Arbeitsbuch zum Operations-Management 9783834996480, 3834996483 [PDF]

Zitiervorschau

Frank Himpel, Florian Winter Arbeitsbuch zum Operations Management

GABLER EDITION WISSENSCHAFT

Frank Himpel, Florian Winter

Arbeitsbuch zum Operations Management Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Klaus Bellmann

GABLER EDITION WISSENSCHAFT

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Frauke Schindler / Sabine Schöller Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8350-0984-4

Geleitwort

Im Laufe der Jahre ist die Zahl an Übungs- und Klausuraufgaben zu den produktionswirtschaftlichen Veranstaltungen des Lehrstuhls auf eine stattliche, kaum noch überschaubare Menge angewachsen. Frank Himpel und Florian Winter haben die Bürde auf sich genommen, die umfangreiche Materialsammlung zu sichten und zu werten sowie die Aufgabenstellungen zu klassifizieren und nach Problemkomplexität, Abstraktions- und Schwierigkeitsgrad einzustufen. Die Autoren haben das Werk unter der Prämisse erstellt, dass für den Lernerfolg mit einem Arbeitsbuch nicht nur die richtige Konzeption wichtig ist, sondern auch die didaktisch geschickte Strukturierung und Aufbereitung des Themenfelds. Hierzu ist zunächst die übergreifende Einführung zum Operations Management sehr hilfreich. Gleichermaßen dienlich sind die thematischen, komprimiert gehaltenen Einführungen zu den einzelnen Hauptkapiteln. Diese können und sollen jedoch keineswegs ein Substitut für ein einschlägiges und vertiefendes Lehrbuch sein. Zur schnellen inhaltlichen Orientierung haben die Autoren die jeweilige Problemstellung in der Produktionsmanagement-Matrix verortet. Dies fördert erheblich die Fähigkeit, eine Problemstellung in den produktionswirtschaftlichen Bezugsrahmen einzuordnen. Dennoch erfordert das Lösen der Aufgabenstellungen Anstrengung und Mühe. Der Bearbeiter sollte sich jedoch nicht leichtfertig dazu verleiten lassen, bei den ersten Schwierigkeiten den einfachen Weg zu gehen und im Lösungsteil nachzuschlagen. Lernfortschritte entstehen dadurch, dass man lernt, Fehlschritte zu vermeiden. „Trial and error“ sind deshalb geradezu unentbehrlich für einen dauerhaften Lernerfolg. Das Aufgabenbuch will jedoch nicht allein einen quantitativ-inhaltlichen Zugang zu den Problemstellungen des Operations Management vermitteln, sondern ist in gleicher Weise bestrebt, dem Nutzer auch einen methodischen Zugang zu erschließen. Hierzu verhilft insbesondere der Workbook-Teil mit der detaillierten Ausstrukturierung des Lösungswegs in einzelne Schrittfolgen. Wer sich bereits einmal damit befasst hat, ein Arbeitsbuch in der vorliegenden Ausgestaltung zu erstellen, der weiß, wie mühsam dieses Vorhaben ist. Den Verfassern gebühren deshalb für ihr Werk meine Anerkennung und mein Dank.

Mainz, im Dezember 2007

Klaus Bellmann

V

Vorwort Der Leser, traurig aber wahr, ist häufig unberechenbar: Hat er nicht Lust, hat er nicht Zeit, dann gähnt er: "Alles viel zu breit!" Doch wenn er selber etwas sucht, was ich aus Raumnot nicht verbucht, wirft er voll Stolz sich in die Brust: "Aha, das hat er nicht gewußt!" Man weiß, die Hoffnung wär' zum Lachen, es allen Leuten recht zu machen. Eugen Roth

Wir möchten es mit diesem Arbeitsbuch ganz sicher nicht allen Leuten recht machen. Vor allem richtet es sich an Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die am Anfang ihrer akademischen Ausbildung stehen - und sich mit produktionswirtschaftlich relevanten Fragestellungen beschäftigen. Insbesondere für ein vertieftes Verständnis des operativen Operations Management ist dabei ein quantitativer Zugang unerläßlich. Unser Verständnis zum Operations Management ist wesentlich durch die systemorientierte Sicht unseres akademischen Lehrers Professor Dr. Klaus Bellmann geprägt. Wir sind ihm für die jahrelange Vermittlung dieser Sicht sehr dankbar - ebenso wie für die großzügige Arbeitsatmosphäre an seinem Lehrstuhl. Ohne die entsprechende Gewährung von Freiheiten wäre dieses Buch nicht auf dem Markt. Die Aufgaben in diesem Arbeitsbuch sind in mehreren Semestern an Studierenden und durch Studierende an der Universität Mainz und der SGH Warschau getestet. Für konstruktives Feedback in diesem Zusammenhang danken wir den Teilnehmer(-inn)en unserer Mainzer Lehrveranstaltungen. Wenngleich wir als Autoren allein für eventuelle Tippfehler und inhaltliche Monita einstehen, so hat doch ein Team am Mainzer Lehrstuhl an der Überarbeitung der Rohfassung des Manuskriptes mitgewirkt. Wir bedanken uns in diesem Zusammenhang bei Inka Weickel, Isabelle Weißhaar, Benjamin Hampf und Felix Heintz. Jeder, der einmal ein (Lehr-)Buch geschrieben hat, weiß aus eigener Erfahrung, wie schwierig mitunter die Abstimmung darüber fällt, welche Teile in das Manuskript aufgenommen und welche Teile hingegen herausgelassen werden sollten. Wir sind uns bewußt, daß die hier getroffene Aufgabenauswahl nur einen Ausschnitt aus der inhaltlichen Vielfalt des operativen Operations Management abzubilden vermag. Wir hoffen, daß die gewählte Systemgrenze unseren Lesern einen geeigneten Einstieg in das Fach vermittelt. Für inhaltliche Anregungen sind wir Ihnen schon jetzt dankbar. Mainz, im Dezember 2007

Frank Himpel und Florian Winter

VII

Inhaltsverzeichnis Geleitwort Vorwort Inhaltsverzeichnis Variablen- und Abkürzungsverzeichnis

Kapitel 1: Themenöffnung

V VII IX XIII

1

1.1 Hinweise zum Arbeiten mit diesem Buch 1.2 Inhaltliche Anmerkungen 1.3 Methodische Anmerkungen

3 6 10

Kapitel 2: Produktions- und Kostentheorie

15

2.1 Einführung

17

2.2 Minimalkostenkombination 1. Cobb-Douglas-Technologie (Kostenminimerung) 2. Cobb-Douglas-Technologie (Ertragsmaximierung) (W1) 3. Cobb-Douglas-Technologie 4. Grenzrate der Substitution (Cobb-Douglas) 5. Maximum- und Minimumprinzip (Cobb-Douglas) 6. Minimalkostenkombination bei linear-limitationalem Prozeß (W2)

18 18 18 19 19 19 20

2.3 Betriebstechnische Anpassung 7. Optimale Intensität von Aggregaten 8. Betriebstechnische Anpassung (mit Restriktionen) 9. Betriebstechnische Anpassung (mit Herleitung der Gesamtkosten) (W4)

21 21 21 22

2.4 Produktions- und Kostenfunktion 10. Ertragsgesetz nach Turgot (W5) 11. Ertragsgesetz nach Turgot 12. Produktionsfunktion (nach Heinen) 13. Verbindung von Produktions- und Kostentheorie

23 23 24 24 25

Kapitel 3: Strategisch-taktische Aspekte des Operations Management

27

3.1 Einführung

29

3.2 Funktionsbereichsisolierte Aspekte 14. Optimales F&E-Programm (W6) 15. Technologieorientierter Lebenszyklus

30 30 31

3.3 Funktionsbereichsübergreifende Aspekte Einführung zum Standortmodell nach Weber

32 32 IX

16. Standortoptimierung nach Weber 17. Entscheidungen unter Unsicherheit und Risiko (nach Hurwicz) 18. Entscheidungen unter Unsicherheit 19. Entscheidungen unter Risiko (Kapitalerwartungswert) 20. Betriebsunterbrechungsversicherung (BUV) 21. Entscheidungsbaum zur Komplexitätsreduktion 22. Kooperationsentscheidung 23. Standortplanung 24. Standortplanung

34 35 36 36 37 38 39 40 41

Kapitel 4: Sourcing- und Materialmanagement

43

4.1 Einführung

45

4.2 Bestellmengen und Materialbedarfe Einführung zur statischen Bestellmengenplanung (nach Andler/Harris) 25. Statische Bestellmengenplanung (nach Harris) 26. Statische Bestellmengenplanung (mit Restriktion) 27. ABC-Analyse 28. Diskrete Bestellmengenmodelle / Losgrößenheuristiken 29. Verpackungsplanung 30. Verpackungsplanung 4.3 Gozintographen 31. Gozintograph (W8) 32. Gozintograph und Direktbedarfs- sowie Gesamtbedarfsmatrix 33. Mengenübersichtsstückliste

46 46 48 48 49 49 50 51 52 52 53 54

Kapitel 5: Prozeßmanagement

55

5.1 Einführung

57

5.2 Operative Prozeßsteuerung, -organisation und -optimierung 34. Flußorientierung im Prozeßablauf (W9) 35. Effizienz von Faktorkombinationen 36. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie) 37. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie) 38. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie) 39. Anlagen- und Kapazitätsplanung 40. Fortschrittszahlen-Konzept (Soll-Ist-Abgleich) (W10) 41. Fortschrittszahlen-Konzept (variable Produktionskoeffizienten) 42. Fortschrittszahlen-Konzept (Soll-Ist-Abgleich) 43. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe 44. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe (W11) 45. Input-Output-Control 46. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Heller und Logemann) 47. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop 48. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Akers) (W12) 49. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Akers) 5.3 Zeit- und qualitätsbezogene Prozeßgestaltung Einführung in die Netzplantechnik

58 58 59 59 60 61 62 63 64 65 66 67 69 69 70 71 72 73 73

X

50. Netzplantechnik (MPM) 51. Arbeitsfolgeprojektierung (MPM) 52. Deckungsbeitragsrechnung bei Fehlertoleranzen in der Fertigung 53. Fehlertoleranzen in der Fertigung (einseitiger Test) 54. Fehlertoleranzen in der Fertigung (zweiseitiger Test) Tabellen der Standardnormalverteilung und der t-Verteilung

77 77 79 80 80 81

Kapitel 6: Produkt- und Programmanagement

83

6.1 Einführung

85

6.2 Operative Programmsteuerung und –optimierung 55. Optimale Produktionsprogrammplanung (absolute Deckungsbeiträge) 56. Optimale Produktionsprogrammplanung (relative Deckungsbeiträge) 57. Optimale Produktionsprogrammplanung (relative Deckungsbeitragsdifferenzen) (W13) 58. Make or Buy-Entscheidung 59. Make or Buy-Entscheidung 60. Make or Buy-Entscheidung 61. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange) 62. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange) 63. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange) 64. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange) 65. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung) 66. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung) 67. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung) (W14) 68. Kommunikationspolitik

86 86 87

Kapitel 7: Workbook zur strukturierten Aufgabenbearbeitung

99

W1. Cobb-Douglas-Technologie (Ertragsmaximierung) (Aufgabe 2) W2. Minimalkostenkombination bei linear-limitationalem Prozeß (Aufgabe 6) W3. Technische und ökonomische Intensität W4. Betriebstechnische Anpassung (Aufgabe 9) W5. Ertragsgesetz nach Turgot (Aufgabe 10) W6. Optimales F&E-Programm (Aufgabe 14) W7. Herleitung der kostenoptimalen Bestellmenge (Harris-Grundmodell) W8. Gozintograph (Aufgabe 31) W9. Flußorientierung im Prozeßablauf (Aufgabe 34) W10. Fortschrittszahlen-Konzept (Aufgabe 40) W11. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe (Aufgabe 44) W12. Maschinenbelegungspläne (Job Shop) (Aufgabe 48) W13. Relative Deckungsbeitragsdifferenzen (Aufgabe 57) W14. Optimales Produktionsprogramm (Simplex) (Aufgabe 67)

88 89 89 90 91 92 92 94 95 95 96 97

101 102 105 105 110 116 118 121 123 124 125 131 132 135

Kapitel 8: Lösungen zu den Kapiteln 2-7

139

Stichwortverzeichnis Lösungsverzeichnis

271 273

XI

Variablen- und Abkürzungsverzeichnis

a A

Produktionskoeffizient / Handlungsalternative / Transportmenge fixe Bestellkosten / Absatzmenge / Auftragszugang

b B BS

technische Ausbringungsmenge / Breite Periodenbedarf / Auftragsbestand Belastungsschranke

C c. p. d D

Kapazität / Taktzeit ceteris paribus Stückdeckungsbeitrag / technische Intensität Vorgangsdauer

D DB DF

Direktbedarfsmatrix

e

Durchschnittsertrag

E

Ertrag / Erlös Einheitsmatrix

E EPS EÜ G G h H0 H1 i k KAP KB KEW KF KL KN

Deckungsbeitrag Diskontierungsfaktor

Einlastungsprozentsatz Einzahlungsüberschuss Gewinn (einer Periode) Gesamtbedarfsmatrix Höhe Nullhypothese Alternativhypothese Laufvariable (gesamte) Stückkosten bzw. Durchschnittskosten / Transportkostensatz Arbeitsplatzkapazität Bestellkosten Kapitalerwartungswert Fixkosten Leerkosten / Lagerkosten Nutzkosten

XIII

Kv

Variable Kosten

KW l

Kapitalwert Länge

M m

Produktionsrate Anzahl der Stationen / Laufvariable

MDZ n p q q-1 r

mittlere Durchlaufzeit Stichprobenumfang / Laufvariable Preis / Druck Produktionskoeffizient Produktionsintensität Faktoreinsatzmenge / Verbrauchsfunktion (zeitspezifisch) / Distanz / Radius

s SÄ t

Outputskalierungsfaktor Sicherheitsäquivalent Zeit / stückbezogene Transportkosten / t-Wert

T U V v x

Periodendauer, Planungszeitraum Umsatz / Umrüstkosten Verbrauchsrate / Veräußerungserlös Verbrauchsfunktion (produktspezifisch) (ökonomische) Ausbringungsmenge / Ertrag / Bestellmenge / Losgröße / Kantenlänge

x x

Vektor der Gesamtbedarfsmengen ökonomische Intensität / arithmetisches Mittel

y z

Bestellhäufigkeit Lagerkostensatz / Fixkostenbestandteil

z Z

Vektor der Primärbedarfsmengen Zielfunktion / Umweltzustand / Auftragsabgang

ZZ

Zykluszeit

Į ȕ

Signifikanzniveau, Technologieparameter Technologieparameter

Ȝ

Lagrange-Multiplikator / Optimimus-Parameter

ȡ ȡ ıT ıZ dž

Faktorverbrauch Dichte Tangentialspannung Zugfestigkeit geschätzte Standardabweichung

XIV

Kapitel 1 Themenöffnung

1

1.1 Hinweise zum Arbeiten mit diesem Buch

Dieses Arbeitsbuch versteht sich als einer von mehreren möglichen Zugängen zur Vermittlung von Lehrinhalten zum (operativen) Operations Management. In den vergangenen Jahren hat sich das Themengebiet des Operations Management in einer nahezu unübersichtlichen Anzahl an diversen Veröffentlichungen ausdifferenziert. Entsprechend vielfältig ist auch das Lehr(buch-)angebot in diesem Bereich. Dieses Arbeitsbuch versucht, anhand von ausgewählten Aufgaben (und ausführlichen Lösungen) die Schwerpunkte des Operations Management in gebotener Breite und Tiefe aus primär operativer Sicht zu vermitteln. Hierbei stehen quantifizierbare Zugänge im Vordergrund der Darstellung. Dieses Buch will also nicht (und kann auch gar nicht) strategische, taktische und operative Aspekte in ihrem integrierten Gesamtzusammenhang detailliert vermitteln. Unser Arbeitsbuch fokussiert auf diejenigen Aktions- und Optimierungsfelder, die sich in primär operativer Auslegung von jeweils input-, prozeß- und outpoutorientierter Sicht herauskristallisieren. Bei der Auswahl der Aufgaben für das Buch wurde in einer trade off-Entscheidung gemäß dem Leitsatz "so viel Varietät wie möglich (aus Gründen der weitgehenden Abdeckung des Fachs) aber so viel Redundanz wie nötig (aus Gründen der vertieften Darstellung der ausgewählten Schwerpunkte)" verfahren. Wir glauben, unseren Lesern mit dem hier vorgelegten Aufgabenspeicher eine aktuelle und für das grundsätzliche Verständnis des Fachs geeignete Zusammenstellung von Übungshilfen und Lernzugängen im Sinne einer "Steigleiter in das Fach" an die Hand zu geben, in gewisser Weise also ein Angebot an "Einsteiger". Wichtig hierbei ist auch der deutliche Hinweis, daß unser Text nicht als alleinstehendes Lehrbuch, sondern als andere Lehrtexte unterfütterndes bzw. ergänzendes - Übungsbuch zu verstehen ist. Hierzu sind in den Kapiteln 2 bis 6 jeweils Übungsaufgaben formuliert. Die Übungsaufgaben erstrecken sich auf die Themengebiete Produktions- und Kostentheorie (Kapitel 2), strategisch-taktische Aspekte des Operations Management (Kapitel 3), Sourcing- und Materialmanagement (Kapitel 4), Prozeßmanagement (Kapitel 5) sowie Produkt- und Programmmanagement (Kapitel 6). Wir möchten mit dieser inhaltlichen Durchmusterung einerseits aufzeigen, daß input-, prozeß- und outputorientierte Zugänge zum Operations Management greifen. Eine Einordnung in diesen inhaltlichen Rahmen formulieren wir in Kapitel 1.2.

3

Andererseits versuchen wir, unseren Lesern zu zeigen, daß die - insbesondere von Anfängern im Fach oftmals als unübersichtlich empfundene und vermeintlich nur schwer zu "greifende" - Vielfalt an unterschiedlichen quantitativen Zugängen zum (operativen) Operations Management sich bei geeigneter Interpretation auf wenige methodische Zugänge reduzieren läßt. Mehr hierzu präsentieren wir Ihnen in Kapitel 1.3. Während Sie in den Kapiteln 2 bis 6 die Fragestellungen bzw. Aufgaben abgebildet sehen, präsentieren wir in Kapitel 7 eine "Workbook-Section". Die hier gewählte Form der Darstellung ist darauf ausgelegt, Ihnen eine "Strukturierung" der Aufgabenbearbeitung an die Hand zu geben. Insbesondere dem Anfänger erscheint es beim Lesen einer Aufgabenstellung unserer Erfahrung nach häufig nur bedingt geläufig zu sein, welche konkreten Aufgabenschritte die Erarbeitung einer Problemlösung mit sich bringt. Um das strukturierte Lösen von Aufgabenstellungen an ausgewählten Fragen zu üben, sind in Kapitel 7 "Strukturanleitungen" zur Lösung von ausgewählten Fragestellungen der Kapitel 2 bis 6 abgedruckt. Oder noch einmal anders formuliert: Sie finden die Fragestellungen dieses Buchs in den Kapiteln 2 bis 6, nach inhaltlichen Kriterien sortiert. Damit Sie, sofern Sie möchten, einen Eindruck von der Strukturation von Lösungszugängen im operativen Operations Management erhalten, können Sie das Kapitel 7 als "Workbook"-Segment dieses Buchs interpretieren, auf dessen Seiten Sie zu ausgewählten Aufgaben eine eigene Bearbeitung zum Einüben der strukturierten Fallbearbeitung vornehmen können. Schreiben Sie sich doch einfach etwas in Ihr Buch, Sie werden sehen, quantitative Zugänge zum Operations Management sind gar nicht so unübersichtlich und so schwer wie anfänglich vielleicht von Ihnen vermutet. Das Lernen geht hier oftmals "durch die Hand", soll heißen, Sie sollten die Aufgaben einfach einmal rechnen und auf diese Art den Lösungszugang nachvollziehen. Die Lösungen für alle Aufgaben finden Sie in ausführlicher, größtenteils auch kommentierter Form dann abschließend in Kapitel 8 dieses Buchs. Wir haben uns bemüht, die Darstellung so ausführlich wie möglich und so nachvollziehbar wie möglich zu gestalten. Wir wissen gleichzeitig aber auch, daß die Lösungsformulierungen dem einen Leser zu weit gehen, zu umschweifend und zu redundant sind. Dem anderen Leser hingegen dürften sie noch immer zu kurz und zu unverständlich sein. Wir hoffen, einen geeigneten Kompromiß gefunden zu haben. Ob uns das gelungen ist, entscheiden Sie. Damit wir Ihnen das Arbeiten mit den Aufgaben etwas einfacher machen, haben wir jede Aufgabe mit Piktogrammen und einer Beschreibung versehen. Das soll zur besseren Einordnung jeder Aufgabe in das "Denkgerüst" des Operations Management beitragen. Dieses Denkgerüst hat drei Dimensionen: Zum einen die beiden Dimensionen der Management-Matrix, welche Ihnen in Kapitel 1.2 einführend vorgestellt wird, zum anderen - als dritte Dimension sozusagen - eine methodische Sicht auf die jeweilige Aufgabe. Zur Methodik, wir haben das bereits angesprochen, sehen Sie eine Einführung in Kapitel 1.3. In der Kombination aus Inhalt und Methode resultiert daraus quasi ein dreidimensionales "Denkgerüst" zu jeder Aufgabe, welches ebenfalls in Kapitel 1.3 dargestellt wird.

4

Die hier abgebildeten Aufgaben sind zum größten Teil mehrfach im Markt durch die Arbeit mit unseren Studierenden getestet. Wir haben das im Vorwort schon angesprochen. Aus dieser Erfahrung heraus haben wir jede Aufgabe mit einem Schwierigkeitsgrad versehen. Die Idee des Bezeichnens einer Aufgabe mit jeweils einem Schwierigkeitsgrad erlaubt Ihnen eventuell eine verbesserte Selbsteinschätzung beim Arbeiten mit den jeweiligen Aufgaben. Manche Aufgaben sind kurz, aber verhältnismäßig aufwendig zu lösen. Andere Aufgaben sind trotz Ihrer Länge doch kurz und bündig zu lösen. In dem hierfür verwendete Piktogramm werden seinerseits drei Sichten unterschieden: Zunächst bilden wir Ihnen die Problemkomplexität der jeweiligen Aufgabe auf einer Dreipunktskala (niedrig, mittel, hoch) ab. Diese Angabe bezieht sich darauf, in welchem Umfang das in der betreffenden Aufgabe abgebildete Problem aufgrund seiner Verflochtenheit mit anderen Gestaltungs- und Handlungsfeldern aus dem Operations Management und seiner zeitlichen Veränderungsdynamik im realen Betriebsgeschehen als eher einfaches Problem (mit niedriger Komplexität) bzw. als eher schwieriges, hochgradig interdependentes Problem (mit hoher Komplexität) interpretiert werden kann. Als nächstes finden Sie, ebenfalls auf einer Dreipunktskala (stark vereinfacht, mittel, wenig vereinfacht) das Maß, in dem die Aufgabe vom tatsächlich bzw. in der Praxis auftretenden Operations Management-Problem abstrahiert. Aufgaben mit nur einem Punkt sind also vergleichsweise stark vereinfacht (weisen also eine niedrige Problem-"Komplexität" bzw. Kompliziertheit auf, indem sie mehr oder minder stark vereinfacht wiedergegeben sind), wohingegen Aufgaben mit drei Punkten das reale Gestaltungs- oder Optimierungsproblem doch recht umfänglich abbilden (also entsprechend umfänglich die reale Problem-"Komplexität" bzw. Kompliziertheit abzubilden versuchen). Als Drittes finden Sie eine Einschätzung, wie ein Großteil unserer bisherigen Studierenden die jeweilige Aufgabe beurteilt hat (leicht, mittel, schwer). Das Piktogramm hierfür sieht dann insgesamt wie folgt aus:

Problemkomplexität: niedrig, mittel, hoch Abstraktion: stark vereinfacht, mittel, wenig vereinfacht wahrgenommene Schwierigkeit (Studierende): leicht, mittel, schwer

5

1.2 Inhaltliche Anmerkungen

Operations Management ist kein Selbstzweck. Viele Märkte sind dadurch charakterisiert, daß die Nachfrager über die „Nachfragemacht“ verfügen, es mithin also mehr Anbieter gibt, die um die im Vergleich dazu knappe Kaufkraft der Nachfrager konkurrieren. Insofern hat sich jedes Produkt- und Serviceangebot auf dem Markt seinem relevanten Wettbewerb zu stellen und im Endeffekt durch geeignete Nachfragerorientierung zur Kundenzufriedenheit beizutragen. Doch diese Sicht erstreckt sich nicht nur auf das Erfordernis nach der längerfristigen Zufriedenstellung von Konsumenten auf Nachfragermärkten. Gleichsam stellt sich aus Sicht des Anbieters die Frage, anhand von welchen Inputfaktoren bzw. Ressourcen, über die Verknüpfung welcher Art von Ressourcenkombination bzw. Herstellungsprozeß letztlich sein Programmangebot hervorzubringen ist. Dabei sind für einen in Anlehnung an das Wirtschaftlichkeitsprinzip arbeitenden Anbieter vor allem auch die damit gekoppelten Kosten der Produktion nicht unerheblich. Operations Management versteht sich als integratives Gestaltungshandeln, durch das einerseits die Bedürfnisse der Nachfrager in den als relevant erachteten Marktsegmenten und die ökonomische Erfolgsposition des Anbieters andererseits in Einklang gebracht werden sollen. Insbesondere mit dem Ziel des längerfristigen Aufbaus und der mittel- und kurzfristigen optimalen Nutzung von Erfolgs- und Erlöspotentialen über entsprechend geeignete Produkt- und Serviceprogramme sollen betriebliche Effektivität und Effizienz sichergestellt werden. Damit Operations Management diese nicht immer einfache Austarierung von outside/in-orientiertem kundenorientierten Produkt(ions-)management und der inside/out-orientierten Ressourcenallokations-, Kompetenz- und Kostengestaltungssicht zu leisten vermag, werden die Aufgabenfelder des Operations Management typischerweise in mehrere Sichten zerlegt. Diese Sichten auf Operations Management erlauben es, einen verbesserten Zugang zu der „Komplexität“ - bzw. sprachlich korrekter: Kompliziertheit bzw. Vielschichtigkeit - zu erhalten, die aufgrund des integrativen Charakters dieser speziellen Form von betrieblichem Gestaltungshandeln emergiert. Am gebräuchlichsten ist die Typisierung dieses Gestaltungshandelns nach seinem Zeitbezug. Strategische Fragestellungen und Aufgabenfelder werden dabei als (Inter-)Aktionszugänge interpretiert, welche länger- bzw. langfristig die Ressourcen eines Anbieters, seine spezifische Art der Leistungsverflechtung und Ressourcenkombination zur Produkt- bzw. Servicehervorbringung sowie sein spezifisches Produktionsprogramm festlegen. Strategische Fragestellungen in diesem Sinnzusammenhang sind auch dadurch gekennzeichnet, daß sich hier getroffene Entscheidungen – sofern überhaupt – ggf. nur bedingt bzw. kaum revidieren lassen.

6

Strategische Entscheidungsfelder sind aus Sicht des Operations Management also besonders „sensible“ Aufgabenbereiche, welche einer besonderen, gestaltungsorientierten „Aufmerksamkeit“ bedürfen. Die Anzahl der Freiheitsgrade, also der Wahlmöglichkeiten unter mehreren Alternativen, ist hier zumeist hoch. Zweckmäßig ist es also, aus dem Portfolio an möglichen Gestaltungsalternativen diejenigen Maßnahmen herauszufiltern, die der Zielsetzung einer Gewinnerzielung durch Kundenorientierung am ehesten entsprechen. Hierfür werden in der Regel geeignete Entscheidungsunterstützungssysteme verwendet, die größtenteils auf quantitativen „Regelwerken“ in der unterschiedlichsten Form zugreifen. Doch insbesondere in strategischen Fragestellungen zeigt sich, daß quantifizierbare Sachverhalte und nur qualitativ-beschreibbare bzw. -erfahrbare Gegenstandsbereiche gegeneinander abzuwägen sind. In strategischen Fragen gibt es oftmals keine „innere“ Logik, keine Rechenarithmetik, keine standardisierten Entscheidungsroutinen. Strategisches Gestaltungshandeln ist oftmals begleitet von der Diffusität, Komplexität und Ambiguität von Problemlösungen. Das, was „richtig“ aus Anbietersicht ist, läßt sich oftmals nicht schon a priori ableiten, sondern nur aus der Erfahrung und der – durchaus am Regelkreis orientierten – Feedback-Struktur von Planungs-, Steuerungs- und Kontrollsystemen über alle Aufgabenhierarchien und -zeitbezüge hinweg im Zeitablauf kalibrieren. Hieraus erwächst die Notwendigkeit, über alle Zeitbezüge hinweg (also kurz-, mittel- und langfristige Sicht) eine Top Down- und Bottom Up-Planung – gewissermaßen im Gegenstromverfahren – zu etablieren. Damit die auf der strategischen Entscheidungsebene ausgewählten Maßnahmen mit Blick auf ihre Effektivität und Effizienz „richtig“ kalibriert werden können, sind im Tagesgeschäft – also in der kurzen Frist – die Ressourcenallokation, die Prozeßgestaltung sowie die Outputoptimierung laufend zu überwachen und geeignet an veränderte Rahmenbedingungen anzupassen. Da eine ständige Anpassung an sich verändernde Umweltzustände aus operativer, kurzfristiger Gestaltungssicht aber kontraproduktiv für einen „Gleichlauf“ in der Produktion ist, gibt das strategische Operations Management gewissermaßen die „Rahmenbedingungen“ vor, unter denen auf operativer Ebene dann das Gestaltungshandeln „im gelebten Leben“ umzusetzen ist. Das in der kurzen Frist umgesetzte Operations Management ist damit also weniger als Gestaltungshandeln zu verstehen, sondern vielmehr als Optimierungsverhalten unter den strategischen Rahmenbedingungen. Daraus erklärt sich auch, weshalb zahlreiche der operativen Entscheidungsaufgaben anhand von quantitativen Optimierungen unterfüttert werden. Damit die operativen Optimierungen verbessert an die strategischen Vorgaben gekoppelt werden können, bzw. die Optimierungen aus den Vorgaben abgeleitet werden können, dienen taktische, also mittelfristige Abstimmungen zur Übersetzung bzw. zur Konkretisierung von strategischem Gestaltungshandeln in Maßnahmen zur Realisierung des operativen Effektivitäts- und Effizienzkalküls. Häufig werden dabei strategische und taktische Aufgabenfelder zusammen betrachtet, da die „klassischen“ Grenzen zwischen den Aufgabenfeldern mittlerweile immer mehr erodieren.

7

Zum Beispiel werden Standortentscheidungen „klassisch“ im strategischen Gestaltungskontext verortet, wohingegen aktuellere Zugänge eher auf taktische Zugänge erkennen, da Standorte mittlerweile auch innerhalb von wenigen Monaten oder Jahren – je nach Industrie – verlagert werden können. Strategisch-taktisches Gestaltungshandeln in der langen bzw. längeren und mittleren zeitlichen Frist ist damit kontextgebend für operatives – quantitativ über mathematische Maximierung bzw. Minimierung abbildbares – Entscheidungskalkül. Neben der Unterscheidung in strategisches, taktisches und operatives Operations Management wird auch nach der Funktionsbeimessung innerhalb der Aufgabenfelder des Operations Management differenziert. Dieser Aspekt ist im Rahmen der bisherigen Ausführungen bereits mit angeklungen: Fragen der Faktorversorgung bilden die Inputseite ab. Hier stehen zum Beispiel auch Beschaffungsfragen sowie Fragen der Kooperation und Abstimmung mit Lieferanten bzw. in der Wertschöpfungskette vorgelagerten Partnern im Vordergrund des Gestaltungshandelns. Fragen der Prozeßgestaltung und der Art der Kombination der Ressourcen und Inputfaktoren im Rahmen der betrieblichen Leistungserstellung stehen im Fokus des throughputorientierten Operations Management. Um den Fokus dieses Gestaltungshandelns auf absatzmarktseitige Antezedenzen abzubilden, bildet outputorientiertes Operations Management das Produkt- und Produktionsprogramm geeignet ab. In dieser Sicht entsteht durch Kombination der Zeit- und Funktionssicht eine Matrix mit neun Feldern. Im Rahmen der nachfolgend abgebildeten Übungsaufgaben und Zugänge fokussieren wir verstärkt auf operative Optimierungsaufgaben, wenngleich an einigen Stellen zur Abrundung auch strategisch-taktische Beispiele herangezogen werden. Die resultierende Operations Management-Matrix hat folgende, zweidimensionale Form:

strategisch (langfristig)

taktisch (mittelfristig)

operativ (kurzfristig)

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Produktionsfaktorplanung Festelegen der Kapazitäten (Art, Dimension), langfristige Rohstoffversorgung Personal- und Maschinenausstattung, Technologieeinsatz, Make-or-BuyEntscheidung, Bestellpolitik

Bereitstellung der Potentialfaktoren

Produktionsprozeßplanung Festlegen des generellen Prozeßablaufs, Standort

Produktionsprogrammplanung Festlegen der Produktfelder

Produktionstyp, Technologisches Verfahren, innerbetriebliche Standorte

Konkretisierung der Produktfelder und Festlegung des Produktionsprogamms (Breite und Tiefe)

Optimaler Ablauf der Prozesse

Produktionsprogramm nach Art und Menge

Das jeweils mit einer Aufgabe korrespondierende Piktogramm hat entsprechend dieser zweidimensionalen Strukturationslogik folgende Form:

im Beispiel: strategische Input- und Prozeßsicht

im Beispiel: operative Outputsicht

9

1.3 Methodische Anmerkungen

Insbesondere die von Anfängern als "schwierig" und "kompliziert" wahrgenommenen mathematischen Methoden und Verfahren sowie Instrumente lassen sich in ihrem Kern auf wenige quantitative "Grundzugänge" verdichten. Insofern sei dem, bislang mit quantitativen Zugängen zu betriebswirtschaftlichen Inhalten vielleicht eher auf "Kriegsfuß" stehenden Leser, eine Art von "Beruhigung" in der Form vermittelt, daß es nicht einmal zehn (Methoden-)Cluster sind, in die sich die abgedeckten Inhalte aufteilen lassen. Wir haben jede Aufgabe gemäß dieser Überlegung nicht nur einem inhaltlichen Bezug zugeordnet (also Input-, Prozeß- oder Outputsicht in strategischtaktischem oder operativen Zeitkontext), sondern jeweils auch einem methodischen Cluster. Die hier vorgestellten Aufgaben sind in sieben Cluster typisiert. Dazu zählen in einem Cluster Aufgaben, welche sich in ihrem Kern auf "differenzierbare Zielfunktionen" verdichten lassen. Hier denken Sie vielleicht naheliegend zunächst an Aufgaben zur Gewinnmaximierung. Wir versuchen Ihnen zu zeigen, daß sich zum Beispiel aber auch die Minimalkostenkombination in diesen Denkzugang einordnen läßt: Die im Rahmen der Ermittlung der Minimalkostenkombination herangezogene Grenzrate der Substitution impliziert eine Zielfunktion der Outputmaximierung. Aufgaben mit differenzierbaren Zielfunktionen sind häufig auch als konvexe Optimierung interpretierbar. Wie gesagt häufig, aber nicht immer. In das Cluster Strukturierung subsumieren wir unter anderem Aufgaben aus der Produktions- und Kostentheorie, zum Beispiel die Ableitung der Kostenfunktion aus der Produktionsfunktion (hier verstanden als graphische Strukturierung). Mit dem Begriff der Strukturierung meinen wir, daß sich anhand dieses Aufgabentypus (UrsacheWirkungs-)Zusammenhänge aufzeigen lassen. In die dritte Kategorie zählen heuristische Aufgaben. Als Heuristik wird an dieser Stelle eine Art von "pragmatisch-plausiblem" Lösungszugang verstanden, mit dessen Hilfe - auf bewährten Erfahrungswerten aufbauende und eher wenige Informationen zur Problemlösung heranziehende - zweckmäßige Durchmusterungen von komplexen Problemstellungen im Sinne von "angenäherten" Lösungen formuliert werden. Als Beispiel wird hier auf die Zusammenstellung eines optimalen Forschungs- und Entwicklungsprogramms abgehoben. Oftmals stehen Aufwand-Nutzen-Überlegungen im Vordergrund, wenn Aufgabenstellungen anhand von Heuristiken gelöst werden. Zwar wäre in der Mehrzahl an denkbaren Fällen auch eine "im Kern exakte" Lösung auf analytischem Weg denkbar; der hierzu erforderliche (Rechen-)Aufwand ist aber unverhältnismäßig hoch im Vergleich zum Ergebnis, welches sich auf "angenäherter", heuristischer Grundlage ermitteln läßt.

10

Der vierte Aufgabentypus erstreckt sich demgegenüber auf exakte Verfahren in der Kategorie Algorithmus. Hierzu zählen beispielsweise Aufgaben zur Effizienz von Faktorkombinationen sowie der Simplex-Algorithmus. Algorithmen sind vereinfacht in etwa zu verstehen wie ein Kochrezept: In einer endlichen Anzahl an genau vorgeschriebenen Arbeitsschritten wird eine exakt bestimmbare Lösung für eine Problemstellung ermittelt. Diese erfüllt Optimalitätsbedingungen, insofern das Problem überhaupt lösbar ist. Der fünfte Aufgabentypus erstreckt sich auf iterativ-approximative Fragestellungen. Hierzu zählen zum Beispiel Aspekte zur Standortoptimierung nach Weber im Kontext des Miehle-Verfahrens. Als approximativ typisierte Aufgaben werden Problemfelder bezeichnet, die im Grundsatz nicht vollständig exakt analytisch lösbar sind, aber durch iterative Bearbeitungsschritte eine quasi-exakte Lösung herbeiführbar ist. Insofern stellen heuristische und approximative Fragestellungen einen Gegensatz dar: Während bei Heuristiken im Grundsatz in vielen Fällen eine exakte analytische Lösung ermittelbar wäre, wird diese (Kern-)Lösung aber aus Zweckmäßigkeitsgründen in Anlehnung an Aufwand-Nutzen-Abwägungen nicht ermittelt. Bei approximativen Fragestellungen besteht im Kern keine mathematische Möglichkeit einer exakt-analytischen Lösung. Um aber dennoch einen quantitativen, quasi-exakten Zugang zu erhalten, wird als Annäherungslösung durch Iteration ein Lösungszugang formuliert. Fragen aus Statistik und Stochastik stellen den sechsten Aufgabentypus dar. Hierunter zählen beispielsweise Aufgaben aus dem operativen Operations Management, bei denen mit Eintrittswahrscheinlichkeiten gearbeitet wird. Genauso sind Aufgaben denkbar, welche auf Grundlage von statistischen Verteilungen Lösungszugänge zu spezifischen Problemstellungen erlauben. Da es unseres Erachtens auch Fragestellungen aus dem (operativen) Operations Management gibt, die sich primär durch andere als die bislang eingeführten Zugänge lösen lassen, haben wir - gewissermaßen - als Residualcluster in die Rubrik sonstige Optimierung entsprechende Aufgaben aufgenommen. Damit soll der Aufgabenspeicher dieses Buchs zweckmäßig abgerundet werden, nicht zuletzt auch aus inhaltlichen Aspekten. An dieser Stelle erlauben Sie uns bitte eine Anmerkung in eigener Sache: Die hier vorgestellten sieben Cluster sind in sich nicht vollständig überschneidungsfrei. Insofern konzedieren wir an dieser Stelle bewußt eine methodische "Unschärfe", da sich eine Reihe an Aufgaben durchaus auch zwei Clustern zuordnen lassen würde. Wir verstehen die Beschreibung der Aufgaben insofern als "primären methodischen Zugang"; eine Zweitzuordnung zu einem anderen der hier angeführten sieben Cluster wäre je nach Interpretation durchaus zulässig. Gleichzeitig ist es auch so, daß die gewählten Cluster sich nicht trennscharf charakterisieren lassen. Insofern sprechen wir bewußt von Typisierung, nicht von Klassifikation.

11

...

...

...

Durch die Kombination der inhaltlichen Sicht - dargestellt in Kapitel 1.2 - und der methodischen Sicht auf die Aufgaben in diesem Arbeitsbuch läßt sich jede Aufgabe, wie bereits skizziert, in ein dreidimensionales "Denkgerüst" einordnen. Dieses läßt sich wie folgt illustrieren:

(weitere Zugänge) Algorithmus Heuristik

Fall 1

strategisch

...

taktisch

operativ

Fall 2 Faktorplanung

Prozeßplanung

Programmplanung

INPUT

THROUGHPUT

OUTPUT

Im Fall 1 wird auf eine Fragestellung abgehoben, welche sich inhaltlich-funktional auf das strategische Prozeßmanagement erstreckt. Die Problemstellung läßt sich dabei primär durch eine Heuristik einer Lösung zuführen. Im Fall 2 wird demgegenüber auf eine Fragestellung rekurriert, welche sich inhaltlich-funktional auf die operative Outputoptimierung bezieht und anhand eines Algorithmus einer Lösung zuführbar ist.

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Sie finden die primäre Charakterisierung der angeführten Aufgaben als Beschreibung neben den beiden Piktogrammen zu Beginn jeder Problemstellung. In der Gesamtschau aus der Darstellung von Schwierigkeitsgrad, inhaltlicher Einordnung und methodischem Problemcluster können Sie somit "auf den ersten Blick" eine erste Einordnung der Aufgabe in den Kontext des (operativen) Operations Management erhalten. Wir verstehen diese Beschreibung als Anregung bzw. als Hilfestellung für Sie. Wir wissen aber auch, daß wir es dem einen Leser damit leichter, dem anderen hingegen vermeintlich schwerer machen dürften. Insofern formulieren wir zum Abschluß dieses einleitenden Kapitels eine Bitte an Sie: Wenn Ihnen beim Arbeiten mit diesem Übungsbuch inhaltliche, methodische oder konzeptionelle Schwächen, Ungereimtheiten oder Unschärfen auffallen, lassen Sie uns dieses bitte wissen. Sie können sich hierzu am besten per E-Mail an uns wenden. Unsere E-Mail-Adressen lauten [email protected] und [email protected] - schon jetzt vielen Dank dafür.

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Kapitel 2 Produktions- und Kostentheorie

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2.1 Einführung

Im Operations Management spielen Fragen der betrieblichen Effektivität und Effizienz eine große Rolle. An die Entscheidungen in diesem Gestaltungsfeld werden aber aufgrund von ökonomischen Erfordernissen oftmals auch Optimalitätsanforderungen gestellt. Die Aufgaben in diesem Kapitel sind darauf ausgerichtet, Ihnen eine Einführung in derartige Entscheidungskontexte zu geben. In der Produktionstheorie stellt das Effizienzkriterium das eigentliche Wahlproblem dar. Mit seiner Hilfe werden einzelne Produktionsfunktionen betrachtet. In der Produktionstheorie wird in diesem Rahmen auf das Mengengerüst des Operations Management fokussiert. Da die betrieblichen Leistungserstellungsprozesse aber nicht aufgrund von Mengen, sondern insbesondere aufgrund von Wertgrößen geplant, gesteuert und kontrolliert werden, erscheint die Weiterführung auf die wertmäßige Sicht geeignet. Damit die Produktionsprozesse aber wertmäßig abgebildet werden können, bedarf es der Überführung von Produktions- in Kostenfunktion. Die Kostenfunktion bildet die leistungserstellungsbezogenen, bewerteten Güterverzehre ab, welche zur Hervorbringung eines Output als Input erforderlich sind. So können zum Beispiel mit Hilfe der Minimalkostenkombination, die jedem Ausbringungsniveau eine kostengünstigste Faktorkombination zuordnet, optimale Produktionsentscheidungen unterstützt werden.

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2.2 Minimalkostenkombination

1. Cobb-Douglas-Technologie (Kostenminimerung)

differenzierbare Zielfunktion

Der Produktionsprozeß eines Unternehmens werde durch die folgende Produktionsfunktion beschrieben: x

4 r1 * r2

Für die Einsatzfaktoren r1, r2 gelten folgende Faktorpreise p1 = 2 GE/ME und p2 = 8 GE/ME. a) Wie lautet die Grenzrate der Substitution? b) Ermitteln Sie die Minimalkostenkombination für eine Ausbringungsmenge des Endproduktes in Höhe von 96 Einheiten. c) Wie hoch sind die Kosten der Fertigung?

2. Cobb-Douglas-Technologie (Ertragsmaximierung) (W1)

differenzierbare Zielfunktion

Ein Industriebetrieb fertigt ein Produkt in der Ausbringungsmenge x unter Einsatz der beiden Produktionsfaktoren r1 und r2. Die Preise für die Einsatzfaktoren betragen p1 = 27 GE/ME und p2 = 16 GE/ME. Die Technologie, die dem Unternehmen zur Fertigung des Produktes zur Verfügung steht, läßt sich durch die folgende Funktion beschreiben: x

4

r1 * r2 ³

Das Unternehmen verfügt über ein Budget in Höhe von 27.648 GE. a) Welches Verhältnis der Einsatzfaktoren ist ökonomisch effizient? b) Welche maximale Ausbringungsmenge läßt sich unter Einhaltung der Budget-

restriktion herstellen?

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differenzierbare Zielfunktion

3. Cobb-Douglas-Technologie

Der Produktionsprozeß eines Unternehmens kann durch folgende Produktionsfunktion beschrieben werden: 0,5

0,5

x = r1 *r2

Das letztjährige Kostenbudget von 240 GE wurde bei den Faktorpreisen p1 = 20 GE und p2 = 5 GE vollständig ausgeschöpft. Da inzwischen der Preis des Faktors 2 gestiegen ist (p1 bleibt unverändert), setzt die Unternehmensleitung in diesem Jahr ein höheres Kostenbudget von 480 GE fest. Bis zu welchem maximalen Preis des Faktors 2 kann das Unternehmen einkaufen, um einerseits das Kostenbudget und andererseits die letztjährige Ausbringungsmenge halten zu können? 4. Grenzrate der Substitution (Cobb-Douglas)

differenzierbare Zielfunktion

Ein Unternehmen stellt durch Kombination von zwei Einsatzfaktoren (r1,r2) ein Endprodukt x her. Die für diesen Produktionsprozeß verfügbare Technologie lautet: x(r1,r2) = a*r1Į*r2ȕ (Į > 0; ȕ > 0) a) Um was für einen „Typ“ von Produktionsfunktion handelt es sich? b) Zeigen Sie, daß die Grenzrate der Substitution invariant gegen monotone Transformationen der vorliegenden Produktionsfunktion ist.

5. Maximum- und Minimumprinzip (Cobb-Douglas)

differenzierbare Zielfunktion

Gegeben sei eine Kombination an Inputfaktoren (r1,r2) mit den zugehörigen Inputpreisen p1, p2 sowie die Technologie x(r1,r2) = sr1Įr2ȕ (mit s > 0; Į > 0; ȕ > 0). (Sie dürfen im folgenden davon ausgehen, daß keine Randlösung vorliegt und die Bedingungen 2. Ordnung erfüllt sind). a) Mit welcher Kombination an Inputfaktoren läßt sich ein vorgegebenes Outputniveau x0 mittels der angegebenen Technologie bei gegebenen Inputpreisen kostenminimal realisieren? Leiten Sie allgemein die Funktionen der bedingten Faktornachfrage der Form riB*(x0, p1, p2, s, Į, ȕ) für (i = 1, 2) her.

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b) Mit welcher Kombination an Inputfaktoren läßt sich unter Einhaltung eines vorgegebenen Kostenbudgets K mittels der angegebenen Technologie bei gegebenen Inputpreisen ein maximales Outputniveau herstellen? Leiten Sie allgemein die Funktionen der Faktornachfrage der Form riF*(K0, p1, p2, Į, ȕ) für (i = 1, 2) her. Interpretieren Sie die Abhängigkeit der Nachfrage von den Faktorpreisen.

6. Minimalkostenkombination bei linear-limitationalem Prozeß (W2)

sonstige Optimierung

Ein Unternehmen der Grundstoffindustrie kann zur Herstellung eines Erzeugnisses aus den Einsatzfaktoren r1 und r2 zwei verschiedene linear-limitationale Prozesse anwenden. Diese lassen sich wie folgt beschreiben:

Prozeß A:

x = min{r1; 2r2}

Prozeß B:

x = min{2r1;

3 r2} 2

a) Stellen Sie für beide Produktionsprozesse die Orte effizienter Produktion in einem r1-r2-Diagramm dar (wählen Sie für r1 und r2 einen Wertebereich zwischen 0 und 1.200). b) Bestimmen Sie die Produktionsisoquanten für beide Produktionsprozesse bei einem Output von x = 600 ME und tragen Sie diese in das r1-r2-Diagramm ein. c) Für r1 bzw. r2 gelten die Faktorpreise p1 = 4 GE/ME und p2 = 8 GE/ME. Ermitteln Sie die Minimalkostenkombination für einen Output von x = 600 ME. d) Die verfügbare Menge der Einsatzfaktoren sei auf r1* = 700 ME bzw. r2* = 600 ME begrenzt. Welche Prozeßkombination muß das Unternehmen wählen, wenn eine maximale Menge des Erzeugnisses hergestellt werden soll? Welcher Output kann in diesem Fall erzielt werden?

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2.3 Betriebstechnische Anpassung

differenzierbare Zielfunktion

7. Optimale Intensität von Aggregaten

Ein Unternehmen verfügt über zwei funktionsgleiche, aber kostenverschiedene Maschinen A und B. Die Betriebszeit dieser Maschinen kann zwischen 0 und 10 Stunden pro Tag variiert werden, die Intensität jeweils zwischen 0 und 16 Stück pro Stunde. Für die Maschinen gelten folgende Verbrauchsfunktionen (Faktorverbrauch in Mengeneinheiten, bezogen auf eine Mengeneinheit des Endproduktes): Maschine A

Maschine B

Faktor 1

v1, A

0,7 x ²  8 x  25

v1, B

0,25 x ²  4 x  33

Faktor 2

v 2, A

0,6 x ²  9 x  40

v2, B

0,75 x ²  12 x  64

Die Faktorpreise betragen 2 €/ME für Faktor 1 und 6 €/ME für Faktor 2. a) Ermitteln Sie den optimalen Maschineneinsatz für jede beliebige Ausbringungsmenge zwischen 0 und 160 Stück pro Tag. b) Welche Intensitäten müssen gewählt werden, um eine Gesamtausbringungsmenge von 180 ME herzustellen? Wie viele ME werden dabei jeweils auf Aggregat A bzw. Aggregat B gefertigt?

8. Betriebstechnische Anpassung (mit Restriktionen)

differenzierbare Zielfunktion

Ein mittelständisches Unternehmen verfügt über eine Werkzeugmaschine. Diese verbraucht während des Produktionsvorgangs zwei verschiedene Betriebsstoffe: zum einen ein spezielles Schmieröl (p1=30 [€/l]), zum anderen Kühlmittel (p2=8 [€/l]), um eine Überhitzung der Werkstücke zu vermeiden. Die maximale Betriebszeit der Maschine beträgt 12 Stunden pro Tag, die technische Intensität d kann zwischen 0 und 40 technischen Leistungseinheiten (TLE) pro Stunde variiert werden. Die Herstellung einer Einheit des Endproduktes erfordert die Erbringung von 4 TLE. Der Verbrauch (in ml pro Stunde) wird durch die folgenden Funktionen beschrieben: Schmieröl

r1

5 x ³  60 x ²  180 x

Kühlmittel

r2

12,5 x ³  275 x ²  1950 x

21

a) Zeigen Sie allgemein den Zusammenhang zwischen der zeitspezifischen und der produktspezifischen Verbrauchsfunktion. b) Berechnen Sie den stückkostenminimalen Tagesverbrauch der beiden Einsatzfaktoren (in Liter pro Tag) unter der Annahme, daß die Betriebszeit der Maschine maximal ist und geben Sie die Stückkosten sowie die tägliche Ausbringungsmenge des Endproduktes an. c) Auf das Kühlmittel wird ab sofort eine mengenbezogene Öko-Steuer in Höhe von 10 € pro Liter erhoben. Wie verändern sich die stückkostenminimale tägliche Ausbringungsmenge sowie die zugehörigen Stückkosten? Wie hoch wären die Stückkosten, wenn zunächst keine Anpassung der Produktion vorgenommen würde? d) Der Verkauf des Kühlmittels wurde auf Grund seiner stark umweltbelastenden Wirkung vom Gesetzgeber verboten. In der gewährten Übergangsfrist dürfen die vorhandenen Lagerbestände noch aufgebraucht werden. Das Unternehmen hält noch 450 l des Kühlmittels vor. Wie viele Mengeneinheiten des Endproduktes können maximal noch gefertigt werden, bevor der Bestand aufgebraucht ist und die Maschine stillgelegt werden muß?

9. Betriebstechnische Anpassung (mit Herleitung der Gesamtkosten) (W4)

differenzierbare Zielfunktion

Ein Unternehmen verfügt über zwei funktionsgleiche, aber kostenverschiedene Maschinen A und B. Die Betriebszeit dieser Maschinen kann jeweils zwischen 0 und 10 Stunden pro Tag variiert werden, die Intensität zwischen 0 und 10 Stück pro Stunde. Für die Maschinen gelten folgende Verbrauchsfunktionen (Faktorverbrauch in ME, bezogen auf eine ME des Endproduktes): Maschine A

Maschine B

Faktor 1

v1, A

0,4 x ²  2 x  22

v1, B

0,15 x ²  7 x  84

Faktor 2

v2, A

0,2 x ²  3 x  14

v 2, B

0,35 x ²  5 x  33

Die Faktorpreise betragen 2 GE/ME für Faktor 1 und 4 GE/ME für Faktor 2. a) Geben Sie an, welche Intensitäten zu wählen sind, damit der Verbrauch des 1. bzw. 2. Faktors bei Maschine A jeweils minimal ist. Berechnen Sie die zugehörigen Stückkosten. b) Ermitteln Sie die Gesamtkostenfunktion – effizientes Verhalten vorausgesetzt – für jede beliebige (technisch realisierbare) tägliche Ausbringungsmenge. 22

2.4 Produktions- und Kostenfunktionen

differenzierbare Zielfunktion

10. Ertragsgesetz nach Turgot (W5)

Die folgende Produktionsfunktion beschreibt den Ertrag eines Weizenfeldes in einer Periode in Abhängigkeit der Produktionsfaktoren „Dünger“ (r1), „Saatgut“ (r2) und „Bewässerung“ (r3): E (r1 , r2 , r3 )

6r1 ³ 

r1 ² r2 r3 ²  2r1 r2 r3 2

a) In dem Produktionsprozeß kommen während einer Periode 2 ME an Saatgut und 6 ME an Wasser zum Einsatz. Geben Sie die Produktionsfunktion an, die diesen landwirtschaftlichen Produktionsprozeß bei partieller Variation des Faktors „Dünger“ charakterisiert. (Legen Sie für die nachfolgenden Teilaufgaben diese Produktionsfunktion zugrunde.) b) Geben Sie für den Produktionsprozeß die Grenz- und die Durchschnittsertragsfunktion an. c) Ermitteln Sie die Faktoreinsatzmengen, für die Ertrag und Grenzertrag jeweils maximal sind und geben Sie die zugehörigen Funktionswerte an. d) Zeichnen Sie die Ertragsfunktion und ermitteln Sie graphisch diejenige Faktoreinsatzmenge, für die der Durchschnittsertrag maximal ist. e) Nehmen Sie im Anschluß eine Berechnung dieser Faktoreinsatzmenge vor und geben Sie den zugehörigen Funktionswert an. f) Berechnen Sie den Schnittpunkt von Grenz- und Durchschnittsertragsfunktion. g) Zeichnen Sie die alle drei Funktionen in ein Diagramm und kennzeichnen Sie die wesentlichen Verläufe. Nehmen Sie hierzu eine Einteilung in vier Abschnitte vor. h) Zeigen Sie, daß im Schnittpunkt von Grenz- und Durchschnittsertragsfunktion die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Maximums bei der Durchschnittsertragsfunktion erfüllt ist

23

differenzierbare Zielfunktion

11. Ertragsgesetz nach Turgot

Ein landwirtschaftlicher Produktionsprozeß wird (bei partieller Variation des Einsatzfaktors r) durch die folgende Produktionsfunktion beschrieben: E (r )

 r ³  12r ²  6r

a) Geben Sie die Grenz- und die Durchschnittsertragsfunktion an. b) Ermitteln Sie einen Näherungswert für die Ertragsänderung an der Stelle r = 3 bei einer Variation des Faktoreinsatzes um ǻr = 0,1 ME. c) Berechnen Sie die im Hinblick auf das Input-Output-Verhältnis „ökonomisch optimale“ Faktoreinsatzmenge sowie den zugehörigen Ertrag.

