Chapitre 4 - Méthode Des Trois Moments [PDF]

Zitiervorschau

Ecole Euromed de Génie Civil – Université Euromed de Fès – S2 – Cycle Ingénieur – 2019/2020

Chapitre 4 : Méthode des trois moments

La méthode des trois moments appartient aux méthodes de résolution des systèmes hyperstatiques qui se basent sur le principe de superpositions et le principe des travaux virtuels. C’est la méthode la plus utilisée pour la résolution des poutres continues. Il s’agit d’une variété de la méthode des forces étudiée au chapitre 2. Pour rappel, une poutre continue est une poutre hypostatique ayant plusieurs appuis. En génie civil, par le biais des poutres continues, il est commun de modéliser les systèmes suivants : 

Poutres de bâtiments à plusieurs appuis ;



Tabliers de ponts.

1. Schématisation et paramétrage des poutres continues La figure 1 présente une poutre continue avec divers types de chargement.

A0

A1

Aj-1

Aj

An-1

An

Notes : 1) ℎ = 𝑛 − 1 2) n = nombre de travées 3) Surabondantes choisies : 𝑀1 , 𝑀2 , … , 𝑀𝑛−1

Fig. 1 – Poutre continue

Comme cela est décrit à la légende de la figure 1, les réactions surabondantes ne sont pas considérées pour la réalisation des coupures fictives, mais ce sont les moments internes, au droit des appuis, qui sont pris en comptes. Ces moments sont notés 𝑀1 , 𝑀2 , … , 𝑀𝑛−1 .

Préparé par Mostapha EL JAI

1

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2. Coefficient de souplesse d’une travée Considérons une travée quelconque comme celle présentée à la figure 2. 𝑇𝑟𝑎𝑣é𝑒 𝑗 ∶ 𝐸𝐼𝑗

𝑀𝑗−1

𝑀𝑗 𝐿𝑗 𝐴𝑗−1

𝐴𝑗 Fig. 2 – Travée j

Par le principe de superposition, les moments 𝑀𝑗−1 et 𝑀𝑗 seront appliqués séparément à la travée j. nous obtiendrons alors deux configurations superposables (fig. 3-a et 3-b) :

𝑀𝑗−1

𝜃𝑗′′2

𝜃𝑗′ 2

𝜃𝑗′′1

𝜃𝑗′ 1

𝑀𝑗

𝑥

𝑥 𝐴𝑗−1

𝐴𝑗−1

𝐴𝑗 𝑀(𝑥) = 𝑀𝑗−1 (1 −

𝑥 ) 𝐿𝑗

𝐴𝑗 𝑥 𝑀(𝑥) = 𝑀𝑗 ( ) 𝐿𝑗

1

1

𝑥

𝑥 തതതതതതത 𝑀(𝑥) = (1 −

𝑥 തതതതതതത 𝑀(𝑥) = ( ) 𝐿𝑗

𝑥 ) 𝐿𝑗

1

1

𝑥

𝑥

തതതതതതത = ( 𝑥 ) 𝑀(𝑥) 𝐿𝑗

തതതതതതത = (1 − 𝑥 ) 𝑀(𝑥) 𝐿𝑗

a)

b)

Fig. 3 – Application du principe des travaux virtuels Préparé par Mostapha EL JAI

2

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La rotation 𝜃𝑗′ 1 due à 𝑀𝑗−1 (figure 2-a) est donnée par l’équation du travail virtuel (éq. 1) : 𝐿𝑗

̅ 𝜃𝑗′ 1 = ∫ 𝑀 0

𝐿𝑗 𝑀 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀𝑗−1 (1 − ) (1 − ) 𝐸𝐼𝑗 𝐿𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0 2

𝐿𝑗 𝜃𝑗′ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑗 = ∫ (1 − ) 𝑀𝑗−1 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0

(1)

La rotation 𝜃𝑗′′1 due à 𝑀𝑗−1 (figure 2-a) est donnée par : 𝐿𝑗

̅ 𝜃𝑗′′1 = ∫ 𝑀 0

𝐿𝑗 𝑀 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀𝑗−1 ( ) (1 − ) 𝐸𝐼𝑗 𝐿𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0

𝐿𝑗 𝜃𝑗′′1 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏𝑗 = ∫ ( ) (1 − ) 𝑀𝑗−1 𝐿𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0

(2)

La rotation 𝜃𝑗′′2 due à 𝑀𝑗 (figure 2-b) est donnée par : 𝐿𝑗

̅ 𝜃𝑗′′2 = ∫ 𝑀 0

𝐿𝑗 𝑀 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀𝑗−1 ( ) ( ) 𝐸𝐼𝑗 𝐿𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0 2

𝐿𝑗 𝜃𝑗′′2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑗 = ∫ ( ) (3) 𝑀𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0

