Bai Giang HHXA Mai [PDF]

Zitiervorschau

CHƢƠNG 1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 1.1 Không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.1.1 Cho

là

-không gian vectơ ( +1) chiều. Kí hiệu

[ ]={ / , }. 1 Khi đó, thì V = [ ]. P là một tập hợp, P . Ánh xạ p: [ ] P là một song ánh. Người ta gọi (P, p, ) là một không gian xạ ảnh n chiều trên trường , liên kết với - không gian vectơ bởi song ánh p, hay gọi tắt là không gian xạ ảnh n chiều và kí hiệu là .

Trong giáo trình này, là một trường có đặc số khác 2 ( 1+1 0 ). Nếu = thì Pn được gọi là không gian xạ ảnh thực và kí hiệu là ( ). Nếu thì Pn được gọi là không gian xạ ảnh phức và kí hiệu là ( ). [ ], , p( ) Pn được gọi là một điểm và được kí hiệu bởi các chữ cái in. Nếu p( ) = X thì ta nói là véc tơ đại diện của điểm X. Chú ý: k 0, và k đều là các véc tơ đại diện cho điểm X. Định nghĩa 1.1.2 Cho - không gian xạ ảnh có không gian véc tơ liên kết là . Gọi W là một không gian véc tơ con (m+1) chiều của , m 0. Người ta gọi p([W]) =U là một cái phẳng m chiều của hay gọi tắt U là m – phẳng có không gian véc tơ liên kết là W. Khi đó, W được kí hiệu là Với m = 0, 0 – phẳng U của là một điểm. Với m = 1, 1 – phẳng U của được gọi là một đường thẳng. Với m = 2, 2 – phẳng U của được gọi là một mặt phẳng. Với m = n - 1, (n - 1) – phẳng U của được gọi là một siêu phẳng. Chú ý. m – phẳng U luôn là một không gian xạ ảnh m chiều. Định nghĩa 1.1.3 Trong không gian xạ ảnh , hệ điểm { }(1) được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ véc tơ đại diện của chúng { } (2) độc lập tuyến tính. Nếu hệ (2) phụ thuộc tuyến tính thì hệ (1) được gọi là hệ điểm phụ thuộc. 1

Từ định nghĩa trên, ta thấy,

Pn, { } là hệ điểm độc lập vì nếu

là véc tơ đại

diện của thì do đó, { } là độc lập tuyến tính. Hệ gồm hai điểm {X1, X2} là độc lập X1 X2. Thật vậy, gọi là các véc tơ đại diện của X1, X2, hệ {X1, X2} là độc lập { } độc lập tuyến tính không biểu thị được tuyến tính qua nhau p p ) (do p song ánh) X1 X2. Định lý 1.1.1Trong không gian xạ ảnh , có duy nhất một – phẳng đi qua hệ ( +1) điểm độc lập cho trước, 0. Chứng minh. Cho hệ điểm{ } (1) độc lập, Xi có các véc tơ đại diện là , = . Vì hệ (1) độc lập nên hệ { } (2) độc lập tuyến tính, suy ra là một không gian véc tơ con (m+1) chiều của và là duy nhất. Theo định nghĩa 1.1.2, p( ) là m – phẳng trong . Vì , nên p p( ), hay p( ).Định lý được chứng minh. Định lý 1.1.2Hệ ( +1) điểm là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một ( -1) – phẳng. Chứng minh. Hệ điểm { } độc lập khi và chỉ khi hệ véc tơ đại diện của nó { } độc lập tuyến tính, khi và chỉ khi trong hệ { } không có một véc tơ nào biểu thị tuyến tính được qua các véc tơ còn lại, khi và chỉ khi , khi và chỉ khi .Từ đósuy ra điều phải chứng minh. Hệ quả 1.1.1Trong không gian xạ ảnhPn, số điểm của một hệ điểm độc lập nhiều nhất là ( n+1). Mọi hệ có nhiều hơn (n+1) điểm đều phụ thuộc. Chứng minh. Lấy ra một hệ điểm độc lập bất kì gồm p điểm của Pn. Khi đó, hệ véc tơ đại diện của hệ điểm này gồm p véc tơ là hệ độc lập tuyến tính trong Vn+1, suy ra p n+1. Nếu p n+1, bổ sung vào hệ này thêm (n+1- p ) véc tơ sao cho chúng trở thành một cơ sở của Vn+1. (n+1- p ) véc tơ bổ sung này là độc lập tuyến tính và là hệ véc tơ đại diện cho (n+1- p ) điểm độc lập. Gép với hệ p điểm ban đầu, ta được hệ n+1 điểm độc lập. Còn nếu p n+1thì ta có ngay hệ n+1 điểm độc lập. Lấy một điểm bất kì trong Pn bổ sung vào hệ này ta được hệ n+2 điểm. Rõ ràng hệ véc tơ đại diện của hệ điểm này là phụ thuộc tuyến tính và do đó hệ n+2 điểm trên là phụ thuộc. Từ đấy ta thấy hệ quả được chứng minh. 2

Ví dụ. Trong P2, số điểm của một hệ điểm độc lập nhiều nhất là 3, trong P3 là 4. Chú ý. Nếu { } là hệ điểm độc lập thì m – phẳng đi qua kí hiệu là . Từ đó, với hai điểm phân biệt , , có duy nhất một đường thẳng qua , kí hiệu là hay . Định lý 1.1.3( Định lý Desargues thứ nhất) Trong không gian xạ ảnhP2cho 6 điểm , , , , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó hai mệnh đề sau là tương đương: a) Ba đường thẳng , , đồng quy. b) Giao điểm của các cặp đường thẳng và , và , và thẳng hàng. S

A

R

B

C’ Q

A’

C

P B’

Chứng minh. a) b). Giả sử ba đường thẳng = P, = Q,

,

,

đồng quy tại S. Gọi =R

và , , , , , , lần lượt là các véc tơ đại diện của các điểm , , , Từ giả thiết, suy ra {

} độc lập tuyến tính và đường thẳng

S thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi {

= p([

,

,

, S.

]). Do đó

} phụ thuộc tuyến tính, khi và chỉ khi

=k + l , với k và l đều khác 0. Chọn k = l = 1, ta có = + . Lập luận tương tự đối với các đường thẳng Từ (1), ta có một điểm, đặt = .

-

,

= +

- , suy ra hai vec tơ

= =

ta có = +

-

= +

(1)

và

-

-

= , từ giả thiết ta suy ra

3

cùng đại diện cho

là véc tơ đại diện của điểm P

Tương tự, có

- =

= là véc tơ đại diện của R =

-

=

là véc tơ đại diện của Q =

,

- =

-

.

Mặt khác, + + = ( - ) + ( - ) + ( - ) = , tức là { , , phụ thuộc tuyến tính, suy ra P, Q, R thẳng hàng. b) a). Giả sử P, Q, R thẳng hàng, tức là các đường thẳng , RQ, đồng quy tại P. Khi đó, ta xét 6 điểm , , R, , , Q, rõ ràng 6 điểm này không có ba điểm nào thẳng hàng. Do các đường thẳng , RQ, đồng quy tại P, theo kết quả phần thuận thì giao điểm của các cặp đường thẳng là = S, R Q = C’, R Q = C thẳng hàng, tức là đường thẳng đi qua S. Suy ra ba đường thẳng , , đồng quy tại S.( Định lí được chứng minh ). 1.2 Các mô hình của không gian xạảnh 1.2.1 Mô hình vec tơ Cho là – không gian vec tơ, từ định nghĩa 1.1.1, chọn song ánh p = Id: [ ] [ ], khi đó, [ ] là không gian xạ ảnh n chiều. Mỗi điểm của [ ] là một không gian véc tơ con một chiều của . Mỗi m – phẳng trong [ ] là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của cùng một không gian véc tơ con (m+1) chiều của . 1.2.2 Mô hình bó Xét n+1 là – không gian afin (n+1) chiều liên kết với không gian véc tơ (n+1) chiều . Lấy O là một điểm cố định thuộc n+1, gọi B là tập hợp tất cả các đường thẳng trong n+1 cùng đi qua O. B được gọi là bó đường thẳng tâm O, song ánh p: [ ] B được xác định như sau: [ ], p( ) = d B, = . Khi đó, B trở thành – không gian xạ ảnh n chiều mà mỗi điểm thuộc B là một đƣờng thẳng trong n+1 đi qua O. Mỗi m – phẳng trong B là tập hợp tất các đường thẳng có không gian chỉ phương được sinh bởi một véc tơ khác cùng thuộc một không gian véc tơ con (m+1) chiều của Vn+1. 1.2.3 Mô hình afin Trước hết ta có nhận xét: cho P là không gian xạ ảnh liên kết với không gian véc tơ V bởi song ánh p. Khi đó, nếu có tập hợp P’ và có song ánh p’: P P’ thì P’ cũng là không gian xạ ảnh liên kết với V bởi song ánh p’ p.

4

Cho n+1 là – không gian afin có không gian véc tơ liên kết là . Gọi n là một siêu phẳng của n+1 có không gian chỉ phương là . Xét tập hợp P = n [ ] mà mỗi phần tử của P hoặc là một điểm thuộc n, hoặc là một không gian véc tơ con 1 chiều của . n+1 n Lấy một điểm O ,O và gọi B là bó đường thẳng tâm O. Theo mô hình bó thì B là không gian xạ ảnh n chiều. Xây dựng song ánh p’: B P như sau: n + Nếu đường thẳng d B, d = D thì p’(d) = D n + Nếu đường thẳng d , tức Vn thì p’(d) = . Khi đó, tập P = n [Vn] trở thành một không gian xạ ảnh liên kết với Trong P, mỗi m – phẳng sẽ là:

.

+ Hoặc là tập m [ m], trong đó m là m – phẳng của n + Hoặc là tập [Vm+1], với Vm+1 là không gian véc tơ con (m+1) chiều của

.

1.2.4 Mô hình xây dựng từ trƣờng Cho là một trường, xét n+1 = { )| , = }. Ta biết n+1 là một – không gian véc tơ (n+1) chiều. Khi đó, theo mô hình véc tơ thì [ n+1] là một – không gian xạ ảnh n chiều. 1.3 Tọa độ xạ ảnh 1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh Trong – không gian xạ ảnh , một tập hợp có thứ tự gồm (n+2) điểm{ , , ..., ; E} (I) được gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu mọi bộ phận của (I) gồm (n+1) điểm đều độc lập. Các điểm gọi là các đỉnh của mục tiêu, điểm E được gọi là điểm đơn vị. Các m – phẳng đi qua (m+1) đỉnh của mục tiêu (I) được gọi là m – phẳng tọa độ, các đường thẳng Định lý 1.3.1Trong sở {

,

, được gọi là các trục tọa độ. ,với mỗi mục tiêu xạ ảnh {

,

; E} luôn tìm được cơ

, ...,

} của Vn+1sao cho vec tơ là véc tơ đại diện của điểm ( =

) và

= là véc tơ đại diện của điểm E. Chứng minh. Lấy các véc tơ

đại diện của các điểm

,

, ...,

, giả sử là

. Vì { , , ..., } là độc lập nên { } độc lập tuyến tính và n+1 trở thành một cơ sở của V . Vì vậy, gọi là véc tơ đại diện của điểm E thì và biểu thị tuyến tính được một cách duy nhất qua cơ sở đó, tức là =

(1) 5

Ta thấy, trong (1) các

đều khác 0 vì nếu có một

nào đó bằng 0, chẳng hạn

=

0 thì ta có - + , tức là hệ véc tơ { } phụ thuộc tuyến tính, điều này mâu thuẫn với giả thiết { , , ..., ; E} là một mục tiêu xạ ảnh. Đặt

, thì hệ { ,

= , =

là các véc tơ đại diện của các điểm Cơ sở {

,…,

} là một cơ sở của

và các véc tơ

= là véc tơ đại diện của E.

,

} trong định lý trên được gọi là cơ sở đại diện của mục tiêu {

, , ..., ; E}. Rõ ràng, hai cơ sở { }, { } của Vn+1 cùng đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại một hằng số , , sao cho

, =

.

1.3.2 Tọa độ xạ ảnh Trong – không gian xạ ảnh là {

cho mục tiêu { , gọi

} (1).

,

, ...,

; } (I) có cơ sở đại diện

là véc tơ đại diện của ,

,

khai triển

được một cách duy nhất qua cơ sở (1): = . Do nên trong các phải có ít nhất một giá trị khác 0. Người ta gọi bộ sắp thứ tự ( , , …, ) là tọa độ xạ ảnhcủa X trong mục tiêu (I). Mặt khác, , cũng là véc tơ đại diện của , do đó ( , , …, ) cũng là tọa độ xạ ảnh của điểm . Để thể hiện tính chất này, người ta thường kí hiệu tọa độ xạ ảnh của điểm là : : …: ). Chẳng hạn, trong mục tiêu { , , ..., ; }, các đỉnh và điểm đơn vị có tọa độ là = ( 1 : 0 : … : 0), = ( 0 : 1: … : 0), …, = ( 0 : 0 : … : 1), = ( 1 : 1 : … : 1). 1.3.3 Công thức đổi tọa độ xạ ảnh Trong , cho hai mục tiêu xạ ảnh { , , ..., ; } (I) và { , (II). , : : …: ) trong mục tiêu (I), : : …: tiêu (II). Ta tìm mối liện hệ giữa và

, ..., ; } ) trong mục

.

Gọi { } (1), { } (2) lần lượt là hai cơ sở đại diện của hai mục tiêu (I) và (II) thì (1) và (2) là các cơ sở của . Gọi là véc tơ đại diện của điểm thì = ( , , …, ) trong cơ sở (1) và = ( , , …, ) trong cơ sở (2). Gọi

A=(

là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2), theo kết quả

),

của đại số tuyến tính, ta có công thức đổi tọa độ của từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) là , Vì

. cũng là véc tơ đại diện của

, ,

,

nên ta suy ra (1.1)

6

Công thức (1.1) được gọi là công thức đổi tọa độ xạ ảnh của điểm sang mục tiêu (II). Chú ý. Vì A là ma trận chuyển cơ sở nên det A và với cũng là ma trận chuyển từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II). Nếu ta kí hiệu

từ mục tiêu (I) thì ma trận A

,

lần lượt là ma trận cột tọa độ của trong mục tiêu (I) và (II) thì công thức (1.1) được viết dưới dạng phương trình ma trận là =A , Để viết được công thức đổi tọa độ, điểm mấu chốt là phải tìm được ma trận chuyển A. Trong trường hợp biết được tọa độ các đỉnh và điểm của mục tiêu (II) trong mục tiêu (I), ta có thể tìm được ma trận A bằng cách sau: Giả sử = , = ,…, = , = , suy ra các véc tơ đại diện của chúng lần lượt có tọa độ là =

,

= với

,…,

=

phải là véc tơ đại diện của điểm

và đều khác 0. Từ đó suy ra

Giải hệ trên tìm được

hệ trên có nghiệm vì det( )

0. Đặt

ta

xác định được ma trận chuyển A.

1.4. Phƣơng trình của m – phẳng 1.4.1 Phƣơng trình tham số của m – phẳng Trong cho mục tiêu xạ ảnh (I). Cho U là m – phẳng có không gian liên kết là . Trong U lấy hệ (m + 1) điểm độc lập Gọi lần lượt là các vectơ đại

diện

của

Khi

7

đó,

.

Giả

sử

. X là một điểm thuộc X= là véc tơ đại diện của điểm X. và chỉ khi

suy ra trong mục tiêu (I), ta có X U khi

Điểm

Hay, khi cà chỉ khi

(1.2) được gọi là phương trình tham số của m – phẳng U trong mục tiêu (I) với (m + 1) tham số không đồng thời bằng 0. Kí hiệu Vì mỗi cột của A là tọa độ của các điểm Ai và hệ điểm {Ai} độc lập nên hạng A = m + 1. Khi đó (1.2) được viết là Hoặc là thì (1.2) được viết là Từ đó, dễ dàng suy ra phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B là không đồng thời bằng 0. 2 Ví dụ. Trong P , cho mục tiêu { , , ; }. Vì điểm S1= (0:1:0), S2 = (0:0:1), E = (1:1:1) nên phương trình tham số của đường thẳng S1S2 là , hay

ới

không đồng thời bằng 0.

1.4.2 Phƣơng trình tổng quát của m – phẳng Từ phương trình tham số (1.2) của m – phẳng U, ta thấy, vì hạng của ma trận A các hệ số

của (1.2) bằng m + 1, nên trong (1.2) luôn tìm được một định thức con khác 0 cấp

(m + 1) của A. Trong (m + 1) phương trình của (1.2), ta chọn được (m + 1) hệ số tạo nên định thức khác 0 cấp (m + 1) tìm được. Giải hệ đó ta tìm được thay vào (n – m) phương trình còn lại (khử tham số) ta được một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm (n – m) phương trình: 8

trong đó ma trận các hệ số của ẩn ( ) có hạng bằng (n – m). (1.3) được gọi là phương trình tổng quát của m – phẳng U trong mục tiêu (I). Ngược lại, mỗi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.3) với ma trận các hệ số của ẩn bằng (n – m) luôn xác định một m – phẳng trong . Ví dụ. Hệ phương trình

luôn là phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian xạ ảnh thực P3. 1.4.3 Toạ độ của siêu phẳng Trong với một mục tiêu đã chọn, cho siêu phẳng U có phương trình tổng quát trong đó không đồng thời bằng 0.Người ta gọi bộ sắp thứ tự là toạ độ của siêu phẳng U trong mặt phẳng đã chọn. Rõ ràng, với mọi thì cũng là toạ độ của siêu phẳng U. Vì vậy, ta cũng kí hiệu toạ độ siêu phẳng U: Ví dụ. Trong cho mục tiêu là , từ đó suy ra Chú ý. Nếu ta kí hiệu

. Khi đó đường thẳng

có phương trình

thì phương trình tổng quát của siêu phẳng U có thể

được viết dưới dạng phương trình ma trận là 1.4.4 Hệ siêu phẳng độc lập Trong cho m siêu phẳng các siêu phẳng đã cho có toạ độ là:

Giả sử với một mục tiêu xạ ảnh đã chọn

……………………... Hệ m siêu phẳng độ của chúng có hạng bằng m.

được gọi là hệ siêu phẳng độc lập nếu ma trận toạ

9

Nếu hệ là m siêu phẳng độc lập, lập hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ là phương trình tổng quát của chúng

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này có ma trận các hệ số của ẩn bằng m nên nó biểu diễn một (n – m) – phẳng và do đó trong mỗi m – phẳng luôn được coi là giao của (n – m) siêu phẳng độc lập. Ví dụ. Trong không gian xạ ảnh thực P3 cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là

Khi đó, d luôn được coi là giao của hai mặt phẳng được xác định bởi phương trình: và 1.5 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng Định nghĩa 1.5.1 Trong

cho bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D, trong đó A, B, C

đôi một phân biệt. Gọi thẳng

là các vectơ đại diện của A, B, C, D. Khi đó, đường

hoàn toàn xác định và

.