12. Produktionsfunktion (nach Heinen)

differenzierbare Zielfunktion

Ein Energieversorgungsunternehmen hält ein Gasturbinen-Kraftwerk (ohne KraftWärme-Auskopplung) zur Abdeckung von Spitzenlasten im Stromnetz vor. Die Gasturbine wird mit Erdgas befeuert und erzeugt unter Vollast eine elektrische Leistung von etwa 200 MWel, die Brennstoffwärmeleistung beträgt ca. 535 MWth. Um flexibel auf Nachfrageschwankungen reagieren zu können, befindet sich das Kraftwerk in permanentem Stand by-Betrieb. Die Turbine kann somit in weniger als zweieinhalb Minuten vom Leerlauf auf ihre volle Leistung von 3.000 Umdrehungen pro Minute (entsprechend der Wechselstromfrequenz von 50 Hz) hochgefahren bzw. wieder abgeschaltet werden. In der Anlauf- und Bremsphase wird kein Strom in das Netz eingespeist. Die regelmäßig auftretenden Nachfragespitzen haben typischerweise eine Dauer von etwa 45 Minuten.

a) Erläutern Sie das Konzept der Produktionsfunktion nach Gutenberg (Typ B) sowie nach Heinen (Typ C) und stellen Sie den Zusammenhang dar. b) Beschreiben Sie zunächst qualitativ den Produktionsprozeß zur Erstellung der hier beschriebenen „typischen“ Leistung vor dem Hintergrund der produktionstheoretischen Überlegungen von Heinen. Welche Abgrenzung bzw. Bildung von Elementarkombinationen erscheint Ihnen zweckmäßig, wenn der gegebene Fall (eine Elementarkombination) als für einen beliebigen Output „erweiterbar“ beschrieben werden soll? Kategorisieren Sie hierbei im Rahmen einer differenzierten Betrachtung die hier vorliegenden Elementarkombinationen.

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c) Betrachten Sie nachfolgend eine Elementarkombination E, deren Durchführung eine Einheit des Endproduktes (150 MWh) erzeugt. Für den einmaligen Vollzug dieser Elementarkombination soll die folgende Belastungsfunktion [TLE / ZE] gelten: dz dt

­ t 1,5 ° ® 3000 ° (3116  t )1,5 ¯

für 0 d t  208 ½ ° für 208 d t  2908 ¾ für 2908  t d 3116°¿

Während der „Leistungsphase“ ( 208 d t  2908 ) gilt die technische Faktorverbrauchsfunktion [ME / ZE]: dr dt

§ dz · ¨ ¸ © dt ¹

0,004

dz dt

Während der Anlauf- und Bremsphase ( 0 d t  208 und 2908 d t  3116 ) ist der Faktorverbrauch um das 2,5-fache erhöht. Es wurde aus Gründen der Vereinfachung angenommen, daß die Turbine im Stand by-Betrieb stillsteht bzw. der Faktorverbrauch Null beträgt. Ermitteln Sie den Faktorverbrauch für eine einmalige Wiederholung der Elementarkombination E. d) Gehen Sie davon aus, daß im Falle einer Verbrennung unter perfekten Bedingungen eine Energie von 10 kWh / Nm³ (Kilowattstunden pro Normkubikmeter) freigesetzt wird. Wie hoch ist der Wirkungsgrad der elektrischen Energieerzeugung für eine Elementarkombination E. (Eine [ME] der technischen Verbrauchsfunktion entspricht einem [Nm³]).

13. Verbindung von Produktions- und Kostentheorie

Strukturierungsmethode

Drei verschiedene Produkte A, B und C werden aus je einem Faktor hergestellt. Der jeweilige Zusammenhang zwischen Faktoreinsatzmenge und Ausbringungsmenge des Endproduktes wird hierbei durch die folgenden Produktionsfunktionen beschrieben: x A (rA )

rA ² [ME]

x B (rB )

rB [ME]

xc (rc )

rC [ME]

a) Erklären Sie (kurz), welche Zusammenhänge in der Produktions- und Kostentheorie beschrieben werden. b) Geben Sie die obenstehenden Produktionsfunktionen in inputorienter Darstellung an. c) Gegeben sei die Kostenfunktion K A (rA ) rA ² [GE]. Geben Sie für das Produkt A die Ausbringungskosten in Abhängigkeit der Ausbringungsmenge an.

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d) Gegeben sei nun die folgende Schar faktormengenabhängiger Kostenfunktionen 0 , 5*2( j 1)

K ij (ri ) z j  ri mit j = 1, 2, 3 und z j t 0 für die Produkte i = A, B, C. Leiten Sie graphisch in einem 4-Quadranten-Schema für jedes Produkt jeweils aus den (in outputorientierter Darstellung angegebenen) Produktionsfunktionen die ausbringungsmengenabhängigen Kostenfunktionen in der Form K ij ( xi ) ab. Sie dürfen vereinfachend annehmen, daß die Kostenfunktionen keine Fixkostenbestandteile enthalten (Annahme: z j 0 für alle j).

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Kapitel 3 Strategisch-taktische Aspekte des Operations Management

27

3.1 Einführung

Das Gestaltungshandeln in Unternehmen ist ausgerichtet auf Ziele. In der Regel verfolgen Unternehmen ein ganzes Bündel an Formal- und Sachzielen. Damit das Zielportfolio, welches in sich hierarchisch durchmustert ist, erreicht werden kann, formuliert das Management entsprechende Strategien zur Zielerreichung. Die Unternehmensziele werden dabei in die einzelnen Funktionsbereiche, so auch in das Operations Management, heruntergebrochen und ausdifferenziert. In der Regel dominieren im Produktionsbereich ökonomische (Performanz-)Ziele; typische Größen sind Deckungsbeiträge und Kosten. Das strategisch-taktische Operations Management befaßt sich mit langfristigen und mittelfristigen Aufgabenfeldern, welche zum Aufbau und zur Sicherung von Erfolgspotentialen geeignet sind. Der Zeitbezug ist insofern kritisch, als daß mit lang- und mittelfristig durchaus auch gemeint sein kann, daß Entscheidungen auf strategischer Ebene nur langfristig wieder revidiert werden können bzw. Entscheidungen im taktischen Kontext nur mittelfristig umkehrbar sind. Entsprechend ist besonderes Augenmerk und besondere Sorgfalt bei strategischtaktischen Entscheidungen geboten. Aufbau und Sicherung von zukünftigen (Performanz-)Potentialen finden ihre produktionsseitige Abbildung in Fragen betrieblicher Effektivität und Effizienz. Strategisches Gestaltungshandeln ist demgemäß also auch darauf ausgerichtet, daß innerhalb des Produktionssystems "das Richtige" getan wird; der Richtigkeitsbegriff orientiert sich folgerichtig entsprechend daran, inwieweit es ex ante gelingen kann, mit der zu wählenden Entscheidungsalternative ein langfristiges Erfolgspotential aufzubauen. Mit der Auswahl und dem Einsatz von Strategien im Operations Management sollen aber nicht nur Effektivitätsund Effizienzaspekte der Leistungserstellung im engeren Sinn kontextualisiert werden. In Anlehnung an den etymologischen Ursprung von "Strategie" (einer Zerlegung in die Worte "stratos" und "egeo" bzw. "igo") wird hier ein übergeordneter, integrativ wirkender Gestaltungskontext mit unternehmensweiter Bedeutung angesprochen. Das bedeutet zum Beispiel, daß Entscheidungen im Operations Management auch in Fragestellungen des Marketing, der Beschaffung, der Finanzierung u.ä. fallen können. Die Produktion ist somit eine zentrale Unternehmensaufgabe mit Schnittstellen zu allen anderen betrieblichen Funktionsbereichen.

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3.2 Funktionsbereichsisolierte Aspekte

14. Optimales F&E-Programm (W6)

Heuristik

Die Innopharmtex GmbH hat sich auf die Erforschung, Entwicklung und Vermarktung innovativer Arzneimittel spezialisiert. Derzeit steht die Planung neuer F&E-Projekte für die kommenden Perioden an. Im Rahmen eines Vorauswahlprozesses wurden bereits die folgenden Projekte als erfolgversprechend identifiziert:

Projekt-Nr.

Projektwert in GE

projektbezogener Sachmittelaufwand in GE

projektbezogener Personalaufwand in GE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

400 300 100 450 800 300 600 250 150 500

15 30 35 40 80 70 175 40 20 30

35 20 45 80 170 50 125 10 30 50

Die Unternehmensleitung hat für alle anstehenden F&E-Projekte jeweils ein Budget von 360 GE für sachmittelbezogene Projektaufwendungen sowie 520 GE für personalbezogene Aufwendungen genehmigt. Die Budgetvorgaben sind unbedingt einzuhalten, eine Umschichtung der zugewiesenen Mittel ist nicht vorgesehen. Sie erhalten die Aufgabe, die Projekte unter Beachtung beider genannter Restriktionen zu einem F&EProgramm zu bündeln. a) Stellen Sie das optimale F&E-Programm mittels ordinaler Bewertung zusammen und geben Sie den Gesamtprojektwert sowie den erforderlichen Gesamtmittelaufwand an. b) Stellen Sie das optimale F&E-Programm mittels kardinaler Bewertung zusammen und geben Sie den Gesamtprojektwert sowie den erforderlichen Gesamtmittelaufwand an.

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15. Technologieorientierter Lebenszyklus

sonstige Optimierung

Das Unternehmen Metoo nimmt die Fertigung eines Produktes auf, das gegenwärtig im Sinne einer Produktlebenszyklusbetrachtung im Übergang von der Sättigungsphase in die degenerative Phase begriffen ist. Hierzu wurde am Anfang des Jahres eine (in diesem Zeitpunkt reversible) Investition für Produktionsmittel in Höhe von 300 getätigt. Zu Beginn der kommenden sechs Jahre ist aus Absatz und Produktion mit den Einzahlungsüberschüssen (150;100;70;50;40;30) zu rechnen. Es besteht die Möglichkeit, die Produktionsmittel in den Folgejahren zum jeweiligen Restwert (250;220;200;180;160;140) zu veräußern und den Geschäftsbereich (ohne zusätzliche Kosten) einzustellen. Der Kalkulationszinsfuß des Unternehmens liegt bei 12% p.a..

a) Wann sollte die Produktion eingestellt bzw. desinvestiert werden? b) Wie hoch ist der Kapitalwert der Investition?

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3.3 Funktionsbereichsübergreifende Aspekte

Einführung zum Standortmodell nach Weber

Das Modell, im Jahre 1909 von Weber entwickelt, ist der historisch älteste Ansatz zur Bestimmung eines „optimalen“ Standortes einer Produktionsstätte bzw. eines Industrieunternehmens. In diesem Modell hängt die Standortwahl von nur einem Standortfaktor ab: den Transportkosten. Ziel des Modells ist es, den transportkostenminimalen Standort zu bestimmen. Grundlegende Modellannahmen: ƒ Das Modell setzt eine homogene Fläche voraus, d.h. es wird von einer unendlichen Anzahl möglicher potentieller Standorte ausgegangen. Dabei bestehen keinerlei Präferenzen für irgendeinen Punkt der Fläche. ƒ Das Modell – in seiner ursprünglichen Form – geht davon aus, daß das Unternehmen von unterschiedlichen Orten Einsatzfaktoren bezieht und zu einem dritten Ort Absatzbeziehungen unterhält. ƒ In dem Modell wird angenommen, daß die Transportkosten lediglich von den transportierten Materialmengen und der Entfernung zwischen den Standorten abhängen. Die erste Annahme ist als besonders problematisch anzusehen, da zum einen gerade geographische Gegebenheiten (Berge, Seen u. ä.) die Wahl eines bestimmten Standortes unmöglich machen können, bzw. Faktoren wie der verkehrstechnischen Erschließung einer Region eine erhebliche Bedeutung für die Wahl des optimalen Standortes zukommt. Um den optimalen Standort zu ermitteln, werden die Standorte der Einsatzfaktoren und des Absatzmarktes in einem Koordinatensystem erfaßt, auf dessen Abszisse die Längengrade und auf dessen Ordinate die Breitengrade abgebildet werden. Verbindet man die Standorte nun miteinander, so entsteht ein Dreieck, in dem der optimale Standort liegen muß.

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y-Koordinate (Breitengrade) Absatzort

Lösungsraum

Standort Einsatzfaktor 1

Standort Einsatzfaktor 2

x-Koordinate (Längengrade)

Zur analytischen Lösung dieses Problems wird im ersten Schritt die Gleichung zur Ermittlung der Transportkosten aufgestellt: n

Gl. (1): K

3

k ¦ ai ri

(bzw. unter der Annahme Webers K

i 1

k ¦ ai ri ) i 1

wobei: K = gesamte Transportkosten des Standortes k = Einheitstransportkosten (Kostensatz je Mengen- und Entfernungseinheit) ai = Transportmenge von Einsatzfaktor i ri = Entfernung zwischen dem Standort des Einsatzfaktors i und dem Unternehmensstandort In einem kartesischen Koordinatensystem errechnet sich der Abstand zweier Punkte (Entfernung zwischen dem Standort eines Einsatzfaktors und dem Unternehmensstandort) nach dem Satz des Pythagoras als: Gl. (2): ri

( x  xi )²  ( y  y i )²

Durch Einsetzen von Gl. (2) in Gl. (1) erhält man: n

Gl. (1’): K

k ¦ ai * ( x  xi )²  ( y  y i )² i 1

Die Koordinaten des optimalen Standortes (x, y) ergeben sich somit aus der Zielfunktion: n

Gl. (3): Z ( x, y )

¦a

i

* ( x  xi )²  ( y  y i )² o min!

i 1

33

Zur Lösung der Zielfunktion werden die ersten partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt (notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Minimums): n

wZ ( x, y ) wx

¦

wZ ( x, y ) wy

¦

ai ( x  xi ) ( x  xi )²  ( y  y i )²

i 1 n

ai ( y  y i ) ( x  xi )²  ( y  y i )²

i 1

0

0

Da eine analytische Lösung dieses Gleichungssystems nur in wenigen Spezialfällen möglich ist, behilft man sich üblicherweise mit Näherungslösungen. Als erste Näherung kann hier eine einfache Schwerpunktbildung gemäß der folgenden Formel dienen: n

¦a x i

xs

n

i

ys

i 1 n

¦a

¦a y

i

i

i 1 n

¦a

i

i 1

i

i 1

Ausgehend von der Schwerpunktformel nähert man sich nun der Optimallösung, indem die xs- und ys-Werte mit Hilfe der umgeformten partiellen Ableitungen schrittweise angepaßt (bzw. „verbessert“) werden: n

¦ x s 1

i 1 n

¦ i 1

n

a i * xi s

¦

s

( x  xi )²  ( y  y i )² ai

y s 1

i 1 n

¦

( x s  xi )²  ( y s  y i )²

i 1

ai * yi s

( x  xi )²  ( y s  y i )² ai ( x s  xi )²  ( y s  y i )²

Approximierung / Iteration

16. Standortoptimierung nach Weber

Es sollen von vier unterschiedlichen Orten Einsatzfaktoren bezogen werden und zu einem weiteren Ort Absatzbeziehungen bestehen. Die Lage der Orte (in Koordinatenform) sowie die bestehenden Mengenbeziehungen können der nachfolgenden Tabelle entnommen werden: Standort mit (E/A-Beziehung) Standort A Standort B Standort C Standort D Standort E

34

X-Wert

Y-Wert

7 3 4 9 3

8 16 6 4 18

Zu transportierende Materialmenge 4 3 2 1 2

a) Ermitteln Sie den optimalen Standort nach dem Modell von Weber unter Zuhilfenahme der Schwerpunktformel und führen sie einen Iterationsschritt nach dem Miehle-Verfahren durch. b) Die Transportkosten betragen k = 5 GE pro ME und Entfernungseinheit. Berechnen Sie die gesamten Transportkosten des ermittelten optimalen Standortes. (Die gerundeten Werte für die Koordinaten des optimalen Standortes betragen x = 6,8 bzw. y = 8,2. Die erforderlichen Schritte zur Ermittlung dieser Werte sind der Musterlösung zur Teilaufgabe a) zu entnehmen).

17. Entscheidungen unter Unsicherheit und Risiko (nach Hurwicz)

Strukturierungsmethode

Ein Immobilienspekulant hat die Möglichkeit, drei Grundstücke zu erwerben. Alle Grundstücke werden zum selben Preis angeboten; da seine finanziellen Mittel lediglich den Kauf eines Grundstücks erlauben, überlegt er, welches er sinnvollerweise kaufen sollte. Er rechnet damit, daß die Grundstücke in naher Zukunft als privates oder gewerbliches Bauland ausgewiesen werden, allerdings besteht auch die Möglichkeit, daß der Ausweis als landwirtschaftliche Nutzfläche bestehen bleibt. Unabhängig plant er in jedem Fall, das Grundstück in drei Jahren weiterzuveräußern. Zu diesem Zeitpunkt rechnet er mit der folgenden Gewinnsituation:

Grundstück 1 Grundstück 2 Grundstück 3

landwirtsch. Nutzfl. 380.000 GE 320.000 GE 420.000 GE

gewerbl. Bauland 570.000 GE 640.000 GE 520.000 GE

privates Bauland 680.000 GE 740.000 GE 490.000 GE

a) Welches Grundstück kauft der Spekulant, wenn er bei seiner Entscheidung die Hurwicz-Regel mit einem Optimismus-Parameter von Ȝ = 0,8 zugrunde legt? b) Welche Risikoeinstellung des Spekulanten wird in Aufgabe (a) impliziert. Geben Sie eine kurze Begründung. c) Skizzieren Sie die Nutzwertfunktionen fn(Ȝ) der drei Grundstücke für den Funktionsbereich 0 d Ȝ d 1. In welchem Wertebereich müßte der OptimismusParameter jeweils liegen, damit eine bestimmte Entscheidung zustande kommt? d) Erläutern Sie kurz das Wesen von Entscheidungen unter Unsicherheit und unter Risiko. Wie kann man im letztgenannten Fall der Risikoneigung des Entscheidungssubjektes Rechnung tragen?

35

18. Entscheidungen unter Unsicherheit

Strukturierungsmethode

Ein Unternehmen befinde sich in einer Entscheidungssituation, die sich durch die folgende Gewinnmatrix charakterisieren läßt:

a1 a2 a3 a4

Z1 -30 50 10 -150

Z2 120 -20 80 40

Z3 30 60 -60 125

Bestimmen Sie die Handlungsalternativen, die das Unternehmen im Hinblick auf die möglichen Umweltzustände Z1-Z3 wählen sollte, wenn es bei seiner Entscheidung die folgenden Regeln zugrunde legt: a) Laplace-Regel b) Maxi-Min-Regel c) Maxi-Max-Regel d) Hurwicz-Regel mit einem Optimismusparameter von Ȝ = 0,4 e) Niehans-Savage-Regel

19. Entscheidungen unter Risiko (Kapitalerwartungswert)

Statistik / Stochastik

Es gilt, die Vorteilhaftigkeit eines einzelnen Investitionsprojektes zu beurteilen. Das Entscheidungssubjekt sei risikoneutral. Die erforderliche Auszahlung zum Zeitpunkt t = 0 betrage 5500 €; die Projektdauer sei auf eine Periode begrenzt. Die möglichen Rückflüsse am Periodenende und deren zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeiten sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen: mögliche Rückflüsse 5000 6000 4000

Wahrscheinlichkeiten 0,3 0,6 0,1

Ist die Investition nach dem Kapitalerwartungswert-Kriterium vorteilhaft, wenn ein Kalkulationszinsfuß von i = 10% zugrunde gelegt wird?

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20. Betriebsunterbrechungsversicherung (BUV)

Statistik / Stochastik

Das Management in einem mittelständischen Unternehmen steht vor der Frage, ob eine Versicherung gegen etwaige Produktionsausfälle abgeschlossen werden sollte. Auf Grundlage der aus vergangenen Geschäftsjahren gesammelten Erfahrung und der Beobachtung vergleichbarer Betriebe in der Branche wurden folgende Schadenshöhen, die durch Produktionsunterbrechung auftreten können, sowie die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten (bezogen auf ein Geschäftsjahr) ermittelt: S in € 0 p(S) 0,94

100.000 0,03

200.000 0,02

500.000 0,01

Es kann eine Feuer-Betriebsunterbrechungsversicherung, die gegen den finanziellen Schaden durch Brand, Blitzschlag und Explosionen schützt, abgeschlossen werden. Die Versicherungssumme beläuft sich auf 50.000 €. Bei Abschluß einer Maschinenund Elektronik-BUV wäre ein Schaden bis zu einer Höhe von 250.000 € abgedeckt. Nur im Falle der Total-BUV würde ein Schaden bis 500.000 € von der Versicherung getragen. Die Versicherung ermittelt die Preise für die Versicherungspolicen gemäß folgender Zuschlagskalkulation: Zunächst wird der erwartete Haftungsbetrag ermittelt, dann erfolgt ein Pauschalaufschlag in Höhe von 500 € als Versicherungsprämie. Der Wert des Anlagevermögens liegt bei 1.000.000 €; das Unternehmen verfügt fernerhin über liquide Mittel in Höhe von 500.000 €, die mit 5 % p.a. verzinst werden. Der Wert des sonstigen Vermögens sei vernachlässigbar. Das Management sei risikoavers. Die Risikopräferenz lasse sich durch die Risikonutzenfunktion u(x) = ln(x) (natürlicher Logarithmus) beschreiben. Die Risikobetrachtung ist jeweils immer am gesamten Vermögen des Unternehmens orientiert. Sie dürfen im Folgenden davon ausgehen, daß im Falle eines eintretenden Schadens dieser grundsätzlich bis zur Höhe der Versicherungssumme übernommen wird.

a) Welche Preise verlangt die Versicherung für die Feuer-, die Maschinen- und Elektronik- sowie die Total-Betriebsunterbrechungspolice? b) Wie hoch ist der erwartete Vermögensverlust des Unternehmens? Wie bewertet das Management diesen zu erwartenden Verlust? c) Ist es aus Sicht des Managements „lohnender“ eine Versicherungspolice abzuschließen (welche käme dabei in Frage?) oder das Risiko selbst zu tragen? d) Die Verzinsung der liquiden Mittel betrage nun 10 % p.a.. Ändert sich die in (c) getroffene Entscheidung?

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21. Entscheidungsbaum zur Komplexitätsreduktion

Strukturierungsmethode (Graph)

Die Kind & Kegel AG beauftragt Sie, die Vorteilhaftigkeit einer Erweiterung des bestehenden Produktprogramms zu evaluieren. Sie verfügen dabei über folgende Informationen: Mit der Einführung der neusten Errungenschaft des Unternehmens, dem innovativen Trend-Nuckel, wären im ersten Jahr (t = 0) Investitionen in Höhe von 150.000 GE verbunden. Alternativ dazu könnte auch der Sport-Nuckel auf den Markt gebracht werden. Für den Trend-Nuckel ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% eine äußerst positive Entwicklung zu erwarten; dies wäre mit Rückflüssen in Höhe von 80.000 GE im zweiten Jahr (t = 1) verbunden. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% reagiert die Nuckel-Branche mit einem harten Preiskampf, so daß lediglich ein Rückfluß von 50.000 GE zu verzeichnen wäre. In diesem Fall besteht die Möglichkeit, noch im selben Jahr einen großen Werbefeldzug zu starten, der mit Kosten in Höhe von 30.000 GE verbunden wäre. Im Folgejahr würde der Produktbereich in jedem Fall liquidiert. Dabei wäre dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% mit einem Rückfluß von insgesamt 300.000 GE zu rechnen, ansonsten nur mit 15.000 GE. Falls es ihrem größten Konkurrenten gelingen sollte, vorzeitig den In-Nuckel-3000 auf den Markt zu bringen (die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 10%), würde dies den Rückfluß im zweiten Jahr auf 10.000 GE reduzieren. In diesem Fall würde ein Preiskampf unterbleiben; die Kind & Kegel AG wäre gezwungen, sich aus dem Bereich der Trendprodukte zurückzuziehen, wofür im darauf folgenden Jahr (t = 2) mit Kosten in Höhe von 5.000 GE zu rechnen wäre. Insofern es nicht zur Einführung des In-Nuckel-3000 kommt und kein Werbefeldzug gestartet wird, hängen die zu erwartenden Rückflüsse im dritten Jahr ausschließlich von der konjunkturellen Lage ab. Im Falle einer positiven Konjunkturentwicklung, die von den führenden Wirtschaftsinstituten mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% prognostiziert wird, dürften die Rückflüsse im Vergleich zum Vorjahr um 50% ansteigen, andernfalls wird eine stagnierende Entwicklung auf unverändertem Niveau erwartet. Die Kind & Kegel AG plant den Produktbereich des Trend-Nuckels auf jeden Fall noch zum Ende des dritten Jahres (t = 2) für einen Betrag, der dem Zweifachen der „erzielbaren“ Rückflüsse entspricht, zu liquidieren. Als Berechnungsgrundlage werden hierzu jeweils die Rückflüsse des zweiten Jahres (t = 1) verwendet. Die Einführung des Sport-Nuckels wäre zunächst mit Investitionen in Höhe von 450.000 GE im ersten Jahr verbunden. Die Marketingabteilung ist sich sicher, daß das Produkt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%, insbesondere im Hinblick auf die anstehende Fußball-Weltmeisterschaft ein Erfolg wird. In diesem Fall ist im zweiten Jahr mit Einzahlungsüberschüssen in Höhe von 175.000 GE zu rechnen, ansonsten lediglich in Höhe von 7.000 GE. Im dritten Jahr hängen die Rückflüsse wie im Falle des Trend-Nuckels ausschließlich von der konjunkturellen Entwicklung ab; es ist hierfür sowohl von den gleichen Wahrscheinlichkeitswerten bezüglich der Prognose als auch von der gleichen relativen Entwicklung der Rückflüsse im Verhältnis zum Vorjahr auszugehen. Ebenso soll auch dieser Produktbereich im dritten Jahr zu den gleichen Konditionen wie im oben genannten Fall liquidiert werden.

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a) Stellen Sie die vorliegende Entscheidungssituation mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes dar. Nehmen Sie an, daß der Kalkulationszinsfuß 10% beträgt und das Management risikoneutral ist; welche Handlungsempfehlung(en) würden Sie der Kind & Kegel AG in diesem Fall geben? Berechnen Sie hierzu die Kapitalerwartungswerte (bezogen auf dem Zeitpunkt t = 0). b) Im Folgenden ist davon auszugehen, daß das Management risikoavers ist. Die Risikopräferenz läßt sich mittels der Risikonutzenfunktion u(x) = ln(x) zutreffend beschreiben; der Kalkulationszinsfuß liege weiterhin bei 10%. Welche Handlungsempfehlung(en) würden Sie nun geben? Führen Sie die nachfolgende Rechnung nach der Sicherheitsäquivalentmethode durch (Die Verdichtung der periodenspezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Erträge erfolgt bei dieser Vorgehensweise sukzessiv jeweils zunächst über die Umweltzustände und dann über die Zeit) und geben Sie die sicherheitsäquivalenten Kapitalerträge (für den Zeitpunkt t = 0) an. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus den vorhergehenden Teilaufgaben und diskutieren Sie kritisch deren Zustandekommen sowie deren Aussagekraft vor dem Hintergrund der grundsätzlichen konzeptionellen Eignung der angewandten Methoden.

Statistik / Stochastik

22. Kooperationsentscheidung

Ein Unternehmen möchte einen neuen Absatzmarkt für seine Produkte erschließen. Da sowohl die konjunkturelle Situation als auch die Akzeptanz der Produkte auf diesem Markt risikobehaftet ist, entwickeln Sie als Mitglied des Planungsstabes der Unternehmensleitung folgende Szenarien für die möglichen Umweltzustände: Szenario Gewinn in [GE] Wahrscheinlichkeit

(1) “worst case” 250 0,2

(2) “average case” 500 0,5

(3) “best case” 1000 0,3

Fernerhin besteht die Möglichkeit in Kooperation mit einem anderen Unternehmen auf den Markt zu dringen. Da dieses Unternehmen bereits wertvolle Erfahrungswerte auf diesem Gebiet gesammelt hat und Synergien besonders im Bereich der Beschaffung und hinsichtlich der Nutzung von Absatzkanälen zu erwarten sind, würde sich im Falle einer Konsortiallösung das Risikoprofil folgendermaßen ändern: Szenario Gewinn in [GE] Wahrscheinlichkeit

(1) “worst case” 400 0,1

(2) “average case” 500 0,7

(3) “best case” 900 0,2

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a) Die Unternehmensleitung möchte nun von Ihnen wissen, ob sich die Kooperation vorteilhaft oder nachteilig auf den Plangewinn auswirkt. b) Sie wissen, daß der Vorstand der Unternehmung risikoavers ist; gehen Sie davon aus, daß die Risikonutzenfunktion ln(x) (natürlicher Logarithmus) die entsprechenden Risikopräferenzen adäquat widerspiegelt. Würden Sie nun eine Empfehlung für oder gegen eine Kooperation aussprechen?

23. Standortplanung

Heuristik

Ein mittelständisches Maschinenbauunternehmen plant die Errichtung einer weiteren Produktionsniederlassung. Grundsätzlich kommen nach einer getroffenen Vorauswahl noch fünf Standorte in Frage. Die Lösung dieses Enscheidungsproblems soll mit Hilfe der Scoring-Technik formalisiert werden. Hierzu wurden acht verschiedenen Standortfaktoren identifiziert, die mit jeweils unterschiedlichen Gewichten in die Bewertung einfließen sollen. Die Unternehmensleitung hat jedem Standort bereits bezüglich der nachfolgend aufgeführten Kriterien einen Punktwert zwischen 0 (sehr schlecht) und 10 (sehr gut) zugewiesen.

Standortfaktor Verfügbarkeit qualifizierter Arbeitskräfte Infrastruktur Nähe zu Kunden Nähe zu Entwicklungspartnern Nähe zu Lieferanten Grundstückspreis Baukosten Gewerbesteuersatz

Gewicht 25% 10% 15% 20% 15% 5% 5% 5%

Bewertung für Standort A 4 6 8 5 8 10 9 9

B 8 9 7 10 9 1 3 2

C 5 3 10 4 7 8 10 9

D 7 10 3 9 6 6 9 7

E 6 5 6 7 6 5 7 4

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der angegebenen Präferenzmatrix durch eine standortbezogene Verdichtung der angegebenen Punktwerte einen Gesamtnutzwert bzw. Entscheidungswert für jede Alternative und geben Sie eine Präferenzfolge an. b) Welche grundlegenden Probleme sehen Sie bei der Anwendung der ScoringTechnik?

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24. Standortplanung

Heuristik

Sie werden mit der Durchführung einer Analyse zur Auswahl des nutzwertoptimalen Standorts für eine neu zu gründende Produktionsstätte beauftragt. In Absprache mit Ihrem Kunden legen Sie folgende Rahmendaten für die Nutzwertanalyse mit einem Scoring-Modell fest: -

Entscheidungsrelevante Standortfaktoren Gewichtung der Faktoren Ausprägung der Standortfaktoren bei den berücksichtigten Standortalternativen (Bewertungsskala: sehr gut = 9; gut = 6; befriedigend = 3; mangelhaft = 0)

Standortfaktoren Transportbedingungen Expansionsmöglichkeiten Förderungsangebote Arbeitskräftepotential Nähe zum Absatzmarkt Konkurrenzsituation

Gewichtung 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2

Standortalternativen Hamburg München 9 6 3 9 9 0 6 3 0 3 3 3

Welche Schritte sind allgemein bei einer Nutzwertanalyse durchzuführen? Ermitteln Sie für den dargestellten Fall den nutzwertoptimalen Standort.

41

Kapitel 4 Sourcing- und Materialmanagement

43

4.1 Einführung

Herstellende Unternehmen transformieren Produktionsfaktoren anhand von Leistungserstellungsprozessen in Güter für Absatzmärkte. Die zur Produktion erforderlichen Einsatzgüter werden von den Faktormärkten alloziert. Die faktorbezogene Sicht des Operations Management fokussiert auf die geeignete Allokation des Input, also der Produktionsfaktoren. Hier stellt sich unter anderem auch die Frage, ob die Einsatzfaktoren selbst bereitgestellt werden sollen (makeOption) oder ob diese von in der Wertschöpfungskette gesehen vorgelagerten Partnern eingekauft werden sollen (buy-Option). Derartige Überlegungen werden unter ökonomischem Kalkül evaluiert. Operations Management fokussiert in diesem Gesamtzusammenhang auch auf Aspekte eines geeigneten Lieferantenmanagement.

45

4.2 Bestellmengen und Materialbedarfe Einführung zur statischen Bestellmengenplanung (nach Andler/Harris)

Das klassische Modell zur Bestellmengenplanung geht auf Veröffentlichungen von Harris (1913) und Andler (1929) zurück. Betrachtet wird die optimale Bestellpolitik unter der Annahme, daß nur ein Artikel und ein Lager existieren. Zweck des Modells ist die Ermittlung der Zielgröße „optimale Bestellmenge“, die zu einer Minimierung der Kosten, verstanden als Summe aller anfallenden Bestell- und Lagerkosten führt. Annahmegemäß fallen für jeden Bestellungsvorgang, unabhängig von der Bestellmenge, konstante bestellfixe Kosten (Transportkosten, Warenannahme, Rechnungsprüfung usw.) an. Somit gilt ceteris paribus: Je größer (kleiner) die Bestellmenge desto geringer (höher) ist die Bestellhäufigkeit, und desto geringer (höher) sind die Bestellkosten einer Periode. Dem gegenüber stehen die Lagerkosten (vorwiegend Kapitalbindungskosten), die sich annahmegemäß proportional zur Bestellmenge bzw. zum mittleren Lagerbestand verhalten. Damit gilt: Je größer (kleiner) die Bestellmenge desto höher (niedriger) ist der mittlere Lagerbestand und desto höher (niedriger) sind die Lagerkosten einer Periode. Es ist somit zu erwarten, daß ein Optimum für die Bestellmenge respektive die Bestellhäufigkeit existiert. Zeichenerklärung: Symbol B A P Z X Y KB KL

Variable Periodenbedarf Fixe Bestellkosten Einstandspreis des Materials Lagerkostensatz Bestellmenge Bestellhäufigkeit Bestellkosten Lagerkosten

Dimension ME / PER GE GE / ME 1 / PER ME 1 / PER GE / PER GE / PER

Grundlegende Annahmen des Modells: ƒ Es werden nur ein Lager und ein Lagerartikel betrachtet. ƒ Der Jahresbedarf ist a priori bekannt und gleichmäßig auf alle Perioden verteilt; es treten keine Schwankungen im Zeitablauf auf. ƒ Für jeden Bestellungsvorgang fallen unabhängig von der Bestellmenge konstante bestellfixe Kosten an. ƒ Die Lagerkosten fallen proportional zum Bestand an, es gibt keine fixen Lagerkosten. ƒ Die Materialeinstandspreise sind sowohl im Zeitablauf als auch unabhängig von der Abnahmemenge konstant. 46

ƒ Der Lagerbestand wird im Verlauf einer Periode linear bis auf Null abgebaut; es gibt keinen Sicherheitsbestand. ƒ Ist der Lagerbestand aufgebraucht, wird die optimales Bestellmenge x des Artikels mit unendlicher Geschwindigkeit beschafft und auf Lager genommen. ƒ Der Lageranfangsbestand ist gleich Null. ƒ Es existieren keine Restriktionen (z.B. Kapazitäts-, Finanzrestriktionen,…). Die Bestellkosten K B werden als Produkt aus Bestellhäufigkeit y und den fixen Kosten pro Bestellung A berechnet. Die Bestellhäufigkeit wiederum ergibt sich als Quotient aus dem Gesamtbedarf der Periode B und der Bestellmenge x : K B ( x)

B* A x

y* A

Die Lagerkosten werden als Produkt von mittlerem Lagerwert (mittlerer Lagerbestand * Einstandspreis) und einem pauschalen Lagerkostensatz bestimmt. Der mittlere Lagerbestand beträgt unter der Annahme, daß das Lager bis zum Ende der Periode linear auf Null abgebaut wird (x / 2) . K L ( x)

z* p*

x 2

Die zu minimierende Kostenfunktion ergibt sich als Summe der Bestell- und Lagerkosten mit: K ( x)

K B ( x)  K L ( x)

notwendige Bedingung:

B* A z* p*x  x 2 dK ( x) dx

hinreichende Bedingung:



o min!

B* A z* p  x² 2

d ² K ( x) dx ²

0

2* B* A ! 0 ĺ Minimum (x > 0) x³

Im Optimum herrscht Grenzkostengleichheit, d.h. Grenzbestellkosten und Grenzlagerkosten stimmen betragsmäßig überein: 

dK B ( x) dx

dK L ( x) dx bzw.

B* A x²

z* p 2

Durch Auflösen der Gleichung nach x bzw. über die Beziehung y

B erhält man x

die Formel für die optimale Bestellmenge sowie die optimale Bestellhäufigkeit: xopt

2* B* A z* p

y opt

B*z* p 2* A

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25. Statische Bestellmengenplanung (nach Harris)

differenzierbare Zielfunktion

Der Dienstleister Büro & Kratie plant die Beschaffung von für die Produktion notwendigen Heftklammern für das kommende Geschäftsjahr. Die Klamm & Klammer GmbH – als langjähriger Geschäftspartner – bietet die folgenden gestaffelten Einkaufspreise: Bestellmenge (in Packungen) 0  x  1.500 1500 d x  10.000 x t 10.000

Preis pro Packungseinheit 1,30 € 1,10 € 1,05 €

Der Bedarf an gleichmäßig in die Produktion eingehenden Klammern für das kommende Geschäftsjahr beträgt 20.000 Packungen. Pro Bestellvorgang wird eine Verwaltungskostenpauschale in Höhe von 20 € fällig. Der pauschale Lagerhaltungskostensatz wird mit 30% p.a. veranschlagt. a) Ermitteln Sie die kostenoptimale Bestellmenge. b) Schätzen Sie überschlägig ab, um wie viele Packungseinheiten die Rabattgrenze gesenkt werden müßte, damit eine Bestellung zum Preis von 1,05 € pro Packung optimal wäre.

26. Statische Bestellmengenplanung (mit Restriktion)

differenzierbare Zielfunktion

In einem Unternehmen aus dem Biotechnologiesektor werden zur Herstellung eines Vorproduktes zwei Materialarten benötigt. Die Bestellmengen für diese zwei Materialarten (M1 und M2) werden simultan geplant. Die zu beschaffenden Mengenbedarfe der Materialarten für den Betrachtungszeitraum von einem Jahr sind bekannt: B1 = 4.000 ME und B2 = 9.000 ME. Je Bestellung fallen Kosten für M1 in Höhe von 200 GE und für M2 in Höhe von 100 GE an. Am Beschaffungsmarkt ist für M1 ein Bezugspreis in Höhe von 100 GE/ME und für M2 in Höhe von 200 GE/ME zu bezahlen. Zur Berechnung der Kapitalbindungskosten wird ein Zinssatz in Höhe von 10% p.a. angenommen. Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge ist zu beachten, daß das Controlling nur 90.000 GE für die Materialbeschaffung zur Verfügung stellt. Wie hoch sind die optimalen Bestellmengen für M1 und M2?

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Strukturierungsmethode

27. ABC-Analyse

In ein Unternehmen soll mit Hilfe einer ABC-Analyse eine Klassifizierung der im Produktionsprozeß eingesetzten Materialien erfolgen. Hierzu wurden der Lagerstatistik die folgenden Werte entnommen: Materialart-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jahresbedarf [ME] 1.675 6.300 900 26.000 860 32.000 10.500 5.300 365 2.280 17.500 1.520

Preis pro Mengeneinheit [€/ME] 55,00 4,50 140,00 0,10 725,00 0,35 1,30 3,60 1270,00 36,00 0,22 72,00

a) Führen Sie eine ABC-Analyse durch. Nehmen Sie hierzu eine geeignete Kategoriebildung in A-, B- und C-Materialien vor. b) Stellen Sie das Ergebnis der Analyse aus Teilaufgabe a) in Form einer Konzentrationskurve dar.

28. Diskrete Bestellmengenmodelle / Losgrößenheuristiken

Heuristik

Sie beginnen im März ihre Karriere als Trainee in einem großen Versicherungsunternehmen. Nachdem Sie zum Einstieg eine sehr intensive Schulung in der praktischen Nutzung von Kopiergeräten erhalten haben, stellen Sie in diesem Zusammenhang verwundert fest, daß das Unternehmen 200 Verpackungseinheiten (VPE) Kopierpapier à 2.500 Blatt bevorratet. Da dieser Tatbestand Ihr betriebswirtschaftliches Interesse weckt, stellen Sie weitere Nachforschungen an und erfahren, daß die genannte Menge erst zwei Monate zuvor eingekauft wurde. Auf weitere Nachfrage erklärt Ihnen der Chefeinkäufer bereitwillig, daß er – ebenso wie sein Vorgänger – darauf bedacht sei, die Bestellkosten möglichst gering zu halten und aus diesem Grunde gleich einen Jahresvorrat geordert habe. Zudem sei auf Grund dieses Bestellvolumens ein Preisnachlaß in Höhe von 340.- € gewährt worden. Sie beschließen, die ihnen etwas zweifelhaft erscheinende Bestellpolitik unter Zuhilfenahme eines diskreten Bestellmengenmodells kritisch zu durchleuchten. Im Gespräch mit Kollegen finden Sie heraus, daß der effektive monatliche Bedarf an Kopierpapier alljährlich den folgenden stabilen Verlauf aufweist: 49

Monat Anzahl VPE

Jan

Feb

Mär

Apr

Mai

Jun

Jul

Aug

Sep

Okt

Nov

Dez

12

11

18

24

26

14

10

12

20

25

16

12

Die Verbrauchsspitzen im Frühjahr und Herbst korrespondieren just mit den Zeiträumen, in denen das Unternehmen verstärkt Praktikumsplätze anbietet. Da ein Großteil des Jahresurlaubes in den Monaten Juni und Juli genommen wird, ist hier eine geringere Nachfrage zu verzeichnen. Sie beschließen, bei Ihrer nachfolgenden Berechnung etwaige Sicherheitsbestände auf Grund der geringen Relevanz außen vorzulassen. Die mengenunabhängigen Kosten eines Bestellvorgangs betragen 40 €, als Lagerhaltungssatz setzten Sie 1 € pro Monat und VPE an. a) Bestimmen Sie die optimalen Bestellosgrößen mit den Heuristiken Least Unit Cost (LUC), Least Total Cost (LTC) sowie dem Silver/MealVerfahren. b) Stellen Sie für die drei in Teilaufgabe a) genannten Heuristiken die Gesamtkosten, aufgegliedert nach Bestell- und Lagerkosten, im Jahresvergleich gegenüber und vergleichen Sie diese mit den aktuellen Kosten (unter Einbeziehung des gewährten Preisnachlasses).

29. Verpackungsplanung

differenzierbare Zielfunktion

Sie erhalten den Auftrag für ein kohlensäurehaltiges Trendgetränk eine zylindrische 0,5l-Dose aus Aluminiumblech zu entwerfen. Ihnen liegen die folgenden Informationen über diesen Werkstoff vor: Preis p = 2.400 € / Tonne Dichte ȡAL = 2,7 g / cm³ Zugfestigkeit ıZ = 90 N / mm² (Gehen Sie im folgenden von einem „idealen Zylinder“ aus, unterschiedliche Blechdicken bzw. Falzungen u.Ä. sind zu vernachlässigen. Deckel und Boden des Zylinders stellen keine Schwachstellen dar.)

a) Welche Abmessungen sind zu wählen, damit der Materialverbrauch minimal ist? b) Wie hoch sind die Materialstückkosten einer Dose mit den Abmessungen aus Teilaufgabe a), wenn diese einem statischen Gasdruck von ps = 6 bar standhalten muß (Beschichtungen und Ähnliches sind zu vernachlässigen)? (Fortsetzung der Aufgabenstellung auf der folgenden Seite.)

50

Hinweis: Für druckbelastete dünnwandige Zylinder läßt sich die Tangentialspannung vereinfacht durch die Gleichung ıT = pi * (ri / s) mit pi = ps – pu beschreiben, wobei ri dem Innenradius und s die Wandstärke des Zylinders bezeichnet. Der relative Innendruck (pi) ergibt sich als Differenz des statischen Gasdrucks im Zylinder (ps) und Umgebungsdruck (pu). Die Tangentialspannung (ıT) entspricht an der Belastungsgrenze der maximalen Zugfestigkeit (ıZ).

Iteration / Approximation

30. Verpackungsplanung

Ein Getränkehersteller beauftragt einen Verpackungshersteller, eine neue 1-LiterVerpackung für Erfrischungsgetränke zu entwickeln. Die Konstruktion der Abfüllanlage macht es erforderlich, daß die Verpackung bestimmten Anforderungen genügt. Eine Verpackung muß hierbei eine Länge von l = 8 cm aufweisen und mit Kanten der Breite von x = 1 cm verklebt werden. Es verlaufen jeweils 2 Kanten parallel am Rand der längsten Seite h und quer durch die kürzeste Seite l (siehe Abbildung). x l/2

h

l/2 x x

b

l

b

l

x

a) Berechnen Sie die Abmessung einer Verpackung, sodaß der Materialverbrauch unter den gegebenen Anforderungen minimal ist. b) Welche Abmessungen müßten geändert werden, wenn der Materialverbrauch minimiert werden sollte und keine Vorgabe hinsichtlich der Länge bestünde? Wäre in diesem Fall die „optimale Verpackung“ länger oder kürzer als 8 cm?

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4.3 Gozintographen

31. Gozintograph (W8)

Strukturierungsmethode (Graph)

Bei einem mehrstufigen Produktionsprozeß werden im ersten Produktionsschritt aus fünf Bauteilen (G1, G2, G3, G4, G5) drei Baugruppen (F6, F7, F8) hergestellt. Im zweiten Produktionsschritt werden aus den Baugruppen zwei Endprodukte (E9, E10) montiert. Für eine Mengeneinheit (ME) der Baugruppe F6 werden 2 ME des Bauteils G1 und 4 ME des Bauteils G2 benötigt. Die Baugruppe F7 setzt sich aus 3 ME des Bauteils G2, 6 ME des Bauteils G3 sowie 8 ME des Bauteils G4 zusammen. Aus 5 ME der Baugruppe F6 und 4 ME der Baugruppe F7 sowie 5 ME des Bauteils G2 wird eine ME des Endproduktes E9 montiert. Um das Endprodukt E10 zu fertigen, sind 5 ME der Baugruppe F7 und 10 ME der Baugruppe F8 erforderlich. Die Baugruppe F8 wird aus 2 ME des Bauteils G3 sowie 7 ME des Bauteils G5 gefertigt. Für die kommende Periode wurde eine Nachfrage von 50 ME für das Endprodukt E9 sowie 100 ME für das Produkt E10 prognostiziert, die in vollem Umfang befriedigt werden soll. Auf Grund von möglichen Fehlern im Fertigungsprozeß sowie Unsicherheiten in der Prognose soll zudem ein Sicherheitsbestand von 100 ME für alle Baugruppen vorgehalten werden.

a) Zeichnen Sie den zugehörigen Gozintographen. b) Bestimmen Sie den Gesamtbedarf an sämtlichen Bauteilen und Baugruppen für die kommende Periode.

52

32. Gozintograph und Direktbedarfssowie Gesamtbedarfsmatrix

Strukturierungsmethode (Graph)

Der nachfolgende Gozintograph zeigt die Erzeugnisstruktur eines Produktes A, das aus den Komponenten B-F zusammengesetzt wird:

A 3

2 1

B

C

2

5 E 2

4 1

D

3 F

a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Gozintographen die Direktbedarfsmatrix und erläutern Sie (kurz) wie diese interpretiert werden kann. b) Ermitteln Sie den Gesamtbedarf an Komponenten für die Herstellung einer Einheit des Produktes A sowie für eine Einheit einer jeden Komponente und leiten Sie hieraus die Gesamtbedarfsmatrix ab. Erläutern Sie (kurz) wie diese interpretiert werden kann. c) Entwickeln Sie allgemein den formalen Zusammenhang zwischen Direktbedarfs- und Gesamtbedarfsmatrix. d) Berechnen Sie unter Verwendung der Direktbedarfsmatrix aus Teilaufgabe a) die Gesamtbedarfsmatrix mittels Matrixinversion. e) In der kommenden Periode sollen 100 ME des Produktes A sowie je 50 ME der Komponenten B und C am Markt abgesetzt werden. Ermitteln Sie mit Hilfe der Gesamtbedarfsmatrix den Vektor der Gesamtbedarfsmengen x.

53

33. Mengenübersichtsstücklisten

Strukturierungsmethode (Graph)

Der Aktenschrank Modell „Angstrøm“ (A) eines schwedischen Büromöbelherstellers wird nach dem folgenden Prinzip zusammengesetzt: Die Komponente (K), bestehend aus zwei gleichen Deckel- und Bodenteilen (E), zwei Seitenwänden (W) sowie einer Rückwand (R) wird mit 4 Standfüßen (F) verschraubt. Für die Montage der Komponente werden insgesamt 20 Verbindungselemente (V) benötigt, für die Standfüße sind 8 Stück erforderlich. Ein Verbindungselement besteht aus eine Schraube des Typs 0815 (D), einer Mutter des Typs 0816 (M) sowie zwei Unterlegscheiben Typ 0817 (U). In die fertig montierte Komponente werden 5 Schubladen (S) eingesetzt, die je aus einem vorgefertigten Boden- und Rahmenteil (B) bestehen. Jede Schublade wird mit einem Griff (G) versehen; außerdem werden 4 Laufrollen (L) montiert, sodaß sich die Schubladen leichtgängig öffnen und schließen lassen. Die Laufrollen werden mit je 2 Schrauben des Typs 0819 (Z), 2 Unterlegscheiben des Typs 0817 sowie 2 Muttern des Typs 0816 befestigt. Für das Anbringen der Griffe werden je 2 Verbindungselemente verwendet.

a) Zeichnen Sie den Gozintographen für den Aktenschrank Modell „Angstrøm“. Hinweis: Achten Sie bei der Erstellung des Gozintographen darauf, daß die Schubladen und Standfüße keinen Bestandteil der Komponente (K) darstellen, sondern als Teil des Endproduktes (A) anzusehen sind. b) Erstellen Sie eine Mengenübersichtsstückliste für sämtliche Komponenten/ Elemente bzw. Einzelteile des Produktes.

54

Kapitel 5 Prozeßmanagement

55

5.1 Einführung

Die Transformation von Einsatzgütern in kundenorientierte Produkte wird über Leistungserstellungsprozesse vollzogen. Diese Transformationsprozesse orientieren sich dabei sowohl an den Input- als auch an den Outputgütern, sind mithin also branchenabhängig. So können zum Beispiel in der chemisch-pharmazeutischen Industrie (zu verstehen als Prozeßindustrie) einmal angestoßene Herstellungsprozesse für Produkte nicht während des Verfahrensablaufs beliebig unterbrochen oder gestoppt werden, ohne dass Quantitäts- und/oder Qualitätsverluste im Endprodukt hingenommen werden müssen. Gleichsam können in anderen Branchen durchaus Fertigungsprozesse und Formen der Fertigungsorganisation gewählt werden, die eine Transformation von Inputfaktoren mit zeitlichen Unterbrechungen erforderlich machen, so zum Beispiel die zum Teil mehrjährige Lagerungsphase in der Weinherstellung. Produktionsprozesse unterliegen ihrerseits auch den Effektivitäts- und Effizienzanforderungen, die sich aus dem oberen Zielsystem des Unternehmens ableiten. Gleichsam setzen insbesondere in den Herstellungsprozessen Qualitätsaspekte an. In vielen Branchen und mit Blick auf zahlreiche Produkte läßt sich eine (kundenkonforme) Qualität nur hervorbringen, wenn an jedem einzelnen Arbeitsschritt im Prozeßablauf auf die Qualität der Leistungserstellung mit Blick auf ein hochqualitatives Endprodukt fokussiert wird.

57

5.2 Operative Prozeßsteuerung, -organisation und -optimierung 34. Flußorientierung im Prozeßablauf (W9)

Strukturierungsmethode

Das mittelständische Unternehmen „Maschinenbau GmbH“ versendet etwa 1000 Standardbriefe pro Woche. Sie erhalten zunächst den Auftrag, den Prozeß „Standardbrief versenden“ zu analysieren sowie eine Dokumentation der einzelnen Aktivitäten und zugehörigen Standardzeiten vorzunehmen. Ihre Untersuchung liefert die folgenden Ergebnisse: Aktivität A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09 A10

Beschreibung Briefbogen aufnehmen Briefbogen ablegen Briefbogen im Bereich des oberen Drittels knicken Briefbogen im Bereich des unteren Drittels knicken Couvert aufnehmen Couvert ablegen (gefalteten) Briefbogen in Couvert stecken Couvert verschließen Brief unter Frankiermaschine halten Brief in Postausgang legen

Standardzeit (in Sekunden.) 2 2 3 3 2 2 4 3 3 2

Die Empfängeradressen sind bereits auf die Briefbögen aufgedruckt, die Couverts haben ein Sichtfenster, sodaß die Briefe nicht nochmals gesondert adressiert werden müssen. a) Organisieren Sie den Prozeß „Standardbrief versenden“ als Stapelverarbeitungsprozeß („batch-and-queue“). Betrachten Sie hierzu die Teilprozesse TP1: „Briefbogen falten“, TP2: „Brief couvertieren“ sowie TP3: „Couvert versandfertig machen“. Ein Teilprozeß wird hierbei erst begonnen, wenn alle Ergebnisse aus dem vorhergehenden Teilprozeß vorliegen. So wird beispielsweise erst dann mit dem Couvertieren begonnen, nachdem alle Briefbögen fertig gefaltet worden sind. Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar und geben Sie die Prozeßdauer an. b) Reorganisieren Sie den Prozeß unter dem Aspekt der Flußorientierung und stellen Sie das Ergebnis graphisch dar. Welche Form von Verschwendung in der Denkweise des Lean Managements („muda“) liegt in der Teilaufgabe (a) vor? Quantifizieren Sie die Effizienzpotentiale.

