Bacalaureat 2023 Matematica M Mate Info [PDF]

Zitiervorschau

Gheorghe Iurea Petru Rducanu

EL

A

Ioan erdean

45

Adrian Zanoschi Gabriel Popa

PA

R

AL

Bacalaureat 2023 Matematic M_mate-info

ED

IT

U

R

A

Teme recapitulative 65 de teste, dup modelul M.E. Breviar teoretic

Editura Paralela 45

51

A EL

PA

I. Zanoschi, Adrian II. Iurea, Gheorghe III. Popa, Gabriel

R

AL

'HVFULHUHD&,3D%LEOLRWHFLL1DĠLRQDOHD5RPkQLHL %DFDODXUHDWPDWHPDWLFă0BPDWHLQIRWHPHUHFDSLWXODWLYH  GHWHVWHGXSăPRGHOXO0(EUHYLDUWHRUHWLF / Adrian Zanoschi, Gheorghe Iurea, Gabriel Popa, .... - Piteti : Paralela 45, 2022 Conine bibliografie ISBN 978-973-47-3696-6

ED

IT

U

R

A

Editura Paralela 45

Redactare: Iuliana Ene Corectur: autorii Tehnoredactare: Mioara Benza Pregtire de tipar: Marius Badea Design copert: Mirona Pintilie

45

Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unitile de învmânt preuniversitar prin O.M.E.C. nr. 3022/08.01.2018. Lucrarea este elaborat conform programei colare în vigoare pentru bacalaureat.

Copyright ¤ Editura Paralela 45, 2022 Prezenta lucrare folosete denumiri ce constituie mrci înregistrate, iar coninutul este protejat de legislaia privind dreptul de proprietate intelectual. www.edituraparalela45.ro

45

1.1. Mulimi i elemente de logic matematic

Cuvânt-înainte

Autorii

ED

IT

U

R

A

PA

R

AL

EL

A

Examenul de bacalaureat reprezint pentru fiecare tânr o plac turnant în devenirea lui intelectual i personal, având menirea de a certifica pregtirea tiinific i competenele dobândite în liceu, dar i de a deschide un orizont profesional sau academic adecvat fiecruia. În consecin, performana la acest examen, i îndeosebi la disciplina matematic, presupune un efort de pregtire constant, atât pentru parcurgerea coninuturilor, cât i pentru fixare, sistematizare, recapitulare. Lucrarea de fa îi propune s fie un ghid eficient, cu o strategie complet, care s rspund tuturor exigenelor disciplinei i probelor de examen. Prima parte a lucrrii conine probleme grupate pe teme, urmrind acoperirea complet a programei. Acolo unde o anumit tem nu era destul de bine reprezentat, în variantele examenelor din anii precedeni, au fost adugate probleme clasice, pentru o mai bun aprofundare a subiectului. Astfel, un elev îi poate alege singur un capitol pe care vrea s îl repete i gsete în carte un numr suficient de exerciii cu ajutorul crora s-i ating scopul. Problemele sunt însoite de soluii detaliate i de comentarii metodice, unele dintre ele având chiar mai multe rezolvri. Partea a doua cuprinde 65 de teste, însoite de rspunsuri i de rezolvri, iar la sfârit exist un breviar teoretic, care conine principalele noiuni prevzute în program. Cartea se adreseaz celor care se pregtesc pentru bacalaureatul la matematic, indiferent de profilul liceului pe care îl urmeaz. Din acest motiv, problemele sunt structurate pe dou niveluri, cele mai dificile fiind evideniate printr-o stelu. Elevii care nu urmeaz profilul matematic-informatic pot parcurge doar problemele fr stelu. Lucrarea poate fi folosit i pentru învarea curent, deoarece permite elevilor s se antreneze în condiii reale, de bacalaureat. Ea se poate dovedi un instrument util profesorilor i elevilor în vederea recapitulrii materiei la finalul unui capitol sau la sfâritul anului colar.

5

1.1. Mulimi i elemente de logic matematic

A

EL

Clasa a IX-a

45

Teme recapitulative

AL

1.1. Mulimi i elemente de logic matematic

1. Se consider intervalele A = (–4, 4] i B = (–2, 7). Determinai (A ∩ B) ∩ ]. 5 , c = 2,(51) i d = 2,51. 2 −1

R

2. Ordonai cresctor numerele a = 2,5(1), b =

PA

§ 21 14 ·§ 2· 3. Artai c numrul a = ¨ 168 + 4 −6 ¸¨ 4 ¸ este natural. 2 3 ¹© 3¹ © 1 1 1 4. Artai c numrul b = + + ... + este natural. 1+ 2 2+ 3 8+ 9

5. Se consider numerele a =

98 − 32 − 8 i b =

162 + 18 + 72. Calculai

media aritmetic i media geometric ale numerelor a i b.

A

6. Determinai numerele raionale a i b, tiind c

(

2+ 6

R

7. Demonstrai c, dac x ∈ [0, 51], atunci numrul a =

)

2

= a −b 3.

x + 49 + x + 625 se afl

în intervalul [32, 36].

U

8. Fie E(x, y) =

x 2 − 2 x + 5 + y 2 + 6 y + 10 , unde x, y ∈ \. Artai c E(x, y) ≥ 3,

pentru orice x, y ∈ \.

IT

9. Stabilii câte numere iraionale conine mulimea

{

1,

2,

3, ..., 199,

}

200 .

ED

10. Calculai: ª5º ª 5º a) « » + « − » ; ¬3¼ ¬ 2¼

b) {1,64} – {–2,36};

c) ª¬ 2 º¼ + ª¬ 3 º¼ + ª¬ 2 + 3 º¼ ;

d)

{ 2 } + { 3} − {

}

2+ 3 .