Vì vậy, C





D





 Nếu

người ta gọi

 Nếu

ta quy ước

khác 0. không đồng thời bằng 0. là tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D. Kí hiệu là

Ta có

Chú ý. Giá trị của của các điểm A, B, C, D.

không phụ thuộc vào việc lựa chọn các vectơ đại diện

1.5.1 Các tính chất của tỉ số kép Trong cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt thẳng hàng. Khi đó ta có các kết quả:

10

    Nếu A, B, C, D là năm điểm phân biệt thẳng hàng thì . Việc chứng minh các tính chất trên không có gì khó khăn. Chẳng hạn, để chứng minh

ta chứng minh

Giả sử

, gọi

lần lượt là các vectơ đại diện của A, B, C, D,

từ định nghĩa của tỉ số kép, suy ra (1) (vì A, B, C, D phân biệt thẳng hàng, suy ra l 2 khác không). Để tính phải biểu thị tuyến tính các véc tơ ngay

qua các véc tơ theo thứ tự là

, ta Từ (1), ta có

(2). Từ (2), suy ra

(Đề nghị người đọc tự chứng minh các tính chất còn lại ). 1.5.2 Tính tỉ số kép theo toạ độ của các điểm Giả sử trong với một mục tiêu xạ ảnh đã chọn (I), cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, trong đó A, B, C, D đôi một phân biệt lần lượt có toạ độ xạ ảnh là Gọi

là các vectơ đại diện của A, B, C, D, ta có

11

Giả sử Vì A toạ độ của

ta suy ra B nên

độc lập tuyến tính. Về phương diện toạ độ, khi đó, trong các

, ta luôn tìm được hai chỉ số i, j, i

j sao cho

Kí hiệu (A), (B), (C), (D) là các ma trận cột toạ độ của A, B, C, D, từ (1) ta có

Từ phương trình thứ i và thứ j của (3) ta có Do

nên (4) là hệ Cramer đối với hai ẩn

Tương tự như vậy, từ đẳng thức (2) và

từ đó ta có được:

, ta có:

Ví dụ. Trong P2, với một mục tiêu đã chọn, cho 4 điểm A = (1:1:2), B = (0:1:1), C = (2:3:5), D = (-1:0:-1). Dễ nhận thấy 4 điểm A, B, C, D phân biệt thẳng hàng. Chọn các chỉ số i = 0, j = 1, ta dược

Vậy

12

Định nghĩa 1.5.2(hàng điểm điều hoà) Nếu thì ta nói cặp điểm A, B chia điều hoà cặp điểm C, D. Khi đó, vì , nên cặp điểm C, D cũng chia điều hoà cặp điểm A, B. Do đó, ta nói hai cặp điểm A, B và C, D liên hợp điều hoà với nhau hay bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hoà. Định nghĩa 1.5.3(hình bốn đỉnh toàn phần) Trong , một tập hợp gồm bốn điểm phân biệt A, B, C, D, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng được gọi là một hình bốn đỉnh toàn phần, bốn điểm A, B, C, D được gọi là bốn đỉnh. Đường thẳng nối hai đỉnh được gọi là một cạnh ( có 6 cạnh). Cặp cạnh không cùng đi qua một đỉnh gọi là cặp cạnh đối diện (có 3 cặp cạnh đối diện).Giao điểm của cặp cạnh đối diện gọi là điểm chéo (có 3 điểm chéo).Đường thẳng nối hai điểm chéo gọi là đường chéo (có 3 đường chéo). Định lý 1.5.1Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo cùng nằm trên một đường chéo chia điều hoà cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đối diện đi qua điểm chéo thứ ba. Chứng minh. N C Q R D A

M P

B

Cho hình bốn đỉnh toàn phần A, B, C, D. Các điểm chéo P = AB CD, Q = AD BC, R = AC BD. Xét đường chéo PR cắt cặp cạnh đối diện đi qua Q tại M và N, ta chứng minh ( Hai đường chéo còn lại chứng minh tương tự ) Chọn mục tiêu {S0 = A, S1 = B, S2 = C, E= D} (I). Khi đó A = (1 : 0 : 0), B = (0 : 1 : 0), C = (0 : 0 : 1), D = (1 : 1 : 1). Trước hết ta tính tọa độ của điểm P = AB CD. Phương trình của AB: x2 = 0. Phương trình của CD: hay x1 – x0 = 0. 13

Giả sử P = (x0: x1: x2), vì P AB nên P = (x0: x1: 0). Vì P chọn x0 = x1 = 1, suy ra P = (1: 1: 0). Tương tự ta tính được R = (1: 0: 1). Ta có M = AD PR. Phương trình AD là

CD nên x0 = x1,

hay x1 – x2 = 0. Phương trình PR là hay x0 – x1 – x2 = 0. Giải hệ . Chọn x2 = 1, suy ra M = (2: 1: 1). Ta có N = BC PR. BC có phương trình x0 = 0. Giải hệ hay Chọn x1 = 1, suy ra N = (0: 1: -1). Từ các kết quả trên, suy ra

Từ đó, [P, Q, M, N] =

: = -1. (Định lý được chứng minh)

1.6 Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng. Định nghĩa 1.6.1Trong không gian xạ ảnh , tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một (n – 2) – phẳng được gọi là một chùm siêu phẳng với giá là (n – 2) – phẳng đó. Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét: một chùm siêu phẳng là hoàn toàn xác định khi biết giá của chùm hoặc khi cho hai siêu phẳng phân biệt nào đó của chùm. Định lí 1.6.1 Trong không gian xạ ảnhPncho một chùm siêu phẳng được xác định bởi hai siêu phẳng U, V. Giả sử trong một mục tiêu xạ ảnh đã chọn, U, V lần lượt có phương trình U: u0x0 + .. + unxn = 0 hay (U)t(X) = 0 V: v0x0 + .. + vnxn = 0 hay (V)t(X) = 0. Một siêu phẳng W thuộc chùm xác định bởi U và V khi và chỉ khi phương trình của W có thể viết dưới dạng 14

k

+l

=0, ha

(X) = 0,

trong đó k, l không đồng thời bằng 0. Chứng minh. Xét phương trình (ku0x0 + .. + kunxn) + (lv0x0 + .. + lvnxn ) = 0 (ku0 + lv0)x0 + (ku1 + lv1)x1 + .. + (kun + lvn)xn = 0. (1) Trong (1) phải có ít nhất một hệ số kui + lvi ≠ 0. Vì nếu kui + lvi = 0, i = thì U V. Vậy phương trình (1) là phương trình của một siêu phẳng nào đó, gọi là W. Rõ ràng siêu phẳng W được xác định bởi phương trình (1) đi qua (n – 2) – phẳng có phương trình . Vậy W là một siêu phẳng thuộc chùm. Ngược lại, gọi W là một siêu phẳng bất kỳ thuộc chùm thì W đi qua (n – 2) – phẳng có phương trình . Với k, l không đồng thời bằng không, ta có hay

= 0, vậy W có phương trình được viết dưới dạng (1).

Định lí 1.6.2 Cho 4 siêu phẳng U, V, W, Z cùng thuộc một chùm, trong đó U, V, W, Z đôi một phân biệt. Nếu d là một đường thẳng không đi qua giá của chùm và cắt U, V, W, Z lần lượt tại A, B, C, D thì [A, B, C, D] không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d. Chứng minh. Giả sử với một mục tiêu xạ ảnh đã chọn, các siêu phẳng U, V, W, Z có phương trình (U)t(X) = 0, (V)t(X) = 0, (W)t(X) = 0, (Z)t(X) = 0. Vì chùm siêu phẳng đã cho là hoàn toàn xác định bởi phương trình của U và V nên

Ký hiệu (A), (B), (C), (D) là các ma trận cột tọa độ của A, B, C, D. Vì A U, B V nên (U)t(A) = 0 và (V)t(B) = 0. Và do U, V phân biệt nên (U)t(B) 0 và (V)t(A) 0. Vì C d nên (C) = k1(A) + l1(B) và C W nên (W)t(C) = 0, hay (p1(U) + q1(V))t (k1(A) + l1(B)) = 0 (p1(U)t + q1(V)t)(k1(A) + l1(B)) = 0 p1k1(U)t(A) + p1l1(U)t(B) + q1k1(U)t(A) + q1l1(U)t(B) = 0, 15

hay p1l1(U)t(B) + q1k1(U)t(A) = 0. (3) Từ (3), ta có thể chọn k1 = p1(U)t(B), l1 = - q1(U)t(A). Tương tự, ta có (D) = k2(A) + l2(B) trong đó k2 = p2(U)t(B), l2 = - q2(U)t(A). Ta có [A, B, C, D] =

:

=

:

:

Kết quả này cho thấy [A, B, C, D] không phụ thuộc vào vị trí của d. Định nghĩa 1.6.2 Người ta gọi tỉ số kép [A, B, C, D] nói trong định lý trên là tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng U, V, W, Z và kí hiệu là [U, V, W, Z]. Định nghĩa 1.6.3 Trong không gian xạ ảnh P2, một tập hợp gồm bốn đường thẳng phân biệt, trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy được gọi là hình bốn cạnh toàn phần. Mỗi đường thẳng gọi là một cạnh (có bốn cạnh). Giao điểm của hai cạnh gọi là một đỉnh (có 6 đỉnh). Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là cặp đỉnh đối diện (có 3 cặp đỉnh đối diện). Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo (có 3 đường chéo). Giao điểm của hai đường chéo gọi là điểm chéo (có 3 điểm chéo). Định lý 1.6.3Trong một hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo cùng đi qua một điểm chéo chia điều hòaI cặp đường nối điểm chéo đó với hai đỉnh đối diện nằm trên đường chéo thứ ba.

P K R V

a J

d b

m U

S

Q c

16

Chứng minh. Cho hình bốn cạnh toàn phần a, b, c, d. Các đỉnh của nó là P = a b, Q = c d, R = a d, S = b d, U = a c, V = b d. Các điểm chéo là I = SR PQ, J = SR UV, K = UV PQ. Xét hai đường chéo cùng đi qua điểm chéo I là IS và IQ. Khi đó cặp đường thẳng đi qua I và cặp đỉnh đối diện nằm trên đường chéo thứ ba là IU và IV. Ta phải chứng minh [IS, IQ, IU, IV] = - 1. Đây là một chùm đường thẳng với giá là điểm I. Đường thẳng m không đi qua I, cắt bốn đường thẳng đó lần lượt tại J, K, U, V. Theo định lý 1.5.1 ta có [U, V, J, K] = - 1 = [J, K, U, V] = [IS, IQ, IU, IV]. ( Định lí được chứng minh ) 1.7 Nguyên tắc đối ngẫu trong không gian xạ ảnh Pn 1.7.1 Phép đối xạ trong Pn Kí hiệu là tập tất cả các phẳng của Pn có số chiều nhỏ hơn n. Như vậy, mỗi phần tử của là một m-phẳng với 0 ≤ m < n. Với một mục tiêu đã chọn, ánh xạ π: được xác định như sau: + Nếu M là một điểm thuộc , M = (m0: m1: .. : mn) thì π(M) là siêu phẳng có tọa độ π(M) = (m0: m1: .. : mn). + Nếu U là một cái phẳng thuộc thì π (U) = 1.7.2 Các tính chất của phép đối xạ Tính chất 1 Phép đối xạ biến 0 – phẳng thành một siêu phẳng (theo định nghĩa của phép đối xạ). Tính chất 2 Phép đối xạ biến m điểm độc lập thành m siêu phẳng độc lập, biến m điểm không độc lập thành m siêu phẳng không độc lập. Thật vậy, giả sử cho hệ m điểm A0, A1, .., An độc lập, khi đó hạng ma trận các tọa độ của các điểm Ai bằng hạng ma trận các tọa độ của m siêu phẳng π(A) i=1, .., m và bằng m. Từ đó suy ra tính chất đã nêu. 17

Tính chất 3 Phép đối xạ biến m – phẳng thành (n – m – 1) – phẳng. Thật vậy, lấy (m+1) điểm độc lập A0,A1, .., Am của m – phẳng U, khi đó (π (A0), .., π (An)) là hệ (m+1) siêu phẳng độc lập, do đó Đặt

) = V, ta chứng minh V = π(U). Vì {

) là một (n – m – 1) – phẳng. )}

nên

hay π(U)  V. Ngược lại, ta có V  (U) , X U suy ra hệ điểm A0, A1, .., Am, X không độc lập, suy ra hệ siêu phẳng π(A0), π(A1), .., π(Am), π(X) không độc lập suy ra V  π(X), X U suy ra V hay V  π(U). 

Tính chất 4 Nếu U, V là hai cái phẳng và U  V thì π(V)  π(U). Thật vậy, vì (U)= (X), (V)= (X) và U  V nên π(V)  π(U). 1.7.3 Nguyên tắc đối ngẫu Hai cái phẳng U và V trong không gian xạ ảnh Pn gọi là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia: tức là U  V hoặc V  U. Khi đó ta nói U thuộc V, hoặc V thuộc U. Chẳng hạn: nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì ta nói: điểm A thuộc đường thẳng a, hoặc nói: đường thẳng a thuộc điểm A. Như vậy, từ “thuộc” đồng nghĩa với một trong các từ: “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”. Với cách hiểu như vậy, ta có thể nói rằng: phép đối xạ giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa các phẳng, có nghĩa là nếu U thuộc V thì π(U) thuộc π(V). Bây giờ giả sử m là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh Pn, nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng. Nếu trong mệnh đề đó các từ “r - phẳng ” được thay bằng các từ “(n – r – 1) – phẳng”, các từ khác giữ nguyên thì ta được mệnh đề mới M*, gọi là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M. Cố nhiên, mệnh đề M đối ngẫu của mệnh đề M*, bởi vậy ta nói M và M* là cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau. Từ tính chất của phép đối xạ, ta có kết quả sau đây gọi là nguyên tắc đối ngẫu: “Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai”. Để làm ví dụ, ta hãy xét mệnh đề sau trong Pn: “Có một và chỉ một đường thẳng đi quahai điểm phân biệt cho trước”. Ta phát biểu lại dưới dạng: “Có một và chỉ một 1 – phẳngthuộc hai điểm cho trước”. Khi đó mệnh đề đối ngẫu của nó sẽ là: “Có một và chỉ một (n – 2) – phẳng thuộc hai siêu phẳng phân biệt cho trước”, hay phát biểu cách khác: “Hai siêu phẳng phân biệt luôn cắt nhau theo một (n – 2) – phẳng duy nhất”. Cặp mệnh đề đối ngẫu trên đây đều đúng. Ta lưu ý đến cách thành lập mệnh đề đối ngẫu trong P2 và P3. 18

Trong P2, để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các từ “điểm” bởi các từ “đường thẳng” và ngược lại, còn các từ khác giữ nguyên. Trong P3, để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M, ta thay trong M các từ “điểm” bởi các từ “mặt phẳng” và ngược lại, còn các từ khác giữ nguyên. 1.7.4 Khái niệm đối ngẫu Một khái niệm cũng có khái niệm đối ngẫu nếu trong định nghĩa của nó, ta thay từ “r – phẳng” bởi từ “(n – r – 1) – phẳng”. Ví dụ: a. Khái niệm r điểm độc lập trong Pn, được định nghĩa là “r điểm không cùng thuộc một (r – 2 ) – phẳng” có khái niệm đối ngẫu là: “r siêu phẳng không cùng thuộc một (n – r + 1) – phẳng”. Đó chính là khái niệm r siêu phẳng độc lập. b. Trong P2hình bốn đỉnh toàn phần và hình bốn cạnh toàn phần là cặp khái niệm đối ngẫu. c. Trong Pn, khái niệm chùm siêu phẳng (tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một (n – 2) – phẳng) có khái niệm đối ngẫu là: tập hợp các điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta gọi chúng là một hàng điểm. d. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, có tỉ số kép [A, B, C, D] = k. Qua phép đối xạ, các siêu phẳng π(A), π(B), π(C),π(D) thuộc một chùm và từ định nghĩa tỉ số kép của hàng 4 điểm và chùm 4 siêu phẳng ta suy ra: [A, B, C, D] = [π(A), π(B), π(C),π(D)]. Bởi vậy, ta nói rằng: khái niệm tỉ số kép của của hàng 4 điểm và tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng là khái niệm đối ngẫu. e. Khái niệm hàng điểm điều hòa và chùm siêu phẳng điều hòa là cặp khái niệm đối ngẫu. 1.8 Mô hình xạ ảnh của không gian afin 1.8.1 Xây dựng mô hình Giả sử là – không gian xạ ảnh với không gian vectơ liên kết là . Gọi W là một siêu phẳng trong . Đặt = \ W. Ta xây dựng thành một - không gian afin, cách làm trên được gọi là xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin. Lấy một mục tiêu xạ ảnh {S0, .., Sn, E} (I) sao cho W = < S1, S2, .., Sn>. Khi đó, phương trình của W trong mục tiêu (I) là x 0 = 0. Giả sử X ta có X , X W, X = (x0: x1: .. : xn) trong mục tiêu (I) thì x0

0. Đặt

ta được bộ sắp thứ tự

, bộ sắp thứ tự này được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X và ký hiệu là X = Rõ ràng ánh xạ 19

X là

một

song

ánh.

