Calcul barycentrique (Le Livre du problème,volume 5) 2712401182, 9782712401184 [PDF]

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le livre du problème, vol.5

Ce volume porte le numéro: ISBN

- 2 - 7124 - 0118 - 2

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Editions CEDIC

93,avenue d'Italie - 75013 PARIS

COLLECTION FORMATION DES MAITRES EN MATHEMATIQUE Directeur: Maurice GLAYMANN Tous les ouvrages de celle collection destinée aux maîtres en exercice proposent des situations et des activités en prise directe avec la réalité pédagogique quotidienne. Ils concernent plus particulièrement, s'ils sont marqués d'un : * les enseignants de l'enseignement élémentaire les enseignants du premier cycle de l'enseignement secondaire ∇ les enseignants du deuxième cycle de l'enseignement secondaire

1. LA LOGIQUE A L'ECOLE * M. Glaymann - P. C. Rosenbloom 2. LA MATHEMATIQUE ET SES APPLICATIONS ∇ Troisième séminaire intemational- E. Galion 3. L'ALGEBRE LINEAIRE PAR SES APPLICATIONS ∇ T. J. Fletcher 4. LE LIVRE DU PROBLEME ∇ – Pédagogie de l'exercice et du problème – Exercices élémentaires de géométrie affine – La parité – La convexité – Le calcul barycentrique I.R.E.M. de STRASBOURG 5. ADDITION DANS N * M. Robert 6. MODELES FINIS * A. Myx 7. LA GEOMETRIE AUTOUR D'UN CARRE P. Gagnaire 8. LE LANGAGE DES CATEGORIES ∇ P. J. Hilton 9. LES PROBABILITES A L'ECOLE * ∇ M. Glaymann et T. Valga 10. ACTIVITES SUR QUELQUES THEMES D'ALGEBRE L. Jeremy

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11. OPERATEURS A L'ECOLE ELEMENTAIRE * F. Jarente 12. RENCONTRE SUR L'ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE Quatrième séminaire - E. Galion 13. POINTS DE DEPART * C. S. &nwell, K. D. Sanders et D. G. Tahtn 14. APPORT DE L'INFORMATIQUE A L'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE ∇ Jean Kuntzmann 15. SIX THEMES POUR SIX SEMAINES * A. Myx 16. PROBABILITES, STATISTIQUES ET BIOLOGIE ∇ J. L. Chassé et A. Pavé 17. INITIATION MATHEMATIQUE * Jean et Suzanne Daniau 18. LA MATHEMATIQUE VIVANTE * I. I. Perelmann

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sommaire CHAPITRE 1 : L'espace vectoriel du calcul barycentrique . . . . . . . . . . . 0. La composition des forces parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Exercice d'exposition n° 1 : présentation élémentaire . . . . . . . . . 2. Exercice d'exposition n° 2 : prolongement dans un espace affine de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Exercice d'exposition n° 3 : représentation par des champs de vecteurs" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Notations, conventions, résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 15

CHAPITRE 2 : Méthodologie du calcul barycentrique . . . . . . . . . . . . . . Mode d'emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Les trois règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Repères affines et coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 34

18 21 25

CHAPITRE 3 : Le barycentre en géométrie affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 CHAPITRE 4 : Le barycentre en géométrie euclidienne . . . . . . . . . . . . . 49 CHAPITRE 5 : Le centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Définition et principales propriétés du centre de gravité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 56 58

CHAPITRE 6 : Le barycentre hors de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Solutions et commentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

SOMMAIRE PREFACE L'histoire du calcul barycentrique est liée essentiellement à deux noms : ARCHIMEDE, qui vécut au troisième siècle avant J.C et MÖBIUS dont le mémoire fondamental "Der barycentrische Calcul" fut publié à Leipzig en 1827. La portée de la théorie apparaît mieux, et l'on résout plus élégamment les exercices et problèmes qui s'y rapportent, lorsqu'on a réfléchi sur le changement complet de point de vue, que le second savant a apporté aux conceptions de son illustre devancier. Archimède fut le créateur de la Statique ; dans ses deux "Livres des équilibres" et ses deux ouvrages consacrés aux "corps flottants" il définit quelques concepts de base de cette science et démontre une trentaine de propositions concernant 1es centres de gravités des triangles, parallélogrammes, segments de parabole etc. etc... La découverte du centre de gravité est une étape importante dans l'histoire de l'abstraction. Pour résoudre des problèmes pratiques d'équilibre, il convient de faire intervenir un point "idéal", qui n'apparaît pas toujours d'une façon concrète dans les données. Et lorsque la dynamique commença a s'élaborer dix-neuf siècles plus tard, ce fut encore ce même centre de gravité qui joua un rôle primordial dans l'étude du mouvement du solide. La découverte d'Archimède préfigure une tendance aujourd'hui banale: "expliquer du visible (concret) compliqué, par de l'invisible (abstrait) simple" (Jean Perrin) Entre l'époque d'Archimède et le dix-neuvième siècle, la théorie des centres de gravité fit quelques progrès. Les méthodes de recherche s'apparentent à la géométrie ou au calcul différentiel et intégral, mais la motivation reste liée â la physique : la mécanique d'abord, puis les sciences du magnétisme et de l'électricité (qui obligent à considérer des charges négatives). La contribution de Möbius fut l'élaboration d'un Calcul. Le centre d'intérêt se déplace de la contemplation d'un point remarquable, vers l'étude d'une loi de composition non triviale : la barycentration. Möbius se libère du contexte physique en modifiant la terminologie. Au centre de gravité (en allemand Schwerpunkt) il substitue le mot barycentre pour indiquer qu'il ne se limite plus aux charges de signe positif et qu'il ne s'agit plus d'un chapitre de mécanique : la notion est utile en géométrie, analyse, calcul de probabilité etc... A deux points massifs affectés de charges positives on peut associer le barycentre affecté de la somme des charges : on définit ainsi une loi de composition, la barycentration sur l'ensemble M+ des points d'un espace affine, chargés positivement. – 11 –