7

Enunuri • Clasa a IX-a

a) |x – 2| = 5; c) |1 – 2x| = |x + 4|; 12. Rezolvai în \ inecuaiile:

b) |x – 1| + |2 – 2x| = 12; d) |x2 – 1| + |x + 1| = 0.

A

a) |1 – 2x| ≤ 3; b) |x + 3| ≥ 4. 13. Determinai numrul elementelor mulimii A = {x ∈ ] | µ2x + 1µ ≤ 100}.

45

11. Rezolvai în \ ecuaiile:

EL

14. Artai c valoarea expresiei E(x) = |4x – 8| – 2|4 – 2x| nu depinde de numrul real x. 15. Demonstrai c |2x – 3| + 2|x – 1| ≥ 1, pentru orice numr real x. 16. Demonstrai c x2 + 3x + 3 > 0, pentru orice x ∈ \. 17. Fie E(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1, unde x ∈ \. Demonstrai c:

AL

a) E(x) = (x2 + 1)(x2 + x + 1), oricare ar fi x ∈ \;

3 , oricare ar fi x ∈ \. 4 18. Demonstrai c, dac x, y ∈ [2, ∞), atunci xy – 2x – 2y + 6 ∈ [2, ∞). 19. Demonstrai, prin inducie, c urmtoarele egaliti sunt adevrate pentru orice

R

b) E(x) >

PA

n ∈ `*:

a) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2; n 1 1 1 + + ... + = . b) 1⋅ 5 5 ⋅ 9 (4n − 3)(4n + 1) 4n + 1

20. Demonstrai, prin inducie, c urmtoarele inegaliti sunt adevrate pentru orice

U

R

A

numr natural n care îndeplinete condiia indicat: a) 2n > 2n + 1, n ≥ 3; 1 3 5 2n − 1 1 < , n ≥ 1. b) ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ 2 4 6 2n 2n + 1 21. Demonstrai c numrul 13n + 7n – 2 se divide cu 6, oricare ar fi n ∈ `.

ED

IT

22. Aflai câte numere naturale de trei cifre au suma cifrelor egal cu 25. 23. Stabilii câte numere naturale de patru cifre se pot forma utilizând cifrele 0, 1, 2, 3. 24. Stabilii câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma utilizând cifrele 1, 2, 3, 4, 5. 25. Aflai câte numere de trei cifre au exact dou cifre egale. 26. Aflai câte numere naturale de trei cifre au produsul cifrelor egal cu 0. 27. Se consider mulimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Aflai câte perechi (a, b) ∈ A × A au proprietatea c produsul a ⋅ b este impar.

8

1.2. Progresii

a) Aflai câte dintre elementele mulimii A se divid cu 6 i cu 8. b) Aflai câte dintre elementele mulimii A se divid cu 6, dar nu se divid cu 8. c) Determinai câte dintre elementele mulimii A se divid cu 6 sau cu 8.

A

1.2. Progresii

45

28. Se consider mulimea A = {1, 2, 3, …, 199, 200}.

EL

1. Determinai primul termen al progresiei aritmetice a1, a2, 13, 17, 21, … . 2. Fie (an)n ≥ 1 o progresie aritmetic de raie 2, în care a3 + a4 = 8. Determinai a1. 3. Se consider progresia aritmetic (an)n ≥ 1, astfel încât a3 = 5 i a5 = 9. Calculai suma primilor apte termeni ai progresiei.

AL

4. Stabilii dac numrul 2007 aparine progresiei aritmetice 2, 7, 12, 17, … . 5. Determinai numrul real x, tiind c numerele 2, x i x + 4 sunt în progresie

10. 11.

A

9.

PA

R

6. 7. 8.

aritmetic. Calculai suma 1 + 4 + 7 + … + 31. Determinai numrul natural n din egalitatea 1 + 5 + 9 + … + n = 231. Artai c irul (an)n ≥ 1, an = 3n – 2 este o progresie aritmetic. Determinai n, dac a1 + a2 + … + an = 51. Calculai suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1, dac: a4 – a2 = 4 i a1 + a3 + a5 + a6 = 30. Gsii suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1, dac: a6 + a9 + a12 + a15 = 20. Fie (an)n≥1 un ir cu proprietatea c a1 + a2 + ... + an = n2 + 2n, oricare ar fi n ∈ `*. Artai c irul (an)n≥1 este o progresie aritmetic.

R

12*. Demonstrai c nu exist nicio progresie aritmetic având ca termeni (nu neaprat consecutivi) numerele 1, 2 i 3 . 13 . Se consider mulimea M = {1, 2, …, 10}. Câte progresii aritmetice de trei elemente, cu raia pozitiv, se pot forma cu elementele lui M? 14. Determinai numrul real pozitiv x, tiind c x, 6 i x – 5 sunt în progresie geometric. 15. Determinai primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi b1, 6, b3, 24, … . 16. tiind c doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b3 = 2 i b5 = 4, determinai b7. 17. Calculai raia progresiei geometrice (bn)n ≥ 1, cu termeni pozitivi, dac b1 + b2 = 3 i b3 + b4 = 12.

ED

IT

U

*

9

Enunuri • Clasa a IX-a

7 8

iar a1 − a2 + a3 = .

