Carti. Culegere - De.probleme - De.aritmetica - Si.algebra. Ed - Hyperion. TEKKEN [PDF]

Zitiervorschau

i 10,00

GHEORGHE. ADALBERT SCHNEIDER

CU L E G E R E DE P R O B L E M E DE AR I T N I E T I C A $r A L G E B R . {. PEn-TRUCLASELE V-VIII Edilierevizuirrti adtrugilt

EDITURAIryPERION CRAIOVA

: LUCIAN IRIMESCU Coperta

PREFATA go.ro Intemet: http://editurahyperion. 1628656. Telefon: 02511531133,0744 Comenzi pentru cd(ile edituriinoastrese pot face adresade e-mail:[email protected] la urmetoarea str.lmparatul sauprinpogtala adresa:200530Craiova, Traiannr 30.

CopyrightO, EdituraHyperion

tsBN973-9r57-75-0

Prczenta lucraxe a fost elaboratf, cu scopul de a veni in sprijinul elevilor din claseleV - VIll care doresc sa aprofun_ deze a tnetica ti algebra,prccum qi in sprijinul candid;tilor la examenul de capacitate Lucrdaeaa fost alctrtuittrconfom noii prcgrame Scolare, conline peste 2000 de exercitii 9i probleme care acopertr intreaga materie, fiind foarte utiltr pentru lucrul la clasd, pentru pregtrlirea suplimentari a elevilor, iar prin unele proble'me ce solicittr gandirea logicl qi creativititea este utiltr pentru prcgdtirea concusurilor de matematica. Exercit;ileri problemelesuntgrupalepecapilole.con_ ^ tolm programej$colare.Acolo undea fost posibil.e^erciliile 9i problemele au fost sistematizate pe tipud de prcbleme, grupate mai multe sub acelati enun1, reaiizandu-se astfel o acoperirc cat mai complete a capitolelor tratate qi d6nd posibili_ tatea elevului ca pdn repetitie $i evaluare str aprofrmdezeprincipalelelehnici legatede rezolvarcade probleme. _ In prima parte a lucrddi sunl prczentateenunturile proble, melor, grupaie in 15 capitole, referindu-se p n tre altele la: numere narurale,numere intregi. numere ratio-nale, numere reale, mul1imi, divizibilitate, prccente, rapoarte, metode de rezolvare a problemelor de adtmeticA, calcul algebric, ecualii $i sisteme, inecualii, funcfii, pentru ca in frnalul lucdrii s! fie prczentate probleme rccapitulative Si 25 de teste g lt de evaluare. In partea a doua a lucrdrii sunt Drezentaterczolvfi ale unoradintre probleme.indicalii penhu alte probleme,precum $i raspunswilela aile categoriidi problerrrc.

Autorul

t. ,

:r,

. '.'; . 1. NUMERE.NAiTU,RALE

I

':

I.1 OPERATUCU NUI\IERENATURALE

' :

numerele: l. Sas€ordoneze sresctrlor a) 75; 12l lO2; 7522. 875b) 99; 8; 12; 125: 69;2395: 1125; c) 77; 22; 3; 1915;293'7 5;. 11L numerele: 2. Strseordoneze liescresctrlor a) 22; ll77;. 279;22799: 218;23; il: 99.:1100; 9999;. b) .19:'197\ ''IOOO; c) 66; lll; 9; 2222;555;'3799;.500:

I

' .

':' i .

J. Str se delennrne: a) cel mai Irric nunir nalural dp 2 cifre; b) cel mai mic numlr nalural irnpar de doud cifre' c) cel mai mip numtrr nalwal impar de 2 cifre in care o:cifr5' este pard ti una impar{. l

4. Str se delermine: : r \. a) cel mai qrarenumtrrnalural de 2 cifre; b) cel mai mare numtrr nalural par de 2 cifre; c) cel mai mare numtrr natural impar de 2 cifre in ca€ o cifrtr esle para si una esle impartr I

I

5. Str se determine: de 3 cifre; a) celmai micnumtrrnatural b) cel mai mic numdrnaluralinrpardF3 cifrel c) cel mai mic numlr naturalpar de J cifreinitue cifrelesunl dislincled) cel mai mic nutntrrnalural impar Qe3 cifie ir care cifrele i | '.1 sunt distincte; e) cel mai mic npartrr par qe 3 cifie in care.to4te cifrele sunt. pare-

6. Sd se determine: a) cel mai mare numdr natural de 3 cifre; b) cel mai mare numer natural par de 3 cifte; c) cel mai mare numdr natural impar de 3 cifte, cu toate ciftele distincte; d) cel mai mare numdr natural par de 3 cifte, cu toate cifiele distincte; e) cel mai mare num& nalural par de 3 cifte, cu toate ciftele egale. 7. Sciefitoalenumerelede 3 cifre caresepot forma utilizand cifrelet b) 0;2; 4; c) 3; 5; 9. a) l ; 2 ; 3;

8. Scielitoatenumerelede3 cifie, cu cifieledistincte,care sepot formautilizandcifrele: a) 1; 3; 5; b) 0; 3; 6; c) 2; 4; 8. parede 4 cifre,cu cifreledislincte, 9. Soie{iloalenumerele oiuesepot formaulilizandciAele: c)0 ;3;5;9. a ) l; 2; 5 ; 7 ; b)0 ;1 ; 3 ;5 10. Scieti loate numereleimparede 4 cifre, cu cifrele distincte, caresepotformautilizandcifrele: a) 0;2; 4; 5; b) 2 ; 4 ; 6 ; 9 c) 1 ; 3; 6; 8. 11. Calculafi: a) 1 + 2 + 3 + 4 + 96 + 9'1+ 98 + 99:' b) 10+ 20 + 30 + 40 + 960+970+ 980+990; c) 101+ 102+ 103+ 797+ 798+ 799; d) 121+ 131+141+ 151+ 549+ 659+'169+ 879i e ) 2 1 5+ 4 1 6+ 6 1 8+ 8 2 0 + 1 1 8 0 +9 8 2+ 8 8 4 +985. 12, Calculali:

a) S = 1.2+ 2.3+ 3.4+ 4 5 + 5.6+ 6.7+ 7.8; b) s= 1 .3+ 3 .5+ 5 .7r7'9+9 11+ l l '13 + 131 5 ; c) S -2 '4 + 4 '6+ 6 '8+ 810+ 1012+12'14+ 1 4 ' 1 6 .

l3lefacefi a) la1b t

a) b) c) d) e)

adunfile: b) Zabs +

436

7421

d604

d5c

q ?L+ 234b

d) ?.7! + 5493

cD9

o8cl

14. Calculagi: 1998+ 9989- 998 '989; 4152+ 12512- 336- 928:. 27339- 2ll2 - 4328- 899:' 32779- 1232- 899- 648; 43997- 1789- 2016- r92.

15. Calcula;i: a) J- 1r 2*3+- .+ 500; b) .t- 2+4+ 6+ - .+ 2000 ; o) S- l+ 3+ 5+ ..+ 101; c) S- 5 + 10+ 15+' . +295; d) J- 3+ 6+ 9+ . + 19 97 e) ,9- 10+ 20+ 30 +....+9000; f) .t- 100+200+ 300+...+ 15000. 16. Sesedetermine numerelenaturaledeformaa6c qtiind a) a+ b- 31 a+ c= 4; b+ c - 5; b) , a+ r = 5; a+ c=6; b + c =7; c) a+ b= 71; a+ c- 12; b+c =13. I7. Sasedelermine cel maimic numtrrde3 ciFreabc,astfel incatsAavemrclatia: a) a+ b+ c= 5; b) a+b+c - 12; c ) a- b+2c - 13. 18.Sasedelermine celmaimare numarde J cifreabc,astfel incat sdavemrelatia: a) a+ b+ c- 8; b) a+ b + c =75| ' c ) a+2b- 3c =18.

19. Strsedeteminecel maimic numtrrde4 cifre abc-d,astfel incat $ avem relalia: a) a + b + c+ d =2 5 ; b) a - b + c+ d- 2 O ; c) a + 2 b + c+ 3 d =3 3 . 20. SI se determine cel mai nrarc numlr de 4 cifre abcd , aslfelincat stravernrelafia: a) a + b + c+ d - 1 8 |, d=2 2 . t t 1 a + b - tt , t ) a + 2h +, Jal=.1q. 21. Sl se delelminelualenumerelenaturrlede formaJ. aslfelincal straibl loc relafia: c) 2a+b: 9 . b) a-b='7, a ) a + b =5 ; 22. Str se calculezecat mai simPlu: a\ 125 1725+ 375 1725- 125042 - 500'20l b ) 1 1 312 5 0+ 1 3 7 1 250+ 75 1150+ 25 1150- 5 5 5 0 0 ; c) 58 1750+ 42 1750+ 135'175+ 65 175- 50 200; 23. Dacl 4 4 c sunl numerenaturaleaslfel incal a + r = 2 exFe\iei: 5i t , . - .t, sl secalcule/evaloarea (c 2c). + 5b+ a\(3a E= 21. Dar.t 4 6, c sunl numerenatutaleaslfel incal a - b = 3 exlresiei: 5i b+ . - 5. ra se.'alrule2evaloarea E=(c+ a)(3a+ b + 4c). 25. Dacl a, b, c sunl numere naturale aslfel incat a + b + c :6 $i a+3 c=10, str se calculezev a lo a re ae x Dresiei: ' E- (2a + 3b)(3a+4b + c). 26. Dact a,4 c suntnumerenatu.dleastfelincat a - 6= 9; exnre\iei: )i b - c - J. sr secalcule/evalodrea E= (a+ c)(2a+ b- 3c) I

27. SI se delenninenunerele naluraledjferite de 0;ii mai n ci decat75, care impi4ile la 21 dau un rest egal cu lr.iplul catului. 28. Strsedetenninenumtrrulde 2 cifre careseimparleexact la 11 $i careinlpl4ir la 10 dtr reslul 3. 29. Sumaa douSnumereeste370. Daci ilnptrrlim numtrrul mai mare la numtrrulmai mic oblitremca1ul4 $: reslul 20. Sl se determinecele doutrnumere, 30. Diferenl.r a doutr numere esle 390. Dirci ?mplrlim nuntrrul mai marela numirul mai mic oblinemcetul7 li restul 30. Str se determirecele doutrnumel€. 31. se considertr numerele: N1- 21.22.23 -.254 ;i .315. N: = 31.32.33. Sr se demonshezectr,,Vl> 1y'2. 32. Strse precizezecare din numerele: Nt = 2 6 0 4: 2 t ' . 2 2: . 2 3a l i N z = 3 3 0 0: 3 1 : 3 2 : . . . : - 1 2 0e s t e 33. Si se precizezecare din nurnerele: Nt = 2 t . |. . 2 1 2 0 ; , i N2=r1 32...

i100

3:1. Str se precizezecaredin numerele:

l/ r = 3 r ' 3 r ' -

3 s0 si,,r ,.z:5.512 ....s3 0

eslemai maie. 35. Si se comparenumerele: a) , /r = 2175;iN: = 575; b) l/t = 3lao ri-l/: = 780;

.) M = +aoo silD = 35oo; d) M = 7l5osiNz= :250.

36. Sd secomParcnumerele: u) Nr = 5150siNz = 6133; t) Nt = 41a7ti N: = 5125;

42. Strse de(erninenuntrrul naluralde fonira aD Sliindct: d' a < l, br .r 1: 6 sunlirnpare .,) i + t,, =Or:,.

.) Nr - 832si Nz = 930; a) N1 = 2995i N2 = 933

4J. SJ \e Jelenninelumxrul naturalde furmaJ a) a- b=5 b) ab + ba =71.

37. Str se detemlinenunerele nalut:ilea $i $liind ctr: ' a ) a + 6= 8;i aD= 15; b ) a - b:5si a b =24. c : ) a + 2b = 1 1 SitD- 15; d) 2 a - b - 12 si a - b= \4.

41. SI se detenninenumtrrulnaural de fonna al, \itiind ci: a) el, + 1r.?= 154; b) a + b se imparle exact la a fi la 1,.

38, Str se delerminenumerelenatumle4 I) ii c Stiindcd: a) ab = 12;i bc = 20; b) ac= 2,1si 6c: 30; c) aDc- 120!i aD: 20; d ) a b c= 1 2 $ i a + D + c= 8. 39, SI se detenninenumlrul naturalx astlel incat sl aibl loc egalilllile: b) x2-x-6=0 a ) x 2 +x- 6 =0

cy xl+zl -

t6 - o

d; x4-xr-8=0.

40. Sl se delenninenumerelenaturalex, y aslfel incal sl aibl loc egalilqile; b) xy+y=1 2 t 1 )x / +x- 5 ol xy+x+y=5 c ) . \ + y- x! 0 xy+2 x-Y =1 0 . e ) x y =2 ( x+y) 41. Si se detenninenumerelenalunle x, i astfelincel sd aibl loc egalittrlile:

?+ "1 l : s =zz c'1z x2+ f

e) rJ +./ = 23

t) i+ z.f=rr

d) 2.; +31:35 l,l+f=zg. 10

lriinJ crt:

45. Not5mN= lal - la + 8. a) SI se aralectr 11/se imlarle exactla 9. b) Si se delemlinecifra a astfelincel numtrrulN strseimpaflt exactla 17. 46. Nolim N= leb - la - 1b. Strsedelenninecifrelea fi D aslfelincel N= I 16. 47. Se consideri nunlirul nalural , \ / = llla l llat +lal -al . str se arale ctr nuintrrul ,A/ se divide prir produsul a doul nunere naluraleconseculive. 48. Se considertrnu lerelenaluralea rji D . are rn.[epline*! condiliile: a ) 0 < 6 < . r< 9 b) cifiele, gi a sunlcolsecutive.

