Codex constantonopolitanus palatii veteris no. 1 [2] [PDF]

Zitiervorschau

JANUS R EVU E I N T E R N A T I O N A L E DE L ’ H I S T O I R E DES S C I E N C E S , DE L A ME DEC IN E, DE LA P H A R M A C I E ET DE L A TEC HNIQU E REDACTION: E. M. BRU IN S, R. J . FO RBES, G. A. LINDEBOOM, B. A. VAN PROO SDIJ, D. A. WITTOP KONING

SUPPLEMENTS VOLUME II

CODEX CONSTANTINOPOLITANUS P alatii Veteris No. 1 EDITED BY

E. M. BRU IN S PART TWO

GREEK TEXT

LEIDEN

E. J. BRILL 1964

CODEX CONSTANTINOPOLITANUS PALATII VETERIS NO. I

EDITED BY

E. M. BRU IN S

PART TWO

GREEK TEXT

LEIDEN

E. J. BRILL 1964

This book was printed with fin a n cia l support o f the N etherlands Organization fo r the A dvancement o f P ure R esearch (Z.W.O.)

C opyright 1964 by E. f . Brill, Leiden, N etherlands. All rights reserved. No part o f this book m ay be reproduced or trans­ lated in an y form , by print, photoprint, m icrofilm or an y other m eans without written perm ission fro m the publisher.

PRINTED IN THE NETHERLANDS

CONTENTS In tro d u c tio n .............................................................................................. νπ Εύκλείδου γ εω μ ετρ ία ................................................................................ 1 ............................ ·. 2 "Ηρωνος στερεομετρικά A ....................................................................... 12 Διοφάντους..................................................................................................... 19 Μέθοδος των π ο λ υ γ ώ νω ν......................................................................... 21 Στερεό μετρικά A ....................................................................................... 25 Μέθοδος καθολική επί των πολυγώνων............................................... 26 Στερεομετρικά A ....................................................................................... 29 "Ηρωνος ε ίσ α γ ω γ α ί.................................................................................. 33 Γ εω μ ετρ ικά............................................... 37 Στερεομετρικά A ....................................................................................... 48 Στερεομετρικά Β ....................................................................................... 54 Στερεομετρικά Γ ....................................................................................... 63 Μέτρησις π υ ρ α μ ίδ ω ν ................................................................................ 69 Εύκλείδου εύθυμετρικά................................................................................ 77 "Ηρωνος γ εω μ ε τρ ικ ά ................................................................................ 80 Διδύμου περί παντοίων ξύλων της μετρήσεω ς................................. 82 "Ηρωνος μετρικών A ................................................................................. 87 "Ηρωνος μετρικών Β ................................................................................ 113 "Ηρωνος μετρικών Γ .......................................................................................128 A ppendix........................................................................................................ 142 C o n co rd an ce.....................................................................................................150

r

Ε ΥΚ ΛΕ ΙΔΟ Υ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ fol. 3Γ

Ή γεωμετρία αύτή καθ’ έαυτήν εί κρίνοιτο, εις ούδέν άν νομισθείη συντελείν τω βίω. δν τρόπον και τά τεκτονικά [καί], ε ί τύ χ ο ι, όργανα αύτά καθ' έαυτά σκοπούμενα άχρηστ(’ άν) δόξειεν είναι, τήν δέ δι’ αύτών γινομένην σκοπών χρήσιν ού μικράν ούδέ τήν τυχουσαν εύρήσεις, τόναύτόν τρόπον καί γεωμετρία των μέν δι' αύτης περαιουμένων γυμνωθείσα μάταιος εύρίσκεται, εις δέ τήν προς άστρονομίαν εύεργεσίαν αύτης άφορώντες ύπερθαυμάζομεν τό πράγμα* οίον γάρ ομμα της άστρονομίας τυγχάνει, έπεί γάρ ή άστρονομία περί μεγεθών τε καί άριθμών καί άναλογιών διαλαμβάνει* τό τε γάρ μέγεθος ήλιου καί σελήνης πολυπραγμονεί καί τήν τών άστρων ποσότητα καί τήν προς άλληλα τούτων άναλογίαν* έν δέ τοίς έπιπέδοις περί δύο διαστάσεων ήμάς διδάσκει, πλάτους τε καί μήκους, ών μή γνωσθεισών ούκ άν ποτέ συσταίη τά στερεά, άτινα έκ τριών διαστάσεων τυγχάν(ει ό)ντα, πλάτους τε καί μήκους καί βάθους, γνώσιν ήμϊν πορί(ζουσα) του μεγέθους τά μέγιστα συντελεί προς άστρο­ νομίαν * έ'τι μήν καί ή άπό του άριθμοΰ γνώσις ή έν τω έβδομο) καί όγδόω καί ένάτω είρημένη. "Αλλως.

Τάς άρχάς της γεωμετρίας, όθεν τυγχάνουσιν, έστιν έκ φιλοσοφίας δείξαι. ινα μή έξαγών(ι)οι γενώμεθα, εύλογον έστι τον όρον αύτης είπείν. έστιν ούν ή γεωμετρία έπιστήμη σχημάτων καί μεγεθών καί τών περί ταυτα παθών, ό δέ σκοπός αύτης περί τούτων διαλαμβάνει, ό δέ τρόπος της διδασκαλίας έστί συνθετικός * άρξάμενος γάρ άπό σημείου άδιαστάτου δντος διά μέσης γραμμής καί έπιφανείας καταντά επί τό στερεόν, τό δέ χρήσιμον αύτης άντικρυς εις φιλοσοφίαν συντελεί * τούτο γάρ καί τω θείω fol. 3ν Πλάτωνί δοκεί ||, ένθα φησί* ταΰτα τά μαθήματα είτε χαλεπά είτε ράδια, ταύτη ίτέον. έπιγέγραπται δέ στοιχεία, διότι ό μή διά τούτων πρότερον άχθείς ούχ οίός τέ έστι συνιέναι τι τών γεωμετρικών θεωρη­ μάτων. ή δέ γεωμετρία έξ άφαιρέσεως τήν διδασκαλίαν έποιήσατο* λαβοΰσα γάρ φυσικόν σώμα, ό έστι τριχ(ή) διαστατόν μετά άντιτυπίας,

INTRODUCTION In Part II we give the unabridged main text, restoring the abbre­ viations used by the copyist. As in Part I the reproductions of the Codex are at disposal the correction of errors made by the copyist, the filling out of gaps and the restoration of omissions are simply indicated by the use of different characters. The scholia are not transcribed here as they are placed in relation to the problems to which they belong and discussed in the comments. As both in the main text and in the scholia often references are given to Euclids Elements the important theorems quoted in the Codex from Euclid are given in an Appendix.

We used the following indications spacing

( ) [ ] [·] ]l |[ < > < || β'

>

correction of evident errors. corrections. not to be read sic! dittography. necessary addition to the text. restoration of omissions, partly indicated by the scholiasts. end of page. sign for τά δύο μέρη, %.

4

GEOMETRICA

FOL. 5 r

Τραπεζ(ίων) δέ είσιν τέσσαρα [ούτως·], τραπέζιον ορθογώνιον, τρα­ πέζιον ισοσκελές, τραπέζιον οξυγώνιον, τραπέζιον άμβλυγώνιον. Κύκλων δέ Θεωρήματα δ [ούτως*], κύκλος, άψίς) ήμικυκλίου τμήμα μεΐζον, ήμικυκλίου τμήμα ήττον. Καί ταυτα μέν τά είδη έστί καί τα θεωρήματα < τ ά > επίπεδα" 5r επί δέ των στερεών προστιθεμένου || έκάστη μετρήσει καί του πάχους < έξαίρετα> [στερεά] θεωρήματα είσι των στερεών δέκα, ά επ ’ αύτών μόνον δείκνυται, ούτως' σφαίρα, κύλινδρος, κώνος, κώνος κόλουρος, < κύβος > , σφήν, μείουρος, πυραμίς επί τριγώνου, πυραμίς κόλουρος, θέατρον. Είσί δέ καί όροι τής μετρήσεως έστηριγμένοι οίδε ■ Παντός τριγώνου αί δύο πλευραί τής λοιπής μείζονές είσι πάντη μεταπαρηλλαγμέναι, καί παντός τριγώνου < ορθογωνίου > τ ά ά π ό ( τ ώ ν ) περί τήν ορθήν γωνίαν δύο πλευρ ώ ν τετράγωνα ’ίσα έστίν τώ άπό τής ύποτεινούσης τετραγών(ω), καί παντός κύκλου ή περίμετρος τής διαμέτρου τριπλασίων έστί καί τώ ζ' μείζων, καί ένδεκα τετράγωνα άπό τής διαμέτρου του κύκλου ίσα έστίν έμβαδοΐς δεκατέτρασι κύκλ(ων). Τά δέ μέτρα έξεύρηται άπό τών άνθρωπίνων μελών* δακτύλου, πα­ λαιστής, σπιθαμής, (λ)ιχάδος, ποδός, πήχ(εως), βήματος, όργυιας. Καί έστιν < ή > όργυιά δακτύλων 9 τό δέ βήμα δακτύλων μ, ό δέ πήχυς δακτύλ(ων) κδ, λαμβανομένων πρός πόδα καί ίούγερον τήν μέτρησιν τών θεωρημάτων έποιησάμεθα.

FOL. 5

5Τ

GEOMETRICA

5

Καί||τό μέν ίούγερόν έστιν έμβαδών ποδών β,ηω * έχει γάρ μήκος ποδών σμ, πλάτος ποδών ρκ* διαιρείται δέ εις ούγκιας ιβ, ώς είναι έκάστην ούγκίαν ποδών ,βυ. καί αύτή δέ ή ούγκία διαιρείται εις σκρίπουλα ήτοι γράμματα κδ, ώς είναι έκαστον σκρίπουλον ποδών ρ. Καί έν τοϊς στερεοΐς χωρίοις ό στερεός πούς χωρεϊ μοδίους ’Ιταλικούς γ· μό ξεστών ιζ. Καί έστι< ν ή > μέτρησις τών θεωρημάτων κατά τά ύποτεταγμένα Ήρωνος* Είδη δέ τής μετρήσεώς έστι τά ύποτεταγμένα ούτως* δάκτυλος, πα­ λαιστής, (λ)ιχάς, σπιθαμή, πούς, πήχυς ψιλός, δ(ς) καλείται πυγών, πήχυς, βήμα, ξύλον, όργυιά, κάλαμος, άκ(αι)να, άμμα, πλέθρον, ίούγερον, στάδιον, μίλιον, δίαυλος, δόλιχος, σχοΐνος, παρασάγγης* Ό μέν ούν παλαιστής έχει δακτύλους δ* ή (λ)ιχάς έχει παλαιστάς β, δακτύλους η * ή σπιθαμή έχει παλαιστάς γ, δακτύλους ιβ, καλείται δέ καί ξυλοπριστικός πήχυς. *0 μέν ούν πούς έχει βασιλικούς καί Φιλεταιρείους παλαιστάς δ, δακτύλους ις, 6 δέ ’Ιταλικός πούς έχει δακτύλους ιγ γ ' * ή πυγών έχει παλαιστάς ε, δακτύλους κ* ό πήχυς έχει παλαιστάς ζ, δακτύλους κδ, ό δέ Νειλώος πήχυς έχει παλαιστάς ζ, δακτύλους κη, ό δέ Στοικός πήχυς έχει παλαιστάς η, δακτύλους λβ. τό δέ βήμα έχει πήχεις α β', παλαιστάς ι, δακτύλους μ, πόδας β τό δέ ξύλον έχει πόδας δ πήχεις γ, παλαιστάς ιη, δακτύλους οβ. Ή όργυιά έχει (πήχεις) δ, παλαιστάς κδ, πόδας Φιλεταιρείους < μ έν> ς, ’Ιταλικούς δέ πόδας ζ ε'. Ό κάλαμος έχει (πήχεις) ε, πόδας Φιλεταιρείους μέν ζ , 'Ιταλικούς δέ πόδας θ. Ή άκαινα έχει < πήχεις (ς β') πόδας Φιλεταιρείους μέν (t), 'Ιταλικούς δέ πόδας (ιβ ).> πήχεις μ, πόδας Φιλεταιρείους μέν ξ, ’Ιταλικούς δέ πόδας οβ. * Τό πλέθρον έχει άκ(αί)νας ι, πήχεις ξ? β’, πόδας Φιλεταιρείους μέν ρ, ’Ιταλικούς δέ < πόδας > ρκ.

FOL. 4 r

GEOMETRICA

2

καί χωρίσασα τούτου την άντιτυπίαν έποιήσατο τό μαθηματικόν σώμα, ο έστι στερεόν, καί άφαιρουσα κατήντησεν επί τό σημειον. σημειον τοΐς ούθέν κεϊται άπλατές γωνία ήτις δίχμ υποτείνουσα ήμικύκλιον έύθύγραμμος όρθή κ αλείτα ι όξεία τινός κέντρον (περι)φέρεια αριθμοί 4Γ

r «τ* 0 •t ΑΛ* r*

Σημεία γεωμετρίας έξ ίσου ΙΜ μέρος ft έαυτής **f ν­ μήκος α επίπεδος εύθεία £

M N ♦l

O V· u

1 In ·»

W ·

9| 9

s

κλίσει τμήμα έστω σταθείσα έκατέρα αμβλεία έλασσον όρθής κύκλος διάμετρος αριθμός αριθμών

Ή

JJL

Τ'

Ύ

£

C -

k 1' 'ο S* Ό0

έστιν έπί γραμμής έπιφάνεια πέρατα άπτομένης άλλήλοις τέμνει περισσεύουσαι εφεξής κάθ (έτος) μείζων έλάττων σχήμα προσπίπτουσα ήγμένη άριθμοϋ

Λ

e

£

C 3 ·

ίγ

€-

η

°λ .

"7r 4 -1-

^* (J

'χ C • Η*

S

5

Ή επίπεδος γεωμετρία συνέστηκεν έκ τε κλιμάτων καί σκοπέλων καί γραμμών καί γωνιών, επιδέχεται δέ γένη καί είδη καί θεωρήματα. Κλίματα μέν ούν έστι δ [ούτως]' άνατολή, δύσις, άρκτος, μεσημβρία. Σκόπελος δέ έστι παν τό λαμβανόμενον σημειον. Γραμμαί δέ είσι δέκα* [ούτως*] εύθεΐα, παράλληλος, βάσις, κορυφή, σκέλη, διαγώνιος, κάθετος ή καί προς όρθάς καλουμένη, υποτείνουσα, περίμετρος, διάμετρος. α' Ευθεία μέν ουν έστι γραμμή ή κατ’ εύθεΐαν τείνουσα, ής πέρατα σημεία. β' Παράλληλος δέ έτέρα εύθεία προσπαρακειμένη τη εύθεΐα έχουσα τά έν τοΐς άκροις διαστήματα προς όρθάς γωνίας άλλήλ(ο)ις ίσα. γ' Βάσις δέ εύθεία[ς] γραμμή τεθεΐσα έπιδε έτέραν εύθεΐαν, έάν τε ή αύτη κατά κορυφήν τεθειμέν(η) ή καί προς όρθάς ή κατα περίμετρον. δ' Κορυφή δέ ή έπί τη βάσει έπιτιθεμένη εύθεία.

FOL. 4

GEOMETRICA

3

z Σκέλη δέ αί άπό των άκρων της κορυφής επί τά άκρα της βάσεως καθιέμεναι εύθεΐαι. ς Διαγώνιος δέ ή έν τοΐς τετραγώνοις καί τοΐς τοιούτοις άπό γωνίας έ(πί) γωνίαν άγομένη εύθεΐα. ζ' Κάθετος δέ ή καί προς όρθάς καλουμένη άπο της κορυφής έπί την βάσιν καθιεμένη εύθεΐα, έχουσα τάς περί αύτήν δύο γωνίας άλλήλαις ΐσας. η' 'Υποτείνουσα δέ ή υπό την ορθήν γωνίαν τείνουσα εύθεΐα. θ' Περίμετρος δέ ή έκ κέντρου δοθέντος καί διαστήματος περιφερομένη γραμμή, έχουσα τάς άπό του κέντρου έπ’ αύτην άγομένας εύθείας ΐσας. ι' Διάμετρος δέ εύθεΐα τέμνουσα διά τού κέντρου την περίμετρον είς δύο τμήματα. || 4ν Γωνίαι δέ είσι τρεις* [ούτως*] ορθή, οξεία, άμβλεΐα. 'Ορθή μέν ούν έστιν, δταν εύθεΐα έπ’ εύθεΐαν σταθεΐσα τάς εφεξής γωνίας ΐσας άλλήλαις ποιή * τότε γάρ είσιν αί δύο όρθαί. "Οταν δέ ή μέν μείζων, ή δέ ήττων, τότε ή μέν μείζων, τουτ (έστιν) πλατυτέρα, έστιν άμβλεΐα, ή δέ ήττων, τουτ (έστιν) στενοτέρα, οξεία. Γένη δέ τής μετρήσεώς έστιν τρία* [ούτως*] εύθυμετρικόν, έμβαδομετρικόν, στερεομετρικόν. Εύθυμετρικόν μέν ούν έστιν παν τό κατ’ εύθύ μετρούμενον, δ μόνον μήκος έχει, δ δ (ή) καί αριθμός καλείται. Εμβαδομετρικόν δέ τό έ'χον μήκος καί πλάτος, έξ ου καί τό έμβαδόν γιγνώσκεται, δ δ (ή) καί δύναμις καλείται. Στερεομετρικόν δέ τό έ'χον μήκος καί πλάτος καί πάχος, έξ ού καί παν τό στερεόν γιγνώσκεται, δ δ (ή) καί κύβος καλείται. Εΐδη δέ τής μετρήσεώς έστι πέντε* [ούτως*] τετράγωνα, τρίγωνα, ρόμβοι, τραπέζ(ι)α, κύκλοι. Καί θεωρήματά έστιν (ι)η· τετραγώνων θεωρήματα β, τετράγωνον < ισόπλευρον ορθογώνιον καί τετράγωνον > παραλληλόγραμμον ορθο­ γώνιον. Τριγώνων δέ θεωρήματα έξ, [ούτως*] τρίγωνον ορθογώνιον, τρίγωνον ισοσκελές, τρίγωνον ισόπλευρον, τρίγωνον οξυγώνιον, τρίγωνον άμβλυγώνιον, τρίγωνον σκαληνόν. 'Ρόμβων δέ θεωρήματα δύο [ούτως*], ρόμβος καί ρομβοειδές.

