Az elméleti minimum II. [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

AZ ELMÉLETI MINIMUM II.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

L EONARD S USSKIND és A RT F RIEDMAN

AZ ELMÉLETI MINIMUM II. KVANTUMMECHANIKA

AMIT A FIZIKÁHOZ TUDNI KELL

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

A könyv a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült.

c 2014 by Leonard Susskind and Art Friedman Copyright  All rights reserved. A fordítás a következ˝o kiadás alapján készült: Quantum Mechanics The Theoretical Minimum Basic Books, A Member of the Perseus Books Group, New York, 2014 c Szabó József, Typotex, 2015 Hungarian translation  c Typotex, Budapest, 2015 Hungarian edition  Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható! ISBN 978 963 279 854 7 Témakör: fizika Kedves Olvasó! Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót!

Újabb kiadványainkról és akcióinkról a www.typotex.hu és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet. Kiadja a Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Felel˝os vezet˝o: Votisky Zsuzsa F˝oszerkeszt˝o: Horváth Balázs A kötetet gondozta: Gerner József Borítóterv: Sosity Beáta Nyomás: Séd Nyomda Kft. Felel˝os vezet˝o: Katona Szilvia www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

Tartalomjegyzék

Eloszó ˝

7

Prológus

11

Bevezetés

15

Rendszerek és kísérletek

19

Kvantumállapotok

51

A kvantummechanika elvei

67

Ido˝ és változás

107

Bizonytalanság és idofüggés ˝

141

Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

159

További részletek az összefonódásról

191

Részecskék és hullámok

241

Részecskedinamika

275

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

A harmonikus oszcillátor

309

Függelék

343

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

Eloszó ˝

Szüleinknek, kik mindezt lehet˝ové tették: Irene és Benjamin Susskindnek, George és Trudy Friedmannak

Albert Einsteinr˝ol, aki több szempontból is a kvantummechanika egyik szül˝oatyja volt, köztudott, hogy élete végéig ingadozott, szeresse vagy inkább utálja ezt a diszciplínát. A vitája Niels Bohrral – aki maradéktalanul elfogadta a kvantumelméletet, míg Einstein végig szkeptikus maradt vele szemben – a tudománytörténet egyik leghíresebb pengeváltása. A legtöbb fizikus azon a véleményen volt, hogy a vitában Bohr gy˝ozött, Einstein pedig veszített. Az én megítélésem szerint azonban ez a verdikt igazságtalan Einsteinnel szemben, és a fizikusok közül egyre többen jutnak az enyémhez hasonló következtetésre. Bohr is, Einstein is kifinomult gondolkodású tudós volt. Einstein komoly er˝ofeszítéseket tett annak érdekében, hogy kimutassa a kvantummechanika bels˝o ellentmondásosságát; Bohrnak azonban sikerült minden ellenvetését megcáfolni. De végs˝o érvként Einstein egy annyira mélyenszántó, hihetetlen, nyugtalanító

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

8

Kvantummechanika

körülményre mutatott rá, amely a 21. század elején is újra meg újra lenyugözi ˝ az elméleti fizikusokat. Einsteinnek erre az utolsó nagy felfedezésére – a kvantum-összefonódásra – Bohrnak csak egy válasza maradt: Nem venni tudomást róla. A kvantum-összefonódás jelensége a kvantummechanika kvintesszenciája, ez különbözteti meg olyan gyökeresen ezt az elméletet a klasszikus fizikától. Kétségessé teszi, hogy vajon helyesen értjük-e, mi az, ami a fizikai világképünkben reális. A fizikai rendszerekre vonatkozó mindennapos tapasztalataink alapján úgy hisszük, hogy ha egy rendszerr˝ol mindent tudunk, ami elvben tudható róla, akkor mindent tudunk a rendszer egyes részeir˝ol is. Ha egy autó állapotát tökéletesen ismerjük, akkor pontos ismereteink vannak a kerekekt˝ol kezdve a motoron és a sebességváltón át egészen a kárpitot rögzít˝o csavarokig. Értelmetlenség lenne, ha a szerel˝o valami ilyesmit mondana: Mindent tudok az autójáról, de sajnos semmit se tudok mondani a részeir˝ol. Pontosan ez az, amit Einstein próbált megmagyarázni Bohrnak: A kvantumelmélet megengedi, hogy egy rendszer egészér˝ol mindent tudjunk anélkül, hogy bármit ismernénk a részeir˝ol. De Bohr ezt nem értette. Hozzátehetem, hogy a kvantummechanikáról szóló tankönyvek se vettek róla tudomást több nemzedéken keresztül. Ma már közhelyszámba megy, hogy a kvantumelmélet furcsa dolgokat állít a világról, de valószínuleg ˝ kevesen tudnák pontosan meghatározni, miben is áll a különössége. Ez a könyv technikai jellegu˝ el˝oadásokat tartalmaz a kvantumelméletr˝ol, de más, mint a szokásos tankönyvek. A logikai elvekre fókuszál és ahe-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

9

El˝oszó

lyett, hogy tompítaná a kvantumelméleti logika különös vonásait, éles megvilágításba helyezi o˝ ket. Az Olvasó bizonyára tudja, hogy ez a könyv annak a sorozatnak a darabja, amely lényegében az Elméleti Minimum címmel megtartott internetes el˝oadásaimat tartalmazza. A társszerz˝om, Art Friedman ennek a kurzusnak a hallgatója volt. A könyvnek bizonyára hasznára vált, hogy Art maga is ezekb˝ol az el˝oadásokból tanulta a kvantumelméletet, és ezért érzékenyebben reagál a kezd˝o számára nehezen felfogható momentumokra. A közös könyvírás igazi szórakozás volt számunkra, és munkánk humoros oldaláról is próbáltunk ízelít˝ot nyújtani az olvasónak. Aki nem vev˝o rá, nyugodtan átugorhatja ezeket a részleteket. Leonard Susskind Amikor számítógép-tudományból megszereztem a mesterfokozatot, még nem sejtettem, hogy néhány év elmúltával újra Leonard fizikaóráinak leszek a látogatója. Az én rövid fizikusi „karrierem” a hároméves alapképzésben szerzett diplomával fejez˝odött be. A fizika iránti érdekl˝odésem azonban ezzel nem szunt ˝ meg. Azt hiszem, sokan vagyunk ilyen helyzetben. Mindenütt lehet találni hozzám hasonlókat, akik komolyan érdekl˝odnek a fizika iránt, de az élet valamilyen másik irányba sodorta el o˝ ket. Hozzánk szól ez a könyv. A kvantummechanika egy bizonyos szintig tisztán kvalitatív alapokon is felfogható. Az igazi szépsége azonban csak a matematika segítségével válik láthatóvá. Az volt a célunk, hogy ezt a tudományágat hozzáférhet˝ové tegyük a matematikában járatos

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

10

Kvantummechanika

nem fizikus olvasó számára is. Igyekeztünk tisztességes munkát végezni, és remélem, hogy az olvasók is így látják majd. Egy ilyen vállalkozás nem nélkülözheti a segít˝oket. Üzleti vonatkozásban a Brockman, Inc. munkatársai segítettek. A Perseus Books gárdája is els˝orangú munkát végzett. Köszönetünket fejezzük ki T. J. Kellehernek, Rachel Kingnek és Tisse Takaginak. Szerencsénk, hogy John Searcy személyében tehetséges olvasószerkeszt˝o gondozta a könyvünket. Én magam külön is hálás vagyok Leonard több más hallgatójának, akik rendszeresen vetettek föl gondolatébreszt˝o, provokatív kérdéseket az órák utáni ösztönz˝o beszélgetésekben. Rob Colwell, Todd Craig, Monty Frost és John Nash hasznos észrevételeket tettek a kéziratról. Jeremy Branscome és Russ Bryan alaposan átnézték a kéziratot, és több problémára is rámutattak. Köszönet a családomnak és a barátaimnak a támogatásukért és a biztatásért. Különösen hálás vagyok Hannah lányomnak a különféle ügyekben nyújtott segítségéért. Szeretett feleségem, Margaret Sloan azon kívül, hogy bátorított, ötleteket adott és a humorral se fukarkodott, az ábrák harmadával, valamint a két Hilbert bár-illusztrációval járult hozzá a könyvhöz. Köszönet, Maggie! Munkánk kezdetén Leonard az én motivációimat látva megjegyezte, hogy a fizika tanulásának az egyik legjobb módszere az, ha az ember írni próbál róla. Igazából csak most értem, mennyire igaza volt, miután lehet˝ové tette számomra, hogy err˝ol a gyakorlatban is meggy˝oz˝odjek. Millió köszönet, Leonard! Art Friedman

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

Prológus

Art a sörét mustrálva megszólal: – Lenny, ne játsszunk le egy parti Einstein–Bohrt? – Oké, de már elegem van abból, hogy állandóan veszítek. Most te legyél Artstein és én leszek L-Borul. Te kezdesz. – Rendben. Az els˝o dobásom: Isten nem kockázik. Ha-ha, L-Borul! Már van is egy pontom. – Csak lassan a testtel, Artstein. Barátocskám, talán bizony nem te voltál az els˝o, aki azt állította, hogy a kvantumelmélet alapjaiban valószínuségi ˝ természetu? ˝ He-he-he, ez legalább két pontot ér! – Nos, visszavonom. – Azt nem lehet! – De igen! – De nem!

Kevesen tudják, hogy Einstein „A sugárzás kvantumelmélete” címu, ˝ 1917-ben publikált cikkében amellett érvelt, hogy a gammasugárzás statisztikus törvényszeruséget ˝ követ.

A professzor és a hegedus ˝ a bárban Az els˝o kötetet két fiktív steinbecki figura, Lenny és George beszélgetései tarkították. Az Elméleti minimum jelen kötetének a

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

12

Kvantummechanika

sztorijait Damon Runyon ihlette, akinek a világa tele van svindlerekkel, illuzionistákkal, mindenfajta torz alakkal és jótét lélekkel, meg persze közönséges népekkel, akiknek el kell tölteniük valamivel a napjukat. A színhely egy közkedvelt csehó, a Hilbert bár. Ebben a világban lézeng Lenny és Art, két zöldfülu˝ Kaliforniából, miután valamilyen rejtélyes okból lemaradtak az autóbuszukról. Kívánjunk nekik sok szerencsét. Szükségük lesz rá.

Mit hozzanak magukkal? Nem kell fizikusnak lenniük ahhoz, hogy velünk tartsanak, de jó lenne, ha ismernék a differenciálszámítás és az algebra alapjait. Az els˝o kötet anyagából is kellene tudniuk valamennyit. Az nem nagy baj, ha a matematikai ismereteik berozsdásodtak. Úgyis átismételjük és elmagyarázzuk, különösen a lineáris algebrához tartozó dolgokat. A differenciálszámítás alapjait az els˝o kötetben vettük át. Ne tévessze meg Önöket az id˝onkénti viccel˝odésünk: nem üresfeju˝ olvasókra gondolunk! Az a törekvésünk, hogy nehéz témánkat „olyan egyszeruen ˝ magyarázzuk el, ahogy csak lehet, de ennél ne egyszerubben”, ˝ és ebben segítségünkre lehet némi humor. Találkozunk a Hilbert bárban!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

Bevezetés

A klasszikus fizikában, amely összhangban van az intuícióval, a testek mozgása el˝ore megjósolható. A tapasztalt focista a szálló labda helyzete és sebessége alapján egy szempillantás alatt megállapítja, hova kell futnia, hogy megszerezze. Egy váratlan széllökés persze keresztülhúzhatja a számítását, de csak azért, mert nem vett minden tényez˝ot figyelembe. Van egy nyilvánvaló magyarázat rá, miért intuitív a klasszikus mechanika: Az emberek és még el˝ottük az állatok folyamatosan alkalmazták a túlélésük biztosítására. A kvantummechanikát azonban a huszadik századnál korábban senki se használta. A kvantummechanika olyan elenyész˝oen kisméretu˝ objektumokat ír le, amelyek teljesen hozzáférhetetlenek az emberi érzékszervek számára. Ez a magyarázata annak, hogy a kvantumvilágra vonatkozóan nem fejl˝odött ki az intuíciónk. Ezt a világot csak egyetlen módon érthetjük meg: ha a meglév˝o intuíciónkat felturbózzuk matematikával. Szerencsére valamilyen, nem igazán érthet˝o okból rendelkezünk az ehhez szükséges képességgel. A klasszikus mechanikát még azel˝ott tanuljuk, miel˝ott a kvantummechanikával próbálkoznánk, noha a kvantumfizika sokkal

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

16

Kvantummechanika

alapvet˝obb, mint a klasszikus fizika. Jelenlegi ismereteink szerint minden fizikai rendszert a kvantummechanika segítségével kellene tárgyalni, de amikor elég nagy tömegu˝ objektumokról van szó, a kvantummechanika nagyon jól közelíthet˝o a klasszikus mechanikával. A klasszikus mechanika tehát nem több, mint egy approximáció. A logikus az lenne, ha kvantummechanikát tanulnánk el˝oször, de nem sok fizikatanár vállalkozna ilyesmire. Ez a kurzus is – az Elméleti Minimum – a klasszikus mechanikával kezd˝odött. Mégis, az el˝ottünk álló kvantumfizikai el˝oadásoknak csak a vége felé lesz szó klasszikus mechanikáról, miután már elmagyaráztuk a kvantummechanika alapelveit. Valójában ezt érzem helyes eljárásnak nemcsak logikai, hanem pedagógiai szempontból is. Ha így járunk el, akkor nem fenyeget a veszély, hogy azt higgyük: a kvantummechanika igazából nem más, mint néhány új elemmel kiegészített klasszikus mechanika. Mellékesen szólva, technikai szempontból a kvantummechanika határozottan könnyebb, mint a klasszikus mechanika. A legegyszerubb ˝ klasszikus rendszer – a számítástechnika logikai alapegysége – a kétállapotú rendszer, amelyet nevezhetünk bitnek is. Bármivel reprezentálható, aminek csak két állapota van: pénzérmével, amellyel fej-vagy-írást játszhatunk, kapcsolóval, amely lehet kikapcsolt vagy bekapcsolt állapotban, vagy egy olyan apró mágnessel, amelyik vagy csak északi, vagy csak déli irányba mutathat. Nem meglep˝o – különösen azoknak, akik az 1. kötet els˝o el˝oadását ismerik –, hogy a kétállapotú rendszerek klasszikus elmélete rendkívül egyszeru, ˝ s˝ot igazából unalmas. Ezt a kötetet a kétállapotú rendszer kvantumos válfajával, a ku-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

17

Bevezetés

bittal kezdjük, amely sokkal érdekesebb, mint klasszikus rokona. Ahhoz, hogy megérthessük, vadonatúj gondolkodásmódra van szükség, amely új logikai alapokon nyugszik.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

1. eloadás ˝ Rendszerek és kísérletek

Lenny és Art beesnek a Hilbert bárba. Art: Mi ez, a Szürkületi zóna epizódja? Vagy egy kísértetház? Lenny: Vegyél nagy lélegzetet! Majd hozzászoksz. Art: Merre van a fölfele?

1.1.

A kvantummechanika nem ugyanaz

Mit˝ol annyira szokatlan a kvantummechanika? Miért olyan nehéz megérteni? Könnyu˝ lenne ráfogni a „kemény matematikára”, és talán lenne is benne valami igazság. De ez még nem minden. A klasszikus mechanika és a térelmélet matematikája is nehéz, mégis sok nemfizikus használja o˝ ket szakszeruen. ˝ A kvantummechanikában olyan rendkívül kisméretu˝ objektumok viselkedésével foglalkozunk, amelyeknek észleléséhez nekünk embereknek nincsenek megfelel˝o érzékszerveink. Méreteik alapján ennek a tartománynak a fels˝o határán az egyedi atomok állnak, a vizsgálatok leggyakoribb objektumai pedig az elektronok. Nincs olyan érzékszervünk, amely alkalmas volna egy elektron mozgásának a megtapasztalásához. A legcélszerubben ˝ akkor járunk el,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

20

Kvantummechanika

ha az elektront és mozgását mint matematikai absztrakciót próbáljuk megérteni. – Na és? – kérdezheti a szkeptikus. – A klasszikus mechanika is dugig van absztrakciókkal. Tömegpont, merev test, inerciarendszer, helykoordináták, impulzus, mez˝o, hullám, és folytathatnánk a sort. Mit˝ol lenne újdonság a matematikai absztrakció? Ez jó kérdés, a klasszikus- és a kvantumvilág tele van fontos elemekkel, amelyek mindkett˝oben közösek. A kvantummechanikának azonban van két megkülönböztet˝o vonása: 1. Az absztrakciók különböz˝osége. A kvantumfizikai absztrakciók fundamentális módon különböznek a klasszikusoktól. Látni fogjuk például, hogy a kvantummechanikai állapot fogalma elvileg különbözik klasszikus megfelel˝ojét˝ol. Az állapotokat a két esetben különböz˝o matematikai objektumok reprezentálják, amelyeknek a logikai struktúrája is eltér egymástól. 2. Állapotok és mérések. A klasszikus világban egy rendszer állapota és a rendszeren végzett mérések eredménye között a kapcsolat a lehet˝o legközvetlenebb, valójában triviális. Ugyanazok a mennyiségek vonatkoznak egy rendszer állapotára, mint amelyek a rendszeren elvégzett mérés eredményét is jellemzik (például egy részecske helye és impulzusa). Ez azt is jelenti, hogy egy rendszer állapotának a meghatározásához mérést kell végezni rajta. A kvantumvilágban nem így van. Az állapot és a mérés két különböz˝o dolog, a közöttük lév˝o viszony szubtilis és absztrakt.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

21

Rendszerek és kísérletek

Ezek a problémák alapvet˝oek, újra és újra szembetalálkozunk majd velük.

1.2.

Spinek és kubitok

A spin a részecskefizikában használt fogalom. A térbeli helyzetükön kívül a részecskéknek más tulajdonságaik is vannak. Ilyen például az elektromos töltés és a tömeg, amely vagy van nekik, vagy nincs. Egy elektron más, mint egy kvark vagy egy neutrínó. De még egy adott típusú részecskét, mondjuk egy elektront sem határoz meg csupán a helyzete. Az elektronnak van még egy további szabadsági foka is, a spinje. A spin naiv felfogása egy valamilyen irányba mutató apró nyíl, de ez a kép túlontúl klasszikus ahhoz, hogy a valóságról számot adjon. Egy elektron spinje a lehet˝o legkvantummechanikaibb tulajdonság, és minden kísérlet, hogy klasszikus módon szemléljük, alaposan elvéti a célt. Megtehetjük és a továbbiakban meg is tesszük, hogy a tárgyalásunkat – az elektrontól elvonatkoztatva – egy absztrakt spinfogalomra, a kvantumspinre alapozzuk. Ez egy olyan rendszer, amelyet érdemes önmagáért tanulmányozni. Az elektron térbeli mozgásától leválasztott kvantumspin ugyanis a létez˝o legegyszerubb ˝ és egyben a lehet˝o leginkább kvantumos természetu˝ objektum. Az izolált kvantumspin a kubitoknak – kvantumbiteknek – nevezett egyszeru˝ rendszerek általános osztályába tartozik, és a kvantumok világában ugyanolyan szerepet tölt be, mint a logikai bit a számítógépünk állapotának a meghatározásában. Nagyon sok rendszer – lehet, hogy bármelyik – megkonstruálható kubi-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

22

Kvantummechanika

tok megfelel˝o kombinálásával. Ezért, amikor a kubitokkal foglalkozunk, valójában sokkal szélesebb köru˝ ismeretekre teszünk szert.

1.3.

Egy kísérlet

A programunk megvalósítását a lehet˝o legegyszerubb ˝ példával kezdjük. Az els˝o kötet els˝o el˝oadásának a legelején egy nagyon egyszeru˝ determinisztikus rendszert vizsgáltunk: a pénzérmét, amely fejet (H), vagy írást (T) mutathat. Ezt kétállapotú rendszernek vagy bitnek nevezzük, amelynek a két lehetséges állapota H és T. A formalizálás érdekében definiáljuk a σ „szabadsági fokot”, amely a +1 és a -1 értéket veheti fel. A H állapot lesz a σ = +1, a T pedig a σ = −1. Klasszikusan az állapotok terér˝ol nem is lehet többet mondani. A rendszer vagy a σ = +1, vagy a σ = −1 állapotban lehet, köztes lehet˝oség nem létezik. A kvantummechanikában egy ilyen rendszert kubitnak fogunk tekinteni. Az els˝o kötetben diszkutáltuk az egyszeru˝ evolúciós törvényeket is, amelyek megszabják az állapot megváltozását két id˝opillanat között. A legegyszerubb ˝ törvény az, hogy semmi se történik. Ebben az esetben az egyik diszkrét pillanatról (n) a következ˝ore (n + 1) történ˝o lépés evolúciós törvénye σ(n + 1) = σ(n).

www.interkonyv.hu

(1.1)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Rendszerek és kísérletek

23

Itt rá kell mutatnunk egy hallgatólagos feltevésre, amely az els˝o kötetben rejtve maradt. Egy kísérlethez valójában több kell, mint csupán a vizsgált rendszer. Szükséges egy olyan A mér˝oberendezés (apparátus) is, amely elvégzi a mérést, és tárolja a megfigyelés eredményét. A kétállapotú rendszer esetében a berendezés kölcsönhatásba lép a rendszerrel (a spinnel), és eltárolja a mérés eredményét, σ-t. A berendezést fekete doboznak1 tekinthetjük, amelyen egy kijelz˝o mutatja a regisztrált állapotot. A berendezésen nyíl mutatja, merre van a „felfele”. Ez a nyíl azért fontos, mert rögzíti a berendezés térbeli orientációját, ami befolyással van a mérés eredményére. Mutasson a nyíl el˝oször a z-tengely irányába (1.1. ábra). Kezdetben nem tudjuk, hogy a σ = +1 és a σ = −1 lehet˝oségek közül melyik áll fenn. A kísérlet célja a σ értékének a kiderítése. A berendezés és a spin kölcsönhatása el˝ott a kijelz˝o üres (az ábrán ezt kérd˝ojel mutatja). A σ megmérése után a kijelz˝on +1 vagy −1 jelenik meg. A berendezésre ránézve leolvassuk σ értékét. Ez az eljárás egészében véve egy nagyon egyszeru˝ kísérlet a σ értékének a meghatározására. Miután megmértük σ-t, nullázzuk le a berendezést, és a spin és megzavarása nélkül mérjük újra az értékét. Ha az (1.1) egyenlet érvényes, ugyanazt az eredményt kell kapnunk, mint el˝oször. A σ = +1 eredményt σ = +1 követi, és hasonló a helyzet a σ = −1 végeredménnyel. Ez fog ismétl˝odni, akárhányszor ismételjük is meg a mérést, ami örvendetes dolog, mivel lehet˝ové teszi a korábbi mérési eredmény meger˝osítését. Ezt a következte1A

„fekete doboz”elnevezés arra utal, hogy semmit se tudunk arról, mi van a

berendezésen belül, és hogyan muködik. ˝ De az biztos, hogy macska nincs benne.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

24

Kvantummechanika

1.1. ábra: (A) A spin és a macskát nem tartalmazó berendezés a mérés el˝ott. (B) A spin és a berendezés a σ = +1-re vezet˝o mérés után. A spin most a σ = +1 helyzetbe van beállítva. Ha a spint nem perturbáljuk, és a berendezés orientációját változatlanul hagyjuk, a megismételt mérések ugyanerre az eredményre vezetnek. A koordinátatengelyek mutatják a térirányok jelölési konvencióját

tést így is megfogalmazhatjuk: Az els˝o kölcsönhatás az A berendezéssel a két lehetséges állapot egyikébe állítja be (vagy másképpen, az egyik állapotban preparálja) a rendszert. A további mérések meger˝osítik, hogy a rendszer tényleg ebben az állapotban van. Eddig a pontig nincs különbség a klasszikus és a kvantumfizika között. Csináljunk most valami mást. Miután a spint az A segítségével elvégzett mérés útján preparáltuk, fordítsuk a berendezést fejjel lefelé, és mérjük újra σ-t (1.2. ábra). Azt fogjuk találni, hogy ha eredetileg σ = +1-t állítottunk be, akkor a lefele fordított berendezéssel σ = −1 értéket mérünk. Hasonlóan, amikor a berendezés megfordítása el˝ott σ = −1 volt a preparálás eredménye, akkor utána a mérés σ = +1 eredményre vezet. Röviden:

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

25

Rendszerek és kísérletek

1.2. ábra: A berendezést megfordították a korábban mért spin megzavarása nélkül. Az új mérés eredménye σ = −1

a berendezés megfordítása a σ el˝ojelének a megváltozásával jár. Ezek a mérési eredmények azt mutatják, hogy a σ szabadsági fok valamilyen módon összefügg a térbeli irányítottsággal. Ha például σ valamilyen irányított vektor volna, akkor nem lenne meglep˝o, hogy a mér˝oberendezést ellenkez˝o irányba beállítva ellenkez˝o el˝ojelu˝ mérési eredményt kapnánk. Ezt úgy magyarázhatnánk, hogy a berendezéssel a vektornak azt a komponensét mérjük, amelyet a berendezés jelöl ki. De vajon érvényes marad-e ez a magyarázat, amikor a berendezést tetsz˝oleges módon orientáljuk? Ha a spin tényleg vektor, akkor természetes dolog három σx , σy , σz komponenst tulajdonítani neki. Amikor a berendezés által kijelölt irány függ˝olegesen felfele mutat, akkor a σz komponens mérésére alkalmas. Eddig még mindig nincs különbség a klasszikus és a kvantumfizika között. A problémák akkor kezdenek jelentkezni, amikor a berendezést a z-tengelyhez képest valamilyen más szög-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

26

Kvantummechanika

1.3. ábra: A 90◦ -kal elfordított berendezés. A mérés eredménye 50%-os valószínuséggel ˝ σx = −1

ben, mondjuk π/2 radiánban (90◦ -ban) állítjuk be. Kezdetben a berendezés függ˝olegesen állt (a nyíl rajta z-irányba mutatott), és a spint a σz = +1 állapotban preparáltuk. Ezt követ˝oen az A-t elfordítjuk úgy, hogy a nyíl legyen x-irányú (1.3. ábra). Ezután végezzük el a mérést, amely várakozásunk szerint a spin σx komponensét fogja megadni. Ha a σ tényleg egy vektorra vonatkozna, amely felfele mutat, akkor nulla eredményt kellene kapnunk. Miért? Azért, mert kiinduláskor igazoltuk, hogy σ a z irányba mutat, ezért az xkomponensének nullának kell lennie. De amikor megmérjük σx t, meglep˝o eredményt kapunk: σx = 0 helyett vagy σx = +1et vagy σx = −1-et fog mutatni a berendezésünk. Az A nagyon makacsnak bizonyul: Akármilyen irányba orientáljuk is, csak σ = ±1-t hajlandó mutatni. Ha a spin tényleg vektor lenne, nagyon különös tulajdonságokkal kellene rendelkeznie. De az, amit találunk, nagyon figyelemreméltó. Tegyük fel, hogy az eljárásunkat sokszor megismételjük, mindannyiszor pontosan ugyanazon recept szerint:

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

27

Rendszerek és kísérletek

• Az A-t z irányba állítva a rendszert σ = +1 helyzetben preparáljuk. • A berendezést x irányba fordítjuk. • Megmérjük σ-t. Egy ilyen kísérletsorozat plusz 1-ek és mínusz 1-ek véletlen sorozatát generálja. Egy kell˝oen nagy szériában azt fogjuk tapasztalni, hogy a σ = +1-ek és a σ = −1-ek száma a statisztikus hibán belül megegyezik egymással. Más szavakkal ez annyit jelent, hogy a σ-k átlagértéke zérus. A klasszikus eredmény helyett, amely szerint σ x irányú értéke nulla, azt találjuk, hogy sok megismételt mérés átlagértéke az, ami zérus.

1.4. ábra: A berendezés tetsz˝oleges szögben el van fordítva az x − z síkban. A mérési eredmények átlaga n ˆ·m ˆ

Ismételjük meg most az el˝obbi eljárásunkat azzal a különbséggel, hogy A-t nem az x-tengely, hanem valamilyen tetsz˝ole-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

28

Kvantummechanika

ges n ˆ egységvektor2 által meghatározott irányba fordítjuk el. Ha σ klasszikus vektor volna, akkor a kísérlet a σ n ˆ irányú vetületét adná eredményül. Vagyis ha az n ˆ irány ϑ szöget zár be a ztengellyel, akkor σ = cos ϑ mérési eredményt kellene kapnunk. De ahogy már bizonyára sejtik, ahányszor csak elvégezzük a kísérletet, mindig vagy σ = +1, vagy σ = −1 az eredménye. A két kimenetel eloszlása azonban olyan, hogy az átlagérték cos ϑ-val egyenl˝o. Ezt a helyzetet általánosabban is megfogalmazhatjuk. Nem kell feltétlenül z irányba orientált A-ból kiindulnunk. A berendezésen látható nyíl kezdetben mutasson valamilyen tetsz˝oleges m ˆ irányba. Preparáljuk a spint úgy, hogy a kijelz˝o mutasson +1et, majd a spin megzavarása nélkül fordítsuk a berendezést n ˆ irányba, ahogy az 1.4. ábrán látható. Ha ezután a spinen elvégezzük a mérést, ±1 valamelyikét kapjuk, és az egész procedúrát sokszor megismételve a mérési eredmények átlaga az n ˆ és a m ˆ közötti szög koszinuszával, vagyis n ˆ · m-mel ˆ lesz egyenl˝o. A kvantummechanikában egy Q mennyiség átlagát többnyire Dirac jelölésmódját követve Q-val jelölik (Dirac bracket). Az eddig tárgyalt kísérletek végeredményét így foglalhatjuk össze: Ha m ˆ irányú berendezéssel a spint σ = +1-nek észleljük, majd n ˆ irányba fordított berendezéssel új mérést végzünk el, akkor statisztikailag a σ = n ˆ·m ˆ eredményt kapjuk. A kvantummechanikai rendszerek tehát nem determinisztikusak – a mérés kimenetele lehet statisztikailag véletlenszeru, ˝ – 2 Az

egységvektorokat a vektor jelére tett „kalappal” jelöljük.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

29

Rendszerek és kísérletek

de ha a mérést sokszor megismételjük, az átlagértékek, legalább is egy pontig, a klasszikus fizika elvárásainak felelnek meg.

1.4.

Minden mérés durva

Minden mérési aktusban valamilyen küls˝o objektum – a mér˝oberendezés – lép kölcsönhatásba a vizsgált rendszerrel annak érdekében, hogy az eljárás eredményes legyen. Ebben az értelemben minden mérés invazív beavatkozás. Ez így van mind a klasszikus, mind a kvantumfizikában, de csak ez utóbbiban válik nagy ügy bel˝ole. Milyen okból? Klasszikusan egy ideális mér˝oberendezés elhanyagolhatóan kis hatást gyakorol a mérés objektumára. Egy klasszikus mérés annak ellenére, hogy lehet nagyon kíméletes beavatkozás, mégis képes tetsz˝olegesen pontos és reprodukálható végeredményt szolgáltatni. Egy nyíl irányát például meg lehet határozni az általa visszavert fény alapján, ha azt képpé fókuszáljuk. Jó min˝oségu˝ kép létrehozásához természetesen elegend˝oen rövid hulláhosszú fényre van szükség, de a klasszikus fizika megengedi, hogy nagyon gyenge fénynyalábot használjunk. Vagyis a fényenergia lehet tetsz˝olegesen kicsi. A kvantummechanikában gyökeresen más helyzetben vagyunk. Bármely kölcsönhatás, amely elég intenzív ahhoz, hogy a rendszer valamilyen tulajdonságát meg lehessen vele mérni, bizonyosan elég er˝os ahhoz is, hogy más tulajdonságait viszont megváltoztassa. Vagyis egy kvantumrendszerr˝ol lehetetlen bármit is megtudni anélkül, hogy ezzel valamilyen tulajdonságát meg ne változtatnánk. Jól látható ez a σ spin és az A apparátus példáján. Legyen el˝oször σ = +1 a z irányban. Amikor A-val megismételjük a σ z www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

30

Kvantummechanika

irányú mérését, igazolni fogjuk ezt az eredményt. Ezt újra és újra megtehetjük, ugyanezzel az eredménnyel. De vizsgáljuk meg a következ˝o lehet˝oséget is: Két z-irányú mérés között fordítsuk el A-t 90◦ -kal, végezzünk el egy közbees˝o mérést, majd fordítsuk vissza a berendezést az eredeti irányba. Ha ezután újra mérünk, megint igazolni fogjuk a korábbi z irányú mérések eredményét? Egyáltalán nem. A közbeiktatott x irányú mérés az újabb z irányú mérés tekintetében a spint tökéletesen rendezetlen konfigurációba vitte át. Ilyen mérést nem végezhetünk el a végs˝o mérés tökéletes ellehetetlenítése nélkül. Azt is mondhatjuk, hogy a spin egyik komponensének a megmérésekor a többi komponensr˝ol minden információ elvész. A helyzet az, hogy egyszeruen ˝ nem ismerhetjük meg a spin vetületeit egyszerre két különböz˝o irányban, legalábbis reprodukálható eljárással nem. Van valami egészen alapvet˝o különbség a kvantummechanikai és a klasszikus mechanikai állapot között.

1.5. Kijelentések Egy klasszikus rendszer állapottere valamilyen matematikai halmaz. Ha a rendszer egy pénzdarab, akkor az állapottere a H és T elemekb˝ol álló kételemu˝ halmaz. Ha a rendszer egy dobókocka, akkor az állapottere az {1, 2, 3, 4, 5, 6} hatelemu˝ halmaz. A halmazelméleti logikát Boole-logikának hívják. A Boole-logika nem egyéb, mint a kijelentések (ítéletek, propozíciók) jól ismert klasszikus logikájának a formalizált változata. A Boole-logika alapvet˝o fogalma az igazságérték. Egy ítélet igazságértéke vagy igaz, vagy hamis. Köztes lehet˝oség nincs. A

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

31

Rendszerek és kísérletek

megfelel˝o halmazelméleti fogalom a részhalmaz. Azt mondhatjuk, hogy egy ítélet igaz a megfelel˝o részhalmaz összes elemére, és hamis a halmaznak azokra az elemeire, amelyek nem tartoznak ebbe a részhalmazba. Ha a halmazunk mondjuk a dobókocka állapotait reprezentálja, akkor egy ítélet lehet a következ˝o: A: A kocka páratlan számot mutat. Az ennek megfelel˝o részhalmaz három elemb˝ol áll: {1, 3, 5}. Egy másik ítélet: B: A kockán látható szám kisebb, mint 4. Az ehhez tartozó részhalmaz {1, 2, 3}. Minden ítéletnek van ellentettje (vagy más néven negációja). Például, nem A: A kocka nem páratlan értéket mutat. A negált ítélethez tartozó részhalmaz {2, 4, 6}. Az elemi ítéletekb˝ol különféle muveletek ˝ segítségével képezhetünk bonyolultabb ítéleteket. A három legfontosabb szabály a vagy, az és, valamint a nem. A nem egy kiválasztott ítéletre vonatkozik, az el˝obb már láttunk is rá példát. Az és egy ítéletpárra alkalmazható, és a jelentése nyilvánvaló. Azt állítja, hogy mindkett˝o igaz. A két megfelel˝o részhalmazra alkalmazva az és a két halmaz közös elemeit választja ki; ezek alkotják a két halmaz metszetét. A dobókocka példáján az A és az B részhalmazok metszete az a halmaz, amelynek elemei páratlanok és kisebbek 4-nél. Az 1.5. ábra egy Venn-diagram segítségével mutatja be, mir˝ol is van szó.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

32

Kvantummechanika

A vagy-szabály hasonlít az éshez, de van benne egy finom megkülönböztetés. A vagy köt˝oszót a hétköznapi diskurzusban kizáró értelemben használjuk: A két kijelentés közül csak az egyik igaz, a kett˝o egyszerre hamis. A Boole-logikában azonban a vagy muvelet ˝ nem kizáró, hanem megenged˝o értelmu, ˝ vagy az egyik ítélet igaz, vagy mindkett˝o. A megenged˝o vagy szerint például a következ˝o kijelentés igaz: A relativitáselméletet Einstein fedezte fel, vagy Newton orosz volt. A megenged˝o vagy csak akkor hamis, ha mindkét ítélet hamis benne. Például: Einstein fedezte fel Amerikát3 , vagy Newton orosz volt. A megenged˝o vagy halmazelméleti interpretációja a két halmaz uniója (egyesítése): Az a halmaz, amelyik a komponens halmazok összes elemét tartalmazza. A dobókockánál (A vagy B) az {1, 2, 3, 5} részhalmaz.

1.6.

A klasszikus kijelentések tesztelése

Térjünk most vissza az egyetlen spinb˝ol álló egyszeru˝ kvantumrendszerre és a rá vonatkozó különféle kijelentésekre, amelyek az A mér˝oberendezés segítségével tesztelhet˝ok. Nézzük a következ˝o két propozíciót: A: A spin z komponense +1. B: A spin x komponense +1. 3 Nos,

nem kizárt, hogy Einstein tényleg felfedezte Amerikát. De nem o˝ volt

az els˝o.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

33

Rendszerek és kísérletek

1.5 ábra: Példa a klasszikus modell állapotterére. Az A részhalmaz a „kocka páratlan számot mutat” kijelentést reprezentálja. A B részhalmaz: „A kocka 4-nél kisebb számot mutat”. A sötéten satírozott tartomány A és B metszete, amely az (A és B) kijelentést reprezentálja. A fehér számjegyek A és B uniójának az elemei, az (A vagy B) ítélethez tartoznak

Mindkett˝o értelmes kijelentés és úgy ellen˝orizhet˝o, hogy az A-t a megfelel˝o tengely irányába orientáljuk. A két kijelentés tagadása szintén egyértelmu. ˝ Az els˝o kijelentés negációja például ez: nem A: A spin z komponense −1. De vizsgáljuk meg a következ˝o összetett kijelentéseket is: (A vagy B): A spin z komponense +1, vagy a spin x komponense +1. (A és B): A spin z komponense +1, és a spin x komponense +1.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

34

Kvantummechanika

Gondoljuk meg, hogy lehetne ellen˝orizni (A vagy B)-t. Ha a spin klasszikusan viselkedne (amit természetesen nem tesz), így járhatnánk el4 : • Óvatosan megmérjük σz -t, és feljegyezzük az értékét. Ha ez +1, akkor végeztünk is: az (A vagy B) kijelentés igaz. Ha σz = −1, akkor így folytatjuk: • Óvatosan megmérjük σx -et. Ha ez +1, akkor végeztünk is: az (A vagy B) kijelentés igaz. Ha nem +1, akkor se σz , se σx nem egyenl˝o +1-gyel, tehát (A vagy B) hamis. Egy másik lehet˝oség az, hogy a megfigyelések sorrendjét felcseréljük. A sorrend megváltozásának hangsúlyozása érdekében az új eljárást (B vagy A)-nak nevezzük: • Óvatosan megmérjük σx -et és feljegyezzük az értékét. Ha ez +1, akkor végeztünk is: a (B vagy A) kijelentés igaz. Ha σx = −1, akkor így folytatjuk: • Óvatosan megmérjük σz -t. Ha ez +1, akkor végeztünk is: a (B vagy A) kijelentés igaz. Ha nem +1, akkor se σx , se σz nem egyenl˝o +1-gyel, tehát (B vagy A) hamis. A klasszikus fizikában a két muveleti ˝ sorrend ugyanarra az eredményre vezet, mert a mérések tetsz˝oleges kíméletességgel végrehajthatók – olyan kíméletesen, hogy az els˝o mérés nem befolyásolja a másodikat. Következésképpen az (A vagy B) kijelentés értelme ugyanaz, mint a (B vagy A) kijelentésé. 4 Emlékeztetünk rá, hogy a σ

klasszikus értelme különbözik a kvantummecha-

nikaitól. Klasszikusan σ egy közönséges háromdimenziós vektor, σx és σz pedig a térbeli komponensei.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

35

Rendszerek és kísérletek

1.7.

A kvantumos kijelentések tesztelése

Költözzünk most át a kvantumvilágba, amelyr˝ol már korábban is volt szó. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amelyben egy ismeretlen valaki (vagy valami) titokban preparált egy spint a +1 állapotban. A feladatunk legyen az, hogy az A berendezés segítségével állapítsuk meg, hogy az (A vagy B) kijelentés igaz vagy hamis. A mérést a σz -vel kezdjük. Mivel az ismeretlen közremuköd˝ ˝ o a dolgokat felfele irányítva készítette el˝o, a σz = +1 értéket fogjuk kapni. Nem is kell folytatnunk: (A vagy B) igaz. Mégis, teszteljük σx -t, csak hogy lássuk, mi történik. Az eredmény megjósolhatatlan. Egyszer σx = +1-et, másszor σx = −1-et mérünk teljesen véletlenszeru˝ sorrendben. Azonban bármelyik eredmény jöjjön is ki, nem befolyásolja az (A vagy B) kijelentés igaz voltát. De most fordítsunk a mérések sorrendjén! Mint korábban, az új sorrendben végzett mérést (B vagy A)-nak nevezzük. Ekkor σx -et mérjük meg el˝oször. Mivel az ismeretlen el˝okészít˝o a spint a z irányban +1-nek állította be, a σx megmérésének a kimenetele teljesen véletlenszeru˝ lesz. Amikor σx = +1-et kapunk, készen vagyunk: (B vagy A) igaz. De tegyük fel, hogy az ellenkez˝o, σx = −1 eredményre jutottunk. A spin eszerint −x irányba orientált. Álljunk meg itt egy pillanatra, hogy biztosak legyünk benne, jól értjük-e a helyzetet. Az els˝o mérés következtében a spin már nincs többé az eredeti σz = +1 állapotban. Új állapotba került, amelyik vagy σx = +1, vagy σx = −1. Maradjunk egy kicsit ennél a pontnál, hogy megemészthessük ezt a konklúziót. Nehéz lenne ugyanis túlértékelni a jelent˝oségét.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

36

Kvantummechanika

Miután már elég felkészültek vagyunk hozzá, a (B vagy A) propozíció második felét is teszteljük. Az A mér˝oberendezést z irányba elfordítva megmérjük σz -t. A kvantummechanika szerint az eredmény megint véletlenszeru˝ eloszlásban ±1 lesz. Vagyis 25% valószínusége ˝ van annak, hogy a kísérlet eredménye σx = −1 és σz = −1 legyen. Másképpen kifejezve ugyanezt:

1 4

a va-

lószínusége, ˝ hogy (B vagy A) hamis legyen; és ez annak ellenére van így, hogy a rejtélyes el˝okészít˝o gondoskodása következtében kezdetben σz bizonyosan +1 volt. A példánkból nyilvánvaló, hogy a megenged˝o vagy nem szimmetrikus. Az (A vagy B) igazsága függhet attól, milyen sorrendben végezzük el a két megfigyelést. Ez nem valami nüansz, ami felett könnyen napirendre térhetünk. Nemcsak azt jelenti, hogy a kvantumfizika más, mint klasszikus megfelel˝oje: a logika alapjai sem ugyanazok bennük. De mi a helyzet (A és B)-vel? Tegyük fel, hogy az els˝o mérés eredménye σz = +1, a másodiké σx = +1. Ez természetesen lehetséges. Ennek alapján hajlamosak lennénk azt mondani, hogy (A és B) igaz. De a tudományban általában – és különösképpen a fizikában – valamilyen állítást csak akkor szoktunk igaznak min˝osíteni, ha a kés˝obbi megfigyelések meger˝osítik. A klasszikus fizikában egy jól kivitelezett mérés praktikusan nem változtat a rendszer állapotán, ezért a megismételt megfigyelés meger˝osíti a korábbi eredményt. Ha feldobunk egy pénzdarabot, és megállapítjuk, hogy írást mutat, kés˝obb ránézve biztosan nem fogunk fejet látni. A kvantummechanikában a második mérés (σx = +1) lehetetlenné teszi az els˝o eredmény ellen˝orzését. Ha egyszer beállítottuk σx értékét, a σz megismételt mérése véletlenszeru˝ ered-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

37

Rendszerek és kísérletek

ményt ad. Az (A és B) kijelentés eszerint nem igazolható, a mérés második lépése megakadályozza az els˝o lépésben kapott eredmény verifikálását. Ha korábban felcsipegettek már valamit a kvantummechanikából, akkor nyilván rájöttek, hogy a bizonytalansági elvr˝ol van itt szó. Ez az elv nem csak a helyre és az impulzusra (sebességre) érvényes, vonatkozik másfajta mennyiségpárokra is. A spin esetében például a σ két különböz˝o irányú komponensére. A helyre és az impulzusra vonatkozóan (egyetlen térbeli dimenzióra korlátozódva) a következ˝o két kijelentésr˝ol van szó: Egy bizonyos részecske az x koordinátájú pontban van. Ugyanannak a részecskének az impulzusa p. Ezekb˝ol a következ˝o összetett kijelentések képezhet˝ok: A részecske helye x és a részecske impulzusa p. A részecske helye x vagy a részecske impulzusa p. Bármennyire mesterkélten hangzik is, mindkét állítás értelmes a magyar nyelvben és a klasszikus fizikában egyaránt. A kvantummechanikában azonban az els˝o tökéletesen értelmetlen (vagyis még rossznak se mondható), a második pedig valami egészen mást jelent, mint amire gondolhatnánk. A gyökeres különbség arra vezethet˝o vissza, hogy egy rendszer állapota egészen más logikán alapuló fogalom a klasszikus fizikában, mint a kvantummechanikában. A kvantummechanikai állapot magyarázatához némi absztrakt matematikára van szükség, ezért iktassunk be egy rövid közjátékot a komplex számokról és a vektorterekr˝ol. A komplex számokra kés˝obb, a spinállapotok matematikai leírásánál lesz szükségünk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

38

Kvantummechanika

1.8.

Matematikai közjáték: Komplex számok

Aki eddig a pontig eljutott, az Elméleti Minimumban biztosan hallott már a komplex számokról. Röviden mégis emlékeztetem Önöket a legfontosabb tulajdonságaikra. Néhány alapelemüket az 1.6. ábra foglalja össze.

1.6. ábra: A komplex számok két ábrázolási módja. Descartes felírásmódban x és y a vízszintes (valós) és a függ˝oleges (képzetes) komponens. Poláris reprezentációban r a sugár, θ pedig az x-tengellyel bezárt szög. Mindkét ábrázolási mód szerint egy komplex szám megadása két valós számot igényel

A z komplex szám egy valós és egy képzetes szám összege, amelyet a z = x + iy formában írunk fel. Az x és az y valós számok, az i pedig a képzetes egység: i2 = −1. A komplex számokat, amelyek a komplex sík x, y koordinátájú pontjával szemléltethet˝ok, az aritmetika

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

39

Rendszerek és kísérletek

szabályai szerint lehet összeadni, kivonni és osztani egymással. Polárkoordinátákban így ábrázolhatók: z = reiθ = r(cos θ + i sin θ). A komplex számok összeadása komponens formában a legkönynyebb: egyszeruen ˝ össze kell adni a megfelel˝o komponenseket. Összeszorozni o˝ ket a poláris formában célszeru. ˝ A sugarakat szorozni kell egymással, a szögeket pedig összeadni: 

r1 eiθ1

  iθ2  r2 e = (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 ) .

Minden z komplex számnak van egy z ∗ komplex konjugáltja, amelyet úgy kapunk, hogy az i el˝ojelét az ellenkez˝ojére változtatjuk. Ha z = x + iy = reiθ , akkor z ∗ = x − iy = re−iθ . Egy komplex számnak a konjugáltjával képzett szorzata mindig pozitív: z ∗ z = r2 . Természetesen minden komplex szám konjugáltja is egy komplex szám, mégis gyakran célravezet˝o úgy gondolni rájuk, hogy a z és a z ∗ két különböz˝o, egymáshoz képest „duális” számosztályba tartozik. A duális jelz˝o arra utal, hogy minden z-hez egyetlen z ∗ tartozik, és megfordítva. A komplex számoknak van egy speciális fajtája, amelyet „fázisfaktornak” hívunk. Ez egy olyan komplex szám, amelynek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

40

Kvantummechanika

r-komponense 1. Ha z fázisfaktor, akkor a következ˝o képletek érvényesek rá: z∗z = 1 z = eiθ z = cos θ + i sin θ.

1.9. Matematikai közjáték: Vektorterek 1.9.1. Axiómák Egy klasszikus rendszer állapottere egy halmaz (a lehetséges állapotok halmaza), és a klasszikus fizika logikája Boole-logika. Ez nyilvánvalónak látszik, és nehéz is elképzelni más lehet˝oséget. Ennek ellenére valódi világunk más alapokon muködik, ˝ legalább is akkor, amikor a kvantummechanika jut szóhoz. A kvantumrendszerek állapottere nem matematikai halmaz5 , hanem vektortér. Egy vektortér elemei közötti relációk nem ugyanazok, mint egy halmaz elemei közöttiek, és kijelentés-logikájuk is más. Miel˝ott azonban a vektorterekr˝ol kezdenék beszélni, a vektor fogalmát kell tisztázni. Mint jól tudják, a közönséges terünk olyan objektumait nevezzük így, amelyeknek nagysága és iránya van. A háromdimenziós térben az így értelmezett vektoroknak három komponense van. De azt szeretném, ha tökéletesen kitörölnék az agyukból a vektornak ezt a fajta elképzelését. Mostan5 Kicsit

pontosabban úgy mondhatnánk, hogy nem hangsúlyozzuk az állapot-

tér halmazelméleti aspektusát, bár felfogható halmazként is.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

41

Rendszerek és kísérletek

tól kezdve a háromdimenziós tér nagysággal és iránnyal rendelkez˝o objektumait hangsúlyozottan 3-vektornak (hármasvektornak) fogom hívni. A matematikai vektortér absztrakt konstrukció, amelynek vagy van kapcsolata a közönséges terünkkel, vagy nincs. Lehet akárhány dimenziója 1-t˝ol ∞-ig, a vektorkomponensek pedig lehetnek egész számok, valós számok, vagy ennél is általánosabb mennyiségek. Azokat a vektortereket, amelyek a kvantummechanika állapotait tartalmazzák, Hilbert-térnek hívjuk. Itt most nem adjuk meg a matematikai definícióját, de azért jegyezzék be ezt az elnevezést a szótárukba. Amikor a kvantummechanikában a Hilberttérr˝ol esik szó, mindig az állapotok terére kell gondolni. A Hilberttér lehet véges vagy végtelen dimenziójú. A kvantummechanikai vektortér a ketvektornak vagy röviden csak ketnek nevezett |A elemekb˝ol áll. Most felsoroljuk a kvantummechanikai állapotok vektorterére vonatkozó axiómákat (z és w komplex számok): 1. Két ketvektor összege szintén ketvektor: |A + |B = |C. 2. A vektorok összeadása kommutatív: |A + |B = |B + |A. 3. A vektorok összeadása asszociatív muvelet: ˝ {|A + |B} + |C = |A + {|B + |C}.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

42

Kvantummechanika

4. Létezik egy speciális 0 vektor, amelyet bármely kethez hozzáadva ugyanazt a ketet kapjuk eredményül: |A + 0 = |A. 5. Minden |A kethez tartozik egy −|A ket úgy, hogy |A + (−|A) = 0. 6. Ha adva van egy |A ket és egy z komplex szám (skalár), akkor összeszorozva o˝ ket új ketet kapunk. A skalárral való szorzás lineáris: |zA = z|A = |B. 7. Teljesül a disztributivitás: z{|A + |B} = z|A + z|B {z + w}|A = z|A + w|A. A 6. és 7. axiómát együtt gyakran linearitásnak nevezzük. A közönséges 3-vektorokra is teljesülnek ezek az axiómák, egyetlen megkötéssel: A 6. axióma lehet˝ové teszi, hogy egy vektort bármilyen komplex számmal megszorozzunk. A közönséges 3-vektorokat szorozni lehet valós számmal (pozitívval, negatívval vagy nullával), de a komplex számmal való szorzás nincs értelmezve. A 3-vektorokat tekinthetjük valós vektortérnek, a keteket pedig komplex vektortérnek. A ketvektorokra adott definíciónk elég absztrakt. Mint látni fogjuk, a ketvektorokat több kézenfekv˝o módon is reprezentálni lehet.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

43

Rendszerek és kísérletek

1.9.2.

Függvények és oszlopvektorok

Nézzünk néhány konkrét példát a komplex vektorterekre! El˝oször tekintsük az x változó folytonos, komplex értéku˝ függvényeit. Legyen A(x) egy ilyen függvény. Két ilyen függvényt össze lehet adni és meg lehet szorozni egy komplex számmal. Könnyen igazolhajuk, hogy mind a hét axiómának eleget tesznek. Ez a példa világosan mutatja, hogy sokkal általánosabb dologról van szó, mint amilyenek a nyilak a háromdimenziós térben. Egy másik konkrét példa a kétdimenziós oszlopvektorok tere. Ezek egy α1 és egy α2 komplex számot tartalmaznak, az 

α1



α2 formában, és ezt az „építményt” tekintjük egy |A ketvektornak. A két α komplex szám az |A komponensei. Két oszlopvektort úgy adunk össze, hogy a megfelel˝o komponenseiket összeadjuk: 

α1



 +

α2

β1



 =

α1 + β1

β2



α2 + β2

Egy oszlopvektort továbbá úgy szorzunk egy z komplex számmal, hogy mindegyik komponensét megszorozzuk vele:  z

α1 α2



 =

zα1

 .

zα2

Oszlopvektorterek konstruálhatók akárhány dimenzióban. Egy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

44

Kvantummechanika

ötdimenziós oszlopvektor például a következ˝o: ⎛

α1

⎞

⎜ ⎟ ⎜α 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜α 3 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 4⎠ α5

1.9.3. Brák és ketek Mint már szó volt róla, a komplex számoknak van egy duális változatuk, a komplex konjugált forma. Ehhez hasonlóan a komplex vektortereknek is van duálisa, amely lényegében a komplex konjugált vektortér. Minden |A ketvektorhoz tartozik a duális térben egy „bra”-vektor, amelyet A|-val jelölünk. Honnan származnak a különös bra és ket elnevezések? Nos, a brák és a ketek bels˝o szorzatát, amelyet kés˝obb definiálunk, egy B|A teljes brakettel fogjuk jelölni6 . A bels˝o szorzat nagyon jelent˝os funkciót tölt be a kvantummechanika matematikai apparátusában és a vektorterek leírásában általában. A bravektorok ugyanazokat az axiómákat elégítik ki, mint a ketvektorok, de van két dolog, amelyet a ketek és a brák megfeleltetésénél figyelembe kell venni: 1. Tegyük fel, hogy az A| bra az |A ketnek, a B| bra pedig a |B ketnek felel meg. Akkor az |A + |B 6A

bracket a zárójel angol neve. – A fordító

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

45

Rendszerek és kísérletek

ketnek az A| + B| bra felel meg. 2. Ha z komplex szám, akkor nem igaz, hogy a z|A ketnek a zA| bra felel meg. Emlékezzünk a komplex konjugálásra! Eszerint a z|A ketnek megfelel˝o bra A|z ∗ .

Amikor a ketek oszlopvektorok, akkor a duális brákat sorvektorok ábrázolják, amelyeknek az elemei az oszlopvektor elemeinek a komplex konjugáltjai. Ha például |A-t az ⎛

α1

⎞

⎜ ⎟ ⎜α2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜α3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 4⎠ α5 oszlopvektor reprezentálja, akkor az A| reprezentánsa az

α1∗

α2∗

α3∗

α4∗

α5∗

sorvektor.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

46

Kvantummechanika

1.9.4. A bels˝o szorzat Bizonyára találkoztak már a közönséges háromdimenziós vektorok skalárszorzatával7 . A brákra és a ketekre az analóg muvelet ˝ a bels˝o szorzat. Ez mindig egy brát és egy ketet tartalmaz, és a felírásmódja a következ˝o: B|A. A bels˝o szorzatra vonatkozó axiómák nagyon természetesek: 1. A bels˝o szorzat lineáris: C|{|A + |B} = C|A + C|B.

2. A bra és a ket felcserélése komplex konjugálást igényel: B|A = A|B∗ .

1.1. Feladat: a) Igazoljuk, hogy az axiómák alapján {|A + |B}|C = A|C + B|C. b) Bizonyítsuk be, hogy A|A valós szám.

7 Emlékeztet˝ oül:

(a, b) vagy másik jelölésben a · b = ax bx + ay by + az bz . – A

fordító

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

47

Rendszerek és kísérletek

Amikor a brák és a ketek sor- és oszlopvektorok, a bels˝o szorzat a komponensek segítségével így fejezhet˝o ki: ⎛ ⎞ α1 ⎜ ⎟ ⎜α2 ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B|A = β1∗ β2∗ β3∗ β4∗ β5∗ ⎜α3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 4⎠ α5

(1.2)

= β1∗ α1 + β2∗ α2 + β3∗ α3 + β4∗ α4 + β5∗ α5 . A bels˝o szorzat képzési szabálya lényegében megegyezik a skalárszorzatéval: a skalárszorzatban szerepl˝o vektorok megfelel˝o komponenseib˝ol képzett szorzatokat kell összegezni. 1.2. Feladat: Mutassuk meg, hogy az (1.2) szabály alapján képzett bels˝o szorzat kielégíti a bels˝o szorzásra vonatkozó két axiómát. Most két fogalmat, amelyek a 3-vektorokra vonatkozóan jól ismertek, általánosítunk a bels˝o szorzatra: 1. A normált vektor. Egy vektort akkor nevezünk normáltnak, ha az önmagával képzett skalárszorzata 1-gyel egyenl˝o: A|A = 1. A 3-vektoroknál normált vektor helyett – egységnyi hosszúságú nyílra gondolva – általában egységvektort mondunk. 2. Ortogonális vektorok. Két vektor akkor ortogonális, ha a bels˝o szorzatuk nulla. |A és |B ortogonalitási feltétele tehát A|B = 0.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

48

Kvantummechanika

Ez analóg azzal, hogy két 3-vektor akkor mer˝oleges egymásra, ha a skalárszorzatuk nullával egyenl˝o.

1.9.5. Ortonormált bázisok A háromdimenziós geometriai terünkben dolgozva rendszerint célszeru˝ kijelölni három egymásra mer˝oleges egységvektort, mert bázisként használhatjuk o˝ ket más vektorok konstruálásában. A legegyszerubb ˝ példa az x, az y és a z tengely irányába mutató ˆ három egységvektor, amelyeket általában ˆi-vel, ˆj-vel, k-val jelölnek. Mindegyik egységnyi hosszú, és mer˝oleges a másik kett˝ore. Hiába keresnénk egy negyediket, amely mindháromra mer˝oleges, nem találnánk – legalább is a háromdimenziós terünkben nem. De ha a tér magasabb dimenziójú volna, több bázisvektorunk is lenne. A tér dimenzióját definiálhatjuk úgy, hogy megegyezik a benne felvehet˝o egymásra mer˝oleges vektorok számával. De nyilvánvaló, hogy maguknak az x, y, z koordinátáknak nincs különösebb fontossága. Akárhogy vegyünk is fel három egymásra mer˝oleges egységvektort, ezek egy ortonormált bázist alkotnak. Ez a meggondolás alkalmazható a komplex vektorterekre is. Kiindulhatunk egy tetsz˝oleges egységvektorból, majd pedig keresünk egy másikat, amely az el˝obbire ortogonális. Ha van ilyen, akkor a terünk legalább kétdimenziós. Ezután keresünk egy harmadik egységvektort, majd egy negyediket, s így tovább. Végül eljutunk oda, hogy nincs több olyan új irány, amely az összes addig talált vektorra ortogonális. A tér dimenziója az egymásra or-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

49

Rendszerek és kísérletek

togonális vektorok maximális lehetséges számával egyenl˝o. Oszlopvektorok esetében a dimenzió megegyezik azoknak az elemeknek a számával, amelyeket az oszlop tartalmaz. Tekintsünk egy N -dimenziós teret és benne egy ortonormált bázist, amelynek elemei az |i ortonormált ketvektorok8 . Az i sorszám 1-t˝ol N -ig terjed. Adjunk meg egy |A vektort a bázisvektorokból képzett összeggel: |A =



αi |i.

(1.3)

i

Az αi komplex számok a vektor komponensei. A kiszámításukhoz mindkét oldal bels˝o szorzatát kell képezni a j| bázisbrával: j|A =



αi j|i.

(1.4)

i

A következ˝o lépés az, hogy kihasználjuk a bázisvektorok ortonormáltságát, amelynek következtében j|i = 0, ha i és j nem egyenl˝o egymással, és j|i = 1, amikor egyenl˝oek. Röviden: j|i = δji . Ez arra vezet, hogy az (1.4) összeg egyetlen tagra redukálódik: j|A = αj .

(1.5)

Mint látjuk, egy vektor komponensei a vektor bázisvektorokkal képzett bels˝o szorzatával egyenl˝ok. Az (1.3) egyenletet ezért át lehet írni a következ˝o elegáns formába: |A =



|ii|A.

i 8A

matematikában általában a bázisnak nem kötelez˝o ortonormáltnak lennie.

A kvantummechanikában azonban többnyire ilyen bázissal van dolgunk. Ebben a könyvben bázison ortonormált bázist értünk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

2. eloadás ˝ Kvantumállapotok

Art: Kellemetlen dolog, de ett˝ol a sört˝ol az agyam megszunt ˝ forogni. Milyen állapotban is vagyunk? Lenny: Bárcsak tudnám! De számít ez? Art: Talán. Azt hiszem, ez már nem is Kalifornia.

2.1.

