Chapitre 1. Axiomes de La Statique [PDF]

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Axiomes de la statique

AXIOMES DE LA STATIQUE

1. Généralités 1.1.

Définitions

Le mouvement mécanique est le déplacement dans l’espace et dans le temps d’un corps par rapport un autre. L’interaction mécanique est une interaction des corps matériels qui change ou qui a tendance à changer le caractère de leur mouvement mécanique. La mécanique rationnelle est la science qui étudie les lois générales du mouvement et de l’interaction mécanique des corps matériels. Le cours de la mécanique rationnelle comprend trois parties essentielles qui sont :  la statique ;  la cinématique ;  la dynamique. La statique est la partie de la mécanique rationnelle qui étudie les lois de la composition des forces et les conditions d’équilibre des corps soumis à l’action des forces. La cinématique est la partie de la mécanique rationnelle qui étudie les mouvements des corps mécaniques dans l’espace du point de vue géométrique, sans liaison avec les forces qui sont à l’origine de ce mouvement. La dynamique est la partie de la mécanique rationnelle qui étudie les mouvements des corps mécaniques dans l’espace en fonction (en rapport) des forces qui agissent sur eux. Un corps est en équilibre s’il se trouve en état de repos par rapport à d’autres corps matériels immobiles (équilibre absolu) ou mobiles (équilibre relatif). Un point matériel est un corps dont les dimensions peuvent être négligées dans des conditions concrètes. Un système de points matériels (ou système mécanique) est l’ensemble des points dont la position et le mouvement de chacun dépend de la position et du mouvement de l’autre. En mécanique rationnelle, on étudie, le plus souvent, les corps solides parfaits. Un corps solide parfait (ou absolu) est un corps pour lequel la distance entre deux de ses points ne varie pas. La supposition que les corps sont solides et parfaits, sans tenir compte de leur déformation, permet de simplifier considérablement le problème d’études de ces forces sur les corps et les conditions dans lesquelles ces forces peuvent s’équilibrer. Un corps solide est, soit en état de repos, soit en état de mouvement quelconque ; cet état est conventionnellement appelé état cinématique du corps. Une structure représente l’ossature porteuse d’un ouvrage (bâtiments, ponts, réservoirs, barrages, murs de soutènement, tunnels, routes, etc…) ; c’est l’ensemble des éléments de l’ouvrage qui supportent les différentes actions qui sont appliquées à l’ouvrage. Une structure

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est plane quand tous ses éléments constitutifs sont situés sur un même plan. Dans ce qui va suivre, on parlera souvent de structure à la place du corps solide.

1.2. La schématisation des corps Les corps sont constitués par les différents éléments des ouvrages et des machines ; ils sont généralement schématisés sous forme de (voir fig. 1) :  de barres ;  de plaques ;  de coques ;  de corps massifs.

Fig. 1.

Les barres sont des éléments dont une dimension, appelée dimension longitudinale est plus grande que les deux autres dimensions, appelées dimensions transversales. Les barres peuvent être rectilignes, brisées ou courbes (voir fig. 2).

Fig. 2. Différents types de barres. a) – barres rectilignes ; b) barres curvilignes ; c) – barres brisées

Les plaques sont des corps limités par deux surfaces planes dont la distance entre elles (cette distance est appelée épaisseur de la plaque) est petite par rapport aux dimensions des plans. Donc ici, il y a deux dimensions qui sont grandes par rapport à la troisième. Les plaques peuvent être rectangulaires, circulaire, triangulaire, polygonale ou de forme quelconque (voir fig. 3). Les coques sont des corps limités par deux surfaces curvilignes dont la distance entre elles (cette distance est appelée épaisseur de la coque) est petite par rapport aux dimensions des surfaces. Donc ici, il y a une dimension qui est petite par rapport aux deux autres dimensions. Il existe des coques cylindriques, coniques, sphériques, hyperboliques, etc...(voir fig.4).

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Fig. 3. Plaques de formes différentes.

