Chapitre IV-2 Identification Des Systemes [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre IV Identification des systèmes

Chapitre IV-2 Méthodes non Paramétriques

Temporelles

Fréquentielles

Méthodes non Paramétriques Temporelles

Méthodes Off Line

Réponse d’un système du premier ordre à un échelon

K G(s) = 1+ s

Réponse d’un système du premier ordre à une impulsion

K G(s) = 1+ s

Réponse d’un système du premier ordre à un echelon avec Retard

G(s) =

Ke−s 1+ Ts

Réponse d’un système du second ordre à un échelon

K

G(s) = 1+

2

0

s+ −

D1% = 100e  t1 =  1−  2 0

s2

02

 1− 2

Réponse d’un système du second ordre à un échelon G(s) =

K (1+ s )2

Avec y(ti)=yi

 t + −t  y(t) = K  1− e    

Réponse d’un système du second ordre non resonnant Ou Premier ordre retardé

Méthode de BROIDA La méthode de Broïda consiste à "faire coller" un modèle de la forme sur la réponse du système.

Les valeurs de T et τ de sont calculées à partir des relations suivantes :

Calcul empirique

Méthode de BROIDA Correction du modèle de Broïda pour le choix des correcteurs en BF (Méthodes Empiriques En fonction du rapport a= /T, Broïda a établi le tableau suivant :

a = /T

Type de correcteur

a 20

TOR

Méthode de BROIDA pour le choix des correcteurs en BF (Méthodes Empiriques)

Kp

P

PI

PID

i

d

125KT

 125KT

 120KT  + 0.4T



 + 0.4T

T 2.5 + T

Méthode de BROIDA en BF • Déterminer K en boucle ouverte en calculant la pente à l’infini. • Procéder à une augmentation du gain de commande en BF jusqu’à pompage. • Relever le gain critique Kr et la pulsation d’oscillation r. • Utiliser les formules pour la détermination de la constante de temps et le retard.

− s

ke 1 + Ts T=

1

r

 KK r    −1  r  2

 =  1− 2 Arctg (Tr ) 2r   

Méthode de Strejc

Colonne Pour le calcul de Tu’

τ n

Tu’

T=Tu-Tu’

Méthode de Strejc

Méthode de Strejc : Réponse indicielle. 1.Mesurer Tu /Ta . 2.Dans la colonne Tu /Ta du tableau trouver la valeur immédiatement inférieure à ce ratio. 3.Sur la ligne de ce ratio déterminer n. 4.Toujours à l’aide des valeurs numériques de cette ligne, calculer 𝜏 avec Ta/ 𝜏. 1.Calculer la nouvelle valeur de Tu’ (du tableau)avec Tu/ 𝜏 . 2.En déduire T avec T = Tu –Tu’.

Méthode de Strejc avec Intégrateur

Réponse à un Echelon Δu

Méthode de Strejc avec Intégrateur T (s)=

Ke−s

la réponse à un échelon d’amplitude Eo

s (1+ Ts )n

K = a/Eo n

1

2

3

4

5

AB/AC

0.37

0.27

0.255

0.195

0.175 C

a

T = Tu/n B 

Tu

A

 : retard pur. a : pente de la tangente

Méthode en boucle fermée (Strejc) • Déterminer K en boucle ouverte en calculant la pente à l’infini. • Procéder à une augmentation du gain de commande en BF jusqu’à pompage. • Relever le gain critique Kr et la pulsation d’oscillation r. • Utiliser le tableau pour déterminer l’ordre n • Utiliser les formules pour la détermination de la constante de temps et le retard. ENSA-Kenitra

Correction des SLC - LAJOUAD Rachid

n

2

3

4

5

6

K.Kr/r

2

1.54

1.37

1.28

1.23

T=

1

r

 KK r   r

2 n

  −1 

 2n   = 1− Arctg ( T  )   r 2r   

20

Méthode de Strejc choix des correcteurs en BF (Méthodes Empiriques)

=

Généralisation Méthodes non Paramétriques Temporelles

Réponse impulsionnelle δ(t)

h(t)

Système

Excitation

Réponses du système

Réponse impulsionnelle h(ti) h(ti) avec i de 1 à m nous avons m mesures

ti

avec i de 1 à m

Objectif Calcul de Sortie y(t) Ɐ x(t) Avec le Produit de convolution y(t)=

𝒚(𝒌) = σ 𝑥 𝑡𝑖 𝑦 𝑘 − 𝑡𝑖 .Δt=1 à n i=1 à m

Réponse impulsionnelle h(ti) Nous avons les vecteurs des informations suivantes ti et h(ti) et x(ti) et dt avec i t1

t2

t3

Vecteur des entréess

x(1)

x(2)

x(3)

…

Vecteur des sorties

h(1)

h(2)

h(3)

…

Vecteur des temps

…

de 1 à n

tn x(n) h(n)

Généralisation Méthodes Conclusion

Méthodes non Paramétriques Fréquentielles

Methodologies Systeme Lineaire A

Tous les systemes

ω

Seulement lineaire

Dephasage nulle

Tous les systemes

u(t)= A Sin(ωt)

Système

B

Changement d’amplitude

ω Φ

Creation de Dephasage

y(t)=B Sin(ωt+Φ)