1 1 1 + ... + 2008 . Demonstrai c s ∈ (1, 2). 2 2 2 2 Artai c 2(1 + 3 + 32 + … + 38) < 39. Calculai s = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 2100. Artai c irul (bn)n ≥ 1, bn = 6 ⋅ 2n – 2, n ≥ 1 este o progresie geometric. Determinai n dac b1 + b2 + … + bn = 93. Fie (bn)n ≥ 1 un ir cu proprietatea c b1 + b2 + … + bn = 10n – 1, oricare ar fi n ∈ `*.

AL

Artai c irul (bn)n ≥ 1 este o progresie geometric.

EL

23.

A

19. Se consider numrul real s = 1 + + 20. 21. 22.

7 , 16

45

18. Determinai primul termen i raia unei progresii geometrice, dac a1 + a4 =

24. Determinai numerele reale a, b, dac numerele 2, a, b sunt în progresie geometric, iar numerele 2, 4, a sunt în progresie aritmetic. 25 . Fie (xn)n ≥ 0 un ir pentru care x0 = 1, iar 2xn+1 = xn + 2, oricare ar fi n ∈ `. *

R

a) Artai c irul (bn)n ≥ 1 definit prin bn = xn – xn–1, oricare ar fi n ∈ `*, este o

PA

progresie geometric. b) Determinai formula termenului general al irului (xn)n ≥ 0.

1.3. Funcii. Funcia liniar

A

1. a) Se consider funcia f : \ → \, f (x) = − x − 1. Calculai produsul P = f (− 9) ⋅

R

⋅ f (− 8) ⋅ ... ⋅ f (8) ⋅ f (9). b) Se consider funcia f : \ → \, f (x) = x2 + 2x + 3. Calculai suma S = f (1) + + f (2) + ... + f (10).

U

c) Se consider funcia f : \* → \, f (x) =

x +1 . Calculai produsul P = f (1) ⋅ x

⋅ f (2) ⋅ ... ⋅ f (100).

IT

2. Determinai numrul funciilor f : {1, 2, 3, 4}→ {1, 2, 3, 4, 5, 6} cu proprietatea:

ED

a) f (1) = f (3); b) f (1) ≠ f (3); c) f (1) = 2 f (3). 3. Determinai numrul funciilor f : {0, 1, 2}→ {0, 1, 2} astfel încât f (1) ⋅ f (2) = 0.

4. Determinai domeniul maxim de definiie al funciei f : D → \, unde: a) f (x) =

10

x ; x −9 2

b) f (x) =

x ; x − 3x + 2 2

c) f (x) = x 3 − x 2 .

1.3. Funcii. Funcia liniar

x2 + 5x + 6 . Determinai x −1 coordonatele punctelor de intersecie dintre graficul funciei f i axele de coordonate. 1 6. a) Artai c funcia f : \* → \, f (x) = x3 − este impar. x b) Artai c funcia f : \ → \, f (x) = x2 + |x| este par.

A

45

5. Se consider funcia f : \ \ {1} → \, f (x) =

EL

c) Determinai numrul funciilor impare f : {− 1, 0, 1}→ {− 1, 0, 1}. x + 1½ 7. Demonstrai c 3 este o perioad a funciei f : \ → \, f (x) = ­® ¾ (unde {⋅} ¯ 3 ¿

AL

reprezint partea fracionar). 8. Se consider funcia f : \ → \, f (x) = x + x2. Calculai (f ) f ) f )(1).

9. Se consider funciile f, g : \ → \, f (x) = x − 1 i g(x) = x2 + 1. Determinai

R

funciile f ) g i g ) f. 10. Se consider funciile f, g : \ → \, f (x) = ax + b i g(x) = x2 − x. Determinai

PA

numerele reale a i b, astfel încât f ) g = g ) f. 11. Fie funciile f : (0, +∞) → (1, +∞), f (x) = x2 +1 i g : (1, +∞) → (0, +∞), g(x) = = x − 1 . Determinai funciile f ) g i g ) f. Sunt egale funciile f ) g i g ) f ? ­2 − 3x , x < 2 12*. Se consider funciile: f, g : \ → \, f (x) = ® , iar g(x) = ¯ x − 1, x ≥ 2

A

­ x − 1, x < 0 . Determinai f + g, f – g, f ⋅ g i f ) g. = ® ¯2 x − 4, x ≥ 0

R

13. a) Se consider dreapta de ecuaie d : 2x + y − 1 = 0. Determinai funcia care are

ED

IT

U

ca grafic dreapta d. b) Exist o funcie al crui grafic s fie dreapta d' : 2x + 1 = 0? Dar pentru dreapta d'' : 2y + 1 = 0? 14. Determinai funcia de gradul I al crei grafic trece prin punctul A(0, − 2) i pentru care f (1) = 2. ­2 x + 1, x < 1 15. Fie funcia f : \ → \, f (x) = ® . Determinai numrul real a, tiind c ¯ x − 1, x ≥ 1 punctul A(a, 2) se afl pe graficul funciei f. 16. Se consider funcia f : \ → \, f (x) = 2x – 6. Determinai aria triunghiului format de graficul funciei f i axele sistemului de coordonate.

11

Enunuri • Clasa a X-a

45

Clasa a X-a

A

2.1. Radicali i logaritmi a) 2 14 −

8 1 7 −5 = ; 7 2 14

3 + 11 − 6 2 − 5 − 2 6 = 3 ;

b)

AL

6 + 8 + 12 + 24 = 1 + 2 + 3 .

c)

EL

1. Artai c:

2. Se consider numerele a = 3 − 3 i b = 3 + 3 . Artai c

1 §a b· ¨ + ¸ ∈ _. 6©b a¹

R

3. Artai c numrul a = 17 + 12 2 − 3 − 2 2 − 6 + 4 2 ∈ _.

a)

3

c)

2 2− 2;

PA

4. Calculai ª¬ 2 − 3 3 º¼ ([x] reprezint partea întreag a lui x). 5. Aducei la o form mai simpl:

2 −1 ⋅ 4 3 + 2 2 ;

6 ⋅ 3 18 : 6

d)

27 ⋅ 3 3 3 ⋅ 3 9 3 .