Từ

đó

X,

Y

đặt véctơ là một véctơ của (vì là một – không gian n véc tơ n chiều). Vì vậy, lập được ánh xạ : n n thỏa mãn hai tiên đề của không gian afin, do đó n trở thành một không gian afin n chiều liên kết với không gian véc tơ n. 1.8.2 Mục tiêu trong mô hình Vẫn xét mục tiêu xạ ảnh trong Pn như trên. Gọi Ei là giao điểm của đường thẳng và siêu phẳng qua mọi đỉnh của mục tiêu trừ đỉnh S i, i = 1, 2, …, n thì dễ thấy tọa độ không thuần nhất của các điểm đó là: E1 = ( 1, 0 , …, 0), E2 = ( 0, 1,…: 0), …, En = ( 0, 0,…, 1), S0 = ( 0, 0,…, 0). Bởi vậy, nếu ta đặt = thì ta được mục tiêu afin ( S0, , , …, (S0, ), và gọi là mục tiêu afin sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh (Si, E). Nếu điểm X có tọa độ không thuần nhất X = ( X1, X2,…, Xn) thì

), viết tắt là

= X1 + X2 + …+ Xn , nên ( X1, X2,…, Xn) chính là tọa độ afin của X đối với mục tiêu afin (S0, ). 1.8.3 Các phẳng trong mô hình Ta biết: nếu cho không gian xạ ảnh Pn và cho một siêu phẳng W thì có không gian afin n = Pn\W. Ta sẽ chứng minh: Nếu m – phẳng xạ ảnh U của Pn không nằm hoàn toàn trên siêu phẳng W thì tập U’ = U\ W là một m – phẳng afin trong không gian afin n. Thật vậy, chọn mục tiêu { Si, E}(I) sao cho W đi qua mọi đỉnh của mục tiêu (I), trừ đỉnh S0, khi đó, phương trình của W trong mục tiêu (I) là x0 = 0 và giả sử m – phẳng U có phương trình trong mục tiêu (I) là: = 0, i = 1, 2, …, n-m, (1) trong đó, ma trận (uij) i = 1, 2,…, n-m, j = 0, 1,…, n có hạng bằng n-m. Vì U không nằm trên siêu phẳng W, thì khi thêm vào hệ phương trình (1) một phương trình thứ n-m+1 là x0 = 0 (phương trình của W) ta được hệ n-m+1 phương trình mà ma trận các hệ số có hạng bằng n-m+1. Từ đó, suy ra ma trận (uij) i = 1, 2,…, n-m, j = 0, 1,…, n có hạng bằng n-m. Bây giờ, nếu đặt U’ = U\W thì mỗi điểm X thuộc U’ có tọa độ X = (x0: x1:…: xn) thỏa mãn n-m phương trình trên, đồng thời x0 0. Từ đó, suy ra tọa độ afin ( X1, X2,…, Xn) của X thỏa mãn hệ phương trình: 20

+ ui0 = 0, i = 1, 2, …, n-m. (2) Trong đó, ma trận các hệ số có hạng bằng n-m. Nói một cách khác là ta chia tất cả các phương trình của hệ (1) cho x0 để có hệ (2). Điểm X thuộc U’ khi và chỉ khi tọa độ không thuần nhất của nó thỏa mãn hệ (2). Mặt khác, hệ (2) là phương trình tổng quát của một m – phẳng trong không gian afin n. Vậy U’ = U\W là một m – phẳng afin trong không gian afin n. 1.8.4 Thể hiện sự song song của các phẳng trong mô hình Cho r – phẳng xạ ảnh U và s – phẳng xạ ảnh V trong không gian xạ ảnh Pn, không nằm trên siêu phẳng W, với r s. Khi đó U W và V W là các phẳng xạ ảnh có số chiều lần lượt là r-1 và s-1. Ta chứng minh rằng: Nếu U W V W thì r – phẳng afin U’ = U\W song song với s – phẳng afin V’ = V\ W. Bằng cách chọn mục tiêu xạ ảnh như trên, giả sử r – phẳng U có phương trình: = 0, i = 1, 2, …, n-r. Giao U

W có phương trình: (3)

Vì U không nằm trên W nên ma trận (uij) i = 1, 2,…, n-r, j = 0, 1,…, n có hạng bằng n-r. Tương tự, nếu s – phẳng V có phương trình: = 0, i = 1, 2, …, n-s. thì giao V

W có phương trình: (4)

trong đó, ma trận (vij) i = 1, 2,…, n-s, j = 0, 1,…, n có hạng bằng n-s. Theo kết quả phần trên,phương trình của r – phẳng afin U’ = U\W trong mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh là : + ui0 = 0, i = 1, 2, …, n – r, (5) còn phương trình của V’ là: + vi0 = 0, i = 1, 2, …, n - s. (6) Từ điều kiện U W V W suy ra mọi nghiệm của hệ (3) là nghiệm của hệ (4), hay không gian chỉ phương của r – phẳng afin U’ là không gian véc tơ con của không gian chỉ phương của s – phẳng afin V’ , tức là U’ song song với V’.

21

Có thể minh họa cụ thể hơn kết quả trên như sau: xét trường hợpU và V là hai đường thẳng a và b trong Pn, không nằm trên W và cắt nhau tại một điểm M thuộc W, thì khi bỏ đi điểm M ta còn lại hai đường thẳng afin a’ và b’ song song. Vì lẽ đó, điểm M tuy không thuộc đường thẳng afin a’ và b’, ta vẫn gọi nó là “điểm vô tận” của a’ và b’. Như vậy, hai đường thẳng afin là song song khi chúng là hai đường thẳng xạ ảnh có chung điểm vô tận. Nếu điểm vô tận M có tọa độ xạ ảnh M = (0 : m1: m2:…: mn) thì các đường thẳng afin đi qua M có cùng véc tơ chỉ phương là = (m1, m2,…, mn). Như vậy, có thể nói mỗi điểm vô tận xác định ra một phương của các đường thẳng song song. Siêu phẳng xạ ảnh W được gọi là “ siêu phẳng vô tận” của không gian afin. Mỗi m – phẳng xạ ảnh nằm trên W cũng gọi là “m – phẳng vô tận”. 1.8.5 Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn Trong Pn cho bốn điểm thẳng hàng, phân biệt A, B, C, D. Chọn một mục tiêu xạ ảnh (khi xây dựng mô hình) sao cho tọa độ của A và B là A = (1: a 1: a2: … : an ), B = (1: b1: b2: … : bn ). Giả sử [A, B, C, D] =

: .

Tức là Khi đó, tọa độ của C và D là: C = (k1 + l1: k1a1+ l1b1: k1a2+ l1b2: … : k1an+ l1bn), D = (k2 + l2: k2a1+ l2b1: k2a2+ l2b2: … : k2an+ l2bn). Bây giờ ta hãy tìm tọa độ afin của các điểm A, B, C, D đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh nói trên. Vì A và B có tọa độ xạ ảnh là A = (1: a 1: a2: … : an ), B = (1: b1: b2: … : bn ), suy ra A và B có tọa độ không thuần nhất làA = (a1, a2, … , an ), B = (b1, b2, … , bn ), C và D có tọa độ không thuần nhất làC = (c1, c2, … , cn ), D = (d1, d2, … , dn ). trong đó: ci =

; di =

, với i = 1, 2, …, n.

Từ đó ta có: ai – ci = ai –

=

,bi – ci = bi –

=

.

Theo định nghĩa tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng trong không gian afin, ta có: (A, B, C) = 22

.

Tương tự ta có: (A, B, D) = Vì vậy: [A, B, C, D] = (A, B, C) : (A, B, D). Như vậy, trong không gian afin có thể định nghĩa tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D là tích của hai tỉ số đơn (A, B, C) và (A, B, D). Đặc biệt, nếu ta lấy bốn điểm A, B, C, D trong đó D nằm trên W ( nói cách khác D là điểm vô tận của đường thẳng đi qua A, B, C thì k2 + l2 = 0, nên: [A, B, C, D] =

= (A, B, C).

Bởi vậy, ta có thể nói: Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng A, B, C là tỉ số kép của ba điểm đó và điểm vô tận của đường thẳng đi qua chúng. Nếu tỉ số đơn đó bằng – 1, tức là khi C là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có thể nói: Trung điểm của đoạn AB là điểm cùng với điểm vô tận của đường thẳng AB chia điều hòa cặp điểm A, B. 1.8.6 Áp dụng Sau khi đã bỏ đi một siêu phẳng W nào đó của không gian xạ ảnh P2 ta được không gian afinAn. Khi đó, một sự kiện hình học nào đó trong P2sẽ trở thành một sự kiện trong An.Bằng cách đó, từ một định lí của hình học xạ ảnh ta có thể suy ra một số định lí của hình học afin. Để minh họa, ta xét định lí Papuýt trong P2: “Trong P2 cho sáu điểm phân biệt A0, B0, C0, A1, B1, C1, trong đó A0, B0, C0 thẳng hàng và A1, B1, C1thẳng hàng. Khi đó ba C0 giao điểm A2 = B0C1 B1C0, B2 = C0A1 C1A0, C2 = A0B1 A1B0cũng thẳng hàng” B0 A2

A0 B2

C2

O

A1

B1

23

C1

a. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng A0B0 và A1B1. Chọn đường thẳng đi qua hai điểm C0, C1 làm đường thẳng vô tận W, và xét mặt phẳng afinA2 = P2 \ W. khi đó, các hình bốn đỉnh OA0B2 A1 và OB0 A2B1 trở nên những hình bình hành do có những cạnh đối song song. Vậy ta có định lí sau đây trong mặt phẳng afin: “Cho hai hình bình hành OA0B2 A1và OB0 A2B1, trong đó O, A0, B0 thẳng hàng và O, A1, B1thẳng hàng. Khi đó ba điểm A2, B2 và C2 = A0B1 A1B0thẳng hàng”. A2

B0

A0 B2 B1 A1

O

b. Chọn đường thẳng đi qua hai điểm A0, B0, C0 làm đường thẳng vô tận W, ta có định lí sau trên mặt phẳng afin: “Cho ba điểm A1, B1, C1thẳng hàng, gọi A2, B2, C2 là những điểm sao cho A1C2 // C1A2, A1B2 // B1A2, B1C2 // C1B2. Khi đó, ba điểm A2, B2, C2thẳng hàng”. A2

B2 C2

A1

B1

C1

24

Ta chú ý rằng, nếu định lí (a) và (b) đã được chứng minh (bằng kiến thức của hình học afin) thì định lí Papuýt cũng được chứng minh. Điều đó có nghĩa là: Từ một định lí của hình học afin ta cũng suy ra được một định lí của hình học xạ ảnh. Để làm ví dụ ta xét định lí sau trong mặt phẳng afin: “Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy”. Giả sử AA’, BB’, CC’ là các đương trung tuyến của tam giác ABC. Nếu gọi A1, B1, C1 lần lượt là điểm vô tận của các đường thẳng BC, CA, AB thì [B, C, A’, A 1] = [C, A, B’, B1] = [A, B, C’, C1] = 1. Nhưng trong mặt phẳng xạ ảnh điểm vô tận bình đẳng như những điểm khác. Bởi vậy ta có định lí xạ ảnh sau đây: “Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và một đường thẳng d không đi qua chúng, cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Gọi A’, B’, C’ là các điểm sao cho: [B, C, A’, A1] = [C, A, B’, B1] = [A, B, C’, C1] = -1. Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy”. Chú ý rằng, định lí đó là một trường hợp của định lí Xêva. 1.9 Các phần tử ảo trong không gian ánh xạ thực 1.9.1 Các phần tử thực trong không gian ánh xạ phức Ta hãy xét một không gian xạ ảnh n chiều trên trường số phức , nó thường gọi là không gian xạ ảnh phức n chiều. Gọi là một mục tiêu xạ ảnh cố định của Định nghĩa 1.9.1 Điểm X được gọi là điểm thực của nếu nó có một toạ độ gồm bộ n + 1 số thực. Điểm X gọi là điểm ảo nếu nó không phải là điểm thực. Một m – phẳng của gọi là m – phẳng thực nếu nó có phương trình mà hệ số là những số thực. Một m – phẳng gọi là ảo nếu nó không thực. Ví dụ. Các đỉnh và điểm E của mục tiêu là các điểm thực. Điểm (i : -2i : 3i) trong là điểm thực (ở đây i kí hiệu cho đơn vị ảo: ) vì có thể lấy toạ độ của nó là (1 : -2 : 3). Điểm (1 : i : 0) là điểm ảo. Trong đường thẳng có phương trình:

là đường thẳng thực, vì dễ thấy hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình:

25

Còn đường thẳng có phương trình: là đường thẳng ảo. Chú ý rằng, định nghĩa trên phụ thuộc vào việc chọn mục tiêu. Nếu ta thay đổi mục tiêu thì một điểm thực có thể trở thành điểm ảo và ngược lại. Cũng chú ý rằng, trên các m – phẳng thực có những điểm ảo và trên các m – phẳng ảo cũng có thể có các điểm thực. 1.9.2 Các phần tử liên hợp trong Với mỗi số phức

, ta kí hiệu số phức liên hợp của nó là

Hai điểm X và X’ của gọi là liên hợp với nhau nếu chúng có các toạ độ tương ứng liên hợp với nhau. Hiển nhiên, mỗi điểm thực đều liên hợp với chính nó. Hai m – phẳng của gọi là liên hợp với nhau nếu chúng có hai phương trình có các hệ số tương ứng liên hợp với nhau. Định lí 1.9.1 Nếu m – phẳng U đi qua m + 1 điểm độc lập của , trong đó các điểm hoặc là thực, hoặc đôi một liên hợp với nhau thì U là m – phẳng thực. Chứng minh. Giả sử m – phẳng U đi qua m + 1 điểm độc lập . Nếu trong đó có hai điểm liên hợp là

và

thì ta thay chúng bởi hai điểm . Khi đó hiển nhiên

và thực nằm trên đường thẳng

. Còn nếu

có toạ độ:

và và

là những điểm

là điểm thực thì ta kí hiệu nó là

. Như vậy

ta được m + 1 điểm thực . Chúng độc lập vì nếu không thì ta sẽ có (m + 1) – phẳng đi qua chúng và do đó đi qua m + 1 điểm không độc lập. Vì m – phẳng U đi qua m + 1 điểm thực

nên U là m – phẳng thực.

Trường hợp riêng: Đường thẳng đi qua hai điểm thực hoặc hai điểm ảo liên hợp là đường thẳng thực. Chứng minh tương tự ta có kết quả sau: Định lí 1.9.2Nếu m – phẳng U là giao của n – m siêu phẳng, trong đó các siêu phẳng hoặc là thực hoặc đôi một ảo liên hợp, thì U là m – phẳng thực. Trường hợp riêng: Giao của hai siêu phẳng ảo liên hợp là một (n – 2) – phẳng thực.

26

Chƣơng 2. Ánh xạ xạ ảnh và phép biến đổi xạ ảnh 2.1. Định ánh xạ xạ ảnh 2.1.1. Định nghĩa. 2.1.2. Một số tính chất. 2.1.3. Sự xác định của một ánh xạ xạ ảnh. 2.1.4. Biểu thức toạ độ của phép biến đổi xạ ảnh. 2.1.5. Liên hệ giữa phép biển đổi xạ ảnh và phép biến đổi afin. 2.2. Các phép thấu xạ trong Pn 2.2.1. Định nghĩa. 2.2.2. Biểu thức toạ độ của phép thấu xạ. 2.2.3. Tính chất của phép thấu xạ. 2.2.4. Phép thấu xạ đơn. 2.2.5. Phép thấu xạ trong P2 và P3. 2.2.6. Các phép biến đổi afin sinh ra bởi các phép thấu xạ. 2.3. Các định lý cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh

CHƢƠNG II ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH A. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU

I. Mục tiêu bài giảng 1. Kiến thức: Cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản nhất về ánh xạ xạ ảnh, phép biến đổi xạ ảnh, biểu thức tọa độ, các phép thấu xạ trong Pn, các định lí cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh, mối liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin. 2. Kỹ năng: - Người học nắm được hệ thống kiến thức trình bày trong chương. - Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải bài tập và các bài toán có liên quan trực tiếp đến kiến thức của chương. 3. Thái độ: Người học chủ động, tích cực tiếp thu, tiếp cận hệ thống kiến thức. II. Công tác chuẩn bị 27

1. Ngƣời dạy: Cung cấp cho người học đầy đủ tài liệu môn học theo quy định. 2. Ngƣời học: Có đầy đủ các tài liệu của môn học theo quy định, đọc tài liệu và chuẩn bị bài tập trước mỗi tiết học.

B. NỘI DUNG

2.1 Ánh xạ xạ ảnh Định nghĩa 2.1.1Cho các K – không gian xạ ảnh (P, p, V) và (P’, p’, V’). Một ánh xạ f : P  P’ được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính : V  V’, sao cho, nếu vectơ

V là đại diện của điểm X P thì vectơ ( )

f(X) P’ (nói cách khác, nếu p

X thì p’

tuyến tính  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f. 2.1.1. Tính chất

28

V’ là đại diện cho điểm X ).Khi đó ta nói ánh xạ

Cho ánh xạ xạ ảnh f : P  P’, có đại diện là ánh xạ tuyến tính  : V  V’. Khi đó: a. Ánh xạ tuyến tính  là đơn cấu. Thật vậy, nếu vectơ của điểm X P thì vectơ ( ) đại diện cho điểm f(X) nên ( ) nghĩa là ker =

V

là đại diện

V’

. Điều đó có

và do đó  là đơn cấu.

b. Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh. Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P mà f(A) = f(B), Khi đó, nếu gọi

và

là các vectơ đại diện của A và B thì

Vì 

cũng là đại diện cho một điểm f(A) = f(B) nên đơn cấu nên suy ra =

và

, tức là A và B trùng nhau.

c. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ). Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m – phẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và của chùm bốn siêu phẳng. d. Mỗi đơn cấu tuyến tính  : V  V’ là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy nhất f : P  P’. Hai đơn cấu tuyến tính  : V  V’ và ’ : V  V’ cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P  P’ khi và chỉ khi có số

K

sao cho  = k’.

Thật vậy, nếu đã cho đơn cấu tuyến tính  : V  V’ thì ánh xạ xạ ảnh f : P  P’ được hoàn toàn xác định bởi: Nếu M P có đại diện là vectơ

V thì f(M) có đại

diện là ( ). Nếu ’ : V  V’ cũng là đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f thì với mọi vectơ V, các vectơ ( ) và’( ) cũng đại diện cho một điểm P’ nên ( ) = kx’( ). Do  và ’ đều là đơn cấu tuyến tính nên suy ra kx không phụ thuộc vào . Định lí 2.1.1( về sự xác định ánh xạ xạ ảnh) Cho hai K – không gian xạ ảnhPvàP’ có số chiều lần lượt là n và m (n m). TrongPcho mục tiêu xạ ảnh và trongP’cho n + 2 điểm phụ thuộc , sao cho bất kì n + 1 điểm trong số đó đều độc lập. Khi đó, có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f : P  P’sao cho f

và f(E) = E’.

Chứng minh. Gọi Vn+1 và vm+1 là các không gian vectơ lần lượt liên kết với P và P’. Trong Vn+1 lấy cơ sở là cơ sở đại diện của mục tiêu (I). Trong 29

Vm+1 lấy n + 1 vectơ

độc lập tuyến tính sao cho

là đại diện cho

và

+ là véc tơ đại diện cho E’.Khi đó, theo Định lí về sự xác định ánh xạ tuyến tính, có duy nhất một ánh xạ tuyến tính:  : Vn+1 Vm+1 sao cho  Vì  biến cơ sở thành hệ véc tơ độc lập tuyến tính nên  là đơn cấu. Lập ánh xạ f : P  P’ như sau: với mỗi điểm X Vn+1, gọi cho tương ứng với X’ ( ) =

+

, tức f(X)=X’ mà

là véc tơ

đại diện của điểm X,

Vm+1 có véc tơ

đại diện là

là véc tơ đại diện của điểm X

thì ( ) là véc tơ đại diện của điểm f(X). Theo định nghĩa 2.1.1 thì f là ánh xạ xạ ảnh có ánh xạ đại diện là . Tính duy nhất của f được suy ra từ tính duy nhất của . Do 

và f(E) = E’. Định lí được

nên ta có f

chứng minh. 2.1.4 Đẳng cấu xạ ảnh. Hình học xạ ảnh Dễ thấy rằng ánh xạ xạ ảnh f: P là một song ánh khi và chỉ khi P và có cùng số chiều. Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, hai không gian P và được gọi là đẳng cấu. Rõ ràng là ánh xạ tuyến tính đại diện cho đẳng cấu xạ ảnh là phép đẳng cấu tuyến tính. Một đẳng cấu xạ ảnh f: P của không gian xạ ảnh P lên chính nó được gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh) của P. Dễ thấy rằng, tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của P làm thành một nhóm, nó được gọi là nhóm xạ ảnh của không gian xạ ảnh P. Nhóm xạ ảnh của P đẳng cấu với nhóm thương GL(V) /{kIdv|k 0}, trong đó V không gian vectơ liên kết với P. Từ định lí về sự xác định ánh xạ xạ ảnh ta suy ra: Hệ quả 2.1.1Nếu trong không gian xạ ảnhPncho hai mục tiêu xạ ảnh {Si; E} và { ; }, thì có duy nhất phép biến đổi xạ ảnh f củaPn, sao cho f(Si)=

(i= 0, 1, …, n) và

f(E) = . Mỗi tập con H của Pn được gọi là một hình. Hình H được gọi là tương đương xạ ảnh với hình nếu có một phép biển đổi xạ ảnh f biến H thành . Quan hệ tương đương xạ ảnh của các hình là một quan hệ tương đương. Một tính chất của hình H được gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh) nếu mọi hình tương đương với H đều có tính chất đó. Như vậy, hai hình tương đương xạ ảnh đều có các tính chất xạ ảnh giống nhau. 30

Tập hợp các tính chất xạ ảnh của các hình của Pn gọi là hình học xạ ảnh trên Pn. 2.1.5 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh Cho f: Pn Pn là phép biến đổi xạ ảnh của K – không gian xạ ảnh Pn, liên kết với không gian vectơ Vn+1. Chọn mục tiêu xạ ảnh {Si; E} (I). Với mỗi điểm X bất kì, gọi (x0: x1: …: xn) là tọa độ của nó và ( ) là tọa độ của = f(X) trong mục tiêu (I). Ta hãy tìm sự liên kết giữa xi và . Gọi ( ) (1) là cơ sở đại diện cho mục tiêu {Si; E} trong Vn+1 và biến đổi tuyến tính : Vn+1 Vn+1 là ánh xạ đại diện cho biến đổi xạ ảnh f. Giả sử đối với cơ sở đó, có biếu thức =

, i = 0, 1, 2, …, n,

trong đó, ma trận A = ( ) có hạng bằng n + 1, tức là detA

0. Ma trận A là ma trận

của

trong cơ sở (1). Để ý đến mối quan hệ giữa tọa độ xạ ảnh của một điểm với tọa độ của vectơ đại diện của nó, ta suy ra biểu thức liên hệ giữa tọa độ của X và là: =

, i = 0, 1, 2, …, n; k

0.