SI searaleci numerele Ni =lr1t - 1b..,1 ;i N : = a l 1 1 9- D l l a nr depinddea $i 6.

rl9. Se considertrnumtrrulN= aa66. St se araleci: a) N se imprrle exactla I l; b) N nu seintpaneexactla 111. 50. Sa se detennine numerele4 b, c€N,

tl

a < b < c 8r + 5; r ) 4x 1> 7x+2; a) c)

b) d) f) h) j)

7x - 3>5x +9. 5x - 3 < 2x + 9; 3x +24,!+-;

z '

a

2.x - 7 o 6 -^' 6x +3 h) -t,

3x +1 3 ' 2x - 'l

$

1

4x +9 )

2x - 7

?

:

^

3. Strserezolvejnecualiile unntrtoarc; ,\+2 r r .t 2x r J ..,) .1 .t,r .r2 bx _5 , d/ + > r , : lr) : ' o i 15 -- ) r t2 ,( - | 4x r l ,7\a.! x \l l :d) - ;'4 , ,, - t '' 2 5 y _4 4y +J ,r ,5 - r +2 x,5 ^ -' '.3t- lo l t' = ' , ' 4 ' rn 1 - 5 : 2r - 32x +7 3x +9 > ^rg4 i l r,.b^t3 ",3x.7 b' ) = 2 4 5 4 10, .,2x+3 xr 2 2x +5 3x +l .. 2x .t3 r J* .J t ' 12t J ) 4 " 8 40t. 4l

2x - 5 .

13x+2 >6 x-5 '

\3x +432x -l'

l2x-9 .1 x+5 . \ ex + 2 >2 x - 5 '

l 5x -l =l -x 13x +2l r at lr-ll< 5 ;

r, no j f ;-'Iil il ; II: x; t ; jii,.",i,is ^,-_'rrr : =rr 7. Sd se rezolveecuatiileumdtoarc:

")i4ll-^'

. , i" , '1 =, ',, , . , [ +]=, - r , "t({l=",

ir [4t]1, ]="*z;

b)[?]="-2;

d )[6 r l; ]- 2 ,- I , 2r D[7 * t2 ]=xt h )[!44 ]="+ 1;

,,[ei]=".,r.

8. Strserezolveecuadileumtrtoare:

o,[- - - ']-[''']

z]' .,i-;'i=i-i'i, .''1']-lrl=[r'; l, ",i+i=i",.'1,n[-i']=lol

", i ' i ' l = [ - ; o ],

,'i, ^ i'l=i l,'l-, '+l =[ " t u]

1I. ECUATII, INECUATII $I SISTEMEDE ECUATII - MULTIMEA IN NUMERELORREALE 1. Sl serezolveecualiileurmtrtoare: x ,+ l , = tY r - 1'/2 + tl "' ,fz - I' li;O L. o ) ,/zx

x * t n ,/t r ,tt + t

x

" l:

; r''12

.rf - o.r:4*-l; - ifi - i)=o, d) x +;(x- 3) - 2 - 0,(3)(5x-12)= 0; ^. e) u.(J,()x_l)+l= )!

fl- s

4

,r - 8

-

4

*

x +14 ,:

)O-

- - - 4 "+ 0 .( J) ((r)=o.rtor; /-

r\

g ) 0 . 8 { J y) '- 0 . ( Jr )* t . tr otli - l l = + .1 4 ;: \' ' i - r,s1(r = r; h) 0,(6)(r -;)+

-:)

i)

.1

[:.r]6)xllt . -t

rr l[- s

I 5 5 r+ J 0 . 2 1.2=.s 0 .1 .J0 3 Il 8 ) : \

r

I

.

o.r])J r;-3-+ . r : r l : r rs - 0 . ( 5 ) 2 7 ;

k ) O.(3)(x + 2) = 1.(6)0,(6)(x+ I);

J.5*-r19. tl 4l(*-.l,t.ttr *,. -,lr, t6 0,0 9t'' . ,n)0.r.t) :)l .21_ r = 0: t0.(r) [0.{3].(0.{:r.x. 2. Strserezolveecuatiileurmtrtoare: a) { .{ + l) ( ( +2) + 18={ xr i ) ( x +4) ; b) ;(x+ 3) + 14= (x+ 2)(x+ 5); c) (x + 7)2+ (x + 2)2- 2? + x + t0; 99

d) * + G-t\2 =z? + x -51 e) -r{x- 3) - (x + lXx+ 3)= 5x- 15; 0 x(x- 5 )+ (x- l Xx + 5)- 2x - 5; s) (2x+ l)(x + 2\ + x + 3 = 2(x+ 2)''

o)

3, Sd serczolveecuafiileurmdtoare: I .- I 114 DJ';= ; - .=- - ; a\ ^ X ' z x+Z x + t - + x- t {- l

"tl

x+ |

x

x

.

e)

2 x+I

1

.1 -^ --

a'x+l r :=-1 x

xL_x

x+1

5x-15.

tl^'

r -'

x+.t

x- J ^=

l

I

x-4

x- 2

*-zx+z'

.. , r+ I " x -l

-r- I x+I

2 ? +x +3

,x+l " 'x + 2

x+2 x+7

x._9

4 x+l --+ xt+4x+4

r= r4 + x' 2 "- ',r I' x 1+x

-

5- Jxx' -4 r_ l

, t; x.+ x 2x+ l x + z^

= 2,.-

2? +zx

? +2x+L f +z] + t

4 -x

t- x

^ l -;

- { +3x- 2 8,r - 6. -r,

-

--_:

4+x

16- x'

. i ,? * * * t

rJx - 2

l l l x-! x- I

{- l

5. Str se discule$i sl se rezolveecualiile: a ) x + l= a (1 -x ); b ) 3 x + 2 -4 2 -3 x )i c ). 7 1 -x )-a -x , l)= (a + l)(x + l ) i d ) (r-1 )(x l)(, x - l ) 2 { x l ) ( \ - a ) : er t* ' rlt * -o j' t * + 2)r l) (, rra n x -2 ) I { x a ){ {- 2 ) = 2 l x - a ) f ^ g) (x + a)2= (x- a)(x+ a) + 4; 6. sl se rezolvesi sI se disculeecuafiile:

.2+3x

{ -l

2 ?+x +10 ? +3x +2

100

- .3d) - x

t',1+ t 5r - 5, .a

fl41

7..,

unnetoare: ecuafiile 4. Strserezolve 5+2x ., 4?-2 J+2 x

r '.;r'. t + z^x 7 + l 6 x +4 { '-'^ l 9 i -2 9 5r-8 = 2 x - 5 b) (2 x:-ta 5 x-6 )' nr: t 5 l O x - 4 I q ? -3 x+3 2x + | + 2 x -- l |, .\ -- ' 3x - 2 2 x - 3 6 l --= -1 3 r*6

a)

I

-. x+a t)-+'x-a

..

3

'X-a

l+ a l-a

2 X+a

. -.1

a-l

=4,

+ a+ 1-0. a+l

n

x+l ..x+a ,t \ x _ -l , + -x=_. 'a 3x- 7a - - x + a x + 2 ^ 'D x - a + x - 2 = z ' /-d'

101

2 x- a .X+a m, . = ^_. z x+ a z unde a e R.

n)

: 3a+x

-2

--3":;7='

7. Se sereiolve sislemeleuam oarc:

2) = s [0,(3Xx+ l) + 0,(6XJ,+

o )l ? { E _y+ z_" -' |

7

6

I x+y

x-v

., lrlr +r'f \/l-\rr-' " , lx + l l, ll+ 1 (x + l- I

;

v+l ' \lT+t x-v+4

l al !+ t | 2 4 --

+ ) ) ( y - 2 l = lx - I X Y+ 1 ) . a,' {l({ xx * a t g * 1 )= ( x + 2 X l+ 3 ) ' 3

t x -y + l

,, lx- v- 1 s "'12x+3v-5 lx - z Y - 6 tx_yJ .. fx+J

;

x

n I v+ I

v

[, r rt'*9* lx + 3 x

;

11 - , lx "'12 lx ft

o' 7 -'".

"- ' Il2x - 3 v x + 3 v

I o,r - 0,2 1

l; (2x+ 5 ) ) +;tx + 3y ): 1I

0i;

i

+ 3),t+ - 3).i= s lt(2x rtx

y+ |

ll] = ( x - l ) 2 r tY- l ) z- 2 0

' t)2+Lr"'t))r20 tyt 2 1 2lx*

9. Str se rezolve sislemele:

[ 0, 2 0 .2 5 '(?x+3 y,x t_ 1 ^

(l

{" . lX- -_-| t ly- |

v

"' lL - r l' .,

l; < a + I . 5 ( x - J ) : 1 5

x +4

( x +l l v +l

Y

-\l v+ 4

o'e

l z *- s y - - s

Y

lx - 2 ' lx + z

"

_x L4 = , 6 . . 1 '

d) l, "ir y* r - .^

l' 4

2 3;

tx +y - l c ) {x +y +1

" ' 1 * -tl '

,:l J

'

8. Sd se rezolve sislemeleumtrtoare:

;

I2(2x+ 3yt+ 3(x- 3y)= -tO "\ '' [2(x- JJ4+ 3(2x+3y)= -5 '

t02

. lx

1 3 t 4. 3 1' v4 t 'Y

', 13 I -' lx v

t36

v ^, lx "' 1 2

I

-

5'

Lxyo

134^ . tx

v o)1: -s r'

l x 'y

3

urmtrloare: 10. Si se rczolve $i sd se discute sistemele

u)

(x+v=Z l, u it y = s '

^"'l\a x+l + 24 Y-Y= 3 6' 1fit

.'trl ax+ t = l0 o, ,, f u a + 2 ) ^ + ! = 3 l (a + t 1r +21=. z O ' [ t z u - t ) x + 3 y =5 .

,. x- 2

KJ

x+ I

(a e' ' r J a x+ + l ) / = 5 n l a z+(a + t1 1=2 = 7 t 3 1 ', l tu * l tx+4 !=J. l2 t o \ I (a + l ) x + ( a+ 2 )y= a + 3 ' lx + y = 2 unde R. "€ 11. Sdserezolveecuatiileurmtrtoare:

a ) 1-4= o; c) ro 0l- 36: o; e) l 0x2- 3x =o; g B;-nx =o;

x- I

i-t

I ,. I I ; l ) x +t , + x +t^+ x +-^, u.

I

I

v_A

=0; b.) ,+ l - , x ' -1 x : -2 x x ' + 2x lllx =u; ci ) { , + I {+x x a -x ^ ' -1 1 l+10x+5 ,, 8 ol , + , (-lr+ l r' I .r r , \ ' - ( , I I I \ "- , .2*., I \ + 2 \ -r^ ' -2i * 2 x ' ^1 36 rl t2i + 36x + 2'.' 7 -. = t' + x+ 8 : i) *

12. Strserezolveecuatiileumdtoare: { }-3x + 2 = O ; b ) }-5 x+4 =O; c) 2; -5x+ 2 = O : d ) 6 l -5 x+l =0 ; . er 2l-J x - 5 - 0 : t) 5 .? t t4 x-3 =0 ; . 5 x + z = 0 : 3. x : E) h ) l _ 4 x+l _ 0 .

. i* 6

f)

,{- I x'

5x+6

: lz i* : l t -2

x -l + . x'-3x+2 -{ . -4 -{ + 3

-0.

15. Si se ar.rlectrecualiileunn oareau rtrdlciri reale: a 7 i-7 a x + , 2 -l= 0 ; b ) 1 2 - (3 a+ 2 ) j + 2 a 2+ 3 a + l : 0 ; , 1 t 2 - lrx + o )-l|= o ;

x+ 2 l -1

. { +l x- l 25 r+l ,+?_2x l! f t s rx-l'x;l '1 2 : h)* -l * r-: x+l I -3 x +-1 i ) '1 * ' - 9 ! 18 . i ) - -J --q x-3 x+3 l-s'"'x -1 x +t ? _ l' 1(X

2.

14. Strserezolveecualiileurmlloare: .111 a) a+.+ - + x' - 3x+2 .( - 4x+ 3 1- 5x + 4 l - n. -' 11 5x+ + ;( .r 2 5x+ t, 1 " '

q 4;_25=o; d) 49?-1=o: f) t2?-5x=o; h)22?_3rx=0.

13. Sdserezolveecuatiileurmtrtoare: a) (x + t ) 2 + ( x + Z ) 2 = l Ox+ 3 ; b) (x - 1)2+ (x + 2)2= (x + 3)2- 4x ; c) (x . - 3 ) 2+ 2 ( x - t ) 2=4 x+3 ; d) (x - 2)2+ (2x+ t)2 = (x + 3)2+ 5x - t 1 x+1 x-I ^,/ x + 2; = - 2 - x E. ^r J - f - = x+J x-1 ^: x-1 x+l

+

:

d) i

_n.

-z (a + b ) x + a 2 + 2 a b , 3 * -0; e t i - t 2 a - . \ l, tt + a 2 . . \a t , +2 i = 0 , f ) x 2 -(a + b ) x - c (a + b + c ) = 0 ; 91 x2 - 1a+ b+ c) x + ab + ac=0.