SOMMAIRE Mais pour donner plus de souplesse à ce calcul, il convient de l'étendre à des points chargés de masses de signe quelconque. C'est là que surgit l'obstacle majeur: on ne peut définir le centre de gravité de points massifs que si la charge totale n'est pas nulle ! Ainsi au lieu de pouvoir appliquer automatiquement quelques règles de calcul simple, il faudrait constamment surveiller la légitimité de certaines combinaisons, et s'assurer que l'on ne voit pas surgir, en cours de calcul, des systèmes de points dont le barycentre n'est pas défini. En fait, de nombreux manuels ne s'embarrassent pas de tant de scrupules : ils se bornent à traiter quelques cas géniaux, passant sous silence les très nombreux cas singuliers. On peut restaurer l'harmonie qui régnait dans M+, en lui adjoignant, non seulement l'ensemble des points massifs de masse négative M– (à ur support dans un espace affine E) mais aussi l'espace vectoriel E associé à E. Et ur l'on a la surprise de trouver que l'ensemble. M+ ∪ M–.∪ E est muni d'une structure d'espace vectoriel : la somme de deux points massifs de charge ur totale nulle est un vecteur de E . Lorsqu'on se place dans ce cadre, le calcul barycentrique retrouve la souplesse dont les exceptions précédemment citées risquaient de le priver. A partir de là, on 'la pouvoir apprendre à penser linéairement, et exploiter systématiquement les propriétés d'invariance affine. On effectuera avec ingéniosité tous les changements de repère affine que requiert chaque problème particulier. Ainsi, la pratique du calcul barycentrique développe les mêmes aptitudes que l'utilisation de l'algèbre linéaire, dont ce n'est en fait qu'une variante. Mais comme cette activité s'effectue dans un contexte assez. différent de celui de l'espace vectoriel à deux ou trois dimensions familiers, elle fournit un exemple précieux de "pédagogie polyconcrète" (A. Lichnérowicz.) qui incite à utiliser les mêmes idées dans des situations très variées. On constate malheureusement, que l'immense majorité des usagers ne manie les barycentres qu'avec lourdeur sans tirer tout le parti qu'offre cet algorithme. La principale raison de ce fiasco pédagogique tient, au fond, à la confusion entre les points de vue d'Archimède et de Möbius. On s'imagine que l'essentiel est d'assimiler quelques définitions et théorèmes (d'ailleurs triviaux). On néglige complètement le mode d'emploi, la méthodologie du maniement des points massifs. Le présent fascicule vise les objectifs pédagogiques suivants : – Entraîner à la pensée linéaire. – Inciter à l'art du calcul ingénieux et élégant. – Faire le lien entre une théorie abstraite et les applications diverses de la théorie dans des situations pratiques. – 12 –

SOMMAIRE CHAPITRE I L'ESPACE VECTORIEL DU CALCUL BARYCENTRIQUE

Ce premier chapitre se propose de donner une présentation "théorique" du calcul barycentrique, c'est-à-dire de construire l'espace vectoriel qui permettra de ramener le calcul barycentrique à un "calcul linéaire". Que le lecteur ne se laisse pas rebuter par l'apparente lourdeur de ce chapitre. En effet, s'il trouve ci-dessous trois exercices d'exposition, ces exercices présentent en fait trois constructions différentes et totalement indépendantes. Il n'est donc nullement indispensable de les résoudre tous : un seul suffira amplement. A la rigueur, on pourra même se contenter d'une lecture attentive du paragraphe 4, qui met en place les notations et conventions, et rappelle les opérations et les principales propriétés. Il serait à notre avis dommage de se priver, pour s'épargner un effort somme toute minime, de toutes les facilités offertes par le calcul barycentrique, lorsqu'il est traité comme un calcul linéaire. Le premier des trois exercices d'exposition qui suivent se veut très élémentaire ; il construit l'espace vectoriel "à la main", en essayant de justifier chaque étape. Un inconvénient majeur de cette méthode réside dans la démonstration de l'associativité de l'addition, démonstration pénible car elle oblige à distinguer de nombreux cas différents. Les deux autres méthodes évitent ce désagrément, car elles induisent la structure d'espace vectoriel au moyen d'une bijection à partir d'un espace vectoriel connu. Pour des élèves déjà plus dégrossis, ce pourra être une illustration intéressante de cette technique de "transport de structure". Dans la première, on considère l'espace affine P comme hyperplan d'un espace affine A ; la seconde fait appel à la notion de champ de vecteurs sur un espace affine. Ces deux constructions sont plus dogmatiques que la précédente, et nécessitent sans doute une plus grande habitude des mathématiques. Elles ne présentent cependant pas de très grandes difficultés. – 13 –

SOMMAIRE § 0 La composition des forces parallèles Avant d'aborder les exercices d'exposition, il peut être utile de se souvenir de la composition des forces parallèles, qu'on a apprise en physique. Soit O x y z un repère orthonormé de l'espace. On s'intéresse aux forces parallèles à Oy, et ayant leur point d'application sur Ox.