(2.1)

(2.1) được gọi là biểu thức tọa độ của f trong mục tiêu (I), trong đó, ma trận A = ( ) i, j = 0, 1, 2, …, n có hạng bằng n + 1 (tức là có định thức khác 0), nó được gọi là ma trận của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục tiêu {Si; E}. Các cột của A là các cột tọa độ của f(Si), nhưng phải chọn sao cho: (

) là tọa độ của điểm f(E).

Biểu thức (2.1) có thể viết dưới dạng ma trận: k. = A(X), trong đó (X) và là ma trận cột của điểm và X. Ví dụ. Trong không gian xạ ảnh P2 cho mục tiêu {S0, S1, S2, E} (I) và cho các điểm E0= (0: 1: 1), E1= (1: 0: 1), E2= (1: 1: 0). a. Chứng tỏ rằng, có phép biến đổi xạ ảnh f: P2 P2 lần lượt biến các điểm S0, S1, S2, E thành các điểm E0, E1, E2, S0. b. Tìm ma trận của f đối với mục tiêu đã cho và tìm biểu thức tọa độ của f trong mục tiêu (I). Lời giải. a. Trước hết, ta thấy ba điểm trong bốn điểm bất kì E0, E1, E2, S0 đều độc lập, tức là các định thức dưới đây đều khác 0:

31

Rõ ràng là 4 định thức trên đều khác 0. Vậy tập hợp{ E0, E1, E2, S0 }(II) lập thành một mục tiêu xạ ảnh của P2. Theo Hệ quả 2.1.1, có duy nhất phép biên đổi xạ ảnh f: P2 P2 sao cho f(S0) = E0, f(S1) = E1, f(S2) = E2, f(E) = S0. b. Gọi ( ) (1) là cơ sở đại diện của mục tiêu (I), gọi là ánh xạ đại diện của f. Ta tiến hành tìm ma trận của trong cơ sở (1). Gọi lần lượt là các véc tơ đại diện của E0, E1, E2, từ tọa độ của E0, E1, E2 suy ra , tức là . Vì f(S0) = E0 nên , hay . Tương tự, ta có . . . Ma trận A của trong cơ sở (1), cũng là ma trận của f trong mục tiêu (I) là A= Véc

tơ

+

+

đại

điểm E là , nên là véc tơ đại diện của f(E). Mặt khác, vì f(E) = S0 nên hai véc tơ đại diện của f(E) và S0 sai khác một hằng số k khác 0. Tức là = k.

,

diện

của

.

Từ đó ta có hệ phương trình . Tức là các số a, b, c phải khác 0 và phải chọn sao cho (b + c: a + c: a + b) là tọa độ của S0, tức là phải tỉ lệ với (1: 0: 0). Vậy phải có b = c = -a. Ta có thể chọn a = -1, b = c = 1. Khi đó, ma trận A= và biểu thức tọa độ của f trong mục tiêu (I) là: (k

32

)

2.1.6 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu xạ ảnh {Si; E}, gọi W là siêu phẳng có phương trình x0 = 0. Xét phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn sao cho f(W) = W. Giả sử đối với mục tiêu trên, f có biểu thức tọa độ: , i = 0, 1, 2, …, n; k

= Vì f(W) = W nên nếu x0 = 0 thì

0.

= 0, tức là: = 0.

Với mọi giá trị của . Suy ra: Vậy biểu thức của f bây giờ là:

Chú ý: k

,

0 và ma trận

= ( ), (i, j = 1, 2, …, n) có hạng bằng n.

Gọi An = Pn \ W là không gian afin. Vì f(W) = W nên f(An) = An nên ta có ánh xạ hạn chế: An An. Khi đó bằng cách chuyển từ tọa độ xạ ảnh của một điểm trong An thành tọa độ afin của nó (đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh) ta tìm thấy biểu thức tọa độ của :

trong đó Vì ma trận

với i, j = 1, 2, …, n. = ( ), i, j = 1, 2, …, n có hạng bằng n, nên ma trận

= ( ), i, j =

1, 2, …, n cũng có hạng bằng n. Từ đó, suy ra là phép biến đổi afin của An, ta gọi nó là phép biến đổi afin sinh bởi phép biến đổi xạ ảnh f. Như vậy, ta đã chứng minh rằng, mỗi phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn sinh ra một phép biến đổi afin An An nếu f(W) = W. Ngược lại: mọi phép biến đổi afin đều được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà f(W) = W (ta nói rằng f biến điểm vô tận thành điểm vô tận). Thật vậy, giả sử An An là phép biến đổi afin có biểu thức tọa độ đối với một mục tiêu afin là:

33

Khi đó trong không gian xạ ảnh Pn, với mục tiêu xạ ảnh sinh ra bởi mục tiêu afin nói trên, ta xét phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ:

thì dễ thấy rằng phép biến đổi afin

được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh f.

2.2 Các phép thấu xạ trong Pn Định nghĩa 2.2.1 Trong Pn cho r – phẳng U và (n – r – 1 ) – phẳng V không có điểm chung. Khi đó, cặp (U,V) sẽ gọi là một r – cặp và do đó, (U,V) là một (n – r – 1) – cặp. Cho r – cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn sao cho mọi điểm nằm trên U và V đều bất động. Khi đó, f được gọi là phép thấu xạ r – cặp với cơ sở là r – cặp (U,V). 2.2.1. Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ Cho f là phép thấu xạ r – cặp với cơ sở là r – cặp (U, V). Vì dim U = r nên lấy được hệ (r+1) điểm độc lập S0, S1, ..., Sr. Vì dim V = n-r-1 nên lấy được hệ (n-r) điểm độc lập Sr+1, Sr+2, ..., Sn. Chọn một điểm E không thuộc U và V. Khi đó, ta được một mục tiêu xạ ảnh { S0, S1, ..., Sn; E } (I). Gọi ( , ,..., ) (1) là cơ sở đại diện cho mục tiêu (I), gọi là ánh xạ đại diên của f. Vì f(Si) = Si nên ( ) = ki , ki 0, . Vì f giữ bất động mọi điểm của phẳng U nên ta chọn k0 = k1 = = kr = p, ta có ( ) = p . Tương tự, vì f giữ bất động mọi điểm của V nên f(Sj) = Sj . Chọn tr+1 = tr+2 =

và ( ) = tj , ti

= tn = q, ta có ( ) = q . Ma trận của

0,

trong cơ

sở (1) là:

( có r+1 số p và n- r số q trên đường chéo chính, mọi phàn tử còn lại đều bằng 0 ). Từ đó, suy ra biểu thức tọa độ của f trong mục tiêu (I) là 34

k, p, q

0.

Nếu p = q thì f là phép đồng nhất. Định lí 2.2.1 Cho f: Pn Pnlà một phép thấu xạ. Nếu điểm M không là điểm bất động của f thì đường thẳng nối M và ảnh M’ của nó luôn luôn cắt U và V. Giả sử hai giao điểm đó là A và B thì tỉ số kép không phụ thuộc vào M. Tỉ số kép đó gọi là tỉ số thấu xạ của phép thấu xạ f. Chứng minh. Chọn mục tiêu xạ ảnh { S0, S1, ..., Sn; E } (I), trong đó, S0, S1,…, Sr thuộc U, Sr+1, Sr+2,…, Sn thuộc V, E không nằm trên U và V. Khi đó, phương trình của U trong mục tiêu (I) là xr+1 = = xn = 0. Phương trình của V trong mục tiêu (I) là x0 = x1 = = xr = 0.Giả sử M = ( x0 : … : xr : xr+1 : …: xn). Nếu M không nằm trên U và V thì trong số các x0, … , xr phải có ít nhất một số khác 0 và trong số các xr+1, … , xn phải có ít nhất một số khác 0. Ta có M = ( px0 : … : pxr : qxr+1 : …: qxn). Điểm A nằm trên MM nên A có tọa độ: (A) = k (M) + (M ). Mặt khác, nếu A nằm trên U, tức đường thẳng MM’ cắt U tại Athì tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của U. Tức là: k xj + q xj = 0 phải nghiệm đúng với mọi j = r+1, …, n,trong đó có ít nhất một số xj 0.Lấy l = 1 và k = - q thì k+ q = 0. Vậy đường thẳng MM’ cắt U tại điểm A mà: (A)= - q(M) + (M’). Tương tự, đường thẳng MM’ cắt V tại điểm B mà: (B)= - p(M) + (M’). Từ đó, suy ra: = - p : - q = p: q Tức là không phụ thuộc M. Định nghĩa 2.2.2( Phép thấu xạ đơn ) Phép biến đổi xạ ảnh f:Pn Pnđược gọi là phép thấu xạ đơn nếu có một siêu phẳng V mà mọi điểm của nó đều là điểm bất động. Siêu phẳng V đó được gọi là siêu phẳng cơ sở của phép thấu xạ đơn f. Hiển nhiên, phép đồng nhất là một trường hợp đặc biệt của phép thấu xạ đơn, siêu phẳng bất kỳ nào đều có thể xem là siêu phẳng cơ sở. Định lí 2.2.2 Nếu f là thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy nhất một điểm bất động O sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất động. 35

Chứng minh. Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất và có siêu phẳng cơ sở V. Ta chọn mục tiêu xạ ảnh { Si; E }(I) sao cho các đỉnh S1, S2, …, Sn nằm trên V. Gọi ( , ,..., ) (1) là cơ sở đại diện cho mục tiêu (I), gọi là ánh xạ đại diện của f. Giả sử ( ) = a0 + a1 an . (1) Vì f giữ bất động mọi điểm của V, nên f(Si) = Si , i = 1, 2,…, n, suy ra ( ) = k1 (2) …………………………. ( ) = kn (n+1) và chọn k1 = k2 = . . . = kn = a 0. Kết hợp (1) – (n+1), ta có ma trận của f trong mục tiêu (I) là

A= Từ đó suy ra biểu thức tọa độ của f là

hay

Xét bộ (n+1) số ( a0 – a, a1, …, an ). Ta thấy bộ số này không đồng thời bằng 0, vì nếu không thì f là phép đồng nhất. Bởi vậy có điểm O với tọa độ (a 0 – a : a1 : …:an). Tọa độ của f(O) thỏa mãn phương trình

Chọn k =1, từ phương trình ma trận trên, suy ra

36

……………………………… Tức là tọa độ của O và f(O) sai khác nhau một hằng số khác 0 là a0. Vậy f(O) =O, hay O là điểm bất động của f. Bây giờ, lấy một đường thẳng d bất kì đi qua O, ta phải chứng minh rằng d bất động đối với f, tức là với mọi X thuộc d, thì f(X) cũng thuộc d. Giả sử X = (x 0 : x1: …: xn), thì f(X) = (a0x0 : a1x0+ ax1 :…: anx0 +a xn). Do đó: (f(X)) = (X’) = a(X) + x0(O), tức X’ cũng thuộc d (đpcm). Chú ý. - Nếu tâm thấu xạ O không nằm trên cơ sở thấu xạ W thì phép thấu xạ đơn f chính là phép thấu xạ 0 – cặp với 0 – cặp cơ sở là (O,V). - Nếu O nằm trên V thì f không phải là thấu xạ cặp, ta gọi nó là phép thấu xạ đơn đặc biệt. 2.2.5 Các phép thấu xạ trong Trong , ta có các phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau đây:  Phép thấu xạ 0 – cặp f có cơ sở là 0 – cặp (O, V), trong đó, O là một điểm, còn V là đường thẳng không đi qua O. Khi đó, f được xác định như sau: Với mỗi điểm M không trùng O và không nằm trên V, đường thẳng OM cắt V tại B và nếu M’ = f(M) thì M, M’, O, B thẳng hàng và (tỉ số thấu xạ). O M

B

V

M’

 Phép thấu xạ đơn đặc biệt, có tâm O và có cơ sở là đường thẳng V đi qua O. Nếu ta biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M), thì ảnh N’ = f(N) được xác định bởi các điều kiện: i) C, N, N’ thẳng hàng. ii) Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên V. 37

M

M’

N

N’

b’

O

2.2.6 Các phép thấu xạ trong Trong , ta có các phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau đây: + Phép thấu xạ 0 – cặp f với 0 – cặp cơ sở là (O, V), trong đó O là một điểm, còn V là một mặt phẳng không đi qua O. Khi đó, f được xác định như sau: O M M’ BB

Với mỗi điểm M không trùng O và không nằm trên V, đường thẳng OM cắt V tại B và nếu M’ = f(M) thì M, M’ O, B thẳng hàng và (tỉ số thấu xạ). + Phép thấu xạ đặc biệt, có tâm O và cơ sở là mặt phẳng V đi qua O. (Phép thấu xạ đặc biệt trong P3 được xác định như phép thấu xạ đặc biệt trong P2) M

N

M’

O

+ Thấu xạ 1 – cặp với 1 – cặp cơ sở là (d, d’), trong đó, d và d’ là hai đường thẳng không cắt nhau. Nó còn được gọi là phép thấu xạ song trục với trục là d và d’. Ảnh M’ của điểm M không thuộc d và d’ được xác định bởi các điều kiện: 38

i) Đường thẳng MM’ cắt d và d’ (tại A và B chẳng hạn). ii)

(tỉ số thấu xạ). M’ B

A

M

d’

d

2.2.7 Các phép biến đổi afin sinh ra bởi các phép thấu xạ Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận W của đều sinh ra một phép biến đổi afin trong không gian afin . Sau đây, ta xét một vài trường hợp khi f là phép thấu xạ nào đó. a. Giả sử f là phép thấu xạ 0 – cặp có cơ sở là 0 – cặp (O, V) và tỉ số thấu xạ k. Với mỗi điểm M không phải là điểm bất động, ảnh của nó là điểm M’ sao cho , trong đó B là giao điểm của đường thẳng đi qua O, M, M’ và siêu phẳng V. 

Nếu ta chọn V là siêu phẳng vô tận và xét không gian afin

là điểm vô tận nên ta có tỉ số đơn (M, M’, O) . Vậy f sinh ra trên 

, thì vì B . Như vậy

một phép vị tự f có tâm O và tỉ số vị tự là 1/k.

Nếu ta chọn một siêu phẳng W nào đó đi qua O làm siêu phẳng vô tận, thì vì O

là điểm vô tận nên ta có tỉ số đơn(M, M’, B)

. Ngoài

ra đường thẳng MM’ luôn luôn song song với nhau (phương l của chúng xác định bởi phương của điểm vô tận O). Vậy f sinh ra trên

một phép thấu xạ afin có cơ sở là

V, phương thấu xạl, tỉ số thấu xạ là k. b. Giả sử f là thấu xạ đơn đặc biệt có cơ sở là siêu phẳng Vvà có tâm thấu xạ là điểm O nằm trên V. Như đã biết, nếu lấy hai cặp điểm tương ứng là M, M’ và N, N’ thì hai đường thẳng MM’ và NN’ đều đi qua O và hai đường thẳng MN và M’N’ cắt nhau tại một điểm I nằm trên V. Bởi vậy nếu lấy V là siêu phẳng vô tận thì trong ta có MN // M’N’ và MM’ // NN’ hay MM’ = NN’. Như vậy, f sinh ra trên một phép tịnh tiến. 2.3 Các định lí cơ bản

39

Định lí 2.3.1 Nếu f là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì thì f biến m – phẳng thành m – phẳng. Chứng minh. Giả sử cho m – phẳng U đi qua m+1 điểm độc lập . Gọi f( ), i = 0, 1, 2, …, m. Gọi U’ là cái phẳng bé nhất đi qua các điểm

. Trước

hết ta chứng minh rằng: Nếu điểm M thuộc U thì M’ = f(M) thuộc U’, bằng cách quy nạp theo m. Rõ ràng điều đó đúng khi m = 0 và m = 1. Giả sử nó đúng với m = 1. Nếu M thuộc U và M không trùng với thì , khi đó, nếu I’ = f(I), thì: - Theo giả thiết của f, ba điểm

,M’, I’ thẳng hàng, tức M’ thuộc

I’.