Fig. 4. Coques de formes différentes.

Un corps massif (voir fig.4) est un corps dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur. Ce sont, par exemple, certaines fondations, les digues, les barrages, certains murs de soutènements, etc…. Fig. 4. Exemple d’un ouvrage massif

1.3. Les actions sur les corps 1.3.1. Forces Une force est une grandeur qui mesure quantitativement l’action mécanique réciproque des corps. On distingue les forces intérieures et les forces extérieures. Les forces intérieures sont celles qui agissent entre les points d’un même corps. Les forces extérieures sont celles issues de l’action des points matériels extérieurs au corps considéré : ces forces sont extérieures au corps considéré. Ainsi, les forces extérieures sont les forces d’interaction entre un corps considéré et les autres corps qui sont en contact avec lui. Les actions sur les corps sont constituées par les forces et autres effets (par exemple température) agissant sur le corps. Ces actions sont, souvent appelées charges sur le corps (le corps est souvent désigné sous le vocable « structure » ; dans ce cas, on parle de charge sur la structure). Ce sont ainsi les forces d’interaction entre le corps considéré et d’autres corps.

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Une force est donc une grandeur qui mesure quantitativement l’action mécanique réciproque des corps ; en plus, elle montre la direction et le sens de cette action. Ainsi, une force est une grandeur vectorielle caractérisée par (voir fig. 5) :  son module : valeur numérique ou intensité,  sa direction : sa ligne d’action (ici la droite d),  

son sens : sens du vecteur AB et, son point d’application : ici le point A ; le point d’application peut être, soit à l’origine du vecteur, soit à l’extrémité du vecteur-force, mais il est toujours précisé ou indiqué.

⃗

Fig. 5.

1.3.2. Types de forces La surface de contact entre un corps considéré et un autre constitue la surface d’application de la force ; cette force porte le nom de force de surface ou force surfacique. Ainsi, les forces surfaciques s’appliquent à la surface du corps. Ces forces peuvent être réparties de façon quelconque ; la valeur de la force à l’unité d’aire (de surface) est appelée intensité de la force. Les forces qui agissent sur une surface dont les dimensions sont très petites par rapport à celles du corps sont supposées appliquées en un point et sont appelées forces ponctuelles ou forces concentrées. Ainsi, une force ponctuelle ou concentrée est une force dont la surface d’application est petite (c’est-à-dire négligeable) par rapport aux dimensions du corps sur lequel agit cette force. Les forces qui agissent sur des surfaces de dimensions importantes sont considérées comme des forces réparties. Si le corps est une barre, ces forces sont supposées réparties le long de l’axe de la barre. S’il s’agit d’un corps dont au moins deux dimensions sont importantes (plaques, coques, corps massifs), ces forces réparties seront considérées comme des pressions agissant sur toute l’étendue de la surface de contact. Ainsi, une force répartie est une force dont la surface d’application n’est pas petite par rapport aux dimensions du corps sur lequel agit cette force. Cette force est répartie, soit sur toute la surface ou la longueur du corps selon le cas, soit sur une partie seulement de la surface ou de la longueur du corps. Les lois de variation d’une charge répartie d’un point à l’autre peuvent être les plus variées; c’est ainsi qu’on a:  des charges uniformément réparties : répartition constante ;  des charges linéairement réparties : répartition linéaire ;  des charges réparties suivant une loi quelconque : variation quelconque. Dans certains cas, on ne peut pas remplacer l’interaction de deux corps par les seules forces ponctuelles et réparties ; ici, en plus, apparaissent des actions tendant à produire la rotation du corps considéré ; ces actions sont représentées par des moments (c’est-à-dire des couples de forces) ponctuels ou répartis. Dans le tableau 1. sont données les unités de mesure des forces (ponctuelles et réparties) et des moments (ponctuels et répartis). Sur la fig. 6 sont illustrés quelques cas d’application des forces sur certains corps.