Állapotok és vektorok

A klasszikus fizikában a rendszer állapotát kell ismernünk ahhoz, hogy megjósolhassuk a jöv˝ojét. Az el˝oz˝o el˝oadásban azonban láttuk, hogy a kvantumrendszerek viselkedése nem jelezhet˝o el˝ore pontosan. Ebb˝ol elég nyilvánvaló, hogy a kvantummechanikai állapot értelme nem lehet ugyanaz, mint a klasszikus rendszereké. Durván szólva a kvantumállapot a rendszer preparálására vonatkozó maximális információ összefoglalása. Az el˝oz˝o fejezetben arról volt szó, hogyan használhatunk egy berendezést egy spin állapotának a beállítására. Közben hallgatólagosan azt is feltételeztük, hogy a spinnek nincsenek is ennél finomabb részletei, amelyeket még specializálni lehetne.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

52

Kvantummechanika

Fel kell természetesen tennünk a kérdést, hogy a viselkedés megjósolhatatlansága nem annak a következménye-e, hogy a kvantumállapot fogalmából még valami hiányzik. Err˝ol a lehet˝oségr˝ol különböz˝o vélemények fogalmazódtak meg. Íme közülük néhány: • Igen, a kvantumállapot fogalma hiányos. Léteznek „rejtett változók”, amelyeket ha ismernénk, lehet˝ové válna a rendszer jöv˝ojének pontos el˝orejelzése. Ennek a felfogásnak két változata is van. Az A változat szerint a rejtett változókat nem könnyu˝ megmérni, de elvben kísérletileg tanulmányozhatók. A B felfogás abból indul ki, hogy magunk is kvantummechanikai anyagból lévén összegyúrva, alá vagyunk vetve a kvantummechanika által megszabott korlátoknak, és ez elvileg lehetetlenné teszi a rejtett változók észlelését. • Nem, a rejtett változók feltételezése zsákutcába visz. A jöv˝o kvantummechanikai megjósolhatatlansága elkerülhetetlen. A kvantummechanikánál pontosabb valószínuségi ˝ el˝orejelzések nem lehetségesek. A fizikusnak az a dolga, hogy ezt a valószínuségszámítást ˝ elsajátítsa és használja. Nem tudhatom, mi lesz majd a végleges válasz a kérdésre, de abban se vagyok biztos, hogy ez egy jó kérdés. Számunkra azonban nem különösebben fontos, hogy ez vagy az a fizikus hogy s mint vélekedik a kvantumállapot végs˝o értelmér˝ol. Praktikus okokból a második nézetet fogadjuk el. Az 1. el˝oadás kvantumspinjére vonatkozóan a gyakorlatban ez annyit jelent, hogy amikor az A berendezés muködésbe ˝ lép

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

53

Kvantumállapotok

és σz = +1-et vagy σz = −1-et jelez, nincs semmi más, amit a spinr˝ol még pótlólag tudni lehetne. Ez vonatkozik a spin többi komponensére is.

2.2.

A spinállapotok leírása

Most már itt az ideje, hogy megkíséreljük a spinállapotok leírását állapotvektorok segítségével. Olyan reprezentációt kell találnunk, amely tartalmazza mindazt, amit a spin viselkedésér˝ol tudni lehet. Formális meggondolások helyett inkább az intuíciónkra fogunk támaszkodni. Megpróbáljuk a dolgokat a lehet˝o legjobban összerakni annak alapján, amit már megtanultunk. Kérem, hogy az alábbiakat nagyon figyelmesen olvassák. Higgyék el, megéri. Kezdjük a három koordinátatengelyhez tartozó spinállapotok jelölésével. Ha A a z tengellyel párhuzamosan van orientálva, akkor a két lehetséges σz = ±1 állapot egyikét tudja el˝oállítani. Nevezzük ezeket up és down állapotnak. Mikor a z irányú berendezés +1-et jelez, akkor a spin felfelé (upward) mutat, ezért az |u állapotba állítottuk be. Hasonlóan, a −1 kimenetelhez a |d lefelé (downward) állapot tartozik. Ha a mér˝oberendezést x irányba fordítjuk, és a −1 eredményt kapjuk, akkor az |l állapotot preparáltuk. Ezt left (balra mutató) állapotnak fogjuk nevezni. A +1 kimenetel természetesen az |r right (jobbra mutató) állapotot hozza létre. Amikor végül az A y irányú, akkor a két lehetséges állapot az |i és az |o (in és out – befelé és kifelé). Remélem ráéreztek a szisztémára.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

54

Kvantummechanika

Ha rejtett paraméterek nem léteznek, ezt a legegyszerubben ˝ úgy fogalmazhatjuk meg matematikailag, hogy feltesszük: egy izolált spin állapottere pontosan kétdimenziós. Ez a megállapítás megérdemli a kiemelést: Az összes elképzelhet˝o spinállapot reprezentálható kétdimenziós vektortérben. Bázisvektoroknak válasszuk mondjuk |u-t és |d-t, és az összes elképzelhet˝o állapotot írjuk fel ennek a két állapotnak a lineáris szuperpozíciójaként. Mivel a bázisvektorok ortogonálisak egymásra, ezzel a választással feltételeztük, hogy a bels˝o szorzatuk zérus: u|d = 0. Egyel˝ore ezt a bázist fogjuk használni. Egy általános állapotot az |A szimbólummal jelölünk. Egyenlet formájában ezt így fogalmazhatjuk meg: |A = αu |u + αd |d, ahol αu és αd az |A két komponense az |u és a |d bázisirányokban. Mint már tudjuk, ezek a komponensek így fejezhet˝ok ki matematikailag: αu = u|A αd = d|A.

(2.1)

Ezek rendkívül absztrakt egyenl˝oségek, és egyáltalán nem világos, miben áll a fizikai jelent˝oségük. Ezt most szándékozom elmagyarázni. El˝oször is, legyen |A valamiyen tetsz˝oleges módon preparált spinállapot. Az αu és az αd komplex számok. Nekik maguknak nincs kísérleti szempontból közvetlen jelentésük, de a nagyságuknak van. Speciálisan az αu∗ αu és az αd∗ αd jelentése a következ˝o:

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Kvantumállapotok

55

• Tegyük fel, hogy a spin az |A állapotban van és a mér˝oberendezés a z irányban orientált. Akkor αu∗ αu annak valószínusége, ˝ hogy a mérés eredménye σz = +1. Vagyis ez a szorzat annak valószínusége, ˝ hogy ha mérést végzünk, a spint up állapotban találjuk. • Hasonlóan, αd∗ αd annak valószínusége, ˝ hogy σz -re a mérés a down eredményt adja. Az α számokat, vagy az o˝ ket meghatározó az u|A , d|A braketeket valószínuségi ˝ amplitúdónak hívják. A valószínuséget ˝ magát az abszolút érték négyzetük szolgáltatja. Az up és a down kimenetelek valószínuségét ˝ tehát a Pu = A|uu|A Pd = A|dd|A.

(2.2)

képletek határozzák meg. Vegyük észre, hogy egy szót se szóltam arról, mi volt σz a mérés el˝ott. A mérés el˝ott csak egy |A vektorunk volt, amely a lehet˝oségeket foglalta össze, de a mérés aktuális kimenetelét nem határozta meg. Aláhúzunk két fontos körülményt. Mint már említettük, az |u ás a |d ortogonális egymásra, azaz u|d = 0 d|u = 0.

(2.3)

Ezek az egyenl˝oségek azt fejezik ki, hogy ha a spint up állapotban preparáltuk, akkor nulla valószínuséggel ˝ találjuk down állapotban, és megfordítva. Ez annyira fontos, hogy megismétlem:

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

56

Kvantummechanika

Két ortogonális állapot fizikailag különböz˝o, és kizárja egymást. Amikor a spin az egyik állapotban van, nem lehet ugyanakkor a másikban is (ennek valószínusége ˝ nulla). Ez mindenfajta kvantumállapotra érvényes, nemcsak a spinre. De ne keverjük össze a spinvektorok ortogonalitását a térbeli irányok ortogonalitásával! Az up és a down irányok a térben nem is mer˝olegesek egymásra, noha a hozzájuk tartozó állapotok az állapottérben ortogonálisak. A másik fontos megjegyzés a teljes valószínuségre ˝ vonatkozik, amelynek 1-gyel kell egyenl˝onek lennie: αu∗ αu + αd∗ αd = 1.

(2.4)

Ez egyenértéku˝ azzal, hogy az |A egységvektor: A|A = 1. Ez is általános elv a kvantummechanikában, amely minden kvantumrendszerre érvényes. A rendszert az állapottérben reprezentáló vektor egységvektor (vagy más kifejezéssel: normált). Az állapotvektornak a különféle bázisvektorokra vetett vetületének abszolút érték négyzete pedig különböz˝o mérési eredmények valószínuségével ˝ egyenl˝o.

2.3. ...és az x irányban? Azt állítottuk, hogy bármilyen spinállapotot le lehet írni az |u és a |d bázisvektorok lineáris kombinációjával. Próbálkozzunk el˝oször az |r és az |l vektorral, amelyek az x irányban preparált állapotokat határoznak meg. Az |r-rel kezdjük. Az 1. el˝oadásban

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

57

Kvantumállapotok

megbeszéltük, hogy ha az A-val el˝oször az |r állapotot állítjuk be, majd elforgatjuk úgy, hogy a σz -t mérje, egyenl˝o valószínu˝ séggel jutunk up és down mérési eredményre. Ennek következtében αu∗ αu is, αd∗ αd is egyenl˝o 1/2-del. Egy egyszeru˝ vektor, amely ennek a követelménynek eleget tesz, a következ˝o: 1 1 |r = √ |u + √ |d. 2 2

(2.5)

Van ebben a választásban önkény, de mint kés˝obb látni fogjuk, ez az x tengely választásának az önkényességével kapcsolatos az y tengely választásával szemben. Foglalkozzunk most az |l-lel. Tudjuk róla, hogy ha a spint a left konfigurációban preparáljuk, a σz két lehetséges értékét ismét ugyanazzal az 1/2 valószínuséggel ˝ figyeljük meg. Az αu∗ αu -nak és az αd∗ αd -nek tehát megint 1/2-del kell egyenl˝onek lennie, de most van még egy további feltételünk is. Korábban már volt szó róla, hogy az |u és a |d ortogonális egymásra annak következtében, hogy amikor a spin felfelé mutat, akkor határozottan nem mutat lefelé. De a felfelé és lefelé pár ugyanolyan értelemben zárja ki egymást, ahogy a jobbfelé és a balfelé (right és left) állapotpár: Amikor a spin jobbfelé mutat, nulla valószínuséggel ˝ mutat balfelé. Ezért a (2.3) egyenlethez hasonlóan r|l = 0 l|r = 0. Ezek a feltételek rögzítik az |l matematikai alakját: 1 1 |l = √ |u − √ |d. 2 2

www.interkonyv.hu

(2.6)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

58

Kvantummechanika

2.1. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a (2.5) egyenletben felírt |r ortogonális a (2.6) |l vektorra.

Az |l-ben is van valamekkora önkényesség, amelyet fázisbizonytalanságnak neveznek. Szorozzuk meg |l-et valamilyen z komplex számmal. Ett˝ol még ortogonális marad |r-re, de általában nem marad normált (a hossza nem lesz egységnyi). De ha z = eiθ (amelyben θ tetsz˝oleges valós szám), akkor az |r normáltsága megmarad, mivel eiθ egységnyi hosszúságú. Következésképpen az αu∗ αu +αd∗ αd összeg értéke 1 marad. A z = eiθ alakú komplex számokat – mint már utaltunk rá korábban, – fázisfaktornak hívják, ezért nevezzük ezt a többértelmuséget ˝ fázisbizonytalanságnak. Kés˝obb látni fogjuk, hogy a mérhet˝o mennyiségek nem érzékenyek egy közös (például (2.6) mindkét tagját megszorzó) fázisfaktorra, ezért a továbbiakban az állapotok specializálásakor nem foglalkozunk vele.

2.4. ...és az y irányban? Elérkeztünk |i-hez és |o-hoz, amelyek az y mentén orientált spin állapotaihoz tartoznak. Milyen feltételeknek kell eleget tenniük? El˝oször is i|o = 0.

(2.7)

Az in (befelé) és az out (kifelé) állapotokhoz ugyanúgy ortogonális vektorok tartoznak, mint az up és a down állapotokhoz. Fizikailag

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Kvantumállapotok

59

ez azzal kapcsolatos, hogy ha a spin befele mutat, akkor bizonyosan nem mutathat kifele. Vannak még más feltételek is, amelyeket az |i és az |o vektoroknak teljesíteniük kell. A (2.1), a (2.2), valamint a kísérleti eredmények statisztikája alapján 1 2 1 o|dd|o = 2 1 i|uu|i = 2 1 i|dd|i = . 2

o|uu|o =

(2.8)

Az els˝o két egyenletben |o, a másik kett˝oben |i játssza a (2.1), (2.2) egyenlet |A-jának a szerepét. Az egyenletek azt fejezik ki, hogy amikor a spin y irányban orientált és z irányú mérést végzünk, akkor egyenl˝o valószínuséggel ˝ kapunk up vagy down eredményt. Arra is számíthatunk, hogy x irányú spinmérésnél is egyenl˝oen valószínu˝ lesz a right és a left. Ez további feltételekhez vezet: 1 2 1 o|ll|o = 2 1 i|rr|i = 2 1 i|ll|i = . 2

o|rr|o =

(2.9)

Ezeknek a feltételeknek az alapján az |i és az |o vektorok mate-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

60

Kvantummechanika

matikai formája (fázisfaktortól eltekintve) egyértelmu: ˝ 1 |i = √ |u + 2 1 |o = √ |u − 2

i √ |d 2 i √ |d. 2

(2.10)

2.2. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ez az |i és |o kielégíti a három (2.7), (2.8), (2.9) feltételt. Ebb˝ol a szempontból egyértelmuek? ˝

Figyelemre méltó, hogy (2.10)-ben két komponens képzetes. Korábban már persze hangsúlyoztuk, hogy az állapotok tere komplex vektortér, de a képleteinkben eddig nem kellett komplex számokat használni. Vajon a (2.10)-ben a komplex számok megjelenése szükségszeru-e, ˝ vagy csupán kényelmes konvenció? Azok között a keretek között, amelyeket a spinállapotok leírására elfogadtunk, nem lehetünk meg nélkülük. Ezt kissé hosszadalmas bebizonyítani, noha a gondolatmenet maga kézenfekv˝o. Az alábbi feladat útbaigazítást nyújt hozzá. Komplex számok megjelenése a kvantummechanikában általános, kés˝obb további példákat is látunk majd rá.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

61

Kvantumállapotok

2.3. Feladat: Egy id˝ore feledkezzünk el (2.10)-r˝ol, amelyik megmondja, hogyan kell |i-t és |o-t kifejezni |u-n és |d-n keresztül. Tegyük fel, hogy az |i = α|u + β|d |o = γ|u + δ|d képletben az α, β, γ,δ koefficiensek még ismeretlenek. a) A (2.8) egyenlet segítségével bizonyítsuk be, hogy α∗ α = β ∗ β = γ ∗ γ = δ ∗ δ =

1 . 2

b) Ennek az eredménynek és (2.9)-nek a felhasználásával mutassuk meg, hogy α∗ β + αβ ∗ = γ ∗ δ + γδ ∗ = 0. c) Igazoljuk, hogy mind α∗ β, mind pedig γ ∗ δ tiszta képzetes. Ha α∗ β tiszta képzetes, akkor nem lehet α is, β is valós. Hasonló vonatkozik γ ∗ δ-ra.

2.5.

Hány paraméterünk van?

Mindig jó tudni egy rendszerr˝ol, hány paraméterrel írható le. Az 1. kötetben például használtuk az általánosított koordinátákat (qi -vel jelöltük o˝ ket), amelyek mindegyike egy-egy szabadsági foknak felelt meg. Ez a leírásmód fölöslegessé tette a kényszerfeltételek körülményes számontartását. Ebb˝ol okulva a következ˝o

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

62

Kvantummechanika

feladatunk az lesz, hogy leszámláljuk egy spin összes fizikailag különböz˝o állapotát. Két módszert is mutatok rá, hogy lássák, mindkett˝o ugyanarra az eredményre vezet. Az els˝o eljárás nagyon egyszeru. ˝ Orientáljuk a berendezésünket egy tetsz˝olegesen választott n ˆ térbeli egységvektor9 irányába és preparáljuk a spint úgy, hogy a kiválasztott irányban legyen σ = +1. Amikor σ = −1, akkor ezt úgy tekintjük, hogy a spin −ˆ n irányba mutat. Eszerint minden térbeli egységvektorhoz egy állapot tartozik. Hány paraméter jellemez egy térbeli irányt? Természetesen kett˝o. Két szöget kell megadnunk ahhoz, hogy kijelöljünk egy határozott irányt a térben10 . Vizsgáljuk meg most ugyanezt a feladatot egy másik néz˝opontból is. Egy általános spinállapotot a két αu és αd komplex számmal adunk meg. Ez négy valós paramétert jelent, mivel egy komplex szám megadása két valós szám kiválasztását jelenti. De ne felejtsük el, hogy a vektornak normáltnak kell lennie a (2.4) egyenletnek megfelel˝oen. A normálási feltétel egy egyenletet jelent a négy paraméterre, és így a szabadon választható paraméterek számát lecsökkenti háromra. Korábban már volt szó róla – és majd látni is fogjuk –, hogy az állapotvektor fizikai tulajdonságai nem változnak, ha megszorozzuk egy fázisfaktorral. Emiatt a három megmaradt paraméter közül egy fölösleges. Végül tehát megint csak két szabad paraméterünk maradt, ugyanannyi, amennyi a térbeli orientációhoz szükséges. Eszerint az 9 Ne

felejtsük el, hogy a térvektorok nem brák és ketek! rá, hogy gömbi koordinátákban két szög rögzíti egy pont irá-

10 Emlékezzünk

nyát az origóhoz képest. Vagy gondoljunk a földrajzi hosszúságra és szélességre.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

63

Kvantumállapotok

αu |u + αd |d kifejezés elegend˝o szabadon választható paramétert tartalmaz ahhoz, hogy a spin összes lehetséges orientációját felölelje, annak ellenére, hogy egy konkrét megfigyelésnek csupán két lehetséges kimenetele van.

2.6.

A spinállapotok reprezentációja oszlopvektorral

Az el˝oz˝oekben sok mindent megtanulhattunk, miközben az állapotvektorok absztrakt formájára, |u-ra, |d-re és társaikra támaszkodtunk. Az ilyen absztrakciók arra jók, hogy koncentrálni tudjunk a matematikai összefüggésekre anélkül, hogy közben szükségtelen részletekkel kellene bajlódnunk. De nemsokára részletes számításokat kell majd végeznünk a spinállapotokkal, és ennek a célnak az állapotvektorok oszlop formája jobban megfelel. A „fázisbizonytalanság” következtében az oszlopalak nem teljesen egyértelmu, ˝ de ez a szabadság felhasználható a legegyszerubb ˝ és a legkényelmesebb felírásmód kiválasztására. Mint eddig is, az |u-val és a |d-vel kezdjük. Egységnyi hoszszúak és egymásra ortogonálisak. A következ˝o két oszlop eleget tesz ennek a két követelménynek:   1 |u = 0 |d =

www.interkonyv.hu

  0 1

(2.11)

.

(2.12)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

64

Kvantummechanika

Ezeknek az oszlovektoroknak a birtokában a (2.5) és a (2.6) egyenlet segítségével kereshetjük meg az |r-nek és az |l-nek megfelel˝o oszlopokat, a (2.10) felhasználásával pedig az |i-nek és az |onak megfelel˝oket. De csak a következ˝o el˝oadásban írjuk fel o˝ ket, amikor majd szükség lesz rájuk.

2.7.

Mindent egybevetve...

Ebben az el˝oadásban sok mindent elmondtunk az alapokról. Miel˝ott tovább haladnánk, készítsünk leltárt. A célunk az volt, hogy egységes keretbe foglaljuk, amit a spinekr˝ol és a vektorterekr˝ol tudunk. Kiderítettük, hogyan lehet a spinállapotokat vektorokkal reprezentálni, és eközben az állapotvektorban összefoglalt (és az általa nem tartalmazott) információ természetébe is nyertünk némi bepillantást. Itt a rövid összefoglalása annak, ami eddig történt: • Annak alapján, amit a spin mérésér˝ol megtudtunk, kiválasztottunk három pár egymásra ortogonális vektort. Páronként az |u, |d, az |r, |l, és az |i, |o nevet adtuk nekik. Abból, hogy az |u és a |d bázisvektorok fizikailag élesen megkülönböztethet˝o állapotokat reprezentálnak, arra következtettünk, hogy ortogonálisak egymásra, vagyis u|d = 0. Hasonló a helyzet az |r, |l, valamint az |i, |o párokkal is. • Megállapítottuk, hogy egy spinállapot specifikálásához két valós paraméter szükséges. Ezután önkényesen kijelöltük a három ortogonális állapotpár közül az |u-t és a |d-t bázis-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

65

Kvantumállapotok

vektoroknak, amelyeknek a segítségével leírhatjuk az összes spinállapotot – annak ellenére, hogy az állapotvektorban fellép˝o két komplex szám megadása négy valós paramétert igényel. Hogyan volt ez lehetséges? Csak annyit kellett hozzá tudnunk, hogy ez a négy valós szám nem független egymástól11 . A normálási feltétel (a teljes valószínuségnek ˝ 1-gyel kell egyenl˝onek lennie) eggyel csökkenti a független paraméterek számát, a fázisbizonytalanság (az állapot fizikai tulajdonságai nem változnak, amikor az állapotvektort megszorozzuk egy fázisfaktorral) úgyszintén. • További ortogonalitási és valószínuségi ˝ feltételek figyelembevételével tisztáztuk, hogyan kell az |u és a |d lineáris kombinációjával megadni a másik két bázisvektorpárt. • Végül bemutattuk a két f˝o bázisvektorunk ábrázolását oszlopvektorral. Ez a megadási mód nem teljesen egyértelmu. ˝ A következ˝o el˝oadásban az |u és a |d oszlopvektoraiból kiindulva meg fogjuk találni a másik két bázisvektorhoz tartozó oszlopvektorokat is. Miközben ezeket a lépéseket megtettük, bepillanthattunk az állapotvektorok matematikájába muködés ˝ közben, és arról is megtudtunk egy s mást, hogyan feleltethet˝ok meg ezek a matematikai objektumok a fizikai spinnek. Bár csak a spinre korlátozódtunk, ugyanezek a fogalmak és technikák alkalmazhatók más kvantumrendszerekre is. Kérem, gondolják jól át az eddig tárgyalt anyagot a soron következ˝o el˝oadásig. Ahogy már mondtam, nem lesz kárbaveszett id˝o. 11 Kéretik

www.interkonyv.hu

elégedetten elmosolyodni.

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

3. eloadás ˝ A kvantummechanika elvei

Art: Lenny, én nem vagyok olyan, mint te. Az agyberendezésem nem kvantummechanika-kompatibilis. Lenny: Ugyan már, az enyém se mindig volt az. Hiába, ezt a dolgot nem lehet vizuálisan elképzelni. De mondok valamit. Egyszer ismertem egy pacákot, aki igazi kvantummechanikai lény volt. Art: Azt meg hogy? Lenny: Operátor volt a Hilbert bárban. Art: És tisztában volt a saját értékeivel? Lenny: (Bizonytalanul.) Állandóan spineket hajkurászott. Art: És megváltoztatta az állapotukat? Lenny: Eleinte gyakran. De kés˝obb már egészen elfajult. Art egyre gyanakvóbban méregeti Lennyt. Art: Jobb lesz, Lenny, ha inkább elkezdjük az órát.

Nos, tényleg nem a kvantumjelenségek érzékelésére lettünk teremtve. Másmilyen a felépítésünk, az olyan klasszikus dolgok érzékelésére alkalmas, mint az er˝o és a h˝omérséklet. De alkalmazkodó lények vagyunk, és helyettesíteni tudtuk absztrakt matematikával azokat a hiányzó érzékszerveinket, amelyekkel közvetlenül szemlélhettük volna a kvantumjelenségeket. Végül pedig kifejlesztettünk egy újfajta intuíciót.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

68

Kvantummechanika

Ez egy bevezet˝o el˝oadás lesz a kvantummechanika elveibe. Szükségünk lesz hozzá némi új matematikára. Kezdjük is el.

3.1.

Matematikai közjáték: Lineáris operátorok 3.1.1. Gépek és mátrixok

A kvantummechanikai állapotokat matematikailag egy vektortér vektorai írják le. A megfigyelhet˝o mennyiségeknek pedig, amelyek méréssel állapíthatók meg, lineáris operátorok felelnek meg. Fogadjuk el ezt axiómának. Kés˝obb, a 3.1.5 pontban látni fogjuk, hogy a fizikai mennyiségekhez rendelt operátoroknak hermitikusoknak és lineárisoknak kell lenniük. Az operátorok és a megfigyelhet˝o mennyiségek kölcsönös megfeleltetése azonban kényes feladat, alapos meggondolást igényel. A megfigyelés a fizikában mérést jelent, a megfigyelhet˝o mennyiségek azok, amelyeket mérünk. Például közvetlen méréssel határozhatjuk meg egy részecske koordinátáját, egy rendszer energiáját, impulzusát (lendületét), impulzusmomentumát (perdületét), vagy az elektromos mez˝ot a tér egy pontjában. Ezek szintén vektortérben leírható fogalmak, de nem állapotvektorokkal. Mérjük o˝ ket – mint például σz -t–, és lineáris operátorokat feleltetünk meg nekik. John Wheeler el˝oszeretettel hívta o˝ ket gépeknek. Olyan gépekr˝ol – vagy inkább szerkentyukr˝ ˝ ol – van szó, amelyeknek van egy bemen˝o és egy kimen˝o portja. A bemen˝o porton át beadunk a gépnek egy vektort, mondjuk |A-t. A gép elkezd dolgozni, és a kimeneti porton megjelenik az eredmény: egy másik vektor, mondjuk |B.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

69

A kvantummechanika elvei

Az operátorokat félkövér szedéssel különböztetjük meg: például M (a „ Masina” jelölésére). Azt az állítást, hogy amikor M az |A-ra hat, a |B-t kapjuk eredményül, így fejezzük ki képlettel: M|A = |B. Nem minden „ gép” muködik ˝ lineárisan. A linearitás terminussal meghatározott tulajdonságokat fejezünk ki. El˝oször is, egy lineáris operátor a vektortér minden vektorához egyetlen jól meghatározott vektort rendel. Elképzelhetnénk olyan gépet is, amelyik bizonyos bemen˝o vektorokhoz egyértelmu˝ végeredményt rendel, más vektorok beadásakor azonban csak kattog anélkül, hogy kijönne bel˝ole válasz. Az ilyen gépet nem tekintjük lineáris operátornak. Ha valamit beadunk, valamit kell kapnunk a kimeneten. A következ˝o tulajdonság az, hogy amikor M egy vektor valahányszorosára hat, a gépnek ugyanannyiszoros vektort kell produkálnia a kimeneten. Vagyis ha M|A = |B és z egy komplex szám, akkor Mz|A = z|B. Az utolsó követelmény pedig, hogy amikor M vektorok összegére hat, akkor az egyedi eredmények egyszeruen ˝ összeadódnak: M{|A + |B} = M|A + M|B. A lineáris operátorok konkretizálása érdekében visszatérünk a bra- és a ketvektorok sor- és oszlopvektorral történ˝o ábrázolásához, amelyr˝ol a 2. el˝oadásban volt szó. A sor–oszlop-jelölés a bázisvektorok megválasztásától függ. Ha a vektortér N -dimenziós,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

70

Kvantummechanika

akkor N darab ortonormált (ortogonális és normált) ketvektort választunk. Jelöljük o˝ ket |j-vel, a duális bravektorokat pedig j |-vel. Tekintsük most az M|A = |B egyenletet, és keressük meg komponens formában történ˝o felírását. Az (1.3) egyenletnek megfelel˝oen a tetsz˝olegesen választott |A-t felírjuk a bázisvektorokkal képzett összegként: |A =



αj |j.

j

Azért használjuk a j összegz˝o indexet i helyett, nehogy összekeverjük az in spinállapottal. Most ugyanilyen módon felírjuk |B-t is, és mindkét kifejezést behelyettesítjük az M|A = |B egyenletbe. Ezt kapjuk: 

M|jαj =



j

βj |j.

j

Utolsó lépésként mindkét oldal bels˝o szorzatát vesszük valamelyik k | bázisvektorral:  j

k |M|jαj =



βj k|j.

(3.1)

j

Emlékezzünk most rá, hogy k|j nulla, ha j és k különbözik egymástól, és 1-gyel egyenl˝o, ha mindkett˝o ugyanaz. Ennek következtében a jobb oldali összeg egyszeruen ˝ βk -val egyenl˝o. A bal oldalon megjelentek a k |M|j mennyiségek, amelyeket majd gyakran mkj -nek fogunk rövidíteni. Ezek komplex számok, mert amikor M a |j-re hat, egy új ket-vektort hoz létre, és a

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

71

A kvantummechanika elvei

k | bels˝o szorzata ezzel az új ketvektorral a bels˝o szorzatok általános tulajdonságainak megfelel˝oen valamilyen komplex szám. Az mkj -ket az M mátrixelemeinek hívják, és gyakran rendezik o˝ ket N × N -es négyzetes mátrixba. N = 3 esetében például érvényes a következ˝o szimbolikus egyenl˝oség ⎛ m11 m12 ⎜ ⎜ M = ⎝m21 m22 m31 m32

m13

⎞

⎟ m23 ⎟ ⎠.

(3.2)

m33

Ebben az egyenletben felfedezhet˝o némi visszaélés a jelölésekkel, és ez talán kiválthatja a puristák méltatlankodását. A bal oldal ugyanis egy absztrakt lineáris operátor, a jobb oldal pedig egy konkrét reprezentációja valamilyen kiválasztott bázisban. Pongyola dolog egyenl˝onek tekinteni o˝ ket, de ez nem fog senkit megzavarni. Nyúljunk most vissza (3.1)-hez, és helyettesítsük benne k |M|j-t mkj -vel:



mkj αj = βk .

(3.3)

j

Ezt az egyenl˝oséget felírhatjuk mátrix alakban is: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m11 m12 m13 α1 β1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m21 m22 m23 ⎟ ⎜α2 ⎟ = ⎜β2 ⎟ . ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m31 m32 m33 α3 β3

(3.4)

Valószínuleg ˝ nem ismeretlen önök el˝ott a mátrixszorzás, de itt az alkalom, hogy felelevenítsük. A jobb oldal els˝o elemének, β1 nek a kiszámításához a mátrix els˝o sorát kell „skalárisan megszorozni” az α oszloppal: β1 = m11 α1 + m12 α2 + m13 α3 .

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

72

Kvantummechanika

A második elem kiszámításához ugyanígy kell eljárni a mátrix második sorával és az α oszloppal: β2 = m21 α1 + m22 α2 + m23 α3 . És így tovább. Ha nem ismer˝os a dolog, kapcsolják be a számítógépet, a neten könnyen megtalálják a szabályt. Az eszköztárunk fontos elemér˝ol van szó, mostantól felteszem, hogy már ismerik. El˝onyei és hátrányai is vannak, ha a vektorokat és a lineáris operátorokat oszlopok, sorok, mátrixok alakjában (közös nevükön komponensekkel) írjuk fel. El˝ony, hogy a komponensekre teljesen meghatározott aritmetikai szabályok érvényesek, amelyek számítógépen is futtathatók. A hátrány viszont az, hogy minden mennyiség attól a specifikus bázistól függ, amelyet választottunk. A vektorok és az operátorok közötti kapcsolat önmagában független a kiválasztott bázistól, és ez a bázisfüggetlenség homályban maradhat, amikor konkrét bázisban dolgozunk.

3.1.2. Sajátértékek és sajátvektorok Az általános esetben, amikor egy operátor egy vektorra hat, megváltoztatja az irányát. Ezen azt értjük, hogy ami a gépb˝ol kijön, nem egyszeruen ˝ a bemen˝o vektor lesz egy számmal megszorozva. De egy adott lineáris operátorhoz tartoznak olyan vektorok, amelyeknek az irányát az operátor hatása nem változtatja meg. Ezeket a speciális vektorokat sajátvektoroknak hívjuk. Az M operátor |λ sajátvektorainak a definíciója tehát a következ˝o: M|λ = λ|λ.

www.interkonyv.hu

(3.5)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

73

A kvantummechanika elvei

A λ dupla használata eleinte zavaró lehet. El˝oször is, maga a λ (a |λ-val szemben) egy szám – általában komplex szám, de puszta szám. A |λ azonban ketvektor. Mégpedig egy olyan ket, amelyik nagyon speciális viszonyban áll M-mel. Amikor |λ-t bedobjuk az M masinába, csak annyi történik, hogy megszorzódik a λ számmal. Amikor például a 2 × 2-tes   1 2 2 M mátrix az

1

  1 1

vektorra hat, egyszeruen ˝ megszorozza 3-mal. Próbálják csak meg! De van az M-nek egy másik sajátvektora is:   1 . −1 Amikor M erre a sajátvektorra hat, egy másik számmal, −1gyel szorozza meg. De ha M-et az   1 0 vekrorra alkalmazzuk, nem az történik, hogy egyszeruen ˝ megszorozza egy számmal, hanem az irányát is, a nagyságát is megváltoztatja. Annak mintájára, ahogy a vektorokat, amelyek M hatására egy számmal szorzódnak meg, az M sajátvektorainak hívjuk, azoknak a konstansoknak, amelyek o˝ ket megszorozzák, sajátérték a neve. A sajátértékek általában komplex számok. Javasolom,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

74

Kvantummechanika

hogy elemezzék például az



M=

0

−1

1

0



mátrixot, és mutassák meg, hogy   1 i a −i sajátértékhez tartozó sajátvektora. A lineáris operátorok bravektorokra is tudnak hatni. Azt, hogy az M a B |-re hat, így szimbolizáljuk: B |M. Röviden összefoglalom ennek a muveletnek ˝ a f˝o szabályát. Legegyszerubben ˝ ez komponensek segítségével tehet˝o meg. Emlékezzünk rá, hogy a bravektorok komponensformája a sorvektor. A B |-t például így adhatjuk meg: B | = β1∗ β2∗

β3∗ .

A szabály megint a mátrixszorzás, amely némi jelölésbeli pongyolasággal a következ˝o: B |M = β1∗

3.1.3.

⎛

m11

β2∗

⎜ β3∗ ⎜ ⎝m21 m31

m12

m13

⎞

m22

⎟ m23 ⎟ ⎠.

m32

m33

(3.6)

A hermitikus adjungálás

Azt gondolhatnák, hogy amennyiben M|A = |B, akkor A |M = B |, de nem így van. A gond a komplex konjugálással van. Amikor Z nem operátor, hanem csak egy komplex szám, akkor se

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó A kvantummechanika elvei

75

igaz, hogy a Z|A = |B következtében A |Z = B |. A Zt komplex konjugálni kell, amikor a ketekr˝ol brákra térünk át: A |Z ∗ = B |. Ha Z valós, akkor persze a komplex konjugálás nem változtat rajta – minden valós szám egyenl˝o a saját komplex konjugáltjával. Amire igazából szükségünk van, az a komplex konjugálás fogalmának a kiterjesztése az operátorokra. Induljunk ki az M|A = |B egyenletb˝ol komponensek formájában: 

mji αi = βj ,

i

és ennek



m∗ji αi∗ = βj∗

i

komplex konjugáltjából. Ezt kell mátrix alakban felírni brákkal a ketek helyett. A bravektorokat – mint tudjuk, – sorvektorral reprezentáljuk, nem pedig oszloppal. Ennek következtében az M matrix elemeinek a komplex konjugáltjait is másképp kell mátrixba rendeznünk. Az átalakított mátrixot M† -tel fogjuk jelölni, ahogy mindjárt megmagyarázzuk. Az új egyenlet a következ˝o: ⎛ ⎞ ∗ ∗ ∗ m m m 11 21 31

⎜ ⎟ ∗ ∗ ∗ ⎟. A |M† = α1∗ α2∗ α3∗ ⎜ (3.7) m m m 12 22 32 ⎝ ⎠ ∗ ∗ ∗ m13 m23 m33 Figyeljük meg jól, miben különbözik ez a mátrix a (3.6) egyenlet mátrixától. Két különbség van. Szembetun˝ ˝ o az elemek komplex konjugálása, de van eltérés az indexekben is. Ahol például m23 at látunk (3.6)-ban, ott (3.7)-ben m∗32 áll. Röviden: a sorokat és az oszlopokat fel kell cserélni egymással.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

76

Kvantummechanika

Amikor egy egyenletet ketformából braformára írjuk át, a mátrix két lépésben változik meg: 1. Az oszlopok és a sorok felcserél˝odnek. 2. A mátrixelemek a komplex konjugáltjaikra változnak. A sorok és az oszlopok felcserélését a mátrix transzponálásának hívjuk és T fels˝o indexszel jelöljük. Az M mátrix transzponáltja tehát ⎛

m11

⎜ ⎜m21 ⎝ m31

m12 m22 m32

m13

⎞T

⎛

m11

⎜ ⎟ ⎜ m23 ⎟ ⎠ = ⎝m12 m33 m13

m21

m31

⎞

m22

⎟ m32 ⎟ ⎠.

m23

m33

Figyeljük meg, hogy a transzponálás nem más, mint a mátrix tükrözése a f˝oátlójára nézve (arra, amelyik a bal fels˝o sarkot köti össze a jobb alsóval). A komplex konjugált és transzponált mátrixot hermitikus adjungáltnak nevezzük és a † fels˝o indexszel jelöljük. Erre a szimbólumra úgy tekinthetünk, mint a komplex konjugálás csillag jelének és a transzponálás T jelének a hibridjére. Szimbolikusan ∗  M† = M T . Összefoglalva: Amikor M az |A-ra hatva |B-t ad, akkor M† az A |-ra hatva B |-re vezet. Vagyis, amikor M|A = |B, akkor A |M† = B |.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

77

A kvantummechanika elvei

3.1.4.

Hermitikus operátorok

A fizikában a valós számoknak kitüntetett szerep jut. Minden mérés eredménye valós szám. Néha, amikor két mennyiséget mérünk, az i segítségével kapcsoljuk össze o˝ ket (komplex számot képzünk bel˝olük), és erre mondjuk azt, hogy mérési eredmény. De igazából ez nem több, mint két valós eredményu˝ mérés összekapcsolása. Ha nagyon precízek akarunk lenni, akkor azt is mondhatjuk, hogy minden megfigyelhet˝o mennyiség egyenl˝o a saját komplex konjugáltjával. Ez persze nem több, mint elegáns megfogalmazása annak, hogy valósak. Hamarosan látni fogjuk, hogy a kvantummechanikában a megfigyelhet˝o mennyiségeket lineáris operátorok reprezentálják. Milyen típusúak? Nagyon közel vannak ahhoz, hogy a „valós” jelz˝ovel jellemezzük o˝ ket. A kvantummechanikában a megfigyelhet˝o mennyiségekhez olyan lineáris operátorok tartoznak, amelyek egyenl˝ok a saját hermitikus adjungáltjukkal. Hermitikus operátoroknak hívják o˝ ket Charles Hermite francia matematikus tiszteletére. A hermitikus operátorokat az M = M† egyenl˝oség definiálja. A mátrixelemek nyelvén kifejezve mji = m∗ij . Eszerint, ha egy hermitikus mátrixot tükrözünk a f˝odiagonálisára, és az elemeket komplex konjugáljuk, akkor az eredeti mátrixot kapjuk vissza. A hermitikus operátoroknak (és mátrixaiknak) van néhány fontos speciális tulajdonsága. Az els˝o az, hogy a sajátértékeik valós számok. Lássuk a bizonyítását!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

78

Kvantummechanika

Tegyük fel, hogy λ és a |λ az L hermitikus operátor sajátértéke és sajátvektora, azaz L|λ = λ|λ. Akkor a hermitikus adjungálás szabálya alapján λ |L† = λ |λ∗ . Az L azonban hermitikus lévén egyenl˝o L† -tel. A két egyenletet tehát újraírhatjuk: L|λ = λ|λ

(3.8)

λ |L = λ |λ∗ .

(3.9)

és

Szorozzuk most (3.8)-at λ |-val, (3.9)-et pedig |λ-val. Ezt kapjuk: λ |L|λ = λλ|λ és λ |L|λ = λ∗ λ|λ. Ahhoz, hogy mindkét egyenlet igaz lehessen, a λ-nak egyenl˝onek kell lennie λ∗ -gal. Vagyis a λ (és egy hermitikus operátor sajátértéke általában) valós szám.

3.1.5.

Hermitikus operátorok és az ortonormált bázis

Elérkeztünk azokhoz a matematikai tételekhez – fundamentális tételeknek fogom hívni o˝ ket –, amelyek a kvantummechanika bázi-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

79

A kvantummechanika elvei

sát képezik. Az alapelv az, hogy a kvantummechanikában a megfigyelhet˝o mennyiségeket hermitikus operátorok reprezentálják. Noha ez egy egyszeru˝ tétel, a jelent˝osége egészen kivételes, ezért precízebben is megfogalmazzuk: • Egy hermitikus operátor sajátvektorai teljes rendszert alkotnak. Ez azt jelenti, hogy minden olyan vektort, amelyet az operátor képes létrehozni, el˝o lehet állítani a sajátvektoraiból képzett összeggel. • Ha λ1 és λ2 két különböz˝o sajátérték, akkor a hozzájuk tartozó sajátvektorok ortogonálisak egymásra. • De még ha a két sajátérték egyenl˝o is, a sajátvektoraik választhatók ortogonálisnak. Amikor két különböz˝o sajátvektorhoz ugyanaz a sajátérték tartozik, elfajulásról beszélünk. Az 5.1 pontban látni fogjuk, hogy elfajulás olyankor lép fel, amikor két operátornak közös sajátvektora van. A fundamentális tétel tartalmát így is megfogalmazhatjuk: Egy hermitikus operátor sajátvektorai ortonormált bázist alkotnak. Bizonyítsuk ezt be a második pontnál kezdve. A sajátvektorok és sajátértékek fogalma alapján írhatjuk, hogy L|λ1  = λ1 |λ1  L|λ2  = λ2 |λ2 . Mivel L hermitikus (egyenl˝o a saját hermitikus adjungáltjával), az els˝o egyenletet átfordíthatjuk braegyenletté: λ1 |L = λ1 λ1 |

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

80

Kvantummechanika

L|λ2  = λ2 |λ2 . Az eljárás már alighanem világos, de azért részletezem. Képezzük az els˝o egyenlet bels˝o szorzatát |λ2 -vel, a másodikét pedig λ1 |-gyel. Az eredmény λ1 |L|λ2  = λ1 λ1 |λ2  λ1 |L|λ2  = λ2 λ1 |λ2  Végül kivonjuk a fels˝o egyenletb˝ol az alsót: (λ1 − λ2 )λ1 |λ2  = 0. Ebb˝ol látható, hogy amikor λ1 és λ2 különbözik egymástól, a λ1 |λ2  bels˝o szorzat nullával egyenl˝o, vagyis a két sajátvektor ortogonális egymásra. Most azt fogjuk belátni, hogy a sajátvektorok még abban az esetben is megválaszthatók egymásra ortogonálisnak, amikor λ1 = λ2 . Tegyük fel hogy L|λ1  = λ|λ1  L|λ2  = λ|λ2 

(3.10)

Eszerint van két egymástól különböz˝o sajátvektorunk, amelyekhez ugyanaz a sajátérték tartozik. Ugye világos, hogy a két sajátvektor bármely lineárkombinációja is sajátvektor ugyanazzal a sajátértékkel? Ezért képezhetünk mindig két ortogonális kombinációt. Lássuk, hogyan kell ezt csinálni! Induljunk ki egy tetsz˝oleges |A = α|λ1  + β|λ2 

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

81

A kvantummechanika elvei

lineárkombinációból. Hassunk mindkét oldalra L-lel: L|A = αL|λ1  + βL|λ2 , L|A = αλ|λ1  + βλ|λ2 , és végül L|A = λ (α|λ1  + β|λ2 ) = λ|A. Ez az egyenlet bizonyítja, hogy |λ1  és |λ2  bármilyen lineárkombinációja sajátvektora L-nek ugyanazzal a λ sajátértékkel. A két vektor feltevés szerint lineárisan független – ha nem lennének azok, nem tartozhatnának különböz˝o állapotokhoz. Úgy is mondhatjuk, hogy ezek meghatározzák az L sajátvektorainak egy olyan alterét, amelyhez λ sajátérték tartozik. Ismeretes egy direkt módszer, a Gram–Schmidt-eljárás, amelynek az alkalmazásával ortonormált bázist lehet konstruálni egy olyan altérben, amelyet megadott független vektorok feszítenek ki. Egyszerubben ˝ szólva, mindig lehet találni két olyan ortonormált vektort, amelyek |λ1  és |λ2  lineárkombinációi. A Gram–Schmidt-eljárást alább, a 3.1.6 pontban vázoljuk. A tétel befejez˝o állítása az, hogy a sajátvektorok összessége teljes: Egy N -dimenziós térben az ortonormált sajátvektorok száma N -nel egyenl˝o. A bizonyítás egyszeru, ˝ önökre bízom. 3.1. Feladat: N -dimenziós vektortérben egy hermitikus operátor sajátvektoraiból ki lehet kombinálni egy N vektorból álló ortonormált bázist.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

82

Kvantummechanika

3.1.6.

A Gram–Schmidt-eljárás

Találkozhatunk olyan lineárisan független sajátvektorokkal, amelyek nem alkotnak ortonormált halmazt. Ez a jelenség rendszerint elfajult állapotokkal kapcsolatos – különböz˝o állapotokhoz egyforma sajátérték tartozik. Ezekb˝ol a sajátvektorokból mindig képezhetünk ortonormált bázist, amely ugyanazt a teret feszíti ki. Erre szolgál a Gram–Schmidt-eljárás. A 3.1. ábrán illusztráltuk az eljárást a kétdimenziós tér egyszeru˝ esetében. Kiindulunk 1 , V 2 vektorból, és kikombinálunk bel˝olük egy orkét megadott V ˆ1, v ˆ 2 vektorpárt. tonormált v



ˆ 1 = |VV1 | v 1   v1  V2⊥ = V2 − V2 |ˆ ˆ2 = v

2⊥ V 2⊥ | |V

2 lineárisan független 1 , V 3.1. ábra: A Gram–Schmidt-eljárás. Ha adva van két V vektor, amelyek általában nem ortogonálisak egymásra, konstruálhatunk két 2⊥ az eljáráshoz szükséges segédvektor. A ˆ1, v ˆ 2 vektort. A V ortonormált v módszer kiterjeszthet˝o lineárisan független vektorok nagyobb halmazára is

1 -et a saját |V 1 | hosszával, így kapunk Els˝o lépésként osztjuk V 1 irányú egységvektort. Ez a v ˆ 1 egységvektor lesz az oregy V 2 |ˆ tonormált rendszer els˝o eleme. Ezt követ˝oen a V v1  skalár-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

83

A kvantummechanika elvei

2 |ˆ 2 -t vetítjük v ˆ 1 irányára. Ezután a V v1 ˆ v1 szorzatot képezve V 2 -b˝ol, és a kivonás eredményét V 2⊥ -el jelöljük. vektort kivonjuk V 2⊥ ortogonális v 2⊥ -et a ˆ 1 -re. Végül V A 3.1. ábra mutatja, hogy V saját hosszával elosztva megkapjuk az ortonormált rendszerünk ˆ 2 elemét. Ez az eljárás nyilvánvalóan általánosítható második, v 3 li2-nél magasabb dimenzióra. Ha például van egy harmadik V neárisan független vektorunk, amely a rajz síkjából kifele mutat, ˆ 1 -re és a v ˆ 2 -re vetett vetületeit, majd az eredkivonjuk bel˝ole a v ˆ3 ményt a saját hosszával elosztva kapjuk az ortonormált bázis v elemét12 .

3.2. Az alapelvek Most már eléggé felkészültek vagyunk ahhoz, hogy megfogalmazhassuk a kvantummechanika alapelveit. Máris hozzálátunk. Az alapelvek a megfigyelhet˝o mennyiség fogalmára épülnek, és feltételeznek egy komplex vektorteret, amelynek vektorai a rendszer állapotait reprezentálják. A jelen el˝oadásban arra a négy alapelvre korlátozódunk, amelyben még nincs szó az állapotvektorok id˝obeli változásáról. A 4. el˝oadásban el˝okerül egy ötödik alapelv is, amely az állapotok id˝obeli fejl˝odésére vonatkozik. A megfigyelhet˝o mennyiséget mérhet˝o mennyiségnek is, nevezhetjük, mert az értéke valamilyen alkalmas mér˝oberendezésr˝ol olvasható le. Korábban egy spin σx , σy , σz komponensének a mérésével foglalkoztunk. Ezek a megfigyelhet˝o mennyiségek 12 A

rajz síkjából kifele mutató vektor általában nem mer˝oleges erre a síkra.

A Gram–Schmidt-eljárás lényege éppen az, hogy ferdeszögben álló vektorokat alakít át ortonormált bázissá.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

84

Kvantummechanika

speciális példái. Majd még szó lesz róluk, de lássuk el˝obb az elveket: • Az 1. alapelv: A kvantummechanikában minden megfigyelhet˝o (mérhet˝o) mennyiségnek valamilyen L lineáris operátor felel meg. Tökéletesen tisztában vagyok vele, hogy milyen reménytelenül absztrakt kijelentés ez. A hallatán egy normális ember azonnal abbahagy mindent, ami a kvantummechanikára emlékezteti, és inkább elmegy szörfözni. Nyugi, az óra végére az állítás világossá válik. Hamarosan látni fogjuk, hogy L-nek hermitikusnak kell lennie. Ezt gyakran posztulátumnak tekintik, de mi a többi alapelvb˝ol fogjuk levezetni. Akárhogy járjunk is el, a végeredmény ugyanaz: A megfigyelhet˝o mennyiségeket reprezentáló operátorok hermitikusak. • A 2. alapelv: A lehetséges mérési eredmények annak az operátornak a sajátértékeivel egyenl˝ok, amelyek a mért mennyiséghez tartoznak. Ezeket a sajátértékeket λi -vel fogjuk jelölni. Az állapot, amelyhez egyértelmuen ˝ a λi mérési eredmény tartozik, a |λi . Még most se vegyék el˝o a szörfdeszkát! Fordítva is mondhatjuk: Ha a rendszer a |λi  sajátállapotban van, akkor a mérés garantáltan a λi eredményt adja. • A 3. alapelv: Az egymástól határozottan megkülönböztethet˝o állapotokhoz ortogonális vektorok tartoznak.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

85

A kvantummechanika elvei

• A 4. alapelv: Ha egy rendszer állapotvektora |A, és az L megfigyelhet˝o mennyiséget mérjük rajta, akkor P (λi ) = A|λi λi |A

(3.11)

annak valószínusége, ˝ hogy λi lesz a mérés eredménye. Ne felejtsék el, hogy λi az L sajátértéke, |λi  pedig a megfelel˝o sajátvektor. Ezek a szukszavú ˝ kijelentések egyáltalán nem kézenfekv˝ok, ki is fogjuk majd b˝ovíteni o˝ ket. Egyel˝ore fogadjuk el az els˝ot így, ahogy van: Minden megfigyelhet˝o mennyiségnek megfeleltetünk egy lineáris operátort. Talán már kezdjük pedzeni, hogy egy operátorban tulajdonképpen azok az állapotok és sajátértékek vannak összetömörítve, amelyek az ezekben az állapotokban végzett mérések lehetséges végeredményei. Mindez a kés˝obbiekben biztosan sokkal világosabbá válik. Elevenítsünk fel néhány fontosabb momentumot a spinekkel kapcsolatos korábbi megfontolásainkból. El˝oször is, egy mérés eredménye általában statisztikailag bizonytalan. De bármely adott megfigyelhet˝o mennyiséghez tartoznak olyan speciális állapotok, amelyekben az eredmény abszolút egyértelmu. ˝ Amikor például a spint mér˝o A berendezést z irányba orientáljuk, az |u állapotban mindig σz = +1 lesz a mérés eredménye. A |d pedig sohase ad mást, mint σz = −1-et. Az 1. alapelv ismeretében ezekre a tényekre másképpen is ránézhetünk. Azt kell mondanunk, hogy a σx , σy , σz megfigyelhet˝o mennyiségek mindegyikéhez meghatározott lineáris operátor tartozik abban a kétdimenziós állapottérben, amely a spint írja le.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

86

Kvantummechanika

Egy megfigyelhet˝o mennyiséget megmérve mindig valós számot kapunk – egyet a lehetséges kimenetelek halmazából. Amikor például egy atom energiáját mérjük, mindig a lehetséges energiaszintek egyikét kapjuk meg. A spin komponenseire a két jól ismert ±1 lehet˝oség valamelyike lesz a mérés eredménye. Sose olvasható le más a kijelz˝on. A 2. alapelv rögzíti, mi a kapcsolat a megfigyelhet˝o mennyiséget reprezentáló operátor és a mérés lehetséges végeredményei között. Az, hogy a mérési eredmény mindig megegyezik az operátor valamelyik sajátértékével. Ez az oka annak, hogy a spin komponenseihez rendelt operátoroknak ±1 a két sajátértéke. A 3. alapelv a legérdekesebb – legalább is szerintem. Határozottan megkülönböztethet˝o állapotokról van benne szó. Ez kulcsfogalom, amely már korábban is el˝okerült. Két állapot akkor különbözik egymástól fizikailag, ha létezik olyan mérés, amelyik teljes bizonyossággal képes különbséget tenni közöttük. Az |u és a |d a σz mérése útján biztonsággal megkülönböztethet˝o egymástól. Ha valakinek a kezébe nyomnak egy spint azzal, hogy az vagy az |u vagy a |d állapotban van, döntsd el melyikben, nem kell mást tennie, mint az A apparátusát z-irányba fordítani és megnyomni az indítógombot. Hibalehet˝oség itt elvben nincs. Hasonló a helyzet az |l-lel és az |r-rel. A σx -et mérve különbséget tudunk tenni közöttük. De mit csinálnánk, ha azzal adnák a kezünkbe a spint, hogy vagy az |u vagy az |r állapotban van, (felfele vagy jobbra mutat)? Nincs semmi, amit meg lehetne mérni annak érdekében, hogy pontosan eldöntsük, melyikben van valójában. A σz mérése nem segít. Ha σz = +1-et kapunk, akkor ezzel még nincs

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

87

A kvantummechanika elvei

kizárva, hogy a spinállapot eredetileg |r volt, mert 50 százalék valószínuséggel ˝ ebben az állapotban is kaphattuk volna ezt az eredményt. Ez az oka annak, hogy |u és |d fizikailag megkülönböztethet˝o egymástól, az |u és az |r azonban nem. Azt is mondhatnánk, hogy két állapot bels˝o szorzata jellemzi, mennyire nem lehet különbséget tenni közöttük. Ezért is használják néha a bels˝o szorzatra az átfedés kifejezést. A 3. alapelv azt követeli, hogy az egymástól fizikailag jól megkülönböztethet˝o állapotok legyenek ortogonálisak, vagyis állapotvektoraik ne fed˝odjenek át. Így pél√ dául u|d = 0, de u|r = 1/ 2. Végül a 2. alapelv mennyiségi formában fejezi ki ezeket a szabályokat. Megadja azt a képletet, amellyel kiszámítható egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek a valószínusége. ˝ Ha a rendszert az |A állapotban preparáltuk, és az L megfigyelhet˝o mennyiséget mérjük meg rajta, akkor a kimeneten az L λi sajátértékeinek egyike jelenik meg. De általában nem lehet biztosra megmondani, melyik sajátérték lesz ez. A λi kimenetelnek csak valószínusége ˝ van – jelöljük ezt P (λi )-vel. A 4. alapelv megmondja, hogyan lehet ezt a valószínuséget ˝ kiszámítani az |A és a |λi  átfedése alapján. A szabály az, hogy a valószínuség ˝ az átfedés nagyságának a négyzetével egyenl˝o: P (λi ) = |A|λi |2 . A jobb oldal egyenértéku˝ alakja a következ˝o: P (λi ) = A|λi λi |A. De miért nem maga az átfedés adja ezt a valószínuséget? ˝ Miért kell négyzetre emelni? Emlékezzünk rá, hogy az átfedés maga

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

88

Kvantummechanika

nem mindig pozitív szám, s˝ot, általában nem is valós. A valószínuségek ˝ azonban pozitív valós számok. Ezért nem lehet P (λi ) egyenl˝o magával A|λi -vel. Egy abszolútérték-négyzet azonban mindig pozitív valós szám, ezért jöhet szóba, mint a kísérletek kimenetelének valószínusége. ˝ Az elv egy fontos következménye: A megfigyelhet˝o mennyiségeket reprezentáló operátorok hermitikusak. Ez két okból is lényeges. El˝oször is, mivel minden mérési eredmény valós, ezért L sajátértékeinek valós számoknak kell lenniük. Szükséges továbbá, hogy a határozottan megkülönböztethet˝o kimenetelekhez tartozó sajátvektorok legyenek egymásra ortogonálisak. Ezekb˝ol a kritériumokból egyértelmuen ˝ következik, hogy L-nek hermitikusnak kell lennie.

3.3.

Egy példa: A spinoperátorok

Lehet, hogy hihetetlenül hangzik, de az egyedi spinek példáján, bármennyire egyszeruek ˝ is, még nagyon sokat meg lehet tudni a kvantummechanikáról, és ki is fogunk sajtolni bel˝ole mindent, amit csak lehet. Ebben az el˝oadásban az lesz az egyik célunk, hogy megadjuk a spinoperátorokat 2 × 2-es mátrixok formájában. Amikor már ismerjük o˝ ket, megnézzük, hogyan muködnek ˝ a különféle szituációkban. Hamarosan sort kerítünk erre, meg az állapotvektorok felírására, de miel˝ott belebonyolódnánk a részletekbe, néhány mondatban összefoglalnám, hogyan függenek össze az operátorok a fizikai mérésekkel. Ez a kapcsolat sokrétuen ˝ árnyalt, lesz még mit elmondani róla a kés˝obbiekben is.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

89

A kvantummechanika elvei

Ismeretes, hogy a fizikusok a fizikai mennyiségek különféle típusait ismerik: skalárokat, vektorokat például. Nem okozhat nagy meglepetést, hogy egy olyan vektormennyiséghez tartozó operátor, mint amilyen a spin, maga is vektor jellegu. ˝ Eddigi meggondolásaink során már különféle vektorokkal volt alkalmunk találkozni. A hármasvektor a legismertebb közülük, mindegyiknek o˝ a prototípusa. Egy háromdimenziós térbe helyezett nyíl matematikai reprezentánsa, amelyet sokszor egy három valós számból álló oszlopvektorral specializálunk. Mivel a komponensek valósak, a hármasvektorok nem elég tartalmas mennyiségek ahhoz, hogy kvantumállapotokhoz rendelhessük o˝ ket. Ezért van szükség ketekre és brákra, amelyek komplex komponensekkel rendelkeznek. Miféle vektor a σ spinoperátor? Határozottan nem állapotvektor (mint a bra és a ket), de nem is egy szokásos hármasvektor, noha emlékeztet rá, mert térbeli iránnyal kapcsolatos. Ennek ellenére gyakran használjuk majd úgy, mintha egyszeru˝ hármasvektor lenne. De hogy a dolgok a helyükön legyenek, a σ-t hármasvektor-operátornak fogjuk hívni. Mit fejez ki valójában ez az elnevezés? A fizika nyelvén a következ˝ot: Mivel a spint mér˝o berendezés csak olyan kérdésekre tud válaszolni, amely a spin meghatározott orientációjára vonatkozik, a spinoperátor is csak olyan információt tartalmaz, amely a spin meghatározott irányú komponensével kapcsolatos. Ha különböz˝o irányú spinméréseket akarunk végezni, a berendezést mindig a kívánt irányba kell fordítani. Ez az elképzelés érvényes a spinoperátorra is – ha a spin egy másik irányú komponensére vagyunk kíváncsiak, o˝ t is „el kell fordítani” az új irányba, de az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

90

Kvantummechanika

elfordítás most matematikával történik. A lényeg mindebb˝ol az, hogy minden olyan irányhoz tartozik spinoperátor, amelybe a mér˝oberendezés befordítható.

3.4.

A spinoperátorok megszerkesztése

Fogjunk hozzá a spinoperátorok részletes vizsgálatához. Az els˝o feladat azoknak az operátoroknak a megtalálása, amelyek a σx , a σy és a σz komponensekhez tartoznak. Ezeknek a birtokában fogjuk azután felírni a tetsz˝oleges irányú spint reprezentáló operátort. Mint rendesen, most is σz -vel kezdjük. Tudjuk, hogy σz nek egyértelmuen ˝ rögzített értéke van az |u és a |d állapotban, és hogy a mérés ezekre a σz = +1, valamint a σz = −1 eredményt adja. Az els˝o három alapelv a következ˝ot mondja: • Az 1. alapelv: A σ mindegyik komponensét egy-egy lineáris operátor reprezentálja. • A 2. alapelv: A σz sajátvektora |u és |d. A megfelel˝o sajátértékek +1 és −1. Mindezt a σz |u = |u σz |d = −|d

(3.12)

absztrakt egyenletek fejezik ki. • A 3. alapelv: Az |u és a |d egymásra ortogonális állapotok: u|d = 0.

www.interkonyv.hu

(3.13)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

91

A kvantummechanika elvei

Emlékezzünk vissza |u és |d oszlopábrázolására a (2.11), (2.12) képletben. Ezek alapján (3.12) mátrixformája a következ˝o:      (σz )11 (σz )12 1 1 = , (3.14) (σz )21 (σz )22 0 0 és



(σz )11

(σz )12

(σz )21

(σz )22

  0 1

=−

  0 1

.

(3.15)

Csak egy olyan mátrix létezik, amely kielégíti ezeket az egyenleteket:



(σz )11

(σz )12

(σz )21

(σz )22



 =

1

0

0

−1

 ,

(3.16)

vagy tömörebb formában  σz =

1

0

0

−1

 .

(3.17)

A bizonyítást Önökre bízom. 3.2. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy (3.16) a (3.14-15) feltételek egyetlen megoldása. Ez a legels˝o példánk egy kvantummechanikai operátorra. Lássuk, milyen elemekb˝ol állt össze. El˝oször is felhasználtunk bizonyos kísérleti információkat: Létezik két állapot, amelyeket |unak és |d-nek neveztünk el, amelyekben a σz mérése határozottan ±1 eredményre vezet. Az alapelveink szerint továbbá |u és |d ortogonális egymásra, és egy bizonyos σz lineáris operátor sajátvektorai. Az alapelveinkb˝ol végül az is következett, hogy a megfelel˝o sajátértékek egyenl˝ok a mérés (vagy megfigyelés)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

92

Kvantummechanika

eredményével, ±1-gyel. Ezek alapján írtuk fel a (3.17) egyenletet. Eljárhatunk hasonló módon a spin másik két komponensével, σy -nal és σz -vel is? Igen, persze13 . A σx két sajátvektora |r és |l, a sajátértékeik +1 és −1. Egyenletek formájában ez a következ˝o: σx |r = |r

(3.18)

σx |l = −|l

Emlékeztetek rá, hogy |r és |l az |u és a |d lineárkombinációja: 1 |r = √ |u + 2 1 |l = √ |u − 2

1 √ |d 2 1 √ |d. 2

(3.19)

Helyettesítsük ide |u és |d oszlopvektorát: ⎛ 1 ⎞ √ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ |r = ⎝ 1 ⎠ √ 2 ⎛ 1 ⎞ √ ⎜ 2⎟ ⎟ |l = ⎜ ⎝ −1 ⎠ √ 2 A (3.18) konkretizálása érdekében felírhatjuk o˝ t mátrix alakban: ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 (σx )11 (σx )12 √ √ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ √ √ (σx )21 (σx )22 2 2 13 Nem

szeretnénk lesüllyedni a politikai jelszavak szintjére. Valóban: Mond-

junk nemet a lózungokra!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

93

A kvantummechanika elvei

és

⎛

(σx )11

⎜ ⎜ ⎜ ⎝ (σx )21

⎞⎛

⎞ ⎛ ⎞ 1 1 √ √ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ √ √ (σx )22 2 2 (σx )12

Ha mindkét egyenletet soronként szétírjuk két-két külön egyenletté, négy egyenletet kapunk a négy (σx )11 , (σx )12 , (σx )21 , (σx )22 ismeretlenre. Az egyenletek könnyen megoldhatók. Az eredmény:



(σx )11

(σx )12

(σx )21

(σx )22

vagy egyszerubben ˝

 σx =





0 1

=

0

 1

1

0



1 0

.

