Analyse 3e [PDF]

Zitiervorschau

SOMMAIRE Pages Leçon 1 Calcul littéral ………….…… 2 Leçon 2 Racines Carrées ……...…… 22 Leçon 3 Calcul numérique …..…..… 34 Leçon 4 Equations et Inéquations dans IR …….……….…….. 58 Leçon 5 Statistiques ……….………..68 Leçon 6 Equations et Inéquations dans IR × IR ………….…. 93 Leçon 7 Applications Affines ……. 113

LEÇON 1

CALCUL LITTÉRAL

1ère Séance

ACTIVITÉ 3

1) Compare

7

et

12 28

; 3 × 28 et 7 × 12 2

8

2) Compare 2 × 36 et 9 × 8 ; et 9 36 3) Complète 𝑎 𝑐 ♦ Si = alors …………… 𝑏

𝑑

Si a × d = b × c alors .…...…  Je présente a ; b ; c et d sont des nombres différents de 0. 𝑎 𝑐 = équivaut à a × d = b × c ♦

𝑏

𝑑

TRACE ÉCRITE I – QUOTIENTS 1) Propriété 𝑎 ; b ; c et d sont des nombres différents de 0. 2

𝑎 𝑏

=

𝑐

a×d =b×c

équivaut à

𝑑

2) Opérations sur les quotients Règles a ; b ; c et d sont des nombres différents de 0. * * *

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

𝑐

+

𝑑

×

:

𝑐 𝑑

𝑐 𝑑

𝑎 ×𝑑 +𝑏 ×𝑐

=

𝑏 ×𝑑

𝑎 ×𝑐

= =

𝑏 ×𝑑 𝑎 𝑏

×

𝑑 𝑐

EXERCICE D’APPLICATION −4

5

13

2

9

1) Calcule + ; 6× et ∶ 3 8 19 5 7 2) Trouve une relation entre x et y à partir 1 𝑥 de l’égalité = 7

𝑦

EXERCICE DE MAISON 1 ; 2 Page 128 (CIAM) 3

2ème Séance

TRACE ÉCRITE II – CALCUL LITTÉRAL 1) Puissance à exposants entiers relatifs PROPRIÉTÉS a et b sont des nombres différents de 0 ; m et n sont des nombres entiers relatifs. *

𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = (𝑎 × b)𝑛

*

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚 +𝑛

*

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚 × 𝑛 𝑎𝑚

*

𝑎𝑛

= 𝑎𝑚 ×𝑛

CONVENTION a est un nombre non nul. 0 1 * 𝑎 =1 ; 𝑎 =a ;

*

𝑎−1 =

1 𝑎

Si n est un nombre entier naturel alors 𝑎−𝑛 =

1 𝑎𝑛 4

Exercice d’application (2.a P122) 𝑎 et b sont des nombres différents de 0. écris plus simplement : 𝑎−4 × 𝑏 −4 ; 𝑎−5 × 𝑎−3 ; 𝑎−6 × 𝑎2 ; (𝑎

−7 −2

)

𝑎 −3 𝑎

; (𝑎 ;

−2 3

𝑎

)

;

𝑎 −2 𝑎 −5

.

𝑎 −6

EXERCICE DE MAISON 3 Page 128 (CIAM)

5

;

3ème Séance

Présentation 𝑥 désigne un nombre réel. *

L’expression 𝑥 + 2 est une somme : Ses termes sont : 𝑥 et 2

*

L’expression 𝑥 (𝑥 – 4 ) est un produit : Ses facteurs sont : 𝑥 et 𝑥 − 4

EXERCICE Dis si les expressions suivantes sont des sommes ou des produits : (précise ses termes dans le cas d’une somme et ses facteurs dans le cas d’un produit) A = 4,5 + 2𝑥 ; B = 𝑥 + 4(3 – 𝑥) ; C = 3(1 – 𝑥) ; D = −8(3 – 𝑥)(2𝑥 +1) ; D = (𝑥 + 1)(2 – 𝑥) + 3𝑥 (1 – 𝑥)

6

 Je présente * Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme. *

Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.

Je présente la méthode de développement par : * La distribution * L’utilisation des produits remarquables EXERCICE D’APPLICATION 1) Réduis la somme suivante A = 5𝑎2 – 3𝑏 2 + 𝑏 2 − 9𝑎 2 + 7𝑎 2) Développe et réduis B = (4 – 3𝑎 ) (−2 + 5𝑎) – 2 + 10𝑎2 C = ( 1 – 5𝑡 2 ) ( 1 + 5𝑡 2 ) – 3𝑡 2 (2 − 𝑡)2

7

TRACE ÉCRITE 2) Développements et réductions a) Suppression de parenthèses Propriété 𝑎 et b sont des nombres : * 𝑎 + (b – c) = 𝑎 + b – c * 𝑎 – (b + c) = 𝑎 – b – c * 𝑎 – (b – c) = 𝑎 – b + c b) Règles de priorité Dans un calcul en ligne : * On effectue d’abord les opérations entre parenthèses (s’il y’en a). *

En absence de parenthèses, on effectue: - d’abord les puissances ; - puis les multiplications ; - enfin, les additions et soustractions.

Exemple Calculons

𝑎 = 2 + 3 × (15 – 23) 8

c) Développement et réduction Définition Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme. Propriété 1 𝑎 ; b ; c et d sont des nombres relatifs. *

𝑎(b+c)= 𝑎× b+ 𝑎× c

*𝑎 + b

)( c + d )= 𝑎 × c + 𝑎 × d + b × c + b × d

Propriété 2 (Produits remarquables) 𝑎 et b sont des nombres, *

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

*

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

*

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

9

Application Développe et réduis les expressions suivantes : A = 7𝑥 3 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3

2

B = (1 + 𝑎)2 + 2𝑎 − 5 (3𝑎 − 7) C = (6𝑡 2 + 5)(6𝑡 2 − 5)

Solution (à rédiger)

EXERCICE DE MAISON 6 Page 128 (CIAM)

10

4ème Séance

 Je présente la méthode de factorisation par : La mise en évidence d’un facteur commun * L’utilisation des produits remarquables *

EXERCICE D’APPLICATION Factorise les expressions suivantes : A = (5 − 𝑎)2 − 3𝑎(5 − 𝑎) B = 49 − 28𝑎 + 4𝑎2 C = ( 𝑥 + 1)2 − 16 D = 12𝑥𝑦 − 3𝑥 E = 9𝑥 2 + 30𝑥 + 25

11

TRACE ÉCRITE 3) Factorisation Définition Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. a) Factorisation par la mise en évidence d’un facteur commun Exercice résolu Factorise les sommes suivantes : A = 12𝑦 − 20 ; B = 3𝑥 𝑥 − 1 − (𝑥 − 1)2 Solution (à rédiger) b) Factorisation par l’utilisation des produits remarquables Propriété (produits remarquables) 𝑎 et b sont des nombres. *

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 12

*

𝑎 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2

𝑎 2 − 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏) Exemple Factorisons A = 36𝑥 2 + 12𝑥 + 1 = ……………………………….… B = 64 − 48𝑥 + 9𝑥 2 et C = 81 − (𝑥 − 4)2 = ……………………………….… = …………………….… *