8

GEOMETRICA

FOL. 8 r, 8

ποδών κε, ή δέ βάσις ποδών ιδ * εύρειν αύτου τό έμβαδόν καί τήν κάθετον, ποιώ ούτως * έκάστης πλευράς ποίησον τετράγωνον * γίνονται πόδες χκε · λαμβάνω το // της βάσεως· γίνονται πόδες ζ* ταυτα έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες μθ· λοιπόν μένουσιν πόδες φος· ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών κδ. καί τά ζ επί τήν κάθετον πόδες ρξη* τοσούτων έστω τό έμβαδόν. IX . "Εστω τρίγωνον ισόπλευρον καί έχέτω έκάστην πλευράν άνά ποδών λ, καί έγγεγράφθω κύκλος* εύρειν αύτοϋ τήν διάμετρον, ποιώ ούτως * τό έμβαδόν έστι ποδών τ9· ταυτα επί τά δ * γίνονται πόδες ,αφξ. ίοΐ. 8Γ άρτι 11 σύνθες τάς γ πλευράς * γίνονται πόδες 9· άρτι μερίζω τών ,αφξ τό 9' * γίνονται πόδες ιζ γ' * τοσούτου ή διάμετρος του κύκλου. X. Έ σ τω τρίγωνον ισόπλευρον καί έχέτω έκάστην πλευράν άνά ποδών λ, καί περιγεγράφθω κύκλος* εύρειν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* τά λ έφ’ έαυτά* γίνονται φανερόν, δτι ή κάθετος του τριγώνου έστ(αι) ποδών κς·. άρτι μερίζω τών τόκς' *γίνονται πόδες λδ η' *έ'στω ή διάμετρος του κύκλου τοσούτων. X I. ’Έ στω τρίγωνον οξυγώνιον, ου τό μικρότερον σκέλος ποδών ιγ καί τό μεΐζον ποδών ιε καί ή βάσις ποδών ιδ, καί (έγ)γεγράφθω κύκλος * εύρειν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* φανερόν, δτι τό έμβαδόν του τριγώνου έστί ποδών πδ. ταυτα έπί τά δ * γίνονται πόδες τλζ. άρτι σύνθες τάς γ πλευράς του τριγώνου* γίνονται πόδες μβ. τά τλ< εις τά μβ* γίνονται πόδες η * έστω ή διάμετρος του κύκλου ποδών η. X II. ’Έ στω τρίγωνον οξυγώνιον, ού τό μικρό < τερο> ν σκέλος fol. 8Τ ποδών ιγ καί τό μεΐζον ποδών ιε καί ή βάσις ποδών ιδ, καί 11 περιγεγράφθω κύκλος *εύρειν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως *τό μικρότερον σκέλος έπί τό μεΐζον, τά ιγ έπί τά ιε * γίνονται πόδες ρ9ε. φανερόν, δτι ή κάθετος του τριγώνου έστί ποδών ιβ. άρτι μερίζω τών ρ9ε τό ιβ' * γίνονται πόδες ιζ δ' * τοσόυτων έστω ή διάμετρος του κύκλου. X III. ’Έ στω τρίγωνον άμβλυγώνιον καί έχέτω τήν μίαν πλευράν ποδών ι καί τήν βάσιν ποδών θ καί τήν ύποτείνουσαν ποδών ιζ, καί έγ­ γεγράφθω κύκλος* εύρειν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* φανερόν, δτι τό έμβαδόν του τριγώνου έστί ποδών λζ. ταυτα έπί τά δ* γίνονται πόδες ρμδ * καί σύνθες τάς γ πλευράς του τριγώνου * γίνονται πόδες λζ.

FOL. 9 r, 9

GEOMETRICA

9

άρτι, μερίζω των ρμδ τό λς' * γίνονται πόδες δ* έστω ή διάμετρος του έγγραφομένου κύκλου ποδών δ. XIV. ’Έ στω τρίγωνον άμβλυγώνιον καί έχέτω το μικρόν σκέλος ποδών ι καί τήν βάσιν ποδών θ καί τήν υποτείνουσαν ποδών ιζ, καί περιγεγράφθω κύκλος· εύρεΐν αύτοΰ τήν διάμετρον ποιώ ούτως· τό μικρότερον σκέλος επί τό μεΐζον, τά ι έπί τα ιζ· γίνονται πόδες ρο. φανερόν, ότι ή κάθετος του τριγώνου έστί ποδών η. άρτι μερίζω τό η' τών ρο · γίνονται πόδες κα δ' * έστω ή διάμετρος τού κύκλου ποδών κ ά δ '. || fol. 9r XV. ’Έ στω κύκλος, ού ή διάμετρος ποδών ιδ, ή δέ περίμετρος εύρεθήσεται κατά τήν έκθεσιν ποδών μδ* τό δέ εμβαδόν, ποίει ούτως* πάντοτε τήν διάμετρον έφ’ έαυτήν * γίνονται p9c * ταϋτα ένδεκάκι *γίνονται ,βρνς* ταύτα μέρισον παρά τον ιδ* γίνονται ρνδ· τοσούτου έσται τό εμ­ βαδόν. εάν δέ θέλης τήν μέθοδον τής περιμέτρου εύρεΐν, ποίει ούτως* πάντοτε τήν διάμετρον ποίει έπί τά κβ * γίνονται πόδες τη · καί πάντοτε μέριζε καθολικώς παρά τον ζ — τουτέστιν* ών ζ '— · γίνονται μδ* έστω ή περίμετρος ποδών μδ. XVI. ’Έ στω κύκλος, ού ή περίμετρος ποδών π* εύρεΐν αύτού τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* πάντοτε τήν περίμετρον έπί τά ζ* γίνονται φξ* ών μερίζω τό κβ7* γίνονται πόδες κε * έσται ή διάμετρος του κύκλου ποδών κε . X VII. Έ σ τω κύκλος, ού ή διάμετρος ποδών ζ, ή δέ αύτου περί­ μετρος εύρεθήσεται κατά τήν προγεγραμμένην έκθεσιν ποδών κβ* fol. 9ν πάντος || γάρ κύκλου (ή) περίμετρος τριπλάσιον καί έβδομόν έστι τής διαμέτρου, έάν ούν θέλης εύρεΐν τήν περίμετρον από τής διαμέτρου, τριπλασίασον τούς ζ πόδας τής διαμέτρου *γίνονται πόδες κα *καί πρόσθες τούτοις τό ζ' τής αύτής διαμέτρου * γίνεται πούς α · γίνονται πόδες κβ * τοσούτων ποδών έστω ή περίμετρος. Έ άν θέλης εύρεΐν άπό τής περιμέτρου τήν διάμετρον, τούς κβ πόδας τής περιμέτρου μέρισον παρά τον κβ* γίνεται πούς α* τούτον έπταπλασίασον* γίνονται πόδες ζ* τοσούτων έστω ποδών ή διάμετρος. < Έ άν θέλης άπό τής διαμέτρου τό έμβαδόν εύρεΐν τού κύκλου, τούς ζ πόδας τής διαμέτρου πολυπλασίασον έφ’ εαυτούς* γίνονται πόδες μθ* B r u in s , Codex Constantinopolitanus II

6

GEOMETRICA

FOL. 6 r, 6

To ίούγερον έχει πλέθρα β, άκ(αί)νας κ, πήχεις ρλγ γ ', πόδας Φιλεταιρείους μέν σ, 'Ιταλικούς δε πόδας σμ. 6Γ Το στάδιον έχει πλέθρα ς, άκ(αί)νας ξ, || καλάμους π, όργυιάς ρ, βήματα σμ, πήχεις υ, πόδας Φιλεταιρείους μέν χ, 'Ιταλικούς δέ πόδας ψκ. *0 δίαυλος έχει στάδια β, πλέθρα ιβ, άκ(αί)νας ρκ, καλάμους ρξ, όργυιάς < σ, > βήματα υπ, πήχεις ω, πόδας Φιλεταιρείους μέν ,ασ, ’Ιταλικούς δέ πόδας /αυμ. Το μίλιον έχει στάδια ζ , πλέθρα με, άκ(αί)νας υν, καλάμους χ, όργυιάς ψν, βήματα ,αω, πήχεις ,γ, πόδας Φιλεταιρείους μέν ,(δ)φ> ’Ιταλικούς δέ πόδας ,ευ. Ό δόλιχος έχει στάδια ιβ, πλέθρα οβ, άκ(αί)νας ψκ, καλάμους "^ξ, βήματα ,βωπ, πήχεις ,δω, πόδας Φιλεταιρείους μέν 7ζσ, 'Ιταλικούς δέ πόδας ,ηχμ. Ή σχοϊνος έχει μίλια δ, στάδια λ, πλέθρα ρπ, άκ(αί)νας ,αω, καλάμους ,βυ, όργυιάς ,γ, βήματα ,ζσ, πήχεις α,β πόδας Φιλεταιρείους μέν α,η ’Ιταλικούς δέ πόδας β ,αχ. Ό παρασάγγης έχει ομοίως ώς ή σχοϊνος. Ή βαρβαρική σχοϊνος έχει στάδια < με, ή δέ Περσική σχοϊνος έχει στάδια > ξ. Τό δέ κεμέλει το καλού μενον έχει στάδια ...................+ Καί έστιν ή μέτρησις των θεωρημάτων κατά τά ύποτεταγμένα ούτως * I. ’Έ στω τετράγωνον ισόπλευρόν τε καί ορθογώνιον, ού έκάστη πλευρά άνά ποδών ιβ* εύρεϊν αύτου το εμβαδόν, ποιώ ούτως* τά ιβ έφ' έαυτά* γίν(ον)ται ρμδ πόδες. τοσούτου έσται το εμβαδόν. II. Έ σ τ ω τετράγωνον ισόπλευρόν τε καί ισογώνιον καί έχέτω έκάστην πλευράν ποδών ν* εύρεϊν αύτου το έμβαδόν καί τήν διαγώνιον. ποιώ ούτως * τά ν έφ’ έαυτά * γίγνονται ,βφ. έστω το εμβαδόν τοσούτων. 6Τ τήν δέ διαγώνιον εύρεϊν. δίς τό έμβαδόν 7ε* ών πλευρά || τετραγωνική γίγνεται ποδών ο S', τοσούτου έστίν ή διαγώνιος, καί άλλως* τήν μίαν πλευράν, τουτέστι τά ν, έπί τά ο 8' * γίγνονται πόδες ,γφλζ / J * ών ν' γίγνεται ο 8'. III. "Εστω τετράγωνον έτερόμηκες ήτοι παραλληλόγραμμον, ού τό μήκος ποδών ν, τό δέ πλάτος ποδών λ * εύρεϊν αύτου τό έμβαδόν καί τήν διαγώνιον. ποιώ ούτως* τό μήκος έπί τό πλάτος* γίνονται πόδες ,αφ.

FOL. 7 r, 7

GEOMETRICA

7

έστω τό εμβαδόν ,αφ ποδών. την δέ διαγώνιον εύρεΐν * τό μήκος έφ’ έαυτό * γίνονται πόδες ,βφ* καί τό πλάτος έφ' έαυτό* γίνονται πόδες *^* όμου γίνονται πόδες ,γυ* ών πλευρά τετραγωνική ποδών νη γ '. τοσούτου έστίν ή διαγώνιος, ποδών νη γ ', τό δέ εμβαδόν έστι ποδών ,αφ. IV. ’Έ στω τετράγωνον παραλληλόγραμμον μή 0ν ορθογώνιον, οΰ τό μεΐζον μήκος ποδών λβ καί ή άλλη ποδών λ* όμου γίνονται πόδες ξβ* ών τό // * γίνονται λα. καί τό πλάτος ποδών ιη καί τό άλλο ποδών ις* όμου γίνονται λδ* ών τό * ιζ. ταϋτα πολυπλασιάζω έπί τα λα* γίνονται πόδες φκζ. τοσούτων ποδών έστι τό έμβαδόν, ποδών φκζ. έξής ή καταγραφή.|| fol. 7Γ

V. Τρίγωνον ορθογώνιον, ου ή μέν κάθετος ποδών λ, ή δέ βάσις ποδών μ, ή δέ υποτείνουσα ποδών ν * εύρεΐν αύτου τό έμβαδόν. ποιώ ούτως * την βάσιν έπί την κάθετον * γίνονται πόδες ,ασ * ών * γίνονται πόδες χ. έστω τό έμβαδόν ποδών χ. εύρεΐν αύτοϋ καί τήν υποτείνουσαν, τα λ τής καθέτου έφ’ έαυτά* γίνονται ^ * καί τά μ τής βάσεως έφ’ έαυτά *γίνονται 7αχ * όμου πόδες ,βφ * ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ν. άλλως εύρεΐν τήν ύποτείνουσαν. σύνθες τάς β πλευράς τά λ καί τά μ * γίνονται ο * ταυτα έπί ε * τν* τούτων τό ζ' * ν. VI. ’Έ στω τρίγωνον έτερον ορθογώνιον καί έχέτω τήν μέν βάσιν ποδών μ, τήν δέ ύποτείνουσαν ποδών μα, τήν δέ κάθετον ποδών θ * εύρεΐν αύτοΰ τό έμβαδόν καί τήν κάθετον, ποιώ ούτως* τά μα έφ' έαυτά* γίνονται ,αχπα* καί τά μ έφ’ έαυτά* γίνονται ,αχ. ταυτα ύφαιρώ άπό τών ,αχπα ποδών* λοιπόν μένουσιν πόδες πα* ών πλευρά τετραγωνική γίνονται πόδες θ. νυν ποιώ τήν κάθετον έπί τήν βάσιν* γίνονται τξ* ών τό / J * γίνονται πόδες ρπ. έστω τό έμβαδόν ποδών ρπ. έξής ή καταγραφή. 11

fol. 7V

VII. Τρίγων(ον) ίσοσκελ(ές), ού ή κάθετος ποδ(ών) κ* ή δέ βάσις ποδών ιβ * εύρεΐν αύτου τό έμβαδόν. ποιώ ούτως * τήν βάσιν έπί τήν κάθε­ τον * γίνονται πόδες σμ * ών τό ήμισυ * γίνονται πόδες ρκ. έστω τό έμβαδόν ποδών ρκ. V III. Τριγώνου ισοσκελούς έκάστη τών ΐσων πλευρών [έκαστον]

12

GEOMETRICA — STEREOMETRICA

FOL. 1 2 r, 1 2 '

καί εύρίσκω του έλάσσονος τμήματος την κάθετον ούτως· λαμβάνω τό // της βάσεως· γίνονται πόδες ι* ταΰτα έφ’ έαυτά* γίνονται ρ. ταΰτα μερίζω παρά τούς λ της καθέτου * γίνονται πόδες γ γ ' * ταΰτα προστιθώ τοις λ* γίνονται λ γ γ \ αίρω άπό τούτων τά λ - λοιπόν μένει- πόδες γ γ\ fol. 12Γ έστω του έλάσσονος || τμήματος τό ύψος ποδών γ γ ', τουτέστιν ή κάθετος, άρτι εύρίσκω δλου του κύκλου τό εμβαδόν γίνεται ποδών ωογ, ώς προδέδεικται. καί τού έλάσσονος τμήματος εύρίσκω τό έμβαδόν, ώς προέδειξα, καί αίρω άπό δλου τού κύκλου* καί τό λοιπόν έστω τό έμ­ βαδόν τού μείζονος τμήματος, καθώς προείπον. X X V II. Τμήμα ήττον ημικυκλίου μετρεΐται ούτως* βάσεως πόδες ιβ, καθέτου πόδες δ. συντίθει[ς] τήν βάσιν καί την κάθετον* γίνονται πόδες ις * ών τό / J * γίνονται πόδες η * ταΰτα έπί τήν κάθετον * γίνονται πόδες λβ. καί τό της βάσεως έφ’ εαυτ(ό) * γίνονται πόδες λς* τούτων των λς τό ιδ '* γίνονται πόδες β /_' ιδ'* ταΰτα προστίθει[ς] τοΐς λβ* γίνεται τό έμβαδόν τού τμήματος ποδών λδ / J ιδ'. X X V III. Σφαίραν μετρήσομεν, ής ή διάμετρος ποδών ζ, ή δέ περίμετρος πόδων κβ *εύρείν αύτης τό στερεόν, ποιώ ούτως* τήν διάμετρον έφ’ έαυτήν* γίνονται μθ. ταΰτα ποιώ πάλιν έπί τήν διάμετρον τών ζ* γίνονται ποδές τμγ. ταΰτα πολυπλασιάζω * γίνονται πόδες ,γψογ. ταΰτα μερίζω παρά τόν κα* γίνονται ροθ β'. τοσούτου έστί τό στερεόν της σφαίρας. X X IX . Τήν δέ έπιφάνειαν της αύτης σφαίρας εύρήσομεν ούτως* fol. 12ν πάντοτε ([ τήν διάμετρον τών ζ έπί τήν περίμετρον τών κβ *γίνονται πόδες ρνδ. τοσούτου έσται ή έπιφάνεια της σφαίρας, ποδών ρνδ. X X X . Εί θέλεις σκηνώσαι τόν άέρα της σφαίρας, μέτρησον κατά τήν προγεγραμμένην μέθοδον της σφαίρας χωρίς τοΰ πάχους τών τοίχων, οΐον* έστω ή διάμετρος τοΰ έμφώτου της σφαίρας ποδών η, τό δέ πάχος τών β τοίχων ποδών β. πολυπλασιά(ζε) τούς η πόδας τοΰ έμφώτου έφ’ εαυτούς* γίνονται πόδες ξδ. τούτους πάλιν πολυπλασιάζεις έπί τούς αύτούς η πόδας της διαμέτρου* γίνονται πόδες φιβ. τούτους πολυπλασιάζεις * γίνονται πόδες ,εχλβ, τούτους μέρισον παρά τόν κα* τοσοΰτον έστω τό σκήνωμα τοΰ άέρος της σφαίρας.

fol.

