Chapitre 0 - Les Annuités + TD Corrigés [PDF]

Zitiervorschau

Semestre 4 -- Licence fondamentale

CHAPITRE 2

LES ANNUITES

I. G´ en´ eralit´ es II. Les annuit´ es constantes 1. Annuit´es de d´ebut de p´eriode 2. Annuit´es de fin de p´eriode 3. Calcul du nombre d’annuit´es : cas d’une valeur non enti`ere 4. Calcul du taux d’int´erˆet 4.1 M´ethode de l’interpolation lin´eaire et application 4.2 Taux annuel effectif global (TAEG) III. Travaux dirig´ es

Kh. Benmlih

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2

I. G´ en´ eralit´ es. ´ DEFINITION . — On appelle annuit´es toute suite de r`eglements effectu´es ` a des intervalles de

temps ´egaux. L’intervalle de temps commun s’appelle la p´eriode des annuit´es. Il peut ˆetre le mois, le semestre ... On parle alors respectivement de mensualit´es, de semestrialit´es, ... • Dans la pratique, les annuit´es servent `a constituer un capital (annuit´es de placement ou de capitalisation) ou `a rembourser ou amortir un emprunt (annuit´es de remboursement ou d’amortissement). • Selon leurs montants, les annuit´es peuvent constituer une suite constante ou variable. • Les annuit´es sont dites : ∗ de d´ebut de p´eriode lorsque la date origine co¨ıncide avec la date du premier versement, ∗ de fin de p´eriode (ou `a terme ´echu) lorsque la date origine pr´ec`ede la date du premier versement d’une p´eriode. II. Les annuit´ es constantes Dans ce paragraphe, nous d´esignerons par : a : montant commun des annuit´es, i : taux d’int´erˆet par p´eriode des annuit´es, n : nombre des versements (n ∈ N∗ ), V0 : la valeur actuelle des annuit´es (`a la date 0), Vn : la valeur acquise des annuit´es (`a la date n). 1. Annuit´ es constantes de d´ ebut de p´ eriode • Valeur actuelle V0d : V0d = a + a(1 + i)−1 + a(1 + i)−2 + · · · a(1 + i)−(n−1) = la somme des n premiers termes d’une suite g´eom´etrique de 1er terme a et de raison (1 + i)−1 1 − ((1 + i)−1 )n =a · 1 − (1 + i)−1 =a ·

1 − (1 + i)−n i 1+i

Chapitre 2

Les annuit´ es

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Ce qui entraine : V0d

1 − (1 + i)−n = a(1 + i) · i

• Valeur acquise Vnd : D’une mani`ere similaire, en ´ecrivant Vnd = a(1 + i)n + a(1 + i)n−1 + a(1 + i)n−2 + · · · a(1 + i), on montre que : Vnd = a(1 + i) ·

(1 + i)n − 1 i

Remarque : Ces deux valeurs sont li´ees par la relation simple Vnd = V0d (1 + i)n . On place une suite de 16 annuit´es de d´ebut de p´eriode, de montant commun

Exemple 1.

23 000 DH et au taux de 7%. Calculer le capital constitu´e. R´ eponse 1.

d . Il est clair que le capital constitu´e est Cf = V16

Par cons´equent, Cf = a(1 + i)

(1 + i)n − 1 = 686 325 DH . i

2. Annuit´ es constantes de fin de p´ eriode. D’une fa¸con analogue, on montre les deux formules suivantes : • Valeur actuelle V0f :

V0f

1 − (1 + i)−n =a· . i

• Valeur acquise Vnf : Vnf = a ·

(1 + i)n − 1 . i

REMARQUE. — Ces deux valeurs sont ´egalement li´ees par la relation Vnf = V0f (1 + i)n . Exemple 2.

Un particulier s’engage `a rembourser un cr´edit ordinaire de 110 000 DH par le

versement de 40 mensualit´es constantes de fin de p´eriode. Sachant que le taux d’int´erˆet annuel proportionnel est de 9, 6%, calculer le montant de la mensualit´e de remboursement.

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R´ eponse 2.