105

20. Sr se rez.rlveineLuafiil!urmaloarei

16. Strse rezolveinecuafiileunntrloare: 2 x+3 x-2 x+ I ^ c) o) a) -- t > u^ l r-

c)

l-'0

|

x+6

e)

^

h)

5x + '1 ^

6 x+3 )x-

^

I

-2 x+7

D ^

2. x --\x+! a) 7

^

2 x+5

^ c,

3 x+5 i.) 2 x-3;< o -j

e)

-l x+8

,

, < U^

K)

x'

>u-

5x+4

1 I

U^

f)

x '- x +1

2,

- 2 X +Z

,

"

x+ I

L2

a)

2x+7

-

6 -r+ 3

i)

'7 x + 5 . ^

-

. x- l

^ 2 x+ |

. .1 x+5

.,7 x+ |

n)

-

; u^

x- +6x1 7

t) ^

^

+x +) a+x

i J.i --t

>0.

21. Strsedemonslreze ci inegalitltilede mai jos : a ) 2 x 2 -6 x + 5 ' 0 , b ) x 4 + 3 x ? -2 x + 2 > 0 , c ), r4 -x 2 + 4 x + 5 ' 0 ,

x-5 x-1 ,. t)) -< x+ r x+-1 2 x+ 7 ,,2 x-l Il^

rDr o)

19. Sl serezolveirecualiile unntrtoare:

. x+1

r

tir

18. Strse rezolveinecuatiileunnltoare:

a1 l-3x +2 ' 0 c; x 2 -5 x + 4 < o e1 12-8x+ 1 5 < 0 e) 2l-3 x + 1 > 0

. f +6x- 7 , 1) >U a. ,

,.6 x+1

.

x- - 9.f',

h)

17. Sl serezolveirecualiileurmtrtoare: 2x+ 1 . ,7 x+3 . .5 x-l ^

^

, l' 1 rl-5 rl-

t l' 0 .

e ) x 6 -2 1 + x 2 + 4 x + 5 > 0 , f) xa+2x+3>0, g, *l

2 rl* 2 r2 + l' 0 .

h) xa+,1x3+61+3>0, au loc pentruorice x€ R. 107

22. Sdserezolveecuafiile: a) f i: T = 3 b ) 1 4 -x=5 a) r6xl5=1 e) '[i7:l =4

c) 1 6 -x = 0 0 ,tZx+A=5.

23. Strserczolveecualiile: a) , 'lx + 2 = x b )V F i 5 =x

c)y'F T =x- 3

12. INEGALITATI

24. Si serezolveecualiileumtrtoare: =5 b) ,E=a + lIi-a { tG+1 +'lx+6 = 5 c) r4xT3+147:5=0 d) ,,/3Vi + tG + q-= 'l e) ,'/V=a +tlt - x = 12 D ,,/Tx73 +tG +14 ='7. 25. Si serezolveecualiileurmitoare: a) \tE 7 -\/x;Z =| b) '/Zxl1 - 'Ix +1T = 4 c) lG 5 1 7 - x = 3 d) ltr i -"qi=2 e) \Sill - \qi1 - 3 , \mVIa - '{i +5 = 4.

ctr oricarear fi 4 4 c€R sunt 1. Str se demonstreze adevrrateinegalitltile: ' a1 u2+ li+J+ 2@+ 6+c) +3>0 4b- 6 c +14>o b1 u2+ l+J- zo .1 o2+ t + J - 2uh- 2c+ 1> 0 a) z( ? + I + J) .Q+ tt+ c ) 2 e1 a2+ t|+ J> ab+ bc+ c a D (] + i)(u2 , J). G2 + rtc)z Bt l) a - r ht cJ:zta- ) b- 3dl - 3a' bt 2c l 2. Strsedemonslreze cldactr

umrtrloareleinegalj1trli:

b)

a) a+ b>2,'/ab ; 411 a+ b- a b' a+b lll

26. Sf,serezolveecuafiileurmitoarc: a t?lJ +,,/x76 =tZx + 9 b\ ,/VJ +'/x++ - TEVTTI

",

,> 0, alunci suntadevtrrale

ab

a+ b

a'+ If 1l

f)

a+ b

ab^

c ) ',D x-7 + l3x n = V 5 x + m O)'tl x + I + \ X + I = \ l Z X + 2 l

e) tG75 +'[i:3 u v x + / +vl,{+ t

3. Strsedemonstreze cldacd a, D> 0, alunci suntadevfuale urmltoareleinegaliltrfi: a+b+c ca bc . ab '' a+b b+c c+a2

=,/Ii7A - v jx+.1u

27. SI se rezolveqi sb se discuteecuaiiileurmtrtoare: =a c),12x+l -a a) t/i:l b) V ITT=a

l ) rG1 =a

e ),'/V i =a

D rD x i a = a .

ecuatiile urmdtoare: 28. StrserezolveSisdsediscute

u1,,17., =r+ | ,1 ,,/7i = *- t

rt,,/7i =*- u d)V .Y .-l=x+a 108

.

"

r

r

l

t(t

l

l\

b c). c + a -2 \ a ( + a' a ' + b ' lf + , ' i , + >a|D+.; c) a+D D+ C a+a b+c c+a I I I . a+b -' ] , i a b c. b2*,z ?*a2 atb

b+,

109

"l

it+b h+. * . ,,

+

t+a >o'/

REAt-E 13. I,lllLTIlll DL NtTNIERE

{. Sll se derNnstreze cl dacl z,4 c> 0 , alunci sunl adevlraleunrlloareie inegaliltrli: a) (;r + 6) vT + (D+ c)-''/a + (c + a)',/tt >O'/atc:

l. Si se delefininenrullinreaA. tliind cl:

o1 4 = {' r €RI "^, - ::r u.t u. +

l,; (:rr+ 1,r)c+ (62+ ,2) u* (,2 * b.6 ubr: "2\ . i (n r* t r ) ( t r + c}(1 2 *o 2 1 r8 **J; l',,-

c \ /

' " ( . ,* .,. ) ( o+ ;)

('r+ rJ)

.t) -1 t' + rt L + r' , > a/)c(J+ /r+ r'l: ,, hL rL ab r)) _ + /)+ L'>a+D+c, t'lrtabc ,t+ t* l)

. >

r'i1

+

+

l

,.1

u )l+l-+; I ; l

.l) al+ bl .

I ; 8

a-'+D'>

ab; 2,2

f)

i

7, Si se denlonstrcze cl dactr4r.c€R aslfel incal :r + /r + c - 0, atunci sunt adevtraleurmitoareleinegalilili: a)

b\ ab+ bc+ ca < O;

(-a + b + c ) 2 > 4 (a + b - c) (a - b + c\; d) (a - l / ' ) r > ( h - a c)(c-a l . 0

c)

- t- 1, x-.\'

A ={x € R t1 _i: : ; i } , fl a = { .r e zl

, 1 r+ I

4 a= { r enl.l- r +

6. Si se dernonstrezectr dactr 4 6> 0 aslfel incat r+ r= 1 llulrci \unl adevtrraleunnlloarele inegalillti:

.1

l-=

|

l-L+ I x+2

.r

2. St se delenninenrullinrea A.5lii d cl:

, l ) ; r r + l i + t!>a b t( a+b+c).

.

l.*

a 4 rrl ^1 2 -r- l 2 - t + 1 1 g ) a .= { xe n l r+ l -t + i r

.aI )

I .+

A= lr €Rl

= ( r + 2 ) i x+ .1 ) } ; a = { x e n l- r { x + l)^-l

5. Si \e demonslrezectr d!!cl a, b, c>O , atunci sunl a(ievXrilleumrXIoareleinegalitili: t,t ,tt rl

.l

a={xeNl ] i' - 1. ]1 ' -1 ='1 , c)

> rJ.

- 51:

7 l, alulrci: 74. Sr sedemonslreze

llx+ tl - lx lll'

1.

75. Sl se detemrine.t € ( ,1.,1)lslfel incel:

r +l l .l l r-l l +r.

7 0 . S1 .c .l r r cr r r rr 1.,,i16x . a € R , aslfelincatsistemul 83, Sdsedetermine *- Y =t [ lax+y =- L' straibtrcel putindoul solulii. a € X astfelincatsolutiilesistemului: 84. Sdie determine | ( a+l) x- aY- l l( 2a+ l) x- y = a+2 propo ionalecu 2 si 3. strfie a€ R, astfelincatsistemul 85.' Si sedetermine I x+ Y- 3 lax+ 2Y=5 sr aibl snlulieunici. 86. Strsedeteminea€ R, aslfelircat sistemul I x+ 2Y=3 lax + 4Y= 6 str Sa se rezolve 87. ti sediscutesistemul: lx+ Y= a 1y+ z= b,\nde a'hc eR

l"+ ' - " tunc 88.Sacon'iden tiaf : R' R.(d =hJrt , ; : I

Sd se trasezegraficul functiei f caretrebeprin punctul A (5,2). 5 -r 89. Fie E(x) - sl.

valorilelui x € Z Sasedetermine

penaucare-E(x)< 0 siE(x\eZ 1r 1

90. Seconsidertr functia x3 l R ,ftx.t=) . ^x r l _ 2 x 3 , x> l . Sl sedelerminevalorilelui ,i e R. penrrucare/(x) < 0. 91. Sasesludie.,e monoronia funcfier: 1 ,x2 x - 7 esteverificat de :

1 3 x - 4< 2 x+ I

, ); a ) x e ( - l, 1 ) ; b ) x e ( - z , s1 ; c) x€ ( - co 1 1 ): e ) . r € ( 0 , + c o ) ; d) x€(1, dac tx 2 x - l sunl simullan verificatede odce x din intervalul : d ) 1 0 .llr b ) l-5 . 2 ): c r, " ( - / . l t : , l J " ( 1 .- d ) : e ) " ( 1 .2 1 . I ) rt t ; +: : : 5 . S o ln lias is le n ru lu.i] ] { " e s r e : t+

5 . D a c t r4 b e . R +-{0 }, a stfe li n ca t } + i*ad..u+b) , atunciintre a $i 6 existtrrelatia: a ) a -b + l ; b ) a = b-3 ; c) a =b , d )2 a =lr e) a+ b=2.

..r".

I

lxy a) x=1,y- l; b) x:1,y=3;

,

c :)x =2,y =3;

Il 11

d \ x = j, y = i; e ) x = t . " v= ;. 6. Dactr4 r€R, aslfelincat a+ 6= l, alunciexpresia E(a, b) = a3+ D3+ 3aD ;:re valoarea: a ) 0 ; b ) l; c ) a - la d ) a+ 2 1 e ) a - 3 b . 7. MullimeaX careindeplinetre condiliile:

i) x ll2,,1.5l = Oi iD { 1 ,3 cX l

iii) XE {1,2,3l este: a ) ) ( - { ll; b ) x = [ 1 . 2 i c) X= i l .]r d ) X- { l .a .5 l : e) x= [2. 4ii. 129

TESTUL 9

TESTUL 8

l. Valoareanumdrului ll

1. Valoareanumarului

N= 0,004: t0-3+ V500+ V3O-

I, ecua l i al x + l r - t I l = , mile solufia: a) 0; b) l;

c)tt;

d)

n- l

m +l

2lel

R N. f@ =w]' 7. Fiefuncfiaf: Atunci f(1) ia valoarca: a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) a' 135

2'

[=]

TESTTJL 14

TESTI]L 15

1. ValoareanumArului

1, Valoareanumdrului -A/=

7 + 3(2;- 0,(r)+ 0.(6)).*

0,(0a): 0,(a0)

".t2;l - "'lo,r

2. Formaceamai simpltra numtrrului + 1999,&76) .. 1998,1( 23) /v = esre:

tv- A,

2 . M ul tim e a,a = I r €R | . >01[lNare: ' tz-x ) a) I element; b) 2 elemente; c) 3 elemente; o) 4 elemente; e) 5 elemente.

1998,(4);b) 1998,5(6);c) 1998,8(9); e) 2000.

n) 1999;

3. Fonnacearnaisimplta fracliei F= J. bxlre\la a) n - 7 ;

la valoarea num& nalural.penku: , I I b) n- 6 ; c) n=3; d) r=2; e) n=0 .

]t*?*t*t & +3b+2

esle:

4 , t i c ua lid l ^+ll{lx-21*5 are un num lr d e s o lu lii egalcu: a) 0; b) 1; c) 2; d) 4; e) 5. x+4 {x+l *' 5 . s o lL r lia sister n ului]/* | J ..,., x lx_ I |'=-''. ly-t f+r a) x = l , y =1 ; b) x=2,),=2; c) x-2,!=3: d) x = 3 , y=2 ; e ) x= l, y= 4. 6. Numlrul de solutii ale ecualiei VT- x +r&-7= este: a) 0; b) l; c) 2; d) 3; e) 4.

este:

0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

este:

a) 60; b) 70; c) 80; d) 90; e) 100. .

