Caiet Formule Matematice [PDF]

Zitiervorschau

Elev:

3

102 = 100

212 = 441

112 = 121

222 = 484

122 = 144

232 = 529

132 = 169

242 = 576

142 = 196

252 = 625

152 = 225

262 = 676

162 = 256

27 2 = 729

17 2 = 289

282 = 784

182 = 324

292 = 841

192 = 361

302 = 900

202 = 400

312 = 961

4

 !

 ∈ ⊂ ∉

⊃ ⇒

∨ ⇔

∧ ≥ ∃ ≤ ∀

≠ 

< >

= reuniune = unic = intersecţie = aparţine = cuprins = nu aparţine = inclus = implică = sau = dacă şi numai dacă = şi = mai mare sau egal = există = mai mic sau egal = oricare = diferit = divizibil = mai mic = mai mare

5

{ } = mulţimea numerelor naturale = {1,2,...,+∞} =  \ {0}

 = 0,1,2,....,+∞ ∗

 = {−∞,..., −2, −1, 0,1, 2,..., +∞}

= mulţimea numerelor

întregi ∗ = {−∞,... − 2, −1,1, 2,..., +∞} =  \ {0} ⎧m ⎫  = ⎨ m, n ∈, n ≠ 0 ⎬ ⎩n ⎭

=

= mulţimea numerelor raţionale

mulţimea numerelor reale

⊂ ⊂⊂ 

6

a0 = 1

(a ) = a m n

m⋅n

a m ⋅ a n = a m+n a m : a n = a m−n m

a =a n

n m

1

am = m a 1 = a −1 a

a1 = a

1n = 1 0n = 0

1 m

an

=a

−

n m

7

Suma primelor n numere naturale Sn S n = 1 + 2 + ... + n =

n (n + 1) 2

⎧a = 0 sau a ⋅b = 0 ⇒ ⎨ ⎩b = 0

(a + b ) = a 2 + 2ab + b2 2 (a − b ) = a 2 − 2ab + b2 a 2 + b 2 = (a − b )(a + b ) produsul sumei prin diferenţă 2

a 2 + b 2 = NU SE DESCOMPUNE ÎN 

(a + b + c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 (ab + ac + bc ) 2 (a − b + c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 (−ab + ac − bc ) 2 (a − b − c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 (−ab − ac + bc ) 3 (a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 3 (a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 a 3 − b3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) 2

Factor comun ab + ac = a (b + c ) Divizibilitate → împărţire exactă fără rest (restul este 0) Teorema împărţirii cu rest. ⎪⎧Î ≠ 0 D = Î⋅C + R ⎨ ⎪⎩ R < Î Deîmpărţitul se poate scrie ca produsul dintre împărţitor şi cât, plus restul. Împărţitorul trebuie să fie diferit de 0, pentru ca împărţirea să aibă sens, iar restul trebuie să fie mai mic decât împărţitorul, abia atunci sfârşindu-se împărţirea.

Împărţirea la 0 este operaţie lipsită de sens

8

a imposibil ! 0

Reuniunea

= mulţimea elementelor comune şi necomune celor două mulţimi considerate o singură dată

A  B = {x x ∈ A sau x ∈ B} .

Intersecţia =

mulţimea elementelor comune celor două mulţimi considerate o singură dată

{

A  B = x x ∈ A şi x ∈ B

}

Produsul cartezian =

mulţimea perechilor ordonate

AxB =

{( a,b) a ∈ A şi b∈ B}

Nu este comutativ

Complementara mulţimii A în raport cu mulţimea E

{

}

C E A = x ∈ E x ∈ E şi x ∉ A

Cardinalul unei mulţimi

= reprezintă numărul elementelor din

mulţimea respectivă.

9

Criterii de divizibilitate Criteriul divizibilităţii cu cifră este pară .

= Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima

Criteriul divizibilităţii cu = Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor ce-l compun este un număr divizibil cu 3. Criteriul divizibilităţii cu 5 = Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5 . Criteriul divizibilităţii cu 10,100,1000,…= Un număr este divizibil cu 10, 100, 1000… dacă ultima cifră este 0 sau respectiv 00, sau 000… . Criteriul divizibilităţii cu 11 = Se adună cifrele ce compun numărul, plasate în poziţii cu soţ, separat cele de ordin făra soţ. Dacă diferenţa celor două sume este 0, 11 sau un număr divizibuil cu 11, atunci numărul iniţial este divizibil cu 11.