Remarque Pour factoriser une somme, on peut utiliser à la fois les deux méthodes. Exemple Factorisons E = 3𝑥 𝑥 + 5 + 𝑥 2 − 25 = …………………………………………….…

EXERCICE DE MAISON 7 ; 8 et 9 Page 128 (CIAM) 13

5ème Séance

SÉANCE D’EXERCICES EXERCICE 1 Développe et réduis A = 3𝑥 −7𝑥 + 8𝑦 − (5𝑥 + 12𝑦)2 B = 2 − 4𝑎 2 − 3𝑎 − 5𝑎 + 2 (5𝑎 − 2) C = −9 −2𝑥𝑦 + 8 3𝑦 − 5𝑥 + (7𝑥 − 6𝑦)2 EXERCICE 2 Factorise E = 𝑥 2 1 − 𝑥 − 7𝑥(1 − 𝑥) F = 4𝑦 2 − 2 3 𝑦 + 3 G = (2𝑥 − 3)2 − (𝑥 + 4)2

14

6ème Séance

TRACE ÉCRITE

1) Produit nul Propriété 1 𝑎 et b des nombres réels : 𝑎 × 𝑏 = 0 équivaut à 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0 Propriété 2 a et b des nombres réels : 𝑎 × 𝑏 ≠ 0 équivaut à 𝑎 ≠ 0 et 𝑏 ≠ 0 Conséquence a et b des nombres réels : 𝑎2 = 𝑏 2 équivaut à 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏 Preuve 𝑎 et 𝑏 des nombres réels tels que 𝑎2 = 𝑏 2 Montrons que 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏 On sait que 𝑎2 = 𝑏 2 ⟺ 𝑎2 − 𝑏 2 = 0 ⟺ 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 − 𝑏 = 0 𝑜𝑢 𝑎 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏 15

REMARQUES 2 * Les seuls nombres réels ayant 𝑎 pour carré sont 𝑎 et −𝑎 * Si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres positifs alors 𝑎 2 = 𝑏 2 équivaut à 𝑎 = 𝑏 PRÉSENTATION Considérons l’expression littérale : −19𝑥 3 *

−19𝑥 3 est un monôme en 𝑥 ;

−19 est le coefficient du monôme ; * 3 est le degré du monôme.

*

• Donne un exemple de monôme en t ; en z etc…(précise pour chacun des monômes, le degré et le coefficient).  Je fais remarquer Tout nombre différent de zéro est un monôme. On a : 𝑥 0 = 1 Donc 24 = 24𝑥 0 ; 15 = 15𝑡 0 ; …. 16

• L’expression littérale 3𝑥 8 + 4𝑥 7 − 5𝑥 4 + 2 est une somme algébrique de monômes. On dit alors que : *

3𝑥 8 + 4𝑥 7 − 5𝑥 4 + 2 est un polynôme

Le monôme 3𝑥 8 est le monôme de degré le plus élevé qui est égal à 8. On dit alors que 8 est le degré du polynôme. • Comment trouve-t-on le degré d’un polynôme ?

*

*

Le polynôme 3𝑥 8 + 4𝑥 7 − 5𝑥 4 + 2 est réduit et ordonné (car ses termes sont rangés suivant les puissances de 𝑥 ).

Exercice d’application 1) On donne A = 4𝑥 9 + 13 − 7𝑥16 − 2𝑥 5 + 𝑥 a) Détermine le degré du polynôme A. b) A est-il ordonné ? Sinon ordonne-le.

17

2) On donne P = 5𝑥 + 2 𝑥 − 3 − (1 − 4𝑥)2 a) Développe, réduis puis ordonne le polynôme P suivant les puissances décroissantes. b) Quel est le degré de P ? c) Calcule la valeur numérique de P pour 𝑥 = −2 TRACE ÉCRITE III – EXEMPLES D’EXPRESSIONS LITTÉRALES 1) Monômes, polynômes Présentation 7 * L’expression littérale 13𝑥 est un monôme de degré 7 et de coefficient 13. *

L’expression littérale −4𝑥15 + 3𝑥 4 + 𝑥 − 2 est un polynôme de degré 15. EXERCICE DE MAISON 11 et 12 Pages128-129 (CIAM) 18

7ème Séance

Présentation

Considérons l’expression littérale E=

4𝑥 2 −12𝑥 𝑥2− 9

E est une fraction rationnelle 2 * Le polynôme 4𝑥 − 12𝑥 est son numérateur 2 * Le polynôme 𝑥 − 9 est son dénominateur *

 Je fais rappeler Le dénominateur d’une fraction est toujours différent de zéro.

• Calcule la valeur numérique de E pour 𝑥=1

• Peux-tu calculer la valeur numérique de E pour 𝑥 = −3 ? Justifie ta réponse.

• Vérifie aussi que pour 𝑥 = 3, on ne peut pas calculer la valeur numérique de E. 19

 Je présente Lorsqu’on remplace 𝑥 par n’importe quel nombre réel différent de 3 et −3 on peut calculer la valeur numérique de E. On dit alors que : « les valeurs de la variable 𝑥 pour lesquelles la fraction rationnelle E existe sont les réels 𝑥 tels que 𝑥 ≠ 3 et 𝑥 ≠ −3 ». C’est la condition d’existence de E.

•Factorise le numérateur et le dénominateur de E •Simplifie E. TRACE ÉCRITE 2) Fractions rationnelles Présentation L’expression littérale

𝑥4+ 1 2𝑥 7 − 𝑥 3 +5

est une

fraction rationnelle : - de numérateur le polynôme 𝑥 4 + 1 20

- de dénominateur le polynôme 2𝑥 7 − 𝑥 3 + 5 REMARQUE Une valeur numérique d’une fraction rationnelle n’existe que lorsque le dénominateur est différent de zéro. Exercice résolu On donne la fraction rationnelle A=

6𝑥 5 +3𝑥 4 4𝑥 2 −1

1) Trouve les valeurs de la variable 𝑥 pour lesquelles la fraction A existe. 2) Simplifie A. Solution ( à rédiger ) EXERCICE DE MAISON 3.b Page 127 ; 14 Page 129 (CIAM) 21

LEÇON 2 RACINES CARRÉES 1ère Séance

ACTIVITÉ Complète le tableau suivant : 7 𝑎 4 𝑎2 36 16

• Peux-tu trouver un nombre positif dont le carré est égal à 3 ?  Je présente * On admet que si 𝑎 est un nombre positif, alors il existe un nombre positif noté 𝒂 dont le carré est égal à 𝑎. 2

𝑎 =𝑎 𝑎 se lit : « racine carrée de 𝑎 » * est appelé « le radical » * Le symbole Exemple

*

36 = 6 ; 49 = 7 ;

0=0; 22

6,25 = 2,5

TRACE ÉCRITE 1) Définition La racine carrée d’un nombre positif 𝑎 est le nombre positif, noté 𝒂 dont le carré 𝟐

est 𝑎 c’est-à-dire tel que 𝒂 =𝒂 * 𝑎 se lit : « racine carrée de 𝑎 » est appelé « le radical » * Le symbole Exemple 25 = 5 ; 1,44 = 1,2 ; 0 = 0 ; 1 = 1 2) Ensemble des nombres réels Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme de fraction irréductible. L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ Exemple −2,3 ϵ ℚ ; 17 ϵ ℚ ; −6 ϵ ℚ * Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Exemple 2 ; 𝜋 etc… sont des irrationnels. *

23

L’ensemble formé des nombres rationnels et des irrationnels est appelé ensemble des nombres réels, et est noté ℝ Exemple −2,3 ϵ ℝ ; 17 ϵ ℝ ; −6 ϵ ℝ ; 2ϵℝ ; 𝜋ϵℝ Remarque ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ Exercice d’application 1) Calcule 𝑎 = 81 ; 𝑏 = 0,16 2) Complète par ∈ ou ∉

*

−2,5…ℚ ; −7… ℕ ; −7…ℤ ; +8 … ℕ ; 2 3

…ℚ ;

2 3

…𝔻 ;

2 3

…ℝ;

3 4

− 3 …ℚ ; − 3 … ℝ ; −3,5 …ℤ .