"V2.7+ V0,1

2

ul "2.r b , )t

o)

u 2 rr b+ 1: ')

a 2 . t2 , . a 2 . 2 b+ lto' b, )t

')

a2+3 b* l'

4. Multimea .l : {r en | | x + I | + | x - I | = 4} are un numar de elementeegal cu: a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4. 5. Distanladinlre doul localitili I Si B esle de 1200 km. Din acestelocalildli,in acela;i timp, pleactrdoua h€nuri accelerate,unul cltre celtrlalt,unul cu vileza de 70 km/h ii celdlalt

cu vilezade 80 knvh. Trcnudleseintalnescduptr: a) 2h; b) 4h; c) 6h; d) 8h; e) 10h. o. Jolulfa ecualel

x+ I 2

-.*|

2

=

x- I 2

este:

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4-

7. Valoareasunei 11+- +...+ - este: J^=1--

r+vJ v J +v) a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

t36

,119+,'/El

12+) r +1 7. SolutiainecualieiL- :#

. 0 este:

a) (0, l); b) (-1,0); c) [-1,+@); d) (--, l); e) (3,+*). 137

TESTUL 17

TESTUL 16

L Valoaraenumlrului

1. Valoareanumztrului

:o,r- +- tfls:fr n=(5-14T16)

+fi e'te:

7 + 3 ( 2 ; - 0 , ( 3 )+ 0 .( 6 D .*

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

2. Mulfimea.4 * {x € Rl mx + x - 12}ire un elementdacd: a)m , , -2 ; b ) m = - 1 ; c)m,,0 ; d )m*l ; e ) n*2 3. Dacl a 6€R, astfelinctt a+ b- 1, atunciexpresia n1a, t) = aa+ ta -z(ab- l)2 iavaloarea: a, -2: br -l; cJ 0: d) l: e) 2

a) [0.ll;

b)

oo,

c)

,o: d) ,o: er no.

2. MultlneaA =[xeRl2] egaldcu:

- 5x +2= 0][)(0,+co)este rI

I rt I a ) II.2 l; b ) ll.3 ]; cr { 2 ,3J:ar r}; er {r. ]]..2f. tt

4. Valoareaexpresiei a -I a+1 t-. t a )=

" .t.,

a

d) II. +'"o):e) '(-co,11. 6. Fie x€R - {-3, -4} $iJ'e? - {-2, -3}, astfelincat I x -y-l -

3 lx + r t +y2 .

l x+ lx+4 Y +3 Atunci diferentax- / ia valoarca: b) -l; c) 0; d) 1; e) 2. a) J;

a ); rrl:

br a

1- 3 a esle: )

a-l

a--2

lic )-) a --a

t J)0;

e) t.

5. Fie .?,4 c€R astfelincat a + ,+ c= l Atunci expresia D(a, b, Q = ? + i - J + 2ab + 2c are valoarea: a ) -2 : b ) -l; c ) 0 ; J ) l; e ) 2 .

6. valoarea numtrrului .v- 6l n6 - f-ka) 2; b) 1; c) 6; d) 8; e) 10. fx+ll

1. Fief:R- R.f(tr)=lxr t1+1 , j-i Atunci l'(-2) ia valoarea: b) -1; c) 0; d) l; e) 2. a) l; 138

50,

t

b) [-t, tl: ct [-:. zl;

.

lltr

. x+t x -t 2- ^ - + x - 6 J . lE ^ u a lla -aresolulia: J_I+x+I= a )r= -5 ; b )x = -4 ; c )x = -3 ; d ) x -: - 2 ; e)x=-1.

4. Valorilelui x, /€4 caresatisfacecualia i+ f + 2 = 2 ( x + Y),su n t a) x = 5 , y - 1 ' , b ) x=1 .,y--5 ; c) x=2 'y=2 1 e ) x =-l ,Y =2 d) x = l, y- l ; 5. So l u t i ian e c u a l i e i " 4 -,2 ? =* 4 .0

u)

f r-il

) I

".t":

O.are 7. Sirremul[::,':.: o infinilarede sojuliipenrru: lz x + a y = 6 a ) a = 0 ; b ) a = l; c ) a = 2 ; d ) a = 3 i e ) a = 4 .

139

TESTUL 19

TESTUL 18

p] -r J1 ,13'-r,1, *lt*3.) r.Fi.Nr=(,1 'r 'l "' t'' l-

Ab. | : [.2.(0.002:s'o)* *].etun.i

N, 'AA arevaloarea:

a) 0; t) i; c) r; d) j1 e)2

3. Valorilelui a€rR,astfelincatsoluliaecuatiei t 1 = 0 safie strictnegativd'sunt: + ;' 4* x + z 1 +3 x+2 x -l l l a > 2 ' , c) a >-3 ; d ) a 5:

I I '' +x_ 4 . S u lu liae c u a lre r: f x rl

d) x>2:

e) )=3

.4*..t", l_ f"'''

a )0 ; b )1 ; c )2 ; d )3 ; e )4 . carc verifici ecuafiile : 5. Valoarea lui x € 2 x -3 = t + l9 iy '^/ x +5 = x - 1 1;c) 2;d)3;e)4' e s t e : a )0 ; b ) 1 "r 6. Fie a, , € R astfel incat a'll = ;. Atunci fbrma cea mar simpltra expresiei -44 b)=(] + * + l)(a2+l-tleste: a 6 +b 6 ' u ) 1 2 * i, t ; u ) i+ f ;.1 a4+b4:d) i+bs:t) 7. Numirele a ctrror sumtr este 16 $i carc lunf Proporllonale c u 3 s i5 s u n t : a ) 5 ; i1 l; b ) 4 $ i1 2 ; c) 6 e i 1 0 ; d ) 7 e i 9 ; e ) 8 e i 8 ' 143

TESTUL 22

TESTTIL 23

1. Valoarea numtrrului: 0,(3)+ 1,(6)+ l,( 17)+ 0,(82) este: ^r=

ll. valoarea numarului lV= I0-l+ tO-2+tO-l- -l^l 1000 esle: a) 0;b) 1;c) 2;d) 3;e) 4.

a) 0; b)l ; c ) 2 ; d ) 3 ; e )4 . 2. Formaceamai simpltra expresiei I I I n rl + ) - ) ual= ) -p -l -r.v.,J -r " .4 e ,\-l a'-a t+a a '-l este: .a - l . a +l a) , ; o) ,;cj

..

I 2

a

.a -2

2. 30 Vodm 20 Vodln2000reprezintl: a) 100; b) 110; c) 120; d) 130; e) 140.

..i_2"

J. forTnacea mar srrnplaa lraclret

.;

.

a' - 2 3. Valoarealui x € -.y' careverifictr ecualiileI - t - O si x+ 2 = 2 x + l e s t e : a) 0; b)1 ; c ) 2 ; d ) 3 ; e )4 .

a'+2

a'- 2

- 4

a+J

a" +3

4. Mediaarilmeticda numerelorllf - 3 l, lV7 - 5 | ".t.: a) 1;b) 2;c) 3;d) 4;e) 5.

lx + ) r = 4

m:L JE i miAl e-l xe Z l Z l0 esle : a ) . r= l; b ) x = 2 ; c ) x = 3 ; d ) x = 4 ; e ) x = 5 . 6, Valoiuealui x € R careverifictrsimultaninecualiile 4x+ 1 > 3x+ 2 fi 5x+ 2 < 4x + 3 estei a )0 ; b )1 ; c )2 ; d )3 ; e )4 . 7. Fiea,De R astfelincit a + b = 1 si,ab z | . Atunci expresia-Qa. 6) - $" 1 -t-4 -t (a b - t )' a )1 ; b )2 ; c )3 ; d )4 ; e )5 .

ia valoarea:

147

I. NIJMERE NATURALE 1.1OPERATIICUNUMERENATURALE 1. a) 12: 75; 102,8'75;'75222. 6 ) 2 1 9 9 ;1 1 7 1 ;2 7 9 ;2 7 82',3 :2 2 . 3. a) l0; b) l1; c) 214 . a) 9 9 : l , ) 9 8 ; c) 8 9 . 5 . ar 1 0 0 : b t l 0 l ; c, 1 0 2 ; d ,) l 0 Jl e t 2 00 6 . a ) 9 9 9 : b ) 9 9 8; c) q 8 7 ; d ; 9 8 0 : e l 8 88. 7 - a ) t l l : l l 2 : ll .l : l 2 l ; l )2 ; 1 2 3 ; l .tl: lJ2: l.ll: 2l l; 2t 2 ; 2 t . r ; D l . 2 2 2 -2 2 .\:2 {l i 2 .1 2 2; .ltr Jll: 3l2i 313; 3211 322. 323: 331l' 332, 333. t j. a) 1 3 5 ; 1 5 3 ;3 1 5 ; 3 5 1 ; 5 1 3 i 5 3 1 . g. ai 15'72;1'/52; 51'12:5ll2:. 7152:'7512 10. a) 20,15:2105: 1025. 4205. 1 1 . ai 1 + 2 + 3 + 4 +9 6 +9 7 +9 8 +9 9 = I + 99+ + 2 r98 + 3 + 97 + 4 + 96 = 100+ 100+ 100+ 100='{00' 13. a) a = 2: b= 9: c:- 2. d : 5. 14. a) 1998+ 9989- 998- 989= 1998- 998+ + 9989- 989= 1000+ 9000= 10000. 15. a) 1 + 2 + + 4 9 9+ 5 0 0= (1 + 5 0 0 )+ +(2 + 4 9 9 ) + + ( 2 5 0 +2 5 1 )=5 0 1+5 0 1+ +501= = 250501- 125150. c l) 5 + 1 0 + 1 5 + + 1 0 0 0 0 -5 {1 +2 + +2000)= : 10005000 = 5 1000'2001 membrucu menbru cele trei relalii a) Adunand 16.

2a r 2t,+ ) , = l) -, a+ h c b Din a c e a ' ilire olrrilJern iu merlrl'lJcele trei rel ; lir o l' lirle rrr: l "ii e r c vtn.l tr r er n btn (. f + D + c) ( D+ c) = 6 - 5:' a= I ti analog 2 ' c = 3 ' '= Atunci a1r= 123. 106. 17. a) l0,l; b) 129; c) 18. a) 800; b) 960; c) 993. 19. a) 1699;b) 2099; c) 1059. q99l 20. a) 9Y00: b) s95q; 2 1 , a) 50 ; 4l; Jl; 2.1: ,-l: ht 70: 8l; 92' 22. a\ 125 1725+3751125- 1250'42- 500 1\)= = l'125(lZ5 +375) - 52500- 10000= 1725-500 - 62500= = 862500- 62500= 800000. 148

23. b +c = 3i a +b = 2 => (b + c) - (a + b) = 3 - 2 => 2( b+ c\ + 3( .a + b) =2.3+ 3.2=12=>3a+5b+2c =12. Atunci-g=(c - ax3a+ 5b + 2c)= l.12= 72. 24. a- b+ b+ c= 3 + 5 => a+ c =81 3'(a- b) + 4.(b+c) = 3.3+ 4.5=29 => 3a+ b+ 4c= 29. AlLrnciE= (a + c)(3a+ b + 4c\= 8.29= 232. 25, 3.( a+b + c) - ( a + 3c ) = 36 - 10=8 => =>2a+3b=8. ( a+ b+ c) + ( 2a+ 3bJ= 6 + 8 - > 3a+ 4b+ c = 14. Atunci.': 8 14: 112. 27. Aplicand borcma de imptrrlire cu rest peltru numarul x, rezulll cd existtrun cat C $i un restR * 3C, aslfelincatstr aibi locrelalia: x= 21.C+3 C=> x=24.C => C< 3. C- I => x = 24; C= 2 => x = 48 ; C= 3 => x = 72. 28. x= 10 C+3. Se studiaztr toareposibilirlfile,adicd carex sermpane exacr 9 0, 112,, 9 $iserefinevariantain la 11,adicdC= 3= > x=33. -29. Obtinem a + b= 3705i a=4b+2O=>a=300,b=70. 30. 450si 60. 31. Nt = 2r +2 + - + 50- 22551- 2t275 - 2.4637. 3t16

N2 = il+ 2 + -+ 3 5 -3 = 3 6 3 0E. v i d e n ltr ' y, N 2 . * 2 + + 3 0 _ 3 2 . Nj = 2 6 0 0 2 .1 2 6 0 0 .2 1 5 . 3_1 _ 2600. 2465_ 2135_ g45. 1 7 2= 3 3 0 0 . 3 1+ z + + 2 0 _ 33 0 0 . 3 1 0 . 2_13 3 0 0 . 3 2 1 0 _ = 390= 9a5. Evident ,l/2 > in.

ls. a; ,rr1= iz7)2s= t2825; ,,rr2 = 153;25 = t2525; b) ,vl - (37)20:218720 ; th= (ta)20= zlol,20; = = c) l/1 (41)100256100; = 2o,too. 1,,2= i3s;100 = 34350 d) ,vr = (73)50 = 24350. ; w2- 12s150 = 36. a) rr,r1 = t55522s - t56ZS25 - 51s0 156;25 '

= (2.6s)25 - 225.612s2.88.612s ,2.68.6125, - (2.7716)2s 149

= N:. 2.6113 6133 ' ' = 1 6 3 8 +2; 1N r = 5 1 2 5 .5126= b) ^ ll= 4=11562521 1 7 = ( 4 7=> ) 2lrp 1 itl:. = 156;21 =256t2 Nz=930= 360= w1 = 832= 296= 128112 "; = z+:12:' N1 ,A/2. = 13s112 ' a) ru1= zee= izl119= 20489; N2 = 933= 366' 363=

= ztsle =' ,v1. .v2. = 1:71e

sau sau a:3; b = 5 3 1 . a ) ab = 1 5 =>a=l;6=15 'indeplinesc = = concare a= 5; b:3 saua 15; , l. Solutiile difia a + 6= 8 sunl:a= 3; D= 5 saua = 5; 6= 3. 38. a) 12sepoalescrieca l 12 sau2 6sau 3 4 sau4l sau 6.2 sau l2 l. iar 20 se poatescrieca l-20 sau2 10 sau4 5 sau 5.4 sau 102 sau 20 1, Studiind cele doud descompuneri oblinemb=,l gi apoia= 3 9i c- 5. qr+ll=h-, J 9 . a,; I r r - n- 0=> => l , x + 1) =2 3 :> x= 2. 4 0 . a ) xt+x=5 => 4y+ l)=5=> 4l+ 1 )= l 5 s a u = => x:11y+ l:5 saux= 5; /+ 1 = I . A lu n c i -r ( y+ l ) 5 l \ = l : J = 4 .au r '5 :y= Q. 42. db :1.5. 13- ab =61.. 14. ab ='1'1. 4 5 . N= 9: + 99 =9:(a+ I l) ii se'impa(ela lT d a c t ra = 6 5 6 . i = t] = ,l}a+ b= i =' 10a= b(6- l). De c i , s e di v i d es u 5 sa u,- i sedividecu 5 5i a6 -25sa u a b -3 6 . b= a+ c+8=> a+ c=0s a u r+ c = l. 5 8 . 6- a - c=8 :> => fals Dacd a+ c = l D a c t r a +c:0=>"=c:0, a = 1 , , =0 r i b ='r .Deei ab. = 190

39. abc = cr =, L00a+ 106+ c = c-':' 10{ 10a+ 6) = .{"2 - 1; -' 10J = c(c- 1Xc+ 1). 60.\56e =G =, abc= bc2 =, l00a + l}b + c: bcz => - , l 0 0 a+ l r c + b ct => a-

A- ,t h . - 1 \ *'h ' de un. ie re z u lh e t r

unul din factorii 6c,6c - l trebuiesI se dividtrcu 25150

I.2 MULTIMI CU NUMERE NATURALE

1 . a ) , a = 1 01, . 2 .1 , 4,5 .6 ,7J; t r )A = : lt . 4 . 1 .r 0 ] ie ) .4 = { 5 .r 4 .2t . 2 6 .2 e .J0 } . 2. a) .4= 10.lr 2.J. 4. 5.6.1: L ' ), a = J 2 . 5 1O: , 4 = 1 0 .J.8l .5 l .

r 2.r o ] d r )A ={r . 5 . er r, }. j. ". 14: [ 0. . e: 5. n=lr,l,4toj.

