Bevegelse i rommet : tilvalgsstoff i fysikk 3 Fy [PDF]

Zitiervorschau

Forord "Bevegelse i rommet" kan brukes som tilvalgsstoff i fysikk 3 FY. Det inneholder emner fra celest mekanikk og noe sfærisk astronomi, samt oppgaver av forskjellig vanskelighetsgrad. Noen få oppgaver er merket med stjerne *. Det samme gjelder kapitlet "Sfærisk trigonometri". Dette stoffet er noe mer krevende og vil være en utfordring til spesielt interesserte elever. Et par oppgaver krever kunnskaper i matematikk utover 2M. De er merket med (3 MN). Tilvalgsstoffet skal utgjøre 4 uker eller 20 timers undervisning. Heftet inneholder tilstrekkelig stoff til det, selv om deler av teksten overlapper kjernestoffet i 3 FY. Utvalgte kapitler kan brukes hvis gruppen i tillegg velger noe eksperimentelt tilvalgsstoff. Heftet er prøvet ut som tilvalgsstoff i en 3 FY- gruppe skoleåret 1991/92, knyttet til gravitasjonskapitlet i kjernestoffet. Men det kan også passe sammen med astrofysikken. Det var opprinnelig var meningen å lage et undervisningsopplegg for et "Romfart valgfag" for 2. og 3. klasse, med 2 timer per uke. Dette heftet er avslutningskapitlet i det manuskriptet.

Istedenfor å samle alle emner som bør inngå i et "Romfart valgfag" i én bok, vil det i første omgang bli delt opp i flere temahefter. I tillegg til "Bevegelse i rommet", er "Raketter" og "Mennesket i rommet" også utgitt som temahefter. Det er under arbeid et hefte om "Jordobservasjon" og det er dessuten planer om et hefte om solsystemet som også vil ta for seg Jordas atmosfære og emner fra miljøfysikk. Det er meningen at temaheftene skal kunne brukes hver for seg som tilvalgsstoff i fysikk, eller flere temahefter kan danne grunnlaget for et "Romfart valgfag". Vi har både som gjennomgangstittel på heftene og som navn på valgfaget brukt uttrykket "romfart" i betydningen all form for romvirksomhet, både om bemannede og ubemannede romfartøyer. Dette er i samsvar med dagligspråkets bruk av ordet. Men etter anbefalinger fra Rådet for teknisk terminologi, bør "romfart" forbeholdes den delen av romvirksomheten som er knyttet til menneskets opphold i rommet. Men "Romvirksomhet" blir for langt og tungvint som tittel på heftene og som navn på valgfaget. Vi har derfor valgt å bruke uttrykkene "romfart" og "romvirksomhet" om hverandre.

Arbeidet med et "Romfart valgfag" og tilvalgsstoffet i fysikk er kommet i stand i samarbeid med professor Bjørn Landmark, cand. real. Guro Dahle Strøm og informasjonssjef Per Torbo ved Norsk Romsenter og lektor Else Alvik ved Ås videregående skole. Professor Kaare Aksnes ved Astrofysisk institutt har lest gjennom manuskriptet, og vi takker for hans kommentarer. Han anbefaler heftet som forkunnskaper for dem som vil studere celest mekanikk og sfærisk astronomi.

Vi er takknemlige for tilbakemelding fra dem som er villige til å prøve ut "Bevegelse i rommet" som tilvalgsstoff i fysikk. Tjøme, august 1993

Innhold

Celest mekanikk Innledning Ellipsen Matematisk formulering av Keplers lover

1 1 3 4

Newtons lover Newtons gravitasjonslov Sentripetalakselerasjon Banefarten i en sirkelbevegelse Farten i en ellipsebane Omløpstiden i en ellipsebane Newtons korreksjon av Keplers 3. lov

7 8 9 9 10 10 11

Transitt mellom to sirkelbaner Tilbaketuren Rendezvous Reisetiden Fartsøkning ved Jupiterpassering

12 13 14 14 15

Himmelkoordinater Baneelementene Sfærisk trigonometri*

17 20 21

Tolegemeproblemet Kjeglesnitt Unnslipmngsfarten

25 27 29

Polare satellittbaner Geostasjonære satellitter

30 31

Energien til satellitter

32

Sammendrag Oppgaver Fasit Register

35 37 45 47

Bevegelse i rommet Celest mekanikk Celest mekanikk betyr himmelmekanikk. Det handler om hvordan planeter, måner, satellitter eller andre himmellege­ mer beveger seg i rommet. De styres av gravitasjonskrefter og følger bestemte baner i rommet. Kjennskap til de fysiske lovene som beskriver hvordan himmellegemene beveger seg danner grunnlaget for romteknologien.

Innledning Forestillingen om at jorda beveget seg rundt sola, og ikke omvendt, er sannsynligvis meget gammel. Allerede Aristarkhos fra Samos, en gresk astronom som levde ca 300 år f Kr, skal ha hevdet at det var jorda som kretset rundt sola. Men forestillingen om at det var jorda som var i sentrum - det geosentriske verdensbildet- var dominerende i nesten to tusen år før det heliosentriske verdensbildet (dvs med sola i sentrum) ble akseptert av de fleste. Det var den polske astronomen Nicolaus Copernicus (1473-1543) som ble kjent for å bryte med det geosentriske verdensbildet. Han mente sola var i sentrum og at planetene kretset rundt sola i sirkelbaner. Det var bare månen som kretset rundt jorda. Men enkelte detaljer i Copernicus' forklaringer av planetbevegelsene var mer kompliserte enn våre dagers forestillinger om solsystemet. At stjernene tilsynelatende beveget seg systematisk over himmelen hvert døgn var fordi jorda roterte om sin egen akse. I løpet av noen måneder beveger noen planeter seg tilsynelatende frem og tilbake over himmelen. Det ble forklart ved at jorda også beveger seg rundt sola og med større fart enn disse planetene.

Den danske astronomen Tycho Brahe (1546-1601) foretok en rekke nøy­ aktige observasjoner av planetene med selvkonstruerte vinkelmålere og ellers med det blotte øyet. Han støttet ikke Copernicus' heliosentriske system. Han dannet seg sitt eget verdensbilde som en slags mellomting mellom heliosentrisk og geosentrisk system. Han mente at jorda var i universets sentrum og at både sola og månen beveget seg rundt jorda, men de andre planetene beveget seg rundt sola. Det var Tycho Brahe's elev, tyskeren Johannes Kepler (1571-1630) som bearbeidet Brahe's observasjoner og som videreførte hans teorier. Men Kepler kom til en annen konklusjon enn Brahe, nemlig et heliosentrisk system. Brahe hadde gjort mange nøyaktige observasjoner av planeten Mars og Kepler fortsatte med å bestemme marsbanen nøyaktig. Etter mange års arbeid fant han at banen ikke var sirkelformet, men elliptisk. Den samme konklusjonen kunne han trekke på grunnlag av observasjoner av de andre planetene også. Planetbanene var ellipser. Kepler undersøkte også hvordan planetene beveget seg i disse ellipsebancne. I 1609 publiserte han resulta­ tene som to viktige lover:

1

Keplers første lov:

Planetene beveger seg i ellipsebaner og med sola i det ene brennpunktet. Keplers andre lov:

En planet beveger seg i ellipsebanen på en slik måte at den rette linjen fra sola til planeten beskriver like store arealer i like lange tidsrom. Ti år senere, i 1619, publiserte Kepler enda en viktig lov planetbevegelser:

Keplers tredje lov:

Kvadratet av omløpstiden for en planet er proporsjonal med tredje potens av planetens middelavstand fra sola. Omtrent på samme tid som Kepler arbeidet med sine teorier, hadde italieneren Galileo Galilei (1564-1642) konstruert en kikkert som han brukte til å observere stjernene. Han oppdaget faser på Venus slik vi kjenner fra vår egen måne. Han oppdaget også fire måner som kretset rundt planeten Jupiter, et slags solsystem i miniatyr. Disse månene er oppkalt etter ham og heler de galileiske måner. Dette styrket teorien om det heliosentriske verdensbildet.