10

Concentraţia unei soluţii = C =

md ⋅100 ms

md = masa substanţei dizolvate ms = masa totală a substanţei

Probabilitatea producerii unui eveniment

PA =

numãr cazuri favorabile numãr cazuri posibile

11

Simplificarea

= prin simplificare se face împărţirea numărătorului şi numitorului prin aceeaşi cantitate diferită de 0.

Reducerea

= suma algebrică dintre un număr şi opusul său este 0

a − a = 0.

Amplificarea

= a amplifica înseamnă a înmulţi şi numărătorul şi numitorul unei fracţii prin aceeaşi cantutate diferită de 0.

Raţionalizarea 3

Ex:

1 = 3; 3 3

1+ 2

(

)

1+ 2 1+ 2 1+ 2 1 = = = − 1+ 2 ; = 1− 2 −1 1− 2 1− 2 1+ 2

(

)(

)

3+ 2

1 = 3+ 2 = 3+ 2. 3− 2 3− 2

Împărţirea a două fracţii A împărţi 2 fracţii înseamnă a o înmulţi pe prima cu a doua inversată .

a a d Linie de fracţie principală b = ⋅ . c b c d

12

Mărimi direct proporţionale

Ex. {a, b, c} sunt direct proporţionale cu {3, 4,5}

a b c = = =k 3 4 5

Mărimi invers proporţionale Ex. {a, b, c} sunt invers proporţionale cu {3, 4,5}

a b c = = =k 1 1 1 3 4 5

Raport:

Proporţie

= raportul a două cantităţi este câtul celor două cantităţi

a → numãrãtor b → numitor ≠ 0

= egalitatea a două rapoarte

a c = b d

Proprietatea fundamentală a proporţiilor Produsul mezilor este egal cu cel al extremilor

a c = ⇒ ad = bc b d

Rădăcină pătrată (radical )

7 1423 37, 6 9 67x7=469 523 7 7 74 6 x 6 469 = 5400

13

Modulul →

este mereu o cantitate pozitivă

⎧− x; x < 0 ⎪ x = ⎨ 0; x = 0 ⎪ x; x > 0 ⎩

⎧ x − 3 = 8 ⎧ x = 11 ⇒⎨ ⎩ x − 3 = −8 ⎩ x = −5

Ex: ∗ x − 3 = 8 ⇒ ⎨

∗ x − 3 = −8 → ecuaţie imposibilă, S = ∅ ⎧2 x − 3 ≥ 5 ∗ 2x − 3 ≥ 5 ⇒ ⎨ ⎩2 x − 3 ≤ −5 ⎧2 x − 3 ≤ 5 ∗ 2x − 3 ≤ 5 ⇒ ⎨ altfel scris −5 ≤ 2 x − 3 ≤ 5 ⎩2 x − 3 ≥ −5

Media aritmetică M a = raportul dintre suma numerelor şi numărul lor a + a + ... + an Ma = 1 2 n

Media geometrică (proporţională) M g = ab Media armonică M R = M α =

2 1 1 + a b

=

Media ponderată Mp =

7 elevi ⋅ 4nota + 6elevi ⋅ 7 nota + 2elevi ⋅ 9nota 7+6+2

Inegalitatea mediilor M g < M α < M a

14

2ab a+b

Partea întreagă [a ] Partea fracţionară {a}

[a ] = [2,8] = 2 {a} = {2,8} = 0,8 [b] = [2,8] = −3 {b} = {2,8} = 2,8 − (−3) =

Ex. ∗ a = 2,8

∗ b = −2,8

−32,8 = 0, 2 a = [a ]+ {a} Partea întreagă este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat.

( )

= 17 Număr periodic simplu 17, 316 i i

i

316 999 i i i

La numărător se scrie perioada, iar la numitor atâtea cifre de 9 câte cifre are partea periodică.

Număr periodic mixt

( )

17,31 257 = 17 i i

∗ ∗ ∗

31257 − 31 999 0 0 ∗ ∗ ∗ i i

La numărător se scrie partea neperiodică urmată de perioadă formând un număr din care se scade partea neperiodică . La numitor se trec atâtea cifre de 9 câte cifre are partea periodică urmate de atâtea zerouri câte cifre are partea neperiodică.