58

35. Effizienz von Faktorkombinationen

Algorithmus

Zur Herstellung eines Produktes M werden zwei Faktoren z1 und z2 in einem Produktionsprozeß eingesetzt. Hierbei existieren für die Erzeugung einer bestimmten Outputmenge x jeweils verschiedene Möglichkeiten hinsichtlich der Kombination dieser Faktoren. In der nachfolgenden Tabelle sind alle zulässigen Mengenkombinationen der Inputfaktoren sowie die zugehörigen Outputmengen aufgeführt: Kombination A B C D E F G H I J K L M N O P

z1 1 2 3 4 4 4 5 5 6 8 8 8 8 9 9 11

z2 4 2 8 2 9 12 1 6 11 5 6 10 12 1 9 9

x 3 3 4 3 4 5 3 4 5 4 4 5 5 3 5 5

a) Tragen Sie alle effizienten Faktoreinsatzkombinationen in ein z1-z2-Diagramm ein. Verbinden Sie die Kombinationen, die zum gleichen Output-Niveau führen, durch Linien. b) Kennzeichnen Sie die ineffizienten Kombinationen im Diagramm aus Teilaufgabe a) und erläutern Sie, warum diese nicht effizient sind.

36. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie)

Heuristik

Ein Unternehmen plant ein neues Produkt im Fließbetrieb zu fertigen. Pro Schicht stehen 8 Stunden zur Verfügung, es sollen 48 ME des Produktes pro Schicht hergestellt werden. Die nachfolgende Tabelle enthält die benötigten Ausführungszeiten sowie Vorrangrelationen der zu verrichtenden Tätigkeiten:

59

Bezeichnung des Arbeitselementes i A B C D E F G H I J

Ausführungszeit in Minuten (ti) 7 5 3 15 7 9 4 6 8 5

unmittelbar nachfolgend B, C, D E F,G G H, I I I J J -

a) Erläutern Sie Gegenstand und Zielsetzung des Fließbandabgleichs. b) Geben Sie die Obergrenze für die Taktzeit sowie die (theoretische) Minimalzahl an Stationen für den vorliegenden Fall an. c) Stellen Sie die Beziehungen zwischen den Arbeitselementen mittels eines Vorranggraphen dar. d) Erläutern Sie das Verfahren von Helgeson und Birnie und geben Sie die Positionswerte für die Arbeitselemente (A-J) an.

37. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie)

Heuristik

Gegeben ist der folgende Vorranggraph für eine Fließfertigung:

B 12

D 14

F 6

A 8

H 8 C 6

E 5

G 3

a) Die vorgegebene Taktzeit betrage 14 ZE. Nehmen Sie mit Hilfe des Verfahrens von Helgeson und Birnie eine Zuordnung der Arbeitselemente zu Stationen vor und ermitteln Sie die minimale Stationszahl.

60

b) Betriebsleitung und Betriebsrat haben eine Vereinbarung getroffen, die Taktzeit auf 16 ZE zu erhöhen. Beziehen Sie kritisch Stellung zu dieser Maßnahme. c) Quantifizieren Sie die Auswirkungen der Maßnahme aus Aufgabenteil (b). Ermitteln Sie hierzu den Bandwirkungsgrad für eine Taktzeit von C1 = 14 bzw. C2 = 16 ZE.

38. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie)

Heuristik

Eine Großbäckerei fertigt Nuß-Nougat-Schokoladenplätzchen mit einer kunstvollen Spezialglasur. Die Produktion ist in zwei Stufen aufgeteilt: Zunächst wird vollautomatisch der Teig angerührt, geknetet, portioniert, gewalzt, ausgeformt und gebacken. In einer weiteren teilautomatischen Stufe werden die Plätzchen an mehreren Fließbändern nach dem Backen geprüft, glasiert und bestreut sowie endkontrolliert und verpackt. Die Verarbeitung erfolgt dabei in sieben Arbeitselementen (A-G), die der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen sind: Bezeichnung des Beschreibung Arbeitselementes Plätzchen auf Bräunungsgrad A und Beschädigungen überprüfen Oberseite der Plätzchen mit B Nougat-Creme bestreichen Unterseite der Plätzchen mit C Glasur überziehen

Ausführungszeit in ZE

unmittelbar vorhergehend

3

-

5

A

8

A

D

Plätzchen zusammenfügen

7

B, C

E

Plätzchen mit Nußsplittern bestreuen

6

C

F

Qualitätskontrolle

2

D, E

G

Verpacken der Plätzchen

5

F

a) Wie groß ist die theoretische Minimalzahl an Stationen, wenn die Taktzeit 12 ZE beträgt? b) Ermitteln Sie die unmittelbaren Nachfolger für jedes Arbeitselement und stellen Sie die Vorrangbeziehungen graphisch dar. c) Ordnen Sie (für die Taktzeit von 12 ZE) mit Hilfe des Verfahrens von Helgeson und Birnie die gegebenen Arbeitselemente den Stationen zu. Wieviele Stationen werden benötigt?

61

39. Anlagen- und Kapazitätsplanung

sonstige Optimierung

Ein Fertigungsbereich, der sich in der Vergangenheit stets als betrieblicher Engpaß herausgestellt hat, soll mit neuen Produktionsanlagen ausgerüstet werden. In diesem Fertigungsbereich werden verschiedene Produkte hergestellt, die sich aufgrund ihrer (produktions-)technischen Verwandtheit zu drei Produktgruppen (A, B und C) zusammenfassen lassen. Es kann dabei zwischen drei unterschiedlichen technischen Lösungen des kapazitiven Engpaßproblems in diesem Fertigungsbereich gewählt werden:

Alternative 1: Ein flexibles Fertigungssystem, auf dem alle drei Produktgruppen A, B und C bearbeitet werden können. Das System kann in zwei normalen sowie in einer unbemannten Schicht pro Tag betrieben werden. Der Kapazitätsausfall beträgt in den normalen Schichten 20% und in den unbemannten Schichten 50%. Der Investitionsaufwand beläuft sich auf 1.000 GE je Fertigungssystem.

Alternative 2: Universalmaschinen, die entweder auf die Produktgruppe A und B oder ausschließlich auf die Produktgruppe C eingerichtet werden können. Die Maschinen können im Zweischichtbetrieb eingesetzt werden und verursachen Kapazitätsausfälle von 10%. Der Investitionsaufwand beträgt 300 GE je Maschine.

Alternative 3: Spezialmaschinen, die jeweils nur eine der Produktgruppen bearbeiten können. Im Zweischichtbetrieb wird mit einem Kapazitätsausfall von 5% gerechnet. Der Investitionsaufwand beträgt 150 GE je Maschine.

Das Unternehmen muß sich bei seiner Kapazitätsplanung zwischen den sich gegenseitig ausschließenden Alternativen 1, 2 und 3 entscheiden. Es sind jeweils so viele Anlagen eines Typs bereitzustellen, daß der durchschnittliche Jahresbedarf einer Produktgruppe vollständig abgedeckt werden kann. Darüber hinaus wird verlangt, daß zum Ausgleich von Saisonspitzen bei jeder Produktgruppe eine Kapazitätsreserve von 20% des Jahresbedarfs berücksichtigt werden muß. Es wird im Unternehmen jeweils acht Stunden pro Schicht und fünf Tage pro Woche während 48 Arbeitswochen eines Jahres gearbeitet. Über die hergestellten Produkte liegen folgende Informationen vor:

62

Produktgruppe A

Produktgruppe B

Produktgruppe C

1.000

2.500

3.000

20

100

200

0

0

0

0,2

0,4

0,5

4,0

3,0

0,5

0,75

1,0

1,25

1,0

1,0

1,0

1,5

2,0

2,5

Durchschnittlicher Jahresbedarf (Stück) Durchschnittliche Losgröße (Stück) Anlagentyp 1 Rüstzeit (Std.) Stückbearbeitungszeit (Std./Stück) Anlagentyp 2 Rüstzeit (Std.) Stückbearbeitungszeit (Std./Stück) Anlagentyp 3 Rüstzeit (Std.) Stückbearbeitungszeit (Std./Stück)

Welchen Anlagentyp würden Sie unter der Annahme der ökonomischen Vorteilhaftigkeit für das Unternehmen auswählen? Wie viele Anlagen des von Ihnen gewählten Typs sind bereitzustellen?

Strukturierungsmethode

40. Fortschrittszahlen-Konzept (Soll-Ist-Abgleich) (W10)

Sie erhalten als Trainee den Auftrag, die produzierten Ist-Mengen an einer Fertigungsstelle über einen Zeitraum von 12 Wochen zu erfassen und diese den korrespondierenden Soll-Mengen, die ihnen aus der terminierten Nettobedarfsplanung vorliegen, gegenüberzustellen. Ihre Untersuchung führt zu folgendem Ergebnis: Woche SollMenge IstMenge

1

2

4

5

6

7

8

9

11

12

200

100

3 0

50

100

50

50

150

200

10 0

150

150

100

50

50

100

150

150

100

0

100

150

50

50

a) Wie hoch war der mittlere Produktionsvorlauf bzw. Produktionsrückstand innerhalb des Betrachtungszeitraums? b) Stellen Sie anhand eines Fortschrittszahlendiagramms die Soll-Fortschrittszahl und die Ist-Fortschrittszahl dar. Kennzeichnen Sie im Diagramm, ob ein Produktionsvorlauf oder ein Produktionsrückstand vorgelegen hat.

63

41. Fortschrittszahlen-Konzept (variable Produktionskoeffizienten)

Strukturierungsmethode

Das Traditionsunternehmen Kettenmeier oHG hat sich auf die Fertigung von Antriebsund Förderketten in großer Variantenvielfalt spezialisiert. Zur Erstellung eines Steuerungsplanes nach dem Fortschrittszahlenkonzept wurde die Variante 20/70/67 der Rundstahlketten für Stetigförderer nach DIN 764 (siehe nachstehende Tabelle) ausgewählt. t

d

b l = x*t

Tabelle: Rundstahlketten nach DIN 764 d (mm) 10 13 16 18 20 23 ...

t (mm) 35 45 56 63 70 80 ...

b (mm) 34 44 54 60 67 77 ...

Nutzlast (kg) 1.000 1.600 2.500 3.150 4.000 5.000 ...

Bruchlast (kg) 4.000 6.400 10.000 12.600 16.000 20.000 ...

Gewicht pro Meter (kg) 2,45 4,10 6,25 7,80 9,85 11,25 ...

Zahl der Glieder pro Kettenstück x 9 9 9 9 7 7 ...

Die genannten Rundstahlketten werden aus Stangenmaterial gefertigt. Dieses wird durch Scheren abgelängt, im Anschluß werden die Abschnitte bei etwa 700oC zu Kettengliedern gebogen und elektrisch verschweißt. Abschließend wird zur Härtung der Kette noch eine Wärmebehandlung vorgenommen. Das Fortschrittszahlenkonzept soll für die Einsteuerung des Stangenmaterials aus dem Materiallager genutzt werden. Auf Grundlage der vorliegenden Kundenaufträge (Planungshorizont: 20 Betriebskalendertage (BKT)) wurden folgende Primärbedarfe ermittelt: BKT 13 14 15 16 17 18 19 20

64

Variante 20/70/67 80 50 75 40 90 120 50 60

Das Fertigungssystem wurde in vier Kontrollblöcke (KBL) unterteilt; die Blockverschiebezeiten und Produktionskoeffizienten sind der Tabelle zu entnehmen:

KBL 4 3 2 1

Beschreibung Materiallager Ablängen / Biegen Schweißen Wärmebehandlung

Blockverschiebezeit 2 BKT 1 BKT 4 BKT

Produktionskoeffizienten 0,1 50 1 1

a) Stellen Sie den Produktionsfluß durch die Kontrollblöcke vom Materiallager bis zur Fertigstellung schematisch dar. Hinweis: Die Blockverschiebezeit (Zeitspanne zwischen Input und Output eines Kontrollblocks) ist identisch mit der mittleren Durchlaufzeit dieser Leistungsstelle. b) Ermitteln Sie für die Variante 20/70/67 die Soll-Fortschrittszahlen für die Einsteuerung aus dem Materiallager.

Strukturierungsmethode

42. Fortschrittszahlen-Konzept (Soll-Ist-Abgleich)

Sie haben an einer Fertigungsstelle über einen Zeitraum von 10 Wochen die Menge der eingehenden Aufträge sowie die der abgearbeiteten Aufträge protokolliert:

Woche 1 eingehende 200 Aufträge abgearbeitete 0 Aufträge

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

200

300

250

200

200

100

200

200

100

100

200

250

250

150

200

250

250

a) Stellen Sie anhand eines Fortschrittszahlendiagramms die Eingangs- und die Ausgangsfortschrittszahl dar. Kennzeichnen Sie im Diagramm exemplarisch die mittlere Durchlaufzeit (MDZ) sowie den mittleren Auftragsbestand (MAB) einer Fertigungswoche. b) Berechnen Sie den mittleren Auftragsbestand in der dritten und vierten Fertigungswoche.

65

43. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe

Algorithmus

Eine Werkstatt verfügt über drei Arbeitsplätze X, Y, Z mit den folgenden Daten: Arbeitsplatz- Arbeitsplatz- Betriebsmittel- Effektive Kapazität Bezeichnung plankapazität verfügbarkeit [Mh/Woche] [Mh/Woche] X 90 100 % 90 Y 80 75 % 60 Z 100 90 % 90

Benötigte Qualifikation

Anzahl Bediener

Zerspaner Schweißer Hilfsarbeiter

3 2 3

Die Arbeit wird in Schichten erbracht, wobei pro Schicht jeweils an allen Arbeitsplätzen die gleiche Arbeitsleistung in Mh bereitgestellt wird (die letzten Schichten einer Woche können auf Arbeitsplatz Y zur Zeit nicht besetzt werden). Es ist davon auszugehen, daß bis zum Ende der ersten Planwoche fünf von acht vorliegenden Fertigungsaufträgen, bei denen es sich allesamt um Bestellungen eines wichtigen Stammkunden handelt, vollständig abgeschlossen werden können. Auf Grund unzureichender Kapazitäten müssen jedoch die drei nachfolgend aufgeführten Aufträge auf den Beginn der zweiten Planwoche verschoben werden. Da die Geschäftsleitung die Befürchtung hegt, umfangreiche Folgeaufträge zu verlieren, wurde der Belieferung dieses Kunden absolute Priorität eingeräumt: AuftragsBelastung auf Arbeitsplatz bezeichnung X Y Z A 20 50 30 B 40 30 20 C 30 40 40

Arbeitsplatzfolge X-Y-Z Y-Z-X Z-X-Y

Termin Bemerkung Planbeginn 0,6 ĺ 1,0 0,8 ĺ 1,1 0,9 ĺ 1,2

Priorität 1 Priorität 1 Priorität 1

Zum Ende der ersten Planwoche gehen sieben weitere Fertigungsaufträge ein. Auf Grundlage der mit den Kunden vereinbarten Auslieferungszeitpunkte konnten die Termine für den Beginn der jeweiligen Aufträge bereits festgelegt werden: Belastung auf Arbeitsplatz Auftragsbezeichnung X Y Z D E F G H I J

40 20 80 35 50 20 -

30 60 20 10 50 40 10

20 50 40 45 70 10 30

Arbeitsplatzfolge Z-X-Y X-Z-Y Y-Z-X X-Y-Z X-Y-Z Y-Z-X Y-Z

Termin Bemerkung Planbeginn 1,5 1,3 1,9 3,1 1,8 2,6 1,6

-

Als Einlastungsprozentsatz (EPS) sollen für die Arbeitsplatz X, Y und Z die Werte EPSX=150%, EPSY=150%, EPSZ=200% angenommen werden. Der Vorgriffshorizont beträgt zwei Wochen.

66

a) Nehmen Sie eine belastungsorientierte Auftragsfreigabe (BOA) für die zweite Arbeitswoche vor. b) Führen Sie auf der Grundlage der freigegebenen Aufträge eine Reihenfolgenplanung für die zweite Arbeitswoche durch. Nehmen Sie hierzu zunächst eine Zuweisung der Aufträge zu den Arbeitsplätzen gemäß der FCFSRegel vor und priorisieren Sie diese dann – falls für einen Arbeitsplatz mehrere Aufträge gleichzeitig bereitstehen – gemäß des frühesten Planbeginntermins. Visualisieren Sie die Ablaufplanung anhand eines Gantt-Diagramms. c) Bis zum Ende der zweiten Arbeitswoche konnten keine weiteren Aufträge akquiriert werden. Führen Sie die Reihenfolgenplanung aus Teilaufgabe b) für die dritte Arbeitswoche fort. Beachten Sie hierbei, daß durch die Vorlaufverschiebung zusätzlich die Aufträge D und J freigegeben werden konnten. d) Erläutern Sie den Ansatz der belastungsorientierten Auftragsfreigabe. Ordnen Sie diesen hierzu konzeptionell ein und gehen Sie auf Zielsetzung, Vorgehensweise bei der Anwendung sowie Vor- und Nachteile ein. Wie beurteilen Sie vor dem Hintergrund dieses Ansatzes die in dieser Aufgabe geschilderte Kapazitätssituation?

44. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe (W11)

Algorithmus

Die Profiteil GmbH hat sich auf die Herstellung kundenindividuell gefertigter Feinschneidteile spezialisiert. Es stehen drei Arbeitsplätze X, Y, Z zur Verfügung, an denen die Teile zugeschnitten und entgratet sowie oberflächen- und gegebenenfalls auch wärmebehandelt werden können. Die Fertigung erfolgt im Drei-Schicht-Betrieb; die Arbeitsplätze können unter Berücksichtigung der regelmäßig durchzuführenden Wartungsarbeiten jeweils 120 Stunden pro Woche genutzt werden. In der ersten Arbeitswoche nach den Werksferien stehen die folgenden Aufträge zur Bearbeitung an. Auf Grundlage der mit den Kunden vereinbarten Auslieferungszeitpunkte konnten die Termine für den Beginn der jeweiligen Aufträge bereits festgelegt werden: Belastung auf Arbeitsplatz Auftragsbezeichnung X Y Z A 80 60 30 B 15 50 55 C 45 40 60 D 10 25 E 70 60 30 F 30 40 G 30 50 H 75 30 45

Arbeitsplatz- Termin folge Planbeginn X-Z-Y Z-Y-X Y-Z-X Z-Y X-Y-Z Y-X Z-X X-Y-Z

1,5 0,3 0,7 2,1 0,2 1,7 1,1 2,5

67

Zum Ende der ersten Arbeitswoche gehen vier weitere Fertigungsaufträge ein: Belastung auf Arbeitsplatz Auftragsbezeichnung X Y Z I 20 15 45 J 75 70 K 10 15 30 L 40 15 90

Arbeitsplatz- Termin folge Planbeginn X-Z-Y Z-Y X-Z-Y X-Y-Z

1,3 2,7 2,4 1,8

Zu Abschluß der zweiten Arbeitswoche können noch die folgenden Aufträge akquiriert werden: AuftragsBelastung auf Arbeitsplatz bezeichnung X Y Z M 60 60 45 N 15 30 30 O 30 15 60 P 30 60 15 Q 20 20 90

Arbeitsplatz- Termin folge Planbeginn X-Y-Z Z-X-Y X-Z-Y Y-Z-X Y-X-Z

3,2 2,9 3,1 2,6 4,7

Als Einlastungsprozentsatz (EPS) sollen für die Arbeitsplätze X, Y und Z die Werte EPSX=150%, EPSY=150%, EPSZ=200% angenommen werden. Der Vorgriffshorizont beträgt zwei Wochen. Es soll angenommen werden, daß Fertigungsaufträge, die auf einem bestimmten Arbeitsplatz eingelastet wurden, generell nicht unterbrochen werden bzw. diesen bis zu ihrer Fertigstellung belegen. a) Nehmen Sie eine belastungsorientierte Auftragsfreigabe (BOA) für die erste Planwoche vor. b) Führen Sie auf der Grundlage der freigegebenen Aufträge eine Reihenfolgenplanung für die erste Arbeitswoche durch. Nehmen Sie hierzu zunächst eine Zuweisung der Aufträge zu den Arbeitsplätzen gemäß der FCFSRegel vor und priorisieren Sie diese dann – falls für einen Arbeitsplatz mehrere Aufträge gleichzeitig bereitstehen – gemäß des frühesten Planbeginntermins. Visualisieren Sie die Ablaufplanung der ersten Arbeitswochen anhand eines Gantt-Diagramms. c) Setzen Sie die Reihenfolgenplanung aus Teilaufgabe b) für die zweite und dritte Arbeitswoche unter Berücksichtigung der Vorlaufverschiebung fort und visualisieren Sie diese anhand eines Gantt-Diagramms. Beachten Sie, daß es im Rahmen der Vorlaufverschiebung zum einen, entsprechend der Planbeginntermine hinzukommender Aufträge zu Änderungen der bestehenden Priorisierungen kommen kann, zum anderen daß bei der belastungsorientierten Auftragsfreigabe der Fortschritt beim Durchlaufen der Arbeitsplatzfolge sowie die Restbelastung auf den jeweiligen Arbeitsplätzen zu berücksichtigen ist.

68

Strukturierungsmethode

45. Input-Output-Control

In einem Zulieferunternehmen der Automobilindustrie wurden zum Ende der 12. Kalenderwoche (KW) die geplanten Auftragszugänge bzw. -abgänge (in Arbeitsstunden) für die kommenden acht Wochen erfaßt: Ende der Woche geplanter Zugang geplanter Abgang

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-

160

235

355

295

160

140

235

225

-

220

170

260

220

250

185

190

265

Der Auftragsbestand zum Ende der 12. KW betrug 450 Arbeitsstunden. a) Erstellen Sie einen vollständigen Input-Output-Plan. Ermitteln Sie hierzu den geplanten Bestand sowie die geplante mittlere Durchlaufzeit (DLZ) für den angegebenen Betrachtungszeitraum. b) Erläutern Sie (kurz) das Konzept des Input-Output-Control.

46. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Heller und Logemann)

Heuristik

In einem kleinen metallverarbeitenden Betrieb mit Werkstattfertigung stehen vier Aufträge zur Bearbeitung auf drei verschiedenen Maschinen X, Y und Z an. Auf Grund fertigungstechnischer Gegebenheiten ist die Reihenfolge, in der die Aufträge die Maschinen durchlaufen können, fest vorgegeben. Die erforderlichen Bearbeitungszeiten (in ZE) bzw. die zugehörigen Maschinenfolgen sind wie folgt gegeben: Bearbeitungszeit-Matrix X

Y

Z

Auftrag 1

8

3

2

Auftrag 2

2

1

Auftrag 3

3

Auftrag 4

3

Maschinenfolge-Matrix X

Y

Z

Auftrag 1

2

1

3

4

Auftrag 2

1

3

2

5

3

Auftrag 3

2

1

3

3

5

Auftrag 4

1

3

2

69

a) Ermitteln Sie einen zulässigen Maschinenbelegungsplan. Wenden Sie hierfür das Verfahren von Heller und Logemann an und erläutern Sie (kurz) Ihre Vorgehensweise. b) Stellen Sie den Belegungsplan in einem Gantt-Diagramm dar und ermitteln Sie die Zykluszeit. c) Beziehen Sie (kurz) Stellung zu der folgenden Aussage: „Das Verfahren von Heller und Logemann ist generell geeignet, einen aktiven Maschinenbelegungsplan mit minimaler Zykluszeit zu ermitteln.“

47. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop

Heuristik

In einer Schreinerei stehen vier Aufträge zur Bearbeitung auf drei Maschinen an. Die Bearbeitungszeiten (in ZE) bzw. die Reihenfolge, in der die Aufträge die Maschinen jeweils durchlaufen müssen, sind wie folgt gegeben:

Bearbeitungszeit-Matrix X

Y

Z

Auftrag 1

2

1

8

Auftrag 2

3

7

Auftrag 3

4

Auftrag 4

9

Maschinenfolge-Matrix X

Y

Z

Auftrag 1

1

2

3

3

Auftrag 2

2

3

1

5

4

Auftrag 3

2

3

1

3

6

Auftrag 4

3

1

2

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der KOZ-Regel einen zulässigen Maschinenbelegungsplan und stellen Sie diesen in einem Gantt-Diagramm dar. Geben Sie die Durchlauf-, Warte- und Leerzeiten sowie die mittlere Durchlaufzeit und die Zykluszeit an. b) Für die Aufträge 1-4 sind nun die folgenden Liefertermine unter allen Umständen einzuhalten. Eine Auslieferung ist unmittelbar nach der Fertigstellung eines Auftrags möglich. (Fortsetzung der Aufgabenstellung auf der folgenden Seite.)

70

Auftrag

spätester Liefertermin im Zeitpunkt T

2

T = 14

4

T = 18

3

T = 28

1

T = 32

Ermitteln Sie einen zulässigen Maschinenbelegungsplan nach der FLT-Regel und visualisieren Sie diesen mit Hilfe eines Gantt-Diagramms. Vergleichen Sie Ihre Lösung mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a). c) Wie läßt sich der Belegungsplan aus Teilaufgabe b) im Hinblick auf die bestehenden Leerzeiten verbessern, wenn eine Verzögerung des spätesten Liefertermins um eine weitere ZE toleriert werden kann?

48. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Akers) (W12)

Algorithmus

In einer kleinen Schlosserei wurden zwei Aufträge zur Bearbeitung freigegeben, die jeweils vier Maschinen in einer bestimmten Reihenfolge durchlaufen müssen. Für Auftrag 1 ist die Bearbeitungsfolge A ĺ B ĺ C ĺ D einzuhalten, Auftrag 2 muß die Aggregate in der Folge B ĺ A ĺ C ĺ D durchlaufen. Die Bearbeitungszeiten der Aufträge sind der nachstehenden Tabelle zu entnehmen:

A

B

C

D

Auftrag 1

5

3

3

5

Auftrag 2

3

2

4

2

a) Ermitteln Sie mit Hilfe des graphischen Verfahrens von Akers den Maschinenbelegungsplan mit minimaler Zykluszeit. b) Stellen Sie den Maschinenbelegungsplan aus Teilaufgabe a) in einem GanttDiagramm dar und geben Sie die Durchlauf- und Wartezeiten der Aufträge an.

71

49. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Akers)

Algorithmus

In einer Spenglerei stehen zwei Aufträge jeweils zur Bearbeitung auf sechs verschiedenen Maschinen an. Auftrag 1 erfordert eine Bearbeitung in der Reihenfolge B ĺ A ĺ C ĺ E ĺ D ĺ F, für Auftrag 2 ist die Bearbeitungsfolge D ĺ A ĺ E ĺ C ĺ F ĺ B einzuhalten. Die erforderlichen Bearbeitungszeiten sind der nachstehenden Tabelle zu entnehmen: A

B

C

D

E

F

Auftrag 1

2

2

3

1

2

2

Auftrag 2

2

2

3

2

2

2

a) Erläutern Sie (kurz) das Verfahren von Akers. b) Ermitteln Sie mit Hilfe des graphischen Verfahrens von Akers den Maschinenbelegungsplan mit minimaler Zykluszeit. Stellen Sie zur Systematisierung aller aktiven Belegungspläne einen gerichteten Graphen auf. c) Stellen Sie die Maschinen- sowie die Auftragsfolge für die Lösung aus Teilaufgabe b) jeweils in einem Gantt-Diagramm dar und geben Sie die Durchlauf- und Wartezeiten der Aufträge an.

72

5.3 Zeit- und qualitätsbezogene Prozeßgestaltung Einführung in die Netzplantechnik

Bereits im 2. Weltkrieg wurden zur Planung, Steuerung und Kontrolle von militärischen Aktionen und Abläufen graphische Vorgangsketten formuliert, mit deren Hilfe unter anderem die Zeitkritizität von militärischen Maßnahmen unterfüttert wurde. Auch heute spielen Netzpläne in der militärischen Planung eine große Rolle. So wurden zum Beispiel die Maßnahmen im Rahmen der Operation "Desert Shield" und "Desert Storm" in den Jahren 1991/1992 zur Befreiung Kuwaits mit umfangreichen Netzplänen unterstützt. Die "Air Tasking Order" für die Flugoperationen des "Instant Thunder" der US-amerikanischen Luftwaffe als Teil der Vorbereitungen für "Desert Storm" Ende 1991 ist als elektronischer, computergestützter und -analysierter Netzplan interpretierbar. Damit wurde sichergestellt, daß trotz der Vielzahl von US-amerikanischen Flugeinsätzen zur Schwächung der irakischen Luftwaffe und Luftabwehr zeitlich möglichst eng "bepackte" Slots unter optimaler Ausnutzung aller Kapazitätsreserven der US Air Force eingesetzt werden konnten. In Anlehnung an die Deutsche Industrienorm DIN 69900-1 werden alle Verfahren, die zur Analyse, Beschreibung, Planung, Steuerung und Kontrolle von Abläufen und Vorgängen auf graphentheoretischer Grundlage dienen, als Netzplan verstanden. Die im produktionswirtschaftlichen Kontext am weitesten verbreitete Form ist der Vorgangsknoten-Netzplan. Die jeweiligen Vorgänge – dargestellt in Form von Knoten – werden durch Pfeile verbunden, die die Restriktionen zwischen diesen angeben. Vorgangsknoten-Netzpläne werden anhand der Metra-Potenzial-Methode (MPM) berechnet. Die MPM wurde erstmals 1958 beim Bau des Kreuzfahrtschiffs "Le France" eingesetzt. Die einzelnen zu beplanenden Vorgänge werden graphisch als Rechteck dargestellt und sprachlich als Knoten bezeichnet. Ein Knoten kann beispielsweise die folgenden Informationen enthalten:

Nr.

FAZ

SAZ

D

FEZ

SEZ

GP

FP

UP

Nr. = Nummer des Vorgangs D = Dauer eines Vorgangs FAZ / FEZ = frühestmögliche Anfangs-/Endzeit SAZ / SEZ = spätestmögliche Anfangs-/Endzeit GP = Gesamtpufferzeit FP = Freie Pufferzeit UP = Unabhängige Pufferzeit

73

Bei der Erstellung eines Vorgangsknoten-Netzplanes ist die folgende Vorgehensweise zweckmäßig: Zunächst erfolgt eine Strukturanalyse; Hierzu werden alle zur Durchführung des Projekts erforderlichen Vorgänge (Arbeitsgänge, Tätigkeiten oder Aktivitäten) erfaßt und in ihrer zeitlich-logischen Abfolge näher bestimmt. Diese werden tabellarisch in einer Vorgangsliste aufgeführt. Vorgangsliste lfd. Vorgangsbezeichnung Nr. 1 Vorlesungsmitschrift besorgen 2 Vorlesungsmitschrift kopieren 3 Kaffee kochen 4 Kaffee trinken 5 Klausur vorbereiten

lfd. Nr. Vorgänger 1 1 2,3 2

Dauer in Minuten 45 30 10 30 180

Im Anschluß an die Strukturanalyse wird der Netzplan aufgestellt. Dabei sind einige grundlegende Regeln zu beachten: Der erste Vorgang beginnt mit der frühesten Anfangszeit (FAZ) von „0“ und endet mit der frühesten Endzeit (FEZ) in Höhe der Vorgangsdauer (D). Alle Vorgänge laufen chronologisch ab, die Ablaufrichtung wird durch Pfeile vorgegeben; Iterationen sind dabei nicht möglich. Ein nachfolgender Vorgang kann erst beginnen, wenn alle diesem vorangehenden Vorgänge abgeschlossen sind. Im Rahmen der Zeitanalyse erfolgt zunächst eine Vorwärtsterminierung, d.h. ausgehend vom ersten Vorgang werden jeweils die FAZ sowie die FEZ aller nachfolgenden Vorgänge ermittelt. Dabei entspricht die FEZ eines Vorgangs gleichzeitig der FAZ aller Nachfolger. Besitzt ein Vorgang mehr als einen Vorgänger, so entspricht die FAZ des Vorgangs der jeweils spätesten FEZ bei Betrachtung aller Vorgänger. Bsp.: Vorwärtsterminierung:

74

2

10

20

30

1

0

4

30

10

10

5

35

3

10

15

25

Nach Abschluß der Vorwärtsterminierung erfolgt ausgehend vom letzten Vorgang die Rückwärtsterminierung, d.h. es wird für jeden Vorgang die SAZ = SEZ – D ermittelt. Die SEZ aller (bei Betrachtung entgegen der Pfeilrichtung!) „nachfolgenden“ Vorgänge entspricht dabei der SAZ des „Vorgängers“. Für den Fall, daß ein „nachfolgender“ Vorgang mehrere „Vorgänger“ besitzt, entspricht die SEZ dieses Vorgangs der jeweils frühesten bzw. kleinsten SAZ aller Vorgänger. Bsp.: Rückwärtsterminierung:

1

0

0

10

10

10

2

10

10

20

30

30

3

10

15

15

25

30

4

30

30

5

35

30

Das Ziel der Zeitanalyse besteht in der Identifizierung (zeit)kritischer Vorgänge. Ein Vorgang wird dann als kritisch bezeichnet, wenn er keine Zeitreserve, d.h. keinen „Puffer“ besitzt, so daß eine Verzögerung zu einer Verschiebung des Projektendes führt. Wird gemäß obiger Vorgehensweise eine Vorwärts- bzw. Rückwärtsterminierung durchgeführt, so ergibt sich grundsätzlich eine Kette kritischer Vorgänge mit einer Gesamtpufferzeit von „Null“, die sich durch das gesamte Projekt zieht. Diese wird als „kritischer Pfad“ bezeichnet. Der „kritische Pfad“ stellt grundständig den zeitlich längsten Weg durch das Projekt dar. Nach Durchführung von Vorwärts-/Rückwärtsterminierung sind nun die Pufferzeiten zu ermitteln. Man unterscheidet zwischen der Gesamtpufferzeit (GP), der freien Pufferzeit (FP) oder der unabhängigen Pufferzeit (UP). Die Gesamtpufferzeit gibt an, um wieviel ein Vorgang sich verschieben läßt bzw. maximal verzögert werden kann, ohne daß sich das Projektende verschieben würde. Insofern der Netzplan zeitkonsistent aufgestellt wurde, gilt generell GP t 0. Die Gesamtpufferzeit errechnet sich als Differenz zwischen spätestmöglicher und frühestmöglicher Anfangszeit (bzw. Endzeit) eines Vorgangs. Für einen beliebigen Vorgang B gilt also: GPB = SAZB – FAZB = SEZB – FEZB Die freie Pufferzeit stellt die Zeitdifferenz dar, um die ein Vorgang nach hinten verschoben werden kann, ohne daß dadurch die FAZ des Nachfolgers verzögert wird (unter der Annahme, daß alle vorhergehenden Vorgänge zum frühestmöglichen Zeitpunkt beginnen). Gegeben sei die Menge NB aller unmittelbaren Nachfolger des Vorgangs B und es gelte c ɽ NB. So gilt allgemein: FPB = min C ɽ NB {FAZC – FEZB}

75

Die unabhängige Pufferzeit ist diejenige Zeit, um die ein Vorgang noch verschoben werden kann, wenn alle vorangehenden Vorgänge zum spätestmöglichen Zeitpunkt enden und alle nachfolgenden zum frühestmöglichen Zeitpunkt beginnen. Es gelte obige Konvention; zusätzlich sei gegeben die Menge VB aller Vorgänger des Vorgangs B und es gelte A ɽ VB. „DB“ bezeichne hier die Dauer des Vorgangs B. Dann gilt allgemein: UPB = min C ɽ NB {FAZC} – max A ɽ VB {SAZA} - DB

SAZ A

FAZ B

FAZ A

Vorgang A

FEZ B

SEZ A

FEZ A

GP (A)

Vorgang B

76

UP (B)

FAZ C

FEZ C

Vorgang C

Vorgang B

GP (A)

SEZ C

SEZ B

SAZ B

Vorgang A

SAZ C

FP (B)

Vorgang C

Strukturierungsmethode (Graph)

50. Netzplantechnik (MPM)

Sie werden mit der Planung eines Entwicklungsprojektes beauftragt. Das Projekt umfaßt neun Schritte bzw. Vorgänge A-I, deren Dauer (in Tagen) jeweils nachfolgend in Klammern angegeben ist: An den Vorgang A (10) schließen sich unmittelbar die Vorgänge B (25), C (8) und D (12) an. Der Projektschritt F (24) folgt dabei C nach, mit G (26) kann nach Fertigstellung von D begonnen werden. Mit dem Vorgang H (10) wiederum kann erst begonnen werden, wenn F und G vollständig abgeschlossen wurden. Voraussetzung für den letzten Projektabschnitt I (22) ist die erfolgreiche Durchführung von E (21) und H, vor Beginn von E muß der Vorgang B fertiggestellt werden.

a) Erstellen Sie auf Grundlage der vorliegenden Informationen einen Netzplan gemäß dem nachfolgenden (vereinfachten) Schema und kennzeichnen Sie den kritischen Pfad. Nr. = Nummer des Vorgangs D = Dauer eines Vorgangs FAZ / FEZ = frühestmögliche Anfangs-/Endzeit SAZ / SEZ = spätestmögliche Anfangs-/Endzeit GP = Gesamtpufferzeit

Nr.

FAZ SAZ

D

FEZ

GP SEZ

b) Welche Auswirkungen entstehen, wenn sich Vorgang E um 1 Tag verzögert (kurze verbale Beschreibung)? c) Wie wirkt sich eine Verlängerung der Dauer des Vorgangs F um 7 Tage auf den Fertigstellungstermin des Projektes und die anderen Projektschritte aus?

51. Arbeitsfolgeprojektierung (MPM)

Strukturierungsmethode (Graph)

Sie sind Mitarbeiter eines mittelständischen Dienstleistungsunternehmens. Ihr Chef beauftragt Sie mit der Planung eines wichtigen Projektes für einen Großkunden. Die Gesamtprojektdauer darf 90 Tage nicht übersteigen, andernfalls wird eine Konventionalstrafe in Höhe von 30.000 € fällig. Es ist jedoch davon auszugehen, daß die Durchführung des Projektes auch im Falle einer Zahlung der Strafe profitabel ist. Sie haben sich bereits Gedanken über die erforderliche Abfolge und Dauer der erforderlichen Schritte gemacht und diese so weit wie möglich parallelisiert.

77

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 x

3 x

4 x

5

6

7

8

x x x x x

9

10 11 12 Dauer 20 10 15 5 18 x 26 x 29 x 16 x 27 x 55 x 7 11

Die Zeilen geben die Projektvorgänge mit der zugehörigen Dauer in Wochen an, in den Spalten sind die jeweils nachfolgenden Schritte angegeben. Mit einem nachfolgenden Schritt kann erst begonnen werden, wenn alle vorhergehenden Vorgänge abgeschlossen sind. a) Ihr Chef bittet Sie um eine logisch-zeitlich strukturierte Darstellung des Projektes. Erstellen Sie hierzu einen Netzplan, der die folgenden Angaben enthält: Nr.

FAZ

SAZ

D

FEZ

SEZ

GP

FP

UP

Nr. = Nummer des Projektes D = Dauer eines Vorgangs FAZ / FEZ = frühestmögliche Anfangs-/Endzeit SAZ / SEZ = spätestmögliche Anfangs-/Endzeit GP = Gesamtpufferzeit FP = freie Pufferzeit UP = unabhängige Pufferzeit

b) Es bestehe nun trotz fortgeschrittener Planung noch die Möglichkeit, durch personelle Maßnahmen eine gezielte Be- oder Entschleunigung einzelner Schritte des Projektes vorzunehmen (siehe nachfolgende Tabelle). Eine Verkürzung von Abläufen durch eine Zuteilung weiterer Mitarbeiter ist mit zusätzlichen Kosten verbunden. Fernerhin können auch Mitarbeiter aus dem Projekt abgezogen und anderweitig wertschöpfend eingesetzt werden, was dementsprechend eine Kostensenkung zur Folge hat. Zu beachten ist dabei, daß in diesem Planungsstadium pro Änderung eines Projektschrittes pauschale Umplanungskosten in Höhe von 1.000 € zu veranschlagen sind. Diese fallen für die zeitliche Verlagerung eines Vorgangs und aller betroffener Nachfolgevorgänge an. Fernerhin muß berücksichtigt werden, daß die Möglichkeit zur zeitlichen Einflußnahme auf Grund der Modalitäten hinsichtlich der Mitarbeiterzuteilung zu den Projekten nur „digital“, d.h. entweder vollumfänglich oder gar nicht genutzt werden kann. Optimieren Sie den Netzplan im Hinblick auf Kosten und Kapazitätsauslastung unter Berücksichtigung (der monetären Auswirkungen) terminlicher Gefahren. Entwickeln Sie hierzu für den vorliegenden Fall eine geeignete Heuristik. (Fortsetzung der Aufgabenstellung auf der folgenden Seite.)

78

Änderung der Kosten Projekt- Möglichkeit zur schritte zeitlichen Beeinflussung in € pro Woche (Personal) (in Wochen) 3 -2 + 2.500 5 -3 + 2.000 7 -4 + 2.500 11 -3 + 3.000 12 -2 + 2.500 2 +2 - 1.000 8 +3 - 1.000 10 +3 - 2.000

52. Deckungsbeitragsrechnung bei Fehlertoleranzen in der Fertigung

Statistik / Stochastik

Die Elektroflop GmbH fertigt auftragsbezogen Leiterplatten in verschiedenen Ausführungen. Die hierzu erforderlichen Produktionsdaten für die verschiedenen Layer (Schichten) werden im Regelfall jeweils direkt vom Kunden zur Verfügung gestellt. Hinsichtlich der Einhaltung von Fertigungstoleranzen für Freimaße sichert das Unternehmen die Erfüllung der Vorgaben nach DIN 7168 mit dem Genauigkeitsgrad „mittel“ zu. Nennmaßbereich der Freimaße (in mm) Über 0,5 Über 3 Über 6 Über 30 Genauigkeitsgrad bis 3 bis 6 bis 30 bis 120 fein + 0,05 + 0,05 + 0,1 + 0,15 mittel + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,3 grob + 0,2 + 0,5 + 0,8

Über 120 bis 315 + 0,2 + 0,5 + 1,2

Es ist bekannt, daß bei der Fertigung mit Nennmaßen der avisierten Länge P i mit P i  [0,5;6,0] für die tatsächliche Länge Li die Verteilung Li ~ N ( P i ;0,2) gilt. (Verteilungsfunktionen sind am Ende dieses Kapitels tabelliert.) a) Wieviel Prozent Ausschuß sind zu erwarten, wenn eine Serie mit Freimaßen im Bereich von 0,5mm–6mm gefertigt wird? b) Die Auflagengröße eines Fertigungsloses betrage 10.000 Stück. Bei Einhaltung des Genauigkeitsgrades „fein“ kann ein Absatzpreis von 5 € pro Stück erzielt werden; bei einem mittleren Genauigkeitsgrad sind es 4 € pro Stück, der Rest ist als Ausschuß zu behandeln. Die Stückkosten (einschließlich Prüfkosten und sonstiger Kostenbestandteile) betragen 2 €. (Die Teile werden im Anschluß an die Fertigung in „Qualitätsklassen“ eingeteilt). Wie hoch ist der erwartete Deckungsbeitrag? 79

53. Fehlertoleranzen in der Fertigung (einseitiger Test)

Statistik / Stochastik

Die Kasper GmbH fertigt Doseneintöpfe nach einem alten Familienrezept. Das durchschnittliche Füllgewicht einer Dose wird mit 540g ausgewiesen. Das Unternehmen wirbt mit dem Slogan „Kasper-Suppen: Volle Dosen für Suppenfreunde“. Da fertigungsbedingte Toleranzen der Abfüllmenge nicht ausgeschlossen werden können, wird anhand von Stichproben regelmäßig das Gewicht der Doseninhalte kontrolliert. Obwohl es grundsätzlich ausreichend wäre, das ausgewiesene Soll-Gewicht der Füllung im Mittelwert einzuhalten, wird aus unternehmenspolitischen Gründen eine Füllung von etwa 545g pro Dose avisiert. Die letzte Stichprobe (n = 30) ergab eine mittlere Füllmenge in Höhe von x 543,8 g bei einer Standardabweichung von sˆ 4,4 . (Gehen Sie davon aus, daß es sich bei dem Füllgewicht um eine stochastisch unabhängige identisch verteilte Zufallsvariable handelt. Verteilungsfunktionen sind am Ende dieses Kapitels tabelliert).

a) Überprüfen Sie, ob die Stichprobe Anlaß zur Besorgnis bietet, daß der Zielwert von durchschnittlich 545g pro Dose signifikant unterschritten wird (Signifikanzniveau: Į = 0,05). b) Bestimmen Sie auf dem Signifikanzniveau Į = 0,05 ein empirisches Konfidenzintervall für die mittlere Füllmenge.

54. Fehlertoleranzen in der Fertigung (zweiseitiger Test)

Statistik / Stochastik

Sie absolvieren ein Praktikum in einem mittelständischen Druckereibetrieb. Zu Beginn der Schicht erhalten Sie den Auftrag zu überprüfen, ob eine Tiefdruckmaschine noch korrekt justiert ist. Sie entnehmen hierzu bei Anlaufen der Maschine eine Stichprobe von 15 Druckerzeugnissen und messen mit Hilfe einer Schablone, ob sich eine Verschiebung der Seitenränder zu einem zentrierten Referenzpunkt feststellen läßt. Sie ermitteln hierbei die folgenden Abstände (in mm): [1,2 / 3,0 / 3,0 / -0,6 / -0,1 / 1,3 / 2,7 / 1,1 / 3,0 / 0,5 / 2,1 / 0,8 / 1,9 / 1,3 / -0,2]. Die Varianz dieser beobachteten Abweichungen liegt eindeutig innerhalb des sonst üblichen Toleranzbereiches; Sie sind sich jedoch nicht sicher, ob die Abweichung des Stichprobenmittels ein Ergebnis stochastischer Zufallsschwankungen darstellt oder darauf hindeutet, daß die Maschine neu eingestellt werden muß. (Es ist davon auszugehen, daß die auftretenden Abweichungen normalverteilt sind. Verteilungsfunktionen sind am Ende dieses Kapitels tabelliert). Testen Sie zum Signifikanzniveau Į = 0,05, ob man annehmen kann, daß die Maschine noch korrekt justiert ist. (Berechnen Sie hierzu zunächst Varianz und den Mittelwert in der Stichprobe).

80

Tabellen der Standardnormalverteilung und der t-Verteilung

Standardnormalverteilung Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion )( z ) z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987

1 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987

2 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987

3 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988

4 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988

5 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989

P( Z  z ) 6 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989

7 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989

8 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990

9 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990

81

Students t-Verteilung Tabelliert sind die Quantile tp;n N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 60 70 80 90 100

82

0,6 0,3249 0,2887 0,2767 0,2707 0,2672 0,2648 0,2632 0,2619 0,2610 0,2602 0,2596 0,2590 0,2586 0,2582 0,2579 0,2576 0,2573 0,2571 0,2569 0,2567 0,2566 0,2564 0,2563 0,2562 0,2561 0,2556 0,2550 0,2547 0,2545 0,2543 0,2542 0,2541 0,2540

0,8 1,3764 1,0607 0,9785 0,9410 0,9195 0,9057 0,8960 0,8889 0,8834 0,8791 0,8755 0,8726 0,8702 0,8681 0,8662 0,8647 0,8633 0,8620 0,8610 0,8600 0,8591 0,8583 0,8575 0,8569 0,8562 0,8538 0,8507 0,8489 0,8477 0,8468 0,8461 0,8456 0,8452

0,9 3,0777 1,8856 1,6377 1,5332 1,4759 1,4398 1,4149 1,3968 1,3830 1,3722 1,3634 1,3562 1,3502 1,3450 1,3406 1,3368 1,3334 1,3304 1,3277 1,3253 1,3232 1,3212 1,3195 1,3178 1,3163 1,3104 1,3031 1,2987 1,2958 1,2938 1,2922 1,2910 1,2901

0,95 6,3138 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,6973 1,6839 1,6759 1,6706 1,6669 1,6641 1,6620 1,6602

0,975 12,706 4,3027 3,1824 2,7764 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2010 2,1788 2,1604 2,1448 2,1314 2,1199 2,1098 2,1009 2,0930 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0423 2,0211 2,0086 2,0003 1,9944 1,9901 1,9867 1,9840

0,99 31,821 6,9646 4,5407 3,7469 3,3649 3,1427 2,9980 2,8965 2,8214 2,7638 2,7181 2,6810 2,6503 2,6245 2,6025 2,5835 2,5669 2,5524 2,5395 2,5280 2,5176 2,5083 2,4999 2,4922 2,4851 2,4573 2,4233 2,4033 2,3901 2,3808 2,3739 2,3685 2,3642

0,995 63,657 9,9248 5,8409 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,7969 2,7874 2,7500 2,7045 2,6778 2,6603 2,6479 2,6387 2,6316 2,6259

0,9990 318,31 22,327 10,215 7,1732 5,8934 5,2076 4,7853 4,5008 4,2968 4,1437 4,0247 3,9296 3,8520 3,7874 3,7328 3,6862 3,6458 3,6105 3,5794 3,5518 3,5272 3,5050 3,4850 3,4668 3,4502 3,3852 3,3069 3,2614 3,2317 3,2108 3,1953 3,1833 3,1737

0,9995 636,62 31,599 12,924 8,6103 6,8688 5,9588 5,4079 5,0413 4,7809 4,5869 4,4370 4,3178 4,2208 4,1405 4,0728 4,0150 3,9651 3,9216 3,8834 3,8495 3,8193 3,7921 3,7676 3,7454 3,7251 3,6460 3,5510 3,4960 3,4602 3,4350 3,4163 3,4019 3,3905

Kapitel 6 Produkt- und Programmanagement

83

6.1 Einführung

Viele (Konsumgüter-)Märkte sind dadurch gekennzeichnet, daß die Anbieter um die im Vergleich zum Produktangebot knappe Kaufkraft der Nachfrager konkurrieren. Mithin besitzen die Nachfrager die Nachfragemacht auf diesen Märkten. In einem derartigen Marktimpressario wird es für die Anbieter wichtig, sich möglichst genau auf die Wünsche und Erwartungsstrukturen der Nachfrager einzustellen. Aus strategisch-taktischer Sicht ist die Gestaltung des Produktionsprogramms also darauf ausgerichtet, die "richtigen" Produkte für die "richtigen" Konsumenten (aufbauend auf entsprechenden Marktsegmentierungen) hervorzubringen. Dies erfolgt unter Einbeziehung des Prozeßmanagements dann zweckmäßigerweise auch auf die "richtige" Art und Weise sowie - unter Einbeziehung des Faktormanagements - anhand der "richtigen" Produktionsfaktoren. In der operativen Sicht der Programmgestaltung dominiert demgegenüber die Produktionsprogrammoptimierung. Hier sind die Freiheitsgrade zur Identifizierung der "richtigen" Produkte entsprechend vom strategisch-taktischen "Ordnungsrahmen" vorgegeben. Die Frage nach der Produktion des "richtigen" Produkts definiert sich im operativen Kontext häufig in Anlehnung an die Frage des erzielbaren Deckungsbeitrags. Typischerweise wird der Gesamtdeckungsbeitrag in einem gewinnoptimalen Produktionsprogramm optimiert.

85

6.2 Operative Programmsteuerung und -optimierung

55. Optimale Produktionsprogrammplanung (absolute Deckungsbeiträge)

Algorithmus

Ein Unternehmer plant für die kommende Periode auf einer Universalmaschine sechs verschiedene Produkte zu fertigen.

Produkt

maximale Absatzmenge [ME]

Absatzpreis [€/ME]

1

1.200

90

50

2

2

800

130

105

2

3

1.100

165

55

2

4

1.400

170

40

2

5

1.300

110

60

2

6

1.000

160

70

2

Produktionsvariable intensität Stückkosten [ME/ZE] [€/ME]

Die nutzbare Kapazität der Universalmaschine ist auf 3.000 ZE pro Periode beschränkt. Die Maschine wurde in der Vorperiode zu 70% ausgelastet; die Nutzkosten betrugen dabei 39.200 €. Alle hergestellten Produkte können unter Sicherheit zu den angegebenen Preisen bis zur Höhe der jeweiligen Maximalmengen abgesetzt werden.

a) Bestimmen Sie das gewinnmaximale Produktions- bzw. Absatzprogramm sowie den zugehörigen Gesamtgewinn. b) Der Produktionsleiter weist Sie darauf hin, daß die Intensität, mit der die Universalmaschine betrieben wird, ökonomisch ineffizient ist. Er schlägt Ihnen vor, die Intensität von x =1,6 [ME/ZE] zu wählen. Damit ließe sich eine Senkung der variablen Stückkosten in Höhe von 20 % realisieren. Wie bewerten Sie diesen Vorschlag?

86

56. Optimale Produktionsprogrammplanung (relative Deckungsbeiträge)

Algorithmus

Ein Unternehmer plant für die kommende Periode auf einer Universalmaschine sechs verschiedene Produkte zu fertigen.

Produkt

maximale Absatzmenge [ME]

Absatzpreis [€/ME]

1

1.000

100

60

0,5

2

1.200

130

90

1

3

900

160

85

3

4

500

120

70

1

5

1.300

110

40

2

6

1.400

145

85

4

Produktionsvariable intensität Stückkosten [ME/ZE] [€/ME]

Die nutzbare Kapazität der Universalmaschine ist auf 2.500 [ZE] pro Periode beschränkt. Die Fixkosten betragen 50.000 €. Alle hergestellten Produkte können unter Sicherheit zu den angegebenen Preisen bis zur Höhe der jeweiligen Maximalmengen abgesetzt werden.

a) Bestimmen Sie das gewinnmaximale Produktions- bzw. Absatzprogramm sowie den zugehörigen Gesamtgewinn. b) Nehmen Sie an, daß das bestehende Programm für einen Planungszeitraum von fünf Perioden fortgeschrieben werden kann. Es bestehe nun die Möglichkeit zu Beginn der Periode 0 eine (einmalige, nicht reversible) Erweiterungsinvestition in Höhe von 200.000 € zu tätigen, so daß die nutzbare Kapazität (bis zum Ende der Periode 4) 5.000 [ZE] betrüge. Die Verkaufserlöse und Fixkosten sind jeweils in voller Höhe am Ende einer Periode zahlungswirksam. Ist es lohnend, diese Investition durchzuführen unter der Annahme, daß der Kalkulationszinsfuß 10 % pro Periode beträgt?

87

57. Optimale Produktionsprogrammplanung

(relative Deckungsbeitragsdifferenzen) (W13)

Algorithmus

Ein Unternehmen fertigt auf einer Universalmaschine derzeit fünf verschiedene Produkte. Das Unternehmen plant, sein bisheriges Sortiment nach Möglichkeit um drei weitere Produkte zu ergänzen, wodurch eine Modifikation des bisherigen Produktionsprogramms erforderlich wird. Die gegenwärtige Belegung der Universalmaschine, auf der auch die neuen Produkte gefertigt werden könnten, sieht folgendermaßen aus: Produktionsvariable intensität Stückkosten [ME/ZE] [€/ME]

Produkt

maximale Absatzmenge [ME]

Absatzpreis [€/ME]

1

400

180

120

2

2

1.000

220

180

4

3

1.500

250

175

3

4

700

165

45

4

5

1.400

150

100

2

Über die neuen Produkte liegen folgende Informationen vor: Produktionsvariable intensität Stückkosten [ME/ZE] [€/ME]

Produkt

maximale Absatzmenge [ME]

Absatzpreis [€/ME]

6

1.600

160

75

4

7

1.200

170

70

1

8

1.000

120

30

0,5

Die maximale Kapazität der Universalmaschine ist auf 2.700 ZE beschränkt. Bislang wurden Leerkosten in Höhe von 8.750 € verursacht. Zusätzlich zur Eigenfertigung hat das Unternehmen auf Grund von Marktveränderungen neuerdings nun auch die Möglichkeit, die Produkte 3, 4, 5 und 6 über einen Lieferanten zu beziehen. Die Kosten pro Stück betragen dabei 225 € für Produkt 3, für Produkt 4 und 5 jeweils 65 €, Produkt 6 kann zu 140 € bezogen werden. a) Bestimmen Sie das neue gewinnmaximale Produktions- und Absatzprogramm sowie den zugehörigen Gesamtgewinn. b) Erläutern Sie den Begriff der relativen Deckungsbeitragsdifferenzen. Interpretieren Sie das Ihnen für Produkt 5 vorliegende Ergebnis im Hinblick auf den Begriff der Opportunitätskosten.