R

A

6. a) Aducei la forma cea mai simpl: E ( x, y ) = 4 ∈ (0, +∞).

U

b) Artai c numrul a = 3

3 ; 2

b)

7

§ 12 y · : ¨ 8 ¸ , unde x, y ∈ x ¨© x ¸¹

x3 y y2

4 4 27 9 16 ⋅ este raional. 3 ⋅ 3 2 312 3

IT

7. Se consider E(x) = x 3 x 2 x , unde x  0. Calculai E(a), unde a = 11 8 . 8. a) Fie a = 2 ⋅ 4 2 ⋅ 8 2 ⋅ 16 2 i b = 16 2 . Artai c a ⋅ b este numr raional.

ED

b) Artai c numrul a = 3 + 5 ⋅ 3 5 − 1 ⋅ 6 7 − 3 5 ∈ _. k

3 7−k

5

9. Determinai numrul natural k, dac ( x )

§1· ⋅ ¨ ¸ = x, pentru orice x > 0. © x¹

10. Ordonai cresctor numerele: a)

24

2,

3

4 i

4

5;

b)

3

2 2,

4

27 3 i

3

4.

2.1. Radicali i logaritmi

a) a = 2 + 7 i b =

3+ 6 ;

b) a = 13 − 12 i b = 12 − 11 .

12. Comparai numerele a = 1 + 2 i b = 3 2 + 3 13. Calculai:

8

c) log

2

4 3 2;

.

14. Ordonai cresctor numerele a = − 3 64, b = log 3

d) log2

4 2 ; 3 2

A

e) 41−log2

b) log2 0,125;

EL

a) log2 8 2 ;

45

11. Comparai numerele:

1 1 i c = log 2 . 27 32

15. a) Artai c numrul a = log4 8 + log9 27 − 3 8 este natural.

a) log2 6 + 8 + log2 6 − 8 − log27;

AL

b) Demonstrai c numrul b = log 3 3 3 + log 1 4 este întreg.

c) log 2 3 ⋅ log 3 5 ⋅ log5 8 ;

d)

2

)

(

)

PA

(

17. Calculai:

a) log2 8 ⋅ log3 9 ⋅ log5

b) lg 0,01 + 2log2 3 − 9log3 5 ;

R

16. Calculai:

5;

log 3 5 ⋅ log7 11 . log 7 5 ⋅ log 3 11

b) log2 8 2 – log3 3 3.

18. Aducei la o form mai simpl:

A

a) log 3 9 + log 1 3 ; 3

b)

1 2 3 + − ; log 3 2 log 9 4 log 27 8

R

c) log11 3 ⋅ log 7 5 − log 7 3 ⋅ log11 5 . 19. Artai c numrul a este raional, unde:

U

a) a = log25100 ⋅ log1625 – 2log165;

b) a =

log 2 24 log 2 192 − ; log 96 2 log12 2

log 2 12 log 2 6 − . log 3 2 log 24 2 9 3 20. Artai c numrul a = log 3 + log 1 este natural. 2+ 3 3 5+2 6 21. Care numr este mai mare? b) log2 3 sau 2; c) log0,3 2 sau log0,3 3; a) log3 5 sau log3 4; e) log3 5 sau log4 5. d) log 1 4 sau –1;

ED

IT

c) a = log2 9 +

3

25

Enunuri • Clasa a X-a

b) 1 < log 3 4
0, ∀ x ∈ \. 17. b) E(x) = (x2 + 1) ¨ ¨ x + ¸ + ¸ > , ∀ x ∈ \. 18. xy – 2¹ 4¹ 4 2¹ 4 © ©© – 2x – 2y + 6 = (x – 2)(y – 2) + 2 ∈ [2, +∞), ∀ x, y ∈ [2, +∞). 21. Fie P(n) = 13n + 7n – 2 # 6,

unde n ∈ `. Pentru n = 0 avem 130 + 70 – 2 # 6, deci P(0) este adevrat. Presupunem c P(k)

R

A

este adevrat pentru un numr natural k; atunci 13k + 7k – 2 = 6p, cu p ∈ `. Rezult c 13k+1 + + 7k+1 – 2 = 13 13k + 7k+1 – 2 = 13(6p + 2 – 7k) + 7 7k – 2 = 6 13p – 6 7k + 24 = 6(13p – – 7k + 4) # 6, deci P(k + 1) este adevrat, Drept urmare, P(n) este adevrat pentru orice n ∈ `. 22. 6. 23. 192. 24. 60. 25. 243. 26. 171. 27. 16. 28. a) 8; b) 25; c) 50.