Engelskmannen Isaac Newton (1642-1727) ble født samme året som Galilei døde og han levde over 100 år etter Copemicus. I 1687 publiserte Newton boken "Principia". Dette var en matematisk beskrivelse av fundamentale sammenhenger mellom krefter og bevegelse. Her formulerte han det som siden er blitt kalt Newtons lover. Dessuten kunne Newton utlede gravitasjonsloven av Keplers lover.

Fig 6

Stonehenge Astronomi er en meget gammel vitenskap. Det viser bl a Stonehengemonomuntet i Wiltshire i England. Det er antakelig ca 4500 år gammelt (fra årene 2500 - 7 700f Kr). Det består av store steinblokker arrangert i sirkler. Det kan ha vært et solobservatorium eller en slags solkalender.

2

Ellipsen Keplers lover beskriver planetbanene som ellipser. Satellitter rundt jorda beveger seg også i ellipsebaner. Vi skal se litt nærmere på en matematisk beskrivelse av ellipsen.

Litt upresist kan vi si at en ellipse er en slags flattrykt sirkel. En mer presis definisjon er:

En ellipse er mengden av de punktene som ligger slik at avstanden til to gitte punkter har en konstant sum. De gitte punktene kaller vi ellipsens brennpunkter.

Fig 7

Ellipsedefinisjonen r; + r2 = 2a

På figuren er F. og F2 brennpunktene, p og r2 kaller vi brennpunktradiene. Den konstante summen kaller vi 2a. Da kan vi skrive definisjonen litt kor­ tere:

P er et punkt på ellipsen når r, + r2 = 2a Vi kan bruke denne definisjonen til å tegne ellipsen ved å plassere en stift i hvert brennpunkt og legge en snorsløyfe om stiftene. Med stram snor vil blyanten tegne ellipsen. Se figuren i margen.

For å finne en likning for ellipsen, plasserer vi den i et koordinatsystem med begge brennpunktene på x-aksen og med origo midt mellom brennpunktene:

Kaller vi avstanden mellom brennpunktene for 2c, blir koordinatene Fj= (-c,0) og F2 = (c,0). Brennpunktradiene for punktet C blir like lange og hver av dem blir lik a, slik at FjC = F2C = a. Brennpunktradiene for punktet A blir F1A og (2c+F, A). Setter vi dette inn i r, + r, = la, får vi OA= a og OB = a. Dette er grunnen til at vi kaller a for ellipsens store halvakse. Linjestykket OC = b kaller vi ellipsens lille halvakse. Av trekanten FjOC får vi sam­ menhengen mellom a, b og c:

a2 = b2 + c2 P = U j) er et vilkårlig punkt på ellipsen. Begge brennpunktradiene kan da uttrykkes ved x og y. Setter vi dette inn i definisjonen, kan vi utlede (se oppg 10 a) følgende likningen for ellipsen :

3

Fig 8

Tegning av ellipsen med to stifter og snor

2

2

^ +2L =1 a1 b1 Det er denne likningen som er best kjent fra lærebøker i matematikk, menden er lite brukt i beskrivelsen av planetbaner og satellittbaner. Vi skal derfor se nærmere på en annen cllipselikning.Men da må vi først definere ellipsens eksentrisitet. Det er er en størrelse som er definert slik :

Eksentrisitetcn:

c e ——

a

Eksentrisitetcn blir da et mål for "flattrykkingen" av ellipsen. Faller brennpunktene sammen, går ellipsen over til å bli en sirkel. Da er e = 0. Hvis brennpunktene fjerner seg fra hverandre, blir ellipsen flatere og c blir større. Når c = a og dermed e = 1, er ellipsen blitt et rett linjestykke. Eksentrisiteten for en ellipse er altså et tall mellom 0 og 1. Tabell over noen eksentrisiteter for planetbaner: Merkur Venus Jorda Mars Jupiter

0,206 0,007 0,017 0,093 0,048

Jupiter Satum Uranus Neptun Pluto

0,048 0,056 0,046 0,009 0,250

Nå skal vi la sola være i brennpunktet F2. Når planeten er i B, er den nærmest sola. Punktet B kaller vi perihel (peri=nær og helios=sol). Da er F2B = OB - OF2 = a - ea = a (1 - e)

Når planeten er i A er avstanden til sola størst. Punktet A kaller vi aphel (apo=fjem og helios=sol). Da er F2A = OA + OF. = a + ea = a (1 + e) En planet beveger seg i ellipsebanen i pilens retning. ZBF2P =/er vinkelen mellom linjen fra sola til planeten og linjen fra sola til perihel. Den heter sann anomali og inngår i den andre ellipselikningen. Av definisjonen for ellipsen og uttrykket for eksentrisitet kan vi vise (se oppg 10 c) at avstanden fra sola til planeten er gitt ved uttrykket:

.

Fig 10 Posisjonen til planeten er gitt ved likningen for ellipsen

r = —£— 14- e cos/

Her erp = a - e2a , og er en størrelse som heter ellipsens parameter. Nå er ellipselikningen uttrykt ved r og f istedenfor ved x og y. Vi sier at den er uttrykt i polarkoordinater.

r = —^—

1 + e cos/

Matematisk formulering av Keplers lover Keplers 1. lov sier at planetbanene er ellipser med sola i det ene brenn­ punktet. Da kan vi bruke likningen for ellipsen som uttrykk for Keplers 1. lov: Keplers L lov:

r =------- --------

1 + e cos/

4

Her er r avstanden fra sola til planeten, p er ellipsens parameter, e er ellipsens eksentrisitet og f er vinkelen vi har kalt sann anomali.

r oppfattes ofte som en vektor med retning fra sola til planeten og kalles derfor radiusvektor . Det er vanlig å bruke dette uttrykket selv om vi regner med absoluttverdien av vektoren. Keplers 2. lov kan også formuleres slik:

Radiusvektor beskriver like store areal i løpet av like lange tidsrom. eller

Areal per tid er konstant Vi skal finne et uttrykk for dette arealet. Hvis vinkelen Af i Fig 12 er liten, kan vi tilnærmet betrakte flaten ABO som en trekant med areal:

A = —r}r2 sin Af

Fig 11 Keplers 2. lov a, = a2

Når vinkelen er liten, er det liten forskjell på radiusvektorene r} og r2. Vi setter derfor rx~ r2 = r. Men for små vinkler er også sin Af~ Af. Da kan vi skrive arealformelen enklere;

A=-r2A/ 2

Hvis radiusvektor har beskrevet dette arealet i løpet av tiden At, kan vi skrive Keplers 2. lov slik:

—-------- = konstant At

r2 — = h eller A - — At At 2

eller enklere:

Keplers 2, lov: r — = konstant - h

B røken Af/At er et uttrykk for hvor fort vinkelen/endrer seg og dermed også hvor fort planeten beveger seg i banen. Når r er liten, er banefarten til pla­ neten stor. Og omvendt, når r er stor, er farten liten. Planetens største fart er derfor i perihel når r er minst, mens planetens minste fart er i aphel.