La rotation 𝜃𝑗′ 2 due à 𝑀𝑗 (figure 2-b) est donnée par : 𝜃𝑗′ 2

𝐿𝑗

̅ =∫ 𝑀 0

𝐿𝑗 𝑀 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀𝑗 (1 − ) ( ) 𝐸𝐼𝑗 𝐿𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0

𝐿𝑗 𝜃𝑗′ 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏𝑗 = ∫ ( ) (1 − ) 𝑀𝑗 𝐿𝑗 𝐿𝑗 𝐸𝐼𝑗 0

Les rapports

(4) ⇔ (2)

𝜃𝑗′ 1 𝜃 ′′ 𝜃 ′′ 𝜃′ ⁄𝑀 , 𝑗 1⁄𝑀 , 𝑗 2⁄𝑀 , 𝑗 2⁄𝑀 mesurent la susceptibilité de la travée j aux 𝑗−1 𝑗−1 𝑗 𝑗

rotations en ses appuis et sont appelés coefficients de souplesse de la travée (rad/kN.mm). Les trois coefficients de souplesse sont des grandeurs caractéristiques de la travée 𝐴𝑗−1 𝐴𝑗 car leur définition ne fait intervenir que la géométrie et la rigidité flexionnelle de la poutre (𝐸𝐼𝑗 ). Si cette rigidité est constante sur toute la travée, on obtient : 𝑎𝑗 = 𝑐𝑗 =

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𝐿𝑗 3𝐸𝐼𝑗

(5)

3

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𝑏𝑗 =

𝐿𝑗 6𝐸𝐼𝑗

(6)

3. Equation des trois moments

Comme indiqué à la figure 1, on choisit comme effort surabondants les moments fléchissants 𝑀1 , 𝑀2 , … , 𝑀𝑛−1 aux appuis intérieurs de la poutre. Ce choix permet d’annuler un grand nombre de terme de la matrice de flexibilité (matrice construite dans la méthode des forces). Il s’agit de termes qui ne sont pas sur la diagonale de la matrice, sinon la matrice serait singulière et non inversible, et le système aura par la suite plusieurs solutions comme un mécanisme. Il s’agit donc des termes 𝛿𝑖𝑗 où 𝑖 ≠ 𝑗. Le système isostatique de base est donc constitué d’une série de poutres simples, comme le montre la figure 4.

Articulation Articulation

𝜃𝑗′′1

𝜃𝑗′ 1

²

𝐴𝑗−1

𝐿𝑗

′ 𝜃𝑗+1

𝐴𝑗

′′ 𝜃𝑗+1

𝐿𝑗+1

𝐴𝑗+1

Fig. 4 – Système isostatique de base (S0)

Les principaux paramètres des équations sont définis sur la figure 4. De plus, il fait ajouter les définitions suivantes : 

𝑀0,𝑗 : moment fléchissant dans la travée j (𝐴𝑗−1 , 𝐴𝑗 ), dans le systèmes isostatique de base, sous l’action des charges. Ce moment fléchissant est fonction de l’abscisse x, compté pour chaque travée à partir de l’appui gauche de la travée ;



𝑀0,𝑗+1 : quantité analogue pour la travée j+1 (𝐴𝑗 , 𝐴𝑗+1 ) ;



𝜃𝑗′ : rotation à l’appui gauche de la travée j, dans le système isostatique de base, soumis à l’action des charges ;



𝜃𝑗′′ : rotation à l’appui droit de la travée j, dans le système isostatique de base, soumis à l’action des charges.

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On utilise l’équation du travail virtuel pour calculer les rotations aux appuis du système isostatique de base : ̅ (𝑥) 𝛿𝑗 = ∫ 𝑀

𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 (7) 𝐸𝐼𝑗

Pour rappel, 𝛿𝑗 est une déformation quelconque que l’on désire calculer (déplacement ou ̅ est le moment fléchissant virtuel rotation) ; M est le moment fléchissant réel du aux charges ; 𝑀 due aux efforts unitaires appliqué dans la direction de la déformation cherchée. Si la déformation cherchée est une rotation, alors l’effort unitaire est un moment unitaire. Calculons maintenant les coefficients de souplesse de chaque travée j. 𝐿𝑗

𝑥 𝑀0,𝑗 (𝑥)

𝜃𝑗′ = ∫ (1 − ) 𝐿𝑗

𝑥 𝑀0,𝑗 (𝑥)

𝜃𝑗′′ = ∫ ( ) 𝐿𝑗+1

𝐿𝑗

𝐿𝑗+1

0

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑥 𝑀0,𝑗+1 (𝑥)

(1 − )

0

′′ 𝜃𝑗+1 =∫

𝐸𝐼𝑗

𝐿𝑗

0

′ 𝜃𝑗+1 = −∫

𝐸𝐼𝑗

𝐿𝑗

0

𝐸𝐼𝑗+1

𝑥 𝑀0,𝑗+1 (𝑥)

( ) 𝐿𝑗

𝐸𝐼𝑗+1

(8)

(9)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

(10)

(11)

Comme le présente la figure 5, la compatibilité des déformations impose qu’à l’appui 𝐴𝑗 dans le système hyperstatique, la rotation de la travée gauche (𝜃𝑗𝑔 ) soit égale à celle de la travée droite (𝜃𝑗𝑑 ), puisque la matière reste continue (∆𝜃 = 0).