r Le point d'application d'une telle force ( F , A) non nulle est entièrement déterminé par le moment en O de cette force, c'est-àdire par le vecteur, d'origine O et porté par Oz, uuur r uur r M ( F , A) = OA ∧ F . En effet, l'égalité vectorielle uuur r uur r M ( F , A) = OA ∧ F est ici équivalente à l'égalité des mesures algéuur r briques M ( F , A) = OA • F . r r Etant donné deux forces ( F , A) et ( F ', B), on cherche une force r ( S , G) satisfaisant aux conditions : uur r uur r uur r r r r (2) M ( S , G) = M ( F , A) + M ( F ', B) (1) S = F + F' qui sont équivalentes aux conditions : (4) OG • S = OA • F + OB • F' (3) S = F + F' Par conséquent, G est défini, de façon unique, par l'égalité : (5) (F + F') • OG = F • OA + F'• OB r r si et seulement si F + F' n'est pas nul. – 14 –

SOMMAIRE r r r Si F + F' = 0 , on a affaire à un "système de forces oppo sées" (s.f.o.). Le moment en O de ce s.f.o. est, par définition, le uuur r uur r uur r vecteur M ( F , A) + M ( F ', B), c'est-à-dire BA ∧ F . Ce moment ne détermine pas le s.f.o. On définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des s.f.o., en disant que deux s.f.o. sont équivalents s'ils ont même moment. Une classe d'équivalence est appelée un couple. On a maintenant une bijection entre l'ensemble des couples et l'ensemble des vecteurs d'origine O et portés par Oz : à un couple, cette bijection associe le moment de l'un quelconque de ses représentants. r Ainsi, ron sait définir la composée ou somme de deux forces ( F , A) etr ( Fr', B) quelconques : r r r r r – Si F + F' = 0 , c'est la force ( S , G) telle que S = F + F' et (F + F') • OG = F • OA + F'• OB . r r r – Si F + F' ≠ 0 , c'est le couple engendré par le s.f.o. r r ( F , A), (– F , B) , qu'on peut identifier à un vecteur. r Si on identifie la force ( F , A) au "point massif" (A, F ), on peut définir la somme de deux points massifs (A, F ) et (B, F ') – Si F + F' ≠ 0, c'est le point massif (G, F + F' ), où G est défini par l'égalité : (F + F') • OG = F • OA + F'• OB –

Si F + F' = 0, c'est un vecteur.

§ 1 Exercice d'exposition n° 1 : présentation élémentaire ur P désigne un plan affine réel, P sa direction ; si A et B sont deux points de P, α et β deux réels non nuls, on s'intéresse à l'ensemble des points G tels que : uuur uuur r (1) α GA + β GB = 0 1) Si A est un espace affine dont P est un sous-espace, montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : uuur uuur r α GA + β GB = 0 (1) uuur uuur uuur (2) ∀O ∈ A , α OA + β OB = (α + β )OG uuur uuur uuur (3) ∃O ∈ A , α OA + β OB = (α + β )OG – 15 –

SOMMAIRE 2) Si α + β ≠ 0, montrer l'existence et l'unicité de G. A quelle droite appartient G (lorsque A et B sont distincts) ? Donner une construction géométrique de G, par exemple dans le cas où α = 2, β = 3. 3) Définition On appelle point massif de P un couple (A, α), où A est un point de P, et α un réel non nul. Montrer que sur l'ensemble P × R+* des points massifs de masse positive, on définit une opération interne commutative et associative en posant : (A, α) + (B, β) = (G, α+β), où G est l'unique point vérifiant (1). Définition : Le point massif (A, a) + (B, β) est le barycentre des points massifs (A, α) et (B, β). 4) On aimerait maintenant étendre cette opération à l'ensemble P × R* de tous les points massifs de P, en conservant commuta tivité et associativité. Pour quelles paires (A, a), (B, (3) de points massifs peut-on déjà définir (A,α)+(B,β) ? Si α+β = 0 montrer que : a) – Si A ≠ B, il n'existe aucun point G satisfaisant (1) – Si A = B, (1) est satisfaite pour tout point G. Le procédé utilisé pour définir l'addition dans P × R+* se généralise-t-il à P × R* ? uuur b) Le premier membre de (1) comme de (2) est égal à α BA . En déduire que l'on peut définir la somme de deux points massifs quelconques,, si url'on accepte que dans certains cas la somme soit un élément de P et non un point massif. On a donc une opération définie sur P × R*, à valeurs dans ur l'ensemble Pˆ , réunion de P et urde P × R* : Pˆ = P ∪ (P × R * ) Cette opération est-elle commutative ? – 16 –

SOMMAIRE Pourquoi ne peut-on encore parler de l'associativité de cette opération ? Que faut-il définir pour pouvoir parler de cette asso ciativité ? Par quel ensemble est-on donc amené à remplacer P × R*? 5) L'addition dans Pˆ On veut définirur dans Pˆ une addition telle que Pˆ devienne un groupe abélien dont P soit un sous-groupe. Soit donc X et Y deux éléments de Pˆ . a)

b)

Dans quels cas sait-on déjà définir X + Y ? Quel est l'élément neutre de l'addition ? Quel est l'opposé de (A, α) ? ur On suppose que X = (A, α), Y = V . ur Montrer que (A, α) + V ne peut être un vecteur. ur Montrer que si (A, α) + V = (B, β), nécessairement β = α, et B uuur ur est le point de P défini par α AB = V . (Ou encore, avec la ur notation classique dans les espaces affines : B = A + 1 V ).

α

c)

ur Comme on veut que l'opération soit commutative, V + (A, α) est également défini. Rappeler dans tous les cas la définition de X + Y. Montrer qu'avec cette opération Pˆ est un groupe abélien.