- Theo giả thiết quy nạp thì I’ thuộc cái phẳng bé nhất đi qua

suy ra M’ thuộc U’. Bây giờ ta chứng minh hệ điểm Thật vậy, ta hãy lấy them các điểm . Ta gọi điểm

. Từ đó

nói trên cũng độc lập. để được hệ n+1 điểm độc lập

f( ). Nếu hệ điểm

không độc lập thì hệ n+1

cũng không độc lập, nên theo điều vừa chứng minh trên f(

)

,

trái với giả thiết f là toàn ánh. Như vậy U’ cũng là m – phẳng và f(U)  U’. Nếu lấy M’ thuộc U’ thì do f toàn ánh nên có M để f(M) = M’. Điểm M thuộc U vì nếu không ta có hệ m+2 điểm M độc lập nhưng ảnh của chúng không độc lập. Tóm lại, f biến m – phẳng U thành m – phẳng U’. Định lí 2.3.2 Nếuf là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh. Chứng minh. Lấy mục tiêu xạ ảnh

trong

và gọi

f( ), E’ = f(E) thì theo

định lí 2.3.1,

cũng là mục tiêu xạ ảnh. Gọi g là phép biến đổi xạ ảnh của

biến mục tiêu

thành mục tiêu

và h =

,

f. Khi đó, h là song ánh của

bảo tồn tính thẳng hàng của ba điểm, bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, và giữ bất động các điểm của mục tiêu . Ta chỉ còn phải chứng minh h là phép đồng nhất. Sau đây ta chứng minh điều đó bằng quy nạp theo n. Nếu n = 1, thì nếu M’ = h(M), ta có: , cho nên M = M’. Giả sử điều đó đúng với n-1, ta chứng minh nó đúng với n. Gọi Wi là siêu phẳng đi qua mọi đỉnh của mục tiêu trừ đỉnh S i và Ei là giao điểm của Wi với đường thẳng SiE thì h(Wi) = Wi và h(SiE) = SiE, nên h(Ei) = Ei. Từ đó, theo giả thiết quy nạp ta có:

. Bây giờ giả sử M là một điểm bất kì không 40

nằm trên các Wi. Đường thẳng S0M cắt W0 tại điểm bất động đối với h nên đó là đường thẳng bất động. Tương tự, đường thẳng S1M cũng bất động. Vậy M bất động hay h là phép đồng nhất. Định lí 2.3.3 Cho là không gian xạ ảnh trên trường số thực với n > 1. Nếuf là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì thì nó là phép biến đổi xạ ảnh. Chứng minh. Lấy một siêu phẳng W nào đó của và gọi W’ = f(W). Theo định lí 1, W’ cũng là siêu phẳng. Gọi g là ánh xạ xạ ảnh sao cho g(W’) = W. Khi đó h = gof là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì và h(W) = W. Xét không gian afin và song ánh h’ là hạn chế của h trên Vì song ánh h’ bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm tuỳ ý, nên theo định lí cơ bản của biến đổi afin, ta suy ra h’ là phép biến đổi afin (xem giáo trình “Hình học afin và hình học Ơclit”). Nhưng phép biến đổi afin h’ được sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh duy nhất, và ta dễ thấy rằng phép biến đổi xạ ảnh đó trùng với phép h. Từ đó suy ra f = h cũng là phép biến đổi xạ ảnh.

41

C. BÀI TẬP CHƢƠNG II 1. Cho không gian xạ ảnh ( Pn, p, Vn+1). Các phép vị tự của Vn+1 đại diện cho những phép biển đổi xạ ảnh nào của Pn ? 2. Nếu phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn giữ bất động r+1 điểm độc lập nằm trên một r – phẳng thì nó có giữ bất động mọi điểm của r – phẳng đó không? 3. Trong Pncho r – phẳng U, trên U lấy r +2 điểm trong đó bất kì r +1 điểm nào đều độc lập. Chứng tỏ rằng, nếu r +2 điểm đó đều bất động qua phép biến đổi xạ ảnh của Pn thì mọi điểm của U đều bất động. 4. Trong Pn cho phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ: k.(X’) = A.(X). Tìm tọa độ của: a. Ảnh của siêu phẳng U = ( u0 : u1 : … : un). b. Tạo ảnh của điểm X’ = ( x0’ : x1’ : … : xn’ ). c. Tạo ảnh của siêu phẳng U’= (u0’ : u1’ : … : un’). 5. Trong Pn cho phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ: k.(X’) = A.(X). Gọi ( ) = det(A – In+1) là đa thức đặc trưng của ma trận A ( In+1 là ma trận đơn vị cấp n+1). Chứng minh rằng: a. Tọa độ ( x0 : x1 : … : xn) của điểm bất động là nghiệm của hệ phương trình (A – In+1)x = 0, trong đó là nghiệm của đa thức đặc trưng. b. Tọa độ ( u0 : u1 : … : un) của siêu phẳng bất động là nghiệm của hệ phương trình: (A – In+1)x = 0, trong đó là nghiệm của đa thức đặc trưng. c. Nếu

là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng thì điểm bất động và siêu phẳng

bất động ứng với nghiệm đó không thuộc nhau. 6. Trong P2 cho mục tiêu xạ ảnh { S0, S1, S2; E }. Tìm biểu thức tọa độ của các phép biến đổi xạ ảnh thỏa mãn một trong những điều kiện sau: a. Các điểm Si đều là điểm bất động ( tức là biến thành chính nó ). b. Các điểm S0, S1, S2 lần lượt biến thành S1, S2, S0 và điểm E bất động.

42

c. Điểm S0 bất động, đường thẳng S1S2 bất động( đường thẳng biến thành chính nó) và điểm S1 biến thảnh điểm S2. 7. Trong P3 cho mục tiêu xạ ảnh { S0, S1, S2, S3 ; E }. Tìm biểu thức tọa độ của các phép biến đổi xạ ảnh thỏa mãn một trong những điều kiện sau: a. Các điểm Si đều là điểm bất động. b. Hai đường thẳng S0S1 và S2S3 đều biến thành chính nó. c. Đường thẳng S0S1 biến thành đường thẳng S2S3. d. Chỉ có hai điểm bất động là S0, S2 và chỉ có một đường thẳng bất động là S1S3. ( Chú ý: đường thẳng bất động là đường thẳng biến thành chính nó, tuy nhiên mỗi điểm của nó có thể không bất động). e. Có hai đường thẳng bất động là S0S1 và S2S3, không có điểm bất động và mặt phẳng bất động. f. Các điểm S0, S1 và mọi điểm trên S2S3 đều bất động. g. Các điểm của mặt phẳng

đều bất động và đường thẳng S0S3 bất

động. 8. Trong P3 cho mục tiêu xạ ảnh { S0, S1, S2, S3 ; E }. Viết biểu thức của phép thấu xạ 1 – cặp với cơ sở là cặp đường thẳng S0S1 , S2S3 và có tỉ số k. 9. Trong P2, cho phép biến đổi xạ ảnh f có biểu thức tọa độ là

Chứng tỏ rằng f là một phép thấu xạ cặp. Xác định cơ sở và tỉ số thấu xạ. 10. Trong P3cho mặt phẳng V có phương trình: + x3 = 0. Gọi f là phép thấu xạ đơn có cơ sở V, có tâm thấu xạ (1 : 0 : 0 : 0). Tìm biểu thức tọa độ của f trong các trường hợp sau: a. Tỉ số thấu xạ là k = 3. b. f biến điểm (0 : 1 : 1 : 1) thành điểm (3 : 1 : 1 : 1). Tìm tỉ số thấu xạ. c. f có tính chất đối hợp, nghĩa là f2 là phép đồng nhất.

43

11. Trong P2cho các điểm A = (1 : 1 : 1), B = (0 : 1 : 2), C = (1: 0 : 3), D = (1 : 2 : 0), E = (3 : 0 : 2). Tìm biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f, biết rằng f giữ bất động các điểm A, B, C và biến điểm D thành điểm E. Đó có phải là phép thấu xạ không ? 12. Trong Pnvới mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, …, Sn; E} cho phép thấu xạ đơn f khác phép đồng nhất sao cho mọi đỉnh Si đều bất động. a. Chứng tỏ rằng tâm của thấu xạ f là một trong các đỉnh Si. b. Viết biểu thức tọa độ của f nếu Si là tâm thấu xạ. 13. Nêu các ví dụ về các ánh xạ f: Pn Pn, bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm, nhưng không biến m – phẳng thành m – phẳng. 14. Nêu các ví dụ về các song ánh f: Pn Pn, bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm, nhưng không phải là phép biến đổi xạ ảnh.

44

CHƢƠNG III SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG Pn

Số tiết lí thuyết: 10

Số tiết bài tập: 5

A. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU

I. Mục tiêu bài giảng 1. Kiến thức: Cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản nhất về siêu mặt bậc hai, phương trình của siêu mặt bậc hai và dạng chuẩn tắc của nó trong không gian xạ ảnh n chiều Pn, hệ thống các kiến thức về liên hợp đối với một siêu mặt bậc hai, các định lí cơ bản về đường bậc hai trong P2như: định lí Steiner, định lí Pascal, định lí Brianchon, định lí Mac –Laurin, định lí Frégier,…, mối liên hệ giữa siêu mặt bậc hai trong Pnvà siêu mặt bậc hai trong An. 2. Kỹ năng: - Người học nắm được hệ thống kiến thức trình bày trong chương. - Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải bài tập và các bài toán có liên quan trực tiếp đến kiến thức của chương. 3. Thái độ: Người học chủ động, tích cực tiếp thu, tiếp cận hệ thống kiến thức. II. Công tác chuẩn bị 1. Ngƣời dạy: Cung cấp cho người học đầy đủ tài liệu môn học theo quy định. 2. Ngƣời học: Có đầy đủ các tài liệu của môn học theo quy định, đọc tài liệu và chuẩn bị bài tập trước mỗi tiết học.

45

Chƣơng 3. Siêu mặt bậc hai trong Pn 3.1. Siêu mặt bậc hai và phân loại xạ ảnh của chúng 3.1.1. Các định nghĩa. 3.1.2. Giao của một siêu mặt bậc hai và một m-phẳng. 3.1.3. Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực. 3.1.4. Phân loại xạ ảnh của các đường bậc hai trong P2(R), P3(R). 3.1.5. Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin. 3.2. Điểm liên hợp, phẳng tiếp xúc, siêu diện lớp hai 3.2.1. Điểm liên hợp. 3.2.2. Siêu phẳng đối cực, điểm kì dị. 3.2.3. Siêu phẳng tiếp xúc của một siêu mặt bậc hai. 3.2.4. Siêu phẳng liên hợp đối với một siêu mặt bậc hai không suy biến. 3.2.5. Siêu diện lớp hai. 3.2.6. Định lý Mac - Laurint. 3.3. Ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và chùm đường thẳng trong P2 3.3.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm. 3.3.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng. 3.3.3. Định lý Steiner. 3.3.4. Cách xác định một đường ôvan trong P2(R). 3.4. Định lý Pascal và định lý Brianchon 3.4.1. Hình sáu đỉnh. 3.4.2. Định lý Pascal. 3.4.3. Định lý Brianchon.

CHƢƠNG III SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG Pn

B. NỘI DUNG

46

3.1 Siêu mặt bậc hai và phân loại xạ ảnh của chúng Định nghĩa 3.1.1Chophương trình bậc hai thuần nhất của n+1 biến x0, x1, …, xn trên trường K có dạng: = 0, (1) trong đó, aij K, aij = aji và có ít nhất một aij khác không. Trong không gian xạ ảnh Pn, với mục tiêu {Si; E}(I), tập hợp gồm những điểm X có tọa độ (x0 : x1 : …: xn) trong mục tiêu (I) thỏa mãn phương trình (1) được gọi là một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1), kí hiệu là(S). Nếu (S) một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1) thì phương trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai (S) trong mục tiêu (I). Kí hiệu ma trận A = (aij), i, j = 0, 1, 2,…., n, thì A = (A)t và hạng A 1. Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu đã cho. Nếu det A 0, tức ma trận A không suy biến, thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi là không suy biến, ngược lại nếu det A = 0 thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi là suy biến. Kí hiệu (X) = thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng là: (X)tA(X) = 0. (2) 2 Siêu mặt bậc hai trong P được gọi là đường bậc hai. Siêu mặt bậc hai trong P3 được gọi là mặt bậc hai. Hai siêu mặt bậc hai (S) và (S’) với các ma trận A và A’ tương ứng được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số k K \ {0} sao cho A = k A’. Định lí 3.1.1 Khái niệm siêu mặt bậc hai là một khái niệm xạ ảnh. Nghĩa là: nếu (S) là một siêu mặt bậc hai trong Pn, f là một biến đổi xạ ảnh của Pn thì f(S) cũng là một siêu mặt bậc hai trong Pn. Chứng minh. Giả sử đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (X)tA(X) = 0. (2) Phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu đó là k(X’) = B(X), , trong đó B là ma trận vuông cấp n+1, không suy biến. Từ đó ta có 47

(X) = kB-1(X’). (3) Thay (3) vào (2), các điểm X = (x0 : x1 : …: xn) thuộc (S) có ảnh là điểm X’ = (x’0 : x’1 : …: x’n) thỏa mãn phương trình: (kB-1(X’))tA(kB-1(X’)) = 0

k2[(X’)t (B-1)tAB-1(X’)] = 0

hay [(X’)t (B-1)tAB-1(X’)] = 0. (4) ( do ) -1 t -1 Đặt A’ = (B ) AB , thay vào (4), ta có phương trình (X’)tA’(X’) = 0. (5) Phương trình (5) là phương trình của f(S) trong mục tiêu đã chọn. Phương trình (5) là phương trình của một siêu mặt bậc hai trong Pn nếu A’ =(A’)t và hạng A’ 1. Ta có (A’)t= [ (B-1)tAB-1 ]t = (B-1)tAtB-1 = (B-1)tAB-1 = A’ ( do A = (A)t). Vì det B 0 nên det B-1 0. Do đó, từ đẳng thức A’ = (B-1)tAB-1suy ra hạng A’ =hạng A. Tức là hạng A’ 1. Vậy f(S) là một siêu mặt bậc hai trong Pn. Định lí được chứng minh. 3.1.1 Giao của siêu mặt bậc hai và m – phẳng Trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S) và m – phẳng Q. Ta hãy chọn mục tiêu xạ ảnh {Si; E} sao cho m+1 điểm S0, S1, …, Sm nằm trên Q. Khi đó phương trình của Q là: xk = 0, với k = m+1, m+2,…, n. (1) Giả sử trong mục tiêu (I), phương trình của (S) là: =0

(2)

Giao của Q và (S) là tập hợp (S’) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình: .

(3)

Từ hệ (3), ta thấy: - Nếu các

, i, j = 0,1,…, m đều bằng 0 thì mọi điểm thuộc Q đều thuộc (S).

Vậy: Q (S), hay (S’) = Q. - Nếu các số đó không đồng thời bằng không thì (S’) là một siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh m chiều Q. 3.1.4 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực Trong không gian xạ ảnh thực Pn(R) đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt (S) có phương trình: 48

(X)tA(X) = 0. (X)tA(X) =

là một dạng toàn phương trong không gian véc tơ Rn+1,

ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính (X’) = B(X) sao cho dạng toàn phương ấy trở thành dạng chính tắc. Lại xem phép biến đổi tuyến tính đó như là một phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của Pn, ta đi đến định lí sau: Định lí 3.1.2. Với mỗi siêu mặt bậc hai (S) trong không gian xạ ảnh thực Pn(R), luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho trong mục tiêu đó, phương trình của (S) có dạng chuẩn tắc: ( có p dấu “ – “ và q dấu “ + ”) trong đó 1 p+q n+1 và 0 p q. Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một dạng toàn phương chuẩn tắc. Siêu mặt bậc hai (S) trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số (p,q) 3.1.5 Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực Hai siêu mặt bậc hai (S1) và (S2) trong Pn được gọi là tương đương xạ ảnh nếu có một phép biến đổi xạ ảnh biến (S1) thành (S2). Khi đó chúng có cùng những tính chất xạ ảnh. Định lí 3.1.3. Hai siêu mặt bậc hai (S1) và (S2) trong không gian xạ ảnh thực là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau ( nói cách khác chúng có cùng chỉ số (p, q)). Chứng minh. Giả sử đối vói mục tiêu {Si; E} siêu mặt (S1) có phương trình chuẩn tắc giống như phương trình chuẩn tắc của siêu mặt (S2) đối với mục tiêu {Si’; E’}. Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh biến mục tiêu thứ nhất thành mục tiêu thứ hai thì dễ dàng thấy rằng f sẽ biến (S1) thành (S2). Ngược lại, nếu (S1) và (S2) tương đương xạ ảnh thì có phép biến đổi xạ ảnh f biến (S1) thành (S2). Chọn mục tiêu {Si; E} sao cho dối với nó (S1) có phương trình dạng chuẩn tắc và gọi {Si’; E’} là ảnh của mục tiêu đó. Khi đó, hiển nhiên đối với mục tiêu mới này, phương trình của (S2) có dạng chuẩn tắc giống dạng chuẩn tắc của (S1). 3.1.6. Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong P2(R), P3(R) và tên gọi của chúng Trong P2(R)ta có 5 loại đƣờng bậc hai sau đây: 1)

49

Nó được gọi là đường ôvan ảo vì nó không chứa điểm thực nào. Trong mặt phẳng phức mở rộng của P2(R) thì phương trình trên xác định một đường bậc hai không rỗng. 2) . Nó được gọi là đường ôvan, hay đường cônic. 3) Nó được gọi là cặp đường thẳng ảo liên hợp. Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất là điểm (0 : 0 : 1). 4) Đây là cặp đường thẳng có phương trình: x0 + x1 = 0 và - x0 + x1 = 0. 5) = 0. Đây là cặp đường thẳng trùng nhau. Trong P3(R)ta có 8 loại mặt bậc hai sau đây: 1) , được gọi là mặt trái xoan ảo. 2)

, được gọi là mặt trái xoan.

3)

, được gọi là mặt kẻ bậc hai. , được gọi là mặt nón ảo. Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất

4) (0 : 0 : 0 : 1).

, được gọi là mặt nón.

5) 6)

, được gọi là cặp mặt phẳng ảo liên hợp.

Nó gồm một đường thẳng thực với phương trình là

.

. Đây là cặp mặt phẳng có các phương trình x0 + x1 = 0 và

7) - x0 + x1 = 0. 8)

= 0. Đây là cặp mặt phẳng trùng nhau.

3.1.7 Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin Ta xét không gian xạ ảnh Pnvới mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, …, Sn; E}(I) và không gian afin An = Pn \W, trong đó W là siêu phẳng vô tận, tức W có phương trình trong mục tiêu (I) là x0 = 0. Giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai trong Pn có phương trình trong mục tiêu (I) là: =0

(*)

Gọi (S’) = (S) \ W thì các điểm của (S’) có tọa độ afin ( đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn) thỏa mãn phương trình: 50

+ Nếu các

+

= 0. (**)

( i, j = 1, 2, …, n) không đồng thời bằng không thì (S’) là một siêu mặt

bậc hai afin trong không gian An. Khi đó, ta nói rằng siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh ra siêu mặt bậc hai afin (S’). Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin (S’) trong Anđều được sinh ra bởi một siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) duy nhất trong Pn. Thật vậy, nếu (S’) có phương trình (**) trong một mục tiêu afin của An thì bằng cách thay Xi bằng

ta được phương trình (*) xác định cho ta một siêu mặt bậc hai

xạ ảnh (S) đối với mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin đã chọn. Ta hãy lấy một điểm C nằm trên giao S W khi đó C có tọa độ xạ ảnh X C = (0: c1 : …: cn) mà

= 0 . Bởi vậy điểm vô tận C xác định phương chính là phương tiệm cận của siêu mặt afin (S’) = (S) \ W.