88

58. Make or Buy-Entscheidung

Algorithmus

Sie arbeiten als interner Berater eines Hochtechnologieunternehmens aus der Luft- und Raumfahrtindustrie. Im Rahmen Ihrer Tätigkeit bereiten Sie insbesondere kostenrechnerische Zusammenhänge für die beiden Geschäftsführer dieses Unternehmens auf. Sie erhalten die folgenden Informationen:

Produkt

maximale Absatzmenge [ME]

Absatzpreis [€/ME]

I II III IV V

1.100 2.000 1.500 450 700

60 80 45 150 90

variable Stückkosten [€/ME] 20 50 15 100 75

Stückzeiten [ZE/ME] 0,25 3 0,5 2 0,5

a) Sie werden gebeten, mit Hilfe der untenstehenden Informationen das gewinnoptimale Produktionsprogramm zu ermitteln. Berechnen Sie auch den damit im Zusammenhang stehenden möglichen Gewinn. Berücksichtigen Sie Im Rahmen dieser Teilkostenüberlegungen, daß nur eine einzige Maschine zur Herstellung der fünf Produktarten zur Verfügung steht. Die für diese Maschine anfallenden Fixkosten belaufen sich auf 124.750 GE. Die Maschine ist maximalkapazitiv 6.250 ZE pro Jahr einsetzbar. b) Gehen Sie nun davon aus, daß Sie vor folgender Alternativentscheidung stehen: Bei Alternative A soll eine zweite Maschine angeschafft werden. Dadurch würden die insgesamt anfallenden Fixkosten (dann für beide Maschinen) auf 170.750 GE steigen. Die gesamt zur Verfügung stehende Kapazität würde dann 7.450 ZE pro Jahr betragen. Bei Alternative B würde lediglich ein Zukauf des Produkts II - zusätzlich zur bereits produzierten Menge – erfolgen. Von einem Wertschöpfungspartner könnten Sie entsprechend Ihrer Anforderungen zum Stückpreis von 80 GE/ME angeliefert werden. Welche der beiden Alternativen A oder B würden Sie unter der Voraussetzung der Gewinnoptimierung auf Grundlage der angegebenen Informationen auswählen und warum?

59. Make or Buy-Entscheidung

Algorithmus

Für die Herstellung von Reifen wurde von der Pulnod AG eine Universalmaschine angeschafft, die in der kommenden Periode 2.400 Stunden zur Verfügung stehen und dabei fixe Kosten in Höhe von 117.300 € verursachen wird. Auf ihr sollen nun die bewährten Reifen A, B und C sowie die Wintermodelle D und E gefertigt werden. Aufgrund der Daten der letzten Periode wird folgende Marktsituation erwartet: 89

Produkt

maximale Absatzmenge

Verkaufspreis pro Reifen

Reifen A Reifen B Reifen C Reifen D Reifen E

1.000 ME 2.100 ME 1.600 ME 300 ME 800 ME

50 € 70 € 45 € 140 € 90 €

variable Kosten pro Reifen 30 € 40 € 20 € 90 € 50 €

Ausbringung pro Stunde 2 ME 3 ME 4 ME 1 ME 2 ME

a) Ermitteln Sie das optimale Produktionsprogramm anhand einer Vollkostenrechnung. b) Führen Sie nun eine Deckungsbeitragsrechnung zur Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms durch. Begründen Sie dabei zunächst, warum die Anwendung des Kriteriums der absoluten Deckungsbeiträge im vorliegenden Fall sinnvoll ist. Vergleichen Sie zum Schluß ihr Ergebnis mit dem aus der vorhergehenden Teilaufgabe.

60. Make or Buy-Entscheidung

Algorithmus

Das mögliche Absatzprogramm eines Unternehmens setzt sich aus sieben Produkten zusammen, von denen drei auch von anderen Firmen fremdbezogen werden können. Es wurden folgende Marktdaten ermittelt:

Produkt 1 2 3 4 5 6 7

Verkaufspreis [€/ME] 200 150 90 180 155 140 230

Eigenfertigung [€/ME] 105 45 50 30 135 20 182

Fremdfertigung [€/ME] 165 60 40

Produktionskoeffizient [ZE/ME] 2 1 6 3 2 2 4

Absatzgrenze [ME] 1.600 950 800 500 700 1.200 300

Die maximale Kapazität der Anlagen, auf denen die Produkte 1 – 7 gefertigt werden können, beträgt 7.500 ZE. Sie erhalten die Aufgabe, eine Make or Buy-Entscheidung unter erwerbswirtschaftlichen Gesichtspunkten zu treffen. Wie entscheiden sie sich? (Bestimmen Sie zuerst das gewinnmaximale Produktionsprogramm, dann das gewinnmaximale Absatzprogramm.)

90

61. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

differenzierbare Zielfunktion

Das Traditionsunternehmen Klamm & Klammer GmbH befindet sich in einer schweren Krise. Die Unternehmensleitung setzt große Hoffnung in zwei innovative Neuprodukte, die vollverzinkte Heftklammer Modell „Tackerfix“ sowie das 24-Karat hartvergoldete Modell „Premium“. Der Bereich Marktforschung hat die folgenden (voneinander unabhängigen) Preis-Absatz-Funktionen ermittelt:

PT(xT) = 14 – 0,01xT Pp(xP) = 30 – 0,04xP

Die Produkte werden auf einer Universalmaschine gefertigt. Die variablen Stückkosten betragen für „Tackerfix“ kvT=2 GE/ME und für „Premium“ kvp=6 GE/ME. Die Produktionsstückzeit beläuft sich bei „Tackerfix“ auf 1 ZE/ME, bei „Premium“ werden 2 ZE/ME benötigt.

a) Bestimmen Sie das gewinnoptimale Produktionsprogramm sowie den Periodengewinn unter der Annahme, daß keine Engpässe bei der Fertigung entstehen (können). b) Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm sowie den Periodengewinn unter Verwendung des Optimierungsansatzes nach Lagrange unter der Annahme, daß die verfügbare Maschinenkapazität nun auf (1) 1000 ZE (2) 1200 ZE (3) 1400 ZE pro Periode beschränkt ist, und interpretieren Sie das Ergebnis. c) Skizzieren Sie die optimalen Mengen xT und xP sowie den zugehörigen Periodengewinn in Abhängigkeit des Parameters Ȝ für Ȝ  [0,12] d) Wie läßt sich der Lagrange-Multiplikator im Falle der Gewinnmaximierung ökonomisch interpretieren?

91

62. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

differenzierbare Zielfunktion

Gegeben seien die Daten aus der vorhergehenden Aufgabe (Nr. 61). Um das Sortiment abzurunden, soll nun ein weiteres Produkt in das Portefeuille aufgenommen werden; es handelt sich um das eher schlichte Modell „Geizklammer“, mit dem vorwiegend das „low-price-Segment“ bedient werden soll. Folgende Daten sind bekannt: pG(xG) = 6 – 0,01xG kvG = 4 GE/ME q = 2 ZE/ME

a) Bestimmen Sie das gewinnoptimale Produktionsprogramm mit Hilfe des Optimierungsansatzes nach Lagrange unter der Annahme, daß die verfügbare Kapazität in dieser Periode 800 ZE beträgt. Interpretieren Sie das Ergebnis. b) Worauf ist das „Versagen“ des gewählten Optimierungsansatzes zurückzuführen? Wie können Sie im vorliegenden Fall zu einer Lösung des Optimierungsproblems kommen (ohne ein anderes Optimierungsverfahren zu verwenden)? Erläutern Sie kurz die Vorgehensweise (keine Rechnung)! c) Lösen Sie das vorliegende Problem unter Verwendung des „erweiterten Optimierungsansatzes nach Lagrange“ (Optimalitätsbedingungen nach KuhnTucker) Sie dürfen dabei davon ausgehen, daß die vorliegende Restriktion (der Kapazität) bindend ist. d) Interpretieren Sie die ökonomische Bedeutung der Erfüllung der Kuhn-Tucker Bedingungen am Beispiel der in Teilaufgabe (b) gefundenen (zulässigen) Lösung.

63. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

differenzierbare Zielfunktion

Ein italienischer Espressomaschinenhersteller plant zum Jahresbeginn die Markteinführung der drei neuen Modelle „Vesuvio“, „Napoli“ und „Scusi“. Alle neuen Modelle zeichnen sich dadurch aus, daß sie mit Mahlwerken ausgestattet sind, sodaß kein Espressopulver mehr verwendet werden muß, sondern frisch geröstete Bohnen zum Einsatz kommen können. Bei der Maschine „Vesuvio“ handelt es sich um den Nachfolger des inzwischen nicht mehr am Markt verfügbaren Luxusmodells „Etna“. Die „Vesuvio“ verfügt als Besonderheit über zwei separate Mahlwerke, sodaß diese 92

gleichzeitig mit zwei verschiedenen Bohnensorten befüllt werden kann. Das Modell „Napoli“ ist im mittleren Preissegment angesiedelt, während das Modell „Scusi“ das Niedrigpreissegment abdeckt. Für die genannten Modelle existieren in den isolierten Marktsegmenten die voneinander unabhängigen Preis-Absatz-Funktionen: PV(xV) = 1200 – 0,2xV PN(xN) = 600 – 0,0125xN PS (xS) = 200 – 0,002xS Der italienische Hersteller übernimmt nur noch die Endmontage und den Absatz der Espressomaschinen. Die speziellen Mahlwerke werden von einem bestimmten Hersteller aus Taiwan bezogen. Da sich für das kommende Geschäftsjahr Lieferschwierigkeiten abzeichnen und eine kurzfristige Ersatzbeschaffung nicht möglich ist, ist davon auszugehen, daß es in der kommenden Planungsperiode nicht möglich sein wird, die optimalen Absatzmengen herzustellen. Der taiwanesische Hersteller garantiert jedoch eine Lieferung von 17.000 Mahlwerken. Die variablen Stückkosten betragen für die Herstellung von „Vesuvio“ kvV = 400 €/ME, für „Napoli“ kvN = 300 €/ME und im Falle von „Scusi“ kvS = 100 €/ME. a) Bestimmen Sie das optimale Produktions- und Absatzprogramm und den maximal erreichbaren Gewinn für das kommende Geschäftsjahr unter Verwendung des Optimierungsansatzes nach Lagrange. b) Dem italienischen Hersteller ist bekannt, daß das Modell „Scusi“ erhebliche fertigungsbedingte Qualitätsmängel aufweist. Es wird damit gerechnet, daß 5% der abgesetzten Maschinen nachträglich unentgeltlich ausgetauscht werden müssen. (Für den Austausch sind keine zusätzlichen Kosten zu berücksichtigen.) Es darf angenommen werden, daß alle für den Austausch vorzuhaltenden Maschinen einer gesonderten Qualitätsprüfung unterzogen werden, sodaß nach Ersatz nicht mit einer erneuten Reklamation zu rechnen ist). Wie ändert sich das optimale Produktions- bzw. Absatzprogramm sowie der maximal erreichbare Gewinn? c) Das Unternehmen beschließt im darauffolgenden Geschäftsjahr die Mahlwerke von einem Hersteller aus der Schweiz zu beziehen. Die Stückkosten aller Produkte steigen hierdurch um 10%, die Absatzbedingungen bleiben unverändert. Mit fertigungsbedingten Qualitätsmängeln ist in dieser Periode nicht mehr zu rechnen. Da die Fertigung des Schweizer Herstellers weitestgehend ausgelastet ist, können lediglich 19.100 Mahlwerke bezogen werden. Bestimmen Sie das optimale Produktions- bzw. Absatzprogramm und den maximal erreichbaren Gewinn. Wie verändern sich relativer Grenzgewinn und die Curnot-Mengen im Vergleich zur Teilaufgabe (a)? Warum bleibt die optimale Menge xv/opt unverändert?

93

64. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

differenzierbare Zielfunktion

Sie arbeiten als interner Berater eines Industrieunternehmens aus dem Hochtechnologiesektor. Der Leiter eines Geschäftsbereichs beauftragt Sie mit der Durchführung einer Preis- und Programmplanung für ein Hochtechnologieprodukt. Dieses Produkt wird von Ihrem Unternehmen in den USA, in Südostasien (SOA) und in Europa (EUR) angeboten und abgesetzt. Für diese drei isolierten Teilmärkte existieren folgende Preis-Absatz-Funktionen: USA:

pUSA = 140 - 0,05 xUSA;

Südostasien: pSOA = 100 - 0,02 xSOA; Europa:

pEUR = 80 - 0,04 xEUR.

Da für das in Ihrem Unternehmen hergestellte Produkt nur eine Fabrikationsanlage in England zur Verfügung steht, fallen für den Transport von einer Mengeneinheit (ME) des Produktes vom Fabrikationsort nahe Derby zu den einzelnen Absatzmärkten folgende Stück-Transportkosten (t) an: zum Absatzmarkt USA:

tUSA = 20 EUR/ME;

zum Absatzmarkt Südostasien:

tSOA = 10 EUR/ME;

zum Absatzmarkt Europa:

tEUR = 6 EUR/ME.

Zur Herstellung des Produkts in der Anlage in Derby wird dort eine bestimmte Maschine benötigt, deren beschäftigungsfixe Kosten 30.000 EUR betragen. Die beschäftigungsvariablen Stückkosten sind mit 50 EUR/ME nicht abhängig von der am Absatzmarkt abgesetzten Menge, die insgesamt für alle zu beliefernden Märkte hergestellt wird. Da sich das Hochtechnologieprodukt noch in der Markteinführungsphase befindet, reicht die bis dato aufgebaute quantitative Kapazität des Fertigungsverfahrens noch nicht aus, um die optimalen Absatzmengen für alle drei Teilmärkte zu produzieren. Die gesamte zur Verfügung stehende quantitative Kapazität der Anlage beträgt 1.430 ME im Betrachtungszeitraum. Der Produktionskoeffizient lautet q = 1 ZE/ME.

Ermitteln Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes den maximal erreichbaren Gewinn unter Berücksichtigung der dargestellten Aspekte.

94

65. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung)

Algorithmus (Simplex)

Ein Kosmetikunternehmen stellt zwei Anti-Aging-Cremes her: zum einen die im mittleren Preissegment angesiedelte Multifalt-300-Creme, zum anderen das Premiumprodukt Lipofix 3000. Der Produktionsprozeß ist wie folgt organisiert: In einem Reaktor wird der geheime Wirkstoff, von dem in beiden Cremes jeweils eine ME enthalten ist, synthetisiert. Die maximale Nutzkapazität des Reaktors liegt bei 1000 ME pro Periode. In einem weiteren Schritt erfolgt das Anrühren und Abfüllen der Bestandteile. Die vorhandene Anlage ist für beide Cremes nutzbar. Auf Grund der komplizierteren Rezeptur benötigt die Herstellung einer Einheit Lipofix jedoch doppelt so viel Zeit wie eine Einheit Multifalt. Bei ausschließlicher Produktion des Produktes Multifalt können 1200 ME pro Periode hergestellt werden. Das Produkt Lipofix enthält als zusätzlichen Bestandteil ein Extrakt, das aus den Ausscheidungen einer seltenen sibirischen Vogelart gewonnen wird. Von dieser Zutat steht pro Periode eine Menge zur Verfügung, die die Herstellung von 500 ME Lipofix erlaubt. Aus den Erfahrungen der Vorperioden sowie eigenen Marktforschungen geht hervor, daß in der Folgeperiode von der Lipofix-Creme bis zu 800 ME, von der Multifalt-Creme bis zu 700 ME abgesetzt werden können. Der Stückdeckungsbeitrag für das Produkt Lipofix beträgt 150 €, für Multifalt liegt er bei 50 €.

a) Formulieren Sie ein lineares Optimierungsmodell zur Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms (xM; xL) für die folgende Periode. b) Ermitteln Sie graphisch das optimale Produktionsprogramm der folgenden Periode. Welcher maximale Deckungsbeitrag ist hierbei zu erzielen? c) Welche Restriktionen sind bindend? Geben Sie die Höhe der nicht genutzten Kapazitäten / Ressourcen im Falle des optimalen Produktionsprogramms an.

66. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung)

Algorithmus (Simplex)

Der Besitzer eines Bahnhof-Bistros bietet zwei verschiedene Sorten von Sandwiches zum Verkauf an. Das Vegetarier-Sandwich ist lediglich mit grünem Salat belegt, das Schinken-Spezial-Sandwich zusätzlich mit Gurken, Tomaten und geräuchertem Schinken. Die Herstellungskosten pro Sandwich betragen hier 0,20 € bzw. 0,80 €. Die Zubereitung erfolgt in der Bistro Küche; hierfür stehen 8 1/3 Mannstunden pro Tag zur Verfügung. Das Belegen eines Vegetarier-Sandwiches nimmt 30 Sekunden in Anspruch, für ein Schinken-Spezial-Sandwich werden 50 Sekunden benötigt.

95

Die erforderlichen Sandwichbrötchen werden nach einem Spezialrezept in der hauseigenen Bistro-Bäckerei gebacken und dann an die Küche ausgeliefert, ein Fremdbezug ist nicht möglich. Die maximale Kapazität der Bäckerei beträgt 800 Brötchendoppelhälften pro Tag. Von den Vegetarier-Sandwiches können pro Tag bis zu 700 Stück zum Preis von 2,20 € verkauft werden, von den Schinken-Sandwiches bis zu 500 Stück zum Preis von 3,30 €. a) Formulieren Sie ein lineares Optimierungsmodell zur Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms (xv; xs). b) Wie lautet das optimale Produktionsprogramm? Welcher Deckungsbeitrag ist mit dem Sandwichverkauf pro Tag zu erzielen? Lösen Sie das Problem graphisch. c) Lösen Sie das Problem analytisch mittels Verwendung des einfachen SimplexAlgorithmus. d) Bestimmen Sie mit Hilfe des Schlußtableaus die „Schattenpreise“ für die knappen Kapazitäten in Küche und Bäckerei und interpretieren Sie diese.

67. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung) (W14)

Algorithmus (Simplex)

Der Produktionsprozeß eines Fahrzeugherstellers ist gemäß nachfolgender Darstellung strukturiert. Die beiden Fahrzeugtypen A und B durchlaufen einen dreistufigen Fertigungsprozeß mit der Vorfertigung (V), der Zwischenfertigung (Z) und der Endmontage, die für beide Fahrzeugtypen separat erfolgt (E-A bzw. E-B). Die Produktionskapazitäten sind für die einzelnen Fertigungsstufen angegeben. In der Vorfertigung benötigen A und B die gleiche Bearbeitungszeit; dort können maximal 1000 Fahrzeuge hergestellt werden. In der Zwischenfertigung ist für A der Arbeitsaufwand jedoch doppelt so hoch wie für B, so daß die Ausbringung zwischen 600 Fahrzeugen (bei ausschließlicher Produktion von A) und 1200 Fahrzeugen (bei ausschließlicher Produktion von B) variiert werden kann. Die Endmontage läßt eine maximale Ausbringung von 700 Einheiten des Typs A und 1000 Einheiten des Typs B zu. Die Stückdeckungsbeiträge der beiden Fahrzeuge betragen 600 bzw. 400 Geldeinheiten. E-A V

Z

1.000

600

1.000

1.200

700

E-B 1.000

96

a) Formulieren Sie ein lineares Optimierungsmodell zur Bestimmung des gewinnmaximalen Produktionsprogramms. b) Ermitteln Sie das optimale Produktionsprogramm analytisch mit Hilfe des Simplex-Algorithmus. c) Ermitteln Sie das optimale Produktionsprogramm durch graphische Lösung. Welcher Deckungsbeitrag ist dabei zu erzielen?Welcher Deckungsbeitrag ist zu erzielen, wenn das Unternehmen versucht eine möglichst hohe Ausbringung eines einzelnen Fahrzeugtyps (A oder B) zu erreichen?

68. Kommunikationspolitik

Strukturierungsmethode

Ein großer Medienkonzern hat sich mit den drei neuen Dauerwerbesendern „Haa-Rdry“, „Fönix“ und „töNung24“ in dem Segment „Beauty und Haarpflege“ etabliert. Sie erhalten den Auftrag, die Zielgruppen und Reichweite der Sender genau zu analysieren, um eine optimale Programmabstimmung zu gewährleisten. Folgende Informationen liegen Ihnen vor: Der Sender „Haa-R-dry“ wird regelmäßig von 3 Mio. Zuschauern gesehen. Jeder fünfte davon sieht auch regelmäßig den Sender „Fönix“, der insgesamt 2,4 Mio. Zuschauer hat. Der Sender „töNung24“ wird von 1,6 Mio. Zuschauern gesehen, die Hälfte der Zuschauer sieht ausschließlich diesen Sender, ein Viertel sieht zusätzlich „Haa-R-dry“, jedoch nicht „Fönix“. Lediglich 200.000 Zuschauer schalten regelmäßig alle drei Sender ein.

a) Welche Zuschauergruppen können im vorliegenden Fall unterschieden werden? b) Systematisieren Sie den Begriff der „Reichweite“. c) Wie groß ist die Brutto- bzw. Nettoreichweite der drei Sender? d) Ein Werbeblock soll in zwei der drei Sender geschaltet werden. Welche Sender sind zu wählen, wenn die Zielsetzung darin besteht, möglichst viele Zuschauer anzusprechen bzw. möglichst viele Zuschauer mehrfach anzusprechen?

97

Kapitel 7 Workbook zur strukturierten Aufgabenbearbeitung

99

W1. Cobb-Douglas-Technologie (Ertragsmaximierung) (Aufgabe 2)

a) Grenzrate der Substitution:

MKK-Bedingung:

Einsetzen in MKKBedingung:

effizientes Faktoreinsatzverhältnis:

b) Berechnung der maximalen Ausbringungsmenge: Einsetzen in die Budgetrestriktion bzw. Kostenfunktion ergibt:

optimale Faktoreinsatzmenge r1:

optimale Faktoreinsatzmenge r2:

maximale Ausbringungsmenge x:

101

W2. Minimalkostenkombination bei linear-limitationalem Prozeß (Aufgabe 6)

a) Diagramm: r2 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

r1

0 100 200 300 400 500

600 700 800 900 1000 1100 1200

a) Isoquanten bei x = 600 ME: Bedingung für 1. Einsatzfaktor: Prozeß A:

Prozeß B:

102

Bedingung für 2. Einsatzfaktor:

Beschreibung der Isoquante:

b) Ermittlung der Minimalkostenkombination (MKK):

c) optimale Prozeßkombination und maximale Outputmenge: Notation: r1* / r2* r1A / r2A

= =

Verfügbare Gesamtmenge des 1. / 2. Einsatzfaktors Im Prozeß A eingesetzte Menge des 1. / 2. Einsatzfaktors

r1B / r2B

=

Im Prozeß B eingesetzte Menge des 1. / 2. Einsatzfaktors

Gleichungen (1) – (4):

Einsetzen von Gl. (4) in Gl. (1) bzw. von Gl. (3) in Gl. (2) ergibt:

Lösung des LGS:

für r2A und r1B ergibt sich:

103

alternativ: graphische Lösung:

r2 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

r1

0 100 200 300 400 500

600 700 800 900 1000 1100 1200

Der maximal erzielbare Output beträgt in diesem Fall:

104

W3. Technische und ökonomische Intensität

a) Die Herstellung von 2400 Einheiten eines Produktes nimmt 4 Stunden in Anspruch. Um ein Produkt herzustellen, sind 25 Drehvorgänge erforderlich. Ermitteln Sie die (technische) Intensität und die Produktivität. b) Von einem Produkt sollen 60 Stück hergestellt werden. Bei jedem Stück sind 4 Gewinde auszufräsen. Welche Intensität bzw. Produktivität muß gewählt werden, damit die Maschine genau 30 Minuten lang in Betrieb ist?

a) ökonomische Intensität:

technische Intensität:

b) ökonomische Intensität:

technische Intensität:

W4. Betriebstechnische Anpassung (Aufgabe 9)

a) Maschine A – min. Verbrauch des 1. Faktors: Zielfunktion:

Optimalitätsbedingung:

Intensität:

Maschine A – min. Verbrauch des 2. Faktors: Zielfunktion:

Optimalitätsbedingung:

Intensität:

105

Funktion der Stückkosten von Maschine A:

Stückkosten bei Minimierung des Verbrauchs von Faktor 1:

Stückkosten bei Minimierung des Verbrauchs von Faktor 2:

b) Maschine A: Ansatz:

einsetzen:

Optimalitätsbedingung:

106

optimale Intensität:

Stückkosten:

Maschine B: Ansatz:

einsetzen:

Optimalitätsbedingung:

optimale Intensität:

Stückkosten:

c) weitere Vorgehensweise:

107

weitere Vorgehensweise (Fortsetzung):

Funktion der mengenabhängigen Stückkosten der Maschine

:

Funktion der Gesamtkosten der Maschine:

Funktion der Grenzkosten der Maschine:

Anpassungsbedingung:

108

quadratische Gleichung:

Lösungen der quadratischen Gleichung:

Anpassung bis:

d) Überlegungen zur Ausbringungsmenge / zum Verlauf der Kostenfunktion:

Funktion der (mengenabhängigen) Gesamtkosten:

K(x)

­ ° ° ® ° °¯

für

für

für

für

109

W5. Ertragsgesetz nach Turgot (Aufgabe 10)

a) Produktionsfunktion für r2 = 2 ME und r3 = 6 ME:

b) Grenzertragsfunktion:

Durchschnittsertragsfunktion:

c) Faktoreinsatzmenge, die den Ertrag maximiert: notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

aus der notwendigen Bedingung folgt die quadratische Gleichung:

Lösen der Gleichung ergibt:

hinreichende Bedingung erfüllt?

maximaler Ertrag:

110

gesuchte Menge r1:

Faktoreinsatzmenge, die den Grenzertrag maximiert: notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

aus der notwendigen Bedingung folgt für r1: hinreichende Bedingung erfüllt?

maximaler Grenzertrag:

d) Graphische Ermittlung der Faktoreinsatzmenge, die den Durchschnittsertrag maximiert: E(r1)

r1 (Vorschlag zur Skalierung: Abszisse 0,5 / Ordinate 25) 111

Erläuterung:

e) Berechnung der Faktoreinsatzmenge, die den Durchschnittsertrag maximiert: notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

aus der notwendigen Bedingung folgt für r1: hinreichende Bedingung erfüllt?

maximaler Durchschnittsertrag:

f) Schnittpunkt von Grenzertrags- und Durchschnittsertragsfunktion: Bedingung:

umformen:

112

einsetzen:

Ergebnis:

Erläuterung:

g) Beschreibung der Funktionsverläufe: E(r1), E‘(r1), e(r1)

r1 (Vorschlag zur Skalierung: Abszisse 0,5 / Ordinate 25) 113

Abschnitt A: Funktion

Funktionsverlauf

Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion Durchschnittsertragsfunktion Abschnitt B: Funktion

Funktionsverlauf

Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion Durchschnittsertragsfunktion Abschnitt C: Funktion

Funktionsverlauf

Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion Durchschnittsertragsfunktion Abschnitt D: Funktion Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion Durchschnittsertragsfunktion

114

Funktionsverlauf

h) Maximum der Durchschnittsertragsfunktion im Schnittpunkt von Grenz- und Durchschnittsertragsfunktion: zu zeigen: genau dann, wenn

gilt.

Mit Hilfe der Definition des Durchschnittsertrages läßt sich die folgende Beziehung ableiten:

Erklärung:

115

W6. Optimales F&E-Programm (Aufgabe 14)

a) Erläuterung der Vorgehensweise bei ordinaler Projektbewertung:

Spalte I II III IV V VI VII VIII IX X

116

Erläuterung Projekt-Nr. Projektwert in GE kumulierter Projektwert der ausgewählten Projekte in GE projektbezogener Sachmittelaufwand in GE projektbezogener Personalaufwand in GE kumulierter Sachmittelaufwand der ausgewählten Projekte in GE kumulierter Personalaufwand der ausgewählten Projekte in GE Gesamtmittelaufwand der Projekte in GE (Spalte IV+V ) Quotient aus Projektwert u. Gesamtmittelaufwand der Projekte (Sp. II/VIII) Projektauswahl (“x“ = ja / “-“ = nein)

I

II

Gesamtprojektwert:

III

IV

V

VI

VII

X

Gesamtmittelaufwand:

b) Erläuterung der Vorgehensweise bei kardinaler Projektbewertung:

117

I

II

III

Gesamtprojektwert:

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

Gesamtmittelaufwand:

Ergebnis / Fazit:

W7. Herleitung der kostenoptimalen Bestellmenge (Harris-Grundmodell)

Im Harris-Grundmodell zur Ermittlung der optimalen Bestellmenge wird die optimale Bestellmenge nach folgender Formel ermittelt: xopt

2* B* A z* p

Stellen Sie dar, welche Annahmen hinter diesem Modell stehen und wie die Formel unter Zuhilfenahme dieser Annahmen Schritt für Schritt hergeleitet werden kann. Verwenden Sie hierzu die nachfolgenden Symbole:

118

Symbol B A P Z X Y KB KL

Variable Periodenbedarf Fixe Bestellkosten Einstandspreis des Materials Lagerkostensatz Bestellmenge Bestellhäufigkeit Bestellkosten Lagerkosten

Dimension ME / PER GE GE / ME 1 / PER ME 1 / PER GE / PER GE / PER

Grundlegende Annahmen des Modells:

119

Formel für die Bestellkosten:

Erläuterung:

Formel für die Lagerkosten:

Erläuterung:

Beispiel: zeitliche Entwicklung des Lagerbestandes einer Periode: für y = 1

für y = 2

Ansatz: Minimierung der Kostenfunktion (Summe aus Bestell- und Lagerkosten):

notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

Im Optimum gilt:

120

bzw.

Formel für die optimale Bestellmenge:

Formel für die optimale Bestellhäufigkeit:

Unter den Prämissen KB ~ (1/x) und KL ~ x gilt im Optimum: Begründung:

W8. Gozintograph (Aufgabe 31) a) Gozintograph:

121

b) Bedarf an Bauteilen und Baugruppen:

E10 =

F8 =

F7 =

F6 =

G5 =

G4 =

G3 =

G2 =

G1 =

122

E9 =

W9. Flußorientierung im Prozeßablauf (Aufgabe 34)

a) „batch-and-queue“: warten bis alle Bögen gefal-

tet sind

warten bis alle Bögen couvertiert sind

b) Flußorientierung:

123

Antwort:

W10. Fortschrittszahlen-Konzept (Aufgabe 40)

Übersichtstabelle: Woche

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Soll-Menge

200

100

0

50

100

50

50

150

200

0

150

150

100

50

50

100

150

150

100

0

100

150

50

50

Soll-FZ Ist - Menge Ist-FZ Vorlauf / Rückstand

mittlerer Produktionsvorlauf / Rückstand:

124

Fortschrittszahlendiagramm: = Produktionsrückstand

Ist-Fortschrittszahl Soll-Fortschrittszahl

= Produktionsvorlauf

1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

Zeit

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

W11. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe (Aufgabe 44)

a) Ermittlung der Belastungsschranken sowie der Diskontierungsfaktoren: effektive Kapazität der Arbeitsplätze in Std. / Woche

EPS der Arbeitsplätze

BS der Arbeitsplätze

DF der Arbeitsplätze

125

erste Arbeitswoche: (Bel. = Belastung / Dir.Bel. = Direktbelastung / D.Bel.kum = Direktbelastung kumuliert)

Rang

Auftrag

Bel.

Aggregat X Dir. D.Bel. Bel. kum.

Bel.

Aggregat Y Dir. D.Bel. Bel. kum.

Aggregat Z Bel. Dir. Bel.

D.Bel. kum.

Arbeitsplatzfolge

Erläuterung:

b) Gemäß der FCFS- bzw. frühesten Planbeginnterminregel ergibt sich für die Arbeitsplätze in der ersten Woche die folgende geplante (und zulässige) Belegungsreihenfolge:

X: Y: Z:

126

Gantt-Diagramm 1. Arbeitswoche:

X

Y

Z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Auftragsfortschritt in der 1. Arbeitswoche:

c) weitere Vorgehensweise:

127

zweite Arbeitswoche: Rang

Auftrag

Bel.

Aggregat X Dir. D.Bel. Bel. kum.

Bel.

Aggregat Y Dir. D.Bel. Bel. kum.

Aggregat Z Bel. Dir. Bel.

D.Bel. kum.

Arbeitsplatzfolge

Für die Arbeitsplätze ergibt sich in der zweiten Woche die geänderte (zulässige) Belegungsreihenfolge: X: Y: Z:

Erläuterung zur Belegung von Auftrag A / F auf Arbeitsplatz X:

128

Auftragsfortschritt in der 2. Arbeitswoche:

Gantt-Diagramm 1. / 2. Arbeitswoche:

X

Y

Z 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24 25

dritte Arbeitswoche: Rang

Auftrag

Bel.

Aggregat X Dir. D.Bel. Bel. kum.

Bel.

Aggregat Y Dir. D.Bel. Bel. kum.

Aggregat Z Bel. Dir. Bel.

D.Bel. kum.

Arbeitsplatzfolge

129

Erläuterung zur Auftragsfreigabe in der 3. Arbeitswoche:

Gantt-Diagramm 2. / 3. Arbeitswoche:

X

Y

Z 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24 25 26

Auftragsfortschritt in der 3. Arbeitswoche:

130

27

28

29

30

31

32

33 34

35 36

37 38

39

40 41

W12. Maschinenbelegungspläne (Job Shop) (Aufgabe 48)

a) Ermittlung der Maschinenbelegung mittels des Verfahrens von Akers: Auftrag 2

D

10

8 C 6

A

4

2 B Auftrag 1 2

4 A

6

8 B

10 C

12

14

16

D

Erläuterungen zur Durchlauf- / Wartezeit bzw. der minimalen Zykluszeit der Aufträge:

131

b) Gantt-Diagramm: Maschine

D

C

B

A Zeit 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Ablesen der Durchlauf und Wartezeiten aus dem Gantt-Diagramm:

W13. Relative Deckungsbeitragsdifferenzen (Aufgabe 57)

a) Vorüberlegung:

132

17

18

Produkt

Stück-DB make [€/ME]

Stück-DB buy [€/ME]

1

Stück-DB- Produktions- rel. DBDifferenz Differenz intensität [€/ZE] [ME/ZE] [€/ME] 2

2

4

3

3

4

4

5

2

6

4

7

1

8

0,5

Produkt

Stück-DB [€/ME] make

buy

make [ME]

buy [ME]

Kapazitätsnachfrage [ZE]

restliche Kapazität [ZE]

Rang

Gesamtdeckungsbeitrag [€]

Gesamtgewinn:

133

b) Erläuterung:

134

W14. Optimales Produktionsprogramm (Simplex) (Aufgabe 67)

a) lineares Optimierungsmodell

Zielfunktion:

Nebenbedingungen:

b) optimales Produktionsprogramm: Ansatz für rechnerische Lösung (SimplexAlgorithmus): 1. Schritt: Aufstellen des Ausgangstableaus:

zulässige Basislösung:

135

2. Schritt:

neue zulässige Basislösung: ĺ Basisvariable

ĺ Nichtbasisvariable

3. Schritt:

neue zulässige Basislösung: ĺ Basisvariable sehen:

136

ĺ Nichtbasisvariable

c) graphische Ermittlung der Lösung: XB

1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 XA

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

Steigung der IsoGewinngerade:

xA,opt =

xB,opt =

maximaler Gewinn:

d) Gewinn bei max. xA:

Gewinn bei max. xB:

137

Kapitel 8 Lösungen zu den Kapiteln 2-7

139

8.1 Lösungen zu Kapitel 2 Produktions- und Kostentheorie 1. Cobb-Douglas-Technologie (Kostenminimierung) a) Grenzrate der Substitution:

GRS

wx wr1 wx wr2

0,5 * 4 * r1

 0,5

0,5 * 4 * r1

0,5

* r2

* r2

0,5

0,5

r2

0,5

r1

0,5

* r2 * r1

0,5

r2 r1

0,5

b) Ermittlung der Minimalkostenkombination: wx wr1 MKK-Bedingung: wx wr2

p1 p2

r Einsetzen in MKK-Bedingung ergibt: 2 r1

GE ME l r 1 GE 8 ME 2

4r2

Einsetzen in die Produktionsfunktion ergibt: 96 r2 r1

0,5

4 * (4r2 ) 0,5 * r2 4 * 2 * r2 96 12 ME 8 4r2 4 * 12 48 ME

0,5

* r2

0,5

4 * 2 * r2

8r2

c) Es ergeben sich Fertigungskosten in Höhe von: K

p1 r1  p 2 r2

2 * 48  8 * 12 192 GE

141

2. Cobb-Douglas-Technologie (Ertragsmaximierung) (W1)

a) Grenzrate der Substitution: wx wr1 GRS wx wr2

0,25* r1 0,75* r1

0,75

0, 25

MKK-Bedingung: wx wr1 wx wr2

* r2

* r2

0,75

0,75

0, 25

1 r2 * r2 * 3 r10,75 * r10,25

0, 25

r2 3r1

Einsetzen in MKKBedingung: r2 3r1

p1 p2

effizientes Faktoreinsatzverhältnis:

GE ME GE 16 ME 27

r2 r1

81 16

b) Berechnung der maximalen Ausbringungsmenge Einsetzen in die Budgetrestriktion bzw. Kostenfunktion ergibt: 27.648

r1 p1  r2 p 2

§ 81 · r1 * 27  ¨ r1 ¸ * 16 108r1 © 16 ¹

optimale Faktoreinsatzmenge r1:

r1

27.648 256 ME 108

optimale Faktoreinsatzmenge r2: r2

81 * 256 1.296 ME 16

maximale Ausbringungsmenge x: x r1

142

0, 25

* r2

0, 75

2560, 25 *12960,75

4 * 216 864 ME

3. Cobb-Douglas-Technologie

Bestimmung des maximalen Preises p2. Dazu Berechnung der Ausbringungsmenge des Vorjahres (t = 0):

MKK-Bedingung: GRS

wx wr1 wx wr2

wx wr1 wx wr2

p1 ; p2

r Einsetzen in MKK-Bedingung ergibt: 2 r1

0,5 * r1

0,5

0,5 * r1

0,5

GE ME GE 5 ME

20

l

* r2

* r2

0,5

0,5

r2 r1

r2

0,5

r1

0,5

p1 r1  p 2 r2

r1

6 ME, r2

20r1  5(4r1 ) 4r1

40r1

* r1

0,5

0,5

r2 r1

4

Einsetzen in die Kostenfunktion ergibt (mit Hilfe der Beziehung r2 K0

* r2

4r1 ):

240 GE

24 ME

Die Ausbringungsmenge des Vorjahres beträgt x (r1 * r2 ) 0,5

(6 * 24) 0,5

12 ME.

Da sich die Technologie des Unternehmens nicht verändert hat, gilt nach wie vor:

GRS

wx wr1 wx wr2

r2 r1

Der Preis des ersten Faktors beträgt annahmegemäß weiterhin 20 GE/ME. Die MKKBedingung lautet somit:

r2 r1

GE ME GE p2 ME

20

bzw. p 2 r2

20r1

Einsetzen der bekannten Größen in die Kostenfunktion dieses Jahres (bzw. Verwenden der Beziehung p 2 r2 20r1 ) ergibt: K1

p1 r1  p 2 r2

20r1  p 2 r2

20r1  20r1

40r1

480 GE, und damit: r1

12 ME

143

Auflösen der Produktionsfunktion nach r2 und einsetzen: x

(r1 r2 ) 0,5 ME ļ r2

144 r1

144 12

12 ME

Aus der MKK-Bedingung (bzw. Kostenfunktion) ergibt sich der maximale neue Preis p2 mit: p2

20

r1 r2

20

12 12

20 GE/ME

(oder: p 2

K 1  p1 r1 r2

480  20 * 12 12

20 GE/ME.)

4. Grenzrate der Substitution (Cobb-Douglas)

a) Es handelt sich um eine substitutionale Produktionsfunktion. Substitutionalität bedeutet, daß, gegeben eine konstante Ausbringungsmenge des Endproduktes, die beiden Inputfaktoren r1, r2 vollkommen gleichwertig in einem geeigneten Verhältnis zueinander variieren, d.h. wechselseitig ersetzt werden können. Dieses Austauschverhältnis entspricht dem Quotienten aus den partiellen Grenzproduktivitäten und wird als Grenzrate der Substitution bezeichnet. Produktionsfunktionen des Typs x(r1,r2) = a*r1Į*r2ȕ werden als „Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen“ bezeichnet. b) Monotone Transformationen der Produktionsfunktion ändern nicht die Grenzrate der Substitution: Die Grenzrate der Substitution lautet: GRS (r1 , r2 )

wx(r1 , r2 ) wr1 wx(r1 , r2 ) wr2

Sei g(r1,r2) = f(x(r1,r2)) Aus der Kettenregel folgt: wg (r1 , r2 ) wri

f ' ( g (r1 , r2 ))

wx (r1 , r2 ) (i = 1,2) wri

und damit: wg (r1 , r2 ) wr1 wg (r1 , r2 ) wr2

144

wx(r1 , r2 ) wr1 f ' ( g (r1 , r2 )) * f ' ( g (r1 , r2 )) wx(r1 , r2 ) wr2

wx(r1 , r2 ) wr1 wx(r1 , r2 ) wr2

GRS (r1 , r2 )

5. Maximum- und Minimumprinzip (Cobb-Douglas)

a) Herleitung der Funktionen der bedingten Faktornachfrage: Problem: min[ K (r1 , r2 )] min[ p1 r1  p 2 r2 ] r1 , r2

r1 , r2

unter den Nebenbedingungen: x(r1 , r2 ) t x0 , r1 t 0 , r2 t 0 (Hinweis: min[ p1 r1  p 2 r2 ]  max[ p1 r1  p 2 r2 ] r1 , r2

r1 , r2

Ansatz: Lagrangefunktion: L(r1 , r2 , O )

 p1 r1  p 2 r2  O ( x(r1 , r2 )  x 0 ) o max!

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (1)

wL(r1 , r2 , O ) wr1

 p1  O

wx(r1 , r2 ) wr1

0

ĺ Gl. (1*) O

wx(r1 , r2 ) wr1

p1

Gl. (2)

wL( r1 , r2 , O ) wr2

 p2  O

wx(r1 , r2 ) wr2

0

ĺ Gl. (2*) O

wx(r1 , r2 ) wr2

p2

Gl. (3)

wL(r1 , r2 , O ) wO

x(r1 , r2 )  x0

ĺ Gl. (3*) x(r1 , r2 )

0

x0

Aus Gl.(1*) und Gl.(2*) ergibt sich die Bedingung für die Minimalkostenkombination (technische Rate der Substitution = Verhältnis der Faktorpreise): wx(r1 , r2 ) wr1 Gl. (4) wx(r1 , r2 ) wr2

p1 p2

Für den hier gegebenen Fall der Cobb-Douglas-Technologie x(r1,r2) = sr1Įr2ȕ ergibt sich damit aus Gl. (4): wx(r1 , r2 ) wr1 wx(r1 , r2 ) wr2

D 1

s * D * r1

D

* r2

s * E * r1 * r2

E

E 1

D * r2 E * r1

p1 p2

145

Aus dem Auflösen nach den Einsatzfaktoren r1 bzw. r2 folgt: D * p2 r2 E * p1

Gl. (5) r1

bzw.

E * p1 r1 D * p2

Gl. (6) r2

Einsetzen von Gl. (6) in Gl. (3*) ergibt: D

x(r1 , r2 )

s * r1 * r2

E

· D § E * p1 r1 ¸¸ s * r1 ¨¨ D * p 2 © ¹

E

x0 bzw.

x(r1 , r2 )

D E

s * r1

§ E * p1 · ¨¨ ¸¸ © D * p2 ¹

E

x0

Nach dem Umformungsschritt D E

r1

x0 s

§ D * p2 ¨¨ © E * p1

· ¸¸ ¹

E

ergibt sich die Funktion der bedingten Faktornachfrage für den 1. Einsatzfaktor mit: E

1

Gl. (7) r1B ( x0 , p1 , p 2 , s, D , E ) *

§ x0 · D  E § D * p 2 · D  E ¸¸ ¨ ¸ ¨¨ © s ¹ © E * p1 ¹

die Funktion der bedingten Faktornachfrage für den 2. Einsatzfaktor erhält man durch Einsetzen in Gl. (6). Sie ergibt sich als: D

1

Gl. (8) r2 B ( x0 , p1 , p 2 , s, D , E ) *

§ x0 · D  E § E * p1 · D  E ¨ ¸ ¨¨ ¸¸ © s ¹ © D * p2 ¹

Hinweis: Für spezielle Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen, für die zusätzlich die Bedingungen (Į + ȕ = 1) sowie (s = 1) erfüllt sind, vereinfachen sich die Gl. (7) und Gl. (8) zu: E § D * p2 · ¸¸ bzw. Gl. (7*) r1B ( x0 , p1 , p 2 , D , E ) x0 ¨¨ © E * p1 ¹ *

Gl. (8*) r2 B ( x0 , p1 , p 2 , D , E ) *

§ E * p1 · ¸¸ x0 ¨¨ © D * p2 ¹

D

b) Herleitung der Funktionen der Faktornachfrage: Problem: max[ x(r1 , r2 )] max[ sr1D r2 E ] r1 , r2

r1 , r2

unter den Nebenbedingungen: p1 r1  p 2 r2 d K 0 , r1 t 0 , r2 t 0

146

Ansatz: Lagrangefunktion: L(r1 , r2 , O )

x(r1 , r2 )  O ( K 0  p1 r1  p 2 r2 ) o max!

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (1)

wL(r1 , r2 , O ) wr1

wx(r1 , r2 )  Op1 wr1

0

ĺ Gl. (1*)

wx(r1 , r2 ) wr1

Op1

Gl. (2)

wL(r1 , r2 , O ) wr2

wx(r1 , r2 )  Op 2 wr2

0

ĺ Gl. (2*)

wx(r1 , r2 ) wr2

Op 2

Gl. (3)

wL(r1 , r2 , O ) wO

K 0  p1 r1  p 2 r2

0

ĺ Gl. (3*) p1 r1  p 2 r2

K0

Aus den Gl. (1*) und (2*) ergibt sich analog zur Teilaufgabe (a) die Bedingung für die Minimalkostenkombination mit: wx(r1 , r2 ) wr1 Gl. (4) wx(r1 , r2 ) wr2

p1 p2

Für die Cobb-Douglas-Technologie x(r1,r2) = sr1Įr2ȕ ergeben sich nach dem Einsetzen in Gl.(4) sowie dem Auflösen nach den Einsatzfaktoren r1 bzw. r2 die Beziehungen: Gl. (5) r1

D * p2 r2 E * p1

bzw. Gl. (6) r2

E * p1 r1 D * p2

Einsetzen von Gl. (6) in Gl. (3*) ergibt: § E * p1 · p1 r1  p 2 ¨¨ r1 ¸¸ © D * p2 ¹

K (r1 , r2 )

p1 r1  p 2 r2

K (r1 , r2 )

§ E * p1 · p1 r1  ¨ r1 ¸ © D ¹

K0

bzw.

K0

147

Nach Faktorisierung von r1p1 bzw. Erweiterung mit 1=

K (r1 , r2 )

§ E· p1 r1  ¨1  ¸ © D¹

K 0 bzw.

K (r1 , r2 )

D ergibt sich: D

§D  E · p1 r1  ¨ ¸ © D ¹

K0

Durch Auflösen nach r1 erhält man die Funktion der Faktornachfrage für den 1. Einsatzfaktor: Gl. (7) r1F ( K 0 , p1 , D , E ) *

K D * 0 D  E p1

Die Funktion der Faktornachfrage für den 2. Einsatzfaktor erhält man durch Einsetzen von Gl. (7) in Gl. (6). Sie ergibt sich mit: Gl. (8) r2 F ( K 0 , p 2 , D , E ) *

K E * 0 D  E p2

Hinweis: Für spezielle Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen, für die zusätzlich die Bedingung (Į + ȕ = 1) erfüllt ist, vereinfachen sich die Gl. (7) und Gl. (8) zu: Gl. (7*) r1F ( K 0 , p1 , D ) D *

K0 p1

Gl. (8*) r2 F ( K 0 , p 2 , E )

K0 p2

*

*

E*

Die Funktionen der Faktornachfrage hängen im „Cobb-Douglas-Fall“ jeweils ausschließlich vom Preis des nachgefragten Faktors ab, m.a.W. gegeben ein bestimmtes Kostenbudget ist die Faktornachfrage für den ersten Faktor vollkommen unabhängig von einer Preisänderung beim zweiten Faktor und vice versa.

148

6. Minimalkostenkombination bei linear-limitationalem Prozeß (W2)

a) Prozeßstrahlen sowie Isoquanten bei einem Output von x = 600 ME:

r2

Prozeß B

1200 1100 1000 900 800 700

Prozeß A

600 500 400 300 200 100

r1

0 100

200

300

400 500

600

700

800

900

1000 1100 1200

b) Isoquanten bei x = 600 ME: Bedingung für 1. Einsatzfaktor:

Bedingung für 2. Einsatzfaktor:

Beschreibung der Isoquante:

Prozeß A:

1r1 = 600 ME

2r2 = 600 ME

r1 = 600 ME r2 = 300 ME

Prozeß B:

2r1 = 600 ME

3 r2 = 600 ME 2

r1 = 300 ME r2 = 400 ME

149

c) Ermittlung der Minimalkostenkombination (MKK): KA = 600*4 + 300*8 = 4.800 GE KB = 300*4 + 400*8 = 4.400 GE ĺ MKK d) Optimale Prozeßkombination und maximale Outputmenge: Notation: r1* / r2* r1A / r2A r1B / r2B

= = =

Verfügbare Gesamtmenge des 1. / 2. Einsatzfaktors Im Prozeß A eingesetzte Menge des 1. / 2. Einsatzfaktors Im Prozeß B eingesetzte Menge des 1. / 2. Einsatzfaktors

Gleichungen (1) – (4): Gl. (1) r1A + r1B = r1*

Gl. (3) r1A = 2r2A

*

Gl. (2) r2A + r2B = r2

Gl. (4) r1B = 0,75r2B

Einsetzen von Gl. (4) in Gl. (1) bzw. von Gl. (3) in Gl. (2) ergibt: Gl. (1*) r1A + 0,75r2B = r1*

bzw. in Matrixform:

*

*

Gl. (2 ) 0,5r1A + r2B = r2

§ 1 0,75 ·§ r1 A · ¨ ¸¨ ¸ © 0,5 1 ¹© r2 B ¹

Lösung des LGS: § r1 A · ¨¨ ¸¸ © r2 B ¹

 0,75 ·§ r1 * · 8§ 1 ¸ ¨¨ ¸¨ 1 ¸¹¨© r2 *¸¹ 5 ©  0,5

Für r2A und r1B ergibt sich: r2A = 0,5r1B = 0,5*400 = 200 r1B = 0,75r2B = 0,75*400 = 300

150

 0,75 ·§ 700 · 8§ 1 ¨¨ ¸¨ ¸ 1 ¸¹¨© 600 ¸¹ 5 ©  0,5

§ 400 · ¨¨ ¸¸ © 400 ¹

§ r1* · ¨¨ * ¸¸ © r2 ¹

alternativ: graphische Lösung:

r2

Prozeß B

1200

Prozeß B*

1100 1000 900

Prozeß A*

800 700

Prozeß A

600 500

(r1*,r2*) (r1B,r2B)

400 300 200

(r1A,r2A)

100

r1

0 100 200 300 400 500

600 700 800 900 1000 1100 1200

Der maximal erzielbare Output beträgt in diesem Fall: x = min{400; 400} + min{600; 600} = 400 + 600 = 1000 ME

151

7. Optimale Intensität von Aggregaten

a) Zunächst sind die minimalen Stückkosten der Aggregate A und B zu ermitteln: Aggregat A: kA

p1 * v1, A  p 2 * v 2, A o min!

kA

2 * (0,7 x A ²  8 x A  25)  6 * (0,6 x A ²  9 x A  40) 1,4 x A ²  16 x A  50  3,6 x A ²  54 x A  240

5 x A ²  70 x A  290 [€ / ME ] k ' A 10 x A  70

0 o x A,OPT

7 [ ME / h]

5 * 7²  70 * 7  290

k A ( x A,OPT )

45 [€ / ME ]

Aggregat B: kB

p1 * v1, B  p 2 * v 2, B o min!

kB

2 * (0,25 x B ²  4 x B  33)  6 * (0,75 x B ²  12 x B  64)

0,5 x B ²  8 x B  66  4,5 x B ²  72 x B  384

5 x B ²  80 x B  450 [€ / ME ] k ' B 10 x B  80 k B ( x B ,OPT )

0 o x B ,OPT

8 [ ME / h]

5 * 8²  80 * 8  450 130 [€ / ME ]

Weitere Vorgehensweise: Zunächst erfolgt die Produktion auf der nach Stückkosten günstigeren Maschine A mit der (optimalen) Intensität von x A,OPT 7 [ME/h] bis zur maximalen zeitlichen Grenze von T 10 [h]. Die zugehörige Produktionsmenge beträgt: x A x A * T 7 [ME/h] *10 [h] 70 [ME]. Bei einer Ausbringung von mehr als 70 [ME] erfolgt zunächst eine intensitätsmäßige Anpassung von Aggregat A, bis die Grenzkosten dieses Aggregates den minimalen Stückkosten des Aggregates B (bzw. dessen Grenzkosten) entsprechen. Bedingung: K ' A k B ( x B ,OPT ) KA

k ( x A ) * x A * T [€]

K A (x A )

(5 x A ²  70 x A  290) * x A * T

dK ( x A ) dx A

dK ( x A ) dx A * T

152

(5 x A ³  70 x A ²  290 x A ) * T [€]

T * (15 x A ²  140 x A  290) T

k B ( x B ,OPT ) 130 [€ / ME ]

15 x A ²  140 x A  160

0 2

x A /1

28 32 14 § 14 · 32 0 o xA xA  r ¨ ¸  3 3 3 3 ©3¹ x A / 1,OPT 8 [ ME / h]

xA/ 2

1,33 [ ME / h]  7 (nicht sinnvoll!)

xA ² 

14 10 r 3 3

Für Mengen größer x x A / 1,OPT * T 8 [ME/h] *10 [h] 80 [ME] erfolgt eine quantitative Anpassung in Form der Zuschaltung von Aggregat B. Dieses Aggregat wird nun bis zur maximalen Ausbringungsmenge x B , MAX 80 [ME] (Gesamtausbringungsmenge von 160 Mengeneinheiten) zeitlich angepaßt. Übersichtstabelle: Gesamte Maschinenbelegung Phase 1

von 0 bis 70 ME

Aggregat A ( x A

Phase 2

von 71 bis 80 ME

Aggregat A (7  x A d 8)

Phase 3

von 81 bis 160 ME

Aggregat A ( x A

7)

8) + Aggregat B ( x B

8)

Visualisierung des Verlaufs der Stückkosten im Falle quantitativer Anpassung (Aggregat A+B) sowie ohne Anpassung (ausschließlich Fertigung auf A): k(x) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30

x

20 0

20

40

60

80

100

120

140

Stückkosten A (ohne Anpassung) Stückkosten A+B

153

b) Überlegung: Im Optimum muß Grenzkostengleichheit herrschen, d.h. die optimalen Intensitäten x A , x B müssen die Bedingung K ' A K ' B erfüllen. Zunächst ist die Funktion der Grenzkosten von Aggregat B zu ermitteln: k B 5 x B ²  80 x B  450 K B ( x B ) (5 x B ³  80 x B ²  450 x B )T K ' B ( x B ) 15 x B ²  160 x B  450

Für eine Ausbringungsmenge von 180 [ME] muß, da die zeitliche Anpassungsgrenze bereits erreicht ist, die Summe der Intensitäten gerade 18 [ME]/[h] bei T=10[h] betragen, um die gewollte Ausbringungsmenge in Höhe von 180 [ME] zu fertigen. Aus diesen Bedingungen lassen sich durch einige einfache Umformungen die optimalen Intensitäten x A , x B sowie die optimalen Mengen x A , x B gewinnen: x A  x B 18 K ' A K 'B 0 15 x A ²  140 x A  290  15 x B ²  160 x B  450 0 15 x A ²  140 x A  15 * (18  x A )²  160 * (18  x A )  160 0 15 x A ²  140 x A  15 * ( x A ²  36 x A  324)  2880  160 x A  160  140 x A  540 x A  4860  2880  160 x A  160 0 240 x A  2140 0 x A,OPT | 8,9 o x B ,OPT 9,1

Somit ergeben sich die optimalen Mengen mit: x A,OPT x A,OPT * T 8,9 *10 89 [ ME ] sowie x B ,OPT

0

91 [ ME ] .