EXERCICE DE MAISON 2 Page 138 (CIAM) 24

…𝔻;

2ème Séance

TRACE ÉCRITE 3) Propriétés 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels positifs. 𝑎2 = 𝑎 * 𝑎 ≥ 0 𝑒𝑡 * 𝑎×𝑏 = 𝑎× 𝑏 𝑎

*

𝑏

=

𝑎

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑏 ≠ 0

𝑏

Exemple 16 × 5 = 16 × 5 = 4 × 5 = 4 5 49 25

=

49 25

=

7 5

ATTENTION !! *

𝑎+𝑏 ≠

𝑎 +

𝑏

*

𝑎−𝑏 ≠

𝑎 −

𝑏

25

Exercice d’application Écris plus simplement A=

36 × 64 ;

C=

2 ×

B=

12,5 ;

D=

81 × 100 ; 80 5

EXERCICE DE MAISON 8 et 15 Page 138 (CIAM)

26

3ème Séance

ACTIVITÉ Justifie que

390 = 345 et

213 = 26 2

TRACE ÉCRITE 4) Racine carrées et puissances Propriété 𝑎 est un nombre réel positif et n un nombre entier relatif. 𝒂𝟐𝒏 = 𝒂𝒏 ; 𝒂𝟐𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 𝒂 Exercice d’application Écris plus simplement A = 19308 ; B = 𝑎17 × 𝑏 36 et

C = 0,0049

EXERCICE DE MAISON 2.d Page 135 et 16 ; 17 ; 18 Page 139 (CIAM) 27

4ème Séance

ACTIVITÉ 1) Écris plus simplement : A = −7 3 + 5 2 + 8 3 − 6 2 B = 2 27 − 4 12 + 3 2) Développe et écris plus simplement : C= 2 4−3 2 D= 3+ 2 5 3 − 2 5 3) Factorise E = 𝑥 2 − 7 ; F = 9𝑥 2 + 6𝑥 2 + 2 TRACE ÉCRITE 4) Calculs avec des racines carrées a) Développement et reduction Enoncé Développe et réduis A= 2− 3 5 3− 5 B= 5 7− 4 5 7+ 4 C = ( 4 3 − 5 )2 28

Solution ( à rédiger ) b) Factorisation Enoncé Factorise E = 3𝑎2 − 75 F = 3𝑎2 − 8𝑎 3 + 16 G = 𝑎2 5 +

2

− 5−

Solution ( à rédiger )

EXERCICE DE MAISON 21 et 27 Page 139 (CIAM)

29

2

5ème Séance

ACTIVITÉ Développe et réduis A=

3+ 2

B= 7−3 5

3− 2 7+3 5

C= 2 3− 5 2

2 3+ 5 2

• Que remarques-tu pour les nombres obtenus après chaque calcul ?  Je présente Les expressions 3 + 2 et 3 − 2 sont des expressions conjuguées. Leur produit peut s’écrire sans radical.

• Trouve deux autres expressions conjuguées.

30

TRACE ÉCRITE C)Écrire un quotient sans radical au dénominateur Les expressions 3 + 2 et 3 − 2 sont des expressions conjuguées. Leur produit peut s’écrire sans radical. Exercice résolu Écris sans radical au dénominateur : A= C=

5 2− 7 3 2 7

; B=

3 5+ 2

; D=

3− 2 5 3+ 2 5

Solution ( à faire par les apprenants)

EXERCICE DE MAISON 28 Page 139 (CIAM)

31

6ème Séance

ACTIVITÉ 1) Calcule : 3 4 × 4 3

3 ×2 3 6

;

• Que constates-tu ? • Que peux-tu dire : - des nombres - des nombres

3 4 3 6

et

4 3

?

et 2 3 ?

2) On donne A = − 75 et B = 5 3 Calcule A + B Que peux-tu dire des nombres A et B ? TRACE ÉCRITE 5) Additif Deux nombres sont dits inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.

*

*

Deux nombres sont dits opposés lorsque leur somme est égale à 0. 32

Application On donne A = 3 − 2 2 ; B = 3 + 2 2 et C = 2 2 – 3 1) Justifie que A et B sont inverses l’un de l’autre ? 2) Justifie que A et C sont des nombres opposés ? Solution ( à faire par les apprenants )

EXERCICE DE MAISON On donne E= 2−1 ; F=

2−2 4−3 2

; G =−1 − 2

1) Justifie que E et F sont inverses l’un de l’autre ? 2) Justifie que F et G sont des nombres opposés ? 33

LEÇON 3 CALCUL NUMÉRIQUE 1ère Séance

ACTIVITÉ On considère la droite (D) munie du repère (A , I) : E A I F (D) 0 1

1) Écris les abscisses des points E et F 2) Place les points M et N d’abscisses respectives −2 et 3,5 3) Calcule AE ; AM ; AF et AN 4) Quelle est la distance à zéro des nombres -2 ; -3 ; 3,5 et 4 ?  Je présente La valeur absolue d’un nombre réel 𝑎 est la distance à zéro de ce nombre 𝑎. On la note 𝑎 34

Exercice d’application 1 Donne la valeur absolue de chacun des nombres : −15,08 ; 2 3 ; 0 ; − 5

7 4

;

1

et −

8

 Je fais remarquer que : * *

* *

𝑎 = 𝑎

si 𝑎 est positif

𝑎 = − 𝑎 si 𝑎 est négatif Exemple 3 =

3

;

12 = 12

− 3 =− − 3 =

3

5) Calcule la distance MN et EF  Je présente * La distance de deux nombres 𝑎 et b est la valeur absolue de la différence de ces deux nombres. *

On la note

𝑎 − 𝑏 ou 35

𝑏−𝑎

Exercice d’application 2 Calcule la distance des nombres 𝑎 et b dans les cas suivants : 1) 𝑎 = 5,3 et 𝑏 = −5,3 2) 𝑎 = −0,7 et 𝑏 = −5 3) 𝑎 =

5 + 2 et 𝑏 = 7 + 5 TRACE ÉCRITE

I- VALEUR ABSOLUE 1) Définition La valeur absolue d’un nombre réel 𝑎 est la distance à zéro de ce nombre réel 𝑎. On la note 𝒂 Exemple −3 = 3 ; − 5 = 5 ; 0,7 = 0,7 ; 6 13

