

Complemente de Matematic˘a

z2

y2

y1

z1 x1

x2

Figura 1.4: Distant¸a dintre dou˘ a puncte 1.1.13 In planul complex: |z1 − z2 | = distant¸a ˆıntre z1 ¸si z2 . |z| = |z − 0| = distant¸a ˆıntre z ¸si origine. Fie a ∈ C fixat ¸si r > 0. Mult¸imea Br (a) = { z | |z−a| < r } se nume¸ste discul (deschis) de centru a ¸si raz˘ a r (a se vedea Fig. 1.5 ).

a

Br (a) r

Figura 1.5: Discul de centru a ¸si raz˘ ar 1.1.14 Definit¸ie. Spunem c˘ a o mult¸ime M ⊂ C este m˘ arginit˘ a dac˘ a exist˘a a ∈ C ¸si r > 0 astfel ˆıncˆ at M ⊆ Br (a). 1.1.15 Exercit¸iu. Mult¸imea M este m˘ arginit˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at |z| ≤ r, oricare ar fi z ∈ M . 1.1.16 Definit¸ie. O mult¸ime D ⊆ C este numit˘ a mult¸ime deschis˘ a dac˘ a oricare ar fi a ∈ D exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at Br (a) ⊂ D. Spunem c˘a despre o mult¸ime F ⊆ C c˘a este ˆınchis˘ a dac˘ a mult¸imea C−F este deschis˘ a.

15

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

M

Br (a) r

Figura 1.6: Mult¸ime m˘ arginit˘ a.

a

Br (a)

D

Figura 1.7: Mult¸ime deschis˘ a. 1.1.17 Exemple. a) Discul B1 (0) este mult¸ime deschis˘ a. b) Semiplanul { z | Im z > 0 } este mult¸ime deschis˘ a. c) Orice mult¸ime finit˘ a F ⊆ C este o mult¸ime ˆınchis˘ a. d) Semiplanul { z | Re z ≥ 0 } este mult¸ime ˆınchis˘ a. 1.1.18 Definit¸ie. O mult¸ime K ⊆ C este numit˘ a mult¸ime compact˘ a dac˘ a este ˆınchis˘ a ¸si m˘ arginit˘ a. 1.1.19 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a relat¸iile a) |z1 z2 | = |z1 | |z2 | b)

| |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 |

c)

|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + 2 |z2 |2

au loc oricare ar fi numerele complexe z1 ¸si z2 . Rezolvare. a) Avem

(x1 x2 − y1 y2 )2 + (x1 y2 + x2 y1 )2 = (x21 + y12 )(x22 + y22 ).

16

Complemente de Matematic˘a

b) Din |z1 | = |z1 − z2 + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 |,

|z2 | = |z2 − z1 + z1 | ≤ |z2 − z1 | + |z1 |

rezult˘ a relat¸ia

−|z1 − z2 | ≤ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |

echivalent˘ a cu

c) Prin calcul direct obt¸inem

| |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 |.

|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(¯ z1 + z¯2 ) + (z1 − z2 )(¯ z1 − z¯2 ) = 2 |z1 |2 + 2 |z2 |2 .

1.2

S ¸ iruri de numere complexe

1.2.1 Definit¸ie. Spunem c˘ a ¸sirul (zn )n≥0 este convergent la a ¸si scriem lim zn = a

n→∞

dac˘ a lim |zn − a| = 0.

n→∞

1.2.2 Din relat¸ia



|xn − α| 

rezult˘ a c˘ a

|yn − β| 

≤ |(xn + yn i) − (α + βi)| ≤ |xn − α| + |yn − β|

lim (xn + yn i) = α + βi

n→∞

⇐⇒

  limn→∞ xn = α

 lim n→∞ yn = β.

adic˘ a ¸sirul de numere complexe (zn )n≥0 este convergent dac˘ a ¸si numai dac˘ a ¸sirurile de numere reale (Re zn )n≥0 ¸si (Im zn )n≥0 sunt convergente ¸si lim zn = lim Re zn + i lim Im zn .

n→∞

n→∞

n→∞

1.2.3 Exemplu. lim

n→∞





n 1 +i 1+ n+1 n

n 



1 n + i lim 1 + = lim n→∞ n→∞ n + 1 n

n

= 1 + e i.

17

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.2.4 MATHEMATICA: Lim[z[n],n->Infinity] 7→ 7→ In[3]:=Lim[n/(n+1)+I (1+1/n)^n,n->Infinity] 7→

In[1]:=Lim[n/(n+1),n->Infinity]

Out[1]=1

In[2]:=Lim[(1+1/n)^n,n->Infinity]

Out[2]=e

z2 z1

Out[3]=1+ıie

z3 a r

z0

Figura 1.8: S¸ir m˘ arginit convergent.

1.2.5 Definit¸ie. Un ¸sir (zn )n≥0 este m˘ arginit dac˘ a exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at |zn | ≤ r, 1.2.6 Din relat¸ia



|xn | 

|yn | 

oricare ar fi n ≥ 0.

≤ |xn + yn i| ≤ |xn | + |yn |

rezult˘ a c˘ a ¸sirul de numere complexe (zn )n≥0 este m˘ arginit dac˘ a ¸si numai dac˘ a ¸sirurile de numere reale (Re zn )n≥0 ¸si (Im zn )n≥0 sunt m˘ arginite. 1.2.7 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a a)

|z| < 1

=⇒

b)

|z| < 1

=⇒

|z| < 1

=⇒

c) Rezolvare. Avem

lim z n = 0

n→∞ ∞ P

n=0 1 1−z

zn =

1 1−z

= 1+z+z 2 +z 3 +· · ·

18

Complemente de Matematic˘a

lim |z n − 0| = lim |z|n = 0

n→∞ ∞ P

n→∞

z n = lim

k→∞ n=0

n=0 1 1−z

k P

=

∞ P

n=0

1−z k+1 k→∞ 1−z

z n = lim

=

1 1−z

z n = 1+z+z 2 +z 3 +· · ·

|z| > 1 |z| < 1

1

Figura 1.9: Mult¸imea numerelor z cu proprietatea |z| < 1. 1.2.8 Definit¸ie. Spunem c˘ a ¸sirul de numere complexe (zn )n≥0 are limita infinit˘ a lim zn = ∞

n→∞

dac˘ a lim |zn | = ∞.

n→∞

1.2.9 Dac˘a |z| > 1 atunci lim z n = ∞. n→∞

1.3

Functii complexe de variabil˘ a complex˘ a

1.3.1 Prin funct¸ie complex˘ a se ˆınt¸elege orice funct¸ie cu valori complexe. 1.3.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a funct¸ia real˘ a de variabil˘ a real˘ a f : (a, b) −→ R

este derivabil˘ a ˆın punctul x0 ∈ (a, b) dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘ a limita f (x) − f (x ) 0 f ′ (x0 ) = lim x→x0 x − x0 numit˘ a derivata funct¸iei f ˆın punctul x0 .

19

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.3.3 Derivatele unor funct¸ii reale de variabil˘ a real˘ a Funct¸ia f : R −→ R f : R −→ R f : (0, ∞) −→ R f : R∗ −→ R f : [0, ∞) −→ R f : [0, ∞) −→ R f : R −→ R f : (0, ∞) −→ R f : R −→ R f : R −→ R f : R −→ R f : R −→ R
f: R − π2 + Zπ → R f : R − Zπ −→ R f : [−1, 1] −→ R f : [−1, 1] −→ R f : R −→ R f : R −→ R f : R −→ R f : R −→ R

f (x) = c f (x) = xn f (x) = xα f (x) = x1 √ f (x) = x √ f (x) = n x √ f (x) = n x f (x) = ln x f (x) = ax f (x) = ex f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = tg x f (x) = ctg x f (x)=arcsin x f (x)=arccos x f (x) = arctgx f (x)=arcctgx f (x) = sh x f (x) = ch x

Derivata f ′ (x) = 0 f ′ (x) = nxn−1 f ′ (x) = αxα−1 f ′ (x) = − x12 f ′ (x) = 2√1 x 1 f ′ (x) = √ n n xn−1 1 f ′ (x) = √ n n xn−1 f ′ (x) = x1 f ′ (x) = ax ln a f ′ (x) = ex f ′ (x) = cos x f ′ (x) = − sin x f ′ (x) = cos12 x f ′ (x) = − sin12 x 1 f ′ (x) = √1−x 2 1 f ′ (x) = − √1−x 2 1 f ′ (x) = 1+x 2 1 f ′ (x) = − 1+x 2 ′ f (x) = ch x f ′ (x) = sh x

Domeniul R R

n ∈ N∗ α∈R

(0, ∞) R∗

(0, ∞) (0, ∞)

n ∈ 2N∗ n∈2N+1

R∗

(0, ∞) R R R R

R − π2 + Zπ R − Zπ

(−1, 1) (−1, 1)

Condit¸ii

0 < a 6= 1




R R R R

1.3.4 Definit¸ia anterioar˘ a nu poate fi extins˘a direct la funct¸iile de dou˘ a variabile f : D ⊆ R2 −→ R deoarece relat¸ia f ′ (x0 , y0 ) =

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) − f (x0 , y0 ) (x, y) − (x0 , y0 )

este f˘ar˘ a sens, ˆımp˘ art¸irea cu vectorul (x−x0 , y−y0 ) = (x, y)−(x0 , y0 ) nefiind definit˘a. Posibilitatea ˆımp˘ art¸irii cu un num˘ ar complex nenul permite ˆıns˘ a definirea derivabilit˘ a¸tii unei funct¸ii de variabil˘ a complex˘a urmˆand direct analogia cu cazul real. 1.3.5 Definit¸ie. Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a. Spunem c˘a funct¸ia complex˘a f : D −→ C

20

Complemente de Matematic˘a

este C-derivabil˘ a (sau olomorf˘ a) ˆın punctul z0 ∈ D dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘ a limita f (z) − f (z0 ) f ′ (z0 ) = lim z→z0 z − z0

numit˘ a derivata funct¸iei f ˆın punctul z0 . In loc de f ′ (z0 ) scriem uneori

df dz (z0 ).

1.3.6 Exemplu. Funct¸ia f (z) = z 3

f : C −→ C,

este C-derivabil˘ a ˆın orice punct z0 ∈ C z 3 − z03 = lim (z 2 + z0 z + z02 ) = 3z02 f ′ (z0 ) = lim z→z0 z→z0 z − z0 ′ 2 ¸si f (z) = 3z , adic˘ a avem (z 3 )′ = 3z 2 .

1+ n n+1

1 n+1

i

1

Figura 1.10: Funct¸ia f (z) = z¯ nu este C-derivabil˘ a ˆın z0 = 1. 1.3.7 Funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z¯

nu este C-derivabil˘ a ˆın z0 = 1 deoarece limita z¯ − 1 lim z→1 z − 1 n cu limn→∞ zn = 1 obt¸inem nu exist˘a. Alegˆand ¸sirul zn = n+1 z¯n − 1 lim =1 n→∞ zn − 1 dar alegˆ and ¸sirul zn = 1 +

1 n+1 i

cu limn→∞ zn = 1 obt¸inem z¯n − 1 = −1. lim n→∞ zn − 1

21

Elemente de analiz˘ a complex˘ a 1.3.8 Bazˆandu-ne pe identificarea lui C cu R2 C −→ R2 : x + yi 7→ (x, y)

putem descrie orice funct¸ie complex˘a de o variabil˘ a complex˘a f : D −→ C cu ajutorul a dou˘ a funct¸ii reale de cˆate dou˘ a variabile reale f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i unde u = Re f : D −→ R

este partea real˘ a a lui f

v = Im f : D −→ R

este partea imaginar˘a a lui f.

1.3.9 Exemple. a) In cazul funct¸iei f : C −→ C,

f (z) = z¯

avem f (x + yi) = x − yi adic˘ a u(x, y) = x,

v(x, y) = −y.

b) In cazul funct¸iei f : C −→ C,

f (z) = z 2

avem f (x + yi) = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi ¸si prin urmare u(x, y) = x2 − y 2 ,

v(x, y) = 2xy.

1.3.10 Conform definit¸iei, funct¸ia f : D −→ C,

f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i

este C-derivabil˘ a ˆın z0 = x0 + y0 i dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘ a limita f (z) − f (z0 ) lim . z→z0 z − z0 Pentru ca

22

Complemente de Matematic˘a

lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) = α + βi z − z0

este necesar ca f (z0 + ti) − f (z0 ) f (z0 + t) − f (z0 ) = α + βi, lim = α + βi lim t→0 t→0 t ti adic˘ a s˘ a aib˘ a loc relat¸iile v(x0 + t, y0 ) − v(x0 , y0 ) u(x0 + t, y0 ) − u(x0 , y0 ) + lim i = α + βi lim t→0 t→0 t t v(x0 , y0 + t) − v(x0 , y0 ) u(x0 , y0 + t) − u(x0 , y0 ) + lim i = α + βi lim t→0 t→0 ti ti echivalente cu ∂u ∂v ∂v ∂u (x0 , y0 ) = α = (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) = β = − (x0 , y0 ). ∂x ∂y ∂x ∂y In particular, dac˘ a f este C-derivabil˘ a ˆın z0 = x0 +y0 i atunci ∂v ∂u (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) i. f ′ (x0 + y0 i) = ∂x ∂x 1.3.11 Teorem˘ a (Cauchy-Riemann) Funct¸ia f : D −→ C,

f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i

definit˘ a pe mult¸imea deschis˘ a D ⊆ C este C-derivabil˘ a ˆın punctul z0 = x0 +y0 i ∈ D dac˘ a ¸si numai dac˘ a funct¸iile reale u : D −→ R,

v : D −→ R

sunt R-diferent¸iabile ˆın (x0 , y0 ) ¸si verific˘ a relat¸iile Cauchy-Riemann ∂u ∂v ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ). ∂x ∂y ∂y ∂x In aceste condit¸ii ∂v ∂u (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) i. f ′ (x0 + y0 i) = ∂x ∂x Demonstrat¸ie. A se vedea [11]. 1.3.12 Definit¸ie. Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a. Spunem c˘a funct¸ia f : D −→ C este C-derivabil˘ a (sau olomorf˘ a) dac˘ a este C-derivabil˘ a ˆın orice punct din D.

23

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.3.13 Exercit¸iu. S˘ a se arate ca funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z 2

este olomorf˘ a ¸si s˘ a se determine f ′ (z). Rezolvare. Utiliz˘am teorema Cauchy-Riemann. Avem f (x + yi) = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi ¸si prin urmare u(x, y) = x2 − y 2 ,

v(x, y) = 2xy.

Funct¸iile u ¸si v sunt R-diferent¸iabile ˆın orice punct ¸si ∂u ∂v ∂u ∂v (x, y) = 2x = (x, y), (x, y) = −2y = − (x, y). ∂x ∂y ∂y ∂x Derivata lui f este ∂v ∂u (x, y) + (x, y) i = 2x + 2yi f ′ (x + yi) = ∂x ∂x ′ adic˘ a, f (z) = 2z. 1.3.14 Exercit¸iu. S˘ a se arate ca funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z¯

nu este C-derivabil˘ a ˆın niciun punct. Rezolvare. Utiliz˘am teorema Cauchy-Riemann. Avem f (x + yi) = x − yi adic˘ a u(x, y) = x,

v(x, y) = −y.

In acest caz relat¸iile Cauchy-Riemann nu sunt verificate ˆın niciun punct deoarece ∂u ∂v (x, y) = 1, (x, y) = −1. ∂x ∂y 1.3.15 Definit¸ie. Funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = ez

unde ex+yi = ex eyi = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + i ex sin y este numit˘ a funct¸ia exponent¸ial˘ a (complex˘a).

24

Complemente de Matematic˘a

1.3.16 MATHEMATICA: Exp[x+y\, I], N[Exp[x+y\, I]] In[1]:=Exp[x+y I] 7→ Out[1]=ex+ıiy In[2]:=ComplexExpand[Exp[x+y I]] 7→ Out[2]=ex Cos[y]+ıi ex Sin[y] In[3]:=Exp[2+3 I] 7→ Out[3]=e2+3 ıi In[4]:=N[Exp[2+3 I]] 7→ Out[4]=−7.31511+1.04274 ıi In[5]:=N[Exp[2+3 I],15] 7→ Out[5]=−7.31511009490110+1.04274365623590 ıi 1.3.17 Funct¸ia exponent¸ial˘ a este o funct¸ie periodic˘ a cu perioada 2πi ez+2πi = ez ¸si ez1 +z2 = ez1 ez2 oricare ar fi z1 , z2 ∈ C. 1.3.18 Exercit¸iu. S˘ a se arate ca funct¸ia exponent¸ial˘a f : C −→ C,

f (z) = ez

este olomorf˘ a ¸si (ez )′ = ez . Rezolvare. Utiliz˘am teorema Cauchy-Riemann. Din relat¸ia f (x + yi) = ex cos y + i ex sin y rezult˘ a c˘ a u(x, y) = ex cos y ¸si v(x, y) = ex sin y. Funct¸iile reale u ¸si v sunt R-diferent¸iabile ˆın orice punct ¸si ∂v ∂u ∂v ∂u (x, y) = ex cos y = (x, y), (x, y) = −ex sin y = − (x, y). ∂x ∂y ∂y ∂x Derivata lui f este ∂u ∂v f ′ (z) = f ′ (x + yi) = (x, y) + (x, y) i = ex cos y + i ex sin y = ez . ∂x ∂x 1.3.19 Exercit¸iu. S˘ a se determine funct¸ia olomorf˘a f : C −→ C care ˆındepline¸ste condit¸iile Im f (x, y) = 2xy + y,

Rezolvare. C˘ autˆ and funct¸ia f de forma

f (i) = i.

25

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

f (x + yi) = u(x, y) + (2xy + y)i din teorema Cauchy-Riemann deducem relat¸iile ∂u ∂u (x, y) = 2x + 1, (x, y) = −2y ∂x ∂y din care rezult˘ a c˘ a u(x, y) = x2 − y 2 + x + c, unde c este o constant˘a. Impunˆ and condit¸ia suplimentar˘ a f (i) = i obt¸inem f (x + yi) = x2 − y 2 + x + 1 + (2xy + y)i = (x + yi)2 + (x + yi) + 1 adic˘ a f (z) = z 2 + z + 1. 1.3.20 a) Dac˘a funct¸iile f, g : D −→ C sunt olomorfe atunci (αf ± βg)′ = α f ′ ± β g′

(f g)′ = f ′ g + f g′

oricare ar fi α, β ∈ C. Dac˘a ˆın plus g(z) 6= 0, oricare ar fi z ∈ D, atunci  ′ f ′g − f g′ f . = g g2 f

g

b) Dac˘a funct¸iile D −→ C −→ C sunt olomorfe atunci d (g(f (z)) = g ′ (f (z)) f ′ (z). dz 1.3.21 MATHEMATICA D[f[z],z] In[1]:=D[a f[z]+b g[z],z] In[2]:=D[f[z] g[z],z] In[3]:=D[f[z]/g[z],z] In[4]:=D[g[f[z]],z]

7 → 7→ 7→ 7 →

Out[1]=a f ′ [z]+b g′ [z] Out[2]=f ′ [z] g[z]+f[z] g′ [z] f ′ [z]

f[z] g′ [z] g[z]2 Out[4]=g ′ [f [z]] f ′ [z]

Out[3]= g[z] −

1.3.22 Exercit¸iu. Funct¸iile complexe cos : C −→ C,

cos z =

eiz +e−iz 2

sin : C −→ C,

sin z =

eiz −e−iz 2i

ch : C −→ C,

ch z =

ez +e−z 2

sh : C −→ C,

sh z =

ez −e−z 2

sunt olomorfe ¸si

26

Complemente de Matematic˘a

(cos z)′ = − sin z

(sin z)′ = cos z

(ch z)′ = sh z

(sh z)′ = ch z.

Rezolvare. Calcul direct. 1.3.23 MATHEMATICA D[f[z],z] In[1]:=D[z^n,z] 7→ Out[1]=n z−1+n In[2]:=D[Cos[z],z] 7→ Out[2]=−Sin[z] In[3]:=D[Cosh[z],z] 7→ Out[3]=Sinh[z]

7→ In[5]:=D[Sin[z],z] 7→ In[6]:=D[Sinh[z],z] 7→

In[4]:=D[Exp[z],z]

Out[4]=ez Out[5]=Cos[z] Out[6]=Cosh[z]

1.3.24 MATHEMATICA Figura 1.11 s-a obt¸inut utilizˆ and In[1]:=Plot[{Exp[x], x, Log[x]}, {x, -3, 3}, PlotStyle -> {Red, Dashed, Thick}, AspectRatio -> Automatic]

6

4

2

-3

-2

1

-1

2

3

-2

-4

Figura 1.11: Funct¸ia logaritm natural ln este inversa funct¸iei exponent¸iale ex . 1.3.25 Funct¸ia exponent¸ial˘ a real˘ a R −→ (0, ∞) : x 7→ ex

este bijectiv˘ a. Inversa ei este funct¸ia logaritm natural (0, ∞) −→ R : x 7→ ln x.

27

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

Avem x = eln x oricare ar fi x ∈ (0, ∞). In cazul complex, putem obt¸ine o relat¸ie oarecum similar˘a z = |z| ei arg z = eln |z| ei arg z = eln |z|+i(arg z+2kπ) adev˘arat˘ a oricare ar fi k ∈ Z. C0

|z|

log

z

log z

π arg z

arg z ln |z| −π

Figura 1.12: Ramura principal˘a log z = ln |z|+i arg z. 1.3.26 Definit¸ie. Fie mult¸imea C0 = C −{ z | Im z = 0, Re z ≤ 0 }

obt¸inut˘ a eliminˆ and din C “t˘ aietura” { z | Im z = 0, Re z ≤ 0} care une¸ste 0 cu ∞. Funct¸iile continue logk : C0 −→ C,

logk z = ln |z| + i(arg z + 2kπ)

depinzˆand de parametrul k ∈ Z sunt numite ramuri uniforme ale funct¸iei logaritmice. Pentru ramura principal˘ a log0 se utilizeaz˘ a notat¸ia log, adic˘ a log : C0 −→ C,

log z = ln |z| + i arg z.

1.3.27 MATHEMATICA ComplexExpand[Log[x+I y]] In[1]:=ComplexExpand[Log[x+I y]] 7→ Out[1]=ıi Arg[x+ıiy]+ 21 Log[x2 +y2 ] In[2]:=ComplexExpand[Log[1+I]] 7→ Out[2]= ıi4π + Log[2] 2 In[3]:=N[ComplexExpand[Log[1+I]]] 7→ Out[3]=0.346574+0.785398 ıi In[4]:=N[ComplexExpand[Log[1+I]],10] 7→ Out[4]=0.3465735903+0.7853981634 ıi 1.3.28 Deoarece, la nivelul taieturii { z | Im z = 0, Re z ≤ 0} avem lim log(−2 + ti) = ln 2 − iπ

tր0

¸si

lim log(−2 + ti) = ln 2 + iπ

tց0

funct¸ia log nu poate fi prelungit˘a prin continuitate ˆın punctele t˘aieturii.

28

Complemente de Matematic˘a

1.3.29 MATHEMATICA Limit[Log[-2 + t I], t -> 0, Direction -> 1] In[1]:=Limit[Log[-2 + t I], t -> 0, Direction -> 1] 7→ Out[1]=−ıi π+Log[2] In[2]:=Limit[Log[-2 + t I], t -> 0, Direction -> -1] 7→ Out[2]=ıi π+Log[2] Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a 1 . z Rezolvare. Notˆand f (z) = logk z = u(x, y)+i v(x, y) obt¸inem (logk z)′ =

∂u ∂x (x, y)

=

x x2 +y 2

=

∂u ∂y (x, y)

∂v ∂y (x, y),

=

y x2 +y 2

∂v (x, y) = − ∂x

¸si prin urmare f ′ (x + yi) =

∂u ∂x (x, y)

∂v + i ∂x (x, y) =

x−yi x2 +y 2

=

1 x+yi .

1.3.30 Ramurile uniforme ale funct¸iei putere z α cu exponent complex α sunt C0 −→ C : z 7→ z α = eα logk z .

In cazul α = n1 cu n ∈ N∗ exist˘a doar n ramuri uniforme distincte 1

1

C0 −→ C : z 7→ z n = e n logk z =

q n

i

|z| e n (arg z+2kπ)

de exemplu, cele corespunz˘ atoare lui k ∈ {0, 1, ..., n−1}. 1.3.31 MATHEMATICA ComplexExpand[Sqrt[x+I y]] In[1]:=ComplexExpand[Sqrt[x+I y]]

7→

Out[1]=(x2 +y2 )1/4 Cos[ 21 Arg[x+ıiy]]+ıi(x2 +y2 )1/4 Sin[ 21 Arg[x+ıiy]]

7→

In[2]:=ComplexExpand[Sqrt[1+I]]

In[3]:=N[ComplexExpand[Sqrt[1+I]],10]

Out[2]=21/2 Cos[ π8 ]+ıi 21/2 Sin[ π8 ]

7→

Out[3]=1.098684113+0.4550898606 ıi

In[4]:=Limit[Sqrt[-1 + I x], x -> 0, Direction -> 1] In[5]:=Limit[Sqrt[-1 + I x], x -> 0, Direction -> -1]

7→ 7→

Out[4]=−ıi Out[5]=ıi

1.3.32 MATHEMATICA ComplexExpand[(x + I y)^(1/n)] In[1]:=ComplexExpand[(x + I y)^(1/3)]

7→

1

Out[1]=(x2 +y2 ) 2n Cos

 Arg[x+ıiy]  n

1

1.3.33 Exercit¸iu. S˘ a se descrie ramura uniform˘ a a funct¸iei r z 1 i 5π f (z) = 3 e 12 . cu f (1) = √ 6 i−z 2 Rezolvare. Pentru ca

 Arg[x+ıiy] 

+ıi(x2 +y2 ) 2n Sin

n

29

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

z r2 θ2

i

r1 0

θ1 1

Figura 1.13: Relat¸ia z = r1 eiθ1 = i+r2 eiθ2 .

z ∈ C0 i−z este necesar ¸si suficient ca z s˘ a apart¸in˘ a domeniului D = C\[0, i] = C\{ z | Re z = 0, 0 ≤ Im z ≤ 1 } obt¸inut eliminˆ and din C “t˘ aietura” [0, i]. Notˆand z = r1 eiθ1 = i+r2 eiθ2 deducem c˘ a i−z = −r2 eiθ2 = r2 ei(θ2 +π) ¸si f (z) =

r 3

√ π Din 1 = ei0 = i+ 2 e−i 4 rezult˘ a k = 1 ¸si prin urmare f (z) =

1.4

r1 i θ1 −θ2 −π+2kπ 3 e . r2

r 3

r1 i θ1 −θ2 +π 3 . e r2

Integrala complex˘ a

1.4.1 Propozit¸ie. Fie D ⊆ C. Aplicat¸ia γ : [a, b] −→ D,

γ(t) = ϕ(t) + ψ(t) i

este continu˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a aplicat¸iile reale ϕ = Re γ : [a, b] −→ R, sunt continue.

ψ = Im γ : [a, b] −→ R

30

Complemente de Matematic˘a

Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din relat¸ia  |ϕ(t) − ϕ(t0 )|  ≤ |γ(t) − γ(t0 )| ≤ |ϕ(t) − ϕ(t0 )| + |ψ(t) − ψ(t0 )|. |ψ(t) − ψ(t0 )|  γ

ψ(t)

γ(t) D

at

b

φ(t)

Figura 1.14: Drum de clas˘ a C 1 ˆın D. 1.4.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a aplicat¸ia γ : (a, b) −→ D este derivabil˘ a ˆın punctul t0 ∈ (a, b) dac˘ a exist˘a ¸si este finit˘ a limita γ(t) − γ(t ) 0 γ ′ (t0 ) = lim . t→t0 t − t0 Spunem c˘ a γ este aplicat¸ie derivabil˘ a dac˘ a este derivabil˘ a ˆın orice punct. 1.4.3 In cazul unei aplicat¸ii γ : [a, b] −→ D

prin γ ′ (a) ¸si γ ′ (b) vom ˆınt¸elege derivatele laterale γ(t) − γ(a) γ(t) − γ(b) γ ′ (a) = lim , γ ′ (b) = lim . tցa tրb t−a t−b 1.4.4 Propozit¸ie. Aplicat¸ia γ : [a, b] −→ D,

γ(t) = ϕ(t) + ψ(t) i

este derivabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a aplicat¸iile reale ϕ = Re γ : [a, b] −→ R, sunt derivabile ¸si

ψ = Im γ : [a, b] −→ R

31

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

γ ′ (t) = ϕ′ (t) + ψ ′ (t) i. Demonstrat¸ie. Avem γ ′ (t0 ) = lim

t→t0

ϕ(t) − ϕ(t0 ) ψ(t) − ψ(t0 ) γ(t) − γ(t0 ) = lim + lim i. t→t0 t→t0 t − t0 t − t0 t − t0

1.4.5 Definit¸ie. Fie D ⊆ C. Un drum de clas˘ a C 1 ˆın D este o aplicat¸ie derivabil˘ a γ : [a, b] −→ D

cu derivata γ ′ : [a, b] −→ C continu˘ a. 1.4.6 Exemple. a) Oricare ar fi z ∈ C aplicat¸ia constant˘a γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = z

este drum de clas˘ a C 1 ˆın C (numit drum punctual). b) Oricare ar fi numerele complexe z1 ¸si z2 aplicat¸ia γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = (1 − t) z1 + t z2

este drum de clas˘ a C 1 ˆın C (drumul liniar ce leag˘a z1 cu z2 ). c) Oricare ar fi z0 = x0 + y0 i ∈ C ¸si r > 0 aplicat¸ia γ : [0, 2π] −→ C,

γ(t) = z0 + reit = x0 + r cos t + (y0 + r sin t)i

este drum de clas˘ a C 1 ˆın C (numit drum circular de raz˘ a r ¸si centru z0 ).

γ

ψ(t)

f γ(t) D

at

b

φ(t)

Figura 1.15: Integrala complex˘a.

C

32

Complemente de Matematic˘a

1.4.7 Definit¸ie. Fie f : D −→ C o funct¸ie continu˘ a ¸si γ : [a, b] −→ D un drum 1 de clas˘ a C ˆın D. Prin integrala complex˘ a a funct¸iei f de-a lungul drumului γ (a se vedea Figura 1.16) se ˆınt¸elege num˘ arul Z

f (z)dz =

Z

b

a

γ

γ

sin t

f (γ(t)) γ ′ (t) dt.

γ(t) 1 t cos t

0 t 2π

Figura 1.16: Drumul γ(t) = eit = cos t + i sin t. 1.4.8 Exercit¸iu. Fie funct¸ia f : C∗ −→ C,

f (z) =

unde C∗ = C −{0} ¸si drumul de clas˘ a C1 γ : [0, 2π] −→ C∗ ,

1 z

γ(t) = eit = cos t + i sin t.

S˘ a se calculeze

Z

f (z)dz.

γ

Rezolvare. Deoarece f (γ(t)) = Z

f (z)dz = γ

Z

2π

1 γ(t)

= e−it ¸si γ ′ (t) = ieit obt¸inem ′

f (γ(t)) γ (t) dt =

0

Z

0

2π

e−it i eit dt = 2πi.

1.4.9 In cazul unui drum punctual γ(t) = z avem γ ′ (t) = 0 ¸si prin urmare oricare ar fi funct¸ia f .

Z

f (z) dz = 0

γ

1.4.10 Dac˘a f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y)i ¸si γ(t) = ϕ(t) + ψ(t) i atunci R

γ

f (z)dz =

Rb

′ a [u(ϕ(t), ψ(t)) ϕ (t)

+i

Rb

− v(ϕ(t), ψ(t)) ψ ′ (t)] dt

a [u(ϕ(t), ψ(t)) ψ

′ (t) +

v(ϕ(t), ψ(t)) ϕ′ (t)] dt.

33

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

i

1 Figura 1.17: Drumul liniar ce leag˘a 1 cu i. 1.4.11 Exercit¸iu. Calculat¸i

Z

z¯ dz

γ

unde γ este drumul liniar ce leag˘a z1 = 1 cu z2 = i. Rezolvare. Deoarece γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = (1 − t)1 + ti

avem relat¸iile f (γ(t)) = γ(t) = 1 − t − ti ¸si γ ′ (t) = −1 + i din care rezult˘ a Z

z¯ dz = γ

Z

1

0

(1 − t − ti)(−1 + i)dt =

Z

1

(−1 + 2t)dt + i

0

Z

1

dt = i.

0

1.4.12 MATHEMATICA: Integrala pe un drum poligonal 7→ In[2]:=Integrate[1/z, {z, 1, I, -1, -I, 1}] 7→

In[1]:=Integrate[Conjugate[z], {z, 1, I}]

Out[1]=ıi Out[2]=2 ıi π

γ a χ a1 s

b b1

γ1

γ1 (s) = γ(χ(s))

D

Figura 1.18: Drumuri echivalente.

34

Complemente de Matematic˘a

1.4.13 Definit¸ie. Fie D ⊆ C o submult¸ime. Spunem c˘a drumurile de clas˘ a C1 γ : [a, b] −→ D

γ1 : [a1 , b1 ] −→ D

¸si

sunt echivalente dac˘ a exist˘a o aplicat¸ie bijectiv˘ a derivabil˘ a strict cresc˘ atoare χ : [a1 , b1 ] −→ [a, b] astfel ˆıncˆ at oricare ar fi s ∈ [a1 , b1 ].

γ1 (s) = γ(χ(s)),

1.4.14 Relat¸ia definit˘a este o relat¸ie de echivalent¸˘a care permite ˆımp˘ art¸irea mult¸imii drumurilor ˆın clase de echivalent¸˘ a. Fiecare clas˘ a de echivalent¸˘a corespunde unei curbe, elementele clasei fiind numite parametriz˘ ari ale curbei considerate. 1.4.15 Propozit¸ie. Dac˘ a f : D −→ C

este o funct¸ie continu˘ a ¸si dac˘ a drumurile de clas˘ a C1 γ : [a, b] −→ D, sunt echivalente atunci

Z

γ1 : [a1 , b1 ] −→ D

f (z) dz =

γ

Z

f (z) dz

γ1

adic˘ a valoarea integralei depinde de curba aleas˘ a ¸si nu de parametrizarea utilizat˘ a. Demonstrat¸ie. Folosind metoda schimb˘ arii de variabil˘ a obt¸inem R b1 R ′ γ1 f (z) dz = a1 f (γ1 (s)) γ1 (s) ds =

R b1 a1

f (γ(χ(s))) γ ′ (χ(s)) χ′ (s) ds =

1.4.16 Orice drum

Rb a

f (γ(t)) γ ′ (t) dt =

R

γ : [a, b] −→ D este echivalent cu un drum definit pe [0, 1] ¸si anume γ0 : [0, 1] −→ D,

γ0 (t) = γ((1 − t)a + tb).

1.4.17 Definit¸ie. Fie γ : [a, b] −→ D un drum de clas˘ a C 1 . Drumul γ˜ : [a, b] −→ D, se nume¸ste inversul drumului γ.

γ˜ (t) = γ(a + b − t)

γ

f (z) dz.

35

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.4.18 Propozit¸ie. Dac˘ a f : D −→ C este o funct¸ie continu˘ a ¸si γ : [a, b] −→ D

un drum de clas˘ a C 1 ˆın D atunci Z

γ ˜

f (z) dz = −

Z

f (z) dz.

γ

Demonstrat¸ie. Utilizˆand schimbarea de variabil˘ a s = a + b − t obt¸inem Rb Rb R ′ γ (t)) γ˜ (t) dt = − a f (γ(a + b − t)) γ ′ (a + b − t) dt γ ˜ f (z) dz = a f (˜ =

Ra b

f (γ(s)) γ ′ (s) ds = −

R

γ

f (z) dz.

1.4.19 Definit¸ie. Fie D ⊆ C. Prin drum de clas˘ a C 1 pe portiuni ˆın D se ˆınt¸elege o aplicat¸ie continu˘ a γ : [a, b] −→ D cu proprietatea c˘ a exist˘a o diviziune a = t0 < t1 < . . . < tn = b astfel ˆıncˆ at 1) restrict¸iile γ|(ti−1 ,ti ) sunt derivabile ¸si cu derivata continu˘ a 2) exist˘a ¸si sunt finite limitele lim γ ′ (t),

tցa

lim γ ′ (t),

lim γ ′ (t),

tցtj

tրtj

lim γ ′ (t) tցb

oricare ar fi j ∈ {1, 2, . . . , n − 1}. 1.4.20 Drumul considerat este format din drumurile de clas˘ a C1 γ1 : [t0 , t1 ] −→ D, γ1 = γ|[t0 ,t1 ] γ2 : [t1 , t2 ] −→ D,

γ2 = γ|[t1 ,t2 ]

................................................ γn : [tn−1 , tn ] −→ D, ¸si pentru orice funct¸ie continu˘ a

γn = γ|[tn−1 ,tn ]

f : D −→ C definim integrala complex˘ a a funct¸iei f de-a lungul drumului γ ca fiind Z

γ

f (z)dz =

n Z X

j=1 γj

f (z)dz =

n Z X

tj

j=1 tj−1

f (γ(t)) γ ′ (t) dt.

36

Complemente de Matematic˘a

Toate drumurile pe care le vom considera ˆın continuare vor fi drumuri de clas˘ a C1 pe port¸iuni ¸si le numim simplu drumuri.

i

0

−1

1

Figura 1.19: Drum de clas˘ a C 1 pe port¸iuni.

1.4.21 Exemplu. Aplicat¸ia (a se vedea Figura 1.19)

γ : [0, 2] −→ C,

γ(t) =

(

eπit

dac˘ a t ∈ [0, 1]

2t − 3 dac˘ a t ∈ (1, 2]

este drum de clas˘ a C 1 pe port¸iuni ˆın C ¸si pentru orice funct¸ie continu˘ a f : C −→ C avem Z

γ

f (z)dz =

Z

1 0

f (eπit ) πieπit dt +

Z

1

2

f (2t − 3) 2dt.

1.4.22 Primitivele unor funct¸ii reale de variabil˘ a real˘ a f : I →R (I este un interval inclus ˆın domeniul maxim de derivabilitate al primitivelor)

37

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

Funct¸ia f (x) = 1 f (x) = xn f (x) = xα f (x) = x1 f (x) = ex f (x) = ax f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = cos12 x f (x) = sin12 x f (x) = √a21−x2 f (x) = f (x) = f (x) =

√ 1 x2 −a2 √ 1 x2 +a2 1 2 a +x2 1 x2 −a2

f (x) = f (x) = sh x f (x) = ch x

Mult¸imea primitivelor R dx = x+C R n 1 x dx = n+1 xn+1 +C R α 1 x dx = α+1 xα+1 +C R 1 dx = ln |x|+C R xx e dx = ex +C R x a dx = ln1a ax +C R sin x dx = − cos x+C R cos x dx = sin x+C R 1 dx = tg x+C R cos12 x dx = −ctg x+C R sin21x √ dx = arcsin xa +C 2 2 √ R a1−x 2 −a2 +C √ x+ dx = ln x 2 2  √  R x 1−a 2 +a2 +C √ dx = ln x+ x R x21+a2 x 1 +C a2 +x2 dx = a arctg a R

x−a 1 1 2 2 dx = 2a ln x+a +C R x −a sh x dx = ch x+C R

ch x dx = sh x+C

Intervalul I ⊆R I ⊆R I ⊆ (0, ∞) I ⊆ R −{0} I ⊆R I ⊆R I ⊆R I ⊆R
I ⊆ R − π2 + Zπ I ⊆ R − Zπ I ⊆ (−a, a) I ⊆ R −[−a, a] I ⊆R I ⊆R

I ⊆ R −{±a} I ⊆R I ⊆R

Condit¸ii n∈N α ∈ R −{−1} 0 < a 6= 1

a 6= 0

a>0 a 6= 0 a 6= 0 a 6= 0

1.4.23 Definit¸ie. Spunem c˘ a funct¸ia

f : D −→ C definit˘a pe o mult¸ime deschis˘ a D admite primitiv˘ a ˆın D dac˘ a exist˘a g : D −→ C funct¸ie olomorf˘ a cu proprietatea g′ (z) = f (z),

oricare ar fi z ∈ D.

1.4.24 Exemple. a) Dac˘a k ∈ {0, 1, 2, . . .} atunci funct¸ia f : C −→ C, admite ˆın C primitiva g : C −→ C,

f (z) = z k = |z · z{z· · · z} k ori g(z) =

z k+1 k+1

38

Complemente de Matematic˘a

deoarece z k+1 k+1

!′

= zk ,

oricare ar fi z ∈ C.

b) Dac˘a k ∈ {2, 3, 4, . . .} atunci funct¸ia f : C∗ −→ C,

f (z) = z −k =

admite ˆın C∗ = C −{0} primitiva g : C∗ −→ C, deoarece z 1−k 1−k

!′

g(z) =

= z −k ,

1 zk

1 z 1−k =− 1−k (k − 1)z k−1 oricare ar fi z ∈ C∗ .

c) Funct¸ia exponent¸ial˘ a admite ˆın C primitiva deoarece

f : C −→ C,

f (z) = ez

g : C −→ C,

g(z) = ez

(ez )′ = ez ,

oricare ar fi z ∈ C.

d) Funct¸ia cos : C −→ C,

f (z) = cos z

admite ˆın C primitiva

g : C −→ C,

deoarece

(sin z)′ = cos z,

g(z) = sin z oricare ar fi z ∈ C.

e) Funct¸ia sin : C −→ C,

f (z) = sin z

admite ˆın C primitiva deoarece

g : C −→ C, (− cos z)′ = sin z,

g(z) = − cos z oricare ar fi z ∈ C.

39

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.4.25 Propozit¸ie. Dac˘ a funct¸ia continu˘ a f : D −→ C admite ˆın D o primitiv˘ a g : D −→ C ¸si dac˘ a γ : [a, b] −→ D este un drum cont¸inut ˆın D atunci Z

γ

γ(b)

f (z)dz = g(z)|γ(a) = g(γ(b)) − g(γ(a)).

Demonstrat¸ie. Utilizˆand formula de schimbare de variabil˘ a obt¸inem Rb Rb ′ R ′ ′ γ f (z)dz = a f (γ(t)) γ (t) dt = a g (γ(t)) γ (t) dt =

Rb

d a dt g(γ(t)) dt

z=γ(b)

= g(γ(t))|t=b t=a = g(z)|z=γ(a) .

1.4.26 Din propozit¸ia anterioar˘ a rezult˘ a c˘a ˆın cazul ˆın care funct¸ia f : D −→ C admite primitiv˘ a ˆın D, integrala pe un drum γ : [a, b] −→ D cont¸inut ˆın D depinde doar de capetele γ(a) ¸si γ(b) ale drumului. Dac˘a γ : [a, b] −→ D,

γ1 : [a, b] −→ D

sunt dou˘ a drumuri ˆın D astfel ˆıncˆ at γ(a) = γ1 (a) ¸si γ(b) = γ1 (b) atunci Z

f (z)dz = γ

Z

f (z)dz.

γ1

1.4.27 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze integralele Z Z Z Z 1 5 3 z z dz, dz, e dz, (2z 3 + 2 − ez ) dz 2 z z γ γ γ γ γ fiind un drum ˆın C∗ cu originea z1 = 1 ¸si extremitatea z2 = i (Figura 1.20). Rezolvare. Fie γ : [a, b] −→ C∗ un drum cu originea z1 = 1 ¸si extremitatea z2 = i, adic˘ a astfel ˆıncˆ at γ(a) = 1 ¸si γ(b) = i. Avem Z

z=γ(b)

z=i

z 4 i4 14 z 4 = = − z 3 dz = = 0, 4 z=γ(a) 4 z=1 4 4 γ

40

Complemente de Matematic˘a

i γ 1

Figura 1.20: Drumul γ cu originea 1 ¸si extremitatea i.

Z

Z

γ





1 z=i 1 1 z=γ(b) 1 = − = − + 1 = 1 + i, dz = − 2 z z z=γ(a) z z=1 i z=γ(b)

γ

i ez dz = ez |z=γ(a) = ez |z=i z=1 = e − e = cos 1 + i sin 1 − e,

R

3

γ (2z

+

5 z2

− ez ) dz = 2

R

γ

z 3 dz + 5

R

1 γ z2

dz −

R

γ

ez dz

= 5 + e − cos 1 + (5 − sin 1)i.

1.4.28 Definit¸ie. Spunem c˘ a γ este drum ˆınchis dac˘ a γ(a) = γ(b) adic˘ a originea γ(a) ¸si extremitatea γ(b) coincid. 1.4.29 Propozit¸ie. Dac˘ a funct¸ia continu˘ a f : D −→ C

admite ˆın D o primitiv˘ a

g : D −→ C

¸si dac˘ a

γ : [a, b] −→ D

este un drum ˆınchis cont¸inut ˆın D atunci Z

f (z)dz = 0.

γ

Demonstrat¸ie. Deoarece γ(a) = γ(b) avem Z

γ

γ(b)

f (z)dz = g(z)|γ(a) = g(γ(b)) − g(γ(a)) = 0.

41

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.4.30 Exercit¸iu. Fie drumul circular γ(t) = eit = cos t + i sin t.

γ : [0, 2π] −→ C,

a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a k ∈ Z −{−1} = {. . . , −3, −2, 0, 1, 2, 3, . . .} atunci Z

dar

Z

γ

b) S˘ a se arate c˘ a

z k dz = 0

γ

z −1 dz =

Z

γ

1 dz = 2πi. z

Z 



a−2 a−1 + a0 + a1 z + a2 z 2 dz = 2πia−1 + z2 z γ oricare ar fi numerele a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 ∈ C. Rezolvare. a) Drumul γ este cont¸inut ˆın mult¸imea deschis˘ a C∗ = C −{0} ¸si funct¸ia f : C∗ −→ C,

admite ˆın C∗ primitiva

f (z) = z k

g : C∗ −→ C,

g(z) =

z k+1 k+1

oricare ar fi k ∈ Z −{−1}. b) Utilizˆand direct definit¸ia integralei complexe obt¸inem Z 2π Z 2π Z 2π Z 1 ′ 1 it 1 dz = γ (t) dt = i e dt = i dt = 2πi. γ(t) eit 0 0 0 γ z 1.4.31 Din exercit¸iul anterior rezult˘ a c˘a funct¸ia olomorf˘a 1 f : C∗ −→ C, f (z) = z nu admite primitiv˘ a ˆın C∗ . 1.4.32 Exercit¸iu. Fie drumul circular γ(t) = z0 + reit

γ : [0, 2π] −→ C,

a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a k ∈ Z −{−1} atunci Z

γ

dar

Z

γ

(z − z0 )k dz = 0

(z − z0 )−1 dz =

Z

γ

1 dz = 2πi. z − z0

42

Complemente de Matematic˘a

b) S˘ a se arate c˘ a  Z  a−1 a−2 2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) dz = 2πia−1 2 z − z0 γ (z − z0 ) oricare ar fi numerele a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 ∈ C.

Rezolvare. a) Drumul γ este cont¸inut ˆın mult¸imea deschis˘ a C −{z0 } ¸si funct¸ia f : C −{z0 } −→ C,

f (z) = (z − z0 )k

admite ˆın C∗ primitiva g : C −{z0 } −→ C,

g(z) =

(z − z0 )k+1 k+1

oricare ar fi k ∈ Z −{−1}. b) Utilizˆand direct definit¸ia integralei complexe obt¸inem Z 2π Z 2π Z 2π Z 1 1 1 it dt = 2πi. dz = γ ′ (t) dt = i r e dt = i γ(t) − z0 reit 0 0 0 γ z − z0 1.4.33 Din exercit¸iul anterior rezult˘ a c˘a funct¸ia olomorf˘a f : C −{z0 } −→ C,

f (z) = (z − z0 )−1 =

nu admite primitiv˘ a ˆın C −{z0 }.

1 z − z0

1.4.34 Definit¸ie. Spunem c˘ a mult¸imea D ⊆ C este conex˘ a (prin drumuri) dac˘ a oricare ar fi punctele z1 , z2 din D exist˘a un drum cont¸inut ˆın D cu originea z1 ¸si extremitatea z2 . O mult¸ime deschis˘ a ¸si conex˘a este numit˘ a domeniu.

B1 (2 + i)

B1 (0) √ Figura 1.21: Discurile B1 (0), B1 (2 + i) ¸si B1 (−1 + i 2). √ 1.4.35 Exemplu. Mult¸imea B1 (0)∪B1 (−1+i 2) este domeniu dar B1 (0)∪B1 (2+i) nu este domeniu (a se vedea Figura 1.21).

43

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.4.36 S ¸ tim c˘ a orice drum γ : [a, b] −→ D este echivalent cu drumul [0, 1] −→ D : t 7→ γ((1 − t)a + tb). F˘ar˘ a a reduce generalitatea, putem utiliza doar drumuri definite pe intervalul [0, 1]. γ1 γ0

D

Figura 1.22: Drumuri omotope ˆın domeniul D. 1.4.37 Definit¸ie. Spunem c˘ a drumurile cu acelea¸si extremit˘a¸ti γ0 ¸si γ1 sunt omotope ˆın domeniul D dac˘ a sunt cont¸inute ˆın D ¸si se pot deforma continuu unul ˆın cel˘ alalt f˘ar˘ a a ie¸si din D, adic˘ a dac˘ a exist˘a o aplicat¸ie continu˘ a h : [0, 1] × [0, 1] −→ D : (s, t) 7→ h(s, t) astfel ˆıncˆ at urmatoarele condit¸ii s˘ a fie ˆındeplinite a)

h(0, t) = γ0 (t),

oricare ar fi t ∈ [0, 1],

b)

h(1, t) = γ1 (t),

oricare ar fi t ∈ [0, 1],

c)

h(s, 0) = γ0 (0) = γ1 (0),

oricare ar fi s ∈ [0, 1],

d)

h(s, 1) = γ0 (1) = γ1 (1),

oricare ar fi s ∈ [0, 1].

1.4.38 Exemplu. Drumurile γ0 , γ1 : [0, 1] −→ C, 1 1 γ0 (t) = e2πit , γ1 (t) = + e2πit 2 2 ¯ 1 ( 1 ). In acest caz putem alege (a se vedea Figura 1.23) sunt omotope ˆın D = C − B 2 4

h(s, t) = (1 − s) γ0 (t) + s γ1 (t). 1.4.39 In continuare, pentru a decide dac˘ a dou˘ a drumuri sunt omotope ˆın raport cu anumit domeniu ne vom rezuma la a analiza vizual figura (!). 1.4.40 Exemplu. Drumul circular γ0 : [0, 1] −→ C,

γ0 (t) = 3e2πit = 3 cos 2πt + 3i sin 2πt

44

Complemente de Matematic˘a

i γ0 γ1

−1

1

Figura 1.23: Drumuri omotope. este omotop ˆın C∗ cu drumul eliptic γ1 : [0, 1] −→ C,

γ1 (t) = 3 cos 2πt + i sin 2πt

dar cele dou˘ a drumuri nu sunt omotope ˆın D = C −{2i} (a se vedea Figura 1.24). 3i γ0 i

γ1

−3

3

−i

Figura 1.24: Drum circular omotop cu unul eliptic. 1.4.41 Exemplu. Drumurile γ0 , γ1 : [0, 1] −→ C, γ0 (t) = 1 − 2t,

γ1 (t) = eπit

sunt omotope ˆın C, dar nu sunt omotope ˆın C −{ 12 i} (a se vedea Figura 1.25). 1.4.42 Definit¸ie. Spunem c˘ a drumul ˆınchis γ : [a, b] −→ C este omotop cu zero ˆın D dac˘ a el este omotop ˆın D cu drumul punctual [a, b] −→ D : t 7→ γ(a).

45

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

i γ1

1 2i

−1

γ0

1

Figura 1.25: Drumurile γ0 (t) = 1 − 2t ¸si γ1 (t) = eπit .

γ D γ(a) Figura 1.26: Drum omotop cu zero ˆın D. 1.4.43 Exemplu. Drumul circular γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = e2πit

este omotop cu zero ˆın D = C −{2i}, dar nu este omotop cu zero ˆın C∗ . 2i i

γ 1

Figura 1.27: Drumul γ : [0, 1] −→ C, γ(t) = e2πit . 1.4.44 Teorem˘ a (Cauchy) Dac˘ a D ⊆ C este o mult¸ime deschis˘ a, f : D −→ C este o funct¸ie olomorf˘ a ¸si γ : [a, b] −→ D

46

Complemente de Matematic˘a

este un drum ˆınchis omotop cu zero ˆın D atunci Z

f (z) dz = 0.

γ

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [11]. 1.4.45 Propozit¸ie. Dac˘ a D ⊆ C este o mult¸ime deschis˘ a, f : D −→ C este o funct¸ie olomorf˘ a ¸si γ0 : [a, b] −→ D,

γ1 : [a, b] −→ D

sunt dou˘ a drumuri omotope ˆın D atunci Z

f (z) dz =

γ0

Z

f (z) dz.

(1.1)

γ1

γ˜1 γ0

D

Figura 1.28: Drumurile γ0 ¸si γ˜1 formeaz˘a un drum ˆınchis. Demonstrat¸ie. Drumul obt¸inut compunˆand γ0 cu inversul γ˜1 al drumului γ1 este un drum ˆınchis omotop cu zero ˆın D. Utilizˆand teorema Cauchy obt¸inem relat¸ia Z

f (z) dz +

γ0

echivalent˘ a cu (1.1).

Z

f (z) dz = 0.

γ ˜1

1.4.46 Fie k un num˘ ar ˆıntreg pozitiv. Drumul γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = z0 + e2kπit

se rote¸ste de k ori ˆın jurul lui z0 ˆın sens direct ¸si Z 1 1 dz = k. 2πi γ z − z0 Drumul γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = z0 + e−2kπit

47

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

se rote¸ste de k ori ˆın jurul lui z0 ˆın sens invers ¸si Z 1 1 dz = −k. 2πi γ z − z0

Drumul γ din Figura 1.29 este omotop ˆın C −{z0 } cu drumul γ1 γ z0

γ(0)

Figura 1.29: Drumul γ are indexul 2 fat¸˘a de z0 . γ1 : [0, 1] −→ C, ¸si prin urmare

γ1 (t) = z0 + re4πit

Z

Z

1 1 1 1 dz = dz = 2. 2πi γ z − z0 2πi γ1 z − z0 In general, dac˘ a γ este un drum ˆınchis care nu trece prin z0 num˘ arul Z 1 1 dz n(γ, z0 ) = 2πi γ z − z0 numit indexul lui γ fat¸˘ a de z0 , ne arat˘ a de cˆate ori se rote¸ste γ ˆın jurul lui z0 . O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [11].

1 0

γ 2

1

2 1

1 0

−1

Figura 1.30: Indexul drumului γ fat¸˘a de punctele nesituate pe γ. 1.4.47 Un drum ˆınchis γ determin˘a o partit¸ie a mult¸imii punctelor nesituate pe γ format˘a din submult¸imi conexe. Toate punctele apart¸inˆ and unei componente conexe au acela¸si index fat¸˘ a de γ (a se vedea Figura 1.30).

48

Complemente de Matematic˘a

1.4.48 Teorem˘ a. (Formulele lui Cauchy) Orice funct¸ie olomorf˘ a f : D −→ C definit˘ a pe o mult¸ime deschis˘ a D este nelimitat derivabil˘ a ¸si oricare ar fi drumul γ : [0, 1] −→ D omotop cu zero ˆın D are loc formula

Z

k! f (ζ) dζ 2πi γ (ζ − z)k+1 pentru orice k ∈ N ¸si orice z ∈ D−{ γ(t) | t ∈ [0, 1] }. O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [11]. n(γ, z) f (k) (z) =

D γ 0

f

z

C

1

γ

Figura 1.31: Valoarea derivatei f (k) ˆıntr-un punct z verific˘ a formula lui Cauchy.

1.5

Serii Laurent

1.5.1 Definit¸ie. Fie D ⊆ C o submult¸ime ¸si fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Spunem c˘a seria de funct¸ii complexe ∞ X

fn

n=0

este convergent˘ a (uniform convergent˘ a) dac˘ a ¸sirul sumelor part¸iale (sk )k≥0 , unde sk =

k X

fn

n=0

este convergent (respectiv, uniform convergent). Limita acestui ¸sir ∞ X

n=0

fn = lim sk = lim k→∞

k→∞

k X

n=0

fn = lim (f0 + f1 + · · · fk ) k→∞

49

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

se nume¸ste suma seriei. Spunem c˘a seria considerat˘a este absolut convergent˘ a dac˘ a seria de funct¸ii reale ∞ X

n=0

este convergent˘ a.

|fn |

1.5.2 Propozit¸ie. Dac˘ a |z| < 1 atunci seria geometric˘ a ∞ X

zn

n=0

este convergent˘ a ¸si suma ei este |z| < 1

=⇒

k→∞

k X

n=0

adic˘ a zn =

n=0

Demonstrat¸ie. Dac˘a |z| < 1 atunci lim

1 1−z , ∞ X

1 . 1−z

1 − z k+1 1 = . k→∞ 1 − z 1−z

z n = lim (1 + z + z 2 + · · · + z k ) = lim k→∞

1.5.3 Teorem˘ a. (Weierstrass) Fie D ⊆ C o submult¸ime ¸si fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Dac˘ a exist˘ a o serie convergent˘ a de numere reale ∞ X

αn

n=0

astfel ˆıncˆ at |fn (z)| ≤ αn ,

oricare ar f i z ∈ D, n ∈ N

atunci seria de funct¸ii complexe

∞ X

fn

n=0

este absolut ¸si uniform convergent˘ a. 1.5.4 Definit¸ie. Prin serie de puteri ˆın jurul lui z0 se ˆınt¸elege o serie de forma ∞ X

n=0

an (z − z0 )n

cu coeficient¸ii a0 , a1 , a2 ,. . . numere complexe. Ea mai poate fi scris˘a ¸si sub forma a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · .

50

Complemente de Matematic˘a

1.5.5 Orice serie de puteri este o serie de funct¸ii ∞ X

fn

n=0

ˆın care funct¸iile fn au forma particular˘a fn (z) = an (z − z0 )n .

fn : D −→ C,

1.5.6 Definit¸ie. Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : D −→ C,

fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Spunem c˘a ¸sirul de funct¸ii (fn )n≥0 converge uniform pe compacte la f dac˘ a oricare ar fi mult¸imea compact˘ a K ⊂ D, ¸sirul restrict¸iilor fn |K converge uniform la f |K . 1.5.7 Teorem˘ a (Weierstrass). Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : D −→ C,

fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Dac˘ a funct¸iile fn sunt olomorfe ¸si dac˘ a ¸sirul (fn )n≥0 converge uniform pe compacte la f atunci f este funct¸ie olomorf˘ a ¸si lim f (k) n→∞ n

= f (k),

oricare ar f i k ∈ N.

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [11]. 1.5.8 Teorem˘ a (Weierstrass). Dac˘ a seria de funct¸ii olomorfe ∞ X

fn

n=0

converge uniform pe compacte ˆın mult¸imea deschis˘ a D atunci suma ei S : D −→ C, este o funct¸ie olomorf˘ a ¸si S (k) =

∞ X

n=0

fn(k) ,

S(z) =

∞ X

fn (z)

n=0

oricare ar f i k ∈ N.

Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a direct din teorema precedent˘a.

51

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

z

z1

z0

Figura 1.32: Discul de centru z0 ¸si raz˘ a |z1 − z0 |. 1.5.9 Teorem˘ a (Abel). Dac˘ a seria de puteri ∞ X

n=0

an (z − z0 )n

este convergent˘ a pentru z = z1 6= z0 atunci ea este convergent˘ a ˆın discul { z | |z − z0 | < |z1 − z0 | } de centru z0 ¸si raz˘ a |z1 − z0 |. Demonstrat¸ie. Seria

P∞

n=0 an (z1

− z0 )n fiind convergent˘a avem

lim an (z1 − z0 )n = 0

n→∞

¸si prin urmare exist˘a n0 ∈ N astfel ˆıncˆ at |an (z1 − z0 )n | < 1,

oricare ar fi n ≥ n0

adic˘ a |an | < Din relat¸ia

1 , |z1 − z0 |n

|an (z − z0 )n |
R }. c) Suma seriei Laurent S : D −→ C, S(z) =

∞ X

n=−∞

an (z − z0 )n =

este funct¸ie olomorf˘ a.

∞ X

n=1

a−n (z − z0 )−n +

∞ X

n=0

an (z − z0 )n

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [11].

z z0 r

R

Figura 1.33: Coroana circular˘a { z | r < |z − z0 | < R }. 1.5.20 Teorem˘ a (Dezvoltarea ˆın serie Laurent). Dac˘ a funct¸ia f : D = { z | r < |z − z0 | < R } −→ C definit˘ a pe coroana D este olomorf˘ a atunci exist˘ a o unic˘ a serie Laurent

56

Complemente de Matematic˘a

∞ X

n=−∞

an (z − z0 )n

cu coroana de convergent¸˘ a incluzˆ and pe D ¸si astfel ˆıncˆ at f (z) =

∞ X

n=−∞

an (z − z0 )n

oricare ar f i z ∈ D.

1.5.21 Exemple. a) Funct¸ia olomorf˘ a 1 − z) admite ˆın coroana D dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul lui 0 1 1 1 1 1 = (1+z+z 2 + · · ·) = 2 + +1+z+z 2 + · · · (1.2) f (z) = 2 z 1−z z 2 z z f : D = { z | 0 < |z| < 1 } −→ C,

f (z) =

z 2 (1

b) Funct¸ia olomorf˘ a ez (z − i)2 admite ˆın coroana D dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul lui i f : D = { z | 0 < |z − i| < ∞ } −→ C,

f (z) =

ez (z−i)2

=

ei (z−i)2

ez−i = =

ei (z−i)2

ei (z−i)2



1+

ei z−i

+

+

f (z) =

z−i 1! ei 2!