6 . X- lr , 3 ,5 1 . 7 . xn { r ,3 ,- 4 } = 1 r ,|i =.1,3ex Ti nand conr;i de

ionJiliilebr ) i ( )r czulr 5 r € X=> X = tl . J . 5j .

x-:l112'.ij ?: ll. ,4 = il. Jt,

1s.x= {1,2i3};Y.=1'4:5,6]..

20. Din J.fl r= {1, 2} rcznltt l,2e X 1, 2 € X Cum 54.X- Y r i 5€- ^flI' r ez ul tt 5€Y- X, dec i 5G X y=].1,2,3,4,51 Deoar ece ) .tJ r ez ul ti c tr 3,4€X s au 3,.1€ ysau3e - tr ti4e ys au3€ I'9i 4€Xl ns i Xz uem ai nulle elemenledecat,f $i,atuncirezuhl ctr 3, 4 € X Deci

x= 11. 2.l. alri {: 11, ?,sl. 2r. x: {1.2.31; Y=t4.5.6,.

I.3 DIVTZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE t. ., l5' r t - .,,n*t.5 na i n+ 2 5n= 15' r 15+ 3.3T5"+ 12.3" 5" =15" ( 15 + - 3+ 9) = 27.15" ).2n+ 1 + 1.2n + 1 jn+ d) 6u+ + 3n - 6" + * 2.6n+ 3.22.6"=e"it + t8 + 12)= 31.6'. 2. 3 + x + x + v = ll - > 2x + v =8. Ti9 re dividecu 2 dacaJ,c 10.2. 4.6. 81. y- C:> x= 4;y= 2 => x=3; y = 4 => x - 2; y =6 => x = 7i y: 8 => x= 0. Numerelesunt:3008;3332;3224;3116;3440. Celmaimic dintreeleeste3008$i celmai mareeste3440. l5l

3. Existdur singurnwl].lr22222. 4. N= 3 ( l + 3 ) ; 3 3 (1 + 3 ) + '+ 3 a e (l+:1 = = 4B + 33+ . + 349)careevidentsedividecu 2. => 6. Trebuieinrleplinitdconiilia x+2+x+2=3k =>2 x + 4 = 3 k , k € N . -*= l= > 2 r + 4 = 3 * > 2 r = -l n u co n vi n e i - | - 2 = > 2 x r 4 - h => )x= 2 -> x= | .,t = > 2 x . 4 - 9 => 2 x = 5 n uco n vi n e : -. 1 - k = 4 => 2x + 4 = 12=> 2x - 8 => x = 4; - k = 5 -> 2 x + 4 = 1 5 = >2 x- I I n uL o n vi rre i - k = 6= >2 x + 1 = 1 8->2 x=1 4 =>x=7 ; - k - 7 => 2t + 4 - 2l => 2x= 17nu convine; - k = 8 => 2x + 4 = 21 -> 2x = 20 -> x = l0 nu convine. Numerelesunl:12I2i 4242,'l2'12. 7 . b= a + 1 ;c = a + 2 => a + b + c= a + a + I + a+ +2 = 3 a + 3 = 3 ( a + l ) 8, i27 + xffi sedividecu 3 dacdsumacifrelorsedividecu 3,adic d x + 2 + 7+ x + I + x+ 5 - 3 x+ 1 5se d ividecu3,ceea ueesleevlcenl 9. N u m t r r u ls e d i vi d e cu 3 d a cdx+!+ z+ y+ z+ + t + z + x + y ' 3 x + 3 /+ 3 2 sed i vi d eo u3 , ce eaceesleevldent. 10. NumtrrulN se divide cu 3 daotr$i numai dactr a + b + c + b + c + . : sed i vi d ecu3 , a d i c!a + 2 6 + 3cseclivide cu 3, saua + 2b sedividecu 3. t z , N = 1 2 1+ 2 2 1+1 2 3 +2 a )+ +1 2 9 9+2 to01=2 (l - 2 t + 2 l t l + 2 t . *2 u u i l +2 )= .,. .-1 =Jtz+z +

r/ .99,l.

+ 8) = 13. N- 8(1+ 8) + 83(1+ 8) + + 81e(1 =9(8+ 8 3 + + 8 a e). in. , l= t 0 0 + 1 0 x+x+2 0 0 + 1 0 x+x+3 00+ lOx+x= = 600+ 33x $i se divide cu 5 dacd-r = 0 sau 'r - 5 Aluncl 765. N= 600 sau 16. N = V^/= b c + l l c + c= 1 0 0 a +1 0 r+ c+ l Ob+ c+ c: dacl - I 00a+ 206+ 3g caresedividecu 5 dactr9i numai r .{ = 2 - > r \/:3580. 21. N= lll(a+ b+ c), caresedividecu 10dacipinumai dacda + l-'+ cse divideprin 10. 22. N= (2t + 23+... + 299)+ (22+ 2a+ -. + 2r0\ = = 2(1+ 22)+ 2s(l + 221+ ...+ ze11t+ 221+ + 221t* 227+ 2a1t+ 221+ ... + 2981t+ z2y= =5( 2+25+ ...+ 297) + 5( 2 +26 2 +- ..i 298) s i dec iN s e di videcu5. Cum/y'sedividecu 2, rezulttr cd,^Isedividecu l0_ 27. NumtrrulT2341se divide cu 4 penlrux = 4 \ii ,y= 8. Nunllrulcdulilteste12348. 28, Nu[llrulesle123400. 29. N= lIl( x+y+ z) 9i s edi v i dec u 9 dac tr x + Jt'+ sedividecu 3. " 30. Punenr conditia l+2+ 3 +4+ x + x = 9k , k eN - *= I => 2x = - 1, fals; - k = 2 => 2x = 8 => x: 4 $inumdrul esle123444; - k=3= >2x=17,fals; - k > 1 => 2x = 9k - 10> 26 => x> 13,fats. 33.. NumereLe sunt:12300:'12325]'12350;12315. 3,1.Numerele sunr:98700;98725;98750;98775. 35. Trebuieca 7x strsedividdprin 25, de underezulrtr.i = ,Y 5. Atuncinuntrruleste5675. 36, Pentr up=2 numer el e?+1,p+3,?+5 dev i n 3, 5, 7, decip: 2 estesoluliea problemei. Vornirtta c{p - 2 eslesingurasoluliea problemei. (Jricenumdrnaturalp> 2 ia una din formele3k3k+ l, 3k+2,keN. Dactrp - 3,t,atuncip + 3 = 3(-k+1) 9inu esteprim.

Da c ap = J l ( + l , a ru n ci p +5 = J(k+ 2 ) si n u e\lepr im. Dac ep - 3 *+ 2 , a tu n ci l n + I = 3 (*+ l )si n u eslepnm' 39.;=2,b=5,c='l ; ; . ; =, 1 . 1 2 , 3 r * 3 a ;* 1 .ts* Jo+ 3 7r 18)+ 19 rB 7 + (J + 3 l + j t * 3 1 2 0=1t3 l + i 2 - Jl + J4) . . , i, . o* . . t l l b t - t2 0 {3 1+3 2 +- . l l 1 6 ;. " " 4 2 -,N - G t + a j 1 .(4 J+4 a )+ +,o l to -4 12$= _ rt + 4 2 \ . q 2 A *4 2\+..*+1 1 8 1 +++2 1 = +4 1 t8 )=2 0 tl +4 2 t ++118t =i+ . o ' 1 t + 4 2 ' (4 + 4 ' + 4 ' ) + ( 4 '+ 4 " + 4 " ) + + ^I= = 1 n * a 2 - a t )I{* 4 t * *4 1 1 7=) f

i oi ,t* oi', , 4u0 1

: 9-Aitrnci , 4 t | + 4 3 + . + 4 r t7 )=1 v8 4 . 4 = l|lf'164 ' M42O' N= r20 ,/rzS ;= (t' ;.62 +63 + 6f;i61+ 66+ ;;.'*-

1e86)= = rsr5t ot* ij, ] . 1 *0 1 e 8 6 ; = s : t 1 1 6 r + 62* *6--9^':t1= - M3lt. 47. Fiea- 4x,b = 4y'wdex' y € l{ 5ix' yau celmaimare d;vizorcomunPel. lnsaa ' b = 52=> =>4t+4y=5)=, pltratep#ecte $i atnncirczultl x= 4' y=9 sa.ux=9' y= 4' ceeace daunumerele16 $i 36. 48. Numerelesunt10 9i 75. 49. Numerelesunt20 $i 45. 50. Numerelesunt16 ti 48' impdrliriinu ii. Fi" * Oi.prtltorul, iar a, c clllrriile I " irp'trlire iu rcst 'ema ', *. Alunci apli." iu *.."toi -l:io r"tb4 '"'il = xc I 64' de = .rtr' 25 = ; Jbr ljlS i"i1", =-,l2A0;xb=23A0; xc= 33CCAtuncirezultl ;;[;;"1'a ", ( 1200,2300,3300 ) = 100' ctrx = c.m.m.d.c avem: atuncr cerut. 52. Fie x numtrrul :: x- 3 = M6, x - 3 = M8, -r- 3 - n{10 => => x- 3 = [6,8, 10]- 120 '{= 123' 53. Nurhlrulesfe64. 54. numerclesunt40 9i90' 154

2. NUMERE1NTREGI 2.1 OPERATII CU NIMERE iNTREGI 1. a) -15:''1;-2: O;'l; 12:.25; 125;350. 2. iel mai marenumf,rintregeste1000,iar cel mai mic numtuintreseste- 825.

r; l ol =0: l2sl = 25rl -371= 37. 3. l-71-= 189:225. 4. it 12:34;75;' 16;1 20;

s. Anb ={-rzt; -t \ -23;\ 2;4ol

AOB.]|c - I-r27; -7s;oi 4ol.