=

𝟔 𝟏𝟑

36

Remarque 𝑎 = 𝑎 si 𝑎 est positif 𝑎 = −𝑎 si 𝑎 est négatif * * La valeur absolue d’un nombre réel est un nombre positif ou nul. *

2) Propriété 1 La racine carrée du carré d'un nombre est égale à la valeur absolue de ce nombre. Autrement dit : 𝑎 étant un nombre réel, on a : 𝒂𝟐 = 𝒂 Exemple 52 = 5 = 5 et

(−3)2 = −3 = 3

Propriété 2 La distance de deux nombres 𝑎 et b est la valeur absolue de la différence de ces deux nombres. On la note 𝑎 − 𝑏 ou 𝑏 − 𝑎 37

Exemple *

*

distance de 5 et 8 est : d = 5 − 8 = −3 =3 distance de -4 et 6,8 est : d = −4 − 6,8 = −10,8 = 10,8

EXERCICE DE MAISON 1 ; 4 Page 156 (CIAM)

38

2ème Séance

ACTIVITÉ (Confer support N°1) TRACE ÉCRITE

II- INTERVALLES 1) Vocabulaire 𝑎 et b sont deux nombres réels tels que 𝑎 < 𝑏 ( A copier le tableau de la page 144 à la maison ) * Les nombres 𝑎 et b sont les bornes de chacun des intervalles : 𝑎; 𝑏 ; 𝑎; 𝑏 ; 𝑎; 𝑏 𝑒𝑡 𝑎; 𝑏 * La distance 𝑎 − 𝑏 des nombres a et b est appelé amplitude de chacun de ces intervalles. * Le centre d’un intervalle borné de bornes 𝑎 et b est égal à

𝑎+𝑏 2

EXERCICE DE MAISON 2.a ; 2.b ; 2.c ; 2.d Page 144 (CIAM) 39

3ème Séance

Présentation A et B sont deux ensembles : 1

-5 3

9 -4 4 6 4

7 -8 2 A

B

• Trouve l’ensemble des éléments appartenant à A et à B .  Je présente * L’ensemble des éléments appartenant à A et à B est appelé l’intersection des ensemble A et B . * On le note A ∩ B et on lit : « A inter B »

• Trouve l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. 40

 Je présente * L’ensemble des éléments appartenant à A ou à B est appelé la réunion des ensemble A et B . * On le note A ∪ B et on lit :« A union B » REMARQUE Si l’ensemble A et B n’ont pas d’éléments communs alors, on dit que l’ensemble A et B sont disjoints et on note : A ∩ B = { } ou A ∩ B = ∅ Exercice d’application Dans chacun des cas, représente sur une droite graduée l’ensemble A et B et écris plus simplement l’ensemble A ∩ B et A∪B a) A = ← ; 11 et B = −8 ; → b) A = −8 ; 1 et B = 1 ; 5 c) A = 5 ; 12 et B = 8 ; 12 d) A = −3 ; → et B = −5 ; 2 e) A = 1 ; 2 et B = 1 ; 1,5 f) A = −1 ; 3 et B = 0 ; 7 41

TRACE ÉCRITE 2) Intersection et réunion d’intervalles Présentation A et B sont deux ensembles : 1

-5 3 7 -8 2 A

9 -4 4 6 4 B

* L’ensemble

des éléments appartenant à A et à B est appelé l’intersection des ensemble A et B.

On le note A ∩ B et on lit : « A inter B » Exemple A ∩ B = 3 ; −8 * L’ensemble des éléments appartenant à A et à B est appelé la réunion des ensemble A et B. 42 *

On le note A ∪ B et on lit : « A union B » Exemple A ∪ B = 7 ; −5 ; 2 ; 3 ; −8 ; 1 ; 9 ; −4 ; 6

*

Application Représente sur une droite graduée et écris plus simplement A ∩ B et A ∪ B a) A = ← ; 3 et B = − 2 ; → b) A = −4 ; 2 et B = 2 ; 5 c) A = −5 ; −3 et B = −3 ; 6 Solution ( à rédiger )

EXERCICE DE MAISON 8 Page 156 (CIAM)

43

4ème Séance

Présentation

* L’inégalité

𝑎 est supérieur ou égal à b (𝑎 ≥ b) signifie 𝑎 = b ou 𝑎 > b

L’inégalité a est inférieur ou égal à b (𝑎 ≤ b) signifie 𝑎 = b ou 𝑎 < b EXERCICE Pour chacune des inégalités suivantes, dis si elle est vraie ou fausse : 4,13 ≤ 4,13 ; 25 > 25 ; 0,175 ≥ 0,2 et 7,6 < −14,8

*

TRACE ÉCRITE III- Comparaison de nombres réels 1) Deux nouvelles inégalités Définitions *

𝑎 ≥ b signifie 𝑎 est supérieur ou égal à b

*

𝑎 ≤ b signifie 𝑎 est inférieur ou égal à b 44

Autrement dit : 𝑎 ≥ b signifie 𝑎 > b ou 𝑎 = b 𝑎 ≤ b signifie 𝑎 < b ou 𝑎 = b Propriété 1 𝑎 et b sont des nombres réels : 𝑎–b >0 * 𝑎 > b équivaut à 𝑎–b ≥0 * 𝑎 ≥ b équivaut à Propriété 2 𝑎 et b sont des nombres réels : 𝑎–b 0 * On obtient ainsi un système de deux inéquations d’inconnue 𝑥. *

On peut désigner par ( S ) comme le nom de ce système. On écrit alors : 3𝑥 − 2 ≤ 0 (S) 7𝑥 + 5 > 0 64

*

Résoudre ce système, c’est trouver l’ensemble des solutions communes aux deux inéquations. Exercice d’application Résous le système d’inéquations 4𝑥 − 1 > 𝑥 + 2 suivant : ( S ) 7 − 5𝑥 ≥ 1 − 3𝑥

TRACE ÉCRITE 2) Système d’inéquations dans IR Exercice résolu Résous le système d’inéquations suivant : ( S1 ) 4𝑥 + 3 > 2( 𝑥 + 3 ) 2𝑥 − 5 ≤ 3𝑥 + 1 ( S2 )

8𝑥 + 3 < −5𝑥 − 2 14𝑥 + 12 ≥ 𝑥 + 7

Solution (à rédiger ) Exercice de maison 8 Page 167 (CIAM) 65

4ème Séance

TRACE ÉCRITE

3) Problèmes du 1er degré dans IR a) Problème conduisant à une équation Exercice résolu Un fils a 34 ans de moins que son père. Dans 9 ans, l’âge du père est le triple de l’âge du fils. Trouve l’âge de chacun d’eux. Solution ( à rédiger ) b) Problème conduisant à une inéquation Exercice résolu Une cabine téléphonique propose deux formules à ses clients : Formule A : la minute de communication coûte 145 F et le client paie une majoration de 225 F. 66

Formule B : la minute de communication coûte 190 F. Un client veut opter pour la formule la plus avantageuse. Que lui conseilles-tu ? Solution (à rédiger )

Exercice de maison 16 Page 168 (CIAM) activité 1 Page 62 (Cahier d’intégration)

67

LEÇON 5

STATISTIQUES

1ère Séance

ACTIVITÉ Afin de recueillir des informations qui lui Permettrons d’établir des tableaux de données statistiques, le Prof se livre à une enquête auprès de ses … élèves de la classe de 3ème … Voici un extrait du questionnaire : 1

Quel âge as-tu ?

