Chemia jądrowa : zarys problematyki przemian jądrowych 8301120533 [PDF]

Zitiervorschau

WOJCIECH SZYMAŃSKI

Zarys problematyki przemian jądrowych Wydanie drugie poprawione i rozszerzone

Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1996

PRZEDMOWA DO II WYDANIA

Niniejsza pozycja jest p o p r a w i o n ą i nieco rozszerzoną wersją „Chemii j ą d r o w e j " , P W N 1991. Wszystkie elementy istotne dla przedstawienia przedmiotu, w aspekcie przede wszystkim ogólnych prawidłowości, zostały zachowane; mówi o nich pozostawiony w nie zmienionej postaci wstęp. W p r o w a d z o n e zmiany i ulepszenia idą w kierunku uwypuklenia faktu, że centralnym zagadnieniem najogólniej pojętej nukleoniki są s a m o r z u t n e i wywołane przemiany j ą d r a atomowego; pod­ kreślono to w podtytule. A u t o r żywi nadzieję, iż konsekwentnie realizowany zamiar przedstawienia chemii jądrowej w możliwie najbardziej ogólnej postaci spowoduje zainteresowanie książką j a k o źródłem informacji szerszym niż podręcznikowe.

SPIS TREŚCI

Wstęp Główne zagadnienia radiochemii

11 12

1. Jądro atomowe 1.1. Model atomu 1.2. Cząstki elementarne 1.2.1. Masy cząstek 1.2.2. Efekty relatywistyczne 1.2.3. Oddziaływania cząstek elementarnych 1.2.4. Antycząstki 1.2.5. Statystyka 1.2.6. Kwarki 1.3. Klasyfikacja jąder 1.4. Energia wiązania 1.5. Rozkład masy i ładunku w jądrze 1.6. Ruch obrotowy a jądro 1.6.1. Mechaniczna energia obrotowa 1.6.2. Moment pędu 1.6.3. Momenty jądrowe 1.6.4. Magnetyczny moment jądra 1.6.5. Precesja 1.6.6. Metody wyznaczania momentu jądrowego 1.7. Parzystość 1.8. Siły jądrowe 1.9. Modele jądrowe 1.9.1. Studnia potencjału jądrowego 1.9.2. Model kroplowy 1.9.3. Model powłokowy 1.9.4. Model gazu Fermiego 1.9.5. Model kolektywny

27 27 32 36 36 39 40 42 46 47 48 50 52 53 53 54 58 58 60 61 62 68 69 71 77 87 89

2. Prawo rozpadu promieniotwórczego 2.1. Szeregi promieniotwórcze 2.2. Prawo rozpadu promieniotwórczego 2.2.1. Przykłady stosowania prawa rozpadu 2.3. Mieszanina niezależnie rozpadających się nuklidów

91 91 95 98 99

2.4. N a g r o m a d z a n i e się p r o d u k t ó w radioaktywnych 2.4.1. Wydajność p r o d u k t u reakcji jądrowej 2.5. R o z p a d rozgałęziony 2.6. Jednostki promieniotwórczości 2.7. Oznaczanie okresów p ó ł r o z p a d u 2.8. Aktywność właściwa

101 107 108 110 113 115

3. Samorzutne przemiany j ą d r o w e 3.1. Przemiana a 3.1.1. Energie i czasy r o z p a d u a 3.1.2. Efekt tunelowy 3.2. Przemiana /? 3.2.1. Efekt energetyczny fi 3.2.2. Postulat Diraca istnienia elektronu dodatniego 3.2.3. Hipoteza neutrino 3.2.4. Wychwyt elektronu 3.2.5. R ó w n a n i e Fermiego — teoria r o z p a d u fi 3.3. Przemiana y 3.3.1. Konwersja wewnętrzna 3.3.2. Tworzenie p a r 3.3.3. Klasyfikacja promieniowania elektromagnetycznego i warunki przemian y (teoria r o z p a d u y) 3.3.4. Izomeria j ą d r o w a 3.4. S a m o r z u t n e rozszczepienie (SF)

116 119 123 127 130 131 134 135 138 139 145 146 148

4. Oddziaływanie promieniowania z materią. Reakcje j ą d r o w e 4.1. Podstawowe rodzaje reakcji jądrowych 4.2. Bilans energetyczny reakcji jądrowych 4.3. Przekrój czynny 4.4. Bariera k u l o m b o w s k a 4.5. Teoria Bohra jądra złożonego 4.6. Ważniejsze reakcje dwuciałowe 4.6.1. Reakcje a - p r o t o n 4.6.2. Reakcje a - n e u t r o n 4.6.3. Reakcje p o w o d o w a n e przez p r o t o n y 4.6.4. Reakcje p o w o d o w a n e przez deuterony i oddziaływania bezpośre­ dnie 4.6.5. Reakcje p o w o d o w a n e przez neutrony 4.6.6. Reakcje fotojądrowe 4.6.7. Reakcje p o w o d o w a n e przez elektrony 4.7. Reakcja rozszczepienia 4.7.1. Energia reakcji rozszczepienia 4.7.2. Przekrój czynny w reakcji rozszczepienia 4.7.3. Teoria procesu rozszczepienia

161 163 165 168 172 176 182 183 184 186

149 154 158

189 194 199 201 203 206 208 212

4.8. Reakcje termojądrowe 4.8.1. K o n t r o l o w a n e reakcje termojądrowe 4.8.2. Reakcje zimnej syntezy (zimna fuzja) 4.8.3. Reakcje termojądrowe w gwiazdach 5. Oddziaływanie promieniowania z materią. Procesy absorpcji promieniowania nie prowadzące d o przemian jądrowych 5.1. Pochłanianie promieniowania jonizującego i neutronów 5.1.1. Procesy absorpcji cząstek a, p r o t o n ó w i innych cięższych cząstek naładowanych 5.1.2. Absorpcja promieniowania fi 5.1.3. Absorpcja promieniowania elektromagnetycznego 5.1.4. Absorpcja n e u t r o n ó w 5.1.5. Radionuklidy j a k o źródła mocy 5.2. Detektory promieniowania jonizującego i neutronów 5.2.1. Współczynnik detekcji 5.2.2. Liczniki proporcjonalne i G e i g e r a - M u l l e r a 5.2.3. Liczniki scyntylacyjne 5.2.4. Liczniki półprzewodnikowe 5.2.5. Liczniki neutronów 5.2.6. Urządzenia przeliczające 5.2.7. Statystyka p o m i a r ó w 5.3. Chemia radiacyjna 5.3.1. Ź r ó d ł a promieniowania w chemii radiacyjnej 5.3.2. Absorpcja energii promieniowania w układzie 5.3.3. Mikroniejednorodny rozkład energii zaabsorbowanej w układzie 5.3.4. Procesy radiacyjne 5.3.5. Radioliza wody 5.3.6. Radioliza związków organicznych 5.3.7. Dozymetria promieniowania 6. Akceleratory cząstek i reaktory j ą d r o w e 6.1. Akceleratory cząstek i źródła n e u t r o n ó w 6.1.1. Klasyfikacja akceleratorów 6.1.2. Ź r ó d ł a cząstek n a ł a d o w a n y c h 6.1.3. G e n e r a t o r C o c k r o f t a - W a l t o n a 6.1.4. Akcelerator van de Graaffa 6.1.5. Akceleratory liniowe wysokiej częstości 6.1.6. Akceleratory cykliczne 6.1.7. Ź r ó d ł a n e u t r o n ó w 6.2. R e a k t o r y jądrowe 6.2.1. Reakcja łańcuchowa 6.2.2. Współczynnik rozszczepienia 6.2.3. Współczynnik powielania

216 218 221 222

232 232 233 243 250 257 259 260 261 262 275 277 281 281 282 284 285 287 289 291 295 306 309 314 314 314 315 317 318 319 321 326 328 329 331 331

6.2.4. Niektóre dane o reaktorach termicznych 6.2.5. Powielanie substancji rozszczepialnych i reaktory na neutrony prędkie 6.2.6. Paliwo jądrowe 6.2.7. Problem energetyczny a reaktory jądrowe Literatura Prace zbiorowe:

334 337 341 350 352 352

WSTĘP

Niniejsza książka jest kontynuacją serii skryptów wydanych w Uniwersytecie M . K o p e r n i k a w latach 1969-86 i stanowi ich nową wersję. Podręczniki te, przeznaczone dla studentów chemii na uniwersyteckich studiach stacjonarnych, nosiły różne tytuły, od „Elementów chemii j ą d r o w e j " przez „Wstęp d o fizykochemii j ą d r o w e j " aż d o aktualnego tytułu „ C h e m i a j ą d r o w a " . Ta zmienność tytułów odbija pewną, dość zasadniczą, prawdę dotyczącą trudności ścisłego zdefiniowania przed­ miotu, potocznie określanego j a k o chemia j ą d r o w a . Sprawa ta wymaga nieco szerszego komentarza. E p o k o w e odkrycia w dziedzinie przemian jądra a t o m o w e g o , datujące się od około stu lat, zaowocowały w ostatnim półwieczu licznymi rozwiązaniami praktycz­ nymi, od tak znanych, jak b r o ń n u k l e a r n a i energetyka j ą d r o w a oraz medyczne zastosowania promieniowania jonizującego i radiowskaźników, d o mniej znanych szerszemu ogółowi, j a k izotopowe źródła mocy czy radiacyjna modyfikacja poli­ merów. R a n g a tych odkryć i skala rozwiązań technologicznych narzuciły od pewnego czasu konieczność wprowadzenia elementów nauki o przemianach j ą d r o ­ wych d o p r o g r a m ó w nauczania na kierunkach ścisłych. Dla kierunku chemicznego sugerowano wybranie czysto chemicznych aspektów n a u k i o przemianach jądrowych (nukleoniki), co sprowadzałoby się d o nauczania technologicznej strony niektórych rozwiązań praktycznych. W pewnej mierze zostało to zrealizowane, czego ilustracją jest pokutujący w niektórych p r o g r a m a c h chemii uniwersyteckiej termin „radiochemia". Nie m o ż n a było j e d n a k oprzeć p r o g r a m u przedmiotu na opisowym, w przewa­ żającej mierze, materiale dotyczącym radiochemii bez p o d a n i a przynajmniej nie­ których ogólnych praw, j a k choćby p r a w a rozpadu promieniotwórczego, nie mającego nic wspólnego z tradycyjną chemią. D o c h o d z i m y tu d o istoty trudności definicyjnych, k t ó r a sprowadza się d o sensu terminu „chemia", j a k o kierunku nauczania. M o ż n a t r a k t o w a ć chemię j a k o zbiór receptur analitycznych i preparatywnych (taką była w połowie ubiegłego stulecia), nie m a m y j e d n a k wtedy d o czynienia z nauką ścisłą w p o d s t a w o w y m sensie, lecz z technologią. M o ż n a t r a k t o w a ć chemię bardziej „ n a u k o w o " , j a k to się robi obecnie, wprowadzając d o niej cały zespół praw ogólnych: bądź w postaci odrębnego przedmiotu (np. chemii fizycznej), bądź bezpośrednio stosując te p r a w a d o pewnej klasy połączeń chemicznych (np. fizykochemia organiczna). Terminy „fizyka", „fizyczny" nie pojawiają się tu p r z y p a d k o w o ; p o prostu nie istnieje żadne dostatecznie ogólne i ścisłe p r a w o rządzące przemianami chemicznymi, które nie byłoby prawem fizycznym. M o ż n a wreszcie podejść d o chemii w sposób jeszcze bardziej podstawowy, próbując opisać

teoretycznie d a n y związek czy klasę związków i dążąc d o przewidywania ich zachowań; ta chemia k w a n t o w a jest w istocie działem fizyki teoretycznej, choć z uwagi na konieczność grubych przybliżeń w miarę komplikacji strukturalnych, dezawuowanym przez część fizyków. Wszystko t o , co powiedziano wyżej o chemii, odnosi się również d o chemii jądrowej. Nie m o ż n a rozpatrywać chemicznych aspektów przemian jądrowych bez podstawowych wiadomości o strukturze j ą d r a a t o m o w e g o oraz o samorzutnych przemianach, j a k i m o n o podlega. Nie m o ż n a p o d a w a ć schematów reakcji jądrowych, które mają niejednokrotnie ciekawe konsekwencje „chemiczne", bez omówienia podstawowych modeli tych reakcji. Z a t e m w chemii jądrowej trzeba uwzględnić dość dużo treści wziętych z fizyki jądrowej, szczególnie tych dostatecznie u g r u n t o w a n y c h i nie wymagających użycia zbyt specjalistycznego a p a r a t u teoretycznego. Być może a d e k w a t n y m terminem określającym zakres omawianego przez nas przedmiotu byłby termin „fizykochemia j ą d r o w a " , nie przyjął się on j e d n a k w literaturze. Pozostanie przy nieprecyzyjnym terminie „chemia j ą d r o w a " jest uleganiem tradycji, trzeba więc konsekwentnie naszkicować tradycyjny zakres przedmiotu. Przede wszystkim trzeba zaznaczyć, że terminu tego używa się w dwóch znaczeniach: 1) szerszym — j a k o podstawy i główne elementy nauki o przemianach jądrowych widziane okiem chemika; 2) węższym — j a k o kierunek b a d a ń reakcji jądrowych w ich aspekcie chemicznym (np. produkcja nowych pierwiastków w reakcjach jądrowych i określanie ich właściwości chemicznych). Tak więc n a chemię jądrową będą się składały p o d s t a w o w e wiadomości 0 jądrze, samorzutnych przemianach jądrowych i efektach związanych z od­ działywaniem promieniowania n a materię (w tym ostatnim, b a r d z o obszernym dziale mieszczą się z a r ó w n o reakcje jądrowe, j a k i przemiany w sferze wartościowości atomów). Następnie w jej zakres będzie wchodziła chemia j ą d r o w a w sensie węższym, radiochemia i chemia radiacyjna. Przedmiotem b a d a ń chemii radiacyjnej są zmiany chemiczne w układach poddanych napromieniowaniu, będące efektem przeniesienia energii poprzez pier­ wotne procesy wzbudzenia i jonizacji. W celu ustalenia zakresu tej bardzo obszernej 1 nadal rozwijającej się dziedziny istotne jest zastrzeżenie, że stosowane tu promie­ niowania nie powodują reakcji jądrowych.

Główne zagadnienia radiochemii Określenie radiochemii j a k o działu nauki o promieniotwórczości nie jest łatwe. O d samych początków kształtowania się tej dziedziny, a początków radiochemii trzeba szukać już w okresie odkrycia promieniotwórczości, rysowały się dwa podejścia: pierwsze — pod kątem przedmiotu zainteresowania radiochemii, drugie — w aspekcie metod w niej stosowanych. Dlatego s p o t y k a m y się z jednej strony z określeniem radiochemii j a k o chemii substancji promieniotwórczych i procesów wywołanych przez przemiany promieniotwórcze, z drugiej strony zaś j a k o grupy m e t o d b a d a w -

czych oraz rozwiązań technicznych i technologicznych służących określaniu zjawisk chemicznych towarzyszących p r z e m i a n o m jądrowym. Radiochemia jest dziedziną niezwykle obszerną i bardzo zróżnicowaną; dość powiedzieć, że w jej zakres wchodzą z a r ó w n o problemy przeróbki paliwa jądrowego, j a k i badania skrajnie rozcieńczonych roztworów czy chemicznych efektów reakcji jądrowych. Jej treści są zwykle przedstawiane w obszernych opracowaniach monograficznych, nie mających c h a r a k t e r u podręcznikowego z uwagi na trudność zastosowania jednolitej koncepcji wykładu dla tak różnorodnego materiału. Niektóre pozycje literaturowe mające w tytule termin „ r a d i o c h e m i a " , jak n p . „Principles of Radiochemistry" M c K a y a , są w istocie podręcznikami chemii jądrowej. W naszym podręczniku zrezygnowano z przedstawienia radiochemii w postaci odrębnego rozdziału. Nie jest to konieczne d o wyłożenia istotnych treści chemii jądrowej w sensie szerszym, przedstawionym powyżej. Tytułem rekompensaty naszkicujemy obecnie najogólniej przyjęty zakres tematyczny radiochemii. W tekście wykorzystamy natomiast pewne elementy radiochemii w rozdziałach traktujących 0 samorzutnych przemianach jądrowych, reakcjach jądrowych oraz w rozdziale 6. Poniżej zostaną omówione, w 8 p u n k t a c h , główne zagadnienia radiochemii. 1. Wymieńmy na początek dział radiochemii zajmujący się otrzymywaniem 1 badaniem naturalnych i sztucznych pierwiastków promieniotwórczych i ich związków, określany często j a k o chemia pierwiastków promieniotwórczych. Wchodzą tu w grę zarówno pierwiastki promieniotwórcze występujące w naturalnych szeregach promieniotwórczych: polon, r a d o n , rad, aktyn, tor, p r o t a k t y n , uran oraz astat i frans, jak również pierwiastki o t r z y m a n e sztucznie w reakcjach jądrowych przez bombardowanie neutronami molibdenu: T c — technet, i neodymu: i P m — promet (oba te pierwiastki występują także w p r o d u k t a c h rozszczepienia u r a n u ) oraz pierwiastki transuranowe: n e p t u n ( N p ) , pluton ( P u ) , ameryk ( A m ) , kiur ( C m ) , berkel ( B k ) , kaliforn ( C f ) , einstein ( E s ) , ferm ( o F m ) , mendelew ( M d ) , nobel G02N0), lorens ( L r ) . Dla pierwiastków o Z > 1 0 4 p r o p o n o w a n e są nazwy: U n n i l ą u a d i u m ( U n q ) , Unnilpentium ( U n p ) , Unnilhexium ( U n h ) , Unnilseptium ( U n s ) . Uzyskanie nie istniejących w przyrodzie pierwiastków ciężkich z u r a n u i pierwiastków t r a n s u r a n o w y c h w reakcjach z n e u t r o n a m i , deuteronami i cząstkami a było m.in. wielkim osiągnięciem techniki przyspieszania cząstek. Pierwiastki o liczbach a t o m o w y c h 102-105 o t r z y m a n o przez zastosowanie wiązek ciężkich j o n ó w ( ^ B , C ) . Wymienione wyżej pierwiastki dzieli się zwykle na aktynowce (od a k t y n u d o nobelu) i transaktynowce poczynając od 4 U n q . Ze względu na identyczność chemiczną w y o d r ę b n i a się grupę uranowców (U, N p , P u , Am), pozostałe zalicza się d o kiurowców. 6

4 3

9 3

9 6

9 7

98

1 0 1

9 4

9 9

9 5

10

1 0 3

1 0 4

1 0 5

1 0 6

1 0 7

1 2

t 0

Z a d a n i e m radiochemii jest wydzielenie określonych pierwiastków promienio­ twórczych: z naturalnej mieszaniny substancji radioaktywnych, z tarcz, w których powstały w reakcjach jądrowych, bądź z p r o d u k t ó w rozszczepienia, i otrzymanie ich w maksymalnie czystej postaci. Dalszym zadaniem jest określenie konfiguracji elektronowej i wartościowości oraz wielkości fizycznych i chemicznych charak­ teryzujących pierwiastek (np. m a s a a t o m o w a , gęstość, o p o r n o ś ć elektryczna, temperatura topnienia, rozpuszczalność itp.). N a s t ę p n y m zagadnieniem jest otrzy-

mywanie związków chemicznych tych pierwiastków n a różnych stopniach utlenienia, wyznaczanie potencjałów redoks oraz badanie reakcji pierwiastków i ich związków. Oddzielnym zadaniem jest badanie struktury krystalicznej czystych pierwiastków metalicznych. Pierwiastki promieniotwórcze, p o d o b n i e j a k i trwałe, występują w postaci mniej lub bardziej licznych izotopów. W wielu p r z y p a d k a c h jest t o istotne dla celów radiochemicznych, n p . wtedy gdy określony izotop może być tworzony w znaczącej ilości. W zasadzie radiochemia nie zajmuje się b a d a n i e m jądrowych właściwości izotopów, takich j a k przekrój czynny n a absorpcję określonego promieniowania, niemniej przedstawiony w tym punkcie dział radiochemii p o k r y w a się w zasadzie z zakresem chemii jądrowej w sensie węższym, w szczególności w odniesieniu d o pierwiastków t r a n s u r a n o w y c h . 2. Obszerny dział radiochemii zajmuje się procesami współkrystalizacji i adsorpcji oraz tworzenia radiokoloidów. Rozwój tego działu związany jest z faktem b a r d z o częstego występowania substancji promieniotwórczych w ilościach śladowych, n p . w roztworach, j a k o mikroskładników w rozcieńczeniach granicznych. W celu przeprowadzenia operacji analitycznych z tak małymi ilościami stosuje się tzw. nośniki, czyli substancje możliwie identyczne chemicznie, n p . nośniki izotopowe, jeżeli występuje trwały izotop badanej radiosubstancji, lub nieizotopowe, gdy możliwe są procesy współkrystalizacji. Szeroko stosowane wydzielanie radiosubstancji metodą współstrącania opiera się n a procesach współkrystalizacji i adsorpcji. Radiochemia korzysta tu z obszernego d o r o b k u odpowiednich działów chemii fizycznej, wprowadzając swoje własne rozwiązania p o d y k t o w a n e specyfiką substancji radioaktywnych i ich bardzo różnymi okresami półtrwania. Istotnymi zagadnieniami są przy tym: podział m i k r o s k ł a d n i k a między fazy stałą i ciekłą, czynniki wpływające na ten podział (względna rozpuszczalność, temperatura, składy faz), procesy na granicy kryształ-roztwór, występowanie adsorpcji pierwotnej, gdy j o n y izotopowe lub izomorficzne wchodzą w skład sieci krystalicznej fazy stałej, lub adsorpcji wtórnej powierzchniowej oraz wewnętrznej nieizomorficznej. Z zagadnieniami tymi jest związany c h a r a k t e r roztworów: rzeczywistych oraz koloidalnych. Badania tych ostatnich doprowadziły d o wyodrębnienia się, j u ż od początków radiochemii, działu radiokoloidów. Należy wymienić również ważne ze względów poznawczych i p r a k ­ tycznych (szczególnie w aspekcie energetyki jądrowej) układy, w których fazą ciekłą są stopione sole. J a k o ilustrację doniosłości metod, które są wykorzystywane w tym dziale radiochemii, m o ż n a przypomnieć, że rad został p o raz pierwszy oznaczony w procesie izomorficznej krystalizacji z b a r e m . Proces frakcjonowanej krystalizacji doprowadził d o wykrycia promieniotwórczego b a r u w uranie p o d d a n y m działaniu n e u t r o n ó w , a tym samym d o odkrycia reakcji rozszczepienia. 3. B a r d z o ważnym zadaniem radiochemii jest badanie i stosowanie w praktyce (np. d o rozdzielania izotopów) wymiany izotopowej. Wymianą izotopową nazywa się reakcję chemiczną polegającą na wymianie a t o m ó w d a n e g o pierwiastka pomiędzy dwiema (lub więcej) postaciami chemicznymi, w których ten pierwiastek występuje. Przebieg wymiany jest nieobserwowalny, o ile

jeden z reagentów nie zostanie w jakiś sposób oznaczony. Najwygodniejszym sposobem znakowania jest przeprowadzenie zmiany składu izotopowego reagenta przez dodanie jego radioaktywnego izotopu. Można także stosować trwałe izotopy wodoru, węgla, azotu czy tlenu; detekcja przy stosowaniu wskaźników promienio­ twórczych jest dużo prostsza. Jeżeli w układzie fizycznie jednorodnym (jednofazowym) mamy dwa związki chemiczne A X i BX, między którymi następuje wymiana atomów pierwiastka X i łączna liczba atomów pierwiastka X w układzie wynosi n + n ( n — liczba atomów jednego izotopu, n — liczba atomów drugiego izotopu), a liczba atomów pierwiastka X w związku A X wynosi n + n\ (n atomów pierwszego izotopu, n\ — drugiego), to warunkiem identyczności składu izotopowego jest: x

x

x

x

A

a

Wymianę izotopową w trwałym układzie jednorodnym określa się przez podanie definicji samego układu jednorodnego i prostej reakcji wymiany izotopowej oraz przez wprowadzenie równania wykładniczego, opisującego kinetykę wymiany izotopowej. Trwały jednorodny układ w przypadku wymiany izotopowej jest to układ, w którym wymiana zachodzi między reagentami jednostajnie rozproszonymi w tej samej fazie. Wszystkie warunki panujące w takim układzie pozostają w czasie trwania reakcji nie zmienione, poza samym rozdziałem wymienianych (np. radioak­ tywnych) atomów. Prosta reakcja wymiany izotopowej zachodzi wtedy, gdy równoważne chemicznie atomy jednej cząsteczki wymieniają się z atomami izo­ topowymi drugiej cząsteczki, przy czym wymieniające się atomy drugiej cząsteczki są sobie także chemicznie równoważne. Prosta reakcja wymiany jednorodnej między cząsteczkami A X i BX, w której wymieniane są wspólne atomy X , może być zapisana: AX + BX*

AX* + BX

przy czym X* oznacza znakujący (np. radioaktywny) atom X. Zakładamy, że stała szybkość reakcji wymiany atomów X między A X i BX wynosi R w mol• d m • s ~ — w określonych warunkach. [ A X ] = a mol • dm~ — stężenie atomów X w postaci A X , aktywnych i nieaktywnych; [ B X ] = b mol • d m — stężenie atomów X w po­ staci BX, aktywnych i nieaktywnych; [AX*] = x mol • dm ~ — stężenie radioaktyw­ nych atomów X w postaci A X w czasie t; [BX*] = ymol-dm~ — stężenie radioaktywnych atomów X w postaci BX w czasie t. Jeżeli prosta reakcja wymiany izotopowej zachodzi w trwałym układzie jednorodnym, to szybkość pojawiania się znakujących (np. radioaktywnych) atomów w reagencie początkowo nie znakowanym podlega prostemu prawu wykładniczemu: - 3

3

- 3

3

3

dx

y

dr

b

„

x a

„

1

Uwzględniając warunek 'x = x , gdy t = oo, otrzymuje się: a i

Stosowanie się procesu wymiany d o p r a w a wykładniczego zachodzi niezależnie od mechanizmu procesu, liczby wymienialnych a t o m ó w w każdej cząsteczce i stężenia radioaktywnych a t o m ó w . O d r ę b n y m zagadnieniem jest niejednorodna w y m i a n a izotopowa, która ze względu na nakładające się procesy rekrystalizacji, adsorpcji, wymiany na granicy faz i dyfuzji, nie jest o p r a c o w a n a ilościowo i kinetycznie w tym stopniu co w y m i a n a jednorodna. Proces wymiany izotopowej jest wykorzystywany d o wzbogacania składu izotopowego i rozdzielania izomerów jądrowych. Odgrywa on również dużą rolę w p r z y p a d k u rozdziału p r o d u k t ó w samorzutnych przemian jądrowych między różne związki chemiczne. 4. Problem rozdzielania i wzbogacania izotopów — z pogranicza fizyki i inżynierii jądrowej — znajduje się również w pewnej mierze w granicach zainteresowań radiochemii. Rozdzielanie izotopów jest możliwe dzięki nieznacznemu wpływowi, jaki mają masy izotopowe n a r ó w n o w a g ę chemiczną i wydajność reakcji chemicznych,czyli dzięki tzw. efektom izotopowym. N a przykład nieznaczne wzbogacenie wapieni w C w s t o s u n k u d o innych substancji zawierających C tłumaczy się tym, że stała równowagi reakcji C 0 + H 0 - • H C 0 jest większa dla C 0 niż dla C0 . Czasami p o w o d e m naturalnego rozdzielania bywa różnica we właściwościach fizycznych, np. wzbogacanie wody w H przez o d p a r o w a n i e jest s p o w o d o w a n e nieco niższą prężnością pary dla H 0 . Efekty izotopowe m o ż n a zdefiniować j a k o różnice fizycznych i chemicznych właściwości izotopów lub ich związków, wynikające z nierówności m a s , m o m e n t ó w jądrowych lub innych właściwości jądrowych. Właściwości fizykochemiczne u k ł a d ó w złożonych z a t o m ó w i cząsteczek, a więc wartości potencjałów termodynamicznych tych u k ł a d ó w , zależą od sumy stanów (funkcji rozdziału) Z 1 3

1 3

2

2

2

1 2

3

2

2

2

2

2

gdzie g jest wagą statystyczną (degeneracją) stanu o energii E i określa liczbę możliwych realizacji tego stanu. Jeżeli energia u k ł a d u składa się addytywnie z energii Ej translacji (kinetycznej), rotacji, oscylacji, energii elektronowych i w k ł a d u pochodzącego od m o m e n t ó w jądrowych (s ), to suma stanów wyraża się iloczynem: t

(

s

Z = z.Ir

' Z ,rot

'OSC

Sumy stanów poszczególnych postaci energii Ej określa wzór Uf* w którym E jest energią stanu i dla danej postaci energii (rotacyjna, oscylacyjna itp.). Funkcje rozdziału energii elektronowej i spinu nie wpływają na chemiczny efekt izotopowy, pozostają więc sumy stanów z , z , z , dla których we wzorach na energię Ej występują masy a t o m ó w lub cząsteczek; n p . klasyczna energia £kin = T > suma stanów z = (2nmkT) V; dla energii rotacji £ = (h /Sn I) • J(J+ 1), gdzie J jest liczbą kwantową rotacji, a masa występuje w momencie bezwładności /, suma stanów wynosi (w przybliżeniu wysokotem­ peraturowym) z = (8;r /rcT)//j ; dla energii oscylacji £ = (v+l/2)hv, gdzie v jest liczbą kwantową oscylacji (u = 0 , 1 , 2 . . . ) , a częstość drgań v zależy od masy, suma stanów wynosi (w przybliżeniu w y s o k o t e m p e r a t u r o w y m ) z ^kT/hv. T a k więc wszystkie właściwości fizykochemiczne określone przez sumę stanów Z zależą od masy a t o m ó w . Z m i a n a masy a t o m u w takiej samej chemicznie cząsteczce powoduje efekt izotopowy, przejawiający się w zmianie jakiejś właściwości fizykochemicznej układu tych cząsteczek. Chemiczne efekty izotopowe są wynikiem różnic w potencjałach chemicznych cząsteczek izotopowych. Zjawisko to m a szczególne znaczenie dla procesów wymiany izotopowej. Przykładem takiego efektu może być wymiana azotu między cząsteczkami NH i NH OH. Rozdzielanie izotopów polega więc na wykorzystaniu minimalnych różnic fizycznych i chemicznych pozwalających rozdzielić albo przynajmniej wzbogacić w żądany składnik izotopowy daną frakcję. Stopień rozdzielenia określa się j a k o współczynnik podziału (rozfrakcjonowania). Jeżeli iV, i N\ oznaczają liczby cząsteczek o b u składników izotopowych w jednostce objętości pierwszej frakcji (1), a N i N' — analogicznie w drugiej frakcji (2) i jeżeli N , > N , czyli N\ < N' , to współczynnik podziału a określamy następująco: Jti

tr

m i ; 2

rot

osc

3l2

tr

2

2

rot

2

2

rot

o s c

osc

1 5

1 4

3

2

4

2

2

2

NJN

2

Współczynnik wzbogacenia frakcji 1 w składnik N wynosi a — 1. D o najważniejszych metod rozdziału izotopów należą: destylacja frakcjonowana, dyfuzja gazowa, dyfuzja termiczna, m e t o d a odwirowywania, wymiana izotopowa oraz metody: chromatograficzna, elektromagnetyczna, elektrolityczna. Mniejsze znaczenie m a m e t o d a fotochemiczna. Większość m e t o d stosowanych d o rozdziału izotopów m a charakter statystyczny, tzn. wykorzystuje się w nich różnice między uśrednionymi właściwościami cząsteczek izotopowych. T a k i c h a r a k t e r mają przede wszystkim metody termodyfuzji, wymiany izotopowej, wypływu przez p o r o w a t ą ściankę, odwirowywania, destylacji frak­ cjonowanej. Wzrost temperatury często powoduje zwiększenie stopnia rozdzielania,' chociaż efekty izotopowe wyrażane przez stałe r ó w n o w a g izotopowych maleją zewzrostem temperatury. P o w o d e m zwiększenia stopnia rozdzielenia jest wzrost 2 — Chemia jądrowa