3.1.8 Đƣờng ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực Gọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 và A2 = P2\ W là mặt phẳng afin thực. Ta hãy xem một đường conic của A2 sẽ được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh nào trong P2. Giả sử (E) là đường elip của A2. Khi đó, ta có thể chọn một mục tiêu afin của A2sao cho phương trình của (E) có dạng: . Đường elip (E) được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối với mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là: . Đây là môt đường ô van không cắt đường thẳng vô tận W. Giả sử (H) là môt đường hypebol. Khi đó ta có thể chọn một mục tiêu afin của A2 sao cho phương trình của (H) có dạng: . Đường elip (H) được sinh ra 2 bởi đường bậc hai xạ ảnh của P , mà phương trình của nó đối với mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là: . Đậy là môt đường oovan không cắt đường thẳng vô tận W tại hai điểm phân biệt ( đó là điểm (0 : 1 : 1) và (0 : 1 : -1)). Cuối cùng, ta giả sử (P) là môt đường parabol của A2. Ta chọn mục tiêu afin để nó có phương trình : . Khi đó nó được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh có phương trình: . Đây là môt đường ovan , vì chỉ cần dùng phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh: , = , = . ta đưa nó về phương trình chính tắc : . 51

Ngoài ra ta nhận thấy đường ovan ấy cát đường vô tân W tại một điểm kép (đó là điểm ( 0 : 0 : 1 ), ta còn nói rằng nó tiếp với đường vô tận W). Tóm lại ta đi đến kết quả sau đây: Nếu (S) là đường ovan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2, tập (S) \W sẽ là: - Đường elip, nếu (S) không cắt W. - Đường hypebol, nếu (S) cắt W tại 2 điểm phân biệt. - Đường parabol, nếu (S) tiếp W.

3.2 Điểm liên hợp. Phẳng tiếp xúc. Siêu diện lớp hai 3.2.1 Điểm liên hợp Trong Pnvới mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (X) tA(X) = 0 và hai điểm Y = (y0 : y1 : … : yn) và Z =(z0 : z1 : … : zn). Điểm Y được gọi là liên hợp với điểm Z đối với (S) nếu (Y)tA(Z) = 0, trong đó (Y) và (Z) là ma trận cột tọa độ của điểm Y và điểm Z. Vì [(Y)tA(Z)]t = (Z)tA(Y), nên nếu điểm Y liên hợp với điểm Z đối với (S) thì (Z)tA(Y) = 0, tức là điểm Z cũng liên hợp với điểm Y đối với (S). Khi đó ta nói: Hai điểm Y và Z liên hợp với nhau đối với (S). Chú ý. Điểm Y thuộc (S) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn (Y) tA(Y) = 0, tức khi và chỉ khi Y liên hợp với chính nó đối với (S). Khi đó, ta nói điểm Ytự liên hợp đối với (S). Vậy điểm Y là điểm tự liên hợp đối với (S) khi và chỉ khi Y nằm trên (S). Định lí 3.2.1 Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai (S) trong không gian xạ ảnh Pn. Khi đó: - Nếu đường thẳng - Nếu đường thẳng

cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì

cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y

hoặc Z. Chứng minh. Giả sử (S) có phương trình: (X)tA(X) = 0. Nếu đường thẳng (Y) = k1(M) + l1(N),

= - 1.

cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì (1) (Z) = k2(M) + l2(N).

(2) 52

Vì hai điểm Y, Z liên hợp với nhau đối với (S), nên (Y) tA(Z) = 0, hay, từ (1) và (2) ta có [k1(M)t + l1(N)t]A[k2(M) + l2(N)] = 0. (3) Vì M, N

(S) nên (M)tA(M) = (N)tA(N) = 0, do đó từ (3) ta suy ra: (k1l2+ k2l1)(M)tA(N) = 0.

Vì M, N là hai điểm phân biệt của (S) nên (M)tA(N)

0, suy ra (k1l2+ k2l1) = 0.

Vậy =

= - 1.

Nếu cắt (S) tại điểm duy nhất X thì (X) = k(Y) + l(Z) và (X)tA(X) = 0, do đó: [(Y)tA(Y)] k2 + 2[(Y)tA(Z)]kl + [(Z)tA(Z)] l2 = 0. ( Do (Y)tA(Z) = (Z)tA(Y)). Vì (Y)tA(Z) = 0, ta có [(Y)tA(Y)] k2 + [(Z)tA(Z)] l2 = 0. Vì phương trình này chỉ có một cặp nghiệm duy nhất (sai khác một hằng số nhân khác không), nên hoặc (Y)tA(Y) = 0 hoặc (Z)tA(Z) = 0, tức là hoặc X trùng với Y, hoặc X trùng với Z. Định lí 3.2.2 Trong K – không gian xạ ảnh Pn cho siêu mặt bậc hai (S) và điểm Y. Tập hợp tất cả những điểm liên hợp với Y đối với (S) hoặc là một siêu phẳng trong Pn hoặc là toàn bộ Pn. Chứng minh. Giả sử siêu mặt (S) có phương trình: (X)tA(X) =

=0

và Y = (y0 : y1 : … : yn). Điểm X = (x0 : x1 : … : xn) liên hợp với Y đối với (S) khi và chỉ khi: (Y)tA(X) = 0, hay = 0, hay = 0. (1) Đặt

. Thay vào (1), ta có phương trình = 0 . (2)

53

Nếu hệ số uj của xj trong phương trình (2) không đồng thời bằng 0 (hay ma trận(U)t = (u0u1… un ) = (Y)tA có các số hạng không đồng thời bằng 0) thì phương trình (2) cho ta một siêu phẳng trong Pn. Siêu phẳng đó có ma trận cột tọa độ là (U) = A(Y). Nếu các hệ số uj đều bằng 0 (hay ma trận (Y)tA gồm toàn số 0) thì mọi điểm X của Pn đều có tọa độ thỏa mãn phương trình (2). Tức Y liên hợp với mọi điểm trong Pn đối với (S). 3.2.2 Siêu phẳng đối cực. Điểm kì dị Định nghĩa 3.2.1Nếu tập hợp các điểm liên hợp với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S) là một siêu phẳng thì siêu phẳng đó được gọi là siêu phẳng đối cực của điểm Y, kí hiệu là Y* và điểm Y được gọi là điểm đối cực của siêu phẳng Y*. Giả sử trong Pn với một mục tiêu xạ ảnh đã chọn cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (X)tA(X) =

=0

và điểm Y có tọa độ là Y = (y0 : y1 : … : yn). Khi đó, phương trình của siêu phẳng đối cực Y*là = 0, trong đó uj được tính bởi công thức . j = 0, 1,..., n. Nếu ta đặt F là vế trái của phương trình xác định (S) thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng: , trong đó,

là đạo hàm riêng của F đối với biến xj lấy tại Y.

Định nghĩa 3.2.2 Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với mọi điểm của Pn đối với (S). Chú ý + Điểm Y là điểm kì dị của (S) thì theo định nghĩa, Y liên hợp với mọi điểm của Pn nên Y phải liên hợp với chính nó đối với (S), tức là (Y) tA(Y) = 0, suy ra Y phải nằm trên (S). + Chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến mới có điểm kì dị. Thật vậy, từ định lí 3.2.2, nếu Y là điểm kì dị của (S) thì tọa độ của Y là nghiệm của hệ phương trình: 54

= 0, j = 0, 1, …, n. Bởi vậy, nếu (S) có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường, do đó, det A = 0, hay (S) suy biến. 3.2.5. Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai (S) nhưng không phải là điểm kì dị của (S) thì siêu phẳng đối cực Y* của Y đối với (S) được gọi là siêu phẳng tiếp xúc của (S) tại Y, hay còn gọi là siêu tiếp diện của (S) tại Y. Rõ ràng là điểm Y nằm trên siêu phẳng Y*. Điểm Y được gọi là tiếp điểm. Bất kì m – phẳng nào đi qua Y và nằm trong siêu tiếp diện Y * của (S) tại Y đều gọi là m – phẳng tiếp xúc của (S) tại Y. Khi m = 1, ta có đường thẳng tiếp xúc của (S) tại Y, hay còn gọi là tiếp tuyến của (S) tại Y. Nếu Y là điểm kì dị của (S) thì mọi m – phẳng đi qua Y (m n) đều gọi là m – phẳng tiếp xúc với (S) tại Y. Trong mọi trường hợp, 0 – phẳng Y ( tức là điểm Y) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi Y (S). 3.2.6 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến Trước hết ta có nhận xét: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi siêu phẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất. Thật vậy, giả sử (S) có phương trình (X)tA(X) = 0 với det A 0. Với siêu phẳng U, điểm Y là đối cực của U khi và chỉ khi siêu phẳng U là siêu phẳng đối cực của điểm Y đối với (S), khi và chỉ khi phương trình của U được viết = 0, trong đó uj được tính bởi công thức . j = 0, 1,..., n. (1) Vì det A 0 nên hệ (1) là hệ Cramer, do đó có duy nhất nghiệm, hay điểm đối cực Y của siêu phẳng U đối với (S) là duy nhất. Định nghĩa 3.2.3 Hai siêu phẳng U và V được gọi là liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậchai không suy biến (S) khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau đối với (S). Từ định nghĩa trên, ta suy ra các tính chất sau Tính chất 1. Hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến khi và chỉ khi siêu phẳng này đi qua điểm đối cực của siêu phẳng kia. 55

Thật vậy, cho hai siêu phẳng U, V có điểm đối cực đối với (S) lần lượt là U * và V*. Khi đó U liên hợp với V đối với (S) khi và chỉ khi U* và V* là hai điểm liên hợp đối với (S). Vì U gồm những điểm liên hợp với U * nên U đi qua V*. Tương tự ta có V đi qua U*. Tính chất 2. Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ khi U tiếp xúc với (S)( tại điểm U* là điểm đối cực của U). Thật vậy, U liên hợp với U đối với (S) khi và chỉ khi U * liên hợp với U* đối với (S), khi và chỉ khi U* thuộc (S). Vì U* thuộc U, nên tính chất được chứng minh. Tính chất 3. Cho hai siêu phẳng phân biệt U, V liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến (S). Nếu qua giao U V có hai siêu phẳng phân biệt P và Q cùng tiếp xúc với (S) thì = - 1. Thật vậy,giả sử (S) có phương trình (X)tA(X) = 0. Gọi các điểm đối cực của các siêu phẳng U, V, P, Q lần lượt là U*, V*, P*, Q*, ta có (U*) = A-1(U), (V*) = A-1(V), (P*) = A-1(P), (Q*) = A-1(Q). Vì các siêu phẳng U, V, P, Q cùng thuộc một chùm ( có giá là U V), nên: (P) = k1(U) + l1(V), (Q) = k2(U) + l2(V). Từ đó: (P*) = A-1(P) = k1A-1(U) + l1A-1(V) = k1(U*) + l1(V*), (Q*) = A-1(Q) = k2A-1(U) + l2A-1(V) = k2(U*) + l2(V*). Vậy bốn điểm U*, V*, P*,Q* thẳng hàng. Nhưng hai điểm U *, V* liên hợp với nhau đối với (S) còn P*,Q* là giao điểm của đường thẳng U*V* với (S) nên [U*, V*, P*,Q*] = -1, do đó [U, V, P, Q] = -1. 3.2.7 Siêu diện lớp hai Trong Pn với một mục tiêu đã chọn, một siêu diện lớp hai được định nghĩa là tập hợp (S*) tất cả các siêu phẳng U = (u0 : u1 : … : un) mà tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình:

= 0, trong đó

=

và chúng không đồng thời bằng 0.

Phương trình đó gọi là phương trình của siêu diện lớp hai (S*) đối với mục tiêu đã chọn. Nếu ta kí hiệu A là ma trận ( ), i, j = 0, 1, …, n, thì A là ma trận vuông cấp n+1, đối xứng và có hạng ít nhất bằng 1. Nó được gọi là ma trận của (S*) đối với mục tiêu đã chọn. Phương trình của (S*) có thể viết dưới dạng ma trận: (U)tA(U) = 0. 56

Nếu det A 0, siêu diện lớp hai (S*) gọi là không suy biến, nếu det A = 0, (S*) gọi là suy biến. Siêu diện lớp hai trong P2 còn được gọi là tuyến lớp hai. Ví dụ: Trong P2(R) cho tuyến lớp hai (S*) có phương trình: . Ma trận của nó là:

Đó là tuyến lớp hai suy biến vì det A = 0. Ta viết lại phương trình của (S*) dưới dạng: (u0 + 2u1 + u2)(u0 – u2) = 0 Với u0 + 2u1 + u2 = 0, các đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I = (1 : 2 : 1). Với u0 – u2 = 0, ta có các đường thẳng luôn đi qua điểm cố định J = (1 : 0 : -1). Vậy tuyến lớp hai (S*) đã cho là tập hợp gồm hai chùm đường thẳng có tâm I và J. 3.2.8 Đối ngẫu Trước hết, ta chứng minh rằng: Khái niệm siêu diện lớp hai là đối ngẫu của khái niệm siêu mặt bậc hai. Thật vậy, giả sử đã chọn trong Pn một mục tiêu xạ ảnh, ta xét phép đối xạ , nó biến mỗi điểm X thành siêu phẳng (X) có tọa độ giống như tọa độ của X. Bây giờ giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai nào đó trong P n, đối với mục tiêu đã chọn có phương trình: =0

(*)

Một điểm X = (x0 : x1 :…: xn) thuộc (S) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (*). Qua phép đối xạ , điểm X được biến thành siêu phẳng U có tọa độ giống như tọa độ của X, cho nên tọa độ U cũng thỏa mãn phương trình (*). Như vậy qua phép đối xạ, tập (S) biến thành tập tất cả các siêu phẳng có tọa độ (u 0 : u1 :…: un) thỏa mãn phương trình: = 0. Nói cách khác một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu diện lớp hai. Từ chứng minh trên ta cũng có: siêu mặt bậc hai không suy biến và siêu diện lớp hai không suy biến là hai khái niệm đối ngẫu. Ta có thể định nghĩa các khái niệm liên quan đến siêu diện lớp hai, đối ngẫu với các khái niệm tương ứng liên quan đến siêu mặt lớp hai. Cụ thể là: 57

Siêu phẳng liên hợp: Cho siêu diện lớp hai (S*) có phương trình: (U)tA(U) = 0. Hai siêu phẳng V, W được gọi là liên hợp với nhau đối với (S *) nếu (V)tA(W) = 0, trong đó (V), (W) lần lượt là các ma trận cột tọa độ vủa V và W. Ta có các kết quả sau đây, suy ra từ nguyên tắc đối ngẫu bằng các lấy đối ngẫu các khái niệm, các kết quả trong các mục 3.2.1 – 3.2.6: 1. Nếu hai siêu phẳng V và W liên hợp với nhau đối với siêu diện lớp hai (S *) trong không gian xạ ảnh Pn thì: - Nếu có hai siêu phẳng P và Q(phân biệt) của (S*) cùng đi qua giao V

W thì

= -1. - Nếu chỉ có một siêu phẳng duy nhất của (S*) đi qua giao V

W thì siêu phẳng

đó trùng với V hoặc W. 2. Cho siêu diện lớp hai (S*) và siêu phẳng V thì: - Hoặc V liên hợp với bất kì một siêu phẳng nào.(Trong trường hợp đó, ta gọi V là siêu phẳng kì dị của (S*), nó cũng thuộc (S*). Chỉ có siêu diện lớp hai suy biến mới có siêu phẳng kì dị ). - Hoặc là mọi siêu phẳng liên hợp với V đều đi qua một điểm, gọi là điểm đối cực của V đối với (S*). 3. Nếu siêu phẳng V thuộc siêu diện lớp hai (S *) và không phải là siêu phẳng kì dị thì điểm đối cực V* của nó được gọi là điểm tiếp xúc của (S *) tại V. Mọi m – phẳng (m< n) nằm trong V và đi qua V* được gọi là m – phẳng tiếp xúc tại V. 4. Nếu (S*) là siêu diện lớp hai không suy biến thì mọi điểm M đều có siêu phẳng đối cực M* đối với (S*). Hai điểm M và N được gọi là liên hợp với nhau đối vớisiêu diện lớp hai không suy biến (S*) nếu hai siêu phẳng đối cực của chúng liên hợp với nhau. Điểm M là điểm tiếp xúc của (S*) khi và chỉ khi M liên hợp với chính nó. 5. Cho M và N là hai điểm phân biệt và liên hợp với nhau đối với siêu diện lớp hai không suy biến (S*). Khi đó, nếu có hai điểm tiếp xúc P, Q của (S *) nằm trên đường thẳng MN thì = -1. Định lí 3.2.3 ( Định lí Mac – Laurin)Tập hợp các siêu phẳng tiếp xúc của một siêu mặt bậc hai không suy biến là một siêu diện lớp hai không suy biến. Ngược lại, mỗi siêu diện lớp hai không suy biến gồm những siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt bậc hai không suy biến. Chứng minh. Cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (X)tA(X) = 0, vì nó không suy biến nên detA 0. Giả sử siêu phẳng U tiếp xúc với (S) tại Y = (y0 : y1 : …: yn) thuộc (S). Khi đó tọa độ xạ ảnh của U được tính bởi công thức (U) = A(Y). Vì điểm 58

Y thuộc (S) nên (Y)tA(Y) = 0, từ đó ta có: (Y)tAA-1A(Y) = 0, hay (U)tA-1(U) = 0. Điều đó chứng tỏ rằng tập hợp các siêu tiếp diện U của (S) là siêu diện lớp hai (S *) có ma trận là A-1. Do đó, siêu diện lớp hai (S*) là không suy biến. Ngược lại, cho siêu diện lớp hai không suy biến (S *) có phương trình: (U)tA(U)= 0 (detA 0). Ta gọi (S) là siêu mặt bậc hai có phương trình (X) tA-1(X) = 0. Ta có (S) là không suy biến. Khi đó, gọi U là một siêu phẳng bất kì thuộc (S*), gọi Y là điểm đối cực của U đối với (S) thì mối liên hệ giữa tọa độ của Y và tọa độ xạ ảnh của siêu phẳng U được cho bởi công thức (U) = A-1(Y). Từ phương trình: (U)tA(U)= 0 suy ra [A-1(Y)]tA[A-1(Y) =0, suy ra (Y)t A-1A A-1(Y) = 0 ( vì (A-1)t = (At)-1 = A-1 ), hay (Y)tA-1(Y) = 0, tức Y (S). Do đó, siêu phẳng U của (S*) là siêu phẳng tiếp xúc với (S) tại Y. Chú ý. Giả sử ta có một mệnh đề M nào đó có liên quan đến khái niệm siêu mặt bậc hai không suy biến. Trong mệnh đề (M *) đối ngẫu của M, cụm từ “ siêu mặt bậc hai” sẽ được thay bằng cụm từ “ siêu diện lớp hai”. Chẳng hạn câu:” Cho hai điểm thuộc một siêu mặt bậc hai” (câu 1) sẽ trở thành “Chohai siêu phẳng thuộc một siêu mặt lớp hai” (câu 2). Nhưng theo định lí Mac – Lôranh thì câu 2 ấy cũng có nghĩa là “ Cho hai siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt bậc hai” (câu 2’). Ta lại biết rằng câu 1 có thể phát biểu dưới dạng: “ Cho hai 0 – phẳng tiếp xúc vớimột siêu mặt bậc hai” (câu 1’). So sánh hai câu đối ngẫu 1’ và 2’ ta thấy rằng từ 0 – phẳng được thay bằng (n-1) – phẳng, các từ khác giữ nguyên. Một cách tổng quát có thể nói rằng: Nguyên tắc đối ngẫu vẫn được áp dụng đối với những mệnh đề liên quan tới siêu mặt bậc hai không suy biến. Chẳng hạn, trong P2 cặp mệnh đề sau là đối ngẫu: “ Có một đường thẳng ô van duy nhất đi qua 5 điểm cho trước, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng” và “ có một đường ô van tiếp xúc với 5 đường thẳng cho trước, trong đó không có 3 đường nào đồng quy”. 3.2.9. Nói thêm về siêu mặt bậc hai afin Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\W, xét siêu mặt bậc hai afin (S’) sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S): (S’) = (S) \ W. Khi đó, a. Hai điểm của Anđược gọi là liên hợp với nhau đối với (S’) nếu chúng liên hợp với nhau đối với (S). Từ đó suy ra: tập hợp các điểm của An cùng liên hợp với của An, ta gọi là

một điểm I ( I không phải tâm của (S’)) là một siêu phẳng siêu phẳng đối cực của điểm I đối với (S’). Dễ thấy rằng, là siêu phẳng đối cực của điểm I đối với (S). 59

