Binome Newton [PDF]

Zitiervorschau

Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

le triangle de Pascal - le binôme de Newton une introduction J-P SPRIET

2015

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

Plan

Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et une application au binôme de Newton. 1

Le triangle de Pascal

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Le binôme de Newton

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

Plan

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Le triangle de Pascal définition propriétés calcul des un,k

2

Le binôme de Newton

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut ranger dans un tableau

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : k n

0

1

2

3

4

5

0 u0,0 1 u1,0 u1,1 2 3 4

.. . .. . .. .

5 u5,0

..

. ..

u4,2

. ..

. u5,5

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : k n

0

1

2

3

4

5

0 u0,0 1 u1,0 u1,1 2 3 4

.. . .. . .. .

5 u5,0

..

. ..

u4,2

. ..

. u5,5

un,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne n 4 / 51

Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : k n

0

1

2

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4

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0 u0,0 1 u1,0 u1,1 2 3 4

.. . .. . .. .

5 u5,0

..

. ..

u4,2

. ..

. u5,5

un,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne n 4 / 51

Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante : un,0 = 1 pour tout n ≥ 0 : k n

0

1

0

1

1

1 u1,1

2

4

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u4,2

. ..

. u5,5

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante : un,0 = 1 pour tout n ≥ 0 : k n

0

1

0

1

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1 u1,1

2

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5

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u4,2

. ..

. u5,5

Autrement dit, la première colonne correspondant à k = 0 n’est composée que de 1. 5 / 51

Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façon suivante :

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définition propriétés calcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façon suivante : un,n = 1 pour tout n ≥ 0 : k n

0

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1 ..

. ..

u4,2

. ..

. 1

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Introduction Le triangle de Pascal Le binôme de Newton

définition propriétés calcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façon suivante : un,n = 1 pour tout n ≥ 0 : k n

0

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5

1

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u4,2

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. 1

Autrement dit, la première diagonale n’est composée que de 1. 6 / 51

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définition propriétés calcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieur du triangle :

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définition propriétés calcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieur du triangle : un,k + un,k +1 = un+1,k +1 pour tout n et k tels que 0≤k