C4-1 20 2 Ejercicios [PDF]

Zitiervorschau

Universidad Jose Antonio Paez Mecanica de fluidos II Ing. Johan Mogollón

Unidad 3: Flujo sobre cuerpos

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 80 km/h. Determine la velocidad corriente arriba por usar en un análisis de flujo de fluidos si a) el aire es tranquilo, b) el viento sopla contra la dirección de movimiento del automóvil a 30 km/h y c) el viento sopla en la misma dirección de movimiento del automóvil a 50 km/h. En el análisis de flujo de fluido, la velocidad utilizada es la velocidad relativa entre el fluido y el cuerpo sólido. Por lo tanto: km Aire calmado : V ＝ Vcar Vcar ≔ 80 ―― hr Viento que sopla contra la dirección del movimiento: V ＝ Vcar + Vviento km V ≔ ((80 + 30)) ―― hr Viento que sopla en la misma dirección de movimiento: V ＝ Vcar - Vviento km V ≔ ((80 - 50)) ―― hr Se tiene en cuenta que las velocidades del viento y del automóvil se suman cuando están en direcciones opuestas, y se restan cuando están en la misma dirección.

Durante un experimento a un número de Reynolds alto, la fuerza de arrastre total que actúa sobre un cuerpo esférico de diámetro D =12 cm expuesto a flujo de aire a 1 atm y 5°C se mide en 5.2 N. El arrastre debido a presión que actúa sobre el cuerpo se calcula, cuando se integra la distribución de presión (medida con sensores de presión a través de la superficie), en 4.9 N. Determine el coeficiente de arrastre debido a fricción de la esfera. Para resolver el ejericio se asume que la superficie de la esfera es lisa, asi como que el flujo sobre la esfera es turbulento (por verificar). kg La densidad y la viscosidad cinemática del aire a 1 atm y 5 ° C son ρ ≔ 1.296 ―― y m3 m2 υ ≔ 1.382 ⋅ 10 -5 ―― . El coeficiente de arrastre de la esfera en flujo turbulento es s CD ≔ 0.2 , y su área frontal es A = πD2 / 4, de la tabla suministrada. Si FD ≔ 5.2 N FDfriccion ＝ FD - FDpresion

Por definicion de fuerza de arrastre

FDfriccion ≔ 5.2 N - 4.9 N = 0.3 N Por otra parte si:

Universidad Jose Antonio Paez Mecanica de fluidos II Ing. Johan Mogollón ρ FD ＝ CD ⋅ ―⋅ V 2 ⋅ A 2

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ρ FDfriccion ＝ CDfrccion ⋅ ―⋅ V 2 ⋅ A 2

En funcion a esta dos formulas se peude stablece que:

FD FDfriccion ＝ ――― ―― CD CDfriccion

FDfriccion CDfriccion ≔ ――― CD = 0.01154 FD Ahora necesitamos verificar que el flujo sea turbulento. Esto se hace calculando la velocidad del flujo a partir de la relación de fuerza de arrastre, y luego el número de Reynolds: ρ FD ＝ CD ⋅ ―⋅ V 2 ⋅ A 2

V≔

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 2 FD m 59.563 = ―――――――― ― 2 ⎞ ⎛ s ((0.12 m)) ⎟ ⎜ ρ ⋅ CD ⋅ π ⋅ ―――― ⎜⎝ ⎟⎠ 4

V ⋅ 12 cm Nre ≔ ―――― = 5.172 ⋅ 10 5 υ que es mayor que 2×105. Por lo tanto, el flujo es turbulento como se supone.

El cable cruzado principal entre las torres de un puente colgante costero tiene 60 cm de diámetro y 90 m de largo. Estime la fuerza de arrastre total de este cable en vientos cruzados de 50 mi / h. ¿Son estas condiciones de flujo laminar? kg mi -5 kg V ≔ 50 Para aire a 20 ° C, se toma ρ ≔ 1.2 ―― y μ ≔ 1.8 10 . Con una ―― ―― m⋅s hr m3 Verifique el número de Reynolds del cable

ρ ⋅ V ⋅ 60 cm NreD ≔ ――――= 8.941 ⋅ 10 5 μ

Por lo que se busca para un cilindo a cuanto correpsonde el coeficiente de Arrastre para dicho N de Reynolds

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Cd ≔ 0.35

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Se calcula la fuerza de arrastre

ρ FD ≔ Cd ⋅ ―⋅ V 2 ⋅ 60 cm ⋅ 90 m = 5665.599 N 2

Un cilindro largo de sección transversal rectangular, de 10 cm de diametro y 30 cm de largo, se sumerge en agua a 20 ° C que fluye a 12 m / s en paralelo al lado largo del rectángulo. Estime la fuerza de arrastre sobre el cilindro, por unidad de longitud, si el rectángulo (a) tiene una cara plana o (b) tiene una nariz redondeada. kg kg Para agua a 20 ° C, se toma ρ ≔ 988 ―― y μ ≔ 0.001 ―― . Suponga un flujo 3 m⋅s m bidimensional, es decir, use la Tabla facilitadda para el coeficiente de arrastre para figuras L 30 cm =3 comunes. Si la nariz es plana, ―= ――― D 10 cm

Cdplana ≔ 1.3

Para el de nariz redondeada se requeriere realizar una interpolacion lineal : dando como resultado Cdredonda ≔ 0.7 2