Keplers 3. lov er allerede matematisk formulert. Det mangler bare matema­ tiske symboler. Det kan vises at middclavstanden mellom sola og en planet er del samme som cllipsebancns store halvakse a (se oppg 10 d). Omløps­ tiden kaller vi T. Da kan vi skrive Keplers 3. lov slik:

Keplers 3. lov:

fl —v = konstant Tz

Denne brøken er den samme for alle planetene.

5

fl3 . 1 AU3 — = konstant - 1—— T2 år2

Middelavstandcn mellom jorda og sola eller jordbanens store halvakse brukes i astronomien som en lengdeenhet. Denne lengdeenheten heter en astronomisk enhet og har symbolet AU (astronomical unit).

1 AU =149 596 000 km-1,5- 1011 m Jordas omløpstid om sola er 1 år.Dette er også en mye brukt tidsenhet i astronomien. Sl-enheten for år er egentlig a, men for å unngå forveksling med symbolet for store halvakse a, skriver vi "år" istedenfor symbolet. Med indeks j for jorda blir: a3 , _ (1AU)3

AU3 _ q3

T/ “ (lår)2 ”

år2

" T2

Kjenner vi omløpstiden T for en annen planet, kan vi regne ut planetens middelavstand a fra sola av: 3 1AU3t2 a = 1—— / år2

6

Newtons lover Kepler gav ingen fysisk forklaring på hvorfor planetene beveget seg slik de gjør. Keplers lover inneholder ingen ting om de kreftene som virker.Sammenhengen mellom krefter og bevegelse finner vi i Newtons lover. Disse er behandlet i andre fysikk-kurs, men for sammenhengens skyld blir de gjentatt her:

Newtons 1. lov:

Hvis summen, av kreftene som virker på et legeme er null, vil legemet enten forbli i ro eller fortsette å bevege seg i en rettlinjet bane med konstant fart. eller med symboler:

L F = 0 => v = konstant

Denne loven kan oppfattes som et spesialtilfelle av Newtons 2. lov. Newtons 2. lov:

Summen av kreftene som virker på et legeme er produktet av legemets masse og akselerasjon. eller med symboler:

£F = ma

Denne likningen kan omformes hvis vi setter inn uttrykket for konstant akselerasjon, a = (v - vj/1:

Y F t = mv- m v Den siste likningen blir også kalt impulsloven. Newtons 3. lov:

En kraft har alltid med to legemer å gjøre.Hvis en kraft virker fra A på B, virker en motkraft fra B på A som er motsatt rettet og like stor. eller:

kraft = - motkraft

Rakettmotoren som virker i vakuum er et godt eksempel på Newtons 3. lov. Motoren skyver forbrenningsgassene bakover med stor kraft. Motkraften skyver motoren og raketten fremover med like stor kraft.

Fig 14 Rakettprinsippet bygger på Newtons 3. lov

7

Newtons gravitasjonslov Newtons gravitasjonslov kan utledes av Keplers lover.Selve utledningen er matematisk omstendelig. Vi skal heller gi et kort resymé. Av Keplers 2. lov kan vi finne et uttrykk for jordas akselerasjon i sin bane rundt sola. Dette uttrykket viser at akselerasjonen er rettet langs radiusvektor og inn mot sola. I følge Newtons 2. lov er da også kraften på jorda fra sola rettet langs radiusvektor mot sola.

Keplers 1. lov sier atjordbaneneren ellipse med sola i det ene brennpunktet. Kraften er derfor til enhver tid rettet mot ellipsens ene brennpunkt, der hvor sola er. Av Newtons 2. lov kan vi utlede et uttrykk for denne kraften. Den viser at kraften F er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden r mellom jord og sol, og dessuten at den er proposjonal med jordmassen m :

I konstanten C inngår bl a ellipsens store halvakse a og omløpstiden T:

Keplers 3. lov sier at brøken a er konstant og har samme verdi for alle planetene. Da må også konstanten C ha samme verdi for alle planetene. Bruker vi til slutt Newtons 3. lov som sier at kraften på sola fra jorda er motsatt rettet og like stor som kraften på jorda fra sola, får vi at kraften også må være proporsjonal med sola masse M.

Newtons gravitasjonslov får da formen:

Konstanten y heter gravitasjonskonstanten. Den har verdien:

Fig 15 Newtons gravitasjonslov 8

Dette er antakelig en av de mest betydningsfulle naturlover som er formulert. Newtons gravitasjonslov beskriver månens bevegelse rundt jorda, jordas bevegelse rundt sol a, stjernenes bevegelser i melkeveisystemet og galaksenes bevegelser. Den beskriver også satellittenes bevegelser rundt vår egen klode. Den er universell.

Sentripetalakselerasjon Vi får bruk for et uttrykk for akselerasjonen som et legeme har i en sirkel bevegelse. Akselerasjon er definert som fartsendring per tid. Hvis banefarten er konstant, er det heller ingen baneakselerasjon. Men i en sirkelbevegelse endrer farten retning hele tiden. Endring av fartsretning per tid kaller vi sentripetalakselerasjon. Denne harretninginnmotsirkelsenteret og er gitt ved uttry kket:

a=— r Formelen er utledet og behandlet i fysikk-kurset 3 Fy. Her skal vi bare bruke den til å finne et uttrykk for banefarten i en sirkelbevegelse.

Fig 16 Sentripetalakselerasjon

Banefarten i en sirkelbevegelse Figuren under viser et legeme med masse m som beveger seg med konstant fart v i en sirkel med radius r om et annet legeme med masse M. Det kan være en planet som beveger seg rundt sola eller en satellitt som beveger seg rundt jorda.

Fig 17 Banefarten i en sirkelbevegelse

Kraften/7 påm fraAf er gitt ved Newtons gravitasjonslov. Sammen med Newtons 2. lov og uttrykket for sentripetalakselerasjonen får vi:

Når et legeme bare er påvirket av gravitasjonskrefter, vil farten foret legeme i en sirkelbane øke når M øker og avla når r øker.

9

Farten i en ellipsebane Vi skal frem til et uttrykk for farten i en ellipsebane som tilsvarer uttrykket for farten i en en sirkelbane. Et sånt uttrykk kan man utlede av Keplers 2. lov kombinert med uttrykk for kinetisk og potensiell energi (oppg 73). Det skal vi ikke gjøre her, men heller generalisere uttrykket for v 2 ovenfor. Først omskriver vi det litt:

2 M w1 w/2 k v = y— = yM- = yM(-------- ) r

r

r

r

Sirkelen er en ellipse med eksentrisitet e = 0. Da blir r=a. Uttrykket på forrige side er et spesialtilfelle av det tilsvarende uttrykket for farten i en ellipsebane.

Erstatter vi den siste r 'en med a, får vi nettopp uttrykket for farten i en ellipsebane:

v2 = yM(—)

r

a

hvor r nå betyr radiusvektor. I mer nøyaktige utledninger finner man at farten også er avhengig av legemets egen masse m, slik at M i formlene ovenfor bør byttes ut med summen (M + m). Men i de fleste tilfellene er m så liten sammenliknet med M at vi kan sette M + m ~ M.

m

___ ________ _

* v

P

/ 1 Vai\

f

a

M

Fig 18 Farten i en ellipsebane

\

/

y

2 v =a/ 2 -------yM\ yr

aJ

Omløpstiden i en ellipsebane Vi finner først omløpstiden for en sirkelbane. Da blir store halvakse a lik radiusvektor r som også blir identisk med sirkelradien, r-a. Den konstante banefarten i en sirkel blir omkretsen dividert med omløpstiden T. Da får vi to uttrykk for farten:

2?ra 2 w 1 v =------- a v = yM — T a

2 4ttV T ------------- eller T -2n. yM

a3

yM

Det kan vises at dette uttrykket for omløpstiden Fogsågjelder for ellipsebaner hvor a er store halvakse.