17

prędkości cząsteczek ze wzrostem temperatury, kompensujący zmniejszanie się stałych równowagi izotopowej. 5. Wydzielanie i badanie p r o d u k t ó w powstających w różnego rodzaju przemia­ nach jądrowych jest głównym zagadnieniem radiochemii, w którego zakres wchodzą np. o m ó w i o n e wyżej p u n k t y 1,2 i p o części 4. Trzeba tu także wyodrębnić dział o doniosłym znaczeniu praktycznym, tzw. chemię tarcz oraz niezależnie chemię produktów rozszczepienia. W reakcjach jądrowych b o m b a r d o w a n e strumieniem cząstek substancje nazy­ wamy tarczami (ang. target). W tarczach powstają p r o d u k t y reakcji jądrowych, najczęściej w postaci różnych nuklidów promieniotwórczych. W y b ó r i przygotowanie tarczy jest niezwykle ważne w pracach wykorzystujących reakcje jądrowe. Tarcze dzieli się na cienkie, w których strumień i energia pocisków praktycznie nie zmienia się po przejściu przez materiał (grubość rzędu 1 0 ~ k g m ~ lub kilku um), oraz odpowiednio grubsze. Dla wzmocnienia mechanicznego cienkich tarcz stosuje się podłoże, n p . glin. Cienkie tarcze osadza się na podłożu m e t o d a m i : pokrycia elektrolitycznego, próżniowego, techniką spektrometrii m a s (dla tarcz izotopowo czystych) i innymi. W grubszych tarczach trzeba brać p o d uwagę zmniejszenie strumienia cząstek bombardujących w trakcie przejścia. Zachodzi to głównie dla cząstek naładowanych, w p r z y p a d k u napromieniowania neutronowego można t r a k t o w a ć grubsze tarcze j a k o cienkie. Materiał tarcz może występować w stanie stałym, ciekłym i gazowym. W napromieniowaniach reaktorowych tarcze umieszczane są zwykle w pojemnikach o małym przekroju czynnym (a) n a wychwyt n e u t r o n ó w . Zwykle stosuje się polipropylen, Al, M g . Duże znaczenie m a stopień wypalenia tarczy poddanej napromieniowaniu. Jeżeli liczba a t o m ó w tarczy n a początku napromieniowania wynosi n , a p o czasie / wynosi n, to wypalenie określa zależność 2

2

0

n = n (l- gdzie q . . . q oznaczają współrzędne uogólnione i gdzie Ut(q) wyznacza się z r ó w n a n i a Schródingera dla pojedynczej cząstki

Hiłi {q qi, k

•••,q )

u

k

n

k

u

2

n

1

k

l

2

n

n

Hu,{q)

=

s,u,(q)

Załóżmy, że m a m y dwie identyczne cząstki opisane funkcjami u i u , których wszystkie argumenty numerujemy odpowiednio 1 i 2. Funkcje te są funkcjami współrzędnych, zmiennej spinowej i czasu: u = u(q , q ,..., s , t ) . Istnieją tylko dwie możliwości przyporządkowania funkcji cząstkom: M (1) U (2) albo w (2) M (1)- Zgodnie z zasadami r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e ń s t w a funkcje dla całego układu, wyrażające jednoczesne zajście u ( l ) i u (2) albo M (2) i u ( l ) , będą d a n e iloczynami tych funkcji: k

1

2

z

a

A

B

a

B

b

A

b

B

"1 = " A ( 1 ) " B ( 2 )

U = U ( 2 ) U (1) U

a

(1.2.5-1)

b

Obie funkcje w i u opisują ten s a m fizyczny stan u k ł a d u , a różnią się jedynie permutacją identycznych cząstek. Stąd \u \ = \u \ , czyli u, = ±u , b o praw­ dopodobieństwo nie zależy od wymiany identycznych cząstek. Ze względu n a liniowość o p e r a t o r ó w kwantowomechanicznych fizyczny stan układu będzie opisany również przez liniowe kombinacje funkcji u i u , mianowicie przez ich sumę albo różnicę. Funkcje opisujące u k ł a d mają postać: funkcja symetryczna względem przestawień współrzędnych r

n

2

2

1

n

n

t

n

u = Ut + Uu = u ( l ) u ( 2 ) + u ( 2 ) u ( l ) s

A

B

A

(1.2.5-2)

B

funkcja antysymetryczna względem przestawień współrzędnych w = Ui-u a

K (1)U (2)-H (2)U (1)

=

n

a

b

a

(1.2.5-3)

b

W p r z y p a d k u funkcji symetrycznej w y m i a n a d w u identycznych cząstek między funkcjami u i u nie zmienia z n a k u funkcji, natomiast w przypadku funkcji antysymetrycznej w y m i a n a t a k a powoduje k a ż d o r a z o w o zmianę znaku funkcji ogólnej. Z a u w a ż m y , że wymiana taka nie powoduje zmiany stanu k w a n t o w o m e c h a nicznego, dla którego znaczenie fizyczne m a jedynie k w a d r a t m o d u ł u funkcji u' u, czyli gęstość p r a w d o p o d o b i e ń s t w a znalezienia cząstki w przestrzeni. Z m i a n ę znaku funkcji w przy permutacji m o ż n a łatwo wykazać: A

B

a

M (2)U (1)-"A(1)M (2) = -(M (1)M (2)-M (2)«B(1)) = a

b

b

a

b

a

-w

a

Funkcja falowa układu n cząstek elementarnych o n u m e r a c h 1 , 2 , 3 , ...n, opisanych funkcjami własnymi u , u , . . . , u „ , jest kombinacją liniową wszystkich iloczynów (u (0« (i)...) o t r z y m a n y c h przez permutację identycznych cząstek między funkcjami, bez zmiany ich liczby w danej funkcji. Jeśli ta liniowa kombinacja ma charakter funkcji symetrycznej, to przy permutacjach znak iloczynu się nie zmienia, jeśli ma c h a r a k t e r funkcji antysymetrycznej — znak iloczynu zmienia się za każdą permutacją (p — o p e r a t o r permutacji, inaczej przestawienia współrzędnych cząstek): A

A

B

B

«, = Z # p

(1-2.5-4)

«. = Z ± #

(1-2.5-5)

p

Z n a k plus stosuje się dla permutacji otrzymanej przez parzystą liczbę transpozycji współrzędnych, znak minus — dla permutacji otrzymanej przez nieparzystą liczbę transpozycji. Jest to równoznaczne z tym, że £ ± #

= Det||M,fa,)||

(1.2.5-6)

p

Det ||MJ(#J)II jest wyznacznikiem złożonym z elementów a, = u (qi). W p r z y p a d k u występowania funkcji antysymetrycznej u , jest niemożliwe, by dwie cząstki miały identyczne funkcje własne, n p . u ( 3 ) i u ( 4 ) , gdyż przy permutacji cząstek wyzerowały­ by się wszystkie pary iloczynów p o d znakiem sumy. Liczba iloczynów jest liczbą możliwości u p o r z ą d k o w a n i a r przedmiotów spośród n przedmiotów przy rozróżnianiu kolejności w y b o r u . Liczbę tę podaje wzór t

a

c

kombinatoryczny P{n,r)

c

n

= r\\

)= . Przy n = r, gdy n p . liczba funkcji V / (n-r)l równa jest liczbie cząstek, liczba możliwości s p r o w a d z a się d o n\. Jest to liczba możliwości ułożenia w rzędzie n różnych p r z e d m i o t ó w . Weźmy p r z y k ł a d o w o trzy cząstki i trzy funkcje: " a = E±

/

P"A(1)"B(2)W (3)

n\ = 3! = 6

c

Będzie więc sześć wyrazów sumy: 123 213 312 132 231 321. Zgodnie z obliczeniem wyznacznika: "A(1)"A(2) «A (3)

« (1) u (2) M (3) B

B

B

« c ( l ) " c ( 2 ) «c (3) otrzymamy: "a = M ( 1 ) U ( 2 ) « ( 3 ) + U ( 2 ) U ( 3 ) W ( 1 ) + U ( 3 ) U ( 1 ) U ( 2 ) - u ( l ) « ( 3 ) M ( 2 ) - « ( 2 ) M (1) M ( 3 ) - u ( 3 ) M (2) u {\) a

b

A

B

c

c

a

a

b

c

b

c

a

A

b

b

c

c

Ł a t w o sprawdzić, że przy założeniu A = B lub A = C lub B = C m a m y u = 0. W każdym p r z y p a d k u dwu cząstek o tej samej funkcji występują zawsze iloczyny o tej samej wartości bezwzględnej, ale r ó ż n y m z n a k u , p o d w a dla wszystkich permutacji. Oczywiście liczba cząstek (wymiar wyznacznika) nie gra roli. Reasumując, ogólna funkcja u k ł a d u (1.2.5-5) jest tożsamościowo r ó w n a zeru, jeśli choć dwie z funkcji wchodzących d o wyznacznika są j e d n a k o w e . Aby więc nie znikała funkcja falowa, nie m o ż e m y przypisać funkcji własnej u więcej cząstek niż jedną ze zbioru cząstek spełniających warunek antysymetryczności. Takie cząstki n a z y w a m y fermionami. Cząstki spełniające w a r u n e k symetryczności (opisywane funkcją u (1.2.5-4)) zwane są bozonami; d o nich nie stosuje się powyższe a

s

ograniczenie. Funkcji falowej u, m o ż n a przypisać dowolnie wiele b o z o n ó w . Spin bozonów jest liczbą całkowitą, stąd spin u k ł a d u b o z o n ó w jest również liczbą całkowitą. Spin fermionów jest liczbą połówkową. Opisana sytuacja jest ilustracją zakazu Pauliego. Z a k a z Pauliego zostaje założony już w momencie napisania funkcji antysymetrycznej. Skądinąd zakaz Pauliego został na gruncie fizyki teoretycznej uzasadniony przez Schwingera. Przykładem fermionów mogą być elektrony lub protony. Funkcje własne u{q ,s ,t) należą d o jednego maksymalnie elektronu. Jeżeli napiszemy rozdzielnie funkcję u(q ,s ,t) = \j/(q ,t)-f(s ), t o tym samym orbitalem \j/(q ,t) są opisane najwyżej dwa elektrony różniące się funkcją spinu f (s ) i f~(s ). Oczywiście, mimo tego samego elektrony te mają różne funkcje własne u: ift(q ,t)-f (s ) k

z

k

z

k

z

k

+

z

z

+

k

i

z

^(qkJ)-f~(Sz)-

Różna postać rozkładu statystycznego dla b o z o n ó w i fermionów w p o r ó w n a n i u z klasycznym rozkładem statystycznym M a x w e l l a - B o l t z m a n n a polega n a tym, że w podejściu klasycznym traktuje się identyczne cząstki j a k o rozróżnialne, natomiast w rzeczywistości (opis k w a n t o w y ) są one nierozróżnialne. Z kolei różnica w postaci rozkładu statystycznego między b o z o n a m i a fermionami polega na tym, że pierwsze są opisane funkcją symetryczną, drugie — antysymetryczną. Wyprowadzenie p r a w a r o z k ł a d u opiera się na obliczeniu liczby mikrostanów (lub stanów kwantowomechanicznych), przez którą może być zrealizowany najbar­ dziej p r a w d o p o d o b n y m a k r o s t a n u k ł a d u n cząstek. T a liczba mikrostanów, od­ powiadająca w p r z y p a d k u klasycznym liczbie możliwości opisu cząstek przez współrzędne i związane z nimi składowe pędu, a w p r z y p a d k u kwantowym — liczbie możliwych, różnych liczbowo, rozmieszczeń cząstek między opisujące je funkcje falowe, określona jest odpowiednimi wzorami kombinatorycznymi. W przypadku klasycznym liczba mikrostanów G układu n cząstek rozróżnialnych n! jest określona wzorem G = ^

^ , w k t ó r y m n oznacza liczbę cząstek w stanie i. t

Daje to rozkład n = — — A

(1.2.5-7)

t

gdzie £j — energia w stanie i, A — s u m a stanów. W p r z y p a d k u b o z o n ó w nie m a ograniczeń co d o liczby nierozróżnialnych cząstek, jakie m o ż n a p r z y p o r z ą d k o w a ć danej funkcji własnej. Jeżeli na dozwolonym poziomie energetycznym e, m a m y grupę n cząstek i d o dyspozycji g t

t

funkcji

własnych u , to liczba rozmieszczeń n cząstek między g funkcji o d p o w i a d a znanej s

t

t

z kombinatoryki liczbie możliwych rozmieszczeń identycznych przedmiotów w róż­ nych k o m ó r k a c h . Liczba ta jest dla danej grupy n, cząstek r ó w n a

g

' } ) , a dla n\(g-\)\ całego układu n cząstek jest liczbą stanów kwantowych (funkcji u dla całego układu): s

n\(g-l)\

t

Daje to rozkład Bosego-Einsteina 9i Ae i -l

(1.2.5-9)

s lkT

W p r z y p a d k u fermionów m a m y w a r u n e k g > n . Powoduje to, że liczba różnych stanów kwantowych dla grupy n cząstek (czyli różnych możliwych rozmieszczeń n cząstek między g funkcji) o d p o w i a d a liczbie możliwości uporząd­ kowania r przedmiotów spośród n przedmiotów, przy nierozróżnianiu kolejności wyboru (cząstki nierozróżnialne), określonej wzorem kombinatorycznym t

t

t

{

r!(n — r)\

{

Dla u k ł a d u n fermionów daje to liczbę stanów kwantowych G = n

—

r

-

(1.2.5-10)

co z kolei prowadzi do rozkładu F e r m i e g o - D i r a c a w postaci: B

' = ^ T T

( L 2

5

- -

1 1 }

* ** N a wstępie (p. 1.2) w s p o m n i a n o o kryterium klasyfikacyjnym cząstek, j a k i m jest parzystość. Właściwość cząstek tak n a z w a n a jest o m ó w i o n a nieco szerzej w p.1.7. Parzystość d o d a t n i a , czyli równa, występuje, gdy funkcja falowa cząstki nie zmienia znaku przy zmianie współrzędnych z x , y , z n a — x , — y, — z. G d y funkcja falowa zmienia znak, parzystość jest nierówna, czyli ujemna.

1.2.6. Kwarki Pewne obserwacje zachowania się nukleonów wskazywały, że mogłyby one składać się z mniejszych, bardziej podstawowych, elementów. Nie jest to sprzeczne z ogólnym poglądem, że cząstki elementarne są możliwymi stanami materii, w zależności od oddziaływań, k t ó r e je kształtują. Szerzej m o ż n a powiedzieć, że wszystkie obiekty fizyczne są stanami oddziałujących sił. Cząstki stanowiłyby stany energii dodatniej, antycząstki — ujemnej. W latach 60. Gell-Mann, N e ' e m a n , Nishijima i Zweig wprowadzili koncepcję podstawowych składników materii, a ściślej elementów b u d o w y h a d r o n ó w — kwarków. Postuluje się istnienie trzech k w a r k ó w oznaczanych symbolami: u (ładunek 2/3 e, dziwność 0), d (ładunek — 1/3, dziwność 0), s (ładunek — 1/3, dziwność — 1). Dla wszystkich trzech k w a r k ó w spin wynosi 1/2, liczba b a r i o n o w a 1/3, m a s a = 0,5 G e V (1/2 u) (podaje się również masę 0,35 G e V dla k w a r k ó w u i d oraz 0,5 G e V dla s). Każdemu kwarkowi odpowiada antykwark o przeciwnym ł a d u n k u i znaku wszystkich trzech liczb kwantowych. Według tej koncepcji bariony tworzą się z trzech k w a r k ó w — p r o t o n jest kombinacją uud, neutron udd, inne kombinacje t r z y k w a r k o w e tworzyłyby inne

bariony. Udział k w a r k u s p o w o d o w a ł b y powstanie cząstki dziwnej. Połączenia podwójne k w a r k - a n t y k w a r k tworzą mezony. W miarę rozwoju teorii postuluje się dwa d o d a t k o w e kwarki: c (powabny) o masie = 1,5 G e V i b (piękny) o masie o k o ł o 5 GeV (4,7 GeV?) oraz kwark t o masie 170-200 GeV (176-199 GeV?). By sprawdzić postulaty teorii, trzeba było wytworzyć i „zobaczyć" te cząstki, co wymaga akceleratorów o ogromnych energiach, jak o tym świadczy masa ostatnich potwierdzonych kwarków. Nie udało się j e d n a k dotąd stwierdzić doświadczalnie występowania ułamkowych ładunków elektrycznych. Teoria k w a r k ó w rokuje nadzieję na stworzenie uniwersalnego modelu budowy materii, zwanego modelem s t a n d a r d o w y m . Zgodnie z tym modelem występowałyby tylko dwa rodzaje cząstek elementarnych: kwarki i leptony, między którymi działają cztery siły (wymienione w p. 1.2.3) poprzez swoje cząstki wymienne. Z n a m y dotąd tylko dwie z tych ostatnich, fotony odpowiedzialne za oddziaływania elektromag­ netyczne i gluony — za oddziaływania silne. Postulowane są cząstki wymienne oddziaływań słabych i grawitony — cząstki wymienne oddziaływania grawitacyjnego. Teoria cząstek elementarnych jest obecnie intensywnie rozwijana. W każdej chwili może się okazać, że jej dotychczasowe reguły, jak reguła zachowania liczby leptonowej, przestają, w jakimś zakresie, obowiązywać.

1.3. Klasyfikacja jąder Jądra atomowe składają się z protonów i neutronów. Protony są obdarzone ładunkiem elektrycznym d o d a t n i m , równym ł a d u n k o w i elektronu 1.602189- 10 C i masą 1,0072765 jednostek masy atomowej (symbol u ). Neutron jest cząstką obojętną o masie 1,0086650 u. P r o t o n i neutron określa się wspólną nazwą nukleonu. Wprowadzimy kilka p o d s t a w o w y c h pojęć i terminów służących do opisu jąder. Liczba atomowa Z oznacza liczbę p r o t o n ó w w jądrze. Liczba neutronowa N oznacza liczbę neutronów w jądrze. Liczba masowa A = N + Z oznacza liczbę nukleonów w jądrze. Różnica N — Z = I n a z y w a n a jest liczbą izotopową. ,l>

W celu określenia rodzaju j ą d r a opatrujemy symbol chemiczny X indeksami l

l b

A i Z , £X, np. f H e , lC Izotopy — jądra

s

23

O,

9

-lU.

o tej samej 3l

masowych A, np. }H fH jH,

3 2

P

liczbie atomowej 3

P

5

Z,

lecz różnych

lic/bach

|P.

Izobary — j ą d r a o tej samej liczbie masowej, lecz różnych liczbach atomowych, 3

np. H | H e , llGe

^Se, ' ^ T e

130 4

13

Xe

s

°Ba.

Wśród izobarów występują tzw. jądra zwierciadlane, dla których Z , = , \ , przy Z, — Z

21

2

= 1, np. 3U j B e , ^Be 5B. ' ' B ' ' C , Al 5

6

3

2

i J_Si — przechodzą one w siebie

w przejściach nukleonowych p i

całkowity m o m e n t spinowy jądra

S = Y, i

całkowity m o m e n t pędu j ą d r a

/ = L+ S

s

(1.6.3-5)

Stany j ą d r o w e o L = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . oznacza się j a k w spektroskopii atomowej: s,p,d,f,... Multipletowość poziomu r ó w n a jest 21+ 1. Pełny stan j ą d r o w y określa się, podając symbol m o m e n t u orbitalnego i wartość całkowitego m o m e n t u p ę d u jądra w postaci p (L = 1, S = 1/2, / = 3/2); s ( L = 0, S = 1). Indeks 2 lub 3 oznacza liczbę możliwych wartości S: 2 S + 1 . 2

3

V2

t

2. Sprzężenie spin-orbita (j-j) W tym przypadku zachodzi silne oddziaływanie spinu i orbity dla poszczególnego nukleonu p o k a z a n e na rys. 1.5 j a k o d o d a w a n i e orbitalnego i spinowego m o m e n t u pędu.

Ry«. 1.5. Sprzężenie spin-orbita (l-s) orbitalnego momentu pędu i spinu daje wypadkowy moment pędu j

Całkowity m o m e n t p ę d u poszczególnego n u k l e o n u jt = lt + st

(1-6.3-6)

Całkowify m o m e n t p ę d u j ą d r a

Maksymalna wartość rzutu w e k t o r a / n a dowolną oś wynosi /. Długość wektora całkowitego m o m e n t u pędu j ą d r a wynosi # v / 7 ( / + 1 ) . Całkowity m o m e n t orbitalny L jest całkowitą wielokrotnością h. Całkowity m o m e n t spinowy S jest parzystą wielokrotnością \ gdy A jest parzyste. Całkowity m o m e n t spinowy S jest nieparzystą wielokrotnością -j łi, gdy A jest nieparzyste. Stąd / jest całkowitą wielokrotnością ti dla A parzystych, a połową nieparzystej wielokrotności fi dla A nieparzystych. I może przyjmować tylko pewne wartości, a więc / może przyjmować tylko pewne położenia względem danej osi, mianowicie 21+ 1 różnych położeń. Całkowity m o m e n t pędu j ą d r a bywa często nazywany spinem jądrowym, co jest niezupełnie ścisłe. z

1.6.4. Magnetyczny moment jądra Jak już powiedziano, spin cząstki elementarnej jest związany z m o m e n t e m mag­ netycznym. M o m e n t ten dla elektronu jest określony zależnością: H = 2/1% s 2 4

(1.6.4-1)

1

gdzie /i„ = eh/4nm c = 9,274 • 1 0 " J-T" (dżuli na tesle). Wielkość u jest jednostką zwaną magnetonem Bohra. Jednostką 1836,15 razy mniejszą jest magneton jądrowy: e

B

H =

= 5,051 • 1 0 "

N

2 7

J-T"

1

(1.6.4-2)

4nm c H

M o m e n t magnetyczny p r o t o n u wynosi 2,79275 + 0 , 0 0 0 3 m a g n e t o n ó w jądrowych. M o m e n t magnetyczny n e u t r o n u wynosi — 1,9135 + 0 , 0 0 0 3 m a g n e t o n ó w jądrowych. Znak minus wskazuje, że wektory m o m e n t u magnetycznego i spinowego są przeciwnie skierowane, odwrotnie niż to jest dla p r o t o n u . Problem obliczania m o m e n t u magnetycznego j ą d r a jest złożony. Jądro składa się na ogół z wielu nukleonów, które wnoszą d o m o m e n t u magnetycznego jądra swoje orbitalne m o m e n t y magnetyczne. Eksperymentalnie oznacza się go techniką wiązek a t o m o w y c h i jądrowego rezonansu magnetycznego. Ogólnie magnetyczny m o m e n t jąder, których m o m e n t pędu / ź= 0, można zapisać następująco: M

= yM

= g,i l

(1.6.4-3)

N

- 1

- 1

gdzie y — j ą d r o w y stosunek żyromagnetyczny o wymiarze T - s , g — czynnik jądrowy, zależny od rodzaju sprzężenia, fi — m a g n e t o n jądrowy. Długość wektora m o m e n t u magnetycznego wynosi \i — gp. Jl{I+l) fi. Dla jąder parzysto-parzystych (N i Z parzyste) 1 = 0. Jądra te nie mają m o m e n t u magnetycznego. Stwierdzono to doświadczalnie, mierząc spiny i momenty magnetyczne wielu jąder. Jądro może wykazywać także kwadrupolowy moment elektryczny, co można zobrazować elipsoidalnym rozmieszczeniem ł a d u n k ó w w jądrze. M o m e n t kwadrupo­ lowy ą = •§• Z(a — b ), gdzie a jest półosią o b r o t u elipsoidy, a b półosią prostopadłą d o a. M o m e n t q ma wymiar powierzchni, n p . dla d e u t e r o n u wynosi on 2,74 • 1 0 " c m . M o m e n t y kwadrupolowe, oznaczone dla wielu jąder o / > -j, miały wartości zarówno dodatnie, j a k i ujemne. Jądra o momencie pędu / = 0 i I = -\ nie mają momentów kwadrupolowych. M o m e n t y kwadrupolowe określa się, badając nadsubteIną budowę widm metodami spektroskopii optycznej, metodą spektroskopii mikrofa­ lowej, rezonansowej absorpcji jądrowej oraz techniką wiązek atomowych. N

Ny

2

2

2 7

2

1.6.5. Precesja Z a r ó w n o orbitalny, j a k i spinowy m o m e n t pędu, / i s, oraz odpowiadające im momenty magnetyczne (ji) są wielkościami wektorowymi. Zgodnie z mechaniką

kwantową wektory te nie mogą być ukierunkowane ściśle równolegle do zewnętrznego pola. Jednocześnie w wyniku działania zewnętrznego pola wektor m o m e n t u pędu dąży do takiej pozycji, w której płaszczyzna rotacji jest p r o s t o p a d ł a d o linii pola. Potencjalna energia magnetyczna wynosi: Emagi = B fl = BfiCOSO

(1.6.5-1)

gdzie B jest wektorem indukcji magnetycznej*. W tych w a r u n k a c h j a k to wynika z r ó w n a ń N e w t o n a dla ruchu o b r o t o w e g o (przyrost m o m e n t u p ę d u równy m o m e n t o w i siły), następuje ruch żyroskopowy (rys. 1.6). T a k więc w e k t o r m o m e n t u p ę d u wykonuje precesję w o k ó ł osi pola, jak żyroskop 7 = u/M (1.6.5-2) r o t

gdzie y jest stosunkiem żyromagnetycznym. R ó w n a n i e (1.6.5-2) jest ważne z a r ó w n o dla orbitalnego m o m e n t u pędu, j a k i dla spinu, lecz oczywiście wartość y jest różna dla elektronów i p r o t o n ó w . zewnętrzne pole fl

Ry». 1.6. Moment pędu orbitującej cząstki i rzut dozwolonej wartości momentu na osie pola zewnętrznego. Wektor / precesuje wokół osi pola, ruch ten wskazano linią przerywaną na elipsie

Prędkość k ą t o w a precesji wynosi co = nB/M y

(1.6.5-3)

TOt

Częstość precesji, przy a> = 2nv, wynosi v = nB/2nM y

= yB/2n

rot

(1.6.5-4)

Częstość v jest n a z y w a n a częstością precesji Larmora. * W odniesieniu do pola magnetycznego stosujemy dwa określenia: indukcji B oraz natężenia pola H. Do zjawisk opisanych w książce, w których występuje pole magnetyczne, stosuje się relacja B = ji H, w której przenikalność magnetyczna próżni fi = 4 t i 1 0 " kg - m • s • A . 7

0

0

- 2

- 1

1.6.6. Metody wyznaczania momentu jądrowego W badaniach spektralnych poszczególnych linii składowych multipletów a t o m o w y c h okazało się, że k a ż d a ze składowych jest rozszczepiona n a pewną liczbę linii leżących nadzwyczaj blisko siebie. To rozszczepienie, powstałe n a skutek sprzężenia m o m e n t u jądrowego z m o m e n t a m i elektronów orbitalnych, n a z w a n o strukturą nadsubtelną. Jeżeli sprzężenie R u s s e l a - S a u n d e r s a dla elektronów w atomie jest określone przez związek J = L + S, gdzie / jest tzw. wewnętrzną liczbą kwantową, to pole magnetyczne wytworzone przez elektrony oddziałuje z polem w y t w o r z o n y m przez spin jądrowy (całkowity m o m e n t pędu j ą d r a ) , dając wektor tzw. całkowitego a t o m o w e g o m o m e n t u pędu: F=J+l

(1.6.6-1)

W a r t o ś ć tego m o m e n t u M = fi^J F(F + \), a d o z w o l o n e rzuty n a oś zewnętrz­ nego, w stosunku d o a t o m u , pola wynoszą M = 0 , ...,Ffi. Prowadzi to d o pojawienia się wielkiej liczby możliwych p o z i o m ó w energetycznych. Spin j ą d r o w y może być zorientowany w odniesieniu d o w e k t o r a / w 21 + 1 kierunkach, gdy / < J i w 2J +1 kierunkach, gdy J ^ /. Różnice między stanami energetycznymi są zwykle b a r d z o małe, n p . różnica między stanami elektronowymi p i p a t o m u N a wynosi 0,0022 eV, czyli 0,6 nm. Takie różnice m o ż n a obserwować w w i d m a c h o dużej rozdzielczości (widma subtelne). Spin jądrowy N a wynosi I = - | # - Jeżeli d o d a m y tę w a r t o ś ć d o liczb kwantowych stanów elektronowych (np. •§ w stanie p ) , o t r z y m a m y rozszczepienie na szereg poziomów, n p . dla stanu p o t r z y m a m y liczby k w a n t o w e F = 0 , 1 , 2 , 3 . Te nowe poziomy m o ż n a obserwować tylko przy użyciu spektrometrów o skrajnie wysokiej zdolności rozdzielczej (widma nadsubtelne hfs). Analizując te w i d m a m o ż n a uzyskać wartości spinu j ą d r o w e g o i m o m e n t u magnetycznego, a także informacje o rozkładzie ł a d u n k u i promieniu j ą d r a . Oprócz metody widm nadsubtelnych istnieje wiele innych m e t o d określania m o m e n t ó w jądrowych i magnetycznych, j a k m e t o d a odchylania wiązek a t o m o w y c h w j e d n o r o d n y c h i niejednorodnych polach magnetycznych, spektroskopia w zakresie częstości radiowych, czyli m e t o d a j ą d r o w e g o rezonansu magnetycznego ( N M R ) , spektroskopia mikrofalowa, czyli m e t o d a elektronowego rezonansu paramagnetycz­ nego ( E P R ) . Wszystkie te metody są o p a r t e n a oddziaływaniu spinu j ą d r o w e g o ze strukturą elektronową a t o m u . Poza metodą b a d a n i a struktury nadsubtelnej, w której pole zewnętrzne jest nieobecne, pozostałe metody wykorzystują efekty p o w o d o w a n e przez zewnętrzne pole magnetyczne. W zależności od wielkości tego pola występują następujące efekty: przy słabym polu ( < 1 0 ~ T) nadsubtelne p o z i o m y F rozszczepiają się na 2F+1 p o z i o m ó w (efekt Zeemana); przy wzroście pola d o ok. 10 T poziomy /•"rozszczepiają się na swoje składowe J oraz / (1.6.6-1), dając ogółem (2J-I-1)-(2/ + 1 ) linii; przy b a r d z o silnym polu poziom wynikający ze sprzężenia elektronowego spin-orbita rozszczepia się, dając oddzielne poziomy s i /. F

F ( Z )

2

2

3 / 2

2 3

1 / 2

2 3

2

3 / 2

2

3 / 2

2

1.7. Parzystość Funkcję falową j ą d r a m o ż n a wyrazić w postaci sumy iloczynów funkcji współrzęd­ nych przestrzennych i funkcji zależnej jedynie od orientacji spinu. Stan jądra m a parzystość dodatnią, jeżeli przestrzenna część jego funkcji falowej nie zmienia się przy zastąpieniu współrzędnych x,y,z przez — x, — y, — z. Tego rodzaju transfor­ macja nazywa się inwersją w początku układu. G d y transformacja ta zmienia znak przestrzennej części funkcji falowej, wówczas stan wykazuje parzystość ujemną parzystość d o d a t n i a : parzystość ujemna:

i/>i(x,y,z) = \lii(x,y,z) = -ij/ (-x,

- y , -z) -y, -z)

1

(1.7-1)

Jest to związane z wartością sumy liczb kwantowych, określających wartości własne m o m e n t ó w p ę d u wszystkich cząstek u k ł a d u . U k ł a d cząstek będzie miał parzystość dodatnią, gdy suma wartości liczb kwantowych wszystkich cząstek będzie parzysta, a parzystość ujemną, gdy s u m a będzie nieparzysta. P o d a n e wyżej określenie parzystości odnosi się oczywiście także d o pojedynczej cząstki. M o ż n a zilustrować to pojęcie, wykreślając funkcje falowe dwóch możliwych ruchów cząstki zamkniętej w studni potencjału o promieniu a. Funkcję falową cząstki o energii E i masie m, poruszającej się wzdłuż osi x (w przestrzeni, gdzie nie występuje działanie sił zewnętrznych), opisuje wyrażenie: x^/2mE

\Et • exp

sin

(1.7-2)

w którym x jest odległością od początku u k ł a d u współrzędnych w chwili t. Wykres funkcji falowej w zależności od odległości n a rys. 1.7 ilustruje poglądowo pojęcie parzystości.