ρ ⎛ m⎞ FDplana ≔ Cdplana ⋅ ―⋅ ⎜12 ―⎟ ⋅ 30 cm ⋅ 10 m = 277430.4 N 2 ⎝ s ⎠ 2

ρ ⎛ m⎞ FDredonda ≔ Cdredonda ⋅ ―⋅ ⎜12 ―⎟ ⋅ 30 cm ⋅ 10 m = 149385.6 N 2 ⎝ s ⎠

Un ciclista puede pedalear en una carretera nivelada sin viento a 10 m/s. La resistencia de rodadura de la bicicleta es de 0,80 N · s/m, es decir, 0,80 N de fuerza por m/s de velocidad. Para el conjunto ciclista más bicicleta sabemos que CDA = m20,422 . La masa del ciclista es de 80 kg, y la de la bicicleta es de 15 kg. Si el ciclista se encuentra con un viento de cara de 5,0 m/s,(a) desarrolle una ecuación para la velocidad del ciclista. [Indicación: se obtiene una ecuación cúbica para V]. (b) Obtenga el valor de V. (c) ¿Por qué la solución no es sencillamente 10 – 5,0 = 5,0 m/s, como se podría suponer en un principio?. Se evalua la fuerza y la potencia con el arrastre segun la velocidad relativa, entiendose como velocidad relativa la suma de las velocidades del ciclista y la velocidad del viento. 2 ρ ∑ F ＝ Fpedaleo + Farrastre ＝ Crodadura ⋅ V + CDA ⋅ ―⋅ ⎛⎝V + Vviento⎞⎠ 2

Para el pedaleo se hace 0 el area por que no existe. 2 ρ Potencia ＝ V ∑ F ＝ Crodadura ⋅ V 2 + CDA ⋅ ―⋅ V ⎛⎝V + Vviento⎞⎠ 2

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m Sea Vnv ≔ 10 ―, la velocidad de la bicicleta sin viento y entendiendose por s Vrel ＝ ⎛⎝V + Vviento⎞⎠ . Por otra parte se sabe o entiende que la potencia de salida o arranque del ciclista sera la misma con o sin el viento de frente por lo que esta iniciando el movimiento, por lo que: Pnv ＝ P ρ ρ Crodadura ⋅ Vnv 2 + CDA ⋅ ―⋅ Vnv 3 ＝ Crodadura ⋅ V 2 + CDA ⋅ ―⋅ V ⋅ Vrel 2 2 2 Despues del despeje matematico ne funcion de la variable V , que la que se necesita encontrar queda: ⎛ ⎞ ⎛ 2 Crodadura ⎞ 2 2 Crodadura 2 3 V 3 + ⎜2 Vviento + ―――― ⋅ Vnv 2 ⎟ ＝ 0 ⎟ V + ⎛⎝Vviento ⎞⎠ V - ⎜Vnv + ―――― ρ ⋅ C DA ⎠ ρ ⋅ CDA ⎝ ⎝ ⎠ kg Tomando el valro de ρ ≔ 1.2 ―― : m3 2

V 3 + ((13.16 V)) + 25 V - 1316 ＝ 0 ⎡ ⎤ 7.4133527399818489783 solve , x ⎢ V ≔ x 3 + 13.16 x 2 + 25 x - 1316 ＝ 0 ――― → -10.286676369990924489 - 8.4676921392211619002i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -10.286676369990924489 + 8.4676921392211619002i ⎦

m m V ⋅ ―= 7.413 ― 0 s s Como la resistencia es proporcional a 2 Vrel, una transformación lineal V = Vnv - Vviento no es posible. Incluso si no hubiera resistencia a la rodadura, V ≈ 7.0 m / s, no 5.0 m / s.

Un paracaidista salta desde un avión empleando un paracaídas de 8,5 m de diámetro en atmósfera estándar. La masa total del conjunto es de 90 kg. Suponiendo que el paracaídas está abierto y el movimiento es casi estacionario, estime el tiempo de caída desde 2000 a 1000 m de altura.

kg Para la altitud estándar ρ1000 ≔ 1.112 ―― y m3 kg ρ2000 ≔ 1.007 ―― . La viscosidad no es un m3 factor en la Tabla de coeficientes de arrastre proporcionada, donde leemos CD ≔ 1.3 Si la aceleración es insignificante:

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ρ Peso ＝ CD ⋅ ―V 2 A 2

⎛ 1.112 ⎞ V1000m ≔ 90 ⋅ 9.81 ＝ 1.3 ⋅ ⎜――⎟ ⋅ c 2 ⎝ 2 ⎠

⎛ 8.5 2 ⋅ π ⎞ solve , c ⎡ -4.6396243607439586929 ⎤ ⋅ ⎜――― ⎟ ――→ ⎢ ⎣ 4.6396243607439586929 ⎥⎦ 4 ⎝ ⎠

⎛ 8.5 2 ⋅ π ⎞ solve , c ⎡ -4.8755147921808168642 ⎤ ⎛ 1.007 ⎞ V2000m ≔ 90 ⋅ 9.81 ＝ 1.3 ⋅ ⎜――⎟ ⋅ c 2 ⋅ ⎜――― ⎟ ――→ ⎢ ⎣ 4.8755147921808168642 ⎥⎦ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ Por lo tanto, el cambio en la velocidad es muy, se puede estimar razonablemente el tiempo de caída utilizando la velocidad de caída promedio: Δz Δtcaida ＝ ――― Vpromedio

2000 m - 1000 m Δtcaida ≔ ――――――――― = 210.191 s ⎛ m m⎞ ⎜V1000m1 ⋅ ―+ V2000m1 ⋅ ―⎟ s s ⎠ ⎝ ――――――――― 2