2

Parmi les repas suivants, lequel préfères-tu ? ( Riz, Placali, Foutou, Attiéké ) Le dépouillement de l’enquête

*

*

Question Réponse Question réponse

1

2

les élèves notent au tableau les différentes réponses 68

TRACE ÉCRITE I - Organisation des données Vocabulaire L’objet de l’étude constitue le caractère étudié. * L’ensemble sur lequel porte l’étude est la population * Un élément de la population est appelé un individu * Les différentes réponses de l’étude sont les modalités du caractère. * Le nombre d’élément de la population est l’effectif total. *

Remarque Lorsque les modalités du caractère sont des nombres, on dit que le caractère est quantitatif. * Lorsque les modalités du caractère ne sont pas des nombres, on dit que le caractère est qualitatif.

*

69

Exercice d’application 1) Dans la question 1 de l’activité précédente : a) quelle est la population étudiée ? b) quel est le caractère étudié ? c) quelles sont les modalités de ce caractère ? d) quelle est la nature du caractère étudiée ? e) quel est l’effectif total ? 2) Dans la question 2 de l’activité précédente : a) quelle est la population étudiée ? b) quel est le caractère étudié ? c) quelles sont les modalités de ce caractère ? d) quelle est la nature du caractère étudiée ? e) quel est l’effectif total ?

70

1) a) b) 2) a) b)

Réponse les élèves interrogés l’âge des élèves les élèves interrogés le repas préféré des élèves

 Je présente *

Les réponses à la question 1 ne sont pas regroupées. Nous nous proposons de les organiser et de les présenter dans un tableau appelé tableau des effectifs. Modalité Effectif *

…. ….

Idem à la question

71

2

Exercice de maison Un enfant posté sur une route note la couleur des voitures qui passent devant lui. il note V pour vert, R pour rouge, B pour bleu et N pour noir. il obtient les résultats suivants : V N B V R

B B R B B

B R R B R

R R N R V

B V B B R

B B B V N

N R V V B

R N N N R

N R R B R

B N B R V

N R R V B

N B V N B

1) Quelle est la population étudiée ? 2) Quel est le caractère étudié ? Précise sa nature. 3) Quelles sont les modalités ? 4) Dresse le tableau des effectifs.

72

2ème Séance

ACTIVITÉ

Considérons le tableau des effectifs correspondant aux réponses à la question Quelle est la modalité qui a le plus grand effectif ?  Je présente *

On dit alors que … est le mode de la série statistique.

*

Une série statistique peut avoir deux modes ou plus.

 Quel est le mode de la série statistique correspondant à la question 2 ? TRACE ÉCRITE II- Traitement de données 1) Mode Définition Le mode d’une série statistique est la modalité qui a le plus grand effectif. 73

1

Remarque Une série statistique peut avoir deux modes (ou plus ) 2) Fréquence d’une modalité Définition On appelle fréquence d’une modalité, le quotient de l’effectif de la modalité par l’effectif total. Formule 𝑓𝑟 é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑 ′ 𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑖𝑙𝑡 é

=

𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡é 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Remarque 1 La somme des fréquences de chaque modalité est égale à 1. Remarque 2 * La fréquence d’une modalité peut être exprimée en pourcentage. 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑 ′ 𝑢𝑛𝑒 * 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑖𝑙𝑡 é 𝑒𝑛 %

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡 é = 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 × 100 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 74

*

La somme des fréquences de chaque modalité exprimée en pourcentage est égale à 100 % Exercice d’application 2

1) Établis le tableau des fréquences en pourcentage de la série statistique correspondante à la question 1 2) Vérifie que la somme des fréquences est égale à 100 %

Exercice de maison 5 Page 212 (CIAM) NB la dernière question : « trace……. des effectifs n’est pas à traiter »

75

3ème Séance

ACTIVITÉ Considérons le tableau des effectifs correspondant aux réponses à la question

1

1) Calcule le nombre d’élèves qui ont un âge inférieur ou égal à …. ans. Explique comment as-tu trouvé ce nombre ?  Je présente Ce nombre …est appelé effectif cumulé croissant de la modalité …  Calcule la fréquence cumulée croissante en % de la modalité 17 Exercice d’application On considère la série correspondante à la question 1 Recopie puis complète le tableau suivant : Modalité … … … … … Effectif … … … … … Effectif cumulé croissant Fréquence (%) Fréquence cumulée croissante (%) 76

TRACE ÉCRITE 3) Effectifs cumulés croissants Définition Soit une série statistique à caractère quantitatif On appelle effectif cumulé croissant d’une modalité, la somme des effectifs des modalités inférieures ou égales à cette modalité

4) Fréquences cumulées croissantes Définition Soit une série statistique à caractère quantitatif. On appelle fréquence cumulée croissante d’une modalité, le quotient de l’effectif cumulé croissant de cette modalité par l’effectif total. Autre définition Soit une série statistique à caractère quantitatif. On appelle fréquence cumulée croissante d’une modalité, la somme des fréquences des modalités inférieures ou égales à cette modalité. Exercice de maison 2.a Page 206 (CIAM) 77

4ème Séance

TRACE ÉCRITE

5) Moyenne d’une série statistique Définition La moyenne d’une série statistique à caractère quantitatif est la somme de toutes les modalités par l’effectif total. Formule M=

𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 (𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡 é × 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡 é) 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Exercice résolu Considérons le tableau des effectifs de la série statistique correspondante à la question 1 . Calcule l’âge moyen des élèves. 6 ) Médiane d’une série statistique Définition Les valeurs du caractère étant rangés par ordre croissant ( ou décroissant ), la médiane d’une série statistique est la valeur du caractère qui partage la série en deux parties de même effectif. 78

Exercice résolu Le tableau suivant donne le nombre de pains consommés au cours du petit déjeuner par 45 familles pendant une semaine. Nombre de pains 6 8 11 12 13 Effectif 5 7 10 9 14 1) Calcule la moyenne de cette série. 2) Détermine la médiane de cette série. Solution 1- Calculons la moyenne M=

6×5 + 8×7 + 11×10 + 12×9 + 13×14 45

= 10,8

2- Déterminons la médiane Les modalités étant rangées par ordre croissant, la 23ème valeur partage la série en deux parties de même effectif. Dressons le tableau des effectifs cumulés croissants. modalité 6 8 11 12 13 Effectif cumulé 5 12 22 31 45 79

D’après le tableau des effectifs cumulés croissants, la 23ème valeur de la série est 12. Donc la médiane de cette série statistique est 12 Exercice de maison 1 Le tableau ci-dessous indique les notes sur 20 obtenues par les élèves d’une classe de troisième à un devoir de français. Note 5 7 9 10 12 14 Effectif 8 12 6 7 5 2 1-Quel est le mode de cette série statistique ? 2- Calcule la moyenne de la classe. 3- Détermine la médiane des notes.