6) La multiplication par les scalaires On veut maintenant définir une loi de composition externe ˆ sur P telle que Pˆ devienne un R - espace vectoriel, dont Pˆ soit un sous-espace vectoriel. ur a) Montrer que pour définir le produit λ V d'un réel λ et d'un ur ur vecteur V de P , on n'a pas le choix. b) Pour le produit d'un réel et d'un point massif, on pose : ⎪⎧(A,α ) si λ ≠ 0 λ (A,α ) = ⎨r si λ = 0 ⎪⎩0 Montrer que le but proposé est atteint. – 17 –

SOMMAIRE 7) a)

Compléments Montrer que l'application ϕ : Pˆ → R définie par : ur ϕ(A, α) = α, ϕ ( V ) = 0 est une forme linéaire sur l'espace vectoriel Pˆ . n

b)

En déduire que

∑ (A ,α ) i

i

est

1

n

un vecteur si

∑α

i

=0

1

n

un point massif de masse

∑α

n

i

si

1

∑α

i

≠ 0.

1

Montrer que P est isomorphe à l'hyperplan affine ϕ–1(1) de Pˆ ; en déduire la dimension de Pˆ . (Commentaire page 69).

§2

Exercice d'exposition n° 2: Plongement dans un espace affine de dimension 3 [ 4] [5]

ur P désigne un plan affine réel, P sa direction; un point massif de P est un couple (A, α), où A est un point de P, α un réel non nul. ur On pose Pˆ = P ∪ (P × R ). 1) Montrer qu'on peut toujours considérer P comme hyperplan d'un espace affine A, (c'est-à-dire qu'il existe un espace affine A de dimension 3, tel que P soit isomorphe à un sous-espace affine de dimension 2 de A). 2) On choisit un point O de A, non situé dans P, et on définit une application X : A → Pˆ de la manière suivante : ur ur ur ur (i) Si V ∈ P , alors X ( V ) = V ur ur (ii) Si V ∉ P , alors la droite passant par O et de vecteur ur directeur V coupe P en un point A, et il existe un unique réel uuur ur ur α, non nul, tel que V = α OA ; on pose: X ( V ) = (A, α) – 18 –

SOMMAIRE

A P ur V

O Montrer que X est une application bijective. On munit Pˆ de la structure d'espace vectoriel induite de celle de ~ par X : rappeler ur explicitement la définition des opérations dans P . Etude de la structure de Pˆ ur 3) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de Pˆ ; quel est l'élé ment neutre de l'addition dans Pˆ ? 4) L'addition dans Pˆ a)

(i) Soit A et B deux points de P, α ur et β deux réels; montrer que uuur uuur α OA + β OB est un vecteur de P si et seulement si α + β = 0. uuur (ii) Montrer que si α + β = 0, alors (A, α) + (B, β) = α BA . Quel est l'opposé de (A, α) ? (iii) Montrer que si α + β ≠ 0, alors (A, α) + (B, β) est un point massif (G, γ). uuur uuur uuur Calculer α GA + β GB en fonction de OG , et en déduire que : γ=α+β G est caractérisé par l'égalité uuur uuur r (1) α GA + β GB = 0 (iv) Déduire de ce qui précède que la somme de deux points massifs ne dépend pas des divers choix arbitraires effectués (choix de A, du plongement de P, dans A, du point O). – 19 –

SOMMAIRE b)

ur ur Soit (A, α) un point massif de P, V un vecteur de P . ur Montrer que (A, α) + V est un point massif (B, β), que β = α et r que B = A + 1 V (notation dans l'espace affine P, c'est-à-dire

uuur r AB = 1 V ).

α

α

Montrer que la somme d'un point massif et d'un vecteur ne dépend pas des choix effectués. 5)

La multiplication des scalaires ⎧⎪(A, λα ) si λ ≠ 0 Montrer que λ (A, α) = ⎨ r si λ = 0 ⎪⎩0 ur Qu'est-ce que le produit λ V ? Cette opération dépend-elle des choix effectués ?

6) a)

Compléments Montrer que l'application ϕ : Pˆ → R définie par : r r r ∀ V ∈ P, ϕ (V) = 0 ; ∀ (A, α ) ∈ P × R*, ϕ (A, α ) = α est une forme linéaire sur P.

b)

En déduire que

n

∑ (A

i

, α i ) est

1

n

– un vecteur si

∑α

i

=0

1

n

– un point massif de masse

∑α

n

i

1

c)

si

∑α

i

≠0

1

Montrer que P est isomorphe à l'hyperplan affine ϕ–1(1) de Pˆ ; en déduire la dimension de Pˆ ; retrouver cette dimension d'une autre manière. (Commentaires page 70). – 20 –

SOMMAIRE § 3 Exercice d'exposition n° 3 : Représentation par des champs de vecteurs [4 ] [5] M.