10

Newtons korreksjon av Keplers 3. lov I uttrykket ovenfor forekommer F og a3.Disse potensene finner vi i Keplers 3. lov også. Vi omskriver uttrykket for P ovenfor: a3 M T1^7

4tt2

v -v y[2 p s

Hvis en romsonde går i en sirkelbane rundt jorda, vil den komme over i en parabelbane hvis rakettmotoren gir den et puff som øker farten med en faktor på 7/2. Det betyr at den vil forlate jordas gravitasjonsfelt. Romsondens videre skjebne bestemmes deretter av sola.

På tilsvarende måte vil en romsonde i sirkelbane rundt sola forlate solsyste­ met i en parabelbane hvis farten økte med en faktor på ^2. Av uttrykket for farten ser vi at den vil avta mot null når r går mot uendelig. Parabelfarten kalles derfor også unnslipningsfarten fordi det blir den minste farten en romsonde må har for å forlate jordas gravitasjonsfelt. Unnslipningsfarten foren rakett fra jordoverflaten finner vi ved å sette r lik jordradien: i2-6,6710~llNm2/kg2-5,98 1024kg

= 11,2 km / s 6378km

I satellittbane rundt jorda blir r større slik at unnslipningsfarten blir noe mindre. I en høyde på 800 km er unnslipningsfarten 10,5 km/s.

Dette betyr at det er farten v til romsonden som bestemmer hvilket kjeglesnitt den vil følge: ellipse parabel hyperbel

når når når

29

Fig 50 Unnslipningsfarten vp er den minste farten et romfartøy må ha for å forlate jordas gravitasjonsfelt. Ifiguren er vp = v; f2. Romfartøyet følger da en parabel

Polare satellittbaner Polare satellittbaner går tilnærmet i nord-sydretningen og passerer dermed i nærheten av nord- og sydpolen. Jordobservasjonssatellitter beveger seg i polare baner. En jordobservasjonssatellitt skal observere jordoverflaten fra rommet. For at avstanden til bakken skal være mest mulig konstant, må banen være så sirkelformet som mulig. Det betyr at eksentrisiteten må være nær null. Hvis avstanden til jordoverflaten er 800 km, blir omløpstiden:

a3 yM

_

I

(6378 km + 8()0km)3

6,67 • 10'11 Nm2 / kg2 • 5,98 • 1024kg

-100 min

Sollyset og refleksjonen fra bakken må også være så konstant som mulig. For å få til dette, må banen være solsynkron, dvs satellitten må på en måte ha "sola i ryggen" annenhver gang den krysser ekvator. Med en omløpstid på 100 minutter, vil satellitten krysse ekvator ca 14 ganger per døgn på solsiden, og like mange ganger den andre veien på nattsiden.

Eksempel: SPOT oren fransk jordobservasjonssatellitt som ble skutt opp i 1986. Navnet er en forkortelse for Satellite Pour 1'Observation de la Terre. Den har baneelcmentcne: e - 0,0011 , 0) - 90°, i = 98,7° og a = 7200,5 km. Høyden over bakken er 820 km og perigee er nær nordpolen. Den beveger seg i nordsydretningen, dvs i polar bane. Inklinasjonsvinkelen i forteller at satellitten krysser ekvator litt på skrå.

Fig 51 En jordobservasjonssatellitt i polar bane over Norge

Fig 52 SPOT-satellilten krysser ekvator ca kl 10.00 lokal tid. Den går i en solsynkron bane Når en satellitt beveger seg så nær som 800 km over jordoverflaten, kan baneelcmentcne endres med tiden. Det kan skyldes friksjon i den øvre atmosfæren. Gravitasjonskreftene fra både sol og måne kan også forstyrre banen. Dette må satellitten korrigere for ved hjelp av små rakettmotorer. For SPOT-satcllittcn blir baneelcmentcne beregnet hver 12. lime, og korrigert hver uke.

30

Geostasjonære satellitter apogee En geostasjonær satellitt står tilsynelatende stille på himmelen sett fra bakken. Den beveger seg i en sirkelbane i ekvatorplanet med en omløpstid som er lik et døgn, 24 h (23h 56m 4s). Da kan vi regne ut høyden over bakken.Først finner vi radien uttrykt ved omløpstiden:

Med størrelsene innsatt, får vi: i(24h)2• 6,67•^■"Nm2/kg2-5,98 lO^kg ..... , ------- ---------------------------------- - ------------------------= 42255 km 4æ2

Høyden over bakken blir da:

H = a - 6 378 km = 35 877 km - 36 000 km En geostasjonær satellitt blir brukt til telekommunikasjon, bl a som fjemsynssatellitt.

For en bestemt breddegrad vil alle geostasjonære satellitter ha samme deklinasjon. Posisjonen til de forskjellige satellittene bestemmes da av rektasensjonen alene. Men det er mer vanlig å angi posisjonen i forhold til nord-sydretningen (f eks asimut). Også geostasjonære satellitter påvirkes av gravitasjonskrefter fra sola og månen. Baneelementene må stadig korrigeres ved hjelp av små rakettmotorer.

Fig 54 Figuren viser forskjellen på polare baner og en geostasjonær satellittbane. Kommunikasjonssatellitter plasseres i geostasjonære baner. Meteorologiske dala sendes fra begge typer satellittbaner

31

Fig 53 En geostasjonær satellitt plasseres først i en sirkelformet parkeringsbane ca 200 km over bakken. Baneplanet danner en viss vinkel med ekvatorplanet. Transittbanens perigee og apogee er i skjæringspunktet mellom disse planene. Ved apogee avfyres rakettmotoren i en slik vinkel at satellitten kommer over i ekvatorplanet. For transittellipsen er perigeefarten 10,3 kmls, apogeefarten 1,6 kmls og farten i den geostasjonære sirkelbanen er 3,1 kmls

Energien til satellitter Vi skal se på energien til det systemet som består av massene m og M. Som før legger vi den store massen M i origo, og der ligger den i ro i vårt koordinatsystem. Som vi har sett fra tolegemeproblemet, vil da massen m bevege seg langs et kjeglesnitt og med M i brennpunktet. I vårt eksempel kan M være massen av jorda og m massen av en satellitt. Potensiell energi for en satellitt:

Nå skal vi finne et uttrykk for den potensielle energien til en satellitt med massen m. Det betyr at vi skal finne den potensielle energien til det systemet som består av begge massene m og M. Da må vi først presisere hva vi mener med potensiell energi, og dessuten må vi velge et nullnivå. I laboratoriet er det vanlig å velge gulvet eller en bordplate som nullnivå. Utendørs velger man gjeme bakken som nullnivå. Men i astronomien er det vanlig å velge nullnivået når avstanden mellom legemene er uendelig stor. Det betyr at Ep - 0 når r —> . Alle andre verdier for Ep blir da negative. Den potensielle energien eller stillingsencrgien er avhengig av avstanden mellom legemene. Jo større avstanden blir, jo større blir den potensielle energien. Det er vanlig å definere den potensielle energien som det arbeidet gravitasjonskraften F utfører når legemene flyttes fra avstanden r og ut til nullnivået, dvs uendelig langt fra hverandre. Dette arbeidet blir negativt fordi kraft og forflytning er motsatt rettet.