1 3 v, 1 3 v

STEREOMETRICA

13

X X X I. Ήμισφαίριον μετρήσομεν κατά την μέθοδον της σφαίρας τά συναγόμενα παρά τον μβ μερίζοντες. οΐον · έστω ή διάμετρος ποδών ζ, ή δέ περίμετρος ποδών κβ* εύρεΐν αύτοϋ τό στερεόν, ποιώ ούτως* τούς ζ πόδας της διαμέτρου έφ’ εαυτούς* γίνονται μθ. τούτους πάλιν έπί τούς 13Γ αυτούς ζ τής διαμέτρου* γίνονται τμγ* ταΰτα πολυπλα||σιάζω < έπ ί τον ια καί μερίζω > παρά τον μβ *γίνονται πθ // γ '. τοσούτου έσταιτό στερεόν του ημισφαιρίου. X X X II. Σκήνωσιν μετρήσαι άέρος ημισφαιρίου, μέτρησον κατά τήν προγεγραμμένην μέθοδον της μετρήσεως τού στερεού τού ήμισφαιρίου χωρίς τού πάχους τών τοίχων, οιον * έστω ή διάμετρος τού έμφώτου τού ημισφαιρίου ποδών ι, τό δέ πάχος τών β τοίχων ποδών δ. τούς ι πόδας της διαμέτρου τού έμφώτου καί μόνους πολυπλασιάζεις έφ’ έαυτούς* γίνονται ρ. τά ρ έπί τούς αύτούς ι* γίνονται ,α. ταΰτα πολυπλασιάζεις ένδεκάκις* γίνονται α ,α. τούτων τό μ β '* γίνονται πόδες σξα Ζ.' Τ ιδ'. τοσούτων έστω ποδών τό < σ> κήνω μ α τού άέρος τού ημισφαιρίου. X X X III. ’Επιφάνειαν ήγουν έμβαδόν ή χώρησιν τού αύτοΰ ήμισφαιρίου < το ύ> έ'χοντος διάμετρον ποδών ι, περίμετρον ποδών λα δ' ζ' κη', μετρήσομεν πάντοτε ούτως* τήν διάμετρον τών ι έπί τούς λα δ' ζ' κη' της περιμέτρου* γίνονται τιδ δ' κ η '* ών τό * γίνονται πόδες ρνζ η' νς'. τοσούτου έσται τό έμβαδόν τού ήμισφαιρίου. || 13ν X X X IV . Κόγχην ήγουν τεταρτημόριον μετρήσομεν κατά τήν μέθοδον τού ήμισφαιρίου τά συναγόμενα μερίζοντες παρά τον πδ. οιον* έστω ή διάμετρος της κόγχης σύν τοΐς β πάχεσι τών τοίχων ποδών ι δ. τούτους έφ' εαυτούς* γίνονται ρ9ς'· ταΰτα πάλιν έπί τά ιδ της αύτής διαμέτρου* γίνονται ,βψμδ. ταΰτα * γίνονται (γ) ρπδ. τούτων τό πδ' * γίνονται πόδες τνθ γ '. τοσούτων έστω τό στερεόν της κόγχης όλόμαζον. X X X V . Σκήνωσιν μετρήσαι άέρος της αύτης κόγχης ήγουν τεταρτη­ μόριου καί εύρεΐν τήν στερεομετρίαν της οικοδομής, μέτρησον κατά τήν αύτήν μέθοδον τού όλομάζου τής κόγχης χωρίς τού πάχους τών τοίχων, οιον· τούς ι πόδας τής διαμέτρου τού έμφώτου έφ’ έαυτούς *γίνονται ρ.«τά ρ πάλιν έπί τούς ι* γίνονται ,α. τά ,α * γίνονται α ,α. τούτων τό πδ'* γίνονται πόδες ρλ Ζ.' Τ Φ' κη'. τοσούτων ποδών έστω ό άήρ τής

10

GEOMETRICA — STEREOMETRICA

FOL. 10r, 10v

τούτους ένδεκαπλασίασον ■γίνονται πόδες φλθ · τούτων το ιδ' · γίνονται πόδες λη // · τοσούτων έστω το εμβαδόν του κύκλου. "Αλλη μέθοδος δηλοΰσα διά της διαμέτρου τό εμβαδόν τοΰ κύκλου, τούς ζ πόδας της διαμέτρου πολυπλασίασον εις τούς κβ πόδας της περιίοΐ. 10Γ μέτρου' γίνονται || πόδες ρνδ* τούτων τό δ '* πόδες λη ' τοσούτων έστω ποδών τό έμβαδόν. Έ αν θέλης άπό της περιμέτρου τό έμβαδόν εύρεΐν, τούς κβ πόδας της περιμέτρου πολυπλασίασον έφ’ έαυτούς* γίνονται πόδες υπδ* τούτους έπταπλασίασον * γίνονται πόδες ,γτπη * τούτων τό (π)η' * γίνονται πόδες λη * τοσούτων έστω ποδών τό έμβαδόν. "Αλλη μέθοδος δηλουσα διά της περιμέτρου τό έμβαδόν του κύκλου, πρόσθες τοΐς κβ ποσί της περιμέτρου μέρος αύτών δ' * γίνονται πόδες ις * όμοΰ γίνονται πόδες λη · τοσούτων έστω τό έμβαδόν. X VIII. 'Αψίδα μετρήσαι, ής ή διάμετρος ποδών ιδ, ή δέ κάθετος ποδών ζ · εύρεΐν αύτής τό έμβαδόν. ποίει ούτως * τήν διάμετρον έφ’ έαυτήν · γίνονται πόδες ρψζ” τούτους ένδεκαπλασίασον γίνονται πόδες ,βρνς * ών fol. 10ν τό κη' ’ γίνονται πόδες οζ· τοσούτων ποδών έστω τό έμβαδόν. || X IX . Εί δέ καί άπό της καθέτου θέλεις εύρεΐν τό έμβαδόν, ποίει ούτως· τούς ζ πόδας της καθέτου πολυπλασίασον έφ’ έαυτούς* γίνονται πόδες μθ. τούτους ένδεκάκις · γίνονται πόδες φλθ · ών τό ζ' * γίνονται πόδες οζ. XX. 'Αψίδα ήγουν ήμικύκλιον μετρήσαι, ής ή διάμετρος ποδών ζ, ή δέ κάθετος κατά τό ήμισυ της διαμέτρου ποδών γ καί ή περίμετρος ποδών ια* εύρεΐν αύτης τό έμβαδόν. ποίει ούτως* τά ζ τής διαμέτρου έπί τά ια τής περιμέτρου · γίνονται πόδες οζ * τούτων τό δ' * γίνονται πόδες ιθ δ' * τοσούτων έσται ποδών τό έμβαδόν. "Αλλη μέθοδος τού αύτου έμβαδου. τούς ζ πόδας τής διαμέτρου έφ’ έαυτούς* γίνονται πόδες μθ* τούτους έπί ια - γίνονται πόδες φλθ* ών τό κη'· γίνονται πόδες ιθ δ'. X X I. Εί δέ στερεομετρίαν οικοδομής ήμικυκλίου ήγουν άψίδος θέ­ λης μετρήσαι, ής ή διάμετρος ποδών ζ, ή δέ κάθετος ποδών γ καί τό πάχος του τοίχου ποδός α, πρόσθες τοΐς ζ ποσί τής διαμέτρου τον α πόδα του ένός μέρους του πάχους τοΰ τοίχου · γίνονται πόδες ζ * ών ή περίμετρος

FOL. 1 1 Γ, 1 1

GEOMETRICA

11

έ'σται αύτών (ι) δ' μέρος* γίνονται πόδες ια. τούτους έπί τό ύψος της οικοδομής. || fol. 11Γ X X II. ’Έ στω < τμήμα> μεΐζ(ον) ημικυκλίου, ή βάσις ποδών κδ, ή δέ κάθετος ποδών ις· εύρεΐν αύτοϋ το έμβαδόν. ποιώ ούτως· τήν βάσιν έπί την κάθετον γίνονται πόδες τπ δ - ταΰτα ένδεκάκις* γίνονται πόδες ,δσκδ · ών τό ιδ' · γίνονται πόδες τα ζ' ιδ' · τοσούτου έσται τό έμβαδόν. X X III. ’Έ στω < τμήμα > ελαττον ήμικυκλίου, ή κάθετος ποδών ζ, ή δέ βάσις ποδών ιδ * εύρεΐν αύτοΰ τό έμβαδόν. ποιώ ούτως ■σύνθες τήν βάσιν καί τήν κάθετον · γίνονται πόδες κ ' ών *γίνονται πόδες ι · ταΰτα έπί τήν κάθετον · γίνονται πόδες ξ. άλλα ποιώ καί βάσεως μέρος * γίνονται πόδες ζ* ταΰτα έφ’ έαυτά· γίνονται πόδες μθ* ών ιδ' * γίνονται γ . ταΰτα προστιθώ τοΐς ξ* γίνονται πόδες ξγ * έ'σται τό έμβαδόν ποδών X XIV. ’Έ στω τμήμα ήττον ήμικυκλίου καί έχέτω τήν μέν βάσιν ποδών μ, τήν δέ κάθετον ποδών ι* εύρεΐν αύτοΰ τήν περίμετρον, ποίει ούτως* πάντοτε συντίθει τήν διάμετρον καί τήν κάθετον όμοΰ’ γίνονται πόδες ν * ύφαιρε καθολικώς τούτων τό δ' * γίνονται πόδες ιβ * λοιπόν μένουσι πόδες λζ . Τούτοις προστίθει καθολικώς τούτων τό δ'* γίνονται πόδες θ δ' η' * σύνθες όμοΰ * γίνονται πόδες μς /J δ' η' * τοσούfol. 11ν των ποδών έ'στω || ή περίμετρος τοΰ τμήματος, ύφειλαμεν δέ δ' καί προσεθήκαμεν δ', έπειδή ή κάθετος τέταρτον μέρος έστί τής βάσεως. XXV. ’Έ στω τμήμα ήττον ήμικυκλίου έ'χον τήν βάσιν ποδών η, τήν δέ κάθετον ποδών γ* εύρεΐν αύτοΰ τήν περίμετρον, ποιώ ούτως* τήν βάσιν έφ’ έαυτήν* γίνονται πόδες ξδ* καί τήν κάθετον έφ' έαυτήν* γίνονται πόδες θ * ταΰτα ποιώ (τετράκις) * γίνονται πόδες λς. ταΰτα προστιθώ τοΐς ξδ * γίνονται ρ * ών πλευρά τετραγωνική γίνεται πόδες ι *έξ ών άφαιρώ τά η τής βάσεως * γίνονται β. καί έπειδή ή κάθετος ποδών γ καί ή βάσις ποδών η, μερίζω τά γ τής καθέτου παρά τα η τής βάσεως * γίνεται ποδός δ' η', ταΰτα ποιώ δίς* γίνεται δ'· ταΰτα προστιθώ τοΐς ι* γίνονται ι X/ δ', δ έστιν ή περίμετρος τοΰ τμήματος* ποδών ι / J δ'. X XVI. ’Έ στω τμήμα ήμικυκλίου μεΐζον καί έχέτω τήν βάσιν ποδών κ, τήν δέ προς όρθάς ήτοι κάθετον ποδών λ* εύρεΐν αύτοΰ τό έμβαδόν. ποιώ ούτως* έπειδή μεΐζόν έστιν ήμικυκλίου προσαναπληρώ τον κύκλον

16

STEREOMETRICA

FOL. 1 6 r, 1 6 v

ται ρ7Γ/) S', τοσούτων ποδών έσται τό στερεόν του τοίχου της πρώτης πλευράς, άλλα επειδή δ πλευράς έχει ή πυραμίς, γίνονται των δ πλευρών πόδες ψ(ν)ε. τοσούτων ποδών έσται το στερεόν τών τοίχων της πυραμίδος. XLV. Εί δέ θέλεις εύρεΐν της στέγης τον μόλιβδον ή τον χαλκόν ή τον κέραμον της αύτης πυραμίδος, ποιείς ούτως* τήν ύποτείνουσαν, τουτέστι τά ιη 8' η', ‘επί τούς ιπόδας* γίνονται πόδες ρπη S' [η'], τούτων ύφαιρώ τό * λοιπόν μένουσι πόδες 9δ δ' η', τοσούτων ποδών έστιν ή επιφάνεια της στέγης της πρώτης πλευράς, άλλ' επειδή δ πλευράς έχει ή πυραμίς, όμού γίνονται τών δ πλευρών πόδες τοζ / J . τοσούτων έσται ή επιφάνεια της στέγης τού μολίβδου ή τού χαλκού ή τού κεράμου της πυραμίδος, ποδών τοζ , επειδή άπό γ έστέγασται ή πυραμίς. || lol. 16r X L VI. ’Έ στω πυραμίς βάσιν έχουσα τετράγωνον, καί έχέτω έκάστην πλευράν άνά ποδών ι, ή δέ πυραμίς έχέτω τάς πλευράς άνακεκλιμένας άπό ποδών ιγ * εύρεΐν της πυραμίδος τήν κάθετον καί τό στερεόν, ποιώ ούτως* πολυπλασιάζω τού τετραγώνου τήν πλευράν έφ’ έαυτήν* γίνονται ρ. τούτων τό * γίνονται ν. καί τά ιγ έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες ρπβ δ', αΐρω άπό τούτων τά ν* λοιπόν μένουσι πόδες ρλβ δ'* ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών ια . τό δέ στερεόν εύρίσκεται * του τετραγώνου τό έμβαδόν γίνεται ποδών ρ. ταΰτα πολυπλασιάζω έπί τό γ ’ μέρος της καθέτου* γίνονται πόδες τ π γ γ '. τοσούτων ποδών έστι τό στερεόν της πυραμίδος, ποδών τ π γ γ '. X LV II. Πυραμίδα έπί τετραγώνου βεβηκυΐαν μετρήσομεν ούτως, ής έκάστη πλευρών της βάσεως άπό ποδών κδ καί τό κλίμα της πυραμίδος ποδών ιη* εύρεΐν αύτης τήν κάθετον καί τό στερεόν, ποιώ ούτως* τά κδ της βάσεως έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες φο . . . . . . . δέ τής σφαίρας ε ίσ ί............. fol. 25Γ . . . . δέ τής σφαίρας είσίν άφ' ού < . . . > πόλος || έν σφαίρα λέγεται σημείον άπό τής έπιφανείας τής σφαίρας, άφ’ ού πάσαι αί προσπίπτουσαι εύθείαι προς την τοϋ κύκλου περιφέρειαν ίσαι άλλήλαις είσίν. Επειδή έν τοΐς στερεοίς προσεγράψαμεν περί σφαίρας, κυλίνδρου χρή δέ προτετάχθαι περί κύβων, δθεν καί την γένεσιν έ'χουσιν. κύβος έστί σχήμα στερεόν πάντοθεν τετράγωνος καί ισόπλευρος ύπό έξ έπιφανείων περιεχόμενος ώς οβολός, όθεν καί οβολός καλείται, εχει γάρ πλάτος καί πάχος καί ύψος, εί δέ τό ύψος έχει περισσόν τοϋ πλάτους τά τοιαυτα σχήματα δοκίδες καλοΰνται. Περί κυλίνδρου Άπέδειςεν καί ένταΰθα ’Αρχιμήδης, οτι ονπερ έχει λόγον ό κύκλος προς τό τετράγωνον τό περί αύτόν περιγραφόμενον, τον αύτόν λόγον έχει καί ό κύλινδρος προς τον κύβον τον περιέχοντα αύτόν καί ϊσας πλευράς έχοντα τή διαμέτρω του κυλίνδρου καί ύψος ίσον, καί ώς έπί των κύκλων είπείν, οτι τά ια τετράγωνα τά έκτος περιγραφόμενα του κύκλου ίσα είσί δεκατέτρασι κύκλοις τοίς τήν αύτήν διάμετρον έχουσιν, ούτως καί οί ια κύβοι ίσοι είσί δεκατέτρασι κυλίνδροις, ών αί πλευραί ίσαι είσί τή διαμέτρω καί τω ύψει. καί ώσπερ έπί των κύκλων λαμβάνομεν τό έμβαδόν του τετρα­ γώνου καί ποιουμεν ένδεκάκις καί μερίζομεν παρά τά ιδ< . . > καί έσται τό στερεόν του κυλίνδρου. ’Έ στω κύλινδρος, ού ή διάμετρος ποδών ζ καί τό ύψος ποδών ζ. εύρείν αύτου τό στερεόν, τά ζ κύβισον * γίνονται τμγ. ταΰτα πολυπλασίασον έπί ια* γίνονται ,γψογ. ταυτα μέριζε παρά τά ιδ* γίνονται σξθ .

26

fol.

2 3 v, 2 4 r

fol. 23v Μέθοδος καθολική επί των πολυγώνων ούτως ·

’Έ στω πεντάγωνος, ού ή διάμετρος ποδών κ. εύρεΐν αύτού την πλευράν ούτως' πάντοτε την διάμετρον καθολικώς πολυπλασιάζεις γ· γίνονται πόδες ς. καί μέριζ(ε) παρά τον ε' * γίνονται πόδες ιβ. τοσούτων ποδών έστιν ή πλευρά του πενταγώνου. Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν τού αύτού πενταγώνου άπό τής πλευράς, ποίει τό άνάπαλιν ούτως' πάντοτε την πλευράν ε ' γίνονται ς. άρτι μέριζ(ε) καθολικώς ών γ' · γίνονται πόδες κ. τοσούτων ποδών έστω ή διάμετρος τού πενταγώνου. ’Έ στω έξάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κ. εύρεΐν αύτού τήν πλευράν, ποίει ούτως * πάντοτε καθώς προεΐπον τήν διάμετρον καθολικώς τριπλασιάζεις' γίνονται ποδών ξ. καί μέριζε ών ς , επειδή έςάγωνός έστιν \ γίνεται ή πλευρά ποδών ι. τοσούτων ποδών έ'στω ή πλευρά τού έςαγώνου. Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν άπό τής πλευράς τού αυτού έξαγώνου, ποίει τό άνάπαλιν ούτως' πάντοτε τήν πλευράν ποίει έςάκις, επειδή έςάγωνός έστιν * γίνονται πόδες ς. άρτι μερίζε καθολικώς ών γ ' ' γίνονται πόδες κ. τοσούτων ποδών έ'στω ή διάμετρος τού έςαγώνου. Έ σ τω έπτάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κ. εύρεΐν αύτού τήν πλευράν, ποίει ούτως* πάντοτε τήν διάμετρον καθολικώς πολυπλασιάζεις < γ > γίνονται πόδες ς. άρτι μέριζε παρά τήν πολύγωνον, τουτέστι παρά τον ζ ' γίνονται η ιδ'. τοσούτων ποδών έ'στω ή πλευρά τού έπταγώνου. Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν άπό της πλευράς τού αύτού έπταγώνου, ποίει τό άνάπαλιν ούτως' πάντοτε τήν πλευράν ζ, επειδή έπτάγωνός έ σ τι' γίνονται πόδες ξ. άρτι μέριζε καθολικώς ών γ ' ' γίνονται κ τοσούτων ποδών έστω ή διάμετρος τού έπταγώνου. Έ σ τω οκτάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κ. εύρεΐν αύτού τήν fol. 24Γ πλευράν, ποιώ ούτως' πάντοτε τήν διάμετρον || ε* γίνονται ποδών ρ. άρτι μερίζώ ών ιβ '' γίνονται πόδες η (γ)'. Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν άπό της πλευράς, ποίει τό άνάπαλιν < ούτως> ' πάντοτε τήν πλευράν ιβ' γίνονται πόδες ρ. καί μέριζ(ε) καθολικώς, ώς προεΐπον, ών ε '' γίνονται πόδες κ. έστω ή διάμετρος τού οκταγώνου ποδών κ.

FOL. 2 4 v

POLYGONIA

27

’Έ στω έννάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κ. εύρεΐν αύτοΰ τήν πλευράν. ποίει ούτως* πάντοτε τήν διάμετρον τριπλασίαζ(ε) * γίνονται πόδες ς. άρτι μέριζ(ε) ών θ '* γίνονται πόδες ςβ'. τοσούτων ποδών έστω ή πλευρά τού ένναγώνου. Έάν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν άπό της πλευράς τοΰ αύτού ένναγώ­ νου, ποίει το άνάπαλιν < ούτως *> τήν πλευράν θ* γίνονται πόδες ξ. άρτι μέριζε καθολικώς ών γ' * γίνονται < πόδες > κ . τοσούτων ποδών έστω ή διάμετρος του ένναγώνου. ’Έ στω δεκάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κ. εύρεΐν αύτοΰ τήν πλευράν ούτως* πάντοτε τήν διάμετρον τριπλασιάζ(ε) * γίνονται πόδες ς. άρτι μέριζ(ε) ών ι' * γίνονται πόδες ς. τοσούτων ποδών έστω ή πλευρά τοΰ δεκαγώνου. Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν άπό τής πλευράς τοΰ αύτοΰ δεκα­ γώνου, ποίει ούτως τό άνάπαλιν* τήν πλευράν δεκάκις* γίνονται πόδες ξ. άρτι μέριζ(ε) καθολικώς γ ' * γίνονται πόδες κ. τοσούτων ποδών έστω ή διάμετρος τοΰ δεκαγώνου. ’Έ στω ένδεκάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κβ. εύρεΐν αύτοΰ τήν πλευράν, ποιώ ούτως* καθολικώς τήν διάμετρον τριπλασιάζω'γίνονται πόδες ξς'. άρτι μερίζω ών ια '* γίνονται < πόδες > ζ. έστω ή πλευρά ποδών ζ. Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν τοΰ αύτοΰ ένδεκαγώνου. άπό της πλευράς, ποί(ει) τό άνάπαλιν ούτως* τήν πλευράν ια *γίνονται πόδες ξς καί μέριζε καθολικώς ών γ' * γίνονται πόδες κβ. έστω ή διάμετρος ποδών κβ. ’Έ στω δωδεκάγωνος καί έχέτω τήν διάμετρον ποδών κ. εύρεΐν αύτοΰ τήν πλευράν, ποιώ ούτως* πάντοτε τήν διάμετρον τρισάκις* γίνονται πόδες ξ. άρτι καθολικώς μερίζω ών ιβ' * γίνονται πόδες ε. έστω ή πλευρά ποδών ε. || 24ν Έ άν δέ θέλης τήν διάμετρον εύρεΐν άπό της πλευράς τοΰ αύτοΰ δωδεκαγώνου, ποίει τό άνάπαλιν ούτως* τήν πλευράν ιβ* γίνονται πόδες ξ. καί μέριζ(ε) καθολικώς ών γ' * γίνονται πόδες κ. έστω ή διάμετρος τοΰ δωδεκαγώνου ποδών κ. Όμοίως καί έπί οίουδήποτε πολυγώνου, έάν δοθή σοι ή διάμετρος, πάντοτε καθολικώς τριπλάσιαζε τήν διάμετρον * γίνονται πόδες — καί τά

32

DIOPHANTOS

FOL. 2 6 r

επιφάνειαν, της βάσεως τό έφ’ έαυτ(ό) · γίνονται λς. καί τήν κάθετον έφ* έαυτήν γίνονται πα. όμοϋ’ γίνονται ριζ. ταΰτα τετράκις’ γίνονται υξη. ταυτα ια ’ γίνονται ,ερμη. τούτων τό ιδ '’ γίνονται τξζ τοσούτων ή επιφάνεια του μείζονος τμήματος του ημισφαιρίου. ||

fol.