* o ~

odległość czqstki o promieniu a

X

V

od środka studni

potencjału

Rys. 1.7. Wykresy funkcji falowych dwóch możliwych ruchów cząstki zamkniętej w studni potencjału o promieniu a

Parzystość stanów jądrowych wynika z parzystości stanów poszczególnych nukleonów zgodnie ze wzorem A

parzystość = ( — 1 ) " '

(1-7-3)

w którym / to liczba k w a n t o w a orbitalnego m o m e n t u pędu /-tego nukleonu. Parzystość pojedynczego n u k l e o n u w stanie / r ó w n a jest (—1)'. ;

1.8. Siły jądrowe Wiązanie n u k l e o n ó w w jądrze zachodzi dzięki silnemu oddziaływaniu między h a d r o n a m i ( w s p o m n i a n e m u w p . 1.2.3). Wiele obserwacji pozwala stworzyć opis fenomenologiczny charakteru sił jądrowych, stanowiący podstawę ciągle rozwijanej teorii oddziaływań jądrowych, czyli w istocie teorii j ą d r a . Siły przyciągania między nukleonami w jądrze muszą być nadzwyczaj wielkie. Siły przyciągania w jądrze, ze względu na obecność w nim d o d a t n i o n a ł a d o w a n y c h p r o t o n ó w , muszą być większe niż siły odpychania elektrostatycznego. Rzeczywiście, w odległości 1 fermi są one 35 razy większe niż siły elektrostatyczne i około 1 0 razy większe niż siły grawitacyjne. Z a u w a ż m y , że elektromagnetyzm wiąże elektrony z jądrem z energią odpowiadającą kilku eV, siła j ą d r o w a zaś wiąże nukleony w jądrze z energiami milionów elektrono woltów. Z faktu, że siły jądrowe nie mają żadnego wpływu na energię wiązania molekuł chemicznych, wiemy, iż działają one na b a r d z o małych odległościach rzędu fermiego ( 1 ( T m). Dla odległości mniejszych niż jeden fermi natężenie sił jądrowych jeszcze wzrasta, dla b a r d z o małych odległości siły te zmieniają znak i stają się odpychające. Sytuacja jest więc p o d o b n a d o oddziaływań m i ę d z y a t o m o w y c h p o d nieobecność sił wartościowości. Między d w o m a a t o m a m i nie reagującymi z sobą, n p . a t o m a m i gazu szlachetnego, siły Van der Waalsa zmieniają się z przyciągających n a odpychające przy bardzo dużych zbliżeniach. Dla odległości większych od kilku fermi siły j ą d r o w e spadają gwałtownie d o zera. Oddziaływanie jąder z otoczeniem (np. cząstkami) w tej odległości jest całkowicie natury elektrycznej i magnetycznej. Siły j ą d r o w e wykazują jeszcze pewną charakterystyczną cechę, mianowicie mają właściwość wysycania się. G d y b y każdy z A nukleonów oddziaływał z wszy­ stkimi pozostałymi A—l, energia wiązania p o w i n n a być p r o p o r c j o n a l n a d o liczby możliwych oddziaływań między p a r a m i n u k l e o n ó w , a więc d o -jA(A — 1). Potwierdza się to d o jądra H e , lecz dalej energia wiązania jest raczej pro­ porcjonalna d o A. Wynika z tego możliwość przyciągania przez jeden nukleon tylko kilku n u k l e o n ó w — w stosunku d o następnych siły j ą d r o w e stają się odpychające. Podobnie dzieje się z siłami wartościowości: a t o m węgla wiąże cztery atomy w o d o r u , lecz odpycha piąty a t o m . Większość informacji o oddziaływaniach j ą d r o w y c h pochodzi z badania oddziaływań dwunukleonowych, rozpraszania p r o t o n ó w n a p r o t o n a c h , n e u t r o n ó w 3 8

1 5

4

na neutronach i p r o t o n a c h . Z b a d a ń tych wynika, że żaden rodzaj nukleonów nie jest uprzywilejowany w oddziaływaniu. T e n fakt oraz analiza jąder zwierciadlanych doprowadziły d o stwierdzenia pewnej specyficznej właściwości nukleonów, m i a n o ­ wicie tzw. izospinowej niezmienniczości sił jądrowych. W b a d a n i a c h jąder zwierciadlanych (p.1.3) stwierdzono występowanie symetrii ładunkowej sił jądrowych, czyli identyczność (z dokładnością d o oddziaływania kulombowskiego) sił działających między d w o m a p r o t o n a m i i d w o m a neutronami V,Jp-p)

= H.,(n-n)

(1.8-1)

(twierdzenie o ładunkowej symetrii sił jądrowych). Również oddziaływanie n e u t r o n u z p r o t o n e m jest równe oddziaływaniu między pozostałymi p a r a m i n u k l e o n ó w V,, (n-p) = H.,(n-n) = V,Jp-p) s

d-8-2)

(twierdzenie o niezależności sił j ą d r o w y c h od ł a d u n k u ) . W celu wyrażenia tej niezmienniczości definiuje się pewną dodatkową liczbę kwantową dla opisania stanu ł a d u n k o w e g o nukleonu. Liczba ta musi przyjmować dwie wartości; przez analogię d o trzeciej składowej spinu połówkowego n a z w a n o ją spinem izobarycznym albo izospinem, w nawiązaniu d o jąder zwierciadlanych będących izobarami. Izospin charakteryzujący d w a stany n u k l e o n u rozróżnia dwa j ą d r a zwierciadlane. Izospinowa liczba k w a n t o w a przyjmuje wartości: T = + y — dla p r o t o n u ; r = — 4 — dla n e u t r o n u

(1.8-3)

Liczby te są wartościami własnymi o p e r a t o r a f w r ó w n a n i u 3

h% = h

(1-8-4)

X

w którym % jest funkcją własną stanu p r o t o n o w e g o x l u b neutronowego %„. Wybór z n a k u x jest w zasadzie dowolny, gdy traktujemy p r o t o n i neutron j a k o dwa różne stany nukleonu. Jeżeli przyjmiemy izospinowa liczbę kwantową x = + -j dla neutronu i — 4" dla p r o t o n u , t o ł a d u n e k n u k l e o n u będzie określony przez ^ — t. Liczba k w a n t o w a izospinu dla j ą d r a z X r ó w n a jest połowie liczby izotopowej T=\{N-Z). Właściwość wysycania sił jądrowych, analogiczna d o takiej samej właściwości wiązania chemicznego, polegającego n a wymianie elektronów między a t o m a m i , nasunęła przypuszczenie, że także siły j ą d r o w e mogą mieć charakter wymienny. W elektrodynamice oddziaływanie ł a d u n k ó w elektrycznych wyjaśnia się wymianą między elektronami k w a n t u pola elektromagnetycznego, czyli fotonu (jego emisją przez jeden, a absorpcją przez drugi elektron). Ponieważ proces wymiany łamie, w tym momencie, p r a w a zachowania, n a z w a n o go procesem wirtualnym, a wymie­ niony foton — wirtualnym k w a n t e m pola. Oddziaływanie elektromagnetyczne między ł a d u n k a m i (elektronami) m a nieskończony zasięg. Zakładając proces wirtualny, zastępujemy je lokalnym oddziaływaniem elektronu z fotonem. Z zasięgiem P

oddziaływania wiąże się masa cząstki wirtualnej: jeżeli nieograniczonemu zasięgowi oddziaływań elektromagnetycznych o d p o w i a d a zerowa masa fotonu, to skończonemu (i krótkiemu) zasięgowi sił jądrowych o d p o w i a d a skończona (i dość duża) masa wirtualnej cząstki wymienianej między d w o m a n u k l e o n a m i . Badania oddziaływań dwunukleonowych, w szczególności p a r n e u t r o n - p r o t o n i p r o t o n - p r o t o n , potwierdziły obraz potencjału jądrowego silnie zależnego od odległości (p. rys. 1.8). 30 i i

i i i i i

ii

i i

i

i

i i i

20 10

0

0.4

0,8

wzajemna

1,2

1,6

20

2,4»10"

odległość nukleonów, cm

Rys. 1.8. Przebieg krzywej potencjału przy zbliżeniu dwóch nukleonów

Początek współczesnej teorii sił jądrowych dał w 1935 r. Y u k a w a . Wprowadził on nowy rodzaj wirtualnego k w a n t u pola n a z w a n y mezonem. Aby uzyskać obraz potencjału zbliżony d o rzeczywistości, Y u k a w a zastąpił znane wyrażenie na potencjał elektrostatyczny zależny od odległości r: V(r) = C(l/r), wzorem V( ) = C - ^ r

(1.8-5)

r

dobrze opisującym rzeczywisty stromy spadek potencjału V(r) w porównaniu z wykresem V(r) = C ( l / r ) . W czynniku C występuje m.in. stała charakteryzująca wielkość oddziaływania. Czynnik u w wyrażeniu (1.8-5) sugerował istnienie cząstki pola potencjału jądrowego o masie spoczynkowej różnej od zera, czyli właśnie mezonu. Czynnik \x jest równy m^c/h, gdzie c — prędkość światła, a m — masa mezonu n. Pole sił jądrowych jest więc polem m e z o n o w y m . Oszacowanie masy wirtualnej cząstki pola sił jądrowych otrzymuje się łatwo z zasady nieoznaczoności n

A

Ax

P- ~JL

AEAt przyjmując

(1.8-6) V

2n

nieoznaczoność pędu lub energii, Ap = m c n

2

lub AE = m c , n

' oraz

1 5

nieoznaczoność położenia rzędu zasięgu sił jądrowych Ax = 1,4-10 czoność czasu At = Ax/c):

I A in-*5 = 2 , 5 1 2 7 - 1 0 " kg = 275,8 m (1.8-7) 1,4-10 m-c Z nieokreśloności pędu Ap = m v wynika, że jest to najmniejsza możliwa masa (gdy i; = c); nieokreśloność energii musi być dostatecznie duża, by wytworzyć cząstkę 0 masie p o n a d d w u s t u m a s elektronowych. J a k widać, czynnik \i w potencjale Yukawy jest odwrotnością zasięgu sił jądrowych. Obliczona m a s a cząstki wirtualnej zgadza się dobrze z masą mezonu n. Mezony, j a k o cząstki pola oddziaływań silnych, zostały wykryte przeszło 10 lat p o ich zapostulowaniu przez Yukawę. Wprawdzie j u ż w 1937 r. Neddermayer i Anderson stwierdzili istnienie cząstek n, k t ó r e n a z w a n o m e z o n a m i , ale dopiero w r. 1947 tzw. eksperyment rzymski wykazał, że miony nie są m e z o n a m i Y u k a w y . W tym samym roku Powell wykrył w promieniowaniu kosmicznym mezony n (piony). Te właśnie cząstki, oddziałujące silnie, są przewidzianymi przez Y u k a w ę kwantami mezonowego pola sił jądrowych. Jak j u ż p o w i e d z i a n o , informacji o siłach j ą d r o w y c h dostarcza b a d a n i e układów d w u n u k l e o n o w y c h . M o d e l o w y m obiektem b a d a ń jest najprostsze trwałe jądro złożone z dwóch n u k l e o n ó w , deuteron. Jest to jedyny znany stan związany dwu n u k l e o n ó w (o energii wiązania 2,225 M e V , spinie 1, m a g n e t y c z n y m momencie d i p o l o w y m 0 , 8 5 7 3 9 ^ elektrycznym m o m e n c i e kwadrupolowym 2,82-10 c m ) . Analiza tego u k ł a d u jest najprostsza, t a k j a k w fizyce atomowej najprostsza jest analiza a t o m u w o d o r u składającego się z d w u ciał: p r o t o n u 1 elektronu. Opierając się tylko na wartości energii wiązania deuteronu, m o ż n a wyliczyć głębokość studni potencjału w oddziaływaniu n e u t r o n - p r o t o n ; wynosi ona ok. 29 M e V . Rozpatrywanie oddziaływań d w u n u k l e o n o w y c h , w tym układu deuteronu, doprowadziło d o rozróżnienia, również w p r z y p a d k u struktur jądrowych, dwu rodzajów sił: centralnych i niecentralnych. Rozróżnienie to stanie się jaśniejsze, gdy przez analogię p o r ó w n a m y siły ciężkości, elektrostatyczne i magnetyczne. Przyciąganie grawitacyjne między dwiema masami zmienia się odwrotnie proporcjonalnie d o k w a d r a t u ich odległości, czyli siła zmienia się j a k l / r , energia potencjalna zaś, r ó w n a pracy potrzebnej d o rozsunięcia m a s na nieskończoną odległość, t a k by zanikło oddziaływanie, zmienia się j a k l/r. Szybkość zmiany energii potencjalnej jest więc miarą siły. Ż a d e n kierunek nie jest wyróżniony w oddziaływaniu; stąd wynika, że siła działa wzdłuż prostej łączącej obie masy. Inaczej m o ż n a powiedzieć, że siła grawitacji jest siłą centralną zawsze przyciągającą. To s a m o odnosi się d o sił elektrostatycznych — również centralnych — z tym, że natężenia są większe i możliwe są d w a sposoby oddziaływania: przyciąganie i odpychanie. Zupełnie inaczej wygląda to w p r z y p a d k u sił magnetycznych. Siła oddzia­ ływania między magnesami zależy od względnego skierowania ich osi N—S (patrz rys. 1.9). M

« =

m (nieozna­

2 8

el

5

n

- 2 7

2

2

5 — Chemia jądrowa

65

N

S siła ciężkości „centralna"

siła magnetyczna .tensorowa"

Rys. 1.9. Dwa rodzaje sił: centralne i niecentralne

W p r z y p a d k u sił jądrowych m o ż n a rozróżnić występowanie sił centralnych i niecentralnych. Wyróżnionym kierunkiem, p e w n y m „ p u n k t e m odniesienia", jest oś spinu — choć trzeba tu zastrzec, że istnienie wybranego kierunku nie gwarantuje jeszcze niecentralnego charakteru siły oddziaływania. Jak wiemy z poprzednio p o d a n y c h informacji o m o m e n t a c h pędu, mechanika k w a n t o w a narzuca pewne warunki dowolnej cząstce o spinie p o ł ó w k o w y m — mianowicie spiny mogą być ustawione równolegle lub antyrównolegle, n p . nukleon:

Dla u k ł a d u d w u nukleonów spin w y p a d k o w y może wynosić jeden lub zero, jak to wynika z reguły d o d a w a n i a m o m e n t ó w pędu (1.6.3-4). D w a nukleony o spinach równoległych oddziałują siłą niecentralną, przy spinach antyrównoległych występuje tylko siła centralna. Weźmy teraz pod uwagę zakrzywione tory poruszających się cząstek w przypad­ ku takiego układu, j a k i m jest j ą d r o , w k t ó r y m to p r z y p a d k u występuje orbitalny m o m e n t pędu. Kierunek tego m o m e n t u pędu m o ż n a przedstawić za pomocą wektora skierowanego prostopadle d o płaszczyzny zakrzywienia toru. W celu przedstawienia różnego typu sił oddziałujących w jądrze przyjmuje się następujące p o d s t a w o w e warunki: 1) Jeżeli układ dwu nukleonów m a spin w y p a d k o w y r ó w n y 1, to wektor wypadkowy spinowego m o m e n t u pędu może przybierać tylko trzy kierunki względem wektora orbitalnego m o m e n t u pędu: równoległy, p r o s t o p a d ł y i antyrównoległy. 2) W e k t o r w y p a d k o w y spinowego m o m e n t u pędu może przybierać również tylko wybrane kierunki względem kierunku łączącego obie cząstki.

3) W zależności od tego, czy rozpatrujemy teraz: A) względną orientację d w u cząstek spinowych, tzn. orientację całkowitego spinowego m o m e n t u p ę d u względem k i e r u n k u łączącego cząstki, czy B) wzajemną orientację całkowitego spinowego m o m e n t u pędu względem orbitalnego m o m e n t u p ę d u — m o ż e m y rozróżnić dwa typy sił niecentralnych: A) siły tensorowe B) siły oddziaływania spin-orbita, tzw. sprzężenie spin orbita; patrz rys. 1.5 i 1.10. 4) Orbitalny m o m e n t p ę d u może przyjmować tylko całkowite wartości.

s=o

1 0

brak sit iecent rolnych

b')

c'l

O;'

d'l

siły

spin-orbita

siły tensorowe

Rys. 1.10. Różne rodzaje sił niecentralnych. Strzałkami na kółkach zaznaczono wektory momentów spinowych, linią przerywaną, w przypadku sił tensorowych, zaznaczono kierunek łączący oba nukleony, strzałkami pionowymi, w przypadku sił spin-orbita, zaznaczono orbitalny moment pędu. Poziome strzałki pod rysunkami oznaczają istnienie oddziaływania niecentralnego

N a rysunku 1.10 przypadek a) antyrównoległego u k ł a d u spinów tylko pozornie nie różni się od p r z y p a d k u d) i e). W p r z y p a d k u a) w trakcie precesji spiny są zawsze anty równoległe. W p r z y p a d k u d) i e) w trakcie precesji rzuty spinów n a wybrany kierunek są zawsze przeciwne, n a t o m i a s t rzuty spinów na kierunek prostopadły d o poprzedniego są zgodnie skierowane (patrz schemat n a s. 68). Reasumując to wszystko, co zostało powiedziane wyżej o siłach jądrowych, możemy przedstawić je w postaci wyrażenia n a potencjał jądrowy. Dla uprosz­ czenia zakładamy, że siły j ą d r o w e działają tylko między p a r a m i cząstek, tzn. że potencjał j ą d r o w y jest sumą członów, z których każdy podlega oddziaływaniu pary nukleonów.

Potencjał j ą d r o w y składa się z trzech części: siły centralnej (C), tensorowej (T) i siły s p i n - o r b i t a (LS): V=

K(r) + S -V {r) l2

r

+ (LŚ)-V (r)

(1.8-8)

LS

gdzie funkcje V(r), j a k również o p e r a t o r tensorowy S i człon (LS), zależą od odległości i względnej konfiguracji spinów i izospinów określających oddziaływanie dwóch nukleonów. Przedstawiony wyrażeniem (1.8-8) potencjał jest j e d n y m z wielu stosowanych w fizyce jądrowej. Jego zapis w tak skrótowej postaci m a sens wyłącznie ilustracyjny w odniesieniu d o p o d a n e g o opisu sił jądrowych. 1 2

1.9. Modele jądrowe Zasadniczym założeniem przy próbie opisu sił j ą d r o w y c h było założenie o od­ działywaniach dwuciałowych. Obecność w jądrze innych nukleonów, p o z a układem d w u n u k l e o n o w y m , implikuje wystąpienie p r o b l e m u wielu ciał. Z m u s z a to do stosowania różnych przybliżeń; jednym z nich jest przybliżenie materii jądrowej, tzn. ośrodka ciągłego złożonego z równej liczby p r o t o n ó w i neutronów, nie oddziałujących ze sobą silami elektromagnetycznymi. Z a k ł a d a się, że w p r z y p a d k u materii jądrowej podstawowe wielkości, jak gęstość nukleonów i średnia energia wiązania n a nukleon, są takie same, j a k we wnętrzu jąder rzeczywistych. Przy d o d a t k o w y m założeniu, że nukleony w materii jądrowej nie oddziałują ze sobą, tzn. przyjmując przybliżenie cząstek niezależnych, otrzymujemy tzw. przy­ bliżenie gazu Fermiego. Przejście od koncepcji materii jądrowej d o jąder o skończonych wymiarach wymaga, ze względu na duże trudności, stosowania modeli jądrowych, dających przybliżony o b r a z jądra. Każdy z p r o p o n o w a n y c h modeli j ą d r a jest mniej lub więcej użyteczny i m o ż n a go stosować w pewnym węższym lub szerszym zakresie zjawisk jądrowych. U p o d s t a w różnych koncepcji modelu j ą d r o w e g o leżą obserwacje dotyczące ogólnych właściwości jądra — obserwacje prowadzące często d o przeciwstawnych wniosków. Jest empirycznym faktem o m a w i a n a już przez nas wcześniej stałość energii wiązania dla różnych jąder oraz j e d n o r o d n y rozkład ł a d u n k u i masy w objętości jądra, co prowadzi d o wniosku, że w jądrze działają wielkie, krótkozasięgowe siły jądrowe.

Z drugiej strony stwierdzamy doświadczalnie występowanie pewnych uprzywi­ lejowanych liczb n u k l e o n ó w , które m o ż n a p o r ó w n a ć d o maksimów elektronowej energii jonizacyjnej, występujących dla pierwiastków He, Ne, Ar, Kr, tj. dla liczb elektronów 2 , 8, 18... Te szczególne liczby n u k l e o n ó w nazywamy liczbami magicz­ nymi i o m a w i a m y szerzej w dalszym ciągu rozdziału. Jest oczywiste, że występowanie liczb magicznych kłóci się z obrazem j e d n o r o d ­ nego rozkładu ł a d u n k u i masy w jądrze. Widoczne więc są trudności ujęcia tych zaobserwowanych podstawowych właściwości j ą d r a w jeden model. Modele j ą d r o w e m o ż n a podzielić na różne grupy, w zależności od tego, czy chcemy opisywać ogólne właściwości jąder, wzajemne oddziaływanie z cząstkami elementarnymi, widma p o z i o m ó w wzbudzonych jąder itp. Poniżej podajemy przy­ kładowo jeden z możliwych podziałów, d o k o n a n y p o d kątem siły oddziaływania nukleonów w jądrze. 1) Modele z silnym oddziaływaniem (lub z silnym sprzężeniem), zakładające zespół silnie związanych cząstek oddziałujących na siebie siłami jądrowymi o krótkim zasięgu: a) model kroplowy lub hydrodynamiczny, b) model jądra złożonego, c) model cząstki cc. 2) Modele ze słabym sprzężeniem, zwane modelami cząstek niezależnych, zakładające poruszanie się n u k l e o n ó w prawie niezależnie od siebie w uśrednionym polu jądra: a) m o d e l gazu Fermiego, b) model studni potencjału, c) model optyczny (tzw. zespolonej studni potencjału), d) model powłokowy (występują tu warianty — jednocząstkowy, wielocząstkowy, ze sprzężeniem j-J). 3) Modele uogólnione, zajmujące pośrednią pozycję: a) model kolektywny, b) model o b r o t o w y (rotacyjny) z silnym sprzężeniem, c) model sferoidalnego rdzenia. W rozważaniach nad modelami j ą d r o w y m i d o g o d n i e jest posługiwać się koncepcją studni potencjału. Koncepcja ta polega na uwzględnieniu w rozważaniach modelowych energii wiązania w jądrze.

1.9.1. Studnia potencjału jądrowego Zanalizujemy sytuację, gdy n e u t r o n o małej energii kinetycznej zbliża się d o jądra. Ilustruje to rys. 1.11 a,b. N e u t r o n , j a k o pozbawiony ł a d u n k u , nie oddziałuje z k u l o m b o w s k i m polem jądra i zbliża się d o j ą d r a dostatecznie blisko, by zaczęła działać duża siła j ą d r o w a F„, zawsze przyciągająca. W punkcie r n e u t r o n doświadcza silnego przyciągania jądrowego i zostaje z a a b s o r b o w a n y . N e u t r o n schwytany jest w p u ł a p k ę na pewnym poziomie energii E . F„ jest siłą jądrową rozciągającą się od powierzchni stałego j ą d r a przy r d o odległości r . £ jest jądrową energią wiązania w studni potencjału. n

B

s

n

B

Z a k ł a d a się, że powierzchnia j ą d r a rozciąga się od odległości r „ ponieważ ta odległość przedstawia promień j ą d r a , wzdłuż którego siła j ą d r o w a jest stała. Gdy neutron zostaje z a a b s o r b o w a n y , wyzwala się energia emitowana w postaci k w a n t u y.

b)

I

11 O bariera kulombowska odległość nukleonu od środka jądra głębokość studni (protony) głębokość studni (neutrony)

studnia neutronowa^ środek jqdra

Ry$. 1.11. a,b) Zbliżanie się neutronu do jądra (z: G. R. Choppin, J. Rydberg, „Nuclear Chemistry. Theory and Applications", Pergamon Books Ltd., Oxford 1980; za zgodą wydawcy), c) Studnia potencjału jądrowego i bariera kulombowska [z: H.A.C.McKay, „Principles of Radiochemistry", Butterworths, London 1971; za zgodą wydawcy, Butterworths and Co. (Publishers) Ltd.]

Energię promieniowania y m o ż n a obliczyć ze znanych m a s reagentów i p r o d u k t u zgodnie z wzorem (1.4-2): E = y

-93l,5(M -M -M ) A+l

A

a

Wyzwolona energia jest energią wiązania n e u t r o n u w jądrze — £ . Całkowita energia j ą d r a obniżyła się więc, j a k p o k a z a n o n a rys 1.11 b . Przyjęto określać ten spadek energii j a k o studnię potencjału. M o ż n a założyć, że nukleony zajmują różne poziomy w takiej studni potencjału. Ścisły kształt (profil) studni jest niepewny, może być n p . paraboliczny, prostokątny itp. Profil studni zależy od postaci matematycznej, przyjętej dla oddziaływania między wnikającą cząstką a jądrem. Protony doznają działania tej samej wielkiej krótkozasięgowej siły jądrowej, gdy wchodzą w k o n t a k t z jądrem, lecz doświadczają one również długozasięgowego oddziaływania odpychającego sił kulombowskich między d o d a t n i m i p r o t o n a m i i d o d a t n i m ładunkiem jądra. T o odpychanie powoduje, że głębokość studni potencjału B

dla p r o t o n ó w i n e u t r o n ó w jest różna. Poziomy p r o t o n ó w są, w skali bezwzględnej, wyższe niż poziomy n e u t r o n ó w . Ilustruje to rys. 1.11 c. Energia potencjalna jest stała w ś r o d k u studni potencjału i wzrasta przy ścianach studni. Głębokość studni przyjmuje się na około 40 MeV, jej szerokość j a k o równą średnicy jądra. Bariera k u l o m b o w s k a występuje tylko dla p r o t o n ó w ; po jej przekroczeniu, od chwili zetknięcia się z powierzchnią jądra, p r o t o n „ w p a d a " d o studni potencjału. Wysokość bariery dla p r o t o n u wynosi kZe /R (R = promień jądra). Dla ciężkich jąder (uran) wysokość wynosi około 10 MeV. Ogólnie dla j o n u 0 ł a d u n k u + ze i promieniu r, zbliżającego się d o jądra, wysokość bariery wynosi kZze /(R + r). Jeżeli j ą d r o m a tę samą liczbę p r o t o n ó w i n e u t r o n ó w , a protony na najwyższym dostępnym poziomie energetycznym mają energię o kilka M e V większą niż neutrony na analogicznym poziomie, to p r o t o n y będą przechodzić w neutrony (w przemianie / J ) . Dlatego duże j ą d r a mają zawsze więcej n e u t r o n ó w niż p r o t o n ó w . Koncepcja potencjału jądrowego może być z powodzeniem zastosowana zarówno do cząstek wnikających d o j ą d r a lub opuszczających j ą d r o , jak to się dzieje w reakcjach jądrowych, j a k również w stosunku d o nukleonów wewnątrz j ą d r a . W pierwszym p r z y p a d k u teorię m o ż n a rozwinąć przez analogię d o efektu padania światła n a mętny kryształ, gdzie część światła jest rozpraszana, a część a b s o r b o w a n a . N a r z u c a to wyodrębnienie części rzeczywistej potencjału jądrowego 1 części urojonej, przy czym pierwsza o d p o w i a d a za rozpraszanie, druga za absorpcję. Otrzymany w wyniku o b r a z j ą d r a nazywany jest modelem optycznym i ma zastosowanie w teorii reakcji jądrowych (obok innych modeli). Rozważanie ruchu n u k l e o n ó w wewnątrz studni potencjału prowadzi d o po­ włokowego modelu jądra. Z a k ł a d a się tu, że nukleony poruszają się niezależnie wewnątrz studni, a ich ruch jest k w a n t o w a n y analogicznie do ruchu elektronów w atomie. Inaczej mówiąc, nukleony poruszają się w studni potencjału ruchem okrężnym, z oscylacją między energią kinetyczną a potencjalną. Przyjmując niektóre hipotezy co d o kształtu studni potencjału j ą d r o w e g o , m o ż e m y zastosować d o jądra równanie Schródingera. W skrócie m o ż n a powiedzieć, że rozwiązanie równania daje określone stany energetyczne j ą d r a . Te stany są zdefiniowane przez liczby kwantowe: główną liczbę kwantową n, która odnosi się d o całkowitej energii układu, i poboczną (orbitalną) liczbę kwantową /, która odnosi się d o ruchu obrotowego jądra. Najbardziej spopularyzowane i mające może największe znaczenie w aspekcie historycznym są modele: k r o p l o w y i powłokowy. O nich więc powiemy nieco szerzej. Oba te modele są użyteczne przy rozpatrywaniu szeregu zjawisk jądrowych, m.in. reakcji jądrowych, w których energia kinetyczna cząstki bombombardującej j ą d r o -tarczę jest stosunkowo mała ( < 10 MeV). W przypadku reakcji jądrowych w zakresie dużych energii ( > 100 MeV) o b a te modele nie sprawdzają się w opisie procesu. 2

2

+

1.9.2. Model kroplowy Model ten, sformułowany przez Nielsa B o h r a w k o ń c u lat trzydziestych, rozważa jądro j a k o gęsto u p a k o w a n y układ, w k t ó r y m odległości między nukleonami są

rzędu zasięgu sił jądrowych. Z a takim u k ł a d e m przemawiają: przybliżona stałość energii wiązania na jeden nukleon oraz j e d n a k o w a gęstość materii jądrowej w różnych jądrach, r cc A . Model ten zakłada, że cząstka (nukleon) wchodząca d o j ą d r a (np. w wyniku reakcji jądrowej) b a r d z o szybko oddaje energię innym n u k l e o n o m i przestaje się od nich różnić p o d względem energetycznym ( k r ó t k a d r o g a s w o b o d n a ) . Oddziaływanie zachodzi między padającą cząstką i jądrem j a k o całością. W y t w a r z a się jądro złożone, mające pewną energię wzbudzenia i pewien średni czas życia ze względu na rozpad. Ten średni czas życia jest długi ( 1 0 ~ - 1 0 s) w p o r ó w n a n i u z czasem, jaki zużyłby pocisk na przebycie drogi wzdłuż średnicy j ą d r a ( 1 0 s). Długi czas życia j ą d r a złożonego tłumaczy się tym, że trzeba wielu zderzeń, zanim energia nie nagromadzi się p r z y p a d k o w o na jednym z nukleonów. Jeżeli zachodzi n p . emisja p r o t o n u , to j ą d r o pozostaje w stanie w z b u d z o n y m d o chwili, gdy n a jednym z p r o t o n ó w n a g r o m a d z i się dostatecznie d u ż a energia — wystarczająca d o opusz­ czenia jądra. J a k widać więc, utworzenie i rozpad j ą d r a złożonego są od siebie niezależne. Istotna dla modelu kroplowego koncepcja j ą d r a złożonego okazała się bardzo p r z y d a t n a w interpretacji niektórych typów reakcji jądrowych; mówimy o tym obszerniej w p . 4.1.4. l/3

1 5

- 1 6

- 2 0

Podobieństwa między j ą d r e m a kroplą są następujące: 1) Cząsteczki wody w kropli i nukleony w jądrze oddziałują tylko ze swymi najbliższymi sąsiadami. 2) K r o p l a i j ą d r o wykazują napięcie powierzchniowe. 3) Termicznemu ruchowi cząsteczek w o d y o d p o w i a d a energia kinetyczna nukleonów. 4) W y p a r o w a n i e cząsteczek z kropli m o ż n a p o r ó w n a ć z wyemitowaniem nukleonów w reakcjach jądrowych. 5) Opisu rozszczepienia j ą d r a m o ż n a d o k o n a ć przez badanie trwałości drgającej kropli, inaczej mówiąc, m o ż n a wyjaśnić rozszczepienie j ą d e r j a k o ich nietrwałość względem odkształcenia od postaci kulistej. Powyższe, czysto jakościowe i powierzchowne, przedstawienie cech modelu kroplowego pozwala j e d n a k n a uzyskanie zależności dobrze określającej energię wiązania w jądrze, zwanej równaniem Weizsackera, czasem równaniem Bethego-Weizsiickera, lub wzorem półempirycznym na energię wiązania. 1.9.2.1. Wzór półempiryczny

Opierając się n a fenomenologicznym opisie m o d e l u kroplowego j ą d r a , m o ż n a sformułować półempiryczne równanie na energię wiązania w jądrze. W tym celu rozpatrzymy różne czynniki, które mogą wpływać na energię wiązania. W prze­ p r o w a d z o n y m r o z u m o w a n i u założono j ą d r o kuliste (nie zdeformowane). 1) G ł ó w n y m przyczynkiem d o energii wiązania będzie wyraz proporcjonalny d o liczby masowej A — tzw. „energia objętościowa" (objętość jest proporcjonalna d o A, wzór (1.5-1)).