∆𝜃 = 0 𝜃𝑗𝑑 = 0 𝜃𝑗𝑔 = 0

Fig. 5 – Compatibilité géométrique ∆𝜃 = 0 ⇔ 𝜃𝑗𝑔 = 𝜃𝑑𝑔 (12)

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Le principe de superposition des effets élastiques, appliqué aux rotations à l’appui Aj (fig. 6), permet d’écrire : ′ ′′ ′′ 𝜃𝑗𝑔 = 𝜃𝑗′′ + 𝜃𝑗1 + 𝜃𝑗2

(13)

′ ′ ′ ′ 𝜃𝑗𝑑 = 𝜃𝑗+1 + 𝜃𝑗1 + 𝜃𝑗2

(14)

Avec les coefficients de souplesse définis par les équations (1-4) et appliquées aux travées 𝐴𝑗−1 , 𝐴𝑗 et 𝐴𝑗 , 𝐴𝑗+1 , les équations (13-14) deviennent : ′ 𝜃𝑗𝑔 = 𝜃𝑗′′ + 𝑏𝑗 𝑀𝑗−1 + 𝑐𝑗 𝑀𝑗

(15)

′ ′ 𝜃𝑗𝑑 = 𝜃𝑗+1 − 𝑎𝑗+1 𝑀𝑗 − 𝑏𝑗+1 𝑀𝑗+1

(16) EIj+1

EIj

𝑀𝑗−1

𝑀𝑗

𝑀𝑗+1 𝜃𝑑𝑗

𝜃𝑗𝑔 𝐴𝑗−1

𝐴𝑗

𝐴𝑗

𝐴𝑗+1

Fig. 6 – Principe de superposition appliqué à l’appui Aj

La compatibilité géométrique, exprimée par l’équation (12) permet de tracer l’équation des trois moments, qui permet de lier entre les moments Mj-1, Mj et Mj+1. ′ 𝑏𝑗 𝑀𝑗−1 + (𝑐𝑗 + 𝑎𝑗+1 )𝑀𝑗 + 𝑏𝑗+1 𝑀𝑗+1 = 𝜃𝑗+1 − 𝜃𝑗′′

(17)

𝑏𝑗 𝑀𝑗−1 + (𝑐𝑗 + 𝑎𝑗+1 )𝑀𝑗 + 𝑏𝑗+1 𝑀𝑗+1 = 𝜃𝑑𝑗 − 𝜃𝑔𝑗

(18)

Ou bien

Avec les moments aux appuis d’extrémités considérés nuls : (19)

{

𝑀0 = 0 𝑀𝑛 = 0

En considérant toutes les travées, l’écriture matricielle est donnée comme : 𝜃2′ − 𝜃1′′ (𝑐1 + 𝑎2 ) 𝑏2 0 ⋮ 0 (𝑐2 + 𝑎3 ) 𝜃3′ − 𝜃2′′ 𝑏2 𝑏3 ⋮ 0 (𝑐3 + 𝑎4 ) ⋮ 𝜃4′ − 𝜃3′′ 0 𝑏3 0 = … … … … … … ′ ′′ 𝜃𝑛−1 − 𝜃𝑛−2 0 0 0 ⋮ 𝑏𝑛−2 ′′ ′ 0 0 0 ⋮ 0 [ 𝜃𝑛 − 𝜃𝑛−1 ] [

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0 0 𝑀1 0 0 𝑀2 𝑀3 0 0 (20) … … … 𝑀𝑛−2 (𝑐𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 ) 𝑏𝑛−1 [ (𝑐𝑛−1 + 𝑎𝑛 )] 𝑀𝑛−1 ] 𝑏𝑛−1

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Lorsque la rigidité flexionnelle (EIj) est constante la formulation matricielle (20) se simplifie beaucoup. 4. Rotations Le tableau 1 présente les expressions des rotations en fonction de quelques types de chargement. 𝜃𝑗−1

Poutre simple (statique)

Aj

Aj-1

−

𝑃𝑎𝑏(𝑏 + 𝐿) 6𝐸𝐼𝑗 𝐿

𝜃𝑗 𝑃𝑎𝑏(𝑎 + 𝐿) 6𝐸𝐼𝑗 𝐿

L Aj

Aj-1

𝑞𝐿3 − 24𝐸𝐼𝑗

𝑞𝐿3 24𝐸𝐼𝑗

L

5. Rotations

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