33

2 7 r, 2 7 v

'Ήρωνος είσαγωγαί fol. 27r

Ή πρώτη γεωμετρία, καθώς ημάς ό παλαιός διδάσκει λόγος, τα περί τήν γεωμετρίαν καί διανομάς κατησχολεϊτο, όθεν καί γεωμετρία έκλήθη. ή γάρ της μετρήσεως επίνοια παρ’ Αίγυπτίοις ηύρέθη διά τήν του Νείλου άνάβασιν* πολλά γάρ φανερά οντα χωρία προ της άναβάσεως [έπίνοια παρ’ Αίγυπτίοις εύρέθη — dittography] τη άναβάσει άφανή έποίει, πολλά δέ μετά την άπόβασιν φανερά έγίνετο, καί ούκέτι ήν δυνατόν έκαστον διακρϊναι τά ’ί δια- έξ ού έπενόησαν οί Αιγύπτιοι τήνδε τήν μέτρησιν της άπολειπομένης άπό τού Νείλου γης. χρώνται δέ τη μετρήσει προς έκάστην πλευράν τού χωρίου ότε μέν τώ καλουμένω σχοινίω, ότε δέ καλάμω, ότε δέ πήχει, ότε δέ καί έτέροις μέτροις. χρειώδους δέ του πράγματος τοϊς άνθρώποις ύπάρχοντος επί πλέον προήχθη τό , ώστε καί επί τά στερεά σώματα χωρήσαι τήν διοίκησιν των μετρήσεων καί των διανομών. Εις ούν τον περί των μετρήσεων λόγον άναγκαΐόν έστιν είδέναι τήν των μέτρων ιδέαν, προς ό βούλεται τις άναμετρεΐν, καί έκάστου σχήματος τό είδος, καί πώς δει άναμετρεΐν. ύποδείςομεν δέ πρώτον τήν τών μέτρων ιδέαν. Περί εύθυμετρικών

Εύθυμετρικόν μέν ούν έστι παν τό κατά μήκος μόνον μετρούμενον, ώσπερ έν ταΐς σκουτλώσεσιν οί στροφίολοι καί έν τοϊς ξυλικοΐς τά κυμά­ τια, καί όσα προς μήκος μόνον μετρεΐται. ’Έ στι τών μέτρων εΐδη τάδε" δάκτυλος, παλαιστής, λιχάς, σπιθαμή, πούς, πυγών, πήχυς, βήμα, ξύλον, όργυιά, κάλαμος, άκ(αι)να, άμμα, πλέθρον, ίούγερον, στάδιον, δίαυλον, μίλιον, σχοΐνος, παρασάγγης. || fol. 27ν Ό μέν ούν παλαιστής έχει δακτύλους δ, ή δέ λίχας έχει παλαιστάς (β), δακτύλους η. Ή σπιθαμή έχει παλαιστάς γ, δακτύλους ιβ* καλείται δέ καί [ό] ξυλοπριστικός πήχυς. Ό πούς ό μέν βασιλικός καί Φιλεταίρειος λεγόμενος έχει παλαιστάς, δ, δακτύλους ις, ό δέ 'Ιταλικός πούς έχει δακτύλους ιγ γ'. Ή πυγών έχει παλαιστάς ε, δακτύλους κ.

30

STEREOMETRICA

FOL. 2 5 v, 2 6 r

Τινές δέ πρώτον τό έμβαδόν λαμβάνουσιν ώς επί του κύκλου καί τότε ποιοΰσιν επί τό ύψος. ίοΐ. 25ν Περί δέ της σφαίρας καί τού κυλίνδρου 6 αύτός ’Αρχιμήδης ||άπέδειξεν, ότι ή σφαίρα δίμοιρον μέρος έστί του περιλαμβάνοντος αύτήν [τοϋ] κυλίν­ δρου. καί πας κώνος τρίτον μέρος εστί κυλίνδρου του τήν αύτήν βάσιν έχοντος αύτώ καί ύψος ’ίσον. Έ άν ούν άπό τού κυλίνδρου θέλης εύρεϊν τό στερεόν της σφαίρας · όσου άν εύρεθή 6 κύλινδρος λαμβάνεις αύτού τό δίμοιρον καί έσται τό στερεόν, καί ώς επί τών ζ ότι εστί ποδών σςθ /_' τό τρίτον γίνεται ποδών πθ γ\ Κάλλιον δέ άπό τού κύβου ώς επί τού κυλίνδρου τά πολυπλασιασθέντα μερίζειν παρά τά ιδ, ών γ'. έστί δέ ή σφαίρα δίμοιρον μέρος κυλίνδρου, τά ούν ιδ τίνος έστί δίμοιρον τών κα. μέρισον τά γινόμενα παρά τά κα ούτως* εδόθη σφαίρα < , ής ή διάμετρος ποδών ζ > [δίμοιρον τών καί. ταΰτα κύβισον * γίνονται τμγ* ταύτα πολυπλασίασον ένδεκάκις* γίνονται ,γψογ. ταΰτα μέριζε παρά τον κα* γίνονται ροθ β'. ούτω μέτρει πάσαν σφαίραν, καί επί τού κώνου, επειδή τρίτον μέρος έστί τού κυλίνδρου μερί­ ζεις παρά τά ιδ. τά ιδ τίνος έστί γ' * τών μβ. μέτρει επί τού κώνου ούτως* τά ζ κύβισον* γίνονται τμγ. ταύτα έπί τά ια* γίνονται ,γψογ. μέριζε παρά τά μβ* γίνονται πθ γ'. Τινές δέ μετρήσαντες τον κύλινδρον λαμβάνουσι τό γ' καί έ'σται το στερεόν τού κώνου. Σφαίρας έ'στω ή διάμετρος ποδών δ. εύρείν αύτης τό στερεόν, ποιώ ούτως* πρώτον έν τη βάσει μείζονα κύκλον άπό (της διαμέτρου) τό έμβαδόν εύρήσομεν ούτως* ποιοΰμεν τήν διάμετρον τά δ έφ’ έαυτά* γίνονται ις. ταΰτα ένδεκάκις* γίνονται ρος. τούτων τό ιδ' * γίνονται ιβ ιδ'. τοσούτων ποδών έσται τό έμβαδόν. ταΰτα ποίει έπί τήν διάμετρον, έπί τά δ. τά γάρ δ έστί τό ύψος τού περιλαμβάνοντος κυλίνδρου τήν σφαί­ ραν, δυο οντων διαμέτρων της σφαίρας τού κυλίνδρου, έποίησα ούν τά δ fol. 26Γ έπί τό έμβαδόν, έπί τά ιβ ιδ' * γίνονται ν καί δύο έβδομα. 11 τοσούτων ό κύλινδρος, όσων καί έπιφάνεια της σφαίρας. Δέδειχεν δέ 'Αρχιμήδης ότι κύλινδρος 6 περιλαμβάνων τήν σφαίραν ήμιόλιός έστι της σφαίρας, εί ούν ήμισυ πρόσθενα τρίτον άφαίρενα, άφαιρώ ούν τού κυλίνδρου, ό έστιν έπιφάνεια της σφαίρας, τών ν καί β έβδομων,

FOL. 2 6

STEREOMETRICA

31

τό γ'. καταλείπεται λγ γ' ζ' κα'. τοσούτων τό στερεόν της σφαίρας. Έ άν δέ τό β' λάβωμεν των ν καί β έβδομων ομοίως γίνονται λγ γ' ζ' κα'. καί έσται άρα ή μέν επιφάνεια της σφαίρας ποδών ν καί β εβδόμων, τό δέ στερεόν ποδών λγ < γ ' ζ' κα'. > Καί έστω σφαίρας ή περίμετρος ποδών ιη. εύρεΐν αύτης τό στερεόν, ποιώ ούτως · επί τών κύκλων · τών ιη επί τά ζ * γίνονται ρκς. τούτων τό κ β '· γίνονται ε καί ενδέκατα η. ταΰτα ια* γίνονται ξγ. ταΰτα κύβισον* γίνονται κε καί μζ. < .........................................................................................>· ταύτα μέριζε παρά τά ,β φμα' γίνονται 9η δ'ια' λγ' μα' ρκα' τξγ'. "Ετερον σφαίραν εις μέρη 8, καί εύρέθη τό έν τμήμα εξ άμφοτέρων τών μέρων άνά ποδών ζ. εύρεΐν τό στερεόν, ποιώ ούτως* κυβίζω τά ζ* γίνονται τμγ. ταύτα δίς * γίνονται χπς. ταύτα ια* γίνονται ,ζ φμς. τούτων τό κα' * γίνονται τνθ γ'. τοσούτων ποδών τό στερεόν τού τμήματος. || Σφαίρας ή διάμετρος ποδών ιγ. εύρεΐν αυτής τό στερεόν, ποιώ ούτως* ιγ κύβισον* γίνονται (β ρ9ζ· ταύτα ια* < γίνονται> β( δρξζ [γίνονται] τούτων τό κ α '* γίνονται ,αρν κα' πδ'. τοσούτων τό στερεόν. εύρεΐν δέ αύτής καί τήν επιφάνειαν, ποιώ ούτως* ιγ έφ’ έαυτά* γίνονται ρξθ. ταΰτα καθόλον τετράκις* γίνονται χος. ταύτα ια* γίνονται ,ζυλς. τοσούτων τό ιδ '* γίνονται φλα ζ'. τοσούτων ποδών έσται ή επιφάνεια. Ήμισφαίριον μετρήσαι, ού ή διάμετρος ποδών ιγ. εύρεΐν αύτοΰ τό στερεόν, ποίει ούτως* τά ιγ κύβισον* γίνονται ,β ρ9ζ· ταΰτα ια* γίνονται β ,δρξζ. τού αύτοΰ μ β '* γίνονται φοε δ 'η ', τοσούτων ποδών έσται τό στερεόν, εύρεΐν αύτοΰ καί τήν επιφάνειαν, τά ιγ έφ’ έαυτά* 9(α). τοσούτων έσται τό στερεόν, εύρεΐν αύτοΰ καί τήν

36

GEOMETRICA

FOL. 2 8 v

νΑκ(αι)να εύθυμετρική έχει δακτύλους ρξ, πόδας ι, πήχεις ζ β', παλαιστάς μ, σπιθαμάς ιγ γ ', όργυιάν α β'. Πλεθρία εύθυμετρική έχει δακτύλους ,αχ, πόδας ρ, πήχεις ςς β', παλαιστάς υ, σπιθαμάς ρλγ γ\ όργυιάς ις β', άκ(αί)νας ι. Πλινθίον εύθυμετρικόν έχει δακτύλους ,βυ, πόδας ργ, πήχεις ρ, παλαιστάς χ, σπιθαμάς σ, όργυιάς κε, άκ(αί)νας ιε, πλέθρον α . || fol. 28ν Στάδιον εύθυμετρικόν έχει δακτύλους ,θχ, πόδας χ, πήχεις υ, παλαιστάς 7βυ, σπιθαμάς ω, όργυιάς ρ, άκ(αί)νας ς, πλέθρα ζ, πλινθία δ. Μίλιον εύθυμετρικόν έχει δακτύλους ζ 7(β), πόδας 7δφ, πήχεις 7γ, παλαιστάς α 7η, σπιθαμάς /ς[τοε], όργυιάς ψν, άκ(αί)νας υν, πλέθρα με, πλινθία λ, στάδια ζ . φασί δέ καί τό βήμα έχειν πήχεις β, ώς καί έν τούτω έπίστασθαι. Εί δέ θέλεις εις τά μέτρα παρεμβαλεϊν τι, σχοΐνος εύθυμετρικός, ήν οί Αιγύπτιοι πλείονες προσαγορεύουσιν + . Ό παρασάγγης έχει δακτύλων κη μυριάδας 7η* γίνονται πήχεις α 7β, πόδες α ,η, σπιθαμαί β β, παλαιστα(ί) ζ 7β, όργυια(ί) 7γ, άκ(αι)να(ι) 7αω, πλέθρα ρπ, πλινθία ρκ, στάδια λ, μίλια δ.

fol.

2 9 r, 2 9

GEOMETRIC A, 1 - 4

37

1. Εύρεΐν δύο χωριά τετράγωνα, ο—ως τό τοϋ πρώτου έμβαδόν του δευ­ τέρου έμβαδοΰ έσται τριπλάσιον, ποιώ ούτως' τά γ κύβισον * γίνονται κζ * ταϋτα δ ίς* γίνονται νδ. τΰν άρον μονάδα α · λοιπόν γίγνονται νγ. έστω ούν ή μέν μία πλευρά ποδών νγ, ή δέ έτέρα πλευρά ποδών νδ. καί τού άλλου χωρίου ούτως · θές όμού τά νγ καί τά νδ · γίνονται πόδες ρζ · ταύτα ποίει επί τά γ < ' γίνονται τκα. άπό τούτων ύφειλον γ *> λοιπόν γίνονται πόδες τιη. έστω ούν ή τού προτέρου πλευρά ποδών τιη, ή δέ έτέρα πλευρά ποδών γ · τά δέ έμβαδά · τού ενός γίνεται ποδών ^y/δ καί τού άλλου ποδών ,βωξβ. Ν fol. 29Γ 2. Εύρεΐν χωοίον χωρίου τη περιμέτρω ίσον, τό δέ έμβαδόν τού έμβα­ δοΰ τετραπλάσιον, ποιώ ούτως · τά δ κύβισον έφ’ έαυτά' γίνονται πόδες ςδ * άρον μονάδα α· λοιπόν γίγονται πόδες ξγ* τοσούτου έκαστη τών περι­ μέτρων τών β παραλλήλων πλευρών, διαστεΐλαι ούν τάς πλευράς, ποιώ ούτως’ θές τά δ - άρον μονάδα α ' λοιπόν γ* ή μιά ούν πλευρά ποδών γ. ή δέ έτέρα πλευρά ούτως · τών ςγ άρον τά γ · λοιπόν μένουσι πόδες ξ. του δέ έτέρου χωρίου ποίει ούτως* τά δ έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες ις'* άπό τούτων άρον μονάδα α * λοιπόν γίνονται πόδες ιε * τοσούτων έστω ή πρώτη πλευρά, ποδών ιε. ή δέ έτέρα πλευρά ούτως* άρον τά ιε τών ξγ* λοιπόν γίνονται πόδες μη* έστω ή άλλη πλευρά ποδών μη* τό δέ έμβαδόν τοϋ ένός ποδών ψκ καί τού άλλου ποδών ρπ. 3. Χωρίον τετράγωνον έχον τό έμβαδόν μετά τής περιμέτρου ποδών g>9c * διαχωοίσαι τό έμβαδόν άπό της περιμέτρου, ποιώ ούτως * έκθου καθολικώς μονάδας δ* ών γίνεται πόδες β. ταϋτα ποίησον έφ’ έαυτά* γ ί­ νονται πόδες δ. σύνθες άρτι μετά τών ωγζ· όμού γίνονται πόδες ~Ζ). ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών λ. καί άπό τών δ ύφειλον τό *γίνον­ ται πόδες β *λοιπόν γίνονται πόδες κη. τό ούν εμβαδόν έστι ποδών ψπδ, καί ή περίμετρος έστω ποδών ριβ* όμού σύνθες άρτι τά πάντα* γίνονται πόδες (ογζ * τοσούτων έστω τό έμβαδόν μετά της περιμέτρου, ποδών ω9 , ’Ιταλικούς δέ μήκους πόδας σμ, πλάτους πόδας ρκ. < ώ ς γίνεσθαι έμβαδούς εν τετραγώνω β ,ηω > . Το στάδιον έχει πλέθρα ς, άκ(αί)νας ξ, πήχεις υ, πόδας Φιλεταιρείους μέν χ, ’Ιταλικούς δέ ψκ. Το δίαυλον έχει στάδια β, πλέθρα ιβ, άκ(αί)νας ρκ, πήχεις ω, πόδας Φιλεταιρείους μέν ,ασ, ’Ιταλικούς δέ πόδας ,αυμ. Το μίλιον έχει στάδια ζ , πλέθρα με, άκ(αί)νας υν, πήχεις ,γ, πόδας Φιλεταιρείους μέν ,δφ, ’Ιταλικούς δέ ,ευ. Ή σχοΐνος έχει μίλια δ, σταδίους λ. Ό παρασά'ρ^ης έχει μίλια δ, σταδίους λ· έστι δέ τό μέτρον Περσικόν. Τά μέν ούν εύθυμετρικά εϊδη είσίν ια, δάκτυλος, ούγκία, παλαιστής, σπιθαμή, πούς, πήχυς, βήμα, όργυιά, άκ(αι)να, πλέθρον, στάδιον· έλάχιστον δέ τούτων έστί δάκτυλος, καί πάντα τά έλάττονα μόρια καλείται. Ή ούγκία έχει δάκτυλον α γ'. Ό παλαιστής έχει δακτύλους δ, ούγκίας γ. Ή σπιθαμή έχει παλαιστάς γ, δακτύλους ιβ. 'Ο πούς έχει παλαιστάς δ, δακτύλους ις. Ό πήχυς έχει παλαιστάς ζ, δακτύλους κδ. Τό βήμα έχει παλαιστάς ι, δακτύλους μ. Ή όργυιά έχει δακτύλους 9ί» πόδας ς. Ή άκ(αι)να έχει δακτύλους ρξ, πόδας ι Φιλεταιρείους* καλείται δέ ρωμαϊστί περτίκα.