Energię tę wyzwalającą się w wyniku przyciągania nukleonów siłami Fermiego, piszemy ze znakiem d o d a t n i m £

= +a A

v

(1.9.2-1)

v

2) Energia oddziaływania kulombowskiego p r o t o n ó w zmniejsza energię wiąza­ nia. Całkowita energia oddziaływania kulombowskiego jest proporcjonalna d o liczby oddziałujących n a siebie p a r p r o t o n ó w w jądrze, tj. d o - j Z ( Z — 1). Całkowita energia k u l o m b o w s k a wynosi | Z ( Z — l){e /R), gdzie R = r A jest promieniem jądra. Jej udział w energii wiązania wynosi: 2

113

0

2

E = c

2

a jeśli współczynnik a' • y • (e /r ) c

3 e -

i

(1.9.2-4)

gdzie a = a a' jest, j a k i pozostałe współczynniki a, wyznaczany empirycznie. Wprowadzenie p o p r a w k i w drugiej potędze powoduje znikanie przy Z = A/2 zarówno czynnika n a d m i a r u , j a k i pochodnej p o Z , co o d p o w i a d a m a k s i m u m energii wiązania. T a k więc kolejnym w k ł a d e m d o energii wiązania jest tzw. efekt symetrii x

v

2

_ (N-Z) £ = —a t

x

2

(A-2Z) = —a

z

(1.9.2-5)

5) Musimy uwzględnić w energii wiązania efekt pairingu. Krótkozasięgowe oddziaływania między d w o m a nukleonami uprzywilejowują sprzęganie się spinów przeciwnie skierowanych. Sytuację tę nazywa się pairingiem. W jej następstwie zawsze dla parzystej liczby nukleonów ( p r o t o n ó w albo n e u t r o n ó w ) całkowity m o m e n t pędu wynosi zero, a parzystość jest d o d a t n i a . Z dwu izobarów o parzystym A, j ą d r a o parzystych Z i TY są najsilniej związane, a więc najtrwalsze, o nieparzystych Z i N najmniej trwałe, o nieparzystym A wykazują trwałość pośrednią. Wpływ pairingu m o ż n a uwzględnić, dodając wyraz E . Wszystkie jądra trwałe m o ż n a podzielić na cztery grupy: 164 jądra parzysto-parzyste ( Z i N parzyste); E = + S'/2A 55 jąder parzysto-nieparzystych ( Z parzyste, N nieparzyste); E = 0 50 jąder nieparzysto-parzystych (Z nieparzyste, N parzyste); E = 0 6 jąder nieparzysto-nieparzystych (Z i N nieparzyste), H , fLi, ' " B , f N , 2°V, ?§Ta; E = -b'/2A Ostatecznie otrzymujemy równanie na energię wiązania przez dodanie wszystkich wyżej omówionych czynników: d

s

5

s

2

J

Ł

s

£

B

Z

= a A-a y

c

(

*~

l

)

~ a

%

2

A

'

3

(

- o ,

A

+ E

(1.9.2-6)

S

Oczywiście energię wiązania m o ż n a zastąpić przez masę j ą d r a , gdyż M = ZM + (A — Z)M — E /c . Półempiryczny wzór na masę przybierze postać: 2

p

n

B

2

M = ZM

P

2

+ (A — Z)M„-(ajc )A

+ (ajc )

Z

(

J~

1

)

+

2

2 3

(ajc )A '

+

Wartości współczynników a m o ż n a wyznaczyć, dopasowując obliczenia teore­ tyczne d o oznaczonych doświadczalnie energii wiązania dla najlepiej znanych jąder. Wartości tych współczynników różnią się między sobą u różnych a u t o r ó w . Podajemy przykładowo: « = 14,1 lub 15,7 MeV, a = 0,585 lub 0,717 MeV, a = 13,1 lub 18,6 MeV, a = 18,1 lub 19,4 lub 28,1 MeV, b = C r . 2

B

2

B

12 5

A

5 3

1 2

A

+

1 / 3

5 3

5 3

_ 1

a= - 0 , 5 8 5 • 5 3 - - 7 2 , 4 - 5 3 = -0,1557-1,366 = b = + 0 , 5 8 5 - 5 3 " + 72,4 = 0,1557 + 72,4 = 72,56 c = -4-53-13,1 -53 = -212-184,8 = -396,8

-1,522

1 / 3

2 / 3

2

Dla Mn: £ = - 1 , 5 2 2 • 2 5 + 7 2 , 5 6 • 2 5 - 3 9 6 , 8 = 465,95 Dla Cr: £ = - 1,522 • 2 4 + 7 2 , 5 6 • 2 4 - 3 9 6 , 8 = 467,97 5 = 0, ponieważ A jest nieparzyste. £ „ ( C r ) - £ ( M n ) = 4 6 7 , 9 7 - 4 6 5 , 9 5 = 2,02 M e V B

2

B

B

2 3 5

2 3 5

236

Obliczmy energię przyłączenia d o d a t k o w e g o n e u t r o n u do U( U + n -* U ) . Dla U energia wiązania wynosi: 14,1 - 2 3 5 - 13,1 - 2 3 5 - 0 , 5 8 5 • 92 • 91 • 2 3 5 - 1 8 , 1 • 5 1 • 2 3 5 = 1820,24; dla U £ wynosi: 14,1-236 - 13,1 • 2 3 6 -0,585-92-91-236" - 1 8 , 1 • 5 2 • 2 3 6 " = 1827,4. Dla U dodajemy człon óA~ = 132/236 = 0,55. Energia przyłączenia n e u t r o n u wynosi: 1827,95- 1 8 2 0 , 2 4 = 7,71 MeV. 2 3 5

2 / 3

2

- 1

- 1 / 3

2 3 6

2 / 3

B

1 / 3

2

1

2 3 6

1

* W tym celu dokonuje się czysto formalnego przekształcenia: 2

2

4a Z 2

2

b = - 2 a Z . ; 6 /4a =

= a Z ; £„ = aZ -2aZ Z A

Aa +

2

(c-b /4a)

K

2

2

+ aZ .-b /4a

i

+ c + SA-

2

l

= a ( Z - Z ) + 6A~ A

+

Obliczmy Z

A

odpowiadające m a k s i m u m trwałości izobaru A = 27 0,585-27 7

Z

27

A

2 / 3

+72,4-27

5,265 + 1954,8

2

2(5,265 + 72,4)

3

2(0,585 - 2 7 ' + 72,4) 27

'

2

= 12,62 s 13. .A1 jest trwały wobec 32) stanowią grupę, w której izotopowa częstość występowania jest mniejsza od 2 % . Wyjątki zaś mają magiczną liczbę n e u t r o n ó w : | g Z r (JV = 50) — 51,46%, l Mo (N = 50) — 15,86%, ^ N d (N = 82) — 2 7 , 1 3 % , ^ S m [N = 8 2 ) - 3 , 1 6 % . ^ R u nie jest „magiczny", ale też występuje zaledwie w 5 % . 3) Istnieje 7 trwałych izotonów o N = 82. Nie m a drugiej grupy izotonicznej tak licznej. 4) Istnieje 6 trwałych izotonów o N = 50. Nie m a drugiej, oprócz N = 82, grupy tak licznej. 3 7 R b nie jest trwały, ale m a b a r d z o długi czas życia. Zazwyczaj liczba izotonów dla N parzystego wynosi od trzech d o czterech. 5) W a p ń ( Z = 20) m a 5 izotopów, dla których m a k s y m a l n a różnica liczb masowych wynosi 8. Ten rozrzut jest wyjątkowy w tej części układu okresowego 1 wskazuje na specjalną trwałość. C y n a ( Z = 50) m a więcej trwałych izotopów (10) niż jakikolwiek inny pierwiastek. 6) Kryterium trwałości może być także różnica AN — liczby n e u t r o n ó w najcięższego i najlżejszego izotopu. AN = 2 pojawia się p o raz pierwszy dla Z = 8. Wśród pierwiastków lekkich AN = 6 spotyka się w p r z y p a d k u Z = 28, AN = 8 w p r z y p a d k u Z = 20, przy czym najcięższy izotop t o C a m a N = 28. AN = 8 występuje w p r z y p a d k u K r i M o , przy czym najcięższy izotop I^Kr i najlżejszy 4 2 M 0 mają N = 50, oraz w p r z y p a d k u Ba i N d , gdzie najcięższy izotop s | B a i najlżejszy 13

5

2

2

2

1

Tabela 1.2. Izotopowa częstość występowania najbardziej rozpowszechnionych pierwiastków na kuli ziemskiej

Pierwiastek

Udział w składzie atomowym kuli ziemskiej %

Liczba protonów Z

40,91

26

Fe

25,92

8

O

13,00

14

Si

10,00

12

Mg

2,78

28

Ni

2,74 S

16

Liczba neutronów N w izotopach trwałych

Izotopowa częstość występowania %

28 30 31 32

5,82 91,66 2,19 0,33

8 9 10

95,00 0,76 4,22

14 15 16

92,21 4,70 3,09

12 13 14

78,70 10,13 11,17

30 32 33 34 36

67,88 26,23 1,19 3,66 1,08

16 17 18 20

95,00 0,76 4,22 0,014

Izotopowa częstość występowania %

Udział w składzie atomowym kuli ziemskiej %

Liczba protonów Z

1,25

20

20 22 23 24 26 28

Al

1,10

13

14

100

Na

0,49

11

12

100

0,22

24

26 28 29 30

Co

0,21

27

32

100

Mn

0,18

25

30

100

0,13

19

20 21 22

93,10 0,0118 6,88

0,11

22

24 25 26 27 28

7,43 7,28 73,94 5,51 5,34

Pierwiastek

Ca

Cr

K

Ti

Liczba neutronów /V w izotopach trwałych

96,97 0,64 0,145 2,06 0,0033 0,185

4,31 83,76 9,55 2,38

' t o N d mają N = 82. Istnieją wreszcie d w a pierwiastki o AN = 12. Są to Sn (Z = 50) i X e ( Z = 54), którego najcięższy izotop o masie A = 136 ma 82 neutrony. 7) K o ń c o w y m p r o d u k t e m trzech szeregów promieniotwórczych składających się z ciężkich pierwiastków jest ołów ( Z = 82). Izotop ołowiu występujący najczęściej ( P b ) ma 126 neutronów. Końcowy p r o d u k t szeregu neptunowego B i ma także 126 neutronów. 8) Bezwzględna częstość występowania pierwiastków w skorupie ziemskiej wykazuje m a k s i m a dla Z r , Sn, Ba, W , Pb. Dla każdego z nich m o ż n a znaleźć jedno lub więcej jąder o liczbie magicznej Z lub jV 8, 20, 2 8 , 50, 126. Prócz tych m a k s i m ó w na krzywej występowania pierwiastków w przyrodzie z a u w a ż o n o również m a k s i m a drugiego rodzaju dla Z lub N równych 14, 30, 4 0 , 74. 9) Elektryczny m o m e n t k w a d r u p o l o w y wykazuje szczególnie małe wartości lub jest zerowy dla jąder „magicznych". M o m e n t k w a d r u p o l o w y zanika przy symetrii sferycznej, nic więc dziwnego, że dla jąder o zamkniętych powłokach jego wartości są małe. M a k s y m a l n e wartości m o m e n t ó w kwadrupolowych odpowiadają j ą d r o m , których N lub Z różnią się od siebie prawie o tyle, ile wynosi różnica między dwiema kolejnym liczbami magicznymi. D o d a t k o w ą ilustracją spostrzeżeń, które doprowadziły do koncepcji modelu powłokowego, jest podane w tab. 1.2 zestawienie izotopowych częstości występowania ważniejszych pierwiastków na kuli ziemskiej. M o ż n a by się spodziewać, że jądra mające o jeden nukleon więcej niż zamknięta powłoka powinny mieć niedużą energię wiązania tego nukleonu. Powinno się więc obserwować samorzutną emisję nukleonu z jąder o / V + 1 i Z + 1 . Jednak w miarę obserwowania coraz większej liczby p r z y p a d k ó w tzw. opóźnionej emisji pojedynczych nukleonów nie można oczekiwać potwierdzenia specyficzności liczb magicznych na tym przykładzie. Wprawdzie jądra N i 0 (N = 9) emitują neutrony, ale emitują je także nuklidy z bliskiego sąsiedztwa, jak B e , B e , B , C oraz pięć izotopów magnezu od M g do M g . Rozrzut liczb neutronowych wynosi od 5 do 19. Neutron jest emitowany z jądra ~ K r (N = 51), ale także z jąder pięciu kolejnych izotopów kryptonu do A = 92. T o samo dotyczy X e (JV = 83) i czterech dalszych izotopów ksenonu d o X e ; wszystkie one emitują „ o p ó ź n i o n e " neutrony. Jądra F (Z = 9) i S c (Z = 21) wysyłają opóźnione protony, ale emisja taka występuje także w jądrach, dla których rozrzut liczby Z wynosi od 7 d o 20: N , N a , M g , P , S , C 1 , K , a nawet, w jakimś stopniu, C a (szczególnie trwałe j ą d r o podwójnie magiczne). O samorzutnej emisji nukleonów będzie mowa w rozdziale 3. Procesy te są rzadkie i esperymentalnie utrudnione, dlatego powoływano się na nieliczne z b a d a n e przypadki, jak 0. K r . " Xe. dla potwierdzenia liczb magicznych. Argument ten okazał się fałszywy a lic/ba faktów, niezbicie stwierdzających realność zjawisk stojących za liczbani magiezrmni do­ statecznie wielka, by uznać go także za niepotrzebny. Ponieważ te same liczby magiczne znaleziono dla protonów i neutronów, możemy założyć, że p r o t o n y i neutrony budują swoje substruktury niezależnie jedne od drugich, lecz w ten sam sposób. Istotny dla substruktury jest też fakt szczególnej 2 0 8

2 0 9

m a g

l f t

1 7

9

2 7

n m g

1 1

I 2

1 3

3 1

8

1 3 7

1 4 1

1 7

1 3

2 1

2 3

4 l

2 y

3 2

3 3

3 7

4 0

1 7

8

trwałości jąder z parzystymi liczbami p r o t o n ó w i neutronów. Mówiliśmy o tym w poprzednim punkcie j a k o o efekcie pairingu. M o ż e m y to zilustrować licznymi p r z y k ł a d a m i tendencji d o tworzenia u k ł a d ó w antyrównoległych spinów, np. izobary: SNe P t

2

?Na

t

T

It it

ir i t it 1T

It i t It

it

it it it it

nietrwale

It It

It It

It

It It It

trwałe 2 0

, lF - u N e + e" (n - > p + e~) 2

9

It It

It It

It It

nietrwałe 2

?Na

2

+ Ne + e (P- n + e )

+

0

+

Wydaje się więc, że j ą d r o składa się z niezależnych substruktur neutronów i p r o t o n ó w maksymalnie sparowanych dla każdej z nich. N u k l e o n y są grupowane w liczby magiczne. Wiemy z rozpadu promieniotwórczego, że całkowita energia rozpadu poszczególnego nuklidu m a określoną wartość. C o więcej, emisja y z po­ szczególnego j ą d r a wykazuje określone dyskretne wartości. Te fakty przypominają k w a n t o w a n ą emisję promieniowania elektromagnetycznego ( X , U V , widzialnego) z a t o m ó w . M o ż e m y przyjąć p o d o b n e wytłumaczenie dla j ą d r a — r o z p a d promienio­ twórczy j ą d r a (a, /? czy y) polega na przejściach między dyskretnymi, kwantowanymi, poziomami energetycznymi. 1.9.3.1. Model powłokowy jednocząstkowy

Model p o w ł o k o w y j ą d r a m o ż n a budować, opierając się n a założeniu różnego kształtu studni potencjału. W zależności o d tego założenia otrzymuje się różne wyniki w b a d a n i a c h teoretycznych ruchu jednej cząstki w polu potencjalnym w funkcji odległości. D o ś ć często zakłada się potencjał pola w kształcie tzw. głębi prostokątnej. W naszym omówieniu posłużymy się modelem studni parabolicznej. N a początek wprowadzimy tzw. reguły liczb kwantowych. Załóżmy, że nukleon porusza się swobodnie p o torze k o ł o w y m w studni potencjału jądrowego o symetrii sferycznej i że energia nukleonu zmienia się między potencjalną a kinetyczną, jak w przypadku oscylatora harmonicznego, tzn. ściany potencjału są paraboliczne. Dla tych w a r u n k ó w rozwiązanie r ó w n a n i a Schródingera daje zależność: £nu ,eonu = k

h J W ^ m r

1

( 2 ( n - 1 ) +/)

(1.9.3-1)

w której U jest potencjałem przy promieniu r = 0 , m jest masą nukleonu, n i / są główną i orbitalną liczbą kwantową. Pierwiastek kwadratowy, który m a wymiar s , bywa określany j a k o częstość oscylatora. Dla nukleonów w studni potencjału j ą d r o w e g o obowiązują następujące reguły: 1) G ł ó w n a liczba k w a n t o w a n określa całkowitą energię układu. W literaturze nieco starszej m o ż n a spotkać stwierdzenie, że liczby n stawiane przed oznaczeniem 0

- 1

stanu kwantowego s , p , d , n p . l s , 2 p , . . . nie są głównymi liczbami kwantowymi określającymi jednoznacznie energię, j a k w p r z y p a d k u a t o m u , lecz wskazują tylko porządek rozmieszczenia poziomów i nie mają żadnego innego znaczenia. Nie jest to słuszne, a wzięło się stąd, że związek między liczbą n i / tylko dla elektronów jest ograniczony z n a n y m w a r u n k i e m 0 ^ l ^ n—l, natomiast dla nukleonów nie ma aktualnie reguły określającej związek n i /. 2) Liczba / może mieć każdą dodatnią całkowitą wartość począwszy od 0, niezależnie od n. 3) Energia stanu / rośnie ze wzrostem n zgodnie z zależnością (1.9.3-1). 4) N u k l e o n y zajmują poziomy o najmniejszej całkowitej energii zgodnie z zależnością (1.9.3-1), niezależnie od tego, czy większe jest /, czy n. 5) Serie poziomów są niezależne dla p r o t o n ó w i n e u t r o n ó w . D o p ó k i nie założy się sprzężenia jądrowego s p i n - o r b i t a , liczba n u k l e o n ó w na każdym poziomie wynosi 2 / + 1. 6) Trzeba brać p o d uwagę spinową liczbę kwantową, k t ó r a nie występuje w równaniu (1.9.3-1). Liczba nukleonów na d a n y m poziomie zwiększa się d o 2 ( 2 / + 1). 7) Obowiązuje zasada Pauliego, tzn. w układzie nie mogą występować dwie cząstki o tych samych wszystkich liczbach kwantowych. Zgodnie z tymi regułami nukleony różnią się znacznie co d o energii i ruchu orbitalnego. Reguły te j e d n a k nie wykluczają istnienia d w u nukleonów o tej samej energii (tzw. stany zdegenerowane) p o d warunkiem, że liczby k w a n t o w e się różnią. 1.9.3.2. Model jądra bez sprzężenia spin-orbita

Jeżeli policzymy sekwencję poziomów energii przy założeniu, że n jest stałe, otrzymamy poziomy energetyczne znalezione na podstawie wyłącznie dozwolonych wartości dla orbitalnej liczby kwantowej / i spinowej liczby kwantowej s.

1

Stan

0 1 2 3 4

s V d f 9

l

Możliwe wartości kwantowe 0 —1,0,+ 1 -2,-1,0,+1,+ 2 - 3 , - 2 , - 1 , 0 , + l , + 2, + 3 - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , + 1 , + 2, + 3, + 4 -/,...,

0

Liczba stanów Zbiorcza z uwzględnie­ liczba niem spinu nukleonów 1x2 3x2 5x2 7x2 9x2

= = = = =

2 6 10 14 18

2 8 18 32 50

,...,+/

Otrzymujemy sekwencję analogiczną d o stanów elektronowych w atomie niezgodną ze stwierdzonymi liczbami magicznymi. Stosując wyżej p o d a n e reguły i rozwiązując równanie Schródingera dla os­ cylatora harmonicznego, o t r z y m a m y nową serię liczb nukleonów 2 , 8 , 2 0 , 4 0 , 70 itd.

Poziomy energii zgodnie z równaniem (1.9.3-1):

Poziomy U ld,2s \g,2d,3s

l/f,2/,3/> li,2g,3d,4s

Liczba nukleonów 2 6 10 + 2 = 12 14 + 6 = 20 18 + 10 + 2 = 30 22+14 + 6 = 42 26+18 + 10 + 2 = 56

Nukleony razem 2 8 20 40 70 112 168

Powyższy schemat dopuszcza wielką liczbę degeneracji. N a przykład dla n = 1 i / = 3 (stan 1/) znajdujemy z równania (1.9.3-1), że 2(H — 1) + / = 3, którą to wartość otrzymujemy także dla n = 2 i / = 1 (stan 2p). Ponieważ s t a n / m o ż e mieć 14, a stan p 6 nukleonów, więc zdegenerowane poziomy o b u stanów mogą zawierać 20 nukleonów. J e d n a k otrzymane w ten sposób liczby nukleonów nie odpowiadają jeszcze doświadczalnym liczbom magicznym. Dalsze udoskonalenie modelu jest możliwe, jeżeli założymy, że studnia potencjału jądrowego m a ściany proste (studnia p r o s t o k ą t n a ) , tzn. że energia potencjalna V(r) wynosi — U przy r < r„, natomiast jest nieskończona przy r ^ r„, przy czym r„ — promień jądra. Jeżeli wprowadzić to założenie d o r ó w n a n i a Schródingera, uzyskuje się rozszczepienie poziomów zdegenerowanych, tak że najniższą energię otrzymuje się dla stanu o najniższej liczbie kwantowej n. W naszym przykładzie stanów l / i 2p, orbitale 1 / są energetycznie niższe niż 2p. T o udoskonalenie nie prowadzi jednak jeszcze d o p o p r a w n y c h liczb magicznych. 0

1.9.3.3. Schemat poziomów jądrowych ze sprzężeniem jądrowym spin-orbita W atomach wieloelektronowych sprzężenie Russela-Saundersa występuje w przypad­ ku a t o m ó w lekkich. N a t o m i a s t w najcięższych a t o m a c h o wielu elektronach, jak i w jądrach o dużej liczbie Z , sprzężenie j-j [spin-orbita; patrz wzór (1.6.3-7)] lepiej opisuje układ. J u ż w 1949 r. Haxel, Jensen, Suess i G o e p p e r t - M a y e r zasugerowali, że nukleony zawsze podlegają silnemu sprzężeniu s p i n - o r b i t a , zgodnie z zależnością j = l + s, i że całkowity spin jądra / jest sumą spinów nukleonów (chodzi oczywiście o całkowite m o m e n t y pędu) / = 27/. W ten sposób wszystkie poziomy w liczbie / są rozszczepiane, każdy n a dwa poziomy o wartościach kwantowych 1+1/2 i /—1/2. Z a k ł a d a się, że występują znaczne różnice w energii nukleonów, w zależności od tego, czy spinowy m o m e n t pędu jest równoległy, czy antyrównoległy d o orbitalnego m o m e n t u pędu. W p r o w a d z a się więc rozszczepienie powłok, k t ó r e m o ż n a przypisać sprzężeniu spin-orbita, tak że stan w y p a d k o w e g o m o m e n t u p ę d u j = / - f l / 2 leży energetycznie znacznie niżej od p o z i o m u j = 1—1/2. Inaczej mówiąc, nukleon, poruszając się p o orbicie o dużym momencie pędu, daje pierwszeństwo orientacji wewnętrznej spinu raczej w kierunku sumowania d w ó c h m o m e n t ó w pędu niż ich

różnicy. Dla s t a n ó w / , g , h rozszczepienie jest tak duże, że zwykle wyznacza koniec powłoki zamkniętej (odpowiadającej liczbie magicznej). M a m y więc sytuację, w której z p o w o d u rozszczepiania energii nowe poziomy grupują się razem,tak że zgadzają się ściśle z doświadczalnymi liczbami magicznymi. Stany k w a n t o w e m o ż n a oznaczać analogicznie, jak w p r z y p a d k u rozważań nad budową a t o m u , n p . stan k w a n t o w y 3d m a n = 3, 1 = 2 (indeks 5/2 oznacza całkowity m o m e n t pędu j = l + s = 2 + 1/2 = 5/2). Liczba n e u t r o n ó w i p r o t o n ó w (niezależnie) jest ograniczona d o 2 / + 1 , zgodnie z zasadą Pauliego. Weźmy inny przykład: oznaczenie l i i i mówi, że główna liczba k w a n t o w a jest równa 1, term i wskazuje, że orbitalna liczba k w a n t o w a 1=6, liczba k w a n t o w a m o m e n t u pędu = 11/2 (j = /—1/2), liczba n u k l e o n ó w wynosi 2/ + 1 = 12. Liczby magiczne od­ powiadają seriom poziomów o p o d o b n e j energii, tak j a k w a t o m a c h powłoki K,L, M,... przedstawiają orbitale o p o d o b n e j energii. Powłoka N-elektronowa zawiera 4s, 3d, 4p serie orbitali, podczas gdy czwarta p o w ł o k a j ą d r o w a zawiera l / , 2p , 2p i I39/2 serie orbitali. Należy pamiętać, że serie orbitali występują oddzielnie dla p r o t o n ó w i n e u t r o n ó w . Często stosuje się łatwy d o zapamiętania, choć niezbyt ścisły przepis na zamykanie powłok jądrowych, polegający n a tym, że powłoki graniczne kończą się przed każdym przyrostem wartości j aż d o stanu l / (28 nukleonów), a od stanu I/7/2 PO k a ż d y m przyroście / W i d a ć tu szczególną rolę s t a n u / . Jeżeli według tej reguły wyznaczymy liczby n u k l e o n ó w w kolejnych stanach, o t r z y m a m y następujący model p o w ł o k o w y j ą d r a : 5/2

/ 2

5 / 2

3 / 2

1 / 2

7 / 2

7 / 2

Model powłokowy

Stan kwantowy

2

4 2

8

i/2

6 4 2

20

I/7/2

8

28

6 4 2 10

50

g 6 4 2 12

82

S

U2

!P /2 3

'Pl/2 ld

5,2

^3,2 2 s

v

sl2

P /2 3

2

l

Liczba nuk­ leonów Powłoka 2; + l 2

1

2

(1.9.3-2)

Pl,2 S 9 l 2

2^3,2

\h 2/

9 / 2

7;2

2/5,2 3P ,2 3

3

Pl,2

l'l3/2 U

ll/2

2g

2^7/2 g/2 3d 2 5/

3^3/2 4 S

!,2

'^15,2

10 8 6 4 2 14

126

12 10 8 6 4 2 16

184

Kolejność stanów kwantowych nie jest j e d n a k w powyższym zapisie zgodna z rzeczywistością. Właściwa kolejność stanów o d najniższego jest następująca: Stany

Powłoka 2 8 20 28 50 82 126 184

1*1,2 ^3/2' U

W

5I2
P , 2 > P l , 2 ' 1^9,2 3

1

,

9 7,2'

2d

2 d

5/2>

il2;

1 , ,

11/Z-

l

l ' 9 / 2 ' 2/7,2' 3 P , 2 ' l ' l 3 / 2 ' 3

2g

9 / 2

,li

1 1 / 2

3 S

1,2

2/ » 3 p 5/2

1/2

, 3 h , i ' 1 3 / 2 1 ^ 1 5 / 2 p o w ł o k a c h o niższej energii, każda powłoka zawiera tylko stany o tej samej parzystości, zgodnie ze wzorem (1.7-3). 11/2

1 / 2

1 / 2

2

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

w

l l / 2

Przykładem wypełnionej powłoki o magicznej liczbie n e u t r o n ó w jest — 50 n e u t r o n ó w wypełniających 5 powłok: 2

6

l 0

2

IfSr

6

( l s ) ( l p ) ( l d 2 s ) ( l / ? ) (\f% 2 P 1 0 $ ) / 2

l2

Nuklidy o magicznych liczbach a t o m o w y c h mają p o d o b n ą b u d o w ę protonową ( H e , O , 2oCa, zsNi, S n , P b ) . Trzy pierwsze j ą d r a są podwójnie magiczne z Z = N, j ą d r e m podwójnie magicznym jest także s l P b ( i V = 126). Wszystkie cztery jądra są trwałe. Niestety nie każdy układ podwójnie magiczny jest trwały. N a przykład j ą d r o | N i ulega przemianie fi z okresem półtrwania t = 6,1 dnia, a j ą d r o soSn jest emiterem fi z t = 40 s. Nuklid f C a jest wprawdzie trwały, ale 2

s

5 0

8 2

2

2

1/2

1

1/2

0

stanowi tylko 0,19% składu trwałych izotopów wapnia. Najsilniej związane jądro I^Fe nie jest magiczne w sensie ścisłym, liczba 30 n e u t r o n ó w jest liczbą magiczną drugiego rodzaju. Te fakty pokazują, że modele zjawisk fizycznych są tylko przybliżeniem rzeczywistości. W analogii d o teorii b u d o w y a t o m u , w której założono, że powłoki wypełnione mają symetrię kulistą i nie mają m o m e n t u p ę d u ani m o m e n t u magnetycznego, również dla j ą d r a wysunięto zbliżone postulaty dotyczące modelu jednocząstkowego. W modelu tym nie tylko zapełnione powłoki, ale wszystkie pary n e u t r o n ó w lub p r o t o n ó w charakteryzują się brakiem m o m e n t u pędu i m o m e n t u magnetycznego (efekt pairingu). Dla jądra o parzystym N i Z spin stanu podstawowego wynosi zero, a parzystość jest d o d a t n i a . W d o w o l n y m jądrze o nieparzystym A wszystkie nukleony z wyjątkiem jednego ulegają pairingowi; j ą d r o takie możemy t r a k t o w a ć j a k o podwójnie parzysty rdzeń w stanie 0 + ; nieparzysty nukleon porusza się niezależnie wewnątrz lub na zewnątrz rdzenia; charakteryzuje go orbitalny m o m e n t pędu /, całkowity m o m e n t pędu j i parzystość (—1)'. Stan całego j ą d r a jest określony stanem k w a n t o w y m tego nukleonu. Tabela 1 . 3 . Momenty pędu jąder według jednocząsteczkowego modelu powłokowego