4

On a : montant emprunt´e S0 = 110 000, taux mensuel i = 0, 096/12 = 0, 008 et

nombre de mensualit´es n = 40. La r`egle de remboursement se traduit par la notion d’´equivalence suivante : Montant re¸cu ⇔ Montant vers´e S0 ⇔ {a, a, · · · , a} | {z } 40

A la date 0, on obtient S0 = V0f = a

1 − (1 + i)−n i

Donc a=

iS0 = 3224, 32 DH 1 − (1 + i)−n

Remarque fondamentale. — Dans la pratique, pour distinguer les annuit´es de d´ebut de p´eriode de celles de fin de p´eriode, on proc`ede de la mani`ere suivante : • Si on veut calculer une valeur actuelle V0 , on s’interesse uniquement ` a la premi`ere p´eriode et ` a la premi`ere annuit´e : - si la premi`ere annuit´e est plac´ee au d´ebut de la 1`ere p´eriode, il s’agit de V0d ; - si la premi`ere annuit´e est plac´ee ` a la fin de la 1`ere p´eriode, il s’agit de V0f . • Si on veut calculer une valeur acquise Vn , on s’interesse uniquement ` a la derni`ere p´eriode et la derni`ere annuit´e : - si la derni`ere annuit´e est plac´ee au d´ebut de la derni`ere p´eriode, il s’agit de Vnd ; - si la derni`ere annuit´e est plac´ee ` a la fin de la derni`ere p´eriode, il s’agit de Vnf . Exercice.

On avait plac´e mensuellement, du 1er octobre 2017 au 1er f´evrier 2020 inclus, une

mˆeme somme de 2 800 DH au taux annuel proportionnel de 6%. 1. Calculer le capital constitu´e au 01.03.2020. 2. Mˆeme question au 1er juin 2020. R´ eponse.

Les donn´ees : a = 2800 et i = 0, 06/12 = 0, 005. Le nombre de r`eglements est

n = 29 car |{z} 03 + |{z} 12 + |{z} 12 + |{z} 02 = 29. 2017

2018

2019

2020

Chapitre 2

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Les annuit´ es

1. Sur l’axe du temps, on v´erifie que le dernier r`eglement est situ´e au d´ebut de la derni`ere p´eriode. Donc Cf = Vnd = 2800(1, 005) ·

(1, 005)29 − 1 = 87 584, 05 DH 0, 005

2. D’une mani`ere directe, il ne s’agit ni de d´ebut de p´eriode ni de fin de p´eriode. On peut donc calculer le capital final en deux ´etapes. D’abord on calcule Vnd (ce qui est d´ej`a fait dans la question 1), puis on capitalise le r´esultat obtenu `a la date voulue. Donc Cf = Vnd (1 + i)3 = 88 904, 39 DH 3. Calcul du nombre d’annuit´ es : cas d’une valeur non enti` ere Dans le cas du calcul de n, connaissant a, i et V0 (ou Vn ), il arrive souvent que les calculs ne donnent pas un nombre entier naturel ce qui contredit la d´efinition du nombre n. Le probl`eme tel qu’il est pos´e est math´ematiquement impossible. Cependant, on peut r´esoudre le probl`eme en modifiant ”leg`erement” l’´enonc´e. Pour ce faire, nous proposons dans la suite, via un exemple simple, deux types de solutions. Exemple 3.

Combien de semestrialit´es de d´ebut de p´eriode, de 3 960 DH chacune, doit-on

placer au taux semestriel de 2, 5% pour constituer un capital de 75 240 DH ? R´ eponse 3.

On ´ecrit 75240 = 3960(1, 025) ·

(1, 025)n =

(1, 025)n − 1 0, 025

75240 · 0, 025 + 1 = 1, 46341 · · · 3960(1, 025)

ln 1, 46341 = 15, 42 ̸∈ N ! ln 1, 025 Consid´erons les entiers les plus proches : 15 < 15, 42 < 16. Ce qui donne n =

Deux solutions sont envisageables : • Solution 1 : On prend n = 15 Les 14 premi`eres semestrialit´es ´egales, de montant commun a = 3600 DH et la 15`eme ´egale `a a′ = a + α telle que `a la date 16 (une p´eriode apr`es le dernier r`eglement (annuit´es de d´ebut de p´eriode) : Cf = V al16 {a, a, · · · , a, (a + α)} = V al16 {a, a, · · · , a} + V al16 (α) | {z } | {z } 14

15

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Math´ ematiques financi` eres d 75240 = V15 + α(1 + i)1 = 3960(1, 025) ·