FOL. 2 8 r

fol. 28r

GEOMETRICA

35

To πλέθρον έχει τό Ελληνικόν 11 ποδάς p τό μήκος καί τό πλάτος πόδας ρ έν τετραγώνω. Τό ίούγερον έχει τό Ελληνικόν τό μέν μήκος πόδας σμ, τό δέ πλάτος πόδας ρκ, ώς γίνεσθαι έμβαδούς έν τετραγώνω πόδας β ,ηω. Τό στάδιον έχει πλέθρα ζ, άκ(αί)νας ξ. Τό μίλιον έχει πόδας ;ε, βήματα ,β, άκ(αί)νας φ. Ή ούγκία έχει έν τετραγώνω δάκτυλον α β '< θ '> . Ό παλαιστής έχει έν τετραγώνω δακτύλους ις, 6 δέ στερεός παλαιστής έχει ούγκίας κζ, δακτύλους ξδ. Ή δέ τετράγωνος σπιθαμή έχει ούγκίας πα, δακτύλους ρμδ’ ή δέ (στερεά) σπιθαμή έχει ούγκίας < ψ > κ θ , δακτύλους (αψκη. Ό πούς 6 τετράγωνος έχει ούγκίας ρμδ, δακτύλους σνς, στερε(ό)ς δέ ούγκίας (α ψκη, δακτύλους /δγζ· Ό δέ στερεός πήχυς έχει ούγκίας ,εωλβ, παλαιστάς (σ)ις', δακτύλους α ,γωκδ. Τό βήμα έχει έν τετραγώνω παλαιστάς ρ, ούγκίας δακτύλους ,*Χ ·

Ή τετράγωνος όργυιά έχει πόδας λς, ή δέ τετράγωνος άκ(αι)να έχει πόδας ρ [στερεούς]. Τό μίλιον έχει σταδίους ζ . Ή σχοίνος έχει σταδίους μη. 'Ο παρασάγγης έχει σταδίους ξ. Ό σταθμός έχει σταδίους κ. Ό 'Ολυμπιακός < ά γ ώ ν> έχει ίπποδρόμιον έχον σταδίους η, καί τού­ του ή μια πλευρά έχει σταδίους γ καί πλέθρον α, τό δέ πλάτος τήν άφεσιν στάδιον α καί πλέθρα δ - < όμου> πόδες ,δω. καί προς τω (ήρώω) τω λεγομένω (Ταραξίππου κάμπτοντες) τρέχουσιν οί μέν ήλικιώται πάντες σταδίους ζ, αι συνωρίδες αί μέν [ήλικιώται] πωλικαί κύκλους γ, αί δέ τέλειαι η, άρματα τά μέν πωλικά κύκλους η, τά δέ τέλειαι κύκλους ιβ. Τό ούν δεδηλωμένον έπεί τοσουτον έχει, άναγκαΐόν έστι των μέτρων δηλώσ(αι) μεθόδους, ό(ι)πόσοι πήχεις πόσας δύνανται όργυιάς ποιεϊν, ούτως* ή όργυιά ή εύθυμετρική έχει δακτύλους 9£» πόδας ζ, 7τήχεις δ, σπιθαμάς η.

40

GEOMETRICA, 1 1 - 1 3

fol.

3 1 v, 3 2 r

κάθετος ποδών θ. καί θές τα μθ καί τά λα* όμοϋ π γίνονται πόδες. ών /J γίνεται μ* έστω ή βάσις ποδών μ. καί θές τά με καί άρον τά δ* λοιπόν μένουσι πόδες μα* έστω ή υποτείνουσα ποδών μα. τό δέ έμβαδόν ποδών ρπ. άρτι σύνθες όμοϋ τάς γ πλευράς καί τό έμβαδόν γίνονται πόδες σο. 11. Τριγώνου ορθογωνίου τό εμβαδόν μετά της περιμέτρου ποδών ρ* 31ν άποδιαστεϊλαι τάς πλευράς καί τό έμβαδόν. [| ποίει ούτως* σκέπτου τον άπαοτίζοντα αριθμόν* έσκεψάμην. οτι ό ε καί ό κ τό έπιταχθέν ποιήσουσι. τό ε' τών ρ * γίνονται πόδες κ. διά παντός λάμβανε δυάδα τών ε * λοιπόν μένουσι γ. τά ούν γ καί τά κ σύνθες * γίνονται πόδες κγ* ταύτα έφ’ εαυτά* γίνονται φκθ. καί τά κ ποίησον έπί τά γ * γίνονται ξ * ταύτα διά παντός έπί τά η * γίνονται πόδες υπ. άρον από τών φκθ * λοιπόν μένουσι πόδες μθ * ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών ζ. < θές τά κγ καί άρον τά ζ*> λοιπόν μένουσι ις. ών γίνεται η * έστω ή κάθετος ποδών η. θές πάλιν τά κγ καί πρόσθες τά ζ* όμοϋ γίνονται πόδες λ. ών γίνεται ιε* έστω ή βάσις ποδών ιε. καί θές τά κ καί άρον τά γ * λοιπόν μένουσι πόδες ιζ * έστω ή υποτείνουσα ποδών ιζ. τό δέ έμβαδόν ποδών ξ. όμοϋ σύνθες τάς γ πλευράς καί τό έμβαδόν* γίνονται πόδες ρ. 12. Τριγώνου ορθογωνίου τό έμβαδόν μετά της περιμέτρου ποδών 9 ' άποδιαστεϊλαι τάς πλευράς καί τό έμβαδόν. ποιώ ούτως* έσκεψάμην, ότι ό ε καί ό < 0> η ποιήσει τό έπιταχθέν, ούτως* τό ζ τών 9" γίνονται πόδες ιη. διά παντός λάμβανε δυάδα τών ε* μένουσι γ* σύνθες τά ιη καί τά γ* γίνονται πόδες κα. ταΰτά < έφ ’ εαυτά *γίνονται υμα. καί τά ιη > έπί τα γ * γίνονται πόδες (ν)δ* ταύτα πάντοτε ποίει έπί τά η* γίνονται πόδες υλβ. ταΰτα άρον άπό τών υμα * λοιπόν θ * ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών γ. θές τά κα καί άρον τά γ* λοιπόν ιη* ών γίνεται πόδες θ* έστω ή κάθετος ποδών θ. καί θές πάλιν τά κα καί πρόσθες τά γ* όμοϋ γίνονται πόδες κδ* ών γίνεται ιβ* έστω ή βάσις ποδών ιβ. καί θές πάλιν τά ιη καί άρον τά γ* λοιπόν ιε* έστω ή υποτείνουσα ποδών ιε. τό δέ έμβαδόν ποδών νδ. όμου σύνθες τάς γ πλευράς καί τό έμβαδόν * γίνονται πόδες 9· 11 32Γ 13. Έ ν τώ δοθέντι τριγώνω εύρειν τό έγγραφόμενον τετράγωνον, ποιώ ούτως* έάν έχη τήν κάθετον ποδών κα καί τήν βάσιν ποδών κη καί τήν υποτείνουσαν ποδών λε, καί έγγεγράφθω τετράγωνον, εύρειν αύτοΰ τάς πλευράς, ποιώ ούτως* τήν βάσιν έπί τήν κάθετον πολυπλασιάζω, τά κα

fol.

3 2 v, 3 3 r

GEOMETRICA, 1 4 - 2 1

41

έπί τά κη * γίνονται πόδες φπη · καί σύνδες βάσιν καί κάθετον * όμοΰ γ ί­ νονται πόδες μθ. άρτι μερίζω των φπη τό μθ' ’ γίνονται πόδες ιβ * εσται έκαστη πλευρά ποδών ιβ. 14. ’Έ στω τετράγωνον καί έχέτω τό εμβαδόν ποδών ρ · τούτου τάς πλευράς εύρήσομεν. ποιώ ούτως· λαμβάνω των ρ πλευράν τετραγωνικήν ποδών ι · έστω ή πλευρά τού τετραγώνου. 15. ’Έ στω έτερόμηκες καί έχέτω τό μήκος ποδών η, τό δε εμβαδόν ποδών μ· τούτου πλευράν εύρομεν. λαμβάνω τών μ τό (η') * γίνονται πόδες ε · εσται τό πλευρόν ποδών ε. έξης ή καταγραφή. 16. ’Έ στω τετράγωνον καί έχέτω έκάστην πλευράν άνα ποδών δ, καί fol. 32ν έγγεγράφθω κύκλος' εύρεΐν αύτοΰ τήν διάμετρον. || εύρεθήσεται ή διά­ μετρος του κύκλου, όση έστίν ή πλευρά τού τετραγώνου. 17. ’Έ στω τετράγωνον καί έχέτω έκάστην πλευράν άνά ποδών δ, καί περιγεγράφθω κύκλος" εύρεΐν αύτοΰ τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* πολυπλασιάζω τά δ έφ’ έαυτά" γίνονται ις. ταΰτα δίς ■γίνονται λβ. τούτων λαμβάνω πλευράν τετραγωνικήν *γίνονται πόδες ε < ζ ' > ιδ' ‘τοσούτου έστω ή διάμετρος του κύκλου. 18. ’Έ στω τετράγωνον έτερό μηκες καί έχέτω τό μήκος ποδών δ, τήν δέ πλευράν ποδών γ, καί έγγεγράφθω κύκλος· εύρεΐν αύτοΰ τήν διάμετρον, καί εύρεθήσεται τοσούτου, όσου τοΰ έτερομήκους έστίν ή πλευρά, ποδών γ. 19. Τρίγωνον ορθογώνιον, οΰ ή προς όρθάς ποδών γ, ή δέ βάσις fol. 33Γ ποδών δ, ή δέ ύποτείνουσα ποδών ε * )| τοΰ έγγραφομένου τετραγώνου είπεΐν τάς πλευράς, ποιώ ούτως" τήν προς όρθάς πολυπλασιάζω επί τήν βάσιν *γίνονται πόδες ιβ · καί συντιθώ τάς πλευράς, τά γ καί τά δ " γίνονται ζ * καί λαμβάνω τών ιβ τό ζ' * γίνονται α ζ' ιδ'. 20. Τριγώνου ορθογωνίου ή κάθετος ποδών ιε, ή δέ βάσις ποδών κ, ή δέ ύποτείνουσα ποδών κε, καί μετά β ποδάς άλλο τρίγωνον περιγεγράφθω * ζητώ αύτοΰ τάς πλευράς, έστι δέ ή μέν κάθετος αύτοΰ ποδών κα β', ή δέ βάσις ποδών κη δ' η', ή δέ ύποτείνουσα ποδών λ ς θ '. προσλαμβάνουσιν αί έ(ξ)ω τάς αύτάς ψήφους καί γ' θ' αύτών. 21. Έ σ τω τρίγωνον ορθογώνιον τό αβγ, καί ήχθω κάθετος ή βδ. ή μέν α(δ) έπί τήν γδ πολυπλασιαζομένη ποιεί, όσον ή βδ έφ' έαυτήν, ή δέ αδ έπί τήν γ(α) πολυπλασιαζομένη τοσοΰτον ποιεί, όσον ή α(β) έφ’ έαυτήν. B r u in s , Codex Constantinopolitanus II

4

38

GEOMETRIC A, 5 - 8

FOL. 3 0 r, 3 0

γ\ δ', < ε '> , ποίει κοινωντός τούς γ* δ πρώτος ποδών γ, δ δεύτερος ποδών δ, δ γ' ποδών ε, κοινά δέ αύτοΐς τά πάντα έστω ποδών ν. έστω ούν τώ μέν πρώτω ποδών ιβ / J , τώ δέ δευτέρω ποδών ις β', τώ δέ τρίτω ποδών κ γ ' * δμοΰ έστω τά πάντα ποδών ν, δ έστι περίμετρος του τριγώνου. 5. Τριγώνου ορθογωνίου τδ έμβαδδν ποδών ε* εύρειν τάς πλευράς, ποιώ ούτως' σκέψαι τά ε επί τινα άριθμδν τετράγωνον εχοντα ς, ϊνα πολυπλασιασθέντα τριγώνου ορθογωνίου τό εμβαδόν ποίηση, πολυπλασιασθέντα δέ επί τον λς γίνονται πόδες ρπ, καί έσται τριγώνου ορθογωνίου τό εμβαδόν, ού έστιν ή κάθετος ποδών θ, ή δέ βάσις ποδών μ, ή δέ υποτείνουσα ποδών μα. καί τά ρπ μερίζω παρά τον ε, καί λς έστιν, μήκει δέ εξ. λαβέ τό ς' τών πλευρών, τουτέστι τών θ ' γίνεται πούς α * καί τών μ τό ς' * γίνεται ποδών ε β' ή βάσις* καί τών μα τό ς' ■γίνεται ποδών ς γ' ή υποτείνουσα, τό ούν εμβαδόν ποδών ε. εξής < ή καταγραφή > . 11 30Γ 6. Τρίγωνον ορθογώνιον, ού ή κάθετος ποδών ιβ, ή δέ βάσις ποδών ις, ή δέ υποτείνουσα ποδών κ · γίνεται τό εμβαδόν ποδών 9C· “αυτα μερίσαι εις άνδρας ις έκάστω πόδας ς έν δρθογωνίοις τριγώνοις. ποιώ ούτως · μέρισον τον 9C είς ς · γίνονται πόδες ις * ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών δ, άρτι λαμβάνω της καθέτου τό δ '' γίνονται πόδες γ ' καί της βάσεως τό δ '' γίνονται πόδες δ ' καί της ύποτεινούσης τό δ '' γίνονται πόδες ε * καί έ'σται ις τρίγωνα εχοντα την μέν κάθετον ποδών γ, την δέ βάσιν ποδών δ, τήν δέ υποτείνουσαν ποδών ε, τό δέ εμβαδόν ποδών ς. 7. Τριγώνο(ν) ορθογώνιο (ν), ού ή κάθετος ποδών ιβ, τό εμβαδόν 9ζ" εύρειν αύτοϋ τήν βάσιν καί τήν ύποτείνουσαν. ποιώ ούτως * προστιθώ τοϊς ιβ της καθέτου τό γ ' ' γίνονται πόδες δ* όμου γίνονται πόδες ις* τοσούτων έστω ή βάσις, ποδών ις. πάλιν προστιθώ της βάσεως τό δ' * γίνονται πόδες δ ' δμοΰ γίνονται πόδες κ * έστω ή ύποτείνουσα ποδών κ. τό εμβαδόν έστω ποδών 9C· 8. Έ άν δέ τριγώνου ορθογωνίου δοθείσης της βάσεως ποδών κδ ζη30ν τοϋμεν τήν κάθετον καί τήν ύποτείνουσαν, ποιώ ούτως· ύ||φειλον της βά­ σεως τό δ' *γίνονται πόδες ς · λοιπόν μένουσι πόδες ιη · έστω ή κάθετος πο­ δών ιη. πάλιν πρόσθες της βάσεως τό δ' *γίνονται πόδες ς · όμου πρόσθες τη

FOL. 3 1 Γ

GEOMETRICA, 9 - 1 0

39

βάσει' γίνονται πόδες λ * έστω ή υποτείνουσα ποδών λ. το εμβαδόν ποδών σις. Έ άν δέ θέλης άπό της ύποτεινούσης εύρεΐν την βάσιν καί την κάθετον, ποιεί ούτως* έάν έστιν ή υποτείνουσα ποδών λ, ΰφειλον τόε' μέρος των λ* γίνονται ζ. λοιπόν μένουσι πόδες κδ. έστω ή βάσις ποδών κδ. πάλιν από τών κδ ποδών της βάσεως ΰφειλον τό δ' * γίνονται πόδες ς* λοιπόν μένουσι πόδες ιη. έστω ή κάθετος ποδών ιη, τό δέ εμβαδόν ποδών σις. 9. Τριγώνου ορθογωνίου τό έμβαδόν μετά της περιμέτρου ποδών σπ* άποδιαστεϊλαι τάς πλευράς καί εύρεΐν τό έμβαδόν. ποιώ ούτως * άεί ζήτει τούς απαρτίζοντας αριθμούς* απαρτίζει δέ τον σ π ,! διακοσιοστοογδοηκοστοί δυ: α!στ(ώ)ν ρμ, ό δ' τον ο, 6 ζ τον νς, ό ζ' τον μ, ό η' τον λε, ό ι' τον κη, ό ιδ' τον κ. έσκεψάμην, ότι ό η καί λε ποιήσουσι τό δοθέν έπίτανυ,α. τών σπ η' * γίνονται πόδες λε. διά πάντος λάμβανε δυάδα τών η · λοιπόν μένουσι ς πόδες. τά ούν λε καί τά ς όμοΰ γίνονται πόδες μα. ταΰτα ποίει έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες ,αχπα. τά λε έπί τά ς* γίνονται πόδες σι. ταΰτα ποίει άεί έπί τά η * γίνονται πόδες ,αχπ. ταΰτα άρον άπό τών ,αχπα* λοιπόν μένει α* ών πλευρά τετραγωνική γίνεται α. άρτι θές τά μα καί άρον μονάδα α* λοιπόν μ* ών γίνεται κ* τοΰτό έστιν ή κάθετος, ποδών κ. καί θές πάλιν τά μα καί πρόσθες α * γίνονται πόδες μβ * ών γίνεται πόδες κα* έστω ή βάσις ποδών κα. καί θές τά λε καί άρον τά ς* fol. 31Γ λοιπόν μένουσι πόδες κθ. άρτι \\θές κάθετον έπί τήν βάσιν* ών γίνεται πόδες σι* καί αί τρεις πλευραί περιμετρούμεναι έχουσι πόδας ο* όμοΰ σύνθες μετά τοΰ έμβαδοΰ* γίνονται πόδες σπ. 10. Τριγώνου ορθογωνίου τό έμβαδόν μετά της περιμέτρου ποδών σο* άποδιαστεϊλαι τάς πλευράς καί τό έμβαδόν. ποιώ ούτως* άεί ζήτει τούς άπαρτίζοντας άριθμούς, ως καί έπί τοΰ πρώτου * άπαρτίζει μονάδας τον σο, δυστών ρλε, ό γ' ποδών 9, ό ε' ποδών νδ, ό ς' ποδών με, ό θ' ποδών λ, ό ι' ποδών κζ. έσκεψάμην, οτι ς καί με ποιήσει τό έπιταχθέν. τό ς' τών σο * γίνονται με πόδες. διά παντός λάμβανε δυάδα τών ς* λοιπόν δ. τά με καί τά δ όμοΰ σύνθες* γίνονται μθ. ταΰτα ποιήσομεν έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες ,βυα* καί τά με ποίησον έπί τά δ* γίνονται πόδες ρπ. ταΰτα διά παντός ποίει έπί τά η* γίνονται πόδες ,αυμ. άρον αύτά άπό τών ,βυα* λοιπόν μένουσιν ~^ξα * ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών λα. άρτι θές τά μθ καί άρον τά λα* γίνονται πόδες ιη* ών γίνεται πόδες θ* έστω ή

44

GEOMETRICA, 3 4 - 3 7

fol.

