Calcul de PORTIQUES [PDF]

Zitiervorschau

PORTIQUES –CHARGES VERTICALES Sous l’effet des charges verticales, les portiques en béton armé sont calculés : - Soit par la méthode simplifiée d’A. Caquot, - Soit par les méthodes exactes de la Résistance des Matériaux : Relaxation (Hardy-Cross), Rotations, Coupures (méthode des forces),etc. METHODE DE CAQUOT 1- DOMAINE DE VALIDITE -

Planchers des constructions industrielles: valable même si

-

Poteaux et poutres à inertie constante,

𝑞 ≥ 2. 𝑔 𝑞 ≥ 5𝐾𝑁/𝑚2

2- PORTÉES À CONSIDÉRER  Les portées sont prises entre nus d'appuis.  En plaçant des articulations aux points de moment nul des poteaux, on a l’équivalence :



Avec (n pour « nord », s pour « sud ») 0,9 𝑕𝑛 𝑠𝑖 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑒𝑢𝑑 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑎𝑢 0,8 𝑕𝑛 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑕 𝑠𝑖 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙é 𝑠𝑢𝑟 𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠 𝑕𝑠′ = 0,8 𝑕𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑕𝑛′ =

3- EVALUATION DES MOMENTS AUX NOEUDS 



Pour les sections de béton seul : I = moment d’inertie de la poutre Is = moment d’inertie du poteau inférieur In = moment d’inertie du poteau supérieur On définit les raideurs : 𝐼 𝐾= 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑙 𝐼𝑠 𝐾𝑠 = ′ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 𝑖𝑛𝑓é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑕𝑠 𝐼𝑛 𝐾𝑛 = ′ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑕𝑛 1

Moments aux nœuds  Considérons le portique équivalent ci-après :

METHODE DES ROTATIONS  Facteur de rigidité de la poutre : 4𝐸𝐼 = 4𝐸𝐾 𝑙  Facteur de rigidité des tronçons de poteaux articulés à une extrémité : 3𝐸𝐼𝑛 𝐾′𝐵𝑁 = ′ = 3𝐸𝐾𝑛 𝑕𝑛 3𝐸𝐼𝑠 𝐾′𝐵𝑆 = ′ = 3𝐸𝐾𝑠 𝑕𝑠  Écrivons, en utilisant la méthode des rotations, l'équilibre du nœud B : 1 Γ𝐵𝐸 = 𝛾𝐵𝐸 − 𝐾𝐵𝐸 . 𝜔𝐵 − . 𝐾𝐵𝐸 . 𝜔𝐸 2 Γ𝐵𝑁 = −𝐾 ′ 𝐵𝑁 . 𝜔𝐵 Γ𝐵𝑆 = −𝐾 ′ 𝐵𝑆 . 𝜔𝐵 𝐾𝐵𝐸 =

0 = 𝛾𝐵𝐸 − (𝐾𝐵𝐸 + 𝐾 ′ 𝐵𝑁 + 𝐾 ′ 𝐵𝑆 ). 𝜔𝐵 − . 𝐾𝐵𝐸 . 𝜔𝐸 1 2

BE = moment d'encastrement en B de la poutre de référence encastrée aux deux extrémités. 

En remarquant que pour les chargements symétriques: 𝜔𝐸 = −𝜔𝐵 il vient: 1 0 = 𝛾𝐵𝐸 − ( 𝐾𝐵𝐸 + 𝐾 ′ 𝐵𝑁 + 𝐾 ′ 𝐵𝑆 ). 𝜔𝐵 2 et en faisant intervenir les raideurs : 1 𝛾𝐵𝐸 0 = 𝛾𝐵𝐸 − ( 4𝐸𝐾 + 3𝐸𝐾𝑁 + 3𝐸𝐾𝑆 ). 𝜔𝐵 ⟹ 𝜔𝐵 = 2 𝐸 2𝐾 + 3(𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 )  On en déduit les valeurs des couples d'encastrement action nœud sur barre : 1 Γ𝐵𝐸 = 𝛾𝐵𝐸 − 4𝐸𝐾𝜔𝐵 + . 4𝐸𝐾. 𝜔𝐵 = 𝛾𝐵𝐸 − 2𝐸𝐾𝜔𝐵 2 Γ𝐵𝑁 = −3𝐸𝐾𝑛 . 𝜔𝐵 Γ𝐵𝑆 = −3𝐸𝐾𝑠 . 𝜔𝐵 

Soit en remplaçant. B par sa valeur : Γ𝐵𝐸 = 𝛾𝐵𝐸 1 −

2𝐾 2𝐾 + 3 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛

Γ𝐵𝑁 Γ𝐵𝑆

3 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 = 𝛾𝐵𝐸 2 2𝐾 + 3 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝐾 + 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 3 3𝐾𝑛 𝐾𝑛 = −𝛾𝐵𝐸 = −𝛾𝐵𝐸 2 2𝐾 + 3 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝐾 + 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 3 3𝐾𝑠 𝐾𝑠 = −𝛾𝐵𝐸 = −𝛾𝐵𝐸 2 2𝐾 + 3 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝐾 + 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 3 = 𝛾𝐵𝐸

2

a)

Cas de la poutre uniformément chargée



Moment d’encastrement dans la travée de référence :