Fig 55 Nullpunkt for den potensielle energien velges slik at Ep = 0 når r —> oo

Siden kraften varierer når avstanden r øker mot uendelig, kan vi ikke finne arbeidet direkte ved hjelp av "kraft ganger vei". Vi blir nødt til å integrere:

Mm

= ~Y-r

32

Fra fysikken er det kjent at den potensielle energien i høyden h over bakken er: Ep = mgh

hvor g = 9,8 m/s2 er tyngeakselerasjonen ved jordoverflaten. Her er bakken valgt som nullnivå. Vi skal vise al vi får det samme uttrykket for potensiell energi for en satellitt i bane rundt jorda, men med vårt valg av nullnivå blir energien negativ. Ved hjelp av Newtons gravitasjonslov og Newtons 2. lov finner vi først et uttrykk for tyngdeakselerasjonen g i avstanden r fra jordsenteret: ,, Mm F = mg=Y—r r r

M g = Y—

Så kombinerer vi dette med uttrykket for potensiell energi:

~ Mm ^-"7 p r

M ~~Y~-mr --mgr

r

Her er r avstanden mellom satellitten og jordsenteret og g er tyngde­ akselerasjonen i den avstanden som satellitten befinner seg. Den er mindre enn 9,8 m/s2. Den potensielle energien er konstant når r er konstant, dvs bare for sirkelbevegelser.

Kinetisk energi for en satellitt:

Den kinetiske energien til satellitten er: r

1

E, = — mv ‘ 2

2

Vi erstatter v2 i uttrykket for den kinetiske energien med de uttrykkene vi nå kjenner for farten i de forskjellige kjegelesnittene:

Kinetisk energi for en satellitt i sirkelbane:

„ 1 2 1 M Mm E.-—mv --mv—=Y-----2 2 r 2r Kinetisk energi for en satellitt i ellipsebane: 1 2 1 1A w fl Ek = — mv - —rvr/M-------- = yMm — 2 2 \r a) \r

Kinetisk energi for en satellitt i en parabelbane:

r

1 2 1 ~ 1 Mm Ek-—mv -—mlYM--Y-----2 2 r r

Vi finner forskjellige uttrykk for den kinetiske energien for de forskjellige kjeglesnitt. Av disse er det bare den kinetiske energien foren sirkelbane som er konstant fordi r er konstant.

33

For alle andre kjeglesnitt enn sirkelen varierer både kinetisk energi og potensiell energi. Men det kan vises at summen av dem er konstant (se oppg 71).

Totalenergien for en satellitt

Totalenergien for systemet som består av massene m og M blir summen av kinetisk energi og potensiell energi:

1 2 Mm E = E,+E = —mv2~y------’ p 2 r Vi setter uttrykkene forden kinetiske energien inn og finner totalenergien for hvert kjeglesnitt: For sirkelen blir totalenergien:

_

Mm

Mm

— r— 2r r

Mm

2r

For ellipsen blir totalenergien:

_ 1 .. (2 IA Mm E- — yMm\-------------- y------2 \r a) r For parabelen blir totalenergien:

Mm Mm E^y---------- y--------= r r Både for sirkelbanen og ellipsebanen er totalenergien negativ. Det betyr at satellitten i en slik bane er bundet til jorda fordi det må utføres et positivt arbeid på satellitten for at totalenergien skal bli null.

For parabelbanen er totalenergien lik null. Det betyr at satellitten i en parabelbane har den minste energien som måtilforå forlate jorda. Satellitten er da ikke er bundet til jorda og dette svarer til at parabelfarten er lik unnslipningsfarten. For en hyperbelbane vil totalenergien bli positiv. Det betyr at en satellitt i hyperbelbane har mer energi enn det som er nødvendig for å forlate jorda.

Satelltt

Sirkel

Fig 56 Totalenergien for satellitter i forskjellige baner. (1) er en ellipse, (2) er en sirkel, (3) er en ellipse, (4) er en parabel og (5) er en hyperbel. For (1), (2) og (3) er totalenergien negativ, for (4) er den lik null og for (5) er den positiv. Hvis farten til satellitten blir mindre enn det som er nødvendig for å holde den i sirkelbanen (2), faller satelliten ned langs en ellipsebane (1) Jllpse med jordas sentrum i det ene brennpunktet. Delte svarer til horisontalt kast fra stor høyde, men hvor tyngdeakselerasjonen ikke er konstant. Parabelbanen vi forbinder med kast fra lav høyde er tilnærmet en del av en ellipsebane hvor vi regner tyngdeakselerasjonen som konstant

34

Sammendrag Ellipse

Keplers 3. lov:

En ellipse er mengden av de punkter som ligger slik at avstanden til to gitte punkter har en konstant sum.

Tredje potens av planetens middelavstand fra sola er proporsjonal med kvadratet av planetens omløpstid.

De gitte punktene er ellipsens brennpunkter og den konstante summen er elllipsens store akse.

ÆL_I_(M+/77) T2 4n2 Newtons gravitasjonslov:

c

Mm r-y-----r2

Farten i en ellipsebane:

r

r.+r2=2a

a2=b2+c2

e=-

a

Transitt mellom to sirkelbaner:

a

Keplers 1. lov:

Planetene beveger seg i ellipsebaner med sola i det ene brennpunktet.

Posisjonen til en planet er gitt ved likningen: r—2— 1 +ecosf

hvor r er radiusvektor og f er anomali. Ellipsens parameter er gitt ved:

Transittellipsens store halvakse og eksentrisitet er gitt ved:

sann

p

'2 Z1

yM

Keplers 2. lov:

Reisetiden er gitt ved:

Radiusvektor beskriver like store areal i løpet av like lange tidsrom. Areal per tid er konstant. r2— =konstant=/? Af

Fartsøkning ved planetpassering:

Når et romfartøy passerer en planet på nært hold langs en hyperbelbane, vil planetens gravitasjonsfelt gi romfartøyet en fartsøkning , sett i forhold til sola.

35

Kjeglesnittet er en: sirkel ellipse parabel hyperbel

Himmelkoordinater:

Koordinatene for himmellegemet L asimut og høyde (A,h) rektasensjon og deklinasjon (a,6) timevinkel og deklinasjon (/-/,6) lengde og bredde (Åj3) er vist på figuren under:

når når når når

e e e e

=0 1

Unnslipningsfarten:

Den minste farten et legeme må ha i avstanden r for å frigjøre seg fra gravitasjonsfeltet til en planet med masse M , er gitt ved: v2=2yM^

Dette er også farten i en parabelbane.Den er V2 ganger den tilsvarende sirkelfarten.

Baneelementene:

Polare satellittbaner:

Q er vinkelen i ekvatorplanet fra vårpunktet til oppstigende knute (= rektasensjonen). æ er vinkelen i baneplanet fra oppstigende knute til perigee og / er vinkelen som satellittbanen danner med ekvator.De andre elementene er store halvakse a, eksentrisiteten eog tidspunkt t for perigeepassering.

Polare satellittbaner er baner som går tilnærmet i nord-sydretningen og som passerer i nær­ heten av nord- og sydpolen.

Geostasjonære satellittbaner:

En geostasjonær satellittbane er en bane i ekvatorplanet og hvor omløpstiden er ett døgn.En geostasjonær satellitt står tilsyne­ latende stille på himmelen.Avstanden fra bakken til satellitten er ca 36 000 km.