=

\ W trong đó

b. Nếu hai điểm P, Q của Pn liên hợp với nhau đối với (S) và đường thẳng PQ cắt (S’) tại hai điểm M, N. Khi đó Q là điểm vô tận của An khi và chỉ khi P là trung điểm của đoạn thẳng MN. Từ đó suy ra: Điểm I của An là tâm của (S’) khi và chỉ khi nó liên hợp với mọi điểm của W đối với (S). Đặc biệt, nếu (S) không suy biến và không tiếp xúc với W thì (S’) có tâm duy nhất, đó là điểm đối cực của W đối với (S). c. Gọi C = (0 : c1 : c2 : …: cn) là một điểm thuộc (S) phương

= (c1 : c2 : …: cn) của

, vì khi đó

W, nó xác định một = 0 nên

chính là

phương tiệm cận của (S’). Nếu (S’) có tâm duy nhất I thì đường thẳng afin đi qua I có phương là đường tiệm cận của (S’). 3.3 Ánh xạ xạ ảnh giữa các đƣờng thẳng và chùm đƣờng thẳng trong 3.3.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm Tập hợp các điểm thuộc một đường thẳng gọi là một hàng điểm. Nếu đường thẳng đó là s thì hàng điểm cũng kí hiệu là s. Trong

cho hai đường thẳng phân biệt s và s’ và một ánh xạ f : s  s’ từ hàng

điểm s đến hàng điểm s’. Theo định lí cơ bản của ánh xạ xạ ảnh thì: song ánh f : s  s’ (xem s và s’ là các không gian xạ ảnh một chiều) là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì trên s. Ánh xạ xạ ảnh f sẽ được xác định nếu cho biết ba điểm phân biệt A, B, C trên s và ảnh của chúng A’ = f(A), B’ = f(B), C’ = f(C) trên s’. Khi đó mỗi điểm M  s sẽ có ảnh là M’  s’ sao cho [A, B, C, M] = [A’, B’, C’, M’]. Định nghĩa 3.3.1 Trong

cho hai đường thẳng phân biệt s, s’ và một điểm P không

thuộc chúng. Ánh xạ f : s  s’ biến mỗi điểm M  s thành điểm M’ = s’ phép chiếu xuyên tâm từ s đến s’, điểm P gọi là tâm của phép f. P s M Q

M’

60

s’

PM gọi là

Ta có phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm vì xét chùm 4 đường thẳng m, n, a, b bất kì thuộc chùm đường thẳng tâm P. Bốn đường thẳng này lần lượt cắt s và s’ tại M, N, A, B và M’, N’, A’, B’ thì [m, n, a, b] = [ M, N, A, B ] = [ M’, N’, A’, B’]. Nếu gọi Q là giao điểm của s và s’ thì hiển nhiên Q = f(Q). Điểm Q gọi là điểm tự ứng của phép chiếu xuyên tâm f. Định lí 3.3.1Ánh xạ xạ ảnh f : s  s’ giữa hai hàng điểm s và s’ là phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi giao điểm của s và s’ là điểm tự ứng. P B

A

Q

A’

B’

Chứng minh. Nếu f là phép chiếu xuyên tâm thì ta có ngay f là ánh xạ xạ ảnh. Ngược lại, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu giao điểm Q của s và s’ là điểm tự ứng thì f là phép chiếu xuyên tâm. Lấy trên s hai điểm phân biệt A và B khác với Q và gọi A’ = f(A), B’ = f(B), P = AA’ BB’. Giả sử f ’ : s  s’ là phép chiếu xuyên tâm với tâm P thì f(Q) = f ’(Q) , f(A) = f ’(A), f(B) = f ’(B) nên f trùng với f ’. Định lí được chứng minh. 3.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đƣờng thẳng Ta biết, tập hợp tất cả các đường thẳng trong cùng đi qua một điểm S được gọi là chùm đường thẳng tâm S và kí hiệu là {S}. Chùm đường thẳng là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hàng điểm (trong ). Định nghĩa 3.3.2 Cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S} và {S’} trong

. Một

ánh xạ f : {S}  {S’} (biến một đường thẳng của {S} thành một đường thẳng của {S’} được gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì. Điều đó nghĩa là nếu a, b, c, d là bốn đường thẳng đi qua S và ảnh của chúng là a’, b’, c’, d’ (đều đi qua S’) thì [a, b, c, d] = [a’, b’, c’, d’]. 61

Rõ ràng là, khái niệm “ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng” là đối ngẫu với khái niệm “ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm”. Vì vậy ta có: Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chum được xác định khi biết ảnh của ba đường thẳng phân biệt. Định nghĩa 3.3.3 Trong cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S} và {S’} và một đường thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S và không đi qua S’). Ánh xạ xạ ảnh f : {S}  {S’} biến mỗi đường thẳng m  {S} thành đường thẳng m’ đi qua S’ và m p được gọi là phép chiếu xuyên trục, p gọi là trục của phép chiếu f. Phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm. Hiển nhiên phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng. Nếu f : {S}  {S’} là phép chiếu xuyên trục thì đường thẳng q = SS’ biến thành chính nó. Đường thẳng q được gọi là đường thẳng tự ứng. Ta có định lí sau đây: Định lí 3.3.2Ánh xạ xạ ảnh f : {S}  {S’} giữa hai chùm {S} và {S’} là phép chiếu xuyên trục khi và chỉ khi đường thẳng SS’ tự ứng. 3.3.3 Áp dụng Sau đây ta dùng phép chiếu xuyên tâm để chứng minh định lí Paupuýt . Định líPaupuýt.Trong cho ba điểm phân biệt A0, B0, C0nằm trên đường thẳng s0, ba điểm phân biệt A1, B1, C1nằm trên đường thẳng s1, sao cho 6 điểm đó đều không trùng với giao điểm của s0và s1. Khi đó, ba giao điểm A2 = B0C1 B1C0, B2 = C0A1 C1A0, C2 = A0B1 A1B0thẳng hàng. Chứng minh. C0

s0

B0 A0 B2

C2

A2

A1

Gọi:

B1

C1

s1

h :  s0 là phép chiếu xuyên tâm từ đường thẳng lên

đường thẳng s0 , với tâm là A1. 62

g : s0 là phép chiếu xuyên tâm từ đường thẳng s 0 lên đường thẳng với tâm là C1. Khi đó f = g0.h :  là một ánh xạ xạ ảnh. Gọi D = s0 s1, ta có g(B1) = D, h(D) = B1, vậy, f(B1) = B1, suy ra f là phép chiếu xuyên tâm, cũng dễ thấy B2 là tâm của f và f biến C2 thành A2. Từ đó ta kết luận: A2, B2, C2 thẳng hàng.

Định lí 3.3.3( Định lí Steiner) Trong mặt phẳng xạ ảnh thực Định lí thuận. Cho hai điểm cố định S1và S2nằm trên một đường ôvan và một điểm M thay đổi trên ôvan đó. Khi đó ánh xạ f : {S1}  {S2} biến đường thẳng S1M thành đường thẳng S2M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Chú ý rằng, khi M trùng với S1, ta xem S1M là tiếp tuyến của ôvan tại S1, đối với S2 cũng thế). Chứng minh định lí thuận Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, d1 và d2 lần lượt là tiếp tuyến của ôvan (S) tại S2 và S1, S0 = d1 d2. Lấy một điểm E cố định trên ôvan (S) và khác với S1 và S2. Chọn mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, S2; E} (I). Giả sử phương trình của (S) trong mục tiêu (I) là (1) Vì (S) đi qua S1 = (0: 1: 0), thay vào (1), suy ra Tương tự, vì (S) đi qua S2 nên . Vì (S) đi qua E = (1: 1: 1), thay vào (1), suy ra . (2). Trong (2), chọn

, thay vào (1), ta được phương trình của (S)

trong mục tiêu (I) là: (3)

63

d2 S1

m’

d0

a’ M

d1

E

S0

S2 m

a

Lấy điểm M nằm trên ôvan, khác với S1 và S2 thì toạ độ (m0 : m1 : m2) của nó thoả mãn phương trình đó và m0 và do đó, m1 . Bởi vậy , từ (3) suy ra .

(4)

Gọi a là đường thẳng S1E, , m là đường thẳng S1M, ta tiến hành tính các tỉ số kép [d0, d2, a, m], [d1, d0, a’, m’] Phương trình của d0 trong mục tiêu (I) là x0 = 0, tọa độ xạ ảnh của d0 = (1: 0: 0). Phương trình của d2 trong mục tiêu (I) là x2 = 0, tọa độ xạ ảnh của d0 = (0: 0: 1). Phương trình của a trong mục tiêu (I) là x0 – x2 = 0, tọa độ xạ ảnh của a= (1: 0: -1). Phương trình của m trong mục tiêu (I) là m2x0 – m0x2 = 0, vậy tọa độ xạ ảnh của m = (m2: 0: - m0). Từ các kết quả trên, ta có (a) = (d0) – (d2) (m) = m2(d0) – m0(d2). Từ đó suy ra [d0, d2, a, m] =

.

(5)

Gọi m’ là đường thẳng S2M, a’là đường thẳng S2E. Ta có f(d0) = d1, f(d2) = d0, f(a) = a’, f(m) = m’. Tương tự như trên, ta tính được [d1, d0, a’, m’] =

.

(6)

Từ (5) và (6), kết hợp với (4), suy ra: [d0, d2, a, m] = [d1, d0, a’, m’]. Ta thấy f bảo tồn tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng bất kì của chùm tâm S 1, theo định nghĩa 3.3.2, f là ánh xạ xạ ảnh. Vì f(d0) = d1 ≠ d0 nên d0 không tự ứng, do đó f không phải là phép chiếu xuyên trục. 64

Định lí đảo. Cho ánh xạ xạ ảnh f : {S1}  {S2} giữa hai chùm phân biệt {S1} và {S2}. Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của các đường thẳng tương ứng là một đường ôvan. Chứng minh định lí đảo Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, f(d0) = d1, f -1(d0) = d2. Vì f không phải là phép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng, do đó d0, d1, d2 đôi một phân biệt. Vì vậy ba điểm S0 = d1 d2, S1, S2 độc lập. Gọi a là đường thẳng của chùm {S1} khác với d0 và d2, a’ = f(a), và E = a a’. Ta chọn {S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh. Với mỗi đường thẳng m  {S1} và m’ = f(m)  {S2}, ta đặt m

m’ = X = (x0 : x1 : x2). Khi

đó, ta tính được tọa độ xạ ảnh của các đường thẳng như sau: d0 = (1 : 0 : 0), d1 = (0 : 1 : 0), d2 = (0 : 0 : 1), a = (1 : 0 : -1), a’ = (-1 : 1 : 0), m = (x2 : 0 : -x0), m’ = (-x1 : x0 : 0). S1 a’

d2 E

d0

m’

S2

S0 a

m

d1

Từ đó suy ra: [d0, d2, a, m] =

và [d1, d0, a’, m’] =

.

Nhưng vì f là ánh xạ xạ ảnh nên: [d0, d2, a, m] = [d1, d0, a’, m’]. Vậy

, hay

Đó là phương trình của đường ôvan tiếp với d1 và d2 lần lượt tại S2 và S1. Dùng nguyên tắc đối ngẫu ta suy ra định lí sau đây là đối ngẫu của định lí Stâyne: Định lí 3.3.4 ( Định lí đối ngẫu của định lí Steiner)Trong mặt phẳng xạ ảnh thực

65

Định lí thuận. Nếu s1và s2là hai tiếp tuyến phân biệt của một đường ôvan và m là một tiếp tuyến thay đổi của ôvan đó. Khi đó ánh xạ f : s1 s2biến điểm s1 m thành điểm s2 m là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên tâm. (Chú ý rằng, khi m trùng với s1 thì ta xem s1 m là điểm tiếp xúc của s1 và ôvan, đối với s2 cũng thế). Định lí đảo. Cho ánh xạ xạ ảnh f : s1 s2là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm s1và s2. Khi đó, nếu f không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối hai điểm tương ứng sẽ tiếp với một đường ôvan. Đường ôvan đó tiếp với s1và s2lần lượt tại f -1(Q) và f(Q) với Q = s1 s2. 3.3.4 Cách xác định một đƣờng ôvan trong Định lí 3.3.5Trong cho 5 điểm A, B, C, D, E, trong đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó luôn có một đường ôvan duy nhất đi qua chúng. Chứng minh. Xét hai chùm đường thẳng {A} và {B}. Có phép ánh xạ xạ ảnh duy nhất f : {A}  {B} sao cho f(AC) = f(BC), f(AD) = f(BD) và f(AE) = BE. Theo định lí đảo của định lí Steiner, giao điểm của các đường thẳng tương ứng qua ánh xạ f nằm trên đường ôvan (S). Rõ ràng, (S) đi qua 5 điểm A, B, C, D, E và (S) là duy nhất. Sau đây là các trường hợp đặc biệt của định lí trên, khi hai trong 5 điểm đó trùng nhau, cách chứng minh tương tự như trên. Hệ quả 3.3.1Cho 4 điểm A, B, C, D, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và một đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua các điểm còn lại. Khi đó có đường ôvan duy nhất đi qua A, B, C, D và tiếp xúc với a tại A. Hệ quả 3.3.2Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua B và C, đường thẳng b đi qua B nhưng không đi qua A và C. Khi đó có đường ôvan duy nhất đi qua C và tiếp với a và b lần lượt tại A và B. Sau đây là các kết quả đối ngẫu của các kết quả trên: Định lí 3.3.6 Cho 5 đường thẳng a, b, c, d, e, trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Khi đó có đường ôvan duy nhất tiếp với chúng. Hệ quả 3.3.3Cho 4 đường thẳng a, b, c, d, trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy và một điểm A nằm trên a nhưng không nằm trên các đường thẳng còn lại. Khi đó có đường ôvan duy nhất tiếp xúc với a, b, c, d và đi qua A 66

Hệ quả 3.3.4 Cho 3 đường thẳng a, b, c không đồng quy, một điểm A nằm trên a nhưng không nằm trên b và c, một điểm B nằm trên b nhưng không nằm trên a và c. Khi đó có duy nhất một đường ôvan tiếp xúc với a tại A, tiếp xúc với b tại B và tiếp xúc với c. 3.4 Định lí Pascal và Định lí Brianchon 3.4.1 Định lí Pascal Định ngĩa 3.4.1 ( Hình sáu đỉnh ) Tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự A1, A2, A3, A4, A5, A6 gọi là một hình sáu đỉnh. Nó được kí hiệu là A1A2A3A4A5A6. Các điểm Ai gọi là các đỉnh của hình sáu đỉnh đó. Các đường thẳng A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A6, A6A1 gọi là các cạnh của hình sáu đỉnh. Các cặp đỉnh A1 và A4, A2 và A5, A3 và A6 gọi là các cặp đỉnh đối diện. Các cặp cạnh A1A2 và A4A5, A2A3 và A5A6, A3A4 và A6A1 gọi là các cặp cạnh đối diện. Định lí 3.4.1 ( Định lí Pascal) Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một đường ôvan (còn gọi là hình sáu đỉnh nội tiếp đường ôvan đó) thì giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng. Chứng minh. A5

A3 A1

M

P

N

Q

R

A2 A6

A4

Giả sử hình sáu đỉnh A1A2A3A4A5A6 nội tiếp đường ôvan (S). Ta kí hiệu: P = A1A2 A4A5, Q = A2A3 A5A6, R = A3A4 A6A1, M = A1A2 A3A4, N = A2A3 A4A5. Xét hai chùm đường thẳng tâm A1 và A5. Áp dụng định lí Steiner cho ánh xạ f : {A1}  {A5} ta có f là ánh xạ xạ ảnh, do dó, vì f (A1A2)= A5A2 , f(A1A3) = A5A3 , f(A1A4) = A5A4 , f(A1A6) = A5A6, suy ra [A1A2, A1A3, A1A4, A1A6] = [A5A2, A5A3, A5A4, A5A6]. Nhưng: 67

[A1A2, A1A3, A1A4, A4A6] = [M, A3, A4, R], [A5A2, A5A3, A5A4, A5A6] = [A2, A3, N, Q]. Vì vậy ta có: [M, A3, A4, R] = [A2, A3, N, Q]. Điều đó chứng tỏ có ánh xạ xạ ảnh g : A3A4 A3A2 mà g(M) = A2, g(A3) = A3, g(A4) = N, g(Q) = R, hơn thế, g là phép chiếu xuyên tâm vì A3 tự ứng. Suy ra, các đường thẳng MA2, A4N, QR đồng quy. Nói cách khác, P, Q, R thẳng hàng. 3.4.2 Các trƣờng hợp đặc biệt của định lí Pascal Ta có thể định nghĩa hình năm đỉnh, hình bốn đỉnh, hình ba đỉnh tương tự như định nghĩa hình sáu đỉnh. Hãy xét một hình năm đỉnh A1A2A3A4A5 nội tiếp đường ôvan (S). Ta xem hình năm đỉnh đó như một trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh khi hai đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó là hình sáu đỉnh A1A2A3A4A5A5. Khi đó lập luận trong chứng minh của định lí Pascal vẫn đúng nếu cạnh A5A6 được thay bằng tiếp tuyến của đường ôvan tại đỉnh A5. Vậy ta có kết quả sau đây: Định lí 3.4.2 Nếu hình năm đỉnh A1A2A3A4A5nội tiếp đường ôvan (S) thì ba giao điểm của: cạnh A1A2 với cạnh A4A5, cạnh A2A3 với tiếp tuyến của (S) tại A5, của cạnh A3A4 với cạnh A5A1thẳng hàng. R A4 A2 A1

P

A3

A5  A6

Q

Đối với hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan (S), nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCD thì sẽ có ba điểm sau đây thẳng hàng: giao điểm của tiếp tuyến tại A với cạnh BC, giao điểm hai cạnh AB và CD, giao điểm của tiếp tuyến tại B với cạnh AD.

68

B C

A

D

Cũng với hình bốn đỉnh ABCD nói trên, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABCCD hoặc ABBCDD thì sẽ được kết quả sau: Định lí 3.4.3 Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tại các đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng. (Các cặp cạnh đối diện là: AB và CD, AD và BC, các cặp đỉnh đối diện là A và C, B và D).

B C C

A

D

Đối với hình ba đỉnh ABC nội tiếp một đường ôvan, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCC thì ta được kết quả sau đây: Định lí 3.4.4 Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng.