6

(1, 025)15 − 1 + α(1, 025) 0, 025

Ce qui donne α = 2 394, 45 et par cons´equent a′ = 6 354, 45 DH . Conclusion, pour constituer le capital de 75 240 DH , on peut placer 14 semestrialit´es de montant commun 3960 DH suivie d’une 15`eme ´egale `a a′ = 6 354, 45 DH . • Solution 2 : On prend n = 15 ou n = 16 puis on recalcule le montant de l’annuit´e constante a. - Si on prend n = 15, on ´ecrit 75240 = a(1, 025) ·

(1, 025)15 − 1 0, 025

On aura donc a = 4 093, 53 DH . - ou bien on prend n = 16, la relation 75240 = a(1, 025) ·

(1, 025)16 − 1 0, 025

donne a = 3 787, 62 DH . Conclusion, pour constituer le capital de 75 240 DH , on peut : - soit placer 15 semestrialits constantes : a = 4 093, 53 DH , (> 3 960), - soit placer 16 semestrialits constantes : a = 3 787, 62 DH , (< 3 960). 4. Calcul du taux d’int´ erˆ et Lorsqu’on cherche `a calculer le taux d’int´erˆet `a partir d’une ´equation li´ee `a l’une des formules ci-dessus, en V0 ou en Vn , le probl`eme se ram`ene `a une r´esolution difficile d’une ´equation de type : f (i) = b Dans ce cas, on utilise une m´ethode d’approximation qui donne une valeur proche de la solution exacte. La plus simple de ces m´ethodes est ”l’interpolation lin´eaire”. 4.1 M´ethode de l’interpolation lin´eaire et application Exemple 4.

Un capital de 352 800 DH a ´et´e constitu´e par 15 annuit´es constantes de fin de

p´eriode, ´egales `a 18 000 DH chacune. Quel a ´et´e le taux de placement ?

Chapitre 2

R´ eponse 4.

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Les annuit´ es

On a (1 + i)15 − 1 35 280 = = 19, 6. i 1 800

Le calcul de la valeur de i se fait en 2 ´etapes. On d´eterminera successivement : - un encadrement de i le plus ´etroit possible : i1 < i < i2 (la difference (i2 − i1 ) tr`es petite) ; - une valeur approch´ee de i par la formule de l’interpolation lin´eaire :

i − i1 b − f (i1 ) ≃ . i2 − i1 f (i2 ) − f (i1 )

⋆ Pour la premi`ere ´etape, on peut utiliser la table financi`ere (ou encore une approche de tˆatonnement).

(1 + i)n − 1 = b. i Ici on a n = 15 et b = 19, 6. Ainsi, en lisant sur la ligne n = 15 de la table financi`ere 3, on rel`eve La table financi`ere 3 concerne la formule f (i) =

les deux valeurs proches de b = 19, 6, `a savoir 19, 295681 < 19, 6 < 19, 655654 avec 19, 295681 = f (3, 50) et 19, 655654 = f (3, 75). (ici 3,50 signifie un taux de 3, 50%). Cela nous permet de conclure dans un premier temps que la valeur exacte du taux v´erifie : 3, 50 < i < 3, 75 ⋆ Dans une 2`eme ´etape, on cherche une valeur approch´ee de i par la formule de l’interpolation lin´eaire qu’on peut pr´esenter de la mani`ere suivante : 3, 50 i 3, 75

−→ 19, 295681 −→

19, 6

−→ 19, 655654

On ´ecrit ensuite la formule i − 3, 50 19, 6 − 19, 295681 ≃ 3, 75 − 3, 50 19, 655654 − 19, 295681 Ce qui implique que i ≃ 3, 71. En conclusion, le taux de placement est d’environ 3, 71%.

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4.2 Taux annuel effectif global (TAEG). ´ DEFINITION . — Le taux annuel effectif global est le taux annuel r´eel (pour l’emprunteur) calcul´e

en tenant compte de tous les frais support´es par l’emprunteur (frais de dossier, d’assurance, · · ·). C’est un taux annuel, proportionnel au taux p´eriodique lorsque la fr´equence de remboursement n’est pas l’ann´ee. Exemple 5.

Calculer le TAEG pour un cr´edit ordinaire de 60 000 DH, contract´e aux condi-

tions suivantes : - remboursement par 36 mensualit´es constantes de fin de p´eriode, - taux d’int´erˆet annuel 9% TTC, - frais de dossier et d’assurance de F = 950 DH, payables le jour du prˆet. R´ eponse 5.