Jądro

6 1 5

N-

i^O 9

8

1 7

W

8 19

1 5

P3/2

P3/2

P3/2

P /2

7

Pl/2

Pl/2

0

7

Pl/2

Pl/2

F

9

d

d

9

9 11 15

r

17

33o 39|f 1 9

39p„

K

5/2

r

F-!2Nc

31p

li

Stan wg (1.9.3-3)

5

c

7

Stan wg (1.9.3-2)

3

*He - 'Li 13

Nieparzysty nukleon

~

19

3

5/2

d

d

d

SI2

d

d

il2

d

5/2

d

3/2

S

l/2

5/2 il2

Zmierzony moment pędu i parzystość 3/2 3/2 1/2 1/2 5/2 + 1/2 + 3/2 +

3l2

1/2 + 3/2 +

l/2

3/2 +

3l2

d

S

21

fili

fl/2

7/2 -

23

fl/2

fyi

7/2 -

-Co

27

fl/2

fl!2

\>

49

$911

»9/2

d

d

*oCa - *JSc

p

59

Au

79

141 1 9 7

207-T-l 81 207p 82 209 p 82 209d: 8 3 1

81

1

b

1

r

B

l

u

b u

5/2

h

ll/2

^11/2

7/2 9/2 +

"ll/2

5/2 + 3/2 +

l/2

1/2 +

5/2

S

125

^13/2

Pl/2

127

^11/2

99,2

1/2 9/2 +

K,2

h

9/2 -

83

9!2

W tabeli 1.3 przedstawiono wynikające z m o d e l u i zmierzone m o m e n t y pędu szeregu jąder o nieparzystym A, wśród nich także jąder zwierciadlanych. Zgodność z modelem jest d o b r a , z wyjątkiem jąder: F , N a , P , K i A u . W niektórych przypadkach niezgodności m o ż n a wytłumaczyć na gruncie m o d e l u kolektywnego (p.1.9.5). W p r z y p a d k u jąder podwójnie nieparzystych m a ł o jest d o k ł a d n y c h danych o wartościach m o m e n t ó w pędu i m o m e n t ó w magnetycznych tych nuklidów. Z a r ó w n o nieparzysty p r o t o n , j a k i nieparzysty neutron powodują efekty wynikające z sumarycz­ nego oddziaływania ich m o m e n t ó w . Stan p o d s t a w o w y j ą d r a m o ż n a określić w przybliżeniu n a podstawie reguły Nordheima: jeżeli s u m a całkowitych i orbitalnych m o m e n t ó w p ę d u dla p r o t o n ó w i n e u t r o n ó w j +j + l + l jest r ó w n a liczbie parzystej, to całkowity m o m e n t p ę d u j ą d r a wynosi 1 9

2 3

p

3 1

n

3 9

p

1 9 7

n

/=l7 -7„l

(1-9.3-4)

P

Jeżeli suma j + j + l + /„ równa jest liczbie nieparzystej, to m o m e n t j ą d r a wynosi p

n

p

/ 0 oraz e > p przy T-> 0 otrzymujemy n -> 0. Oznacza to, że powyżej p o z i o m u energii określonego przez \i nie m a fermionów. Przy założeniu e < p, gdy T-» 0, otrzymujemy n ->• g . Oznacza to, że poniżej tego p o z i o m u znajduje się tyle fermionów, ile jest dostępnych dla nich stanów. Poziom energii e* = p°, czyli p e w n a wartość graniczna, jest poziomem Fermiego, powyżej którego nie m a fermionów. Wszystkie fermiony znajdują się poniżej poziomu Fermiego. Ich liczba jest r ó w n a liczbie stanów: n(e) = g(f). A d b) Liczbę stanów m o ż n a łatwo policzyć j a k o stosunek objętości przestrzeni fazowej, w której znajduje się cząstka, d o objętości k o m ó r k i elementarnej h . Objętość przestrzeni fazowej równa jest iloczynowi objętości przestrzeni kon­ figuracyjnej V i objętości przestrzeni pędowej. Tę ostatnią policzymy j a k o objętość kuli o p r o m i e n i u p = (2ms) , r ó w n ą ^-np . Objętość przestrzeni fazowej: V= \ n(2mz) . Liczba stanów: t

;

t

t

{

3

112

3

312

,3/2

(1.9.4-2)

(to samo wyrażenie otrzymuje się z rozwiązania r ó w n a n i a falowego na wartości własne energii „cząstki w p u d l e " ) . W p r z y p a d k u fermionów liczba s t a n ó w jest r ó w n a vg(e), gdzie v jest związane z d o d a t k o w y m i spinowymi stopniami swobody. M a m y więc z n(s) = g(s): •V/2 (2me*)'

Stąd energia p o z i o m u Fermiego s* (1.9.4-3)

Czynnik n/Vjest gęstością materii jądrowej, czyli gęstością n u k l e o n ó w w jądrze. Wielkość tę bierzemy z danych eksperymentalnych, n p . z rys. 1.3, gdzie stała gęstość aż d o wartości promienia j ą d r a ok. 5 fm wynosi 1,7 • 1 0 nukl. - m ~ (0,17 nukl.-fm ) . Czynnik v związany ze spinem n u k l e o n ó w s = 1/2 nie ogranicza się do podstawienia liczby orientacji spinu 2s + 1 . Trzeba tu uwzględnić liczby kwantowe izospinu (p.1.8), co podwaja wartość v. A więc w obszarze poniżej poziomu Fermiego wszystkie stany są obsadzone przez cztery nukleony odpowiednio d o dwu wartości spinu i izospinu v = (2s + 1)-(2JZ + 1) = 4. Stany o wyższych energiach są puste. Obliczenie energii p o z i o m u Fermiego e* s p r o w a d z a się d o podstawienia d o wzoru (1.9.4-3) gęstości materii jądrowej n/V= 1 , 7 - 1 0 m , v = 4 i stałych: 4 4

3

3

44

6,62618

2

1Q-

6 8

2-1,674954-10" 4 0

27

2

= 1,310675-10" J s 0,614481 • 1 0

- 1 1

_ ' 2

S

8

'

/ 3 0,17-10

t

\4

kg" -4,68828 1 0

-6,2415-10

m"

3,14-4

1

12

45

2 8

m"

2

3

3

\

2 / 3

) = 0,614481 • 1 0 "

1 1

J =

MeV = 38,35 M e V

Według m o d e l u Fermiego w studni potencjału j ą d r o w e g o każdy stan od najniższego poczynając jest o b s a d z o n y przez 4 nukleony aż d o wartości 38,35 MeV. W i a d o m o , że energia potrzebna n a oderwanie n u k l e o n u od j ą d r a wynosi średnio 8 M e V (patrz p.1.4). Oznacza to, że nukleon o maksymalnej energii kinetycznej ma energię wiązania —8 MeV. D n o studni potencjału musi zatem znajdować się o e = 38,35 M e V poniżej tej energii, tzn. głębokość studni wynosi — 8 — 38,35 = —46,35 MeV. Studnię potencjału w m o d e l u Fermiego p o k a z a n o na rys. 1.14. 1

R

n

\j \j P \J O \J

n

n

r

n

s

y j \ j\ j \r \ j \c j\ \ cj \ P \P J kJ kJp O P i f~\ \ J KJ

PI P U UI PUI

\PJ r*i kJ

ł

s*

PUI

P

\ J P\ JP \ J r^i \ J \ J r *\ u

O O o o

J

Rys. 1.14. Prostokątna studnia potencjału jądrowego zapełniona przez nukleony według modelu Fermiego. Energia Fermiego a" wynosi ok. 38 MeV, całkowita głębokość studni ok. 47 MeV

Z rozkładu (1.9.4-1) m o ż n a łatwo otrzymać średnią energię cząstki w obszarze Fermiego e = | V . Dla modelu Fermiego otrzymujemy £ = 23,01 M e V . śt

śr

1.9.5. Model kolektywny Oba rozpatrywane modele, kroplowy i powłokowy, zakładają sferyczną symetrię rozkładu masy i ł a d u n k u w jądrze. Założenie to jest całkowicie p o p r a w n e tylko dla jąder magicznych, pozostałe odchylają się mniej lub więcej od symetrii sferycznej w kierunku formy elipsoidalnej. M a k s y m a l n a o b s e r w o w a n a deformacja zachodzi przy stosunku osi elipsoidy a/b = 1,86 i 0,54. R o z k ł a d ł a d u n k u w zdeformowanym jądrze prowadzi d o powstania multipoli elektrycznych: dipolu, k w a d r u p o l u itd. M o m e n t y multipolowe związane są ze sobą spinem j ą d r o w y m : przy spinie / = 0 multipolowość jest zerowa, przy 7 = 1 / 2 multipolowość wynosi 1 i powinien wystąpić m o m e n t dipolowy. Najczęściej występuje m o m e n t kwadrupolowy (p. 1.6.4) dla spinu 1=1 (multipolowość 2). M e c h a n i k a k w a n t o w a ogranicza wartość tego momentu do

H

*

7+1

v

5

;

1+ 1

danego iloczynem ł a d u n k u przez powierzchnię, lecz p o d a w a n e g o zwykle w j e d n o ­ stkach powierzchni 1 0 " m , zwanych b a r n a m i . W przypadku elipsoidy wydłużonej (a > b) m o m e n t y kwadrupolowe są dodatnie, np. dla H , B , " B , N , N a , K , C o , S r , Cs, Au, U ; dla elipsoidy spłaszczonej Q < 0 ( 0 , S , C 1 , I, Pr). Deformacja jąder jest s p o w o d o w a n a kolektywnymi ruchami nukleonów, które mogą mieć charakter oscylacji bądź rotacji. J ą d r a mogą n p . oscylować między wydłużoną a spłaszczoną formą elipsoidy oraz r o t o w a ć wokół wybranej osi. Ruchy te mogą być ze sobą sprzężone. K a ż d y sposób takiego kolektywnego ruchu charakteryzuje się skwantowaną energią własną. Ruch rotacyjny j ą d r a o niezerowej multipolowości elektrycznej ( £ 1 , £ 2 , £ 3 , . . . ) powoduje powstawanie multipolowości magnetycznej ( M 1 , M 2 , M 3 , . . . ) . M o d e l kolektywny z a p r o p o n o w a n y przez A. B o h r a i B. M o t t e l s o n a w 1953 r. pozwala na obliczenie poziomów rotacyjnych i oscylacyjnych w schematach stanów energetycznych różnych jąder. Z obliczeń widać, że wzbudzone stany rotacyjne są rozmieszczone d u ż o gęściej i przejścia między nimi cechują się dużo mniejszymi energiami niż przy wzbudzeniu n u k l e o n o w y m i oscylacyjnym (np. dla U po zderzeniu k u l o m b o w s k i m wzbudzenie nukleonowe wynosi 1,27 MeV, oscylacyjne 1,058 i 1,013 M e V , rotacyjne: 0,311; 0,264; 0,214; 0,161; 0,103; 0,045 MeV). Model ten został zmodyfikowany przez Nilssona dla jąder o nieparzystych A z uwzględnieniem sprzężenia między m o m e n t e m rotacyjnym zdeformowanego rdzenia (utworzonego przez powłoki zamknięte) a m o m e n t e m pędu nieparzystego nukleonu. Poziomy energetyczne obliczone z modelu Nilssona różnią się od stanów 2 8

2

1 0

2

1 4

2 3

1 7

3 3

3 9

3 6

5 9

1 3 1

8 7

1 3 7

1 9 7

2 3 5

1 4 1

2 3 8

opisanych przez model powłokowy i zgadzają się lepiej z danymi doświadczalnymi dla zdeformowanych jąder. Według tego ostatniego (patrz t a b . 1.3), n p . w jądrze N a jedenasty p r o t o n znajduje się n a poziomie l < i , natomiast diagram Nilssona wskazuje na poziom 3/2, zgodny ze zmierzonym spinem 3/2. P o d o b n i e nieparzysty p r o t o n i n e u t r o n w jądrach zwierciadlanych F i N e znajdują się według modelu powłokowego również n a poziomach l d , podczas gdy poziom Nilssona daje spin 1/2 zgodny z doświadczeniem. 2 3

5/2

1 9

5 / 2

1 9

2. PRAWO ROZPADU PROMIENIOTWÓRCZEGO

Promieniotwórczość n a t u r a l n a została o d k r y t a w 1896 r. przez Becąuerela podczas badania fluorescencji soli u r a n o w y c h . Promieniowanie emitowane przez związki u r a n u zaczerniało kliszę fotograficzną, jonizowało powietrze, odznaczało się stałością i było całkowicie niezależne od jakichkolwiek bodźców zewnętrznych. Badania tego promieniowania u r a n o w e g o , zwanego wówczas promieniowaniem Becąuerela, rozpoczęła w 1897 r. M a r i a Skłodowska-Curie i już w 1898 r. stwierdziła, iż emitują je, spośród znanych wówczas pierwiastków, tylko u r a n i tor, oraz że promieniowanie ich jest cechą atomową, nie zależy bowiem od związku, w jakim te pierwiastki występują, lecz tylko od ilości zawartego w nich u r a n u lub toru. W tymże roku M a r i a i Piotr Curie stwierdzili obecność w minerałach u r a n o w y c h d w u nieznanych wtedy, nowych pierwiastków promieniotwórczych, które nazwali polonem i radem. Badania b a r d z o silnego promieniowania r a d u doprowadziły d o rozróżnienia trzech składowych tego promieniowania, nazwanych a, fi i y, przy czym promieniowanie fi zostało zidentyfikowane z promieniami katodowymi, a więc cząstkami materialnymi obdarzonymi ładunkiem elektrycznym. Ten fakt, wraz ze stwierdzeniem silnego efektu egzoenergetycznego promieniowania radu, doprowadził d o wysunięcia przez Marię Skłodowską-Curie w 1900 r. postulatu przemian a t o m o w y c h j a k o źródła promieniowania. W tym samym czasie nastąpiło odkrycie innych nieznanych substancji promieniotwórczych: a k t y n u (Debierne 1899), t o r o n u (Rutherford 1900), aktynonu (Debierne, Giesel 1900), r a d o n u ( D o r n 1900). W 1903 r. została ostatecznie sformułowana hipoteza przemian promieniotwórczych (Rutherford, Soddy). Wreszcie w latach 1900-1908 liczni badacze (Rutherford, Soddy, Ramsay, Geiger, Dewar i inni) zidentyfikowali cząstki a promieniowania r a d u j a k o zjonizowane a t o m y helu, a w 1912 r. Soddy, opierając się na modelu a t o m u Rutherforda (1911), sprecyzował pojęcie izotopii.

2.1. Szeregi promieniotwórcze Wszystkie pierwiastki cięższe od b i z m u t u są promieniotwórcze. Tworzą one szeregi promieniotwórcze, których członami są pierwiastki będące p r o d u k t a m i kolejno p o sobie następujących przemian. Z n a m y trzy takie szeregi n a t u r a l n e albo naturalne rodziny promieniotwórcze. 1. Szereg uranowy albo radowy. Wartości m a s a t o m o w y c h członów tego szeregu m o ż n a określić wzorem x = 4n + 2, w k t ó r y m n jest liczbą całkowitą (odpowiednio dobraną). Szereg ten przedstawia się następująco:

1,18 m i n 2 3 4

2 3 8 4,47

(

1

J

I

)

^

2 3 4

T

1 0 ' ° lal

n

(

l

J

X

I

)

Pa(UXII)

^

| 2 3 4

24,1 dni

_ ^ 2 3 4

Pa(UZ)

U

(

u

n

_ ^

)

5

2,44-10 lat

6,7 h 2 3 0

Th(Io)^ 4

7,7 10 lat

2 1 4

2

2

6

1 6 0 0 lat

Bi(RaC) ^ >

2 1 4

Rn

"»

2 1 8

2 0 6

Pb(RaB)-^

3 , 0 5 min

2 1 0

26,8min

2 1 0

P b ( R a D ) -U

1 6 4 us

Po(RaF)^

2 1 4

Po(RaA)^

3,824dni

Po(RaC)

1 9 , 8 min

2 1 0

2 2 2

R a ^

Bi(RaE)

2 2 , 3 lat

5,01

-L

dni

Pb

(2.1-1)

1 3 8 , 3 8 dni

N a szereg u r a n o w y składają się kolejno następujące przemiany: a, 2/?, 5

y fi 82

81

2 u

a

P b l R a BI

210 , T

21D

Bi(RoE I

a

/

fi a

Pb(Rot

206 , T

Rys. 2.1. Szereg uranowy z naniesionymi rozpadami rozgałęzionymi

206p

b

ulega zmniejszeniu o dwie jednostki, a liczba m a s o w a o cztery), n a t o m i a s t przy emisji cząstek /? pierwiastek ulega przesunięciu o j e d n o miejsce w p r a w o ( liczba a t o m o w a wzrasta o jednostkę, a liczba m a s o w a pozostaje bez zmiany). W szeregach zachodzą rozpady rozgałęzione. Liczba stwierdzonych rozgałęzień stale się zwiększa w miarę postępu techniki p o m i a r o w e j , pozwalającego na wy­ krywanie substancji o słabej aktywności. N a rysunku 2.1 p o d a n o przykład szeregu u r a n o w e g o z naniesionymi niektórymi r o z p a d a m i rozgałęzionymi. Oprócz p o d a n y c h wyżej naturalnych pierwiastków promieniotwórczych ciężkich, promieniowanie fi wykazują: potas t g K ( t i = 1,28 • 1 0 lat), rubid | ^ R b ( t = 4,7 • 1 0 lat), lantan ' i ^ L a ^ j = 1,3 • 1 0 lat), w a n a d ^ V ( t = 6-10 lat), ind \%\n{t = 6-10 lat),lutet ,?Lu(ri = 3,3-10 lat),ren ^ R e ^ = 5-10 lat). Promieniowanie a emitują: n e o d y m )Nd(t = 2,1 • 1 0 lat), samar ^ S m (t = 1 , 0 6 - 1 0 lat), gadolin £Gd(t = 1,1 • 1 0 lat), hafn ,2-Hf(t = 2 - 1 0 lat), platyna fiPt(t = 6 , 1 - 1 0 lat) i ok. 1 0 lat dla Pt. W tabeli 2.1 p o d a n o zestawienie niektórych minerałów zawierających u r a n i tor. 9

1 0

/ 2

1 / 2

1 1

1 5

1 / 2

l

1 4

1 7

10

m

10

/ 2

1 4 4

1 5

1 / 2

11

iS

1 4

ll2

l

11

1 5

17

m

1/2

1 5

1 9 2

il2

T a b e l a 2.1. Minerały zawierające uran i tor Minerał Pechblenda (blenda smolista) Bekerelit Uraninit

Zawartość Zawartość uranu, % toru, %

Skład

u o 3

60-90

8

/

74 50-90

2U0 •3H 0 3

2

uo • uo 2

3

Broegerit Kleweit

uo uo uo • uo

Autunit

Ca(U0 ) (P0 ) nH 0

Karnotyt

K 0 • 2U0

Kazolit Torianit To ryt Monacyt

PbO U 0 S i 0 H 0 węglany U i Ca Th0 , U0 ThSi0 H 0 fosforany toru i ziem rzadkich

Coffinit Sengieryt

USi0 Cu[U0 (OH)V0 ]

Tujamunit

CaO 2 U 0 V 0 C a [ U 0 / V 0 ] • (5-8)H 0 ( U 0 ) [ V 0 ] • 15H 0

2

3

2

3

2

2

4

2

2

2

50-60

2

V O • 3H 0

3

2

3

s

2

2

2

2

4

2

4

2

4

3

2

Uranit

48-75 48-66

2

2

2

4

6

1 7

3H 0 2

5

2

2

2

«50 *40 «30 4-28 1-19

Występowanie Czechy, Kongo, Colorado (USA)

Bawaria, Kongo Japonia, USA, Kanada, Karelia (WNP) 6-12 Norwegia 3,5-4,5 • Norwegia, Japonia, Tek­ sas (USA) Francja, Madagaskar, Portugalia, USA USA, Kongo, WNP, Au­ stralia Kongo Austria, WNP 60-90 Cejlon, Madagaskar 40-70 Norwegia, USA 0,1-15 Brazylia, Indie, Egipt, WNP, Norwegia, Pd. Afryka, Madagaskar, USA, Kanada Colorado (USA) Katanga (Kongo), Colo­ rado (USA) Turkiestan Colorado (USA) Utah (USA) 0,5-10

2.2. Prawo rozpadu promieniotwórczego W kilka lat p o odkryciu promieniotwórczości stwierdzono (Schweidler 1905), że aktywność substancji promieniotwórczej maleje z czasem według prawa wykład­ niczego i zrozumiano, że promieniotwórczość jest wynikiem zmian w poszczególnych a t o m a c h , a nie w próbce j a k o całości. R o z p a d promieniotwórczy jest statystyczny w swej naturze i nie m o ż n a przewidzieć, kiedy d a n y a t o m się rozpadnie.W jądrze zachodzą ciągłe zmiany rozkładu energii i w każdej chwili może zdarzyć się konfiguracja konieczna d o zaistnienia r o z p a d u promieniotwórczego. R o z p a d promieniotwórczy jest więc wyłączną właściwością samego jądra i jego szybkość zależy od dwóch tylko czynników: liczby j ą d e r w rozpatrywanej próbce i oczywiście rodzaju tych jąder. W e ź m y n p . p o d uwagę jednogramową p r ó b k ę nuklidu U , pozbawioną p r o d u k t ó w r o z p a d u . Emituje o n a zawsze (tak długo, j a k długo pozostaje 1 g r a m nuklidu) 12435 cząstek a n a sekundę, czyli r o z p a d a się w niej co sekundę 12 435 jąder U , przechodząc w j ą d r a T h . W próbce j a k o całości znajduje się 2,53 • 1 0 jąder U , z których, j a k powiedziano, tylko 12 435 jąder rozpada się w każdej sekundzie. A więc o g r o m n a większość jąder U zachowuje się przez czas rzędu 1 0 lat j a k zwykłe, niepromieniotwórcze jądra. W pewnej chwili, bez żadnej przyczyny w rodzaju tych, z jakimi zwykło się kojarzyć zjawiska fizyczne przed odkryciem promieniotwórczości, „ s p o k o j n e " j ą d r o U emituje cząstkę cc. Musiało więc t o d o t ą d spokojne j ą d r o U doznać tuż przed emisją a jakiejś zmiany, inaczej mówiąc, musiała powstać j a k a ś „przyczyna" powodująca to zjawisko — i to właśnie m a m y n a myśli mówiąc, że zdarzyła się konfiguracja konieczna d o zaistnienia r o z p a d u promieniotwórczego. Statystyczna możliwość wystąpienia tej przyczyny czy konfiguracji jest z a k o d o w a n a w strukturze jądra. 2 3 8

2 3 8

2 1

2 3 4

2 3 8

2 3 8

9

2 3 8

2 3 8

W literaturze podręcznikowej spotyka się czasem sformułowanie, że praw­ dopodobieństwo zaistnienia takiej konfiguracji jest j e d n a k o w e w j e d n a k o w y c h odcinkach czasu w okresie życia a t o m u , a odniesione d o jednostki czasu jest wielkością charakterystyczną dla danego radionuklidu i nazywane jest stałą rozpadu k: dN/dt l = ——, gdzie N jest liczbą promieniotwórczych jąder w czasie t. Takie przedstawienie p r a w a r o z p a d u promieniotwórczego jest nieścisłe — stała r o z p a d u k nie jest p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m , zmienia się bowiem w b a r d z o szerokich granicach, gdy p r a w d o p o d o b i e ń s t w o jest określone liczbowo w przedziale 0 < p < 1. P r a w d o p o d o b i e ń s t w o r o z p a d u poszczególnego j ą d r a w odcinku czasu At jest dla dostatecznie małych At proporcjonalne d o A t i nie zależy od żadnych innych parametrów p = k-At

(2.2-1)

a więc k jest tu tylko współczynnikiem proporcjonalności. P r a w d o p o d o b i e ń s t w o , że jądro się nie rozpadnie, wynosi więc: \-p=\-k-At

(2.2-2)

Prawdopodobieństwo, że j ą d r o nie rozpadnie się w n a s t ę p n y m przedziale czasu At, jest znowu takie samo 1 — p = 1 — A • A t. Prawdopodobieństwo, że j ą d r o nie rozpadnie się w dwu kolejnych przedziałach czasu At, wynosi (1— A - A t ) , a w n kolejnych przedziałach czasu A t : (1 —A-At)" (iloczyn zdarzeń niezależnych). P r a w d o p o d o b i e ń ­ stwo, że j ą d r o nie rozpadnie się w całkowitym czasie t = n - A t , wynosi więc 2

i - ; /

n czyli gdy At staje się nieskończenie małe, tzn. gdy n - > o o , p r a w d o p o d o b i e ń s t w o to jest granicą wyrażenia: 1

U - 1-A-

(2-2-3) n-,oo\ nj Ponieważ lim (1 + (x/n)\" = e , przy x = —At, więc p r a w d o p o d o b i e ń s t w o , że j ą d r o x

n->co Xt

nie rozpadnie się p o czasie t, wynosi e~ . Z drugiej strony p r a w d o p o d o b i e ń s t w o , że j ą d r o nie rozpadnie się p o czasie t, jest równe stosunkowi liczby jąder N, które się nie rozpadły p o czasie t, d o początkowej liczby jąder N , a więc N/N . Ściślej mówiąc, wielkość ta będzie się różniła dostatecznie m a ł o od p r a w d o p o d o b i e ń s t w a nierozpadu, gdy N będzie dostatecznie duże. M a m y stąd: 0

0

0

(2.2-4, co stanowi właśnie prawo rozpadu promieniotwórczego. P r a w o rozpadu promienio­ twórczego pisze się często w postaci różniczkowej: d N / N = — Adf. M o ż n a to samo napisać stwierdzając, że rozpad promieniotwórczy jest reakcją pierwszego rzędu. Szybkość r o z p a d u jest proporcjonalna d o liczby jąćłer (atomów) pierwiastka: -dN/dt

= AN

(2.2-5)

Stałą całkowania wyznacza się zakładając, że N = N , gdy t = 0. Oczywiście wtedy ln ( N / N ) = - A t . D o określenia prędkości r o z p a d u używa się najczęściej stałej, zwanej okresem połowicznego rozpadu, okresem półtrwania, półokresem, czasem połowicznego zaniku. Jest to czas, w którym rozpada się połowa danej liczby a t o m ó w . Czyli jeśli m a m y N = N / 2 w czasie t = t , to l n ( J V / 2 N ) = - A - t , stąd t = -(In0,5)/A = In2/A 0

0

0

1 / 2

0

0

1 / 2

1 / 2

0.69315 j

ti/2 =

(2.2-6)

W praktyce doświadczalnej nie oznacza się bezpośrednio liczby jąder TY, lecz d N / d t albo wielkości d o tego proporcjonalne, j a k efekty elektryczne, fotograficzne i inne. M o ż n a napisać d N / d t = ( d N / d t ) e , albo A = A e~ , albo też _ / I

u

0

0

In A = ln A 0

At

(2.2-7)

gdzie częstość A zachodzenia r o z p a d ó w nazywamy aktywnością próbki. M o ż e m y napisać A = cXN = c(—dN/dt), gdzie c jest współczynnikiem detekcji (wykrywania) i zależy od rodzaju przyrządu, c h a r a k t e r u promieniowania i geometrii próbki i przyrządu

=

dt

dr

A

-X

cX

(2.2-8)

c

Używa się także pojęcia średniego czasu życia (t ) radionuklidu, tj. sumy okresów życia poszczególnych a t o m ó w , podzielonej przez ich liczbę początkową. W przybliżeniu dla dostatecznie dużych N m o ż n a zastąpić tę sumę całką: śr

I=OC

tir =

tdJV =

1

1

tXNdt

:u

N J

tXN e~ dt

= X

0

te

0

1= 0

dt = -At

1

Xt + l ~

(2.2-9)

7

Inaczej mówiąc, liczba a t o m ó w rozpadających się w przedziale czasu | t , t + d t | , czyli liczba r o z p a d ó w , wynosi — dN = XN e~ 'dt. K a ż d y a t o m istnieje przez czas t, więc suma okresów życia wynosi tXN e~ 'dt i p o podzieleniu przez N i scałkowaniu x

0

x

0

0

1

J Ate-^dt =

Kończąc omówienie kinetyki r o z p a d u promieniotwórczego, zwrócimy uwagę n a popełnioną pewną nieścisłość. Mówiliśmy mianowicie, że żaden zewnętrzny czynnik, poza procesem wewnątrzjądrowym, nie wpływa n a szybkość rozpadu. Omawiając w p . 1.2.2 efekty relatywistyczne wspomnieliśmy o dylatacji czasu. W y n i k a z niej, że wszystkie procesy fizyczne są spowolnione o czynnik (1 — v /c )~ , wobec tego również proces r o z p a d u j ą d r a lub cząstki. Nie m a to praktycznego znaczenia, gdyż nuklidy promieniotwórcze r z a d k o poruszają się z prędkościami zbliżonymi d o c. M o ż n a j e d n a k znaleźć wśród cząstek elementarnych przykłady n a występowanie efektu relatywistycznego w stosunku d o szybkości r o z p a d u . Mezony ulegają o z p aodpowiadającym dom: n -* fi s.+Wiązka v z pionów czasem t a b . r1.1), t = i 1,8n -10 = 2,55-10" ns (patrz z akceleratora m a prędkość v = 0,99c. Czas p ó ł r o z p a d u powinien więc wydłużyć się zgodnie ze wzorem (1.2.2-8) 2

2

112

p

1 / 2

-1/2 Ti

[

12

(2.2-10)

l/2

Po podstawieniu wartości v = 0,99c otrzymujemy T

1/2

= 7,09-1,8-10

- 8

=

_ 7

l,3-10 s

Przy tej szybkości „źródła promieniowania" proces rozpadu pionu został spowolniony prawie o rząd.

