Chapitre V - Formulation Isoparamétrique de La M.E.F. [PDF]

Zitiervorschau

ECOLE NATIONALE POLYTECHNIQUE DEPARTEMENT:GENIE CIVIL CHAPITRE:V FORMULATION ISOPARAMETRIQUE DE LA (M.E.F.) M. DEMIDEM [email protected]

5.1 Généralités: Comme il a été vu précédemment, l’un des éléments le plus simple à développer était le rectangle à quatre nœuds. Pour un élément légèrement plus compliqué du point de vu géométrie (cas du quadrilatère), la détermination des fonctions d’interpolation devient très laborieuse et l’évaluation de [K] et [M] devient très compliquée si l’on persiste à travailler avec les coordonnées cartésiennes (x,y,z). En vu de surmonter toutes ces difficultés de calcul, une correspondance entre l’espace physique réel et celui de l’espace de

référence moyennant une transformation 𝜏 𝑒 , dont le déterminant du Jacobien est ≠0, doit être requis. l’espace physique réel

l’espace de référence

Y +1 (4)

(3)

X

(4)

(3)

-1

+1

(2) (1)

(1)

-1

(2)

Les coordonnées normalisées ( , ) varient entre [-1 , +1] et les fonctions d’interpolation sont des produits de monômes en ( , ) que l’on peut déterminer d’une manière très simples. La transformation 𝜏 𝑒 dépend de la forme et la position de l’élément réel; donc des coordonnées des nœuds géométriques qui le définissent. Pour chaque élément 𝑇3 il existe une transformation 𝜏 𝑒 𝜏𝑒: 𝑥 𝑒 =𝑥 𝑒 ( , 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 , 𝑥𝑘 ) 𝜏𝑒:

𝑦 𝑒 =𝑦 𝑒 ( , 𝑦𝑖 , 𝑦𝑗 , 𝑦𝑘 )

y

2 3

3:(0,1)

1

4 5 1:(0,0)

2 :(1,0)

Espace de référence

𝜏 𝑒=1 : 𝜏 𝑒=2 : 𝜏 𝑒=3 :

x

Espace physique réel

𝑥 𝑒 =𝑥 𝑒 ( , 𝑥1 , 𝑥3 , 𝑥2 ) 𝑥 𝑒 =𝑥 𝑒 ( , 𝑥1 , 𝑥5 , 𝑥3 ) 𝑥 𝑒 =𝑥 𝑒 ( , 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 )

5.2 Propriétés de la transformation 𝝉𝒆 :

1) τe est bijective: à tout point de l’espace physique réel correspond un point et un seul de l’espace normalisé: det(J)≠0. 2) Chaque point nodal ou portion de frontière de l’élément normalisé, correspond à un point nodal ou portion de frontière de l’élément réel.

5.3 Avantages des coordonnées de référence:

1) Grande simplification des calculs. 2) Grande diversité géométrique. 3) Précision des calculs dépend de (G.P.).

Exemple d’illustration: Vérifier les propriétés de la transformation τe de l’élément triangulaire suivant: Soient: ℎ1 =1- - , ℎ2 =+ , ℎ3 =+ 3

y

1

3:(0,1)

2

1:(0,0)

x

2 :(1,0)

Espace de référence

Espace physique réel

La transformation géométrique s’écrit: x( , )=σ31 ℎ𝑖 𝑥ො𝑖 et y( , )=σ31 ℎ𝑖 𝑦ො𝑖 x( , )= (1− − )

𝑥ො1 𝑥ො2 𝑥ො3

• τe est bijective: on doit vérifier det(J)≠0 (plus tard). • Transformation des points nodaux. Nœud (1): x( =0 , =0)= 1 0 0

𝑥ො1 𝑥ො2 =𝑥ො1 𝑥ො3

Nœud (2): x( =1 , =0)= 0 1 0

Nœud (3): x( =0 , =1)= 0 0 1 • Transformation de portions de frontières.