Ezt az eljárást megismételhetjük σy -nal, amelynek sajátvektorai az |i, |o in és out állapotok: 1 |i = √ |u + 2 1 |o = √ |u − 2

i √ |d 2 i √ |d. 2

Komponensalakban ugyanez ⎛ 1 ⎞ √ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ |i = ⎝ i ⎠ √ 2 ⎛ 1 ⎞ √ ⎜ 2⎟ ⎟ |l = ⎜ ⎝ −i ⎠ . √ 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

94

Kvantummechanika

Most már könnyen igazolható, hogy   0 −i . σy = i 0 Összefoglalva, a három σx , σy , σz operátor mátrix alakja   0 1 σx = 1 0  σy =  σz =



0

−i

i

0

1

0

0

−1

(3.20)  .

Ez három híres mátrix, amelyeket a felfedez˝ojükr˝ol Pauli-mátrixoknak hívnak14 .

3.5.

Egy gyakori félreértés

Ehhez a ponthoz elérve figyelmeztetni szeretném önöket egy veszélyre. A kvantummechanikában az operátorok és a mérések közötti kapcsolatnak alapvet˝o jelent˝osége van. Nem is különösebben nehéz megérteni. A kvantummechanikai operátorokról a következ˝oket lehet tudni: 1. Az operátorokat sajátértékek és sajátvektorok kiszámítására használjuk. 2. Az operátorok állapotvektorokra hatnak (ezek absztrakt matematikai objektumok), nem a valóságos fizikai rendszerre. 14 Ha

hozzájuk vesszük a 2 × 2-es egységmátrixot is, akkor a nevük kvaterniók

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

95

A kvantummechanika elvei

3. Amikor valamilyen operátor hat egy állapotvektorra, új állapotvektort hoz létre bel˝ole. Az operátorokra vonatkozó tudnivalók összefoglalása után fölhívom a figyelmüket egy elterjedt félreértésre. Gyakran hiszik azt, hogy megmérni egy megfigyelhet˝o mennyiséget ugyanaz a muvelet, ˝ mint a megfelel˝o operátorral hatni az állapotra. Tegyük fel például, hogy meg kell mérnünk valamilyen L megfigyelhet˝o mennyiséget. A mérés során a berendezés hatást gyakorol a vizsgált rendszerre, de ez egészen más dolog, mint az L operátorral hatni az állapotvektorra. Amikor például a rendszernek, amelyen mérést végzünk, az állapota |A, nem helyes azt mondanunk, hogy L mérése az állapotot L|A-ra változtatta. Az állításunk értelmének a megvilágítására vizsgáljunk meg egy példát közelebbr˝ol. Szerencsére a spin, amit az el˝oz˝o pontban tanulmányoztunk, éppen alkalmas rá. Idézzük fel a (3.12) egyenleteket: σz |u = |u σz |d = −|d. Az ilyen esetekben nincs veszély, mert |u és |d a σz sajátvektorai. Ha mondjuk a rendszert a |d állapotba állítottuk be, akkor a mérési eredmény bizonyosan −1 lesz, és σz a preparált állapotot a −|d mérés utáni állapotba transzformálta. A −|d csak egy konstans szorzóban különbözik |d-t˝ol, ezért a két állapot valójában ugyanaz. Itt nincs probléma. De nézzük most a σz hatását, amikor az |r állapot az el˝ozetes preparálás eredménye. Ez az |r nem a sajátvektorok egyike. A

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

96

Kvantummechanika

(3.19) egyenletb˝ol tudjuk, hogy 1 1 |r = √ |u + √ |d. 2 2 A σz hatása erre az állapotra a következ˝o: 1 1 σz |r = √ σz |u + √ σz |d, 2 2 vagy

1 1 σz |r = √ |u − √ |d. 2 2

(3.21)

Nos, itt áll el˝ottünk a csapda. Akármit gondoljanak is, a (3.21) jobb oldalán álló vektor a leghatározottabban nem az az állapot, amelyet a σz mérése idéz el˝o. Amikor a mérés +1 eredményt ad, akkor a rendszer az |u állapotban marad vissza, amikor pedig −1-et, akkor a |d állapotban. Mint látjuk, a mérés utáni állapot egyik esetben sem a (3.21) szuperpozíció. De akkor ennek a (3.21) állapotnak semmi köze sincs a mérés eredményéhez? Dehogyisnem! A részleges választ a 4. el˝oadásban adjuk majd meg, ahol elmondjuk, hogyan teszi lehet˝ové az új (3.21) állapotvektor a különböz˝o mérési eredmények valószínu˝ ségének a kiszámítását. Azonban a mérés folyamatát csak akkor lehet a kell˝o teljességgel leírni, amikor a mér˝oberendezést is a rendszer részének tekintjük. Azt, hogy a mérés során valójában mi történik, a 7.8 szakaszban tárgyaljuk meg.

3.6.

Újra a hármasvektor-operátorokról

Térjünk most vissza egy id˝ore a 3-vektor-operátor fogalmához. A σx -et, σy -t, σz -t a spin tengelyirányú komponenseinek neveztem

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

97

A kvantummechanika elvei

azt sugallva, hogy ezek egy 3-vektor komponensei. Ez jó alkalom, hogy megvitassuk a vektor kétféle fogalmát, ahogy azok a fizikában minduntalan felbukkannak. El˝oször is ismerjük a közönséges háromdimenziós geometriai tér vektorainak gyujtemé˝ nyét, amelyekre kitaláltuk a 3-vektor elnevezést. Minden ilyen 3-vektornak van három térirányú komponense. A vektor terminusnak ett˝ol teljesen független jelentése egy rendszer állapotvektora. Az |u és a |d, az |r és az |l, az |i és az |o mind állapotvektor a spinállapotok kétdimenziós teré˝ is vektorok? Ha ben. Mi a helyzet a σx , σy , σz operátorokkal? Ok igen, milyenek? Bizonyosan nem állapotok, hanem operátorok (amelyeket mátrix alakban is felírhatunk), és a spin három mérhet˝o komponensének felelnek meg. Ezek a 3-vektor-operátorok valójában a vektorok újabb típusába tartoznak. Különböznek az állapotvektoroktól is, a közönséges 3-vektoroktól is. Mivel azonban a spinoperátorok sok tekintetben nagyon hasonlítanak a 3vektorokhoz, nem jelent különösebb veszélyt, ha így gondolunk rájuk. A továbbiakban ezt fogjuk tenni. A spin komponenseit úgy mérjük, hogy az A berendezést valamelyik koordináta-tengely irányába orientáljuk, majd mu˝ ködésbe hozzuk. De miért ne orientálhatnánk az A-t bármilyen irányba? Ha ezt tesszük, a spin választott irányú komponensét tudjuk vele megmérni. Másképpen fogalmazva: vegyünk egy tetsz˝oleges irányú n ˆ egységvektort, amelynek a komponensei nx , ny és nz , és fordítsuk be az A mér˝oberendezést n ˆ irányba. Az indítógomb megnyomásával a spin n ˆ irányú komponensét mérjük

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

98

Kvantummechanika

meg. Kell tehát léteznie egy operátornak, amely ehhez a mérhet˝o mennyiséghez tartozik. Ha σ valóban 3-vektorként viselkedik, akkor ennek a σ-nak az n ˆ irányú komponense nem lehet más, mint σ és n ˆ közönséges skaláris szorzata15,16 . Jelöljük a σ -nak ezt a komponensét σn -nel: σn = σ · n ˆ, vagy kifejtett formában σn = σx nx + σy ny + σz nz .

(3.22)

Az egyenlet megértéséhez emlékeznünk kell rá, hogy az n ˆ komponensei közönséges számok, nem operátorok. A (3.22) egy vektoroperátor, három olyan tag összege, amelyek mindegyike tartalmaz egy megfelel˝o nx , ny , nz numerikus koefficienst. Ezt az egyenletet felírhatjuk mátrix alakban is:  σn = nx

0 1 1 0



 + ny



0

−i

i

0

 + nz

1 0 0 1

 .

Még ennél is explicitebb alakot kapunk, ha a három tag összegét egyetlen mátrixban foglaljuk össze:

15 Mostantól

a σ szimbólumot fogjuk használni, fenntartva a σx stb. jelölést a

komponensekre. 16 A figyelmes olvasó megjegyezheti, hogy ez a „ közönséges” skalárszorzat egy 2 × 2-es mátrix, és ily módon nem is annyira közönséges. De nagyon kielégít˝o, hogy a szorzat eredményeként kapható mátrixoperátor határozott irányú vektorkomponensnek felel meg, ami maga skalár.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

99

A kvantummechanika elvei

 σn =

nz

(nx − iny )

(nx + iny )

−nz

 .

(3.23)

Mire jó ez? Mindaddig nem túl sokra, amíg meg nem keressük σn sajátvektorait és sajátértékeit. De miután ezt megtettük, ismerni fogjuk az n ˆ irányú spinmérés lehetséges kimeneteleit. És a lehetséges kimenetelek valószínuségeit ˝ is ki tudjuk számítani, tehát mindent fogunk tudni a háromdimenziós térben végzett spinmérésekr˝ol. Nyugodtan mondhatom, klassz dolog.

3.7.

A termés betakarítása

Most már elég felkészültek vagyunk ahhoz, hogy reális feladatokkal is megbirkózhassunk, amit az Önökben lakozó fizikus bizonyára örömmel fogad. Tekintsük azt a speciális helyzetet, amikor n ˆ az x–z síkban fekszik, amely mondjuk ezzel a könyvoldallal esik egybe. Egy ilyen n ˆ egységvektor a következ˝o: nz = cos θ nx = sin θ ny = 0. A θ a z-tengely és az n ˆ irány által bezárt szög. Helyettesítsük ezeket (3.23)-ba:  σn =

www.interkonyv.hu

cos θ

sin θ

sin θ

− cos θ

 .

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

100

Kvantummechanika

3.3. Feladat: Határozzuk meg σn sajátvektorait, és számítsuk ki a hozzájuk tartozó sajátértékeket. Segítség: Tegyük fel, hogy |λ1  a



cos α



sin α oszlopvektor, amelyben α ismeretlen paraméter. Helyettesítsük ezt a sajátérték-egyenletbe, és határozzuk meg bel˝ole α-t mint a θ függvényét. Miért elegend˝o egyetlen α paraméter? Ne felejtsük el, hogy egységnyi hosszúságú oszlopvektort keresünk. A számítás eredménye a következ˝o: λ1 = 1 ⎛

⎞ θ cos ⎜ 2⎟ ⎟ |λ1  = ⎜ ⎝ θ ⎠ sin , 2 és λ2 = −1 ⎛ ⎞ θ − sin ⎜ 2⎟ ⎟. |λ2  = ⎜ ⎝ θ ⎠ cos , 2 Figyeljünk oda néhány fontos tényre. El˝oször is a két sajátérték most is +1 és −1. Ezen már nem nagyon lep˝odünk meg, hiszen az A mér˝oberendezés csak ezt a két végeredményt szolgáltathatja, akárhogy orientáljuk is. De megnyugtató, hogy ezt

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

101

A kvantummechanika elvei

az egyenleteink alapján is látjuk. A másik fontos tény, hogy a két sajátvektor ortogonális egymásra. Most már kísérleti eredményeket is tudunk el˝ore jelezni. Tegyük fel, hogy A el˝oször a z-tengellyel volt párhuzamos, és a spint az |u up állapotban preparáltuk. Ezután befordítjuk A-t az |n irányba. Milyen valószínuséggel ˝ mérünk σn = +1-et? A választ a 4. alapelv segítségével kaphatjuk meg. Az u | és a |λ1  sor-, illetve oszlopvektor-alakját felhasználva a P (+1) = |u|λ1 |2 = cos2

θ 2

(3.24)

eredményre jutunk. Ugyanerre a berendezésre ugyanígy kaphatjuk meg a P (−1) = |u|λ2 |2 = sin2

θ 2

(3.25)

valószínuséget ˝ is. A problémát ezzel már majdnem teljesen körbejártuk. Amikor a spinnel elkezdtünk foglalkozni, azt állítottuk, hogy ha sok olyan kísérletet végzünk, amelyekben a spint az up állapotban preparáltuk és az n ˆ irányú, a z-tengellyel θ szöget bezáró vetületét mérjük, akkor átlagban az eredmény cos θ-val egyenl˝o pontosan úgy, ahogy a klasszikus fizikában egy közönséges hármasvektorral történne. Összhangban van a matematikánk ezzel a követelménnyel? Muszáj neki! Ha egy elmélet ellentmond a tapasztalatnak, jobb, ha szedi a sátorfáját. Lássuk, hogyan boldogul ezzel a kihívással. Sajnos, igénybe kell vennünk egy olyan egyenletet, amelyet csak a következ˝o el˝oadásban magyarázunk majd meg részletesen. Arról az egyenletr˝ol van szó, amellyel a mérési eredmények

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

102

Kvantummechanika

átlagértékét (vagy más néven várható értékét) lehet kiszámítani. Ez a következ˝o: L =



λi P (λi ).

(3.26)

i

Ez a várható érték kiszámítására szolgáló standard formula, nincs benne semmi specifikusan kvantummechanikai sajátosság. Egy L operátorhoz tartozó mérés eredményének a várható értékét tehát úgy számítjuk ki, hogy mindegyik sajátértékét megszorozzuk a valószínuségével, ˝ és a szorzatokat összeadjuk. Az operátor, amelyikr˝ol most szó van, természetesen a σn , és mindent, ami a valószínuségének ˝ kiszámításához szükséges, már ismerünk. Helyettesítsük be o˝ ket. A (3.24), a (3.25) és a sajátértékek ismeretében írhatjuk, hogy σn  = (+1) cos2

θ θ + (−1) sin2 , 2 2

vagyis σn  = cos2

θ θ − sin2 . 2 2

A trigonometriából tudjuk, hogy ez nem más, mint σn  = cos θ, ami pontos egyezésben van a tapasztalattal. Igen! Megcsináltuk! Most, hogy már ilyen messzire eljutottunk, megpróbálkozhatnak egy valamivel általánosabb feladattal is. Ugyanúgy kell kezdeni, mint korábban: Az A mér˝oberendezést z irányba orientáljuk, és az indítógombot megnyomva a spint up állapotba hozzuk. Ezután a berendezést tetsz˝oleges irányba fordítva végzünk újabb spinmérést. Ezúttal tehát ny = 0. Fogjanak hozzá!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

103

A kvantummechanika elvei

3.4. Feladat: Legyen nz = cos θ, nx = sin θ cos φ és ny = sin θ sin φ. A θ és a φ a gömbi koordinátarendszer polár- és azimutszöge (3.2. ábra). Számítsuk ki a (3.23) mátrix sajátvektorait és sajátértékeit.

3.2. ábra: A gömbi koordináták. Az ábra az r, θ, φ koordináták geometriai jelentését mutatja be. A Descartes-koordinátákra történ˝o átszámítás képletei x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ

Próbálkozhatnak egy ennél lényegesen komplikáltabb problémával is, amelyben két iránynak, n ˆ -nek és m-nek ˆ van szerepe.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

104

Kvantummechanika

Ebben a feladatban az A mér˝oberendezésnek nemcsak a véghelyzete, hanem a kezd˝ohelyzete is általános. 3.5. Feladat: Legyen a spin kezdeti preparációja olyan, amelyben σm = +1. A berendezést ezután n ˆ irányba állítjuk be, és megmérjük σn -t. Milyen valószínuséggel ˝ kapunk +1 eredményt a kijelz˝on? Vegyék figyelembe a σn definíciójával analóg σm = σ · m ˆ képletet. A megoldás az m ˆ és az n ˆ által bezárt szög koszinuszának a négyzete. Belátták?

3.8. A spin mindig polarizált elv Van egy fontos tétel a spinr˝ol, amelyet próbáljanak meg igazolni. Így neveztem el: A spin mindig polarizált: Egyetlen spin mindig a spinoperátor valamilyen irányú komponensének sajátállapotában van. Az elv jelentésének a megértéséhez induljunk ki a tetsz˝oleges |A = αu |u + αd |d állapotból. Az elv azt mondja ki, hogy mindig található olyan n ˆ irány, amelyre σ · n|A = |A. A képlet operatív értelme az, hogy bármely spinállapothoz tartozik az A mér˝oberendezés olyan orientációja, amelyet ha kiválasztunk, a spin mérése +1 eredménnyel jár. A fizikában ezt úgy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

105

A kvantummechanika elvei

fejezzük ki röviden, hogy bármely meghatározott spinállapotot valamilyen polarizációs vektor jellemez, amely mentén a spin komponense bizonyosan +1. A tétel érdekes következménye, hogy nem létezik olyan spinállapot, amelyben a spin mindhárom komponensének a várható értéke nullával lenne egyenl˝o. Ezt kvantitatív formában is megfogalmazhatjuk. Tekintsük a spin várható értékét az n ˆ irányban. Mivel |A a σ · n sajátvektora (+1 sajátértékkel), ezért ennek az operátornak a várható értéke is +1: σ · n = 1. Másrészt σ bármely n-re mer˝oleges komponensének várható értéke |A-ban nulla, ezért a három komponens várható értékének négyzetösszege 1-gyel egyenl˝o. Mi több, ez bármely állapotra érvényes: σx 2 + σy 2 + σz 2 = 1.

(3.27)

Tartsák észben ezt a képletet. A 6. el˝oadásban újra visszatérünk rá.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

4. eloadás ˝ Ido˝ és változás

Nagy darab, fenyeget˝o kinézetu˝ pasas üldögél magában türelmesen a bár egy távoli sarkában. A trikóján „ −1” felirat. Art: Ki az a „ Mínusz egyes” fickó ott hátul? A kidobóember? ˝ maga Lenny: Annál sokkal több. O

A TÖRVÉNY. Nélküle ez a csehó a darabjaira esne szét.

4.1. Emlékezteto˝ a klasszikus fizikából Az 1. kötetben alig több mint egyetlen oldal elég volt hozzá, hogy elmagyarázzam az állapot fogalmát a klasszikus mechanikában. A kvantumváltozat három teljes fejezetet plusz három matematikai közjátékot vett igénybe, vagyis becslésem szerint mintegy 17 000 szóra volt szükség, hogy eljussunk ugyanoda. De a nehezén talán túl vagyunk. Már tudjuk, mi az az állapot. Azonban a klasszikus fizikához hasonlóan a rendszer állapotának az ismerete a történetnek csak az egyik fele. A másik fele arról szól, hogyan változik az állapot az id˝oben. Ez a következ˝o témánk. Röviden emlékezetükbe idézem, mit jelent az id˝obeli változás a klasszikus fizikában. Az állapoteret ott egy matematikai

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

108

Kvantummechanika

halmaz alkotta, amelyben Boole-logika muködött, ˝ az állapotok id˝obeli evolúciója pedig determinisztikus és reverzibilis volt. A legegyszerubb ˝ példáinkban az állapottér néhány pontból állt. Fej vagy írás a pénzérmén, {1, 2, 3, 4, 5, 6} a dobókockán. Az állapotokat a papírlapon pontoknak feleltettük meg, az id˝obeli evolúció pedig egy szabály volt, amelyik megmondta, melyik pontra lépjünk át legközelebb. A mozgástörvényt egy diagrammon ábrázoltuk, amelyen az állapotokat nyilak kötötték össze egymással. A determinizmus volt a legf˝obb szabály, amely azt mondta ki, hogy akárhol vagy most a diagrammon, a következ˝o állapotot a mozgástörvény egyértelmuen ˝ meghatározza. De volt egy másik szabály is, a reverzibilitás. Ez azt követelte meg a helyesen megfogalmazott törvényekt˝ol, hogy az is derüljön ki egyértelmuen, ˝ hol voltál el˝oz˝oleg. Egy korrekt törvényhez tartozó diagramban csak egyetlen nyíl mutatott minden állapotba, és csak egyetlen nyíl vezetett ki bel˝ole. Ezeket a követelményeket másképpen is meg lehet fogalmazni. A mínusz egyedik törvény elnevezést használtam rájuk, mivel o˝ k képezik minden továbbinak az alapját. Az új megfogalmazás úgy hangzik, hogy az információ sohasem vész el. Ha két teljesen egyforma izolált rendszer kezd˝oállapotai különböz˝ok, akkor az állapotaik minden kés˝obbi id˝opontban is különbözni fognak egymástól. S˝ot, a múltban is mindig különböz˝o állapotban voltak. De ha a két rendszer állapota valamilyen id˝opillanatban ugyanaz, akkor a történetük is, a jöv˝ojük is megegyezik. A különböz˝oségek meg˝orz˝odnek. A mínusz egyedik törvény kvantumos változatát uniteritásnak hívják.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

109

Id˝o és változás

4.2. Az uniteritás Tegyük fel, hogy egy zárt rendszer a t pillanatban a |Ψ állapotban van. (Hagyományosan nagy görög Ψ-vel (pszi) szokás jelölni egy állapotot, amikor az id˝obeni evolúciójáról van szó.) Ha utalni kívánunk rá, hogy speciálisan a t pillanatbeli állapotról van szó, akkor a kissé komplikáltabb |Ψ(t) jelölésre van szükség. Ez a jelölés természetesen valamivel többre utal, mint csupán arra, hogy „ az állapot a t pillanatban |Ψ.” Azt is kifejezi, hogy az állapot a különböz˝o id˝opillanatokban lehet különböz˝o. Röviden: A |Ψ(t)-re úgy tekintünk, hogy o˝ reprezentálja a rendszer egész történetét. A kvantummechanika alapvet˝o dinamikai feltevése az, hogy ha ismerjük az állapotot valamilyen adott pillanatban, akkor a kvantumos mozgásegyenlet megmondja, milyen lesz az állapot kés˝obb. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a nulla a kezd˝opillanat, a t pedig egy kés˝obbi id˝opont. A t-beli állapotot egy U(t) operátor határozza meg úgy, hogy hat a nulla pillanatbeli állapotra. Amíg nem specializáljuk részletesebben U(t) tulajdonságait, ezzel csupán annyit állítunk, hogy a |Ψ(0) meghatározza a |Ψ(t) állapotot. Fejezzük ezt ki egyenlettel is: |Ψ(t) = U(t)|Ψ(0)

(4.1)

Az U-t a rendszer id˝ofejleszt˝o operátorának hívják.

4.3.

Determinizmus a kvantummechanikában

Ennél a pontnál mindenképpen pontosítanunk kell valamit. Az U(t) bevezetésével azt értük el, hogy az állapotvektor kauzáli-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

110

Kvantummechanika

san változzon. Igen, jól hallották – az állapotvektor id˝obeli evolúciója determinisztikus. Ennek örülnünk kell, hiszen van valami, amit el˝ore lehet jelezni. De hogyan egyeztethet˝o ez össze a mérési eredmények statisztikus természetével? Láttuk, hogy az állapotvektor ismerete nem azt jelenti, hogy a kísérletek eredményét pontosan meg lehet jósolni. Amikor például tudjuk, hogy a spin állapota |r, ebb˝ol meg tudjuk mondani, mi lesz a σx mérés kimenetele, de semmit se tudunk meg bel˝ole a σy és a σz mérés eredményére vonatkozóan. Ezért a (4.1) egyenlet determinizmusa nem ugyanaz, mint a klasszikus determinizmus, amely kísérleti eredmények el˝orejelzését teszi lehet˝ové. Az állapotok kvantumos evolúciója a kés˝obbi kísérletek kimenetelének a valószínuségét ˝ határozza meg. Ez az egyik lényegbevágó eltérés a klasszikus és a kvantummechanika között. Az állapotok és a mérések kapcsolatára vezethet˝o vissza, amelyr˝ol már a könyv elején is szó volt. A klasszikus mechanikában állapotok és mérések között nincs igazi különbség. A kvantummechanikában a kett˝o egyáltalán nem ugyanaz.

4.4.

Az U(t)-rol ˝ részletesebben

Milyen feltételeket ró a kvantummechanika az U(t)-re? El˝oször is lineáris operátornak kell lennie. Ez nem különösebben meglep˝o. A kvantummechanikai állapotok között mindig lineáris viszonyok állnak fenn. Ez azzal kapcsolatos, hogy az állapotok tere vektortér. De nem a linearitás az egyetlen követelmény U(t)-vel szemben. Eleget kell tennie a mínusz egyedik törvény kvantumos változatának is: Meg kell o˝ riznie a különböz˝oségeket.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

111

Id˝o és változás

Az el˝oz˝o el˝oadásban tisztáztuk, hogy két állapotot akkor lehet megkülönböztetni egymástól, ha ortogonálisak. Egymásra ortogonális vektorok megkülönböztethet˝o állapotokat reprezentálnak. Legyen |Ψ(0) és |Φ(0) két megkülönböztethet˝o állapot, vagyis – más szavakkal – létezzen olyan kísérlet, amely képes különbséget tenni közöttük. Ha így van, ortogonálisaknak kell lenniük: Ψ(0)|Φ(0) = 0. A különbségük meg˝orzése azt kívánja, hogy id˝oben o˝ rizzék az ortogonalitásukat, vagyis a Ψ(t)|Φ(t) = 0

(4.2)

egyenlet legyen érvényes bármely t id˝opillanatban. Ennek az elvnek meghatározott következménye van az U(t)-re nézve. Ahhoz, hogy ezt a következményt megfogalmazhassuk, írjuk át a (4.1)-et bravektor-alakba: Ψ(t) | = Ψ(0) |U† (t).

(4.3)

Emlékezzünk rá, hogy a † jel hermitikus adjungálást jelent. Helyettesítsük (4.1)-et és (4.3)-mat a (4.2) egyenletbe: Ψ(0) |U† (t)U(t)|Φ(0) = 0.

(4.4)

Mi következik ebb˝ol az egyenletb˝ol? A válaszhoz vezessünk be valamilyen |i ortonormált bázist. Akármelyik megfelel. A bázisvektorok ortonormalitását az i|j = δij

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

112

Kvantummechanika

egyenl˝oség fejezi ki, amelyben δij a matematikából ismert Kronecker-szimbólum. A következ˝o lépés az, hogy |Φ(0)-t és |Ψ(0)-t a bázis elemei közül választjuk ki. Amikor i és j két különböz˝o egész, a (4.4) a következ˝o lesz: i |U† (t)U(t)|j = 0

(i = j).

Amikor azonban i és j ugyanaz, akkor az operátor hatására létrejöv˝o U(t)|i se különbözhet U(t)|j-t˝ol. Az általános képlet tehát a következ˝o: i |U† (t)U(t)|j = δij . Ez annyit jelent, hogy az U† (t)U(t) a bázisvektor elemeire pontosan olyan hatással van, mint az I egységoperátor. Ebb˝ol nagyon könnyu˝ bebizonyítani, hogy U† (t)U(t) bármilyen állapotra ugyanúgy hat, mint I, következésképpen U† (t)U(t) = I. Az ilyen tulajdonsággal rendelkez˝o operátort unitér operátornak hívjuk. A fizikus szleng ezért fogalmaz úgy, hogy az id˝obeli fejl˝odés unitér. A kvantummechanikában az unitér operátorok kiemelked˝oen ˝ írják le az állapottér különféle transzfontos szerepet játszanak. Ok formációit. Az id˝obeli fejl˝odés csak az egyik közülük. A kvantummechanika 5. alapelve tehát, amellyel ezt a pontot zárjuk, a következ˝o: • Az 5. alapelv: Az állapotvektor id˝obeli evolúciója unitér.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

113

Id˝o és változás

4.1. Feladat: Igazoljuk, hogy ha U unitér, |A és |B pedig két tetsz˝oleges állapotvektor, akkor az U|A és a U|B bels˝o szorzata megegyezik |A és |B bels˝o szorzatával. Ez a tulajdonság, amelyet az átfedés meg˝orzésének nevezhetünk, azt fejezi ki, hogy az állapotok közötti logikai viszony id˝oben állandó.

4.5.

A Hamilton-operátor

Amikor a klasszikus mechanikát tanulmányoztuk, szó esett a „ sztroboszkópikus” világról, amelyben az id˝o diszkrét lépésekben változik. Ezt az elgondolást a kvantummechanikában is alkalmazhatjuk: A véges hosszúságú id˝otartamokat felfoghatjuk infinitezimális id˝ointervallumok sorozataként. Ezen az úton el fogunk jutni egy olyan differenciálegyenlethez, amely az állapotvektorok id˝obeli evolúcióját írja le. Helyettesítsük hát a véges hosszúságú t id˝otartamot egy infinitezimális intervallummal, és vizsgáljuk meg az állapotvektor megváltozását ez alatt a rövid id˝o alatt. Ennek a programnak a megvalósításához két elvre van szükségünk. Az els˝o az uniteritás: U† ( )U( ) = I.

(4.5)

A második elv a folytonosság, amely az állapotvektor változásának a simaságát követeli. Az elv pontosításához el˝oször tegyük fel, hogy nullával egyenl˝o. Nyilvánvaló, hogy az id˝obeli evolúciót meghatározó operátor ebben a határesetben az I egy-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

114

Kvantummechanika

ségoperátorral egyenl˝o. A folytonosság azt követeli, hogy amikor nagyon kicsi, U( ) csak „ epszilonnyi” mértékben különbözzön I-t˝ol, azaz legyen U( ) = I − i H.

(4.6)

Miért írtunk a második tagban H elé mínusz jelet és i-t? A gondolatmenet jelen stádiumában ez csupán önkényes választás eredménye. Olyan megállapodás, amelynek nincs jelent˝osége. El˝orelátásból írtam o˝ ket oda, hogy H-ban majd felismerhessünk egy fontos mennyiséget, amellyel a klasszikus fizikában már találkoztunk. Szükségünk lesz az U† -re is. Ha figyelembe vesszük, hogy a hermitikus adjungálás muvelete ˝ a koefficiensek komplex konjugálását is magában foglalja, az U† ( ) = I + i H†

(4.7)

képletre jutunk. Helyettesítsük most be (4.5)-ot és (4.7)-et a (4.5) uniteritási feltételbe: (I + i H† )( )(I − i H) = I. Az els˝o rendjében a H† − H = 0 relációra jutunk, amelyet a kifejez˝obb H† = H

(4.8)

alakban is írhatunk. Ez az egyenl˝oség felel meg az uniteritás követelményének, de egyben azt is kifejezi, hogy H hermitikus

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

115

Id˝o és változás

operátor. Ez óriási jelent˝oségu˝ tény, mert akkor H megfigyelhet˝o mennyiség, amelynek ortonormált sajátvektorai és valós sajátértékei vannak. Látni fogjuk, hogy a H ismer˝os fogalom, a Hamilton-függvény kvantumos változata. Amikor a rendszer energiáját mérjük, az o˝ sajátértékeinek egyikét kapjuk eredményül. Hamarosan pontos magyarázatot adunk rá, miért feleltetjük meg H-t a klasszikus Hamilton-függvénynek. Lapozzunk most vissza a (4.1) egyenlethez abban a speciális esetben, amikor t = . A (4.6) segítségével az egyenletet így írhatjuk: |Ψ( ) = |Ψ(0) − i H|Ψ(0). Ez tipikusan egy olyan egyenlet, amelyet könnyu˝ differenciálegyenletté alakítani. El˝oször a jobb oldal els˝o tagját átvisszük a bal oldalra, utána pedig az egyenletet végigosztjuk -nal: |Ψ( ) − |Ψ(0) = −iH|Ψ(0).

Ha emlékeznek a differenciálszámításra (egy rövid összefoglalót az 1. kötetben is találnak róla), akkor bizonyára észreveszik, hogy a bal oldalon álló tört a derivált definíciójával kapcsolatos. Az → 0 határesetben megegyezik az állapotvektor id˝o szerinti deriváltjával, ezért ∂|Ψ (4.9) = −iH|Ψ. ∂t A gondolatmenet elején a t-r˝ol azt tettük fel, hogy nullával egyenl˝o, de ennek nincs jelent˝osége. Ha nulla helyett egy másik önkényesen választott id˝opillanatból indulunk ki, újra pontosan a (4.9) egyenletre jutunk. Ez az egyenlet határozza meg az állapotvektor id˝obeli evolúcióját: Ha ismerjük egy adott id˝opillanatban,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

116

Kvantummechanika

az egyenletb˝ol megtudhatjuk, milyen lesz kés˝obb. Az egyenlet elég fontos ahhoz, hogy neve is legyen: általánosított Schrödingeregyenletnek hívják. Ha a Hamilton-operátort ismerjük, az egyenletb˝ol megtudhatjuk, hogyan változik az id˝o el˝ore haladtával egy magára hagyott rendszer állapotvektora. Art ezt a vektort néha Schrödinger-ketnek hívja17 . A görög beture ˝ szívesen rajzolna bajuszt18 , de ennek egy ponton véget kell vetnem.

4.6.

Hová lett a ?

Bizonyára hallottak már a Planck-állandóról. Planck maga h-val jelölte és a nagyságát 6.6 × 10−34 kg m2 /s körülire becsülte. A kés˝obbi generációk átdefiniálták, osztották 2π-vel és -re jelölték át: =

h = 1.054571726 · · · × 10−34 kg m2 /s. 2π

Miért volt jó 2π-vel osztani? Azért, mert így megspórolunk egy csomó 2π-t másutt. Talán hiba, hogy egy ilyen alapvet˝o fontosságú állandóról eddig szó se esett. Most pótoljuk a mulasztást. A kvantummechanikában a Hamilton-operátor, a klasszikus mechanikában pedig a Hamilton-függvény a rendszer energiáját jeleníti meg. Ha belegondolnak, ebb˝ol származhat némi zurza˝ var. Nézzék csak meg jobban a (4.9) egyenletet. A dimenziókkal valami nem stimmel benne. Mivel |Ψ mindkét oldalon szerepel, vele nem kell tör˝odni. A bal oldal fizikai dimenziója így az id˝o inverze, ha pedig a Hamilton-operátor tényleg az energia, akkor a jobb oldal energia dimenziójú. Az energiát joule-ban, azaz 17 Lefordíthatatlan szójáték. 18 Na

A ket és a cat (macska) kiejtése egyforma. – A fordító

nem igazán.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

117

Id˝o és változás

kg m2 /s2 -ben mérjük. Komoly baj persze nincs. A megoldást az univerzális  állandó jelenti a maga kg m2 /s dimenziójával. Pontosan ilyen dimenziójú állandóra van szükség a (4.9) egyenlet rendbetételéhez. Írjuk le újra úgy, hogy a Planck-állandót megfelel˝oen behelyettesítve a dimenziót kiigazítjuk: 

∂|Ψ = −iH|Ψ. ∂t

(4.10)

De mit˝ol olyan nevetségesen kis szám a ? A magyarázat inkább kapcsolatos a biológiával, mint a fizikával. A valódi kérdés ugyanis nem az, hogy a  miért olyan kicsi, hanem az, hogy mi miért vagyunk olyan nagyok. A mértékegységek, amelyeket használunk, a mi méreteinket tükrözik. A méter eredete talán a kötél, a ruhaszövet hosszának a mérésére vezethet˝o vissza; körülbelül akkora távolság, mint amennyi az orrunk hegye és a kinyújtott karunk ujjai között van. A másodperc nagyjából két szívdobbanás között eltelt id˝o. Kilogrammnyi súlyt pedig még kényelmesen tudunk magunkkal vinni. Ezeket az egységeket azért használjuk, mert kényelmesek, de a fizikai jelenségek világában nem ez a mérvadó. Egy atom mérete körülbelül 10−10 méter. Miért ilyen kicsi? Ez bizony rosszul feltett kérdés. Az értelmes kérdés az, hogy a karunk miért áll olyan iszonyúan sok atomból. A válasz egyszeru: ˝ Egy muköd˝ ˝ oképes, intelligens, mértékegységet használó lénynek szükségképpen sok atomból kell állnia. Hasonló a helyzet a kilogrammal, amely azért sokkal nagyobb egyetlen atom tömegénél, mert nem atomokat szállítunk a bevásárlószatyrunkban – azok túl könnyen elvesznének. Az id˝omérésr˝ol, a cammogó másodpercünkr˝ol is hasonlókat mondha-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

118

Kvantummechanika

tunk. Egyszóval a Planck-állandó azért olyan hihetetlenül kicsi, mert mi hatalmasak, súlyosak és lassúk vagyunk. A mikroszkópikus világ jelenségeivel foglalkozó fizikusok szívesebben használnak olyan mértékegységeket, amelyek jobban illeszkednek a mikrovilághoz. Ha atomi hosszúság-, id˝o- és tömegegységet választunk, akkor a Planck-állandó nem lenne olyan bosszantóan kicsi. Nagyjából egyenl˝o lenne 1-gyel. A kvantummechanikában azonban valójában olyan egységekkel a legkényelmesebb dolgozni, amelyekben a Planck-állandó értéke pontosan 1-gyel egyenl˝o. A fizikusi gyakorlatban tényleg ezt tesszük, ebben a könyvben azonban az egyenletekben többnyire benne hagyjuk -t.

4.7. Várható értékek Tegyünk egy rövid kitér˝ot, hogy megbeszélhessük a statisztika egyik fontos fogalmát, az átlagos vagy középértéket. Az el˝oz˝o el˝oadásban röviden már szó volt róla, de most itt az ideje, hogy alaposabban szemügyre vegyük. A kvantummechanikában átlagérték helyett inkább várható értéket mondunk (bizonyos szempontból nem túl szerencsés kifejezés, majd kés˝obb visszatérek rá). Induljunk ki egy L megfigyelhet˝o mennyiség méréséb˝ol, és tegyük fel, hogy ismerjük a mérés eredményét leíró valószínuségi ˝ függvényt. A mérés eredménye az L valamelyik λi sajátértéke, a valószínuségi ˝ függvény pedig P (λi ). A statisztikában az átlagot (vagy középértéket) rendszerint a mért mennyiség felülhúzásával jelölik. Az L mérhet˝o ¯ mennyiség átlagértéke eszerint L-lel egyenl˝o. A standard kvan-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

119

Id˝o és változás

tummechanikai jelölésmód ett˝ol különbözik, a Paul Diractól származó célszeru˝ bra-ket szimbolikán alapul. Eszerint az L átlagértéke L. Hamarosan látni fogjuk, miért annyira szerencsés a bra-ket jelölésmód, de el˝oször tisztázzuk, mit is jelent az átlagérték terminus. Matematikailag az átlagérték definíciója a következ˝o: L =



λi P (λi ),

(4.11)

i

vagyis az átlag a valószínuséggel ˝ súlyozott összeggel egyenl˝o. Az átlag a kísérleti eredmények alapján is megfogalmazható. Tegyük fel, hogy nagy számú, azonos típusú mérést végeztünk, amelyek eredményét feljegyeztük. A valószínuségi ˝ függvényt ezeknek az adatoknak az alapján is definiálhatjuk. A P (λi ) a megfigyelések azon hányadával egyenl˝o, amelyek eredménye λi volt. A (4.11) definíciót ily módon azonosnak vesszük a megfigyelésekb˝ol képzett tapasztalati átlaggal. A statisztikai elméletek egyik alapfeltevése, hogy nagy számú megfigyelés esetében a valószínuség ˝ és az átlag matematikai és kísérleti fogalma összhangban van egymással. Nem fogjuk megkérd˝ojelezni ennek a hipotézisnek az érvényességét. Most bebizonyítok egy elegáns kis tételt, amely megmagyarázza az átlagértékek bra-ket jelölésmódját. Induljunk ki egy kvantumrendszer |A normált állapotából. Fejtsük ki |A-t az L ortonormált sajátvektorai szerint: |A =



αi |λi .

(4.12)

i

Csak úgy, minden különösebb cél nélkül számítsuk ki az A |L|A

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

120

Kvantummechanika

mennyiséget. Az eljárás világos: El˝oször hatunk L-lel az |A-ra19 , majd az eredmény bels˝o szorzatát képezzük A |-val. Els˝o lépésként engedjük hatni L-et (4.12) mindkét oldalára: L|A =



αi L|λi .

i

Most jusson eszünkbe, hogy |λi  az L sajátvektora, ezért L|λi  = λi |λi . Ezt az el˝oz˝o egyenletben kihasználhatjuk: L|A =



αi λi |λi .

i

Utolsó lépésként az egyenlet bels˝o szorzatát képezzük A |-val. A jobb oldalon azonban a A |-t a sajátvektorok szerint kifejtett alakjában helyettesítjük be, és kihasználjuk a sajátvektorok ortonormáltságát. Ezt kapjuk: A |L|A =



(αi∗ αi )λi .

(4.13)

i

A valószínuségi ˝ elv (a 4. alapelv) szerint (αi∗ αi )-t azonosíthatjuk a P (λi ) valószínuséggel, ˝ és megállapíthatjuk, hogy a (4.13) egyenlet jobb oldala azonos a (4.11) egyenlet jobb oldalával. Következésképpen L = A |L|A.

(4.14)

Eszerint van egy könnyen alkalmazható ökölszabályunk az átlagok számítására: A megfigyelhet˝o mennyiség operátorát úgy kell az állapotvektort reprezentáló bra és ket közé tenni, mint a szendvicsben a sajtot a kenyérszeletek közé. 19 Ugyanazt

www.interkonyv.hu

kapnánk, ha L-et el˝oször A |-ra hattatnánk.

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

121

Id˝o és változás

Az el˝oz˝o el˝oadásban (a 3.5 pontban) azt ígértük, hogy elmagyarázzuk, milyen kapcsolatban van egy hermitikus operátor állapotvektorra gyakorolt hatása a fizikai mérés kimenetelére. A várható érték ismeretében beválthatjuk az ígéretünket. A (3.21) egyenletre visszatekintve a σz operátor példáján láthatjuk, hogy az |r állapotvektorra hatva hogyan alakítja azt át egy új állapotvektorrá. Ez az egyenlet mintegy a fele annak a számításnak, amely a σz -mérés várható értékét célozza meg – a szendvics egyik kenyérszelete, ha úgy tetszik. A számítás befejez˝o szakaszában ennek az új állapotvektornak a bels˝o szorzatát kell képezni az r | duális vektorral. A σz (3.21)-beli hatása tehát olyan állapotot képez, amely lehet˝ové teszi, hogy kiszámítsuk a σz mérés bármely lehetséges végeredményének a valószínuségét. ˝

4.8.

A fázisfaktor érdektelensége

Korábban mondottuk, hogy a közös fázisfaktor az állapotvektorból elhagyható, és megígértük, hogy kés˝obb ezt meg is magyarázzuk. Az átlagképzés szabályának ismerete ezt most lehet˝ové teszi. Mit értünk azon, hogy a közös fázisfaktor elhagyható? Ez annyit jelent, hogy amikor az állapotvektort az eiθ konstanssal megszorozzuk, amelyben θ valós szám, nem módosítjuk a fizikai jelentését. Az igazoláshoz szorozzuk meg a (4.12) egyenletet eiθ val és az eredményül kapott állapotot nevezzük el |B-nek:  |B = eiθ |A = eiθ αj |λj . (4.15) j

Az összegz˝o indexet a kés˝obbi zavar elkerülése végett változtat-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

122

Kvantummechanika

tuk meg i-r˝ol j-re. Könnyu˝ belátni, hogy |B nagysága ugyanakkora, mint |A-é, mert eiθ abszolút értéke 1-gyel egyenl˝o: B|B = Ae−iθ |Aeiθ  = A|A. A kiejtésnek ugyanez a mechanizmusa muködik ˝ a többi esetben is. Az |A-ban fellép˝o αj valószínuségi ˝ amplitúdóból például |B-ben eiθ αj lesz, vagyis a valószínuségi ˝ amplitúdók különböznek egymástól. Fizikai jelentésük azonban nem az amplitúdóknak, hanem a valószínuségeknek ˝ van. Ha a rendszer állapota |B és mérést végzünk rajta, akkor annak valószínuségét, ˝ hogy a |λj  sajátértéke legyen a mérés eredménye, az αj∗ e−iθ eiθ αj = αj∗ αj kifejezés adja meg, ami pontosan ugyanaz, mint amikor az állapot |A volt. Alkalmazzuk végül ugyanezt a trükköt az L hermitikus operátor várható értékére is. A (4.14) egyenletet |B-re alkalmazva L = B |L|B. Írjuk ide a |B (4.15)-beli alakját: L = Ae−iθ |L|eiθ A, ami ugyanaz, mint L = A |L|A. Az eredmény az, hogy L várható értéke |B-ben ugyanannyi, mint |A-ban. Az ígéretünket betartottuk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

123

Id˝o és változás

4.9.

A kapcsolat a klasszikus mechanikával

A megfigyelhet˝o mennyiség középértéke – vagy várható értéke – az a fogalom, amely a lehet˝o legközvetlenebb módon köti össze a kvantummechanikát a klasszikussal. Amikor a valószínuségi ˝ eloszlás nem túl széles, szép haranggörbe, akkor a várható érték az, amire egy mennyiség megfigyelésénél számíthatunk. A nagyméretu, ˝ súlyos rendszerekben mért mennyiségek várható értéke gyakorlatilag pontosan a klasszikus mozgásegyenleteknek megfelel˝oen változik. Ezért érdekes és fontos feladat a várható értékek id˝obeli változását leíró egyenletek megkeresése. Az els˝o kérdés: Egyáltalán miért változnak ezek az egyenletek az id˝o függvényében? A válasz: Azért, mert a rendszer állapota változik. Legyen a t pillanatbeli állapotvektor a |Ψ(t) ket és a Ψ(t) | bra. Akkor t-ben az L megfigyelhet˝o mennyiség várható értéke a következ˝o: Ψ(t) |L|Ψ(t). Ahhoz, hogy ennek a mennyiségnek az id˝obeli viselkedését tisztázzuk, deriválnunk kell t szerint és ki kell használnunk a |Ψ(t) ketre és a Ψ(t) | brára vonatkozó Schrödinger-egyenletet. A deriválás szorzási szabályát alkalmazva a következ˝o képletre jutunk: d ˙ ˙ Ψ(t) |L|Ψ(t) = Ψ(t) |L|Ψ(t) + Ψ(t) |L|Ψ(t). dt Mint rendesen, a pont id˝o szerinti differenciálást jelent. L maga nem változik az id˝oben, a folyamatban csak mint kibic van jelen. Helyettesítsük most be a (4.10) Schrödinger-egyenlet bra- és ketváltozatát az el˝oz˝o képletbe: i i d Ψ(t) |L|Ψ(t) = Ψ(t) |HL|Ψ(t) − Ψ(t) |LH|Ψ(t), dt  

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

124

Kvantummechanika

vagy tömörebben i d Ψ(t) |L|Ψ(t) = Ψ(t) |(HL − LH)|Ψ(t). dt 

(4.16)

A közönséges algebra szempontjából a (4.16) egy elég különös kinézetu˝ formula. A HL-LH kifejezést tartalmazza, amely a szokásos algebrában nulla. A lineáris operátorok azonban nem közönséges számok: Amikor összeszorozzuk (vagyis egymás után alkalmazzuk) o˝ ket, számít a sorrendjük. Az általános esetben az a helyzet, hogy amikor H hat L|Ψ-re, nem ugyanaz lesz az eredmény, mint amikor L hat H|Ψ-re. Röviden: speciális esetekt˝ol eltekintve HL = LH. Két adott operátorra vagy mátrixra az LM − ML kombinációt az L és az M kommutátorának hívjuk, és speciális szimbólummal jelöljük: LM − ML = [L, M]. Megjegyezzük, hogy bármely két operátorra [L, M] = −[M, L]. Ezt a jelölést használva (4.16)-ot a következ˝o egyszeru˝ formában írhatjuk: i d L = [H, L], dt 

(4.17)

i d L = − [L, H]. dt 

(4.18)

vagy kicsit másképpen

Ez egy fontos és nagyon érdekes egyenlet. Az L megfigyelhet˝o mennyiség várható értékének id˝oderiváltját egy másik megfigyeli het˝o mennyiség, a − [L, H] várható értékével hozza összefüg gésbe.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

125

Id˝o és változás

4.2. feladat: Igazoljuk, hogy ha M és L hermitikus, akkor i − [L, H] is az. Az i itt lényeges. A kommutátor maga nem  hermitikus. Azokan az esetekben, amikor a valószínuségek ˝ jól leírhatók keskeny haranggörbével, a (4.18)-ból kiolvasható, hogyan mozognak ezek a csúcsok. Az ilyen típusú kvantummechanikai egyenletek állnak legközelebb a klasszikus fizikához. Néha a rövidség kedvéért el is hagyják a brát és a ketet az egyenletb˝ol: i dL = − [L, H]. dt 

(4.19)

De nem szabad megfeledkezni róla, hogy az ilyen kvantummechanikai egyenletnek mindig egy „ szendvicsen belül” kell elhelyezkednie a Ψ | bra és a |Ψ ket között. Az egyenletre gondolhatunk úgy is, mint ami meghatározza a valószínuségi ˝ eloszlások középpontjának a mozgását. Nem tunik ˝ ismer˝osnek a (4.19) egyenlet? Ha nem, lapozzák fel az 1. kötet 9. és 10. el˝oadását, amelyben a klasszikus mechanika Poisson-zárójeles formájáról volt szó. A 203. oldalon megtalálják a H˙ = {F, H}

(4.20)

képletet, amelyben az {F, H} nem kommutátor, hanem Poissonzárójel. A (4.20) ennek ellenére megejt˝oen hasonlít a (4.19) egyenletre. Valóban szoros párhuzamosság van a kommutátorok és a Poisson-zárójelek között, mert az algebrai tulajdonságaik nagyon hasonlók. Mindkett˝o el˝ojelet vált, amikor a bennük szerepl˝o két mennyiséget felcseréljük egymással. Az analógia felis-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

126

Kvantummechanika

merése Dirac érdeme, aki ezen keresztül mutatott rá, milyen szoros a strukturális hasonlóság a klasszikus mechanika és a kvantummechanika matematikai apparátusa között. A kommutátor és a Poisson-zárójel közötti formális megfeleltetés a következ˝o: [F, G]

⇐⇒

i{F, G}.

(4.21)

A (4.19) egyenlettel való összevetés megkönnyítésére ezt a relációt a fentebb használt operátorokkal, L-lel és H-val is felírjuk: [L, H]

⇐⇒

i{L, H}.

(4.22)

Próbáljuk minél világosabbá tenni ezt a kapcsolatot. Induljunk ki a (4.19) egyenletb˝ol, dL i = − [L, H], dt  majd a (4.22) megfeleltetés felhasználásával írjuk fel ennek klasszikus analogonját: dL i = − (i{L, H}), dt  vagyis dL = {L, H}. dt Ez a (4.20) pontos megfelel˝oje. 4.3. Feladat: Lapozzák fel a Poisson-zárójel definícióját az 1. kötetben és igazolják, hogy a (4.21) egyenlet dimenzionálisan korrekt. Mutassák meg, hogy a  nélkül nem lenne az.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

127

Id˝o és változás

A (4.21) felold egy ellentmondást. A klasszikus fizikában nincs különbség F G és GF között, vagyis a közönséges klasszikus megfigyelhet˝o mennyiségek kommutátora nulla. A kvantummechanikai kommutátor nem nulla, de a (4.21) megfeleltetés alapján nagyon kicsi. A klasszikus határeset (amelyben a klasszikus mechanika pontossá válik) az, amikor  elhanyagolhatóan kicsinek tekinthet˝o. A humán méretekhez szabott egységekben ezért nagyon kicsik a kommutátorok.

4.10.

Az energiamegmaradás

Honnan ismerhetjük fel a kvantummechanikában egy fizikai mennyiségr˝ol, hogy megmarad? Egyáltalán mit értünk azon, hogy egy megfigyelhet˝o mennyiség – nevezzük Q-nak – megmarad? Annyit biztosan megkövetelhetünk, hogy a Q várható értéke id˝oben legyen állandó (feltéve persze, hogy nem avatkozunk be kívülr˝ol a rendszerbe). Ennél er˝osebb kikötés, hogy Q2  (vagy méginkább Q akárhanyadik hatványának várható értéke) ne változzon id˝oben. A (4.19) egyenlet mutatja, hogy Q állandóságának a feltétele a következ˝o: [Q, H] = 0. Szavakban: Ha egy mennyiség operátora kommutál a Hamiltonoperátorral, akkor a várható értéke megmarad. Ezt az állítást lehet er˝osíteni. A kommutátorok matematikai tulajdonságainak felhasználásával nem nehéz igazolni, hogy amikor [Q, H] = 0, akkor az is igaz, hogy [Q2 , H] = 0, s˝ot tetsz˝oleges n egészre [Qn , H] = 0. Kiderül, hogy érvényes a következ˝o nagyon er˝os

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

128

Kvantummechanika

állítás: Ha Q kommutál a Hamilton-operátorral, akkor Q bármilyen függvénye megmarad. Ez az, amit a kvantummechanikában megmaradáson értünk. A legnyilvánvalóbb megmaradó mennyiség maga a Hamilton-operátor.

Mivel bármely operátor kommutál önmagával,

ezért [H, H] = 0, ami annyit jelent, hogy H megmarad. A klasszikus mechanikához hasonlóan a Hamilton-operátor a kvantummechanikában is – definíció szerint – az energia operátora. Mint látjuk, nagyon általános feltételek mellett az energia a kvantummechanikában is megmarad.

4.11.

A spin viselkedése mágneses mezoben ˝

Alkalmazzuk a hamiltoni mozgásegyenleteket egyetlen spin mozgására. Ehhez el˝oször specializálnunk kell a Hamilton-operátort. Mib˝ol indulhatunk ki? Nagy általánosságban a válasz erre a kérdésre ugyanaz, mint a klasszikus fizikában: Olvasd ki a kísérletek eredményéb˝ol, vedd valamelyik helyesnek gondolt elméletb˝ol, vagy egyszeruen ˝ próbálj ki találomra egyet. De egyetlen spin esetében nincs sok választási lehet˝oségünk. Próbálkozhatunk például az I egységoperátorral. Mivel azonban I minden operátorral kommutál, ha o˝ lenne a Hamilton-operátor, semmi se változna az id˝o függvényében. Tudjuk ugyanis, hogy egy megfigyelhet˝o mennyiség id˝obeli változása a mennyiség operátorának és a Hamilton-operátornak a kommutátorával függ össze.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

129

Id˝o és változás

Az egyetlen lehet˝oség, ami megmaradt, a spin három komponenséb˝ol képzett valamilyen összeg. Az igazság az, hogy a spinnel végzett valóságos kísérletekb˝ol – például az elektronspin  mágneviselkedéséb˝ol mágneses mez˝oben – ez olvasható ki. A B ses mez˝o vektor a háromdimenziós geometriai térben, amelyet a három Bx , By , Bz Descartes-komponensével tudunk megadni. Amikor valamilyen klasszikus spint (mondjuk egy elektromosan töltött pörgettyut) ˝ mágneses mez˝obe helyezünk, az energiája függeni fog a mez˝ohöz viszonyított orientációjától: arányos lesz a spin és a mágneses mez˝o skalárszorzatával. Ennek kvantummechanikai megfelel˝oje a következ˝o:  = σx Bx + σy By + σz Bz . H ∼ σ · B A ∼ jel itt arányosságot fejez ki. Emlékezzünk rá, hogy ebben a kifejezésben σx , σy és σz a spin operátorának komponensei. Legegyszerubb ˝ példaként tegyük fel, hogy a mágneses mez˝o z irányú. A Hamilton-operátor ekkor σz -vel arányos. Kényelmes lesz a -en kívül az összes többi állandót egyetlen ω konstansban összefoglalni, ezért H=

ω σz . 2

(4.23)

Hamarosan kiderül, miért írtunk be egy kettes faktort a nevez˝obe. A spin várható értékének id˝obeli változására vagyunk kíváncsiak, vagyis a σx (t), σy (t), valamint a σz (t) függvényeket akarjuk kiszámítani. Ezt (4.19) segítségével tehetjük meg, ha eze-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

130

Kvantummechanika

ket a komponenseket helyettesítjük be L helyébe: i σ˙ x  = − [σx , H]  i σ˙ y  = − [σy , H]  i σ˙ z  = − [σz , H]. 

(4.24)

Helyettesítsük ezekben az egyenletekben H-t a (4.23)-ban felírt kifejezésével: iω [σx , σz ] 2 iω σ˙ y  = − [σy , σz ] 2 iω σ˙ z  = − [σz , σz ]. 2

σ˙ x  = −

(4.25)

A bal oldali mennyiségeknek valósaknak kell lenniük, ezért a jobb oldali i látszólag fölösleges. A σx , σy és a σz kommutációs tulajdonságai azonban segítenek. A Pauli-mátrixok (3.20)ban felírt képletei segítségével ugyanis könnyu˝ belátni, hogy [σx , σy ] = 2iσz [σy , σz ] = 2iσx

(4.26)

[σz , σx ] = 2iσy . Az itteni jobb oldali i-k kiküszöbölik a képzetes egységet (4.25)b˝ol. A kettes faktor is egyszerusödik, ˝ és a következ˝o nagyon egyszeru˝ végeredményre jutunk: σ˙ x  = −ωσy  σ˙ y  = ωσx 

(4.27)

σ˙ z  = 0.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

131

Id˝o és változás

Ismer˝os az eredmény? Lapozzanak csak vissza az 1. kötet 10. el˝oadásához, amelyben a mágneses mez˝obe helyezett klasszikus rotort tanulmányoztuk. Pontosan ugyanilyen egyenletekre jutottunk. Az egyedüli különbség az, hogy ott nem várható értékek változásáról, hanem a determinisztikus rendszer tényleges mozgásáról volt szó. Az eredmény itt is, ott is az, hogy a σ vektor hármasvektor az 1. kötetben) a giroszkóphoz haoperátor (az L sonlóan egyenletesen ω szögsebességgel precesszál a mágneses mez˝o körül. A klasszikus mechanikával a hasonlóság megnyugtató, de figyelni kell a különböz˝oségekre is. Tulajdonképpen mi az, ami precesszál? A klasszikus mechanikában a rotor forgástengelye, a kvantummechanikában azonban egy várható érték. A σz mérési eredményének várható értéke id˝oben állandó, a másik két operátoré azonban változik. Mindett˝ol függetlenül bármelyik spinkomponens minden egyes mérésekor az eredmény csak +1 vagy −1 lehet. 4.4. Feladat: Igazoljuk a (4.26) kommutációs relációkat!

4.12.

A Schrödinger-egyenlet megoldása

A trikókon is felbukkanó emblematikus Schrödinger-egyenlet a következ˝o: i

∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t) =− + U (x)Ψ(x, t). ∂t 2m ∂x2

Egyel˝ore ne tör˝odjünk az egyenletben el˝oforduló jelek értelmével. Elégedjünk meg azzal, hogy az egyenlet valaminek az id˝o-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

132

Kvantummechanika

beli változását határozza meg. (A „ valami” egy részecske állapotvektorának egy reprezentánsa.) A Schrödinger-egyenletnek ez a jelképpé vált alakja egy olyan általánosabb egyenlet speciális formája, amellyel a (4.9) képletben már találkoztunk. Részben definíciónak, részben pedig kvantummechanikai elvnek lehet tekinteni. Mint elv azt fejezi ki, hogy az állapotvektor az id˝oben unitér módon folytonosan változik. Másrészt a Hamilton-operátort, vagyis az energiához tartozó megfigyelhet˝o mennyiséget definiálja. A (4.10)-ben felírt 

∂|ψ = −iH|Ψ ∂t

egyenletet többnyire id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenletnek hívják. Mivel az energiának a H Hamilton-operátor felel meg, az energiamérés eredménye a H valamelyik sajátértéke. Jelöljük ezeket a sajátértékeket Ej -vel, a hozzájuk tartozó sajátvektorokat pedig |Ej -vel. Definíció szerint a H, az Ej és az |Ej  közötti kapcsolatot a H|Ej  = Ej |Ej 

(4.28)

egyenlet teremti meg. Ez az id˝ofüggetlen Schrödinger-egyenlet, amelyet két feladat megoldására használunk: Kereshetjük valamilyen rögzített bázisban az adott Ej -hez tartozó |Ej  sajátvektort, vagy kereshetjük magukat az Ej sajátértékeket. Amikor egy találomra választott Ej -t beírunk az egyenletbe, általában azt fogjuk találni, hogy nincs olyan 1-re normált állapotvektor, amelyik ennél a véletlen Ej -nél kielégítené azt (a nullavektor lenne a megoldás, amelyik nem normálható 1-re). Nézzünk egy egyszeru˝ pélω σz mátrix. Mivel dát. Tegyük fel, hogy a Hamilton-operátor a 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

133

Id˝o és változás

σz -nek a két ±1-en kívül nincs több sajátértéke, ezért a Hamiltonω operátornak is csak két sajátértéke van, a ± . Ha bármilyen 2 ett˝ol különböz˝o számot írunk feltételezett sajátértékként (4.28) jobb oldalára, nem kapunk megoldásként semmilyen sajátvektort (az érdektelen nullvektoron kívül). Mivel a H operátor az energiát reprezentálja, az Ej -t általában a rendszer sajátenergiájának, az |Ej -t pedig energiasajátvektorának nevezik. 4.5. Feladat: Képezzük az n térbeli vektorral a H=

ω σ · n 2

operátort. Az id˝ofüggetlen Schrödinger-egyetlen alapján keressük meg a sajátértékeit és sajátvektorait. Emlékeztetünk rá, hogy a σ · n komponens formáját a (3.23) képletben már felírtuk. Tegyük fel, hogy megtaláltuk az összes Ej sajátenergiát és a hozzájuk tartozó |Ej  sajátvektorokat. Ezek ismeretében meg tudjuk oldani az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenletet is. A kiindulópont az, hogy a sajátvektorok ortonormált bázist alkotnak, ezért a |Ψ állapotvektor kifejthet˝o ennek a bázisnak az elemei szerint: |Ψ =



αj |Ej .

j

Mivel a bázisvektorok id˝ofüggetlenek, a |Ψ csak az αj koefficienseken keresztül függhet az id˝ot˝ol: |Ψ =



αj (t)|Ej .