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Tableau 1. Unités de mesure des forces

Type de force

Unités de mesure

Forces concentrées Forces réparties le long d’un axe Forces réparties sur une surface (pressions) Moments ponctuels

N ; daN ; kN ; kgf ; tf ; etc… N/m ; daN/m ; kN/m ; kgf/m ; tf/m ; etc… N/m2 ; daN/m2 ; kN/m2 ; kgf/m2 ; tf/m2 ; etc… N.m ; daN.m ; kN.m ; kgf.m ; tf.m ; etc… N.m/m ; daN.m/m ; kN.m/m ; kgf.m/m ; tf.m/m ; etc…

Moments répartis

Fig. 6. Actions sur les corps

A côté des forces surfaciques, il y a les forces massiques ou volumiques. Les forces massiques ou volumiques se rapportent à la masse du corps ; ce sont, par exemple, le poids propre du corps et la force d’inertie du corps en mouvement. Les charges peuvent être aussi statiques ou dynamiques. Les forces statiques s’appliquent lentement sur le corps, alors que les forces dynamiques sont caractérisées par un très court temps d’application, c’est-à-dire qu’elles s’appliquent avec de très grande vitesse d’application, donc de façon instantanée. 1.3.3. Définitions de quelques concepts Un système de forces de forces est un ensemble de forces agissant sur un corps. Des forces équivalentes sont des forces dont l’action de chacune d’elles sur le corps provoque le même état cinématique dudit corps (état de mouvement ou de repos).

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La force résultante est la force équivalente à un système de forces. La force d’équilibrage est la force de même module et de même direction que la résultante, mais de sens opposé. Quand un corps solide est au repos sous l’action d’un certain système de forces, ce système est dit équilibré et le corps est dit en équilibre.

1.4. Les liaisons Les liaisons sont tout ce qui peut empêcher le mouvement libre d’un corps. Avec les liaisons, le mouvement libre du corps dans l’espace est limité ; le corps est dit non libre (corps non libre) ou lié (corps lié). Donc, un corps lié (ou corps non libre) est un corps auquel sont appliquées des liaisons. Un corps non lié à d’autres et qui peut être déplacé arbitrairement dans l’espace à partir d’une position donnée est dit libre (corps libre). Donc, un corps libre est un corps sans liaisons ; il est aussi appelé corps non lié. Les forces agissant sur un corps sont divisées en forces actives (charges données appliquées au corps) et en réactions de liaisons (ou forces réactives) qui expriment l’action mécanique des liaisons sur le corps. Les forces actives sur un corps expriment l’action d’autres corps (forces surfaciques) ou de forces volumiques capables de changer l’état cinématique du corps. Quant aux réactions des liaisons, ce sont des forces qui expriment l’action mécanique des liaisons sur les corps. En Génie Civil, on utilise couramment le terme appui pour désigner les liaisons. Pour comprendre comment se réalise cette action mécanique des liaisons sur les corps, examinons quelques exemples. Soit une boule de poids G reposant sur une surface lisse plane horizontale (voir fig. 7, a) ; cette surface constitue une liaison pour la boule. Dans ce cas, la réaction R de la surface horizontale sera dirigée vers le haut et sera de même module que le poids G (voir fig. 7, b). Ainsi, la réaction d’une surface plane lisse est toujours perpendiculaire au plan. Si la surface est courbe, la réaction est perpendiculaire au plan tangent à cette surface (voir fig. 8).

Fig. 7.

Fig. 8.

De plus, quand une barre ou un fil sert de liaisons, leurs réactions sont toujours dirigées le long de la barre ou du fil. A retenir : la réaction d’une barre ou d’un fil est toujours dirigée le long de cette barre (ou de ce fil) (voir fig. 9).

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Fig. 1.9.