𝑥ො1 𝑥ො2 =𝑥ො2 𝑥ො3 𝑥ො1 𝑥ො2 =𝑥ො3 𝑥ො3

Frontière [1 , 0] et [0 , 1] ; c’est à dire : frontière (𝑥ො2 , 𝑥ො3 ) L′équation de la droite inclinée s′écrit comme suit: (1− − )=0 , ⇒ =(1− ) 𝑥ො1 X= 0 (1 − ) 𝑥ො2 = 𝑥ො2 +(1− ) 𝑥ො3 𝑥ො3

Frontière [0 , 0] et [1 , 0] ; c’est à dire la frontière (𝑥ො1 , 𝑥ො2 )

avec : =0 X= (1 − )

0

𝑥ො1 𝑥ො2 = (1− ) 𝑥ො1 + 𝑥ො2 𝑥ො3

Frontière [0 , 0] et [0 , 1] ; c’est à dire : frontière (𝑥ො1 , 𝑥ො3 ) avec : =0 X= (1 − 𝜂)

0

𝜂

𝑥ො1 𝑥ො2 = (1 − 𝜂)𝑥ො1 +𝜂𝑥ො3 𝑥ො3

Afin de pouvoir profiter des avantages associés aux coordonnées naturelles normalisées, il faut établir une correspondance entre les coordonnées (x,y,z) et ( , ,𝜁) en vue d’opérer : • une approximation géométrique ( ):AG • une approximation nodale ( ):AN x( , ,𝜁)=σ ℎത 𝑖 𝑥ො𝑖 , y( , ,𝜁)=σ ℎത 𝑖 𝑦ො𝑖 , z( , ,𝜁)=σ ℎത 𝑖 𝑧𝑖Ƹ u( , ,𝜁)=σ ℎ𝑖 𝑢ො 𝑖 , v( , ,𝜁)=σ ℎ𝑖 𝑣ො𝑖 , w( , ,𝜁)=σ ℎ𝑖 𝑤 ෝ𝑖

5.4 Types d’éléments finis en coordonnées normalisées: En réalité, il existe quatre types d’éléments finis qui sont formulés en coordonnées de référence. a) Elément fini isoparamétrique: Dans ce cas de figure, les fonctions d’interpolation ℎ𝑖 sont identiques aux fonctions ℎത 𝑖 (AG=AN).

b) Elément fini super-paramétrique: (AG> 𝐴𝑁)

c) Elément fini sub-paramétrique: (AG AG : ℎത

AN : ℎ

La base polynômiale est complète: < 1 𝜉 𝜂 𝜉 2 𝜉𝜂 𝜂2 𝜉 2 𝜂 𝜂2 𝜉 𝜉 2 𝜂2 >

AG : ℎത

AN : ℎ

La base polynômiale ale est complète: < 1 𝜉 𝜂 𝜉 2 𝜉𝜂 𝜂2 >

3:(0,1)

(3) (5)

(6) 1:(0,0)

2 :(1,0)

Elément

3

: ℎത

(1)

(4)

(2)

Elément

6

:ℎ

NB: La majorité des éléments de type Lagrange sont C 0 .

5.9.3 Eléments finis de type Hermite de classe 𝐂 𝟏 : Les éléments de type Hermite sont obtenus en augmentant le nombre de (ddl) qui sont les dérivées de la variable recherchée:(cas des poutres et des plaques). (1)

ො1 1 𝒅𝟐 𝒅𝒙𝟐

𝒅𝟐 𝒗 𝑬𝑰. 𝟐 𝒅𝒙

q

E,I,L

(2)