69

C B A C

3.4.3 Định lí Brianchon Định ngĩa 3.4.2 ( Hình sáu cạnh ) Hình sáu đỉnh có đối ngẫu là hình sáu cạnh: Hình sáu cạnh là tập hợp có thứ tự gồm sáu đường thẳng a1, a2, a3, a4, a5, a6. Các đường thẳng ai gọi là cạnh của hình sáu cạnh đó. Các giao điểm a1 a2, a2 a3, a3 a4, a4 a5, a5 6 và a6 a1 gọi là các đỉnh của hình sáu cạnh. Các cặp cạnh a1 và a4, a2 và a5, a3 và a6 gọi là các cặp cạnh đối diện. Các cặp đỉnh a1 a2 và a4 a5, a2 a3 và a5 a6, a3 a4 và a6 a1 gọi là các cặp đỉnh đối diện. Định lí Pascal có đối ngẫu là định lí sau đây: Định lí 3.4.5 ( Định lí Brianchon) Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng tiếp với một đường ôvan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy. Các trường hợp đặc biệt của định lia Pascal cũng có các mệnh đề đối ngẫu tương ứng, sau đây ta kể ra hai trong số các mệnh đề là đối ngẫu của các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal. Định lí 3.4.6 Nếu một hình bốn cạnh ngoại tiếp một hình ôvan thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối tiếp điểm trên các cạnh đối diện là bốn đường thẳng đồng quy. Định lí 3.4.7 Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một hình ôvan thì các đường thẳng nối một đỉnh với tiếp điểm trên cạnh đối diện là ba đường thẳng đồng quy.

70

a2 a3 a1 a4 a6 a5

3.5. Phép biến đổi xạ ảnh của một đƣờng ôvan Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm trên đường ôvan (S). Khi đó, từ định lí Steiner thuận ta suy ra, nếu M là một điểm thay đổi trên (S) thì tỉ số kép [MA, MB, MC, MD] có giá trị không phụ thuộc vào M. Tỉ số kép đó được gọi là tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D trên (S) và kí hiệu là [A, B, C, D](S). Một song ánh f : (S)  (S) của (S) lên chính nó được gọi là một phép biến đổi xạ ảnh của (S) nếu f bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì trên (S). Định lí 3.5.1.Cho f : (S)  (S) là phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất của đường ôvan (S). Khi đó, với bất kì hai điểm phân biệt M, N của (S) và ảnh của chúng M’ = f(M), N’ = f(N), giao điểm của MN’ và M’N luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Chứng minh. Chọn ba điểm P, Q, R phân biệt trên (S) và gọi P’, Q’, R’ là ảnh của chúng qua f. Khi đó áp dụng định lí Pascal vào lục giác PQ’RP’QR’ ta có ba điểm PR’ P’R, PQ’ P’Q, RQ’ R’Q cùng nằm trên một đường thẳng d. Bây giờ, gọi M là một điểm bất kì trên (S) và M’ là ảnh của nó thì vì f bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm trên (S) nên [P, Q, R, M](S) = [P’, Q’, R’, M’](S). Từ đó suy ra [P’P, P’Q, P’R, P’M] = [PP’, PQ’, PR’, PM’] và do đó P’M và có ảnh là N’ thì P’N

PM’  d. Tương tự nếu N nằm trên (S)

PN’  d.

Bây giờ , áp dụng định lí Pascal cho lục giác PM’NP’MN’ thì ta thấy ngay giao điểm của MN’ và M’N nằm trên d.

71

Định nghĩa 3.5.1 Một biến đổi xạ ảnh f : (S)  (S) của ôvan (S) gọi là phép đối hợp của (S) nếu f 2 = Id(S), hay f = f -1. Định lí 3.5.2 ( Định lí Frégier )Nếu f : (S)  (S) là phép đối hợp của đường ôvan (S), khác với phép đồng nhất, thì đường thẳng nối hai điểm tương ứng bất kì luôn đi qua một điểm cố định, gọi là điểm Frégier của f. Chứng minh. Vì f là biến đổi xạ ảnh của (S) nên với hai điểm bất kì M, N của (S) và ảnh M’, N’ của chúng, ta có giao điểm M’N MN’ luôn nằm trên đường thẳng d cố định. Vì f là phép đối hợp nên nếu M’ = f(M) thì M = f(M’), cho nên đối với cặp điểm M, M’, ta có ảnh của chúng là cặp điểm M’, M. Bởi vậy, giao điểm của hai tiếp tuyến của (S) tại M và M’ nằm trên d, tức là d đi qua điểm đối cực của MM’. Từ đó suy ra đường thẳng MM’ đi qua điểm F là điểm đối cực của đường thẳng d. Ngược lại, ta có định lí sau là định lí đảo của Định lí Frégier Định lí 3.5.3 ( Định líđảo Định lí Frégier)Cho một điểm F cố dịnh không nằm trên ôvan (S). Với mỗi điểm M  (S) ta lấy điểm M’  (S) sao cho F, M, M’ thẳng hàng. Khi đó, ánh xạf : (S)  (S) mà f(M) = M’ là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S). Chứng minh. Gọi M, N là hai điểm của (S) và M’ = f(M), N’ = f(N). Khi đó có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f ’ sao cho f ’(M) = M’, f ’(N) = N, f ’(M’) = M. Dễ thấy rằng, f ’ là phép đối hợp với điểm Frégier là F, và hiển nhiên f ’ trùng với f. 3.6 Đối ngẫu của định lí Frégier Cho a, b, c, d là bốn tiếp tuyến phân biệt của đường ôvan (S). Nếu m là tiếp tuyến thay đổi của (S) cắt a, b, c, d lần lượt tại A, B, C, D thì do đối ngẫu, ta có tỉ số kép [A, B, C, D] không phụ thuộc m, nó được gọi là tỉ số kép của bốn tiếp tuyến a, b, c, d và kí hiệu là [a, b, c, d](S). Ta kí hiệu (S*) là tập hợp các tiếp tuyến của đương ôvan (S) (nói khác đi, (S*) là tuyến lớp hai suy biến). Một ánh xạ F : (S*)  (S*) gọi là ánh xạ xạ ảnh của tuyến lớp hai (S*) nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng thuộc (S*). Các định lí sau đây là đối ngẫu của định lí Frégier thuận và đảo. Định lí 3.6.1 ( Định lí thuận ) Nếu ánh xạ xạ ảnhF : (S*)  (S*) là đối hợp ( nghĩa là F2 =

) thì giao điểm các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường thẳng cố

định (gọi là đường thẳng Frégier của F). 72

Định lí 3.6.2 ( Định lí đảo )Cho một đường thẳng cố định d không thuộc (S*). Với mỗi đường thẳng a tiếp với (S) sao cho a và F(a) cắt nhau trên d thì ta được ánh xạF : (S*)  (S*) là phép xạ ảnh đối hợp. 3.7 Biến đổi xạ ảnh đối hợp của đƣờng thẳng. Định lí Desargues thứ hai 3.7.1 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đƣờng thẳng. Phép biến đổi xạ ảnh f: Pn Pn được gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (hoặc gọi tắt là phép đối hợp) của Pn nếu f2 = . Các ví dụ của phép đối hợp là: Phép đồng nhất, phép thấu xạ cặp với tỉ số bằng – 1. Trong mục này chúng ta chỉ xét các phép đối hợp của đường thẳng xạ ảnh. Định lí 3.7.1. Cho s là đường thẳng trong Pn. Phép biến đổi xạ ảnh khác phép đồng nhất f: s s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M và sao cho = f(M) và M = f( ). Chứng minh. Nếu f là phép đối hợp khác phép đồng nhất của s thì hiển nhiên có cặp điểm M, như thế. Ngược lại, giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s và có M và sao cho M = f( ) và = f(M). Với mọi điểm N (N M) ta gọi = f(N) và = f( ) thì ta có [M, , N, ] = [ , M, , ] = [M, , , ]. Suy ra = N, vậy f là phép đối hợp. Định lí 3.7.2 ( Về điểm bất động của phép đối hợp ). Cho phép đối hợp f: s s của đường thẳng s khác phép đồng nhất. Nếu f có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa Q khác P và nếu điểm M của s có điểm khác M thì [P, Q, M, ] = 1. Chứng minh. Vì f là phép đối hợp không phải là phép đồng nhất nên có cặp điểm phân biệt A và thuộc s sao cho , = A. Giả sử f có điểm bất động P, điểm X thuộc s là điểm bất động của f khi và chỉ khi [A, , P, X] = [ , A, P, X], tức là khi và chỉ khi: [A,

, P, X] =

hay [A,

, P, X] =

1.

Nếu [A, , P, X] = 1 thì X chính là điểm P. Nếu [A, , P, X] = 1, thì ta gọi X là Q, là điểm bất động thứ hai. Không thể có điểm bất động thứ ba vì f khác phép đồng nhất. Bây giờ gọi M là điểm bất kì của s và = f(M) khác M thì [P, Q, M, ] = [P, Q, , M] nên [P, Q, M, ] = 1.

73

Hệ quả 3.7.1 Nếu f: s s là phép đối hợp khác phép đồng nhất của đường thẳng s thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất động. Nếu f không có điểm bất động thì ta gọi nó là phép đối hợp eliptic. Nếu f có hai điểm bất động thì ta gọi nó là phép đối hợp hypebolic. Định lí3.7.3( Về sựxác định một phép đối hợp ) Một phép đối hợp f, khác phép đồng nhất, của đường thẳng s được xác định nếu cho hai điểm phân biệt A, B thuộc s và ảnh của chúng. Chứng minh. Nếu = A và = B thì f là phép đối hợp hypebolic nên ảnh của điểm M là điểm sao cho [A, B, M, ] = 1. Vậy được xác định. Nếu một trong hai điểm A, B không bất động, chẳng hạn, nếu A không trùng , thì có phép biển đổi xạ ảnh duy nhất của s biến A thành , biến thành A và biến B thành . Đó chính là phép đối hợp f đã cho. 3.7.2 Chùm đƣờng bậc hai. Định lí Desargues thứ hai Trong P2 cho 4 điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Tập hợp các đường bậc hai đi qua bốn điểm đó được gọi là một chùm đường bậc hai, kí hiệu là S(A, B C, D). Bốn điểm A, B, C, D được gọi là cơ sở của chùm. Trong số các đường bậc hai của chùm S(A, B, C, D) có 3 đường bậc hai suy biến thành các cặp đường thẳng. Đó là các cặp đường thẳng: AB và CD, AC và BD, AD và BC. Ngoài ra các đường bậc hai khác đều là đường ôvan. Rõ ràng là nếu điểm E không trùng với các điểm A, B, C, D thì có một đường bậc hai duy nhất của chùm đi qua E.

Định lí3.7.4 (Định lí Desargues thứ hai ) Trong P2 cho một chùm đường bậc hai S(A, B, C, D) và đường thẳng s không đi qua A, B, C, D. Khi đó mỗi đường bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tương ứng với nhau trong một phép đối hợp xác B định của s.

C A P s

R M

74

D

Q

Chứng minh. Giả sử (S) là một đường bậc hai nào đó của chùm, tức là (S) đi qua A, B, C, D. Ta gọi M và là giao điểm của (S) và s thì ta có lục giác ABCDM nội tiếp (S). Theo định lí Pascal, ba điểm P = AB DM, Q = BC M , R = CD A thẳng hàng. Gọi: : s AB là phép chiếu xuyên tâm, với tâm D. : AB CD là phép chiếu xuyên tâm, với tâm Q. : CD s là phép chiếu xuyên tâm, với tâm A. Khi đó tích f = : s s là phép biến đổi xạ ảnh của s biến M thành . Nếu (S) là đường bậc hai của chùm, nhưng không phải là đường ôvan, chẳng hạn (S) là cặp đường thẳng AB và CD và (S) cắt s tại N và , thì cũng dễ thấy rằng f(N) = . Ngoài ra, hiển nhiên f là phép đối hợp. 3.7.3 Đối ngẫu của định lí Desarguesthứ hai Kí hiệu {I} là chùm đường thẳng có tâm là điểm I. Một ánh xạ F: {I} {I} được gọi là biến đổi xạ ảnh của chùm {I} nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì. Nếu ngoài ra F2 =

thì F được gọi là phép đối hợp của chùm {I}.

Định lí sau đây là định lí đối ngẫu của định lí Đơdác thứ hai: Định lí3.7.5 Xét tập hợp các đường bậc hai tiếp xúc với bốn đường thẳng cho trước a, b, c, d trong đó không có ba đường nào đồng quy. Gọi I là một điểm không nằm trên a, b, c, d. Khi đó hai giao tuyến từ điểm I của mỗi đường bậc hai nói trên sẽ tương ứng với nhau trong cùng một phép đối hợp xác định của chùm {I}. Chú ý. Bốn đường thẳng a, b, c, d làm thành một hình bốn cạnh toàn phần. Các cặp đường thẳng nối điểm I với hai đỉnh đối diện của hình bốn đỉnh toàn phần đó cũng tương ứng với nhau qua phép đối hợp nói trên.

75

C. BÀI TẬP CHƢƠNG III 1. Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 cho mục tiêu { , , ; E}. Viết phương trình các đường bậc hai trong mỗi trường hợp sau đây: a. Đi qua ba điểm b.Đi qua bốn điểm và E. c.Đi qua năm điểm E và A = (1: 1: 1). d.Đi qua năm điểm (0: 0: 1), (0: 1: 1), (1: 0: 1), (2: 5: 1) và ( 5: 2: 1). 2. Trong P2 cho phương trình của bốn đường thẳng phân biệt có phương trình: = + + = 0, i = 1, 2, 3, 4. Chứng minh rằng, đường bậc hai (S) đi qua giao điểm của và , và , và , và có phương trình: k +l = 0, trong đó k, l là hai số không đồng thời bằng 0. Áp dụng kết quả đó để giải các bài tập b, c, d của bài 1. 3. Trong P2 cho đường bậc hai (S) và ( ) cắt nhau tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Giả sử đối với một mục tiêu nào đó (S) và ( ) lần lượt có phương trình A(X) = 0, và (X) = 0. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một đường bậc hai đi qua A, B, C, D là phương trình của nó có dạng: k( A(X)) + l( ) = 0, trong đó k và l là hai số không đồng thời bằng 0. 4. Chứng minh rằng mặt kẻ bậc hai trong P3: đường thẳng.

= 0 có chứa những

5. Gọi tên các đường bậc hai sau đây trong P2: a. 2 + +2 + +3 = 0. + + = 0. c. 4 + 2 + 16 = 0. d. 2 + 4 = 0. 6. Đối với mục tiêu đã chọn trong P2, cho ôvan có phương trình: 76

+

+

= 0.

Chứng minh rằng ba đỉnh của mục tiêu đôi một liên hợp với nhau đối với ôvan đó. 7. Trong Pn cho mục tiêu { ; E}. Viết phương trình các siêu mặt bậc hai (S) sao cho và

(i

j) liên hợp với nhau đối với (S).

8. Trong P2 với mục tiêu { ; E} cho đường bậc hai (S) có phương trình + + = 0. a.Chứng minh rằng, hai điểm: A = (1: 0: 0) và B = (1: 1: 0) liên hợp với nhau đối với (S). b. Tìm tọa độ điểm C liên hợp với cả A và B. c. Viết phương trình của (S) trong mục tiêu { , , , E}, trong đó = A, = B và = C. 9. Chứng minh rằng nếu trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S) thì luôn luôn tìm được n + 1 điểm độc lập , i = 0, 1, …, n sao cho

và

(i

j) liên hợp với nhau đối với (S).

10. Trong P2 cho đường bậc hai (S) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng và đôi một liên hợp với nhau đối với (S). Một đường thẳng m cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại P, Q, R. Gọi , , là các điểm lần lượt nằm trên AB, BC, CA và lần lượt liên hợp với P, Q, R đối với (S). Chứng minh rằng ba đường thẳng A , B , C đồng quy. 11. Trong P2 cho ôvan (S), ba điểm độc lập A, B, C và ba điểm độc lập , , sao cho các đường thẳng , lần lượt là đường thẳng đối cực của A, B, C đối với (S). Chứng minh: a. Các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt là đối cực của , , đối với (S). b. Các đường thẳng , , đồng quy. 12. Chứng minh rằng, nếu hình bốn đỉnh toàn phần có 4 đỉnh nằm trên một ôvan thì ba điểm chéo của nó đôi một liên hợp với nhau đối với ôvan đó. Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đối cực của một điểm đối với ôvan cho trước cũng như cách dựng tiếp tuyến của ôvan từ một điểm (chỉ dùng thước thẳng). 13. Trong P3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình: + 77

+

= 0.

a.Tìm điểm kì dị của (S). Chứng tỏ rằng đó là một mặt nón. b. Tìm phương trình mặt phẳng đối cực của điểm (1: 0: 0: 0) đối với (S). c. Giao (S) là đường gì? 14. Trong P3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình: +

= 0.

a.Tìm điểm kì dị của (S). b. Chứng tỏ rằng, (S) là cặp mặt phẳng, tìm phương trình của các mặt phẳng đó. Các bài tập sau đây đều xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực. 15. Cho hai đường thẳng cố định a, b và ba điểm phân biệt P, Q, R cố định không nằm trên chúng. Một đường thẳng thay đổi đi qua P và cắt a và b lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích giao điểm của QB và RA, của QA và RB (xét hai trường hợp P, Q, R thẳng hàng và không thẳng hàng). Phát biểu bài toán đối ngẫu. 16. Cho đường ôvan (S) và hai điểm A, B cố định trên nó, một đường thẳng d cố định không đi qua A và B. Với mỗi điểm M thay đổi trên d, các đường thẳng AM và BM lần lượt cắt d tại và . Tìm quỹ tích giao điểm của A và B. 17. Chứng minh rằng, nếu hai hình bốn đỉnh toàn phần có cùng chung ba điểm chéo thì 8 đỉnh của chúng nằm trên một đường bậc hai. 18. Giải các bài toán dựng hình sau đây trong P2, chỉ dùng thước thẳng: Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. a.Dựng giao điểm của một đường thẳng a đi qua A và đường ôvan (S) đi qua 5 điểm đó. b. Dựng tiếp tuyến tại A của đường ôvan (S) nói trên. c. Dựng đường thẳng đối cực của một điểm F đối với (S). 19. Gọi (S) là đường ôvan thay đổi đi qua 4 điểm A, B, C, D cho trước. Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến của (S) tại hai trong 4 điểm đó.

78

20. Trên đường thẳng s với mục tiêu xạ ảnh đã chọn cho các điểm A = (1: 2); = (1: 3), B = (1: 4), = (1: 5). a. Viết biểu thức tọa độ của phép đối hợp biến A thành , biến B thành . b. Tìm tọa độ các điểm P, Q của s sao cho [P, Q, A, ] = [P, Q, B, ].

79

Tài liệu tham khảo [1]. Văn Như Cương, Kiều Huy Luận, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 1976. [2]. Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục, 2002. [3]. Nguyễn Mộng Hy,Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2003. [4]. Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2003. [5]. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính, Đại số tuyến tính và hình học (tập 2: đại số tuyến tính và hình học afin), NXB Giáo dục, 1988.

80

81