2.2.1. Przykłady stosowania prawa rozpadu Dla przykładu obliczmy stałą r o z p a d u i okres półtrwania toru, jeżeli g r a m toru wysyła 4700 cząstek a n a sekundę ( + 3%), z pominięciem promieniowania p r o d u k t ó w pochodnych. Częstość r o z p a d ó w —dN/dt = 4700 s . Liczba a t o m ó w w l g T h : 1-6,022-10" . . 232,12-4700-3,1558 • 10 " = „„„ • • Z r ó w n a n i a (2.2-5) X = r-r^z T» l 232,12 ' 6,022-10 = 5,7171 • 1 0 " l a t " ; * = g ^ p - * = 12,1 • 1 0 lat. _ 1

7

a t

v

1 1

2 3

l

9

1 / 2

t

Obliczamy przybliżony wiek skorupy ziemskiej na podstawie wieku minerału uranitu zawierającego 61,14% U i 18,10% P b . M a s a a t o m o w a ołowiu wynosi 206,06, a więc jest r ó w n a masie atomowej R a G ( P b ) . Przyjęto stałą rozpadu dla u r a n u X = 1,62- 1 0 lat . 2 0 6

- 1 0

- 1

Liczba moli u r a n u w 100 g: — - — = 0,25689. 238 18 10 Liczba moli o ł o w i u : — ^ — = 0,087864. 206 Liczba a t o m ó w u r a n u w danej chwili: N = 0,25689 • 6,02 • 1 0 . Liczba a t o m ó w u r a n u „przed r o z p a d e m " (JV ) jest r ó w n a sumie liczb a t o m ó w uranu i powstałego z tego u r a n u ołowiu: N = (0,25689+ 0,087864)-6,02 • 1 0 . Ze &

2 3

0

2 3

0

wzoru

(2.4)

mamy

2,303 , N — - l o g — = X N

t=

2,303-10 — 1,62

0

1 0

,

0,25689 -JV A log _..„ 0,34475-7V n

A

10

2 303-0 1 2 7 7 5 - 1 0 ' ' — 1,62

9

= 1,82-10 lat. 1 4

Obliczamy wiek meteorytu zawierającego w j e d n y m gramie 2 , l - 1 0 ~ g R a i 20,77- 1 0 c m He(273 K , 1,013 • 1 0 P a ) . Przyjmuje się, że R a i H e powstają n a skutek rozpadu u r a n u , meteoryt nie zawierał poprzednio helu, hel nie uchodził, średni czas życia dla u r a n u wynosi 6,5 • 10 lat, stosunek masowy U : Ra wynosi 3 • 10 . N Stosujemy równanie r o z p a d u w postaci t= — (l/ź.)-2,303-log . Liczbę No atomów N w próbce obliczamy następująco: Masa u r a n u w 1 g = 2,1-10 • 3 - 1 0 = 6,3-10 g. Liczba a t o m ó w u r a n u , . 6,3 • 1 0 " - 6 , 0 2 2 - 1 0 _ .. , 20,77-10" w 1 g N = -: — = 1 , 5 9 3 6 - 1 0 . Powstało moli He, _ 6

3

5

9

1 4

8

6

6

t

6

8

2 3

r

,. 2 0 , 7 7 - 1 0 - • 6,022• 1 0 czyli 224X4

6

2 3

t n

14

. , „. cząstek a. Z jednego a t o m u u r a n u " U 8

powstaje

w szeregu r o z p a d ó w 8 cząstek a. Dlatego oczywiście wyliczona wyżej liczba cząstek

a p o w s t a ł a z o ś m i o k r o t n i e mniejszej liczby a t o m ó w U. R o z p a d ł o się więc 20 7 7 - 1 0 - 6 0 2 2 - 1 0 — = 0 , 6 9 7 5 4 - 1 0 jąder. A więc n a początku w 1 g próbki 22414-8 _ 6

2 3

14

byłoiV = N+0,69754

• 10

0

1 4

14

= 1,5936-10 +0,69754 • 1 0

9

Stąd czas t = - 6 , 5 • 1 0 • 2,303 • log ^ 2 2 9 1 1 )

=

2 , 3 6

1 0

'

1 4

'

= 2,2911 • 1 0 K

1 4

atomów U.

T

2.3. Mieszanina niezależnie rozpadających się nuklidów Mieszaniny substancji r a d i o a k t y w n y c h rozpadają się niezależnie. C a ł k o w i t a a k t y w n o ś ć mieszaniny jest sumą a k t y w n o ś c i poszczególnych składników A = Aj + A = c ^ j A / j + clN 2

2 2

2

A = A + A + A + ... + A 1

2

3

(2.3-1)

n

P o czasie składniki o najdłuższym okresie życia nabierają coraz większego znaczenia. W i d a ć to na rys. 2.2. Okres p ó ł r o z p a d u składników długożyciowych może być odczytany z dalszego odcinka krzywej r o z p a d u , k t ó r a przechodzi w tym miejscu w prostą. Ekstrapolując d o t = 0 prostoliniowy odcinek krzywej i odejmując rzędne tej prostej od krzywej zasadniczej, otrzymujemy nową krzywą, która o d p o w i a d a rozpadowi innych składników p o z a substancjami o najdłuższym okresie życia. Tę krzywą m o ż n a z kolei rozłożyć n a inne w ten sam sposób. 300 200

\> \ \ \

100 80

>

— -V-\

60 50 40

°

s \ \ \

30

0 20 -w oc

\ \

>%

s 10 °

8

1

6

\'\ —X—\ \

\ \ V \ V

\

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

czas, h

Rys. 2.2. Analiza złożonej krzywej rozpadu: a — złożona krzywa rozpadu, b — składowa długożyciowa ( t i = 8 h), c — składowa krótkożyciowa ( r = 0,8 h) /2

I/2

8,05d)

O

10

20

30

40

50

czas f,

dni

60

70

80

1 3 3

l 3 1

Rys. 2.3. Przykład zanieczyszczenia przez krótkożyciowy radionuklid ( I w I ) (z: K. H. Lieser, „Einfiihrung in die Kemchemie", VCH Verlagsgesellschaft,Weinheim 1980; za zgodą wydawcy)

czas / , min 2 3 4

234

Rys. 2.4. Przykład zanieczyszczenia przez długożyciowy radionuklid ( T h w ™Pa) (z: K. H. Lieser, „Einfiihrung in die Kernchemie", VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim 1980; za zgodą wydawcy)

Wykreślanie krzywych r o z p a d u , j a k n a rys.2.2, m o ż n a praktycznie wykorzystać d o sprawdzania czystości radiochemicznej p r e p a r a t u . W p r z y p a d k u występowania zanieczyszczeń promieniotwórczych przebieg krzywej r o z p a d u zawsze odbiega od prostej log A = f(t) i m a przebieg zbliżony d o krzywej na rys. 2.2. W zależności od tego, czy zanieczyszczenie jest długo- czy krótkożyciowe, przebieg krzywej jest inny, jak to p o k a z a n o n a rys. 2.3 i 2.4.

2.4. Nagromadzanie się produktów radioaktywnych Jeżeli z substancji promieniotwórczej 1 tworzy się substancja promieniotwórcza 2, t o m o ż n a napisać: — dJVydt = At/Yj i N = N • e i ' , gdzie JV i jest wartością TYi w czasie t = 0 . D r u g a substancja powstaje z szybkością, z jaką rozpada się pierwsza i ulega rozpadowi z szybkością A N _ A

t

2

2

d/V /dt = Aj TYt - A J V 2

2

2

2

(2.4-1)

2

e-' ''= 0 1

diV /dt + A J V - A N 2

0

01

1

0 1

(2.4-2)

Rozwiązanie r ó w n a n i a otrzymujemy w postaci iloczynu dwóch funkcji N gdzie u i v są funkcjami t:

2

d N / d t = u-dv/dt

+ v -du/dt

2

u-dv/dt

= 0

lt

+ vdu/dt

= uv,

+ X uv — k N ,e~'2

l

0

u-(diydr + A i;) + i 7 - d u / d ć - A N o i e ~ ' ' = 0 1 1

2

1

O b i e r a m y funkcję v tak, żeby du/dt + A u = 0 2

1

P

dv — = -

A dt;

2

lnt; = —A f + c';

2

+c

t? = e " - * ' '

2

J

D

Uwaga: W tym miejscu m o ż n a p o m i n ą ć stałą całkowania ć, j a k to się często robi, gdyż stała całkowania wchodzi p o t e m d o innej stałej i nie zmienia wyniku. W naszym p r z y p a d k u p r z e p r o w a d z i m y dla jasności rachunek z obiema stałymi całkowania. = 0

e-^^-du/dt-AjNnie^'' D

U

.

- A

E

2

T + C _ 2

I

J

V

O

I

E

- A

L

(

D

T

o

=

A

k,N e- ''dt 01

du

du = A i J V e ' " ' ' ~ ' d t = A J V i C ( A

A

)

c

0 1

E

-(A -A,)r

t

l

—+c"

0l

^2—

W

1

= ^-2

/^l

/V

0 1

e

iX

e

—

dt A

e - ^ - - " + c"

— 'H

Xl),

n

+ c

01

= e-**'—^— A Ai

( A , T i l ) ,

c ,

e-

= -^' t ^—h—N e-''e >,

2

'c

;

2

u = A N e- '—

_ < :

0

1

JVoie '- V ' ' '-r-c''e 'e-' '' ( c

c

i

_ A

)

e

1

2

Czynnik e

. 10 R

\ -X

\I \

\ \l

\

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

czas,h

Rys. 2.5. Równowaga przejściowa: a — całkowita aktywność początkowo czystej frakcji macierzystej, b — aktywność frakcji macierzystej (t = 8 h), c — rozpad świeżo oddzielonej frakcji pochodnej (f, = 0,8 h), d — narastanie aktywności pochodnej w świeżo oddzielonej frakcji macierzystej, e — całkowita aktywność pochodna we frakcji macierzystej i pochodnej 1/2

/2

A

N

2

x

x

= -:—^— N e~ >\ A — Aj

a ponieważ N e~ ''

0l

= N,

01

więc

:

2

G d y Ai = c X,N l

i ^4 = c X N ,

1

2

2

2

wówczas

2

Ni

cXA 2

N

^2

C

^1

.

l

c,X,A

2

*^2 1

2

2

(2.4-5)

^2

G d y współczynniki detekcji są równe {c± = c ), stosunek aktywności wynosi AilA = 1 — Aj/A tzn. będzie przyjmował dowolne wartości w zależności od stosunku Ai/A . Praktycznie więc w stanie równowagi aktywność p r o d u k t u jest na ogół 2

2

2

2

większa od aktywności substancji macierzystej —

— razy. Obydwie substancje

^2 ~ *^ 1

zanikają zgodnie z okresem p ó ł r o z p a d u substancji macierzystej. W przypadku gdy X, jest dużo mniejsze od X (X « A ), tzn. kiedy aktywność macierzysta b a r d z o mało się zmniejsza w kolejnych okresach półrozpadu substancji 2

i

2

-a

k 2

2

2

t

2

0

x

N

= -A—Aroie-^fl-e-"'-*'»')

2

—k

Ai iA

2

(2.4-7)

2

ki)t

-

2

Gdy e~ < ~ « 1, obserwuje się tylko r o z p a d substancji pochodnej e * ' . Brak równowagi zilustrowano n a rys.2.7.

>

S

V \

-V A\

-

V \

\ \

\ l\ \ 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

czas, h

Ry«. 2.7. Przypadek braku równowagi: a — aktywność całkowita, b — aktywność frakcji macierzystej ('1/2 = 0,8 h), c — ekstrapolacja końcowego odcinka krzywej do czasu zerowego (aktywność pochodna oddzielona od macierzystej), d — aktywność pochodna w początkowo czystej frakcji macierzystej

W przypadku równowagi przejściowej i b r a k u równowagi ważne jest często oznaczenie czasu ż potrzebnego na to, by substancja p o c h o d n a osiągnęła m a k s i m u m aktywności w świeżo oddzielonej frakcji macierzystej. Różniczkujemy wyrażenie (2.4-3) przy J V = 0: max

02

-= OT

J

^ N

T

0

e -

1

V

d l a

+ -ił^JVo e-*''

1 =

fmax m a m y

d N z / d t

=

1

A2 — A\

0

"

A, 2 — A j

^ A

2

= 1

N

A2

r-iV e 0 1

'»"

— Aj

^ — L - l n A

A = e^--."Aj

A

AI

2

(2.4-8)

AI

W czasie f szybkość r o z p a d u p r o d u k t u X N jest dokładnie równa szybkości wytwarzania p r o d u k t u (pochodnej) XiN . Krzywa aktywności substancji macierzystej przecina krzywą nagromadzania się substancji pochodnej w punkcie t . W przypad­ ku równowagi trwałej czas ten jest nieskończenie długi. G d y m a m y d o czynienia z wielką liczbą kolejnych rozpadów pochodnych, kolejne rozwiązania przez u k ł a d a n i e n o w y c h r ó w n a ń różniczkowych, j a k dN /dt = XN —XN, są coraz trudniejsze. N a przykład obliczenie wartości N polega na wstawieniu wzoru n a N (2.4-3) d o wyżej p o d a n e g o równania i rozwiązaniu równania dla N . Jeżeli w generacji trzeciej p r o d u k t końcowy jest trwały ( N = liczba trwałych jąder), to d i V / d t = X N określa szybkość powstawania tych jąder. Po wstawieniu d o tego równania wyrażenia na N i scałkowaniu otrzymamy: max

2

2

t

max

3

2

2

3

3

3

2

3

3

3

2

2

2

N = (7^7^o -iVo )e-^'-^ -N 3

1

2

I

Stałą całkowania określa się przy założeniu JV = N 3

03

C = iV -l-JV + N 03

02

A

0 1

e- .' + C

dla t = 0.

0 1

i podstawiając tę wartość d o r ó w n a n i a na JV otrzymujemy: 3

N

3

=

N

o

3

+ N {l-e-^

+ N (l

02

+

01

^ e -

1

i

> ' - j ^ e -

1

^

(2.4-9)

Jeżeli, j a k to się najczęściej zdarza, na początku występują promieniotwórcze jądra tylko jednego rodzaju, to JV = N = 0 i 02

N

2

03

= ^ ^ N

0

A.2

A* j

N3 = AR (l + A 0 1

T

y

A

2

1

1

-

( e - V - e - V )

e

Aj

"

i

2

' - T ^ V A

2

(2.4-10)

e

Aj

~ v )

J

(2.4-11)

W zasadzie m o ż n a obliczyć liczbę a t o m ó w (jąder) promieniotwórczych dla każdej rodziny promieniotwórczej o dowolnej liczbie członów (produktów)/ Należy w tym celu rozwiązać następujący układ r ó w n a ń różniczkowych: dNJdt

= -/U

dN jdt 2

=

X N -X N

dN jdt

=

X N -X N

dNJdt

= A - N - -X N„

3

x

2

n 1

n 1

l

2

2

3

2

3

(2.4-12)

n

Rozwiązania, j a k już powiedziano, stają się coraz trudniejsze w miarę wzrostu liczby członów. B a t e m a n (1910) wprowadził pewne uproszczone rozwiązanie tego»układu równań różniczkowych. G d y łańcuch jest złożony z n członów, zakładamy, że w czasie t = 0 istnieje tylko substancja macierzysta N = N , a więc Af = N = ... = 0 i stosujemy rozwiązanie B a t e m a n a : x

02

0 1

0 3

,

JV„ = C e-^ i

x l

x

+ C e- '

+ ... + C„Q- "'

2

(2.4-13)

gdzie £

X X X ... X

2

X„-

3

x

(X — X )(X — X )...(X„ — A,) 2

P

X

_ 2

~

3

1

X X X ...X„i

2

3

1

i

2

3

2

n

X\X X ... 2

c„

0 1

(X -X )(X -X )...(X -X )

3

2

X„-

•Noi (Xi~ X„) (X — X„)...(X„- — X„) 2

l

G d y N ,N , ...,N „ 0, dodajemy d o rozwiązania B a t e m a n a dla N„ o łańcuchu złożonym z n członów rozwiązanie dla N„ o łańcuchu złożonym z n — 1 członów, 02

03

0

1,0 A/

0

2 1 8

Pol Ra A; 3,05 min)

10

^Pb(RaB;26^min)/

Pb(RaD;19,4lat)

0,5A/„

V

2 1 4

W

80 czas,

z l 8

B i I RaC; 19,7min)

120

min

Rys. 2.8. Rozpad P o — pokazano kilka następujących po sobie przemian (według: E. Rutherford, J.Chadwick, C.D.Ellis, „Radiation from Radioactive Substances", Cambridge University Press, London

1930)

zakładając, że substancja 2 jest macierzysta (N = N w czasie t = 0), dalej rozwiązanie dla N„ o łańcuchu złożonym z n — 2 członów itd. Obecnie, przy rozwiniętej technice obliczeniowej, rozwiązania numeryczne, dla dowolnego członu p o d a n e g o u k ł a d u r ó w n a ń , nie stanowią trudności. D o b r ą ilustracją licznych, następujących p o sobie, r o z p a d ó w jest przypadek polonu P o ( R a A ) p o k a z a n y na rys. 2.8. Z P o powstaje szybko na d r o d z e r o z p a d u a P b ( R a B ) , którego ilość osiąga m a k s i m u m p o ok. 10 minutach. W wyniku r o z p a d u [3~ z P b powstaje Bi(RaC). Ilość B i osiąga płaskie m i n i m u m p o około 40 minutach. P o dwóch godzinach pozostają tylko niewielkie ilości P b i B i . Większość o b u nuklidów przechodzi w długożyciowy P b ( R a D ) o półokresie 22,3 lat. 2

02

2 1 8

2 1 8

2 1 4

2 1 4

2 1 4

2 1 4

2 1 4

2 1 4

2 1 0

2.4.1. Wydajność produktu reakcji jądrowej P o d a m y przykład zastosowania r ó w n a ń kinetyki r o z p a d u d o obliczenia wydajności p r o d u k t ó w reakcji jądrowych. Jeżeli źródłem cząstek są reaktory lub akceleratory, to otrzymywanie substancji radioaktywnej jest zbliżaniem się d o stanu równowagi trwałej. R ó w n a n i e przyrostu p r o d u k t u o t r z y m a m y ze wzoru (2.4-3) przy założeniu N = 0, gdy t = ( U i « A ,e-^' = 1: 02

2

N

2

= - A — ^ ( e - ^ - e - * ' ' ) = AjV (l _ - V ) 0 1

A

2

Człon k,N , produktu 0

/.j

e

A

2

podstawimy przez R — szybkość p o w s t a w a n i a aktywnych a t o m ó w

N

2

=

A(i_e-V) A

2

Jeżeli czas t staje się d u ż o dłuższy od okresu p ó ł r o z p a d u substancji radioaktywnej, to N -*R/A j a k o d o wartości granicznej, będącej m a k s i m u m N -*N ; można więc napisać N = N (l—e~ '). Z tego ostatniego m o ż n a policzyć, ile czasu trzeba b o m b a r d o w a ć w akceleratorze lub reaktorze substancję, aby otrzymać maksymalną wydajność. Zastępujemy A okresem p ó ł r o z p a d u k = l n 2 / t 2

2

2

2(MAX)

Xl

2

2imM)

1 / 2

Jeżeli p r o d u k u j e m y w sposób ciągły substancję promieniotwórczą, n p . o t = 20 minut, to otrzymujemy: p o t = 20 min — 1 —1/2 = 1/2 maksymalnej wydajności 1/2

7 0

Ga

p o / = 40 min p o t = 60 min p o t = 80 min

— — —

1 —1/4 = 3/4 maksymalnej wydajności 1 —1/8 = 7/8 maksymalnej wydajności 1 — 1/16 = 15/16 maksymalnej wydajności

D o osiągnięcia 7 5 % wydajności wystarczy więc n a p r o m i e n i o w y w a ć tarczę przez d w a okresy p ó ł r o z p a d u .

2.5. Rozpad rozgałęziony Dość często zdarza się, że sposoby r o z p a d u r a d i o n u k l i d ó w są różne, nienależne od siebie. W szczególności dotyczy to jąder położonych n a linii trwałości (N-Z) (patrz rys. 3.1) o możliwych dzięki temu przejściach z a r ó w n o (3~, j a k j ? (np. K , Cu itp.). N a rysunku 2.9 p o k a z a n o przykład rozgałęzionego (podwójnego) r o z p a d u K . +

4 0

6 4

4 0

9

2 +

0*°Kj1,26-10 tat)

1.460

4

£-(1,314) 89%

0+

0+

'°Ca

0,483)

opoi% «>Ar

Kfd£-=1,505)

-2% 4 0

Ry«. 2.9. Przykład rozpadu rozgałęzionego K (energie w MeV) (z: K. H. Lieser, „Einfiihrung in die Kernchemie", VCH Yerlagsgesellschaft, Weinheim 1980; za zgodą wydawcy)

P o d o b n e rozgałęzienia występują często w szeregach promieniotwórczych u r a n o w y m i t o r o w y m , j a k to widać n a rys. 2.1. Poniżej p o k a z a n o n a rys. 2.10 r o z p a d rozgałęziony Bi. ^ B(/l ) Schematycznie m o ż n a przedstawić r o z p a d rozgałęziony w postaci A , \ C(A ) gdzie A i / są stałymi niezależnych r o z p a d ó w , odpowiadających A - » B i A -» C . Szybkość r o z p a d u radionuklidu A jest więc r ó w n a sumie szybkości tworzenia się nuklidów B i C: 2 1 2

b

C

b

c

dN ^

= A N A

A

= A JV + b

+

iV = N e-^ ^' A

ox

A

AN C

A

(2.5-1) (2.5-2)

2 1 2

Ry*. 2.10. Przykład rozpadu rozgałęzionego dla B i (z: K.H. Lieser, „Einfuhrung in die Kemchemie",VCH Yerlagsgesellschaft, Weinheim 1980; za zgodą wydawcy)

Okres p ó ł r o z p a d u dla A wynosi: 0,693

0,693

h/2 A

^-A

b

H~

A

(2.5-3) c

Ponieważ szybkości r o z p a d u B i C wynoszą:

_

diV

_

B

..

diV

= / N , — — B

B

c

=

lN c

(2.5-4)

c

więc szybkość n a g r o m a d z a n i a się B i C wynosi: dN (c) B

dt

dN B(C) dt

— ^b(c)^A

—

^B(C)^B(C)

+k ^ N ^ - ^ N o ^ - ^ ^ '

(2.5-5)

= 0

P o rozwiązaniu r ó w n a n i a przy założeniu, że N = 0, gdy t = 0: (2.5-6) Jeżeli substancja macierzysta m a b a r d z o długi czas życia, tzn. A q » A + / , to B(

A,b(c)

b

C

T

N B(C)

W)

iV

0 A

(l-e-W)

(2.5-7)

Dla p r z y p a d k u równowagi trwałej: N B(C)

A

NA

b(g)

(2.5-8)

A Q b(

Cząstkowe okresy półtrwania ze względu na r o z p a d b i c wynoszą: fl/2(A) = — : — ,

t (A)

b

1/2

= —:—

c

(2.5-9)

Oczywiście: N (iub B

N

c)

t f

A

1 / 2

1 / 2

(B)(lubC) ( 2

( A ) [ l u b (A) ] b

c

5

- "

1 0 )

Jeżeli nuklidy p o c h o d n e mają d u ż o dłuższy czas życia od macierzystego lub powstają trwałe nuklidy p o c h o d n e (rys. 2.9), to z r ó w n a n i a (2.5-6) otrzymujemy: tf-io

=

( C

n l^ N — (A +/l ) b

(

+

(e- ^ ^'-l) = T ^ - N o A d - e - ^ ^ ' ) (A +/. )

0 A

c

b

c

A

^-l)

(2.5-11)

co w połączeniu z (2.5-4) daje: N c = B (

)

T

^ N (eJ/dt = 3 , 7 - 1 0 . 6

2 2 2

1 / 2

10

Stała A =

1

^ s " ; N = (liczba m o l i - A M = — JV 3,824-24-3600 M

A

K

10

3,7-10 -222-3,824-24-3600 m = — ^ ,„ = 0,0000065 g = 6,5 ug 0,693-6,02-10 n

£

M

2 3

2. Obliczamy masę 1 kiura _ m

2 3 8

U(t

— (dN/dt)-M(masa

9

= 4,5 • 1 0 lat).

1 / 2

at. lub liczba masowa) • t

=

[s]

1 / 2

0,693 -TV

A

3,7 • 1 0 m = —

1 0

9

- 2 3 8 - 4 , 5 - 1 0 - 3 6 5 • 24 • 3600 = > 0 , 6 9 3 \- 6 , 0 2 - ,1^02 3 2

n

c

M

2

M

9 9 5

•

1 0 6

g

=

3

t

o

n

2 3 8

y

Jak widać, dla radionuklidów o tak d u ż y m okresie półrozpadu j a k U , jednostka kiur nie m a praktycznego sensu. 3. Pluton P u otrzymuje się w reaktorach jądrowych z u r a n u w procesie rozpadu N p -> P u - ( - j S ~ . Ile kiurów n e p t u n u potrzeba d o otrzymania 0,1 m g Pu? M = 239. Okresy półrozpadu: Pu — 2 , 4 3 9 - 1 0 lat, N p — 2,355 dni. 2 3 9

2 3 9

239

2 3 9

4

P u ( N p )

Liczba kiurów X

Ci

= 4

X

Ci

°

=

d

~ ^ n 3,7 • 10

; - d N / d t = A~6,02• M

2 3

2 3

0,693-10" -6,02-10 - t u = 3,7-10 -2,355-24-3600-239 10

10

23,17 Ci = 857,29 GBq * '

4

4 . Obliczamy aktywność p r ó b k i w impulsach n a minutę o godzinie 1 0 , jeżeli próbka o t = 7 , 5 min mierzona była w czasie od 1 0 d o 1 0 i liczba impulsów w ciągu tych dziesięciu minut wynosiła 3 4 6 5 0 . 0 3

1 3

1 / 2

log(N/N ) = -At/2,303;

log~-

0

=

N/No

= - 0 , 4 0 1 = T,5988

=

0,3970

R o b i m y teraz uproszczenie, traktując N i iV j a k o liczby impulsów, choć między aktywnością a liczbą jąder zachodzi tylko proporcjonalność. M a m y N — N= 3 4 6 5 0 . Obliczamy N o godzinie 1 0 ° : N = W - 0 , 3 9 7 , N -N 0,397 = 3 4 6 5 0 . 0

0

3

0

O

No

Obliczamy N' 0

0

T

34 650 _ Q

3

9

0

= 0 , 7 5 7 9 ; N'

0 693 * 3 ' = - 0 , 1 2 0 4 = 1,8796;

wynosiła:

d N ' / d t = AJV' = 0

57460

75820.

0 0

Aktywność próbki o godzinie 1 0

= -

0

= 57460/0,7579 =

0

o

= 34650/0,603 =

7

o godzinie 1 0 ° ° : log(N /N' )

0

N /N'

=

o

• 7 5 8 2 0 = 7 0 0 5 imp/min

0

W praktyce stosujemy zwykle prostszy, choć w d a n y m p r z y p a d k u bardziej przybliżony, sposób obliczania aktywności wcześniejszej (/ł ) z danej aktywności 0

późniejszej (A) A

,

l

(2.2-7):

n

=

A

-xt,

,

,

,

.

At

,

A

l o g / t = log^4 + ——— = l o g . 4 + 0

0,693

2,303

0

t

2,303-t

Średnia atywność A w imp/min wynosiła 3 4 6 5 o godzinie ^ 1 0 aktywność A o godzinie 1 0 :

0 8

— 1 / 2

. Stąd obliczamy

0 0

0

logA

0

= log 3 4 6 5 +

7

°^

6 9

3 2

3

Q

3

= 3,5397 + 0,3210 =

3,8607

3

A

0

= 7,256 • 1 0 imp/min

Najczęściej m a m y d o czynienia z obliczaniem aktywności wcześniejszej lub późniejszej, dysponując ilością nuklidu promieniotwórczego p o d a n ą w j e d n o s t k a c h Ci lub Bq. Obliczenie pozostałej lub wcześniejszej ilości nuklidu (czyli aktywności) sprowadza się d o podstawienia liczby Ci lub Bq d o wzoru ( 2 . 2 - 7 ) . Obliczmy n a przykład, ile p l u t o n u pozostanie z 2 0 M B q p o 1 0 0 0 latach: log A = log Ao-At/2,303

= log20-

0,693 • 1000

n

A

^

„^

n 4

2 , 4 3 9 - 1 0 - 2,303

A = 19,44 MBq.