8. Betriebstechnische Anpassung (mit Restriktionen)

a) Zusammenhang zwischen zeit- und produktspezifischer Verbrauchsfunktion: Verwendete Abkürzungen der Einheiten: Mengeneinheiten (des Endproduktes) Mengeneinheiten (des Verbrauchsfaktors) Zeiteinheiten r ( x ) [ ME * / ZE ] v( x ) [ ME * / ME ] r ( x ) [ ME * / ZE ] x [ ME / ZE ]

154

ME ME * ZE

(zeitspezifisch) (produktspezifisch, auch: „Gutenbergsche Verbrauchsfunktion“) v( x )

[ ME * ] [ ME ]

Hinweis: Im Falle der vorliegenden Aufgabe werden die Mengeneinheiten des Verbrauchsfaktors [ME*] in Milliliter [ml] (oder Liter/1000 [l/1000]), die Zeiteinheiten [ZE] in Stunden [h] gemessen.

b) stückkostenminimaler Tagesverbrauch der beiden Einsatzfaktoren: k(x)

p1 * r1 ( x ) p 2 * r2 ( x ) [€]  o min! x *1000 x * 1000 [ ME ]

k(x)

30 * (5 x ³  60 x ²  180 x ) 8 * (12,5 x ³  275 x ²  1950 x ) [€]  x *1000 x *1000 [ ME ]

k(x)

0,15 x ²  1,8 x  5,4  0,1x ²  2,2 x  15,6

k'(x)

0,5 x  4

0 o xOPT

8

[€] [ ME ]

0,25 x ²  4 x  21

[€] [ ME ]

[ ME ] [ h]

R1 ( xOPT )

T * r1 ( xOPT ) 1000

12 * (5 * 8³  60 * 8²  180 * 8) 1000

R2 ( xOPT )

T * r2 ( xOPT ) 1000

12 * (12,5 * 8³  275 * 8²  1950 * 8) 1000

1,92

[l ] [Tag ] 52,8

[l ] [Tag ]

Die Stückkosten betragen: k ( xOPT ) k (8) 0,25 * 8²  4 * 8  21 5 Die tägliche Ausbringungsmenge beträgt: x

xOPT * T

[€] [ ME ]

8 [ ME / h] * 12 [h] 96 [ ME ]

c) erneute Optimierung der Intensität: k(x)

30 * (5 x ³  60 x ²  180 x ) 18 * (12,5 x ³  275 x ²  1950 x ) [€]  o min! x *1000 x *1000 [ ME ]

k(x)

0,15 x ²  1,8 x  5,4  0,225 x ²  4,95 x  35,1

k'(x)

0,75 x  6,75

0 o xOPT / NEU

9

[€] [ ME ]

0,375 x ²  6,75 x  40,5

[€] [ ME ]

[ ME ] [ h]

155

Die neuen Stückkosten betragen bei angepaßter Intensität: k ( xOPT / NEU )

0,375 * 9²  6,75 * 9  40,5 10,125

k (9)

[€] [ ME ]

Ohne die Anpassung der Intensität würde der Preisanstieg des 2. Faktors zu einem stärkeren Anstieg der Stückkosten führen: k (8)

0,375 * 8²  6,75 * 8  40,5 10,5

[€] [ ME ]

Die tägliche Ausbringungsmenge beträgt nun: x

xOPT / NEU * T

9 [ ME / h] *12 [h] 108 [ ME ]

d) Der Output wird durch die Knappheit des 2. Faktors restringiert. Um noch möglichst viele Einheiten des Endproduktes fertigen zu können, ist der Verbrauch dieses Faktors zu minimieren. Gesucht ist somit zunächst die (stück)verbrauchsminimale Intensität des Faktors „Kühlmittel”: 12,5 x ³  275 x ²  1950 x [l ] o min! x *1000 [ ME ]

v2 ( x )

r2 ( x ) x * 1000

v2 ( x )

0,0125 x ²  0,275 x  1,95

v2 ' ( x )

0,025 x  0,275

[l ] o min! [ ME ]

0 o xv 2o MIN

11

[ ME ] [ h]

aber: die maximale ökonomische Intensität beträgt: x MAX

d MAX

D

40 [TLE / h] [ ME ] 10 4 [TLE / ME ] [h]

Der Faktorverbrauch an Kühlmittel für x MAX

v 2 (10)

0,0125 * 10²  0,275 * 10  1,95

Es können maximal noch x hergestellt werden.

156

0,45

10

[ ME ] beträgt: [ h]

[l ] [ ME ]

450[l ] 1000 [ ME ] des Endproduktes 0,45[l / ME ]

9. Betriebstechnische Anpassung (mit Herleitung der Gesamtkosten) (W4)

a) Maschine A – min. Verbrauch des 1. Faktors: Zielfunktion:

Optimalitätsbedingung: Intensität:

v1, A ( x A ) 0,4 x A ²  2 x A  22 o min!

v1, A ' ( x A ) 0,8x A  2 0

x A,v1 / MIN

2,5 [ME / h]

Maschine A – min. Verbrauch des 2. Faktors: Zielfunktion:

Optimalitätsbedingung: Intensität:

v2, A ( x A ) 0,2 x A ²  3x A  14 o min!

v2, A ' ( x A ) 0,4 x A  3 0

x A,v 2 / MIN

7,5 [ME / h]

Funktion der Stückkosten von Maschine A: k A (xA )

p1 * v1, A  p 2 * v 2, A

2 * (0,4 x A ²  2 x A  22)  4 * (0,2 x A ²  3x A  14)

0,8 x A ²  4 x A  44  0,8 x A ²  12 x A  56 1,6 x A ²  16 x A  100 [GE / ME ]

Stückkosten bei Minimierung des Verbrauchs von Faktor 1: k A,v1 / MIN ( x A,v1 / MIN ) 1,6 * 2,5²  16 * 2,5  100

70 [GE / ME ]

Stückkosten bei Minimierung des Verbrauchs von Faktor 2: k A,v 2 / MIN ( x A,v 2 / MIN ) 1,6 * 7,5²  16 * 7,5  100

70 [GE / ME ]

b) Maschine A: Ansatz: k A (xA )

p1 * v1, A  p 2 * v 2, A o min!

einsetzen: k A ( x A ) 2 * (0,4 x A ²  2 x A  22)  4 * (0,2 x A ²  3x A  14) 0,8x A ²  4 x A  44  0,8x A ²  12x A  56 1,6 x A ²  16x A  100 [GE / ME]

157

Optimalitätsbedingung: optimale Intensität: Stückkosten: k A ' ( x A ) 3,2x A  16 0

x A,OPT 5 [ME / h]

k A,MIN 1,6 * 5²  16 * 5  100 60 [GE / ME]

Maschine B: Ansatz: k B ( xB )

p1 * v1, B  p 2 * v 2, B o min!

einsetzen: kB (xB ) 2*(0,15xB ²  7xB  84)  4*(0,35xB ²  5xB  33) 0,3xB ² 14xB 1681,4xB ²  20xB 132 1,7xB ²  34xB  300 [GE/ ME]

Optimalitätsbedingung: optimale Intensität: Stückkosten: k B ' ( xB ) 3,4 x B  34 0

xB,OPT 10 [ME/ h]

k B,MIN 1,7 *10²  34*10 300 130 [GE / ME]

weitere Vorgehensweise: Zunächst wird auf dem nach Stückkosten günstigeren Aggregat A gefertigt; die Ausdehnung der Produktion erfolgt über zeitliche Anpassung bis T Tmax 10 [h] . Für Produktionsmengen x ! ( x A,OPT * T ) 5 [ ME / h] *10 [h] 50 [ ME ] wird eine intensitätsmäßige Anpassung des Aggregates A vorgenommen, bis dessen Grenzkosten den minimalen Stückkosten (Grenzkosten) des Aggregates B entsprechen, d.h. bis gilt: K A ' ( x) k B ( x) . Die Funktion der Stückkosten in Abhängigkeit der Intensität läßt sich mit Hilfe der definitorischen Beziehung x

x als Funktion der t

mengen-abhängigen Stückkosten ausdrücken. Im vorliegenden Fall ist in der Stückkostenfunktion des Aggregates A eine Ersetzung der Form xA

x Tmax

x vorzunehmen. 10

Funktion der mengenabhängigen Stückkosten der Maschine A : 2

§ x· § x· k A ( x) 1,6 * ¨ ¸  16¨ ¸  100 © 10 ¹ © 10 ¹

158

0,016 x ²  1,6 x  100 [GE / ME ]

Funktion der Gesamtkosten der Maschine: K A ( x)

k A ( x) * x

0,016 x ³  1,6 x ²  100 x [GE ]

Funktion der Grenzkosten der Maschine: K A ' ( x)

0,048 x ²  3,2 x  100

Anpassungsbedingung: K A ' ( x)

quadratische Gleichung:

0,048 x ²  3,2 x  100 130

Lösungen der quadratischen Gleichung: x1 / 2

33, 3 r

33,3

2

 625

x ²  66, 6 x  625

0

Anpassung bis:

33, 3 r 41, 6

x1

x A / ANP

75 [ME]

Überlegungen zur Ausbringungsmenge/ zum Verlauf der Kostenfunktion: Die Kosten der ersten 75 (auf A gefertigten) Mengeneinheiten betragen K A (75) 0,016 * 75³  1,6 * 75²  100 * 75 5250 [GE ] . Die nächsten x B ( x B / OPT * T ) 10[ ME / h] *10[h] 100 [ ME ] werden auf Aggregat B hergestellt, das zeitlich angepaßt wird. Da Aggregat B - annahmegemäß - bereits an seiner Kapazitätsgrenze betrieben wird, verbleibt für Ausbringungsmengen x ! 175 [ ME ] schließlich nur noch die Anpassung der Intensität von Aggregat A bis x A / MAX 10 [ ME / h] .

Funktion der (mengenabhängigen) Gesamtkosten:

K ( x)

­60 x °0,016 x ³  1,6 x ²  100 x ° ® °5.250  130( x  75) °¯13.000  0,016( x  100)³  1,6( x  100)²  100( x  100)

für für

50  x d 75

für für

175  x d 200

0 d x d 50 75  x d 175

159

10. Ertragsgesetz nach Turgot (W5)

a) Produktionsfunktion für r2 = 2 ME und r3 = 6 ME: E (r1 ,2,6)

6r1 ³  36r1 ²  24r1 [ME]

E (r1 )

b) Grenzertragsfunktion: dE (r1 ) dr1

18r1 ²  72r1  24

Durchschnittsertragsfunktion: E ( r1 ) r1

e( r1 )

6r1 ²  36r1  24

c) Faktoreinsatzmenge, die den Ertrag maximiert: notwendige Bedingung: dE ( r1 ) dr1

hinreichende Bedingung:

18r1 ²  72 r1  24

d ² E (r1 ) dr1 ²

0

36r1  72 % 0

Aus der notwendigen Bedingung folgt die quadratische Gleichung: r1 ² 

72 24 r1  18 18

0

gesuchte Menge r1:

Lösen der Gleichung ergibt: r1 A / 1B

2r 4

4 3

2r

16 # 4,3094 3

hinreichende Bedingung erfüllt? d ² E (r1 ) dr1 ²

160

36r1  72 % 0

ĺ erfüllt!

r1A

r1 # 4,3094 ME

maximaler Ertrag: E (r1 )

E (4,3094)

6 * (4,3094)³  36 * (4,3094)²  24 * 4,3094

291,80 ME

Faktoreinsatzmenge, die den Grenzertrag maximiert: notwendige Bedingung: § dE ( r1 ) · d ¨¨ ¸¸ © dr1 ¹ dr1

d ² E ( r1 ) dr1 ²

36 r1  72

hinreichende Bedingung:

0

aus der notw. Bedingung folgt für r1:

r1

72 36

§ dE (r1 ) · ¸¸ d ²¨¨ © dr1 ¹ dr1 ²

36 % 0

hinreichende Bedingung erfüllt? § dE ( r1 ) · ¸¸ d ² ¨¨ © dr1 ¹ dr1 ²

2 ME

d ³ E (r1 ) dr1 ³

d ³ E ( r1 ) dr1 ³

 36 % 0

maximaler Grenzertrag: dE (r1 ) dr1

18 * (2)²  72 * 2  24

96

d) Graphische Ermittlung der Faktoreinsatzmenge, die den Durchschnittsertrag maximiert:

161

Erläuterung: Der Durchschnittsertrag ist definiert als Quotient aus Ertrag und Faktoreinsatz. Aus der Abbildung wird ersichtlich, daß sich dieses Streckenverhältnis durch einen einfachen trigonometrischen Zusammenhang beschreiben läßt: Es entspricht dem Tangens des Basiswinkels einer Halbgerade vom Ursprung durch einen Punkt der Ertragsfunktion (auch Fahrstrahl genannt). Der Durchschnittsertrag ist genau dann maximal, wenn der Tangens dieses Winkel und damit der Winkel selbst den größtmöglichen Wert aufweist. Im vorliegenden Fall ist der Durchschnittsertrag bei einem Faktoreinsatz von r1 = 3 ME maximal.

e) Berechnung der Faktoreinsatzmenge, die den Durchschnittsertrag maximiert: notwendige Bedingung: de(r1 ) dr1

12r1  36

hinreichende Bedingung: d ²e(r1 ) dr1 ²

0

aus der notw. Bedingung folgt für r1: r1

36 12

hinreichende Bedingung erfüllt? d ²e(r1 ) dr1 ²

3 ME

12 % 0

12 % 0

maximaler Durchschnittsertrag: e(3)

6 * (3)²  36 * 3  24

78 ME

f) Schnittpunkt von Grenzertrags- und Durchschnittsertragsfunktion: Bedingung: dE (r1 ) dr1

einsetzen:  18r1 ²  72r1  24

e(r1 )

umformen: r1 (18r1  72)

162

6r1 ²  36r1  24

Ergebnis: r1 (6r1  36)

r1

3

Erläuterung: Die Durchschnittsertragsfunktion ist an der Stelle r1 = 0 nicht definiert. Die Grenzertragsfunktion schneidet die Durchschnittsertragsfunktion in deren Maximum (Schnittpunkt (3, 78) siehe Teilaufgabe (d)).

g) Beschreibung der Funktionsverläufe:

Abschnitt A: Funktion Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion

Funktionsverlauf progressiv steigend, d.h. überproportionale Ertragszuwächse degressiv steigender Verlauf bis zum Maximum an der Stelle r1 = 2

Durchschnittsertragsfunktion degressiv steigender Verlauf Abschnitt B: Funktion Ertragsfunktion

Funktionsverlauf degressiv steigend, d.h. unterproportionale Ertragszuwächse

Grenzertragsfunktion

progressiv fallender Verlauf

Durchschnittsertragsfunktion

degressiv steigender Verlauf bis zum Maximum an der Stelle r1 = 3 163

Abschnitt C: Funktion

Funktionsverlauf weiter degressiv steigend bis zum Sättigungspunkt (Maximum) progressiv fallender Verlauf, Schnittpunkt mit der Abszisse korrespondierend zum Maximum der Ertragsfunktion

Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion

Durchschnittsertragsfunktion progressiv fallender Verlauf Abschnitt D: Funktion

Funktionsverlauf progressiv fallend, d.h. überproportionale Ertragsabnahme

Ertragsfunktion Grenzertragsfunktion

progressiv fallender Verlauf

Durchschnittsertragsfunktion progressiv fallender Verlauf

h) Maximum der Durchschnittsertragsfunktion im Schnittpunkt von Grenz- und Durchschnittsertragsfunktion:

zu zeigen:

de ( r 1 ) dr 1

0

genau dann, wenn

dE (r1 ) dr1

e(r1 )

gilt.

Mit Hilfe der Definition des Durchschnittsertrages läßt sich die folgende Beziehung ableiten:

de(r1 ) dr1

§ E (r1 ) · ¸¸ d ¨¨ © r1 ¹ dr1

1 dE (r1 ) 1  E (r1 ) r1 dr1 r1 ²

1 § dE (r1 ) E (r1 ) · ¨ )¸  r1 ¨© dr1 r1 ¸¹

· 1 § dE (r1 ) ¨  e(r1 ) ¸¸ r1 ¨© dr1 ¹

Erklärung: Wenn der Grenzertrag dem Durchschnittsertrag entspricht, nimmt der Ausdruck in der Klammer den Wert Null an. Damit ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Maximums der Durchschnittsertragsfunktion erfüllt.

164

11. Ertragsgesetz nach Turgot

a) Grenz- und Durchschnittsertragsfunktion: dE (r ) dr e( r )

3r ²  24r  6 E (r ) r

r ²  12r  6

b) Approximation der Ertragsänderung an der Stelle r = 3 für ǻr = 0,1 ME: dE (r ) dr

'E (r )

'r *

'E (r )

0,1 * (3 * 3²  24 * 3  6)

5,1 ME

c) Gesucht ist diejenige Faktoreinsatzmenge, für die gemäß dem ökonomischen Prinzip gilt:

O ! max (Optimalprinzip). Dieses Verhältnis wird durch die DurchI

schnittsertragsfunktion (Verhältnis von Ertrag zu Faktoreinsatz) beschrieben. Faktoreinsatzmenge, die den Durchschnittsertrag maximiert: 1. Ableitung der Durchschnittsertragsfunktion:

de(r ) dr

2. Ableitung der Durchschnittsertragsfunktion:

d ² e( r ) dr ²

Aus der notwendigen Bedingung folgt: r

12 2

2r  12

0

2 % 0

6 ME

Anmerkung: Die hinreichende Bedingung für ein Maximum (2. Ableitung < 0) ist erfüllt. Somit ergibt sich an der Stelle (r = 6) für den maximalen Durchschnittsertrag: e(6) 6²  12 * 6  6 42 ME

165

12. Produktionsfunktion (nach Heinen)

a) Die Produktionsfunktion von Heinen (Typ C) kann als Erweiterung der Gutenbergschen Produktionsfunktion (Typ B) zum Zwecke einer differenzierteren und realitätsnaheren Abbildung des betrieblichen Geschehens aufgefaßt werden. Während Gutenberg lediglich den Fall der Einproduktfertigung in einstufigen Produktionsprozessen betrachtet und sich auf limitationale Faktoreinsatzbeziehungen bei konstanten Eigenschaften der Aggregate (sogenannte z-Situation) beschränkt, bezieht Heinen neben einer Ausdehnung auf den Fall mehrerer Produkte bzw. mehrstufiger Prozesse auch die Veränderlichkeit technischer Eigenschaften von Betriebsmitteln in seine Überlegungen ein. Eine zentrale Rolle spielen bei Gutenberg mögliche Formen der betriebstechnischen Anpassungen (Festlegung von Dauer und Intensität der Fertigung sowie die Auswahl geeigneter Aggregate), um eine vorgegebene Ausbringungsmenge zu minimalen Stückkosten herstellen zu können. Im Mittelpunkt der produktionstheoretischen Überlegungen von Heinen steht der Begriff der Elementarkombination. Zur Bildung einer Elementarkombination wird ein Produktionsprozeß so lange in Teilprozesse zerlegt, bis der Zusammenhang zwischen Input und Output im Sinne einer Transformation von technischer Leistung in ökonomische Leistung beschreibbar wird. Die Abgrenzung der Prozesse ist dabei vor dem Hintergrund der jeweiligen ökonomischen Fragestellung vorzunehmen. So können bspw. auf einem Aggregat auch verschiedene Elementarkombinationen durchgeführt werden, bzw. eine Elementarkombination kann verschiedene Phasen (wie Anlauf-, Hauptleistungsund Bremsphase) umfassen, sodaß eine differenzierte Beschreibung bzw. Ermittlung der (optimalen) Fahrweise von Maschinen erfolgen kann.

b) Im vorliegenden Fall wird im Rahmen einer einstufigen limitationalen Faktorkombination (r1, r2) ein Endprodukt x erzeugt. Es liegt hierbei jedoch eine Situation vor, die sich nicht mittels einer Gutenbergschen Produktionsfunktion abbilden läßt, sondern bei der es sich vielmehr um den Spezialfall eines Produktionsprozesses handelt, der eine differenzierte Betrachtung der Aggregateigenschaften erfordert. Dieser soll nachfolgend mit Hilfe von Elementarkombinationen im Sinne von Heinen beschrieben werden. r1

E r2

166

x

Faßt man die Erstellung einer „typische Leistung“ als Erzeugung des definierten Outputs von x = 200MW*0,75h = 150MWh auf, so werden im Rahmen einer Elementarkombination E bei jeder Durchführung derselben eine bestimmte Menge der Repetierfaktoren „Erdgas“ (r1) und „Luft“ (r2) transformiert. Da Luft als (im ökonomischen Sinne unbegrenzt verfügbares und damit) „freies Gut“ einen Faktorpreis von Null aufweist, wird der Verbrauch dieses Faktors nachfolgend nicht weiter betrachtet. Mögliche Typen von Elementarkombinationen nach Heinen lassen sich zunächst nach input- und outputseitigen Kriterien klassifizieren:

konstante Ausbringungsmenge

variable Ausbringungsmenge

festes Verhältnis der Einsatzfaktoren

outputfix-limitational

outputvariabel-limitaional

variables Verhältnis der Einsatzfaktoren

outputfix-substitutional

outputvariabel-substitutional

Eine weitere Kategorisierung nimmt Heinen nach der Abhängigkeit der Outputmenge von der Anzahl der Wiederholungen einer Elementarkombination vor. Er unterscheidet hierbei zwischen primären, sekundären und tertiären Kombinationen. Bei einer primären Elementarkombination besteht eine proportionale Beziehung zwischen Outputmenge und Anzahl der Wiederholungen. Bei einer sekundären Elementarkombination läßt sich diesbezüglich ein Zusammenhang nur noch indirekt erfassen, für tertiäre Kombinationen ist im allgemeinen kein eindeutiger Zusammenhang mehr ermittelbar. Um das genannte Beispiel auf eine Beschreibung des Produktionsprozesses für verschiedene Outputmengen zu erweitern, ist es zweckmäßig, bezüglich des Betriebs der Turbine in zwei grundlegende Phasen bzw. Elementarkombinationen zu differenzieren: In der Anlauf- und Bremsphase findet zwar eine Belastung des Aggregates bzw. ein Verbrauch des Faktors statt, dem jedoch kein direkter Output zugerechnet werden kann. Diese Phase kann als sekundäre Elementarkombination E1 aufgefaßt werden, da hier ein indirekter Zusammenhang zur Outputmenge besteht, der sich analog zu einem Rüst-vorgang für ein Aggregat begreifen läßt. Die „Leistungsphase“ hingegen (hier bezogen auf die Betriebszeit von 45 Minuten) läßt sich als primäre Elementarkombination E2 beschreiben, da eine direkte Beziehung zwischen der Outputmenge und Anzahl der Wiederholungen der Kombination besteht. Für diesen genannten Zusammenhang läßt sich eine Analogie zur Auflagengröße eines Fertigungsloses herstellen. Soll nun bspw. eine Nachfragespitze von 144 Minuten abgedeckt werden, so ist hierzu einmal die Elementarkombination E1 sowie 3,2 mal die Kombination E2 auszuführen.

167

c) Aus der angegebenen Belastungsfunktion des Aggregates ist zunächst die vollständige Momentanverbrauchsfunktion abzuleiten. für 0 d t  208

½ ° für 208 d t  2908 ¾ für 2908  t d 3116°¿

­ t 1,5 ° ® 3000 ° (3116  t )1,5 ¯

dz dt

Diese erhält man durch Multiplikation des zweiten Funktionsabschnitts der Belastungsfunktion mit dem Proportionalitätsfaktor 0,004 bzw. des ersten und dritten Abschnitts mit dem Faktor 0,004*2,5 = 0,01. für 0 d t  208 ½ ° für 208 d t  2908 ¾ für 2908  t d 3116°¿

­ 0,01 * t 1,5 ° ® 12 ° 0,01 * (3116  t )1,5 ¯

dr dt

Der Faktorverbrauch für eine einmalige Wiederholung der Elementarkombination E kann nun durch Integration der Momentanverbrauchsfunktion ermittelt werden: 208

r

2908

³ 0,01 * t

1, 5

dt 

0

208

208

r

3116

³ 12dt  ³ 0,01 * (3116  t )

1, 5

dt

2908

2908

2 * ³ 0,01 * t 1,5 dt  ³ 12dt 0

>

208

@

208

 >12t @208

2908

r

2 * 0,004t 2,5

r

2 * 0,004 * 208 2,5  12 * 2700

r

4991,7  32400

0

37391,7 ME

d) Die unter idealen Bedingungen freigesetzte Energie bei einer Wiederholung der Elementarkombination entspräche: Wmax 37.391,7 [Nm³] *10 [kWh /Nm³] | 374.000[kWh] . Unter der Voraussetzung, daß diese verlustfrei in elektrische Energie transformiert werden könnte, errechnet sich hieraus ein Wirkungsgrad von 150.000 [kWh] / 374.000 [kWh] | 40,1 % .

168

13. Verbindung von Produktions- und Kostentheorie

a) Gegenstand der Produktionstheorie ist die mengenmäßige Charakterisierung von Input-Output-Relationen mittels Produktionsfunktionen im Rahmen von realgüterbezogenen Faktorkombinationsprozessen. Ziel der Kostentheorie ist es, aufbauend auf den Erkenntnissen der Produktionstheorie eine Verbindung zwischen Mengenund Wertgerüst in der Produktion herzustellen und somit Ausbringungskosten in Abhängigkeit der Ausbringungsmenge abzubilden.

b) Outputorientierte Darstellung: x A (rA )

rA ² [ME]

x B (rB )

rB [ME]

xc (rc )

x B [ME]

rc ( xc )

rC [ME]

Inputorientierte Darstellung: rA ( x A )

x A [ME]

rB ( x B )

xC

2

[ME]

c) Die Funktion der faktormengenabhängigen Ausbringungskosten läßt sich mit Hilfe der Produktionsfunktion (in inputorientierter Darstellung) in Abhängigkeit der Ausbringungsmenge ausdrücken: K A (rA ) rA ² ĺ K A ( x A )

x

2

A

xA

d) Graphische Ableitung der ausbringungsmengenabhängigen Kostenfunktionen: rA(x)

Produkt A / Kostenfunktion 1 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rA ( x A ) KA1(rA)

xA

xA

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig)

K A1 (rA )

rA

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K A1 ( x A )

4

xA

KA1(xA)

169

rA(xA)

Produkt A / Kostenfunktion 2 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rA ( x A ) KA2(rA)

xA

xA

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K A2 (rA )

rA

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K A2 ( x A )

xA

KA2(xA)

rA(xA)

Produkt A / Kostenfunktion 3 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rA ( x A ) KA3(rA)

xA

xA

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K A3 (rA )

rA2

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K A3 ( x A )

xA

KA3(xA)

rB(xB)

Produkt B / Kostenfunktion 1 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rB ( x B ) KB1(rB)

xB

xB

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K A1 (rB )

rB

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K A1 ( x B ) KB1(xB)

170

xB

rB(xB)

Produkt B / Kostenfunktion 2 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rB ( x B ) KB2(rB)

xB

xB

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K B 2 (rB )

rB

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K B2 ( xB )

xB

KB2(xB)

rB(xB)

Produkt B / Kostenfunktion 3 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rB ( x B ) KB3(rB)

xB

xB

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K B 3 (rB )

rB2

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K B3 ( x B )

x B2

KB3(xB)

rC(xC)

Produkt C / Kostenfunktion 1 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rC ( xC ) KC1(rC)

xC

xC2

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K C1 (rC )

rC

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K C1 ( x C )

xC

KC1(xC)

171

rC(xC)

Produkt C / Kostenfunktion 2 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rC ( xC ) KC2(rC)

xC

xC2

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K C 2 (rC )

rC

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K C 2 ( xC )

xC2

KC2(xC)

rC(xC)

Produkt C / Kostenfunktion 3 Produktionsfunktion (inputorientiert):

rC ( xC ) KC3(rC)

xC

xC2

Kostenfunktion (faktormengenabhängig):

K C 3 (rC )

rC2

Kostenfunktion (erzeugnismengenabhängig):

K C 3 ( xC ) KC3(xC)

172

xC4

8.2 Lösungen zu Kapitel 3 Strategisch-taktische Aspekte

14. Optimales F&E-Programm (W6)

a) Erläuterung der Vorgehensweise bei ordinaler Projektbewertung: Bei ordinaler Bewertung werden die Projekte zunächst in absteigender Reihenfolge nach ihrem Projektwert sortiert. Zur Bündelung der Projekte zu einem Forschungsprogramm werden ausgehend von dem Projekt mit dem höchsten Projektwert so lange weitere Projekte akkumuliert, bis eine der beiden Restriktionen greift. Kann ein Projekt auf Grund einer Budgetüberschreitung nicht mehr zum Programm hinzugefügt werden, so ist dieses zu überspringen und zu prüfen, ob die Hinzunahme des jeweils nachfolgenden Projektes noch zulässig ist.

I 5 7 10 4 1 6 2 8 9 3

II 800 600 500 450 400 (300) (300) (250) 150 (100)

Gesamtprojektwert:

III 800 1400 1900 2350 2750 2750 2750 2750 2900 2900

2900 GE

IV 80 175 30 40 15 (70) (30) (40) 20 (35)

V 170 125 50 80 35 (50) (20) (10) 30 (45)

VI 80 255 285 325 340 340 340 340 360 360

Gesamtmittelaufwand:

VII 170 295 345 425 460 460 460 460 490 490

X x x x x x x -

850 GE

b) Erläuterung der Vorgehensweise bei kardinaler Projektbewertung: Bei der kardinalen Bewertung werden die Projekte zunächst in absteigender Reihenfolge nach dem Quotienten aus Projektwert und Gesamtmittelaufwand sortiert. Projekte, die diesbezüglich das „günstigste“ Verhältnis aufweisen, werden zuerst akkumuliert. Das weitere Vorgehen ergibt sich analog zu Teilaufgabe a).

173

I 1 10 2 8 4 5 9 6 7 3

II 400 500 300 250 450 800 150 300 (600) 100

III 400 900 1200 1450 1900 2700 2850 3150 3150 3250

Gesamtprojektwert:

IV 15 30 30 40 40 80 20 70 (175) 35

V 35 50 20 10 80 170 30 50 (125) 45

3250 GE

VI 15 45 75 115 155 235 255 325 325 360

VII 35 85 105 115 195 365 395 445 445 490

Gesamtmittelaufwand:

VIII 50 80 50 50 120 250 50 120 300 80

IX 8 6,25 6 5 3,75 3,2 3 2,5 2 1,25

X x x x x x x x x x

850 GE

Ergebnis / Fazit: Das mittels kardinaler Bewertung ermittelte Programm dominiert das nach ordinaler Bewertung erstellte F&E-Programm.

15. Technologieorientierter Lebenszyklus

a) Der Geschäftsbereich sollte eingestellt werden, bevor die Opportunitätskosten die Einzahlungsüberschüsse (EÜ) einer Periode übersteigen. Die Opportunitätskosten bestehen in diesem Fall aus zwei Komponenten: Zum einen ist die Abnahme des möglichen Veräußerungserlöses der Produktionsmittel ǻV = Vt-1 - Vt zu berücksichtigen, zum anderen die entgangenen Zinsen für den Verzicht auf die Veräußerung in der Vorperiode. ǻZ = i* Vt-1. Jahr 0 1 2 3 4 5 6

EÜ 150 100 70 50 40 30

ǻV = Vt-1 - Vt 50 30 20 20 20 20

ǻZ = i* Vt-1 36 30 26,4 24 21,6 19,2

EÜ- ǻV - ǻZ 64 40 23,6 6 -1,6 -9,2

Der Geschäftsbereich sollte nach 4 Jahren eingestellt werden. b) Der Kapitalwert beträgt KW = -300 +

174

50  180 100 70 150 + + + = 109,64. 1,12² 1,12³ 1,12 4 1,12

16. Standortoptimierung nach Weber

n

a) Zielfunktion: Z ( x, y )

¦a

i

* ( x  xi )²  ( y  y i )² o min!

i 1

Nullsetzten der partiellen Ableitungen (notwendige Bedingung für Minimum): 5

wZ ( x, y ) wx

¦

wZ ( x, y ) wy

¦

i 1

ai ( x  xi ) ( x  xi )²  ( y  y i )²

5

i 1

ai ( y  y i ) ( x  xi )²  ( y  y i )²

0

0

Einsetzen der Werte ergibt: wZ ( x, y ) wx

4( x  7) ( x  7)²  ( y  8)²

2( x  3) ( x  3)²  ( y  18)² wZ ( x, y ) wy

( x  7)²  ( y  8)²

2( y  18)

3( x  3) ( x  3)²  ( y  16)²



2( x  4) ( x  4)²  ( y  6)²



1( x  9) ( x  9)²  ( y  4)²



3( y  16) ( x  3)²  ( y  16)²



2( y  6) ( x  4)²  ( y  6)²



1( y  4) ( x  9)²  ( y  4)²

0

Da eine analytische Lösung der vorliegenden Gleichungen nicht möglich ist, soll mittels eines iterativen Verfahrens eine Näherungslösung gesucht werden. Hierzu wird als erster Anhaltswert der Schwerpunkt aller xi bzw. yi gebildet und dann ausgehend von diesen Werten die Lösung solange schrittweise verbessert, bis die (nahezu) optimale Lösung ermittelt ist. Einsetzen in die Schwerpunktformel: n

¦a x i

xs

i

i 1 n

¦ ai

(4 * 7)  (3 * 3)  (2 * 4)  (1 * 9)  (2 * 3) 4  3  2 1 2

5

i 1

n

¦a y i

ys

i 1 n

¦ ai

i



0

4( y  8)

( x  3)²  ( y  18)²



(4 * 8)  (3 *16)  (2 * 6)  (1 * 4)  (2 *18) 4  3  2 1 2

11

i 1

175



Iterationsschritt nach dem Miehle-Verfahren: erste verbesserte Lösung für xs: n

¦ i 1

x s 1

n

¦ i 1

ai * xi ( x s  xi )²  ( y s  y i )² ai

§ 4*7 3*3 ¨   ¨ (5  7)²  (11  8)² ( 5  3 )²  (11  16)² ©

( x s  xi )²  ( y s  y i )²

2*4 (5  4)²  (11  6)²



3 (5  3)²  (11  16)²

1* 9 (5  9)²  (11  4)²





2 (5  4)²  (11  6)²

· § 4 ¸y ¨  (5  3)²  (11  18)² ¸¹ ¨© (5  7)²  (11  8)² 2*3



1 (5  9)²  (11  4)²



· 2 ¸ (5  3)²  (11  18)² ¸¹

= 5,26820

erste verbesserte Lösung für ys: n

¦ y s 1

i 1 n

¦ i 1

ai * y i ( x s  xi )²  ( y s  y i )² ai

§ 4 *8 3 * 16 ¨   ¨ (5  7)²  (11  8)² ( 5  3 )²  (11  16)² ©

( x s  xi )²  ( y s  y i )²

2*6 (5  4)²  (11  6)²



3 (5  3)²  (11  16)²

1* 4 (5  9)²  (11  4)²





2 (5  4)²  (11  6)²

· § 4 ¸y ¨  (5  3)²  (11  18)² ¸¹ ¨© (5  7)²  (11  8)² 2 *18



1 (5  9)²  (11  4)²



· 2 ¸ (5  3)²  (11  18)² ¸¹

= 10,41032

Die verbesserten Lösungen dienen als Ausgangswerte für den nächsten Iterationsschritt. Ein Einsetzen der Lösungen in die partiellen Ableitungen dient zur Kontrolle, ob bzw. wie schnell eine Annäherung an den Optimalwert erfolgt.

176

Lösungstabelle:

Iteration

x-Wert

y-Wert

0 1 2 3 4 5 ... 200 201 202 203 ... 400 401 ...

5 5,26820 5,48696 5,67737 5,84104 5,97948 ... 6,80715351 6,80715652 6,80715941 6,80716219 ... 6,80723157 6,80723157 ...

11 10,41032 9,90860 9,51167 9,21255 8,99395 ... 8,15081946 8,15081706 8,15081475 8,15081253 ... 8,15075715 8,15075715 ...

partielle partielle Ableitung der Ableitung der ZF nach y ZF nach x -0,65909 -0,58370 -0,56326 -0,54224 -0,51405 -0,47774 ... -0,000053 -0,000051 -0,000049 -0,000047 ... 0,000000 0,000000 ...

1,44913 1,33868 1,17421 0,99096 0,81170 0,65536 ... 0,000042 0,000041 0,000039 0,000038 ... 0,000000 0,000000 ...

Nach etwa 400 Iterationsschritten ist die optimale Lösung auf 8 Nachkommastellen genau bestimmt. Die partiellen Ableitungen nach x und y haben näherungsweise einen Wert von Null erreicht (notwendige Bedingung für ein Minimum).

b) Kostenfunktion: 5

K

k ¦ ai ( x  xi )²  ( y  y i )²

^

5 * 4 * (6,8  7)²  (8,2  8)²  3 * (6,8  3)²  (8,2  16)² 

i 1

2 * (6,8  4)²  (8,2  6)²  1 * (6,8  9)²  (8,2  4)²  2 * (6,8  3)²  (8,2  18)²

`

300,2

Die Gesamttransportkosten des optimalen Standortes betragen 300,2 GE.

177

17. Entscheidungen unter Unsicherheit und Risiko (nach Hurwicz)

a) Bei Anwendung der Hurwicz-Regel sind die Zeilenminima mit dem Faktor (1-Ȝ) = 0,2, die Zeilenmaxima mit dem Faktor Ȝ = 0,8 zu gewichten. Die Summe stellt den Nutzwert (gemessen in GE) aus Sicht des Spekulanten für das jeweilige Grundstück dar. Zeilenminimum 0,2*380.000 GE 0,2*320.000 GE 0,2*420.000 GE

Grundstück 1 Grundstück 2 Grundstück 3

Zeilenmaximum 0,8*680.000 GE 0,8*740.000 GE 0,8*520.000 GE

Summe 620.000 GE 656.000 GE 500.000 GE

In diesem Fall wählt der Spekulant Grundstück 2, da er sich von diesem den größten Nutzen in Höhe von 644.000 GE verspricht. b) In Aufgabenteil a) wird eine risikofreudige Einstellung des Spekulanten impliziert. Die Huzwicz-Regel stellt eine Kombination der Maxi-Min-Regel und Maxi-MaxRegel dar. Hierzu wird ein sogenannter Optimismusparameter Ȝ eingeführt, der die Risikoneigung des Entscheidungssubjektes widerspiegelt. Je größer Ȝ, desto optimistischer ist dessen Grundeinstellung zur Zukunft, d.h. die Risikobereitschaft ist dementsprechend hoch. Für die Extremfälle Ȝ = 0 bzw. Ȝ = 1 geht die HurwiczRegel in die Maxi-Min („Pessimistenregel“) bzw. Maxi-Max-Regel („Optimistenregel“) über. c) Nutzwertfunktionen der Grundstücke in Abhängigkeit des Parameters Ȝ: fn(Ȝ ) 750

f2 (Ȝ )

700 f1 (Ȝ ) 650 600 550 f3 (Ȝ )

500 450 400 350

Ȝ

300 0,1

178

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Optimismus-Parameter 0 d Ȝ < 0,2 0,2 < Ȝ < 0,5 0,5 < Ȝ d 1

Auswahl von Grundstück 3 Grundstück 1 Grundstück 2

d) Entscheidungssituationen unter Unsicherheit zeichnen sich dadurch aus, daß ein Entscheidungssubjekt nicht weiß, welcher künftige Umweltzustand in Abhängigkeit einer bestimmten Wahlhandlung oder Aktion bestehen wird, und auch keine Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der verschiedenen Umweltzustände bekannt sind. Insofern subjektive oder objektive Eintrittswahrscheinlichkeiten angegeben werden können, spricht man von Entscheidungssituationen unter Risiko. Ist ein Entscheidungssubjekt risikoneutral, kann eine optimale Alternative anhand einfacher Erwartungswertbildung ermittelt werden. Liegt Risikofreude oder Risikoaversion vor, kann im Falle einer Gewinnfunktion (Maximierungsfunktion) der Risikoneigung des Entscheiders durch Addition bzw. Subtraktion eines gewichteten Lageparameters (z.B. Varianz oder Standardabweichung) zum Erwartungswert entsprechend Rechnung getragen werden. Im Falle einer Minimierungsfunktion ist der Lageparameter bei gegebener Risikofreude zu subtrahieren und bei Risikoaversion zu addieren. Das Risikonutzenkonzept nach Daniel Bernoulli führt den Begriff des Erwartungsnutzens ein. Hierbei werden die künftigen Umweltzustände zunächst mit einer Risikonutzenfunktion, die die Risikopräferenz des Entscheiders widerspiegelt, und erst dann mit den entsprechenden Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtet. Weist eine Risikonutzenfunktion einen streng konkaven, linearen bzw. streng konvexen Verlauf auf, so impliziert dies Risikoaversion, Risikoneutralität bzw. Risikofreude des Entscheidungssubjektes.

18. Entscheidungen unter Unsicherheit

a) Laplace-Regel: a1 =

 30  120  30 = 40 3

a3 =

10  80  60 = 10 3

a2 =

50  20  60 = 30 3

a4 =

 150  40  125 =5 3

a,opt = max {40;30;10;5} = 40 ĺ a1

179

b) Maxi-Min-Regel: a1 = min {-30;120;30} = -30 a2 = min {50;-20;60} = -20

a3 = min {10;80;-60} = -60 a4 = min {-150;40;125} = -150

a,opt = max {-30;-20;-60;-150} = -20 ĺ a2 c) Maxi-Max-Regel: a1 = max {-30;120;30} = 120 a2 = max {50;-20;60} = 60

a3 = max {10;80;-60} = 80 a4 = max {-150;40;125} = 125

a,opt = max {120;60;80;125} = 125 ĺ a4 d) Hurwicz-Regel: a1 = 0,6*min {-30;120;30}+ 0,4*max {-30;120;30} = -18 + 48 = 30 a2 = 0,6*min {50;-20;60} + 0,4*max {50;-20;60} = -12 + 24 = 12 a3 = 0,6*min {10;80;-60} + 0,4*max {10;80;-60} = -36 + 32 = -4 a4 = 0,6*min {-150;40;125}+ 0,4*max {-150;40;125} = -90 + 50 = -40 a,opt = max {30;12;-4;-40} = 30 ĺ a1 e) Niehans-Savage-Regel: Hierzu muß die folgende Matrix der Opportunitätsverluste aufgestellt werden: a1 a2 a3 a4

Z1 -80 0 -40 -200

Z2 0 -140 -40 -80

Z3 -95 -65 -185 0

Nachfolgend ist die Maxi-Min-Regel anzuwenden, d.h. es sind die Zeilenminima für die Alternativen a1-a4 analog zu b) zu ermitteln und die optimale Alternative zu bestimmen gemäß: a,opt = max {-95;-140;-185;-200} = -95 ĺ a1

180

19. Entscheidungen unter Risiko (Kapitalerwartungswert)

Da das Entscheidungssubjekt risikoneutral ist, sind die möglichen Rückflüsse mit den jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten zu gewichten und mit dem Zinssatz von 10% zu diskontieren, die Anfangsauszahlung ist abzuziehen. KEW =

5000 * 0,3  6000 * 0,6  4000 * 0,1 5500 – 5500 = – 5500 = – 500 1,1 1,1

Der Kapitalerwartungswert ist negativ. Das Investitionsprojekt ist abzulehnen.

20. Betriebsunterbrechungsversicherung (BUV)

a) Ermittlung der Versicherungspreise: Preis der Versicherungs- Erw. Ausz. Erw. Ausz. Erw. Ausz. Prämie Versicherung summe (p = 0,03) (p = 0,02) (p = 0,01) 50.000 50.000*0,03 50.000*0,02 50.000*0,01 500 3.500 250.000 100.000*0,03 200.000*0,02 250.000*0,01 500 10.000 500.000 100.000*0,03 200.000*0,02 500.000*0,01 500 12.500

b) Der erwartete Vermögensverlust ist der Erwartungswert des „Schadenshöhe“ EW = – (100.000*0,03 + 200.000*0,02 + 500.000*0,01)= –12.000 € Das Management gewichtet die Zahlungen (unter Berücksichtigung des Gesamtvermögens) mit der streng konkaven Risikonutzenfunktion ln(x): SÄ = EXP(0,94*ln(1.000.000 + 500.000*1,05) + 0,03*ln(1.000.000 + 500.000*1,05 100.000) + 0,02*ln(1.000.000 + 500.000*1,05 - 200.000) + 0,01*ln(1.000.000 + 500.000*1,05 – 500.000)) – 1.000.000 – 500.000*1,05 = –13.390,35 €

c) Das Management ist risikoavers, d.h. „je mehr Risiko überwälzt werden kann, desto besser“. Da der „Preis“ für die Risikoüberwälzung (Versicherungsprämie) hier gleichermaßen 500 € beträgt, kommt nur die Total-BUV in Frage. Das Management wäre bereit, für die vollständige Risikoüberwälzung eine Risikoprämie in Höhe von RP = EW-SÄ = 1.390 € über den (hier negativen!) Erwartungswert hinaus zu bezahlen, wenn ihr dafür der erwartete Verlust in Höhe von 12.000 € garantiert würde. Die „Kosten der Eigenversicherung“ betragen somit (gerundet) gerade SÄ = –13.390 €.

181

Neben der Auszahlung des Versicherungspreises müssen auch die Opportunitätskosten des Liquiditätsentzugs in Form der entgangenen Zinsen während der Periode berücksichtigt werden. Die Kosten der Fremdversicherung betragen damit: VK = (EW + 500)*1,05 = –13.125 €. ĺ Der Abschluß der Versicherung ist aus Sicht des Managements zweckmäßig. d) Der Zinsanstieg läßt die Kosten für die Fremdversicherung auf VK* = 1.750 € steigen; die Risikoprämie RP* hingegen muß kleiner als 1.390 € ausfallen, da diese bei steigendem Gesamtvermögen sinkt. ĺ Das Management wird die „Selbstversicherung“ wählen.

21. Entscheidungsbaum zur Komplexitätsreduktion a) Entscheidungsbaum:

p = 0,6 120.000 + 160.000 p = 0,7

Z

80.000

p = 0,4 80.000 + 160.000

p = 0,8 300.000

Werbef.

- 30.000 Trend

- 150.000

Z

p = 0,2

50.000

Z

p = 0,2

Kein Werbefeldzug.

Z

p = 0,6 75.000 + 100.000 p = 0,4

50.000 + 100.000

p = 0,1

E

- 5.000

10.000

p = 0,6 Sport

- 450.000

Z

p = 0,9

175.000

Z

p = 0,4

p = 0,6 p = 0,1

182

15.000

E

7.000

Z

p = 0,4

262.500 + 350.000

175.000 + 350.000

10.500 + 14.000

7.000 + 14.000

Notation: (K)EW_x_y_z_a (K)EW = (Kapital-)Erwartungswert x = „T“ (Trend) bzw. „S“ (Sport) y = „Periode y“ z = „pos“(positive Entwicklung), „preis“ (Preiskampf), „des“ (Desinvestition), „erfolg“, „misserfolg“ a = „WF“ (Werbefeldzug), „KWF“ (kein Werbefeldzug) (nur im Falle „Preiskampf“)

Bestimmung der Kapitalerwartungswerte nach dem „roll-back“-Verfahren: 1. Trend-Nuckel: EW_T_2_pos = 0,6*280.000 + 0,4*240.000 = 264.000 EW_T_2_preis_WF = 0,8*300.000 + 0,2*15.000 = 243.000 EW_T_2_preis_KWF = 0,6*175.000 + 0,4*150.000 = 165.000 EW_T_2_des = -5.000 KW_T_1_pos = 80.000 + 264.000/1,1 = 320.000 KW_T_1_preis_WF = 50.000 – 30.000 + 243.000/1,1 = 240.909,09 KW_T_1_preis_KWF = 50.000 + 165.000/1,1 = 200.000 KW_T_1_des = 10.000 – 5.000/1,1 = 5.454,55 (Die Alternative „kein Werbefeldzug“ kann gemäß Kapitalwertkriterium bereits am Entscheidungsknoten in der Periode 1 ausgeschlossen werden, da 240.909,09 > 200.000) KEW_T_0_WF = – 150.000 + 0,7*320.000/1,1 + 0,2*240.909,09/1,1 + 0,1*5.454,55/1,1 = 97.933,88 2. Sport-Nuckel: EW_S_2_erfolg = 0,6*612.500 + 0,4*525.000 = 577.500 EW_S_2_misserfolg = 0,6*24.500 + 0,4*21.000 = 23.100 KW_S_1_erfolg = 175.000 + 577.500/1,1 = 700.000 KW_S_1_misserfolg = 7.000 + 23.100/1,1 = 28.000 KEW_S_0 = -450.000 + 0,9*700.000/1,1 + 0,1*28.000/1,1 = 125.272,73 Der Kapitalerwartungswert der Rückflüsse des „Sport-Nuckels“ ist höher als der des „Trend-Nuckels“. Nach dem Kapitalwertkriterium wäre der „Sport-Nuckel“ als optimale Alternative zu wählen.

183

b) Sicherheitsäquivalentmethode: 1. Trend-Nuckel: SÄE_T_2_pos = EXP(0,6*LN(280.000)+0,4*LN(240.000)) = 263.256,63 SÄE_T_2_preis_WF = EXP(0,8*LN(300.000)+0,2*LN(15.000)) = 164.784,08 SÄE_T_2_preis_KWF = EXP(0,6*LN(175.000)+0,4*LN(150.000)) = 164.535,39 SÄE_T_2_des = - 5000 KWSÄE_T_1_pos = 80.000 + 263.256,63/1,1 = 319.324,21 KWSÄE_T_1_preis_WF = 50.000 – 30.000 + 164.784,08/1,1 = 169.803,71 KWSÄE_T_1_preis_KWF = 50.000 + 164.535,39/1,1 = 199.577,63 KWSÄE_T_1_des = 10.000 – 5.000/1,1 = 5454,55 Werbefeldzug: KWSÄE_T_0_WF = -150.000 + (EXP(0,7*LN(319.324,21) + 0,2*LN(169.803,71) + 0,1*LN(5.454,55)))/1,1 = 20.307,94 kein Werbefeldzug: KWSÄE_T_0_KWF = -150.000 + (EXP(0,7*LN(319.324,21) + 0,2*LN(199.577,63) + 0,1*LN(5.454,55)))/1,1 = 25.900,81 2. Sport-Nuckel: SÄE_S_2_erfolg = EXP(0,6*LN(612.500)+0,4*LN(525.000)) = 575.873,88 SÄE_S_2_misserfolg = EXP(0,6*LN(24.500)+0,4*LN(21.000)) = 23.034,96 KWSÄE_S_1_erfolg = 175.000 + 575.873,88/1,1 = 698.521,70 KWSÄE_S_1_misserfolg = 7.000 + 23.034,96/1,1 = 27.940,87 KWSÄE_S_0 = -450.000 + (EXP(0,9*LN(698.521,70)+0,1*LN(27.940,87)))/1,1 = 10.249,39 c) Als allgemeiner Kritikpunkt ist zunächst die Verdichtung der vorliegenden Information auf jeweils eine einzige entscheidungsrelevante Kennzahl, bezogen auf ein Projekt, anzuführen. Diese Vorgehensweise beinhaltet zwar augenscheinlich ein Höchstmaß an Objektivierung bzw. ermöglicht eine intersubjektive Nachvollziehbarkeit der Entscheidung, ist jedoch auch als äußerst problematisch anzusehen, da diese Reduzierung der Komplexität der vorliegenden Entscheidungssituation einerseits zwar den Umgang mit derselben erheblich erleichtert, andererseits jedoch dazu führt, daß entscheidende Aspekte, insbesondere die Risikostruktur der Projekte, nicht hinreichend abgebildet werden. (Fortsetzung auf der nächsten Seite)

184

Die Ermittlung der diskontierten Einzahlungsüberschüsse der Projekte bzw. Entscheidung nach dem Kapitalerwartungswertkriterium ergibt eine klare Präferenz für die Einführung des „Sport-Nuckels“. Die hier vorgenommene Erwartungswertbildung erfaßt jedoch in keiner Weise das Risiko der Projekte: Die Zufallsvariablen „X“ und „Y“ mögen die möglichen Rückflüsse aus zwei verschiedenen Projekten (A und B) bezeichnen. Für das Projekt A soll nur ein möglicher Rückfluß in Höhe von x mit einer Wahrscheinlichkeit von pa = 1 angenommen werden. Dann beträgt der Projektwert E(X) = x. Die möglichen Realisationen der Zufallsvariablen Y, yi (i = 1,..,n) seien mehrwertig und voneinander verschieden. Für den Erwartungswert der Zufallsvariable Y und damit für den Projektwert gelte jedoch E(Y) = x. Gemäß der Entscheidung nach dem Erwartungswertkriterium wäre ein Wirtschaftssubjekt indifferent zwischen der Durchführung von Projekt A oder B, m.a.W. wenn der Erwartungswert der Rückflüsse übereinstimmt, wird dem „unsicheren Projekt“ der gleiche Wert beigemessen wie dem „sicheren Projekt“. Wenngleich (gegeben den übereinstimmenden Erwartungswert der betrachteten Projekte) mit dem „höheren Risiko“ auch „höhere Chancen“ verbunden sind, neigen Wirtschaftssubjekte i. A. dazu, Risiken stärker zu gewichten als Chancen. Dieser Tatsache wird entweder in Form eines Risikozuschlagssatzes (höhere Diskontierung des Zuflusses, d.h. Berücksichtigung „im Nenner“) oder einer Risikoprämie (Verminderung des zufließenden Betrages, d.h. Berücksichtigung „im Zähler“) Rechnung getragen. Die Sicherheitsäquivalentmethode berücksichtigt die „Nutzenminderung“ unsicherer Zahlungen mittels einer Risikoprämie (Differenz zwischen Erwartungswert und sicherheitsäquivalentem Ertrag). Diese steigt ceteris paribus, wenn die Varianz der erwarteten Zahlungen (gegeben einen bestimmten Erwartungswert) zunimmt. Die Varianz stellt somit ein direktes Maß für das „Risiko“ einer Zahlung dar. Im vorliegenden Fall würde sich aus der risikoadjustierten Projektbewertung eine Änderung der Entscheidung in Form einer klaren Präferenz für die Einführung des „Trend-Nuckels“ ergeben. Allerdings wäre hier von der Durchführung eines Werbefeldzuges in jedem Fall abzusehen. Von wesentlicher Bedeutung ist bei der Verwendung dieses Ansatzes die Frage, in wieweit die gewählte Risikonutzenfunktion geeignet ist, die Präferenzen des Managements zutreffend abzubilden. Problematisch ist bei der Verwendung beider Ansätze zur Entscheidungsfindung die Tatsache, daß sie einen bestimmten Projektwert suggerieren, die tatsächlichen möglichen Realisationen jedoch signifikant von diesem Wert abweichen (können). Dies ist insbesondere bei Einzelprojekten mit hohem Projektwert zu berücksichtigen.