1.3.1

Manipulations

Une suite simple de manipulations permet d'illustrer E.E.3. Elle ne nécessite que peu de matériel (une planche à dessin, une feuille de papier, trois punaises de dessinateur, trois élastiques ou mieux trois ressorts fins) et ne demande que peu de temps (nous avons mis un quart d'heure pour la réaliser entièrement). Cette manipulation est fondée sur "l'axiome" de l'élas tique". • "Axiome" de l'élastique. Trois points P, Q, R étant marqués à QR l'encre sur un élastique, le rapport α = ne dépend pas de la QP tension exercée sur l'élastique. • Manipulation 1. Vérifier 1'"axiome" de l'élastique (certains caoutchoucs se comportent mieux que d'autres, les ressorts don nent les meilleurs résultats). • Manipulation 2. Utiliser un caoutchouc pour visualiser le champ de centre A et d'intensité a (pour la définition d'un tel champ, voir ci-dessous question 3). Pour cela, placer P en A au moyen d'une punaise. M étant un point uuuuur uuuur quelconque, pour obtenir M' tel que MM' = α MA il suffit, en tendant l'élastique, d'amener Q en M. R vient alors en M' . • Manipulation 3. Utiliser un deuxième élastique pour visualiser le champ de centre A' et d'intensité α' (à tout point M on associe le uuuuuur uuuur point M" tel que MM" = α MA' ). uuuuur uuuuuur Construire pour divers points M la résultante MM' + MM" par la règle du parallélogramme. Vérifier que le support de cette résul tante passe par un point fixe G (ou éventuellement que cette résultante est un vecteur constant). • Manipulation 4. A l'aide d'un troisième élastique fixé en G, vérifier que le champ résultant est un champ central d'intensité constante. – 21 –

SOMMAIRE

E.E

1.3.2

ur Un champ de P désigne un plan affine réel, P sa direction. ur vecteurs de P est une application de P dans P . Un point massif de P est un couple (A, a), où A est un point de P, α un réel non nul. ur On pose Pˆ = P ∪ (P × R* ) 1) Soit ϑ l'ensemble des champs de vecteurs de P ; rappeler les opérations classiques qui font de ϑ un R-espace vectoriel. 2) Champs constants Soit ϑ ' l'ensemble des champs de vecteurs constants de P, ur ur ur f' : P → ϑ ' l'application qui à tout vecteur V de P associe le champ constant f 'Vuur défini par : ur ∀ M ∈ P , f 'Vr (M) = V . Montrer que ϑ ' est ur un sous-espace vectoriel de ϑ , et que f ' est u n isomorphisme de P sur ϑ '. – 22 –

SOMMAIRE 3) Champs centraux (attraction ou répulsion proportionnelle à la distance) Définition Soit ϕ un élément de ϑ, A un point de P, α un réel non nul ; ϕ est un champ central de centre A, d'intensité a, si : uuuur ∀ M ∈ P , ϕ (M) = α MA a) Soit ϑ" l'ensemble des champs centraux de P, f" : P × R* → ϑ" l'application qui à tout point massif (A, α) associe le champ cen tral f"(A,α) de centre A et d'intensité α . Montrer que f" est une bijection: b) Montrer que : ϑ ' ∩ ϑ " = ∅ c) Soit λ un réel, (A, α) un point massif ; étudier le produit λ f "(A, α) ; ϑ " est-il un sous-espace vectoriel de ϑ ? d) Soit f"(A, α) et f"(B, β) deux champs centraux. (i) Montrer que si α + β = 0, alors uuuur f"(A, α) + f"(B, β) = f 'α BA (ii)

Montrer que si f"(A,α) + f"(B,β) est un champ central f "(G, γ) alors :

(1) α+β≠0 (2) γ =uuur α + β uuur r (3) α GA + β GB = 0 Inversement, montrer que si α + β ≠ 0, il existe un point G tel que f" ( A , α ) + f" ( B , β ) = f" ( G , α + β ) . G est-il unique ? 4) a) Montrer que ϑ' ∪ ϑ" est un sous-espace vectoriel de ϑ . b) Soit f : Pˆ → ϑ' ∪ ϑ" l'application définie par : r r r ∀ V ∈ P, f(V) = f 'Vr

∀ (A, α ) ∈ P × R*, f(A, α ) = f "(A, α ) . Montrer que f est une bijection. c) On munit P de la structure d'espace vectoriel induite de ϑ ' ∪ ϑ " par la bijection f . Rappeler la définition des opérations de P . – 23 –

SOMMAIRE Structure de Puˆr Montrer que P est un sous-espace vectoriel de P . Addition uuur (i) Montrer que si α+β = 0, (A, α) + (B. β) = α BA Quel est l'opposé de (A, α) ? (ii) Montrer que si α + β ≠ 0, (A, α) + (B, β) = (G, α+β) où G est l'unique point vérifiant les conditions équivalentes suivantes : uuur uuur r α GA + β GB = 0 (1) uuur uuur uuur (3) ∀O ∈ A , α OA + β OB = (α + β )OG uuur uuur uuur (3) ∃O ∈ A , α OA + β OB = (α + β )OG A étant un espace affine quelconque dont P est un sousespace. Définition. Le point massif (G, α+β) est le barycentre des points massifs (A, α) et (B, β). ur (iii) Montrer que (A, α) + V = (B, β), où B est défini par uuur ur ur α AB = V (soit encore B = A + 1 V avec les notations ordi

5) a) b)

α

naires dans l'espace affine P). c) Produit par les scalaires

⎧⎪(A, λα ) si λ ≠ 0 r 0 si λ = 0 ⎪⎩

λ (A, α) = ⎨

Montrer que :

6) Compléments a) Montrer que l'application ϕ : P → R définie par : r r r ∀ V ∈ P , ϕ (V) = 0 ; ∀ (A, α ) ∈ P × R* , ϕ (A, α ) = α est une forme linéaire sur P. n

b) En déduire que

∑ (A ,α ) i

1 n

– un vecteur si

∑α

i

i

est .

=0`

1

n

– un point massif de masse

∑α

n

i

si

1

∑α

i

≠ 0.