Unităţi de măsură km-hm-dam-m-dm-cm-mm

1ha = 10.000m 2 1ar = 100m 2 1q = 100kg 1t = 100kg 1h = 60 min = 3600sec

15

ECUAŢII CU PARAMETRU Parametrul este o cantitate reală necunoscută, variabilă, în funcţie de care discutăm soluţia ecuaţiei. Ex: m 2 x + 1 = m (x + 1)

m 2 x + 1 = mx + m

∗ Se trec termenii cu necunoscute în membrul stâng , iar termenii liberii în

membrul drept respectând regula semnelor.

m 2 x − mx = m − 1 m 2 x − mx = m − 1 ∗ Dau factor comun necunoscuta x (m 2 − m )= m − 1 x ⎡⎣ m (m − 1)⎤⎦ = m − 1

∗ Determinăm valorile pentru care coeficientul necunoscutei se anulează m (m − 1) = 0 m1 = 0 ⋅ m − 1 = 0 ⇒ m2 = 1 ∗ Analizez cazurile posibile I m = 0 ; x ⎡⎣0 (0 − 1)⎤⎦ = 0 − 1 ; 0 = −1 ec. imposibilă S = 0

II m = 1 ; x (x − 1) = 1 − 1 ; 0 = 0 ec. ndeterminată S =  m −1 III m ≠ 0; m ≠ 1 ; x = m m −1

(

x=

16

1 soluţie unică reală m

)

Punct

xA

Dreapta – o infinitate de puncte, nelimitată la ambele capete ______________________ (d)

Semidreaptă

deschisă

închisă Semidreapta este porţiune dintr-o dreaptă limitată la un capăt

Segmentul de dreaptă

A B Porţiune din dreaptă mărginită la ambele capete. ∗ Două puncte determină unic o dreaptă ∗ Printr-un punct trece o infinitate de drepte

Punctele situate pe aceeaşi dreaptă se numesc coliniare

POSTULATUL (AXIOMA) LUI EUCLID Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singură paralelă la dreapta dată .

d1  d 2

17

Secante Secantele sunt drepte ce se intersectează într-un punct

Drepte perpendiculare

Formează unghiuri de 90

Unghiul

AOB 0 sau 

Unghiul

= Porţiunea din plan mărginită de două semidrepte ce pornesc dintr-un punct comun, numit vârful unghiului AO, (OB = laturile unghiului, O = vârful unghiului.

(

Unghi obtuz

(

Unghi drept

)

(

 m AOB > 90

Unghi propriu =  ascuţit

(

)

 m AOB < 90

18

)

 m MNP = 90

Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct de 360

Unghiuri complementare

= unghiuri a căror măsuri însumate reprezintă 90

(

)

(

)

  m AOB + m BOC = 90

Unghiuri suplementare

= unghiuri a căror măsuri însumate reprezintă 180

(

)

(

)

  m AOB + m BOC = 180

Unghi alungit

= unghiul cu laturile în prelungire a cărui măsură este de 180

(

)

 m AOB = 180

Unghiuri adiacente

= unghiuri ce au vârful şi o latură comune

19

∗ Unghiurile cu laturile respectiv paralele sunt fie congruente , fie suplementare

∗ Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare sunt fie congruente , fie suplementare

∗ 57 − 3615′27′′ 57 → 5660′ → 5659′60′′ 5659′60′′  57 − ⎪⎫  ⎬ → 36 15′27′′  ′ ′′ 36 15 27 ⎪⎭ 20 44′33′′

Ughiuri opuse la vârf ∗ Au măsurile egale ∗ Au laturile în prelungire

20

TRIUNGHIUL ⎡⎣ AB ⎤⎦ , ⎡⎣ AC ⎤⎦ , ⎡⎣ BC ⎤⎦ = laturi A, B, C = vârfuri  , CBA ,  BAC ACB = unghiuri ∗ Triunghiul este figura geometrică formată din trei laturi, trei vârfuri şi trei unghiuri

CLASIFICARE DUPĂ LATURI

oarecare – scalen

[AB ] ≠ [BC ] ≠ [AC ]

isoscel

[AB ] = [AC ]

echilateral

[AB ] = [AC ] = [BC ]