U

1.2. Progresii

ED

IT

1. a1 = 5. 2. a1 = –1. 3. Fie r raia progresiei; atunci a1 + 2r = 5 i a1 + 4r = 9. Rezult a1 = 1 i (a + a )7 = 49. 4. 2007 este al 402-lea termen al progresiei. 5. x = 6. r = 2. Prin urmare, S7 = 1 7 2 6. Este suma primilor 11 termeni ai unei progresii aritmetice cu primul termen 1 i raia 3; (1 + 31) ⋅11 avem c S11 = = 176 . 7. Termenii sumei formeaz o progresie aritmetic în care 2 a1 = 1, r = 4. Dac notm cu m numrul de termeni, atunci n = am = a1 + r(m – 1), deci n = 4m – 3. m(4m − 2) = 2m2 – m i cum m ∈ `*, obinem c m = 11, apoi n = 41. Astfel, 231 = Sm = 2 8. an+1 – an = 3, ∀ n ∈ `*, deci (an) este progresie aritmetic de raie r = 3 i a1 = 1. Apoi

234

1.2. Progresii (3n − 1)n = 51, de unde n = 6. 9. Vom avea a1 = 2, r = 2, S20 = 420. 2 10. Observm c a6 + a9 + a12 + a15 = (a1 + 5r) + (a1 + 8r) + (a1 + 11r) + (a1 + 14r) = 4a1 + 38r, (a + a ) ⋅ 20 = 10(a1 + a1 + 19r) = 10 ⋅ 10 = 100. prin urmare 2a1 + 19r = 10. Atunci S20 = 1 20 2 11. Pentru n ≥ 2 avem: an = (a1 + ... + an) – (a1 + ... + an–1) = n2 + 2n – (n – 1)2 – 2(n – 1) = = 2n + 1. Cum a1 = 12 + 2 1 = 3, rezult c an = 2n + 1, ∀ n ≥ 1. Atunci an+1 – an = 2, ∀ n ≥ 1, aadar (an)n≥1 este progresie aritmetic de raie 2. 12. Presupunem, prin absurd, c exist o progresie aritmetic (an)n≥1 în care ap = 1, aq = 2 i as = 3 , cu p, q, s ∈ `*. Atunci 1 = a1 +

+ (p – 1)r,

2 = a1 + (q – 1)r i

3 = a1 + (s – 1)r, unde r este raia progresiei (r ≠ 0).

p−q , contradicie: numrul din stânga este iraional, iar cel din −s q 2− 3 dreapta este raional. 13. Exist 8 progresii de raie 1, 6 progresii de raie 2, 4 progresii de raie 3 i 2 progresii de raie 4, în total 20 de progresii. 14. x = 9. 15. Din b32 = 6 ⋅ 24, obinem c =

b3 = 12. Raia progresiei va fi q =

AL

Deducem c

1− 2

EL

A

45

a1 + a2 + … + an = 51 Ÿ

b3 b = 2, deci b1 = 2 = 3. 16. Fie q raia progresiei; atunci b2 q

PA

R

b1q2 = 2 i b1q4 = 4. Rezult q2 = 2 i b1 = 1. Prin urmare, b7 = b1q6 = 8. 17. Fie q > 0 raia progresiei. Rezult b1 + b1q = 3 i b1q2 + b1q3 = 12. Deducem c q = 2. 18. Dac q este raia 7 7 , iar a1(1 – q + q2) = . Deducem c progresiei, atunci a1(1 + q3) = a1(1 + q)(1 – q + q2) = 16 8 9 1 1 1 3 − 1 q = – , a1 = . 19. s = 2 – 2008 ∈ (1, 2). 20. 2(1 + 3 + 32 + … + 38) = 2 ⋅ = 39 – 1 < 39. 2 2 2 2 b 2101 + 1 21. s = . 22. Deoarece n +1 = 2, ∀ n ∈ `*, (bn) este progresie geometric de raie q = 2 3 bn

R

A

i b1 = 3; b1 + b2 + … + bn = 93 ⇔ 3(2n – 1) = 93 ⇔ n = 5. 23. Analog soluiei problemei 11, avem: bn = (10n – 1) – (10n–1 – 1) = 9 10n–1, ∀ n ≥ 2. Cum b1 = 101 – 1 = 9, putem spune c b 9 ⋅10n bn = 9 10n–1, ∀ n ≥ 1. Atunci n +1 = = 10, ∀ n ≥ 1, aadar (bn)n≥1 este o progresie 9 ⋅10n−1 bn

U

geometric de raie 10. 24. Din a2 = 2b i 8 = 2 + a rezult a = 6, b = 18. 25. a)

bn +1 = bn

ED

IT

§1 · §1 · ¨ xn + 1¸ − ¨ xn −1 + 1¸ xn +1 − xn 2 2 © ¹ © ¹ = 1 , ∀ n ≥ 1, deci (b ) este o progresie geometric = = n n≥1 xn − xn −1 xn − xn −1 2

1 3 1 1 ; b) Cum b1 = − 1 = , rezult c bn = b1 qn–1 = n , ∀ n ≥ 1. Atunci xn = (xn – 2 2 2 2 3 1 – xn–1) + (xn–1 – xn–2) + ... + (x2 – x1) + x1 = bn + bn–1 + ... + b2 + = 2 – n , ∀ n ∈ `*, iar 2 2 aceast egalitate se verific i când n = 0.

de raie

235

Soluii • Clasa a IX-a

1.3. Funcii. Funcia liniar

45

1. a) 0; b) 525; c) 101. 2. a) 216; b) 64 − 63 = 1080; c) 3 ⋅36 = 108. 3. 15. 4. a) \ \ {− 3, 3};

b) \ \ {1, 2}; c) [1, +∞) ∪ {0}. 5. A1(–3, 0) i A2(–2, 0), respectiv B(0, –6). 6. c) Din f (− x) =