Dans une maternité, on a recensé, selon leur masse, le nombre de nouveau-nés au cours d’une semaine. On a obtenu le tableau ci-dessous. Masse (en kg) 2,5 3 3,5 4 4,5 Effectif 6 7 6 5 3 1- Dresse le tableau des effectifs cumulés. 2- Détermine la médiane de la série 2

80

TRACE ÉCRITE

5ème Séance

III- Regroupement en classe de même amplitude Dans le cas d’une série statistique à caractère quantitatif , on peut regrouper les modalités dans des intervalles appelés classes. Exemple Tableau des effectifs d’une étude portant sur l’âge des élèves de la 3ème …. âge [14 ;15[ [15 ;16[ [16 ;17[ [17 ;18[ [18 ;19[ Effectif … … … ... …

1) Vocabulaire * La classe [14 ;15[ a pour amplitude 15 − 14 = 1 * La classe [14 ;15[ a pour centre 14+15 2

= 14,5

Remarque De manière générale, toutes les classes ont la même amplitude. 81

2) Mode d’une série regroupée en classe Définition On appelle classe modale d’une série statistique,la classe qui a le plus grand effectif. Exemple Dans le tableau des effectifs précédent, la classe … a le plus grand effectif. Donc la classe modale de cette série est … Remarque Une série statistique peut avoir deux classes modales ( ou plus ). 3) Moyenne d’une série regroupée en classe. Définition La moyenne d’une série statistique à caractère quantitatif regroupée en classes est le quotient de tous les centres de ces classes par l’effectif total. M=

𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 (𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡 é × 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙𝑖𝑡 é) 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 82

4) Médiane d’une série regroupée en classe. Définition Les valeurs du caractère étant rangés par ordre croissant ( ou décroissant ), la médiane d’une série statistique est la valeur du caractère qui partage la série en deux parties de même effectif. Exemple On considère la série statistique représentée par le tableau suivant : [0 ;5[ [5 ;10[ [10 ;15[ [15 ;20] âge 6 13 12 9 Effectif 1- Calcule la moyenne de cette série 2- Détermine la médiane. Solution 1- Calcul de la moyenne Le centre de la classe : * [0 ; 5[ est *

[5 ; 10[ est

0+5

= 2,5

2 5 + 10 2 83

= 7,5

* [10 ; 15[ est

10 + 15 2

= 12,5

15 + 20

= 17,5 * [15 ; 20] est 2 La moyenne de cette série est : 𝑚=

2,5 ×6 + 7,5 × 13 + 12,5 × 12 + 17,5 ×9 40

𝑚 = 10,5 2- Déterminons la médiane Dressons le tableau des effectifs cumulés croissants. modalité Effectif cumulé

[0 ;5[ 6

[5 ;10[ 19

[10 ;15[

[15 ;20]

31

40

Les modalités étant rangées par ordre croissant, la 20ème et 21ème valeur partagent la série en deux parties de même effectif. Donc la médiane de cette série appartient à la classe [10 ;15[. 84

Désignons par 𝑥 la médiane. On a le tableau de correspondance cidessous : 10 15 𝑥 19 20 31 donc

𝑥 −10 20−19

=

15−10 31−19

⇔ 𝑥 = 10,42

Exercice de maison On considère la série statistique représentée par le tableau suivant : Modalité [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[ [20 ;24[ [24 ;28] Effectif 7 9 3 5 6

1- Quelle est la classe modale ? 2- Calcule la moyenne de cette série statistique. 3- Détermine la médiane de cette série statistique.

85

6ème Séance

TRACE ÉCRITE IV- Représentation par des diagrammes Énoncé A un barrage de police, tous les passagers d’un minicar doivent présenter chacun une pièce d’identité : 14 présentent la carte nationale d’identité, 8 présentent une attestation d’identité, 10 ont une carte scolaire, 6 ont une carte de séjour et 2 sont sans papiers. Dresse le tableau des effectifs. Solution Modalités C.N. I Att. Effectifs

14

8

86

Carte Carte Sans Scolaire Séjour Papier 10 6 2

Remarque Pour comprendre aussi cette enquête, nous pouvons faire une représentation graphique. 1) Diagramme en bâtons Passage r 14 12 10 8 6 4

Pièces Sans Papier

Carte Séjour

Att.

C.N.I

0

Carte Scolaire

2

Cette représentation graphique est appelée diagramme en bâtons.

87

2) Diagramme à bandes Passage rssss 14 12 10 8 6 4 2 0

C.N. I

Att.

Carte Carte Sans Scolair Séjour Papier e

Pièces

Cette représentation graphique est appelée diagramme à bandes.

Exercice de maison 3.c Page 211 (CIAM)

88

7ème Séance

TRACE ÉCRITE 3) Diagramme semi-circulaire Carte Carte Sans modalité C.N.I Att. scolaire séjour papier 10 2 effectif 14 8 6 Mesure de l’angle au centre

×

63°

36°

27°

45°

9°

Att Carte Scolaire CNI

Carte Séjour Sans Papier

Cette représentation graphique est appelée diagramme semi-circulaire.

89

180° 40

Formules Dans un diagramme semi-circulaire on a les formules suivantes : T × 180°

Effectif de la modalité Mesure de l’angle au centre

×

180° T

où T désigne l’effectif total. 1 × 180°

Fréquence × 180°

Mesure de l’angle au centre

4) Diagramme circulaire Carte Carte Sans modalité C.N.I Att. scolaire séjour papier 10 2 effectif 14 8 6 Mesure de l’angle 126° 72° au centre

×

90°

90

54°

18°

360° 40

C.N.I Att . Sans Papier

Carte Séjour

Carte Scolaire

Cette représentation graphique est appelée diagramme circulaire. Formules Dans un diagramme circulaire on a les formules suivantes : T × 360°

Effectif de la modalité Mesure de l’angle au centre

où T désigne l’effectif total. 91

×

360° T

1 × 360°

Fréquence Mesure de l’angle au centre

× 360°

Exercice de maison Un sondage dans un groupe d’élèves à propos de leurs couleurs préférées a donné les résultats suivants : couleurs blanc bleu rouge orange vert Jaune élèves 8 4 20 12 24 4

1) Construis le diagramme semi-circulaire des effectifs. ( On prendra 5 cm pour le rayon ). 2) Construis le diagramme circulaire des effectifs. ( On prendra 5 cm pour le rayon ).