Calcule el momento en la base de una asta que genera un viento de 156.7 km/h. La asta consta de tres secciones, cada una de 3,00 m de largo, de tubería de acero cédula 80 y tamaños distintos. La sección inferior es de 6 pulgadas, la de en medio 5 pulgadas y la de más arriba 4 pulgadas. La viscosidad cinemática de y con densidad de km Velo ≔ 156.7 ―― hr largo ≔ 3 m

. kg ρ ≔ 1.292 ―― m3

m2 υ ≔ 1.33 ⋅ 10 -5 ―― s

1 N k ≔ ―⋅ ρ ⋅ Velo 2 = 1223.955 ―― 2 m2

Velo 1 R ≔ ――= ⎛⎝3.273 ⋅ 10 6 ⎞⎠ ― υ m d1 ≔ 4 in

A1 ≔ d1 ⋅ largo = 0.305 m 2

Nr1 ≔ R ⋅ d1 = 3.325 ⋅ 10 5

d2 ≔ 5 in

A2 ≔ d2 ⋅ largo = 0.381 m 2

Nr2 ≔ R ⋅ d2 = 4.156 ⋅ 10 5

d3 ≔ 6 in

A3 ≔ d3 ⋅ largo = 0.457 m 2

Nr3 ≔ R ⋅ d3 = 4.988 ⋅ 10 5

Cd1 ≔ 1.1

Cd2 ≔ 1.05

Cd3 ≔ 0.7

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F1 ≔ k ⋅ Cd1 ⋅ A1 = 410.368 N F2 ≔ k ⋅ Cd2 ⋅ A2 = 489.643 N F3 ≔ k ⋅ Cd3 ⋅ A3 = 391.715 N ⎛ ⎛ ⎛ largo ⎞⎞ ⎛ largo ⎞⎞ ⎛ largo ⎞ Ma ≔ ⎜F1 ⋅ ⎜((2 ⋅ largo)) + ――⎟⎟ + ⎜F2 ⋅ ⎜((largo)) + ――⎟⎟ + ⎜F3 ⋅ ――⎟ = 5868.724 N ⋅ m 2 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

Un paracaídas típico del U.S. Army tiene un diámetro de 28 ft. Para una carga de pago de 80 kg, (a) determine la velocidad límite a 1000 m de altura en atmósfera estándar. Para la misma velocidad y carga de pago, ¿qué área sería necesaria si se empleara un disco circular delgado, (b) perpendicular a la corriente o (c) paralela a la corriente? (Ignore el hecho de que formas planas son dinámicamente inestables en caída libre). kg m Para la altitud estándar ρ1000 ≔ 1.112 ―― . Convierta W ≔ 80 kg ⋅ 9.81 ― = 784.8 N . 3 m s2 De la tabla facilitada para un paracaídas, lea Cd ≔ 1.3 2

π ⋅ ((28 ft)) A ≔ ――――= 57.205 m 2 4 ⎛ ρ1000 ⎞ 2 W ＝ CD ⋅ ⎜―― ⎟⋅V ⋅A ⎝ 2 ⎠

W ＝ FD

solve , h ⎡ -4.3566576122729625399 ⎤ ⎛ 1.112 ⎞ →⎢ V ≔ 784.8 ＝ CD ⋅ ⎜――⎟ ⋅ h 2 ⋅ 57.205 ――― ⎣ 4.3566576122729625399 ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ V = 4.357 1

Para una placa cuadrada nomal a la corriente asuminedo que las medidas son iguales de ancho y de base CD ≔ 1.18

⎛ ρ1000 ⎞ 2 2 W ＝ CD ⋅ ⎜―― ⎟⋅V ⋅L 1 2 ⎝ ⎠ solve , l ⎡ -7.9386685046749901477 ⎤ ⎛ 1.112 ⎞ L ≔ 784.8 ＝ CD ⋅ ⎜――⎟ ⋅ V 2 ⋅ l 2 ――→ ⎢ ⎣ 7.9386685046749901477 ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ 1

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L = 7.939 1

Este es un tamaño comparable al paracaídas, pero un plato cuadrado es desgarbado e inestable. Para una placa cuadrada paralela a la corriente, se utiliza la teoría de placa plana kg (turbulenta). Necesitamos la viscosidad: μ1000 ≔ 1.78 ⋅ 10 -5 ―― m⋅s ⎛ ρ1000 ⎞ 0.031 2 2 W ＝ ―――― ⋅ ⎜―― ⎟ ⋅ V ⋅ L ⋅ 2 Por ambos lados, por que la ⎛ρ⋅V⋅L⎞ ⎝ 2 ⎠ 1 forma en la que esta ⎜――― ⎟ μ poscionada ⎝ 1000 ⎠ solve , l ⎞ ⎛ 1.112 ⎞ ⎛ 0.031 2 2 L ≔ 784.8 ＝ ⎜――――― ―― ⋅ ⋅ ⋅ l ⋅ 2 → 119.11866831175462295 V ―― ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 2 ⎝ ⎠ ― ⎜ 7 ⎟ ⎜ ⎛ 1.112 ⋅ V ⋅ l ⎞ ⎟ 1 ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜―――― -5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 1.78 ⋅ 10 ⎠ ⎠ L = 119.119 Esto es ridículo, como estaba destinado a ser. Una placa paralela a la corriente es un dispositivo de baja resistencia. Necesitarías un plato del tamaño de un campo de fútbol.