(4.29)

j

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

134

Kvantummechanika

Helyettesítsük (4.29)-et az id˝ofügg˝o egyenletbe. Ezt kapjuk:  j

i  αj (t)|Ej . α˙ j (t)|Ej  = − H  j

Használjuk ki most a H|Ej  = Ej |Ej  egyenletet: 

α˙ j (t)|Ej  = −

j

i Ej αj (t)|Ej .  j

Ezt átcsoportosíthatjuk így:   i α˙ j (t) + Ej αj (t) |Ej  = 0.  j Az utolsó lépést könnyu˝ kitalálni. Amikor a bázisvektorokból képzett összeg nullával egyenl˝o, mindegyik vektor koefficiensének külön-külön el kell tunnie. ˝ Az Ej sajátértékhez tartozó αj (t) ennek következtében eleget tesz az egyszeru˝ i dαj (t) = − Ej αj (t) dt  differenciálegyenletnek. Ezt a jól ismert egyenletet az exponenciális függvény elégíti ki, esetünkben képzetes kitev˝ovel. A megoldás:

i Ej t αj (t) = αj (0)e  . −

(4.30)

Ez az egyenlet megmutatja, hogyan változik αj az id˝oben. Az érvényessége nagyon általános, nem korlátozódik a spinre. Amikor a Hamilton-operátor nem függ az id˝ot˝ol, mindig ilyen exponenciális id˝ofüggésre jutunk. Ez az els˝o példánk az energia és a frekvencia mély kapcsolatára, amely újra és újra felbukkan a kvantummechanikában és a kvantumtérelméletben. Gyakran fogunk találkozni vele.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

135

Id˝o és változás

A (4.30) egyenletben az αj (0) tényez˝ok a nulla pillanatbeli koefficiensek. Ha ismerjük a |Ψ állapotvektort ebben a pillanatban, ezeket a koefficienseket úgy számíthatjuk ki, hogy vetítjük a bázist alkotó sajátvektorokra: αj (0) = Ej |Ψ(0).

(4.31)

Rakjuk most össze a dolgokat, és írjuk fel minden részletével együtt az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenlet megoldását: 

|Ψ(t) =

i Ej t  αj (0)e |Ej . −

j

Helyettesítsük be ide αj (0) (4.31) megoldását: |Ψ(t) =



i Ej t Ej |Ψ(0)e  |Ej . −

(4.32)

j

A (4.32) elegánsabb formája |Ψ(t) =



i − Ej t |Ej Ej |Ψ(0)e  ,

(4.33)

j

amely nyilvánvalóvá teszi, hogy a bázisvektorokra történik az összegzés. Megkérdezhetik, honnan vesszük |Ψ(0)-át. Ez a körülményekt˝ol függ, de általában feltehetjük, hogy valamilyen berendezés segítségével mérést végezve preparálhatjuk a rendszert egy ismert állapotban. Miel˝ott áttérnénk ezeknek az egyenleteknek a behatóbb tanulmányozására, receptet adok a használatukra. Felteszem, hogy már eleget tudnak a rendszerr˝ol és állapotterér˝ol ahhoz, hogy alkalmazni tudják.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

136

Kvantummechanika

4.13.

A Schrödinger-ket elkészítésének receptje

1. Vezesse le, másolja ki egy könyb˝ol, tippelje meg, kölcsönözze vagy lopja el valakit˝ol a H Hamilton-operátort. 2. Preparálja a |Ψ(0) kezd˝oállapotot. 3. Határozza meg a H sajátértékeit és sajátvektorait a H|Ej  = Ej |Ej  id˝ofüggetlen Schrödinger-egyenlet megoldásával. 4. A |Ψ(0) kezd˝oállapot és az |Ej  sajátvektorok ismeretében számítsa ki az αj együtthatók αj (0) = Ej |Ψ(0) kezd˝oértékét. 5. Írja fel |Ψ(0)-át az |Ej -k és az αj (0)-ák függvényében:  αj (0)|Ej . |Ψ(0) = j

Eddig az történt, hogy a |Ψ(0) kezd˝oállapotot kifejtettük a H operátor |Ej  sajátállapotai szerint. Miért éppen ez a bázis felel meg leginkább a céljainknak? Azért, mert a H mondja meg, hogyan változnak a dolgok id˝oben. Most ezt a tudásunkat fogjuk kamatoztatni. 6. Az id˝ofüggés bevezetéséhez helyettesítsük az el˝oz˝o egyenletben α(0)-át α(t)-vel: |Ψ(t) =



αj (t)|Ej .

j

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

137

Id˝o és változás

7. Írjuk ide be az αj (t) (4.30)-ban megtalált alakját: |Ψ(t) =



i Ej t αj (0)e  |Ej . −

(4.34)

j

8. Fuszerezés ˝ ízlés szerint. Most már el˝ore tudjuk jelezni bármilyen kísérlet eredményének a valószínuségét ˝ az id˝o függvényében, nem kell az energiára korlátozódnunk. Legyenek a λj -k az L sajátértékei, a |λj -k pedig a hozzájuk tartozó sajátvektorok. Annak valószínusége, ˝ hogy a t pillanatban végzett mérés eredménye λj lesz, a következ˝o: Pλj = |λj |Ψ(t)|2 . Feladat: Alkalmazzuk a Schrödinger-ket receptjét ω σz , a kezegyetlen spinre. A Hamilton-operátor H = 2 d˝oállapot pedig |u (amelyben σz = +1). 4.6.

Egy kés˝obbi t id˝opillanatban σy -mérést végzünk a spinen. Melyek a lehetséges kimenetelek és mi a valószínuségük? ˝ Gratulálunk!

Egy olyan valóságos kísérletre vonatkozó

kvantummechanikai feladatot oldott meg, amelyet el lehet végezni a laboratóriumban. Veregesse magát büszkén vállon!

4.14.

A spontán állapotredukció

Láttuk, milyen változáson megy keresztül egy rendszer attól kezdve, hogy valamilyen meghatározott állapotban preparáljuk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

138

Kvantummechanika

egészen addig, amíg egy mér˝oberendezéssel hatva rá mérést végzünk rajta. Ha a fizikai mérések fókuszában az állapotvektor állna, azt mondhatnánk, hogy a kvantummechanika determinisztikus. De a kísérletekben nem állapotvektort mérünk, hanem különböz˝o megfigyelhet˝o mennyiségeket. Még ha pontosan ismernénk is az állapotvektort, általában nem tudhatjuk, mi lesz egy adott mérés végeredménye. Ennek ellenére korrekt az a kijelentés, hogy két mérés között a rendszer az id˝ofügg˝o Schrödingeregyenletnek megfelel˝oen teljesen határozott módon változik. Amikor azonban megfigyelést végzünk, valami egészen más dolog történik. Az L mérésének az eredménye nem jósolható meg el˝ore, de miután a mérés megtörtént, a rendszer az L valamelyik sajátállapotában lesz. Melyikben? Abban, amelyik a mérési eredményhez tartozik. Maga ez a végeredmény azonban megjósolhatatlan. Azt kell mondanunk, hogy a mérés közben a rendszer állapota el˝ore nem látható módon az L-nek abba a sajátállapotába ugrik, amelyhez tartozó sajátértéket olvastuk le a mér˝oberendezés kijelz˝ojén. Ezt megfogalmazhatjuk kissé más módon is. Tegyük fel, hogy az L mérése el˝ott az állapotvektor  αj |λj  j

volt. A berendezés véletlenszeruen, ˝ |αj |2 valószínuséggel ˝ mér λj eredményt és hagyja a rendszert a |λj  állapotban. Az állapotok szuperpozíciója ily módon az összeg egyetlen tagjára redukálódik. Ez a rendkívül különös viselkedés – a rendszer gyökeresen eltér˝o evolúciója a mérések között és a mérés közben – évtize-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

139

Id˝o és változás

dekig tartó heves viták és félreértések forrása volt. A vita arról folyt, hogy a kvantummechanikának nem kellene-e tartalmaznia magának a mérési folyamatnak a leírását is. A válasz az, hogy igen, tartalmaznia kell. A kvantummechanika törvényeit nem kell felfüggeszteni a mérés id˝otartamára sem. De ahhoz, hogy a mérési folyamatot is kvantummechanikai evolúcióként lehessen felfogni, a kísérlet minden összetev˝ojét, a mér˝oberendezést is beleértve egységes kvantumrendszerként kell kezelni. Arról, hogy miképpen lehet különböz˝o fizikai rendszereket egységes rendszerbe foglalni, a 6. el˝oadásban lesz szó. De el˝otte még szót kell ejtenünk a bizonytalanságról.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

5. eloadás ˝ Bizonytalanság és idofüggés ˝

Lenny: Jó estét, Generális! Örülök, hogy újra itt van. A Generális: Lenny, maga az? Ezer éve nem láttam! Na jó, elég régóta. Hogy hívják a barátját? ˝ a Generális Bizonytalanság. Lenny: Artnak. Art, rázz kezet az úrral. O

5.1.

Matematikai közjáték: Kommutáló változók teljes rendszere

5.1.1.

Az egynél több változótól függ˝o állapotok

Egy szingli spin nagyon egyszeru˝ rendszer, ett˝ol használható olyan jól illusztratív példaként. De ez az egyszeruség ˝ azzal jár, hogy nem lehet mindent bemutatni rajta. Az egyedi spin egyik tulajdonsága, hogy az állapotát már egyetlen operátor sajátértéke is – például a σz -é – egyértelmuen ˝ meghatározza. Ha σz értékét ismerjük, más megfigyelhet˝o mennyiségét – például σx -ét – már nem adhatjuk meg. Láttuk, hogy ha e két mennyiség egyikét megmérjük, minden információt elveszítünk a másikról. Más, bonyolultabb rendszerekben azonban lehet több olyan megfigyelhet˝o mennyiség is, amelyek összeférnek egymással,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

142

Kvantummechanika

mert egyidejuleg ˝ mind rendelkezhet jól meghatározott értékkel. Íme két példa: • A háromdimenziós térben mozgó részecske. Egy ilyen rendszer állapotterének a bázisvektorait a részecske helyzete jellemzi, és ez három koordináta megadását jelenti. Ezeket az állapotokat ily módon három számmal indexeljük: |x, y, z. Látni fogjuk, hogy egy részecske mindhárom koordinátáját egyidejuleg ˝ meg lehet adni. • A rendszer két fizikailag független spinb˝ol, azaz kubitból áll. Kés˝obb majd lesz szó róla, hogyan lehet kisebb rendszereket nagyobb rendszerré kombinálni. Egyel˝ore elegend˝o megállapítani, hogy egy ilyen rendszer két megfigyelhet˝o mennyiséggel jellemezhet˝o. Az összetett rendszernek lehet például olyan állapota, amelyben mindkét spin felfele mutat (up), egy másik, amelyben mindkett˝o ezzel ellentétes irányú (down), egy harmadikban pedig az 1. számú részecske állapota up, a 2. számúé down, vagy megfordítva. Más szavakkal ez annyit jelent, hogy a kétspin-rendszert két megfigyelhet˝o mennyiség jellemzi, az els˝o spin z komponense és a második spin z komponense. A kvantummechanika nem tiltja meg, hogy egyszerre mindkett˝ot ismerjük. De ennél több is igaz: A két spint különböz˝o komponenseikkel is jellemezhetjük, a kvantumelmélet ezt is megengedi. Az ilyen esetekben egyszerre több mennyiség mérését kell elvégeznünk ahhoz, hogy egyértelmuen ˝ rögzítsük a rendszer állapotát. A kétspin-rendszerben például mérést végezhetünk mind-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

143

Bizonytalanság és id˝ofüggés

két spinen, és ezeknek a méréseknek két különböz˝o L és M operátort feleltethetünk meg. Egy mérés a rendszert egy meghatározott (egyetlen sajátvektorból álló) sajátállapotba állítja be, amelyet a mérési eredmény (sajátérték) indexel. Amikor a kétspin-rendszer mindkét összetev˝ojén mérést végzünk, a rendszer olyan állapotba kerül, amely az L-nek és az M-nek egyaránt sajátvektora. Az ilyen állapotot az L és az M közös sajátvektorának hívjuk. A kétspin-rendszer a maga konkrétságával nagyon jó példa, de nem szabad elfelejtenünk, hogy amit tanulhatunk bel˝ole, az sokkal általánosabb érvényu˝ – alkalmazható minden olyan rendszerre, amelyet két különböz˝o operátor jellemez. És ahogy bizonyára jól sejtik, a kettes számon magán itt egyáltalán nincs hangsúly. A megállapításaink olyan általánosabb rendszerekre is vonatkoznak, amelyek sok különböz˝o operátorral jellemezhet˝ok. Amikor két egymással kompatibilis operátorunk van, a bázisvektorokat két indexszel – mondjuk λi -vel és μa -val – jellemezzük, amelyek az L, illetve az M sajátértékei. Feltesszük, hogy van olyan |λi , μa  állapotvektorokat tartalmazó bázis, amelyek mindkét operátor sajátvektorai: L|λi , μa  = λi |λi , μa  M|λi , μa  = μa |λi , μa . Ezeknek az egyenleteknek kevésbé precíz, de olvashatóbb formája az, amikor a sajátértékekr˝ol elhagyjuk az indexet: L|λ, μ = λ|λ, μ M|λ, μ = μ|λ, μ.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

144

Kvantummechanika

Közös sajátvektorokból álló bázis akkor létezik, amikor L és M kommutál. Ezt könnyu˝ látni. Hassunk a bázisvektorokra az LM szorzatoperátorral, és használjuk ki, hogy mindkét operátornak sajátvektorai: LM|λ, μ = Lμ|λ, μ, vagyis LM|λ, μ = λμ|λ, μ. A λ és a μ közönséges számok, mindegy, milyen sorrendben szorozzuk össze o˝ ket egymással. Ezért ha |λ, μ-re a fordított sorrendu˝ ML szorzattal hatunk, ugyanazt az eredményt kapjuk: LM|λ, μ = ML|λ, μ. Ugyanez tömörebben: [L, M]|λ, μ = 0.

(5.1)

A jobb oldal természetesen a nullavektor. Ez az egyenlet nem lenne különösebben hasznos, ha csak egy speciális bázisvektorra volna érvényes. De a gondolatmenet bármelyikre alkalmazható. Ez annyit jelent, hogy az [L, M] = 0 reláció magukra az operátorokra áll fenn. Ha ugyanis egy lineáris operátor lenullázza egy bázis minden elemét, a vektortér minden vektorát lenullázza20 . Egy olyan operátor, amelyik minden vektort nullába visz át, nem más, mint a nulla operátor. Azt bizonyítottuk tehát be, hogy ha két megfigyelhet˝o mennyiségnek létezik olyan teljes bázisa, amely 20 Értik,

www.interkonyv.hu

hogy miért?

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

145

Bizonytalanság és id˝ofüggés

közös sajátvektorokból áll, akkor kommutálnak. Belátható a fordított állítás is: Ha két megfigyelhet˝o mennyiség kommutál, akkor a közös sajátvektoraik teljes bázist alkotnak. Röviden: Két megfigyelhet˝o mennyiség akkor mérhet˝o együtt, ha kommutálnak. Ez a tétel általánosabb formában is érvényes. El˝ofordul, hogy egy bázis teljes specifikálásához nagyszámú megfigyelhet˝o menynyiség értéke szükséges. A számuktól függetlenül ezeknek mindnek kommutálniuk kell egymással, vagyis – a kvantummechanikai terminológia szerint – kommutáló operátorok teljes rendszerét kell alkotniuk.

5.1.2.

A hullámfüggvény

Most hozzáfoghatunk a hullámfüggvény fogalmának a tárgyalásához. Egyel˝ore ne tör˝odjünk a nevével; a kvantummechanika hullámfüggvényének nincs semmi köze a hullámokhoz. Kés˝obb, amikor a részecskék kvantummechanikájáról lesz szó (a 8.-10. el˝oadásban), látni fogjuk, miféle kapcsolat lehetséges mégis a hullámfüggvények és a hullámok között. Induljunk ki valamilyen kvantumrendszer adott bázisából. Az ortonormált bázisvektorok az |a, b, c, . . .  ketek, amelyekben a, b, c, . . . az A, B, C, . . . kommutáló megfigyelhet˝o mennyiségek sajátértékei. Mivel az |a, b, c, . . .  vektorok ortonormált bázist alkotnak, a |Ψ-t ki lehet fejteni szerintük: |Ψ =



ψ(a, b, c, . . . )|a, b, c, . . . .

a,b,c,...

A ψ(a, b, c, . . . ) jelöli a kifejtési együtthatókat, amelyek a |Ψ-nek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

146

Kvantummechanika

a bázisvektorokkal képzett bels˝o szorzatai: ψ(a, b, c, . . . ) = a, b, c, . . . |Ψ.

(5.2)

A ψ(a, b, c, . . . ) koefficienseket hívjuk a rendszer hullámfüggvényének, amely az A, B, C,. . . megfigyelhet˝o mennyiségek bázisához tartoik. A matematikai definíciót az (5.2) egyenlet tartalmazza. Noha ez formálisnak és elvontnak látszik, a hullámfüggvény fizikai értelme alapvet˝o fontosságú. A kvantummechanika valószínuségi ˝ alapelve szerint a hullámfüggvény abszolút értékének a négyzete adja meg annak valószínuségét, ˝ hogy a kommutáló megfigyelhet˝o mennyiségek értékét a, b, c,. . . -nek találjuk: P (a, b, c, . . . ) = ψ ∗ (a, b, c, . . . )ψ(a, b, c, . . . ). A hullámfüggvény matematikai alakja attól függ, melyik megfigyelhet˝o mennyiségre koncentrálunk. Két különböz˝o mennyiségre vonatkozó számítás ugyanis különböz˝o bázisokat igényel. Egyetlen spin esetében például a ψ(u) = u|Ψ és a ψ(d) = d|Ψ határozza meg a hullámfüggvényt a σz bázisában, míg a σx bázishoz a ψ(r) = r|Ψ és a ψ(l) = l|Ψ hullámfüggvény tartozik. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

147

Bizonytalanság és id˝ofüggés

Mivel a teljes valószínuség ˝ 1-gyel egyenl˝o, a hullámfüggvénynek ki kell elégítenie a 

ψ ∗ (a, b, c, . . . )ψ(a, b, c, . . . ) = 1

a,b,c,...

normálási feltételt.

5.1.3.

Megjegyzés a terminológiáról

A hullámfüggvény terminus, ahogy ebben a könyvben használjuk, koefficienseknek (vagy komponenseknek) a gyujteménye, ˝ amelyek egy sajátvektorok szerinti kifejtésben a báziselemeket szorozzák. A |Ψ =



αj |ψj 

j

kifejtésben például a |ψj -k egy hermitikus operátor ortonormált sajátvektorai, az αj -k halmaza pedig – amelyet fentebb ψ(a, b, c, . . . )-vel jelöltünk – az a valami, amit hullámfüggvényen értünk. Amikor az állapotvektort nem összeg, hanem integrál formájában írjuk fel, akkor a hullámfüggvény nem diszkrét számsorozat, hanem függvény. Eddig a pontig gonodosan megkülönböztettük egymástól a hullámfüggvényt és a |ψj  állapotvektort. Ez az általános gyakorlat. Néha azonban úgy beszélnek a hullámfüggvényekr˝ol, mintha o˝ k lennének az állapotvektorok. Ez a terminológiai bizonytalanság zavart okozhat, de ez csökkenthet˝o, ha megértjük, hogyan fejezheti ki mégis egy hullámfüggvény az állapotvektort. Az αj -kre gondolhatunk úgy, mint az állapotvektoroknak a sajátvektorokra (a bázis elemeire) vetett komponenseire. Ezért,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

148

Kvantummechanika

 vektor komponenseinek (Vx , Vy , Vz ) halmazát hívahogy egy V juk néha „ vektornak”, ugyanilyen értelemben nevezhetjük a hullámfüggvényt is állapotvektornak. De mindig tisztában kell lennünk vele, hogy melyik konvenciót alkalmazzuk. Ebben a könyvben az állapotvektorokat – a Ψ-hez hasonlóan – általában nagybetuvel, ˝ a hullámfüggvényt pedig – mint a ψ-t is – kisbetuvel ˝ fogjuk jelölni.

5.2. Mérések Térjünk vissza a mérésekhez. Tegyük fel, hogy egyszerre mértük meg az L és az M mennyiséget, és a mérés elvégzése után a rendszer ennek a két operátornak a közös sajátállapotában maradt vissza. Az 5.1.1. pontból tudjuk, hogy ekkor az L és az M kommutál. De mi van akkor, ha nem kommutálnak? Az ilyen esetben általában nem rendelkezhetünk egyértelmu˝ ismerettel mindkét mennyiségr˝ol. Kés˝obb majd ezt az állításunkat pontosabban is megfogalmazzuk bizonytalansági relációk formájában, amelyek egyik speciális esetét nevezték el Heisenbergr˝ol. Induljunk el megint a kályhától, vagyis kezdjük az egyetlen spinb˝ol álló rendszerrel. Ekkor minden megfigyelhet˝o mennyiség valamilyen 2×2-tes hermitikus mátrix, amelynek általános alakja a következ˝o:



r

w

w∗

r

 .

A diagonális elemek valósak, a két nemdiagonális elem pedig egymás komplex konjugáltja. Ebb˝ol látszik, hogy egy egyedi

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

149

Bizonytalanság és id˝ofüggés

spinre vonatkozó megfigyelhet˝o mennyiséget négy valós paraméter segítségével tudunk megadni. A legvilágosabban ez a σx , σy , σz Pauli-mátrixok, valamint az I egységmátrix segítségével történhet. Mint bizonyára emlékeznek rá  σx =

0 1 1 0





0

−i

i

0

1

0

0

−1

σy =  σz =  I=



1 0 1 0



 .

Bármelyik 2×2-tes hermitikus L mátrix felírható egy L = aσx + bσy + cσz + dI négytagú összegként, amelyben a, b, c és d valós számok. 5.1. Feladat: Igazoljuk ezt az állítást! Formailag az I egységoperátor megfigyelhet˝o mennyiség, de csak azért, mert hermitikus. Ennek a triviálisan unalmas mennyiségnek ugyanis csak egyetlen sajátértéke van, az 1, és minden állapotvektor sajátvektora. Ha nem foglalkozunk vele, akkor a legáltalánosabb megfigyelhet˝o mennyiség a három σx , σy , σz spinkomponens szuperpozíciója. Meg lehet mérni egyszerre kett˝ot

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

150

Kvantummechanika

közülük? Csak akkor lehetne, ha kommutálnának. A kommutátoraikat könnyu˝ kiszámolni, ha mátrixokkal reprezentáljuk o˝ ket. A (4.26) egyenletben már korábban felsoroltuk mind a hármat: [σx , σy ] = 2iσz [σy , σz ] = 2iσx [σz , σx ] = 2iσy . Ezek a képletek azt mutatják, hogy két spinkomponens nem mérhet˝o meg egyszerre, mert ezeknek az egyenleteknek a jobb oldala nem nulla. Valójában vehetünk két akármilyen különböz˝o irányt, a hozzájuk tartozó spinvetületeket nem lehet egyszerre megmérni.

5.3.

A bizonytalansági reláció

A bizonytalanság a kvantummechanika márkajelének számít, de ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy kísérlet eredménye szükségképpen bizonytalan. Amikor a rendszer valamilyen megfigyelhet˝o mennyiség sajátállapotában van és éppen ezt a mennyiséget mérjük, akkor a mérés kimenetele egyértelmu. ˝ De akármi legyen is a rendszer állapota, bizonyos megfigyelhet˝o mennyiségek mindig bizonytalanok. Amikor a rendszer mondjuk az A hermitikus operátor sajátállapotában van, akkor az olyan operátorok vonatkozásában, amelyek nem kommutálnak A-val, nincs sajátállapotban. A szabály tehát az, hogy amikor A és B nem kommutál, akkor vagy az egyik, vagy a másik, vagy esetleg mindkét mennyiség értéke bizonytalan.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

151

Bizonytalanság és id˝ofüggés

A kölcsönös bizonytalanság emblematikus példája Heisenberg bizonytalansági elve, amely eredeti formájában egy részecske helyére és impulzusára vonatkozik. De Heisenberg felismerése ennél sokkal szélesebb körben érvényes elvvé tágítható ki, és alkalmazható bármely két mérhet˝o mennyiségre, amelyek nem kommutálnak egymással. Ilyen például a spin két különböz˝o komponense. Minden szükséges ismerettel rendelkezünk ahhoz, hogy a bizonytalansági elv általános formáját levezethessük.

5.4.

Mit jelent a bizonytalanság?

Ahhoz, hogy a bizonytalanság mértékét ki tudjuk fejezni mennyiségi formában, pontosan tisztában kell lennünk a jelentésével. Az A megfigyelhet˝o mennyiség sajátértékeit jelöljük a-val. Minden |Ψ állapothoz tartozik egy P (a) valószínuségi ˝ eloszlás, amelynek a tulajdonságairól már volt szó. Az A várható értéke azonos az átlagértékével: Ψ |A|Ψ =



aP (a).

a

Ez nagyjából annyit jelent, hogy P (a) a várható érték körül összpontosul. Az „ A határozatlanságának” (vagy bizonytalanságának) mértéke az úgynevezett standard hiba. A standard hiba kiszámítását azzal kezdjük, hogy A-ból kivonjuk a várható értékét. ¯ Az ehhez tartozó operátort A-val jelöljük: ¯ = A − A. A Ebben a definícióban egy operátorból egy számot vonunk ki, és ennek a muveletnek ˝ esetleg nem egészen világos az értelme. Gon-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

152

Kvantummechanika

doljuk meg jobban. A várható érték maga egy valós szám. A valós számok ugyanakkor az I egységoperátorral arányos ope¯ a részletesebb rátorok is. Ha az A-t ¯ = A − AI A ¯ valószínuformában írjuk fel, világossá válik az értelme. Az A ˝ ségi eloszlása ugyanolyan, mint az A-é azzal az egyetlen különbséggel, hogy az átlaga a nullába tolódott el. A sajátvektorai is megegyeznek A sajátvektoraival, de mindegyik sajátértékb˝ol ki kell vonni az A átlagát: a ¯ = a − A. Az A bizonytalanságának (vagyis standard hibájának) a négyzetét (A)2 -tel jelöljük és így definiáljuk:  a ¯2 P (a), (A)2 =

(5.3)

a

vagy részletesebben (A)2 =



2

(a − A) P (a).

(5.4)

a

Ezt a képletet a 2 ¯ 2 |Ψ (A) = Ψ |A

alakban is fel lehet írni. Amikor A várható értéke nulla, a A bizonytalanság egyszerubbé ˝ válik: 2

(A) = Ψ |A2 |Ψ. Ilyen esetekben a bizonytalanság négyzete az A2 operátor várható értékével egyenl˝o.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

153

Bizonytalanság és id˝ofüggés

5.5.

A Cauchy–Schwarz-egyenlotlenség ˝

A bizonytalansági elv egy egyenl˝otlenség, amely azt fejezi ki, hogy A és B bizonytalanságainak szorzata nagyobb mint egy bizonyos, a kommutátorukat tartalmazó kifejezés. A képlet a jól ismert háromszög-egyenl˝otlenségen alapul, amely azt mondja ki, hogy minden vektortérben egy háromszög egyik oldala kisebb, mint a másik két oldal hosszának az összege. Ha X és Y két vektor, akkor |X| + |Y | ≥ |X + Y |. Ebb˝ol származtatható le az |X||Y | ≥ |X · Y |.

(5.5)

háromszög-egyenl˝otlenség.

5.6.

A háromszög-egyenlotlenség ˝ és a Cauchy–Schwarz-egyenlotlenség ˝

A háromszögegyenl˝otlenség természetesen a közönséges háromszögek tulajdonságain alapul, de az érvényessége kiterjed a vektorterek széles osztályára. Az alapgondolatot az 5.1. ábra illusztrálja, amelyen a háromszög oldalai az ábra síkjában fekv˝o közönséges vektorok. A háromszög-egyenl˝otlenség az az állítás, hogy bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál, mert két pont között a legrövidebb út az egyenes. Az 1-es és a 2-es pont között Z a legrövidebb út, amelyiknél a két másik oldal hosszának az összege bizonyosan nagyobb.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

154

Kvantummechanika

 és az Y  vektorok hosszának 5.1. ábra: A háromszög-egyenl˝otlenség. Az X  összege nagyobb mint a Z hossza, vagy legfeljebb egyenl˝o vele (két pont között a legrövidebb út az egyenes)

A háromszög-egyenl˝otlenség tartalmát több különböz˝o képlettel is ki lehet fejezni. Induljunk ki az |X| + |Y | ≥ |X + Y | definícióból, és alakítsuk addig, amíg fel nem veszi a számunkra szükséges formát. Tegyünk nyilat X-re és Y -ra, hogy jobban kiemeljük vektor voltukat:  + |Y  | ≥ |X  +Y  |. |X| Emeljük négyzetre ezt az egyenl˝otlenséget:  2 + |Y  |2 + 2|X||  Y  | ≥ |X  +Y  |2 . |X| De a jobb oldalon el lehet végezni a négyzetre emelést, mivel  +Y  |2 nem más, mint (X  +Y  ) · (X  +Y  ): |X

 +Y  |2 = |X|  2 + |Y  |2 + 2 X  ·Y  . |X

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

155

Bizonytalanság és id˝ofüggés

Ezt és az el˝oz˝o képletet kombinálva

 |2 + 2|X||  Y  | ≥ |X|  2 + |Y  |2 + 2 X  ·Y  .  2 + |Y |X|  |2 összeget, és a  2 + |Y Végül mindkét oldalból kivonjuk az |X| visszamaradó egyenletet végigosztjuk 2-vel:

 Y |≥ X  ·Y  . |X||

(5.6)

Amit kaptunk, az a háromszög-egyenl˝otlenség másik alakja,  és az Y  vektor, a amely azt mondja ki, hogy ha adva van az X hosszuk szorzata mindig nagyobb vagy egyenl˝o, mint a skalárszorzatuk. Nem mondhatnánk, hogy ez az eredmény váratlan, hiszen a skalárszorzatot gyakran az  ·Y  = |X||  Y  | cos θ X képlettel definiálják, amelyben θ a vektorok által közbezárt szög. Mint jól tudjuk, egy szög koszinusza mindig −1 és +1 közé esik,  Y  |-nak nagyobbnak lennie, mint a bal oldalon ezért „ kell” |X||  ·Y  skalárszorzat. A képlet nemcsak két és három dimenálló X zióban igaz, hanem akárhányban. Még komplex vektorterekben is meg˝orzi az érvényességét. Minden olyan vektortérben fennáll, amelyben egy vektor hossza az önmagával képzett skalárszorzat négyzetgyökével egyenl˝o. A továbbiakban az (5.6) egyenl˝oségnek a négyzetre emelt formájára lesz szükségünk:

2  2 |Y  |2 ≥ X  ·Y  . |X| Ezt így is írhatjuk  2 |Y  |2 ≥ |X  ·Y  |2 . |X|

www.interkonyv.hu

(5.7)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

156

Kvantummechanika

Az egyenl˝otlenségnek ezt a formáját hívják Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlenségnek. Komplex vektorterekben a háromszög-egyenl˝otlenség matematikai formája kissé bonyolultabb. Legyen |X és |Y  két ilyen vektor. Az |X, |Y  és a |X + |Y  vektorok hosszát az  |X| = X|X  |Y | = Y |Y   |X + Y | =

(5.8)

(X | + Y |) (|X + |Y )

egyenletek határozzák meg. Ezután ugyanazok a lépések következnek, mint valós vektoroknál. El˝oször is |X| + |Y | ≥ |X + Y |. Ha ezt négyzetre emeljük és utána egyszerusítünk, ˝ a 2|X||Y | ≥ |X|Y  + Y |X|

(5.9)

egyenl˝otlenségre jutunk. Ez a Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlenségnek az a formája, amely elvezet a bizonytalansági elvhez. De mi köze van ennek a képletnek az A és a B megfigyelhet˝o mennyiségekhez? Majd kiderül, ha alkalmasan definiáljuk |X-et és |Y -t.

5.7.

A bizonytalansági elv általános formája

Legyen |Ψ tetsz˝oleges ket, A és B pedig két megfigyelhet˝o mennyiség. Definiáljuk |X-et és |Y -t így: |X = A|Ψ |Y  = iB|Ψ.

www.interkonyv.hu

(5.10)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

157

Bizonytalanság és id˝ofüggés

Figyeljünk az i-re a 2. sorban. Helyettesítsük (5.10)-et (5.9)-be:  2

A2 B2  ≥ |Ψ |AB|Ψ − Ψ |BA|Ψ|.

(5.11)

A mínusz el˝ojel az (5.10)-beli i következménye. Használjuk a kommutátor definícióját, hogy rövidebben írhassuk fel ezt az egyenl˝otlenséget:  2 A2 B2  ≥ |Ψ |[A, B]|Ψ|.

(5.12)

Tegyük fel el˝oször, hogy A és B várható értéke nulla. Ekkor A2 azonos az A bizonytalanságának négyzetével, (A)2 tel, a B2 pedig (B)2 -tel. Az (5.12) ezért átírható a következ˝o alakba: A B ≥

1 |Ψ |[A, B]|Ψ|. 2

(5.13)

Álljunk meg egy pillanatra ennél az egyenl˝otlenségnél. A bal oldalon az A és a B megfigyelhet˝o mennyiségek bizonytalanságainak a szorzatát látjuk a Ψ állapotban. Az egyenl˝otlenség azt fejezi ki, hogy ez a szorzat nem lehet kisebb a jobb oldalnál, amely a két megfigyelhet˝o mennyiség kommutátorát tartalmazza. Egészen pontosan, a bizonytalanságok szorzata nem lehet kisebb, mint a kommutátor várható értékének a nagysága a Ψ állapotban. Az általános bizonytalansági elv mennyiségileg fejez ki valami olyat, amit már sejtettünk: Amikor az A és a B kommutátora különbözik nullától, akkor nem lehet mindkét mennyiségnek egyszerre határozott értéke. Mi van akkor, amikor A és B várható értéke különbözik nullától? Ebben az esetben alkalmazhatjuk azt a trükköt, hogy az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

158

Kvantummechanika

(5.13) egyenl˝otlenséget a két ¯ = A − A A ¯ = B − B B segédoperátorra alkalmazzuk, amelyeknek a várható értéke nulla, ezután pedig követjük az 5.2 feladat lépéseit. 5.2. Feladat: ¯ 2 és B2 = B ¯ 2! 1. Mutassuk meg, hogy A2 = A ¯ B] ¯ = [A, B] egyenl˝oséget! 2. Igazoljuk az [A, 3. Ezek felhasználásával bizonyítsuk be a A B ≥

1 |Ψ |[A, B]|Ψ| 2

reláció érvényességét!

Kés˝obb, a 8. el˝oadásban majd ennek a nagyon általános bizonytalansági elvnek az alapján fogjuk belátni az eredeti Heisenberg-féle bizonytalansági relációt, amely a következ˝o: Egy részecske hely- és impulzusbizonytalanságainak szorzata nem lehet kisebb a Planck-állandó felénél.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

6. eloadás ˝ Összetett rendszerek: a kvantum-összefonódás

Art: Végül is ez egy elég barátságos hely. Mínusz Egy-en kívül nincs is több magányos vendég. Lenny: Egy ilyen helyen nem is tehet az ember mást, mint ismerkedik. És nem is els˝osorban azért, mert szuk ˝ a hely. Jó lesz, ha vigyázol a pénztárcádra és nem fonódsz túlzottan össze kvantummechanikailag senkivel.

6.1.

Matematikai közjáték: Tenzorszorzatok 6.1.1.

Találkozás Alizzel és Bobbal

A fizikus állandóan szembe kerül azzal a feladattal, hogy rendszereket kapcsoljon össze egymással, sok kicsib˝ol készítsen egy nagyot. Aligha kell emlékeztetnem Önöket rá, hogy az atom egy atommagból és bizonyos számú elektronból álló összetett rendszer, és az alkotórészeket magukat is egy-egy kvantumrendszernek kell tekintenünk. Összetett (vagy más néven kompozit) rendszerek tárgyalását nehézkessé teheti az A-rendszer, B-rendszer elnevezéseket használó formális beszédmód. A fizikusok többsége jobban szereti a

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

160

Kvantummechanika

könnyedebb, informális stílust, ezért A, B helyett inkább Alizt és Bobot mond. Úgy gondolunk Alizre és Bobra, mint a legkülönfélébb összetett rendszerek és laboratóriumi berendezések megtestesít˝oire. Felszereltségüknek és képességeiknek csak a képzeletünk szab határt, o˝ k maguk boldogan vállalkoznak nehéz és veszélyes feladatokra, mint mondjuk ugrás egy fekete lyukba. Igazi csudabogár szuperh˝osök. Tegyük fel, hogy mindkett˝ojüknek van egy-egy rendszere, az egyiket Aliz rendszerének, a másikat Bob rendszerének fogjuk hívni. Akármi legyen is Aliz rendszere, az állapotterét SA -val jelöljük, Bob rendszerének az állapottere peig SB lesz. Mit kell tennünk, ha egyetlen rendszerré szeretnénk összekombinálni ezt a kett˝ot? El˝oször is specializáljuk a két rendszert. Aliz rendszere legyen mondjuk egy kvantummechanikai pénzérme a két H (fej) és T (írás) bázisállapottal. Egy klasszikus pénzérme természetesen csak az egyik vagy csak a másik állapotban lehet, a kvantumpénzérme számára azonban nyitva van a αH |H} + αT |T } szuperpozíció lehet˝osége is. Figyeljenek föl Aliz ketvektorainak szokatlan jelölésmódjára. Ez a megváltozott jelölés arra figyelmeztet, hogy Aliz SA állapotterének a vektorait semmiképpen sem szabad összeadni a Bob SB állapotterébe tartozó vektorokkal. Aliz SA -ja kétdimenziós vektortér, amelyet a két |H} és |T } bázisvektor határoz meg. Bob rendszere is lehetne egy pénzérme, de akármi más is. Legyen mondjuk egy kvantumdobókocka, amelynek hatdimenziós

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

161

SB állapotterét az |1 |2 |3 |4 |5 |6 bázis definiálja. A dobókocka mindegyik oldalához tartozik egy bázisvektor. Aliz pénzérméjéhez hasonlóan Bob dobókockája is kvantumos természetu, ˝ ezért ebb˝ol a hat állapotból is lehet szuperpozíciót képezni.

6.1.2. Az összetett rendszer bázisa Képzeljük el most, hogy mind Aliz, mind Bob rendszere létezik, és egyetlen összetett rendszert alkot. A legels˝o kérdés: Milyen lesz az összetett rendszer SAB állapottere. A válasz: Az SAB az SA és az SB tenzorszorzata. Képlettel ezt így fejezzük ki: SAB = SA ⊗ SB . Az SAB -t természetesen a bázisvektorai segítségével adhatjuk meg. Ezek pontosan megfelelnek a naiv várakozásnak. A 6.1. ábra fels˝o részén látható táblázat oszlopai Bob hat bázisvektorának, sorai pedig Aliz két bázisvektorának felelnek meg. A táblázat minden cellája az SAB állapottér egy-egy vektorát reprezentálja. A H4 címkéju˝ cella például azt az állapotot jelenti, amely-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

162

Kvantummechanika

ben az érmén fej (H), a dobókockán pedig a 4-es szám látható. Az összetett rendszernek összesen tizenkét bázisvektora van.

6.1. ábra: Az összetett rendszer SAB állapotterének bázisállapotai. A táblázat fölötti sorban Bob kockájának állapotait, a táblázat mellett a bal oldali oszlopban pedig Aliz érméjének állapotait indexel˝o szimbólumok láthatók. A táblázatban az adatok az összetett rendszer állapotainak indexei. Minden ilyen összetettállapot-szimbólum a két alrendszer egy-egy állapotindexét tartalmazza. A H4 címkéju˝ cella például azt az állapotot jelenti, amelyben az érmén fej (H), a dobókockán pedig a 4-es szám látható

Ezeknek az állapotoknak a reprezentálására különféle jelölésmódok állnak rendelkezésünkre. A H4 állapotot például jellemezhetjük explicit módon akár a |H} ⊗ |4, akár a |H}|4 képlettel. Kényelmesebb azonban az összefoglaló jellegu˝ |H4 jelölésmód. Ez azt emeli ki, hogy egyetlen állapotról van szó, amelyet kett˝os index határoz meg. A dupla index els˝o fele Aliz alrendszerére, második fele Bob alrendszerére utal. Azonban akár az expli-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

163

cit, akár az összefoglaló jelölést használjuk, az értelmük ugyanaz, mert ugyanazt az állapotot jelölik. A tizenkét bázisvektor ismeretében lineárkombinációval képezhetjük bel˝olük a tizenkét-dimenziós tenzorszorzattér tetsz˝oleges állapotát. Az αh3 |H3 + αt4 |T 4 összeg például egy ilyen szuperpozíció. El˝ofordul, hogy az SAB állapottér egy általános bázisvektorára kell hivatkoznunk. Ilyenkor az |ab típusú jelölést fogjuk használni, vagy ennek |a b  változatát. Ebben a jelölésben a és a (vagy bármi más, ami az index els˝o helyén áll) Aliz, a maradék b és b pedig Bob alrendszerének állapotára utal. Van ennek a jelölésmódnak egy megtéveszt˝o tulajdonsága. Annak ellenére, hogy az SAB állapotindexek szimbólumpárokat tartalmaznak, az összetett rendszer egyetlen állapotára vonatkoznak. Röviden: A két index egy állapotra vonatkozik. Ehhez szokni kell. Mindig Aliz rendszerének állapotindexe áll az els˝o helyen, Bobé a másodikon – Aliznak és Bobnak ez az alfabetikus sorrendje megkönnyíti az indexelési konvenció memorizálását. Általánosabb összetett rendszerekben ugyanezek a szabályok érvényesek. Az egyetlen különbség az, hogy a két A-állapotot

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

164

Kvantummechanika

és a hat B-állapotot NA és NB számú állapottal helyettesítjük, amelynek következtében a tenzorszorzattér dimenziószáma NAB = NA NB . Három vagy annál is több komponensb˝ol álló összetett rendszereket három vagy több állapottér tenzorszorzatterében írunk le, de ilyen esetekkel nem fogunk foglalkozni. Aliz és Bob SA és SB állapotterével és a bel˝olük képzett SAB kombinált térrel ezzel végeztünk, de még egy további jelöléssel meg kell ismerkednünk. Aliznak vannak operátorai, mondjuk a σ-k, amelyek az o˝ állapotterében hatnak. Bob állapotterében is muködnek ˝ operátorok, amelyeket τ -val jelölünk. Nem szabad összekeverni o˝ ket. Ezzel megadtuk azokat a kereteket, amelyek lehet˝ové teszik az összetett rendszerek részletes tárgyalását. A 7. el˝oadásban fogjuk elmagyarázni, hogyan kell a tenzorszorzattérben ható összetett formájú operátorokat képezni. Eddig a pontig eljutva már aligha kételkedhetnek benne, hogy a kvantumfizika a logikai alapjait tekintve is gyökeresen különbözik a klasszikus fizikától. Azt remélem, hogy ebben és a következ˝o el˝oadásban erre még az eddigieknél is meglep˝obb, a hihetetlenséggel határos bizonyítékokat fogok tudni mutatni. A kvantumfizika egy speciális aspektusáról lesz szó, amely olyan súlyos ellentmondásban van a klasszikus fizikával, hogy nyolcvan év óta megoldhatatlannak tun˝ ˝ o rejtélyként áll a fizikusok és a filozófusok el˝ott. Felfedez˝ojét, Einsteint pedig arra a következtetésre késztette, hogy a kvantummechanikából valami alapvet˝oen fontos elem hiányzik. A kérdésr˝ol máig tart a vita. Einstein szerint a kvantummechanika a valóság olyan felfogását tükrözi, amely gyökeresen más, mint a klasszikus szemlélet. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

6.2.

165

Klasszikus korreláció

A kvantum-összefonódás tárgyalása el˝ott foglalkozzunk röviden a klasszikus összefonódásnak nevezhet˝o kérdéskörrel. Aliz (A) és Bob (B) következ˝o kísérletében Charlie (C) muködik ˝ majd közre. Charlie el˝ovesz egy egycentes meg egy tízcentes pénzérmét, összerázza o˝ ket a markában, aztán egyiket Aliz, a másikat Bob tenyerébe csúsztatja úgy, hogy egyik se lássa, melyik érme jutott neki és a másiknak. Aliz ezután beszáll az Alfa Centaurira induló urrepül˝ ˝ obe, Bob pedig Palo Altóban marad. Charlie ezzel el is végezte a dolgát, és köddé válik. (Bocs, Charlie!) Aliz indulása el˝ott o˝ és Bob szinkronizálják az óráikat és megállapodnak abban, hogy Aliz egy vagy két másodperccel el˝obb nézi majd meg, melyik pénzdarabot szorongatja a markában, mint Bob. (Aliz tanult relativitáselméletet, tisztában van vele, hogyan kell helyesen figyelembe venni az id˝odilatációt). Minden olajozottan megy. Aliz szerencsésen megérkezik az Alfa Centaurira és végre megnézi, mit tart a kezében. Csodálatos módon abban a pillanatban, amikor rátekint, már tudja is, hogy Bob – akinek még éppen fogalma sincs róla, melyik pénzérme van nála, – egycentest vagy tízcentest fog látni, amikor majd kinyitja az összeszorított öklét. Lehetetlen? Aliznak és Bobnak sikerült megdönteni a relativitáselmélet alaptörvényét, hogy semmilyen információ se terjedhet gyorsabban, mint a fény? Persze, hogy nem sikerült. A relativitáselmélet csak akkor d˝olne meg, ha Aliz azonnal közölni is tudná Bobbal, mit fog majd látni. Aliz tudhatja, mit fog tapasztalni Bob, de nincs rá lehet˝o-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

166

Kvantummechanika

sége, hogy ezt közölje is vele, hacsak nem egy Alfa Centauriról küldött üzenetben, amelynek legalább négy évre van szüksége ahhoz, hogy megérkezzen a címzetthez. Ismételjük meg sokszor ezt a kísérletet akár különböz˝o kísérleti alanyokkal, akár többször egymás után Alizzal és Bobbal. A számszerusítés ˝ érdekében Charlie (aki megbocsátott és újra megjelent), az egycentesekre „ σ = +1”-et, a tízcentesekre „ σ = −1”et pingál. Ha igaz az, hogy tényleg mindig véletlenszeruen ˝ adja az egyik vagy a másik pénzdarabot a két kísérleti személy kezébe, akkor érvényes lesz a következ˝o két megállapítás: • Átlagosan A és B ugyanannyi egycentest kap, mint tízcentest. Ha A megfigyelését σA -val, B-ét σB -vel jelöljük, akkor ezt a tényt képletekkel így fejezhetjük ki: σA  = 0, σB  = 0.

(6.1)

• Ha A és B rendszeresen följegyzik az eredményeiket és kés˝obb, amikor Palo Altóban újra összetalálkoznak, egymás mellé teszik a feljegyzéseiket, er˝os korrelációt21 állapítanak meg. Minden olyan esetben, amikor A feljegyzésében σA = +1 szerepel, a B listájában σB = −1 áll és megfordítva. Ez annyit jelent, hogy a σA σB szorzat értéke minden esetben −1: σA σB  = −1. Megjegyezzük, hogy egy szorzatokból képzett átlag (esetünkben σA és σB szorzatáról van szó) nem egyenl˝o az átlagok szorza21 Az

adott esetben ez valójában teljes korreláció.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

167

tával – a (6.1) szerint σA σB  nullával egyenl˝o, nem −1-gyel. Képlettel felírva σA σB  = σA σB , vagy kicsit másképpen σA σB  − σA σB  = 0.

(6.2)

Ez arra utal, hogy Aliz és Bob megfigyelései korreláltak egymással. A σA σB  − σA σB  mennyiséget a Bob és Aliz megfigyelései közötti statisztikus korrelációnak hívják. Akkor is ez a neve, amikor nullával egyenl˝o. Amikor pedig különbözik nullától, akkor a két megfigyelést korreláltnak mondjuk. A korreláció eredete egyrészt az, hogy Aliz és Bob korábban találkoztak egymással, másrészt Charlie-nak csak egy példánya volt mindkét érméb˝ol. A korreláció azért maradt fenn még akkor is, amikor Aliz elutazott az Alfa Centaurira, mert a pénzérmék változatlanok maradtak. Nincs ebben semmi különös, mint ahogy a (6.2) egyenl˝otlenségben sem, amely a statisztikus eloszlások megszokott tulajdonsága. Tegyük most fel, hogy a két a, b változó valószínusége ˝ P (a, b). Amikor teljesen korrelálatlanok, akkor ez a valószínuség ˝ faktorizálódik: P (a, b) = PA (a)PB (b),

(6.3)

˝ (az A és ahol PA (a) és PB (b) a két változó egyedi valószínusége B alsó indexre azért van szükség, mert a két függvény általában különbözik egymástól). Könnyen igazolható, hogy amikor a va-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

168

Kvantummechanika

lószínuség ˝ faktorizálódik, akkor nincs korreláció a két változó között: A szorzat átlaga egyenl˝o az átlagok szorzatával. 6.1. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy amikor a valószínu˝ ség faktorizálódik, akkor a és b között a korreláció nullával egyenl˝o. Hadd mutassak egy példát arra, amikor a valószínuségek ˝ faktorizálódnak. Tegyük fel, hogy nemcsak egy Charlie-nk van, hanem kett˝o – Charlie-A és Charlie-B – akik korábban sohase kerültek egymással kapcsolatba. Charlie-B jól megrázza a két pénzérmét, és találomra az egyiket odaadja Bobnak. Charlie-A ugyanezt teszi azzal a különbséggel, hogy Aliznak adja oda az egyik érmét. Az ilyen típusú helyzetek azok, amelyek faktorizált valószínuséget ˝ és ily módon a korreláció hiányát eredményezik. A klasszikus fizikában olyankor használjuk a statisztikát és a valószínuséget, ˝ amikor valamir˝ol, amit pontosan is ismerhetnénk, csak részleges ismereteink vannak. Az els˝o példánkban Charlie megtehetné, hogy lopva megnézi, kinek melyik pénzérmét adja oda. A végeredmény ett˝ol még nem változna. A klasszikus mechanikában a P (a, b) valószínuség ˝ arról árulkodik, hogy a rendszer állapotát csak részlegesen specifikáltuk. Van még, amit meg lehetne tudni a rendszerr˝ol. A klasszikus fizikában a valószínuség ˝ mindig az inkomplett tudással kapcsolatos, amit elvben teljessé lehetne tenni. Ebb˝ol az is következik, hogy a klasszikus fizikában egy rendszer komplett ismerete egyben a részeinek pontos ismeretét is

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

169

magában foglalja. Teljesen értelmetlen lenne azt állítani, hogy Charlie mindent tud a két pénzdarabból álló rendszerr˝ol, de az egyedi pénzdarabok állapotát csak hiányosan ismeri. A klasszikus fizikának ezek a sajátosságai mélyen beépültek ˝ képezik azt az alapot, amelyen az ösza gondolkodásunkba. Ok tönös fizikai világképünk nyugszik, és ezért nagyon nehéz kétségbe vonni univerzális érvényességüket. De ezt muszáj megtennünk, ha a kvantumvilágot is érteni akarjuk.

6.3.

A kvantumrendszerek összekapcsolása

Charlie két pénzérméje egyetlen klasszikus rendszer, amely két klasszikus alrendszerb˝ol áll. Kvantummechanikai rendszereket szintén össze lehet kapcsolni egymással, ahogy a tenzorszozatról szóló matematikai közjátékban láttuk (6.1 szakasz). Aliz és Bob készségesen hozzájárultak, hogy a pénzérme/kocka rendszerüknek, amellyel a matematikai közjátékban a tenzorszorzatot illusztráltuk, egy másik variánsát igénybe vehessük. Az érme és a kocka helyett az új rendszerben két spint kapcsolunk össze abban a reményben, hogy eredményesen tudjuk majd felhasználni mindazt, amit az egyedi spinekr˝ol már tudunk. Mint korábban is tettük, Aliz állapotvektorait a mesterkélt |a} szimbólummal jelöljük, hogy világosan megkülönböztessük o˝ ket Bob állapotvektoraitól, nehogy véletlenül valaki megpróbálja összeadni o˝ ket. Emlékeztetünk rá, hogy az SAB ortonormált bázist egy vektorpárral indexeljük, amelyek egyike SA , másika SB eleme. Leggyakrabban az |ab jelölést fogjuk alkalmazni az kombinált rendszer egy-egy bázisvektorára. Az ilyen dupla

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

170

Kvantummechanika

indexu˝ bázisvektorokat szabad összeadni egymással, és ezt gyakran meg is tesszük. Ahogy a közjátékben már figyelmeztettünk rá, a dupla indexu˝ bázisvektorok használatához szokni kell. Az ab indexpárt egyetlen indexnek kell tekinteni, amely egyetlen állapotra vonatkozik. Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy az M lineáris operátor az összetett rendszer állapotterében hat. Mint az operátorokat általában, o˝ t is képzelhetjük mátrixnak, amelynek elemei az állapotok által közrefogott operátor: a b |M|ab = Ma b ,ab . A mátrix minden sorát a kapcsolt rendszer egyetlen (a b ) indexe, mindegyik oszlopát pedig egyetlen (ab) indexe jelöli. Az |ab vektorok ortonormáltak, ami dupla indexnél azt jelenti, hogy bels˝o szorzatuk csak akkor egyenl˝o 1-gyel, amikor mindkét index megegyezik, egyébként nulla. Ez természetesen nem úgy értend˝o, hogy a megegyezik b-vel, hanem azt jelenti, hogy az ab pár ugyanaz, mint az a b páros. A Kronecker-féle delta szimbólum segítségével ezt így fejezhetjük ki: ab|a b  = δaa δbb . A jobb oldal csak akkor 1, amikor a = a és b = b , minden más esetben 0. A bázisvektorokból bármilyen szuperpozíció képezhet˝o. A kapcsolt rendszer minden állapota felírható ilyen szuperpozícióként: |Ψ =



ψ(a, b)|ab.

a,b

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

6.4.

171

A kétspinrendszer

A példánkhoz visszatérve vegyünk most két spint, Alizét és Bobét. Ahhoz, hogy könnyebben elképzelhessük o˝ ket, tartozzon mindegyik spin egy-egy részecskéhez, amelyek egymás közelében találhatók két meghatározott helyen. Aliznak is, Bobnak is van olyan berendezése, az A és a B, amelyekkel preparálni tudják a hozzájuk tartozó spin állapotát, vagy meg tudják mérni valamelyik komponensét. A két berendezés egymástól függetlenül orientálható tetsz˝oleges irányban. Jó lesz nevet adnunk a spineknek. Amikor még csak egy volt bel˝olük, egyszeruen ˝ σ-nak neveztük, és tudtuk róla, hogy x, y és z irányú komponensekkel rendelkezik. Most, hogy két spinünk van, felmerül a kérdés, milyen jelölési módot válasszunk, ha nem szeretnénk túlzsúfolni fels˝o és alsó indexekkel. Jelölhetnénk o˝ ket σ A -val és σ B -vel, a komponenseiket pedig σxA -szel, σyB -nal és így tovább. Nekem már ez is egy kicsit túl sok, különösen, amikor táblára kell írni o˝ ket. Ehelyett a közjátékban a tenzorszorzatoknál alkalmazott konvenciót fogom most is alkalmazni. Aliz spinjét jelölöm σ-val, Bobét pedig a görög ábécé következ˝o betujével, ˝ τ -val. Aliz és Bob spinjének komponensei tehát σx ,

σy ,

σz ,

τx ,

τy ,

τz .

Bobé pedig

A korábban már elmagyarázott elvnek megfelel˝oen a kétspinrendszer állapottere egy tenzorszorzattér. A közjáték táblázatának a mintájára most is elkészíthetünk egy négy állapotot tartal-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

172

Kvantummechanika

mazó táblázatot. Ez most egy 2×2-tes négyzet lesz a négy bázisvektor elhelyezésére. Válasszuk azt a bázist, amelyben mindkét spin z-komponense van megadva. A bázisvektorok a következ˝ok: |uu,

|ud,

|du,

|dd.

A dupla index els˝o fele σ-ra, a második τ -ra vonatkozik. Az els˝o, |uu bázisvektor az az állapot, amelyben mindkét spin felfelé mutat. A |du-ban Aliz spinje lefelé, Bobé felfelé orientált s így tovább.

6.5.

A szorzatállapotok

A kapcsolt rendszer legegyszerubb ˝ állapotai a szorzatállapotok. Szorzatállapot akkor jön létre, amikor a két spint Aliz és Bob egymástól teljesen függetlenül preparálja a saját apparátusa segítségével. Explicit jelölést használva Aliz mondjuk az αu |u} + αd |d}, Bob pedig a βu |u + βd |d állapotot hozza létre. Feltesszük, hogy ezek az állapotok normáltak:

αu∗ αu + αd∗ αd = 1

(6.4)

βu∗ βu + βd∗ βd = 1. A kapcsolt rendszer szorzatállapota a következ˝o: |szorzatállapot = {αu |u} + αd |d}} ⊗ {βu |u + βd |d} .

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

173

Az els˝o tényez˝o Aliz állapotára, a második Bobéra vonatkozik. Ha elvégezzük a szorzást és összetett jelölési módra térünk át, a következ˝o állapotot kapjuk: αu βu |uu + αu βd |ud + αd βu |du + αd βd |dd.

(6.5)

A szorzatállapot alapvet˝o tulajdonsága az, hogy a két alrendszer viselkedése egymástól független. Amikor Bob mérést végez a saját spinjén, az eredmény teljesen független attól, hogy létezik-e Aliz alrendszere. Megfordítva ugyanez igaz természetesen Alizra is. 6.2. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha a (6.4) normálási feltételek teljesülnek, akkor a (6.5) állapotvektor automatikusan normált. Más megfogalmazásban azt kell megmutatni, hogy a közös állapotvektor normálása nem jelent további feltételt az α-kra és a β-kra. Megjegyezzük, hogy hasonló hangzásuk ellenére a tenzorszorzat nem ugyanaz, mint a szorzatállapot22 . A tenzorszorzat egy vektortér, amely a kapcsolt rendszer leírására szolgál. A szorzatállapot egy állapotvektor, egyike annak a végtelen sok állapotvektornak, amelyek a szorzattérben léteznek. De látni fogjuk, hogy a szorzattér állapotvektorainak a túlnyomó többsége nem szorzatállapot. 22 Néha

használni fogjuk a tenzorszorzattér vagy éppen a szorzattér elnevezést is

a tenzorszorzat helyett.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

174

Kvantummechanika

6.6.

A szorzatállapot paramétereinek száma

Hány paraméter határoz meg egy szorzatállapotot? A tényez˝oket egyenként két-két komplex szám jellemzi (Aliz állapotát αu és αd , Bobét βu és βd ). Összesen ez négy komplex számot, vagyis nyolc valós paramétert jelent. A (6.4) normálási feltétel ezt kett˝ovel lecsökkenti. Az egyes állapotok globális fázisának azonban, mint tudjuk, nincs fizikai szerepe, ezért végül a valós paraméterek száma néggyel egyenl˝o. Ez nem túl meglep˝o következtetés, ha figyelembe vesszük, hogy egy spin leírása két paraméter megadását követeli, kett˝onek a specifikálása ezért igényel négyet.

6.7.

Összefonódott állapotok

A kvantummechanika megengedi, hogy a bázisvektorokból a szorzatállapotoknál általánosabb szuperpozíciókat képezzünk. A kapcsolt rendszer legáltalánosabb állapota ψuu |uu + ψud |ud + ψdu |du + ψdd |dd, amelyben α és β helyett alulindexes ψ-kkel jelöltük a koefficienseket. Megint négy komplex koefficiensünk van, de most csak egyetlen ∗ ∗ ∗ ∗ ψuu ψuu + ψud ψud + ψdu ψdu + ψdd ψdd = 1

normálási feltétel korlátozza o˝ ket, és csak egy fázisfaktornak nincs fizikai jelent˝osége. A következtetés az, hogy a kétspinrendszer általános állapotának megadása hat valós paramétert igényel. Az állapottér ezért sokkal gazdagabb állapotkészlettel

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

175

rendelkezik, mint a szorzatállapotok, amelyeket Aliz és Bob független preparálás útján tud el˝oállítani. Új lehet˝oségek bontakoznak ki. Ezeket hívjuk összefonódásnak. Az összefonódás nem olyan tulajdonság, amelyik vagy van, vagy nincs. Lehet bel˝ole több, vagy kevesebb: Bizonyos állapotok összefonódottabbak, mint mások. Mutatunk egy példát a maximálisan összefonódott állapotra, amelynél nincs még összefonódottabb. Szingulett állapotnak hívják, és ez a képlete: 1 |sing = √ (|ud − |du). 2 Ezt nem lehet két állapot szorzataként felírni, mint ahogy az 1 √ (|ud + |du) 2 1 √ (|uu + |dd) 2 1 √ (|uu − |dd) 2 triplett állapotokat sem, amelyek szintén maximálisan összefonódottak. Majd kés˝obb kiderül, miért hívják o˝ ket szingulettnek és triplettnek. 6.3. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a |sing állapotot nem lehet szorzatként felírni. Mit˝ol annyira különösek a maximálisan összefonódott állapotok? A válasz két állításban foglalható össze: • Egy összefonódott állapot a kapcsolt rendszer teljes leírását tartalmazza, amelyhez semmi sem tehet˝o hozzá.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

176

Kvantummechanika

• A maximálisan összefonódott állapotban semmit se tudunk a két individuális alrendszerr˝ol. Hogyan lehetséges ez? Hogyan tudhatjuk Aliz-Bob kétspinrendszerér˝ol a lehet˝o legtöbbet, miközben semmi ismeretünk sincs az individuális spinekr˝ol, amelyekb˝ol össze van téve? Ebben áll az összefonódás misztériuma, és azt remélem, hogy az óra végére meg fogják érteni legalább a játékszabályokat, még ha ezzel az összefonódás paradoxális voltát nem is tudjuk megszüntetni.

6.8.