6. a) lxl = 5 => x= -5 saux= 5 =>.4 = l-5' 5I; c) ,4 = 13,4,5,61. 1- ai | 2 - ' 3 - 5 - 6+7- 8 +C 35)= J 2- J 5 =- l 8. c) J -+ o C7)+ 9 + 12+ ( - l J ) ' 15+ 18+ ( - 19)= - + 33- 19= Z + I + 14=24. = 9 - 7 + 21 - 13 15. a) ( l +2+ 3+ 4 + 5 - 6) :3 =9:3 =3' 16. a) 100:2: C5) :( - 2 )= 50: ( - 5) :( - 2)= = ( - I0) : ( 2) = 5. I8. a) (-I)I1-2)2 (-i13'(-4t4- (- 1) 4 \- 2'l1 256= = 27648. = 108'256 2.2 ECUA'UI $I INECUATII iN MULTII,fiA NUMERELOR INTREGI l, a) 2x + l0 = O-> 2x- -10 -> x= (-10) : 2 = -5' x ' 4:2 - 2' 2. a\ 2x+l= 5= >2x=5- l => 3. 2; - 2= o =,2* =z =, i = l - > x - I s au,r = - 1' 4. iS x + 3 > O=, x > -3 => x e (-3, +'')aZ 5. Jx- 15> 0= > Jx> 15=' x >5 => x e[5' +oo) 2t 2x < l4 => x < 7 => x€(-oo. 7) .r€ [5.+oo)11(--,i)nZ= {5,6}. ,+runci t. - x + t2) 0= > x> - 12 => x < 12- >^e( - 6.l 2) A = (-,1,,14a2. AnatogB = p, +6)A2; C - (-d' ro)i Z

D= 9, + 6\ nz t5 5

3. NUMERE RATIONALE 3.1 FRACTII - l,xt7, 1. Fr a c f i i l ee x i s ttrp e n tru x*l ,x/2 ,x' xtl 0 , x t -5 . 2. 1Z sedividecu3dacl I + x+ 4= x+ 5 sedividecu 3, ad ic dx € 1 1 , 4 , 7 1 .4 t se d i vi d e cu 9 d a ctr4+ 2+ y= = y+ 6 sedividecu 9,adrctY= 3. I 0 x + 4 , => ,4 I l 0 x+4 t lx < 2 2= > x < ->x= Isa u x=.1. ;; -i 7 . s ef. J l o s e r r e xC l 0 1 ..2 .3 .4 .5 .b .7 . R .9 1 . 2.Seobtine 8 . a)T r e b u i e . ' a ]Y si fi e mu l ti p l u d e S .a dicax= 1 2 3 ^ = ractra aj g. 9. Perlru a seobfine3x, trebuiesdamplificampe 8 cu 4. Atu n c 84 i = 3 2 s i d e cix = 2 . se 1 3 . T 2 E s e d i v i dep ri n 9 d a cl 1 +2 +x+2= x+ 5 divide prin 9, atf:,ctx=4.3214 se divitle prin 9 dactr 3 + 2 + y + 4 : ! + 9 sedivicleprin 9, adicdY=9. Ceamaimictrfracliesi ceamaimarefracfiecoincidqi sunt 1) 4, )

ru jjnl. esale , 2" + 6n 2'(l + 3"\ 2n 18. u) 3 \ 9 , = 3 ;0 . 3 \= t t" 1 +*t1 7 n .1 1 7' 4 . 7 n+ ' | n + | 19. l l;' l :'(n - r) Il 'l t ,.r'l-,'z 3 (1 +2 + +5 0 ) 3 + 1 5 0 .3 + 6 + " ?n o) 4 , 8 *. i 5 0 )=4' + 2 0 0 - 4 (l +2 + +1 0 0)= 3 1 3 + 2 . 3 r " + 10 0 3 = 3 (l +2 + ... 4(i;2 + + tooi t' 1 4 + 2 . 4 + - + 1 00 4 r)?45 1 +2 +3 +4 +5 =T=)' 15 ), a ) ; + - - : + ; + ; +i = 3

c)

156

-z-r . a )

I I I 6+4+3 = 13 1+ 1+ 4= t2 il

l l t)< q1 S , J^+ .t.^-):E -+ -:----6ZU )d2t))

)K

25'5+ 83.2- 26.8 125i 166* 208 83 40 40 40.

u -d : . i . ; t + ,+ 1=6 + 8 +342+ 2 + 1

3l

l.

l0 15 33 l 0 1 5 1 5 ^ .- t .r 5.c) t/;- d;^1 r l - ;- r ' n= 2) ..( t 14 2\31 2l+14+l o 3 1 4 5 3 1 3 l ' \ls 45 9/3 45 45 3 3' t23.1 I I - .. D) r- o. r ' 1.t.j= 5> 6,

27. (1 -

l1 ;1 \

o7 78

4/\' l1

5./\-

-*lt'-i),'-*t=

28. a) Prcsupunem prin absurdctrfracliar,

estereduc*@ libih ti cI sepoatesimplifrcaprin d Atunci d estedivizor pentru6, + 5 qi pentru5r + 4, $i deci este divizor pentru 5(6r + 5) - 6(5, + 4) = 1.Decid= 1 9ifracqia esreireducribiltr. ) n2+2n+l 29. b) Presupunem prirLabtutd.t -fiffieste fraclie ireduclibild$icdsepoatesimplificaprind Atuncidestedivizor pentru2n' + 2n + 7 5i penta 2n' + 4n + 2, Sideciesledivizor peno. (2nz+ 4n + 2) - (2i + 2n + l) = 2a + 1.Avem atunci: d estedivizorpentru2t? + 2n + | si pentru2n+ 1,qidecieste r livizorpentr u( 2t?+2n+1) - fl 2n+ l ) * r r +1. Av em : d estedivizor pentru2r + 1 $i penfu r +1, $i deciestedivizor pentru2(r+1) - (2r+l) = l.Decid= 1 5i fracliaesteireductibih. 157

unui prhatul $idevine ".#,*=H3='3-# t =2

"';;('l)i;l(,-lX'-)t'-)=i i i ; i =I -'lllltl'''" =,1 .]i t'li,j t'f, ", ' '. -llrll}l'; =I.{lllli g,"T -

numff nalural daca

.

I k

3.2 FRACTII ZECIMALE I

?='

A

=.1, .l).(T, (i., +.#)i =

t.1

t

/1 rs g+\ to = 167

l ; -; ; sl '2 j =\i+ . x i) ' i

1 t6

)'..*.i'=,r+!q-f=r;

='3n,('i. l)-' C:.il-' ',; 158

'1

Q

U

14

5

;;-

1 . 2 l - 1 3 )+ t1 * qtes - D. = ui o .,

ql

n 4 = Z 5 U;

- 50 o = ,r r + _ ,9

..\ 7 '2 0 8 15 64.1-,^-4=t2.

,< ; \

r

r t- t gr l2.l( .ti ll.2{ 4r - 7.0( 5) l 2'90

-l;.' jT ; r s r3 - 7 1 6 = ' " -

/,

1

= 2 5+

=r-li ltl: (;'l';)I (Ti)l: =- ,l 'il r-0 f 1 , l = 1 r r .,(r f ') '

l0

d) 17,(12) +21(le) - rz,1zz1=n*ft*ntfi

=+#.(?.ll't=s*t=.tz = -.rl' 0,,li-[]. li ,"i), ,,ol 'i etunciE= ti = 1.

I t0

- 4 ; = { t - J + 5 - 4 )' ; ; ; - e = s + n = 6i : - -

'r'sr{= i r . o, ' r zl*lr+rrrl'zl ' ,1

lf

15

2 . a ) f . r 7 )+ J . ( J I) 5 . ( 8 ) -4 .( 4 ) =l n + Ji t 5 i -

1 -1 -" 2 \ 3 =1

\1

t0

r. a)r7; 8.2si;=: - 8 0i i = ;J-5 13 ; i i = 10; 2 _= _ 4 6 = 0,4. =/r r r r * r r 9 ) .rob gr(rr ;; , r.1o1.o.oz roo | roo iolJ

=l.fl:('ll:H)l .1:)i'i l';:1.(l =t1 - \ot g^

= 1g0 9 t0 9- ' = to q 4 0 s to g ' ,to Atu n cit= i- t= 5 - 1 = 4 .

- ') J'

(tz

...t,) _ /) + |,90+z z s \ =-,o,rO. uO_soJ ,4 !

l, (4 )+ 7 , (o )-2 . (J )

-O 9

s.( 2 ) + 6 .( l) - 7.1+t=.4 -y]

." [l+ /--r ) +^. -

) a- ) * l l - 90- -

4+ 6- 3 9 ^

6 + a -T + 4 #

o; -" 'l9 "6

'tt

6l ;9

61

J)

r:

159

^- qJ

=

1 Z -1 -2 3 -2 ^34- 3 *' 90 *t 90 90 .. 0 , I (2 )+ 1 , 2 ( 3+) 2 , 3 (a ) n)u(3t+J-(a)+aJ5) ^t3 -l ^2 4 -2 ,35- 3 '' 9 0 '9 0 90 ll . 2 1 ^ 3 1 -6 3 3 3 3 * ' so l.ri t t ! 90 '90 '90 'uo - 8'16 242 816 292' 66 87tr 876 t2 ^22 .32 ^6b '9 0 '9 0 - 9 0 90 90 4 . c ) E = t 2 , ( 4+) r l ,(s)+5 ,(1 3 )+2 ,(7 5 )+j= 1 ,.-4 ""5 - 1 3 ^'7 = ,126* l l . j t 5 9 9 n 29 u5+ 9 =(l z-

,rU r

aa r n I

:2 3 + f + 7 + f r = 30+J+i=:z

( rr t +

8l-8

90

+ /.5 r o\ /

r85

3.3 OPERATII CU NUMERE RATIOI{ALE .1.

1

z 1r

3

31 5 1 6 -4 +9 +1 0 24 12 42 4 1 3 1 8 +3 +8 +1 3 = n

-( -10/ + i 5 + i 0 = "',' i 5

J0

3.")+(1\i\-i),.".4r=: 518. 515 5 3 5 4. a)

i:it

18=Dat rc=ti 160

.)' 8 8 -8' ^ t lt r t 4 0 0 " . lo t * 1 0 2 * . * 5 0 0 . l 0 l +

.*

l0l=l0l

.*.

J.4 ECUATIIiN MIJLTIMEANIJMER-ELOR .. RATIONALE. PROBLEMECARE SE REZOLVA CU AruTORIJL ECUATIILOR l.

Y

l-r

2- a- = - - - +4- > 4-x -

^)

3- x +8- >

1l'

27

3 37 37 199 ' 4 4'51 = l o ,l = 4 '4 t-'l ' 2 7 , -20 1 5 - 4 5 \ 2 7 ts5 \ " 90 - 9 0 - ' 9 0 / 1 8 5 9 1 8 5

1 . "^.? ,3 ' 6 "8

l,12

=> 4(5x - 2\ - 3(x - 8) = 6(x + 1l) - 24 => => 2Ox- 8 - 3x + 24 = 6x + 66 - 24 -> llx = 26 => x = 26

('-5)'u;. n; ,.^2

l,t2

z2 => 0 = 7, ceeace estefals. 5 r-2 x -8 x + ll = rt - z^= > 3 4 2

// < r\ /r1 ?5\ + t ;+; +;J+(5 +2 ) . 1; ; . . r j=

h) ]j=

,

s.b) +t;J, _111 '248 '+j+[rJ 8 + 4 + 2 + 1 ii

='

2x+ I 4x+ I 6x+2 n). I l ) + l 2( 4x +l ) - t' i' = ?- = >20( 2x + = l5(6x + 2) => 40x+ 20+ 48x+ 12= 901+ 30 *> x- I Iftl t/t

\

I

I

2.d) il il . l , x+ : l+ ul +. z-f l =o =>

= =,j[](1,z).z].z=: =, -i{j[j(i,-i -4-4 r ='J[J\J)JJ\JI =' :)* z=.r lllll,.:) :l- r-'1(1,* 1tl \ 1 = r i( i,*:j = I = > .,x+2 3 +., = 3. -

3. Nottrmcu x numtrruldepercpe carele areVasile.Maria are x + 20 pere9i 5x perc.Atunci avem: )n 5x= x+ 20=>4x=20=, * - - i - 5. D ec iM ar i aar e25 de pere,iar Vasile arc 5 pere. l 6l

I) xe (-@ , -zl . h) x€ (-l , +co); (v: )*r-l ) . -" r- - = > 6x r a < l 0 t r 4 = > 2.a) '" )'

5. Nottrmcu x numdruldeani cu carein urmtrtattrlaveade 4 ori varsh fiului. Atuncicu x ani in ulmtrtattrlaveavarsta 70 - x ani, iar fiul aveavirsta de 40 - x ani' Atunci avem: 10 - x = 4(40- x) => 70 - x = 160- 4x => => 3x= 90 => x= 30 ani. 8. Notfuncu x vArstafiului. Alunci mama$i tataau varsta 2x. Alunci avem:2x+ 2x + x= 150=> t)"{=)u = > x = -

= > 4 x > 5 -> x > ,

b r x € ( . o o . r l) : x-l , x+2 -

Avem: mama5i tataau varsh de 60 de ani, iar fiul arc varstade 30 de ani. 13. Nottrm cu x numf,rulde pagini al cd(ij Atuncl avem: l . - t o 2 '- .s^* 15 0= lOx=> x=450. ) -, Cafledare450 Pagini i6. Nnta,ncur'ni'nrrul mai mi AluncinLlrnlrulmainldre est; ;; 150. Media ceior doutr numere este 400 $i atuncl:

,

e ) xc( - d . (+J

-bJ,

, ,.

,

>

2)>

.,,e(1.* ), 0 . . ( - i: " . . : i 4 . a ) 2 x+ 7 .5 x. l= > 3x>8=' '7 . l\ i 2 > 6 x -

5=>3x x


-.!=".[! x€f-'.

.,-), 'l j)

o. . i r e[ ! . - - ) 11- - , ]1 =, , c a .

x *r r l5 o 4 o o .>2r- l 5o=8oo=' -

,1"

) => 2x = 650 => x = 325.Atunci numerelesunl: 325 $i 475' 20. Notim cu ,r lungimeadrumului Atunci aven: t --^ i ()00= Jx=>2Y 900=>'r= 4 5 0 k m' 1 v - J 0 0 .x= 'x 22. Nottrm cu x varslacopilului Atunci malna are varsta

DEECUATII 3.6 SISTEME iN MULTIMEA NUMERELORRATIO-NALE. PROBLEMECARESEREZOLVA CU AJUTORULSISTEMELOR

au80 malnacu1altrl zrli", i"il-i*" 'a^r" 3r Curirimpreund de ani.avem:

l. a ) 2 x + 3 > x - 5 '>2 x- x> -5 -3 => x> - B = > => x e ( - 8 , + o ) ; c) x€ C-a , -3 ) ; b) x€ (-6 , +oo); e)x € t-e, -ll ; d) xe (-co, -41 ; e).{€11,+x); 0 ,{e (-co, 1) ; 162

x € (;, + o o );

l)+2(xo1=>J(x+ > x + 3 => 4x> -4 => x> -l => ,r€ [-l , +cc); 3 . ^ ): 2

= JU.