Considere granizo de 0.8 cm de diámetro que cae libremente en aire atmosférico a 1 atm y 5°C. Determine su velocidad terminal. Considere que la densidad del granizo es de 910 kg/m3. La superficie del granizo es lisa, de modo que puede usarse el grafico siguente para determinar el coeficiente de arrastre

kg La densidad y la viscosidad cinemática del aire a 1 atm y 5 ° C son ρaire ≔ 1.269 ―― y m3 m2 kg ν ≔ 1.382 ⋅ 10 -5 ―― . La densidad del granizo es de ρgranizo ≔ 910 ―― , D ≔ 0.8 cm s m3 La velocidad terminal de un objeto en caída libre se alcanza cuando la fuerza de arrastre es igual al peso del objeto sólido menos la fuerza de flotación aplicada por el fluido que en este caso es insignificante

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fluido, que en este caso es insignificante, ⎛ π ⋅ D3 ⎞ FD ＝ W - FB Donde W ＝ m ⋅ g ＝ ρ ⋅ g ⋅ Volumen ＝ ρgranizo ⋅ g ⋅ ⎜――― ⎟ ⎝ 6 ⎠ FB ＝ 0 π ⋅ D2 y A ＝ ――― es el área frontal. Sustituyendo y simplificando, 4 2 ⎛ π ⋅ D 2 ρaire ⋅ V π ⋅ D3 4 D⎞ CD ⋅ ――― ⋅ ―――＝ ρgranizo ⋅ g ⋅ ――― CD ⋅ ρaire ⋅ V 2 ＝ ⎜ρgranizo ⋅ g ⋅ ―― ⎟ 3 ⎠ 4 2 6 ⎝

Resolviendo la Velocidad: V＝

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 4 g ⋅ ρgranizo ⋅ D ――――― 3 CD ⋅ ρaire

El coeficiente de arrastre CD se determinará a partir del grafico, pero requiere el número de Reynolds que no se puede calcular ya que no conocemos la velocidad. Por lo tanto, la solución requiere un enfoque de prueba y error. Primero expresamos el número de Reynolds como D s Nre ≔ ―= 578.871 ―V ν m Ahora elegimos una velocidad en m / s, calculamos el Nre a partir de la ecuación. 2, buscamos el CD correspondiente del grafico y calculamos V a partir de la ecuación. 1. Se necesita repetir los cálculos hasta que la velocidad supuesta coincida con la velocidad calculada. Con este enfoque, se determina que la velocidad terminal es m V ≔ 13.7 ― s

Nre ⋅ V = 7.931 ⋅ 10 3

V1 ≔

CD ≔ 0.4

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 4 g ⋅ ρgranizo ⋅ D m ―――――= 13.694 ― s 3 CD ⋅ ρaire

Se observa que una partícula de polvo de 0.1 mm de diámetro, cuya densidad es

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de 2.1 g/cm3, está suspendida en el aire a 1 atm y 25°C en un punto fijo. Estime la velocidad ascendente del movimiento del aire en dicha posición. Suponga que se aplica la Ley de Stokes. ¿Es ésta suposición válida? El número de Reynolds es bajo (en el orden de 1), por lo que la ley de Stokes es aplicable (por verificar). La fuerza de flotabilidad aplicada por el aire a la partícula de polvo es insignificante. gm La densidad del polvo se da como ρpolvo ≔ 2.1 ―― . La densidad y la viscosidad dinámica cm 3 kg kg del aire a 1 atm y 25 ° C son ρaire ≔ 1.184 ―― y μ ≔ 1.849 ⋅ 10 -5 ―― , D ≔ 0.1 mm 3 m⋅s m Se alcanza la velocidad terminal de un objeto en caída libre (o se establece la suspensión de un objeto en una corriente de flujo) cuando la fuerza de arrastre es igual al peso del objeto sólido menos la fuerza de flotabilidad aplicada por el fluido circundante, FD ＝ W - FB Donde W ＝ m ⋅ gPolvo ＝ ρPolvo ⋅ g ⋅ Volumen FB ＝ ρaire ⋅ g ⋅ Volumen FD ＝ 3 π ⋅ μ ⋅ VD

(Ley de Stokes)

Ya conociendo el volumen de una esfera, se sustituye: 3 π ⋅ μ ⋅ VD ＝ ρpolvo ⋅ g ⋅ Volumen - ρaire ⋅ g ⋅ Volumen

π ⋅ D3 3 π ⋅ μ ⋅ VD ＝ ⎛⎝ρpolvo - ρaire⎞⎠ ⋅ g ――― 6

Resolviendo la velocidad V y sustituyendo los valores numéricos, se determina que la velocidad de la corriente ascendente es g ⋅ D 2 ⋅ ⎛⎝ρpolvo - ρaire⎞⎠ m V ≔ ――――――― = 0.618 ― s 18 μ

V ⋅ D ⋅ ρaire Nre ≔ ―――― = 3.96 μ

que es del orden de 1. Por lo tanto, la idealización del flujo progresivo y, por lo tanto, la ley de Stokes es aplicable, y el valor calculado es válido.