1

c) Montrer que P est isomorphe à l'hyperplan affine ϕ–1(1) de P ; en déduire la dimension de P. (Commentaires page 71). – 24 –

SOMMAIRE §4

Notations, conventions, résumé Ce paragraphe peut suffire pour aborder les chapitres suivants. On rappelle que P est unur plan affine réel (plus généralement un espace affine quelconque), P ursa direction ; un point massif de P est un élément de P × R*, et Pˆ = P ∪ (P × R*). Le calcul barycentrique est le calcul dans P, qui est muni d'une structure d'espace vectoriel par les opérations dont la définition est rappelée ci-dessous. 1) Notation de Grassmann Le point massif (A, a) s'écrit encore α (A, 1) ; si l'on identifie P à P × {1} , on peut remplacer (A, 1) par A, de sorte que le point massif (A, α) s'écrira simplement α A . Cette notation, due à Grassmann, sera toujours utilisée par la suite. 2)

Convention 1 Alors que le point massif (A, α) a une masse α toujours non nulle, lorsqu'on écrit α A, on désigne le produit du point massif A (c'est-à-dire (A, 1)) par le réel α, de sorte que α peut être nul, auquel r cas α A n'est plus un point massif, mais le vecteur 0 . Par abus de langage, on parlera du point massif α A, même si α peut prendre la valeur 0, ou on dira que le point A est affecté de la masse 0. 3) Convention 2 Le barycentre d'une famille αiAi, i = 1...n, de points massifs tels que

n

n

1

1

∑α i = 0 , est le point massif ( ∑ α i ) G ; cependant on dira

souvent que G est le barycentre des points massifs αi Ai, en omettant la masse α; ; mais dans les calculs, il ne faut pas oublier d'associer à G sa masse. En particulier, si ai = 1 pour tout i , le point massif nG est l'isobarycentre des points massifs Ai, i = 1…n . Mais on dira simplement que G est l'isobarycentre des points Ai. 4) Résumé a) Rappel des opérations : en utilisant la notation de Grassmann, les opérations de l'espace vectoriel P se définissent comme suit : – 25 –

SOMMAIRE Addition

uuur ⎧α BA si α +β = 0 ⎪ α A + β B = ⎨(α + β )G si α +β = 0 uuur uuur r ⎪ ⎩où G est le point tel que α GA + β GB = 0 ur ur αA + V = α(A + 1 V )

α

ur où A + 1 V est la notation classique dans l'espace affine P.

α

Produit par les scalaires r ⎧⎪λ (α A) = (λα )A (= 0 si λ = 0) r ⎨ r ⎪⎩λ V produit d'un vecteur de P par un réel n

b)

∑α

i

Ai est

1

n

– un vecteur si

∑α

i

=0

1

n

– un point massif de masse

∑α

n

, si

i

1

n

c) Si

∑α

i

∑α

i

≠0

1

≠ 0, les assertions suivantes sont équivalentes :

1

n

(i)

∑α 1

(ii)

n

i

Ai = ( ∑ α i )G

∀O∈A,

1

n

∑α 1 n

(iii)

i

n uuuur uuur OA i = ( ∑ α i ) OG 1

n uuuur uuur ∃ O ∈ A , ∑ α i OA i = ( ∑ α i ) OG 1

1

uuuur r GA α ∑ i i =0 n

(iv)

1

A étant un espace affine quelconque dont P est un sousespace

– 26 –

SOMMAIRE CHAPITRE II METHODOLOGIE DU CALCUL BARYCENTRIQUE Après la mise en place "théorique" du barycentre au chapitre I, le chapitre II se propose d'initier à la "pratique" du calcul barycentrique, en essayant d'en dégager un "mode d'emploi". Il ne faudrait cependant pas que, séduit par l'expression "mode d'emploi", le lecteur s'attende à une suite de recettes dont l'application automatique fournirait à coup sûr la solution du problème cherché` Le calcul barycentrique est un "calcul imaginatif'. Bien souvent, dans sa conduite, il présente diverses options plus ou moins élégantes, parmi lesquelles le chercheur doit faire un choix ; et surtout, il nécessite à chaque étape une interprétation géométrique des résultats obtenus. En aucun cas il ne saurait se laisser réduire à une succession d'automatismes. Cela nous a amenés à introduire, en plus des Exercices Didactiques et des Problèmes, une nouvelle catégorie d'exercices, que nous avons baptisée Calcul Imaginatif (C.I) : un Calcul Imaginatif n'atteint pas la difficulté d'un Problème, tout en étant moins facile qu'un Exercice Didactique. Selon le degré d'entraînement des élèves, il se rapprochera plutôt de l'un ou de l'autre. MODE D'EMPLOI Règle 1 : Penser "linéairement" Il faut utiliser systématiquement toutes les ressources de la structure d'espace vectoriel mise en évidence au chapitre I, en particulier l'associativité et la commutativité, les changements de bases. Il faut éviter le "défaut de linéarité" qui consiste à normaliser systématiquement, en introduisant le plus souvent des dénomina teurs fort encombrants. Cela signifie qu'il vaut, en général, mieux écrire (a + β) G = αA + βB plutôt que

G=

α A + β B α +β α +β

et que, lorsqu'on travaille dans un repère affine, il ne faut employer des coordonnées barycentriques normalisées (cf. défini tion dans E.E. 2.2.3) que lorsque le calcul s'en trouve allégé. – 27 –