Aliz és Bob megfigyelheto˝ mennyiségei

Mindeddig Aliz-Bob kétspinrendszerének csak az állapotterér˝ol volt szó, a megfigyelhet˝o mennyiségeikr˝ol még nem. Ez utóbbiak között akadnak olyanok, amelyek triviálisak, noha matematikai reprezentációjuk nem az. El˝oször is Aliz és Bob A és B mér˝oberendezésük segítségével meg tudják mérni a spinjeik σx ,

σy ,

σz ,

τx ,

τy ,

τz

valamint

komponenseit. Milyen hermitikus operátorok felelnek meg ezeknek a kombinált állapottérben? A válasz egyszeru. ˝ Bob operátorai pontosan úgy hatnak Bob állapotaira, mintha Aliz egyáltalán nem is létezne. És megfordítva, ugyanez igaz Aliz operátoraira. Elevenítsük hát fel, hogyan hatnak a spinoperátorok az egyedi

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

177

spinekre. El˝oször lássuk Aliz spinjét: σz |u} = |u} σz |d} = −|d} σx |u} = |d} (6.6) σx |d} = |u} σy |u} = i|d} σy |d} = −i|u} Természetesen Bob berendezése ugyanolyan, mint Alizé, ezért hasonló egyenletrendszer mutatja τ hatását Bob állapotaira: τz |u = |u τz |d = −|d τx |u = |d (6.7) τx |d = |u τy |u = i|d τy |d = −i|u Hogyan kell definiálni ezeknek az operátoroknak a hatását az |uu, |ud, |du és a |dd szorzatállapotokra? A válasz az, hogy amikor például a σ hat, az állapotindex Bobra vonatkozó felét nem kell figyelembe venni. Az operátoroknak és az állapotoknak sok különféle kombinációja lehetséges, találomra választok ki néhányat. Önök is hozzá tudják tenni a hiányzókat, de fel is

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

178

Kvantummechanika

lapozhatják o˝ ket a függelékben. Aliz operátoraival kezdve σz |uu = |uu σz |du = −|du σx |ud = |dd σx |dd = |ud σy |uu = i|du σy |du = −i|uu (6.8) τz |uu = |uu τz |du = |du τx |ud = |uu τx |du = |dd τy |uu = i|ud τy |dd = −i|du Mint látják, Aliz σx , σy , σz operátorai a kapcsolt rendszernek csak az Alizhoz tartozó felére hatnak. A Bobhoz tartozó fél eközben passzív megfigyel˝o, amely nem vesz részt a muveletben. ˝ Bob τ operátoraira teljesen hasonló szabályok érvényesek. A jelölésben megengedtünk magunknak némi lazaságot. A tenzorszorzattér vektorai újfajta vektorok, amelyek két kisebb tér vektoraiból állnak össze. Technikai értelemben ugyanez vonatkozik az operátorokra is. Ha pedánsan ragaszkodnánk a szabá-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

179

lyokhoz, a σz és a τz helyett σz ⊗ I-t és I ⊗ τz -t kellene írnunk, ahol I az egységoperátor. Az igazság az, hogy ha a

σz |du = −|du

(6.9)

egyenletet ebben a szellemben

(σz ⊗ I)(|d ⊗ |u) = (σz |d ⊗ I|u) = (−|d ⊗ |u)

(6.10)

alakban írjuk fel, rámutathatunk a tenzorszorzat-operátorok két fontos tulajdonságára: 1. A σz ⊗ I kompozitoperátor a kompozit |d ⊗ |u vektorra hat, és egy új −|d ⊗ |u kompozitvektort hoz létre.

2. A kompozitoperátor Alizhoz tartozó bal oldali fele a kompozitvektornak csak arra a részére hat, amely o˝ hozzá tartozik, és természetesen ugyanez mondható el a Bobhoz tartozó részekr˝ol is. A kompozit jelölésmód azonban túl nehézkes, ezért használjuk inkább a (6.9) egyenletben alkalmazott jelölésmódot. A következ˝o szakaszban még lesz szó a kompozitoperátorokról. A 7. el˝oadásban pedig a (6.10) segítségével megtanuljuk majd a tenzorszorzat-operátorok használatát komponens formában.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

180

Kvantummechanika

6.4. Feladat: Ellen˝orizzük a (6.6) egyenletet úgy, hogy a σz , σx , σy operátorokat mátrixformában, az |u}, |d} állapotokat pedig oszlopvektorformában használjuk. Ezután a (6.6) és a (6.7) egyenletek segítségével írjuk fel azokat az egyenleteket, amelyek a (6.8)-ból kimaradtak. Az eredmény helyességét ellen˝orizzük a Függelék alapján.

6.5. Feladat: Bizonyítsuk be a következ˝o állításokat: Amikor Aliz vagy Bob valamelyik spinoperátora hat egy szorzatállapotra, az eredmény szorzatállapot lesz. A σ és a τ komponenseinek a várható értéke egy szorzatállapotban pontosan ugyanannyi, mint amennyi lenne a megfelel˝o egyspinállapotban.

Az utóbbi feladat rámutat a szorzatállapotok egy fontos tulajdonságára. Egy szorzatállapotban a Bobhoz (vagy Alizhoz) tartozó részre vonatkozó minden állítás ugyanaz, mint a megfelel˝o egyspinelméletben. A 3. el˝oadásban a spin mindig polarizált elv jó példa a szorzatállapotoknak erre a tulajdonságára. Ennek az elvnek egy célszeru˝ megfogalmazása a következ˝o: Egy egyedi spin bármely állapotához található egy olyan irány, amelyben a spin értéke +1. Mint már láttuk, ez azt jelenti, hogy a komponensek várható ér-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

181

tékei eleget tesznek a σx 2 + σy 2 + σz 2 = 1

(6.11)

egyenl˝oségnek, amelynek következtében nem lehet mindegyik várható érték egyidejuleg ˝ nulla. Ez a következtetés minden szorzatállapotra igaz, de a |sing állapotban nem érvényes. Mint mindjárt megmutatjuk, a |sing állapotra vonatkozóan a (6.11) egyenlet jobb oldala nullával egyenl˝o. Emlékeztetek rá, hogy a|sing összefonódott állapot képlete a következ˝o:

1 |sing = √ (|ud − |du). 2 Számítsuk ki a σ várható értékeit ebben az állapotban. Kezdjük mondjuk σz -vel: 1 σz  = sing |σz |sing = sing |σz √ (|ud − |du). 2

Itt most alkalmunk van felhasználni a (6.8) képleteket (és a 6.4 feladatot, amely kiegészíti o˝ ket). Ezekb˝ol kiolvashatjuk, hogyan hat σz a bázisvektorokra. Az eredmény a következ˝o: 1 σz  = sing |σz |sing = sing | √ (|ud + |du), 2 vagy másképpen σz  =

1 (|ud − |du)(|ud + |du). 2

Könnyen látható, hogy a jobb oldal nullával egyenl˝o. Vizsgáljuk ezután σx -et: 1 σx  = sing |σx |sing = sing |σx √ (|ud − |du), 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

182

Kvantummechanika

ami nem más mint σx  =

1 (|ud − |du)(|dd − |uu). 2

Ez megint nulla. Végül nézzük σy -t: σy  = sing |σy |sing =

1 (|ud − |du)(i|dd + i|uu). 2

Már nyilván kitalálták, hogy újra nullát kaptunk. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a |sing állapotban σx  = σy  = σz  = 0. Valóban igaz tehát, hogy σ mindegyik várható értéke nullával egyenl˝o. Mondanunk sem kell, hogy ugyanez igaz τ várható értékeire is. Ebb˝ol már világos, hogy |sing nagyon más, mint egy szorzatállapot. De mit árul el mindez azokról a mérésekr˝ol, amelyeket elvégezhetünk? Amikor σ valamelyik komponensének átlagértéke nulla, akkor a kísérletben ugyanolyan valószínuséggel ˝ kapunk +1-et, mint −1-et. Annak ellenére, hogy az állapotvektort, |sing-et, pontosan ismerjük, egyik komponensr˝ol sem tudjuk el˝ore megmondani, hogy mit kapunk, ha megmérjük. Ez talán lehetne annak a jele, hogy a |sing állapot valamilyen értelemben inkomplett – a rendszer bizonyos sajátosságaira nem figyeltünk oda, és nem is mértük meg o˝ ket. Végül is volt egy teljesen klasszikus példánk, amelyben Aliz és Bob se tudtak semmit a pénzérméjükr˝ol, amíg ténylegesen meg nem nézték. Miben tér el ett˝ol a kvantumos változat? A „ klasszikus összefonódási” példánkban, amelynek Aliz, Bob és Charlie voltak a szerepl˝oi, végig teljesen világos volt, hogy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

183

lehetett volna többet is tudni. Charlie lopva ránézhetett volna az érmékre anélkül, hogy ezzel bármit megváltoztatott volna, hiszen egy klasszikus mérés lehet tetsz˝olegesen kíméletes beavatkozás. Lehetséges, hogy egy kvantumrendszernek vannak valamiféle rejtett változói? A kvantummechanika szabályai szerint az állapotvektoron túlmen˝oen – amely a jelen esetben |sing – nincs semmi egyéb, amit a rendszerr˝ol tudni lehetne. Az állapotvektor a rendszer lehet˝o legteljesebb leírását tartalmazza. A kvantummechanikában ezért tudhatunk mindent a kompozitrendszerr˝ol úgy, hogy közben semmit se tudunk a részekr˝ol, amib˝ol áll. Ebben rejlik az összefonódás zavarba ejt˝o sajátossága, amely annyira nyugtalanította Einsteint.

6.9.

Összetett megfigyelheto˝ mennyiségek

Képzeljük el az Aliz-Bob-Charlie trió kvantummechanikai változatát. Charlie feladata a két spin el˝oállítása az összefonódott |sing állapotban. Ezután anélkül, hogy rápillantana a spinekre (ne feledjük, egy kvantummechanikai mérés durva beavatkozás!), az egyik spint odaadja Aliznak, a másikat Bobnak. Noha Aliz is, Bob is tisztában van az összetett rendszer állapotával, mégis teljes bizonytalanságban vannak a saját spinjükön végzend˝o mérés eredménye fel˝ol. De az állapot pontos ismerete alapján csak tudniuk kell valamit még akkor is, ha az állapot nagy mértékben összefonódott. Valóban tudnak is. De hogy pontosan megérthessük, hogy mit, ahhoz a megfigyelhet˝o mennyiségeknek egy olyan családjával

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

184

Kvantummechanika

kell megismerkednünk, amely általánosabb, mint amelyeket Aliz és Bob a maguk elkülönült berendezéseivel mérni tudnak. Arról van szó, hogy léteznek olyan megfigyelhet˝o mennyiségek, amelyeknek a megmérése egyszerre igényli mindkét berendezés mu˝ ködtetését. Egy ilyen megfigyelés eredménye csak azután állapítható meg, miután Aliz és Bob összejönnek és összehasonlítják a mérésr˝ol készült feljegyzéseiket. Az els˝o kérdés az, hogy vajon Aliz és Bob megmérhetik-e egyidejuleg ˝ a saját megfigyelhet˝o mennyiségeiket. Láttuk ugyanis, hogy léteznek olyan mennyiségek, amelyek nem mérhet˝ok meg egyszerre. Két egymással nem kommutáló mennyiséget nem lehet egyidejuleg ˝ megmérni anélkül, hogy ne befolyásolnák egymást. De Aliz és Bob esetében könnyu˝ belátni, hogy a σ mindegyik komponense kommutál τ komponenseivel. Ez általános tulajdonsága a tenzorszorzatoknak. Azok az operátorok, amelyek az egyik és a másik tényez˝ore hatnak, mindig kommutálnak egymással. Következésképpen Aliz is, Bob is végezhetnek mérést a saját spinjeiken anélkül, hogy egymás kísérleteire hatással lennének. Tegyük fel, hogy Aliz σz -t, Bob pedig τz -t méri meg, és a mérési eredményeiket összeszorozzák, vagyis a τz σz szorzat mérésére szövetkeznek egymással. A τz σz szorzat egy olyan megfigyelhet˝o mennyiség matematikai reprezentánsa, amelynél el˝oször σz -t, majd ezután τz -t alkalmazzuk egy ketre. Ne felejtsük el, hogy ezzel az el˝oírással csupán matematikailag definiáltunk egy operátort. Ez nem ugyanaz, mint el is végezni egy mérést. Két operátor összeszorzásához nem szükséges mér˝oberendezés, elég a ceruza és a papír. Nézzük

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

185

meg, mit kapunk, ha a τz σz operátorral hatunk a |sing állapotra: 1 τz σz √ (|ud − |du) =? 2 A (6.8) egyenletet alkalmazva el˝oször σz hatását vesszük figyelembe: 1 1 τz σz √ (|ud − |du) = τz √ (|ud + |du) . 2 2 Erre az állapotra hat τz : 1 1 τz σz √ (|ud − |du) = √ (−|ud + |du) . 2 2 Figyeljük meg, hogy a végeredmény csupán a |sing állapot el˝ojelváltása: τz σz |sing = −|sing. A |sing tehát a σz τz operátor −1 sajátértékhez tartozó sajátvektora. Mit fejez ki ez a tény? Aliz σz -t, Bob τz -t méri meg. Amikor összejönnek, megállapítják, hogy méréseik különböz˝o el˝ojelu˝ eredményre vezettek. Egyszer Bob mért +1-et és Aliz −1-et, másszor fordítva. A szorzat mindkét esetben −1-gyel egyenl˝o. Ebben még nincs semmi meglep˝o. A |sing állapotvektor két olyan vektor – az |ud és a |du – szuperpozíciója, amelyek különböz˝o el˝ojelu˝ spinekb˝ol vannak összetéve. A helyzet lényegében ugyanaz, mint a klasszikus példában Charlie-val és pénzérméivel. De van itt még valami más is, aminek egyáltalán nincs klasszikus analogonja. Tegyük fel, hogy Aliz is, Bob is a spinjeik z komponense helyett az x komponenst mérik meg. A mérési eredményeik korrelációjának megállapításához a τx σx megfigyelhet˝o mennyiséget kell megvizsgálnunk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

186

Kvantummechanika

Hassunk a |sing állapotra ezzel a szorzattal. A következ˝o képletsort kapjuk: 1 1 τx σx |sing = τx σx √ (|ud − |du) = τx √ (|dd − |uu) = 2 2 1 = √ (|du − |ud) , 2 vagyis röviden τx σx |sing = −|sing. Az eredmény elég meglep˝o: A |sing állapot a τx σx operátornak is sajátvektora −1 sajátértékkel. A |sing-re ránézve már egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy benne a két spin x komponense is mindig ellenkez˝o el˝ojelu. ˝ Mégis, valahányszor Aliz és Bob megméri o˝ ket, ellenkez˝o el˝ojelueknek ˝ bizonyulnak. Ezután már valószínuleg ˝ nem nagyon fognak csodálkozni azon, hogy ugyanez érvényes az y komponensekre is. 6.6. Feladat: Tegyük fel, hogy Charlie szingulett állapotban preparált két spint. Ezúttal Bob τy -t, Aliz σx -et méri. Mennyi a σx τy szorzat várható értéke? Mit árul el ez a két mérés korrelációjáról?

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

187

6.7. Feladat: Charlie ezúttal egy másik, |T1  állapotban preparálja a spineket, amely a következ˝o: 1 |T1  = √ (|ud + |du) . 2 A T a triplett jelz˝ore utal. A triplett állapotok minden tekintetben különböznek a pénzérmék és a dobókocka állapotától. Mi a várható értéke a σz τz , σx τx és σy τy szorzatoknak? Mi minden múlik egyetlen el˝ojelen!

6.8. Feladat: Adjuk meg a választ ugyanezekre a kérdésekre a másik két

1 |T2  = √ (|uu + |dd) 2 1 |T3  = √ (|uu − |dd) 2

triplett állapotra vonatkozóan. Interpretáljuk a várható értékeket! Befejezésül vizsgáljunk meg még egy megfigyelhet˝o mennyiséget. Ezt Aliz és Bob nem tudja megmérni a saját külön berendezésével még akkor se, ha utána összejönnek és összehasonlítják a feljegyzéseiket. A kvantummechanika azonban megköveteli, hogy létezzen olyan berendezés, amellyel a mérés elvégezhet˝o. A mennyiség, amelyre gondolok, a σ és a τ operátorok skalárszorzata: σ · τ = σx τx + σy τy + σz τz . Az ember azt gondolhatná, hogy ezt a mennyiséget meg lehetne

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

188

Kvantummechanika

úgy mérni, hogy Bob megméri a τ , Aliz pedig a σ összes komponensét, majd összeszorozzák és összeadják a mérési eredményeiket. Ezzel azonban az a probléma, hogy Bob nem tudja egyidejuleg ˝ megmérni τ komponenseit, mint ahogy Aliz se tudja egyszerre a σ-nak egynél több komponensét meghatározni. A σ · τ szorzat megmérése új típusú berendezést igényel, amely a σ · τ -t anélkül tudja megmérni, hogy külön mérné meg a komponenseket. Egyáltalán nem nyilvánvaló, hogyan lehet ilyen apparátust készíteni. Íme egy konkrét példa a mérés lebonyolítására: Léteznek olyan atomok, amelyeknek a spinjét ugyanolyan módon írjuk le, mint az elektronspint. Amikor két ilyen atom közel kerül egymáshoz (például szomszédok egy kristályrácsban), a Hamilton-operátoruk tartalmazni fogja a spinjeiket és bizonyos esetekben arányos lesz σ · τ -val. Amikor ez a helyzet, a σ · τ mérése egyenértékuvé ˝ válik az atompár energiájának meghatározásával. Az energia mérése ily módon egyben a kompozitoperátor meghatározása is anélkül, hogy mérni kellene az egyedi spinek komponenseit. 6.9. Feladat: Mutassuk meg, hogy a négy |sing, |T1 , |T2  és |T3  a σ · τ sajátvektorai. Mekkorák a sajátértékek? Gondolkozzanak el egy kicsit a példa eredményén. Értik már, miért neveztük az egyik vektort szingulettnek, a másik hármat pedig triplettnek? Azért, mert a σ · τ operátor vonatkozásában a három triplett állapotnak a sajátértéke elfajult – mindháromnak ugyanakkora–, amely különbözik a szingulett állapot sajátértékét˝ol.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Összetett rendszerek: kvantum-összefonódás

189

Az alább következ˝o példa jól illusztrálja az összefonódás fogalmának a kapcsolatát az id˝obeli változással, amelyr˝ol a 4. el˝oadásban volt szó. Használjuk fel a feladatot arra, hogy felidézzük az unitér id˝obeli fejl˝odés gondolatát és a Hamilton-operátor fogalmát. 6.10. Feladat: Egy két spinb˝ol álló rendszer Hamiltonoperátora H=

ω σ · τ . 2

Mivel egyenl˝ok a rendszer lehetséges energiái, és melyek a Hamilton-operátor sajátállapotai? Preparáljuk a rendszert egy adott pillanatban az |uu állapotban. Mi lesz az állapot egy kés˝obbi pillanatban? Válaszoljunk ugyanerre a kérdésre, amikor a kezd˝oállapot |ud, |du vagy |dd.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

7. eloadás ˝ További részletek az összefonódásról

Hilbert bár, 1935 nyara: Két topis törzsvendég lép be a forgóajtón élénk társalgás közben. Egyikük kopottas szvettert visel, o˝ szül˝o üstöke bozontos, mint a szénaboglya. „Nem, szó se lehet róla, hogy elfogadjam az elméletét mindaddig, amíg meg nem magyarázza, mi az, hogy a fizikai realitás eleme.” A másik reménytelenül legyint, majd odaszól Lennynek és Artnak: „Mindig ugyanaz. A fizikai valóság elemei – ezt ismétli mániákusan. Albert, ne makacskodj már, fogadd végre el a tényeket.” „Soha! Nem nyugodhatok bele, hogy egy dologról mindent tudok, ami egyáltalán lehetséges, és ugyanakkor semmit se tudok a részeir˝ol. Niels, ez teljes képtelenség.” „Sajnálom, Albert, ez van. Rendelek neked egy sört.”

Ebben az el˝oadásban alaposabb vizsgálat alá vetjük az összefonódást. Ehhez újabb matematikai eszközökre lesz szükségünk. El˝oször is meg kell tanulnunk a tenzorszorzatokkal bánni komponens formában. Azután megismerkedünk egy új operátorral, a sur ˝ uségmátrixszal. ˝ Ezekkel nem igazán nehéz dolgozni, de türelem kell hozzájuk és némi bajlódás az indexekkel.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

192

Kvantummechanika

7.1.

Matematikai közjáték: tenzorszorzatok komponens formában

A 6. el˝oadásban láttuk, hogyan kell vektorterek tenzorszorzatát képezni az absztrakt bra és ket jelölésmód, valamint a σz típusú szimbólumok segítségével. Hogyan fordítható le mindez oszlopvektorokra, sorvektorokra és mátrixokra? Mátrixokból és oszlopvektorokból egyszeruen ˝ lehet tenzorszorzatot képezni. A szabályok, mint látni fogjuk, kézenfekv˝ok. Azt már nehezebb megérteni, miért muködnek ˝ jól ezek a szabályok – miért tudunk a segítségükkel olyan mátrixokat és oszlovektorokat el˝oállítani, amelyek pont olyan tulajdonságúak, mint amilyeneket akarunk. Két különböz˝o úton is eljutunk majd a célhoz. El˝oször a 3. el˝oadásban már jól bevált módszert fogjuk követni a kompozitoperátorok megszerkesztésére. Azután megmutatjuk, hogyan építhet˝ok fel az ilyen operátorok közvetlenül a komponenseikb˝ol.

7.1.1.

Tenzorszorzatmátrixok konstruálása az alapelvekb˝ol kiindulva

A 3. el˝oadásban láttuk, hogyan lehet felírni egy tetsz˝oleges M megfigyelhet˝o mennyiség mátrixát egy kijelölt bázisban. Idézzük fel röviden a (3.1)–(3.4) képleteket, amelyekben az M-ek mjk mátrixelemeit határoztuk meg az mjk = j |M|k

(7.1)

képlet formájában, ahol |j és |k a bázisvektorok. Minden |j, |k pár generál egy új mátrixelemet.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

193

További részletek az összefonódásról

Az eljárásunk az lesz, hogy ezt a képletet alkalmazzuk néhány tenzorszorzat-operátorra, és megnézzük, mit kapunk. A bázisvektorok tenzorszorzatánál alkalmazott duplaindexes konvenciónk miatt az egyenleteinkb˝ol képzett „ szendvicsek” egy kicsit másképpen fognak kinézni, mint a (7.1) egyenlet. A szendvics két oldalán a |uu, |du, |ud és a |dd bázisvektorok váltogatják egymást. Az egyszeruség ˝ kedvéért az eljárást a σz ⊗ I operátor példáján mutatom be, amelyben I az egységoperátor. Amint már tudjuk, a σz ⊗I operátor az állapotvektor Alizhoz tartozó felére σz -ként hat, a Bobhoz tartozó felét pedig érintetlenül hagyja. Mivel négydimenziós vektortérben dolgozunk, a mátrix, amelyre jutunk, 4 × 4-es. Ha a ⊗ szimbólum ismételt kiírásától a zsúfoltság elkerülése érdekében eltekintünk, a következ˝o mátrixot kapjuk: σz ⊗ I = ⎛

uu |σz I|uu

⎜ ⎜ ⎜ud |σz I|uu ⎜ ⎜ ⎜ ⎜du |σz I|uu ⎝ dd |σz I|uu

uu |σz I|ud

uu |σz I|du

ud |σz I|ud

ud |σz I|du

du |σz I|ud

du |σz I|du

dd |σz I|ud

dd |σz I|du

uu |σz I|dd

⎞

⎟ ⎟ ud |σz I|dd⎟ ⎟ ⎟ ⎟ du |σz I|dd⎟ ⎠ dd |σz I|dd (7.2)

A mátrixelemek kiszámítása úgy történik, hogy a σz -vel mondjuk balra, az I-vel pedig jobbra hatunk. Mivel I nem okoz változást, koncentrálhatunk σz -re. Amikor ez a brára hat, csak a bal oldali (Alizhoz tartozó) indexre kell figyelnünk. Azoknak a szabályoknak a segítségével, amelyeket már kidolgoztunk (ld. a (6.6-7) képleteket), a σz hatását könnyu˝ figyelembe venni. A kö-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

194

Kvantummechanika

vetkez˝o bels˝o szorzatokat tartalmazó mátrixra jutunk: σz ⊗ I = ⎛

uu|uu

⎜ ⎜ ⎜ ud|uu ⎜ ⎜ ⎜ ⎜−du|uu ⎝ −dd|uu

uu|ud

uu|du

uu|dd

ud|ud

ud|du

ud|dd

−du|ud

−du|du

−du|dd

−dd|ud

−dd|du

−dd|dd.

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(7.3)

A sajátvektorok ortogonalitása következtében ez a ⎛

1

⎜ ⎜0 ⎜ σz ⊗ I = ⎜ ⎜0 ⎝ 0

0

0

1

0

0 −1 0

0

0

⎞

⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠ −1

(7.4)

diagonális mátrixra redukálódik. Hogyan lehet felírni az |uu, |ud, |du és a |dd sajátvektorokat oszlopvektorként? Egyel˝ore magyarázat nélkül fogadják el, hogy |uu és |du oszlopvektor formája a következ˝o: ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ |uu = ⎜ ⎟ , ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 0

⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ |du = ⎜ ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 0

(7.5)

Nézzük most, hogyan hat a σz ⊗ I operátor ezekre az oszlopvek-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

195

További részletek az összefonódásról

torokra, mondjuk |uu-ra: ⎛

uu|uu

⎜ ⎜ ⎜ ud|uu ⎜ ⎜ ⎜ ⎜−du|uu ⎝ −dd|uu

uu|ud

uu|du

uu|dd

ud|ud

ud|du

ud|dd

−du|ud

−du|du

−du|dd

−dd|ud

−dd|du

−dd|dd.

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

0

Röviden: σz ⊗ I|uu = |uu, ahogy várjuk is. Ha pedig ugyanezt a muveletet ˝ a (7.5) második ketjével végezzük el, akkor −|du lesz az eredmény, ugyancsak a várakozásunknak megfelel˝oen.

7.1.2. Tenzorszorzatmátrix képzése a komponensmátrixokból A mátrixelemek eddig alkalmazott számítási módja általános érvényu, ˝ jól muködik ˝ bármilyen megfigyelhet˝o mennyiség esetében. Amikor két operátor tenzorszozatát kell meghatároznunk, és már ismerjük a két komponensmátrix elemeit, akkor lehet˝oségünk van a közvetlen kombinálásukra. Két 2 × 2-es mátrixot a következ˝o szabály alapján lehet összekombinálni egy 4 × 4-es mátrixszá:

 A⊗B =

www.interkonyv.hu

A11 B

A12 B

A21 B

A22 B

 ,

(7.6)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

196

Kvantummechanika

vagy részletesebben ⎛

A11 B11

⎜ ⎜ ⎜A11 B21 ⎜ A⊗B =⎜ ⎜ ⎜A21 B11 ⎝ A21 B21

A11 B12

A12 B11

A11 B22

A12 B21

A21 B12

A22 B11

A21 B22

A22 B21

A12 B12

⎞

⎟ ⎟ A12 B22 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ A22 B12 ⎟ ⎠

(7.7)

A22 B22

A séma ugyanez tetsz˝oleges méretu˝ mátrixok esetében is. Ezt a fajta mátrixszorzatot néha Kronecker-szorzatnak hívják. Az elnevezés csak mátrixokra alkalmazható – tulajdonképpen a tenzorszorzat mátrixokra vonatkozó változata. Két 2 × 2-es mátrix Kronecker-szorzata 4 × 4-es mátrix, egy m × n-es és egy p × q-s mátrix Kronecker-szorzata pedig egy mp × nq-s mátrix. Ez az eljárás alkalmazható oszlop- és sorvektorokra, amelyek voltaképpen speciális mátrixok. Két 2 × 1-es oszlopvektor tenzorszorzata egy 4 × 1-es oszlopvektor. Ha a és b két 2 × 1-es oszlopvektor, akkor a tenzorszorzatuk a következ˝o: ⎛ ⎞ a1 b1 ⎟     ⎜ ⎜a b ⎟ a1 b1 ⎜ 1 2⎟ ⊗ =⎜ ⎟. ⎜a2 b1 ⎟ a2 b2 ⎝ ⎠ a 2 b2

(7.8)

Lássuk, hogyan muködik ˝ ez az Aliz-Bob párosnál. Mindenekel˝ott a tenzorszorzatbázist szerkesztjük meg |u-t és |d-t használva épít˝oelemként. Emlékeztetünk a (2.11-12) egyenletekre a 2. el˝oadásból: |u =

www.interkonyv.hu

  1 0

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

|d =

  0 1

197

.

Amikor |u-t és |d-t a megfelel˝o kombinációban (7.8)-ba írjuk, négy darab 4 × 1-es oszlopvektort kapunk: ⎛ ⎞ 1     ⎜ ⎟ ⎜0⎟ 1 1 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⊗ |uu = ⎜0⎟ 0 0 ⎝ ⎠ 0 ⎛ ⎞ 0     ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎜1⎟ |ud = ⊗ =⎜ ⎟ ⎜0⎟ 0 1 ⎝ ⎠ 0 ⎛ ⎞ 0     ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎜0⎟ =⎜ ⎟ ⊗ |du = ⎜1⎟ 0 1 ⎝ ⎠ 0

(7.9)

⎛ ⎞ 0     ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎜0⎟ |dd = ⊗ = ⎜ ⎟. ⎜0⎟ 1 1 ⎝ ⎠ 1

A következ˝o lépés az, hogy a (7.7) képletnek megfelel˝oen kombináljuk a σz és a τx operátorokat, amelyeket a (3.20)-ból vehe-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

198

Kvantummechanika

tünk. A következ˝o mátrixot kapjuk:  σ z ⊗ τx =

1



0

0 −1

 ⊗

0 1



1 0

⎛

0

⎜ ⎜1 ⎜ =⎜ ⎜0 ⎝ 0

1

0

0

0

0

0

0 −1

Hasonlítsuk ezt össze σx és τz szorzatával: ⎛ 0 0  ⎜    ⎜ 1 0 0 1 ⎜0 0 =⎜ ⊗ σ x ⊗ τz = ⎜1 0 0 −1 1 0 ⎝ 0 −1

1 0 0 0

0

⎞

⎟ 0⎟ ⎟ ⎟. −1⎟ ⎠ 0

0

⎞

⎟ −1⎟ ⎟ ⎟. 0⎟ ⎠ 0

Mint látható, σz ⊗ τx és σx ⊗ τz különbözik egymástól. Ennek így is kell lennie, hiszen két különböz˝o megfigyelhet˝o mennyiséget reprezentálnak. Eddig rendben is volnánk. De most valami érdekesebb következik. Néhány feladat segítségével meg fogunk gy˝oz˝odni róla, hogy a Kronecker-szorzat valójában mátrixok tenzorszorzata – vagyis a mátrix Alizhoz tartozó fele az oszlopvektornak csak a hozzá tartozó felére hat, és természetesen ugyanez igaz Bobra is. Ez azért nem nyilvánvaló, mert a Kronecker-szorzatban keverednek egymással a két összeszorzott mátrix elemei. Példaként vizsgáljuk meg, hogyan hat a σz ⊗ τx operátor az |ud ketre. Fordítsuk le az absztrakt szimbólumokat komponensekre:

⎛

0

⎜ ⎜1 ⎜ (σz ⊗ τx )|ud = ⎜ ⎜0 ⎝

0

www.interkonyv.hu

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎟ ⎠ 0 −1 0 0 0 1

0

0

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

199

De a jobb oldali oszlopvektor a (7.9) szerint nem más, mint az |uu ket. Ha tehát visszatérünk az absztakt jelölésmódra, ezt látjuk: (σz ⊗ τx )|ud = |uu. Pontosan ez az, amit vártunk: Az absztrakt operátorok és állapotvektorok tulajdonságait a mátrixaik helyesen reprodukálják. A 7.1 feladat segít abban, hogy jobban megértsük: A σ⊗τ operátor σ fele az állapotvektornak csak az Alizhoz tartozó felére, τ fele pedig a Bobhoz tartozó felére hat. Azt ezt követ˝o 7.2 feladatban pedig gyakorolni lehet egy operátor mátrixelemeinek a kiszámítását az operátor bázisvektorokra gyakorolt hatása alapján. 7.1. Feladat: Írjuk fel az I ⊗ τz tenzorszorzat mátrixát, majd alkalmazzuk ezt a mátrixot az |uu, |ud, |du és |uu oszlopvektoraira. Mutassuk meg, hogy az állapotvektor Alizhoz tartozó fele eközben nem változik. Emlékeztetünk rá, hogy I a 2 × 2-es egységmátrix.

7.2. Feladat: Számítsuk ki a σz ⊗ τx mátrix elemeit bels˝o szorzat képzésével, ahogy a (7.2) mátrixszal tettük. A harmadik feladat munkaigényesebb, de tisztáz minden részletet. Tekintsük az (A ⊗ B)(a ⊗ b) = (Aa ⊗ Bb)

(7.10)

egyenletet. Mint korábban is a (7.7-8) képletben A és B egy-egy 2 × 2-es mátrix (vagy operátor), a és b pedig két 2 × 1-es oszlop-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

200

Kvantummechanika

vektor. A feladatban az egyenletet komponensekre kell bontani és meg kell mutatni, hogy komponensenként teljesül.

7.3. Feladat: a) Írjuk át (7.10)-et komponens alakba úgy, hogy az A, a B, az a és a b mátrixokat és oszlopvektorokat a (7.7) és a (7.8) egyenletb˝ol vesszük. b) A jobb oldalon végezzük el az Aa és a Bb mátrixszorzást. Gy˝oz˝odjünk meg róla, hogy az eredmény két 2×1-es mátrix. c) Fejtsük ki mindhárom Kronecker-szorzatot. d) Ellen˝orizzük mindegyik szorzat sor- és oszlopméretét: • A⊗B :4×4 • a⊗b:4×1 • Aa ⊗ Bb : 4 × 1 e) Végezzük el a mátrixszorzást a bal oldalon, amelynek eredménye egy 4 × 1-es oszlopvektor. Mindegyik sorban egy négytagú összegnek kell állnia. f) Gy˝oz˝odjünk meg róla, hogy a bal- és a jobb oldalon ugyanaz az oszlopvektor áll.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

201

7.2. Matematikai közjáték: Külso˝ szorzatok Ha adva van a φ | és a |ψ, képezhetjük bel˝olük a φ|ψ bels˝o szorzatot. De létezik a szorzásnak egy másik, küls˝o szorzatnak nevezett formája is, amelyet így írunk fel: |ψφ |. A küls˝o szorzat nem egy szám, hanem lineáris operátor. Lássuk, mi történik amikor az |A ketre hat: |ψφ |

|A.

Itt és az alább következ˝o oldalakon zárójel helyett térközzel csoportosítjuk a muveleteket. ˝ Emlékeztetek rá, hogy a brákkal ketekkel, lineáris operátorokkal végzett muveletek ˝ mind asszociatívek. Ez azt jelenti, hogy kedvünk szerint csoportosíthatjuk o˝ ket feltéve, hogy a balról jobbra hatás sorrendjét változatlanul hagyjuk23 . A küls˝oszorzat-operátor hatása nagyon egyszeru, ˝ a definíciója a következ˝o: |ψφ |

|A = |ψ

φ|A.

Szavakban: Kiszámítjuk a φ | és a |A bels˝o szorzatát, ami egy komplex szám, és megszorozzuk vele a |ψ ketet. A bra-ket jelölésmód annyira hatékony, hogy gyakorlatilag ránk kényszeríti ezt a definíciót. Paul Dirac valóban zseniálisan találta ki. Könnyen igazolható, hogy a küls˝o szorzat a brákra is tud hatni: B | 23 Néha

|ψφ | ≡ B|ψ

|φ.

meg lehet változtatni a balról jobbra hatás sorrendjét is, de ez nagyobb

figyelmet követel.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

202

Kvantummechanika

Speciális esetként képezhetjük egy ket |ψψ | küls˝o szorzatát a neki megfelel˝o brával. Amikor |ψ normált, ezt az operátort projekciós operátornak hívják. A következ˝o módon hat: |ψψ |

|A = |ψ

ψ|A.

Figyeljük meg, hogy az eredmény mindig arányos |ψ-vel. Úgy is mondhatjuk, hogy a projekciós operátor a vektorokat a |ψ által kijelölt irányra vetíti. Könnyen igazolhatják, hogy a projekciós operátorok a következ˝o alaptulajdonságokkal rendelkeznek (ne feledjük, hogy |ψ 1-re normált!): • A projekciós operátorok hermitikusak. • A |ψ a bel˝ole képzett projekciós operátor sajátvektora egységnyi sajátértékkel: |ψψ |

|ψ = |ψ.

• Minden |ψ-re ortogonális vektor sajátvektor nulla sajátértékkel. A |ψψ | sajátértéke vagy 0 vagy 1, és csak egyetlen 1 sajátértéku˝ sajátvektor létezik, amely a |ψ maga. • Egy projekciós operátor négyzete önmaga: |ψψ |2 = |ψψ | • Egy operátor (vagy egy négyzetes mátrix) nyomán a diagonális elemeinek összegét értjük. A Tr jelet használva a nyomra egy L operátor nyomát a Tr L =

 i |L|i i

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

203

képlet definiálja, amely valóban L mátrixreprezentációjában a diagonális elemek összege. Ebb˝ol következik, hogy egy hermitikus operátor nyoma a sajátértékei összegével egyenl˝o24 . • Ha egy bázis összes eleméb˝ol képzett projekciós operátorokat összeadjuk, az egységoperátort kapjuk eredményül: 

|ii | = I.

(7.11)

i

Befejezésül megfogalmazunk egy különösen fontos tételt a projekciós operátorokról és a várható értékekr˝ol. Egy tetsz˝oleges L megfigyelhet˝o mennyiség várható értékére a |ψ állapotban érvényes a következ˝o formula: ψ |L|ψ = Tr |ψψ |L.

(7.12)

A bizonyítás így történik: Válasszunk egy tetsz˝oleges |i bázist. A Tr definíciója alapján Tr |ψψ |L =



i|ψψ |L|i.

i

A jobb oldali összegben a két tényez˝o mindegyike egy szám, ezért a felírásuk sorrendjét felcserélhetjük: Tr |ψψ |L =



ψ |L|ii|ψ.

i 24 Egy

M hermitikus mátrixot a P† MP transzformációval lehet diagonalizálni.

A P unitér mátrix, amelynek oszlopai az M normált sajátvektorai. Az M nyoma invariáns erre a transzformációra nézve. Ez jól ismert tétel, amelyet bizonyítás nélkül közlünk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

204

Kvantummechanika

Az összegzést a

 i

|ii | = I képlet felhasználásával elvégezve

a Tr |ψψ |L = ψ |L|ψ egyenl˝oségre jutunk, amelynek jobb oldala valóban az L várható értéke.

7.3. A sur ˝ uségmátrix: ˝ Egy új eszköz Mindeddig azzal foglalkoztunk, hogyan lehet egy rendszerr˝ol el˝orejelzéseket tenni, amikor pontosan ismerjük a kvantumállapotát. De sokkal gyakrabban fordul el˝o, hogy a rendszer állapotáról csak részleges ismeretekkel rendelkezünk. Tegyük fel például, hogy Aliz egy bizonyos irányban orientált apparátus segítségével preparált egy spint, majd átadja azt Bobnak anélkül, hogy bármit elárulna a preparálás módjáról. Esetleg megad valamilyen részleges információt, például azt, hogy a spint a z vagy az x irányban preparálta, de ennél többet nem hajlandó közölni. Hogyan tudja Bob a részleges információ alapján el˝ore jelezni valamilyen mérés várható kimenetelét? Így okoskodhat: Ha Aliz a |ψ állapotba hozta a spint, akkor az L megfigyelhet˝o mennyiség megmérésekor az eredmény várható értéke Tr |ψψ |L = ψ |L|ψ. Ha a spin a |φ állapotban lett preparálva, akkor ez a várható érték Tr |φφ |L = φ |L|φ.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

205

De mivel egyenl˝o a mérés várható végeredménye abban az esetben, amikor a |ψ-beli és a |φ-beli elkészítés valószínusége ˝ egyaránt 50%? Elég nyilvánvaló, hogy a várható érték a következ˝o lesz: L =

1 1 Tr |ψψ |L + Tr |φφ |L. 2 2

Csupán annyit tettünk, hogy átlagoltuk Bobnak az Aliz által el˝okészített állapotra vonatkozó tudatlanságát. A fenti képlet tagjait összefoglalhatjuk egyetlen kifejezésben, ha bevezetjük a ρ sur ˝ uségmátrixot, ˝ amely surített ˝ formában tartalmazza azt, amit Bob tud, illetve nem tud. Esetünkben a sur ˝ u˝ ségmátrix a |φ-re és a |ψ-re vetít˝o projekciós operátorok felének az összegévek egyenl˝o: ρ=

1 1 |ψψ | + |φφ |. 2 2

Ezzel Bob informáltságát egyetlen ρ operátorban foglaltuk össze, és a várható érték kiszámítására szolgáló képlet rendkívül egyszeruvé ˝ vált: L = Tr ρL.

(7.13)

Ez a képlet az általános esetben is érvényes. Aliz például közölheti Bobbal, hogy a |φ1 , |φ2 , |φ3  stb. állapotok egyikében preparálta az átadott spint. Azt is hozzáteheti, hogy az egyes állapotok valószínusége ˝ P1 , P2 , P3 . . . Ezt az információt Bob a következ˝o sur ˝ uségmátrixszal ˝ kódolja: ρ = P1 |φ1 φ1 | + P2 |φ2 φ2 | + P3 |φ3 φ3 | + . . . A várható érték számítására ezután ugyanazt a (7.13) képletet alkalmazhatja.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

206

Kvantummechanika

Amikor a sur ˝ uségmátrix ˝ egyetlen állapotnak felel meg, akkor projekciós operátor erre az állapotra. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az állapot tiszta. A tiszta állapot az informáltság maximuma, amellyel Bob egy kvantumrendszerr˝ol rendelkezhet. Az általános esetben a sur ˝ uségmátrix ˝ projekciós operátorok súlyozott összege. Ilyenkor kevert állapotról beszélünk. A ρ-ra a sur ˝ uségmátrix ˝ elnevezést használtam, noha szigorúan véve operátorról van szó, amely csak valamilyen kiválasztott bázisban reprezentálható mátrixszal. Legyen ez a bázis |a. A sur ˝ u˝ ségmátrix nem más, mint a ρ mátrixa ebben a bázisban: ρaa = a |ρ|a . Ha az L mátrixát La ,a -vel jelöljük, akkor a (7.13) képlet kifejtett alakja a következ˝o: L =



La ,a ρa,a .

(7.14)

a,a

7.4.

Összefonódás és sur ˝ uségmátrix ˝

A klasszikus fizikában is vannak tiszta és kevert állapotok, noha nem szokás így nevezni o˝ ket. Példaként tekintsünk két részecskét, amelyek egy egyenesen mozognak. A klasszikus fizika szabályai szerint a részecskék pályáját akkor tudjuk kiszámítani, ha egy adott pillanatban ismerjük a helyzetüket (x1 -et és x2 -t), valamint az impulzusaikat (p1 -et és p2 -t). A rendszer állapotát eszerint a négy x1 , x2 , p1 , p2 szám határozza meg. Ha ismerjük mind a négyet, akkor a kétrészecskerendszerr˝ol a lehetséges legteljesebb tudással rendelkezünk, többet már nem tudhatunk róla. Ezt nevezhetjük tiszta klasszikus állapotnak.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

207

Nagyon gyakran fordul el˝o azonban, hogy az állapotot nem ismerjük pontosan, csak valószínuségi ˝ információnk van róla, amelyet a ρ(x1 , x2 , p1 , p2 ) valószínuségi ˝ sur ˝ uség ˝ tartalmaz. A tiszta klasszikus állapot ennek egy olyan speciális esete, amikor a ρ csak egyetlen pontban különbözik nullától. Általában azonban ρ valamilyen elkent eloszlás. Ekkor beszélhetünk klasszikus kevert állapotról25 . A ρ elkentsége azt tükrözi, hogy nincs teljes információnk a rendszerr˝ol. Az elkentség mértéke a tudatlanságunkat fejezi ki. A példából egy dolog egészen világos: Amikor a kétrészecskerendszer tiszta állapotát ismerjük, akkor mindkét részecskér˝ol mindent tudunk. Két klasszikus részecske tiszta állapotában az individuális részecskék is tiszta állapotban vannak. Pont ez az, ami a kvantummechanikában nem igaz, amikor összefonódás van. A kompozitrendszer lehet abszolút tiszta állapotban, az összetev˝o részecskék állapota mégis kevert. Vegyünk egy A és B részb˝ol álló összetett rendszert, két spint, vagy akármi mást. Tegyük fel, hogy Aliz pontosan ismeri a kombinált rendszer állapotát, vagyis a rendszer Ψ(a, b) hullámfüggvényét. Ezzel hiánytalanul tud mindent a kombinált rendszerr˝ol. De valamiért egyáltalán nem érdekli a B rész, az 25 Az

elkent jelz˝ovel azt fejezzük ki, hogy ρ(x1 , x2 , p1 , p2 ) nem csupán egyet-

len pontban, hanem az argumentumainak egy tartományában különbözik zérustól. Minél nagyobb ez a tartomány, annál jobban el van kenve ρ.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

208

Kvantummechanika

A-ról viszont szeretne mindent tudni anélkül, hogy foglalkozna B-vel. Kiválasztja az A-hoz tartozó valamelyik L megfigyelhet˝o mennyiséget, amely egyáltalán nem hat B-re. Az L várható értékét a következ˝o szabály alapján lehet kiszámítani: L =



Ψ∗ (a b )La b ,ab Ψ(ab).

ab,a b

(7.15)

Ez a képlet általános érvényu. ˝ Amikor L csak A-val kapcsolatos, akkor triviálisan hat a b indexre, és a képlet egyszerusödik: ˝ L =



Ψ∗ (a b)La ,a Ψ(ab).

ab,a

Aliz most a ρaa =



Ψ∗ (a b)Ψ(ab)

(7.16)

(7.17)

b

sur ˝ uségmátrixban ˝ tudja összefoglalni mindazt, amit az A-ról tud. Meglep˝o módon a (7.16) alakilag azzal a (7.14) képlettel egyezik meg, amelyik egy kevert állapot várható értékének a kiszámítására szolgál. A ρ ugyanis csak abban a nagyon speciális esetben válik projekciós operátorrá, amikor az állapot szorzat alakú. Mint látjuk, annak ellenére, hogy az összetett rendszer tiszta állapotú, az A alrendszert kevert állapotban találjuk. A sur ˝ uségmátrixokra ˝ vonatkozó jelölésmódban van egy nüansz, amire érdemes odafigyelni: A (7.17) képletben a ρ jobb oldali indexe – az a – az összegben bal oldalon álló Ψ∗ (a b) komplex konjugált állapotvektorban szerepel. Ez a furcsaság az L operátor mátrixelemeire vonatkozó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

209

Laa = a |L|a  konvenció következménye. Amikor ugyanis ennek a megállapodásnak megfelel˝oen felírjuk a ρ = |ΨΨ | operátor ρaa = a|ΨΨ|a  = Ψ(a)Ψ∗ (a ) mátrixelemét, a komplex konjugált hullámfüggvény a argumentuma lesz a jobb oldali index.

7.5.

Két spin összefonódása

Miel˝ott tovább kalauzolnám Önöket az összefonódások világában, egy definíciót és egy bemelegít˝o feladatot ajánlok a figyelmükbe. Amikor Aliznak egyetlen jól meghatározott állapotú spinje van, akkor a sur ˝ uségmátrixa ˝ ρaa = ψ ∗ (a )ψ(a). Ebb˝ol az egyenletb˝ol kiderül, hogyan kell Aliz sur ˝ uségoperátorá˝ nak a mátrixelemeit kiszámítani. Amikor az ismer˝os σz bázisban dolgozunk, az a és az a index a felfele (u), és a lefele (d) értéket veheti fel, ezért Aliz sur ˝ uségmátrixa ˝ 2 × 2-es mátrix.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

210

Kvantummechanika

7.4. Feladat: Számítsuk ki a tiszta |Ψ = α|u + β|d állapot sur ˝ uségmátrixát. ˝ Megoldás: ψ(u) = α;

ψ ∗ (u) = α∗

ψ(d) = β;

ψ ∗ (d) = β ∗

⎛

α∗ β

β∗α

β∗β

ρa a = ⎝

α∗ α

⎞ ⎠.

Adjunk most számértékeket α-nak és β-nak. Ne feledkezzünk meg az 1-re normáltságról. Például legyen α = β = √ 1/ 2. Ez az egyszeru˝ példa alkalmas rá, hogy világosan megértsük a sur ˝ uségmátrix ˝ tulajdonságait. Kés˝obb majd vissza lehet utalni rá, amikor összefonódott állapotok bonyolultabb eseteit tárgyaljuk. Tegyük fel most, hogy ismerjük a kompozitrendszer hullámfüggvényét, amely mondjuk ψ(a, b), de kizárólag Aliz alrendszere az, ami érdekel bennünket. Úgy is mondhatjuk, hogy azzal akarunk tisztában lenni, amit Aliz valaha is mérés útján megtudhat. Szükséges ehhez a teljes hullámfüggvény? Nem tudnánk-e valamilyen módon megszabadulni

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

211

Bob alrendszerének a változóitól? A válasz az, hogy igen, az Alizra vonatkozó összes információt tömöríthetjük egyetlen ρ su˝ ruségmátrixban, ˝ amely csak az o˝ változóitól függ. Válasszuk ki Aliz alrendszerének egy megfigyelhet˝o mennyiségét, mondjuk L-et. Mint minden megfigyelhet˝o mennyiség, az L is reprezentálható mátrixszal: La b ,ab = a b |L|ab. Ne felejtsük el, hogy kompozitrendszernél az ab valójában egyetlen indexnek számít, amely a bázisvektorokat címkézi. Amikor azt mondjuk, hogy „ L Alizhoz tartozik”, ezen azt értjük, hogy nem hat az összetett index Bobra vonatkozó felére. Ez a követelmény korlátot ró L matematikai alakjára. Ki kell szurnünk ˝ (nullává kell tennünk) L minden olyan mátrixelemét, amely változtatni tud az összetett állapotindex Bobra vonatkozó részén. Ez akkor lesz így, ha L mátrixelemei speciális alakúak: La b ,ab = La a δb b .

(7.18)

Ez az egyszeru˝ képlet igényel némi magyarázatot, ezért érdemes feleleveníteni a tenzorszozatok komponens formájáról tanultakat (6.1 szakasz). Az egyenlet bal oldala egy 4 × 4-es mátrix, amelynek négy különböz˝o összetett indexe van: uu, du, ud valamint dd. Mi a helyzet a jobb oldalon? Az Laa mátrix minkét indexe kétkét értéket vehet fel, u-t és d-t. Valójában tehát ugyanaz az L a (7.18) két oldalán két különböz˝o mátrixot jelöl. Els˝o látásra azt gondolhatnánk, hogy egy 4×4-es mátrixot tettünk egyenl˝ové egy 2 × 2-essel, ami nem lehet korrekt. A δb b tényez˝o azonban helyükre teszi a dolgokat. Az La a δb b mennyiség

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

212

Kvantummechanika

két 2 × 2-es mátrix tenzorszorzata, amely – mint már korábban láttuk – 4 × 4-es mátrix26 . A (7.18) egyenletet így kell helyesen kiolvasni: Az La b ,ab 4 × 4-es mátrix faktorizálható az La a és a δb b tenzorszorzatává, amelyben δb b ekvivalens a 2 × 2-es egységmátrixszal. Számítsuk most ki a (4 × 4-es) L várható értékét a tenzorszorzatokra érvényes muveletek ˝ alkalmazásával: 

Ψ |L|Ψ =

ψ ∗ (a , b )La b ,ab ψ(a, b).

a,b,a ,b

Ahogy már el˝ore figyelmeztettem mindenkit, egy csomó indexünk van. De az L mátrix speciális alakja következtében a dolgok egyszerusödnek. ˝ A (7.18) δb b tényez˝oje kiszur ˝ minden olyan mátrixelemet, amely meg tudja változtatni az indexek Bobra vonatkozó felét, a többit pedig érintetlenül hagyja. A b = b helyettesítésre kényszerít: 

Ψ |L|Ψ =

ψ ∗ (a , b)La ,a ψ(a, b).

a,b,a ,b

(7.19)

Ha figyelmen kívül hagyjuk az a-ra és az a -re el˝oírt összegzést, akkor Aliz ρ a a =



ψ ∗ (a, b)ψ(a , b)

(7.20)

a

2×2-es sur ˝ uségmátrixát ˝ kapjuk eredményül. Vegyük észre, hogy ez már nem tartalmaz b indexet, mert felösszegeztünk rá. Kizárólag Aliz a és a indexét˝ol függ. 26 Kronecker-szorzatnak

is hívhatnánk, hiszen mátrixokról van szó. A formális

megkülönböztetésnek azonban számunkra nincs jelent˝osége.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

213

További részletek az összefonódásról

A (7.19)-et egyszerubb ˝ alakra hozhatjuk, ha behelyettesítjük (7.20)-at. Az L (2 × 2-es verziójának) várható értékére így az L =



ρa a La,a

(7.21)

a a

képletet kapjuk. Azzal, hogy a b-re kiösszegeztünk, a 4 × 4es mátrixot 2 × 2-esre redukáltuk. Ez így is van rendjén. Egy operátornak, amelyik a kompozitrendszerre hat, 4 × 4-es mátrixnak, egy olyan operátornak pedig, amely Aliz alrendszerében hat, 2 × 2-es mátrixnak kell lennie. Vegyük észre, hogy a (7.21) jobb oldalán a ρL mátrix diagonális elemeinek összege áll. Az egyenletet ezért tömörebben is felírhatjuk: L = Tr ρL. A tanulság mindebb˝ol a következ˝o: Ahhoz, hogy Aliz sur ˝ uség˝ mátrixát kiszámíthassuk, szükségünk lehet a teljes hullámfüggvényre, amely Bob változóit is tartalmazza. De függetlenül attól, honnan vettük, ha már egyszer ismerjük ρ-t, Aliz bármilyen megfigyelését kiszámíthatjuk bel˝ole. Egy egyszeru˝ példa: A ρ segítségével meghatározhatjuk annak P (a) valószínuségét, ˝ hogy milyen a állapotban találjuk meg Aliz rendszerét, ha mérést végzünk rajta. A P (a) kiszámításához arra a P (a, b) valószínuségre ˝ van szükségünk, amely a kombinált rendszer |ab állapotának a valószínuségét ˝ írja le. Ez a következ˝o: P (a, b) = ψ ∗ (a, b)ψ(a, b). A valószínuségszámítás ˝ standard szabályai szerint az a valószí-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

214

Kvantummechanika

nuségét ˝ úgy kapjuk meg, hogy ezt a képletet összegezzük b-re:  P (a) = ψ ∗ (a, b)ψ(a, b). b

Ez a sur ˝ uségmátrix ˝ diagonális eleme: P (a) = ρaa .

(7.22)

Felsoroljuk a sur ˝ uségmátrix ˝ néhány tulajdonságát: • A sur ˝ uségmátrix ˝ hermitikus: ρaa = ρ∗a a . • A sur ˝ uségmátrix ˝ nyoma 1-gyel egyenl˝o: Tr ρ = 1. Ez a (7.22)-b˝ol látható, amelynek bal oldalán egy valószínuség ˝ áll. • A sur ˝ uségmátrix ˝ összes sajátértéke a 0 és az 1 közötti pozitív szám. Ebb˝ol már látható, hogy ha van olyan sajátérték, amelyik 1-gyel egyenl˝o, akkor az összes többi nulla. Meg tudják ezt magyarázni? • Tiszta állapotra ρ2 = ρ Tr(ρ2 ) = 1. • Kevert állapotra ρ2 = ρ Tr(ρ2 ) < 1.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

215

A két utolsó tulajdonság segítségével világos matematikai különbséget tehetünk a tiszta és a kevert állapot között. Egy összefonódott állapotban az egyik alrendszer (mint például az Alizhoz tartozó fél a szingulett állapotban) kevert állapotú. Érdemes egy pillanatra megállni, hogy jobban szemügyre vehessük ezt a két tulajdonságot. A dolgokat egyszerusítend˝ ˝ o feltesszük, hogy ρ diagonális mátrix – a nemdiagonális elemei mind nullák. Ez nem igazi korlátozás, mert ρ hermitikus, és valamilyen bázisban minden hermitikus operátor diagonális27 . Egy diagonális mátrixot nagyon egyszeru˝ négyzetre emelni: A mátrixelemeinek a négyzetét kell venni. A ρ diagonális elemeinek összege 1, ezért amikor kevert állapotra vonatkozik, egyik diagonális mátrixeleme se lehet egyenl˝o 1-gyel. Ha nem így volna, tiszta állapotot írna le. Legalább két nullától különböz˝o pozitív diagonális elemmel kell rendelkeznie, amelyek kisebbek 1-nél. Ha ezeket négyzetre emeljük, olyan ρ2 mátrixot kapunk, amelynek az elemei még kisebbek. Ez a meggondolás igazolja a kevert állapothoz tartozó ρ-k tulajdonságait. Miel˝ott a következ˝o feladathoz hozzáfognának, felhívom a figyelmüket a nyom sok érdekes matematikai tulajdonsága közül az egyikre: Két mátrix szorzatának a nyoma nem függ a tényez˝ok sorrendjét˝ol. Képletben: Tr AB = Tr BA. 27 Már

korábban, a 7.2 szakaszban utaltunk rá, hogy bármely M hermitikus

mátrixot lehet diagonalizálni a P† MP transzformációval, amelyben a P unitér mátrix oszlopai M normált sajátvektorai.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

216

Kvantummechanika

Ez még akkor is így van, amikor AB = BA. Erre azért hívom fel a figyelmüket, mert L-lel gyakran lehet Tr Lρ alakban találkozni Tr ρL helyett. A két kifejezés egyenértéku. ˝ 7.5. Feladat: a) Mutassuk meg, hogy 

a

2 0

0

b

b) Legyen

 ρ=

 =

a2

0

0

b2

 .



1/3

0

0

2/3

.

Számítsuk ki a következ˝o mennyiségeket: ρ2 Tr (ρ) Tr (ρ2 ). c) Ha ez a ρ sur ˝ uségmátrix, ˝ akkor tiszta vagy kevert állapotot ír le?

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

217

7.6. Feladat: A (7.22) segítségével bizonyítsuk be, hogy ha ρ sur ˝ uségmátrix, ˝ akkor Tr ρ = 1.

7.6.

Egy konkrét példa: Aliz sur ˝ uségmátrixának ˝ számítása

Biztosan többen is elég elvontnak találták az eddigieket. Ellensúlyként következzen egy kidolgozott példa, amelyben élesebben kirajzolódnak a sur ˝ uségmátrix-fogalom ˝ kontúrjai. Idézzük fel Aliz sur ˝ uségmátrixának ˝ a definícióját a (7.20) képletb˝ol:  ρ a a = ψ ∗ (a, b)ψ(a , b), (7.23) b

Vegyük most a

1 |Ψ = √ (|ud + |du) 2 állapotvektort. Az általános esethez képest ebben az állapotban 1 két bázisvektor koefficiense nulla, kett˝oé pedig √ . Az állapot 2 normált, mert a koefficiensek négyzetösszege 1-gyel egyenl˝o. A koefficiensek továbbá valós számok, ami egyszerusíti ˝ a komplex konjugálások elvégzését. Számítsuk ki Aliz sur ˝ uségmátrixát ˝ ebben az állapotban. Mindenekel˝ott felsoroljuk ψ(a, b) értékét a lehetséges a, b párokra. Ezek, mint tudjuk, egyszeruen ˝ a bázisvektorok koefficiensével egyenl˝ok: ψ(u, u) = 0

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

218

Kvantummechanika

1 ψ(u, d) = √ 2 1 ψ(d, u) = √ 2 ψ(d, d) = 0. Ennek a négy egyenl˝oségnek a felhasználásával tudjuk kiszámítani Aliz sur ˝ uségmátrixát, ˝ ha tagonként felírjuk a (7.23) összeget. Minden tag ψ ∗ (a, b)ψ(a , b) alakú, Bob indexe mindkét tényez˝oben ugyanaz, mert – mint emlékezhetünk rá – a „ δb b . . . a b = b helyettesítésre kényszerít”. Ezt kapjuk: ρuu = ψ ∗ (u, u)ψ(u, u) + ψ ∗ (u, d)ψ(u, d) =

1 2

ρud = ψ ∗ (u, u)ψ(d, u) + ψ ∗ (u, d)ψ(d, d) = 0 ρdu = ψ ∗ (d, u)ψ(u, u) + ψ ∗ (d, d)ψ(u, d) = 0 ρdd = ψ ∗ (d, u)ψ(d, u) + ψ ∗ (d, d)ψ(d, d) =

1 . 2

Ezek a számok egy 2 × 2-es mátrix elemei: ⎛ ρ=⎝

1 2

0

0

1 2

⎞ ⎠

(7.24)

A mátrix nyoma 1. Ezzel a sur ˝ uségmátrixunk ˝ készen is van. 7.7. Feladat: A (7.24) segítségével számítsuk ki ρ2 -et. Mib˝ol látszik, hogy ez a ρ összefonódott állapotot ír le? Hamarosan látni fogjuk, hogy az összefonódás más módon is tesztelhet˝o.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

219

7.8. Feladat: Tekintsük a következ˝o állapotokat: 1 (|uu + |ud + |du + |dd) 2 1 |ψ2  = √ (|uu + |dd) 2 1 |ψ3  = (3|uu + 4|ud) 5 |ψ1  =

Számítsuk ki mindegyik állapotban Aliz és Bob sur ˝ uség˝ mátrixát és ellen˝orizzük a tulajdonságaikat.

7.7.

Összefonódási tesztek

Legyen adva az SAB összetett rendszer ψ(a, b) állapota. Mib˝ol állapíthatjuk meg, hogy összefonódott-e. Nem kísérletre, hanem matematikai kritériumra gondolok. Egy ezzel összefügg˝o kérdés az, hogy vannak-e az összefonódásnak fokozatai? És ha igen, hogyan számszerusíthetjük ˝ o˝ ket? Az összefonódás a korreláció kvantummechanikai általánosítása. Ezzel azt fejezzük ki, hogy Aliz, amikor a saját rendszerén mérést végez, valamit Bob állapotáról is megtud. Az el˝oz˝o el˝oadásban egy klasszikus fizikai példa a pénzérmével összefügg˝o korreláció volt. Amikor Aliz ránéz a Charlie-tól kapott érmére, nemcsak azt tudja meg, hogy o˝ maga egycentest vagy tízcentest kapott-e, hanem azt is, hogy milyet kapott Bob. Ez a kísérleti helyzet. A korreláció matematikai jele az, hogy a valószínuséget ˝

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

220

Kvantummechanika

meghatározó P (a, b) függvény nem faktorizálódik (nem olyan, mint a (6.3) képlet). Valahányszor a valószínuségi ˝ eloszlás nem faktorizálódik, a korreláció mindig különbözik nullától, ahogy azt a (6.2) egyenl˝otlenségben láttuk.