Un tronco cilíndrico de pino (densidad = 513 kg/m3) de 2 m de largo y 0.2 m de diámetro, es suspendido en posición horizontal por una grúa. Está expuesto a vientos normales de 40 km/h a 5°C y densidad de 1.103kg/m3. Sin considerar el peso del cable y su arrastre, determine el ángulo u que el cable formará con la horizontal y su tensión. Las superficies del registro son lisas, de modo que la figura puede usarse para determinar el coeficiente de arrastre (no es una suposición realista). No se considera la turbulencia en el viento. ó

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La dirección del viento es normal al tronco, que siempre permanece horizontal. El peso del cable y el arrastre que actúa sobre él son insignificantes. La viscosidad dinámica del aire a 5 ° C (independiente de la presión) es kg kg μ ≔ 1.754 ⋅ 10 -5 ―― , ρ ≔ 1.103 ―― m⋅s m3

km 40 ―― ⋅ 0.2 m ⋅ ρ hr Nre ≔ ―――――― = 1.397 ⋅ 10 5 μ

Se calcula el N de Reynolds

El coeficiente de arrastre correspondiente a este valor es, de la figura CD ≔ 1.2 . Además, el área frontal para el flujo más allá de un cilindro es A = LD. Entonces la fuerza de arrastre total que actúa sobre el registro se convierte en 2

⎛ km ⎞ ρ ⋅ ⎜40 ―― ⎟ hr ⎠ ⎝ FD ≔ CD ⋅ ((0.2 m ⋅ 2 m)) ⋅ ――――― = 32.681 N 2 el peso del registro es

πD 2 ⋅ L W ＝ m ⋅ g ＝ ρtronco ⋅ g ⋅ Volumen ＝ ρtroncοg ⋅ ――― 4 2

kg m π ⋅ ((0.2 m)) ⋅ 2 m W ≔ 513 ―― ⋅ 9.81 ― ⋅ ―――――― = 316.203 N 3 4 m s2 Entonces la fuerza resultante que actúa sobre el tronco y el ángulo que forma con la horizontal se convierten en Ftronco ≔ ‾‾‾‾‾‾‾‾ W 2 + FD 2 = 317.888 N Se busca obtener el angulo que tiene dicha resultante en el tronco

⎛W⎞ θ ≔ atan ⎜―― ⎟ = 84.099 deg ⎝ FD ⎠

Por lo tanto, la tensión en el cable es de 317.88 N y el cable hace 84.099 ° con la horizontal.

Una pelota de tenis con 57 g de masa y 6.4 cm de diámetro se golpea con una velocidad inicial de 92 km/h y un giro hacia atrás de 4 200 rpm. Determine si

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caerá o se elevará debido al efecto combinado de la gravedad y la sustentación debida al giro poco después de ser golpeada. Suponga que el aire está a 1 atm y 25°C. La densidad y la viscosidad cinemática del aire a 1 atm y 25 ° 2 kg -5 m C son ρ ≔ 1.184 ―― y υ ≔ 1.562 ⋅ 10 ―― s m3 Se supone que la superficie exterior de la pelota es lo suficientemente lisa como para que la figura dada en clase sea aplicable. Ademas la pelota se golpea horizontalmente para que comience su movimiento horizontalmente por lo tanto, normalmente caería bajo el efecto de la gravedad sin el giro. El retroceso generará un levantamiento, y la pelota se elevará si la sustentacion es mayor que el peso de la pelota. km La velocidad regular y angular son: V ≔ 92 ―― hr

1 ω ≔ 4200 rpm = 439.823 ― s

Para entrar a la figura, es necesario conocer el termino ubicado en el eje horizontal. la unidad de este cocientes es en radianes pero como mathcad, toma automaticamente dicha unidad en vez de grados, no se coloca.

ω ⋅ 6.4 cm = 0.551 ―――― 2⋅V

Obteniendose CL ≔ 0.11 , entonces: 2

π ⋅ ((6.4 cm)) ρ ⋅ V2 FL ≔ CL ⋅ ――――― ⋅ ――= 0.137 N 4 2 El peso de la bola es: W＝m ⋅ g

W ≔ 57 gm ⋅ g = 0.559 N

Por lo tanto, la bola caerá bajo el efecto combinado de la gravedad y la elevación debido al giro después de golpear, con una fuerza neta de W - FL = 0.422 N V ⋅ 6.4 cm El N de reynols para este ejercicio es Nre ≔ ―――― = 1.183 ⋅ 10 5 , que es bastente ν cerca a 6x10^4, que el numero de reynolds para el cual esta preprarada la fugira con la cual se realizo el ejercicio.

Calcule el arrastre total sobre un aeroplano que tiene una cuerda de 2 m y una extensión de 10 cm. El aeroplano vuela a 3000 m a V1= 600 km/h y V2=150

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p

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/

y

km km s2 V1 ≔ 600 ―― V2 ≔ 150 ―― ρ ≔ 0.9093 N ⋅ ―― hr hr m4

De la gráfica, entra con el ángulo busco CD CD ≔ 0.10 A ≔ 2 m ⋅ 10 m = 20 m 2 ⎛1 ⎞ FD ≔ CD ⎜―⋅ ρ ⋅ V1 2 ⎟ ⋅ A = 25258.333 N ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ FD ≔ CD ⎜―⋅ ρ ⋅ V2 2 ⎟ ⋅ A = 1578.646 N ⎝2 ⎠

Determine la sustentación y arrastre con un ángulo de ataque de 10º, si el ángulo no tiene una cuerda de 1,4 m y largo 6,8 m, para una velocidad de 200 m/s. km m V ≔ 200 ―― = 55.556 ― hr s

kg ρ ≔ 1.202 ―― m3

De la gráfica del ejercicio, entra con el ángulo busco CD y CL CD ≔ 0.05

CL ≔ 0.90

A ≔ 6.8 m ⋅ 1.4 m = 9.52 m 2 ⎛1 ⎞ FL ≔ CL ⋅ ⎜―⋅ ρ ⋅ V 2 ⎟ ⋅ A = 15893.111 N ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ FD ≔ CD ⎜―⋅ ρ ⋅ V 2 ⎟ ⋅ A = 882.951 N ⎝2 ⎠