+

+

(z−i)2 2!

ei 3! (z

+ ···



(1.3)

− i) + · · ·

c) Funct¸ia olomorf˘ a f : D = { z | 0 < |z| < ∞ } −→ C,

1

f (z) = z 2 e z

admite ˆın coroana D dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul lui 0 1



f (z) = z 2 e z = z 2 1 + = ··· +

1 1 4! z 2

+

1 1 3! z

1 1 1! z

+

+

1 2!

1 1 2! z 2

+

1 1!

+ ···



z + z2 + 0 z3 + 0 z4 + · · ·

(1.4)

1.5.22 Definit¸ie. Fie f : D −→ C o funct¸ie olomorf˘a definit˘a pe mult¸imea deschis˘ a D. Spunem c˘ a punctul z0 ∈ C −D este un punct singular izolat al funct¸iei f dac˘ a exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at coroana circular˘a { z | 0 < |z − z0 | < r } este cont¸inut˘ a ˆın D. Coeficientul a−1 din dezvoltarea Laurent a−1 a−2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · f (z) = · · · + (z − z0 )2 z − z0 a lui f ˆın aceast˘ a coroan˘ a se nume¸ste reziduul lui f ˆın punctul singular izolat z0 ¸si se noteaz˘ a cu Rezz0 f , adic˘ a

57

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

Rezz0 f = a−1 . 1.5.23 Exemple. a) Singurul punct singular izolat al funct¸iei f : D = { z | 0 < |z| < 1 } −→ C,

f (z) =

este z = 0 ¸si din (1.2) rezult˘ a c˘a Rez0 = 1.

1 z 2 (1 − z)

b) Singurul punct singular izolat al funct¸iei f : D = { z | 0 < |z − i| < ∞ } −→ C,

f (z) =

este z = i ¸si din (1.3) rezult˘ a c˘a Rezi f = ei .

ez (z − i)2

c) Singurul punct singular izolat al funct¸iei 1

f (z) = z 2 e z

f : D = { z | 0 < |z| < ∞ } −→ C, este z = 0 ¸si din (1.4) rezult˘ a c˘a Rez0 f = 1.5.24 MATHEMATICA:

Series[f[z], {z, a, n}]

7 → In[2]:=Residue[1/(z^2(1-z)), {z, 0}] 7→ In[3]:=Series[1/(z^2(1-z)), {z, 1, 2}] 7→ In[4]:=Residue[1/(z^2(1-z)), {z, 1}] 7→ In[5]:=Series[Exp[z]/(z-I)^2, {z, I, 1}] 7→ In[6]:=Residue[Exp[z]/(z-I)^2, {z, I}] 7 → In[1]:=Series[1/(z^2(1-z)), {z, 0, 4}]

1 3!

= 61 .

, Residue[f[z], {z, a}]

Out[1]=

1 + z1 +1+z+z 2 +z 3 +z 4 +O[z]5 z2

Out[2]=1 1 Out[3]=− z−1 +2−3(z−1)+4(z−1)2 +O[z]3

Out[4]=−1 ıi eıi eıi + z−ı + e2 + 61 eıi (z−ıi)+O[z−ıi]2 i (z−ıi)2 Out[6]=eıi .

Out[5]=

1.5.25 Definit¸ie. Fie D o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : D −→ C o funct¸ie olomorf˘ a. Prin zero multiplu de ordinul n al lui f se ˆınt¸elege un punct z0 ∈ D astfel ˆıncˆ at f (z0 ) = f ′ (z0 ) = . . . = f (n−1) (z0 ) = 0

¸si

f (n) (z0 ) 6= 0.

Spunem despre un punct singular izolat z0 al lui f c˘a este pol de ordinul n dac˘ a este zero multiplu de ordinul n pentru funct¸ia f1 .

58

Complemente de Matematic˘a

1.5.26 Teorem˘ a. Dac˘ a punctul singular izolat z0 al funct¸iei olomorfe f : D −→ C este pol de ordinul n atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at coroana circular˘ a { z | 0 < |z − z0 | < r } este cont¸inut˘ a ˆın D ¸si ˆın acest˘ a coroan˘ a f admite o dezvoltare Laurent de forma a−1 a−n + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + ··· + f (z) = (z − z0 )n (z − z0 ) 1.5.27 a) Dac˘a z0 este pol simplu atunci ˆın jurul lui z0 funct¸ia f admite dezvoltarea a−1 f (z) = + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · (z − z0 ) Inmult¸ind cu (z − z0 ) obt¸inem relat¸ia (z − z0 ) f (z) = a−1 + a0 (z − z0 ) + a1 (z − z0 )2 + a2 (z − z0 )3 + · · ·

care conduce la Rezz0 f = a−1 = lim (z − z0 ) f (z). z→z0

b) Dac˘a z0 este pol dublu atunci ˆın jurul lui z0 funct¸ia f admite dezvoltarea a−2 a−1 f (z) = + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + (z − z0 )2 (z − z0 ) Inmult¸ind cu (z − z0 )2 ¸si apoi derivˆand obt¸inem relat¸ia [(z − z0 )2 f (z)]′ = a−1 + 2a0 (z − z0 ) + 3a1 (z − z0 )2 + · · ·

care conduce la Rezz0 f = a−1 = lim [(z − z0 )2 f (z)]′ . z→z0

c) Dac˘a z0 este pol triplu atunci ˆın jurul lui z0 funct¸ia f admite dezvoltarea a−3 a−2 a−1 f (z) = + a0 + a1 (z − z0 ) + · · · + + (z − z0 )3 (z − z0 )2 (z − z0 ) Inmult¸ind cu (z − z0 )3 ¸si apoi derivˆand de dou˘ a ori obt¸inem relat¸ia [(z − z0 )3 f (z)]′′ = 2! a−1 + 6a0 (z − z0 ) + 12a1 (z − z0 )2 + · · ·

care conduce la Rezz0 f = a−1 =

1 lim [(z − z0 )3 f (z)]′′ . 2! z→z0

d) Dac˘a z0 este pol de ordinul n atunci 1 lim [(z − z0 )n f (z)](n−1) . Rezz0 f = (n − 1)! z→z0

59

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.5.28 Exemplu. Funct¸ia 1 z 2 (1 − z) are dou˘ a puncte singulare izolate z = 0 ¸si z = 1. Punctul z = 0 este pol dublu ¸si   1 1 ′ = 1. (1.5) = lim Rez0 f = lim [z 2 f (z)]′ = lim z→0 (1 − z)2 z→0 z→0 1 − z Punctul z = 1 este pol simplu ¸si −1 Rez1 f = lim (z − 1) f (z) = lim 2 = −1. (1.6) z→1 z→1 z f : C −{0, 1} −→ C,

1.6

f (z) =

Calculul integralelor cu ajutorul reziduurilor

1.6.1 Dac˘a γ : [a, b] −→ C −{z0 } este un drum ˆınchis care nu trece prin z0 atunci R  γ

a−2 (z−z0 )2

+

a−1 (z−z0 )



+ a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 dz = a−1

R

dz γ z−z0

(1.7)

= 2πia−1 n(γ, z0 )

oricare ar fi numerele a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 ∈ C. Punctul z0 este punct singular izolat (pol de ordinul al doilea) pentru funct¸ia f : C −{z0 } −→ C, f (z) =

a−1 a−2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 (z − z0 )2 (z − z0 )

¸si Rezz0 f = a−1 . Relat¸ia (1.7) se mai poate scrie Z

γ

f (z) dz = 2πi n(γ, z0 ) Rezz0 f.

1.6.2 Teorem˘ a (Teorema reziduurilor). Dac˘ a D ⊆ C este o mult¸ime deschis˘ a, f : D −→ C este o funct¸ie olomorf˘ a , S este mult¸imea punctelor singulare izolate ale lui f ¸si dac˘ a γ : [a, b] −→ D

60

Complemente de Matematic˘a ˜ = D ∪ S atunci este un drum omotop cu zero ˆın D Z

f (z) dz = 2πi

γ

X

n(γ, z) Rezz f.

z∈S

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [11]. 1.6.3 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze

Z

unde

γ

(z 2

4 dz + 1)(z − 3)2

γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = 2 e2πit .

Rezolvare. Consider˘ am D = C −{3, i, −i} ¸si funct¸ia olomorf˘a 4 f : D −→ C, f (z) = 2 . (z + 1)(z − 3)2 Mult¸imea punctelor singulare izolate ale lui f este S = {3, i, −i} ¸si drumul γ este omotop cu zero ˆın D ∪ S = C. Conform teoremei reziduurilor avem Z 4 dz = 2πi (n(γ, 3) Rez3 f + n(γ, i) Rezi f + n(γ, −i) Rez−i f ) . 2 + 1)(z − 3)2 (z γ 2i i 2

−2 −i

Figura 1.34: Drumul γ : [0, 1] −→ C, γ(t) = 2 e2πit . Deoarece drumul γ (Figura 1.34) se rote¸ste de zero ori ˆın jurul lui 3 ¸si o singur˘a dat˘ a ˆın jurul lui i ¸si −i rezult˘ a c˘ a n(γ, 3) = 0, ¸si prin urmare

Z

n(γ, i) = n(γ, −i) = 1

4 dz = 2πi (Rezi f + Rez−i f ) . 2 + 1)(z − 3)2 (z γ Punctele singulare i ¸si −i fiind poli simpli avem

61

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

4 3 4 4 = = − i 2 2 z→i z→i (z − 3) (z + i) 2i(i − 3) 25 25 4 4 3 4 = + i = Rez−i f = lim (z + i)f (z) = lim z→−i z→−i (z − 3)2 (z − i) −2i(i + 3)2 25 25 Rezi f = lim(z − i)f (z) = lim

¸si

Z

γ

(z 2

4 dz 12 πi. = 2 + 1)(z − 3) 25

1.6.4 MATHEMATICA: Residue[f[z], {z, a}] 7→ In[2]:=Residue[4/((z^2+1)(z-3)^2), {z, -I}] 7→

In[1]:=Residue[4/((z^2+1)(z-3)^2), {z, I}]

1.6.5 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze

Z

γ

unde

3 4ıi Out[1]= 25 − 25 4ıi 3 + 25 Out[2]= 25

ez dz z3

γ(t) = e−4πit .

γ : [0, 1] −→ C, Rezolvare. Consider˘ am funct¸ia olomorf˘a

ez z3 ∗ definit˘a pe mult¸imea deschis˘ a C = C − {0}. Punctul singular z = 0 este pol de ordinul al treilea. Pentru calculul reziduului lui f ˆın 0 putem utiliza dezvoltarea Laurent ˆın jurul lui 0 f : C∗ −→ C,

f (z) =

ez z3

=

1 z3

=



1 z3

sau relat¸ia

1+ +

z 1!

1 1 1! z 2

f (z) =

+ +

z2 2!

+

1 1 2! z

z3 3!

+

+ ··· 1 3!

+



1 4! z

+ ···

1 1 lim (z 3 f (z))′′ = . 2! z→0 2 Observˆ and c˘ a γ se rote¸ste de dou˘ a ori ˆın jurul lui 0 ˆın sens invers sau utilizˆ and formula Z dz 1 = −2 n(γ, 0) = 2πi γ z obt¸inem Z z e dz = 2πi n(γ, 0) Rez0 f = −2πi. 3 γ z Rez0 f =

62

Complemente de Matematic˘a

γ 1

Figura 1.35: Drumul γ. 1.6.6 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze integrala

Z

1 dz − z) γ unde γ este drumul din Figura 1.35 . z 2 (1

Rezolvare. Funct¸ia olomorf˘ a 1 − z) are punctele singulare z = 0 ¸si z = 1. S¸tim c˘a Rez0 f = 1 ( a se vedea relat¸ia (1.5)) ¸si Rez1 f = −1 ( a se vedea relat¸ia (1.6)). Deoarece drumul γ se rote¸ste de dou˘ a ori ˆın jurul lui 0 ¸si o dat˘ a ˆın jurul lui 1, din teorema reziduurilor rezult˘ a c˘a Z 1 dz = 2πi (2 Rez0 f + Rez1 f ) = 2πi. 2 (1 − z) z γ f : C −{0, 1} −→ C,

f (z) =

z 2 (1

1.6.7 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze integrala Z 2π 1 dt unde a ∈ (1, ∞) I= a + cos t 0 Rezolvare. Integrala real˘ a cerut˘ a poate fi privit˘a ca o integral˘ a ˆın planul complex ¸si calculat˘ a folosind teorema reziduurilor. Avem R R I = 02π eit1+e−it dt = 02π ie1it 2a+eit2+e−it (eit )′ dt a+

2

= −i

R

1 2 γ z 2a+z+ 1 z

dz = −i

unde γ : [0, 2π] −→ C, γ(t) = eit . Funct¸ia f : C −{z1 , z2 } −→ C, unde z1 = −a +

p

a2 − 1,

f (z) =

R

2 γ z 2 +2az+1 dz

z2

z2 = −a −

2 + 2az + 1 p

a2 − 1

63

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

sunt r˘ ad˘ acinile polinomului z 2 + 2az + 1, are dou˘ a puncte singulare izolate (poli simpli) z1 ¸si z2 . i γ 1

z1

z2

Figura 1.36: Drumul γ : [0, 2π] −→ C, γ(t) = eit . Deoarece z1 , z2 sunt numere reale, −1 < z1 < 0 ¸si z2 < −1 rezult˘ a c˘a n(γ, z1 ) = 1 ¸si n(γ, z2 ) = 0 ( a se vedea Figura 1.36). Conform teoremei reziduurilor R 2 dz = 2πRezz1 f = 2π limz→z1 (z − z1 )f (z) I = −i γ z 2 +2az+1 2 = 2π limz→z1 (z − z1 ) (z−z1 )(z−z = 2)

=

√ 2π . a2 −1

γr

r α

4π z1 −z2

β

Figura 1.37: Drumurile γr .

1.6.8 Propozit¸ie. Fie α < β ¸si o funct¸ie continu˘ a f : D −→ C definit˘ a pe un domeniu D ce cont¸ine imaginile drumurilor ( Fig. 1.37) γr : [α, β] −→ C,

γr (t) = reit

oricare ar fi r > 0. Dac˘ a lim z f (z) = 0

z→∞

64

Complemente de Matematic˘a

atunci lim

Z

r→∞ γr

f (z) dz = 0.

Demonstrat¸ie. Din relat¸ia limz→∞ z f (z) = 0 rezult˘ a c˘a oricare ar fi ε > 0 exist˘a rε > 0 astfel ˆıncˆ at |z| > rε

=⇒

|z f (z)| < ε.

In particular, pentru r > rε avem Z

γr

Z Z β Z β β it it dt = (β − α)ε. |f (reit ) ri eit | dt < ε f (re ) ri e dt ≤ f (z) dz = α α α

1.6.9 Oricare ar fi z1 , z2 ∈ C au loc relat¸iile |z1 | = |z1 − z2 + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 |, |z2 | = |z2 − z1 + z1 | ≤ |z1 − z2 | + |z1 |

care conduc la

− |z1 − z2 | ≤ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | adic˘ a la | |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 |. 1.6.10 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze integrala Z

x2 dx + 1)(x2 + 4) 0 Rezolvare. Integrala I este o integral˘ a real˘ a improprie. Intervalul de integrare este nem˘ arginit dar funct¸ia considerat˘a este m˘ arginit˘ a, numitorul neanulˆ andu-se pe axa real˘ a. Deoarece I=

∞

(x2

x2 (x2 +1)(x2 +4) lim 1 x→∞ x2

integralele

Z

=1 Z

∞ 1 x2 dx ¸ s i dx (x2 + 1)(x2 + 4) x2 1 1 au aceea¸si natur˘a. S ¸ tim ˆıns˘ a c˘ a integrala improprie Z ∞ 1 dx xλ 1 este convergent˘ a pentru λ > 1. Rezult˘a astfel c˘a integrala considerat˘a ∞

65

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

γr 2i i −r

γ

r

Figura 1.38: Drumurile γr . Z

x2 I= dx = (x2 + 1)(x2 + 4) 0 este convergent˘ a. ∞

Z

1

0

x2 dx + (x2 + 1)(x2 + 4)

Z

∞

1

x2 dx (x2 + 1)(x2 + 4)

Pentru a calcula valoarea integralei vom considera funct¸ia olomorf˘a z2 f : C −{−2i, −i, i, 2i} −→ C, f (z) = 2 (z + 1)(z 2 + 4) ¸si drumul de integrare din Figura 1.38 compus din γr : [0, π] −→ C,

γr (t) = r eit

¸si γ : [−r, r] −→ C,

γ(t) = t.

Conform teoremei reziduurilor, oricare ar fi r > 2 avem relat¸ia Z

f (z)dz +

γr

care conduce la

lim

Z

r→∞ γr

Deoarece |z f (z)| = avem

Z

r

−r

f (z)dz +

Z

f (x)dx = 2πi (Rezi f + Rez2i f ) ∞

−∞

f (x)dx = 2πi (Rezi f + Rez2i f ).

(1.8)

|z 3 | |z 3 | |z|3 = ≤ |z 2 + 1| · |z 2 + 4| |z 2 − (−1)| · |z 2 − (−4)| | |z|2 − 1| · | |z|2 − 4| lim z f (z) = 0

z→∞

¸si ˆın virtutea rezultatului prezentat la pag. 63-8 lim

Z

r→∞ γr

f (z)dz = 0.

66

Complemente de Matematic˘a

Din relat¸ia (1.8), ¸tinˆ and seama ¸si de faptul c˘a f (−x) = f (x), rezult˘ a Z

∞

0

Dar

f (x)dx = πi (Rezi f + Rez2i f ). i z2 = z→i (z + i)(z 2 + 4) 6

Rezi = lim(z − i) f (z) = lim z→i

z2 i =− 2 z→2i (z + 1)(z + 2i) 3

Rez2i = lim (z − 2i) f (z) = lim z→2i

¸si deci

Z

∞

f (x)dx = πi

0



i i − 6 3



=

π . 6

1.6.11 MATHEMATICA: Residue[f[z], {z, a}], Integrate[f[x], {x, a, b}] 7 → 7→ In[3]:=Integrate[x^2/((x^2 + 1) (x^2 + 4)), {x, 0, Infinity}] → 7 In[1]:=Residue[z^2/((z^2 + 1) (z^2 + 4)), {z, I}] In[2]:=Residue[z^2/((z^2 + 1) (z^2 + 4)), {z, I}]

1.6.12 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a 2 sin t ≥ 1≥ t π Rezolvare. Funct¸ia



oricare ar fi



−r

r

Figura 1.39: Drumurile γr .



π t ∈ 0, . 2

π sin t ϕ : 0, −→ R, ϕ(t) = 2 t este descresc˘atoare deoarece t cos t − sin t ≤ 0. ϕ′ (t) = t2

γr



Out[1]= 6ıi Out[2]=− 3ıi Out[3]= 6ıi

67

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.6.13 Propozit¸ie (Lema lui Jordan). Dac˘ a funct¸ia continu˘ a f : { z = x + yi | y ≥ 0 } −→ C este astfel ˆıncˆ at lim f (z) = 0

(1.9)

z→∞

¸si γr (t) = r eit

γr : [0, π] −→ C, ( a se vedea Figura 1.39 ) atunci lim

Z

r→∞ γr

f (z) eiz dz = 0

Demonstrat¸ie. Fie ε > 0. Din relat¸ia (1.9) rezult˘ a c˘a exist˘a rε > 0 astfel ˆıncˆ at 2ε r > rε =⇒ |f (r eit )| < π ¸si R γr f (z) eiz dz =

R π 0 f (r eit ) eir(cos t+i sin t) ireit dt

≤

≤

Rπ 0

|f (r eit )| e−r sin t r dt ≤

2ε R π −r π2 t dt πr 0 e

=

2ε −π π r 2r

2ε R π −r sin t dt πr 0 e 2

π

e−r π t 2 = ε(1 − e−r ) ≤ ε. 0

γR γr −R

−r

r

R

Figura 1.40: Drumul utilizat ˆın cazul integralei Poisson. 1.6.14 Exercit¸iu (Integrala Poisson). S˘ a se arate c˘a Z ∞ sin x π dx = x 2 0 Rezolvare. Fie 0 < r < R ¸si drumurile ( a se vedea Figura 1.40) γR : [0, π] −→ C,

γR (t) = R eit

(1.10)

68

Complemente de Matematic˘a

γr : [0, π] −→ C,

γr (t) = r ei(π−t) .

Din teorema reziduurilor (sau teorema Cauchy) rezult˘ a relat¸ia Z −r ix Z Z R ix Z iz iz e e e e dz + dx + dz + dx = 0 x −R x r γr z γR z care se mai poate scrie Z Z Z R ix eiz eiz e − e−ix dz + dz + dx = 0 x γR z γr z r sau Z Z Z Z R eiz sin x 1 eiz − 1 dz + dz + dz + 2i dx = 0 z x γR z r γr z γr Utilizˆand relat¸ia Z 1 dz = −πi z γr iz

¸si notˆ and cu g o primitiv˘ a a funct¸iei f (z) = e z−1 obt¸inem Z Z R sin x eiz dz − πi + (g(r) − g(−r)) + 2i dx = 0. x r γR z Deoarece conform lemei lui Jordan Z eiz =0 lim R→∞ γR z pentru R → ∞ ¸si r → 0 obt¸inem relat¸ia Z ∞ sin x 2i dx = πi. x 0 1.6.15 MATHEMATICA: Integrate[f[x], {x, a, b}] In[1]:=Integrate[Sin[x]/x, {x, 0, Infinity}]

7→

Out[1]= π2

γ π 4

Figura 1.41: Drumul utilizat ˆın cazul integralelor lui Fresnel.

69

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

1.6.16 Integralele lui Fresnel. Integrˆ and funct¸ia f (z) = eiz

2

de-a lungul drumului din Figura 1.41 se poate ar˘ ata [11] c˘a Z

∞

Z

2

cos x dx =

∞

0

0

1 sin x dx = 2 2

r

1.6.17 MATHEMATICA: Integrate[f[x], {x, a, b}] In[1]:=Integrate[Sin[x^2], {x, 0, Infinity}]

7→

Out[1]=

In[2]:=Integrate[Cos[x^2], {x, 0, Infinity}]

7→

Out[2]=

1.6.18 Definit¸ie. Fie ϕ : R −→ C. Funct¸ia F[ϕ] : R −→ C,

F[ϕ](ξ) =

Z

∞

π . 2 √π 2

√2 π 2

2

eiξx ϕ(x)dx

−∞

(ˆın cazul ˆın care exist˘a) se nume¸ste transformata Fourier a lui ϕ.

-10

1.0

1.0

1.0

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

5

-5

10

-10

5

-5

3

10

1

2

-10

5

-5

1

2

10

2

Figura 1.42: Funct¸iile e− 2 x , e− 2 x , e− 6 x . 1.6.19 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a −ax2

F[e

](ξ) =

oricare ar fi a ∈ (0, ∞). Rezolvare. Avem 2

F[e−ax ](ξ) =

Z

∞

2

−∞

e−ax eiξx dx =

Plecˆ and de la integrala Z

r

−r

a funct¸iei

−at2

e

dt +

Z

r

ξ r−i 2a

−az 2

e

Z

∞

−∞

dz −

Z

r

e−ax

ξ r−i 2a

ξ −r−i 2a

π − ξ2 e 4a a

2 +iξx

ξ2

dx = e− 4a

2

e−az dz +

Z

Z

∞

−∞

−r

ξ −r−i 2a

ξ

2

e−a(x−i 2a ) dx.

2

e−az dz = 0

70

Complemente de Matematic˘a

f (z) = e−az

f : C −→ C,

2

de-a lungul drumului dreptunghiular din Figura 1.43 ar˘ at˘ am c˘a r Z ∞ Z ∞ Z ∞ ξ 2 π 2 1 2 e−a(t−i 2a ) dt = . e−at dt = √ e−x dx = a −∞ a −∞ −∞ Avem Z

lim

r

r→∞ −r

−at2

e

dt =

Z

∞

−∞

2

e−at dt.

ξ parametrizarea Alegˆand pentru drumul liniar ce une¸ste r cu r − i 2a ξ γ1 : [0, 1] −→ C, γ1 (t) = r − it 2a obt¸inem relat¸ia

Z

r

ξ r−i 2a

2

e−az dz =

din care rezult˘ a

Z

1

0

ξ

2

e−a(r−it 2a ) (−i)

lim

Z

ξ r−i 2a

r→∞ r

ξ ξ 2 dt = −i e−ar 2a 2a

Z

1

eirtξ+

t2 ξ 2 4a

dt

0

2

e−az dz = 0.

−r

r

r−

ξ 2a i

Figura 1.43: Drumul dreptunghiular utilizat. Similar se arat˘ a c˘ a lim

r→∞

Z

−r

ξ −r−i 2a

2

e−az dz = 0.

ξ ξ cu r − i 2a parametrizarea Alegˆand pentru drumul liniar ce une¸ste −r − i 2a ξ γ2 : [−r, r] −→ C, γ2 (t) = t − i 2a obt¸inem relat¸ia

Z

din care rezult˘ a

ξ r−i 2a

ξ −r−i 2a

2

e−az dz =

Z

r

−r

ξ

2

e−a(t−i 2a ) dt

71

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

lim

r→∞

Z

ξ r−i 2a

ξ −r−i 2a

2

e−az dz =

1.6.20 MATHEMATICA: Definit¸ia utilizat˘a

Z

∞

−∞

ξ

2

e−a(t−i 2a ) dt.

F [ϕ](x)= √1

In[1]:=FourierTransform[Exp[-t^2], t, x]

2π

R∞

7→

−∞

eitx ϕ(t)dt 2 −x

Out[1]= e √ 4 2

72

Capitolul 2

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale 2.1

Spat¸ii vectoriale

2.1.1 Definit¸ie. Fie K unul dintre corpurile R sau C. Prin spat¸iu vectorial peste K se ˆınt¸elege o mult¸ime V considerat˘ a ˆımpreun˘a cu dou˘ a operat¸ii + : V × V −→ V : (x, y) 7→ x+y (adunarea) · : K × V −→ V : (α, x) 7→ αx (ˆınmultirea cu scalari) ˆındeplinind urm˘atoarele condit¸ii: ∀x, y, z ∈ V

1.

(x + y) + z = x + (y + z),

2.

exist˘a un element 0 ∈ V astfel ˆıncˆ at 0 + x = x + 0 = x,

3.

∀x ∈ V

pentru fiecare x ∈ V exist˘a −x ∈ V astfel ˆıncˆ at x + (−x) = (−x) + x = 0 ∀x, y ∈ V

4.

x + y = y + x,

5.

α(x + y) = αx + αy,

6.

(α + β)x = αx + βx,

7.

α(βx) = (αβ)x,

8.

1x = x,

∀x ∈ V.

∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V

∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V

∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V

2.1.2 Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari. Un spat¸iu vectorial peste R este numit spatiu vectorial real iar un spat¸iu vectorial peste C este numit spat¸iu vectorial complex. In loc de x + (−y) scriem x − y. 73

74

Complemente de Matematic˘a

2.1.3 Exercit¸iu Dac˘a V a) b) c) d)

este spat¸iu vectorial atunci: αx = 0 ⇐⇒ α = 0 sau x = 0 α(−x) = (−α)x = −αx α(x − y) = αx − αy (α − β)x = αx − βx.

2.1.4 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin subspat¸iu vectorial al lui V se ˆınt¸elege orice submult¸ime W ⊆ V cu proprietatea x, y ∈ W α, β ∈ K

)

=⇒ αx + βy ∈ W.

2.1.5 Propozit¸ie. Dac˘ a V este spat¸iu vectorial peste K ¸si {v1 , v2 , ..., vn } o submult¸ime a lui V atunci def

span {v1 , v2 , ..., vn } = { α1 v1 +α2 v2 + ... +αn vn | α1 , α2 , ..., αn ∈ K } este un subspat¸iu vectorial al lui V , numit subspat¸iul generat de {v1 , v2 , ..., vn } Demonstrat¸ie. Avem λ(α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) + µ(β1 v1 + β2 v2 + ... + βn vn ) = (λα1 + µβ1 )v1 + (λα2 + µβ2 )v2 + ... + (λαn + µβn )vn . 2.1.6 Definit¸ie. Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de generatori pentru V dac˘ a span {v1 , v2 , ..., vn } = V.

2.1.7 Propozit¸ie. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) Niciunul dintre vectorii v1 , v2 , ..., vn nu se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a de ceilalt¸i vectori b) relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 este posibil˘ a numai dac˘ a α1 = α2 = · · · = αn = 0, adic˘ a α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0

=⇒

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Demonstrat¸ie. a)⇒b) Prin reducere la absurd, presupunˆ and, de exemplu, ca relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 este posibil˘ a ¸si pentru αn 6= 0 se obt¸ine α2 αn−1 α1 v2 − · · · − vn−1 . vn = − v1 − αn αn αn b)⇒a) Dac˘a, de exemplu, am avea vn = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn−1 vn−1 atunci β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn−1 vn−1 − vn = 0

75

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

adic˘ a relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 ar fi posibil˘ a ¸si ˆın alte cazuri decˆ at α1 = α2 = · · · = αn = 0. 2.1.8 Definit¸ie. Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de vectori liniar independent¸i dac˘ a α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0

=⇒

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

2.1.9 Definit¸ie. Prin baz˘ a a unui spat¸iu vectorial se ˆınt¸elege un sistem de generatori format din vectori liniar independent¸i. 2.1.10 Pentru a ar˘ ata c˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a lui V avem de ar˘ atat c˘a: a) V = span {v1 , v2 , ..., vn } b) α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.

2.1.11 Propozit¸ie. Dac˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a lui V atunci orice vector x ∈ V se poate scrie ˆın mod unic sub forma x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn (numerele α1 , α2 , ... , αn se numesc coordonatele lui x ˆın raport cu baza B). Demonstrat¸ie. B fiind sistem de generatori rezult˘ a c˘a exist˘a scalarii α1 , α2 , ..., αn ˆın K astfel ˆıncˆ at x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn . Relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn echivalent˘ a cu (α1 − β1 )v1 + (α2 − β2 )v2 + · · · + (αn − βn )vn = 0 conduce la α1 −β1 = 0, α2 −β2 = 0,... , αn −βn = 0, adic˘ a α1 = β1 , α2 = β2 ,... , αn = βn . 2.1.12 Se poate ar˘ ata c˘ a (a se vedea [4]) : - Dac˘a {w1 , w2 , ..., wk } este sistem de vectori liniar independent¸i ¸si {v1 , v2 , ..., vn } este sistem de generatori atunci k ≤ n. - Din orice sistem de generatori se poate extrage o baz˘ a. - Orice sistem liniar independent se poate completa pˆ an˘ a la o baz˘ a. - Dac˘a un spat¸iu vectoral admite un sistem de generatori (finit), atunci oricare dou˘ a baze au acela¸si num˘ ar de vectori.

76

Complemente de Matematic˘a

2.1.13 Definit¸ie. Spunem c˘ a spat¸iul vectorial V peste K are dimensiune n ¸si scriem dim V = n

sau

dimK V = n

dac˘ a V admite o baz˘ a format˘a din n vectori. 2.1.14 MATHEMATICA: Dimensiunea subspat¸iului generat In[1]:=MatrixRank[{{1,0,0}, {0,1,1}, {1,1,1}}]

7→

Out[1]=2

2.1.15 Propozit¸ie. a) Dac˘ a W ⊆ V este subspat¸iu vectorial atunci dim W ≤ dim V . b) Dac˘ a W ⊆ V este subspat¸iu vectorial ¸si dim W = dim V atunci W = V . Demonstrat¸ie. a) Fie {v1 , v2 , ..., vn } baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wk } baz˘ a ˆın W . Deoarece {w1 , w2 , ..., wk } este sistem liniar independent ˆın V ¸si {v1 , v2 , ..., vn } este sistem de generatori rezult˘ a c˘ a k ≤ n. b) Orice baz˘ a a lui W poate fi extins˘a pˆ ana la o baz˘ a a lui V . Deoarece dim W = dim V rezult˘ a c˘ a orice baz˘ a a lui W este ˆın acela¸si timp baz˘ a a lui V. 2.1.16 Pentru a simplifica scrierea unor expresii vom utiliza uneori indici superiori pentru a indexa coordonatele vectorilor. Dezvoltarea x = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn a unui vector x ∈ V ˆın raport cu baza B = {v1 , v2 , ..., vn } se scrie comprimat folosind convent¸ia de sumare a lui Einstein sub forma x = xi vi (indicele i care apare ˆın produsul xi ei o dat˘ a ca indice superior ¸si o dat˘ a ca indice inferior este indice de sumare). a baze ale lui V ¸si 2.1.17 Definit¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn }, B′ = {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘ v1′ = α11 v1 + α21 v2 + · · · + αn1 vn v2′ = α12 v1 + α22 v2 + · · · + αn2 vn ............................................. vn′ = α1n v1 + α2n v2 + · · · + αnn vn . Matricea

(2.1)

77

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale



· · · α1n

α12

α11

  α2  S= 1  ··· 

 

α22 · · · α2n   . ··· ··· ···  

αn1 αn2 · · · αnn

se nume¸ste matricea de trecere de la baza B la baza B′ . 2.1.18 Folosind convent¸ia de sumare, relatiile (2.1) se scriu comprimat vi′ = αji vj . 2.1.19 Propozit¸ie. Matricea S este inversabil˘ a ¸si inversa ei

S

−1



β11

  β2  = 1  ··· 

β1n

β21



· · · βn1



β22 · · · βn2    ··· ··· ···   β2n · · · βnn

este matricea de trecere de la B′ la B. Demonstrat¸ie. Fie vj = βjk vk′ . Din relat¸iile

vj = βjk vk′ = βjk αik vi , vi′ = αji vj = αji βjk vk′ rezult˘ a ¸tinˆ and seama de unicitatea reprezent˘arii unui vector ˆın raport cu o baz˘ a c˘a βjk αik = δji ,

αji βjk = δik .

2.1.20 Teorem˘ a. Cu notat¸iile de mai sus vi′ = αji vj x = xj vj = x′i vi′

)

=⇒

Demonstrat¸ie. Din relat¸ia rezult˘ a

xj vj = x′i vi′ = x′i αji vj xj = αji x′i

¸si ¸tinˆ and seama de (2.2) adic˘ a

βjk xj = βjk αji x′i = δik x′i = x′k x′k = βjk xj .

(2.2) (

xj = αji x′i x′i = βji xj

78

Complemente de Matematic˘a

2.1.21 Propozit¸ie. Pe orice spat¸iu vectorial complex V se obt¸ine o structur˘ a natural˘ a de spat¸iu vectorial real prin restrict¸ia scalarilor ¸si dimR V = 2 dimC V. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a a spat¸iului vectorial complex V . Oricare ar fi x ∈ V exist˘a numerele complexe α1 + β1 i, α2 + β2 i, ... , αn + βn i astfel ˆıncˆ at x = (α1 + β1 i)v1 + (α2 + β2 i)v2 + · · · + (αn + βn i)vn . Scriind aceast˘ a relat¸ie sub forma x = α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn deducem c˘ a B = { v1 , iv1 , v2 , iv2 , ... , vn , ivn } este sistem de generatori pentru spat¸iul vectorial real V . Relat¸ia α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn = 0 se poate scrie (α1 + β1 i)v1 + (α2 + β2 i)v2 + · · · + (αn + βn i)vn = 0 ¸si conduce la α1 + β1 i = α2 + β2 i = · · · = αn + βn i = 0, adic˘ a la α1 = β1 = α2 = β2 = · · · = αn = βn = 0. 2.1.22 Propozit¸ie. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial real atunci spat¸iul V × V = { (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ V } considerat ˆımpreun˘ a cu adunarea pe componente (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) ¸si ˆınmult¸irea cu numere complexe (α + βi)(x1 , x2 ) = (αx1 − βx2 , αx2 + βx1 ) este un spat¸iu vectorial complex notat cu C V ( complexificatul lui V ) ¸si dimC C V = dimR V. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a a spat¸iului vectorial real V . Ar˘at˘am c˘a B = { (v1 , 0), (v2 , 0), ... , (vn , 0) }

este baz˘ a a spat¸iului vectorial complex C V . Oricare ar fi x1 , x2 ∈ V exist˘a numerele reale α1 , α2 , ... , αn ¸si β1 , β2 , ... , βn astfel ˆıncˆ at

79

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

x1 = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ,

x2 = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn .

Deoarece i(vj , 0) = (0, vj ) avem (x1 , x2 ) = (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn , 0) + (0, β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn ) Dac˘a

= (α1 + β1 i)(v1 , 0) + (α2 + β2 i)(v2 , 0) + · · · + (αn + βn i)(vn , 0). (α1 + β1 i)(v1 , 0) + (α2 + β2 i)(v2 , 0) + · · · + (αn + βn i)(vn , 0) = (0, 0)

atunci (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn , β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn ) = (0, 0) ceea ce conduce la α1 = α2 = · · · = αn = 0 ¸si β1 = β2 = · · · = βn = 0. 2.1.23 Scriind x1 + x2 i ˆın loc de (x1 , x2 ) obt¸inem C

V = { x1 + x2 i | x1 , x2 ∈ V }

¸si ˆınmult¸irea cu scalari

(α + βi)(x1 + x2 i) = (αx1 − βx2 ) + (αx2 + βx1 )i coincide formal cu ˆınmult¸irea uzual˘ a a numerelor complexe. 2.1.24 Definit¸ie. Prin relat¸ie de echivalent¸˘ a pe o mult¸ime M se ˆınt¸elege o submult¸ime R ⊆ M × M cu propriet˘a¸tile: 1)

(x, x) ∈ R,

∀x ∈ M

2)

(x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R )

(reflexivitate) (simetrie)

(x, y) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R (tranzitivitate) (y, z) ∈ R In loc de (x, y) ∈ R se prefer˘ a s˘ a se scrie x R y sau x ∼ y.

3)

2.1.25 Definit¸ie. Prin partit¸ie a unei mult¸imi M se ˆınt¸elege o familie {Mi }i∈I de submult¸imi ale lui M cu propriet˘a¸tile: 1) 2) 3)

Mi 6= ∅,

∀i ∈ I

Mi ∩ Mj = ∅,

S

i∈I

Mi = M.

∀i, j ∈ I cu i 6= j

80

Complemente de Matematic˘a

2.1.26 Propozit¸ie. a) Dac˘ a ∼ este relat¸ie de echivalent¸˘ a pe M atunci mult¸imile distincte de forma x ˆ={y |y∼x }

(clasa de echivalent¸˘ a a lui x)

formeaz˘ a o partit¸ie a lui M , notat˘ a cu M/∼ ¸si este numit˘ a mult¸imea factor corespunz˘ atoare relat¸iei ∼. b) Invers, dac˘ a {Mi }i∈I este o partit¸ie a lui M atunci relat¸ia ∼ definit˘ a prin x∼y

dac˘ a exist˘ a i ∈ I astf el ˆıncˆ at x, y ∈ Mi

este o relat¸ie de echivalent¸a ˘ pe M . Demonstrat¸ie. a) Reunind toate clasele de echivalent¸˘a obt¸inem mult¸imea M ¸si x ˆ 6= ∅ deoarece x ∈ x ˆ. In plus, x ∈ yˆ ∩ zˆ

=⇒

(

x∼y x∼z

=⇒

y∼z

=⇒

yˆ = zˆ.

b) Evident, relat¸ia ∼ este reflexiv˘a ¸si simetric˘a. Dac˘a x ∼ y ¸si y ∼ z atunci exist˘a i, j ∈ I astfel ˆıncˆ at x, y ∈ Mi ¸si y, z ∈ Mj . Mult¸imile partit¸iei fiind disjuncte rezult˘ a c˘a Mi = Mj ¸si prin urmare x ∼ z. 2.1.27 Propozit¸ie. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si W ⊆ V este un subspat¸iu vectorial atunci relat¸ia x∼y

dac˘ a

x−y ∈W

este o relat¸ie de echivalent¸˘ a pe V . Pe mult¸imea factor V /∼ notat˘ a cu V /W ¸si format˘ a din toate clasele de echivalent¸a ˘ x ˆ =x+W ={ x+y | y ∈W } relat¸iile x ˆ + yˆ = x\ + y,

c αˆ x = αx

definesc o structur˘ a de spat¸iu vectorial (numit spat¸iu factor). Demonstrat¸ie. Avem x − x = 0 ∈ W =⇒ x ∼ x x ∼ y =⇒ x − y ∈ W =⇒ y − x ∈ W =⇒ y ∼ x x∼y y∼z

)

x−y ∈W =⇒ y−z ∈W

)

=⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ W =⇒ x ∼ z.

81

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

Deoarece W + W = { x + y | x, y ∈ W } = W ¸si αW = { αx | x ∈ W } = W avem (x + W ) + (y + W ) = x + y + W,

α(x + W ) = αx + W

ceea ce arata c˘ a operat¸iile cu clase de echivalent¸˘a sunt bine definite (nu depind de reprezentantul ales). Elementul neutru este ˆ0 = 0 + W = W iar opusul lui x ˆ este d = −x + W. −ˆ x = −x

2.1.28 Exercit¸iu. Descriet¸i spat¸iul vectorial factor R2 /W ˆın cazul W = { (0, y) | y ∈ R }. Rezolvare. In acest caz

(x, y) ∼ (x′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, y) − (x′ , y ′ ) ∈ W ⇐⇒ x = x′ . Rezult˘a c˘ a \ (x, y) = (x, y) + W = { (x, y ′ ) | y ′ ∈ R }

¸si prin urmare, \ R2 /W = { (x, 0) | x ∈ R }.

2.1.29 Trecerea de la R2 la R2 /W se realizeaz˘ a “ignorˆ and” coordonata y, 2 adic˘ a identificˆ and vectorii (x, y) din R cu acela¸si x. 2.1.30 Teorem˘ a. Dac˘ a W este subspat¸iu vectorial al lui V atunci dim V /W = dim V − dim W. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vk } o baz˘ a a lui W pe care o complet˘ am pˆ an˘ a la o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , ..., vn } a lui V . Ar˘at˘am c˘a {ˆ vk+1 , vˆk+2 , ... , vˆn } este baz˘ aa lui V /W . Dac˘a x = α1 v1 + ... + αk vk + αk+1 vk+1 + ... + αn vn ∈ V

atunci x ˆ = α1 vˆ1 + ... + αk vˆk + αk+1 vˆk+1 + ... + αn vˆn = αk+1 vˆk+1 + ... + αn vˆn . Pe de alt˘ a parte dac˘ a αk+1 vˆk+1 + αk+2 vˆk+2 + ... + αn vˆn = 0 atunci αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + ... + αn vn ∈ W ¸si deci exist˘a α1 , α2 , ... , αk ∈ K astfel ˆıncˆ at

82

Complemente de Matematic˘a

αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + ... + αn vn = α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk relat¸ie care conduce la αk+1 = αk+2 = ... = αn = 0.

2.2

Transform˘ ari liniare

2.2.1 Definit¸ie. Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K (K = R sau K = C). O aplicat¸ie A : V −→ W : x 7→ Ax este numit˘ a transformare liniar˘ a (sau aplicat¸ie liniar˘ a ) dac˘ a A(αx + βy) = αAx + βAy,

∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K.

Transform˘arile liniare A : V → V mai sunt numite operatori liniari. 2.2.2 Vom utiliza notat¸iile L(V, W ) = { A : V −→ W | A este transformare liniar˘ a} L(V ) = { A : V −→ V | A este operator liniar }. 2.2.3 Propozit¸ie. Dac˘ a A : V −→ W este o aplicat¸ie liniar˘ a atunci def

Ker A = { x ∈ V | Ax = 0 } este subspat¸iu vectorial al lui V , numit nucleul lui A, iar def

Im A = { Ax | x ∈ V } este subspat¸iu vectorial al lui W , numit imaginea lui A. Demonstrat¸ie. Avem x, y ∈ KerA α, β ∈ K

)

=⇒ A(αx + βy) = αAx + βAy = 0 =⇒ αx + βy ∈ Ker A.

Dac˘a v, w ∈ Im A atunci exist˘a x, y ∈ V astfel ˆıncˆ at v = Ax ¸si w = Ay. Oricare ar fi α, β ∈ K avem αv + βw = αAx + βAy = A(αx + βy) ceea ce arat˘ a c˘ a αv + βw ∈ Im A.

83

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.2.4 MATHEMATICA: Baz˘a ˆın Ker A 1 2 3

2 4 6

3 6 9

!

In[1]:=MatrixForm[{{1, 2, 3}, {2, 4, 6}, {3, 6, 9}}]

7→

Out[1]=

In[2]:=NullSpace[{{1, 2, 3}, {2, 4, 6}, {3, 6, 9}}]

7→

Out[2]={{−3,0,1},{−2,1,0}}

2.2.5 Teorem˘ a (a rangului). Dac˘ a A : V −→ W este transformare liniar˘ a atunci dim V = dim Ker A + dim Im A. Demonstrat¸ie. Fie B0 = {v1 , v2 , ..., vk } o baz˘ a a subspat¸iului Ker A, unde k = dim Ker A. Acest sistem de vectori liniar independent¸i ˆıl complet˘ am pˆ an˘ a la o baz˘ a B = {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , vk+2 , ..., vn } a lui V , unde n = dim V. Vom ar˘ ata c˘a B′ = {Avk+1 , Avk+2 , ..., Avn }

este o baz˘ a a subspat¸iului Im A. ′ B este sistem de vectori liniar independent¸i: Din

rezult˘ a

αk+1 Avk+1 + αk+2 Avk+2 + · · · + αn Avn = 0 A(αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn ) = 0

ceea ce arat˘ a c˘ a αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn ∈ Ker A. Sistemul de vectori B0 fiind o baz˘ a in Ker A, rezult˘ a c˘ a exist˘a α1 , α2 , ..., αk ∈ K astfel incˆ at adic˘ a

αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk − αk+1 vk+1 − αk+2 vk+2 − · · · − αn vn = 0.

Deoarece B este baz˘ a ˆın V , acest˘ a relat¸ie este posibil˘ a doar ˆın cazul α1 = α2 = · · · = αk = αk+1 = αk+2 = · · · = αn = 0 ceea ce arat˘ a c˘ a B′ este sistem de vectori liniar independent¸i. B′ este sistem de generatori: Oricare ar fi y ∈ Im A exist˘ a x ∈ V astfel ˆıncˆ at y = Ax. Plecˆ and de la reprezentarea x = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn a lui x ˆın baza B se obt¸ine y = Ax = λ1 Av1 + λ2 Av2 + · · · + λk Avk + λk+1 Avk+1 + · · · + λn Avn = 0 + 0 + · · · + 0 + λk Avk + λk+1 Avk+1 + · · · + λn Avn

ceea ce arat˘ a c˘ a B′ este sistem de generatori pentru Im A.

84

Complemente de Matematic˘a

2.2.6 Propozit¸ie. O transformare liniar˘ a A : V −→ W este injectiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a Ker A = {0}. Demonstrat¸ie. Dac˘a A este injectiv˘ a atunci Ax = 0 implic˘ a x = 0 ¸si deci Ker A = {0}. Invers, dac˘ a Ker A = {0} atunci Ax = Ay =⇒ Ax−Ay = 0 =⇒ A(x−y) = 0 =⇒ x−y = 0 =⇒ x = y. 2.2.7 Propozit¸ie. Inversa unei transform˘ ari liniare bijective este o transformare liniar˘ a. Demonstrat¸ie. Fie A : V −→ W o aplicat¸ie liniar˘ a bijectiv˘ a. Oricare ar fi x, y ∈ W ¸si α, β ∈ K are loc relat¸ia αx + βy = αA(A−1 x) + βA(A−1 y) = A(αA−1 x + βA−1 y) ¸si prin urmare A−1 (αx + βy) = αA−1 x + βA−1 y. 2.2.8 Definit¸ie. Prin izomorfism liniar se ˆınt¸elege o transformare liniar˘ a bijectiv˘ a. 2.2.9 Definit¸ie. Spunem c˘ a spat¸iile vectoriale V ¸si W sunt izomorfe dac˘ a exist˘a un izomorfism liniar A : V −→ W . 2.2.10 Teorem˘ a. Dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘ a ¸si numai dac˘ a au aceea¸si dimensiune. Demonstrat¸ie. Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste K izomorfe ¸si fie A : V −→ W un izomorfism liniar. Din relat¸iile Ker A = {0},

Im A = W,

dim V = dim Ker A + dim Im A

rezult˘ a c˘ a dim V =dim W . Invers, dac˘ a dim V =dim W = n, alegˆand o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vn } ˆın V ¸si o baz˘ a {w1 , w2 , ..., wn } ˆın W putem defini izomorfismul liniar A : V −→ W,

A(xj vj ) = xj wj .

2.2.11 Notat¸ia Kn se utilizeaz˘ a pentru spat¸iul vectorial Kn = { (x1 , x2 , ..., xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ K }

identificat cu spat¸iul vectorial al matricelor linie Kn = { (x1 x2 ... xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ K }

85

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

dar ¸si pentru spat¸iul vectorial al matricelor coloan˘ a   1  x    2   x    x1 , x2 , ..., xn ∈ K Kn =  .      ..    



xn

          

.

2.2.12 Teorem˘ a. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial peste K atunci orice baz˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } a lui V (cu ordinea vectorilor fixat˘ a) define¸ste izomorfismul   1 x  2   x   A : V −→ Kn , A(xj vj ) =   ..   .  xn

care permite identificarea lui V cu Kn .

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A este liniar˘ a, Ker A = {0} ¸si Im A = Kn . 2.2.13 Definit¸ie. Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K, BV = {v1 , v2 , ..., vn } baz˘ a ˆın V BW = {w1 , w2 , ..., wm } baz˘ a ˆın W A : V −→ W transformare liniar˘ a ¸si fie Avi = aji wj

adic˘ a Av1 = a11 w1 + a21 w2 + · · · + am 1 wm m 2 1 Av2 = a2 w1 + a2 w2 + · · · + a2 wm

Matricea

....................................................... Avn = a1n w1 + a2n w2 + · · · + am n wm . 

   A=  

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. .. . . . . .. . . · · · am am am n 2 1

      

se nume¸ste matricea lui A ˆın raport cu bazele BV ¸si BW . 2.2.14 Deoarece orice vector se poate reprezenta ˆın mod unic sub forma

86

Complemente de Matematic˘a

x = x i vi

x=

n X

x i vi

i=1

rezult˘ a c˘ a Ax = A

adic˘ a

n X i=1

i

x vi

!

=

n X

i

x Avi =

i=1

n X

x

i=1



i

m X

aji

j=1



wj  =

n m X X

j=1

aji

x

i=1

i

!

wj

ceea ce arat˘ a c˘ a transformarea liniar˘ a A este complet determinat˘a de matricea ei ˆın raport cu bazele alese. 2.2.15 Punˆand x = xi vi = x1 v1 +x2 v2 + · · · +xn vn ,

y = y j wj = y 1 w1 +y 2 w2 + · · · +y m wm

relat¸ia y = Ax se poate scrie sub forma    a11 a12 y1   2  y   .  .  . 

ym

    =   

  2  a1   .  .  . 

a1n

···

a22

..



 a2n     ..   . 

···

.. .



.

· · · am am am n 2 1



x1

 

x2   

. ..   . 

xn



2.2.16 Teorem˘ a. La o schimbare de baz˘ a matricea unui operator liniar A : V −→ V se schimb˘ a dup˘ a formula A′ = S −1 AS unde S este matricea de trecere de la baza veche la baza nou˘ a. Demonstrat¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn }, B′ = {v1′ , v2′ , ..., vn′ } baze ˆın V ,   1 α1 α12 · · · α1n    S=  

α21 .. .



α22 · · · α2n   ..  .. . . . .  . 

unde

vi′ = αji vj

αn1 αn2 · · · αnn

matricea de trecere de la B la  1 a1 a12  2  a1 a22  A= . ..  .. .  n a1 an2

B′ ¸si fie



· · · a1n  · · · a2n   ..  .. . .   · · · ann

unde

Avi = aki vk

87

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

¸si



a′ 11

 ′2  a1  A = .  .  . ′

a′ 12 a′ 22 .. .

· · · a′ 1n

· · · a′ 2n . .. . ..

a′ n1 a′ n2 · · · a′ nn

      

unde

k

Avi′ = a′ i vk′

matricele lui A ˆın raport cu B ¸si respectiv B′ . Din relat¸iile 



Avi′ = A αji vj = αji Avj = αji akj vk Avi′ = a′ ji vj′ = a′ ji αkj vk rezult˘ a j

αkj a′ i = akj αji adic˘ a relat¸ia SA′ = AS care implic˘ a A′ = S −1 AS. 2.2.17 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si A : V → V un operator liniar. Spunem c˘ a num˘ arul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dac˘ a exist˘a un vector v 6= 0, numit vector propriu corespunz˘ ator valorii λ, astfel ˆıncˆ at Av = λv. 2.2.18 Propozit¸ie. Dac˘ a λ este valoare proprie a operatorului A : V −→ V atunci Vλ = {x ∈ V | Ax = λx} este subspat¸iu vectorial al lui V (numit subspat¸iul propriu corespunz˘ ator lui λ). Demonstrat¸ie. Avem x, y ∈ Vλ α, β ∈ K

)

=⇒

A(αx + βy) = αAx + βAy = αλx + βλy = λ(αx + βy).

2.2.19 Propozit¸ie. Polinomul (numit polinomul caracteristic) a1 −λ a12 1 a22 −λ a21 P (λ) = det(A − λI) = .. .. . . an an2 1

··· ··· ..

.

···

2 an .. . ann −λ

a1n

88

Complemente de Matematic˘a

asociat unui operator liniar A : V −→ V folosind matricea ˆıntr-o baz˘ a fixat˘ a nu depinde de baza aleas˘ a. Demonstrat¸ie. Cu notat¸iile de mai sus, avem det(A′ − λI) = det(S −1 AS − λI) = det(S −1 (A − λI)S) = detS −1 det(A − λI) detS =

1 detS

det(A − λI) detS = det(A − λI).

2.2.20 Deoarece P (λ) = (−1)n λn + (−1)n−1 (a11 + a22 + ... + ann )λn−1 + ... + det A numerele det A ¸si tr A = a11 + a22 + ... + ann (numit urma operatorului) definite cu ajutorul unei baze, nu depind de baza aleas˘ a. 2.2.21 MATHEMATICA: Det[A], Tr[A],

CharacteristicPolynomial[A,t]

7→ 7→ In[3]:=CharacteristicPolynomial[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}},t] → 7

,

In[1]:=Det[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}]

Out[1]=0

In[2]:=Tr[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}]

Out[2]=15 Out[3]=18t+15t2 −t3

2.2.22 Teorem˘ a. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator liniar. Num˘ arul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dac˘ a ¸si numai dac˘ a este r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a dac˘ a P (λ) = 0. Demonstrat¸ie. Conform definit¸iei, λ ∈ K este valoare proprie dac˘ a ¸si numai dac˘ a ˆ exist˘a x 6= 0 cu Ax = λx. Intr-o baz˘ a fixat˘a, acest lucru este echivalent cu faptul c˘a sistemul  (a11 −λ)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0      a2 x + (a2 −λ)x + · · · + a2 x = 0 2 n n 2 1 1  ...................................................     n n n

a1 x1 + a2 x2 + · · · + (an −λ)xn = 0

are ¸si alte solut¸ii ˆın afar˘a de (0, 0, ..., 0), ceea ce are 1 a −λ ··· a1n a12 1

a21 .. . an1

a22 −λ · · · .. .. . . n ··· a2

loc dac˘ a ¸si numai dac˘ a

2 an = 0. .. . n an −λ

89

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.2.23 In cazul ˆın care V este spat¸iu vectorial real, numai r˘ ad˘ acinile reale ale polinomului caracteristic sunt valori proprii ale lui A. 2.2.24 Definit¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar ¸si W ⊆ V subspat¸iu vectorial. Spunem c˘ a W este subspat¸iu invariant dac˘ a A(W ) ⊆ W. 2.2.25 Subspat¸iile proprii ale unui operator liniar sunt subspat¸ii invariante w ∈ Vλ

Aw = λw ∈ Vλ .

=⇒

2.2.26 Propozit¸ie. Matricea unui operator liniar A : V −→ V ˆın raport cu o baz˘ a B este o matrice diagonal˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a B este format˘ a doar din vectori proprii ai lui A. Demonstrat¸ie. Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a a lui V format˘a din vectori proprii ai lui A Avi = λi vi (unele dintre numerele λ1 , λ2 , ..., λn putˆ and fi egale) atunci matricea lui A ˆın aceast˘ a baz˘ a este   λ1 0 0 · · · 0    0 λ2 0 · · · 0    A= . . .. .. . . ..   .. . .  . .   0

0

Invers, dac˘ a matricea lui A ˆın raport cu o gonal˘ a  α1 0   0 α2  A= . ..  .. .  0 0 atunci

0 · · · λn

baz˘ a B = {w1 , w2 , ..., wn } are forma dia0 0 .. . 0

··· ··· .. .

0 0 .. . · · · αn

      

Awi = αi wi oricare ar fi i ∈ {1, 2, ..., n}. Deoarece o baz˘ a nu poate cont¸ine vectorul nul rezult˘ a c˘a w1 , w2 , ..., wn sunt vectori proprii ai lui A ¸si α1 , α2 , ..., αn valorile proprii corespunz˘ atoare.

90

Complemente de Matematic˘a

2.2.27 Definit¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar ¸si λ o valoare proprie. Spunem c˘ a λ are multiplicitatea algebric˘ a k dac˘ a este r˘ ad˘ acin˘ a de ordinul k a polinomului caracteristic. Prin multiplicitate geometric˘ a a lui λ se ˆınt¸elege dimensiunea subspat¸iului propriu Vλ corespunz˘ator lui λ. 2.2.28 Propozit¸ie. Dac˘ a v1 , v2 , ..., vk sunt vectori proprii ai operatorului A : V −→ V corespunz˘ atori la valori proprii distincte λ1 , λ2 , ..., λk Avi = λi vi atunci {v1 , v2 , ..., vk } este sistem de vectori liniar independent¸i. Demonstrat¸ie (cazul k = 3). Din α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = 0

(2.3)

rezult˘ a A(α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ) = 0 adic˘ a relat¸ia α1 Av1 + α2 Av2 + α3 Av3 = 0 care se mai scrie α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + α3 λ3 v3 = 0.

(2.4)

Adunˆ and relat¸ia (2.4) cu relat¸ia (2.3) ˆınmult¸it˘a cu (−λ3 ) se obt¸ine α1 (λ1 − λ3 )v1 + α2 (λ2 − λ3 )v2 = 0.

(2.5)

Aplicˆand operatorul A relat¸iei (2.5) obt¸inem α1 (λ1 − λ3 )λ1 v1 + α2 (λ2 − λ3 )λ2 v2 = 0.

(2.6)

Adunˆ and relat¸ia (2.6) cu relat¸ia (2.5) ˆınmult¸it˘a cu (−λ2 ) rezult˘ a α1 (λ1 − λ3 )(λ1 − λ2 )v1 = 0. Deoarece λ1 , λ2 , λ3 sunt distincte ¸si v1 6= 0 rezult˘ a α1 = 0 ¸si apoi din (2.5) obt¸inem ˆ α2 = 0. Inlocuind ˆın (2.3) pe α1 ¸si α2 cu 0 deducem c˘a α3 = 0.

91

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.2.29 Din propozit¸ia anterioar˘ a rezult˘ a existent¸a formei diagonale ˆın cazul ˆın care r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic apart¸in toate corpului K peste care este considerat V ¸si sunt toate distincte. 2.2.30 Teorem˘ a. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator liniar. Exist˘ a o baz˘ a a lui V ˆın raport cu care matricea lui A este diagonal˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a toate r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic apart¸in lui K ¸si pentru fiecare dintre ele multiplicitatea algebric˘ a este egal˘ a cu cea geometric˘ a. Demonstrat¸ie. (ˆın cazul a dou˘ a r˘ ad˘ acini λ1 6= λ2 cu multiplicit˘ a¸tile 2 ¸si respectiv 3). ˆIn cazul considerat dim V = 2+3 = 5, dim Vλ = 2 ¸si dim Vλ = 3. Fie {v1 , v2 } baz˘ a ˆın 1 2 Vλ1 = { x ∈ V | Ax = λ1 x }

¸si {w1 , w2 , w3 } baz˘ a ˆın

Vλ2 = { x ∈ V | Ax = λ2 x }. Este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a {v1 , v2 , w1 , w2 , w3 } este baz˘ a ˆın V . Fie α1 v1 + α2 v2 + α3 w1 + α4 w2 + α5 w3 = 0. Aplicˆand A obt¸inem λ1 (α1 v1 + α2 v2 ) + λ2 (α3 w1 + α4 w2 + α5 w3 ) = 0. Adunˆ and aceast˘ a relat¸ie cu relat¸ia (2.7) ˆınmult¸it˘a cu (−λ2 ) obt¸inem (λ1 − λ2 )(α1 v1 + α2 v2 ) = 0

de unde α1 = α2 = 0. ˆInlocuind ˆın (2.7) rezult˘ a α3 = α4 = α5 = 0. 2.2.31 Orice matrice

      

a11

a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n .. .. . . . . .. . . an1 an2 · · · ann

este matricea ˆın raport cu baza canonic˘ a



    ∈ Mn×n (K)  

B = {e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... , en = (0, 0, ..., 0, 1)}

a operatorului liniar

(2.7)

92

Complemente de Matematic˘a



A : Kn −→ Kn ,

    A   

x1





     =  ..    .     

x2   xn

a11 a21 .. .

a12 · · · a1n

 

 a22 · · · a2n    .. . . .   . ..   .

an1 an2 · · · ann





x1



x2   

. ..   .  

xn

2.2.32 Definit¸ie. Prin valoare proprie a unei matrice (respectiv vector propriu al unei matrice) A ∈ Mn×n (K) se ˆınt¸elege o valoare proprie (respectiv vector propriu) a operatorului liniar asociat A : Kn −→ Kn . 2.2.33 MATHEMATICA: Eigenvalues[A] , Eigenvectors[A] 0 1 1

1 0 1

In[1]:=MatrixForm[{{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}]

7→

Out[1]=

In[2]:=Eigenvalues[{{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}]

7→ 7→

Out[2]={2,−1,−1}

In[3]:=Eigenvectors[{{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}]

1 1 0

!