7.7.1. Az összefonódás korrelációs tesztje Legyen A Aliz, B pedig Bob megfigyelhet˝o mennyisége. A közöttük fennálló korreláció ezeknek a mennyiségeknek, valamint a szorzatuknak az átlagától (várható értékét˝ol) függ. Ezek a várható értékek a következ˝ok: A B AB. A C(A, B) korrelációt a C(A, B) = AB − AB képlet definiálja. 7.9.

Feladat: Mutassuk meg, hogy szorzatállapotban a

C(A, B) korreláció Aliz és Bob bármely A, illetve B megfigyelhet˝o mennyisége között nullával egyenl˝o. A feladatból a következ˝ot tudhatjuk meg az összefonódásról. Ha van bármilyen két megfigyelhet˝o mennyiség, A és B, amelyek valamilyen állapotban korreláltak – azaz C(A, B) = 0, – akkor az állapot összefonódott. A korreláció számértéke −1 és +1 közé

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

221

További részletek az összefonódásról

esik. Minél nagyobb a C(A, B) abszolút értéke, annál összefonódottabb az állapot. Ha C(A, B) = 0, akkor nincs se korreláció, se összefonódás.

7.7.2.

Az összefonódás sur ˝ uségmátrix-tesztje ˝

A korreláció kiszámításához ismerni kell a rendszernek mind Bobhoz, mind Alizhoz tartozó részét, valamint a rendszer hullámfüggvényét. Egy másik összefonódás-teszthez elég ismerni csak Aliz (vagy csak Bob) sur ˝ uségmátrixát. ˝ Tegyük fel, hogy a |Ψ szorzatállapot, amelyben a Bobhoz tartozó tényez˝o |φ, az Alizhoz tartozó pedig |ψ}. Ez annyit jelent, hogy a kompozit-hullámfüggvény is egy, Bob tényez˝ojét és Aliz tényez˝ojét tartalmazó szorzat: Ψ(a, b) = ψ(a)φ(b). Számítsuk most ki Aliz sur ˝ uségmátrixát. ˝ A (7.20) definíció alapján ρa a = ψ ∗ (a)ψ(a )



φ∗ (b)φ(b).

b

De amikor Bob állapota normált, akkor 

φ∗ (b)φ(b) = 1,

b

és Aliz sur ˝ uségmátrixa ˝ a rendkívül egyszeru˝ ρa a = ψ ∗ (a)ψ(a )

(7.25)

alakot ölti. Figyeljük meg, hogy ez a sur ˝ uségmátrix ˝ már csak Aliz változóit tartalmazza. Bizonyára nem nagyon meglep˝o, hogy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

222

Kvantummechanika

minden, amit Aliz rendszerér˝ol tudni lehet, benne foglaltatik Aliz hullámfüggvényében. Most bebizonyítok egy Aliz sur ˝ uségmátrixának ˝ sajátértékeire vonatkozó kulcsfontosságú tételt, amely szorzatállapotban érvényes. Kizárólag nem összefonódott állapotokra vonatkozik, és ezek beazonosítására szolgál. A tétel azt mondja ki, hogy Aliz (vagy Bob) sur ˝ uségmátrixának ˝ szorzatállapotban csak egyetlen egy zérustól különböz˝o sajátértéke van, és ez 1-gyel egyenl˝o. A bizonyítás els˝o lépéseként felírjuk a ρ mátrix sajátérték-egyenletét:  ρa a αa = λαa . a

Szavakban: Amikor a ρ mátrix az α oszlopvektorra hat, az α vektor λ-szorosát adja vissza. A ρ (7.25)-ben felírt egyszeru˝ alakját használva

ψ(a )



ψ ∗ (a)αa = λαa .

(7.26)

a

Figyeljük meg a következ˝oket. El˝oször is a  ψ ∗ (a)αa a

mennyiség bels˝o szorzat alakú. Amikor az α oszlopvektor ortogonális ψ-re, a (7.26) bal oldala nulla. Egy ilyen vektor a ρ nulla sajátértékhez tartozó sajátvektora. Ha Aliz állapotterének a dimenziója NA , akkor NA − 1 darab ψ-re ortogonális vektort tartalmaz. Ezek mindegyike a ρ zérus sajátértékhez tartozó sajátvektora. Csak egyetlen lehetséges irány marad egy olyan sajátvektor számára, amelyhez nemzérus sajátérték tartozik: a ψ(a) vektor maga. Valóban, αa = ψ(a) helyettesítéssel azt találjuk, hogy ez a ρ 1 sajátértékhez tartozó sajátvektora.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

223

Foglaljuk össze a tételünket: Amikor az összetett Aliz-Bob rendszer szorzatállapotban van, akkor Aliz (és Bob) súur ˝ uség˝ mátrixának egyetlen 1-gyel egyenl˝o sajátértéke van, az összes többi sajátérték nulla. Mi több, az 1 sajátértékhez tartozó sajátvektor nem más, mint Aliz alrendszerének hullámfüggvénye. Amikor ez a helyzet, Aliz rendszere tiszta állapotban van. Aliz minden megfigyelése leírható úgy, mintha Bob és a rendszere nem is létezne, Aliz pedig egy ψ(a ) hullámfüggvényu˝ izolált rendszerrel rendelkezne. A tiszta állapottal ellentétes véglet a maximálisan összefonódott állapot. Ez a kombinált rendszer olyan állapota, amelyben semmit se lehet tudni a részrendszerekr˝ol, noha a rendszernek mint egésznek a leírása teljes – annyira teljes, amennyire a kvantummechanika szerint ez egyáltalán lehetséges. A |sing például egy maximálisan összefonódott állapot. Amikor Aliz egy maximálisan összefonódott állapotban számítja ki a saját rendszerének a sur ˝ uségmátrixát, ˝ lehangoló eredményre jut: A sur ˝ uségmátrixa ˝ az egységmátrixszal arányos. Mindegyik sajátérték ugyanaz, és az összegük 1. Az egyes sajátértékek tehát 1/NA -val egyenl˝ok: ρa a =

1 δ a a . NA

(7.27)

Miért lett ett˝ol Aliz rosszkedvu? ˝ Menjünk vissza a (7.22) egyenlethez. Ez az egyenlet azt mondja, hogy egy adott a állapot valószínusége ˝ a ρ diagonális elemével egyenl˝o, amelyek (7.27) szerint mind egyenl˝ok egymással. Mi lehet kevésbé informatív, mint ez a teljesen struktúrálatlan, minden kimenetelt egyenl˝oen valószínunek ˝ deklaráló eloszlás?

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

224

Kvantummechanika

A maximális összefonódottság azzal jár, hogy semmiféle információnk sincs egy olyan mérés kimenetelér˝ol, amelyet egyedül Aliz alrendszerén végzünk el. Másrészt er˝os korrelációt jósol Aliz és Bob mérési eredményei között. Amikor Aliz a szingulett állapotban megméri a spinjének valamelyik komponensét, automatikusan azt is megtudja, milyen eredménnyel mérné meg Bob az o˝ spinjének ugyanezt a komponensét. Ez pontosan az a típusú ismeret, amely szorzatállapotban teljesen kizárt. Ily módon minden állapottípusban bizonyos dolgok megjósolhatók, mások pedig nem. Szorzatállapotban statisztikusan el˝ore jelezhetjük az egyes alrendszereken külön-külön elvégzett mérések eredményét, de Aliz mérései nem árulnak el semmit Bob rendszerér˝ol. Egy maximálisan összefonódott állapotban viszont Aliz semmit se tud el˝ore a saját méréseinek várható eredményér˝ol, azonban sok ismerettel rendelkezik a saját mérései és Bob mérési eredményei közötti összefüggésekr˝ol.

7.8.

A mérési folyamat

Korábban láttuk, hogy egy kvantumrendszer id˝oben egymással teljesen összeegyeztethetetlen módokon fejl˝odhet: Két mérés között az evolúciója unitér, a mérés folyamán pedig spontán állapotredukció. Ez a körülmény ádáz vitákat és zavaros állításokat eredményezett az úgynevezett realitásról. Szeretnék távol maradni ezekt˝ol a vitáktól, és a tényekhez tartani magamat. Aki megtanulta, hogyan muködik ˝ a kvantummechanika, maga is eldöntheti, van-e itt valami probléma.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

225

Kezdjük azzal, hogy minden méréshez kell egy rendszer és egy apparátus. De ha a kvantumelméleti leírás konzisztens, akkor bizonyára lehetséges a rendszert és az apparátust egyetlen összetett, nagyobb rendszernek tekinteni. Az egyszeruség ˝ kedvéért a rendszer álljon egyetlen spinb˝ol. Az A berendezés ugyanaz, mint amir˝ol a legels˝o el˝oadásban volt szó. A berendezés kijelz˝oje háromféle eredményt mutathat. Az els˝o az, amikor a kijelz˝o üres. Ez látható rajta, miel˝ott az apparátust érintkezésbe hozzuk a spinnel. A másik két lehet˝oség a mérés két lehetséges kimeneteléhez tartozó +1 és −1. Amikor az apparátus maga is egy kvantumrendszer (természetesen nem lehet más), akkor tartozik hozzá valamilyen állapottér, amely a legegyszerubb ˝ esetben három független állapotot tartalmaz: Az üres (blank) állapotot, valamint azt a kett˝ot, amelyek a mérés két lehetséges kimeneteléhez tartoznak: |b} | + 1} | − 1}. A spin bázisa a szokásos felfele és lefele állapotokból áll: |u |d. A bázisvektoroknak ebb˝ol a két készletéb˝ol megszerkeszthetjük a kompozit (tenszorszorzat) állapotteret, amely hat bázisvektort tartalmaz: |u, b

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

226

Kvantummechanika

|u, +1 |u, −1 |d, b |d, +1 |d, −1. A folyamat, amely a berendezés és a rendszer kölcsönhatásakor végbemegy, lehet bonyolult, de élhetünk bizonyos feltevésekkel arról, hogy a kompozitrendszer id˝oben hogyan változik. Tegyük fel, hogy az apparátus kezdetben az üres állapotban van, a spin kezd˝oállapota pedig a felfele állapot. A berendezés és a spin kölcsönhatása következtében létrejöv˝o végállapot (feltevés szerint) az |u, +1. A kölcsönhatás tehát változatlanul hagyja a spint, a berendezést pedig beugrasztja a +1 állapotba. Ezt a folyamatot így szimbolizálhatjuk: |u, b → |u, +1.

(7.28)

Hasonlóan, amikor a spin lefele állapotban van, a mérés az apparátust a −1 állapotba ugrasztja: |d, b → |u, −1.

(7.29)

Amikor a kölcsönhatás megtörténte után ránézünk a berendezés kijelz˝ojére, meg tudjuk mondani, milyen volt eredetileg a spin állapota. Tegyük fel most, hogy a spin kezdetben az általánosabb αu |u + αd |d

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

227

állapotban volt. Ha a berendezést is a rendszer részének tekintjük, akkor a kezd˝oállapot αu |u, b + αd |d, b

(7.30)

. Ez szorzatállapot, a spin kezd˝oállapotának és a berendezés üres állapotának a szorzata. Ellen˝orizhetik, hogy teljesen összefonódásmentes. 7.10. Feladat: Mutassuk meg, hogy a (7.30) állapotvektorban nincs összefonódás! A (7.28)-ból és a (7.29)-b˝ol ismerjük (7.30) mindkét tagjának id˝obeli evolúcióját, ezért a végállapotot könnyen meghatározhatjuk: αu |u, b + αd |d, b → αu |u, +1 + αd |d, −1. Ez az állapot összefonódott. Amikor speciálisan αu = −αd , akkor a maximálisan összefonódott szingulett állapotot kapjuk. Valóban, amikor ránézünk a berendezésre, azonnal meg tudjuk mondani, milyen állapotban van a spin: Amikor a kijelz˝on +1et látunk, a spin felfele állapotú, amikor pedig −1-et, akkor lefele állapotú. Mi több, annak valószínusége, ˝ hogy a kijelz˝on +1 olvasható, αu∗ αu -val egyenl˝o. Ez a szám egy valószínuség ˝ – pontosan egyenl˝o azzal a valószínuséggel, ˝ amellyel a spin eredetileg felfele állapotban volt. A mérési folyamatnak ebben a leírásában nincs állapotredukció, a berendezés és a rendszer összefonódott állapota unitér evolúcióval jött létre a kezdeti szorzatállapotból.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

228

Kvantummechanika

Ezekkel a meggondolásokkal az a gond, hogy a valódi problémát nem oldottuk meg, csak kés˝obbre halasztottuk. Egyáltalán nem kielégít˝o olyasmit mondani, hogy a berendezés „ ismeri” a spinállapotot, még miel˝ott mondjuk Aliz ránézett volna. Nem az-e a helyzet, hogy amikor ránéz, o˝ ugrasztja be (redukálja) a kompozitrendszer hullámfüggvényét? Igen is, meg nem is. Aliz néz˝opontjából igen, mert o˝ arra a következtetésre jut, hogy a berendezés és a spin a két lehetséges konfiguráció valamelyikében, van és a további cselekvését ehhez szabja. De hozzuk be a képbe Bobot is! Mindeddig nem lépett kölcsönhatásba se a spinnel, se az apparátussal, se Alizzal. Az o˝ néz˝opontjából ezek hárman alkotnak egyetlen kvantumrendszert. Szerinte nem következett be semmiféle hullámfüggvény-redukció, amikor Aliz ránézett a kijelz˝ore. Bob ehelyett azt fogja mondani, hogy Aliz összefonódott állapotba került a rendszer másik két komponensével. Ez mind nagyon jó és nagyon szép, de mi van akkor, amikor Bob ránéz Alizra? Az o˝ szempontjából ez a hullámfüggvény redukcióját idézi el˝o. Ám akkor el˝okerül a jó öreg Charlie. A kérdés ez: Aki utoljára néz rá a rendszer hullámfüggvényére, redukálja azt, vagy összefonódik vele? Vagy egyáltalán létezik-e utolsó ránéz˝o? Nem is próbálok válaszolni ezekre a kérdésekre, mert enélkül is nyilvánvaló, hogy a kvantummechanika konzisztens számítási módszert biztosít az olyan valószínu˝ ségekre, amelyek egy rendszert és egy apparátust igényl˝o kísérletekre vonatkoznak. Használjuk, és látjuk, hogy muködik, ˝ de amikor arról a „ realitásról” faggatjuk, amin alapul, akkor összezavarodunk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

7.9.

229

Összefonódás és lokalitás

Megsérti-e a kvantummechanika a lokalitás elvét? Vannak olyanok, akik szerint megsérti. Einstein háborgott „ a távolhatás szelleme” ellen, amelyet szerinte a kvantummechanika kiengedett a palackból. John Bell pedig, aki bebizonyította, hogy a kvantumelmélet nem lokális, valósággal kultikus figurává vált. Másrészt viszont az elméleti fizikusok többsége, különösen azok, akik kvantumtérelmélettel foglalkoznak – amelyet átsz˝o az összefonódás –, az ellenkez˝ojét állítják: Ha a kvantummechanikát helyesen alkalmazzuk, összhangban van a lokalitással. Persze, ahogy lenni szokott, a két ellentmondó nézet nem ugyanazt érti lokalitáson. Kezdjük a kvantumtérelméletesek lokalitásával. Az o˝ szótárukban a lokalitás annyit jelent, hogy nem lehet fénynél gyorsabban jelzéseket továbbítani. Megmutatom, hogyan következik ez a kvantummechanikából. Mindenekel˝ott általánosítsuk az Aliz rendszere és a Bob rendszere terminusokat. Aliz rendszerén mindeddig egy olyan rendszert értettem, amelyen Aliz méréseket tud végezni és helyileg hozzá tartozik. Ebben a szakaszban másképp fogom érteni: Aliz rendszerébe nemcsak azt a valamit sorolom be, ami nála van és mérés végezhet˝o rajta, hanem a mér˝oberendezést, s˝ot magát Alizt is. Természetesen ugyanebben az értelemben általánosítom Bob rendszerét is. Az |a} bázis ketvektor mindent leír, amivel Aliz képes kölcsönhatásba lépni. Hasonlóan a |b

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

230

Kvantummechanika

tartalmaz mindent, ami Bob hatáskörébe esik. Az |ab tenzorszorzat-állapot pedig Aliz és Bob világának kombinált rendszerére vonatkozik. Feltesszük, hogy a múltban Aliz és Bob elég közel tartózkodott egymáshoz ahhoz, hogy kapcsolat jöjjön létre közöttük, de jelenleg Aliz az Alfa Centaurin, Bob pedig Palo Altóban tartózkodik. A ψ(ab) Aliz–Bob-hullámfüggvény ezért lehet összefonódott. Aliz rendszerének, apparátusának, és önmagának teljes leírását ez a ρ su˝ ruségmátrix ˝ tartalmazza: ρaa =



ψ ∗ (a b)ψ(ab).

(7.31)

b

Kérdés: Képes-e Bob arra, hogy onnan, ahol tartózkodik, valamilyen módon hirtelen megváltoztassa Aliz sur ˝ uségmátrixát? ˝ Ne felejtsük el, hogy Bob csak olyasmit tehet, ami összhangban van a kvantummechanika törvényeivel. Így például Bob id˝obeli evolúciója, akármi okozza is, biztosan unitér, vagyis az Ubb unitér mátrix írja le. Ebben a mátrixban van tömörítve minden, ami Bob rendszerében történik, az is, ha végez valamilyen kísérletet, és az is, ha nem végez. Az U a hullámfüggvényre hatva új hullámfüggvényt hoz létre, amelyet „ végs˝o” hullámfüggvénynek fogunk hívni: ψvégs˝o (ab) =



Ubb ψ(ab ).

b

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

231

Írjuk fel ennek a hullámfüggvénynek a komplex konjugáltját is: ∗  ψvégs˝ o (a b) =

 b

ψ ∗ (a b )U†b b .

Figyeljük meg, hogy egyes betuket ˝ vessz˝okkel láttunk el, nehogy a következ˝o lépésben összekeverjük o˝ ket a korábban már bevezetett betujelekkel. ˝ Számítsuk most ki Aliz új sur ˝ uségmátrixát. ˝ Ehhez (7.31)-ben a hullámfüggvényt a végs˝o hullámfüggvénnyel kell helyettesíteni: ρaa =

 b,b ,b

ψ ∗ (a b )U†b b Ubb ψ(ab ).

Van egy csomó indexünk, de a képlet valójában nem olyan bonyolult, mint amilyennek kinéz. Vegyük észre, hogy az U mátrixok a következ˝o kombinációban szerepelnek: 

U†b b Ubb .

b

Ez a kombináció nem más, mint az U† U mátrixszorzat. De az U mátrix unitér, ezért a szorzat a δb b egységmátrixszal egyenl˝o. Ez annyit jelent, hogy figyelembe kell venni minden olyan tagot, amelyben b = b , a többit pedig el kell hagyni. Ennek következtében ρaa =



ψ ∗ (a b )ψ(ab ),

b

ami (a b → b átjelölés után) pontosan megegyezik (7.31)-gyel. A ρaa tehát megmaradt ugyanannak, ami az U hatása el˝ott volt. Semmi sem képes azonnali hatást gyakorolni Aliz sur ˝ uségmát˝ rixára, ami Bob tartózkodási helyén történik – még akkor sem,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

232

Kvantummechanika

amikor maximálisan összefonódott állapotban vannak. Másképpen kifejezve ugyanezt: Aliz továbbra is pontosan ugyanolyannak látja a saját alrendszerét (a statisztikus modelljét), amilyen korábban volt. Ez a fontos következtetés meglep˝onek hat, amikor maximálisan összefonódott állapotról van szó, de pontosan ilyen garancia szükséges ahhoz, hogy ne létezzenek fénynél gyorsabban terjed˝o hatások.

7.10.

A kvantumszimulátor: Bevezeto˝ a Bell-tételhez

Érdekes körülmény, hogy az uniteritásnak milyen kiemelked˝oen fontos szerepe van a pillanatszeruen ˝ terjed˝o jelek letiltásában. Ha U nem lenne unitér, Bob akciója tényleg hatással lett volna Aliz végs˝o sur ˝ uségmátrixára. ˝ Mi zavarta akkor Einsteint annyira, hogy a távolhatás kísértetér˝ol vizionált? Ahhoz, hogy erre a kérdésre válaszolhassunk, világosan kell látnunk, hogy o˝ és Bell lokalitáson valami egészen mást értett. Ennek illusztrálására kitaláltam egy számítógépes játékot, amelyben a számítógép azt igyekszik elhitetni a játékossal, hogy van benne egy mágneses térbe helyezett spin. Ezt a lehet˝oséget kell a játékosnak kísérletekkel ellen˝oriznie. A szimulátor vázlata a 7.1. ábrán látható. A szimulátor a következ˝oképpen muködik. ˝ A memóriájában tárolni lehet két komplex számot, αu -t és αd -t, amelyek eleget tesznek a szokásos αu∗ αu + αd∗ αd = 1

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

233

normálási feltételnek. A játék kezdetén ezek inicializálva vannak valamilyen értéken. A számítógép ezután megoldja a mágneses térbe helyezett spin Schrödinger-egyenletét annak a feltevésnek megfelel˝oen, hogy ezek az α-k egy spin állapotvektorának komponensei.

7.1. ábra: A kvantumszimulátor. A képerny˝on a mér˝oberendezés orientációja látható, amelyet a felhasználó állít be. Az egyszeruség ˝ kedvéért a rajzon az orientáció kétdimenziós. A felhasználó akkor nyomja meg az M gombot, amikor meg akarja mérni a spint (amit a rajz nem mutat). Két mérés között a spin a Schrödinger-egyenletnek megfelel˝oen változik

A számítógép memóriájában két szög vagy egy egységvektor formájában tárolva van a mér˝oberendezés térbeli orientációja. A billentyuzet ˝ segítségével ez tetszés szerint változtatható. A memória o˝ riz még egy adatot, a +1 vagy a −1 számot, amelyet a mér˝oberendezés kijelz˝oje mutat. A mér˝oberendezés a kijelz˝ojével együtt ott látható a számítógép képerny˝ojén. Ön, mint a kísérlet végrehajtója, tetszése szerint választhatja meg az apparátus

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

234

Kvantummechanika

orientációját. Van még egy M (Mérés) gomb is, amelynek megnyomása aktiválja a berendezést. A program utolsó eleme egy véletlenszám-generátor, amely a +1 vagy a −1 eredményt adja ki αu∗ αu , illetve αd∗ αd valószínuség˝ gel. Jó, ha tudjuk, hogy a véletlenszám-generátorok a valóságban nem generálnak, hanem szimulálnak véletlen számokat. Klasszikus determinisztikus alapon muködnek, ˝ például a π számjegyeit adják ki egymás után, de ez nem kell, hogy zavarjon bennünket. A játék elkezd˝odik, a számítógép folyamatosan frissíti az αu -t és az αd -t. Ön vár, ameddig jónak látja, azután megnyomja az M gombot. Ekkor a véletlenszám-generátor kiad egy számot, ami megjelenik a kijelz˝on. A kijelzett értéknek megfelel˝oen a program ekkor állapotredukcióval frissíti az állapotot. Amikor a kijelz˝on +1 jelenik meg, az αd -t nullára, az αu -t 1-re állítja be. Amikor pedig a kijelz˝o −1-et mutat, az ellenkez˝oje történik: Az αd 1-re, az αu 0-ra ugrik. Ezután újra a Schrödinger-egyenlet veszi át az irányítást mindaddig, amíg Ön újra megnyomja az M -et. Mivel Ön jó kísérletez˝o, sok mérés alapján statisztikát készít, amelyet azután szembesít a kvantummechanika jóslatával. Ha minden stimmel, levonja a következtetést, hogy a kvantummechanika helyesen írja le a számítógépben végbemen˝o folyamatot, bármi legyen is az. A számítógép természetesen teljesen klasszikus rendszer, de könnyedén szimulálja a kvantumspin viselkedését. A következ˝o lépés az, hogy ugyanezt eljátsszuk két számítógéppel, A-val és B-vel, amelyek két spint szimulálnak. Ha ez a két spin szorzatállapotban van és sohase hat kölcsön egymással, a két gépen egymástól teljesen függetlenül lehet játszani. De

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

235

most megjelenik Aliz, Bob és Charlie, hogy besegítsenek. Charlie persze összefonódott párt akar létrehozni. Azzal kezdi, hogy a két számítógépet kábellel összekötve egy rendszerré egyesíti o˝ ket, mi pedig feltesszük, hogy a jelek pillanatszeruen ˝ átjutnak egyik gépr˝ol a másikra. Az összetett számítógép most a négy αuu ,

αud ,

αdu ,

αdd

komplex számot tárolja a memóriájában, folyamatosan frissíve o˝ ket a Schrödinger-egyenlettnek megfelel˝oen. A két képerny˝o egy-egy mér˝oberendezést mutat, Aliz képerny˝ojén A, Bobén B látható. Ez a két virtuális berendezés egymástól függetlenül orientálható és aktiválható a megfelel˝o M gomb benyomásával. Amikor valamelyik berendezés M -jét megnyomják, a közös memória egy véletlenszám-generátor közbeiktatásával jelzést küld az illet˝o apparátusnak, amelynek a kijelz˝ojén megjelenik a mérés eredménye. Alkalmas egy ilyen elrendezés a kétspinrendszer szimulálására? Igen, mindaddig amíg a két számítógépet kábel köti össze egymással, amely az üzeneteket pillanatszeruen ˝ továbbítja. De kivéve azt az esetet, amikor a rendszer szorzatállapotban van és abban is marad, a számítógépek közötti kapcsolat megszüntetése lehetetlenné teszi a szimulációt. Be lehet ezt bizonyítani? Igen, be lehet – ez a Bell-tétel lényege. A kvantummechanika minden olyan klasszikus szimulációjának, amelyikben megkísérlik Aliz és Bob mér˝oberendezését eltávolítani egymástól, szükségképpen tartalmaznia kell egy pillanatszeru˝ jeltovábbításra alkalmas kábelt, amely a két különálló

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

236

Kvantummechanika

számítógépet összeköti az állapotot számon tartó és folyamatosan frissít˝o központi memóriával. De nem következik-e mindebb˝ol, hogy a lokalitást megsért˝o módon lehet információt továbbítani a kábelen? Csak akkor következne bel˝ole, ha Aliz, Bob és Charlie mindent megtehetne, ami a klasszikus nemrelativisztikus rendszerekben lehetséges28 . De ha csak a kvantummechanika által megengedett muvelete˝ ket szabad szimulálni, akkor ilyen lehet˝oség nincs. Amint már láttuk, a kvantummechanika nem teszi lehet˝ove, hogy Bob bármilyen muködése ˝ befolyással legyen Aliz sur ˝ uségmátrixára. ˝ Ez nem a kvantumelmélet problémája. Akkor merül fel problémaként, amikor a kvantummechanikát klasszikus Boole-logikán alapuló számítógéppel akarjuk szimulálni. A Bell-tétel tartalma eszerint a következ˝o: A klasszikus számítógépeket pillanatszeru˝ jeltovábbításra alkalmas kábellel kell összekötni ahhoz, hogy az összefonódást szimulálni tudják.

7.11.

Az összefonódás összefoglalása

A kvantummechanikának minden szemlélettel ellentétes állítása közül az összefonódás az, amit a legnehezebb elfogadni. Nem létezik klasszikus analogonja egy olyan állapotnak, amelynek teljes leírása semmilyen információt sem tartalmaz individuális részrendszereinek az állapotáról. Meglep˝o módon a nemlokalitást még definiálni se könnyu. ˝ A megértés legbiztosabb útja a jelenség matematikájának megértésén keresztül vezet. Az alábbiak28 A

lényeges az, hogy az ilyen rendszerek lehet˝ové teszik az információ pilla-

natszeru˝ továbbítását.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

237

ban tömör összefoglalását adjuk annak, amit az összefonódásról tanultunk. Egyebek között megkíséreltük kiemelni az összefonódott, az összefonódásmentes, valamint a részlegesen összefonódott állapotok közötti különbségeket három speciális állapotnak – a szingulettnek, a szorzatállapotnak és a „ közel szingulett” állapotnak – a „ bunlajstroma” ˝ alapján. Azt reméljük, hogy ez a forma segít a matematikai hasonlóságok és különbségek tisztázásában. Kérem, nézzék át id˝onként ezt az anyagot és oldják meg a feladatokat, miel˝ott továbbhaladnánk. 7.11. Feladat: Számítsuk ki Aliz sur ˝ uségmátrixát ˝ a „ közel szingulett” állapotban.

7.12. Feladat: Ellen˝orizzük a bunlajstromokon ˝ szerepl˝o numerikus adatok helyességét.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

238

Kvantummechanika

1. számú állapotvektor-bunlajtrom ˝ Név: Szorzatállapot (nincs összefonódás). A körözés alapja: Mértéktelen lokalitás, klasszikus rendszernek adja ki magát Személyleírás: Minden alrendszere teljesen meghatározott. Nincs korreláció Aliz és Bob rendszere között. Állapotvektor: αu βu |uu + αu βd |ud + αd βu |du + αd βd |dd Normálás: αu∗ αu + αd∗ αd = 1, βu∗ βu + βd∗ βd = 1 Sur ˝ uségmátrix: ˝

Aliz sur ˝ uségmátrixának ˝ egyetlen egy

nemzérus eleme van, amely 1-gyel egyenlo. ˝ Ehhez a nemzérus sajátértékhez tartozó sajátvektor Aliz alrendszerének a hullámfüggvénye. Hasonló érvényes Bobra is. Hullámfüggvény: Faktorizált: ψ(a)ψ(b) Várható értékek: σx 2 + σy 2 + σz 2 = 1 τx 2 + τy 2 + τz 2 = 1 Korreláció: σz τz  - σz τz  = 0

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó További részletek az összefonódásról

239

2. számú állapotvektor-bunlajtrom ˝ Név: Szingulett állapot (maximálisan összefonódott). A körözés alapja: Nemlokalitás, kifejlett kvantumszörnyeteg Személyeírás: Az összetett rendszer, mint egész, teljesen meg van határozva. Aliz és Bob alrendszerérol ˝ nincs információ. 1 Állapotvektor: √ (|ud − |du). 2 ∗ ∗ ∗ ∗ Normálás: ψuu ψuu + ψud ψud + ψdu ψdu + ψdd ψdd = 1.

Sur ˝ uségmátrix: ˝ A teljes kompozitrendszerre: ρ2 = ρ és Tr ρ2 = 1. Aliz alrendszerére: A sur ˝ uségmátrix ˝ az egységmátrixszal arányos, sajátértékei egyenlok ˝ és összegük 1. Ennek következtében egy kísérlet minden lehetséges kimenetele egyenloen ˝ valószínu. ˝ ρ2 = ρ és Tr ρ2 < 1. Hullámfüggvény: Nem faktorizált: ψ(a, b). Várható értékek: σx  = σy  = σz  = 0 τx  = τy  = τz  = 0 τx σx  = τy σx  = τz σz  = −1. Korreláció: σz τz  − σz τz  = −1

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

240

Kvantummechanika

3. számú állapotvektor-bunlajtrom ˝ Név: „ Közel szingulett állapot” (részlegesen összefonódott). A körözés alapja: Határozatlanság, általános teszetoszaság, nehezen tesz különbséget felfele és lefele között. Személyeírás: Létezik valamilyen információ az egész rendszerrol ˝ is, az alrendszerekrol ˝ is, de egyik esetben sem teljes. Állapotvektor:

√

0.6|ud −

√

0.4|du.

∗ ∗ ∗ ∗ ψuu + ψud ψud + ψdu ψdu + ψdd ψdd = 1. Normálás: ψuu

Sur ˝ uségmátrix: ˝ A teljes kompozitrendszerre: ρ2 = ρ és Tr ρ2 < 1. Aliz alrendszerére: ρ2 = ρ és Tr ρ2 < 1. Hullámfüggvény: Nem faktorizált: ψ(a, b). Várható értékek: σz  = 0.2 σx , σy  = 0; τz  = −0.2 τx , τy  = 0 τz σz  = −1

√ τx σx  = −2 0.24

Korreláció: Ebben a példában σz τz  − σz τz  = −0.96. Általában a részlegesen összefonódott állapotokban a korreláció −1 és +1 közé esik, de nem pont 0.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

8. eloadás ˝ Részecskék és hullámok

Artnak és Lennynek elege lett az összefonódásból. Valami egyszerubbre ˝ vágynak. Lenny: Helló, Hilbert! Van valami egydimenziós ajánlata? Hilbert: Megnézem a raktárban. Az egydimenziós cuccok manapság igen kelend˝oek. Gyakran el is fogy a raktárkészlet. Art: Ha nincs jobb, megfelelne valami klasszikus is. Hilbert: Mit képzel? Bevonnák a muködési ˝ engedélyemet! Art: Aha, szóval err˝ol van szó?

Az utca embere a kvantummechanikáról annyit tud, hogy a fény részecske, az elektron meg hullám. De mindeddig gyakorlatilag nem esett szó részecskékr˝ol, a hullám pedig csak a hullámfüggvényben fordult el˝o, aminek egyébként mindeddig nem volt sok köze a hullámokhoz. Mikor érkezünk el végre a „ valódi” kvantummechanikához? A válasz természetesen az, hogy a valódi kvantummechanika nem annyira a részecskékr˝ol és a hullámokról szól, hanem sokkal inkább azokról a nemklasszikus logikai elvekr˝ol, amelyek a viselkedésüket irányítják. Mint majd ebben az el˝oadásban látni fogják, a hullám-részecske dualitás tulajdonképpen csupán egy-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

242

Kvantummechanika

szeru˝ kiterjesztése annak, amit eddig tanultak. De miel˝ott rátérnénk a fizikára, foglalkoznunk kell valamennyi matematikával, olyasmikkel, amelyekr˝ol részben már volt szó a korábbi el˝oadásokban, részben azonban újak.

8.1. Matematikai közjáték: Muveletek ˝ folytonos függvényekkel 8.1.1.

Összefoglalás a hullámfüggvényr˝ol

Ebben az el˝oadásban a hullámfüggvényekre vonatkozó terminológiát fogjuk használni, ezért miel˝ott tovább haladnánk, célszeru˝ az err˝ol tanultakat áttekinteni. Az 5. el˝oadásban a hullámfüggvény elvont objektumként jelent meg, nem tisztáztuk, mi köze van a hullámokhoz és a függvényekhez. Miel˝ott pótolnánk ezt a hiányosságot, emlékeztetem Önöket arra, amir˝ol már volt szó. Kezdjük azzal, hogy választunk egy L megfigyelhet˝o mennyiséget, amelyhez a λ sajátértékek és a |λ sajátvektorok tartoznak. Legyen |Ψ egy állapotvektor. Mivel egy hermitikus operátor sajátvektorai teljes rendszert alkotnak, a |Ψ vektort el˝o lehet állítani a |Ψ =



ψ(λ)|λ

(8.1)

λ

kifejtés formájában. Az 5.1.2-3 szakaszokban a ψ(λ) kifejezést a rendszer hullámfüggvényének neveztük. De figyeljük meg: A ψ(λ) partikuláris formája attól függ, milyen L megfigyelhet˝o mennyiséget választottunk. Ha egy másikat válasz-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Részecskék és hullámok

243

tunk, a hullámfüggvény (és vele együtt a bázisvektorok és a sajátértékek) megváltoznak annak ellenére, hogy továbbra is ugyanarról az állapotról van szó. Következésképpen pontosítanunk kell azt a kijelentésünket, hogy ψ(λ) a |Ψ állapot hullámfüggvénye. A pontosabb megfogalmazás az, hogy ψ(λ) a hullámfüggvény az L-bázisban. A bázisvektorok λi |λj  = δij ortonormalitásának a felhasználásával az L-bázisban felírt hullámfüggvény el˝oállítható a |Ψ állapotvektor és a |λ sajátvektorok ψ(λ) = λ|Ψ bels˝o szorzata (vagy vetülete) alakjában is. A hullámfüggvényre két módon tekinthetünk. El˝oször is úgy, mint az állapotvektornak egy bizonyos bázisra vonatkozó komponenseire. Ezek a komponensek egy oszlopvektorban foglalhatók össze:

⎛ ⎞ ψ(λ1 ) ⎜ ⎟ ⎜ψ(λ2 )⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ψ(λ3 )⎟ ⎜ ⎟ ⎜ψ(λ )⎟ 4 ⎠ ⎝ ψ(λ5 )

De a hullámfüggvényt úgy is felfoghatjuk, mint a λ változó függvényét. Ha megadjuk a λ valamelyik lehetséges értékét, akkor a ψ(λ) kiad egy komplex számot. Azt is mondhatjuk tehát, hogy ψ(λ)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

244

Kvantummechanika

a diszkrét λ változó komplex értéku˝ függvénye. Amikor így gondolkozunk, a lineáris operátorok muveletekké ˝ válnak, amelyeket egy függvényen elvégezve új függvényt kapunk eredményül. Egy utolsó emlékeztet˝o: Annak valószínuségét, ˝ hogy egy kísérlet λ-t adja eredményül, a P (λ) = ψ ∗ (λ)ψ(λ) képlet adja meg.

8.1.2.

Függvények és vektorok

Azoknak a rendszereknek, amelyekkel eddig foglalkoztunk, véges dimenziójú állapotvektoraik voltak. Egy spint például kétdimenziós állapottérben tudunk leírni. Ennek következtében a megfigyelhet˝o mennyiségek lehetséges értéke is véges számú volt. De léteznek olyan bonyolultabb megfigyelhet˝o mennyiségek is, amelyek végtelen sok értéket vehetnek fel. Egy ilyen példa a részecske. Egy részecske koordinátái megfigyelhet˝o mennyiségek, de – a spinnel ellentétben – végtelen sok különböz˝o értékük lehet. Az x-tengely mentén mozgó részecskét például bármilyen valós x értéku˝ pontban megtalálhatjuk. Következésképpen az x egy folytonosan végtelen értéku˝ változó. Amikor egy rendszer megfigyelhet˝o mennyiségei folytonosak, a hullámfüggvény valóban egy folytonos változó függvénye. Ahhoz, hogy az ilyen rendszereket is tudjuk a kvantummechanika alapján tárgyalni, a vektor fogalmát ki kell tágítanunk úgy, hogy a függvényekre is kiterjedjen. A függvények azok függvények, a vektorok meg vektorok – két különböz˝o dolog. Hogyan lehetnek akkor a függvények is

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

245

Részecskék és hullámok

vektorok? Ha a vektort nyílnak képzeljük el a térben, amely egy pontra mutat, akkor ez tényleg nem függvény. De ha a vektoroknak, mint matematikai objektumoknak, olyan szélesebb osztályára gondolunk, amely meghatározott posztulátumoknak tesz eleget, akkor a függvények tényleg vektorteret alkotnak. Ezt a vektorteret David Hilbert matematikus után általában Hilberttérnek hívják. Tekintsük az egyetlen x valós változó komplex értéku˝ ψ(x) függvényét. A komplex függvény annyit jelent, hogy minden x mellett ψ(x) egy komplex szám. Az x független változó azonban valós. Bármilyen valós értéket fölvehet a −∞ és a +∞ között. Szögezzük most le, mit értünk azon, hogy „ a függvények vektorok”. Ez nem egy laza analógia vagy metafora. Bizonyos feltételek mellett (amelyekr˝ol kés˝obb lesz szó) a ψ(x) típusú függvények eleget tesznek a vektorteret definiáló axiómáknak. Erre a gondolatra már röviden utaltunk az 1.2.9 szakaszban, most pedig teljes egészében kifejtjük. Ha visszatekintünk a komplex vektorteret definiáló axiómákra (az 1.9.1 szakaszban), azt látjuk, hogy a komplex függvények mindnek eleget tesznek: 1. Bármely két függvény összege is függvény. 2. A függvények összeadása kommutatív. 3. A függvények összeadása asszociatív. 4. Létezik egyetlen zéró függvény, amelyet egy függvényhez hozzáadva ugyanazt a függvényt kapjuk eredményül. 5. Ha adva van a ψ(x) függvény, akkor létezik egyetlen olyan   −ψ(x) függvény, amelyre ψ(x) + −ψ(x) = 0.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

246

Kvantummechanika

6. Egy függvény komplex számmal történ˝o szorzása szintén függvény és lineáris. 7. Érvényes a disztributivitás, azaz bármely z és w komplex számra   z ψ(x) + φ(x) = zψ(x) + zφ(x) [z + w]ψ(x) = zψ(x) + wψ(x). Mindebb˝ol az következik, hogy a ψ(x) függvényeket azonosíthatjuk egy absztrakt vektortér |Ψ vektoraival. Mint várható, bravektorokat is definiálhatunk. A |Ψ-hez tartozó Ψ |-t a komplex konjugált ψ ∗ (x)-nek feleltetjük meg. Ahhoz, hogy ezt az elgondolást hatékonyan kamatoztathassuk, általánosítanunk kell matematikai eszköztárunk néhány darabját is. Az eddigi el˝oadásokban a hullámfüggvények azonosítására szolgáló indexek valamilyen diszkrét halmaz elemei voltak – például egy megfigyelhet˝o mennyiség sajátértékei. Most azonban a független változó folytonos. Egyebek között ez azzal is jár, hogy nem lehet szerinte közönséges módon összegezni. Úgy sejtem, Önök már tudják, mi itt a teend˝o. Vegyük három vektorokra vonatkozó fogalom függvényadaptációját, amelyek közül kett˝o biztosan ismer˝os: • Az összegzést integrálás helyettesíti. • A valószínuségek ˝ helyén valószínuségi ˝ sur ˝ uség ˝ jelenik meg. • A Kronecker-féle deltaszimbólum helyébe a Dirac-féle deltafüggvény kerül.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

247

Részecskék és hullámok

Nézzük meg ezt a három szabályt közelebbr˝ol. Az összegzést integrálás helyettesíti: Ha nagyon precízek akarnánk lenni, akkor azzal kezdenénk, hogy az x tengelyt diszkrét pontok sokaságával helyettesítenénk, amelyek valamilyen kis

távolságra vannak egymástól, majd pedig az → 0 limeszre térnénk át. Több oldalnyi számítást igényelne minden lépés igazolása. Ezt a nehéz utat azonban lerövidíthetjük néhány intuitív definíció segítségével, mint például az összegzés integrállal történ˝o helyettesítésével. Vázlatos formában ez a gondolat így foglalható össze:



 −→

dx.

i

Amikor például ki akarjuk számítani egy görbe alatti területet, az x tengelyt apró szakaszokra bontjuk, azután pedig összeadjuk a nagyszámú téglalap területét, pontosan úgy, ahogy az elemi analízisben történik. Amikor a szakaszok hossza nullához tart, az összegb˝ol integrál lesz. Vegyük a Ψ | brát és a |Ψ ketet, és definiáljuk a bels˝o szorzatukat. A nyilvánvaló eljárás az, hogy az (1.2) képletben az összegzést integrálással helyettesítjük. A bels˝o szorzat definíciója tehát a következ˝o:



Ψ|Ψ =

+∞ −∞

ψ ∗ (x)ψ(x).

(8.2)

A valószínuségek ˝ helyén valószínuségi ˝ sur ˝ uség ˝ jelenik meg: Kés˝obb a P (x) = ψ ∗ (x)ψ(x) kifejezést az x változó valószínuségi ˝ sur ˝ uségével ˝ fogjuk azonosítani. Miért sur ˝ uség, ˝ miért nem egyszeruen ˝ valószínuség? ˝ Egy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

248

Kvantummechanika

folytonos x változó esetében bármely pontos érték valószínusége ˝ rendszerint nullával egyenl˝o. Ezért hasznosabb a következ˝o kérdésfeltevés: Mi a valószínusége ˝ annak, hogy x az x = a és az x = b közé esik? A valószínuségi ˝ sur ˝ uség ˝ értelme az, hogy erre a kérdésre a



b

P (a, b) =



b

P (x) dx =

a

ψ ∗ (x)ψ(x) dx

a

legyen a válasz. Mivel a teljes valószínuségnek ˝ 1-gyel kell egyenl˝onek lennie, ezért a normált vektort a  ∞ ψ ∗ (x)ψ(x) dx

(8.3)

−∞

képlet definiálja. A Kronecker-féle deltaszimbólum helyébe a Dirac-féle deltafüggvény kerül: Eddig a pontig valószínuleg ˝ ismer˝os dolgokról beszéltünk. A Dirac-féle deltafüggvény talán kevésbé az. A deltafüggvény a δij Kronecker-delta analogonja. A Kroneckerdelta definíció szerint nullával egyenl˝o, amikor i = j és 1, amikor i = j. De ezt meg lehet fogalmazni másképpen is. Vegyünk egy Fi vektort valamilyen véges vektortérben. Elég nyilvánvaló, hogy a Kronecker-delta eleget tesz a  δij Fj = Fi j

egyenl˝oségnek. Ez azért van így, mert az összegnek csak a j = i tagja különbözik nullától. Az összegb˝ol a Kronecker-szimbólum kiszuri ˝ az összes F -et az Fi kivételével. Ennek természetes általánosítása egy olyan új függvény, amely egy integrálban végez el hasonló jellegu˝ szurést. ˝ Szükségünk van tehát egy olyan δ(x − x )

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

249

Részecskék és hullámok

függvényre, amelyre az  ∞ δ(x − x )F (x ) dx = F (x) −∞

(8.4)

képlet tetsz˝oleges F (x) esetében teljesül.

8.1. ábra: A Dirac-féle deltafüggvény közelítései. Ezek a közelítések az 2 n √ e−(nx) függvényen alapulnak, amelyet növekv˝o n értékeknél rajzoltunk π fel

A (8.4) képlettel definiált új objektum a Dirac-féle deltafüggvény. Ez a matematikai eszköz fontos szerepet játszik a kvan-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

250

Kvantummechanika

tummechanikában. Azonban a neve ellenére nem egy szokásos értelemben vett függvény. Minden x = x -nél nullával egyenl˝o, amikor pedig x = x , akkor végtelen nagy. Ez szükséges ahhoz, hogy a δ(x) alatti terület 1-gyel lehessen egyenl˝o. Némi pontatlansággal azt is mondhatjuk, hogy az origo körüli kis intervalumban különbözik nullától, ahol az értéke 1/ -nal egyenl˝o. Akkor az alatta lév˝o terület valóban egységnyi, de ami fontosabb, a (8.4) is teljesül. Az 2 n √ e−(nx) π

függvény jól közelíti a delta függvényt, amikor az n nagyon nagy. A 8.1. ábrán ez a függvény látható az n növekv˝o értékeinél. Noha egy elég kis értéknél, n = 10-nél álltunk meg, már ennek a közelít˝o függvénynek a grafikonja is nagyon keskeny és élesen csúcsos.

8.1.3.

Parciális integrálás

A lineáris operátorok el˝ott rövid kitér˝ot téve foglalkoznunk kell a parciális integrálás nevet visel˝o módszerrel. Egyszeru˝ dologról van szó, amely nélkülözhetetlen a továbbiak szempontjából. Újra és újra szükségünk lesz rá. Tegyük fel, hogy van két függvényünk, F és G. A szorzatuk differenciálja a következ˝o: d(F G) = F dG + GdF, vagy másképpen d(F G) − GdF = F dG.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

251

Részecskék és hullámok

Vegyük mindkét oldal határozott integrálját:  b  b  b d(F G) − GdF = F dG, a

azaz

a

b   F G − a

b

a



b

GdF =

a

F dG. a

Ez az a standard formula, amelyre az analízisb˝ol emlékezhetnek. De a kvantummechanikában az integrációs határokkal a végtelenhez tartunk, hogy átfogjuk az egész tengelyt, és a hullámfüggvényeinknek a végtelenben nullához kell tartaniuk ahhoz, hogy normáltak lehessenek. A bal oldal els˝o tagja ezért mindig nullával lesz egyenl˝o. Ezt szem el˝ott tartva kapjuk a parciális integrálás egyszerusített ˝ formuláját:  ∞  ∞ dG dF dx = − Gdx. F dx −∞ −∞ dx Ez a képlet akkor érvényes, amikor F és G a végtelenben nullához tart úgy, hogy a határokat tartalmazó tag eltunjön. ˝ Nagy szolgálatot tesznek önmaguknak, ha kívülr˝ol megtanulják ezt a képletet: Egy el˝ojel árán áttehetjük az integrandusban a deriválást az egyik tényez˝or˝ol a másikra.

8.1.4.

Lineáris operátorok

A brák és a ketek a kvantumtörténetnek csak az egyik fele. A másik fele a lineáris operátorokról, els˝osorban a hermitikus válfajukról szól. Ez fölvet két kérdést: • Mit kell lineáris operátoron érteni függvényterekben? • Mikor hermitikus egy lineáris operátor?

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

252

Kvantummechanika

A lineáris operátor fogalma elég egyszeru: ˝ Ez egy olyan gép, amely egy függvényre hatva másik függvényt hoz létre. Amikor két függvény összegére hat, a két egyedi végeredmény összegét produkálja. Ha pedig egy függvény komplex számszorosára hat, az eredeti végeredmény ugyanennyiszeresére vezet. Más szavakkal, az operátor hatása(min˝o meglepetés!) lineáris. Nézzünk néhány példát. Egy ψ(x) függvény megszorzása xszel egy egyszeru˝ muvelet. ˝ Az xψ(x) függvényt adja eredményül, és – mint könnyen ellen˝orizhet˝o, – lineáris. A „ szorozd meg x-szel” operátorra az X jelet fogjuk használni. Ekkor tehát definíció szerint Xψ(x) = xψ(x).

(8.5)

Egy másik példa: Jelöljük D-vel a differenciálás operátorát: Dψ(x) =

dψ(x) . dx

(8.6)

8.1. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy X és D lineáris operátor. Ez a két operátor természetesen a lehetséges lineáris operátoroknak csupán aprócska részhalmaza, de – mint hamarosan látni fogjuk, – X és D központi szerepet játszik a részecskék kvantummechanikájában. Nézzük most a hermitikusságra jellemz˝o tulajdonságokat. A hermitikus operátor jól használható definíciója a mátrixelemein alapul, amelyeket úgy kaphatunk meg bel˝ole, hogy egy bra és egy ket közé fogjuk. Egy L operátort két különböz˝o módon foghatjuk közre: Képezhetjük a Ψ |L|Φ,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

253

Részecskék és hullámok

vagy a Φ |L|Ψ mátrixelemét. E kett˝o között általában nincs egyszeru˝ kapcsolat. De amikor az operátor hermitikus (amelynek definíciója L† = L), akkor a két mátrixelem komplex konjugáltja egymásnak: Ψ |L|Φ = Φ |L|Ψ∗ . Vizsgáljuk meg, hogy vajon X és D hermitikus operátor-e. Mivel Xψ(x) = xψ(x), a bels˝o szorzásra vomatkozó (8.2) képlet alapján  Ψ |X|Φ = ψ ∗ (x)xφ(x)dx, valamint

 Φ |X|Ψ =

φ∗ (x)xψ(x)dx.

Az x valós, ezért ez a két integrál egymás komplex konjugáltja. Ez mutatja, hogy X hermitikus operátor. És mi a helyzet D-vel? A két mátrixelem ebben az esetben a következ˝o:

 Ψ |D|Φ =

és

 Φ |D|Ψ =

ψ∗

dφ(x) dx, dx

(8.7)

φ∗

dψ(x) dx. dx

(8.8)

A D hermitikusságának a vizsgálatához a két integrált össze kell hasonlítani egymással, és meg kell nézni, egymás komplex konjugáltjai-e. Ebben a formában a döntés nem nyilvánvaló. A trükk az, hogy a második képletben parciálisan kell integrálni. Ahogy

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

254

Kvantummechanika

mondtuk, a parciális integrálás lehet˝ové teszi, hogy a deriválást áthárítsuk az egyik tényez˝or˝ol a másikra, feltéve, hogy közben el˝ojelet is váltunk. A (8.8) integrál ily módon a következ˝o alakba írható át:

 Φ |D|Ψ = −

ψ

dφ∗ (x) dx. dx

(8.9)

A (8.7)-et most (8.9)-cel kell összevetni, és ez már egyáltalán nem nehéz. A mínusz miatt a két kifejezés nem komplex konjugáltja egymásnak. Éppen ellenkez˝oleg, a kapcsolatukat a Ψ |D|Φ = −Φ |D|Ψ∗ képlet fejezi ki, ami nem az, amit vártunk. Az X-szel ellentétben D nem hermitikus operátor, hanem a D† = −D képletnek tesz eleget. Az ilyen tulajdonságú operátorokat antihermitikusnak hívják. Noha az antihermitikus és a hermitikus operátorok egymás ellentettjei, nagyon könnyen átalakíthatók egymásba. Csak annyit kell tenni, hogy a képzetes i-vel vagy −i-vel megszorozzuk o˝ ket. Következésképpen a D-t felhasználhatjuk arra, hogy egy hermitikus operátort, nevezetesen a −iD megfigyelhet˝o mennyiséget konstruáljuk meg bel˝ole. Ez az új hermitikus operátor így hat a hullámfüggvényekre: −iDψ(x) = −i

www.interkonyv.hu

dψ(x) . dx

(8.10)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

255

Részecskék és hullámok

Véssük ezt az eszünkbe. Hamarosan jelent˝os szerepe lesz egy fontos mennyiségnek, a részecskék impulzusának a definíciójában.

8.2.

Egy részecske állapota

A klasszikus mechanikában egy „ rendszer állapotán” értjük mindazt, ami a rendszer jöv˝ojének a megjóslásához szükséges, feltéve, hogy ismerjük a rendszerre ható er˝oket. Ez a követelmény akkor teljesül, ha ismerjük a rendszert alkotó részecskéknek mind a pozícióját, mind pedig az impulzusát. Klasszikus néz˝opontból a pillanatnyi helyzet és a pillanatnyi impulzus két egymástól teljesen független változó. Amikor például egy m tömegu˝ test az egydimenziós x tengely mentén mozog, a pillanatnyi állapotát az (x, p) pár határozza meg. Az x koordináta a részecske helyét, a p = mx˙ az impulzusát rögzíti. A két változó együttesen határozza meg a rendszer fázisterét. Ha tudjuk, hogyan függ a hatóer˝o a részecske helyzetét˝ol, a Hamilton-egyenletek segítségével ki tudjuk számítani, hogy bármilyen kés˝obbi id˝opontban hol fog tartózkodni a részecske és mekkora lesz az impulzusa. Az x, p pár határozza meg a fázisfolyadék áramlását a fázistérben. Mindezek alapján az ember arra számítana, hogy a kvantummechanikában egy részecske állapotterét a koordinátával és az impulzussal indexelt |x, p bázis feszíti ki. Ha valóban így lenne, akkor a hullámfüggvény

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

256

Kvantummechanika

mindkét változótól függene: ψ(x, p) = x, p |Ψ. De ez így nincs jól. Már korábban láttuk, hogy két olyan mennyiségre vonatkozóan, amelyek a klasszikus fizikában egyidejuleg ˝ megismerhet˝ok, ez a lehet˝oség a kvantummechanikában nem feltétlenül áll fenn. A spin két komponensének, σz -nek és σx -nek a példája figyelmeztet erre. A két komponens nem ismerhet˝o meg egyszerre, ezért nem is létezik olyan állapot, amelyben mindkett˝onek határozott értéke van. Ugyanez igaz x-re és p-re: Túl sok lenne mindkett˝ot egyszerre rögzíteni. Akár a (σz , σx ), akár az (x, p) párról legyen szó, az inkompatibilitásuk mindkét esetben végs˝o soron tapasztalati ténynek tekintend˝o. Mit tudhatunk akkor egy részecskér˝ol, amelyik az x tengelyen mozog, ha nem x-et és p-t? A válasz az, hogy x-et vagy p-t, mert a hely és az impulzus operátorának a matematikája olyan, hogy a kett˝o nem kommutál egymással. Azonban hangsúlyozom, hogy ez egyáltalán nem olyan tulajdonság, amelyet el˝ore ki lehetett volna találni. Egyáltalán nem, hanem sok évtized kísérleti megfigyeléseib˝ol levont tapasztalat. Ha egy részecske helye megfigyelhet˝o mennyiség, akkor hermitikus operátor tartozik hozzá. Nyilvánvaló jelölt erre az X operátor. A hely intuitív fogalma és az X matematikai operátor közötti alapvet˝o kapcsolat megértésének els˝o lépése az, hogy meghatározzuk X sajátvektorait és sajátértékeit. A sajátértékek a pozíció lehetséges megfigyelhet˝o értékei, a sajátvektorok pedig a határozott pozícióhoz tartozó állapotok.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Részecskék és hullámok

8.2.1.

257

A helyoperátor sajátértékei és sajátvektorai

Az els˝o természetes kérdés az, hogy milyen eredménnyel jár az X operátor megmérése, és melyek azok az állapotok, amelyekben határozott (megjósolható) értékkel rendelkezik. Röviden: Mik a sajátértékei és a sajátvektorai? El˝oször az X operátorról lesz szó. Az X sajátérték-egyenlete X|Ψ = x0 |Ψ, amelyben a sajátértéket x0 -lal jelöltük. A hullámfüggvények nyelvén ez az egyenlet a következ˝o: xψ(x) = x0 ψ(x).

(8.11)

Ez egy elég különösen kinéz˝o egyenlet. Hogyan lehet egy függvény x-szerese arányos magával a függvénnyel? Látszólag ez lehetetlen. De gondoljuk csak meg jobban. A (8.11)-et átírhatjuk a következ˝o alakba: (x − x0 )ψ(x) = 0. Ha egy szorzat nullával egyenl˝o, akkor legalább az egyik tényez˝onek nullának kell lennie. A másik azonban különbözhet nullától. Vagyis amikor x = x0 , akkor ψ(x) = 0. Ez nagyon er˝os feltétel. Azt fejezi ki, hogy adott x0 sajátérték mellett ψ(x) csak egyetlen pontban, x = x0 -ban különbözhet zérustól. Egy közönséges folytonos függvényre nézve ez a halálos ítélettel egyenl˝o: A szokásos értelemben vett függvények között nincs olyan, amely egyetlen pont kivételével

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

258

Kvantummechanika

mindenütt nulla, és csak ebben az egyetlen pontban különbözik nullától. A δ(x − x0 ) Dirac-féle deltafüggvény azonban pontosan ilyen tulajdonságú. El kell tehát fogadnunk, hogy az X-nek minden valós x0 egy lehetséges sajátértéke, a hozzá tartozó sajátvektor pedig (amelyet ebben az összefüggésben sajátfüggvénynek hívunk) végtelenül koncentrálva van az x = x0 pontba. Az állítás értelme világos: A ψ(x) = δ(x − x0 ) hullámfüggvények reprezentálják azokat az állapotokat, amelyekben a részecske az x tengelynek pontosan az x0 pontjában tartózkodik. Az persze tökéletesen érthet˝o, hogy az a hullámfüggvény, amely az x0 -ban tartózkodó részecskét reprezentálja, az x0 kivételével mindenütt nullával egyenl˝o. Hogyan is lehetne másképp? De elégedettséggel tölthet el a tény, hogy a matematika ezt az intuíciót meger˝osíti. Vizsgáljuk meg a |ψ állapot x0 |Ψ bels˝o szorzatát az |x0  sajátállapottal. A (8.2) képlet alapján  ∞ x0 |Ψ = δ(x − x0 )ψ(x). −∞

A deltafüggvény (8.4)-ben adott definíciója szerint ennek az integrálnak az értéke x0 |Ψ = ψ(x0 ).

www.interkonyv.hu

(8.12)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

259

Részecskék és hullámok

Ez a képlet bármilyen x0 -ra érvényes, ezért az indexet elhagyva az általános x|Ψ = ψ(x)

(8.13)

alakban is felírhatjuk. Összefoglalva: Az x tengely mentén mozgó részecske ψ(x) hullámfüggvénye a |Ψ állapotvektor vetülete a pozíció sajátvektoraira. A ψ(x) neve: a hullámfüggvény x-reprezentációban.

8.2.2.

Az impulzus és sajátvektorai

A hely intuitív fogalom, az impulzus kevésbé. A kvantummechanikában ez méginkább így van. Csak kés˝obb fogjuk megérteni, hogy az az operátor, amelyet az impulzusnak feleltetünk meg, hogyan függ össze az impulzus megszokott formulájával, a tömegszer sebességgel. De megígérem, hogy megtaláljuk vele a kapcsolatot. Egyel˝ore maradjunk az absztrakt matematikánál. A kvantummechanika impulzusoperátora a P, amely a −iD operátor segítségével adható meg. Mint a (8.10) képletben már láttuk, az i szorzótényez˝o szükséges ahhoz, hogy az operátor hermitikus legyen. Megtehetnénk, hogy P-t egyszeruen ˝ egyenl˝onek vesszük −iDvel, de ha ezt tennénk, kés˝obb nehézségekbe ütköznénk, amikor meg akarnánk találni a kapcsolatot a klasszikus fizikával. A fizikai dimenzióval lenne gondunk. A klasszikus fizikában az impulzus egysége a tömeg és a sebesség mértékegységének a szor-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

260

Kvantummechanika

zata, tömegszer hosszúság osztva az id˝ovel (M L/T ). A D operátor mértékegysége viszont a hosszúságegység inverze, vagyis 1/L. A megoldást a  Planck-állandó kínálja a maga M L2 /T dimenziójával. A P és a D korrekt kapcsolata tehát P = −iD,

(8.14)

vagyis a hullámfüggvényre való hatás szempontjából dψ(x) (8.15) . dx A kvantumelmélettel dolgozó fizikusok gyakran választanak olyan Pψ(x) = −i

egységrendszert, amelyben  értéke 1-gyel egyenl˝o. Ez vonzó lehet˝oség, de nem fogunk élni vele. Keressük meg P sajátvektorait és sajátértékeit. Absztrakt vektorjelölésben a sajátérték-egyenlet a következ˝o: P|Ψ = p|ψ,

(8.16)

ahol p a P valamelyik sajátértéke. A (8.16) egyenletet felírhatjuk hullámfüggvénnyel is. A P = −i

d dx

megfeleltés következtében a sajátérték-egyenlet a következ˝o lesz: −i

dψ(x) = pψ(x), dx

vagy ip dψ(x) = ψ(x). dx  Ilyen típusú egyenlettel már korábban is találkoztunk. A megoldása exponenciális függvény: ipx ψp (x) = Ae  .