21

CLASIFICARE DUPĂ MĂSURA UNGHIURILOR

ascuţit unghic

()  < 90 m(B )  < 90 m (C )

m  A < 90

obtuz unghic

isoscel

()

() ()

m  A > 90

 =m C  m B





dreptunghic

()

m  A = 90

dreptunghic isoscel

echilateral

()  =m C m(B ) (  ) = 45 m  A = 90



( )

()

 = 60 =m C

∗ Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180

22

()

 = m A =m B

∗ ACM este unghi exterior ΔABC    ∗ m ACM = m BAC + m CBA

( ) ( ) ( )   m( ACM ) + m( ACB ) = 180

 ∗ ∗ Suma lungimilor oricăror două laturi este mai

mare decât a treia (condiţie de existenţă a unui triunghi) ∗ Un triunghi are doar un unghi de 90 sau mai mare decât 90

23

LINII IMPORTANTE ÎNTR-UN TRIUNHGI 1.BISECTOAREA = semidreapta care împarte unghiul din vârful căruia porneşte în două unghiuri de mărimi egale

∗ Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente în centrul cercului înscris în triunghi “I ”.

TEOREMA BISECTOAREI

AD = bisectoare   m BAD = m DAC

(

)

(

)

∗ Raportul segmentelor determinate de bisectoare pe latura opusă unghiului din vârful căruia porneşte este egal cu raportul laturilor ce determină unghiul. DB AB = DC AC

24

2. MEDIANA – este linia importantă în triunghi ce uneşte vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse

∗ Medianele se intersectează în centrul de greutate al triunghiului situat la 2/3 de vârf şi 1/3 de bază "G "

25

3. MEDIATOAREA – este dreapta

perpendiculară pe mijlocul laturii

unui triunghi

∗ Mediatoarele se intersectează în centrul cercului circumscris triunghiului în " O " .

26

4. ÎNĂLŢIMEA – este perpendiculara trasată din vârful unui triunghi pe latura opusă acestuia

∗ Înălţimile sunt concurente în ortocentrul triunghiului " H " .

27

5. LINIA MIJLOCIE = segmentul de dreaptă ce uneşte mijloacele a două laturi ale unui triunghi ∗ Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură. ∗ Linia mijlocie este egală ca lungime cu jumătate din lungimea laturii cu care este paralelă. AM = MB AN = NC MN  BC BC MN = 2

TEOREMA LUI THALES O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale.

B′C ′  BC AB′ AC ′ = B′B CC ′

28

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII O paralelă trasată la una dintre laturile unui triunghi determină cu celelalte două un triunghi asemenea cu cel dat.

B′C ′  BC ΔAB′C ′  ΔABC

AB′ AC ′ B′C ′ = = AB AC BC     m B′ = m B ; m C = m C ′

( )

( ) ( )

( )

29

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

[AB ], [AC ] → catete (determină unghiul de 90 ) [BC ] → ipotenuză (se opune unghiului de 90 ) TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC ISOSCEL

[AB ] = [AC ] = a

() ()

 =m C  = 45 m B BC = a 2

TEOREMA LUI PITAGORA Într-un triunghi dreptunghic suma lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

a 2 = b2 + c2 RECIPROCE

b2 = a 2 − c2 c2 = a 2 − b2

TEOREMA CATETEI CD = proiecţia catetei AC pe ipotenuză. DB = proiecţia catetei AB pe ipotenuză. Într-un triunghi dreptunghic cateta este medie proporţională (geometrică) între proecţia ei pe ipotenuză şi ipotenuză.

AC = CD ⋅ BC sau AC 2 = CD ⋅ BC

30

TEOREMA ÎNALTIMII Într-un triunghi dreptunghic înălţimea ce porneşte din vârful unghiului drept este medie proporţională între proiecţiile catetelor pe ipotenuză.

AD = CD ⋅ DB sau AD 2 = CD ⋅ DB

TEOREMA UNGHIULUI DE 30 În triunghiul dreptunghic cateta opusă unghiului de 30 este jmătate din lungimea ipotenuzei.

AC =

BC 2

TEOREMA MEDIANEI ÎN

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

Mediana care porneşte din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este jumătate din lungimea ipotenuzei.

AM = MB = MC

31

Teorema dreptunghiului înscris în semicerc Triunghiul dreptunghic se înscrie într-un semicerc, ipotenuza este diametrul, vârful drept se află pe cerc.