185

22. Kooperationsentscheidung

a) Die relevante Größe für den Plangewinn ist der Erwartungswert: ohne Kooperation: E1 = 250*0,2+500*0,5+1000*0,3 = 600 GE mit Kooperation: E2 = 400*0,1+500*0,7+900*0,2 = 570 GE Der Plangewinn fällt im Falle der Kooperation um 5% niedriger aus.

b) Die relevante Entscheidungsgröße ist hier das Sicherheitsäquivalent des Gewinns ohne Kooperation S1 = exp(ln(250)*0,2+ln(500)*0,5+ln(1000)*0,3) = 535,9 GE mit Kooperation: S2 = exp(ln(400)*0,1+ln(500)*0,7+ln(900)*0,2) = 550 GE Die Kooperation führt zu einer deutlichen Reduzierung der Varianz (hier: „Risiko“) der möglichen erzielbaren Gewinne. Obwohl dabei der Erwartungswert (um 30 GE) geringer ausfällt als im Falle ohne Kooperation, führt die wesentlich geringere Risikoprämie (20 GE im Vergleich zu 64,1 GE) dazu, daß das Sicherheitsäquivalent S2 höher ausfällt als S1. Die Kooperation ist somit zu empfehlen.

23. Standortplanung

a) Zur Ermittlung der Gesamtnutz- bzw. Entscheidungswerte für einen Standort sind die Punktwerte in jeder Spalte zeilenweise mit den zugehörigen Gewichten zu multiplizieren und zu addieren. Es ergibt sich das folgende Bild: Standort Gesamtnutzwert

A 6,4

B 7,6

C 6,25

D 7

E 6

Die Präferenzfolge lautet somit: B ĺ D ĺ A ĺ C ĺ E b) Die Scoring-Technik stellt ein Instrument zur Erleichterung von Entscheidungen bei Auswahlproblemen dar. Kritisch zu sehen ist hierbei zunächst, daß durch die Vergabe der Punktwerte bzw. das ermittelte Scoringergebnis eine analytische Exaktheit des Verfahrens suggeriert wird, die nicht darüber hinwegtäuschen darf, daß hierbei lediglich eine subjektive und situationsbezogene Wahrnehmung bestimmter Personen zugrunde liegt. Die „Ergebnisqualität“ des Auswahlprozesses hängt entscheidend von der Kompetenz und Sachkenntnis sowie den Präferenzen der Entscheidungspersonen ab.

186

Erhebliche Probleme treten jedoch schon bereits in einem der Entscheidung vorgelagerten Schritt bei der (ebenfalls subjektiven) Festlegung der Kriterien sowie der Kriteriengewichte auf. Hierbei ist insbesondere darauf zu achten, daß die Kriterien voneinander unabhängig sind, da es sonst zu einer unbeabsichtigten Verzerrung der Kriteriengewichte kommt. Auch die Festlegung der Anzahl an Entscheidungskriterien birgt einen grundlegenden Zielkonflikt: Werden zu wenige Kriterien herangezogen, ist davon auszugehen, daß der Komplexität der Entscheidungssituation nicht in ausreichendem Maße Rechnung getragen wird. Legt man zu viele Kriterien fest, besteht die Gefahr einer Nivellierung bezüglich der Auswahlergebnisse. Dies ist leicht einzusehen, da mit zunehmender Zahl an betrachteten Faktoren sowohl positive als auch negative Ausprägungen einzelner (aber bedeutsamer) Merkmale weniger ins Gewicht fallen. Es läßt sich somit festhalten, daß die Anwendung der Scoring-Technik zwar in einem gewissen Umfang geeignet ist zur Objektivierung der Entscheidungsfindung beizutragen; der wesentliche Nutzen dürfte jedoch in der Veranschaulichung der Entscheidungsgrundlage sowie der verbesserten intersubjektiven Nachvollziehbarkeit des Entscheidungsprozesses zu sehen sein.

24. Standortplanung

Allgemeine Schritte zur Durchführung einer Nutzwertanalyse: 1. Erstellen einer Liste mit den Standortfaktoren, die im betreffenden Fall relevant sind. (Die in der Nutzwertanalyse verwendeten Standortfaktoren sollten unbedingt nutzenunabhängig voneinander sein, da sonst die Teilnutzen nicht addiert werden können!) 2. Bewerten bzw. gewichten der ausgewählten Faktoren. (Die Gewichtung erfolgt nach subjektiv festgelegten Kriterien!) In der Regel ergibt die Summe der Gewichtungsfaktoren den Wert 1 (= 100%). 3. Operationalisieren der Faktoren, d.h. für jeden Standortfaktor ist eine Maßskala mit genauer Beschreibung der Skalenwerte anzugeben. Es können dabei Nominal-, Ordinal- oder Kardinalskalen verwendet werden. 4. Konkrete Ausprägung der Standortfaktoren im betreffenden Fall festlegen (Vergeben eines Skalenwertes für jeden Faktor). 5. Errechnen der gewichteten Teilnutzwerte für jeden Standort. Falls die Standortfaktoren unabhängig sind, kann hierzu eine einfache Additionsregel verwendet werden.

187

Notation: k = Anzahl der Standortalternativen m = Anzahl der Gewichtungsfaktoren in der Matrix gi = Gewichtungsfaktor des Standortfaktors i nij = Teilnutzwert des Standortes j in Bezug auf den Standortfaktor i Sj = Standortalternative j N(Sj) = Nutzwert der Standortalternative j

m

Der Nutzen aller k Standortalternativen ergibt sich als: N ( S j )

¦g

i

* nij

i

Für den nutzwertoptimalen Standort gilt: N ( S opt ) max^N ( S j )`  j  ^1,..., k ` j

Für den dargestellten Fall ergeben sich somit die Nutzwerte N(Hamburg) = (0,1*9) + (0,3*3) + (0,2*9) + (0,1*6) + (0,1*0) + (0,2*3) = 4,8 N(München) = (0,1*6) + (0,3*9) + (0,2*0) + (0,1*3) + (0,1*3) + (0,2*3) = 4,5 und damit Hamburg als optimaler Standort, gemäß: N(Sopt) = max{4,8; 4,5} = 4,8

188

8.3 Lösungen zu Kapitel 4 Sourcing- und Materialmanagement 25. Statische Bestellmengenplanung (nach Harris)

a) Da gemäß der Modellannahmen die Materialeinstandspreise konstant sind, im vorliegenden Fall jedoch Mengenrabatte gewährt werden, ist zunächst für jeden potentiell verfügbaren Preis die zugehörige optimale Bestellmenge zu ermitteln (lokales Optimum). Im Anschluß ist nun zu prüfen, ob die Lösung zulässig ist, m.a.W., ob die gewünschte Bestellmenge ausreicht, um den avisierten Staffelpreis auch erhalten zu können. Ist dies nicht der Fall, muß eine Randlösung realisiert werden, d.h. die Bestellmenge ausgehend von der im Hinblick auf Bestell- und Lagerkosten optimalen Menge soweit erhöht werden, bis die entsprechende Rabattstufe verfügbar ist. Insofern von der (bezogen auf einen bestimmten Preis) optimalen Bestellmenge abgewichen werden muß, ist es möglich, daß der Vorteil in Form der Verringerung der Einkaufskosten auf Grund des günstigeren Staffelpreises durch den Anstieg der Summe aus Lager- und Bestellkosten überkompensiert wird. Die optimale Bestellmenge kann nun durch den Vergleich der Gesamtkosten der lokalen Optima ermittelt werden:

Intervall Bemerkung Anzahl Packungen Preis pro Packung xopt yopt Gesamtkosten KB KL KB+KL

1 Lösung zulässig 1 – 1.499 1,3 1432,23 13,96 26558,57 279,28 279,28 558,57

2 Lösung zulässig 1.500 – 9.999 1,1 1557,00 12,85 22513,81 256,90 256,90 513,81

3 unzulässige Lösung > 10.000 1,05 1593,64 12,55 21502,00 251,00 251,00 502,00

3* xopt angepaßt > 10.000 1,05 10000,00 2,00 22615,00 40,00 1575,00 1615,00

Im vorliegenden Fall beträgt die optimale Bestellmenge 1557 Packungen (bei zugehörigen Gesamtkosten i.H.v. 22513,81 €). Um die nächste Rabattstufe zu erreichen, müßten (mindestens) 10.000 Packungen pro Bestellung abgenommen werden. Dies hätte jedoch einen Anstieg des mittleren Lagerwertes und damit der Lagerkosten zur Folge, der höher ist als die Einsparung durch den niedrigeren Einstandspreis und die verringerten Bestellkosten. b) Abschätzung: Die absolute Änderung der Bestellkosten bei einer Änderung der Bestellmenge ist gering; entscheidend sind hier die Lagerkosten. Die Rabattgrenze muß also ungefähr so weit gesenkt werden, daß dies die Lagerkosten um etwas mehr als 101 € verringert. Dies entspräche einer Absenkung um ca. (10000*101/1575) = 641 auf 9359 ME (der tatsächliche Wert liegt bei 9339 ME).

189

26. Statische Bestellmengenplanung (mit Restriktion)

B1 = 4.000 ME B2 = 9.000 ME

U1 = 200 GE U2 = 100 GE

p1 = 100 GE/ME p2 = 200 GE/ME

B1 B U1  0,5 x1p1i  2 U 2  0,5x 2 p 2i x1 x2

Zielfunktion: K

i = 10% p. a. R = 90.000 GE

o min!

Nebenbedingung: x1p1 +x2p2 ” 90.000 GE Ansatz nach Lagrange: Zielfunktion: F K  Ȝ (x1p1  x 2 p 2  90.000) Bedingungen erster Ordnung: Gl. (1)

wF wx1



B1 U1  0,5p1i  Ȝ p1 0 x1 ²

Gl. (2)

wF wx 2



B2 U 2  0,5p 2i  Ȝ p 2 x2 ²

Gl. (3)

wF wȜ

0

x1p1  x 2 p 2  90.000 0

Aus Gl. (1) und Gl. (2) ergibt sich: O

B1 U 1  0,5i p1 x 1 ²

B2 U 2  0,5i p2x 2 ²

bzw.

x1

x2

B1 U 1 p 2 B 2 U 2 p1

4 x2 3

Durch Ersetzen von x1 / x2 in Gl. (3) erhält man die optimalen Bestellmengen: 100x 1 

3 200x 1  90.000 0 ĺ x1 = 360 ME 4

ĺ x2

3 x1 4

270 ME

27. ABC-Analyse

a) Zunächst ist der Verbrauchswert für jede Materialart (durch Multiplikation der Bedarfsmengen mit den Preisen) zu ermitteln. Im Anschluß werden die Materialarten nach der Höhe ihres Verbrauchswertes in absteigender Reihenfolge sortiert. In einem weiteren Schritt sind die prozentualen Anteile an der Summe der Verbrauchswerte sowie die kumulierten Werte für diese Anteile zu berechnen. Mit Hilfe dieser kumulierten Anteile am Gesamtverbrauchswert kann nun die Klassifikation in A-, B- und C-Teile erfolgen. (Fortsetzung auf der nächsten Seite)

190

Als Klassengrenze zwischen A- und B-Teilen bietet sich im vorliegenden Fall der Anteilswert von 69% an, als Grenze zwischen B- und C-Teilen erscheint der Wert von 95% zweckmäßig. Zu beachten ist, daß die Festlegung der Klassengrenzen willkürlich, d.h. nicht im Sinne einer entscheidungstheoretisch fundierten Abgrenzung erfolgt, d.h. grundsätzlich könnte auch eine andere Abgrenzung gewählt werden. Materialart Nr.

Jahresbedarf [ME]

5 9 3 12 1 10 2 8 7 6 11 4

860 365 900 1.520 1.675 2.280 6.300 5.300 10.500 32.000 17.500 26.000

kum. Anteil am Anteil an der Preis pro VerbrauchsGesamtKlasse Summe der VerMengeneinwert [€] verbrauchswert brauchswerte heit [€/ME]

725,00 1.270,00 140,00 72,00 55,00 36,00 4,50 3,60 1,30 0,35 0,22 0,10 Summe

623.500 463.550 126.000 109.440 92.125 82.080 28.350 19.080 13.650 11.200 3.850 2.600 1.575.425

39,58% 29,42% 8,00% 6,95% 5,85% 5,21% 1,80% 1,21% 0,87% 0,71% 0,24% 0,17%

39,58% 69,00% 77,00% 83,94% 89,79% 95,00% 96,80% 98,01% 98,88% 99,59% 99,83% 100,00%

A A B B B B C C C C C C

b) Konzentrationskurve: kumulierte prozentuale Anteile am Verbrauchswert 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

10 A

20

30

40 B

50

60

70

80 C

90

100

kumulierte prozentuale Anteile an der Gesamtzahl der Materialarten

191

28. Diskrete Bestellmengenmodelle/ Losgrößenheuristiken

a) Im Falle der LUC-Heuristik sind die Durchschnittskosten (bzw. Stückkosten) für das Kopierpapier zu vergleichen. Hierzu werden zunächst, ausgehend von einem bestimmten Zeitpunkt, die Bestell- bzw. Lagerkosten, die aus dem Zusammenfassen mehrerer Monatsbedarfe entstehen, ermittelt. Im Anschluß werden die Gesamtkosten einer Bestellung durch die kumulierte Bestellmenge dividiert. Solange der Wert für diese Stückkosten sinkt, wird das Los weiter vergrößert, steigen die Stückkosten an, wird in dem entsprechenden Monat eine neue Bestellung aufgegeben. Für die Bildung des ersten Loses ist die folgende Berechnung durchzuführen (zt+x-1 Ł zn bezeichnet die Losgröße im Monat n, die Hilfsvariablen t bzw. x geben an, in welchem Monat eine Bestellung erfolgt bzw. wie viele Monate zu einem Bestellos zusammengefaßt werden): K(1) = KB = 40 € K(2) = K(1) + KL* z2 = 40 € + 1*11 € = 51 € K(3) = K(2) + 2*KL* z3 = 51 € + 2*18 € = 87 € K(4) = K(3) + 3*KL* z4 = 87 € + 3*24 € = 159 € k(1) = K(1) / Z(1) = 40 € / 12 ME = 3,33 € / ME k(2) = K(2) / Z(2) = 51 € / 23 ME = 2,22 € / ME k(3) = K(3) / Z(3) = 87 € / 41 ME = 2,12 € / ME k(4) = K(4) / Z(4) = 159 € / 65 ME = 2,45 € / ME

Für den Jahresverlauf ergibt sich das folgende Bild: Periode t x 1 1 1 2 1 3 1 4 4 1 4 2 4 3 6 1 6 2 6 3 6 4 9 1 9 2 9 3 11 1 11 2 11 3 192

zt+x-1

Z(x)

K(x)

k(x)

12 11 18 24 24 26 14 14 10 12 20 20 25 16 16 12 12

12 23 41 65 24 50 64 14 24 36 56 20 45 61 16 28 40

40 51 87 159 40 66 94 40 50 74 134 40 65 97 40 52 76

3,33 2,22 2,12 2,45 1,67 1,32 1,47 2,86 2,08 2,06 2,39 2,00 1,44 1,59 2,50 1,86 1,90

Bestellose

1. Los: Jan-Mar

2. Los: Apr-Mai

3. Los: Jun-Aug

4. Los: Sep-Okt

5. Los: Nov-Dez

Die Gesamtkosten betragen GKLUC = 87 € + 66 € + 74 € + 65 € + 52 € = 344 €. Hierin sind Bestellkosten in Höhe von KB = 5*40 € = 200 € enthalten. Die LTC-Heuristik basiert auf der Idee der klassischen Losgrößen bzw. Bestellmengenformel nach Andler/ Harris. Die Bestellmenge ist dann optimal, wenn die Grenzbestellkosten mit den Grenzlagerkosten übereinstimmen. Da sich in dieser Formel die Bestellkosten proportional, die Lagerkosten reziprok-proportional zur Losgröße verhalten, stimmen im Optimum darüber hinaus auch die Absolutbeträge der Bestell- und Lagerkosten überein. Dementsprechend werden gemäß der LTC-Heuristik die Lagerhaltungskosten so lange kumuliert, bis diese die Kosten einer Bestellung übersteigen. Für die Bildung des ersten Loses ist die folgende Berechnung durchzuführen: K(1) = 0 € K(2) = KL* z2 = 1*11 € = 11 € K(3) = K(2) + 2*KL* z3 = 11 € + 2*18 € = 47 €

< 40 € < 40 € > 40 €

Die nachfolgende Tabelle zeigt die kumulierten Kosten bzw. die Losbildung gemäß der LTC-Heuristik für das betrachtete Jahr: Periode t x 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 5 1 5 2 5 3 5 4 8 1 8 2 8 3 10 1 10 2 10 3

zt+x-1

K(x)

12 11 18 18 24 26 26 14 10 12 12 20 25 25 16 12

0 11 47 0 24 76 0 14 34 70 0 20 70 0 16 40

Bestellose 1. Los: Jan-Feb

2. Los: Mar-Apr

3. Los: Mai-Jul

4. Los: Aug-Sep

5. Los: Okt-Dez

Die Gesamtkosten betragen: GKLTC = KL + KB = 11 € + 24 € + 34 € + 20 € + 40 € + 5*40 € = 329 €.

193

Bei der Heuristik nach Silver und Meal wird das Ziel verfolgt, die periodenbezogenen variablen Gesamtkosten zu minimieren. Hierzu werden Kosten einer Bestellung sowie die Lagerkosten, die aus dem Zusammenfassen mehrer Monatsbedarfe ab einem bestimmten Termin entstehen, kumuliert und durch die Anzahl der betreffenden Monate dividiert. So lange diese zeitbezogenen Kosten sinken, wird das Los weiter vergrößert, ein Anstieg derselben stellt das Abbruchkriterium der Heuristik dar. Bei der Bildung des ersten Loses ist die folgende Berechnung durchzuführen (1 ZE = 1 Monat): K(1) = KB = 40 € K(2) = K(1) + KL* z2 = 40 € + 1*11 € = 51 € K(3) = K(2) + 2*KL* z3 = 51 € + 2*18 € = 87 € k(1) = K(1) / 1 = 40 € / 1 ZE = 40 € / ZE k(2) = K(2) / 2 = 51 € / 2 ZE = 25,50 € / ZE k(3) = K(3) / 3 = 87 € / 3 ZE = 29 € / ZE Für den Jahresverlauf ergibt sich für die periodenbezogenen variablen Gesamtkosten bzw. bezüglich der Zusammenfassung der Lose das folgende Bild: Periode t x 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 5 1 5 2 5 3 5 4 8 1 8 2 8 3 11 1 11 2 11 3 11 4

zt+x-1

K(x)

K(x)/x

12 11 18 18 24 26 26 14 10 12 12 20 25 25 16 12 12

40 51 87 40 64 116 40 54 74 110 40 60 110 40 56 80 116

40,00 25,50 29,00 40,00 32,00 38,67 40,00 27,00 24,67 27,50 40,00 30,00 36,67 40,00 28,00 26,67 29,00

Bestellose 1. Los: Jan-Feb

2. Los: Mar-Apr

3. Los: Mai-Jul

4. Los: Aug-Sep

5. Los: Okt-Dez

Die Gesamtkosten betragen GKS/M = 51 € + 64 € + 74 € + 60 € + 80 € = 329 €. Hierin sind Bestellkosten in Höhe von KB = 5*40 € = 200 € enthalten.

194

b) Berechnung der aktuellen Kosten: K(1) = KB = 40 € K(2) = K(1) + 1*KL*z2 = 40 € + 1*11 € = 51 € K(3) = K(2) + 2*KL*z3 = 51 € + 2*18 € = 87 € K(4) = K(3) + 3*KL*z4 = 87 € + 3*24 € = 159 € K(5) = K(4) + 4*KL* z5 = 159 € + 4*26 € = 263 € K(6) = K(5) + 5*KL* z6 = 263 € + 5*14 € = 333 € K(7) = K(7) + 6*KL* z7 = 333 € + 6*10 € = 393 € K(8) = K(8) + 7*KL* z8 = 393 € + 7*12 € = 477 € K(9) = K(9) + 8*KL* z9 = 477 € + 8*20 € = 637 € K(10) = K(10) + 9*KL* z10 = 637 € + 9*25 € = 862 € K(11) = K(11) + 10*KL* z11 = 862 € + 10*16 € = 1022 € K(12) = K(12) + 11*KL* z12 = 1022 € + 11*12 € = 1154 € Übersicht der Kosten in Jahresvergleich: Bestellkosten Lagerkosten Mengenrabatt Gesamtkosten

LUC 200 € 144 € 344 €

LTC 200 € 129 € 329 €

Silver / Meal 200 € 129 € 329 €

Ist-Situation 40 € 1114 € ./. 340 € 814 €

Die Anwendung aller drei Heuristiken führt zu zufriedenstellenden Lösungen. Die nach Maßgabe des LTC- und des Silver/Meal-Verfahrens ermittelten Gesamtkosten stimmen trotz geringfügiger Unterscheide bei der Abgrenzung der Bestellose überein, auch der Einsatz des LUC-Verfahrens führt zu keinen nennenswerten Abweichungen. Die Betrachtung der Ist-Situation zeigt, daß zwar eine Ersparnis an Bestellkosten in Höhe von 160 € bzw.– unter Einbeziehung des Mengenrabattes – von insgesamt 500 € zu verzeichnen ist; diese wird jedoch durch die erheblich höheren Lagerkosten (für die neben den zu berücksichtigenden Kapitalbindungskosten und Schwund die Mietkosten der Lagerfläche als entscheidend anzusehen sein dürften) in der betrachteten Periode überkompensiert.

29. Verpackungsplanung a) Volumen und Oberfläche des Zylinders in Abhängigkeit von Radius und Höhe: V O

3r ² h 23r ²  23rh

23 (r ²  rh)

Auflösen der 1. Gleichung nach „h“ und Einsetzen in die 2. Gleichung ergibt die Oberfläche in Abhängigkeit von Radius und Volumen des Zylinders: O

V · § 23 ¨ r ²  ¸ 3r ¹ ©

195

Durch Nullsetzen der ersten Ableitung läßt sich unter Berücksichtigung der hinreichenden Bedingung (2. Ableitung positiv) der Radius ermitteln, für den – gegeben ein bestimmtes Volumen – die Oberfläche minimal ist: dO dr

V · § 23¨ 2r  ¸ 3r ² ¹ ©

d ²O dr ²

V · § 23¨ 2  2 ¸ 3 r³ ¹ © V bzw. r ³ 3r ²

2r

r=

0

3

V 23

3

0 (für alle r > 0)

V 23

500cm³ 23

4,30127cm

Die optimale Höhe beträgt somit: 23r ³ 3r ²

V 3r ²

h

2r

2 * 4,30127cm

8,6025cm

b) Zur Bestimmung der Materialstückkosten muß der Materialverbrauch pro Dose ermittelt werden. Dieser hängt von der Oberfläche und der Dicke des zu verwendenden Aluminiumbleches ab. Die Oberfläche beträgt insgesamt: O

23 (r ²  rh)

23 ((4,3013cm)²  4,3013cm * 8,6025cm)

348,74cm²

Die Dicke des Bleches muß so gewählt werden, daß die Dose dem statischen Gasdruck ps = 6 bar standhält. Da der atmosphärische Druck ca. 1 bar beträgt, ergibt sich ein relativer Innendruck von pi = ps – pu = 6 – 1 = 5 bar = 0,5 N/mm². Die zu wählende Blechdicke beträgt somit (mindestens):

s

pi * ri

VT

0,5

N * 43,013mm mm² N 90 mm²

0,239mm

Das Volumen des Dosenblechs beträgt somit: VB

348,74cm² * 0,0239cm

8,33cm³

Eine Dose wiegt demnach: m

U AL * VB

2,7

g * 8,33cm³ cm³

22,5 g

Die Materialstückkosten einer Dose liegen somit bei: k

196

2,4

€ kg * 0,0225 kg St

0,054

€ St.

30. Verpackungsplanung

a) Der zu minimierende Materialverbrauch wird durch den Flächeninhalt des Netzes (siehe oben) bestimmt. Damit ergibt sich das folgende Optimierungsproblem: Zielfunktion: Z

(2 x  l  h)(2 x  2l  2b) [cm³] o min

Nebenbedingungen:

x 1 cm

l

8 cm

hbl

1000 cm³

Nach dem Einsetzen der Nebenbedingung x = 1 in die Zielfunktion und Ausmultiplizieren ergibt sich: Z 4  6l  4b  2l ²  2lb  2h  2hl  2hb . Nach dem Auflösen der 3. Nebenbedingung nach h und Ersetzung von h und l in der Zielfunktion hängt diese nur noch von b ab. Nach Zusammenfassung der Terme ergibt sich: Z b 430  20b 

2250 o min . b

Durch Nullsetzen der ersten Ableitung lassen sich unter Berücksichtigung der hinreichenden Bedingung die Breite b und die Höhe h ermitteln, für die – gegeben die Länge l = 8 cm und ein Volumen von 1000 cm³ – die Oberfläche minimal ist: dZ b db

20 

d ² Z b db ²



2250 b²

b

0

2 * 2250 b³

0 (für alle r > 0)

h

112,5 | 10,6066 cm 125 b

125 112,5

| 11,7851 cm

b) Es läßt sich zeigen, daß durch die Vorgabe der Länge l = 8 cm zwar ein lokales Optimum, bezogen auf die zugehörige Höhe und Breite erreicht wird, der Materialverbrauch jedoch bei freier Wahl von Höhe, Länge und Breite im globalen Optimum nochmals deutlich niedriger ausfällt. Hierzu ist aus dem obigen Optimierungsproblem lediglich die 2. Nebenbedingung (l = 8) zu entfernen; nach der Ersetzung von h ergibt sich: Z (b, l )

4  6l  4b  2l ²  2lb 

2000 2000 2000   . bl b l

Die partiellen Ableitungen der Zielfunktion nach b und l ergeben sich mit: wZ (b, l ) wb

4  2l 

2000 2000  b ²l b²

wZ (b, l ) wl

6  4l 

2000 2000  bl ² l²

197

Einsetzen von b

112,5 bzw. l = 8 liefert:

wZ (b, l ) wb

4  16 

wZ (b, l ) wl

6  32  2 * 112,5 

2000 2000  112,5 * 8 112,5

0

2000 112,5 * 64



2000 | 25 64

Für die Breite liegt bei vorgegebener Länge ein lokales Optimum vor, die partielle Ableitung beträgt für die berechneten Optimalwerte „0“. Diese Betrachtung gilt analog für die Höhe. Daß das Tripel

h; b; l

· § 125 ¸ ¨ ¨ 112,5 ; 112,5 ;8 ¸ ¹ ©

global keine optimale Lösung darstellen kann, wenn die Länge frei wählbar ist, ergibt sich aus dem positiven Wert der partiellen Ableitung nach l. Das positive Vorzeichen bedeutet, daß bei einer Abnahme der Länge auch die Zielfunktion respektive der Materialverbrauch abnehmen; die „optimale Länge“ ist somit kürzer als 8cm. Hierbei ist allerdings zu beachten, daß eine Verkürzung der Länge bei gegebenem Volumen zwingend eine Verlängerung der (optimalen) Höhe und Breite nach sich zieht. Um den Materialverbrauch zu minimieren, wenn keine Vorgabe hinsichtlich der Länge bestünde, müßten somit alle Abmessungen geändert werden. Anmerkung: Es handelt sich in diesem Fall um ein nichtlineares Optimierungsproblem. Die Lösung kann nur iterativ bestimmt werden; Sie ergibt sich mit den Werten: h; b; l (13,44; 6,29; 11,82).

31. Gozintograph (W8)

a) Gozintograph:

E9 4

5

F6

E10

F7

5

G1

198

F8 8

3 2

10

5

2

7

6

4

G2

G3

G4

G5

b) Bedarf an Bauteilen und Baugruppen: E10 =

E9 =

100 ME

50 ME

F8 =

10*E10 +100 ME = 10*100 ME + 100 ME = 1.100 ME

F7 =

5*E10 + 4*E9 + 100 ME = 5*100 ME + 4*50 ME + 100 ME = 800 ME

F6 =

5*E9 + 100 ME = 5*50 ME + 100 ME = 350 ME

G5 =

7*F8 = 7*(10*E10 +100 ME ) = 7*1.100 ME = 7.700 ME

G4 =

8*F7 = 8*(5*E10 + 4*E9 + 100 ME) = 8*800 ME = 6.400 ME

G3 =

6*F7 + 2*F8 = 6*(5*E10 + 4*E9 + 100 ME) + 2*(10*E10 +100 ME) = 7.000 ME

G2 =

3*F7 + 5*E9 + 4*F6 = 3*(5*E10 + 4*E9 + 100 ME) + 5*E9 + 4*(5*E9 + 100 ME) = 4.050 ME

G1 =

2*F6 = 2*(5*E9 + 100 ME) = 700 ME

32. Gozintograph und Direktbedarfs- sowie Gesamtbedarfsmatrix

a) Die Direktbedarfsmatrix gibt an, wie viele Mengeneinheiten eines Rohstoffes oder Zwischenerzeugnisses unmittelbar in ein anderes Zwischen- bzw. Enderzeugnis eingehen, m. a. W. es handelt sich um eine tabellarische Übersicht der direkten funktionalen Beziehungen zwischen den Erzeugnissen (bzw. Rohstoffen und Erzeugnissen). Zur Aufstellung der Direktbedarfsmatrix können somit die an den Pfeilen des Gozintographen angegebenen Produktionskoeffizienten unmittelbar übernommen werden: Direktbedarfsmatrix: A B C D E F

A 0 2 3 0 0 0

B 0 0 0 2 5 0

C 0 1 0 4 0 3

D 0 0 0 0 0 0

E 0 0 0 1 0 2

F 0 0 0 0 0 0

199

b) Gesamtbedarf aller Komponenten für eine Einheit des Produktes A: zA = xA = 1 xC = 3xA = 3 xB = 2xA + 1xC = 5xA = 5 xE = 5xB = 25xA = 25

xD = 4xC + 2xB + xE = 12xA + 10xA +25xA = 47xA = 47 xF = 2xE + 3xC = 50xA + 9xA = 59xA = 59

Gesamtbedarf an Komponenten für eine Einheit der Komponente B: zB = xB = 1 xE = 5xB = 5

xD = 2xB + xE = 7xB = 7 xF = 2xE = 10xB = 10

Gesamtbedarf an Komponenten für eine Einheit der Komponente C: zC = xC = 1 xB = xC = 1 xE = 5xB =5xC = 5

xD = 4xC + 2xB + xE = 4xC + 2xC + 5xC = 11xC = 11

Gesamtbedarf an Komponenten für eine Einheit der Komponente D: zD = xD = 1 Gesamtbedarf an Komponenten für eine Einheit der Komponente E: zE = xE = 1 xD = x E = 1

xF = 2xE = 2

Gesamtbedarf an Komponenten für eine Einheit der Komponente F: zE = xE = 1 Aus dem Gesamtbedarf zur Herstellung je einer Einheit des Produktes bzw. einer Komponente kann nun die Gesamtbedarfsmatrix direkt abgeleitet werden. Hierzu sind die ermittelten Mengen jeweils spaltenweise in die Matrix zu übernehmen. (Es ist die auf Grund der sukzessiven Ermittlung geänderte Reihenfolge zu beachten!) Insofern eine Komponente nicht in das Produkt bzw. eine andere Komponente eingeht, ist an der betreffenden Stelle in der Matrix eine Null einzutragen. Gesamtbedarfsmatrix: A B C D E F

A 1 5 3 47 25 59

B 0 1 0 7 5 10

C 0 1 1 11 5 13

D 0 0 0 1 0 0

E 0 0 0 1 1 2

F 0 0 0 0 0 1

Die Gesamtbedarfsmatrix gibt an, wie viele Mengeneinheiten an Rohstoffen, Zwischen- oder Enderzeugnissen jeweils zur Deckung einer Einheit des Primärbedarfs an Zwischen- oder Enderzeugnissen benötigt werden. Spaltenweise betrachtet entspricht die Matrix einer Stückliste; zeilenweise gelesen einem Teileverwendungsnachweis. 200

c) Zusammenhang zwischen Direktbedarfs- und Gesamtbedarfsmatrix Bezeichnung x z D E G

Erläuterung Vektor der Gesamtbedarfsmengen (m×1) Vektor der Primärbedarfsmengen (m×1) Direktbedarfsmatrix (m×m) Einheitsmatrix (m×m) Gesamtbedarfsmatrix (m×m)

Es gilt der Zusammenhang: x = Dx + z

ļ

ļ

x – Dx = z

(E – D)x = z

Durch Linksmultiplikation mit der inversen Matrix (E – D)-1 ergibt sich: x = (E – D)-1z = Gz d) Bestimmung der Gesamtbedarfsmatrix G = (E – D)-1 aus der Direktbedarfsmatrix mittels Matrixinversion: 1 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 2 5 0 0 1 0 2 5 0 0 1 0 2 5 0

0 1 1 4 0 3 0 1 1 4 0 3 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 5 3 12 0 9

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 4 0 3

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

2 1 1 5 3 3 2 3 5 5 3 3 2 8 5 15 3 12

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 1

1 5 3 22 25 9

0 1 0 2 5 0

0 1 1 6 5 3

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

2 8 5 31 37 12

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 5 3 47 25 59

0 1 0 7 5 10

0 1 1 11 5 13

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 1

2 8 5 68 37 86

201

e) Ermittlung des Vektors der Gesamtbedarfsmengen x mit Hilfe der Gesamtbedarfsmatrix:

z

x

§100 · ¨ 50 ¸ ¨ 50 ¸ ¨ 0¸ ¨ 0¸ ¨ 0¸ © ¹

Gz

G

§ 1 ¨ 5 ¨ 3 ¨ 47 ¨ 25 ¨ 59 ©

§ 1 ¨ 5 ¨ 3 ¨ 47 ¨ 25 ¨ 59 © 0 1 0 7 5 10

0 1 0 7 5 10 0 1 1 11 5 13

0 1 1 11 5 13

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 2

0 0 0 1 1 2

0· 0¸ 0¸ 0¸ 0¸ 1¸¹

0 ·§100 · 0 ¸¨ 50 ¸ 0 ¸¨ 50 ¸ 0 ¸¨ 0 ¸ 0 ¸¨ 0 ¸ 1¸¹¨© 0 ¸¹

§ 100 · ¨ 600 ¸ ¨ 350 ¸ ¨ 5600 ¸ ¨ 3000 ¸ ¨ 7050 ¸ © ¹

33. Mengenübersichtsstücklisten

a) Gozintograph:

A 1

R

20 2 E

1 8

V

G 8

1 D

202

1 M

2

1

S

B

8

2

2 W

5

F

8

K 1

4

U

4 Z L

b) Mengenübersichtsstückliste: Produkt Aktenschrank „Angstrøm“ (A) Komponente / Element/ Einzelteil Menge Komponente (K) 1 Rückwand (R) 1 Deckel-/ Bodenteil (E) 2 Seitenwand (W) 2 Standfüße (F) 4 Schubladen (S) 5 Griff (G) 5 Laufrollen (L) 20 Boden- und Rahmenteil (B) 5 Schrauben Typ 0819 (Z) 40 Verbindungselement (V) 38 Schrauben Typ 0815 (D) 38 Muttern Typ 0816 (M) 78 Unterlegscheiben Typ 0817 (U) 116

203

8.4 Lösungen zu Kapitel 5 Operative Prozeßsteuerung, -organisation und -optimierung 34. Flußorientierung im Prozeßablauf (W9) a) „batch-and-queue“: TP1: „Briefbogen falten“

A1.1 Briefbogen aufnehmen

A1.3 Briefbogen falten (I)

(2)

A1.4 Briefbogen falten (II)

(3)

(3)

A1.2

warten bis alle 1000 Bögen gefaltet sind

Briefbogen ablegen (2)

TP2: „Brief couvertieren“

A2.5

A2.1

Couvert aufnehmen

Briefbogen aufnehmen

(2)

A2.7 B. in Couvert stecken

(2)

(4)

A2.8

A2.6

Couvert verschließen

Couvert ablegen

(3)

(2)

TP3: „Couvert versandfertig machen“

A3.5

A3.9

A3.10

Couvert aufnehmen

Brief frankieren

B. in Postausgang

(2)

(3)

(2)

b) Flußorientierung: A1.1 Briefbogen aufnehmen (2)

A2.5

(3)

A2.1

Couvert aufnehmen

Briefbogen aufnehmen

(2)

(2)

A1.4 Briefbogen falten (II) (3)

A2.7 B. in Couvert stecken (4)

A3.5

A3.9

A3.10

Couvert aufnehmen

Brief frankieren

B. in Postausgang

(2)

204

A1.3 Briefbogen falten (I)

(3)

(2)

A1.2 Briefbogen ablegen (2)

A2.8 Couvert verschließen (3)

A2.6 Couvert ablegen (2)

warten bis alle 1000 Bögen couvertiert sind

Antwort: Das Ablegen und Wiederaufnehmen von Couvert und Briefbogen stellt eine vermeidbare Verschwendung von Zeit dar. Die Effizienz des Gesamtprozesses kann ohne zusätzliche Anstrengung gesteigert werden, indem der Prozeß „entlang des Materialflusses“ organisiert wird. Die „Durchlaufzeit“ eines Briefes sinkt hierdurch von 30 auf 22 Sekunden (Zeiteinsparung ca. 26,7%).

35. Effizienz von Faktorkombinationen

a) Effiziente und ineffiziente Faktoreinsatzkombinationen: z2

F

M

12

= effizient = ineffizient

I L

10 E

O

P

C 8

K

H 6

J

A 4

B

D

2 N

G

z1 2

4

6

8

10

12

b) Eine Faktoreinsatzkombination heißt effizient, wenn bei einem vorgegebenen Outputniveau keine andere zulässige Faktoreinsatzkombination existiert, mit der sich dasselbe Ergebnis mit geringerem Einsatz eines Faktors bei gleichbleibendem Einsatz des anderen Faktors oder mit geringerem Einsatz beider Faktoren realisieren läßt. Faktoreinsatzkombinationen, die nicht effizient sind, heißen ineffizient.

205

Faktoreinsatz- Outputniveau x kombination D 3 N 3 E 4 K 4 M 5 P 5

wird dominiert von B G C H/J F/L O

geringerer Einsatz des Faktors/ der Faktoren z1 z1 z1 und z2 z1 bzw. z2 z1 bzw. z2 z1

36. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie)

a) Gegenstand des Fließbandabgleichs ist es, eine Fließfertigung in organisatorischer

Hinsicht optimal zu gestalten. Es liegt hier ein spezielles Maschinenbelegungsproblem vor, bei dem identische Aufträge in vorgegebener Reihenfolge innerhalb eines festen Zeittaktes bearbeitet werden. Bei der Durchführung des Fließbandabgleichs wird die Gesamtaufgabe der Fertigung in einzelne Elemente zerlegt, deren Ausführungszeit und Vorrangrelation bekannt sind. Auf Grundlage dieser Daten kann nun, gegeben ein bestimmter Takt, die Bildung von Stationen mittels Zuordnung der Elemente anhand eines geeigneten Verfahrens vorgenommen werden oder, gegeben eine bestimmte Anzahl an Stationen, der geeignete (minimale) Takt ermittelt werden. Ziel ist es dabei, die verschiedenen, an einem Produkt vorzunehmenden Arbeitsschritte bzw. Arbeitselemente derart zu Stationen zu bündeln, daß in allen Stationen eine möglichst gleichmäßige Arbeitsbelastung besteht und somit ein hoher (Band)wirkungsgrad erzielt werden kann. Eine Minimierung der Stationenzahl ist insoweit vorteilhaft, als sie dazu beiträgt, die Zahl der am Fließband beschäftigten Arbeitskräfte zu reduzieren und damit die Personalkosten zu senken. Die Durchlaufzeit wird, gegeben eine bestimmte Stationenzahl, durch die Taktzeit vorgegeben, d.h. daß somit eine Minimierung der Taktzeit mit einer Maximierung des Durchsatzes des Fließbandes verbunden ist. b) T = Plaungszeitraum [h] x = Menge des Endproduktes [ME] ti = Ausführungszeit für das Arbeitselement i [ZE] C = Taktzeit [ZE] mmin = minimale Anzahl an Stationen Um innerhalb von 8 Stunden mindestens 48 ME fertigen zu können, darf die Taktzeit höchstens C = T / x = 8*60 / 48 = 10 Minuten pro Mengeneinheit betragen. Die theoretische Minimalzahl an Stationen ergibt sich als: mmin

¦t

i

/C

50 / 10

5

(Hinweis: für nicht ganzzahlige Ergebnisse ist mmin stets aufzurunden!)

206

c) Vorranggraph: B 5

E 7

H 6

C 3

F 9

I 8

D 15

G 4

A 7

J 5

d) Bei dem Verfahren von Helgeson und Birnie handelt es sich nicht um ein Optimierungsverfahren bzw. einen Algorithmus, sondern um eine reine Heuristik zur Ermittlung zulässiger Zuordnungen von Arbeitelementen zu Stationen bei einer vorgegebenen Taktzeit. Positionswerte stellen dabei sicher, daß „wichtige“ Arbeitselemente, m.a.W. solche, die viele (direkte und indirekte) Nachfolger aufweisen, früheren Stationen zugeordnet werden. Zunächst werden für alle Arbeitselemente die Positionswerte ermittelt. Der Positionswert berechnet sich als Summe der Bearbeitungszeit eines Arbeitselementes und aller seiner direkten und indirekten Nachfolger. Die Ermittlung kann mit Hilfe eines Vorranggraphen erfolgen, der als Knoten die Arbeitselemente sowie deren Ausführungszeit enthält. Im nächsten Schritt erfolgt die Zuordnung der Elemente zu den Stationen. Hierzu wird zunächst die erste Station eröffnet, nachfolgend werden dieser in (absteigender) Reihenfolge der Positionswerte so lange zulässige Elemente zugewiesen, bis die Taktzeit ausgeschöpft ist. Für den Fall, daß ein dem Rang nach zu bevorzugendes Arbeitselement eine zu hohe Ausführungszeit benötigt, kann dieses durch ein anderes (zulässiges) Element ersetzt werden, das noch in den Takt paßt. Bsp.: Bestimmung des Positionswertes für das Arbeitselement C: Der Positionswert ergibt sich in diesem Fall als Summe der Bearbeitungszeit des Arbeitselementes (C) und aller seiner direkten (F + G) und indirekten Nachfolger (I + J), also: PW(C) = 3 + 9 + 4 + 8 + 5 [ZE] = 29 ZE AE und direkte Bezeichnung des Ausführungszeit direkte sowie indirekte Positionswert Arbeitselementes i in Minuten Nachfolger Nachfolger A B C D E F G H I J

7 5 3 15 7 9 4 6 8 5

B, C, D E F,G G H, I I I J J -

A-J B, E, H, I, J C, F, G, I, J D, G, I, J E, H, I, J F, I, J G, I, J H, J I, J J

50 31 29 32 26 22 17 11 13 5

207

37. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie)

a) Ermitteln der Positionswerte: Bezeichnung des AusführungsArbeitselementes zeit [ZE]

direkte Nachfolger

AE und direkte sowie indirekte Nachfolger

Positionswert

A

8

B, C

A-H

62

B

12

D

B, D, F, G, H

43

C

6

E

C, E, G, H

22

D

14

F, G

D, F, G, H

31

E

5

G

E, G , H

16

F

6

H

F, H

14

G

3

H

G, H

11

H

8

-

H

8

Zuordnen der Arbeitselemente zu den Stationen: Vorgang Eröffnung Station 1

(verbleibende) Stationszeit 14

A

Zuordnung des AE "A"

14 - 8 = 6

B, C

Zuordnung des AE "C"

6-6=0

B, E

14

B, E

Eröffnung Station 2 Zuordnung des AE "B" Eröffnung Station 3 Zuordnung des AE "D"

14 - 12 = 2

D, E

14

D, E

14 - 14 = 0

E, F

14

E, F

Zuordnung des AE "E"

14 - 5 = 9

F, G

Zuordnung des AE "F"

9-6=3

G

Zuordnung des AE "G"

3-3=0

H

14

H

14 - 8 = 6

-

Eröffnung Station 4

Eröffnung Station 5 Zuordnung des AE "H"

Die minimale Stationszahl beträgt 5.

208

verfügbare Arbeitselemente

b) Neuzuordnung der Arbeitselemente: (verbleibende) Stationszeit

Vorgang Eröffnung Station 1

verfügbare Arbeitselemente

16

A

Zuordnung des AE "A"

16 - 8 = 8

B, C

Zuordnung des AE "C"

8-6=2

B, E

16

B, E

16 - 12 = 4

D, E

16

D, E

16 - 14 = 2

E, F

Eröffnung Station 2 Zuordnung des AE "B" Eröffnung Station 3 Zuordnung des AE "D" Eröffnung Station 4

16

E, F

Zuordnung des AE "E"

16 - 5 = 11

F, G

Zuordnung des AE "F"

11 - 6 = 5

G

Zuordnung des AE "G"

5-3=2

H

16

H

16 - 8 = 8

-

Eröffnung Station 5 Zuordnung des AE "H"

Die Erhöhung der Taktzeit hat lediglich eine Erhöhung der Leerzeiten zur Folge, die Anordnung der Stationen bleibt unverändert. Die Vereinbarung ist aus Sicht der Produktionsleitung als äußerst ungünstig zu bewerten, da dies eine Reduktion der Leistung bzw. Produktivität bedeutet, ohne daß dies mit einer Kostensenkung verbunden wäre. c) Bandwirkungsgrad: ti = Ausführungszeit für das Arbeitselement i [ZE] C = Taktzeit [ZE] mmin = minimale Stationszahl ti

BWG1 (C1

14)

¦m

BWG2 (C1

16)

¦m

min * C

ti min * C

62 5 * 14

0,8857

88,57%

62 5 * 16

0,7750

77,50%

Der Bandwirkungsgrad sinkt bei einer Erhöhung der Taktzeit von C1 = 14 auf C2 = 16 ZE von BWG1 = 88,57 % auf BWG2 = 77,50 %.

209

38. Fließbandabgleich (nach Helgeson / Birnie)

a) ti = Ausführungszeit für das Arbeitselement i [ZE] C = Taktzeit [ZE] mmin =

¦t

i

/ C = 36 / 12 = 3

Die theoretische Minimalzahl der Stationen beträgt 3. b)

Station A B Nachfolger B, C D

C D,E

D F

E F

F G

G -

Vorranggraph:

B 5

D 7

A 3

F 2 C 8

G 5

E 6

c) Zuordnung der Arbeitselemente: Bez. Beschreibung des AE

A B

210

Plätzchen auf Bräunungsgrad und Beschädigungen überprüfen Oberseite der Plätzchen mit Nougat-Creme bestreichen

Ausfühunmittelbar rungszeit vorhergehend [ZE]

Nachfolger

Pos.wert

3

-

B, C

36

5

A

D

19

C

Unterseite der Plätzchen mit Glasur überziehen

8

A

D, E

21

D

Plätzchen zusammenfügen

7

B, C

F

14

E

Plätzchen mit Nußsplittern bestreuen

6

C

F

13

F

Qualitätskontrolle

2

D, E

G

7

G

Verpacken der Plätzchen

5

F

-

5

Vorgang

Eröffnung Station 1 Zuordnung des AE "A" Zuordnung des AE "C" Eröffnung Station 2 Zuordnung des AE "B" Zuordnung des AE "D" Eröffnung Station 3 Zuordnung des AE "E" Zuordnung des AE "F" Eröffnung Station 4 Zuordnung des AE "G"

(verbleibende) Stationszeit

verfügbare Arbeitselemente

12 12 - 3 = 9 9-8=1 12 12 - 5 = 7 7-7=0 12 12 - 6 = 6 6-2=4 12 12 - 5 = 7

A C, B B, E B, E D, E E E F G G -

Auf Grund der (nicht vermeidbaren) Leerzeiten bei den Stationen 1 und 3 werden insgesamt 4 Stationen benötigt.

39. Anlagen- und Kapazitätsplanung

Die Laufzeiten der einzelnen Anlagentypen betragen: Anlagentyp 1: [(2 * 8 * 0,8) + (8 * 0,5)] * 5 * 48 = 4.032 Std./Jahr Anlagentyp 2: (2 * 8 * 0,9) * 5 * 48 = 3.456 Std./Jahr Anlagentyp 3: (2 * 8 * 0,95) * 5 * 48 = 3.648 Std./Jahr Kapazitätsbedarfsermittlung: Rüstzeitbedarf

Durchschnittlicher Jahresbedarf ˜ Rüstzeit Durchschnittliche Losgröße Produktgruppe A

Anlagentyp 1 Rüstzeit (Std.) Bearbeitungszeit (Std.) 20 % Reserve Gesamt Anlagentyp 2 Rüstzeit (Std.) Bearbeitungszeit (Std.) 20 % Reserve Gesamt Anlagentyp 3 Rüstzeit (Std.) Bearbeitungszeit (Std.) 20 % Reserve Gesamt

Produktgruppe B

Produktgruppe C

0

0

0

200 40 240

1.000 200 1.200

1.500 300 1.800

200

75

7,5

750 190 1.140

2.500 515 3.090

3.750 751,5 4.509

50

25

15

1.500 310 1.860

5.000 1.005 6.030

7.500 1.503 9.018 211

Vom Anlagentyp 1 reicht eine Maschine aus, um den Kapazitätsbedarf von 240 + 1.200 + 1.800 = 3.240 Std./Jahr zu decken. ĺ Investitionskosten = 1.000 GE Vom Anlagentyp 2 würden jeweils zwei Maschinen für die Produktgruppen A und B sowie zwei Maschinen für die Produktgruppe C benötigt. ĺ Investitionskosten = 1.200 GE Vom Anlagentyp 3 würde eine Maschine für Produktgruppe A, zwei Maschinen für Produktgruppe B und drei Maschinen für Produktgruppe C benötigt. ĺ Investitionskosten = 900 GE Sinnvollerweise ist Anlagentyp 3 zu wählen, es sind sechs Maschinen davon anzuschaffen.

40. Fortschrittszahlen-Konzept (W10)

a) Fortschrittszahlen: = Produktionsrückstand = Produktionsvorlauf

Ist-Fortschrittszahl Soll-Fortschrittszahl

Soll

1200 1100

Ist 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

Zeit

0 1

212

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b) Übersichtstabelle: Woche Soll-Menge

1

2

4

5

6

7

8

9

11

12

200

100

0

50

100

50

50

150

200

0

150

150

Soll-FZ Ist - Menge

200 100

300 50

300 50

350 100

450 150

500 150

550 100

700 0

900 100

900 150

1050 50

1200 50

Ist-FZ Vorlauf / Rückstand

100 -100

150 -150

200 -100

300 -50

450 0

600 100

700 150

700 0

800 -100

950 50

1000 -50

1050 -150

3

mittlerer Produktionsrückstand:

10

ǻ = |(1050 – 1200) / 12| = 12,5 ME / Woche

41. Fortschrittszahlen-Konzept (variable Produktionskoeffizienten)

a) Produktionsfluß durch die Kontrollblöcke:

KBL 4 / 0,1 KBL 3 / 2 BKT 50 KBL 2 / 1 BKT 1 KBL 1 / 4 BKT 1

213

b) Soll-Fortschrittszahl für die Einsteuerung der Variante 20/70/67 aus dem Materiallager: BKT

Primärbedarf Variante 20/70/67

Soll-Fortschrittszahl Einsteuerung

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

80 50 75 40 90 120 50 60

400 250 375 200 450 600 250 300 -

42. Fortschrittszahlen-Konzept (Soll-Ist-Abgleich)

a) Fortschrittszahlendiagramm: Eingangsfortschrittszahl Ausgangsfortschrittszahl 2000

EFZ

1800

AFZ

1600 1400 1200

MAB

1000 800

MDZ

600 400 200 Zeit

0 1

214

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b) Berechnung des mittleren Auftragsbestandes: 3. Fertigungswoche: MAB3 = 500 – 200 = 300 4. Fertigungswoche: MAB4 = 800 – 400 = 400

43. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe

a) Mit Ausnahme von Auftrag G fallen alle zu Beginn der zweiten Planungswoche anstehenden Aufträge in den Vorgriffshorizont und sind somit grundsätzlich als dringend anzusehen. Die Aufträge werden nun in der Reihenfolge ihrer Planbeginntermine freigegeben, bis die Belastungsschranke (BS) auf einem der Arbeitsplätze überschritten wird. Die Belastungsschranke errechnet sich als Produkt aus der effektiven Kapazität der Arbeitsplätze und den (willkürlich) festgelegten Einlastungsprozentsätzen (EPS). Für jeden freigegebenen Auftrag wird hierzu auf den Belastungskonten der benötigten Arbeitsplätze die jeweilige Direktbelastung erfaßt. Diese ergibt sich als Produkt aus der Bearbeitungsdauer auf dem Arbeitsplatz und der Wahrscheinlichkeit, daß dieser Auftrag den Arbeitsplatz innerhalb des Planungszeitraums erreicht: Insofern ein Auftrag einem Arbeitsplatz zugewiesen wird, der am Beginn der Arbeitsplatzfolge steht, wird eine Direktbelastung in Höhe der vollen Bearbeitungsdauer erfaßt. Steht ein Arbeitsplatz hingegen nicht an erster Stelle, so wird die angerechnete Belastung mit den jeweiligen Reziprokwerten der Einlastungsprozentsätze aller vorhergehenden Arbeitsplätze abgewertet. Im vorliegenden Fall ergeben sich folgende Belastungsschranken bzw. die Diskontierungsfaktoren (DF): effektive Kap. der Arbeitsplätze in Mh / Woche

EPS der Arbeitsplätze

BS der Arbeitsplätze

DF der Arbeitsplätze

KAPX = 90 KAPY = 60 KAPZ = 90

EPSX = 150% EPSY = 150% EPSZ = 200%

BSX = KAPX*EPSA = 135 BSY = KAPY*EPSB = 90 BSZ = KAPZ*EPSC = 180

DFX = 1 / EPSX = 2/3 DFY = 1 / EPSY = 2/3 DFZ = 1 / EPSZ = 0,5

Die Priorisierung der Aufträge A, B und C hat hinsichtlich der BOA keine Auswirkungen, da ihnen – plausiblerweise – auch die frühesten Planbeginntermine zugewiesen wurden. Im vorliegenden Fall wird zuerst die Freigabe von Auftrag A geprüft, da dieser den niedrigsten Planbeginntermin aufweist. Auf Grund der Arbeitsplatzfolge X-Y-Z ergibt sich auf Arbeitsplatz X eine Direktbelastung in Höhe von DBX-A = 20*1 = 20 Mh. Auf Arbeitsplatz Y und Z beträgt diese jeweils DBY-A = 50*(2/3) = 33,33 Mh bzw. DBZ-A = 30*(2/3)*(2/3) = 13,33 Mh. Für die betrachteten Aufträge ergibt sich somit das folgende Bild:

215

Arbeitsplatz X Rang

Auftrag

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A B C E D J H F I G

Arbeitsplatz Y

Arbeitsplatz Z

Bel.