Out[3]={{1,1,1},{−1,0,1},{−1,1,0}}

2.2.34 Definit¸ie. Spunem c˘ a matricea A ∈ Mn×n (K) este diagonalizabil˘ a dac˘ a n n operatorului liniar asociat A : K −→ K este diagonalizabil.

2.3

Dualul unui spat¸iu vectorial

2.3.1 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K. O funct¸ie ϕ : V −→ K este numit˘ a form˘ a liniar˘ a dac˘ a ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K. 2.3.2 Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si ϕ : V −→ K este form˘a liniar˘ a atunci exist˘a numerele ϕi = ϕ(vi ) unic determinate astfel ˆıncˆ at ϕ(x) = ϕi xi

adic˘ a

ϕ(xi vi ) = ϕi xi .

93

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.3.3 Dac˘a V este un spat¸iu vectorial peste corpul K atunci V ∗ = { ϕ : V −→ K | ϕ este form˘a liniar˘ a } ˆınzestrat cu operat¸iile de adunare V ∗ × V ∗ −→ V ∗ : (ϕ, ψ) 7→ ϕ + ψ

unde

ϕ + ψ : V −→ K (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)

¸si ˆınmult¸ire cu scalari K × V ∗ −→ V ∗ : (λ, ϕ) 7→ λϕ

λϕ : V −→ K (λϕ)(x) = λ ϕ(x)

unde

este spat¸iu vectorial (numit dualul lui V ). 2.3.4 Teorem˘ a Oricare ar fi spat¸iul vectorial V avem dim V ∗ = dim V. Demonstrat¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a. Ar˘at˘am c˘a B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n }, unde i

i

δji

(

1 dac˘ a i=j 0 dac˘ a i 6= j

v : V −→ K,

v (vj ) =

v i : V −→ K,

v i (x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = xi

=

adic˘ a

este o baz˘ a a lui V ∗ , numit˘ a duala bazei B. Fie α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αn v n = 0

adic˘ a

(α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αn v n )(x) = 0,

∀x ∈ V

ceea ce se mai scrie α1 v 1 (x) + α2 v 2 (x) + · · · + αn v n (x) = 0,

∀x ∈ V.

Alegˆand x = v1 obt¸inem α1 = 0, alegˆand x = v2 obt¸inem α2 = 0, etc. Dac˘a ϕ ∈ V ∗ atunci notˆ and ϕi = ϕ(vi ) obtinem

ϕ(x) = ϕ(x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = x1 ϕ(v1 ) + x2 ϕ(v2 ) + · · · + xn ϕ(vn )

= v 1 (x) ϕ1 + v 2 (x) ϕ2 + · · · + v n (x) ϕn = (ϕ1 v 1 + ϕ2 v 2 + · · · + ϕn v n )(x)

oricare ar fi x ∈ V , adic˘ a

ϕ = ϕ1 v 1 + ϕ2 v 2 + · · · + ϕn v n = ϕi v i .

94

Complemente de Matematic˘a

2.3.5 Definit¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ˆın V . Baza lui V ∗ B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n }

format˘ a din formele liniare v i : V −→ K, definite prin i

v (vj ) =

δji

=

(

adic˘ a din funct¸iile v i : V −→ K,

1 dac˘ a i=j 0 dac˘ a i 6= j

v i (x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = xi

se nume¸ste duala bazei B. 2.3.6 Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n } duala ei atunci x∈V

=⇒

x = xi vi =

ϕ ∈ V ∗ =⇒ ϕ = ϕi v i =

n P

i=1 n P

i=1

v i (x) vi

adic˘ a

xi = v i (x)

ϕ(vi ) v i

adic˘ a

ϕi = ϕ(vi ).

2.3.7 Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n } duala ei atunci   x1  2   x   ¸si V ∗ −→ Kn : ϕ 7→ (ϕ1 ϕ2 ... ϕn ) V −→ Kn : x 7→   ..   .  xn

sunt izomorfisme liniare care permit identificarea spat¸iilor  x1  2  x ϕ(x) = ϕi xi = (ϕ1 ϕ2 ... ϕn )   ..  . xn

V ¸si V ∗ cu Kn . Avem 

  .  

2.3.8 Teorem˘ a Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K, a baze ˆın V , B = {v1 , v2 , ..., vn }, B′ = {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘ ∗ 1 ′2 n ∗ 1 2 n ′ ′ ′ B = {v , v , ..., v }, B = {v , v , ..., v } dualele lor ¸si     β11 β21 · · · βn1 α11 α12 · · · α1n    S=   

··· .. .

α2n .. .

αn1 αn2 · · ·

αnn

α21 .. .

α22 .. .

   ,   

S −1

   =   

··· .. .

βn2 .. .

β1n β2n · · ·

βnn

β12 .. .

β22 .. .

matricele de trecere ˆıntre B ¸si B′ . Oricare ar fi

      

95

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

x = xj vj = x′i v ′ i ∈ V

i

ϕ = ϕj v j = ϕ′i v ′ ∈ V ∗

¸si

au loc relat¸iile vi′ = αji vj

v ′ i = βji v j

ϕ′i = αji ϕj

x′i = βji xj .

(2.8)

Demonstrat¸ie. Avem xj vj = x′i vi′ = x′i αji vj

=⇒

xj = αji x′i

=⇒

βjk xj = βjk αji x′i = δik x′i = x′k .

Deoarece x′k = v ′ k (x) ¸si xj = v j (x) relat¸ia anterioar˘ a se poate scrie sub forma k

v ′ (x) = βjk v j (x)

sau

k

v ′ (x) = (βjk v j )(x).

Relat¸ia avˆand loc pentru oricare x ∈ V rezult˘ a k

v ′ = βjk v j .

Folosind liniaritatea lui ϕ obt¸inem ϕ′i = ϕ(vi′ ) = ϕ(αji vj ) = αji ϕ(vj ) = αji ϕj . 2.3.9 Dualul V ∗∗ = (V ∗ )∗ al dualului V ∗ este numit bidualul lui V . Avem V ∗∗ = { f : V ∗ −→ K | f este forma liniara } ¸si dim V ∗∗ = dim V ∗ = dim V. S¸tim c˘a dou˘ a spat¸ii vectoriale de aceea¸si dimensiune pot fi identificate alegˆand cˆate o baz˘ a ˆın fiecare dintre ele. Evident, identificarea depinzˆand de bazele alese, se poate face ˆıntr-o infinitate de feluri. Ar˘at˘am c˘a orice spat¸iu vectorial V se poate identifica cu bidualul V ∗∗ ˆıntr-un mod natural care s˘ a nu mai depind˘a de alegerea unor baze. Relat¸iile (2.8) arat˘ a existent¸a unei ciclicit˘a¸t i ˆın cazul repet˘arii trecerii la dual. 2.3.10 Teorem˘ a Aplicat¸ia Ψ : V −→ V ∗∗ : x 7→ Ψ[x] prin care vectorului x ∈ V i se asociaz˘ a forma liniar˘ a Ψ[x] : V ∗ −→ K,

Ψ[x](f ) = f (x)

este un izomorfism liniar care permite identificarea lui V cu V ∗∗ . Demonstrat¸ie. Funct¸ia Ψ[x] apart¸ine lui V ∗∗ deoarece este liniar˘ a Ψ[x](αf + βg) = (αf + βg)(x) = α f (x) + β g(x) = α Ψ[x](f ) + β Ψ[x](g).

96

Complemente de Matematic˘a

Aplicat¸ia Ψ : V −→ V ∗∗ este transformare liniar˘ a deoarece Ψ[αx + βy](f ) = f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) = (αΨ[x] + βΨ[y])(f ) oricare ar fi f ∈ V ∗ . Transformarea Ψ este injectiv˘ a deoarece din ⇐⇒

Ψ[x] = 0

Ψ[x](f ) = 0, ∀f ∈ V ∗

⇐⇒

f (x) = 0, ∀f ∈ V ∗

rezult˘ a Ker Ψ = {0}. Conform teoremei rangului are loc relat¸ia dim Ker Ψ + dim Im Ψ = dim V din care rezult˘ a Im Ψ = V ∗∗ , adic˘ a surjectivitatea lui Ψ.

2.4

Sume de spat¸ii vectoriale

2.4.1 Propozit¸ie. Dac˘ a W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale atunci W = W1 ∩ W2 este subspat¸iu vectorial al lui V . Demonstrat¸ie. Avem x, y ∈ W α, β ∈ K

)



)  x, y ∈ W1  αx + βy ∈ W1 =⇒ x, y ∈ W2 =⇒ =⇒ αx + βy ∈ W.  αx + βy ∈ W2  α, β ∈ K

2.4.2 In general, reuniunea a dou˘ a subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu vectorial V nu este un subspat¸iu vectorial. De exemplu, W1 = {(x, 0) | x ∈ R}

¸si

W2 = {(0, y) | y ∈ R}

sunt subspat¸ii vectoriale ale lui R2 , dar W = W1 ∪ W2 nu este subspat¸iu vectorial al lui R2 . Intr-adev˘ ar, (1, 0) ∈ W ¸si (0, 1) ∈ W dar (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6∈ W . 2.4.3 Propozit¸ie. Dac˘ a W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale atunci def

W1 +W2 = {w1 +w2 | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 } este subspat¸iu vectorial al lui V . Demonstrat¸ie. Avem

97

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

w1 + w2 ∈ W1 + W2 w1′ + w2′ ∈ W1 + W2 α, β ∈ K

    

=⇒

  α(w1 + w2 ) + β(w1′ + w2′ )

 = (αw + βw′ ) + (αw + βw′ ) ∈ W + W . 1 2 2 1 2 1

2.4.4 Definit¸ie. Fie W1 , W2 ⊆ V dou˘ a subspat¸ii vectoriale. Subspat¸iul vectorial W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 } se nume¸ste suma subspat¸iilor W1 ¸si W2 . 2.4.5 Teorem˘ a (a dimensiunii). Dac˘ a W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii ale lui V atunci dim (W1 +W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩W2 ). Demonstrat¸ie. Fie B0 = {u1 , u2 , ..., un } o baz˘ a a spat¸iului vectorial W1 ∩ W2 pe care o complet˘ am pˆ an˘ a la o baz˘ a B1 = {u1 , u2 , ..., un , v1 , v2 , ..., vk }

a spat¸iului vectorial W1 ¸si pˆ an˘ a la o baz˘ a B2 = {u1 , u2 , ..., un , w1 , w2 , ..., wm }

a spat¸iului vectorial W2 , unde n = dim (W1 ∩W2 ), n+k = dim W1 , n+m = dim W2 . Este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a B = {u1 , u2 , ..., un , v1 , v2 , ..., vk , w1 , w2 , ..., wm }

este o baz˘ a a lui W1 + W2 . Orice vector de forma x1 + x2 cu x1 ∈ W1 ¸si x2 ∈ W2 este o combinat¸ie liniar˘ a de vectorii lui B. Relat¸ia α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk + γ1 w1 + ... + γm wm = 0

(2.9)

se poate scrie sub forma α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk = −γ1 w1 − ... − γm wm . Egalitatea dintre vectorul α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk apart¸inˆ and lui W1 si vectorul −γ1 w1 − ... − γm wm apart¸inˆ and lui W2 este posibil˘ a numai dac˘ a −γ1 w1 − ... − γm wm ∈ W1 ∩ W2 , adic˘ a dac˘ a exist˘a δ1 , δ2 , ..., δ1 ∈ K ˆıncˆ at −γ1 w1 − γ2 w2 − ... − γm wm = δ1 u1 + δ2 u2 + ... + δn un . Scriind ultima relat¸ie sub forma δ1 u1 + δ2 u2 + ... + δn un + γ1 w1 + γ2 w2 + ... + γm wm = 0

98

Complemente de Matematic˘a

¸si ¸tinˆ and seama de faptul c˘ a B2 este baz˘ a ˆın W2 rezult˘ a δ1 = δ2 = ... = δn = γ1 = γ2 = ... = γm = 0. Relat¸ia (2.9) devine α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk = 0. Tinˆ and seama de faptul c˘ a B1 este baz˘ a ˆın W1 obt¸inem α1 = α2 = ... = αn = β1 = β2 = ... = βk = 0. Prin urmare B este baz˘ a a lui W1 + W2 ¸si dim(W1 + W2 ) = n + k + m = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2 ). 2.4.6 Definit¸ie. Fie W1 , W2 dou˘ a subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu vectorial V . Spunem c˘ a suma W1 + W2 este sum˘ a direct˘ a ¸si utiliz˘ am notat¸ia W1 ⊕ W2 dac˘ a scrierea oric˘ arui vector w ∈ W1 +W2 ca suma w = w1 +w2 dintre un vector w1 ∈ W1 ¸si un vector w2 ∈ W2 este unic˘ a. 2.4.7 Propozit¸ie. Fie W1 , W2 ⊆ V dou˘ a subspat¸ii vectoriale. Suma W1 + W2 este sum˘ a direct˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a W1 ∩ W2 = {0}. Demonstrat¸ie. “=⇒” Dac˘a W1 ∩ W2 6= {0} atunci exist˘a x ∈ W1 ∩ W2 nenul care admite reprezent˘ arile x = x + 0 ¸si x = 0 + x, ceea ce arat˘ a c˘a suma nu este direct˘ a. “⇐=” Fie subspat¸iile W1 ¸si W2 cu W1 ∩ W2 = {0}. Dac˘a v ∈ W1 + W2 admite reprezent˘ arile v = w1 + w2 cu w1 ∈ W1 ¸si w2 ∈ W2 v = w1′ + w2′ cu w1′ ∈ W1 ¸si w2′ ∈ W2 atunci w1 + w2 = w1′ + w2′ . Scriind aceast˘ a relat¸ie sub forma w1 − w1′ = w2 − w2′

din w1 − w1′ ∈ W1 , w2 − w2′ ∈ W2 ¸si W1 ∩ W2 = {0} deducem c˘a w1 − w1′ = 0, a c˘a suma este direct˘ a. a w1 = w1′ ¸si w2 = w2′ , ceea ce arat˘ w2 − w2′ = 0, adic˘ 2.4.8 In cazul sumei directe avem dim W1 ⊕ W2 = dim W1 + dim W2 .

99

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.4.9 Am definit suma a dou˘ a spat¸ii vectoriale ˆın cazul particular ˆın care exist˘a un spat¸iu vectorial ˆın care ambele sunt subspat¸ii vectoriale. Ea reprezint˘a o sum˘a intern˘ a. Ar˘at˘ am ca suma a dou˘ a spat¸ii vectoriale se poate defini pentru orice spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp ¸si poate fi privit˘a ca o sum˘ a direct˘ a extern˘ a. 2.4.10 Propozit¸ie. Dac˘ a V ¸si W sunt spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K atunci V × W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W } considerat ˆımpreun˘ a cu adunarea (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ ) ¸si ˆınmult¸irea cu scalari α(x, y) = (αx, αy) este spat¸iu vectorial, notat cu V ⊕ W ¸si dim(V ⊕ W ) = dim V + dim W. Demonstrat¸ie. Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } ¸si {w1 , w2 , ..., wk } sunt baze ˆın V ¸si W atunci { (v1 , 0), (v2 , 0), ..., (vn , 0), (0, w1 ), (0, w2 ), ..., (0, wk ) } este baz˘ a ˆın V × W. 2.4.11 Definit¸ie. Fie V ¸si W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Spat¸iul def

V ⊕W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W } se nume¸ste suma direct˘ a a spat¸iilor V ¸si W . 2.4.12 Spat¸ile V ¸si W pot fi identificate cu subspat¸iile { (x, 0) | x ∈ V },

{ (0, y) | y ∈ W }

ale lui V ⊕ W ¸si avem { (x, 0) | x ∈ V } ∩ { (0, y) | y ∈ W } = {(0, 0)} { (x, 0) | x ∈ V } + { (0, y) | y ∈ W } = V ⊕ W

ceea ce justific˘ a notat¸ia V ⊕ W .

2.4.13 Exemplu. Avem R2 = R ⊕ R, R3 = R ⊕ R ⊕ R, ...

100

Complemente de Matematic˘a

2.5

Produs tensorial de spat¸ii vectoriale

2.5.1 Pe parcursul acestei sect¸iuni vom continua s˘ a utiliz˘ am convent¸ia de sumare scriind, de exemplu, F ij vi ⊗ wj

ˆın loc de

v i (T vk ) v k

ˆın loc de

Pn

i=1

Pn

Pm

k=1 v

j=1 F

i (T v

ij v

k) v

i

k,

⊗ wj etc.

2.5.2 Dac˘a V este un spat¸iu vectorial peste K ¸si {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a cu duala 1 2 n {v , v , ..., v } atunci x∈V =⇒ x = xi vi ϕ∈V ∗ =⇒ ϕ = ϕi v i A ∈ L(V ) =⇒ Avi = aji vj

Aplicat¸iile

V −→

Kn



  : x→ 7   

x1 x2 .. . xn





    =    

cu xi = v i (x) cu ϕi = ϕ(vi ) cu aji = v j (Avi ).

v 1 (x) v 2 (x) .. . v n (x)

     

V ∗ −→ Kn : ϕ 7→ (ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕn ) = (ϕ(v1 ), ϕ(v2 ), ... , ϕ(vn )) sunt izomorfisme liniare care permit identificarea spat¸iilor V ¸si V ∗ cu Kn . 2.5.3 Dac˘a V este un spat¸iu vectorial peste corpul K, asociind fiec˘ arui x ∈ V forma liniar˘ a (a se vedea pag. 95-10) x : V ∗ −→ K,

x(ϕ) = ϕ(x)

obt¸inem un izomorfism V −→ V ∗∗ care permite identificarea lui V cu bidualul V ∗∗ = { f : V ∗ −→ K | f este form˘a liniar˘ a }. 2.5.4 Definit¸ie. Fie V , W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. O aplicat¸ie F : V ∗ × W ∗ −→ K este numit˘ a form˘ a biliniar˘ a dac˘ a F (αϕ+βψ, η) = αF (ϕ, η)+βF (ψ, η), ∀ϕ, ψ ∈ V ∗ , ∀η ∈ W ∗ , ∀α, β ∈ K ∗ F (ϕ, αη+βµ) = αF (ϕ, η)+βF (ϕ, µ), ∀ϕ ∈ V , ∀η, µ ∈ W ∗ , ∀α, β ∈ K.

101

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.5.5 Exemplu. Oricare ar fi x ∈ V ¸si y ∈ W , aplicat¸ia x ⊗ y : V ∗ × W ∗ −→ K,

(x ⊗ y)(f, g) = f (x) g(y)

este form˘ a biliniar˘a. 2.5.6 Definit¸ie. Fie V , W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Spat¸iul def

V ⊗ W = { F : V ∗ ×W ∗ −→ K | F este form˘ a biliniar˘ a} considerat ˆımpreun˘ a cu operat¸iile uzuale de adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari este un spat¸iu vectorial, numit produsul tensorial al spat¸iilor V ¸si W . 2.5.7 Teorem˘ a Fie V , W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Dac˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wm } este baz˘ a ˆın W atunci { vi ⊗ wj | i ∈ {1, 2, ..., n}, j ∈ {1, 2, ..., m} } este baz˘ a ˆın V ⊗ W ¸si prin urmare dim V ⊗W = nm, adic˘ a dim V ⊗W = dim V · dim W. Demonstrat¸ie. Oricare ar fi forma biliniar˘a F : V ∗ ×W ∗ → K avem F (ϕ, ψ) = F (ϕ(vi )v i , ψ(wj )wj ) = F (v i , wj ) ϕ(vi ) ψ(wj ) = F (v i , wj ) vi ⊗ wj (ϕ, ψ) oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ ¸si ψ ∈ W ∗ adic˘ a ij F = F vi ⊗ w j ij Dac˘a numerele α ∈ K sunt astfel ˆıncˆ at αij vi ⊗ wj = 0,

unde F ij = F (v i , wj ) αij vi ⊗ wj (ϕ, ψ) = 0

adic˘ a

oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ ¸si ψ ∈ W ∗ , atunci alegˆand ϕ = v k ¸si ψ = wℓ deducem c˘a αij vi ⊗ wj (v k , wℓ ) = 0,

adic˘ a

αij v k (vi ) wℓ (wj ) = 0

ceea ce conduce la αkℓ = 0, oricare ar fi k ∈ {1, 2, ..., n} ¸si ℓ ∈ {1, 2, ..., m}. 2.5.8 Alegˆand o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vn } ˆın V ¸si o baz˘ a {w1 , w2 , ..., wm } ˆın W , produsul tensorial V ⊗ W se poate descrie ca fiind format din toate combinat¸iile liniare F = F ij vi ⊗ wj

cu

F ij ∈ K.

102

Complemente de Matematic˘a

2.5.9 Definit¸ie. Fie K unul dintre corpurile R, C ¸si fie matricea 



· · · a1m  · · · a2m     A= ..  ..  ∈ Mn×m (K). . .   an1 an2 · · · anm Prin minor de ordin k al lui A se ˆınt¸elege un determinant de forma a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

a i1 j 1 ai2 j1 . . . ai j 1

ai1 j2 ai2 j2 .. . ai k j 2

k

unde

1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n

· · · ai1 jk · · · ai2 jk .. .. . . · · · aik jk



1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ m.

¸si

2.5.10 Definit¸ie. Spunem c˘ a matricea A ∈ Mn×m (K) are rangul r ¸si scriem rang A = r dac˘ a A are un minor de ordinul r nenul ¸si tot¸i minorii de ordin mai mare sunt nuli. 2.5.11 Teorem˘ a (Kronecker). Dac˘ a   

A=  

¸si Ai = (ai1

ai2

...

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1m a2m .. .

an1 an2 · · · anm aim ) ∈ M1×m (K),

atunci



   ∈ Mn×m (K)   

  A =   j

a1j a2j .. .

anj



   ∈ Mn×1 (K)  

rang A = dim span{A1 , A2 , ..., An } = dim span {A1 , A2 , ..., Am }. Demonstrat¸ie. A se vedea [4], pag 38. 2.5.12 Propozit¸ie (Reprezentarea matricial˘ a a lui V ⊗ W ). Fie V , W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Dac˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wm } este baz˘ a ˆın W atunci aplicat¸ia

103

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale



  V ⊗ W −→ Mn×m (K) : F = F vi ⊗wj → 7 F =   ij

F 11 F 21 .. .

F 12 F 22 .. .

··· ··· .. .

F 1m F 2m .. .

F n1 F n2 · · · F nm

     

este un izomorfism liniar care permite identificarea spat¸iilor V ⊗W ¸si Mn×m (K). Demonstrat¸ie. Avem dim V ⊗W = nm = dim Mn×m (K) ¸si F = 0 implic˘ a F = 0. 2.5.13 Propozit¸ie. Dac˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wm } ˆın W x = x i vi y = y j wj

)

=⇒ x ⊗ y = xi y j vi ⊗ wj

adic˘ a (x ⊗ y)ij = xi y j . Demonstrat¸ie. Oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ ¸si ψ ∈ W ∗ avem x ⊗ y (ϕ, ψ) = ϕ(x) ψ(y) = ϕ(xi vi ) ψ(y j wj ) = xi y j ϕ(vi ) ψ(wj ) = xi y j (vi ⊗ wj )(ϕ, ψ). 2.5.14 Matricea asociat˘ a vectorului x ⊗ y  x1 y 1 x1 y 2  2 1 x2 y 2  x y  . ..  . .  . n 1 n x y x y2

este matricea de rang 1  · · · x1 y m · · · x2 y m   ..  ..  . .  · · · xn y m

Pe de alt˘ a parte, orice matrice de rang 1 este de acest˘ a form˘a ( vezi pag. 102-11). Un vector F ∈ V ⊗ W se poate scrie sub forma x ⊗ y dac˘ a si numai dac˘ a rangul matricei asociate este 1.

2.5.15∗ Definit¸ie. Spunem despre un vector F ∈ V⊗W c˘a este separabil (unentangled, ˆın englez˘ a) dac˘ a se poate scrie sub forma x ⊗ y. In caz contrar spunem c˘a F este inseparabil (entangled, ˆın englez˘ a). 2.5.16 Izomorfismul V ⊗ W −→ Mn×m (K) : F 7→ F definit mai sus depinde de alegerea bazelor utilizate, dar se poate ar˘ ata c˘a pentru orice F ∈ V ⊗ W num˘ arul rang F este independent de bazele alese. In cazul ˆın care este mai mare decˆ at 1, num˘ arul ˆıntreg

104

Complemente de Matematic˘a



  rang   

F 11 F 21 .. . F n1

F 12 · · · F 1m F 22 · · · F 2m .. .. .. . . . F n2 · · · F nm

     

este o m˘ asur˘a a inseparabilit˘a¸tii vectorului F ij vi ⊗ wj . 2.5.17 In mecanica cuantic˘ a, produsul tensorial de spat¸ii vectoriale este utilizat pentru a descrie sisteme cuantice compuse din subsisteme. 2.5.18 Definit¸ie. Fie S : V −→ V ¸si T : W −→ W operatori liniari. Operatorul liniar T ⊗ S : V ⊗ W −→ V ⊗ W,

((T ⊗S)F )(ϕ, ψ) = F (ϕ ◦ T, ψ ◦ S)

se nume¸ste produsul tensorial al operatorilor T ¸si S. 2.5.19 In cazul particular F = x ⊗ y obt¸inem ((T ⊗S)(x ⊗ y))(ϕ, ψ) = (x ⊗ y)(ϕ ◦ T, ψ ◦ S) = ϕ(T x) ψ(Sy) = ((T x) ⊗ (Sy))(ϕ, ψ) oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ ¸si ψ ∈ W ∗ , adic˘ a

(T ⊗S) (x ⊗ y) = (T x) ⊗ (Sy) Deoarece T ⊗ S este operator liniar ¸si spat¸iul V ⊗ W este format din combinat¸ii liniare de elemente de forma x ⊗ y, se poate utiliza relat¸ia precedent˘a ca o definit¸ie alternativ˘ a pentru produsul tensorial al operatorilor T ¸si S.

Capitolul 3

Tensori pe spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

3.1

Tensori

3.1.1 Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si fie dou˘ a baze ale lui V B = {e1 , e2 , ..., en } (baza veche) ¸si

B′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }

(baza nou˘ a)

∗

B∗ = {e1 , e2 , ..., en },

B′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }

dualele lor. Fiecare vector x ∈ V se poate dezvolta ˆın raport cu cele dou˘ a baze ¸si am ar˘ atat c˘ a

x = xi ei = x′j e′j

xi = ei (x),

x′j = e′j (x).

Similar, fiecare element ϕ ∈ V ∗ admite dezvolt˘arile ¸si

ϕ = ϕi ei = ϕ′j e′j

ϕ′j = ϕ(e′j ).

ϕi = ϕ(ei ),

Plecˆ and de la dezvolt˘ arile vectorilor bazei noi ˆın raport cu vectorii bazei vechi e′i = αji ej 105

106

Complemente de Matematic˘a

definim matricele de trecere ˆıntre bazele B ¸si B′ 

   S=   

α11

α12

α21 .. .

α22 .. .

· · · α1n ··· .. .

α2n .. .

αn1 αn2 · · · αnn



   ,   

S −1



   =   

β11

β21

β12 .. .

β22 .. .

· · · βn1 ··· .. .

βn2 .. .

β1n β2n · · · βnn



   .   

Oricare ar fi x = xj vj = x′i v ′ i ∈ V

i

ϕ = ϕj v j = ϕ′i v ′ ∈ V ∗

¸si

au loc relat¸iile (a se vedea pag. 77-20) vi′ = αji vj

v ′ i = βji v j

ϕ′i = αji ϕj

x′i = βji xj .

3.1.2 Coordonatele noi x′i ale unui vector x ∈ V se exprim˘ a cu ajutorul coordoj ′i j ′i i natelor vechi x prin formula x = βj x similar˘a cu formula e = βji ej de schimbare a bazei duale. Formula ϕ′i = αji ϕj este similar˘a cu e′i = αji ej . 3.1.3 Vectorii x ∈ V sunt obiecte matematice care ˆın raport cu fiecare baz˘ a B a 1 2 n lui V sunt descrise prin coordonatele x , x , ..., x ¸si care la o schimbare de baz˘ a j ′ a dup˘a formula ei = αi ej se schimb˘ x′i = βji xj . Similar, elementele ϕ ∈ V ∗ (numite forme liniare sau 1-forme) sunt obiecte matematice care ˆın raport cu fiecare baz˘ a B∗ sunt descrise prin coordonatele ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn a dup˘a formula ¸si care la o schimbare de baz˘ a e′i = αji ej se schimb˘ ϕ′i = αji ϕj . 3.1.4 Definit¸ie. Prin tensor de tip (p, q) (adic˘ a, tensor de p ori contravariant ¸si de q ori covariant) se ˆınt¸elege un obiect matematic T descris ˆın raport i i ...i cu fiecare baz˘ a B a lui V prin coordonatele Tj11j22...jpq ¸si care la o a dup˘a formula schimbare de baz˘ a e′i = αji ej se schimb˘ i i ...i

i

m

q m2 k1 k2 ...kp 1 T ′ j11 j22 ...jpq = βki11 βki22 · · · βkpp αm j1 αj2 · · · αjq Tm1 m2 ...mq .

107

Tensori pe spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

3.1.5 Elementele spat¸iului vectorial V sunt tensori de tip (1, 0), iar elementele lui V ∗ sunt tensori de tip (0, 1). 3.1.6 Un tensor de tip (1, 1) este descris prin coordonatele Tji care la schimbarea bazei se schimb˘ a dup˘a formula i

k T ′ j = βki αm j Tm .

ˆIn cazul unui tensor de dou˘ a ori contravariant formula devine ij

j T ′ = βki βm T km

iar ˆın cazul unui tensor de dou˘ a ori covariant Tij′ = αki αm j Tkm . 3.1.7 Un tensor este complet determinat dac˘ a i se cunosc coordonatele ˆıntr-o baz˘ a.

3.2

Operat¸ii cu tensori i i ...i

i i ...i

3.2.1 Propozit¸ie (Suma a doi tensori). Dac˘ a Aj11 j22 ...jpq ¸si Bj11 j22 ...jpq sunt coordonatele a doi tensori A ¸si B de tip (p, q) atunci i i ...i

i i ...i

i i ...i

Tj11j22...jpq = Aj11 j22 ...jpq + Bj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q) notat cu A + B, adic˘ a i i ...i

i i ...i

i i ...i

(A + B)j11 j22 ...jpq = Aj11 j22 ...jpq + Bj11 j22 ...jpq . Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem i

i

i

k i m k i m k k i m k T ′ j = A′ j + B ′ j = βki αm j Am + βk αj Bm = βk αj (Am + Bm ) = βk αj Tm .

3.2.2 Propozit¸ie (ˆInmult¸irea unui tensor cu un scalar). i i ...i Dac˘ a λ ∈ K ¸si Aj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor A de tip (p, q) atunci i i ...i

i i ...i

Tj11j22...jpq = λAj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q) notat cu λA, adic˘ a i i ...i

i i ...i

(λA)j11 j22 ...jpq = λAj11 j22 ...jpq .

108

Complemente de Matematic˘a

Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem i

i

k i m k T ′ j = λA′ j = λβki αm j Am = βk αj Tm .

3.2.3 Propozit¸ie ( Produsul tensorial a doi tensori, ˆıntr-un caz particular). l sunt Dac˘ a Aijk sunt coordonatele unui tensor A de tip (1, 2) ¸si Bm coordonatele unui tensor B de tip (1, 1) atunci il l Tjkm = Aijk · Bm

sunt coordonatele unui tensor de tip (2, 3) notat cu A ⊗ B, adic˘ a l (A ⊗ B)iljkm = Aijk · Bm .

Demonstrat¸ie. Avem il

i

l

ar T ′ jkm = A′ jk · B ′ m = βai αbj αck Aabc βrl αsm Bsr = βai βrl αbj αck αsm Tbcs .

3.2.4 Generalizarea definit¸iei produsului tensorial este imediat˘ a. Produsul tensorial ∗ x ⊗ ϕ dintre un vector x ∈ V si o 1-form˘a ϕ ∈ V are coordonatele (x ⊗ ϕ)ij = xi ϕj iar produsul tensorial x ⊗ y a doi vectori coordonatele (x ⊗ y)ij = xi y j . 3.2.5 Propozit¸ie (Contract¸ia unui tensor, ˆıntr-un caz particular). Fie Aij klm coordonatele unui tensor A de tip (2, 3). Numerele n X

j = Tkm

Aij kim

i=1

sunt coordonatele unui tensor de tip (1, 2) obt¸inut prin contract¸ia lui A ˆın raport cu primul indice de contravariant¸˘ a ¸si al doilea indice de covariant¸a ˘. Demonstrat¸ie. Avem T ′ jkm = =

Pn

′ ij i=1 A kim

Pn

ab i j c d r i=1 βa βb αk αi αm Acdr





=

P

j c r = βbj αck αrm δad Aab cdr = βb αk αm

n i d i=1 βa αi

P



ab d j c r βbj αck αrm Aab cdr = δa βb αk αm Acdr

n ab a=1 Acar



b. = βbj αck αrm Tcr

109

Tensori pe spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

3.2.6 Operat¸ia de contract¸ie se poate face ˆın raport cu orice pereche de indici format˘a dintr-un indice de contravariant¸˘ a (superior) ¸si un indice de covariant¸˘a (inferior). 3.2.7 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x ∈ V ¸si ϕ ∈ V ∗ atunci num˘ arul γ = xi ϕi

este un tensor de tip (0, 0), numit scalar. Rezolvare. Num˘ arul γ se obt¸ine prin contract¸ie din x⊗ϕ ¸si nu depinde de baza aleas˘ a γ′ =

n X

x′i ϕ′i =

i=1

3.3

n X

βji αki xj ϕk = δjk xj ϕk = xj ϕj = γ.

i=1

Exemple de tensori

3.3.1 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a obiectul matematic care are coordonatele ( 1 dac˘ a i=j i i Tj = δj = 0 dac˘ a i 6= j indiferent de baza utilizat˘ a, este un tensor de tip (1, 1).

Rezolvare. Avem i

k i m k T ′ j = δji = βki αkj = βki αm j δm = βk αj Tm .

3.3.2 Propozit¸ie Orice operator liniar A : V −→ V este un tensor de tip (1, 1) ale c˘ arui coordonate ˆıntr-o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } sunt coeficient¸ii Aji din dezvoltarea Aei = Aji ej .

a Demonstrat¸ie. Din relat¸ia Ae′i = A′ ji e′j rezult˘ j

A(αki ek ) = A′ i αm j em relat¸ie care scris˘a sub forma j

′ αki Aek = αm j A i em

conduce la j

m ′ αki Am k em = αj A i em

110

Complemente de Matematic˘a

adic˘ a j

m ′ αki Am k = αj A i .

Din aceast˘ a relat¸ie obt¸inem j

s s m ′ βm αki Am k = βm αj A i

relat¸ie echivalent˘ a cu s

s A′ i = βm αki Am k s αm A′ j = δ s A′ j = A′ s . deoarece βm i j j i i

3.3.3 Definit¸ie. Spunem c˘ a aplicat¸ia g : V × V −→ K este o aplicat¸ie biliniar˘ a dac˘ a g(αx + βy, z) = αg(x, z) + βg(y, z)

g(x, αy + βz) = αg(x, y) + βg(x, z) oricare ar fi x, y, z ∈ V ¸si α, β ∈ K. 3.3.4 Propozit¸ie. Orice aplicat¸ie biliniar˘ a g : V × V −→ K este un tensor de tip (0, 2) ale c˘ arui coordonate ˆın baza B = {e1 , e2 , ..., en } sunt numerele gij = g(ei , ej ). Demonstrat¸ie. Avem ′ k m k m gij = g(e′i , e′j ) = g(αki ek , αm j em ) = αi αj g(ek , em ) = αi αj gkm .

3.3.5 Definit¸ie. Aplicat¸ia g : V ∗ × V −→ K este numit˘ a aplicat¸ie biliniar˘ a dac˘ a este liniar˘ a ˆın fiecare argument, adic˘ a g(αϕ + βψ, x) = αg(ϕ, x) + βg(ψ, x) g(ϕ, αx + βy) = αg(ϕ, x) + βg(ϕ, y) oricare ar fi ϕ, ψ ∈ V ∗ , x, y ∈ V ¸si α, β ∈ K. 3.3.6 Propozit¸ie Orice aplicat¸ie biliniar˘ a g : V ∗ × V −→ K este un tensor de tip (1, 1) ale c˘ arui coordonate ˆıntr-o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } cu duala i ∗ 1 2 n i B = {e , e , ..., e } sunt gj = g(e , ej ). Demonstrat¸ie. Avem i

i

i m k i m k g′ j = g(e′ , e′j ) = g(βki ek , αm j em ) = βk αj g(e , em ) = βk αj gm .

111

Tensori pe spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

3.3.7 Propozit¸ie Orice tensor de tip (1, 1) poate fi identificat cu o aplicat¸ie biliniar˘ a g : V ∗ × V −→ K. a Demonstrat¸ie. Folosind coordonatele Tji ale tensorului T de tip (1, 1) ˆıntr-o baz˘ ∗ 1 2 n fixat˘a B = {e1 , e2 , ..., en } cu duala B = {e , e , ..., e } definim aplicatia biliniar˘a g : V ∗ × V −→ K,

g(ϕ, x) = g(ϕi ei , xj ej ) = Tji ϕi xj .

Aplicat¸ia g astfel definit˘a nu depinde de alegerea bazei B utilizate deoarece alegˆand alt˘a baz˘ a B′ obt¸inem g(ϕ′k e′ k , x′ m e′m ) = T ′ km ϕ′k x′ m = βak αbm Tba αik ϕi βjm xj = δai δjb Tba ϕi xj = Tji ϕi xj . 3.3.8 Rezultatele prezentate mai sus pot fi generalizate ˆın mod natural. Orice aplicat¸ie (p + q)-liniar˘ a ∗ ×V × · · · × V} −→ K T :V × V ∗ {z × · · · × V ∗} × V {z | | p ori

q ori

este un tensor de tip (p, q) ale c˘ arui coordonate ˆıntr-o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } cu ∗ 1 2 n duala B = {e , e , ..., e } sunt i i ...i

Tj11j22...jpq = T (ei1 , ei2 , ..., eip , ej1 , ej2 , ..., ejq )

¸si fiec˘ arui tensor de tip (p, q) ˆıi corespunde ˆın mod natural o astfel de aplicat¸ie (p + q)-liniar˘ a. 3.3.9 Plecˆ and de la dualul V ∗ al lui V se poate defini dualul dualului lui V V ∗∗ = (V ∗ )∗ numit bidualul lui V . Spat¸iul V ∗∗ se poate identifica (a se vedea pag. 95-10) ˆın mod natural cu V asociind lui x ∈ V aplicat¸ia liniar˘ a V ∗ −→ K : ϕ 7→ ϕ(x) apart¸inˆ and bidualului lui V .

3.3.10 Dac˘a ϕ : V −→ K ¸si ψ : W −→ K sunt aplicat¸ii liniare atunci g : V × W −→ K,

g(v, w) = ϕ(v) · ψ(w)

este o aplicat¸ie biliniar˘a numit˘ a produsul tensorial al lui ϕ cu ψ ¸si notat˘ a cu ϕ ⊗ ψ.

112

Capitolul 4

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 4.1

Spat¸ii cu produs scalar

4.1.1 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial real (adic˘ a K = R). Prin produs scalar pe V se ˆınt¸elege o aplicat¸ie h, i : V × V −→ R astfel ˆıncˆ at a) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi, b) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ V a) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0.

∀x, y, z ∈ V ¸si ∀α, β ∈ R

4.1.2 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial complex (adic˘ a K = C). Prin produs scalar pe V se ˆınt¸elege o aplicat¸ie astfel ˆıncˆ at

h, i : V × V −→ C

a) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi, b) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ V a) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0.

∀x, y, z ∈ V ¸si ∀α, β ∈ C

4.1.3 In cazul produsului scalar definit pe un spat¸iu vectorial complex, ¯ zi. ¯ hz, xi + β¯ hz, yi = α ¯ hx, zi + βhy, hαx + βy, zi = hz, αx + βyi = α 113

114

Complemente de Matematic˘a

4.1.4 Teorem˘ a (Inegalitatea Cauchy). Dac˘ a h, i : V ×V −→ K este produs scalar atunci |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi oricare ar fi x, y ∈ V . Demonstrat¸ie. Relat¸ia este evident verificat˘ a ˆın cazul y = 0. Dac˘a y 6= 0 atunci hx + λy, x + λyi ≥ 0,

adic˘ a

Alegˆand

∀λ ∈ K

¯ xi + λhx, yi + λλhy, ¯ yi ≥ 0, hx, xi + λhy, λ=−

relat¸ia devine hx, xi − adic˘ a hx, xi hy, yi ≥ |hx, yi|2 .

∀λ ∈ K.

hy, xi hy, yi

|hx, yi|2 |hx, yi|2 |hx, yi|2 − + ≥ 0. hy, yi hy, yi hy, yi

4.1.5 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin norm˘ a pe V se ˆınt¸elege o aplicat¸ie || || : V −→ R astfel ˆıncˆ at a) k x k≥ 0 oricare ar fi x ∈ V ¸si k x k= 0 ⇐⇒ x = 0 b) k αx k= |α| k x k, oricare ar fi α ∈ K, x ∈ V c) k x+y k≤k x k + k y k, oricare ar fi x, y ∈ V. 4.1.6 Propozit¸ie. Dac˘ a h, i : V × V −→ K este produs scalar atunci || · || : V −→ R, este o norm˘ a pe V . Demonstrat¸ie. Avem

||x|| =

q

hx, xi

115

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

||x|| =

||αx|| =

||x +

deoarece

y||2

p

hx, xi ≥ 0 ¸si ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0

p

hαx, αxi =

p

α¯ αhx, xi = |α| ||x||

= hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = ||x||2 + 2 Re hx, yi + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2 |Re hx, yi| + ||y||2

≤ ||x||2 + 2 |hx, yi| + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2 |Re (a + ib)| = |a| =

√

¸si conform inegalit˘ a¸tii Cauchy |hx, yi| ≤

a2 ≤ p

p

a2 + b2 = |a + ib|

hx, xi hy, yi = ||x|| ||y||.

4.1.7 Definit¸ie. Prin distant¸˘ a pe o mult¸ime nevid˘a M se ˆınt¸elege o aplicat¸ie d : M × M −→ R cu propriet˘a¸tile a) d(x, y) ≥ 0 oricare ar fi x, y ∈ M ¸si d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y b) d(x, y) = d(y, x), oricare ar fi x, y ∈ M c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), oricare ar fi x, y, z ∈ M. 4.1.8 Propozit¸ie. Dac˘ a h, i : V × V −→ K este produs scalar atunci d : V × V −→ R, este o distant¸˘ a pe V . Demonstrat¸ie. Avem d(x, y) =k x−y k≥ 0

d(x, y) = ||x−y|| =

q

hx−y, x−yi

si d(x, y) = 0 ⇔ k x−y k= 0 ⇔ x−y = 0 ⇔ x = y

d(x, y) =k x − y k=k (−1)(y − x) k= | − 1| k y − x k=k y − x k= d(y, x) d(x, y) =k x−y k=k x−z+z−y k≤k x−z k + k z−y k= d(x, z)+d(z, y).

4.1.9 Definit¸ie. Un spat¸iu vectorial ˆınzestrat cu o norm˘a este numit spat¸iu normat. O mult¸ime ˆınzestrat˘a cu o distant¸˘a este numit˘ a spat¸iu metric. 4.1.10 Orice spat¸iu cu produs scalar are o structur˘a natural˘a de spat¸iu normat ¸si orice spat¸iu normat are o structur˘a natural˘a de spat¸iu metric. 4.1.11 MATHEMATICA: EuclideanDistance[{a, b, c}, {x, y, z}]

116

Complemente de Matematic˘a

Spat¸ii cu produs scalar Spat¸ii normate Spat¸ii metrice Figura 4.1: Spat¸ii metrice.

In[1]:=EuclideanDistance[{a, b, c}, {x, y, z}]

7→Out[1]=

√

Abs[a−x]2 +Abs[b−y]2 +Abs[c−z]2 √ In[2]:=EuclideanDistance[{1,2,3}, {4,5,6}] 7→ Out[2]=3 3

4.2

Baze ortonormate

4.2.1 Definit¸ie. Prin vector unitar sau versor se ˆınt¸elege un vector x cu ||x|| = 1. 4.2.2 Folosind norma asociat˘ a produsului scalar, inegalitatea Cauchy se poate scrie |hx, yi| ≤ ||x|| ||y||.

In cazul unui spat¸iu vectorial real, dac˘ a x 6= 0 ¸si y 6= 0 atunci hx, yi −1 ≤ ≤ 1. ||x|| · ||y|| Num˘arul ϕ ∈ [0, π] cu proprietatea hx, yi cos ϕ = ||x|| · ||y|| este numit unghiul dintre x ¸si y. Relat¸ia anterioar˘ a se mai poate scrie hx, yi = ||x|| ||y|| cos ϕ. 4.2.3 MATHEMATICA: VectorAngle[u,v] 7→ In[2]:=VectorAngle[{1, 1, 0}, {1, 1, 1}] 7→

In[1]:=VectorAngle[{1, 2}, {2, -1}]

Out[1]= π2 Out[2]=ArcCos

hp i 2 3

117

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.2.4 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial ¸si M ⊆ V o submult¸ime de vectori. Spunem c˘ a vectorii x, y ∈ V sunt ortogonali ¸si scriem x ⊥ y dac˘ a hx, yi = 0. Spunem c˘ a x ∈ V este ortogonal pe M ¸si scriem x ⊥ M dac˘ a x ⊥ y, ∀y ∈ M . 4.2.5 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial ¸si {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ V . Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vk } este un sistem ortogonal dac˘ a hvi , vj i = 0

oricare ar fi i 6= j din {1, 2, ..., k}.

Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vk } este un sistem ortonormat dac˘ a hvi , vj i = δij =

(

1 dac˘ a i=j 0 dac˘ a i 6= j.

4.2.6 Normalizˆ and vectorul x = (1, 2, 3) obt¸inem vectorul unitar √1

hx,xi

x=

√1 14

(1, 2, 3) =



√1 , 14

q

2 √3 7 , 14

4.2.7 MATHEMATICA: Normalize[x] In[1]:=Normalize[{1, 2, 3}]

7→

Out[1]=



√1 , 14



.

p2

, √3 7

14



4.2.8 Propozit¸ie. Orice sistem de vectori ortogonali nenuli este un sistem liniar independent. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vk } un sistem ortogonal de vectori nenuli. Din rezult˘ a c˘ a

α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk = 0

0 = hv1 , α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk i = α1 hv1 , v1 i+ α2 hv1 , v2 i+ · · · + αk hv1 , vk i = α1 ||v1 ||2 . Deoarece v1 6= 0 se obt¸ine α1 = 0. Similar se arat˘ a c˘a α2 = 0, ... , αk = 0.

x

w

Pw x

Figura 4.2: Proiect¸ia ortogonal˘ a a vectorului x pe w.

118

Complemente de Matematic˘a

4.2.9 Propozit¸ie. Proiect¸ia ortogonal˘ a a vectorului x pe vectorul w 6= 0 este hw, xi Pw x = w. hw, wi Demonstrat¸ie. Proiect¸ia lui x pe w este un vector de forma λw. Impunˆ and ca proiect¸ia s˘ a fie ortogonal˘ a , adic˘ a (x − λw) ⊥ w, obt¸inem relat¸ia hw, x − λwi = 0 care conduce la λ = hw, xi/hw, wi (a se vedea Figura 4.2). 4.2.10 Dac˘a ||w|| = 1 atunci proiect¸ia lui x pe w este vectorul Pw x = hw, xi w. 4.2.11 Proiect¸ia ortogonal˘ a a vectorului x = (1, 2, 3) pe w = (1, 1, 1) este P(1,1,1) (1, 2, 3) =

h(1,1,1),(1,2,3)i h(1,1,1),(1,1,1)i

(1, 1, 1) = (2, 2, 2).

4.2.12 MATHEMATICA: Projection[x, w] In[1]:=Projection[{1, 2, 3}, {1, 1, 1}]

7→

Out[1]=(2,2,2)

4.2.13 Teorem˘ a (Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt). Dac˘ a {u1 , u2 , ..., un } este sistem liniar independent atunci {w1 , w2 , ..., wn }, unde w1 = u1 w2 = u2 −

hw1 ,u2 i hw1 ,w1 i

w1

.............................. hw1 ,un i hw2 ,un i wn = un − hw w1 − hw w2 − · · · − 1 ,w1 i 2 ,w2 i este un sistem ortogonal astfel ˆıncˆ at

hwn−1 ,un i hwn−1 ,wn−1 i

wn−1

span {w1 , w2 , ... , wk } = span {u1 , u2 , ... , uk }

oricare ar fi k ∈ {1, 2, ..., n}. Demonstrat¸ie. Avem





hu2 , w1 i hw1 , u2 i w1 , w1 = hu2 , w1 i − hw1 , w1 i = 0. hw1 , w1 i hw1 , w1 i Similar se arat˘ a c˘ a oricare vector wk este ortogonal pe vectorii w1 , w2 , ... , wk−1 . hw2 , w1 i = u2 −

4.2.14 Teorem˘ a (Metoda de ortonormalizare Gram-Schmidt). Dac˘ a {u1 , u2 , ..., un } este sistem liniar independent atunci {v1 , v2 , ..., vn }, unde v1 = ||uu11 || v2 =

u2 −hv1 ,u2 i v1 ||u2 −hv1 ,u2 i v1 ||

........................ vn =

un −hv1 ,un i v1 −hv2 ,un i v2 −···−hvn−1 ,un i vn−1 ||un −hv1 ,un i v1 −hv2 ,un i v2 −···−hvn−1 ,un i vn−1 ||

119

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

este un sistem ortonormat astfel incˆ at span {v1 , v2 , ... , vk } = span {u1 , u2 , ... , uk } oricare ar fi k ∈ {1, 2, ..., n}. Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arat˘ a c˘a v2 ⊥ v1 , apoi v3 ⊥ v1 ¸si v3 ⊥ v2 , etc. 4.2.15 Ortonormalizˆand sistemul de vectori {(1, 1, 0), (1, 1, 1)} obt¸inem sistemul ortonormat

n



√1 , √1 , 0 2 2

o

, (0, 0, 1) .

4.2.16 MATHEMATICA: Orthogonalize[{u1,u2,...,un}}] In[1]:=Orthogonalize[{{1, 1, 0}, {1, 1, 1}}]

7→

Out[1]=

nn

o

√1 , √1 ,0 2 2

o

,{0,0,1}

4.2.17 Definit¸ie. Prin baz˘ a ortonormat˘ a se ˆınt¸elege o baz˘ a {v1 , v2 , ... , vn } cu hvi , vj i = δij adic˘ a o baz˘ a care este ˆın acela¸si timp sistem ortonormat.

4.2.18 Din teorema precedent˘ a rezult˘ a c˘a, ˆın cazul oric˘ arui spat¸iu cu produs scalar, exist˘a baze ortonormate. 4.2.19 Teorem˘ a Dac˘ a B = {v1 , v2 , ... , vn } este baz˘ a ortonormat˘ a atunci x=

n X i=1

¸si hx, yi =

n X i=1

hvi , xivi

hx, vi i hvi , yi,

oricare ar fi vectorii x ¸si y.

v u n uX |hvi , xi|2 ||x|| = t i=1

Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a x=

n X

xi vi

i=1

¸si avem hvk , xi =

*

vk ,

n X i=1

xi vi

+

=

n X i=1

xi hvk , vi i =

n X i=1

xi δik = xk

120

Complemente de Matematic˘a

hx, yi =

*

n X i=1

hvi , xivi , y

||x||2 = hx, xi =

n X i=1

+

=

n X i=1

hx, vi i hvi , yi

hx, vi i hvi , xi =

n X i=1

|hx, vi i|2 .

4.2.20 Propozit¸ie. Fie V un spat¸iu cu produs scalar ¸si M ⊂ V o submult¸ime. Mult¸imea vectorilor ortogonali pe M M ⊥ = { x ∈ V | x ⊥ u, ∀u ∈ M } este un subspat¸iu vectorial. Demonstrat¸ie. Oricare ar fi x ∈ M avem x, y ∈ M ⊥ α, β ∈ K

)

=⇒ hu, αx + βyi = αhu, xi + βhu, yi = 0

¸si prin urmare αx + βy ∈ M ⊥ . 4.2.21 Teorem˘ a. Dac˘ a V un spat¸iu cu produs scalar ¸si W ⊂ V un subspat¸iu atunci V = W ⊕ W ⊥. p

Demonstrat¸ie. Dac˘a x ∈ W ∩ W ⊥ atunci ||x|| = hx, xi = 0, ceea ce conduce la W ∩ W ⊥ = {0}. Este suficient s˘ a mai ar˘ at˘am c˘a dim W +dim W ⊥ =dim V . Plec˘ am de la o baz˘ a ortonormat˘a {v1 , v2 , ..., vk } a lui W pe care apoi o complet˘ am pˆ an˘ a la o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vk , u1 , u2 , ..., un−k } a lui V . Ortonormalizˆand acest˘ a baz˘ a prin metoda Gram-Schmidt obt¸inem o baz˘ a ortonormat˘a {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , vk+2 , ..., vn } a lui V . Se constat˘ a imediat c˘ a {vk+1 , vk+2 , ..., vn } este baz˘ a a lui W ⊥ si prin urmare dim W +dim W ⊥ =dim V.

121

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.3

Dualul unui spat¸iu cu produs scalar

4.3.1 Propozit¸ie. In cazul unui spat¸iu cu produs scalar V avem hx, ui = hy, ui =⇒ x = y . ∀u ∈ V Demonstrat¸ie. Alegˆand u = x−y obt¸inem hx, x−yi = hy, x − yi =⇒ hx−y, x−yi = 0 =⇒ ||x−y|| = 0 =⇒ x = y. 4.3.2 Teorem˘ a. Fie V un spat¸iu cu produs scalar. Pentru orice form˘ a liniar˘ a ϕ : V −→ C exist˘ a a ∈ V unic determinat astfel ˆıncˆ at ϕ(x) = ha, xi,

oricare ar f i x ∈ V.

Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ortonormat˘a. Din relat¸ia ϕ

n X i=1

rezult˘ a c˘ a

x i vi

!

=

n X

xi ϕ(vi ) =

i=1

a=

n X

*

n X

ϕ(vj ) vj ,

n X

x i vi

i=1

j=1

+

ϕ(vj ) vj

j=1

ˆındepline¸ste condit¸iile cerute. Unicitatea lui a rezult˘ a din propozit¸ia anterioar˘ a. P

4.3.3 Din unicitatea lui a rezult˘ a ˆın plus c˘a vectorul nj=1 ϕ(vj ) vj definit cu ajutorul unei baze nu depinde de baza ortonormat˘a aleas˘ a. 4.3.4 In cazul unui spat¸iu cu produs scalar V avem V ∗ = { V −→ C : x 7→ ha, xi | a ∈ V }. 4.3.5 Notat¸ia lui Dirac. In cazul particular V = Cn , produsul scalar a doi vectori x = (x1 , x2 , ..., xn )

¸si

y = (y1 , y2 , ..., yn )

se poate scrie utilizˆ and produsul a dou˘ a matrice sub forma hx, yi = x ¯1 y2 + x ¯2 y2 + ... + x ¯ n yn =



x ¯1 x ¯2 · · · x ¯n



    

y1 y2 .. . yn

     

122

Complemente de Matematic˘a

Utilizˆand notat¸iile hx| =



x ¯1 x ¯2 · · · x ¯n





  |yi =   

¸si

obt¸inem

y1 y2 .. . yn

     

hx|yi = x ¯1 y2 + x ¯2 y2 + ... + x ¯n yn . 4.3.6 Din relat¸ia V −→ C : x 7→ ha, xi

scris˘a sub forma

V −→ C : |xi 7→ ha|xi rezult˘ a c˘ a ha| reprezint˘ a o form˘a liniar˘ a. 4.3.7 Dac˘a B = {v1 , v2 , ... , vn } este baz˘ a ortonormat˘a atunci (vezi pag. 119-19) x=

n X i=1

hvi , xivi

oricare ar fi x ∈ V.

Utilizˆand notat¸ia lui Dirac, aceast˘ a relat¸ie se poate scrie |xi = sau |xi =

n X

i=1 n X i=1

hvi |xi |vi i

oricare ar fi

|xi ∈ V

|vi ihvi |xi

oricare ar fi |xi ∈ V

sau, utilizˆ and operatorul identitate I : V −→ V , I|xi = |xi, sub forma I=

n X i=1

|vi ihvi |.

(4.1)

Relat¸ia (4.1) este numit˘ a rezolut¸ia identit˘ a¸tii corespunz˘atoare bazei B. 4.3.8 Relat¸ia (4.1) corespunde ˆın cazul bazei canonice B = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)}

a lui R3 egalit˘ a¸tii 















0 0 1 1 0 0         1 0 0 1 0 (0 1 0) + (1 0 0) + =  0  (0 0 1)       1 0 0 0 0 1

123

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.3.9 Relat¸ia referitoare la proiect¸ia ortogonal˘ a pe un vector unitar w Pw x = hw, xi w

se mai poate scrie sub forma ¸si conduce la definit¸ia

Pw |xi = |wihw|xi Pw = |wihw|

pentru proiectorul ortogonal pe subspat¸iul unidimensional generat de w. 4.3.10 Dac˘a B = {|v1 i, |v2 i, ... , |vn i} este baz˘ a ortonormat˘a atunci {hv1 |, hv2 |, ... , hvn |} este duala ei deoarece hvi |vj i = δij . In particular, din relat¸ia (4.1) rezult˘ a ha| =

n X i=1

ha|vi ihvi |.

4.3.11 Definit¸ie. Prin adjuncta matricei   a11 a12 · · · a1m    a21 a22 · · · a2m  A= .. ..  ..  ..  ∈ Mn×m (C) . . .   . an1 an2 · · · anm se ˆınt¸elege complex conjugata transpusei lui A, adic˘ a matricea   a ¯11 a ¯21 · · · a ¯n1   a ¯ a ¯ · · · a ¯  12 22 n2  ∗ t¯  A = A= . .. ..  .. . . . .   .. a ¯1m a ¯2m · · · a ¯nm

4.3.12 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×n (C) atunci relat¸iile A A∗ = I,

A∗ A = I,

A−1 = A∗

unde I este matricea unitate, sunt echivalente. Demonstrat¸ie. Dac˘a A A∗ = I atunci A este inversabil˘a A A∗ = I

=⇒

detA detA∗ = detI = 1

=⇒

detA 6= 0

¸si ˆınmult¸ind relat¸ia A A∗ = I cu A−1 la stˆ anga rezult˘ a A−1 = A∗ . Similar, dac˘ a ∗ A A = I atunci A este inversabil˘a

124

Complemente de Matematic˘a

A∗ A = I

detA∗ detA = detI = 1

=⇒

=⇒

detA 6= 0

¸si ˆınmult¸ind relat¸ia A∗ A = I cu A−1 la dreapta rezult˘ a A−1 = A∗ . Evident, relat¸ia A−1 = A∗ implic˘ a celelalte dou˘ a relat¸ii. 4.3.13 Definit¸ie. Matricea A ∈ Mn×n (C) este numit˘ a matrice unitar˘ a dac˘ a A∗ A = I

(condit¸ie echivalent˘a cu A−1 = A∗ ¸si cu A A∗ = I). 4.3.14 Dac˘a A este o matrice unitar˘a atunci |detA| = 1. Intr-adev˘ar A∗ A = I

=⇒

detA detA∗ = 1

=⇒

|detA|2 = 1.

4.3.15 Teorem˘ a. Mult¸imea matricelor unitare de ordinul n U (n) = { A ∈ Mn×n (C) | A∗ A = I } are o structur˘ a de grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor, iar SU (n) = { A ∈ U (n) | det A = 1 } este un subgrup al lui U (n). Demonstrat¸ie. a) Produsul a dou˘ a matrice unitare A ¸si B este o matrice unitar˘a (AB)∗ (AB) = B ∗ A∗ AB = B ∗ B = I ¸si inversa unei matrice unitare A este o matrice unitar˘a A−1 = A∗

=⇒

(A−1 )∗ = (A∗ )∗ = A = (A−1 )−1 .

b) Afirmat¸ia rezult˘ a din relat¸iile det(AB) = detA detB,

det(A−1 ) = (detA)−1 .

4.3.16 Teorem˘ a. Matricea de trecere ˆıntre dou˘ a baze ortonormate este o matrice unitar˘ a. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } ¸si  α11 · · · α1n  .. .. .. S= . . .

αn1 · · · αnn

a baze ortonormate ¸si fie {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘    α ¯ 11 · · · α ¯ n1   ..  .. S ∗ =  ... , . .  α ¯ 1n · · · α ¯ nn

125

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

matricea de trecere ˆıntre cele dou˘ a baze si adjuncta ei, adic˘ a vj′ =

n X

αij vi .

i=1

Avem δij = hvi′ , vj′ i = h =

Pn

k=1

Pn

Pn

k=1 αki vk ,

¯ ki αmj δkm m=1 α

relat¸ie echivalent˘ a cu S ∗ S = I.