Moment au nœud B du portique : 𝑝𝑙 2 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 = M𝐵𝐸 3 2 3 8 𝐾 + 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 23 2 𝑝𝑙 2 𝐾𝑛 Γ𝐵𝑁 = + = M𝐵𝑁 8 32𝐾 +3 𝐾 + 𝐾 𝑠 𝑛 23 2 𝑝𝑙 2 𝐾𝑠 Γ𝐵𝑆 = + = −M𝐵𝑆 8 32𝐾 + 3 𝐾 + 𝐾 𝑠 𝑛 23 2 Γ𝐵𝐸 = −

Soit en définitive 𝑝𝑙 2 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 8 𝐾 + 1,5 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝑝𝑙 2 𝐾𝑛 =+ 8 𝐾 + 1,5 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝑝𝑙 2 𝐾𝑠 =− 8 𝐾 + 1,5 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛

M𝐵𝐸 = − M𝐵𝑁 M𝐵𝑆

b) Cas de la poutre soumise à une charge concentrée P d'abscisse a mesurée depuis le nu du nœud B Par le même raisonnement que. ci-dessus on arrive à: 1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑘 = . . 1 − . (2 − ) 2 𝑙 𝑙 𝑙 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 M𝐵𝐸 = −𝑘. 𝑃. 𝑙. 𝐾 + 1,5 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝐾𝑛 M𝐵𝑁 = 𝑘. 𝑃. 𝑙. 𝐾 + 1,5 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛 𝐾𝑠 M𝐵𝑆 = −𝑘. 𝑃. 𝑙. 𝐾 + 1,5 𝐾𝑠 + 𝐾𝑛

Moments d'encastrement à prendre en compte En remplaçant les coefficients 1,5 - 8 et 2 des dénominateurs, respectivement par : 1,56 - 8,5 et 2,125 pour tenir compte de l'effet de la variation d'inertie due aux sections de béton fissurées le long des travées, les moments d'encastrement aux nœuds sont donnés par :

3

Ms

Moments sollicitant les poteaux Dans les poteaux, hs’ et hn’ sont les ordonnées des points de moment nul depuis le nœud B.

MOMENTS EN TRAVÉE - EFFORTS TRANCHANTS    

M et V sont évalués en tenant compte des moments d'encastrement calculés comme indiqué ci-dessus; Les portées sont celles entre nus d'appuis et non plus hs’ et hn’ Par mesure de simplification, on néglige l’effort tranchant V dans les poteaux. Les diagrammes des efforts normaux se déduisent de ceux des efforts tranchants

4

2. MÉTHODE DE LA RÉSISTANCE DES MATERIAUX GÉNÉRALITÉS h et l sont les portées entre axes. Pour tout portique à une travée (encastré ou articulé en pied) on désigne par : 𝐼 𝐾𝑡 = = 𝑟𝑎𝑖𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑙 𝑖 𝐾𝑝 = = 𝑟𝑎𝑖𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑑 ′ 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 𝑕 𝐾𝑡 𝑘= 𝐾𝑝  Sur les figures, la position des fibres tendues relativement à la ligne moyenne est repérée par un tiret placé du côté où elles se trouvent (les moments "négatifs" tendent la fibre extérieure au portique).

PORTIQUE ARTICULÉ EN PIED 1- Charge concentrée P à mi-portée de la traverse



Moment de référence 𝑀0 =



𝑃. 𝑙 4

Moments d'encastrement de la traverse 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 = −𝛼1 . 𝑀0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼1 =



3 4𝑘 + 6

Poussée H en pied: 𝑀𝐵 𝑕

𝐻=

2- Charge uniformément répartie p sur la traverse



Moment de référence 𝑀0 =



𝑝. 𝑙 2 8

Moments d'encastrement de la traverse 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 = −𝛼2 . 𝑀0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼2 =



2 2𝑘 + 3

Poussée H en pied: 𝐻=

𝑀𝐵 𝑕

5

3- Remarques a)

Cas où Kt > Kp  

La poutre est très raide par rapport aux poteaux. Elle se trouve pratiquement articulée sur ceux –ci.

𝐼 𝑖 𝐾𝑡 𝑀𝐵 ⟶ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑕𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 ≫ ⇔ 𝐾𝑡 ≫ 𝐾𝑝 ⟺ 𝑘 = → 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖 𝑀𝐵 ⟶ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑕𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑟é𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑙 𝑕 𝐾𝑝 PORTIQUE ENCASTRE EN PIED 1- Charge concentrée P à mi-portée de la traverse



Moment de référence 𝑀0 =



𝑃. 𝑙 4

Moments d'encastrement de la traverse 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 = −𝛽1 . 𝑀0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛽1 = 𝑀𝐴 = 𝑀𝐷 = −



1 𝑘+2

𝑀𝐵 2

Poussée H en pied: 𝐻=

𝑀𝐵 + 𝑀𝐴 𝑕

6

2- Charge uniformément répartie p sur la traverse



Moment de référence 𝑀0 =



𝑝. 𝑙 2 8

Moments d'encastrement de la traverse 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 = −𝛽2 . 𝑀0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛽2 = 𝑀𝐴 = 𝑀𝐷 = −



4 3(𝑘 + 2)

𝑀𝐵 2

Poussée H en pied: 𝐻=

𝑀𝐵 + 𝑀𝐴 𝑕

3- Remarques Mêmes remarques et mêmes conclusions que pour le portique articulé en pied lorsque K t >> Kp ou Kt