3 6 r, 3 6 '

άρτι μερίζω των ρμδ τό λς' * γίνονται πόδες δ* έστω ή διάμετρος του έγγρχφομένου κύκλου < ποδών δ > . 34. ’Έ στω τρίγωνον αμβλυγώνιον καί έχέτω τό μικρότερον σκέλος ποδών ι καί τήν βάσιν —οδών θ καί την υποτείνουσαν —οδών ιζ, καί περιγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτού τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* τό μικρότερον σκέλος επί τό μεΐζον, τα ι επί τα ιζ* γίνονται πόδες ρο. φανερόν, οτι ή κάθετος τού τριγώνου έστί ποδών η. άρτι μερίζω τό η' τών ρο* γίνονται πόδες κα δ' * έστω ή διάμετρος τοΰ κύκλου ποδών κα δ'. 35. Τρίγωνον σκαληνόν, ού τό έλαττον σκέλος ποδών ιγ, τό δέ μεΐζον ποδών ιε, ή δέ βάσις ποδών ιδ, καί έγγεγράφθω εις αύτό κύκλος έφαπτόμενος τών γ πλευρών* εύρεΐν αύτού τήν διάμετρον, ποίει ούτως* ζήτει τού σκαληνού τριγώνου τό εμβαδόν* καί έστιν, ώς έμάθομεν, ποδών πδ. ταύτα καθολικώς ποιώ δ * γίνονται πόδες τλς. καί σύνθες τήν περίμετρον τού τριγώνου* γίνονται πόδες μβ. άρτι μερίζω τα τλς παρά τον μβ* γίνονται πόδες η* τοσόυτων ποδών έστω ή διάμετρος τοΰ κύκλου. || fol. 36Γ 36. Έ σ τω τρίγωνον σκαληνόν, οΰ τό έλαττον σκέλος ποδών ιγ καί ή βάσις ποδών ιδ, ή δέ υποτείνουσα ποδών ιε, καί περιγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτού τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* τό μικρότερον σκέλος επί τό μεΐζον, τα ιγ επί τά ιε* γίνονται πόδες ρ9*· φανερόν, ότι ή κάθετός έστιν τοΰ τριγώνου ποδών ιβ. άρτι μερίζω τό ιβ' τών ργε* γίνονται πόδες ις δ' * έστω ή διάμετρος τοΰ κύκλου < ποδών ις δ '> . 37. Δοθέντος κύκλου, (ού ή διάμετρος) ποδών ζ, ζητείς τό εξώτερον τετράγωνον τί φέρει, ποιώ ούτως* τά ζ έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες μθ. θέλεις εύρεΐν καί τοΰ έγγραφομένου κύκλου τό εμβαδόν, ποιώ ούτως* τά ζ έφ’ έαυτά* γίνονται πόδες μθ* ών γίνεται πόδες κδ /_'. πρόσθες νΰν τών μθ δ' καί τό κη' * γίνονται πόδες λη * τοσούτου έστί τό έμβαδόν τοΰ έγγραφομένου κύκλου [ποδών λη /_'] (εις τό δοθέν μοι τε τ ρ ά γ ω ν ο ν .) ’'Αλλως δέ πάλιν εύρεΐν τό έμβαδόν τοΰ κύκλου από τετραγώνου, ποιώ fol. 36ν ούτως* τά ζ έφ' έαυτά* γίνονται μθ. ύφειλον τών μθ τό ζ' |[ καί τό ιδ' * γίνονται ι *λοιπόν μένει λη *τοσούτου έστω τό έμβαδόν τοΰ κύκλου, εί δέ τό έμβαδόν τοΰ κύκλου ποδών λη , θέλεις εύρεΐν τό έμβαδόν τοΰ έξωθεν τετραγώνου, ποίει ούτως * τών λη τό δ' καί τό μδ' *γίνονται

fol.

3 7 r, 3 7

GEOMETRICA, 3 8

45

πόδες i . ταΰτα σύνθες μετά των λη /_' · γίνονται μθ* έστω το εμβαδόν του έξωθεν τετραγώνου ποδών μθ. εί δέ θέλεις εύρεΐν την διάμετρον του κύκλου άπό των μθ, ποιείς τά μθ, ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών ζ· έστω ή διάμετρος του κύκλου καί ή πλευρά τοϋ τετραγώνου ποδών ζ. 38. "Εστω κύκλος, ού ή διάμετρος ποδών κη καί ή περίμετρος ποδών πη, τό δέ εμβαδόν ποδών χις [τοϋ κύκλου την μέθοδον έν τοϊς δηλουμένοις]' έξ αύτοϋ θέλεις διελεΐν όκτάεδρον(!) ποιώ ούτως· της διαμέτρου τό ’ γίνονται πόδες ιδ. καί τά ιό πολυπλασιάζω επί τά ια · γίνονται πόδες ρνδ. τούτων τό /_'' γίνονται πόδες ο ζ' ταΰτα όκτάκις *γίνονται πόδες χις ■οπερ (έ)δει εύρεΐν. Μέθοδος, εάν θελης από έμβαδοΰ κύκλου εύρεΐν περίμετρον, ποίει ούτως * έάν έ'χη τό εμβαδόν πόδας ρνδ, ποιείς τό εμβαδόν επί τά πη *γίνον­ ται πόδες α ,γφνβ · ών τό ζ' *γίνονται πόδες ,α ^ λς· ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών μδ' έστω ή περίμετρος ποδών μδ. έςής ή καταγραφή. || fol. 37Γ Εί δέ θέλεις μΐξαι την διάμετρον καί τήν περίμετρον καί θέλεις άποδιαστεΐλαι τήν διάμετρον άπό της περιμέτρου, ποιείς ούτως· εάν έ'χωσι τά άμφότερα πόδας νη, ποιείς πάντοτε τά νη επί τον ζ · γίνονται πόδες υς, apTt μερίζω * ών κθ' * γίνονται πόδες ιδ · έστω ή διάμετρος ποδών ιδ καί ή περίμετρος ποδών μδ. όμοΰ γίνονται πόδες νη. [τοσούτων έ'στω ό κύκλος.] Εί δέ θέλεις εύρεΐν τήν περίμετρον άπό της διαμέτρου, έάν εχη ή διάμετρος πόδας ιδ, ποιείς πάντοτε τήν διάμετρον επί τά κβ· γίνονται πόδες τη. άρτι μερίζω' ών ζ ' * γίνονται πόδες μδ* έστω ή περίμετρος ποδών μδ. ’Ά λλως δέ π ά λ ιν έάν έ'χη ή διάμετρος πόδας ιδ, πάντοτε ποίει τήν διάμετρον τριπλασίονα· γίνονται μβ* καί τό ζ' της διαμέτρου* γίνονται πόδες β. ταΰτα πρόσθες τοΐς μβ' όμοΰ γίνονται μδ· έστω ή περίμετρος ποδών μδ. Έάν μίξω τήν διάμετρον καί τήν περίμετρον καί τό εμβαδόν του κύκλου fol. 37ν καί μίξας εύρω τάς άμφότερας < τριάς> φωνάς ποδών αριθμόν σιβ, 11 άποδιαστήσομεν έκαστον άριθμόν άπ’ άλληλων. ποιώ ούτως* τά < σ > ιβ πολυπλασιάζω έπί παντός άριθμοΰ καθολικώς έπί τά ρνδ· γίνονται γ, βχμη. τούτοις καθολικώς προστίθημι ωμα* όμοΰ γίνονται γ ,γυπθ.

42

GEOMETRICA, 2 2 - 2 8

fol.

3 3 \ 3 4 r, 3 4 v

22. Τριγώνου ορθογωνίου ή κάθετος ποδών κα, ή δέ του έγγραφομένου τετραγώνου πλευρ(ά) ποδών ιβ* εύρεΐν τάς πλευράς, ποιώ ούτως· αίρω fol. 33ν άπό τών 11 κα τά ιβ * λοιπδν μένουσι πόδες θ, καί ποιώ τά κα επί τά ιβ · γίνονται πόδες σνβ. άρτι μερίζω παρά τά θ ' γίνονται πόδες κη* έστω ή βάσις, ή δέ υποτείνουσα έ'στω ποδών λε. 23. Τρίγωνον ισόπλευρον έ'χον[τος] έκαστην πλευράν ποδών λ, καί έγγεγράφθω εις αύτό τετράγωνον* εύρεΐν αύτοΰ τάς πλευράς ούτως* ζητώ του τριγώνου την κάθετον* γίνεται ποδών κς. μΐξον μετά τών λ ποδών της πλευράς * γίνονται πόδες νς. καί ποιώ τήν πλευράν επί τήν κάθετον γίνονται πόδες ψπ. άρτι μερίζω παρά τά νς* γίνονται πόδες ιγ β' ζ' ιδ' κα" * τοσούτων έ'σται του τετραγώνου ή πλευρά. 24. 'Ομοίως επί παντός τριγώνου έ'χοντος έγγραφόμενον τετράγωνον ισχύει ή αύτή μέθοδος* τ /jv βάσιν επί τήν κάθετον, καί μΐξον βάσιν καί κάθετον, καί μέρισον τό εμβαδόν * καί έξεις τάς πλευράς τοσούτου. 25. ’Έ στω τρίγωνον ορθογώνιον καί έχέτω τήν κάθετον ποδών ς καί fol. 34Γ την βάσιν ποδών η 11 , την δέ υποτείνουσαν ποδών ι, καί έγγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτοΰ τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* συντιθώ την κάθετον καί τήν βάσιν * γίνονται πόδες ιδ. αίρω άπό τούτων τήν ύποτείνουσαν * λοιπόν μένουσι πόδες δ* έ'στω ή διάμετρος τοΰ κύκλου ποδών δ. "Αλλως δέ πάλιν εύρεΐν τήν διάμετρον τοΰ έγγραφομένου κύκλου, ποιώ ούτως* τό εμβαδόν τοΰ τριγώνου έστί ποδών κδ* ταΰτα ποιώ τετράκις* γίνονται πόδες 9C· άρτι σύνθες τάς γ πλευράς τοΰ τριγώνου* όμοΰ γίνονται πόδες κδ. άρτι μερίζω τών 9c ποδών τό κδ' * γίνονται πόδες δ * έ'στω ή διάμετρος τοΰ κύκλου ποδών δ. 26. 'Εάν δέ τρίγωνον ορθογώνιον ή, καί [εμ]περιγεγράφθω κύκλος, πόσου έξει τήν διάμετρον; τοσούτου, οσου ή ύποτείνουσα τοΰ τριγώνου * 27. Τρίγωνον ισοσκελές έχον τά σκέλη άνά ποδών ιε καί τήν βάσιν ποδών ιη, καί έγγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτοΰ τήν διάμετρον, ποιώ fol. 34ν ούτως * j |τό έμβαδόν τοΰ τριγώνου έστί ποδών ρη * ταΰτα έπί τά δ * γίνον­ ται πόδες υλβ. άρτι σύνθες τάς γ πλευράς τοΰ τριγώνου * γίνονται πόδες μη. άρτι μερίζω τά υλβ παρά τον μη* γίνονται πόδες θ* έ'στω ή διάμετρος τοΰ κύκλου ποδών θ. 28. Τρίγωνον ισοσκελές έ'χον τά σκέλη άνά ποδών ιε καί τήν βάσιν

fol.

3 5 r, 3 5

GEOMETRICA, 2 9 - 3 3

43

ποδών ιη, καί περιγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτοΰ την διάμετρον, ποιώ ούτως* τό πρώτον σκέλος έφ’ έαυτό, τουτέστι τά ιε επί τά ιε* γίνονται πόδες σκε. φανερόν, ότι ή κάθετος τού τριγώνου τοσούτου έστί* ποδών ιβ. άρτι μερίζω τό ιβ' τών σκε* γίνονται πόδες ιη δ '* έστω ή διάμετρος του κύκλου τοσούτου. 29. ’Έ στω τρίγωνον ισόπλευρον καί έχέτω έκάστην πλευράν άνά ποδών λ, καί έγγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως' τό έμβαδόν έστι ποδών τ9· ταϋτα επί τά δ * γίνονται πόδες ,αφξ. άρτι σύνθες τάς γ πλευράς* γίνονται πόδες 9· άρτι μερίζω τών ,αφς τό 9* * γίνονται πόδες ιζ γ' * τοσούτου ή διάμετρος τού κύκλου. 11 fol. 35r 30. ’Έ στω τρίγωνον ισόπλευρον καί έχέτω έκάστην πλευράν άνά ποδών λ, καί περιγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* τά λ έφ’ εαυτά* γίνονται φανερόν, ότι ή κάθετος τού τριγώνου έσται ποδών κς. άρτι μερίζω τών ^ τό κς' * γίνονται πόδες λδ η' * έστω ή διάμετρος τού κύκλου < τοσούτων> . 31. ’Έ στω τρίγωνον οξυγώνιον, ου τό μικρότερον σκέλος ποδών ιγ καί τό μεΐζον ποδών ιε καί ή βάσις ποδών ιδ, καί έγγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* φανερόν, ότι τό έμβαδόν τού τριγώνου έστί ποδών πδ. ταύτα έπί τά δ* γίνονται πόδες τλς. άρτι σύνθες τάς γ πλευράς τού τριγώνου* γίνονται πόδες μβ. νυν μερίζω τών τλς τό μ β '" γίνονται πόδες η * έστω ή διάμετρος τού κύκλου ποδών η. 32. Έ σ τω τρίγωνον οξυγώνιον, ου τό μικρότερον σκέλος ποδών ιγ καί τό μεΐζον ποδών ιε καί ή βάσις ποδών ιδ, καί περιγεγράφθω κύκλος * εύρεΐν αύτού τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* τό μικρότερον σκέλος έπί τό μεΐζον, τά ιγ έπί τά ιε* γίνονται πόδες ρ9ε· φανερόν, ότι ή κάθετος τού τριγώνου έστί ποδών ιβ. άρτι μερίζω τών ρ9ε τό ιβ' * γίνονται πόδες ις δ' * τοσούτων έστω ή διάμετρος τού κύκλου. 11 fol. 35ν 33. ’Έ στω τρίγωνον άμβλυγώνιον καί έχέτω τήν μίαν πλευράν ποδών ι, καί τήν βάσιν ποδών θ καί τήν ύποτείνουσαν ποδών ιζ, καί έγγεγράφθω κύκλος* εύρεΐν αύτου τήν διάμετρον, ποιώ ούτως* φανερόν, ότι τό έμβαδόν τού τριγώνου έστί ποδών λς. ταύτα έπί τά δ* γίνονται πόδες ρμδ. καί σύνθες τάς γ πλευράς τού τριγώνου* γίνονται πόδες λς.

48

STEREOMETRIC A I, 4 2 - 4 9

fol.

3 9 r, 3 9 v

42. Σφαίρας ή διάμετρος ποδών ιγ* εύρεϊν αύτής τό στερεόν, ποιώ ούτως' κύβισον τήν διάμετρον* γίνονται εσται τό στερεόν. 43. Ημισφαιρίου ή διάμετρος ποδών ιγ ' εύρεϊν αύτού τό στερεόν, ποιώ ούτως* κύβισον τήν διάμετρον* γίνονται ,βργζ. ταυτα ια* γίνονται β ,δρςζ. τούτων τό μβ' * γίνονται φοε δ' ιδ'. 44. Τμήμα μειζον ημισφαιρίου, ού ή διάμετρος —οδών ιβ καί ή κάθετος ποδών θ. * εύρεϊν τό στερεόν. —οιώ ούτως* τής διαμέτρου τό /_' * γίνονται C. ταύτα έφ’ έαυτά* γίνονται λς. ταυτα καθόλου επί γ* γίνονται ρη. καί τήν κάθετον έφ' έαυτήν * γίνονται πα. σύνθες όμού * γίνονται ρπθ. ταυτα έπί fol. 39Γ τήν κάθετον* γίνονται ,αψα. ταυτα ια * j|γίνονται α ,ηψια, τούτων τό κα' * γίνονται ω9α. τοσούτων εσται. 45. Τμήμα ήττον ημισφαιρίου, ού ή διάμετρος -οδών ιβ καί ή κάθετος —οδών δ * εύρεϊν τό στερεόν, ποιώ ούτως * τής διαμέτρου τό * γίνονται ς ταυτα έφ’ έαυτά* γίνονται λς. ταυτα καθόλου έπί τά γ* γίνονται ρη. καί τήν κάθετον έφ’ εαυτήν* γίνονται ις. σύνθες όμού* γίνονται ρκδ. ταυτα έ—ί τήν κάθετον, έττί τά δ* γίνονται υγς. ταυτα ια* γίνονται ,ευνς. τούτων τό κα' * γίνονται σνθ β' ζ\ 46. Σφαίρας ή διάμετρος —οδών ιγ * εύρεϊν αύτής τήν έ—ιφάνειαν. ττοιώ ούτως* τά ιγ έφ’ έαυτά* γίνονται ρςθ. ταύτα έττί τά δ* γίνονται χος. ταυτα ια* γίνονται ,ζυλς. τούτων τό ιδ '* γίνονται φλα ζ'. τοσούτου εσται. 47. Ημισφαιρίου ή διάμετρος ττοδών ιγ* εύρεϊν τήν έπιφάνειαν. ττοιώ ούτως* τά ιγ έφ’ έαυτά* γίνονται ρςθ. ταύτα δ* γίνονται χος. ταύτα —οίει ια* γίνονται ,ζυλς. τούτων τό κη'* γίνονται σςε ιδ'. 48. Τμήμα μείζον [ή υποτείνουσα] ήμισφαιρίου, ού ή διάμετρος ποδών ιβ, καί ή κάθετος ποδών θ* εύρεϊν τήν έπιφάνειαν. ποιώ ούτως* τό fol. 39ν τής || διαμέτρου έφ’ έαυτ(ό) * γίνονται λς. καί τήν κάθετον έφ’ έαυτήν* γίνονται πα. σύνθες* όμού ριζ. ταύτα έπί τά δ* γίνονται υςη. ταύτα ια* γίνονται ,ε ρμη. τούτων τό ιδ' γίνονται τςζ ζ' ιδ'. 49. Τμήμα ήττον ήμισφαιρίου, ού ή διάμετρος ποδών ιβ, ή δέ κάθετος ποδών δ* εύρεϊν τήν έπιφάνειαν. ποιώ ούτως* τό τής διαμέτρου έφ’ έαυτό * γίνονται λς. καί τήν κάθετον έφ’ έαυτήν * γίνονται ις. σύνθες όμού *

FOL. 4 0 r

STEREOMETRIC A I, 5 0 - 5 4

49

γίνονται νβ. ταΰτα καθολικώς επί τά δ* γίνονται πόδες ση. ταΰτα ια· γίνονται πόδες ,βσκη. τούτων τό ιδ'* γίνονται ρξγ γ' ιδ' μβ'. 50. Φούρνον μετρήσαι, ού τό έμφωτον ποδών ι καί τό πάχος της οικοδομής ποδών β· εύρεϊν αύτοϋ τό στερεόν, ποίει ούτως* σύνθες τά β πάχη < καί τήν διάμετρον >* γίνονται ιδ. ταΰτα κύβισον* ,βψμδ. έκ τούτων άρον τό έμφωτον κυβίσας* γίνονται ,α* λοιπόν ,αψμδ. ταΰτα ια* γίνονται α ,θρπδ. τούτων τό μβ' * γίνονται υνς ζ' ιδ' < κ α '> . 51. 'Αστερίσκον μονοείλητον μετρήσαι, ού τό έμφωτον έστι ποδών δ, τό δε πάχος άνά ποδός α, τό δε πλάτος ποδών γ * εύρεϊν αύτοΰ τό στερεόν, ποιώ ούτως* σύνθες εκατέρωθεν τον ένα πόδα* όμοΰ γίνονται ς. ταΰτα έφ’ εαυτά* γίνονται λς. άρον τό έμφωτον έφ’ εαυτό* γίνονται ις* λοιπόν κ. < ταΰτα επί τό εν, επί τό ύψος* γίνονται κ .> ταΰτα έπί τό πλάτος, έπί τά γ* γίνονται ς. ταΰτα ια* γίνονται χς* ών ιδ' * γίνονται μ(ζ) ζ'. ’Ά λλω ς δέ πάλιν* σύνθες τό έμφωτον καί εν πάχος* γίνονται ε. ταΰτα ίοΐ. 40Γ έπί τά κβ* γίνονται ρι. ταΰτα έπί τό ύψος, έπί |] τό α* γίνονται ρι* ών ζ 'γίνονται ιε ζ' ιδ'. ταΰτα έπί τό πλάτος, έπί τά γ* γίνονται μζ ζ'. 52. 'Αστερίσκον διπλοείλητον μετρήσαι, ού ή διάμετρος ποδός δ καί τό πλάτος ποδών γ καί τό ύψος ποδών β * εύρεϊν αύτοΰ τό στερεόν, ποίει ούτως* [σύνθες] τήν διάμετρον έπί τά (ύψη) *γίνονται η. ταΰτα έφ’ εαυτά* γίνονται ξδ. άρον τό έμφωτον έφ’ εαυτό* γίνονται ις" λοιπόν γίνονται μη. ταΰτα έπί τό πλάτος, έπί τά γ* γίνονται ρμδ. ταΰτα ια* γίνονται ,αφπδ* ών τό ιδ' * γίνονται ριγ ζ'. 53. Κόγχης ή διάμετρος ποδών κ, τό δέ κέντρον ποδών ς * εύρεϊν άπό ποιου κύκλου τό τμήμα ή άπό ποιας διαμέτρου, ποίει πάντοτε τής βάσεως μέρος έφ' έαυτό * γίνονται ρ. ταΰτα μέρισον παρά τον ς τοΰ κέντρου* γίνονται ιε γ ' < κς' οη'> . νΰν πρόσθες καί τό κέντρον ποδάς ς * καί γίνεται κα γ' < κ ς' οη'> ή διάμετρος. 54. Τεταρτημόριου κόγχης ή διάμετρος ποδών ιβ, τό δέ κέντρον ποδών γ, ή δέ κάθετος ποδών δ * εύρεϊν τό στερεόν τής ύφαιρέσεως * ποίει ούτως* τής βάσεως τό έφ’ έαυτό* γίνονται λς. άλλά καί τήν κάθετον έφ’ έαυτήν *γίνονται ις. ταΰτα σύνθες *γίνονται νβ. τούτοις πρόσθες τό * γίνονται οη. έ(τ)ι τούτοις πρόσβαλε τοΰ κέντρου τά γ έφ’ έαυτά* γίνονται θ* όμοΰ πόδες πζ. ταΰτα άεί τρισσάκις* γίνονται σξα* ών τό * ρλ / J .