Calculons d’abord l’annuit´e de remboursement. On a :

S0 = a ·

a=

1 − (1 + i)−n i

(⋆)

iS0 1 − (1 + i)−n

o` u S0 = 60 000 DH, i = 0, 0075 (mensuel proportionnel) et n = 36. Ce qui donne a = 1 907, 98 DH. Cependant, en retranchant le montant des frais de la somme emprunt´ee, l’emprunteur ne re¸coit en r´ealit´e que la somme S0 − F = 59 050 DH. En reportant ceci dans l’´equation (⋆), on obtient l’´equation v´erifi´ee par le taux r´eel mensuel im donn´ee par : 59 050 = 1 907, 98 ·

1 − (1 + im )−36 im

1 − (1 + im )−36 59 050 = 30, 949... = im 1 907, 98 Par tˆatonnement, on peut v´erifier que 0, 08 < im < 0, 085. Ensuite, la formule de l’interpolation lin´eaire donne im ≃ 0, 008411907. Conclusion : TAEG = 12 · im ≃ 10, 09%.

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Math´ ematiques financi` eres TD – Fiche n◦ 2   es constantes de montant 4 200 DH, au taux annuel de 6, 21%. Exercice 1  On place 23 mensualit´

1. V´erifier que le taux mensuel ´equivalent est d’environ 0, 005. 2. Calculer le capital constitu´e `a chacune des dates suivantes : (a) un mois apr`es le dernier versement. (b) un semestre apr`es le dernier versement.   Exercice 2 edit ordinaire de 350 000 DH est remboursable par 30 trimestrialit´es constantes au   Un cr´

taux annuel proportionnel de 8%. 1. On suppose que le 1er r`eglement aura lieu 3 mois apr`es la date du cr´edit. (a) Calculer le montant de trimestrialit´e de remboursement. (b) Sachant que l’emprunteur doit payer le jour du prˆet des frais d’un montant de 9 437 DH, calculer le TAEG. (v´erifier que le taux trimestriel correspondant est entre 2, 1% et 2, 3%) 2. Si la 1`ere trimestrialit´e doit ˆetre r´egl´ee 1 an apr`es la date du cr´edit, quel sera le montant de la trimestrialit´e de remboursement?   Exercice 3 edit de 510 000 DH est remboursable par des semestrialit´es de montant commun 30 000   Un c´

DH , au taux annuel proportionnel de 7, 2%. Sachant que le 1er r`eglement est effectu´e 1 semestre apr`es la date du cr´edit, calculer le nombre de semestrialit´es n´ecessaires au remboursement.   Exercice 4 etaire re¸coit les trois offres suivantes:   Pour la vente d’un bien immobilier, le propri´

ˆ (A) 810 000 DH payables imm´ediatement ˆ (B) 600 000 DH payables dans 1 an puis 350 000 DH payables dans 3 ans ˆ (C) 6 annuit´es de 165 000 DH chacune, la premi`ere ayant lieu imm´ediatement

D´eterminer l’offre la plus interessante pour le vendeur au taux annuel de 8%.   Exercice 5 eventuellement variable, un ´epargnant place 50 mensualit´es d’un   Au taux mensuel de 0, 4% ´

mˆeme montant de 3 500 DH. 1. Calculer le capital constitu´e imm´ediatement apr`es la derni`ere mensualit´e. 2. R´epondre `a la mˆeme question en supposant que juste apr`es avoir vers´e la 15e mensualit´e, le taux est pass´e `a 0, 45% par mois et est rest´e constant par la suite.   e `a une banque qui lui a prˆet´e Exercice 6  Pour financer son projet, un jeune promoteur s’est adress´

un montant S au taux annuel proportionnel de 6%. Le remboursement se fera par le versement de 70 mensualit´es de 10 000 DH chacune, la premi`ere payable 6 mois apr`es la date de l’emprunt. Imm´ediatement apr`es avoir vers´e la 30e mensualit´e, le jeune promoteur a demand´e de se lib´erer par 15 versements mensuels ´egaux, le premier venant `a ´ech´eance un mois apr`es. 1. Sans calculer la valeur du prˆet initial, d´eterminer le montant de la nouvelle mensualit´e. 2. Quel a ´et´e le montant de l’emprunt initial S?