EL

A

= − f (x), ∀ x ∈ {−1, 0, 1}, deducem c f (0) = 0. Exist 3 funcii impare. 7. Din {a} = a − [a], § x +1 · ª x +1 º + 1¸ − « + 1» = f (x), ∀ x ∈ \. 8. 42. 9. f ) g, g ) f : \ → \, deducem c f (x + 3) = = ¨ © 3 ¹ ¬ 3 ¼ (f ) g)(x) = x2, (g ) f )(x) = x2 − 2x + 2. 10. (a, b) ∈ {(0, 0); (0, 2); (1, 0)}. 11. f ) g : (1, +∞) → → (1, +∞), (f ) g)(x) = x; g ) f : (0, +∞) → (0, +∞), (g ) f)(x) = x, deci f ) g ≠ g ) f. 12. f + g, f – g, ­1 − 2 x , x < 0 ­3 − 4 x, x < 0 ° ° f ⋅ g, f ) g : \ → \, (f + g)(x) = = ® − x − 2 , 0 ≤ x < 2 , (f – g)(x) = ®6 − 5 x, 0 ≤ x < 2 , °3x − 5, x ≥ 2 °3 − x, x ≥ 2 ¯ ¯

AL

­(2 − 3x )( x − 1), x < 0 ­ 5 − 3x, x < 0 ­ 2 − 3g ( x ), g ( x ) < 2 ° ° = ®14 − 6 x, 0 ≤ x < 3 . (fg)(x) = ®(2 − 3x )(2 x − 4), 0 ≤ x < 2 , (f ) g)(x) = ® ¯ g ( x ) − 1, g ( x ) ≥ 2 ° °( x − 1)(2 x − 4), x ≥ 2 ¯ 2 x − 5, x ≥ 3 ¯

PA

R

1 13. a) f : \ → \, f (x) = − 2x + 1; b) Nu exist; c) f : \ → \, f (x) = − . 14. f : \ → \, f (x) = 2 1 ­ ½ = 4x − 2. 15. a ∈ ® , 3¾ . 16. Interseciile graficului cu axele sunt A(0, −6) i B(3, 0), iar aria ¯2 ¿ −2 4 § 2 · ∉ (0, +∞). 18. A(0, a), B ¨ − , 0 ¸ i AB = + a2 ≥ 2 m +1 a2 © a ¹ 1 1 ≥ 4 = 2, deci AB ≥ 2. 19. x = , y = . 20. a) Im f = \; b) Im f = (−∞, 4); c) Im f = [−1, 7]. 3 3 21. 2 − 5. 22. m ∈ \ \ {2}. 23. (f ) g)(x) = −2x, f ) g este strict descresctoare. 24. Dac f (x) = 1 = ax + b, atunci (f ) f ) (x) = a2x + ab + b. Gsim a = −3 i b = − . 25. a) x = 2; b) x ∈ [2, 3]. 2 ª2 · ª 4 1º 26. a) x ∈ (2, 6]; b) x ∈ (−1, 8]; c) x ∈ « , +∞ ¸ . 27. a) x ∈ [1, 2]; b) x ∈ « − , » . 3 ¬ ¹ ¬ 3 5¼

U

R

A

triunghiului OAB este 9. 17. x =

IT

1.4. Ecuaia de gradul al II-lea. Funcia de gradul al II-lea

{

ED

1. a) S = {0, 9}; b) S = − 5, ­1 = {−1, 0}; c) S = ® , ¯2

}

{

}

5 ; c) S = {−10, 1}; d) −1− 3, 1+ 3 . 2. a) S = {−1, 2}; b) S =

½ 1¾ ; d) S = {−1, 1}. 3. a) S = [−2, 1]; b) S = [2, 3]; c) S = [−3, 0) ∪ [3, +∞). ¿ ­° 5 ± 33 ½° 1· § 4. S = {−4, −3, −2, −1, 0, 1}. 5. S = ¨ −∞, ¸ ∪ (1, +∞ ) . 6. S = (0, 1). 7. a) S = ®1, 2, ¾; 2 ¿° 2¹ © ¯° b) S = {−1, 0, 2}. 8. a) S = (–∞, 0] ∪ [3, +∞); b) S = (–∞, −2] ∪ [−1, 0] ∪ [1, +∞).

236

1.4. Ecuaia de gradul al II-lea. Funcia de gradul al II-lea

A

45

1· 3 ª1 º § 9. S = « , 1» ∪ [3, +∞). 10. Se impune condiia  > 0, de unde a ∈ ¨ −∞, ¸ ∪ (1, +∞). 11. . 8¹ 4 ¬7 ¼ © 12. a) 5x2 − 2x = 0; b) x2 − 2x − 1 = 0. 13. Ecuaia cu rdcinile y1, y2 este y2 − (y1 + y2)y + 25 25 99 + y1 ⋅ y2 = 0, deci 2y2 − 9y + 6 = 0. 14. a) ; b) − ; c) − ; d) Folosind relaia 2 x12 + 3x1 − 4 8 8 x −6 x −6 3x 5 . Deducem c E = − . 15. a) S1 = – 4 = 0 rezult c x12 = 2 − 1 i atunci E = 1 + + 2 2 6 3 x1 3x2

= 3, S2 = 17; b) Avem x12 – 3x1 – 4 = 0 i x22 – 3x2 – 4 = 0, de unde deducem c

EL

x1n+2 − 3x1n+1 − 4 x1n = 0 i x2n + 2 − 3x2n +1 − 4 x2n = 0 i, prin adunare, gsim relaia Sn+2 − 3Sn+1 − 4Sn =