32

FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE ALE UNGHIULUI ASCUŢIT AL TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC = sin B

cat.op. b = ipot a

= cos B

cat.alãt c = ipot a

 b sin B b cat.op.  tg B = = a= =  c cat.alãt cos B c a = ctg B

 c cos B c 1 cat.alãt. = a= = =  b  cat.op. b tg B sin B a

FORMULA FUNDAMENTALĂ A TRIGONOMETRIEI sin 2 B + cos 2 B = 1

VALORI ALE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE Funcţia

30 1

sin x

2

3

cos x tgx = ctgx =

2 sin x

3

cos x

3

cos x

3

sin x

45

60

2

3

2 2 2

1 1

2 1 2

3 3 3

sin 90 = 1 sin 0 = 0 cos 90 = 0 cos 0 = 1 





33

CERCUL Cercul este mulţimea punctelor egal depărtate de un punct fix numit centrul cercului. Este un loc geometric, punctele sale bucurându-se de aceeaşi proprietate. MN este coardă, unind două puncte de pe cerc OA este rază, unind centrul cercului cu un punct de pe cerc OA = R BC este diametru, unind două puncte de pe cerc şi trecând prin centrul cercului. Este cea mai lunga coardă. Se poate trasa o infinitate de diametre BC = două raze = 2R

 = semicerc BC

 MN = arc de cerc

TANGENTE DINTR-UN PUNCT EXTERIOR AM = AN AM ⊥ OM AN ⊥ ON Tangenta la cerc este perpendiculară pe rază în punctul de contact

34

POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ CERCURI ∗ exterioare ∗ OO ' > R + r ∗ nu au puncte în comun

∗ tangente exterioare ∗ 00′ = R + r ∗ au un singur punct comun

∗ secante ∗ 00′ < R + r ∗ au două puncte comune

∗ concentrice ∗ 0 = 0′ au acelaşi centru

∗ nu au puncte comune

∗ tangente interioare ∗ au un singur punct comun

35

TANGENTE COMUNE A 2 CERCURI

MN şi PR sunt tangente exterioare AB şi CD sunt tangente interioare

UNGHIURI ÎN CERC Unghiul cu vârful în centrul cercului şi laturile raze ale cercului au măsura egală cu măsura arcului subîntins de laturile sale.

(

)

( )

 m MON = m  MN

Unghiul cu vârful pe cerc şi laturile sale coarde ale cercului are măsura egală cu jumătate din măsura arcului subîntins.

(

)

 m AMB =

( )

m  AB 2

Unghiul cu vârful în interiorul cercului are ca măsură semisuma arcelor.

Unghiul cu vârful în afara cercului are ca măsură semidiferenţa arcelor.

36

Teoreme remarcabile referitoare la cerc ∗ Diametrul perpendicular pe o coardă a cercului împarte coarda şi arcele corespunzătoare în câte două părţi egale şi reciproc.

∗ În acelaşi cerc sau în cercuri egale la unghiuri la centru egale corespund arce şi coarde egale şi reciproc.

∗ În acelaşi cerc sau în cercuri egale la arce egale corespund coarde egale şi reciproc.

∗ Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt egale. ∗ În acelaşi cerc sau în cercuri egale coardele egale sunt egal depărtate de centru şi reciproc.

37

CERCUL – formule uzuale Lcerc = 2π R

Larc cerc =

π R 2 n 180

Acerc = π R 2

Asec tor cerc =

π R 2 n 360

π = 3,1415......

38

PATRULATER INSCRIPTIBIL Un patrulater este inscriptibil dacă vârfurile sale se găsesc pe cerc. Laturile sale sunt coarde ale cercului, iar unghiurile sale sunt unghiuri cu vârful pe cerc.

∗ unghiurile opuse sunt suplementare

() ()  +m D m(B ) (  ) = 180

 = 180 m  A +m C 

∗ Unghiul format de o diagonală cu una dintre laturi este egal cu unghiul

format de cealaltă diagonală cu latura opusă.