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Corrig´e TD2

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Math´ ematiques financi` eres ´ – Fiche n◦ 2 CORRIGE   annuel 6, 21% et n = 23. Exercice 1  On a a = 4 200 , taux √ 12

1) Taux ´equivalent : i12 = 1, 061 − 1 ≃ 0, 005. 2) a) Comme on cherche `a calculer le montant du capital constitu´e, il s’agit d’une valeur acquise Vn . La valeur de ce capital `a 1 mois apr`es le dernier versement veut dire que le dernier versement est plac´e au d´ebut de la derni`ere p´eriode.

Donc, selon la Remarque fondamentale, il s’agit en fait de Vnd : Cf = Vnd = 4200(1, 005)

(1, 005)23 − 1 = 102 614, 21 DH 0, 005

b) Pour calculer le capital constitu´e 6 mois apr`es le dernier versement, on le calcule d’abord `a un mois apr`es (ce qui donne Vnd ) ensuite on capitalise le r´esultat pour les 5 mois restants :

Cf

= Vnd (1, 005)5 = 4200(1, 005)

(1, 005)23 − 1 · (1, 005)5 = 105 205, 35 DH 0, 005

Remarque : On aurait pu calculer Vnf , c’est `a dire imm´ediatement apr`es le dernier versement puis capitaliser le r´esultat pour les 6 mois restants : Cf = Vnf (1, 005)6 . On trouve le mˆeme r´esultat !   0,08 Exercice 2  S0 = 350000 , n = 30 et i = 4 = 0, 02.

1) a) Selon la r`egle de remboursement, on a :

S0 ⇔ {a, a, · · · , a}. | {z } 30

Comme le 1er r`eglement aura lieu 1 trimestre apr`es la date du cr´edit, en ´ecrivant l’´equivalence `a la date du cr´edit, on obtient S0 = V0f . Donc 350000 = a ·

1 − (1, 02)−30 0, 02

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Corrig´e TD2

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On en d´eduit que a = 15 627, 47 DH b) On a F = 9 437. On cherche it tel que 350000 − 9437 = 15 627, 47 · Ce qui donne :

1 − (1 + it )−30 it

1 − (1 + it )−30 = 21, 79 it

Or 0, 021

−→

it

−→

0, 023

−→

1 − (1, 021)−30 = 22, 09 0, 021 21, 79 −30 1 − (1, 023) = 21, 50 0, 023

Comme 21, 50 < 21, 79 < 22, 09, on en d´eduit que 0, 021 < it < 0, 023. Ensuite on ´ecrit la formule de l’interpolation lin´eaire 21, 79 − 22, 09 i − 0, 021 ≃ 0, 023 − 0, 021 21, 50 − 22, 09 Ce qui implique que it ≃ 0, 0220169. En conclusion, le TAEG = 8.81% (= it × 4). 2) Le 1er r`eglement aura lieu 4 trimestres apr`es la date du cr´edit.

En ´ecrivant l’´equivalence `a la date 3, c’est `a dire une p´eriode avant la date du 1er r`eglement, on aura : 350000(1, 02)3 = V0f = a ·

1 − (1, 02)−30 0, 02

On en d´eduit que a = 16 584 DH   Exercice 3 egle de remboursement et puisque le   S0 = 510 000 , a = 30 000 et i = 0, 036. Selon la r`

1er r`eglement est effectu´e 1 p´eriode apr`es la date du cr´edit, on ´ecrit : 510 000 = V0f = 30 000 ·

1 − (1, 036)−n 0, 036

ln 0, 388 = 26, 77 ̸∈ N. ln 1, 0036 26 < 26, 77 < 27. Deux types de solutions sont envisageables :

Ce qui donne (1, 036)−n = 0, 388. D’o` u: n=− On a

• Solution 1 : On prend n = 26 a′

Les 25 premi`eres semestrialit´es ´egales, de montant commun a = 30 000 DH et la 26`eme major´ee = a + α telle que selon la r`egle de remboursement : S0 = V al0 {a, a, · · · , a, a + α} = V al0 {a, a, · · · , a, α} | {z } | {z } 25