92

LEÇON 6 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DANS IR × IR 1ère Séance

Présentation Considérons les équations : ( E1 ) 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 ( E2 ) 5𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0 Pour montrer que l’on s’intéresse aux solutions communes de ces deux équations, on les écrit l’une en dessous de l’autre et on les relie par une accolade. 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 5𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0 On obtient alors un système appelé système de deux équations du premier degré d’inconnues (𝑥 ; 𝑦 ) Remarque Résoudre ce système, c’est trouver l’ensemble des solutions communes aux deux équations. 93

ACTIVITÉ On considère le système 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 (S) 5𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0 1) Dans le plan muni du repère (O, I , J ) trace les droites ( D1 ) et ( D2 ) d’équations respectives : 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 et 5𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0 2) Détermine le couple de coordonnées de l’intersection des deux droites. 3) Vérifie par le calcul que ( 3 ; - 4 ) est solution à ces deux équations.  Je présente * Les droites (D1) et (D2) sont sécantes au point de coordonnées ( 3 ; - 4 ). * On admet alors que le système admet une solution unique qui est le couple ( 3 ; - 4 ) * Cette méthode de résolution du système est appelée la résolution graphique. 94

TRACE ÉCRITE I- Systèmes d’équations du 1er degré IR × IR 1) Résolution graphique Exercice Résous graphiquement le système suivant : 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 (S) 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 solution ( à faire par les apprenants )

Exercice de maison 1.a Page 173 ( CIAM )

95

2ème Séance

Activité On considère le système : 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 (E1 ) (S) 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 (E2 ) 1) Dans l’équation (E1 ), exprime y en fonction de 𝑥 2) Dans l’équation (E2 ), remplace y par son expression et trouve la valeur de 𝑥. 3) En déduire la valeur de 𝑦.  Je présente * Le couple (3 ; −4) est la solution du système ( S ) * Cette méthode de résolution du système est appelée la résolution par substitution.  Je présente la méthode de résolution par Substitution Pour résoudre par substitution un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues, on peut procéder comme suit : 96

- Exprimer une inconnue en fonction de l’autre à partir d’une des deux équations ; - Remplacer dans l’autre équation cette inconnue par l’expression trouvée ; - Résoudre l’équation à une seule inconnue obtenue ; - Achever la résolution du système. TRACE ÉCRITE 2) Résolution par substitution Exercice Résous par substitution le système suivant : 𝑥 − 7𝑦 − 15 = 0 (S) 2𝑥 − 3𝑦 − 8 = 0 solution ( à faire par les apprenants ) Exercice de maison 1.b Page 174 ( CIAM ) 97

3ème Séance

Activité

On considère le système : 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 (E1 ) (S) 5𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0 (E2 ) 1) a) Qu’obtient-on lorsqu’on multiplie chaque membre de l’équation (E1 ) par 5 ? b) Qu’obtient-on lorsqu’on multiplie chaque membre de l’équation E2 par -2 ? c) Additionne membre à membre les deux équations obtenues. Que constates-tu ? d) Trouve alors la valeur de y. 2) a) Qu’obtient-on lorsqu’on multiplie chaque membre de l’équation E1 par 2 ? b) Qu’obtient-on lorsqu’on multiplie chaque membre de l’équation E2 par 3 ? 98

c) Additionne membre à membre les deux équations obtenues. Que constates-tu ? d) Trouve alors la valeur de 𝑥.  Je présente * Le couple (3 ; −4) est la solution du système ( S ) * Cette méthode de résolution du système est appelée la résolution par combinaison  Je présente la méthode de résolution par Substitution Pour résoudre par combinaison un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues, on peut procéder comme suit : - Choisir l’inconnue à éliminer ; - Multiplier chaque membre d’une équation par un nombre de sorte qu’en ajoutant membre à membre les équations obtenues, l’inconnues choisie soit éliminer. 99

- Résoudre l’équation à une inconnue obtenue. - Achever la résolution du système. TRACE ÉCRITE 3) Résolution par combinaison Exercice Résous par combinaison le système suivant : 3𝑥 − 4𝑦 + 26 = 0 (S) 5𝑥 + 7𝑦 + 16 = 0 solution ( à faire par les apprenants )

Exercice de maison 1.c Page 175 ( CIAM )

100

4ème Séance

Notion d’inéquation dans IR × IR Enoncé En visite à Paris, Bini veut acheter des cravates à 20 € l’unité et des ceintures à 15 € l’unité. Ne disposant que de 300 €, combien de cravates et de ceintures pourra-t-il acheter ? Pour résoudre ce problème, nous essayerons de traduire par une inéquation la situation décrite. Choix des inconnues Désignons par 𝑥 le nombre de cravates et par y le nombre de ceintures. Mise en équation Prix des cravates : 20𝑥 Prix des ceintures : 15𝑦 Prix payé par Bini : 20𝑥 + 15𝑦 101

On peut traduire la condition : « Le prix à payer est inférieur ou égal à 300 € » Donc ( I ) 20𝑥 + 15𝑦 ≤ 300  Je présente er * ( I ) est une inéquation du 1 degré dans IR × IR d’inconnues 𝑥 et 𝑦 . * Dans l’inconnue ( I ) : - Si on remplace 𝑥 par 7 et 𝑦 par 12 alors on inégalité fausse. - Si on remplace 𝑥 par 4 et 𝑦 par 13 alors on obtient une inégalité vraie. On dit alors que le couple ( 4 ; 13 ) est une solution de l’inéquation ( I ). Exercice d’application Dans l’équation ( I ) : a) Trouve une solution dont la première composante est 8. b) Trouve une solution dont la deuxième composante est 7. 102

TRACE ÉCRITE II- Inéquations du 1er degré dans IR × IR 1) Notion d’inéquation dans IR × IR Soit ( I ) 20𝑥 + 15𝑦 ≤ 300 *

*

( I ) est une inéquation du 1er degré dans IR × IR. Lorsqu’on remplace 𝑥 par 4 et 𝑦 par 13, on obtient une inégalité vraie. On dit que le couple (4 ; 13) est une solution de l’inéquation (I) .

Exercice de maison 2.a Page 176 (CIAM)

103

5ème Séance

Présentation Le plan est muni du repère ( O, I, J ). On donne (D) 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 1) représente la droite ( D ). 2) on considère les inéquations : ( I1 ) 𝑥 + 2𝑦 − 4 < 0 ( I2 ) 𝑥 + 2𝑦 − 4 > 0 a) Trouve un couple solution de ( I1 ) b) Vérifie que le couple (0 ;0) est solution de (I1)  Je présente * L’ensemble des solutions de (I1) est le demi-plan de frontière (D) contenant le point O à l’exclusion de la droite (D). 3) Vérifie que le couple (0 ;0) n’est pas solution de l’inéquation (I2).  Je présente * L’ensemble des solutions de (I2) est le demi-plan de frontière (D) ne contenant pas le point O à l’exclusion de (D). 104

Une droite (D) d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 partage le plan en trois parties : - Deux demi-plans de frontière (D) - La droite (D). * Pour savoir quel demi-plan représente l’ensemble des solutions d’une inéquation du type 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 , on peut procéder comme suit : - Tester un point particulier, par exemple l’origine du repère. - Si le test est positif, l’ensemble des solutions est le demi-plan de bord la droite (D) d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 contenant l’origine à l’exclusion de la droite (D). - Si le test est négatif, l’ensemble des solutions est le demi-plan de bord la droite (D) d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ne contenant pas l’origine à l’exclusion de la droite (D). *

105

*

Lorsque l’inéquation est au sens large (≤ ou ≥ ) , l’ensemble des solutions est présenté par le demi-plan et son bord.