( ) ( )

 = m DBC  m DAC

∗ Produsul unghiurilor diagonalelor este egal cu suma produselor lungimilor laturilor opuse. (Ptolomeu) AC ⋅ BD = AD ⋅ BC + DC ⋅ AB

39

POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC Laturile poligoanelor regulate înscrise în cerc sunt coarde ale cercului. Nr. laturi Nume

n = 3 triunghi

POLIGON

Latura ln Apotema an Aria S n funcţie de R Aria S n funcţie de ln Nr. laturi Nume

l3 = R 3 R a3 = 2 3R 2 3 S3 = 4 2 l 3 S3 = 4 n = 4 pătrat

POLIGON

Lautra ln Apotema an Aria S n funcţie de R Aria S n funcţie de ln

40

l4 = R 2

a4 =

R 2 2

S4 = 2 R 2 S4 = l 2

n = 6 hexagon

Nr. laturi Nume POLIGON

l6 = R

Latura ln Apotema an

R 3 2 3R 2 3 S6 = 2

a6 =

Aria S n funcţie de R Aria S n

S6 =

funcţie de ln

3l 2 3 2

R

= raza cercului circumscris poligonului an = apotemă – perpendiculara din centrul cercului pe latura poligonului înscris

Măsura unghiului unui poligon regulat

( )

m x

( n − 2)180 = n



n = nr. laturi

41

ARIA TRIUNGHIULUI BC = baza = a

AD = înălţime = h

S ABC =

 AD ⋅ BC h ⋅ a ab sin C = = 2 2 2

formula lui Heron: S ABC =

S ABC =

(

)(

)(

p p−a p−b p−c

)

p=

a+ b+ c 2

abc , cu R = rază cerc circumscris 4R triunghiului

S ABC = rp , cu r = rază cerc înscris

Aria triunghiului dreptunghic – dublă exprimare ABCA =

cat1 ⋅ cat2 ipot ⋅ înãl AB ⋅ AC = = 2 2 2

Teorema de aditivitate a ariei S ABC = S ABM + S ACM

42

PĂTRATUL

( AC )

2

S ABCD = l 2 =

2

=

d2 2

Proprietăţi

∗ laturi egale [AB ] = [BC ] = [DC ] = [AD ] ∗ dreptunghiul cu 2 laturi succesive egale ∗ diagonalele se intersectează după segmente congruente

∗ diagonalele sunt perpendiculare ∗ diagonalele sunt axe de simetrie ∗ unghiuri egale = 90  =m C  =m D  = 90 m  A =m B

() () () ()

43

PARALELOGRAMUL S ABCD = h ⋅ a = ab sin x Proprietăţi:

∗ laturile opuse sunt paralele şi egale ∗ unghiurile opuse sunt congruente ∗ unghiurile alăturate sunt suplementare ∗ diagonalele se taie după segmente egale

44

DREPTUNGHIUL AABCD = AB ⋅ BC = L ⋅ l Proprietăţi:

∗ laturile opuse sunt paralele şi egale

() () () ()

 =m C  =m D  = 90 ∗ m  A =m B ∗ diagonalele sunt congruente; AC = BD ∗ paralelogramul cu un unghi drept ∗ diagonalele se intersectează după segmente congruente; AO = OC = OD = OB

45

ROMBUL

S ABCD =

AC ⋅ DB 2 = l sin x 2

Proprietăţi: ∗ laturile sunt egale AB = AD = BC = CO

∗ unghiurile succesive sunt suplementere  = 180 m  A +m D

() ()

∗ unghiurile opuse sunt egale:  şi m D  =m B  m  A =m C

() () () ()

∗ paralelogramul cu 2 laturi succesive congruente ∗ diagonalele se intersectează după  de 90 şi segmente egale AO ⊥ DB ; AO = OC ; DO = OB .

46

TRAPEZUL

S ABCD = S ABCD

( AB + CD )⋅ h = (B + b )h

2 = MN ⋅ h

2

linia mijlocie – MN ∗ uneşte mijloacele laturilor neparalele ale trapezului

∗ este paralelă cu bazele AB  MN  DC ∗ este egală cu semisuma bazelor AB + DC B + b MN = = 2 2 Proprietăţi: ∗ bazele sunt paralele, AB  CD

∗ două unghiuri succesive sunt suplementare

Trapezul isoscel AD = BC  m  A =m B

() ()  =m C m(D ) () Trapezul dreptunghic AD ⊥ DC AD ⊥ AB

47

Drepte tăiate de o secantă Alterne interne

(A , B ); ( A , B ) 3

1

4

2

Alterne externe

(A , B ); ( A , B ) 1

3

2

4

Corespondente

(A , B ); ( A , B ) ; ( A , B ) şi ( A , B ) 1

1

2

2

3

3

4

4

Drepte paralele = drepte coplanare distincte care nu au nici un punct comun.