= 1,30103-0,01233 = 1,2887;

2.7. Oznaczanie okresów półrozpadu Okresy p ó ł r o z p a d u oznacza się zwykle z p o m i a r ó w aktywności. A k t y w n o ś ć mierzy się w ciągu dość długiego czasu i wykreśla log A j a k o funkcję czasu t. Zależność powinna występować w tym układzie j a k o linia prosta, z wykresu wyznacza się okres półrozpadu. Krzywa rozpadu mieszaniny może być rozłożona n a składowe i okres półrozpadu oznaczony dla każdego ze składników. M o ż n a także d o k o n y w a ć p o m i a r u aktywności przez różnej grubości ekrany, dzięki czemu m o ż n a eliminować promieniowanie pewnych składników mieszaniny i otrzymywać krzywe r o z p a d u dla składników żądanych. Stosuje się również liczniki selektywnie mierzące tylko określony rodzaj promieniowania. G d y czas, w k t ó r y m musimy d o k o n a ć p o m i a r u aktywności, staje się b a r d z o krótki, p o m i a r aktywności jest u t r u d n i o n y . Stosując czułe przyrządy m o ż n a określać czasy p ó ł r o z p a d u rzędu u ł a m k ó w sekund. Przy użyciu m e t o d tzw. koincydencyjnych mierzy się okresy p ó ł r o z p a d u rzędu 10 s. Ilustracją metody koincydencyjnej jest pomiar czasu życia krótkożyciowych p r o d u k t ó w w szeregu t o r o w y m (p. 2.1). Fragment tego szeregu przedstawia tworzenie się Po: 1 1

2 1 6

6 , 2 8 8 MeV >

228-pjj

2 2 4

_a

L>

1,913

lat

2 2 0

Ra 3,64

2 1 6

Rn

dnia

6,779

MeV 2 1 2

Po

55,6 s

Pb

•

0,15 s 2 2 8

Źródłem promieniowania jest względnie długożyciowy T h . U k ł a d koincydencyjny składa się z dwóch o b w o d ó w , rejestrujących cząstki a o energiach 6,288 i 6,779 MeV. Impuls zarejestrowany w pierwszym obwodzie uruchamia drugi obwód, a impulsy z drugiego o b w o d u są przekazywane d o analizatora wielokanałowego, w k t ó r y m kanały odpowiadają określonym przedziałom czasowym. W ten sposób m o ż n a określić opóźnienie między p o w s t a w a n i e m a r o z p a d e m P o i w konsekwencji czas półrozpadu. Inną grupę m e t o d stosowanych d o p o m i a r u b a r d z o krótkich okresów półtrwania stanowią m e t o d y p o m i a r u ruchomych źródeł radioaktywnych. O p a r t e są one na zależności (2.2-7) 2 1 6

\nA=\nA -X—

(2.7-1)

0

v w której / jest odległością substancji radioaktywnej od p u n k t u jej powstania, a i i — szybkością jej przenoszenia. Z m i a n a aktywności w czasie jest w ten sposób związana ze zmianą odległości. Istnieje kilka różnych technik pomiarowych opartych na tej zasadzie. Pierwsza z nich, stosowana d o p r o d u k t ó w gazowych, stanowi fragment wspomnianej we wstępie analizy emanacyjnej. P r o d u k t y gazowe są u n o s z o n e w przepływającym n a d źródłem radioaktywności stałym strumieniu gazu. W stru­ mieniu tym, poruszającym się w rurze, zachodzą rozpady i z kolei ich p r o d u k t y osadzają się n a osi rury (ujemnie n a ł a d o w a n y d r u t ) . Daje to rozkład p r o d u k t ó w

rozpadu wzdłuż osi rury, łatwy d o oznaczenia, jeżeli te ostatnie są radioaktywne. W ten sposób oznaczono półokres dla Rn(ć = 3,96 s). Inną techniką jest umieszczenie substancji podlegającej reakcji jądrowej, w wyniku której powstaje krótkożyciowy p r o d u k t promieniotwórczy, na rotującej tarczy. W j e d n y m położeniu tarczy substancja jest n a p r o m i e n i a n a , w drugim aktywność wytworzonego p r o d u k t u jest mierzona n a detektorze. Szybkość liczenia zależy od s t o s u n k u okresu półtrwania d o czasu opóźnienia między napromienianiem a chwilą p o m i a r u aktywności, który m o ż n a regulować zmieniając prędkość o b r o t u tarczy. Tą metodą zmierzono na przykład okres półtrwania B t = 0,0202 s. Trzecią techniką jest tzw. m e t o d a odrzutowo-odległościowa. Wyjaśnimy ją na przykładzie. W szeregu u r a n o w y m j ą d r o B i (t = 19,8 min) produkuje Po, który doznaje w momencie emisji f}~ odrzutu z prędkością 5 • 10 cm • s " . Odrzucone jądro P o w p a d a d o rury próżniowej i r o z p a d a się (a) w pewnej chwili swego biegu. Okres p ó ł r o z p a d u m o ż n a otrzymać z szybkości, z jaką emisja a zmniejsza się w przebiegu przez rurę. Wynosi o n dla Po t = 164 us. Technikę tę stosuje się m.in. d o oznaczania czasów życia krótkożyciowych stanów metatrwałych jąder. Wariant m e t o d y odrzutu, polegający na opóźnianiu odrzucanego jądra, wzięciu pod uwagę związku między jego prędkością a energią emitowanego promieniowania (7, elektrony konwersji), wreszcie precyzyjnym pomiarze w i d m a promieniowania, pozwala na obliczenie rozkładu prędkości j ą d e r w chwili r o z p a d u i stąd rozkładu odległości od źródła. O z n a c z o n o w ten s p o s ó b wartości okresów p ó ł r o z p a d u rzędu 1 0 " s. Często m o ż n a obliczyć okresy p ó ł r o z p a d u z d a n y c h energii r o z p a d u lub innych, np. w p r z y p a d k u r o z p a d u a z n a n a jest zależność empiryczna zwana regułą G e i g e r a - N u t t a l a (będzie o niej m o w a w p.3.1). Reguła ta wiąże zasięg cząstek cc(R) ze stałą r o z p a d u (A): 2 1 9

1 / 2

1 2

1 / 2

2 1 4

2 1 4

1/2

5

1

2 1 4

2 1 4

l/2

1 2

iogR = alogżL + b

aib

— stałe

(2.7-2)

Jeżeli trzeba wyznaczyć okresy p ó ł r o z p a d u dla substancji o b a r d z o dużym t , to zachodzi o b a w a , że aktywność nie zmieni się w sposób mierzalny w czasie obserwacji (A = cAN, przy dużym t występuje b a r d z o małe A). M o ż n a wtedy wyznaczyć A z zależności —dN/dt = IN = A/c, jeżeli znane jest N i jeżeli m o ż n a określić bezwzględną wartość —dN/dt. Jest to możliwe, jeżeli znana jest wartość współczynnika detekcji c określająca, j a k a część rozpadających się jąder jest wykrywana w d a n y m układzie detekcyjnym. M e t o d a ta jest najdokładniejsza w przypadku emisji a i była stosowana w szczególności d o wyznaczania okresów półrozpadu długowiecznych członów naturalnych szeregów promieniotwórczych. Niekiedy szybkość r o z p a d ó w oznacza się na podstawie p o m i a r ó w jednakowej szybkości r o z p a d u innego p r o d u k t u promieniotwórczego w p r z y p a d k u równowagi trwałej. Przykładowo t dla U m o ż n a oznaczyć, mierząc liczbę cząstek a z Pa wydzielonego z rudy uranowej. Nie byłoby łatwo zmierzyć, bez rozdziału izo­ topowego, promieniowania a U ze względu na tło promieniowania a pochodzące z Ui U. 1 / 2

1 / 2

2 3 5

1 / 2

2 3 5

2 3 8

2 3 4

2 3 1

2.8. Aktywność właściwa Aktywnością właściwą nazywamy liczbę r o z p a d ó w promieniotwórczych na jednostkę czasu i masy substancji promieniotwórczej. Będzie t o więc — dN/dt, czyli A/c odniesione n p . d o 1 g. Aktywność właściwą m o ż n a wyrażać w jednostkach bezwzględnych i umownych. M o ż n a więc określać aktywność właściwą j a k o n p . liczbę milikiurów n a gram (mCi/g), ale także liczbę impulsów na g r a m i j e d n o s t k ę czasu — oczywiście dla ściśle określonego wtedy urządzenia p o m i a r o w e g o . Stosuje się czasem również stężenie promieniotwórcze w milikiurach lub m i k r o k i u r a c h w odniesieniu d o objętości cieczy (np. m C i / c m ) . W układzie SI obowiązującą j e d n o s t k ą aktywności właściwej jest B q k g . W e współczesnej praktyce stosuje się liczbę r o z p a d ó w na minutę i g r a m lub na minutę i mol. R a d i o a k t y w n e stężenie określa się w Bq m ~ lub, częściej, w Ci m . N a przykład dla Ra t = 1600 lat, aktywność właściwa czystego Ra wynosi 36,6 G B q / g = 0,989 Ci/g. 3

_ 1

3

2 2 6

- 3

2 2 6

l/2

3. SAMORZUTNE PRZEMIANY JĄDROWE

Samorzutne przemiany j ą d r o w e , których kinetykę opisano w rozdziale 2, mogą przebiegać tylko na kilka ściśle określonych sposobów, u w a r u n k o w a n y c h stosunkami energetycznymi występującymi w d a n y m jądrze. Najważniejszymi przemianami są dwa procesy s a m o r z u t n e g o r o z p a d u jądra, zwane przemianą alfa (a) i beta (/J), oraz proces dezaktywacji jądra, zwany przemianą g a m m a (y). Jeżeli oznaczymy j ą d r o przed przemianą przez X , p o przemianie zaś przez Y, liczbę masową przez A i liczbę a t o m o w ą przez Z , to s a m o r z u t n e przemiany możemy przedstawić następującymi schematami: z ^ K - ^ Y + fHe ^X^

l Y + e-+v)

z + A

+

£X - • - Y z

przemiana a

+e

A

+ v>

(3-2a) przemiana (3

2 X + e - - > _ l Y + vJ

(3-2b) (3-2c)

z

zX* -> zX + y

(3-1)

przemiana y

(3-3)

Przemiana a jest połączona z emisją j ą d r a helu; jest to więc przemiana jądrowa, w której liczba m a s o w a zmienia się o 4, liczba a t o m o w a zaś o 2. Przemiana fi jest to t a k a przemiana j ą d r o w a , w której liczba m a s o w a pozostaje bez zmiany, a liczba a t o m o w a zmienia się o 1. Przemiana y jest to przemiana jądrowa, w której liczba masowa i a t o m o w a nie ulegają zmianie, a zmienia się jedynie energetyczny stan jądra. W a r u n k i e m zajścia przemiany samorzutnej jest jej egzoenergetyczność. Pisząc schemat przemiany j ą d r a X w j ą d r o Y w postaci X -» Y + p + AE r

(3-4)

gdzie p oznacza d o d a t k o w y , o b o k jądra Y, p r o d u k t przemiany (np. cząstkę a, elektron), otrzymujemy efekt energetyczny AE r

2

AE = (M -M -M )c x

Y

Pi

(3-5)

W a r u n k i e m zajścia przemiany jest AE > 0, w a r u n k i e m trwałości j ą d r a X ze względu na określoną przemianę jest A E < 0. Stosując kryterium energetyczne (3-5) m o ż n a sprawdzić, czy rzeczywiście wyklucza o n o inny, niż przedstawiono wyżej, s a m o r z u t n y rozpad jądra. W tym celu należy obliczyć ze wzoru półempirycznego (1.9.2-6) energię wiązania p r o d u k t ó w przemiany i odjąć od niej energię wiązania rozpadającego się j ą d r a macierzystego. M o ż n a także posłużyć się wzorem (3-5), wstawiając masy obliczone ze wzoru

(1.9.2-7). O t r z y m a m y efekt energetyczny A £ . Zastosujmy to kryterium d o hipotetycznego r o z p a d u p r o t o n o w e g o : X ^ Y + }H + A £

AE = (M

—M

x

Y

—M )c

2

(3-6)

p

Dla jąder nieparzysto-parzystych A £ jest określone przez: (Z-l)(Z-2) , _ , {A-\ » J ' ^

(Z(Z-\) A£ = - f l + a ^ a"*

A 2 I 3

+

v

a

2

/

r

i a 3

- ^ -

l x 2 / 3 1

)

:

Obliczając (przy a = 14,1 ;a = 0,585; a = 13,1 ; a = 18,1) A £ dla szeregu jąder, dla wszystkich otrzymujemy AE < 0 (np. B - 5 , 7 8 ; C - 6 , 0 3 ; N - 6 , 2 3 ; 0 - 0,68; O -6,36; Ne -1,82; Ne -6,31; Ca -3,06; Ca -5,03; T1 -5,26). Otrzymany rezultat, z którego wynika, że samorzutna emisja p r o t o n u jest niemożliwa, zgadza się ze s t o s u n k o w o wysoką energią wiązania d a d a t k o w e g o p r o t o n u przez jądro X. Proces emisji p r o t o n u zmniejszałby ładunek j ą d r a o jednostkę, byłby więc pod tym względem r ó w n o w a ż n y z przemianami fi (3-2b i 3-2c). Przydatne więc będzie wprowadzenie w a r u n k u wytyczającego granicę między jądrami z tendencją do rozpadu w kierunku zwiększenia ł a d u n k u i tymi z tendencją d o jego zmniejszenia. Przy o m a w i a n i u modeli jądrowych mówiliśmy o większej trwałości jąder o N = Z i wprowadziliśmy czynnik n a d m i a r u n e u t r o n ó w (1.9.2-4) zmniejszający energię wiązania. W punkcie 1.9.3 zwracaliśmy uwagę n a efekt pairingu przejawiający się w tendencji jąder zwierciadlanych d o przejść n - > p + e ~ i p - + n + e w kierunku układu o większej trwałości. Zachodzi więc pytanie, czy prosta N = Z odgranicza jądra ulegające przemianom neutron ->• proton (fi~ ) od jąder ulegających przemianom p r o t o n -» neutron ( ) 3 ) . Odpowiedzią n a to pytanie będzie obliczenie m a k s i m u m trwałości jąder ze względu na przemianę fi, czyli zgodnie z definicją (3-2), jąder izobatycznych. Powinniśmy otrzymać zależność między N i Z określającą położenie trwałych jąder w układzie (N,Z). Różniczkujemy równanie Weizsackera (1.9.2-6) przy A = const: v

c

s

t

9

l s

1 7

1 X

1 9

3 7

1 3

1 3

3 9

2 0 1

+

+

200, Z > 82. Obecnie z n a m y ok. 400 jąder emiterów a. Energia wiązania E /A, obliczona z zależności (3-9) lub analogicznych wzorów, będzie, poza przypadkiem bardzo małych wartości A, malała ze wzrostem A lub Z , co oznacza, że proces emisji a staje się coraz łatwiejszy. Istnieje jednak jeszcze inna, na pozór zaskakująca, prawidłowość. Dotyczy o n a energii rozpadu a izotopów danego pierwiastka. W z ó r półempiryczny pokazuje, że energia ta będzie malała przy wzrastającym A, tzn. im cięższy izotop, tym będzie bardziej trwały ze względu na rozpad a. B

Liczba A izotopu

238 240 241 243 245 246 247 248 249 250 251 253 254

£ , MeV fm Cf

6,5 6,3 5,9 5,8 5,4 5,4 5,3 5,1 — — — — — — 7,6 7,3 7,1 7,1 6,8 — 6,3 5,8 6,0 5,7 6,0 5,8

a

9

98

Interpretacja tej prawidłowości jest dość oczywista. Długozasięgowe odpychanie kulombowskie obejmuje wszystkie p r o t o n y w jądrze. Im cięższe j ą d r o i więcej odpychających się p r o t o n ó w , t y m łatwiejszy r o z p a d a (i większa energia rozpadu). Natomiast przy d a n y m Z zwiększająca się liczba neutronów oddziałujących wyłącznie krótkozasięgowymi wiążącymi siłami j ą d r o w y m i przeciwdziała rozpadowi a. Wiele podobnych przykładów m o ż n a znaleźć wśród ciężkich nuklidów. W bardzo wielu przypadkach rozpad a stanowi jedynie mniej p r a w d o p o d o b n ą z dwu możliwości rozpadu rozgałęzionego (a i /?). Półempiryczne równanie n a energię wiązania tłumaczy, j a k widać, jakościowo pewne prawidłowości w energiach r o z p a d u a. C o d o ilościowej interpretacji jest ono jednak d u ż o mniej zadowalające. W y n i k a to z występowania silnych efektów pochodzących od zamkniętych powłok p r o t o n o w y c h i neutronowych. Najbardziej uderzający z takich efektów dotyczy powłok o Z = 82 i JV = 1 2 6 w części u k ł a d u okresowego o liczbie A o k o ł o 210. Przykładowo weźmy podwójnie magiczne j ą d r o P b ( Z = 82, AT = 126). P o w ł o k a o Z = 82 usprawiedliwia fakt, że główny obszar występowania emiterów a leży poza ołowiem. W ołowiu (Z = 82) wszystkie p r o t o n y są silnie związane, w bizmucie ( Z = 83) jeden p r o t o n jest słabo związany, w polonie (Z = 84) dwa p r o t o n y są słabo związane. Izotopy ołowiu nie wykazują więc n a ogół emisji a, w p r z y p a d k u bizmutu istnieje kilka izotopów a-aktywnych. C o d o izotopów p o l o n u , głównym sposobem ich rozpadu jest przemiana a i energie r o z p a d u są wyższe, niżby to wynikało z wyliczeń przy użyciu równania Weizsackera. Efekt powłoki o N = 126 m o ż n a zilustrować n a przykładzie polonu. Energia rozpadu a zmniejsza się, zgodnie z tym, co powiedzieliśmy poprzednio, od wartości 7,0 MeV dla P o d o 4,88 M e V dla P o i od 8,78 M e V dla P o d o 6,0 MeV dla P o . Ale między tymi dwiema g r u p a m i izotopów p o l o n u stosującymi się d o równania półempirycznego, m a m y : 2 0 8

1 9 3

2 1 8

2 0 9

2 1 2

209p

Izotop Energia rozpadu a, MeV Liczba N

Q

2 . o

p

o

2 i i

p

o

2 I 2

Po

4,88

5,30

7,45 8,88

8,78 11,65

125

126

127

128

Wprawdzie wzrost E zachodzi także między izotopami 209 i 210 (N = 126), ale należy zwrócić uwagę na ilościowy aspekt wzrostu energii dla ' P o i Po. O b a izomery każdego z nich wykazują skokowy wzrost E s p o w o d o w a n y efektem powłoki. Sąsiednie pierwiastki (Bi, At) wykazują p o d o b n y wzrost energii. Najwyższe energie a we wszystkich trzech p r z y p a d k a c h występują przy N = 128; s p o w o d o w a n e jest to słabym wiązaniem dwóch ostatnich n e u t r o n ó w . x

2 1

2 1 2

a

Rys. 3.3. Energie rozpadu a (Q) pierwiastków o parzystym Z. Dla pierwiastków o nieparzystym Z obraz jest podobny. Pokazano efekty powłok o N = 82 i N = 126, Z = 82. Występuje również mniejszy efekt w okolicy N = 152 [według: V.E.Viola jr, G.T.Seaborg, J. Inorg. Nuci. Chem., 28, 697 (1966)]

Powłoka n e u t r o n o w a o N = 82 wykazuje p o d o b n y efekt j a k powłoka o N = 126 (rys. 3.3), lecz w obszarze tym energie a są d u ż o niższe, tak że znamy tam aktualnie dużo mniej a-emiterów. C h a r a k t e r y s t y c z n e jest j e d n a k , że dla l a n t a n o w c ó w (Z = 6 0 , 6 2 , 6 4 - 7 0 ) najlżejszy emiter a ma N = 84. Jest to jądro N d ( Z = 60, N = 84), najlżejszy znany emiter a. Pojawienie się emitera a wśród nuklidów o tak małej liczbie atomowej musimy przypisać oddziaływaniu powłoki N = 82 n a d w a neutrony poza powłoką. Zgodnie z r ó w n a n i e m (1.9.2-6) rozpad a powinien wystąpić przy wyższych A. Także pewne odchylenia w obszarze A = 250 mogą być związane z zamykaniem podpowłoki przy N = 152 (rys. 3.3). Efekty zamkniętych powłok dają się zauważyć, choć z malejącą intensywnością, daleko jeszcze poza liczbami magicznymi Z i N. Energie a są jeszcze niezwykle 1 4 4

wysokie dla emiterów a o Z = 8 5 , 8 6 , . . . i N = 1 2 9 , 1 3 0 , . . . W obszarze poza polonem energie a zmniejszają się, aż d o osiągnięcia względnie trwałych izotopów toru i u r a n u . P o w r a c a wtedy ogólna prawidłowość wzrostu energii a z wartością A (np. średnia wartość energii a dla siedmiu izobarów o liczbach masowych A = 211 (od Bi d o Ac), ,4 = 214 i 217 (od P o d o Th) wynosi odpowiednio 6,65;^8,01; 8,22 MeV).

3.1.1. Energie i czasy rozpadu a Cząstki a emitowane w przemianach a mają określoną energię kinetyczną mieszczącą się na ogół w granicach od 4 d o 8,8 MeV.Cząstki a z d a n e g o nuklidu b a r d z o rzadko mają wszystkie taką samą energię, zwykle tworzą kilka grup monoenergetycznych. N a podstawie stale zwiększającego się z a s o b u informacji o przemianie a możemy stwierdzić, że złożoność emisji a jest regułą ogólną. W p r z y p a d k u jednej energii przemiany pojedynczy poziom u t w o r z o n e g o j ą d r a stanowi zwykle jego stan pod­ stawowy. Przykładem takiej emisji a o jednej monoenergetycznej grupie cząstek (widmo a o jednej linii) są: R n , P o ( R a A ) , P o ( R a F ) (rys. 3.4). 2 2 2

2 1 8

2 1 0

Rys. 3.4. Przykłady monoenergetycznych rozpadów a

Emisja cząstek a o kilku różnych energiach o d p o w i a d a powstawaniu jądra pochodnego w różnych stanach wzbudzenia. J ą d r a te przechodzą d o stanu pod­ stawowego na d r o d z e emisji y. K a ż d y o b s e r w o w a n y k w a n t y o d p o w i a d a różnicy między stanami energetycznymi związanymi z dwiema grupami cząstek a. Znając wszystkie wartości energii cząstek a, m o ż n a sporządzić wykres poziomów ener­ getycznych j ą d r a p o c h o d n e g o . Przykładem niech będzie rozpad jądra Bi(ThC) będący k o ń c o w y m fragmentem promieniotwórczego szeregu torowego [p.2.1 (2)], przedstawiony na rys. 3.5. Przy rozpadzie nuklidu Bi(ThC, t = 60,55 m i n ) - > T l ( T h C " , emiter j8, f = 3,054 min) emitowane są cząstki a 6,09 M e V , tworzące składową w i d m a o najwyższej energii; powstałe w tej grupie j ą d r o T h C " znajduje się w stanie podstawowym. G d y j ą d r o T h C emituje cząstkę a w grupie, dla której energia wynosi 6,05 MeV, powstałe j ą d r o T h C " jest w stanie w z b u d z o n y m . Energia wzbudzenia powinna wynosić 6,09 — 6,05 = 0,04 MeV. W z b u d z o n e j ą d r o uwolni natychmiast 2 1 2

2 1 2

2 0 8

1 / 2

1/2

n a d m i a r energii, emitując k w a n t y (0,040 MeV!), co stwierdza się doświadczalnie. Jeżeli nuklid emituje cząstki a o energii 5,75 M e V , energia wzbudzenia wynosi 6,09 — 5,75 = 0,34 MeV. Rzeczywiście stwierdzono promieniowanie y o energii ok. 0,33 MeV. W z b u d z o n e j ą d r o m o ż e przechodzić przez stany pośrednie, wtedy wykrywa się promieniowanie y o energiach odpowiadających różnicy energii tych stanów. Ze schematu n a rys. 3.5 widać, że nie zawsze obserwuje się k w a n t y y dla wszystkich przejść, które wydają się możliwe. M o ż e to być s p o w o d o w a n e małą intensywnością linii widma, co znacznie u t r u d n i a wykrycie, lub związane z jądrowymi regułami wyboru zmniejszającymi p r a w d o p o d o b i e ń s t w o tych przejść. Rzadszymi, ale spotykanymi p r z y p a d k a m i są r o z p a d y poprzez przejścia z kilku stanów wzbudzonych bezpośrednio d o stanu p o d s t a w o w e g o innego j ą d r a powstałego w wyniku emisji a, n p . P o powstały z B i w przemianie fł~ z utworzeniem wielu stanów wzbudzonych. W większości w y p a d k ó w j ą d r a w z b u d z o n e P o przechodzą d o stanu p o d s t a w o w e g o P o , lecz niekiedy, choć b a r d z o r z a d k o , występują przejścia bezpośrednio ze stanu w z b u d z o n e g o d o stanu p o d s t a w o w e g o P b ; na rysunku 3.6 widzimy trzy takie wiązki cząstek a o b a r d z o niewielkim udziale w widmie. Energie cząstek a p o d a n e n a rys. 3.5 i 3.6 są energiami kinetycznymi. P o m i a r ó w energii cząstek a, n a podstawie k t ó r y c h wykreśla się schematy r o z p a d u , dokonuje się różnymi m e t o d a m i . Klasycznym sposobem jest p o m i a r w spektrografach q magnetycznych, gdzie prędkość cząstki v = Hr (q — ładunek, — masa 2 1 2

2 1 2

2 1 2

2 1 2

2 0 8

2 1 2

Rys. 3.6. Schemat rozpadu P o (energie w MeV) (z: K. H. Lieser, „Einfiihrung in die Kernchemie",VCH Yerlagsgesellschaft, Weinheim 1980; za zgodą wydawcy)

log^ .20

Ac A /

ThA/ 20 Th El n/ Ra 1

15

A/)

A

JTACE m

/ACC

hx/ry •ThC

Ra En v

Y

Ar

/

Ro(

/Sta Th 10 lo

5

0

05

0,6

0,7

0,8 logfl

Rys. 3.7. Reguła Geigera-Nuttala dla naturalnych emiterów a

cząstki, r — promień orbity, H — natężenie pola magnetycznego). Energię oblicza się ze wzoru ^m vl; jest to oczywiście energia kinetyczna. Należy odróżniać energię kinetyczną cząstki a od całkowitej zmiany energii w procesie przemiany a, która nazywa się energią rozpadu a. J ą d r o , emitując cząstkę a, zostaje odrzucone w kierunku przeciwnym d o ruchu cząstki, unosząc z sobą pewną część energii. Energia r o z p a d u a jest sumą energii kinetycznej cząstki a i powstałego jądra. Z zasady zachowania pędu = m v (gdzie m i v — masa i prędkość powstałego jądra) m a m y : v = v (mjm ). Jeżeli pominiemy efekt relatywistyczny, to energia rozpadu a wyniesie: x

r

r

a

r

r

r

r

2

E = \m v + a

a

x

2

y mv r

2

= \m v (

r

a

1+ — )

a

(3.1-3)

Energię rozpadu a otrzymujemy, mnożąc energię kinetyczną cząstki a przez wyrażenie / masa jądra macierzystego \ y masa powstałego j ą d r a J Zasięgi cząstek a w powietrzu, w zakresie energii od 3 d o 9 MeV, zawierają się w granicach 1,5-8,0 cm. Energia r o z p a d u zmienia się przeciętnie od 4 d o 9 MeV, ekstremalnie od 1,83 M e V dla N d (2,46 M e V dla S m najsłabszego sztucznego emitera a) d o 11,65 M e V dla P o . Stosunek największej d o najmniejszej energii zawiera się najczęściej między 2 i 2,5. N a t o m i a s t okresy półtrwania zmieniają się od wartości rzędu 1 0 lat d o 1 0 s , a więc stosunek ti/2( | 0 , V F , ' ^ N e , 1 ł N a , ftV, ^Cr. Nie oznacza to j e d n a k , że wśród jąder o n a d m i a r z e n e u t r o n ó w nie m a emiterów fi . Cały szereg nuklidów o dodatniej liczbie izotopowej (N — Z) emituje pozytony, jak np. T i , V , V , C r , C o , C o , G a , G a , G a , G a , G a i inne. W grupie izotopów galu od A = 63 d o 68 liczba izotopowa zmienia się od 1 aż do 6, mimo to są one emiterami fi . Granicą między obszarami emiterów / T i fi jest, j a k p o k a z a n o we wstępie d o ZA rozdz. 3, nie prosta N = Z, lecz linia trwałości fi:N — Z = — — — , o p a r t a na 60 równaniu (1.9.2-6) i wykreślona n a rys. 3.1. Trwałymi izotopami galu (Z = 31) są G a i G a , wartość N—Z wynosi dla nich odpowiednio 7 i 9. Wartości N — Z obliczone z r ó w n a n i a linii trwałości wynoszą +

+

+

9

1 2

1 3

2 0

4 5

+

4 5

4 7

4 8

4 9

5 5

5 6

6 3

6 4

6 5

6 6

6 8

+

+

213

6 9

7 1

8,69 i 8,86. A więc ta druga wartość jest zgodna z liczbą izotopową 9. Wszystkie izotopy galu powyżej G a p o w i n n y być emiterami fi~. Rzeczywiście, poczynając od G a , dla którego N — Z = 10 (N—Z obliczone z równania trwałości wynosi tylko 8,94), aż d o G a o liczbie izotopowej 18 (obliczone N — Z = 9,59) są emiterami fi~. W p r a w d z i e między d w o m a trwałymi j ą d r a m i G a i G a znajduje się G a będący również emiterem fi', nie zmienia to j e d n a k obrazu. Wszystkie izotopy galu poniżej G a są emiterami fi lub, j a k G a , ulegają przemianie /? w postaci wychwytu elektronu. 7 1

7 2

8 0

6 9

7 1

7 0

6 9

+

6 7

+

3.2.1. Efekt energetyczny fi Warunki energetyczne przemian fi przedstawiają i schematem (3-2), następująco: fi- AE = (M

x

- M

warunek r o z p a d u M +

AE = (M

x

Y

- M

warunek r o z p a d u M

) 931,5 M e V > 0

> M , trwałości M

x

fi

Y ( Z + 1 )

x

Y ( Z M )

—M

y

się, zgodnie ze wzorem (3-5)

(3.2.1-la)

< M

x

Y

- 2w ) 931,5 M e V > 0

(3.2.1-lb)

e

> 2 m , trwałości M e

E C AE = (M - MYCZ-D)931,5 M e V warunek rozpadu M — M > 0 , trwałości M

—M

x

Y

^ 2m

(3.2.1-lc)

x

x

Y

e

x

—M

Y

^ 0

Przy obliczaniu bilansu energetycznego bierze się zawsze masy obojętnych atomów. Dlatego w p r z y p a d k u przemiany fi~ nie uwzględnia się masy elektronu, gdyż wyemitowany elektron jądrowy bilansuje się z elektronem dołączonym d o powłoki atomowej, żeby zobojętnić powstały ładunek dodatni (Z + 1). W p r z y p a d k u przemiany fi* trzeba uwzględnić dwie masy elektronowe, jedną wyemitowanego pozytonu i drugą elektronu orbitalnego, który musi odejść z powłoki, żeby zmniejszyć nadmiar ładunku ujemnego (potrzeba tylko Z — 1 elektronów dla elektroobojętności). Z tego samego p o w o d u nie uwzględnia się masy elektronu w procesie wychwytu elektronu ( E C ) , gdyż elektron orbitalny przyjęty przez jądro bilansuje się z elektronem orbitalnym opuszczającym a t o m . Gdy spełniony jest warunek M — M > 2m , może zajść z a r ó w n o przemiana jak EC. M o ż e wystąpić sytuacja, gdy 2m > M — M > 0 . Wtedy niemożliwa jest przemiana fi , ale m o ż e zajść proces E C . Istotną cechą przemian samorzutnych fi~ i fi jest charakter widma emitowanych elektronów. R o z k ł a d energii jest ciągły w granicach 0-13,6 M e V dla promieniowania fi~ i 0-16,4 MeV dla fi . O widmie będzie jeszcze m o w a w dalszych punktach. Prędkość cząstek fi jest b a r d z o duża, może wynosić d o 9 9 % prędkości światła. Przy obliczaniu energii kinetycznej cząstek fi trzeba więc uwzględniać efekt relatywistyczny, tzn. wprowadzić masę relatywistyczną elektronu m zgodnie ze wzorem (1.2.2-1), w k t ó r y m m jest masą spoczynkową. Z dwóch zapisów przejść nukleonowych w jądrze, j e d n o tylko, n -> p + e , zachodzi także p o z a j ą d r e m . Jest to rozpad swobodnego n e u t r o n u w próżni X

Y

e

e

x

+

+

+

0

Y

z okresem t = 11-12 m i n . Dlatego n e u t r o n bywa czasem t r a k t o w a n y j a k o najlżejszy emiter fi~. Efekt energetyczny przemiany wynosi: lj2

AE = ( 1 , 0 0 8 6 6 5 - 1 , 0 0 7 2 7 6 5 - 0 , 0 0 0 5 4 8 5 8 ) 9 3 1 , 5 = 0,782 M e V

(3.2.1-2)

3.2.1.1. Schematy rozpadu

Podobnie j a k przy przemianach ac, p r z e m i a n o m fi towarzyszy najczęściej promienio­ wanie y. Oznacza to, że powstające j ą d r o znajduje się w stanie w z b u d z o n y m i wraca d o stanu podstawowego, emitując k w a n t y y o jednej lub o różnych energiach. G d y nie stwierdza się promieniowania y, przejście fi prowadzi d o powstania j ą d r a w stanie p o d s t a w o w y m . N a rysunkach 3.9 a i b przedstawiono kilka typowych schematów przemian fi. Dla szeregu poziomów energetycznych poszczególnych nuklidów p o d a n o wartości całkowitego m o m e n t u pędu i parzystości, potrzebne przy stosowaniu reguł w y b o r u (p. 3.2.5). Przemiany fi i y są tak ściśle związane z sobą przez fakt występowania stanów wzbudzonych j ą d e r p o c h o d n y c h (także stanów metatrwałych), że sztuczne byłoby n a ogół rozróżnianie schematów r o z p a d ó w fi i y. Omawiając reguły w y b o r u fi, posłużymy się z a r ó w n o rys. 3.9, j a k i rys. 3.17 przedstawiającym schematy przemian y; tak s a m o przy omawianiu reguł w y b o r u dla przemian y. Przykładem przemiany fi, w której nie stwierdza się promieniowania y, jest rozpad O -»• N + fi . Energia m a k s y m a l n a w widmie £ = 1,68 MeV, energia rozpadu E = 1,68 + 1,02 = 2,7 MeV. Zgodnie z zależnością (3.2.1-lb) uwzględniono l s

1 5

+

m a x

fi

He

802 ms

0+-

0

70.59 s

^yi,8MeV

F

64.5 s

( 3 / 1 . 7 MeV / 100%

0+-

1 + ' 0+-

2.3 MeV (log (logff=2.74)

ft=3.38)

N (log ft =3,47)

Ni (log ff =4.94)

^

Rys. 3.9a. Schematy rozpadu fi (przejścia dozwolone)

"P

1

14.3 dni MeV 100°/o

S m

" Cd

Cs 30,1 lat

44,8 dnia

Ba 2,55min 0,662 MeV Ba (log ff=9,62)

9 7

Zr

16,8 h

4 + •

\1.9 MeV \

Y

9 7 m

N b 53s

K 1,28-10 /EC / i(11%) /

1 1 f

'|

1,46 MeV

, 0,75 MeV

/(0%) /

\ Ca

*

0 •

"Nb

lot V " 1 . 3 ;MeV \ (89°/'/=)

Ar (log ft =17,6)

Rys. 3.9b. Schematy rozpadu P (przejścia pojedynczo i podwójnie wzbronione)

dwie masy elektronowe 1,02 MeV. Innymi przykładami „czystych" przejść są rozpady F , P , S na rys. 3.9a i rozpad C 1 na rys. 3.12. Wszystkie pozostałe schematy na tych rysunkach ilustrują powstawanie jąder p o c h o d n y c h w stanach wzbudzonych. W przypadku 0 następuje emisja pozytonu o energii maksymalnej 1,8 MeV oraz y o energii 2,31 MeV. Całkowita energia rozpadu wynosi 1,8 + 1 , 0 2 + 2,31 = 5,13 MeV, z czego 2,83 M e V j e s t różnicą między stanem p o d s t a w o w y m jądra 0 ( t = 70,59 s) a stanem w z b u d z o n y m powstałego j ą d r a N. W niektórych p r z y p a d k a c h , jak I n , możliwe są przejścia z a r ó w n o P', jak p i EC. Liczne j ą d r a powstające w stanach wzbudzonych mogą przechodzić d o stanu podstawowego „ k a s k a d o w o " , przez kolejne poziomy wzbudzone. Jest to określone regułami wyboru, o których powiemy dalej. 1 7

3 2

3 5

3 6

1 4

1 4

1 / 2

1 4

1 1 4

+

3.2.1.2. Krzywe Sargenta

Związek między maksymalną energią promieniowania p a okresem p ó ł r o z p a d u albo stałą rozpadu m o ż n a przedstawić na tzw. wykresach Sargenta (rys. 3.10). T a k jak w przemianach a, wartości f , przy niewielkich zmianach energii p, zmieniają się w bardzo szerokich granicach, n p . od 20,3 ms ( B ) d o 5 - 1 0 lat ( R e ) . Analogicznie d o reguły G e i g e r a - N u t t a l a (rys. 3.7, zależność (3.1-4)) piszemy: 1/2

12

log/l = a + M o g £

1 5

m a x

1 8 7

(3.2.1-3)

Punkty, odpowiadające j ą d r o m — emiterom p, układają się n a dwóch liniach. Dla danej wartości energii górna krzywa o d p o w i a d a wartościom X ok. 100 razy

większym niż krzywa dolna, a więc przemiana na krzywej dolnej jest ok. 100 razy mniej p r a w d o p o d o b n a . Krzywa g ó r n a obrazuje tzw. „przejścia d o z w o l o n e " , krzywa dolna — „przejścia w z b r o n i o n e " . Terminy te określają różne stopnie p r a w d o p o d o ­ bieństwa samorzutnego rozpadu. Wykresy Sargenta są o p a r t e na wynikach wyłącznie doświadczalnych. Jak zobaczymy, teoria r o z p a d u fi tłumaczy przebieg krzywych Sargenta, czyli różnice p r a w d o p o d o b i e ń s t w a r o z p a d u fi.