ො2 2

𝟎 𝟎 𝒅𝟒 𝒗 = , si EI = cte → 𝑬𝑰. 𝟒 = 𝒅𝒙 𝒒 𝒒

La solution est: v(x) = a𝑥 3 + b𝑥 2 + cx + d

Introduisons les C.A.L. (x=0 , x=L): 𝑣ො1 =d 𝜃መ1 =c

𝑣ො2 =a𝐿3 + b𝐿2 +cL+d=a𝐿3 +b𝐿2 +𝜃መ1 L+𝑣ො1 𝜃መ2 =3a𝐿2 +2bL+c=3a𝐿2 +2bL+𝜃መ1

Les deux dernières équations fournissent:

a= b=

෡1 2𝑣ො1 𝜃 ෡2 𝜃 + 2+ 3 + 2 𝐿 𝐿 𝐿 ෡1 3𝑣ො2 𝜃 ෡2 −3𝑣ො1 2𝜃 + 2 2 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿

−2𝑣ො2 𝐿3

c=𝜃መ1 : (x) d=𝑣ො1

: (𝑥 3 ) : (𝑥 2 )

2𝑥 3 v(x)=( 3 𝐿

-

3𝑥 2 𝐿2

−2𝑥 3 ( 3 𝐿

+ 1)𝑣ො1 +

𝑥3 ( 2 𝐿

-

2𝑥 2 𝐿

+ x)𝜃መ1 +

3𝑥 2 𝑥3 𝑥2 + 2 )𝑣ො2 + ( 2 - )𝜃መ2 𝐿 𝐿 𝐿 v(x)=σ41 𝑁𝑖 ∆𝑖

[K]=‫[ 𝑇]𝐵[׮‬D][B]dv ,

𝑑𝑣 u=-z 𝑑𝑥

[B]=[L][N]=-z 𝑁1′′ 𝑁2′′ 𝑁3′′ 𝑁4′′ 𝐿 𝑏 +0.5ℎ 2 [K]=‫׬‬0 ‫׬‬0 𝑑𝑦 ‫׬‬−0.5ℎ 𝑧

,

𝑑2𝑣 𝜀𝑥𝑥 =-z 2 𝑑𝑥

,

𝑑2 L=-z 2 𝑑𝑥

, 𝜎𝑥𝑥 =E𝜀𝑥𝑥 , D=E

𝑁1′′ 𝑁2′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ 𝐸 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4 dxdz 𝑁3 𝑁4′′

𝑁1′′ 𝐿

[K]= EI‫׬‬0

[K]=

12 𝐸𝐼 𝐿3 6 𝐸𝐼 𝐿2 12 𝐸𝐼 − 3 𝐿 6 𝐸𝐼 𝐿2

2

𝑁1′′ 𝑁2′′ 𝑁1′′ 𝑁3′′ 𝑁2′′ 2 𝑁2′′ 𝑁3′′ 𝑁3′′ 2

6 𝐸𝐼 𝐿2 4 𝐸𝐼 𝐿 6 𝐸𝐼 − 2 𝐿 2 𝐸𝐼 𝐿

12 𝐸𝐼 − 3 𝐿 6 𝐸𝐼 − 2 𝐿 12 𝐸𝐼 𝐿3 6 𝐸𝐼 − 2 𝐿

𝑁1′′ 𝑁4′′ 𝑁2′′ 𝑁4′′ ′′ ′′ dx 𝑁3 𝑁4 𝑁4′′ 2

6 𝐸𝐼 𝐿2 2 𝐸𝐼 𝐿 6 𝐸𝐼 − 2 𝐿 4 𝐸𝐼 𝐿

,

𝑣ො1 𝜃መ1 𝑣ො2 𝜃መ2

En dynamique des structures on calcule les matrices [K] et [M] comme suit: 𝐿 [K]=‫׬‬0 𝐸𝐼 𝜓𝑖′′ (x) 𝜓𝑗′′ (x)dx 𝐿 [M]=‫׬‬0 𝑚𝜓 ഥ 𝑖 (x)𝜓𝑗 (x)dx

i=1 , i=2 , i=3 , i=4 ,

j=1 , 2 …… j=1 , 2 …… j=1 , 2 …… j=1 , 2 ……

les 𝜓𝑖 , 𝜓𝑗 : sont les fonctions d’interpolation.