SOMMAIRE Règle 2 : Penser en termes de transformation et d'invariance En présence d'un objet géométrique, on s'intéresse aux trans formations de l'espace qui laissent cet objet invariant. Dans notre cas, l'invariance du barycentre caractérise les applications affines : Si ϕ est une application affine, si

n

∑α

i

G est le barycentre des n

1

n

points massifs ai Ai, i = 1, ..., n, alors

∑α

i

ϕ(G) est le bary

1

centre des points massifs αi ϕ(Ai), i = 1, ..., n . Règle 3 : Une méthode pour préciser la position du barycentre. Un point d'un espace affine E appartient au sous-espace affine F engendré par les points A1 ..., Ap si et seulement si il peut s'écrire comme barycentre des Ai. On essaie donc systématiquement d'écrire un point comme barycentre de différents systèmes de points ; le point appartient alors à l'intersection des différentes sous-variétés engendrées respectivement par chaque système de points. Le paragraphe 1 se propose d'illustrer ces trois règles. Les exercices qu'on y trouve se résolvent uraisément par des calculs intrinsèques dans l'espace vectoriel Pˆ = P ∪ (P × R*), c'est-à-dire sans utiliser de bases. Cependant, comme toujours dans un espace vectoriel, il peut être utile dans certains cas de choisir une base et d'effectuer des calculs au moyen de coordonnées. Aussi le paragraphe 2 étudie-t-il les bases de l'espace vectoriel Pˆ , et le paragraphe 3 les coordonnées barycentriques. § 1 LES TROIS REGLES E.D 2.1.1 A, B, C, D étant les sommets consécutifs d'un parallélogramme, construire de diverses manières le barycentre des points massifs A, –2B, 3C, 2D. Commentaire Cet exercice doit permettre de se familiariser avec les opérations de Pˆ ; on demandera en particulier une construction obligeant à faire la somme d'un point massif et d'un vecteur. On exigera des constructions soignées, à partir d'un même parallélogramme, afin de vérifier "de visu" qu'on obtient le même résultat. – 28 –

SOMMAIRE E.D 2.1.2 Soit G le barycentre des points massifs aA et βB. Etudier la position de G par rapport à A et B, en fonction de α et β. A quelle condition G est-il le milieu du segment [AB] ? E.D 2.1.3 Déterminer le barycentre D des points massifs αA, – αB, αC, α étant un réel non nul. Examiner les milieux des diagonales du quadrilatère A, B, C, D. Conclusion ? Commentaire On transformera cet exercice didactique en problème, en demandant comment choisir α, β , γ pour que le barycentre D des points massifs αA, βB, γC forme avec A,B,C un parallélogramme. C.I 2.1.4 Soit ABC un triangle du plan affine euclidien P, a,b,c les longueurs des côtés BC, CA, AB. Que dire de la position du barycentre des points massifs αA, βB, γC ? Quelle propriété classique a-t-on redémontrée ? (Solution page 73) P 2.1.5

Droite d'Euler

– 29 –

SOMMAIRE Soit ABC un triangle du plan P, G son isobarycentre, A', B', C' les milieux de [BC], [CA], [AB]. A tout point M du plan, on associe le point X défini par: uuuur uuuur uuuur uuuur MX = MA + MB + MC 1) Trouver une construction géométrique de X. 2) Montrer que les parallèles menées par A, B, C à MA', MB', MC' respectivement, se coupent en X. Application On se place dans un plan affine euclidien P. En prenant M en O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC, retrouver le résultat classique : les hauteurs du triangle ABC se coupent en un point H, appelé orthocentre du triangle. O, H, G sont alignés sur une droite uuur uuur appelée droite d'Euler, et OH = 3OG . E.E 2.1.6 Règle 3 Soit G un espace affine, G' le sous-espace affine engendré par les points A0, Al ,…, An . Montrer qu'un point M de G appartient à G' si et seulement si il existe des réels λ0, λl , ..., λn tels que :

n

M=

∑λ A i

i

0

Indication uuuuuur uuuuuur On se rappellera que les vecteurs A 0 A1 ,K A 0 A n engendrent la direction uuuuur uur uur G' de G' et que M appartient à G' si et seulement si A 0 M appartient à G' . Remarque Certains des coefficients λi peuvent être nuls, mais bien entendu n

∑λ

i

≠0.

0

E.D 2.1.7 Isobarycentre d'un triangle Soit ABC un triangle. 1) Construire les points A' et A" définis par: 2 A' = B + C 3 A" = 2 A' + A A quelle droite particulière du triangle appartient le point A" ? 2) Par permutation circulaire sur A, B, C, on définit de même B' et B" , C' et C" . Que peut-on dire des points A", B", C" ? Quel théorème classique a-t-on redémontré ? – 30 –

SOMMAIRE C.I 2.1.8 Extension au tétraèdre Montrer que dans un tétraèdre, les quatre droites qui joignent l'un des sommets à l'isobarycentre de la face opposée, ainsi que les quatre droites joignant les milieux de deux arêtes opposées, sont concourantes. E.D 2.1.9 Soit ABCD un quadrilatère (plan ou gauche). Montrer que les segments joignant les milieux des côtés opposés se coupent en leur milieu. Quelle est la nature du quadrilatère construit sur les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque ? Commentaire On pourra transformer cet E.D en P en demandant par exemple : quelles conditions faut-il imposer à un quadrilatère pour que le quadrilatère construit sur les milieux de ses côtés soit un , parallé logramme ? E.D 2.1.10 A partir de 6 points distincts du plan, on obtient 10 paires de triangles ayant deux. à deux des sommets distincts. Pour chaque paire, on trace le segment joignant les isobarycentres des deux triangles. Montrer que ces dix segments sont concourants en leurs milieux. P 2.1.11 De la convexité (cf. Le livre du problème, vol. 4, page 18) [AB] et [A'B'] sont deux segments du plan P, I et J les milieux de [AA'] et [BB']. Montrer que, pour tout point K du seg ment [IJ], il existe des points C et C' des segments [AB] et [A'B'], tel que K soit le milieu de [CC']. – 31 –