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

261

Részecskék és hullámok

A p alsó index arra emlékeztet, hogy ψp (x) a P operátornak speciálisan a p sajátértékhez tartozó sajátfüggvénye. Ez az x változó függvénye, amelyet a P valamelyik sajátértéke indexel. A sajátérték-egyenlet nem rögzíti az A állandót, amely az exponenciális függvényt szorozza. Ezt már ismerjük: A sajátértékegyenlet önmagában sohase biztosítja a hullámfüggvény normáltságát. A konstans értékét rendszerint abból a követelményb˝ol kiindulva választjuk meg, hogy a hullámfüggvény egységnyi valószínuségre ˝ legyen normálva. A 2.3 szakaszra visszautaló példa a spin x komponensének a sajátvektora: 1 1 |r = √ |u + √ |d. 2 2

√ ˝ legyen 1. Itt az 1/ 2 szorzó biztosítja, hogy a teljes valószínuség A P sajátvektorainak a normálása némileg bonyolultabb, bár az eredmény maga egyszeru. ˝ Az A tényez˝o alig komplikáltabb, mint a spin esetében. Az id˝o kímélése érdekében elárulom a végeredményt, a bizonyítását pedig kés˝obb végezhetik majd el. A √ korrekt tényez˝o A = 1/ 2π, ezért ipx 1 ψp (x) = √ e  . 2π

(8.17)

A (8.13) és a (8.17) képletb˝ol következ˝o érdekes tény a hely |x és az impulzus |p sajátvektoraiból képzett bels˝o szorzat szimmetriája: ipx 1 x|p = √ e  2π ipx 1 − p|x = √ e  . 2π

www.interkonyv.hu

(8.18)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

262

Kvantummechanika

A második egyenlet egyszeruen ˝ az els˝o komplex konjugáltja. Ezeket az eredményeket nem nehéz ellen˝orizni, ha figyelembe vesszük, hogy |x-et deltafüggvény reprezentálja. Két fontos körülményre hívom fel a figyelmüket, miel˝ott tovább haladnánk: 1. A (8.17) az impulzus sajátfüggvénye koordinátabázisban, tehát annak ellenére, hogy impulzus-sajátállapot, nem a pnek, hanem x-nek a függvénye. 2. A ψ szimbólumot használtuk mind a hely, mind az impulzus sajátállapotára. Egy matematikus nem helyeselné, hogy ugyanazzal a betuvel ˝ jelöljünk két különböz˝o függvényt, de a fizikusok ezt rendszeresen megteszik. A ψ(x) általános jelölés egy függvényre, annak konkrét természetét˝ol függetlenül. Ez az a pont, ahol el˝oször kezd sejleni, miért is nevezik a hullámfüggvényt hullámfüggvénynek. Vegyék észre, hogy az impulzusoperátor sajátfüggvényei (a sajátvektorokat reprezentáló hullámfüggvények) valóban hullámok – pontosabban színuszhullámok, vagy koszinuszhullámok. Most találkozunk els˝o ízben a kvantummechanika hullám-részecske dualizmusának egyik legfontosabb aspektusával. Az ipx e  függvény hullámhosszát a λ=

www.interkonyv.hu

2π p

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

263

Részecskék és hullámok

képlet adja meg, mivel a függvény értéke nem változik meg, ha 2π -t adunk hozzá: x-hez p ip(x + e

2π p )



ipx ipx 2πi =e  e =e  .

Tartsunk itt egy kis szünetet és beszéljük meg, mi is a jelent˝osége ennek az impulzus és hullámhossz közötti kapcsolatnak. Ez az összefüggés több mint jelent˝os: Nagymértékben ez határozta meg a huszadik század fizikáját. Az utóbbi száz évben a fizikusok er˝ofeszítései els˝osorban a mikrovilág törvényeinek a felkutatására irányultak. Eközben ki kellett deríteniük, hogyan épülnek fel bizonyos objektumok kisebbekb˝ol. A példák közismertek: A molekulák atomokból állnak, az atomok elektronokból és atommagból, az atommagok protonokból és neutronokból, ezek a szubnukleáris részecskék pedig gluonokból és kvarkokból. És ez a játszma folytatódik, a tudósok még rejtettebb, még kisebb entitások után kutatnak. Ezek az objektumok nemhogy szabad szemmel, de még a legmodernebb mikroszkóppal sem láthatók, olyan végtelenül kicsik. De ennek nemcsak az az oka, hogy a szemünk nem elég érzékeny. A lényegesebb ok az, hogy a szem és az optikai mikroszkóp a látható spektrumban muködik, ˝ amelyben a hullámhossz egy atom méretének néhány ezerszerese. A szabály az, hogy nem lehet felbontani olyan objektumokat, amelyek sokkal kisebbek, mint a fény hullámhossza, amelynek segítségével meg akarjuk o˝ ket figyelni. Ez a magyarázata annak, hogy a huszadik századi fizikára nagymértékben jellemz˝o az igény minél rövidebb hullámhosszú fényre – vagy bármilyen más természetu˝ hullámra. A

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

264

Kvantummechanika

10. el˝oadásban látni fogjuk, hogy egy adott hullámhosszú fénynyaláb olyan fotonokból áll, amelyeknek az impulzusa pontosan a λ=

2π p

képlet szerinti kapcsolatban áll a hullámhosszával. A következtetés ebb˝ol az, hogy minél kisebb méretu˝ objektumot akarunk megfigyelni, annál nagyobb impulzusú fotonok (vagy más objektumok) kellenek hozzá. A nagy impulzus elkerülhetetlenül jelent˝os energiával társul. Ez a magyarázata annak, hogy az anyag újabb és újabb mikroszkópikus tulajdonságainak a feltárásához egyre nagyobb teljesítményu˝ gyorsítókra van szükség.

8.3.

A Fourier-transzformált és az impulzusbázis

A ψ(x) hullámfüggvénynek fontos szerepe van annak meghatározásában, hogy milyen valószínuséggel ˝ található meg a részecske az x koordinátájú pontban: P (x) = ψ ∗ (x)ψ(x). Látni fogjuk, hogy nem létezik olyan kísérlet, amelyb˝ol egyszerre lehet megtudni egy részecske helyét és impulzusát. De ha semmit se akarunk tudni a helyr˝ol, az impulzust pontosan meg lehet határozni. A helyzet analóg a spin x és z komponensével. Bármelyiket meg lehet mérni külön-külön, egyszerre azonban nem. Milyen valószínuséggel ˝ találjuk p-vel egyenl˝onek egy részecske impulzusát, ha rászánjuk magunkat,hogy megmérjük? A választ a 3. el˝oadásban megfogalmazott elvek alkalmazásával ad-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

265

Részecskék és hullámok

hatjuk meg. Annak valószínusége, ˝ hogy az impulzusmérés eredménye p-vel egyenl˝o, a következ˝o: P (p) = |p|Ψ|2 .

(8.19)

A p|Ψ kifejezés a |ψ hullámfüggvénye impulzus reprezentációban. Ez természetesen a p függvénye, amelyet ezért új szimbólummal jelölünk: ˜ ψ(p) = p|Ψ.

(8.20)

Mint láthatjuk, egy állapotvektor két módon is reprezentálható: koordinátabázisban, vagy impulzusbázisban. Mindkét hullám˜ függvény – a ψ(x) koordinátabázisú, és a ψ(p) impulzusbázisú – pontosan ugyanazt a |Ψ állapotot reprezentálja. Kell tehát léteznie egy meghatározott transzformációnak, amely lehet˝ové te˜ szi, hogy ha ismerjük ψ(x)-et, ki tudjuk bel˝ole számítani ψ(p)-t és megfordítva. Az a helyzet, hogy a két reprezentáció egymás Fourier-transzformáltja.

8.3.1.

Egységfelbontás

Hamarosan látni fogjuk, mennyire hatékonyan alkalmazható Dirac bra-ket jelölése a bonyolult dolgok egyszerusítésére. ˝ El˝oször is felidézzük az el˝oz˝o el˝oadások egy fontos gondolatát. Tegyük fel, hogy egy hermitikus megfigyelhet˝o mennyiség sajátvektoraiból ortonormált bázist alkotunk. Legyenek a bázisvektorok az |i-k. A 7. el˝oadásban elárultam egy jól hasznosítható trükköt, amelyet most célszeru˝ lesz alkalmaznunk. Egységfelbontásnak hívják. A (7.11) képlet szerint az I egységoperátort (amely

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

266

Kvantummechanika

bármely állapotra hatva ugyanazt az állapotot adja vissza) felírhatjuk a következ˝o módon: I=



|ii |.

i

Mivel az impulzus is, a hely is hermitikus, mind az |x-ek, mind pedig a |p-k bázisvektorok. Ha az összegzést integrálással helyettesítjük, a segítségükkel két módon is felbonthatjuk az egységoperátort:

 I=

és

dx|xx |

(8.21)

dp|pp |.

(8.22)

 I=

Tegyük most fel, hogy az absztrakt |Ψ vektor hullámfüggvényét ismerjük koordináta-reprezentációban. Definíció szerint ez a következ˝o: ψ(x) = x|Ψ.

(8.23)

˜ Ha meg akarjuk határozni a ψ(p) impulzusreprezentációjú hullámfüggvényt, a következ˝o lépéseket kell megtennünk: • El˝oször felírjuk a hullámfüggvény definícióját impulzusreprezentációban: ˜ ψ(p) = p|Ψ. • Beszúrjuk a (8.21) formában felírt egységoperátort a bra- és a ketvektor közé: ˜ ψ(p) =

www.interkonyv.hu

 dxp|xx|Ψ.

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

267

Részecskék és hullámok

• A x|Ψ nem más, mint a ψ(x) hullámfüggvény, p|x-et pedig megtaláljuk (8.18) második sorában: −ipx 1 p|x = √ e  . 2π • Mindezeket összerakva 1 ˜ ψ(p) = √ 2π



−ipx dxe  ψ(x).

(8.24)

Ez az egyenlet határozza meg, hogyan kell egy koordináta-reprezentációban megadott hullámfüggvényt impulzusreprezentációba áttranszformálni. Mire jó ez? Tegyük fel, hogy ismerjük egy részecske hullámfüggvényét koordináta-reprezentációban, de az impulzusát mérjük a kísérletben, és tudni szeretnénk, milyen valószínuséggel ˝ kapunk rá p-t. Az eljárás az, hogy (8.24) segítségé˜ vel kiszámítjuk ψ(p)-t, ennek ismeretében pedig a ˜ P (p) = ψ˜∗ (p)ψ(p) valószínuséget. ˝ A fordított irányú átalakítás hasonlóan egyszeru. ˝ Tegyük fel, ˜ hogy ismerjük ψ(p)-t, és vissza akarjuk bel˝ole állítani ψ(x)-et. Ehhez az egységfelbontás (8.22) változatára van szükség. A szükséges lépések (amelyek feltun˝ ˝ oen hasonlítanak az el˝oz˝okhöz) a következ˝ok: • El˝oször felírjuk a hullámfüggvény definícióját koordinátareprezentációban: ψ(x) = x|Ψ.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

268

Kvantummechanika

• Beszúrjuk a (8.22) formában felírt egységoperátort a bra- és a ketvektor közé:  ψ(x) =

dpx|pp|Ψ.

˜ • A p|Ψ nem más, mint a ψ(p) hullámfüggvény, x|p-t pedig megtaláljuk a (8.18) képletben, ezúttal az els˝o sorban: ipx 1 x|p = √ e  . 2π • Mindezeket összerakva 1 ψ(x) = √ 2π



ipx ˜ dxe  ψ(p).

Nézzünk rá egy kicsit más szemmel a koordináta és az impulzus közötti ingajáratot megvalósító függvényekre. Figyeljük meg, mennyire szimmetrikusak. Az egyetlen aszimmetria az, hogy az egyikben e

ipx 

, a másikban e

−ipx 

1 ˜ ψ(p) =√ 2π 1 ψ(x) = √ 2π

szerepel:



−ipx dxe  ψ(x)



ipx ˜ dxe  ψ(p).

(8.25)

A koordináta- és az impulzusreprezentáció közötti (8.25) kapcsolat mutatja, hogy a két reprezentáció egymás Fourier-transzformáltja. Ezek a képletek a Fourier-analízis centrális összefüggései. Méltányolják, milyen egyszeru˝ volt ezeket levezetni Dirac elegáns jelöléseinek a segítségével.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

269

Részecskék és hullámok

8.4.

Kommutátorok és Poisson-zárójelek

Korábban, a 4. el˝oadásban két fontos elvet fogalmaztunk meg a kommutátorokról. Az els˝o a klasszikus mechanika és a kvantummechanika kapcsolatára vonatkozott, a második pedig a bizonytalanságra. Most, ennek a hosszúra nyúlt el˝oadásnak a végén, be akarom mutatni ezeknek az elveknek az alkalmazását X-re és P-re. A kommutátorok és a klasszikus fizika lapcsolatával kezdjük. Mint bizonyára amlékeznek rá, arra a következtetésre jutottunk, hogy a kommutátorok és a Poisson-zárójelek között nagyfokú hasonlóság áll fenn, amelyet a (4.21) egyenletben fogalmaztunk meg explicit módon. Ha az ott használt L-t és M-et írjuk be az egyenletbe, az [L, M]

←→

i{L, M }

(8.26)

megfeleltetésre jutunk. Ez eszünkbe juttatja, hogy a kvantummechanikai mozgásegyenletek er˝osen emlékeztetnek klasszikus megfelel˝oikre, ezért minden bizonnyal érdemes kiszámítani az X és a P megfigyelhet˝o mennyiségek kommutátorát. Szerencsére ez egyáltalán nem nehéz feladat. El˝oször azt kell tisztázni, hogyan hat az XP szorzat egy tetsz˝oleges ψ(x) hullámfüggvényre. A (8.5) és a (8.15) alapján Xψ(x) = xψ(x), Pψ(x) = −i

dψ(x) . dx

A két egyenlet együttesen rögzíti az XP szorzat hatását: XPψ(x) = −ix

www.interkonyv.hu

dψ(x) . dx

(8.27)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

270

Kvantummechanika

Most nézzük meg X és P hatását fordított sorrendben:   d xψ(x) . PXψ(x) = −i dx A jobb oldal átalakításához az xψ(x) szorzat differenciálhányadosát kell kiszámítani a szorzat differenciálási szabályának a figyelembevételével: PXψ(x) = −ix

dψ(x) − iψ(x). dx

(8.28)

A kommutátornak a hullámfügvényre gyakorolt hatását úgy kapjuk meg, hogy a (8.28) egyenletet kivonjuk (8.27)-b˝ol: [X, P]ψ(x) = XPψ(x) − PXψ)x), vagyis [X, P]ψ(x) = iψ(x). Mint látjuk, az [X, P] hatása egy függvényre abban áll, hogy megszorozza az i számmal. Képlettel ez így fejezhet˝o ki tömören: [X, P] = i.

(8.29)

Ez egy önmagában véve rendkívül fontos eredmény. Az a tény, hogy X és P nem kommutál egymással, kulcsfontosságú annak megértésében, hogy miért nem mérhet˝ok meg egyidejuleg. ˝ De a dolog még érdekesebbé válik, ha a kommutátorok és a klasszikus Poisson-zárójelek közötti (8.26) megfeleltetéssel vetjük össze. A (8.29) azt sugallja, hogy a megfelel˝o Poisson-zárójel a következ˝o: {x, p} = 1, ami valóban megegyezik a koordináták és a velük konjugált impulzusok közötti klasszikus összefüggéssel (lásd az I. kötet 10.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

271

Részecskék és hullámok

el˝oadásában a (8) egyenletet). Végs˝o soron ez a kapcsolat teszi világossá, miért felel meg az impulzus kvantummechanikai fogalma a klasszikus impulzusnak. Az 5. el˝oadás általános bizonytalansági elvét most alkalmazhatjuk az [X, P] = i relációra. Erre a képletre jutunk: XP ≥

 . 2

A következ˝o szakaszban majd foglalkozunk vele. Most idézzük fel a kommutátorokkal kapcsolatos másik elvet is. A 4. el˝oadásban azt állapítottuk meg, hogy két megfigyelhet˝o mennyiség, L és M csak akkor mérhet˝ok meg egyszerre, ha kommutálnak. Ha nem ez a helyzet, akkor L-et nem lehet megmérni anélkül, hogy ezzel M mérését befolyásolnánk. A nemkommutáló megfigyelhet˝o mennyiségeknek nincsenek közös sajátvektoraik. Ez vezetett el az általános bizonytalansági relációhoz.

8.5.

A Heisenberg-féle bizonytalansági reláció

Hölgyeim és uraim, most jön az a szám, amelyre mindannyian vártak. Végre itt van a Heisenberg-féle bizonytalansági reláció. A Heisenberg-féle bizonytalansági reláció a kvantumelmélet leghíresebb következménye. Nem korlátozódik annak megállapítására, hogy egy részecske helye és immpulzusa nem ismerhet˝o meg egyszerre, hanem pontos mennyiségi korlátot állít fel a kölcsönös meghatározatlanságukra. Ennél a pontnál azt javasolom, nézzék át újra az 5. el˝oadást, amelyben az általános bizony-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

272

Kvantummechanika

talansági relációról volt szó. A munka nagyját ott már elvégeztük, most csak az eredményeket kell learatnunk. Mint már tudjuk, az általános bizonytalansági elv mennyiségi korlátot szab az A és a B együttes mérhet˝oségére vonatkozóan. Ezt a tényt fejezi ki az (5.13) képlet: A B ≥

1 |Ψ |[A, B]|Ψ|. 2

Alkalmazzuk most ezt az elvet közvetlenül a hely és az impulzus X és P operátorára. A kommutátor ebben az esetben egy szám, amelynek várható értéke önmaga. Az A-t és a B-t X-szel és P-vel helyettesítve a X P ≥

1 |Ψ |[X, P]|Ψ| 2

képletet kapjuk. Ha pedig [X, P] helyébe beírjuk az i számot, akkor

1 |iΨ|Ψ|, 2 amelyb˝ol Ψ|Ψ = 1 következtében kapjuk a X P ≥

X P ≥

1  2

végeredményt. Nem létezik olyan kísérlet, amely át tudja hágni ezt a korlátot. Akármilyen gondosan tervezzünk is meg egy kísérletet a hely és az impulzus egyideju˝ reprodukálható meghatározására, a hely és az impulzus bizonytalanságának a szorzata minden er˝ofeszí1 tésünk ellenére se lesz kisebb -nál. 2 Amint a 8.2.1 szakaszban láttuk, a hullámfüggvény az X sajátállapotában er˝osen koncentrálva van egy x0 pont körül. Ebben a sajátállapotban a találati valószínuség ˝ is teljesen lokalizált.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

273

Részecskék és hullámok

Másrészt viszont egy impulzus-sajátállapotban a P (x) valószínuség ˝ egyenletes az egész x-tengely mentén. Ahhoz, hogy ezt lássuk, vegyük a (8.17) képlet hullámfüggvényének szorzatát a saját komplex konjugáltjával: ⎞⎛ ⎞ −ipx ipx 1 1 1 ψp∗ (x)ψp (x) = ⎝ √ e  ⎠ ⎝ √ e  ⎠ = . 2π 2π 2π ⎛

Az eredmény egy teljesen egyenletes eloszlás, amelynek semmilyen x-nél sincs csúcsa. Ebb˝ol nyilvánvaló, hogy egy határozott impulzusú állapotban a hely tökéletesen bizonytalan.

8.2. ábra: A legfontosabb tudnivalók a bizonytalanságtól. Fels˝o ábra: x az origótól jobbra található. A d eltérés lehet akár pozitív, akár negatív. A bizonytalanság Δx (>0) általános mértéke a d2 -ek átlaga. Alsó ábra: Az origót áthelyeztük jobbra, x = 0, Δx értéke változatlan

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

274

Kvantummechanika

A 8.2. ábra mutatja az x helyváltozó bizonytalanságának a definícióját. A fels˝o ábra az x várható értékhez viszonyítva ábrázolja a függvény Δx bizonytalanságú szétken˝odését. A d egy pont x-t˝ol számított eltérése, amely lehet pozitív is, negatív is. A Δx bizonytalanság az összes lehetséges d átlagolásának az eredménye és a függvény egészét jellemzi. Az átlagolásnál a d-ket négyzetre emeltük, hogy a pozitív és negatív eltérések ne kompenzálják egymást. A 8.2. alsó ábrája illusztrálja, hogyan egyszerusödik ˝ a számítás, ha az origót az x pontba helyezzük át. A Δx értéke eközben változatlan marad.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

9. eloadás ˝ Részecskedinamika

Art és Lenny mozgalmas napra számított a Hilbert-bárban. De mindegyik állapotvektort a tökéletes nyugalom állapotában találták – mintha megfagytak volna. Lenny: Dögunalom, Art. Itt sohase történik semmi? Hé, Hilbert, miért ilyen csendes ez a csehó? Hilbert: Nyugi, nyugi. Ahogy a Hamilton-operátor megjelenik, minden mozgásba jön. Art: A Hamilton-operátor? Ez valós operátornak hangzik.

9.1.

Egy egyszeru˝ példa

Az Elméleti minimum els˝o két kötete két f˝o kérdést jár körül. Az els˝o: Mit értünk rendszeren, és hogyan írjuk le annak pillanatnyi állapotát. Mint láttuk, a klasszikus és a kvantumfizika nagyon eltér˝o választ ad erre a kérdésre. A klasszikus fázistérnek – a koordináták és az impuzusok terének – a helyébe a kvantumelméletben az állapotok lineáris vektortere lép. A második nagy kérdés: Hogyan változnak az állapotok az id˝oben? A klasszikus mechanikában is, a kvantummechanikában is az a válasz, hogy a mínusz egyedik törvény alapján, vagyis

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

276

Kvantummechanika

úgy, hogy az állapotok változása közben ne vesszen el információ és ne mosódjanak el a különböz˝oségek. A klasszikus mechanikában ez az elv a Hamilton-egyenletekben és a Liouville-tételben realizálódott. Korábban, a 4. el˝oadásban pedig elmagyaráztam, hogy a kvantummechanikában az uniteritás elve valósítja meg, amely az általános Schrödinger-egyenlethez vezet el. A 8. el˝oadás kizárólag az els˝o kérdésr˝ol szólt: Hogyan kell leírni egy részecske állapotát. Ebben az el˝oadásban foglalkozunk a másodikkal, amelyet így is megfogalmazhatunk: Hogyan mozognak a részecskék a kvantummechanika szerint? A 4. el˝oadásban összefoglaltuk a kvantumállapotok id˝obeli változására vonatkozó alapelveket. A legfontosabb fogalom itt a H Hamilton-operátor, amely – a klasszikus mechanikai Hamiltonfüggvényhez hasonlóan – a rendszer teljes energiájával egyenl˝o. A kvantumelméletben a Hamilton-operátor az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenleten keresztül irányítja a rendszerek id˝obeli evolúcióját: ∂|Ψ (9.1) = H|Ψ. ∂t Ebben az el˝oadásban az eredeti Schrödinger-egyenletr˝ol lesz szó, ari

ról, amit Schrödinger használt egy kvantummechanikai részecske leírására. Az eredeti Schrödinger-egyenlet a (9.1) speciális esete. A közönséges (nemrelativisztikus) részecskék mozgását irányító Hamilton-függvény a klasszikus mechanikában a mozgási és a potenciális energia összegével egyenl˝o. Hamarosan eljutunk ennek a kvantummechanikai változatához, de el˝obb vessünk egy pillantást egy még ennél is egyszerubb ˝ Hamilton-operátorra.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

277

Részecskedinamika

Az elképzelhet˝o legegyszerubb ˝ Hamilton-operátor a P operátor konstansszorosa: H = cP.

(9.2)

Ezzel ritkán foglalkoznak, pedig nagyon tanulságos példa. A c konstans egy rögzített szám. Elfogadható a cP egy részecske Hamilton-operátorának? Igen, elfogadható, és hamarosan látni fogjuk, miféle részecskét ír le. Egyel˝ore csak annyit jegyzünk meg, hogy (9.2) nem az, amire egy nemrelativisztikus részecskénél számíthatnánk, mert nem P2 /2m. Azért érdemes mégis az egyszerubb ˝ példával kezdeni, hogy rajta mutassuk be a matematikai apparátus muködését. ˝ Hogyan reprezentálható ez a példa egy koordinátabázisban felírt ψ(x) hullámfüggvénnyel? Kezdjük azzal, hogy az operátorunkat beírjuk a (9.1) id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenletbe: i

∂ψ(x, t) ∂ψ(x, t) = −ic . ∂t ∂x

Figyeljük meg, hogy a ψ az x-nek is, a t-nek is függvénye. Mivel i-val egyszerusíthetünk, ˝ nagyon egyszeru˝ egyenletet kapunk: ∂ψ(x, t) ∂ψ(x, t) = −c . ∂t ∂x

(9.3)

A megoldása is egyszeru: ˝ az (x − ct) akármilyen függvénye kielégíti az egyenletet. Az „ (x − ct) függvénye” kifejezés olyan függvényre utal, amelyik nem függ külön x-t˝ol és t-t˝ol, hanem csak az (x − ct) kombinációjuktól. Tekintsünk tehát egy tetsz˝oleges ψ(x − ct) függvényt, és számítsuk ki a deriváltjait. Az x szerinti parciális derivált egyszeruen ˝ ∂ψ(x − ct) , ∂x

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

278

Kvantummechanika

mivel (x−ct) x szerinti parciális deriváltja 1. A t szerinti parciális derivált azonban −c

∂ψ(x − ct) . ∂t

Ezek a deriváltak nyilvánvalóan kielégítik a (9.3) egyenletet, és ezért minden ilyen alakú függvény megoldása a Schrödingeregyenletnek. Nézzük most meg, hogyan viselkedik a ψ(x − ct) függvény. Hogyan változik az id˝o haladtával? Kezdjük azzal, hogy pillanatfelvételt készítünk róla a t = 0 pillanatban. Ez a kép a ψ(x)-et ábrázolja. Megtudjuk bel˝ole, mivel egyenl˝o a ψ az x-tengely bármely pontjában a t = 0 pillanatban. Arról természetesen nincs szó, hogy az (x − ct) bármilyen függvényével megelégednénk. Megköveteljük, hogy a 

∞ −∞

ψ ∗ (x)ψ(x)dx

integrál legyen egyenl˝o 1-gyel. A ψ(x)-nek ezért a végtelenben elég gyorsan nullához kell tartania, különben az integrál elszállna. A 9.1. ábra mutatja, milyen jellegu˝ a ψ(x). A jellegzetességei alapján jogosan nevezhetjük ψ(x)-et hullámcsomagnak. Miután elkészítettük a ψ(x) pillanatfelvételt, megnézhetjük, mi történik ezután. A t növekedésével a hullámcsomag alakja nem változik, a komplex értéku˝ ψ(x, t) az összes jellezetességével együtt konstans c sebességgel mozog pozitív irányba29 . Volt rá okom, hogy a konstansot c-vel jelöltem, ami általában a fénysebesség jele. Azt gondolnám talán, hogy a részecskénk 29 Ez

vonatkozik a valós és a képzetese részre egyaránt

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

279

Részecskedinamika

9.1. ábra: Egy állandó formájú hullámcsomag, amely konstans sebességgel mozog

egy foton? No nem egészen. De a hipotetikus részecskére vonatkozó leírásunk nincs messze a mindig fénysebességgel mozgó neutrinó korrekt tárgyalásától. (A valódi neutrinók valószínu˝ leg egy egészen kicsivel lassabban mozognak, mint a fény.) A Hamilton-operátorunk egy 1 dimenzióban mozgó neutrinót egészen jól reprezentál, de van vele egy probléma: Az, hogy az általa leírt részecske csak jobbra tud haladni. A leírás teljessé tételéhez hozzá kellene adnunk a balra mozgás lehet˝oségét is30 . Jobbra mozgó zaxonunknak31 van még egy zavaró tulajdon30 A

mindig jobbra mozgó részecskéink eszembe juttatják Dr. Seuss A Zax címu˝

klasszikus elbeszélését. Hajlok rá, hogy „ jobbra mozgó zaxonoknak” nevezzem el o˝ ket. Nem tudhatjuk, milyen irányt vett volna a történet, ha Theodor Geiselnek tudomása lett volna a neutrínókról. 31 Ugye megmondtam.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

280

Kvantummechanika

sága – az energiája lehet pozitív is, negatív is. A P ugyanis vektor, amely az x-tengely mindkét irányába mutathat. Egy negatív impulzusú részecske energiája negatív, egy pozitív impulzusúé pozitív. Nem kívánok err˝ol többet mondani, csak annyit jegyzek meg, hogy az ilyen típusú részecskék negatív energiájának a problémáját Dirac sikeresen megoldotta azon az alapon, hogy ebben látta az antirészecskék létezésének elméleti alapját. Ezzel a kérdéssel nekünk nem kell foglalkoznunk, elég, ha megállapítjuk, hogy a részecskénk energiája lehet bármilyen el˝ojelu. ˝ Mivel a részecskénk hullámfüggvénye merev testként mozog az x-tengely mentén, ugyanez igaz a valószínuségi ˝ eloszlásra is. Ennek következtében az x várható értékének a mozgása is hasonló, c sebességgel halad jobbra. Ennek a rendszernek ez a kvantummechanikai esszenciája. De ezen kívül valami mást is észben kell tartani. Amikor azt mondtam, hogy a c sebesség rögzített, komolyan gondoltam. A részecskénk kizárólag olyan állapotban létezhet, amelyben ezzel a speciális sebességgel mozog. Nem tud se lassulni, se gyorsulni. Milyen módon lehet egy ilyen részecskét tárgyalni klasszikusan? A Hamilton-egyenleteket kell felírnunk ugyanezzel a Hamilton-függvénnyel: ∂H = x˙ ∂p és ∂H = −p. ˙ ∂x Amikor H = cP , akkor ∂H = x˙ = c ∂p

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

281

Részecskedinamika

és

∂H = −p˙ = 0. ∂x Eszerint a részecskénk klasszikus mechanikai tárgyalásában az impulzus megmarad, a helykoordináta fix c sebességgel mozog. A kvantummechanikában az egész valószínuségi ˝ eloszlás és a várható érték végez ilyen mozgást. Röviden: A helykoordináta várható értéke a klasszikus mozgásegyenleteknek megfelel˝oen viselkedik.

9.2.

A nemrelativisztikus szabad részecske

Csak tömeg nélküli részecskék tudnak fénysebességgel mozogni, és hozzátehetjük, csakis ilyen sebességgel mozoghatnak. A fotonon és a gravitonon kívül minden más részecskének van valamekkora tömege, ezért a sebességük kisebb, mint c. Amikor a c-nél sokkal kisebb sebességgel mozognak, nemrelativisztikusnak hívjuk o˝ ket, és a mozgásuk – legalább is klasszikusan – a közönséges newtoni mechanika szerint történik. A kvantummechanikát el˝oször nemrelativisztikus részecskékre alkalmazták. Korábban (a 4. és a 8. el˝oadásban) már szó volt róla, hogy a kvantummechanikában a kommutátorok ugyanolyan szerepet játszanak, mint a Poisson-zárójelek a klasszikus mechanikában. Ezeknek a matematikai eszközöknek a felhasználásával a két elmélet mozgásegyenlete csaknem azonos formában írható fel. Speciálisan a Hamilton-operátor ugyanolyan szerepet tölt be a kommutátorban, mint a Hamilton-függvény a Poisson-zárójelben. Ha tehát fel akarjuk írni egy olyan rendszer kvantummechanikai egyenleteit, amelynek a klasszikus fizikáját ismerjük, a legcél-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

282

Kvantummechanika

szerubb ˝ eljárás a klasszikus Hamilton-függvény átírása operátor formába. A nemrelativisztikus szabad részecske esetében természetesen a p2 /2m Hamilton-függvényre kell gondolni. Amikor azt mondjuk egy részecskér˝ol, hogy szabad, ezen azt értjük, hogy nem hat rá er˝o, ezért nem kell potenciális energiával számolnunk. Az ilyen részecskének csak mozgási energiája van, amely a következ˝o:

1 mv 2 . 2 Mint jól tudják, egy klasszikus részecske impulzusának képlete T =

p = mv. A Hamilton-függvény a kinetikus energiával egyezik meg, ha azt a p impulzuson keresztül fejezzük ki: H=

1 p2 mv 2 = . 2 2m

Ez a klasszikus nemrelativisztikus szabad részecske Hamiltonfüggvénye. Az el˝oz˝o példa jobbra haladó zaxonjával ellentétben egy ilyen részecske energiája nem függ a mozgás irányától. Ennek az az oka, hogy nem p-t, hanem p2 -et tartalmaz. Foglalkozzunk hát a p2 /2m energiájú részecskével, és keressük meg a szabad részecske Schrödinger-egyenletét (azt, amit Schrödingereredetileg felfedezett). Az eljárásunk ugyanaz lesz, mint amit az el˝oz˝o példában követtünk. A Hamilton-függvény segítségével fogjuk felírni az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenletet. Az egyenlet bal oldalán most is az i

www.interkonyv.hu

∂ψ ∂t

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

283

Részecskedinamika

kifejezés áll. A jobb oldalon a klasszikus Hamilton-függvénynek – a mozgási energiának – operátorosított alakja szerepel. A klasszikus mozgási energia p2 /2m. A kvantumváltozatban p-t a P operátor helyettesíti: H = P2 /2m. Mi ennek a pontos értelme? Mint láttuk, a P operátor definíciója P = −i

∂ . ∂x

A P négyzete a P két egymás utáni hatásával egyenértéku: ˝    ∂ ∂ −i , P2 = −i ∂x ∂x vagyis P2 = −

2 ∂ 2 . 2m ∂x2

Végül a bal- és a jobb oldalt egyenlítve felírjuk az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenletet:

−2 ∂ 2 ψ ∂ψ (9.4) = . ∂t 2m ∂x2 Ez a közönséges nemrelativisztikus szabad részecske tradicioi

nális Schrödinger-egyenlete, amely egy speciális típusú hullámegyenlet. Az el˝oz˝o példával ellentétben azonban olyan hullámokat ír le, amelyeknek a sebessége a hullámhossztól (és az impulzustól) függ˝oen más és más. Ennek következtében a hullámfüggvény a terjedése során nem o˝ rzi meg az alakját. A zaxon hullámfüggvényével ellentétben szétfolyó tendenciát mutat. Ez látható vázlatos formában a 9.2. ábrán.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

284

Kvantummechanika

9.2. ábra: Egy nemrelativisztikus szabad részecske tipikus hullámcsomagja. Felül: A kezdeti hullámcsomag keskeny és jól lokalizált. Alul: A hullámfüggvény az id˝o haladtával elmozdul jobbra és közben szétfolyik

9.3.

Az idofüggetlen ˝ Schrödinger-egyenlet

A célunk az, hogy megoldjuk a szabad részecske id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenletét, de ehhez el˝obb az id˝ofüggetlen egyenlettel kell foglalkoznunk. Az id˝ofüggetlen egyenlet lényegében a Hamiltonoperátor sajátérték-egyenlete: H|Ψ = E|Ψ, amelynek a ψ(x) hullámfüggvényt tartalmazó explicit formája a következ˝o:

2 ∂ 2 ψ(x) (9.5) = Eψ(x). 2m ∂x2 Nagyon könnyu˝ megtalálni azoknak a sajátvektoroknak a teljes −

rendszerét, amelyek ezt az egyenletet kielégítik, mert azonosak

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

285

Részecskedinamika

az impulzus-sajátvektorokkal. Próbáljuk ugyanis a ipx ψ(x) = e 

(9.6)

függvényekkel kielégíteni az egyenletet. A deriválásokat elvégezve azt találjuk, hogy tényleg (9.5) megoldásai, hacsak E = p2 /2m.

(9.7)

Ez nem okozhat meglepetést, hiszen E a (9.5) egyenlet energiasajátértéke. 9.1. Feladat: A (9.6) megoldás (9.5)-be helyettesítésével igazoljuk (9.7)-et. Mint a 4.13 szakaszban láttuk, az id˝ofüggetlen Schrödingeregyenlet minden megoldása lehet˝oséget nyújt arra, hogy megkonstruáljuk az id˝ofügg˝o egyenlet egy megoldását. Csupán anynyit kell tennünk, hogy az id˝ofüggetlen megoldást – esetünkben e

ipx 

-t – megszorozzuk e−

Et 

p2 t

= e−i 2m -sal. A megoldások teljes

rendszere tehát a következ˝o: ψ(x, t) = exp

i(px − 

p2 t 2m )

.

Minden megoldás ezeknek a megoldásoknak az összege, vagy integrálja:  ψ(x, t) =



i(px − ˜ ψ(p) exp 

p2 t 2m

 dp.

A számítást indíthatjuk bármilyen t = 0-beli hullámfüggvénnyel, ˜ megkeressük a ψ(p) Fourier-transzformáltját, amelyet hagyunk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

286

Kvantummechanika

id˝oben változni. A függvényalak nem marad állandó, mivel a különböz˝o p-ju˝ hullámok különböz˝o sebességgel terjednek. De látni fogjuk, hogy a hullámcsomag egésze p/m sebességgel halad, mint egy klasszikus részecske. Ennek az egyszeru˝ általános megoldásnak van egy fontos következménye. Egyebek között az olvasható ki bel˝ole, hogy impulzusreprezentációban a hullámfüggvény id˝obeli változása nagyon egyszeru: ˝ ˜ t) = ψ(p) ˜ exp i(px − ψ(p, 

p2 t 2m )

.

Mint látjuk, csak a fázis változik id˝oben, a nagyság állandó marad. Ez azért nagyon érdekes, mert ebben az esetben a P (p) valószínuségben ˝ sincs változás. Ez természetesen az impulzusmegmaradás következménye, ami azonban csak akkor érvényes, amikor a részecskére nem hat er˝o.

9.4.

Sebesség és impulzus

Mindeddig nem magyaráztam meg a P operátor és az impulzus klasszikus fogalma, a tömegszer sebesség, vagyis a v = p/m

(9.8)

képlet közötti összefüggést. Mit értünk egy kvantummechanikai részecske sebességén? A legegyszerubb ˝ válasz az, hogy az átlagos Ψ |X|Ψ hely id˝oderiváltját: v=

www.interkonyv.hu

dΨ |X|Ψ . dt

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

287

Részecskedinamika

A hullámfüggvény felhasználásával részletesen felírva ez a képlet a következ˝o: d v= dt



ψ ∗ (x, t)xψ(x, t).

Mi okozza Ψ |X|Ψ id˝obeli változását? Az, hogy ψ függ az id˝ot˝ol, és tudjuk is, hogyan. A ψ id˝obeli változását az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenlet határozza meg. Ezt a tényt használhatjuk fel arra, hogy megtaláljuk a Ψ |X|Ψ id˝obeli viselkedését. Elvégeztem ezt a számítást – ahogy mondják, nyers er˝ovel –, jó néhány oldalt igénybe vett. Szerencsére a korábban megismert absztrakt módszerek megkönnyítik a feladatot; a munka nagyobbik részét a 4. el˝oadásban valójában már elvégeztük. Javasolom, hogy – miel˝ott tovább haladnánk – gondolják át újra a 4. el˝oadás anyagát, különösen a 4.9 szakaszt az elejét˝ol a (4.17) képletig. Ez utóbbit megint felírom: d i L = [H, L]. dt  A képlet jelentése: Egy L megfigyelhet˝o mennyiség várható értékének az id˝oderiváltja az L-b˝ol és a Hamilton-operátorból képzett kommutátor várható értékének az i/-szorosával egyenl˝o. A képletet a v sebességre alkalmazva a v=

i [P2 , X] 2m

(9.9)

összefüggésre jutunk. Nem kell tehát mást tennünk, mint kiszámítani P2 , valamint X kommutátorát. Néhány egyszeru˝ lépés után ezt kapjuk: [P2 , X] = P[P, X] + [P, X]P.

www.interkonyv.hu

(9.10)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

288

Kvantummechanika

A képlet igazolásához ki kell írni a kommutátorokat, és figyelembe kell venni, hogy két tag kiejti egymást. 9.2. Feladat: Igazoljuk a (9.10) képletet a két kommutátor kifejtésével és az eredmények összehasonlításával. Utolsó lépésként a standard [P, X] = −i kommutátort kell felhasználni. Ha ezt (9.10)-be írjuk, és az eredményt (9.9)-be helyettesítjük, a v=

P m

képletet kapjuk, amely átírható az megszokottabb P = mv

(9.11)

alakba. Pontosan azt kaptuk, amit bizonyítani akartunk: Az impulzus – vagy pontosabban az impulzus átlagértéke – a tömeg és a sebesség szorzatával egyenl˝o. Ennek a végeredménynek a jobb érzékelése érdekében tegyük fel, hogy a hullámfüggvény egy elég keskeny hullámcsomag. Az x várható értéke a csomag középpontja közelében található. A (9.11) képlet azt jelenti, hogy a csomag középpontja a klasszikus p = mv képletnek megfelel˝oen mozog.

9.5. Kvantálás Miel˝ott áttérnénk az er˝ok tárgyalására a kvantummechanikában, tartsunk egy kis pihen˝ot, és elemezzük azt, ami eddig történt.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Részecskedinamika

289

Egy megbízható, jól ismert klasszikus rendszerb˝ol, a szabad részecskéb˝ol indultunk ki, amelyet kvantáltunk. Az eljárás a következ˝o módon kodifikálható: 1. Kiindulunk egy klasszikus rendszerb˝ol, vagyis néhány x koordinátából és p impulzusból. A példánkban mindkett˝ob˝ol csak egyetlen egy volt, de az eljárásunk általánosítható. A koordináták és az impulzusok páronként fordulnak el˝o: Minden xi -hez tartozik egy jól meghatározott pi . A klasszikus rendszernek van Hamilton-függvénye, amely ezekt˝ol az x-ekt˝ol és p-kt˝ol függ. 2. A klasszikus fázisteret egy lineáris vektortérrel helyettesítjük. Koordináta-reprezentációban minden állapotot egy ψ(x) hullámfüggvény reprezentál, amely általában az öszszes koordináta függvénye. 3. Az x-eket és a p-ket helyettesítjük az Xi , Pi operátorokkal. Az Xi úgy hat a hullámfüggvényre, hogy megszorozza xi vel, a Pi hatását pedig a Pi → −i

∂ ∂xi

szabály rögzíti. 4. Ezeknek a helyettesítéseknek az az eredménye, hogy a Hamilton-függvény operátorrá válik, amelyet használhatunk akár az id˝ofügg˝o, akár az id˝ofüggetlen Schrödinger-egyenletben. Az id˝ofügg˝o egyenlet mondja meg, hogyan változik a hullámfüggvény az id˝oben. Az id˝ofüggetlen egyenletb˝ol pedig a Hamilton-operátor sajátfüggvényeit és sajátértékeit lehet meghatározni.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

290

Kvantummechanika

Ezzel a kvantálási procedúrával lehet egy rendszer klasszikus egyenleteit kvantumegyenletekké alakítani. Mindenütt ezt alkalmazzuk, kezdve a részecskék mozgásán egészen a kvantumelektrodinamikáig. Még Einstein gravitációelméletére is próbálták – kevés sikerrel – alkalmazni. Ahogy egy egyszeru˝ példán bemutattuk, az eljárás biztosítja, hogy a várható értékek változása megfeleljen a klasszikus mozgásnak. De mi volt el˝obb, a tyúk (a klasszikus fizika), vagy a tojás (a kvantumfizika)? Melyik a logikailag helyes kiindulópont a kett˝o közül? Szerintem a válasz egyértelmu. ˝ A természetet a kvantummechanika írja le a valóságnak megfelel˝oen. Bármennyire szép és elegáns a klasszikus mechanika, csupán egy közelít˝o érvényességu˝ elmélet. Csak akkor használható, amikor a hullámfüggvénycsomagok meg˝orzik az alakjukat. Néha szerencsénk van, és egy rendszer kvantumelméletére ráhibázhatunk – többr˝ol nincs szó – egy jól ismert klasszikus rendszer kvantálása útján. Ez az eljárás néha muködik. ˝ Az elektronok kvantumos mozgása, amely a részecskék klasszikus mechanikájából dedukálható, egy ilyen eset. A Maxwell-egyenletek alapján kidolgozott kvantumelektrodinamika egy másik. De nem létezik minden esetben olyan klasszikus rendszer, amelyb˝ol kiindulhatunk. A részecskék spinjének például nincs klasszikus megfelel˝oje. Az általános relativitáselmélet kvantálása se járt mindeddig sikerrel. A kvantumelmélet minden bizonnyal sokkal alapvet˝obb, mint a klasszikus fizika, amely csupán egy közelítés. Mindezek el˝orebocsátása után folytassuk a részecskék mozgásának a kvantálását ezúttal az er˝ohatások figyelembevételével.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

291

Részecskedinamika

9.6.

Erok ˝

Unalmas lenne a világ, ha csak szabad részecskék léteznének. A részecskék az er˝ok által válnak érdekes objektumokká, amikor atomokat, molekulákat alkotnak, csokiszeletté egyesülnek vagy fekete lyukká zsúfolódnak össze. Egy adott részecskére azoknak az er˝oknek az összege hat, amelyeket a Világegyetemben megtalálható összes többi részecske gyakorol rá. A gyakorlatban többnyire feltételezzük, hogy tudjuk, mit csinálnak ezek a részecskék, és a hatásukat egy, a vizsgált részecskére vonatkozó potenciális energia függvénnyel írjuk le. Ez nagyjából így van a klasszikus fizikában és a kvantummechanikában egyaránt. A potenciálisenergia-függvényt V (x)-szel jelöljük. A klasszikus mechanikában ezt az F (x) = −

∂V ∂x

képlet kapcsolja össze a részecskére ható er˝ovel. Egydimenziós mozgásnál a parciális deriválást közönséges deriválás helyettesíti, de megmaradok az általánosabb felírásmódnál. Ha ezt a képletet az F = ma második Newton-törvénnyel kombináljuk, az m

d2 x ∂V =− dt2 ∂x

egyenletre jutunk. A kvantummechanikában másképpen járunk el, a Hamiltonoperátort írjuk fel, és a Schrödinger-egyenletet oldjuk meg. A V (x) potenciális energiából V operátor lesz, amelyet hozzá kell adni a Hamilton-operátorhoz.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

292

Kvantummechanika

Miféle operátor a V? A kérdést nem az absztrakt ketek és brák, hanem a hullámfüggvények nyelvén válaszolhatjuk meg legkönnyebben. Amikor a V hat egy ψ(x) függvényre, megszorozza V (x)-szel: V|Ψ → V (x)ψ(x). Amikor er˝ok is hatnak, a részecske impulzusa nem marad meg. Ugyanez a helyzet a klasszikus mechanikában is. Newton dp =F dt mozgástörvénye a ∂V dp =− dt ∂x

(9.12)

alakban is felírható. A kvantálási szabályoknak megfelel˝oen a V(x)-et hozzá kell adni a Hamilton-operátorhoz32 : H=

P2 + V(x), 2m

(9.13)

és ennek megfelel˝oen kell módosítani a Schrödinger-egyenletet: i

−2 ∂ 2 ψ ∂ψ = + V (x)ψ ∂t 2m ∂x2 −2 ∂ 2 ψ + V (x)ψ. Eψ = 2m ∂x2

(9.14)

Milyen eredménye lesz ennek a módosításnak? Az új tag bizonyosan hatással lesz a hullámfüggvény id˝obeli változására. Ez nem is lehet másképp, ha a hullámcsomag átlagos mozgásának a klasszikus pályát kell követnie. Ellen˝orizzük, hogy valóban 32 Technikai

értelemben ez vonatkozik a szabad részecskére is, csak ott V (x)

nullával egyenl˝o.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

293

Részecskedinamika

ez történik. Az els˝o kérdés: Vajon érvényben marad-e a (9.11) egyenlet? Nem változhat meg, hiszen az er˝o nem módosítja az impulzus és a sebesség kapcsolatát. A H új tagja miatt új tag jelenik meg X és H kommutátorában. Elvben ez megváltoztathatná a sebesség (9.9) képletét, de nem nehéz belátni, hogy a képlet változatlan marad. Az új tag ugyanis X és V(x) kommutátorát tartalmazza. De az x-szel és az x valamilyen függvényével való szorzási muveletek ˝ kommutálnak egymással: [X, V(x)] = 0. Következésképpen a sebesség és az impulzus közötti kapcsolatot az er˝o jelenléte a kvantummechanikában éppúgy változatlanul hagyja, mint a klasszikus mechanikában. A legérdekesebb kérdés a következ˝o: Értjük-e a Newton-törvény kvantumos verzióját? Mint fentebb láttuk, ennek a törvénynek a matematikai alakja a következ˝o: dp = F. dt Számítsuk ki a P várható értékének id˝oderiváltját úgy, hogy a P kommutátorát képezzük a Hamilton-operátorral: d i i P = [P2 , P] + [V, P]. dt 2m 

(9.15)

Az els˝o tag nulla, mert egy operátor kommutál a saját magából képzett függvényekkel. A második tagot egy olyan egyenlet segítségével számítjuk ki, amelyet még nem igazoltunk: [V(x), P] = i

www.interkonyv.hu

dV (x) . dx

(9.16)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

294

Kvantummechanika

Ha (9.16)-ot (9.15)-be helyettesítjük, a   dV d P = − dt dx képletre jutunk. Igazoljuk most (9.16)-ot. A kommutátornak a hullámfüggvényre gyakorolt hatása a következ˝o:     d d ψ(x) − − V (x)ψ(x). [V(x), P]ψ(x) = V (x) −i dx dx (9.17) Egyszerusítés ˝ után valóban (9.16)-ot kapjuk. Ezzel beláttuk a   d dV P = − (9.18) dt dx képletet, amely az impulzus változási sebességére felírt Newtonegyenlet kvantumos változata. 9.3. Feladat: Mutassuk meg, hogy (9.17) jobb oldala egyszerusítés ˝ után valóban (9.16) jobb oldalával egyezik meg. Segítség: El˝oször alkalmazzuk a második tagra a szorzat differenciálási szabályát, majd végezzük el az egyszerusítéseket. ˝

9.7.

Az egyenes vonalú mozgás és a klasszikus határeset

A bizonyításunkból azt gondolhatnák, hogy az X várható értéke pontosan követi a klasszikus pályát. De nem pont ezt bizonyítottuk be, mert egy x-függvény átlaga nem ugyanaz, mint az x átlagának a függvénye. Ha a (9.18) helyes olvasata dV (x) d P = − dt dx

www.interkonyv.hu

[hibás]

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

295

Részecskedinamika

volna (hangsúlyozom, nem az), akkor valóban az lenne a helyzet, hogy a hely és az impulzus átlaga a klasszikus mozgástörvényeknek tesz eleget. Valójában a klasszikus egyenletek közelít˝o érvényuek, ˝ tiszta szerencse, ha a dV /dx átlagát helyettesíthetjük az x-átlag függvényének a deriváltjával. Mikor jogos ezt megtenni? Akkor, amikor V (x) lassan változik a hullámcsomag méretét meghatározó skálán. Ha azonban a hullámcsomag tartományában a V gyorsan változik, a klasszikus közelítés nem alkalmazható. Ilyen esetben még egy keskeny hullámcsomag is szétszórt hullámok sokaságára bomlik, amely nem is emlékeztet az eredeti csomagra. A valószínuségi ˝ függvény is szétterjed. Ha ez a helyzet, akkor nem lehet mást tenni, mint megoldani a Schrödinger-egyenletet. Vizsgáljuk meg ezt a szituációt alaposabban. A hullámcsomagjaink alakjára vonatkozóan semmilyen matematikai feltevést se tettünk, de azért szabályos, egyetlen maximummal rendelkez˝o függvénynek képzeltük el o˝ ket, amelyek simán távolodnak pozitív vagy negatív irányba. Ez ugyan nem szerepelt az explicit matematikai feltevéseink között, de reális szempont annak megítélésében, hogy vajon a részecske úgy viselkedik-e, ahogy a klasszikus mechanika alapján elvárható volna. Illusztrációként tekintsünk egy „ rendhagyó” formájú hullámcsomagot. A 9.3. ábrán egy olyan kétmódusú (két maximummal rendelkez˝o) hullámcsomagot láthatunk, amelynek centruma az x-tengely origójában van. Válasszunk most az x-nek egy F (x) függvényét, amely az er˝ot reprezentálja. Az F (x) várható értéke

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

296

Kvantummechanika

9.3. ábra: Egy kétmódusú (kétpúpú) függvény x = 0 középponttal. Vegyük észre, hogy x = 0, de x > 0

nem egyezik meg az x várható értékéb˝ol képzett F függvénnyel: F (x) = F (x). A jobb oldal a hullámcsomag centrumának a helyzetét˝ol függ. Nem ugyanaz, mint a bal oldal, amelyik az el˝oz˝o szakasz eredményeinek felel meg – F (x) ugyanolyan alakú, mint a (9.18) egyenlet jobb oldala33 . Mutatok egy példát, amelyben ez a két kifejezés nagyon különbözhet egymástól. Tegyük fel, hogy az er˝o négyzetesen függ x-t˝ol: F = x2 . Legyen továbbá a hullámcsomagunk olyan, mint a 9.3. ábrán. Mivel egyenl˝o x várható értéke? Nullával, és ugyanez igaz F (x)re is, mivel F (0) = 02 = 0. És mivel egyenl˝o az x2 várható értéke? Nagyobb, mint nulla. Amikor tehát a hullámcsomag nem 33 Ne

felejtsük el, hogy −

www.interkonyv.hu



dV dx

 ebben az egyenletben az er˝o.

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Részecskedinamika

297

egy szabályos, egypúpú görbe, amelyet els˝osorban a középpontjának a helyzete jellemez, akkor általában nem igaz, hogy az impulzus változási sebessége egyenl˝o az er˝onek az x várható értékéhez tartozó nagyságával. Az F (x) várható értéke csak akkor lehet ugyanaz, mint F (x), amikor a hullámfüggvény elegend˝oen keskeny tartományra korlátozódik. Ezért hát nem voltunk teljesen tisztességesek, amikor azt állítottuk, hogy a kvantumos mozgásegyenlet olyan, mit a klasszikus. Ez attól függ, milyen jól lokalizált a hullámfüggvény. Azonos feltételek mellett a hullámfüggvény annál inkább lokalizált, minél nagyobb a részecske tömege. Ha a V (x) potenciálban nincsenek nagyon éles kiugrások, akkor jó közelítéssel lehet F (x)-et F (x)-szel helyettesíteni. Tegyük fel például, hogy egy jobbra mozgó szabályos hullámcsomag olyan pontszeru˝ struktúrával találkozik, mint például egy atom, amelynek potenciálisenergia-függvénye a 9.4. ábrához hasonló. A hullámcsomag elken˝odik és széthasad. De amikor valamilyen sima potenciál kerül a csomag útjába, az áthaladás során nagyjából követi a klasszikus egyenleteket. Nem számíthatunk rá, hogy a kvantummechanika minden körülmények között reprodukálja a klasszikus mechanikát. Csak annyit várhatunk el, hogy ez megtörténik akkor, amikor szükséges – ha a részecskék nehezek, a potenciálok simák, és nincs ok a hullámfüggvény széthasadására és szóródására. Milyen fizikai helyzetben találkozunk olyan „ rossz potenciállal”, amelyik széttöredezi a hullámfüggvényt? Tegyük fel, hogy a potenciálban van valamilyen struktúra, amelyet egy bizonyos méret jellemez. Képzeljük el azt, hogy ha a 9.4. ábrát felnagyí-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

298

Kvantummechanika

9.4. ábra: Éles potenciálfüggvény. A keskeny csúcsokkal rendelkez˝o potenciálok a hullámfüggvény szóródására vezetnek. A különféle struktúrák annál jobban szétszórják a hullámcsomagot – annál kevésbé lesz „ klasszikus” a mozgás –, minél kisebbek a hullámcsomaghoz viszonyított méreteik

tanánk, egy sor csúcsot látnánk sur ˝ un ˝ egymás mellett. Jelöljük a közöttük lév˝o távolságot δx-szel és tegyük fel, hogy ez a méret sokkal kisebb, mint a bejöv˝o részecske helybizonytalansága: δx < Δx. Ha az éles csúcsokból álló struktúra skálája sokkal kisebb, mint a beérkez˝o hullámcsomag mérete, a csomag sok kis részre bomlik szét, amelyek mindegyike különböz˝o irányba szóródik. Azt mondhatjuk, hogy amikor a potenciál strukturáltsága finomabb a bejöv˝o részecske hullámhosszánál, a hullámfüggvény hajlamossá válik a szétdarabolódásra. Vegyünk például egy kugligolyót, és tegyük fel a kérdést: Mennyi a Δx-e? A válaszhoz a bizonytalansági reláció nyújt valamilyen mértéku˝ fogódzót. Tipikusan Δp × Δx nagyobb -nál. De a valóságban a szorzat gyakran  nagyságrendu: ˝ ΔpΔx ≈ .

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó Részecskedinamika

299

Nos, a p annyira határozott, amennyire csak lehet, de egy közönséges makroszkopikus tárgy esetében a bizonytalansági reláció gyakorlatilag telítve van – a bal oldal nagyjából egyenl˝o -sal. Ennek az okát elég bonyolult volna megmagyarázni, nem is bonyolódok bele. Egyszeruen ˝ felteszem, hogy így van, és megnézem, milyen következményekre vezet. Mi a Δp? Nem más, mint mΔv, amelynek alapján mΔvΔx ≈ . Rendezzük ezt át: ΔvΔx ≈ vagyis Δx ≈

 , m

 . mΔv

Elég letenni a kugligolyót a földre, hogy megállapíthassuk: A sebességbizonytalansága nem valami nagy. Minél súlyosabb a golyó, annál inkább várható, hogy a sebessége egyre kisebb legyen. De akárhogy is van, a jobb oldalon m a nevez˝oben fordul el˝o, és amikor egyre kisebbé válik, a Δx a Δv nagyságától függetlenül egyre nagyobb lesz. Történetesen nagyobbá válhat a potenciál strukturáltságának a skálájánál is. A kvantummechanikai határesetben, amikor m nagyon kicsi, a Δx pedig egyre nagyobb, a hullámfüggvény szétszakadozott potenciál hatása alatt mozog, amelyet önmagánál sokkal élesebben strukturáltnak lát. Ilyenkor következik be a hullámfüggvény szétdarabolódása. Az ellenkez˝o esetben, amikor m nagyon nagy, a Δx kicsi. Egy nagy kugligolyó hullámcsomagja nagyon koncentrált lehet. Amikor csúcsos potenciálban mozog, ez az elhanyagolható méretu˝ hullámcsomag a csúcsot (viszonylag) szélesnek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

300

Kvantummechanika

érzékeli. Széles, sima strukturán történ˝o áthaladásnál a hullámfüggvény nem aprózódik fel. A klasszikus határesetet a nagy tömegek és a sima potenciálok jellemzik. Kis tömegu˝ részecskék gyorsan változó potenciálokban kvantummechanikai rendszerként viselkednek. Mi a helyzet az elektronokkal? Elég nagy tömeguek ˝ ahhoz, hogy klasszikusan viselkedjenek? A válasz a potenciál és a tömeg viszonyán múlik. Egy síkkondenzátorban például, amelyben a lemezek távolsága centiméternyi, az elektromos mez˝o pedig egyenletes, az elektron szabályos klasszikus részecskeként teszi meg az utat a lemezek között. Ezzel szemben az atommag potenciálja élesen strukturált. Amikor az elektron egy ilyen potenciálba ütközik, az egész térben szétszóródik. A téma lezárása el˝ott mondanék néhány szót a minimális bizonytalanságú csomagról. Ezek olyan hullámcsomagok, amelyekre nézve a ΔxΔp szorzat egyenl˝o /2-vel (ahelyett, hogy nagyobb lenne nála). Ezekben az esetekben tehát a ΔxΔp a kvantummechanika által megengedett legkisebb lehetséges érték. Az ilyen csomagok Gauss-görbe alakúak, ezért gaussi csomagnak is hívják o˝ ket. Az id˝o haladtával szétken˝odnek és kisimulnak. Nem ez a leggyakoribb hullámcsomagforma, de léteznek ilyenek. A nyugvó billiárdgolyóra jó közelítést adnak. A 10. el˝oadásban látni fogjuk, hogy a harmonikus oszcillátor alapállapota gaussi csomag.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

301

Részecskedinamika

9.8.

Útintegrálok

A klasszikus Hamilton-mechanika fókuszában a rendszer állapotának pillanatról pillanatra bekövetkez˝o változása áll. De a mechanikának létezik egy másik formája is – a legkisebb hatás elve – , amely teljes történeteken alapul. Egyetlen részecske esetében ez komplett trajektóriákat jelent egy adott kezd˝o és záró pillanat között. A két megközelítési mód tartalmilag nem különbözik egymástól, de máshova teszik a hangsúlyt. A Hamilton-mechanika egyetlen pillanatra koncentrál, és megmondja, milyen változás történik a legközelebbi pillanatig. A legkisebb hatás elve egy lépést téve visszafele a globális szemléleten alapul. Úgy képzelhetjük, hogy a természet sorra veszi az összes lehetséges trajektóriát és azt választja ki, amelyen a rögzített kezd˝o- és végpont között a hatás minimális34 . A kvantummechanikának is létezik hamiltoni tárgyalása, amely a differenciális változásra helyezi a hangsúlyt. Ez az id˝ofügg˝o Schrödinger-egyenlet, amely nagyon általános érvényu. ˝ Tudomásom szerint bármilyen fizikai rendszert lehet vele tárgyalni. Richard Feynman azonban hetven évvel ezel˝ott jogosan tette fel a kérdést, hogy lehet-e a kvantummechanika tárgyalását is egész történetekre alapozni, vagyis létezik-e a kvantummechanikában a legkisebb hatás elvének megfelel˝o eljárásmód. Nem ismertetem részletesen Feynman útintegrálos módszerét, de étvágygerjeszt˝oként egy csipetnyit mutatok bel˝ole. 34 Ha

pontosan fogalmaznánk, az elvet inkább a stacionér hatás elvének kel-

lene hívnunk. A megvalósuló trajektóriák a hatás stacionér pontjai, amelyek nem minden esetben minimumok. Számunkra azonban ennek a nüansznak nincs jelent˝osége.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

302

Kvantummechanika

Azzal kezdem, hogy röviden emlékeztetem Önöket a klasszikus legkisebb hatás elvére, ahogy azt az 1. kötetben elmagyaráztam. Tegyük fel, hogy egy részecske a t1 pillanatban az x1 pontból elindulva a t2 pillanatban ér az x2 pontba (9.5. ábra). A kérdés: Milyen trajektórián haladt a t1 és a t2 id˝opontok között?

