Bai Tap - Ly Thuyet Do Do Va Tich Phan [PDF]

Zitiervorschau

BÀI TẬP - LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Bài 1: Chứng minh rằng một lớp C những tập con của X là một đại số khi và chỉ khi C không rỗng và a) A ∈ C, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C b) A ∈ C ⇒ AC ∈ C Bài giải Bài này ta chứng minh hai chiều như sau: ( ⇒ ) Giả sử X là một đại số, ta chứng minh hai tính chất a) và b) trên. + Ta có, X , A ∈C ⇒ A C = X \ A ∈ C (chứng minh xong tính chất b) + Áp dụng định nghĩa ta có:

A ∈C ,B ∈C ⇒ A c ,B c ∈C ⇒ A c ∪ B c ∈C ⇒ X \ (A c ∪ B c ) ∈C ⇔ (A c ∪ B c )c ∈C ⇔ A ∩ B ∈ C

(thoa a)

( ⇐ ) Gỉa sử chỉ khi C không rỗng thỏa mãn A ∈ C, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C và A ∈ C ⇒ AC ∈ C , ta chứng minh X là đại số. Tức là, 1. A ∈C , B ∈C ⇒ A ∪ B ∈C 2. A , B ∈C ⇒ A \ B ∈C Thật vậy, +

A ∈C ,B ∈C ⇒ A c ∈C ,B c ∈C ⇒ A c ∩ B c ∈C ⇒ (A ∪ B )c ∈C ⇒ ((A ∪ B )c )c ∈C ⇒ A ∪ B ∈C (thoa 1).

+ A ,B ∈C ⇒ B c ∈C ⇒ A ∩ B c ∈ C ⇒ A \ B ∈C

(thoa 2)

Vậy bài 1 được chứng minh xong.

( )

Bài 2: Cho fk

là một dãy những hàm đo được, cơ bản theo độ đo trên A , nghĩa là với mọi ε > 0,

k

với mọi δ > 0 , tồn tại N sao cho

{

}

µ x∈ A : fk (x) − fl (x) ≥ ε < δ , ∀ k,l ≥ N Chứng minh rằng

( )

a) Tồn tại dãy kn

n

các số tự nhiên sao cho

 1 1 µ  x∈ A : fk (x) − fk (x) ≥ i  < i i +1 i 2 2  ∞



n=1



Đặt Bn = U  x∈ A : fki +1 (x) − fki (x) ≥

(

)

b) Với mỗi x∈ BC , dãy fkn (x)

( )

c) Dãy fkn Bài giải.

n

n

∞ 1 ,  B = I Bn 2i  n=1

là dãy Cauchy.

hội tụ hầu khắp nơi về một hàm f nhận giá trị hữu hạn trên A .

( )

a) Vì fk

là một dãy những hàm đo được, cơ bản theo độ đo trên A .

k

1 1 > 0, với mọi δ = i > 0 , tồn tại N (i ) sao cho i 2 2

Nên lấy ε =

1 1  µ  x ∈ A : f k ( x) − f l ( x) ≥ i  < i , ∀k , l > N (i ) 2  2  Ta xây dựng dãy con ( f ki )i của ( f k ) k bằng cách lấy các chỉ số ki sao cho

k1 = k (1), k2 = max{k1 + 1; k (2)},.......... ki = max{ki −1 + 1; k (i )} Khi đó,

 1 1 µ  x ∈ A : fk (x) − fk (x) ≥ i  < i i +1 i 2  2 (đpcm)  ∞



n=1



b) Đặt Bn = U  x∈ A : fki +1 (x) − fki (x) ≥

∞ 1 ,  B = I Bn 2i  n=1

∞ 1 ∞ 1  µ B ≤ µ B ≤ x ∈ A : f ( x ) − f ( x ) ≥ Thì ≤∑ ∑ n ki +1 ki 2i  n=i 2i n =i  ∞

1 = 0 ⇒ µB = 0 i i →∞ n =i 2

Vì lim ∑

Lấy x∈ BC suy ra x ∉ B và do đó có n0 ∈ N sao cho x ∉ Bn0 . Nghĩa là,

∀n, m ≥ n0 : f kn ( x) − f km ( x) ≤

(

)

Vậy fkn (x)

n

1 2i

là dãy Cauchy.

( )

c) Vì µB = 0 nên fkn

n

hội tụ hầu khắp nơi về một hàm f nhận giá trị hữu hạn trên A .

Bài 3: Cho f là một hàm khả tích trên A và a > 0. Chứng minh rằng

{

}

µ x∈ A : f (x) ≥ a < +∞ Bài giải Ta có,

B = { x ∈ A : f ( x) ≥ a} ⊆ A ⇒ ∫ d µ ≤ ∫ d µ B

A

⇒ a ∫ d µ ≤a ∫ d µ ⇒ ∫ ad µ ≤ ∫ ad µ ≤ ∫ fd µ < +∞ B

A

B

A

A

Do do, µB = µ { x ∈ A : f ( x) ≥ a} < +∞ Bài 4: Tính tích phân của hàm sau trên  0; 3





 xarctan x, neá u ln(1+ x) voâtæ f (x) =  4 x+sin x , neá u ln(1+ x) höu tæ  x + 5