Pour les structures planes rencontrées dans les différents domaines du génie civil, les principaux types de liaisons sont les suivants :  les appuis simples ;  les appuis doubles ou articulations ;  les encastrements ou appuis triples. 1.4.1. Les appuis simples Les appuis simples sont des liaisons qui empêchent le mouvement du corps dans une seule direction ; c’est le cas par exemple des surfaces planes lisses. La réaction de la liaison est dirigée suivant cette direction ; cette réaction a donc une seule composante dont la direction est connue. Le mouvement du corps dans la direction perpendiculaire et la rotation du corps par rapport à son axe ne sont pas gênés. L’action mécanique de telles liaisons sur le corps est schématisée comme représenté sur la fig. 10. Les appuis simples peuvent être rigides en n’admettant aucun déplacement dans la direction de la réaction ou élastiques (ou souples) en admettant un déplacement fini dans cette direction.

Fig. 10. Appuis simples. a - Différentes représentations de l’appui simple ; b – appui simple rigide ; c – appui simple élastique.

1.4.2. Appuis doubles Les appuis doubles ou articulations sont des liaisons qui empêchent tout déplacement linéaire du corps ; seule la rotation du corps ne se trouve pas gênée. La réaction R d’une telle liaison peut prendre une direction quelconque dans le plan perpendiculaire à l’axe de l’articulation ; cette réaction aura donc deux composantes : une horizontale H et une verticale Cours de Mécanique rationnelle, par H.A. DICKO, Ph.D (ENI-ABT de Bamako, Mali)

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V (voir fig. 11). Les appuis doubles aussi peuvent être rigides ou élastiques ; ils sont élastiques quand ils admettent des déplacements linéaires de valeur finie.

Fig. 11. Appuis doubles ou articulations. a - Différentes représentations de l’appui double ; b – appui double rigide ; c – appui double élastique.

1.4.3. Encastrements

Fig. 12. Encastrements. a – Présentation de l’encastrement ; b – décomposition de l’encastrement ; c – encastrement rigide ; d – encastrement élastique.

Les encastrements (ou appuis triples) sont des liaisons qui empêchent tout mouvement du corps, aussi bien les déplacements linéaires dans le plan que la rotation, c’est-à-dire le déplacement angulaire. La réaction de la liaison comprendra donc une force réactive R pouvant avoir une direction quelconque dans le plan de la structure (c’est-à- dire avec ses deux composantes H et V) et un moment réactif MR empêchant la rotation du corps (voir fig. 12). Les encastrements peuvent être rigides ou élastiques ; ils sont souples quand ils admettent une rotation du corps d’un certain angle infiniment petit.

2 Axiomes de la statique Les axiomes de la statique sont formulés à partir des résultats de nombreuses expériences et observations de l’équilibre et du mouvement des corps. Ils sont des affirmations confirmées par la pratique et sont acceptés sans démonstrations mathématiques. En statique, il y a six axiomes qui sont couramment utilisés pour la résolution des différents problèmes de statique du corps solide.

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2.1. Axiome 1 : Axiome de l’inertie Un corps isolé (c’est-à-dire non en interaction avec d’autres corps) est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme sous l’action des forces qui s’autoéquilibrent. L’axiome de l’inertie exprime ainsi la loi d’inertie de Galilée.

2.2. Axiome 2 : Axiome d’équilibre de deux forces Si deux forces agissent sur un corps solide parfait, celui - ci ne peut se trouver en équilibre que dans le cas où ces deux forces sont de même intensité, de même direction et de sens opposé (voir fig. 13). Fig. 13.

2.3. Axiome 3 : Axiome d’addition et d’enlèvement des forces équilibrées L’action d’un système de forces sur un corps ne changera pas si l’on ajoute à ce système ou si l’on lui enlève un système de forces équilibrées.

Conséquences des trois axiomes. Sans changer l’action d’une force sur un corps solide, on peut transporter (transférer) le point d’application de cette force le long de sa ligne d’action en un autre point du corps (voir fig. 14).

Fig. 14.