Cosinussetningen: Sammenhengen mellom tre sider og en vinkel i en sfærisk trekant ABC er gitt ved:

Potensiell energi for en satellitt: cosa = cosbcosc + sindsinccos4

Sinussetningen: Totalenergien for en satellitt:

Sammenhengen mellom en vinkel og mot­ stående side i en sfærisk trekant ABC er gitt ved;

Totalenergien er potensiell energi;

summen

av

kinetisk

og

SinA_sin5_sinC

sina

sinb

Mm

c

sine

Tolegemeproblemet: For ellipsen (sirkelen ,a = r) er totalenergien:

Anvendes Newtons lover og gravitasjonsloven på to legemer, finner man at legemene beveger seg langs et kjeglesnitt med likningen: n

r=----- £— 1+ecosf

hvor

0

p=-—

yM

36

Oppgaver til "Bevegelse i rommet" Noen konstanter: AU = 149 596 000 km = 150-106 km Jordas ekvatorradius = 6 378 km Jordas masse = 5,98-1024 kg Solmassen = 1,99-103c kg Månens masse = 7,35-1022 kg Gravitasjonskonstanten y = 6,67-10“' Nm1 23 /kg2 8 7 6 5 4

9 ajFiguren under viser en ellipse. Mål på figuren

1 Formuler noen argumenter for et geosentrisk verdensbilde. 2 Hvem var den første astronomen som tok i bruk kikkerten ?

b) Hvor stor eksentrisitet har en ellipse når avstanden mellom brennpunktene er lik den lille aksen ?

3 Galilei oppdaget faser på Venus. Lag en figur av sola, Venus og jorda som illustrerer fasene.

c) Forholdet mellom jordas avstand fra sola i perihel og i aphei er 29 : 30. Finn jordbanens eksentrisitet.

4 Nevn en viktig forskjell mellom Copernicus' og Keplers beskrivelse av solsystemet.

10 a) Av figur 9 på side 3 får vi av Pytagoras :

5 Formuler Keplers lover med egne ord.

p=\/(x+c)2+y2

og

r2^(x-c)2+y2

6 Hva er boken Principia kjent for ?

Sett dette inn i ellipsedefinisjonen og se om du får ellipselikningen øverst på side 4.

Ellipsen

b)

7 Tegn en ellipse med store halvakse lik 5 cm og brennpunktavstanden lik 8 cm ved hjelp av to stifter og en snor.

Bruk de samme likningene og vis at: p=a+ex og

c) 8 I en ellipse er det gitt to av de fire størrelsene a, b, c og e. Regn ut de størrelsene som ikke er oppgitt når: a)a = 5 cm, b = 3 cm b)a = 6 cm, c = 4 cm c)b - 4 cm, c - 4 cm d)c = 2 cm, e = 0,5 e)a = 7 cm, e = 0,9

r2=a-ex

Sett r2 = r og vis at: a(1 -e2) 1+ecosf

hvor f er sann anomali. d) Vis at middelavstanden mellom ett av brennpunktene og punktene på ellipsen er lik ellipsens store halvakse. (Hint: Vis at gjennom­ snittsverdien av r - a - ex er lik a )

37

15 En ellipse med store halvakse lik 5 cm og eksentrisitet lik 3/5 er gitt. Uttrykket for radius­ vektor blir da:

11 Konstruksjon av ellipsen:

Tegn to konsentriske sirkler med radier lik ellipsens store og lille halvakse.Velg a = 5 cm og b = 4 cm.

5cm(1 -—) a(1-e2) = 52 _ 16cm 1+ecosf < 5+3cosf 1+—cosr 5 eksempel: /=130°=>r~5,21cm Velg verdier for f fra 0° til 360° med intervaller på 10°og regn ut tilsvarende verdier for radius­ vektor. Tegn deretter ellipsen.

16 a) Hva merner vi med sann anomali ? b) Hva er sann anomali for jorda ved 1) vintersolverv ? 2) sommersolverv ?

Trekk en vilkårlig radius OS. Trekk QP parallelt med x-aksen. Trekk SP parallelt med y-aksen. P er da et punkt på ellipsen.

12 Konstruer ellipsene i oppgave 8.

17 Jordbanen har eksentrisiteten 0,017 og middelavstanden fra sola er 1 AU. Finn avstanden i AU mellom sola og jorda når sann anomali er 150°.

13 På figuren i oppgave 11 er koordinatene: P = (x,y) , Q = (xvy) og S = (x.yj. a) Forklar følgende likninger:

18 a) Perihel, perigee og periastron er punkter på en ellipsebane. Hvilke ? b) Hva heter de punktene som ligger diamentralt motsatt på ellipsen ?

Velg forskjellige radier og punkter på ellipsen.

konstruer flere

h2 2-x2) y2=P-(a a2 y?=a2-x2

Keplers lover.Gravitasjon. 19 Forklar hvorfor likningen

OQ=d=AP= y OS a AS y,

r= a(1-e2) 1+ecosf er uttrykk for Keplers 1. lov.

b) Bruk likningene til å forklare hvorfor P er et punkt på ellipsen.

20 a) Lag en figur som viser Keplers 2. lov. b) Forklar sammenhengen mellom figuren og den matematiske formuleringen av Keplers 2. lov.

14 a) Hva mener vi med ellipsens parameter p ? b) En ellipse har store halvakse lik 5 cm og en eksentrisitet lik 0,25. Finn parameteren.

38

30 * Vi betrakter jordbanen som en sirkel. En komet følger en ellipsebane rundt sola og denne krysser jordbanen slik figuren under viser:

21 Omløpstiden for Mars er 686 d. Hva er da middelavstanden fra sola til Mars ?

22 Hva ville omløstiden for en planet rundt sola være hvis middelavstanden var 0,1 AU ? 23 Store halvakse for Venusbanen er 0,7233 AU. Hva er omløpstiden for Venus ? 24 En asteroide beveger seg i en ellipsebane med store halvakse lik 4 AU. Hva er asteroidens omløpstid ?

Farten til kometen i punktet K. er gitt ved ut­ trykket:

25 En satellitt beveger seg rundt jorda, slik at den minste avstanden til jordoverflaten er 660 km og den største avstanden er 4 023 km. a) Vis at satellittbanens store halvakse er 8 719,5 km. b) Hva er satellittens omløpstid ? c) Finn banefarten til satellitten når den er nærmest jorda og når den er lengst unna.

hvor v2 er jordas banefart. Bruk Keplers 3. lov og finn kometens middelavstand fra sola i AU og dens omløpstid i år. 31 Følgende oppgave er hentet fra NASA Educa­ tional Topics, Grade 11-12:

26 Den minste avstanden mellom jorda og Mars er 78-106 km. Omløpstiden for Mars er 1,881 år. Bruk Keplers 3. lov og regn ut avstanden mellom jorda og sola og mellom Mars og sola.

a) Compute the orbital speed of the planet Jupiter. Assume a circular orbit. Jupiter is 778,6-106 km from the Sun, has a year equivalent to 11,86 Earth years.

27 a) Finn jordas midlere banefart. b) Vi antar at jordbanen er en sirkel. Hva er da jordas sentripetalakselerasjon ? c) Så betrakter vi jordbanen som en ellipse igjen. Når på året er da baneakseterasjonen lik null ?

b) Assume that the speed of a spacecraft is 50 000 km/h as it approaches Jupiter at a certain distance from the planet. When it reaches the same distance beyond Jupiter what will be the departing speed of the spacecraft ? Use the trajectory shown on page 16.