2 , r- jx = 8 0 = ' 5 x = 8 0 => = l o a n i . ^ 3.5 INECUATII SI SISTEI\IEDE INECUATIi iN NIULTIETEA NUI\{ERELORRATIONALE

i= > -5 ,

1. a) Aducandla acela$inumitor sistemuldevine : l0 , r [ x - 2 Y= l l => _ - r=5'v--l : lx -1 -2 y =

1 ,a ' r r - J = z+ = > ]tr - ' y=2J

i

b) r = ll.1=61 e) x=5, y=4;

c) r = I0.) - 4: d) x =- .r .y =4; Q x=l,Y=- 1.

1) = ( x- l X/+ 3) =' .z'4 - , [( x + l ) ( /-

- z)=ir - tt(r+rr l{^* ztr'y

=>lt2.\- 'v= l . =>x= r .Y=J ' lx- y= - l b) x' = - 2,y =) ; c) x= 2,Y=3 ; d) x =2,Y =3; e) x=12,y=5; D x= Z' Y=3. 163

3, Notbm cu x valstamamei $i cu y varsh frului- Atunci avem:x+ Ji,=30 $i x= 4/, de undeprin rezolvareoblinem: x= 24an i { t y = 6 a n i . 6. Notdmcu x numdrulmai mic qicu i' numdrulma1marc. Atunciavem:x + j,= 100qi/= x + 10,deundeprinrezolvtfe obtinem:x- 45; /= 55. 8. Notdm cu x numllrul de mer€pe caxele areMaria $i cu y numdnrl de mere pe care le are Ana. Atunpi avem: oblinem:x = 5 $i y= x + 35 5iy= 8x.de undeprinrezolvare v 40-AtunciMariaare5 mere.iar Ana are35 mere. ' ' 10, Nottrvarstamamei ;i cu ltl va$ta fiicei. Atunci "., "Si x-4=3(y- 4), de undeprin rezolvare ur"1t'a= y+2O obtinem:x= 34; /- 14.Alunci mamaa€ 34 de ani,iar fiica are14ani. 12. NotIm cu x $iy vilezelecelordoudautomobile.Atunci aven:4x=6y 9i 4(x+y)=360, de unde prin rezolvate ob lin e m : , r 5 = 4s i y = 3 6 . 14. Nottrmcu.{costulunuicaiet$icu/ costulunuimanual de matemalica. Atunci avem: 2x+ 5y:220000:' 5x + 2/= 130000,de unde prin rezolvare oblinem: x - 10000;y- 40000.Atunciun caietcosta10000lei, iar un pentruclasaalll-a 40000lei. manualdematematlcd 16. Notlm cu x nirmddtorul'$icu y numitomlfracliei. 3 r + l = 2 .x+3 . Atunciavem:;i q, de undeprin rezolvare I ui fi= . oblinem:x = 3, Jr,=5. Fractiaeste;. 17, Notdm cn x,y cele doud numere Atunci avem: 'x I x + ' 7 2 . t"-it;i-1, de unde prin rezolvare obtinem:

i - t, j '= t t .

4. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR METODAFIGI'RATIVA 1. Numerelesunt: 70 qi 30. 2. Numer ele sunt:2109i90. 3. Numerelesunt: 10ti 35. 4. Numerelesunt: 55 $i 25. 5. Reprezenttrnnumer€leprin segmenteastfel : al doileanumtu H primul numdr

27

triplul primuluinumtrr ffi dublul celui de-al doilea numlr

33

Deoarecescazanddin triplul primului numdrdublul celui de al doileaobfinem33, rczulttrcI al doileanumtrrsecalculeazd astfel:33 - 27 =6. Prinul numtrrva fi 6 + 9 = 15.. 6. Numerelesunt: 45 9i 15. 7. Numerele sunt:48$i 12. 8. a) Nu poatefi, deoarece50 : 3 f N . b) Da , dacl numerelesunt25 fi 75 . 9, Ionel are 5 pere, iar Maria are25 de pere. 10.NumIrul este72 . I

I l. Lutrmca segmenlde baza ;. din numlrul de paginial -

ll

carfii. Atunci I din cartereprezintd din carteri de.ci9 5 fr segmente,iar ? din carteeprezinttr din carteli aeci tO 3 ]t segmente. Reprezentdfl gmfic duptr cum umeazS:

I2 ,a; "*" .

.a Crncane 161

ffifitrar ffiI

Deci un segmentreprezintd 30 de pagini, Siatunci cattea arc 165.

12. Muncitorul termintrlucrarcain 2 ole ' 13. Numlrul initialeste1-80. este575. 14. Numarul 'ilt ;ati* numerulblncilor cu 5 atuncinumlrul ii. jumataledin numtrulelevilor'Dacd Urn.lio.ar reprezenta .i nu*r-i brt'.ilot aluncinumarulbmcilor ar ;;;;;; "" i.p"..r"^iu-. rt"i." din numerulelevilor-Atunci facem urmAtoarelereprezentfi : f---------------j numlrulelevilor

35

numf,rulbf,ncilor numdrulelevilor

lil_I ffiI

II ca dinnumrruleleviloresleegalcu 8 si arunci Seobserva atuncinumirul elevilor este48. Numarulbdnciloresteegalcu 48 t 2 -5 = 2 4 - 5 = 1 9 . 16. 108elevi$i 32 debincl . i i. R"pt"t""thna p;"tr-un segmentPrimacifrJ oblinem: prunaclrra FI ; douacifrd t-l-i-+-F+-l cifra a treia eslede 6 ori mai maredecalPrima lreia a iift" b".**. .;fri, i*"irl .l- pti-" cifraestel. a douae\le 2 $i a treiacifrl esle6. Numtrrulestedeci126. 18, Numxruleste518. 19. Numirul este129. este282. 20. Numtrrul -eiri tatdl50 $ibunicul100de ani' zs a" ii. ^r" : 36, 108'102' 22. Numerelesunt-i, 48. este Numf,rul 23. 24. Canlilaleade vin esle5400. a Inleia l5 calilelea ii. i""i as de sacide ftina calilalea doua$i 20 calitateaa trela.

METODA FALSEI TPOTEZE ctrambelenumereseimEartla 4 si ahrnci 26. Presupunem la sumalor imp'adta 4 ne va da 200 : 4 = 50' In acestcazapare 166

I

difercnta50 - 38 = 12 provenindde la diferenladinfe; din tl

primul numar5i i din primul numaregaltrcu i din primul numar. cu 3 cameregi 12cu 4 calnere. 27. 20 de apartarnente 28. 150delepuriti 200decurci. 29. 25 apalamentecu 2 canerc rii 15 apartamentecu 3 carnere. de 10000leisi 6 de 5000Iei. 30. 5 bancnote 31. 15masiniDacia1300si 20 matiniOltcit. ar fi de 10000lei. cd toatebancnotele 32. Presuounem Atuncipr€lulpallonuluiar fi 10000tei 14 = 140000lei. Difereniade 620000-140000= 480000lei provineJe la de 50000 difercntade 40000lei si 90000lei intr€bancnotele lei si l00000leifalade.eade 10000tei. de50000leisuntcatcelede acumctrbancnote Presupunem oblinuldca diferentafall 100000lei. Atuncivaloareaaceslora 480000 lei - 90000lei= = 10000 lei este: de de bancnotele de 10000leiesle: de bancnotele 390000lei. Cumdiferentafatd (100000- 10000)+ (50000 - 10000)=130000lei, atunci de bancnolede 50000lei sunt390000: 130000= 3. Bancnote 100000lei sunt3 + I = 4, iar de 10000leisunt14-3-4=7. 33. 7 apa amentecu 2 camere,12cu 3 camere$i 10 cu 4 J,l. 50desrini.50 deqaJre si 100deporci. I. e"tecu 5 maimaredecalPrimu J5. Avemfaldoileanu_mlr al patruleanumtrreslecu 11mai maredecatprimul,al treilea nuintrrestecu 3 mai mic decatal Patrulea9i deci cu 8 mai marc decatprimul. cd toatenumerelesuntegalecu primul afunci Preiupunand va fi: 400 - 5 - 8 - 1l = 376,iar primulnumlr numerelor suma = 94 + 5 va fi: 376 : 4 94.Atunci al doileanumdr va fi = 99,al lreileanumdr94 + 8 = 102,iar al patnrleanumtrr94 + l1 - 105. ctr iumdtatedin elevi au mersin Delld ti 36. PresuDunem iu'nalalein muntiiAoirseni.Aluncicoslulexcursieiva fi:

= = t t60000 + tz00oo irr,ooo0 + o. r50oo0 - 30000) t67

rcsIul2 = 1280000. ln acestcazpretulmediual excuNieipenfuun elev este(30000+ 50000): 2 = 40000lei. Numf,rulelevilorva fi: 1280000: 40000= 32. a intaiasi 100kg merecalitatea 37. 150kg merecalitatea doua. de 50000lei $i de 100000lei, 15bancnote 38. 12bancnote sumatotaldDhdtea fostde 1950000. l0 de?5000leisi l5 bilelede 39- I0 bilerede 100000Iei, 50000lei. de 10000lei9i 10 40. 30 bancnoiede5000Iei,15bancnote de 50000lei. bancnote METODA MERSULIJI INVERS 42. Elevula avutla CEC300000de lei. 43. Reprezentr$grafic suPrafalaparcelei9itoateoperaliile asuplael: careseexecutA parcelei suprafala 5 i_ in prima zi restul1

5

_I

a doua zi

(30+5);=;=s2.5ha. 44. Bucataavea35 de m. 45. ln silozseafltro cantitatede 18 tonedecereale. 46. Reprezent|.rngrafic sumade bani a elevului si toate prima zi restul I a douazi

lF.l.--l-I H 168

rcstul3

ffi H 12000 t-l

a paLfazt restul4 )\1

. re s rJ -> re s lJ = : r c s t4

re s l4 .

-tl l I

r e\r t=

;

.12.

l8000lei

r esr2= > r e\r2- 2 r e\r { = 2 18000=360001ei

r esl2=: r e\rl - >r e< rl - : r es r 2= - 16000=540001ei -tl2 I

resrI - ; sLtmaluldl.r-'suma rorala 2 re.r I -2 51000lei= = 108000lei. Elevul a avut ia inceput 108000lei. 47. Numdruleste0. ,18. Lungirneadrumului parcursesle 2,10knr. 49. Initial in ma$inl au fost 6,+0de palnr. 50. Elevul a plecatin excursiecu 50000 lei. 51. Elevula avut425000de lei. 52. Elevul a avut 100000rle lei.

]\,IETODACOMPAITATIEI 20

H restul2 reslul2 estede 20 hectarerezultdcd restulleste Deoarece (20 - 5) ' 2 = 30 ha, iar suprafatatotaltra parceleiestede

oDeratiilecarese executeasupraer: sumalotalt

I---l-I

a lreia zr

55. O guml cosld 1200lei, iar un creioncosli 700 lei. 56. Primul numlr esle 10, iar al doilea esle 15. 57. Numerelesunt 28 qi 40. 58. Primaechipl a planlill32 de puiefi,iar a douaechiptra plantal.10de puiel;. 5 9 , 2 m p a n z l . . . . -. . 2 b a n c n o l e . . . . . . - 2 3 0 0 l e i 5 mp a n Z i. . . . . . . , 1 b a n c n o t e . . . . - . + 4 2 5 0 ] e i Inmuilintiprirra relaliecu 2 ii scLand din a douarelalie I rlI ra rrz t r. . . . . . . Ol r a n c n o l e. . . . . . 8 8 5 0 l e i Deci 1 Itrpanzi cosltr81150 lei. Alunci 2 m panzdcostl 17700 lei. Curn 17700= 2 10000 2300 rezultdcd plala s-aftrcutcu

169

pROpORTrr.PROCENTE. 5. RAPOARTE.

de 10000leibanrnote '-t0. 8 F.imul nu.ar.5le l5.iaral doileanumtrresle .i

61. {mp o l i e s t e r .....j mte rg a l "

5.1 RAPORTUL

tei 2 8 4 000

t5 - 100

i1

248000lei . . . . jmtergalm poliester. { cu 15obfinem: lnmultind -.'"i01" ambelerelalii. . 9 m tergal . . . . " 4260000lei o.ii"tt".

ii ii i"ii..i"i . . . . . . . 5 m rerlal.. - . . J720000lei

cu 6 ti a douacu 5 oblinem: . lnmuliinj " " t O '. orimarelolie 25500000lei o l f i . s t "t . . . -.. 5 4 m te rg a l lei ' 18b00000 o O [ . r i ". i "i . . .. -.2 5 m te rl a l ^ relaliaa douadinprimaobllnem: Scazand 29 rn lersat ' b9b0000lei lei.AIunci: l0mpolieslercosll .ti,leciI tereal iostl 240000 lei= = i);00d0 i;i:n 14000lei 4260000lei - 2!b0000 = 2 10000 j fOOOOO l0 lei : costa2100000 r.i , iar I m poliester lei.

| '1

, ", 2 0-_ ? . ,1,25 " '' -to 3' '' t,75 . 75 . 0,1(2)= m) ) 1141

.3

s 4 7

5 '1',

'roo 't t

t2- 1

1l

90

90 2t1 90

14-1=

"90 3. Mama cumpard6 62 KalonulesteO=J.

ll 2tl' 3 kg = 9 kg de mandarine.

9. Numarul locuitorilor de sex femeiesceste:

90000- 40000= 50000.Roporrul e.te:494 -= 1. s0000 5'

15. a) Numtrrul cazurilor egalposibileeste45. 15 | t0 2 )o 4 t9 o ' 4 5 -9 i

' J 4 5 --l:

"

o'14

qt

+s

(4)

s.2 PROPORTTA lei, I

.

l. al

5r = l.s

11 1-a b) ",r

-]

7

.-- =' * = > J)x= 4)

-t5

7 I

t)

t2-

;

45 = 9

=

1

,.i =>

x=

7,

1

,r 't2=7.