SL Pour Chaque Excitation Plusieurs Sinusoides

ωi et Ai

ωi

Bi et Φi Réponses du système

Methodologies Systeme Lineaire

K G(s) = 1+ s

Réponse d’un système du premier Ordre

20 log K

ω0

K G(s) = 1+ s

Réponse d’un système du premier Ordre

ω0

ω0

K

G(s) =

1+

2

0

s+

s

2

02

Réponse d’un système du second ordre

G(s) =

K

2 s 2  1+ s+ 2

0

0

Réponse d’un système du second ordre

Méthodes Paramétriques Non paramétriques Réponses fréquentielles ou temporelles

Modèles dynamiques

Paramétriques Fonction de transfert

Modèles paramétriques Continus

Echantillonnés

On s’intéresse par la suite à l’identification des modèles paramétriques échantillonnés

Méthodes Paramétriques Entrées Système réel

Modèle

Sorties réelles

Sorties calculées

ym Ajustement du modèle

yr +

Erreur de

-

modélisation Critère d'évaluation

J

Méthodes Paramétriques Modélisation d'un système sans entrée

Système

Modèle

S

yr

Sorties modélisées

ym

+

Erreur de

-

modélisation

Critère

Méthodes Paramétriques Modélisation d'un système avec entrée

Entrée externe

Système

Sorties

yr Erreur de

+

Modèle

Sorties modélisées

ym

-

Critère

modélisation

Méthodes Paramétriques Choix du Critère ∞ IE=J(Θ)=Min‫ 𝒓𝒚( 𝟎׬‬−𝒚𝒎 )𝒅𝒕

∞ IAE=J(Θ)= Min‫𝟎׬‬

IRMSE=J (Θ)=

ISE=

𝒚𝒓 − 𝒚𝒎 𝒅𝒕

∞ Min‫𝒓𝒚( 𝟎׬‬

∞ J(Θ)=Min‫𝒓𝒚( 𝟎׬‬

Integral Error Integral Absolute Error

− 𝒚𝒎 )𝟏/𝟐 Integral Root Mean Square Error

− 𝒚𝒎 )𝟐

Θ Parametres à determiner

Integral Square Error

Θ Paramètres à déterminer Θ𝑻 = (Θ𝟏 Θ𝟐 Θ𝟑 … Θ𝒏 )

Par minimisation du critère

𝝏𝑱 𝝏𝜽

= grad J = 0

avec

Matrice Définie Positive

La résolution de cette équation donne Θ𝒐𝒑 Résolution de n Equations J(Θ) est une fonction vectorielle Le Pb:On a pas l’expression analytique de J

Exemple de Θ J(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 )

J(𝒂𝟏 ) 120

10000 100

8000 80

J

6000

60

4000

J

2000

min

40

0 20

min

0

0

0

2

4

6

8

10

a1

1 G(s) = 1+  s Cas 1 𝒂𝟏 = τ

12

14

16

a2

5 10 15

0

5

15

10

a1

G(s) =

1

2 s 2  1+ s+ 2

0

Cas 2 𝒂𝟏 = 𝝃 𝒂𝟐 = 𝝎𝟎

0

Méthodes de résolution Analyse numérique

Θ𝒊+𝟏 = Θ𝒊 + Δ Θ Méthode du gradient, Méthode du gradient conjugué Méthode Newton Méthode quasi- Newton Méthode gradient projeté Méthode Lagrange –Newton Méthodes métaheuristiques (MOA, Recuit Simulé)

𝜕𝐽 α 𝜕𝜃 Méthode du gradient

Θ Paramètres à déterminer Cette résolution doit se faire numériquement en utilisant des calculateurs

Donc il faut un modèle adéquat pour l’ordinateur Un nouveau modèle de représentation

u(t)

y(t) Système réel

CAN

Te Période d’echantillannage Théorème de Shannon

CAN

Ensemble de mesures

On suppose n et m et On propose

C’est ce qu’on appelle le modèle des Equations aux Différences

Sous forme de schéma fonctionnel

Un nouveau Operateur Régulateur RST

𝑞−1 Domaine temporel

Automatique Equivalence

Stabilité Performances

𝑧 −1 Domaine Fréquentiel

Autres Modèles paramétriques Auto Regressive eXogen

Auto Regressive Mooving Average eXogen

Output Error

Identification basée sur l’erreur de prédiction Dans cette partie, nous supposerons que le modèle obtenu est un prédicteur, c’est à dire qu’il permet de calculer la sortie à l’instant i en fonction des entrées et des sorties réelles aux instants précédents 𝑢𝑖−𝑘et 𝑦𝑖−𝑘

Principe d’identification foncée sur l’erreur de prédiction

Méthode des moindres carrés simples .

𝑒𝑖 sont les résidus de l’estimation

Si nous possédons N mesures consécutives, on peut écrire N-n fois l’équation n est l’ordre supposé connu du polynôme A P=m l’ordre du polynôme B

Sous forme matricielle, on obtient

:

soit le critère J est : donc Nous cherchons la valeur 𝜃 de 𝜃 qui minimise J. Ainsi

Il reste à vérifier que la valeur obtenue est bien un minimum

matrice définie positive : c’est bien un minimum!

Méthode de Jacobi ; Méthode de Gauss-Seidel ; Méthode de Newton - Raphson

Identification (estimation) paramétrique récursive Algorithme d’adaptation paramétrique (AAP) Vecteur des paramètres = contient l’ensemble des paramètres à identifier Nouvelle estimation Estimation précédente  des paramètres   des paramètres   = + (vecteur) (vecteur)     Fonction   Fonction    Gain  d'adaptation  des mesures  de l'erreur de prédiction        (matrice)   (vecteur)    (scalaire)

Vecteur des observations

Sous la forme

Θ𝒊+𝟏 = Θ𝒊 + Δ Θ

Méthode des MCR Moindres carrées Récursives

Dans le cas des modeles ARMAX Méthode des MCE Moindres Carrées Etendues BB

Identification ToolBox de Matlab Ljung

Fin de Chapitre VI