46

GEOMETRICA, 3 9 - 4 0

FOL. 3 8 r

τούτων πάντοτε ποίει πλευράν τετραγωνικήν γίνονται πόδες ρπγ* καί άπό τούτων ύφειλον κθ καθολικώς· λοιπόν ρνδ* ών ια' γινέται πόδες ιδ· τοσούτων ποδών έστω ή διάμετρος, ή δέ περίμετρος ποδών μδ. φανερόν δέ, ότι τό εμβαδόν έστι ποδών ρνδ. όμοΰ σύνθες τα πάντα* γίνονται πόδες σιβ. Έ άν δέ θέλης καί επί τ(ά) ζ εύρεΐν τήν αυτήν μέθοδον, ποίει ούτως· μίξας τήν διάμετρον καί τήν περίμετρον καί τό εμβαδόν όμου γίνονται πόδες ξζ · άποδιαστήσομεν έκαστον άριθμόν άπ’ άλλήλων. ποιώ ούτως · τά ξζ U πολυπλασιάζω επί τα ρνδ καθολικώς* όμου γίνονται πόδες α τγε τούτοις πάντοτε προστιθώ ωμα' όμοϋ γίνονται πόδες α ,ασλς. τούτων ποιείς πλευράν τετραγωνικήν γίνονται πόδες ρς· από τούτων ύφειλον καθολικώς κθ * λοιπόν μένουσιν οζ * ών τό ια'" γίνονται πόδες ζ * έστω ή διάμετρος ποδών < ζ, ή δέ περίμετρος ποδών > κβ* τό δέ εμβαδόν φανερόν έστιν, ότι ποδών λη /_'. όμου τά άμφότερα < τρία> μίξας εύρήσεις πόδας ξζ . 39. Κύκλου ή διάμετρος ποδών κε. έτεμον βάσιν ποδών κδ* ζητώ τάς καθέτους, ποίει ούτως* λαβέ τών κε τό * γίνονται ιβ . ταύτα έφ’ 38Γ έαυτά* γίνονται πόδες ρνς δ', ομοίως καί της βάσε||ως τό * γίνονται πόδες ιβ. ταύτα έφ’ έαυτά* γίνονται [ρνδ δ' ομοίως καί της βάσεως — dittography] ρμδ. ταύτα ύφειλον από τών ρνς* δ' * λοιπόν ιβ δ’ *ών πλευρά τετρακωνική γίνεται ποδών γ . θές τά ιβ καί τά γ /_' * γίνονται όμοΰ ις* έσται ή μείζων κάθετος ποδών ις. καί άπό τών ιβ άρον τά γ * λοιπόν θ* ή έλάττων κάθετος έσται ποδών θ. 40. Κύκλου ή διάμετρος ποδών κε. έτεμον εύθεΐαν ποδών ις * ζητώ τήν βάσιν. ποιώ ούτως * τήν εύθεΐαν έφ’ έαυτήν * γίνονται πόδες σνς * καί τά θ τά ύπολειπόμενα της διαμέτρου έφ’ έαυτά* γίνονται πα* σύνθες όμοΰ* γίνονται τλζ. καί τά κε < τής διαμέτρου > τού κύκλου έφ’ έαυτά* γίνονται χκε. άπό τούτων άρον τά τλζ* λοιπόν σπη. ταύτα δίς* γίνονται φος* ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών κδ * έστω ή βάσις ποδών κδ. "Αλλως δέ πάλιν* τήν εύθεΐαν έπί < τήν διάμετρον>· το(ΰ) κύκλο(υ), τουτέστι τά ις έπί τά κε* γίνονται υ. άπό τούτων άρον τά ις έφ’ έαυτά* γίνονται σνς* λοιπόν ρμδ. ταύτα τετράκις* γίνονται φος* ών πλευρά τετρά­ γωνος γίνεται ποδών κδ * ή [δέ] βάσις ποδών κδ.

FOL. 3 8 *

GEOMETRIC A, 4 1

47

41. Τμήμα μεΐζον ημικυκλίου, ου ή μέν διάμετρος ήτοι βάσις ποδών 1C καί ή κάθετος ποδών ιζ. ποίει τής βάσεως τό * γίνονται πόδες η. 38ν ταϋτα έφ’ έαυτά· γίνονται πόδες ξδ. ταυ||τα μέρισον παρά τήν κάθετον* γίνονται δ* έστω ή λοιπή κάθετος του κύκλου τής διαμέτρου των κ ποδών δ. τό άρα έμβαδόν του παντός κύκλου ποδών τιδ δ' κη'. και πάλιν μετροΰμεν τμήμα έλαττον ημικυκλίου, ού ή διάμετρος ποδών ις", ή δέ κάθετος ποδών δ* καί έστι ποδών μδ ιδ'. λοιπόν τό έμβαδόν τοϋ μείζονος τμήματος ποδών σξθ κη'.

52

STEREOMETRICA I, 6 3 - 6 7

FOL. 4 1

63. Τετράσειρον μετρήσομεν, ού τό μήκος ποδών ζ καί τό πλάτος ποδών ς καί ή κάθετος ποδών γ* εύρεΐν αύτοΰ τό στερεόν, ποιώ ούτως’ τήν διάμετρον επί τό μήκος ’ γίνονται λς. ταϋτα ια * γίνονται τ9< * ών ιδ' ’ γίνονται κη δ '< κ η '> . ταΰτα επί τα γ τής καθέτου’ γίνονται πόδες πδ δ' < ιδ' κ η '> . καί τά ιη δ'· όμοΰ γίνονται πόδες ργ. τοσούτων ποδών τό στερεόν του κενώματος. ]j ' fol. 41ν 64. Καί πόσου ή επιφάνεια του αύτοΰ τετρασείρου; ποιώ ούτως* λάμβανε τήν περίμετρον άπό τής διαμέτρου* γίνονται πόδες ιθ, παρά τό ζ'. ταϋτα ποιώ επί τήν κάθετον τών γ ποδώ ν γίνονται νς /_' ιδ'. τοσούτων έστω ή επιφάνεια του τετρασείρου. 65. ’Έλλειψιν μετρήσομεν, ής ό μεν μείζων άξων ποδών ις, ό δε μικρότε­ ρος ποδών ιβ. επειδή ούν έν τοις κωνοειδέσιν ό 'Αρχιμήδης δείκνυσιν, ότι τ(ό) ύ(π)ο< τώ ν > αξόνων δύναται τό άπό κύκλου διαμέτρου ίσουτή ελλεί­ ψει, ποίει ούτως* πολυπλασίαζε τά ιβ επί τά ις* γίνονται πόδες ρ9β· ταΰτα ποιώ ια* γίνονται πόδες ,β ριβ* ών ιδ' γίνονται πόδες ρνι_β] δ' ιδ' κη'. καί έξεις τοσούτων άποφαίνεσθαι τό τής ελλείψεως εμβαδόν. 66. (’Έ στω) δή παραβολήν μετρήσαι τήν A Β Γ, ής ή μεν Α Γ βάσις ποδών ιβ, ό δέ Β Δ άξων ποδών ε. έπεζεύχθωσαν αί Α Β, Β Γ * τό άρα έμβαδόν του A Β Γ τριγώνου τό έστιν του υπό Α Γ, Β Δ, τουτέστι ποδός ενός, άπέδειξεν δε ό ’Αρχιμήδης εν τώ έφοδικώ λόγω, ως προείρηται, οτι παν τμήμα περιεχόμενον υπό εύθείας καί ορθογωνίου κώνου τομής, τουτέστι παραβολής, έπίτριτον τοϋ τριγώνου του τήν βάσιν έχοντος αύτοΰ καί ύψος ίσον, τουτέστιν < τοΰ A Β Γ τριγώνου, του δέ A Β Γ > τριγώνου τό έμβαδόν ποδών λ τό (γ ') < γίνεται ι. όμοΰ μ. τό έμβαδόν > του τμήματος του περιεχομένου υπό τής παραβολής έσται ποδών μ. 67. ’Όνυχα μετρήσομεν, ού ή κάθετος ποδών ζ καί ή βάσις ποδών ζ καί ή κοίλη ποδών ta * εύρεΐν αύτοΰ τό έμβαδόν. ποιώ ούτως τής κοίλης ούκ άναγκαίας ούσης μετρεΐσθαι * τά ούν ζ έφ’ έαυτά * γίνονται πόδες μθ. ταΰτα διά παντός έπί τά γ* γίνονται πόδες ρμζ. τούτων τό ιδ' * γίνονται πόδες ι έστω τό έμβαδόν ποδών ι . λοιπόν, έάν ή στερεόν, ποίει ταΰτα τά τοΰ έμβαδοΰ έπί τό πάχος* γίνονται —. έάν δέ θέλης τήν κοίλην τοΰ δνυχος εύρείν, πάντοτε τή καθέτω πρόστιθε τό ίδιον /J καί τό ιδ' * όμοΰ γίνονται πόδες ια. 11

FOL. 4 2 '

fol. 42r

STEREOMETRIC A I, 6 8 - 6 9

53

68. Διόνυχα μετρήσομεν, ού ή διάμετρος ποδών ιδ καί ή κάθετος ποδών ζ* εύρεΐν αύτοϋ τό εμβαδόν, ποιεί ούτως' τήν κάθετον επί τήν βάσιν, τα ζ επί τά ιδ* γίνονται 97)· " κη', ή δέ έλάσσων ποδών η < ζ '> . σύνθες τάς β περιμέτρους * γίνονται ιη < ι> ς ' λβ' ρκη' < σ κ δ '> * ών /_' γίνονται θ καί μόρια λβ' ςδ' σνς' υμη'. ταΰτα έφ’ έαυτά *γίνονται πα . ταυτα ζ* γίνονται πόδες φο / J · μέρισον εις τό (π)η* γίνονται ς δ' η' ια' πη' ρος'. ταϋτα επί τό μήκος* γίνονται ρνς. 9. Κίων, ου τό μήκος ποδών κδ, διάμετρος ή μέν προς ρίζ(η) ποδών γ, ή δέ προς κορυφήν ποδών β δ'* εύρεΐν τό στερεόν, ποιεί ούτως* τήν διάμετρον έφ’ εαυτήν* γίνονται θ. επί τό μήκος* γίνονται σις* ών δ' γίνονται νδ * ών γίνονται κζ * όμοϋ γίνονται πα. άρον άπό τών σις τά πα* λοιπόν ρλε. || fol. 45r 10. Λίθου μήκος ποδών η, πλάτος ποδών ε, πάχος ποδών δ. ποιεί δι’ άλλήλων * γίνονται ρς. τοσούτων ποδών έστι τό στερεόν του λίθου. 11. Λίθου μήκος ποδών ς δ', πλάτος ποδών δ η', πάχος ποδών β γ', ποιώ ούτως * τά ς δ' εις δ *γίνονται κε* καί τά δ η' < είς η > * γίνονται λγ * καί τά β γ' εις γ * γίνονται ζ * καί τά μέρη δι' άλλήλων * γίνονται 9C· νϋν πολυπλασιάζω τά κε επί τά λγ * γίνονται ωκε * καί έπί τό πάχος, επί τά ζ* γίνονται ,εψοε* ών ^ς' γίνονται ξ η' λβ'. 12. Λίθου μήκος ποδών ζ ζ', πλάτος ποδών δ ε', πάχος ποδών β θ', ποίει ούτως * τά ζ ζ' εις ζ *γίνονται ν. καί τά δ ε' εις ε *γίνονται κα. καί τά β θ' εις θ * γίνονται ιθ. * καί τά μέρη δι’ άλλήλων * γίνονται τιε. πολυπλασίαζε νυν τά ν έπί τά κα * γίνονται ,αν * καί έπί τά ιθ * γίνονται α ,θ^ ν. μέριζε παρά τά τιε* γίνονται ξγ γ'. τοσούτων ποδών έσται τό στερεόν τού λίθου. 13. Λίθου μήκος ποδών ε η', πλάτος ποδών γ δ', πάχος β ις'. ποίει ούτως * τά ε η' εις η *[γ'] γίνονται μα. καί τούς γ δ' εις δ *γίνονται ιε. καί τούς β ις' εις ις * γίνονται λγ. καί τά μόρια δι’ άλλήλων * γίνονται φιβ. νυν πολυπλασίαζε τά μα έπί τά ιε *γίνονται χιε. καί έπί τά λγ *γίνονται β σ9ε* ών φιβ' γίνονται λθ η' ογ'. || fol. 45ν 14. Λίθου μειούρου τό μήκος ποδών η, πλάτος τό μεΐζον ποδών γ, τό δέ έλασσον ποδών β. ποίει τά μείζω πάχη δι’ άλλήλων* γίνονται θ. καί τούς β δι’ άλλήλων* γίνονται δ. σύνθες* γίνονται ιγ* ών γίνονται ς / J . καί έπί τό μήκος* γίνονται νβ. τοσούτου τό στερεόν του λίθου. 15. Σκούτλης μήκος ποδών η δ', πλάτος ποδών ε ς'. ποίει

fol.

4 6 r, 4 6

STEREOMETRICA II, 1 6 - 2 0

57

ούτως· τούς η /J S' εις S ’ γίνονται, λε. καί τούς ε ζ' εις ς* γίνονται λδ. καί τα μόρια δι’ άλλήλων' γίνονται κδ. νυν πολυπλασίαζε τα λε έπί τά λδ· γίνονται ,αρ γ- ών κδ' γίνονται μθ ιβ'. τοσούτων ποδών έσται το στερεόν της σκουτλης. 16. Σκούτλης τριγώνου οξείας μήκος ποδών ζ γ ', πλάτος ποδών δ< δ' > < ποίει ούτως· τούς ζ γ' έπί τά γ* γίνονται κβ. καί τούς δ δ' έπί τά δ· γίνονται ι ζ ’ > ών / ' γίνονται η καί τά μόρια δι' άλλήλων γίνονται ιβ. νυν πολυπλασίασον τά κβ έπί τά η /_' * γίνονται ρπζ. μέριζε παρά τά ιβ· γίνονται < ι> ε γ' δ', τοσούτων εσται. 17. ’Έ στω κίων τετράγωνος, οϋ αί περί την βάσιν πλευραί έκ ποδ δ, αί περί την κορυφήν έκ ποδών γ, μήκος ποδών λ* εύρεΐν αύτού το στερεόν, ποίει ούτως* τούς έν τη βάσει πόδας δι’ άλλήλων γίνονται ις. ομοίως καί τούς έν τή κορυφή δι' άλλήλων < γίνονται θ . . . . > || fol. 46r The last line of fol. 45v till the tenth line of fol. 46 repeats fol. 42v line 4 till fol. 42v line 12. After this the dittographv continues. 18. "Ωατον δέ μετρήσαι, ού ή κάτω διάμετρος ποδών ε, καί ή άνω διά­ μετρος ποδών γ· εύρεΐν, πόσους κυάθους χωρήσει. ποίει ούτως· σύνθες τάς β διαμέτρους· όμού γίνονται πόδες η* ών ’ γίνονται πόδες δ. ταύτα κύβισον* γίνονται πόδες ξδ. ταύτα ια* γίνονται πόδες ψδ. τούτων τό μβ' * γίνονται πόδες ιζ ζ' ιδ' κα', τοσούτους κυάθους χωρήσει. 19. Πιθοειδ(έ)ς σχήμα μετρήσομεν, ού ή μεν μείζων διάμετρος ποδών δ, ή δέ μικροτέρα ποδών γ * εύρεΐν, πόσους χωρήσει άμφορέας. ποιώ ούτως· συντιθώ τάς β διαμέτρους· γίνονται ζ· ών * γίνονται γ . ταύτα έφ’ έαυτά* γίνονται ιβ δ', ταύτα ια* γίνονται πόδες ρλε* ών το ιδ'* γίνονται πόδες θ ζ'. τοσούτους άμφορέας χωρεΐ* έχει δέ άμφορεύς ξέστας ’Ιταλικούς άριθμώ μη. έξης ή καταγραφή. j| fol. 46ν 20. Πίθου σφαιροειδούς ή προς το χείλος διάμετρος ποδών ε, το δέ βάθος ποδών η · εύρεΐν, ποσους άμφορέας χωρεΐ. ποιώ ούτως * της δια­ μέτρου το * γίνονται πόδες β . ταύτα ποιώ γ. ■γίνονται πόδες ζ / J . τούτοις προστιθώ το βάθος* όμού γίνονται πόδες ιε . ταύτα έφ' έαυτά* B r u in s , Codex Cons tan tinopolitanus II

5

54

STEREOMETRICA II, 1 - 3

fol.