PA

R

AL

1 = 0; c) S5 = 1023. 16. a) − ; b) 0; c) Ridicând la ptrat, avem x12 − 2x1x2 + x22 = 1, deci, gsim 4 1 2 m = − . 17. a)  = 4(m + m + 1) > 0, ∀ m ∈ \, deci x1, x2 ∈ \, x1 ≠ x2; b) Se impune condiia 4 x1 ⋅ x2 < 0, de unde m ∈ (− ∞, −1) ∪ (0, +∞). c) Se impun condiiile x1 ⋅ x2 > 0 i x1 + x2 > 0 care conduce la soluia m ∈ ∅. 18. Se impun condiiile  ≤ 0 i m < 0, de unde rezult c m = 1 ª8 · = − . 19. m ∈ « , +∞ ¸ . 20. Deducem c ax2 + 2(a + 1)x + a ≤ 0, ∀ x ∈ \. Se impun 2 ¬3 ¹ 1º § condiiile   0 i a < 0, deci a ∈ ¨ −∞, − » . 21. Deoarece x2 + 1 > 0, ∀ x ∈ \, deducem c 2¼ ©

­ § 17 −7 · ½ x2 + 2x − 1 ≥ a(x2 + 1), ∀ x ∈ \, deci a ∈ −∞, − 2 º¼ . 22. a) S = ®( −1, 1) ; ¨ , ¸ ¾ ; b) S = © 13 13 ¹ ¿ ¯ = {(0, −3); (1, −1)}; c) S = {(−1, 5); (−3, 19)}. 23. a) Dac notm x + y = s i x ⋅ y = p, atunci s + p = 5 i s2 − 2p = 5, deci (s, p) ∈ {(3, 2); (−5, 10)}. Obinem S = {(1, 2); (2, 1)}; b) S = ­§ 1 · § 1 · § −3 + 33 −3 − 33 · § −3 − 33 −3 + 33 · °½ , , = {(1, 2); (2, 1)}; c) S = ®¨1, ¸ ; ¨ , 1¸ ; ¨¨ ¸; ¨ ¸¾ . 12 ¸¹ ¨© 12 12 ¸¹ °¿ ¯© 2 ¹ © 2 ¹ © 12 24. Înlocuind y cu 1 − x în a doua ecuaie, obinem ecuaia 2x2 + (a − 4)x = 0, care are soluie unic pentru a = 4. Soluia S = {(0, 1)}. 25. f (x) = x2 − x. 26. f (x) = x2 − 2x + 3. 27. f (x) = 1− a a −1 = x2 − 2x – 3 i f (2) = −3. 28. Cadranul IV. 29. Avem xV = , yV = , deci xV = − yV. a a 30. Se impune condiia f (a) = b, ∀ m ∈ \* ⇔ m(a2 + 2a + 1) − 2a + 3 − b = 0, ∀ m ∈ \*.

ED

IT

U

R

A

(

Deducem c a2 + 2a + 1 = 0 i −2a + 3 − b = 0, de unde a = −1 i b = 5. 31. S = {−2, 0}. 32. a = 0 i b = 3. 33. a = −4 i b = 4. 34. Abscisa punctului de intersecie dintre d i P verific ecuaia ax2 + (a − 1)x + 3 = −x + 2 ⇔ ax2 + ax + 1 = 0. a)  = 0, de unde a = 4; b)  > 0, deci a ∈ 7½ ­ ∈ (−∞, 0)∪ (4, +∞). 35. a ∈ ®−3, − ¾ . 36. Gf ∩ Gg = {(0, 1); (2, 7)}. 37. Gf ∩ Gg = {(−1, 0); 3¿ ¯ (3, 12)}. 38. Deoarece f este strict descresctoare pe (2, +∞) i cum 2 < 1 + 2 < 1 + 3 < 3,

237

Soluii • Clasa a IX-a

(

)

(

)

ª2 40. a) [−3, +∞); b) [−2, 22]; c) [−3, 6]. 41. Im f = « , ¬3

3 , ∀ x ∈ \. 4

45

deducem c f (3) < f 1 + 3 < f 1 + 2 . 39. Folosim faptul c f (x) ≥ º 2» . ¼

A

1.5. Vectori

ED

IT

U

R

A

PA

R

AL

EL

JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1. a) AB i CD ; b) AC i BD . 2. | MN + NP + PM |= 0 . 3. a) | AB + AC + AD | = |2 AC| = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 2 = 2 2 ; b) | AB + BO | = | AO | = ; c) | OB + OA | = | DO + OA | = | DA | = 1; d) | DC − AO | = 2 JJJG JJJG JJJG JJJ G JJJG JJJG JJJG 2 = | AB + OA | = | OB | = . 4. | AB + AC | = 5 = | AB − AC | . 5. a) Ambele sume sunt egale cu 2G JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJ JJJJG JJJG JJJG AC ; b) 2 AM + BC = AB + BC = AC ; c) Ambele diferene sunt egale cu MC ; d) CA + CB = JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG = (CA + AM ) + (CB + BM ) = CM + CM = 2CM . 6. a) inând seama de faptul c ABDE i JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ACDF sunt paralelograme, avem ( AB + AE ) + ( AC + AF ) + AD = 3 AD = 6 AO ; b) PatruJJJG JJJG JJJG JJJG 1 JJJG laterul ABCO este romb, deci AC = AB + AO = AB + AD . 7. Fie O punctul de intersecie 2 a diagonalelor paralelogramului. Cum O este mijlocul diagonalelor AC i BD, avem JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG BM 1 MA + MC = 2 MO = MB + MD . 8. Din = obinem c 2BM = −CM . Avem AM = MC 2 JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG = AB + BM i AM = AC + CM . Deducem c 3 AM = 2 AB + AC , de unde rezult cerina. JJJG JJJG JJJG JJJG 2 JJJG JJJG 1 JJJG 2 JJJG JJJG 2 JJJG 2 JJJG JJJG 9. a) BP = BD = ( BA + BC ) ; b) AP = AB + BP = AB + (− AB + AD) = AB + AD . 3 3 3 3 3 JJJG JJJG 10. Vectorul b ⋅ AB are lungimea egal cu bc, la fel ca vectorul c ⋅ AC . Punctul D este JJJJG JJJG JJJJG JJJG al patrulea vârf al paralelogramului AB'DC', unde AB ′ = b ⋅ AB , AC ′ = c ⋅ AC . Cum AB = = AC, paralelogramul AB'DC' este romb, deci diagonala AD este bisectoarea unghiului 'BAC. JJJG AM AN CN 1 1 JJJG 11. Din teorema lui Thales rezult c = = 4. Deducem = , deci CN = − AC . 5 MB NC CA 5 AD AE = = 2 , conform reciprocei teoremei lui Thales, rezult c DE || BC. 13. MN 12. Din DB EC este linie mijlocie în trapezul ABCD, deci MN || AB. Apoi, NP este linie mijlocie în triunghiul ABC, aadar NP || AP. Din axioma paralelelor urmeaz coliniaritatea punctelor M, N i P. JJJG AM AN 14. Cum = = 3 , din reciproca teoremei lui Thales rezult c MN || BC. Altfel: BC = MB NC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 4 JJJG JJJJG 1 JJJG 4 JJJJG = AC – AB = ( AN − AM ) = MN , deci BC || MN. 15. AF = AE + EF = AB + 3 3 2 1 JJJG JJJG 1 JJJG 1 § 1 JJJG JJJG · 1 JJJG AB + ¨ − AB + AD ¸ = AC . Rezult c punctele A, C i F sunt + ( EA + AD) = 2 3© 2 3 ¹ 3