O también se puede hacer por una relación entre coeficientes: CD FD ≔ ―― ⋅ FL = 882.951 N CL

Determine el área de las alas para que un avión de 1350 kg vuele a 125 km/h, con un ángulo de ataque de 2,5º. k

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kg ρ ≔ 0.7364 ―― Masa ≔ 1350 kg m3

Ya que es la fuerza que necesita para volar

FL =Peso total W ≔ Masa ⋅ g FL ≔ Masa ⋅ g = 13238.978 N

Se obtiene de la grafica, el Cl km V ≔ 125 ―― hr

CL ≔ 0.30

V2 FL ＝ CL ⋅ ―― ⋅A⋅ρ 2

2 ⋅ FL A ≔ ―――― = 99.411 m 2 2 CL ⋅ V ⋅ ρ

Considere que una aeronave despega a 190 km/h cuando está totalmente cargada. Si el peso de la aeronave aumenta 20 por ciento como resultado de la sobrecarga, determine la velocidad a la que despegará la aeronave sobrecargada. Las condiciones atmosféricas (y, por lo tanto, las propiedades del aire) siguen siendo las mismas. La configuración del avión durante el despegue se mantiene igual para que el coeficiente de elevación del avión permanezca igual. Un avión despegará cuando la elevación sea igual al peso total. Por lo tanto, W ＝ FL

1 W ＝ ―CL ⋅ ρV 2 ⋅ A 2

‾‾‾‾‾‾ 2W V ＝ ――― ρCL ⋅ A

Se nota que la velocidad de despegue es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la aeronave. Cuando la densidad, el coeficiente de sustentacion y el área permanecen constantes, la relación de las velocidades del avión sobrecargado y totalmente cargado se convierte en ‾‾‾‾‾‾ 2 W2 ――― ‾‾‾ ‾‾‾‾ V2 ρCL ⋅ A W2 W2 ＝ ―― V2 ＝ V1 ⋅ ―― ― ＝ ―――― ‾‾‾‾‾‾ V1 W1 ‾‾‾ 2 W1 W1 ――― ρCL ⋅ A Sustituyendo, se determina que la velocidad de despegue del avión sobrecargado es

V2 ＝ V1 ⋅

‾‾‾‾‾‾‾ 1.2 ⋅ W1 ――― W1

V2 ＝ V1 ⋅ ‾‾‾ 1.2

km km V2 ≔ 190 ―― ⋅ ‾‾‾ 1.2 = 208.135 ―― hr hr

Considere un avión cuya velocidad de despegue es de 220 km/h y que tarda 15 s en despegar a nivel del mar. Para un aeropuerto a una elevación de 1 600 m (como Denver), determine a) la velocidad de despegue, b) el tiempo de despegue y c) la longitud de pista adicional necesaria para este avión. Suponga aceleración constante para ambos casos.

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Unidad 3: Flujo sobre cuerpos

Existen condiciones atmosféricas estándar. La configuración del avión durante el despegue se mantiene igual para que el coeficiente de elevación del avión y el área de la forma del plano permanezcan constantes. La aceleración de la aeronave durante el despegue permanece constante. kg kg La densidad del aire estándar es ρ1 ≔ 1.225 ―― a nivel del mar, y ρ2 ≔ 1.048 ―― a 3 m m3 1600 m de altitud. a) Un avión despegará cuando la elevación sea igual al peso total. Por lo tanto, 1 W ＝ ―CL ⋅ ρV 2 ⋅ A 2

W ＝ FL

‾‾‾‾‾‾ 2W V ＝ ――― ρCL ⋅ A

Se nota que la velocidad de despegue es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la aeronave. Cuando la densidad, el coeficiente de sustentacion y el área permanecen constantes, la relación de las velocidades del avión sobrecargado y totalmente cargado se convierte en ‾‾‾‾‾‾‾ 2W ――― ‾‾ ρ2CL ⋅ A V2 ρ2 ＝ ―― ― ＝ ―――― ‾‾‾‾‾‾‾ V1 ‾‾ 2W ρ1 ――― ρ1CL ⋅ A

V2 ＝ V1 ⋅

‾‾‾ ρ2 ― ρ1

‾‾‾ ρ1 km km V2 ≔ 220 ―― ⋅ ―= 237.854 ―― hr hr ρ2 (b) La aceleración de la aeronave al nivel del mar es ΔV a ＝ ―― Δt

km km 220 ―― - 0 ―― hr hr m a ≔ ―――――― = 4.074 ― 15 s s2

que se supone que es constante tanto a nivel del mar como a mayor altitud. Entonces el tiempo de despegue a mayor altitud se convierte en

ΔV Δt ＝ ―― a

km V2 - 0 ―― hr Δt ≔ ―――― = 16.217 s a

(c) La longitud de pista adicional se determina calculando la distancia recorrida durante el despegue para ambos casos, y tomando su diferencia: 1 L1 ＝ ―at1 2 2

2 1 L1 ≔ ―⋅ a ⋅ ((15 s)) = 458.333 m 2

1 L2 ＝ ―at2 2

1 L2 ≔ ―⋅ a ⋅ ((Δt)) 2 = 535.743 m

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2

at2

Unidad 3: Flujo sobre cuerpos 2

2

a (Δt)