26

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Corrig´e TD2

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1 − (1, 036)−26 + α(1, 036)−26 . On en d´eduit que α = 22 364, 58 DH. 0, 036 Conclusion, pour rembourser ce cr´edit, on peut verser 25 semstrialit´es de montant commun 30 000 DH suivie d’une 26`eme ´egale `a 52 364, 58 DH. Donc S0 = 30 000 ·

• Solution 2 : ici on prend n = 26 ou n = 27. - Pour n = 26, on recalcule le montant de l’annuit´e constante : 510 000 = a ·

1 − (1, 036)−26 0, 036

On aura donc a = 30 533, 85 DH - ou bien on prend n = 27, la relation 510 000 = a ·

1 − (1, 036)−27 0, 036

Par cons´equent a = 29 846, 17 DH Conclusion, pour rembourser ce cr´edit, on peut : ˆ soit verser 26 semestrialit´es constantes : a = 30 533, 85 DH, (> 30 000) ˆ soit r`egler 27 semestrialit´es constantes : a = 29 846, 17 DH, (< 30 000).   a une mˆeme date. Exercice 4  Pour comparer les offres, il faut d’abord calculer leurs valeurs `

Appelons l’origine 0 la date de l’offre A. Donc `a cette date on aura : V al0 (A) = 810 000 V al0 (B) = 600 000(1, 08)−1 + 350 000(1, 08)−3 = 833 396, 84 1 − (1, 08)−6 V al0 (C) = 165 000(1, 08) = 823 797, 16 (actualisation ; annuit´es de d´ebut de p´eriode) 0, 08 Comme V al0 (A) < V al0 (C) < V al0 (B), l’offre la plus interessante pour le vendeur est B.   e imm´ediatement apr`es la derni`ere mensuExercice 5  1) En cherchant la valeur du capital constitu´

alit´e, cette derni`ere annuit´e est donc plac´ee `a la fin de la derni`ere p´eriode. D’o` u: f Cf = V50 = 3500 ·

(1, 004)50 − 1 = 193 301, 14 DH 0, 004

2) Ici, on utilisera deux termes selon les deux p´eriodes `a taux diff´erents : Cf (50) = Cf ( a, a, · · · , a ) + Cf ( a, a, · · · , a ) | {z } | {z } 15”a”, taux 4%

35”a”, taux 4,5%

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Corrig´e TD2

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Pour le 1er terme : On calcule d’abord la valeur juste apr`es la 15e mensualit´e puis on capitalise le r´esultat obtenu `a la fin, via le taux de 4, 5% : f Cf (15) = V15 · (1, 0045)35 = 3500 ·

(1, 004)15 − 1 · (1, 0045)35 0, 004

Conclusion, imm´ediatement apr`es la derni`ere mensualit´e, on a     (1, 004)15 − 1 (1, 0045)35 − 1 35 · (1, 0045) Cf (50) = 3500 · + 3500 · 0, 004 0, 0045 = 195 536, 41 DH   0, 06 = 0, 005. ees : a = 10 000 DH , i = Exercice 6  Donn´ 12 e 1) Imm´ediatement apr`es le r`eglement de la 30 mensualit´e, le jeune promoteur est encore redevable

u ”. Ce montant sera a` la banque d’un montant R. C’est la dette vivante ou ” le capital restant dˆ rembours´e par les 40 annuit´es ”a” restantes. Donc selon la r`egle de remboursement, on a : R ⇔ {40”a”}

(1)

D’autre part, par hypoth`ese, ce mˆeme montant R peut ˆetre rembours´e par les 15 nouvelles mensualit´es ”b”. Donc R ⇔ {15”b”} (2) De (1) et (2), on d´eduit que {15”b”} ⇔ {40”a”} En ´ecrivant l’´equivalence `a la date de la 36e mensualit´e ”a”, on obtient : V0f (15”b”) = V0f (40”a”) b·

1 − (1, 005)−15 1 − (1, 005)−40 =a· 0, 005 0, 005

Ce qui donne b=a· 2)

1 − (1, 005)−40 = 25 090, 64 DH 1 − (1, 005)−15

On a : S ⇔ {70”a”}

En ´ecrivant cette ´equivalence `a la date 5 (une p´eriode avant la 1`ere annuit´e): Val5 (S) = Val5 (70”a”) S(1, 005)5 = 10 000 · S = 10 000 ·

1 − (1, 005)−70 0, 005

1 − (1, 005)−70 · (1 + i)−5 0, 005

Conclusion S = 574 877, 80 DH.