Pn

m=1 αmj vm i

=

=

Pn

¯ ki αkj k=1 α

Pn

k=1

Pn

¯ ki αmj hvk , vm i m=1 α

4.3.17 Not¸iuni similare cu propriet˘a¸ti similare se pot defini ˆın cazul real. 4.3.18 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×n (R) atunci relat¸iile A tA = I,

t

A A = I,

A−1 = tA

unde I este matricea unitate, sunt echivalente. 4.3.19 Definit¸ie. Matricea A ∈ Mn×n (R) este numit˘ a matrice ortogonal˘ a dac˘ a t

A A=I

(condit¸ie echivalent˘a cu A−1 = tA ¸si cu A tA = I). 4.3.20 Dac˘a A este o matrice ortogonal˘ a atunci detA ∈ {−1, 1}. 4.3.21 Teorem˘ a. Mult¸imea matricelor ortogonale de ordinul n O(n) =

n

A ∈ Mn×n (R) | tA A = I

o

are o structur˘ a de grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor, iar SO(n) = { A ∈ O(n) | det A = 1 } este un subgrup al lui O(n). 4.3.22 Teorem˘ a. In cazul unui spat¸iu vectorial real cu produs scalar, matricea de trecere ˆıntre dou˘ a baze ortonormate este o matrice ortogonal˘ a.

126

Complemente de Matematic˘a

4.4

Sisteme de vectori coerent¸i

4.4.1 In R2 vectorii corespunz˘ atori vˆarfurilor unui triunghi echilateral w0 =

q



2 3, 0







w1 = − √16 , √12 ,

,

w2 = − √16 , − √12

de¸si nu formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a, verific˘ a relat¸ia remarcabil˘a I=

2 X i=0



|wi ihwi |

adic˘ a, ˆın scriere matriceal˘ a, relat¸ia 

1

0

0

1



=

p2 ! r 3

0

2 3

!

0

− √1

6 √1 2

+

!



1 −√ 6



− √1

1 √ + 2

6 − √1 2

!



1 −√ 6

1 −√ 2

Alegˆand ˆın locul vectorilor wi vectorii unitari corespunz˘atori ui = adic˘ a (a se vedea Figura 4.3) u0 = (1, 0) ,



1 ||wi ||

u1 = − 12 ,

obt¸inem relat¸ia I=

2 3

2 P

i=0

√

3 2

wi



,



u2 = − 21 , −

√

3 2



|ui ihui |.

u1 u0 u2

Figura 4.3: Sistemul de vectori coerent¸i u0 , u1 , u2 .

4.4.2 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu cu produs scalar n-dimensional. Spunem c˘a {u0 , u1 , ..., uk−1 } este un sistem finit de vectori coerent¸i



.

127

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

(finite frame, ˆın englez˘ a) dac˘ a vectorii ui sunt unitari ||ui || = 1

oricare ar fi i = 0, 1, ..., k − 1

¸si are loc rezolut¸ia identit˘a¸tii n k

I=

k−1 P i=0

|ui ihui |.

(4.2)

4.4.3 Teorem˘ a . Fie V un spat¸iu cu produs scalar n-dimensional. Dac˘ a {u0 , u1 , ..., uk−1 } este sistem de vectori coerent¸i atunci |xi =

n k

hx|yi =

k−1 P

|ui ihui |xi

hx| =

i=0 k−1 n P hx|ui ihui |yi k i=0

n k

||x||2 =

oricare ar fi x, y ∈ V .

k−1 P

hx|ui ihui | i=0 k−1 n P |hx|ui i|2 . k i=0

Demonstrat¸ie. Relat¸iile din enunt¸ sunt consecint¸e directe ale relat¸iei (4.2). 4.4.4 Exercit¸iu. Vectorii corespunzˆand vˆarfurilor unui tetraedru regulat 



u0 = − √13 , √13 , √13 , u2 =



√1 , √1 , − √1 3 3 3



u1 =

 

√1 , − √1 , √1 3 3 3



,

u3 = − √13 , − √13 , − √13

,

formeaz˘ a un sistem de vectori coerent¸i ˆın R3 .



4.4.5 Exercit¸iu. Vectorii corespunzˆand vˆarfurilor unui icosaedru regulat √±1 (1, τ, 0), √±1 (−1, τ, 0), τ +2 τ +2 √±1 τ +2

(τ, 0, 1),

√±1 τ +2

(τ, 0, −1),

√±1 τ +2

(0, 1, τ ),

√±1 τ +2

(0, −1, τ ) √

definit¸i utilizˆ and ‘num˘ arul de aur’ τ = 1+2 5 = 1.6180339887..., formeaz˘ a un sistem de vectori coerent¸i ˆın R3 . 4.4.6 Exercit¸iu. Vectorii corespunzˆand vˆarfurilor unui poligon regulat cu k laturi 

2mπ um = cos 2mπ k , sin k



unde m = 0, 1, ..., k − 1

formeaz˘ a un sistem de vectori coerent¸i ˆın R2 astfel ˆıncˆ at I=

2 k

k−1 P

m=0

|um ihum |.

128

Complemente de Matematic˘a

4.4.7 Exercit¸iu. Sistemul infinit de vectori unde t ∈ [0, 2π)

u(t) = (cos t, sin t)

formeaz˘ a un sistem de vectori coerent¸i ˆın R2 astfel ˆıncˆ at Z 1 2π I= dt |u(t)ihu(t)|. π 0 4.4.8 Exercit¸iu. In spat¸iul L2 (R), sistemul infinit de vectori (vezi pag. 221-53) |zi = e−

|z|2 2

∞ P

zn √ n=0 n!

|ni

unde z ∈ C

definit plecˆ and de la o baz˘ a ortonormat˘a {|0i, |1i, |2i, ...}, formeaz˘a un sistem de vectori coerent¸i ˆın L2 (R) astfel ˆıncˆ at Z 1 dRe z dIm z |zihz|. I= π C 4.4.9 Sistemul infinit de vectori din exercit¸iul anterior, numit sistemul de st˘ ari coerente Schr¨ odinger-Klauder-Glauber sau sistemul de st˘ ari coerente canonic sau sistemul de st˘ ari coerente standard, joac˘a un rol fundamental ˆın mecanica cuantic˘ a, optic˘ a ¸si ˆın general, ˆın modelele cuantice din fizic˘ a [9, 20].

4.5

Spat¸ii Hilbert

4.5.1 Orice spat¸iu cu produs scalar are o structur˘a de spat¸iu normat ¸si una de spat¸iu metric definite prin ||x|| =

q

hx, xi

d(x, y) = ||x−y|| =

¸si

q

hx−y, x−yi.

4.5.2 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu cu produs scalar ¸si (xk )k≥0 un ¸sir din V . Spunem c˘ a ¸sirul (xk )k≥0 este convergent cu limita a dac˘ a lim ||xk − a|| = 0

k→∞

adic˘ a dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘a kε ∈ N astfel ˆıncˆ at ||xk − a|| < ε

oricare ar fi

k ≥ kε .

129

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.5.3 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu cu produs scalar ¸si (xk )k≥0 un ¸sir din V . Spunem c˘ a ¸sirul (xk )k≥0 este ¸sir Cauchy dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘a kε ∈ N astfel ˆıncˆ at k ≥ kε ||xk − xℓ || < ε oricare ar fi ℓ ≥ kε . 4.5.4 Propozit¸ie. Orice ¸sir convergent este ¸sir Cauchy. Demonstrat¸ie. Fie ε > 0. Dac˘a limk→∞ xk = a atunci exist˘a kε ∈ N astfel ˆıncˆ at ε oricare ar fi k ≥ kε ||xk − a|| < 2 ¸si prin urmare ||xk − xℓ || = ||xk − a + a − xℓ || ≤ ||xk − a|| + ||xℓ − a|| < ε oricare ar fi k ≥ kε ¸si ℓ ≥ kε . 4.5.5 Definit¸ie. Un spat¸iu ˆın care orice ¸sir Cauchy este convergent este numit spat¸iu complet. Un spat¸iu normat complet este numit spat¸iu Banach. Un spat¸iu cu produs scalar complet este numit spat¸iu Hilbert. 4.5.6 In funct¸ie de corpul scalarilor corespunz˘ator, un spat¸iu Hilbert poate fi spat¸iu Hilbert real sau spat¸iu Hilbert complex. In continuare, dac˘ a nu se specific˘ a contrariul, prin spat¸iu Hilbert vom ˆınt¸elege un spat¸iu Hilbert complex. 4.5.7 Exemple. Oricare ar fi n ∈ {1, 2, 3, ...} spat¸iul Rn ˆınzestrat cu produsul scalar h(x1 , x2 , ..., xn ), (y1 , y2 , ..., yn )i = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn =

n X

xk y k

n X

x ¯k yk

k=1

este un spat¸iu Hilbert real de dimensiune n. Oricare ar fi n ∈ {1, 2, 3, ...} spat¸iul Cn ˆınzestrat cu produsul scalar h(x1 , x2 , ..., xn ), (y1 , y2 , ..., yn )i = x ¯1 y1 + x ¯2 y2 + · · · + x ¯n yn = este un spat¸iu Hilbert de dimensiune n.

k=1

4.5.8 Definit¸ie. Fie V ¸si W dou˘ a spat¸ii cu produs scalar peste acela¸si corp K. O aplicat¸ie liniar˘ a T : V −→ W este numit˘ a izometrie liniar˘ a dac˘ a hT x, T yi = hx, yi

oricare ar fi x, y ∈ V.

130

Complemente de Matematic˘a

4.5.9 Orice izometrie liniar˘ a este o aplicat¸ie injectiv˘ a deoarece Tx=0

⇒

||x||2 = hx, xi = hT x, T xi = 0

⇒

x = 0.

4.5.10 Definit¸ie. Spunem despre dou˘ a spat¸ii cu produs scalar V ¸si W c˘a sunt izomorfe dac˘ a exist˘a o izometrie liniar˘ a bijectiv˘ a T : V −→ W . 4.5.11 Teorem˘ a Orice spat¸iu este izomorf Orice spat¸iu este izomorf

vectorial real de dimensiune n cu produs scalar cu spat¸iul Hilbert real Rn . vectorial complex de dimensiune n cu produs scalar cu spat¸iul Hilbert Cn .

Demonstrat¸ie. Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a atunci are loc relat¸ia hx, yi =

n X i=1

hx, vi i hvi , yi =

care arat˘ a c˘ a izomorfismul liniar

n X i=1

hvi , xi hvi , yi

V → Rn : x 7→ (hv1 , xi, hv2 , xi, . . . , hvn , xi) V → Cn : x 7→ (hv1 , xi, hv2 , xi, . . . , hvn , xi)

¸si respectiv

este un izomorfism de spat¸ii cu produs scalar care permite identificarea lui V cu Rn ¸si respectiv Cn . 4.5.12 Orice spat¸iu vectorial complex finit-dimensional cu produs scalar este spat¸iu Hilbert. In cazul finit-dimensional, putem utiliza termenul de spat¸iu Hilbert ˆın loc de cel de spat¸iu vectorial complex cu produs scalar, f˘ar˘ a a restrˆange generalitatea. 4.5.13 Orice spat¸iu Hilbert finit-dimensional se poate identifica cu unul dintre spat¸iile Hilbert Cn . Toate spat¸iile Hibert de dimensiune n sunt izomorfe. Ele sunt reprezent˘ari care difer˘ a doar prin natura elementelor ale aceluia¸si spat¸iu Hilbert. 4.5.14 Propozit¸ie. Suma direct˘ a a dou˘ a spat¸ii Hilbert V ⊕ W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W } este un spat¸iu Hilbert cu produsul scalar h(x, y), (x′ , y ′ )i = hx, x′ i + hy, y ′ i. Demonstrat¸ie. Verificare direct˘ a bazat˘ a pe definit¸ia produsului scalar.

131

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.5.15 Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn }, {w1 , w2 , ..., wk } sunt baze ortonormate ˆın V ¸si W atunci { (v1 , 0), (v2 , 0), ..., (vn , 0), (0, w1 ), (0, w2 ), ..., (0, wk ) } este baz˘ a ortonormat˘a ˆın V ⊕ W. 4.5.16 Exemple. Avem C2 = C ⊕ C, C3 = C ⊕ C ⊕ C, etc. 4.5.17 Prin Cn ˆınt¸elegem, ˆın funct¸ie de context, atˆat spat¸iul Hilbert Cn = { (x1 , x2 , ..., xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ C }

identificat cu spat¸iul Hilbert al matricelor linie Cn = { (x1 x2 ... xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ C }

cˆat ¸si spat¸iul Hilbert al matricelor coloan˘ a   1  x       x2  t n  C =   .  = (x1 x2 ... xn )    ..    

xn

      1 2 n x , x , ..., x ∈ C .     

4.5.18 Izomorfismul liniar Mn×m (C) → Cnm :   a11 · · · a1m  .. ..  7→ t (a , a , · · · , a , a , a , · · · , a , · · · , a , a , · · · , a ) ..  . 11 21 n1 12 22 n2 1m 2m nm . .  an1 · · · anm

devine un izomorfism complex Mn×m (C) cu  * a11  ..  .

an1 adic˘ a dac˘ a definim

de spat¸ii cu produs scalar dac˘ a ˆınzestr˘am spat¸iul vectorial produsul scalar    · · · a1m b11 · · · b1m + ..  ,  .. . . ..  = X a .. ¯ij bij . . .   . .  ij · · · anm bn1 · · · bnm hA, Bi = Tr (A∗ B)

unde A∗ este adjuncta matricei A, adic˘ a complex conjugata transpusei lui A. Spat¸iul Mn×m (C) devine astfel un spat¸iu Hilbert izomorf cu spat¸iul Hilbert Cnm . 4.5.19 Propozit¸ie (Identitatea paralelogramului). Dac˘ a V este un spat¸iu cu produs scalar atunci ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + 2 ||y||2

132

Complemente de Matematic˘a

oricare ar fi x, y ∈ V. Demonstrat¸ie. Se utilizeaz˘ a relat¸ia ||u||2 = hu, ui. 4.5.20 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial ¸si M ⊂ V o submult¸ime. Spunem c˘ a M este mult¸ime convex˘ a dac˘ a { (1−t)x+ty | t ∈ [0, 1] } ⊂ M oricare ar fi x, y ∈ M.

Figura 4.4: Mult¸ime convex˘a ¸si mult¸ime neconvex˘a. 4.5.21 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu normat, x ∈ V ¸si M ⊂ V o submult¸ime. Prin distant¸a de la x la M se ˆınt¸elege num˘ arul δ(x, M ) = inf ||x−u||. u∈M

x u M

Figura 4.5: Distant¸a de la x la M . 4.5.22 Teorem˘ a Dac˘ a V este un spat¸iu Hilbert, M ⊂ V este o mult¸ime convex˘ a ˆınchis˘ a ¸si x ∈ 6 M atunci exist˘ a un element unic y ∈ M astfel ˆıncˆ at δ(x, M ) = ||x − y||. Demonstrat¸ie. Fie δ = δ(x, M ). Ar˘at˘am mai ˆıntˆai c˘a δ > 0. Presupunˆand c˘a δ = 0 rezult˘ a c˘ a pentru orice n ∈ {1, 2, 3, ...} exist˘a xn ∈ M astfel ˆıncˆ at ||x − xn || < n1 ¸si prin urmare limn→∞ xn = x. Deoarece M este ˆınchis˘ a ar rezulta c˘a x ∈ M , ˆın

133

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

contradict¸ie cu ipoteza. Pentru fiecare n ∈ {1, 2, 3, ...} alegem yn ∈ M astfel ˆıncˆ at 1 δ ≤ ||x − yn || < δ + (4.3) n ¸si ar˘ at˘am c˘ a (yn )n≥1 este ¸sir Cauchy. Scriind identitatea paralelogramului 2 ||x − yn ||2 + 2 ||x − ym ||2 = ||yn − ym ||2 + ||2x − yn − ym ||2 sub forma

 2  1 1 yn + ym ||yn − ym || = 2 ||x − yn || + 2 ||x − ym || − 4 x − 2 2 2

2

obt¸inem c˘ a

2



1 ||yn − ym || ≤ 2 δ + n 2

2



1 +2 δ+ m

2

− 4δ2

adic˘ a ||yn − ym ||2 ≤

2 2 4δ + 2 4δ + 2 4δ 4δ + + + ≤ + . n m n 2 m2 n m

Pentru orice ε > 0, alegˆ and N ∈ N astfel ˆıncˆ at ||yn − ym ||2 ≤ ε,

8δ N

< ε, avem

oricare ar fi

n≥N m ≥ N.

Spat¸iul Hilbert V fiind complet, exist˘a y = limn→∞ yn ¸si y apart¸ine mult¸imii ˆınchise M . Trecˆ and la limit˘ a ˆın relat¸ia (4.3) obt¸inem c˘a δ = ||x − y||. Presupunˆand c˘a exist˘a dou˘ a elemente y, y ′ ∈ M cu δ = ||x − y|| = ||x − y ′ || ¸si folosind identitatea paralelogramului deducem relat¸ia 4δ2 = 2 ||x − y||2 + 2 ||x − y ′ ||2 = ||y − y ′ ||2 + ||2x − y − y ′ ||2

= ||y − y ′ ||2 + 4 x −

din care rezult˘ a y = y′.

x



1 2y

 2

+ 21 y ′ ≥ ||y − y ′ ||2 + 4δ2 W

Figura 4.6: Distant¸a de la x la subspat¸iul W .

134

Complemente de Matematic˘a

4.5.23 Orice subspat¸iu W ⊂ V este o submult¸ime convex˘a ¸si ˆınchis˘ a. Conform teoremei, pentru x 6∈ W exist˘a y ∈ W unic astfel ˆıncˆ at (a se vedea Figura 4.6) δ(x, W ) = ||x − y||.

Ar˘at˘am ˆın plus despre vectorul z = x−y c˘a z ⊥ W . Oricare ar fi u ∈ W ¸si λ ∈ C avem ||x−y−λu|| ≥ ||x−y||,

hx−y−λu, x−y−λui ≥ hx−y, x−yi.

adic˘ a

Rezult˘a inegalitatea

¯ zi − λhz, ui + |λ|2 hu, ui ≥ 0 −λhu,

care pentru λ = hu, zi/hu, ui conduce la relat¸ia |hu, zi|2 ≥0 − hu, ui posibil˘ a doar dac˘ a hu, zi = 0.

4.6

Adjunctul unui operator

4.6.1 Teorem˘ a. Fie V un spat¸iu Hilbert ¸si A : V −→ V este un operator liniar. Exist˘ a un operator liniar A∗ : V −→ V unic determinat astfel ˆıncˆ at hA∗ x, yi = hx, Ayi,

∀x, y ∈ V.

(4.4)

Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ortonormat˘a. Pentru x ∈ V fixat, aplicat¸ia ϕ : V −→ C,

ϕ(y) = hx, Ayi

este form˘ a liniar˘ a. S ¸ tim c˘ a exist˘a a=

n X

ϕ(vj ) vj =

j=1

n X

hx, Avj i vj =

j=1

n X

hAvj , xivj

j=1

astfel ˆıncˆ at ϕ(y) = ha, yi, ∀y ∈ V . Punˆand A∗ x = a, obt¸inem operatorul liniar A∗ : V −→ V, care verific˘ a relat¸ia hA∗ x, yi

=

*

n P

=

*

x,

hAvj , xivj

j=1

hAvj , xi vj , y

j=1

n X

A∗ x = +

n P

=

n P

hx, Avj ihvj , yi

j=1

hvj , yiAvj

j=1

+

= hx, Ayi,

∀x, y ∈ V.

135

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

Presupunˆand c˘ a B : V −→ V este un alt operator care verific˘ a (4.4) obtinem relat¸ia din care rezult˘ a A∗ = B.

hA∗ x, yi = hBx, yi,

∀x, y ∈ V

4.6.2 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert ¸si A : V −→ V este un operator liniar. Operatorul liniar A∗ : V −→ V unic determinat care verific˘ a relat¸ia hA∗ x, yi = hx, Ayi,

∀x, y ∈ V.

se nume¸ste adjunctul operatorului A. 4.6.3 In locul notat¸iei A∗ se prefer˘ a uneori notat¸ia A+ . 4.6.4 Propozit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert. Dac˘ a A, B : V −→ V sunt operatori liniari ¸si λ ∈ C atunci A + B : V −→ V, (A + B)x = Ax + Bx λA : V −→ V, (λA)x = λ Ax AB : V −→ V, (AB)x = A(Bx) sunt operatori liniari ¸si (A∗ )∗ = A, (A+B)∗ = A∗ +B ∗ , ∗ ∗ ¯ (λA) = λ A , (AB)∗ = B ∗ A∗ .

Demonstrat¸ie. Avem (A + B)(αx + βy) = A(αx + βy) + B(αx + βy) = αAx + βAy + αBx + βBy = α(A + B)x + β(A + B)y (λA)(αx + βy) = λ A(αx + βy) = λαAx + λβAy = α(λA)x + β(λA)y (AB)(αx + βy) = A(B(αx + βy)) = A(αBx + βBy) = αA(Bx) + βA(By) = α(AB)x + β(AB)y. Relat¸ia (A∗ )∗ = A rezult˘ a din h(A∗ )∗ x, yi = hx, A∗ yi = hAx, yi,

∀x, y ∈ V.

Avem h(A + B)∗ x, yi = hx, (A + B)yi = hx, Ayi + hx, Byi = hA∗ x, yi + hB ∗ x, yi = h(A∗ + B ∗ )x, yi

adic˘ a pentru orice x ∈ V

h(A + B)∗ x, yi = h(A∗ + B ∗ )x, yi,

∀y ∈ V

ceea ce conduce la (A + B)∗ = A∗ + B ∗ . Similar, pentru orice x ∈ V avem

136

Complemente de Matematic˘a

¯ hx, Ayi h(λA)∗ x, yi = hx, (λA)yi = hx, λ Ayi = λ ∗ ∗ ¯ ¯ ¯ ∗ )x, yi, = λhA x, yi = hλ A x, yi = h(λA

¸si acest˘ a relat¸ie conduce la

¯ ∗ )x, (λA)∗ x = (λA

∀y ∈ V

∀x ∈ V

¯ ∗ . Oricare ar fi x ∈ V avem relat¸ia adic˘ a (λA)∗ = λA

h(AB)∗ x, yi = hx, (AB)yi = hx, A(By)i = hA∗ x, Byi = hB ∗ (A∗ x), yi = h(B ∗ A∗ )x, yi, ∀y ∈ V

care conduce la (AB)∗ = B ∗ A∗ .

4.6.5 Propozit¸ie. Matricea adjunctului A∗ al unui operator liniar A : V −→ V ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este adjuncta matricei operatorului A ˆın raport cu aceea¸si baz˘ a. Demonstrat¸ie. Fie 



a11 · · · a1n  .. ..  , .. A= . . .  an1 · · · ann





a∗11 · · · a∗1n  ..  .. A∗ =  ... . .  ∗ ∗ an1 · · · ann

matricele lui A ¸si A∗ ˆın raport cu baza ortonormat˘a {v1 , v2 , ..., vn }, adic˘ a Avj =

n X

aij vi ,

∗

A vj =

i=1

n X

a∗ij vi .

(4.5)

i=1

Conform formulei de reprezentare a unui vector ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘a u=

n X i=1

avem Avj =

n X i=1

hvi , Avj ivi ,

hvi , uivi A∗ vj =

n X i=1

hvi , A∗ vj ivi

Din relat¸iile (4.5) ¸si (4.6) rezult˘ a aij = hvi , Avj i,

a∗ij = hvi , A∗ vj i

ceea ce conduce la ¯ji . a∗ij = hvi , A∗ vj i = hAvi , vj i = hvj , Avi i = a

(4.6)

137

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.7

Transform˘ ari unitare ¸si transform˘ ari ortogonale

4.7.1 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert. Prin transformare unitar˘ a a lui V se ˆınt¸elege o aplicat¸ie liniar˘ a A : V −→ V cu proprietatea hAx, Ayi = hx, yi,

∀x, y ∈ V.

4.7.2 Transform˘arile unitare p˘ astreaz˘ a nemodificat˘ a norma unui vector ||Ax|| =

q

hAx, Axi =

q

hx, xi = ||x||,

∀x ∈ V.

4.7.3 Propozit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert ¸si A, B : V −→ V aplicat¸ii liniare. Dac˘ a sunt transform˘ ari unitare atunci AB este transformare unitar˘ a. −1 Orice transformare unitar˘ a A este bijectiv˘ a ¸si A este transformare unitar˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a A ¸si B sunt transform˘ari unitare atunci h(AB)x, (AB)yi = hA(Bx), A(By)i = hBx, Byi = hx, yi,

∀x, y ∈ V.

Dac˘a A este transformare unitar˘a atunci ker A = {0} Ax = 0

=⇒

||x|| = ||Ax|| = 0

=⇒

x = 0.

Conform teoremei rangului rezult˘ a c˘a dim Im A = dim V − dim Ker A = dim V ceea ce arat˘ a c˘ a A este surjectiv˘a. Transformarea A−1 este unitar˘a hx, yi = hA(A−1 x), A(A−1 y)i = hA−1 x, A−1 yi. 4.7.4 Deoarece transformarea identic˘a I : V −→ V : x 7→ x

este o transformare unitar˘a ¸si compunerea aplicat¸iilor este o operat¸ie asociativ˘a (A(BC))x = A((BC)x) = A(B(Cx)) = (AB)(Cx) = ((AB)C)x,

∀x ∈ V

din propozit¸ia anterioar˘ a rezult˘ a c˘a pe mult¸imea transform˘arilor unitare { A : V −→ V | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ V } exist˘a o structur˘ a natural˘a de grup (numit grupul transform˘ arilor unitare ale lui V ).

138

Complemente de Matematic˘a

4.7.5 Propozit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert ¸si A : V −→ V aplicat¸ie liniar˘ a. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) A este transformare unitar˘ a ∗ b) A A = I c) transformarea A este bijectiv˘ a ¸si A−1 = A∗ . Demonstrat¸ie. Dac˘a A este transformare unitar˘a, adic˘ a atunci

hAx, Ayi = hx, yi,

∀x, y ∈ V

hA∗ Ax, yi = hx, yi,

∀x, y ∈ V

relat¸ie care conduce la A∗ A = I. Dac˘a A∗ A = I atunci A∗ AA−1 = A−1 , adic˘ a ∗ −1 −1 ∗ A = A . Dac˘a A este bijectiv˘ a ¸si A = A atunci hAx, Ayi = hA∗ Ax, yi = hA−1 Ax, yi = hx, yi,

∀x, y ∈ V.

4.7.6 Propozit¸ie. O aplicat¸ie liniar˘ a A : V −→ V este transformare unitar˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea ei ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este o matrice unitar˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ortonormat˘a ¸si Avi = hAvi , Avj i = h =

Pn

k=1 aki vk ,

Pn

k=1

Pn

Pn

m=1 amj vm i

¯mj hvk , vm i m=1 aki a

=

Dac˘a A este transformare unitar˘a atunci n X

k=1

Pn

¯kj k=1 aki a

=

Pn

j=1 aji vj

atunci

Pn

∗ k=1 ajk aki .

a∗jk aki = hAvi , Avj i = hvi , vj i = δij

relat¸ie echivalent˘ a cu A∗ A = I. Invers, dac˘ a A∗ A = I atunci D

Pn

hAx, Ayi = A ( =

Pn

i=1

i=1 xi vi ) , A

Pn

¯j δij j=1 xi y

P

n j=1 yj vj

=

Pn

E

¯i i=1 xi y

=

Pn

i=1

= hx, yi.

Pn

¯j hAvi , Avj i j=1 xi y

4.7.7 Teorem˘ a. Dac˘ a A : V −→ V este transformare unitar˘ a atunci: a) orice valoare proprie λ este astfel ˆıncˆ at |λ| = 1 b) vectorii proprii corespunz˘ atori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

139

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

Demonstrat¸ie. a) Fie λ o valoare proprie a lui A ¸si u 6= 0 un vector propriu corespunz˘ator, adic˘ a Au = λu. Din relat¸ia hAu, Aui = hu, ui rezult˘ a |λ| = 1. b) Fie λ1 6= λ2 dou˘ a valori proprii distincte ¸si u1 , u2 vectori proprii corespunz˘atori, adic˘ a Au1 = λ1 u1 ¸si Au2 = λ2 u2 . Din relat¸ia hAu1 , Au2 i = hu1 , u2 i rezult˘ a hu1 , u2 i = 0. 4.7.8 Teorem˘ a. Dac˘ a A : V −→ V este o transformare unitar˘ a atunci exist˘ a o baz˘ a a lui V ˆın raport cu care matricea lui A este o matrice diagonal˘ a. Demonstrat¸ie. Utiliz˘am metoda induct¸iei matematice. Afirmat¸ia este, evident, adev˘arat˘ a ˆın cazul dim V = 1. Presupunˆand c˘a afirmat¸ia este adevarat˘ a ˆın cazul spat¸iilor de dimensiune n−1 arat˘ am c˘a ea este adev˘arat˘ a ¸si pentru spat¸iile de dimensiune n. Fie V un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si A : V −→ V o transformare unitar˘a. Fie λ1 ∈ C o valoare proprie ¸si u 6= 0 un vector propriu corespunz˘ator, u este ¸si el vector propriu corespunz˘ator adic˘ a Au = λ1 u. Vectorul unitar v1 = ||u|| valorii proprii λ1 . Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe v1 W = {v1 }⊥ = { x ∈ V | hv1 , xi = 0 }

este un subspat¸iu invariant

x ∈ W ⇒ hv1 , Axi = λ1 hλ1 v1 , Axi = λ1 hAv1 , Axi = λ1 hv1 , xi = 0 ⇒ Ax ∈ W.

de dimensiune n−1 ¸si span{v1 } ⊕ W = V . Relat¸ia hAx, Ayi = hx, yi fiind verificat˘ a oricare ar fi x, y ∈ V rezult˘ a ca restrict¸ia lui A la W A|W : W −→ W

verific˘ a relat¸ia hA|W x, A|W yi = hx, yi oricare ar fi x, y ∈ W , adic˘ a este transformare unitar˘a. Conform ipotezei de induct¸ie exista o baz˘ a ortonormat˘a {v2 , v3 , ..., vn } a lui W ˆın raport cu care matricea lui A|W este diagonal˘ a   λ2 0 · · · 0  0 λ 0    3 ··· A|W =    ··· ··· ··· ···  0 0 · · · λn Sistemul de vectori {v1 , v2 , v3 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a a lui V ˆın raport cu care matricea lui A este   λ1 0 0 ··· 0  0 λ 0 ··· 0  2     A= 0 0 λ3 · · · 0  .    ··· ··· ··· ··· ···  0 0 0 · · · λn

140

Complemente de Matematic˘a

4.7.9 Exit˘ a un analog real pentru not¸iunea de transformare unitar˘a, dar nu toate rezultatele din cazul complex au un analog. 4.7.10 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert real. Prin transformare ortogonal˘ a a lui V se ˆınt¸elege o aplicat¸ie liniar˘ a A : V −→ V cu proprietatea hAx, Ayi = hx, yi,

∀x, y ∈ V.

4.7.11 Transform˘arile ortogonale p˘ astreaz˘ a nemodificat˘ a norma unui vector ¸si pe mult¸imea transform˘arilor ortogonale { A : V −→ V | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ V } exist˘a o structur˘ a natural˘a de grup (grupul transform˘ arilor ortogonale). 4.7.12 Propozit¸ie. O aplicat¸ie liniar˘ a A : V −→ V este transformare ortogonal˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea ei ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este o matrice ortogonal˘ a. 4.7.13 Teorem˘ a. Dac˘ a A : V −→ V este transformare ortogonal˘ a atunci: a) singurele valori proprii posibile ale lui A sunt 1 ¸si −1. b) vectorii proprii corespunz˘ atori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

(x′ , y ′ )

y′ r

(x, y)

y t

r α x′

x

Figura 4.7: Rotat¸ia de unghi t ˆın jurul originii. 4.7.14 Exercit¸iu. Identificˆ and planul cu spat¸iul Hilbert real R2 , s˘ a se arate c˘a rotat¸ia de unghi t ˆın jurul originii este o trensformare ortogonal˘ a care, ˆın general, nu are vectori ¸si valori proprii.

141

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

Rezolvare. Pentru rotat¸ia Rt de unghi t punˆand

Rt (x, y) = (x′ , y ′ )

p

¸si notˆ and r = x2 + y 2 deducem (a se vedea Figura 4.7) x′ = r cos(α + t) = r cos α cos t − r sin α sin t = x cos t − y sin t y ′ = r sin(α + t) = r cos α sin t + r sin α cos t = x sin t + y cos t adic˘ a Rt (x, y) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t). Matricea rotat¸iei Rt ˆın raport cu baza canonic˘ a este Rt =

cos t − sin t sin t cos t

R˘ ad˘ acinile ecuat¸iei caracteristice

sunt

cos t − λ − sin t sin t cos t − λ

λ1,2 = cos t ±

p

!

.

=0

cos2 t − 1

¸si ele sunt reale dac˘ a ¸si numai dac˘ a cos t ∈ {−1, 1}, adic˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a t ∈ Zπ. 4.7.15 In cazul unei transform˘ari ortogonale A : V −→ V , ˆın general, nu exist˘a o baz˘ a a lui V ˆın raport cu care matricea lui A s˘ a fie o matrice diagonal˘ a.

142

Complemente de Matematic˘a

4.8

Transformarea Fourier finit˘ a

4.8.1 Teorem˘ a. Fie d ∈ {2, 3, ...}. Transformarea Fourier finit˘ a F : Cd −→ Cd : (x0 , x1 , ..., xd−1 ) 7→ (y0 , y1 , ..., yd−1 ), este unitar˘ a ¸si inversa ei este F −1 : Cd −→ Cd : (y0 , y1 , ..., yd−1 ) 7→ (x0 , x1 , ..., xd−1 ),

X 2πi 1 d−1 e d kn xn yk = √ d n=0 X 2πi 1 d−1 e− d kn yk . xn = √ d k=0

Demonstrat¸ie. Matricea ˆın raport cu baza canonic˘ a  1 1 1 ··· 1 2πi 2πi 2πi  2 d d d  1 e · · · e (d−1) e 2πi 2πi 2πi 1   e d 2 e d 4 · · · e d 2(d−1) F =√  1 d .. .. .. ..  .. . . . .  . 2πi 2πi 2πi 2 (d−1) 2(d−1) (d−1) 1 e d e d ··· e d

este o matrice unitar˘a deoarece

X 2πi X 2πi 2πi 1 d−1 1 d−1 e d kn e− d mn = e d (k−m)n = δkm = d n=0 d n=0

(

        

1 dac˘ a k = m (modulo d) 0 dac˘ a k 6= m (modulo d).

4.8.2 In cazul unui spat¸iu Hilbert d-dimensional este convenabil uneori sa index˘am coordonatele folosind inelul Zd al claselor de resturi modulo d. Deoarece e

2πi kn d

=e

2πi (k+jd)n d

oricare ar fi j ∈ Z, au sens relat¸iile 1 X 2πi kn yk = √ e d xn , d n∈Zd

=e

2πi k(n+jd) d

1 X − 2πi kn e d yk . xn = √ d k∈Zd

4.8.3 Orice spat¸iu Hilbert d-dimensional V poate fi identificat cu Cd alegand o baz˘ a ortonormat˘a {|vn i}n∈Zd . Spat¸iul V poate fi astfel identificat cu spat¸iul funct¸iilor de forma ϕ : Zd −→ C. Transform˘arile Fourier direct˘ a ¸si invers˘ a se pot scrie X X 2πi 2πi 1 1 F −1 = √ e d kn |vk ihvn |, e− d kn |vk ihvn | = F ∗ . F=√ d k,n∈Zd d k,n∈Zd 4.8.4 Deoarece F 4 = I valorile proprii ale lui F apart¸in mult¸imii {1, −1, i, −i}.

143

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.8.5∗ Se ¸stie (a se vedea pag. 194-17) c˘a pentru transformarea Fourier continu˘ a ϕ 7→ F[ϕ],

F[ϕ](ξ) =

unde

funct¸ia

Z

∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

fk (x) = Hk (x) e−

fk : R −→ R,

x2 2

definit˘a cu ajutorul polinomului Hermite Hk , este funct¸ie proprie Z ∞ ξ2 x2 1 √ dx eiξx Hk (x) e− 2 = ik Hk (ξ) e− 2 . 2π −∞ 4.8.6∗ Folosind funct¸ia periodic˘ a Fk : R −→ R,

Fk (x) =

∞ P

α=−∞

Hk

cu perioada d definim funct¸ia Zd −→ R : n 7→ Fk (n) =

adic˘ a,

∞ P

α=−∞

Zd −→ R : n 7→ Fk (n) =

Hk

∞ P

α=−∞

q

q



2π d

2π d

(αd+x) e



− 12

(αd+n) e

q

Hk

− 21

2π d

p

p



2π d

2π d

2

(αd+x)

2

(αd+n)

π

2

(αd+n) e− d (αd+n)

unde Zd = {0, 1, ..., d−1} este mult¸imea ˆıntregilor modulo d. 4.8.7∗ Teorem˘ a [13]. Pentru orice k ∈ {0, 1, 2, ...}, funct¸ia Zd −→ R : n 7→ Fk (n) =

∞ P

α=−∞

Hk

q

2π d



este funct¸ie proprie a transform˘ arii Fourier finite X 2πi 1 d−1 √ e d jn Fk (n) = ik Fk (j) d n=0

π

2

(αd+n) e− d (αd+n)

oricare ar f i j ∈ Zd .

Demonstrat¸ie. Funct¸ia periodic˘ a Fk (x) admite dezvoltarea Fourier Fk (x) =

∞ X

aℓ e

2πi ℓx d

ℓ=−∞

cu coeficient¸ii aℓ = =

1 R d − 2πi ℓx d Fk (x) dx d 0 e

− 21 1 R d − 2πi ℓx P∞ d α=−∞ e d 0 e

p

2π d

2

(αd+x)

Hk

q

2π d



(αd+x) dx

144

Complemente de Matematic˘a

Notˆand t =

q

2π d

(αd+x) ¸si utilizˆ and formulele Hk (−x) = (−1)k Hk (x) ¸si √ (α+1) 2πd

∞ Z X

g(t) dt =

√ α=−∞ α 2πd

Z

∞

g(t) dt

−∞

obt¸inem aℓ = = =

√1 √1 d 2π

R∞

ik − πd ℓ2 √ e d

=

k (−i) √ d

Din relat¸ia k (−i) √ d

= (−i)k



Hk −ℓ

π 2

d

q

P∞

ℓ=−∞ aℓ e

P∞

ℓ=−∞ e

√1 d

2πi ℓx d

2πi jℓ d

Pd−1

n=0 e

Pd−1

n=0 e

2πi jn d 2πi jn d

Hk (t) dt





2π d

k (−i) √ d

=

π 2

α=−∞ e

n=0

1 2

e− 2 t Hk (t) dt

1 2

∞ P

e

 q

2π d

2πi j(αd+n) d

P∞

α=−∞

2πi ℓx d

ℓ=−∞

e− d ℓ Hk ℓ

Pd−1 P∞



d −αd 2π

e− 2 t Hk (t) dt

2π d

 q

e− d ℓ Hk ℓ

√1 d 1 k (−i) √d

= (−i)k

p 2π

−iℓt −∞ e

=

Fk (x) =

=

ℓ t − 2πi d

√ e α=−∞ α 2πd R (α+1)√2πd −iℓtp 2π − 1 t2 P∞ d e 2 √ √1 e α=−∞ α 2πd 2πd

de unde

Fk (j) =

p

R (α+1)√2πd

P∞

√1 2πd

π



 q

π 2

e− d ℓ Hk ℓ

π

2

e− d (αd+n) Hk 2

e− d (αd+n) Hk

Fk (n)

q

q

2π d

2π d

2π d





(αd + n) 

(αd + n)

dedus˘a utilizˆ and egalitatea

∞ X

ℓ=−∞

g(ℓ) =

d−1 X

∞ X

g(αd + n)

n=0 α=−∞

obt¸inem X 2πi 1 d−1 √ e d jn Fk (n) = ik Fk (j) d n=0

oricare ar fi j ∈ Zd .

4.8.8 Dintre funct¸iile proprii Fk : Zd −→ R cel mult d pot fi liniar independente.

145

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 4.8.9∗ Funct¸ia lui Jacobi θ3 definit˘a prin relat¸ia [29, 34] θ3 (z, τ ) =

∞ X

2

eiπτ α e2πiαz ,

Im (τ ) > 0

α=−∞

este important˘ a pentru fizica teoretic˘ a datorit˘ a propriet˘a¸tilor ei, dintre care ment¸ion˘ am 2

θ3 (z + m + nτ, τ ) = e−iπτ n e−2πinz θ3 (z, τ )   2 1 z i − πzτ , θ3 (z, iτ ) = √ exp . θ3 τ iτ τ

g1/3 (n) ✻ 1q qq q q q q q q q q q q q q q qq q q q qq qq✲ n qqq q q q

−15

g1 (n) ✻ 1q qq

g3 (n) ✻ 1q

qq q q 0.5

q

q q q

q

q

q

qq

qqqqqqqq q q

15

−15

n q qqqqqqqq✲

q

q

qqqqqqqqqqq q

15

−15

n q qqqqqqqqqqq✲ 15

Figura 4.8: The functions g1/3 , g1 ¸si g3 ˆın cazul d = 31.

-10

-5

1.0

1.0

1.0

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

5

10

-10

5

-5

1

2

10

1

-10

2

-5

3

2

Figura 4.9: Funct¸iile e− 6 x , e− 2 x , e− 2 x . 4.8.10∗ Oricare ar fi κ ∈ (0, ∞), se poate ar˘ ata [24, 13] c˘a θ3



k iκ , d d



  X 2πi n i 1 d−1 , e− d kn θ3 =√ . d κd κd n=0

5

10

146

Complemente de Matematic˘a

Din aceast˘ a relat¸ie rezult˘ a c˘a funct¸iile (vezi Figura 4.8) gκ : Zd −→ R,

gκ (n) =

∞ X

e−

κπ (αd+n)2 d

α=−∞



n i 1 , = √ θ3 d κd κd



care pot fi privite ca versiuni discrete ale funct¸iilor (vezi Figura 4.9 ) gκ : R −→ R, verific˘ a relat¸ia

κ

gκ (x) = e− 2 x

2

κ ∈ (0, ∞)

1 F [gκ ] = √ g 1 . κ κ

4.8.11 Dac˘a alegem pentru transformata Fourier a unei funct¸ii continue definit¸ia 1 F[f ](ξ) = √ 2π

Z

∞

eiξx f (x) dx

−∞

atunci (a se vedea pag. 69-19) 1 F[gκ ] = √ g 1 . κ κ

4.9

Operatori autoadjunct¸i (hermitici)

4.9.1 Definit¸ie. O matrice





a11 · · · a1n  .. ..  ∈ M .. A= . n×n (C) . .  an1 · · · ann este numit˘ a matrice hermitic˘ a dac˘ a coincide cu adjuncta ei (A∗ = A), adic˘ a dac˘ a aij = a ¯ji ,

∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}.

Matricea A este numit˘ a matrice antihermitic˘ a dac˘ a A∗ = −A. 4.9.2 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu Hilbert. Un operator liniar A : V −→ V este numit operator autoadjunct sau hermitic dac˘ a A = A∗ , adic˘ a dac˘ a hAx, yi = hx, Ayi,

∀x, y ∈ V.

(4.7)

147

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.9.3 Vom nota cu A(V ) mult¸imea operatorilor autoadjunct¸i definit¸i pe V , adic˘ a A(V ) = { A ∈ L(V ) | A∗ = A }

= { A ∈ L(V ) | hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y ∈ V }.

4.9.4 Propozit¸ie. a)

A, B ∈ A(V )

b)

A ∈ A(V ) α∈R

c)

)

=⇒ =⇒

αA ∈ A(V )

Daca A, B ∈ A(V ) atunci : AB ∈ A(V )

d)

A + B ∈ A(V )

⇐⇒

AB = BA

Daca operatorul A ∈ A(V ) este inversabil atunci A−1 ∈ A(V ).

Demonstrat¸ie. Vom utiliza propriet˘atile adjunctului prezentate la pag. 135-4. a) Avem (A + B)∗ = A∗ + B ∗ = A + B b) Avem (αA)∗ = α ¯ A∗ = αA. c) Dac˘a AB ∈ A(V ) atunci AB = (AB)∗ = B ∗ A∗ = BA. Dac˘a AB = BA atunci (AB)∗ = B ∗ A∗ = BA = AB ¸si deci AB ∈ A(V ). d) Avem hA−1 x, yi = hA−1 x, A(A−1 y)i = hA(A−1 x), A−1 yi = hx, A−1 yi. 4.9.5 Spat¸iul operatorilor autoadjunct¸i A(V ) este un spat¸iu vectorial real. Considerat ˆımpreun˘ a cu produsul scalar hA, Bi = Tr(AB) el devine un spat¸iu Hilbert real. 4.9.6 Propozit¸ie. Un operator liniar A : V −→ V este operator autoadjunct dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea lui ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este o matrice hermitic˘ a. Demonstrat¸ie. Afirmt¸ia rezult˘ a din rezultatul prezentat la pag. 136-5. 4.9.7 Propozit¸ie. Dac˘ a A : V −→ V este un operator autoadjunct atunci: a) toate valorile proprii sunt reale b) vectorii proprii corespunz˘ atori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

148

Complemente de Matematic˘a

Demonstrat¸ie. a) Fie λ o valoare proprie a lui A ¸si u 6= 0 un vector propriu core¯ spunz˘ator, adic˘ a Au = λu. Din relat¸ia hAu, ui = hu, Aui rezult˘ a λ = λ. b) Fie λ1 6= λ2 dou˘ a valori proprii distincte ¸si u1 , u2 vectori proprii corespunz˘atori, adic˘ a Au1 = λ1 u1 ¸si Au2 = λ2 u2 . Din relat¸ia hAu1 , u2 i = hu1 , Au2 i rezult˘ a hu1 , u2 i = 0. 4.9.8 Propozit¸ie. In cazul unui operator autoadjunct r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic sunt reale. Demonstrat¸ie. Fie A ∈ A(V ) ¸si fie λ1 o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a a11 − λ1 a · · · a 12 1n a21 a22 − λ1 · · · a2n = 0. ··· ··· ··· ··· an1 an2 · · · ann − λ1 In aceste condit¸ii sistemul de ecuat¸ii   (a11 − λ1 )x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0    a x + (a − λ )x + · · · + a x = 0 21 1 22 1 2 2n n  ..................................................    an1 x1 + an2 x2 + · · · + (ann − λ1 )xn = 0

admite ˆın Cn o solut¸ie (x1 , x2 , ..., xn ) 6= (0, 0, ..., 0). Adunˆ and ecuat¸iile sistemului ˆınmult¸ite respectiv cu x ¯1 , x ¯2 , ..., x ¯n obt¸inem relat¸ia n X

ajk xk x ¯ j = λ1

n X

xj x ¯j .

j=1

j,k=1

Deoarece matricea A este hermitic˘a , adic˘ a ajk = a ¯kj , rezult˘ a λ1 =

Pn

¯j j,k=1 ajk xk x Pn 2 j=1 |xj |

=

Pn

¯kj xk x ¯j j,k=1 a Pn 2 j=1 |xj |

¯1 . =λ

4.9.9 Teorem˘ a. Dac˘ a A : V −→ V este operator autoadjunct atunci exist˘ a o baz˘ a ortonormat˘ a ˆın raport cu care matricea lui A este o matrice diagonal˘ a. Demonstrat¸ie. Utiliz˘am metoda induct¸iei matematice. Afirmat¸ia este, evident, adev˘arat˘ a ˆın cazul dim V = 1. Presupunˆand c˘a afirmat¸ia este adevarat˘ a ˆın cazul spat¸iilor de dimensiune n − 1 arat˘ am c˘a ea este adev˘arat˘ a ¸si pentru spat¸iile de dimensiune n. Fie V un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si fie A ∈ A(V ). S¸tim c˘a A admite cel put¸in o valoare proprie λ1 . Fie u 6= 0 un vector propriu corespunz˘ator, u este ¸si el vector propriu corespunz˘ator adic˘ a Au = λ1 u. Vectorul unitar v1 = ||u|| valorii proprii λ1 . Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe v1

149

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

W = {v1 }⊥ = { x ∈ V | hv1 , xi = 0 } este un subspat¸iu invariant x∈W

⇒

hv1 , Axi = hAv1 , xi = λ1 hv1 , xi = 0

⇒

Ax ∈ W

de dimensiune n − 1 ¸si span{v1 } ⊕ W = V . Relat¸ia hAx, yi = hx, Ayi fiind verificat˘ a oricare ar fi x, y ∈ V rezult˘ a ca restrict¸ia lui A la W A|W : W −→ W verific˘ a relat¸ia hA|W x, yi = hx, A|W yi oricare ar fi x, y ∈ W , adic˘ a este un operator autoadjunct. Conform ipotezei de induct¸ie exist˘a o baz˘ a ortonormat˘a {v2 , v3 , ..., vn } a lui W ˆın raport cu care matricea lui A|W este diagonal˘ a   λ2 0 · · · 0  0 λ 0    3 ··· A|W =    ··· ··· ··· ···  0 0 · · · λn Sistemul de vectori {v1 , v2 , v3 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a a lui V ˆın raport cu care matricea lui A este   λ1 0 0 ··· 0  0 λ 0 ··· 0  2     A= 0 0 λ3 · · · 0  .    ··· ··· ··· ··· ···  0 0 0 · · · λn

4.9.10 Teorem˘ a. Doi operatori autoadjunct¸i A, B : V −→ V comut˘ a , adic˘ a AB = BA dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a ˆın V o baz˘ a ortonormat˘ a format˘ a din vectori proprii comuni ai lui A ¸si B. Demonstrat¸ie. “⇐” Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a format˘a din vectori proprii comuni ai lui A ¸si B Avj = αj vj atunci pentru orice x = (AB)x =

n X

j=1

Pn

j=1 xj vj

xj ABvj =

Bvj = βj vj

avem n X

j=1

xj αj βj vj =

n X

j=1

xj BAvj = (BA)x.

150

Complemente de Matematic˘a

“⇒” Presupunem c˘ a AB = BA ¸si c˘a B are doar dou˘ a valori proprii β1 ¸si β2 . Subspat¸iile proprii corespunz˘ atoare V1 ¸si V2 cu proprietatea Bx = β1 x oricare ar fi x ∈ V1 Bx = β2 x oricare ar fi x ∈ V2 sunt ortogonale ¸si V = V1 ⊕ V2 . Deoarece x ∈ V1 =⇒ B(Ax) = A(Bx) = β1 (Ax) =⇒ Ax ∈ V1 x ∈ V2 =⇒ B(Ax) = A(Bx) = β2 (Ax) =⇒ Ax ∈ V2 putem considera restrict¸iile A|V1 : V1 −→ V1 ¸si A|V2 : V2 −→ V2 . Aplicat¸iile A|V1 ¸si A|V2 fiind operatori autoadjunct¸i, ˆın spat¸iile Hilbert V1 ¸si V2 exist˘a bazele ortonormate {v1 , v2 , ..., vk } ¸si {vk+1 , vk+2 , ..., vn } formate din vectori proprii ai lui A. Sistemul {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , vk+2 , ..., vn } este baz˘ a ortonormat˘a ˆın V ¸si fiecare dintre vectorii lui este atˆ at vector propriu al lui A cˆat ¸si vector propriu al lui B. Dac˘a B are mai multe valori proprii, demonstrat¸ia este similar˘a.

4.10

Produs tensorial de spat¸ii Hilbert

4.10.1 Fie V , W dou˘ a spat¸ii Hilbert ¸si BV = {v1 , v2 , ..., vn }, BW = {w1 , w2 , ..., wm } baze ortonormate ˆın V ¸si repectiv W . Aplicat¸ia   F11 · · · F1m n m XX  ..  .. V ⊗ W −→ Mn×m (C) : F = Fij vi ⊗ wj 7→ F =  ... . .  i=1 j=1

Fn1 · · · Fnm

este un izomorfism de spat¸ii vectoriale (dependent de bazele alese) care permite identificarea spat¸iilor V ⊗ W ¸si Mn×m (C).

4.10.2 Spat¸iul Mn×m (C) este  * F11 · · · F1m  .. .. ..  . . . adic˘ a

Fn1 · · · Fnm

spat¸iu Hilbert cu produsul scalar definit prin  G11 · · · G1m + n X m X    .. . . . . F¯ij Gij , . . .  = i=1 j=1 Gn1 · · · Gnm  

hF, Gi = Tr (F ∗ G).

151

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.10.3 Propozit¸ie. Aplicat¸ia (definit˘ a utilizˆ and bazele BV ¸si BW ) adic˘ a

h, i : (V ⊗ W ) × (V ⊗ W ) −→ C,

hF, Gi = Tr (F ∗ G)

*

+

n X m X

i=1 j=1

Fij vi ⊗ wj ,

n X m X

i=1 j=1

Gij vi ⊗ wj

=

n X m X

F¯ij Gij

i=1 j=1

este un produs scalar care nu depinde de alegerea bazelor BV ¸si BW . Demonstrat¸ie. Orice element al spat¸iului V ⊗W este o combinat¸ie liniar˘ a de elemente de forma x⊗y cu x ∈ V ¸si y ∈ W . Deoarece x⊗y = obt¸inem c˘ a hx ⊗ y, x′ ⊗ y ′ i =

n X m X

hvi , xihwj , yi vi ⊗ wj

i=1 j=1

n X m X

i=1 j=1

hvi , xihwj , yihvi , x′ ihwj , y ′ i = hx, x′ ihy, y ′ i

adic˘ a produsului scalar a dou˘ a elemente de forma x ⊗ y nu depinde de bazele alese. 4.10.4 Teorem˘ a. Produsul tensorial V ⊗W a dou˘ a spat¸ii Hilbert este spat¸iu Hilbert. Dac˘ a BV = {v1 , v2 , ..., vn }, BW = {w1 , w2 , ..., wm } sunt baze ortonormate ˆın V ¸si repectiv W atunci B = { vi ⊗ wj | i ∈ {1, 2, ..., n}, j ∈ {1, 2, ..., m} }

este baz˘ a ortonormat˘ a ˆın V ⊗ W . 4.10.5 Produsul tensorial a doi operatori S : V −→ V ¸si T : W −→ W este operatorul definit prin relat¸ia

T ⊗S : V ⊗W −→ V ⊗W (T ⊗S) (x ⊗ y) = (T x) ⊗ (Sy)

pentru elemente de forma x ⊗ y ¸si extins prin liniaritate la celelalte elemente. 4.10.6 Propozit¸ie. Dac˘ a A, C ∈ L(V ) ¸si B, D ∈ L(W ) atunci (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD). Demonstrat¸ie. Egalitatea are loc pentru orice vector de forma x ⊗ y din V ⊗ W (A ⊗ B)(C ⊗ D) x ⊗ y = (A ⊗ B) (Cx) ⊗ (Dy) = (ACx) ⊗ (BDy) = (AC) ⊗ (BD) x ⊗ y.

152

Complemente de Matematic˘a

4.10.7 Propozit¸ie. Notˆ and cu i i tk = v (T vk ) elementele matricei operatorului T j j elementele matricei operatorului S sℓ = w (Swℓ ) kℓ k ℓ F = F (v , w ) elementele matricei vectorului F ij ((T ⊗S)F ) = ((T ⊗S)F )(v i , wj ) elementele matricei vectorului (T ⊗S)F avem ((T ⊗S)F )ij = tik sjℓ F kℓ . Demonstrat¸ie. Deoarece formele liniare v i ◦ T ¸si wj ◦ S admit dezvolt˘arile v i ◦ T = v i (T vk ) v k = tik v k

si

wj ◦ S = wj (Swℓ ) wℓ = sjℓ wℓ

avem ((T ⊗S)F )ij = ((T ⊗S)F )(v i , wj ) = F (v i ◦ T, wj ◦ S) = tik sjℓ F kℓ .

(4.8)

4.10.8 Se obt¸ine o reprezentare alternativ˘a avantajoas˘a transformˆand matricile asociate elementelor lui V ⊗W ˆın vectori coloan˘ a cu nm elemente obt¸inut¸i prin a¸sezarea una sub alta a coloanelor. In cazul n = 2 ¸si m = 3

F 11 F 12 F 13 F 21 F 22 F 23

!



7→



F 11  F 21      F 12   22  F   13  F

F 23

   .    

Corespunz˘ ator, unui operator T ⊗S i se asociaz˘a matricea  

s11 T

T ⊗ S =  ··· sm 1 T



· · · s1m T  .. . ···  · · · sm mT

unde blocul matricial sji T se obt¸ine ˆınmult¸ind cu sji matricea T a lui T . Se obt¸ine astfel posibilitatea de a scrie relat¸ia (4.8) folosind ˆınmult¸irea unei matrice cu un vector coloan˘ a. In cazul n = 2 ¸si m = 3 relat¸ia (4.8) devine

153

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

          

((T ⊗S)F )11



((T ⊗S)F )21  

((T ⊗S)F )12 ((T ⊗S)F )22

((T ⊗S)F )13 ((T ⊗S)F )23



s11 t11 s11 t12  1 2  s t s 1 t2 1 2  1 1

    s21 t11   =    s21 t21       3 1  s 1 t1

s31 t21

s21 t12

s22 t11 s22 t12

s21 t22

s22 t21 s22 t22

s31 t12 s31 t22

s32 t11 s32 t21

0

0 s21

s22 0 0 s22

0

s32

0

s31

0

s32



s13 0  0 s13    

s23 0   0 s23   s33

0

iar dac˘ a S este operatorul identitate Ix = x atunci  0 t11 t12 0 0       T ⊗I =      

  0  

s33

0

 

0  

t21 t22

0

0

0

0 0

0 0

t11 t12 t21 t22

0 0

0 0

0 0

0 0

t11 t21 t22

0 0

s33 t12 s33 t22

s33 t11 s33 t21

s32 t12 s32 t22

Dac˘a T este operatorul identitate Ix = x atunci  s12 0 s11 0   0 s1 0 s1 2 1    2  s1 I ⊗S =   0     s3  1



s13 t11 s13 t12  11 F  s13 t21 s13 t22   F 21    s23 t11 s23 t12   F 12    F 22 s23 t21 s23 t22   

s12 t11 s12 t12 s12 t21 s12 t22

   .     t12  

0 0

   F 13   23

F



     .    

154

4.11

Complemente de Matematic˘a

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

4.11.1 In cazul une particule cuantice care se poate mi¸sca de-a lungul unei axe, pozit¸iile posibile ale particulei sunt descrise utilizˆ and R ca model matematic iar st˘ arile cuantice posibile de funct¸ii ψ : R −→ C de p˘ atrat integrabil Z

∞

−∞

|ψ(x)|2 dx < ∞.

Spat¸iul acestor funct¸ii, considerat ˆımpreun˘a cu produsul scalar Z

hψ1 , ψ2 i =

∞

−∞

ψ1 (x) ψ2 (x) dx

este un spat¸iu Hilbert infinit dimensional, notat cu L2 (R). Fiec˘arei funct¸ii ψ : R −→ C i se asociaz˘ a transformata Fourier F[ψ] : R −→ C definit˘a prin relat¸ia Z ∞ 1 e−ipx/~ ψ(x) dx (4.9) F[ψ](p) = √ 2π ~ −∞ unde ~ este constanta lui Planck h ˆımp˘ art¸it˘a cu 2π. In starea cuantic˘a descris˘a de funct¸ia normat˘a Ψ, num˘ arul Z

b a

|Ψ(x)|2 dx

reprezint˘ a probabilitatea de a g˘ asi particula ˆın intervalul [a, b], iar Z

b

a

|F[Ψ](p)|2 dp

probabilitatea ca impulsul particulei sa apart¸in˘ a intervalului [a, b]. M˘arimile fizice sunt descrise cu ajutorul operatorilor liniari. Pozit¸ia particulei este descris˘a de operatorul [14] ψ 7→ x ˆψ

unde

(ˆ x ψ)(x) = x ψ(x)

(4.10)

iar impulsul de operatorul dψ . dx In starea cuantic˘ a descris˘a de funct¸ia de und˘a normat˘a Ψ, numerele ψ 7→ pˆ ψ

hˆ xi = hΨ, x ˆ Ψi

unde

¸si

pˆ ψ = −i~

(4.11)

hˆ pi = hΨ, pˆ Ψi

reprezint˘ a valorile medii ale coordonatei ¸si impulsului, respectiv. 4.11.2∗ O versiune foarte simplificat˘a a sistemului cuantic prezentat se obt¸ine admit¸ˆand c˘a pentru particula considerat˘a num˘ arul de pozit¸ii care se pot distinge este finit. Este

155

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

convenabil s˘ a se admit˘ a c˘ a num˘ arul pozit¸iilor ce pot fi distinse este impar, d = 2s+1 ¸si c˘a mult¸imea acestora este n

q

2π d ,

lim

q

2π d

Sd = −s Deoarece

d→∞

q

(−s+1)

=0

q

2π d ,

¸si

... , (s−1) q

lim (±s)

d→∞

putem considera c˘ a, ˆıntr-un anumit sens, avem

2π d

2π d ,

s

q

2π d

o

.