Dir.Bel

ArbeitsplatzDir.Bel Dir.Bel Dir.Bel folge Bel. Dir.Bel Bel. Dir.Bel kum. kum. kum.

20 40 30 20

20,00 13,33 15,00 20,00

20,00 33,33 48,33 68,33

50 30 40 60

33,33 30,00 13,33 20,00

33,33 63,33 76,67 96,67

30 20 40 50

13,33 13,33 X 13,33 26,67 Y 40,00 66,67 Z 33,33 100,00 X Z Y X Y Y X

Y Z X Z X Z Y Z Z Y

Z X Y Y Y Z X X Z

Die Aufträge A, B, C und E werden zur Bearbeitung freigegeben; mit der Einlastung von Auftrag E wird die Belastungsschranke auf dem Arbeitsplatz Y überschritten. Die Aufträge D, J, H, F und I können in dieser Woche noch nicht freigegeben werden.

44. Belastungsorientierte Auftragsfreigabe (W11)

a) Ermittlung der Belastungsschranken sowie der Diskontierungsfaktoren der Arbeitsplätze: effektive Kap. der Arbeitsplätze in Std./ Woche

EPS der Arbeitsplätze

BS der Arbeitsplätze

DF der Arbeitsplätze

KAPX = 90 KAPY = 90 KAPZ = 90

EPSX = 150% EPSY = 150% EPSZ = 200%

BSX = KAPX*EPSA = 180 BSY = KAPY*EPSB = 180 BSZ = KAPZ*EPSC = 180

DFX = 1 / EPSX = 2/3 DFY = 1 / EPSY = 2/3 DFZ = 1 / EPSZ = 0,5

erste Arbeitswoche: Arbeitsplatz X Rang

Auftrag

1 2 3 4 5 6 7 8

E B C G A F D H

216

Bel.

70 15 45 30 80

Arbeitsplatz Y Arbeitsplatz Z ArbeitsplatzDir.Bel folge Dir.Bel Dir.Bel Bel. Dir.Bel Bel. Dir.Bel Dir.Bel kum. kum. kum.

70,00 70,00 60 5,00 75,00 50 15,00 90,00 40 15,00 105,00 0 80,00 185,00 60

40,00 40,00 30 25,00 65,00 55 40,00 105,00 60 0,00 105,00 50 20,00 125,00 30

13,33 13,33 X 55,00 68,33 Z 40,00 108,33 Y 50,00 158,33 Z 20,00 178,33 X Y Z X

Y Y Z X Z X Y Y

Z X X Y X Z

Erläuterung: Zu Beginn der ersten Planungswoche fallen alle verfügbaren Aufträge, ausgenommen H, in den Vorgriffshorizont. Gemäß der Priorisierung nach den Planbeginnterminen ergibt sich die Reihenfolge der Freigabe mit E – B – C – G – A – F –D. Mit der Einlastung von Auftrag A auf Aggregat X wird die Belastungsschranke von 180 Std. / Woche überschritten. Die verbleibenden Aufträge F, D und H können somit frühestes in der Folgewoche freigegeben werden.

b) Gemäß der FCFS- bzw. frühesten Planbeginnterminregel ergibt sich für die Arbeitsplätze in der ersten Woche die folgende geplante (und zulässige) Belegungsreihenfolge: X:

E ĺ A ĺ G ĺ B ĺ C

Y:

C ĺ E ĺ B ĺ A

Z:

B ĺ G ĺ C ĺ A ĺ E

Gantt-Diagramm 1. Arbeitswoche:

E

X

A LZ

C

Y

E G

B

Z 1

2

3

4

5

6

7

8

C 9

10

11

12

13

14

15

16

17

1. Arbeitswoche

Auftragsfortschritt in der 1. Arbeitswoche: Zum Ende der ersten Arbeitswoche kann noch kein Auftrag fertiggestellt werden. In der zweiten Woche ist mit der Bearbeitung der Aufträge A, E und C fortzufahren.

217

c) weitere Vorgehensweise: Im Sinne einer rollierenden Planung ist nun zunächst erneut eine BOA vorzunehmen. Alle Aufträge (A – L) fallen nun in den Vorgriffshorizont. Vor der Freigabe neuer Aufträge ist der Auftragsfortschritt sowie die verbleibende Restbelastung und damit auch die geänderte Direktbelastung aus der Vorwoche zu ermitteln. Weiterhin zu beachten ist, daß sich durch die hinzukommenden Aufträge die Rangfolge bzw. Priorisierung derselben und damit auch die geplante Belegungsreihenfolge auf den Arbeitsplätzen ändert. zweite Arbeitswoche: Arbeitsplatz X Ran Aufg trag

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

E B C G A I F L D K H J

Bel.

0 15 45 30 30 20 30 40 0 10

Arbeitsplatz Y Arbeitsplatz Z ArbeitsplatzDir.Bel Dir.Bel Dir.Bel folge Dir.Bel Bel. Dir.Bel Bel. Dir.Bel kum. kum. kum.

0,00 10,00 22,50 30,00 30,00 20,00 20,00 40,00 0,00 10,00

0,00 10,00 32,50 62,50 92,50 112,50 132,50 172,50 172,50 182,50

10 50 0 0 60 15 40 15 10 15

10,00 50,00 0,00 0,00 20,00 5,00 40,00 10,00 5,00 5,00

10,00 30 60,00 0 60,00 45 60,00 0 80,00 30 85,00 45 125,00 0 135,00 90 140,00 25 145,00 30

20,00 0,00 45,00 0,00 20,00 30,00 0,00 40,00 25,00 20,00

20,00 20,00 65,00 65,00 85,00 115,00 115,00 155,00 180,00 200,00

Y Y Z X X X Y X Z X X Y

Z X X Z Z X Y Y Z Y X

Y Y Z Y Z Z

Für die Arbeitsplätze ergibt sich in der zweiten Woche die geänderte (zulässige) Belegungsreihenfolge: X: A ĺ G ĺ I ĺ L ĺ K ĺ B ĺ C ĺ F Y: E ĺ B ĺ F ĺ L ĺ A ĺ I ĺ K Z: C ĺ D ĺ E ĺ A ĺ I ĺ K ĺ L Erläuterung zur Belegung von Auftrag A / F auf Arbeitsplatz X: Auftrag A hat auf Arbeitsplatz X trotz geringerer Priorität (Planbeginntermin) Vorrang vor Auftrag G, da mit der Bearbeitung von Auftrag A bereits in der Vorwoche begonnen wurde.

218

Auftragsfortschritt in der 2. Arbeitswoche: Zum Ende der zweiten Arbeitswoche kann lediglich Auftrag E vollständig abgeschlossen werden.

Gantt-Diagramm 1. / 2. Arbeitswoche:

E

X

A LZ

C

Y

E

B

Z 1

2

3

G 4

5

6

A

7

8

9

10

11

13

14

D 15

1. Arbeitswoche

L F

C 12

I

B

E C

G

16

17

18

E 19

20 21 22

A 23

24 25

2. Arbeitswoche

dritte Arbeitswoche: Arbeitsplatz X AufRang trag

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

E B C G A I F L D K H P J N O M Q

Bel.

0 15 45 0 0 0 30 0 0 10 75 30 0

Arbeitsplatz Y Arbeitsplatz Z ArbeitsplatzDir.Bel folge Dir.Bel Dir.Bel Bel. Dir.Bel Bel. Dir.Bel Dir.Bel kum. kum. kum.

0,00 15,00 45,00 0,00 0,00 0,00 30,00 0,00 0,00 10,00 75,00 10,00 0,00

0,00 15,00 60,00 60,00 60,00 60,00 90,00 90,00 90,00 100,00 175,00 185,00 185,00

0 0 0 0 60 15 0 15 10 15 30 60 75

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 30,00 30,00 7,50 37,50 0,00 37,50 15,00 52,50 10,00 62,50 5,00 67,50 20,00 87,50 60,00 147,50 37,50 185,00

0 0 0 0 10 45 0 90 0 30 45 15 70

0,00 0,00 0,00 0,00 10,00 45,00 0,00 60,00 0,00 20,00 20,00 10,00 70,00

0,00 0,00 0,00 0,00 10,00 55,00 55,00 115,00 115,00 135,00 155,00 165,00 235,00

X X Z Z X Y Y X X Y Z Z X X Y

Y Y Z Z Y Z Y X Z Y X

Y Z X Y Y Z Z

219

Erläuterung zur Auftragsfreigabe in der 3. Arbeitswoche: Mit der Freigabe von Auftrag P wird die Belastungsschranke auf dem Arbeitsplatz X überschritten. Der Auftrag J kann dennoch freigegeben werden, da dieser lediglich die Arbeitsplätze Y und Z beansprucht.

Gantt-Diagramm 2. / 3. Arbeitswoche:

A

X

12

13

14

16

17

18

19

20

B LZ

E

D 15

L F

C

Z

I

B

E

Y

G

L D

22

23

26

2. Arbeitswoche

27

H

A

I

24 25

K

P

A A 21

F

C

J 28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

3. Arbeitswoche

Auftragsfortschritt in der 3. Arbeitswoche: In der dritten Arbeitswoche können die Aufträge B, C, D und F vollständig abgeschlossen werden.

45. Input-Output-Control

a) Input-Output-Plan: Ende der Woche geplanter Zugang geplanter Abgang geplanter Bestand geplante mittlere DLZ

12 450

13 160 220 390

14 235 170 455

15 355 260 550

16 295 220 625

17 160 250 535

18 140 185 490

19 235 190 535

20 225 265 495

-

1,77 2,68 2,12 2,84 2,14 2,65 2,82 1,87

Der geplante Bestand in der 13.-20. KW ergibt sich durch Fortschreibung des Bestandes aus der 12. KW (Bezeichne „Bt“ den geplanten Bestand, „Zt“ den geplanten Zugang und „At“ den geplanten Abgang zum Zeitpunkt t, so gilt: Bt = Bt-1 + Zt – At). Unter der Prämisse, daß sich der geplante Abgang während der geplanten Durchlaufzeit nicht ändert, berechnet sich die geplante mittlere DLZ als Quotient aus geplantem Bestand und geplantem Abgang.

220

b) Das „Input-Output-Control“ stellt ein operatives Konzept zur Planung und Steuerung des Auftragsbestandsverlaufes dar, der sich aus der geplanten Beauftragung sowie den geplanten Kapazitäten der Arbeitsplätze ergibt. Dieses Konzept wird typischerweise im Bereich der Großserienfertigung eingesetzt. Die für einen InputOutput-Plan erforderlichen Daten können gleichermaßen zur Erstellung einer Kapazitätsbelastungsübersicht verwendet werden. Im erstgenannten Fall ist lediglich die zusätzliche Kenntnis des Anfangsbestandes erforderlich. Mit Hilfe des InputOutput-Planes kann auf einfache Weise visualisiert werden, ob die geplanten Auftragszugänge mittels der vorgehaltenen Kapazität verarbeitet werden können, ohne daß der Sollbestand bzw. die mittlere (Soll-)Durchlaufzeit überschritten wird oder ob die entsprechende Anpassung der Beauftragung und / oder der Kapazitäten zu erfolgen hat.

46. Heuristische Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Heller und Logemann)

a) Zunächst werden alle durchzuführenden Operationen der Aufträge (m = 1, 2, 3, 4) auf den verschiedenen Maschinen (n = X, Y, Z) erfaßt und nach Maschinen sortiert (Spalte 1). Zu jeder der für einen Auftrag zu durchlaufenden Operationen wird des weiteren die Bearbeitungszeit (Spalte 3) sowie – gemäß der Maschinenfolgematrix – ihr jeweiliger Nachfolger angegeben (Spalte 2). Unter Zuhilfenahme des (situationsabhängig) frühestmöglichen Belegungstermins (Spalte 4) wird nun sukzessive eine zulässige Rangfolge der Aufträge auf den Maschinen (Spalte 7) einschließlich der Starttermine (Spalte 5) und Endtermine (Spalte 6) der Operationen ermittelt. Zur besseren Nachvollziehbarkeit der Vorgehensweise ist die Lösungsreihenfolge chronologisch angegeben (Spalte 8). Im vorliegenden Fall werden auf Maschine X zunächst die Aufträge 2 und 4 bearbeitet, da diese keinem anderen Auftrag nachfolgen bzw. der frühestmögliche Belegungstermin „Null“ beträgt. Gleiches gilt für die Belegung der Maschine Y mit den Aufträgen 1 und 3. Auf der Maschine Z kann im Anschluß an die Fertigstellung auf X im Zeitpunkt t = 2 mit der Weiterbearbeitung von Auftrag 2 begonnen werden. Nach Abschluß von Auftrag 2 auf Z kann auf diesem Aggregat direkt im Anschluß, d.h. in t = 6, mit dem bereits zuvor im Zeitpunkt t = 5 auf X fertiggestellten Auftrag 4 fortgefahren werden. Der vollständige Lösungsweg ist der folgenden Tabelle zu entnehmen:

221

(m,n) 1X 2X 3X 4X

N(m,n) 1Z 2Z 3Z 4Z

Dmn 8 2 3 3

TFBmn 3 0 8 0

TBmn 5 0 13 2

TEmn 13 2 16 5

Rmn 3 1 4 2

Nr. 7 1 8 2

1Y 2Y 3Y 4Y

1X 3X -

3 1 5 3

0 6 0 11

0 8 3 11

3 9 8 14

1 3 2 4

3 9 4 10

1Z 2Z 3Z 4Z

2Y 4Y

2 4 3 5

13 2 16 5

13 2 16 6

15 6 19 11

3 1 4 2

11 5 12 6

b) Gantt-Diagramm:

X

2

1

4

1

Y

3

4

2

2

Z

3

4

1

3 Zeit

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Die Zykluszeit (Durchlaufzeit aller Aufträge) beträgt 19 ZE.

47. Heuristische Maschinenbelegungsplanung / Job Shop

a) Die kürzeste Operationszeit-Regel (KOZ-Regel) stellt eine heuristische Vorgehensweise dar, nach der denjenigen Aufträgen auf einem bestimmten Aggregat oder Arbeitsplatz Priorität eingeräumt wird, die die dort verfügbare Kapazität (in ZE) am wenigsten belasten. Damit soll erreicht werden, daß „einfache“ Aufträge schnell fertiggestellt und somit Warteschlangen vor Aggregaten verkürzt werden können. Empirische Untersuchungen belegen, daß die Anwendung der KOZ-Regel zu einer Verringerung der Durchlaufzeiten bei den meisten Aufträgen führt.

222

Eine geringere mittlere Durchlaufzeit der Aufträge bzw. eine verbesserte Auslastung der Aggregate wird jedoch mit einer tendenziell höheren Varianz der Durchlaufzeit erkauft (ĺ Dilemma der Ablaufplanung). Als problematisch können sich bei Anwendung der KOZ-Regel insbesondere die bisweilen sehr langen Durchlaufzeiten bei aufwendigeren Aufträgen erweisen. Gemäß KOZ-Regel ergibt sich die nachstehende avisierte Rangfolge auftragsbezogener Operationen für die Belegung der Maschinen: X: 1 (2 ZE) ĺ 2 (3 ZE) ĺ 3 (4 ZE) ĺ 4 (9 ZE) Y: 1 (1 ZE) ĺ 4 (3 ZE) ĺ 3 (5 ZE) ĺ 2 (7 ZE) Z: 2 (3 ZE) ĺ 3 (4 ZE) ĺ 4 (6 ZE) ĺ 1 (8 ZE) Hieraus ergibt sich unmittelbar die folgende (zulässige) Belegungsplanung:

X

1

2 1

Y

4

2

Z

4

3

2

3 3

4

1 Zeit

1

2

3

Auftrag 1 Auftrag 2 Auftrag 3 Auftrag 4 Gesamt

4

5

6

7

8

9

Durchlaufzeit 21 ZE 23 ZE 16 ZE 22 ZE 82 ZE

10

11

12 13

14 15

16

17 18

19 20 21

22 23

Wartezeit 10 ZE 10 ZE 0 ZE 1 ZE 21 ZE

Die mittlere Durchlaufzeit beträgt MDZ = 82 / 4 = 20,5 ZE, die Zykluszeit liegt bei ZZ = 23 ZE. Bei Maschine X bzw. Y treten Leerzeiten in Höhe von 4 ZE (sowie einer ZE nach der Bearbeitung von Auftrag 4) bzw. von 7 ZE auf. Nach der Fertigstellung von Auftrag 1 ergeben sich auf Maschine Z Leerzeiten in Höhe von 2 ZE.

223

48. Heuristische Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Akers) (W12)

a) Ermittlung der Maschinenbelegung mittels des Verfahrens von Akers: Auftrag 2

D

10

8 C 6

A

4

2 B

Auftrag 1 2

4

6

8

10

B

A

12

C

14

16

D

Erläuterungen zur Durchlauf- / Wartezeit bzw. der minimalen Zykluszeit der Aufträge: Die minimale Zykluszeit läßt sich aus dem Diagramm ablesen. Sie entspricht der Durchlaufzeit des Auftrags 2. Die Summe der Längen der horizontal verlaufenden Streckenabschnitte (3 + 3 + 1 = 7 ZE) stellt die Gesamtwartezeit des Auftrags 2 dar. Addiert man diese zur minimalen Bearbeitungszeit (11 ZE), erhält man die Zykluszeit von ZZ = 18 ZE. b) Gantt-Diagramm: Maschine

D 1

C B

2

1

2

2

1 1

A

2 Zeit

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Ablesen der Durchlauf- und Wartezeiten aus dem Gantt-Diagramm: Die Durchlaufzeit beträgt 16 ZE für Auftrag 1 und 18 ZE für Auftrag 2. Beim zweiten Auftrag entstehen Wartezeiten von 7 ZE, beim ersten Auftrag treten keine Wartezeiten auf.

224

49. Maschinenbelegungsplanung / Job Shop (nach Akers)

a) Das Verfahren von Akers ermöglicht die graphische Lösung von Flow Shop und Job Shop-Problemen für zwei Aufträge, bei denen jeweils eine Bearbeitung auf mindestens zwei Maschinen zu erfolgen hat. Ziel dieses Ansatzes ist die Minimierung der Zykluszeit, d.h. der Gesamtdurchlaufzeit aller Aufträge. (Der degenerierte Fall der Belegung einer einzigen Maschine ist für die Betrachtung nicht relevant, da hier die Zykluszeit invariant gegenüber einer Änderung der Belegungsreihenfolge ist). Hierzu wird ein zweidimensionales Koordinatensystem aufgespannt, dessen Achsen jeweils mit einem Auftrag belegt werden. Die Achsen werden gemäß der Maschinenfolge bzw. der erforderlichen Bearbeitungszeiten in Intervalle unterteilt und entsprechend gekennzeichnet. Der Ursprung q = (0, 0) stellt den Freigabezeitpunkt der beiden Aufträge dar, die Streckenlänge der Abszisse 0s1 bzw. der Ordinaten 0s 2 gibt somit den frühestmöglichen Fertigstellungszeitpunkt des ersten bzw. zweiten Auftrages an. In das durch die Punkte q und s = (s1, s2) aufgespannte zweidimensionale Operationsfeld werden nun Konfliktfelder eingezeichnet, die simultane Belegungen einer bestimmten Maschine anzeigen. Zur Ermittlung eines Belegungsplanes mit minimaler Zykluszeit ist nun der kürzeste zulässige Weg von q nach s durch das Operationsfeld zu suchen. Wege sind nur dann zulässig, wenn sie aus senkrechten, waagerechten oder diagonalen Abschnitten bestehen und keines der gekennzeichneten Konfliktfelder durchlaufen wird. Zur Systematisierung aller zulässigen Wege kann bspw. ein gerichteter Graph herangezogen werden (vgl. hierzu Teilaufgabe b)). b) Ermittlung der Maschinenbelegung mittels des Verfahrens von Akers: Auftrag 2 s B

1

F

1

f

c C

g

8

6

d

E 4

a

e

A 2

b

D

Auftrag 1

q

2 B

4 A

6 C

8 E

10 D

12 F

225

Zur Systematisierung der zulässigen aktiven Belegungspläne wurden die nordwestlichen und südöstlichen Eckpunkte der zu „umgehenden“ Konfliktfelder gekennzeichnet. Die verschiedenen Wege durch das Operationsfeld können nun mit Hilfe eines gerichteten Graphen dargestellt werden: c

5

a

8

5

4

f

5

q

d

4

4

2

s

5

4

g

b

5

5

e

mögliche Pfade

ZZ

qĺaĺcĺs

17

qĺaĺdĺfĺs

16

qĺaĺdĺgĺs

18

qĺbĺdĺfĺs

15

qĺbĺdĺgĺs

17

qĺbĺeĺgĺs

17

Die minimale Zykluszeit von 15 ZE ergibt sich für den Pfad q ĺ b ĺ d ĺ f ĺ s. c) Maschinenbezogenes und auftragsbezogenes Gantt-Diagramm: Maschine

2

F E D

2

1

2

1 2

1

C B

1

1

2 1

A

2 Zeit

1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

11

12

13

14

15

16

15

16

Auftrag

2

D

WZ

1

B

A

A

E C

C E

WZ

D

F

B

WZ

F Zeit

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Die Durchlaufzeit beider Aufträge beträgt 15 ZE. Beim ersten Auftrag treten Wartezeiten von 2 ZE, beim zweiten Auftrag von 3 ZE auf. 226

50. Netzplantechnik (MPM)

a) Netzplan:

A 0 0 10 10 10

0

B 10 12 25 35 37

2

E 35 37 21 56 58

2

C 10 16 8 18 24

6

F 18 24 24 42 48

6

D 10 10 12 22 22

0

G 22 22 26 48 48

H 48 48 10 58 58

0

I 58 58 22 80 80

0

0

kritischer Pfad: A ĺ D ĺ G ĺ H ĺ I b) Wenn sich die Dauer des Vorgangs E um einen Tag verlängert, erhöht sich die FEZ dieses Vorgangs um einen Tag, während sich die SAZ um einen Tag verringert (Rückwärtsterminierung). Dies hat zur Folge, daß auch die SEZ und SAZ des Vorgangs B um einen Tag sinken, da die SEZ des Vorgangs B mit der SAZ der Vorgangs E übereinstimmen muß. Im Ergebnis verringert sich die Gesamtpufferzeit in B und E auf den Wert 1. Der kritische Pfad bzw. das Projektende bleiben unberührt, da der Puffer die Verzögerung „auffängt“. c) Bei einer Verlängerung des Vorgangs F um 7 Tage wird die Gesamtpufferzeit in C und F in Höhe von 6 Tagen vollständig aufgezehrt und die FAZ für Vorgang H erhöht sich um einen Tag. Damit verschiebt sich auch das Projektende um einen Tag nach hinten, die Gesamtdauer beträgt nun 81 Tage. In D und G sowie in B und E hat sich die Gesamtpufferzeit um einen Tag erhöht, der neue kritische Pfad lautet nun: A ĺ C ĺ F ĺ H ĺ I

A 0 0 10 10 10

0

B 10 13 25 35 38

3

E 35 38 21 56 59

3

C 10 10 8 18 18

0

F 18 18 31 49 49

0

D 10 11 12 22 23

1

G 22 23 26 48 49

1

H 49 49 10 59 59

0

I 59 59 22 81 81

0

227

51. Arbeitsfolgeprojektierung (MPM)

a) Es ergibt sich der folgende Netzplan: 2 20 25 10 30 35 5 5 5

1 20 0 20 20 20 0 0 0

3 20 20 15 35 35 0 0 0

5 35 35 18 53 53 0 0 0

7 53 53 29 82 82 0 0 0

20 31 25 36 0 0

6 25 36 26 51 62 11 0 0

8 51 66 16 67 82 15 15 4

4 5 11

11 82 82 7 89 89 0 0 0

12 89 89 11 100 100 0 0 0

9 51 62 27 78 89 11 0 0

10 20 34 55 75 89 14 14 14

Auf Grundlage der derzeitigen Planung müßte die Zahlung der Konventionalstrafe antizipiert werden. b) Als Optimierungsziel ist im vorliegenden Fall eine Minimierung der Gesamtkosten anzusetzen. Dabei sind die Kosten für eine gezielte Beschleunigung des Projektes gegen die Kosten der drohenden Konventionalstrafe abzuwägen. Bei der Ermittlung der minimalen Kosten zur Verkürzung der Projektdauer bestünde eine mögliche Vorgehensweise darin, die Schritte entlang des kritischen Pfades zu durchlaufen und zunächst isoliert für jeden Vorgang die Kosten für eine Verkürzung desselben zu ermitteln. Diese setzen sich zusammen aus direkten mitarbeiterbezogenen Kosten für eine Beschleunigung der Abläufe sowie administrativen und dispositiven Kostenbestandteilen, die als pauschale Umplanungskosten erfaßt werden. Zu beachten ist hierbei, daß neben der unmittelbaren Kostenbelastung durch die Verkürzung eines Projektschrittes weitere Kosten entstehen können, insofern hieraus eine Verschiebung nachfolgender Projektschritte resultiert. Aus diesen direkten und indirekten Kosten wird nun ein wochenbezogener Kostensatz gebildet, mit dessen Hilfe sich eine Rangfolge zur Auswahl von Projektschritten ermitteln läßt.

228

Projekt- Änderung Kosten zur Verschritte in Wochen kürzung eines Projektschrittes 12 -2 5.000 + 1.000 11 -3 9.000 + 2.000 7 -4 10.000 + 3.000 5 -3 6.000 + 4.000 3 -2 5.000 + 5.000

Kosten zur Verkürzung eins Projektschrittes / Rang Woche 6.000 / 2 = 3.000 1 11.000 / 3 = 3.667 4 13.000 / 4 = 3.250 2 10.000 / 3 = 3.333 3 10.000 / 2 = 5.000 5

Beginnend bei Schritt 12 sind gemäß der vorgenommenen Priorisierung sukzessiv weitere Schritte hinzuzunehmen oder gegebenenfalls wieder zu verwerfen, bis eine Verkürzung der Dauer um 10 Wochen erreicht ist. Das erforderliche Entscheidungsbzw. Kontrollkriterium liefert der jeweils neu zu ermittelnde wochenbezogene Kostensatz. Zunächst wird gemäß der gebildeten Rangfolge Schritt 7 akkumuliert; der Kostensatz bleibt hierbei unverändert. (Eine Hinzunahme von Schritt 11 oder 3 hätte einen Anstieg desselben zur Folge gehabt, im Falle der Auswahl von Schritt 5 wäre dieser ebenfalls konstant geblieben). Nachfolgend wird gemäß der genannten Kriterien Schritt 5 gewählt, was zu einer Senkung des Kostensatzes führt. Da an diesem Punkt durch die Hinzunahme eines weiteres Schrittes (ceteris paribus) eine „Übererfüllung“ hinsichtlich der Zielsetzung der Projektverkürzung um 10 Wochen erreicht würde, für die keine Vergütung zu erwarten ist, darf antizipiert werden, daß das beste Endergebnis nun durch einen geeigneten Austausch von Schritten erzielt werden kann, der eine exakte Zielerreichung gewährleistet. Naheliegend ist es, hierbei Schritt 12 gegen 11 zu tauschen, wobei hieraus in diesem Fall sogar schlußendlich die Optimallösung des Problems resultiert: Projektschritte 12 12 + 7 12 + 7 + 5

Änderung Kosten der Projektverkürzung in Wochen -2 5.000 + 1.000 = 6.000 -6 6.000 + 10.000 + 2.000 = 18.000 -9 18.000 + 6.000 + 1.000 = 25.000 9.000 + 2.000 +11.000 +7.000 11 + 7 + 5 - 10 = 29.000

Kosten der Projektverkürzung/ Woche 6.000 / 2 = 3.000 18.000 / 6 = 3.000 25.000 / 9 = 2.778 29.000 / 10 = 2.900

Nochmals zu betonen ist, daß die geschilderte Vorgehensweise lediglich eine von vielen gangbaren Möglichkeiten darstellt und keineswegs zur optimalen Lösung führen muß. Sie liefert lediglich Entscheidungsregeln, die auf der Annahme beruhen, daß sich aus der Kombination von für sich gesehen vorteilhaften Einzelmaßnahmen insgesamt ein „gutes“ Ergebnis gewinnen läßt, wobei alle bestehenden Verbundeffekte bei dieser Betrachtung außen vor bleiben. Im vorliegenden Fall sollte die Möglichkeit zur Verkürzung der Projektdauer in jedem Fall genutzt werden. Bislang unbeantwortet ist die Frage, ob von der Möglichkeit Gebrauch gemacht werden sollte, Mitarbeiter von dem Projektschritten 2, 8 oder 10 abzuziehen bzw. ob sich auf diese Weise die Kosten des Projektes senken lassen.

229

Da auch nach der Verkürzung des Projektes um 10 Wochen bei allen genannten Schritten freie Pufferzeiten existieren, die zudem noch höher sind als die durch den Abzug von Mitarbeitern zu erwartende Verzögerungen, kann hier jeweils fallweise eine Prüfung erfolgen. Eine Entschleunigung der Schritte 2, 8 und 10 ist jeweils dann vorteilhaft, wenn die hieraus zu erwartende Kostensenkung die pauschalen Umplanungskosten (die auf Grund der freien Pufferzeit jeweils nur den betrachteten Schritt tangieren) in Höhe von 1000 € überwiegt. Dies ist bei allen betrachteten Schritten der Fall, sodaß sich aus dem Abzug der Mitarbeiter insgesamt eine Mitteleinsparung in Höhe von 7.000 € ergibt: Projektschritt 2 8 10

Änderung in Wochen +2 +3 +3

Kosten der Projektverkürzung -2.000 + 1.000 = -1.000 -3.000 + 1.000 = -1.000 -6.000 + 1.000 = -5.000

52. Deckungsbeitragsrechnung bei Fehlertoleranzen in der Fertigung

a) Berechnung der Ausschußwahrscheinlichkeit: § ( P  0,1)  P i ) · § ( P  0,1)  P i ) · 1  P ( P i  0,1 d Li d P i  0,1) 1  )¨ i ¸  )¨ i ¸ 0,04 0,04 © ¹ © ¹ § 0,1 · § (0,1) · 1  )¨ ¸  )¨ ¸ 0 , 04 © ¹ © 0,04 ¹ 1  2) 2,5  1

2  (2 * 0,99379)

0,01242

b) Legt man den Genauigkeitsgrad „fein“ (+ 0,05mm) als Qualitätsanforderung zugrunde, so wird erwartet, daß 21,13% der Teile (bzw. 2113 Stück) diese nicht erfüllen. Es verbleiben somit zunächst 7.887 Teile, die zum Stückpreis von 5 € abgesetzt werden können. (Berechnung analog zur vorhergehenden Teilaufgabe). Da voraussichtlich 1,242% oder insgesamt 125 Teile Ausschuß darstellen (d.h. um mehr als +0,1mm vom Mittelwert abweichen und damit nicht mehr verkauft werden können), verbleiben 10.000 – 2113 – 125 = 1998 Teile mittlerer Genauigkeit, für die ein Stückdeckungsbeitrag in Höhe von 4 € erzielt werden kann. Damit ergibt sich ein erwarteter Deckungsbeitrag in Höhe von 27.387 €. Genauigkeitsgrad fein mittel grob (Ausschuß)

230

Stückpreis [€ / ME] 5 4 0

Stückkosten [€ / ME] 2 2 2

Stück-DB. [€ / ME] 3 2 -2

Menge [ME] 7.887 1.988 125

DB [€] + 23.661 + 3.976 - 250 ¦ 27.387

53. Fehlertoleranzen in der Fertigung (einseitiger Test)

a) Durchzuführen ist ein einseitiger Ein-Stichproben t-Test (n = 30) auf den Mittelwert für das Signifikanzniveau Į = 0,05. Zur Lösung bietet sich hier die für Hypothesentests übliche Vorgehensweise nach den folgenden vier Schritten an: 1. Aufstellen der Hypothesen: H 0 : P 0 t 545 (es ist anzunehmen, daß die mittlere Füllmenge eingehalten wird) H 1 : P 0  545 (es ist anzunehmen, daß die mittlere Füllmenge unterschritten wird)

2. Teststatistik: t beob

n*

x  P0 sˆ

30 *

543,8  545 4,4

1,494

3. Ablehnungsbereich: tD ;n 1

t 0,05; 29

1,699

4. Testentscheidung: Kriterium: Lehne H0 ab, wenn t beob  tD ;n 1 (da linksseitiger Test) Ergebnis: t beob ! tD ;n 1 bzw.  1,494 ! 1,699 H0, d.h. die Annahme, daß die mittlere Füllmenge von 545g eingehalten (oder gegebenenfalls überschritten) wird, kann auf dem Signifikanzniveau von Į = 0,05 nicht abgelehnt werden. b) Zur Berechnung des Konfidenzintervalls ist der t-Wert t 0,975; 29 hen. Damit ergibt sich für µ das Intervall: ª sˆ sˆ º ;543,8  t 0,975; 29 «543,8  t 0,975; 29 » n n¼ ¬

bzw.

2,045 heranzuzie-

>542,16;545,44@

54. Fehlertoleranzen in der Fertigung (zweiseitiger Test)

Für die mittlere Abweichung ergibt sich: x

1,2  3,0  3,0 - 0,6 - 0,1  1,3  2,7  1,1  3,0  0,5  2,1  0,8  1,9  1,3 - 0,2 15

1,40

231

Die geschätzte Varianz beträgt: (1,2 - 1,4)²  (3,0 - 1,4)²  (0,6  1,4)²  ...  (-0,2 - 1,4)² 15  1

sˆ

1,2024

Durchzuführen ist ein zweiseitiger Ein-Stichproben t-Test (n = 15) auf den Mittelwert für das Signifikanzniveau Į = 0,05. 1. Aufstellen der Hypothesen: H 0 : P0

0 (Abweichungen vom MW sind auf Zufallschwankungen zurückzuführen)

H 1 : P 0 z 0 (es ist anzunehmen, daß sich die Maschine dejustiert hat)

2. Teststatistik: t beob

n*

x  P0 sˆ

15 *

1,4 1,2024

4,5095

3. Ablehnungsbereich: t

D

1 ;n 1 2

t 0,975;14

2,145

4. Testentscheidung: Kriterium: Lehne H0 ab, wenn t beob ! t

D

1 ; n 1 2

Ergebnis: t beob ! t

D

1 ; n 1 2

(da zweiseitiger Test)

bzw. 4,5095 ! 2,145

H0 wird auf dem Signifikanzniveau Į = 0,05 abgelehnt. Es ist anzunehmen, daß die Maschine nicht (mehr) korrekt justiert ist.

232

8.5 Lösungen zu Kapitel 6 Produkt- und Programmanagement

55. Operative Produktionsprogrammplanung (absolute Deckungsbeiträge)

a) Gewinnmaximales Produktions- und Absatzprogramm: Produkt

Kapazitäts- verbleibende EigenStück-DB fertigung beanspruchung Kapazität [€/ME] [ZE] [ZE] [ME]

4

130

3

110

6

90

5

50

1 2

1.400

Deckungsbeitrag [€]

700

2.300

182.000

1.100

550

1.750

121.000

1.000

500

1.250

90.000

1.300

650

600

65.000

40

1.200

600

0

48.000

25

0

0

0

0

Produkt 1 kann noch in vollem Umfang gefertigt werden; zur Herstellung von Produkt 2 ist keine freie Kapazität mehr vorhanden. Gesamtdeckungsbeitrag = 506.000 € Gesamtgewinn = Gesamtdeckungsbeitrag - KF = 506.000 € – (39.200 / 0,7) € = 506.000 € – 56.000 € = 450.000 € b) Produktions- und Absatzprogramm bei geänderter Intensität ( x 1,6 ):

Produkt

Kapazitäts- verbleibende EigenStück-DB fertigung beanspruchung Kapazität [€/ME] [ZE] [ZE] [ME]

Deckungsbeitrag [€]

4

138

1.400

875,0

2.125,0

193.200

3

121

1.100

687,5

1.437,5

133.100

6

104

1.000

625,0

812,5

104.000

5

62

1.300

812,5

0

80.600

1

50

0

0

0

0

2

46

0

0

0

0

233

Auf Grund der geringeren gewählten Intensität steigt der Zeitverbrauch pro produzierte Mengeneinheit (von 0,5 [ZE/ME] auf 0,625 [ZE/ME]). Dies hat zur Folge, daß zur Fertigung von Produkt 1 nun auch keine freie Kapazität mehr zur Verfügung steht. Auf Grund der gesunkenen Stückkosten steigt jedoch der Deckungsbeitrag der Produkte, so daß sich ein Gesamtdeckungsbeitrag in Höhe von 510.900 € ergibt. Somit resultiert daraus ein Gesamtgewinn von G = 510.900 € –56.000 € = 454.900 €. Der Vorschlag ist anzunehmen.

56. Operative Produktionsprogrammplanung (relative Deckungsbeiträge)

a) Ermittlung des gewinnmaximalen Produktions-, bzw. Absatzprogramms: VerbleiProd.KapazitätsRel. DB Eigenfert. bende Pro- Stück-DB DB [€] intensität beanspruch[€/ZE] Kapazität dukt [€/ME] [ME] [ME/ZE] ung [ZE] [ZE] 6 60 4 240 1.400 350 2.150 84.000 3 75 3 225 900 300 1.850 67.500 5 70 2 140 1.300 650 1.200 91.000 4 50 1 50 500 500 700 25.000 2 40 1 40 700 700 0 28.000 1 40 0,5 20 0 0 0 0

Da hier keine Möglichkeit des Fremdbezuges besteht und (annahmegemäß) alles, was produziert, auch abgesetzt wird, sind Produktions- und Absatzprogramm identisch. Produkt 2 ist hier das Grenzprodukt (d.h. dasjenige Produkt, das gerade noch, gerade nicht mehr oder nicht mehr in vollem Umfang gefertigt werden kann). Zur Herstellung von Produkt 1 ist somit keine freie Kapazität mehr vorhanden. Gesamtgewinn = 295.500 € – 50.000 € = 245.500 € b) Unter den gegebenen Annahmen kann eine einfache Kapitalwertvergleichsrechnung der Alternative A (keine Erweiterung) und der Alternative B durchgeführt werden. t

0

1

2

3

4

5

KW

A: CFt in € 0 223.181,8 202.892,6 184.447,8 167.679,8 152.436,2 930.638,2 B: CFt in € -200.000,0 277.727,3 252.479,3 229.526,7 208.660,6 189.691,5 958.085,4

Anmerkung: Zur Berechnung bietet sich hier eine Verwendung des Rentenbarwertfaktors (RBF=3,79079) an: KWA = 245.500 * 3,79079 = 930.638 € KWB = 305.500 * 3,79079 – 200.000 = 958.085 € ĺ Die Erweiterungsinvestition sollte durchgeführt werden. 234

57. Operative Produktionsprogrammplanung (relative DB-Differenzen) (W13)

a) Vorüberlegung: Die verfügbare Fertigungszeit reicht nicht aus, um alle Produkte mit positiver DBDifferenz zu fertigen. ĺ Optimierungskriterium: relative DB-Differenzen.

Produkt

1 2 3 4 5 6 7 8

Produkt

6 2 3 1 7 4 8 5

Stück-DB Eigenfertigung [€/ME] 60 40 75 120 50 85 100 90

Stück-DB [€/ME] make

buy

85 40 75 60 100 120 90 (50)

(20) (25) 100 85

Stück-DB Fremdbezug [€/ME]

0 0 25 100 85 20 0 0

StückDBDifferenz [€/ME] 60 40 50 20 -35 65 100 90

Produktionsintensität [ME/ZE]

Rel. DBDifferenz [€/ZE]

Rang

2 4 3 4 2 4 1 0,5

120 160 150 80 -70 260 100 45

4 2 3 6 8 1 5 7

make [ME]

buy [ME]

Kapazitätsnachfrage [ZE]

restliche Kapazität [ZE]

Deckungsbeitrag [€]

1.600 1.000 1.500 400 1.200 600 0 0

0 0 0 0 0 100 0 1.400

400 250 500 200 1.200 150 0 0

2.300 2.050 1.550 1.350 150 0 0 0

136.000 40.000 112.500 24.000 120.000 82.000 0 119.000

¦ 633.500 Gesamtgewinn: Gesamtdeckungsbeitrag = 633.500 € Gesamtgewinn = DB - KF = 633.500 € – (8.750/(2.700-1.825))*2700 € = 633.500 € – 27.000 € = 606.500 €

235

b) Erläuterung: Die relativen Deckungsbeitragsdifferenzen geben im Falle der vorliegenden Aufgabe die Wertschöpfung pro Maschinenstunde an, die sich aus der Entscheidung für die Fertigung eines bestimmten Produktes im Vergleich zur jeweils ungünstigsten Alternative ergibt. Der Fall der relativen Deckungsbeiträge kann hierbei als Spezialfall betrachtet werden, in dem der Wert dieser ungünstigsten Alternative „0“ beträgt. Die relativen Deckungsbeitragsdifferenzen sollen nun im allgemeinen Sinne der Opportunitätskostenbetrachtung als „Gewinn pro knappen Faktor“ aufgefaßt werden, der einem Unternehmen entgeht, sofern es sich gegen eine bestimmte Alternative entscheidet. Die Entscheidung gegen eine Eigenfertigung von Produkt 5 erhöht im vorliegenden Fall den Gewinn um 70 € pro Maschinenstunde, da dieses Produkt nicht gefertigt wird. Dies ist einzusehen, da im Fall einer Eigenfertigung zwar für zwei Einheiten des Produktes ein positiver Deckungsbeitrag von 2*50 = 100 € erzielt werden könnte, dafür jedoch im Gegenzug (auf Grund der Absatzrestriktion) auf den Fremdbezug von zwei Einheiten des Produktes und damit auf einen Deckungsbeitrag von 2*85 = 170 € verzichtet werden müßte.

58. Make or Buy-Entscheidung

a) 1. Schritt: Überprüfung, ob die Kapazität ausreicht, um alle Produkte zu fertigen. I II III IV V

1.100 ME * 0,25 ZE/ME 2.000 ME * 3 ZE/ME 1.500 ME * 0,5 ZE/ME 450 ME * 2 ZE/ME 700 ME * 0,5 ZE/ME

= 275 ZE = 6.000 ZE = 750 ZE = 900 ZE = 350 ZE

Insgesamt fallen damit 8.275 ZE Kapazitätsbedarf an. D.h., es besteht ein kapazitiver Engpaß, da nur 6.250 ZE insgesamt zur Verfügung stehen. 2. Schritt: Ermittlung der relativen (Stück-)Deckungsbeiträge.

236

Produkt

Preis [€/ME]

I II III IV V

60 80 45 150 90

absoluter DB Produktionsvariable intensität pro Stück Stückkosten [ZE/ME] [€/ME] [€/ME] 20 40 0,25 50 30 3 15 30 0,5 100 50 2 75 15 0,5

relativer DB pro Stück [€/ZE] 160 10 60 25 30

Die Produkte werden in absteigender Reihenfolge ihres relativen Stückdeckungsbeitrages in das Produktionsprogramm aufgenommen. Hieraus resultiert dann die Rangfolge zur Fertigung der Produkte: I, III, V, IV, II.

3. Schritt: Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms.

Rang

Absatzmenge [ME]

beanspruchte Kapazität [ZE]

verbleibende Kapazität (max. Kap. bei 6.250) [ZE]

I III V IV II

1.100 (100%) 1.500 (100%) 700 (100%) 450 (100%) 1.325 (ca. 66%)

275 750 350 900 3.975

5.975 5.225 4.875 3.975 0

Es werden von den Produkten I, III, V und IV 100% dessen, was auf dem Absatzmarkt abgesetzt werden kann, produziert. Lediglich von Produkt II werden nicht die absetzbaren 2.000 Stück, sondern nur rund 66% (1.325 Stück) produziert. M.a.W., von Produkt II werden 675 absetzbare Stück nicht produziert.

4. Schritt: Ermittlung des Gewinns. Gges = DB – Kfix = (1.100 * 40) + (1.500 * 30) + (700 * 15) + (450 * 50) + (1.325*30) – 124.750 = 37.000 Der Gesamtgewinn bei dem optimalen Produktionsprogramm beträgt 37.000 €.

b) Alternative A: Einsatz einer zweiten Maschine 1. Schritt: Überprüfung, ob der Kapazitätsengpaß noch immer besteht. Gesamtkapazitätsbedarf: 8.275 ZE Gesamtkapazitätsangebot: 7.450 ZE Es bestünde noch immer ein Kapazitätsengpaß (ceteris paribus).

237

2. Schritt Ermittlung des modifizierten Produktionsprogramms.

Rang

Absatzmenge [ME]

beanspruchte Kapazität [ZE]

verbleibende Kapazität (max. Kap. bei 7.450) [ZE]

I III V IV II

1.100 (100%) 1.500 (100%) 700 (100%) 450 (100%) 1.725 (ca. 86%)

275 750 350 900 5.175

7.175 6.425 6.075 5.175 0

Es könnten damit 400 Stück mehr von Produkt II produziert werden (c. p.).

3. Schritt: Ermittlung des modifizierten resultierenden Gewinns. Gges = DB – Kfix = (1.100 * 40) + (1.500 * 30) + (700 * 15) + (450 * 50) + (1.725 * 30) – 170.750 = 3.000 Es würde ein Gewinn von 3.000 € entstehen.

Alternative B: teilweiser Fremdbezug von Produkt II Ermittlung des zusätzlichen Deckungsbeitrags für die zugekaufte Menge: Stück-DB: Gesamt-DB:

90 €/ME – 80 €/ME = 10 €/ME 10 €/ME * 675 ME = 6.750 €

Der gesamte Deckungsbeitrag würde um 6.750 € steigen, mithin - ceteris paribus auch der Gewinn. Der Gesamtgewinn würde entsprechend 43.750 € betragen. Gges = 37.000 + 6.750 = 43.750 € Unter dem Gesichtspunkt der Gewinnmaximierung ist entsprechend Alternative B: (Teil-) Fremdbezug von Produkt II vorzuziehen, weil der Gewinn bei Alternative A (3.000 €) signifikant niedriger wäre als der mögliche Gewinn bei Alternative B (43.750 €).

238

59. Make or Buy-Entscheidung

a) Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms durch Vollkostenrechnung: 1. Schritt: Überprüfung, ob die Kapazität ausreicht, um alle Produkte zu fertigen. (1.000/2) + (2.100/3) + (1.600/4) + (300/1) + (800/2) = 2.300 Stunden ĺ Die Kapazität reicht aus. Es liegt kein Engpaß vor! 2. Schritt: Ermittlung der Fixkosten pro Stück kf = 117.300 € / 2.300 h = 51 €/h Mittels der Produktionskoeffizienten werden die Fixkosten pro Stück berechnet: kf,A kf,B. kf,C kf,D kf, E

= 51 €/h : 2 ME/h = 25,50 €/ME = 51 €/h : 3 ME/h = 17,00 €/ME = 51 €/h : 4 ME/h = 12,75 €/ME = 51 €/h : 1 ME/h = 51,00 €/ME = 51 €/h : 2 ME/h = 25,50 €/ME

Durch die Addition der Fixkosten pro Stück mit den variablen Kosten pro Stück erhält man die Vollkosten pro Stück: k = kf + kv Produkt

A B C D E

3. Schritt:

xmax [ME] 1.000 2.100 1.600 300 800

p [€/ME] 50 70 45 140 90

kv [€/ME] 30 40 20 90 50

q [ME/ZE] 2 3 4 1 2

k [€/ME] 55,50 57,00 32,75 141,00 75,50

p-k [€/ME] -5,50 13,00 12,25 -1,00 14,50

Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms

Aus der Tabelle ist zu erkennen, daß bei Herstellung der Produkte A und D ein Stückverlust von 5,50 € bzw. 1,00 € entsteht. Diese Produkte sind aus dem Produktionsprogramm zu streichen, da nach dem Vollkostenkriterium die am Markt erzielbaren Preise für diese beiden Produkte nicht ausreichen, um ihre Selbstkosten zu decken. ĺ

Die Produkte B, C und E sind mit ihren maximalen Absatzmengen herzustellen. Dies erfordert 1.500 < 2.400 ZE, es entsteht kein Engpaß.

239

4. Schritt: Erneutes Durchlaufen der Schritte 2 und 3 neuer Fixkostenstundensatz: kf/neu = 117.300 € / 1.500 h = 78,20 €/h Ermittlung der Vollkosten pro ME: kf,B/neu = 40 €/ME + (78,20 €/h : 3 ME/h) = 66,07 €/ME kf,C/neu = 20 €/ME + (78,20 €/h : 4 ME/h) = 39,55 €/ME kf,E/neu = 50 €/ME + (78,20 €/h : 2 ME/h) = 89,10 €/ME Für alle drei Produkte muß gelten: p – k > 0 (Am Absatzmarkt erzielbarer Preis pro Mengeneinheit > Vollkosten pro Mengeneinheit) 70 €/ME – 66,07 €/ME > 0 45 €/ME – 39,55 €/ME > 0 90 €/ME – 89,10 €/ME > 0 Es lassen sich bei allen drei Produkten Gewinne erzielen. 5. Schritt:

Ermittlung des Gesamtgewinns

Ggesamt = 2.100 * (70 - 40) + 1.600 * (45 - 20) + 800 * (90 - 50) – 117.300 Ggesamt = 135.000 – 117.300 = 17.700 €

b) Durchführung einer Deckungsbeitragsrechnung zur Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms: Die fixen Kosten sind bei der kurzfristigen Produktionsprogrammplanung ein unveränderliches Datum, d.h. sie sind unabhängig von Art und Menge der Erzeugnisse, die mit der vorhandenen Anlage erstellt werden können. Bei der kurzfristigen Erfolgsrechnung ist es daher unsachgerecht, die fixen Kosten auf die einzelnen Erzeugnisse zu verteilen, diese sind vielmehr als nicht zurechenbarer Kostenblock zu betrachten. Aus diesem Grund ist es sinnvoll eine einfache Deckungsbeitragsrechnung durchzuführen. Da weder ein kapazitiver Engpaß in der Fertigung noch Alternativen hinsichtlich eines Fremdbezugs einzelner Produkte bestehen, ist das Kriterium des absoluten Deckungsbeitrags heranzuziehen. Dieser gibt an, in welchem Umfang das einzelne Ergebnis zur Dekkung des nicht zurechenbaren Fixkostenblocks beiträgt. 1. Schritt: Überprüfung der Kapazität (bereits erfolgt)

240

2. Schritt: Ermittlung der absoluten Deckungsbeiträge Stückdeckungsbeitrag db = p – kv Gesamtdeckungsbeitrag DB = ™ db * x (Summe der Stückdeckungsbeiträge mal Herstellungsmenge) dbA = pA – kv,A dbD = pD – kv,D

= 50 – 30 = 20 € / ME = 140 – 90 = 25 € / ME

Es wäre falsch, die Produkte A und D nicht mehr herzustellen, da ihr Stückdeckungsbeitrag positiv ist. dbB = pB – kv,B = 70 – 40 = 30 € / ME dbC = pC – kv,C = 45 – 20 = 25 € / ME dbE = pE. – kv,E = 90 – 50 = 40 € / ME 3. Schritt: Ermittlung des Gesamtdeckungsbeitrags DB = 20 *1.000 + 30 * 2.100 + 25 * 1.600 + 50 * 300 + 40 * 800 DB = 170.000 € 4. Schritt: Ermittlung des Gesamtgewinns Gges = DB – Kfix = 170.000 € - 117.300 € = 52.700 € Durch die Anwendung des Kriteriums der absoluten Deckungsbeiträge ergibt sich ein höherer Gesamtgewinn als im Falle der Programmentscheidung anhand der Vollkostenrechnung. Wie im vorliegenden Fall deutlich wird, stellt die stückbezogene Differenz zwischen Verkaufspreis und Vollkosten somit kein geeignetes Kriterium dar, um die Frage zu beantworten, welche Produkte kurzfristig in ein Produktionsprogramm aufgenommen bzw. eliminiert werden sollen. Die unsachgerechte Umlage der Fixkosten führt dabei zu den oben gezeigten Fehlentscheidungen. Das (kurzfristig) optimale Produktionsprogramm kann bei freier Produktionskapazität generell nur auf Basis der absoluten Deckungsbeiträge bestimmt werden. Solange die Fertigungskapazität ausreicht, ist jedes Produkt in das Produktionsprogramm aufzunehmen, das einen positiven absoluten Deckungsbeitrag aufweist, da es einen Beitrag zur Deckung der fixen Kosten und damit zur Gewinnerzielung leistet.

241

60. Make or Buy-Entscheidung

1. Schritt: Überprüfung, ob die vorhandene Produktionskapazität ausreicht, um alle Produkte zu fertigen. (1.600 * 2) + (950 * 1) + (800 * 6) + (500 * 3) + (700 * 2) + (1.200 * 2) + (300 * 4) = 15.450 Stunden ĺ Die Kapazität reicht nicht aus. Es liegt ein Engpaß vor! ĺ Relative Deckungsbeitragsrechnung! 2. Schritt: Ermittlung des relativen Deckungsbeitrages Hier: Bei Eigenfertigung oder Fremdbezug ist der rel. DB zu modifizieren, es ist die relative Deckungsbeitragsdifferenz zu ermitteln: absoluter DB bei Produkt Eigenfertigung Fremdbezug [€/ME] [€/ME] 1 95 35 2 105 90 3 40 50 4 150 5 20 6 120 7 48

DBDifferenz [€/ME] 60 15 -10

Produktionskoeffizient [ZE/ME] 2 1 6 3 2 2 4

rel. DBDifferenz [€/ZE] 30 15 50 10 60 12

3. Schritt: Ermittlung des gewinnmaximalen Produktions- und Absatzprogramms Aus der Tabelle folgt: Bei Produkt 3 liegt der absolute DB bei Eigenfertigung mit 40 €/ME unter dem DB bei Fremdbezug mit 50 €/ME. ĺ 1. Entscheidung: Produkt 3 ist in vollem Umfang fremdzubeziehen und in das Absatzprogramm aufzunehmen. Die ersten ZE der knappen Kapazität werden für das Produkt verplant, das die höchste relative. Deckungsbeitragsdifferenz aufweist. ĺ 2. Entscheidung: Produkt 6 ist mit der max. Absatzmenge x6 = 1.200 ME zu produzieren. Dafür werden t6 = 1.200 * 2 = 2.400 ZE benötigt. ĺ 3. Entscheidung: Produkt 4 ist mit der maximalen Absatzmenge x4 = 500 ME zu produzieren. Dafür werden t4 = 500 * 3 = 1.500 ZE benötigt.

242

ĺ 4. Entscheidung: Produkt 1 ist mit der max. Absatzmenge x1 = 1.600 ME zu produzieren. Dafür werden t1 = 1.600 * 2 = 3.200 ZE benötigt. Bisher wurden 2.400 + 1.500 + 3.200 = 7.100 ZE von 7.500 ZE verplant, d.h.: ĺ 5. Entscheidung: Produkt 2 ist mit der Menge x2 = 400 ME zu produzieren. Dafür werden t2 = 400 * 1 = 400 ZE benötigt. Da Produkt 2 aber eine positive relative Deckungsbeitragsdifferenz aufweist, ist die restliche Menge von 550 ME fremdzubeziehen und in das Absatzprogramm mit aufzunehmen. Daraus ergibt sich das folgende Absatzprogramm:

Produkt

rel. DBDifferenz

3 6 4 1 2 7 5

60 50 30 15 12 10

Absatzprogramm Eigenfertigung (ProduktionsFremdbezug programm) 800 1.200 500 1.600 400 550 -

Kapazitätsbeanspruchung

2.400 3.900 7.100 7.500 -

61. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

a) Gewinnoptimales Produktionsprogramm ohne Kapazitätsrestriktion: Problem: max [G(xT,xP)] x T , xP

unter den Nebenbedingungen:

(xT t 0), (xP t 0)

Ansatz: Gewinnfunktion G

xT ( pT  kvT )  x P ( p P  kv P )

xT (14  0,01xT  2)  x P (30  0,04 x P  6) o max!