28 Formuler Newtons gravitasjonslov med egne ord uten å bruke matematiske uttrykk.

c) Discuss the effect which Saturn will have upon the speed of the Voyager spacecraft. Will it be greater or less than Jupiter ?

29 Hvordan kan Newtons 3. lov brukes til å for­ klare hvorfor rakettmotorer virker i vakuum?

39

39 I figuren nedenfor er S sola og E jorda. I hvilken retning må vi se for å se sydover ved: a) midnatt ? b) klokken 2100 ? c) klokken 0300 ?

32 "Without spaceprobes like Voyager, we never could have learned all we know about the planets. But without the planets, we never could have launched space probes in the first place" Explain the significance of this statement.

A

33 Regn ut tyngdeakselerasjonen uttrykt i g på: a) Månen når Mm= 0,0123/VTog Rm=0,272Re. b) Sola når M0=3,3W5M& og c) Jupiter når = 318 og ^=11,1 R@. C

40 a) En komet beveger seg i ekliptikkplanet. Ved vintersolverv observeres den rett syd ved midnatt. Ved vårjevndøgn observeres den rett syd klokken 0400. Tegn en figur av kometen, jorda og sola i et heliosentrisk koordinatsystem, b) Finn kometens geosentriske lengder ved begge observasjoner.

34 En fjernsynssatellitt beveger seg i en sirkelbane rundt jorda med en omløpstid på 24 h. a) Regn ut avstanden til satellitten fra jord­ overflaten. b) I hvilket plan må satellitten bevege seg for at den tilsynelatende skal stå stille på himmelen ? 35 * En romsonde skal sendes fra jorda til Venus, og skal følge en Hohmannbane. a) Hva er transittbanens store halvakse ? b) Hvor lang tid bruker romsonden på turen ? c) Hva er romsondens fart i forhold til sola i aphel og i perihel for transittellipsen ? d) Hva er farten i forhold til jorda like etter oppskyting ? (i aphel) e) Hva er farten i forhold til Venus like før landing ? (i perihel)

41 Finn høyde og asimut, deklinasjon timevinkel for følgende punkter: a) østpunktet b) sørpunktet c) senit d) himmelens nordpol.

og

42 * Regn ut vinkelen som satellittbanen danner med ekvator i eksempel 2 side 23 .

Middelavstanden fra sola til Venus er 0,72 AU. 43 Hva er solas rektasensjon og deklinasjon ved 1) vårjevndøgn, 2) sommersolverv, 3) høstjevndøgn 4) vintersolverv ?

Himmelkoordinater. Baneelementer.

44 a) Tegn himmelkula for en observatør på 60° nordlig bredde med stedets horisont, ekvator, senit, himmelens nordpol og stedets meridian, b) En satellitt observeres 21. mars kl 1800 med en høyde på 45° og asimut 315° (øst for nord). Tegn satellitten inn på figuren. c) Anslå ut fra figuren satellittens rektasensjon og deklinasjon.

36 Lag en stor figur (A4-format) som viser baneelementene og sann anomali for en satellitt som beveger seg rundt jorda.Velg alle fire vinklene lik 30°. 37 Hva menes med ekvatorinnstilling av et tele­ skop ?

38 Hva heter den storsirkelen på himmelkula som sola beskriver i løpet av ett år ?

40

52 a) På figuren under er det slått en sirkel med radius r om brennpunktet F. Linjen / er styrelinjen. Avstanden RC = r og linjen m er parallell med /. Forklar at A og B er to punkter på parabelen.

Geografiske koordinater.

45 Hva er omkretsen av breddesirkelen på 60° ? 46 Oslo ligger 10°43'24" øst for Greenwich. Finn lengdeforskjellen i km, når Greenwich har breddegraden 51°28'38" N. 47 To steder A og B er begge på breddegraden 38° N, men avstanden mellom dem er 123°. a) Hvor er den korteste avstanden mellom A og B ? b) Finn avstanden mellom dem i km langs breddesirkelen. c) Finn avstanden mellom dem i km langs storsirkelen gjennom A og B.

b) Konstruer punkter på en parabel hvor avstanden fra brennpunktet til styrelinjen er 3 cm og tegn parabelen. 53 Når r , blir radiusvektor parallell med hyperbelensasymptoter.Finneksentrisitetenfor en hyperbel når vinkelen mellom asymptotene er 120°.

48 * Et fly flyr langs storsirkelen fra Oslo til Anchorage i Alaska. Finn den korteste avstanden i km mellom flyet og nordpolen. De geografiske koordinatene er: Oslo: (59°43' N, 10°52‘ E) Anchorage :(61°10' N.150W W)

54 Vis at for ellipsen gjelder: /72

2

p = — = a-eza yM

Kjeglesnitt.

49 a) Tegn parabelen med parameteren p - 4 cm og e = 1 ved å regne ut radiusvektor r for forskjellige verdier for f. Velg f fra 0° til 120° og fra 240° til 360° med intervaller på 10°.

når arealet av ellipsen er gitt ved: A = ti ab

Unnslipningsfart

b) Tegn hyperbelen med samme parameter og med e = 1,5 på tilsvarende måte i samme koodinatsystem. Bruk samme brennpunkt.

55 a) Finn unnslipningsfarten fra måneoverflaten når vi regner måneradien lik 3/11 av jordradien.

c) Kommenterforskjellen mellom kjeglesnittene.

b) Finn unnslipningsfarten fra Jupiter når Jupiter har massen 1,9-1027kg og radius 7,14-107 m.

50 Et kjeglesnitt med y-aksen som styrelinje går gjennom punktet (4,4) og har brennpunktet i (3,0). Finn eksentrisiteten.

c) Finn unnslipningsfarten fra solsystemet i jordas avstand fra sola.

51 Hvor stor radius har den sirkelen som går gjennom en parabels toppunkt og ende­ punktene av parameteren 2p ?

56 En romsonde passerer jorda i en avstand på 1000 km med farten 10,7 km/s. Hva slags kjeglesnitt følger romsonden ?

41

Polare og geostasjonære satellittbaner.

57 *(3 MN) Utledning av uttrykket for parabelfarten:

58 a) En satellitt i polar bane krysser ekvator til samme lokale tid.Gi en forklaring på dette.

I figuren under er parabelfarten v dekomponert i en komponent vr langs r og en komponent vs vinkelrett på r. Den radielle komponenten er uttrykk for endringen av lengden av r per tid. Komponenten vinkelrett på r svarer til farten i en sirkelbevegelse hvor farten hele tiden er vinkelrett på radien.

b) Satellitten har en omløpstid på 100 minutter.Hvor mange grader har jorda rotert i løpet av ett omløp ?

c) Hvor mange km har et punkt på ekvator rotert i løpet av denne tiden ? d) Satellitten passerer ekvator i nærheten av Singapore kl 1000 lokal tid. Hvor passerer satellitten neste gang den krysser ekvator på solsiden ? Hva er klokka der når satellitten passerer ?

59 En satellitt skal skytes opp og parkeres i sirkelbane rundt jorda 500 km over bakken. Raketten skytes ikke rett opp, men enten i østlig retning eller i vestlig retning. Forklar hvilken retning som krever minst energi til selve oppskytningen.

a)

Forklar at:

b)

Forklar også at:

60 I hvilken høyde går en satellitt i polar bane som krysser ekvator 13 ganger daglig på solsiden ?

vs = lim — = lim Af—0 Lt Af—0

c)

“-ri Lt

61 a) I 1979 brant deler av det amerikanske romlaboratoriet Skylab opp i atmosfæren og restene falt ned over Australia. Nevn noen årsaker til at satellitten kom inn i atmosfæren.