535.743 m

ΔL ≔ L2 - L1 = 77.409 m

Una pelota lisa de 2.4 in de diámetro y que rota a 500 rpm, se libera en una corriente de agua a 60°F que fluye a 4 ft/s. Determine las fuerzas de sustentación y arrastre que actúan sobre la pelota cuando acaba de dejarse en el agua. La superficie exterior de la pelota es lo suficientemente lisa como para que la grafica suministrada para esferas sea aplicable. La pelota está completamente sumergida en agua. lbm La densidad y la viscosidad dinámica del agua a 60 ° F son ρ ≔ 62.36 ―― y ft 3 lbm μ ≔ 7.536 10 -4 ⋅ ―― V ≔ 4 ft ― ft ⋅ s s Las fuerzas de arrastre y elevación se pueden determinar a partir de las ecuaciones ya conocidas, en donde A es el área frontal de la pelota, que es A = πD2 / 4. El número de Reynolds y la velocidad angular de la pelota son

ρ ⋅ V ⋅ 0.2 ft Nre ≔ ――――= 6.62 ⋅ 10 4 μ

ω ≔ 500 rpm

Para entrar a la figura, es necesario conocer el termino ubicado en el eje horizontal. la unidad de este cocientes es en radianes pero como mathcad, toma automaticamente dicha unidad en vez de grados, no se coloca.

ω ⋅ 0.2 ft ―――= 1.309 2⋅V

CD ≔ 0.56

CL ≔ 0.34

2

π ⋅ ((0.2 ft)) ρ ⋅ V2 FD ≔ CD ⋅ ――――⋅ ――= 1.213 N 4 2 2

π ⋅ ((0.2 ft)) ρ ⋅ V2 FL ≔ CL ⋅ ――――⋅ ――= 0.737 N 4 2

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Unidad 3: Flujo sobre cuerpos

Un avión comercial tiene una masa total de 150000 lbm y un área de planta de ala de 1800 ft2. El avión tiene una velocidad de crucero de 550 mi/h y una altitud de crucero de 38 000 ft, donde la densidad del aire es de 0.0208 lbm/ft3. El avión tiene flaps de doble ranura para usarlos durante el despegue y el aterrizaje, pero vuela con los flaps retraídos. Si se supone que las características de sustentación y de arrastre de las alas pueden aproximarse con las propiedades del perfil NACA 23012, determine a) la velocidad mínima segura para despegar y aterrizar con y sin flaps extendidos, b) el ángulo de ataque para volar en vuelo de crucero de manera estacionaria a la altitud de crucero y c) la potencia que se necesita suministrar para ofrecer suficiente empuje para superar el arrastre. Considere que la densidad del aire en el suelo es de 0.075 lbm/ft3. No se consideran el arrastre y la elevación producidos por partes del avión que no sean las alas. Se supone que las alas son secciones de superficie aerodinámica bidimensionales, y los efectos de la punta se descuidan. Por otra parte, las características de elevación y arrastre de las alas se pueden aproximar por NACA 23012 para que sea aplicable el grafico.

lb Las densidades del aire son ρaireS ≔ 0.075 ―― , en el ft 3 lb suelo y ρaireA ≔ 0.0208 ―― a altitud de crucero. El ft 3 A ≔ 1800 ft 2 . Los coeficientes de sustentación maximos de las alas CLdobleflap ≔ 3.48 y CLsinflap ≔ 1.52 con y sin aletas W ≔ 150000 lb ⋅ g = 150000 lbf V ≔ 550 mph La velocidad mínima correspondiente a las condiciones de pérdida con y sin aletas son

Vmin1 ≔

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 2⋅W ft = 216.883 ― ―――――― ρaireS ⋅ CLsinflap ⋅ A s

Vmin2 ≔

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 2⋅W ft ―――――― = 143.337 ― ρaireS ⋅ CLdobleflap ⋅ A s

(b) Cuando una aeronave está navegando constantemente a una altitud constante, la

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Unidad 3: Flujo sobre cuerpos

(b) Cuando una aeronave está navegando constantemente a una altitud constante, la elevación debe ser igual al peso de la aeronave, FL = W. Luego se determina que el coeficiente de elevación es W CL ≔ ――――― = 0.396 1 2 ―⋅ ρaireA ⋅ V ⋅ A 2 Para el caso de ausencia de aletas, el ángulo de ataque correspondiente a este valor de CL se determina a partir del grafico como aproximadamente α = 3.5 °. (c) Cuando el avión navega de manera constante, la fuerza neta que actúa sobre el avión es cero y, por lo tanto, el empuje proporcionado por los motores debe ser igual a la fuerza de arrastre. El coeficiente de arrastre correspondiente al coeficiente de elevación de crucero de 0.40 es CD ≔ 0.015 . Entonces la fuerza de arrastre que actúa sobre las alas se convierte en

ρaireA ⋅ V 2 FD ≔ CD ⋅ ―――― ⋅ A = 25261.901 N 2 Teniendo en cuenta que la potencia es fuerza multiplicada por la velocidad (distancia por unidad de tiempo), la potencia requerida para superar este arrastre es igual al empuje multiplicado por la velocidad de crucero, Pot ≔ FD ⋅ V = 6211.194 kW