(d )  (g )

______________ (d) ______________ (g)

T: Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne, alterne externe şi corespondente, respectiv congruente. T: Două drepte paralele determină pe alte două drepte paralele pe care le intersectează, segmente congruente.

48

PATRULATER CONVEX Un patrulater se numeşte convex dacă pentru oricare două puncte aflate în interiorul său segmentul ce le uneşte este inclus în interiorul patrulaterului.

PATRULATER CONCAV Există două puncte în interiorul său astfel încât segmentul care le uneşte nu este inclus în interiorul patrulaterului.

∗ Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex = 360 ∗ Patrulaterul cu diagonalele ⊥ este ortodiagonal.

Cazuri de congruenţă ale triunghiului Două triunghiuri sunt congruente dacă fiecare latură a unuia dintre triunghiuri este congruentă cu o latură a celuilalt triunghi şi fiecare unghi al unuia din triunghiuri este congruent cu un unghi al celuilalt triunghi.

Cazuri de congruenţă pentru triunghiul oarecare I. II. III.

L.U.L. L.L.L. U.L.U

Pentru triunghiurile dreptunghice I. II. III. IV.

C.C. C.U. C.I. I.U.

49

SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂ Dacă o figură geometrică coincide cu simetrica ei faţă de o dreaptă, spunem că figura este simetrică faţă de dreapta dată, iar aceasta se numeşte axă de simetrie a figurii.

Simetria unui punct

axă de simetrie

Simetria unei figuri

50

PRISMA Este corpul obţinut prin intersectarea unei suprafeţe prismatice cu două plane paralele.

Prisma dreaptă

∗ Dacă generatoarea este perpendiculară pe planul bazei avem o prismă dreaptă BD′ = d = L2 + l 2 + h

Al = Pb ⋅ h

Ph = perimetrul bazei

At = Al + 2 AB

h = înălţimea piramidei

V = AB ⋅ h

AB = aria bazei

Prismă triunghiulară

Prismă oblică

Cub d =l 3 At = 6l 2 Al = l 2 ⋅ 4

V = l3

(l = latura cubului)

51

PIRAMIDA - Piramida regulată este piramida care are ca bază un poligon regulat şi înălţimea cade în centrul bazei.

h = înălţimea piramidei Al = Pb ⋅ ap

At = Al + Ab 1 V = ⋅ Ab ⋅ h 3 Pb = semiperimetrul bazei ap = apotema piramidei ab = apotema bazei VT = apotema piramidei OT = apotema bazei

TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ - este corpul geometric obţinut prin intersectarea unei piramide cu un plan paralel cu baza şi depărtarea părţii de la vârf.

00′ = h a trunchiului A′B′ 0′T ′ = = ap. bazei mici 2 AB OT = = ap. bazei mari 2

Al =

(B + b )⋅ h ⋅ nr. feţelor

2 At = Al + AB + Ab h V = AB + Ab + AB ⋅ Ab 3

(

52

)

CILINDRUL CIRCULAR DREPT - se obţine prin înfăşurarea unui dreptunghi. Segmentul de pe lăţimea acestui dreptunghi determină prin identificare, o generatoare a cilindrului.

AO = R AA′ = BB′ = OO′ = h = G

Al = A dreptunghiului AA′BB′

Al = 2π RG At = 2π R (R + G )

53

CONUL Se obţine prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Astfel ipotenuza triunhgiului “generează” suprafaţa laterală a conului.

Al = π RG At = π R (R + G ) 1 V = ⋅π R2 ⋅ h 3 V=

π R2 ⋅ h 3

TRUNCHIUL DE CON - Se obţine prin secţionarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza conului.

OA = R = raza bazei mari AA′ = G = generatoare O′A′ = r = raza bazei mici OO′ = h = înălţimea

Al = π G (R + r )

At = Al + AB + Ab = π G (R + r ) + π R 2 + π r 2 Atπ G (R + r ) + π R 2 + π r 2

V=

54

π ⋅h 2 2 (R + r + R + r ) 3

55

56