= ±∞

lim Sd = (−∞, ∞).

d→∞

4.11.3 In versiunea simplificat˘a prezentat˘a, este convenabil ca pentru mult¸imea pozit¸iilor posibile s˘ a se utilizeze inelul Zd = Z/dZ al ˆıntregilor modulo d ca model matematic. Alegˆand {−s, −s+1, ..., s−1, s} ca o mult¸ime de reprezentant¸i ‘standard’ pentru elementele lui Zd , st˘ arile sistemului cuantic considerat sunt descrise de funct¸ii ψ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C. Spat¸iul H al acestor funct¸ii considerat ˆımpreun˘a cu produsul scalar hψ1 , ψ2 i =

s X

ψ1 (n) ψ2 (n)

n=−s

este un spat¸iu Hilbert d-dimensional izomorf cu spat¸iul Hilbert standard Cd . 4.11.4 Alegem ˆın H o baz˘ a ortonormat˘a {|ni}n∈Zd ¸si definim operatorul ‘pozit¸ie’ Q : H −→ H,

Q=

Transformarea Fourier finit˘ a F : H −→ H,

q

2π d

s P

n=−s

n |nihn|.

s X 2πi 1 ′ F =√ e d nn |nihn′ | d n,n′ =−s

˜ k∈Z , unde ne permite s˘ a definim o a doua baz˘ a ortonormat˘a {|ki} d s X 2πi 1 ˜ = F |ki = F + | − ki = √ e d kn |ni |ki d n=−s

¸si s˘ a definim operatorul ‘impuls’

P : H −→ H, Operatorii Q ¸si P verific˘ a relat¸iile F QF + = P

P =

q

2π d

s P

k=−s

˜ k|. ˜ k |kih

F P F + = −Q

156

Complemente de Matematic˘a

¸si au acela¸si spectru (mult¸ime de valori proprii) ¸si anume n

Sd = −s

q

q

2π d ,

(−s+1)

2π d ,

q

... , (s−1)

4.11.5∗ Fiecare stare |ψi ∈ H admite reprezent˘arile |ψi =

s X

n=−s

ψ(n) |ni =

s X

k=−s

2π d ,

s

q

2π d

o

.

˜ |ki ˜ ψ(k)

˜ unde ψ : Zd −→ C : n 7→ ψ(n) ¸si ψ˜ : Zd −→ C : k → 7 ψ(k) verificˆ and relat¸iile s s X 2πi 1 1 X 2πi kn ˜ ˜ = hk|ψi ˜ ψ(k) =√ e− d kn ψ(n) ψ(n) = hn|ψi = √ e d ψ(k) , d k=−s d n=−s

sunt funct¸iile de und˘a corespunz˘ atoare ˆın reprezentarea pozit¸iilor ¸si a impulsurilor.

4.11.6∗ Operatorii de translat¸ie A , B : H −→ H s s √ √ X X 2πi −i 2π/d P − 2πi k ˜ ˜ i 2π/d Q d e d ℓ |ℓihℓ| = A=e e = |kihk| , B =e ℓ=−s

k=−s

verific˘ a relat¸iile

˜ = e− A|ki

A|ℓi = |ℓ+1i ,

2πi k d

2πi

˜ , |ki

Ad = B d = I ,

g , ˜ = |k+1i B|ki B|ℓi = e d ℓ |ℓi , Operatorii de translat¸ie generalizat¸i [33] πi

D(α, β) = e d αβ Aα B β

Aα B β = e−

2πi αβ d

B β Aα .

unde (α, β) ∈ Zd × Zd

definesc o reprezentare proiectiv˘a a grupului Weyl finit. 4.11.7∗ Vectorii {|α, βi}sα,β=−s , unde

πi s 2πi g1 e− d αβ X |α, βi = D(α, β) e d βj g1 (j −α) |ji = ||g1 || ||g1 || j=−s

satisfac rezolut¸ia identit˘ a¸tii

s 1 X |α, βihα, β| = I. d α,β=−s

Frame-ul {|α, βi}sα,β=−s poate fi privit ca un sistem finit de st˘ ari coerente indexate utilizˆ and mult¸imea Zd × Zd , direct legat˘a de spat¸iul finit al fazelor Sd ×Sd . 4.11.8∗ Metod˘ a de cuantificare bazat˘ a pe utilizarea frame-ului {|α, βi}sα,β=−s : Urmˆ and analogia cu definit¸iile operatorilor Q ¸si P I=

s P

n=−s

|nihn|

7→

Q=

q

2π d

s P

n=−s

n |nihn|

157

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

I=

s P

k=−s

˜ k| ˜ |kih

7→

asociem un operator Aϕ s 1 X |α, βihα, β| I= d α,β=−s

P =

7→

q

2π d

Aϕ =

oric˘ arei funct¸ii

s P

k=−s

˜ k| ˜ k |kih

s 1 X ϕ(α, β) |α, βihα, β| d α,β=−s

ϕ : {−s, −s+1, ..., s}×{−s, −s+1, ..., s} −→ C. 4.11.9∗ Operatorul corespunz˘ ator funct¸iei ϕ : {−s, −s+1, ..., s}×{−s, −s+1, ..., s} −→ R , este Aq : H −→ H,

Aq =

ϕ(α, β) = α

s 1 X α |α, βihα, β| d α,β=−s

¸si are acelea¸si st˘ ari proprii ca operatorul Q s X 1 Aq |ni = λn |ni unde λn = α g12 (α + n) ||g1 ||2 α=−s 4.11.10∗ Operatorul corespunz˘ ator funct¸iei ϕ : {−s, −s+1, ..., s}×{−s, −s+1, ..., s} −→ R , este Ap : H −→ H,

Ap =

ϕ(α, β) = β

s 1 X β |α, βihα, β| d α,β=−s

¸si are acelea¸si st˘ ari proprii ca operatorul P ˜ = λk |ki ˜ Ap |ki

4.11.11∗ Operatorul corespunz˘ ator funct¸iei ϕ : {−s, −s+1, ..., s}×{−s, −s+1, ..., s} −→ R ,

1 ϕ(α, β) = (α2 + β 2 ) 2

este A 1 (p2+q2 ) : H −→ H, 2

A 1 (p2+q2 ) = 2

s 1 2 1 X (α +β 2 ) |α, βihα, β|. d α,β=−s 2

158

Complemente de Matematic˘a

✻

✻

10

90 80

5

70 60 50

0

40 30

−5

20 10

−10

0

Q

Aq

1 (P 2 +Q2 ) 2

1 (A2p +A2q ) 2

A 1 (p2+q2 ) 2

Figura 4.10: Spectrele operatorilor ˆın cazul d = 21. 4.11.12∗ Operatorii Aq ¸si Ap pot fi utilizat¸i ca variante alternative pentru operatorii pozit¸ie ¸si impuls. Operatorul A 1 (p2+q2 ) poate fi privit ca fiind hamiltonianul unui 2 oscilator cuantic finit [8]. In cazul lui, tendinta de a avea nivele echidistante este chiar mai evident˘ a decˆ at ˆın cazul hamiltonianului 21 (P 2 + Q2 ). 4.11.13∗ In cazul d −→ ∞, obiectele matematice prezentate mai sus corespund ˆıntr-un anumit sens celor din cazul continuu. O list˘ a extins˘a referitoare la acest˘ a corespondent¸˘ a este prezentat˘a ˆın tabelul de la pagina 162. 4.11.14 Valorea medie a unei m˘ arimi Aˆ ˆıntr-o stare normat˘a ψ se poate exprima cu ajutorul proiectorului ortogonal corespunz˘ator Pˆψ = |ψihψ| sub forma ˆ ψ = Tr(AˆPˆψ ) hAi deoarece alegˆ and o baz˘ a ortonormat˘a {|ni} avem P ˆ ˆ hψ|A|ψi = hψ|nihn|A|kihk|ψi n,k

=

=

P

n,k

ˆ hn|A|kihk|ψihψ|ni

n,k

ˆ hn|A|kihk| Pˆψ |ni = Tr(AˆPˆψ ).

P

159

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

4.11.15 Pentru a descrie starea sistemului cuantic, ˆın locul funct¸iei de und˘a normate ψ se poate utiliza operatorul proiect¸ie ortogonal˘ a Pˆψ = |ψihψ| asociat care este hermitic hPˆψ ϕ1 , ϕ2 i = hϕ1 , ψihψ, ϕ2 i = hϕ1 , Pˆψ ϕ2 i semi-pozitiv definit hϕ|Pˆψ |ϕi = hϕ|ψihψ|ϕi = |hψ|ϕi|2 ≥ 0 ¸si are urma egal˘ a cu 1 Tr Pˆψ =

X n

hn|Pˆψ |ni =

X n

hn|ψihψ|ni =

X n

|hn|ψi|2 = 1.

4.11.16 Definit¸ie. Operatorii ̺ˆ hermitici, semi-pozitiv definit¸i cu urma egal˘a cu 1 ̺ˆ+ = ̺ˆ,

̺ˆ ≥ 0,

Tr ̺ˆ = 1

se numesc operatori densitate. 4.11.17 Operatorii densitate descriu st˘ ari generalizate ale sistemului cuantic. Operatorii densitate de forma Pˆψ = |ψihψ| descriu st˘ ari pure iar ceilalt¸i operatori densitate descriu st˘ ari mixte. Valoarea medie a observabilei Aˆ ˆın starea descris˘a de operatorul densitate ̺ˆ este ˆ = Tr (Aˆ ˆ̺). hAi 4.11.18 Prin qubit se ˆınt¸elege un sistem cuantic cu spat¸iu Hilbert bidimensional. In acest caz spat¸iul operatorilor hermitici, care este un spat¸iu Hilbert real cu produsul scalar hA, Bi = Tr(AB) are dimensiune 4. Dac˘a {|0i, |1i} este baz˘ a ortonormat˘a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor atunci operatorii Pauli

160

Complemente de Matematic˘a

ˆI = |0ih0| + |1ih1| σ ˆ1 = |0ih1| + |1ih0| σ ˆ2 = i|1ih0| − |0ih1| σ ˆ3 = |0ih0| − |1ih1|

ˆI =

1 0 0 1

σ ˆ1 =

0 1 1 0

cu matricea cu matricea cu matricea cu matricea

σ ˆ2 =

0 −i i 0

σ ˆ3 =

1 0 0 −1

!

!

!

!

formeaz˘ a o baz˘ a ortogonal˘ a ˆın spat¸iul operatorilor hermitici. In particular, orice operator densitate se poate reprezenta sub forma 1 1 ̺ = (σ0 + r · σ) = (σ0 + r1 σ1 + r2 σ2 + r3 σ3 ) 2 2 3 cu r = (r1 , r2 , r3 ) ∈ R . Rezolvˆand ecuat¸ia caracteristic˘a 1+r3 − λ r1 −ir2 2 2 =0 r1 +ir2 1−r3 − λ 2 2 se obt¸in pentru ̺ valorile proprii 1 ± ||r|| . λ1,2 = 2 Deoarece ̺≥0

⇐⇒

||r|| ≤ 1

ˆın cazul unui qubit, st˘ arile posibile (pure sau mixte) se afl˘ a ˆın corespondent¸˘a unu-la-unu cu punctele apart¸inˆ and sferei ˆınchise de raz˘ a 1 centrate ˆın origine Ω2 = { r ∈ R3 | ||r|| ≤ 1 } = {(r1 , r2 , r3 ) ∈ R3 | r12 + r22 + r32 ≤ 1 } numit˘ a sfera lui Bloch sau sfera lui Poincar´e. St˘ arii pure   θ θ |ψi = eiα cos |0i + sin eiφ |1i 2 2 descrise de operatorul densitate   −iφ 1  1+cos θ sin θ e  ̺= 2 sin θ eiφ 1+cos θ

ˆıi corespunde vectorul unitar

161

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ∈ S 2 = ∂Ω2 .

r3 r θ 1 r2 r1

φ

Figura 4.11: Sfera lui Bloch, numit˘ a ¸si sfera lui Poincar´e. St˘ arile pure corespund la puncte apart¸inˆ and suprafet¸ei sferei iar cele mixte la puncte interioare. Fiecare pereche de puncte diametral opuse ale sferei S 2 reprezint˘ a o pereche de st˘ ari pure ortogonale. Transform˘arile unitare corespund rotat¸iilor sferei.

Cazul (2s+1) − dimensional q

Cazul continuu x ∈ (−∞, ∞)

k

hx|x′ i = δ(x − x′ ) R

R

√1 2π √ = 12π

F= F|ψi

F|ψi =

Q=

dx′ dx eix x |x′ ihx|

R

dx′ F[ψ](x′ ) |x′ i

′

√1 2π

F[ψ](x′ ) =

′

dx′ dx eix x ψ(x) |x′ i R

ix′ x

dx e

|ψi =

R

F |ψi

˜ ψ(p) = h˜ p|ψi = pˆ =

R

R

√1 2π

dx e−ipx ψ(x)

√1 d

Ps

n=−s e

√1 d

2πi ′ nn d

Ps

n=−s e

|ψi =

Ps

√1 d

2π d

˜ P |ki gκ (n) =

P∞

˜

˜

Ps

− 2πi kn ψ(n) n=−s e d

s P

˜ k| ˜ k |kih

k=−s q = k 2π d − κ2

α=−∞ e

˜ |ki

p

2π d

2

(αd+n)

Aα |ni = |n+αi

e−iαˆp |xi = |x+αi e−iαˆp |˜ pi = e−iαp |˜ pi

˜ = e− Aα |ki

eiβ xˆ |xi = eiβx |xi

B β |ni = e

2πi αk d

2πi βn d

˜ |ki

|ni

˜ = |k+βi ] B β |ki

] eiβ xˆ |˜ pi = |p+βi

p eiβ x ˆ √ ) = e 2 αβ e−iαˆ D( α+iβ 2

i

D(α, β) = e d αβ Aα B β

ψ1 |zi = D(z) ||ψ 1 ||

|α, βi = D(α, β) ||gg11 ||

1 π

R

C

dz |zihz| = I

πi

162

1 d

Ps

|ni

n=−s ψ(k) |ki

˜ ˜ ψ(k) = hk|ψi = q

ψ(n)

2πi kn d

2πi √1 e d kn d

˜ k˜′ i = δkk′ hk|

P =

|n′ ihn|

2πi ′ nn ψ(n) |n′ i n′ ,n=−s e d Ps ′ ′ n′ =−s F[ψ](n ) |n i

˜ = hn|ki

pˆ |˜ pi = p |˜ pi ψκ (x) = e

|ni

2πi ′ nn d

Ps

˜ = F|ki = |ki

dp p |˜ pih˜ p|

− κ2 x2

n |nihn|

n=−s q = n 2π d

n′ ,n=−s e

F [ψ](n′ ) =

R

s P

2π d

Ps

F|ψi =

ψ(x)

˜ |˜ dp ψ(p) pi

√1 d 1 √ = d

F =

√1 dx eipx |xi 2π hx|˜ pi = √12π eipx h˜ p|˜ p′ i = δ(p − p′ )

|˜ pi = F|pi =

q

Q |ni

RR

RR

n=−s ψ(n) |ni

ψ(n) = hn|ψi

dx x |xihx|

x ˆ |xi = x |xi

∈ Sd

Ps

|ψi =

dx ψ(x) |xi

ψ(x) = hx|ψi x ˆ=

q

2π d ∈ Sd hn|n′ i = δnn′

p ∈ (−∞, ∞)

|ψi =

2π d

n

α,β=−s |α, βihα, β|

=I

Capitolul 5

Elemente de teoria distribut¸iilor 5.1

Distribut¸ii

5.1.1 Utilizarea modelelor matematice permite o explorare profund˘a a realit˘ a¸tii, dar, ˆın general, nu se poate face f˘ar˘ a a recurge la anumite idealiz˘ ari. In modelele utilizate ˆın fizic˘ a, un rol fundamental revine unor not¸iuni cum ar fi cele de punct material ¸si de sarcin˘a punctiform˘a. De¸si aceste idealiz˘ ari conduc la simplific˘ari remarcabile, folosirea lor nu este lipsit˘ a de dificult˘a¸ti. O not¸iune cum ar fi densitatea de mas˘ a, descris˘a uzual cu ajutorul unei funct¸ii, nu poate fi extins˘a la cazul unui punct material f˘ar˘ a a utiliza ˆın locul funct¸iei ceva mai general. Versiunea mai general˘ a a not¸iunii de funct¸ie prezentat˘ a pe parcursul acestui capitol (numit˘ a distribut¸ie) permite o descriere adecvat˘ a a distribut¸iilor de mas˘ a ¸si sarcin˘a. In plus, ea permite extinderi ale not¸iunilor de derivat˘ a ¸si transformat˘a Fourier utile ˆın diverse modele. 5.1.2 Dac˘a masa unitate este distribuit˘a uniform de-a lungul segmentului [−ε, ε] atunci densitatea de mas˘ a poate fi descris˘a cu ajutorul funct¸iei ( 1 a |x| < ε 2ε dac˘ ̺ε : R −→ R, ̺ε (x) = 0 dac˘ a |x| > ε (extins˘a arbitrar ˆın −ε ¸si ε) ¸si avem Z

∞

Z

ε

1 dx = 1. −∞ −ε 2ε Punctul material de mas˘ a 1 localizat ˆın x = 0 corespunde cazului limit˘ a ε → 0, dar ̺ε (x) dx =

163

164

Complemente de Matematic˘a, partea I

δ(x) = lim ̺ε (x) = ε→0

(

∞ dac˘ a x=0 0 dac˘ a x 6= 0

nu reprezint˘ a densitatea de mas˘ a deoarece expresia Z

∞

δ(x) dx

−∞

este lipsit˘ a de sens.

5.1.3 Spunem despre o funct¸ie ϕ : R −→ C c˘a este indefinit derivabil˘ a ¸si scriem ∞ ϕ ∈ C (R) dac˘ a admite derivate de orice ordin. Prin suportul funct¸iei ϕ se ˆınt¸elege ˆınchiderea mult¸imii pe care ea nu se anuleaz˘ a, adic˘ a supp ϕ = { x | ϕ(x) 6= 0 }. O mult¸ime K ⊂ R este mult¸ime compact˘ a dac˘ a este ˆınchis˘ a ¸si m˘ arginit˘ a. In particular, ϕ : R −→ C este o funct¸ie cu suport compact dac˘ a supp ϕ este m˘ arginit, adic˘ a exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕ ⊆ [−r, r]. u Vom utiliza notat¸ia ϕn −−→ ϕ pentru a indica faptul c˘a ¸sirul de funct¸ii (ϕn )n≥0 K

converge uniform pe mult¸imea compact˘ a K la funct¸ia ϕ. Avem u ϕn −−→ ϕ K

⇐⇒

lim sup |ϕn (x) − ϕ(x)| = 0.

n→∞ x∈K

5.1.4 Propozit¸ie. Spat¸iul D(R) = { ϕ ∈ C ∞ (R) | supp ϕ este compact }

considerat ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari uzuale (ϕ+ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x),

(λ ϕ)(x) = λ ϕ(x)

este un spat¸iu vectorial complex (numit spat¸iul funct¸iilor de prob˘a [30]). Demonstrat¸ie. Deoarece supp (ϕ+ψ) ⊆ supp ϕ ∪ supp ψ ¸si supp (λϕ) ⊆ supp ϕ avem ¸si

ϕ ∈ D(R) ψ ∈ D(R)

)

ϕ ∈ D(R) λ∈C

)

=⇒ ϕ + ψ ∈ D(R) =⇒ λϕ ∈ D(R).

Verificarea axiomelor spat¸iului vectorial este imediat˘ a.

165

Elemente de teoria distribut¸iilor

ωε

ε

−ε

Figura 5.1: Graficul funct¸iei ωε . 5.1.5 Exercit¸iu. Oricare ar fi ε ∈ (0, ∞), funct¸ia ωε : R −→ R, unde ωε (x) =

 

ε2

cε e x2 −ε2  0

dac˘ a |x| < ε dac˘ a |x| ≥ ε

apart¸ine spat¸iului D(R) ¸si

Z

∞

−∞

cu

cε = R ε

1 ε2

x2 −ε2 dx −ε e

ωε (x) dx = 1.

1

a−3ε

a

b

b+3ε

Figura 5.2: Graficul funct¸iei χa,b,ε .

5.1.6 Exercit¸iu. Dac˘a a < b ¸si ε > 0 atunci funct¸ia χa,b,ε : R −→ [0, 1],

χa,b,ε (x) =

Z

b+2ε

a−2ε

ωε (x−t) dt

apart¸ine spat¸iului D(R) ¸si este astfel ˆıncˆ at ( 1 dac˘ a x ∈ (a−ε, b+ε) χa,b,ε (x) = 0 dac˘ a x∈ 6 (a−3ε, b+3ε). 5.1.7 Dac˘a g : R −→ C este o funct¸ie indefinit derivabil˘ a atunci funct¸ia

166

Complemente de Matematic˘a, partea I

ϕ : R −→ C,

ϕ(x) = χa,b,ε (x) g(x)

apart¸ine spat¸iului D(R) ¸si este astfel ˆıncˆ at ( g(x) dac˘ a x ∈ (a−ε, b+ε) ϕ(x) = 0 dac˘ a x∈ 6 (a−3ε, b+3ε). In particular, funct¸ia ϕ : R −→ C, ϕ(x) = χa,b,ε (x) sin x apart¸ine spat¸iului D(R) ¸si ( sin x dac˘ a x ∈ (a−ε, b+ε) ϕ(x) = 0 dac˘ a x 6∈ (a−3ε, b+3ε). 5.1.8 Definit¸ie. Spunem c˘ a ¸sirul (ϕn )n≥0 din D(R) converge la ϕ ∈ D(R) ¸si scriem lim ϕn = ϕ

sau

n→∞

ϕn −→ ϕ

dac˘ a exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕn ⊆ [−r, r],

oricare ar fi n = 0, 1, 2, ...

¸si ˆın plus u ϕ(k) −−→ ϕ(k) , n − [−r,r]

oricare ar fi k = 0, 1, 2, ...

5.1.9 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial real (complex). Funct¸iile de forma f : V −→ R

(respectiv, f : V −→ C)

sunt numite funct¸ionale. 5.1.10 Definit¸ie. Despre o funct¸ional˘ a f : D(R) −→ C spunem c˘a este continu˘ a dac˘ a ϕn −→ ϕ

=⇒

f (ϕn ) −→ f (ϕ).

5.1.11 Deoarece ϕn → ϕ ⇐⇒ ϕn −ϕ → 0

¸si

f (ϕn ) → f (ϕ) ⇐⇒ f (ϕn −ϕ) → 0

o funct¸ional˘ a liniar˘ a f : D(R) −→ C este continu˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ϕn −→ 0

=⇒

f (ϕn ) −→ 0.

5.1.12 Definit¸ie. Funct¸ionalele liniare ¸si continue f : D(R) −→ C sunt numite distribut¸ii. In cazul unei distribut¸ii f , ˆın loc de f (ϕ) se scrie hf, ϕi.

167

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.1.13 Propozit¸ie. Spat¸iul tuturor distribut¸iilor D ′ (R) = { f : D(R) −→ C | f este liniar˘ a ¸si continu˘ a} considerat ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari uzuale hf +g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi,

hλf, ϕi = λhf, ϕi

este un spat¸iu vectorial complex. 5.1.14 Pentru ca aplicat¸ia f : D(R) −→ C s˘ a fie o distribut¸ie trebuie ca: ϕ, ψ ∈ D(R) hf, αϕ + βψi = αhf, ϕi + βhf, ψi oricare ar fi α.β ∈ C ¸si ϕn −→ 0

f (ϕn ) −→ 0.

=⇒

5.1.15 Definit¸ie. Spunem despre o funct¸ie f : R −→ C c˘a este local integrabil˘ a dac˘ a Z

K

|f (x)| dx < ∞,

oricare ar fi mult¸imea compact˘ a K ⊂ R.

Utiliz˘am notat¸ia L1loc (R) = { f : R −→ C | f este local integrabil˘ a }. 5.1.16 Orice funct¸ie continu˘ a f : R −→ C este local integrabil˘ a. Funct¸ia ( 1 a x 6= 0 x dac˘ f : R −→ R, f (x) = 0 dac˘ a x=0 nu este local integrabil˘ a deoarece Z

1

−1

|f (x)| dx = ∞.

5.1.17 Propozit¸ie. Dac˘ a f : R −→ C este local integrabil˘ a atunci funct¸ionala Tf : D(R) −→ C,

hTf , ϕi =

este distribut¸ie.

Z

∞

f (x) ϕ(x) dx

−∞

Demonstrat¸ie. Integrala din definit¸ia lui Tf este convergent˘a deoarece ϕ are suport compact, adic˘ a exist˘a R > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕ ⊂ [−R, R] ¸si prin urmare Z

∞

−∞

f (x) ϕ(x) dx =

Z

R

−R

f (x) ϕ(x) dx.

168

Complemente de Matematic˘a, partea I

Aplicat¸ia Tf este liniar˘ a hTf , αϕ + βψi = αhTf , ϕi + βhTf , ψi. Dac˘a ϕn −→ 0 ˆın D(R) atunci exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕn ⊆ [−r, r], oricare ar fi n = 0, 1, 2, ... x∈[−r,r]

¸si prin urmare



(k)



n→∞

sup ϕn (x) −−−→ 0,

oricare ar fi k = 0, 1, 2, ...

Rr Rr |hTf , ϕn i| = f (x) ϕn (x) dx ≤ |f (x)| |ϕn (x)| dx −r −r

≤ sup |ϕn (x)| x∈[−r,r]

adic˘ a

Rr

−r

n→∞

|f (x)| dx −−−→ 0

lim hTf , ϕn i = 0.

n→∞

5.1.18 Definit¸ie. Distribut¸iile de forma (unde f este o funct¸ie local integrabil˘ a) Tf : D(R) −→ C,

hTf , ϕi =

Z

∞

f (x) ϕ(x) dx

−∞

sunt numite distribut¸ii de tip funct¸ie (sau distribut¸ii regulate). Distribut¸iile care nu sunt de tip funct¸ie se numesc distribut¸ii singulare. 5.1.19 Utiliz˘am notat¸ia Tf pentru distribut¸ia corespunz˘atoare funct¸iei local integrabile f pentru a sesiza mai u¸sor dac˘ a este vorba de o funct¸ie sau de o distribut¸ie. In mod uzual, ˆın loc de Tf se scrie tot f , deducˆandu-se din context dac˘ a f este funct¸ie sau distribut¸ia corespunz˘ atoare. 5.1.20 Nu vom face distinct¸ie ˆıntre dou˘ a funct¸ii local integrabile care difer˘a doar pe o mult¸ime de m˘ asur˘a nul˘ a. Mult¸imea L1loc (R) a funct¸iilor local integrabile poate fi privit˘a ca o submult¸ime a spat¸iului distribut¸iilor D ′ (R) identificˆ and fiecare funct¸ie local integrabil˘ a f cu distribut¸ia Tf corespunz˘atoare. 5.1.21 Propozit¸ie. Oricare ar fi a ∈ R, funct¸ionala δa : D(R) −→ C,

hδa , ϕi = ϕ(a)

este distribut¸ie (se nume¸ste distribut¸ia Dirac cu suportul ˆın a). Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia δa este liniar˘ a

169

Elemente de teoria distribut¸iilor

L1loc (R) D ′ (R) Figura 5.3: Funct¸iile local integrabile sunt distribut¸ii.

hδa , αϕ + βψi = αϕ(a) + βψ(a) = αhδa , ϕi + βhδa , βi. Dac˘a ϕn −→ 0 ˆın D(R) atunci exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕn ⊆ [−r, r], oricare ar fi n = 0, 1, 2, ... x∈[−r,r]

¸si prin urmare



(k)



n→∞

sup ϕn (x) −−−→ 0,

oricare ar fi k = 0, 1, 2, ...

n→∞

|hδa , ϕn i| = |ϕn (a)| ≤ sup |ϕn (x)| −−−→ 0. x∈[−r,r]

5.1.22 Se poate ar˘ ata c˘ a distribut¸ia Dirac δa este o distribut¸ie singular˘a. In cazul ˆın care a = 0 ˆın loc de δ0 se scrie simplu δ, adic˘ a avem δ : D(R) −→ C,

hδ, ϕi = ϕ(0).

5.1.23 Dac˘a funct¸ia f : R −→ R este derivabil˘ a ¸si dac˘ a f ′ este local integrabil˘ a atunci hTf ′ , ϕi =

Z∞

′

f (x) ϕ(x) dx =

−∞

f (x) ϕ(x)|∞ −∞ −

Z∞

−∞

f (x) ϕ′ (x) dx = −hTf , ϕ′ i.

5.1.24 Propozit¸ie. Dac˘ a f : D(R) −→ C este distribut¸ie atunci funct¸ionala f ′ : D(R) −→ C,

hf ′ , ϕi = −hf, ϕ′ i

este de asemenea distribut¸ie (numit˘ a derivata lui f ). Demonstrat¸ie. Funct¸ionala f ′ este liniar˘ a

170

Complemente de Matematic˘a, partea I

hf ′ , αϕ + βψi = −hf, αϕ′ + βψ ′ i = −αhf, ϕ′ i − βhf, ψ ′ i = αhf ′ , ϕi + βhf ′ , ψi.

Dac˘a ϕn → 0 ˆın D(R) atunci ϕ′ n → 0 ˆın D(R) ¸si prin urmare lim hf ′ , ϕn i = − lim hf, ϕ′n i = 0.

n→∞

n→∞

5.1.25 Dac˘a funct¸ia f : R −→ R este derivabil˘ a clasic atunci derivata distribut¸iei Tf este distribut¸ia regulat˘ a definit˘a de derivata clasic˘ a f ′ : R −→ R, adic˘ a (Tf )′ = Tf ′ .

Derivarea ˆın sensul distribut¸iilor prelunge¸ste operat¸ia de derivare clasic˘ a la cazuri ˆın care ea nu este aplicabil˘ a. 5.1.26 Orice distribut¸ie este indefinit derivabil˘ a. Derivata de ordin k a unei distribut¸ii f este distribut¸ia f (k) : D(R) −→ C,

hf (k) , ϕi = (−1)k hf, ϕ(k) i

H(x)

1

Figura 5.4: Funct¸ia Heaviside H.

5.1.27 Exemplu. Funct¸ia Heaviside H : R −→ R,

H(x) =

(

0 dac˘ a x 0.

S˘ a se arate c˘ a (Tf )′ = Tf ′ + 2δ Rezolvare. Integrˆ and prin p˘ art¸i obt¸inem

172

Complemente de Matematic˘a, partea I

h(Tf )′ , ϕi = −hTf , ϕ′ i = − =

R0

−∞ x

R∞

2 ϕ′ (x) dx

′ −∞ f (x) ϕ (x) dx

+

R

R∞ √

( x + 2)ϕ′ (x) dx

0

0 2x ϕ(x) dx = −x2 ϕ(x)|0−∞ + −∞ R∞ 1 √ √ −( x + 2)ϕ(x)|∞ 0 + 0 2 x ϕ(x) dx

= 2ϕ(0) +

R∞

−∞ f

′ (x) ϕ(x) dx

= h(Tf ′ ) + 2δ, ϕi

unde f ′ este derivata clasic˘ a  2x dac˘ a x0 2 x

prelungit˘a arbitrar ˆın x = 0.

5.1.30 Propozit¸ie. Dac˘ a funct¸ia f : R −→ C este derivabil˘ a pe (−∞, a) ∪ (a, ∞) ¸si dac˘ a limitele laterale f (a−) = lim f (x),

f (a+) = lim f (x)

xրa

xցa

sunt finite atunci (Tf )′ = Tf ′ + ( f (a+)−f (a−) ) δa . Demonstrat¸ie. Integrˆ and prin p˘ art¸i obt¸inem R∞ ′ h(Tf ) , ϕi = −hTf , ϕ′ i = − −∞ f (x) ϕ′ (x) dx =−

Ra

′ −∞ f (x) ϕ (x) dx

= −f (x) ϕ(x)|a−∞ +

−

Ra

−f (x) ϕ(x)|∞ a +

R∞ a

−∞ f

R∞ a

f (x) ϕ′ (x) dx

′ (x) ϕ(x) dx

f ′ (x) ϕ(x) dx

= ( f (a+)−f (a−) ) ϕ(a) +

R∞

−∞ f

′ (x) ϕ(x) dx.

5.1.31 Dac˘a ϑ ∈ C ∞ (R) ¸si dac˘ a f : R −→ C este local integrabil˘ a atunci hTϑf , ϕi =

Z

∞

−∞

ϑ(x) f (x) ϕ(x) dx = hTf , ϑϕi.

5.1.32 Propozit¸ie (Multiplicarea unei distribut¸ii cu o funct¸ie de clas˘ a C ∞ ). Dac˘ a ϑ : R −→ C este o funct¸ie de clas˘ a C ∞ ¸si f : D(R) −→ C

173

Elemente de teoria distribut¸iilor

o distribut¸ie atunci funct¸ionala ϑf : D(R) −→ C,

hϑf, ϕi = hf, ϑϕi

este de asemenea distribut¸ie. Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia ϑ f este liniar˘ a hϑf, αϕ + βψi = αhf, ϑϕi + βhf, ϑψi = αhϑf, ϕi + βhϑf, ψi. Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din D(R) convergent la 0 atunci ¸sirul (ϑϕn )n≥0 este un ¸sir din D(R) convergent la 0 ¸si prin urmare lim hϑf, ϕn i = lim hf, ϑϕn i = 0.

n→∞

n→∞

5.1.33 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a ϑ ∈ C ∞ (R) atunci ϑδa = ϑ(a) δa . Rezolvare. Avem hϑδa , ϕi = hδa , ϑϕi = (ϑϕ)(a) = ϑ(a) ϕ(a) = ϑ(a)hδa , ϕi = hϑ(a) δa , ϕi oricare ar fi ϕ ∈ D(R). 5.1.34 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a relat¸iile xδ(k) = −kδ(k−1)

xk δ(k) = (−1)k k! δ

au loc oricare ar fi k ∈ {1, 2, 3, . . .}. Rezolvare. Utilizˆand formula lui Leibniz (f g)(k) =

k X

Ckj f (j) g(k−j)

j=0

obt¸inem

hxδ(k) , ϕi = hδ(k) , xϕi = (−1)k hδ, (xϕ)(k) i = (−1)k hδ, xϕ(k) + kϕ(k−1) i ¸si

= (−1)k kϕ(k−1) (0) = −k(−1)k−1 hδ, ϕ(k−1) i = −khδ(k−1) , ϕi = h−kδ(k−1) , ϕi

hxk δ(k) , ϕi = hδ(k) , xk ϕi = (−1)k hδ, (xk ϕ)(k) i D P k

= (−1)k δ,

oricare ar fi ϕ ∈ D(R).

j k (j) (k−j) j=0 Ck (x ) ϕ

E

D

E

= (−1)k δ, Ckk (xk )(k) ϕ = h(−1)k k!δ, ϕi

174

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.1.35 Propozit¸ie. Oricare ar fi ϑ ∈ C ∞ (R) ¸si f ∈ D ′ (R) avem (ϑ f )′ = ϑ′ f + ϑ f ′

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi ϕ ∈ D(R) avem h(ϑ f )′ , ϕi = −hϑ f, ϕ′ i = −hf, ϑ ϕ′ i = − hf, (ϑ ϕ)′ −ϑ′ ϕi

= hf ′ , ϑ ϕi + hf, ϑ′ ϕi = hϑ′ f +ϑ f ′ , ϑi .

5.1.36 Definit¸ie. Spunem c˘ a ¸sirul de distribut¸ii (fn )n≥0 converge la distribut¸ia f lim fn = f

n→∞

dac˘ a

lim hfn , ϕi = hf, ϕi,

n→∞

f2

f1

oricare ar fi ϕ ∈ D(R). f3

Figura 5.6: Graficele funct¸iilor f1 , f2 , ¸si f3 . 5.1.37 Exercit¸iu. Funct¸iei (a se vedea Figura 5.6) ( n a |x| ≤ n1 2 dac˘ fn : R −→ R, fn (x) = 0 dac˘ a |x| > n1 ˆıi corespunde distribut¸ia regulat˘ a Z Z ∞ n 1/n ϕ(x) dx fn (x) ϕ(x) dx = hTfn , ϕi = Tfn : D(R) −→ C, 2 −1/n −∞ oricare ar fi n ∈ N∗ . Limita ¸sirului de funct¸ii (fn )n≥1 ( ∞ dac˘ a x=0 f (x) = lim fn (x) = f : R −→ R, n→∞ 0 dac˘ a x 6= 0 nu este o functie local integrabil˘ a, dar lim Tfn = δ.

n→∞

Rezolvare. Utilizˆand schimbarea de variabil˘ a t = nx obt¸inem limn→∞ hTfn , ϕi = limn→∞ =

1 2

R n 1/n 2 −1/n ϕ(x) dx

limn→∞

R1

t −1 ϕ n




dt =

1 R1 2 −1 ϕ(0) dt

= ϕ(0) = hδ, ϕi.

175

Elemente de teoria distribut¸iilor

Relat¸ia lim fn = δ

n→∞

este adev˘arat˘ a dac˘ a prin fn se ˆınt¸elege distribut¸ia Tfn . 0.6

0.4

0.2

-10

5

-5

10

Figura 5.7: Graficul funct¸iei f2 . 5.1.38 Exercit¸iu. Funct¸iei (a se vedea Figura 5.7 ) 1 sin nx fn : R −→ R, fn (x) = π x ˆıi corespunde distribut¸ia regulat˘ a Z 1 ∞ sin nx ϕ(x) dx hTfn , ϕi = Tfn : D(R) −→ C, π −∞ x oricare ar fi n ∈ N∗ . Limita ¸sirului de funct¸ii (fn )n≥1 ( ∞ dac˘ a x=0 f : R −→ R, f (x) = lim fn (x) = n→∞ 0 dac˘ a x 6= 0 nu este o functie local integrabil˘ a, dar

lim Tfn = δ.

n→∞

Rezolvare. Utilizˆand relat¸ia (1.10) ¸si schimbarea de variabil˘ a t = nx obt¸inem 1 R ∞ sin nx limn→∞ hTfn , ϕi = limn→∞ π −∞ x ϕ(x) dx =

Relat¸ia

1 π

limn→∞

R∞

−∞

sin t t t ϕ n




dt =

1 π

R∞

−∞

sin t t ϕ(0) dt

= ϕ(0) = hδ, ϕi.

lim fn = δ

n→∞

este adev˘arat˘ a dac˘ a prin fn se ˆınt¸elege distribut¸ia Tfn . 5.1.39 Un ¸sir de distribut¸ii (fn )n≥0 ⊂ D ′ (R) este convergent dac˘ a funct¸ionala D(R) −→ C : ϕ 7→ lim hfn , ϕi n→∞

176

Complemente de Matematic˘a, partea I

este distribut¸ie. Seria de distribut¸ii ∞ X

D(R) −→ C : ϕ 7→

n=0

P∞

n=0 fn

este convergent˘a dac˘ a

hfn , ϕi = lim

k→∞

k X

hfn , ϕi

n=0

este distribut¸ie. In caz de convergent¸˘a suma seriei este distribut¸ia ∞ X

n=0

*

fn : D(R) −→ C,

∞ X

+

fn , ϕ

n=0

=

∞ X

n=0

hfn , ϕi .

5.1.40 Propozit¸ie. Operat¸ia de derivare a distribut¸iilor este liniar˘ a (αf + βg)(k) = αf (k) + βg(k) ¸si continu˘ a fn −→ f

n→∞

fn(k) −−−→ f (k) .

=⇒

Orice serie convergent˘ a poate fi derivat˘ a termen cu termen ∞ X

fn = f

∞ X

=⇒

n=0

fn(k) = f (k) .

n=0

Demonstrat¸ie. Dac˘a fn −→ f atunci

n→∞

hfn(k) , ϕi = (−1)k hfn , ϕ(k) i −−−→ (−1)k hf, ϕ(k) i = hf (k) , ϕi.

5.1.41 Propozit¸ie. Dac˘ a ¸sirul de funct¸ii local integrabile (fn )n≥0 converge uniform pe fiecare mult¸ime compact˘ a la funct¸ia f atunci lim Tfn = Tf

n→∞

¸si prin urmare lim (Tfn )(k) = (Tf )(k)

oricare ar f i k = 0, 1, 2, ...

n→∞

Demonstrat¸ie. Pentru orice ϕ ∈ D(R) exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕ ⊂ [−r, r].

u Deoarece ϕ este funct¸ie m˘ arginit˘ a avem fn ϕ −[−r,r] −−→ f ϕ ¸si prin urmare

lim hTfn , ϕi = lim

Z

r

n→∞ −r

n→∞

fn (x) ϕ(x) dx =

Z

r

−r

f (x) ϕ(x) dx = hTf , ϕi.

5.1.42∗ Exercit¸iu. Seriile de distribut¸ii ∞ X

inx

e

¸si





einx

n=−∞

n=0

sunt convergente. Rezolvare. Deoarece n12 einx ≤ n12 ¸si

∞ X

P∞

1 n=1 n2

< ∞, seria de funct¸ii local integrabile

177

Elemente de teoria distribut¸iilor

∞ 1 inx x2 X − e 2 n2 n=1

converge uniform la o funct¸ie f pe R (¸si prin urmare, pe orice mult¸ime compact˘ a). ′ Conform propozit¸iei anterioare, ˆın spat¸iul distribut¸iilor D (R) are lor relat¸ia ∞ x2 X 1 inx − e =f 2 n2 n=1 care derivat˘ a termen cu termen de dou˘ a ori conduce la ∞ X

einx = f ′′ .

n=0

5.1.43∗ Exercit¸iu. Dac˘a a ∈ (−∞, 0)∪(0, ∞) atunci seriile ∞ X

δna

∞ X

¸si

sunt convergente. Rezolvare. Aplicat¸ia D(R) −→ C : ϕ 7→

*

∞ X

δna

n=−∞

n=0

+

δna , ϕ

n=0

= lim

k→∞

*

k X

+

δna , ϕ

n=0

= lim

k→∞

k X

ϕ(na)

n=0

este bine-definit˘a ¸si liniar˘ a. Dac˘a ϕm −→ 0 ˆın D(R) atunci exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at supp ϕm ⊆ [−r, r], oricare ar fi m = 0, 1, 2, ...



(k)

m→∞

sup ϕm (x) −−−→ 0,

x∈[−r,r]

oricare ar fi k = 0, 1, 2, ...

Dac˘a nr ∈ N este astfel ˆıncˆ at nr a ≤ r < (nr + 1)a atunci *

¸si

∞ X

δna , ϕm

n=0

+

= lim

k→∞

*

k X

δna , ϕm

n=0

+

= lim

k→∞

k X

ϕm (na) =

n=0

nr X

ϕm (na)

n=0

n nr r X X m→∞ ϕm (na) ≤ |ϕm (na)| ≤ (1+nr ) sup |ϕm (x)| −−−→ 0. x∈[−r,r] n=0

n=0

Convergent¸a celei de a doua serii rezult˘ a din relat¸ia ∞ X

n=−∞

δna =

∞ X

n=0

δna +

∞ X

n=1

δn(−a) .

178

Complemente de Matematic˘a, partea I f (x)

x −2π

0

2π

6π

4π

Figura 5.8: Graficul funct¸iei f . 5.1.44∗ Teorem˘ a. In spat¸iul distribut¸iilor D ′ (R) are loc egalitatea ∞ ∞ X 1 X einx . δ2nπ = 2π n=−∞ n=−∞

Demonstrat¸ie. Fie f : R −→ R funct¸ia periodic˘ a cu perioada 2π definit˘a prin relat¸ia 2 x x pentru 0 ≤ x < 2π. f (x) = − 2 4π Funct¸ia local integrabil˘ a f define¸ste o distribut¸ie cu derivata de ordinul al doilea ∞ X 1 ′′ f =− + δ2nπ . 2π n=−∞ Seria Fourier corespunz˘ atoare lui f converge uniform la f pe R π 1 X 1 inx − e = f (x). 6 2π n6=0 n2

Conform propozit¸iei anterioare, ˆın spat¸iul distribut¸iilor are loc relat¸ia 1 X 1 inx π − e =f 6 2π n6=0 n2 care derivat˘ a termen cu termen de dou˘ a ori conduce la egalitatea 1 X inx e = f ′′ . 2π n6=0

5.1.45 Funct¸ia f : R∗ −→ R,

nu este local integrabil˘ a ¸si relat¸ia

f (x) = Z

∞

1 x

ϕ(x) dx −∞ x nu define¸ste o distribut¸ie. Se poate ˆıns˘ a ar˘ ata c˘a funct¸ionala   Z −ε  Z ∞ 1 1 ϕ(x) ϕ(x) P : D(R) −→ C, P , ϕ = lim dx + dx εց0 x x x −∞ x ε este distribut¸ie (numit˘ a valoarea principal˘ a a lui x1 .) D(R) −→ C : ϕ 7→

179

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.1.46 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a x·P Rezolvare. Avem D

E

D

1 = 1. x

E

R

−ε xϕ(x) −∞ x

x · P x1 , ϕ = P x1 , x ϕ = limεց0

=

oricare ar fi ϕ ∈ D(R).

dx +

R∞

R∞ ε

xϕ(x) x

−∞ ϕ(x) dx

dx



= h1, ϕi

5.1.47 Exercit¸iu. Fie funct¸ia f : R∗ −→ R, S˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia f˜ : D(R) −→ C, este distribut¸ie ¸si

D

E

f˜, ϕ = lim

εց0

f (x) = ln |x|.

Z

−ε −∞

ln |x| ϕ(x) dx +

Z

∞

ε

ln |x| ϕ(x) dx



1 (f˜)′ = P . x Rezolvare. Utilizˆand integrarea prin p˘ art¸i obt¸inem  R R ′ ′ ˜ ˜ h(f ) , ϕi = −hf , ϕ i = − limεց0 −ε ln(−x) ϕ′ (x) dx + ∞ ln x ϕ′ (x) dx = limεց0 ϕ(ε) − ϕ(−ε) +

oricare ar fi ϕ ∈ D(R).

ε

−∞



R −ε

ϕ(x) −∞ x

dx +

R∞ ε

ϕ(x) x



dx = hP x1 , ϕi

5.1.48 Pentru a distinge variabila de alt¸i parametri care apar ˆın expresie, vom scrie uneori hf (x), ϕ(x)i ˆın loc de hf, ϕi, f˘ar˘ a ca f (x) s˘ a ˆınsemne valoarea lui f ˆın punctul x sau ϕ(x) s˘ a ˆınsemne valoarea lui ϕ ˆın punctul x. 5.1.49 Dac˘a a, b ∈ R sunt dou˘ a constante fixate, a 6= 0 ¸si dac˘ a f : R −→ C este o funct¸ie local integrabil˘ a atunci distribut¸ia definit˘a de funct¸ia g : R −→ C,

este

adic˘ a

Z

g(x) = f (ax+b)

∞

1 hTg , ϕi = f (ax+b) ϕ(x) dx = |a| −∞ D

E

Tf (ax+b) , ϕ(x) =



Z





∞

x−b f (x) ϕ a −∞

x−b 1 Tf (x) , ϕ |a| a



.



dx

180

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.1.50 Propozit¸ie (Schimbarea de variabil˘ a). Dac˘ a a, b ∈ R sunt dou˘ a constante fixate, a 6= 0 ¸si dac˘ a f : D(R) −→ C este distribut¸ie atunci funct¸ionala    x−b 1 f (ax+b) : D(R) −→ C, hf (ax+b), ϕ(x)i = f (x), ϕ |a| a este de asemenea distribut¸ie.

5.1.51 Cazuri particulare importante: Translatia :

hf (x+b), ϕ(x)i = hf (x), ϕ (x−b)i

Omotetia :

x 1 hf (ax), ϕ(x)i = f (x), ϕ |a| a



 

.

5.1.52 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a δ(x − b) = δb

¸si

δ(ax) =

1 δ. |a|

5.1.53 Definit¸ie. Spunem despre o distribut¸ie f ∈ D ′ (R) c˘a este nul˘ a pe o mult¸ime deschis˘ a D ⊂ R dac˘ a hf, ϕi = 0

supp ϕ ⊂ D.

oricare ar fi ϕ cu

Complementara celei mai mari mult¸imi deschise pe care f este nul˘ a se numeste suportul lui f ¸si se noteaz˘ a cu supp f . Spunem c˘ a f este distribut¸ie cu suport compact dac˘ a supp f este mult¸ime m˘ arginit˘ a. 5.1.54 Distribut¸ia δa este cu suport compact (punctual) deoarece supp δa = {a}. 5.1.55 Not¸iunile ¸si rezultatele prezentate se pot extinde la cazul bidimensional: D(R2 ) = { ϕ ∈ C ∞ (R2 ) | supp ϕ este compact }

D ′ (R2 ) = { f : D(R2 ) −→ C | f este liniar˘ a ¸si continu˘ a} Tf : D(R2 ) −→ C,

hTf , ϕi =

∂f ∂x

D

δ(a,b) : D(R2 ) −→ C, : D(R2 ) −→ C,

∂2f ∂x∂y

: D(R2 ) −→ C,

RR

R2

f (x, y) ϕ(x, y) dx dy

hδ(a,b) , ϕi = ϕ(a, b) E

∂f ∂x , ϕ

D

D

= − f, ∂ϕ ∂x E

∂2f ∂x∂y , ϕ

D

E

2

E

∂ ϕ = f, ∂x∂y ,

etc.

181

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.1.56 Propozit¸ie. Dac˘ a f, g : D(R) −→ C sunt dou˘ a distribut¸ii atunci funct¸ionala f ×g : D(R2 ) −→ C,

hf ×g, ϕi = hf (x), hg(y), ϕ(x, y)ii

este o distribut¸ie, numit˘ a produsul direct al distribut¸iilor f ¸si g. 5.1.57 Din relat¸ia hδa ×δb , ϕi = hδa (x), hδb (y), ϕ(x, y)ii = hδa (x), ϕ(x, b)i = ϕ(a, b) rezult˘ a c˘ a δa ×δb = δ(a,b) . 5.1.58 Definit¸ie. Fie f, g : R −→ C dou˘ a funct¸ii astfel ˆıncˆ at integrala Z

∞

f (t) g(x − t) dt

−∞

este convergent˘a oricare ar fi x ∈ R. Funct¸ia f ∗g : R −→ C,

(f ∗g)(x) =

Z

∞

−∞

f (t) g(x − t) dt

se nume¸ste convolut¸ia funct¸iilor f ¸si g. 5.1.59 Din relat¸ia (f ∗g)(x) = rezult˘ a c˘ a

Z

∞

−∞

f (t) g(x − t) dt =

Z

∞

−∞

f (x − u) g(u) du = (g∗f )(x)

f ∗g = g∗f. 5.1.60 Definit¸ie. Spunem c˘ a ¸sirul (ηn )n≥0 din D(R2 ) converge la 1 ˆın R2 dac˘ a: a) oricare ar fi r > 0 exist˘a nr ∈ N astfel ˆıncˆ at pentru n ≥ nr avem ηn (x, y) = 1

dac˘ a

x2 + y 2 ≤ r 2

b) oricare ar fi k ∈ N exist˘a Ck ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at n∈N |ηn(k) (x, y)| ≤ Ck , oricare ar fi (x, y) ∈ R2 . 5.1.61 Propozit¸ie. Dac˘ a distribut¸iile f, g ∈ D ′ (R) sunt astfel ˆıncˆ at limita lim hf (x)×g(y), ηn (x, y) ϕ(x + y)i

n→∞

exist˘ a pentru orice funct¸ie ϕ ∈ D(R) ¸si nu depinde de ¸sirul (ηn )n≥0 convergent la 1 ˆın R2 ales atunci funct¸ionala

182

Complemente de Matematic˘a, partea I

f ∗g : D(R) −→ C,

hf ∗g, ϕi = lim hf (x)×g(y), ηn (x, y) ϕ(x+y)i n→∞

este o distribut¸ie, numit˘ a convolut¸ia distribut¸iilor f ¸si g. 5.1.62 Propozit¸ie. Oricare ar fi distribut¸ia f avem ¸si ˆın particular,

f ∗δb = δb ∗f = f (x − b) f ∗δ = δ∗f = f.

Demonstrat¸ie. Dac˘a ϕ ∈ D(R) ¸si dac˘ a (ηn )n≥0 ⊂ D(R2 ) converge la 1 ˆın R2 atunci lim ηn (x, b) ϕ(x + b) = ϕ(x + b)

n→∞

¸si prin urmare hf ∗δb , ϕi = limn→∞ hf (x)×δb (y), ηn (x, y) ϕ(x+y)i = limn→∞ hf (x), ηn (x, b) ϕ(x+b)i = hf (x), ϕ(x+b)i = hf (x−b), ϕ(x)i.

5.2

Distribut¸ii temperate

5.2.1 Am definit distribut¸iile ca fiind funct¸ionale f : D(R) −→ C liniare ¸si continue. Rezultate, ˆıntr-o oarecare m˘ asur˘a, similare se pot obt¸ine alegˆand ˆın locul ∞ subspat¸iului D(R) ⊂ C (R) un alt subspat¸iu. Se obt¸in astfel alte tipuri de distribut¸ii. O alegere remarcabil˘a care permite extinderea transform˘ arii Fourier, foarte util˘ a ˆın aplicat¸ii, va fi prezentat˘ a pe parcursul acestei sect¸iuni. 5.2.2 Propozit¸ie. Spat¸iul S(R) al funct¸iilor indefinit derivabile ϕ : R −→ C cu proprietatea c˘ a oricare ar fi k, m ∈ N exist˘ a o constant˘ a ck,m astfel ˆıncˆ at |xk ϕ(m) (x)| ≤ ck,m

oricare ar f i x ∈ R

considerat ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari uzuale (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x),

(λ ϕ)(x) = λ ϕ(x)

183

Elemente de teoria distribut¸iilor

este un spat¸iu vectorial complex (numit spat¸iul funct¸iilor rapid descresc˘atoare). Demonstrat¸ie. Deoarece |xk (ϕ + ψ)(m) (x)| ≤ |xk ϕ(m) (x)| + |xk ψ (m) (x)|

|xk (λ ϕ)(m) (x)| = |λ| |xk ϕ(m) (x)| operat¸iile adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari sunt bine definite, adic˘ a ϕ ∈ S(R) ψ ∈ S(R)

¸si

)

ϕ ∈ S(R) λ∈C

=⇒ ϕ + ψ ∈ S(R)

)

=⇒ λϕ ∈ S(R).

Verificarea axiomelor spat¸iului vectorial este imediat˘ a. 5.2.3 Din definit¸ia lui S(R) rezult˘ a c˘a

D(R) ⊂ S(R) ⊂ C ∞ (R).

5.2.4 Exercit¸iu. Oricare ar fi a ∈ (0, ∞) funct¸ia ϕ : R −→ C,

ϕ(x) = e−ax

2

apart¸ine spat¸iului S(R). 5.2.5 Definit¸ie. Spunem c˘ a ¸sirul (ϕn )n≥0 din S(R) converge la funct¸ia constant˘a 0 lim ϕn = 0

n→∞

dac˘ a





n→∞

sup xk ϕn(m) (x) −→ 0 x∈R

oricare ar fi k, m ∈ N.

5.2.6 Definit¸ie. Spunem c˘ a o funct¸ie liniar˘ a f : S(R) −→ C este continu˘ a dac˘ a lim ϕn = 0

n→∞

=⇒

lim f (ϕn ) = 0.

n→∞

5.2.7 Definit¸ie. Prin distribut¸ie temperat˘ a se ˆınt¸elege o aplicat¸ie f : S(R) −→ C care este liniar˘ a ¸si continu˘ a. In loc de f (ϕ) scriem hf, ϕi.

184

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.2.8 Propozit¸ie. Spat¸iul distribut¸iilor temperate S ′ (R) = { f : S(R) −→ C | f este liniar˘ a ¸si continu˘ a} considerat ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi,

hλ f, ϕi = λ hf, ϕi

este un spat¸iu vectorial. 5.2.9 Definit¸ie. Spunem c˘ a funct¸ia f : R −→ C este cu cre¸stere lent˘ a dac˘ a exist˘a k ∈ N ¸si M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |f (x)| ≤M oricare ar fi x ∈ R. (1 + x2 )k 5.2.10 Exemplu. Orice funct¸ie polinomial˘ a este o funct¸ie cu cre¸stere lent˘a. Funct¸iile R −→ R : x 7→ sin x

¸si

R −→ R : x 7→ cos x

fiind m˘ arginite, sunt funct¸ii cu cre¸stere lent˘a. Funct¸ia exponent¸ial˘a R −→ R : x 7→ ex

nu este o funct¸ie cu cre¸stere lent˘a. 5.2.11 Propozit¸ie. Dac˘ a funct¸ia local integrabil˘ a f : R −→ C este cu cre¸stere lent˘ a atunci aplicat¸ia Z ∞ f (x) ϕ(x) dx Tf : S(R) −→ C, hTf , ϕi = este distribut¸ie temperat˘ a.

−∞

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia Tf este liniar˘ a hTf , αϕ + βψi = αhTf , ϕi + βhTf , ψi. Funct¸ia f fiind cu cre¸stere lent˘ a, exist˘a k ∈ N ¸si M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |f (x)| ≤M oricare ar fi x ∈ R. (1 + x2 )k Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci n→∞

sup |xm ϕn (x)| −−−→ 0 x∈R

oricare ar fi m ∈ N ¸si prin urmare

185

Elemente de teoria distribut¸iilor

R ∞

|hTf , ϕn i| = =

R∞

|f (x)| −∞ (1+x2 )k

=M ≤M

adic˘ a



−∞ f (x) ϕn (x) dx ≤

R∞

−∞

R∞

−∞ |f (x)| |ϕn (x)| dx

|(1 + x2 )k ϕn (x)| dx ≤ M

|(1+x2 )k+1 ϕn (x)| 1+x2

dx ≤ M

−∞ |(1

+ x2 )k ϕn (x)| dx

R ∞ |x2m ϕn (x)| m m=0 Ck+1 −∞ 1+x2

Pk+1

R 1 m 2m ϕ (x)| ∞ n m=0 Ck+1 supx∈R |x −∞ 1+x2

Pk+1

≤ πM

R∞

Pk+1

m 2m ϕ (x)| n m=0 Ck+1 supx∈R |x

dx

dx

n→∞

−−−→ 0

lim hTf , ϕn i = 0.

n→∞

5.2.12 Definit¸ie. Distribut¸iile temperate definite de funct¸ii local integrabile cu cre¸stere lent˘ a sunt numite distribut¸ii temperate regulate sau de tip funct¸ie. Celelalte distribut¸ii sunt numite distribut¸ii temperate singulare. 5.2.13 Propozit¸ie. (Distribut¸ia Dirac). Aplicat¸ia δa : S(R) −→ C,

hδa , ϕi = ϕ(a)

este o distribut¸ie temperat˘ a, oricare ar fi a ∈ R. Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia δa este liniar˘ a hδa , αϕ + βψi = αϕ(a) + βψ(a) = αhδa , ϕi + βhδa , βi. Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci n→∞

sup |ϕn (x)| −−−→ 0 x∈R

¸si prin urmare n→∞

|hδa , ϕn i| = |ϕn (a)| ≤ sup |ϕn (x)| −−−→ 0. x∈R

5.2.14 Se poate ar˘ ata c˘ a distribut¸ia Dirac δa este o distribut¸ie singular˘a. In cazul ˆın care a = 0 ˆın loc de δ0 se scrie simplu δ, adic˘ a avem δ : S(R) −→ C,

hδ, ϕi = ϕ(0).

186

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.2.15 Propozit¸ie. (Derivarea distribut¸iilor temperate). Dac˘ a f : S(R) −→ C este o distribut¸ie temperat˘ a atunci aplicat¸ia f ′ : S(R) −→ C,

hf ′ , ϕi = −hf, ϕ′ i

este de asemenea o distribut¸ie temperat˘ a, numit˘ a derivata lui f . Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia f ′ este liniar˘ a hf ′ , αϕ + βψi = −hf, αϕ′ + βψ ′ i = −αhf, ϕ′ i − βhf, ψ ′ i = αhf ′ , ϕi + βhf ′ , ψi.

Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci ¸sirul (ϕ′n )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 ¸si prin urmare lim hf ′ , ϕn i = − lim hf, ϕ′n i = 0.

n→∞

n→∞

5.2.16 Orice distribut¸ie temperat˘ a este indefinit derivabil˘ a. Derivata de ordin k a unei distribut¸ii f este distribut¸ia f (k) : S(R) −→ C,

hf (k) , ϕi = (−1)k hf, ϕ(k) i

5.2.17 Exemplu. Funct¸ia Heaviside H : R −→ R,

H(x) =

(

0 dac˘ a x a.

2 sin aξ. ξ

eiξx dx =

−a

5.3.10 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a F[e−a|x| ](ξ) =



eiξa − e−iξa 2 1 iξx a e = = sin aξ. iξ iξ ξ −a a2

2a + ξ2

oricare ar fi a ∈ (0, ∞). Rezolvare. Considerˆ and integrala ˆın sensul valorii principale avem R ∞ iξx −a|x| R ∞ −a|x| −a|x| F[e ](ξ) = −∞ e e dx = −∞ e (cos ξx + i sin ξx) dx R

R

∞ −a|x| e cos ξx dx = 2 0∞ e−ax cos ξx dx. = −∞ Integrˆ and de dou˘ a ori prin p˘ art¸i obt¸inem relat¸ia

R∞ 0

adic˘ a

∞

e−ax cos ξx dx = 1ξ e−ax sin ξx ∞ = − ξa2 e−ax cos ξx − 0

Z

0

∞

−ax

e

0

a2 ξ2

R∞ 0

+

a R ∞ −ax ξ 0 e

sin ξx dx

e−ax cos ξx dx =

a a2 cos ξx dx = 2 − 2 ξ ξ

Z

0

∞

a ξ2

−

a2 ξ2

R∞ 0

e−ax cos ξx dx

e−ax cos ξx dx

192

Complemente de Matematic˘a, partea I

din care deducem

Z

∞ 0

e−ax cos ξx dx =

5.3.11 MATHEMATICA: Definit¸ia utilizat˘a

a . a2 + ξ 2

F [ϕ](x)= √1

2π

In[1]:=FourierTransform[1/(1 + t^2), t, x] In[1]:=FourierTransform[Exp[-Abs[t]], t, x]

7→

R∞

−∞

7→

eitx ϕ(t)dt

Out[1]=e−Abs[x] Out[1]=

√2

√π 2

π 1+x2

5.3.12 Teorem˘ a. Dac˘ a ϕ ∈ S(R) atunci transformata Fourier a lui ϕ F[ϕ] : R −→ C,

F[ϕ](ξ) =

Z

∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

apart¸ine de asemenea spat¸iului S(R) ¸si au loc relat¸iile (F[ϕ])(k) = F[(ix)k ϕ]

F[ϕ(k) ] = (−iξ)k F[ϕ].