Un tracto-remolque de 17 000 kg con área frontal de 9.2 m2, un coeficiente de arrastre de 0.96, un coeficiente de resistencia de rodamiento de 0.05 (cuando se multiplica el peso de un vehículo por el coeficiente de resistencia de rodamiento proporciona la resistencia de rodamiento), una resistencia de fricción de cojinete de 350 N y una velocidad máxima de 110 km/h sobre un camino a nivel durante un crucero estacionario en clima tranquilo con una densidad de aire de 1.25 kg/m3. Ahora, se instala una cubierta al frente para suprimir la separación y volver aerodinámico el flujo sobre la superficie superior del tracto-remolque, y el coeficiente de arrastre se reduce a 0.76. Determine la velocidad máxima del tracto-remolque con la cubierta. La plataforma se mueve a una velocidad constante en un camino recto en clima tranquilo. La resistencia a la fricción del rodamiento es constante. El efecto de la velocidad en los coeficientes de resistencia al arrastre y a la rodadura es insignificante. kg La densidad del aire es de ρaire ≔ 1.25 ―― . El coeficiente de arrastre del equipo se da m3 como CD1 ≔ 0.96 , y disminuye a CD2 ≔ 0.76 cuando se instala un carenado. El km fi i t d i t i l d d C 0 05 V 110 A 92 2

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coeficiente de resistencia a la rodadura es CRR ≔ 0.05 . V1 ≔ 110 ―― , A ≔ 9.2 m 2 hr La resistencia a la fricción del rodamiento es FRF ≔ 350 N . La resistencia a la rodadura es

W ≔ 17000 kg ⋅ g = 166713.05 N

FRR ≔ CRR ⋅ W = 8335.653 N

El arrastre máximo se produce a la velocidad máxima, y su valor antes de instalar el carenado es: ρaire ⋅ V1 2 = 5153.704 N FD1 ≔ CD1 ⋅ A ⋅ ―――― 2 La potencia es la fuerza multiplicada por la velocidad y, por lo tanto, la potencia necesaria para superar la fricción de los rodamientos, el arrastre y la resistencia a la rodadura es el producto de la suma de estas fuerzas y la velocidad de la plataforma.

Pottotal ＝ Pfriccion + PArrastre + PRR Pottotal ≔ ⎛⎝FRF + FD1 + FRR⎞⎠ ⋅ V1 = 422.869 kW La velocidad máxima que puede alcanzar la plataforma con la misma potencia de Pottotal = 422.869 kW después de instalar el carenado se determina estableciendo la suma de la fricción del rodamiento, la resistencia a la rodadura y la fuerza de arrastre N⋅m igual a Pottotal = 422869.217 ――, s Pottotal ＝ Pfriccion + PArrastre + PRR ＝ ⎛⎝FRF + FD2 + FRR⎞⎠ ⎞ ρaire ⋅ V2 2 N⋅m ⎛ + 8335.653 N⎟ ⋅ V2 422869.217 ――＝ ⎜350 N + CD2 ⋅ A ⋅ ―――― s 2 ⎝ ⎠ ⎤ 32.078225637274970737 ⎞ ⎛ solve , x2 ⎡ 1.25 ⋅ x2 2 + 8335.653⎟ ⋅ x2 ――― V2 ≔ 422869.217 ＝ ⎜350 + 0.76 ⋅ 9.2 ⋅ ―――― → ⎢ -16.039112818637485368 - 52.529258852448933387i ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎣ -16.039112818637485368 + 52.529258852448933387i ⎦

V2 = 32.078 0

Para el aeroplano con las características de rendimiento proporcionadas, determine la sustentación y el arrastre con un ángulo de ataque de 12°. El aeroplano tiene una longitud de cuerda de 1.20 m y extensión de 7.50 m. A. Desarrolle el cálculo para una velocidad de 200 km/h con una densidad del aire de

.

B. Determine la fuerza de sustentación y arrastre para el ángulo de

desplome. Qué carga podría elevarse del piso con una velocidad de despegue de 140 km/h, con el ángulo de desplome con densidad del aire de

.

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Unidad 3: Flujo sobre cuerpos

Largo ≔ 7.50 m Cuerda ≔ 1.20 m

Grado1 ≔ 12 = 12 km m = 55.556 ― V1ala ≔ 200 ―― hr s Areaala ≔ Cuerda ⋅ Largo = 9 m 2 kg ρala ≔ 1.202 ―― m3 Biscamos los coeficientes de sistentación y arrastre en la grafica:

Cl1 ≔ 1

Cd1 ≔ 0.07

1 Fl1 ≔ Cl1 ⋅ ―⋅ ρala ⋅ V1ala 2 ⋅ Areaala = ⎛⎝1.669 ⋅ 10 4 ⎞⎠ N 2 Cd1 Fd1 ≔ ―― ⋅ Fl1 = ⎛⎝1.169 ⋅ 10 3 ⎞⎠ N Cl1 Para la parte B: Cl2 ≔ 1.52

Cd2 ≔ 0.16

Para el angulo de desplome

1 Fl2 ≔ Cl2 ⋅ ―⋅ ρala ⋅ V1ala 2 ⋅ Areaala = ⎛⎝2.538 ⋅ 10 4 ⎞⎠ N 2 Cd2 ⋅ Fl1 = ⎛⎝1.757 ⋅ 10 3 ⎞⎠ N Fd2 ≔ ―― Cl2 Para la parte C: km m V2ala ≔ ((140)) ―― = 38.889 ― hr s kg ρala ≔ 1.164 ―― m3

Grado2 ≔ 19.6 = 19.6 Cl3 ≔ 1.52

1 Fl3 ≔ Cl3 ⋅ ―⋅ ρala ⋅ V2ala 2 ⋅ Areaala = ⎛⎝1.204 ⋅ 10 4 ⎞⎠ N 2

Cd3 ≔ 0.16