9.5. ábra: Egy klasszikus trajektória. Az egyik lehetséges utat mutatja, amelyen a részecske az 1 (x1 , t1 ) pontból elindulva eljutgat a 2 (x2 , t2 ) pontba

A legkisebb hatás elve szerint az a trajektória valósul meg, amelyen a hatás értéke minimális. A hatás természetesen terminus technicus, amelyen a Lagrange-függvény integrálját értjük a trajektória két végpontja között. Egyszeru˝ rendszereknél a Lagrange-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

303

Részecskedinamika

függvény kinetikus energia mínusz potenciális energiával egyenl˝o. Egy egydimenzióban mozgó részecskére tehát 

t2

A=

L(x, x)dt, ˙

(9.19)

t1

vagy másképpen  A=

t2 t1



 mx˙ 2 − V (x) dt. 2

9.6. ábra: Az els˝o lépés a trajektória kvantálása felé. Bontsuk fel a trajektóriát két egyenl˝o részre (az eltelt id˝o szempontjából). A részecske ugyanonnan indul és ugyanoda érkezik mint korábban, de a trajektóriája áthalad a közbens˝o x ponton

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

304

Kvantummechanika

Az elgondolás az, hogy ki kell próbálni az összes lehetséges trajektóriát a két végpont között, és mindegyikre ki kell számítani A-t. A gy˝oztes az lesz, amelyiken a hatás a legkisebb35 .

9.7. ábra: További lépések az útintegrál megkonstruálása felé. A kezd˝opontot és a végpontot fixen tartva a trajektóriát nagy számú, azonos méretu˝ szegmensre bontjuk fel

Térjünk most át a kvantummechanikára. A kvantummechanika szellemének a bizonytalansági reláció következtében nem felel meg az az elképzelés, hogy a két végpontot egyetlen tra35 Elvben legalább is err˝ ol van szó.

A gyakorlatban az Euler–Lagrange-egyenlet

az eljárást rövidre zárja, ahogy azt az 1. kötetben elmagyaráztam.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

305

Részecskedinamika

jektória köti össze. A következ˝o kérdés azonban föltehet˝o: Ha a részecske (x1 , t1 )-b˝ol indul, akkor mi a valószínusége ˝ annak, hogy a helyét megfigyelve (x2 , t2 )-ben találjuk? Mint a kvantummechanikában mindig, a valószínuség ˝ ebben az esetben is egy komplex amplitúdó abszolút érték négyzetével egyenl˝o. A kvantummechanika globális verziójának a kérdése tehát a következ˝o: Ha a részecske (x1 , t1 )-b˝ol indul, mi a valószínuségi ˝ amplitúdója annak, hogy (x2 , t2 )-ben jelenjen meg? Jelöljük ezt az amplitúdót C(x1 , t1 ; x2 , t2 )-vel, vagy egyszeruen ˝ C1,2 -vel. A részecske kezd˝oállapota |Ψ(t1 ) = |x1 . Ez az állapot a t1 és a t2 id˝opontok között a |Ψ(t2 ) = e−iH(t2 −t1 ) |x1  állapotba evolvál.

(9.20)

A részecske x2 -beli találati amplitúdója a

|Ψ(t2 ) és az |x2  bels˝o szorzata: C1,2 = x2 |e−iH(t2 −t1 ) |x1 .

(9.21)

Szavakban: t2 − t1 id˝o alatt az x1 -b˝ol az x2 -be jutás amplitúdóját úgy kapjuk, hogy e−iH(t2 −t1 ) -et a kezd˝o- és a véghelyzet állapotai közé fogjuk. A képlet egyszerusítése ˝ érdekében t2 − t1 legyen t. Ekkor C1,2 = x2 |e−iHt |x1 .

(9.22)

Felezzük meg most a t id˝ointervallumot (ld. a 9.6. ábrát). Az e−iHt operátort felírhatjuk két operátor szorzataként: e−iHt = e−iHt/2 e−iHt/2

www.interkonyv.hu

(9.23)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

306

Kvantummechanika

A tényez˝ok közé beírva az egységoperátor  I= dx|xx |

(9.24)

alakját az amplitúdóra a  C1,2 = dxx2 |e−iHt/2 |xx |e−iHt/2 |x1 

(9.25)

képletet kapjuk. Az amplitúdónak ez az alakja bonyolultabb, de van egy nagyon érdekes interpretációja. Szavakban ez a következ˝o: t id˝o alatt az x1 -b˝ol az x2 -be jutás amplitúdója a közbens˝o x helyzetre vett integrállal egyenl˝o. Az integrandus egy szorzat, amelynek els˝o tényez˝oje az x1 -b˝ol az x-be, a második pedig az x-b˝ol az x2 be jutás amplitúdója, mindkett˝o t/2 id˝o alatt. A 9.6. ábra vizuálisan szemlélteti ezt az elgondolást. Ahhoz, hogy egy klasszikus részecske x1 -b˝ol x2 -be jusson, át kell haladnia valamilyen közbens˝o x ponton. Az x1 -b˝ol az x2 -be jutás kvantummechanikai amplitúdója azonban az összes lehetséges közbens˝o pontra vett integrállal egyenl˝o. Ez a gondolat tovább vihet˝o, az id˝ointervallumot sok apró részre oszthatjuk, ahogy a 9.7. ábrán látható. A bonyolult formulákat nem írom fel, de az elgondolás lényege bizonyára így is érthet˝o. Minden kis hosszúságú id˝otartamhoz tartozik egy e−iH tényez˝o. Két ilyen tényez˝o közé mindenütt beszúrjuk az egységoperátort, aminek következtében a C1,2 amplitúdó az összes közbens˝o koordináta szerinti többszörös integrállá válik. Az integrandus xi |e−iH |xi+1 

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

307

Részecskedinamika

típusú kifejezések szorzata. Definiáljuk U ( )-t az U ( ) = e−iH képlettel. A teljes szorzat ekkor x2 |U N |x1 , vagy másképpen x2 |U U U U . . . |x1  alakban írható. Ebben a képletben az U operátor N -szer forful el˝o, ahol N az epszilon növekmények száma. Ezután bármely két egymás utáni U közé beiktathatjuk az egységoperátort. Ezt a kifejezést egy adott úthoz tartozó amplitúdónak nevezhetjük. De a részecske nem egy bizonyos kiválasztott úton halad, hanem amikor az infinitezimális id˝ointervallumok száma végtelen naggyá válik, az amplitúdó a két adott végpont közötti összes lehetséges útra vonatkozó integrállal egyenl˝o. Feynman fedezte fel azt az elegáns tételt, hogy az egyes utakhoz tartozó amplitúdó egyszeru˝ összefüggésben áll a klasszikus mechanika egy jól ismert mennyiségével, az adott úton számított hatással. Az egyes utakra vonatkozó pontos képlet a következ˝o: eiA/ , amelyben A a hatás a szóban forgó úton. Feynman elmélete összefoglalható egyetlen képletben:  eiA( . C1,2 = (9.26) utak

Az útintegrálos megfogalmazás több, mint egy elegáns matematikai trükk: Hatékony módszer is. A segítségével le lehet származtatni a Schrödinger-egyenletet és a kvantummechanika ösz-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

308

Kvantummechanika

szes kommutációs relációját. De az igazi alkalmazási területe a kvantumtérelmélet, amelyben az elemi részecskék fizikájának törvényszeruségeit ˝ f˝oleg ezzel a módszerrel tárgyalják.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

10. eloadás ˝ A harmonikus oszcillátor

Art: Kezdem látni, Lenny. Lassan minden a helyére kerül. Mínusz Egy, általános bizonytalanság, összefonódott párok, a Hamilton-operátor – és még a degeneráció is. Mi jön még? Lenny: Az oszcillációk, Art. A vibrációk. Te vagy a prímás – húzz el még egy utolsó nótát. Valamit, ami megrezgeti a lelket.

A világ kvantummechanikai leírásának összetev˝oi közül kett˝o különösen alapvet˝o. Az egyik természetesen a spin, vagyis a kubit. A klasszikus logikában mindent ki lehet fejezni igen-nem kérdésekkel. A kvantummechanikában ehhez hasonlóan minden logikai természetu˝ kérdés végül a kubitokra fut ki. Az el˝oz˝o el˝oadásokban nem kevés id˝ot szántunk a kubitokra. Ebben az el˝oadásban a kvantummechanika második alapvet˝o összetev˝ojér˝ol, a harmonikus oszcillátorról lesz szó. A harmonikus oszcillátor nem egy olyan konkrét objektum, mint mondjuk a hidrogénatom vagy egy kvark, hanem egy általános matematikai keret, amelybe rengeteg jelenség illik bele. A harmonikus oszcillátor ilyen fajta felfogása érvényes a klasszikus fizikában is, de csak a kvantummechanikában kerül igazán el˝otérbe.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

310

Kvantummechanika

A harmonikus oszcillátorra példa a visszahúzó er˝o hatása alatt mozgó részecske, amelyet a rugóra akasztott súly jelképez. Az ideális rugó eleget tesz Hooke törvényének: Az egyensúlyi helyzetéb˝ol kilengett testre ható er˝o arányos a kitéréssel. Ezt visszatérít˝o er˝onek hívjuk, mivel a tömeget az egyensúlyi helyzet irányába húzza vissza. Egy edény alján súrlódásmentesen ide-oda guruló üveggolyó szintén példa az oszcillátorra. A parabola alakú V (x) =

k 2 x 2

(10.1)

potenciálisenergia-függvény az, ami ezekben a rendszerekben közös. A k neve rugóállandó. Mivel az er˝o a potenciális energia negatív deriváltjával egyenl˝o, az objektumra ható er˝o képlete F = −kx.

(10.2)

A negatív el˝ojel mutatja, hogy az er˝o a kitéréssel ellentétes irányú és a tömeget a kezd˝opont felé húzza vissza. Miért lehet a fizikában mindenütt megtalálni a harmonikus oszcillátort? Azért, mert egy függvény a minimuma közelében mindig parabola alakú. Nagyon sok fizikai rendszer energiáját lehet közelíteni egy olyan változó kvadratikus függvényével, amely valamilyen egyensúlyi helyzetb˝ol történ˝o kitérésnek felel meg. Ha egy ilyen rendszert perturbálunk, oszcilláló mozgás jön létre az egyensúlyi helyzet körül. További példák: • A kristályrács atomjai. Amikor az atomot az egyensúlyi helyzetéb˝ol kimozdítjuk, lineárisnak tekinthet˝o visszatérít˝o er˝o húzza vissza a rácspontba. A mozgás ilyenkor három-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

311

A harmonikus oszcillátor

dimenziós, ezért három független oszcillátorral reprezentálható. • Kis ellenállású áramkörben az áram gyakran valamilyen határozott frekvenciával oszcillál. Az áramkör matematikai tárgyalása azonos a rugóra akasztott tömegével. • Hullámok. Ha egy tóban a víz felületét valahol megzavarjuk, hullámokat keltünk. Egy adott pontból figyelve a hullám áthaladásakor a felület rezg˝omozgást végez. Ez a mozgás egyszeru˝ harmonikus rezgés. Ugyanez igaz a hanghullámokra is. • Elektromágneses hullámok. Más hullámokhoz hasonlóan a fényhullám is, a rádióhullám is rezg˝omozgás. A részecskék rezgésének leírására szolgáló matematika ezekben az esetekben is alkalmazható. A listát még folytathatnánk, de a matematika minden esetben ugyanaz maradna. A határozottság kedvéért gondoljunk mindig a rugóra függesztett súlyra. Aligha kell bizonygatnunk, hogy egy közönséges súly és rugó leírása nem igényli a kvantummechanikát, ezért hát képzeljük mindkett˝ot nagyon kicsinek és kvantáljuk a mozgásukat.

10.1.

A klasszikus leírás

Jelöljük y-nal a lelógó súly magasságát. Az origót úgy választjuk, hogy az egyensúlyi helyzetnek y = 0 feleljen meg. A rendszer klasszikus leírásához a Lagrange-módszert használjuk fel,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

312

Kvantummechanika

amelyr˝ol az 1. kötetben tanultunk. A mozgási és a potenciális energia 12 my˙ 2 és 21 ky 2 . Bizonyára emlékeznek rá, hogy a Lagrange-függvény a kinetikus és a potenciális energia különbségével egyenl˝o: L=

1 1 my˙ 2 − ky 2 . 2 2

Els˝o lépésként ezt a Lagrange-függvényt egy bizonyos standard alakba írjuk át úgy, hogy y-ról áttérünk egy új változóra, az x-re. Ez igazából nem új koordináta, mert ugyancsak a tömeg kitérését írja le. Az y-ról az x-re történ˝o áttérés az egységrendszer célszeru˝ megválasztásával függ össze. Az új változó legyen √ x = m y. Az x-en keresztül kifejezett Lagrange-függvény a következ˝o: L=

1 2 1 2 2 x˙ − ω x . 2 2

Az ω konstans, amelynek definíciója ω =

(10.3) 

k , nem más, mint m

az oszcillátor frekvenciája. A változók ilyen megváltoztatásával minden oszcillátor leírása egységes alakúvá válik. Csak az ω frekvencia értéke különbözteti meg egymástól o˝ ket. A mozgásegyenletek felírásához használjuk a Lagrangeegyenletet. Egy dimenzióban csak egy Lagrange-egyenletünk van, amely a következ˝o: ∂L d ∂L = . ∂x dt ∂ x˙ Az L (10.3) képlete alapján ∂L = x. ˙ ∂ x˙

www.interkonyv.hu

(10.4)

(10.5)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

313

A harmonikus oszcillátor

Ez a mennyiség az x-hez tartozó kanonikusan konjugált impulzus, amelynek d ∂L (10.6) =x ¨ dt ∂ x˙ id˝o szerinti deriváltja szerepel a (10.4) mozgásegyenlet jobb oldalán. Az egyenlet bal oldala pedig a következ˝o: ∂L = −ω 2 x. ∂x

(10.7)

Ha a két oldalt (a (10.6) és a (10.7) kifejezéseket) egyenl˝ové tesszük egymással, megkapjuk a ¨ −ω 2 x = x

(10.8)

Lagrange-egyenletet. Ez az egyenlet természetesen egyenértéku˝ F = ma-val. Miért van benne mínusz jel? Azért, mert visszahúzó er˝ot ír le, amelynek iránya ellentétes a kitéréssel. Önök nem el˝oször találkoznak ilyen szerkezetu˝ egyenlettel és tudják, hogy a megoldása színuszt és koszinuszt tartalmaz: x = A cos(ωt) + B sin(ωt).

(10.9)

Ebb˝ol a képletb˝ol látszik, hogy ω valóban az oszcillátor frekvenciája. A képlet kétszeres deriválása egy (negatív el˝ojelu) ˝ ω 2 tényez˝ot hoz ki bel˝ole. 10.1. Feladat: Számítsuk ki a (10.9) kifejezés második deriváltját, és ezzel igazoljuk, hogy a képlet kielégíti a (10.8) egyenletet.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

314

Kvantummechanika

10.2.

A kvantummechanikai leírás

Forduljunk most a súly és rugó rendszer mikroszkopikus változatához és tegyük fel, hogy – mondjuk – molekulányi méretu. ˝ Els˝ore ez nevetségesnek hat. Ilyen elhanyagolhatú méretu˝ rugót nem lehet készíteni. A természet azonban b˝oven produkál mikroszkopikus méretu˝ rugókat. Sok olyan molekula létezik, amely két atomból áll, egy súlyosból és egy könnyub˝ ˝ ol. Közöttük olyan er˝ok hatnak, amelyek egyensúlyban tartják o˝ ket egymástól bizonyos távolságban. Amikor a könnyu˝ atom elmozdul, az egyensúlyi helyzet irányába mutató vonzóer˝o hat rá. A molekula ily módon a súly és rugó rendszer miniatur ˝ változata, amelynek a mérete olyan kicsi, hogy csak a kvantummechanika alapján lehet megérteni. A klasszikus Lagrange-függvény birtokában próbálkozzunk meg most a rendszer kvantummechanikai leírásával. Az els˝o, amire szükségünk van, az állapottér. Mint láttuk, egy egyenesen mozgó részecske állapotát a ψ(x) hullámfüggvény írja le. A rendszernek sok különböz˝o lehetséges állapota van, mindegyiket más és más hullámfüggvény reprezentálja. A ψ(x) definíciója olyan, hogy ψ ∗ (x)ψ(x) annak valószínuségi ˝ sur ˝ usége ˝ (egységnyi szakaszra jutó valószínusége), ˝ hogy a részecskét az x helyen találjuk meg: ψ ∗ (x)ψ(x) = P (x). A P (x) a valószínuségi ˝ sur ˝ uség. ˝ Ezzel szert tettünk egyfajta kinematikára, a rendszer állapotainak valamiféle specifikációjára. Lehet ψ(x) akármilyen függvény? A folytonosságon és a differenciálhatóságon kívül az egyedüli követelmény az, hogy a ré-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

315

A harmonikus oszcillátor

szecske teljes találati valószínusége ˝ az összes lehetséges helyen legyen egyenl˝o 1-gyel:  +∞ −∞

ψ ∗ (x)ψ(x)dx = 1.

(10.10)

Ez nem látszik túl er˝os feltételnek. Bármekkora számot kapjunk is a jobb oldalon (a nullát és a végtelent kivéve), a ψ-t mindig meg lehet szorozni egy konstanssal úgy, hogy az integrál értéke 1-gyé váljon. Mivel ψ ∗ (x)ψ(x) pozitív, az integrál biztosan nem nulla, de lehet végtelen: Végtelenül sok függvény létezik, amelyik a (10.10) integrált szétrobbantja. Az elfogadható hullámfüggvényekkel szemben támasztott követelmények között ezért ott van az is, hogy a végtelenben ψ elég gyorsan tartson nullához annak érdekében, hogy az integrál konvergáljon. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a követelménynek eleget tesznek, normálhatóknak hívjuk. A harmonikus oszcillátorral kapcsolatban két kérdés tehet˝o fel: • Hogyan változik a hullámfüggvény az id˝oben? A válaszhoz a Hamilton-operátor ismerete szükséges. • Milyen energiája lehet az oszcillátornak? Ezt ugyancsak a Hamilton-operátor határozza meg. Ahhoz tehát, hogy bármi érdekeset megtudjunk az oszcillátorról, ismernünk kell a Hamilton-operátorát. Ezt szerencsére meg lehet határozni a Lagrange-függvény alapján, és mindjárt fel is idézzük, hogyan. De mindenekel˝ott emlékeztetek rá, hogy az x-hez kanonikusan konjugált impulzus ∂L/∂ x-tal ˙ egyenl˝o36 . A 36 Err˝ ol

www.interkonyv.hu

az 1. kötetben volt szó.

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

316

Kvantummechanika

(10.5) figyelembevételével tehát p=

∂L = x. ˙ ∂ x˙

A klasszikus mechanikából ismert definíció alkalmazásával azt találjuk, hogy minden egydimenziós mozgást végz˝o rendszer Hamilton-függvénye a következ˝o: H = px˙ − L, ahol p az x-hez kanonikusan konjugált impulzus, L pedig a Lagrange-függvény. Dolgozhatnánk ezzel a definícióval, de ehelyett rövidre zárjuk a gondolatmenetet. Mivel a Lagrange-függvény kinetikus energia mínusz potenciális energiával egyenl˝o, a Hamilton-függvény kinetikus energia plusz potenciális energiával, vagyis a teljes energiával egyezik meg37 . Az oszcillátor Hamiltonfüggvénye tehát a következ˝o: H=

1 2 1 2 2 x˙ + ω x . 2 2

Eddig rendben is volna, de még nem vagyunk készen. A mozgási energiát a sebességen keresztül írtuk fel. A kvantummechanikában azonban a megfigyelhet˝o mennyiségeket operátorok reprezentálják, sebességoperátorunk pedig nincs. De ez a probléma könnyen megoldható, ha mindent a helyen és a kanonikus impulzuson keresztül fejezünk ki, amelynek van standard operátor megfelel˝oje. A Hamilton-függvényt nem nehéz a kanonikus impulzuson keresztül kifejezni, mert p= 37 Ehhez

∂L = x, ˙ ∂ x˙

még azt is észre kell venni, hogy px˙ = mx˙ 2 a kinetikus energia két-

szerese. – A fordító

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

317

A harmonikus oszcillátor

ezért

1 2 1 2 2 (10.11) p + ω x . 2 2 Ez a klasszikus Hamilton-függvény képlete, amelyet most kvanH=

tummechanikai kifejezéssé kell változtatnunk úgy, hogy x-t és p-t a ψ(x)-re gyakorolt hatásukon keresztül értelmezett operátorokkal helyettesítjük. Mint már korábban is tettük, a kvantummechanikai operátorokat félkövér X, P jelöléssel különböztetjük meg klasszikus x és p megfelel˝oikt˝ol. A korábbi el˝oadásokból már tudjuk, hogyan hatnak ezek az operátorok. Az X megszorozza a hullámfüggvényt a helyváltozóval: X|ψ(x)

=⇒

xψ(x).

A P is ugyanolyan alakú, mint más egydimenziós problémáknál: P|ψ(x)

=⇒

−i

d ψ(x). dx

Most már a P kétszer egymás utáni alkalmazásával kitalálhatjuk, hogyan hat a Hamilton-operátor a hullámfüggvényre. Az eljárás, amelyet már alkalmaztunk a 9. el˝oadásban, a következ˝ot adja:    1 ∂ ∂ψ(x) 1 H|ψ(x) =⇒ −i −i + ω 2 x2 ψ(x), 2 ∂x ∂x 2 vagyis H|ψ(x)

=⇒

−

2 ∂ 2 ψ(x) 1 2 2 + ω x ψ(x). 2 ∂x2 2

(10.12)

Azért használjuk a parciális deriválás jelét, mert ψ függhet még egy változótól, az id˝ot˝ol is. Az id˝o nem operátor, a státusza különbözik x-ét˝ol. Az állapotvektor azonban változik az id˝ovel, ezért ezt paraméternek tekintjük. A parciális deriválás arra utal, hogy a rendszer leírása „ egy adott pillanatra” vonatkozik.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

318

Kvantummechanika

10.3.

A Schrödinger-egyenlet

A (10.12)-b˝ol látjuk, hogyan hat a Hamilton-operátor ψ-re. Mint az el˝oz˝o szakaszban jeleztük, egyik funkciója a ψ id˝obeli változásának a meghatározása. Írjuk fel ezért az id˝ot˝ol függ˝o Schrödinger-egyenletet:

∂ψ 1 = Hψ. ∂t  Írjuk ide be a H-t a (10.12) képletb˝ol: i

i

 ∂ 2 ψ(x) 1 2 2 ∂ψ =− ω x ψ(x). + ∂t 2 ∂x2 2

(10.13)

Ennek az egyenletnek a segítségével tudjuk el˝ore megmondani a jöv˝obeni hullámfüggvényt, ha (mind a valós, mind a képzetes részét) ismerjük valamilyen adott id˝opillanatban. Vegyük észre, hogy az egyenlet komplex, mert szorzótényez˝oként tartalmazza az i-t. Ennek következtében a ψ-ben még akkor is nagyon hamar megjelenik egy képzetes rész, amikor kiinduláskor tisztán valós értéku. ˝ Ennek következtében minden ψ megoldás az x és a t komplex függvénye. Az egyenlet több módszerrel is megoldható. Az egyik lehet˝oség a numerikus megoldás számítógép felhasználásával. Kiindulunk valamilyen ismert ψ(x)-b˝ol, és ezt az id˝oderiváltjának a Schrödinger-egyenlet alapján törén˝o meghatározásával frissítjük. Az id˝oderivált ismeretében kiszámíthatjuk ψ(x)-nek egy kis id˝o alatt bekövetkez˝o megváltozását. Ezt hozzáadjuk ψ(x)-hez és az eljárást újra és újra megismételjük. Azt fogjuk találni, hogy ψ(x) érdekes dolgot muvel ˝ – valahogyan elmozdul. Bizonyos körülmények között olyan hullámcsomagot képez, amelyik egy harmonikus oszcillátorhoz hasonló mozgást végez.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

319

A harmonikus oszcillátor

10.4.

Energiaszintek

A másik kérdés, amely a Hamilton-operátor segítségével vizsgálható, az oszcillátor energiaszintjeinek a kiszámítása az energiasajátvektorok és -sajátértékek meghatározása útján. A 4. el˝oadásban láttuk, hogy ezeknek a sajátvektoroknak és sajátértékeknek az ismeretében felderíthetjük az id˝obeli függést anélkül, hogy differenciálegyenletet kellene megoldanunk.

Ez azon alapul,

hogy ismerjük az energia-sajátvektorok id˝ofüggését. Érdemes visszalapozni a Schrödinger-ket elkészítésének receptjéhez a 4.13 szakaszban. Egyel˝ore koncentráljunk maguknak az energia-sajátvektoroknak a megtalálására a H|ψE  = E|ψE  id˝ofüggetlen Schrödinger-egyenlet segítségével. Az E index jelzi, hogy ψE egy bizonyos E sajátértékhez tartozó megoldás. Az egyenlet két dolgot határoz meg: A ψE (x) hullámfüggvényt és az energia lehetséges E értékeit. Konkretizáljuk az egyenletet a H (10.12) képletének behelyettesítésével: 2 ∂ 2 ψE (x) 1 2 2 + ω x ψE (x) = EψE (x). 2 ∂x2 2 Az egyenlet megoldása azt jelenti, hogy −

(10.14)

• meg kell találni azokat az E értékeket, amelyekhez tartozik matematikai megoldás, és • meg kell határozni az ezekhez tartozó sajátvektorokat. A feladat nem annyira egyszeru, ˝ mint gondolhatnánk. Az egyenletnek minden komplex értéku˝ E mellett van megoldása, de ezek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

320

Kvantummechanika

óriási többsége fizikai szempontból abszurd. Ha valamelyik pontból elindulva a Schrödinger-egyenletet az x-tengely mentén tett kis lépésekben oldjuk meg, csaknem mindig azt fogjuk találni, hogy nagy x-nél a ψ(x) egyre nagyobbá válva „ felrobban”. Röviden szólva megoldást könnyen találunk, de csak nagyon ritkán lesz közöttük olyan, amelyik normálható. A helyzet az, hogy E legtöbb értéke mellett (a komplex értékeknél pedig minden esetben) a (10.14) egyenlet megoldása exponenciálisan n˝o, amikor x ∞-hez vagy −∞-hez tart, vagy mindkét esetben. Az ilyen megoldásnak a fizika szempontjából nincs értelme, mert azt fejezi ki, hogy a részecske nagyon nagy valószínuséggel ˝ tartózkodik végtelenül távol. Valamilyen feltétel segítségével ki kell zárnunk az ilyen megoldásokat. Rójuk ki tehát a következ˝o feltételt: A Schrödinger-egyenlet fizikai megoldásai azok, amelyek normálhatók Ez hatékony kikötés, ugyanis majdnem az összes E olyan, hogy nem tartozik hozzá normálható megoldás. Csak bizonyos speciális E értékek kivételek, és most ezeket kell megtalálnunk.

10.5. Az alapállapot Mekkora a harmonikus oszcillátor legkisebb lehetséges energiája? A klasszikus fizikában ez a legkisebb energia biztosan nem negatív, hiszen a Hamilton-függvény az x2 -et és p2 -et tartalmazó tagok összege, és akkor minimális, amikor p is, x is nulla. De a kvantummechanikában ez a követelmény teljesíthetetlen, mert a bizonytalansági reláció szerint nem lehet az x és a p egyideju˝

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

321

A harmonikus oszcillátor

leg nullával egyenl˝o. A legtöbb ami elérhet˝o, egy olyan kompromisszumos állapot, amelyben sem az x, sem a p nincs nagyon szétkenve. A kompromisszum következtében a legalacsonyabb energia nem lehet nullával egyenl˝o. Se p2 , se x2 nem lesz nulla. Mivel a X2 és a P2 operátoroknak nincs negatív sajátértéke, a nulla sajátértéku˝ állapotuk pedig nem közös, ezért a kvantummechanikai oszcillátor energiasajátértékei között nem fordulhat el˝o a nulla érték. De akkor a sajátértékek között kell lennie egy legkisebbnek, amelyhez egy megfelel˝o sajátfüggvény tartozik. A legalacsonyabb energiájú állapotot alapállapotnak hívjuk és a hullámfüggvényét ψ0 (x)-szel jelöljük. A nulla index tehát nem azt jelenti, hogy az energia nulla, hanem csak azt, hogy a lehet˝o legkisebb. Létezik egy nagyon hasznos matematikai tétel, amely megkönnyíti az alapállapot azonosítását. Igazolni nem fogjuk, csak megfogalmazzuk: Bármilyen potenciálra igaz, hogy az alapállapoti hullámfüggvénynek nincs zéróhelye (csomópontja), és ez az egyedüli olyan energia-sajátállapot, amelyik ilyen tulajdonságú. A harmonikus oszcillátorunk alapállapotának megtalálásához tehát keresnünk kell valamilyen E-nél egy csomópont nélküli megoldást. Lényegtelen, hogyan fogunk hozzá a feladathoz – alkalmazhatunk matematikai trükköket, folyamodhatunk próbálgatáshoz, vagy egyszeruen ˝ megkérdezzük a professzor úrtól. Válasszuk ez utóbbi lehet˝oséget. (Vállalom a professzori szerepet.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

322

Kvantummechanika

10.1. ábra: A harmonikus oszcillátor alapállapota

A keresett függvény a következ˝o: ω 2 x 2 . ψ(x) = e −

(10.15)

Ezt a függvényt rajzoltuk fel a 10.1. ábrán. Mint látható, a függvény az origó tartományára van koncentrálva, ahogy a legalacsonyabb energiájú állapottól el is várható. Az origótól távolodva nagyon gyorsan tart nullához, ezért a valószínuségi ˝ sur ˝ uség ˝ integrálja véges. És ami nagyon lényeges, nincsenek csomópontjai. Ennek következtében bizonyosan o˝ felel meg az alapállapotnak. Vizsgáljuk meg, hogyan hat a (10.14)-ben felírt Hamilton-operátor erre a függvényre. Az operátor els˝o tagjaként −

2 ∂ 2 2 ∂x2

hat a ψ(x)-re. Számítsuk ki a hatását lépésenként, egymás után végezve el a két deriválást. Az els˝o lépésben ω − x2 ω ∂ψ(x) 2 = − (2x)e . ∂x 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

323

A harmonikus oszcillátor

Egyszerusítés ˝ után ω 2 ω − x ∂ψ(x) = − xe 2 . ∂x  A második derivált a szorzat deriválási szabálya következtében két tagot tartalmaz: ω 2 ω 2 ω − x ω2 2 − x ∂ 2 ψ(x) 2 2 =− e + 2x e . ∂x2   Helyettesítsük ezt be (10.14)-be és ugyanakkor a ψ helyébe minω − x2 2 sajátfüggvényt: denütt írjuk be a feltételezett e ω 2 ω 2 ω 2 ω − x2 1 2 2 − x 1 2 2 − x  − x 2 2 2 2 ωe − ω x e + ω x e = Ee . 2 2 2 ω − x2 2 2 Az x e -tel arányos két tag egyszerusítése ˝ után arra a figyelemre méltó következtetésre jutunk, hogy a Schrödingeregyenlet megoldásához a ω 2 ω − x2  − x 2 2 ωe = Ee 2 egyenletet kell kielégítenünk. Mint láthatják, az egyenlet kizárólag akkor állhat fenn, amiω -vel egyenl˝o. Eszerint nemcsak a hullámkor az E energia 2 függvényt sikerült megtalálnunk, hanem az alapállapoti energiát is. Ha ez utóbbit E0 -lal jelöljük, akkor tehát ω (10.16) . 2 Mellesleg az alapállapot hullámfüggvényér˝ol kiderült, hogy pont E0 =

az, amit a professzor úr javasolt: ω − x2 2 ψ0 (x) = e . Nem egy buta fickó. www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

324

Kvantummechanika

10.6. A kelto˝ és az eltünteto˝ operátor Az el˝oadások során láthattuk, hogy a kvantummechanikáról két módon is lehet gondolkozni. A két néz˝opont Heisenbergre és Schrödingerre vezethet˝o vissza. Heisenberg kedvelte az algebrát, a mátrixokat, és a lineáris operátorokat (ha tudta volna, hogy így hívják o˝ ket). Vele ellentétben Schrödinger hullámfüggvényekben és hullámegyenletekben gondolkozott, amelyeknek egyik híres példája a Schrödinger-egyenlet. A két gondolkodásmód természetesen nem mond ellent egymásnak: A függvények vektorteret alkotnak, a deriválások pedig operátorok. A harmonikus oszcillátorral foglalkozva mindeddig a függvényekre és a differenciálegyenletekre összpontosítottunk. Sok esetben azonban – a harmonikus oszcillátornál pedig különösképpen – az operátormódszer az effektívebb. A hullámfüggvények és hullámegyenletek egész apparátusát néhány algebrai trükkel helyettesíti, amelyek csaknem minden esetben a kommutációs relációkkal kapcsolatosak. Egyáltalán, azt tanácsolom, valahányszor összetalálkoznak két operátorral, azonnal képezzék a kommutátorukat. Amikor ez a kommutátor maga egy olyan operátor, amilyennel korábban még nem találkoztak, az o˝ kommutátorát is számítsák ki a két eredeti operátorral. Érdekes dolgok szoktak ilyenkor kiderülni. Ez az eljárás persze vezethet unalmas, vég nélküli kommutálásokhoz is. De el˝ofordul, hogy szerencsénk van, és rátalálunk az operátoroknak egy olyan halmazára, amelyik a kommutálásokkal szemben zárt. Amikor ez történik, forró nyomon vagyunk. Mint látni fogjuk, az operátormódszerek rendkívül hatékonyak.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

325

A harmonikus oszcillátor

Alkalmazzuk ezt a módszert a harmonikus oszcillátorra. Azzal kezdjük, hogy a Hamilton-operátort kifejezzük a P és az X operátoron keresztül: H=

P2 + ω 2 X2 . 2

(10.17)

A többi energiaszintet egy matematikai trükk alkalmazásával fogjuk megkeresni. Ehhez okosan kell felhasználni az X és a P sajátosságait (els˝osorban az [X, P] = i kommutációs relációjukat). Konstruálunk két új operátort, amelyeket kelt˝o és eltüntet˝o operátornak neveznek. Amikor a kelt˝o operátor egy energiasajátvektorra (vagy sajátfüggvényre) hat, új sajátvektort hoz létre, amely az eggyel magasabb energiaszinthez tartozik. Az eltüntet˝o operátor pont az ellenkez˝ojét muveli: ˝ Az eggyel alacsonyabb nívójú sajátvektort generálja. Durván szólva tehát az energia az, amit keltenek és eltüntetnek. Növel˝o és csökkent˝o operátoroknak is hívják o˝ ket. De ne felejtsük el: Az operátorok nem rendszerekre, hanem állapotvektorokra hatnak. Ahhoz, hogy lássuk ezeknek az operátoroknak a muködését, ˝ írjuk át a Hamilton-operátort a következ˝o alakba: H=

1 2 (P + ω 2 X2 ). 2

(10.18)

Ez a kifejezés érvényes a klasszikus és a kvantummechanikában egyaránt, ezért használhatnánk benne a p, x kisbetus ˝ írásmódot is. A P, X jelölést az indokolja, hogy az alábbiakban a kvantummechanikai Hamilton-operátorra koncentrálunk. Kezdjük egy olyan átalakítással, amelyik a klasszikus fizikában érvényes, a kvantummechanikában azonban módosításra szorul. A fenti képlet zárójelében két mennyiség négyzetének az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

326

Kvantummechanika

összege áll. Az a2 + b2 = (a + ib)(a − ib) képlet segítségével megpróbálhatjuk átírni a Hamilton-operátort a

1 (10.19) (P + iωX)(P − iωX) 2 alakba, ami majdnem korrekt. De miért csak majdnem? Azért, ?

H =

mert a kvantummechanikában P és X nem kommutál egymással, ezért nagyon oda kell figyelnünk az operátorok sorrendjére. Végezzük el a tényez˝okre bontott alak összeszorzását és nézzük meg, visszakapjuk-e a (10.18) jobb oldalán álló kifejezést. A szorzást a tényez˝ok sorrendjének gondos meg˝orzése mellett elvégezve a következ˝ot kapjuk: 1 1 (P + iωX)(P − iωX) = (P2 + iωXP − iωPX − i2 ω 2 X2 ) = 2 2 =

1 2 (P + iω(XP − PX) − i2 ω 2 X2 ) = 2

=

1 2 (P + iω(XP − PX) + ω 2 X2 ) = 2

=

1 1 2 (P + ω 2 X2 ) + iω(XP − PX) 2 2

Foglalkozzunk az utolsó sorban a második zárójeles kifejezéssel! Már korábban is találkoztunk vele, mert az X és a P kommutátora. Az értékét is tudjuk: (XP − PX) = [X, P] = i. A szorzat alakú Hamilton-operátorunk tehát a következ˝o kifejezéssel egyenl˝o:

www.interkonyv.hu

1 2 1 (P + ω 2 X2 ) + iωi, 2 2

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

327

A harmonikus oszcillátor

azaz

1 1 2 (P + ω 2 X2 ) − ω. 2 2

A faktorizált alak ily módon nem egyenl˝o pontosan a valóságos Hamilton-függvénnyel, mert hiányzik bel˝ole egy ω/2 tag. A helyes Hamilton-operátort úgy kapjuk meg, hogy a tényez˝okre bontott alakhoz ezt a hiányzó mennyiséget hozzáadjuk: H=

1 ω (P + iωX)(P − iωX) + . 2 2

A Hamilton-operátornak ez az átalakítása érdektelen sz˝orszálhasogatásnak tunhet, ˝ de higgyék el, nem az. El˝oször is az utolsó tag egy additív állandó, amelynek következtében minden energiasajátértékben megjelenik az

ω 2

járulék. Egyel˝ore nem foglalko-

zunk vele. A feladat többi részének megoldása után térünk majd vissza rá. A probléma lényeges elemét a (P+iωX)(P−iωX) szorzat képezi, amelynek (P + iωX), (P − iωX) tényez˝oi figyelemreméltó sajátosságokat mutatnak. Ezek azok a növel˝o és csökkent˝o (vagy kelt˝o és eltüntet˝o) operátorok, amelyekre korábban utaltunk. Jelen pillanatban ezek még csak nevek, de mint nemsokára kiderül, jól lettek megválasztva. Mint látni fogjuk, az a− = (P − iωX) a csökkent˝o, az a+ = (P + iωX) pedig a növel˝o operátor. Történetileg azonban nem mindig az jut érvényre, ami a leghelyesebb volna. Hagyományosan a növel˝o és a csökkent˝o operátort egy extra tényez˝ovel megszorzott

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

328

Kvantummechanika

formájukban definiálták. A hivatalos definíció tehát a következ˝o: i (P − iωX), 2ω

(10.20)

−i a+ = √ (P + iωX). 2ω

(10.21)

a− = √

Ezeknek a definícióknak a felhasználásával a Hamilton-operátor nagyon egyszeru˝ alakot vesz fel: H = ω(a+ a− + 1/2).

(10.22)

Az a+ -nak és az a− -nak csak két olyan tulajdonsága van, amelyet tudnunk kell. Az els˝o az, hogy egymás hermitikus adjungáltjai. Ez a definíciójukból következik. De a lényeg a második tulajdonságukban, a kommutátorukban van, amely a következ˝o: [ a− , a+ ] = 1. Ezt a képletet nem nehéz igazolni. A definíciók alapján [a− , a+ ] ==

1 [(P − iωX), (P + iωX)] . 2ω

Ha ebben a képletben kihasználjuk az [X, X] = 0, [P, P] = 0, [X, P] = i kommutációs relációkat, gyorsan eljutunk az [a− , a+ ] = 1 képlethez. A (10.22) Hamilton-operátort még egyszerubb ˝ alakban írhatjuk fel, ha bevezetjük az N = a+ a − gerjesztésiszám-operátort, amelyet egyszerubben ˝ gerjesztettségnek is nevezhetünk. Ez persze megint csak egy név, de látni fogjuk, hogy a lényegre utal. A gerjesztettségen keresztül kifejezett

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

329

A harmonikus oszcillátor

Hamilton-operátor a következ˝o: H = ω(N + 1/2).

(10.23)

Mindeddig nem tettünk mást, mint jelöléseket vezettünk be, az a+ -t, az a− -t és az N-t, amelyek segítségével a Hamilton-operátort megejt˝oen egyszeru˝ formában lehet felírni. De vajon közelebb jutottunk-e ezzel a energia-sajátértékek meghatározásához? A továbblépéshez idézzük emlékezetünkbe az egyik korábbi tanácsomat: Ha látunk két operátort, számítsuk ki a kommutátorukat. Egyet ezek közül már ismerünk: [ a− , a+ ] = 1.

(10.24)

Számítsuk ki a növel˝o és a csökkent˝o operátorok kommutátorát a gerjesztettség N operátorával is: [ a− , N] = a− N − Na− = a− a+ a− − a+ a− a− . A jobb oldalból a sorrend megtartásával emeljük ki a− -t: [ a− , N] = a− N − Na− = (a− a+ − a+ a− )a− . A kapott kifejezés elég bonyolultnak látszik, de csak addig, amíg a zárójelben fel nem ismerjük az [ a− , a+ ] kommutátort, ami 1gyel egyenl˝o. Ennek következtében [ a− , N] = a− . Az eljárást megismételhetjük a+ -al és N-nel. Az eredmény egy el˝ojel kivételével ugyanolyan, mint el˝obb. A kommutátorok te-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

330

Kvantummechanika

hát így foglalhatók össze. [ a− , a+ ] = 1 [ a− , N] = a−

(10.25)

[ a+ , N] = −a+ . Az ilyen struktúrát hívják kommutátoralgebrának, amely az operátoroknak a kommutálásokra nézve zárt halmaza. A kommutátoralgebrák csodálatos tulajdonságokkal rendelkeznek, és ennek következtében az elméleti fizikusok kedvelt instrumentumai. A harmonikus oszcillátor ikonikus példáján mindjárt be is mutatjuk a talált kommutátoralgebra teljesít˝oképességét azzal, hogy megkeressük N sajátértékeit és sajátvektorait. Ha ezeket megtaláljuk, akkor (10.23)-ból leolvashatjuk a H sajátértékeit is. Indukciós eljárást fogunk alkalmazni. El˝oször feltesszük, hogy ismerjük N egyik sajátvektorát és a hozzá tartozó sajátértéket. Jelöljük ezt a sajátértéket n-nel, a sajátvektort pedig |n-nel. Akkor definíció szerint N|n = n|n. Képezzünk most egy új vektort úgy, hogy a+ -al hatunk |n-re. Bebizonyítjuk, hogy ez a vektor az N egy másik sajátvektora, amelyhez egy másik sajátérték tartozik. A bizonyítás nem jelent problémát, ha a kommutációs relációkat alkalmazzuk. Annyit kell tennünk, hogy az N(a+ |n) kifejezést némileg más formában írjuk fel: N(a+ |n) = [a+ N − (a+ N − Na+ )]|n. A jobb oldal csak annyiban különbözik a bal oldaltól, hogy az a+ N kifejezést hozzáadtuk, majd kivontuk bel˝ole. De vegyük

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

331

A harmonikus oszcillátor

észre, hogy a zárójelben lév˝o kifejezés megegyezik (10.25) utolsó kommutátorával. Ha ezt figyelembe vesszük, az N(a+ |n) = a+ (N + 1)|n képletre jutunk. Végül kihasználjuk, hogy |n az N operátor n sajátértékhez tartozó sajátfüggvénye, ezért (N + 1)-t helyettesíthetjük (n + 1)-el: N(a+ |n) = (n + 1)(a+ |n).

(10.26)

De amikor ennyire rutinszeruen ˝ járunk el, mindig nyitva kell tartani a szemünket, nehogy valamilyen váratlan érdekesség elkerülje a figyelmünket. Márpedig a (10.26) képletben van valami, amit jó észrevenni. A képlet ugyanis azt fejezi ki, hogy az a+ |n vektor az N operátor (n + 1) sajátértékhez tartozó sajátvektora. Úgy is mondhatjuk, hogy ha ismerjük az N valamilyen |n sajátvektorát, akkor létezik N-nek olyan sajátvektora is, amelyhez 1-gyel nagyobb sajátérték tartozik. Képlettel ez így fejezhet˝o ki: a+ |n = |n + 1.

(10.27)

Ezt az eljárást folytatva kapjuk az |n+2, |n+3 stb. sajátvektorok végtelen sorozatát. Arra a figyelemre méltó eredményre jutottunk, hogy ha létezik valamilyen n sajátérték, akkor létezik végtelen sok nála nagyobb sajátérték is, amelyek valamilyen egész számban különböznek egymástól. A növel˝o operátor elnevezést eszerint jól választottuk. És mi a helyzet a csökkent˝o operátorral? Mint várható, a− |n szintén sajátvektor, amelyhez 1-gyel kisebb sajátérték tartozik: a− |n = |n − 1.

www.interkonyv.hu

(10.28)

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

332

Kvantummechanika

Ebb˝ol arra gondolhatnánk, hogy végtelen sok n-nél kisebb sajátérték létezik, de nem így van. Tudjuk ugyanis, hogy az alapállapot energiája pozitív szám, és mivel H = ω(N + 1/2), a csökken˝o sajátértéku˝ sorozat valahol biztosan megszakad. De ehhez az szükséges, hogy létezzen olyan |0 sajátvektor, amely a− hatására nullává változik. (Ne tévesszük össze |0-t a nullvektorral38 ) Képlettel ez így fejezhet˝o ki: a− |0 = 0.

(10.29)

Mivel a hozzá tartozó energia a lehet˝o legalacsonyabb, a |0 állapot az alapállapot, amelynek az energiája E0 = ω/2 és az N operátor nulla sajátértéku˝ sajátvektora. Azt szokás mondani, hogy a− annihilálja az alapállapotot. Most már láthatják, tényleg érdemes volt megkonstruálni az +

a , az a− és az N operátorokat. A segítségükkel anélkül tudtuk meghatározni a harmonikus oszcillátor energiaszintjeinek teljes spektrumát, hogy egyetlen differenciálegyenletet is megoldottunk volna. Ez a spektrum az energia következ˝o értékeit tartalmazza: En = ω(n + 1/2) = ω(1/2, 3/2, 5/2, . . . ).

(10.30)

A harmonikus oszcillátor energiaszintjeinek a kvantálása volt a kvantummechanika legels˝o, és talán legfontosabb eredménye. A hidrogénatom kvantummechanikája nagyszeru˝ teljesítmény, de végül is csak erre az egyetlen fajtájú atomra érvényes. Harmo38 A

nullvektor olyan vektor, amelynek minden komponense nullával egyenl˝o.

Ezzel szemben |0 az állapotvektorok egyike, amelynek biztosan van nemnulla komponense.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

333

A harmonikus oszcillátor

nikus oszcillátorral azonban mindenütt találkozunk, a kristályrezgésekt˝ol az áramkörökön keresztül az elektromágneses hullámokig. És még sokáig folytathatnánk. Még az olyan makroszkopikus oszcillátoroknak is, mint amilyen egy hintázó kisgyerek, kvantált az energiája, de a (10.30) képletben megjelen˝o Planckállandó miatt az energiaszintek közötti különbség annyira jelentéktelen, hogy egyáltalán nem lehet észrevenni. A harmonikus oszcillátor energiaszintjeinek végtelen pozitív spektrumát a 10.2. ábrán láthatjuk.

10.7.

Megint hullámfüggvény

Ezek a gyakorlatok meggy˝oz˝oen demonstrálják az operátoralgebrák teljesít˝oképességét, de az ilyen operátormódszerek nagyon elvontak. Azonban segítenek a hullámfüggvények megtalálásában is, amelyek sokkal konkrétabbak és szemléletesebbek. Kezdjük az alapállapottal. A (10.29) egyenlet szerint az alapállapot az az unikális állapot, amelyet a− annihilál. Fejezzük ki ezért ezt az egyenletet a helyoperátoron és az impulzusoperátoron, valamint az alapállapot ψ0 (x) hullámfüggvényén keresztül: i √ (P − iωX)ψ0 (x) = 0. 2ω A konstans faktorral egyszerusíthetünk: ˝ (P − iωX)ψ0 (x) = 0. d -el, a Schrödinger-egyenletnél dx sokkal egyszerubb ˝ els˝ofokú egyenletre jutunk:

Ha most P-t helyettesítjük −i

ωx dψ0 = − ψ0 (x). dx 

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

334

Kvantummechanika

10.2. ábra: A harmonikus oszcillátor energiaszintjei. Az energiaszintek között egyenletes a távolság. a+ és a− növeli illetve csökkenti az energiaszintet. Az N-nek az alsó határa a nulla (az alapállapotban), fels˝o határa azonban nincs

Ezt az egyszeru˝ differenciálegyenletet próbálgatással nagyon könnyen meg lehet oldani, vagy pedig a (10.15)-b˝ol az ω 2 x e 2 −

alapállapoti hullámfüggvény behelyettesítésével lehet meggy˝oz˝odni róla, hogy valóban kielégíti az egyenletet. A gerjesztett állapotokat még ennél is egyszerubben ˝ lehet megtalálni, mert egyáltalán nem kell egyenletet megoldani hozzá. Keressük meg el˝o-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

335

A harmonikus oszcillátor

ször a közvetlenül az alapállapot fölötti n = +1 állapot ψ1 (x) hullámfüggvényét. Ehhez elég a+ -t az alapállapotra alkalmazni. √ Ahhoz, hogy ne kelljen bajlódnunk a −i/ 2ω konstanssal, hagyjuk el az a+ definíciójából, hiszen csupán a hullámfüggvényt szorzó konstans. Ekkor ψ1 (x) = (P + iωX)ψ0 (x), vagyis

ω  − x2 d 2 + iωx e −i . dx

 ψ1 (x) =

A jobb oldalon kiemelhetjük a képzetes egységet: ω  − x2 d + ωx ψ0 (x)e 2 . ψ1 (x) = i − dx 

A „ legrázósabb” – de valójában nagyon is egyszeru˝ – lépés az ω − x2 e 2 deriválása, amelyet elvégezve a ω 2 x 2 ψ1 (x) = 2iωxe −

képletet kapjuk eredményül. Ez így is írható: ψ1 (x) = 2iωxψ0 (x). A ψ0 és a ψ1 közötti egyetlen lényeges különbség az x tényez˝o megjelenése a ψ1 -ben. Ennek az a következménye, hogy az els˝o gerjesztett állapot hullámfüggvényének lesz egy zéróhelye (csomópontja) x = 0-ban. Ez a séma ismétl˝odik, amikor egyre magasabb és magasabb energiaszintre lépünk: Minden gerjesztett állapot hullámfüggvénye eggyel több csomópontot tartalmaz, mint

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

336

Kvantummechanika

az o˝ t közvetlenül megel˝oz˝o, alacsonyabb energiájú állapot. Err˝ol könnyen meggy˝oz˝odhetünk az n = 2 gerjesztett állapot példáján. Ehhez annyit kell tennünk, hogy újból alkalmazzuk a+ -t: ω    − x2 d + ωx xe 2 . ψ2 (x) = i − dx Azonnal látjuk, hogy az ωx tag következtében ψ1 -ben lesz egy d ωx2 -tel arányos járulék. A − hatására egyébként a szorzat dedx riválási szabálya következtében két tag jön létre. Ezek egyike az exponenciális függvényb˝ol származik (és létrehoz még egy ωxet). A másik az x deriválásának a következménye. Mindebb˝ol nyilvánvaló, hogy másodfokú polinomot kapunk eredményül. A deriválásokat ténylegesen elvégezve a következ˝o képletre jutunk:

ω 2 x ψ2 (x) = (− + 2ωx )e 2 . 2

−

Ez a gerjesztett állapotok létráján felfele haladó eljárás természetesen folytatható. Eközben a sajátfüggvények egy másik tulajdonsága is megfigyelhet˝o: Mindegyik egy x-polinomnak és az ω − x2 e 2 függvénynek a szorzata. Mivel az exponenciális függvény mindegyik polinomnál gyorsabban tart zérushoz, ezért a sajátfüggvények aszimptotikusan nullához tartanak, amikor x a pozitív vagy a negatív végtelenhez tart. Mivel továbbá mindegyik polinom 1-gyel magasabb fokú mint az o˝ t megel˝oz˝o, a csomópontok száma is megn˝o 1-gyel39 . Az eljárásunkból az is lát39 A

meggondolásból nem következik de igaz, hogy mindegyik csomópont va-

lós x-nél jön létre. Fizikai néz˝opontból ezek a nullhelyek elég különösek, hiszen a rezg˝o tömeg ezekben a pontokban sohasem figyelhet˝o meg, noha rezgés közben át kell haladnia rajtuk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

337

A harmonikus oszcillátor

szik, hogy a sajátfüggvények eközben váltakozva szimmetrikus és antiszimmetrikus függvényei x-nek: A páros fokúak szimmetrikusak, a páratlan fokúak antiszimmetrikusak. Ezeket a polinomokat a matematikában jól ismerik, Hermite-polinomoknak hívω − x2 ják o˝ ket. Az e 2 alapállapoti hullámfüggvény, amelyik az összes magasabb energiájú sajátfüggvényben is megjelenik, szimmetrikus az x-ben.

10.3. ábra: Harmonikus oszcillátor-sajátfüggvények. A bal oldali grafikonok az amplitúdót, a jobb oldaliak a valószínuséget ˝ ábrázolják. A magasabb energiájú hullámfüggvények gyorsabban oszcillálnak és szétkentebbek

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

338

Kvantummechanika

A néhány legalacsonyabb energia-sajátállapot hullámfüggvényének grafikonja a 10.3. ábrán látható. A gerjesztés növekedésével az x függvényében egyre gyorsabban oszcillálnak. Ez a megnövekedett impulzus következménye. Minél gyorsabban oszcillál a hullámfüggvény, annál nagyobb a rendszer impulzusa. Magasabb energián a hullámfüggvény szétkentsége is nagyobb. Fizikai terminusokban ez azt jelenti, hogy a tömeg jobban eltávozik az egyensúlyi ponttól és gyorsabban is mozog. A sajátfüggvényekb˝ol levonható még egy következtetés. Noha aszimptotikusan (elég gyorsan) tartanak nullához, a nulla értéket magát nem érik el. Ennek az a következménye, hogy véges valószínuséggel ˝ találhatók meg a potenciális energia által definiált „ gödrön” kívül is. Ez a jelenség az alagúteffektus, ami a klasszikus fizikában ismeretlen.

10.8.

A kvantálás jelentosége ˝

Egy magas hegy tetejére kapaszkodtunk fel ezeknek az el˝oadásoknak a során, azonban nem ez az utolsó hegy, amit érdemes megmászni. Err˝ol a megfigyelési pontról körbetekintve megpillanthatjuk a kvantumtérelmélet kiterjedt tartományát is. De ez egy másik könyv témája, vagy talán inkább háromé. Valami azért kivehet˝o arról a megfigyelési pontról is, ahol most állunk. Vegyünk szemügyre például egy olyan üreget, amely elektromágneses sugárzást tartalmaz (10.4. ábra). Üregen most a tér két ideálisan reflektáló tükör közötti tartományát értjük, amelyben a sugárzás az irányát állandóan váltogatva folyamatosan mozgásban van a két tükör között. Az üreg hosszú fémcs˝o is lehet,

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

339

A harmonikus oszcillátor

amelyben a sugárzás mindkét irányban terjedhet.

10.4. ábra: Elektromágneses sugárzás üregben

Sok különböz˝o hullámhossz illeszkedhet pontosan az üreg méretéhez. Vegyük a λ hullámhosszú vonulatot. Mint minden hullám, ez is ahhoz hasonlóan oszcillál, ahogy a súly egy rugó végén. De ne keverjük össze a dolgokat, itt nincs se tömeg, se rugó. Az elektromágneses mez˝o az, ami rezeg. Minden hullámhosszú rezgés matematikailag ekvivalens egy harmonikus oszcillátorral, amely a térer˝osségre vonatkozik. Végtelenül sok harmonikus oszcillátor rezeg egyid˝oben. Szerencsére egymástól függetlenül oszcillálnak, ezért megtehetjük, hogy csak az egyik partikuláris hullámhosszra összpontosítunk, a többit pedig figyelmen kívül hagyjuk. A harmonikus oszcillátort egyetlen fontos szám jellemzi, a frekvenciája. Valószínuleg ˝ ismerik azt a képletet, amellyel a λ hullámhossz ismeretében ki lehet számítani a körfrekvenciát: ω=

2πc . λ

A klasszikus fizikában a frekvencia nem több mint frekvencia, de a kvantummechanikában a frekvenciával függ össze az oszcillátor energiája is. A λ hullámhosszú oszcillátor energiájának a képlete ugyanis (n + 1/2)ω.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

340

Kvantummechanika

Az (1/2)ω-nak, amelyet zéruspont-energiának hívnak, most nincs jelent˝osége a számunkra, ezért eltekintünk t˝ole. Ennek következtében a λ hulláhosszú rezgés energiájára a 2πc n λ képletet kapjuk, amelyben n nullával vagy egy pozitív egész számmal egyenl˝o. Az elektromágneses hullám energiája ily módon az oszthatatlan

2πc λ

kvantumok valamilyen többszöröse. A klasszikus fizika néz˝opontjából ez szokatlan tulajdonság. De nincs mit tenni, a sugárzási energia mindig oszthatatlan egységek formájában jelenik meg. Önök bizonyára jól ismerik ezeknek az egységeknek a nevét: o˝ k a fotonok. A foton név nem jelent mást, mint az elektromágneses mez˝ohöz tartozó harmonikus oszcillátor kvantált energiaegységét. De ezt a tényt más módon is interpretálhatjuk. Mivel a fotonok oszthatatlanok, elemi részecskéknek is tekinthet˝ok. Az n-edik kvantumállapotra gerjesztett hullám n darab fotonból álló kollekcióként is felfogható. Mivel egyenl˝o egy foton energiája? Nem nehéz megmondani. Azzal az energiával egyenl˝o, ami egy egység hozzáadásához szükséges, nevezetesen E(λ) =

2πc . λ

Ez a képlet rámutat valamire, ami az elmúlt száz évben uralta a fizikát: Minél kisebb a foton hullámhossza, annál nagyobb az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó A harmonikus oszcillátor

341

energiája. Miért érdekelt a fizikus abban, hogy minél rövidebb hullámhosszú fotont állítson el˝o, amikor ez egyre több és több energiát emészt fel? Azért, hogy jobban lásson. Az 1. el˝oadásban szó volt róla, hogy egy adott méretu˝ objektum felbontásához az objektum méretének megfelel˝o, vagy annál kisebb hullámhosszú hullám szükséges. Egy emberi alak észlelését néhány centiméteres hullám már lehet˝ové teszi. Egy lebeg˝o porszem megfigyelése a sokkal kisebb hullámhosszú látható fényben válik lehetségessé. Egy proton részeinek felbontásához 10−15 méternél kisebb hullámhossz szükséges. Az ilyen hullámhosszú fotonok energiája rendkívül nagy. Végül minden út a harmonikus oszcillátorhoz vezet. Kedves barátaim, ezzel a megjegyzéssel zárom az Elméleti Minimum sorozatnak ezt a kötetét. Viszont látásra a speciális relativitáselmélet órákon!

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

Függelék

Pauli-mátrixok



0 1

σx =

1 0 



0

−i

i

0

1

0

0

−1

σy =  σz =



 .

A spinoperátorok hatása

|u =

  1 0

σz |u = |u ⇐⇒

σx |u = |d σy |u = i|d

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

344

Kvantummechanika

|d =

  0 1

σz |d = −|d ⇐⇒

σx |d = |u σy |d = −i|u

⎛ 1 ⎞ √ ⎜ ⎟ |r = ⎝ 12 ⎠ √ 2

⎛ 1 ⎞ √ ⎜ ⎟ |l = ⎝ −12 ⎠ √ 2

⎛ 1 ⎞ √ ⎜ ⎟ |i = ⎝ i2 ⎠ √ 2

⎛ 1 ⎞ √ ⎜ ⎟ |o = ⎝ −i2 ⎠ √ 2

www.interkonyv.hu

σz |r = |l ⇐⇒

σx |r = |r σy |r = −i|l

σz |l = |r ⇐⇒

σx |l = −|l σy |l = i|r

σz |i = |o ⇐⇒

σx |i = i|o σy |i = |i

σz |o = |i ⇐⇒

σx |o = −i|i σy |o = −|o

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

345

Függelék

Az n ˆ irányú spinkomponens Vektorjelölés σn = σ · n ˆ

Komponensforma σn = σx nx + σy ny + σz nz

Részletesebben  σn = nx

0

 1

1

0

 + ny



0

−i

i

0

 + nx

1 0



0 1

Mátrixba foglalt alak  σn =

nz

(nx − iny )

(nx + iny )

−nz



A spinoperátor-hatás táblázatai Megjegyzés a jelölésr˝ol: A kis i szorzótényez˝o mindenütt a képzetes egységet jelöli. A keteken belül el˝oforduló d˝olt i az in (befelé) állapotra utal.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

346

Kvantummechanika

1. Táblázat: u-d bázis 2-Spin sajátvektorok |uu

|ud 

|du

|dd 

σz

|uu

|ud

-|du

-|dd

σx

|du

|dd

|uu

|ud

σy

i|du

i|dd

-i|uu

|ud

τz

|uu

-|ud

|du

-|dd

τx

|ud

|uu

|dd

|du

τy

i|ud

-i|uu

i|dd

-i|du

2. Táblázat: r-l bázis 2-Spin sajátvektorok

www.interkonyv.hu

|rr 

|rl 

|lr 

|ll 

σz

|lr

|ll

-|rr

-|rl

σx

|rr

|rl

-|lr

-|ll

σy

-i|lr

-i|ll

i|rr

i|rl

τz

|rl

|rr

|ll

|lr

τx

|rr

-|rl

|lr

-|ll

τy

-i|rl

i|rr

-i|ll

i|lr

Hungarian translation © Szabó József

© Typotex Kiadó

347

Függelék

3. Táblázat: i-o bázis 2-Spin sajátvektorok

www.interkonyv.hu Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

|ii 

|io

|oi 

|oo

σz

|oi

|oo

|ii

|io

σx

i|oi

i|oo

-|ii

-|io

σy

|ii

|io

-|oi

-|oo

τz

|io

|ii

|oo

|oi

τx

i|io

-i|ii

i|oo

-i|oi

τy

|ii

-|io

|oi

-|oo

Hungarian translation © Szabó József