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia F[ϕ] se define¸ste cu ajutorul unei integrale improprii cu parametru. Din definit¸ia spat¸iului S(R) rezult˘ a c˘a exist˘a M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |x2 ϕ(x)| ≤ M

oricare ar fi x ∈ R.

Din acest˘ a relat¸ie rezult˘ a c˘ a pentru x 6= 0 avem majorarea M |eiξx ϕ(x)| ≤ 2 . x R ∞ iξx a din convergent¸a integralelor Convergent¸a integralei −∞ e ϕ(x) dx rezult˘ Z −1 Z ∞ 1 1 dx dx 2 x2 −∞ x 1 pe baza criteriului comparat¸iei. Din faptul c˘a ϕ descre¸ste la infinit mai repede decˆ at orice putere a lui x rezult˘ a posibilitatea de a deriva sub integral˘ a de un num˘ ar nelimitat de ori. Se obt¸ine astfel relat¸ia (F[ϕ])(k) (ξ) =

Z

∞

(ix)k eiξx ϕ(x) dx

−∞

convergent¸a integralei rezultˆ and din existent¸a unei constante Mk ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at ¸si a major˘arii

|xk+2 ϕ(x)| ≤ Mk

oricare ar fi x ∈ R

Mk . x2 Deducem astfel c˘ a transformata Fourier F[ϕ] : R −→ C este o funct¸ie indefinit derivabil˘ a ¸si cu derivatele funct¸ii m˘ arginite. Relat¸ia |(ix)k eiξx ϕ(x)| ≤

193

Elemente de teoria distribut¸iilor

F[ϕ(k) ](ξ) =

Z

∞

eiξx ϕ(k) (x) dx = (−iξ)k

−∞

Z

∞

−∞

eiξx ϕ(x) dx = (−iξ)k F[ϕ](ξ)

obt¸inut˘ a utilizˆ and integrarea prin p˘ art¸i conduce la egalitatea | ξ k F[ϕ](ξ) | = | F[ϕ(k) ](ξ) | care arat˘ a c˘ a F[ϕ] ∈ S(R). 5.3.13 Teorem˘ a. Transformarea Fourier a funct¸iilor de prob˘ a F : S(R) −→ S(R) : ϕ 7→ F[ϕ],

F[ϕ](ξ) =

Z

este o aplicat¸ie bijectiv˘ a ¸si inversa ei este transformarea F −1 : S(R) −→ S(R) : ψ 7→ F −1 [ψ],

F −1 [ψ](x) =

∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

1 2π

Z

∞

−∞

e−iξx ψ(ξ) dξ.

Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia este o consecint¸˘a direct˘ a a teoremelor anterioare. 5.3.14 Se poate ar˘ ata [30] c˘ a transform˘arile F ±1 : S(R) −→ S(R) sunt continue, adic˘ a ϕn −→ ϕ

=⇒

F ±1 [ϕn ] −→ F ±1 [ϕ].

5.3.15 Transform˘arile Fourier direct˘ a ¸si invers˘ a au expresii foarte asemanatoare. Utilizˆand schimbarea de variabil˘ a ξ = −y obt¸inem Z ∞ Z 1 1 ∞ ixy 1 ˇ F −1 [ψ](x) = F[ψ](x) e−iξx ψ(ξ) dξ = e ψ(−y) dy = 2π −∞ 2π −∞ 2π adic˘ a 1 ˇ F[ψ] F −1 [ψ] = 2π unde ψˇ este aplicat¸ia ψˇ : R −→ C,

ˇ ψ(y) = ψ(−y).

In particular, F [F[ϕ]] (p) = ϕ. ˇ 5.3.16 Polinoamele Hermite (a se vedea pag. 269-6) n 2 d 2 Hn (x) = (−1)n ex e−x , n ∈ {0, 1, 2, ...} n dx verific˘ a relat¸iile de recurent¸˘a Hn+1 (x) − 2x Hn (x) + 2n Hn−1 (x) = 0,

Hn′ (x) = 2n Hn−1 (x).

194

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.3.17∗ Teorem˘ a. Oricare ar fi n ∈ {0, 1, 2, ...}, funct¸ia

ψn (x) = Hn (x) e−

ψn : R −→ R,

x2 2

este o funct¸ie proprie a transform˘ arii Fourier 



2

− x2

F Hn (x) e

(ξ) =

√

ξ2

2π in Hn (ξ) e− 2 .

Demonstrat¸ie. Din relat¸ia (F[ϕ])(k) = F[(ix)k ϕ] care se poate scrie dk F[xk ϕ](ξ) = (−i)k k F[ϕ](ξ) dξ rezult˘ a



F Hn (x) e−

x2 2





= Hn −i

d dξ





F e−

x2 2



¸si prin urmare (a se vedea pag. 190-7) 

2

− x2

F Hn (x) e



  √ ξ2 d = 2π Hn −i e− 2 . dξ

Folosind metoda induct¸iei matematice vom ar˘ ata c˘a 

Hn −i

d dξ



ξ2

ξ2

e− 2 = in Hn (ξ) e− 2 .

Relat¸ia are loc pentru n = 0 ¸si presupunˆ and c˘a Hk



d −i dξ



ξ2

e− 2 = ik Hk (ξ) e−

ξ2 2

pentru orice k ≤ n−1

cu ajutorul relat¸iilor de recurent¸˘ a obt¸inem 

d Hn −i dξ



e−

ξ2 2



d d = −2i dξ Hn−1 −i dξ





e−

ξ2 2

d = −2i dξ in−1 Hn−1 (ξ) e−



ξ2 2



d − 2(n−1) Hn−2 −i dξ





ξ2

e− 2

− 2(n−1) in−2 Hn−2 (ξ) e− 

ξ2 2

ξ2

′ (ξ) + 2 ξ Hn−1 (ξ) + 2(n−1) Hn−2 (ξ) e− 2 = in −2Hn−1

ξ2

= in [−4(n−1) Hn−2 (ξ) + 2 ξ Hn−1 (ξ) + 2(n−1) Hn−2 (ξ)] e− 2 ξ2

ξ2

= in [2 ξ Hn−1 (ξ) − 2(n−1) Hn−2 (ξ)] e− 2 = in Hn (ξ) e− 2 .

195

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.4

Transformarea Fourier a distribut¸iilor

5.4.1 O funct¸ie f : R −→ C absolut integrabil˘ a, adic˘ a astfel ˆıncˆ at Z

∞

−∞

|f (x)| dx < ∞

define¸ste o distribut¸ie temperat˘ a Tf . Pe de alt˘a parte, transformata sa Fourier F[f ] : R −→ C,

F[f ](ξ) =

fiind continu˘ a ¸si m˘ arginit˘ a Z |F[f ](ξ)| =

∞

iξx

e

−∞

Z f (x) dx ≤

∞

−∞

Z

∞

eiξx f (x) dx

−∞

Z iξx e f (x) dx ≤

∞

−∞

|f (x)| dx

define¸ste o distribut¸ie temperat˘ a TF [f ] ¸si din relat¸ia R∞

−∞ F[f ](ξ) ϕ(ξ) dξ

= =

rezult˘ a c˘ a

R∞

R ∞ iξx −∞ ϕ(ξ) −∞ e f (x) dx dξ R ∞ iξx R∞ −∞ f (x) −∞ e ϕ(ξ) dξ dx

=

R∞

−∞ f (x) F[ϕ](x) dx

hTF [f ] , ϕi = hTf , F[ϕ]i.

(5.1)

5.4.2 Teorem˘ a. Dac˘ a f : S(R) −→ C este o distribut¸ie temperat˘ a atunci aplicat¸ia F[f ] : S(R) −→ C,

hF[f ], ϕi = hf, F[ϕ]i

este de asemenea o distribut¸ie temperat˘ a (transformata Fourier a lui f ). Demonstrat¸ie. A se vedea [30]. 5.4.3 Propozit¸ie. Transformarea Fourier a distribut¸iilor F : S ′ (R) −→ S ′ (R) : f 7→ F[f ],

hF[f ], ϕi = hf, F[ϕ]i

este bijectiv˘ a ¸si continu˘ a. Inversa ei este F −1 : S ′ (R) −→ S ′ (R) : f 7→ F −1 [f ],

hF −1 [f ], ϕi = hf, F −1 [ϕ]i.

Demonstrat¸ie. Avem hF[F −1 [f ]], ϕi = hF −1 [f ], F[ϕ]i = hf, F −1 [F[ϕ]]ϕi = hf, ϕi

196

Complemente de Matematic˘a, partea I

¸si hF −1 [F[f ]], ϕi = hF[f ], F −1 [ϕ]i = hf, F[F −1 [ϕ]]ϕi = hf, ϕi oricare ar fi ϕ ∈ S(R) ¸si f ∈ S ′ (R). Dac˘a fn −→ f , adic˘ a dac˘ a hfn , ϕi −→ hf, ϕi

oricare ar fi ϕ ∈ S(R)

atunci hF[fn ], ϕi = hfn , F[ϕ]i −→ hf, F[ϕ]i = hF[f ], ϕi ¸si prin urmare fn −→ f

F[fn ] −→ F[f ].

=⇒

5.4.4 Din relat¸ia (5.1) rezult˘ a c˘ a transformarea Fourier a distribut¸iilor poate fi privit˘ a ca o prelungire a transform˘arii Fourier a funct¸iilor. 5.4.5 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a F[δ] = 1, Rezolvare. Avem hF[δ], ϕi = hδ, F[ϕ]i = F[ϕ](0) =

Z

∞

F[1] = 2π δ.

ei0x ϕ(x) dx =

−∞

Z

∞

−∞

ϕ(x) dx = h1, ϕi

hF[1], ϕi = h1, F[ϕ]i = hF[δ], 2πF −1 [ϕ]i ˇ = hδ, 2π ϕi ˇ = 2πϕ(0) = h2πδ, ϕi. oricare ar fi ϕ ∈ S(R). 5.4.6 MATHEMATICA: Definit¸ia utilizat˘a

F [ϕ](x)= √1

In[1]:=FourierTransform[1, t, x]

2π

7→

R∞

−∞

eitx ϕ(t)dt

√ Out[1]= 2π DiracDelta[x]

5.4.7 Propozit¸ie. Relat¸iile (F[f ])(k) = F[(ix)k f ]

F[f (k) ] = (−iξ)k F[f ].

au loc oricare ar fi distribut¸ia temperat˘ af . Demonstrat¸ie. Utilizˆand propriet˘a¸tile transform˘arii Fourier a funct¸iilor obt¸inem h(F[f ])(k) , ϕi = (−1)k hF[f ], ϕ(k) i = (−1)k hf, F[ϕ(k) ]i = (−1)k hf, (−iξ)k F[ϕ]i = h(iξ)k f, F[ϕ]i = hF[(iξ)k f ], ϕi

197

Elemente de teoria distribut¸iilor hF[f (k) ], ϕi = hf (k) , F[ϕ]i = (−1)k hf, (F[ϕ])(k) i = (−1)k hf, F[(ix)k ϕ]i = (−1)k hF[f ], (ix)k ϕi = h(−ix)k F[f ], ϕi

oricare ar fi ϕ ∈ S(R) ¸si f ∈ S ′ (R).

5.4.8 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a   1 F[δa ] = eiax , F (δa + δ−a ) = cos ax , 2 Rezolvare. Avem hF[δa ], ϕi = hδa , F[ϕ]i = F[ϕ](a) =

Z

∞ −∞

F[cos ax] = π(δa + δ−a ).

eiax ϕ(x) dx = heiax , ϕi

Transformarea Fourier fiind liniar˘ a obt¸inem   1 1 eiax + e−iax F (δa + δ−a ) = (F[δa ] + F[δ−a ]) = = cos ax. 2 2 2 Din relat¸ia precedent˘ a rezult˘ a ca 1 F −1 [cos ax] = (δa + δ−a ). 2 Dar efectuˆand schimbarea de variabil˘ a x 7→ −x obt¸inem hF[cos ax], ϕi = hcos ax, F[ϕ]i = = adic˘ a

R∞

−∞ cos ax

R

∞ −ixt ϕ(t)dt −∞ e



R∞

−∞ cos ax

R ∞

ixt −∞ e ϕ(t)dt



dx

dx = hcos ax, 2πF −1 [ϕ]i = h2πF −1 [cos ax], ϕi

F[cos ax] = 2πF −1 [cos ax]. 5.4.9 MATHEMATICA: Definit¸ia utilizat˘a In[1]:=FourierTransform[Cos[t], t, x]

7→

F [ϕ](x)= √1

2π

Out[1]=

√π 2

R∞

−∞

eitx ϕ(t)dt

DiracDelta[−1+x]+

√π 2

DiracDelta[1+x]

5.4.10 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a F[xk ] = 2π(−i)k δ(k)

F[δ(k) ] = (−iξ)k .

Rezolvare. Avem ¸si

F[xk ] = (−i)k F[(ix)k 1] = (−i)k (F[1])(k) = 2π(−i)k δ(k) F[δ(k) ] = (−iξ)k F[δ] = (−iξ)k 1 = (−iξ)k .

198

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.4.11 Transformarea Fourier joac˘a un rol fundamental ˆın matematic˘ a ¸si aplicat¸iile ei. Integrala Z

∞

eiξx xk dx

−∞

nefiind convergent˘ a pentru k ∈ N, rezult˘ a c˘a funct¸iile constante ¸si cele polinomiale nu admit transformate Fourier dac˘ a ne limit˘ am la abordarea clasic˘ a. Utilizarea distribut¸iilor temperate large¸ste considerabil posibilit˘ a¸tile de folosire a transform˘arii Fourier ˆın diverse modele matematice. 5.4.12∗ Exercit¸iu. Fie TH distribut¸ia regulat˘ a corespunz˘atoare funct¸iei Heaviside H : R −→ R,

H(x) =

(

S˘ a se arate c˘ a F[TH ] = −i P

0 dac˘ a x r

a)

limr→∞ Tfr = Tf

b)

limr→∞ F[Tfr ] = F[Tf ]

c)

F[f ](ξ) = lim

Rr

r→∞ −r

eiξx f (x) dx

ˆın

S ′ (R).

Demonstrat¸ie. a) Oricare ar fi ϕ ∈ S(R) are loc relat¸ia lim hTfr , ϕi = lim

Z

r

r→∞ −r

r→∞

f (x) ϕ(x) dx =

Z

∞

−∞

f (x) ϕ(x) dx = hTf , ϕi.

b) Transformarea Fourier a distribut¸iilor fiind continu˘ a avem lim Tfr = Tf

=⇒

r→∞

lim F[Tfr ] = F[Tf ].

r→∞

c) Relatia de la b) se poate scrie succesiv sub formele limr→∞ hF[Tfr ], ϕi = hF[Tf ], ϕi limr→∞ hTfr , F[ϕ]i = hTf , F[ϕ]i Rr

lim

r→∞ −r Rr

lim

r→∞ −r

R∞

−∞

"

lim

r→∞

f (x)

lim

Rr

r→∞ −r

*

∞ R

f (x) F[ϕ](x) dx =

Rr

∞ R

−∞

−∞

f (x) F[ϕ](x) dx

eiξx ϕ(ξ) dξ dx = #

∞ R

−∞

eiξx f (x) dx ϕ(ξ) dξ = +

eiξx f (x) dx, ϕ(ξ)

−r

f (x) ∞ R

"

∞ R

eiξx ϕ(ξ) dξ dx

−∞ ∞ R

#

eiξx f (x) dx ϕ(ξ) dξ

−∞ −∞

= hF[f ](ξ), ϕ(ξ)i .

5.4.21 Dac˘a nu distingem dou˘ a funct¸ii care difer˘a doar pe o mult¸ime de m˘ asur˘a nul˘ a, spat¸iul funct¸iilor de p˘ atrat integrabil (Lebesgue)  

∞  Z  L2 (R) = f : R −→ C |f (x)|2 dx < ∞   −∞

202

Complemente de Matematic˘a, partea I

considerat ˆımpreun˘ a cu produsul scalar hf, gi =

Z∞

f (x) g(x) dx

−∞

este un spat¸iu Hilbert. 5.4.22 Teorem˘ a (Plancherel). Transformarea Fourier F : L2 (R) −→ L2 (R)

definit˘ a prin

Zr

F[f ](ξ) = lim

r→∞ −r

eiξx f (x) dx

ˆın

L2 (R)

este bijectiv˘ a, bicontinu˘ a ¸si are loc egalitatea Parseval oricare ar f i f, g ∈ L2 (R).

hF[f ], F[g]i = 2π hf, gi

5.4.23 In cazul particular f = g, egalitatea Parceval devine ||F[f ]||2 = 2π ||f ||2 , adic˘ a Z∞

−∞

2

|F[f ](ξ)| dξ = 2π

Z∞

−∞

|f (x)|2 dx.

5.4.24 Teorem˘ a. Dac˘ a f, g ∈ L2 (R) atunci ˆın S ′ (R) are loc egalitatea F[f ∗ g] = F[f ] · F[g] Demonstrat¸ie. Dac˘a f, g ∈ L2 (R) atunci F[f ], F[g] ∈ L2 (R). Din relat¸iile R R R [ |F[f ](ξ)F[g](ξ)| dξ] 2 ≤ |F[f ](ξ)|2 dξ |F[g](ξ)|2 dξ < ∞ RR

[

|f (t) g(x−t) ϕ(x)| dt dx] 2 ≤

RR

|f (t)|2 |ϕ(x)| dt dx RR

≤ ||f ||2 ||g||2 [

 RR

|g(x−t)|2 |ϕ(x)| dt dx

|ϕ(x)| dt dx]2 < ∞



rezult˘ a c˘ a F[f ]·F[g] ¸si f ∗g definesc distribut¸ii temperate. Oricare ar fi ϕ ∈ S(R) R R hF[f ∗g], ϕi = hf ∗g, F[ϕ]i = F[ϕ](x) f (t) g(x−t) dt dx =

= =

R

R

R

f (t)

f (t) f (t)

R

g(x − t) F[ϕ](x) dx dt

R

F[g](ξ) ϕ(ξ) eiξt dξ dt =

R

F[g(x − t)](ξ) ϕ(ξ) dξ dt

R

F[f ](ξ) F[f ](ξ) ϕ(ξ) dξ.

203

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.5

Aplicat¸ii ˆın mecanica cuantic˘ a

5.5.1 In mecanica cuantic˘ a, spectrul continuu se poate analiza urmˆand analogia cu spectrul discret dac˘ a se utilizez˘ a anumite not¸iuni ¸si rezultate din teoria distribut¸iilor. 5.5.2 Pe parcursul acestei sect¸uni vom utiliza transformarea Fourier definit˘a prin 1 R ∞ −ipx/~ e ϕ(x) dx F[ϕ](p) = √2π ~ −∞ F −1 [ψ](x) =

R ∞ ipx/~ √1 e ψ(p) dp. 2π ~ −∞

In aceast˘ a alegere, formulele F[δ] = 1, F[1] = 2π δ, F[δa ] = eiap ,

(F[f ])(k) = F[ik xk f ],

F[xk ] = 2π(−i)k δ(k) ,

F[f ∗ g] = F[g] · F[f ],

F[f (k) ] = (−ip)k F[f ] −ax2

F[e

](p) =

obt¸inute anterior, devin F[δ] =

√1 , 2π ~

F[1] = √

2π ~ F[g] · F[f ],

π − p2 e 4a a

(F[f ])(k) = F

2π ~ δ,

√ F[xk ] = (i~)k 2π ~ δ(k) ,

1 e−iap/~ , F[δa ] = √2π ~

F[f ∗ g] =

√

r

F[f (k) ] = 2

F[e−ax ](p) = √



 k ip ~

−i ~

k



xk f ,

F[f ]

p2 1 e− 4a~2 . 2a~

5.5.3 Teorem˘ a. Oricare ar fi distribut¸ia f au loc relat¸iile F [f (ax)] (p) =

1 |a|

F [f ]

p
a

F [f ∗ (x)] (p) = (F [f ])∗ (−p)

F [f (x − b)] (p) = e−ipb/~ F [f ] (p) F [F[f ]] (p) = f (−p)

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi funct¸ia test ϕ avem 1 F [ϕ (ax)] (p) = √2π ~

R

e−ipx/~ ϕ (ax) dx = |a| √12π~

R

1 e−ipt/(a~) ϕ (t) dt = |a| F [ϕ]

p
a .

Utilizˆand acest˘ a relat¸ie ¸si definit¸iile transform˘arii Fourier ¸si schimb˘ arii de variabil˘ a    1 x hF[f ], ϕi = hf, F[ϕ]i, hf (ax), ϕ(x)i = f (x), ϕ |a| a obt¸inem
 1

f (x), F[ϕ] ap hF[f (ax)], ϕi = hf (ax), F[ϕ]i = |a| = hf (x), F[ϕ(ax)]i = hF[f (x)], ϕ(ax)i =

Celelalte relat¸ii se demonstreaz˘ a similar.

1 |a|



F[f ]

 p
a ,ϕ .

204

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.5.4 Urmˆ and analogia cu definit¸ia distribut¸iilor de tip funct¸ie f : S(R) −→ C,

Z

hf, ϕi =

∞

f (x) ϕ(x) dx

−∞

distribut¸ia Dirac cu suportul ˆın a δa : S(R) −→ C,

hδa , ϕi = ϕ(a)

se poate scrie pur simbolic (f˘ar˘ a a fi vorba de o integral˘ a) sub forma hδa , ϕi =

Z

∞

−∞

δa (x) ϕ(x) dx

unde δa este ˆın acest caz funct¸ia ¯, δa : R −→ R

δa (x) =

(

∞ dac˘ a x=a 0 dac˘ a x 6= a.

Din context se poate deduce dac˘ a δa este funct¸ional˘ a sau funct¸ia corespunz˘atoare. 5.5.5 Obiectul matematic

Z

∞

−∞

def

δa (x) ϕ(x) dx = ϕ(a),

∀ϕ ∈ S(R)

se comport˘ a, ˆın anumite limite, asem˘ an˘ ator cu o integral˘ a. 5.5.6 Utilizˆand relat¸ia (a se vedea pag. 180-51) hf (x − a), ϕ(x)i = hf (x), ϕ(x + a)i obt¸inem

adic˘ a

hδ(x − a), ϕ(x)i = hδ(x), ϕ(x + a)i = ϕ(a) = hδa , ϕi δa = δ(x−a).

5.5.7 Folosind definit¸ia multiplic˘ arii unei distribut¸ii f cu o funct¸ie ϑ def

hϑf, ϕi = hf, ϑϕi obt¸inem hxδa , ϕi = hδa (x), xϕ(x)i = aϕ(a) = haδa , ϕi adic˘ a xδa = aδa .

205

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.5.8 Distribut¸ia δa poate fi privit˘a ca o stare proprie a operatorului coordonat˘a x ˆ : S ′ (R) −→ S ′ (R),

x ˆψ = xψ.

Utilizˆand notat¸ia alternativ˘ a |ai = δa

avem

x ˆ|ai = a|ai. 5.5.9 Urmˆ and analogia cu convolut¸ia funct¸iilor (f ∗ g)(t) =

Z

∞

−∞

f (x) g(t − x) dx

relat¸ia (a se vedea pag. 182-62) ψ =ψ∗δ se poate scrie formal

Z

ψ(t) =

∞

ψ(x) δ(t−x) dx

−∞

adic˘ a |ψi =

Z

∞ −∞

dx ψ(x) |xi .

(5.4)

Rezult˘a c˘ a funct¸ionala ψ poate fi privit˘a ca o suprapunere a st˘ arilor |xi. 5.5.10 Plecˆ and de la hf |gi =

Z

∞

f¯(t) g(t) dt

¸si

−∞

(f ∗ g)(x) =

obt¸inem relat¸ia

hf |gi = (f¯ ∗ gˇ)(0)

unde

Z

∞

−∞

f (t) g(x − t) dt def

gˇ(t) = g(−t)

adic˘ a o exprimare a produsului scalar cu ajutorul convolut¸iei. 5.5.11 Utilizˆand relat¸ia (a se vedea pag. 180-51)    t def 1 hf (cx), ϕ(x)i = f (t), ϕ |c| c obt¸inem hδa (−x), ϕ(x)i = hδa (x), ϕ(−x)i = ϕ(−a) = hδ−a (x), ϕ(x)i adic˘ a

δˇa = δ−a .

206

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.5.12 Din relat¸ia (a se vedea pag. 182-62) f ∗ δb = f (x − b)

rezult˘ a

δa ∗ δb = δa+b ¸si prin urmare putem considera c˘a ha|bi = (δa ∗ δˇb )(0) = δa−b (0) = δ(b − a) =

(

∞ dac˘ a a=b 0 dac˘ a a 6= b.

Am obt¸inut cu ajutorul convolut¸iei o extensie a produsului scalar utilizabil˘ a ¸si ˆın cazul a dou˘ a distribut¸ii Dirac. Ea p˘ astraz˘ a unele dintre caracteristicile produsului scalar, dar evident, nu este un produs scalar. 5.5.13 Din relat¸ia (a se vedea pag. 182-62) δa ∗ ψ = ψ(x − a) deducem c˘ a ˇ ha|ψi = (δa ∗ ψ)(0) = ψ(a) ¸si prin urmare relat¸ia (5.4), adic˘ a |ψi =

Z

|ψi =

Z

se mai poate scrie

∞

−∞ ∞

−∞

dx ψ(x) |xi dx |xihx|ψi.

Egalitatea avˆand loc oricare ar fi |ψi, rezult˘ a c˘a I=

x ˆ|ψi = deducem c˘ a formal

Z

∞

−∞

∞

−∞

este operatorul identitate. 5.5.14 Din relat¸ia

Z

dx |xihx|

dx x ˆ|xihx|ψi =

x ˆ=

Z

∞

−∞

Z

(5.5)

∞

−∞

dx x |xihx|.

dx x |xihx|ψi

207

Elemente de teoria distribut¸iilor

5.5.15 Din relat¸ia   i F ψ ′ (p) = p F[ψ](p) ~

scris˘a sub forma





dψ F −i~ (p) = (ˆ x F[ψ])(p) dx deducem c˘ a

F −1 x ˆF = −i~

d . dx

5.5.16 Pentru fiecare a ∈ R funct¸ia φa (x) = √

φa : R −→ C,

1 eiax/~ 2π ~

cu proprietatea F −1 [δa ] = φa

F[δa ] = φ−a , verific˘ a relat¸ia

d φa = a φa dx adic˘ a este funct¸ie proprie a operatorului impuls d pˆ = F −1 x ˆF = −i~ . dx Utilizˆand notat¸ia alternativ˘a −i~

|˜ ai = φa

avem

pˆ |˜ ai = a |˜ ai. 5.5.17 Avˆ and ˆın vedere relat¸ia F[1] =

√

2π ~ δ care se poate scrie formal √ R ∞ −ipx/~ √1 e dx = 2π ~ δ(p) 2π ~ −∞

¸si relat¸ia h˜ a|˜bi =

Z

putem considera c˘ a

∞ −∞

φa (x) φb (x) dx =

h˜ a|˜bi = δ(a − b) =

(

1 2π ~

Z

∞

−∞

e−i(a−b)x/~ dx

∞ dac˘ a a=b 0 dac˘ a a 6= b.

208

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.5.18 La fel ca ˆın cazul operatorului x ˆ se pot deduce relat¸iile I=

Z

∞

−∞

¸si pˆ =

Z

∞ −∞

dp |˜ pih˜ p|

dp p |˜ pih˜ p|.

ˆ se ˆınt¸elege operatorul 5.5.19 Definit¸ie. Prin comutatorul operatorilor Aˆ ¸si B ˆ B] ˆ = AˆB ˆ −B ˆ A. ˆ [A, 5.5.20 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a ˆ B ˆ C] ˆ = [A, ˆ B] ˆ Cˆ + B[ ˆ A, ˆ C] ˆ [A,

(5.6)

Rezolvare. Avem ˆ B] ˆ Cˆ + B[ ˆ A, ˆ C] ˆ = AˆB ˆ Cˆ − B ˆ AˆCˆ + B ˆ AˆCˆ − B ˆ Cˆ Aˆ = [A, ˆ B ˆ C]. ˆ [A, 5.5.21∗ Teorem˘ a (Baker-Campbell-Hausdorff). ˆ sunt astfel ˆıncˆ Dac˘ a operatorii Aˆ ¸si B at ˆ [A, ˆ B]] ˆ = 0 ¸si [A,

ˆ [A, ˆ B]] ˆ =0 [B,

atunci ˆ

ˆ

1

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

eA+B = e− 2 [A,B] eA eB Demonstrat¸ie. Derivata operatorului ˆ ˆ ˆ ˆ Fˆ (t) = etA etB e−t(A+B)

dependent de variabila real˘ a t verific˘ a relat¸ia ˆ ˆ tB ˆ ˆ ˆ Fˆ ′ (t) = etA [A, e ] e−t(A+B)

care, utilizˆ and (5.6), se mai poate scrie ˆ B] ˆ Fˆ (t). Fˆ ′ (t) = t [A, Plecˆ and de la acest˘ a ecuat¸ie scris˘a sub forma ˆ B] ˆ (ln F )′ = t [A, obt¸inem relat¸ia

Z

0

1

′

(ln F ) dt =

Z

0

1

ˆ B] ˆ dt t [A,

(5.7)

209

Elemente de teoria distribut¸iilor

care conduce la 1

ˆ ˆ

F (1) = e 2 [A,B] adic˘ a ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

ˆ ˆ

eA eB e−(A+B) = e 2 [A,B] . Relat¸ia obt¸inut˘ a este echivalent˘ a cu (5.7). 5.5.22 Propozit¸ie. Operatorii coordonat˘ ax ˆ ¸si impuls pˆ verific˘ a relat¸ia de comutare [ˆ x, pˆ] = i~.

(5.8)

Demonstrat¸ie. Utilizˆand definit¸iile operatorilor coordonat˘a x ˆ ¸si impuls pˆ pˆψ = −i~ψ ′

(ˆ xψ)(x) = xψ(x), ¸si relat¸ia (a se vedea pag. 188-24) (ϑ f )′ = ϑ′ f + ϑ f ′ obt¸inem

[ˆ x, pˆ]ψ = x ˆpˆψ − pˆx ˆψ = −i~xψ ′ + i~(xψ)′ = i~ψ

oricare ar fi ψ ∈ S ′ (R).

5.5.23 Pe spat¸iul funct¸iilor de p˘ atrat integrabil (ˆın sens Lebesgue) 2

L (R) = definim aplicat¸ia



Z f : R −→ C

∞

−∞

|f (x)| dx < ∞

L2 (R) × L2 (R) −→ C : (f, g) 7→ hf, gi = cu propriet˘atile

2

Z

∞



f (x) g(x) dx

−∞

hf, αg + βhi = αhf, gi + βhf, hi hf, gi = hg, f i hf, f i ≥ 0. Dac˘a nu distingem dou˘ a funct¸ii care difer˘a doar pe o mult¸ime de m˘ asur˘a nul˘ a, atunci

adic˘ a

Z

∞

−∞

|f (x)|2 dx

hf, f i = 0

=⇒ =⇒

f =0 f =0

210

Complemente de Matematic˘a, partea I

¸si prin urmare aplicat¸ia (f, g) 7→ hf, gi este produs scalar. Se poate ar˘ ata c˘a 2 L (R) considerat ˆımpreun˘ a cu acest produs scalar este spat¸iu Hilbert. 5.5.24 Propozit¸ie (Inegalitatea Cauchy-Schwarz). Oricare ar fi f, g ∈ L2 (R) avem |hf, gi|2 ≤ hf, f i hg, gi

Demonstrat¸ie. Din definit¸ia produsului scalar rezult˘ a relat¸ia hf + λg, f + λgi ≥ 0

oricare ar fi λ ∈ C

care se mai poate scrie ¯ hf, f i + λhg.f i + λhf, gi + |λ|2 hg, gi ≥ 0

oricare ar fi λ ∈ C.

i In cazul g 6= 0, alegand λ = − hg,f hg,gi obtinem

hf, f i hg, gi ≥ |hf, gi|2 .

Se constat˘ a direct ca inegalitatea are loc ¸si ˆın cazul g = 0. 5.5.25 Definit¸ie. Fie A un operator autoadjunct ¸si ψ ∈ L2 (R) o funct¸ie normat˘a Z

∞

−∞

Numerele reale

|ψ(x)|2 dx = 1.

hAi = hψ, Aψi,

hA2 i = hψ, A2 ψi

reprezint˘ a valorile medii ale observabilelor A ¸si A2 , iar ∆A =

q

h(A − hAi)2 i =

q

hA2 i − hAi2

este abaterea p˘ atratic˘ a medie ˆın starea ψ. 5.5.26 Exemplu. Din relat¸ia Z∞

rezult˘ a c˘ a

−∞

−

e

x2 2σ 2

∞ √ √ Z −t2 e dt = σ 2π dx = σ 2

ψ0 : R −→ R,

−∞

ψ0 (x) = √ 4

x2

1 2πσ 2

e− 4σ2

este funct¸ie normat˘a. In acest caz 1 hˆ xi = hψ0 , x ˆ ψ0 i = √ σ 2π

Z∞

−∞

x2

x e− 2σ2 dx = 0

211

Elemente de teoria distribut¸iilor

1 hˆ x i = hψ0 , x ˆ ψ0 i = √ σ 2π 2

2

¸si prin urmare

Z∞

x2

x2 e− 2σ2 dx = σ 2

−∞

q

xi2 = σ. hˆ x2 i − hˆ

∆ˆ x=

Deoarece (a se vedea pag. 203-2 ¸si pag. 207-16) pˆ = F −1 x ˆF = F + x ˆF

p2 1 2 F[e−ax ](p) = √ e− 4a~2 2a~

¸si

rezult˘ a c˘ a F[ψ0 ](p) = √ 4

1 2πσ 2



−

F e

x2 4σ 2



(p) =

s 4

2σ 2 −σ2 p22 ~ e π ~2

¸si hˆ pi = hψ0 , F + x ˆFψ0 i = hF[ψ0 ], x ˆ F[ψ0 ]i = 0 hˆ p2 i = hψ0 , F + x ˆ2 Fψ0 i = hF[ψ0 ], xˆ2 F[ψ0 ]i = Se obt¸ine ∆ˆ p=

q

pi2 = hˆ p2 i − hˆ

~2

4σ 2

.

~

2σ

¸si se constat˘ a c˘ a ˆın cazul st˘ arii ψ0 are loc relat¸ia ~

∆ˆ x · ∆ˆ p= . 2 5.5.27∗ Teorem˘ a (Relat¸ia de incertitudine). Dac˘ a X ¸si Y sunt operatori autoadjunct¸i atunci 1 ∆X · ∆Y ≥ |h[X, Y ]i| 2 ˆın orice stare ψ. In particular, ˆın cazul pozit¸ie-impuls ~

∆ˆ x · ∆ˆ p≥ . 2 Demonstratie. Fie ψ ∈ L2 (R) o funct¸ie normat˘a ¸si fie hXi = hψ|X|ψi, hY i = hψ|Y |ψi. In cazul f = (X − hXi)ψ = Xψ − hXiψ,

g = (Y − hY i)ψ = Y ψ − hY iψ

inegalitatea Cauch-Schwarz devine hXψ − hXiψ, Xψ − hXiψi hY ψ − hY iψ, Y ψ − hY iψi ≥ |hXψ − hXiψ, Y ψ − hY iψi|2 .

212

Complemente de Matematic˘a, partea I

Avand in vedere ca X ¸si Y sunt operatori autoadjuncti, relatia se mai poate scrie adic˘ a

(hX 2 i − hXi2 ) (hY 2 i − hY i2 ) ≥ |h(X − hXi)(Y − hY i)i|2 (∆X)2 (∆Y )2 ≥ |h(X − hXi)(Y − hY i)i|2 .

Operatorul (X − hXi)(Y − hY i) se poate scrie ca suma dintre un operator hermitic si unul anti-hermitic 1 1 (X − hXi) (Y − hY i) = {X −hXi, Y −hY i} + [X, Y ] 2 2 unde {X −hXi, Y −hY i} = (X −hXi)(Y −hY i) + (Y −hY i)(X −hXi)

Deoarece

hψ, {X −hXi, Y −hY i}ψi

este num˘ ar real

hψ, [X, Y ] )ψi

este num˘ ar pur imaginar

rezulta c˘ a 1 1 1 |h(X − hXi)(Y − hY i)i|2 = |h[X, Y ] )i|2 + |h{X −hXi, Y −hY i}i|2 ≥ |h[X, Y ]i|2 . 4 4 4 si prin urmare 1 (∆X)2 (∆Y )2 ≥ |h[X, Y ]i|2 4 adic˘ a 1 ∆X · ∆Y ≥ |h[X, Y ]i|. 2 5.5.28 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a ei(αˆx+β pˆ)/~ = eiαβ/(2~) eiαˆx/~ eiβ pˆ/~ .

(5.9)

Rezolvare. Din (5.7) ¸si (5.8) rezult˘ a 1

ei(αˆx+β pˆ)/~ = eiαˆx/~ eiβ pˆ/~ e− 2 [iαˆx/~, iβ pˆ/~] = eiαˆx/~ eiβ pˆ/~ eiαβ/(2~) . 5.5.29 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a 







eiαˆx/~ ψ (x) = eiαx/~ ψ (x)

¸si

eiαˆx/~ |bi = eiαb/~ |bi

ha|eiαˆx/~ |bi = eiαb/~ δ(a−b)





eiβ pˆ/~ ψ (x) = ψ(x+β) eiβ pˆ/~ |bi = |b − βi

ha|eiβ pˆ/~ |bi = δ(a−b+β)

ha|ei(αˆx+β pˆ)/~ |bi = eiα(a+b)/(2~) δ(a−b+β).

(5.10)

213

Elemente de teoria distribut¸iilor

Rezolvare. T ¸ inˆ and seama de dezvoltarea ˆın serie Taylor a unei funct¸ii obt¸inem 1 iα ˆ 1! ~ x

+

1 (iα)2 2 ˆ 2! ~2 x

+ ... ψ

+

1 (iα)2 2 2! ~2 x

+ ... ψ = eiαx/~ ψ



1 iα 1! ~ x

1 iβ 1 (iβ)2 2 pˆ ˆ + 2! 1! ~ p ~2



= 1+ 







eiαˆx/~ ψ = 1 +

eiβ pˆ/~ ψ (x) = 1 + 

= 1+

+



+ ... ψ(x) 

β 2 d2 2! dx2 + ... ′ ψ′′ (x) 2 ψ (x) 1! β + 2! β

β d 1! dx

= ψ(x) +



ψ(x) + ... = ψ(x+β).

Deoarece xδb = bδb ¸si δb (x) = δ(x−b), ˆın cazul ψ = δb = |bi relat¸iile anterioare devin eiαˆx/~ δb = eiαb/~ δb adic˘ a





eiβ pˆ/~ δb (x) = δb (x+β)

eiαˆx/~ |bi = eiαb/~ |bi

eiβ pˆ/~ |bi = |b−βi.

Utilizˆand relat¸ia (5.9) obt¸inem ha|ei(αˆx+β pˆ)/~ |bi = eiαβ/(2~) ha|eiαˆx/~ eiβ pˆ/~ |bi = eiαβ/(2~)

= eiαβ/(2~)

R

R

du ha|eiαˆx/~ |uihu|eiβ pˆ/~ |bi

du eiαa/~ δ(a−u) δ(u−b+β)

= eiα(a+b)/(2~) δ(a−b+β). 5.5.30 Cuantificarea Weyl. Unei funct¸ii A : R2 −→ C definite pe spat¸iul fazelor R2 care poate fi scris˘a sub forma ZZ 1 A(x, p) = dα dβ f (α, β) ei(αx+βp)/~ (5.11) 2π ~ i se asociaz˘ a operatorul ˆ x, pˆ) = 1 A(ˆ 2π ~

ZZ

dα dβ f (α, β) ei(αˆx+β pˆ)/~ .

(5.12)

5.5.31 Transformarea Wigner. Unui operator Aˆ i se asociaz˘a funct¸ia Aw : R2 −→ C,

R

D



Aw (x, p) = 2 du e2ipu/~ x−u Aˆ x+u D



R = dv eipv/~ x− 2v Aˆ x+ v2

definit˘a pe spat¸iul fazelor R2 ¸si numit˘ a funct¸ia Wigner.

E

E

(5.13)

214

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.5.32∗ Teorem˘ a. Transformarea Wigner ¸si cuantificarea Weyl sunt operat¸ii inverse una alteia. Demonstrat¸ie. Transformarea Wigner este inversa cuantific˘ arii Weyl: Funct¸ia Wigner asociat˘ a operatorului (5.12) este E D R ˆ x, pˆ) x+u Aw (x, p) = 2 du e2ipu/~ x−u A(ˆ =

1 π~

RRR

D

Pentru a ar˘ ata c˘ a Aw = A este suficient s˘ a ar˘ at˘am c˘a 2

Z

D

E

D





E

du e2ipu/~ x−u ei(αˆx+β pˆ)/~ x+u = ei(αx+βp)/~ .

Utilizˆand formula (5.10) obt¸inem R





dα dβ du e2ipu/~ f (α, β) x−u ei(αˆx+β pˆ)/~ x+u .





E

R

2 du e2ipu/~ x−u ei(αˆx+β pˆ)/~ x+u = 2 du e2ipu/~ eiαx/~ δ(β −2u) R

= eiαx/~ dv eipv/~ δ(β −v) = ei(αx+βp)/~ .

Cuantificarea Weyl este inversa transform˘ arii Wigner: ˆ Transformata Wigner a unui operator A este funct¸ia Aw : R2 −→ C, unde   Z E Z D v v ˆ ˆ ipv/~ 2ipu/~ . x− A x+ Aw (x, p) = 2 du e x−u A x+u = dv e 2 2 Din relat¸ia precedent˘ a deducem c˘ a (a se vedea pag. 188-2)   Z v 1 v ˆ dp e−ipv/~ Aw (x, p) = x− A x+ 2 2 2π ~

¸si prin urmare elementele de matrice ale lui Aˆ se pot scrie sub forma   Z a+b 1 −ip(b−a)/~ ˆ ,p . (5.14) ha|A|bi = dp e Aw 2π ~ 2 Prin cuantificarea Weyl, funct¸iei Aw : R2 −→ C i se asociaz˘a operatorul ZZZZ 1 ˆ Aw (ˆ x, pˆ) = dx dp dα dβ Aw (x, p) e−i(αx+βp)/~ ei(αˆx+β pˆ)/~ . (2π ~)2 Calculˆ and elementele de matrice obt¸inem (a se vedea relat¸ia (5.10)) E D RRRR ˆ dx dp dα dβ Aw (x, p) e−i(αx+βp)/~ a ei(αˆx+β pˆ)/~ b ha|Aw (ˆ x, pˆ)|bi = 1 2 =

(2π ~) 1 (2π ~)2

=

1 2π ~

=

1 2π ~

=

1 2π ~

RRR RR R

RRRR

dx dp dα dβ Aw (x, p) e−i(αx+βp)/~ eiα(a+b)/(2~) δ(a−b+β)

dx dp dβ Aw (x, p) e−iβp/~ δ

dp dβ Aw

dp Aw





a+b 2 ,p

a+b 2 ,p







a+b 2



− x δ(a−b+β)

e−iβp/~ δ(a−b+β)

ˆ e−ip(b−a)/~ = ha|A|bi

215

Elemente de teoria distribut¸iilor ˆ adic˘ a Aˆw (ˆ x, pˆ) = A.

a ortonormat˘a ˆın spat¸iul Hilbert L2 (R) ¸si dac˘ a Aˆ 5.5.33 Dac˘a (ϕn )∞ n=0 este o baz˘ este un operator liniar astfel ˆıncˆ at seria ∞ X

ˆ ni hϕn |A|ϕ

n=0

este convergent˘ a, atunci utilizˆ and relat¸ia formal˘a (a se vedea pag. 206-5.5) I=

obt¸inem

P∞

ˆ

n=0 hϕn |A|ϕn i

= = = =

Z

P∞ RR

RR

RR R

∞ −∞

dx |xihx|

ˆ da db hϕn |aiha|A|bihb|ϕ ni

n=0

ˆ P∞ hb|ϕn ihϕn |ai da db ha|A|bi n=0 ˆ da db ha|A|bihb|ai =

ˆ da ha|A|ai.

RR

ˆ δ(b−a) da db ha|A|bi

Putem astfel s˘ a definim formal urma unui operator Aˆ ca fiind Tr Aˆ =

Z

ˆ dx hx|A|xi

5.5.34∗ Teorem˘ a. Urma unui operator Aˆ se poate calcula folosind funct¸ia Wigner ZZ 1 ˆ dp dx Aw (x, p). Tr A = 2π ~ √ Demonstrat¸ie. Deoarece F[1] = 2π ~ δ adic˘ a √ R (5.15) √1 dv eipv/~ = 2π ~ δ(v) 2π ~ avem

1 2π ~

RR

dp dx Aw (x, p) =

1 2π ~

R

RR

R

R

D

D



E

R

E

ˆ = Tr A. ˆ = dx dv δ(v) x− v2 Aˆ x+ v2 = dx hx|A|xi

5.5.35 Dac˘a funct¸ia ψ : R −→ C este astfel ˆıncˆ at Z

∞

−∞

dx |ψ(x)|2 = 1

atunci operatorul proiect¸ie ortogonal˘ a pe ψ adic˘ a operatorul



dp dx dv eipv/~ x− v2 Aˆ x+ v2

Pˆψ = |ψihψ|

216

Complemente de Matematic˘a, partea I

Pˆψ ϕ = hψ, ϕiψ

respectiv

Pˆψ |ϕi = |ψihψ|ϕi ˆın notat¸iile lui Dirac, este auto-adjunct hPˆψ ϕ1 , ϕ2 i = hϕ1 , ψihψ, ϕ2 i = hϕ1 , Pˆψ ϕ2 i

pozitiv

hϕ|Pˆψ |ϕi = hϕ|ψihψ|ϕi = |hψ|ϕi|2 ≥ 0 ¸si are urma egal˘ a cu 1 Tr Pˆψ =

Z

dx hx|Pˆψ |xi =

Z

dx hx|ψihψ|xi =

Z

dx |ψ(x)|2 = 1

5.5.36 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a A este un operator autoadjunct atunci valoarea medie a observabilei corespunz˘atoare ˆın starea ψ hAiψ = hψ, Aψi

verific˘ a relat¸ia

hAiψ = Tr (AˆPˆψ ) Rezolvare. ın spat¸iul Hilbert L2 (R) obt¸inem Alegˆand o baz˘ a ortonormat˘a (ψn )∞ n=0 ˆ P∞ ˆ k ihψk |ψi hψ, Aψi = n,k=0 hψ|ψn ihψn |A|ψ =

P∞

ˆ

n,k=0 hψn |A|ψk ihψk |ψihψ|ψn i

= Tr (AˆPˆψ ).

5.5.37 Pentru a descrie starea sistemului cuantic, ˆın locul funct¸iei de und˘a ψ se poate utiliza operatorul proiect¸ie ortogonal˘ a Pˆψ = |ψihψ| asociat care este autoadjunct, pozitiv ¸si are urma egal˘a cu 1. 5.5.38 Definit¸ie. Operatorii autoadjunct¸i ̺ˆ cu propriet˘a¸tile ̺ˆ ≥ 0

¸si

Tr ̺ˆ = 1

se numesc operatori densitate. 5.5.39 Operatorii densitate descriu st˘ ari generalizate ale sistemului cuantic. Operatorii densitate de forma Pˆψ = |ψihψ| descriu st˘ ari pure iar ceilalti operatori densitate descriu st˘ ari mixte. Valoarea medie a observabilei Aˆ

217

Elemente de teoria distribut¸iilor

ˆın starea descris˘a de operatorul densitate ̺ˆ este ˆ = Tr (Aˆ ˆ̺). hAi 5.5.40 Transformata Wigner a operatorului densitate ̺ˆ este funct¸ia Aw : R2 −→ C,

R

Aw (x, p) = 2 du e2ipu/~ hx−u |ˆ ̺| x+ui 



R

̺| x+ v2 . = dv eipv/~ x− v2 |ˆ 5.5.41 Definit¸ie. Distribut¸ia Wigner asociat˘a operatorului densitate ̺ˆ este W : R2 −→ C,

1 π~

W (x, p) =

1 2π ~

=

R

R

du e2ipu/~ hx−u |ˆ ̺| x+ui



dv eipv/~ x− v2 |ˆ ̺| x+ v2 .

In cazul particular ̺ˆ = |ψihψ|, distribut¸ia Wigner asociat˘a este W : R2 −→ C,

1 π~

W (x, p) =

1 2π ~

=

R

R

du e2ipu/~ ψ(x − u) ψ ∗ (x + u)





dv eipv/~ ψ x− 2v ψ ∗ x+ v2 .

5.5.42∗ Teorem˘ a. ˆ atunci Dac˘ a Aw ¸si Bw sunt transformatele Wigner ale operatorilor Aˆ ¸si B ZZ ˆ = 1 dp dx Aw (x, p) Bw (x, p). Tr(AˆB) 2π ~ Demonstrat¸ie. Conform relat¸iei (5.14) avem   R ˆ = 1 du e−iu(q−a)/~ Aw a+q , u ha|A|qi 2π ~ 2 ˆ = hq|B|bi

1 2π ~

R

dv e−iv(b−q)/~ Bw

ˆ = ¸si prin urmare elementul de matrice ha|AˆB|bi ˆ = ha|AˆB|bi

1 (2π ~)2

RRR

dq du dv Aw



a+q 2 ,u



R

1 2(π ~)2

RRRR

Bw

dz dq du dv Aw

q+b 2 ,v



ˆ ˆ dqha|A|qihq| B|bi se poate scrie

ˆ Transformata Wigner (AB)w a operatorului AˆB (AB)w (x, p) =



 i



q+b 2 ,v





x−z+q 2 ,u

i

e− ~ [u(q−a)+v(b−q)] .

Bw



x+z+q 2 ,v



×e− ~ [u(q−x+z)−v(q−x−z)−2pz]

ˆın urma schimb˘ arii de variabil˘ a a = 12 (x−z+q), b = 12 (x+z+q) devine

218

Complemente de Matematic˘a, partea I

(AB)w (x, p) =

1 (π ~)2

RRRR

2i

da db du dv Aw (a, u) Bw (b, v) e− ~ [u(b−x)+v(x−a)+p(a−b)]

¸si prin urmare (a se vedea pag. 215-34 ¸si relat¸ia (5.15)) ˆ = Tr(AˆB)

1 2π ~

=

1 2π ~

=

1 2π ~

RR

dp dx (AB)w (x, p) = 2i

RRRR RR

RRRR

1 2π ~

da db du dv Aw (a, u) Bw (b, v)

×e− ~ (ub−va) (π1~)2

R

2i

dx e ~ x(u−v) 2i

R

2i

dp e ~ p(b−a)

da db du dv Aw (a, u) Bw (b, v) e− ~ (ub−va) δ(u−v) δ(b−a)

da du Aw (a, u) Bw (a, u).

5.5.43∗ Teorem˘ a. Valoarea medie a observabilei Aˆ ˆın starea ̺ˆ se poate calcula folosind distribut¸ia Wigner asociat˘ a ˆ = hAi

ZZ

dx dp Aw (x, p) W (x, p).

Demonstrat¸ie. Conform teoremei precedente ZZ ZZ ˆ̺) = 1 dp dx Aw (x, p) ̺w (x, p) = dx dp Aw (x, p) W (x, p). Tr (Aˆ 2π ~ 5.5.44∗ Teorem˘ a (Invariant¸a Galilei). Dac˘ a W (x, p) este distribut¸ia Wigner corespunz˘ atoare st˘ arii ̺ˆ= |ψ(x)ihψ(x)| atunci: a) distribut¸ia corespunz˘ atoare st˘ arii |ψ(x+x0 )ihψ(x+x0 )| este W (x+x0 , p) b) distribut¸ia corespunz˘ atoare st˘ arii |eip0 x/~ ψ(x)iheip0 x/~ ψ(x)| este W (x, p−p0 ). Demonstrat¸ie. Notˆand ϕ(x) = ψ(x+x0 ) ¸si η(x) = eip0 x/~ ψ(x) obt¸inem 1 2π ~ 1 2π ~

R R







dv eipv/~ ϕ x− v2 ϕ∗ x+ v2 =





dv eipv/~ η x− v2 η ∗ x+ v2 =

1 2π ~ 1 2π ~

R

R




dv eipv/~ ψ x+x0 − v2 ψ ∗ x+x0 + v2





dv ei(p−p0 )v/~ ψ x− v2 ψ ∗ x+ v2 .

5.5.45∗ Teorem˘ a. Distribut¸ia Wigner corespunz˘ atoare unei st˘ ari ̺ˆ este real˘ a. Demonstrat¸ie. Efectuˆ and schmbarea de variabil˘ a v 7→ −v obt¸inem c˘a W (x, p) =

1 2π ~

=

1 2π ~

R R



dv eipv/~ x− v2 |ˆ ̺| x+ 2v





dv e−ipv/~ x+ v2 |ˆ ̺| x− 2v = W (x, p).

In cazul st˘ arii pure ̺ˆ == |ψ(x)ihψ(x)| funct¸ia

x 7→ |ψ(x)|2 reprezint˘ a densitatea de probabilitate pentru pozitie, iar




219

Elemente de teoria distribut¸iilor p 7→ |F[ψ](p)|2 reprezint˘a densitatea de probabilitate pentru impuls ˆın sensul c˘ a Rβ α

Rβ α

|ψ(x)|2 dx

este probabilitatea de a g˘asi particula in intervalul [α, β]

|F[ψ](p)|2 dp este probabilitatea de a avea impulsul ˆın intervalul [α, β].

5.5.46∗ Teorem˘ a. Densit˘ a¸tile de probabilitate pentru pozit¸ie ¸si impuls ˆın starea pur˘ a ̺ˆ = |ψ(x)ihψ(x)| se pot obt¸ine din distribut¸ia Wigner 2

|ψ(x)| =

Z

∞

2

|F[ψ](p)| =

W (x, p) dp,

−∞

Z

∞

W (x, p) dx.

−∞

Demonstrat¸ie. Utilizˆand (5.15) ¸si relat¸iile de la pag. 202-24 ¸si pag. 203-3 obt¸inem R∞

−∞ W (x, p) dp

= =

R∞

−∞ W (x, p) dx

= = = = =

1 2π ~

R

R

dv

R






dp eipv/~ ψ x− v2 ψ ∗ x+ v2





dv δ(v)ψ x− v2 ψ ∗ x+ v2 = |ψ(x)|2

R

1 R ipv/~ dx ψ x− v ψ ∗ x+ v 2π ~ dv e 2 2 R 1 R ipv/~ dt ψ (t−v) ψ ∗ (t) 2π ~ dv e R 1 R −ipv/~ dt ψ (v−t) ψ ˇ∗ (t) 2π ~ dv e 1 R −ipv/~ (ψ ∗ ψ ˇ∗ ) (v) 2π ~ dv e ˇ∗ ](p) = F[ψ](p) ˇ √ 1 F[ψ ∗ ψ · F[ψˇ∗ ](p) 2π ~




= |F[ψ](p)|2 .

5.5.47∗ Teorem˘ a. Modulul produsului scalar a dou˘ a st˘ ari ψ ¸si ϕ se poate obt¸ine utilizˆ and distribut¸iile Wigner corespunz˘ atoare Wψ ¸si Wϕ |hψ, ϕi|2 = 2π ~

e−ipx dx = 2π ~ δ(p)

obt¸inem RR 2π ~ dx dp Wψ (x, p) Wϕ (x, p) =

= = =

1 2π ~

RRR RR

RR

RRRR

dx dp Wψ (x, p) Wϕ (x, p).

√ 2π ~ δ care se mai poate scrie

Demonstrat¸ie. Utilizˆand relat¸ia F[1] = Z

ZZ










dx dp du dv eip(u+v)/~ ψ x− u2 ψ ∗ x+ u2 ϕ x− 2v ϕ∗ x+ v2








dx du dv δ(u+v) ψ x− u2 ψ ∗ x+ u2 ϕ x− v2 ϕ∗ x+ v2








dx du ψ x− u2 ψ ∗ x+ u2 ϕ x+ u2 ϕ∗ x− u2







dy dz ψ (y) ψ ∗ (z) ϕ (z) ϕ∗ (y) = hψ, ϕi hϕ, ψi = |hψ, ϕi|2 .




220

Complemente de Matematic˘a, partea I

5.5.48 Operatorii coordonat˘a x ˆ ¸si impuls pˆ verific˘ a relat¸ia (a se vedea pag. 209-5.8) [ˆ x, pˆ] = i~ adic˘ a relat¸ia [ˆ x, pˆ] = i~ I unde I este operatorul identitate. Operatorii de anihilare ¸si creare 1 1 a = √ (ˆ x + i pˆ), a+ = √ (ˆ x − i pˆ) 2~ 2~ verific˘ a relat¸ia de comutare [a, a+ ] = I. 5.5.49 Se poate ar˘ ata c˘ a funct¸iile ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , ... ϕn : R −→ R,

unde 

1 1 x √ ϕn (x) = √ Hn √ 4 n π ~ n! 2 ~



x2

e− 2~

formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a ˆın spat¸iul L2 (R). 5.5.50 Utilizˆand pentru ϕn notat¸ia |ni cu sensul ϕn (x) = hx|ni ¸si propriet˘a¸tile polinoamelor Hermite se pot obt¸ine relat¸iile 1 a|0i = 0, |ni = √ (a+ )n |0i, hn|mi = δnm n! ¸si √ √ a|ni = n |n−1i, a+ |ni = n+1 |n+1i, a+ a|ni = n|ni. 5.5.51 Utilizˆand identitatea Baker-Campbell-Hausdorff (a se vedea pag. 208-21) ˆ

ˆ

1

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

eA+B = e− 2 [A,B] eA eB deducem c˘ a operatorul + −¯ za

D(z) = eza

dependent de parametrul z ∈ C se mai poate scrie sub forma D(z) = e−

|z|2 2

+

eza e−¯z a

sau sub forma D(z) = e

|z|2 2

+

e−¯z a eza .

221

Elemente de teoria distribut¸iilor

Utilizˆand definit¸iile operatorilor implicat¸i obt¸inem relat¸ia D



√1 2~

echivalent˘ a cu hx|D ¸si D



adic˘ a D



√1 2~





iαβ

(α+βi) ψ(x) = e− 2~ eiβx/~ ψ(x − α).

√1 2~



iαβ

(α+βi) |ψi = e− 2~ eiβx/~ hx−α|ψi 

R∞

iαβ

(α+βi) = e− 2~

√1 2~



−∞

iαβ

(α+βi) = e 2~

R∞

−∞

dx eiβx/~ |xihx − α|

dx eiβx/~ |x+αihx|.

5.5.52 Deoarece vectorii |0i, |1i, |2i, ... formeaz˘a o baz˘ a ortonormat˘a hn|mi = δnm

¸si

∞ X

n=0

|nihn|ψi = |ψi,

oricare ar fi |ψi.

Ultima a relat¸ie scris˘a operatorial sub forma ∞ X

n=0

|nihn| = I

reprezint˘ a rezolut¸ia identit˘ a¸tii corespunz˘atoare bazei considerate. Orice vector |ψi este bine determinat de coordonatele corespunz˘atoare hn|ψi. 5.5.53 Teorem˘ a. Sistemul de vectori {|zi}z∈C , unde (a se vedea pag. 128-8) |zi = D(z)|0i = e−

|z|2 2

+

eza |0i

adic˘ a |zi = e−

|z|2 2

∞ X zn

n=0

√ |ni n!

este format din vectori unitari hz|zi = 1 ¸si are loc relat¸ia operatorial˘ a (numit˘ a rezolut¸ie a identit˘ a¸tii) Z 1 d2 z |zihz| = I π C

222

Complemente de Matematic˘a, partea I unde d2 z = dRe z · dIm z.

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi z ∈ C avem hz|zi = e−|z|

2

∞ n X z √

n!

n=0

2 ∞ X |z|2n = e−|z|2 = 1. n! n=0

Notˆand z = α+βi = r eiθ ¸si utilizˆ and relat¸ia Z

2π

0

obt¸inem 1 π

R

2 C d z |zihz| =

= =

1 π

∞ P ∞ RR P

n=0 m=0 ∞ P ∞ P

dθ ei(n−m)θ = 2π δnm 2 +β 2 ) (α+βi)n

dα dβ e−(α

√



0

∞



|nihm| 

R∞ R n+m+1 e−r 2 2π dθ ei(n−m)θ |nihm| √ 1 dr r 0 0 n=0 m=0 n! m!  R  ∞ ∞ R∞
P ∞ 1 n −t |nihn|. 2n+1 e−r 2 |nihn| = P 1 2 dr r 0 dt t e 0 n! n! n=0 n=0 1 π

Deoarece, integrˆ and prin p˘ art¸i Z

n!

m (α−βi) √ m!

dt tn e−t = n

Z

∞

0

deducem c˘ a 1 π

dt tn−1 e−t = n(n − 1) Z

C

d2 z |zihz| =

∞ X

n=0

Z

∞ 0

dt tn−2 e−t = · · · = n!

|nihn| = I.