238

45

Cuprins Cuvânt-înainte .............................................................................................................................5

A

TEME RECAPITULATIVE

Enunuri Soluii

AL

EL

Clasa a IX-a 1.1. Mulimi i elemente de logic matematic ............................................................... 7 ..... 234 1.2. Progresii .................................................................................................................... 9 .....234 1.3. Funcii. Funcia liniar ............................................................................................ 10 ..... 236 1.4. Ecuaia de gradul al II-lea. Funcia de gradul al II-lea ............................................ 13 ..... 236 1.5. Vectori .................................................................................................................... 16 ..... 238 1.6. Trigonometrie ......................................................................................................... 19 .....239 1.7. Aplicaii ale trigonometriei în geometrie ................................................................ 21 ..... 241

PA

R

Clasa a X-a 2.1. Radicali i logaritmi ................................................................................................ 24 ..... 243 2.2. Numere complexe ................................................................................................... 26 .....244 2.3. Funcii ..................................................................................................................... 28 ..... 245 2.4. Ecuaii i inecuaii ................................................................................................... 31 ..... 247 2.5. Combinatoric ......................................................................................................... 34 ..... 250 2.6. Matematici aplicate. Probabiliti ........................................................................... 36 ..... 251 2.7. Geometrie analitic ................................................................................................. 38 ..... 253 2.8. Probleme recapitulative din materia claselor a IX-a – a X-a................................... 41 ..... 254

ED

IT

U

R

A

Clasa a XI-a 3.1. Permutri ................................................................................................................. 48 ..... 256 3.2. Matrice .................................................................................................................... 49 ..... 256 3.3. Determinani ........................................................................................................... 52 .....258 3.4. Inversa unei matrice. Ecuaii matriceale ................................................................. 56 ..... 259 3.5. Sisteme de ecuaii liniare ........................................................................................ 58 .....261 3.6. Probleme de sintez – algebr ................................................................................. 62 ..... 263 3.7. iruri ....................................................................................................................... 67 .....265 3.8. iruri date prin formule de recuren ...................................................................... 72 ..... 269 3.9. Limite de funcii ...................................................................................................... 74 ..... 271 3.10. Asimptote .............................................................................................................. 78 .....273 3.11. Funcii continue .................................................................................................... 80 ..... 274 3.12. Derivata unei funcii.............................................................................................. 82 .....276 3.13. Teorema lui Fermat. Teorema lui Rolle. Teorema lui Lagrange ........................... 85 ..... 278 3.14. Regulile lui l’Hospital ........................................................................................... 88 .....281 3.15. Rolul derivatelor de ordinul I i de ordinul al II-lea în studiul funciilor .............. 90 .....282 3.16. Reprezentarea grafic a funciilor ......................................................................... 95 ..... 289 3.17. Probleme de sintez – analiz matematic ............................................................ 98 ..... 295

EL

A

45

Clasa a XII-a 4.1. Legi de compoziie ................................................................................................ 104 .....299 4.2. Grupuri .................................................................................................................. 107 .....301 4.3. Inele i corpuri ...................................................................................................... 112 .....306 4.4. Polinoame ............................................................................................................. 115 .....310 4.5. Probleme de sintez – algebr ............................................................................... 122 ..... 315 4.6. Primitive................................................................................................................ 125 .....316 4.7. Formula Leibniz–Newton ..................................................................................... 131 ..... 319 4.8. Metode de integrare .............................................................................................. 135 .....323 4.9. Proprieti ale integralei Riemann ......................................................................... 139 .....327 4.10. Aplicaii ale integralei definite ............................................................................ 143 ..... 332 4.11. Probleme de sintez – analiz matematic .......................................................... 146 ..... 334 TESTE PENTRU BACALAUREAT, DUP MODELUL M.E.. ........................... 150 ..... 337

AL

BREVIAR TEORETIC ......................................................................................................... 367

ED

IT

U

R

A

PA

R

Bibliografie ..............................................................................................................................396