^x1 z. a

i n r aporobl l i nem : 5i i nl oc ui nd ,= l=>y= 3x 2x+ 3y 2x+ 3.3x llx x- 43x - IIx ^- 1y d)

170

z? + xy-sf x' +ty+f

2? + x3x-3.9i -22; x!+ x '3x +9x ' t7l

13tr

22 l3

2-Y = l9 -' rsx+:8y=lox.5oy=' 3.'* 19 ^ +Jy

=>yx = ,-rzy=,

x

Lr

lz

= y= g 1.

5. Notdm cu x vArsk tatllur $r avem: Jo = = ] t2 x= 90=', = q5 un,. xJ 1

1000000'i= 750000lei' iar Violeta 7. Andreiprimegte lei' lei = 250000 lei - 750000 1000000 orimeste '

8 . N o t am cu x su maprimjladeMariasiavem:

9oooo l- =' r= loooooo x - lU ,l

,0. 'u=

i=, a +l

r = 2a.Atunci: a+l

i+l

I

ii1= 2".z: z?ii= z I a +3 I ^ ' b= t => =. =, b - ^2at 7a 1 2 . "' , ,= ; ) :;; = . 3 a - 2 a = l = .a =7 =>b =2.

5.3 PROCENTE 1zv.= o r.a> rrt=$;

I

300'

2. a) 4c. n5 = h'115 = 1: =l$rffit21s=11J1 = t) 73,3E.1275 = Mo!'3 : e34,575. tloo= !!* rr?9rooo- eo' 3. a) 3ova.20oh

e:lr2v..2s7.1t50 - ft'2!* l.lso=+:,:. 172

4, ln irnulurmdtormuncitorulprcducecu 147'mai mult' l l4 adicaI 147,.adi(aI l4q 5500= i00 5500= = 6270 - piese. cu porumb esle:22Vo'10ha= i Suprafalainsftnanfattr ' ' ' lsamanlalicu orzvafi = 10 ha= 2.2ha.Atuncrsupratalarr ffi = ha10 '"i]ha- 3 ha' 2,2ha 4,8 primului an elet'ulva aveasumade u, f-u sfl.rsitul lei = 3710000lci l06o/c1500000 b) La sfArqitulcelui de-al doilea an elevul va avea 1nK J7I 0000lci - i;; 3710000l"i = rql2b00lei' l 0h.zo 10. Dupdsprtarertrm3n:957o80 tone= 761onesfecltr' Duni { lr ivir e Ir men: 98ao7b- ffi l o = 74'88r one' tone' va fi: l2oi 74.88- 8.q856 Zalrrrulohlinutdinsfecll q0'; u5o/. = lei' 08400 100000 i6. Piesa,o.rl: 807. l no 18.in .la.asunl30:75o i - J 0 ," t"- 40el ev i = 21. Elevula depuso suml egall cu 5000: 57o 1s" = 100000lei. - 5000 22. 801I = 8 hl. Masaa 8 hl ulei esle90 kg 8 = 720kg ulei' Cantitatearle mrsline din care s-a obtinut uleiul este: r nn i m as l i ne Ar uni ihe( tol i trde = 120' i; =h000 1'g. 12Ot12"/, :40 = 150 sunl:6000 23. Acum 2 aniin ora$au fosl: -- ll0 ll0 48100:ll0"b I ll0o1= 4E4Ou:I00r 100= r nn r nn = J8400| ogi; = 40000locuitoru' = fo. Cete-td n"t.onn.ur mtncalO 200g = 2000g 2 kg'le cartofi curllaii. Cantilateade cartot'inecurtrfatleste: ) kg801o=2,5 kg. 113

50 kg = 75 ks. Muselelulstransesteli l007o= 66,667o. t) 28. ln tot:rlgrupulde elevia slrens25 kg

so

)\ Roarca de tei sban$ este: *-'100Vo = 33,33Vo. t)

Eleviiau stransmaimult mutefeldecattei cu 33,3370.

6. MARIMI DIRECT INVERS PROPORTIONALE 6.1 MARIIII DIRECfPROPORTIONALE 1. 3 m stoftr ........ .. .... 1 5 0 m stofl . - ............

I coslum xcostume

propo4ia mdrimilesuntdi.ectpropo4ionale, Deoarece . J : I => = - ^ scfle: .x )u costume. i50 i 1 0 . 10 0 m -2. - . . . . 1 0 0kg ro ri isi 7 5kg a r dei x........ 4 0 0 0kg ro si i9 i3 0 0 0kg ar dei

!"0=*4 =>x=4ooom2 +=ffi *' I kg ftind

12. 2 oul

l0 oud

zl 10

x

=>x-5 kg fa i n [ 150g unt x

2 oud 10 oud

2 1 50 l 0 =;* 2 oud 10oud

r= /)ugunl . .....100gz ahl r

174

t o ? = @ = 't= l 5 o g u n t. . ....1 0 0 g za h tu 2 outr 10oul ) 1nn " = '"Y => x = 500 s zahrr. l0 x 14. Da.a palrumun.ilori nu lucreazl.rezuheca opl dinlre ei luireua eare5 ure plus,adicaIn lulal40 de ore Aceste40 "t de ore ar fi trebuit si fia acoperitede cei 4 muncitori ' 40 ore 4 mu n c ilo ri. . . -. . . - . . . x 12 muncitori . . - . .

!. =19 =, *= y2gor..

12x 16. Notdm cu x $i y sumeledatede lall cetor doi copii ai .u I / 8 si I / 5. Alunii avem: .ai, sumenropurlionate

i i= i'r,' f,""'r " s = ,>+t/-; ' ; , ii 8s8540

Noltrm cu a $i b sumeledate de taltr celor doi copii ai sf,i, sune propo{ionale cu I / 10 $i I / 3. Atuncl avem: g lOJ lS tr a t l' J

i= i r0 3

I l= 1 3 - ' " 10'3 30 r ' I t00 lq. A\em : \= lr ' t' = , x = l t.1=ar ' Din ry= 1200=> 3.t4k= l2OO=> k = lO,x = 30'v = 40' xvz. k ' > x = l I- y '5k .t=7t' 23. Ave,n:"r =i.;=

= 100=>r= 5 => Dinf - xz= roo=, 2sl?- 2112

= >xa15,y:25,2:35.

x2 2l.Dinj=Sr ezultxt=j . 175

t

)

tl

= -Jr o= l-J . r ' z , ") ^ -4 i = f , = v 33 l x+ ' v

27, #

I

-t

=9'1-> x+ v+ z= 291 ay x+y+z 2 9 1=l=> z

=> ^ .'^=:-= 42 2J

.^-l^^-^= 4Z+Z)+JV 3U

= >x= 1 2 6 ,y=7 5 ,z =90.

^vl

: ..x

=

x+y+ : s unoe:J = x +| +: => I t= tT . 8 6424

l.s

4s'

6^t

ll, / = -, : Lr. Notam cu 4 4 c sumeledalede tatdcelortrei fii ai sti, sume in v e rsp ro p o (io n a le c u l4 . 7 . 4 . A l u n c ia v e m: a b c atb+t J 25 4J iS.

t= t- l= t- t A1 4 r 4 ' j' 4 1 8

6.2 M,f RIMI INVERS PROPORTIONALE 25 borcane , . . . . . . . . . . . . 900 grame r b o r ca n e........ -.. -.300grame Deoarecemtrrimile sunt invers propo4ionale,propo4ia se l.

. 25 100 Sc n e : = 90 0 :> X=

x y : J= J= t= r 8 6 4

/)-Dorcane,

7. 6 muncilori . . . . . . . . . . . . . 40 ore 10 muncitod . - . - . . . . . . . . . x orc Deoarecemtrrimile sunt invers propo4ionale,proporlia se 6r

s c r i e :I = ,1 ; = > a= 24 ore= 4 zileacA le6ore. S ore/zi 1 0 . 9 m un cilo r i.. -.......... I 2 nruncitori . . . . . - . . . . . . . x Deoarecemdrimile sunt invers propo4ionale,propo4ia se .9x=>x- o ore/ 21. scne: it= g 12. 6 ore . - .. . . . . . . . . . . . . . - . 40 km / h 4 o r e . .. . ,.. ..,. ,.. ... -. x Deoarecemdrinile sunt invers propoqionale,propo4ia se sc r i e;: =

=.x= 60krn/h. -1 15. Notlm cu x,y,z sumeledatede tattrcelor trei fii ai stri, sumeinvers priporlionale cu 8,6 ,4. Aluncl avem:

176

i -t' '= l i ."= r.l '

l= ri -"= 6S

?"

= nstrz= c- 1000- > - t000=>s = t3000=> i; i; => x = 3000, y= 4000, z= 6000. v , k t^ (t'n ro. Avem ^ j. |!1=k=>t^EJy=,(=>x=2.J=

ta tL

= l0= 'r =o0=>x -

x- r =t0=,;- ' i

30.y = .20

ts. Avem : : = I = : - I=> 2x =\,=bz = A " > l tl

t4 6 = > x= kkky= i, 4,2= 6, kkk , .r |.ntn )ryz=J(t=> 36=>F = tlZS -> ta i= = , F = tz3=. *: 12- > x = 6, y - 3, z =2. 22. Avem 4 = 4 =*x = qv-,4 =!

'

1l

34 ]42

') l r+r \r . x..+ r. =di ,

,t. xy

I

t)'t

x

y3

-;+l f

Irl I

25

42 4

16.4

28'

3' - i

23. Numerelesunt:l2;8.

e 3

24. Nurnerele sunt:15;20.

r77

7. NUMEREREAI,E 1. a) 25-52; h) 72g-n2; 1) $ 2025= 452' r n n / 1 0 \ ' , | 1 0 0 I0

, . 0 ; ' = | f l ='\441-t =, 'lTtr:z4 ) z.zz 3. it to.zq -3.2

mullirneaMare deoarece a. aj Muftime",aare4 elemenle, pozilive. 4' elemente -l-.- p,ln"ttt.onailia 15- x : 0 -> x s I 5 si cum're l[ ut rezultrctr,r poatelua l6 valori.de la 0 la l5'

i- o-' , =?r e ,,r1:

,r- | -, a='{14dN

x-3->a"lQGN x - 5 - > a - ' 1 1 04 N x - 7 - > a = ^ l ge N x'9'> a'l6eN x - 1 1 ' > a ' \ / 4 '2 x = 1 3= > a - ^ [ ZeN x - 1 5 - > a ' V O- 0 2. 31. este mullimea Arunci 10,1,

x=2 =,a= ', 1134 N 'i =, - c u=, f i 4N 'i -o=, u-nr y-l ^ =i -, u- t n dt t x =1 0-, a- ', / 5€. N u-T'/-t ! 4N *-i i -,-ru-'t ' r-ti .

c o nd i l i a!a -t>O=> x< l 2 ;i ' unx€N' 6. a) P u n e m ca la rezultlca x poatelua l-3val|ri. de la 0 la l2 Pr

,!Z + l - l= r ,t2 _tttt

- p- 4aO,

c eeac e es r etats ,deoar ec e

V2 esleiralional. | )1 r )l

r-5r

r-51

1 8 .a , l;l= 0 .1 ;l= 0 .{ 6); er | 1"| - -r. i r:| = 0.s. tr l tz t tr t lz)

19.a) 0.3r c.) 1.4I l) -3,8; h) 1,2. 20. a) 1,74; c) 3,61; g) 0,45. lll

2 1 .- 3 5 .( J)- l5 : i : - ,:- r;t/Z:,/TT1t2,t6\. 25. a) AtG + + f:y'9 + rrsy'Is + f6y't-8-= 2,/T+ 4 + 3",/T+'/7,,/E 5tE + 6,y'T- rc\ry +4.

26. b) ('/i - 1/Z)2-3-2t/6 +2= 5 - 2,,/6; e) (11 -,/7 +'/6)2- 3 + 2 + 6 - hE.2 r 2^/T.6- 2,12.6= 1l - 2,!d + 6\ry - 4'/i.

- t1 ., ,-. ,/6-,lZ (,16-,t211',8 ''' ") l-z+t 2-t-

- 2 y . ) - z -\ t o + v z :

| a-t \5-,/T ^1 ,) lrn+ \/-I;6 - t_-r + 3_t *

- | +,8 -A -lT - r. -'/7 3t. a) rG*E+,,/T6.'/5 +'/1ittr +,/TJ44=

- 2rE + 5O + 5t/T+ 4,,/5= 5'/7 +'7,/7+ 4',8. 33.2,/Z=,,/E2'/l =tM;3lT -'/..t-; a =trl6;

5 = tQi; I =,,9; ZG = y'2{ 9i atunciseordoneazd cresctrlor astfel:

:t/D : N6 : 5. '/i :rG : NT ; 3 ; 2,,/l;,,/I5; 4 : 3,y'T 35.a) lT +,,/12 +tAI +,f15+t408+'/T47= + 6,,/T+ 1,,/T= 24,/T. - ,/3 + 2'/i + 3,'/1+ 5,'/3 36. d) ^/17+,IB = NT + s,,/T= t,/T r/f + y'fog- Vf + orG= uy'f. 31. a) tE +'/18+,lW =y'F+y'Jz+y'5o.=, '/7 + .t,i a1,17= )O + 4{Z + 5,lZ r1,/7 = lb,/7. 179:,

8. CALCUL ALGEBRIC

+ llA +'/i5