3.2.2. Postulat Diraca istnienia elektronu dodatniego W przemianach fi~ emitowane są elektrony, z n a n e od d a w n a j a k o elementarne jednostki elektryczności ujemnej. W przemianie fi pojawia się elektron dodatni zwany pozytonem. Istnienie tych cząstek przewidział teoretycznie Dirac, twórca relatywistycznej elektrodynamiki kwantowej. Dirac zażądał, aby równanie na ruch elektronu, zgodnie z postulatem teorii względności, było niezmiennicze wobec transformacji Lorentza. A b y m o ż n a było równanie rozwiązać, trzeba było przyjąć, że elektron może istnieć w dwóch zbiorach stanów kwantowych, j e d n y m o energii dodatniej i drugim o energii ujemnej. Ilustruje to schemat na rys. 3.11, gdzie energiom z a w a r t y m w przedziale m c > E > —m c nie odpowiadają stany opisujące elektrony. Elektrony w stanach energii dodatniej zachowują się j a k zwykłe elektrony. Elektrony w stanach energii ujemnej nie miałyby fizycznego sensu w teorii klasycznej ze względu n a brak możliwości ciągłego przejścia d o stanów energii dodatniej. Teoria k w a n t o w a uwzględnia możliwość przejścia s k o k o w e g o . Dirac założył, że stany energii ujemnej istnieją realnie, ale są zwykle wszystkie zajęte. Jeżeli jeden elektron znika ze zbioru s t a n ó w ujemnych, to puste miejsce w tym zbiorze p o w i n n o , zgodnie z teorią Diraca, występować j a k o cząstka elementarna o dodatniej energii i d o d a t n i m ł a d u n k u . Puste miejsce, lub tzw. dziura Diraca, powinno się zachowywać j a k elektron d o d a t n i . Doświadczenie potwierdziło w pełni tę genialną koncepcję. W 1932 r. A n d e r s o n wykrył p o z y t o n y w promieniowaniu kosmicznym. +

2

0

2

0

stany

wzbronione

W świetle teorii Diraca pojawienie się elektronu następuje na drodze swoistego „efektu fotoelektrycznego". F o t o n o energii większej niż dwie energie spoczynkowe elektronu ( > 2 m c ) może przenieść elektron ze stanu energii ujemnej d o stanu o energii dodatniej. W zbiorze stanów pierwszych pojawia się dziura, co jest równoznaczne z pojawieniem się pozytonu, a pojawienie się elektronu w zbiorze stanów o energii dodatniej oznacza pojawienie się zwykłego elektronu. T a k tworzy się para cząstek e~ i e . Ponieważ m a s a spoczynkowa cząstki jest r ó w n a m c w jednostkach energii, więc energia fotonu musi być równa co najmniej 2 m c = 1,02 MeV (m — masa spoczynkowa elektronu). Proces o d w r o t n y d o procesu tworzenia pary polega na spadku zwykłego elektronu (o energii dodatniej) d o dziury w zbiorze elektronów o energii ujemnej — jest to anihilacja pary e l e k t r o n - p o z y t o n , opisana w p.1.2.4. 2

0

+

2

0

2

0

0

3.2.3. Hipoteza neutrino Jak już w s p o m n i a n o , jedną z charakterystycznych cech rozpadu fi jest ciągłość widma energii promieniowania elektronowego emitowanego w tym rozpadzie. Energie cząstek fi są rozmieszczone w sposób ciągły od 0 d o pewnej wartości maksymalnej. Jest t o przeciwieństwo w i d m a elektronów konwersji, o której będzie mowa przy omawianiu przemiany y. N a rysunku 3.12 p o k a z a n o przykładowo ciągłe widmo fi chloru C 1 i schemat r o z p a d u . R o z p a d fi~ tego j ą d r a o d p o w i a d a pojedynczemu przejściu d o stanu p o d s t a w o w e g o A r . Średnią energię cząstek fi można obliczyć, całkując krzywą na rys. 3.12: 3 6

3 6

£, , u

]

N{E)EdE f o

N(E)dE

"Ar 1314 keV "1000 2000 3000 4000 gęstość strumienia magnetycznego x promień krzywizny, T0 Tti 6

81,45

169,70

276,80

396,12 energia,

523,42 keV

656,10

79252

36

Rys. 3.12. Schemat rozpadu i widmo j» C l [według: C.S.Wu, L.Feldman, Phys. Rev., 76, 693 (1949); 87, 1091 (1952)]

F a k t ciągłości widma fi przysporzył k ł o p o t ó w fizykom. Mianowicie energia emitowanych elektronów nie jest r ó w n a różnicy energii j ą d r a macierzystego i p o c h o d n e g o , lecz j a k już powiedziano, może przyjmować każdą wartość energii między 0 a energią maksymalną. Średnia energia wynosi ok. 1/3 energii maksymalnej, 2/3 energii zanika, co przeczyłoby zasadzie z a c h o w a n i a energii w p r z y p a d k u rozpadu fi (w rozpadzie fi średnia energia p o z y t o n u wynosi ok. 0,4 £ ). Również bilans m o m e n t ó w pędu nie pozostawał w zgodności z przewidywaniami. Zgodnie z p r a w e m zachowania m o m e n t u pędu całkowity m o m e n t pędu u k ł a d u powinien pozostać stały. J ą d r o Y, powstające z j ą d r a X w przemianie (3, m a tę samą liczbę masową, co j ą d r o X, musi przeto mieć całkowity orbitalny m o m e n t pędu taki sam lub o wartości różniącej się o całkowitą wielokrotność h/2n. Również całkowity m o m e n t spinowy j ą d r a Y może się różnić od tegoż dla jądra X o całkowitą wielokrotność h. Spin elektronu wynosi j e d n a k \ h. By więc p r a w o zachowania m o m e n t u pędu było spełnione, brakuje udziału o wartości \ h lub nieparzystej wielokrotności tej wielkości. Wreszcie muszą się w p r z y p a d k u przejścia X -» Y + e~ różnić również statystyki. T a p o z o r n a sprzeczność została rozwiązana przez Pauliego i Fermiego. Pauli z a p r o p o n o w a ł , a Fermi ugruntował teoretycznie tzw. hipotezę neutrino. Postuluje ona istnienie cząstki elementarnej v, zwanej neutrino, o masie spoczynkowej równej zeru lub b a r d z o małej (m < 1 0 ~ m ) oraz pozbawionej ł a d u n k u , k t ó r a to cząstka unosi energię brakującą w bilansie r o z p a d u f3. A więc suma energii elektronu i neutrina jest równa maksymalnej energii £ = E + E. Dzięki tej hipotezie powstała u d a n a teoria r o z p a d u fi. R ó w n a n i a przejść nukleonowych równoważnych różnym typom r o z p a d u fi p o w i n n o się, według teorii Fermiego, pisać j a k niżej: +

m a x

3

v

e

m a x

e

v

(3.2.3-2)

n -> p + e~ + v + v

(3.2.3-3)

p + e~ -> n + v

(3.2.3-4)

p -> n + e

+

W przejściu n -> p różnica m a s m — m = 1,3 MeV, masa elektronu m = 0,5 MeV. N a energię kinetyczną elektronu i antyneutrina pozostaje, w tym najprostszym rozpadzie fi~, 0,8 MeV. Elektrony mogą więc mieć energię od 0 d o 0,8 M e V i jej rozkład jest ciągły, resztę energii (do £ = 0,8 MeV) unosi antyneutrino. Zgodnie z tym co powiedzieliśmy wyżej, neutrino m a własny m o m e n t spinowy = y # , tym samym jest fermionem. Przyjmuje się również, że przy rozpadzie fi~ powstaje pośrednio p r o t o n i ujemny mezon n~, przy rozpadzie p — neutron i dodatni mezon K . Mezony rozpadają się na elektrony i neutrina poprzez rozpady mionowe, o których mówiliśmy w p.1.2.4 (patrz też p.1.8 i t a b . 1.1). Wielkim sukcesem teorii Fermiego było doświadczalne, choć pośrednie stwier­ dzenie istnienia neutrina. Doświadczenie o p a r t o na hipotetycznej reakcji neutrin z protonami i przewidywaniu jej skutków. Cowan i Reines przeprowadzili w 1956 r. reakcję z protonami wody w urządzeniu wyposażonym w trzy b a r d z o wielkie liczniki scyntylacyjne (po 1400 1 ciekłego scyntylatora zawierającego p r o t o n y z d o d a t k i e m C d C l ) . Neutrina pochodziły z reaktora jądrowego. Zachodzi reakcja: n

p

e

m a x

+

+

2

v i + i p -* c>n + e e

(3.2.3-5)

Jednoczesne powstawanie n e u t r o n ó w i p o z y t o n ó w mierzono koincydencyjnie. Pozyton natychmiast reaguje z elektronem, emitując promieniowanie anihilacyjne. Dwa kwanty 0,511 M e V rejestrowano na 110 fotopowielaczach. N e u t r o n y są hamowane w zderzeniach z a t o m a m i w o d o r u i wchodzą w reakcję (n, y) z a t o m a m i kadmu (Cd + n -> Cd + y). E m i t o w a n y przy tym k w a n t y o d u ż o wyższej energii występuje w 10 ps później niż promieniowanie anihilacyjne. Wyniki tych p o m i a r ó w posłużyły d o obliczenia przekroju czynnego na reakcję (v,p); er ^ 1 0 ~ c m , czyli rzędu 1 0 b a r n a . Potwierdza to, przewidywane, skrajnie małe oddziaływanie neutrina. 4 3

2

- 1 9

3.2.3.1. Energia odrzutu

Gdy cząstka fi i neutrino są emitowane z tym samym pędem, lecz w przeciwnych kierunkach, powstałe j ą d r o nie doznaje o d r z u t u . Przeciwnie, gdy obie cząstki są emitowane w tym samym kierunku lub gdy j e d n a cząstka unosi całą energię, j ą d r o pochodne doznaje maksymalnego odrzutu. T a k więc j ą d r o — p r o d u k t przemiany —jest odrzucane z energią w przedziale od 0 d o maksymalnej wartości (gdy cząstka J? jest emitowana z maksymalną energią) 'max

gdzie £

o d

jest energią odrzutu.

(3.2.3-6)

Z praw zachowania energii i pędu, uwzględniając relatywistyczną zmianę masy elektronu, otrzymujemy wyrażenie na energię o d r z u t u m E„ e

(3.2.3-7) m m cEnergia o d r z u t u jest zwykle rzędu 100 eV, co jest wystarczające, by s p o w o d o w a ć przemieszczenie a t o m ó w w cząsteczkach. Tego rodzaju efekty są przedmiotem badań tzw. chemii gorących a t o m ó w . •EnH "

oi

oA

3.2.4. Wychwyt elektronu D o przemian fi, oprócz emisji elektronu ujemnego i d o d a t n i e g o , należy także proces zwany wychwytem elektronu c lub E C (3-3). W a r u n e k zachodzenia wychwytu p o d a n o we wzorze (3.2.1-lc). Proces polega n a wychwyceniu przez j ą d r o elektronu orbitalnego. J ą d r o emituje wtedy jedynie neutrino. W p r z y p a d k u szeregu jąder B e , Ar, Cr, In, Ba, C s i in. jest to jedyny możliwy sposób r o z p a d u . Jeżeli różnica m a s a t o m ó w jest większa od 2m , to możliwy energetycznie jest z a r ó w n o wychwyt, jak i emisja pozytonu. Bilans energii w procesie E C , AE = ( M — M ) 931,5 MeV, m o ż n a przedstawić j a k o sumę energii neutrin, energii wiązania elektronu orbitalnego i energii o d r z u t u j ą d r a 7

3 7

5 1

1 J 1

1 2 8

1 3 1

e

X

AE = E + E , + E e

przy czym praktycznie AE s e

v

we

(3.2.4-1)

oi

E. v

"Am

Pe + dp ) i ( p , p + d p ) . Liczby te są równe objętości dostępnej dla cząstki, w 6-wymiarowej przestrzeni fazowej, podzielonej przez objętość komórki elementarnej h . W podprzestrzeni pędów objętość warstwy kulistej (powłoki sferycznej) o grubości dp, we współrzędnych p,0,, wynosi e

v

e

e

v

v

v

3

| de/> =

2

p dp]smddO o

2

4np dp

o

Objętość przestrzeni fazowej otrzymujemy j a k o iloczyn objętości warstwy kulistej i objętości konfiguracyjnej V, w której musi znajdować się cząstka, V-4np dp. Stąd liczba stanów 2

2

2

V-4np dp =

V-4%p dp

3

(2TC^)

=

h

2

2

V- 4np dp

V- 4TC p

7 T ^ 3

?T^3—

e

d N


(oo)-i/H-oo) = f i / > ( - o o )

(4-3)

Z p o r ó w n a n i a (4-1) i (4-2) m a m y związek f=S-l

(4-4)

H a m i l t o n i a n u k ł a d u H musi uwzględniać energię potencjalną i kinetyczną elementów zderzenia w stanie początkowym Hi i k o ń c o w y m H oraz ich potencjały oddziaływania V i V, f

x

H = Hj + K = H +V f

(4-5)

f

Poczynione założenia stanowią wstęp d o wprowadzenia formalizmu reakcji jądrowych, pozwalającego n a określenie p r a w d o p o d o b i e ń s t w a przejścia ze stanu początkowego (t = — oo) d o stanu końcowego (t = oo). W niniejszej książce nie posługujemy się ścisłym formalizmem właściwym fizyce, poprzestając n a ogół na opisowym, często m a k r o s k o p o w y m czy fenomenologicznym, traktowaniu zjawisk jądrowych. D l a takiego opisu najistotniejsze jest określenie trwałych, dobrze zdefiniowanych eksperymentalnie, p r o d u k t ó w procesu. D o rozważanej przez nas reakcji jądrowej (jak zresztą i d o samorzutnych przemian jądrowych) stosują się wszystkie prawa zachowania: a) Stałość całkowitej energii układu, niezależnie od postaci energii (masowa, kinetyczna, elektrostatyczna itp.) £ + £ x

= £ + £

A

B

AE = £ + £ - £ - E B

y

x

b) Prawo zachowania pędu p = mv, £

= 0

A

2

=

kin

(4-6)

y

p /2m

P*+PA=PB+Py

(4-7)

Dla najczęściej rozpatrywanego p r z y p a d k u , gdy zakładamy, że jądro-tarcza A pozostaje w spoczynku, p r a w o zachowania pędu m a postać: Px = p - c o s # + p - c o s f 7 B

B

y

p • sin 0 = p • sin 0 B

B

y

y

y

(4-7a)

gdzie f7 to kąty między kierunkiem x a kierunkiem ruchu j ą d r a - p r o d u k t u B lub y p o reakcji. c) Prawo zachowania ładunku By

Z +Z x

A

= Z + Z B

y

(przy przyjęciu za jednostkowy ł a d u n k u elektronu).

(4-8)

d) Prawo zachowania

liczby

masowej A + A X

e) Prawo zachowania

momentu m)

x

A

= A + A B

(4-9)

y

pędu

+ {Mj)

A

= (M,) + (M ) B

7

(4-10a)

y

Oznaczając przez / liczbę k w a n t o w ą całkowitego j ą d r o w e g o m o m e n t u pędu (zwaną też liczbą k w a n t o w ą całkowitego spinu jądrowego), m o ż n a p r a w o zachowania momentu pędu napisać A/ = / + J - / „ - / B

y

(4-1 Ob)

A

4.1. Podstawowe rodzaje reakcji jądrowych Reakcje jądrowe m o ż n a podzielić n a kilka p o d s t a w o w y c h typów: 1) Reakcje rozpraszania polegają na tym, że j ą d r o b o m b a r d o w a n e i cząstka emitowana pozostają w wyniku zderzenia takie same, j a k przed reakcją. Rozróżniamy tu jednak dwa przypadki: x-r-A-*A + x

a)

(4.1-1)

Jest to tzw. rozproszenie sprężyste, w k t ó r y m nie zachodzi rzeczywiście ż a d n a zmiana w substratach i p r o d u k t a c h p o z a zmianą położenia. Suma pędów jest zachowana, pewna część energii kinetycznej m o ż e być udzielona jądru-tarczy. T a część energii (AE ) — przy założeniu początkowej nieruchomości j ą d r a A — wynosi: A

K

+ m )

2

A

gdzie m — masy spoczynkowe cząstek i jąder, E — energia początkowa pocisku x, 6 — kąt między p o c z ą t k o w y m i k o ń c o w y m kierunkiem r u c h u cząstki uderzającej. Chociaż w wyniku rozproszenia sprężystego energia kinetyczna jest przekazy­ wana tarczy, to jej ilość w układzie nie zmienia się i wartość Q reakcji (tzw. „ciepło" lub energia reakcji określona w p . 4.2) jest zerowa Xo

x(»„) + A ( » = 0 ) - + x ( i / ) + A ( i ; ' > 0 ) A

x

A

Q = 0

(4.1-3)

Przykładem praktycznego wykorzystania reakcji rozproszenia sprężystego spowolnianie n e u t r o n ó w d o prędkości termicznych w r e a k t o r a c h jądrowych.

jest

x+A + y b)

x+ A^

(4.1-4) x + A*

Jest to tzw. rozproszenie niesprężyste. Część energii kinetycznej pocisku zostaje udzielona jądru-tarczy — powoduje t o powstanie stanu wzbudzonego tego jądra. Całkowita ilość energii kinetycznej zmniejsza się o wartość energii wzbudzenia.

W tym p r z y p a d k u wartość Q < 0. Jak wynika ze schematu (4.1-4), istnieją dwie możliwości: albo wzbudzone j ą d r o r o z p a d a się natychmiast z emisją y (jednego lub więcej fotonów), albo stan wzbudzony może trwać pewien mierzalny czas, j a k o stan izomeryczny. Przykładem może być tworzenie izomeru srebra n+

1 0 7

Ag->

1 0 7 m

Ag(f

= 44s) + n

1 / 2

(4.1-5)

2) N a s t ę p n y m typem reakcji jądrowej jest wychwycenie z utworzeniem nowego jądra: x + A->B-t-y

cząstki

bombardującej

(4.1-6)

M a s a powstałego jądra jest mniejsza niż s u m a m a s substratów — następuje równoczesna emisja fotonów. Energię fotonu m o ż n a obliczyć z defektu masy, dodając energię kinetyczną cząstki x i odejmując energię o d r z u t u powstałego j ą d r a . Reakcje takie nazywamy reakcjami wychwytu radiacyjnego. 3) Reakcja może zachodzić z pochłonięciem cząstki i emisją nukleonu łub lekkiego jądra: x + A->B + y gdzie y = p , n , Wszystkie 4) I n n y m nukleonów lub

2

3

(4.1-7)

4

H(d), H(t), He, |He,... powyższe typy (1-3) reakcji są o d m i a n a m i reakcji dwuciałowej. typem reakcji jest wychwycenie cząstki z tzw. ,,wyparowaniem" kilku cząstek: x + A->B + y

k

gdzie y = 2n, 3 n , . . . , k n ; 2pn, a n , . . . itp. 5) Przy dużych energiach cząstek bombardujących zachodzi tzw. kruszenie jąder:

(4.1-8)

k

x+ A - B + Y

(ok. 100 M e V i więcej)

(4.1-9)

gdzie Y są to duże fragmenty j ą d r a . W tym p r z y p a d k u liczba m a s o w a (A) i a t o m o w a (Z) jąder A i B różnią się od siebie dość znacznie. 6) Reakcja rozszczepienia polega n a tym, że j ą d r o rozszczepia się na d w a silnie wzbudzone fragmenty o zbliżonych masach, prócz tego uwolnionych zostaje kilka n e u t r o n ó w . Jest to jedna z najważniejszych reakcji jądrowych, opisana szerzej w p. 4.7. Proces zachodzi również samorzutnie (p. 3.4). 7) Reakcje termojądrowe, w szczególności tzw. reakcja fuzji. Również b a r d z o ważna reakcja opisana w p. 4.8. Oprócz d w ó c h ostatnich reakcji, które mają fundamentalne znaczenie ener­ getyczne, o m ó w i m y w p. 4.6 bardziej szczegółowo reakcje typu 2 i 3. Przedstawiony wyżej podział reakcji stanowi podejście fenomenologiczne, w którym uwzględnia się tylko m a k r o s k o p o w y o b r a z tarczy oraz bombardujących i emitowanych cząstek. Jeżeli spojrzymy bliżej n a m e c h a n i z m reakcji jądrowych, będzie m o ż n a sklasyfikować je, uwzględniając czas oddziaływania. I) Elastyczne rozproszenie wprost, najprostszy układ obejmujący j ą d r o tarczy

w stanie p o d s t a w o w y m i nukleon w stanie jednocząstkowym, zachodzi w krótkim czasie, p o r ó w n y w a l n y m z czasem przejścia n u k l e o n u przez sferę oddziaływania potencjału j ą d r o w e g o . Jeżeli w takim procesie pojawi się rezonans związany ze stanem jednocząstkowym, będzie miał szerokość rzędu M e V (p. 4.5). II) Absorpcja w jądrze tarczy. Pierwszym stadium jest zderzenie nukleonu z jednym z n u k l e o n ó w jądra-tarczy i przekazanie m u części energii. W takim stanie pojawiają się d w a nukleony o energii przewyższającej poziom Fermiego, czyli stan dwucząstkowy jednodziurowy. G d y zamiast modelu Fermiego rozpatrywać model kolektywny, będzie to wzbudzenie prostego stanu kolektywnego z jednoczesnym zmniejszeniem energii cząstki padającej. N a s t ę p n y m stadium może być: a) emisja wprost n u k l e o n u ze w z b u d z o n e g o stanu dwucząstkowego jednodziurowego, b) dezaktywacja stanu kolektywnego przez przejście elektromagnetyczne i emisję padającego n u k l e o n u o zmniejszonej energii (procesy te odpowiadają reakcjom rozproszenia niesprężystego, gdy w kanale wyjściowym pojawia się j ą d r o tarczy w stanie w z b u d z o n y m ) . Procesy a) i b) nazywamy reakcjami oddziaływania bezpośredniego albo reakcjami wprost. Cechuje je krótki czas zachodzenia, p o r ó w n y w a l n y z czasem przebiegu cząstki przez obszar jądra-tarczy, rzędu 1 0 ~ s. c) Pierwsze zderzenie n u k l e o n u z n u k l e o n e m jądra-tarczy może zapoczątkować lawinę dalszych zderzeń między n u k l e o n a m i — w rezultacie dostarczona energia zostaje rozdzielona statystycznie n a całe j ą d r o . Powstały stan jest stanem jądra złożonego, a jego czas życia jest długi w p o r ó w n a n i u z czasem przejścia cząstki przez jądro. Fluktuacje energii mogą s p o w o d o w a ć , że następnie nukleon lub grupa nukleonów opuszcza jądro. W związku z długim czasem życia szerokość powstających poziomów rezonansowych jest b a r d z o mała, rzędu eV. Jądru złożonemu nie m o ż n a przypisać określonej funkcji falowej, można j e d n a k zastosować w tym p r z y p a d k u tzw. statystyczny model reakcji. Dwa modele reakcji: oddziaływania bezpośredniego i przez j ą d r o złożone, stanowią przypadki graniczne. Między nimi występuje szereg stanów pośrednich. 2 2

4.2. Bilans energetyczny reakcji jądrowych W reakcjach jądrowych zmieniają się masy i energie jąder i cząstek biorących w nich udział. Badanie bilansu energetycznego reakcji jądrowej jest bardzo ważne, dostarcza bowiem istotnych wiadomości o jądrze. Nawiązując d o określenia energii kinetycznej (1.2.2-4), możemy napisać wyra­ żenia na dwa rodzaje energii, energię całkowitą £ = mc i energię masową 2

c a l k

2

E°

miS

= mc 0

(4.2-1)

Ta ostatnia, niezależna od energii kinetycznej, jest potencjalną energią masową i może być zamieniona w każdą inną formę energii. Jest o n a ściśle związana

z jądrową energią wiązania. ^całk =

E

£

kin +

(4-2-2)

mas

W e ź m y najogólniejszy zapis reakcji (4-1): x + A -* B + y oraz załóżmy, że jądro-tarcza A pozostaje w spoczynku. U k ł a d taki nazywa się u k ł a d e m laboratoryj­ nym. Możemy napisać następujące równanie bilansu, korzystając z p r a w a zachowania energii i oznaczając energie kinetyczne przez £ , a energie m a s o w e E^ zapisując zgodnie z równ. (4.2-1): 2

2

E + mc x

2

+ mc

x

= E + mc

A

B

B

2

+ E + mc y

y

Jeżeli wyodrębnimy różnicę energii kinetycznych p r o d u k t ó w bombardującej E + E — E , to otrzymamy B

y

(4.2-3) reakcji i cząstki

x

£

2

+ E-

B

£ = (m + m -m -m )c

y

x

x

A

B

(4.2-4)

y

Różnicę tę nazywa się często wartością Q, przedstawia o n a efekt energetyczny reakcji: 2

Q = (m + m ~m -m )c x

A

B

(4.2-5)

y

W zależności od z n a k u Q reakcja jest e n d o - lub egzoenergetyczna. Przy Q d o d a t n i m , tzn. energii kinetycznej p r o d u k t ó w większej niż substratów, reakcję nazywamy egzoenergetyczna; oczywiście dzieje się t o kosztem defektu masy. Przy Q ujemnym reakcja jest endoenergetyczna. Często wygodnie jest wyeliminować w a r t o ś ć £ , czyli energię o d r z u t u jądra, małą i trudną d o zmierzenia. M o ż n a to łatwo zrobić, posługując się schematem na rys. 4 . 1 , ilustrującym w u p r o s z c z o n y s p o s ó b kierunki rozproszenia cząstek-reagentów. B

r

y

Rys. 4.1. Kierunek padania i rozpraszania cząstek

Z p r a w a zachowania p ę d u (4-7a) m a m y : m v = m v cos ę x

x

B

mv

B

y

= m v sin cp

y

B

B

(4.2-6)

R ó w n a n i a p o d n o s i m y d o k w a d r a t u i dodajemy stronami: 2

2

mv

+m v

x

y

2

2

= m t> (cos

Z n + n H —• Z n + 2n -+ Cu + H + n 6 2

6 2

(4.3-14)

]

P r a w d o p o d o b i e ń s t w o tworzenia każdego z p r o d u k t ó w określa cząstkowy przekrój czynny. Całkowity przekrój czynny jest sumą wszystkich cząstkowych przekrojów czynnych i określa p r a w d o p o d o b i e ń s t w o wywołania przez pocisk reakcji jądrowej niezależnie od utworzonych p r o d u k t ó w . Tak więc spadek natężenia strumienia cząstek / —/ jest proporcjonalny d o całkowitego przekroju czynnego r/ , natomiast ilość wytworzonych p r o d u k t ó w jest proporcjonalna d o a,, czyli cząstkowego przekroju czynnego n a utworzenie p r o d u k t u /. Cząstkowe przekroje czynne mają często różne nazwy, j a k przekrój czynny na rozpraszanie, aktywację, rozszczepienie, absorpcję lub wychwyt itp. W niektórych wypadkach przekrój czynny na rozpraszanie lub absorpcję może być zbliżony d o geometrycznego przekroju czynnego. Wtedy mierzenie wartości przekrojów czynnych na rozpraszanie może być miarą wartości promieni jąder. 0

ratK

Relacje między geometrycznym przekrojem czynnym a rzeczywistymi prze­ krojami czynnymi mogą być b a r d z o różne. N a przykład geometryczne przekroje czynne dla jąder U, Np, A m mają wartość ok. 2,4 b a r n a . Są więc zbliżone do wartości a na rozszczepienie n e u t r o n a m i termicznymi dla N p i ' A m (3 b) i wychwyt radiacyjny n e u t r o n ó w termicznych dla U (2,7 b). Ale w wyżej podanym przykładzie złota A u geometryczny przekrój czynny wynosi barny, natomiast przekrój na wychwyt radiacyjny — 94 barny. Często celowe jest posługiwanie się pojęciem różniczkowego przekroju czynnego w odniesieniu d o rozkładu kątowego albo rozkładu energetycznego produktów reakcji. W pierwszym przypadku różniczkowy przekrój czynny określa prawdopodobień­ stwo, że w wyniku oddziaływania cząstka będzie emitowana (rozpraszana) w elemen­ cie kąta bryłowego da), w kierunku określonym przez współrzędne biegunowe ii i 2 3 8

2 3 9

l 4 1

2 3 9

2 4

2 3 8

1 9 S

;

d