5.5.54 Din rezolut¸ia identit˘ a¸tii rezult˘ a c˘a Z 1 |ψi = d2 z |zihz|ψi π C adic˘ a orice element |ψi este bine determinat de funct¸ia corespunz˘atoare ψ : C −→ C, ¸si ˆın plus,

ψ(z) = hz|ψi Z

1 hψ|ψi = d2 z |hz|ψi|2 . π C De¸si sistemul de vectori {|zi}z∈C nu este liniar independent Z 1 |zi = d2 z ′ |z ′ ihz ′ |zi π C ¸si nici ortogonal

223

Elemente de teoria distribut¸iilor

1

hz|z ′ i = e− 2 |z| dezvoltarea

2 − 1 |z ′ |2 +¯ zz ′ 2

Z

1 d2 z |zihz|ψi π C este similar˘a dezvolt˘ arii ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘a . Sistemul de vectori {|zi}z∈C este numit sistemul st˘ arilor coerente standard. |ψi =

5.5.55 Sistemul de st˘ ari coerente {|zi}z∈C are ¸si alte propriet˘a¸ti remarcabile: a) In st˘ arile |zi se atinge minimul in relat¸ia de incertitudine coordonat˘a-impuls ~

∆ˆ x ∆ˆ p= . 2 b) St˘ arile corerente standard |zi sunt st˘ ari proprii ale operatorului de anihilare a|zi = z|zi. 5.5.56 In general, formulele prezentate pe parcursul acestei sect¸iuni pot fi considerate cazuri limit˘ a pentru formule similare din cazul finit-dimensional (a se vedea tabelul de la pagina 162).

224

Capitolul 6

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare 6.1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai

6.1.1 Definit¸ie. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai este o ecuat¸ie de forma F (x, y, y ′ ) = 0

(6.1)

unde x este variabila independent˘a, y funct¸ia necunoscut˘a, y ′ derivata funct¸iei necunoscute ¸si F : I × R × R −→ R este o funct¸ie continu˘ a, I fiind un interval. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.1) se ˆınt¸elege o funct¸ie derivabil˘ a ϕ : (a, b) −→ R cu (a, b) ⊆ I ¸si astfel ˆıncˆ at

F (x, ϕ(x), ϕ′ (x)) = 0,

∀x ∈ (a, b).

6.1.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a y ′ = f (x, y)

unde f : D ⊆ R2 −→ R

este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a scris˘a sub form˘ a normal˘ a. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.2) se ˆınt¸elege o funct¸ie derivabil˘ a ϕ : (a, b) −→ R astfel ˆıncˆ at 225

(6.2)

226

Complemente de Matematic˘a

1) 2)

(x, ϕ(x)) ∈ D,

ϕ′ (x) = f (x, ϕ(x)),

∀x ∈ (a, b) ∀x ∈ (a, b).

6.1.3 Ecuat¸ia (6.2) se mai poate scrie dy = f (x, y) dx sau sub forma dy = f (x, y) dx

(6.3) (6.4)

numit˘ a form˘ a simetric˘ a. Solut¸ia ecuat¸iei (6.4) se poate c˘auta sub forma y = y(x) sau x = x(y) sau, mai general, sub form˘ a parametric˘a (

x = x(t) y = y(t).

Ecuat¸ia (6.4) este caz particular pentru ecuat¸ia P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

unde P, Q : D ⊆ R2 −→ R

care este forma general˘ a a unei ecuat¸ii simetrice. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.5) se ˆınt¸elege o pereche de aplicat¸ii derivabile ϕ, ψ : (a, b) −→ R astfel ˆıncˆ at 1) (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D,

∀t ∈ (a, b)

2) P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t)) ψ ′ (t) = 0, 6.1.4 Se ¸stie c˘ a dac˘ a f : (a, b) −→ R este o funct¸ie continu˘ a atunci funct¸ia F : (a, b) −→ R,

F (x) =

Z

x

f (t) dt

x0

este o primitiv˘ a a lui f oricare ar fi x0 ∈ (a, b), adic˘ a avem  Z x d f (t) dt = f (x), ∀x ∈ (a, b). dx x0

∀t ∈ (a, b).

(6.5)

227

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.1.5 Teorem˘ a. Fie ecuat¸ia cu variabile separabile y ′ = f (x) g(y)

(6.6)

f : I −→ R sunt funct¸ii continue definite pe intervalele I ¸si J. g : J −→ R a) Dac˘ a y0 ∈ J este astfel ˆıncˆ at g(y0 ) = 0 atunci funct¸ia constant˘ a unde

ϕ : I −→ R,

ϕ(x) = y0

este solut¸ie a ecuat¸iei (6.6). b) Dac˘ a y0 ∈ J este astfel ˆıncˆ at g(y0 ) 6= 0 atunci relat¸ia Z y Z x 1 f (v) dv + C (6.7) du = y0 g(u) x0 unde x0 ∈ I ¸si C este o constant˘ a, define¸ste implicit o solut¸ie local˘ a y = y(x) a ecuat¸iei (6.6). Demonstrat¸ie. a) Deoarece ϕ′ (x) = 0 ¸si g(ϕ(x)) = g(y0 ) = 0 rezult˘ a c˘a ϕ′ (x) = f (x) g(ϕ(x)),

∀x ∈ I.

b) Derivˆand relat¸ia (6.7) ˆın raport cu x considerˆand y = y(x) rezult˘ a 1 y ′ (x) = f (x) g(y(x)) adic˘ a y ′ (x) = f (x) g(y(x)). 6.1.6 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve ecuat¸ia y ′ = xy. Rezolvare. Funct¸ia constant˘ a ϕ : R −→ R, ϕ(x) = 0 este solut¸ie a ecuat¸iei. Scriind ecuat¸ia sub forma y′ =x echivalent˘a cu (ln y)′ = x y deducem c˘ a x2 x2 +c adic˘ a y(x) = C1 e 2 ln y = 2 unde c ¸si C1 = ec sunt constante. 6.1.7 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’[x] == x y[x], y[x], x]

7→ Out[1]=



x2 y[x]→e 2

C[1]



228

Complemente de Matematic˘a

6.1.8 Ecuat¸ia (6.6) poate fi scris˘a sub forma dy = f (x) g(y) dx sau forma simetric˘a f (x) g(y) dx − dy = 0. Forma diferent¸ial˘ a f (x) g(y) dx − dy nu este diferent¸iala total˘a a unei funct¸ii. 1 Inmult¸ind ecuat¸ia anterioar˘ a cu factorul integrant g(y) se obt¸ine ecuat¸ia 1 dy = 0 (6.8) f (x) dx − g(y) al c˘ arei membru stˆ ang este o diferent¸ial˘a total˘a deoarece 



∂ ∂ 1 (f (x)) = − . ∂y ∂x g(y) Ecuat¸ia (6.8) se poate scrie sub forma dF = 0 unde F (x, y) =

Z

x

x0

f (t)dt −

Rezult˘a c˘ a relat¸ia F (x, y) = C, adic˘ a Z

x

x0

f (u)du −

Z

y

y0

Z

y

y0

1 dt. g(t)

1 dv = C g(v)

define¸ste implicit o solut¸ie a ecuat¸iei (6.6) dac˘ a alegem y0 astfel ˆıncˆ at g(y0 ) 6= 0. 6.1.9 Propozit¸ie. Ecuat¸ia omogen˘ a

 

y x se reduce la o ecuat¸ie cu variabile separabile dac˘ a se utilizeaz˘ a schimbarea de variabil˘ a y(x) = x z(x), unde z(x) este noua funct¸ie necunoscut˘ a. ′

y =f

Demonstrat¸ie. Derivˆand y(x) = x z(x) obt¸inem relat¸ia y ′ (x) = z(x) + x z ′ (x) care ne permite s˘ a scriem ecuat¸ia sub forma 1 z ′ = (f (z) − z). x

229

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.1.10 Propozit¸ie. Ecuat¸ia liniar˘ a omogen˘ a y ′ = f (x) y are solut¸ia general˘ a

Rx

y(x) = C e

x0

f (t)dt

unde C este o constant˘ a arbitrar˘ a.

Demonstrat¸ie. Rezolvarea ecuat¸iei poate fi prezentat˘a dupa cum urmeaz˘a dy dx dy y

Ry

du y0 u

= f (x) y = f (x) dx =

Rx

x0

ln |y| − ln |y0 | =

f (t) dt Rx

x0

Rx

y(x) = y0 e

x0

f (t) dt

f (t) dt

.

6.1.11 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve ecuat¸ia y ′ = x2 y. Rezolvare. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei este Rx

y(x) = y0 e

x0

t2 dt

adic˘ a

y(x) = C1 e

6.1.12 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’[x]==f[x] y[x], y[x], x] In[2]:=DSolve[y’[x]==x^2 y[x], y[x], x]

7→ Out[1]= 7→ Out[2]=



x3 3

Rx

y[x]→e



y[x]→e

.

x3 3

1

f[K[1] dK[1]

C[1]



C[1]



6.1.13 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene y ′ = f (x) y + g(x)

(6.9)

se obt¸ine adunˆ and solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare omogene asociate y ′ = f (x) y cu o solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei (6.9).

(6.10)

230

Complemente de Matematic˘a

Demonstrat¸ie. Dac˘a y verific˘ a (6.10) ¸si y˜ verific˘ a (6.9) atunci (y+ y˜)′ (x) = f (x) y(x)+f (x) y(x)+g(x) = f (x) (y+ y˜)(x)+g(x). Dac˘a y ¸si y˜ verific˘ a (6.9) atunci y − y˜ verific˘ a (6.10) (y− y˜)′ (x) = f (x) y(x)+g(x)−f (x) y˜(x)−g(x) = f (x) (y− y˜)(x). 6.1.14 Propozit¸ie. O solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei liniare neomogene y ′ = f (x) y + g(x) poate fi g˘ asit˘ a folosind metoda variat¸iei constantei, c˘ autˆ and-o de forma Rx

y˜(x) = C(x) e

x0

f (t)dt

.

Demonstrat¸ie. Inlocuind ˆın ecuat¸ie obt¸inem relat¸ia −

C ′ (x) = g(x) e care permite determinarea funct¸iei C(x).

Rx

x0

f (t)dt

6.1.15 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve ecuat¸ia y ′ = y + x. 6.1.16 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’[x]==y[x]+x, y, x]

7→ Out[1]={{y[x]→−1−x−ex C[1]}}

6.1.17 Propozit¸ie. Schimbarea de variabil˘ a z = y 1−α permite reducerea ecuat¸iei y ′ = f (x) y + g(x) y α numit˘ a ecuat¸ia Bernoulli, la o ecuat¸ie liniar˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a α = 1 atunci ecuat¸ia este deja o ecuat¸ie liniar˘ a. In cazul α 6= 1, α ˆımp˘ art¸ind cu y obt¸inem ecuat¸ia y −α y ′ = f (x) y 1−α + g(x) care se poate scrie 1 (y 1−α )′ = f (x) y 1−α + g(x). 1−α

231

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.1.18 Propozit¸ie. Ecuat¸ia Riccati y ′ = f (x) y 2 + g(x) y + h(x) se poate rezolva utilizˆ and schimbarea de variabil˘ a 1 y = yp + z ˆın cazul ˆın care se cunoa¸ste o solut¸ie particular˘ a yp . Demonstrat¸ie. In urma schimb˘ arii de variabil˘ a indicate ecuat¸ia devine z ′ = −(2f (x) yp (x) − g(x)) z − f (x) adic˘ a o ecuat¸ie liniar˘ a.

6.2

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordin superior

6.2.1 Definit¸ie. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n este o ecuat¸ie de forma a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + · · · + an−1 (x) y ′ + an (x) y = f (x)

(6.11)

unde a0 , a1 , ..., an , f : I −→ R sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ¸si a0 (x) 6= 0, oricare ar fi x ∈ I. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.11) se ˆınt¸elege o funct¸ie ϕ : I −→ R

astfel ˆıncˆ at:

1) ϕ admite derivate continue pˆ an˘ a la ordinul n 2) a0 (x) ϕ(n) (x) + a1 (x) ϕ(n−1) (x) + · · · + an (x) ϕ(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b). 6.2.2 Teorem˘ a (de existent¸˘ a ¸si unicitate). Dac˘ a sunt funct¸ii continue ¸si

a0 , a1 , ..., an , f : I −→ R

atunci ecuat¸ia diferent¸ial˘ a

a0 (x) 6= 0

∀x ∈ I

232

Complemente de Matematic˘a

a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + · · · + an−1 (x) y ′ + an (x) y = f (x) admite pentru fiecare (x0 , y00 , y01 , ..., y0n−1 ) ∈ I × Rn o unic˘ a solut¸ie ϕ : I −→ R

astfel ˆıncˆ at ϕ(x0 ) = y00 ,

ϕ′ (x0 ) = y01 ,

... , ϕ(n−1) (x0 ) = y0n−1 .

6.2.3 Utilizˆand operatorul diferent¸ial

unde

L = a0 (x) D n + a1 (x) D n−1 + · · · + an−1 (x) D + an (x) D=

d , dx

D2 =

d2 , dx2

... , D n =

dn dxn

ecuat¸ia (6.11) se scrie Ly = f. Operatorul linar L : C n (I) −→ C 0 (I) unde C n (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ admite derivate continue pˆ an˘ a la ordinul n } C 0 (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ este funct¸ie continu˘ a}

este un operator liniar

L(α ϕ + β ψ) = α Lϕ + β Lψ

∀α, β ∈ R, ∀ϕ, ψ ∈ C n (I).

6.2.4 Teorem˘ a. Spat¸iul V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor solut¸iilor ecuat¸iei liniare omogene Ly = 0 este un spat¸iu vectorial de dimensiune n. Demonstrat¸ie. Dac˘a ϕ, ψ ∈ V atunci L(αϕ + βψ) = αLϕ + βLψ = 0

233

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

oricare ar fi α, β ∈ R. Conform teoremei de existent¸˘a ¸si unicitate, pentru x0 ∈ I fixat aplicat¸ia A : V −→ Rn ,

Aϕ = (ϕ(x0 ), ϕ′ (x0 ), ..., ϕ(n−1) (x0 ))

este un izomorfism liniar. Rezult˘a c˘a spat¸iile vectoriale V ¸si Rn sunt izomorfe ¸si prin urmare dim V = dim Rn = n. 6.2.5 Rezolvarea ecuat¸iei Ly = 0 ˆınseamn˘a determinarea spat¸iului vectorial V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor solut¸iilor, ceea ce se poate realiza indicˆ and o baz˘ a {y1 , y2 , ... , yn }, caz ˆın care Funct¸iile

V = { c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn | c1 , c2 , ... , cn ∈ R }. y1 , y2 , ... , yn : I −→ R

din V formeaz˘ a o baz˘ a a lui V dac˘ a sunt liniar independente, adic˘ a dac˘ a α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn = 0

=⇒

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

6.2.6 Propozit¸ie. Funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R

din V sunt liniar independente dac˘ a ¸si numai dac˘ a ˆıntr-un punct fixat x0 ∈ I avem y1 (x0 ) y2 (x0 ) ··· yn (x0 ) y ′ (x ) ··· yn′ (x0 ) y2′ (x0 ) 1 0 (6.12) 6= 0. ··· ··· ··· ··· (n−1) (n−1) (n−1) y (x0 ) y2 (x0 ) · · · yn (x0 ) 1

Demonstrat¸ie. Deoarece

A : V −→ Rn ,

Aϕ = (ϕ(x0 ), ϕ′ (x0 ), ..., ϕ(n−1) (x0 ))

este un izomorfism liniar funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R sunt liniar independente dac˘ a ¸si numai dac˘ a vectorii corespunz˘atori (n−1)

(x0 ) )

(n−1)

(x0 ) )

Ay1 = ( y1 (x0 ), y1′ (x0 ), ... , y1 Ay2 = ( y2 (x0 ), y2′ (x0 ), ... , y2

....................................................... (n−1)

Ayn = ( yn (x0 ), yn′ (x0 ), ... , yn

(x0 ) )

234

Complemente de Matematic˘a

sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu (6.12). 6.2.7 Teorem˘ a(Abel-Liouville). Dac˘ a y1 , y2 , ... , yn : I −→ R sunt n solut¸ii ale ecuat¸iei Ly = 0 atunci funct¸ia (numit˘ a wronskian) y1 (x) y2 (x) y ′ (x) y2′ (x) 1 W : I −→ R W (x) = ··· ··· (n−1) (n−1) y (x) y2 (x) 1 verific˘ a relat¸ia

−

W (x) = W (x0 ) e unde x0 ∈ I este un punct fixat.

Rx

a1 (t) x0 a0 (t)

··· yn (x) ··· yn′ (x) ··· ··· (n−1) · · · yn (x)

dt



(6.13)

Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Ar˘at˘ am c˘a W verific˘ a ecuat¸ia liniar˘ a a1 (x) W ′ (x) = − W (x). a0 (x) In cazul n = 2 ecuat¸ia Ly = 0, adic˘ a a0 (x) y ′′ + a1 (x) y ′ + a2 y = 0 conduce la y ′′ = − ¸si W ′ (x) =

d dx

y2′ (x) y1 (x) + y2′ (x) y1′′ (x)

y (x) 1 ′ y1 (x)

y ′ (x) = 1′ y1 (x)

a1 (x) ′ a2 (x) y − y a0 (x) a0 (x)

y2 (x) y2′ (x)

y2 (x) y2′′ (x)

a (x) = − a01 (x) W (x).

6.2.8 Din relat¸ia (6.13) rezult˘ a c˘ a dac˘ a W se anuleaz˘ a ˆıntr-un punct din I atunci se anuleaz˘ a ˆın toate punctele. 6.2.9 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene Ly = f

235

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

se obt¸ine adunˆ and la solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei omogene asociate Ly = 0 o solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei neomogene. Demonstrat¸ie. Deoarece L˜ y = f obt¸inem Ly = 0 =⇒ L(y + y˜) = f

Ly = f =⇒ L(y − y˜) = 0.

¸si

6.2.10 Teorem˘ a (Metoda variat¸iei constantelor). Dac˘ a y(x) =

n X

ck yk (x)

k=1

este solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei omogene Ly = 0 atunci o solut¸ie particular˘ a a ecuat¸iei neomogene Ly = f poate fi g˘ asit˘ a c˘ autˆ and-o de forma y˜(x) =

n X

ck (x) yk (x)

k=1

cu c1 (x), c2 (x), ... , cn (x) solut¸ie a sistemului  Pn ′   k=1 ck (x) yk (x) = 0      Pn   ′ ′   k=1 ck (x) yk (x) = 0   

..........................................

  Pn  (n−2) ′   (x) = 0 k=1 ck (x) yk          Pn c′ (x) y (n−1) (x) = f (x) . k=1 k k a0 (x)

Demonstrat¸ie. T ¸ inˆ and sema de (6.14) obt¸inem relat¸iile P y˜(x) = nk=1 ck (x) yk (x) y˜′ (x) =

Pn

′ k=1 ck (x) yk (x)

............................................ y˜(n−1) (x) = y˜(n) (x) =

Pn

(n−1) (x) k=1 ck (x) yk

Pn

(n) k=1 ck (x) yk (x)

+

f (x) a0 (x) .

(6.14)

236

Complemente de Matematic˘a

care conduc la L˜ y = a0 (x) y˜(n) + a1 (x) y˜(n−1) + · · · + an−1 (x) y˜′ + an (x) y˜ =

Pn



(n−1)

(n)

k=1 ck (x) a0 (x) yk +a1 (x) yk



+· · · + an−1 (x) yk′ +an (x) yk +f (x) = f (x).

6.2.11 Definit¸ie. Prin ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i se ˆınt¸elege o ecuat¸ie de forma a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y ′ + an y = f (x)

(6.15)

unde a0 , a1 , ..., an sunt numere reale ¸si f : I −→ R este o funct¸ie continu˘ a definit˘a pe un interval I ⊆ R. 6.2.12 Ecuat¸ia (6.15) este un caz particular pentru ecuat¸ia (6.11) ¸si anume cel ˆın care funct¸iile a0 (x), a1 (x), ... , an (x) sunt funct¸ii constante. Ecuat¸ia (6.15) se poate scrie sub forma P (D)y = f unde P este polinomul P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an numit polinomul caracteristic asociat ecuat¸iei considerate. 6.2.13 Folosind notat¸ia lui Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ definim pentru fiecare num˘ ar complex r = α + iβ funct¸ia complex˘a R −→ C : x 7→ erx = e(α+iβ)x = eαx cos(βx) + i eαx sin(βx)

cu propriet˘a¸tile D e(α+iβ)x = (α + iβ) e(α+iβ)x Re (D erx ) = D( Re erx ) Im (D erx ) = D( Im erx )

unde Re z ¸si Im z reprezint˘ a partea real˘ a ¸si repectiv imaginar˘a a num˘ arului z. 6.2.14 Propozit¸ie. Funct¸ia y : R −→ C, este solut¸ie a ecuat¸iei omogene

y(x) = erx

237

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

P (D)y = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a r este r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an = 0. Demonstrat¸ie. Deoarece D k erx = r k erx ¸si

avem

P (D) erx = ( a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an )erx P (D) erx = 0

⇐⇒

P (r) = 0.

6.2.15 Propozit¸ie. Dac˘ a polinomul caracteristic P (r) are r˘ ad˘ acinile r1 , r2 , ... , rk cu multiplicit˘ a¸tile m1 , m2 , ... , mk , adic˘ a P (r) = a0 (r − r1 )m1 (r − r2 )m2 · · · (r − rk )mk atunci P (D) admite factorizarea P (D) = a0 (D − r1 )m1 (D − r2 )m2 · · · (D − rk )mk ordinea factorilor putˆ and fi schimbat˘ a f˘ ar˘ a a afecta rezultatul. Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din liniaritatea lui D ¸si din relat¸ia D p D q = D p+q . 6.2.16 Propozit¸ie. Dac˘ a Q(r) este un polinom ¸si ϕ(x) este o funct¸ie atunci Q(D) (erx ϕ) = erx Q(D + r)ϕ oricare ar fi r ∈ C. Demonstrat¸ie. Ar˘at˘ am mai ˆıntˆ ai prin induct¸ie c˘a D k (erx ϕ) = erx (D + r)k ϕ. Avem D (erx ϕ) = erx Dϕ + rerx ϕ = erx (D + r)ϕ. Presupunˆand c˘ a D k (erx ϕ) = erx (D + r)k ϕ obt¸inem D k+1 (erx ϕ) = D(erx (D + r)k ϕ) = erx (D + r)(D + r)k ϕ = erx (D + r)k+1 ϕ. Dac˘a Q(r) = α0 r m + α1 r m−1 + · · · + αm−1 r + αm atunci

238

Complemente de Matematic˘a

Q(D) (erx ϕ) = α0 D m (erx ϕ)+α1 D m−1 (erx ϕ)+ · · · +αm−1 D(erx ϕ)+αm erx ϕ = erx [α0 (D+r)m +α1 (D+r)m−1 + · · · +αm−1 (D+r)+αm ]ϕ = erx Q(D + r)ϕ. 6.2.17 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (D − r)k y = 0

este

y(x) = c0 erx + c1 x erx + · · · + ck−1 xk−1 erx . Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei anterioare avem relat¸a D k (e−rx y) = e−rx (D − r)k y

care arat˘ a c˘ a ecuat¸ia (D − r)k y = 0 este echivalent˘a cu ecuat¸ia D k (e−rx y) = 0

care implic˘ a adic˘ a

e−rx y(x) = c0 + c1 x + · · · + ck−1 xk−1 y(x) = c0 erx + c1 x erx + · · · + ck−1 xk−1 erx .

6.2.18 Propozit¸ie. Fie ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘ a omogen˘ a cu coeficient¸i reali P (D)y = 0 unde P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an este polinomul caracteristic. a) Dac˘ a rj este r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a a lui P cu multiplicitatea mj atunci funct¸iile erj x ,

x erj x ,

···

, xmj −1 erj x

sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0. b) Dac˘ a rj = αj + iβj este r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a a lui P cu multiplicitatea mj atunci α x α x e j cos(βj x), x e j cos(βj x), · · · , xmj −1 eαj x cos(βj x), eαj x sin(βj x),

x eαj x sin(βj x),

···

, xmj −1 eαj x sin(βj x)

sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0.

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia P (D)y = 0 admite o factorizare de forma

239

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

Q(D) (D − rj )mj y = 0

¸si (D−rj )mj y = 0 implic˘ a P (D)y = 0. Deoarece ec. P (D)y = 0 are coeficient¸i reali   P (D) (Re y) = Re ( P (D)y ) = 0 P (D)y = 0 =⇒  P (D) (Im y) = Im ( P (D)y ) = 0 adic˘ a ˆın cazul ˆın care rj este r˘ ad˘ acin˘ a complex˘a cu multiplicitatea mj funct¸iile ¸si



y : R −→ R,

y(x) = Re c0 erj x + c1 x erj x + · · · + cmj −1 xmj −1 erj x

y : R −→ R,

y(x) = Im c0 erj x + c1 x erj x + · · · + cmj −1 xmj −1 erj x







sunt solut¸ii ale ecuat¸iei P (D)y = 0 oricare ar fi constantele reale c0 , c1 , ... , cmj −1 . 6.2.19 Se poate demonstra c˘ a, ˆın toate cazurile, ˆın spat¸iul solut¸iilor exist˘a o baz˘ a format˘a din solut¸ii particulare de tipul celor prezentate ˆın propozit¸ia anterioar˘ a. 6.2.20 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a ecuat¸iilor ′′ ′ a) y − 5y + 6y = 0 b) y ′′′ − 6y ′′ + 12y ′ − 8y = 0 c) y ′′ + y ′ + y = 0 d) (D 2 − D + 1)3 y = 0 e) (D − 3)4 (D 2 + 2)2 y = 0.

R˘ aspuns.

a) y(x) = c1 e2x + c2 e3x b) y(x) = c1 e2x + c2 x e2x + c3 x2 e2x 1

√

3 2 x)

1

+ c2 e− 2 x sin(

√

3 2 x)

c)

y(x) = c1 e− 2 x cos(

d)

y(x) = c1 e 2 x cos(

e)

y(x) = c1 e3x + c2 x e3x + c3 x2 e3x + c4 x3 e3x √ √ √ √ +c5 cos( 2x) + c6 sin( 2x) + c7 x cos( 2x) + c8 x sin( 2x).

√ 1 3 3 x 2 sin( x) + c e 2 2 2 x) √ √ 1 1 +c3 x e− 2 x cos( 23 x) + c4 x e− 2 x sin( 23 x) √ √ 1 1 +c5 x2 e− 2 x cos( 23 x) + c6 x2 e− 2 x sin( 23 x) 1

√

240

Complemente de Matematic˘a

6.2.21 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’’[x] - 5 y’[x] + 6 y[x] == 0, y[x], x]

7→

Out[1]={{y[x]→e2x C[1]+e3x C[2]}}

7→

Out[2]={{y[x]→e2x C[1]+e2x x C[2]+e2x x2 C[3]}}

7→

Out[3]=

In[2]:=DSolve[y’’’[x] - 6 y’’[x] + 12 y’[x] - 8 y[x] == 0, y[x], x] In[3]:=DSolve[y’’[x]nn + y’[x] + y[x] == h0, y[x], x] √ i y[x]→e−x/2 C[2] Cos

3x 2

h √ ioo

+e−x/2 C[1] Sin

6.2.22 Propozit¸ie. Ecuat¸ia Euler

3x 2

a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + · · · + an−1 x y ′ + an y = 0

se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient¸i constant¸i prin t schimbarea de variabil˘ a x = e , unde t este noua variabil˘ a independent˘ a. Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Notˆand cu z(t) noua funct¸ie necunoscut˘a avem relat¸ia y(x) = z(ln x) care prin deriv˘ ari succesive conduce la 1 ′ ′ y (x) = x z (ln x) = e−t z ′ (t) y ′′ (x) =

1 x2

z ′′ (ln x) −

1 x2

z ′ (ln x) = e−2t ( z ′′ (t) − z ′ (t) )

y ′′′ (x) = x13 z ′′′ (ln x) − x33 z ′′ (ln x) − x23 z ′ (ln x) = e−3t ( z ′′′ (t) − 3z ′′ (t) + 2z ′ (t) ) In urma schimb˘ arii de variabil˘ a, ecuat¸ia Euler a0 x3 y ′′′ + a1 x2 y ′′ + a2 x y ′ + a3 y = 0 devine a0 z ′′′ + (−3a0 + a1 )z ′′ + (2a0 − a1 + a2 )z ′ + a3 z = 0. 6.2.23 Relat¸ia x = et , echivalent˘ a cu t = ln x, conduce la d dt d 1 d d = = = e−t . dx dx dt x dt dt Ecuat¸ia Euler se poate scrie ! n−1 n d n−1 d n d + an y = 0 + a1 x + · · · + an−1 x a0 x dxn dxn−1 dx ¸si formal, schimbarea de variabil˘ a x = et ˆın ecuat¸ia Euler se poate realiza ˆınlocuind d d x cu et ¸si operatorul de derivare dx cu e−t dt . De remarcat c˘a 2    d d d2 d d e−t = e−2t 2 − e−2t . = e−t e−t dt dt dt dt dt

241

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.3

Sisteme diferent¸iale liniare

6.3.1 Definit¸ie. Prin sistem diferent¸ial liniar de ordinul ˆıntˆ ai se ˆınt¸elege un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de forma  ′   y1 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + f1 (x)       y2′ = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + · · · + a2n (x)yn + f2 (x)

(6.16)

 .............................................................      ′   yn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + · · · + ann (x)yn + fn (x)

unde x este variabila independent˘ a, y1 , y2 , ... , yn sunt funct¸iile necunoscute ¸si aij : I −→ R unde i, j ∈ {1, 2, ..., n} fi : I −→ R

sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ⊆ R.

6.3.2 Sistemul diferent¸ial liniar (6.16) se poate scrie sub forma matriceal˘ a Y ′ = A(x)Y + F (x) utilizˆ and notat¸iile   

Y =  

y1 y2 .. . yn



  ,  



a11 (x)

   a21 (x)  A(x) =   ···   

a12 (x) · · · a1n (x) a22 (x) · · · ···

···

 a2n (x)    , ···    

an1 (x) an2 (x) · · · ann (x)

6.3.3 Teorem˘ a (de existent¸˘ a ¸si unicitate). Dac˘ a aij : I −→ R unde fi : I −→ R



  

F (x) =   

f1 (x) f2 (x) .. . fn (x)



  .  

i, j ∈ {1, 2, ..., n}

sunt funct¸ii continue atunci oricare ar fi (x0 , y10 , y20 , ..., yn0 ) ∈ I × Rn exist˘ a o unic˘ a solut¸ie Y (x) ˆıncˆ at   y10    y20   Y ′ = A(x) Y + F (x) ¸si Y (x0 ) =   ..  .  .  yn0

242

Complemente de Matematic˘a

6.3.4 Teorem˘ a. Spat¸iul V al tuturor solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar omogen Y ′ = A(x) Y

este un spat¸iu vectorial de dimensiune n. Demonstrat¸ie. Pentru x0 ∈ I fixat, din teorema de existent¸˘a ¸si unicitate rezult˘ a c˘a aplicat¸ia liniar˘ a V −→ Rn : Y 7→ Y (x0 ) este un izomorfism liniar. 6.3.5 Rezolvarea sistemului omogen Y ′ = AY este echivalent˘a cu g˘asirea unei baze al lui V, adic˘ a cu g˘ asirea a n solut¸ii liniar independente. 6.3.6 Definit¸ie. Plecˆ and de la n solut¸ii ale sistemului omogen Y ′ = A(x)Y       y1n y12 y11        y2n   y22   y21       ... , Yn =  .  Y2 =  .  , Y1 =  .  ,   ..   ..   ..  ynn yn2 yn1 construim matricea Wronski

¸si wronskianul

   

W =

y11 y12 y21 y22 ··· ··· yn1 yn2

· · · y1n · · · y2n ··· ··· · · · ynn

    

w = det W. 6.3.7 Teorem˘ a. Solut¸iile Y1 , Y2 , ... , Yn formeaz˘ a o baz˘ a a spat¸iului vectorial V dac˘ a ¸si numai dac˘ a wronskianul lor este nenul ˆıntr-un punct fixat x0 ∈ I, adic˘ a w(x0 ) 6= 0. Demonstrat¸ie. Deoarece V −→ Rn : Y 7→ Y (x0 ) este un izomorfism liniar, solut¸iile Y1 , Y2 , ... , Yn sunt liniar independente dac˘ a ¸si n numai dac˘ a vectorii Y1 (x0 ), Y2 (x0 ), ... , Yn (x0 ) din R sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu w(x0 ) 6= 0.

243

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.3.8 Teorem˘ a. Wronskianul solut¸iilor Y1 , Y2 , ... , Yn verific˘ a relat¸ia Rx

w(x) = w(x0 ) e

x0

tr A(t) dt

(6.17)

unde tr A(t) = a11 (t) + a22 (t) + · · · + ann (t) este urma matricei A(t). Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Avem ′ y (x) y12 (x) y11 (x) y12 (x) d 11 ′ w (x) = dx = y (x) y (x) y ′ (x) y (x) 21 22 22 21 a11 (x) y11 (x)+a12 (x) y21 (x) = a (x) y (x)+a (x) y (x) 21 11 22 21

= (a11 (x) + a22 (x)) w(x)



′ (x) y11 (x) y12 + y (x) y ′ (x) 21 22



y12 (x) y11 (x) a11 (x) y12 (x)+a12 (x) y22 (x) + y22 (x) y21 (x) a21 (x) y12 (x)+a22 (x) y22 (x)



adic˘ a w verific˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a liniar˘ a w′ = tr A(x) w. 6.3.9 Din relat¸ia (6.13) rezult˘ a c˘ a dac˘ a wronskianul se anuleaz˘ a ˆıntr-un punct x0 ∈ I atunci el se anuleaz˘ a ˆın toate punctele x ∈ I. 6.3.10 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a sistemului liniar neomogen Y ′ = A(x) Y + F (x) se obt¸ine adunˆ and la solut¸ia general˘ a a sistemului liniar omogen asociat Y ′ = A(x) Y o solut¸ie particular˘ a Y˜ a sistemului neomogen. Demonstrat¸ie. Deoarece Y˜ ′ = A(x) Y + F (x) obt¸inem Y ′ = A(x) Y =⇒ (Y + Y˜ )′ = A(x) (Y + Y˜ ) + F (x) Y ′ = A(x) Y + F (x) =⇒ (Y − Y˜ )′ = A(x) (Y − Y˜ ). 6.3.11 Folosind matricea Wronski W asociat˘a unei baze {Y1 , Y2 , ... , Yn } a lui V, solut¸ia general˘ a Y = c1 Y1 + c2 Y2 + · · · + cn Yn a ecuat¸iei liniare omogene Y ′ = A(x) Y se poate scrie sub forma

244

Complemente de Matematic˘a

Y (x) = W (x) C



  C=  

unde

c1 c2 .. . cn

6.3.12 Teorem˘ a (Metoda variat¸iei constantelor). Dac˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului



   ∈ Rn .  

Y ′ = A(x) Y este Y (x) = W (x) C atunci o solut¸ie particular˘ a sistemului neomogen Y ′ = A(x) Y + F (x) se poate obt¸ine c˘ autˆ and-o de forma Y˜ (x) = W (x) C(x) unde C(x) este o solut¸ie a sistemului C ′ (x) = W −1 (x) F (x). Demonstrat¸ie. Deoarece W ′ = A(x)W ¸si Y˜ ′ (x) = W ′ (x) C(x) + W (x) C ′ (x) avem Y˜ ′ = A(x) Y˜ + F (x) dac˘ a ¸si numai dac˘ a W (x) C ′ (x) = F (x). 6.3.13 Definit¸ie. Prin sistem diferent¸ial liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i se ˆınt¸elege un sistem de ecuat¸ii de forma Y ′ = AY

unde

A ∈ Mn×n (R).

6.3.14 Propozit¸ie. Funct¸ia vectorial˘ a Y : R −→ Cn , Y (x) = w eλx , unde   w1    w2  n  w=  ..  ∈ C  .  wn

verific˘ a relat¸ia

Y ′ = AY dac˘ a ¸si numai dac˘ a Aw = λw.

245

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

Demonstrat¸ie. Deoarece Y ′ (x) = λw eλx ˆınlocuind ˆın Y ′ = AY obt¸inem Aw = λw. 6.3.15 Fie λ o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic det (A − λI) = 0. Dac˘a λ ∈ R atunci λ este valoare proprie a matricei A ¸si alegˆand un vector propriu corespunz˘ ator w ∈ Rn obt¸inem solut¸ia netrivial˘a Y (x) = w eλx a sistemului Y ′ = AY . Dac˘a λ 6∈ R atunci exist˘a w ∈ Cn astfel ˆıncˆ at Aw = λw ¸si 





Y1 (x) = Re w eλx , sunt solut¸ii ale sistemului Y ′ = AY .

Y2 (x) = Im w eλx



6.3.16 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului (

Rezolvare. Ecuat¸ia

y1′ = y1 + y2 y2′ = −y1 + y2 . =0

1−λ 1 −1 1−λ

are r˘ ad˘ acinile λ1 = 1 + i ¸si λ2 = 1 − i. O solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei Av = (1 + i)v, adic˘ a

este v =

1 i

!

1 1 −1 1

= c1 Re

adic˘ a

v1 v2

!

= (1 + i)

v1 v2

!

. Rezult˘a c˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului este

Y (x) = c1 Re

= c1

!

(

(

!

1 i

!

1 i

cos x − sin x

e(1+i)x

ex (cos x

!

(

)

ex

+ c2

+ c2 Im

(

1 i

)

!

e(1+i)x

+ i sin x) + c2 Im sin x cos x

!

(

)

1 i

ex

y1 (x) = c1 ex cos x + c2 ex sin x y2 (x) = −c1 ex sin x + c2 ex cos x.

!

ex (cos x

)

+ i sin x)

246

Complemente de Matematic˘a

6.3.17 MATHEMATICA: DSolve[{eqn1, eqn2}, {y1[x], y2[x]}, x] In[1]:=DSolve[{y1’[x] == y1[x]+y2[x],y2’[x] == -y1[x]+y2[x]},{y1[x], y2[x]},x]

7→

Out[1]={{y1[x]→ex C[1] Cos[x]+ex C[2] Sin[x], y2[x]→ex C[2] Cos[x]−ex C[1] Sin[x]}}

6.3.18 Dac˘a matricea A ∈ Mn×n (R) este diagonalizabil˘a ¸si {v1 , v2 , ..., vn } unde   

v1 =   

v11 v21 .. .

vn1





 

  ,  

v2 =   

v12 v22 .. .

vn2



  ,  

···

  

vn =   

v1n v2n .. .

vnn

     

este o baz˘ a a lui Rn format˘ a din vectori proprii ai lui A corespunz˘atori valorilor proprii λ1 , λ2 , ... , λn (distincte sau nu) atunci solut¸ia general˘ a a sistemului Y ′ = AY este 

  Y (x) = c1   

v11 v21 .. . vn1





   λ x   e 1 + c2     

v12 v22 .. . vn2





   λ x   e 2 + · · · + cn     

v1n v2n .. . vnn



  λ x e n .  

6.3.19 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului  ′   y1 = y2 + y3

y′ = y + y

Rezolvare. Rezolvˆ and ecuat¸ia

1 3 2   y′ = y + y 1 2 3

−λ 1 1 1 −λ 1 1 1 −λ

=0

obt¸inem λ1 = 2, ¸si λ2 = λ3 = −1. Deoarece subspat¸iile proprii corespunz˘atoare sunt V2 = { α(1, 1, 1) | α ∈ R },

V−1 = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R }

rezult˘ a c˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului este 











1 1 0     2x  −x  Y (x) = c1  1  e + c2  0  e + c3  1  e−x . 1 −1 −1 6.3.20 MATHEMATICA: DSolve[{eqn1, eqn2, eqn3}, {y1[x], y2[x], y3[x]}, x]

247

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

In[1]:=Eigenvalues[[{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}] In[2]:=Eigenvectors[[{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}]

7→ Out[1]={2,−1,−1} 7→ Out[2]={{1,1,1},{−1,0,1},{−1,1,0}}

In[3]:=DSolve[{y1’[x]==y2[x]+y3[x], y2’[x]==y1[x]+y3[x],

y3’[x]==y1[x]+y2[x]}, {y1[x],y2[x],y3[x]}, x]

7→

Out[3]={{y1[x]→ 31 e−x (2+e3x ) C[1]+ 13 e−x (−1+e3x ) C[2]+ 13 e−x (−1+e3x ) C[3], y2[x]→ 31 e−x (−1+e3x ) C[1]+ 13 e−x (2+e3x ) C[2]+ 31 e−x (−1+e3x ) C[3],

y3[x]→ 13 e−x (−1+e3x ) C[1]+ 13 e−x (−1+e3x ) C[2]+ 31 e−x (2+e3x ) C[3]}}

6.3.21 S ¸ tim c˘ a, ˆın general, o matrice A ∈ Mn×n (R) nu este diagonalizabil˘a. Dac˘a λ este o r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a (respectiv, complex˘a) cu multiplicitatea m a polinomului caracteristic atunci partea din solut¸ia general˘ a corespunz˘atoare lui λ poate fi g˘asit˘ a c˘autˆ and-o de forma   α11 xm−1 + α12 xm−2 + · · · + α1m−1 x + α1m  α xm−1 + α xm−2 + · · · + α   22 2m−1 x + α2m  λx Y (x) =  21 e  ...................................................................  αn1 xm−1 + αn2 xm−2 + · · · + αnm−1 x + α1m

unde coeficient¸ii αjk sunt reali (respectiv, complec¸si). In cazul complex, ˆın final se separ˘a p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘a ale a solut¸iei g˘asite.

6.3.22 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului  ′   y1 = −y1 + y2 y2′ = −y2 + 4y3   y ′ = y − 4y 1 3 3

Rezolvare. Valorile proprii sunt λ1 = 0 ¸si λ2 = λ3 = −3, iar subspat¸iile proprii corespunz˘ atoare V0 = { α(4, 4, 1) | α ∈ R },

V−3 = { α(1, −2, 1) | α ∈ R }.

Deoarece dimV−3 = 1 rezult˘ a c˘ a matricea sistemului nu este diagonalizabil˘a. C˘ autˆ and partea din solut¸ia general˘ a referitoare la λ2 = λ3 = −3 de forma   α1 x + β1   Y (x) =  α2 x + β2  e−3x α3 x + β3

g˘asim









1 x     Y (x) = α1  −2x + 1  e−3x + β1  −2  e−3x . 1 x−1

248

Complemente de Matematic˘a

Solut¸ia general˘ a a sistemului este       1 x 4       Y (x) = c1  4  + c2  −2x + 1  e−3x + c3  −2  e−3x . 1 x−1 1

6.3.23 O alt˘ a metod˘ a de rezolvare a sistemelor liniare omogene cu coeficient¸i constant¸i, numit˘ a metoda elimin˘ arii, se bazeaz˘ a pe faptul c˘a fiecare dintre funct¸iile necunoscute yj verific˘ a o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a. 6.3.24 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve sistemul  ′   y1 = y2 y2′ = y3   y′ = y . 1 3

Rezolvare. Funct¸ia necunoscut˘ a y1 verific˘ a ecuat¸ia liniar˘ a y1′′′ − y1 = 0.

√

Deoarece P (r) = r 3 − 1 are r˘ ad˘ acinile r1 = 1 ¸si r2,3 = − 21 ± i 23 , rezult˘ a c˘a √ √ 1 1 3 3 y1 (x) = c1 ex + c2 e− 2 x cos x + c3 e− 2 x sin x. 2 2 Prin derivarea lui y1 se obt¸in y2 ¸si y3 . 6.3.25 Deoarece izomorfismul de spat¸ii vectoriale 2 Mn×n (K) −→ Kn :     

a11 a12 a21 a22 ··· ··· an1 an2

· · · a1n · · · a2n ··· ··· · · · ann



   7→ (a11 , a12 , ..., a1n , a21 , a22 , ..., a2n , ..., an1 , an2 , ..., ann ) 

permite identificarea spat¸iului vectorial Mn×n (K) cu  a 11 a12 · · ·  a  21 a22 · · · || · || : Mn×n (K) −→ R,   · · · · · · · · · an1 an2 · · ·

2

Kn , aplicat¸ia  a1n v n u X a2n   u t |aij |2  = · · ·  i,j=1 ann

este o norm˘a pe Mn×n (K). In particular, o serie de matrice ∞ X

k=0

este convergent˘ a dac˘ a exist˘a limita

ak Ak

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

lim

m→∞

m X

249

ak Ak

k=0

adic˘ a dac˘ a exist˘a B ∈ Mn×n (K) astfel ˆıncˆ at

m X k ak A − B = 0. lim m→∞ k=0

6.3.26 Propozit¸ie. Dac˘ a seria de puteri ∞ X

ak xk

∞ X

ak Ak

k=0

are raza de convergent¸˘ a R > 0 ¸si dac˘ a A ∈ Mn×n (K) este astfel ˆıncˆ at ||A|| < R atunci seria de matrice k=0

este convergent˘ a.

Demonstrat¸ie. Alegˆand r astfel ˆıncˆ at ||A|| < r < R obt¸inem relat¸ia P∞

ak Ak = |ak | Ak ≤ |ak | ||A||k < |ak | r k .

k a, din criteriul comparat¸iei rezult˘ a c˘a seria k=0 ak r fiind absolut convergent˘ P∞ k a, ceea ce implic˘ a convergent¸a seriei k=0 ak Ak . k=0 ||ak A || este convergent˘

Seria

P∞

6.3.27 Deoarece seria exponent¸ial˘a ∞ X xk x x2 ex = =1+ + + ··· k! 1! 2! k=0

are raza de convergent¸˘ a r = ∞ rezult˘ a c˘a pentru orice matrice A ∈ Mn×n (K) putem defini matricea ∞ X Ak A A2 eA = =1+ + + ··· k! 1! 2! k=0 numit˘ a exponent¸iala matricei A. Se poate ar˘ ata c˘a funct¸ia matriceal˘ a R −→ Mn×n (K) : t 7→ etA

este derivabil˘ a ¸si c˘ a (etA )′ = A etA adic˘ a

Y (t) = etA C este solut¸ie a sistemului liniar Y ′ = AY , oricare ar fi C ∈ Rn .

250

Complemente de Matematic˘a

6.3.28 MATHEMATICA: Series[Exp[A], {A, 0, n}] 3 4 2 In[1]:=Series[Exp[A], {A, 0, 4}] 7→ Out[1]=1+A+ A2 + A6 + A24 +0[A]5 6.3.29 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia sistemului  ′   y1 = y2 + y3 ′ y2 = y1 + y3   y′ = y + y . 1 2 3 Rezolvare. Matricea sistemului

este diagonalizabil˘a

Deoarece

obt¸inem

¸si





0 1 1   A= 1 0 1  1 1 0





2 0 0   −1 S AS =  0 −1 0  0 0 −1



1 1 0   1 . S= 1 0 1 −1 −1

unde







2 0 0   A = S  0 −1 0  S −1 0 0 −1





k



2 0 0 2k 0 0     −1 k 0  S −1 A = S  0 −1 0  S = S  0 (−1)k k 0 0 −1 0 0 (−1) 







e2t 0 0 2k 0 0     −1 tA k 0  S = S  0 e−t 0  S −1 = S  0 (−1) e = k! k! k=0 k=0 0 0 e−t 0 0 (−1)k relat¸ie care permite scrierea explicit˘a a solut¸iei generale. ∞ X

(tA)k

∞ k X t

6.3.30 MATHEMATICA: Eigenvalues[A] , Eigenvectors[A] , MatrixForm[MatrixExp[tA]] ! In[1]:=MatrixForm[[{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}]

7→ Out[1]=

0 1 1

1 0 1

1 1 0

In[2]:=Eigenvalues[{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}] 7→ Out[2]={2,−1,−1} In[3]:=Eigenvectors[{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}] 7→ Out[3]={{1,1,1},{−1,0,1},{−1,1,0}} In[4]:=MatrixForm[MatrixExp[t {{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}}]]

7→

 

Out[4]=

1 −t 3e 1 −t 3e 1 −t 3e

2 + e3t







−1 + e3t
−1 + e3t

1 −t 3e 1 −t 3e 1 −t 3e

−1 + e3t





2 + e3t
−1 + e3t

1 −t 3e 1 −t 3e 1 −t 3e

−1 + e3t





−1 + e3t 
2 + e3t

Capitolul 7

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate 7.1

Polinoame Legendre

7.1.1 Teorem˘ a (Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt). Dac˘ a {v1 , v2 , v3 , ... } este un sistem liniar independent (finit sau infinit) atunci {w1 , w2 , w3 , ... }, unde w1 = v1

w2 = v2 −

hv2 ,w1 i hw1 ,w1 i

w1

w3 = v3 −

hv3 ,w1 i hw1 ,w1 i

w1 −

hv3 ,w2 i hw2 ,w2 i

w2

.......................................................... este un sistem ortogonal astfel ˆıncˆ at spat¸iul vectorial generat de {v1 , v2 , ... , vk } este acela¸si cu spat¸iul vectorial generat de {w1 , w2 , ... , wk }, oricare ar fi k ∈ {1, 2, 3, ...}. 7.1.2 Definit¸ie. Polinoamele P0 , P1 , P2 . . . satisf˘acˆand condit¸ia Pn (1) = 1 obt¸inute ortogonalizˆ and ¸sirul 1, x, x2 , . . . ˆın raport cu produsul scalar hϕ, ψi =

Z

1

ϕ(x) ψ(x) dx −1

se numesc polinoame Legendre. 251

252

Complemente de Matematic˘a

7.1.3 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a Pn este polinom de gradul n. Rezolvare. Pentru orice n, spat¸iul vectorial generat de P0 , P1 , P2 , ... , Pn este acela¸si cu spat¸iul vectorial generat de 1, x, x2 , . . . , xn . Acest lucru este posibil numai dac˘ a Pn este polinom de gradul n. 7.1.4 Exercit¸iu. S˘ a se determine polinoamele Legendre P0 , P1 ¸si P2 . Rezolvare. Ortogonalizˆand 1, x, x2 rezult˘ a polinoamele Q0 (x) = 1 Q1 (x) = x −

hx,Q0 i hQ0 ,Q0 i

Q2 (x) = x2 −

Q0 (x) = x

hx2 ,Q0 i hQ0 ,Q0 i

Q0 (x) −

hx2 ,Q1 i hQ1 ,Q1 i

Q1 (x) = x2 − 13 .

Obt¸inem polinoamele P0 , P1 , P2 c˘ autˆ andu-le de forma Pn = αn Qn cu constantele αn determinate astfel ˆıncˆ at Pn (1) = 1. Rezult˘a P0 (x) = 1, P1 (x) = x ¸si P2 (x) = 32 x2 − 12 . 7.1.5 MATHEMATICA: LegendreP[n, x] 7→ 7→ In[3]:=LegendreP[2, x] 7→

In[1]:=LegendreP[0, x]

Out[1]=1

In[2]:=LegendreP[1, x]

Out[2]=x Out[3]= 21 (−1+3x2 )

1.0

1.0 0.8

0.5

0.6 0.4

-1.0

0.5

-0.5

-0.5

1.0

0.2

-1.0

0.5

-0.5

1.0

-0.2 -1.0

-0.4

Figura 7.1: Funct¸iile P0 , P1 , P2 , P3 ¸si funct¸ia P10 . 7.1.6 Exercit¸iu. S˘ a se scrie x2+x+1 ca o combinat¸ie liniar˘ a de polinoame Legendre. Indicat¸ie. Se determin˘a α0 , α1 , ¸si α2 astfel ˆıncˆ at x2 + x + 1 = α0 P0 + α1 P1 + α2 P2 .

253

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.1.7 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a toate r˘ ad˘ acinile polinomului Pn sunt simple ¸si apart¸in intervalului (−1, 1). Rezolvare. Polinomul Pn de gradul n are cel mult n r˘ ad˘ acini. Fiind funct¸ie continu˘ a Pn ˆı¸si poate schimba semnul doar ˆın puncte xj care sunt r˘ ad˘ acini ale polinomului. Presupunem c˘ a punctele ˆın care Pn ˆı¸si schimb˘ a semnul sunt x1 , x2 , ... , xk ¸si consider˘am polinomul de grad k ≤ n (

1 dac˘ a k=0 (x − x1 )(x − x2 )...(x − xk ) dac˘ a 0 < k ≤ n. Deoarece funct¸ia Pn (x) pk (x) nu ˆı¸si schimb˘ a semnul ˆın intervalul (−1, 1), rezult˘ a c˘a pk (x) =

Z

1 −1

Pn (x) pk (x) dx 6= 0.

Acest lucru este posibil numai dac˘ a k = n. 7.1.8 Teorem˘ a (Rodrigues). Polinomul Legendre Pn verific˘ a relat¸ia n 1 d (x2 − 1)n Pn (x) = n! 2n dxn oricare ar fi n ∈ N. 

(0)

(7.1)

= 1 = P0 (x). Fie n > 0 fixat ¸si fie Demonstrat¸ie. Avem 0!120 (x2 − 1)0  2 (n) 1 n ˜ ˜ Pn (x) = n! 2n (x − 1) . Deoarece Pn este un polinom de gradul n rezult˘ a c˘a exist˘a α0 , α1 ,. . . αn ∈ R astfel ˆıncˆ at P˜n = α0 P0 + α1 P1 + · · · + αn Pn .

Avem

Z

1 1 1 1 2 n (n) 2 n (n−1) [(x − 1) ] dx = [(x − 1) ] = 0. −1 n! 2n −1 n! 2n Dac˘a n > 1, integrˆ and prin p˘ art¸i obt¸inem R1 1 x[(x2 − 1)n ](n) dx hx, P˜n i = n

h1, P˜n i =

n! 2

= ¸si ˆın general,

1 n! 2n

−1

1

x [(x2 − 1)n ](n−1)

hxk , P˜n i = 0

−1

−

1 n! 2n

R1

−1 [(x

2

− 1)n ](n−1) dx = 0

oricare ar fi k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

Din relat¸ia precedent˘ a rezult˘ a hPk , P˜n i = 0

oricare ar fi k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

254

Complemente de Matematic˘a

Tinˆ and seama de ortogonalitatea polinoamelor Legendre obt¸inem relat¸ia 0 = hPk , P˜n i = hPk , α0 P0 + α1 P1 + · · · + αn Pn i = αk hPk , Pk i din care rezult˘ a oricare ar fi k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}

αk = 0,

¸si deci P˜n = αn Pn . Deoarece Pn (1) = 1 ¸si P˜n (1) =





n X

1  C j [(x − 1)n ](j) [(x + 1)n ](n−j)  n! 2n j=0 n

=1

x=1

rezult˘ a c˘ a αn = 1 ¸si deci P˜n = Pn .

7.1.9 Relat¸ia (7.1) poate fi utilizat˘ a ca definit¸ie pentru polinoamele Legendre. 7.1.10 Exercit¸iu. S˘ a se determine P0 , P1 ¸si P2 folosind formula lui Rodrigues. Rezolvare. Avem P0 (x) =

d0 1 2 0! 20 dx0 (x

P1 (x) =

1 d1 (x2 1! 21 dx1

P2 (x) =

d2 1 2! 22 dx2

− 1)0 = 1 − 1)1 =

(x2 − 1)2 =

1 2

2x = x

1 8

(x4 − 2x2 + 1)′′ =

1 8

(4x3 − 4x)′ = 32 x2 − 21 .

7.1.11 Propozit¸ie. Oricare ar fi n ∈ N, ecuat¸ia (ecuat¸ia polinoamelor Legendre) (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + n(n + 1)y = 0

admite o solut¸ie polinomial˘ a dar nu admite solut¸ii polinomiale liniar independente. Demonstrat¸ie. Din teoria general˘ a a ecuat¸iilor diferent¸iale ¸stim c˘ a spat¸iul solut¸iilor ecuat¸iei considerate este un spat¸iu vectorial de dimensiune 2. Dac˘a ecuat¸ia ar admite dou˘ a solut¸ii polinomiale liniar independente atunci ele ar forma o baz˘ a ˆın spat¸iul solut¸iilor ¸si prin urmare toate solut¸iile ar fi polinomiale. C˘ autˆ and solut¸ii dezvoltabile ˆın serie de puteri y(x) =

∞ X

cm xm

m=0

ar˘ at˘am c˘ a ecuat¸ia admite atˆ at solut¸ii polinomiale cˆ at ¸si nepolinomiale. Deoarece ˆın domeniul de convergent¸˘ a y ′ (x) =

∞ X

m=1

mcm xm−1 ,

y ′′ (x) =

∞ X

m=2

m(m − 1)cm xm−2

255

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

ˆınlocuind ˆın ecuat¸ie obt¸inem relat¸ia [2c2 + n(n + 1)c0 ] + [3 · 2c3 + (n − 1)(n + 2)c1 ]x + · · · +[(m + 2)(m + 1)cm+2 + (n − m)(m + n + 1)cm ]xm + · · · = 0 din care rezult˘ a (m + 2)(m + 1)cm+2 + (n − m)(m + n + 1)cm = 0,

oricare ar fi m ∈ N.

Alegˆand c0 = 1, c1 = 0 obt¸inem solut¸ia n(n + 1) 2 (n − 2)n(n + 1)(n + 3) 4 x + x − ··· y0 (x) = 1 − 2! 4! iar alegˆ and c0 = 0, c1 = 1 obt¸inem solut¸ia (n − 1)(n + 2) 3 (n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) 5 y1 (x) = x − x + x − ··· 3! 5! Deoarece |cm+2 | (m − n)(m + n + 1) lim = lim =1 m→∞ |cm | m→∞ (m + 2)(m + 1)

solut¸iile y0 ¸si y1 sunt convergente pentru |x2 | < 1, adic˘ a pentru |x| < 1. Dac˘a n este num˘ ar par atunci y0 este solut¸ie polinomial˘ a (seria are un num˘ ar finit de coeficient¸i nenuli) iar y1 este solut¸ie nepolinomial˘ a. Dac˘a n este num˘ ar impar atunci y1 este solut¸ie polinomial˘ a ¸si y0 nepolinomial˘ a. 7.1.12 Propozit¸ie. Solut¸ia polinomial˘ a a ecuat¸iei (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + n(n + 1)y = 0 care verific˘ a condit¸ia y(1) = 1 este polinomul Legendre Pn . Demonstrat¸ie. Fie u(x) = (x2 − 1)n . Avem u′ = 2nx

adic˘ a

x2

u −1

(x2 − 1)u′ = 2nx u. Derivˆand relat¸ia anterioar˘ a de (k + 1) ori folosind formula lui Leibniz (f g)(k+1) =

k+1 X

j Ck+1 f (j) g(k+1−j)

j=0

obt¸inem

(x2 − 1)u(k+2) + 2(k + 1) x u(k+1) + 2

(k + 1)k (k) u = 2nx u(k+1) + 2(k + 1)nx u(k) . 2

256

Complemente de Matematic˘a

Inmult¸ind cu

1 n! 2n

relat¸ia obt¸inut˘ a ¸si ˆınlocuind k cu n rezult˘ a (1 − x2 )(u(n) )′′ − 2x(u(n) )′ + n(n + 1)u(n) = 0

adic˘ a (1 − x2 )Pn′′ − 2xPn′ + n(n + 1)Pn = 0. 7.1.13 Exercit¸iu. S˘ a se determine P2 folosind propozit¸ia anterioar˘ a. Indicat¸ie. Polinomul P2 , de forma P2 (x) = αx2 + βx + γ, este solut¸ia ecuat¸iei (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + 6y = 0 care verific˘ a condit¸ia y(1) = 1. 7.1.14 Se ¸stie c˘ a pentru n ∈ {0, 1, 2, 3, ...} are loc relat¸ia (1 + x)n =

n P

k=0

Cnk xk

unde

Cnk =

n(n−1)...(n−k+1) . k!

7.1.15 Propozit¸ie (Seria binomial˘a). Dezvoltˆ and ˆın serie Taylor ˆın jurul lui 0 funct¸ia f : (−1, 1) −→ R,

f (x) = (1 + x)α = eα ln(1+x)

obt¸inem pentru orice num˘ ar real α ¸si orice x ∈ (−1, 1) relat¸ia α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 α x + x + ··· (1 + x)α = 1 + + x + 1! 2! 3! Demonstrat¸ie. Deoarece f (n) (x) = [(1 + x)α ](n) = α(α − 1) . . . (α − n + 1) (1 + x)α−n seria Taylor corespunz˘ atoare lui f f (0) +

f ′ (0) f ′′ (0) 2 x+ x + ··· 1! 2!

este seria de puteri 1 + αx +

α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 x + x + ··· 2! 3!

cu raza de convergent¸˘ a |α − n + 1| = 1. n→∞ n

R = lim

257

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.1.16 Teorem˘ a (Funct¸ia generatoare). Pentru x ∈ (−1, 1) ¸si t ˆıntr-o vecin˘ atate suficient de mic˘ a a lui 0 avem ∞ X 1 √ = Pn (x) tn . 1 − 2xt + t2 n=0 Demonstrat¸ie. Fie x ∈ (−1, 1) ¸si γx un drum ˆınchis care se rote¸ste o dat˘ a ˆın jurul lui x ˆın sens direct (a se vedea Figura 7.2).

x −1

1

γx

Figura 7.2: Drumul γx . Utilizˆand formula lui Cauchy obt¸inem P∞ P∞ n n=0 n=0 Pn (x) t = =

− 1)n ](n)

(z 2 −1)n n! R tn n=0 n! 2n 2πi γx (z−x)n+1 dz

P∞

h

i (z 2 −1)t n 1 n=0 γx 2(z−x) z−x dz. 2 −1)t vecin˘ atate a lui 0 aleas˘ a astfel ˆıncˆ at (z < 1 avem 2(z−x) h 2 i R P P∞ (z −1)t n ∞ 1 n = 1 dz P (x) t n n=0 2(z−x) n=0 2πi γx z−x

=

Pentru t ˆıntr-o

tn 2 n! 2n [(x

=

1 2πi

P∞ R

1 R 1 1 2πi γx z−x 1− (z 2 −1)t 2(z−x) 1 R dz 2 πi γx −tz +2z+t−2x

dz

= Punctele singulare ale funct¸iei f de sub integral˘ a √ √ 2 1 + 1 − 2xt + t2 1 − 1 − 2xt + t ¸si z2 = z1 = t t verific˘ a relat¸iile limt→0 z1 = x ¸si limt→0 |z2 | = ∞. Pentru t ˆıntr-o vecin˘ atate destul de mic˘ a a lui 0 din teorema reziduurilor rezult˘ a P∞ 1 n n=0 Pn (x) t = πi 2πi Rezz1 f = 2 limz→z1 (z − z1 ) f (z) = 2 limz→z1 (z − z1 ) −t(z−z11)(z−z2 ) =

−2 t(z1 −z2 )

=

1 √ . 1−2xt+t2

258

Complemente de Matematic˘a

7.1.17 Exercit¸iu. S˘ a se determine P0 , P1 ¸si P2 folosind funct¸ia generatoare. Rezolvare. Utilizˆand dezvoltarea ˆın serie α 1!