Vis at:

v2 = r2*r2-i2

d)

b) Sannsynligheten for å få en satellitt i hodet er nok meget liten. Vi ser bort fra det. Er det andre betenkeligheter ved at en satellitt faller ned ?

Bruk kjerneregelen og vis at: r =

r2 = f2'^'sin2/r

p

(1+cosf)2

1+cosf

e) Forklar at vi med symbolene i figuren kan vi skrive Keplers 2. lov slik:

62 Hva er baneelementene a , e geostasjonær satellittbane ?

r2-lim— = r2-f = konstant = h Lt

f)

r2'f2 - T— = 1+cosf

1

r

når

for en

63 Umiddelbart etter oppskytning av en geostasjonær satellitt, parkeres den i sirkelbane rundt jorda. Så blir den overført til en sirkelformet geostasjonær bane med radius 42 225 km via en ellipseformet Hohmannbane med eksentrisiteten 0,73. Hvilken høyde over bakken hadde parkeringsbanen ?

Vis tilslutt at: v2 = 2

og i

p = —

42

70 * En satellitt med massen m går i ellipsebane rundt en planet med masse M. Store halvakse er a og eksentrisiteten er e. Perigeefarten er vp og apogeefarten er va. a) Vis at perigeeavstanden er rp = a (1 -e) og at apogeeavstanden er ra = a (1 +e). b) Vis at vpva = y M / a . c) Vis at totalenergien er E = - 1/2 m vpva.

Energien til satellitter.

64 a) Hva er den kinetiske energien til en geostasjonær satellitt på 1 000 kg når den beveger seg i en sirkelbane med radius 42 200 km ? b) Hva er den potensielle energien ? c) Hvor mye energi må den ha for å komme over i en parabelbane ?

71 * (3 MN) Vi skal se litt nærmere på differensiallikningene på side 26 hvor koordinatene x og y er funksjoner av tiden t. Vi bruker prikk istedenfor apostrof som derivasjonssymbol når vi deriverer med hensyn på tiden

65 En romsonde med massen 1 000 kg går i parabelbane forbi jorda med en kinetisk energi på 5,4-1010J. Hva er romsondens potensielle energi og avstand fra jordoverflaten ?

a)

66 En romsonde på 1 600 kg går i parabelbane forbi månen og passerer i en avstand på 1 500 km. Hva er romsondens kinetiske energi ? Måneradien er 1 740 km.

Bruk kjerneregelen og vis at:

1 .2, d z 1 -2 - x +7,y ) = xx+yy dr 2

...........

b) Bruk kjerneregelen, deriver radiusvektor på tilsvarende måte og vis at:

67 En satellitt med massen 1 500 kg beveger seg i en ellipsebane rundt jorda. Ved perigee er avstanden til jordoverflaten 200 km og ved apogee er avstanden til jordoverflaten 36 000 km. a) Hva er ellipsens eksentrisitet ? b) Finn satellittens 1) kinetiske energi, 2) po­ tensielle energi og 3) totale energi både i perigee og i apogee.

xx+yy

c)

Fortsett med kjerneregelen og vis at: d,1) = xx + yy dt r r3

d) Multipliser differensiallikningene

68 En satellitt med massen 1 500 kg beveger seg i ellipsebane rundt jorda med perigeeavstanden 7 000 km fra jordas sentrum og perigeefarten 10 000 m/s. a) Hva er ellipsens store halvakse ? b) Hvor stor er apogeefarten ? c) Hvor mye energi må frigjøres fra rakettmotoren for at den skal komme over i en parabelbane ?

x+yM x = 0 ' r3 og

med x

= 0

med y

y+yM

r3 adder likningene og vis at:

2 69 * En satellitt beveger seg i ellipsebane rundt jorda med perigeefarten lik 10 000 m/s og apogeefarten lik 1 600 m/s. Vis at store halvakse er 25 000 km.

mv2-y^m = konstant r

e) Foreslå en formulering av resultatet i ord.

43

72 Vis at vi får parabelfarten/unnslippningsfarten ved å sette totalenergien for en satellitt lik null. 73* Vi skal utlede uttrykket fra side 10 for farten til

a) Vis at vi ved å sammenlikne totalenergien i et vilkårlig punkt B på ellipsen med perihel P får: v

2

..2 2yM 2 - y M— - —------ + vD i r a(1-e) p

b) I perihel står farten vinkelrett på radiusvektor og der er også baneakselerasjonen null. Bruk dette og Keplers 2. lov og vis at:

V2. P

V

a2(1-e)2

hvor h er konstanten i Keplers 2. lov. c) Bruk opplysningene fra oppgave 54 og vis at perihelfarten i b) kan skrives: 2 _ yM 1 +6 vp •— a 1 -e d)

Bruk dette og vis tilslutt at: v

2

= y

«4/ 2 r

1 \ a

44

Fasit til oppgavene til "Bevegelse i rommet

8

9

a) b) c) d) e)

c=4 cm,e=0,80 b=4,5 cm,e=0,67 a=5,7 cm,e=0.71 a=4,0 cm, b=3,5 cm c=6,3 cm, £>=3,1 cm

a) a=3,0 cm, b=2,2 cm c=2,0 cm, e=0.70 b) V2/2=0,71 c) 1/59=0,017

34 a) 42 255 km (se s 30) b) Ekvatorplanet 35* a) b) c) d) e)

0,86 AU 3 509 h = 146 d 27,2 km/s 37,8 km/s - 2,6 km/s - 2,7 km/s

58

b) 25° c) 2 783 km d) 25° vest, syd for Sri Lanka, kl 1000

59

mot øst

60

1 265 km

38

ekliptikken

61

f eks radioaktive stoffer

14 b) p = 4,69 cm

39

a) B b) BC c) AB

62

a = 42 225 km, e = 0 og /= 0°

16 b) 1) f = 0°, 2) f = 180° 17 r = 1,015 AU

40

90° 240° 63

217 km

41

a) b) c) d) (cp

64

a) 470 EJ b) - 940 EJ c) 470 EJ

65

- 54 GJ, 1010 km

66

2,4 GJ

67

a) 0,73 b) 1) 79 GJ 2) - 91 GJ 3) - 12 GJ 1) 2 GJ 2) - 14 GJ 3) - 12 GJ

68

a) 28 500 km b) 1,4 km/s c) 10 GJ

18 b) aphel, apogee og apastron.

21

1,52 AU

0°, 90°, 0°, 18 h 0°, 180°, cp-90°, 0 90°, 0°, cp, 0 cp, 0°, 90°, 0 er breddegraden)

22 0,0316 år = 11,5 d

42* 72,3°

23 0,6151 år

43

24 8 år 25 b) 135 min c) 8,2 km/s 3,8 km/s

26 1 49-106 km 227-106 km

27 a) 30 km/s b) 6-10'3 m/s2 c) vinter- og sommersolverv 30* 100 AU 1000 år

31

a) 13,0 km/s b) 24,4 km/s

33 a) 0,17 g b) 27,3 g c) 2,58 g hvor g -

1) 2) 3) 4)

0°, 0° 90°, 23,5° 180°, 0° 270°, - 23,5°

44

a = 350°, 6 = 60°

45

20 000 km (20 037)

46

743 km

47

a) Langs storsirkelen b) 10 789 km c) 10 251 km

48* 600 km

50

V17/4= 1,03

51

5p/4

53

2

55

a) 2,4 km/s b) 59,5 km/s c) 42,1 km/s

56

hyperbel

=9,8 m/s2

45

Fasit til oppgave 15

46