En effet, si la force F1 est appliquée en un point A du corps (voir fig. 15), sans changer l’action de cette force sur le corps (axiome 3), on peut lui appliquer le système de forces F2 et

⃗F =− F⃗

3 2 ) appliquées au point B situé sur la ligne F3 qui s’autoéquilibrent (axiome 2 : d’action de F1 et telles que F1 = F3. Aussi, on peut enlever sur le corps le système de forces F1 et F2 qui s’autoéquilibrent sans changer son état cinématique. Comme F1 = F3, on peut remplacer F3 par F1, mais appliquée au point B.

Fig. 15.

Donc une force peut être transportée en un point quelconque le long de sa ligne d’action sans changer son module et son sens ; c’est pourquoi, en statique du corps solide, la force est considérée comme un vecteur glissant. Aussi, il est important de noter que ce résultat est vrai seulement quand le corps est solide parfait.

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2.4. Axiome 4 : Axiome du parallélogramme des forces Deux forces concourantes (c’est-à-dire dont les lignes d’action ont un point d’intersection) appliquées à un corps ont une résultante appliquée au point d’intersection des lignes d’action et représentée par la diagonale du parallélogramme ayant ces forces comme côtés (voir fig.17). On obtient ainsi pour le vecteur force résultante :

Fig. 17.

⃗R= F⃗ 1 + F⃗ 2

(1)

Le module de cette force résultante est égale à : R =

√ F 21+ F 22+2 F 1 F 2 cos j

(2)

2.5. Axiome 5 : Axiome d’égalité entre l’action et la réaction A toute action F sur un corps correspond une réaction R de même intensité, mais de sens contraire (voir fig. 16) :

⃗F =− ⃗R

(3)

C’est ainsi la loi de Newton connue en mécanique classique comme une loi fondamentale.

Fig. 16.

Cette loi confirme que les forces dues à l’interaction entre deux corps sont égales en modules et dirigées en sens contraire : « si un corps A agit sur un corps B avec une force F, alors le

corps B va agir sur le corps A avec une force F’ telle que ⃗F =− ⃗F ' ». Aussi, cela signifie que dans la nature, il n’y a pas une action unilatérale d’une force ; mais comme ces forces agissent sur des corps différents, elles ne peuvent s’équilibrer.

2.6. Axiome 6 : Axiome de solidification Si sous l’action d’un système de forces donné, un corps déformable (c’est-à-dire un corps solide non parfait) se trouve en équilibre, l’équilibre ne sera pas rompu lorsque ce corps durcira (se solidifiera, c’est-à-dire deviendra un corps solide parfait). De cet axiome, il résulte que les conditions d’équilibre des forces appliquées à un corps solide parfait doivent être satisfaites aussi pour les forces appliquées à un corps déformable. Cependant, dans le cas d’un corps déformable, ces conditions sont nécessaires, mais non suffisantes. Ainsi, par exemple, les conditions d’équilibre des forces appliquées aux deux extrémités d’une barre solide consistent à ce que ces deux forces soient égales en modules et de sens opposés (voir fig. 17). Si on remplace la barre solide par un fil, l’équilibre est possible seulement quand les deux forces ont tendance à étirer le fil (cas de la fig. 17, a).

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Fig. 17.

2.7. Axiome 7 : Axiome de libération des liaisons Un des principes fondamentaux de la statique est son septième axiome qui s’énonce comme suit : Tout corps solide non libre peut être considéré comme libre si l’on le libère des liaisons et remplacer leur action par les forces de réaction correspondantes. Ainsi, la barre posée sur des surfaces lisses aux points A et B (voir fig. 18, a), sous l’action de son poids P, peut être considérée comme libre sous l’action de P et des réactions RA et RB. Rappelons que les inconnues (réactions RA et RB) peuvent être déterminées à partir des conditions d’équilibre des forces agissant sur le corps Fig. 18. qui est désormais libre. C’est en cela même que consiste la méthode principale de résolution des problèmes de la statique. La détermination des réactions est très importante, car cela permet de connaître toutes les forces agissant sur un corps solide et à partir de là, on peut déterminer les forces internes qui apparaissent dans le corps et faire ainsi un calcul de solidité de n’importe quelle partie d’un corps solide (ouvrage).

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