Exercice d’application Représente graphiquement les solutions de l’inéquation −𝑥 + 4𝑦 − 5 > 0 TRACE ÉCRITE 2) Représentation graphique Propriété Le plan est muni d’un repère. (D) est la droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 La droite (D) partage le plan en trois parties : - deux demi-plans de frontière (D) - la droite (D). * Les couples de coordonnées des points d’un demi-plan vérifient : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0 *

Les couples de coordonnées des points de l’autre demi-plan vérifient : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 . 106

*

Les couples de coordonnées des points de (D) vérifient : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 .

Exercice résolu Résous graphiquement l’inéquation : ( I ) −2𝑥 + 𝑦 − 1 > 0 .

Solution ( à rédiger)

Exercice de maison 2.b Page 178 (CIAM)

107

6ème Séance

Activité

L’objet de cette activité est de représenter graphiquement les solutions du système −𝑥 + 𝑦 − 1 < 0 (I) 3𝑥 + 4𝑦 − 12 > 0 1) Dans le plan muni du repère (O,I,J), trace les droites (D1) et (D2) d’équations respectives : −𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 et 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 2) Soit (I1) −𝑥 + 𝑦 − 1 < 0 et (I2) 3𝑥 + 4𝑦 − 12 > 0 . Détermine l’ensemble des solutions de l’inéquation (I1) et (I2) . 3) Conclure. ∇ L’intersection du demi-plan (P1) à l’exclusion de la droite (D1) et du demiplan (P2) à l’exclusion de la droite (D2) est l’ensemble des solutions du système (I) 108

TRACE ÉCRITE 3) Système de deux inéquations Représente graphiquement l’ensemble des solutions du système suivant : (S)

2𝑥 + 𝑦 − 1 < 0 𝑥−𝑦+3 < 0

Solution ( à rédiger)

Exercice de maison 2.d Page 178 (CIAM)

109

7ème Séance

TRACE ÉCRITE III- Problèmes du 1er degré dans IR × IR Énoncé Une société de fabrication de pièces détachées emploie 392 agents. Au mois de décembre, 12 hommes et 20 femmes partent en congé. Le nombre d’hommes restant est alors le double de celui des femmes. Combien d’hommes et de femmes la société emploie - t - elle ? Solution Choix des inconnues Désignons par 𝑥 le nombre d’hommes et par 𝑦 le nombre de femmes Mise en équation * La société emploie 392 agents : Donc 𝑥 + 𝑦 = 392 110

12 hommes partent en congés : Il reste alors 𝑥 − 12 hommes dans la société. * 20 femmes partent en congés : Il reste alors 𝑦 − 20 femmes dans la société. * Le nombre d’hommes restant est le double de celui des femmes : donc 𝑥 − 12 = 2 × (𝑦 − 20) ⟹ 𝑥 − 12 = 2𝑦 − 40 ⟹ 𝑥 − 2𝑦 = −28 *

On obtient alors le système suivant : (S)

𝑥 + 𝑦 = 392 𝑥 − 2𝑦 = −28 Résolution ( à résoudre )

111

Exercice de maison Après une soirée dansante, le comité d’organisation estime qu’il a vendu 210 tickets pour une recette totale de 132000 F Combien d’hommes et de femmes ont participé à cette soirée sachant que le prix du ticket des hommes est de 800 F et celui des femmes est de 500F .

112

LEÇON 7 APPLICATIONS AFFINES 1ère Séance

TRACE ÉCRITE 1) Applications affines a) Définition 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels ; On appelle application affine de coefficient 𝑎 et de terme constant 𝑏, la correspon dance f qui, à chaque nombre réel 𝑥 , associe le nombre réel 𝑎𝑥 + 𝑏. Notation et vocabulaire * on la note f : 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 * on dit que f(𝑥) est l’image de x par l’application affine f . * on dit que l’application affine f est définie par f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 113

Exemple * la correspondance f : 𝑥 ⟼ 4𝑥 − 7 est une application affine. * f est définie par f(𝑥) = 4𝑥 − 7 * on a : f(2) = 4 × 2 − 7 = 8 − 7 = 1 On dit alors que 1 est l’image de 2 par l’application affine f. Exercice résolu On donne l’application affine g définie par g(x) = 1 − 3 𝑥 + 2 1) Calcule g(-1) 2) Trouve le nombre réel 𝑎 tel que g(𝑎) = - 2 Solution (à rédiger) Exercice de maison 2 Page 195 (CIAM) 114

2ème Séance

TRACE ÉCRITE

b) Représentation graphique Définition Le plan est muni d’un repère. On appelle représentation graphique de l’application affine f l’ensemble des points du plan de couple de coordonnées (x ; f(𝑥)) ; 𝑥 étant un nombre réel. Propriété Le plan est muni d’un repère. L’application affine f définie par f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 a pour représentation graphique la droite d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Remarque Le nombre 𝑎 est le coefficient directeur de cette droite et le nombre 𝑏 son ordonnée à l’origine. Exercice 1 Trace la représentation graphique de l’application affine f définie par f(𝑥) =

−1 3

𝑥+

4 3

115

Exercice 2 Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J) on donne A(-2 ;0) et B(0 ;5). Sur la figure ci-dessous, la droite (AB) est la représentation graphique d’une application affine f. B

A

J O

I

1) Détermine le coefficient directeur de la droite (AB) 2) Détermine l’expression de l’application affine f . Solution (à rédiger ) Exercice de maison 1.b Page189 et 11 Page 195 (CIAM) 116

3ème Séance

TRACE ÉCRITE c) Sens de variation Propriété f est une application affine définie par : f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 * f est croissante lorsque 𝑎 > 0 * f est constante lorsque 𝑎 = 0 * f est décroissante lorsque 𝑎 < 0 Exemple On considère l’application affine f définie par : f(𝑥) = −7𝑥 + 3 f est une application affine décroissante car −7 < 0 Exercice d’application f et g sont deux applications affines définies par : f(𝑥) =

3 5

𝑥 − 19

et g(𝑥) = 2 2 − 3 𝑥 + 7 117

1) a) Quel est le sens de variation de f ? b) Sans calculer, compare les nombres f(195) et f(207) 2) a) Justifie que g est décroissante. b) Sans calculer, compare les nombres g (28) et g (45)

Exercice de maison 1.d ; 1.e ; 1.f Page 190 14 Page 196 (CIAM)

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4ème Séance

TRACE ÉCRITE 2) Applications linéaires Définition On appelle application linéaire, une application affine f définie par f(𝑥) = 𝑎𝑥 ; 𝑎 étant un nombre réel. Exemple Les applications f et g définies par f(𝑥) = −43𝑥 et g(𝑥) = 0 sont des applications linéaires. Propriétés 𝑎 est un nombre réel donné ; f est l’application linéaire définie par f(𝑥) = 𝑎𝑥 . Pour tous nombres réels u ; v et k on a : * f( u + v ) = f(u) + f(v) * f( k u ) = k f(u)

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Exemples ×8

+

5 16 21 𝑥 f( 𝑥) 7 22,4 29,4

𝑥 f( 𝑥)

+

5 7

40 56 ×8

Exercice d’application 1) f est une application linéaire telle que f(6) = 51,9 Sans déterminer le coefficient de f , calcule : f(24) ; f(2) et f(26). 2) Détermine l’application linéaire g telle que g( 3) + g(2) = 1.

Exercice de maison 2.e ; 2.f Page 191 (CIAM)

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