SOMMAIRE Application Si E et E' sont deux parties convexes du plan P, l'ensemble des milieux des segments [AA'], où A est dans E et A' dans E', est convexe. (Solution page 73). C.I

Autour du théorème de Thalès Soit D et D' deux droites parallèles du plan P, O un point de P extérieur à ces droites. – Une droite issue de 0 coupe D et D' en A et A', et on a : O = α A + α 'A'. Montrer que si une droite issue de 0 coupe D et D'en B et B', on a: O = αB + α'B' . – Soit C et C' les points définis par: (γ + µ)C = γA + µB, (γ + µ)C' = γA' + µB', (γ +µ ≠ 0). Montrer que O, C, C' sont alignés. P

2.1.12

2.1.13

Théorème de Pappus Soit A, B, A', B' quatre points du plan tels que les droites : AA' et BB' se coupent en I AB et A'B' se coupent en J AB' et A'B se coupent en K Montrer que les droites JI et JK sont conjuguées harmo niques par rapport aux droites AB et A'B'. (Solution page 73).

– 32 –

SOMMAIRE Rappel Si P et P' sont deux espaces affines, une application f : P → P' est r r une application affine s'il existe une application linéaire l : P → P ' telle que pour tout couple (A, B) de points de P on ait : uuuuuuuuuur uuur r f(A) f(B) = l(AB) ; 1 est alors unique, et notée f : c'est la partie linéaire de f. On sait que, si le corps de base est R, si f : P → P est une bijection qui transforme trois points alignés en trois points alignés, alors f est une application affine (l'hypothèse que le corps de base est R est essentielle). (Cf. J. Frenkel "Géométrie pour l'élève-professeur", pages 83-88). E.E 2.1.14 Soit D et ∆. deux droites non parallèles du plan affine réel P, S la symétrie d'axe ∆., de direction D. Montrer que S est une application affine. Indication Même raisonnement que 2.1.12.

E.E

2.1.15

Règle 2

Soit αi Ai, i = 1, ... n, n points massifs de P, f une application r affine de P dans P', de partie linéaire f . – 33 –

SOMMAIRE Montrer que : n

1) Si

∑α

i

≠ 0 et si G est le barycentre de αi Ai , i = 1, ..., n, alors

1

f(G) est le barycentre des points massifs αif(Ai), i = 1, ..., n, c'est-à-dire que : n

∑α

n

i

f(Ai) =

1

n

2) Si

∑ α i = 0, alors : 1

∑α

f(G)

i

1

r n f(A ) = f ( ∑ α i Ai) α i ∑ i n

1

1

(Solution page 74). C.I 2.1.16 Même énoncé que C.I 2.1.12, mais cette fois on demande une solution géométrique. Indication Utiliser une homothétie de centre O. E.D 2.1.17 Soit ∆. la médiane issue de A d'un triangle ABC. En utilisant la symétrie oblique d'axe ∆., parallèle à BC, montrer que l'isobarycentre du triangle appartient à ∆. § 2 REPERES CENTRIQUES

AFFINES

ET

COORDONNEES

BARY

E.E 2.2.1 Bases de P Pour cet exercice, il est commode de connaître la seconde construction exposée au chapitre I. Cela n'est cependant nullement indispensable, et l'on peut faire cet exercice sans connaître aucune des constructions du chapitre I. P désigne toujours un plan affine réel. On rappelle que la dimen sion de l'espace vectoriel Pˆ est 3 (dim Pˆ = dim P + 1). 1) Montrer que les points massifs αA et βA sont liés ; en déduire que pour étudier les bases de Pˆ , on peut se limiter aux points massifs de masse 1, c'est-à-dire aux points de P. r r r r r r r 2) Peut-on choisir u, v, w dans P tels que ( u, v, w ) soit une base de Pˆ – 34 –

SOMMAIRE r r r 3) Soit A un point de P, u, v deux vecteurs de P . A quelle r r condition (A, u, v ) est-il une base de Pˆ ? Montrer que, dans une r r telle base, tout point M de P s'écrit: M = A + xu + yv comment peut-on interpréter x et y ? r 4) Soit A et B deux points de P, u un vecteur de P. A quelle r r condition (A, B, u ) est-il une base de P ? 5) On suppose P de dimension n ; soit A0, Al, ..., An n + 1 points de P. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) (A0, Al , ..., An) est une base de Pˆ uuuuur (ii) Il existe j tel que ( A j Ai )i ≠ j soit une base de P uuuuur (iii) Pour chaque j, ( A j Ai )i ≠ j est une base de P. Exprimer ce résultat en langage plus "parlant" dans le cas où P est de dimension 1, 2, 3. (Commentaire page 74) Définitions r r – Une base du type (A, u, v ) de P est appelée repère cartésien du plan affine P. – Une base du type (A, B, C) de P est appelée repère affine du plan affine P. E.E 2.2.2 P et P' désignent deux plans affines réels, (A, B, C) et (A', B', C') des repères affines de P et P' respectivement. 1) Montrer qu'il existe au plus une application affine de P dans P' qui transforme (A, B, C) en (A', B', C'). 2) Soit 1 l'application linéaire de P dans fi définie par : uuur uuuur uuur uuuur l( AB ) = A'B' , l( AC )= A'C' . uuuur On définit f : P → P' par: f(M) = A' + l( AM ). Montrer que f est affine, et transforme (A, B, C) en (A', B', C'). 3) Conclure qu'il existe une unique application affine de P dans P' transformant (A, B,