4 3 r- 4 3 v,

Tat πόδες οβ δ', ταΰτα δίς* γίνονται πόδες ρμδ * ών πλευρά τετρα­ γωνική γίνεται ποδών ιβ. · Την δέ διαγώνιον εύρεΐν του αύτοΰ κύβου, ήτις έστί διάμετρος της σφαίρας, ποιώ ούτως* τήν μίαν πλευράν τού κύβου, ήτις έστί ποδών ιβ, ποίει έφ’ έαυτ(ήν) * γίνονται πόδες ρμδ. ταϋτα δίς * γίνονται σπη* ών πλευρά τετραγωνική γίνεται ποδών ιζ. τοσούτον έστιν ή διαγώνιος του κύβου, ήτις έστί διάμετρος της σφαίρας. [fol. 42ν line 12 — fol. 43 line 13 is a clittographv of fol. 46 line 10 — fol. 47 line 7, apart from some minor details], ml. 43r Κολυμβήθρας καί φρέατος καί κούππας καί κίονος καί τοίχων καί λίθων καί πη(λ)ών καί τών δοκών οίονδηποτοΰν σχήμα, έάν τις εΐπη τό μήκος καί τό πλάτος καί τό βάθος ή τό ύψος, έάν τις ζητήση, πόσα κεράμια χωρεΐ, ή πόσοι πόδες στερεοί γίνονται, εύρήσομεν ούτως * πολυπλασιάζω τό μήκος έπί τό πλάτος καί τα γινόμενα έπί τό βάθος ή έπί τό ύψος * καί τοσαυτα κεράμια εσται ή πόδες στερεοί. Οΐον * 1. ’Έ στω κολυμβήθρα καί έχέτω τό μήκος ποδών κε, τό δέ πλάτος ποδών ιβ, τό δέ ύψος ποδών ε [ήτοι τό βάθος] * εύρεΐν, πόσα κεράμια χωρήσει, ή πόσου στερεοί γίνονται πόδες* ποίει ούτως* πολυπλασιάζω τό μήκος έπί τό πλάτος ήγουν τά ιβ έπί τά κε* γίνονται τ. ταΰτα έπί τό βάθος, έπί τά ε * γίνονται ,αφ. τοσαΰτα χωρήσει κεράμια. 2. ’Έ στω κολυμβήθρα καί έχέτω τό μήκος ποδών ι, τό δέ πλάτος ποδών ε καί τό βάθος ποδών δ, καί μεμαρμαρ(ώ)σθω * ζητώ, πόσους πόδας συνάγει, ποίει ούτως* συντιθώ τά ι καί τά ε* γίνονται ιε. ταΰτα ποιώ δίς* γίνονται λ. ταΰτα έπί τό βάθος, έπί τούς δ πόδας * γίνονται ρκ. γενήσονται οί τοίχοι τής κολυμβήθρας ρκ. έστω νΰν καί τό έδαφος τής κολυμβήθρας fol. 43ν εύρεΐν. ποίει ούτως* πολυπλασιάζω τό πλάτος έπί τό μήκος* || γίνονται πόδες ν. ταΰτα προστίθημι τοΐς ρκ* γίνονται ρο. έσται ποδών ρο. 3. ’Έ στω φρέαρ καί έχέτω διάμετρον ποδών ε, καί περιοικοδομείσθω τοίχος έχων πλάτος ποδών β, τό δέ βάθος ποδών κ* εύρεΐν, πόσων ποδών γίνεται ό τοίχος, ποίει ούτως* τοΰ τοίχου τό πλάτος δίς* γίνονται δ. ταΰτα προστίθημι τή διαμέτρω τοΐς ε * γίνονται πόδες θ * έστω ή διάμετρος τοΰ τοίχου καί τοΰ φρέατος ποδών θ. ταΰτα έφ’ έαυτά* γίνονται πα* καί

fol.

4 4 r, 4 4

STEREOMETRIC A II, 4 -7

30

άφαιρώ άπό των πα τήν διάμετρον του φρέατος τά ε έφ’ έαυτά· γίνονται κε· λοιπόν νς1. ταΰτα άε'ι ια* γίνονται χις. τούτων άεί τό ιδ'· γίνονται μδ. ταΰτα πολυπλασιάζω επί τό βάθος* γίνονται ωπ, έ'σται ό τοίχος στερεών ποδών ωπ. 4. ’Έ στω κοΰππα καί έχέτω τήν κάτω διάμετρον ποδών ε, τήν δε άνω ποδών γ, τό δέ ύψος ποδών η, καί έχέτω τον οίνον έως ποδών ζ *πόσα ούν κεράμια χωρήσει; ποιώ ούτως* άφαιρώ τά γ άπό τών ε* λοιπόν β. ταΰτα επί τά ς* γίνονται ιβ. τούτων τό η'* γίνεται α . καί άφαιρώ τήν α /_' άπό τών ε* λοιπόν γ . εσται ούν τό πλάτος, έως οπού 6 οίνος άνέβαινεν, ποδών καί ποιώ τά γ καί τά ε όμοΰ *γίνονται πόδες η * ών /_' γίνονται δ δ', καί ταΰτα έφ’ έαυτά* γίνονται ιη ις', ταΰτα ια* γίνονται fol. 44Γ ρψη η' ιί'. τούτων μερίζω τό ιδ' * γίνονται πόδες ιδ || ζ' κη' ριβ' σκδ'. ταΰτα ποιώ επί τό ύψος, έπί τούς ς* γίνονται πόδες πε ζ' ριβ'. τοσαΰτα κεράμια χωρήσει, πε ζ' ριβ'. 5. ’Έ στω κοΰππα καί έχέτω τήν άνω διάμετρον ποδών ς καί τήν κάτω διάμετρον ποδών η, τό δέ ύψος ποδών ι* εύρεΐν, πόσα κεράμια χωρήσει. ποιώ ούτως * συντίθημι τήν άνω διάμετρον καί τήν κάτω * . ταϋτα ποίησον έπί τό βάθος, επί τούς ιη * γίνονται fol. 49Γ ,αυο γ' μβ'. || τοσούτων ποδών έσται ή καμάρα. Έαν δέ άπό περιφερείας μετρήται ή καμάρα ή αύτή, ποιώ ούτως* σύνθες τά κδ καί πρόσθες τον πρώτον πρωτοσφήνα, τουτέστι τό πάχος τών β ποδών* όμοΰ γίνονται κς'. ταϋτα πολυπλασίασον εις τά γ καί ζ' τούτων πρόσθες* γίνονται πα ζ' ιδ '* ών γίνονται μ Ζ.' Ύ ^β'· τοσούτων ή μεσάτης τών β περιφερειών έστιν. ταϋτα ποιώ έπί τον πρωτοσφήνα, έπί τούς β πόδας τοΰ πάχους* γίνονται πόδες πα ζ' ιδ'.

FOL. 4 9

STEREOMETRICA II, 2 9 - 3 1

61

ταύτα ποιώ επί τό βάθος, έπί τούς ιη πόδας" γίνονται πόδες (αυο (/_') γ ' μβ'. τοσούτων ποδών έσται ή καμάρα. 29. 'Ως δει μετρήσαι καμάραν άπ’ εύλόγ(χ)ου. έστω καμάρα, ής ή διάμετρος ποδών ι, οι δέ πρωτοσφήνες, < ο'ί> είσιν πλάτος τού κλίματος της καμάρας, εκατέρωθεν έκ ποδών β, τών δέ άπ’ εύλόγ(χ)ων αί βάσεις έκ πάχους ποδών γ, ή δέ κάθετος άπό της κορυφής έπί τό κέντρον τού πάχους ποδών ιε, τό δέ βάθος της καμάρας ποδών ιβ. ποιώ ούτως· τούς τού κενώματος τούς ι πόδας έφ’ εαυτούς· γίνονται ρ. ταύτα ποιώ ένδεκάκις’ γίνονται ,αρ. τούτων τό κη'" γίνονται λθ δ' κη'. ταύτα άπόγραψαι. καί σύνθες την βάσιν τής καμάρας σύν πάχεσι, τα γ καί τα β καί ιβ καί γ· όμού γίνονται κ. ταύτα ποίει έπί τα ιε· γίνονται τ. τούτων τό " γίνονται ρν. άπό τούτων άρον τά λθ δ’ κη' · λοιπόν γίνονται πόδες ρι ζ ο', ταύτα έπί τό βάθος τής καμάρας, έπί τούς ιβ πόδας* γίνονται ,ατκη ιδ'. τοσούτων ποδών έσται τό στερεόν. |j fol. 49ν 30. Έ άν δέ ή καμάρα όπτοπλίνθινος ή, τά δέ άλλα πάχη διά σπαρακτοΰ, καί θέλω μεν διαχωρίσαι, τούτο ποιούμεν ούτως' σύνθες τούς ι πόδας τού κενώματος καί τούς εκατέρωθεν πρωτοσφήνας τούς άνά β· όμού γίνονται πόδες ιδ. ταύτα έφ’ έαυτά- γίνονται ργς. ταύτα ια" γίνονται ,βρνς* ών κη', έπειδή έστιν κύκλου, γίνονται οζ. άπό τούτων ΰφελε τούς τού κενώματος τούς [σ] λθ δ' κη' * λοιπόν γίνονται πόδες λζ < ζ '> ιδ '. τούτους ποίει έπί τό βάθος τής καμάρας, έπί τούς ιβ πόδας- γίνονται πόδες υνβ ιδ'. τοσούτων ποδών είσιν οί οπτόπλινθοι, τούτους ύφελε άπό τού πάντος στερεού τών (ατκη ιδ' · λοιπόν γίνονται σπαρακτοΰ πόδες ωος. 31. 'Ως δει κόγχην μετρεΐν έν τή πλίνθω, ής ή διάμετρος τού κενώματος ποδών ιη, οί πρωτοσφήνες εκατέρωθεν έκ ποδός α* εύρεΐν τό στερεόν, ποίει ούτως ’ σύνθες τούς τού κενώματος πόδας ιη καί τούς πρωτοσφήνας τούς β · γίνονται πόδες κ. ταύτα έφ’ έαυτά" γίνονται υ. καί πάλιν έπί τούς κ* γίνονται ,η* καί έγένετο κύβος· ών γίνονται ,δ, καί πάλιν ών κα'" (γίνονται) ργ* γ ’ ζ ' " όμού γίνονται πόδες 7δρ9 γ ζ'· τοσούτου έσται ή σφαίρα, ως ’Απολλώνιος έν τώ γ ' τών λογιστικών, πάλιν τούς τού κενώματος πόδας ιη έφ’ έαυτούς" γίνονται τκδ. τούτους έπί τούς [σ]ιη* γίνονται πόδες ;εωβ καί λ" ών γίνονται /β~^ις’. καί λαβέ αύτών τό μβ'

58

STEREOMETRICA II, 2 1 - 2 4

FOL. 4 7 r

I Vr

γίνονται πόδες σμ δ'. ταΰτα ια* γίνονται πόδες ,βχμβ Ζ/ δ'. άρτι μερίζω' ών κ α '' γίνονται πόδες ρκε γ' πδ'. τοσόυτους άμφορέας χωρήσει, διότι ό πούς ό στερεός χωρεΐ άμφορίσκον α. 21. ’Άλλου πίθου ή κάτω διάμετρος ποδών β //, ή δέ άνω ποδών γ, τό δέ βάθος έχει πόδας ζ" εύρεΐν, πόσους άμφορέας χωρεΐ. ποιώ ούτως* σύνθες τάς β διαμέτρους' γίνονται πόδες ε Ζ /' ών γίνονται β Ζ." δ', ταυτα έφ’ έαυτά' γίνονται πόδες ζ ις'. ταυτα επί τό βάθος, επί τούς πόδας' γίνονται με δ 'η ', ταυτα ια ' γίνονται πόδες υγθ < η ’ > . άρτι μερίζω' ών ιδ’ ’ γίνονται πόδες λε /J ζ' ριβ'. τοσούτους άμφορίσκους χωρήσει. ό δε άμφοοίσκος έχει πόδα α στερεόν, χωρεΐ δέ 6 στερεός πούς ςέστας ’Ιταλικούς άριθμω μη · γίνονται μόδιοι γ, έκαστος μόδιος έκ ςεστών ’Ιταλικών [γ] άριθμω ις. 22. ’Έ στω λουτήρ στρογγυλός, ού ή κάτω διάμετρος ποδών ε, ή δέ άνω προς τό χείλος ποδών ι, τό δέ βάθος ποδών ς ' εύρεΐν αύτοΰ τό ίοΐ. 47Γ στε||ρεόν. ποιώ ούτως’ τά ε έφ' έαυτά' γίνονται κε* καί τά ι έφ’ έαυτά' γίνονται ρ ' όμοϋ ρκε. καί ποιώ τά ε έπί τά ι ' γίνονται ν. ταυτα προστιθώ τοΐς ρκε · όμου γίνονται πόδες ροε. τούτων λαμβάνω τό γ ’ μέρος' γίνονται πόδες νη γ '. ταυτα ποιώ έπί τό βάθος, έπί τούς ς πόδας' γίνονται πόδες τν. έσονται στερεοί πόδες τν, καί χωρήσει κεράμια τν. 23. ’Έ στω κολυμβήθρα καί έχέτω τό μήκος ποδών κε, τό δέ πλάτος ποδών ιβ, τό δέ ύψος ποδών ε [ήτοι τό βάθος]' εύρεΐν πόσα κεράμια χωρήσει, ή πόσοι πόδες στερεοί γίνονται, ποίει ούτως' πολυπλασιάζω τά ιβ έπί τά κ ε - γίνονται τ. ταυτα έπί τό βάθος, έπί τά ε ' γίνονται ,αφ. τοσαύτα χωρήσει κεράμια. 24. Ά π ο σκιάς εύρεΐν κίονος μεγάλου ή δένδρου ύψηλοΰ τό ύψος άπό ώρας ε' έως ώρας ζ', οτε μικράν τήν σκιάν έχει, ποιώ ούτως' θές εις τον ήλιον ράβδον ΐσην < δί> πηχυν πλησίον τοΰ δένδρου ή κίονος καί ίδέ, πόσην σκιάν ποιεί, καί νόμιζε, οτι έποίησε τήν σκιάν ποδών ζ. * δήλον, δτι διπλασίονα άναλογίαν έχει ή σκιά προς τήν ράβδον, μετρήσωμεν ούν τοΰ κίονος ή δένδρου τήν σκιάν, καί εύρέθησαν νόμιζε πόδες ρ' λέγω, οτι ν πόδας έχει, ώσπερ καί έπί της ράβδου διπλασίονα άναλογίαν έχει ή σκιά, οΰτω καί έπί τοΰ κίονος ήτοι έπί τοΰ δένδρου τώ διαλογισμώ, καίτοι διάφοροι εύρίσκονται. ώσπερ οΰν ένταΰθα τά μέν . . . οΐον λόγον

FOL. 4 8 r

STEREOMETRICA II, 2 5 - 2 7

59

fol. 47v έχει ή ράβδος προς τήν άφ' έαυτής 11 σκιάν, ούτω καί τό δένδρον προς τήν άφ' έαυτοΰ σκιάν καί ό κίων.

25. Έάν ή ψαλίς, (ή) έγγεγραμμένη έστίν έν τετραγώνω, ταυτήν μετρήσωμεν ούτως· έστω γάρ αύτής το μέν μήκος ποδών κα, τό δέ πλάτος ποδών ιβ, τό δέ βάθος ποδών ε, τής μέν ψαλίδος ή βάσις ποδών δ, ή δέ τής καμάρας ποδών ις, ή δέ κάθετος ποδών ιδ, τό δέ βάθος ποδών β, τού δέ προσεκβεβλημένου τετραγώνου τό μήκος ποδών ε, τό δέ πλάτος άνά ποδών δ, τό δέ βάθος < ποδών γ. > μετρήσομεν ούτως* τό τετράγωνον ολον μετρήσ(ο)μεν πρώτον κατ’ ιδίαν ούτω* τά ιβ επί τα κα* γίνονται σνβ. ταύτα πολυπλασίασον επί τό βάθος, επί τά ε * γίνονται ,ασς. [τ] αύτήν πάλιν μετρήσαι τήν ψαλίδα κατ’ ιδίαν* μετρήσ(ο)μεν δέ αύτήν ούτως* σύνθες τήν κάθετον τά ιδ καί έ'τι τήν βάσιν τής καμάρας τά ις" εις τό αύτό * γίνονται λ. τούτων τό /_' * ιε. ταύτα πολυπλασίασον επί τήν κάθετον τής καμάρας, επί τά < ιδ * γίνονται σι. ταύτα > β * γίνονται υκ. ταύτα άφαιροΰμεν άπό τού ολου τετραγώνου, άπό τών ,ασς* λοιπόν ωμ. τοσούτων ποδών έ'σται τό λοιπόν τετράγωνον άνευ τής καμάρας, τό έξωθεν μετρήσ(ο)μεν τετρά­ γωνον τό προσεκβεβλημένον, τουτέστι τά δ επί τά ε* < γίνονται κ*> ταύτα πάλιν επί τό βάθος πολυπλασίασον, επί τά γ* γίνονται ξ. ταύτα προσθήσ(ο)μεν τοΐς ωμ* γίνονται καί τοσούτων ποδών έ'σται του σχήματος τό εμβαδόν σύν τή ψαλίδι, έάν δέ ή μείζ(ω)ν ημικυκλίου, λαβέ τής ψαλίδος τό κα' μέρος, οιον αν ή τό σχήμα, καί προστίθει προς τό ολον εμβαδόν* καί τοσούτων ποδών έ'σται τό σχήμα, έάν δέ ή μεί(ω)ν ήμικυfol. 48Γ κλίου || άν τε ημικύκλιον, ομοίως μετρήσ(ο)μεν. καί έάν δύο ή τετράγωνα προσεκβεβλημένα, ωσαύτως μετρήσ(ο)μεν, ώς προγέγραπται. 26. ’Έ στω ψαλίς, ής ή βάσις ποδών ιδ, ή δέ κάθετος ποδών ζ, τό δέ βάθος έχέτω 6 κατακλε ιόμένος σφήν ποδών β, τό πάχος α *εύρεΐν τήν περίμετρον καί τό στερεόν, σύνθες τά ιδ καί τά ζ* γίνονται κα. τούτοις πρόσθες καθόλου τό ’ίδιον κα' * γίνεται α. όμοΰ γίνεται κβ ποδών ή περί­ μετρος. καί πολυπλασιάζω τά β επί τον α * γίνονται γ. ταύτα επί τά κβ * γίνεται ξς ποδών τό στερεόν. 27. Έ άν δέ ή μείζων καμάρα, καί ή έν αύτή έτέρα έγγεγραμμένη καμάρα, καί ώσι τής μέν μείζονος καμάρας αί μέν άνωθεν άνά ποδών β, ή δέ βάσις ποδών κ, ή δέ κάθετος ποδών ι, τής δέ έλάσσονος καμάρας ή

64

STEREO.METRICA III, 3 - 5

fol.

5 2 r, 5 2

σομαι επί τώ αύτώ έπιχόμενος μέτρω τό μεΐζον ημικύκλιον, ώς έμάθομεν * εάν δέ η μείζων ή έλάσσων, ποίει ώς τά τμήματα του κύκλου. τό μέν ημικύκλιον μετρηθέν γίνεται ποδών νδ' όλην γάρ έχει την βάσιν ποδών ιβ. έπειτα άνταναφέρω τούς β πόδαςτούς άπότήςκορυφήςέξέκατέρου του μέρους [λοιπόν είσι πόδες ν]. έμέτρησα νυν έτερον ήμικύκλιον έλασσον, (ώ)ς επί τού πρώτου μετρηθέντος, καί γίνεται ποδών κδ, ά συναναφέρω άπό τοϋ μείζονος ημικυκλίου, οιον άπό των νδ τά κδ · λοιπόν λ. τοσούτων έσται αύτή ή ψαλίς. τ(ώ ) δ’έν ταϊς στερεομετρίαις έξεστιν εύκόπως κατακολουθειν, επεί ενός έκάστου ή μέτρησις, καθώς άνω προδεδήλωται. 3. ’Έ στω οίκος εχων τό μήκος ποδών κ καί τό πλάτος ποδών ιγ /[' · δει δέ γνώναι, πόσαι εις τούτον τον οίκον κεραμίδες άναβαίνουσιν · έστω δέ ή κεραμίς ποδών β, τό δέ πλάτος ποδών α/_'. ποίει ούτως' επειδή ή κεραμίς ήμιπόδιον ύποτίθεται ύπό την έτέραν κεραμίδα, ά,φελε άπό τού μήκους της κεραμίδος