(1 + x)α = 1 +

x+

α(α−1) 2!

adev˘arat˘ a pentru |x| < 1, obt¸inem relat¸ia √

1 1−2xt+t2

x2 +

α(α−1)(α−2) 3!

x3 + · · ·

1

= [1 + (−2xt + t2 )]− 2 =1+

− 12 1!

(−2xt + t2 ) +

= 1+ xt +



3 2 2x

−

1 2



− 21 (− 12 −1) 2!

(−2xt + t2 )2 + · · ·

t2 + · · ·

din care, prin identificare, rezult˘ a P0 (x) = 1, P1 (x) = x ¸si P2 (x) = 32 x2 − 21 . 7.1.18 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a Pn (−x) = (−1)n Pn (x). Rezolvare. Relat¸ia rezult˘ a din ∞ P

n=0

1 Pn (x) tn = √1−2xt+t =√ 2

1 1−2(−x)(−t)+(−t)2

=

∞ P

n=0

Pn (−x) (−t)n .

7.1.19 Teorem˘ a. Polinoamele Legendre verific˘ a relat¸ia de recurent¸a ˘ (n + 1)Pn+1 (x) − (2n + 1)xPn (x) + nPn−1 (x) = 0

(7.2)

oricare ar fi n ≥ 1. Demonstrat¸ie. Derivˆand ˆın raport cu t relat¸ia ∞ X 1 √ = Pk (x) tk . 1 − 2xt + t2 k=0 obt¸inem relat¸ia

∞ X −(t − x) √ = kPk (x) tk−1 (1 − 2xt + t2 ) 1 − 2xt + t2 k=0

care se mai poate scrie (x − t)

∞ X

k=0

Pk (x) tk = (1 − 2xt + t2 )

∞ X

kPk (x) tk−1 .

k=0

Identificˆ and coeficient¸ii lui tn din cei doi membri a ultimei identit˘a¸ti obt¸inem relat¸ia de recurent¸˘ a din enunt¸ul teoremei.

259

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.1.20 Exercit¸iu. S˘ a se determine P2 ¸stiind c˘a P0 (x) = 1 ¸si P1 (x) = x . Rezolvare. In cazul n = 1 relat¸ia de recurent¸˘a devine 2 P2 (x) − 3x P1 (x) + P0 (x) = 0. 7.1.21 Teorem˘ a (Norma polinoamelor Legendre). Avem 2 δnn′ . hPn , Pn′ i = 2n+1 Demonstrat¸ie. Integrˆ and de n ori prin p˘ art¸i obt¸inem R1

1 2 −1 Pn (x) n! 2n [(x

||Pn ||2 = hPn , Pn i =

(−1)n n! 2n

= Deoarece Pn(n) (x) =

R1

(n) 2 −1 Pn (x)(x

− 1)n dx.

(2n)! 1 [(x2 − 1)n ](2n) = n n! 2 n! 2n

avem ||Pn ||2 =

− 1)n ](n) dx

(−1)n (2n)! n! 2n n! 2n

Z

In =

Z

unde

1

−1 1

−1

(x2 − 1)n dx =

(−1)n (2n)! In (n! 2n )2

(x2 − 1)n dx.

Utilizˆand relat¸ia de recurent¸˘ a (obt¸inut˘ a integrˆ and prin p˘ art¸i) In =

R1

−1 (x

= care conduce la

2

− 1)n dx =

1 R1 2n −1 x

In = −

R1

−1 (x

2

− 1)(x2 − 1)n−1 dx

· [(x2 − 1)n ]′ dx − In−1 =

−1 2n In

− In−1

22n+1 (n!)2 2n In−1 = · · · = (−1)n 2n + 1 (2n + 1)!

obt¸inem ||Pn ||2 =

2n+1 (n!)2 (−1)n (2n)! 2 (−1)n (2n)! n2 = . I = (−1) n (n! 2n )2 (n! 2n )2 (2n + 1)! 2n + 1

7.1.22 Se poate ar˘ ata c˘ a ¸sirul de polinoame (r

2n + 1 Pn 2

este o baz˘ a ortonormat˘a ˆın spat¸iul

)

n∈N Hilbert L2 (−1, 1).

260

Complemente de Matematic˘a

7.1.23 MATHEMATICA: Polinoame obtinute prin ortonormalizare In[1]:=Orthogonalize[{1, x, x^2, x^3}, Integrate[#1 #2, {x, -1, 1}] &] n o p p

7→

Out[1]=

√1 , 2

3 x, 23 2

5 2

(− 31 +x2 )

7.1.24 Teorem˘ a. Orice f ∈ L2 (−1, 1) admite dezvoltarea ˆın serie de polinoame Legendre f (x) =

∞ X

αn Pn (x)

(7.3)

n=0

cu coeficient¸ii αn =

2n+1 2

R1

−1 f (x) Pn (x) dx.

Demonstrat¸ie. Din dezvoltarea in serie (7.3) rezult˘ a relat¸ia hPk , f i = care conduce la αk =

2k+1 2

∞ X

n=0

αn hPk , Pn i = αk ||Pk ||2

hPk , f i =

2k+1 2

R1

−1 f (x) Pk (x) dx.

7.1.25 Exercit¸iu. S˘ a se dezvolte ˆın serie de polinoame Legendre funct¸ia f : [−1, 1] −→ R,

f (x) = |x|.

R˘ aspuns (a se vedea [16], pag. 283). |x| =

1 2

P0 (x) −

∞ P

n=1

(−1)n (2n−2)! (4n+1) 22n (n−1)! (n+1)!

P2n (x).

7.1.26 Exercit¸iu. S˘ a se dezvolte ˆın serie de polinoame Legendre funct¸ia √ f : [−1, 1] −→ R, f (x) = 1 − x. R˘ aspuns (a se vedea [16], pag. 283). √ ∞ √ P √ 1 − x = 2 3 2 P0 (x) − 2 2

n=1

1 (2n−1)(2n+3)

Pn (x).

7.1.27 Teorem˘ a (Formula Christoffel-Darboux). n X n+1 (2k+1) Pk (x) Pk (y) = [Pn+1 (x) Pn (y) − Pn (x) Pn+1 (y)]. x−y k=0 Demonstrat¸ie. Inmult¸ind relat¸ia de recurent¸˘a (7.2) cu Pk (y) obt¸inem (k + 1)Pk+1 (x) Pk (y) − (2n + 1)xPk (x) Pk (y) + kPk−1 (x) Pk (y) = 0. Permutˆ and x cu y rezult˘ a

(7.4)

261

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

(k + 1)Pk+1 (y) Pk (x) − (2k + 1)yPk (y) Pk (x) + kPk−1 (y) Pk (x) = 0.

Din diferent¸a ultimelor dou˘ a relat¸ii scris˘a sub forma (k+1) [Pk+1 (x) Pk (y) − Pk+1 (y) Pk (x)] − k [Pk (x) Pk−1 (y) − Pk (y) Pk−1 (x)] = (2k+1)(x−y)Pk (x) Pk (y) rezult˘ a (x − y)

n P

(2k+1) Pk (x) Pk (y) = (n+1) [Pn+1 (x) Pn (y) − Pn+1 (y) Pn (x)]

k=1

−[P1 (x) P0 (y) − P1 (y) P0 (x)].

Deoarece P0 (x) = 1 ¸si P1 (x) = x, ultima relat¸ie se poate scrie sub forma (x − y)

7.2

n X

(2k+1) Pk (x) Pk (y) = (n+1) [Pn+1 (x) Pn (y) − Pn+1 (y) Pn (x)].

k=0

Funct¸ii Legendre asociate

7.2.1 Definit¸ie. Funct¸iile Plm : (−1, 1) −→ R,

m

(m)

Plm (x) = (1 − x2 ) 2 Pl

(x)

unde l ∈ N ¸si m ∈ {0, 1, . . . , l} sunt numite funct¸ii Legendre asociate. 7.2.2 Exercit¸iu. S˘ a se determine P00 , P10 , P11 , P20 , P21 ¸si P22 . Rezolvare. Deoarece P0 (x) = 1, P1 (x) = x ¸si P2 (x) = 32 x2 − 21 avem P20 (x) = 32 x2 − 12 P10 (x) = x P00 (x) = 1 √ √ P11 (x) = 1 − x2 P21 (x) = 3x 1 − x2 P22 (x) = 3(1 − x2 ) 7.2.3 MATHEMATICA: LegendreP[l,m x] In[1]:=LegendreP[0,0,x] In[2]:=LegendreP[1,0,x] In[3]:=LegendreP[1,1,x] In[4]:=LegendreP[2,0,x] In[5]:=LegendreP[2,1,x] In[6]:=LegendreP[2,0,x]

7→ 7→ 7→ 7 → 7→ 7 →

Out[1]=1 Out[2]=x

√ Out[3]=− 1−x2

Out[4]= 12 (−1+3x2 ) √ Out[5]=−3x 1−x2 Out[6]=−3(−1+x2 )

262

Complemente de Matematic˘a

7.2.4 Teorem˘ a Ecuat¸ia (numit˘ a ecuat¸ia funct¸iilor Legendre asociate) # " m2 2 ′′ ′ y=0 (7.5) (1 − x )y − 2xy + λ − 1 − x2 admite ˆın cazul λ = l(l+1) cu l ∈ {m, m+1, . . .} ca solut¸ie funct¸ia Plm . Demonstrat¸ie. Funct¸ia m

y(x) = (1 − x2 ) 2 z(x)

verific˘ a ecuat¸ia (7.5) dac˘ a ¸si numai dac˘ a z este solut¸ie a ecuat¸iei (1 − x2 )z ′′ − 2(m + 1)xz ′ + [l(l + 1) − m(m + 1)]z = 0.

Polinomul Legendre Pl verific˘ a ecuat¸ia

(1 − x2 )Pl′′ − 2xPl′ + l(l + 1)Pl = 0.

Derivˆand aceast˘ a relat¸ie de m ori obt¸inem relat¸ia

(m)

(m) ′

(m) ′′

(1 − x2 )(Pl

) + [l(l + 1) − m(m + 1)]Pl

) − 2(m + 1)x(Pl

= 0.

7.2.5 Utilizˆand formula lui Rodrigues obt¸inem relat¸ia m m 1 (m) Plm (x) = (1 − x2 ) 2 Pl (x) = (1 − x2 ) 2 [(x2 − 1)l ](l+m) l l! 2 care are sens ¸si pentru m ∈ {−l, −l + 1, . . . , −1}. Mai mult, se poate ar˘ ata c˘ a Plm verific˘ a ecuat¸ia # " m2 2 ′′ ′ y=0 (1 − x )y − 2xy + λ − 1 − x2 oricare ar fi l ∈ N ¸si m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l}. 7.2.6 Teorem˘ a (Norma funct¸iilor Legendre asociate). Avem ||Plm ||

=

s

2 (l+m)! 2l+1 (l−m)!

hPlm , Plm ′ i =

¸si

2 (l+m)! δll′ . 2l+1 (l−m)!

oricare ar fi m ∈ N ¸si l, l′ ∈ {m, m+1, m+2, . . .}. Demonstrat¸ie. Derivˆand de m ori ecuat¸ia (1 − x2 ) Pl′′ (x) − 2x Pl′ (x) + l(l + 1) Pl (x) = 0

verificat˘ a de polinomul Legendre Pl obt¸inem relat¸ia (m+2)

(1 − x2 ) Pl

(m+1)

−2x Pl

(m+1)

(x) − 2mx Pl

(m)

(x) − 2m Pl

(m)

(x) − m(m − 1) Pl (m)

(x) + l(l + 1) Pl

(x)

(x) = 0

263

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate care dup˘a ˆınmult¸irea cu (1 − x2 )m se poate scrie sub forma (m+1)

[(1 − x2 )m+1 Pl

(x)]′ = −[l(l + 1) − m(m + 1)] (1 − x2 )m Plm (x).

Pentru m > 0, utilizˆ and integrarea prin p˘ art¸i ¸si relat¸ia precedent˘a obt¸inem hPlm , Plm ′ i =

R1

−1 (1

(m)

− x2 )m Pl (m)

= (1−x2 )m Pl

(m)

(x) Pl′

(x) dx

R1 (m) (m−1) 1 [(1−x2 )m Pl (x)]′ |−1 − −1

(x) Pl′

= (l − m + 1)(l + m)

R1

−1 (1

(m−1)

− x2 )m−1 Pl

(m−1)

(x) Pl′

(m−1)

Pl′

(x) dx

(x) dx

i = (l − m + 1)(l + m)hPlm−1 , Plm−1 ′ i = ··· = (l − m + 1)(l − m + 2)(l + m − 1)(l + m)hPlm−2 , Plm−2 ′ = (l − m + 1)(l − m + 2) . . . (l + m)hPl0 , Pl0′ i =

2 (l+m)! 2l+1 (l−m)!

δll′ .

7.2.7 Se poate ar˘ ata c˘ a oricare ar fi m ∈ N sistemul (s

2n + 1 (l − m)! m P 2 (l + m)! l

)

l∈{m,m+1,...}

este o baz˘ a ortonormat˘a ˆın spat¸iul Hilbert L2 (−1, 1). Utilizˆand schimbarea de variabil˘ a x = cos θ rezult˘ a imediat c˘a sistemul de funct¸ii (s

)

2n + 1 (l − m)! m P (cos θ) 2 (l + m)! l

l∈{m,m+1,...}

este un sistem ortonormat ˆın raport cu produsul scalar hf, gi =

7.3

Z

π

f (θ) g(θ) sin θ dθ.

0

Polinoame Laguerre

7.3.1 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a integrala improprie Z

0

∞

e−t tx−1 dt

este convergent˘ a oricare ar fi x ∈ (0, ∞). Rezolvare. Fie x > 0 ¸si n ∈ N astfel ˆıncˆ at n > x. Deoarece

264

Complemente de Matematic˘a

−t x−1

00

dac˘ a x > −n pentru n ∈ N

se nume¸ste funct¸ia gamma a lui Euler.

265

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

10

5

-3

-2

1

-1

2

3

-5

-10

Figura 7.3: Funct¸ia Γ a lui Euler. 7.3.7 Definit¸ie. Polinoamele Lλ0 , Lλ1 , Lλ2 . . . cu λ > −1 satisf˘acˆand condit¸iile Lλ2n+1 (0) = 0,

Lλ2n (0) =

Γ(n+λ+1) n! Γ(λ+1)

obt¸inute ortogonalizˆ and ¸sirul 1, x, x2 , . . . ˆın raport cu produsul scalar hϕ, ψi =

Z

0

∞

ϕ(x) ψ(x) xλ e−x dx

se numesc polinoame Laguerre. Se utilizeaz˘ a notat¸ia Ln = L0n . 7.3.8 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a Lλn este polinom de gradul n. 7.3.9 Exercit¸iu. S˘ a se determine polinoamele Laguerre Lλ0 , Lλ1 , Lλ2 . R˘ aspuns. Utilizˆand metoda de la pag. 252-4 se obt¸in polinoamele (λ+2)(λ+1) 1 . Lλ0 (x) = 1, Lλ1 (x) = −x+λ+1, Lλ2 (x) = x2 −(λ+2)x+ 2 2 7.3.10 MATHEMATICA: LaguerreL[n, a, x] In[1]:=LaguerreL[0, a, x] 7→ Out[1]=1 In[2]:=LaguerreL[1, a, x] 7→ Out[2]=1+a−x In[3]:=LaguerreL[2, a, x] 7→ Out[3]= 21 (2+3a+a2 −4x−2ax+x2 ) 7.3.11 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a toate r˘ ad˘ acinile polinomului Lλn sunt simple ¸si apart¸in intervalului (0, ∞). Rezolvare. A se vedea pag. 253-7.

266

Complemente de Matematic˘a

10 10 5

5

2

4

6

8

10

-5

2

4

6

8

10

-10 -5 -15

Figura 7.4: Funct¸iile L0 , L1 , L2 , L3 ¸si funct¸ia L10 . 7.3.12 Teorem˘ a (Rodrigues). Polinomul Laguerre Lλn verific˘ a relat¸ia n   1 d Lλn (x) = x−λ ex n xλ+n e−x n! dx oricare ar fi n ∈ N.

(7.6)

Demonstrat¸ie. Este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 253-8. 7.3.13 Relat¸ia (7.6) poate fi utilizat˘ a ca definit¸ie pentru polinoamele Laguerre. 7.3.14 Exercit¸iu. S˘ a se determine Lλ0 , Lλ1 ¸si Lλ2 folosind formula lui Rodrigues. 7.3.15 Propozit¸ie. Oricare ar fi n ∈ N, ecuat¸ia (ecuat¸ia polinoamelor Laguerre) xy ′′ + (λ + 1 − x)y ′ + ny = 0

admite o solut¸ie polinomial˘ a dar nu admite solut¸ii polinomiale liniar independente. Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 254-11. 7.3.16 Propozit¸ie. Solut¸ia polinomial˘ a a ecuat¸iei xy ′′ + (λ + 1 − x)y ′ + ny = 0 care verific˘ a condit¸ia y(0) =

  0 

Γ(m+λ+1) m! Γ(λ+1)

pentru n = 2m + 1 pentru n = 2m

este polinomul Laguerre Lλn . Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 255-12.

267

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.3.17 Oricare ar fi n ∈ N avem

x(Lλn )′′ + (λ + 1 − x)(Lλn )′ + nLλn = 0.

7.3.18 Teorem˘ a (Funct¸ia generatoare). Pentru x ∈ (0, ∞) ¸si t ∈ (−1, 1) avem ∞ X xt 1 − 1−t = Lλn (x) tn . e (1 − t)λ+1 n=0 Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 257-16. 7.3.19 Teorem˘ a. Polinoamele Laguerre verific˘ a relat¸ia de recurent¸a ˘ (n+1)Lλn+1 (x) + (x−λ−2n−1)Lλn (x) + (n+λ)Lλn−1 (x) = 0 oricare ar fi n ≥ 1. Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 258-19. 7.3.20 Teorem˘ a (Norma polinoamelor Laguerre). Avem Γ(n + λ + 1) hLλn , Lλn′ i = δnn′ . n! Demonstrat¸ie. Inmult¸ind dezvolt˘ arile ˆın serie xt

e− 1−t =

1 (1−t)λ+1

∞ P

n=0

obt¸inem relat¸ia

Lλn (x) tn

1 (1−t)2λ+2

2xt

e− 1−t =

tn+m

n=0 m=0

R∞ 0

n=0

xt

e− 1−t =

1 (1−t)2λ+2

=

1 (1−t)2λ+2

1+t 1−t x

||Lλn ||2 t2n =

obt¸inem

1 (1−t2 )λ+1

= Γ(λ+1) = Γ(λ+1) =

P∞

n=0

∞ R 0

∞ P

m=0

Lλm (x) tm

Lλn (x) Lλm (x) tn+m

Lλn (x) Lλm (x) xλ e−x dx =

Utilizˆand substitut¸ia u = ∞ P

∞ P ∞ P

n=0 m=0

din care rezult˘ a ∞ P ∞ P

1 (1−t)λ+1

¸si

∞ R 0 ∞ R

2xt

e− 1−t xλ e−x dx 1+t

e− 1−t x xλ dx.

0

e−u uλ du = Γ(λ+1)(1 − t2 )−λ−1

P∞

n=0

P∞

n=0

(−λ−1)(−λ−2)...(−λ−n) (−t2 )n n! (λ+1)(λ+2)...(λ+n) 2n t n!

Γ(n+λ+1) 2n t . n!

268

Complemente de Matematic˘a

7.3.21 Teorem˘ a. Dac˘ a funct¸ia f : (0, ∞) −→ R este dezvoltabil˘ a ˆın serie de polinoame Laguerre f (x) =

∞ X

Cn Lλn (x)

(7.7)

n=0

atunci Cn =

n! Γ(n+λ+1)

R∞ 0

f (x) Lλn (x) xλ e−x dx.

(7.8)

Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 260-24. 7.3.22 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a −x

e

=

1 2λ+1

∞ X 1

2n n=0

Lλn (x).

Rezolvare. A se vedea [16], pag. 251. 7.3.23 Teorem˘ a (Formula Christoffel-Darboux). n X (n + 1)! Lλn (x) Lλn+1 (y) − Lλn+1 (x) Lλn (y) k! Lλk (x) Lλk (y) = . Γ(k+λ+1) Γ(k+λ+1) x−y k=0 Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 260-27.

7.4

Polinoame Hermite

7.4.1 Definit¸ie. Polinoamele H0 , H1 , H2 . . . satisf˘acˆand condit¸iile (2n)! H2n+1 (0) = 0, H2n (0) = (−1)n n! obt¸inute ortogonalizˆ and ¸sirul 1, x, x2 , . . . ˆın raport cu produsul scalar hϕ, ψi =

Z

∞

−∞

2

ϕ(x) ψ(x) e−x dx

se numesc polinoame Hermite. 7.4.2 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a Hn este polinom de gradul n. 7.4.3 Exercit¸iu. S˘ a se determine polinoamele Hermite H0 , H1 , H2 . R˘ aspuns. Utilizˆand metoda de la pag. 252-4 se obt¸in polinoamele H0 (x) = 1,

H1 (x) = 2x,

H2 (x) = 4x2 − 2.

269

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.4.4 MATHEMATICA: HermiteH[n, x] 7→ 7→ In[3]:=HermiteH[2, x] 7→

In[1]:=HermiteH[0, x]

Out[1]=1

In[2]:=HermiteH[1, x]

Out[2]=2x Out[3]=−2+4x2

200 000 10 150 000 5

100 000

50 000 -2

1

-1

2

-2

-5

1

-1

2

-50 000 -10

Figura 7.5: Funct¸iile H0 , H1 , H2 , H3 ¸si funct¸ia H10 .

7.4.5 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a toate r˘ ad˘ acinile polinomului Hn sunt simple. Rezolvare. A se vedea pag. 253-7. 7.4.6 Teorem˘ a (Rodrigues). Polinomul Hermite Hn verific˘ a relat¸ia n   2 d −x2 Hn (x) = (−1)n ex e dxn oricare ar fi n ∈ N.

(7.9)

Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 253-8. 7.4.7 Relat¸ia (7.9) poate fi utilizat˘ a ca definit¸ie pentru polinoamele Hermite. 7.4.8 Exercit¸iu. S˘ a se determine H0 , H1 ¸si H2 folosind formula lui Rodrigues. 7.4.9 Propozit¸ie. Oricare ar fi n ∈ N, ecuat¸ia (ecuat¸ia polinoamelor Hermite) y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0 admite o solut¸ie polinomial˘ a dar nu admite solut¸ii polinomiale liniar independente. Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 254-11.

270

Complemente de Matematic˘a

7.4.10 Propozit¸ie. Solut¸ia polinomial˘ a a ecuat¸iei y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0 care verific˘ a condit¸ia   0

y(0) =



pentru n = 2m + 1

(−1)m (2m)! m!

pentru n = 2m

este polinomul Hermite Hn . Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 255-12. 7.4.11 Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a verificat˘ a de polinomul Pn Hn′′ − 2xHn′ + 2nHn = 0. se poate scrie sub forma



Din



2

d d − dx Hn = 2n Hn . 2 + 2x dx

2



d d d − dx 2 + 2x dx = − dx +2x 2

d d − dx 2 + 2x dx =

d dx

rezult˘ a relat¸iile 



2

d d − dx 2 + 2x dx 2

d d − dx 2 + 2x dx



d dx Hn







d dx



d +2x −2 − dx

d = 2(n−1) dx Hn







d d +2x Hn = 2(n + 1) − dx +2x Hn − dx

care arat˘ a c˘ a: 

d dx Hn



coincide cu Hn−1 pˆ an˘ a la o constant˘a multiplicativ˘a

d +2x Hn coincide cu Hn+1 pˆ an˘ a la o constant˘a multiplicativ˘a. − dx

7.4.12 Teorem˘ a (Funct¸ia generatoare). Avem 2tx−t2

e

=

∞ X Hn (x)

n=0

n!

tn .

(7.10)

Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 257-16. 7.4.13 Exercit¸iu. S˘ a se determine H0 , H1 ¸si H2 folosind funct¸ia generatoare.

271

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.4.14 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a Hn (−x) = (−1)n Hn (x). Rezolvare. Relat¸ia rezult˘ a din ∞ P

n=0

Hn (x) n 2tx−t2 = e2(−t)(−x)−(−t)2 n! t = e

=

P∞

n=0

Hn (−x) n!

(−t)n .

7.4.15 Teorem˘ a. Polinoamele Hermite verific˘ a relat¸ia de recurent¸a ˘ Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2nHn−1 (x) = 0

oricare ar fi n ≥ 1.

Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 258-19. 7.4.16 Teorem˘ a. Polinoamele Hermite verific˘ a relat¸iile   d d Hn = 2n Hn−1 ¸si − +2x Hn = Hn+1 . dx dx Demonstrat¸ie. Derivˆand (7.10) ˆın raport cu x obt¸inem relat¸ia 2

2te2tx−t =

∞ P

n=0

care se mai poate scrie 2

∞ P

n=0

Hn (x) n+1 n! t

=

′ (x) Hn n n! t .

∞ P

n=0

′ (x) Hn n n! t .

Identificˆ and coeficient¸ii se rezult˘ a prima relat¸ie din teorem˘ a. Inlocuind ˆın relat¸ia de recurent¸˘ a se obt¸ine a doua relat¸ie din enunt¸. 7.4.17 Teorem˘ a (Norma polinoamelor Hermite). Avem √ hHn , Hn′ i = 2n n! π δnn′ . Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 267-20. 7.4.18 Teorem˘ a. Dac˘ a funct¸ia f : R −→ R este dezvoltabil˘ a ˆın serie de polinoame Hermite f (x) = atunci Cn =

∞ X

Cn Hn (x)

n=0 R∞ 1√ n 2 n! π −∞

(7.11) 2

f (x) Hn (x) e−x dx.

Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 260-24.

(7.12)

272

Complemente de Matematic˘a

7.4.19 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a |x| =

a)

√1 π

+

√1 π t2

sin tx = e− 4

b)

∞ P

(−1)n−1 22n n! (2n−1)

n=1 ∞ P (−1)n t2n+1 (2n+1)! 22n+1 n=0

H2n (x)

H2n+1 (x).

Rezolvare. A se vedea [16], pag. 242-243.

7.4.20 Teorem˘ a (Formula Christoffel-Darboux). n X Hn+1 (x) Hn (y) − Hn (x) Hn+1 (y) 1 Hk (x) Hk (y) = . k k! 2 n! 2n+1 (x − y) k=0 Demonstrat¸ie. Este este similar˘a cu demonstrat¸ia prezentat˘a la pag. 260-27.

7.4.21 Polinoamele Hn∗ (x)

n

= (−1) e

x2 2

dn dxn

direct legate de polinoamele Hermite √ √ Hn (x) = 2n Hn∗ (x 2) verific˘ a relat¸iile R∞

2

d ∗ dx Hn

7.5

2

− x2

e



(7.13)

√ 2π δnm

− x2 ∗ ∗ dx = n! −∞ Hn (x) Hm (x) e ′ ′′ ∗ ∗ (Hm ) − x (Hm ) + n Hn∗ = 0 ∞ ∗ (x) P t2 Hn n e2tx− 2 = n! t n=0 ∗ (x) − xH ∗ (x) + nH ∗ (x) Hn+1 n n−1





=0

∗ = n Hn−1



d ∗ . +x Hn∗ = Hn+1 − dx

Polinoame de tip hipergeometric

7.5.1 Polinoamele Legendre, Laguerre ¸si Hermite prezentate ˆın sect¸iunile anterioare reprezint˘ a cele mai simple funct¸ii speciale. Definit¸iile ¸si rezultatele prezentate admit importante generaliz˘ ari. Ele sunt cazuri particulare pentru cele referitoare la polinoamelede de tip hipergeometric ¸si funct¸iile speciale asociate lor.

273

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.5.2 Ecuat¸iile de forma (numite ecuat¸ii de tip hipergeometric) σ(s) y ′′ (s) + τ (s) y ′ (s) + λ y(s) = 0

(7.14)

unde σ(s) 6= 0 este un polinom de grad cel mult 2 ¸si τ (s) un polinom de grad cel mult 1, joac˘a un rol important ˆın mecanica cuantic˘a ¸si fizica matematic˘ a. Funct¸iile care verific˘ a astfel de ecuat¸ii sunt numite funct¸ii de tip hypergeometric [19]. 7.5.3 Propozit¸ie. Derivatele funct¸iilor de tip hipergeometric sunt funct¸ii de tip hipergeometric. Demonstrat¸ie. Derivˆand ecuatia (7.14) obt¸inem relat¸ia σ(s) (y ′ )′′ (s) + σ ′ (s) (y ′ )′ (s) + τ (s) (y ′ )′ (s) + τ ′ (s) y ′ (s) + λy ′ (s) = 0 adic˘ a funct¸ia v1 (s) = y ′ (s) verific˘ a ecuat¸ia de tip hipergeometric σ(s) v1′′ (s) + τ1 (s) v1′ (s) + µ1 v1 (s) = 0

(7.15)

unde τ1 (s) = τ (s) + σ ′ (s)

µ1 = λ + τ ′ (s).

¸si

Derivˆand de n ori ecuatia (7.14) obt¸inem relat¸ia σ(s) (y (n) )′′ (s) + nσ ′ (s) (y (n) )′ (s) + 21 n(n − 1)σ ′′ (s) y (n) (s)

+τ (s) (y (n) )′ (s) + nτ ′ (s) y (n) (s) + τ (s) (y (n) )′ (s) + λy (n) (s) = 0

adic˘ a funct¸ia vn (s) = y (n) (s) verific˘ a ecuat¸ia de tip hipergeometric σ(s) vn′′ (s) + τn (s) vn′ (s) + µn vn (s) = 0 unde τn (s) = τ (s) + nσ ′ (s)

¸si

1 µn = λ + nτ ′ + n(n − 1)σ ′′ . 2

(7.16) (7.17)

7.5.4 Lem˘ a. Dac˘ a µ1 − τ1′ + σ ′′ 6= 0 atunci orice solut¸ie v1 a ecuat¸iei

σ(s) v1′′ (s) + τ1 (s) v1′ (s) + µ1 v1 (s) = 0

este derivata unei solut¸ii y a ecuat¸iei σ(s) y ′′ (s) + τ (s) y ′ (s) + λ y(s) = 0 cu τ (s) = τ1 (s)−σ ′ (s)

λ = µ1 −τ ′ = µ1 −τ1′ +σ ′′ .

¸si

Demonstrat¸ie. Fie v1 o solut¸ie a ecuat¸iei (7.15). Funct¸ia y care verific˘ a condit¸iile σ(s) y ′′ (s) + τ (s) y ′ (s) + λ y(s) = 0

¸si

v1 (s) = y ′ (s)

274

Complemente de Matematic˘a

este

1 1 y(s) = − [σ(s) v1′ (s)+τ (s) v1 (s)] = − [σ(s) v1′ (s)+τ1 (s) v1 (s)−σ ′ (s) v1 (s)]. λ λ Prin calcul direct se obt¸ine c˘ a y astfel definit˘a ˆındepline¸ste condit¸iile cerute.

7.5.5 Din relat¸iile τm (s) = τ (s) + mσ ′ (s)

¸si

1 µm = λ + mτ ′ + m(m − 1)σ ′′ 2

rezult˘ a c˘ a

1 µk = µn − (n − k)τn′ − (n − k)(n − k + 1)σ ′′ 2 oricare ar fi k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1}.

7.5.6 Teorem˘ a. Daca µn ¸si τn sunt astfel ˆıncˆ at µk 6= 0,

oricare ar f

k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1}

(7.18)

atunci orice solut¸ie vn a ecuat¸iei σ(s) vn′′ (s) + τn (s) vn′ (s) + µn vn (s) = 0

(7.19)

este derivata de ordin n a unei solut¸ii y a ecuat¸iei σ(s) y ′′ (s) + τ (s) y ′ (s) + λ y(s) = 0 cu

1 λ = µn −n τ ′ − n(n − 1)σ ′′ . 2 Demonstrat¸ie. Ipoteza permite aplicarea succesiv˘ a de n ori a lemei precedente. τ (s) = τn (s)−n σ ′ (s)

¸si

7.5.7 In cazul µn = 0 ecuat¸ia (7.19) admite solut¸ia vn = const ¸si condit¸ia (7.18) devine 1 τn′ + (n − k + 1) σ ′′ 6= 0, oricare ar fi k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1}. 2 In acest caz, vn = const este derivata de ordin n a unei solut¸ii y a ecuat¸iei σ(s) y ′′ (s) + τ (s) y ′ (s) + λn y(s) = 0 unde

σ ′′ n(n − 1)−n τ ′ 2 adic˘ a acest˘ a ecuat¸ie admite ca solut¸ie un polinom Φn de gradul n λn = −

σ(s) Φ′′n (s) + τ (s) Φ′n (s) + λn Φn (s) = 0

(7.20)

275

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.5.8 Ecuat¸ia (7.14), adic˘ a ecuat¸ia σ(s) y ′′ + τ (s) y ′ + λ y = 0

(7.21)

se poate scrie sub forma auto-adjunct˘ a [σ̺y ′ ]′ + λ̺y = 0 alegˆ and o funct¸ie ̺ astfel ˆıncˆ at (σ̺)′ = τ ̺, adic˘ a astfel ˆıncˆ at σ ′ ̺′ τ + = . σ ̺ σ Din ultima relat¸ie rezult˘ a c˘ a Z s τ (t) dt ln(σ̺) = σ(t) unde

Rs

τ (t) σ(t)

dt este o primitiv˘ a funct¸iei ̺(s) =

τ (t) σ(t) ,

Rs

1 e σ(s)

τ (t) σ(t)

¸si prin urmare putem alege dt

.

(7.22)

7.5.9 Propozit¸ie. Ecuat¸ia σ(s) vn′′ + τn (s) vn′ + µn vn = 0 se poate scrie sub forma auto-adjunct˘ a [σ̺n vn′ ]′ + µn ̺n vn = 0 alegˆ and ̺n (s) = σ n (s) ̺(s). Demonstrat¸ie. Deoarece τn (s) = τ (s)+nσ ′ (s), din (σ̺)′ = τ ̺ ¸si (σ̺n )′ = τn ̺n rezult˘ a ′ ′ (σ̺n ) (σ̺) = + nσ ′ ̺n ̺ adic˘ a relat¸ia σ′ ̺′ ̺′n = +n ̺n ̺ σ n care arat˘ a c˘ a putem alege ̺n (s) = σ (s) ̺(s). 7.5.10 Teorem˘ a (Rodrigues). Polinomul Φn de gradul n care verific˘ a ecuat¸ia σ(s) Φ′′n (s) + τ (s) Φ′n (s) + λn Φn (s) = 0 este (pˆ an˘ a la o constant˘ a multiplicativ˘ a) 1 dn n Φn (s) = [σ (s) ̺(s)]. ̺(s) dsn

276

Complemente de Matematic˘a (k)

Demonstrat¸ie. Relat¸iile ̺k+1 (s) = σ(s) ̺k (s) ¸si vk (s) = Φn (s) ne permit sa scriem egalitatea [σ̺k vk′ ]′ + µk ̺k vk = 0 sub forma unei relat¸ii de recurent¸˘a 1 ̺k vk = − (̺k+1 vk+1 ) µk care aplicat˘ a succesiv conduce la 

̺Φn = − µ10 (̺1 v1 )′ = − µ10 

= − µ10





− µ11 (̺2 v2 )′′ = · · ·









1 − µ11 · · · − µn−1 (̺n vn )(n) .

Deoarece vn (s) = const ¸si ̺n (s) = σ n (s) ̺(s) se obt¸ine pentru Φn relat¸ia din enunt¸. 7.5.11 Ecuat¸ia (7.14) se consider˘a ˆın mod uzual pe un interval (a, b), ales astfel ˆıncˆ at σ(s) > 0 oricare ar fi s ∈ (a, b) ̺(s) > 0 oricare ar fi s ∈ (a, b) lims→a σ(s)̺(s) = lims→b σ(s)̺(s) = 0.

(7.23)

Dac˘a se utilizez˘ a ˆın ecuat¸ia (7.14) o schimbare de variabil˘ a t = cs+d cu c 6= 0 ¸si se noteaz˘ a cu z(t) noua funct¸ie necunoscut˘a aleas˘ a astfel ˆıncˆ at y(s) = z(cs+d) atunci pentru z se obt¸ine ecuat¸ia de tip hipergeometric c2 σ









1 d ′′ d ′ 1 t− t− z (t) + c τ z (t) + λz(t) = 0. c c c c

O schimbare de variabil˘ a s 7→ cs+d permite reducerea cazului ˆın care σ este polinom de gradul zero la σ(s) = 1. Similar, cazurile ˆın care σ este polinom de gradul ˆıntˆai pot fi reduse la σ(s) = s. Cazurile ˆın care σ este polinom de gradul al doilea pot fi reduse la σ(s) = s2+1 (dac˘ a σ nu are r˘ ad˘ acini reale), σ(s) = s2 (dac˘ a σ are o singur˘a r˘ ad˘ acin˘ a 2 real˘ a), σ(s) = 1−s (dac˘ a σ are dou˘ a r˘ ad˘ acini reale ¸si este pozitiv˘a ˆıntre r˘ ad˘ acini), 2 σ(s) = s −1 (dac˘ a σ are dou˘ a r˘ ad˘ acini reale ¸si este negativ˘a ˆıntre r˘ ad˘ acini). P˘ astr˘ am pentru τ forma general˘ a τ (s) = α s + β dar impunem coeficient¸ilor α, β restrict¸iile necesare pentru ca intervalul (a, b) verificˆ and condit¸iile (7.23) s˘ a existe (a se vedea tabelul 7.1). 7.5.12 Aplicat¸ia N −→ R : ℓ 7→ λℓ este strict cresc˘ atoare pe mult¸imea { ℓ∈N | ℓ≤Λ } unde

277

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

σ(s) 1 s 1−s2 s2 −1 s2 s2 +1

τ (s)

̺(s)

(a, b)

αs2 /2+βs

αs+β αs+β αs+β αs+β αs+β αs+β

e sβ−1 eαs (1+s)−(α−β)/2−1 (1−s)−(α+β)/2−1 (s+1)(α−β)/2−1 (s−1)(α+β)/2−1 sα−2 e−β/s (1+s2 )α/2−1 eβ arctan s

(−∞, ∞) (0, ∞) (−1, 1) (1, ∞) (0, ∞) (−∞, ∞)

α, β α 0 α < β < −α −β < α < 0 α < 0, β > 0 α 0 astfel ˆıncˆ at 1 + ε + 2ℓ − 2 = 2ℓ − 1 + ε < −α ¸si prin urmare s1+ε (Φℓ (s))2 σ(s)̺(s) = 0. lim s1+ε |Φℓ (s)|2 ̺(s) = lim s→∞ s→∞ σ(s) R Convergent¸a integralei (16) rezult˘ a din convergent¸a integralei 1∞ s−1−ε ds.

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.6

279

Funct¸ii speciale asociate

7.6.1 Polinoamele Legendre sunt polinoame de tip hipergeometric. Funct¸iile definite cu ajutorul polinoamelor Legendre p m dm 1−s2 Pl (s) Plm (s) = dsm se numesc funct¸ii Legendre asociate. 7.6.2 Definit¸ie. Funct¸iile definite cu ajutorul polinoamelor de tip hipergeometric q m m d ℓ ∈ N, ℓ < Λ Φℓ,m(s) = σ(s) Φℓ (s) unde (7.24) m m ∈ {0, 1, ..., ℓ} ds

se numesc funct¸ii speciale asociate (polinoamelor de tip hipergeometric).

7.6.3 Utilizˆand notat¸ia κ(s) =

q

σ(s)

definit¸ia funct¸iilor speciale asociate se poate scrie sub forma dm Φℓ,m(s) = κm (s) m Φℓ (s). ds Teorem˘ a. Funct¸iile speciale asociate Φℓ,m verific˘ a relat¸ia Hm Φℓ,m = λℓ Φℓ,m unde Hm este operatorul diferent¸ial de tip hipergeometric d2 d Hm = −σ(s) 2 −τ (s) +vm (s) ds ds cu vm (s) definit prin vm (s) =

m(m−2) (σ ′ (s))2 mτ (s) σ ′ (s) 1 + − m(m − 2)σ ′′ (s)−mτ ′ (s). 4 σ(s) 2 σ(s) 2

Demonstrat¸ie. Fie ℓ ∈ N, ℓ < Λ ¸si fie m ∈ {0, 1, ..., ℓ}. Derivˆand de m ori relat¸ia dm a (7.20) obt¸inem ecuat¸ia verificat˘ a de polinoamele ϕℓ,m = ds m Φℓ , adic˘ σ(s)ϕ′′ℓ,m + [τ (s) + mσ ′ (s)]ϕ′ℓ,m + (λℓ − λm )ϕℓ,m = 0. Aceast˘a ecuat¸ie, ˆınmult¸it˘ a cu κm (s) se poate scrie sub forma Hm Φℓ,m = λℓ Φℓ,m .

280

Complemente de Matematic˘a

7.6.4 Ecuat¸ia σ(s)ϕ′′ℓ,m + [τ (s) + mσ ′ (s)]ϕ′ℓ,m + (λℓ − λm )ϕℓ,m = 0. verificat˘ a de polinoamele

(7.25)

dm Φℓ dsm

ϕℓ,m = se poate scrie sub forma auto-adjunct˘ a

[σ(s)̺m (s)ϕ′ℓ,m ]′ + (λℓ − λm )̺m (s)ϕℓ,m = 0 alegˆ and ̺m (s) = σ m (s)̺(s) 7.6.5 Teorem˘ a. Dac˘ a m < Λ atunci sistemul de funct¸ii { Φℓ,m | m ≤ ℓ < Λ} este ortogonal Z

b

a

¸si

Z

b

a

Φℓ,m (s)Φk,m (s)̺(s)ds = 0

|Φℓ,m (s)|2 ̺(s)ds < ∞ f or

f or

ℓ 6= k

m ≤ ℓ < Λ.

(7.26)

Demonstrat¸ie. In cazurile σ(s) = s2 −1, s2 , s2 +1, pentru k < −α−2m avem lim σ(s)̺m (s)sk = lim σ(s)̺m (s)sk = 0.

s→a

s→b

Deoarece equat¸ia (7.25) este de tip hipergeometric, ϕℓ,m este polinom de gradul ℓ−m ¸si ϕk,m este polinom de gradul k − m, din teorema de la pag. 277-13 rezult˘ a c˘a avem Z

b

a

ϕℓ,m (s)ϕk,m (s)̺m (s)ds = 0

pentru ℓ 6= k cu (ℓ − m) + (k − m) < −α − 2m, adic˘ a pentru ℓ + k < −α. Dar m ̺m (s) = σ (s)̺(s) ¸si prin urmare Z

b

a

ϕℓ,m (s)ϕk,m (s)̺m (s)ds =

Z

b

a

Φℓ,m (s)Φk,m(s)̺(s)ds.

In cazurile σ(s) = s2 − 1, s2 , s2 + 1, pentru ε > 0 ales astfel ˆıncˆ at 2Λ + ε < 1 − α obt¸inem relat¸ia 1 + ε + 2(m − 1) + 2(ℓ − m) ≤ 1 + ε + 2Λ − 2 < −α care conduce la  m 2 d lim s1+ε (Φℓ,m (s))2 ̺(s) = lim s1+ε σ m−1 (s) Φ (s) σ(s)̺(s) = 0. ℓ s→∞ s→∞ dsm R Convergent¸a integralei (7.26) rezult˘ a din convergent¸a integralei 1∞ s−1−ε ds .

281

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

7.6.6 Teorem˘ a. Dac˘ a 0 < m < ℓ < Λ atunci Φℓ,m+1 (s)+ ¸si





τ (s) +2(m−1)κ′ (s) Φℓ,m (s)+(λℓ −λm−1 )Φℓ,m−1 (s) = 0 (7.27) κ(s)





τ (s) + 2(ℓ − 1)κ′ (s) Φℓ,ℓ (s) + (λℓ − λℓ−1 )Φℓ,ℓ−1 (s) = 0. κ(s) Demonstrat¸ie. Derivˆand de m − 1 ecuat¸ia (7.20) obt¸inem σ(s)

(7.28)

dm+1 dm−1 dm (m−1)(m−2) ′′ ′ σ (s) Φ (s)+(m−1)σ (s) Φ (s)+ Φℓ (s) ℓ ℓ dsm+1 dsm 2 dsm−1

dm−1 dm−1 dm ′ Φ (s) + (m − 1)τ (s) Φ (s) + λ Φℓ (s) = 0. ℓ ℓ ℓ dsm dsm−1 dsm−1 Inmult¸ind relat¸ia cu κm−1 (s) obt¸inem (7.27) pentru 0 < m < ℓ ¸si (7.28) pentru m = ℓ. +τ (s)

7.6.7 Teorem˘ a. Operatorii diferent¸iali de ordinul ˆıntˆ ai d ′ am = κ(s) ds − mκ (s) d a+ m = −κ(s) ds −

τ (s) κ(s)

− (m − 1)κ′ (s)

sunt operatori de cre¸stere, respectiv coborˆ are pentru funct¸iile Φℓ,m am Φℓ,m =

(

0 pentru ℓ = m Φℓ,m+1 pentru m < ℓ < Λ

a+ m Φℓ,m+1 = (λℓ −λm )Φℓ,m

for 0 ≤ m < ℓ < Λ

(7.29)

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi ℓ ∈ N, ℓ < Λ ¸si m ∈ {0, 1, ..., ℓ−1}, derivˆand (7.24) obt¸inem d dm dm+1 Φℓ,m (s) = mκm−1 (s)κ′ (s) m Φℓ + κm (s) m+1 Φℓ (s) ds ds ds adic˘ a relat¸ia κ′ (s) 1 d Φℓ,m(s) = m Φℓ,m(s) + Φℓ,m+1 (s) ds κ(s) κ(s) care se mai poate scrie sub forma   d ′ (7.30) κ(s) − mκ (s) Φℓ,m(s) = Φℓ,m+1 (s). ds Dac˘a m ∈ {1, 2, ..., ℓ − 1} atunci ˆınlocuind (7.30) ˆın (7.27) obt¸inem   d τ (s) ′ κ(s) + + (m − 2)κ (s) Φℓ,m (s) + (λℓ − λm−1 )Φℓ,m−1 (s) = 0 ds κ(s) adic˘ a,   τ (s) d ′ − (m − 1)κ (s) Φℓ,m+1 (s) = (λℓ − λm )Φℓ,m (s) −κ(s) − ds κ(s) oricare ar fi m ∈ {0, 1, ..., ℓ−2}. Din (7.28) rezult˘ a c˘a relat¸ia are loc ¸si pentru m = ℓ−1.

282

Complemente de Matematic˘a

7.6.8 Teorem˘ a. Φℓ,m (s) =

  κℓ (s) 

a+ a+ a+ ℓ−1 m+1 ℓ m ... λℓ −λm λℓ −λm+1 λℓ −λℓ−1 κ (s)

pentru

m=ℓ

pentru

0 < m < ℓ < Λ.

(7.31)

Demonstrat¸ie. Consecint¸˘ a direct˘ a a relat¸iei (7.29). 7.6.9 Teorem˘ a. H m − λm = a+ m am Hm+1 −λm = am a+ m

+ H m a+ m = am Hm+1 am Hm = Hm+1 am

(7.32)

Demonstrat¸ie. Verificare direct˘ a. 7.6.10 Teorem˘ a. ||Φℓ,m+1 || =

p

λℓ − λm ||Φℓ,m || m

pentru 0 ≤ m < ℓ < Λ .

m+1

d d Demonstrat¸ie. Deoarece σ m (s) ds m Φℓ (s) dsm+1 Φk (s) este polinom de gradul ℓ+k−1

ham Φℓ,m , Φk,m+1 i = =

Z

b

a

[κ(s) Φ′ℓ,m (s) − mκ′ (s) Φℓ,m (s)] Φk,m+1 (s)̺(s)ds

κ(s)Φℓ,m (s) Φk,m+1 (s)̺(s)|ba

−

Z

b

a

Φℓ,m(s) [κ(s) Φ′k,m+1 (s) ̺(s)

+κ(s) Φk,m+1 (s) ̺′ (s) + (m + 1)κ′ (s) Φk,m+1 (s) ̺(s)]ds b Z

dm dm+1 = σ(s) ̺(s) σ (s) m Φl (s) m+1 Φk (s) + ds ds a m

b

a

Φl,m (s)(a+ m Φk,m+1 )(s) ̺(s)ds

= hΦl,m , a+ m Φk,m+1 i

¸si prin urmare ||Φl,m+1 ||2 = hΦl,m+1 , Φl,m+1 i = ham Φl,m , Φl,m+1 i 2 = hΦl,m, a+ m Φl,m+1 i = (λl − λm )||Φl,m || .

7.6.11 Teorem˘ a. Dac˘ a exist˘ a k ˆıncˆ at ̺(s) = σ k (s) atunci pentru orice δ operatorii δ δ + a ˜+ a ˜ m = am + m = am + 2m + 2k + 1 2m + 2k + 1 satisfac pentru m < Λ−1 cu 2m+2k+1 6= 0 relat¸iile ˜m ˜m − λ ˜m = H ˜ m+1 a ˜m = H a ˜m H a ˜+ ˜m ma (7.33) ˜m ˜ m+1 ˜ m+1 − λ ˜ma ˜+ H H ˜+ = a a ˜m a ˜+ = H m

m

m

283

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

σ(s) s 1 − s2 s2 − 1 s2 s2 + 1

τ (s) β αs αs αs αs

̺(s) sβ−1 (1 − s2 )−α/2−1 (s2 − 1)α/2−1 sα/2−1 (s2 + 1)α/2−1

k β−1 − α2 − 1 α 2 −1 α 2 −1 α 2 −1

(a, b) (0, ∞) (−1, 1) (1, ∞) (0, ∞) (−∞, ∞)

Tabelul 7.2: Cazurile ˆın care ̺(s) = σ k (s)

unde

˜ m = Hm − δ dκ H ds

˜ m = λm − λ

δ2 . (2m + 2k + 1)2

¸inem si am a+ Demonstrat¸ie. Deoarece a+ m = Hm+1 − λm obt m am = H m − λm ¸ ′ 2 (a+ m + ε)(am + ε) = Hm − λm − ε(2m + 2k + 1)κ (s) + ε

′ 2 (am + ε)(a+ m + ε) = Hm+1 − λm − ε(2m + 2k + 1)κ (s) + ε

pentru orice constant˘ a ε. Alegˆand ε = δ/(2m + 2k + 1) obt¸inem (7.33) ˜ ˜ m )˜ ˜ ˜ ma ˜+ am a ˜+ ˜+ ˜m + λ a+ a+ H ˜+ m Hm+1 m + λm ) = a m (˜ m =a ma m = (˜

˜ m ) = (˜ ˜ am = H ˜m = a ˜ m+1 a a ˜m H ˜m (˜ a+ ˜m + λ am a ˜+ ˜m . ma m + λm )˜ ˜ ℓ,ℓ verific˘ ˜ ℓ,ℓ = 0 atunci 7.6.12 Teorem˘ a. Dac˘ a 0 ≤ m ≤ ℓ < Λ ¸si dac˘ aΦ a relat¸ia a ˜ℓ Φ + + + a ˜ℓ−2 a ˜ℓ−1 a ˜m+1 ˜+ m ˜ ℓ,m = a ˜ Φ ... Φ (7.34) ˜ℓ − λ ˜m λ ˜ℓ − λ ˜ m+1 ˜ℓ − λ ˜ ℓ−2 λ ˜ℓ − λ ˜ ℓ−1 ℓ,ℓ λ λ ˜m este funct¸ie proprie a operatorului H ˜ℓΦ ˜ mΦ ˜ ℓ,m = λ ˜ ℓ,m H

¸si ˜ ℓ,m = a ˜m Φ ˜ a ˜+ m Φℓ,m+1

(

0 dac˘ a m=ℓ ˜ ℓ,m+1 dac˘ Φ a m 0, ̺(t) > 0, oricare ar fi t ∈ (a, b). De aceea, −∞ < −

Z

b

a

m

σ (t) ̺(t) dt ≤

Z

s

s0

Z

m

σ (t) ̺(t) dt ≤

b

a

σ m (t) ̺(t) dt < ∞

pentru orice s, s0 ∈ (a, b) ¸si prin urmare mult¸imea valorilor lui γ pentru care ψγ nu are puncte singulare ˆın (a, b) este nevid˘a. 7.6.16 Am obt¸inut factorizarea [6] Hm+1 − λm = bm b+ m unde bm = κ(s)





(7.37) 

d ds

+ ϕγ (s)



(7.38)

d b+ m = κ(s) − ds + ψγ (s)

¸si

τ (s) ψγ (s) = − σ(s) −

m−1 σ′ (s) 2 σ(s)

′

σ (s) ϕγ (s) = − m 2 σ(s) +

= b+ m bm + λm 

m (s) ̺(s)

γ+

R σs

s0

σm (t) ̺(t) dt

m (s) ̺(s)

γ+

7.6.17 Operatorii Hm,γ

+

R σs

s0

σm (t) ̺(t) dt





d +ψγ (s) κ(s) = κ(s) − ds



d ds +ϕγ (s)

+ λm

cu γ astfel ˆıncˆ at ψγ nu are puncte singulare ˆın (a, b), au forma d2 d Hm,γ = −σ(s) 2 − τ (s) + vm,γ (s) ds ds ¸si pot fi privit¸i ca parteneri supersimetrici ai operatorului Hm+1 . ¸ii proprii ale operatorului Hm,γ . Avem 7.6.18 Funct¸iile b+ m Φℓ,m+1 sunt funct

+ + + + Hm,γ (b+ m Φℓ,m+1 ) = (bm bm + λm )bm Φℓ,m+1 = bm Hm+1 Φℓ,m+1 = λℓ (bm Φℓ,m+1 ).

7.6.19 Exemplu. In cazul σ(s) = 1, τ (s) = αs+β (a se vedea Tabelul 7.1), operatorul d2 d Hm+1 = − 2 − (αs + β) − αm ds ds admite partenerii supersimetrici     d d +ϕγ (s) − αm Hm,γ = − +ψγ (s) ds ds

286

Complemente de Matematic˘a

unde

s2

ψγ (s) = −(αs + β) + ¸si

γ+ s2

Rs 0

t2

eα 2 +βt dt

eα 2 +βs

ϕγ (s) =

7.7

eα 2 +βs

γ+

Rs 0

t2

eα 2 +βt dt

.

Ecuat¸ii Schr¨ odinger rezolvabile explicit

7.7.1 Oscilatorul armonic liniar. Funct¸iile ¸si valorile proprii ale operatorului 1 d2 1 H=− + x2 2 2 dx 2 pot fi determinate cu ajutorul operatorilor de cre¸stere ¸si coborˆ are a=

√1 2

a∗ =



√1 2

care verific˘ a relat¸iile

d dx





2

+x = 

x √1 e− 2 d dx 2

d − dx + x = − √12 e

a∗ a = H −

1 2

x2 2

e

x2 2 2

d − x2 dx e

aa∗ = H +

1 2

Ha∗ = a∗ (H + 1) Ha = a(H − 1). 2 Dac˘a ψ ∈ L (R) este o funct¸ie proprie a operatorului H corespunz˘atoare valorii λ Hψ = λψ atunci λ=

hψ,Hψi hψ,ψi

=

hψ,a∗ aψi hψ,ψi

+

1 2

=

haψ,aψi hψ,ψi

+

1 2

≥ 12 .

In cazul ˆın care sunt ne-nule ¸si apart¸in spat¸iului L2 (R), funct¸iile a∗ ψ ¸si aψ sunt funct¸ii proprii corespunz˘ atoare valorilor proprii λ + 1 ¸si λ − 1, respectiv H (a∗ ψ) = a∗ (H + 1)ψ = (λ + 1) a∗ ψ H (aψ) = a(H − 1)ψ = (λ − 1) aψ. Funct¸ia normat˘a 1 − x2 e 2 ψ0 (x) = √ 4 π cu proprietatea

287

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate



aψ0 = √ 1√

2 π

d dx



+ x e−

x2 2

=0

este funct¸ie proprie a operatorului H corespunz˘atoare valorii proprii minime λ0 =   1 1 ∗ Hψ0 = a a + ψ0 = ψ0 . 2 2 Funct¸iile ψ1 = a∗ ψ0 ,

ψ2 = (a∗ )2 ψ0 ,

1 2

ψ3 = (a∗ )3 ψ0 , ...

sunt funct¸ii proprii ale lui H corespunz˘atoare valorilor proprii 1+ 12 , 2+ 12 , 3+ 12 , ... Utilizˆand rezultatele de la pag. 272-21 obt¸inem 1 √ 2n π

ψn (x) = (a∗ )n ψ0 = √



d − dx +x

1 n √ (−1) 2n π

=√

1 √ 2n π

=√ =√

1

e

x2 2

Hn∗ (x) e−

√ 22n π

Hn



√x 2

n

e−

dn dxn

x2 2

e−

x2 2

e−

x2 2

x2 2



e−

x2 2

Deoarece {ψ0 , ψ1 , ψ2 , ...} este baz˘ a ˆın L2 (R), valorile proprii 1+ 12 , 2+ 21 , 3+ 12 , ... sunt singurele valori proprii ale lui H. 7.7.2 Pe parcursul acestei sect¸iuni vom ar˘ ata c˘a ecuat¸iile Schr¨ odinger rezolvabile explicit cu ajutorul polinoamelor ortogonale ¸si a funct¸iilor speciale asociate pot fi analizate utilizˆ and metoda operatorial˘ a prezentat˘a, numit˘ a metoda factoriz˘ arii. 7.7.3 Dac˘a funct¸ia bijectiv˘ a derivabil˘ a (a′ , b′ ) −→ (a, b) : x 7→ s(x) este astfel ˆıncˆ at ds/dx = ±κ(s(x))

atunci

[κ(s)̺(s)]1/2 Hm [κ(s)̺(s)]−1/2 |s=s(x) = −

d2 + Vm (x) dx2

este un operator de tip Schr¨ odinger ¸si funct¸iile Ψℓ,m : (a′ , b′ ) −→ R,

Ψℓ,m (x) =

q

κ(s(x)) ̺(s(x)) Φℓ,m(s(x))

cu m ≤ ℓ < Λ sunt funct¸ii proprii # " d2 − 2 +Vm (x) Ψℓ,m = λℓ Ψℓ,m dx de p˘ atrat integrabil

288

Complemente de Matematic˘a

R b′ a′

|Ψℓ,m (x)|2 dx = =

ortogonale R b′ a′

Ψℓ,m (x)Ψk,m (x) dx = .. . λ3

Rb a

Ψ2,0

λ2

λ1

Ψ1,0

λ0

Ψ0,0

A0 + ✛ A0

A0

a′

Rb a

d |Φℓ,m (s(x))|2 ̺(s(x)) dx s(x) dx

|Φℓ,m(s)|2 ̺(s) ds < ∞

Φℓ,m (s)Φk,m(s)̺(s) ds = 0

.. . + ✛ A0 ✲ Ψ3,0 A0 + ✛ A0

R b′

.. . + ✛ A1 ✲ Ψ3,1 A1

✲ Ψ2,1

+ ✛ A1

A1

pentru ℓ 6= k .

.. . + ✛ A2 ✲ Ψ3,2 A2

.. . Ψ3,3

✲ Ψ2,2

✲ Ψ1,1

Figura 7.6: Funct¸iile Ψℓ,m sunt legate prin operatorii Am , A+ m. 7.7.4 Relat¸iile (9) conduc ˆın cazul operatorilor de tip Schr¨ odinger la factoriz˘arile 

2





d d + − dx 2 + Vm (x)−λm = Am Am = ∓ dx +Wm (x)

d ± dx +Wm (x)

d d + +Wm (x) ± dx − dx 2 +Vm+1 (x)−λm = Am Am =

d ∓ dx +Wm (x)





2

unde



d + Wm (x) Am = [κ(s)̺(s)]1/2 am [κ(s)̺(s)]−1/2 |s=s(x) = ± dx

d 1/2 a+ [κ(s)̺(s)]−1/2 | A+ s=s(x) = ∓ dx + Wm (x) m m = [κ(s)̺(s)]

¸si Wm este superpotent¸ialul   ˙ m,m (x) Ψ 1 dκ τ (s(x)) − m− (s(x)) = ∓ . Wm (x) = − 2κ(s(x)) 2 ds Ψm,m (x) Din (7.29) rezult˘ a (a se vedea Figura 7.6) Am Ψℓ,m =

(

0 pentru ℓ = m Ψℓ,m+1 pentru m < ℓ < Λ

A+ m Ψℓ,m+1 = (λℓ −λm )Ψℓ,m

pentru 0 ≤ m < ℓ < Λ.

(7.39)

289

Polinoame ortogonale ¸si funct¸ii speciale asociate

O consecint¸˘ a direct˘ a a formulei (7.31) este relat¸ia Ψℓ,m (x) =

 p  κ(s(x)) ̺(s(x)) κℓ (s(x)) 

A+ A+ A+ ℓ−1 m+1 m ... λℓ −λm λℓ −λm+1 λℓ −λℓ−1 Ψℓ,ℓ (s)

pentru

m=ℓ

pentru

0