G

xT (12  0,01xT )  x P (24  0,04 x P ) 12 xT  0,01xT ²  24 x P  0,04 x P ² o max!

Bedingungen erster Ordnung (notwendige Bedingungen): Gl. (A1)

wG ( xT , x P ) wxT

12  0,02 xT

0 ĺ xT

600 ME

Gl. (A2)

wG ( xT , x P ) wx P

24  0,08 x P

0 ĺ xP

300 ME

243

Die hinreichenden Bedingungen für das Vorliegen eines Maximums sind erfüllt: w 2 G ( xT , x P )

Gl. (A3)

2

wxT

w 2 G ( xT , x P )

Gl. (A4)

wx P

2

0,02  0

0,08  0

Der Periodengewinn des optimalen Programms beträgt: G (600,300) 12 * 600  0,01 * 600²  24 * 300  0,04 * 300²

7.200 GE.

b) (1) Beschränkung der Maschinenkapazität auf C0 = 1.000 ZE: Ansatz: Lagrangefunktion: L(xT,xp,Ȝ) mit (xT t 0), (xP t 0) und (Ȝ t 0) L ( xT , x P , O )

xT ( pT  kvT )  x P ( p P  kv P )  O (C 0  xT  2 x P )

xT (14  0,01xT  2)  x P (30  0,04 x P  6)  O (1.000  xT  2 x P ) 12 xT  0,01xT ²  24 x P  0,04 x P ²  O (1.000  xT  2 x P ) o max!

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (B1a)

wL( xT , x P , O ) wxT

12  0,02 xT  O

Gl. (B2a)

wL( xT , x P , O ) wx P

24  0,08 x P  2O

0

Gl. (B3a)

wL( xT , x P , O ) wO

1.000  xT  2 x P

0

0

Zu lösen sind die drei obenstehenden Gleichungen mit den drei unbekannten Variablen xT, xP und Ȝ. Das Lösen des Gleichungssystems kann beispielsweise durch Einsetzen von Gl. (B1a) bzw. Gl. (B2a) in Gl. (B3a) erfolgen. Die ersten beiden Gleichungen sind hierzu nach xT bzw. xP aufzulösen: Gl. (B1a*) xT *

Gl. (B2a ) x p

244

600  50O

300  25O

Einsetzen dieser Gleichungen in Gl. (B3a) ergibt: 1.000  (600  50O )  2(300  25O ) 400  50O  600  50O

0

0

100O 200 O 2

Mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators (Ȝ = 2) können nun die optimalen Mengen xT* und xP* ermittelt werden: xT

*

600  50O

600  50 * 2

500 ME

xp

*

300  25O

300  25 * 2

250 ME

Es muß auf Grund der knappen Kapazität auf die Fertigung von 100 ME „Tackerfix“ und 50 ME „Premium“ verzichtet werden. Der (im Vergleich zum unrestringierten Fall um 200 GE niedrigere) Periodengewinn des optimalen Produktionsprogramms beträgt: G (500,250) 12 * 500  0,01 * 500²  24 * 250  0,04 * 250²

7.000 GE.

(1) Beschränkung der Maschinenkapazität auf 1.200 ZE: Ansatz: Lagrangefunktion (analog zu (b.1) mit C0 = 1.200) ergibt: L( xT , x P , O ) 12 xT  0,01xT ²  24 x P  0,04 x P ²  O (1.200  xT  2 x P ) o max!

mit (xT t 0), (xP t 0) und (Ȝ t 0) Bedingungen erster Ordnung: Gl. (B1b)

wL( xT , x P , O ) wxT

12  0,02 xT  O

Gl. (B2b)

wL( xT , x P , O ) wx P

24  0,08 x P  2O

0

Gl. (B3b)

wL( xT , x P , O ) wO

1.200  xT  2 x P

0

0

Bis auf die geänderte Kapazität C0 stimmen die Bedingungen erster Ordnung mit denen aus der Teilaufgabe (b.1) überein; somit ergeben sich analog die Umformungen: Gl. (B1b*) xT *

Gl. (B2b ) x p

600  50O

300  25O

245

Einsetzen dieser Gleichungen in Gl. (B3a) ergibt: 1.200  (600  50O )  2(300  25O ) 600  50O  600  50O 0

0

0

O

Der Lagrange-Multiplikator Ȝ nimmt für die verfügbare Kapazität von C0 = 1.200 ZE gerade den Wert „0“ an. Das bedeutet, daß die Kapazitätsrestriktion in diesem Fall gerade nicht bindend ist. Die benötigte Kapazität (1.200 ZE) entspricht exakt der verfügbaren Kapazität. Die optimalen Mengen xT* und xP* sowie der Periodengewinn entsprechen somit den in Aufgabenteil (a) ermittelten Werten:

xT

*

600  50O

600  50 * 0

600 ME

xp

*

300  25O

300  25 * 0

300 ME

bzw. G (600,300) 7.200 GE

(2) Beschränkung der Maschinenkapazität auf 1.400 ZE: Ansatz: Lagrangefunktion (analog zu (b.1)/ (b.2) mit C0 = 1.400) ergibt: L( xT , x P , O ) 12 xT  0,01xT ²  24 x P  0,04 x P ²  O (1.400  xT  2 x P ) o max!

mit (xT t 0), (xP t 0) und (Ȝ t 0) Die folgenden Berechnungen sind analog zu den Teilaufgaben (b.1)/(b.2) nachzuvollziehen. Der Lagrange-Multiplikator Ȝ würde für die verfügbare Kapazität von C0 = 1.400 ZE rechnerisch den Wert Ȝ = – 2 annehmen. Da jedoch Ȝ t 0 gefordert ist, gilt Ȝ = 0. Die benötigte Kapazität (1.200 ZE) liegt unterhalb der verfügbaren Kapazität von C0 = 1.400 ZE. Das bedeutet, daß die Kapazitätsrestriktion nicht bindend ist. Der negative Wert für den Lagrange-Multiplikator zeigt an, daß der Grenzgewinn im Falle einer Ausschöpfung des (nicht benötigten!) Zeitbudgets negativ wäre, m.a.W. eine Produktion über die optimalen Mengen xT* und xP* hinaus schmälert den Periodengewinn. Die optimalen Mengen bzw. der Periodengewinn entsprechen somit wie im Falle (b.2) den im Aufgabenteil a) ermittelten Werten.

246

c) Optimale Mengen xT und xP sowie der Periodengewinn G in Abhängigkeit von Ȝ:

8,00

xt in Hundert xp in Hundert

7,00

G in TSD 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ȝ

d) Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators Ȝ: Im Falle der Gewinnmaximierung kann der Lagrange-Multiplikator als relativer Grenzgewinn verstanden werden. Er gibt (im Falle Ȝ > 0) die marginale positive Änderung der Zielfunktion L („Gewinnzuwachs“) bei einer marginalen Relaxierung der NebenwL( x1 , x 2 ,..., x n , C , O ) . Allgemein kann bedingung (hier: Kapazitätsbeschränkung) an: O wC

man den Multiplikator im Optimum als „Knappheitspreis“ bzw. „Opportunitätskosten der knappen Ressource“ begreifen. Ist die Restriktion nicht bindend, so beträgt der Knappheitspreis Null (Ȝ = 0), m.a.W. „ein freies Gut kostet nichts“ (oder: zusätzliche Einheiten der „freie Ressource“ können nicht wertschöpfend eingesetzt werden).

62. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

a) Beschränkung der Maschinenkapazität auf C0 = 800 ZE: Ansatz: Lagrangefunktion: L(xT,xp,xG,Ȝ) mit (xT t 0), (xP t 0), (xG t 0) und (Ȝ t 0) L(xT,xp,xG,Ȝ) = xT(pT – kvT) + xP(pP – kvP) + xG(pG – kvG) + Ȝ(C0 – xT – 2xp – 2xG) = xT((14 – 0,01xT) – 2) + xP((30 – 0,04xP) – 6) + xG((6 – 0,01xG) – 4) + Ȝ(800 – xT – 2xp – 2xG) = xT(12 – 0,01xT) + xP(24 – 0,04xP) + xG(2 – 0,01xG) + Ȝ(800 – xT – 2xp – 2xG) = 12xT – 0,01xT2 + 24xP – 0,04xP2 + 2xG – 0,01xG2 + Ȝ(800 – xT – 2xp – 2xG)

247

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (A1)

wL( xT , x P , xG , O ) wxT

12 – 0,02xT – Ȝ = 0

Gl. (A2)

wL( xT , x P , xG , O ) wx P

24 – 0,08xP – 2Ȝ = 0

Gl. (A3)

wL( xT , x P , xG , O ) wxG

2 – 0,02xG – 2Ȝ = 0

Gl. (A4)

wL( xT , x P , xG , O ) wO

800 – xT – 2xp – 2xG = 0

Zu lösen sind die vier obenstehenden Gleichungen mit den vier unbekannten Variablen xT, xP, xG und Ȝ. Zur Lösung des Gleichungssystems sollen Gl. (A1)-(A3) in Gl. (A4) eingesetzt werden. Die Gleichungen (A1)-(A3) sind hierzu nach xT, xP und xG aufzulösen: Gl. (A1*) xT = 600 – 50Ȝ Gl. (A2*) xP = 300 – 25Ȝ Gl. (A3*) xG = 100 – 100Ȝ Einsetzen dieser Gleichungen in Gl. (A4) ergibt: 800 – (600 – 50Ȝ) – 2(300 – 25Ȝ) – 2(100 – 100 Ȝ) = 0 200 + 50Ȝ – 600 + 50Ȝ – 200 + 200Ȝ = 0 300Ȝ = 600 Ȝ=2 Mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators (Ȝ = 2) können nun die optimalen Mengen xT*, xP* und xG* ermittelt werden: xT* = 600 – 50Ȝ = 600 – 50*2 = 500 ME xP* = 300 – 25Ȝ = 300 – 25*2 = 250 ME xG* = 100 – 100Ȝ = 100 – 100*2 = –100 ME Es sollte auf Grund der knappen Kapazität auf die Fertigung von 100 ME „Tackerfix“ und 50 ME „Premium“ verzichtet werden. Von dem Modell „Geizklammer“ hingegen sollen laut Berechnung „–100 ME“ hergestellt werden, d.h. die Nichtnegativitätsbedingung für xG wird verletzt und die gefundene Lösung ist somit unzulässig.

248

Das Einsetzen von xG = –100 in die Zielfunktion zeigt den formal logischen Hintergrund des vorliegenden Ergebnisses: Durch die (fiktive) Produktion dieser „negativen Stückzahl“ würde die verfügbare Maschinenzeit um ǻC = –2(–100) = + 200 ZE erhöht, d.h. es stünde für die Produktion von xT und xP insgesamt ein Zeitkontingent von C0* = 1.000 ZE zur Verfügung. Dieses würde genutzt, um die oben angegebenen (positiven) Stückzahlen von xT und xP zu fertigen. Wenngleich diese Betrachtung im Hinblick auf eine Realgüterproduktion als absurd anzusehen ist, lassen sich ökonomische Beispiele finden, vor deren Hintergrund dieses Optimierungskalkül – im übertragenen Sinne – als sinnvoll anzusehen ist: Handelt es sich bspw. bei der gegebenen Restriktion nicht um eine Zeitrestriktion, sondern um eine Finanzrestriktion und gilt es ein Wertpapierportfolio zu optimieren, kann es durchaus sinnvoll sein, einen Kredit aufzunehmen oder „negative Stückzahlen“ bestimmter Wertpapiere zu veräußern, um die auf diesem Wege zufließenden finanziellen Mittel in positive Quantitäten anderer Wertpapiere zu investieren. (Die Veräußerung von nicht im Besitz des Verkäufers befindlichen Wertpapieren wird als „Leerverkauf“ bezeichnet).

b) Problem des vorliegenden Ansatzes und Lösung des Optimierungsproblems: Das „Versagen“ des gewählten Optimierungsansatzes ist darauf zurückzuführen, daß die Nichtnegativitätsbedingungen zwar grundsätzlich für die Zulässigkeit der Lösung gefordert, deren Einhaltung jedoch nicht explizit durch zusätzliche Bedingungen abgeprüft bzw. sichergestellt wurde. Abhilfe für dieses Problem schaffen die Bedingungen von Kuhn-Tucker („erweiterter Ansatz nach Lagrange“). Das Problem könnte im vorliegenden Fall durch Eliminierung des Modells „Geizklammer“ und erneute Optimierung für die beiden verbleibenden Produkte gelöst werden. Hierzu wäre lediglich die Annahme xG* = 0 zu treffen und Gl. (A3) bzw. (A3*) zu streichen. Durch Einsetzen von Gl. (A1) und (A2) in Gl. (A4) wäre der (neue) Lagrange-Multiplikator zu ermitteln und die optimalen Mengen durch Einsetzen desselben in die Gl. (A1*) und (A2*) zu bestimmen.

c) Erweiterter Optimierungsansatzes nach Lagrange: L(xT,xp,xG,Ȝ) = xT(pT – kvT) + xP(pP – kvP) + xG(pG – kvG) + Ȝ(C0 – xT – 2xp – 2xG) = 12xT – 0,01xT2 + 24xP – 0,04xP2 + 2xG – 0,01xG2 + Ȝ(800 – xT – 2xp – 2xG) Bedingungen nach Kuhn-Tucker: (1.1)

wL( xT , x P , xG , O ) wxT

12 – 0,02xT – Ȝ d 0

(1.2)

wL( xT , x P , xG , O ) wx P

24 – 0,08xP – 2Ȝ d 0

(1.3)

wL( xT , x P , xG , O ) wxG

2 – 0,02xG – 2Ȝ d 0

249

Bedingungen nach Kuhn-Tucker (Fortsetzung): (2.1)

wL( xT , x P , xG , O ) xT wxT

(12 – 0,02xT – Ȝ)xT = 0

(2.2)

wL( xT , x P , xG , O ) xP wx P

(24 – 0,08xP – 2Ȝ)xP = 0

(2.3)

wL( xT , x P , xG , O ) xG wxG

(2 – 0,02xG – 2Ȝ)xG = 0

(3.1) xT t 0 (3.2) xP t 0 (3.3) xG t 0 (4)

wL( xT , x P , xG , O ) wO

(5)

wL( xT , x P , xG , O ) O wO

800 – xT – 2xp – 2xG t 0 (800 – xT – 2xp – 2xG)Ȝ = 0

(6) Ȝ t 0 Beginn mit der komplementären Schlupf-Bedingung (2.3): Treffen der Annahme: (xG > 0) Damit die Schlupfbedingung (2.3) eingehalten werden kann, muß 2 – 0,02xG – 2Ȝ = 0 gelten und infolge dessen auch Bedingung (1.3) mit Gleichheit erfüllt sein. Auflösen von (1.3) nach der Variable xG ergibt: (1.3*) xG = 100 – 100Ȝ Für den Multiplikator Ȝ folgt aus der Gleichung (1.3*) unter der getroffenen Annahme xG > 0 und aus der Einhaltung von (6), d.h. Ȝ t 0, ein zulässiger Wertebereich von 0 d Ȝ < 1. Umformen von (1.1) sowie (1.2) ergibt: (1.1*) xT t 600 – 50Ȝ (1.2*) xP t 300 – 25Ȝ Aus diesen Bedingungen folgt mit der oben angegebenen Beschränkung für Ȝ als zulässiger Bereich für xT und xP 500 < xT < 600 bzw. 275 < xP < 300. Das Einsetzen der Untergrenze von xT und xP in Bedingung (4) zeigt jedoch, daß diese Restriktion für alle zulässigen xT und xP verletzt wird. Damit ist die ursprüngliche Annahme (xG > 0) zu revidieren und xG d 0 anzunehmen. In Verbindung mit der Nichtnegativitätsbedingung (3.3) folgt xG = 0. Mit xG = 0 folgt aus Bedingung (1.3), daß Ȝ t 1 gelten muß.

250

Treffen der Annahmen: (xT > 0); (xP > 0) Wissen: (xG = 0); (Ȝ t 1) Auf Grund der Tatsache, daß eine bindende Restriktion und somit Ȝ > 0 vorausgesetzt wird (vgl. Aufgabenstellung), folgt aus der Einhaltung der Schlupfbedingung (5) (800 – xT – 2xp – 2xG)Ȝ = 0 die Gleichung: (5*) (800 – xT – 2xp – 2xG) = 0 Aus den getroffenen Annahmen (xT > 0) und (xP > 0) folgen aus der Erfüllung der Bedingungen (2.1) sowie (2.2) die Gleichungen: (2.1*) (12 – 0,02xT – Ȝ) = 0 (2.2*) (24 – 0,08xP – 2Ȝ) = 0 Das Auflösen nach xT bzw. xP und Einsetzen dieser Gleichungen in (5*) ergibt: (800 – (600 – 50Ȝ) – 2(300 – 25Ȝ)) = 0 800 – 600 + 50Ȝ – 600 + 50Ȝ = 0 – 400 + 100Ȝ = 0 Ȝ=4 Damit kann die zulässige Lösung xT = 400; xP = 200; xG = 0; Ȝ = 4 ermittelt werden. Diese Lösung erfüllt alle Optimalitätsbedingungen gemäß Kuhn-Tucker.

d) Ökonomische Interpretation der Kuhn-Tucker-Bedingungen: Das Einsetzen der gefundenen zulässigen Lösung (xT = 400; xP = 200; xG = 0; Ȝ = 4) in die Kuhn-Tucker-Bedingungen (1.1) – (1.3) zeigt im Sinne einer ökonomischen Betrachtungsweise, daß für xT bzw. xP die Optimalitätsbedingung „Grenzerlös“ = „Grenzkosten“ (bzw. „Grenzerlös“ – „Grenzkosten“ = 0) erfüllt ist. Der Grenzertrag (GE) entspricht dem jeweiligen Absolutglied der Preis-Absatz-Funktionen. Im Falle der Bedingung (1.1) – anhand derer die nachfolgende Betrachtung exemplifiziert werden soll – beträgt dieser GE = 14. Die Grenzkosten setzten sich aus drei Bestandteilen zusammen. Der (marktbedingten) Grenzerlösminderung pro abgesetzter Mengeneinheit, hier: GK1(xT*) = 0,02xT* =0,02*400 = 8), den (konstanten) Grenzkosten der Fertigung GK2 = 2 sowie den Grenzkosten der knappen Maschinenzeit GK3 = Ȝ = 4. Eine analoge Betrachtung läßt sich für (1.2) aufstellen. Im Falle der Bedingung (1.3) übersteigen die Grenzkosten die Grenzerträge. Die komplementäre Schlupfbedingung (2.3) gewährleistet in diesem Fall, daß keine Stückzahlen größer „0“ von xG gefertigt werden. Bedingung (4) zeigt die bereitgestellte Kapazität C0 = 800 sowie den Kapazitätsverbrauch in Höhe von „– xT – 2xp – xG = – 400 – 2*200 – 0 = – 800“. Im Falle freier Kapazitäten, d.h. eines verbleibenden nicht genutzten Zeitkontingents muß der „Knappheitspreis“ der Maschinenzeit „0“ betragen. Die Einhaltung dieser Forderung wird durch die komplementäre Schlupfbedingung (5) sichergestellt, die im Falle, daß Bedingung (4) einen Wert „> 0“ annimmt, zwingend einen Wert von Ȝ = 0 fordert.

251

63. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

a) Ansatz: Lagrangefunktion: L( xV , x N , x S , O ) L( xV , x N , x S , O )

xv ( p v  kvv )  x N ( p N  kv N )  x S ( p S  kv S )  O (C 0  2 xV  x N  x S ) o max! xv (1200  0,2 xV  400)  x N (600  0,0125 x N  300)  x S (200  0,002 x S  100)

 O (17000  2 xV  x N  x S )

800 xv  0,2 xV ²  300 x N  0,0125 x N ²  100 x S  0,002 x S ²

 O (17000  2 xV  x N  x S ) o max!

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (A1)

wL( xV , x N , x S , O ) wxV

800  0,4 xV  2O

Gl. (A2)

wL( xV , x N , x S , O ) wx N

300  0,025 x N  O

0

Gl. (A3)

wL( xV , x N , x S , O ) wx S

100  0,004 x S  O

0

Gl. (A4)

wL( xV , x N , x S , O ) wO

17000  2 xV  x N  x S

0

0

Zu lösen sind die vier Gleichungen mit den vier unbekannten Variablen xV, xN, xS und Ȝ. Das Lösen des Gleichungssystems kann bspw. durch Einsetzen von Gl. (A1)-(A3) in Gl. (A4) erfolgen. Die ersten drei Gleichungen sind nach xV, xN und xS aufzulösen: Gl. (A1*) xV *

2000  5O

Gl. (A2 ) x N

12000  40O

Gl. (A3*) x S

25000  250O

Einsetzen dieser Gleichungen in Gl. (A4) ergibt: 17000  2(2000  5O )  (12000  40O )  (25000  250O ) 17000  4000  10O  12000  40O  25000  250O 0 300O 24000 O 80

0

Mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators (Ȝ = 80) können nun die optimalen Mengen xV/opt, xN/opt und xS/opt ermittelt werden: xV / opt

2000  5O

x N / opt

12000  40O

x S / opt

25000  250O

252

2000  5 * 80 1600 ME 12000  40 * 80

8800 ME

25000  250 * 80

5000 ME

Es muß auf Grund der knappen Kapazität auf die Fertigung von 400 ME, 3.200 ME bzw. 20.000 ME der Modelle „Vesuvio“, „Napoli“ und „Scusi“ verzichtet werden. Produktions- und Absatzprogramm stimmen überein. Der Periodengewinn des optimalen Produktionsprogramms beträgt: G (1600,8800,5000) 800 * 1600  0,2 * (1600)²  300 * 8800  0,0125 * (8800)²  100 * 5000  0,002 * (5000)² 2.890.000 €

b) Die Produktions- und Absatzmenge für das Modell „Scusi“ stimmen im betrachteten Fall nicht mehr überein. Es müssen 5% mehr Maschinen produziert werden als abgesetzt werden können. Produktion

Absatz

105

i.O.

100

95

n.i.O.

5

5 Austausch (unentgeltlich)

Vorrat

Dies macht eine geeignete Modifikation der Zielfunktion erforderlich. Hierbei gibt es zwei denkbare Ansatzmöglichkeiten, die jedoch beide zum selben Endergebnis führen müssen: So können xV, xN und xS entweder als Produktions- oder als Absatzmengen aufgefaßt werden. Aus den optimalen Produktionsmengen ergeben sich dann zwingend die optimalen Absatzmengen und vice versa. Bezeichne z die erforderliche Mehrproduktion als Anteil an der Absatzmenge, seien xV*, xN* und xS* die Produktionsmengen, xV, xN und xS die Absatzmengen. Ansatz (1): Optimierung der Zielfunktion über die Absatzmengen: *

L( xV , x N , x S , x S , O ) 1200 x v  0,2 xV ²  400 xv  600 x N  0,0125 x N ²  300 x N *

*

 200 x S  0,002 x S ²  100 x S  O (17000  2 xV  x N  x S ) o max!

ausschließlich ausgedrückt in Absatzmengen lautet die Zielfunktion: L( xV , x N , x S , O ) 1200 xv  0,2 xV ²  400 xv  600 x N  0,0125 x N ²  300 x N  200 x S  0,002 x S ²  100 zx S  O (17000  2 xV  x N  zx S ) o max!

253

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (B1.1)

wL( xV , x N , x S , O ) wxV

800  0,4 xV  2O

Gl. (B1.2)

wL( xV , x N , x S , O ) wx N

300  0,025 x N  O

Gl. (B1.3)

wL( xV , x N , x S , O ) wx S

200  0,004 x S  100 z  Oz

Gl. (B1.4)

wL( xV , x N , x S , O ) wO

17000  2 xV  x N  zx S

0

0

0

0

Auflösen von Gl. (B1.1)-(B1.3) nach xV, xN und xS und Einsetzen in Gl. (B1.4) ergibt: Gl. (B1.1*) xV *

2000  5O

Gl. (B1.2 ) x N

12000  40O

Gl. (B1.3*) x S

50000  25000 z  250Oz

17000  2(2000  5O )  (12000  40O )  z (50000  25000 z  250Oz ) 0 17000  4000  10O  12000  40O  z (50000  25000 z )  250Oz ² 0 1000  O (50  250 z ²) z (50000  25000 z )

O

z (50000  25000 z )  1000 50  250 z ²

1,05(50000  25000 * 1,05)  1000 50  250 * (1,05) 2

73,5125

Mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators (Ȝ = 73,5125) können nun die optimalen Absatzmengen xV/opt, xN/opt und xS/opt ermittelt werden: xV / opt

2000  5O

x N / opt

12000  40O

xS / opt

50000  25000z  250Oz 50000  25000*1,05  250 * 73,5125*1,05 4452,97 | 4453ME

2000  5 * 73,5125 1632,44 | 1632 ME 12000  40 * 73,5125

9059,50 | 9060 ME

Die (bindende) Fertigungsrestriktion C 0 d 17000 wird eingehalten: 2 xV  x N  1,05 x S

2 * 1632  9060  1,05 * 4453 16999,65 | 17000

Die optimale Produktionsmenge beträgt: x * S / opt

254

z * x S / opt

C0

1,05 * 4453 | 4676 ME

Der Periodengewinn ergibt sich mit: G (1632,9060,4453) 800 * 1632  0,2 * (1632)²  300 * 9060  0,0125 * (9060)²  95 * 4453  0,002 * (4453)² 2.848.246,72€

Ansatz (2): Optimierung der Zielfunktion über die Produktionsmengen: *

*

*

*

*

*

*

*

L( xV , x N , x S , x S , O ) 1200 xv  0,2 xV ²  400 xv  600 x N  0,0125 x N ²  300 x N *

*

*

*

*

 200 x S  0,002 x S ²  100 x S  O (17000  2 xV  x N  x S ) o max!

ausschließlich ausgedrückt in Produktionsmengen lautet die Zielfunktion: *

*

*

*

*

*

*

*

L( xV , x N , x S , O ) 1200 xv  0,2 xV ²  400 xv  600 x N  0,0125 x N ²  300 x N

*

2

 200

* §x *· xS * * * *  0,002¨¨ S ¸¸  100 x S  O (17000  2 xV  x N  x S ) o max! z © z ¹

Bedingungen erster Ordnung: *

Gl. (B2.1)

*

*

wx N

*

wL( xV , x N , x S , O ) wx S *

Gl. (B2.4)

*

*

*

*

*

800  0,4 xV  2O

0

*

wL( xV , x N , x S , O ) *

Gl. (B2.3)

*

wxV *

Gl. (B2.2)

*

wL( xV , x N , x S , O )

*

300  0,025 x N  O

0

*

200 0,004 x S   100  O z z²

0

*

wL( xV , x N , x S , O ) wO

*

*

17000  2 xV  x N  x S

*

0

Durch Auflösen von Gl. (B2.1)-(B2.3) nach xV*, xN* und xS* und Einsetzen in Gl. (B2.4) erhält man – in Übereinstimmung mit Ansatz (1) – den relativen Grenzgewinn im Optimum: Gl. (B2.1*) xV *

2000  5O

Gl. (B2.2*) x N * 12000  40O Gl. (B2.3*) x S *

50000 z  25000 z ²  250Oz ²

17000  2(2000  5O )  (12000  40O )  (50000 z  25000 z ²  250Oz ²) 17000  4000  10O  12000  40O  z (50000  25000 z )  250Oz ² 0 1000  O (50  250 z ²) z (50000  25000 z )

0

255

O

z (50000  25000 z )  1000 50  250 z ²

1,05(50000  25000 * 1,05)  1000 50  250 * (1,05) 2

73,5125

Somit können die optimalen Produktionsmengen ermittelt werden (wobei es für xV und xN keine Abweichungen zu den optimalen Absatzmengen gibt). *

*

xV / opt | 1632 ME; x N / opt | 9060 ME; x S / opt

*

z * x s / opt

1,05 * 4453 | 4676 ME

Das Einsetzen dieser Mengen in die Zielfunktion G * (1632,9060,4676) muß den bereits mit Hilfe von Ansatz (1) ermittelten Periodengewinn ergeben.

c) Zielfunktion: L( xV , x N , x S , O )

x v (1200  0,2 xV  440)  x N (600  0,0125 x N  330)  x S (200  0,002 x S  110)

 O (19100  2 xV  x N  x S )

760 xv  0,2 xV ²  270 x N  0,0125 x N ²  90 x S  0,002 x S ²

 O (19100  2 xV  x N  x S ) o max!

Bedingungen erster Ordnung: Gl. (C1)

wL( xV , x N , x S , O ) wxV

760  0,4 xV  2O

Gl. (C2)

wL( xV , x N , x S , O ) wx N

270  0,025 x N  O

Gl. (C3)

wL( xV , x N , x S , O ) wx S

90  0,004 x S  O

Gl. (C4)

wL( xV , x N , x S , O ) wO

19100  2 xV  x N  x S

0

0

0

0

Auflösen von Gl. (C1)-(C3) nach xV, xN und xS und Einsetzen in Gl. (C4) ergibt: Gl. (C1*) xV

1900  5O

Gl. (C2*) x N

10800  40O

*

Gl. (C3 ) x S

22500  250O

Einsetzen dieser Gleichungen in Gl. (A4) ergibt: 19100  2(1900  5O )  (10800  40O )  (22500  250O ) 19100  3800  10O  10800  40O  22500  250O 0 300O 18000 O 60

256

0

Mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators (Ȝ = 60) können nun die optimalen Mengen xV/opt, xN/opt und xS/opt ermittelt werden: xV / opt

1900  5O

x N / opt

10800  40O

x S / opt

22500  250O

1900  5 * 60 1600 ME 10800  40 * 60

8400 ME

22500  250 * 60

7500 ME

G (1600,8400,7500) 760 *1600  0,2 * (1600)²  270 * 8400  0,0125 * (8400)²  90 * 7500  0,002 * (7500)² 2.652.500€

Im Vergleich zu Teilaufgabe (a) sinken (ceteris paribus) auf Grund der gestiegenen Stückkosten die Curnot-Mengen aller Erzeugnisse. Gleichzeitig wird die verfügbare „Kapazität“ auf 19.100 ME erhöht. Beides führt dazu, daß der relative Grenzgewinn auf O 60 €/ME sinkt (ME bezeichnet eine Mengeneinheit des knappen Faktors, hier: „Mahlwerke“), m.a.W. die realisierbaren Mengen „liegen näher“ am Gewinnoptimum. Die optimale Menge xv/opt = 1600 ME ändert sich im Vergleich zur Teilaufgabe a) nicht, da sich die Effekte aus der Steigerung der Stückkosten (Abnahme der Curnot-Menge) und dem Rückgang des relativen Grenzgewinns in diesem Falle gerade kompensieren.

64. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (nach Lagrange)

Beschreibung der Ausgangssituation: Stückkosten nicht abhängig von Beschäftigung, Kapazität ist begrenzt; erforderlich ist somit die simultane Bestimmung der optimalen Preis-Mengen-Kombinationen für die drei Teilmärkte. Gesamtgewinnfunktion: G=

xUSA (140 - 0,05xUSA - 20 - 50) + xSOA (100 - 0,02 xSOA - 10 - 50) + xEUR (80 - 0,04 xEUR - 6 - 50) - 30.000

Diese ist zu maximieren unter der Nebenbedingung: bzw. auch: xUSA + xSOA + xEUR = 1.430 xUSA + xSOA + xEUR - 1.430 = 0 bzw. auch: Ȝ(xUSA + xSOA + xEUR - 1.430) = Ȝ (0) = 0. Lagrange-Ansatz: F = xUSA (140 - 0,05 xUSA - 20 - 50) + xSOA (100 - 0,02 xSOA - 10 - 50) + xEUR (80 - 0,04 xEUR - 6 - 50) - 30.000 - Ȝ(xUSA + xSOA + xEUR - 1.430).

257

damit ergeben sich die Bedingungen erster Ordnung: ˜F/˜xUSA = 140 - 0,1 xUSA - 20 - 50 - Ȝ = 0; ˜F/˜xSOA = 100 - 0,04 xSOA - 10 - 50 - Ȝ = 0; ˜F/˜xEUR = 80 - 0,08 xEUR - 6 - 50 - Ȝ = 0; ˜F/˜Ȝ = xUSA + xSOA + xEUR - 1.430 = 0. daraus folgt: xUSA = 700 - 10Ȝ; xSOA = 1000 - 25Ȝ;

xEUR = 300 - 12,5Ȝ.

für die Ermittlung von Ȝ gilt: (700 - 10Ȝ) + (1000 - 25Ȝ) + (300 - 12,5Ȝ) - 1.430 = 0 ĺ Ȝ = 12. xUSA = 700 - 10(12) = 580 ME; xSOA = 1000 - 25(12) = 700 ME; xEUR = 300 - 12,5(12) = 150 ME. daraus ergeben sich die Preise: pUSA = 140 - 0,05(580) = 111 EUR/ME; pSOA = 100 - 0,02(700) = 86 EUR/ME; pEUR = 80 - 0,04(150) = 74 EUR/ME. damit der Gewinn:

Gmax = 14.680 EUR.

Der maximale Gewinn in dieser Entscheidungssituation beträgt 14.680 EUR.

65. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung)

Notation: xM, xL: Anzahl der (M)ultifalt und (L)ipofix Cremes pM, pL: Preise der Cremes dbM, dbL: Stückdeckungsbeiträge der Cremes DB: Deckungsbeitrag

258

a) lineares Optimierungsmodell: ZF: DB = dbM*xM + dbL*xL = 50xM + 150xL ĺ max. NB: xM + xL d xM + 2xL d xL d xL d xM d xL t xM t

1.000 1.200 500 800 700 0 0

(R1: Restriktion Reaktor) (R2: Restriktion Anrühren/Abfüllen) (R3: Beschaffungsrestriktion Lipofix) (R4: Absatzrestriktion Lipofix) (R5: Absatzrestriktion Multifalt) (Nichtnegativitätsbedingung für xL) (Nichtnegativitätsbedingung für xM)

b) graphische Lösung:

xL

1000

R5

900

R4

800 700 600

R3

500 400 300 200

R1

100

R2

xM

0 100 200 300 400 500

600 700 800 900 1000

1200

Das optimale Produktionsprogramm für die Folgeperiode lautet: (xM; xL) = (200; 500). Der maximale Deckungsbeitrag beträgt hierbei DBmax = 50*200 + 150*500 = 85.000 GE.

259

c) Das optimale Produktionsprogramm ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden R2 und R3 (Vgl. Aufgabenteil b)). Die Restriktionen R2 (Anrühren/Abfüllen) und R3 (Beschaffungsrestriktion Lipofix) sind somit bindend. Das Einsetzen der optimalen Mengen in die Nebenbedingungen ergibt: NB: 200 + 500 200 + 1000 500 500 200

d d d d d

1.000 1.200 500 800 700

(R1: Restriktion Reaktor) (R2: Restriktion Anrühren/Abfüllen) (R3: Beschaffungsrestriktion Lipofix) (R4: Absatzrestriktion Lipofix) (R5: Absatzrestriktion Multifalt)

Der Reaktor (R1) weist in der folgenden Periode eine nicht genutzte Kapazität in Höhe von 300 ME auf. Von dem Produkt Lipofix könnten zusätzlich 300 ME (R4), von Multifalt weitere 500 ME (R5) abgesetzt werden.

66. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung)

Notation: xv, xs: Anzahl der (V)egetarier- bzw. (S)chinken-Spezial-Sandwiches pv, ps: Preise der Sandwiches kv, ks: Variable Stückkosten der Sandwiches dbv, dbs: Stückdeckungsbeiträge der Sandwiches DB: Deckungsbeitrag

a) lineares Optimierungsmodell: ZF: DB = (pv-kv)xv + (ps-ks)xs ĺ max. DB = dbv*xv + dbs*xs = 2xv + 2,5xs ĺ max. NB: 3xv + 5xs xv + xs xv xs xv xs

260

d d d d t t

3.000 800 700 500 0 0

(R1: Zeitrestriktion beim Belegen) (R2: Mengenrestriktion Bistro-Bäckerei) (R3: Absatzrestriktion Vegetarier-Sandwich) (R4: Absatzrestriktion Schinken-Spezial-Sandwich) (Nichtnegativitätsbedingung für xv) (Nichtnegativitätsbedingung für xs)

b) graphische Lösung:

xs

1000 900 800

R3

700 600

R4

500 400 300 200 100

R2

R1

xv

0 100 200 300 400 500

600 700 800 900 1000

Das optimale Produktionsprogramm lautet: (xv; xs) = (500; 300). Mit dem Sandwichverkauf läßt sich somit pro Tag ein Deckungsbeitrag von DB = 2xv + 2,5xs = 2*500 + 2,5*300 = 1.750 € erzielen. c) analytische Lösung: Ausgangstableau: Z 0 0 0 0 1

xv 3 1 1 0 -2

xs 5 1 0 1 -2,5

s1 1 0 0 0 0

s2 0 1 0 0 0

s3 0 0 1 0 0

s4 0 0 0 1 0

Y 3000 800 700 500 0

Hilfsspalte 600 800 500 -

zulässige Basislösung (xv, xs, s1, s2, s3, s4) = (0, 0, 3000, 800, 700, 500)

261

1. Schritt: xs wird Basisvariable, s4 wird Nichtbasisvariable: Z 0 0 0 0 1

xv 3 1 1 0 -2

xs 0 0 0 1 0

s1 1 0 0 0 0

s2 0 1 0 0 0

s3 0 0 1 0 0

s4 -5 -1 0 1 2,5

Y 500 300 700 500 1250

Hilfsspalte 166,67 300 700 -

neue zulässige Basislösung (xv, xs, s1, s2, s3, s4) = (0, 500, 500, 300, 700, 0). 2. Schritt: xv wird Basisvariable, s1 wird Nichtbasisvariable:

Z 0 0 0 0 1

xv 1 0 0 0 0

xs 0 0 0 1 0

s1 1/3 -1/3 -1/3 0 2/3

s2 0 1 0 0 0

s3 0 0 1 0 0

s4 -5/3 2/3 5/3 1 -5/6

Y 500/3 400/3 1600/3 500 4750/3

Hilfsspalte neg. 200 320 500 -

neue zulässige Basislösung (xv, xs, s1, s2, s3, s4) = (500/3, 500, 0, 400/3, 1600/3, 0). 3. Schritt: s4 wird Basisvariable, s2 wird Nichtbasisvariable: Z 0 0 0 0 1

xv 1 0 0 0 0

xs 0 0 0 1 0

s1 -0,5 -0,5 0,5 0,5 0,25

s2 2,5 1,5 -2,5 -1,5 1,25

s3 0 0 1 0 0

s4 0 1 0 0 0

Y 500 200 200 300 1750

Hilfsspalte -

neue zulässige Basislösung (xv, xs, s1, s2, s3, s4) = (500, 300, 0, 0, 200, 200). Da in der Zielfunktionszeile nur noch nichtnegative Einträge vorhanden sind, kann der Deckungsbeitrag nicht mehr weiter gesteigert werden. Damit ist das optimale Produktionsprogramm mit (xv, xs) = (500, 300) gefunden. Der zugehörige Zielfunktionswert, d.h. der optimale Deckungsbeitrag beträgt somit DB,opt = 1750 €. (Vgl. Aufgabenteil b)).

262

d) Im Optimum sind die Restriktionen R1 und R2 bindend. Dies ist unmittelbar aus dem Schlußtableau ersichtlich: Den Schlupfvariablen S1 und S2 wird im Falle der optimalen Basislösung der Wert Null zugeordnet. Die Schattenpreise der knappen Kapazitäten können der Zielfunktionszeile entnommen werden. Sie geben an, welcher Deckungsbeitrag im Falle einer Relaxierung der Nebenbedingungen zusätzlich erwirtschaftet werden könnte bzw. um wieviel der Deckungsbeitrag im Falle einer Verschärfung derselben sinken würde. Im Falle der Bistro-Küche betragen die Opportunitätskosten für eine Nichterweiterung der Kapazität 0,25 € bezogen auf 10 Arbeitssekunden bzw. für die Bistro-Bäckerei sind es 1,25 € pro Brötchendoppelhälfte. Die Schattenpreise liegen unterhalb der Deckungsbeiträge für die beiden Sandwiches, weil eine Erweiterung der Bäckerei-Kapazität zwar eine Ausweitung der Produktion erlaubt, die Restriktion in der Küche jedoch weiter bestehen bleibt. Somit müßte für die Herstellung zusätzlicher Vegetarier-Sandwiches im Gegenzug auf die Herstellung von Schinken-Spezial-Sandwiches verzichtet werden. Dies soll anhand eines einfachen Beispiels erläutert werden: Die Kapazität der Bäckerei soll um 10 Einheiten erhöht werden. Der Schattenpreis für diese Maßnahme beträgt gerade 1,25*10 = 12,5 €. Im Falle dieser Kapazitätserweiterung würde man nun auf die Herstellung von 15 Schinken-Spezial-Sandwiches verzichten. Mit den auf diese Weise eingesparten 15*50 = 750 Arbeitssekunden könnte man 750/30 = 25 zusätzliche Vegetarier-Sandwiches produzieren. Der Deckungsbeitrag würde sich der dementsprechend um ǻDB = – 15*2,50 + 25*2 = 12,50 € erhöhen.

67. Gewinnoptimales Produktionsprogramm (lineare Optimierung) (W14)

a) lineares Optimierungsmodell Zielfunktion:

ZF: DB

db A * x A  dbB * x B

600 x A  400 x B o max!

Nebenbedingungen: xA + x B 2xA + xB xA xB xA xB

d d d d t t

1.000 1.200 700 1.000 0 0

(R1: Restriktion Vorfertigung) (R2: Restriktion Zwischenfertigung) (R3: Restriktion Endmontage A) (R4: Restriktion Endmontage B) (Nichtnegativitätsbedingung für xA) (Nichtnegativitätsbedingung für xB)

263

b) optimales Produktionsprogramm: Ansatz für rechnerische Lösung (SimplexAlgorithmus): 1. Schritt: Aufstellen des Ausgangstableaus: Z 0 0 0 0 1

xA 1 2 1 0 -600

xB 1 1 0 1 -400

zulässige Basislösung:

s1 1 0 0 0 0

s2 0 1 0 0 0

s3 0 0 1 0 0

s4 0 0 0 1 0

Y 1.000 1.200 700 1.000 0

Hilfsspalte 1.000 600 700 -

(xA, xB, s1, s2, s3, s4) = (0, 0, 1.000, 1.200, 700, 1.000)

2. Schritt: Z 0 0 0 0 1

xA 0 1 0 0 0

xB 0,5 0,5 -0,5 1 -100

s1 1 0 0 0 0

neue zulässige Basislösung: xA

s2 -0,5 0,5 -0,5 0 300

s3 0 0 1 0 0

s4 0 0 0 1 0

Y Hilfsspalte 400 800 600 1.200 100 neg. 1.000 1.000 360.000 -

(xA, xB, s1, s2, s3, s4) = (600, 0, 400, 0, 100, 1.000) s2

ĺ Basisvariable

ĺ Nichtbasisvariable

3. Schritt: Z 0 0 0 0 1

xA 0 1 0 0 0

xB 1 0 0 0 0

s1 2 -1 1 -2 200

neue zulässige Basislösung: xB

264

ĺ Basisvariable

s2 -1 1 -1 1 200

s3 0 0 1 0 0

s4 0 0 0 1 0

Y Hilfsspalte 800 200 500 200 440.000

(xA, xB, s1, s2, s3, s4) = (200, 800, 0, 0, 500, 200) s1

ĺ Nichtbasisvariable

In der Zielfunktionszeile sind nur noch nichtnegative Einträge vorhanden, d.h. der Deckungsbeitrag kann nicht weiter gesteigert werden. Damit ist das optimale Produktionsprogramm mit (xA, xB) = (200, 800) gefunden. Der zugehörige maximale Deckungsbeitrag beträgt DB,max = 440.000 GE.

c) graphische Ermittlung der Lösung:

xB 1200

R3 1000

R4

900 800 700 600 500 400 300

R2 200

R1

100

xA

0 100 200 300 400 500

Steigung der Iso-Gewinngerade:

-1,5

600 700 800 900 1000

xA,opt =

200

xB,opt =

1200

800

maximaler Gewinn:

DB = 600*200 + 400*800 = 440.000 GE

d) Gewinn bei max. xA:

(xA,max, xB) = (600; 0); DB,Amax = 600*600 = 360.000 GE

Gewinn bei max. xB:

(xA, xB,max) = (0; 1.000); DB,Bmax = 400*1.000 = 400.000 GE

265

68. Kommunikationspolitik

Es können insgesamt 7 Zuschauergruppen unterschieden werden: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Zuschauer, die nur den Sender „Haa-R-dry“ sehen. Zuschauer, die nur den Sender „Fönix“ sehen. Zuschauer, die nur den Sender „töNung24“ sehen. Zuschauer, die die Sender „Haa-R-dry“ und „Fönix“ sehen. Zuschauer, die die Sender „Haa-R-dry“ und „töNung24“ sehen. Zuschauer, die die Sender „Fönix“ und „töNung24“ sehen. Zuschauer, die alle drei Sender („Haa-R-dry“, „Fönix“ und „töNung24) sehen.

a) Systematisierung des Begriffs der Reichweite: Reichweite

Anzahl der Personen, die mit dem Werbeträger in Berührung kommen

Bruttoreichweite

Bei mehreren Werbeträgern gibt die Bruttoreichweite die Reichweite jedes einzelnen Werbeträgers an, ohne daß Überschneidungen berücksichtigt werden.

Nettoreichweite

Bruttoreichweite abzüglich Überschneidungen. (Gibt an, wieviele Personen bei Einsatz mehrerer Werbeträger und einmaliger Schaltung der Werbung die Möglichkeit zu mindestens einem Kontakt haben.

räumliche Reichweite

Geographisches Gebiet, das vom Werbeträger abgedeckt wird.

quantitative Reichweite

Anzahl der Personen, die in einer Zeiteinheit mir dem Werbeträger in Berührung kommen.

qualitative Reichweite

Anzahl der Personen aus der Zielgruppe, die mit dem Werbeträger in Berührung kommen.

kumulierte Reichweite

Prozentualer Anteil der Zielgruppe, die bei wiederholter Schaltung der Werbung in mehreren Werbeträgern mindestens einmal angesprochen wird.

kombinierte Reichweite

Prozentualer Anteil der Zielgruppe, die bei wiederholter Schaltung der Werbung in mehreren Werbeträgern mindestens einmal angesprochen wird.

266

b) Übersicht (Venn-Diagramm):

Jeder fünfte von „Haar-R-dry“ (0,4 + 0,2 )

„Fönix“

„Haa-R-dry“ Brutto: 3

0,4

2

0,2

Alle drei Sender 1,6 0,2

0,4

Brutto: 1,6 Ein Viertel der Zuschauer von „töNung24“ (0,4)

Brutto: 2,4

0,8

Die Hälfte der Zuschauer, die ausschließlich „töNung24“ sieht (0,8)

„töNung24“

„Haa-R-dry“ Bruttoreichweite 3 Mio. Nettoreichweite 2 Mio.

„Fönix“ 2,4 Mio. 1,6 Mio.

„töNung24“ 1,6 Mio. 0,8 Mio.

Summe 7 Mio. 4,4 Mio.

c) 1. Ziel: möglichst viele Zuschauer einfach ansprechen: „Haa-R-dry“ und „Fönix“ 4,8 Mio. (3,0 + 2,4 – 0,6) „Haa-R-dry“ und „töNung24“ 4,0 Mio. (3,0 + 1,6 – 0,6) „Fönix“ und „töNung24“ 3,6 Mio. (2,4 + 1,6 – 0,4) ĺ Auswahl von „Haa-R-dry“ und „Fönix“. 2. Ziel: möglichst viele Zuschauer mehrfach ansprechen: „Haa-R-dry“ und „Fönix“ 0,6 Mio. „Haa-R-dry“ und „töNung24“ 0,6 Mio. „Fönix“ und „töNung24“ 0,4 Mio. ĺ Auswahl von „Haa-R-dry“ und „Fönix“ oder „Haa-R-dry“ und „töNung24“.

267

8.6 Lösungen zu Kapitel 7 Zusatzaufgaben im Workbook

W3. Technische und ökonomische Intensität

a) ökonomische Intensität:

x

x t

2400 [ ME ] 4 [ h]

technische Intensität:

d

b t

25 * 2400 [ ME ] [TLE ] [TLE ] 15.000 4 [ h] [ ME ] [ h]

600

[ ME ] [ h]

b) ökonomische Intensität:

x

x t

[ ME ] 60 [ ME ] 120 [ h] 0,5 [h]

technische Intensität:

d

b t

4 * 60 [ ME ] [TLE ] 0,5 [h] [ ME ]

480

[TLE ] [ h]

W7. Herleitung der kostenoptimalen Bestellmenge (Harris-Grundmodell)

Grundlegende Annahmen des Modells: ƒ Es werden nur ein Lager und ein Lagerartikel betrachtet. ƒ Der Jahresbedarf ist a priori bekannt und gleichmäßig auf alle Perioden verteilt; es treten keine Schwankungen im Zeitablauf auf. ƒ Für jeden Bestellungsvorgang fallen unabhängig von der Bestellmenge konstante bestellfixe Kosten an. ƒ Die Lagerkosten fallen proportional zum Bestand an, es gibt keine fixen Lagerkosten. ƒ Die Materialeinstandspreise sind sowohl im Zeitablauf als auch unabhängig von der Abnahmemenge konstant. ƒ Der Lagerbestand wird im Verlauf einer Periode linear bis auf Null abgebaut; es gibt keinen Sicherheitsbestand. ƒ Ist der Lagerbestand aufgebraucht, wird die optimales Bestellmenge x des Artikels mit unendlicher Geschwindigkeit beschafft und auf Lager genommen. ƒ Der Lageranfangsbestand ist gleich Null. ƒ Es existieren keine Restriktionen (z.B. Kapazitäts- oder Finanzrestriktionen).

268

Formel Bestellkosten:

K B ( x)

y* A

Erläuterung: Die Bestellkosten werden als Produkt aus Bestellhäufigkeit und den fixen Kosten pro Bestellung berechnet. Die Bestellhäufigkeit wiederum ergibt sich als Quotient aus dem Gesamtbedarf der Periode und der Bestellmenge.

B* A x

Formel Lagerkosten:

Erläuterung: Die Lagerkosten werden als Produkt von mittlerem Lagerwert und einem pauschalen Lagerkostensatz bestimmt. Der mittlere Lagerbestand beträgt unter der Annahme, daß das Lager bis zum Ende der Periode linear auf Null abgebaut wird x/2.

x z* p* 2

K L ( x)

Beispiel: zeitliche Entwicklung des Lagerbestandes einer Periode: für y = 1

für y = 2 B

x=B

x

x/2

x/2 t=0

t=T

t=0

t=T

Ansatz: Minimierung der Kostenfunktion (Summe aus Bestell- und Lagerkosten): K ( x)

K B ( x)  K L ( x)

B* A z* p*x  x 2

notwendige Bedingung:

dK ( x) dx

hinreichende Bedingung:

d ² K ( x) dx ²

Im Optimum gilt:



dKB (x) dx

dKL (x) dx



o min!

B* A z* p  x² 2

0

2*B* A !0 x³

bzw.

B* A x²

z* p 2

269

Formel für die optimale Bestellmenge: xopt

2* B* A z* p

Formel für die optimale Bestellhäufigkeit: yopt

B*z* p 2* A

Unter den Prämissen KB ~ (1/x) und KL ~ x gilt im Optimum:

Begründung:

dK L ( x) x dx



dK B ( x) x dx

Hinweis: KL(x) = KB(x) folgt aus der Grenzkostengleichheit, ist jedoch keine Optimalitätsbedingung.

270

K L ( x)

K B ( x)

Stichwortverzeichnis

A

ABC-Analyse absolute Deckungsbeiträge Akers, Verfahren von Andler/Harris-Modell

49 29, 86 ff. 71 f. 46 ff.

B

Bandwirkungsgrad bedingte Faktornachfragefunktion Belastungsorientierte Auftragsfreigabe (BOA) Bestellmengenplanung betriebstechnische Anpassung

61 19 66 f. 46 ff. 21

C

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

18 ff.

D

Dilemma der Ablaufplanung diskrete Bestellmengenmodelle Durchlaufzeit Durchschnittsertragsfunktion Effizienz von Faktorkombinationen Einlastungsprozentsatz Entscheidungswert Ertragsfunktion Ertragsgesetz nach Turgot Faktornachfragefunktion

67 f. 49 f. 65, 69 f. 23 f. 17, 57 ff. 66, 68 40 23 f. 23 f. 19 f.

F

Fertigungstoleranzen Fließbandabgleich (Verfahren von Helgeson/Birnie) Fließbetrieb FLT-Regel Fortschrittszahlenkonzept Freimaße

79 59 ff. 59 71 63 ff., 79 79

G

Gantt-Diagramm gewinnoptimales Produktionsprogramm Gozintograph Grenzrate der Substitution

67 f., 70 ff. 91 ff. 52 ff. 18 f.

H

Heinen-Produktionsfunktion Helgeson/Birnie, Verfahren von Heller/Logemann, Verfahren von

24 59 ff. 69 f.

I

Input-Output-Control

24, 69

J

Job Shop

69 ff.

K

Kapitalerwartungswert Kapitalwert Kommunikationspolitik Komplexität KOZ-Regel Kuhn-Tucker-Bedingungen

36 f. 31 97 38 f. 70 92

L

Lagrange-Multiplikator Lagrange-Verfahren Least Total Cost (LTC)

91 91 ff. 50

271

Least Unit Cost (LUC) lineare Optimierung linear-limitational Losgrößenheuristik

50 95 f. 20 49

M

Maschinenbelegungsplanung Metra Potenzial Methode (MPM) Miehle-Verfahren Minimalkostenkombination (MKK) monotone Transformation Muda

69 ff. 73 35 17 ff. 19 58

N

Nennmaße Nettoreichweite Netzplantechnik

79 97 73 ff.

O

Opportunitätskosten optimale Bestellmenge optimales F&E-Programm optimales Produktionsprogramm

88 46 ff. 30 91 ff.

P

Produktionsfunktion

17 ff., 23 ff.

R

Reichweite relative Deckungsbeiträge relative Deckungsbeitragsdifferenzen

97 87 88

S

Schattenpreise Schwerpunktformel Scoring-Modell Scoring-Technik Scoring-Wert Silver/Meal-Verfahren Simplex-Algorithmus Standardnormalverteilung Standortoptimierung Substitutionalität

96 34 f. 41 40 32 50 96 f. 81 34 32

T

Taktzeit Transportkosten Turgot t-Verteilung

60 f. 32 ff., 46, 94 23 f. 81 f.

V

Verpackungsplanung Vorgriffshorizont Vorranggraph

50 f. 66, 68 60

W

Weber, Modell von

32, 34 f.

Z

Zykluszeit

70 ff.

272

Lösungsverzeichnis

Aufgabe

Seite

Aufgabe

Seite

Aufgabe

Seite

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

141 142 143 144 145 149 152 154 157 160 165 166 169 173 174 175 178 179 181 181 182 186 186 187 189 190 190 192 195 197

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

198 199 202 204 205 206 208 210 211 212 213 214 215 216 220 221 222 224 225 227 228 230 231 231 233 234 235 236 239 242

61 62 63 64 65 66 67 68 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W13 W14

243 247 252 257 258 260 263 266 142 149 268 157 160 173 268 198 204 212 216 224 235 263

273